n-선형함수(n-linear function)

정의1

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 임의의 행렬이 $A \in M_{n\times n}(F)$일때

$n$-선형함수 : 

임의의 행벡터 $u = \begin{bmatrix} u_1&u_2&\cdots & u_n\end{bmatrix} , v =\begin{bmatrix} v_1&v_2&\cdots & v_n\end{bmatrix}\in M_{1\times n}(F)$와

임의의 스칼라 $c\in F$와 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해

$D( \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n}\\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i-1,1}& A_{i-1,2}&  \cdots& A_{i-1,n}  \\u_1 +_F c\cdot_F v_1 & u_2+_F c\cdot_F v_2 &\cdots & u_n +_F c\cdot_F v_n\\ A_{i+1,1}& A_{i+1,2}&  \cdots& A_{i+1,n}  \\ \vdots& & \ddots&\vdots \\ A_{n,1} &A_{n,2} &\cdots& A_{n,n}    \end{bmatrix}) = D( \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n}\\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i-1,1}& A_{i-1,2}&  \cdots& A_{i-1,n}  \\u_1 & u_2 &\cdots & u_n \\ A_{i+1,1}& A_{i+1,2}&  \cdots& A_{i+1,n}  \\ \vdots& & \ddots&\vdots  \\ A_{n,1} &A_{n,2} &\cdots& A_{n,n}    \end{bmatrix})+_F c\cdot_F D( \begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n}\\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i-1,1}& A_{i-1,2}&  \cdots& A_{i-1,n}  \\v_1 & v_2 &\cdots & v_n \\ A_{i+1,1}& A_{i+1,2}&  \cdots& A_{i+1,n}  \\ \vdots& & \ddots&\vdots  \\ A_{n,1} &A_{n,2} &\cdots& A_{n,n}    \end{bmatrix}) \text{ 인}$

함수 $D:M_{n\times n}(F)\to F$를 $n$-선형함수로 정의한다.

교대(alternating) $n$-선형함수 : 

$\begin{bmatrix} A_{i,1} & A_{i,2} &\cdots  & A_{i,n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{i+1,1}&A_{i+1,2}  & \cdots & A_{i+1,n}\end{bmatrix}\in M_{1\times n}(F)$인 $i = 1,2,\cdots,n-1$가 존재하면

$D(A)  = 0_F$가 되는 $n$-선형함수 $D:M_{n\times n}(F)\to F$를 교대 $n$-선형함수로 정의한다.

 

 

 

정리1

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 임의의 행렬이 $A\in M_{n\times n}(F)$일때

$A_{i,1} = A_{i,2}= \cdots = A_{i,n} = 0_F$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재하면

$n$-선형함수 $D:M_{n\times n}(F)\to F$에 대해 $D(A) = 0_F$이다.

증명

$n$-선형함수의 정의로

$\begin{align*} D(A) &= D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\  A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n}  \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ 0_F &0_F & \cdots&0_F  \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ 0_F +_F 0_F &0_F +_F 0_F& \cdots&0_F+_F 0_F \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ 0_F +_F (-1_F)\cdot_F 0_F &0_F +_F (-1_F)\cdot_F0_F& \cdots&0_F+_F (-1_F)\cdot_F0_F \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} +_F (-1_F)\cdot_F A_{i,1}&A_{i,2} +_F (-1_F)\cdot_FA_{i,2}& \cdots&A_{i,n}+_F (-1_F)\cdot_FA_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} &A_{i,2} & \cdots&A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) +_F (-1_F)\cdot_F D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} &A_{i,2} & \cdots&A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = D(A) +_F (-1_F)\cdot_F D(A) \\[0.5em] & = D(A) - D(A) \\[0.5em] & =0_F \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리2

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 임의의 행렬이 $A\in M_{n\times n}(F)$일때

$i\ne j$인 임의의 $i,j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$i,j$행을 교환하는 $1$형 행연산이 $f:M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$이면

교대 $n$-선형함수 $D:M_{n\times n}(F)\to F$에 대해 $D(f(A)) = -D(A)$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $i < j$라고 가정할때 $j = i +m$인 $m \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 $m$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$m = 1$이면 교대 $n$-선형함수의 정의로 

$\begin{align*} &0_F = D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} +_F A_{i+1,1} & A_{i,2}+_F A_{i+1,2} & \cdots& A_{i,n} +_F A_{i+1,n}  \\ A_{i+1,1}+_FA_{i,1} & A_{i+1,2}+_F A_{i,2} & \cdots & A_{i+1,n}+_F A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n}  \\ A_{i+1,1}+_FA_{i,1} & A_{i+1,2}+_F A_{i,2} & \cdots & A_{i+1,n}+_F A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) +_F D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & &&\vdots \\ A_{i+1,1} & A_{i+1,2} & \cdots& A_{i+1,n}\\ A_{i+1,1}+_FA_{i,1} & A_{i+1,2}+_F A_{i,2} & \cdots & A_{i+1,n}+_F A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n}  \\ A_{i+1,1} & A_{i+1,2} & \cdots & A_{i+1,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) +_F D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n}  \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots & A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) +_F D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i+1,1} & A_{i+1,2} & \cdots& A_{i+1,n}  \\ A_{i+1,1} & A_{i+1,2} & \cdots & A_{i+1,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) +_F D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i+1,1} & A_{i+1,2} & \cdots& A_{i+1,n} \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots & A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = D(A) +_F 0_F+_F 0_F +_F D(f(A)) \\[0.5em] & = D(A) +_F D(f(A))\text{ 이므로} \end{align*}$

$D(f(A)) = -D(A)$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 $i<i+k<i + k+1\le n$인 임의의 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 

$i,i+k+1$행을 교환하는 $1$형 행연산이 $f:M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$이면 귀납가정으로

$\begin{align*} D(A) & = D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & & \vdots  \\ A_{i+k,1} & A_{i+k,2} & \cdots & A_{i+k,n} \\ A_{i+k+1,1}&A_{i+k+1,2}&\cdots & A_{i+k+1,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = (-1_F)\cdot_F D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & & \vdots  \\ A_{i+k+1,1}&A_{i+k+1,2}&\cdots & A_{i+k+1,n} \\ A_{i+k,1} & A_{i+k,2} & \cdots & A_{i+k,n} \\ \vdots & & \ddots& \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = (-1_F)^2\cdot_F D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i+k+1,1}&A_{i+k+1,2}&\cdots & A_{i+k+1,n} \\ \vdots & & & \vdots  \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ A_{i+k,1} & A_{i+k,2} & \cdots & A_{i+k,n} \\ \vdots & &\ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = (-1_F)^3\cdot_F D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i+k+1,1}&A_{i+k+1,2}&\cdots & A_{i+k+1,n} \\ \vdots & & & \vdots  \\ A_{i+k,1} & A_{i+k,2} & \cdots & A_{i+k,n} \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = (-1_F)^3\cdot_F D(f(A)) \\[0.5em] & = - D(f(A)) \text{ 이므로} \end{align*}$

$D(f(A)) = -D(A)$이다.

따라서 $i\ne j$인 임의의 $i,j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$i,j$행을 교환하는 $1$형 행연산이 $f:M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$이면 $D(f(A)) = -D(A)$이다.

 

 

 

정리3

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 임의의 행렬이 $A\in M_{n\times n}(F)$일때

임의의 $i = 1,2,\cdots, n$와 $c\ne 0_F$인 임의의 $c\in F$에 대해

$i$행에 $c$를 곱하는 $2$형 행연산이 $g :M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$이면

$n$-선형함수 $D:M_{n\times n}(F)\to F$에 대해 $D(g(A)) = c\cdot_F D(A)$이다.

증명

$n$-선형함수의 정의와 위 정리로

$\begin{align*} D(g(A)) &= D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ c\cdot_F A_{i,1} &c\cdot_F A_{i,2} & \cdots&c\cdot_F A_{i,n}  \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ 0_F+_F c\cdot_F A_{i,1} &0_F+_Fc\cdot_F A_{i,2} & \cdots&0_F+_Fc\cdot_F A_{i,n}  \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ 0_F &0_F & \cdots&0_F  \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) +_F c\cdot_F D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} &A_{i,2} & \cdots&A_{i,n}  \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = 0_F +_Fc\cdot_F D(A) \\[0.5em] & = c\cdot_FD(A) \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리4

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 임의의 행렬이 $A\in M_{n\times n}(F)$일때

$\begin{bmatrix} A_{i,1} & A_{i,2} &\cdots  & A_{i,n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{j,1}&A_{j,2}  & \cdots & A_{j,n}\end{bmatrix}\in M_{1\times n}(F)$이고

$i\ne j$인 $i,j = 1,2,\cdots,n$가 존재하면 교대 $n$-선형함수 $D:M_{n\times n}(F)\to F$에 대해 $D(A)  = 0_F$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $i<j$라고 가정할때

$j = i+1$이면 교대 $n$-선형함수의 정의로 $D(A) = 0_F$이고

$i<i+1<j$이면 $i+1$행과 $j$행을 교환하는 $1$형 행연산 $f:M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$에 대해

위 정리와 교대 $n$-선형함수의 정의로 $D(A) = -D(f(A)) = -0_F=0_F$이다.

 

 

 

정리5

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 임의의 행렬이 $A\in M_{n\times n}(F)$일때

$i\ne j$인 임의의 $i,j = 1,2,\cdots, n$와 임의의 $c\in F$에 대해

$i$행에 $j$행의 $c$곱을 더하는 $3$형 행연산이 $h:M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$이면

교대 $n$-선형함수 $D:M_{n\times n}(F)\to F$에 대해 $D(h(A)) = D(A)$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $i<j$라고 가정하면 교대 $n$-선형함수의 정의와 위 정리로

$\begin{align*} D(h(A)) &= D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} +_F c\cdot_F A_{j,1} & A_{i,2}+_F c\cdot_F A_{j,2} & \cdots& A_{i,n} +_Fc\cdot_F A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots & A_{j,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i,1} & A_{i,2} & \cdots& A_{i,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1}& A_{j,2} & \cdots & A_{j,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) +_F c\cdot_F D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots& A_{j,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{j,1} & A_{j,2} & \cdots & A_{j,n}\\ \vdots & & & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = D(A) +_Fc\cdot_F 0_F \\[0.5em]&= D(A)\text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리6

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 열벡터 벡터공간이 $(M_{n\times 1}(F),+_n^t,\cdot_n^t,O_n^t)$일때

임의의 행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$의 랭크가 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n^t,\cdot_n^t,O_n^t)}{\operatorname{rank}(A)}$ $=r < n$이면

교대 $n$-선형함수 $D:M_{n\times n}(F)\to F$에 대해 $D(A) = 0_F$이다.

증명

행벡터의 $F$-벡터공간이 $(M_{1\times n}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$이고

임의의 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $A$의 $i$행이 $a_i = \begin{bmatrix} A_{i,1}&A_{i,2}&\cdots & A_{i,n}\end{bmatrix} \in M_{1\times n}(F)$일때

$\{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}$이 $(M_{1\times n}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에서 일차독립이라 가정하면

행렬의 랭크 정리로 $r= n$이 되어 모순이므로 $\{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}$은 $(M_{1\times n}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에서 일차종속이다.

$n = 1$이면 $r = 0$이므로 행렬의 랭크 정리로 $A$는 영행렬이 되어 위 정리로 $D(A) = 0_F$이다.

$n > 1$이면 임의의 $i=1,2,\cdots, n$에 대해

$(\{ a_1,a_2,\cdots, a_n\} \setminus \{ a_i\})\cup \{ a_i\} = \{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}$은 $(M_{1\times n}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에서 일차종속이므로

벡터공간 정리로 $a_i \in \underset{(M_{1\times n}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{span}(\{ a_1,a_2,\cdots, a_n\}\setminus \{ a_i\})}$가 되어

생성공간의 정의로 $a_i = c_1\cdot_n a_1 +_n\cdots +_n c_{i-1}\cdot_n a_{i-1} +_n c_{i+1}\cdot_n a_{i+1} +_n\cdots +_n c_n\cdot_n a_n$인

$n-1$개의 스칼라 $c_1,\cdots,c_{i-1},c_{i+1},\cdots,c_n \in F$이 존재한다.

따라서 $i\ne j$인 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $i$행에 $j$행의 $c_j$곱을 빼는 $3$형 행연산을 $n-1$번 적용하면

위 정리와 위 정리로 $D(A) = D(\begin{bmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,n} \\ \vdots & & & \vdots \\ A_{i-1,1} & A_{i-1,2} & \cdots & A_{i-1,n} \\  0_F&0_F & \cdots&0_F  \\ A_{i+1,1} & A_{i+1,2} & \cdots & A_{i+1,n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ A_{n,1} & A_{n,2} & \cdots & A_{n,n} \end{bmatrix}) = 0_F$이다.

 

 

 

정리7

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 교대 $n$-선형함수가 $D:M_{n\times n}(F)\to F$일때

임의의 기본행렬 $E\in M_{n\times n}(F)$와 항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $D(E) = D($$E^t$$)$

2. $D(I_n) = 1_F$이면 임의의 행렬 $A\in M_{n\times n}(F)$에 대해 $D(E$ $*$ $A) = D(E)\cdot_F D(A)$이다.

3. $D(I_n) = 1_F$이면 $D(E) = $ $\det$$(E)$이다.

증명

1.

임의의 $i,j = 1,2,\cdots n$와 크로네커델타 $\delta$에 대해

$E$가 $i,j$행을 교환하는 $1$형 행연산 $f: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = f(I_n)$일때

$i = j$이면 $E = f(I_n) = I_n$이므로 $E^t =I_n^t = I_n = E$가 되어 $D(E) = D(E^t)$이다.

일반성을 잃지 않고 $i<j$이면

$ \begin{align*} E^t & = (f(I_n) )^t \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{1,j}& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{j,1} & \cdots & \delta_{j,i} & \cdots & \delta_{j,j}& \cdots & \delta_{j,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{i,1} & \cdots & \delta_{i,i} & \cdots & \delta_{i,j}& \cdots & \delta_{i,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & \delta_{n,i} & \cdots & \delta_{n,j}& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix}^t \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{j,1} & \cdots & \delta_{i,1}& \cdots & \delta_{n,1} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{j,i} & \cdots & \delta_{i,i}& \cdots & \delta_{n,i} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,j} & \cdots & \delta_{j,j} & \cdots & \delta_{i,j}& \cdots & \delta_{n,j} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,n} & \cdots & \delta_{j,n} & \cdots & \delta_{i,n}& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix}  \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & 0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F & \cdots & 1_F& \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 1_F & \cdots & 0_F& \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & 0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{1,j}& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{j,1} & \cdots & \delta_{j,i} & \cdots & \delta_{j,j}& \cdots & \delta_{j,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{i,1} & \cdots & \delta_{i,i} & \cdots & \delta_{i,j}& \cdots & \delta_{i,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & \delta_{n,i} & \cdots & \delta_{n,j}& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = E \text{ 이므로} \end{align*}$

$D(E) = D(E^t)$이다.

$E$가 $i$행에 $c\in F\setminus \{ 0_F\}$를 곱하는 $2$형 행연산 $g: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = g(I_n)$이면

$ \begin{align*} E^t & = (g(I_n) )^t \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c\cdot_F \delta_{i,1} & \cdots & c\cdot_F \delta_{i,i} & \cdots & c\cdot_F \delta_{i,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & \delta_{n,i} & \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix}^t \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & c\cdot_F\delta_{i,1} & \cdots & \delta_{n,1} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,i} & \cdots & c\cdot_F \delta_{i,i} & \cdots & \delta_{n,i} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,n} & \cdots & c\cdot_F\delta_{i,n} & \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{n,1} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & c\cdot_F \delta_{i,i} & \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,n} & \cdots & 0_F & \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c\cdot_F0_F & \cdots & c\cdot_F \delta_{i,i} & \cdots & c\cdot_F 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & 0_F & \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c\cdot_F\delta_{i,1} & \cdots & c\cdot_F \delta_{i,i} & \cdots & c\cdot_F \delta_{i,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & \delta_{n,i} & \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em] & = E \text{ 이므로} \end{align*}$

$D(E) = D(E^t)$이다.

$E$가 $i$행에 $j$행의 $c\in F$곱을 더하는 $3$형 행연산 $h_{i,j}: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = h_{i,j}(I_n)$일때

일반성을 잃지 않고 $i<j$이면

$ \begin{align*} E^t & = (h_{i,j}(I_n) )^t \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{1,j}& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{i,1}+_F c\cdot_F \delta_{j,1} & \cdots & \delta_{i,i}+_F c\cdot_F \delta_{j,i} & \cdots &\delta_{i,j}+_F c\cdot_F \delta_{j,j}& \cdots & \delta_{i,n}+_F c\cdot_F \delta_{j,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{j,1} & \cdots & \delta_{j,i} & \cdots & \delta_{j,j}& \cdots & \delta_{j,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & \delta_{n,i} & \cdots & \delta_{n,j}& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix}^t \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{i,1}+_F c\cdot_F\delta_{j,1} & \cdots & \delta_{j,1}& \cdots & \delta_{n,1} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{i,i}+_F c\cdot_F\delta_{j,i} & \cdots & \delta_{j,i}& \cdots & \delta_{n,i} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,j} & \cdots & \delta_{i,j}+_F c\cdot_F \delta_{j,j} & \cdots & \delta_{j,j}& \cdots & \delta_{n,j} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,n} & \cdots & \delta_{i,n}+_F c\cdot_F\delta_{j,n} & \cdots & \delta_{j,n}& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & 0_F +_F c\cdot_F0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{n,1} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 1_F+_F c\cdot_F0_F & \cdots & 0_F& \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 0_F+_F c\cdot_F 1_F & \cdots & 1_F& \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{1,n} & \cdots & 0_F+_F c\cdot_F0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & 0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 1_F & \cdots & 0_F& \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & c & \cdots & 1_F& \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & 0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & 0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F & \cdots & 1_F & \cdots & 0_F& \cdots & 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 0_F +_F c\cdot_F 0_F & \cdots & 0_F +_Fc\cdot_F1_F & \cdots & 1_F +_F c\cdot_F 0_F& \cdots & 0_F+_F c\cdot_F 0_F \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & 0_F & \cdots & 0_F& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \\[0.5em]& = \begin{bmatrix} \delta_{1,1} & \cdots & \delta_{1,i} & \cdots & \delta_{1,j}& \cdots & \delta_{1,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{i,1} & \cdots & \delta_{i,i} & \cdots &\delta_{i,j}& \cdots & \delta_{i,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{j,1} +_F c\cdot_F\delta_{i,1} & \cdots & \delta_{j,i} +_F c\cdot_F \delta_{i,i} & \cdots & \delta_{j,j} +_F c\cdot_F\delta_{i,j}& \cdots & \delta_{j,n} +_F c\cdot_F\delta_{i,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \delta_{n,1} & \cdots & \delta_{n,i} & \cdots & \delta_{n,j}& \cdots & \delta_{n,n} \end{bmatrix} \text{ 이므로} \end{align*}$

$j$행에 $i$행의 $c\in F$곱을 더하는 $3$형 행연산 $h_{j,i} : M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E^t = h_{j,i}(I_n)$이 되어

위 정리로 $D(E) = D(h_{i,j}(I_n)) = D(I_n) = D(h_{j,i}(I_n)) = D(E^t)$이다.

$E$가 임의의 열연산 $g:M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E= g(I_n)$이면

행렬 정리로 $E^t = (g(I_n))^t = f(I_n^t) = f(I_n)$인 행연산 $f :M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$가 존재하여

위와 같이 $E = E^t$이거나 $E = h(I_n)$인 행연산 $h :M_{n\times n}(F) \to M_{n\times n}(F)$가 존재하므로 $D(E) = D(E^t)$이다.

2.

1번과 같이 모든 기본행렬 $E$는 항등행렬 $I_n$에 행연산을 적용하여 표현가능하므로 임의의 $i,j = 1,2,\cdots n$에 대해

$E$가 $i,j$행을 교환하는 $1$형 행연산 $f: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = f(I_n)$일때

$i = j$이면 $E = f(I_n) = I_n$이므로 $D(E*A) = D(I_n * A) = D(A) = 1_F \cdot_F D(A) = D(I_n)\cdot_F D(A)$이다.

$i\ne j$이면 행렬 정리로 $E*A = f(A)$이므로 위 정리로

$D(E*A) = D(f(A)) = -D(A) = -1_F\cdot_F D(A) = -D(I_n)\cdot_F D(A) = D(f(I_n))\cdot_F D(A) = D(E) \cdot_F D(A) \text{ 이다.}$

$E$가 $i$행에 $c\in F\setminus \{ 0_F\}$를 곱하는 $2$형 행연산 $g: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = g(I_n)$이면

행렬 정리로 $E*A = g(A)$이므로 위 정리로

$D(E*A) = D(g(A)) = c\cdot_FD(A) = c\cdot_F 1_F\cdot_F D(A) = c\cdot_F D(I_n)\cdot_F D(A) = D(g(I_n))\cdot_F D(A) = D(E) \cdot_F D(A) \text{ 이다.}$

$E$가 $i$행에 $j$행의 $c\in F$곱을 더하는 $3$형 행연산 $h: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = h(I_n)$이면

$i\ne j$이고 행렬 정리로 $E*A = h(A)$이므로 위 정리로

$D(E*A) = D(h(A)) = D(A) = 1_F\cdot_F D(A) = D(I_n)\cdot_F D(A) = D(h(I_n))\cdot_F D(A) = D(E) \cdot_F D(A) \text{ 이다.}$

3.

1번과 같이 모든 기본행렬 $E$는 항등행렬 $I_n$에 행연산을 적용하여 표현가능하므로 임의의 $i,j = 1,2,\cdots n$에 대해

$E$가 $i,j$행을 교환하는 $1$형 행연산 $f: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = f(I_n)$일때

$i = j$이면 $E = f(I_n) = I_n$이므로 행렬식 정리로 $D(E) =D(I_n) = 1_F = \det(I_n) = \det(E)$이고

$i\ne j$이면

위 정리와 행렬식 정리로 $D(E) =D(f(I_n))  = -D(I_n)= -1_F = -\det(I_n)=  \det(f(I_n)) = \det(E)$이다.

$E$가 $i$행에 $c\in F\setminus \{ 0_F\}$를 곱하는 $2$형 행연산 $g: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = g(I_n)$이면

위 정리와 행렬식 정리로 $D(E) =D(g(I_n))  = c\cdot_F D(I_n)= c\cdot_F 1_F = c\cdot_F \det(I_n)=  \det(g(I_n)) = \det(E)$이다.

$E$가 $i$행에 $j$행의 $c\in F$곱을 더하는 $3$형 행연산 $h: M_{n\times n}(F)\to M_{n\times n}(F)$에 대해 $E = h(I_n)$이면

$i\ne j$이므로 위 정리와 행렬식 정리로 $D(E) =D(h(I_n))  = D(I_n)= 1_F = \det(I_n)=  \det(h(I_n)) = \det(E)$이다.

 

 

 

정리8

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 임의의 행렬이 $A,B\in M_{n\times n}(F)$이고 항등행렬이 $I_n\in M_{n\times n}(F)$일때

$D(I_n) = 1_F$인 교대 $n$-선형함수 $D:M_{n\times n}(F)\to F$에 대해 $D(A$ $*$ $B) = D(A)\cdot_F D(B)$이다.

증명

열벡터 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에 대해 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} <n$이면

행렬의 랭크 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A*B)}\le \underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} <n$이므로

위 정리로 $D(A*B) = 0_F = 0_F\cdot_F D(B) = D(A)\cdot_F D(B)$이다.

$\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} =n$이면 행렬의 랭크 정리와 행렬 정리로

$A = E_1*E_2*\cdots *E_k$인 기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_k\in M_{n\times n}(F)$가 존재하여 위 정리로

$\begin{align*}D(A*B) & = D(E_1*E_2*\cdots*E_k *B) \\[0.5em] &= D(E_1)\cdot_F D(E_2)\cdot_F \cdots \cdot_F D(E_k)\cdot_F D(B) \\[0.5em] & = D(E_1*E_2*\cdots *E_k)\cdot_F D(B) \\[0.5em] &= D(A)\cdot_F D(B) \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리9

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$이고 항등행렬이 $I_n\in M_{n\times n}(F)$일때

$D(I_n) = 1_F$인 교대 $n$-선형함수 $D:M_{n\times n}(F)\to F$는 모든 행렬 $A\in M_{n\times n}(F)$에 대해 $D(A) = $ $\det$$(A)$이다.

증명

열벡터 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에 대해

$\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} <n$이면 위 정리와 행렬식 정리로 $D(A) = 0_F = \det(A)$이다.

$\underset{(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{rank}(A)} =n$이면 행렬의 랭크 정리와 행렬 정리로

$A = E_1*E_2*\cdots *E_k$인 기본행렬 $E_1,E_2,\cdots, E_k\in M_{n\times n}(F)$가 존재하여 위 정리와 위 정리와 행렬식 정리로

$\begin{align*}D(A) & = D(E_1*E_2*\cdots*E_k ) \\[0.5em] &= D(E_1)\cdot_F D(E_2)\cdot_F \cdots \cdot_F D(E_k) \\[0.5em] &= \det(E_1)\cdot_F \det(E_2)\cdot_F \cdots \cdot_F \det(E_k)\\[0.5em] & = \det(E_1*E_2*\cdots *E_k) \\[0.5em] &= \det(A) \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/75#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/75#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244