정규연산자(Normal operator), 자기수반연산자(Self-adjoint)

정의1

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$이고

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$의 수반연산자 $T^*:V\to V$가 존재할때

정규연산자 :

$T$ $\circ$ $ T^* = T^* \circ T$가 성립하면 $T$를 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규연산자로 정의한다.

자기수반연산자, 에르미트연산자(Hermitian) :

$T = T^*$가 성립하면 $T$를 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자 또는 에르미트연산자로 정의한다.

 

 

 

정의2

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$의 행렬 $A\in M_{n\times n}(F)$의 켤레전치행렬이 $A^*\in M_{n\times n}(F)$일때

정규행렬(normal matrix) :

행렬곱 $\bullet$에 대해 $A\bullet A^* = A^*\bullet A$가 성립하면 $A$를 정규행렬로 정의한다.

자기수반행렬, 에르미트행렬(Hermitian) :

$A = A^*$가 성립하면 $A$를 자기수반행렬 또는 에르미트행렬로 정의한다.

 

 

 

정리9

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원인 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$와 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T : V\to V$에 대해 다음은 동치이다.

1. $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규연산자이다.

2. $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 모든 정규직교순서기저 $\beta$에 대한 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta \in M_{n\times n}(F)$는 정규행렬이다.

3. $T$의 행렬표현 $[T]_\beta \in M_{n\times n}(F)$가 정규행렬이 되는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta$가 존재한다.

증명

수반연산자 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^*:V\to V$가 존재하여 행렬곱이 $\bullet$일때

$1\to 2$

수반연산자 정리와 행렬표현 정리와 정규연산자의 정의로

$[T]_\beta \bullet ([T]_\beta)^* = [T]_\beta \bullet [T^*]_\beta = [T\circ T^*]_\beta = [T^*\circ T]_\beta = [T^*]_\beta\bullet [T]_\beta = ([T]_\beta)^*\bullet [T]_\beta$이므로

$[T]_\beta$는 정규행렬이다.

$2\to 3$

정규직교 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta$가 존재하여 2번으로 $[T]_\beta$는 정규행렬이다.

$3\to 1$

수반연산자 정리와 행렬표현 정리와 정규행렬의 정의로

$ [T\circ T^*]_\beta = [T]_\beta \bullet [T^*]_\beta = [T]_\beta \bullet ([T]_\beta)^* = ([T]_\beta)^*\bullet [T]_\beta = [T^*]_\beta\bullet [T]_\beta = [T^*\circ T]_\beta $이므로

행렬표현 정리로 $T\circ T^* = T^* \circ T$가 되어 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규연산자이다.

 

 

 

정리10

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원인 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$와 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T : V\to V$에 대해 다음은 동치이다.

1. $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자이다.

2. $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 모든 정규직교순서기저 $\beta$에 대한 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta \in M_{n\times n}(F)$는 자기수반행렬이다.

3. $T$의 행렬표현 $[T]_\beta \in M_{n\times n}(F)$가 자기수반행렬이 되는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta$가 존재한다.

증명

수반연산자 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^*:V\to V$가 존재한다.

$1\to 2$

수반연산자 정리와 자기수반연산자의 정의로 $[T]_\beta=  [T^*]_\beta =  ([T]_\beta)^*$이므로 $[T]_\beta$는 자기수반행렬이다.

$2\to 3$

정규직교 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta$가 존재하여 2번으로 $[T]_\beta$는 자기수반행렬이다.

$3\to 1$

수반연산자 정리와 자기수반행렬의 정의로 $[T]_\beta = ([T]_\beta)^*=  [T^*]_\beta $이므로

행렬표현 정리로 $T = T^*$가 되어 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자이다.

 

 

 

정리1

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름이 $\lVert\cdot\rVert:V\to [0,\infty)$이고

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규연산자가 $T:V\to V$이면 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^*:V\to V$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x\in V$에 대해 $\lVert T(x)\rVert = \lVert T^*(x)\rVert$이다.

2. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $F$-벡터공간이 $(L(V\to V),+_L,\cdot_L,T_0)$이고 항등변환이 $I_V: V\to V$일때

임의의 $c\in F$에 대해 $T - c\cdot_L I_V \in L(V\to V)$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규연산자이다.

3. $T(x)=\lambda\cdot_V x$인 임의의 고유벡터 $x\in V\setminus \{ \vec{0}\}$에 대응하는 고윳값 $\lambda \in F$에 대해 $T^*(x) = $ $\overline{\lambda}$ $\cdot_V\, x$이다.

4. $T(x_1)=\lambda_1\cdot_V x_1$이고 $T(x_2)=\lambda_2\cdot_V x_2$인

임의의 고유벡터 $x_1,x_2\in V\setminus \{ \vec{0}\}$에 대응하는 고윳값 $\lambda_1,\lambda_2 \in F$가 $\lambda_1\ne \lambda_2 $이면 $\langle x_1,x_2\rangle = 0$이다.

증명

1.

임의의 $x\in V$에 대해 노름의 정의와 수반연산자 정리와 수반연산자의 정의와 정규연산자의 정의로

$\lVert T(x)\rVert^2 = \langle T(x),T(x)\rangle = \langle T^*(T(x)),x\rangle = \langle (T^*\circ T)(x),x\rangle = \langle (T\circ T^*)(x),x\rangle =\langle T(T^*(x)),x\rangle = \langle T^*(x),T^*(x)\rangle  = \lVert T^*(x)\rVert^2 \text{ 이므로}$

$\lVert T(x)\rVert = \lVert T^*(x)\rVert$이다.

2.

선형변환 정리로 $I_V$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자이고 수반변환 정리로 $I_V^* = I_V$이므로

정규연산자의 정의와 선형변환 정리와 수반변환 정리와 벡터공간의 정의로

$\begin{align*}(T - c\cdot_L I_V)\circ (T-c\cdot_L I_V)^* & = (T - c\cdot_L I_V)\circ (T^* - \overline{c}\cdot_L I_V^*) \\[0.5em] & = (T- c\cdot_L I_V)\circ (T^* - \overline{c}\cdot_L I_V )  \\[0.5em] & = (T\circ T^*) +_L ((- c\cdot_L I_V)\circ T^*) +_L (T\circ (- \overline{c}\cdot_L I_V)) +_L((- c\cdot_L I_V)\circ (- \overline{c}\cdot_L I_V)) \\[0.5em] & = (T^*\circ T) +_L (- c\cdot_L (I_V\circ T^*)) +_L (- \overline{c}\cdot_L (T\circ I_V)) +_L(- c\cdot_L (I_V\circ (- \overline{c}\cdot_L I_V) )) \\[0.5em] & = (T^*\circ T) +_L (- c\cdot_L T^*) +_L (- \overline{c}\cdot_L T) +_L(- c\cdot_L (- \overline{c}\cdot_L I_V) ) \\[0.5em] & = (T^*\circ T) +_L (- \overline{c}\cdot_L T) +_L (- c\cdot_L T^*) +_L( ( ( - c) \cdot (- \overline{c}) ) \cdot_L I_V ) \\[0.5em] & = (T^*\circ T) +_L (- \overline{c}\cdot_L ( I_V\circ T)) +_L (- c\cdot_L ( T^*\circ I_V)) +_L( ( (- \overline{c})\cdot ( - c) ) \cdot_L I_V ) \\[0.5em] & = (T^*\circ T) +_L ((- \overline{c}\cdot_L I_V)\circ T) +_L ( T^*\circ (- c\cdot_L I_V) ) +_L ( - \overline{c}\cdot_L ( - c \cdot_L I_V) ) \\[0.5em] & = ((T^* - \overline {c}\cdot_L I_V) \circ T) +_L ( T^*\circ (- c\cdot_L I_V) ) +_L ( - \overline{c}\cdot_L (I_V\circ ( - c \cdot_L I_V) ) ) \\[0.5em] & = ((T^* - \overline {c}\cdot_L I_V) \circ T) +_L ( T^*\circ (- c\cdot_L I_V) ) +_L (( - \overline{c}\cdot_L I_V)\circ ( - c \cdot_L I_V) ) \\[0.5em] & = ((T^* - \overline {c}\cdot_L I_V) \circ T) +_L (( T^* - \overline{c}\cdot_L I_V) \circ (- c\cdot_L I_V) ) \\[0.5em] & = (T^* - \overline {c}\cdot_L I_V) \circ (T - c\cdot_L I_V) \\[0.5em] & = (T^* - \overline {c}\cdot_L I_V^*) \circ (T - c\cdot_L I_V) \\[0.5em] & = (T - c\cdot_L I_V)^* \circ (T - c\cdot_L I_V) \text{ 이므로} \end{align*}$

$T - c\cdot_L I_V \in L(V\to V)$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규연산자이다.

3.

노름정리와 수반변환 정리와 수반변환 정리와 1, 2번으로

$\begin{align*}0 & = \lVert \vec{0}\rVert \\[0.5em]& = \lVert \lambda\cdot_V x - \lambda\cdot_V x\rVert \\[0.5em]&=\lVert T(x) - \lambda\cdot_V x \rVert \\[0.5em] & = \lVert T(x) - \lambda \cdot_V I_V(x) \rVert \\[0.5em]&= \lVert (T - \lambda\cdot_L I_V)(x)\rVert \\[0.5em]&= \lVert (T -\lambda\cdot_L I_V)^*(x)\rVert \\[0.5em]&= \lVert (T^* - \overline{\lambda}\cdot_L I_V^*)(x)\rVert \\[0.5em]&= \lVert (T^* - \overline{\lambda}\cdot_L I_V)(x)\rVert \\[0.5em]&= \lVert T^*(x) - \overline{\lambda}\cdot_V I_V(x)\rVert \\[0.5em]&= \lVert T^*(x) - \overline{\lambda}\cdot_V x\rVert \text{ 이므로} \end{align*}$

노름정리로 $T^*(x) -\overline{\lambda}\cdot_V x = \vec{0}$이 되어 $T^*(x) = \overline{\lambda}\cdot_V x $이다.

4.

내적정리와 수반연산자의 정의와 3번으로

$\lambda_1 \cdot \langle x_1,x_2\rangle  = \langle \lambda_1\cdot_V x_1 ,x_2\rangle = \langle T(x_1), x_2\rangle = \langle x_1,T^*(x_2)\rangle = \langle x_1,\overline{\lambda_2}\cdot_V x_2\rangle = \lambda_2\cdot \langle x_1,x_2\rangle \text{ 이 되어}$

$\langle x_1,x_2\rangle \ne 0$이라고 가정하면 $\lambda_1= \lambda_2$로 가정에 모순이므로 $\langle x_1,x_2\rangle = 0$이다.

 

 

 

정리2

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원인 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T :V\to V$와 순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$에 대해

$\beta$에 대한 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta \in M_{n\times n}(F)$가 상삼각행렬이기 위한 필요충분조건은

모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $T(v_j) \in $ $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}$$(\{ v_1,v_2,\cdots, v_j\})$인 것이다.

증명

$[T]_\beta$가 상삼각행렬이면 행렬표현의 정의와 상삼각행렬의 정의로 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$\begin{align*}T(v_j)& = ([T]_\beta)_{1,j}\cdot_V v_1 +_V ([T]_\beta)_{2,j}\cdot_V v_2 +_V \cdots +_V ([T]_\beta)_{j,j}\cdot_Vv_j +_V\cdots +_V ([T]_\beta)_{n,j}\cdot_V v_n \\[0.5em]& = ([T]_\beta)_{1,j}\cdot_V v_1 +_V ([T]_\beta)_{2,j}\cdot_V v_2 +_V \cdots +_V ([T]_\beta)_{j,j}\cdot_Vv_j \in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ v_1,v_2,\cdots, v_j\})\text{ 이다.} \end{align*}$

역으로 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $T(v_j) \in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ v_1,v_2,\cdots, v_j\})$이면

생성집합의 정의로 $T(v_j) = a_{1,j}\cdot_V v_1 +_Va_{2,j}\cdot_V v_2 +_V\cdots +_V a_{j,j}\cdot_V v_j$인 $a_{1,j},a_{2,j},\cdots, a_{j,j}\in F$가 존재하여

행렬표현의 정의로 $i\le j$인 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $([T]_\beta)_{i,j} = a_{i,j}$이고 

$i>j$인 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $([T]_\beta)_{i,j} = 0_F$이므로 $[T]_\beta$는 상삼각행렬이다.

 

 

 

정리3(슈어[Schur]의 정리)

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$의 분수다항식체가 $(Q(F),+_Q,\bullet,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_Q$일때

$n\in \mathbb{Z}^+$차원인 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T :V\to V$의 특성다항식 $f(x) \in P_n(F)$가

$k\le n$인 $k \in \mathbb{Z}^+$개의 서로 다른 $T$의 고윳값 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots, \lambda_k \in F$와

$n =m_1 +m_2+\cdots + m_k $인 중복가능한 $m_1,m_2,\cdots, m_k \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$f(x) = (-1_F)^n \cdot_Q ((x^1 - \lambda_1 \cdot_Q x^0)^{m_1} \bullet (x^1 - \lambda_2\cdot_Q x^0)^{m_2} \bullet \cdots \bullet (x^1 - \lambda_k \cdot_Q x^0)^{m_k})$이면

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에 대해

$T$의 행렬표현 $[T]_\gamma\in M_{n\times n}(F)$가 상삼각행렬이 되는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\gamma$가 존재한다.

증명

조르당표준형 정리와 행렬의 직합 정리로

$[T]_\alpha\in M_{n\times n}(F)$가 상삼각행렬이 되는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 순서기저 $\alpha = (w_1,w_2,\cdots,w_n)$가 존재하므로

$\alpha$에 그람-슈미트 직교화를 적용하여 얻은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 순서기저가 $\beta =( v_1,v_2,\cdots, v_n )$일때

$k\le n$인 임의의 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $T(v_k)\in  \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{v_1,v_2,\cdots,v_k\})$임을 강귀납법으로 보인다.

$k = 1$이면

위 정리와 그람-슈미트 직교화의 정의로 $T(v_1)=T(w_1)\in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ w_1\}) = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{v_1\})$이다.

$r \le n$인 모든 $1,2,\cdots, r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 조건이 성립할때 $r+1\le n$이면

위 정리와 그람-슈미트 직교화 정리로

$T(w_{r+1})\in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ w_1,w_2,\cdots,w_r,w_{r+1}\}) = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{v_1,v_2,\cdots,v_r,v_{r+1}\})$이고

귀납가정과 생성집합의 정의로 모든 $j = 1,2,\cdots, r$에 대해

$T(v_j)\in  \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{v_1,v_2,\cdots,v_j\})\subseteq \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ v_1,v_2,\cdots,v_r,v_{r+1}\})$이므로

선형변환 정리와 그람-슈미트 직교화의 정의와 벡터공간의 정의로

$\begin{align*} T(v_{r+1}) = T( w_{r+1} - \sum_{j=1}^r \frac{\langle w_{r+1},v_j\rangle}{\lVert v_j\rVert^2}\cdot_V v_j ) = T( w_{r+1}) - \sum_{j=1}^r \frac{\langle w_{r+1},v_j\rangle}{\lVert v_j\rVert^2}\cdot_V T(v_j ) \in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{v_1,v_2,\cdots,v_r,v_{r+1}\}) \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 $\gamma = (\dfrac{v_1}{\lVert v_1\rVert}, \dfrac{v_2}{\lVert v_2\rVert},\cdots, \dfrac{v_n}{\lVert v_n\rVert})$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저이고

모든 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해

$T(v_k)\in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{v_1,v_2,\cdots,v_k\})$이므로 위 정리로 $[T]_\beta\in M_{n\times n}(F)$는 상삼각행렬이 되어

행렬표현의 정의와 정규화의 정의와 선형변환 정리로 임의의 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$\begin{align*}\sum_{i=1}^n (([T]_\beta)_{i,j} \cdot_F \lVert v_j\rVert^{-1})\cdot_V v_i&= \lVert v_j\rVert^{-1} \cdot_V \left (\sum_{i=1}^n ([T]_\beta)_{i,j}\cdot_V v_i \right )\\[0.5em]&=\lVert v_j\rVert^{-1} \cdot_V T(v_j) \\[0.5em]&=  T(\frac{v_j}{\lVert v_j\rVert}) \\[0.5em]&= \sum_{i=1}^n ([T]_\gamma)_{i,j} \cdot_V \frac{v_i}{\lVert v_i\rVert} \\[0.5em]&= \sum_{i=1}^n (([T]_\gamma)_{i,j}\cdot_F \lVert v_i\rVert^{-1})\cdot_V v_i \text{ 임에 따라}\end{align*}$

기저정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해

$([T]_\beta)_{i,j} \cdot_F \lVert v_j\rVert^{-1} = ([T]_\gamma)_{i,j}\cdot_F \lVert v_i\rVert^{-1}$이고 $([T]_\gamma)_{i,j} = ([T]_\beta)_{i,j} \cdot_F \lVert v_j\rVert^{-1} \cdot_F \lVert v_i\rVert$이므로

$i>j$이면 상삼각행렬의 정의로

$([T]_\gamma)_{i,j} = ([T]_\beta)_{i,j} \cdot_F \lVert v_j\rVert^{-1} \cdot_F \lVert v_i\rVert = 0_F\cdot_F \lVert v_j\rVert^{-1} \cdot_F \lVert v_i\rVert =0_F$가 되어 $[T]_\gamma\in M_{n\times n}(F)$는 상삼각행렬이다.

 

 

 

정리7

복소수체 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원인 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$이고

$(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$의 분수다항식체가 $(Q(\mathbb{C}),+_Q,\bullet,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_Q$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$의 특성다항식 $f(x) \in P_n(\mathbb{C})$는

$f(x) = (-1)^n \cdot_Q ((x^1-\lambda_1\cdot_Q x^0)^{m_1}\bullet (x^1-\lambda_2\cdot_Qx^0)^{m_2}\bullet \cdots\bullet (x^1-\lambda_k\cdot_Q x^0)^{m_k})$가 되는

$k\le n$인 $k\in \mathbb{Z}^+$개의 서로 다른 $T$의 고윳값 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{C}$와

$n = m_1+m_2+\cdots+m_k$인 중복가능한 $m_1,m_2,\cdots,m_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

증명

특성다항식 정리와 대수학의 기본정리로 $k\le n$인 $k\in \mathbb{Z}^+$개의 서로 다른 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{C}$와

$n = m_1+m_2+\cdots+m_k$인 중복가능한 $m_1,m_2,\cdots,m_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$f(x) = (-1)^n \cdot_Q ((x^1-\lambda_1\cdot_Q x^0)^{m_1}\bullet (x^1-\lambda_2\cdot_Qx^0)^{m_2}\bullet \cdots\bullet (x^1-\lambda_k\cdot_Q x^0)^{m_k})$이고

특성다항식의 정의와 고윳값 정리로 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$는 모두 $T$의 고윳값이다.

 

 

 

정리11

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$의 대각행렬이 $D \in M_{n\times n}(F)$일때

$D$의 켤레전치행렬 $D^*\in M_{n\times n}(F)$와 행렬곱 $\bullet$에 대해 $D\bullet D^* = D^*\bullet D$이다.

증명

대각행렬 정리로 $D = D^t$이므로 켤레전치행렬의 정의로 $D^* = \overline{D^t} = \overline{D}$이고

대각행렬 정리와 켤레행렬의 정의로 $D \bullet \overline{D} $와 $\overline{D} \bullet D$는 대각행렬이므로 모든 $i,j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$i\ne j$이면 $(D \bullet \overline{D})_{i,j} = 0 = (\overline{D} \bullet D )_{i,j}$이고

$i=j$이면 켤레행렬의 정의와 전치행렬의 정의로

$\begin{align*} (D\bullet \overline{D})_{i,i} &= \sum_{k=1}^n (D)_{i,k} \cdot (\overline{D})_{k,i} \\[0.5em]&= \sum_{k=1}^n (D)_{i,k} \cdot \overline{(D)_{k,i}}  \\[0.5em]&= \sum_{k=1}^n ((D)^t)_{k,i} \cdot \overline{((D)^t)_{i,k}} \\[0.5em]&= \sum_{k=1}^n \overline{((D)^t)_{i,k}}\cdot ((D)^t)_{k,i} \\[0.5em]&= \sum_{k=1}^n \overline{(D)_{i,k}}\cdot (D)_{k,i} \\[0.5em]&= \sum_{k=1}^n (\overline{D})_{i,k}\cdot (D)_{k,i} \\[0.5em]&= (\overline{D} \bullet D)_{i,i} \text{ 가 되어} \end{align*}$

행렬의 상등으로 $D\bullet D^*=D \bullet \overline{D} = \overline{D}\bullet D = D^*\bullet D$이다.

 

 

 

정리4

복소수체 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원인 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$와 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$에 대해

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규연산자이기 위한 필요충분조건은 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$v_j$가 $T$의 고유벡터인 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta = ( v_1,v_2,\cdots,v_n)$가 존재하는 것이다.

이때 $v_j$에 대응되는 $T$의 고윳값은 $\langle T(v_j),v_j\rangle$이다.

증명

수반연산자 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^*:V\to V$가 존재한다.

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규연산자이면

위 정리와 위 정리로 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta \in M_{n\times n}(\mathbb{C})$가 상삼각행렬이 되는

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots ,v_n)$가 존재하므로

$j\le n$인 임의의 $j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $T(v_j) = \langle T(v_j) ,v_j\rangle \cdot_V v_j$임을 강귀납법으로 보인다.

$j= 1$이면 위 정리로 $T(v_1) \in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ v_1\})$이므로 정규직교집합 정리로 $T(v_1) = \langle T(v_1),v_1\rangle \cdot_V v_1$이다.

$r\le n$인 모든 $r \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $v_1,v_2,\cdots, v_r$에 대응되는 $T$의 고윳값이 $\langle T(v_1),v_1\rangle,\langle T(v_2),v_2\rangle ,\cdots, \langle T(v_r),v_r\rangle$일때

$r+1\le n$이면 모든 $i = 1,2,\cdots, r$에 대해 $T(v_i) =\langle T(v_i),v_i\rangle \cdot_V v_i$이므로 

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^*:V\to V$에 대해 위 정리로 $T^*(v_i) =\overline{\langle T(v_i),v_i\rangle} \cdot_V v_i$이고

위 정리로 $T(v_{r+1}) \in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ v_1,v_2,\cdots,v_r,v_{r+1}\})$임에 따라

정규직교집합 정리와 내적정리와 수반연산자의 정의와 정규직교집합의 정의로

$\begin{align*} T(v_{r+1}) & = \sum_{i=1}^{r+1} \langle T(v_{r+1}), v_i\rangle \cdot_V v_{i} \\[0.5em] & = \left(\sum_{i=1}^{r} \langle T(v_{r+1}), v_i\rangle \cdot_V v_{i}\right )+_V \langle T(v_{r+1}), v_{r+1}\rangle \cdot_V v_{r+1} \\[0.5em] & = \left(\sum_{i=1}^{r} \langle v_{r+1}, T^*(v_i)\rangle \cdot_V v_{i} \right)+_V \langle T(v_{r+1}), v_{r+1}\rangle \cdot_V v_{r+1} \\[0.5em] & = \left(\sum_{i=1}^{r} \langle v_{r+1}, \overline{\langle T(v_i),v_i\rangle }\cdot_V v_i \rangle \cdot_V v_{i}\right) +_V \langle T(v_{r+1}), v_{r+1}\rangle \cdot_V v_{r+1} \\[0.5em] & = \left(\sum_{i=1}^{r} (\langle T(v_i),v_i\rangle \cdot \langle v_{r+1}, v_i \rangle) \cdot_V v_{i} \right)+_V \langle T(v_{r+1}), v_{r+1}\rangle \cdot_V v_{r+1} \\[0.5em] & =\left( \sum_{i=1}^{r} (\langle T(v_i),v_i\rangle \cdot 0) \cdot_V v_{i}\right) +_V \langle T(v_{r+1}), v_{r+1}\rangle \cdot_V v_{r+1} \\[0.5em] & = \langle T(v_{r+1}), v_{r+1}\rangle \cdot_V v_{r+1} \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$v_j\ne \vec{0}$이고 $T(v_j) =\langle T(v_j),v_j\rangle\cdot_V v_j$이므로 $v_j$는 $T$의 고윳값 $\langle T(v_j),v_j\rangle$에 대응되는 고유벡터이다.

역으로 정리가 성립하면

대각화 정리로 $\beta$에 대한 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta \in M_{n\times n}(\mathbb{C})$는 대각행렬이므로

$T$의 수반연산자 $T^*:V\to V$와 행렬곱 $\bullet$에 대해 행렬표현 정리와 수반연산자 정리와 위 정리로

$[T\circ T^*]_\beta = [T]_\beta\bullet [T^*]_\beta = [T]_\beta \bullet ([T]_\beta)^* = ([T]_\beta)^*\bullet [T]_\beta = [T^*]_\beta \bullet [T]_\beta = [T^*\circ T]_\beta$가 되어

행렬표현 정리로 $T\circ T^* = T^* \circ T$이고 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규연산자이다.

 

 

 

정리5

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자 $T:V\to V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규연산자이다.

2. $T$의 모든 고윳값 $\lambda \in F$는 $\lambda \in $ $\mathbb{R}$이다.

3. $T$가 가역이면 $T$의 역함수 $T^{-1} :V\to V$은 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자이다.

증명

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자가 $T^* :V\to V$일때

1.

자기수반연산자의 정의로 $T = T^*$이므로 $T\circ T^* = T^*\circ T$가 되어 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규연산자이다.

2.

고윳값의 정의로 $\lambda $에 대응하는 $T$의 고유벡터 $x\in V\setminus \{\vec{0}\}$가 존재하여

1번과 위 정리로 $\lambda\cdot_V x =T(x) = T^* (x) = \overline{\lambda}\cdot_V x$이므로 $\lambda \ne \overline{\lambda}$라고 가정하면

$\lambda -\overline{\lambda} \ne 0$인데 $(\lambda - \overline{\lambda})\cdot_V x = \vec{0}$이 되어 벡터공간 정리로 $\vec{0}\ne x = (\lambda-\overline{\lambda})^{-1}\cdot_V \vec{0} = \vec{0}$이므로 모순이다.

따라서 $\lambda = \overline{\lambda}$이므로 복소수 정리로 $\lambda\in \mathbb{R}$이다.

3.

자기수반연산자의 정의로 $T = T^*$가 가역이므로

수반연산자 정리로 $(T^{-1})^* = (T^*)^{-1} = T^{-1}$이 되어 $T^{-1}$은 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자이다.

 

 

 

정리6

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원인 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$이고

$(F,+,\cdot,0,1)$의 분수다항식체가 $(Q(F),+_Q,\bullet,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_Q$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자 $T:V\to V$의 특성다항식 $f(x) \in P_n(F)$는

$f(x) = (-1)^n \cdot_Q ((x^1-\lambda_1\cdot_Q x^0)^{m_1}\bullet (x^1-\lambda_2\cdot_Qx^0)^{m_2}\bullet \cdots\bullet (x^1-\lambda_k\cdot_Q x^0)^{m_k})\in P_n(\mathbb{R})$이 되는

$k\le n$인 $k\in \mathbb{Z}^+$개의 서로 다른 $T$의 고윳값 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{R}$와

$n = m_1+m_2+\cdots+m_k$인 중복가능한 $m_1,m_2,\cdots,m_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

증명

정규직교 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta$가 존재하여

$\beta$에 대한 $T$의 행렬표현은 $[T]_\beta\in M_{n\times n}(F) \subseteq M_{n\times n}(\mathbb{C})$이고 $A=[T]_\beta$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^* :V\to V$에 대해

자기수반연산자의 정의와 수반연산자 정리로 $A=[T]_\beta = [T^*]_\beta = ([T]_\beta)^* = A^*$이다.

행렬 $\mathbb{C}$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(\mathbb{C}),+_n,\cdot_n,O_n)$위의 행렬 내적공간이 $(M_{n\times 1}(\mathbb{C}),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$이고

내적공간 정리에 나온 $(M_{n\times 1}(\mathbb{C}),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$의 정규직교순서기저가 $\gamma$일때

$A$의 좌측곱변환 $L_A:M_{n\times 1}(\mathbb{C})\to M_{n\times 1}(\mathbb{C})$와 

$(M_{n\times 1}(\mathbb{C}),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$에서 $L_A$의 수반연산자 $L_A^*:M_{n\times 1}(\mathbb{C})\to M_{n\times 1}(\mathbb{C})$에 대해

좌측곱변환 정리와 내적공간 정리로 $[L_A]_\gamma = A = A^* =[L_{A^*}]_\gamma = [L_A^*]_\gamma$이므로

행렬표현 정리로 $L_A = L_A^*$가 되어 $L_A$는 $(M_{n\times 1}(\mathbb{C}),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$의 자기수반연산자이다.

위 정리로 $L_A$의 특성다항식 $f(x) \in P_n(\mathbb{C})$는

$f(x) = (-1)^n \cdot_Q ((x^1-\lambda_1\cdot_Q x^0)^{m_1}\bullet (x^1-\lambda_2\cdot_Qx^0)^{m_2}\bullet \cdots\bullet (x^1-\lambda_k\cdot_Q x^0)^{m_k})\in P_n(\mathbb{C})$이 되는

$k\le n$인 $k\in \mathbb{Z}^+$개의 서로 다른 고윳값 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{C}$와

$n = m_1+m_2+\cdots+m_k$인 중복가능한 $m_1,m_2,\cdots,m_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

위 정리로 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k\in \mathbb{R}$이므로 $f(x) \in P_n(\mathbb{R})$이고

$[L_A]_\gamma = A =[T]_\beta$임에 따라 특성다항식의 정의로 $L_A$의 특성다항식은 $T$의 특성다항식이다.

 

 

 

정리8

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원인 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$와 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$에 대해

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자이기 위한 필요충분조건은 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$v_j$가 $T$의 고유벡터인 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta = ( v_1,v_2,\cdots,v_n)$가 존재하는 것이다.

이때 $v_j$에 대응되는 $T$의 고윳값은 $\langle T(v_j),v_j\rangle$이다.

증명

수반연산자 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^*:V\to V$가 존재한다.

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자이면

위 정리와 위 정리로 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$가 상삼각행렬이 되는

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots ,v_n)$가 존재하여 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^* :V\to V$에 대해

자기수반연산자의 정의와 수반연산자 정리와 켤레전치행렬 정리로 $[T]_\beta = [T^*]_\beta = ([T]_\beta)^* = ([T]_\beta)^t$이다.

$[T]_\beta$가 대각행렬이 아니라고 가정하면

$([T]_\beta)_{i,j} \ne 0$이고 $i\ne j$인 $i,j = 1,2,\cdots,n$가 존재하고 $[T]_\beta $는 상삼각행렬이므로 $ j>i$인데

상삼각행렬의 정의로 $0 \ne ([T]_\beta)_{i,j} = (([T]_\beta)^t)_{i,j}  = ([T]_\beta)_{j,i} =0$이 되어 모순이다.

따라서 $[T]_\beta$는 대각행렬이므로 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $([T]_\beta)_{j,j} = \lambda_j$일때

행렬 정리에 나온 행렬 $\mathbb{R}$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),+_n,\cdot_n,O_n)$의 기저 $\{e_1,e_2,\cdots, e_n\}$과 행렬곱 $\bullet$에 대해

행렬표현 정리와 좌표벡터의 정의와 행렬 정리와 좌표벡터 정리로

$[T(v_j)]_\beta = [T]_\beta \bullet [v_j]_\beta = [T]_\beta\bullet e_j = ([T]_\beta)_{j,j} \cdot_n e_j =\lambda_j\cdot_n e_j= \lambda_j\cdot_n [v_j]_\beta = [\lambda_j \cdot_V v_j]_\beta$이고

$T(v_j) = \lambda_j\cdot_V v_j$이므로 $v_j \ne \vec{0}$임에 따라 $v_j$는 $T$의 고유벡터이다.

또 정규직교 정리로 $\lambda_j =([T]_\beta)_{j,j} = \langle T(v_j),v_j\rangle$이다.

역으로 정리가 성립하면

대각화 정리로 $\beta$에 대한 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$는 대각행렬이고

대각행렬 정리로 $([T]_\beta)^t = [T]_\beta \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$이므로

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^*:V\to V$에 대해 켤레행렬 정리와 켤레전치행렬의 정의와 수반연산자 정리로

$[T]_\beta = ([T]_\beta)^t = \overline{([T]_\beta)^t} = ([T]_\beta)^* = [T^*]_\beta$가 되어

행렬표현 정리로 $T = T^*$이고 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/82#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/82#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244