-
반응형
정의1
복소수(complex number) :
임의의 실수 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해 $2$-순서쌍 $(a,b)$를 복소수로 정의한다.
복소수 집합 :
실수 집합 $\mathbb{R}$의 $2$-데카르트곱 $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R}\times \mathbb{R}$을 복소수 집합 $\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$로 정의한다.
복소수 영(zero), 복소수 일(one), 허수(imaginary number) :
자연수 $0_\mathbb{R} , 1_\mathbb{R} \in \mathbb{N} \subseteq \mathbb{R}$에 대해 임의의 실수 $x _\mathbb{R} \in \mathbb{R}$에 대한 복소수를 $x = (x_\mathbb{R},0_\mathbb{R})$로 정의하고
복소수 영을 $0 = (0_\mathbb{R},0_\mathbb{R})$로 복소수 일을 $1 = (1_\mathbb{R},0_\mathbb{R})$로 정의한다.
또 허수를 $(0_\mathbb{R}, x_\mathbb{R})$로 정의하고 허수 $i$를 $i = (0_\mathbb{R} ,1_\mathbb{R})$로 정의한다.
복소수의 실수부(real part), 허수부(imaginary part) :
임의의 복소수 $z = (a,b) \in \mathbb{C}$에 대해
$\operatorname{Re}(z) = (a,0_\mathbb{R})$를 $z$의 실수부로 정의하고 $\operatorname{Im}(z) =(b,0_\mathbb{R})$를 $z$의 허수부로 정의한다.
복소수 덧셈 :
실수 덧셈 $+_\mathbb{R} : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해
임의의 복소수 $(a,b),(c,d) \in \mathbb{C}$를 더하는 것을 $(a,b) + (c,d) = (a+_\mathbb{R} b, c+_\mathbb{R} d)$로 정의한다.
복소수 뺄셈 :
임의의 복소수 $(a,b) \in \mathbb{C}$에 대해 $-(a,b) = (-a,-b)$를 $(a,b)$의 덧셈에 대한 역원으로 정의하고
임의의 복소수 $x,y \in \mathbb{C}$에 대해 $x$에서 $y$를 빼는 것을 $x - y = x+(-y)$로 정의한다.
복소수 곱셈 :
실수 곱셈 $\cdot_\mathbb{R} : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해
임의의 복소수 $(a,b),(c,d) \in \mathbb{C}$를 곱하는 것을 $(a,b) \cdot (c,d) = (a\cdot_\mathbb{R} c - b\cdot_\mathbb{R} d , a\cdot_\mathbb{R} d +_\mathbb{R} b\cdot_\mathbb{R} c)$로 정의한다.
복소수집합의 실수집합 :
실수집합이 $R$이고 실수 영이 $0_R \in R$일때
복소수집합의 실수집합을 $\mathbb{R} = \{ (a,0_R) \in \mathbb{C} : a \in R\}$로 정의하고
$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$와 같이 집합 사이에 관계로 표기하면
$\mathbb{N} ,\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$은 각각 복소수집합의 자연수집합, 정수집합, 유리수집합, 실수집합을 나타낸다.
정리1
위에서 정의된 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$는 가환환이다.
증명
$(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$는 아래 성질들을 만족하므로 가환환이다.
이항연산에 대해 닫힘
위 정의로부터 $\mathbb{C}$는 복소수 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀있다.
덧셈에 대한 교환법칙
임의의 $(a,b),(c,d) \in \mathbb{C}$에 대해 실수 덧셈 정리로
$(a,b) + (c,d) = (a+_\mathbb{R} c, b+_\mathbb{R} d) = (c +_\mathbb{R} a, d+_\mathbb{R} b) = (c,d) +(a,b)$이다.
덧셈에 대한 결합법칙
임의의 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3) \in \mathbb{C}$에 대해 실수 덧셈 정리로
$\begin{align*} (a_1,b_1) + ((a_2,b_2) + (a_3,b_3)) & = (a_1,b_1) + (a_2 +_\mathbb{R} a_3,b_2 +_\mathbb{R} b_3) \\[0.5em] & = (a_1 +_\mathbb{R} (a_2 +_\mathbb{R} a_3), b_1 +_\mathbb{R} (b_2 +_\mathbb{R} b_3)) \\[0.5em] & = ((a_1 +_\mathbb{R} a_2) +_\mathbb{R} a_3, (b_1 +_\mathbb{R} b_2 )+_\mathbb{R} b_3) \\[0.5em] & = (a_1 +_\mathbb{R} a_2, b_1 +_\mathbb{R} b_2 ) + (a_3,b_3) \\[0.5em] & = ((a_1,b_1) + (a_2,b_2)) + (a_3,b_3) \text{ 이다.} \end{align*}$
덧셈에 대한 역원
임의의 $(a,b) \in \mathbb{C}$에 대해 실수 덧셈 정리로 $(a,b) + (-a,-b) = (a+_\mathbb{R} (-a), b+_\mathbb{R} (-b)) = (0_\mathbb{R}, 0_\mathbb{R}) = 0$이다.
덧셈에 대한 항등원
임의의 $(a,b) \in \mathbb{C}$에 대해 실수 덧셈 정리로 $(a,b) + 0 = (a,b) + (0_\mathbb{R},0_\mathbb{R})= (a+_\mathbb{R} 0_\mathbb{R}, b+_\mathbb{R} 0_\mathbb{R}) = (a, b) $이다.
곱셈에 대한 교환법칙
임의의 $(a,b),(c,d) \in \mathbb{C}$에 대해 실수 연산 정리로
$(a,b) \cdot (c,d) = (a\cdot_\mathbb{R} c - b\cdot_\mathbb{R} d , a\cdot_\mathbb{R} d +_\mathbb{R} b\cdot_\mathbb{R} c) = (c\cdot_\mathbb{R} a - d\cdot_\mathbb{R} b , c\cdot_\mathbb{R} b +_\mathbb{R} d\cdot_\mathbb{R} a ) = (c,d)\cdot (a,b) $이다.
곱셈에 대한 결합법칙
임의의 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3) \in \mathbb{C}$에 대해 실수 연산 정리로
$\begin{align*} &(a_1,b_1) \cdot ((a_2,b_2) \cdot (a_3,b_3)) = (a_1,b_1) \cdot (a_2\cdot_\mathbb{R} a_3 - b_2\cdot_\mathbb{R} b_3 , a_2\cdot_\mathbb{R} b_3 +_\mathbb{R} b_2\cdot_\mathbb{R} a_3) \\[0.5em] & = (a_1 \cdot_\mathbb{R}(a_2\cdot_\mathbb{R} a_3 - b_2\cdot_\mathbb{R} b_3) - b_1\cdot_\mathbb{R}( a_2\cdot_\mathbb{R} b_3 +_\mathbb{R} b_2\cdot_\mathbb{R} a_3), a_1 \cdot_\mathbb{R}(a_2\cdot_\mathbb{R} b_3 +_\mathbb{R} b_2\cdot_\mathbb{R} a_3) +_\mathbb{R} b_1\cdot_\mathbb{R}(a_2\cdot_\mathbb{R} a_3 - b_2\cdot_\mathbb{R} b_3)) \\[0.5em] & = (a_1 \cdot_\mathbb{R}a_2\cdot_\mathbb{R} a_3 - a_1 \cdot_\mathbb{R} b_2\cdot_\mathbb{R} b_3 - b_1\cdot_\mathbb{R} a_2\cdot_\mathbb{R} b_3 - b_1\cdot_\mathbb{R} b_2\cdot_\mathbb{R} a_3, a_1 \cdot_\mathbb{R}a_2\cdot_\mathbb{R} b_3 +_\mathbb{R} a_1 \cdot_\mathbb{R} b_2\cdot_\mathbb{R} a_3 +_\mathbb{R} b_1\cdot_\mathbb{R}a_2\cdot_\mathbb{R} a_3 - b_1\cdot_\mathbb{R} b_2\cdot_\mathbb{R} b_3) \\[0.5em] & = (a_1 \cdot_\mathbb{R}a_2\cdot_\mathbb{R} a_3 - b_1\cdot_\mathbb{R} b_2\cdot_\mathbb{R} a_3 - a_1 \cdot_\mathbb{R} b_2\cdot_\mathbb{R} b_3 -b_1\cdot_\mathbb{R} a_2\cdot_\mathbb{R} b_3 , a_1 \cdot_\mathbb{R}a_2\cdot_\mathbb{R} b_3 -b_1\cdot_\mathbb{R} b_2\cdot_\mathbb{R} b_3 +_\mathbb{R} a_1 \cdot_\mathbb{R} b_2\cdot_\mathbb{R} a_3 +_\mathbb{R} b_1\cdot_\mathbb{R}a_2\cdot_\mathbb{R} a_3 ) \\[0.5em] & = ( (a_1\cdot_\mathbb{R} a_2 - b_1\cdot_\mathbb{R} b_2)\cdot_\mathbb{R}a_3 - ( a_1\cdot_\mathbb{R} b_2 +_\mathbb{R} b_1\cdot_\mathbb{R} a_2)\cdot_\mathbb{R} b_3 , (a_1\cdot_\mathbb{R} a_2 - b_1\cdot_\mathbb{R} b_2)\cdot_\mathbb{R} b_3 +_\mathbb{R} (a_1\cdot_\mathbb{R} b_2 +_\mathbb{R} b_1\cdot_\mathbb{R} a_2)\cdot_\mathbb{R}a_3 ) \\[0.5em] & = (a_1\cdot_\mathbb{R} a_2 - b_1\cdot_\mathbb{R} b_2 , a_1\cdot_\mathbb{R} b_2 +_\mathbb{R} b_1\cdot_\mathbb{R} a_2) \cdot (a_3,b_3) \\[0.5em] & = ((a_1,b_1) \cdot (a_2,b_2)) \cdot (a_3,b_3) \text{ 이다.} \end{align*}$
곱셈에 대한 항등원
임의의 $(a,b) \in \mathbb{C}$에 대해 실수 연산 정리로
$(a,b)\cdot 1 = (a,b) \cdot (1_\mathbb{R},0_\mathbb{R}) = (a\cdot_\mathbb{R} 1_\mathbb{R} - b\cdot_\mathbb{R} 0_\mathbb{R},a\cdot_\mathbb{R} 0_\mathbb{R} +_\mathbb{R}b \cdot_\mathbb{R} 1_\mathbb{R}) = (a,b)$이다.
분배법칙
임의의 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3) \in \mathbb{C}$에 대해 실수 연산 정리로
$\begin{align*} (a_1,b_1) \cdot ((a_2,b_2) + (a_3,b_3)) & = (a_1,b_1) \cdot (a_2+_\mathbb{R} a_3,b_2+_\mathbb{R}b_3) \\[0.5em] & =(a_1\cdot_\mathbb{R}(a_2 +_\mathbb{R} a_3) - b_1 \cdot_\mathbb{R} (b_2+_\mathbb{R} b_3), a_1\cdot_\mathbb{R}(b_2+_\mathbb{R} b_3) +_\mathbb{R} b_1 \cdot_\mathbb{R} (a_2+_\mathbb{R} a_3) ) \\[0.5em] & =(a_1\cdot_\mathbb{R}a_2 +_\mathbb{R} a_1\cdot_\mathbb{R} a_3 -b_1 \cdot_\mathbb{R} b_2 - b_1 \cdot_\mathbb{R} b_3, a_1\cdot_\mathbb{R}b_2+_\mathbb{R} a_1\cdot_\mathbb{R} b_3 +_\mathbb{R} b_1 \cdot_\mathbb{R} a_2+_\mathbb{R}b_1 \cdot_\mathbb{R}a_3 ) \\[0.5em] & = ((a_1\cdot_\mathbb{R} a_2 - b_1\cdot_\mathbb{R} b_2) +_\mathbb{R} (a_1\cdot_\mathbb{R} a_3 - b_1\cdot_\mathbb{R} b_3), (a_1\cdot_\mathbb{R} b_2+_\mathbb{R} b_1\cdot_\mathbb{R}a_2) +_\mathbb{R} (a_1\cdot_\mathbb{R}b_3 +_\mathbb{R} b_1\cdot_\mathbb{R}a_3)) \\[0.5em] & = (a_1\cdot_\mathbb{R} a_2 - b_1\cdot_\mathbb{R} b_2, a_1\cdot_\mathbb{R} b_2+_\mathbb{R} b_1\cdot_\mathbb{R}a_2 ) + (a_1\cdot_\mathbb{R} a_3 - b_1\cdot_\mathbb{R} b_3,a_1\cdot_\mathbb{R}b_3 +_\mathbb{R} b_1\cdot_\mathbb{R}a_3) \\[0.5em] & = (a_1,b_1) \cdot (a_2,b_2) + (a_1,b_1) \cdot (a_3,b_3) \text{ 이다.} \end{align*}$
정리2
임의의 복소수 $z = (a,b),w = (c,d) \in \mathbb{C}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $z = w$이기 위한 필요충분조건은 $\operatorname{Re}(z)$ $=\operatorname{Re}(w)$이고 $\operatorname{Im}(z) =\operatorname{Im}(w)$인 것이다.
2. $z = $ $\operatorname{Re}(z)$ $ + \; i\cdot \operatorname{Im}(z)$
3. $i^2 =$ $i$ $ \cdot\; i = -1$
4. $-z = (-1)\cdot z $
5. $z + w = \operatorname{Re}(z+w) + i\cdot \operatorname{Im}(z+w) = (\operatorname{Re}(z) + \operatorname{Re}(w)) + i\cdot (\operatorname{Im}(z) + \operatorname{Im}(w))$
6. $z \cdot w = \operatorname{Re}(z\cdot w) + i\cdot \operatorname{Im}(z\cdot w) = (\operatorname{Re}(z) \cdot \operatorname{Re}(w) - \operatorname{Im}(z)\cdot \operatorname{Im}(w)) + i\cdot (\operatorname{Re}(z) \cdot \operatorname{Im}(w) + \operatorname{Im}(z)\cdot \operatorname{Re}(w))$
증명
1.
순서쌍의 상등으로 $(a,b)=z = w = (c,d)$이면 $a = c$이고 $b = d$이므로
$(a,0_\mathbb{R}) =\operatorname{Re}(z)=\operatorname{Re}(w) = (c ,0_\mathbb{R})$과 $(b,0_\mathbb{R}) =\operatorname{Im}(z)=\operatorname{Im}(w) = (d ,0_\mathbb{R})$이 성립하고 역도 비슷하게 성립한다.
2.
$\begin{align*}\operatorname{Re}(z) + i\cdot \operatorname{Im}(z) & = (a,0_\mathbb{R}) + (0_\mathbb{R},1_\mathbb{R}) \cdot (b,0_\mathbb{R}) \\[0.5em] & = (a,0_\mathbb{R}) + (0_\mathbb{R}\cdot_\mathbb{R} b - 1_\mathbb{R}\cdot_\mathbb{R} 0_\mathbb{R}, 0_\mathbb{R}\cdot_\mathbb{R}0_\mathbb{R} +_\mathbb{R} 1_\mathbb{R} \cdot_\mathbb{R} b) \\[0.5em] & = (a,0_\mathbb{R}) + (0_\mathbb{R},b) \\[0.5em] & = (a+_\mathbb{R} 0_\mathbb{R},0_\mathbb{R} +b) \\[0.5em] & = (a,b) \\[0.5em] & = z \end{align*}$
3.
$i^2 = i\cdot i = (0_\mathbb{R},1_\mathbb{R})\cdot (0_\mathbb{R},1_\mathbb{R}) = (0_\mathbb{R}\cdot_\mathbb{R}0_\mathbb{R} - 1_\mathbb{R}\cdot_\mathbb{R}1_\mathbb{R}, 0_\mathbb{R}\cdot_\mathbb{R}1_\mathbb{R} +_\mathbb{R} 1_\mathbb{R}\cdot_\mathbb{R}0_\mathbb{R}) = (-1_\mathbb{R},0_\mathbb{R}) = -(1_\mathbb{R},0_\mathbb{R}) = -1$
4.
$(-1)\cdot z = (-1_\mathbb{R},0_\mathbb{R})\cdot (a,b) = (-a \cdot_\mathbb{R} 1_\mathbb{R} - 0_\mathbb{R} \cdot_\mathbb{R} b, -1_\mathbb{R} \cdot_\mathbb{R}b +_\mathbb{R} 0_\mathbb{R}\cdot_\mathbb{R} a) = (-a,-b) = -(a,b) = -z$
5.
2번으로 $(a+_\mathbb{R} c ,b+_\mathbb{R} d) = z + w = \operatorname{Re}(z+w) + i\cdot \operatorname{Im}(z+w) $이고
$\begin{align*}(\operatorname{Re}(z) + \operatorname{Re}(w)) + i\cdot (\operatorname{Im}(z) + \operatorname{Im}(w)) & = ((a,0_\mathbb{R}) + (c,0_\mathbb{R})) + i\cdot ((b,0_\mathbb{R}) + (d,0_\mathbb{R})) \\[0.5em] & = (a+_\mathbb{R} c, 0_\mathbb{R}) + i\cdot (b+_\mathbb{R} d,0_\mathbb{R}) \\[0.5em] & = \operatorname{Re}(z+w) + i\cdot \operatorname{Im}(z+w) \text{ 이다.} \end{align*}$
6.
2번으로 $(a\cdot_\mathbb{R} c - b\cdot_\mathbb{R} d, a\cdot_\mathbb{R} d +_\mathbb{R} b\cdot_\mathbb{R} c)=z \cdot w = \operatorname{Re}(z\cdot w) + i\cdot \operatorname{Im}(z\cdot w) $이고
$\begin{align*} \operatorname{Re}(z) \cdot \operatorname{Re}(w) - \operatorname{Im}(z)\cdot \operatorname{Im}(w) & = (a,0_\mathbb{R}) \cdot (c,0_\mathbb{R}) - (b,0_\mathbb{R})\cdot (d,0_\mathbb{R}) \\[0.5em] & = (a\cdot_\mathbb{R} c - 0_\mathbb{R} \cdot_\mathbb{R} 0_\mathbb{R}, a\cdot_\mathbb{R} 0_\mathbb{R} +_\mathbb{R}0_\mathbb{R} \cdot_\mathbb{R} c) - (b\cdot_\mathbb{R} d - 0_\mathbb{R} \cdot_\mathbb{R} 0_\mathbb{R}, b\cdot_\mathbb{R} 0_\mathbb{R} +_\mathbb{R}0_\mathbb{R} \cdot_\mathbb{R} d) \\[0.5em] & = (a\cdot_\mathbb{R} c,0_\mathbb{R}) -(b\cdot_\mathbb{R} d ,0_\mathbb{R}) \\[0.5em] & = (a\cdot_\mathbb{R} c -b\cdot_\mathbb{R} d,0_\mathbb{R}) \\[0.5em] & = \operatorname{Re}(z\cdot w) \text{ 와} \end{align*}$
$ \begin{align*} \operatorname{Re}(z) \cdot \operatorname{Im}(w) + \operatorname{Im}(z)\cdot \operatorname{Re}(w) & = (a,0_\mathbb{R}) \cdot (d,0_\mathbb{R}) + (b,0_\mathbb{R})\cdot (c,0_\mathbb{R}) \\[0.5em] & = (a\cdot_\mathbb{R} d - 0_\mathbb{R} \cdot_\mathbb{R} 0_\mathbb{R}, a\cdot_\mathbb{R} 0_\mathbb{R} +_\mathbb{R}0_\mathbb{R} \cdot_\mathbb{R} d) + (b\cdot_\mathbb{R} c - 0_\mathbb{R} \cdot_\mathbb{R} 0_\mathbb{R}, b\cdot_\mathbb{R} 0_\mathbb{R} +_\mathbb{R}0_\mathbb{R} \cdot_\mathbb{R} c) \\[0.5em] & = (a\cdot_\mathbb{R} d,0_\mathbb{R}) +(b\cdot_\mathbb{R} c ,0_\mathbb{R}) \\[0.5em] & = (a\cdot_\mathbb{R} d +_\mathbb{R}b\cdot_\mathbb{R} c,0_\mathbb{R}) \\[0.5em] & = \operatorname{Im}(z\cdot w) \text{ 가 성립하므로} \end{align*}$
$\operatorname{Re}(z\cdot w) + i\cdot \operatorname{Im}(z\cdot w) = (\operatorname{Re}(z) \cdot \operatorname{Re}(w) - \operatorname{Im}(z)\cdot \operatorname{Im}(w)) + i\cdot (\operatorname{Re}(z) \cdot \operatorname{Im}(w) + \operatorname{Im}(z)\cdot \operatorname{Re}(w))$이다.
정의2
임의의 복소수 $z =a + i\cdot b \in \mathbb{C}$가 $\operatorname{Re}(z) = a$이고 $\operatorname{Im}(z) = b$일때
양의 실수의 복소수 거듭제곱 :
실수 자연로그가 $\ln :(0,\infty)\to \mathbb{R}$이고 실삼각함수가 $\cos, \sin : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$이면
$x >0$인 실수 $x \in \mathbb{R}$의 복소수 $z =a + i\cdot b$제곱을 $x^{z} = $ $x^a$ $ \cdot \; (\cos (b \cdot \ln x) +i\cdot \sin (b \cdot \ln x)) $로 정의한다.
복소수 절댓값 :
복소수 $z = a + i\cdot b $의 절댓값을 $|z| = (a^2 + b^2)^\frac{1}{2} = \sqrt{a^2 + b^2} $로 정의한다.
켤레복소수(complex conjugate) :
복소수 $z = a + i\cdot b$의 켤레복소수를 $\overline{z} =a - i\cdot b$로 정의한다.
정리3
임의의 복소수 $z,w \in \mathbb{C}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $\overline{z+w} = \overline{z} + \overline{w}$
2. $\overline{-z} = -\overline{z}$
3. $\overline{z\cdot w} = \overline{z}\cdot \overline{w}$
4. $\overline{\overline{z}} = z$
5. $\overline{z} = \overline{w}$이기 위한 필요충분조건은 $z = w$인 것이다.
6. $\overline{z} = z$이기 위한 필요충분조건은 $z \in \mathbb{R}$인 것이다.
7. 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $\overline{x\cdot z} = x\cdot \overline{z}$이다.
증명
$\operatorname{Re}(z) = a$와 $\operatorname{Im}(z) = b$에 대해 $z =a + i\cdot b$이고
$\operatorname{Re}(w) = c$와 $\operatorname{Im}(w) = d$에 대해 $w =c + i\cdot d$일때
위 정리로 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$는 가환환이므로 위 정리와 켤레복소수의 정의로 아래가 성립한다.
1.
$\overline{z+w} = (a+c) - i\cdot (b+ d) = a+ c - i\cdot b - i\cdot d = (a - i\cdot b) + (c - i\cdot d) = \overline{z} + \overline{w}$
2.
$\overline{-z} = -a + i\cdot b = -(a - i\cdot b) = -\overline{z}$
3.
$\begin{align*} \overline{z\cdot w} & = (a\cdot c - b\cdot d) - i \cdot (a\cdot d + b\cdot c) \\[0.5em] & = (a\cdot c - (-b)\cdot (-d)) + i\cdot (a\cdot (-d) + (-b)\cdot c) \\[0.5em] & = (a +i\cdot (-b)) \cdot (c +i\cdot (-d)) \\[0.5em] & = (a -i\cdot b) \cdot (c - i\cdot d) \\[0.5em] & = \overline{z}\cdot \overline{w} \end{align*}$
4.
$\overline{\overline{z}} = \overline{a -i\cdot b} = a + i\cdot b = z$
5.
$\overline{z} = \overline{w}$이면 $a = c$이고 $-b = -d$이므로 $b =d$가 되어 $z = w$이고 역도 비슷하게 성립한다.
6.
$\overline{z} = z$일때 $b = -b$이므로 $b > 0$이라 가정하면
$b > 0 > - b$가 되어 모순이므로 $b = 0$이고 $z = a +i\cdot b = a +i\cdot 0 = a \in \mathbb{R}$이다.
역으로 $z \in \mathbb{R}$이면 $b = 0$이므로 $z = a +i\cdot b = a = a -i\cdot b = \overline{z}$이다.
7.
3번과 6번으로 $\overline{x\cdot z} = \overline{x}\cdot \overline{z} = x\cdot \overline{z}$이다.
정리4
임의의 복소수 $z,w \in \mathbb{C}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $|z| \ge 0$
2. $|z| = 0$이기 위한 필요충분조건은 $z = 0$인 것이다.
3. $|z|^2 = z \cdot \overline{z} $
4. $|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}$
5. $|z\cdot w| = |z|\cdot |w|$
6. $|\overline{z}| = |z|$
7. $-|z| \le \operatorname{Re}(z) \le |z|$
8. $-|z| \le \operatorname{Im}(z) \le |z|$
9. $z + \overline{z} \le 2\cdot |z|$
10. $|z| - |w| \le |z + w| \le |z| + |w| $
11. $-|z -w|\le |z| -|w| \le |z-w|$
12. $|i| = 1$
13. $|z| \le |\operatorname{Re}(z)| + |\operatorname{Im}(z)|$
증명
$\operatorname{Re}(z) = a$와 $\operatorname{Im}(z) = b$에 대해 $z =a + i\cdot b$이고 $\operatorname{Re}(w) = c$와 $\operatorname{Im}(w) = d$에 대해 $w =c + i\cdot d$일때
1.
실수 부등식 정리로 $a^2 \ge 0$이고 $b^2 \ge 0$이므로 $a^2 + b^2 \ge 0$이 되어 실수 부등식 정리로 $|z|=\sqrt{a^2 + b^2} \ge 0$이다.
2.
$|z| = 0$일때 $a^2 + b^2 =|z|^2 = 0$이므로 $z \ne 0$이라고 가정하면
위 정리로 $a\ne 0$이거나 $b\ne 0$인데 실수 부등식 정리로 $a^2 > 0$ 또는 $b^2 > 0$이고
$a^2 + b^2 > 0 = a^2 + b^2$이므로 모순이 되어 $z = 0$이다.
역으로 $z = 0$이면 위 정리로 $a = 0$이고 $b = 0$이므로 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = 0$이다.
3, 4
$z \cdot \overline{z} = (a + i\cdot b)\cdot (a-i\cdot b) = (a +i\cdot b) \cdot (a + i\cdot (-b)) = (a^2 - b\cdot (-b)) + i\cdot (a\cdot (-b) + a\cdot b) = a^2 + b^2 = |z|^2\text{ 이고}$
$|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}$이다.
5.
3, 4번과 위 정리로 $|z\cdot w| = \sqrt{z\cdot w \cdot \overline{z\cdot w}} = \sqrt{z\cdot w \cdot \overline{z} \cdot \overline{w}} = \sqrt{z\cdot \overline{z} \cdot w\cdot \overline{w}}= \sqrt{z\cdot \overline{z}} \cdot \sqrt{w\cdot \overline{w}} = |z|\cdot |w|$이다.
6.
4번과 위 정리로 $|\overline{z}| = \sqrt{\overline{z} \cdot \overline{\overline{z}}} = \sqrt{\overline{z} \cdot z} = \sqrt{z\cdot \overline{z}} = |z|$이다.
7, 8
실수 부등식 정리로 $a^2 \ge 0$이고 $b^2 \ge 0$이므로 $a^2 \le a^2 + b^2$와 $b^2 \le a^2 + b^2$가 성립하여
$|\operatorname{Re}(z)|=|a| = \sqrt{a^2} \le \sqrt{a^2 + b^2} =|z|$이고 $|\operatorname{Im}(z)| =|b| = \sqrt{b^2} \le \sqrt{a^2 + b^2} = |z|$이므로
실수 절댓값 정리로 $-|z| \le \operatorname{Re}(z) \le |z|$이고 $-|z| \le \operatorname{Im}(z) \le |z|$이다.
9.
7번으로 $z + \overline{z} = a + i\cdot b + a - i\cdot b = 2\cdot a = 2\cdot \operatorname{Re}(z) \le 2\cdot |z|$이다.
10.
3번과 위 정리로
$|z + w|^2 = (z+ w)\cdot \overline{(z+w)} = (z +w)\cdot (\overline{z} + \overline{w}) =z\cdot \overline{z} + w\cdot \overline{z} + z\cdot \overline{w} + w\cdot \overline{w} = |z|^2 + w\cdot \overline{z} + \overline{w\cdot \overline{z}} + |w|^2 \text{ 이고}$
5, 6, 9번으로
$|z + w|^2 = |z|^2 + w\cdot \overline{z} + \overline{w\cdot \overline{z}} +|w|^2 \le |z|^2 + 2\cdot |w\cdot \overline{z}| + |w|^2 = |z|^2 +2 \cdot |z|\cdot |w| + |w|^2 = (|z| + |w|)^2 \text{ 이므로}$
실수 부등식 정리로 $|z + w| \le |z| + |w|$이다.
또 5번과 위 정리로 $|z| = |(z+w) - w|\le |z+w| + |-w| = |z+w| + |-1|\cdot |w| = |z+w| + |w|$이므로
$|z| - |w| \le |z+w| $가 되어 $|z| - |w| \le |z + w| \le |z| + |w| $이다.
11.
10번으로 $|z| = |(z-w) + w|\le |z-w| + |w|$이므로 $|z| - |w| \le |z-w|$이고
5, 10번과 위 정리로
$|w| = |(w - z) + z|\le |w - z| + |z| = |-(z-w)| + |z| = |-1|\cdot |z-w| + |z| = |z-w| + |z|$이므로
$|w| - |z| \le |z-w|$이고 $-|z-w| \le |z| - |w|$가 되어 $-|z -w|\le |z| -|w| \le |z-w|$이다.
12.
$|i| = |0 + i\cdot 1| = \sqrt{1^2} = 1$
13.
5, 10, 12번으로 $|z| = |a + i\cdot b| \le |a| + |i\cdot b| = |a| + |i|\cdot |b| = |a| + |b| = |\operatorname{Re}(z)| + |\operatorname{Im}(z)|$이다.
정의3
임의의 복소수 $z =a + i\cdot b \in \mathbb{C}$가 $\operatorname{Re}(z) = a$이고 $\operatorname{Im}(z) = b$일때
복소수 나눗셈 :
$z \ne 0$일때 복소수 $z = a + i\cdot b $에 대해 $z^{-1} = |z|^{-2}\cdot \overline{z}$를 $z$의 곱셈에 대한 역원으로 정의하고
임의의 $w \in \mathbb{C}$를 $z$로 나누는 것을 $\dfrac{w}{z} = w/ z = w\cdot z^{-1}$로 정의한다.
실수에서 복소수로의 함수 미분 :
정의역이 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간 $I$인 함수 $f : I \to \mathbb{C}$에 대해
$\operatorname{Re} $ $\circ$ $ f = f_1 : I \to \mathbb{R}$이고 $\operatorname{Im}\circ f = f_2 : I \to \mathbb{R}$일때
$f_1,f_2$가 점 $t \in I$에서 미분가능하면 $f$가 $t $에서 미분가능하다고 정의하고
$t$에서 $f_1,f_2$의 도함수 $f_1',f_2'$에 대해 $t$에서 $f$의 도함수 $f'$를 $f'(t) = f_1'(t) + i\cdot f_2'(t)$로 정의한다.
또 $f_1,f_2$가 구간 $I$에서 미분가능하면 $f$가 $I$에서 미분가능하다고 정의하고
임의의 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $f_1,f_2$가 $I$에서 $n$번미분가능하면 $f$가 $I$에서 $n$번미분가능하다고 정의하고
$f_1,f_2$가 $I$에서 무한번미분가능하면 $f$가 $I$에서 무한번미분가능하다고 정의한다.
정리5
위에서 정의된 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$는 체이다.
증명
위 정리로 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$는 가환환이고 $z\ne 0$인 임의의 복소수 $z \in \mathbb{C}$에 대해
위 정리로 $z\cdot z^{-1} = z\cdot |z|^{-2}\cdot \overline{z} = z\cdot \overline{z} \cdot |z|^{-2} = |z|^2 \cdot |z|^{-2} = 1$이므로 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$는 체이다.
정리6
임의의 복소수 $z,w \in \mathbb{C}$와 임의의 실수 $x,y \in $ $(0,\infty)$에 대해 다음이 성립한다.
1. $1^z = 1$
2. $|x^z| = x^{\operatorname{Re}(z)}$
3. $x^z \ne 0$
4. $(x\cdot y)^z = x^z \cdot y^z$
5. $y^{-z} = \dfrac{1}{y^z} $
6. $\left (\dfrac{x}{y} \right )^z = \dfrac{x^z}{y^z}$
7. $x^z \cdot x^w = x^{z + w}$
8. $\overline{x^z} = x^{\overline{z}}$
9. 임의의 정수 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 $(x^z)^n$ $ = x^{ z\cdot n} $이다.
10. 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간 $I$의 임의의 $t \in I$에 대해
$f(t) = x^{z\cdot t}$인 함수 $f :I\to \mathbb{C}$는 $I$에서 미분가능하고 $f$의 도함수 $f' : I \to\mathbb{C}$는 $f'(t) = z\cdot \ln x \cdot x^{z\cdot t}$이다.
증명
$\operatorname{Re}(z) = a$와 $\operatorname{Im}(z) = b$에 대해 $z =a + i\cdot b$이고 $\operatorname{Re}(w) = c$와 $\operatorname{Im}(w) = d$에 대해 $w =c + i\cdot d$일때
1.
실수 자연로그 정리와 실삼각함수의 정의와 복소수 거듭제곱의 정의로
$1^z = 1^a \cdot (\cos(b\cdot \ln 1) +i\cdot \sin (b\cdot \ln 1)) = 1\cdot (\cos(b\cdot 0) +i\cdot \sin(b\cdot 0)) = 1 + i\cdot 0 = 1$이다.
2.
위 정리와 실삼각함수 정리와 복소수 거듭제곱의 정의로
$\begin{align*}|x^z| &= |x^a \cdot (\cos (b\cdot \ln x) + i\cdot \sin(b\cdot \ln x))| \\[0.5em] &= |x^a| \cdot |\cos( b\cdot \ln x) + i\cdot \sin(b\cdot \ln x)| \\[0.5em] & = |x^a| \cdot \sqrt{ (\cos(b\cdot \ln x))^2 + (\sin(b\cdot \ln x))^2} \\[0.5em] & = |x^a|\cdot \sqrt{1} \\[0.5em] & = |x^a| \cdot 1 \\[0.5em] & = |x^a| \text{ 이고}\end{align*}$
실수 거듭제곱 정리와 실수 절댓값의 정의와 실수 절댓값 정리로 $|x^z| = |x^a| = x^a = x^{\operatorname{Re}(z)}$이다.
3.
2번과 실수 거듭제곱 정리로 $|x^z| = x^a > 0$이므로 위 정리로 $x^z \ne 0$이다.
4.
실삼각함수 정리와 실수 자연로그 정리와 복소수 거듭제곱의 정의로
$\begin{align*} x^z \cdot y^z & = x^a \cdot (\cos (b\cdot \ln x) + i\cdot \sin(b\cdot \ln x)) \cdot y^a \cdot (\cos (b\cdot \ln y) + i\cdot \sin(b\cdot \ln y)) \\[0.5em] & = x^a \cdot y^a \cdot (\cos (b\cdot \ln x) + i\cdot \sin(b\cdot \ln x)) \cdot (\cos (b\cdot \ln y) + i\cdot \sin(b\cdot \ln y)) \\[0.5em] & = (x\cdot y)^a \cdot ( (\cos (b\cdot \ln x)\cdot \cos (b\cdot \ln y) - \sin(b\cdot \ln x) \cdot \sin(b\cdot \ln y)) + i\cdot (\sin(b\cdot \ln x)\cdot \cos (b\cdot \ln y) + \cos (b\cdot \ln x)\cdot \sin(b\cdot \ln y)) ) \\[0.5em] & = (x\cdot y)^a \cdot (\cos(b\cdot \ln x+ b\cdot \ln y)+ i\cdot \sin(b\cdot \ln x+ b\cdot \ln y) ) \\[0.5em] & = (x\cdot y)^a \cdot (\cos(b\cdot (\ln x + \ln y))+ i\cdot \sin(b\cdot (\ln x+ \ln y) ) ) \\[0.5em] & = (x\cdot y)^a \cdot (\cos(b\cdot \ln (x\cdot y))+ i\cdot \sin(b\cdot \ln (x\cdot y) ) ) \\[0.5em] & = (x\cdot y)^{z} \text{ 이다.} \end{align*}$
5.
$\begin{align*} \frac{1}{y^z} & = (y^z)^{-1} \\[0.5em] & = |y^{z}|^{-2}\cdot \overline{y^z} \\[0.5em] & = (y^a)^{-2} \cdot \overline{y^a \cdot (\cos(b\cdot \ln y) + i\cdot \sin(b\cdot \ln y))} \\[0.5em] & = y^{-2\cdot a} \cdot \overline{y^a} \cdot \overline{(\cos(b\cdot \ln y) + i\cdot \sin(b\cdot \ln y))} \\[0.5em] & = y^{-2\cdot a} \cdot y^a \cdot ( \cos(b\cdot \ln y) - i\cdot \sin(b\cdot \ln y) ) \\[0.5em] & = y^{-a}\cdot ( \cos(b\cdot \ln y) + i\cdot ( -\sin(b\cdot \ln y)) ) \\[0.5em] & = y^{-a}\cdot ( \cos(-b\cdot \ln y) + i\cdot \sin(-b\cdot \ln y) ) \\[0.5em] & = y^{-z} \text{ 이다.} \end{align*}$
6.
4, 5번과 실수 자연로그 정리로
$\begin{align*}\left (\frac{x}{y} \right )^z & = (x\cdot y^{-1})^z \\[0.5em] & = x^z \cdot (y^{-1})^z \\[0.5em] & = x^z \cdot (y^{-1})^a \cdot (\cos(b\cdot \ln y^{-1}) + i\cdot \sin(b\cdot \ln y^{-1})) \\[0.5em]& = x^z \cdot y^{-a} \cdot (\cos(-b\cdot \ln y) + i\cdot \sin(-b\cdot \ln y)) \\[0.5em] & = x^z \cdot y^{-z} \\[0.5em] & = x^z \cdot \frac{1}{y^z}\\[0.5em] &= \frac{x^z}{y^z} \text{ 이다.}\end{align*}$
7.
$\begin{align*} x^z \cdot x^w & = x^a\cdot (\cos (b \cdot \ln x) + i\cdot \sin(b\cdot \ln x)) \cdot x^c\cdot (\cos (d \cdot \ln x) + i\cdot \sin(d\cdot \ln x)) \\[0.5em] & = x^a\cdot x^c \cdot (\cos (b \cdot \ln x) + i\cdot \sin(b\cdot \ln x)) \cdot (\cos (d \cdot \ln x) + i\cdot \sin(d\cdot \ln x)) \\[0.5em] & = x^{a + c} \cdot ((\cos (b \cdot \ln x)\cdot \cos (d \cdot \ln x) - \sin(b\cdot \ln x) \cdot \sin(d\cdot \ln x))) + i\cdot (\sin(b\cdot \ln x) \cdot \cos (d \cdot \ln x) + \cos (b \cdot \ln x)\cdot \sin(d\cdot \ln x) ) ) \\[0.5em] & = x^{a + c} \cdot( \cos(b \cdot \ln x + d \cdot \ln x) + i\cdot \sin(b \cdot \ln x + d \cdot \ln x)) \\[0.5em] & = x^{a + c} \cdot( \cos((b +d) \cdot \ln x ) + i\cdot \sin((b +d) \cdot \ln x ) ) \\[0.5em] & = x^{z +w} \text{ 이다.} \end{align*}$
8.
켤레복소수의 정의로 $\overline{z} = a -i\cdot b = a + i\cdot (-b)$이므로 복소수 거듭제곱의 정의와 위 정리와 실삼각함수 정리로
$\begin{align*}\overline{x^z} &= \overline{x^a \cdot (\cos( b\cdot \ln x) + i\cdot \sin (b\cdot \ln x))}\\[0.5em]& = \overline{x^a} \cdot \overline{(\cos (b\cdot \ln x) + i\cdot \sin (b\cdot \ln x))} \\[0.5em]&= x^a \cdot (\cos (b\cdot \ln x) - i\cdot \sin (b\cdot \ln x)) \\[0.5em]&=x^a \cdot (\cos (-b\cdot \ln x) +i\cdot \sin (-b\cdot \ln x))\\[0.5em]&= x^{\overline{z}} \text{ 이다.} \end{align*}$
9.
$n\ge 0$이면 귀납법으로 증명한다.
$n = 0$일때 자연수 거듭제곱의 정의로 $(x^{z})^0 = 1 = x^0 = x^{z\cdot 0}$이다.
모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(x^z)^k = x^{z\cdot k}$라고 가정하면
자연수 거듭제곱의 정의와 7번으로 $(x^z)^{k+1} = (x^z)^k \cdot x^z = x^{z\cdot k} \cdot x^z = x^{z\cdot k + z} = x^{z\cdot (k+1)}$이다.
따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $(x^z)^n = x^{z\cdot n}$이다.
$n< 0$이면 $-n > 0$이고 3번으로 $x^z \ne 0$이므로
위 정리와 정수 거듭제곱 정리와 5번으로 $(x^z)^n = ((x^z)^{-n})^{-1} = (x^{z\cdot (-n)})^{-1} = x^{-z\cdot (-n)} = x^{z\cdot n}$이다.
10.
$ f(t) = x^{z\cdot t} = x^{t\cdot a + i\cdot t\cdot b} = x^{t\cdot a} \cdot (\cos (t\cdot b \cdot \ln x) +i\cdot \sin(t\cdot b \cdot \ln x) ) = x^{t\cdot a} \cdot \cos (t\cdot b \cdot \ln x) + i\cdot x^{t\cdot a} \cdot \sin(t\cdot b \cdot \ln x) \text{ 이므로}$
위 정리, 실수에서 복소수로의 미분의 정의와
실함수 미분 곱셈 정리, 실함수 연쇄법칙, 실수 거듭제곱 정리와 실삼각함수 정리로
$\begin{align*} f'(t) & = (x^{t\cdot a} \cdot \cos (t\cdot b \cdot \ln x) )' + i\cdot (x^{t\cdot a} \cdot \sin(t\cdot b \cdot \ln x) ) )' \\[0.5em] & = (x^{t\cdot a})'\cdot \cos (t\cdot b \cdot \ln x) + x^{t\cdot a} \cdot ( \cos (t\cdot b \cdot \ln x) )' + i\cdot ( (x^{t\cdot a})'\cdot \sin (t\cdot b \cdot \ln x) + x^{t\cdot a} \cdot ( \sin (t\cdot b \cdot \ln x) )' ) \\[0.5em] & = a\cdot \ln x\cdot x^{t\cdot a}\cdot \cos (t\cdot b \cdot \ln x) - x^{t\cdot a} \cdot b\cdot \ln x \cdot \sin(t\cdot b\cdot \ln x) +i\cdot (a\cdot \ln x\cdot x^{t\cdot a}\cdot \sin (t\cdot b \cdot \ln x) + x^{t\cdot a} \cdot b\cdot \ln x \cdot \cos(t\cdot b\cdot \ln x) ) \\[0.5em] & = a\cdot \ln x\cdot x^{t\cdot a}\cdot (\cos (t\cdot b \cdot \ln x) + i\cdot \sin (t\cdot b \cdot \ln x) ) - b\cdot \ln x \cdot x^{t\cdot a} \cdot (\sin(t\cdot b\cdot \ln x) - i\cdot \cos(t\cdot b\cdot \ln x)) \\[0.5em] & = a\cdot \ln x\cdot x^{t\cdot z} + i^2 \cdot b\cdot \ln x \cdot x^{t\cdot a} \cdot (\sin(t\cdot b\cdot \ln x) - i\cdot \cos(t\cdot b\cdot \ln x)) \\[0.5em] & = a\cdot \ln x\cdot x^{t\cdot z} + i \cdot b\cdot \ln x \cdot x^{t\cdot a} \cdot (i\cdot \sin(t\cdot b\cdot \ln x) - i^2 \cdot \cos(t\cdot b\cdot \ln x)) \\[0.5em] & = a\cdot \ln x\cdot x^{t\cdot z} + i \cdot b\cdot \ln x \cdot x^{t\cdot a} \cdot (i\cdot \sin(t\cdot b\cdot \ln x) + \cos(t\cdot b\cdot \ln x)) \\[0.5em] & = a\cdot \ln x\cdot x^{t\cdot z} + i \cdot b\cdot \ln x \cdot x^{t\cdot z} \\[0.5em] & = (a +i\cdot b) \cdot \ln x\cdot x^{t\cdot z} \\[0.5em] & = z \cdot \ln x\cdot x^{t\cdot z} \text{ 이다.} \end{align*}$
정리7
임의의 복소수 $z,w \in \mathbb{C}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $\operatorname{Re}(z) = \dfrac{z + \overline{z}}{2}$이고 $\operatorname{Im}(z) = \dfrac{z - \overline{z}}{2\cdot i}$이다.
2. 임의의 실수 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해
$\operatorname{Re}(a\cdot z + b\cdot w) = a\cdot \operatorname{Re}(z) + b\cdot \operatorname{Re}(w)$이고 $\operatorname{Im}(a\cdot z + b\cdot w) = a\cdot \operatorname{Im}(z) + b\cdot \operatorname{Im}(w)$이다.
3. $w \ne 0$이면 $\overline{w^{-1}} = \overline{w}^{-1}$이다.
4. $w \ne 0$이면 $\overline{\dfrac{z}{w}} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}$이다.
5. $w\ne 0$이면 $|w^{-1}| = |w|^{-1}$이다.
6. $w\ne 0$이면 $\left |\dfrac{z}{w} \right | = \dfrac{|z|}{|w|}$이다.
7. $|z-w| = |w-z|$
8. $n \in $ $\mathbb{Z}^+$개의 복소수 $z_1,z_2,\cdots, z_n \in \mathbb{C}$에 대해
$|z_1| - |z_2| - \cdots - |z_n| \le |z_1 + z_2 + \cdots + z_n | \le |z_1| + |z_2|+\cdots + |z_n|$이다.
9. $n \in \mathbb{Z}^+$개의 복소수 $z_1,z_2,\cdots, z_n , w_1,w_2,\cdots, w_n \in \mathbb{C}$에 대해
$|z_1\cdot \overline{w_1} + z_2\cdot \overline{w_2} + \cdots + z_n\cdot \overline{w_n} |^2 \le (|z_1|^2 + |z_2|^2+\cdots + |z_n|^2)\cdot (|w_1|^2+|w_2|^2 +\cdots + |w_n|^2)$이다.
10. 임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $|$$z^n$$| = |z|^n $이다.
11. $z\ne 0$이면 임의의 정수 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 $|z^n| = |z|^n$이다.
증명
1.
$\operatorname{Re}(z) = a$와 $\operatorname{Im}(z) = b$에 대해 $z =a + i\cdot b$이고 $\operatorname{Re}(w) = c$와 $\operatorname{Im}(w) = d$에 대해 $w =c + i\cdot d$일때
$\dfrac{z + \overline{z}}{2} = \dfrac{a+ i\cdot b + a -i\cdot b}{2} = \dfrac{2\cdot a}{ 2} = a =\operatorname{Re}(z)$이고
$\dfrac{z - \overline{z}}{2\cdot i} = \dfrac{a+ i\cdot b - (a -i\cdot b)}{2\cdot i} =\dfrac{2\cdot i \cdot b}{ 2\cdot i} = b = \operatorname{Im}(z)$이다.
2.
1번과 위 정리로
$\begin{align*} \operatorname{Re}(a\cdot z + b\cdot w) & = \frac{a\cdot z + b\cdot w + \overline{(a\cdot z + b\cdot w)}}{2} \\[0.5em] & = \frac{a\cdot z + b\cdot w + a\cdot \overline{z} + b\cdot \overline{w}}{2} \\[0.5em] & = \frac{a\cdot (z + \overline{z}) + b\cdot (w+ \overline{w})}{2} \\[0.5em] & = a\cdot\frac{ z + \overline{z}}{2} + b\cdot \frac{w+ \overline{w}}{2} \\[0.5em] &= a\cdot \operatorname{Re}(z) + b\cdot \operatorname{Re}(w) \text{ 이고} \end{align*}$
$\begin{align*} \operatorname{Im}(a\cdot z + b\cdot w) & = \frac{a\cdot z + b\cdot w - \overline{(a\cdot z + b\cdot w)}}{2\cdot i} \\[0.5em] & = \frac{a\cdot z + b\cdot w - a\cdot \overline{z} - b\cdot \overline{w}}{2\cdot i} \\[0.5em] & = \frac{a\cdot (z - \overline{z}) + b\cdot (w- \overline{w})}{2\cdot i} \\[0.5em] & = a\cdot\frac{ z - \overline{z}}{2\cdot i} + b\cdot \frac{w- \overline{w}}{2\cdot i} \\[0.5em] &= a\cdot \operatorname{Im}(z) + b\cdot \operatorname{Im}(w) \text{ 이다.} \end{align*}$
3.
위 정리와 위 정리로 $\overline{w^{-1}} = \overline{|w|^{-2}\cdot \overline{w}} = \overline{|w|^{-2}} \cdot \overline{\overline{w}} = |w|^{-2} \cdot \overline{\overline{w}} = |\overline{w}|^{-2} \cdot \overline{\overline{w}} = \overline{w}^{-1} $이다.
4.
위 정리와 3번으로 $\overline{\dfrac{z}{w}} = \overline{z\cdot w^{-1}} = \overline{z} \cdot \overline{w^{-1}} = \overline{z} \cdot \overline{w}^{-1} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}$이다.
5.
위 정리로 $|w|\cdot |w|^{-1} = 1 = |1| = |w\cdot w^{-1}| = |w|\cdot |w^{-1}|$이므로 $|w|^{-1} = |w^{-1}|$이다.
6.
위 정리와 5번으로 $\left |\dfrac{z}{w} \right | = |z\cdot w^{-1}| = |z|\cdot |w^{-1}| = |z|\cdot |w|^{-1} = \dfrac{|z|}{|w|}$이다.
7.
$\begin{align*}|z-w| &= \sqrt{(z -w) \cdot \overline{(z-w)}} \\[0.5em]&= \sqrt{(z-w)\cdot (\overline{z} - \overline{w})} \\[0.5em]&= \sqrt{(-1)\cdot (w-z)\cdot (-1)\cdot (\overline{w} - \overline{z})} \\[0.5em]&= \sqrt{(w-z)\cdot (\overline{w} - \overline{z})} \\[0.5em]&= \sqrt{(w-z)\cdot \overline{(w-z)}} \\[0.5em]&= |w-z|\text{ 이다.} \end{align*}$
8.
$n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.
$n = 1$일때 $|z_1|\le |z_1| \le |z_1|$이므로
모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $|z_1|-|z_2|-\cdots -|z_k|\le |z_1 + z_2 + \cdots + z_k | \le |z_1| + |z_2|+\cdots + |z_k|$라고 가정하면
위 정리로
$|z_1| - |z_2|-\cdots - |z_k| - |z_{k+1}|\le |z_1 + z_2+\cdots +z_k | - |z_{k+1}|\le |z_1 + z_2 + \cdots + z_k +z_{k+1}| $이고
$|z_1 + z_2 + \cdots + z_k +z_{k+1}| \le |z_1+z_2+\cdots +z_k| + |z_{k+1}| \le |z_1| + |z_2|+\cdots + |z_k| + |z_{k+1}|$이다.
따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.
9.
$Z = |z_1|^2 + |z_2|^2+\cdots + |z_n|^2$와 $W = |w_1|^2+|w_2|^2 +\cdots + |w_n|^2$와
$X = z_1\cdot \overline{w_1} + z_2\cdot \overline{w_2} + \cdots + z_n\cdot \overline{w_n} $로 둘때
$W = 0$이면 $w_1 = w_2 = \cdots = w_n = 0$이므로 위 정리와 위 정리로 $|X|^2 = 0 = Z \cdot W $가 되어
$|z_1\cdot \overline{w_1} + z_2\cdot \overline{w_2} + \cdots + z_n\cdot \overline{w_n} |^2 = |X|^2 \le Z\cdot W = (|z_1|^2 + |z_2|^2+\cdots + |z_n|^2)\cdot (|w_1|^2+|w_2|^2 +\cdots + |w_n|^2) \text{ 이다.}$
$\begin{align*} \sum_{i = 1}^n |W\cdot z_i - X \cdot w_i|^2 & = \sum_{i = 1}^n \left (W\cdot z_i - X\cdot w_i \right )\cdot \overline{(W\cdot z_i - X\cdot w_i)} \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^n \left (W\cdot z_i - X\cdot w_i \right )\cdot (W\cdot \overline{z_i} - \overline{X}\cdot \overline{w_i}) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^n (W^2\cdot z_i\cdot\overline{z_i} - X\cdot W\cdot w_i \cdot \overline{z_i} -W\cdot\overline{X}\cdot z_i\cdot \overline{w_i} + X\cdot\overline{X}\cdot w_i\cdot \overline{w_i}) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^n (W^2\cdot |z_i|^2 - W\cdot X\cdot \overline{z_i} \cdot w_i - W\cdot \overline{X}\cdot z_i\cdot \overline{w_i} + |X|^2\cdot |w_i|^2) \\[0.5em] & = W^2\cdot \sum_{i = 1}^n|z_i|^2 - W\cdot X\cdot \sum_{i = 1}^n (\overline{z_i} \cdot w_i) - W\cdot \overline{X}\cdot \sum_{i = 1}^n (z_i\cdot \overline{w_i}) + |X|^2\cdot \sum_{i = 1}^n |w_i|^2 \\[0.5em] & = W^2\cdot Z - W\cdot X\cdot \overline{X} - W\cdot \overline{X}\cdot X + |X|^2\cdot W \\[0.5em] & = W^2\cdot Z - W\cdot |X|^2 - W\cdot |X|^2 + W\cdot |X|^2 \\[0.5em] & = W^2\cdot Z - W\cdot |X|^2 \\[0.5em] & = W\cdot (W\cdot Z - |X|^2) \text{ 이므로} \end{align*}$
$W\cdot (W\cdot Z - |X|^2) = \displaystyle \sum_{i = 1}^n |W\cdot z_i - X\cdot w_i|^2 \ge 0$이고
실수 부등식 정리로 $W\cdot Z - |X|^2 \ge 0$이 되어
$|z_1\cdot \overline{w_1} + z_2\cdot \overline{w_2} + \cdots + z_n\cdot \overline{w_n} |^2 = |X|^2 \le Z\cdot W = (|z_1|^2 + |z_2|^2+\cdots + |z_n|^2)\cdot (|w_1|^2+|w_2|^2 +\cdots + |w_n|^2) \text{ 이다.}$
10.
$n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용한다.
$n = 0$이면 자연수 거듭제곱의 정의로 $|z^0| = |1| = 1= |z|^0$이다.
모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $|z^k| = |z|^k$일때
위 정리와 자연수 거듭제곱의 정의로 $|z^{k+1}| = |z^k\cdot z| = |z^k|\cdot |z| = |z|^k\cdot |z| = |z|^{k+1}$이다.
따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $|z^n| = |z|^n$이다.
11.
$z\ne 0$일때 위 정리로 $|z| \ne 0$이므로 임의의 정수 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 $n\ge 0$이면 10번으로 $|z^n| = |z|^n$이고
$n < 0$이면 위 정리와 정수 거듭제곱 정리와 5, 10번으로 $|z^n| = |(z^{-1})^{-n}| =|z^{-1}|^{-n} = (|z|^{-1})^{-n} = |z|^n$이다.
정리8
오일러수 $e \in \mathbb{R}$와 $\operatorname{Re}(z) = a$이고 $\operatorname{Im}(z) = b$인 임의의 복소수 $z =a +i\cdot b \in \mathbb{C}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $e^z = e^a\cdot (\cos b + i\cdot \sin b)$
2. 임의의 실수 $\theta \in \mathbb{R}$에 대해 $e^{i\cdot \theta} = \cos \theta +i\cdot \sin \theta$이고 $e^{-i\cdot \theta} = \cos \theta -i\cdot \sin \theta$이다.
3. 임의의 실수 $\theta \in \mathbb{R}$에 대해 $|e^{i\cdot \theta}| = 1$이다.
4. $z\ne 0$이면 $\left |\dfrac{z}{|z|} \right | = 1$이다.
5. $z\ne 0$이면 $z = |z|\cdot e^{i\cdot \theta }$인 $\theta \in (-\pi,\pi]$가 유일하게 존재한다.
6. $\overline{e^z} = e^{\overline{z}}$
7. $r > 0$인 임의의 실수 $r, \theta \in \mathbb{R}$와 모든 정수 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 $(r\cdot e^{i\cdot \theta})^n = r^n \cdot e^{i\cdot n\cdot \theta}$이다.
8. 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간 $I$의 임의의 $t \in I$와 임의의 복소수 $z \in \mathbb{C}$에 대해
$f(t) = e^{z\cdot t}$인 함수 $f :I\to \mathbb{C}$는 $I$에서 미분가능하고 $f$의 도함수 $f' : I \to\mathbb{C}$는 $f'(t) = z\cdot e^{z\cdot t}$이다.
증명
1.
실지수함수 정리로 $e > 0$이므로 복소수 거듭제곱의 정의와 실수 자연로그 정리로
$e^{a+i\cdot b} = e^a\cdot (\cos (b\cdot \ln e) + i\cdot \sin(b\cdot \ln e)) = e^a\cdot (\cos(b\cdot 1) + i\cdot \sin(b\cdot 1)) = e^a\cdot(\cos b+ i\cdot \sin b)$이다.
2.
1번으로 $e^{i\cdot \theta} = e^{0 + i\cdot \theta} = e^ 0 \cdot (\cos \theta + i\cdot \sin \theta) = \cos \theta + i\cdot \sin \theta$이고
실삼각함수 정리로 $e^{-i\cdot \theta} = e^{i\cdot (-\theta)} = \cos(-\theta) + i\cdot \sin(-\theta) = \cos \theta - i\cdot \sin \theta $이다.
3.
위 정리로 $|e^{i\cdot \theta}| = |e^{0+i\cdot \theta}| = e^0 = 1$이다.
4.
$z\ne 0$이면 위 정리로 $|z| \ne 0$이고 위 정리로 $\left |\dfrac{z}{|z|} \right | = \dfrac{|z|}{|z|} = 1$이다.
5.
4번과 복소수 절댓값의 정의로 $1 = \left |\dfrac{z}{|z|} \right |^2 = (\operatorname{Re}(\frac{z}{|z|}))^2 + (\operatorname{Im}(\frac{z}{|z|}))^2 $이므로
실삼각함수 정리로 $\operatorname{Re}(\frac{z}{|z|}) = \cos \theta $이고 $\operatorname{Im}(\frac{z}{|z|}) = \sin \theta $인 $\theta \in (-\pi,\pi]$가 유일하게 존재하여
2번으로 $\dfrac{z}{|z|} = \operatorname{Re}(\frac{z}{|z|}) + i\cdot \operatorname{Im}(\frac{z}{|z|}) = \cos \theta +i\cdot \sin \theta = e^{i\cdot \theta}$이고 $z = |z|\cdot e^{i\cdot \theta}$이다.
6.
위 정리로 $\overline{e^z} = e^{\overline{z}}$이다.
7.
$r>0$이고 실지수함수 정리로 $e > 0$이므로 위 정리로 $e^{i\cdot \theta} \ne 0$이 되어
위 정리와 정수 거듭제곱 정리와 위 정리로 $(r\cdot e^{i\cdot \theta})^n = r^n\cdot (e^{i\cdot \theta})^n = r^n \cdot e^{i\cdot n\cdot \theta}$이다.
8.
위 정리와 실수 자연로그 정리로 $f'(t) = z\cdot \ln e \cdot e^{z \cdot t} =z\cdot e^{z\cdot t}$이다.
정의4
복소 삼각함수 :
오일러수 $e \in \mathbb{R}$와 임의의 복소수 $z \in \mathbb{C}$에 대해
$\cos z = \dfrac{e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}}{2}$인 함수 $\cos : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$을 복소 코사인 함수로 정의하고
$\sin z = \dfrac{e^{i\cdot z} - e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}$인 함수 $\sin : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$을 복소 사인 함수로 정의한다.
복소수열 :
임의의 자연수 $n_0 \in \mathbb{N}$에 대해 복소수집합 $\mathbb{C}$에서의 수열 또는 복소수열은
정의역이 $S = \{n \in \mathbb{N} : n \ge n_0 \}$이고 치역이 $\mathbb{C}$의 부분집합인 함수 $Z : S \to \mathbb{C}$이다.
모든 $n \in S$에 대해 $Z(n) = z_{n} \in \mathbb{C}$일때
$z_{n}$을 수열의 항(term) 또는 원소라고 하고 수열 $Z$를 $(z_n)_{n = n_0}^\infty$형태로 표기한다.
복소수열 $Z$를 $(z_{n})$인 형태로 표기하면 $S$의 최소원소를 임의의 자연수로 가정한다.
복소수열의 극한 :
복소수열 $(z_n)_{n = n_0}^\infty$과 임의의 복소수 $z \in \mathbb{C}$에 대해
실수열 $(|z_n - z|)_{n = n_0}^\infty$가 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|z_n - z|) = 0$으로 수렴하면
$z$를 $(z_n)_{n = n_0}^\infty$의 극한이라 정의하고 $(z_n)_{n = n_0}^\infty$이 $z$로 수렴한다고 정의한다.
$(z_n)_{n = n_0}^\infty$의 극한이 $z$일때 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(z_n) = z$로 표기한다.
복수수열의 극한이 존재하면 수렴한다고 정의하고 극한이 존재하지 않으면 발산한다고 정의한다.
부분수열 :
복소수열이 $(z_n)_{n = n_0}^\infty$이고 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해
$n_k \in \mathbb{Z}^+$이고 $n_0 \le n_1 < n_2 < \cdots < n_k<n_{k+1}<\cdots$인 순증가하는 자연수열이 $(n_k)_{k = 1}^\infty$일때
원소가 $z_{n_1},z_{n_2},\cdots,z_{n_k},z_{n_{k+1}},\cdots$인 복소수열 $(z_{n_k})_{k = 1}^\infty$를 $(z_n)_{n = n_0}^\infty$의 부분수열로 정의한다.
코시수열 :
복소수열이 $(z_n)_{n = n_0}^\infty$일때
모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해 $n,m \ge H(\epsilon) \ge n_0$인 모든 자연수 $n, m\in \mathbb{N}$이
$|z_n - z_m| < \epsilon$이 되는 자연수 $H(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하면 $(z_n)_{n =n_0}^\infty$을 코시수열로 정의한다.
복소수열을 $(z_{n})$인 형태로 표기하면 $n,m \ge H(\epsilon) \ge n_0$을 $n,m \ge H(\epsilon)$으로 표기하고
$H(\epsilon)$을 $(z_{n})$의 정의역의 최소원소보다 크거나 같다고 가정한다.
정리9
임의의 복소수 $z,w \in \mathbb{C}$와 복소 삼각함수 $\cos, \sin : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $ (\cos z)^2 + (\sin z)^2 = 1$
2. $|\cos z| \le \dfrac{e^{\operatorname{Im}(z)} + e^{-\operatorname{Im}(z)}}{2}$
3. $|\sin z| \le \dfrac{e^{\operatorname{Im}(z)} + e^{-\operatorname{Im}(z)}}{2}$
4. $\cos (-z) = \cos z$
5. $\sin (-z) = -\sin z$
6. $\cos (z+ w) = \cos z \cdot \cos w - \sin z \cdot \sin w$
7. $\sin (z+ w) = \sin z \cdot \cos w + \cos z \cdot \sin w$
8. $\overline{\cos z} = \cos \overline{z}$
9. $\overline{\sin z} = \sin \overline{z}$
증명
1.
위 정리와 복소 삼각함수의 정의로
$\begin{align*} (\cos z)^2 + (\sin z)^2 & = (\cos z) \cdot (\cos z) + (\sin z) \cdot (\sin z) \\[0.5em] & = \left (\frac{e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}}{2} \right )\cdot \left (\frac{e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}}{2} \right ) + \left (\frac{e^{i\cdot z} - e^{-i\cdot z}}{2\cdot i} \right )\cdot \left (\frac{e^{i\cdot z} - e^{-i\cdot z}}{2\cdot i} \right ) \\[0.5em] & = \frac{e^{i\cdot z} \cdot e^{i\cdot z} + e^{i\cdot z} \cdot e^{-i\cdot z} + e^{-i\cdot z} \cdot e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}\cdot e^{-i\cdot z} }{4} + \frac{e^{i\cdot z} \cdot e^{i\cdot z} - e^{i\cdot z} \cdot e^{-i\cdot z} - e^{-i\cdot z} \cdot e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}\cdot e^{-i\cdot z} }{4 \cdot i^2} \\[0.5em] & = \frac{e^{i\cdot z + i\cdot z} + 1 + 1 + e^{-i\cdot z - i\cdot z} }{4} + \frac{e^{i\cdot z + i\cdot z} - 1 - 1 + e^{-i\cdot z - i\cdot z} }{-4} \\[0.5em] & = \frac{e^{i\cdot 2\cdot z} + 2 + e^{-i\cdot2\cdot z} }{4} + \frac{-e^{i\cdot 2\cdot z } + 2 - e^{-i\cdot 2\cdot z } }{4} \\[0.5em] & = 1 \text{ 이다.}\end{align*}$
2, 3
$\operatorname{Re}(z) = a$이고 $\operatorname{Im}(z) = b$일때 복소 삼각함수의 정의와 위 정리와 위 정리로
$\begin{align*} |\cos z| &= \left | \frac{e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}}{2} \right | =\frac{|e^{i\cdot (a+i\cdot b)} + e^{-i\cdot (a+ i\cdot b)}|}{|2|} = \frac{|e^{i\cdot a- b} + e^{-i\cdot a + b}|}{2} \\[0.5em] & \le \frac{|e^{-b + i\cdot a}| + |e^{b - i\cdot a}|}{2} = \frac{e^{-b} +e^{b}}{2} =\frac{e^b + e^{-b}}{2} = \frac{e^{\operatorname{Im}(z)} + e^{-\operatorname{Im}(z)}}{2} \text{ 이고} \end{align*}$
$\begin{align*} |\sin z| &= \left | \frac{e^{i\cdot z} - e^{-i\cdot z}}{2\cdot i} \right | =\frac{|e^{i\cdot (a+i\cdot b)} - e^{-i\cdot (a+ i\cdot b)}|}{|2| \cdot |i|} = \frac{|e^{i\cdot a- b} - e^{-i\cdot a + b}|}{2} \\[0.5em] & \le \frac{|e^{-b + i\cdot a}| + |-e^{b - i\cdot a}|}{2} = \frac{e^{-b} + |-1|\cdot |e^{b - i\cdot a}|}{2} = \frac{e^{-b} + e^{b}}{2} = \frac{e^b +e^{-b}}{2} = \frac{e^{\operatorname{Im}(z)} + e^{-\operatorname{Im}(z)}}{2} \text{ 이다.} \end{align*}$
4, 5
$\cos (-z) =\dfrac{e^{i\cdot (-z)} + e^{ -i\cdot (-z)}}{2} = \dfrac{e^{-i\cdot z} + e^{i\cdot z}}{2} = \dfrac{e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}}{2}= \cos z$이고
$\sin (-z) =\dfrac{e^{i\cdot (-z)} - e^{ -i\cdot (-z)}}{2\cdot i} = \dfrac{e^{-i\cdot z} - e^{i\cdot z}}{2\cdot i} = -\dfrac{e^{i\cdot z} - e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}= -\sin z$이다.
6, 7
복소 삼각함수의 정의와 위 정리로
$\begin{align*} \cos z \cdot \cos w - \sin z \cdot \sin w & = \left (\frac{e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}}{2} \right )\cdot\left (\frac{e^{i\cdot w} + e^{-i\cdot w}}{2} \right ) - \left (\frac{e^{i\cdot z} - e^{-i\cdot z}}{2\cdot i} \right )\cdot\left (\frac{e^{i\cdot w} - e^{-i\cdot w}}{2\cdot i} \right ) \\[0.5em] & = \frac{e^{i\cdot z} \cdot e^{i\cdot w} + e^{-i\cdot z} \cdot e^{i\cdot w} + e^{i\cdot z} \cdot e^{-i\cdot w} + e^{-i\cdot z}\cdot e^{-i\cdot w} }{4} -\frac{e^{i\cdot z} \cdot e^{i\cdot w} - e^{-i\cdot z} \cdot e^{i\cdot w} - e^{i\cdot z} \cdot e^{-i\cdot w} + e^{-i\cdot z}\cdot e^{-i\cdot w} }{-4} \\[0.5em] & = \frac{e^{i\cdot z} \cdot e^{i\cdot w} + e^{-i\cdot z} \cdot e^{i\cdot w} + e^{i\cdot z} \cdot e^{-i\cdot w} + e^{-i\cdot z}\cdot e^{-i\cdot w} }{4} +\frac{e^{i\cdot z} \cdot e^{i\cdot w}-e^{-i\cdot z} \cdot e^{i\cdot w} - e^{i\cdot z} \cdot e^{-i\cdot w} + e^{-i\cdot z}\cdot e^{-i\cdot w} }{4} \\[0.5em] & =\frac{2\cdot e^{i\cdot z} \cdot e^{i\cdot w} + 2\cdot e^{-i\cdot z}\cdot e^{-i\cdot w} }{4} \\[0.5em] & =\frac{ e^{i\cdot (z +w)} + e^{-i\cdot (z+w) } }{2} \\[0.5em] & =\cos (z+ w) \text{ 이고} \end{align*}$
$\begin{align*} \sin z \cdot \cos w + \cos z \cdot \sin w & = \left (\frac{e^{i\cdot z} - e^{-i\cdot z}}{2\cdot i} \right )\cdot\left (\frac{e^{i\cdot w} + e^{-i\cdot w}}{2} \right ) + \left (\frac{e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}}{2} \right )\cdot\left (\frac{e^{i\cdot w} - e^{-i\cdot w}}{2\cdot i} \right ) \\[0.5em] & = \frac{e^{i\cdot z} \cdot e^{i\cdot w} - e^{-i\cdot z} \cdot e^{i\cdot w} + e^{i\cdot z} \cdot e^{-i\cdot w} - e^{-i\cdot z}\cdot e^{-i\cdot w} }{4\cdot i} + \frac{e^{i\cdot z} \cdot e^{i\cdot w} + e^{-i\cdot z} \cdot e^{i\cdot w} - e^{i\cdot z} \cdot e^{-i\cdot w} - e^{-i\cdot z}\cdot e^{-i\cdot w} }{4 \cdot i} \\[0.5em] & =\frac{2\cdot e^{i\cdot z} \cdot e^{i\cdot w} - 2\cdot e^{-i\cdot z}\cdot e^{-i\cdot w} }{4 \cdot i} \\[0.5em] & =\frac{ e^{i\cdot (z +w)} - e^{-i\cdot (z+w) } }{2\cdot i} \\[0.5em] & =\sin (z+ w) \text{ 이다.} \end{align*}$
8, 9
복소 삼각함수의 정의와 위 정리와 위 정리로
$\overline{\cos z} = \overline{\dfrac{e^{i\cdot z} + e^{-i\cdot z}}{2}} = \dfrac{\overline{e^{i\cdot z}} + \overline{e^{-i\cdot z}}}{\overline{2}} = \dfrac{e^{\overline{i\cdot z}} + e^{\overline{-i\cdot z}}}{2} =\dfrac{e^{-i\cdot \overline{z}} +e^{i\cdot \overline{z}}}{2} =\dfrac{e^{i\cdot \overline{z}} + e^{-i\cdot \overline{z}}}{2}= \cos \overline{z}$이고
$\overline{\sin z} = \overline{\dfrac{e^{i\cdot z} - e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}} = \dfrac{\overline{e^{i\cdot z}} - \overline{e^{-i\cdot z}}}{\overline{2 \cdot i}} = \dfrac{e^{\overline{i\cdot z}} - e^{\overline{-i\cdot z}}}{-2\cdot i} =\dfrac{e^{-i\cdot \overline{z}} -e^{i\cdot \overline{z}}}{-2\cdot i} = \dfrac{e^{i\cdot \overline{z}} - e^{-i\cdot \overline{z}}}{2\cdot i} = \sin \overline{z}$이다.
정리10
복소수열 $(z_n)_{n = n_0}^\infty$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(z_n) = z \in \mathbb{C}$로 수렴하기 위한 필요충분조건은
실수열 $(\operatorname{Re}(z_n))_{n = n_0}^\infty$과 $(\operatorname{Im}(z_n))_{n = n_0}^\infty$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(z_n)) = \operatorname{Re}(z) $와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Im}(z_n)) = \operatorname{Im}(z) $로 수렴하는 것이다.
증명
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(z_n) = z$일때
복소수열 수렴의 정의와 복소수 절댓값의 정의로 실수열 $(|z_n - z|)_{n = n_0}^\infty$가
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|z_n - z|) = \lim_{n\to \infty}( \sqrt{(\operatorname{Re}(z_n - z))^2 + (\operatorname{Im}(z_n -z))^2})= 0$으로 수렴하므로
실수열 수렴 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}( (\operatorname{Re}(z_n - z))^2 + (\operatorname{Im}(z_n -z))^2)= 0$이고
$(\operatorname{Re}(z_n))_{n = n_0}^\infty$이 $\operatorname{Re}(z)$로 수렴하지 않으면 실수열 수렴의 정의로
어떤 실수 $\epsilon_0 > 0$과 $k\ge n_0$인 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $|\operatorname{Re}(z_{n_k}) -\operatorname{Re}(z)| \ge \epsilon_0$이 되는 $n_k \ge k$가 존재하여
위 정리로 $|\operatorname{Re}(z_{n_k} - z)| = |\operatorname{Re}(z_{n_k}) -\operatorname{Re}(z)| \ge \epsilon_0$이고
$(\operatorname{Im}(z_{n_k} - z))^2 \ge 0$이므로 $(\operatorname{Re}(z_{n_k} - z))^2 +(\operatorname{Im}(z_{n_k} - z))^2 \ge \epsilon_0^2$인데
$n \ge K(\epsilon_0^2) \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해
$(\operatorname{Re}(z_n - z))^2 + (\operatorname{Im}(z_n -z))^2 = |(\operatorname{Re}(z_n - z))^2 + (\operatorname{Im}(z_n -z))^2- 0| < \epsilon_0^2$인 $K(\epsilon_0^2) \in \mathbb{N}$가 존재하므로
$n_{K(\epsilon_0^2)} \ge K(\epsilon_0^2)$인 어떤 $n_{K(\epsilon_0^2)} \in \mathbb{N}$에 대해 $\epsilon_0^2 \le (\operatorname{Re}(z_{n_{K(\epsilon_0^2)}} - z))^2 + (\operatorname{Im}(z_{n_{K(\epsilon_0^2)}} -z))^2 < \epsilon_0^2$이 되어 모순이다.
비슷하게 $(\operatorname{Im}(z_n))_{n = n_0}^\infty$이 $\operatorname{Im}(z)$에 수렴하지 않을때도 모순이 되어
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(z_n) = z$이면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(z_n)) = \operatorname{Re}(z) $이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Im}(z_n)) = \operatorname{Im}(z) $이다.
역으로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(z_n)) = \operatorname{Re}(z) $이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Im}(z_n)) = \operatorname{Im}(z) $이면
실수열 정리와 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(z_n - z)) = 0 $과 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Im}(z_n - z)) = 0 $이 성립하고
실수열 곱셈 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}((\operatorname{Re}(z_n-z))^2) = 0$과 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}((\operatorname{Im}(z_n-z))^2) =0 $이 성립하여
실수열 덧셈 정리와 실수열 제곱근 정리와 복소수 절댓값의 정의로
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|z_n - z|) = \lim_{n\to \infty}( \sqrt{(\operatorname{Re}(z_n - z))^2 + (\operatorname{Im}(z_n -z))^2})= 0$이므로
복소수열 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(z_n) = z$이다.
정리11
복소수열 $(z_n),(w_n)$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(z_n) = z \in \mathbb{C}$와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(w_n) = w \in \mathbb{C}$로 수렴할때 다음이 성립한다.
1. $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(z_n + w_n) = z+ w$
2. 임의의 복소수 $c \in \mathbb{C}$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(c\cdot z_n ) = c\cdot z$이다.
3. 임의의 복소수 $x,y \in \mathbb{C}$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(x\cdot z_n + y\cdot w_n) = x\cdot z+ y\cdot w$이다.
4. 임의의 복소수 $x \in \mathbb{C}$에 대해 복소수열 $(x_n)$의 모든 원소가 $x_n = x$이면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(x_n) = x $이다.
5. $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(z_n\cdot w_n) = z\cdot w$
6. $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\overline{z_n}) = \overline{z}$
7. $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|z_n|) = |z|$
8. $(w_n)$의 모든 원소가 $w_n \ne 0$이고 $w\ne 0$일때 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left (w_n^{-1} \right ) = w^{-1}$이다.
9. $(w_n)$의 모든 원소가 $w_n \ne 0$이고 $w\ne 0$일때 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left (\frac{z_n}{w_n} \right ) = \frac{z}{w}$이다.
증명
1.
위 정리로
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(z_n)) = \operatorname{Re}(z) $와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Im}(z_n)) = \operatorname{Im}(z) $가 성립하고
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(w_n)) = \operatorname{Re}(w)$와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Im}(w_n)) = \operatorname{Im}(w) $가 성립하므로
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(z_n+w_n)) = \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(z_n) + \operatorname{Re}(w_n)) = \operatorname{Re}(z) + \operatorname{Re}(w)= \operatorname{Re}(z+w) $와
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Im}(z_n+w_n)) = \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Im}(z_n) + \operatorname{Im}(w_n)) = \operatorname{Im}(z) + \operatorname{Im}(w)= \operatorname{Im}(z+w) $가 성립하여
다시 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(z_n + w_n) = z+ w$이다.
2.
복소수열 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|z_n-z|) = 0 $이므로 실수열 정리와 위 정리로
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|c\cdot z_n- c \cdot z|) = \lim_{n\to \infty}(|c|\cdot |z_n - z|) = |c|\cdot 0 = 0 $이 되어 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(c\cdot z_n ) = c\cdot z$이다.
3.
2번으로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(x\cdot z_n ) = x\cdot z$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}( y\cdot w_n) = y\cdot w$이므로 1번으로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(x\cdot z_n + y\cdot w_n) = x\cdot z+ y\cdot w$이다.
4.
실수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|x_n - x|) =\lim_{n\to \infty}(0)= 0 $이므로 복소수열 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(x_n) = x $이다.
5.
위 정리로
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(z_n)) = \operatorname{Re}(z) $와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Im}(z_n)) = \operatorname{Im}(z) $가 성립하고
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(w_n)) = \operatorname{Re}(w)$와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Im}(w_n)) = \operatorname{Im}(w) $가 성립하므로
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(z_n\cdot w_n) ) = \lim_{n\to \infty}( \operatorname{Re}(z_n) \cdot \operatorname{Re}(w_n) - \operatorname{Im}(z_n)\cdot \operatorname{Im}(w_n) ) = \operatorname{Re}(z) \cdot \operatorname{Re}(w) - \operatorname{Im}(z)\cdot \operatorname{Im}(w) = \operatorname{Re}(z\cdot w) \text{ 와}$
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Im}(z_n\cdot w_n) ) = \lim_{n\to \infty}( \operatorname{Re}(z_n) \cdot \operatorname{Im}(w_n) + \operatorname{Im}(z_n)\cdot \operatorname{Re}(w_n) ) = \operatorname{Re}(z) \cdot \operatorname{Im}(w) + \operatorname{Im}(z)\cdot \operatorname{Re}(w) = \operatorname{Im}(z\cdot w) \text{ 가 성립하여}$
다시 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(z_n\cdot w_n) = z\cdot w$이다.
6.
위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(z_n)) = \operatorname{Re}(z) $와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Im}(z_n)) = \operatorname{Im}(z) $가 성립하고
켤레복소수의 정의로 $ \operatorname{Re}(\overline{z}) + i\cdot \operatorname{Im}(\overline{z}) =\overline{z} = \operatorname{Re}(z) + i\cdot (-\operatorname{Im}(z)) $이므로
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(\overline{z_n}))=\lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(z_n)) = \operatorname{Re}(z) = \operatorname{Re}(\overline{z})$와
실수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Im}(\overline{z_n}))=\lim_{n\to \infty}(-\operatorname{Im}(z_n)) = -\operatorname{Im}(z) = \operatorname{Im}(\overline{z})$가 성립하여
다시 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\overline{z_n}) = \overline{z}$이다.
7.
위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Re}(z_n)) = \operatorname{Re}(z) $와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\operatorname{Im}(z_n)) = \operatorname{Im}(z) $가 성립하고
실수열 곱셈 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}((\operatorname{Re}(z_n))^2) = (\operatorname{Re}(z))^2$와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}((\operatorname{Im}(z_n))^2) =(\operatorname{Im}(z))^2 $이 성립하여
실수열 덧셈 정리와 실수열 제곱근 정리와 복소수 절댓값의 정의로
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|z_n |) = \lim_{n\to \infty}( \sqrt{(\operatorname{Re}(z_n ))^2 + (\operatorname{Im}(z_n ))^2})= \sqrt{(\operatorname{Re}(z))^2 + (\operatorname{Im}(z))^2} = |z|$이다.
8.
6, 7번으로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\overline{w_n}) = \overline{w}$와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|w_n|) = |w|$가 성립하고
$(w_n)$의 모든 원소가 $w_n \ne 0$이므로 $|w_n| \ne 0$이고 $w\ne 0$이므로 $|w| \ne 0$이 성립하여
실수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|w_n|^{-1}) = |w|^{-1}$이고
실수열 곱셈 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|w_n|^{-2})= \lim_{n\to \infty}(|w_n|^{-1} \cdot |w_n|^{-1}) = |w|^{-1} \cdot |w|^{-1} = |w|^{-2}$이므로
3번과 복소수 곱셈 역원의 정의로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left (w_n^{-1} \right ) = \lim_{n\to \infty}\left( |w_n|^{-2} \cdot \overline{w_n}\right) = |w|^{-2} \cdot \overline{w} = w^{-1}$이다.
9.
3, 8번으로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left (\frac{z_n}{w_n} \right ) = \lim_{n\to \infty}(z_n \cdot w_n^{-1}) = z\cdot w^{-1} = \frac{z}{w}$이다.
정의5
열린원판(open disc), 닫힌원판(closed disc), 원(circle) :
임의의 복소수 $z_0 \in \mathbb{C}$와 임의의 실수 $r > 0$에 대해
집합 $D(z_0,r) = \{ z\in \mathbb{C} : |z-z_0| < r\}$을 중심이 $z_0$이고 반지름이 $r$인 열린원판으로 정의하고
집합 $D[z_0,r] = \{ z\in \mathbb{C} : |z-z_0| \le r\}$을 중심이 $z_0$이고 반지름이 $r$인 닫힌원판으로 정의하고
집합 $C(z_0,r) = \{ z\in \mathbb{C} : |z-z_0| = r\}$을 중심이 $z_0$이고 반지름이 $r$인 원으로 정의한다.
유계(bounded) :
임의의 부분집합 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$에 대해
어떤 실수 $M > 0$에 대해 모든 $z \in \Omega$가 $|z|\le M$이면 $\Omega$를 유계라고 정의한다.
임의의 복소수열 $(z_n)_{n=n_0}^\infty$이
어떤 실수 $M > 0$에 대해 $n\ge n_0$인 모든 $n \in\mathbb{N}$이 $|z_n|\le M$이면 $(z_n)_{n=n_0}^\infty$을 유계라고 정의한다.
연속함수 :
정의역이 부분집합 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$인 함수가 $f : \Omega \to \mathbb{C}$일때
임의의 $z_0 \in \Omega$와 모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해
$|z - z_0|< \delta(\epsilon)$인 모든 $z \in \Omega$가 $|f(z) - f(z_0)| < \epsilon$이 되는 실수 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하면
$f$를 $z_0$에서 연속이라 정의한다.
$\Omega_1 \subseteq \Omega \subseteq \mathbb{C}$일때
함수 $f : \Omega \to \mathbb{C}$가 $\Omega_1$의 모든 점에서 연속이면 $f$를 $\Omega_1$에서 연속이라고 정의한다.
정리12
복소수열 $(z_n)$에 대해 다음이 성립한다.
1. $(z_n)$이 유계이면 수렴하는 $(z_n)$의 부분수열이 존재한다.
2. $(z_n)$이 코시수열이기 위한 필요충분조건은 $(z_n)$이 수렴하는 것이다.
증명
$(z_n)$의 모든 원소가 $\operatorname{Re}(z_n) = a_n$이고 $\operatorname{Im}(z_n) = b_n$일때
1.
$(z_n)$이 유계이면
모든 원소가 $\sqrt{a_n^2 + b_n^2} = |z_n|\le M$인 실수 $M>0$이 존재하므로 실수 부등식 정리로 $a_n^2 + b_n^2 \le M^2$이 되어
$0\le a_n^2 \le a_n^2 + b_n^2 \le M^2$와 $0\le b_n^2 \le a_n^2 + b_n^2 \le M^2$이 성립하고
실수 절댓값 정리로 $|a_n|=\sqrt{a_n^2} \le \sqrt{M^2} = M$과 $|b_n|=\sqrt{b_n^2} \le \sqrt{M^2} = M$이 성립한다.
실수열 $(a_n)$은 유계이므로 부분수열 정리로 수렴하는 부분수열 $(a_{n_k})_{k=1}^\infty$가 존재하고
$(a_{n_k})_{k=1}^\infty$의 첨수에 대해 $(z_{n_k})_{k=1}^\infty$는 $(z_n)$의 부분수열이다.
또 실수열 $(b_{n_k})_{k=1}^\infty$는 $(b_n)$의 부분수열이므로 유계가 되어 부분수열 정리로 수렴하는 부분수열 $(b_{n_{k_r}})_{r=1}^\infty$이 존재하고
$(b_{n_{k_r}})_{r=1}^\infty$의 첨수에 대해 $(z_{n_{k_r}})_{r=1}^\infty$은 $(z_{n_k})_{k=1}^\infty$의 부분수열이므로 $(z_n)$의 부분수열이다.
따라서 $(a_{n_k})_{k=1}^\infty$이 수렴하므로 부분수열 정리로 $(a_{n_{k_r}})_{r=1}^\infty$이 수렴하고 $(b_{n_{k_r}})_{r=1}^\infty$도 수렴하므로
위 정리로 $(z_n)$의 부분수열 $(z_{n_{k_r}})_{r=1}^\infty$은 수렴한다.
2.
거리공간 정리로 복소수집합 $\mathbb{C}$와 모든 $z,w \in \mathbb{C}$에 대해
$d(z,w) = |z-w|$인 함수 $d : \mathbb{C}\times \mathbb{C} \to [0,\infty)$의 순서쌍 $(\mathbb{C},d)$는 거리공간이므로
$(z_n)$이 수렴하면 거리공간 수열 정리로 $(z_n)$은 코시수열이다.
역으로 $(z_n)$이 코시수열이면
완전유계 정리와 유계 정리로 $(z_n)$은 유계이므로 1번으로 수렴하는 $(z_n)$의 부분수열이 존재하여
거리공간 수열 정리로 $(z_n)$은 수렴한다.
정리13
복소수체 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$위의 유한다항식 벡터공간이 $(P_\infty(\mathbb{C}),+_P,\cdot_P,f_{-1}(x))$이고
임의의 $n\in \mathbb{N}\cup \{ -1\}$에 대해 $f_n(x) = a_n\cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0$인
$n$차다항식 $f_n(x) \in P_n(\mathbb{C})$에 대한 다항함수가 $f_n: \mathbb{C}\to \mathbb{C}$일때 다음이 성립한다.
다항함수의 연속성 : $f_n$은 $\mathbb{C}$에서 연속이다.
발산하는 실다항함수 :
$n\ge 1$일때 $a_n,\cdots ,a_1,a_0\in \mathbb{R}$이고 $a_n > 0$이면 임의의 $t \in$ $(a,\infty)$에 대해 $\displaystyle \lim_{t\to \infty}$$\,f_n(t) = \infty$이다.
대수학의 기본정리 : $n\ge 1$일때 $f_n(z_0) = 0$인 $z_0 \in \mathbb{C}$이 존재한다.
다항식의 완전인수분해 :
$n\ge 1$일때 다항식곱셈 $*$에 대해
$f_n(x) = a_n\cdot_P ((x^1 - z_1\cdot_P x^0) *(x^1 - z_2\cdot_P x^0) *\cdots * (x^1 - z_n\cdot_P x^0) )$이 되는
중복가능한 $n$개의 복소수 $z_1,z_2,\cdots, z_n\in \mathbb{C}$이 존재한다.
증명
임의의 $z,w \in \mathbb{C}$가 $d(z,w) = |z-w|$인 함수 $d: \mathbb{C}\times \mathbb{C} \to [0,\infty)$에 대해 거리공간 정리로 $(\mathbb{C},d)$는 거리공간이다.
다항함수의 연속성
$n \in \{ -1, 0\}$이면 모든 $z \in \mathbb{C}$에 대해 $f_n(z) = a_0$이므로
임의의 $z_0 \in \mathbb{C}$과 모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해 $|f(z) - f(z_0)| = |a_0 - a_0| = 0 < \epsilon$이 되어 $f_n$은 $\mathbb{C}$에서 연속이다.
$n \in \mathbb{Z}^+$에 대해서는 귀납법으로 증명한다.
모든 $z \in \mathbb{C}$에 대해 $g(z) = z$인 함수 $g : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$는 연속함수 정리로 $\mathbb{C}$에서 연속이고
$1$차다항함수 $f_{1}:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$은 모든 $z \in \mathbb{C}$에 대해
$f_{1}(z) = a_1\cdot z + a_0=a_1\cdot g(z)+a_0$이므로 연속함수 정리로 $f_1$은 $\mathbb{C}$에서 연속이다.
모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $k$차다항함수가 $\mathbb{C}$에서 연속이라고 가정하면
$k+1$차다항함수 $f_{k+1}:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$은 모든 $z \in \mathbb{C}$에 대해
$f_{k+1}(z) = a_{k+1}\cdot z^{k+1} + a_{k}\cdot z^k + \cdots +a_1\cdot z + a_0$이고 $a_{k+1} \ne 0$이므로
$g(z) = a_{k+1}\cdot z^{k} + a_{k}\cdot z^{k-1} + \cdots +a_1$인 $k$차다항함수 $g : \mathbb{C}\to \mathbb{C}$에 대해
$f_{k+1}(z) = z\cdot g(z) + a_0$가 되어 귀납가정과 연속함수 정리로 $f_{k+1}$은 $\mathbb{C}$에서 연속이다.
따라서 모든 $n\in \mathbb{N}\cup \{ -1\}$에 대해 $n$차다항함수는 $\mathbb{C}$에서 연속이다.
발산하는 실다항함수
$n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.
$n = 1$일때 $a_1,a_0\in \mathbb{R}$이고 $a_1 > 0$이면 임의의 $t \in (a,\infty)$에 대해 $f_1(t) = a_1\cdot t + a_0$이므로
임의의 $\alpha\in \mathbb{R}$에 대해 $\dfrac{\alpha - a_0}{a_1} \le \max\{ \frac{\alpha - a_0}{a_1}, a+1\}< t$인 모든 $t \in (a,\infty)$가
$\alpha< a_1\cdot t + a_0=f_1(t)$가 되는 $\max\{ \frac{\alpha - a_0}{a_1}, a+1\}> a$이 존재하여 함수의 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{t\to \infty}f_1(t) = \infty$이다.
모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 $a_{k+1},a_k,\cdots ,a_1,a_0\in \mathbb{R}$이고 $a_{k+1} > 0$이면
임의의 $t \in (a,\infty)$에 대해 $f_{k+1}(t) = a_{k+1}\cdot t^{k+1} + a_{k}\cdot t^k + \cdots +a_1\cdot t + a_0$이므로
$g(t) = a_{k+1}\cdot t^{k} + a_{k}\cdot t^{k-1} + \cdots +a_1$인 $k$차다항함수 $g : \mathbb{C}\to \mathbb{C}$에 대해 $f_{k+1}(t) = t\cdot g(t) + a_0$이다.
또 $t\in (a,\infty)$에 대해 귀납가정으로 $\displaystyle \lim_{t\to \infty}t = \infty$와 $\displaystyle \lim_{t\to \infty}g(t) = \infty$가 성립하므로
함수의 극한의 정의로 $\alpha > a_0 +1$인 임의의 $\alpha\in \mathbb{R}$에 대해
$K(\alpha -a_0) < t$인 모든 $t\in (a,\infty)$가 $\alpha -a_0< t$가 되는 실수 $K(\alpha -a_0) > a$가 존재하고
$H(\alpha -a_0) < t$인 모든 $t\in (a,\infty)$가 $\alpha -a_0 < g(t)$가 되는 실수 $H(\alpha - a_0) > a$가 존재하여
$\max\{ K(\alpha-a_0),H(\alpha-a_0)\} < t$이면 실수부등식 정리로
$1<\alpha -a_0< (\alpha - a_0)^2< t\cdot g(t)$이고 $\alpha < t\cdot g(t) + a_0=f_{k+1}(t)$이므로 $\displaystyle \lim_{t\to \infty}f_{k+1}(t) = \infty$이다.
따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.
대수학의 기본정리
$n\ge 1$일때 $n$차다항함수 $f_n$은 모든 $z \in \mathbb{C}$에 대해 $f_{n}(z) = a_{n}\cdot z^n + \cdots +a_1\cdot z + a_0$이고 $a_{n} \ne 0$이므로
위 정리로 $|a_n|\cdot |z|^n - \cdots - |a_1|\cdot |z| - |a_0|\le |a_{n}\cdot z^n + \cdots +a_1\cdot z + a_0| = |f_n(z)|$이고
$|a_n| > 0$과 $t \in (0,\infty)$에 대해 $\displaystyle \lim_{t\to \infty}(|a_n|\cdot t^n - \cdots - |a_1|\cdot t - |a_0|) = \infty$이므로
함수의 극한의 정의로 $|f_n(0)| = |a_0|$에 대해
$K(|a_0|) < t$인 모든 $t \in (0,\infty)$가 $|a_0| <|a_n|\cdot t^n - \cdots - |a_1|\cdot t - |a_0|$인 실수 $K(|a_0|) > 0$이 존재하여
$z\notin D[0,K(|a_0|)]$인 모든 $z \in \mathbb{C}$는 닫힌원판의 정의로 $|z| = |z-0| > K(|a_0|)$이므로
$|f_n(0)|= |a_0| <|a_n|\cdot |z|^n - \cdots - |a_1|\cdot |z| - |a_0|\le |a_{n}\cdot z^n + \cdots +a_1\cdot z + a_0| = |f_n(z)|$이다.
$D[0,K(|a_0|)]$는 유계이고 닫힌집합 정리로 $(\mathbb{C},d)$에서 닫힌집합이 되어 하이네-보렐 정리로 $(\mathbb{C},d)$에서 콤팩트하고
연속함수 정리로 모든 $z \in \mathbb{C}$에 대해 $g(z) = |f_n(z)|$인 함수 $g : \mathbb{C} \to \mathbb{R}$는 $(\mathbb{C},d)$에서 $(\mathbb{R},d)$로의 연속함수이므로
최소 정리로 $\min g(D[0,K(|a_0|)]) = \min \{ |f_n(z)| : z\in D[0,K(|a_0|)] \}$가 존재한다.
최소원소의 정의로 $\min \{ |f_n(z)| : z\in D[0,K(|a_0|)] \} = |f_n(z_0)|$인 $z_0 \in D[0,K(|a_0|)]$이 존재하여
모든 $z\in D[0,K(|a_0|)]$에 대해 $|f_n(z_0)|\le |f_n(z)|$이고 $0 \in D[0,K(|a_0|)]$이므로
$z\notin D[0,K(|a_0|)]$인 모든 $z \in \mathbb{C}$에 대해 $|f_n(z_0)|\le |f_n(0)|= |a_0| < |f_n(z)|$이 되어
모든 $z\in \mathbb{C}$에 대해 $|f_n(z_0)|\le |f_n(z)|$이고 $\min \{ |f_n(z)| : z\in \mathbb{C}\} = |f_n(z_0)|$이다.
$|f_n(z_0)| \ne 0$이라고 가정하면
위 정리로 $f_n(z_0) \ne 0$이므로 모든 $z\in \mathbb{C}$에 대해 $h(z) = \dfrac{f_n(z+z_0)}{f_n(z_0)}$인 함수 $h : \mathbb{C}\to \mathbb{C}$는 이항정리로
$\begin{align*} h(z) & = \frac{f_n(z+z_0)}{f_n(z_0)} \\[0.5em] & = \frac{a_n}{f_n(z_0)}\cdot (z + z_0)^n + \cdots + \frac{a_1}{f_n(z_0)}\cdot (z+z_0) + \frac{a_0}{f_n(z_0)} \\[0.5em] & = \frac{a_n}{f_n(z_0)}\cdot \left( \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} \cdot z^{n-k}\cdot z_0^k \right ) + \cdots + \frac{a_1}{f_n(z_0)}\cdot \left( \sum_{k = 0}^1 \binom{1}{k} \cdot z^{1-k}\cdot z_0^k \right ) + \frac{a_0}{f_n(z_0)} \text{ 이 되어} \end{align*}$
$b_n\ne 0$인 어떤 $b_n,\cdots,b_1,b_0 \in \mathbb{C}$에 대해 $h(z) = b_{n}\cdot z^n + \cdots +b_1\cdot z + b_0$이고 $1= \dfrac{f_n(z_0)}{f_n(z_0)} = h(0) = b_0$이다.
또 모든 $z\in \mathbb{C}$에 대해 $|f_n(z_0)|\le |f_n(z+z_0)|$이므로 $1\le \left |\dfrac{f_n(z+z_0)}{f_n(z_0)} \right | = |h(z)|$인데
$b_n\ne 0$이므로 $b_k\ne 0$인 최소 $k = 1,2,\cdots, n$가 존재하여 $h(z) = b_{n}\cdot z^n + \cdots +b_k\cdot z^k + 1$이고
위 정리로 $-\dfrac{b_k}{|b_k|} = e^{i\cdot \phi} $인 실수 $\phi \in \mathbb{R}$가 존재하여
$\theta = -\dfrac{\phi}{k}$에 대해 위 정리로 $-|b_k|=b_k \cdot (e^{i\cdot \phi})^{-1} = b_k\cdot e^{i\cdot (-\phi)} = b_k\cdot e^{i\cdot k\cdot \theta}$이므로
$n = k$이면 $r^k\cdot |b_k| < 1$인 실수 $r > 0$에 대해
$|1 + b_k\cdot r^k\cdot e^{i\cdot k\cdot \theta}| = |1 + r^k \cdot (-|b_k|)| = |1 - r^k\cdot |b_k|| = 1-r^k\cdot |b_k| > 0$이 되어
위 정리로 $|h(r\cdot e^{i\cdot \theta})| = |b_n\cdot (r\cdot e^{i\cdot \theta})^n + 1| = |b_n\cdot r^n \cdot e^{i\cdot n\cdot \theta}+1| = 1-r^n\cdot |b_n| < 1$이므로 모순이고
$n > k$이면
$r^k\cdot |b_k| < 1$이고 $r\cdot |b_{k+1}| + \cdots + r^{n-k}\cdot |b_n| < |b_k|$인 실수 $r > 0$에 대해 위 정리와 위 정리와 위 정리로
$ \begin{align*} |h(r\cdot e^{i\cdot \theta})| & = |b_{n}\cdot (r\cdot e^{i\cdot \theta})^n + \cdots + b_{k+1} \cdot (r\cdot e^{i\cdot \theta})^{k+1}+b_k\cdot (r\cdot e^{i\cdot \theta})^k + 1| \\[0.5em] & \le |b_{n}\cdot r^n\cdot e^{i\cdot n\cdot \theta}| + \cdots +|b_{k+1} \cdot r^{k+1}\cdot e^{i\cdot (k+1)\cdot \theta}|+ |b_k\cdot r^k\cdot e^{i\cdot k\cdot \theta} + 1| \\[0.5em] & \qquad = |b_{n}|\cdot |r^n|\cdot |e^{i\cdot n\cdot \theta}| + \cdots +|b_{k+1}| \cdot |r^{k+1}|\cdot |e^{i\cdot (k+1)\cdot \theta}|+ 1-r^k\cdot |b_k| \\[0.5em] &\qquad = |b_{n}|\cdot r^n + \cdots +|b_{k+1}| \cdot r^{k+1}+ 1-r^k\cdot |b_k| \\[0.5em] &\qquad = 1 - r^k \cdot (|b_k|- r\cdot |b_{k+1}| - \cdots -r^{n-k}\cdot |b_n|) \\[0.5em] & < 1 \text{ 이 되어 모순이다.}\end{align*}$
따라서 $|f_n(z_0)| = 0$이고 위 정리로 $f_n(z_0) = 0$이다.
다항식의 완전인수분해
$n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.
$n = 1$일때 $1$차다항식 $f_{1}(x) = a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_1(\mathbb{C})$은 $a_1 \ne 0$이므로
$z_1 = -\dfrac{a_0}{a_1}$에 대해 $f_{1}(x) = a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 = a_1 \cdot_P \left (1 \cdot_P x^1 +_P \dfrac{a_0}{a_1}\cdot_P x^0 \right) = a_1\cdot_P (x^1 - z_1\cdot_P x^0)$이다.
모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때
$k+1$차다항식 $f_{k+1}(x) = a_{k+1}\cdot_P x^{k+1} +_P a_{k}\cdot_P x^k +_P \cdots +_Pa_1\cdot x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_{k+1}(\mathbb{C})$은
$a_{k+1}\ne 0$이므로 $g(x) = x^{k+1} +_P \dfrac{a_{k}}{a_{k+1}}\cdot_P x^k +_P \cdots +_P\dfrac{a_1}{a_{k+1}}\cdot_P x^1 +_P \dfrac{a_0}{a_{k+1}}\cdot_P x^0$인
$k+1$차다항식 $g(x) \in P_{k+1}(\mathbb{C})$에 대해 $f_{k+1}(x) = a_{k+1}\cdot_P g(x)$이다.
$g(x)$에 대한 다항함수 $g: \mathbb{C}\to \mathbb{C}$는 대수학의 기본정리로 $g(z_{k+1}) = 0$인 $z_{k+1} \in \mathbb{C}$이 존재하므로
다항식 정리로 $g(x) = q(x) * (x^1 - z_{k+1}\cdot_P x^0)$인 $k$차다항식 $q(x) \in P_k(\mathbb{C})$가 존재하여
귀납가정으로 어떤 $z_{1},z_2,\cdots,z_k \in \mathbb{C}$에 대해
$\begin{align*}f_{k+1}(x) &=a_{k+1}\cdot_P g(x) \\[0.5em]& = a_{k+1}\cdot_P (q(x) * (x^1- z_{k+1}\cdot_P x^0))\\[0.5em]&= a_{k+1}\cdot_P ((x^1-z_{1}\cdot_P x^0)* (x^1-z_2\cdot_P x^0) * \cdots *(x^1-z_k\cdot_P x^0) *(x^1 - z_{k+1}\cdot_Px^0)
) \text{ 이다.}\end{align*}$따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.
-------------------------------------------------------------------------------
정의의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/67#def번호
번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
정리의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/67#thm번호
번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.
틀린 내용이 존재할 수 있습니다.
출처(저자 - 제목 - ISBN13)
Terence Tao - Analysis 2 - 9791156646808
Elias M. Stenin - Complex Analysis - 9791156645894
Walter Rudin - Principles of Mathmatical Analysis - 9788956152714
반응형
