행렬(Matrix)

정의1

행렬 :

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환이고 양의 정수가 $m,n \in \mathbb{Z}^+$일때 

모든 $i \in \{ 1,2,\cdots,m\} $와 모든 $ j \in \{ 1,2,\cdots,n\}$에 대해

$A(i,j) = A_{i,j} \in R$인 함수 $A : \{1,2,\cdots,m \} $$\times$$\{1,2,\cdots, n\} \to R$를

$R$의 $m\times n$행렬로 정의하고 $A = \begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ A_{2,1} & A_{2,2} & & A_{2,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix}$로 표기한다.

임의의 $i \in \{ 1,2,\cdots,m\} $와 임의의 $ j \in \{ 1,2,\cdots,n\}$에 대해

$A_{i,j}$를 $m\times n$행렬의 성분(component),

$k \le m$이고 $k\le n$인 임의의 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $A_{k,k}$를 $m\times n$행렬의 대각성분(diagonal component),

$A_{i,1}, A_{i,2}, \cdots, A_{i,n}$를 $m\times n$행렬의 $i$번째 행(row),

$A_{1,j}, A_{2,j}, \cdots, A_{m,j}$를 $m\times n$행렬의 $j$번째 열(column)로 정의한다.

$R$의 원소를 성분으로 갖는 모든 $m\times n$행렬들의 집합을 $M_{m\times n}(R)$로 정의한다.

영행렬(zero matrix) :

모든 $i \in \{ 1,2,\cdots,m\} $와 모든 $ j \in \{ 1,2,\cdots,n\}$에 대해

모든 성분이 $O_{i,j} = 0_R \in R$인 행렬 $O \in M_{m\times n}(R)$를 영행렬로 정의한다.

행벡터(row vector), 열벡터(column vector) :

임의의 $m,n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$1 \times n$행렬 $A = \begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \end{bmatrix} \in M_{1\times n}(R)$를 행벡터로 정의하고

$m \times 1$행렬 $A= \begin{bmatrix}A_{1,1} \\ A_{2,1} \\ \vdots \\ A_{m,1} \end{bmatrix} \in M_{m\times 1}(R)$를 열벡터로 정의한다.

 

 

 

정리6(행렬의 상등)

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환일때 임의의 $A,B \in $ $M_{m\times n}(R)$에 대해 $A = B$이기 위한 필요충분조건은

모든 $i \in \{ 1,2,\cdots,m\} $와 모든 $ j \in \{ 1,2,\cdots,n\}$에 대해 행렬 $A,B$의 모든 성분이 $A_{i,j} = B_{i,j}$인 것이다.

증명

$A,B$는 함수이므로 함수의 상등으로 정리가 성립한다.

 

 

 

정의7

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환일때 

행렬의 덧셈 :

임의의 행렬 $A, B \in M_{m\times n}(R)$의 덧셈 $+$은

모든 $i =1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해

$(A+ B)_{i,j} = A_{i,j} +_R B_{i,j}$인 행렬 $A+ B \in M_{m\times n}(R)$로 정의한다.

행렬의 스칼라곱 :

임의의 $c \in R$에 대한 임의의 행렬 $A, B \in M_{m\times n}(R)$의 스칼라곱 $\cdot$은

모든 $i =1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해

$(c\cdot A)_{i,j} = c\cdot_R A_{i,j}$인 행렬 $c\cdot A \in M_{m\times n}(R)$로 정의한다.

행렬의 뺄셈 : 

임의의 행렬 $A, B \in M_{m\times n}(R)$와 $ M_{m\times n}(R)$의 덧셈과 스칼라곱 $+,\cdot$에 대해

$-B = (-1_R)\cdot B$로 정의하고 뺄셈 $-$은 $A - B = A + (-1_R)\cdot B$로 정의한다.

 

 

 

정리17

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환이고 임의의 행렬이 $A,B,C \in $ $M_{m\times n}(R)$일때

$M_{m\times n}(R)$의 덧셈과 스칼라곱 $+,\cdot$와 영행렬 $O\in M_{m\times n}(R)$와 임의의 $c,d \in R$에 대해 다음이 성립한다.

1. $A + B = B+A$

2. $(A+B)+C = A +(B+C)$

3. $A + O = A$

4. $0_R \cdot A = O$

5. $1_R \cdot A = A$

6. $(c\cdot_R d) \cdot A = c\cdot (d\cdot A)$

7. $c\cdot (A+ B) = (c\cdot A) + (c\cdot B)$

8. $(c+_R d)\cdot A = (c\cdot A) + (d\cdot A)$

9. $A + ((-1_R)\cdot A) = O$

증명

모든 $i = 1,2,\cdots,m$와 모든 $ j  = 1,2,\cdots ,n$에 대해 환의 정의와 환 정리로 다음이 성립한다.

1.

$(A +B)_{i,j} = A_{i,j} +_R B_{i,j}= B_{i,j} +_R A_{i,j} = (B +A)_{i,j}$이므로 행렬의 상등으로 $A+B = B +A$이다.

2.

$((A +B) +C)_{i,j} = (A+B)_{i,j} + _R C_{i,j} = (A_{i,j} +_R B_{i,j}) +_R C_{i,j} = A_{i,j} +_R (B_{i,j} +_R C_{i,j}) = A_{i,j} +_R (B+C)_{i,j} = (A +(B +C))_{i,j} \text{ 이므로}$

행렬의 상등으로 $(A+B)+C = A +(B +C)$이다.

3.

$(A + O)_{i,j} = A_{i,j} +_R O_{i,j} = A_{i,j} +_R 0_R = A_{i,j}$이므로 행렬의 상등으로 $A + O = A$이다.

4.

 $(0_R \cdot A)_{i,j} = 0_R \cdot_R A_{i,j} = 0_R = O_{i,j}$이므로 행렬의 상등으로 $0_R \cdot A = O$이다.

5.

$(1_R \cdot A)_{i,j} = 1_R \cdot_R A_{i,j} = A_{i,j}$이므로 행렬의 상등으로 $1_R \cdot A = A$이다.

6.

$((c\cdot_R d) \cdot A)_{i,j} = (c\cdot_R d)\cdot_R A_{i,j} = c\cdot_R (d\cdot_R A_{i,j}) = c\cdot_R (d\cdot A)_{i,j} = (c\cdot (d\cdot A))_{i,j}$이므로

행렬의 상등으로 $(c\cdot_R d) \cdot A = c\cdot (d\cdot A)$이다.

7.

$(c\cdot (A+ B))_{i,j} = c\cdot_R (A+B)_{i,j} = c\cdot_R (A_{i,j} +_R B_{i,j})  = (c\cdot_R A_{i,j}) +_R (c\cdot_R B_{i,j}) = (c\cdot A)_{i,j} +_R (c\cdot B)_{i,j} = ((c\cdot A) + (c\cdot B))_{i,j} \text{ 이므로}$

행렬의 상등으로 $c\cdot (A+ B) = (c\cdot A) + (c\cdot B)$이다.

8. 

$((c+_R d)\cdot A)_{i,j} = (c+_R d) \cdot_R A_{i,j} = (c\cdot_R A_{i,j}) +_R (d\cdot_R A_{i,j}) = (c\cdot A)_{i,j} +_R (d\cdot A)_{i,j} = ( (c\cdot A) + (d\cdot A))_{i,j} \text{ 이므로}$

행렬의 상등으로 $(c+_R d)\cdot A = (c\cdot A) + (d\cdot B)$이다.

9. 

4, 5, 8번으로 $A + ((-1_R)\cdot A) = (1_R\cdot A) + ((-1_R)\cdot A) = (1_R - 1_R)\cdot A = 0_R \cdot A = O$이다.

 

 

 

정리1

$(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$가 체이고 임의의 양의 정수가 $m,n\in \mathbb{Z}^+$일때

$M_{m\times n}(F)$의 덧셈과 스칼라곱 $+,\cdot$와 영행렬 $O\in M_{m\times n}(F)$에 대해 $($$M_{m\times n}(F)$$,+,\cdot, O ) $는 $F$-벡터공간이다.

증명

위 정리로 벡터공간 정의의 8가지를 모두 만족하므로 $(M_{m\times n}(F),+,\cdot,O)$는 $F$-벡터공간이다.

 

 

 

정의2

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환일때

전치행렬(transpose matrix) :

임의의 $A \in$ $M_{m\times n}(R)$의 전치행렬 $A^t \in M_{n\times m}(R)$는

모든 $i =1,2,\cdots, m$와 모든 $ j = 1,2,\cdots,n$에 대해

$(A^t)_{i,j} = A_{j,i}$로 $A$의 행과 열을 바꾸어 얻은 $n \times m$행렬로 정의된다.

대칭행렬(symmetric matrix) :

임의의 $M \in M_{n \times n}(R)$이 $M^t = M$일때 $M$을 대칭행렬로 정의한다.

 

 

 

정리2

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환이고 임의의 행렬이 $A, B \in$ $M_{m\times n}(R)$일때

$M_{m\times n}(R)$의 덧셈과 스칼라곱 $+,\cdot$과 $M_{n\times m}(R)$의 덧셈과 스칼라곱 $+^t,\cdot^t$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $c,d \in R$에 대해 $(c\cdot A + d\cdot B)^t = c\cdot^t A^t +^t d\cdot^t B^t$이다.

2. $(A^t)^t = A$

3. 영행렬 $O\in M_{n\times n}(R)$에 대해 $O^t = O$이다.

증명

1.

모든 $i =1,2,\cdots ,m$와 모든 $ j = 1,2,\cdots,n$에 대해 전치행렬의 정의로

$ \begin{align*} ((c\cdot A + d\cdot B)^t)_{j,i} & =  (c\cdot A + d\cdot B)_{i,j}  \\[0.5em]&= (c\cdot A)_{i,j} +_R (d\cdot B)_{i,j}  \\[0.5em]&= c\cdot_R A_{i,j} +_R d\cdot_R B_{i,j} \\[0.5em] & = c\cdot_R (A^t)_{j,i} +_R d\cdot_R (B^t)_{j,i}\\[0.5em]& = (c\cdot^t A^t)_{j,i} +_R( d\cdot^t B^t)_{j,i} \\[0.5em] & = (c\cdot^t A^t+^t d\cdot^t B^t)_{j,i} \text{ 이므로}\end{align*} $

행렬의 상등으로 $(c\cdot A + d\cdot B)^t = c\cdot^t A^t +^t d\cdot^t B^t$이다.

2.

모든 $i =1,2,\cdots ,m$와 모든 $ j = 1,2,\cdots,n$에 대해 전치행렬의 정의로

$ ((A^t)^t)_{i,j} = (A^t)_{j,i} = A_{i,j}$이므로 행렬의 상등으로 $(A^t)^t = A$이다.

3.

모든 $i,j =1,2,\cdots ,n$에 대해 전치행렬의 정의와 영행렬의 정의로

$(O^t)_{i,j} = O_{j,i} = 0_R =O_{i,j}$이므로 행렬의 상등으로 $O^t =O$이다.

 

 

 

정리3

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환이고 $M_{n\times n}(R)$의 덧셈이 $+$일때

모든 $M \in$ $M_{n\times n}(R)$에 대해 $M + M^t \in M_{n\times n}(R)$는 대칭행렬이다.

증명

모든 $i, j = 1,2,\cdots,n$에 대해 환의 정의와 위 정리와 전치행렬의 정의로 

$((M + M^t)^t)_{i,j} = (M + M^t)_{j,i} = M_{j,i} +_R (M^t)_{j,i} = (M^t)_{i,j} +_R M_{i,j} = (M^t + M)_{i,j} = (M + M^t)_{i,j}$이므로

행렬의 상등으로 $(M + M^t)^t = M + M^t$가 되어 $M + M^t$는 대칭행렬이다.

 

 

 

정의3

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환일때

상삼각행렬(upper triangular matrix) :

임의의 $A \in$ $M_{m\times n}(R)$가 모든 $i =1,2,\cdots,m$와 모든 $ j = 1,2,\cdots,n$에 대해 

$i > j$이면 $A_{i,j} = 0_R$로 $A$의 대각성분 아래의 모든 성분이 $0_R$이 될때 $A$를 상삼각행렬로 정의한다.

하삼각행렬(lower triangular matrix) :

임의의 $A \in$ $M_{m\times n}(R)$가 모든 $i =1,2,\cdots,m$와 모든 $ j = 1,2,\cdots,n$에 대해 

$j > i$이면 $A_{i,j} = 0_R$로 $A$의 대각성분 위의 모든 성분이 $0_R$이 될때 $A$를 하삼각행렬로 정의한다.

대각행렬(diagonal matrix) :

임의의 $D \in M_{m \times n}(R)$가 모든 $i =1,2,\cdots,m$와 모든 $ j = 1,2,\cdots,n$에 대해 

$i \ne j$이면 $D_{i,j} = 0_R$로 대각성분이 아닌 모든 성분이 $0_R$이 될때 $D$를 대각행렬로 정의한다.

크로네커델타(Kronecker delta) :

모든 $i,j \in $ $\mathbb{N}$에 대해 $\delta(i,j) =\begin{cases} 1_R ,& i= j\text{일때} \\ 0_R ,& i\ne j \text{일때}\end{cases}$인 함수 $\delta : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \{0_R,1_R \}$를

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$의 크로네커델타로 정의하고 모든 $i,j \in \mathbb{N}$에 대해 $\delta(i,j) = \delta_{i,j}$로 표기한다.

항등행렬(identity matrix) :

임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $i,j = 1,2,\cdots, n$가 $(I_n)_{i,j} = \delta_{i,j}$인 행렬 $I_n \in$ $M_{n\times n}(R)$을 항등행렬로 정의한다.

 

 

 

정리4

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환일때 크로네커델타 $\delta$와 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 대각행렬 $D \in$ $M_{n\times n}(R)$는 대칭행렬이다.

2. 모든 $ i,j \in \mathbb{N}$에 대해 $\delta_{i,j} = \delta_{j,i}$이다.

3. 모든 $i,j, m \in \mathbb{N}$에 대해 $\delta_{i,j}=\delta_{i+m,j+m}$이다.

4. 항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(R)$은 대각행렬이다.

증명

1.

모든 $ i,j = 1,2,\cdots,n$에 대해 대각행렬의 정의로

$i \ne j$이면 $(D^t)_{i,j} =D_{j,i} =0_R = D_{i,j}$이고

$i = j$이면 $(D^t)_{i,i} = D_{i,i}$이므로 행렬의 상등으로 $D^t = D$가 되어 $D$는 대칭행렬이다.

2.

모든 $ i,j \in \mathbb{N}$에 대해 크로네커델타의 정의로

$i \ne j$이면 $\delta_{i,j} = 0_R= \delta_{j,i}$이고

$i =j $이면 $\delta_{i,j} = 1_R = \delta_{j,i}$이다.

3.

모든 $ i,j,m \in \mathbb{N}$에 대해 크로네커델타의 정의로

$i\ne j$이면 $i+m\ne j+m$이므로 $\delta_{i,j} = 0_R= \delta_{i+m,j+m}$이고

$i= j$이면 $i+m= j+m$이므로 $\delta_{i,j} = 1_R= \delta_{i+m,j+m}$이다.

4.

모든 $ i,j = 1,2,\cdots,n$에 대해 항등행렬의 정의와 크로네커델타의 정의로

$i\ne j$이면 $(I_n)_{i,j} = \delta_{i,j}  = 0_R$이므로 $I_n$은 대각행렬이다.  

 

 

 

정의4

대각합(trace) :

$(R,+,\cdot,0_R,1_R)$이 환일때 임의의 행렬 $M \in$ $M_{n\times n}(R)$의 대각합 $\operatorname{tr}$을

$\displaystyle \operatorname{tr}(M) = M_{1,1}+M_{2,2}+\cdots + M_{n,n} = \sum_{i = 1}^n M_{i,i}$로 정의한다.

행렬곱 :

$(R,+,\cdot,0_R,1_R)$이 환일때 $m\times n$행렬 $A \in M_{m\times n}(R)$와 $n\times p$행렬 $B\in M_{n\times p}(R)$의 곱셈 $* $을 

모든 $i =1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots,p$에 대해

$(A * B)_{i,j} = \displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{i,k} \cdot B_{k,j}$인 $m\times p$행렬 $A * B \in M_{m\times p}(R)$로 정의한다.

좌측 곱 변환(left multiplication transformation) :

$(F,+,\cdot,0_F,1_F)$가 체일때 $m\times n$행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$와 열벡터 $x \in M_{n\times 1}(F)$에 대해

$L_A(x) = A * x \in M_{m\times 1}(F)$인 함수 $L_A : M_{n\times 1}(F) \to M_{m\times 1}(F)$를 $A$에 대한 좌측 곱변환으로 정의한다.

아래 정리로 $L_A$는 $(M_{n\times 1}(F) ,+_n,\cdot_n , O_n)$에서 $(M_{m\times 1}(F) ,+_m,\cdot_m, O_m)$으로의 선형변환이다.

 

 

 

정리5

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환이고 $M_{n\times n}(R)$의 덧셈과 스칼라곱이 $+,\cdot$일때

임의의 행렬 $A,B \in$ $M_{n\times n}(R)$와 임의의 $c,d \in R$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\operatorname{tr}$$(c\cdot A + d\cdot B) = c\cdot_R \operatorname{tr}(A) +_R d\cdot_R \operatorname{tr}(B)$

2. $ \operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}($$A^t$$)$

증명

1.

$\begin{align*} \operatorname{tr}(c\cdot A + d\cdot B) & = \sum_{i = 1}^n (c\cdot A + d\cdot B)_{i,i} \\[0.5em]&= \sum_{i= 1}^n \left ((c\cdot A)_{i,i} +_R (d\cdot B)_{i,i} \right ) \\[0.5em] & = \left (\sum_{i= 1}^n (c\cdot A)_{i,i}\right ) +_R \left (\sum_{i= 1}^n (d\cdot B)_{i,i} \right) \\[0.5em] & = \left ( \sum_{i =1}^n c\cdot_R A_{i,i} \right ) +_R \left (\sum_{i =1}^n d\cdot_R B_{i,i} \right) \\[0.5em]&= c\cdot_R \left(\sum_{i= 1}^n A_{i,i}\right ) +_R d\cdot_R \left (\sum_{i= 1}^n B_{i,i} \right ) \\[0.5em] & = c\cdot_R \operatorname{tr}(A) +_R d\cdot_R \operatorname{tr}(B) \end{align*}$

2.

$\begin{align*} \operatorname{tr}(A) = \sum_{i= 1}^n A_{i,i} = \sum_{i=1}^n (A^t)_{i,i} = \operatorname{tr}(A^t) \end{align*}$

 

 

 

정리7

환 $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$과 행렬곱 $*$에 대해 다음이 성립한다.

1. $M_{n\times p}(R)$의 덧셈이 $+_1$이고 $M_{m\times p}(R)$의 덧셈이 $+_2$일때

임의의 $A \in M_{m\times n}(R)$와 임의의 $B,C \in M_{n\times p}(R)$에 대해 $A*(B+_1C)  = (A * B) +_2 (A * C)$이다.

2. $M_{m\times n}(R)$의 덧셈이 $+_1$이고 $M_{m\times p}(R)$의 덧셈이 $+_2$일때

임의의 $B,C \in M_{m\times n}(R)$와 임의의 $A \in M_{n\times p}(R)$에 대해 $(B+_1C)*A = (B*A) +_2 (C * A)$이다.

3. 임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(R)$와 항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(R)$에 대해 $A*I_n = A$이다.

4. 임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(R)$와 항등행렬 $I_m \in M_{m\times m}(R)$에 대해 $I_m*A =A$이다.

5. 임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(R)$와 영행렬 $O_1 \in M_{n\times p}(R)$과 영행렬 $O_2\in M_{m\times p}(R)$에 대해 $A*O_1 =O_2$이다.

6. 임의의 행렬 $A \in M_{n\times p}(R)$와 영행렬 $O_1\in M_{m\times n}(R)$과 영행렬 $O_2\in M_{m\times p}(R)$에 대해 $O_1*A =O_2$이다.

7. $M_{m\times n}(R)$의 스칼라곱이 $\cdot_1$이고 $M_{m\times p}(R)$의 스칼라곱이 $\cdot_3$일때

임의의 $c \in R$와 임의의 $A \in M_{m\times n}(R)$와 임의의 $B \in M_{n\times p}(R)$에 대해 $ (c\cdot_1 A) * B  = c\cdot_3(A*B)$이다.

8. $M_{m\times n}(R)$의 스칼라곱이 $\cdot_1$이고 $M_{n\times p}(R)$의 스칼라곱이 $\cdot_2$이고 $M_{m\times p}(R)$의 스칼라곱이 $\cdot_3$일때

임의의 $c \in R$와 임의의 $A \in M_{m\times n}(R)$와 임의의 $B \in M_{n\times p}(R)$에 대해

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 가환환이면 $c\cdot_3 (A * B) = A *(c\cdot_2 B)= (c\cdot_1 A) * B $이다.

9. 대각행렬 $A \in M_{m\times n}(R)$와 대각행렬 $B\in M_{n\times p}(R)$에 대해 $A*B\in M_{m\times p}(R)$는 대각행렬이다.

증명

1.

모든 $i = 1,2,\cdots, m$과 모든 $j = 1,2,\cdots, p$에 대해

$\begin{align*}(A *(B+_1C))_{i,j} & = \sum_{k = 1}^n A_{i,k} \cdot_R (B+_1 C)_{k,j} \\[0.5em] & = \sum _{k = 1}^n A_{i,k} \cdot_R (B_{k,j} +_R C_{k,j}) \\[0.5em] & = \sum_{k = 1}^n (A_{i,k} \cdot_R B_{k,j} +_R A_{i,k}\cdot_R C_{k,j}) \\[0.5em] & = \left (\sum_{k =1}^nA_{i,k} \cdot_R B_{k,j} \right ) +_R \left (\sum_{k = 1}^n A_{i,k} \cdot_R C_{k,j} \right) \\[0.5em] &= (A*B)_{i,j} +_R (A*C)_{i,j} \\[0.5em] & = ((A * B) +_2 (A * C))_{i,j} \text{ 이므로}\end{align*}$

행렬의 상등으로 $A *(B+_1C)  = (A * B) +_2 (A * C)$이다.

2.

모든 $i = 1,2,\cdots, m$과 모든 $j = 1,2,\cdots, p$에 대해

$\begin{align*}((B+_1C) *A)_{i,j} & = \sum_{k = 1}^n (B+_1 C)_{i,k} \cdot_R A_{k,j} \\[0.5em] & = \sum _{k = 1}^n  (B_{i,k} +_R C_{i,k}) \cdot_R A_{k,j} \\[0.5em] & = \sum_{k = 1}^n (B_{i,k}\cdot_RA_{k,j}  +_R C_{i,k}\cdot_R A_{k,j}) \\[0.5em] & = \left (\sum_{k =1}^nB_{i,k}\cdot_R A_{k,j}  \right ) +_R \left (\sum_{k = 1}^n C_{i,k}\cdot_R A_{k,j}  \right) \\[0.5em] &= (B*A)_{i,j} +_R (C*A)_{i,j} \\[0.5em] & = ((B * A) +_2 (C * A))_{i,j} \text{ 이므로}\end{align*}$

행렬의 상등으로 $(B+_1C)*A = (B*A) +_2 (C * A)$이다.

3.

항등행렬의 정의와 환 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, m$과 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$\begin{align*}(A*I_n)_{i,j}  = \sum_{k= 1}^n A_{i,k} \cdot_R (I_n)_{k,j} = \sum_{k = 1}^n A_{i,k} \cdot_R \delta_{k,j} = A_{i,j} \cdot_R \delta_{j,j}  = A_{i,j} \end{align*}$이므로

행렬의 상등으로 $A*I_n = A $이다.

4.

항등행렬의 정의와 환 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, m$과 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$\begin{align*}(I_m*A)_{i,j}  = \sum_{k= 1}^m (I_m)_{i,k} \cdot_R A_{k,j} = \sum_{k = 1}^m  \delta_{i,k}\cdot_R A_{k,j} =  \delta_{i,i} \cdot_R A_{i,j}  = A_{i,j} \end{align*}$이므로

행렬의 상등으로 $ I_m*A = A$이다.

5.

영행렬의 정의와 환 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, m$과 모든 $j = 1,2,\cdots, p$에 대해

$\begin{align*}(A*O_1)_{i,j}  = \sum_{k= 1}^n A_{i,k} \cdot_R (O_1)_{k,j} = \sum_{k = 1}^n A_{i,k} \cdot_R 0_R = 0_R  = (O_2)_{i,j} \end{align*}$이므로

행렬의 상등으로 $A*O_1 = O_2 $이다.

6.

영행렬의 정의와 환 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, m$과 모든 $j = 1,2,\cdots, p$에 대해

$\begin{align*}(O_1*A)_{i,j}  = \sum_{k= 1}^m (O_1)_{i,k} \cdot_R A_{k,j} = \sum_{k = 1}^m  0_R\cdot_R A_{k,j} =  0_R  = (O_2)_{i,j} \end{align*}$이므로

행렬의 상등으로 $ O_1*A = O_2$이다.

7.

모든 $i = 1,2,\cdots, m$과 모든 $j = 1,2,\cdots, p$에 대해

$\begin{align*} (c\cdot_3 (A * B))_{i,j} & = c\cdot_R (A* B)_{i,j} \\[0.5em] & = c\cdot_R \left (\sum_{k = 1}^n A_{i,k}\cdot_R B_{k,j} \right) \\[0.5em] & = \sum_{k = 1}^n (c\cdot_R A_{i,k}) \cdot_R B_{k,j} \\[0.5em] & = \sum_{k = 1}^n (c\cdot_1 A)_{i,k} \cdot_R B_{k,j} \\[0.5em] & =  ((c\cdot_1 A) * B)_{i,j} \text{ 이므로} \end{align*}$

행렬의 상등으로 $c\cdot_3 (A * B) = (c\cdot_1 A) * B $이다.

8.

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 가환환이므로

$\begin{align*} (c\cdot_3 (A * B))_{i,j} & = c\cdot_R (A* B)_{i,j} \\[0.5em] & = c\cdot_R \left (\sum_{k = 1}^n A_{i,k}\cdot_R B_{k,j} \right) \\[0.5em] & = \sum_{k = 1}^n (c\cdot_R A_{i,k}) \cdot_R B_{k,j} \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^n (A_{i,k}\cdot_R c)\cdot_R B_{k,j}\\[0.5em] & = \sum_{k = 1}^n A_{i,k} \cdot_R (c\cdot_R B_{k,j})\\[0.5em] & = \sum_{k = 1}^n A_{i,k} \cdot_R (c\cdot_2B)_{k,j} \\[0.5em] & =  ( A * (c\cdot_2 B))_{i,j} \text{ 가 되어} \end{align*}$

7번과 행렬의 상등으로 $c\cdot_3 (A * B) = A *(c\cdot_2 B)= (c\cdot_1 A) * B $이다.

8.

임의의 $i= 1,2,\cdots, m$와 임의의 $j = 1,2,\cdots, p$가 $i\ne j$일때

임의의 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해 대각행렬의 정의와 환 정리로

$i \ne k$이면 $A_{i,k}\cdot_R B_{k,j} = 0_R \cdot_R B_{k,j} = 0_R$이고

$i = k$이면 $k = i \ne j$이므로 $A_{i,k}\cdot_R B_{k,j} = A_{i,k} \cdot_R 0_R = 0_R$이 되어

$(A*B)_{i,j} = \displaystyle \sum_{k = 1}^n  A_{i,k}\cdot_R B_{k,j} = 0_R$임에 따라 $A*B$는 대각행렬이다.

 

 

 

정리8

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환이고 임의의 행렬이 $A \in M_{m\times n}(R)$와 $B \in M_{n\times p}(R)$일때

임의의 $j = 1,2,\cdots ,p$와 크로네커델타 $\delta$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\begin{bmatrix} (A *B)_{1,j} \\(A *B)_{2,j} \\ \vdots \\ (A*B)_{m,j} \end{bmatrix} = A $ $*$ $\begin{bmatrix}  B_{1,j} \\ B_{2,j} \\ \vdots \\ B_{n,j} \end{bmatrix}$

2. $\begin{bmatrix}  B_{1,j} \\ B_{2,j} \\ \vdots \\ B_{n,j} \end{bmatrix} = B * \begin{bmatrix} \delta_{1,j} \\ \delta_{2,j} \\ \vdots \\ \delta_{p,j} \end{bmatrix}$

증명

1.

$\begin{bmatrix} (A *B)_{1,j} \\(A *B)_{2,j} \\ \vdots \\ (A*B)_{m,j} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{1,k} \cdot_R B_{k,j} \\ \displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{2,k} \cdot_R B_{k,j} \\ \vdots \\ \displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{m,k}\cdot_R B_{k,j} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ A_{2,1} & A_{2,2} & & A_{2,n}\\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{m,1}& A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix} *\begin{bmatrix}  B_{1,j} \\ B_{2,j} \\ \vdots \\ B_{n,j} \end{bmatrix} = A *\begin{bmatrix}  B_{1,j} \\ B_{2,j} \\ \vdots \\ B_{n,j} \end{bmatrix} $

2.

항등행렬 $I_p \in M_{p\times p}(R)$에 대해 1번과 위 정리로

$B * \begin{bmatrix} \delta_{1,j} \\ \delta_{2,j} \\ \vdots \\ \delta_{p,j} \end{bmatrix} = B * \begin{bmatrix} (I_p)_{1,j} \\ (I_p)_{2,j} \\ \vdots \\ (I_p)_{p,j}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (B*I_p)_{1,j} \\ (B*I_p)_{2,j} \\ \vdots \\ (B*I_p)_{n,j}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_{1,j} \\ B_{2,j} \\ \vdots \\ B_{n,j}\end{bmatrix} $ 이다.

 

 

 

정리9

$(F,+_{F},\cdot_{F},0_F,1_F)$가 체이고 $\delta$가 크로네커델타일때

임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 위 정리의 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F),+,\cdot,O)$는 $n$차원이고

임의의 $j \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $e_j \in M_{n\times 1}(F)$가 $e_j = \begin{bmatrix}\delta_{1,j}\\ \delta_{2,j}\\ \vdots \\\delta_{j,j} \\ \vdots \\ \delta_{n,j} \end{bmatrix}$이면 집합 $\{ e_1, e_2,\cdots, e_n\}$은 $(M_{n\times 1}(F),+,\cdot,O)$의 기저이다.

증명

$i\ne j$인 $i,j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $\delta_{i,i} = 1_F \ne 0_F = \delta_{i,j}$이므로

행렬의 상등으로 $e_i \ne e_j$가 되어 $ e_1, e_2,\cdots, e_n \in M_{n\times 1}(F)$은 서로 다른 벡터이고

어떤 $a_1,a_2,\cdots, a_n \in F$에 대해 $e_j$는 $\delta_{i,j} = 0_F$이고 $\delta_{j,j} = 1_F$이므로

$\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} = a_1\cdot e_1 +  a_2\cdot e_2 +\cdots + a_n\cdot e_n = \begin{bmatrix} 0_F\\ 0_F  \\ \vdots \\ 0_F \end{bmatrix} = O$이면

행렬의 상등으로 $a_1= a_2 =\cdots = a_n = 0_F$가 되어

일차독립 정리로 $\{ e_1, e_2,\cdots, e_n\}$은 $(M_{n\times 1}(F),+,\cdot,O)$에서 일차독립이다.

또 벡터공간 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+,\cdot,O)}{\operatorname{span}(\{ e_1,} e_2,\cdots, e_n\}) \subseteq M_{n\times 1}(F)$이고

모든 $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \in F^n$에 대해 $\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = x_1\cdot e_1 +  x_2\cdot e_2 +\cdots + x_n\cdot e_n  \in \underset{(M_{n\times 1}(F),+,\cdot,O)}{\operatorname{span}(\{e_1,}e_2,\cdots, e_n\})$이므로

$M_{n\times 1}(F) \subseteq \underset{(M_{n\times 1}(F),+,\cdot,O)}{\operatorname{span}(\{ e_1,} e_2,\cdots, e_n\})$이 되어 집합정리로 $M_{n\times 1}(F) = \underset{(M_{n\times 1}(F),+,\cdot,O)}{\operatorname{span}(\{ e_1,} e_2,\cdots, e_n\})$이다.

따라서 $\{ e_1, e_2,\cdots, e_n\}$은 $(M_{n\times 1}(F),+,\cdot,O)$의 기저이고 차원의 정의로 $(M_{n\times 1}(F),+,\cdot,O)$은 $n$차원이다.

 

 

 

정리14

$(F,+_{F},\cdot_{F},0_F,1_F)$가 체이고 $\delta$가 크로네커델타일때

임의의 $m, n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 위 정리의 $F$-벡터공간 $(M_{m\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)$은 $m\cdot n$차원이고

임의의 $i, x = 1,2,\cdots, m$와 임의의 $j,y = 1,2,\cdots, n$에 대해 $(E_{i,j})_{x,y} = \delta_{(j-1)\cdot m + i, (y-1)\cdot m + x}$로 정의되는

$E_{i,j} \in M_{m\times n}(F)$의 집합 $\{ E_{1,1}, E_{1,2},\cdots, E_{1,n}, \cdots, E_{m,1},E_{m,2},\cdots, E_{m,n}\}$은 $(M_{m\times n}(F),+,\cdot,O)$의 기저이다.

증명

함수정리로 임의의 $i,x = 1,2,\cdots, m$와 임의의 $j,y = 1,2,\cdots, n$에 대해 $f(x,y) = (y-1)\cdot m + x$로 정의되는

함수 $f : \{ 1,2,\cdots, m\} \times \{ 1,2,\cdots, n\} \to \{ 1,2,\cdots, m\cdot n\}$은 전단사이므로

$i\ne x$ 또는 $j\ne y$이면 $(j-1)\cdot m + i \ne (y-1)\cdot m + x$이고

$(E_{i,j})_{x,y} = \delta_{(j-1)\cdot m + i, (y-1)\cdot m + x} = 0_F \ne 1_F = \delta_{(y-1)\cdot m + x, (y-1)\cdot m +x} = (E_{x,y})_{x,y}$가 되어

행렬의 상등으로 $ E_{1,1}, E_{1,2},\cdots, E_{1,n}, \cdots, E_{m,1},E_{m,2},\cdots, E_{m,n} \in M_{m\times n}(F)$은 서로 다른 벡터이다.

또 $(E_{i,j})_{i,j} = 1_F$이고 $(E_{i,j})_{x,y} = 0_F$이므로 어떤 $ a_{1,1}, a_{1,2},\cdots, a_{1,n}, \cdots, a_{m,1}, a_{m,2},\cdots, a_{m,n} \in F$에 대해

$ a_{1,1}\cdot_M E_{1,1} +_M a_{1,2}\cdot_M E_{1,2} +_M \cdots +_M a_{1,n}\cdot_M E_{1,n} +_M \cdots +_M a_{m,1}\cdot_M E_{m,1} +_M a_{m,2}\cdot_M E_{m,2} +_M \cdots +_M a_{m,n}\cdot_M E_{m,n} = O \text{ 이면}$

$ \begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & &a_{2,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0_F & 0_F & \cdots & 0_F \\ 0_F & 0_F& & 0_F \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0_F & 0_F & \cdots & 0_F \end{bmatrix} = O$가 되어

행렬의 상등으로 $ a_{1,1}= a_{1,2}=\cdots = a_{1,n}= \cdots = a_{m,1} = a_{m,2}=\cdots = a_{m,n} =0_F $이므로

일차독립 정리로 $\{ E_{1,1}, E_{1,2},\cdots, E_{1,n}, \cdots, E_{m,1},E_{m,2},\cdots, E_{m,n}\}$은 $(M_{m\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)$에서 일차독립이다.

벡터공간 정리로 $\underset{(M_{m\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)}{\operatorname{span}(\{ E_{1,1},} E_{1,2},\cdots, E_{1,n}, \cdots, E_{m,1},E_{m,2},\cdots, E_{m,n}\}) \subseteq M_{m\times n}(F)$이고

모든 $ \begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ A_{2,1} & A_{2,2} & &A_{2,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix} = A \in M_{m\times n}(F)$에 대해 

$A = A_{1,1}\cdot_M E_{1,1} +_M A_{1,2}\cdot_M E_{1,2} +_M \cdots +_M A_{1,n}\cdot_M E_{1,n} +_M \cdots +_M A_{m,1}\cdot_M E_{m,1} +_M A_{m,2}\cdot_M E_{m,2} +_M \cdots +_M A_{m,n}\cdot_M E_{m,n}  \text{ 이므로}$

$A\in \underset{(M_{m\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)}{\operatorname{span}(\{ E_{1,1},} E_{1,2},\cdots, E_{1,n}, \cdots, E_{m,1},E_{m,2},\cdots, E_{m,n}\}) $이 되어

$M_{m\times n}(F) \subseteq \underset{(M_{m\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)}{\operatorname{span}(\{ E_{1,1},} E_{1,2},\cdots, E_{1,n}, \cdots, E_{m,1},E_{m,2},\cdots, E_{m,n}\})$이고

집합정리로 $M_{m\times n}(F) =\underset{(M_{m\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)}{\operatorname{span}(\{ E_{1,1},} E_{1,2},\cdots, E_{1,n}, \cdots, E_{m,1},E_{m,2},\cdots, E_{m,n}\})$이다.

따라서 $\{ E_{1,1}, E_{1,2},\cdots, E_{1,n}, \cdots, E_{m,1},E_{m,2},\cdots, E_{m,n}\}$은 $(M_{m\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)$의 기저이고

차원의 정의로 $(M_{m\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)$은 $m\cdot n$차원이다.

 

 

 

정리10

$(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$가 체이고 임의의 행렬이 $A,B \in M_{m\times n}(F)$일때

위 정리의 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F) ,+_n,\cdot_n , O_n)$와 $(M_{m\times 1}(F) ,+_m,\cdot_m, O_m)$의 순서기저가

임의의 $j \in \mathbb{Z}^+$와 크로네커델타 $\delta$에 대해 $\beta_j =\begin{bmatrix} \delta_{1,j}\\ \delta_{2,j} \\ \vdots \\ \delta_{n,j} \end{bmatrix} \in M_{n\times 1}(F)$이고 $\gamma_j = \begin{bmatrix} \delta_{1,j} \\ \delta_{2,j}\\ \vdots \\ \delta_{m,j} \end{bmatrix} \in M_{m\times 1}(F)$인

$\beta = (\beta_1, \beta_2,\cdots, \beta_n)$와 $\gamma = (\gamma_1, \gamma_2,\cdots, \gamma_m)$이면 다음이 성립한다.

1. 좌측 곱 변환 $L_A$은 $(M_{n\times 1}(F) ,+_n,\cdot_n , O_n)$에서 $(M_{m\times 1}(F) ,+_m,\cdot_m, O_m)$으로의 선형변환이다.

2. $\beta,\gamma$에 대한 $L_A$의 행렬표현은 $[L_A]_\beta^\gamma = A$이다.

3. $L_A = L_B$이기 위한 필요충분조건은 $A = B$인 것이다.

4. 함수 $T : M_{n\times 1}(F) \to M_{m\times 1}(F)$가 $(M_{n\times 1}(F) ,+_n,\cdot_n , O_n)$에서 $(M_{m\times 1}(F) ,+_m,\cdot_m, O_m)$으로의 선형변환이면

$T = L_C$인 행렬 $C \in M_{m\times n}(F)$가 유일하게 존재하고 $C = [T]_\beta^\gamma$이다.

5. 임의의 $D \in M_{n\times p}(F)$에 대해 $L_{A*D} = L_A $ $\circ$ $ L_D$이다.

6. 임의의 $D \in M_{n\times p}(F)$와 임의의 $E \in M_{p \times q}(F)$에 대해 $A * (D * E) = (A * D) * E$이다.

증명

1.

위 정리로 임의의 $x,y \in M_{n\times 1}(F)$와 임의의 $c \in F$에 대해

$L_A(c\cdot_n x +_n y) = A * (c\cdot_n x +_n y) = (A*(c\cdot_n x)) +_m (A * y) = c\cdot_m (A * x) +_m (A * y) = c\cdot_m L_A(x) +_m L_A(y)\text{ 이므로}$

선형변환 정리로 $L_A$는 $(M_{n\times 1}(F) ,+_n,\cdot_n , O_n)$에서 $(M_{m\times 1}(F) ,+_m,\cdot_m, O_m)$으로의 선형변환이다.

2.

위 정리로 임의의 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$L_A(\beta_j) = A * \beta_j = \begin{bmatrix} A_{1,j} \\ A_{2,j} \\ \vdots \\ A_{m,j} \end{bmatrix} = A_{1,j}\cdot_m \gamma_1 +_m A_{2,j} \cdot_m \gamma_2 +_m \cdots +_m A_{m,j} \cdot_m \gamma_m $이므로

행렬표현의 정의로 임의의 $i = 1,2,\cdots, m$와 임의의 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$([L_A]_\beta^\gamma)_{i,j} = A_{i,j}$가 되어 행렬의 상등으로 $[L_A]_\beta^\gamma = A$이다.

3.

$L_A = L_B$이면 2번으로 $A =[L_A]_\beta^\gamma = [L_B]_\beta^\gamma = B$이고 역은 자명하게 성립한다.

4.

$C = [T]_\beta^\gamma \in M_{m\times n}(F)$로 두면 2번으로 $[T]_\beta^\gamma  = C = [L_C]_\beta^\gamma$이고

동형사상 정리로 선형변환의 행렬표현은 단사이므로 $T = L_C$이다.

또 $L_{C_1} = T = L_{C_2}$인 $C_1, C_2 \in M_{m\times n}(F)$가 존재하면 3번으로 $C_1 = C_2$이다.

5.

위 정리로 임의의 $j = 1,2,\cdots, p$에 대해 $e_j = \begin{bmatrix} \delta_{1,j}\\ \delta_{2,j} \\ \vdots \\ \delta_{p,j} \end{bmatrix} \in M_{p\times 1}(F)$일때

$(A * D)*e_j = \begin{bmatrix} (A * D)_{1,j}\\ (A * D)_{2,j} \\ \vdots \\ (A * D)_{m,j} \end{bmatrix} = A * \begin{bmatrix} D_{1,j} \\ D_{2,j} \\ \vdots \\ D_{n, j} \end{bmatrix} = A * (D * e_j)$이므로

$L_{A*D}(e_j) = (A*D)*e_j = A *( D * e_j) = A * L_D(e_j) = L_A(L_D(e_j)) = (L_A \circ L_D)(e_j)$이고

위 정리로 $\{ e_1,e_2,\cdots, e_p\}$는 $(M_{p\times 1}(F) ,+_p,\cdot_p , O_p)$의 기저이므로 선형변환 정리로 $L_{A *D} = L_A\circ L_D$이다.

6.

합성함수 정리와 5번으로 임의의 $x  \in M_{q\times 1}(F)$에 대해

$ L_{A *(D *E)}(x) = (L_A \circ L_{D *E})(x) = (L_A \circ (L_D \circ L_E))(x) = ((L_A \circ L_D) \circ L_E)(x) =  (L_{A *D} \circ L_E) (x) = L_{(A *D) *E}(x) \text{ 이므로}$

함수의 상등으로 $ L_{A *(D *E)} = L_{(A *D) *E}$가 되어 3번으로 $A * (D * E) = (A * D) * E$이다.

 

 

 

정리11

$(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$가 체일때 위 정리의 $F$-벡터공간 $(M_{n\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(M_{n\times n}(F), $ $*$$, $ $I_n$$)$은 모노이드이다.

2. $(M_{n\times n}(F),+_M, *, O, I_n)$은 환이다.

3. 모든 $m,k \in \mathbb{N}$과 모든 $a,b \in F$에 대해

임의의 행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$의 $*$에 대한 $m,k$번 연산은 $(a\cdot_M A^m) * (b\cdot_M A^k) = (a\cdot_F b) \cdot_M A^{m+k}$이다.

증명

1.

행렬곱의 정의로 임의의 $A,B \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $A * B \in M_{n\times n}(F)$이고

위 정리로 임의의 $A,B,C \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $A * (B*C) = (A *B) *C$이고

위 정리로 임의의 $A \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $A *I_n = A = I_n * A$이므로 $(M_{n\times n}(F), *,I_n)$은 모노이드이다.

2.

$(M_{n\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)$은 벡터공간이고 1번으로 $(M_{n\times n}(F), *,I_n)$은 모노이드이므로

$+_M$에 대한 교환법칙, 역원, 항등원, 결합법칙과, $*$에 대한 항등원, 결합법칙을 만족한다.

또 위 정리로 임의의 $A,B,C \in M_{n\times n}(F)$에 대해

$A * (B +_M C) = (A *B) +_M(A *C) $이고 $(B+_M C)* A = (B*A) +_M (C *A)$이므로

$(M_{n\times n}(F),+_M, *, O, I_n)$은 환이다.

3.

위 정리와 거듭연산 정리와 벡터공간 성질로

$(a\cdot_M A^m) * (b\cdot_M A^k) = a\cdot_M (A^m * (b\cdot_M A^k)) = a\cdot_M (b\cdot_M (A^m*A^k)) = (a\cdot_F b) \cdot_M (A^m * A^k)= (a\cdot_F b) \cdot_M A^{m+k}\text{ 이다.}$

 

 

 

정의5

$(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$가 체일때

역행렬(inverse matrix) :

임의의 행렬 $A \in M_{n \times n}(F)$와 항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$에 대해

$A$ $*$ $A^{-1} = I_n = A^{-1} * A$인 행렬 $A^{-1} \in M_{n\times n}(F)$이 존재하면 $A^{-1}$을 $A$의 역행렬로 정의하고 $A$를 가역이라 한다.

아래 정리로 $A$가 가역이면 $A$의 역행렬 $A^{-1}$은 유일하다.

행렬의 닮음(similar) : 

임의의 행렬 $A,B \in M_{n \times n}(F)$에 대해 

$A = Q^{-1} * B *Q$인 가역행렬 $Q \in M_{n\times n}(F)$가 존재하면 $A$와 $B$는 닮음이라고 한다.

아래 정리로 닮음인 관계는 동치관계이다.

 

 

 

정리12

$(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$가 체일때 임의의 행렬 $A,B \in M_{n\times n}(F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $A$가 가역이면 $A$의 역행렬 $A^{-1} \in M_{n\times n}(F)$은 유일하다.

2. $A$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $A$에 대한 좌측 곱 변환 $L_A : M_{n\times 1}(F) \to M_{n\times 1}(F)$가 가역인 것이다.

이때 $L_A^{-1} = L_{A^{-1}}$이 성립한다.

3. $A$가 가역이면 $A$의 역행렬 $A^{-1}$도 가역이고 $(A^{-1})^{-1} = A$이다.

4. $A$와 $B$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $A $ $*$ $ B$가 가역인 것이다.

이때 $(A * B)^{-1} = B^{-1} * A^{-1}$이 성립한다.

5. $A * B = I_n$이면 $A$와 $B$는 가역이고 $A = B^{-1}$과 $B = A^{-1}$이 성립한다.

6. 임의의 부분집합 $\mathcal{S} \subseteq M_{n\times n}(F)$와 임의의 $X,Y \in \mathcal{S}$에 대해

$(X,Y) \in \mathcal{R}$이기 위한 필요충분조건이 $X$와 $Y$가 닮음인 관계 $\mathcal{R}$은 $\mathcal{S}$의 동치관계이다.

7. 임의의 대각행렬 $D\in M_{n\times n}(F)$에 대해

$D$가 가역이기 위한 필요충분조건은 모든 $i = 1,2,\cdots,n$에 대해 $D_{i,i}\ne 0_F$인 것이다.

이때 $D$의 역행렬 $D^{-1}\in M_{n\times n}(F)$도 대각행렬이고 모든 $i = 1,2,\cdots,n$에 대해 $(D^{-1})_{i,i} = (D_{i,i})^{-1}$이 성립한다.

증명

1.

$A$의 역행렬 $B,C \in M_{n\times n}(F)$가 존재하면 위 정리로 $(M_{n\times n}(F), *,I_n)$은 모노이드이므로

$C  = C *I_n = C * (A * B) = (C * A) * B = I_n * B = B$가 되어 $A$의 역행렬 $B = A^{-1} = C$은 유일하다.

2.

위 정리로 $\beta = ( e_1,e_2,\cdots, e_n )$는 $(M_{n\times 1}(F) ,+_n,\cdot_n , O_n)$의 순서기저이므로

선형변환 정리와 위 정리로 $L_A$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $[L_A]_\beta = A$가 가역인 것이다.

또 $[L_A^{-1}]_\beta = ([L_A]_\beta)^{-1} = A^{-1} = [L_{A^{-1}}]_\beta$이고

동형사상 정리로 선형변환의 행렬표현은 단사이므로 $L_A^{-1} = L_{A^{-1}}$이다.

3.

$A$가 가역이므로 $A * A^{-1} = I_n = A^{-1} * A$가 되어 $A^{-1}$은 가역이고 $(A^{-1})^{-1} = A$이다.

4.

$A,B$가 가역이면

$A * A^{-1} = I_n = A^{-1} * A$와 $B * B^{-1} = I_n = B^{-1} * B$가 성립하는 $A^{-1},B^{-1} \in M_{n\times n}(F)$이 존재하고

위 정리로 $(M_{n\times n}(F), *,I_n)$은 모노이드이므로

$I_n = A * A^{-1} = A * I_n * A^{-1} = A * (B * B^{-1}) * A^{-1} = (A * B) * (B^{-1} * A^{-1})$과

$I_n = B^{-1} * B = B^{-1} * I_n * B = B^{-1} * (A^{-1} * A) * B =  (B^{-1} * A^{-1}) * (A * B)$가 성립하여

$A * B$는 가역이고 $A*B$의 역행렬은 $(A * B)^{-1} = B^{-1} * A^{-1}$이다.

역으로 $A * B$가 가역이면 2번으로 $L_{A* B} : M_{n\times 1}(F) \to M_{n\times 1}(F)$가 가역이고

$L_A,L_B : M_{n\times 1}(F) \to M_{n\times 1}(F)$에 대해 위 정리로 $L_{A * B} = L_A \circ L_B$가 되어

역함수 정리로 $L_{A * B}$는 전단사이므로 합성함수 정리로 $L_A$는 전사이고 $L_B$는 단사이다.

따라서 위 정리로 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F) ,+,\cdot , O)$의 차원은 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+,\cdot,O)}{\dim(M_{n\times 1}(F))} = n$이고

위 정리로 $L_A$와 $L_B$는 $(M_{n\times 1}(F) ,+,\cdot , O)$의 선형연산자이므로

선형변환 정리로 $L_A$와 $L_B$는 전단사가 되어 역함수 정리로 가역이고 2번으로 $A$와 $B$는 가역이다.

5.

$(A * B) * (A*B) = I_n * I_n = I_n = I_n * I_n = (A*B) * (A*B)$이므로

$A*B$는 가역이고 $A*B$의 역행렬은 $(A * B)^{-1} = A* B$가 되어

4번으로 $A$와 $B$는 가역이고 $B^{-1} * A^{-1} = (A * B)^{-1} = A* B = I_n$이므로

$B^{-1}  = B^{-1} * I_n = B^{-1} * (A^{-1} * A) = (B^{-1} * A^{-1}) * A = I_n * A = A$이고 3번으로 $A^{-1} = (B^{-1})^{-1} = B$이다.

6.

$\mathcal{R}$은 아래 동치관계의 성질을 모두 만족하므로 $\mathcal{S}$의 동치관계이다.

반사성

위 정리로 $(M_{n\times n}(F), *,I_n)$은 모노이드이므로 $I_n * I_n = I_n = I_n * I_n$이 되어 $I_n$은 가역이고 $I_n^{-1} = I_n$이므로

임의의 $X \in \mathcal{S}$에 대해 $X = I_n * X * I_n = I_n^{-1} * X * I_n$이 되어 $(X,X) \in \mathcal{R}$이다.

대칭성

임의의 $X,Y \in \mathcal{S}$에 대해 $(X , Y) \in \mathcal{R}$이면

$X = Q^{-1} * Y * Q$인 가역행렬 $Q \in M_{n\times n}(F)$가 존재하여 3번으로 $(Q^{-1})^{-1} = Q$이므로

$(Q^{-1})^{-1} * X * Q^{-1} = Q * X * Q^{-1} = Q * Q^{-1} * Y * Q * Q^{-1} = Y$이고 $(Y,X) \in \mathcal{R}$이다.

추이성

임의의 $X, Y, Z \in \mathcal{S}$에 대해 $(X , Y) \in \mathcal{R}$이고 $(Y, Z) \in \mathcal{R}$이면

$X = Q^{-1} * Y * Q$이고 $Y = P^{-1} * Z * P$인 가역행렬 $Q,P \in M_{n\times n}(F)$가 존재하여

4번으로 $(P*Q)^{-1} = Q^{-1} * P^{-1}$이므로

$X = Q^{-1} * Y * Q = Q^{-1} * P^{-1} * Z * P * Q = (P*Q)^{-1} * Z * (P *Q)$가 되어 $(X,Z) \in \mathcal{R}$이다.

7.

$D$는 가역이면

행렬의 랭크 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(D)} = n$인데 $D_{i,i} = 0_F$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재한다고 가정할때

대각행렬의 정의로 $\begin{bmatrix} D_{1,i}\\ D_{2,i} \\ \vdots \\ D_{n,i} \end{bmatrix} = O_n$이 되어 행렬 정리와 일차독립 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(D)} < n$이므로

모순임에 따라 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $D_{i,i} \ne 0_F$이다.

역으로 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $D_{i,i} \ne 0_F$이면 $A_{i,i} = (D_{i,i})^{-1}$인 대각행렬 $A\in M_{n\times n}(F)$에 대해

$(D*A)_{i,i} = \displaystyle \sum_{k = 1}^n D_{i,k} \cdot_F A_{k,i} = D_{i,i} \cdot_F A_{i,i} = D_{i,i}\cdot_F (D_{i,i})^{-1} = 1_F = (I_n)_{i,i}$이고

위 정리로 $D* A$는 대각행렬이므로 $D* A = I_n$이 되어 5번으로 $D$는 가역이고 $D^{-1} = A$이다.

 

 

 

정리13

$n\in\mathbb{Z}^+$차원인 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 임의의 순서기저가 $\beta ,\beta '$일때 다음이 성립한다.

1. $\beta ,\beta '$에 대한 항등변환 $I_V \in L(V\to V)$의 행렬표현 $[I_V]_{\beta'}^\beta$는 가역이고 $([I_V]_{\beta'}^\beta)^{-1} = [I_V]_\beta^{\beta'}$이다.

2. $\beta$에 대한 임의의 $v \in V$의 좌표벡터는 $[v]_\beta = [I_V]_{\beta'}^\beta * [v]_{\beta'}$이다.

3. 임의의 선형변환 $T \in L(V\to V)$에 대해 $[T]_\beta$와 $[T]_{\beta'}$는 닮음이다.

증명

1.

임의의 $v \in V$에 대해 $I_V(I_V(v)) = I_V(v)$이므로 $I_V \circ I_V= I_V = I_V \circ I_V$가 되어 $I_V$는 가역이고 $I_V^{-1} = I_V$이다.

또 $I_V$는 선형변환 정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자이므로

선형변환 정리로 $[I_V]_{\beta'}^\beta$는 가역이고 $([I_V]_{\beta'}^\beta)^{-1} = [I_V^{-1}]_\beta^{\beta'} =[I_V]_\beta^{\beta'}$이다.

2.

항등변환 $I_V \in L(V\to V)$에 대해 좌표벡터 정리로 $[v]_\beta = [I_V(v)]_\beta = [I_V]_{\beta'}^\beta * [v]_{\beta'}$이다.

3.

항등변환 $I_V \in L(V\to V)$에 대해 $T \circ I_V = T = I_V \circ T$이므로 행렬표현 정리로

$[I_V]_{\beta'}^{\beta} *[T]_{\beta'} =[I_V]_{\beta'}^{\beta} * [T]_{\beta'}^{\beta'} = [I_V \circ T]_{\beta'}^{\beta} = [T \circ I_V]_{\beta'}^{\beta} = [T]_\beta^\beta *[I_V]_{\beta'}^\beta = [T]_\beta *[I_V]_{\beta'}^\beta$가 되어

1번으로 $[T]_{\beta'} = ([I_V]_{\beta'}^{\beta})^{-1} *[T]_\beta *[I_V]_{\beta'}^\beta $이고 $[T]_\beta$와 $[T]_{\beta'}$는 닮음이다.

 

 

 

정리15

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $A \in$ $M_{m\times n}(F)$와 임의의 $B \in M_{n\times p}(F)$에 대해 $(A$ $*$ $B)^t = $ $B^t$ $* \;A^t$이다.

2. 임의의 $A\in M_{n\times n}(F)$가 가역이면 $A^t$도 가역이고 $(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$이다.

증명

1.

행렬곱의 정의로 $A * B \in M_{m\times p}(F)$이므로 전치행렬의 정의로 $(A*B)^t \in M_{p\times m}(F)$이고

$B^t \in M_{p\times n}(F)$와 $A^t \in M_{n\times m}(F)$가 성립하므로 $B^t * A^t \in M_{p\times m}$이 되어

모든 $i = 1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots, p$에 대해

$((A*B)^t)_{j,i} = (A*B)_{i,j} = \displaystyle \sum_{k= 1}^n A_{i,k}\cdot_F B_{k,j} = \sum_{k = 1}^n B_{k,j}\cdot_F A_{i,k} = \sum_{k=1}^n (B^t)_{j,k}\cdot_F (A^t)_{k,i} = (B^t * A^t)_{j,i}$이고

행렬의 상등으로 $(A*B)^t = B^t * A^t$이다.

2.

$A$가 가역이므로 $A * A^{-1} = I_n = A^{-1} * A$인 $A$의 역행렬 $A^{-1}$이 존재하고

항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$은 대각행렬이므로 위 정리로 대칭행렬이 되어

1번으로 $(A^{-1})^t * A^t = (A * A^{-1})^t = (I_n)^t = I_n = (I_n)^t = (A^{-1} * A)^t = A^t * (A^{-1})^t$이므로

$A^t$는 가역이고 $A^t$의 역행렬은 $(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$이다.

 

 

 

정의6

$n\in \mathbb{Z}^+$차원 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자 $T :V\to V$에 대해

$(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 임의의 순서기저 $\beta$에 대한 행렬표현 $[T]_\beta$의 대각합을 $T$의 대각합 $\operatorname{tr}(T) =\operatorname{tr}([T]_\beta)$로 정의한다.

 

 

 

정리16

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원 $F$-벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$일때

$(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자 $T,U :V\to V$와 순서기저 $\beta,\gamma$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $A \in$ $M_{m\times n}(F)$와 임의의 $B \in M_{n\times m}(F)$에 대해 $\operatorname{tr}$$(A$ $*$ $B) = \operatorname{tr}(B*A)$이다.

2. 임의의 $A,B \in M_{n\times n}(F)$가 닮음이면 $\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(B)$이다.

3. $\beta,\gamma$에 대한 행렬표현 $[T]_\beta,[T]_\gamma\in M_{n\times n}(F)$에 대해 $\operatorname{tr}(T)=\operatorname{tr}([T]_\beta) = \operatorname{tr}([T]_\gamma)$이다.

4. $\operatorname{tr}(T $ $\circ$ $ U) = \operatorname{tr}(U\circ T)$

증명

1.

행렬곱의 정의로 $A * B \in M_{m\times m}(F)$와 $ B*A \in M_{n\times n}(F)$가 성립하고

위 정리로 $(A*B)^t = B^t*A^t$이므로

$\begin{align*} \operatorname{tr}(A*B) & = \sum_{i = 1}^m(A*B)_{i,i} \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^m((A*B)^t)_{i,i} \\[0.5em] & = \sum_{i =1}^m(B^t*A^t)_{i ,i} \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^m \sum_{k = 1}^n (B^t)_{i,k}\cdot_F (A^t)_{k,i} \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^m \sum_{k = 1}^n B_{k,i}\cdot_F A_{i,k} \\[0.5em] & = \sum_{k = 1}^n \sum_{i = 1}^m B_{k,i}\cdot_F A_{i,k} \\[0.5em] & = \sum_{k = 1}^n (B * A)_{k,k} \\[0.5em] & =\operatorname{tr}(B*A) \text{ 이다.} \end{align*}$

2.

$A,B$가 닮음이므로 $B = Q^{-1}*A*Q$인 가역행렬 $Q \in M_{n\times n}(F)$가 존재하여

항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $Q * Q^{-1} = I_n$이므로

1번으로 $\operatorname{tr}(B) = \operatorname{tr}(Q^{-1}* A *Q) = \operatorname{tr}(Q * Q^{-1}*A) = \operatorname{tr}(I_n * A) = \operatorname{tr}(A)$이다.

3.

위 정리로 $[T]_\beta$와 $[T]_\gamma$는 닮음이므로 2번과 선형변환의 대각합의 정의로 $\operatorname{tr}(T)=\operatorname{tr}([T]_\beta) = \operatorname{tr}([T]_\gamma)$이다.

4.

선형변환의 대각합의 정의와 행렬표현 정리와 1번으로

$\operatorname{tr}(T\circ U)=\operatorname{tr}([T\circ U]_\beta) = \operatorname{tr}([T]_\beta *[U]_\beta) = \operatorname{tr}([U]_\beta *[T]_\beta) = \operatorname{tr}([U\circ T]_\beta) = \operatorname{tr}(U\circ T)$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/45#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/45#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244