선형변환(Linear transformation)

정의1

$F$-벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$일때

선형변환 :

임의의 $x,y \in V$와 $c \in F$에 대해

$T(x+_Vy) = T(x) +_W T(y)$이고 $T(c\cdot_Vx) = c\cdot_W T(x)$인 함수 $T : V\to W$를

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 준동형사상(homomorphism) 또는 선형변환으로 정의한다.

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 모든 선형변환들의 집합족을 $L(V \to W)$로 정의한다.

선형연산자(linear operator) :

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$로의 선형변환을 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 선형연산자로 정의한다.

항등변환(identity transformation) :

임의의 $x \in V$에 대해 $I_V(x) = x$인 함수 $I_V : V \to V$를 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 항등변환으로 정의한다.

영변환(zero transformation) :

임의의 $x \in V$에 대해 $T_0(x) = \vec{0}_W$인 함수 $T_0 : V \to W$을 

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 영변환으로 정의한다.

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)=(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$이면 $T_0 : V \to V$을 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 영변환으로 정의한다.

 

 

 

정리1

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$일때

함수 $T : V \to W$에 대해 다음이 성립한다.

선형변환의 성질 :

$T$가 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환이면 

$T(\vec{0}_V) = \vec{0}_W$이고 모든 $x,y \in V$에 대해 $T(x - y) = T(x) - T(y)$이다.

선형변환 판정법 :

$T$가 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환이기 위한 필요충분조건은

모든 $x,y \in V$와 모든 $c \in F$에 대해 $T(c\cdot_V x +_V y) = c\cdot_W T(x) +_W T(y)$이거나

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n$개의 벡터 $x_1,x_2,\cdots,x_n \in V$과 $n$개의 스칼라 $a_1,a_2,\cdots,a_n \in F$이

$T(a_1\cdot_V x_1 +_V a_2\cdot_V x_2 +_V \cdots +_V a_n\cdot_V x_n) = a_1\cdot_W T(x_1) +_W a_2\cdot_W T(x_2)  +_W \cdots +_W a_n\cdot_WT(x_n) \text{ 인 것이다.}$

증명

선형변환의 성질

선형변환의 정의와 벡터공간 정리로

$T(\vec{0}_V) =T(0_F \cdot_V x) = 0_F \cdot_W T(x) = \vec{0}_W$이고

벡터공간 뺄셈의 정의로

$\begin{align*}T(x - y) & = T(x +_V (-y)) \\[0.5em] & = T(x) +_W T(-(1_F\cdot_V y)) \\[0.5em] & = T(x) +_W T((-1_F)\cdot_V y)  \\[0.5em] & = T(x) +_W (-1_F) \cdot_W T(y) \\[0.5em] & = T(x) - (1_F\cdot_W T(y)) \\[0.5em] & = T(x) -T(y) \text{ 이다.} \end{align*}$

선형변환 판정법

$T$가 선형변환임과 $T(c\cdot_V x +_V y) = c\cdot_W T(x) +_W T(y)$가 동치임을 보인다.

$T$가 선형변환이면 선형변환의 정의로 $T(c\cdot_V x +_V y) = T(c\cdot_V x) +_V T(y) = c\cdot_W T(x) +_W T(y)$이고

역으로 $T(c\cdot_V x +_V y) = c\cdot_W T(x) +_W T(y)$이면

$T(x+_V y) = T(1_F\cdot_V x +_V y)  =1_F \cdot_W T(x) +_W T(y) = T(x) +_W T(y)$이고

$T(c \cdot_V x +_V \vec{0}_V) = c \cdot_W T(x) +_W T(\vec{0}_V) = c\cdot_W T(x) +_W \vec{0}_W = c\cdot_W T(x)$이므로

$T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환이다.

$T$가 선형변환임과 $T(a_1\cdot_V x_1 +_V \cdots +_V a_n\cdot_V x_n) = a_1\cdot_W T(x_1)  +_W \cdots +_W a_n\cdot_WT(x_n)$이 동치임을 보인다.

$T(a_1\cdot_V x_1 +_V \cdots +_V a_n\cdot_V x_n) = a_1\cdot_W T(x_1)  +_W \cdots +_W a_n\cdot_WT(x_n)$이면

$T(a_1\cdot_V x_1 +_V x_2) = T(a_1\cdot_V x_1 +_V 1_F \cdot_V x_2) = a_1\cdot_W T(x_1)  +_W 1_F\cdot_WT(x_2) = a_1\cdot_W T(x_1) +_W T(x_2)\text{ 이므로}$

$T$는 선형변환이다.

역으로 $T$가 선형변환이면

$T(a_1\cdot_V x_1 +_V \cdots +_V a_n\cdot_V x_n) = a_1\cdot_W T(x_1)  +_W \cdots +_W a_n\cdot_WT(x_n)$임을 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 보인다.

$n = 1$이면 선형변환의 정의로 $T(a_1\cdot_V x_1) = a_1 \cdot_W T(x_1)$이고

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $T(a_1\cdot_V x_1 +_V \cdots +_V a_k\cdot_V x_k) = a_1\cdot_W T(x_1)  +_W \cdots +_W a_k\cdot_WT(x_k)$이면

귀납가정과 선형변환의 정의로

$\begin{align*} T(a_1\cdot_V x_1 +_V \cdots +_V a_k\cdot_V x_k +_V a_{k+1}\cdot_V x_{k+1}) & = T(a_1\cdot_V x_1 +_V \cdots +_V a_k\cdot_V x_k ) +_W T(a_{k+1}\cdot_V x_{k+1}) \\[0.5em] & = T(a_1\cdot_V x_1 +_V \cdots +_V a_k\cdot_V x_k ) +_W a_{k+1}\cdot_W T( x_{k+1}) \\[0.5em]& = a_1\cdot_W T(x_1)  +_W \cdots +_W a_k\cdot_WT(x_k)+_W a_{k+1}\cdot_WT(x_{k+1}) \text{ 이므로} \end{align*}$

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $T(a_1\cdot_V x_1 +_V \cdots +_V a_n\cdot_V x_n) = a_1\cdot_W T(x_1)  +_W \cdots +_W a_n\cdot_WT(x_n)$이다.

 

 

 

정리2

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$일때 다음이 성립한다.

항등변환의 선형성 :

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 항등변환 $I_V : V \to V$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 선형연산자이다.

영변환의 선형성 :

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 영변환 $T_0 : V\to W$은

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환이다. 

증명

항등변환

항등변환의 정의로 임의의 $x,y \in V$와 $c \in F$에 대해

$I_V(c\cdot_V x +_V y) = c\cdot_V x +_V y = c\cdot_V I_V(x) +_V I_V(y)$이므로 위 정리로 $I_V$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 선형연산자이다.

영변환

영변환의 정의와 벡터공간 정리로 임의의 $x,y \in V$와 $c \in F$에 대해 

$T_0(c\cdot_V x +_V y) = \vec{0}_W = c\cdot_W \vec{0}_W +_W \vec{0}_W = c\cdot_W T_0(x) +_W T_0(y)$이므로

위 정리로 $T_0$은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환이다.

 

 

 

정의2

$F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $F$-벡터공간 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환이 $T :V \to W$일때 

영공간(null space) :

$N(T) = \ker T = $ $T^{-1}(\{ \vec{0}_W\})$ $ = \{ x \in V : T(x) = \vec{0}_W \}$인 집합을 $T$의 핵(kernel)으로 정의하고

아래 정리로 $(N(T),+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 부분공간이므로

$(N(T),+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$를 $T$에 대한 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 영공간 또는 핵공간으로 정의한다.

또 $(N(T),+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$가 유한차원일때 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{nullity}(T)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(N(T))}$로 정의한다.

상공간(range) :

$T$의 치역 또는 $T$에 의한 $V$의 상 $R(T) = T(V) = \{T(x) : x\in V \}$에 대해

아래 정리로 $(R(T),+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$는 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 부분공간이므로

$(R(T),+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$를 $T$에 대한 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 상공간으로 정의한다.

또 $(R(T),+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$가 유한차원일때 $T$의 랭크를 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim (R(T))}$로 정의한다.

 

 

 

정리3

$F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $F$-벡터공간 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환 $T :V \to W$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(W_1,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$이 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 부분공간이면

$($$T^{-1}(W_1)$$,+_V,\cdot_V, \vec{0}_V)$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 부분공간이다.

2. $(V_1,+_V,\cdot_V, \vec{0}_V)$이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 부분공간이면

$($$T(V_1)$$,+_W,\cdot_W ,\vec{0}_W)$는 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 부분공간이다.

3. $($$N(T)$$,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 부분공간이다.

4. $($$R(T)$$,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$는 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 부분공간이다.

5. $T$가 단사이기 위한 필요충분조건은 $N(T) = \{ \vec{0}_V\}$인 것이다.

6. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 부분공간 $(V_1,+_V,\cdot_V, \vec{0}_V)$의 임의의 기저 $\beta_1$과 $T(\beta_1)$에 대해 $T(V_1) = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(T(\beta_1))}$이다.

7. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 임의의 기저 $\beta$와 $T(\beta)$에 대해 $R(T) = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(T(\beta))}$이다.

증명

1.

$T^{-1}(W_1) = \{ x\in V : T(x) \in W_1\}$이고 $(W_1,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$은 벡터공간이므로

위 정리로 $T(\vec{0}_V) =\vec{0}_W \in W_1$이 되어 $\vec{0}_V \in T^{-1}(W_1)$이다.

임의의 $x,y\in T^{-1}(W_1)$에 대해 $T(x),T(y) \in W_1$이고 $T$는 선형변환이므로 

$T(x+_V y)= T(x) +_W T(y) \in W_1$이 되어 $x+_V y \in T^{-1}(W_1)$이고

임의의 $c \in F$에 대해 $T(c\cdot_V x)= c\cdot_F T(x)\in W_1$이므로 $c\cdot_V x \in T^{-1}(W_1)$이다.

따라서 $T^{-1}(W_1) \subseteq V$이므로 부분공간 정리로 $(T^{-1}(W_1),+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 부분공간이다.

2.

$T(V_1) = \{ T(v) : v\in V_1\}$이고 $(V_1,+_V,\cdot_V, \vec{0}_V)$은 벡터공간이므로

$\vec{0}_V \in V_1$이 되어 위 정리로 $\vec{0}_W=T(\vec{0}_V)\in T(V_1)$이다.

임의의 $x,y\in T(V_1)$은 $T(u) = x$이고 $T(v) = y$인 $u,v \in V_1$가 존재하여

$u+_V v \in V_1$이고 $T$는 선형변환이므로 $x+_W y = T(u) +_W T(v) = T(u +_V v) \in  T(V_1)$이고

임의의 $c \in F$에 대해 $c\cdot_V u \in V_1$이므로 $c\cdot_Wx = c\cdot_W T(u) = T(c\cdot_V u) \in T(V_1)$이다.

따라서 $T(V_1) \subseteq W$이므로 부분공간 정리로 $(T(V_1),+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$는 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 부분공간이다.

3.

$N(T) = T^{-1}(\{ 0_W\})$이고 벡터공간 정리로 $(\{\vec{0}_W\},+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$는 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 부분공간이므로

1번으로 $(N(T),+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 부분공간이다.

4.

$R(T) = T(V)$이므로 2번으로 $(R(T),+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$는 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 부분공간이다.

5.

$T$가 단사이면

위 정리로 임의의 $x \in N(T)$는 $T(x) = \vec{0}_W = T(\vec{0}_V)$가 되어 단사의 정의로 $x = \vec{0}_V$이므로 $N(T) = \{ \vec{0}_V\}$이다.

역으로 $N(T) = \{ \vec{0}_V\}$이면

$T(x) = T(y)$인 $x ,y\in V$에 대해 위 정리로 $T(x - y) =T(x) - T(y) = T(x) - T(x)= \vec{0}_W$이므로

$T$의 핵의 정의로 $x - y \in N(T) = \{ \vec{0}_V\}$가 되어 $x - y = \vec{0}_V$이고 $x = y$이므로 $T$는 단사이다.

6.

$\beta_1 = \emptyset$이면

위 정리로 $T(\{ \vec{0}_V\}) = \{ \vec{0}_W\}$이고 $\{ \vec{0}_V\} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{span}(\emptyset)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{span}(\beta_1)} = V_1$과 $T(\beta_1) = \emptyset$이 성립하므로

$T(V_1) = T(\{ \vec{0}_V\}) = \{ \vec{0}_W\} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(\emptyset)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(T(\beta_1))}$이다.

$\beta_1 \ne \emptyset$일때

2번으로 $(T(V_1),+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$는 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 부분공간이고

$\beta_1 \subseteq V_1$이므로 $T(\beta_1) \subseteq T(V_1) $이 되어 벡터공간 정리로 $\underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(T(\beta_1))} \subseteq T(V_1)$이다.

또 $\beta_1$는 $(V_1,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 기저이므로 임의의 $x \in T(V_1)$에 대해 $T(u) = x$인 $u \in V_1 = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{span}(\beta_1)}$가 존재하여

생성집합의 정의로 $n \in \mathbb{Z}^+$개의 $a_1,\cdots,a_n \in F$와 $u_1,\cdots,u_n \in \beta_1$에 대해 $u = a_1\cdot_V u_1 +_V \cdots +_V a_n\cdot_V u_n$이고

모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $T(u_i) \in T(\beta_1)$이므로 위 정리로

$x = T(u) = T(a_1\cdot_V u_1 +_V \cdots +_V a_n\cdot_V u_n) = a_1\cdot_W T(u_1) +_W \cdots +_W a_n\cdot_W T(u_n) \in \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(T(\beta_1))}$이 되어

$T(V_1) \subseteq \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(T(\beta_1))}$이고 집합정리로 $T(V_1) = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(T(\beta_1))}$이다.

7.

$R(T) = T(V)$이므로 6번으로 $R(T) = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(T(\beta))}$이다.

 

 

 

정리4(차원 정리)

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환 $T :V \to W$에 대해 

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$가 유한차원이면 $T$에 대한 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 영공간과 상공간도 유한차원이고

$\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim (V)}= \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{nullity}(T)} +\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim (N(T))} + \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim (R(T))}$이다.

증명

위 정리로 $(N(T),+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$는 유한차원인 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 부분공간이므로

벡터공간 정리로 $(N(T),+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$는 유한차원이고 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{nullity}(T)} =\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(N(T))} \le \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)}$이다.

$\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{nullity}(T)} = k,  \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)} =n \in \mathbb{N}$으로 두고 $(N(T),+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 기저가 $\{ v_1,\cdots,v_k\}$일때

기저의 정의로 $\{ v_1,\cdots,v_k\} \subseteq N(T) \subseteq V$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 일차독립이므로

기저 정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 기저 $\{ v_1,\cdots,v_k\} \subseteq \{ v_1,\cdots, v_k ,v_{k+1}, \cdots, v_n\}$이 존재한다.

$\{ v_1,\cdots,v_k\} \subseteq N(T)$이므로 $T$의 핵의 정의로 모든 $i = 1,2,\cdots,k$에 대해 $T(v_i) = \vec{0}_W$이고

생성집합의 정의로 모든 $S \subseteq W$에 대해 $\vec{0}_W \in \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(S)}$이므로 위 정리로

$\begin{align*} R(T)& =\underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(T(\{ v_1},\cdots, v_k ,v_{k+1}, \cdots, v_n\})) \\[0.5em] & = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(\{T(v_1}),\cdots,T(v_k),T(v_{k+1}),\cdots, T(v_n) \}) \\[0.5em] & = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(\{ \vec{0}_W,} T(v_{k+1}),\cdots, T(v_n)\}) \\[0.5em] & =\underset{(W,+_W\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(\{ T(}\!v_{k+1}),\cdots,T(v_n)\}) \text{ 이다.} \end{align*}$

임의의 $i,j = k+1,\cdots, n$에 대해 $T(v_i) = T(v_j)$일때 $v_i \ne v_j$라고 가정하면

위 정리로 $T(v_i - v_j)= T(v_i) - T(v_j)  = \vec{0}_W$이므로 $v_i - v_j \in N(T) = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{span}(\{v_1,}\cdots, v_k\})$가 되어

$v_i - v_j = a_1\cdot_V v_1 +_V \cdots +_V a_k \cdot_V v_k$인 $a_{1},\cdots,a_k \in F$가 존재하는데

$a_1\cdot_V v_1 +_V \cdots +_V a_k \cdot_V v_k +_V(-1_F) \cdot_V v_i +_V 1_F\cdot_V v_j = \vec{0}_V$에 대해 $v_i,v_j \notin \{ v_1,\cdots, v_k\}$이고 $v_i \ne v_j$이므로

일차독립 정리로 $1_F = 0_F$가 되어 체의 정의에 모순이므로 $ T(v_{k+1}),\cdots, T(v_n)$은 서로 다른 벡터이고

$\{ T(v_{k+1}),\cdots, T(v_n)\}$은 $n - k \in \mathbb{N}$개의 원소를 갖는 유한집합이다.

또 $b_{k+1} \cdot_W T(v_{k+1}) +_W \cdots +_W b_n\cdot_W T(v_n) = \vec{0}_W$인 $b_{k+1},\cdots,b_n \in F$이 존재하면

위 정리로 $T(b_{k+1}\cdot_V v_{k+1} +_V \cdots +_V b_n \cdot_V v_n)  =b_{k+1} \cdot_W T(v_{k+1}) +_W \cdots +_W b_n\cdot_W T(v_n) = \vec{0}_W$이므로

$b_{k+1}\cdot_V v_{k+1} +_V \cdots +_V b_n \cdot_V v_n \in N(T) = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{span}(\{ v_1,}\cdots,v_k\})$가 되어

$b_{k+1}\cdot_V v_{k+1} +_V \cdots +_V b_n \cdot_V v_n = a_1\cdot_V v_1 +_V \cdots +_V a_k \cdot_V v_k$인 $a_{1},\cdots,a_k \in F$가 존재하고

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 기저 $\{ v_1,\cdots, v_k ,v_{k+1}, \cdots, v_n\}$는 기저의 정의로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 일차독립이므로

$ (-a_1)\cdot_V v_1 +_V \cdots +_V (-a_k) \cdot_V v_k +_V b_{k+1}\cdot_V v_{k+1} +_V \cdots +_V b_n \cdot_V v_n = \vec{0}_V$에 대해 일차독립 정리로

$ -a_1= \cdots = -a_k = b_{k+1}= \cdots = b_n = 0_F$가 되어 $\{ T(v_{k+1}),\cdots, T(v_n)\}$은 $(R(T),+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 기저이므로

차원의 정의로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(R(T))} = n-k$이고

$\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim (V )}= n = k + n-k =\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{nullity}(T)} +\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)}$이다.

 

 

 

정리5

유한차원 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$가 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(V)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(W)}$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환 $T :V \to W$에 대해 다음은 동치이다.

1. $T$가 단사이다.

2. $T$가 전사이다.

3. $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim (V )}= $ $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)}$ $ = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(R(T))}$

증명

$1\to 2$

위 정리로 $N(T) = \{ \vec{0}_V\}$이므로 $\underset{(V,+_V\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{span}(\emptyset)} = \{ \vec{0}_V\}= N(T)$가 되어

$(N(T),+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 차원은 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{nullity}(T)} = 0$이고

차원정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{nullity}(T)} + \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)}$이다.

따라서 $(R(T),+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 차원은 $\underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(W)}=\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)}$이므로

벡터공간 정리로 $W =R(T)$가 되어 함수 정리로 $T$는 전사이다.

$2 \to 3$

함수 정리로 $W =R(T)$이므로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)}=\underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(W)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(R(T))}$이다.

$3\to 1$

차원정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)} =\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{nullity}(T)} + \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)}$이므로

$\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{nullity}(T)} = 0$이고 $N(T)  = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{span}(\emptyset)} = \{ \vec{0}_V\}$가 되어 위 정리로 $T$는 단사이다.

 

 

 

정리6

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$가 $n \in \mathbb{Z}^+$차원이고 기저가 $\{ v_1,v_2,\cdots, v_n\}$이면 다음이 성립한다.

1. $n$개의 중복가능한 $w_1,w_2,\cdots, w_n \in W$에 대해 모든 $i = 1,2,\cdots, n$가 $T(v_i) = w_i$인

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환 $T :V \to W$가 유일하게 존재한다.

2. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 임의의 선형변환 $U, T :V \to W$가

모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $U(v_i) = T(v_i)$이면 $U = T$이다.

3. $0$차원 $F$-벡터공간 $(\{ \vec{0}_V\},+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환이 유일하게 존재한다.

증명

1.

벡터공간 정리로 모든 $x \in V = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{span}(\{ v_1},\cdots,v_n\})$에 대해

$x = a_1(x)\cdot_Vv_1  +_V\cdots +_V a_n(x) \cdot_V v_n$인 $a_1(x),\cdots, a_n(x) \in F$가 유일하게 존재하므로

$T(x) = a_1(x)\cdot_Ww_1  +_W\cdots +_W a_n(x) \cdot_W w_n$인 함수 $T : V \to W$를 정의하면

임의의 $u,v \in V$와 임의의 $c \in F$에 대해 벡터공간의 성질로

$c\cdot_Vu +_V v = (c\cdot_Fa_1(u) +_Fa_1(v))\cdot_Vv_1+_V \cdots +_V (c\cdot_F a_n(u) +_F a_n(v))\cdot_V v_n $이므로

$ \begin{align*}T(c\cdot_Vu +_V v) & =(c\cdot_Fa_1(u) +_Fa_1(v))\cdot_Ww_1+_W \cdots +_W (c\cdot_F a_n(u) +_F a_n(v))\cdot_W w_n \\[0.5em] & =c\cdot_W (a_1(u)\cdot_Ww_1+_W \cdots +_W a_n(u)\cdot_W w_n) +_W a_1(v)\cdot_Ww_1+_W \cdots +_W a_n(v)\cdot_W w_n  \\[0.5em] & = c\cdot_WT(u) +_W T(v) \text{ 가 되어} \end{align*}$

위 정리로 $T$는 선형변환이고

모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $1_F\cdot_V v_i = v_i = a_1(v_i)\cdot_Vv_1  +_V\cdots +_V a_i(v_i)\cdot_V v_i +_V \cdots +_V a_n(v_i) \cdot_V v_n$이므로

$1_F = a_i(v_i)$이고 $i\ne j$인 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $a_j(v_i) = 0_F$가 되어 $T(v_i) = 1_F\cdot_W w_i = w_i$이다.

또 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $T(v_i) = w_i = U(v_i)$인

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환 $U : V\to W$가 존재하면

모든 $x \in V $에 대해 위 정리로

$\begin{align*}U(x) & = U(a_1(x)\cdot_Vv_1  +_V\cdots +_V a_n(x) \cdot_V v_n) \\[0.5em] & = a_1(x) \cdot_W U(v_1) +_W \cdots +_W a_n(x)\cdot_W U(v_n) \\[0.5em] & = a_1(x) \cdot_W w_1 +_W \cdots +_W a_n(x) \cdot_W w_n \\[0.5em] & = T(x) \text{ 이므로}\end{align*}$

함수의 상등으로 $U = T$가 되어 $T$는 유일하다.

2.

$T(v_1),T(v_2),\cdots,T(v_n) \in W$이고 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $T(v_i) = w_i$로 두면

1번으로 $w_i=T(v_i) = U(v_i)$인 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환은 유일하므로 $T = U$이다.

3.

위 정리로 $(\{ \vec{0}_V\},+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 영변환 $T_0 : \{ \vec{0}_V\}\to W$은 선형변환이고

$(\{ \vec{0}_V\},+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 임의의 선형변환 $T : \{ \vec{0}_V\}\to W$에 대해

위 정리로 $T(\vec{0}_V) = \vec{0}_W = T_0(\vec{0}_V)$이므로 함수의 상등으로 $T = T_0$이 되어

$(\{ \vec{0}_V\},+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환이 유일하게 존재한다.

 

 

 

정의3

순서기저(ordered basis) :

$n \in \mathbb{Z}^+$차원인 $F$-벡터공간 $(V,+,\cdot,\vec{0})$의 기저가 $B$일때

임의의 전단사함수 $\beta : \{ 1,2,\cdots, n\} \to B$를 $(V,+,\cdot,\vec{0})$의 순서기저로 정의하고

모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $\beta(i) = v_i \in B$일때 $\beta = (v_1,v_2,\cdots, v_n)$으로 표기하다.

또 순서기저 $\beta$의 생성집합을 $\underset{(V,+,\cdot,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\beta) = \underset{(V,+,\cdot,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ v_1,v_2,\cdots,v_n\})$으로 정의한다.

좌표벡터(coordinate vector) :

$F$-벡터공간 $(V,+,\cdot,\vec{0})$가 $n \in \mathbb{Z}^+$차원이고 순서기저가 $\beta = (v_1,v_2,\cdots, v_n)$일때

벡터공간 정리로 모든 $x \in V = \underset{(V,+,\cdot,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\beta)$에 대해

$x = a_1(x)\cdot v_1 +a_2(x)\cdot v_2  +\cdots + a_n(x) \cdot v_n$인 $a_1(x),a_2(x),\cdots, a_n(x) \in F$가 유일하게 존재하므로

열벡터 $[x]_\beta = \begin{bmatrix} a_1(x) \\ a_2(x) \\ \vdots \\ a_n(x) \end{bmatrix} \in M_{n\times 1}(F)$를 $\beta$에 대한 $x$의 좌표벡터로 정의한다.

행렬표현(matrix representation) :

$n \in \mathbb{Z}^+$차원 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 순서기저가 $\beta = (v_1,v_2,\cdots, v_n)$이고

$m \in \mathbb{Z}^+$차원 $F$-벡터공간 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 순서기저가 $\gamma = (w_1,w_2,\cdots, w_m)$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환 $T :V \to W$가

임의의 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $T(v_j) = a_{1,j}\cdot_W w_1 +_W a_{2,j}\cdot_W w_2 +_W \cdots +_W a_{m,j}\cdot_W w_m$이면

벡터공간 정리로 $T(v_j) \in W$와 $\gamma = (w_1,w_2,\cdots, w_m)$에 대해 $ a_{1,j}, a_{2,j}, \cdots , a_{m,j} \in F$는 유일하고

위 정리로 $\beta = (v_1,v_2,\cdots, v_n)$에 대해 $T$는 유일하므로

$m\times n$행렬 $[T]_\beta^\gamma = \begin{bmatrix} a_{1,1} &a_{1,2}& \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} &  & a_{2,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\end{bmatrix} \in M_{m\times n}(F)$를 $\beta,\gamma$에 대한 $T$의 행렬표현으로 정의한다.

또 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V) = (W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$이고 $\beta = \gamma$이면

$\beta,\gamma$에 대한 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta^\gamma =[T]_\beta^\beta$를 $\beta$에 대한 $T$의 행렬표현이라 하고 $[T]_\beta = [T]_\beta^\beta$로 표기한다.

$\gamma$에 대한 $T(v_j)$의 좌표벡터 $[T(v_j)]_\gamma = \begin{bmatrix} a_{1,j} \\ a_{2,j} \\ \vdots \\ a_{m,j} \end{bmatrix}$는 $[T]_\beta^\gamma$의 $j$열이다.

 

 

 

정리7

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$가 각각 $n,m \in \mathbb{Z}^+$차원일때

임의의 순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots, v_n)$와 $\gamma = (w_1,w_2,\cdots, w_m)$에 대해 다음이 성립한다.

항등변환의 행렬표현 : 

$\beta$에 대한 항등변환 $I_V \in L(V\to V)$의 행렬표현은 항등행렬 $[I_V]_\beta = I_n \in M_{n\times n}(F)$이다.

영변환의 행렬표현 : 

$\beta,\gamma$에 대한 영변환 $T_0 \in L(V\to W)$의 행렬표현은 영행렬 $[T_0]_\beta^\gamma = O \in M_{m\times n}(F)$이다.

증명

항등변환의 행렬표현

위 정리로 $I_V$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 선형연산자이고 $I_V$의 행렬표현은 $n\times n$행렬이다.

따라서 모든 $j = 1,2,\cdots,n$와 크로네커델타 $\delta : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \{ 0_F, 1_F\}$에 대해 항등변환의 정의로

$\begin{align*} I_V(v_j) &= v_j \\[0.5em] & = 0_F\cdot_V v_1 +_V \cdots +_V 1_F\cdot_V v_j +_V \cdots +_V0_F \cdot_V v_n \\[0.5em] & = \delta_{1,j} \cdot_V v_1 +_V \cdots +_V \delta_{j,j}\cdot_V v_j +_V \cdots +_V \delta_{n,j}\cdot_V v_n \text{ 이므로}\end{align*}$

모든 $i,j = 1,2,\cdots,n$에 대해 항등행렬의 정의로 $([I_V]_\beta)_{i,j} =\delta_{i,j} = (I_n)_{i,j}$가 되어

행렬의 상등으로 $[I_V]_\beta = I_n$이다.

영변환의 행렬표현

위 정리로 $T_0$은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환이고 $T_0$의 행렬표현은 $m\times n$행렬이다.

따라서 모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해 영변환의 정의와 영행렬의 정의로

$\begin{align*} T_0(v_j) &= \vec{0}_W \\[0.5em] & = 0_F\cdot_W w_1 +_W \cdots +_W 0_F\cdot_W w_j +_W \cdots +_W0_F \cdot_W w_m \\[0.5em] & = O_{1,j} \cdot_W w_1 +_W \cdots +_W O_{j,j}\cdot_W w_j +_W \cdots +_W O_{m,j}\cdot_W w_m \text{ 이므로}\end{align*}$

모든 $i = 1,2,\cdots,m$와 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $([T_0]_\beta^\gamma)_{i,j} = O_{i,j}$가 되어 행렬의 상등으로 $[T_0]_\beta^\gamma = O$이다.

 

 

 

정리8

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$이고

임의의 선형변환이 $T,U \in {L}(V\to W)$이고 임의의 스칼라가 $c \in F$일때 임의의 $x \in V$에 대해

벡터합이 $(T + U)(x) = T(x) +_W U(x)$로

스칼라곱이 $(c\cdot T)(x) = c\cdot_W T(x)$로

영벡터가 영변환 $T_0 \in {L}(V\to W)$으로 정의되면 $($$ {L}(V\to W)$$,+,\cdot,T_0)$은 $F$-벡터공간이다.

증명

아래 벡터공간의 성질을 모두 만족하므로 $( {L}(V\to W),+,\cdot,T_0)$은 $F$-벡터공간이다.

영벡터

위 정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 영변환 $T_0 : V\to W$은 $T_0 \in {L}(V\to W)$이다.

벡터합에 대해 닫힘

임의의 $x,y \in V$와 임의의 $a \in F$에 대해 $T,U \in {L}(V\to W)$는 선형변환이므로 위 정리로

$\begin{align*}(T + U)(a\cdot_Vx +_V y) & = T(a\cdot_V x +_V y) +_W U(a\cdot_V x+_V y) \\[0.5em] & = a\cdot_W T(x) +_W T(y) +_W a\cdot_W U(x) +_W U(y) \\[0.5em] & = a\cdot_W (T(x) +_W U(x)) +_W (T(y) +_W U(y)) \\[0.5em] & =a\cdot_W (T + U)(x) +_W (T+U)(y) \text{ 가 되어} \end{align*}$

다시 위 정리로 $T+U \in  {L}(V\to W)$이다.

스칼라곱에 대해 닫힘

임의의 $x,y \in V$와 임의의 $a,c \in F$에 대해 $T \in {L}(V\to W)$는 선형변환이므로 위 정리로

$\begin{align*}(c\cdot T)(a\cdot_Vx +_V y) & = c\cdot_W T(a\cdot_V x +_V y) \\[0.5em] & = c\cdot_W(a\cdot_W T(x) +_W T(y) ) \\[0.5em] & = c\cdot_W (a\cdot_W T(x)) +_W c\cdot_W T(y)\\[0.5em] & = (c\cdot_F a)\cdot_W T(x) +_W c\cdot_W T(y) \\[0.5em] & = (a\cdot_F c) \cdot_W T(x) +_W (c\cdot T)(y) \\[0.5em] & = a\cdot_W (c\cdot_W T(x)) +_W (c\cdot T)(y) \\[0.5em] & = a\cdot_W (c\cdot T)(x) +_W (c\cdot T)(y) \text{ 가 되어} \end{align*}$

다시 위 정리로 $c\cdot T \in {L}(V\to W)$이다.

1.

임의의 $T,U \in {L}(V\to W)$와 임의의 $x \in V$에 대해

$(T + U)(x) = T(x) +_W U(x) = U(x) +_W T(x) = (U + T)(x)$이므로 함수의 상등으로 $T + U = U + T$이다.

2.

임의의 $T,U ,S\in {L}(V\to W)$와 임의의 $x \in V$에 대해

$(T + (U + S))(x) = T(x) +_W (U + S)(x) = T(x)+_W U(x) +_W S(x) = (T + U)(x) +_W S(x) = ((T + U) + S)(x) \text{ 이므로}$

함수의 상등으로 $T + (U+S) = (T + U) + S$이다.

3.

임의의 $T\in {L}(V\to W)$와 임의의 $x \in V$에 대해

$(T + T_0)(x) = T(x) +_W T_0(x) = T(x) +_W \vec{0}_W = T(x)$이므로 함수의 상등으로 $T +T_0 = T$이다.

4.

임의의 $T, (-1_F)\cdot T\in {L}(V\to W)$와 임의의 $x \in V$에 대해

$(T + ((-1_F)\cdot T))(x) = T(x) +_W ((-1_F)\cdot T)(x) = T(x) +_W  (-1_F) \cdot_W T(x) = T(x) +_W (-T(x)) = \vec{0}_W = T_0(x) \text{ 이므로}$

함수의 상등으로 $T + ((-1_F) \cdot T) = T_0$인 $(-1_F)\cdot T\in {L}(V\to W)$가 존재한다.

5.

임의의 $T, 1_F \cdot T\in {L}(V\to W)$와 임의의 $x \in V$에 대해

$(1_F \cdot T)(x) = 1_F \cdot_W T(x) = T(x)$이므로 함수의 상등으로 $1_F \cdot T = T$이다.

6.

임의의 $T\in {L}(V\to W)$와 임의의 $a,b \in F$와 임의의 $x \in V$에 대해

$((a\cdot_F b) \cdot T)(x) = (a\cdot_F b) \cdot_W T(x) = a\cdot_W (b\cdot_W T(x)) = a\cdot_W (b\cdot T)(x) = (a\cdot (b\cdot T))(x) $이므로

함수의 상등으로 $(a\cdot_F b) \cdot T = a\cdot (b\cdot T)$이다.

7.

임의의 $T,U\in {L}(V\to W)$와 임의의 $a \in F$와 임의의 $x \in V$에 대해

$(a\cdot (T + U))(x) = a\cdot_W (T + U)(x) = a\cdot_W (T(x) +_W U(x)) = a\cdot_W T(x) +_W a\cdot_W U(x) = (a\cdot T)(x) +_W (a\cdot U)(x) = (a\cdot T + a\cdot U)(x) \text{ 이므로}$

함수의 상등으로 $a\cdot (T + U) = a\cdot T + a\cdot U$이다.

8.

임의의 $T\in {L}(V\to W)$와 임의의 $a,b \in F$와 임의의 $x \in V$에 대해

$((a+_F b)\cdot T)(x) = (a+_F b) \cdot_W T(x) = a\cdot_W T(x) +_W b\cdot_W T(x) = (a\cdot T)(x) +_W (b\cdot T)(x) = (a\cdot T + b\cdot T)(x)\text{ 이므로}$

함수의 상등으로 $(a+_F b) \cdot T = a\cdot T + b\cdot T$이다.

 

 

 

정리9

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$가

각각 $n,m \in \mathbb{Z}^+$차원이고 순서기저가 $\beta = (v_1,v_2,\cdots, v_n)$와 $\gamma = (w_1,w_2,\cdots, w_m)$일때

$\beta,\gamma$에 대한 선형변환의 행렬표현 $[\, \cdot \,]_\beta^\gamma : L(V\to W) \to M_{m\times n}(F)$는

$(L(V\to W),+_L,\cdot_L,T_0)$에서 $(M_{m\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)$로의 선형변환이고 전단사이다.

증명

$\beta,\gamma$에 대한 $T,U \in L(V \to W)$의 행렬표현의 정의로 모든 $i = 1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$T(v_j) = a_{1,j}\cdot_W w_1 +_W a_{2,j}\cdot_W w_2 +_W \cdots +_W a_{m,j}\cdot w_m$이고

$U(v_j) = b_{1,j}\cdot_W w_1 +_W b_{2,j}\cdot_W w_2 +_W \cdots +_W b_{m,j}\cdot_W w_m$인 $a_{i,j},b_{i,j} \in F$가 유일하게 존재하여

임의의 $c \in F$에 대해

$(c\cdot_L T)(v_j) = c\cdot_W T(v_j) = (c\cdot_F a_{1,j})\cdot_W w_1 +_W (c\cdot_F a_{2,j})\cdot_W w_2 +_W \cdots +_W (c\cdot_F a_{m,j})\cdot w_m$이고

$([c\cdot_L T +_L U]_\beta^\gamma)_{i,j} = c\cdot_F a_{i,j} +_F b_{i,j} = c\cdot_F ([T]_\beta^\gamma)_{i,j} +_F ([U]_\beta^\gamma)_{i,j} = (c\cdot_M [T]_\beta^\gamma)_{i,j} +_F ([U]_\beta^\gamma)_{i,j} = (c\cdot_M [T]_\beta^\gamma +_M [U]_{\beta}^\gamma)_{i,j} \text{ 이므로}$

행렬의 상등으로 $[c\cdot_L T +_L U]_\beta^\gamma = c\cdot_M [T]_\beta^\gamma +_M [U]_{\beta}^\gamma$가 되어

위 정리로 $[\, \cdot \,]_\beta^\gamma$는 $(L(V\to W),+_L,\cdot_L,T_0)$에서 $(M_{m\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)$로의 선형변환이다.

$[U]_\beta^\gamma = A = [T]_\beta^\gamma$인 임의의 $U,T \in L(V\to W)$는 행렬표현의 정의로 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$T(v_j) = A_{1,j}\cdot_W w_1 +_W A_{2,j}\cdot_W w_2 +_W \cdots +_W A_{m,j}\cdot w_m = U(v_j)$이므로

위 정리로 $T = U$가 되어 $[\, \cdot \,]_\beta^\gamma : L(V\to W) \to M_{m\times n}(F)$는 단사이고

임의의 $C \in M_{m\times n}(F)$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

위 정리로 $T(v_j) = C_{1,j}\cdot_W w_1 +_W C_{2,j}\cdot_W w_2 +_W \cdots +_W C_{m,j}\cdot w_m \in W$인 $T\in L(V \to W)$가 존재하여

행렬표현의 정의로 $[T]_\beta^\gamma = C$이므로 $[\, \cdot \,]_\beta^\gamma : L(V\to W) \to M_{m\times n}(F)$는 전사이다.

따라서 $[\, \cdot \,]_\beta^\gamma : L(V\to W) \to M_{m\times n}(F)$는 전단사이다.

 

 

 

정리10

$F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V), (W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W),(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)$에 대해

임의의 선형변환 $T \in L(V \to W)$와 $U \in L(W\to Z)$의

합성함수 $U\circ T : V \to Z$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)$로의 선형변환이다.

증명

$T \in L(V \to W)$와 $U \in L(W\to Z)$는 선형변환이므로 위 정리로 임의의 $x,y \in V$와 임의의 $c \in F$에 대해 

$(U\circ T)(c\cdot_V x +_V y) = U(T(c\cdot_V +_V y)) = U( c\cdot_W T(x) +_W T(y)) = c\cdot_Z U(T(x)) +_Z U(T(y)) = c\cdot_Z (U\circ T)(x) +_Z (U\circ T)(y) \text{ 가 되어}$

다시 위 정리로 $U\circ T \in L(V\to Z)$이다.

 

 

 

정리11

$F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V), (W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W),(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)$와 함수의 합성 $\circ$에 대해 다음이 성립한다.

1. 위 정리의 $F$-벡터공간이 $(L(V\to W),+_1,\cdot_1,\vec{0}_1)$과 $(L(V\to Z),+_2,\cdot_2,\vec{0}_2)$일때

임의의 선형변환 $U,S \in L(V \to W)$와 $T \in L(W \to Z)$에 대해 $T\circ (U +_1 S) = (T\circ U) +_2 (T \circ S)$이다.

2. 위 정리의 $F$-벡터공간이 $(L(W\to Z),+_1,\cdot_1,\vec{0}_1)$과 $(L(V\to Z),+_2,\cdot_2,\vec{0}_2)$일때

임의의 선형변환 $T \in L(V \to W)$와 $U,S \in L(W \to Z)$에 대해 $(U +_1 S)\circ T = (U\circ T) +_2 (S \circ T)$이다.

3. 항등변환 $I_V \in L(V\to V)$와 임의의 선형변환 $T \in L(V \to W)$에 대해 $T\circ I_V = T $이다.

4. 항등변환 $I_W \in L(W \to W)$와 임의의 선형변환 $T \in L(V \to W)$에 대해 $ I_W\circ T = T$이다.

5. 위 정리의 $F$-벡터공간이 $(L(V\to W),+_1,\cdot_1,\vec{0}_1)$, $(L(W\to Z),+_2,\cdot_2,\vec{0}_2)$, $(L(V\to Z),+_3,\cdot_3,\vec{0}_3)$일때

임의의 스칼라가 $c\in F$와 임의의 선형변환 $T \in L(V \to W)$와 $U \in L(W \to Z)$에 대해

$c\cdot_3 (U\circ T) = (c\cdot_2 U) \circ T = U\circ (c\cdot_1 T)$이다.

증명

1.

위 정리로 $ T\circ U, T \circ S \in L(V \to Z)$이고 $T \in L(W\to Z)$는 선형변환이므로 임의의 $x \in V$에 대해

$(T\circ (U +_1 S))(x) = T((U+_1S)(x)) = T(U(x) +_W S(x)) = T(U(x)) +_Z S(P(x)) =(T\circ U)(x) +_Z (T\circ S)(x) = ((T\circ U) +_2 (T\circ S))(x) \text{ 가 되어}$

함수의 상등으로 $T\circ (U +_1 S) = (T\circ U) +_2 (T \circ S)$이다.

2.

위 정리로 $U\circ T ,S \circ T \in L(V \to Z)$이므로 임의의 $x \in V$에 대해

$((U +_1 S) \circ T)(x) = (U+_1S)(T(x)) = U(T(x))+_Z S(T(x)) = (U\circ T)(x) +_Z (S \circ T)(x) = ((U\circ T) +_2 (S \circ T))(x)\text{ 가 되어}$

함수의 상등으로 $(U +_1 S) \circ T = (U\circ T) +_2 (S \circ T)$이다.

3.

임의의 $x \in V$에 대해 $(T \circ I_V)(x) = T(I_V(x)) =T(x) $이므로 함수의 상등으로 $T \circ I_V =T $이다.

4.

임의의 $x \in V$에 대해 $T(x) = I_W(T(x)) = (I_W\circ T)(x)$이므로 함수의 상등으로 $ I_W\circ T =T$이다.

5.

임의의 $x \in V$에 대해

$(c\cdot_3 (U\circ T))(x) = c\cdot_Z (U\circ T)(x) = c\cdot_Z U(T(x)) = (c\cdot_2 U)(T(x))= ((c\cdot_2 U) \circ T)(x)$이고

$U \in L(W \to Z)$는 선형변환이므로

$(c\cdot_3 (U\circ T))(x) = c\cdot_Z (U\circ T)(x) = c\cdot_Z U(T(x)) = U( c\cdot_W T(x)) = U ( (c\cdot_1 T)(x))=  (U\circ (c\cdot_1 T))(x) \text{ 가 되어}$

함수의 상등으로 $c\cdot_3 (U\circ T) = (c\cdot_2 U) \circ T = U\circ (c\cdot_1 T)$이다.

 

 

 

정리12

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V), (W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W),(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)$가

각각 $p,n,m \in \mathbb{Z}^+$차원이고 순서기저가 $\alpha = (v_1,v_2,\cdots,v_p),\beta = (w_1,w_2,\cdots, w_n), \gamma = (z_1,z_2,\cdots, z_m)$일때

임의의 선형변환 $T \in L(V\to W)$와 $U \in L(W\to Z)$와 임의의 벡터 $u \in V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $[U$ $\circ$ $ T]_\alpha^\gamma = [U]_\beta^\gamma $ $*$ $ [T]_\alpha^\beta$

2. $[T(u)]_\beta = [T]_\alpha^\beta * [u]_\alpha$

증명

1.

$\alpha, \beta$에 대한 $T$의 행렬표현의 정의로 모든 $j = 1,2,\cdots, p$에 대해

$T(v_j) = b_{1,j} \cdot_W w_1 +_W \cdots +_W b_{n,j}\cdot_W w_n$인 $b_{1,j},\cdots, b_{n,j} \in F$가 유일하게 존재하고

$\beta,\gamma$에 대한 $U$의 행렬표현의 정의로 모든 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해

$U(w_k) =  a_{1,k}\cdot_Z z_1 +_Z  \cdots +_Z a_{m,k} \cdot_W z_m$이 $a_{1,k},\cdots, a_{m,k} \in F$가 유일하게 존재하여

$U \in L(W\to Z)$는 선형변환이므로 위 정리로 모든 $j = 1,2,\cdots, p$에 대해 

$\begin{align*} (U \circ T)(v_j) & = U(T(v_j)) \\[0.5em] & = U( b_{1,j}\cdot_W w_1 +_W \cdots +_W b_{n,j}\cdot_W w_n) \\[0.5em] & =  b_{1,j} \cdot_Z U(w_1) +_Z \cdots +_Z b_{n,j}\cdot_Z U(w_n) \\[0.5em] & = b_{1,j} \cdot_Z ( a_{1,1}\cdot_Z z_1 +_Z  \cdots +_Z a_{m,1} \cdot_Z z_m ) +_Z \cdots +_Z b_{n,j}\cdot_Z (a_{1,n}\cdot_Z z_1 +_Z  \cdots +_Z a_{m,n} \cdot_Z z_m) \\[0.5em] & = (b_{1,j} \cdot_F a_{1,1})\cdot_Z z_1 +_Z  \cdots +_Z (b_{1,j} \cdot_Fa_{m,1}) \cdot_Z z_m +_Z \cdots +_Z (b_{n,j}\cdot_F a_{1,n})\cdot_Z z_1 +_Z  \cdots +_Z (b_{n,j}\cdot_Fa_{m,n}) \cdot_Z z_m \\[0.5em] & = (a_{1,1} \cdot_F b_{1,j} )\cdot_Z z_1 +_Z  \cdots +_Z (a_{m,1}\cdot_F b_{1,j}) \cdot_Z z_m +_Z \cdots +_Z (a_{1,n}\cdot_F b_{n,j})\cdot_Z z_1 +_Z  \cdots +_Z (a_{m,n}\cdot_F b_{n,j}) \cdot_Z z_m \\[0.5em] & = (a_{1,1} \cdot_F b_{1,j} +_F \cdots +_F a_{1,n}\cdot_F b_{n,j} ) \cdot_Z z_1 +_Z \cdots +_Z (a_{m,1}\cdot_F b_{1,j} +_F \cdots +_Fa_{m,n}\cdot_F b_{n,j})\cdot_Zz_m \\[0.5em] & = \left (\sum_{k=1}^n (a_{1,k}\cdot_F b_{k,j} ) \right )\cdot_Z z_1 +_Z \cdots +_Z \left (\sum_{k=1}^n (a_{m,k}\cdot_F b_{k,j} ) \right )\cdot_Z z_m \text{ 이다.}\end{align*}$

따라서 행렬곱의 정의로 모든 $i = 1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots, p$에 대해

$([U\circ T]_\alpha^\gamma)_{i,j} = \displaystyle \sum_{k = 1}^n a_{i,k} \cdot_F b_{k,j} = \sum_{k = 1}^n([U]_\beta^\gamma)_{i,k}\cdot_F([T]_\alpha^\beta)_{k,j} = ([U]_\beta^\gamma * [T]_\alpha^\beta)_{i,j}$이므로

행렬의 상등으로 $[U\circ T]_\alpha^\gamma =[U]_\beta^\gamma * [T]_\alpha^\beta$이다.

2.

$1$-순서쌍 $F$-벡터공간이 $(F,+_1,\cdot_1,0_F)$일때

모든 $a \in F$에 대해 $f(a) = a\cdot_V u$인 함수 $f : F \to V$와

$g(a) = a\cdot_W T(u) = T(a\cdot_V u) = T(f(a)) = (T\circ f)(a)$인 함수 $g = T\circ f : F \to W$를 정의하면

임의의 $x,y ,c \in F$에 대해

$f(c\cdot_1 x +_1 y) = f(c\cdot_F x +_F y) = (c\cdot_F x +_F y) \cdot_V u = c\cdot_V (x\cdot _V u) +_V y\cdot_V u = c\cdot_V f(x) +_V f(y)$이고

$g(c\cdot_1 x +_1 y)  =g(c\cdot_F x+_F y)= (c\cdot_F x +_F y) \cdot_W T(u) = c\cdot_W (x\cdot _W T(u)) +_W y\cdot_W T(u) = c\cdot_W g(x) +_W g(y) \text{ 이므로}$

위 정리로 $f \in L(F \to V)$이고 $g \in L(F \to W)$이다.

따라서 벡터공간 정리로 $(F,+_1,\cdot_1,0_F)$의 순서기저 $e = (1_F) = (e_1)$와

$(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 순서기저 $\beta = (w_1,\cdots, w_n)$에 대한 좌표벡터와 행렬표현의 정의로

$g(e_1) =g(1_F) =1_F \cdot_W T(u) =T(u) = a_{1,1}\cdot_W w_1 + _W \cdots +_W a_{n,1}\cdot_W w_n$인 $a_{1,1}, \cdots ,a_{n,1} \in F$이 존재하여

$[T(u)]_\beta = [g(1_F)]_\beta = \begin{bmatrix} a_{1,1} \\ \vdots \\ a_{n,1}  \end{bmatrix} = [g]_e^\beta = [T\circ f]_e^\beta$이고

$e = (1_F) = (e_1)$와 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 순서기저 $\alpha = (v_1,\cdots, v_p)$에 대한 좌표벡터와 행렬표현의 정의로

$f(e_1) = f(1_F) = 1_F \cdot_V u = u = b_{1,1} \cdot_V v_1 +_V \cdots +_V b_{p,1} \cdot_V v_p$인 $b_{1,1}, \cdots ,b_{p,1} \in F$이 존재하여

1번으로 $[T(u)]_\beta = [T\circ f]_e^\beta = [T]_\alpha^\beta * [f]_e^\alpha = [T]_\alpha^\beta * \begin{bmatrix} b_{1,1} \\ \vdots \\ b_{p,1} \end{bmatrix} = [T]_\alpha^\beta * [u]_\alpha$이다.

 

 

 

정리13

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

위 정리의 $F$-벡터공간 $(L(V\to V),+_L,\cdot_L,T_0)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(L(V\to V),$ $\circ$$,$ $I_V$$)$는 모노이드이다.

2. $(L(V\to V), +_L, \circ, T_0, I_V)$는 환이다.

3. 모든 $m,n \in \mathbb{N}$와 모든 $a,b \in F$에 대해

임의의 선형변환 $T \in L(V\to V)$의 $\circ$에 대한 $m,n $번 연산은 $(a\cdot_L T^m) \circ (b\cdot_L T^n) = (a\cdot_F b) \cdot_L T^{m+n}$이다.

증명

1.

위 정리로 임의의 $T,U \in L(V\to V)$에 대해 $T\circ U \in L(V\to V)$이고

합성함수 정리로 임의의 $T,U,S \in L(V\to V)$에 대해 $T \circ (U \circ S) = (T\circ U) \circ S$이고

위 정리로 $I_V \in L(V\to V)$와 임의의 $T \in L(V\to V)$에 대해 $I_V\circ T=T = T\circ I_V$이므로

$(L(V\to V),\circ,I_V)$는 모노이드이다.

2.

$(L(V\to V),+_L,\cdot_L,T_0)$는 벡터공간이고 1번으로 $(L(V\to V), \circ,  I_V)$는 모노이드이므로

$+_L$에 대한 교환법칙, 역원, 항등원, 결합법칙과 $\circ$에 대한 항등원, 결합법칙을 만족한다.

또 위 정리로 임의의 $T, U, S \in L(V\to V)$에 대해

$T\circ (U +_L S) = (T \circ U) +_L (T\circ S)$이고 $(U +_L S) \circ T = (U\circ T) +_L (S \circ T)$이므로

$(L(V\to V), +_L, \circ, T_0, I_V)$는 환이다.

3.

위 정리와 거듭연산 정리와 벡터공간 성질로

$(a\cdot_L T^m) \circ (b\cdot_L T^n) = a\cdot_L (T^m \circ (b\cdot_L T^n)) = a\cdot_L (b\cdot_L (T^m \circ T^n)) =(a\cdot_F b) \cdot_L( T^m \circ T^n) = (a\cdot_F b) \cdot_L T^{m+n}\text{ 이다.}$

 

 

 

정의4

$F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $F$-벡터공간 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환 $T : V \to W$가 가역이면

$T$를 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 동형사상(isomorphism)으로 정의한다.

또 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 동형사상이 존재하면

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$가 동형(isomorphic)이라고 정의한다.

아래 정리로 동형인 관계는 동치관계이므로

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$가 동형이면 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$로의 동형사상도 존재한다.

$T$가 가역이면 $T$의 역함수 $T^{-1} : W\to V$이 존재하여 역함수 정리로 $T,T^{-1}$은 전단사이다.

또 항등변환이 $I_V \in L(V\to V)$와 $I_W \in L(W \to W)$일때 역함수의 정의로

모든 $v \in V$에 대해 $(T^{-1} \circ T)(v) = T^{-1}(T(v)) = v = I_V(v)$이므로 함수의 상등으로 $T^{-1} \circ T = I_V$이고

모든 $w \in W$에 대해 $(T\circ T^{-1})(w) = T(T^{-1}(w)) = w = I_W(w)$이므로 함수의 상등으로 $T\circ T^{-1} = I_W$이다.

 

 

 

정리14

$F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $F$-벡터공간 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환 $T : V \to W$에 대해 다음이 성립한다.

대칭성 :

$T$가 가역이면 $T$의 역함수 $T^{-1} : W\to V$은 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$로의 동형사상이다.

동치관계 :

$F$-벡터공간들의 임의의 집합 $\mathcal{B}$가 존재할때 임의의 $(Y,+_Y,\cdot_Y,\vec{0}_Y),(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z) \in \mathcal{B}$에 대해

$((Y,+_Y,\cdot_Y,\vec{0}_Y),(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)) \in \mathcal{R}$이기 위한 필요충분조건이

$(Y,+_Y,\cdot_Y,\vec{0}_Y)$와 $(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)$가 동형인 관계 $\mathcal{R}$은 $\mathcal{B}$의 동치관계이다.

기저의 보존성1 :

$T$가 가역이고 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 부분공간이 $(V_1,+_V,\cdot_V, \vec{0}_V)$일때

$\beta_1$이 $(V_1,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 기저이면 $T(\beta_1)$은 $(T(V_1),+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 기저이다.

기저의 보존성2 :

$T$가 가역이고 $\beta$가 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 기저이면 $T(\beta)$는 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 기저이다.

유한차원 벡터공간과 동형사상1 :

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V),(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$가 유한차원이고 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(W)}$일때

$T$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)}$ $ = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)}$인 것이다.

유한차원 벡터공간과 동형사상2 :

$T$가 가역일때 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$가 유한차원이기 위한 필요충분조건은 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$가 유한차원인 것이다.

이때 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(W)}$가 성립한다.

증명

대칭성

역함수 정리로 $T,T^{-1}$은 전단사이고 모든 $x_1,x_2 \in V$와 모든 $y_1,y_2 \in W$에 대해

$T(x_1) = y_1$이고 $T(x_2) = y_2$이기 위한 필요충분조건이 $x_1 = T^{-1}(y_1)$이고 $x_2 = T^{-1}(y_2)$인 것이므로

임의의 $c \in F$에 대해

$T^{-1}( c\cdot_W y_1 +_W y_2) = T^{-1}(c\cdot_W T(x_1) +_W T(x_2)) = T^{-1}(T(c\cdot_V x_1 +_V x_2)) = c\cdot_V x_1 +_V x_2 = c\cdot_V T^{-1}(y_1) +_V T^{-1}(y_2) \text{ 가 되어}$

위 정리로 $T^{-1}$은 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$로의 선형변환이다.

또 역함수 정리로 $T^{-1}$은 가역이므로 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$로의 동형사상이다.

동치관계

임의의 $(Y,+_Y,\cdot_Y,\vec{0}_Y) \in \mathcal{B}$에 대해

위 정리로 항등변환 $I_Y \in L(Y\to Y)$은 선형변환이고 자명하게 전단사이므로 역함수 정리로 가역이 되어

$((Y,+_Y,\cdot_Y,\vec{0}_Y),(Y,+_Y,\cdot_Y,\vec{0}_Y)) \in \mathcal{R}$이고 반사성이 성립한다.

임의의 $(Y,+_Y,\cdot_Y,\vec{0}_Y),(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z) \in \mathcal{B}$에 대해 $((Y,+_Y,\cdot_Y,\vec{0}_Y),(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)) \in \mathcal{R}$이면

동형사상 $U \in L(Y\to Z)$가 존재하여 $U$의 역함수 $U^{-1} \in L(Z\to Y)$는 동형사상이므로

$((Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z),(Y,+_Y,\cdot_Y,\vec{0}_Y)) \in \mathcal{R}$이고 대칭성이 성립한다.

또 임의의 $(X,+_X,\cdot_X,\vec{0}_X)(Y,+_Y,\cdot_Y,\vec{0}_Y),(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z) \in \mathcal{B}$에 대해

$((X,+_X,\cdot_X,\vec{0}_X),(Y,+_Y,\cdot_Y,\vec{0}_Y)) \in \mathcal{R}$이고 $((Y,+_Y,\cdot_Y,\vec{0}_Y),(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)) \in \mathcal{R}$이면

동형사상 $U \in L(X\to Y)$와 $S \in L(Y\to Z)$가 존재하여

위 정리로 $S \circ U \in L(X\to Z)$은 선형이고 합성함수 정리로 가역이므로

$((X,+_X,\cdot_X,\vec{0}_X),(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)) \in \mathcal{R}$이고 추이성이 성립하여 동형인 관계는 동치관계이다.

기저의 보존성1

위 정리로 $(T(V_1),+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$는 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 부분공간이고 $\underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(T(\beta_1))} = T(V_1)$이므로

임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_1\cdot_W T(v_1) +_W \cdots +_W a_n \cdot_W T(v_n) = \vec{0}_W$인 $a_1,\cdots, a_n \in F$과

서로 다른 $T(v_1),  \cdots , T(v_n) \in T(\beta_1)$이 존재하면 $T$는 단사이므로 $v_1, \cdots, v_n \in \beta_1$은 서로 다른 벡터이고

$T\in L(V\to W)$는 선형변환이므로 위 정리로 $T(a_1\cdot_V v_1 +_V \cdots +_V a_n \cdot_V v_n) = \vec{0}_W$이다.

따라서 대칭성으로 $T$의 역함수 $T^{-1} \in L(W \to V)$은 선형변환이므로 위 정리로

$\vec{0}_V = T^{-1}(\vec{0}_W)= T^{-1}(T(a_1\cdot_V v_1 +_V \cdots +_V a_n \cdot_V v_n)) = a_1\cdot_V v_1 +_V \cdots +_V a_n \cdot_V v_n$이 되어

$\beta_1$이 $(V_1,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 일차독립임에 따라 일차독립 정리로 $T(\beta_1)$도 $(T(V_1),+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$에서 일차독립이고

기저의 정의로 $T(\beta_1)$은 $(T(V_1),+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 기저이다.

기저의 보존성2

$T : V \to W$가 가역이면 역함수 정리로 전단사이므로 함수 정리로 $T(V)=R(T) = W$이고

$\beta$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 기저이므로 기저의 보존성1로 $T(\beta)$는 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 기저이다.

유한차원 벡터공간과 동형사상1

$T$가 가역이면

역함수 정리로 $T$는 전단사이므로 함수 정리로 $R(T) = W$가 되어 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(W)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)}$이다.

역으로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(W)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)}$이면

차원정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{nullity}(T)} = 0$이므로 $\{ \vec{0}_V\} =\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{span}(\emptyset)}= N(T)$가 되어 위 정리로 $T$는 단사이고

$(R(T),+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$는 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 부분공간이므로 벡터공간 정리로 $R(T) = W$가 되어 $T$는 전사이고

$T$는 전단사이므로 역함수 정리로 $T$는 가역이다.

유한차원 벡터공간과 동형사상2

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$가 $n \in \mathbb{N}$차원이고 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 기저가 $\beta$이면

유한차원의 정의로 $\beta$는 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이고 기저의 보존성으로 $T(\beta)$는 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 기저이므로

$T$는 전단사임에 따라 함수 정리로 $T(\beta)$도 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이 되어 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$는 $n$차원이다.

역으로 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$가 $n \in \mathbb{N}$차원이면 $T$는 가역이므로 $T$의 역함수 $T^{-1}$이 존재하여

$T^{-1}$은 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$로의 선형변환이고 가역이므로

위에서 보인 것과 같이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$는 $n$차원이다.

 

 

 

정리16

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$에 대해

$\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)}$ $= n \in \mathbb{Z}^+$이고 $\underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(W)} = m \in \mathbb{Z}^+$일때 다음은 동치이다.

1. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환 $T : V\to W$가 가역이다.

2. $n =m$이고 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 모든 순서기저 $\beta $와 $\gamma$에 대한 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta^\gamma$가 가역이다.

3. $n =m$이고 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta^\gamma$가 가역인

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots, v_n)$와 $\gamma = (w_1,w_2,\cdots, w_m)$가 존재한다.

이때 $[T^{-1}]_\gamma^\beta = ([T]_\beta^\gamma)^{-1}$이 성립한다.

증명

$1\to 2$

위 정리로 $n = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(W)} = m$이므로 행렬표현의 정의로 $[T]_\beta^\gamma \in M_{n\times n}(F)$이고

위 정리로 $T$의 역함수는 $T^{-1} \in L(W\to V)$이므로 항등변환 $I_V \in L(V\to V)$와 $I_W \in L(W\to W)$에 대해

위 정리와 위 정리로

$[T^{-1}]_\gamma^\beta * [T]_\beta^\gamma = [T^{-1} \circ T]_\beta= [I_V]_\beta = I_n = I_m = [I_W]_\gamma = [T\circ T^{-1}]_\gamma = [T]_\beta^\gamma *[T^{-1}]_\gamma^\beta$가 되어

$[T]_\beta^\gamma$는 가역이고 $[T^{-1}]_\gamma^\beta = ([T]_\beta^\gamma)^{-1}$이다.

$2\to 3$

기저 정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 순서기저 $\beta $와 $\gamma$가 존재하여 2번으로 $[T]_\beta^\gamma$는 가역이다.

$3\to 1$

$A = [T]_\beta^\gamma $의 역행렬 $A^{-1}$과 임의의 $j = 1,2,\cdots ,m$에 대해 

위 정리로 $U(w_j) = (A^{-1})_{1,j} \cdot_V v_1 +_V \cdots +_V (A^{-1})_{n,j}\cdot_V v_n \in V$인 $U \in L(W \to V)$가 존재하므로

행렬표현의 정의로 $[U]_\gamma^\beta =A^{-1}$이 되어 $[U\circ T]_\beta=[U]_\gamma^\beta * [T]_\beta^\gamma = A^{-1}*A = I_n = [I_V]_\beta$이고

위 정리로 선형변환의 행렬표현은 단사이므로 $U \circ T = I_V$이다.

비슷하게 $[T \circ U]_\gamma = [T]_\beta^\gamma * [U]_\gamma^\beta = A * A^{-1} = I_m = [I_W]_\gamma$이므로 $T\circ U = I_W$가 되어

$U$는 $T$의 역함수이고 $T$는 가역이다.

 

 

 

정리15

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$가

각각 $n,m \in \mathbb{Z}^+$차원이고 순서기저가 $\beta = (v_1,v_2,\cdots, v_n)$와 $\gamma = (w_1,w_2,\cdots, w_m)$일때 다음이 성립한다.

1. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$가 동형이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(W)}$인 것이다.

2. $\beta$에 대한 $V$의 원소의 좌표벡터 $[\,\cdot\,]_\beta : V \to M_{n\times 1}(F)$는

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n, O_n)$으로의 동형사상이다.

3. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 부분공간이 $(V_1,+_V,\cdot_V, \vec{0}_V)$이고

$T: V\to W$가 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 동형사상이면$\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V_1)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(T(V_1))}$이다.

증명

1.

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$가 동형이면

가역인 $T\in L(V\to W)$가 존재하여 위 정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(W)}$이다.

역으로 $n = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(W)} = m$이면

위 정리로 임의의 $i = 1,2,\cdots , n$에 대해 $T(v_i) = w_i$인 $T \in L(V \to W)$가 존재하여

위 정리로 $R(T) = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(T(\{ v_1},v_2,\cdots, v_n\})) = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{span}(\{ w_1},w_2,\cdots, w_m\}) = W$이므로

함수 정리로 $T$는 전사가 되어 위 정리로 $T$는 단사이고 역함수 정리로 $T$는 가역이므로

$T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 동형사상이고 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$는 동형이다.

2.

$\beta$에 대한 임의의 임의의 $x,y \in V$의 좌표벡터의 정의로

$x = a_1\cdot_V v_1 +_V \cdots +_V a_n \cdot_V v_n$이고 $y = b_1\cdot_V v_1 +_V \cdots +_V b_n \cdot_V v_n$인 

$a_1,\cdots, a_n,b_1, \cdots b_n \in F$이 유일하게 존재하여 임의의 $c \in F$에 대해

$c\cdot_V x +_V y = ( c\cdot_F a_1 +_F b_1)\cdot_V v_1 +_V \cdots +_V (c\cdot_F a_n +_F b_n)\cdot_V v_n$이고

$[c\cdot_V x +_V y]_\beta = \begin{bmatrix} c\cdot_F a_1 +_F b_1 \\ \vdots \\ c\cdot_F a_n +_F b_n \end{bmatrix} = c\cdot_n \begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n\end{bmatrix} +_n \begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} = c\cdot_n [x]_\beta +_n [y]_\beta$이므로

위 정리로 $[\,\cdot\,]_\beta$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n, O_n)$으로의 선형변환이다.

$[x]_\beta = [y]_\beta$인 임의의 $x,y \in V$에 대해

$x = a_1\cdot_V v_1 +_V \cdots +_V a_n \cdot_V v_n = y$인 $a_1,\cdots, a_n\in F$은 유일하게 존재하므로 $[\,\cdot\,]_\beta$는 단사이고

임의의 $A \in M_{n\times 1}(F)$에 대해 $x = A_{1,1}\cdot_V v_1 +_V \cdots +_V A_{n,1}\cdot_V v_n \in  \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{span}(\beta)} = V$인 $x \in V$가 존재하여

$[x]_\beta = A$이므로 $[\,\cdot\,]_\beta$는 전사이고 역함수 정리로 가역이다.

따라서 $[\,\cdot\,]_\beta$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n, O_n)$으로의 동형사상이다.

3.

위 정리로 $(T(V_1),+_W,\cdot_W, \vec{0}_W)$는 $(W,+_W,\cdot_W, \vec{0}_W)$의 부분공간이고

부분공간 정리로 $n_1 = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V_1)} \le \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)} =n$이므로

$(V_1,+_V,\cdot_V, \vec{0}_V)$의 기저 $\beta_1$은 $n_1$개 원소를 갖는 유한집합이고 

$T$는 전단사이므로 함수정리로 $T(\beta_1)$도 $n_1$개 원소를 갖는 유한집합이다.

따라서 위 정리로 $T(\beta_1)$은 $(T(V_1),+_W,\cdot_W, \vec{0}_W)$의 기저이므로 차원의 정의로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V_1)} = n_1 = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(T(V_1))}$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/66#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/66#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244