함수열(Sequence of functions)

정의1

함수열 :

임의의 자연수 $n_0 \in \mathbb{N}$에 대해 $A \subseteq $ $\mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수열은

정의역이 $S = \{n \in \mathbb{N} : n \ge n_0 \}$이고 치역이 $A$에서 $\mathbb{R}$로의 함수들의 집합 $\mathcal{F}(A\to \mathbb{R})$인 함수이다.

함수 $F : S \to \mathcal{F}(A\to \mathbb{R})$가 모든 $n \in S$에 대해 $F(n) = f_{n} \in \mathcal{F}(A\to \mathbb{R})$인 함수열일때

$f_{n} : A\to \mathbb{R}$을 함수열의 항(term) 또는 원소라고 하고 함수열 $F$를 $(f_n)_{n = n_0}^\infty$형태로 표기한다.

함수열 $F$를 $(f_{n})$인 형태로 표기하면 $S$의 최소원소를 임의의 자연수로 가정한다.

균등유계(uniformly bounded) :

$A \subseteq \mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 어떤 실수 $M > 0$에 대해

$n\ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$가 $|f_n(x)| \le M$이면 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 균등유계라 정의한다.

 

 

 

정의2

점별수렴(pointwise convergence) :

$(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수열일때

임의의 점 $x_0 \in A_0 \subseteq A$과 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge K(\epsilon, x_0) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $|f_n(x_0) - f(x_0)| < \epsilon$이 되는

$K(\epsilon,x_0)\in \mathbb{N}$와 함수 $f : A_0 \to \mathbb{R}$가 존재하면 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A_0$에서 $f$로 점별수렴한다고 한다.

균등수렴(uniform convergence) :

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge K(\epsilon)\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A_0 \subseteq A$가 $|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$이 되는

$K(\epsilon)\in \mathbb{N}$과 함수 $f : A_0 \to \mathbb{R}$가 존재하면 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A_0$에서 $f$로 균등수렴한다고 한다.

 

 

 

정리10

실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 함수 $f : A \to \mathbb{R}$로 균등수렴하면

$(f_n)_{n=n_0}^\infty$은 $A$에서 $f$로 점별수렴한다.

증명

균등수렴 정의로 $A$에서 $f$로 점별수렴함은 자명하다.

 

 

 

정리11

실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 함수 $f : A \to \mathbb{R}$로 점별수렴하기 위한 필요충분조건은

모든 $x \in A$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f_n(x)) = f(x)$인 것이다.

2. $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 함수 $f : A \to \mathbb{R}$로 균등수렴하면 모든 $x \in A$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(f_n(x)) = f(x)$이다.

증명

1.

점별수렴 정의와 모든 $x \in A$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(f_n(x)) = f(x)$인 수열극한 정의는 동치이다.

2.

위 정리로 균등수렴하면 점별수렴하므로 1번으로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리12

실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이

$A$에서 점별수렴이나 균등수렴하는 함수 $f : A \to \mathbb{R}$는 유일하다.

증명

위 정리로 모든 $x \in A$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f_n(x)) = f(x)$이고 수열극한 정리로 극한값은 유일하므로 $f$는 유일하다.

 

 

 

정의3

정의역이 실수집합의 공집합이 아닌 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$인 함수 $\varphi : A \to \mathbb{R}$가 $A$에서 유계일때

$\lVert \varphi \rVert_A = $ $\sup$$\{ |\varphi(x)| : x \in A\}$를 $A$에서 $\varphi$의 균등노름(uniform norm)으로 정의한다.

 

 

 

정리8

실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 함수 $f : A \to \mathbb{R}$로 균등수렴하고 

$n \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $f_n$이 $A$에서 각각 유계이면 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$은 $A$에서 균등유계이고 $f$도 $A$에서 유계이다.

증명

$n \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $f_n$이 $A$에서 각각 유계이므로

모든 $x \in A$에 대해 $|f_n(x)| \le M_n$인 $M_n>0$이 존재하고 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 $f$로 균등수렴하므로

$n \ge K(1) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$가 $|f_n(x) - f(x)| < 1$이 되는 $K(1)\in \mathbb{N}$이 존재하여 삼각부등식으로

$|f_n(x)| = |f_n(x) - f(x) + f(x) - f_{K(1)}(x) + f_{K(1)}(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f_{K(1)}(x)| + |f_{K(1)}(x)| < 2 + M_{K(1)} \text{ 이다.}$

따라서 $M = \max \{ M_{1},M_2,\cdots , M_{K(1) - 1}, 2 + M_{K(1)} \}$이면

$n\ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$에 대해 $|f_n(x)| \le M$이고

수열 절댓값 정리와 수열 부등식 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|f_n(x)|) = |f(x)| \le M$이다.

 

 

 

정리1

실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의

함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 함수 $f :A \to \mathbb{R}$로 균등수렴하기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $n \ge K(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $\lVert f_n - f \rVert_A$ $ < \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하는 것이다.

증명

$(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 $f$로 균등수렴하면 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$n \ge K(\frac{\epsilon}{2}) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$가 $|f_n(x) - f(x)| < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $K(\epsilon)\in \mathbb{N}$이 존재하므로

$\dfrac{\epsilon}{2}$는 집합 $\{ |f_n(x) - f(x)| : x \in A \}$의 상계가 되어 $\lVert f_n - f \rVert_A = \sup \{ |f_n(x) - f(x)| : x \in A \} \le \dfrac{\epsilon}{2}<\epsilon$이다.

역으로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$n \ge H(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $ \lVert f_n - f \rVert_A < \epsilon$이 되는 $H(\epsilon)\in \mathbb{N}$이 존재하면

상계의 정의로 모든 $x \in A$에 대해 $|f_n(x) -f(x) | \le \lVert f_n - f \rVert_A < \epsilon$이 되어 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$은 $A$에서 $f$로 균등수렴한다.

 

 

 

정리2(균등수렴 코시[Cauchy] 판정법)

실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 

함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 함수 $f :A \to \mathbb{R}$로 균등수렴하기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $m,n \ge H(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $m,n\in \mathbb{N}$이 $\lVert f_m - f_n \rVert_A$ $ < \epsilon$이 되는 $H(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하는 것이다.

증명

$(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 $f$로 균등수렴하면 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$m,n\ge K(\frac{\epsilon}{3}) \ge n_0$인 모든 $m,n \in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$가

$|f_n(x) - f(x)| < \dfrac{\epsilon}{3}$이고 $|f_m(x) - f(x)| < \dfrac{\epsilon}{3}$인 $K(\frac{\epsilon}{3})\in \mathbb{N}$이 존재하여 삼각부등식으로

$|f_m(x) - f_n(x)| = |f_m(x) - f(x) +f(x) - f_n(x)| \le |f_m(x) - f(x)| + |f_n(x) - f(x)| < \dfrac{\epsilon}{3} +\dfrac{\epsilon}{3} = \dfrac{2\cdot \epsilon}{3}\text{ 이므로}$

$\dfrac{2\cdot \epsilon}{3}$은 집합 $\{ |f_m(x) - f_n(x)| : x \in A \}$의 상계이고

$\lVert f_m - f_n \rVert_A = \sup \{ |f_n(x) - f(x)| : x \in A \} \le \dfrac{2\cdot \epsilon}{3} < \epsilon$이다.

역으로

모든 $\epsilon >0$에 대해 $m,n \ge H(\frac{\epsilon}{2}) \ge n_0$인 모든 $m,n\in \mathbb{N}$이 $\lVert f_m - f_n \rVert_A < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $H(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{N}$이 존재하면

상계의 정의로 모든 $x \in A$에 대해 $|f_m(x) -f_n(x) | \le \lVert f_m - f_n \rVert_A < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되어 $(f_n(x))_{n=n_0}^\infty$는 코시수열이고

코시수열 정리로 모든 $x \in A$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(f_n(x)) = f(x)$인 함수 $f :A \to \mathbb{R}$를 정의할 수 있다.

모든 $k \in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$에 대해 $-\dfrac{\epsilon}{2} <f_m(x) -f_{k + H(\frac{\epsilon}{2})}(x) < \dfrac{\epsilon}{2}$이므로

꼬리수열 정리와 수열 부등식 정리로 $-\dfrac{\epsilon}{2} \le f_m(x) - \displaystyle \lim_{k \to \infty}(f_{k + H(\epsilon)}(x)) = f_m(x) - f(x) \le \dfrac{\epsilon}{2}$가 되어

$|f_m(x) -f(x) | \le  \dfrac{\epsilon}{2}<\epsilon$이고 수열의 극한값은 유일하므로 함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$은 $A$에서 $f$로 균등수렴한다.

 

 

 

정리3

실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$과 $(g_n)_{n=n_0}^\infty$이

각각 $A$에서 함수 $f :A \to \mathbb{R}$와 $g :A \to \mathbb{R}$로 균등수렴할때 다음이 성립한다.

1. 임의의 실수 $c \in \mathbb{R}$와 모든 $x \in A$에 대해 $C(x) = c$인 상수함수열 $(C)_{n = n_0}^\infty$는 $A$에서 $C:A\to \mathbb{R}$로 균등수렴한다.

2. 임의의 실수 $c \in \mathbb{R}$에 대해 함수열 $(c\cdot f_n)_{n=n_0}^\infty$은 $A$에서 함수 $c\cdot f $로 균등수렴한다.

3. 함수열 $( f_n + g_n)_{n=n_0}^\infty$은 $A$에서 함수 $ f + g$로 균등수렴한다.

4. 임의의 실수 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해 함수열 $(a\cdot f_n + b\cdot g_n)_{n=n_0}^\infty$은 $A$에서 함수 $a\cdot f + b\cdot g$로 균등수렴한다.

5. $(f_n)_{n=n_0}^\infty$과 $(g_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 균등유계이면 함수열 $( f_n \cdot  g_n)_{n=n_0}^\infty$은 $A$에서 함수 $f \cdot g$로 균등수렴한다.

증명

1.

모든 $\epsilon > 0$에 대해 모든 $x \in A$가 $|C(x) - C(x)| = 0 <\epsilon$이므로 $(C)_{n = n_0}^\infty$는 $A$에서 $C$로 균등수렴한다.

2.

$c = 0$이면 1번으로 $(c\cdot f_n)_{n=n_0}^\infty$은 $A$에서 함수 $c\cdot f $로 균등수렴한다.

$c\ne 0$이면 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$은 $A$에서 $f$로 균등수렴하므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$n \ge K(\frac{\epsilon}{2|c|}) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$가 $|f_n(x) - f(x)| < \dfrac{\epsilon}{2|c|}$가 되는 $K(\frac{\epsilon}{2|c|})\in \mathbb{N}$가 존재하여

$\begin{align*} |c\cdot f_n(x)  - c\cdot f(x) | & \le |c|\cdot |f_n(x) - f(x)|   \lt |c|\cdot \frac{\epsilon}{2|c|} = \epsilon \end{align*}$이므로

$(c\cdot f_n)_{n=n_0}^\infty$은 $A$에서 함수 $c\cdot f $로 균등수렴한다.

3.

$(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 $f$로 균등수렴하므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$n \ge K(\frac{\epsilon}{2}) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$가 $|f_n(x) - f(x)| < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $K(\frac{\epsilon}{2})\in \mathbb{N}$가 존재하고

$(g_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 $g$로 균등수렴하므로

$n \ge K(\frac{\epsilon}{2}) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$가 $|g_n(x) - g(x)| < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $K(\frac{\epsilon}{2})\in \mathbb{N}$가 존재한다.

따라서 $n \ge $ $\min$$\{K(\frac{\epsilon}{2}),K(\frac{\epsilon}{2}) \}$이면 삼각부등식으로

$\begin{align*} | f_n(x) + g_n(x) - (f(x) +  g(x))| & \le  |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)|   \lt  \frac{\epsilon}{2} +  \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

$( f_n +  g_n)_{n=0}^\infty$은 $A$에서 $ f + g$로 균등수렴한다.

4.

2, 3번으로 성립한다.

5.

$(f_n)_{n=n_0}^\infty$과 $(g_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 균등유계이므로 $n \ge n_0$인 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$에 대해

$|f_{n}(x) | \le M_f$가 되는 $M_f >0$가 존재하고 $|g_{n}(x) | \le M_g$가 되는 $M_g >0$가 존재하여

수열 절댓값 정리와 수열 부등식 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|f_n(x)|) = |f(x)| \le M_f$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|g_n(x)|) = |g(x)| \le M_g$이다.

$M = \max \{ M_f, M_g\}$일때 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 $f$로 균등수렴하므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$n \ge K_f(\frac{\epsilon}{2M}) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$가 $|f_n(x) - f(x)| < \dfrac{\epsilon}{2M}$이 되는 $K_f(\frac{\epsilon}{2M})\in \mathbb{N}$가 존재하고

$(g_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 $g$로 균등수렴하므로

$n \ge K_g(\frac{\epsilon}{2M}) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$가 $|g_n(x) - g(x)| < \dfrac{\epsilon}{2M}$이 되는 $K_g(\frac{\epsilon}{2M})\in \mathbb{N}$가 존재한다.

따라서 $n \ge $ $\min$$\{K_f(\frac{\epsilon}{2M}),K_g(\frac{\epsilon}{2M}) \}$이면 삼각부등식으로

$\begin{align*} |f_n(x)\cdot g_n(x) - f(x)\cdot g(x) | & =  |f_n(x)\cdot g_n(x) - f_n(x)\cdot g(x) + f_n(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g(x) | \\[0.5em] &\le |f_n(x)|\cdot | g_n(x) - g(x) | + |g(x)| \cdot | f_n(x) - f(x) | \\[0.5em] &\lt M \cdot \frac{\epsilon}{2M} + M \cdot\frac{\epsilon}{2M} = \epsilon \text{  이므로} \end{align*}$

$( f_n \cdot  g_n)_{n=n_0}^\infty$은 $f \cdot g$로 균등수렴한다.

 

 

 

정리4

실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 함수 $f :A \to \mathbb{R}$로 균등수렴하고 

어떤 실수 $M > 0$에 대해 $n\ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$가 $|f_n(x)| \le M$일때

함수 $g : [-M,M] \to \mathbb{R}$가 닫힌구간 $[-M,M]$에서 연속이면 합성 함수열 $(g \circ f_n)_{n =n_0}^\infty$은 $g\circ f$로 균등수렴한다.

증명

$g$가 $[-M,M]$에서 연속이므로 균등연속성 정리로 균등연속이 되어 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$|y - v| < \delta(\epsilon)$인 모든 $y,v \in [-M, M]$가 $|g(y) - g(v)| < \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$이 존재한다.

모든 점 $x \in A$에 대해 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 $f$로 균등수렴하므로

수열 절댓값 정리와 수열 부등식 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|f_n(x)|) = |f(x)| \le M$이 되어

$n \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$에 대해 $f_n(x),f(x) \in [-M,M]$이다.

따라서 $n \ge K(\delta(\epsilon)) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$가 $|f_n(x) - f(x)| < \delta(\epsilon)$이 되는 $K(\delta(\epsilon))\in \mathbb{N}$이 존재하고

$ |(g \circ f_n)(x) - (g \circ f)(x) |= |g(f_n(x)) - g(f(x))| < \epsilon$이므로 $(g \circ f_n)_{n=n_0}^\infty$은 $g\circ f$로 균등수렴한다.

 

 

 

정리5

실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 함수 $f :A \to \mathbb{R}$로 균등수렴할때

$n\ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $f_n : A \to \mathbb{R}$이 $A$에서 연속이면 $f$는 $A$에서 연속이다.

증명

$(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $A$에서 $f$로 균등수렴하므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$n \ge K(\frac{\epsilon}{3}) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $x \in A$가 $|f_n(x) - f(x)| < \dfrac{\epsilon}{3}$이 되는 $K(\frac{\epsilon}{3})\in \mathbb{N}$이 존재하고

$f_n$이 임의의 점 $c \in A$에서 연속이므로

$|x - c| < \delta(\frac{\epsilon}{3})$인 모든 $x \in A$가 $|f_n(x) - f_n(c)| < \dfrac{\epsilon}{3}$이 되는 $\delta(\frac{\epsilon}{3}) > 0$이 존재한다.

따라서 삼각부등식으로

$\begin{align*} |f(x) - f(c)|  & = |f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f(c)| \\[0.5em] & \le |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f(c)| = |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(c) + f_n(c) - f(c)| \\[0.5em] & \le |f_n(x) - f(x)| + |f_n(x) - f_n(c) | + | f_n(c) - f(c)| \\[0.5em] & \lt \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

$f$는 $A$에서 연속이다.

 

 

 

정리6

공구간이나 퇴화구간이 아니고 유계인 구간이 $J$일때

$J$에서 $\mathbb{R}$로의 함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$에 대해 수열 $(f_n(x_0))_{n =n_0}^\infty$이 수렴하는 $x_0 \in J$이 존재하고

$n\ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $f_n : J \to \mathbb{R}$이 $J$에서 미분가능하여

$J$에서 $\mathbb{R}$로의 도함수열 $(f_n')_{n=n_0}^\infty$이 $J$에서 함수 $g : J \to \mathbb{R}$로 균등수렴하면

$(f_n)_{n=n_0}^\infty$은 $J$에서 함수 $f : J \to \mathbb{R}$로 균등수렴하고 $f$는 $J$에서 미분가능하여 $f' = g $가 성립한다.

증명

$a < b$가 $J$의 끝점일때 임의의 $x \in J$와 $m,n \ge n_0$인 모든 $m,n \in \mathbb{N}$에 대해 평균값 정리로

$(f_m - f_n)(x) - (f_m - f_n)(x_0) = (x - x_0)\cdot (f_m' - f_n')(y)$가 되는 $x$와 $x_0$사이의 점 $y$가 존재한다.

$(f_n')_{n=n_0}^\infty$이 균등수렴하므로 

위 정리로 $\lVert f_m' -f_n' \rVert_J$이 존재하는 모든 $m,n \in \mathbb{N}$과 모든 $x \in J$에 대해 삼각부등식으로

$\begin{align*}|(f_m - f_n)(x) | & = | (f_m - f_n)(x_0) + (x - x_0)\cdot (f_m' - f_n')(y)| \\[0.5em] & \le |(f_m - f_n)(x_0)| + |x - x_0| \cdot |(f_m' -f_n')(y)| \\[0.5em] & \le |(f_m - f_n)(x_0)| + (b-a)\cdot |(f_m' - f_n')(y) | \\[0.5em] & \le |(f_m - f_n)(x_0)| + (b-a)\cdot \lVert f_m' -f_n' \rVert_J \text{ 이므로} \end{align*}$

$|(f_m - f_n)(x_0)| + (b-a) \cdot \lVert f_m' -f_n' \rVert_J$은 집합 $\{ |(f_m - f_n)(x) | : x\in J \}$의 상계가 되어 

$f_m - f_n$의 균등노름은 $\lVert f_m - f_n \rVert_J \le |f_m(x_0) - f_n(x_0)| + (b-a) \cdot \lVert f_m' -f_n' \rVert_J$이다.

수열 $(f_n(x_0))_{n=n_0}^\infty$이 수렴하므로 코시수열 정리로 코시수열이 되어 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$n,m \ge K(\epsilon , x_0) \ge n_0$인 모든 $m,n \in \mathbb{N}$이 $|f_m(x_0) - f_n(x_0)| < \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $K(\epsilon,x_0) \in \mathbb{N}$이 존재하고

$(f_n')_{n=n_0}^\infty$이 $J$에서 균등수렴하므로 위 정리로 

$n,m \ge H(\epsilon)\ge n_0$인 모든 $m,n \in \mathbb{N}$이 $ \lVert f_m' -f_n' \rVert_J < \dfrac{\epsilon}{2(b-a)}$가 되는 $ H(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재한다.

따라서 $x_0 \in J$를 고정하고 $n,m \ge \max \{ K(\epsilon,x_0) , H(\epsilon) \}$이면

$\lVert f_m - f_n \rVert_J \le |f_m(x_0) - f_n(x_0)| + (b-a) \cdot \lVert f_m' -f_n' \rVert_J < \dfrac{\epsilon}{2} +(b-a)\cdot \dfrac{\epsilon}{2(b-a)} = \epsilon \text{ 이므로}$

위 정리로 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $J$에서 균등수렴하는 함수 $f : J \to \mathbb{R}$가 존재한다.

 

$x \ne c$인 $x,c \in J$에 대해 평균값 정리로

$f_m(x) - f_m(c) - f_n(x) + f_n(c) = (f_m - f_n)(x) - (f_m - f_n)(c) = (x - c)\cdot (f_m' - f_n')(z)$가 되는

$x$와 $c$사이의 점 $z$가 존재하고

$(f_n')_{n=n_0}^\infty$ 이 $J$에서 균등수렴하므로 위 정리로 $n,m \ge H_1(\epsilon) \ge n_0$이면

$\left |\dfrac{f_m(x) - f_m(c)}{x-c} - \dfrac{f_n(x) - f_n(c)}{x-c} \right | = |(f_m' - f_n')(z)| \le \lVert f_m' -f_n' \rVert_J < \epsilon$이 되는 $H_1(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하여

$\displaystyle \lim_{m \to \infty}(f_m(x)) = f(x)$이고 $\displaystyle \lim_{m \to \infty} (f_m(c)) = f(c)$이므로

수열 부등식 정리로 $\left |\dfrac{f(x) - f(c)}{x-c} - \dfrac{f_n(x) - f_n(c)}{x-c} \right |  \le \epsilon$이다.

또 $(f_n')_{n=n_0}^\infty$이 $J$에서 $g$로 균등수렴하므로

$n \ge N(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $|f_n'(c) - g(c)| < \epsilon$이 되는 $N(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하고

$n \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $f_n$이 $c \in J$에서 미분가능하므로 $k \ge \max \{ H_1(\epsilon), N(\epsilon) \}$이면

$0< |x - c| < \delta_k(\epsilon)$인 모든 $x\in J$가 $\left | \dfrac{f_k(x) -f_k(c)}{x-c} - f_k'(c) \right | < \epsilon$이 되는 $\delta_k(\epsilon) > 0$가 존재하여

삼각부등식으로 

$\begin{align*} \left | \dfrac{f(x) - f(c)}{x-c} - g(c) \right | & = \left | \dfrac{f(x) - f(c)}{x-c} -\dfrac{f_k(x) - f_k(c)}{x-c} + \dfrac{f_k(x) - f_k(c)}{x-c} - f_k'(c) + f_k'(c) - g(c) \right | \\[0.5em] & \le \left | \dfrac{f(x) - f(c)}{x-c} -\dfrac{f_k(x) - f_k(c)}{x-c} \right | + \left | \dfrac{f_k(x) - f_k(c)}{x-c} - f_k'(c) \right | + \left | f_k'(c) - g(c) \right | \\[0.5em] & \lt \epsilon +\epsilon + \epsilon =  3\cdot \epsilon \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 $\epsilon > 0$과 $c \in J$가 임의이므로 $f$는 $J$에서 미분가능하고 $f' = g $이다.

 

 

 

정리7

$a < b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 $\mathbb{R}$로의 함수열 $(f_n)$이 $[a,b]$에서 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$로 균등수렴하고

$n \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $f_n : [a,b] \to \mathbb{R}$이 $f_n \in$ $\mathcal{R}[a,b]$이면

$f \in \mathcal{R}[a,b]$이고 $\displaystyle \int_a^b \lim_{n\to \infty} (f_n(x)) \operatorname{d}\!x = \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = \lim_{n \to \infty} \left ( \int_a^b f_n(x) \operatorname{d}\!x \right )$이다.

증명

$(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $[a,b]$에서 $f$로 균등수렴하므로 위 정리로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$n,m \ge H(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $m,n \in \mathbb{N}$이 $ \lVert f_m -f_n \rVert_{[a,b]} < \epsilon$이 되는 $ H(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하여

모든 $x \in [a,b]$에 대해 $|f_m(x) - f_n(x)|  \le \lVert f_m -f_n \rVert_{[a,b]} < \epsilon$이고 $-\epsilon < f_m(x) - f_n(x) < \epsilon$이다.

$f_m,f_n \in \mathcal{R}[a,b]$이므로 상수함수 적분과 적분 정리로

$\displaystyle -\epsilon\cdot (b-a) \le \int_a^b f_m(x) \operatorname{d}\!x - \int_a^b f_n(x) \operatorname{d}\!x \le \epsilon \cdot (b-a)$이 되어

수열 $\displaystyle \left (\int_a^b f_m(x)\operatorname{d}\!x \right )_{m=n_0}^\infty$는 코시수열이고 코시수열 정리로 $\displaystyle \lim_{m \to \infty} \left ( \int_a^b f_m(x)\operatorname{d}\!x \right ) = A \in \mathbb{R}$가 존재하므로

$m \ge N(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $m \in \mathbb{N}$이 $\displaystyle \left | \int_a^b f_m(x)\operatorname{d}\!x - A \right | < \epsilon$이 되는 $ N(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재한다.

또 $\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta_m(\epsilon)$인 $[a,b]$의 모든 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{  ([x_{i-1},x_i],t_i)\}_{i=1}^k$가 

$\displaystyle \left | \int_a^b f_m(x)\operatorname{d}\!x - S(f_m; \dot{\mathcal{P}}) \right | < \epsilon$인 $\delta_m(\epsilon) > 0$이 존재하고

$(f_m)_{m=n_0}^\infty$이 $[a,b]$에서 $f$로 균등수렴하여

$m \ge K(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $m \in \mathbb{N}$과 모든 $x \in [a,b]$가 $|f_m(x) - f(x)| <\epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하므로

$m \ge \max \{ K(\epsilon), N(\epsilon) \}$이면

$\begin{align*} |S(f; \dot{\mathcal{P}}) - A| & =  \left |S(f; \dot{\mathcal{P}}) - S(f_m; \dot{\mathcal{P}}) +S(f_m; \dot{\mathcal{P}}) -\int_a^b f_m(x)\operatorname{d}\!x+\int_a^b f_m(x)\operatorname{d}\!x - A \right | \\[0.5em] & \le \left |S(f; \dot{\mathcal{P}}) - S(f_m; \dot{\mathcal{P}}) \right | + \left | S(f_m; \dot{\mathcal{P}}) -\int_a^b f_m(x)\operatorname{d}\!x \right | + \left | \int_a^b f_m(x)\operatorname{d}\!x - A \right | \\[0.5em] & \lt \left |\sum_{i=1}^k (f(t_i) - f_m(t_i))\cdot (x_i - x_{i-1}) \right | + \epsilon + \epsilon \\[0.5em] & \le \sum_{i=1}^k |f(t_i) - f_m(t_i)|\cdot (x_i - x_{i-1}) + 2\cdot \epsilon \\[0.5em] & \lt  \sum_{i=1}^k \epsilon \cdot (x_i - x_{i-1}) + 2\cdot \epsilon = \epsilon\cdot (b-a) + 2\cdot \epsilon = \epsilon \cdot (b-a + 2) \text{ 이고} \end{align*}$

$\epsilon >0$이 임의이므로 $f \in \mathcal{R}[a,b]$이고 $\displaystyle\int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = A= \lim_{n \to \infty} \left ( \int_a^b f_n(x) \operatorname{d}\!x \right )$이다.

 

 

 

정의4

구간 $I$에서 $\mathbb{R}$로의 함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $n \ge n_0$인 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$와 모든 $x \in I$에 대해

$f_{n_0}(x) \le f_{n_0+1}(x) \le \cdots \le f_n(x) \le f_{n+1}(x)\le \cdots$이면 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$을 증가 함수열이라 하고

$f_{n_0}(x) \ge f_{n_0+1}(x) \ge \cdots \ge f_n(x) \ge f_{n+1}(x) \ge \cdots$이면 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$을 감소 함수열이라 한다.

$(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 증가 함수열이거나 감소 함수열이면 단조 함수열이라 한다.

 

$f_{n_0}(x) < f_{n_0+1}(x) < \cdots < f_n(x) < f_{n+1}(x) < \cdots$이면 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$을 순증가 함수열이라 하고

$f_{n_0}(x) > f_{n_0+1}(x) > \cdots > f_n(x) > f_{n+1}(x) > \cdots$이면 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$을 순감소 함수열이라 한다.

$(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 순증가 함수열이거나 순감소 함수열이면 순단조 함수열이라 한다.

 

 

 

정리9(디니[Dini] 정리)

$a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 $\mathbb{R}$로의 단조 함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $[a,b]$에서 연속함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$로 점별수렴할때

$n \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $f_n : [a,b] \to \mathbb{R}$이 $[a,b]$에서 연속이면 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$은 $[a,b]$에서 $f$로 균등수렴한다.

증명

단조 함수열 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 $f$로 점별수렴하므로 단조수열 정리로 $n \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$과 모든 $x \in [a,b]$에 대해

$(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 감소하면 $f(x)\le f_{n+1}(x) \le f_n(x)$이고 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$이 증가하면 $f_{n}(x) \le f_{n+1}(x)\le f(x)$이므로

$ 0 \le | f_{n+1}(x) - f(x)| \le |f_n(x) - f(x)|$가 되어 $g_n(x) =  |f_n(x) - f(x)|$인 함수열 $(g_n)_{n=n_0}^\infty$은 감소 함수열이고 

모든 $x \in [a,b]$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (g_n(x)) = 0 = g(x)$인 함수 $g : [a,b] \to \mathbb{R}$로 점별수렴한다.

모든 $\epsilon > 0$과 모든 $t \in [a,b]$에 대해

$m \ge K(\epsilon ,t) \ge n_0$인 모든 $m \in \mathbb{N}$이 $|g_m(t)| = |g_m(t) - 0| <\dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $K(\epsilon,t) \in \mathbb{N}$가 존재하고

연속함수의 선형성과 절댓값 연속함수 정리로 $g_m$이 $t \in [a,b]$에서 연속이므로 연속함수 정리로

$|x - t| \le \delta_{\epsilon}(t)$인 모든 $x \in [a,b]$가 $|g_m(x) - g_m(t)| \le \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $\delta_{\epsilon}(t) > 0$가 존재하여

삼각부등식으로 $|g_m(x)| - |g_m(t)| \le |g_m(x) - g_m(t)| \le \dfrac{\epsilon}{2}$이고

$0 \le g_m(x) = |g_m(x)| \le \dfrac{\epsilon}{2} + |g_m(t)| < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이다.

선택 정리로 $\delta_\epsilon : [a,b] \to (0,\infty)$를 함수로 두면 $[a,b]$에서 게이지이고

미세성 정리로 $\delta_\epsilon$-미세인 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i= 1}^k$가 존재하므로

$n \ge M(\epsilon) = \max \{ K(\epsilon,t_1),K(\epsilon,t_2),\cdots , K(\epsilon,t_k)  \}$일때 모든 $x \in [a,b]$에 대해 

게이지 정리로 $|x - t_i| \le \delta_\epsilon ( t_i)$인 $1\le i\le k$가 존재하여 $0\le |g_n(x) - 0| = g_n(x) \le g_{K(\epsilon,t_i)}(x) < \epsilon$이 성립하므로

$(g_n)_{n=n_0}^\infty$은 $[a,b]$에서 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (g_n(x)) = 0 = g(x)$인 함수 $g$로 균등수렴한다.

따라서 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge M(\epsilon)$인 모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $x \in [a,b]$가

$|f_n(x) - f(x)| = g_n(x) = |g_n(x) - 0| < \epsilon$이 되는 $M(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하므로

$(f_n)_{n=n_0}^\infty$은 $[a,b]$에서 $f$로 균등수렴한다.

 

 

 

-------------------------------------------------------------------------------

정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/40#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/40#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766