기본 행렬 연산, 행렬의 랭크

정의1

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 임의의 행렬이 $A \in M_{m\times n}(F)$이고 항등행렬이 $I_n \in M_{n\times n}(F)$일때

1형 행, 열 연산, 1형 기본행렬 : 

임의의 $i ,j= 1,2,\cdots, m$에 대해 일반성을 잃지 않고 $i \le j$라고 가정하여

$f_{i,j}(A) = f_{i,j}( \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots & A_{j,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix})= \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} &\cdots & A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix}$로 정의되는

$i$번째 행과 $j$번째 행을 교환하는 함수 $f_{i,j} : M_{m\times n}(F) \to M_{m\times n}(F)$를 $1$형 행연산으로 정의하고

임의의 $i ,j= 1,2,\cdots, n$에 대해 $A$의 $i$번째 열과 $j$번째 열을 교환하는 함수를 $1$형 열연산으로 정의한다.

또 임의의 $i ,j= 1,2,\cdots, n$에 대해 $1$형 행연산 또는 열연산이

$f_{i,j} : M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$일때 행렬 $f_{i,j}(I_n)$을 $1$형 기본행렬로 정의한다.

2형 행, 열 연산, 2형 기본행렬 : 

임의의 $i = 1,2,\cdots, m$와 $c\ne 0_F$인 임의의 $c \in F$에 대해

$g_{i,c}(A) = g_{i,c}( \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\  A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix})= \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n}  \\ \vdots & & & \vdots \\ c\cdot_F A_{i,1} & c\cdot_F A_{i,2} & \cdots& c\cdot_F A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix}$로 정의되는

$i$번째 행에 $c$를 곱하는 함수 $g_{i,c} : M_{m\times n}(F) \to M_{m\times n}(F)$를 $2$형 행연산으로 정의하고

임의의 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $A$의 $i$번째 열에 $c$를 곱하는 함수를 $2$형 열연산으로 정의한다.

또 임의의 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $2$형 행연산 또는 열연산이

$g_{i,c} : M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$일때 행렬 $g_{i,c}(I_n)$을 $2$형 기본행렬로 정의한다.

3형 행, 열 연산, 3형 기본행렬 : 

$i\ne j$인 임의의 $i ,j= 1,2,\cdots, m$와 임의의 $c \in F$에 대해 일반성을 잃지 않고 $i < j$라고 가정하여

$h_{i,j,c}(A) = h_{i,j,c}( \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots & A_{j,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix})= \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} +_F c\cdot_F A_{j,1} & A_{i,2} +_F c\cdot_F A_{j,2} &\cdots & A_{i,n} +_F c\cdot_F A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots& A_{j,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix} \text{ 로 정의되는}$

$i$번째 행에 $j$번째 행의 $c$곱을 더하는 함수 $h_{i,j,c} : M_{m\times n}(F) \to M_{m\times n}(F)$를 $3$형 행연산으로 정의하고

$i\ne j$인 임의의 $i ,j= 1,2,\cdots, n$에 대해 $A$의 $i$번째 열에 $j$번째 열의 $c$곱을 더하는 함수를 $3$형 열연산으로 정의한다.

또 $i\ne j$인 임의의 $i ,j= 1,2,\cdots, n$에 대해 $3$형 행연산 또는 열연산이

$h_{i,j,c} : M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$일때 행렬 $h_{i,j,c}(I_n)$을 $3$형 기본행렬로 정의한다.

 

 

 

정리1

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$와 임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 행연산 $f : M_{m\times n}(F)\to M_{m\times n}(F)$에 대해 $f(A) = E $ $*$ $ A$인 기본행렬 $E \in M_{m\times m}(F)$가 존재한다.

2. 임의의 열연산 $g : M_{m\times n}(F)\to M_{m\times n}(F)$에 대해 $g(A) = A*E $인 기본행렬 $E \in M_{n\times n}(F)$가 존재한다.

3. 행연산 $f : M_{m\times n}(F)\to M_{m\times n}(F)$에 대해 $(f(A))^t $ $= g(A^t)$인 열연산 $g : M_{n\times m}(F)\to M_{n\times m}(F)$가 존재한다.

4. 열연산 $g : M_{m\times n}(F)\to M_{m\times n}(F)$에 대해 $(g(A))^t = f(A^t)$인 행연산 $f : M_{n\times m}(F)\to M_{n\times m}(F)$가 존재한다.

5. 임의의 $E \in M_{n\times n}(F)$가 기본행렬이기 위한 필요충분조건은 $E^t$가 기본행렬인 것이다.

6. 임의의 기본행렬 $E \in M_{m\times m}(F)$에 대해 $f(A) = E* A$인 행연산 $f : M_{m\times n}(F)\to M_{m\times n}(F)$가 존재한다.

7. 임의의 기본행렬 $E \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $g(A) = A * E$인 열연산 $g : M_{m\times n}(F)\to M_{m\times n}(F)$가 존재한다.

8. 임의의 기본행렬 $E \in M_{n\times n}(F)$는 가역이고 $E$의 역행렬 $E^{-1} \in M_{n\times n}(F)$은 기본행렬이다.

증명

일반성을 잃지 않고 1, 3, 5, 8번만 증명한다.

1.

$i\le j$인 임의의 $i ,j= 1,2,\cdots, m$에 대해 $f$가 $i$번째 행과 $j$번째 행을 교환하는 $1$형 행연산이면

항등행렬 $I_m \in M_{m\times m}(F)$과 $1$형 행연산 $f_{i,j} : M_{m\times m}(F)\to M_{m\times m}(F)$에 대해

$f_{i,j}(I_m)$은 기본행렬이므로 크로네커델타 $\delta$에 대해

$\begin{align*} f_{i,j}(I_m) * A & = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \delta_{1,2} & \cdots & \delta_{1,m} \\ \vdots & & & \vdots \\ \delta_{j,1} & \delta_{j,2} &\cdots & \delta_{j,m} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \delta_{i,1} & \delta_{i,2} & \cdots& \delta_{i,m} \\ \vdots & & & \vdots \\ \delta_{m,1} & \delta_{m,2} & \cdots & \delta_{m,m}  \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots & A_{j,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{1,k}\cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{1,k}\cdot_F A_{k,2} }& \cdots & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{1,k}\cdot_F A_{k,n} } \\ \vdots & & & \vdots \\ \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{j,k}\cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{j,k}\cdot_F A_{k,2} } &\cdots & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{j,k}\cdot_F A_{k,n} } \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{i,k}\cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{i,k}\cdot_F A_{k,2} } & \cdots& \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{i,k}\cdot_F A_{k,n} }\\ \vdots & & & \vdots \\ \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{m,k}\cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{m,k}\cdot_F A_{k,2} } & \cdots & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{m,k}\cdot_F A_{k,n} }  \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} \cdot_F A_{1,1} & \delta_{1,1} \cdot_FA_{1,2} & \cdots & \delta_{1,1} \cdot_FA_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ \delta_{j,j} \cdot_F A_{j,1} & \delta_{j,j} \cdot_F A_{j,2} &\cdots & \delta_{j,j} \cdot_F A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \delta_{i,i} \cdot_F A_{i,1} & \delta_{i,i} \cdot_F A_{i,2} & \cdots& \delta_{i,i} \cdot_F A_{i,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ \delta_{m,m} \cdot_F A_{m,1} & \delta_{m,m} \cdot_F A_{m,2} & \cdots & \delta_{m,m} \cdot_F A_{m,n}  \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} &\cdots & A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n}  \end{bmatrix} \\[0.5em] & = f(A) \text{ 이다.} \end{align*}$

임의의 $i = 1,2,\cdots, m$와 $c\ne 0_F$인 임의의 $c \in F$에 대해 $f$가 $i$번째 행에 $c$를 곱하는 $2$형 행연산이면

$2$형 행연산 $g_{i,c} : M_{m\times m}(F) \to M_{m\times m}(F)$에 대해 $g_{i,c}(I_m)$은 기본행렬이므로

$ \begin{align*} g_{i,c}(I_m) * A & = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \delta_{1,2} & \cdots & \delta_{1,m} \\ \vdots & & & \vdots \\ c\cdot_F \delta_{i,1} & c\cdot_F\delta_{i,2} & \cdots& c\cdot_F\delta_{i,m} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\  \delta_{m,1} & \delta_{m,2} & \cdots & \delta_{m,m} \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\  A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{1,k}\cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{1,k}\cdot_F A_{k,2} }& \cdots & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{1,k}\cdot_F A_{k,n} } \\ \vdots & & & \vdots \\ \displaystyle{\sum_{k = 1}^m c\cdot_F \delta_{i,k}\cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m c\cdot_F \delta_{i,k}\cdot_F A_{k,2} } & \cdots& \displaystyle{\sum_{k = 1}^m c\cdot_F \delta_{i,k}\cdot_F A_{k,n} }\\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{m,k}\cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{m,k}\cdot_F A_{k,2} } & \cdots & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{m,k}\cdot_F A_{k,n} }  \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} \delta_{1,1}\cdot_F A_{1,1} & \delta_{1,1}\cdot_F A_{1,2} & \cdots & \delta_{1,1}\cdot_F A_{1,n}  \\ \vdots & & & \vdots \\ c\cdot_F\delta_{i,i}\cdot_F A_{i,1} & c\cdot_F \delta_{i,i}\cdot_F A_{i,2} & \cdots& c\cdot_F \delta_{i,i}\cdot_F A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \delta_{m,m}\cdot_F A_{m,1} & \delta_{m,m}\cdot_F A_{m,2} & \cdots & \delta_{m,m}\cdot_F A_{m,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n}  \\ \vdots & & & \vdots \\ c\cdot_F A_{i,1} & c\cdot_F A_{i,2} & \cdots& c\cdot_F A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = f(A) \text{ 이다.} \end{align*} $

$i < j$인 임의의 $i ,j= 1,2,\cdots, m$와 임의의 $c \in F$에 대해

일반성을 잃지 않고 $f$가 $i$번째 행에 $j$번째 행의 $c$곱을 더하는 $3$형 행연산이라고 가정하면

$3$형 행연산 $h_{i,j,c} : M_{m\times m}(F) \to M_{m\times m}(F)$에 대해 $h_{i,j,c}(I_m)$은 기본행렬이므로

$ \begin{align*} h_{i,j,c}(I_m)* A & = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \delta_{1,2} & \cdots & \delta_{1,m} \\ \vdots & & & \vdots \\ \delta_{i,1} +_F c\cdot_F \delta_{j,1} & \delta_{i,2} +_F c\cdot_F \delta_{j,2} &\cdots & \delta_{i,m} +_F c\cdot_F \delta_{j,m} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \delta_{j,1} & \delta_{j,2} & \cdots& \delta_{j,m} \\ \vdots & & & \vdots \\ \delta_{m,1} & \delta_{m,2} & \cdots & \delta_{m,m} \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots & A_{j,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{1,k}\cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{1,k}\cdot_F A_{k,2} }& \cdots & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{1,k}\cdot_F A_{k,n} } \\ \vdots & & & \vdots \\ \displaystyle{\sum_{k = 1}^m (\delta_{i,k} +_F c\cdot_F \delta_{j,k})\cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m (\delta_{i,k}+_F c\cdot_F \delta_{j,k})\cdot_F A_{k,2} } &\cdots & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m (\delta_{i,k} +_F c\cdot_F \delta_{j,k} )\cdot_F A_{k,n} } \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{j,k}\cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{j,k}\cdot_F A_{k,2} } & \cdots& \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{j,k}\cdot_F A_{k,n} }\\ \vdots & & & \vdots \\ \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{m,k}\cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{m,k}\cdot_F A_{k,2} } & \cdots & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{m,k}\cdot_F A_{k,n} }  \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{1,k}\cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{1,k}\cdot_F A_{k,2} }& \cdots & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{1,k}\cdot_F A_{k,n} } \\ \vdots & & & \vdots \\ \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{i,k} \cdot_F A_{k,1} +_F \sum_{k = 1}^mc\cdot_F \delta_{j,k} \cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{i,k} \cdot_F A_{k,2}+_F \sum_{k = 1}^mc\cdot_F \delta_{j,k} \cdot_F A_{k,2} } &\cdots & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{i,k}\cdot_F A_{k,n} +_F \sum_{k = 1}^mc\cdot_F \delta_{j,k} \cdot_F A_{k,n} } \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{j,k}\cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{j,k}\cdot_F A_{k,2} } & \cdots& \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{j,k}\cdot_F A_{k,n} }\\ \vdots & & & \vdots \\ \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{m,k}\cdot_F A_{k,1} } & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{m,k}\cdot_F A_{k,2} } & \cdots & \displaystyle{\sum_{k = 1}^m \delta_{m,k}\cdot_F A_{k,n} }  \end{bmatrix} \\[0.5em]&= \begin{bmatrix} \delta_{1,1}\cdot_F A_{1,1} & \delta_{1,1}\cdot_F A_{1,2} & \cdots & \delta_{1,1}\cdot_F A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ \delta_{i,i}\cdot_F A_{i,1} +_F c\cdot_F \delta_{j,j}\cdot_F A_{j,1} & \delta_{i,i}\cdot_F A_{i,2} +_F c\cdot_F \delta_{j,j}\cdot_F A_{j,2} &\cdots & \delta_{i,i}\cdot_F A_{i,n} +_F c\cdot_F \delta_{j,j}\cdot_F A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \delta_{j,j}\cdot_F A_{j,1} & \delta_{j,j}\cdot_FA_{j,2} & \cdots&\delta_{j,j}\cdot_F A_{j,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ \delta_{m,m}\cdot_F A_{m,1} & \delta_{m,m}\cdot_F A_{m,2} & \cdots & \delta_{m,m}\cdot_F A_{m,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]&= \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} +_F c\cdot_F A_{j,1} & A_{i,2} +_F c\cdot_F A_{j,2} &\cdots & A_{i,n} +_F c\cdot_F A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots& A_{j,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]&=f(A) \text{ 이다.}\end{align*}$

3.

전치행렬의 정의로 모든 $i = 1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $A_{i,j} = (A^t)_{j,i}$이므로

$i\le j$인 임의의 $i ,j= 1,2,\cdots, m$에 대해 $f$가 $i$번째 행과 $j$번째 행을 교환하는 $1$형 행연산이면

$i$번째 열과 $j$번째 열을 교환하는 $1$형 열연산 $g : M_{n\times m}(F)\to M_{n\times m}(F)$에 대해 

$ \begin{align*}(f(A) )^t & = \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots& A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots & A_{i,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix}^t \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{j,1} & \cdots & A_{i,1} & \cdots & A_{m,1} \\ A_{1,2} & & A_{j,2} & & A_{i,2} & & A_{m,2} \\ \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\A_{1,n} & \cdots & A_{j,n} & \cdots & A_{i,n} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} (A^t)_{1,1} & \cdots & (A^t)_{1,j} & \cdots & (A^t)_{1,i} & \cdots & (A^t)_{1,m} \\ (A^t)_{2,1} & & (A^t)_{2,j} & & (A^t)_{2,i} & & (A^t)_{2,m} \\ \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\(A^t)_{n,1} & \cdots & (A^t)_{n,j} & \cdots & (A^t)_{n,i} & \cdots & (A^t)_{n,m} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = g(A^t) \text{ 이다.} \end{align*}$

임의의 $i = 1,2,\cdots, m$와 $c\ne 0_F$인 임의의 $c \in F$에 대해 $f$가 $i$번째 행에 $c$를 곱하는 $2$형 행연산이면

$i$번째 열에 $c$를 곱하는 $2$형 열연산 $g : M_{n\times m}(F)\to M_{n\times m}(F)$에 대해 

$ \begin{align*}(f(A) )^t & = \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ c\cdot_F A_{i,1} & c\cdot_F A_{i,2} & \cdots& c\cdot_F A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\  A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix}^t \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} A_{1,1} & \cdots & c\cdot_F A_{i,1} & \cdots & A_{m,1} \\ A_{1,2} & & c\cdot_FA_{i,2} & &A_{m,2} \\ \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1,n} & \cdots & c\cdot_FA_{i,n} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} (A^t)_{1,1} & \cdots & c\cdot_F (A^t)_{1,i} & \cdots & (A^t)_{1,m} \\ (A^t)_{2,1} & & c\cdot_F(A^t)_{2,i} & &(A^t)_{2,m} \\ \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ (A^t)_{n,1} & \cdots & c\cdot_F(A^t)_{n,i} & \cdots & (A^t)_{n,m} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = g(A^t) \text{ 이다.} \end{align*}$

$i < j$인 임의의 $i ,j= 1,2,\cdots, m$와 임의의 $c \in F$에 대해

일반성을 잃지 않고 $f$가 $i$번째 행에 $j$번째 행의 $c$곱을 더하는 $3$형 행연산이라고 가정하면

$i$번째 열에 $j$번째 열의 $c$곱을 더하는 $3$형 열연산 $g : M_{n\times m}(F) \to M_{n\times m}(F)$에 대해

$\begin{align*} (f(A) )^t & = \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} +_F c\cdot_F A_{j,1} & A_{i,2} +_F c\cdot_F A_{j,2} & \cdots& A_{i,n} +_F c\cdot_F A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots & A_{j,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix}^t \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} A_{1,1} & \cdots & A_{i,1} +_F c\cdot_F A_{j,1} & \cdots & A_{j,1} & \cdots & A_{m,1} \\ A_{1,2} & & A_{i,2} +_F c\cdot_F A_{j,2} & & A_{j,2} & & A_{m,2} \\ \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\A_{1,n} & \cdots & A_{i,n} +_F c\cdot_F A_{j,n} & \cdots & A_{j,n} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} (A^t)_{1,1} & \cdots & (A^t)_{1,i} +_F c\cdot_F (A^t)_{1,j} & \cdots & (A^t)_{1,j} & \cdots & (A^t)_{1,m} \\ (A^t)_{2,1} & & (A^t)_{2,i} +_F c\cdot_F (A^t)_{2,j} & & (A^t)_{2,j} & & (A^t)_{2,m} \\ \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\(A^t)_{n,1} & \cdots & (A^t)_{n,i} +_F c\cdot_F (A^t)_{n,j} & \cdots & (A^t)_{n,j} & \cdots & (A^t)_{n,m} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = g(A^t) \text{ 이다.} \end{align*}$

5.

$E$가 기본행렬이면

항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = f(I_n)$인 행연산 또는 열연산 $f : M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$가 존재하므로

3, 4번으로 $E^t = (f(I_n))^t = g((I_n)^t) = g(I_n)$인 행연산 또는 열연산 $g : M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$가 존재하여

$E^t$는 기본행렬이다.

또 행렬 정리로 $(E^t)^t = E$이므로 역도 비슷하게 성립한다.

8.

$E$는 기본행렬이므로

항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = f(I_n)$인 행연산 또는 열연산 $f : M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$가 존재하여

$g(E) = I_n$인 $f$에 대응되는 행연산 또는 열연산 $g : M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$가 존재하고

1, 2번으로 $G *E = g(E) = I_n$ 또는 $E * G = g(E) = I_n$인

기본행렬 $G \in M_{n\times n}(F)$가 존재하므로 행렬 정리로 $E$는 가역이고 $E^{-1} = G$이다.

 

 

 

정의2

열벡터 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F), +_n,\cdot_n, O_n)$, $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$과

임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$의 좌측곱변환 $L_A : M_{n\times 1}(F) \to M_{m\times 1}(F)$에 대해

$A$의 랭크를 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} = $ $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L_A)}$ $ = \underset{(M_{m\times1}(F),+_m,\cdot_m,O_n)}{\dim(R(L_A))}$로 정의한다.

 

 

 

정리2

$F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 차원이 각각 $n,m\in \mathbb{Z}^+$일때

각각의 순서기저 $\beta $와 $\gamma$에 대한 선형변환 $T : V\to W$의 행렬표현 $[T]_\beta^\gamma \in M_{m\times n}(F)$과

$(M_{n\times 1}(F), +_n,\cdot_n, O_n)$에서 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$로의 좌측곱변환 $L_{[T]_\beta^\gamma} $에 대해 다음이 성립한다.

1. $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L _{[T]_\beta^\gamma})}=$ $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}([T]_\beta^\gamma)}$

2. $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{nullity}(T)}$ $ = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{nullity}(L _{[T]_\beta^\gamma})}$

증명

좌표벡터 정리로

모든 $v\in V$에 대해 $\phi_\beta(v) = $ $[v]_\beta$인 함수 $\phi_\beta : V\to M_{n\times 1}(F)$는

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(M_{n\times 1}(F), +_n,\cdot_n, O_n)$로의 동형사상이고

모든 $w\in W$에 대해 $\phi_\gamma(w) = [w]_\gamma$인 함수 $\phi_\gamma : W\to M_{m\times 1}(F)$는

$(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$에서 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$로의 동형사상이다.

임의의 $v \in V$에 대해 행렬표현 정리로

$(L_{[T]_\beta^\gamma} \circ \phi_\beta)(v) = L_{[T]_\beta^\gamma}(\phi_\beta(v)) = L_{[T]_\beta^\gamma}([v]_\beta)= [T]_\beta^\gamma*[v]_\beta = [T(v)]_\gamma = \phi_\gamma(T(v)) = (\phi_\gamma\circ T)(v)$가 되어

함수 정리로 $L_{[T]_\beta^\gamma} \circ \phi_\beta = \phi_\gamma\circ T$이다.

1.

$L_{[T]_\beta^\gamma}(M_{n\times 1}(F)) = R(L_{[T]_\beta^\gamma})$이고 $\phi_\beta$는 전사이므로 함수 정리로 $\phi_\beta(V) = M_{n\times 1}(F)$가 되어

동형사상 정리와 상공간의 정의와 합성함수 정리로

$\begin{align*}\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)} &= \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(R(T))} \\[0.5em]&= \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(T(V))} \\[0.5em] & = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\dim(\phi_\gamma(T(V)))}\\[0.5em]& = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\dim((\phi_\gamma \circ T)(V))} \\[0.5em] & = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\dim((L_{[T]_\beta^\gamma}\circ \phi_\beta)(V))}\\[0.5em]& = \underset{(M_{m\times1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\dim(L_{[T]_\beta^\gamma}(\phi_\beta(V)))} \\[0.5em]&= \underset{(M_{m\times1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\dim(L_{[T]_\beta^\gamma}(M_{n\times 1}(F)))} \\[0.5em] &= \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\dim(R(L_{[T]_\beta^\gamma}))} \\[0.5em]&= \underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L_{[T]_\beta^\gamma})} \text{ 이고}\end{align*}$

위 정의로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L _{[T]_\beta^\gamma})}=\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}([T]_\beta^\gamma)}$이다.

2.

임의의 $y \in \phi_\beta(N(T))$는 영공간의 정의로 $y = \phi_\beta(x)$인 $x \in N(T) = T^{-1}(\{\vec{0}_W\})$가 존재하여 $T(x) = \vec{0}_W$이고

선형변환 정리로 $L_{[T]_\beta^\gamma}(y) = L_{[T]_\beta^\gamma}(\phi_\beta(x)) = \phi_\gamma(T(x)) = \phi_\gamma(\vec{0}_W) = O_m$이므로

$y \in L_{[T]_\beta^\gamma}^{-1}(\{ O_m\}) = N(L_{[T]_\beta^\gamma})$가 되어 $\phi_\beta(N(T)) \subseteq N(L_{[T]_\beta^\gamma})$이다.

임의의 $y\in N(L_{[T]_\beta^\gamma}) \subseteq M_{n\times 1}(F)$에 대해 $\phi_\beta$는 전사이므로 $\phi_\beta(x) = y$인 $x \in V$가 존재하여

선형변환 정리로 $\phi_\gamma(\vec{0}_W) =O_m = L_{[T]_\beta^\gamma}(y) = L_{[T]_\beta^\gamma}(\phi_\beta(x)) = \phi_\gamma(T(x))$이고

$\phi_\gamma$는 단사이므로 $T(x) = \vec{0}_W$가 되어 $x\in N(T)$이고 $y=\phi_\beta(x) \in \phi_\beta(N(T))$이므로 $N(L_{[T]_\beta^\gamma}) \subseteq \phi_\beta(N(T))$이다.

따라서 집합 정리로 $\phi_\beta(N(T)) =N(L_{[T]_\beta^\gamma})$이고

영공간 $(N(T),+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 부분공간이므로 동형사상 정리로

$\begin{align*}\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{nullity}(T)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(N(T))} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\dim(\phi_\beta(N(T)))} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\dim(N(L_{[T]_\beta^\gamma}))} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{nullity}(L _{[T]_\beta^\gamma})} \end{align*}$이다.

 

 

 

정리3

열벡터 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F), +_n,\cdot_n, O_n)$과 임의의 행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$에 대해

$A$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}$ $=n$인 것이다.

증명

$A$가 가역이면

좌측곱변환 정리와 행렬 정리로 $A$의 좌측곱변환 $L_A : M_{n\times 1}(F) \to M_{n\times 1}(F)$는

$(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에서 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$로의 동형사상이므로

함수 정리로 $R(L_A)=L_A ( M_{n\times 1}(F)) = M_{n\times 1}(F)$이고 벡터공간 정리와 선형변환 정리로

$n=\underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\dim(M_{n\times 1}(F))} = \underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\dim(L_A(M_{n\times 1}(F)))} =\underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\dim(R(L_A))}= \underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L_A)}= \underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}$이다.

역으로 $\underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} =n$이면

벡터공간 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\dim(M_{n\times 1}(F))} =n =\underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} = \underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L_A)}$이므로

차원정리로 $L_A : M_{n\times 1}(F) \to M_{n\times 1}(F)$는 전단사가 되어 역함수 정리로 $L_A$는 가역이고 행렬 정리로 $A$도 가역이다.

 

 

 

정리4

열벡터 $F$-벡터공간이 $(M_{n\times 1}(F), +_n,\cdot_n, O_n)$과 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$일때

임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$와 가역행렬 $P\in M_{m\times m}(F)$와 가역행렬 $Q\in M_{n\times n}(F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A*Q)} = $ $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}$

2. $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(P*A)} = \underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}$

3. $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(P*A *Q)} = \underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}$

증명

$P$와 $Q$가 가역이므로 행렬 정리로

좌측곱변환 $L_P : M_{m\times 1}(F) \to M_{m\times 1}(F)$와 $L_Q : M_{n\times 1}(F) \to M_{n\times 1}(F)$는 전단사이고

벡터공간 정리로 $(M_{n\times 1}(F), +_n,\cdot_n, O_n)$과 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$은 유한차원이다.

1.

$A$의 좌측곱변환 $L_A : M_{n\times 1}(F) \to M_{m\times 1}(F)$에 대해

좌측곱변환 정리로 $L_{A* Q} = L_A \circ L_Q$이고 $L_Q$는 전사이므로 함수 정리와 합성함수 정리로

$R(L_{A*Q}) = L_{A*Q}(M_{n\times 1}(F)) = (L_A\circ L_Q)(M_{n\times 1}(F)) = L_A(L_Q(M_{n\times 1}(F))) = L_A(M_{n\times 1}(F)) = R(L_A)$이고

$\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A*Q)} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L_{A*Q})} = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\dim(R(L_{A*Q}))} =\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\dim(R(L_A))} = \underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L_A)} = \underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}\text{ 이다.}$

2.

좌측곱변환 정리와 행렬 정리로 $L_{P*A} = L_P \circ L_A$이고

$L_P$는 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$에서 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$으로의 동형사상이다.

또 합성함수 정리로

$R(L_{P*A}) = L_{P*A}(M_{n\times 1}(F)) = (L_P\circ L_A)(M_{n\times 1}(F)) = L_P(L_A(M_{n\times 1}(F))) = L_P(R(L_A))$이고

상공간 $(R(L_A),+_m,\cdot_m,O_m)$는 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$의 부분공간이므로 동형사상 정리로

$\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(P*A)} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L_{P*A})} = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\dim(R(L_{P*A}))} =\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\dim(L_P(R(L_A)))} = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\dim(R(L_A))} = \underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L_A)} = \underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}\text{ 이다.}$

3.

1, 2번으로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(P*A *Q)} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(P*A)} = \underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}$이다.

 

 

 

정리5

열벡터 $F$-벡터공간이 $(M_{n\times 1}(F), +_n,\cdot_n, O_n)$과 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$이고 임의의 행렬이 $A \in M_{m\times n}(F)$일때

임의의 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $A$의 $j$번째 열이 $a_j = \begin{bmatrix} A_{1,j} \\ A_{2,j}\\ \vdots \\ A_{m,j} \end{bmatrix}\in M_{m\times 1}(F)$이고

$A$의 좌측곱변환이 $L_A : M_{n\times 1}(F)\to M_{m\times 1}(F)$이면 다음이 성립한다.

1. $L_A(M_{n\times 1}(F)) = R(L_A) = $ $ \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\{a_1,a_2,\cdots, a_n\})}$

2. $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$에서 일차독립인 $\{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}$의 부분집합 중 원소개수가 최대인

$\alpha \subseteq \{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}$가 $r\in \mathbb{N}$개의 원소를 가지면 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}$ $= r$이고 $R(L_A)=\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)}$이다.

3. $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} = r$일때 임의의 $\alpha \subseteq \{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}$가 $r$개의 원소를 갖고

$(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$에서 일차독립이면 $R(L_A)=\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)}$이다.

증명

1.

벡터공간 정리로 임의의 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $e_j = \begin{bmatrix} \delta_{1,j} \\ \delta_{2,j}\\ \vdots \\ \delta_{n,j} \end{bmatrix}\in M_{n\times 1}(F)$인

$\{ e_1,e_2,\cdots,e_n\}$는 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$의 기저이고

좌측곱변환 정리로 $L_A $는 $(M_{n\times 1}(F), +_n,\cdot_n, O_n)$에서 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$로의 선형변환이므로

행렬 정리로 임의의 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $L_A(e_j) = A*e_j = a_j$가 되어

선형변환 정리로 $R(L_A)= \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(L_A(\{ e_1,e_2,\cdots, e_n\}))} = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\{ a_1,a_2,\cdots,a_n\})}$이다.

2.

벡터공간 정리로 $\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\{ a_1,a_2,\cdots,a_n\})}$는 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$의 부분공간이고

생성집합의 정의로 $\alpha \subseteq \{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}\subseteq \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\{ a_1,a_2,\cdots,a_n\})}$이므로

벡터공간 정리로 $\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)} \subseteq \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\{ a_1,a_2,\cdots,a_n\})}$이다.

또 임의의 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $a_i \in \alpha$이면 $a_i \in \alpha \subseteq \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)}$이고

$a_i \notin \alpha$이면 $\alpha \cup \{ a_i\}$는 가정에 의해 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$에서 일차종속이므로

벡터공간 정리로 $a_i \in  \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)}$가 되어 $\{ a_1,a_2,\cdots, a_n\} \subseteq  \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)}$이고

벡터공간 정리로 $\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\{ a_1,a_2,\cdots,a_n\})} \subseteq \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)}$이다.

따라서 집합 정리와 1번으로 $R(L_A)= \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\{ a_1,a_2,\cdots, a_n\})} = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)}$이고

$\alpha$는 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$에서 일차독립이므로 상공간 $(R(L_A),+_m,\cdot_m,O_m)$의 기저가 되어

차원의 정의로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L_A)} = \underset{(M_{m\times1}(F),+_m,\cdot_m,O_n)}{\dim(R(L_A))} = r$이다.

3.

1번과 부분공간 정리로 $\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)} \subseteq \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\{ a_1,a_2,\cdots, a_n\})}= R(L_A)$이므로

생성공간 정리로 $(\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)} ,+_m,\cdot_m,O_m)$은 상공간 $(R(L_A),+_m,\cdot_m,O_m)$의 부분공간이다.

따라서 $r=\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L_A)} = \underset{(M_{m\times1}(F),+_m,\cdot_m,O_n)}{\dim(R(L_A))} $이고

차원의 정의로 $(\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)} ,+_m,\cdot_m,O_m)$은 $r$차원이므로 부분공간 정리로 $R(L_A)=\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)}$이다.

 

 

 

정리6

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 열벡터 벡터공간이 $(M_{n\times 1}(F), +_n,\cdot_n, O_n)$, $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$일때

$\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}$ $= r\in \mathbb{N}$인 임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$와 $D_{1,1}=D_{2,2}=\cdots = D_{r,r} = 1_F$이고

$D_{1,1},D_{2,2},\cdots, D_{r,r}$이 아닌 성분들은 모두 $0_F$인 행렬 $D \in M_{m\times n}(F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $r = 0$이기 위한 필요충분조건은 $A$가 영행렬 $A = O \in M_{m\times n}(F)$인 것이다.

2. $A\ne O$이면 $1\le r\le m$이고 $1\le r\le n$이다.

3. 어떤 자연수 $p,q \in \mathbb{N}$에 대해 $A = E_p*\cdots *E_2* E_1 *D * G_1*G_2*\cdots *G_q$인

$p$개의 기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_p\in M_{m\times m}(F)$와 $q$개의 기본행렬 $G_1,G_2,\cdots, G_q\in M_{n\times n}(F)$가 존재한다.

4. $D = E*A *G$인 가역행렬 $E \in M_{m\times m}(F)$와 가역행렬 $G\in M_{n\times n}(F)$가 존재한다.

5. $A$의 전치행렬 $A^t \in M_{n\times m}(F)$에 대해 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{rank}(A^t)}$이다.

증명

1.

$0 =\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L_A)} = $ $\underset{(M_{m\times1}(F),+_m,\cdot_m,O_n)}{\dim(R(L_A))}$일때 $A\ne O$라고 가정하면

$A$의 좌측곱변환 $L_A : M_{n\times 1}(F)\to M_{m\times 1}(F)$에 대해 $R(L_A)= $ $\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\emptyset)}$ $ = \{ O_m\}$인데

$A\ne O$이므로 $A_{i,j} \ne 0_F$인 $i = 1,2,\cdots, m$와 $j = 1,2,\cdots, n$가 존재하여

$e_j = \begin{bmatrix} \delta_{1,j} \\ \delta_{2,j}\\ \vdots  \\ \delta_{n,j} \end{bmatrix}\in M_{n\times 1}(F)$에 대해 행렬 정리로 $L_A(e_j) = A *e_j = \begin{bmatrix} A_{1,j} \\ A_{2,j} \\ \vdots \\ A_{i,j}\\ \vdots \\A_{m,j} \end{bmatrix}\ne O_m$이므로 모순이다.

역으로 $A = O $이면

$A$의 열집합은 $\{O_m \}$이고 벡터공간 정리로 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$에서 일차독립인 $\alpha \subseteq \{ O_m\}$는 $\alpha = \emptyset$이므로

$\emptyset$의 원소개수가 $0$개임에 따라 위 정리로 $r = 0$이다.

2.

$r=\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L_A)} = \underset{(M_{m\times1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\dim(R(L_A))}$이고

상공간 $(R(L_A),+_m,\cdot_m,O_m)$은 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$의 부분공간이므로

벡터공간 정리로 $\underset{(M_{n\times1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\dim(M_{n\times1}(F))} = n$이고 $\underset{(M_{m\times1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\dim(M_{m\times1}(F))} = m$임에 따라

차원 정리와 부분공간 정리와 1번으로 $1\le r\le m$이고 $1\le r\le n$이다.

3.

$A=O$이면 1번으로 $r = 0$이므로 $p=q= 0$과 $D = O$에 대해 $A = O =D$이다.

$A\ne O$인 $A\in M_{1\times n}(F)$는 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} = 1$이고

어떤 $q\in \mathbb{N}$에 대해 $A = D * G_1*G_2*\cdots *G_q$가 되는

$D_{1,1} = 1_F$이고 $D_{1,2} = \cdots = D_{1,n} = 0_F$인 행렬 $D\in M_{1\times n}(F)$와

기본행렬 $G_1,G_2,\cdots, G_q\in M_{n\times n}(F)$가 존재함을 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$일때 $A\in M_{1\times 1}(F)$는 $A\ne O$이므로 $A_{1,1}\ne 0_F$이고 열이 $1$개이므로 위 정리로 $\underset{(M_{1\times 1}(F),+_1,\cdot_1,O_1)}{\operatorname{rank}(A)} = 1$이 되어

항등행렬 $I_1\in M_{1\times 1}(F)$의 $1$번째 열에 $A_{1,1}$를 곱하는 $2$형 열연산 $f:M_{1\times 1}(F)\to M_{1\times 1}(F)$을 적용하면

$A = f(I_1)$가 되어 위 정리로 $A = f(I_1) = I_1 * G$인 기본행렬 $G\in M_{1\times 1}(F)$가 존재한다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때

$A\ne O$인 $A\in M_{1\times (k+1)}(F)$는 $A_{1,j}\ne 0_F$인 $j = 1,2,\cdots, k,k+1$가 존재하여

모든 $i = 1,2,\cdots, k,k+1$에 대해 $A_{1,i} = \dfrac{A_{1,i}}{A_{1,j}} \cdot_F A_{1,j}$이므로 위 정리로 $\underset{(M_{(k+1)\times 1}(F),+_{k+1},\cdot_{k+1},O_{k+1})}{\operatorname{rank}(A)} = 1$이고

$A$에 $1$번째 열과 $j$번째 열을 교환하는 $1$형 열연산을 적용하면

위 정리로 $\begin{bmatrix} A_{1,j}&A_{1,2}&\cdots &A_{1,1} &\cdots& A_{1,k}&A_{1,k+1} \end{bmatrix} = A * G$인 기본행렬 $G\in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$이 존재한다.

$B = \begin{bmatrix} A_{1,j}&A_{1,2}&\cdots &A_{1,1} &\cdots& A_{1,k} \end{bmatrix}\in M_{1\times k}(F)$로 정의할때

$B$는 영행렬이 아니므로 귀납가정으로 $\underset{(M_{k\times 1}(F),+_k,\cdot_k,O_k)}{\operatorname{rank}(B)} = 1$이고

어떤 $q\in \mathbb{N}$에 대해 $B = D_k * E_1*E_2*\cdots *E_q$가 되는

$(D_k)_{1,1} = 1_F$이고 $(D_k)_{1,2} = \cdots = (D_k)_{1,k} = 0_F$인 행렬 $D_k\in M_{1\times k}(F)$와

기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_q\in M_{k\times k}(F)$가 존재하여 

위 정리로 기본행렬에 대응되는 열연산 $f_1,f_2,\cdots, f_q : M_{1\times k}(F)\to M_{1\times k}(F)$가 존재한다.

$(D_{k+1})_{1,1} = 1_F$이고 $(D_{k+1})_{1,2} = \cdots = (D_{k+1})_{1,k} = 0_F$이고 $(D_{k+1})_{1,k+1} = A_{1,k+1}$인

행렬 $D_{k+1}\in M_{1\times (k+1)}(F)$에

$f_1,f_2,\cdots, f_q$와 똑같은 열연산을 하는 열연산 $g_1,g_2,\cdots, g_q : M_{1\times (k+1)}(F)\to M_{1\times (k+1)}(F)$를 적용하면

위 정리로 $A*G = D_{k+1}*G_1*G_2*\cdots * G_q$인 기본행렬 $G_1,G_2,\cdots, G_q\in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$가 존재하고

$D_{1,1} = 1_F$이고 $D_{1,2} = \cdots = D_{1,k} = D_{1,k+1}= 0_F$인 행렬 $D\in M_{1\times (k+1)}(F)$에 대해

$D$의 $1$번째 열의 $A_{1,k+1}$곱을 $k+1$번째 열에 더하는 $3$형 열연산 $h : M_{1\times (k+1)}(F)\to M_{1\times (k+1)}(F)$를 적용하면

위 정리로 $D * G_{q+1} =h(D) = D_{k+1}$인 기본행렬 $G_{q+1}\in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$이 존재하여

$A*G = D * G_{q+1} *G_1*G_2*\cdots * G_q$이고

위 정리로 기본행렬 $G$의 역행렬 $G^{-1}\in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$은 기본행렬이므로

$A = A*G *G^{-1} = D * G_{q+1} *G_1*G_2*\cdots * G_q * G^{-1}$이다.

$A\ne O$인 $A\in M_{m\times n}(F)$에 대해 정리가 성립함을 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$m = 1$일때는 위에서 보인 것과 같이 성립한다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 $A\ne O$인 $A\in M_{(k+1)\times n}(F)$에 대해

$n = 1$이면 $A^t \in M_{1 \times (k+1)}(F)$이므로 위에서 보인 것과 위 정리와 행렬정리로 정리가 성립한다.

$n> 1$이면

$A\ne O$이므로 $A_{i,j}\ne 0_F$인 $i = 1,2,\cdots, k,k+1$와 $j = 1,2,\cdots, n$가 존재하여

$1$번째 행과 $i$번째 행을 교환한 후 다시 $1$번째 열과 $j$번째 열을 교환하면 $A_{1,1}$과 $A_{i,j}$의 위치가 바뀌고 

위에서 보인 것처럼 $A$에 행연산과 열연산을 적용하면 위 정리로 어떤 $u,v \in \mathbb{N}$에 대해

$E_u*\cdots *E_2* E_1 *A * G_1*G_2*\cdots *G_v = \begin{bmatrix} 1_F& 0_F&0_F&\cdots & 0_F \\ 0_F&B_{1,1} & B_{1,2} & \cdots & B_{1,n-1}\\ 0_F&B_{2,1}&B_{2,2}&\cdots & B_{2,n-1}\\ \vdots &\vdots && \ddots & \vdots \\ 0_F& B_{k,1} &B_{k,2}& \cdots &B_{k,n-1} \end{bmatrix}$인 행렬 $B \in M_{k\times (n-1)}(F)$와

기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_u\in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$와 기본행렬 $G_1,G_2,\cdots, G_v\in M_{n\times n}(F)$가 존재한다.

$B $가 영행렬이면 $E_u*\cdots *E_2* E_1 *A * G_1*G_2*\cdots *G_v = \begin{bmatrix} 1_F&0_F& 0_F&\cdots & 0_F \\ 0_F&0_F & 0_F & \cdots & 0_F\\ 0_F&0_F&0_F&\cdots & 0_F\\ \vdots &\vdots & & \ddots & \vdots \\ 0_F&0_F &0_F& \cdots &0_F \end{bmatrix} = D_1$에 대해

위 정리와 위 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank} (A)} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(D_1)} = 1$이고 위 정리로 기본행렬의 역행렬은 기본행렬이므로

$A  =  E_1^{-1}*E_2^{-1}*\cdots *E_u^{-1}*D_1 *G_v^{-1}*\cdots * G_2^{-1} * G_1^{-1}$이 되어 정리가 성립한다.

$B $가 영행렬이 아니면

$\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank} (A)} = r$이므로 위 정리와 위 정리로 $\underset{(M_{(n-1)\times 1}(F),+_{n-1},\cdot_{n-1},O_{n-1})}{\operatorname{rank} (B)} = r-1$이고

귀납가정으로 어떤 $p,q \in \mathbb{N}$에 대해

기본행렬 $B_1,B_2,\cdots, B_p\in M_{k\times k}(F)$와 기본행렬 $C_1,C_2,\cdots, C_q\in M_{(n-1)\times (n-1)}(F)$가 존재하여

$B = B_p*\cdots *B_2* B_1 *D_k * C_1*C_2*\cdots *C_q$가 되는 $(D_k)_{1,1}=(D_k)_{2,2}=\cdots = (D_k)_{r-1,r-1}  = 1_F$이고

$(D_k)_{1,1},(D_k)_{2,2},\cdots, (D_k)_{r-1,r-1}$이 아닌 성분들은 모두 $0_F$인 행렬 $D_k \in M_{k\times (n-1)}(F)$가 존재한다.

위 정리로 $B_1,B_2,\cdots, B_p$와 $C_1,C_2,\cdots, C_q$에 대응되는 $M_{k\times (n-1)}(F)$위의 행연산과 열연산이 존재하므로

연산할 행과 열에 $+1$행과 $+1$열로 대응되는 $M_{(k+1)\times n}(F)$위의 행연산과 열연산을

$D_{1,1}=D_{2,2}=\cdots = D_{r,r}  = 1_F$이고

$D_{1,1},D_{2,2},\cdots, D_{r,r}$이 아닌 성분들은 모두 $0_F$인 $D\in M_{(k+1)\times n}(F)$에 적용하면

$E_u*\cdots *E_2* E_1 *A * G_1*G_2*\cdots *G_v = \overline{B}_p*\cdots*\overline{B}_2*\overline{B}_1* D * \overline{C}_1 * \overline{C}_2*\cdots * \overline{C}_q$인

기본행렬 $\overline{B}_1,\overline{B}_2,\cdots, \overline{B}_p\in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$와 기본행렬 $\overline{C}_1,\overline{C}_2,\cdots, \overline{C}_q\in M_{n\times n}(F)$가 존재하고

위 정리로 기본행렬의 역행렬은 기본행렬이므로

$A  =  E_1^{-1}*E_2^{-1}*\cdots *E_u^{-1}*\overline{B}_p*\cdots*\overline{B}_2*\overline{B}_1* D * \overline{C}_1 * \overline{C}_2*\cdots * \overline{C}_q *G_v^{-1}*\cdots * G_2^{-1} * G_1^{-1}$이다.

따라서 모든 $m,n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

4.

3번으로 어떤 $p,q \in \mathbb{N}$에 대해 $A = E_p*\cdots *E_2* E_1 *D * G_1*G_2*\cdots *G_q$인

기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_p\in M_{m\times m}(F)$와 기본행렬 $G_1,G_2,\cdots, G_q\in M_{n\times n}(F)$가 존재하고

위 정리로 기본행렬은 가역이고 기본행렬의 역행렬은 기본행렬이다.

따라서 항등행렬 $I_m \in M_{m\times m}(F)$과 $I_n \in M_{n\times n}(F)$는 위 정리와 위 정리로 가역이고

역행렬 정리로 $E = E_1^{-1}*E_2^{-1} *\cdots *E_p^{-1}*I_m^{-1}$와 $G = I_n^{-1}*G_q^{-1} * \cdots * G_2^{-1} * G_1^{-1}$는 가역이므로

$A = I_m*A *I_n = I_m*E_p*\cdots *E_2* E_1 *D * G_1*G_2*\cdots *G_q * I_n$임에 따라

$D = E_1^{-1}*E_2^{-1} *\cdots *E_p^{-1}*I_m^{-1}*A*I_n^{-1}*G_q^{-1} * \cdots * G_2^{-1} * G_1^{-1} = E * A * G$이다.

5.

4번으로 $D = E*A *G$인 가역행렬 $E \in M_{m\times m}(F)$와 가역행렬 $G\in M_{n\times n}(F)$가 존재하고

전치행렬 정리로 $E^t$와 $G^t$는 가역이고 $D^t = (E*A*G)^t = G^t * A^t * E^t$이므로 위 정리와 위 정리로

$\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} =\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(E*A*G)} =\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(D)} = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{rank}(D^t)}= \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{rank}(G^t*A^t*E^t)} = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{rank}(A^t)} \text{ 이다.}$

 

 

 

정리7

열벡터 $F$-벡터공간이 $(M_{n\times 1}(F), +_n,\cdot_n, O_n)$과 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$이고 임의의 행렬이 $A \in M_{m\times n}(F)$일때

임의의 $i = 1,2,\cdots, m$에 대해 $A$의 $i$번째 행이 $a_i = \begin{bmatrix} A_{i,1} & A_{i,2}& \cdots & A_{i,n} \end{bmatrix}\in M_{1\times n}(F)$이고

$(M_{1\times n}(F),+_n^t,\cdot_n^t,O_n^t)$에서 일차독립인 $\{ a_1,a_2,\cdots, a_m\}$의 부분집합 중 원소개수가 최대인

$\alpha \subseteq \{ a_1,a_2,\cdots, a_m\}$의 원소개수가 $r\in \mathbb{N}$개이면 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}$ $= r$이다.

증명

전치행렬의 정의로 $a_i^t = \begin{bmatrix} A_{i,1} \\ A_{i,2}\\ \vdots \\ A_{i,n} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} (A^t)_{1,i} \\ (A^t)_{2,i}\\ \vdots \\ (A^t)_{n,i} \end{bmatrix}\in M_{n\times 1}(F)$는 $A^t\in M_{n\times m}(F)$의 $i$번째 열이고

전치행렬 정리로 벡터합과 스칼라곱이 보존되므로

위 정리와 위 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}=\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{rank}(A^t)} = r$이다.

 

 

 

정리8

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$와 임의의 가역행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$에 대해

$A = E_1*E_2*\cdots * E_k$인 $k \in \mathbb{Z}^+$개의 기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_k\in M_{n\times n}(F)$가 존재한다.

증명

$A$는 가역이므로 위 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} = n$이고

위 정리로 항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$과 어떤 $p,q\in \mathbb{N}$에 대해 $A = E_p*\cdots *E_2* E_1 *I_n * G_1*G_2*\cdots *G_q$인

기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_p\in M_{n\times n}(F)$와 기본행렬 $G_1,G_2,\cdots, G_q\in M_{n\times n}(F)$가 존재한다.

따라서 항등행렬 $I_n$도 기본행렬이므로

$A = E_p*\cdots *E_2* E_1 *I_n * G_1*G_2*\cdots *G_q$인 $p+q +1$개의 기본행렬이 존재한다.

 

 

 

정리9

유한차원 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V),(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W),(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)$의

임의의 선형변환이 $T : V\to W$와 $U: W\to Z$이고

열벡터 $F$-벡터공간이 $(M_{n\times 1}(F), +_n,\cdot_n, O_n)$과 $(M_{p\times 1}(F),+_p,\cdot_p,O_p)$일때

임의의 행렬 $A\in M_{m\times n}(F)$와 $B\in M_{n\times p}(F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(U\circ T)}$ $\le \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)}$

2. $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(U\circ T)}\le \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{rank}(U)}$

3. $\underset{(M_{p\times 1}(F),+_p,\cdot_p,O_p)}{\operatorname{rank}(A *B)}$ $\le \underset{(M_{n\times 1},+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}$

4. $\underset{(M_{p\times 1}(F),+_p,\cdot_p,O_p)}{\operatorname{rank}(A *B)}\le \underset{(M_{p\times 1},+_p,\cdot_p,O_p)}{\operatorname{rank}(B)}$

증명

2.

선형변환 정리로 $U\circ T : V\to Z$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)$로의 선형변환이고

$R(T) \subseteq W$이므로 합성함수 정리로 $R(U\circ T) = (U\circ T)(V) = U(T(V)) = U(R(T)) \subseteq U(W) = R(U)$이다.

따라서 상공간 $(R(U\circ T),+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)$는 $(R(U),+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)$의 부분공간이므로

부분공간 정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(U\circ T)} = \underset{(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)}{\dim(R(U\circ T))} \le \underset{(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)}{\dim(R(U))} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\operatorname{rank}(U)}$이다.

3.

$A$와 $B$의 좌측곱변환 $L_A : M_{n\times 1}(F)\to M_{m\times 1}(F)$와 $L_B: M_{p\times 1}(F)\to M_{n\times 1}(F)$는

좌측곱변환 정리로 선형변환이고 $L_{A* B} = L_A \circ L_B$이므로 2번으로

$\underset{(M_{p\times 1}(F),+_p,\cdot_p,O_p)}{\operatorname{rank}(A*B)} = \underset{(M_{p\times 1}(F),+_p,\cdot_p,O_p)}{\operatorname{rank}(L_{A*B})}= \underset{(M_{p\times 1}(F),+_p,\cdot_p,O_p)}{\operatorname{rank}(L_{A}\circ L_B)} \le \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L_A)} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} $이다.

4.

위 정리와 전치행렬 정리와 3번으로

$ \underset{(M_{p\times 1}(F),+_p,\cdot_p,O_p)}{\operatorname{rank}(A*B)} = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{rank}((A*B)^t)} =\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{rank}(B^t*A^t)} \le \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(B^t)} = \underset{(M_{p\times 1}(F),+_p,\cdot_p,O_p)}{\operatorname{rank}(B)} $이다.

1.

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V),(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W),(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)$가 각각 $p,n,m \in \mathbb{Z}^+$차원이고 순서기저가 각각 $\alpha,\beta,\gamma$이면

$\alpha,\beta,\gamma$에 대한 $T,U$의 행렬표현은 $[T]_\alpha^\beta \in M_{n\times p}(F)$이고 $[U]_\beta^\gamma\in M_{m\times n}(F)$이므로

위 정리와 행렬표현 정리와 4번으로

$\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(U\circ T)} = \underset{(M_{p\times 1}(F),+_p,\cdot_p,O_p)}{\operatorname{rank}([U\circ T]_\alpha^\gamma)} = \underset{(M_{p\times 1}(F),+_p,\cdot_p,O_p)}{\operatorname{rank}([U]_\beta^\gamma * [T]_\alpha^\beta)} \le \underset{(M_{p\times 1}(F),+_p,\cdot_p,O_p)}{\operatorname{rank}([T]_\alpha^\beta)}=\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{rank}(T)}$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/72#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/72#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244