연립일차방정식(System of linear equations)

정의1

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$와 임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$와 임의의 열벡터 $b\in M_{m\times 1}(F)$에 대해

집합 $K = \{ x\in M_{n\times 1}(F) : A$ $*$ $x = b\}$를 연립일차방정식 $A*x = b$의 해집합으로 정의하고

임의의 $x \in K$를 연립일차방정식 $A*x = b$의 해(solution)로 정의한다.

$K \ne \emptyset$이면 연립일차방정식 $A*x = b$에 모순이 없다 또는 해가 존재한다라고 정의한다.

행렬 $A = \begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ A_{2,1} & A_{2,2} & & A_{2,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} \end{bmatrix}$를 연립일차방정식 $A*x = b$의 계수행렬(coefficient matrix)라고 정의하고

$b = \begin{bmatrix} b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}\in M_{m\times 1}(F)$와 연립일차방정식 $A*x = b$의 임의의 해 $x = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\in K$에 대해

연립일차방정식 $A*x = b$를   $\begin{align*} &A_{1,1}\cdot_F x_1 +_F A_{1,2}\cdot_F x_2 +_F \cdots +_F A_{1,n}\cdot_F x_n = b_1 \\[0.5em] & A_{2,1}\cdot_F x_1 +_F A_{2,2}\cdot_F x_2 +_F\cdots +_F A_{2,n}\cdot_F x_n = b_2 \\[0.5em] & \mspace{11em} \vdots \\[0.5em] & A_{m,1}\cdot_F x_1 +_F A_{m,2}\cdot_F x_2 +_F\cdots +_F A_{m,n}\cdot_F x_n = b_m \end{align*}$  로 표기할 수 있다.

$b = \begin{bmatrix} 0_F\\ 0_F \\ \vdots \\ 0_F \end{bmatrix} = O_m$일때 연립일차방정식 $A*x = O_m$을 동차(homogeneous)연립일차방정식으로 정의하고

$b \ne O_m$이면 연립일차방정식 $A*x = O_m$을 비동차(nonhomogeneous)연립일차방정식으로 정의한다.

 

 

 

정리1

열벡터 $F$-벡터공간이 $(M_{m\times 1}(F), +_m,\cdot_m, O_m)$, $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$일때

임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$의 좌측곱변환 $L_A : M_{n\times 1}(F) \to M_{m\times 1}(F)$와

동차연립일차방정식 $A*x=O_m$의 해집합 $K = \{ x\in M_{n\times 1}(F):A*x=O_m\}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $K = L_A^{-1}(\{ O_m\})= $ $N(L_A)$

2. $(K,+_n,\cdot_n,O_n)$은 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$의 부분공간이다.

3. $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}$ $=r$일때 $(K,+_n,\cdot_n,O_n)$은 $n -r$차원이다.

4. $m<n$이면 $x\ne O_n$인 $A*x=O_m$의 해 $x\in K$가 존재한다.

증명

1.

영공간의 정의와 역상의 정의로 $N(L_A) =  L_A^{-1}(\{ O_m\})= \{ x\in M_{n\times 1}(F) : L_A(x) = O_m\} = K$이다.

2.

1번과 영공간의 정의로 $(K,+_n,\cdot_n,O_n)$은 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$의 부분공간이다.

3.

좌측곱변환 정리로 $L_A $는 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에서 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$로의 선형변환이므로

벡터공간 정리와 차원정리와 1번으로

$n =\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\dim(M_{n\times 1}(F))} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(L_A)} +\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{nullity}(L_A)} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} +\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\dim(N(L_A))}= r +\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\dim(K)} \text{ 가 되어}$

$(K,+_n,\cdot_n,O_n)$의 차원은 $n -r =\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\dim(K)} $이다.

4.

$m<n$이고 행렬 정리로 $r = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}\le m$이므로 3번으로 $0< n-m\le n-r= \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\dim(K)}$이 되어

차원의 정의로 원소개수가 $1$개이상인 $(K,+_n,\cdot_n,O_n)$의 기저 $\beta$가 존재한다.

따라서 벡터공간 정리로 $O_n\notin \beta$이므로 $x\ne O_n$인 $A*x=O_m$의 해 $x\in \beta \subseteq K$가 존재한다.

 

 

 

정리2

열벡터 $F$-벡터공간이 $(M_{m\times 1}(F), +_m,\cdot_m, O_m)$, $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$이고

임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$와 임의의 열벡터 $b\in M_{m\times 1}(F)$에 대해 $K_b = \{ x\in M_{n\times 1}(F):A*x=b\}$일때

임의의 $x_0 \in K_b$에 대해 $K_b = \{ x_0 +_n s : s\in K_{O_m} \}$이다.

증명

임의의 $x \in K_b$에 대해 행렬 정리로 $A*(x-x_0) = (A*x) - (A*x_0)= b -b = O_m$이므로

$x- x_0 \in K_{O_m}$이 되어 $x-x_0 = s$인 $s\in K_{O_m}$가 존재하고

$x = x_0 +_n s \in \{ x_0 +_n s : s\in K_{O_m} \}$이므로 $K_b \subseteq \{ x_0 +_n s : s\in K_{O_m} \}$이다.

임의의 $x\in \{ x_0 +_n s : s\in K_{O_m} \}$는 $x = x_0 +_n s$인 $s\in K_{O_m}$가 존재하므로

행렬 정리로 $A*x = A*(x_0+_n s) = (A*x_0) +_m (A*s) = b +_m O_m = b$가 되어

$x \in K_b$이고 $\{ x_0 +_n s : s\in K_{O_m} \} \subseteq K_b$이다.

따라서 집합 정리로 $K_b = \{ x_0 +_n s : s\in K_{O_m} \}$이다.

 

 

 

정리3

열벡터 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F), +_n,\cdot_n, O_n)$와 임의의 행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$와 임의의 열벡터 $b\in M_{n\times 1}(F)$에 대해 

$A$가 가역이기 위한 필요충분조건은 연립일차방정식 $A*x = b$의 해 $x\in M_{n\times 1}(F)$가 유일하게 존재하는 것이다.

이때 $A$의 역행렬 $A^{-1} \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $x = A^{-1} * b$이다.

증명

$K = \{ x\in M_{n\times 1}(F):A*x=b\}$일때

$A$가 가역이면 항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$에 대해

$A*(A^{-1} *b) = (A*A^{-1}) * b = I_n *b = b$이므로 $A^{-1} * b\in K$이고 $K\ne \emptyset$이다.

또 모든 $x \in K$는 $A*x  = b$이므로

$x = I_n * x=(A^{-1} * A) *x = A^{-1}*(A * x) = A^{-1} * b$가 되어 $K = \{ A^{-1} * b\}$이다.

역으로 어떤 $x_0\in M_{n\times 1}(F)$에 대해 $K = \{ x_0\}$이면

$K_0 = \{ x\in M_{n\times 1}(F):A*x=O_n\}$에 대해 위 정리로 $\{ x_0\}=K = \{ x_0+_n s : s\in K_0\}$이므로

모든 $s\in K_0$에 대해 $x_0+_n O_n =x_0 = x_0+_n s$가 되어 벡터공간 정리로 $s = O_n$이고 $K_0 =\{ O_n\}$이다.

따라서 $A$의 좌측곱변환 $L_A : M_{n\times 1}(F) \to M_{n\times 1}(F)$에 대해 위 정리로 $N(L_A)=K_0 =\{ O_n\}$이고

영공간 정리와 차원정리로 $L_A$는 가역이 되어 좌측곱변환 정리로 $A$는 가역이다.

 

 

 

정의2

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$와 임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$와 임의의 행렬 $B\in M_{m\times p}(F)$에 대해

$A$에 $B$를 첨가한 첨가행렬(agumented matrix) $A|B \in M_{m\times (n+p)}(F)$를

$A|B = \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} & B_{1,1} & B_{1,2} & \cdots & B_{1,p} \\ A_{2,1} & A_{2,2} & & A_{2,n} & B_{2,1} & B_{2,2} & \cdots & B_{2,p} \\ \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} & B_{m,1} & B_{m,2} & \cdots & B_{m,p} \end{bmatrix}$로 정의한다.

 

 

 

정리4

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$와 임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$와 임의의 행렬 $B\in M_{m\times p}(F)$에 대해

임의의 행렬 $M\in M_{q\times m}(F)$과 첨가행렬 $A|B \in M_{m\times (n+p)}(F)$의 행렬곱은 $M*(A|B) = (M*A)|(M*B)$이다.

증명

$\begin{align*}M*(A|B) & = \begin{bmatrix}M_{1,1} & M_{1,2} & \cdots & M_{1,m} \\ M_{2,1} & M_{2,2} & & M_{2,m} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ M_{q,1} & M_{q,2} & \cdots & M_{q,m} \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} & B_{1,1} & B_{1,2} & \cdots & B_{1,p} \\ A_{2,1} & A_{2,2} & & A_{2,n} & B_{2,1} & B_{2,2} & \cdots & B_{2,p} \\ \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{m,1} & A_{m,2} & \cdots & A_{m,n} & B_{m,1} & B_{m,2} & \cdots & B_{m,p} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{1,k}\cdot_F A_{k,1}} & {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{1,k}\cdot_F A_{k,2}} & \cdots & {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{1,k}\cdot_F A_{k,n}} & {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{1,k}\cdot_F B_{k,1}} & {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{1,k}\cdot_F B_{k,2}} & \cdots &{\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{1,k}\cdot_F B_{k,p}} \\ {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{2,k}\cdot_F A_{k,1}} & {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{2,k}\cdot_F A_{k,2}} & \cdots & {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{2,k}\cdot_F A_{k,n}} & {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{2,k}\cdot_F B_{k,1}} & {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{2,k}\cdot_F B_{k,2}} & \cdots &{\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{2,k}\cdot_F B_{k,p}} \\ \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{q,k}\cdot_F A_{k,1}} & {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{q,k}\cdot_F A_{k,2}} & \cdots & {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{q,k}\cdot_F A_{k,n}} & {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{q,k}\cdot_F B_{k,1}} & {\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{q,k}\cdot_F B_{k,2}} & \cdots &{\displaystyle \sum_{k= 1}^m M_{q,k}\cdot_F B_{k,p}} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} (M*A)_{1,1}& (M*A)_{1,2} & \cdots & (M*A)_{1,n} & (M*B)_{1,1} & (M*B)_{1,2} & \cdots &(M*B)_{1,p} \\ (M*A)_{2,1}& (M*A)_{2,2} & \cdots & (M*A)_{2,n} & (M*B)_{2,1} & (M*B)_{2,2} & \cdots &(M*B)_{2,p} \\ \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ (M*A)_{q,1}& (M*A)_{q,2} & \cdots & (M*A)_{q,n} & (M*B)_{q,1} & (M*B)_{q,2} & \cdots &(M*B)_{q,p} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = (M*A)|(M*B) \end{align*}$

 

 

 

정리5

열벡터 $F$-벡터공간이 $(M_{m\times 1}(F), +_m,\cdot_m, O_m)$, $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$, $(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})$일때

임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$의 좌측곱변환 $L_A : M_{n\times 1}(F) \to M_{m\times 1}(F)$와 임의의 열벡터 $b\in M_{m\times 1}(F)$와

연립일차방정식 $A*x=b$의 해집합 $K = \{ x\in M_{n\times 1}(F):A*x=b\}$에 대해 다음은 동치이다.

1. $K \ne \emptyset$

2. $b\in $ $R(L_A)$ $= L_A(M_{n\times 1}(F))$

3. 첨가행렬 $A|b \in M_{m\times (n+1)}(F)$에 대해 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}$ $= \underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(A|b)}$이다.

증명

$1\leftrightarrow 2$

$K \ne \emptyset$이면 $x \in K\subseteq M_{n\times 1}(F)$가 존재하여 $b= A*x = L_A(x) \in L_A(M_{n\times 1}(F)) =R(L_A)$이다.

역으로 $b\in R(L_A)$이면 $A*x=L_A(x) = b$인 $x\in M_{n\times 1}(F)$가 존재하여 $x\in K$이므로 $K\ne \emptyset$이다.

$2\leftrightarrow 3$

$A$의 열들의 집합이 $\{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}\subseteq M_{m\times 1}(F)$일때

$b\in R(L_A)$이면

$(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$에서 일차독립이고 원소개수가 최대인 $\alpha\subseteq \{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}$가 $r\in \mathbb{N}$개의 원소를 가질때

행렬 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} =r$이고 $b\in R(L_A) = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)}$이므로

벡터공간 정리로 $\alpha \cup \{ b\}$는 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$에서 일차종속이다.

따라서 $\alpha\subseteq \{ a_1,a_2,\cdots, a_n,b\}$이므로 행렬 정리로 $\underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(A|b)} = r = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} $이다.

역으로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} = \underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(A|b)} $이면

행렬 정리로 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$에서 일차독립이고 원소개수가 최대인

$\alpha\subseteq \{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}$와 $\beta \subseteq \{ a_1,a_2,\cdots, a_n,b\}$가 $r_1,r_2\in \mathbb{N}$개의 원소를 가질때

$r_1 = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} = \underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(A|b)} =r_2$이고 $R(L_A) = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)}$이다.

따라서 $\alpha \cup \{b\} \subseteq \{ a_1,a_2,\cdots, a_n,b\}$는 $r_2< r_1+1$인 $r_1 +1$개의 원소를 가지므로

$(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$에서 일차종속이 되어 벡터공간 정리로 $b\in \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\alpha)} = R(L_A)$이다.

 

 

 

정리6

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$일때

임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$와 임의의 열벡터 $b\in M_{m\times 1}(F)$와 임의의 가역행렬 $C \in M_{m\times m}(F)$에 대해

$\{ x\in M_{n\times 1}(F) : A*x = b\} = \{ x\in M_{n\times 1}(F) : C*A*x = C*b\}$이다.

증명

$K = \{ x\in M_{n\times 1}(F) : A*x = b\} $이고 $K_C = \{ x\in M_{n\times 1}(F) : C*A*x = C*b\}$일때

임의의 $x\in K$는 $A*x =b$이므로 $C*A*x = C*b$가 되어 $x\in K_C$이고 $K\subseteq K_C$이다.

임의의 $x\in K_C$는 $C*A*x = C*b$이므로 $A*x=C^{-1}*C*A*x = C^{-1} *C*b = b$가 되어

$x\in K$이고 $K_C\subseteq K$이므로

집합정리로 $\{ x\in M_{n\times 1}(F) : A*x = b\} =K =K_C= \{ x\in M_{n\times 1}(F) : C*A*x = C*b\}$이다.

 

 

 

정의3

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 임의의 행렬이 $A \in M_{m\times n}(F)$일때

행간소사다리꼴(reduced row echelon form) :

임의의 $i = 1,2,\cdots, m$에 대해 $j_i = $ $\min$$ \{ j \in \{ 1,2,\cdots, n\} : A_{i,j}\ne 0_F \}$가 존재하면

1. $A_{i,j_i} = 1_F$이다.

2. $i\ne k$인 모든 $k = 1,2,\cdots, m$에 대해 $A_{k,j_i} = 0_F$이다.

3. $A_{k,1} = A_{k,2} = \cdots = A_{k,n} = 0_F$인 모든 $k = 1,2,\cdots, m$는 $i < k$이다.

4. $i< k$인 모든 $k = 1,2,\cdots, m$에 대해 $j_k = \min \{ j\in \{ 1,2,\cdots, n\} : A_{k,j} \ne 0_F\}$가 존재하면 $j_i < j_k$이다.

위와 같은 성질을 만족하는 행렬 $A$를 행간소사다리꼴로 정의한다.

 

 

 

정리7

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$에 대해 임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$가 행간소사다리꼴이면 $A$는 상삼각행렬이다.

증명

$m\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$m = 1$이면 $1 > j$인 $j= 1,2,\cdots, n$가 존재하지 않으므로 $A\in M_{1\times n}(F)$는 상삼각행렬이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립할때 $A\in M_{(k+1)\times n}(F)$가 행간소사다리꼴이면

$B = \begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ A_{2,1} & A_{2,2} & & A_{2,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{k,1} & A_{k,2} & \cdots & A_{k,n} \end{bmatrix} \in M_{k,n}(F)$는 행간소사다리꼴이므로 상삼각행렬이 되어

모든 $i = 1,2,\cdots, k$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $i>j$이면 $A_{i,j}=B_{i,j} = 0_F$이다.

모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $A_{k,j} = 0_F$이면

행간소사다리꼴의 정의로 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $A_{k+1,j} = 0_F$가 되어 $A$는 상삼각행렬이다.

$A_{k,j} \ne 0_F$인 $j = 1,2,\cdots, n$가 존재하면 최소원소 정리로 $j_k = \min \{ j\in \{ 1,2,\cdots, n\} : A_{k,j} \ne 0_F\}$가 존재하므로

모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $A_{k+1,j} = 0_F$이면 $A$는 상삼각행렬이고

$A_{k+1,j} \ne 0_F$인 $j = 1,2,\cdots, n$가 존재하면 $j_{k +1}= \min \{ j\in \{ 1,2,\cdots, n\} : A_{k+1,j} \ne 0_F\}$가 존재하여

행간소사다리꼴의 정의로 $k\le j_k<j_{k+1}$이므로 $k+1\le j_{k+1}$이고

$A_{k+1,j}\ne 0_F$인 모든 $j = 1,2,\cdots, n$는 $k+1\le j_{k+1}\le j$가 되어 $A$는 상삼각행렬이다.

따라서 모든 $m,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $A \in M_{m\times n}(F)$가 행간소사다리꼴이면 $A$는 상삼각행렬이다.

 

 

 

정리8

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$와 임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $E_p*\cdots *E_2*E_1 * A = M$이 되는

행간소사다리꼴 $M \in M_{m\times n}(F)$과 $p\in \mathbb{N}$개의 기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_p \in M_{m\times m}(F)$가 존재한다.

2. $E * A = M$이 되는 행간소사다리꼴 $M \in M_{m\times n}(F)$과 가역행렬 $E\in M_{m\times m}(F)$가 존재한다.

증명

1.

$m\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$m = 1$일때 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $A_{1,j} = 0_F$이면 $A$는 행간소사다리꼴이고

$A_{1,j} \ne 0_F$인 $j = 1,2,\cdots, n$가 존재하면 최소원소 정리로 $j_1 = \min \{ j\in \{ 1,2,\cdots, n\} : A_{1,j} \ne 0_F\}$이 존재하므로

$1$행을 $A_{1,j_1}$로 나누는 $2$형 행연산을 적용한 행렬 $M \in M_{1\times n}(F)$은 $M_{1,j_1} = \dfrac{A_{1,j_1}}{A_{1,j_1}} = 1_F$로 행간소사다리꼴이 되어

기본행렬 정리로 행연산에 대응되는 기본행렬 $E\in M_{1\times 1}(F)$에 대해 $E* A= M$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 $A\in M_{(k+1)\times n}(F)$가 영행렬이면 $A$는 행간소사다리꼴이다.

$A\in M_{(k+1)\times n}(F)$가 영행렬이 아니면 $A_{i,j}\ne 0_F$인 $i = 1,2,\cdots, k,k+1$와 $j = 1,2,\cdots, n$가 존재하므로

임의의 $i = 1,2,\cdots, k,k+1$에 대해

$j_i = \min \{ j\in \{ 1,2,\cdots, n\} : A_{i,j} \ne 0_F\}$가 존재하는 $j_1,j_2,\cdots, j_k,j_{k+1}$ 중 최소가 되는 $j_r$이 존재한다.

모든 $i = 1,2,\cdots, k,k+1$와 $j<j_r$인 모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $A_{i,j} = 0_F$이므로

$A$의 $1$번째 행과 $r$번째 행을 교환하는 $1$형 행연산을 적용하면 기본행렬 정리로

$E*A = \begin{bmatrix} A_{r,1} & \cdots & A_{r,j_r} & \cdots & A_{r,n} \\ A_{2,1} & \cdots & A_{2,j_r} & \cdots & A_{2,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ A_{1,1} & \cdots & A_{1,j_r} & \cdots &A_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & &\vdots& \vdots \\ A_{k,1} & \cdots & A_{k,j_r} & \cdots & A_{k,n} \\ A_{k+1,1} & \cdots & A_{k+1,j_r} & \cdots & A_{k+1,n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0_F & \cdots & 0_F & A_{r,j_r} &A_{r,j_r+1} & \cdots & A_{r,n} \\ 0_F & \cdots & 0_F &A_{2,j_r} &A_{2,j_r+1} & \cdots & A_{2,n} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F &A_{1,j_r}&A_{1,j_r+1} & \cdots &A_{1,n} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F & A_{k,j_r} & A_{k,j_r+1} & \cdots & A_{k,n} \\ 0_F & \cdots & 0_F &A_{k+1,j_r}&A_{k+1,j_r+1} & \cdots & A_{k+1,n} \end{bmatrix} \text{ 이 되는}$

기본행렬 $E\in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$가 존재하고

$A_{r,j_r}\ne 0_F$이므로 $1$번째 행을 $A_{r,j_r}$로 나누는 $2$형 행연산을 적용하면 기본행렬 정리로

$G*E*A = \begin{bmatrix} 0_F & \cdots & 0_F & 1_F & \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots & \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \\ 0_F & \cdots & 0_F &A_{2,j_r} &A_{2,j_r+1} & \cdots & A_{2,n} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F &A_{1,j_r}&A_{1,j_r+1} & \cdots &A_{1,n} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F & A_{k,j_r} & A_{k,j_r+1} & \cdots & A_{k,n} \\ 0_F & \cdots & 0_F &A_{k+1,j_r}&A_{k+1,j_r+1} & \cdots & A_{k+1,n} \end{bmatrix} $이 되는

기본행렬 $G \in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$가 존재한다.

$3$형 행연산을 $k$번 적용하면 기본행렬 정리로 

$ \begin{align*} G_{k}*\cdots *G_2*G_1*G*E*A & = G_k*\cdots *G_2*G_1*\begin{bmatrix} 0_F & \cdots & 0_F & 1_F & \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots & \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \\ 0_F & \cdots & 0_F &A_{2,j_r} &A_{2,j_r+1} & \cdots & A_{2,n} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F &A_{1,j_r}&A_{1,j_r+1} & \cdots &A_{1,n} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F & A_{k,j_r} & A_{k,j_r+1} & \cdots & A_{k,n} \\ 0_F & \cdots & 0_F &A_{k+1,j_r}&A_{k+1,j_r+1} & \cdots & A_{k+1,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} 0_F & \cdots & 0_F & 1_F & \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots & \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \\ 0_F & \cdots & 0_F &A_{2,j_r} - A_{2,j_r} &A_{2,j_r+1} -A_{2,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots & A_{2,n} -A_{2,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F &A_{1,j_r} - A_{1,j_r} &A_{1,j_r+1} - A_{1,j_r} \cdot_F \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots &A_{1,n} - A_{1,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F & A_{k,j_r} - A_{k,j_r} & A_{k,j_r+1} - A_{k,j_r} \cdot_F \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots & A_{k,n} - A_{k,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \\ 0_F & \cdots & 0_F &A_{k+1,j_r}- A_{k+1,j_r}&A_{k+1,j_r+1}- A_{k+1,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots & A_{k+1,n} - A_{k+1,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} 0_F & \cdots & 0_F & 1_F & \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots & \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \\ 0_F & \cdots & 0_F &0_F &A_{2,j_r+1} -A_{2,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots & A_{2,n} -A_{2,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F &0_F &A_{1,j_r+1} - A_{1,j_r} \cdot_F \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots &A_{1,n} - A_{1,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F & 0_F & A_{k,j_r+1} - A_{k,j_r} \cdot_F \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots & A_{k,n} - A_{k,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \\ 0_F & \cdots & 0_F &0_F &A_{k+1,j_r+1}- A_{k+1,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots & A_{k+1,n} - A_{k+1,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \end{bmatrix} \text{ 이 되는}\end{align*}$

기본행렬 $G_1,G_2,\cdots,G_k\in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$가 존재한다.

$B  = \begin{bmatrix} 0_F & \cdots & 0_F &0_F &A_{2,j_r+1} -A_{2,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots & A_{2,n} -A_{2,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F &0_F &A_{1,j_r+1} - A_{1,j_r} \cdot_F \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots &A_{1,n} - A_{1,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \\ \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F & 0_F & A_{k,j_r+1} - A_{k,j_r} \cdot_F \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots & A_{k,n} - A_{k,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \\ 0_F & \cdots & 0_F &0_F &A_{k+1,j_r+1}- A_{k+1,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,j_r+1}}{A_{r,j_r}} & \cdots & A_{k+1,n} - A_{k+1,j_r}\cdot_F \dfrac{A_{r,n}}{A_{r,j_r}} \end{bmatrix} \in M_{k\times n}(F)$는

귀납가정으로 $E_p*\cdots *E_2*E_1 * B = M$이 되는

행간소사다리꼴 $M \in M_{k\times n}(F)$과 $p\in \mathbb{N}$개의 기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_p \in M_{k\times k}(F)$가 존재하여

기본행렬 정리로 $E_1,E_2,\cdots, E_p$에 대응되는 행연산 $f_1,f_2,\cdots, f_p : M_{k\times n}(F)\to M_{k\times n}(F)$가 존재하므로

$f_1,f_2,\cdots, f_p$가 연산할 행의 $+1$행으로 대응되는 행연산 $g_1,g_2,\cdots, g_p : M_{(k+1)\times n}(F)\to M_{(k+1)\times n}(F)$를

반복하여 적용하면 기본행렬 정리로

$\overline{E}_p*\cdots *\overline{E}_2*\overline{E}_1*G_k*\cdots * G_2*G_1 *G*E* A $인 기본행렬 $\overline{E}_1,\overline{E}_2,\cdots, \overline{E}_p \in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$가 존재한다.

$\overline{E}_p*\cdots *\overline{E}_2*\overline{E}_1*G_k*\cdots * G_2*G_1 *G*E* A =C$로 둘때

모든 $i = 2,3,\cdots, k,k+1$에 대해 $j_i = \min \{ j\in \{ 1,2,\cdots, n\} : C_{i,j} \ne 0_F\}$가 존재하면 

$C_{i,j_i} = 1_F$와 $C_{2,j_i} =C_{3,j_i}=\cdots = C_{i-1,j_i}= C_{i+1,j_i}= \cdots = C_{k,j_i} = C_{k+1,j_i} = 0_F$가 성립하고

$j_r < j_i$와 $C_{1,j_i} = \dfrac{A_{r,j_i}}{A_{r,j_r}}$이 성립하므로 $1$번째 행에 $i$번째 행의 $\dfrac{A_{r,j_i}}{A_{r,j_r}}$곱을 빼는 $3$형 행연산을 반복하여 적용하면

기본행렬 정리로 $C_q\cdots *C_2*C_1 *\overline{E}_p*\cdots *\overline{E}_2*\overline{E}_1*G_k*\cdots * G_2*G_1 *G*E* A =\overline{M}$인

$q\in \mathbb{N}$개의 기본행렬 $C_1,C_2,\cdots, C_q \in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$가 존재하고 $\overline{M}\in M_{(k+1)\times n}(F)$은 행간소사다리꼴이다.

따라서 모든 $m,n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

2.

1번으로 $E_p*\cdots *E_2* E_1 *A =M$인 $p \in \mathbb{N}$개의 기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_p\in M_{m\times m}(F)$가 존재하여

기본행렬 정리로 기본행렬은 가역이다.

따라서 항등행렬 $I_m \in M_{m\times m}(F)$은 가역이고 역행렬 정리로 $E = I_m *E_p *\cdots *E_2 *E_1$는 가역이므로

$E*A =I_m* E_p*\cdots *E_2* E_1 *A =M$이다.

 

 

 

정리9

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의

열벡터 벡터공간 $(M_{m\times 1}(F), +_m,\cdot_m, O_m)$, $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$와 임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$에 대해

$Q * A = B$이 되는 행간소사다리꼴 $B \in M_{m\times n}(F)$와 가역행렬 $Q \in M_{m\times m}(F)$가 존재할때

$\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}$ $=r$이고 임의의 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$A$와 $B$의 $j$번째 열이 $a_j = \begin{bmatrix} A_{1,j} \\ A_{2,j}\\ \vdots \\ A_{m,j} \end{bmatrix}\in M_{m\times 1}(F)$와 $b_j = \begin{bmatrix} B_{1,j} \\ B_{2,j}\\ \vdots \\ B_{m,j} \end{bmatrix}\in M_{m\times 1}(F)$이고

크로네커델타 $\delta$에 대해 $e_j = \begin{bmatrix} \delta_{1,j} \\ \delta_{2,j} \\ \vdots \\ \delta_{m,j} \end{bmatrix}\in M_{m\times 1}(F)$이면 다음이 성립한다.

1. $r < i$인 모든 $i = 1,2,\cdots, m$에 대해 $B_{i,1} = B_{i,2} =\cdots = B_{i,n} = 0_F$이다.

2. 모든 $i = 1,2,\cdots, r$에 대해 $j_i = \min\{ j\in \{ 1,2,\cdots, n\} : B_{i,j} \ne 0_F\}$가 존재하고 $b_{j_i} = e_i$이다.

3. 모든 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해 $b_k \in \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\{ b_{j_1},b_{j_2},\cdots, b_{j_r}\})}$이고

$r>0$일때 $b_k  = d_1\cdot_m b_{j_1} +_m d_2\cdot_m b_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m b_{j_r}$인 스칼라 $d_1,d_2,\cdots, d_r\in F$이 존재하여

모든 $i = 1,2,\cdots, r$에 대해 $d_i = B_{i,k}$이다.

4. 임의의 $k = 1,2,\cdots, n$와 임의의 스칼라 $d_1,d_2,\cdots, d_r\in F$에 대해

$b_k  = d_1\cdot_m b_{j_1} +_m d_2\cdot_m b_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m b_{j_r}$이기 위한 필요충분조건은

$a_k  = d_1\cdot_m a_{j_1} +_m d_2\cdot_m a_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m a_{j_r}$인 것이다.

5. $A$의 좌측곱변환 $L_A : M_{n\times 1}(F) \to M_{m\times 1}(F)$에 대해

$\{ a_{j_1},a_{j_2},\cdots, a_{j_r}\}$은 $r$개의 원소를 갖는 유한집합이고 상공간 $(R(L_A),+_m,\cdot_m,O_m)$의 기저이다.

6. $P * A = C$인 임의의 행간소사다리꼴 $C \in M_{m\times n}(F)$와 임의의 가역행렬 $P \in M_{m\times m}(F)$에 대해 $B = C$이다.

증명

1, 2

행렬의 랭크 정리로 $r=\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(Q*A)}= \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(B)}$이고

$r = 0$이면 행렬 정리로 $B$는 영행렬이므로 모든 $i = 1,2,\cdots, m$에 대해 $B_{i,1} = B_{i,2} =\cdots = B_{i,n} = 0_F$이다.

$r > 0$이고 임의의 $i=1,2,\cdots, m$에 대해 $B$의 $i$번째 행이 $\beta_i = \begin{bmatrix} B_{i,1}& B_{i,2}&\cdots & B_{i,n} \end{bmatrix}\in M_{1\times n}(F)$일때

$(M_{1\times n}(F),+_n^t,\cdot_n^t,O_n^t)$에서 일차독립이고 원소개수가 최대인 $\beta\subseteq \{ \beta_1,\beta_2,\cdots, \beta_m\}$가 $p\in \mathbb{N}$개의 원소를 가지면

행렬 정리로 $r=\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(B)} = p$이고 일차독립 정리로 $O_n^t\notin \beta$이다.

또 $B$는 행간소사다리꼴이므로 $\beta = \{ \beta_1,\beta_2,\cdots, \beta_r\}$이 되어 $r<i$인 모든 $i = 1,2,\cdots,m$는 $\beta_i = O_n^t$이고

모든 $i = 1,2,\cdots, r$에 대해 $\beta_i \ne O_n^t$이므로 최소원소 정리로 $j_i = \min\{ j\in \{ 1,2,\cdots, n\} : B_{i,j} \ne 0_F\}$가 존재하여

$B_{i,j_i} = 1_F = \delta_{i,i}$와 $i\ne k$인 모든 $k=1,2,\cdots, m$에 대해 $B_{k,j_i} = 0_F = \delta_{k,i}$가 성립하므로

$b_{j_i} = \begin{bmatrix} B_{1,j_i} \\ B_{2,j_i}\\ \vdots\\ B_{i,j_i} \\ \vdots \\ B_{m,j_i} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \delta_{1,i} \\ \delta_{2,i}\\ \vdots \\ \delta_{i,i} \\ \vdots \\ \delta_{m,i} \end{bmatrix} = e_i$이다.

3.

행렬의 랭크 정리로 $r=\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} = \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(Q*A)}= \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(B)}$이므로

$r = 0$이면 행렬 정리로 $B$는 영행렬이고 $\{b_{j_1},b_{j_2},\cdots,  b_{j_r} \} =\emptyset$이 되어

생성집합의 정의로 모든 $k= 1,2,\cdots, n$에 대해 $b_k = O_m \in \{ O_m\} = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\emptyset)}$이다.

$r >0$이면 행렬의 랭크 정리로 $r\le m$이므로 

$\{ e_1,e_2,\cdots, e_r\}$은 기저 정리와 일차독립 정리로 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$에서 일차독립이고

2번으로 $\{ e_1,e_2,\cdots, e_r\}=\{b_{j_1},b_{j_2},\cdots,  b_{j_r} \} $이므로 행렬 정리로 모든 $k= 1,2,\cdots, n$에 대해

$b_k \in \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\{ b_1,b_2,\cdots,b_n\})} =\underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\{ b_{j_1},b_{j_2},\cdots, b_{j_r}\})}$가 되어

생성집합의 정의로 $b_k  = d_1\cdot_m b_{j_1} +_m d_2\cdot_m b_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m b_{j_r}$인 스칼라 $d_1,d_2,\cdots, d_r\in F$이 존재한다.

또 $\{ e_1,e_2,\cdots, e_r,e_{r+1},\cdots , e_m\}$은 기저 정리로 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$의 기저이고

$b_k = \begin{bmatrix} B_{1,k} \\ B_{2,k}\\ \vdots \\ B_{m,k} \end{bmatrix} = B_{1,k}\cdot_m e_1 +_m B_{2,k}\cdot_me_2 +_m \cdots +_m B_{r,k}\cdot_m e_r +_m B_{r+1,k}\cdot_me_{r+1}+_m\cdots +_m B_{m,k}\cdot_m e_m$과

2번으로 $b_k  = d_1\cdot_m e_{1} +_m d_2\cdot_m e_{2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m e_{r}+_m 0_F \cdot_me_{r+1} +_m\cdots +_m 0_F\cdot_me_{m}$이 성립하므로

기저 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, r$에 대해 $d_i = B_{i,k}$이다.

4.

$b_k  = d_1\cdot_m b_{j_1} +_m d_2\cdot_m b_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m b_{j_r}$이면

$Q*A = B$이고 $Q$는 가역이므로 $Q$의 역행렬 $Q^{-1}\in M_{m\times m}(F)$에 대해 $A=Q^{-1}*Q*A = Q^{-1}*B$이고

행렬 정리로 $Q^{-1}*b_k = \begin{bmatrix} (Q^{-1}*B)_{1,k} \\(Q^{-1}*B)_{2,k}\\ \vdots \\ (Q^{-1}*B)_{m,k} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} A_{1,k} \\A_{2,k}\\ \vdots \\ A_{m,k} \end{bmatrix} = a_k$이므로 행렬 정리로

$\begin{align*} a_k & = Q^{-1}* b_k  \\[0.5em] & = Q^{-1}*(d_1\cdot_m b_{j_1} +_m d_2\cdot_m b_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m b_{j_r}) \\[0.5em] & = d_1\cdot_m (Q^{-1}*b_{j_1}) +_m d_2\cdot_m (Q^{-1}*b_{j_2}) +_m \cdots +_m d_r\cdot_m (Q^{-1}*b_{j_r}) \\[0.5em] & = d_1\cdot_m a_{j_1} +_m d_2\cdot_m a_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m a_{j_r}  \text{ 이다.}\end{align*}$

역으로 $a_k  = d_1\cdot_m a_{j_1} +_m d_2\cdot_m a_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m a_{j_r}$이면

행렬 정리로 $Q*a_k = \begin{bmatrix} (Q*A)_{1,k} \\(Q*A)_{2,k}\\ \vdots \\ (Q*A)_{m,k} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} B_{1,k} \\B_{2,k}\\ \vdots \\ B_{m,k} \end{bmatrix} = b_k$이므로 행렬 정리로

$\begin{align*} b_k & = Q* a_k \\[0.5em] & = Q*( d_1\cdot_m a_{j_1} +_m d_2\cdot_m a_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m a_{j_r}) \\[0.5em] & = d_1\cdot_m (Q*a_{j_1}) +_m d_2\cdot_m (Q*a_{j_2}) +_m \cdots +_m d_r\cdot_m (Q*a_{j_r}) \\[0.5em] & = d_1\cdot_m b_{j_1} +_m d_2\cdot_m b_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m b_{j_r}   \text{ 이다.} \end{align*}$

5.

$r = 0$이면 $\{ a_{j_1},a_{j_2},\cdots, a_{j_r}\} = \emptyset$이므로 일차독립 정리로 $\emptyset$은 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$에서 일차독립이다.

$r > 0$일때 $B$는 행간소사다리꼴이므로 $i<k$인 모든 $i,k = 1,2,\cdots, r$에 대해 $j_i<j_k$이고

$a_{j_i} = a_{j_k}$라고 가정하면 행렬 정리와 2번으로 $e_i=b_{j_i} =Q*a_{j_i} = Q*a_{j_k} = b_{j_k} = e_k$가 되어 모순이므로

$\{ a_{j_1},a_{j_2},\cdots, a_{j_r}\}$은 $r$개의 원소를 갖는 유한집합이다.

따라서 $d_1\cdot_m a_{j_1} +_m d_2\cdot_m a_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_ma_{j_r} = O_m$인 $d_1,d_2,\cdots, d_r\in F$이 존재하면

행렬 정리로

$\begin{align*} d_1\cdot_m e_{1} +_m d_2\cdot_m e_{2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m e_r & = d_1\cdot_m b_{j_1} +_m d_2\cdot_m b_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m b_{j_r} \\[0.5em] & = d_1\cdot_m (Q* a_{j_1}) +_m d_2\cdot_m (Q*a_{j_2}) +_m \cdots +_m d_r\cdot_m (Q*a_{j_r}) \\[0.5em] & = Q*(d_1\cdot_m a_{j_1} +_m d_2\cdot_m a_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_ma_{j_r}) \\[0.5em] & = Q*O_m \\[0.5em] & = O_m \text{ 이고}\end{align*}$

$\{ e_1,e_2,\cdots, e_r\}$은 기저 정리와 일차독립 정리로 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$에서 일차독립이므로

$d_1 = d_2 = \cdots = d_r = 0_F$가 되어

일차독립 정리로 $\{ a_{j_1},a_{j_2},\cdots, a_{j_r}\}$은 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$에서 일차독립이고

행렬 정리로 $R(L_A) = \underset{(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)}{\operatorname{span}(\{ a_{j_1},a_{j_2},\cdots , a_{j_r}\})}$이므로 $(R(L_A),+_m,\cdot_m,O_m)$의 기저이다.

6.

$r = 0$이면

행렬의 랭크 정리로 $A$는 영행렬 $O\in M_{m\times n}(F)$이므로 $B=Q*A =Q*O = O = P*O = P*A = C$이다.

$r > 0$이면 3번으로 모든 $k= 1,2,\cdots, n$에 대해

$b_k = d_1\cdot_m b_{j_1} +_m d_2\cdot_m b_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m b_{j_r}$인 $d_1,d_2,\cdots, d_r\in F$이 존재하여

4번으로 $a_k = d_1\cdot_m a_{j_1} +_m d_2\cdot_m a_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m a_{j_r}$이고 

$C$의 $k$번째 열이 $c_k = \begin{bmatrix} C_{1,k} \\ C_{2,k}\\ \vdots \\ C_{m,k} \end{bmatrix}\in M_{m\times 1}(F)$일때 2, 4번으로

$\begin{align*} c_k & = d_1\cdot_m c_{j_1} +_m d_2\cdot_m c_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m c_{j_r} \\[0.5em]& = d_1\cdot_m e_{1} +_m d_2\cdot_m e_{2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m e_{r} \\[0.5em] & = d_1\cdot_m b_{j_1} +_m d_2\cdot_m b_{j_2} +_m \cdots +_m d_r\cdot_m b_{j_r} \\[0.5em] & = b_k \text{ 이므로}\end{align*}$

$B = C$이다.

 

 

 

정리10

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의

열벡터 벡터공간이 $(M_{m\times 1}(F), +_m,\cdot_m, O_m)$, $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$, $(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})$일때

임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$와 임의의 열벡터 $b\in M_{m\times 1}(F)$의 첨가행렬 $A|b \in M_{m\times (n+1)}(F)$에 대해

$E*(A|b)$가 행간소사다리꼴이 되는 가역행렬 $E\in M_{m\times m}(F)$가 존재하면 다음은 동치이다.

1. $ \{ x\in M_{n\times 1}(F):A*x=b\} = \emptyset$

2. $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}$ $\ne \underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(A|b)}$

3. $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(E*A)}\ne \underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(E*(A|b))}$

4. $(E*A)_{i,1} = (E*A)_{i,2} = \cdots = (E*A)_{i,n} = 0_F$이고 $(E*b)_{i,1} = 1_F$인 $i = 1,2,\cdots, m$가 존재한다.

증명

$1\leftrightarrow 2$

위 정리의 대우로 정리가 성립한다.

$2\leftrightarrow 3$

행렬의 랭크 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)}=\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(E*A)}$이고

$\underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(A|b)} =\underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(E*(A|b))}$이므로 정리가 성립한다.

$3 \leftrightarrow 4$

$\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(E*A)}\ne \underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(E*(A|b))}$일때

위 정리로 $E*(A|b) = (E*A)| (E*b)$이므로 $\underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(E*(A|b))} =0$이라고 가정하면

행렬의 랭크 정리로 $E*(A|b) = (E*A)| (E*b)$는 영행렬이 되어 $E*A$도 영행렬이고

$\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(E*A)}=0= \underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(E*(A|b))}$으로 모순이므로 $\underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(E*(A|b))} =r > 0$이다.

임의의 $j = 1,2,\cdots, n,n+1$에 대해

$E*(A|b)\in M_{m\times (n+1)}(F)$의 $j$번째 열이 $\begin{bmatrix} (E*(A|b))_{1,j} \\ (E*(A|b))_{2,j}\\ \vdots \\ (E*(A|b))_{m,j} \end{bmatrix}\in M_{m\times 1}(F)$일때

위 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots,r$에 대해

$j_i = \min \{ j\in \{ 1,2,\cdots, n,n+1\} : (E*(A|b))_{i,j}\ne 0_F\}$가 존재하고 $\begin{bmatrix} (E*(A|b))_{1,j_i} \\ (E*(A|b))_{2,j_i}\\ \vdots \\ (E*(A|b))_{m,j_i} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_{1,i} \\ \delta_{2,i} \\ \vdots \\ \delta_{m,i} \end{bmatrix}$이다.

$j_r<n+1$이라고 가정하면 행간소사다리꼴의 정의로

모든 $i = 1,2,\cdots,r$에 대해 $j_i\le j_r<n+1$이므로 $1_F = (E*(A|b))_{i,j_i} = ((E*A)|(E*b))_{i,j_i} = (E*A)_{i,j_i}$이고

위 정리로 $r< i$인 모든 $i = 1,2,\cdots, m$는

$(E*(A|b))_{i,1} = (E*(A|b))_{i,2} =\cdots = (E*(A|b))_{i,n} = (E*(A|b))_{i,n+1}= 0_F$이므로

$(E*A)_{i,1} = (E*A)_{i,2} =\cdots = (E*A)_{i,n} = 0_F$가 되어

$E*A$는 $r$개의 $(M_{1\times n}(F),+_n^t,\cdot_n^t,O_n^t)$에서 일차독립인 행벡터를 가지므로

행렬 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_{n},\cdot_{n},O_{n})}{\operatorname{rank}(E*A)} =r=\underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(E*(A|b))} $가 되어 모순이다.

따라서 $j_r=n+1$이므로

$1_F = (E*(A|b))_{r,j_r} = ((E*A)|(E*b))_{r,j_r} = ((E*A)|(E*b))_{r,n+1} = (E*b)_{r,1}$이고

$(E*A)_{r,1} = (E*A)_{r,2} =\cdots = (E*A)_{r,n} = 0_F$이다.

역으로 $(E*A)_{i,1} = (E*A)_{i,2} = \cdots = (E*A)_{i,n} = 0_F$이고 $(E*b)_{i,1} = 1_F$인 $i = 1,2,\cdots, m$가 존재하면

위 정리로 $E*(A|b) = (E*A)| (E*b)$이므로

$(E*(A|b))_{i,1} = (E*(A|b))_{i,2} = \cdots = (E*(A|b))_{i,n} = 0_F$이고 $(E*(A|b))_{i,n+1} = 1_F$이 되어

행간소사다리꼴의 정의와 행렬의 랭크 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(E*A)} =i-1 < i =\underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(E*(A|b))}$이다,

 

 

 

정리11

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의

열벡터 벡터공간이 $(M_{m\times 1}(F), +_m,\cdot_m, O_m)$, $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$, $(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})$일때

임의의 행렬 $A \in M_{m\times n}(F)$와 임의의 열벡터 $b \in M_{m\times 1}(F)$의 첨가행렬 $A|b \in M_{m\times (n+1)}(F)$에 대해

$E*(A|b)$가 행간소사다리꼴이 되는 가역행렬 $E\in M_{m\times m}(F)$가 존재하고

$\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(E*A)}$ $= \underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(E*(A|b))} = r>0$이면 다음이 성립한다.

1. 모든 $i = 1,2,\cdots, r$에 대해 $j_i = \min\{ j\in \{ 1,2,\cdots, n,n+1\} : (E*(A|b))_{i,j} \ne 0_F\}$이고 

크로네커델타 $\delta$와 임의의 $j=1,2,\cdots, n$에 대해 $\overline{e}_j = \begin{bmatrix} \delta_{1,j} \\ \delta_{2,j} \\ \vdots \\ \delta_{n,j} \end{bmatrix}\in M_{n\times 1}(F)$일때

$x_0 = (E*b)_{1,1} \cdot_n \overline{e}_{j_1} +_n (E*b)_{2,1} \cdot_n\overline{e}_{j_2} +_n \cdots +_n (E*b)_{r,1}\cdot_n \overline{e}_{j_r}$이면 $A*x_0 = b$이다.

2. $\{ u_1,u_2,\cdots, u_{n-r} \} = \{ 1,2,\cdots, n\} \setminus \{ j_1,j_2,\cdots, j_r\}$일때 모든 $k = 1,2,\cdots, n-r$에 대해

$s_k = (E*A)_{1,u_k}\cdot_n \overline{e}_{j_1} +_n (E*A)_{2,u_k}\cdot_n \overline{e}_{j_2}+_n\cdots +_n (E*A)_{r,u_k}\cdot_n \overline{e}_{j_r} - \overline{e}_{u_k}$이면 $A*s_k = O_m$이다.

3. $K_{O_m} = \{x\in M_{n\times 1}(F) : A*x = O_m \}$일때 $\{ s_1,s_2,\cdots, s_{n-r}\}$은 $(K_{O_m},+_n,\cdot_n,O_n)$의 기저이다.

4. $K_b = \{x\in M_{n\times 1}(F) : A*x = b \}$일때 $K_b = \{ x_0+_n s : s\in \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{span}(\{ s_1,s_2,\cdots, s_r\})}\}$이다.

증명

$j_i = n+1$인 $i = 1,2,\cdots, r$가 존재하면

위 정리로 $E*(A|b) = (E*A)| (E*b)$이고 $E*(A|b)$가 행간소사다리꼴이므로

$(E*b)_{i,1}=(E*(A|b))_{i,n+1}=(E*(A|b))_{i,j_i} = 1_F$와

$(E*A)_{i,1} = (E*A)_{i,2} =\cdots = (E*A)_{i,n} = 0_F$가 성립하여

위 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(E*A)}\ne \underset{(M_{(n+1)\times 1}(F),+_{n+1},\cdot_{n+1},O_{n+1})}{\operatorname{rank}(E*(A|b))}$이므로 모순이 되어

모든 $i = 1,2,\cdots, r$에 대해 $j_i < n+1$이고 $j_i\le n$이다.

임의의 $i=1,2,\cdots, m$에 대해 $e_i = \begin{bmatrix} \delta_{1,i} \\ \delta_{2,i} \\ \vdots \\ \delta_{m,i} \end{bmatrix}\in M_{m\times 1}(F)$일때

1.

위 정리로

$\begin{align*}E*b & = \begin{bmatrix} (E*b)_{1,1}\\(E*b)_{2,1}\\ \vdots \\ (E*b)_{m,1} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} (E*(A|b))_{1,n+1}\\(E*(A|b))_{2,n+1}\\ \vdots \\ (E*(A|b))_{m,n+1} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = (E*(A|b))_{1,n+1}\cdot_m \begin{bmatrix} (E*(A|b))_{1,j_1} \\ (E*(A|b))_{2,j_1}\\ \vdots \\ (E*(A|b))_{m,j_1} \end{bmatrix} +_m (E*(A|b))_{2,n+1}\cdot_m \begin{bmatrix} (E*(A|b))_{1,j_2} \\ (E*(A|b))_{2,j_2}\\ \vdots \\ (E*(A|b))_{m,j_2} \end{bmatrix} +_m \cdots +_m (E*(A|b))_{r,n+1}\cdot_m\begin{bmatrix} (E*(A|b))_{1,j_r} \\ (E*(A|b))_{2,j_r}\\ \vdots \\ (E*(A|b))_{m,j_r} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = (E*(A|b))_{1,n+1}\cdot_m e_1 +_m (E*(A|b))_{2,n+1}\cdot_m e_2 +_m \cdots +_m (E*(A|b))_{r,n+1}\cdot_m e_r \\[0.5em] & = (E*b)_{1,1}\cdot_m e_1 +_m (E*b)_{2,1}\cdot_m e_2 +_m \cdots +_m (E*b)_{r,1}\cdot_m e_r \text{ 이고} \end{align*}$

행렬 정리와 행렬 연산 정리와 위 정리로

$\begin{align*} E*A*x_0 & = E*A * ((E*b)_{1,1} \cdot_n \overline{e}_{j_1} +_n (E*b)_{2,1} \cdot_n\overline{e}_{j_2} +_n \cdots +_n (E*b)_{r,1}\cdot_n \overline{e}_{j_r})  \\[0.5em] & = (E*b)_{1,1} \cdot_m (E*A*\overline{e}_{j_1}) +_m (E*b)_{2,1} \cdot_m (E*A*\overline{e}_{j_2}) +_m \cdots +_m (E*b)_{r,1}\cdot_m (E*A*\overline{e}_{j_r}) \\[0.5em] & = (E*b)_{1,1} \cdot_m \begin{bmatrix} (E*A)_{1,j_1} \\ (E*A)_{2,j_1}\\ \vdots \\ (E*A)_{m,j_1} \end{bmatrix} +_m (E*b)_{2,1} \cdot_m \begin{bmatrix} (E*A)_{1,j_2} \\ (E*A)_{2,j_2}\\ \vdots \\ (E*A)_{m,j_2} \end{bmatrix} +_m \cdots +_m (E*b)_{r,1}\cdot_m \begin{bmatrix} (E*A)_{1,j_r} \\ (E*A)_{2,j_r}\\ \vdots \\ (E*A)_{m,j_r} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = (E*b)_{1,1} \cdot_m \begin{bmatrix} (E*(A|b))_{1,j_1} \\ (E*(A|b))_{2,j_1}\\ \vdots \\ (E*(A|b))_{m,j_1} \end{bmatrix} +_m (E*b)_{2,1} \cdot_m \begin{bmatrix} (E*(A|b))_{1,j_2} \\ (E*(A|b))_{2,j_2}\\ \vdots \\ (E*(A|b))_{m,j_2} \end{bmatrix} +_m \cdots +_m (E*b)_{r,1}\cdot_m \begin{bmatrix} (E*(A|b))_{1,j_r} \\ (E*(A|b))_{2,j_r}\\ \vdots \\ (E*(A|b))_{m,j_r} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = (E*b)_{1,1} \cdot_m e_1 +_m (E*b)_{2,1} \cdot_m e_2 +_m \cdots +_m (E*b)_{r,1}\cdot_m e_r \\[0.5em] & = E*b \text{  이므로} \end{align*}$

위 정리로 $A*x_0 = b$이다.

2.

모든 $k = 1,2,\cdots, n-r$에 대해 $u_k\le n$이므로 행렬 정리와 행렬 연산 정리와 위 정리로 

$\begin{align*} E*A*(s_k +_n \overline{e}_{u_k}) & = (E*A)* ((E*A)_{1,u_k}\cdot_n \overline{e}_{j_1} +_n (E*A)_{2,u_k}\cdot_n \overline{e}_{j_2}+_n\cdots +_n (E*A)_{r,u_k}\cdot_n \overline{e}_{j_r} ) \\[0.5em] & = (E*A)_{1,u_k}\cdot_m (E*A*\overline{e}_{j_1}) +_m (E*A)_{2,u_k}\cdot_m (E*A* \overline{e}_{j_2})+_m\cdots +_m (E*A)_{r,u_k}\cdot_m (E*A*\overline{e}_{j_r}) \\[0.5em] & = (E*A)_{1,u_k} \cdot_m \begin{bmatrix} (E*A)_{1,j_1} \\ (E*A)_{2,j_1}\\ \vdots \\ (E*A)_{m,j_1} \end{bmatrix} +_m (E*A)_{2,u_k} \cdot_m \begin{bmatrix} (E*A)_{1,j_2} \\ (E*A)_{2,j_2}\\ \vdots \\ (E*A)_{m,j_2} \end{bmatrix} +_m \cdots +_m (E*A)_{r,u_k}\cdot_m \begin{bmatrix} (E*A)_{1,j_r} \\ (E*A)_{2,j_r}\\ \vdots \\ (E*A)_{m,j_r} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = (E*A)_{1,u_k} \cdot_m \begin{bmatrix} (E*(A|b))_{1,j_1} \\ (E*(A|b))_{2,j_1}\\ \vdots \\ (E*(A|b))_{m,j_1} \end{bmatrix} +_m (E*A)_{2,u_k} \cdot_m \begin{bmatrix} (E*(A|b))_{1,j_2} \\ (E*(A|b))_{2,j_2}\\ \vdots \\ (E*(A|b))_{m,j_2} \end{bmatrix} +_m \cdots +_m (E*A)_{r,u_k}\cdot_m \begin{bmatrix} (E*(A|b))_{1,j_r} \\ (E*(A|b))_{2,j_r}\\ \vdots \\ (E*(A|b))_{m,j_r} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = (E*A)_{1,u_k} \cdot_m e_1 +_m (E*A)_{2,u_k} \cdot_m e_2 +_m \cdots +_m (E*A)_{r,u_k}\cdot_m e_r \\[0.5em] & = (E*(A|b))_{1,u_k} \cdot_m e_1 +_m (E*(A|b))_{2,u_k} \cdot_m e_2 +_m \cdots +_m (E*(A|b))_{r,u_k}\cdot_m e_r \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} (E*(A|b))_{1,u_k} \\ (E*(A|b))_{2,u_k}\\ \vdots \\ (E*(A|b))_{m,u_k} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} (E*A)_{1,u_k} \\ (E*A)_{2,u_k}\\ \vdots \\ (E*A)_{m,u_k} \end{bmatrix} \text{ 이고} \end{align*}$

$E*A* \overline{e}_{u_k} = \begin{bmatrix} (E*A)_{1,u_k} \\ (E*A)_{2,u_k}\\ \vdots \\ (E*A)_{m,u_k} \end{bmatrix} $이므로

$E*A*s_k= E*A*(s_k +_n \overline{e}_{u_k} ) - E*A* \overline{e}_{u_k} = \begin{bmatrix} (E*A)_{1,u_k} \\ (E*A)_{2,u_k}\\ \vdots \\ (E*A)_{m,u_k} \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} (E*A)_{1,u_k} \\ (E*A)_{2,u_k}\\ \vdots \\ (E*A)_{m,u_k} \end{bmatrix} = O_m = E*O_m $이 되어

위 정리로 $A*s_k = O_m$이다.

3.

기저 정리로 $\{ \overline{e}_1,\overline{e}_2,\cdots, \overline{e}_n\}$은 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$의 기저이고

임의의 $k = 1,2,\cdots, n-r$에 대해 $s_k$에는 서로 다른 $\overline{e}_{u_k}$항이 포함되므로

$\{ s_1,s_2,\cdots, s_{n-r}\}$은 $n-r$개의 원소를 갖고 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에서 일차독립이다.

2번으로 $\{ s_1,s_2,\cdots, s_{n-r}\}\subseteq K_{O_m}$이므로 부분공간 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{span}(\{ s_1,s_2,\cdots,s_{n-r}\})} \subseteq K_{O_m}$이고

생성공간 정리로 $(\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{span}(\{ s_1,s_2,\cdots,s_{n-r}\})} ,+_n,\cdot_n,O_n)$은 $(K_{O_m},+_n,\cdot_n,O_n)$의 부분공간이다.

따라서 위 정리로 $(K_{O_m},+_n,\cdot_n,O_n)$은 $n-r$차원이고

차원의 정의로 $(\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{span}(\{ s_1,s_2,\cdots,s_{n-r}\})} ,+_n,\cdot_n,O_n)$은 $n-r$차원이므로

부분공간 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{span}(\{ s_1,s_2,\cdots,s_{n-r}\})} =K_{O_m}$이다.

4.

1, 3번과 위 정리로 $K_b = \{ x_0+_n s:s\in K_{O_m}\} = \{ x_0+_n s : s\in \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{span}(\{ s_1,s_2,\cdots, s_r\})}\}$이다.

 

 

 

정리12

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 임의의 행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$가 가역이면

$A$에 항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(F)$을 첨가한 첨가행렬 $A|I_n\in M_{n\times (2\cdot n)}(F)$과 $A$의 역행렬 $A^{-1}\in M_{n\times n}(F)$에 대해

$E_p*\cdots *E_2*E_1 * (A|I_n) = I_n|A^{-1}$이 되는 $p\in \mathbb{N}$개의 기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_p \in M_{n\times n}(F)$가 존재한다.

증명

위 정리로 $E_p*\cdots *E_2*E_1 * (A|I_n) = M$이 되는

기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_p \in M_{n\times n}(F)$와 행간소사다리꼴 $M \in M_{n\times (2\cdot n)}(F)$이 존재하고

위 정리와 역행렬의 정의로 $A^{-1} * (A|I_n) = (A^{-1}*A)| (A^{-1}*I_n) = I_n|A^{-1}$이다.

따라서 행간소사다리꼴의 정의로 $I_n|A^{-1}$은 행간소사다리꼴이고

기본행렬 정리와 역행렬 정리로 $E_p*\cdots *E_2*E_1$과 $A^{-1}$은 가역이므로

위 정리로 $E_p*\cdots *E_2*E_1 * (A|I_n) = M = I_n|A^{-1}$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/73#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/73#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244