행렬식(Determinant)

정의1

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$와 임의의 양의 정수 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$n = 1$이면 $1\times 1$행렬 $A \in M_{1\times 1}(F)$의 행렬식을 $\det(A) = A_{1,1}$로 정의하고

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $k\times k$행렬의 행렬식이 귀납적으로 정의될때

임의의 $i ,j= 1,2,\cdots,k,k+1$에 대해

$(k+1)\times (k+1)$행렬 $A \in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$에서 $i$행과 $j$열을 제거하여 얻은 행렬이

$\widetilde{A}_{i,j} = \begin{bmatrix} A_{1,1} &\cdots & A_{1,j-1} & A_{1,j+1} & \cdots & A_{1,k}& A_{1,k+1} \\ \vdots & & \vdots&\vdots && \vdots &\vdots \\ A_{i-1,1}&\cdots & A_{i-1,j-1}& A_{i-1,j+1} & \cdots& A_{i-1,k} & A_{i-1,k+1} \\ A_{i+1,1}&\cdots & A_{i+1,j-1}& A_{i+1,j+1} & \cdots& A_{i+1,k} & A_{i+1,k+1} \\ \vdots& & \vdots&\vdots & & \vdots &\vdots \\ A_{k,1} &\cdots& A_{k,j-1}& A_{k,j-1} & \cdots & A_{k,k} & A_{k,k+1} \\ A_{k+1,1} &\cdots& A_{k+1,j-1}& A_{k+1,j-1} & \cdots & A_{k+1,k} & A_{k+1,k+1} \end{bmatrix}\in M_{k\times k}(F)$이면

$(k+1)\times (k+1)$행렬 $A$의 행렬식을 $\displaystyle \det(A)  = \sum_{j=1}^{k+1} (-1_F)^{1+j}\cdot_FA_{1,j}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,j})$로 정의한다.

아래 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots,k,k+1$에 대해 $\displaystyle \det(A)  = \sum_{j=1}^{k+1} (-1_F)^{i+j}\cdot_FA_{i,j}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{i,j})$이다.

 

 

 

정리1

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$에 대해 임의의 행렬 $A \in M_{2\times 2}(F)$의 행렬식은 $\det(A) = A_{1,1}\cdot_F A_{2,2} - A_{1,2}\cdot_F A_{2,1}$이다.

증명

위 정의로 $\widetilde{A}_{1,1} = \begin{bmatrix} A_{2,2}\end{bmatrix} \in M_{1\times 1}(F) $이고 $ \widetilde{A}_{1,2} = \begin{bmatrix} A_{2,1}\end{bmatrix}\in M_{1\times 1}(F)$이므로 체 정리와 거듭제곱의 정의로

$\begin{align*}\det(A) &= (-1_F)^{1+1}\cdot_F A_{1,1}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,1}) +_F (-1_F)^{1+2}\cdot_F A_{1,2}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,2}) \\[0.5em] & = 1_F \cdot A_{1,1}\cdot_F A_{2,2} +_F (-1_F)\cdot_FA_{1,2}\cdot_F A_{2,1}\\[0.5em] & = A_{1,1}\cdot_F A_{2,2} - A_{1,2}\cdot_F A_{2,1} \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리2

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 임의의 행렬이 $A \in M_{n\times n}(F)$일때

임의의 행벡터 $u = \begin{bmatrix} u_1&u_2&\cdots & u_n\end{bmatrix} , v =\begin{bmatrix} v_1&v_2&\cdots & v_n\end{bmatrix}\in M_{1\times n}(F)$와

임의의 스칼라 $c\in F$와 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해

$\det( \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n}\\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i-1,1}& A_{i-1,2}&  \cdots& A_{i-1,n}  \\u_1 +_F c\cdot_F v_1 & u_2+_F c\cdot_F v_2 &\cdots & u_n +_F c\cdot_F v_n\\ A_{i+1,1}& A_{i+1,2}&  \cdots& A_{i+1,n}  \\ \vdots& & \ddots&\vdots \\ A_{n,1} &A_{n,2} &\cdots& A_{n,n}    \end{bmatrix}) = \det( \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n}\\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i-1,1}& A_{i-1,2}&  \cdots& A_{i-1,n}  \\u_1 & u_2 &\cdots & u_n \\ A_{i+1,1}& A_{i+1,2}&  \cdots& A_{i+1,n}  \\ \vdots& & \ddots&\vdots  \\ A_{n,1} &A_{n,2} &\cdots& A_{n,n}    \end{bmatrix})+_F c\cdot_F \det( \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n}\\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i-1,1}& A_{i-1,2}&  \cdots& A_{i-1,n}  \\v_1 & v_2 &\cdots & v_n \\ A_{i+1,1}& A_{i+1,2}&  \cdots& A_{i+1,n}  \\ \vdots& & \ddots&\vdots  \\ A_{n,1} &A_{n,2} &\cdots& A_{n,n}    \end{bmatrix}) \text{ 이다.}$

증명

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$이면 행렬식의 정의로 $\det(\begin{bmatrix} u_1 +_F c\cdot_F v_1 \end{bmatrix}) = u_1+_F c\cdot_Fv_1 = \det(\begin{bmatrix} u_1\end{bmatrix}) +_F c\cdot_F \det(\begin{bmatrix} v_1 \end{bmatrix})$이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때

임의의 $A \in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$와

임의의 $u = \begin{bmatrix} u_1&u_2&\cdots & u_k &u_{k+1}\end{bmatrix},v = \begin{bmatrix} v_1&v_2&\cdots & v_k &v_{k+1}\end{bmatrix} \in M_{1\times (k+1)}(F)$와

임의의 $i=1,2,\cdots, k,k+1$에 대해 함수 $T_i : M_{1\times (k+1)}(F) \to M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$가

$T_i(u) = \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,k} &A_{1,k+1}\\ \vdots & \vdots& & \vdots &\vdots \\ A_{i-1,1}& A_{i-1,2}&  \cdots& A_{i-1,k} &A_{i-1,k+1} \\u_1  & u_2&\cdots & u_k & u_{k+1}\\ A_{i+1,1}& A_{i+1,2}&  \cdots& A_{i+1,k} &A_{i+1,k+1}  \\ \vdots& \vdots & &\vdots &\vdots \\ A_{k,1} &A_{k,2} &\cdots& A_{k,k} &A_{k,k+1} \\A_{k+1,1}&A_{k+1,2} &\cdots & A_{k+1,k}&A_{k+1,k+1}  \end{bmatrix} \in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$로 정의되고

행벡터의 $F$-벡터공간이 $(M_{1\times (k+1)}(F),+_{k+1},\cdot_{k+1},O_{k+1})$이면

$i = 1$일때 행렬식의 정의로

$\begin{align*} \det(T_1(u +_{k+1} c\cdot_{k+1} v)) &= \sum_{j=1}^{k+1} (-1_F)^{1+j}\cdot_F(T_1(u+_{k+1} c\cdot_{k+1} v))_{1,j}\cdot_F \det(\widetilde{(T_1(u+_{k+1}c\cdot_{k+1} v))}_{1,j}) \\[0.5em] & = \sum_{j=1}^{k+1}(-1_F)^{1+j}\cdot_F (u_j+_F c\cdot_Fv_j ) \cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,j}) \\[0.5em] & = \left(\sum_{j=1}^{k+1}(-1_F)^{1+j}\cdot_F u_j \cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,j}) \right)+_F c\cdot_F \left(\sum_{j=1}^{k+1}(-1_F)^{1+j}\cdot_F v_j \cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,j})\right) \\[0.5em] & = \left(\sum_{j=1}^{k+1}(-1_F)^{1+j}\cdot_F (T_1(u))_{1,j} \cdot_F \det(\widetilde{(T_1(u))}_{1,j})\right) +_F c\cdot_F \left(\sum_{j=1}^{k+1}(-1_F)^{1+j}\cdot_F (T_1(v))_{1,j} \cdot_F \det(\widetilde{(T_1(v))}_{1,j})\right) \\[0.5em] & = \det(T_1(u)) +_F c\cdot_F \det(T_1(v)) \text{ 이고} \end{align*}$

$i = 2,3,\cdots ,k,k+1$일때 귀납가정과 행렬식의 정의로

$\begin{align*} \det(T_i(u +_{k+1} c\cdot_{k+1} v)) &= \sum_{j=1}^{k+1} (-1_F)^{1+j}\cdot_F(T_i(u+_{k+1} c\cdot_{k+1} v))_{1,j}\cdot_F \det(\widetilde{(T_i(u+_{k+1}c\cdot_{k+1} v))}_{1,j}) \\[0.5em] & = \sum_{j=1}^{k+1} (-1_F)^{1+j}\cdot_F A_{1,j}\cdot_F \left (\det(\widetilde{(T_i(u))}_{1,j}) +_F c\cdot_F \det(\widetilde{(T_i(v))}_{1,j}) \right ) \\[0.5em] & = \left( \sum_{j=1}^{k+1} (-1_F)^{1+j}\cdot_F A_{1,j}\cdot_F \det(\widetilde{(T_i(u))}_{1,j} ) \right) +_F c\cdot_F \left (\sum_{j=1}^{k+1} (-1_F)^{1+j}\cdot_F A_{1,j}\cdot_F \det(\widetilde{(T_i(v))}_{1,j}) \right ) \\[0.5em] & = \left( \sum_{j=1}^{k+1} (-1_F)^{1+j}\cdot_F (T_i(u))_{1,j}\cdot_F \det(\widetilde{(T_i(u))}_{1,j} ) \right) +_F c\cdot_F \left (\sum_{j=1}^{k+1} (-1_F)^{1+j}\cdot_F (T_i(v))_{1,j}\cdot_F \det(\widetilde{(T_i(v))}_{1,j}) \right ) \\[0.5em] & = \det(T_i(u)) +_F c\cdot_F \det(T_i(v)) \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리3

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$와 임의의 행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$에 대해

$A_{i,1} = A_{i,2}= \cdots = A_{i,n} = 0_F$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재하면 $\det(A) = 0_F$이다.

증명

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$이면 행렬식의 정의로 $\det(A) = A_{1,1} = 0_F $이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 

$A_{i,1} = A_{i,2}= \cdots = A_{i,k} = A_{i,k+1} = 0_F$인 $i = 1,2,\cdots, k,k+1$가 존재하는 $A \in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$에 대해

$i = 1$이면 행렬식의 정의로

$\displaystyle \det(A) = \sum_{j=1}^{k+1} (-1_F)^{1+j}\cdot_F A_{1,j}\cdot_F\det(\widetilde{A}_{1,j}) = \sum_{j=1}^{k+1} (-1_F)^{1+j}\cdot_F 0_F\cdot_F\det(\widetilde{A}_{1,j}) = 0_F $이고

$i = 2,3,\cdots ,k,k+1$이면 귀납가정과 행렬식의 정의로

$\displaystyle \det(A) = \sum_{j=1}^{k+1} (-1_F)^{1+j}\cdot_F A_{1,j}\cdot_F\det(\widetilde{A}_{1,j}) = \sum_{j=1}^{k+1} (-1_F)^{1+j}\cdot_F A_{1,j}\cdot_F 0_F = 0_F$이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리4

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 $n\ge 2$인 임의의 행렬이 $A \in M_{n\times n}(F)$일때

크로네커델타 $\delta$와 임의의 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$\begin{bmatrix} A_{i,1} & A_{i,2} &\cdots & A_{i,j} & \cdots & A_{i,n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_{j,1}&\delta_{j,2} &\cdots & \delta_{j,j} & \cdots & \delta_{j,n}\end{bmatrix}\in M_{1\times n}(F)$인 

$i = 1,2,\cdots, n$가 존재하면 $\det(A) = (-1_F)^{i+j}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{i,j})$이다.

증명

$n\ge 2$인 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 2$일때 위 정리와 행렬식의 정의와 체 정리와 거듭제곱의 정의로

$i = 1$이고 $j = 1$이면

$A = \begin{bmatrix} 1_F & 0_F \\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{bmatrix}$이고 $\det(A) = 1_F \cdot_FA_{2,2} - 0_F \cdot_F A_{2,1} = A_{2,2} = (-1_F)^{1+1}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,1})$이다.

$i = 1$이고 $j = 2$이면

$A = \begin{bmatrix} 0_F & 1_F \\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{bmatrix}$이고 $\det(A) = 0_F \cdot_FA_{2,2} - 1_F \cdot_F A_{2,1} = -A_{2,1} = (-1_F)^{1+2}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,2})$이다.

$i = 2$이고 $j = 1$이면

$A = \begin{bmatrix}  A_{1,1} & A_{1,2} \\ 1_F& 0_F \end{bmatrix}$이고 $\det(A) = A_{1,1} \cdot_F0_F - A_{1,2} \cdot_F 1_F= -A_{1,2} = (-1_F)^{2+1}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{2,1})$이다.

$i = 2$이고 $j = 2$이면

$A = \begin{bmatrix}  A_{1,1} & A_{1,2} \\ 0_F& 1_F \end{bmatrix}$이고 $\det(A) = A_{1,1} \cdot_F1_F - A_{1,2} \cdot_F0_F= A_{1,1} = (-1_F)^{2+2}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{2,2})$이다.

$k\ge 2$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 임의의 $j = 1,2,\cdots, k,k+1$에 대해

$\begin{bmatrix} A_{i,1} & A_{i,2} &\cdots & A_{i,j} & \cdots & A_{i,k} &A_{i,k+1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_{j,1}&\delta_{j,2} &\cdots & \delta_{j,j} & \cdots & \delta_{j,k} & \delta_{j,k+1}\end{bmatrix}\in M_{1\times (k+1)}(F)$인

$i = 1,2,\cdots, k,k+1$가 존재하는 $A\in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$에 대해

$i = 1$이면 행렬식의 정의로

$\begin{align*} \det(A) &=  \sum_{r = 1}^{k+1} (-1_F)^{1+r}\cdot_F A_{1,r}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,r}) \\[0.5em] & = \sum_{r= 1}^{k+1}(-1_F)^{1+r}\cdot_F \delta_{j,r}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,r}) \\[0.5em] & = (-1_F)^{1+j}\cdot_F\delta_{j,j}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,j}) \\[0.5em] & = (-1_F)^{1+j}\cdot_F 1_F\cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,j}) \\[0.5em] & = (-1_F)^{1+j}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,j}) \text{ 이다.} \end{align*}$

$i = 2,3,\cdots, k,k+1$일때 임의의 $r = 1,2,\cdots, k,k+1$에 대해

$\widetilde{A}_{1,r} = \begin{bmatrix} A_{2,1} &\cdots & A_{2,r-1} & A_{2,r+1} & \cdots & A_{2,k}& A_{2,k+1} \\ \vdots & & \vdots&\vdots && \vdots &\vdots \\ A_{i-1,1}&\cdots & A_{i-1,r-1}& A_{i-1,r+1} & \cdots& A_{i-1,k} & A_{i-1,k+1} \\ \delta_{j,1}&\cdots & \delta_{j,r-1}& \delta_{j,r+1} & \cdots& \delta_{j,k} & \delta_{j,k+1} \\ A_{i+1,1}&\cdots & A_{i+1,r-1}& A_{i+1,r+1} & \cdots& A_{i+1,k} & A_{i+1,k+1} \\ \vdots& & \vdots&\vdots & & \vdots &\vdots \\ A_{k,1} &\cdots& A_{k,r-1}& A_{k,r-1} & \cdots & A_{k,k} & A_{k,k+1} \\ A_{k+1,1} &\cdots& A_{k+1,r-1}& A_{k+1,r-1} & \cdots & A_{k+1,k} & A_{k+1,k+1} \end{bmatrix}\in M_{k\times k}(F)$이므로

$a = \begin{bmatrix} (\widetilde{A}_{1,r})_{i-1,1} & (\widetilde{A}_{1,r})_{i-1,2} & \cdots & (\widetilde{A}_{1,r})_{i-1,k}  \end{bmatrix} \in M_{1\times k}(F)$는 크로네커델타의 정의로

$r<j$이면 $1\le r\le j-1\le k$이므로

$a = \begin{bmatrix}\delta_{j,1} & \cdots &\delta_{j,r-1} & \delta_{j,r+1} & \cdots & \delta_{j,j} &\cdots &\delta_{j,k+1}  \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\delta_{j-1,1} & \cdots &\delta_{j-1,r-1} & \delta_{j-1,r} & \cdots & \delta_{j-1,j-1} &\cdots &\delta_{j-1,k}  \end{bmatrix} \text{ 이고}$

$\widetilde{(\widetilde{A}_{1,r})}_{i-1,j-1} = \widetilde{(\widetilde{A}_{i,j})}_{1,r}\in M_{(k-1)\times (k-1)}(F)$과 $A_{1,r} = (\widetilde{A}_{i,j})_{1,r}$이 성립한다.

$j =r$이면

$a = \begin{bmatrix}\delta_{j,1}  & \cdots &\delta_{j,r-1} & \delta_{j,r+1} & \cdots & \delta_{j,k}&\delta_{j,k+1}  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0_F &  \cdots &0_F & 0_F & \cdots & 0_F&0_F \end{bmatrix}$이므로

위 정리로 $\det(\widetilde{A}_{1,j}) = 0_F$이다.

$j<r$이면 $1\le j\le r-1\le k$이므로

$a = \begin{bmatrix}\delta_{j,1} & \cdots & \delta_{j,j} & \cdots &\delta_{j,r-1} & \delta_{j,r+1} & \cdots & \delta_{j,k}&\delta_{j,k+1}  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\delta_{j,1} & \cdots & \delta_{j,j} & \cdots &\delta_{j,r-1} & \delta_{j,r} & \cdots & \delta_{j,k-1}&\delta_{j,k}  \end{bmatrix}\text{ 이고}$

$\widetilde{(\widetilde{A}_{1,r})}_{i-1,j} = \widetilde{(\widetilde{A}_{i,j})}_{1,r-1}\in M_{(k-1)\times (k-1)}(F)$과 $A_{1,r} = (\widetilde{A}_{i,j})_{1,r-1}$이 성립하여

행렬식의 정의와 귀납가정으로

$\begin{align*} \det(A) &= \sum_{r = 1}^{k+1} (-1_F)^{1+r}\cdot_F A_{1,r}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,r}) \\[0.5em] & = \left(\sum_{r=1}^{j-1} (-1_F)^{1+r}\cdot_F A_{1,r}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,r}) \right) +_F(-1_F)^{1+j}\cdot_F A_{1,j}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,j})+_F \left(\sum_{r=j+1}^{k+1} (-1_F)^{1+r}\cdot_F A_{1,r}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{1,r}) \right) \\[0.5em] & = \left(\sum_{r=1}^{j-1} (-1_F)^{1+r}\cdot_F A_{1,r}\cdot_F (-1_F)^{i-1 + j-1} \cdot_F \det(\widetilde{(\widetilde{A}_{1,r})}_{i-1,j-1}) \right)+_F \left(\sum_{r=j+1}^{k+1} (-1_F)^{1+r}\cdot_F A_{1,r}\cdot_F (-1_F)^{i-1 + j} \cdot_F \det(\widetilde{(\widetilde{A}_{1,r})}_{i-1,j}) \right) \\[0.5em] & =\left(\sum_{r=1}^{j-1} (-1_F)^{1+r +i+j -2}\cdot_F A_{1,r} \cdot_F \det(\widetilde{(\widetilde{A}_{1,r})}_{i-1,j-1}) \right) +_F \left(\sum_{r=j+1}^{k+1} (-1_F)^{1+r + i-1 +j}\cdot_F A_{1,r} \cdot_F \det(\widetilde{(\widetilde{A}_{1,r})}_{i-1,j}) \right) \\[0.5em] & =\left(\sum_{r=1}^{j-1} (-1_F)^{1+r +i+j }\cdot_F (\widetilde{A}_{i,j})_{1,r} \cdot_F \det( \widetilde{(\widetilde{A}_{i,j})}_{1,r}) \right) +_F \left(\sum_{r=j+1}^{k+1} (-1_F)^{1+r -1+ i +j}\cdot_F (\widetilde{A}_{i,j})_{1,r-1} \cdot_F \det(\widetilde{(\widetilde{A}_{i,j})}_{1,r-1}) \right) \\[0.5em] & = (-1_F)^{i+j } \cdot_F \left ( \left(\sum_{r=1}^{j-1} (-1_F)^{1+r }\cdot_F (\widetilde{A}_{i,j})_{1,r} \cdot_F \det( \widetilde{(\widetilde{A}_{i,j})}_{1,r}) \right) +_F \left(\sum_{r=j+1}^{k+1} (-1_F)^{1+r -1}\cdot_F (\widetilde{A}_{i,j})_{1,r-1} \cdot_F \det(\widetilde{(\widetilde{A}_{i,j})}_{1,r-1}) \right) \right ) \\[0.5em] & = (-1_F)^{i+j } \cdot_F \left ( \left(\sum_{r=1}^{j-1} (-1_F)^{1+r }\cdot_F (\widetilde{A}_{i,j})_{1,r} \cdot_F \det( \widetilde{(\widetilde{A}_{i,j})}_{1,r}) \right) +_F \left(\sum_{r=j}^{k} (-1_F)^{1+r }\cdot_F (\widetilde{A}_{i,j})_{1,r} \cdot_F \det(\widetilde{(\widetilde{A}_{i,j})}_{1,r}) \right) \right ) \\[0.5em] & = (-1_F)^{i+j } \cdot_F \left(\sum_{r=1}^{k} (-1_F)^{1+r }\cdot_F (\widetilde{A}_{i,j})_{1,r} \cdot_F \det(\widetilde{(\widetilde{A}_{i,j})}_{1,r}) \right) \\[0.5em] & = (-1_F)^{i+j } \cdot_F \det(\widetilde{A}_{i,j}) \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 $n \ge 2$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리5

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 $n\ge 2$인 임의의 행렬이 $A \in M_{n\times n}(F)$일때

모든 $i = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\displaystyle \det(A)  = \sum_{j=1}^{n} (-1_F)^{i+j}\cdot_FA_{i,j}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{i,j})$이다.

증명

임의의 $i=1,2,\cdots, n$와

임의의 $x = \begin{bmatrix} x_1&x_2&\cdots & x_n\end{bmatrix} \in M_{1\times n}(F)$에 대해 함수 $T_i : M_{1\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$가

$T_i(x) = \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n}\\ \vdots & \vdots& & \vdots  \\ A_{i-1,1}& A_{i-1,2}&  \cdots& A_{i-1,n}  \\x_1  & x_2&\cdots & x_n \\ A_{i+1,1}& A_{i+1,2}&  \cdots& A_{i+1,n}   \\ \vdots& \vdots & &\vdots  \\ A_{n,1} &A_{n,2} &\cdots& A_{n,n}  \end{bmatrix} \in M_{n\times n}(F)$로 정의되고

크로네커델타 $\delta$에 대해 $e_i = \begin{bmatrix} \delta_{i,1}&\delta_{i,2}& \cdots & \delta_{i,i}&\cdots & \delta_{i,n}\end{bmatrix} \in M_{1\times n}(F)$이면

기저정리로 $\{ e_1,e_2,\cdots, e_n \}$은 행벡터의 $F$-벡터공간 $(M_{1\times n}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$의 기저이고

$\begin{bmatrix} A_{i,1}&A_{i,2}&\cdots & A_{i,n}\end{bmatrix} = A_{i,1}\cdot_n e_1 +_n A_{i,2}\cdot_n e_2+_n\cdots +_n A_{i,n}\cdot_n e_n$이므로 위 정리와 위 정리로

$\det(A) = \displaystyle \sum_{j =1}^n A_{i,j}\cdot_F \det(T_i(e_j)) = \sum_{j = 1}^nA_{i,j} \cdot_F \left((-1_F)^{i+j}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{i,j})\right) = \sum_{j = 1}^n(-1_F)^{i+j}\cdot_FA_{i,j} \cdot_F \det(\widetilde{A}_{i,j}) \text{ 이다.}$

 

 

 

정리6

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$와 $n\ge 2$인 임의의 행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$에 대해

$\begin{bmatrix} A_{i,1} & A_{i,2} &\cdots  & A_{i,n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{j,1}&A_{j,2}  & \cdots & A_{j,n}\end{bmatrix}\in M_{1\times n}(F)$이고

$i\ne j$인 $i,j = 1,2,\cdots,n$가 존재하면 $\det(A)  = 0_F$이다.

증명

$n\ge 2$인 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n= 2$이면 $A_{1,1} = A_{2,1}$이고 $A_{1,2} = A_{2,2}$이므로 위 정리로 $\det(A) = A_{1,1}\cdot_F A_{2,2} - A_{1,2}\cdot_F A_{2,1} =0_F$이다.

$k\ge 2$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 

$\begin{bmatrix} A_{i,1} & A_{i,2} &\cdots  & A_{i,k} &A_{i,k+1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{j,1}&A_{j,2}  & \cdots & A_{j,k} & A_{j,k+1}\end{bmatrix}\in M_{1\times (k+1)}(F)$이고

$i\ne j$인 $i,j = 1,2,\cdots,k,k+1$가 존재하는 $A \in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$에 대해

$k+1\ge 3$이므로 $i\ne p$이고 $j\ne p$인 $p = 1,2,\cdots,k,k+1$가 존재하여

위 정리와 귀납가정으로 $\displaystyle \det(A)  = \sum_{q=1}^{k+1} (-1_F)^{p+q}\cdot_FA_{p,q}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{p,q}) =\sum_{q=1}^{k+1} (-1_F)^{p+q}\cdot_FA_{p,q}\cdot_F 0_F = 0_F$이다.

따라서 $n\ge 2$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리7

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 임의의 행렬이 $A \in M_{n\times n}(F)$일때

임의의 $c\in F$와 임의의 $i,j = 1,2,\cdots, n$에 대해 다음이 성립한다.

1. $i\ne j$인 $i,j$행을 교환하는 $1$형 행연산 $f:M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$에 대해 $\det(f(A)) = -\det(A)$이다.

2. $i$행에 $c \ne 0_F$인 $c$를 곱하는 $2$형 행연산 $g :M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$에 대해 $\det(g(A)) = c\cdot_F \det(A)$이다.

3. $i\ne j$일때 $i$행에 $j$행의 $c$곱을 더하는 $3$형 행연산 $h :M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$에 대해 $\det(h(A)) = \det(A)$이다.

증명

1.

$i\ne j$이므로 $n\ge 2$가 되어 일반성을 잃지 않고 $i<j$라고 가정하면 위 정리와 위 정리로

$\begin{align*} 0_F &= \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} +_F A_{j,1} & A_{i,2}+_F A_{j,2} & \cdots& A_{i,n} +_F A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1}+_FA_{i,1} & A_{j,2}+_F A_{i,2} & \cdots & A_{j,n}+_F A_{i,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1}+_FA_{i,1} & A_{j,2}+_F A_{i,2} & \cdots & A_{j,n}+_F A_{i,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) +_F \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots& A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1}+_FA_{i,1} & A_{j,2}+_F A_{i,2} & \cdots & A_{j,n}+_F A_{i,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots & A_{j,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) +_F \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots & A_{i,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) +_F \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots& A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots & A_{j,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) +_F \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots& A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots & A_{i,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = \det(A) +_F 0_F+_F 0_F +_F \det(f(A)) \\[0.5em] & = \det(A) +_F \det(f(A))\text{ 이므로} \end{align*}$

$\det(f(A)) = -\det(A)$이다.

2.

위 정리와 위 정리로

$\begin{align*} \det(g(A)) &= \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ c\cdot_F A_{i,1} &c\cdot_F A_{i,2} & \cdots&c\cdot_F A_{i,n}  \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ 0_F+_F c\cdot_F A_{i,1} &0_F+_Fc\cdot_F A_{i,2} & \cdots&0_F+_Fc\cdot_F A_{i,n}  \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ 0_F &0_F & \cdots&0_F  \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) +_F c\cdot_F \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} &A_{i,2} & \cdots&A_{i,n}  \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = 0_F +_Fc\cdot_F \det(A) \\[0.5em] & = c\cdot_F\det(A) \text{ 이다.} \end{align*}$

3.

$i\ne j$이므로 $n\ge 2$가 되어 일반성을 잃지 않고 $i<j$라고 가정하면 위 정리와 위 정리로

$\begin{align*} \det(h(A)) &= \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} +_F c\cdot_F A_{j,1} & A_{i,2}+_F c\cdot_F A_{j,2} & \cdots& A_{i,n} +_Fc\cdot_F A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots & A_{j,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1}& A_{j,2} & \cdots & A_{j,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) +_F c\cdot_F \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots& A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots & A_{j,n}\\ \vdots & & & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = \det(A) +_Fc\cdot_F 0_F \\[0.5em]&= \det(A)\text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리8

체$(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 열벡터 벡터공간이 $(M_{n\times 1}(F),+_n^t,\cdot_n^t,O_n^t)$일때

임의의 행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$의 랭크가 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n^t,\cdot_n^t,O_n^t)}{\operatorname{rank}(A)}$ $=r < n$이면 $\det(A) = 0_F$이다.

증명

행벡터의 $F$-벡터공간이 $(M_{1\times n}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$이고

임의의 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $A$의 $i$행이 $a_i = \begin{bmatrix} A_{i,1}&A_{i,2}&\cdots & A_{i,n}\end{bmatrix} \in M_{1\times n}(F)$일때

$\{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}$이 $(M_{1\times n}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에서 일차독립이라 가정하면

행렬의 랭크 정리로 $r= n$이 되어 모순이므로 $\{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}$은 $(M_{1\times n}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에서 일차종속이다.

$n = 1$이면 $r = 0$이므로 행렬의 랭크 정리로 $A$는 영행렬이 되어 위 정리로 $\det(A) = 0_F$이다.

$n > 1$이면 임의의 $i=1,2,\cdots, n$에 대해

$(\{ a_1,a_2,\cdots, a_n\} \setminus \{ a_i\})\cup \{ a_i\} = \{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}$은 $(M_{1\times n}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에서 일차종속이므로

벡터공간 정리로 $a_i \in \underset{(M_{1\times n}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{span}(\{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}\setminus \{ a_i\})}$가 되어

생성공간의 정의로 $a_i = c_1\cdot_n a_1 +_n\cdots +_n c_{i-1}\cdot_n a_{i-1} +_n c_{i+1}\cdot_n a_{i+1} +_n\cdots +_n c_n\cdot_n a_n$인

$n-1$개의 스칼라 $c_1,\cdots,c_{i-1},c_{i+1},\cdots,c_n \in F$이 존재한다.

따라서 $i\ne j$인 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $i$행에 $j$행의 $c_j$곱을 빼는 $3$형 행연산을 $n-1$번 적용하면

위 정리와 위 정리로 $\det(A) = \det(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i-1,1} & A_{i-1,2} & \cdots & A_{i-1,n} \\  0_F&0_F & \cdots&0_F  \\ A_{i+1,1} & A_{i+1,2} & \cdots & A_{i+1,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) = 0_F$이다.

 

 

 

정리9

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 상삼각행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$의 행렬식은 $\det(A) = A_{1,1}\cdot_F A_{2,2}\cdot_F \cdots \cdot_F A_{n,n}$이다.

2. 항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(F)$의 행렬식은 $\det(I_n) =1_F$이다.

3. 임의의 기본행렬 $E\in M_{n\times n}(F)$에 대해 $\det(E) = \det($$E^t$$)$이다.

4. 임의의 기본행렬 $E\in M_{n\times n}(F)$와 임의의 $A\in M_{n\times n}(F)$에 대해 $\det(E$ $*$ $A) = \det(E)\cdot_F \det(A)$이다.

증명

1.

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$이면 행렬식의 정의로 $\det(A) = A_{1,1}$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 $A\in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$가 상삼각행렬이면

상삼각행렬의 정의로 모든 $j = 1,2,\cdots, k$에 대해 $A_{k+1,j} = 0_F$이고 $\widetilde{A}_{k+1,k+1}\in M_{k\times k}(F)$은 상삼각행렬이므로

위 정리와 귀납가정과 체 정리와 거듭제곱 정리로

$\begin{align*}\det(A) &= \sum_{j = 1}^{k+1}(-1_F)^{k+1+j}\cdot_F A_{k+1,j}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{k+1,j}) \\[0.5em]&= (-1_F)^{2\cdot (k+1) }\cdot_F A_{k+1,k+1}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{k+1,k+1}) \\[0.5em] & = ((-1_F)^2)^{k+1}\cdot_F A_{k+1,k+1}\cdot_F A_{k,k}\cdot_F \cdots \cdot_FA_{2,2}\cdot_F A_{1,1} \\[0.5em] & = 1_F^{k+1}\cdot_F A_{k+1,k+1}\cdot_F A_{k,k}\cdot_F \cdots \cdot_FA_{2,2}\cdot_F A_{1,1} \\[0.5em] & = 1_F\cdot_F A_{1,1}\cdot_F A_{2,2}\cdot_F \cdots \cdot_FA_{k,k}\cdot_F A_{k+1,k+1} \\[0.5em] & = A_{1,1}\cdot_F A_{2,2}\cdot_F \cdots \cdot_FA_{k,k}\cdot_F A_{k+1,k+1} \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

2.

$I_n$은 상삼각행렬이므로 1번과 거듭제곱 정리로 $\det(I_n) =1_F^n = 1_F$이다.

3.

임의의 $i,j = 1,2,\cdots n$와 크로네커델타 $\delta$에 대해

$E$가 $i,j$행을 교환하는 $1$형 행연산 $f: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = f(I_n)$일때

$i = j$이면 $E = f(I_n) = I_n$이므로 $E^t =I_n^t = I_n = E$가 되어 $\det(E) = \det(E^t)$이다.

일반성을 잃지 않고 $i<j$이면

$ \begin{align*} E^t & = (f(I_n) )^t \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{1,j}& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{j,1} & \cdots & \delta_{j,i} & \cdots & \delta_{j,j}& \cdots & \delta_{j,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{i,1} & \cdots & \delta_{i,i} & \cdots & \delta_{i,j}& \cdots & \delta_{i,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & \delta_{n,i} & \cdots & \delta_{n,j}& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix}^t \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{j,1} & \cdots & \delta_{i,1}& \cdots & \delta_{n,1} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{j,i} & \cdots & \delta_{i,i}& \cdots & \delta_{n,i} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,j} & \cdots & \delta_{j,j} & \cdots & \delta_{i,j}& \cdots & \delta_{n,j} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,n} & \cdots & \delta_{j,n} & \cdots & \delta_{i,n}& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix}  \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & 0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F & \cdots & 1_F& \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 1_F & \cdots & 0_F& \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & 0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{1,j}& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{j,1} & \cdots & \delta_{j,i} & \cdots & \delta_{j,j}& \cdots & \delta_{j,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{i,1} & \cdots & \delta_{i,i} & \cdots & \delta_{i,j}& \cdots & \delta_{i,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & \delta_{n,i} & \cdots & \delta_{n,j}& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = E \text{ 이므로} \end{align*}$

$\det(E) = \det(E^t)$이다.

$E$가 $i$행에 $c\in F\setminus \{ 0_F\}$를 곱하는 $2$형 행연산 $g: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = g(I_n)$이면

$ \begin{align*} E^t & = (g(I_n) )^t \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c\cdot_F \delta_{i,1} & \cdots & c\cdot_F \delta_{i,i} & \cdots & c\cdot_F \delta_{i,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & \delta_{n,i} & \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix}^t \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & c\cdot_F\delta_{i,1} & \cdots & \delta_{n,1} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,i} & \cdots & c\cdot_F \delta_{i,i} & \cdots & \delta_{n,i} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,n} & \cdots & c\cdot_F\delta_{i,n} & \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{n,1} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & c\cdot_F \delta_{i,i} & \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,n} & \cdots & 0_F & \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c\cdot_F0_F & \cdots & c\cdot_F \delta_{i,i} & \cdots & c\cdot_F 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & 0_F & \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c\cdot_F\delta_{i,1} & \cdots & c\cdot_F \delta_{i,i} & \cdots & c\cdot_F \delta_{i,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & \delta_{n,i} & \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = E \text{ 이므로} \end{align*}$

$\det(E) = \det(E^t)$이다.

$E$가 $i$행에 $j$행의 $c\in F$곱을 더하는 $3$형 행연산 $h_{i,j}: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = h_{i,j}(I_n)$일때

일반성을 잃지 않고 $i<j$이면

$ \begin{align*} E^t & = (h_{i,j}(I_n) )^t \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{1,j}& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{i,1}+_F c\cdot_F \delta_{j,1} & \cdots & \delta_{i,i}+_F c\cdot_F \delta_{j,i} & \cdots &\delta_{i,j}+_F c\cdot_F \delta_{j,j}& \cdots & \delta_{i,n}+_F c\cdot_F \delta_{j,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{j,1} & \cdots & \delta_{j,i} & \cdots & \delta_{j,j}& \cdots & \delta_{j,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & \delta_{n,i} & \cdots & \delta_{n,j}& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix}^t \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{i,1}+_F c\cdot_F\delta_{j,1} & \cdots & \delta_{j,1}& \cdots & \delta_{n,1} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{i,i}+_F c\cdot_F\delta_{j,i} & \cdots & \delta_{j,i}& \cdots & \delta_{n,i} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,j} & \cdots & \delta_{i,j}+_F c\cdot_F \delta_{j,j} & \cdots & \delta_{j,j}& \cdots & \delta_{n,j} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,n} & \cdots & \delta_{i,n}+_F c\cdot_F\delta_{j,n} & \cdots & \delta_{j,n}& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & 0_F +_F c\cdot_F0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{n,1} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 1_F+_F c\cdot_F0_F & \cdots & 0_F& \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F+_F c\cdot_F 1_F & \cdots & 1_F& \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,n} & \cdots & 0_F+_F c\cdot_F0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & 0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 1_F & \cdots & 0_F& \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & c & \cdots & 1_F& \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & 0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & 0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 1_F & \cdots & 0_F& \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F +_F c\cdot_F 0_F & \cdots & 0_F +_Fc\cdot_F1_F & \cdots & 1_F +_F c\cdot_F 0_F& \cdots & 0_F+_F c\cdot_F 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & 0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{1,j}& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{i,1} & \cdots & \delta_{i,i} & \cdots &\delta_{i,j}& \cdots & \delta_{i,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{j,1} +_F c\cdot_F\delta_{i,1} & \cdots & \delta_{j,i} +_F c\cdot_F \delta_{i,i} & \cdots & \delta_{j,j} +_F c\cdot_F\delta_{i,j}& \cdots & \delta_{j,n} +_F c\cdot_F\delta_{i,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & \delta_{n,i} & \cdots & \delta_{n,j}& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \text{ 이므로} \end{align*}$

$j$행에 $i$행의 $c\in F$곱을 더하는 $3$형 행연산 $h_{j,i} : M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E^t = h_{j,i}(I_n)$이 되어

위 정리로 $\det(E) = \det(h_{i,j}(I_n)) = \det(I_n) = \det(h_{j,i}(I_n)) = \det(E^t)$이다.

$E$가 임의의 열연산 $g:M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E= g(I_n)$이면

행렬 정리로 $E^t = (g(I_n))^t = f(I_n^t) = f(I_n)$인 행연산 $f :M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$가 존재하여

위와 같이 $E = E^t$이거나 $E = h(I_n)$인 행연산 $h :M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$가 존재하므로 $\det(E) = \det(E^t)$이다.

4.

3번과 같이 모든 기본행렬 $E$는 항등행렬 $I_n$에 행연산을 적용하여 표현가능하므로 임의의 $i,j = 1,2,\cdots n$에 대해

$E$가 $i,j$행을 교환하는 $1$형 행연산 $f: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = f(I_n)$일때

$i = j$이면

$E = f(I_n) = I_n$이므로 2번으로 $\det(E*A) = \det(I_n * A) = \det(A) = 1_F \cdot_F \det(A) = \det(I_n)\cdot_F \det(A)$이다.

$i\ne j$이면 행렬 정리로 $E*A = f(A)$이므로 2번과 위 정리로

$\det(E*A) = \det(f(A)) = -\det(A) = -1_F\cdot_F \det(A) = -\det(I_n)\cdot_F \det(A) = \det(f(I_n))\cdot_F \det(A) = \det(E) \cdot_F \det(A) \text{ 이다.}$

$E$가 $i$행에 $c\in F\setminus \{ 0_F\}$를 곱하는 $2$형 행연산 $g: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = g(I_n)$이면

행렬 정리로 $E*A = g(A)$이므로 2번과 위 정리로

$\det(E*A) = \det(g(A)) = c\cdot_F\det(A) = c\cdot_F 1_F\cdot_F \det(A) = c\cdot_F \det(I_n)\cdot_F \det(A) = \det(g(I_n))\cdot_F \det(A) = \det(E) \cdot_F \det(A) \text{ 이다.}$

$E$가 $i$행에 $j$행의 $c\in F$곱을 더하는 $3$형 행연산 $h: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = h(I_n)$이면

$i\ne j$이고 행렬 정리로 $E*A = h(A)$이므로 2번과 위 정리로

$\det(E*A) = \det(h(A)) = \det(A) = 1_F\cdot_F \det(A) = \det(I_n)\cdot_F \det(A) = \det(h(I_n))\cdot_F \det(A) = \det(E) \cdot_F \det(A) \text{ 이다.}$

 

 

 

정리10

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$와 임의의 행렬 $A,B\in M_{n\times n}(F)$에 대해 $\det(A$ $*$ $B) = \det(A)\cdot_F \det(B)$이다.

증명

열벡터 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에 대해 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} <n$이면

행렬의 랭크 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A*B)}\le \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} <n$이므로

위 정리로 $\det(A*B) = 0_F = 0_F\cdot_F \det(B) = \det(A)\cdot_F \det(B)$이다.

$\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} =n$이면 행렬의 랭크 정리와 행렬 정리로

$A = E_1*E_2*\cdots *E_k$인 기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_k\in M_{n\times n}(F)$가 존재하여 위 정리로

$\begin{align*}\det(A*B) & = \det(E_1*E_2*\cdots*E_k *B) \\[0.5em] &= \det(E_1)\cdot_F \det(E_2)\cdot_F \cdots \cdot_F \det(E_k)\cdot_F \det(B) \\[0.5em] & = \det(E_1*E_2*\cdots *E_k)\cdot_F \det(B) \\[0.5em] &= \det(A)\cdot_F \det(B) \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리11

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$에 대해 임의의 행렬 $A\in M_{n\times n}(F)$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $\det(A)\ne 0_F$인 것이다.

이때 $A$의 역행렬 $A^{-1}\in M_{n\times n}(F)$에 대해 $\det(A^{-1}) = (\det(A))^{-1} = \dfrac{1_F}{\det(A)}$이다.

증명

$A$가 가역이면 항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(F)$에 대해

위 정리와 위 정리로 $\det(A)\cdot_F \det(A^{-1}) = \det(A*A^{-1}) = \det(I_n) = 1_F$이므로

$\det(A)\ne 0_F$이고 $\det(A^{-1}) = (\det(A))^{-1} = \dfrac{1_F}{\det(A)}$이다.

역은 대우로 증명한다.

$A$가 가역이 아니면 행렬의 랭크 정리로 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에 대해 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} \ne n$이므로

행렬의 랭크의 정의와 차원 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} < n$이 되어 위 정리로 $\det(A) = 0_F$이다.

 

 

 

정리12

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$와 임의의 행렬 $A\in M_{n\times n}(F)$에 대해 $\det(A) = \det($$A^t$$)$이다.

증명

열벡터 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에 대해

$A$가 가역이 아니면 행렬의 랭크 정리로 전치행렬 정리로

$\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A^t)}=\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} < n$이므로 위 정리로 $\det(A) = 0_F = \det(A^t)$이다.

$A$가 가역이면

행렬 정리로 $A = E_1*E_2*\cdots *E_k$인 기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_k\in M_{n\times n}(F)$가 존재하여 

기본행렬 정리로 $E_1^t,E_2^t,\cdots, E_k^t \in M_{n\times n}(F)$는 기본행렬이고

전치행렬 정리로 $A^t = (E_1*E_2*\cdots *E_k)^t = E_k^t * \cdots *E_2^t * E_1^t $이므로 위 정리로

$\begin{align*} \det(A) &= \det(E_1*E_2*\cdots*E_k) \\[0.5em] & = \det(E_1) \cdot_F \det(E_2)\cdot_F \cdots \cdot_F \det(E_k) \\[0.5em] & = \det(E_1^t) \cdot_F \det(E_2^t)\cdot_F \cdots \cdot_F \det(E_k^t) \\[0.5em] & = \det(E_k^t) \cdot_F \cdots \cdot_F \det(E_2^t) \cdot_F \det(E_1^t) \\[0.5em] & = \det(E_k^t * \cdots *E_2^t * E_1^t) \\[0.5em] & = \det(A^t) \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리20

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 $n\ge 2$인 임의의 행렬이 $A\in M_{n\times n}(F)$일때

$A$의 전치행렬 $A^t \in M_{n\times n}(F)$와 모든 $i, j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $(\widetilde{A^t})_{j,i}  = (\widetilde{A}_{i,j})^t $이다.

증명

$\begin{align*} (\widetilde{A^t})_{j,i} & = \begin{bmatrix} (A^t)_{1,1} &\cdots & (A^t)_{1,i-1} & (A^t)_{1,i+1} &\cdots & (A^t)_{1,n} \\ \vdots & & \vdots &\vdots && \vdots \\ (A^t)_{j-1,1} &\cdots & (A^t)_{j-1,i-1} & (A^t)_{j-1,i+1} &\cdots & (A^t)_{j-1,n} \\ (A^t)_{j+1,1} &\cdots & (A^t)_{j+1,i-1} & (A^t)_{j+1,i+1} &\cdots & (A^t)_{j+1,n}\\ \vdots & & \vdots &\vdots && \vdots \\ (A^t)_{n,1} &\cdots & (A^t)_{n,i-1} & (A^t)_{n,i+1} &\cdots & (A^t)_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} A_{1,1} &\cdots & A_{i-1,1} & A_{i+1,1} &\cdots & A_{n,1} \\ \vdots & & \vdots &\vdots && \vdots \\ A_{1,j-1} &\cdots & A_{i-1,j-1} & A_{i+1,j-1} &\cdots & A_{n,j-1} \\ A_{1,j+1} &\cdots & A_{i-1,j+1} & A_{i+1,j+1} &\cdots & A_{n,j+1}\\ \vdots & & \vdots &\vdots && \vdots \\ A_{1,n} &\cdots & A_{i-1,n} & A_{i+1,n} &\cdots & A_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} A_{1,1} &\cdots & A_{1,j-1} & A_{1,j+1} &\cdots &A_{1,n}\\ \vdots & & \vdots &\vdots && \vdots \\ A_{i-1,1} &\cdots & A_{i-1,j-1} & A_{i-1,j+1} &\cdots & A_{i-1,n} \\ A_{i+1,1} &\cdots & A_{i+1,j-1} & A_{i+1,j+1} &\cdots &A_{i+1,n}\\ \vdots & & \vdots &\vdots && \vdots \\ A_{n,1} &\cdots &A_{n,j-1} & A_{n,j+1} &\cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}^t \\[0.5em] & = (\widetilde{A}_{i,j})^t \end{align*} $

 

 

 

정리21

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 $n\ge 2$인 임의의 행렬이 $A\in M_{n\times n}(F)$일때

크로네커델타 $\delta$와 임의의 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $\begin{bmatrix} A_{1,j} \\ A_{2,j} \\ \vdots \\ A_{i,j} \\ \vdots \\ A_{n,j}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_{1,i}\\ \delta_{2,i} \\ \vdots \\ \delta_{i,i} \\ \vdots \\ \delta_{n,i}\end{bmatrix}\in M_{n\times 1}(F)$인 

$j = 1,2,\cdots, n$가 존재하면 $\det(A) = (-1_F)^{i+j}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{i,j})$이다.

증명

전치행렬의 정의와 크로네커델타 정리로

$\begin{align*} \begin{bmatrix}(A^t)_{j,1}&(A^t)_{j,2} & \cdots & (A^t)_{j,i} & \cdots & (A^t)_{j,n} \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix}A_{1,j}&A_{2,j} & \cdots & A_{i,j} & \cdots & A_{n,j} \end{bmatrix} \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} \delta_{1,i}& \delta_{2,i} & \cdots & \delta_{i,i} & \cdots & \delta_{n,i}\end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} \delta_{i,1}& \delta_{i,2} & \cdots & \delta_{i,i} & \cdots & \delta_{i,n}\end{bmatrix} \text{ 이므로}\end{align*}$

위 정리와 위 정리와 위 정리로

$\det(A)=\det(A^t) = (-1_F)^{j+i}\cdot_F \det((\widetilde{A^t})_{j,i}) = (-1_F)^{i+j}\cdot_F \det((\widetilde{A}_{i,j})^t) = (-1_F)^{i+j}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{i,j})$이다.

 

 

 

정리18

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 $n\ge 2$인 임의의 행렬이 $A \in M_{n\times n}(F)$일때

모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\displaystyle \det(A)  = \sum_{i=1}^{n} (-1_F)^{i+j}\cdot_FA_{i,j}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{i,j})$이다.

증명

위 정리와 위 정리와 위 정리로

$\begin{align*} \det(A) & = \det(A^t) \\[0.5em] &= \sum_{i = 1}^n (-1_F)^{j+i}\cdot_F (A^t)_{j,i}\cdot_F \det((\widetilde{A^t})_{j,i}) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^n (-1_F)^{i+j} \cdot_F A_{i,j}\cdot_F \det((\widetilde{A}_{i,j})^t ) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^n (-1_F)^{i+j} \cdot_F A_{i,j}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{i,j}) \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리19

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 임의의 행렬이 $A \in M_{n\times n}(F)$일때

임의의 $c\in F$와 임의의 $i,j = 1,2,\cdots, n$에 대해 다음이 성립한다.

1. $i\ne j$인 $i,j$열을 교환하는 $1$형 열연산 $f:M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$에 대해 $\det(f(A)) = -\det(A)$이다.

2. $i$열에 $c \ne 0_F$인 $c$를 곱하는 $2$형 열연산 $g :M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$에 대해 $\det(g(A)) = c\cdot_F \det(A)$이다.

3. $i\ne j$일때 $i$열에 $j$열의 $c$곱을 더하는 $3$형 열연산 $h :M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$에 대해 $\det(h(A)) = \det(A)$이다.

증명

1.

열연산 정리로 $(f(A))^t = \overline{f}(A^t)$인 $i,j$행을 교환하는 $1$형 행연산 $\overline{f}:M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$가 존재하여

위 정리와 위 정리로 $\det(f(A)) = \det((f(A))^t) = \det(\overline{f}(A^t)) = -\det(A^t) = -\det(A)$이다.

2.

열연산 정리로 $(g(A))^t = \overline{g}(A^t)$인 $i$행에 $c$를 곱하는 $2$형 행연산 $\overline{g}:M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$가 존재하여

위 정리와 위 정리로 $\det(g(A)) = \det((g(A))^t) = \det(\overline{g}(A^t)) = c\cdot_F \det(A^t) = c\cdot_F \det(A)$이다.

3.

열연산 정리로 $(h(A))^t = \overline{h}(A^t)$인 $i$행에 $j$행의 $c$곱을 더하는 $3$형 행연산 $\overline{h}:M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$가 존재하여

위 정리와 위 정리로 $\det(h(A)) = \det((h(A))^t) = \det(\overline{h}(A^t)) = \det(A^t) = \det(A)$이다.

 

 

 

정리13

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$에 대해 임의의 행렬 $A,B\in M_{n\times n}(F)$가 닮음이면 $\det(A) = \det(B)$이다.

증명

닮음의 정의로 $A = Q^{-1} * B *Q$인 가역행렬 $Q\in M_{n\times n}(F)$가 존재하여 위 정리와 위 정리로

$\det(A) = \det(Q^{-1}*B*Q) = \det(Q^{-1}) \cdot_F \det(B) \cdot_F \det(Q) = (\det(Q))^{-1}\cdot_F \det(Q) \cdot_F \det(B) = 1_F \cdot_F \det(B) = \det(B)\text{ 이다.}$

 

 

 

정리14(크라메르[Cramer] 법칙)

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$에 대해

$\det(A)\ne 0_F$인 임의의 행렬이 $A\in M_{n\times n}(F)$이고 임의의 열벡터가 $b = \begin{bmatrix} b_1\\b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{bmatrix}\in M_{n\times 1}(F)$일때

임의의 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $M_i = \begin{bmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{1,i-1} & b_1 & A_{1,i+1} &\cdots & A_{1,n} \\ A_{2,1} & \cdots & A_{2,i-1} & b_2 & A_{2,i+1} &\cdots &A_{2,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{n,1} & \cdots & A_{n,i-1} & b_n & A_{n,i+1} &\cdots &A_{n,n} \end{bmatrix}\in M_{n\times n}(F)$이고

$x_i = \dfrac{\det(M_i)}{\det(A)} \in F$에 대해 $x = \begin{bmatrix} x_1\\x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}\in M_{n\times 1}(F)$이면 $A*x = b$이다.

증명

위 정리로 $A$는 가역이므로 $A^{-1}*b = s =\begin{bmatrix} s_1\\s_2 \\ \vdots \\ s_n\end{bmatrix} \in M_{n\times 1}(F)$에 대해 연립일차방정식 정리로 $A*s =b$이다.

$n = 1$이면 $b= M_1\in M_{1\times 1}(F)$이므로 행렬식의 정의와 위 정리와 위 정리로

$s_1 = \det(s) = \det(A^{-1}*b) = \det(A^{-1})\cdot_F \det(b) = (\det(A))^{-1}\cdot_F \det(M_1) = \dfrac{\det(M_1)}{\det(A)} =x_1$이 되어

$s = \begin{bmatrix} s_1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1\end{bmatrix} = x$이다.

$n > 1$일때 임의의 $i = 1,2,\cdots ,n$와 크로네커델타 $\delta$에 대해

$S_i = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{1,i-1} & s_1 & \delta_{1,i+1} &\cdots & \delta_{1,n} \\ \delta_{2,1} & \cdots & \delta_{2,i-1} & s_2 & \delta_{2,i+1} &\cdots &\delta_{2,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & \delta_{n,i-1} & s_n & \delta_{n,i+1} &\cdots &\delta_{n,n} \end{bmatrix}\in M_{n\times n}(F)$이면

위 정리와 위 정리로 $\det(S_i) = \displaystyle \sum_{j = 1}^{n} (-1_F)^{i+j}\cdot_F (S_i)_{i,j} \cdot_F \det(\widetilde{(S_i)}_{i,j}) = (-1_F)^{2\cdot i}\cdot_F s_i \cdot \det(I_{n-1}) = s_i$이고

$\begin{align*} A* S_i & = \begin{bmatrix} {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{1,k}\cdot_F \delta_{k,1}}& \cdots & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{1,k}\cdot_F \delta_{k,i-1}} & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{1,k}\cdot_F s_k} & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{1,k}\cdot_F \delta_{k,i+1}} &\cdots & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{1,k}\cdot_F \delta_{k,n}} \\{\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{2,k}\cdot_F \delta_{k,1}}& \cdots & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{2,k}\cdot_F \delta_{k,i-1}} & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{2,k}\cdot_F s_k} & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{2,k}\cdot_F \delta_{k,i+1}} &\cdots & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{2,k}\cdot_F \delta_{k,n}} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{n,k}\cdot_F \delta_{k,1}}& \cdots & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{n,k}\cdot_F \delta_{k,i-1}} & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{n,k}\cdot_F s_k} & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{n,k}\cdot_F \delta_{k,i+1}} &\cdots & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{n,k}\cdot_F \delta_{k,n}} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} A_{1,1}\cdot_F \delta_{1,1}& \cdots & A_{1,i-1}\cdot_F \delta_{i-1,i-1} & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{1,k}\cdot_F (A^{-1}* b)_{k,1}} & A_{1,i+1}\cdot_F \delta_{i+1,i+1} &\cdots & A_{1,n}\cdot_F \delta_{n,n} \\A_{2,1}\cdot_F \delta_{1,1}& \cdots & A_{2,i-1}\cdot_F \delta_{i-1,i-1} & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{2,k}\cdot_F (A^{-1}* b)_{k,1}} & A_{2,i+1}\cdot_F \delta_{i+1,i+1} &\cdots & A_{2,n}\cdot_F \delta_{n,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\A_{n,1}\cdot_F \delta_{1,1}& \cdots & A_{n,i-1}\cdot_F \delta_{i-1,i-1} & {\displaystyle \sum_{k = 1}^n A_{n,k}\cdot_F (A^{-1}* b)_{k,1}} & A_{n,i+1}\cdot_F \delta_{i+1,i+1} &\cdots & A_{n,n}\cdot_F \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} A_{1,1}& \cdots & A_{1,i-1} & (A*A^{-1}* b)_{1,1} & A_{1,i+1} &\cdots & A_{1,n} \\A_{2,1}& \cdots & A_{2,i-1} & (A*A^{-1}* b)_{2,1} & A_{2,i+1}&\cdots & A_{2,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\A_{n,1}& \cdots & A_{n,i-1} & (A*A^{-1}* b)_{n,1} & A_{n,i+1} &\cdots & A_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} A_{1,1}& \cdots & A_{1,i-1} & b_1 & A_{1,i+1} &\cdots & A_{1,n} \\A_{2,1}& \cdots & A_{2,i-1} & b_2 & A_{2,i+1}&\cdots & A_{2,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\A_{n,1}& \cdots & A_{n,i-1} & b_n & A_{n,i+1} &\cdots & A_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = M_i \text{ 이므로} \end{align*} $

위 정리로 $\det(M_i) = \det(A*S_i) = \det(A) \cdot_F \det(S_i) = \det(A)\cdot_F s_i$이고

$s_i = \dfrac{\det(M_i)}{\det(A)} = x_i$가 되어 $s =\begin{bmatrix} s_1\\s_2 \\ \vdots \\ s_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots \\ x_n\end{bmatrix} =x$이다.

 

 

 

정리22

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 $n\ge 2$인 임의의 행렬 $A\in M_{n\times n}(F)$가 가역이면

$A$의 역행렬 $A^{-1}\in M_{n\times n}(F)$은 임의의 $i,j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $(A^{-1})_{j,i} = \dfrac{(-1_F)^{i+j}\cdot_F\det(\widetilde{A}_{i,j})}{\det(A)}$이다.

증명

$A$가 가역이므로 위 정리로 $\det(A)\ne 0_F$가 되어 항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(F)$에 대해

$M_{i,j} = \begin{bmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{1,j-1} & (I_n)_{1,i} & A_{1,j+1} &\cdots & A_{1,n} \\ A_{2,1} & \cdots & A_{2,j-1} & (I_n)_{2,i} & A_{2,j+1} &\cdots &A_{2,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{n,1} & \cdots & A_{n,j-1} & (I_n)_{n,i} & A_{n,j+1} &\cdots &A_{n,n} \end{bmatrix}\in M_{n\times n}(F)$이면

위 정리로 $\dfrac{\det(M_{i,j})}{\det(A)} =  \dfrac{(-1_F)^{i+j}\cdot_F \det((\widetilde{M_{i,j}})_{i,j})}{\det(A)} = \dfrac{(-1_F)^{i+j}\cdot_F \det(\widetilde{A}_{i,j})}{\det(A)}$이고

$B_{i,j} = \dfrac{\det(M_{i,j})}{\det(A)}$인 행렬 $B\in M_{n\times n}(F)$에 대해

행렬곱 정리와 위 정리로 $\begin{bmatrix} (A*B^t)_{1,i} \\ (A*B^t)_{2,i} \\ \vdots \\ (A*B^t)_{n,i} \end{bmatrix} =A*\begin{bmatrix} (B^t)_{1,i} \\ (B^t)_{2,i} \\ \vdots \\ (B^t)_{n,i} \end{bmatrix} = A*\begin{bmatrix} B_{i,1} \\ B_{i,2} \\ \vdots \\ B_{i,n}  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (I_{n})_{1,i}\\ (I_n)_{2,i} \\ \vdots \\ (I_n)_{n,i}\end{bmatrix}$이므로

행렬의 상등으로 $A*B^t = I_n$이 되어 역행렬 정리로 $B^t = A^{-1}$임에 따라 

$(A^{-1})_{j,i} = (B^t)_{j,i} = B_{i,j} = \dfrac{(-1_F)^{i+j}\cdot_F\det(\widetilde{A}_{i,j})}{\det(A)}$이다.

 

 

 

정리15

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$일때

임의의 행렬 $A\in M_{n\times n}(F)$와 $B\in M_{n\times p}(F)$와 영행렬 $O\in M_{p\times n}(F)$와 항등행렬 $I_p \in M_{p\times p}(F)$에 대해

$M = \begin{bmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{1,n} & B_{1,1} & \cdots & B_{1,p} \\ \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ A_{n,1} & \cdots & A_{n,n} & B_{n,1} & \cdots & B_{n,p} \\O_{1,1} & \cdots & O_{1,n} & (I_p)_{1,1} & \cdots & (I_p)_{1,p} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ O_{p,1} & \cdots & O_{p,n} & (I_p)_{p,1} & \cdots & (I_n)_{p,p} \end{bmatrix}\in M_{(n+p)\times (n+p)}(F)$이면 $\det(M) = \det(A)$이다.

증명

$p\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$p = 1$이면 $M = \begin{bmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{1,n} & B_{1,1}  \\ \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots  \\ A_{n,1} & \cdots & A_{n,n} & B_{n,1}  \\O_{1,1} & \cdots & O_{1,n} & (I_1)_{1,1}  \end{bmatrix}\in M_{(n+1)\times (n+1)}(F)$이고 $\widetilde{M}_{n+1,n+1} = A$이므로 위 정리로

$\det(M) = \displaystyle \sum_{j = 1}^{n+1} (-1_F)^{n+1+j}\cdot_F M_{n+1,j} \cdot_F \det(\widetilde{M}_{n+1,j}) = (-1_F)^{2\cdot(n+1)}\cdot_F (I_1)_{1,1}\cdot_F \det(\widetilde{M}_{n+1,n+1}) =\det(A) $이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때

임의의 $B\in M_{n\times (k+1)}(F)$와 영행렬 $O\in M_{(k+1)\times n}(F)$와 항등행렬 $I_{k+1} \in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$에 대해

$M = \begin{bmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{1,n} & B_{1,1} & \cdots & B_{1,k} & B_{1,k+1} \\ \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots& \vdots \\ A_{n,1} & \cdots & A_{n,n} & B_{n,1} & \cdots & B_{n,k}& B_{n,k+1} \\O_{1,1} & \cdots & O_{1,n} & (I_{k+1})_{1,1} & \cdots & (I_{k+1})_{1,k}& (I_{k+1})_{1,k+1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots& \vdots \\ O_{k,1} & \cdots & O_{k,n} & (I_{k+1})_{k,1} & \cdots & (I_{k+1})_{k,k}& (I_{k+1})_{k,k+1} \\ O_{k+1,1} & \cdots & O_{k+1,n} & (I_{k+1})_{k+1,1} & \cdots & (I_{k+1})_{k+1,k}& (I_{k+1})_{k+1,k+1} \end{bmatrix}\in M_{(n+k+1)\times (n+k+1)}(F)$이면

귀납가정으로 $\det(\widetilde{M}_{n+k+1,n+k+1}) =\det( A)$이므로 위 정리로

$\det(M) = \displaystyle \sum_{j = 1}^{n+k+1} (-1_F)^{n+k+1+j}\cdot_F M_{n+k+1,j} \cdot_F \det(\widetilde{M}_{n+k+1,j}) = (-1_F)^{2\cdot(n+k+1)}\cdot_F (I_{k+1})_{k+1,k+1}\cdot_F \det(\widetilde{M}_{n+k+1,n+k+1}) =\det(A) \text{ 이다.}$

따라서 모든 $p\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리16

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$일때

임의의 행렬 $C\in M_{p\times p}(F)$와 $B\in M_{p\times n}(F)$와 영행렬 $O\in M_{n\times p}(F)$와 항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$에 대해

$M = \begin{bmatrix} (I_n)_{1,1} & \cdots & (I_n)_{1,n} & O_{1,1} & \cdots & O_{1,p} \\ \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ (I_n)_{n,1} & \cdots & (I_n)_{n,n} & O_{n,1} & \cdots & O_{n,p} \\B_{1,1} & \cdots & B_{1,n} & C_{1,1} & \cdots & C_{1,p} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ B_{p,1} & \cdots & B_{p,n} & C_{p,1} & \cdots & C_{p,p} \end{bmatrix}\in M_{(n+p)\times (n+p)}(F)$이면 $\det(M) = \det(C)$이다.

증명

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$이면 $M = \begin{bmatrix} (I_1)_{1,1}  & O_{1,1} & \cdots & O_{1,p} \\B_{1,1}  & C_{1,1} & \cdots & C_{1,p} \\ \vdots &\vdots & \ddots  & \vdots \\ B_{p,1}  & C_{p,1} & \cdots & C_{p,p} \end{bmatrix}\in M_{(1+p)\times (1+p)}(F)$이고 $\widetilde{M}_{1,1} = C$이므로 행렬식의 정의로

$\det(M) = \displaystyle \sum_{j = 1}^{1+p} (-1_F)^{1+j}\cdot_F M_{1,j} \cdot_F \det(\widetilde{M}_{1,j}) = (-1_F)^{1+ 1}\cdot_F (I_1)_{1,1}\cdot_F \det(\widetilde{M}_{1,1}) =\det(C) $이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때

임의의 $B\in M_{p\times (k+1)}(F)$와 영행렬 $O\in M_{(k+1)\times p}(F)$와 항등행렬 $I_{k+1} \in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$에 대해

$M = \begin{bmatrix} (I_{k+1})_{1,1} & \cdots & (I_{k+1})_{1,k} & (I_{k+1})_{1,k+1} & O_{1,1} & \cdots & O_{1,p} \\ \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots& \vdots & \ddots  & \vdots \\ (I_{k+1})_{k,1} & \cdots & (I_{k+1})_{k,k} & (I_{k+1})_{k,k+1} & O_{k,1} & \cdots & O_{k,p} \\ (I_{k+1})_{k+1,1} & \cdots & (I_{k+1})_{k+1,k} & (I_{k+1})_{k+1,k+1} & O_{k+1,1} & \cdots & O_{k+1,p} \\B_{1,1} & \cdots & B_{1,k} & B_{1,k+1} & C_{1,1} & \cdots & C_{1,p} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots& \vdots & \ddots  & \vdots \\ B_{p,1} & \cdots & B_{p,k} & B_{p,k+1} & C_{p,1} & \cdots & C_{p,p} \end{bmatrix}\in M_{(k+1+p)\times (k+1+p)}(F)$이면

귀납가정으로 $\det(\widetilde{M}_{1,1}) =\det( C)$이므로 행렬식의 정의로

$\det(M) = \displaystyle \sum_{j = 1}^{k+1+p} (-1_F)^{1+j}\cdot_F M_{1,j} \cdot_F \det(\widetilde{M}_{1,j}) = (-1_F)^{1+1}\cdot_F (I_{k+1})_{1,1}\cdot_F \det(\widetilde{M}_{1,1}) =\det(C) \text{ 이다.}$

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리17

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$일때

임의의 행렬 $A\in M_{n\times n}(F)$와 $B\in M_{n\times p}(F)$와 영행렬 $O\in M_{p\times n}(F)$와 $C \in M_{p\times p}(F)$에 대해

$M = \begin{bmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{1,n} & B_{1,1} & \cdots & B_{1,p} \\ \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ A_{n,1} & \cdots & A_{n,n} & B_{n,1} & \cdots & B_{n,p} \\O_{1,1} & \cdots & O_{1,n} & C_{1,1} & \cdots & C_{1,p} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ O_{p,1} & \cdots & O_{p,n} & C_{p,1} & \cdots & C_{p,p} \end{bmatrix}\in M_{(n+p)\times (n+p)}(F)$이면 $\det(M) = \det(A)\cdot_F \det(C)$이다.

증명

열벡터 $F$-벡터공간 $(M_{(n+p)\times 1}(F),+_{n+p},\cdot_{n+p},O_{n+p})$와 $(M_{p\times 1}(F),+_p,\cdot_p,O_p)$에 대해

$\underset{(M_{p\times 1}(F),+_p,\cdot_p,O_p)}{\operatorname{rank}(C)}<p$이면 행렬의 랭크 정리로

$\underset{(M_{(n+p)\times 1}(F),+_{n+p},\cdot_{n+p},O_{n+p})}{\operatorname{rank}(M)}<n+p$가 되어 위 정리로 $\det(M) = 0_F =\det(A)\cdot_F 0_F = \det(A)\cdot_F \det(C)$이다.

$\underset{(M_{p\times 1}(F),+_p,\cdot_p,O_p)}{\operatorname{rank}(C)}=p$일때 행렬의 랭크 정리로 $C$는 가역이므로

$C$의 역행렬 $C^{-1}\in M_{p\times p}(F)$과 항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(F)$과 $I_p \in M_{p\times p}(F)$에 대해

$E = \begin{bmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{1,n} & (B*C^{-1})_{1,1} & \cdots & (B*C^{-1})_{1,p} \\ \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ A_{n,1} & \cdots & A_{n,n} & (B*C^{-1})_{n,1} & \cdots & (B*C^{-1})_{n,p} \\O_{1,1} & \cdots & O_{1,n} & (I_p)_{1,1} & \cdots & (I_p)_{1,p} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ O_{p,1} & \cdots & O_{p,n} & (I_p)_{p,1} & \cdots & (I_p)_{p,p} \end{bmatrix}\in M_{(n+p)\times (n+p)}(F)$이고

$G = \begin{bmatrix} (I_n)_{1,1} & \cdots & (I_n)_{1,n} & (O^t)_{1,1} & \cdots & (O^t)_{1,p} \\ \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ (I_n)_{n,1} & \cdots & (I_n)_{n,n} & (O^t)_{n,1} & \cdots & (O^t)_{n,p} \\O_{1,1} & \cdots & O_{1,n} & C_{1,1} & \cdots & C_{1,p} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ O_{p,1} & \cdots & O_{p,n} & C_{p,1} & \cdots & C_{p,p} \end{bmatrix}\in M_{(n+p)\times (n+p)}(F)$이면

$\begin{align*} E*G &= \begin{bmatrix} { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{1,k}\cdot_F G_{k,1}} & \cdots & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{1,k}\cdot_F G_{k,n}} & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{1,k}\cdot_F G_{k,n+1}} & \cdots & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{1,k}\cdot_F G_{k,n+p}} \\ \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{n,k}\cdot_F G_{k,1}} & \cdots & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{n,k}\cdot_F G_{k,n}} & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{n,k}\cdot_F G_{k,n+1}} & \cdots & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{n,k}\cdot_F G_{k,n+p}} \\ { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{n+1,k}\cdot_F G_{k,1}} & \cdots & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{n+1,k}\cdot_F G_{k,n}} & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{n+1,k}\cdot_F G_{k,n+1}} & \cdots & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{n+1,k}\cdot_F G_{k,n+p}} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{n+p,k}\cdot_F G_{k,1}} & \cdots & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{n+p,k}\cdot_F G_{k,n}} & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{n+p,k}\cdot_F G_{k,n+1}} & \cdots & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{n+p} E_{n+p,k}\cdot_F G_{k,n+p}} \end{bmatrix} \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} A_{1,1}\cdot_F (I_n)_{1,1} & \cdots & A_{1,n}\cdot_F (I_n)_{n,n} & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{p} (B*C^{-1})_{1,k}\cdot_F C_{k,1}} & \cdots & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{p} (B*C^{-1})_{1,k}\cdot_F C_{k,p}} \\ \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ A_{n,1}\cdot_F (I_n)_{1,1}& \cdots & A_{n,n}\cdot_F (I_n)_{n,n} & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{p} (B*C^{-1})_{n,k}\cdot_F C_{k,1}} & \cdots & { \displaystyle \sum_{k = 1}^{p} (B*C^{-1})_{n,k}\cdot_F C_{k,p}} \\ 0_F & \cdots & 0_F & (I_p)_{1,1}\cdot_F C_{1,1} & \cdots & (I_p)_{1,1}\cdot_F C_{1,p} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F & (I_p)_{p,p}\cdot_F C_{p,1} & \cdots & (I_p)_{p,p}\cdot_F C_{p,p} \end{bmatrix} \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{1,n} & (B*C^{-1}*C)_{1,1} & \cdots & (B*C^{-1}*C)_{1,p} \\ \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ A_{n,1}& \cdots & A_{n,n} & (B*C^{-1}*C)_{n,1} & \cdots & (B*C^{-1}*C)_{n,p} \\ O_{1,1} & \cdots & O_{1,n}& C_{1,1} & \cdots & C_{1,p} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ O_{p,1}& \cdots & O_{p,n} & C_{p,1} & \cdots & C_{p,p} \end{bmatrix} \\[0.5em] &= \begin{bmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{1,n} & B_{1,1} & \cdots & B_{1,p} \\ \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ A_{n,1}& \cdots & A_{n,n} & B_{n,1} & \cdots & B_{n,p} \\ O_{1,1} & \cdots & O_{1,n}& C_{1,1} & \cdots & C_{1,p} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ O_{p,1}& \cdots & O_{p,n} & C_{p,1} & \cdots & C_{p,p} \end{bmatrix} \\[0.5em] &= M \text{ 이므로} \end{align*}$

위 정리와 위 정리와 위 정리로 $\det(M) = \det(E*G) = \det(E)\cdot_F \det(G) = \det(A)\cdot_F \det(C)$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/74#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/74#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244