대각화(Diagonalize), 고윳값(Eigenvalue)

정의1

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$일때

선형변환의 대각화 :

$n\in \mathbb{Z}^+$차원 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자 $T :V\to V$에 대해

행렬표현 $[T]_\beta$가 대각행렬이 되는 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 순서기저 $\beta$가 존재하면 $T$가 대각화가능하다고 정의한다.

행렬의 대각화 :

임의의 행렬 $A\in M_{n\times n}(F)$의 좌측곱변환 $L_A : M_{n\times 1}(F)\to M_{n\times 1}(F)$에 대해

$L_A$가 대각화가능하면 $A$가 대각화가능하다고 정의한다.

선형변환의 고유벡터(eigenvector)와 고윳값(eigenvalue) :

$F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$에 대해

$T(x) = \lambda\cdot_V x$가 되는 스칼라 $\lambda\in F$와 영벡터가 아닌 벡터 $x\in V\setminus \{ \vec{0}\}$가 존재하면

$x$를 $\lambda$에 대응하는 $T$의 고유벡터로 정의하고 $\lambda$를 $x$에 대응하는 $T$의 고윳값으로 정의한다.

고유벡터를 특성벡터(characteristic vector)라고도 하고 고윳값을 특성값(characteristic value)이라고도 한다.

행렬의 고유벡터와 고윳값 :

임의의 행렬 $A\in M_{n\times n}(F)$의 좌측곱변환 $L_A : M_{n\times 1}(F)\to M_{n\times 1}(F)$에 대해

$L_A$의 고유벡터를 $A$의 고유벡터로 정의하고 고유벡터에 대응하는 $L_A$의 고유값을 $A$의 고윳값으로 정의한다.

 

 

 

정리1

$n\in \mathbb{Z}^+$차원 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자 $T :V\to V$에 대해

$T$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$v_j$가 $T$의 고유벡터인 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$가 존재하는 것이다.

이때 $\lambda_j \in F$가 $v_j$에 대응되는 $T$의 고윳값이면 행렬표현은 $[T]_\beta = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0_F &  \cdots & 0_F \\ 0_F & \lambda_2 & & 0_F \\ \vdots & &\ddots &\vdots \\ 0_F &0_F  & \cdots  & \lambda_n\end{bmatrix}$이다.

증명

$T$가 대각화가능하면

$[T]_\beta$가 대각행렬이 되는 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$가 존재하여

임의의 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $([T]_\beta)_{j,j} =\lambda_j$일때 행렬표현의 정의와 대각행렬의 정의로

$T(v_j) = ([T]_\beta)_{1,j} \cdot_V v_1 +_V \cdots +_V ([T]_\beta)_{j,j} \cdot_V v_j +_V \cdots +_V ([T]_\beta)_{n,j} \cdot_V v_n = ([T]_\beta)_{j,j}\cdot_V v_j = \lambda_j \cdot_V v_j$이므로

$v_j$는 $T$의 고유벡터이고 $v_j$에 대응되는 $T$의 고윳값 $\lambda_j$에 대해 $[T]_\beta = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0_F &  \cdots & 0_F \\ 0_F & \lambda_2 & & 0_F \\ \vdots & &\ddots &\vdots \\ 0_F &0_F  & \cdots  & \lambda_n\end{bmatrix}$이다.

역으로 임의의 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$v_j$가 $T$의 고유벡터인 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$가 존재하면

고유벡터의 정의로 $T(v_j) = \lambda_j \cdot_V v_j$인 $\lambda_j \in F$가 존재하여

$T(v_j) = 0_F \cdot_V v_1 +_V \cdots +_V 0_F \cdot_V v_{j-1} +_V\lambda_j \cdot_V v_j +_V 0_F \cdot_V v_{j+1} +_V\cdots +_V 0_F \cdot_V v_n$이므로

행렬표현의 정의로 $[T]_\beta = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0_F &  \cdots & 0_F \\ 0_F & \lambda_2 & & 0_F \\ \vdots & &\ddots &\vdots \\ 0_F &0_F  & \cdots  & \lambda_n\end{bmatrix}$는 대각행렬이다.

 

 

 

정리2

열벡터 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에 대해

임의의 행렬 $A\in M_{n\times n}(F)$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$v_j$가 $A$의 고유벡터인 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n, O_n)$의 순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$가 존재하는 것이다.

이때 $\lambda_j \in F$가 $v_j$에 대응되는 $A$의 고윳값이면 대각행렬 $D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0_F &  \cdots & 0_F \\ 0_F & \lambda_2 & & 0_F \\ \vdots & &\ddots &\vdots \\ 0_F &0_F  & \cdots  & \lambda_n\end{bmatrix}$는 $A$와 닮음이다.

증명

$A$의 좌측곱변환이 $L_A : M_{n\times 1}(F)\to M_{n\times 1}(F)$일때

$A$가 대각화가능하면 $L_A$가 대각화가능하므로 위 정리로 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$v_j$가 $L_A$의 고유벡터인 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n, O_n)$의 순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$가 존재하여

$v_j$는 $A$의 고유벡터이다.

역으로 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$v_j$가 $A$의 고유벡터인 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n, O_n)$의 순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$가 존재하면

$v_j$는 $L_A$의 고유벡터이므로 위 정리로 $L_A$는 대각화가능하여 $A$는 대각화가능하다.

또 $\lambda_j \in F$가 $v_j$에 대응되는 $A$의 고윳값일때 위 정리로 $[L_A]_\beta = D$이고

행렬 정리에 나온 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n, O_n)$의 순서기저 $\alpha = (e_1,e_2,\cdots, e_n)$에 대해

좌측곱변환 정리로 $[L_A]_\alpha = A$이므로 좌표변환 정리로 $[L_A]_\alpha = A$와 $[L_A]_\beta = D$는 닮음이다.

 

 

 

정의2

다항식행렬 :

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수다항식체 $(Q(F),+_Q,\cdot,f_0(x),x^0)$와 다항식 스칼라곱 $\cdot_Q$에 대해

$F$의 행렬이 $A\in M_{m\times n}(F)$이고 임의의 분수다항식이 $f(x) \in Q(F)$일때

모든 $i = 1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $(A [ f(x)])_{i,j} = A_{i,j}\cdot_Q f(x)$인

$Q(F)$의 행렬 $A[ f(x)] \in M_{m\times n}(Q(F))$를 $A$와 $f(x)$에 대한 다항식행렬로 정의한다.

행렬의 특성다항식(characteristic polynomial) :

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수다항식체가 $(Q(F),+_Q,\cdot,f_0(x),x^0)$이고

임의의 행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$와 항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(F)$과 부정원 $x^0,x^1 \in Q(F)$에 대한

다항식행렬이 $A[ x^0], I_n[ x^1] \in M_{n\times n}(Q(F))$일때

다항식 $f(x) = $ $\det$$(A[ x^0] $ $-$ $ I_n[ x^1]) \in Q(F)$를 $A$의 특성다항식으로 정의한다.

아래 정리로 $n\times n$행렬 $A$의 특성다항식은 $n$차다항식이다.

선형변환의 행렬식과 특성다항식 :

$n\in \mathbb{Z}^+$차원 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자 $T :V\to V$에 대해

$(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 임의의 순서기저 $\beta$에 대한 행렬표현이 $[T]_\beta\in M_{n\times n}(F)$일때

$[T]_\beta$의 행렬식을 $T$의 행렬식 $\det(T) =\det([T]_\beta)$로 정의하고

$[T]_\beta$의 특성다항식을 $T$의 특성다항식으로 정의한다.

 

 

 

정리9

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수다항식체 $(Q(F),+_Q,\cdot,f_0(x),x^0)$과 다항식 스칼라곱 $\cdot_Q$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 행렬 $A\in M_{m\times n}(F)$와 임의의 행렬 $B \in M_{n\times p}(F)$와 임의의 다항식 $f(x),g(x) \in Q(F)$에 대한

$A[f(x)]\in M_{m\times n}(Q(F))$와 $B[g(x)] \in M_{n\times p}(Q(F))$의 행렬곱은 $A[f(x)] * B[g(x)] = (A*B)[f(x)\cdot g(x)]$이다.

2. 임의의 행렬 $A\in M_{m\times n}(F)$와 임의의 행렬 $B \in M_{n\times p}(F)$와 부정원 $x^0 \in Q(F)$에 대한

다항식행렬 $A[x^0]\in M_{m\times n}(Q(F))$와 $B[x^0] \in M_{n\times p}(Q(F))$의 행렬곱은 $A[x^0] * B[x^0] = (A*B)[x^0]$이다.

3. $I_n \in M_{n\times n}(F)$이 항등행렬이면 $I_n[x^0] \in M_{n\times n}(Q(F))$도 항등행렬이다.

4. 임의의 $P \in M_{n\times n}(F)$가 가역이면 다항식행렬 $P[x^0] \in M_{n\times n}(Q(F))$도 가역이고 $(P[x^0])^{-1} =P^{-1}[x^0]$이다.

5. 임의의 $A,B \in M_{n\times n}(F)$가 닮음이면 다항식행렬 $A[x^0], B[x^0] \in M_{n\times n}(Q(F))$도 닮음이다.

6. 임의의 다항식이 $f(x) \in Q(F)$이고 임의의 $A\in M_{m\times n}(F)$의 다항식행렬이 $A[x^0],A[f(x)] \in M_{m\times n}(Q(F))$일때

$M_{m\times n}(Q(F))$의 스칼라곱 $\cdot_M$에 대해 $f(x) \cdot_M A[x^0] = A[f(x)]$이다.

증명

1.

임의의 $i =1,2,\cdots, m$와 임의의 $j = 1,2,\cdots,p$에 대해

다항식행렬의 정의와 행렬곱의 정의로 다항식 스칼라곱 정리와 다항식 스칼라곱 정리로

$\begin{align*} (A[f(x)] * B[g(x)])_{i,j} &= \sum_{k= 1}^n (A[f(x)])_{i,k} \cdot (B[g(x)])_{k,j} \\[0.5em] &= \sum_{k= 1}^n (A_{i,k}\cdot_Q f(x)) \cdot (B_{k,j} \cdot_Q g(x)) \\[0.5em] &= \sum_{k= 1}^n (f(x) \cdot (A_{i,k} \cdot_Q (B_{k,j} \cdot_Q g(x))) ) \\[0.5em] &= \sum_{k= 1}^n ( f(x) \cdot ( (A_{i,k} \cdot_F B_{k,j}) \cdot_Q g(x)) ) \\[0.5em] &= \sum_{k= 1}^n ( (A_{i,k} \cdot_F B_{k,j})\cdot_Q (f(x) \cdot g(x) ) )  \\[0.5em] &= \left ( \sum_{k= 1}^nA_{i,k} \cdot_F B_{k,j}\right ) \cdot_Q (f(x)\cdot g(x)) \\[0.5em] &= (A*B)_{i,j} \cdot_Q (f(x)\cdot g(x)) \\[0.5em]&= ((A*B)[f(x)\cdot g(x)])_{i,j} \text{ 이므로} \end{align*}$

행렬의 상등으로 $A[f(x)] * B[g(x)] = (A*B)[f(x)\cdot g(x)]$이다.

2.

1번과 다항식 스칼라곱 정리로 $A[x^0] * B[x^0] = (A*B)[x^0\cdot x^0] = (A*B)[x^0]$이다.

3.

임의의 $i,j =1,2,\cdots, n$에 대해 다항식행렬의 정의와 다항식 스칼라곱 정리와 항등행렬의 정의로

$i =j$이면 $(I_{n}[x^0])_{i,j} = (I_n)_{i,j}\cdot_Q x^0 = 1_F \cdot_Q x^0 = x^0$이고

$i\ne j$이면 $(I_{n}[x^0])_{i,j} = (I_n)_{i,j}\cdot_Q x^0 = 0_F \cdot_Q x^0 = f_0(x)$이므로 $I_n[x^0] \in M_{n\times n}(Q(F))$은 항등행렬이다.

4.

$P \in M_{n\times n}(F)$가 가역이므로 $P$의 역행렬 $P^{-1} \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $P^{-1} * P = I_n$이 되어

2번으로 $P^{-1}[x^0] * P[x^0] = (P^{-1} * P)[x^0] = I_n[x^0] $이고 3번으로 $I_n[x^0] \in M_{n\times n}(Q(F))$는 항등행렬이므로

행렬 정리로 $P[x^0] \in M_{n\times n}(Q(F))$은 가역이고 $P[x^0]$의 역행렬은 $(P[x^0])^{-1} =P^{-1}[x^0]$이다.

5.

$A,B\in M_{n\times n}(F)$가 닮음이므로 $A = P^{-1} * B *P$인 가역행렬 $P\in M_{n\times n}(F)$가 존재하여

2, 4번으로 $A[x^0] = (P^{-1} * B *P)[x^0] = P^{-1}[x^0] * B[x^0] * P[x^0] = (P[x^0])^{-1} * B[x^0] * P[x^0]$이므로 

$A[x^0],B[x^0]\in M_{n\times n}(Q(F))$은 닮음이다.

6.

임의의 $i =1,2,\cdots, m$와 임의의 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해

다항식행렬의 정의와 행렬 스칼라곱의 정의와 다항식 스칼라곱 정리와 다항식 스칼라곱 정리로

$(f(x) \cdot_M A[x^0])_{i,j} = f(x) \cdot (A[x^0])_{i,j} = f(x) \cdot (A_{i,j} \cdot_Q x^0) = (A_{i,j} \cdot_Q x^0)\cdot f(x) =A_{i,j} \cdot_Q f(x)= (A[f(x)])_{i,j} \text{ 이므로}$

행렬의 상등으로 $f(x) \cdot_M A[x^0] = A[f(x)]$이다.

 

 

 

정리3

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 행렬 벡터공간 $(M_{n\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)$의 항등행렬이 $I_n\in M_{n\times n}(F)$이고

$n\in \mathbb{Z}^+$차원인 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의

선형연산자 $F$-벡터공간이 $(L(V\to V),+_L,\cdot_L,T_0)$이고 항등변환이 $I_V\in L(V\to V)$일때

임의의 스칼라 $c\in F$와 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 순서기저 $\beta,\gamma$와 선형연산자 $T,U :V\to V$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 행렬 $A,B\in M_{n\times n}(F)$가 닮음이면 $A-c\cdot_M I_n$과 $B-c\cdot_M I_n$은 닮음이다.

2. 임의의 행렬 $A,B\in M_{n\times n}(F)$가 닮음이면 $\det$$(A -c\cdot_M I_n) = \det(B-c\cdot_M I_n)$이다.

3. $\beta,\gamma$대한 행렬표현 $[T]_\beta,[T]_\gamma\in M_{n\times n}(F)$에 대해

$\det(T) = \det([T]_\beta) = \det([T]_\gamma)$이고 $\det(T -c\cdot_L I_V) = \det([T]_\beta -c\cdot_M I_n) = \det([T]_\gamma-c\cdot_M I_n)$이다.

4. $c$가 $T$의 고유값이기 위한 필요충분조건은 $c$가 $[T]_\beta$의 고윳값인 것이다.

5. $\det(T $ $\circ$ $ U) = \det(T)\cdot_F \det(U)$

증명

1.

$A,B$가 닮음이므로 $A = Q^{-1} * B *Q$인 가역행렬 $Q\in M_{n\times n}(F)$가 존재하여 행렬 정리로

$\begin{align*} A - c\cdot_M I_n & = (Q^{-1} * B *Q) - c\cdot_M I_n \\[0.5em] & = (Q^{-1} * B *Q) - c\cdot_M (Q^{-1} * Q) \\[0.5em] & = (Q^{-1} * B *Q) - c\cdot_M (Q^{-1} * I_n* Q) \\[0.5em] & = (Q^{-1} * B *Q) - (Q^{-1} * (c\cdot_M I_n)* Q) \\[0.5em] & = Q^{-1} * ((B *Q) - ((c\cdot_M I_n)* Q)) \\[0.5em] & = Q^{-1} * (B - c\cdot_M I_n )* Q \text{ 이므로} \end{align*}$

$A-c\cdot_M I_n$과 $B-c\cdot_M I_n$은 닮음이다.

2.

1번과 행렬식 정리로 $\det(A -c\cdot_M I_n) = \det(B-c\cdot_M I_n)$이다.

3.

행렬표현 정리로 $[T]_\beta$와 $[T]_\gamma$는 닮음이므로

행렬식 정리로 $\det([T]_\beta) = \det([T]_\gamma)$가 되어 선형변환의 행렬식의 정의로 $\det(T) =\det([T]_\beta) = \det([T]_\gamma)$이다.

또 2번으로 $\det([T]_\beta -c\cdot_M I_n) = \det([T]_\gamma-c\cdot_M I_n)$이고

행렬표현 정리와 항등변환 정리로 $[T - c\cdot_L I_V]_\beta = [T]_\beta - c\cdot_M [I_V]_\beta = [T]_\beta -c\cdot_M I_n$이 되어

$\det(T - c\cdot_L I_V) = \det([T - c\cdot_L I_V]_\beta) = \det([T]_\beta -c\cdot_M I_n) = \det([T]_\gamma-c\cdot_M I_n)$이다.

4.

열벡터 $F$-벡터공간이 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$이고 행렬곱이 $*$ 일때

$c$가 $T$의 고유값이면 어떤 $x\in V\setminus \{ \vec{0}\}$에 대해 $T(x) = c\cdot_V x$이므로 

좌표벡터 정리와 행렬표현 정리로 $c\cdot_n [x]_\beta=[c\cdot_V x]_\beta=[T(x)]_\beta = [T]_\beta *[x]_\beta$가 되어 $c$는 $[T]_\beta$의 고윳값이다.

역으로 $c$가 $[T]_\beta$의 고윳값이면 $[T]_\beta * v_n = c\cdot_n v_n$인 $v_n\in M_{n\times 1}(F)\setminus \{ O_n\}$이 존재하여

좌표벡터 정리로 $v_n = [x]_\beta$인 $x\in V$가 존재하고 선형변환 정리로 $[\vec{0}]_\beta = O_n$이므로 $x\ne \vec{0}$이다.

따라서 행렬표현 정리로 $[T(x)]_\beta = [T]_\beta * [x]_\beta = [T]_\beta*v_n = c\cdot_n v_n = c\cdot_n [x]_\beta = [c\cdot_V x]_\beta$이므로

다시 좌표벡터 정리로 $T(x) = c\cdot_V x$이고 $c$는 $T$의 고윳값이다.

5.

행렬곱 $*$에 대해 선형변환의 행렬식의 정의와 행렬표현 정리와 행렬식 정리로

$\det(T\circ U)=\det([T\circ U]_\beta) = \det([T]_\beta * [U]_\beta) = \det([T]_\beta)\cdot_F \det([U]_\beta) = \det(T)\cdot_F \det(U)$이다.

 

 

 

정리4

행렬 $F$-벡터공간 $(M_{n\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)$이고 임의의 행렬이 $A\in M_{n\times n}(F)$이고 항등행렬이 $I_n\in M_{n\times n}(F)$일때

임의의 $v\in M_{n\times 1}(F)$와 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에 대해

$v$가 $A$의 고유벡터이기 위한 필요충분조건은 $(A -\lambda\cdot_M I_n)$ $*$ $v = O_n$인 $\lambda\in F$가 존재하는 것이다.

이때 $\lambda$는 $v$에 대응하는 $A$의 고유값이고 $A *v = \lambda\cdot_n v$이다.

증명

$v$가 $A$의 고유벡터이면 $A*v = \lambda \cdot_n v$인 $\lambda\in F$가 존재하므로 행렬 정리로

$O_n=(A*v) -\lambda\cdot_n v = (A*v) - \lambda \cdot_n (I_n *v) = (A*v) - ((\lambda\cdot_M I_n) *v) = (A-\lambda\cdot_M I_n)*v$이다.

역으로 $(A -\lambda\cdot_M I_n)*v = O_n$이면

$A *v = \lambda\cdot_n v$이므로 $v$는 $A$의 고유벡터이고 $\lambda$는 $v$에 대응하는 $A$의 고윳값이다.

 

 

 

정리5

행렬 $F$-벡터공간 $(M_{n\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)$이고 임의의 행렬이 $A\in M_{n\times n}(F)$이고 항등행렬이 $I_n\in M_{n\times n}(F)$일때

임의의 $\lambda\in F$가 어떤 고유벡터에 대응하는 $A$의 고유값이기 위한 필요충분조건은 $\det$$(A -\lambda\cdot_M I_n) = 0_F$인 것이다.

증명

$\lambda$가 $A$의 고유벡터 $v\in M_{n\times 1}(F)$에 대응하는 $A$의 고윳값이면

열벡터 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에 대해 고유벡터의 정의로 $A$ $*$ $v = \lambda\cdot_n v$이므로 행렬 정리로

$(A - \lambda\cdot_M I_n)*v=(A*v) - ((\lambda\cdot_M I_n)*v) = (A*v) - (I_n * (\lambda\cdot_n v)) = A*v - \lambda\cdot_n v = O_n$이 되어

$A -\lambda\cdot_M I_n$의 좌측곱변환 $L :M_{n\times 1}(F)\to M_{n\times 1}(F)$에 대해

$L(v) = O_n$이고 $v\ne O_n$이므로 $L$의 핵은 $N(L) \ne \{ O_n\}$이다.

따라서 선형변환 정리로 $L$은 단사가 아니므로 가역이 아니고

좌측곱변환 정리로 $A -\lambda\cdot_M I_n$은 가역이 아니게 되어 행렬식 정리로 $\det(A-\lambda\cdot_M I_n) = 0_F$이다.

역으로 $\det(A-\lambda\cdot_M I_n) = 0_F$이면 위와 비슷하게 $A -\lambda\cdot_M I_n$은 가역이 아니므로 

$(A-\lambda\cdot_M I_n)*v = O_n$이고 $v\ne O_n$인 $v\in M_{n\times 1}(F)$가 존재하여 $A*v = \lambda\cdot_n v$이므로 $v$는 $A$의 고유벡터이다.

 

 

 

정리6

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수다항식체가 $(Q(F),+_Q,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_Q$이고

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 행렬 $F$-벡터공간이 $(M_{n\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)$일때

임의의 행렬 $A,B\in M_{n\times n}(F)$와 항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(F)$과 부정원 $x^0,x^1 \in Q(F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 다항식행렬 $A[x^0],B[x^1] \in M_{n\times n}(Q(F))$에 대해 $\det$$(A[x^0] $ $-$ $B[x^1])$는 $n$차이하다항식이다.

2. $a_n = (-1_F)^n$인 어떤 $a_n,\cdots, a_1,a_0 \in F$에 대해 $A$의 특성다항식은

$\det(A[x^0] - I_n[x^1]) = a_n\cdot_Q x^n +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Qx^1 +_Q a_0\cdot_Q x^0 \in P_n(F)$인 $n$차다항식이다.

3. $A$의 특성다항식 $f(x) \in P_n(F)$에 대한 다항함수 $f : F\to F$는 모든 $t\in F$에 대해 $f(t) = \det(A - t\cdot_M I_n)$이다.

4. 열벡터 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$에 대해

$A$의 고유값들의 집합이 $\Lambda = \{ \lambda\in F : \text{ 어떤 }v\in M_{n\times 1}(F)\setminus \{ O_n\} \text{ 에 대해 } A $ $*$ $ v = \lambda\cdot_n v \text{ 이다.} \}$일때

$\Lambda$는 $n$개이하의 원소를 갖는 유한집합이다.

증명

1.

$n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n= 1$이면 임의의 $A,B\in M_{1\times 1}(F)$에 대해

다항식행렬의 정의로 $A[x^0] - B[x^1] = \begin{bmatrix} A_{1,1}\cdot_Q x^0 -  B_{1,1}\cdot_Q x^1\end{bmatrix} $이므로

행렬식의 정의로 $\det(A[x^0]- B[x^1]) = A_{1,1}\cdot_Q x^0 - B_{1,1}\cdot_Q x^1  \in P_1(F)$는 $1$차이하다항식이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 임의의 $A,B\in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$에 대해

행렬식의 정의와 행렬 뺄셈의 정의와 다항식행렬의 정의와 다항식 스칼라곱 정리로

$\begin{align*} &\det(A[x^0]- B[x^1]) = \sum_{j = 1}^{k+1} (-x^0)^{1+j}\cdot(A[x^0]- B[x^1])_{1,j}\cdot \det(\widetilde{(A[x^0]- B[x^1])}_{1,j}) \\[0.5em] & = \sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot \left ( (A[x^0])_{1,j} - (B[x^1])_{1,j}\right )\cdot \det(\widetilde{(A[x^0]-B[x^1])_{1,j}}) \\[0.5em] & = \sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot \left ( A_{1,j} \cdot_Q x^0 - B_{1,j}\cdot_Q x^1\right )\cdot \det(\widetilde{(A[x^0]-B[x^1])_{1,j}}) \\[0.5em] & = \sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot \left ( A_{1,j} \cdot_Q x^0 - (B_{1,j}\cdot_Q x^0) \cdot x^1\right )\cdot \det(\widetilde{(A[x^0]-B[x^1])_{1,j}}) \\[0.5em] & = \left (\sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot (A_{1,j}\cdot_Q x^0) \cdot \det(\widetilde{(A[x^0]- B[x^1])_{1,j}}) \right) - x^1 \cdot \left(\sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot (B_{1,j}\cdot_Q x^0) \cdot \det(\widetilde{(A[x^0]-B[x^1])_{1,j}})\right ) \text{ 이고}\end{align*}$

모든 $j = 1,2,\cdots, k,k+1$에 대해 $\widetilde{(A[x^0]-B[x^1])_{1,j}} = (\widetilde{A}_{1,j})[x^0]- (\widetilde{B}_{1,j})[x^1]$이므로

귀납가정으로 $f_j(x) = \det((\widetilde{A}_{1,j})[x^0] - (\widetilde{B}_{1,j})[x^1])= \det(\widetilde{(A[x^0]-B[x^1] )_{1,j}})\in P_k(F)$는 $k$차이하다항식이 되어

다항식 정리로 $\begin{align*} f(x) = \left (\sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot (A_{1,j}\cdot_Q x^0)\cdot f_j(x) \right ) - x^1 \cdot \left(\sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot (B_{1,j}\cdot_Q x^0) \cdot f_j(x) \right )\end{align*}$인

$f(x) \in P_{k+1}(F)$는 $k+1$차이하다항식이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

2.

$n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n= 1$이면 임의의 $A\in M_{1\times 1}(F)$에 대해 다항식행렬의 정의와 다항식 스칼라곱 정리로

$A[x^0] - I_1[x^1] = \begin{bmatrix} A_{1,1}\cdot_Q x^0 - (I_1)_{1,1}\cdot_Q x^1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A_{1,1}\cdot_Q x^0 - 1_F\cdot_Q x^1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A_{1,1}\cdot_Q x^0 - x^1 \end{bmatrix}$이므로

$\det(A[x^0]- I_1[x^1]) = A_{1,1}\cdot_Q x^0 - x^1 = (-1_F)\cdot_Q x^1 +_Q A_{1,1}\cdot_Q x^0 = (-1_F)^1\cdot_Q x^1 +_Q A_{1,1}\cdot_Q x^0 \in P_1(F) \text{ 이다.} $

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 $A\in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$에 대해

행렬식의 정의와 행렬 뺄셈의 정의와 다항식행렬의 정의와 다항식 스칼라곱 정리와 다항식 스칼라곱 정리로

$\begin{align*} &\det(A[x^0]- I_{k+1}[x^1]) = \sum_{j = 1}^{k+1} (-x^0)^{1+j}\cdot (A[x^0]- I_{k+1}[x^1])_{1,j}\cdot \det(\widetilde{(A[x^0]- I_{k+1}[x^1])}_{1,j}) \\[0.5em] &= \sum_{j = 1}^{k+1} (-x^0)^{1+j}\cdot((A[x^0])_{1,j}- (I_{k+1}[x^1])_{1,j})\cdot \det(\widetilde{(A[x^0]- I_{k+1}[x^1])}_{1,j}) \\[0.5em] &= \sum_{j = 1}^{k+1} (-x^0)^{1+j}\cdot(A_{1,j}\cdot_Q x^0- (I_{k+1})_{1,j}\cdot_Q x^1)\cdot \det(\widetilde{(A[x^0]- I_{k+1}[x^1])}_{1,j}) \\[0.5em] &= \sum_{j = 1}^{k+1} (-x^0)^{1+j}\cdot(A_{1,j}\cdot_Q x^0- ((I_{k+1})_{1,j}\cdot_Q x^0) \cdot x^1)\cdot \det(\widetilde{(A[x^0]- I_{k+1}[x^1])}_{1,j}) \\[0.5em] & = \left (\sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot (A_{1,j}\cdot_Q x^0)\cdot \det(\widetilde{(A[x^0]- I_{k+1}[x^1])_{1,j}}) \right) - x^1 \cdot \left(\sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot ((I_{k+1})_{1,j}\cdot_Q x^0) \cdot \det(\widetilde{(A[x^0]- I_{k+1}[x^1])_{1,j}})\right ) \\[0.5em] & = \left (\sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot (A_{1,j}\cdot_Q x^0)\cdot \det(\widetilde{(A[x^0]-I_{k+1}[x^1])_{1,j}}) \right) - x^1 \cdot \left((-x^0)^{1+1}\cdot ((I_{k+1})_{1,1}\cdot_Q x^0) \cdot \det(\widetilde{(A[x^0]- I_{k+1}[x^1])_{1,1}})\right ) \\[0.5em] & = \left (\sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot(A_{1,j}\cdot_Q x^0)\cdot \det(\widetilde{(A[x^0]- I_{k+1}[x^1])_{1,j}}) \right) -x^1 \cdot \det(\widetilde{(A[x^0]- I_{k+1}[x^1])_{1,1}}) \text{ 이므로} \end{align*}$

모든 $j = 1,2,\cdots, k,k+1$에 대해

1번으로 $f_j(x) =\det((\widetilde{A}_{1,j})[x^0]-(\widetilde{(I_{k+1})}_{1,j})[x^1]) = \det(\widetilde{(A[x^0]-I_{k+1}[x^1] )_{1,j}})\in P_k(F)$는 $k$차이하다항식이고

귀납가정으로 $f_1(x) = a_k\cdot_Q x^k +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Qx^1 +_Q a_0\cdot_Q x^0$는 $a_k = (-1_F)^k$인 $k$차다항식이 되어

다항식 정리로 $\displaystyle \sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot (A_{1,j}\cdot_Q x^0)\cdot f_j(x)$는 $k$차이하다항식이므로 다항식 스칼라곱 정리로

$\begin{align*} f(x) &= \left ( \sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot (A_{1,j}\cdot_Q x^0)\cdot f_j(x) \right ) - x^1 \cdot f_1(x) \\[0.5em] &= \left ( \sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot (A_{1,j}\cdot_Q x^0)\cdot f_j(x) \right ) - x^1 \cdot (a_k\cdot_Q x^k +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Q x^1 +_Q a_0\cdot_Q x^0) \\[0.5em] &= \left ( \sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot (A_{1,j}\cdot_Q x^0)\cdot f_j(x) \right ) - (a_k\cdot_Q x^{k+1} +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Qx^2 +_Q a_0\cdot_Q x^1) \\[0.5em] &= \left ( \sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot (A_{1,j}\cdot_Q x^0)\cdot_Q f_j(x) \right ) +_Q (-1_F) \cdot_Q (a_k\cdot_Q x^{k+1} +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Qx^2 +_Q a_0\cdot_Q x^1) \\[0.5em] &= \left ( \sum_{j = 1}^{k+1}(-x^0)^{1+j}\cdot (A_{1,j}\cdot_Q x^0)\cdot f_j(x) \right ) +_Q ((-1_F) \cdot_F a_k)\cdot_Q x^{k+1} +_Q \cdots +_Q ((-1_F)\cdot_F a_1)\cdot_Qx^2 +_Q ((-1_F)\cdot_Fa_0)\cdot_Q x^1 \text{ 인} \end{align*}$

$f(x)\in P_{k+1}(F)$는 $k+1$차다항식이고 최고차항의 계수는 $(-1_F)\cdot_F a_k = (-1_F)\cdot_F (-1_F)^k = (-1_F)^{k+1}$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

3.

2번으로 $f(x)$는 $n$차다항식이므로 위 정리와 다항함수의 정의와 특성다항식의 정의로 정리가 성립한다.

4.

위 정리로 $\Lambda = \{ \lambda \in F : \det(A - \lambda\cdot_M I_n)=0_F\}$이고

3번으로 $A$의 특성다항식 $f(x) \in P_n(F)$에 대한 다항함수 $f : F\to F$는

모든 $t \in F$에 대해 $f(t) = \det(A- t\cdot_M I_n)$이므로

$\Lambda = \{ \lambda \in F : \det(A - \lambda\cdot_M I_n)=0_F\} = \{ \lambda \in F : f(\lambda) = 0_F \}$이 되어

다항식정리로 $\Lambda$는 $n$개이하의 원소를 갖는 유한집합이다.

 

 

 

정리7

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자 $T :V\to V$에 대해

$T$의 서로 다른 $n\in \mathbb{Z}^+$개의 고윳값 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots , \lambda_n \in F$이 존재할때

모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $S_i \subseteq \{ v\in V \setminus \{ \vec{0}\}: T(v) = \lambda_i\cdot_V v\}$인

유한집합 $S_i$가 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$에서 일차독립이면 $S_1\cup S_2 \cup \cdots \cup S_n$도 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$에서 일차독립이다.

증명

$n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$이면 자명하게 성립한다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립하고

임의의 $i = 1,2,\cdots ,k,k+1$에 대해 $S_i$가 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$에서 일차독립일때

$S_i  =\emptyset $인 $i = 1,2,\cdots ,k,k+1$가 존재하면 귀납가정으로

$S_1\cup S_2 \cup \cdots \cup S_k\cup S_{k+1} = S_1\cup \cdots \cup S_{i-1} \cup S_{i+1}\cup \cdots \cup S_{k+1}$은 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$에서 일차독립이다.

모든 $i = 1,2,\cdots ,k,k+1$에 대해 $S_i  \ne \emptyset $이고 $S_i$의 원소개수가 $n_i \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $S_i = \{ v_{i,1},v_{i,2},\cdots, v_{i,n_i}\}$일때

$i\ne j$인 임의의 $j = 1,2,\cdots,k,k+1$에 대해 $u \in S_i\cap S_j$가 존재한다고 가정하면

고유벡터의 정의로 $\lambda_i \cdot_V u =T(u)  = \lambda_j \cdot_V u$이므로 $(\lambda_i - \lambda_j)\cdot_V u= \vec{0}$인데

$\lambda_i \ne \lambda_j$이고 $u = (\lambda_i -\lambda_j)^{-1}\cdot_V \vec{0} = \vec{0}$이므로 고유벡터의 정의에 모순이 되어 $S_i \cap S_j  = \emptyset$이다.

임의의 $i = 1,2,\cdots ,k,k+1$와 임의의 $j = 1,2,\cdots,n_i$에 대해 $\begin{align*} \sum_{i = 1}^{k+1}\sum_{j = 1}^{n_i} a_{i,j}\cdot_V v_{i,j} = \vec{0} \end{align*}$인 $a_{i,j} \in F$가 존재하면

선형변환 $F$-벡터공간 $(L(V\to V) , +_L,\cdot_L,T_0)$와 항등변환 $I_V : V\to V$에 대해

$T - \lambda_{k+1}\cdot_L I_V \in L(V\to V)$이므로 고유벡터의 정의와 선형변환 정리로

$\begin{align*} \vec{0} &= (T-\lambda_{k+1}\cdot_L I_V)(\vec{0}) \\[0.5em] & = (T-\lambda_{k+1}\cdot_L I_V) (\sum_{i = 1}^{k+1}\sum_{j = 1}^{n_i} a_{i,j}\cdot_V v_{i,j} ) \\[0.5em] & = T(\sum_{i = 1}^{k+1}\sum_{j = 1}^{n_i} a_{i,j}\cdot_V v_{i,j} ) - \lambda_{k+1}\cdot_V I_V(\sum_{i = 1}^{k+1}\sum_{j = 1}^{n_i} a_{i,j}\cdot_V v_{i,j} ) \\[0.5em] & = \left (\sum_{i = 1}^{k+1}\sum_{j = 1}^{n_i} a_{i,j}\cdot_V T(v_{i,j})\right) - \lambda_{k+1}\cdot_V \left(\sum_{i = 1}^{k+1}\sum_{j = 1}^{n_i} a_{i,j}\cdot_V v_{i,j} \right) \\[0.5em] & = \left (\sum_{i = 1}^{k+1}\sum_{j = 1}^{n_i} a_{i,j}\cdot_V (\lambda_i \cdot_V v_{i,j})\right) - \left(\sum_{i = 1}^{k+1}\sum_{j = 1}^{n_i} a_{i,j}\cdot_V (\lambda_{k+1}\cdot_V v_{i,j}) \right) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^{k+1}\sum_{j = 1}^{n_i}( a_{i,j}\cdot_V (\lambda_i \cdot_V v_{i,j}) - a_{i,j}\cdot_V (\lambda_{k+1}\cdot_V v_{i,j})) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^{k+1}\sum_{j = 1}^{n_i} a_{i,j}\cdot_V ((\lambda_i - \lambda_{k+1}) \cdot_V v_{i,j}) \\[0.5em] & = \left (\sum_{i = 1}^{k}\sum_{j = 1}^{n_i} a_{i,j}\cdot_V ((\lambda_i - \lambda_{k+1}) \cdot_V v_{i,j}) \right ) +_V \left (\sum_{j = 1}^{n_{k+1}} a_{k+1,j}\cdot_V ((\lambda_{k+1} - \lambda_{k+1}) \cdot_V v_{k+1,j}) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^{k}\sum_{j = 1}^{n_i} a_{i,j}\cdot_V ((\lambda_i - \lambda_{k+1}) \cdot_V v_{i,j}) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^{k}\sum_{j = 1}^{n_i} (a_{i,j}\cdot_F (\lambda_i - \lambda_{k+1})) \cdot_V v_{i,j} \text{ 이고} \end{align*}$

귀납가정으로 $S_1\cup S_2 \cup \cdots \cup S_k$는 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$에서 일차독립이므로

일차독립 정리로 임의의 $i = 1,2,\cdots ,k$와 임의의 $j = 1,2,\cdots,n_i$에 대해

$a_{i,j} \cdot_F (\lambda_i - \lambda_{k+1}) = 0_F$인데 $\lambda_i \ne \lambda_{k+1}$이므로 $a_{i,j} =0_F$이다.

$\begin{align*} \vec{0} = \sum_{i = 1}^{k+1}\sum_{j = 1}^{n_i} a_{i,j}\cdot_V v_{i,j} =\sum_{j =1}^{n_{k+1}} a_{k+1,j}\cdot_V v_{k+1,j} \end{align*}$이고 $S_{k+1}$이 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$에서 일차독립이므로

일차독립 정리로 임의의 $j = 1,2,\cdots,n_{k+1}$에 대해 $a_{k+1,j} = 0_F$가 되어

다시 일차독립 정리로 $S_1\cup S_2 \cup \cdots \cup S_k\cup S_{k+1}$은 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$에서 일차독립이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리8

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$가 $n\in \mathbb{Z}^+$차원일때

$(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자 $T :V\to V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $n$개의 서로 다른 $T$의 고윳값 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots , \lambda_n \in F$이 존재하면 $T$는 대각화가능하다.

2. 분수다항식체가 $(Q(F),+_Q,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_Q$일때

$T$가 대각화가능하면 $T$의 특성다항식 $f(x) \in P_n(F)$는 $n$개의 중복가능한 $T$의 고윳값 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots , \lambda_n \in F$에 대해

$f(x) = (-1_F)^n \cdot_Q ((x^1 - \lambda_1 \cdot_Q x^0) \cdot (x^1 - \lambda_2\cdot_Q x^0) \cdot \; \cdots \; \cdot (x^1 - \lambda_n \cdot_Q x^0))$이다.

증명

1.

임의의 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $\{ v\in V \setminus \{ \vec{0}\}: T(v) = \lambda_i\cdot_V v\}$는 공집합이 아니므로

선택공리로 $T(v_i) = \lambda_i\cdot_V v_i$인 $T$의 고유벡터 $v_i$를 선택할 수 있다.

$v_i \ne \vec{0}$이므로 벡터공간 정리로 $\{ v_i\}$는 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$에서 일차독립이 되어

위 정리로 $\{ v_1\}\cup \{ v_2\}\cup \cdots \cup \{ v_n \} = \{ v_1,v_2,\cdots, v_n\}$은 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$에서 일차독립이고

생성공간 정리와 부분공간 정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{v_1,v_2,\cdots, v_n\}) =V$이므로

$\{ v_1,v_2,\cdots, v_n\}$은 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 기저이고 위 정리로 $T$는 대각화가능하다.

2.

위 정리로 $[T]_\beta\in M_{n\times n}(F)$가 대각행렬인 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots, v_n)$이 존재하여

$[T]_\beta$의 대각성분은 모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $T$의 고윳값 $([T]_\beta)_{i,i} = \lambda_i$이고

항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$과 다항식 행렬 $[T]_\beta[x^0], I_n[x^1] \in M_{n\times n}(Q(F))$에 대해

$T$의 특성다항식은 $f(x) = \det([T]_\beta[x^0] - I_n[x^1])$이므로 행렬식 정리와 행렬 뺄셈의 정의와 다항식행렬의 정의로

$\begin{align*} f(x) &= \det([T]_\beta[x^0] - I_n[x^1]) \\[0.5em] & = ([T]_\beta[x^0] - I_n[x^1])_{1,1}\cdot([T]_\beta[x^0] - I_n[x^1])_{2,2}\cdot \; \cdots \; \cdot([T]_\beta[x^0] - I_n[x^1])_{n,n} \\[0.5em] & = (([T]_\beta[x^0])_{1,1}- (I_n[x^1])_{1,1})\cdot(([T]_\beta[x^0])_{2,2}- (I_n[x^1])_{2,2}) \cdot \; \cdots \; \cdot (([T]_\beta[x^0])_{n,n}- (I_n[x^1])_{n,n}) \\[0.5em] & = (\lambda_1 \cdot_Q x^0 - x^1)\cdot (\lambda_2\cdot_Q x^0 - x^1) \cdot \; \cdots \; \cdot (\lambda_n\cdot_Q x^0 - x^1) \\[0.5em] & =(-1_F)^n \cdot_Q ((x^1 - \lambda_1 \cdot_Q x^0) \cdot (x^1 - \lambda_2\cdot_Q x^0) \cdot \; \cdots \; \cdot (x^1 - \lambda_n \cdot_Q x^0)) \text{ 이다.}\end{align*}$

 

 

 

정의3

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수다항식체가 $(Q(F),+_Q,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_Q$일때

임의의 행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$ 또는 $n\in \mathbb{Z}^+$차원 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자 $T :V\to V$의

특성다항식 $f(x) \in P_n(F)$와 임의의 고윳값 $\lambda \in F$에 대해

$\dfrac{f(x)}{(x^1 - \lambda \cdot_Q x^0)^k} \in P_n(F)$이 되는 최대 양의 정수 $k \in \mathbb{Z}^+$를 고윳값 $\lambda$의 중복도(multiplicity)로 정의한다.

 

 

 

정리10

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수다항식체가 $(Q(F),+_Q,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_Q$일때 다음이 성립한다.

1. $k \in \mathbb{Z}^+$개의 중복가능한 $c_1,c_2,\cdots, c_k \in F$에 대해

$g(x) =(x^1 - c_1\cdot_Q x^0)\cdot (x^1-c_2\cdot_Q x^0)\cdot \; \cdots\; \cdot (x^1-c_k\cdot_Q x^0)$인 다항식 $g(x) \in Q(F)$는

$a_k = 1_F$이고 $g(x) = a_k \cdot_Q x^k + _Q \cdots +_Q a_1\cdot_Q x^1 +_Q a_0\cdot_Q x^0$인 $a_k,\cdots,a_1,a_0\in F$이 존재한다.

2. 임의의 $k \in \mathbb{N}$와 임의의 $\lambda \in F$에 대해

거듭제곱인 다항식 $(x^1 -\lambda\cdot_Q x^0)^k \in Q(F)$는 $a_k = 1_F$인 어떤 $a_k,\cdots, a_1,a_0\in F$이 존재하여

$(x^1 -\lambda\cdot_Q x^0)^k = a_k\cdot_Q x^k +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Q x^1 +_Q a_0\cdot_Q x^0\in P_k(F)$인 $k$차다항식이다.

3. 임의의 행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$ 또는 $n\in \mathbb{Z}^+$차원 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자 $T :V\to V$의

특성다항식 $f(x) \in P_n(F)$와 고윳값 $\lambda \in F$에 대해 $\max$$ \{ k \in \mathbb{Z}^+ : \dfrac{f(x)}{(x^1 -\lambda\cdot_Q x^0)^k} \in P_n(F)\}$가 존재한다.

증명

1.

$k \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$k = 1$이면 스칼라곱 정리로 $x^1 - c_1\cdot_Q x^0 = 1_F\cdot_Q x^1 - c_1\cdot_Q x^0$이다.

모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $h(x) =(x^1 - c_1\cdot_Q x^0)\cdot (x^1-c_2\cdot_Q x^0)\cdot \; \cdots\; \cdot (x^1-c_m\cdot_Q x^0)$인 $h(x) \in Q(F)$가

$h(x) = a_m \cdot_Q x^m + _Q \cdots +_Q a_1\cdot_Q x^1 +_Q a_0\cdot_Q x^0$이고 $a_m = 1_F$인 $m$차다항식이면

$g(x) =(x^1 - c_1\cdot_Q x^0)\cdot (x^1-c_2\cdot_Q x^0)\cdot \; \cdots\; \cdot (x^1-c_m\cdot_Q x^0)\cdot (x^1 - c_{m+1}\cdot_Q x^0)$는 다항식 정리로

$\begin{align*} &g(x) = h(x) \cdot (x^1-c_{m+1}\cdot_Q x^0) \\[0.5em]&= (a_m\cdot_Q x^m +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Q x^1 +_Q a_0\cdot_Q x^0)\cdot (x^1-c_{m+1}\cdot_Q x^0) \\[0.5em]&= (a_m\cdot_Q x^m +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Q x^1 +_Q a_0\cdot_Q x^0)\cdot (x^1 +_Q (-c_{m+1}) \cdot_Q x^0) \\[0.5em]&= (a_m\cdot_Q x^{m} +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Q x^1 +_Q a_0\cdot_Q x^0)\cdot x^1 +_Q (a_m\cdot_Q x^{m} +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Q x^1 +_Q a_0\cdot_Q x^0)\cdot ((-c_{m+1}) \cdot_Q x^0) \\[0.5em]&= (a_m\cdot_Q x^{m+1} +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Q x^2 +_Q a_0\cdot_Q x^1) +_Q ((-a_m\cdot_F c_{m+1})\cdot_Q x^{m} +_Q \cdots +_Q (-a_1\cdot_F c_{m+1})\cdot_Q x^1 +_Q (-a_0\cdot_F c_{m+1})\cdot_Q x^0) \\[0.5em]&= a_m \cdot_Q x^{m+1}+_Q (a_{m-1} - a_m\cdot_F c_{m+1})\cdot_Q x^m +_Q \cdots +_Q (a_1 - a_2\cdot_F c_{m+1})\cdot_Q x^2 +_Q (a_0 - a_1\cdot_F c_{m+1})\cdot_Q x^1 +_Q (-a_0\cdot_F c_{m+1})\cdot_Q x^0 \\[0.5em]&= 1_F \cdot_Q x^{m+1}+_Q (a_{m-1} - a_m\cdot_F c_{m+1})\cdot_Q x^m +_Q \cdots +_Q (a_1 - a_2\cdot_F c_{m+1})\cdot_Q x^2 +_Q (a_0 - a_1\cdot_F c_{m+1})\cdot_Q x^1 +_Q (-a_0\cdot_F c_{m+1})\cdot_Q x^0 \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

2.

$k = 0$이면 거듭제곱의 정의와 스칼라곱 정리로 $(x^1 -\lambda\cdot_Q x^0)^0 = x^0 = 1_F \cdot_Q x^0$이고

$k \ge 1$이면 1번으로 정리가 성립한다.

3.

$S_\lambda = \{ k \in \mathbb{Z}^+ : \dfrac{f(x)}{(x^1 -\lambda\cdot_Q x^0)^k} \in P_n(F)\}$일때

$f(x)$에 대한 다항함수 $f : F\to F$에 대해 위 정리와 위 정리로 $f(\lambda) = 0_F$이므로

다항식 정리로 $\dfrac{f(x)}{(x^1 - \lambda \cdot_Q x^0)^1} \in P_{n-1}(F) \subseteq P_n(F)$이 되어 $1\in S_\lambda $이고 $S_\lambda \ne \emptyset$이다.

$n<k$인 $k \in S_\lambda$가 존재한다고 가정하면

$f(x)$와 $(x^1 -\lambda \cdot_Q x^0)^k$는 영다항식이 아니고 $ \dfrac{f(x)}{(x^1 -\lambda\cdot_Q x^0)^k} \in P_n(F)$이므로

$m\le n$인 $m\in \mathbb{N}$과 $a_m,\cdots, a_1,a_0 \in F$에 대해

$\dfrac{f(x)}{(x^1 - \lambda \cdot_Q x^0)^k} = a_m\cdot_Q x^m +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Q x^1 +_Q a_0\cdot_Q x^0 $이고 $a_m \ne 0_F$인데

2번으로 $b_k = 1_F$인 $b_k,\cdots, b_1,b_0 \in F$에 대해 $(x^1-\lambda\cdot_Qx^0)^k = b_k\cdot_Q x^k +_Q \cdots +_Q b_1\cdot_Q x^1 +_Q b_0\cdot_Q x^0$이므로

다항식 정리로

$\begin{align*} f(x) & = (a_m\cdot_Q x^m +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Q x^1 +_Q a_0\cdot_Q x^0)\cdot (x^1 -\lambda\cdot_Q x^0)^k \\[0.5em] & = (a_m\cdot_Q x^m +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Q x^1 +_Q a_0\cdot_Q x^0)\cdot ( b_k\cdot_Q x^k +_Q \cdots +_Q b_1\cdot_Q x^1 +_Q b_0\cdot_Q x^0) \\[0.5em] & = \sum_{i= 0}^m \sum_{j = 0}^k (a_i\cdot_F b_j)\cdot_Q x^{i+j}  \text{ 이 되어}\end{align*}$

$x^{m+k}$의 계수는 $a_m\cdot_F b_k = a_m\cdot_F 1_F = a_m\ne 0_F$이고

$f(x)$는 $n< m +k$인 $m+k$차다항식이므로 위 정리와 다항식 정리에 모순이다.

따라서 모든 $k \in S_\lambda$는 $k\le n$이 되어 $S_\lambda$는 공집합이 아닌 유한집합이므로 최대원소 정리로 $\max S_\lambda$가 존재한다.

 

 

 

정의4

체가 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$일때

선형변환의 고유공간(eigenspace) :

$F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자 $T :V\to V$의 고윳값 $\lambda \in F$에 대한

고유벡터들과 영벡터 $\vec{0}$의 집합이 $E_\lambda = \{ x\in V : T(x) =\lambda\cdot_V x\}$일때

아래 정리로 $(E_\lambda,+_V,\cdot_V, \vec{0})$은 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 부분공간이므로

$(E_\lambda,+_V,\cdot_V, \vec{0})$을 $\lambda$에 대한 $T$의 고유공간으로 정의한다.

행렬의 고유공간 :

임의의 행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$의 좌측곱변환 $L_A : M_{n\times 1}(F) \to M_{n\times 1}(F)$에 대해

$A$의 고윳값 $\lambda \in F$에 대한 $L_A$의 고유공간을 $A$의 고유공간으로 정의한다.

 

 

 

정리11

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의

선형연산자 $F$-벡터공간이 $(L(V\to V),+_L,\cdot_L,T_0)$이고 항등변환이 $I_V\in L(V\to V)$일때

임의의 선형연산자 $T \in L(V\to V)$의 고윳값 $\lambda \in F$에 대한 고유벡터들과 $\vec{0}$의 집합은

$T-\lambda\cdot_L I_V\in L(V\to V)$의 핵 $E_\lambda = \{ x\in V : T(x) =\lambda\cdot_V x\} = N(T-\lambda \cdot_LI_V)$이고

$\lambda$에 대한 $T$의 고유공간 $(E_\lambda,+_V,\cdot_V, \vec{0})$은 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 부분공간이다.

증명

임의의 $x\in E_\lambda$는 $T(x) =\lambda\cdot_V x = \lambda \cdot_V I_V(x) = (\lambda\cdot_L I_V)(x)$이고

$\vec{0} =T(x) - (\lambda\cdot_L I_V)(x) = (T - \lambda\cdot_L I_V)(x)$이므로

$E_\lambda = \{ x\in V : T(x) =\lambda\cdot_V x\} = \{x \in V : (T-\lambda\cdot_L I_V)(x) = \vec{0} \} = N(T-\lambda \cdot_LI_V)$이다.

따라서 선형연산자 벡터공간의 정의로 $T-\lambda\cdot_L I_V$는 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자이므로

선형변환 정리로 $(E_\lambda,+_V,\cdot_V, \vec{0}) = (N(T-\lambda\cdot_L I_V),+_V,\cdot_V,\vec{0})$은 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 부분공간이다.

 

 

 

정리12

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원인 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자 $T :V\to V$에 대해

$T$의 고윳값 $\lambda \in F$의 중복도가 $m \in \mathbb{Z}^+$이면 $\lambda$에 대한 $T$의 고유공간의 차원은 $1\le \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(E_\lambda)}\le m$이다.

증명

$\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(E_\lambda)}= p$이고 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(V)}= n$일때

위 정리로 $(E_\lambda,+_V,\cdot_V,\vec{0})$은 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 부분공간이므로 부분공간 정리로 $p\le n$이고

$p = 0$이라고 가정하면 차원의 정의와 생성집합의 정의로 $\{ \vec{0}\}=\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\emptyset)} = E_\lambda$인데

고윳값의 정의로 $T(x) = \lambda\cdot_V x$인 고윳벡터 $x \in V \setminus \{ \vec{0}\}$가 존재하여 $x\in E_\lambda = \{\vec{0}\}$이므로 모순이다.

$1\le p\le n$이므로 차원의 정의로 $(E_\lambda,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저 $\{ v_1,v_2,\cdots, v_p\}$가 존재하여

기저 정리로 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 기저 $\{ v_1,v_2,\cdots, v_p,v_{p+1},\cdots, v_n\}$가 존재한다.

분수다항식체가 $(Q(F),+_Q,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_Q$이고 $T$의 특성다항식이 $f(x) \in P_n(F)$일때

모든 $i = 1,2,\cdots, p$에 대해 $T(v_i) = \lambda\cdot_V v_i$이므로

순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots, v_p,v_{p+1},\cdots, v_n)$에 대한 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta \in M_{n\times n}(F)$는

$p= n$이면 $[T]_\beta = \begin{bmatrix} \lambda & 0_F &  \cdots & 0_F \\ 0_F & \lambda & & 0_F \\ \vdots & &\ddots &\vdots \\ 0_F &0_F  & \cdots  & \lambda\end{bmatrix}$인 대각행렬이 되어

항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$과 다항식 행렬 $[T]_\beta[x^0],I_n[x^1] \in M_{n\times n}(Q(F))$에 대해

행렬식 정리로 $f(x) = \det([T]_\beta[x^0] - I_n[x^1]) = (-1_F)^n \cdot_Q (x^1-\lambda\cdot_Q x^0 )^n$이므로

$\lambda $의 중복도는 $ m = n$이고 $1\le p\le n =m$이다.

$p<n$이면 항등행렬 $I_p \in M_{p\times p}(F)$와 영행렬 $O \in M_{(n-p)\times p}(F)$와

어떤 행렬 $B\in M_{p\times (n-p)}(F)$와 $C \in M_{(n-p)\times (n-p)}(F)$와 $M_{p\times p}(F)$의 스칼라곱 $\cdot_p$에 대해

$[T]_\beta = \begin{bmatrix} (\lambda\cdot_pI_p)_{1,1} & \cdots & (\lambda\cdot_p I_p)_{1,p} & B_{1,1} & \cdots & B_{1,n-p} \\ \vdots & \ddots  & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ (\lambda\cdot_p I_p)_{p,1} & \cdots & (\lambda\cdot_p I_p)_{p,p} & B_{p,1} & \cdots & B_{p,n-p} \\O_{1,1} & \cdots & O_{1,p} & C_{1,1} & \cdots & C_{1,n-p} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots  & \vdots \\ O_{n-p,1} & \cdots & O_{n-p,p} & C_{n-p,1} & \cdots & C_{n-p,n-p} \end{bmatrix}$이므로

항등행렬 $I_{n-p} \in M_{(n-p)\times (n-p)}(F)$에 대해 행렬식 정리로

$\begin{align*}f(x) &= \det([T]_\beta[x^0] - I_n[x^1]) \\[0.5em] &= \det((\lambda\cdot_p I_p)[x^0] -I_p[x^1])\cdot \det(C[x^0] - I_{n-p}[x^1]) \\[0.5em] &= ((-1_F)^p \cdot_Q (x^1 -\lambda\cdot_Q x^0)^p) \cdot \det(C[x^0] - I_{n-p}[x^1]) \\[0.5em] &= (x^1-\lambda\cdot_Q x^0)^p \cdot ((-1_F)^p\cdot_Q \det(C[x^0] - I_{n-p}[x^1])) \text{ 이 되어}\end{align*}$

$\lambda $의 중복도는 $p\le m$이고 $1\le p\le m$이다.

 

 

 

정리13

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수다항식체 $(Q(F),+_Q,\cdot,f_0(x),x^0)$와 다항식 스칼라곱 $\cdot_Q$와

$n\in \mathbb{Z}^+$차원인 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자 $T :V\to V$에 대해

$k\le n$인 $k \in \mathbb{Z}^+$개의 서로 다른 $T$의 고윳값 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k \in F$가 존재하고

$T$의 특성다항식 $f(x) \in P_n(F)$가 $n =m_1 +m_2+\cdots + m_k $인 중복가능한 $m_1,m_2,\cdots, m_k \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$f(x) = (-1_F)^n \cdot_Q ((x^1 - \lambda_1 \cdot_Q x^0)^{m_1} \cdot (x^1 - \lambda_2\cdot_Q x^0)^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot (x^1 - \lambda_k \cdot_Q x^0)^{m_k})$일때 다음이 성립한다.

1. $T$가 대각화가능하기 위한 필요충분조건은 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $m_i=\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(E_{\lambda_i})}$인 것이다.

2. $T$가 대각화가능하고 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해

$\lambda_i$에 대한 $T$의 고유공간 $(E_{\lambda_i},+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저가 $\beta_i$이면 $\beta_1\cup \beta_2\cup \cdots \cup \beta_k$는 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 기저이다.

증명

모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(E_{\lambda_i})} = d_i$이고 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(V)} =n$일때 위 정리와 부분공간 정리로 $d_i \le n$이다.

1.

$T$가 대각화가능하면

위 정리로 모든 원소가 $T$의 고유벡터인 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 기저 $\beta = \{ v_1,v_2,\cdots,v_n\}$가 존재하여

임의의 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $\beta_i = \beta \cap E_{\lambda_i}$의 원소개수가 $r_i\in \mathbb{N}$개일때

$\beta_i \subseteq \beta$이므로 일차독립 정리로 $\beta_i$는 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$에서 일차독립이고

$\beta_i \subseteq E_{\lambda_i}$이므로 생성공간 정리와 부분공간 정리와 차원의 정의로 $r_i \le d_i$이고

$m_i$는 $\lambda_i$의 중복도이므로 위 정리로 $d_i \le m_i$이다.

$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$는 $T$의 서로 다른 고윳값이고 기저의 정의로 $\beta $는 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$에서 일차독립이므로 일차독립 정리로

$i\ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots, k$에 대해 $\beta_i\cap \beta_j = (\beta\cap E_{\lambda_i})\cap (\beta\cap E_{\lambda_j}) = \beta \cap (E_{\lambda_i} \cap E_{\lambda_j}) =\beta \cap \{ \vec{0}\}= \emptyset$이고

집합정리로 $\beta_1\cup \beta_2 \cup \cdots \cup \beta_k = (\beta \cap E_{\lambda_1})\cup (\beta\cap E_{\lambda_2})\cup \cdots \cup (\beta \cap E_{\lambda_k}) = \beta \cap (E_{\lambda_1}\cup E_{\lambda_2}\cup \cdots \cup E_{\lambda_k})$이다.

$\beta \not \subseteq \beta_1\cup \beta_2\cup \cdots \cup \beta_k$라고 가정하면 $x \notin \beta_1\cup \beta_2\cup \cdots \cup \beta_k$인

$T$의 고유벡터 $x\in \beta$가 존재하여 $T(x) = \lambda\cdot_V x$이므로 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $\lambda \ne \lambda_i$인데

$f(x)$에 대한 다항함수 $f : F\to F$에 대해 위 정리와 위 정리로

$0_F = f(\lambda) = (-1_F)^n \cdot_F (\lambda - \lambda_1)^{m_1}\cdot_F (\lambda-\lambda_2)^{m_2}\cdot_F \; \cdots \; \cdot_F (\lambda -\lambda_k)^{m_k}$이므로 체 정리에 모순이다.

따라서 $\beta \subseteq \beta_1\cup \beta_2\cup \cdots \cup \beta_k$이므로 집합정리로 $\beta = \beta_1\cup \beta_2\cup \cdots \cup \beta_k$가 되어

모든 $i = 1,2,\cdots,k$에 대해 $r_i \le d_i \le m_i$임에 따라

유한집합 정리로 $n=r_1 + r_2 +\cdots +r_k \le d_1 + d_2 + \cdots +d_k \le m_1 +m_2+\cdots +m_k= n$이므로

$n=r_1 + r_2 +\cdots +r_k = d_1 + d_2 + \cdots +d_k = m_1 +m_2+\cdots +m_k= n$이고

$0\le m_i - d_i\le (m_1 - d_1) +(m_2-d_2)+\cdots +(m_k-d_k)= 0$이 되어 $m_i =d_i=\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(E_{\lambda_i})} $이다.

역으로 모든 $i = 1,2,\cdots,k$에 대해 $m_i = d_i$이고 $(E_{\lambda_i},+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저가 $\beta_i$이면

기저의 정의와 일차독립 정리로 $\beta_i \subseteq E_{\lambda_i} \setminus \{ \vec{0}\}$이므로

위 정리로 $\beta_1\cup \beta_2\cup \cdots \cup \beta_k$는 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$에서 일차독립이고

$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$는 $T$의 서로 다른 고윳값이므로 $i\ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots, k$에 대해 $\beta_i\cap \beta_j = \emptyset$이 되어

유한집합 정리로 $\beta_1\cup \beta_2\cup \cdots \cup \beta_k$는 $ d_1 + d_2 + \cdots +d_k = m_1 +m_2+\cdots +m_k= n$개의 원소를 갖고

$\beta_1\cup \beta_2\cup \cdots \cup \beta_k \subseteq V$이므로 생성공간 정리와 부분공간 정리로 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 기저이다.

2.

1번과 같이 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $m_i = d_i$이고 $\beta_1\cup \beta_2\cup \cdots \cup \beta_k$는 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 기저이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/76#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/76#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244