미적분학의 기본 정리(Fundamental theorem of calculus)

정리1(기본 정리 제1형식)

$c_1,c_2,\cdots,c_m \in [a,b]$이 $m \in \mathbb{N}$개의 서로 다른 점이고 함수 $F : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $a< b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속일때

모든 $x \in $ $[a,b] \setminus\{c_1,c_2,\cdots,c_m\}$에 대해 $F$의 도함수가 존재하여 $f(x) = F'(x)$로

모든 $j = 1,2,\cdots, m$에 대해 $f(c_j)$는 임의로 정의되는 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f \in $ $\mathcal{R}[a,b]$이면

$\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = F(b) - F(a)$가 성립한다.

증명

모든 $x \in [a,b]\setminus \{a,b \}$ 또는 모든 $x \in [a,b]\setminus \{a \}$ 또는 모든 $x \in [a,b]\setminus \{b \}$ 또는 모든 $x \in [a,b]$에 대해

$F'(x) = f(x)$라고 가정하면

$f \in \mathcal{R}[a,b]$이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(\epsilon)$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i = 1}^n$가

$\displaystyle \left |S(f; \dot{\mathcal{P}}) - \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x \right | < \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재한다.

또 $F$와 $\dot{\mathcal{P}}$에 속한 모든 부분구간 $[x_{i-1},x_i]$에 대해 평균값 정리로

$F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(u_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) = f(u_i)\cdot (x_i - x_{i-1})$이 되는 끝점이 아닌 $u_i \in (x_{i-1},x_i)$가 존재한다.

따라서 $\dot{\mathcal{P}}$의 첨점만 $u_i$로 바꾼 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_u = \{([x_{i-1},x_i],u_i) \}_{i = 1}^n$에 대해

$ \begin{align*} \left | F(b) - F(a) - \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x \right | & = \left | \sum_{i = 1}^n (F(x_{i})-F(x_{i-1})) - \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & = \left | \sum_{i = 1}^n F'(u_i)\cdot (x_{i}-x_{i-1}) - \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & = \left | \sum_{i = 1}^n f(u_i)\cdot (x_{i}-x_{i-1}) - \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & = \left |S(f; \dot{\mathcal{P}}_u) - \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & < \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

부등식 정리로 $\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = F(b) - F(a)$이다.

일반적인 경우는 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$m = 1$일때 모든 $x \in [a,b] \setminus\{c_1\}$에 대해 $F'(x) = f(x)$이면

$c_1 = a$ 또는 $c_1 = b$일때는 위처럼 증명할 수 있고

$c_1 \in (a,b)$일때는 $[a,c_1]$와 $[c_1,b]$에 대해 위처럼 증명하면

$\displaystyle \int_a^{c_1} f(x) \operatorname{d}\!x = F(c_1) - F(a)$이고 $\displaystyle \int_{c_1}^b f(x) \operatorname{d}\!x = F(b) - F(c_1)$이므로

가법정리로 $\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^{c_1} f(x) \operatorname{d}\!x + \int_{c_1}^b f(x) \operatorname{d}\!x= F(c_1) - F(a) + F(b) - F(c_1) = F(b) - F(a)$이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다고 가정한다.

모든 $x \in [a,b] \setminus\{c_1,c_2,\cdots,c_k,c_{k+1}\}$에 대해 $F'(x) = f(x)$라고 가정하고

$a \le c_1 < c_2 < \cdots < c_k < c_{k+1} \le b$이면

$[a,b]$는 구간이므로 $c_k < c < c_{k +1}$인 $c \in (a,b)$가 존재하고 $[a,b]$를 $[a,c]$와 $[c,b]$로 나누어

모든 $x \in [a,c] \setminus\{c_1, c_2 ,\cdots,c_k \}$에 대해 $F'(x) = f(x)$이므로 귀납가정으로 $\displaystyle \int_a^{c} f(x) \operatorname{d}\!x = F(c) - F(a)$이고

모든 $x \in [c,b] \setminus\{c_{k+1}\}$에 대해 $F'(x) = f(x)$이므로 위에서 보였듯이 $\displaystyle \int_{c}^{b} f(x) \operatorname{d}\!x = F(b) - F(c)$이다.

따라서 가법정리로

$\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^{c} f(x) \operatorname{d}\!x + \int_{c}^b f(x) \operatorname{d}\!x= F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)$이므로

모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정의1(부정 적분)

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f \in $ $\mathcal{R}[a,b]$이면 

적분 정리로 모든 $z \in [a,b]$에 대해 $\displaystyle F(z) = \int_a^z f(x) \operatorname{d}\!x$를 정의할 수 있으므로

함수 $F : [a,b] \to \mathbb{R}$를 기점(base point)이 $a$인 $f$의 부정 적분(indefinite integral)이라 한다

 

기점이 임의의 점 $c \in [a,b]$인 $f$의 부정 적분은 모든 $z \in [a,b]$에 대해 $\displaystyle F_c(z) = \int_c^z f(x) \operatorname{d}\!x$이고 

가법정리와 적분 정의로 $\displaystyle F_a(z) = \int_a^z f(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^c f(x) \operatorname{d}\!x + \int_c^z f(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^c f(x) \operatorname{d}\!x + F_c(z)$이다.

 

 

 

정리2

$f \in $ $\mathcal{R}[a,b]$이고 기점이 $a$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$의 부정적분 $F : [a,b] \to \mathbb{R}$는

$a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 립시츠함수이므로 균등연속이고 연속이다.

또 모든 $z \in [a,b]$에 대해 $\displaystyle G(z) = \int_z^b f(x) \operatorname{d}\!x$인 함수 $G : [a,b] \to \mathbb{R}$도

$[a,b]$에서 립시츠함수이므로 균등연속이고 연속이다.

증명

$w \le z$인 모든 $w,z\in [a,b]$에 대해 가법정리로

$\displaystyle F(z) = \int_a^z f(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^w f(x) \operatorname{d}\!x + \int_w^z f(x) \operatorname{d}\!x = F(w)+ \int_w^z f(x) \operatorname{d}\!x$이고

$f \in \mathcal{R}[a,b]$이므로 유계성 정리로 $f$는 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $ -M \le f(x) \le M$인 $M > 0$이 존재하므로

적분 정리와 상수 함수 적분으로 $\displaystyle \int_w^z -M \operatorname{d}\!x = -M\cdot (z-w) \le \int_w^z f(x) \operatorname{d}\!x \le M\cdot (z-w) = \int_w^z M \operatorname{d}\!x \text{  이다.}$

따라서 $| \int_w^z f(x) \operatorname{d}\!x|=|F(z) - F(w) | \le M \cdot |z-w|$이므로

$F$는 립시츠함수이고 균등연속 정리로 $[a,b]$에서 균등연속이므로 $[a,b]$에서 연속이다.

 

또 $\displaystyle G(w) = \int_w^b f(x) \operatorname{d}\!x = \int_z^b f(x) \operatorname{d}\!x + \int_w^z f(x) \operatorname{d}\!x = G(z)+ \int_w^z f(x) \operatorname{d}\!x$이고

$| \int_w^z f(x) \operatorname{d}\!x|=|G(w) - G(z) | \le M \cdot |z-w|$이므로 $G$도 $[a,b]$에서 립시츠함수이고 연속이다.

 

 

 

정리3(기본 정리 제2형식)

$a<b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 점 $c \in [a,b]$에서 연속이고 $f \in $ $\mathcal{R}[a,b]$이면 

기점이 $a$인 $f$의 부정 적분 $F : [a,b] \to \mathbb{R}$는 $c$에서 미분가능하고 $F'(c) = f(c)$이다.

증명

$f$가 $c\in[a,b)$에서 연속이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $|x -c | < \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in [a,b]$가 $|f(x) - f(c)| < \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$이 존재하므로

$0\le x- c < \delta(\epsilon)$이고 $c \le x < c +\delta(\epsilon)$인 모든 $x \in [a,b]$가 $ f(c) - \epsilon < f(x) < f(c) + \epsilon$이 된다.

$0< h < \delta(\epsilon)$일때

가법정리로

$\begin{align*} F(c+h)- F(c) & = \int_a^{c+h}f(x)\operatorname{d}\!x - \int_a^{c}f(x)\operatorname{d}\!x = \int_a^{c}f(x)\operatorname{d}\!x +\int_c^{c + h}f(x)\operatorname{d}\!x - \int_a^{c}f(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_c^{c + h}f(x)\operatorname{d}\!x \text{ 이고} \end{align*}$

적분 정리와 상수 함수 적분으로

$\displaystyle \int_c^{c+h} (f(c) - \epsilon) \operatorname{d}\!x  = (f(c) - \epsilon)\cdot h \le F(c+h) - F(c) = \int_c^{c+h}f(x)\operatorname{d}\!x \le (f(c) + \epsilon)\cdot h= \int_c^{c+h} (f(c) + \epsilon) \operatorname{d}\!x \text{  이다.}$

따라서 $0< h = x - c < \delta(\epsilon)$인 모든 $h$에 대해 $x \in [a,b]$가 존재하여 $c+h = x$이므로

$\left | \dfrac{F(c+h) - F(c)}{h} - f(c) \right | = \left | \dfrac{F(x) - F(c)}{x-c} - f(c) \right |  < \epsilon$이고 $\displaystyle \lim_{x \to c+} $$\left ( \dfrac{F(x) - F(c)}{x-c} \right ) = f(c)$가 존재한다.

 

비슷하게 $f$가 $c \in (a,b]$에서 연속이면

$0\le c- x < \delta(\epsilon)$이고 $c - \delta(\epsilon) < x \le c$인 모든 $x \in [a,b]$가 $ f(c) - \epsilon < f(x) < f(c) + \epsilon$이 되고

$0< h = c-x < \delta(\epsilon)$인 모든 $h$에 대해 $x \in [a,b]$가 존재하여 $c-h = x$이므로

$\begin{align*} F(c)- F(c-h) & = \int_a^{c}f(x)\operatorname{d}\!x - \int_a^{c-h}f(x)\operatorname{d}\!x = \int_a^{c-h}f(x)\operatorname{d}\!x +\int_{c-h}^{c }f(x)\operatorname{d}\!x - \int_a^{c-h}f(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_{c-h}^{c }f(x)\operatorname{d}\!x \text{ 이고} \end{align*}$

$\displaystyle \int_{c-h}^{c} (f(c) - \epsilon) \operatorname{d}\!x  = (f(c) - \epsilon)\cdot h \le F(c) - F(c-h) = \int_{c-h}^{c}f(x)\operatorname{d}\!x \le (f(c) + \epsilon)\cdot h= \int_{c-h}^{c} (f(c) + \epsilon) \operatorname{d}\!x \text{  이다.}$

따라서

$\left | \dfrac{F(c) - F(c-h)}{h} - f(c) \right | = \left | \dfrac{F(c) - F(x)}{c-x} - f(c) \right |  < \epsilon$이고 $\displaystyle \lim_{x \to c-} $$\left ( \dfrac{F(c) - F(x)}{c-x} \right ) = f(c)$가 존재한다.

 

$c \in (a,b)$에 대해 $\displaystyle \lim_{x \to c-} \left ( \dfrac{F(c) - F(x)}{c-x} \right ) = f(c) = \lim_{x \to c+} \left ( \dfrac{F(x) - F(c)}{x-c} \right )$이므로

편측극한 정리와 도함수 정의로 $\displaystyle  F'(c) = \lim_{x \to c} \left ( \dfrac{F(x) - F(c)}{x-c} \right ) = f(c) $이고

$c = a$ 또는 $c = b$로 끝점일때는 각 편측극한이 도함수가 되므로 $c \in [a,b]$에 대해 $F'(c) = f(c)$이다.

 

 

 

정리4(치환 정리)

함수 $\varphi : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 도함수 $\varphi' : [a,b]\to \mathbb{R}$을 갖고 $\varphi'$가 $[a,b]$에 연속일때

$\varphi([a,b]) \subseteq I$인 $\varphi([a,b])$에서 $f : I \to \mathbb{R}$가 연속이면 $\displaystyle \int_a^b f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)\operatorname{d}\!t = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\operatorname{d}\!x$이다.

증명

$\varphi$가 $[a,b]$에서 미분가능하므로 연속성 정리로 $[a,b]$에서 연속이고

$[a,b]$가 닫힌구간이므로 연속함수 정리로 $\varphi([a,b])$도 닫힌구간이다.

$f$가 $\varphi([a,b])$에서 연속이므로 적분 정리로 $f$는 $\varphi([a,b])$에서 리만 적분가능하여

모든 $u \in \varphi([a,b])$에 대해 기점이 $\varphi(a)$인 $f$의 부정적분 $\displaystyle F(u) = \int_{\varphi(a)}^u f(x) \operatorname{d}\!x$이 존재하므로

모든 $t \in [a,b]$에 대해 $H(t) = F(\varphi(t))$인 함수 $H$를 정의하면 $\displaystyle H(b) = F(\varphi(b)) = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) \operatorname{d}\!x$이다.

미적분 제2정리로 $F'(u) = f(u)$이므로 합성함수의 미분법으로 $H'(t) = F'(\varphi(t))\cdot \varphi'(t) = f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)$이고

$H'(t) = f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)$는 연속함수 정리로 $[a,b]$에서 연속이므로 적분 정리로 $[a,b]$에서 리만 적분가능하여

미적분 제1정리로 $\displaystyle H(b) - H(a) = \int_a^b H'(t)\operatorname{d}\!t = \int_a^b f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)\operatorname{d}\!t$이다.

따라서 $\displaystyle H(a) = F(\varphi(a)) = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(a)} f(x)\operatorname{d}\!x = 0$이므로 $\displaystyle \int_a^b f(\varphi(t))\cdot \varphi'(t)\operatorname{d}\!t =H(b) = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\operatorname{d}\!x$이다.

 

 

 

정의2(영집합)

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\displaystyle Z \subseteq \bigcup_{k = 1}^\infty (a_k,b_k)$이고 $\displaystyle \sum_{k = 1}^\infty (b_k - a_k) \le \epsilon$이 되는

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_k\le b_k$인 열린구간들의

가산 무한집합족 $\{(a_1,b_1), (a_2,b_2),\cdots ,(a_k,b_k), \cdots \} = \{(a_k,b_k)\}_{k=1}^{\infty}$가 존재하면

실수집합의 부분집합 $Z \subset \mathbb{R}$를 영집합(null set)이라 한다.

 

$I \subseteq \mathbb{R}$가 실수집합의 부분집합이고 $Q(x)$가 점 $x \in I$에 대한 명제함수일때

모든 $x \in $ $I \setminus Z$에 대해 $Q(x)$가 참이 되는 영집합 $Z \subset I$가 존재하면

$Q$가 $I$의 거의 모든 점(almost everywhere on I)에서 참 또는 거의 모든 $x \in I$에 대해 $Q(x)$가 참이라고 한다.

 

정의역이 실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$인 함수 $f : A \to \mathbb{R}$에 대해

집합 $\{ x \in A : f(x) \ne 0 \}$이 영집합일때 또는 $f$가 거의 모든 $x \in A$에 대해 $f(x) = 0$일때

$f$를 $A$에서 영함수(null function)라 한다.

 

 

 

정리5

영집합에 대해 다음이 성립한다.

1. 영집합의 부분집합은 영집합이다.

2. 임의의 영집합 $Z$와 임의의 실수집합의 부분집합 $I \subseteq \mathbb{R}$의 교집합 $Z \cap I$는 영집합이다.

3. 모든 양의 정수 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $Z_m$이 영집합이면 합집합 $\displaystyle \bigcup_{m = 1}^\infty Z_m$은 영집합이다.

4. 공집합 $\emptyset$은 영집합이다.

5. 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$에 대해 집합 $\{ x\}$는 영집합이다.

6. 임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $Z_{1}, Z_2, \cdots, Z_n$이 모두 영집합이면 ${\displaystyle \bigcup_{m =1}^{n} } Z_{m}$도 영집합이다.

7. 실수집합의 부분집합인 가산 집합은 영집합이다.

증명

1.

임의의 영집합 $Z$의 부분집합이 $\overline{Z} \subseteq Z$이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\displaystyle \overline{Z} \subseteq Z \subseteq \bigcup_{k = 1}^\infty (a_k,b_k)$이고 $\displaystyle \sum_{k = 1}^\infty (b_k - a_k) \le \epsilon$이 되는

$\{(a_1,b_1), (a_2,b_2),\cdots ,(a_k,b_k), \cdots \} = \{(a_k,b_k)\}_{k=1}^{\infty}$가 존재하므로 $\overline{Z}$는 영집합이다.

2.

$Z \cap I \subseteq Z$이므로 1번으로 $Z \cap I$는 영집합이다.

3.

모든 $\epsilon > 0$과 모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle Z_m \subseteq \bigcup_{k = 1}^\infty (a_{k,m},b_{k,m})$이고 $\displaystyle \sum_{k = 1}^\infty (b_{k,m} - a_{k,m}) \le \frac{\epsilon}{2^{m}}$이 되는

열린구간들의 가산인 무한집합족 $\{(a_{k,m},b_{k,m})\}_{k=1}^{\infty}$가 존재하여

$\displaystyle \bigcup_{m = 1}^\infty Z_m \subseteq \bigcup_{m = 1}^\infty \left ( \bigcup_{k = 1}^\infty (a_{k,m},b_{k,m}) \right )$이고

급수 정리로 $\displaystyle \sum_{m = 1}^\infty \left (\sum_{k = 1}^\infty (b_{k,m} - a_{k,m}) \right ) \le \sum_{m = 1}^\infty \frac{\epsilon}{2^{m}} = \epsilon \cdot \left ( \sum_{m = 0}^\infty \frac{1}{2^m} - 1 \right ) = \epsilon \cdot(2-1) = \epsilon $이다.

또 가산집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{m = 1}^\infty \{(a_{k,m},b_{k,m})\}_{k=1}^{\infty}$은 가산이므로 $\displaystyle \bigcup_{m = 1}^\infty Z_m$는 영집합이다.

4.

공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 1번으로 영집합이다.

5.

모든 $\epsilon > 0$과 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$x - \dfrac{\epsilon}{2^{k+1}} < x< x+\dfrac{\epsilon}{2^{k+1}}$이므로 열린구간 $(x - \frac{\epsilon}{2^{k+1}}, x + \frac{\epsilon}{2^{k+1}})$는 $x$를 포함한다.

$\displaystyle \{x \} \subseteq \bigcup_{k = 1}^\infty (x - \frac{\epsilon}{2^{k+1}},x + \frac{\epsilon}{2^{k+1}})$이고

급수 정리로 $\displaystyle \sum_{k = 1}^\infty \left (x + \frac{\epsilon}{2^{k+1}} - x + \frac{\epsilon}{2^{k+1}} \right ) = \sum_{k = 1}^\infty \frac{\epsilon}{2^{k}} = \epsilon \cdot \left ( \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{2^k} - 1 \right ) = \epsilon \cdot(2-1) = \epsilon $이다.

또 $\{(x - \frac{\epsilon}{2^{k+1}},x + \frac{\epsilon}{2^{k+1}})\}_{k=1}^{\infty}$은 가산이므로 $\{x\}$는 영집합이다.

6.

$m>n$인 모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $Z_m = \emptyset$으로 정의하면 4번으로 $Z_m$은 영집합이고

모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $Z_m$이 영집합이 되어 3번으로 $\displaystyle \bigcup_{m = 1}^n Z_m = \bigcup_{m = 1}^\infty Z_m$은 영집합이다.

7.

가산무한인 집합 $E \subset \mathbb{R}$는 자연수 집합으로의 전단사함수가 존재하므로 $E = \{ c_k\}_{k = 1}^\infty$로 원소들을 나열할 수 있다.

5번으로 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\{c_k\}$는 영집합이므로 3번으로 $\displaystyle \bigcup_{k = 1}^\infty \{c_k\} = E$는 영집합이다.

유한 집합 $E_k = \{c_1, c_2,\cdots ,c_k \} = \{ c_1 \} \cup \{ c_2 \} \cup \cdots \cup \{ c_k \}$에 대해서는 5번과 6번으로 $E_k$는 영집합이다.

공집합은 4번으로 영집합이다.

 

 

 

정의3

정의역이 실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$인 함수 $f : A \to \mathbb{R}$가 $A$에서 유계일때

$S\ne \emptyset$인 집합 $S \subseteq A$에서 $f$의 진동(oscillation)을 $W(f;S) = $ $\sup$$\{ |f(x) - f(y)| : x,y \in S\}$로 정의한다.

 

 

 

정리6

정의역이 실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$인 함수 $f : A \to \mathbb{R}$가 $A$에서 유계일때

$S\ne \emptyset$인 집합 $S \subseteq A$에서 $f$의 진동 $W(f;S)$에 대해 다음이 성립한다.

1.

$\begin{align*} W(f; S)  = \sup \{ |f(x) - f(y)| : x,y \in S \}  = \sup \{ f(x) - f(y) : x,y \in S \}= \sup \{ f(x) : x\in S \} - \inf\{f(x):x\in S\} \end{align*}$

2. $S \subseteq T \subseteq A$이면 $0 \le W(f; S) \le W(f;T) \le 2 \cdot \sup \{ |f(x)| : x\in A\}$이다.

3. $c \in A$의 $r$-근방 $V_r(c)$ $\cap\, A$에서 $f$의 진동 $W(f; V_r(c) \cap A)$은 $r > 0$이 증가하면 증가한다.

증명

1.

모든 $x,y \in S$에 대해 $|f(x) - f(y)| = f(z) - f(w)$인 $z, w \in S$가 존재하고

상한 정리로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $W(f ; S) - \epsilon < |f(x) - f(y)| = f(z) -f(w) \le  W(f;S)$인 $x,y \in S$가 존재하므로

$W(f; S) = \sup \{ f(x) - f(y) : x,y \in S \}$이다.

또 상한 덧셈 정리로 $\sup \{ f(x) - f(y) : x,y \in S \} = \sup \{ f(x) : x\in S \} + \sup\{-f(x):x\in S\}$이고

상한 곱셈 정리로 $ \sup\{-f(x):x\in S\} = - \inf\{f(x):x\in S\} $이므로

$W(f; S)  = \sup \{ |f(x) - f(y)| : x,y \in S \}  = \sup \{ f(x) - f(y) : x,y \in S \}  = \sup \{ f(x) : x\in S \} - \inf\{f(x):x\in S\} \text{ 이다.}$

2.

삼각부등식으로 모든 $x ,y \in A$에 대해

$|f(x) - f(y)| \le |f(x)| + |f(y)| \le 2\cdot \max\{ |f(x)|,|f(y)| \} \le 2\cdot \sup \{|f(x)| : x \in A \}$이므로 

$2\cdot \sup \{|f(x)| : x \in A \}$는 집합 $\{ |f(x) - f(y)| : x,y \in A \}$의 상계이고

$S \subseteq T $일때 $ \sup \{ |f(x) - f(y)| : x,y \in S \}  \le \sup \{ |f(x) - f(y)| : x,y \in T \}  $이므로

$0 \le W(f; S) \le W(f;T) \le W(f; A) \le 2 \cdot \sup \{ |f(x)| : x\in A\}$이다.

3.

$0<r_1 \le r_2$일때 $V_{r_1}(c) \subseteq V_{r_2}(c)$이므로 2번으로 $W(f; V_{r_1}\cap A) \le W(f; V_{r_2}\cap A) $이다.

 

 

 

정의4

정의역이 실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$인 함수 $f : A \to \mathbb{R}$가 $A$에서 유계일때

위 정리로 $c \in A$의 $r$-근방 $V_r(c)$ $\cap\, A$에서 $f$의 진동 $W(f; V_r(c) \cap A)$은 $r > 0$에 대한 증가함수이므로

단조함수 정리로 $\inf$$ \{ W(f;V_r(c)\cap\, A ) :  r>0 \} = $ $\displaystyle \lim_{r \to 0+}$$W(f ; V_r(c)\cap A)$이다.

$c \in A$에서 $f$의 진동은 $w(f;c) = \inf \{ W(f; V_r(c)\cap\, A ) :  r>0 \} = \displaystyle \lim_{r \to 0+}W(f ; V_r(c)\cap A)$로 정의된다.

 

 

 

정리7

정의역이 실수집합의 부분집합 $A \subseteq \mathbb{R}$인 함수 $f : A \to \mathbb{R}$가 $A$에서 유계이고 $c \in A$일때

$f$가 $c$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $c$에서 $f$의 진동이 $w(f;c) = 0$인 것이다.

증명

$f$가 $c$에서 연속이면

모든 $\epsilon >0$에 대해 모든 $x \in V_r(c) \cap A$가 $|f(x) - f(c)| < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $r > 0$이 존재하므로

$x,y \in V_r(c) \cap A$이면 삼각부등식으로

$|f(x) - f(y)| = |f(x) - f(c) + f(c) - f(y)| \le |f(x) - f(c)| + |f(y) - f(c)| <\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이고

$\epsilon$은 집합 $\{ |f(x)-f(y)| : x,y \in V_r(c) \cap A\}$의 상계이다.

따라서

$0 \le w(f;c)= \inf \{W(f;V_r(c)\cap A) : r > 0 \} \le W(f;V_r(c)\cap A) = \sup \{ |f(x)-f(y)| : x,y \in V_r(c) \cap A\} \le \epsilon \text{ 이고}$

부등식 정리로 $w(f;c) = 0$이다.

역으로 $w(f;c) =  \displaystyle \lim_{r \to 0+}W(f ; V_r(c)\cap A) = 0$이면 우측 극한의 정의로

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0< r - 0 < s$인 모든 $r > 0$이 $W(f;V_r(c)\cap A) < \epsilon$이 되는 $s > 0$가 존재하므로

$|x - c| < r < s$인 모든 $x  \in V_r(c) \cap A$는

$ |f(x) - f(c)| \le \sup \{ |f(x)-f(y)| : x,y \in V_r(c) \cap A\} = W(f;V_r(c)\cap A) < \epsilon$이 되어

$f$는 $c$에서 연속이다.

 

 

 

정리8(르베그[Lebesgue]의 리만 적분가능성 판정법)

함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $a \le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 유계일때

$f \in $ $\mathcal{R}[a,b]$이기 위한 필요충분조건은 $f$가 $[a,b]$의 거의 모든 점에서 연속인 것이다.

증명

$f \in \mathcal{R}[a,b]$일때 $a = b$이면 $f$는 $[a,b]$에서 연속이므로 $a<b$라고 가정하면

모든 $\epsilon > 0$과 모든 양의 정수 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해

리만 판정법으로 $m_{i, k} = \inf \{ f(x) : x\in [x_{i-1, k}, x_{i,k}] \}$이고 $M_{i,k} = \sup \{ f(x) : x\in [x_{i-1,k},x_{i,k}] \}$일때

$\displaystyle \sum_{i = 1}^{n_k}(M_{i,k} - m_{i,k})\cdot (x_{i,k} - x_{i-1,k}) < \frac{\epsilon}{4^k}$가 되는 분할 $\mathcal{P}_k = \{[x_{i-1,k},x_{i,k}] \}_{i = 1}^{n_k}$가 존재한다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 집합 $H_k = \{ x \in [a,b] : w(f;x) \ge \frac{1}{2^k} \}$가 공집합이면

위 정리로 $f$는 $[a,b]$에서 연속이므로 정리가 성립한다.

$x \in H_k \cap (x_{i-1,k}, x_{i,k})$가 존재하는 $k \in \mathbb{Z}^+$가 존재하면 $V_r(x) \subseteq (x_{i-1,k},x_{i,k})$인 $r > 0$이 존재하므로

위 정리와 $x$에서 $f$의 진동의 정의로

$\begin{align*} \dfrac{1}{2^k} & \le w(f;x) = \inf \{W(f;V_r(x)) : r > 0 \} \\[0.5em] & \le W(f;V_r(x))  = \sup \{f(z) : z \in V_r(x) \} - \inf \{ f(z) : z\in V_r(x)\} \\[0.5em] & \le M_{i,k} - m_{i,k} \text{ 가 되어} \end{align*}$

$\displaystyle \sum_{ \substack{ i \ge 1 \\ H_k \cap (x_{i-1,k},x_{i,k}) \ne \emptyset}}^{n_k}\frac{1}{2^k} \cdot (x_{i,k} - x_{i-1,k})  \le \sum_{i = 1}^{n_k} (M_{i,k} - m_{i,k})\cdot (x_{i,k} - x_{i-1,k}) < \frac{\epsilon}{4^k}$이고

$\displaystyle \sum_{ \substack{ i \ge 1 \\ H_k \cap (x_{i-1,k},x_{i,k}) \ne \emptyset}}^{n_k} (x_{i,k} - x_{i-1,k})  <  \frac{\epsilon}{2^k}$이다.

또 $\mathcal{P}_k$의 분할점 집합 $ \{x_{1,k}, x_{2,k}, \cdots ,x_{n_k,k} \}$는 위 정리로 영집합이 되어

$\displaystyle H_k \subseteq \left ( \{x_{1,k},x_{2,k},\cdots,x_{n_k,k} \} \cup  \bigcup_{ \substack{ i \ge 1 \\ H_k \cap (x_{i-1,k},x_{i,k}) \ne \emptyset}}^{n_k} (x_{i-1,k} , x_{i,k})  \right ) \subseteq \bigcup_{j = 1}^\infty (\alpha_{j,k},\beta_{j,k})$이고

$\displaystyle \sum_{ \substack{ i \ge 1 \\ H_k \cap (x_{i-1,k},x_{i,k}) \ne \emptyset}}^{n_k} (x_{i,k} - x_{i-1,k}) \le \sum_{j = 1}^\infty (\beta_{j,k} - \alpha_{j,k}) \le  \frac{\epsilon}{2^k} + \frac{\epsilon}{2^k} = \frac{2\epsilon}{2^k}$인

열린구간들의 집합족 $\{(\alpha_{j,k},\beta_{j,k}) \}_{j = 1}^\infty$이 존재한다.

따라서 $[a,b]$에서 $f$가 불연속이 되는 모든 점들의 집합은

$\displaystyle \bigcup_{k = 1}^\infty H_k = \{ x \in [a,b] : w(f;x) >0 \}  \subseteq  \bigcup_{k =1}^\infty \left ( \bigcup_{j = 1}^\infty (\alpha_{j,k}, \beta_{j,k}) \right )$이고

급수 정리로 $\displaystyle \sum_{k = 1}^\infty \left ( \sum_{j = 1}^\infty  (\beta_{j,k} - \alpha_{j,k}  ) \right ) \le \sum_{k = 1}^\infty \frac{2\epsilon}{2^{k}} = 2\epsilon \cdot \left ( \sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{2^k} - 1 \right ) = 2\epsilon \cdot(2-1) = 2\epsilon $이므로 영집합이다.

 

역으로 정리가 성립할때 $a = b$이면 리만적분의 정의로 $f\in \mathcal{R}[a,b]$이므로

$a<b$일때 $D \subset [a,b]$가 $f$의 불연속점들의 집합이고 $f$가 $[a,b] \setminus D$에서 연속이라고 가정하면

가정에 의해 $f$가 유계이므로 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $|f(x)| \le M$인 $M > 0$이 존재하고

$D$가 영집합이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$\displaystyle D \subseteq \bigcup_{k = 1}^\infty (c_k,d_k)$일때 $\displaystyle \sum_{k = 1}^\infty (d_k - c_k) \le \frac{\epsilon}{2M}$인 열린구간들의 가산집합족 $\{(c_k,d_k) \}_{k =1}^\infty$가 존재한다. 

함수 $\delta_{\epsilon} : [a,b] \to \mathbb{R}$를

$t \notin D$일때

$f$가 $t$에서 연속이므로 연속함수 정리로

모든 $x \in [t - \delta_\epsilon(t), t + \delta_\epsilon(t)]  \cap [a,b]$에 대해 $|f(x) -f(t)| \le \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $\delta_{\epsilon}(t) > 0$로 정의하면

모든 $x,y \in [t - \delta_\epsilon(t), t + \delta_\epsilon(t)]  \cap [a,b]$에 대해

삼각부등식으로 $|f(x) - f(y)| = |f(x) - f(t) + f(t) - f(y)| \le |f(x) - f(t)| + |f(y) - f(t)| \le \epsilon$이므로

$\epsilon$은 집합 $\{ |f(x)-f(y)| : x,y \in [t - \delta_\epsilon(t), t + \delta_\epsilon(t)] \cap [a,b]\}$의 상계이고 위 정리로

$\overline{M}_t = \sup \{ f(x) : x\in [t - \delta_\epsilon(t), t + \delta_\epsilon(t)] \cap [a,b]\} $와 $\overline{m}_t = \inf \{ f(x) : x\in [t - \delta_\epsilon(t), t + \delta_\epsilon(t)] \cap [a,b]\} $에 대해

$\begin{align*} 0 \le |f(x) - f(t)| & \le W(f; [t - \delta_\epsilon(t), t + \delta_\epsilon(t)] \cap [a,b]) \\[0.5em] & \qquad \qquad = \sup \{ |f(x) -f(y)| : x,y \in [t - \delta_\epsilon(t), t + \delta_\epsilon(t)] \cap [a,b] \} \\[0.5em] & \qquad \qquad = \sup \{ f(x) : x\in [t - \delta_\epsilon(t), t + \delta_\epsilon(t)] \cap [a,b]\} - \inf \{ f(x) : x \in [t - \delta_\epsilon(t), t + \delta_\epsilon(t)] \cap [a,b] \} \\[0.5em] & \qquad \qquad = \overline{M}_t - \overline{m}_t \\[0.5em] & \le \epsilon \text{  이다.} \end{align*}$

$t \in D$일때

$\displaystyle t\in D \subseteq \bigcup_{k = 1}^\infty (c_k,d_k)$이므로 $t \in (c_{k(t)},d_{k(t)})$인 $k(t)\in\mathbb{Z}^+$가 존재하여

$c_{k(t)}<t-\delta_\epsilon(t)<t<t+\delta_\epsilon(t) < d_{k(t)}$가 되도록 $\delta_{\epsilon}(t) > 0$로 정의할 수 있고

위 정리로 $0\le \overline{M}_t -\overline{ m}_t  =   W(f ; [t - \delta_\epsilon(t), t + \delta_\epsilon(t)] \cap [a,b]) \le 2\cdot \sup \{ |f(x)| : x \in [a,b] \} \le 2\cdot M $이다.

모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\delta_{\epsilon}(t) > 0$이므로 $\delta_{\epsilon}$는 $[a,b]$에서 게이지이다.

따라서 미세성 정리로 $\delta_{\epsilon}$-미세인 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i = 1}^n$가 존재하여

모든 $i = 1,2,\cdots ,n$ 에 대해 $t_i \in [x_{i-1},x_i] \subseteq [t_i - \delta_{\epsilon}(t_i),t_i + \delta_{\epsilon}(t_i)]$이므로

$\sup \{ f(x) : x\in [x_{i-1},x_i] \} - \inf \{f(x) : x\in [x_{i-1},x_i] \} = M_i - m_i \le \overline{M}_{t_i} - \overline{m}_{t_i} = W(f;[t_i - \delta_\epsilon(t_i), t_i + \delta_\epsilon(t_i)]) \cap [a,b]) \text{ 이고 } $

$t_i \in D$일때

$c_{k(t_i)}<t_i-\delta_\epsilon(t_i)< t_i < t_i+\delta_\epsilon(t_i) < d_{k(t_i)}$이므로

$\displaystyle [x_{i-1},x_i] \subseteq [t_i -\delta_{\epsilon}(t_i),t_i + \delta_{\epsilon}(t_i)] \subset (c_{k(t_i)},d_{k(t_i)}) \subseteq \bigcup_{k = 1}^\infty (c_k,d_k)$가 되어

$\begin{align*} \sum_{i = 1}^n (M_i - m_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1})  & = \sum_{\substack{i \ge 1 \\ t_i \in D}}^n (M_i - m_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) + \sum_{\substack{i \ge 1 \\ t_i \notin D}}^n (M_i - m_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{i \ge 1 \\ t_i \in D}}^n (\overline{M}_{t_i} - \overline{m}_{t_i})\cdot (x_{i} - x_{i-1}) + \sum_{\substack{i \ge 1 \\ t_i \notin D}}^n (\overline{M}_{t_i} - \overline{m}_{t_i})\cdot (x_{i} - x_{i-1}) \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{i \ge 1 \\ t_i \in D}}^n 2\cdot M \cdot (x_{i} - x_{i-1}) + \sum_{\substack{i \ge 1 \\ t_i \notin D}}^n \epsilon \cdot (x_{i} - x_{i-1}) \\ & \le 2\cdot M \cdot   \left ( \sum_{k = 1}^\infty (d_k - c_k) \right ) + \epsilon \cdot (b-a) \\[0.5em] & \le 2\cdot M \cdot \frac{\epsilon}{2M}  + \epsilon \cdot (b-a) = \epsilon \cdot (b-a + 1) \text{  이고} \end{align*}$

리만 판정법으로 $f \in \mathcal{R}[a,b]$이다.

 

 

 

정리9(합성정리)

$a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 리만적분가능한 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$의 상이 $f([a,b])$ $ \subseteq [c,d]$일때

$\varphi : [c,d] \to \mathbb{R}$가 $c\le d$인 닫힌구간 $[c,d]$에서 연속이면 합성함수는 $\varphi \circ f \in \mathcal{R}[a,b]$이다.

증명

$f \in \mathcal{R}[a,b]$이므로 적분 유계성 정리로 $[a,b]$에서 유계이고

$\varphi$는 $[c,d]$에서 연속이므로 연속 유계성 정리로 $f([a,b]) \subseteq [c,d]$에서 유계이다.

연속함수 정리로 $f$가 $u \in [a,b]$에서 연속이면 $\varphi \circ f$도 $u \in [a,b]$에서 연속이고

위 정리로 $f$의 불연속점 집합인 영집합 $D \subset [a,b]$가 존재할때

$\varphi \circ f$도 불연속이 되는 $D_1 \subseteq D$인 집합 $D_1$이 존재하므로 영집합 정리로 $D_1$은 영집합이다.

따라서 다시 위 정리로 $\varphi \circ f \in \mathcal{R}[a,b]$이다.

 

 

 

정리10

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f \in $ $\mathcal{R}[a,b]$일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $g(x) =|f(x)|$인 함수 $g : [a,b] \to \mathbb{R}$는 $g \in \mathcal{R}[a,b]$이다.

2. 실수 $M>0$에 대해 모든 $x \in [a,b]$가 $|f(x)| \le M$이면 $\displaystyle \left | \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x \right |  \le \int_a^b |f(x)| \operatorname{d}\!x \le M \cdot (b-a) $이다.

증명

1.

$f \in \mathcal{R}[a,b]$이므로 적분 유계성 정리로 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $|f(x)| \le M$인 $M > 0$이 존재하여

모든 $t \in [-M , M]$에 대해 $\varphi(t) = |t|$인 함수 $\varphi : [-M,M]\to \mathbb{R}$는 연속함수 정리로 $[-M,M]$에서 연속임에 따라

합성정리로 $g = \varphi \circ f \in \mathcal{R}[a,b]$이다.

2.

모든 $x \in [a,b]$에 대해 $-M \le -|f(x)| \le f(x) \le |f(x)| \le M$이므로 적분 정리와 상수함수 적분으로

$\displaystyle -M \cdot (b-a) \le-\int_a^b |f(x)| \operatorname{d}\!x \le \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x  \le \int_a^b |f(x)| \operatorname{d}\!x \le M \cdot (b-a) $이고

$\displaystyle \left | \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x \right | \le \int_a^b |f(x)| \operatorname{d}\!x \le M \cdot (b-a) $이다.

 

 

 

정리11(곱셈 정리)

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f,g : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f,g \in $ $\mathcal{R}[a,b]$이면 다음이 성립한다.

1. 모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$과 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $f_n(x)=(f(x))^n$인 함수 $f_n :[a,b]\to \mathbb{R}$은 $f_n\in \mathcal{R}[a,b]$이다.

2. 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $h(x) = f(x)\cdot g(x)$인 함수 $h :[a,b]\to \mathbb{R}$는 $h \in \mathcal{R}[a,b]$이다.

증명

1.

$f \in \mathcal{R}[a,b]$이므로 적분 유계성 정리로 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $|f(x)| \le M$인 $M> 0$이 존재하여

임의의 $t\in [-M,M]$에 대해 $\varphi_n(t) = t^n$으로 정의되는 함수가 $\varphi_n : [-M,M] \to \mathbb{R}$일때

$\varphi_1$은 $[-M,M]$에서 연속이고 $t\cdot t \cdot \; \cdots \; \cdot t = t^n = \varphi_n(t)$이므로 연속함수 정리로 $\varphi_n$은 $[-M,M]$에서 연속이 되어

모든 $x \in [a,b]$에 대해 $f_n(x) =(f(x))^n =\varphi_n(f(x)) = (\varphi_n \circ f)(x) $임에 따라

합성정리로 $f_n = \varphi_n \circ f\in \mathcal{R}[a,b]$이다.

2.

1번으로 $\displaystyle \int_a^b (f(x))^2 \operatorname{d}\!x$와 $\displaystyle \int_a^b (g(x))^2 \operatorname{d}\!x$가 존재하고 적분의 선형성과 1번으로 $\displaystyle \int_a^b (f(x) + g(x))^2 \operatorname{d}\!x$가 존재하므로

다시 적분의 선형성으로

$\displaystyle \int_a^b h(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^b f(x)\cdot g(x)\operatorname{d}\!x = \int_a^b \frac{1}{2}((f(x)+g(x))^2 - (f(x))^2 - (g(x))^2)\operatorname{d}\!x$가 존재하여

$h \in \mathcal{R}[a,b]$이다.

 

 

 

정리12(부분 적분법)

함수 $F,G : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 미분가능하고 각 도함수가 $ F', G' \in $ $\mathcal{R}[a,b]$일때

모든 $x\in [a,b]$에 대해 $H(x) = F(x)\cdot G(x)$인 함수 $H : [a,b] \to \mathbb{R}$의 도함수는 $H' \in \mathcal{R}[a,b]$이고

$\displaystyle \int_a^b H'(x) \operatorname{d}\!x = F(b) \cdot G(b) - F(a) \cdot G(a) =\int_a^b F'(x) \cdot G(x) \operatorname{d}\!x + \int_a^b F(x) \cdot G'(x) \operatorname{d}\!x$이므로

$\displaystyle \int_a^b F'(x) \cdot G(x) \operatorname{d}\!x = F(b) \cdot G(b) - F(a) \cdot G(a) - \int_a^b F(x) \cdot G'(x) \operatorname{d}\!x$이고

$\displaystyle \int_a^b F(x) \cdot G'(x) \operatorname{d}\!x = F(b) \cdot G(b) - F(a) \cdot G(a) - \int_a^b F'(x) \cdot G(x) \operatorname{d}\!x$이다.

증명

$F,G$가 $[a,b]$에서 미분가능하므로 연속성 정리로 $F,G$는 $[a,b]$에서 연속이고 적분정리로 $F,G \in \mathcal{R}[a,b]$이다.

또 모든 $x\in [a,b]$에 대해 미분 곱셈 정리로 $H'(x) = F'(x) \cdot G(x) + F(x) \cdot G'(x)$이므로

적분 곱셈 정리와 적분의 선형성으로 $H' \in \mathcal{R}[a,b]$가 되어

$\displaystyle \int_a^b H'(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^b (F'(x) \cdot G(x) + F(x) \cdot G'(x)) \operatorname{d}\!x =\int_a^b F'(x) \cdot G(x) \operatorname{d}\!x + \int_a^b F(x) \cdot G'(x) \operatorname{d}\!x$이고

미적분 제1정리로 $\displaystyle \int_a^b H'(x) \operatorname{d}\!x =H(b) - H(a)= F(b) \cdot G(b) - F(a) \cdot G(a)$이다.

 

 

 

정리13(적분 테일러[Taylor] 정리)

함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$의 고계도함수 $f',f'', \cdots f^{(n)}, f^{(n+1)} : [a,b] \to \mathbb{R}$이

$a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 존재하고 $ f^{(n+1)} \in $ $\mathcal{R}[a,b]$이면

$\displaystyle f(b) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} \cdot (b-a) + \frac{f''(a)}{2!}\cdot (b-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}}{n!}\cdot(b-a)^n + \frac{1}{n!}\cdot \int_a^b f^{(n+1)}(t)\cdot (b-t)^n \operatorname{d}\!t \text{  이다.}$

증명

$f,f', \cdots ,f^{(n)}$이 $[a,b]$에서 미분가능하므로

연속성 정리로 $[a,b]$에서 연속이고 적분정리로 $f,f',\cdots, f^{(n)} \in \mathcal{R}[a,b]$이다.

부분 적분법으로

$\begin{align*} \int_a^b f^{(n+1)}(t)\cdot \frac{(b-t)^n}{n!} \operatorname{d}\!t & = f^{(n)}(b) \cdot \frac{(b-b)^n}{n!} - f^{(n)}(a)\cdot \frac{(b-a)^n}{n!} - \int_a^b f^{(n)}(t)\cdot \left ( - \frac{(b-t)^{n-1}}{(n-1)!} \right ) \operatorname{d}\!t \\ & = -f^{(n)}(a)\cdot \frac{(b-a)^n}{n!} + \int_a^b f^{(n)}(t) \cdot \frac{(b-t)^{n-1}}{(n-1)!}\operatorname{d}\!t \text{ 이고} \end{align*}$

계속 부분 적분법을 적용하면

$\begin{align*} \int_a^b f^{(n)}(t)\cdot \frac{(b-t)^{n-1}}{(n-1)!} \operatorname{d}\!t & = f^{(n-1)}(b) \cdot \frac{(b-b)^{n-1}}{(n-1)!} - f^{(n-1)}(a)\cdot \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!} - \int_a^b f^{(n-1)}(t)\cdot \left ( - \frac{(b-t)^{n-2}}{(n-2)!} \right ) \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = -f^{(n-1)}(a)\cdot \frac{(b-a)^{n-1}}{(n-1)!} + \int_a^b f^{(n-1)}(t) \cdot \frac{(b-t)^{n-2}}{(n-2)!}\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & \qquad \vdots \\[0.5em] & \qquad \vdots \end{align*}$

$\begin{align*} \int_a^b f^{(2)}(t)\cdot \frac{(b-t)^{1}}{1!} \operatorname{d}\!t & = f^{(1)}(b) \cdot \frac{(b-b)^{1}}{1!} - f^{(1)}(a)\cdot \frac{(b-a)^{1}}{1!} - \int_a^b f^{(1)}(t)\cdot \left ( - \frac{(b-t)^{0}}{(0)!} \right ) \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = -f^{(1)}(a)\cdot \frac{(b-a)^{1}}{1!} + \int_a^b f^{(1)}(t) \cdot \frac{(b-t)^{0}}{(0)!}\operatorname{d}\!t  \\[0.5em] & = -f'(a) \cdot (b-a) + \int_a^b f'(t) \operatorname{d}\!t \text{  이므로} \end{align*}$

미적분 제1정리로 $\displaystyle \int_a^b f'(t) \operatorname{d}\!t = f(b) - f(a)$이고 식들을 합치면

$\displaystyle \int_a^b f^{(n+1)}(t)\cdot \frac{(b-t)^n}{n!} \operatorname{d}\!t =  f(b) - f(a) - \frac{f'(a)}{1!} \cdot (b-a) -\frac{f''(a)}{2!}\cdot (b-a)^2 - \cdots - \frac{f^{(n-1)}}{(n-1)!}\cdot (b-a)^{n-1} - \frac{f^{(n)}}{n!}\cdot(b-a)^n   \text{  이다.}$

 

 

 

-------------------------------------------------------------------------------

정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/34#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/34#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766