내적공간(Inner product space), 노름공간(Normed space)

정의1

$F \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\}$인 실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

내적공간 :

함수 $\langle\cdot,\cdot\rangle : $ $V\times V$ $ \to F$가 아래 4가지 성질을 만족하면

순서쌍 $(V,\langle\cdot, \cdot \rangle)$를 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간으로 정의하고 함수 $\langle\cdot,\cdot\rangle $를 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 내적으로 정의한다.

1. 임의의 $x,y,z\in V$에 대해 $\langle x+_V y,z \rangle = \langle x,z \rangle + \langle y, z\rangle$이다.

2. 임의의 $c\in F$와 임의의 $x,y \in V$에 대해 $\langle c\cdot_V x,y \rangle = c\cdot \langle x,y\rangle$이다.

3. 임의의 $x,y \in V$에 대한 내적의 켤레복소수는 $\overline{\langle  x,y \rangle} = \langle y,x\rangle$이다.

4. $x\ne \vec{0}$인 임의의 $x \in V$에 대해 $\langle x,x\rangle \in \mathbb{R}$이고 $\langle x,x\rangle >0$이다.

내적공간의 노름(norm) :

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot, \cdot \rangle)$이면 아래 정리로 임의의 $x \in V$에 대해 $\langle x,x\rangle \ge 0$이므로

$\lVert x\rVert = \sqrt{\langle x,x\rangle} =\langle x,x\rangle^\frac{1}{2}$인 함수 $\lVert \cdot \rVert : V \to F$를 $(V,\langle\cdot, \cdot \rangle)$의 노름 또는 길이로 정의한다. 

아래 정리로 $(V,\langle\cdot, \cdot \rangle)$의 노름을 $\lVert \cdot \rVert : V \to $ $[0,\infty)$로 표기할 수 있고

아래 정리로 $(V,\lVert \cdot \rVert)$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간이다. $\phantom{\displaystyle \sum_{i=1}^n}$

 

 

 

정리1

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot, \cdot \rangle)$과 임의의 $x,y,z\in V$와 임의의 $c \in F$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\langle x, y+_V z \rangle = \langle x,y \rangle + \langle x, z\rangle$

2. $\langle x, c\cdot_V y \rangle = \overline{c}\cdot \langle x,y\rangle$

3. $\langle x, \vec{0} \rangle = 0 = \langle \vec{0},x\rangle$

4. $\langle x,x\rangle = 0$이기 위한 필요충분조건은 $x = \vec{0}$인 것이다.

5. $\langle x,x\rangle \in \mathbb{R}$이고 $\langle x,x\rangle \ge 0$이다.

6. $\langle  x,y \rangle \in \mathbb{R}$이면 $\langle  x,y \rangle = \langle y,x\rangle$이다.

7. $c \in \mathbb{R}$이면 $\langle x, c\cdot_V y \rangle = c\cdot \langle x,y\rangle = \langle c\cdot_V x, y\rangle$이다.

8. 모든 $v\in V$에 대해 $\langle x, v \rangle = \langle y, v\rangle$이면 $x = y$이다.

9. 모든 $v\in V$에 대해 $\langle v, x \rangle = \langle v, y\rangle$이면 $x = y$이다.

증명

1.

내적공간의 성질과 켤레복소수 정리로

$\langle x, y+_V z \rangle = \overline{\langle y+_V z,x\rangle } =\overline{\langle y,x \rangle + \langle z,x \rangle} =\overline{\langle y,x\rangle }+\overline{\langle z,x\rangle} = \langle x,y \rangle + \langle x, z\rangle$이다.

2.

내적공간의 성질과 켤레복소수 정리로

$\langle x, c\cdot_V y \rangle = \overline{\langle c\cdot_V y,x\rangle} = \overline{c\cdot \langle y,x\rangle}=\overline{c}\cdot \overline{\langle y,x\rangle} = \overline{c}\cdot \langle x,y\rangle$이다.

3.

내적공간의 성질과 켤레복소수 정리와 벡터공간 정리와 2번으로

$\langle x, \vec{0} \rangle = \langle x, 0\cdot_V y\rangle = \overline{0}\cdot \langle x,y\rangle = 0\cdot \langle x,y\rangle = 0 = 0\cdot \langle y,x\rangle = \langle 0\cdot_V y,x\rangle = \langle \vec{0},x\rangle$이다.

4.

$\langle x,x\rangle = 0$일때 $x \ne \vec{0}$라고 가정하면

내적공간의 성질로 $\langle x,x\rangle > 0 = \langle x,x\rangle$이 되어 모순이므로 $x = \vec{0}$이다.

역으로 $x = \vec{0}$이면 3번으로 $\langle x,x\rangle = \langle x,\vec{0}\rangle = 0$이다.

5.

$x = \vec{0}$이면 4번으로 $\langle x,x\rangle = 0 \in \mathbb{R}$이고

$x \ne \vec{0}$이면 내적공간의 성질로 $\langle x,x\rangle \in \mathbb{R}$이고 $\langle x,x\rangle >0$이므로 모든 $x \in V$에 대해 $\langle x,x\rangle \in \mathbb{R}$이고 $\langle x,x\rangle \ge 0$이다.

6.

$\langle  x,y \rangle \in \mathbb{R}$이므로 내적공간의 성질과 켤레복소수 정리로 $\langle  x,y \rangle = \overline{\langle x,y \rangle} = \langle y,x\rangle$이다.

7.

$c \in \mathbb{R}$이므로 2번과 내적공간의 성질과 켤레복소수 정리로 $\langle x, c\cdot_V y \rangle = \overline{c}\cdot \langle x,y \rangle = c\cdot \langle x,y\rangle = \langle c\cdot_V x, y\rangle$이다.

8.

모든 $v\in V$에 대해 $\langle x, v \rangle = \langle y, v\rangle$이므로 내적공간의 성질로

$\langle x-y,v \rangle =\langle x+_V(-1)\cdot_V y,v\rangle =\langle x,v\rangle +\langle (-1)\cdot_V y,v\rangle  =\langle x,v \rangle +(-1)\cdot\langle y,v\rangle =\langle x, v \rangle - \langle y, v\rangle = 0$이 되어

$\langle x-y,x-y \rangle = 0$이고 4번으로 $x-y =\vec{0}$이므로 $x = y$이다.

9. 

모든 $v\in V$에 대해 $\langle v, x \rangle = \langle v, y\rangle$이므로 1, 7번으로

$\langle v, x-y \rangle = \langle v, x+_V(-1)\cdot_Vy\rangle = \langle v,x\rangle + \langle v,(-1)\cdot_V y\rangle=\langle v,x\rangle +(-1)\cdot\langle v,y\rangle =\langle v,x \rangle - \langle v,y\rangle = 0$이 되어

$\langle x-y,x-y \rangle = 0$이고 4번으로 $x-y =\vec{0}$이므로 $x = y$이다.

 

 

 

정리2

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$이고 임의의 양의 정수가 $n \in \mathbb{Z}^+$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot, \cdot \rangle)$과 모든 $v_1,v_2,\cdots, v_n,x\in V$와 $a_1,a_2,\cdots,a_n \in F$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\langle a_1\cdot_Vv_1+_V , a_2\cdot_V v_2+_V\cdots +_V a_n\cdot_V v_n,x\rangle = a_1\cdot \langle v_1,x \rangle + a_2\cdot \langle v_2, x\rangle + \cdots +a_n\cdot \langle v_n,x\rangle $

2. $\langle x,a_1\cdot_Vv_1+_V , a_2\cdot_V v_2+_V\cdots +_V a_n\cdot_V v_n\rangle = \overline{a_1}\cdot \langle x,v_1 \rangle + \overline{a_2}\cdot \langle x,v_2\rangle + \cdots +\overline{a_n}\cdot \langle x,v_n\rangle $

증명

1.

$n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 1$이면 내적공간의 성질로 $\langle a_1\cdot_V v_1,x\rangle = a_1\cdot \langle v_1,x\rangle$이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 내적공간의 성질과 귀납가정으로

$\begin{align*}\langle a_1\cdot_Vv_1+_V , a_2\cdot_V v_2+_V\cdots +_V a_k\cdot_V v_k+_Va_{k+1}\cdot_V v_{k+1},x\rangle & = \langle a_1\cdot_Vv_1+_V , a_2\cdot_V v_2+_V\cdots +_V a_k\cdot_V v_k,x\rangle+\langle a_{k+1}\cdot_V v_{k+1},x\rangle \\[0.5em]& = a_1\cdot \langle v_1,x \rangle + a_2\cdot \langle v_2, x\rangle + \cdots +a_k\cdot \langle v_k,x\rangle +a_{k+1}\cdot\langle v_{k+1},x\rangle \text{ 이다.}\end{align*}$

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

2.

$n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 1$이면 위 정리로 $\langle x,a_1\cdot_V v_1\rangle = \overline{a_1}\cdot \langle x,v_1\rangle$이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 위 정리와 귀납가정으로

$\begin{align*}\langle x, a_1\cdot_Vv_1+_V , a_2\cdot_V v_2+_V\cdots +_V a_k\cdot_V v_k+_Va_{k+1}\cdot_V v_{k+1}\rangle &= \langle x, a_1\cdot_Vv_1+_V , a_2\cdot_V v_2+_V\cdots +_V a_k\cdot_V v_k\rangle +\langle x, a_{k+1}\cdot_V v_{k+1}\rangle \\[0.5em]& = \overline{a_1}\cdot \langle x,v_1 \rangle + \overline{a_2}\cdot \langle x,v_2\rangle + \cdots +\overline{a_k}\cdot \langle x,v_k\rangle +\overline{a_{k+1}}\cdot\langle x,v_{k+1}\rangle \text{ 이다.}\end{align*}$

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리3

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 임의의 기저가 $\beta$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot, \cdot \rangle)$와 임의의 $x,y \in V$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $v \in \beta$에 대해 $\langle x,v \rangle =\langle y,v\rangle$이면 $x = y$이다.

2. 모든 $v \in \beta$에 대해 $\langle v,x \rangle =\langle v,y\rangle$이면 $x = y$이다.

증명

기저의 정의로 $V = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\beta)}$이므로 생성집합의 정의로 모든 $z \in V$는 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$z = a_1\cdot_V v_1+_Va_2\cdot_V v_2 +_V\cdots +_V a_n\cdot_V v_n$인 $a_1,a_2,\cdots,a_n\in F$과 $v_1,v_2,\cdots,v_n \in \beta$이 존재한다.

1.

모든 $i= 1,2,\cdots,n$에 대해 $\langle x,v_i \rangle =\langle y,v_i\rangle$이므로 위 정리로

$\begin{align*} \langle x,z \rangle & = \langle x,a_1\cdot_V v_1+_Va_2\cdot_V v_2+_V\cdots+_V a_n\cdot_V v_n\rangle \\[0.5em] & = \overline{a_1}\cdot \langle x, v_1\rangle+\overline{a_2}\cdot \langle x, v_2\rangle+\cdots+\overline{a_n}\cdot \langle x, v_n\rangle \\[0.5em] & = \overline{a_1}\cdot \langle y, v_1\rangle+\overline{a_2}\cdot \langle y, v_2\rangle+\cdots+\overline{a_n}\cdot \langle y, v_n\rangle \\[0.5em] & = \langle y,a_1\cdot_V v_1+_Va_2\cdot_V v_2+_V\cdots+_V a_n\cdot_V v_n\rangle \\[0.5em] & =\langle y,z\rangle \text{ 가 되어} \end{align*}$

위 정리로 $x = y$이다.

2.

모든 $i= 1,2,\cdots,n$에 대해 $\langle v_i,x \rangle =\langle v_i,y\rangle$이므로 위 정리로

$\begin{align*} \langle z,x \rangle & = \langle a_1\cdot_V v_1+_Va_2\cdot_V v_2+_V\cdots+_V a_n\cdot_V v_n,x\rangle \\[0.5em] & = a_1\cdot \langle  v_1,x\rangle+a_2\cdot \langle  v_2,x\rangle+\cdots+a_n\cdot \langle  v_n,x\rangle \\[0.5em] & = a_1\cdot \langle  v_1,y\rangle+a_2\cdot \langle v_2,y\rangle+\cdots+a_n\cdot \langle v_n,y\rangle \\[0.5em] & = \langle a_1\cdot_V v_1+_Va_2\cdot_V v_2+_V\cdots+_V a_n\cdot_V v_n,y\rangle \\[0.5em] & =\langle z,y\rangle \text{ 가 되어} \end{align*}$

위 정리로 $x = y$이다.

 

 

 

정의2

$F \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\}$인 실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

1. 임의의 $x,y\in V$에 대해 $\lVert x+_V y\rVert \le \lVert x \rVert + \lVert y\rVert$이다.

2. 임의의 $x \in V$와 임의의 $c \in F$에 대해 $\lVert c\cdot_V x \rVert = $ $|c|$$\;\cdot\; \lVert x\rVert$이다.

3. $x\ne \vec{0}$인 임의의 $x \in V$에 대해 $\lVert x \rVert > 0$이다.

반노름(seminorm) :

함수 $\lVert\cdot \rVert : V \to$ $[0,\infty)$가 위 1, 2번을 만족하면

순서쌍 $(V,\lVert\cdot \rVert)$를 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 반노름공간으로 정의하고 함수 $\lVert\cdot \rVert $를 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 반노름으로 정의한다.

노름(norm) :

함수 $\lVert\cdot \rVert : V \to [0,\infty)$가 위 1, 2, 3번을 모두 만족하면

순서쌍 $(V,\lVert\cdot \rVert)$를 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간으로 정의하고 함수 $\lVert\cdot \rVert $를 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 노름으로 정의한다.

아래 정리로 모든 $x,y \in V$가 $d(x,y) =\lVert x-y\rVert$인 함수 $d:V\times V\to [0,\infty)$에 대해 $(V,d)$는 거리공간이다.

 

 

 

정리4

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 반노름공간 $(V,\lVert \cdot\rVert)$와 임의의 $x,y \in V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\lVert x-y \rVert = \lVert y-x\rVert$

2. $-\lVert x- y\rVert \le \lVert x \rVert - \lVert y \rVert \le \lVert x-y\rVert$

3. $x = \vec{0}$이면 $\lVert x\rVert = 0$이다.

4. $(V,\lVert \cdot\rVert)$가 노름공간일때 $\lVert x\rVert = 0$이기 위한 필요충분조건은 $x = \vec{0}$인 것이다.

5. $(V,\lVert \cdot\rVert)$가 노름공간일때 $x\ne \vec{0}$이면 $\left \lVert \lVert x\rVert^{-1} \cdot_V x \right \rVert  =1$이다.

증명

1.

반노름공간의 성질과 실수 절댓값의 정의과 벡터공간의 성질로

$\lVert x-y \rVert = \lVert x +_V (-1)\cdot_V y\rVert = \lVert (-1)\cdot_V ((-1)\cdot_V x +_V y)\rVert =|-1|\cdot \lVert (-1)\cdot_V x +_V y\rVert =1\cdot \lVert y-x \rVert  = \lVert y-x\rVert \text{ 이다.}$

2.

반노름공간의 성질로 $ \lVert x\rVert =\lVert (x -y) +_V y \rVert \le \lVert x-y\rVert + \lVert y \rVert$이므로 $\lVert x \rVert - \lVert y \rVert \le \lVert x-y\rVert$이고

반노름공간의 성질로 $ \lVert y\rVert =\lVert (y -x) +_V x \rVert \le \lVert y-x\rVert + \lVert x \rVert$이므로 $\lVert y \rVert - \lVert x \rVert \le \lVert y-x\rVert$가 되어

1번으로 $-\lVert x-y\rVert = -\lVert y-x\rVert \le \lVert x\rVert -\lVert y \rVert \le \lVert x-y\rVert$이다.

3.

$x = \vec{0}$이면 벡터공간 정리와 반노름공간의 성질과 실수 절댓값의 정의로

$\lVert x\rVert = \lVert \vec{0} \rVert = \lVert 0\cdot_V \vec{0} \rVert = |0|\cdot \lVert \vec{0}\rVert = 0\cdot \lVert \vec{0} \rVert= 0$이다.

4.

$\lVert x\rVert = 0$일때 $x \ne \vec{0}$라고 가정하면 노름공간의 성질로 $\lVert x \rVert >0=\lVert x \rVert$가 되어 모순이므로 $x =\vec{0}$이다.

역으로 $x = \vec{0}$이면 3번으로 $\lVert x\rVert = 0$이다.

5.

$x\ne \vec{0}$이면 노름공간의 성질로 $\lVert x\rVert >0$이므로 부등식 정리로 $\lVert x\rVert^{-1} >0$이 되어

노름공간의 성질과 실수 절댓값의 정의로 $\left \lVert \lVert x\rVert^{-1} \cdot_V x \right \rVert = \left|\lVert x \rVert^{-1}\right|\cdot \lVert x \rVert =\lVert x \rVert^{-1}\cdot \lVert x \rVert   =1$이다.

 

 

 

정리5

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간이 $(V,\lVert \cdot\rVert)$일때

모든 $x,y \in V$가 $d(x,y) = \lVert x-y \rVert$인 함수 $d : V\times V \to [0,\infty)$에 대해 $(V,d)$는 거리공간이다.

증명

아래 거리공간의 성질을 모두 만족하므로 $(V,d)$는 거리공간이다.

1.

위 정리로 $d(x,x) = \lVert x-x \rVert = \lVert \vec{0}\rVert = 0$이다.

2.

$x\ne y$이면 $x-y \ne \vec{0}$이므로 노름공간의 성질로 $d(x,y) = \lVert x-y \rVert > 0$이다.

3.

위 정리로 $d(x,y) = \lVert x-y \rVert = \lVert y-x \rVert = d(y,x)$이다.

4.

임의의 $x,y,z \in V$에 대해 노름공간의 성질로

$d(x,z) = \lVert x-z\rVert = \lVert (x-y) +_V (y-z) \rVert \le \lVert x-y \rVert +\lVert y-z \rVert = d(x,y) +d(y,z)$이다.

 

 

 

정리6

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot, \cdot \rangle)$일때

$(V,\langle\cdot, \cdot \rangle)$의 노름 $\lVert \cdot \rVert : V \to F$와 임의의 $x,y \in V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\lVert x \rVert \in \mathbb{R}$이고 $\lVert x \rVert \ge 0$이다.

2. $\lVert x \rVert = 0$이기 위한 필요충분조건은 $x = \vec{0}$인 것이다.

3. $|\langle x,y\rangle|\le \lVert x\rVert \cdot \lVert y\rVert$

4. $\lVert x+_V y\rVert^2 = \lVert x \rVert^2 + 2\cdot \,$$\operatorname{Re}$$(\langle x,y \rangle) + \lVert y \rVert^2$

5. $\lVert x- y\rVert^2 = \lVert x \rVert^2 - 2\cdot \operatorname{Re}(\langle x,y \rangle) + \lVert y \rVert^2$

6. $\lVert x+_V y\rVert \le \lVert x \rVert + \lVert y \rVert$

7. $\lVert x+_V y\rVert^2 + \lVert x-y\rVert^2= 2\cdot\lVert x \rVert^2 + 2\cdot \lVert y \rVert^2$

8. $\langle x,y \rangle \in \mathbb{R}$이면 $\langle x,y \rangle = \dfrac{\lVert x+_V y\rVert^2 - \lVert x - y\rVert^2}{4}$이다.

9. $F =\mathbb{C}$이면 허수 $i \in \mathbb{C}$에 대해 $\langle x,y \rangle =\dfrac{1}{4}\cdot \displaystyle \sum_{k =1}^4 i^k \cdot \lVert x+_V i^k\cdot_V y\rVert^2$이다.

10. $\lVert x \rVert = 1$이기 위한 필요충분조건은 $\langle x,x \rangle = 1$인 것이다.

증명

1.

내적공간 노름의 정의와 위 정리와 실수 거듭제곱의 정의와 실수 거듭제곱 정리로

$\lVert x\rVert = \sqrt{\langle x,x \rangle} = \langle x,x \rangle^\frac{1}{2} \in \mathbb{R}$이고 $\lVert x\rVert = \sqrt{\langle x,x\rangle} =\langle x,x\rangle^\frac{1}{2}\ge 0$이다.

2.

$\lVert x\rVert= 0$이면

내적공간 노름의 정의로 $ \langle x,x \rangle^\frac{1}{2} =\lVert x\rVert = 0$이므로 실수 거듭제곱의 정의와 실수 거듭제곱 정리로

$\langle x,x \rangle = (\langle x,x \rangle^\frac{1}{2})^2 =0^2 = 0$이 되어 위 정리로 $x = \vec{0}$이다.

역으로 $x = \vec{0}$이면 내적공간 노름의 정의와 위 정리와 실수 거듭제곱의 정의로 $\lVert x\rVert = \langle x,x\rangle^\frac{1}{2} = 0^\frac{1}{2}= 0$이다.

3.

$y =\vec{0}$이면 위 정리와 2번으로 $|\langle x,y\rangle| = |0| = 0 = \lVert x \rVert \cdot 0 = \lVert x\rVert \cdot \lVert y\rVert$이다.

$y \ne \vec{0}$이면 위 정리와 위 정리로

$\begin{align*}0\le \langle x-c\cdot_V y,x-c\cdot_V y\rangle &= \langle x,x-c\cdot_V y\rangle -c\cdot \langle y,x-c\cdot_V y\rangle \\[0.5em]& = \langle x,x\rangle - \overline{c}\cdot \langle x,y\rangle-c\cdot (\langle y,x\rangle -\overline{c} \cdot \langle y,y\rangle ) \\[0.5em]& = \langle x,x\rangle - \overline{c}\cdot \langle x,y\rangle-c\cdot \langle y,x\rangle +c\cdot \overline{c} \cdot \langle y,y\rangle \text{ 이고} \end{align*}$

내적공간 노름의 정의와 위 정리로 $\lVert x \rVert^2 =\langle x,x \rangle \ge 0$와 $\lVert y \rVert^2 =\langle y,y \rangle > 0$이 성립하므로

$c = \dfrac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}$일때 켤레복소수 정리와 절댓값 정리로

$\begin{align*} \langle x,x\rangle - \overline{c}\cdot \langle x,y\rangle-c\cdot \langle y,x\rangle +c\cdot \overline{c} \cdot \langle y,y\rangle & = \langle x,x\rangle - \overline{\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}}\cdot \langle x,y\rangle-\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}\cdot \langle y,x\rangle +\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}\cdot \overline{\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}} \cdot \langle y,y\rangle \\[0.5em]& = \langle x,x\rangle - \frac{\overline{\langle x,y\rangle}}{\overline{\langle y,y\rangle}}\cdot \langle x,y\rangle-\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}\cdot \langle y,x\rangle +\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}\cdot \frac{\overline{\langle x,y\rangle}}{\overline{\langle y,y\rangle}} \cdot \langle y,y\rangle \\[0.5em]& = \langle x,x\rangle - \frac{\overline{\langle x,y\rangle}}{\langle y,y\rangle}\cdot \langle x,y\rangle-\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}\cdot \overline{\langle x,y\rangle} +\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}\cdot \frac{\overline{\langle x,y\rangle}}{\langle y,y\rangle} \cdot \langle y,y\rangle \\[0.5em]& = \lVert x \rVert^2 - \frac{\overline{\langle x,y\rangle}}{\lVert y \rVert^2 }\cdot \langle x,y\rangle-\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}\cdot \overline{\langle x,y\rangle} +\frac{\langle x,y\rangle}{\langle y,y\rangle}\cdot \overline{\langle x,y\rangle} \\[0.5em]& = \lVert x \rVert^2 - \frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\lVert y \rVert^2 } \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 $\lVert x \rVert^2 - \dfrac{|\langle x,y\rangle|^2}{\lVert y \rVert^2 } \ge 0 $이므로 부등식 정리로 $\lVert x \rVert^2 \ge \dfrac{|\langle x,y\rangle|^2}{\lVert y \rVert^2 } $이고 $\lVert x \rVert^2 \cdot \lVert y\rVert^2 \ge |\langle x,y\rangle|^2$이 되어

실수 거듭제곱의 정의와 실수 거듭제곱 정리와 실수 거듭제곱 정리와 실수 거듭제곱 정리로

$\lVert x\rVert \cdot \lVert y \rVert=(\lVert x\rVert^2)^\frac{1}{2}\cdot (\lVert y\rVert^2)^\frac{1}{2} =(\lVert x \rVert^2 \cdot \lVert y\rVert^2)^\frac{1}{2} \ge (|\langle x,y\rangle|^2)^\frac{1}{2} =|\langle x,y \rangle|$이다.

4.

위 정의와 위 정리와 켤레복소수의 정의, 복소수 정리, 실수 거듭제곱의 정의, 실수 거듭제곱 정리로

$\begin{align*} \lVert x+_V y\rVert^2 & = (\langle x+_V y,x+_V y\rangle^\frac{1}{2})^2 \\[0.5em] & = \langle x+_V y,x+_V y\rangle \\[0.5em] & = \langle x,x+_V y\rangle + \langle y,x+_V y\rangle \\[0.5em] & = \langle x,x\rangle + \langle x,y\rangle + \langle y,x\rangle+ \langle y, y\rangle \\[0.5em] & = \lVert x\rVert^2 + \langle x,y\rangle + \overline{\langle x,y\rangle}+ \lVert y\rVert^2 \\[0.5em] & = \lVert x\rVert^2 + \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x,y\rangle) + \overline{\operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x,y\rangle)}+ \lVert y\rVert^2 \\[0.5em] & = \lVert x\rVert^2 + \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x,y\rangle) + \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) - i\cdot \operatorname{Im}(\langle x,y\rangle)+ \lVert y\rVert^2 \\[0.5em] & = \lVert x\rVert^2 + 2\cdot \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) + \lVert y\rVert^2 \text{ 이다.} \end{align*}$

5.

위 정의와 위 정리와 켤레복소수의 정의, 복소수 정리, 실수 거듭제곱의 정의, 실수 거듭제곱 정리로

$\begin{align*} \lVert x- y\rVert^2 & = (\langle x-y,x-y\rangle^\frac{1}{2})^2 \\[0.5em] & = \langle x- y,x- y\rangle \\[0.5em] & = \langle x,x- y\rangle - \langle y,x- y\rangle \\[0.5em] & = \langle x,x\rangle - \langle x,y\rangle - (\langle y,x\rangle- \langle y, y\rangle) \\[0.5em]& =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle \\[0.5em] & = \lVert x\rVert^2 - \langle x,y\rangle - \overline{\langle x,y\rangle}+ \lVert y\rVert^2 \\[0.5em] & = \lVert x\rVert^2 -( \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x,y\rangle)) - \overline{(\operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x,y\rangle))}+ \lVert y\rVert^2 \\[0.5em] & = \lVert x\rVert^2 - \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) - i\cdot \operatorname{Im}(\langle x,y\rangle) - (\operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) - i\cdot \operatorname{Im}(\langle x,y\rangle))+ \lVert y\rVert^2 \\[0.5em] & = \lVert x\rVert^2 - \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) - i\cdot \operatorname{Im}(\langle x,y\rangle) - \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x,y\rangle)+ \lVert y\rVert^2 \\[0.5em] & = \lVert x\rVert^2 - 2\cdot \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) + \lVert y\rVert^2 \text{ 이다.} \end{align*}$

6.

3, 4번과 부등식 정리로

$\begin{align*}\lVert x+_V y\rVert^2 = \lVert x\rVert^2 + 2\cdot \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) +\lVert y\rVert^2 &\le \lVert x\rVert^2+2\cdot |\langle x,y\rangle| +\lVert y\rVert^2\\[0.5em]&\le  \lVert x\rVert^2 +2\cdot \lVert x\rVert \cdot \lVert y\rVert +\lVert y\rVert^2 = (\lVert x \rVert + \lVert y \rVert)^2 \text{ 이므로}\end{align*}$

실수 거듭제곱의 정의와 실수 거듭제곱 정리와 실수 거듭제곱 정리로

$ \lVert x+_V y\rVert=(\lVert x+_V y\rVert^2)^\frac{1}{2} \le ((\lVert x \rVert + \lVert y \rVert)^2)^\frac{1}{2} = \lVert x\rVert +\lVert y\rVert$이다.

7.

4, 5번으로

$ \lVert x+_V y\rVert^2 + \lVert x-y\rVert^2 = \lVert x\rVert^2 + 2\cdot \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) + \lVert y\rVert^2 +\lVert x\rVert^2 - 2\cdot \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) + \lVert y\rVert^2 = 2\cdot\lVert x \rVert^2 + 2\cdot \lVert y \rVert^2 \text{ 이다.}$

8.

$\langle x,y \rangle \in \mathbb{R}$이므로 $\operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) = \langle x,y\rangle$이 되어 4, 5번으로

$\begin{align*} \frac{\lVert x+_V y\rVert^2 - \lVert x - y\rVert^2}{4} & = \frac{1}{4}\cdot (\lVert x+_V y\rVert^2 - \lVert x - y\rVert^2) \\[0.5em] & = \frac{1}{4}\cdot ( \lVert x\rVert^2 + 2\cdot \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) + \lVert y\rVert^2 -\lVert x\rVert^2 + 2\cdot \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) - \lVert y\rVert^2) \\[0.5em] & = \frac{1}{4}\cdot 4\cdot \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) \\[0.5em] & = \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) \\[0.5em] & = \langle x,y\rangle \text{ 이다.} \end{align*}$

9.

복소수 정리로 $i^2 = -1$이므로 $i^3 = i^2\cdot i = -1\cdot i = -i$와 $i^4 = i^2\cdot i^2 = (-1)\cdot (-1) = 1$이 성립하여

위 정의와 위 정리와 켤레복소수의 정의와 복소수 정리로

$\begin{align*} i^1\cdot \lVert x+_V i^1\cdot_Vy\rVert^2 & = i\cdot \lVert x+_V i\cdot_Vy\rVert^2 \\[0.5em] & = i\cdot \langle x+_V i\cdot_V y, x+_V i\cdot_Vy\rangle \\[0.5em] & = i\cdot (\langle x, x+_V i\cdot_Vy\rangle +i\cdot \langle y, x+_V i\cdot_Vy\rangle) \\[0.5em] & = i\cdot (\langle x, x\rangle +\overline{i}\cdot \langle x, y\rangle +i\cdot (\langle y, x\rangle + \overline{i}\cdot \langle y, y\rangle ) ) \\[0.5em] & = i\cdot (\langle x, x\rangle -i\cdot \langle x, y\rangle +i\cdot (\langle y, x\rangle -i\cdot \langle y, y\rangle ) ) \\[0.5em] & = i\cdot (\langle x, x\rangle -i\cdot \langle x, y\rangle +i\cdot \langle y, x\rangle -i^2\cdot \langle y, y\rangle ) \\[0.5em] & = i\cdot \langle x, x\rangle -i^2\cdot \langle x, y\rangle +i^2\cdot \langle y, x\rangle -i^3\cdot \langle y, y\rangle \\[0.5em] & = i\cdot \langle x, x\rangle + \langle x, y\rangle -\langle y, x\rangle +i\cdot \langle y, y\rangle \\[0.5em] & = i\cdot \langle x, x\rangle +i\cdot \langle y, y\rangle + \langle x, y\rangle - \overline{\langle x,y \rangle} \\[0.5em] & = i\cdot (\langle x, x\rangle +\langle y, y\rangle) + \operatorname{Re}(\langle x, y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x, y\rangle) - \overline{(\operatorname{Re}(\langle x, y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x, y\rangle))} \\[0.5em] & = i\cdot (\lVert x\rVert^2 +\lVert y\rVert^2 ) + \operatorname{Re}(\langle x, y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x, y\rangle) - (\operatorname{Re}(\langle x, y\rangle) - i\cdot \operatorname{Im}(\langle x, y\rangle)) \\[0.5em] & = i\cdot (\lVert x\rVert^2 +\lVert y\rVert^2 ) + \operatorname{Re}(\langle x, y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x, y\rangle) - \operatorname{Re}(\langle x, y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x, y\rangle) \\[0.5em] & = i\cdot (\lVert x\rVert^2 +\lVert y\rVert^2 ) + 2\cdot i\cdot \operatorname{Im}(\langle x, y\rangle) \text{ 이고} \end{align*} $

5번으로 $ i^2\cdot \lVert x+_V i^2\cdot_Vy\rVert^2  = -1\cdot \lVert x+_V (-1)\cdot_Vy\rVert^2  = -\lVert x-y\rVert^2 = -\lVert x\rVert +2\cdot \operatorname{Re}(\langle x,y \rangle) -\lVert y\rVert  $이고

$\begin{align*} i^3\cdot \lVert x+_V i^3\cdot_Vy\rVert^2 & = -i\cdot \lVert x+_V (-i)\cdot_Vy\rVert^2 \\[0.5em]& =-i\cdot \lVert x-i\cdot_V y\rVert^2 \\[0.5em] & = -i\cdot \langle x- i\cdot_V y, x- i\cdot_Vy\rangle \\[0.5em] & = -i\cdot (\langle x, x- i\cdot_Vy\rangle -i\cdot \langle y, x- i\cdot_Vy\rangle) \\[0.5em] & = -i\cdot (\langle x, x\rangle -\overline{i}\cdot \langle x, y\rangle -i\cdot (\langle y, x\rangle - \overline{i}\cdot \langle y, y\rangle ) ) \\[0.5em] & = -i\cdot (\langle x, x\rangle +i\cdot \langle x, y\rangle -i\cdot (\langle y, x\rangle +i\cdot \langle y, y\rangle ) ) \\[0.5em] & = -i\cdot (\langle x, x\rangle +i\cdot \langle x, y\rangle -i\cdot \langle y, x\rangle -i^2\cdot \langle y, y\rangle ) \\[0.5em] & = -i\cdot \langle x, x\rangle -i^2\cdot \langle x, y\rangle +i^2\cdot \langle y, x\rangle +i^3\cdot \langle y, y\rangle \\[0.5em] & = -i\cdot \langle x, x\rangle + \langle x, y\rangle -\langle y, x\rangle -i\cdot \langle y, y\rangle \\[0.5em] & = -i\cdot \langle x, x\rangle -i\cdot \langle y, y\rangle + \langle x, y\rangle - \overline{\langle x,y \rangle} \\[0.5em] & = -i\cdot (\langle x, x\rangle +\langle y, y\rangle) + \operatorname{Re}(\langle x, y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x, y\rangle) - \overline{(\operatorname{Re}(\langle x, y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x, y\rangle))} \\[0.5em] & = -i\cdot (\lVert x\rVert^2 +\lVert y\rVert^2 ) + \operatorname{Re}(\langle x, y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x, y\rangle) - (\operatorname{Re}(\langle x, y\rangle) - i\cdot \operatorname{Im}(\langle x, y\rangle)) \\[0.5em] & = -i\cdot (\lVert x\rVert^2 +\lVert y\rVert^2 ) + \operatorname{Re}(\langle x, y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x, y\rangle) - \operatorname{Re}(\langle x, y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x, y\rangle) \\[0.5em] & = -i\cdot (\lVert x\rVert^2 +\lVert y\rVert^2 ) + 2\cdot i\cdot \operatorname{Im}(\langle x, y\rangle) \text{ 이고} \end{align*} $

4번으로 $ i^4\cdot \lVert x+_V i^4\cdot_Vy\rVert^2  = 1\cdot \lVert x+_V 1\cdot_Vy\rVert^2  = \lVert x+_Vy\rVert^2 = \lVert x\rVert +2\cdot \operatorname{Re}(\langle x,y \rangle) +\lVert y\rVert  $이므로

$\begin{align*} \frac{1}{4}\cdot \sum_{k =1}^4 i^k \cdot \lVert x+_V i^k\cdot_V y\rVert^2 = \frac{1}{4}\cdot (4\cdot \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) + 4\cdot i \cdot \operatorname{Im}(\langle x,y\rangle) ) = \operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) + i\cdot \operatorname{Im}(\langle x,y\rangle) = \langle x,y\rangle \text{ 이다.} \end{align*}$

10. 

$\lVert x \rVert = 1$이면 내적공간 노름의 정의로

$1=\lVert x \rVert = \langle x,x\rangle^\frac{1}{2}$이므로 실수 거듭제곱 정리와 실수 거듭제곱 정리로 $\langle x,x\rangle = (\langle x,x\rangle^\frac{1}{2})^2 = 1^2 = 1$이다.

역으로 $\langle x,x\rangle  = 1$이면 내적공간 노름의 정의와 실수 거듭제곱 정리로 $\lVert x \rVert =\langle x,x\rangle^\frac{1}{2} =1^\frac{1}{2} = 1$이다.

 

 

 

정리7

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot, \cdot \rangle)$일때

$(V,\langle\cdot, \cdot \rangle)$의 노름 $\lVert \cdot \rVert : V \to F$에 대해 $(V,\lVert \cdot\rVert)$은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간이다.

증명

아래 노름공간의 성질을 모두 만족하므로 $(V,\lVert \cdot\rVert)$은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간이다.

1.

위 정리로 임의의 $x,y\in V$에 대해 $\lVert x+_V y\rVert \le \lVert x \rVert + \lVert y \rVert$이다.

2.

내적공간 노름의 정의와 위 정리와 절댓값 정리와 실수 거듭제곱의 정의, 실수 거듭제곱 정리, 실수 거듭제곱 정리로

임의의 $x \in V$와 임의의 $c \in F$에 대해

$\lVert c\cdot_V x \rVert = \sqrt{\langle c\cdot_V x,c\cdot_V x\rangle} = \sqrt{ c\cdot \overline{c} \cdot \langle x,x\rangle } =\sqrt{|c|^2\cdot \langle x,x\rangle } = \sqrt{|c|^2}\cdot \sqrt{\langle x,x\rangle} = |c|\cdot \lVert x\rVert $이다.

3.

위 정리로 $x\ne \vec{0}$인 임의의 $x \in V$에 대해 $\lVert x \rVert \ne 0$이고 $\lVert x \rVert \ge 0$이므로 $\lVert x \rVert > 0$이다.

 

 

 

정의3

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$의 임의의 행렬이 $A \in M_{m\times n}(F)$일때

켤레행렬(conjugate matrix) :

모든 $i = 1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$\overline{A}_{i,j} = $ $\overline{A_{i,j}}$인 행렬 $\overline{A} \in M_{m\times n}(F)$를 $A$의 켤레행렬로 정의한다.

켤레전치행렬(conjugate transpose) :

$A$의 전치행렬 $A^t\in M_{n\times m}(F)$에 대해 $A^* = \overline{A^t}$인 행렬 $A^*\in M_{n\times m}(F)$를 $A$의 켤레전치행렬로 정의한다.

 

 

 

정리10

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의

행렬 벡터공간 $(M_{m\times n}(F),+_M,\cdot_M,O)$와 행렬곱 $\bullet$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $A \in M_{m\times n}(F)$에 대해 $\overline{\overline{A}} = A$이다.

2. 임의의 $A,B \in M_{m\times n}(F)$와 임의의 $a,b \in F$에 대해 $\overline{a\cdot_M A +_M b\cdot_M B} = \overline{a}\cdot_M \overline{A} +_M \overline{b}\cdot_M \overline{B}$이다.

3. 임의의 $A \in M_{m\times n}(F)$와 임의의 $B \in M_{n\times p}(F)$에 대해 $\overline{A\bullet B} =\overline{A}\bullet \overline{B}$이다.

4. 임의의 $A \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $\operatorname{tr}$$(\overline{A}) = \overline{\operatorname{tr}(A)}$이다.

5. 임의의 $A \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$에 대해 $\overline{A} = A$이다.

6. 임의의 $A \in M_{n\times n}(F)$가 가역이면 켤레행렬 $\overline{A}$도 가역이고 $(\overline{A})^{-1} = \overline{A^{-1}}$이다.

7. 임의의 $A \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $\det$$(\overline{A}) = \overline{\det(A)}$이다.

증명

1.

켤레행렬의 정의와 켤레복소수 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$\overline{\overline{A}}_{i,j} = \overline{\overline{A}_{i,j}} =\overline{\overline{A_{i,j}}} = A_{i,j}$가 되어 행렬의 상등으로 $\overline{\overline{A}} = A$이다.

2.

켤레행렬의 정의와 켤레복소수 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$\begin{align*}(\overline{a\cdot_M A +_M b\cdot_M B})_{i,j} &= \overline{(a\cdot_M A +_M b\cdot_M B)_{i,j}} \\[0.5em]&= \overline{a\cdot A_{i,j} + b\cdot B_{i,j}} \\[0.5em]&= \overline{a}\cdot \overline{A_{i,j}} + \overline{b}\cdot \overline{B_{i,j}}\\[0.5em]& = \overline{a}\cdot \overline{A}_{i,j} + \overline{b}\cdot \overline{B}_{i,j} \\[0.5em]& =(\overline{a}\cdot_M \overline{A})_{i,j} + (\overline{b}\cdot_M \overline{B})_{i,j}\\[0.5em]&= (\overline{a}\cdot_M \overline{A} +_M \overline{b}\cdot_M \overline{B})_{i,j}\text{ 가 되어}\end{align*}$

행렬의 상등으로 $\overline{a\cdot_M A +_M b\cdot_M B} = \overline{a}\cdot_M \overline{A} +_M \overline{b}\cdot_M \overline{B}$이다.

3.

켤레행렬의 정의와 켤레복소수 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots, p$에 대해

$\begin{align*}(\overline{A\bullet B})_{i,j} = \overline{(A\bullet B)_{i,j}} = \overline{\sum_{k = 1}^n A_{i,k}\cdot B_{k,j}} =\sum_{k= 1}^n \overline{A_{i,k}\cdot B_{k,j}} = \sum_{k=1}^n \overline{A_{i,k}}\cdot \overline{B_{k,j}} = \sum_{k=1}^n \overline{A}_{i,k}\cdot \overline{B}_{k,j} =(\overline{A}\bullet \overline{B})_{i,j} \text{가 되어}\end{align*}$

행렬의 상등으로 $\overline{A\bullet B} =\overline{A}\bullet \overline{B}$이다.

4.

켤레행렬의 정의와 켤레복소수 정리로 $\begin{align*}\operatorname{tr}(\overline{A}) = \sum_{i =1}^n \overline{A}_{i,i} = \sum_{i=1}^n\overline{A_{i,i}} =\overline{\sum_{i=1}^n A_{i,i}} = \overline{\operatorname{tr}(A)} \end{align*}$이다.

5.

$A \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$는 모든 $i = 1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $A_{i,j} \in \mathbb{R}$이므로

켤레행렬의 정의와 켤레복소수 정리로 $\overline{A}_{i,j} = \overline{A_{i,j}} = A_{i,j}$가 되어 행렬의 상등으로 $\overline{A} = A$이다.

6.

$A \in M_{n\times n}(F)$는 가역이므로 $A$의 역행렬 $A^{-1} \in M_{n\times n}(F)$이 존재하여 

항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $A\bullet A^{-1} = I_n$이고 $I_n \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$이므로

3, 5번으로 $I_n = \overline{I_n} = \overline{A\bullet A^{-1}} = \overline{A}\bullet \overline{A^{-1}}$이 되어 행렬정리로 $\overline{A}$는 가역이고 $(\overline{A})^{-1} = \overline{A^{-1}}$이다.

7.

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n= 1$이면 행렬식의 정의와 켤레행렬의 정의로 $\det(\overline{A}) = \overline{A}_{1,1} =\overline{A_{1,1}} = \overline{\det(A)}$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때

임의의 $A \in M_{(k+1)\times (k+1)}(F)$는 임의의 $j = 1,2,\cdots, k,k+1$에 대해 $\widetilde{\overline{A}}_{1,j} = \overline{\widetilde{A}_{1,j}}\in M_{k\times k}(F)$이므로

귀납가정과 행렬식의 정의와 켤레행렬의 정의와 켤레복소수 정리로

$\begin{align*} \det(\overline{A}) & = \sum_{j=1}^{k+1}(-1)^{1+j}\cdot \overline{A}_{1,j} \cdot \det(\widetilde{\overline{A}}_{1,j}) \\[0.5em] & = \sum_{j=1}^{k+1} \overline{(-1)^{1+j}}\cdot \overline{A_{1,j}} \cdot \det(\overline{\widetilde{A}_{1,j}}) \\[0.5em] & = \sum_{j=1}^{k+1} \overline{(-1)^{1+j}\cdot A_{1,j}} \cdot \overline{\det(\widetilde{A}_{1,j})} \\[0.5em] & = \sum_{j=1}^{k+1} \overline{(-1)^{1+j}\cdot A_{1,j} \cdot \det(\widetilde{A}_{1,j})} \\[0.5em] & = \overline{\sum_{j=1}^{k+1} (-1)^{1+j}\cdot A_{1,j} \cdot \det(\widetilde{A}_{1,j})} \\[0.5em] & = \overline{\det(A)} \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리11

실수체 또는 복소수체가 $(F,+,\cdot,0,1)$위의

행렬 벡터공간 $(M_{m\times n}(F),+_1,\cdot_1,O)$, $(M_{n\times m}(F),+_2,\cdot_2,O^t)$와 행렬곱 $\bullet$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $A \in M_{m\times n}(F)$에 대해 $(\overline{A})^t = A^* = \overline{A^t} $이다.

2. 임의의 $A \in M_{m\times n}(F)$에 대해 $(A^*)^* = A$이다.

3. 임의의 $A,B \in M_{m\times n}(F)$와 임의의 $a,b \in F$에 대해 $(a\cdot_1 A +_1 b\cdot_1 B)^* = \overline{a}\cdot_2 A^* +_2 \overline{b}\cdot_2 B^*$이다.

4. 임의의 $A \in M_{m\times n}(F)$와 임의의 $B \in M_{n\times p}(F)$에 대해 $(A\bullet B)^* =B^*\bullet A^*$이다.

5. 임의의 $A \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $\operatorname{tr}$$(A^*) = \overline{\operatorname{tr}(A)}$이다.

6. 임의의 $A \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$에 대해 $A^* = A^t$이다.

7. 임의의 $A \in M_{n\times n}(F)$가 가역이면 켤레전치행렬 $A^*$도 가역이고 $(A^*)^{-1} = (A^{-1})^*$이다.

8. 항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$은 $I_n^* = I_n$이다.

9. 임의의 $A \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $\det$$(A^*) = \overline{\det(A)}$이다.

증명

1.

전치행렬의 정의와 켤레행렬의 정의로 모든 $i = 1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$(\overline{A^t})_{j,i} = \overline{(A^t)_{j,i}} = \overline{A_{i,j}} = \overline{A}_{i,j} = ((\overline{A})^t)_{j,i}$이므로 행렬의 상등과 켤레전치행렬의 정의로 $A^* = \overline{A^t} = (\overline{A})^t$이다.

2.

1번과 위 정리와 전치행렬 정리로 $(A^*)^* = \overline{(A^*)^t} = \overline{(\overline{A^t})^t} = (\overline{\overline{A^t}})^t = (A^t)^t = A$이다.

3.

1번과 위 정리와 전치행렬 정리로

$(a\cdot_1 A +_1 b\cdot_1 B)^* = \overline{(a\cdot_1A+_1b\cdot_1B)^t} =\overline{a\cdot_2A^t+_2b\cdot_2B^t} =\overline{a}\cdot_2\overline{A^t} +_2 \overline{b}\cdot_2\overline{B^t} = \overline{a}\cdot_2 A^* +_2 \overline{b}\cdot_2 B^*$이다.

4.

1번과 위 정리와 전치행렬 정리로 $(A\bullet B)^* = \overline{(A\bullet B)^t} = \overline{B^t \bullet A^t} = \overline{B^t}\bullet \overline{A^t} =B^*\bullet A^*$이다.

5.

1번과 위 정리와 전치행렬 정리로 $\operatorname{tr}(A^*) =\operatorname{tr}(\overline{A^t}) = \overline{\operatorname{tr}(A^t)} = \overline{\operatorname{tr}(A)}$이다.

6.

$A \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$는 전치행렬의 정의로 $A^t \in M_{n\times m}(\mathbb{R})$이므로 1번과 위 정리로 $A^* = \overline{A^t} = A^t$이다.

7.

$A $가 가역이므로 위 정리로 $\overline{A}$도 가역이고 $(\overline{A})^{-1} = \overline{A^{-1}}$이 되어 1번과 전치행렬 정리로

$(\overline{A})^t = A^*$도 가역이고 $(A^*)^{-1} = ((\overline{A})^t)^{-1} = ((\overline{A})^{-1})^t = (\overline{A^{-1}})^t = \overline{(A^{-1})^t} = (A^{-1})^*$이다.

8.

$I_n\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$이고 행렬정리로 $I_n^t = I_n$이므로 6번으로 $I_n^* = I_n^t = I_n$이다.

9.

위 정리와 행렬식 정리와 1번으로 $\det(A^*) = \det(\overline{A^t}) = \overline{\det(A^t)} = \overline{\det(A)}$이다.

 

 

 

정리8(점곱[Dot product])

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$와 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n$-순서쌍 $F$-벡터공간이 $(F^n,+_n,\cdot_n,\vec{0})$일때

모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n),y = (y_1,y_2,\cdots,y_n) \in F^n$가 $ x\bullet y  = \displaystyle \sum_{i=1}^n x_i \cdot$ $\overline{y_i}$로 정의되는

함수 $\bullet : F^n\times F^n \to F$에 대해 $(F^n,\bullet)$는 $(F^n,+_n,\cdot_n,\vec{0})$위의 내적공간이다.

증명

모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n),y = (y_1,y_2,\cdots,y_n),z = (z_1,z_2,\cdots,z_n) \in F^n$과 모든 $c \in F$에 대해

아래 내적공간의 성질을 모두 만족하므로 $(F^n,\bullet)$는 $(F^n,+_n,\cdot_n,\vec{0})$위의 내적공간이다.

1.

$\displaystyle (x+_n y)\bullet z = \sum_{i= 1}^n(x_i+ y_i)\cdot \overline{z_i} = \left (\sum_{i =1}^nx_i\cdot \overline{z_i}\right) + \left(\sum_{i=1}^n y_i\cdot \overline{z_i}\right) = (x\bullet z)+(y\bullet z)$

2.

$\displaystyle (c\cdot_n x)\bullet y = \sum_{i= 1}^n(c\cdot x_i)\cdot \overline{y_i} = c\cdot \sum_{i =1}^nx_i\cdot \overline{y_i} = c\cdot (x\bullet y)$

3.

켤레복소수 정리로 $\displaystyle  \overline{x\bullet y} = \overline{\sum_{i= 1}^n x_i\cdot \overline{y_i}} = \sum_{i =1}^n \overline{x_i\cdot \overline{y_i}} =\sum_{i=1}^n \overline{x_i}\cdot \overline{\overline{y_i}} = \sum_{i = 1}^n \overline{x_i}\cdot y_i = \sum_{i =1}^n y_i\cdot \overline{x_i} = y\bullet x$이다.

4.

$x\ne \vec{0}$이면 $x_j \ne 0$인 $j = 1,2,\cdots, n$가 존재하므로 복소수 정리로 $\displaystyle x\bullet x = \sum_{i= 1}^n x_i\cdot \overline{x_i} = \sum_{i=1}^n |x_i|^2 \ge |x_j|^2 > 0$이다.

 

 

 

정리9(프로베니우스[Frobenius] 내적)

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 행렬 벡터공간이 $(M_{n\times n}(F),+_n,\cdot_n,O)$이고 행렬곱이 $\bullet$일때

임의의 $A,B \in M_{n\times n}(F)$가 $\langle A,B\rangle = $ $\operatorname{tr}$$\,($$B^*$ $\bullet\; A)$로 정의되는

함수 $\langle \cdot,\cdot \rangle: M_{n\times n}(F)\times M_{n\times n}(F) \to F$에 대해 $(M_{n\times n}(F),\langle\cdot ,\cdot \rangle)$는 $(M_{n\times n}(F),+_n,\cdot_n,O)$위의 내적공간이다.

증명

임의의 $A,B,C \in M_{n\times n}(F)$와 모든 $c \in F$에 대해

아래 내적공간의 성질을 모두 만족하므로 $(M_{n\times n}(F),\langle\cdot ,\cdot \rangle)$는 $(M_{n\times n}(F),+_n,\cdot_n,O)$위의 내적공간이다.

1.

행렬곱 정리와 대각합 정리로

$\langle A+_nB,C\rangle = \operatorname{tr}(C^* \bullet (A+_n B)) = \operatorname{tr}((C^*\bullet A) +_n (C^*\bullet B)) = \operatorname{tr}(C^*\bullet A) + \operatorname{tr}(C^*\bullet B) = \langle A,C\rangle +\langle B,C\rangle \text{ 이다.}$

2.

행렬곱 정리와 대각합 정리로

$\langle c\cdot_n A,B\rangle = \operatorname{tr}(B^*\bullet(c\cdot_n A)) =\operatorname{tr}(c\cdot_n (B^*\bullet A)) = c\cdot \operatorname{tr}(B^*\bullet A) = c\cdot \langle A,B\rangle$이다.

3.

위 정리로 $\begin{align*} \overline{\langle A,B\rangle} = \overline{\operatorname{tr}(B^*\bullet A)} =\operatorname{tr}((B^*\bullet A)^*) = \operatorname{tr}(A^*\bullet (B^*)^*) =\operatorname{tr}(A^*\bullet B) =\langle B,A\rangle\end{align*}$이다.

4.

$A \ne O$이면 $A_{i,j} \ne 0$인 $i,j = 1,2,\cdots, n$가 존재하여 켤레전치행렬의 정의와 복소수 정리로

$\begin{align*} \langle A,A\rangle & =\operatorname{tr}(A^*\bullet A) \\[0.5em]& = \sum_{k=1}^n (A^*\bullet A)_{k,k} \\[0.5em]& = \sum_{k=1}^n\sum_{p =1}^n (A^*)_{k,p}\cdot A_{p,k} \\[0.5em]& = \sum_{k=1}^n\sum_{p=1}^n (\overline{A^t})_{k,p}\cdot A_{p,k} \\[0.5em]& = \sum_{k=1}^n\sum_{p=1}^n \overline{(A^t)_{k,p}}\cdot A_{p,k} \\[0.5em]& = \sum_{k=1}^n\sum_{p=1}^n \overline{A_{p,k}}\cdot A_{p,k} \\[0.5em]& = \sum_{k=1}^n\sum_{p=1}^n |A_{p,k}|^2 \text{ 이므로}\end{align*}$

$\langle A,A\rangle = \displaystyle \sum_{k=1}^n\sum_{p=1}^n|A_{p,k}|^2 \ge |A_{i,j}|^2 > 0$이다.

 

 

 

정리12

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 행렬 벡터공간이 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$이고 행렬곱이 $\bullet$일때

$A^*$ $= A$이고 $x\ne O_n$인 모든 $x \in M_{n\times 1}(F)$가 $(x^*\bullet A\bullet x)_{1,1} > 0$인 임의의 $A \in M_{n\times n}(F)$에 대해

함수 $\langle \cdot,\cdot \rangle_A: M_{n\times 1}(F)\times M_{n\times 1}(F) \to F$가 임의의 $x ,y\in M_{n\times 1}(F)$에 대해 $\langle x,y\rangle_A = (y^*\bullet A \bullet x)_{1,1}$로 정의되면

$(M_{n\times 1}(F),\langle\cdot ,\cdot \rangle_A)$는 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$위의 내적공간이다.

증명

임의의 $x,y,z \in M_{n\times 1}(F)$와 모든 $c \in F$에 대해

아래 내적공간의 성질을 모두 만족하므로 $(M_{n\times 1}(F),\langle\cdot ,\cdot \rangle_A)$는 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$위의 내적공간이다.

1.

행렬곱 정리로

$ z^*\bullet A \bullet (x+_n y) = z^* \bullet (A \bullet (x+_n y) )  = z^*\bullet ((A\bullet x) +_n (A\bullet y)) = (z^*\bullet A\bullet x) +_1 (z^*\bullet A\bullet y)$이므로

$\langle x+_n y, z\rangle_A = (z^*\bullet A \bullet (x+_n y))_{1,1} = ((z^*\bullet A\bullet x)+_1 (z^*\bullet A\bullet y) )_{1,1} = (z^*\bullet A\bullet x)_{1,1} +(z^*\bullet A\bullet y)_{1,1} = \langle x,z \rangle_A + \langle y,z \rangle_A \text{ 이다.}$

2.

행렬곱 정리로 $\langle c\cdot_n x,y \rangle_A = (y^*\bullet A \bullet (c\cdot_n x))_{1,1} = (c\cdot_1 (y^*\bullet A\bullet x))_{1,1} = c\cdot (y^*\bullet A\bullet x)_{1,1} = c\cdot \langle x,y\rangle_A$이다.

3.

위 정리와 위 정리와 전치행렬 정리와 전치행렬 정리로

$\overline{y^*\bullet A \bullet x} = \overline{y^*}\bullet \overline{A}\bullet \overline{x} = \overline{\overline{y^t}}\bullet \overline{A}\bullet \overline{x} =y^t\bullet \overline{A}\bullet \overline{x} = ((y^t\bullet \overline{A}\bullet \overline{x})^t)^t = ((\overline{x})^t\bullet (\overline{A})^t \bullet (y^t)^t)^t = (x^*\bullet A^* \bullet y)^t \text{ 이고}$

$x^*\bullet A^* \bullet y \in M_{1\times 1}(F)$이므로 $A$에 대한 가정과 전치행렬의 정의로

$\overline{y^*\bullet A \bullet x} =(x^*\bullet A^* \bullet y )^t = x^*\bullet A^* \bullet y = x^* \bullet A\bullet y$가 되어

$\overline{\langle x,y \rangle_A} =\overline{(y^*\bullet A \bullet x)_{1,1}} = (\overline{y*\bullet A\bullet x})_{1,1} = (x^*\bullet A\bullet y)_{1,1} = \langle y,x\rangle_A$이다.

4.

$A$에 대한 가정으로 $x\ne O_n$이면 $\langle x,x\rangle_A =(x^*\bullet A\bullet x)_{1,1} > 0$이다.

 

 

 

정리13

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 행렬 벡터공간이 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$이고 행렬곱이 $\bullet$일때

함수 $\langle \cdot,\cdot \rangle_n: M_{n\times 1}(F)\times M_{n\times 1}(F) \to F$이 임의의 $x ,y\in M_{n\times 1}(F)$에 대해 $\langle x,y\rangle_n = (y^* \bullet x)_{1,1}$로 정의되면

$(M_{n\times 1}(F),\langle\cdot ,\cdot \rangle_n)$은 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$위의 내적공간이다.

증명

항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(F)$에 대해 위 정리로 $I_n^* = I_n$이고

 $x\ne O_n$인 임의의 $x = \begin{bmatrix}x_1\\ x_2 \\\vdots \\ x_n \end{bmatrix} \in M_{n\times 1}(F)$는 $x_j \ne 0$인 $j =1,2,\cdots, n$가 존재하여

복소수 정리와 행렬정리로 $(x^*\bullet I_n\bullet x)_{1,1} = (x^* \bullet x)_{1,1} = \displaystyle \sum_{i =1}^n \overline{x_i}\cdot x_i = \sum_{i =1}^n |x_i|^2 \ge |x_j|^2  > 0$이므로

위 정리로 $(M_{n\times 1}(F),\langle\cdot ,\cdot \rangle_{I_n})$은 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$위의 내적공간이다.

따라서 행렬정리로 임의의 $x,y \in M_{n\times 1}(F)$에 대해 $\langle x,y \rangle_{I_n} = (y^*\bullet I_n \bullet x)_{1,1} = (y^*\bullet x)_{1,1} = \langle x,y\rangle_n$이므로

함수의 상등으로 $\langle \cdot,\cdot\rangle_{I_n}=\langle \cdot,\cdot \rangle_n$이 되어 $(M_{n\times 1}(F),\langle\cdot ,\cdot \rangle_n)$은 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$위의 내적공간이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/79#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/79#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244

Walter Rudin - Functional Analysis - 9780070542365