내적공간에서의 직교성(Orthogonality)

정의1

$F \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\}$인 실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

벡터의 직교(orthogonal) :

임의의 $x,y \in V$가 $\langle x,y\rangle = 0$이면 $x$와 $y$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 직교 또는 수직(perpendicular)이라고 정의한다.

직교집합 :

임의의 $S \subseteq V$의 $x\ne y$인 모든 $x,y\in S$가 $\langle x,y\rangle = 0$이면 $S$를 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합으로 정의한다.

단위벡터(unit vector) :

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름 $\lVert \cdot \rVert :V\to [0,\infty)$에 대해 $\lVert x\rVert = 1$인 $x\in V$를 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 단위벡터로 정의한다.

정규화(normalization) :

$x\ne \vec{0}$인 임의의 $x \in V$에 대해 노름공간 정리로 $\left \lVert \lVert x\rVert^{-1} \cdot_V x\right\rVert = 1$이므로

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 단위벡터 $\lVert x\rVert^{-1} \cdot_V x$를 $\lVert x\rVert^{-1} \cdot_V x= \dfrac{x}{\lVert x\rVert}$로 정의하고 $\dfrac{x}{\lVert x\rVert}$를 $x$의 정규화로 정의한다.

정규직교(orthonomal)집합 :

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합 $S$와 노름 $\lVert \cdot \rVert :V\to [0,\infty)$에 대해

모든 $x \in S$가 $\lVert x\rVert = 1$이면 $S$를 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교집합으로 정의한다.

정규직교기저 :

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교집합 $S$가 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저이면 $S$를 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교기저로 정의한다.

정규직교순서기저 :

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $n\in \mathbb{Z}^+$차원이고 $\{ v_1,v_2,\cdots,v_n\}$이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교기저일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$를 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저로 정의한다.

 

 

 

정리5

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때 다음이 성립한다.

직교의 대칭성 :

임의의 $x,y \in V$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 수직이면 $\langle x,y \rangle =0 = \langle y,x\rangle$이다.

피타고라스(Pythagoras) 정리 :

임의의 $x,y \in V$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 서로 수직이면 $\lVert x+_V y\rVert^2 = \lVert x\rVert^2 +\lVert y\rVert^2$이다.

내적공간의 부분공간 :

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에 대해 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle)$는 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이다.

증명

대칭성

$x,y$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 수직이면 $\langle x,y \rangle =0 \in \mathbb{R}$이므로 내적정리로 $0=\langle x,y \rangle =\langle y,x \rangle$이다.

피타고라스 정리

$x,y$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 서로 수직이므로 대칭성으로 $\langle x,y \rangle =0 = \langle y,x\rangle$가 되어 내적정리로

$\lVert x+_V y\rVert^2 = \langle x+_V y,x+_Vy\rangle = \langle x,x+_V,y\rangle +\langle y,x+_V y\rangle = \langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle + \langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle = \langle x,x\rangle+\langle y,y\rangle = \lVert x\rVert^2 +\lVert y\rVert^2 \text{ 이다.}$

내적공간의 부분공간

$W \subseteq V$이므로 모든 $w \in W$는 $w \in V$가 되어 $\langle\cdot,\cdot \rangle$에 대해 내적공간의 성질이 성립하고

$V$의 내적 $\langle\cdot,\cdot \rangle$을 $\langle\cdot,\cdot \rangle$의 정의역을 $W\times W$로 제한한 함수 $\langle\cdot,\cdot \rangle|_{W\times W}$로 나타내면

$(W,\langle\cdot,\cdot \rangle)$는 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이다.

 

 

 

정리1

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$이고

임의의 $S \subseteq V$가 $S = \{ v_1,v_2,\cdots, v_n\}$인 $n\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합일때 다음이 성립한다.

1. $S$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교집합이기 위한 필요충분조건은 모든 $i,j =1,2,\cdots, n$에 대해 $\langle v_i,v_j\rangle = $ $\delta_{i,j}$인 것이다.

2. $S$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합이면 임의의 $a_1,a_2,\cdots,a_n \in F$에 대해 $\displaystyle\left \lVert \sum_{i=1}^na_i\cdot_V v_i\right \rVert^2 = \sum_{i=1}^n$$|a_i|^2$$\,\cdot \;\lVert v_i\rVert^2$이다.

증명

1.

$S$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교집합일때

임의의 $i,j =1,2,\cdots, n$에 대해 크로네커델타의 정의와 직교의 정의로 $i\ne j$이면 $\langle v_i,v_j\rangle= 0= \delta_{i,j}$이고

크로네커델타의 정의와 단위벡터의 정의로 $i= j$이면 $\langle v_i,v_j\rangle = \langle v_i,v_i\rangle = \lVert v_i \rVert^2 = 1^2 = 1 = \delta_{i,i} = \delta_{i,j}$이다.

역으로 모든 $i,j =1,2,\cdots, n$에 대해 $\langle v_i,v_j\rangle = \delta_{i,j}$이면

$\langle v_i,v_i\rangle = \delta_{i,i} = 1$이므로 노름정리로 $\lVert v_i \rVert =1$이 되어 모든 $v_i\in S$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 단위벡터이고

$i\ne j$이면 $\langle v_i,v_j\rangle = \delta_{i,j} = 0$이므로 $S$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합이 되어 $S$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교집합이다.

2.

직교집합의 정의로 $i\ne j$인 모든 $i,j =1,2,\cdots, n$에 대해 $\langle v_i,v_j\rangle = 0$이므로 내적정리와 복소수정리로

$\begin{align*} \left \lVert \sum_{i=1}^na_i\cdot_V v_i\right \rVert^2 &= \left \langle \sum_{i=1}^n a_i\cdot_V v_i,\sum_{j=1}^na_j,\cdot_V v_j \right \rangle \\[0.5em]& = \sum_{i=1}^na_i\cdot \left\langle v_i ,\sum_{j =1}^na_j\cdot_V v_j\right \rangle \\[0.5em]& =\sum_{i=1}^n a_i\cdot \left(\sum_{j =1}^n \overline{a_j}\cdot \left\langle v_i , v_j\right \rangle \right) \\[0.5em]& =\sum_{i=1}^n\sum_{j =1}^n a_i\cdot \overline{a_j}\cdot \left\langle v_i , v_j\right \rangle \\[0.5em]& =\sum_{i=1}^n a_i\cdot \overline{a_i}\cdot \left\langle v_i , v_i\right \rangle \\[0.5em]& =\sum_{i=1}^n |a_i|^2\cdot \lVert v_i \rVert^2 \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리2

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에 대해

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합 $S = \{ v_1,v_2,\cdots, v_n\}$가 $n\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이고

모든 $i = 1,2,\cdots ,n$에 대해 $v_i \ne \vec{0}$일때 임의의 $y \in $ $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(S)}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $y = \displaystyle \sum_{i =1}^na_i\cdot_V v_i$인 $a_i \in F$는 유일하게 존재하고 $a_i = \dfrac{\langle y,v_i\rangle}{\lVert v_i\rVert^2}$이다.

2. $y =\displaystyle  \sum_{i= 1}^n \frac{\langle y,v_i \rangle}{\lVert v_i\rVert^2}\cdot_V v_i$

3. $S$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교집합이면 $y =\displaystyle \sum_{i= 1}^n \langle y,v_i \rangle\cdot_V v_i$이다.

증명

1.

생성집합의 정의로 $y = a_1\cdot_V v_1+_Va_2\cdot_V v_2+_V \cdots +_V a_n \cdot_Vv_n$인 $a_1,a_2,\cdots,a_n \in F$이 존재하므로

$a_1,a_2,\cdots,a_n \in F$을 임의로 가정할때 모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해

내적정리와 직교의 정의로 $\displaystyle \langle y,v_j \rangle = \left \langle \sum_{i= 1}^na_i\cdot_V v_i,v_j \right\rangle =\sum_{i=1}^n a_i\cdot \langle v_i,v_j \rangle = a_j\cdot \langle v_j ,v_j\rangle =a_j\cdot \lVert v_j\rVert^2 $이고

$v_j \ne \vec{0}$이므로 노름정리로 $\lVert v_j\rVert^2 \ne 0$이 되어 $a_j = \dfrac{\langle y,v_j\rangle}{\lVert v_j\rVert^2}$이다.

2.

1번으로 $y =\displaystyle \sum_{i = 1}^n a_i\cdot_V v_i= \sum_{i= 1}^n \frac{\langle y,v_i \rangle}{\lVert v_i\rVert^2}\cdot_V v_i$이다.

3.

2번과 정규직교집합의 정의로 $y =\displaystyle \sum_{i= 1}^n \frac{\langle y,v_i \rangle}{\lVert v_i\rVert^2}\cdot_V v_i = \sum_{i=1}^n\frac{\langle y,v_i\rangle }{1^2}\cdot_Vv_i = \sum_{i=1}^n\langle y,v_i\rangle \cdot_V v_i$이다.

 

 

 

정리3

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에 대해

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합이 $S$일때 다음이 성립한다.

1. 임의의 $S_1\subseteq S$은 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합이다.

2. $S$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교집합이면 임의의 $S_1\subseteq S$은 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교집합이다.

3. 모든 $v\in S$가 $v\ne \vec{0}$이면 $S$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 일차독립이다.

증명

1.

$x\ne y$인 모든 $x,y \in S_1$는 $x,y \in S$이므로 직교집합의 정의로 $\langle x,y\rangle =0$이 되어 $S_1$은 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합이다.

2.

1번으로 $S_1$은 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합이고 

모든 $x\in S_1$는 $x\in S$이므로 정규직교집합의 정의로 $\lVert x\rVert = 1$이 되어 $S_1$은 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교집합이다.

3.

임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 서로 다른 $v_1,v_2,\cdots, v_n \in S$이 

$a_1\cdot_V v_1+_Va_2\cdot_V v_2+_V \cdots +_V a_n \cdot_Vv_n =\vec{0}$이 되는 $a_1,a_2,\cdots, a_n \in F$이 존재하면

$\{ v_1,v_2,\cdots, v_n\}\subseteq S$이므로 1번으로 $\{ v_1,v_2,\cdots, v_n\}$은 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합이다.

따라서 가정으로 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $v_i\ne \vec{0}$이고 $\vec{0} \in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ v_1,v_2,\cdots,v_n\})$이므로

내적정리와 위 정리로 $a_i = \dfrac{\langle \vec{0},v_i\rangle}{\lVert v_i \rVert^2} = \dfrac{0}{\lVert v_i \rVert^2} = 0$이 되어 일차독립 정리로 $S$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 일차독립이다.

 

 

 

정리4(그람[Gram]-슈미트[Schmidt] 직교화)

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$이고

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합 $S_n=\{ w_1,w_2,\cdots, w_n\} \subseteq V$이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 일차독립일때

$v_1= w_1$로 정의되고 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $v_1,v_2,\cdots,v_k\in V$가 강귀납적으로 정의되면

$v_{k+1} = w_{k+1} - \displaystyle \sum_{j=1}^{k}\frac{\langle w_{k+1},v_j\rangle }{\lVert v_j\rVert^2}\cdot_V v_j$로 정의되는 집합 $A_n =\{ v_1,v_2,\cdots, v_n\}$은 다음을 만족한다.

1. 모든 $i = 1,2,\cdots,n$에 대해 $v_i\ne \vec{0}$이다.

2. $A_n$은 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이다

3. $A_n$은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 일차독립이다.

4. $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(S_n)}$ $ = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(A_n)}$

5. $A_n$은 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합이다.

6. 정규화한 $\left \{ \dfrac{v_1}{\lVert v_1\rVert},\dfrac{v_2}{\lVert v_2\rVert},\cdots, \dfrac{v_n}{\lVert v_n\rVert} \right \}$은 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교집합이고 $A_n$처럼 1, 2, 3, 4번을 만족한다.

증명

1, 2, 3, 4, 5

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 1$이면 일차독립 정리로 $w_1=v_1\ne \vec{0}$이므로 1, 3번을 만족하고

$S_1 = \{ v_1\} = \{ w_1\} = A_1$은 자명하게 2, 4번을 만족하고 직교집합의 정의가 공허하게 성립하여 5번을 만족한다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립하고 $S_{k+1}=\{ w_1,w_2,\cdots, w_k,w_{k+1}\} \subseteq V$이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 일차독립일때

$S_k= \{ w_1,w_2,\cdots,w_k\}$는 일차독립 정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 일차독립이 되어

$A_{k+1}= \{ v_1,v_2,\cdots,v_k,v_{k+1}\}$에 대해 $A_k= \{ v_1,v_2,\cdots,v_k\}$는 귀납가정으로 1, 2, 3, 4, 5번을 만족한다.

$\vec{0}=v_{k+1} = w_{k+1} - \displaystyle \sum_{j=1}^k\frac{\langle w_{k+1},v_j\rangle }{\lVert v_j\rVert^2}\cdot_V v_j$이라고 가정하면

$w_{k+1}= \displaystyle \sum_{j=1}^k\frac{\langle w_{k+1},v_j\rangle }{\lVert v_j\rVert^2}\cdot_V v_j$이므로 생성집합의 정의와 귀납가정으로 $w_{k+1} \in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(A_k)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(S_k)}$이고

일차독립 정리로 $S_k \cup \{ w_{k+1}\} = S_{k+1}$이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 일차종속이 되어 모순이므로 

$v_{k+1} \ne \vec{0}$이고 귀납가정으로 모든 $i= 1,2,\cdots,k,k+1$에 대해 $v_i \ne \vec{0}$이다.

귀납가정으로 $A_k$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합이므로 임의의 $i = 1,2,\cdots,k$에 대해 내적정리로

$\begin{align*} \langle v_{k+1},v_i\rangle &= \left\langle w_{k+1}-\sum_{j=1}^k\frac{\langle w_{k+1},v_j\rangle}{\lVert v_j\rVert^2}\cdot_Vv_j,v_i \right\rangle \\[0.5em] &= \langle w_{k+1},v_i \rangle -\left\langle \sum_{j=1}^k\frac{\langle w_{k+1},v_j\rangle}{\lVert v_j\rVert^2}\cdot_Vv_j,v_i \right\rangle \\[0.5em] &= \langle w_{k+1},v_i \rangle - \sum_{j=1}^k\frac{\langle w_{k+1},v_j\rangle}{\lVert v_j\rVert^2}\cdot \left\langle v_j,v_i \right\rangle \\[0.5em] &= \langle w_{k+1},v_i \rangle - \frac{\langle w_{k+1},v_i\rangle}{\lVert v_i\rVert^2}\cdot \left\langle v_i,v_i \right\rangle \\[0.5em] &= \langle w_{k+1},v_i \rangle - \frac{\langle w_{k+1},v_i\rangle}{\lVert v_i\rVert^2}\cdot \lVert v_i\rVert^2 \\[0.5em] &= \langle w_{k+1},v_i \rangle - \langle w_{k+1},v_i\rangle \\[0.5em] &= 0 \text{ 이 되어} \end{align*}$

$A_{k+1}$은 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합이고 위 정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 일차독립이다.

$v_i = v_j$이고 $i\ne j$인 $i,j= 1,2,\cdots,k,k+1$가 존재한다고 가정하면

$v_i \ne \vec{0}$임에 따라 노름정리로 $ 0 =\langle v_i ,v_j \rangle = \langle v_i,v_i\rangle =\lVert v_i\rVert^2 \ne 0$이므로 모순이 되어

$A_{k+1}$은 $k+1$개의 원소를 갖는 유한집합이다.

또 $v_1,v_2,\cdots,v_k \in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(A_k)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(S_k)} \subseteq \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(S_{k+1})}$이고 $w_{k+1} \in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(S_{k+1})}$이므로

$v_{k+1} = w_{k+1} - \displaystyle \sum_{j=1}^k\frac{\langle w_{k+1},v_j\rangle }{\lVert v_j\rVert^2}\cdot_V v_j \in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(S_{k+1})}$이 되어 생성공간 정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(A_{k+1})} \subseteq \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(S_{k+1})}$이고

$(\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(A_{k+1})},+_V,\cdot_V,\vec{0})$와 $(\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(S_{k+1})},+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 차원은 $k+1$이므로

부분공간 정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(A_{k+1})} =\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(S_{k+1})}$이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

6.

$A_n$은 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합이므로 $i\ne j$인 임의의 $i,j=1,2,\cdots, n$에 대해 정규화의 정의와 내적정리로

$\left \langle \dfrac{v_i}{\lVert v_i \rVert}, \dfrac{v_j}{\lVert v_j \rVert}\right \rangle =\langle \lVert v_i\rVert^{-1}\cdot_V v_i,\lVert v_j \rVert^{-1}\cdot_V v_j\rangle = \lVert v_i\rVert^{-1}\cdot \langle v_i,\lVert v_j\rVert^{-1}\cdot_Vv_j \rangle= \lVert v_i\rVert^{-1}\cdot \lVert v_j\rVert^{-1}\cdot \langle v_i,v_j \rangle= \lVert v_i\rVert^{-1}\cdot \lVert v_j\rVert^{-1}\cdot 0 =0 \text{ 이고} $

단위벡터의 정의로 임의의 $i=1,2,\cdots, n$에 대해

$\left\lVert \dfrac{v_i}{\lVert v_i\rVert}\right\rVert = 1$이므로 $\left \{ \dfrac{v_1}{\lVert v_1\rVert},\dfrac{v_2}{\lVert v_2\rVert},\cdots, \dfrac{v_n}{\lVert v_n\rVert} \right \}$은 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교집합이고

노름공간 정리로 $\dfrac{v_i}{\lVert v_i\rVert} \ne \vec{0}$이므로 위 정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 일차독립이다.

$\dfrac{v_i}{\lVert v_i \rVert}= \dfrac{v_j}{\lVert v_j \rVert}$이고 $i\ne j$인 $i,j=1,2,\cdots, n$가 존재하면

$ 0 =\left \langle \dfrac{v_i}{\lVert v_i\rVert} ,\dfrac{v_j}{\lVert v_j\rVert}\right \rangle = \left \langle \dfrac{v_i}{\lVert v_i\rVert} ,\dfrac{v_i}{\lVert v_i\rVert}\right \rangle =\left\lVert \dfrac{v_i}{\lVert v_i\rVert}\right \rVert^2 = 1 \ne 0$이 되어 모순이므로

$\left \{ \dfrac{v_1}{\lVert v_1\rVert},\dfrac{v_2}{\lVert v_2\rVert},\cdots, \dfrac{v_n}{\lVert v_n\rVert} \right \}$은 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이다.

$\left \{ \dfrac{v_1}{\lVert v_1\rVert},\dfrac{v_2}{\lVert v_2\rVert},\cdots, \dfrac{v_n}{\lVert v_n\rVert} \right \} =\{ \lVert v_1\rVert^{-1}\cdot_Vv_1,\lVert v_2\rVert^{-1} \cdot_Vv_2,\cdots,\lVert v_n\rVert^{-1}\cdot_V v_n\} \subseteq \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{v_1,v_2,\cdots,v_n\})=\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(A_n)} \text{ 이므로}$

생성공간 정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}\left(\left \{ \dfrac{v_1}{\lVert v_1\rVert},\dfrac{v_2}{\lVert v_2\rVert},\cdots, \dfrac{v_n}{\lVert v_n\rVert} \right \}\right ) \subseteq \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(A_n)}$이 되어

생성공간 정리와 부분공간 정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}\left(\left \{ \dfrac{v_1}{\lVert v_1\rVert},\dfrac{v_2}{\lVert v_2\rVert},\cdots, \dfrac{v_n}{\lVert v_n\rVert} \right \}\right ) =\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(A_n)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(S_n)}$이다.

 

 

 

정리10

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합 $S_n=\{ w_1,w_2,\cdots, w_n\}$이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교집합이고

모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $w_i \ne \vec{0}$이면 $S_n$에 그람-슈미트 직교화를 적용한 $\{ v_1,v_2,\cdots, v_n\}$은 $v_i = w_i$이다.

증명

$n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 1$이면 그람-슈미트 직교화의 정의로 $v_1 = w_1$이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $i = 1,2,\cdots, k$가 $v_i = w_i$일때 직교집합의 정의로

$\begin{align*} v_{k+1} = w_{k+1} - \sum_{j=1}^{k}\frac{\langle w_{k+1},v_j\rangle }{\lVert v_j\rVert^2}\cdot_V v_j = w_{k+1} - \sum_{j=1}^{k}\frac{\langle w_{k+1},w_j\rangle }{\lVert w_j\rVert^2}\cdot_V w_j = w_{k+1} - \sum_{j=1}^{k}\frac{0}{\lVert w_j\rVert^2}\cdot_V w_j = w_{k+1} \end{align*}$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리6

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원인 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$와 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교기저 $\{ v_1,v_2,\cdots,v_n\}$가 존재하고 모든 $x\in V$에 대해 $x =\displaystyle \sum_{i=1}^n\langle x,v_i\rangle\cdot_Vv_i$이다.

2. $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta = ( v_1,v_2,\cdots,v_n)$에 대한 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta \in M_{n\times n}(F)$는

모든 $i,j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $([T]_\beta)_{i,j} = \langle T(v_j),v_i\rangle$이다.

증명

1.

차원의 정의로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저 $\{ w_1,w_2,\cdots,w_n\}$이 존재하므로

위 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교기저 $\{ v_1,v_2,\cdots,v_n\}$이 존재하여

모든 $x\in V = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ v_1,v_2,\cdots,v_n\})$는 위 정리로 $x =\displaystyle \sum_{i=1}^n\langle x,v_i\rangle\cdot_Vv_i$이다.

2.

1번과 행렬표현의 정의로 모든 $i,j = 1,2,\cdots,n$에 대해

$\displaystyle T(v_j) = \sum_{i=1}^n \langle T(v_j),v_i\rangle \cdot_V v_i = \sum_{i=1}^n([T]_\beta)_{i,j}\cdot_Vv_i$이므로 $([T]_\beta)_{i,j} = \langle T(v_j),v_i\rangle$이다.

 

 

 

정의2

$F \in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\}$인 실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

직교여공간(orthogonal complement) :

임의의 $S\subseteq V$에 대해 $S$의 모든 벡터와 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 수직인 벡터들의 집합이

$\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp}=\{x\in V:\text{모든 } y\in S \text{ 에 대해 }\langle x,y\rangle =0 \text{ 이다.} \}$일때

아래 정리로 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간이므로

$(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$를 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $S$의 직교여공간으로 정의한다.

정사영(orthogonal projection) :

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 유한차원이고 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름이 $\lVert \cdot \rVert :V\to [0,\infty)$일때

임의의 $y\in W$에 대해 어떤 $u \in W$가 존재하여 모든 $x \in W$가 $\lVert y-x\rVert \ge \lVert y -u\rVert$이면

아래 정리로 $u$는 유일하므로 $u$를 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에 대한 $y$의 정사영으로 정의한다.

 

 

 

정리7

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

임의의 부분집합 $S\subseteq V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $($$\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp}$$,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간이다.

2. 임의의 $A\subseteq S$에 대해 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp} \subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{A^\perp}$이다.

3. $S\subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp})}^\perp$

4. $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(S)}\subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp})}^\perp$

5. $\vec{0}\in S$이면 $S\cap \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp} =\{\vec{0}\}$이다.

6. $V = \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{\{ \vec{0}\}^\perp }$

7. $\{ \vec{0}\} = \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{V^\perp}$

8. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저가 $\beta$일때 임의의 $z\in V$에 대해

$z\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$이기 위한 필요충분조건은 모든 $v \in \beta$에 대해 $\langle z,v\rangle = 0$인 것이다.

증명

1.

모든 $s \in S$에 대해 내적정리로 $\langle \vec{0},s\rangle = 0$이므로 $\vec{0}\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp}$이고

내적공간의 정의로 임의의 $x,y \in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp}$에 대해 $\langle x+_Vy,s\rangle = \langle x,s \rangle + \langle y,s\rangle = 0+0 = 0$이고

임의의 $c \in F$에 대해 $\langle c\cdot_V x,s\rangle =c\cdot \langle x,s \rangle  = c\cdot 0 = 0$이므로 $x+_Vy,c\cdot_V x\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp}$가 되어

부분공간 정리로 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간이다.

2.

임의의 $x \in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp}$는 모든 $s\in S$에 대해 $\langle x,s\rangle =0$이므로

모든 $a \in A\subseteq S$에 대해 $\langle x,a\rangle =0$이 되어 $x \in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{A^\perp}$이고 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp} \subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{A^\perp}$이다.

3.

임의의 $s \in S$는 모든 $x \in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp}$에 대해 $\langle x,s\rangle = 0$이므로

위 정리로 $\langle s,x\rangle = 0$이 되어 $s \in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp})}^\perp$이고 $S\subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp})}^\perp$이다.

4.

1번으로 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp})}^\perp,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간이고

3번으로 $S\subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp})}^\perp$이므로 생성공간 정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(S)}\subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp})}^\perp$이다.

5.

임의의 $x\in S\cap \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp}$가 $x\ne \vec{0}$이라고 가정하면 $x\in S$이고 $x\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp}$이므로 $\langle x,x\rangle = 0$인데

내적정리로 $0=\langle x,x\rangle \ne 0$이 되어 모순이므로 $x = \vec{0}$이고 $ S\cap \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp}\subseteq \{ \vec{0}\}$이다.

$\vec{0} \in S$이고 1번으로 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 벡터공간이므로 $\vec{0}\in  \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp}$이 되어 $\{\vec{0}\}\subseteq S\cap \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp}$이고

집합정리로 $S\cap \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{S^\perp} =\{\vec{0}\}$이다.

6.

내적정리로 모든 $x \in V$는 $\langle x,\vec{0}\rangle = 0$이므로 $x\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{\{ \vec{0}\}^\perp }$가 되어 $V \subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{\{ \vec{0}\}^\perp }$이고

1번으로 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{\{ \vec{0}\}^\perp } \subseteq V$이므로 집합정리로 $V =\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{\{ \vec{0}\}^\perp }$이다.

7.

모든 $x\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{V^\perp}$는 모든 $y\in V$에 대해 $\langle x,y\rangle = 0 = \langle \vec{0},y\rangle$이므로 내적정리로 $x =\vec{0}$이 되어 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{V^\perp} \subseteq \{\vec{0}\}$이고

1번으로 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{V^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 벡터공간이므로 $\{ \vec{0}\} \subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{V^\perp}$이 되어 집합정리로 $\{ \vec{0}\} = \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{V^\perp}$이다.

8.

$z\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$이면 모든 $v \in \beta \subseteq W$에 대해 $\langle z,v\rangle = 0$이다.

역으로 모든 $v \in \beta$에 대해 $\langle z,v\rangle = 0$이면

생성집합의 정의와 기저의 정의로 모든 $y\in W = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\beta)}$는 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$y = a_1\cdot_V v_1+_V a_2\cdot_V v_2+_V\cdots+_V a_n\cdot_V v_n$인 $a_1,a_2,\cdots,a_n\in F$과 $v_1,v_2,\cdots,v_n\in \beta$이 존재하고

모든 $i= 1,2\cdots, n$에 대해 $\langle z,v_i\rangle = 0$이므로 내적정리로

$\langle z,y\rangle = \langle z, a_1\cdot_Vv_1+_Va_2\cdot_Vv_2+_V\cdots +_Va_n\cdot_V v_n\rangle = \overline{a_1}\cdot \langle z,v_1\rangle +\overline{a_2}\cdot \langle z,v_2\rangle +\cdot +\overline{a_n}\cdot \langle z,v_n\rangle = 0 $이 되어

$z\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$이다.

 

 

 

정리8

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 유한차원이면 임의의 $y\in V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $y = u+_V z$인 $u \in W$와 $z\in $ $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$가 유일하게 존재한다.

2. $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $k\in \mathbb{Z}^+$차원이고 1번처럼 $y = u+_V z$일때

$\{ v_1,v_2,\cdots,v_k\}$가 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교기저이면 $u = \displaystyle \sum_{i=1}^k\langle y,v_i\rangle \cdot_V v_i$이다.

3. 1번처럼 $y = u+_V z$일때 모든 $x \in W$에 대해 $\lVert y-x\rVert \ge \lVert y -u\rVert$이다.

4. 1번처럼 $y = u+_V z$일때 임의의 $x \in W$에 대해 $\lVert y-x\rVert = \lVert y -u\rVert$이기 위한 필요충분조건은 $u=x$인 것이다.

5. $V = W $ $\oplus$ $ \underset{(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$

6. $W =\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp})}^\perp$

증명

1, 2

존재성

$(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $0$차원이면 $W = \{ \vec{0}\}$이므로 위 정리로 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp} = \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{\{ \vec{0}\}^\perp} = V$가 되어

$u =\vec{0} \in W$와 $y = z\in \underset{(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$에 대해 $y =z =\vec{0}+_Vz = u+_V z$이다.

임의의 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $k$차원이고 $\beta =\{ v_1,v_2,\cdots,v_k\}$가 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교기저이면

$u = \displaystyle \sum_{i=1}^k\langle y,v_i\rangle \cdot_V v_i$는 생성집합의 정의와 기저의 정의로 $u\in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\beta)} = W$이므로

$z = y-u$로 둘때 임의의 $j = 1,2\cdots, k$에 대해 내적정리와 정규직교기저의 정의로

$\begin{align*} \langle z,v_j \rangle & = \langle y-u,v_j\rangle \\[0.5em] & = \left \langle y -\sum_{i=1}^k\langle y,v_i\rangle\cdot_V v_i,v_j \right\rangle \\[0.5em] & = \left \langle y ,v_j \right\rangle - \left \langle \sum_{i=1}^k\langle y,v_i\rangle\cdot_V v_i,v_j \right\rangle \\[0.5em] & = \left \langle y ,v_j \right\rangle - \sum_{i=1}^k\langle y,v_i\rangle \cdot \langle v_i,v_j \rangle \\[0.5em] & = \left \langle y ,v_j \right\rangle - \langle y,v_j\rangle \cdot \langle v_j,v_j \rangle \\[0.5em] & = \left \langle y ,v_j \right\rangle - \langle y,v_j\rangle \cdot \lVert v_j \rVert^2 \\[0.5em] & = \left \langle y ,v_j \right\rangle - \langle y,v_j\rangle \cdot 1\\[0.5em]&=\langle y,v_j\rangle -\langle y,v_j\rangle \\[0.5em] & = 0\text{ 이 되어} \end{align*}$

위 정리로 $z \in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$이고 $y = u+_V z$이다.

유일성

$ u_1+_V z_1 =y = u_2+_Vz_2$인 $u_1,u_2\in W$와 $z_1,z_2\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$가 존재하면

$u_1-u_2 \in W$이고 위 정리로 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$은 벡터공간이므로 $z_2-z_1 \in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$이 되어

위 정리로 $u_1-u_2 = z_2-z_1 \in W\cap \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp} = \{ \vec{0}\}$이고 $u_1-u_2 =\vec{0} = z_2-z_1$이므로 $u_1 =u_2$이고 $z_1=z_2$이다.

3.

$u \in W$와 $z\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$에 대해 $y = u+_V z$이므로 $y-u =z$이고

임의의 $x \in W$에 대해 $u-x \in W$이므로 $\langle u-x, z\rangle = 0$이 되어

위 정리로 $ \lVert y-x\rVert^2 = \lVert u+_Vz -x\Vert^2 = \lVert (u-x)+_V z \Vert^2 = \lVert u-x\rVert^2 + \lVert z\rVert^2 \ge \lVert z\rVert^2 = \lVert y-u\lVert^2 $이고

실수 거듭제곱의 정의와 실수 거듭제곱 정리로 $\lVert y-x\rVert = (\lVert y-x\rVert^2)^\frac{1}{2} \ge (\lVert y-u\rVert^2)^\frac{1}{2}=\lVert y-u\lVert $이다.

4.

$\lVert y-x\rVert = \lVert y -u\rVert$이면 $\lVert y-x\rVert^2 = \lVert y -u\rVert^2$이므로

3번의 부등식에서 $\lVert u-x\rVert^2 + \lVert z\rVert^2 =\lVert z\rVert^2 $이 되어 $\lVert u-x\rVert=0 $이고 노름정리로 $u-x=\vec{0}$이므로 $u=x$이다.

역으로 $u=x$이면 $\lVert y-x\rVert = \lVert y -u\rVert$이다.

5.

1번과 위 정리와 직합정리로 $V = W\oplus \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$이다.

6.

1번으로 임의의 $y \in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp})}^\perp$는 $y = u+_V z$인 $u\in W$와 $z \in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$가 존재하여

위 정리로 $W \subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp})}^\perp$이고 $( \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp})}^\perp,+_V,\cdot_V,\vec{0})$이 벡터공간임에 따라

$z = y-u \in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp})}^\perp$이고 위 정리로 $z  \in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}\cap \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp})}^\perp =\{\vec{0}\}$이므로 $z = \vec{0}$이다.

따라서 $y = u+_Vz = u+_V\vec{0} = u \in W$이므로 $ \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp})}^\perp \subseteq W$이고 집합정리로 $W =\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp})}^\perp$이다.

 

 

 

정리9

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{N}$차원인 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$이고

$k\le n$인 $k\in \mathbb{N}$개의 원소를 갖는 유한집합 $\{ v_1,v_2,\cdots,v_k\}$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교집합일때 다음이 성립한다.

1. $\{ v_1,v_2,\cdots,v_k,v_{k+1},\cdots,v_n\}$인 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교기저가 존재한다.

2. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 임의의 부분공간 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에 대해 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(V)}$ $= \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W)} + \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp})}$이다.

3. $W = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{v_1,v_2,\cdots,v_k\})$일때 $\{ v_{k+1},\cdots,v_n\}$은 $($$\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$$,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규직교기저이다.

증명

1.

$n = 0$이고 $k = 0$이면 $\{ v_1,v_2,\cdots,v_k\}= \emptyset=\{ v_1,v_2,\cdots,v_k,v_{k+1},\cdots,v_n\}$인

$\emptyset$은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저이고 정규직교집합의 정의가 공허하게 성립하여 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교기저이다.

$n \ge 1$이고 $k = 0$이면

$\{ v_1,v_2,\cdots,v_k\}= \emptyset$이고 위 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교기저 $\{ v_1,v_2,\cdots,v_k,v_{k+1},\cdots,v_n\}$이 존재한다.

$n \ge k \ge 1$일때 정규직교집합의 정의와 노름정리로

모든 $i= 1,2,\cdots, k$에 대해 $v_i\ne \vec{0}$이므로 $\{ v_1,v_2,\cdots,v_k\}$는 위 정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 일차독립이 되어

기저정리로 $\{ v_1,v_2,\cdots,v_k,w_{k+1},\cdots, w_n\}$인 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저가 존재하고

$\{ v_1,v_2,\cdots,v_k,w_{k+1},\cdots, w_n\}$에 그람-슈미트 직교화와 정규화하면

위 정리로 $\{ v_1,v_2,\cdots,v_k\}$는 그대로 $\{ v_1,v_2,\cdots,v_k\}$로 대응되고

$\{ w_{k+1},\cdots,w_n\}$에 대응되는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교집합 $\{ v_{k+1},\cdots,v_n\}$이 존재하여

$\{ v_1,v_2,\cdots,v_k,v_{k+1},\cdots,v_n\}$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교기저이다.

2.

부분공간 정리로 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 유한차원이므로 위 정리로 $V = W\oplus \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$이 되어

직합정리와 유한집합 정리와 차원의 정의로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(V)}= \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W)} + \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp})}$이다.

3.

1번과 위 정리로 $\{ v_{k+1},\cdots,v_n\}$은 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교집합이고 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 일차독립이다.

또 $\{v_1,v_2,\cdots,v_k\}$는 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저이고 직교집합의 정의로 

모든 $i = 1,2,\cdots,k$와 모든 $j = k+1,\cdots, n$에 대해 $\langle v_j,v_i\rangle = 0$이므로 위 정리로 $v_j \in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$가 되어

$\{ v_{k+1},\cdots,v_n\}\subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$이고 생성공간 정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ v_{k+1},\cdots,v_n\}) \subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$이다.

$(\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ v_{k+1},\cdots,v_n\}),+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 차원은 $n-k$이고 2번으로 $( \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 차원도 $n-k$이므로

부분공간 정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ v_{k+1},\cdots,v_n\}) = \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$가 되어 $\{ v_{k+1},\cdots,v_n\}$은 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp},\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규직교기저이다.

 

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/80#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/80#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244