유니타리연산자(Unitary operator)

정의1

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$이고

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$의 수반연산자 $T^*:V\to V$가 존재하고 $T$가 가역일때

$T$의 역함수 $T^{-1}: V\to V$에 대해 $T^* = T^{-1}$이 성립하면 $T$를 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자로 정의한다.

$(F,+,\cdot,0,1)$가 $F = \mathbb{R}$인 실수체이면

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자 $T$를 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교연산자(orthogonal operator)라고도 한다.

 

 

 

정의2

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$의 가역행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$의 켤레전치행렬이 $A^*\in M_{n\times n}(F)$일때

$A$의 역행렬 $A^{-1} \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $A^* = A^{-1}$이 성립하면 $A$를 유니타리행렬로 정의한다.

$(F,+,\cdot,0,1)$가 $F = \mathbb{R}$인 실수체이면 유니타리행렬 $A$를 직교행렬이라고도 한다.

 

 

 

정리6

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원인 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$와 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T : V\to V$에 대해 다음은 동치이다.

1. $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이다.

2. $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 모든 정규직교순서기저 $\beta$에 대한 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta \in M_{n\times n}(F)$는 유니타리행렬이다.

3. $T$의 행렬표현 $[T]_\beta \in M_{n\times n}(F)$가 유니타리행렬이 되는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta$가 존재한다.

증명

수반연산자 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^*:V\to V$가 존재하여 행렬곱이 $\bullet$일때

$1\to 2$

유니타리연산자의 정의로 $T$의 역함수 $T^{-1}:V\to V$에 대해 $T^* = T^{-1}$이므로

행렬표현 정리로 $[T]_\beta$의 역행렬 $([T]_\beta)^{-1}\in M_{n\times n}(F)$이 존재하여

수반연산자 정리와 행렬표현 정리로 $([T]_\beta)^* = [T^*]_\beta = [T^{-1}]_\beta = ([T]_\beta)^{-1}$이고 $[T]_\beta$는 유니타리행렬이다.

$2\to 3$

정규직교 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta$가 존재하여 2번으로 $[T]_\beta$는 유니타리행렬이다.

$3\to 1$

유니타리행렬의 정의로 $[T]_\beta$의 역행렬 $([T]_\beta)^{-1}\in M_{n\times n}(F)$이 존재하여

행렬표현 정리로 $T$의 역함수 $T^{-1}:V\to V$이 존재하고 $[T]_\beta$의 켤레전치행렬 $([T]_\beta)^*\in M_{n\times n}(F)$에 대해

수반연산자 정리와 행렬표현 정리로 $[T^*]_\beta =([T]_\beta)^*= ([T]_\beta)^{-1} = [T^{-1}]_\beta$이므로

행렬표현 정리로 $T^* = T^{-1}$이 되어 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이다.

 

 

 

정리1

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자 $T : V\to V$와 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 영변환 $T_0:V\to V$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x\in V$에 대해 $\langle T(x),x \rangle = 0$이면 $T = T_0$이다.

2. 모든 $x\in V$에 대해 $\langle x,T(x)\rangle = 0$이면 $T = T_0$이다.

증명

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자가 $T^*:V\to V$이고 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름이 $\lVert\cdot\rVert :V\to [0,\infty)$일때

1.

선형변환 정리와 내적정리와 수반연산자의 정의와 자기수반연산자의 정의로

$\begin{align*} 0 &= \langle T(x +_V T(x)),(x +_V T(x))\rangle \\[0.5em] & = \langle T(x) +_V T(T(x)), x +_V T(x)\rangle \\[0.5em] & = \langle T(x), x +_V T(x)\rangle + \langle T(T(x)), x +_V T(x)\rangle \\[0.5em] & = \langle T(x), x \rangle +\langle T(x), T(x)\rangle + \langle T(T(x)), x \rangle + \langle T(T(x)), T(x)\rangle \\[0.5em] & = 0 +\langle T(x), T(x)\rangle + \langle T(T(x)), x \rangle + 0 \\[0.5em] & = \langle T(x), T(x)\rangle + \langle T(x), T^*(x) \rangle \\[0.5em] & = \langle T(x), T(x)\rangle + \langle T(x), T(x) \rangle \\[0.5em] & = \lVert T(x)\rVert^2 + \lVert T(x) \rVert^2 \\[0.5em] & = 2\cdot \lVert T(x)\rVert^2 \text{ 이므로}\end{align*}$

$\lVert T(x)\rVert = 0$이 되어 노름정리와 영변환의 정의로 $T(x) = \vec{0} = T_0(x)$이고 함수의 상등으로 $T = T_0$이다.

2.

수반연산자 정리와 자기수반연산자의 정의로 $0=\langle x,T(x)\rangle = \langle T^*(x),x\rangle = \langle T(x),x\rangle$이므로 1번으로 $T=T_0$이다.

 

 

 

정리2

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의

벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$와 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$이고

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$와 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$의 노름이 $\lVert \cdot\rVert_V : V\to [0,\infty)$와 $\lVert \cdot\rVert_W : W\to [0,\infty)$이고

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 항등변환이 $I_V:V\to V$와 $I_W:W\to W$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환 $T :V\to W$에 대해

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$와 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$에서 $T$의 수반변환 $T^* :W\to V$가 존재하면 다음은 동치이다.

1. $T$가 전사이고 $ T^* \,$$\circ$ $ T = I_V$이다.

2. $T^*$가 전사이고 $T\circ T^* = I_W$이다.

3. $T$가 전사이고 모든 $x,y \in V$에 대해 $\langle T(x), T(y)\rangle_W = \langle x,y\rangle_V$이다.

4. $T$가 전사이고 모든 $x \in V$에 대해 $\lVert T(x)\rVert_W = \lVert x\rVert_V$이다.

증명

$1\leftrightarrow 2$

$T$가 전사이고 $ T^*\circ T = I_V$이면

$T^*\circ T $는 전단사이므로 함수정리로 $T^*$는 전사이고 $T$는 단사가 되어

$T$가 전단사임에 따라 역함수 정리로 $T$의 역함수 $T^{-1} : W \to V$이 존재한다.

수반변환 정리로 $T^*$는 단사이므로 수반변환 정리로 $T^*$의 역함수 $(T^*)^{-1} : V\to W$는 $(T^{-1})^* = (T^*)^{-1}$이 되어

역함수의 정의로 $(T^*)^{-1} \circ T^* = I_W$이고 $T = I_W\circ T = (T^*)^{-1} \circ T^* \circ T = (T^*)^{-1} \circ I_V = (T^*)^{-1}$이므로

역함수 정리로 $T^{-1} = ((T^*)^{-1})^{-1} = T^*$가 되어 $T\circ T^* = T\circ T^{-1} = I_W$이다.

역으로 $T^*$가 전사이고 $T\circ T^* = I_W$이면

$T\circ T^*$는 전단사이므로 함수정리로 $T$는 전사이고 $T^*$는 단사가 되어

$T^*$가 전단사임에 따라 역함수 정리로 $T^*$의 역함수 $(T^*)^{-1} : V \to W$이 존재한다.

수반변환 정리로 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$와 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$에서 $T^*$의 수반변환 $(T^*)^* : V\to W$는 $(T^*)^* = T$이고

수반변환 정리로 $T$는 단사이므로 $T$가 전단사임에 따라 역함수 정리로 $T$의 역함수 $T^{-1} : W\to V$이 존재하여

역함수의 정의로 $T^{-1} \circ T = I_V$이고 $T^* = I_V\circ T^* = T^{-1} \circ T \circ T^* = T^{-1} \circ I_W = T^{-1}$이므로

역함수 정리로 $(T^*)^{-1} = (T^{-1})^{-1} = T$가 되어 $T^*\circ T  = T^*\circ (T^*)^{-1} = I_V$이다.

$1\to 3$

1번과 수반변환 정리로 $\langle T(x), T(y)\rangle_W =\langle T^*(T(x)) ,y\rangle_V = \langle (T^*\circ T)(x),y\rangle_V = \langle I_V(x),y\rangle_V  = \langle x,y\rangle_V$이다.

$3\to 4$

3번으로 $\lVert T(x)\rVert^2_W=\langle T(x), T(x)\rangle_W = \langle x,x\rangle_V =\lVert x\rVert^2_V$이므로 $\lVert T(x)\rVert_W = \lVert x\rVert_V$이다.

$4\to 1$

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 선형연산자 $F$-벡터공간이 $(L(V\to V),+_L,\cdot_L,T_0)$일때 

4번과 수반변환의 정의로 $\langle x,x\rangle_V = \lVert x\rVert^2_V = \lVert T(x)\rVert^2_W = \langle T(x),T(x)\rangle_W = \langle x,T^*(T(x))\rangle_V$이므로

내적정리로 

$\begin{align*}\langle x, (I_V -T^* \circ T)(x)\rangle_V  = \langle x,I_V(x) - (T^*\circ T)(x)\rangle_V  = \langle x,I_V(x)\rangle_V - \langle x, (T^*\circ T)(x)\rangle_V = \langle x,x\rangle_V - \langle x,T^*(T(x))\rangle_V = 0 \text{ 이다.} \end{align*}$

수반변환 정리로 $T^* \circ T :V\to V$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$의 자기수반연산자이고

항등변환 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$에서 $I_V$의 수반연산자는 $I_V^* = I_V$이므로

수반연산자 정리와 수반연산자 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$에서 $I_V - T^*\circ T$의 수반연산자 $(I_V -T^*\circ T)^* : V\to V$는

$(I_V -T^*\circ T)^* =I_V^*- (T^*\circ T)^* = I_V - T^*\circ T$가 되어 $I_V - T^*\circ T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$의 자기수반연산자이다.

따라서 위 정리로 $T_0 = I_V - T^*\circ T$이므로 $T^*\circ T = I_V$이다.

 

 

 

정리3

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\dim(V)} = \underset{(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)}{\dim(W)} =n \in \mathbb{N} $인

유한차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$와 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$이고

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$와 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$의 노름이 $\lVert \cdot\rVert_V : V\to [0,\infty)$와 $\lVert \cdot\rVert_W : W\to [0,\infty)$이고

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 항등변환이 $I_V:V\to V$와 $I_W:W\to W$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환 $T :V\to W$와

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$와 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$에서 $T$의 수반변환 $T^* :W\to V$에 대해 다음은 동치이다.

1. $ T^* \,$$\circ$ $ T = I_V$

2. $T\circ T^* = I_W$

3. 모든 $x,y \in V$에 대해 $\langle T(x), T(y)\rangle_W = \langle x,y\rangle_V$이다.

4. $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$의 모든 정규직교기저 $\beta$에 대해 $T(\beta)$는 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$의 정규직교기저이다.

5. $T(\beta)$가 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$의 정규직교기저가 되는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$의 정규직교기저 $\beta$가 존재한다.

6. 모든 $x \in V$에 대해 $\lVert T(x)\rVert_W = \lVert x\rVert_V$이다.

증명

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$가 유한차원이므로 수반변환 정리로 $T^*$가 존재한다.

$1\leftrightarrow 2$

$T^*\circ T = I_V$이면

$T^*\circ T$는 전단사이므로 함수정리로 $T$는 단사이고 선형변환 정리로 $T$는 전사가 되어 위 정리로 $T\circ T^* = I_W$이다.

역으로 $T\circ T^* = I_W$이면

$T\circ T^*$는 전단사이므로 함수정리로 $T^*$는 단사이고 선형변환 정리로 $T^*$는 전사가 되어 위 정리로 $T^*\circ T = I_V$이다.

$1\to 3$

1번과 수반변환 정리로 $\langle T(x), T(y)\rangle_W =\langle T^*(T(x)) ,y\rangle_V = \langle (T^*\circ T)(x),y\rangle_V = \langle I_V(x),y\rangle_V  = \langle x,y\rangle_V$이다.

$3\to 4$

모든 $v\in V$와 $T(x) = T(y)$인 임의의 $x,y \in V$에 대해

3번으로 $\langle v,x\rangle_V =\langle T(v), T(x)\rangle_W = \langle T(v),T(y)\rangle_W = \langle v,y\rangle_V$가 되어 내적정리로 $x = y$이므로 $T$는 단사이다.

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$의 임의의 정규직교기저 $\beta = \{ v_1,v_2,\cdots, v_n\}$에 대해

함수정리로 $T(\beta) = \{ T(v_1),T(v_2),\cdots ,T(v_n)\}$은 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이고

$(F,+,\cdot,0,1)$의 크로네커델타 $\delta$와 모든 $i,j = 1,2,\cdots, n$에 대해

정규직교 정리와 3번으로 $\langle T(v_i), T(v_j)\rangle_W = \langle v_i,v_j\rangle_V = \delta_{i,j}$이므로

$n = 0$이면 $T(\beta)$는 공허하게 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$의 정규직교집합이고

$n\ge 1$이면 정규직교 정리로 $T(\beta)$는 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$의 정규직교집합이다.

따라서 선형변환 정리로 $T$는 전사가 되어 역함수 정리로 $T$는 가역이므로

동형사상 정리로 $T(\beta)$가 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 기저임에 따라 $T(\beta)$는 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$의 정규직교기저이다.

$4\to 5$

정규직교정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$의 정규직교기저 $\beta$가 존재하여 4번으로 $T(\beta)$는 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$의 정규직교기저이다.

$5\to 6$

5번으로 $T(\beta) = \{ T(v_1),T(v_2),\cdots ,T(v_n)\}$가 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$의 정규직교기저인 

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$의 정규직교기저 $\beta = \{ v_1,v_2,\cdots, v_n\}$이 존재하므로

$n = 0$이면

차원의 정의로 $\beta =\emptyset$이고 생성집합의 정의로 $V = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{span}(\emptyset)} = \{ \vec{0}_V\}$가 되어 모든 $x\in V$는 $x = \vec{0}_V$이므로

선형변환 정리와 노름정리로 $\lVert T(x)\rVert_W = \lVert T(\vec{0}_V)\rVert_W = \lVert \vec{0}_W\rVert_W = 0 = \lVert \vec{0}_V \rVert_V = \lVert x\rVert_V$이다.

$n\ge 1$이면

기저정리로 모든 $x\in V$에 대해 $x = \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i \cdot_V v_i$인 $a_1,a_2,\cdots,a_n \in F$이 존재하여

직교정리와 정규직교집합의 정의로 $\begin{align*} \lVert x\rVert^2_V & = \left \lVert \sum_{i =1}^n a_i \cdot_V v_i\right \rVert_V^2 = \sum_{i = 1}^n |a_i|^2\cdot \lVert v_i\rVert^2_V =  \sum_{i = 1}^n |a_i|^2 \end{align*}$이고

선형변환 정리와 직교정리와 정규직교집합의 정의로

$\begin{align*} \lVert T(x) \rVert^2_W & = \left \lVert  T(\sum_{i=1}^na_i \cdot_V v_i) \right \rVert_W^2 = \left \lVert \sum_{i =1}^n a_i \cdot_V T(v_i) \right \rVert_W^2 = \sum_{i = 1}^n |a_i|^2\cdot \lVert T(v_i)\rVert^2_W = \sum_{i = 1}^n |a_i|^2 = \lVert x\rVert_V^2 \end{align*}$이므로

$\lVert T(x)\rVert_W = \lVert x\rVert_V$이다.

$6\to 1$

$T(x) = T(y)$인 임의의 $x,y \in V$에 대해

노름정리와 선형변환 정리와 6번으로 $0 =\lVert \vec{0}_W\rVert_W =\lVert T(x) - T(y)\rVert_W = \lVert T(x-y)\rVert_W = \lVert x -y\rVert_V$가 되어

다시 노름정리로 $x-y = \vec{0}_V$이므로 $x = y$임에 따라 $T$는 단사이다.

따라서 선형변환 정리로 $T$는 전사가 되어 위 정리로 $T^*\circ T = I_V$이다.

 

 

 

정리4

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $F$-벡터공간 $(L(V\to V),+_L,\cdot_L,T_0)$과

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자 $T,U:V\to V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규연산자이다.

2. $T$의 모든 고윳값 $\lambda \in F$는 $|\lambda|$ $ = 1$이다.

3. 합성함수 $T\circ U : V\to V$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이다.

4. $|c| = 1$인 임의의 $c\in F$에 대해 $c\cdot_L T:V\to V$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이다.

증명

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자가 $T^*:V\to V$이고 $T$의 역함수가 $T^{-1}:V\to V$일때

1.

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 항등변환 $I_V:V\to V$에 대해 유니타리연산자의 정의와 역함수의 정의로

$T\circ T^* = T\circ T^{-1} = I_V = T^{-1}\circ T = T^*\circ T$이므로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규연산자이다.

2.

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름이 $\lVert\cdot\rVert :V\to [0,\infty)$이고 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 항등변환이 $I_V:V\to V$일때

유니타리연산자의 정의로 $T$는 가역이므로 역함수 정리로 $T$는 전단사이고

역함수의 정의로 $T^*\circ T = T^{-1}\circ T = I_V$이므로 위 정리로 모든 $x \in V$에 대해 $\lVert T(x)\rVert = \lVert x\rVert$이다.

따라서 고윳값의 정의로 $T(v) = \lambda\cdot_V v$인 $v\in V\setminus \{ \vec{0}\}$가 존재하여

노름의 정의로 $\lVert v\rVert =\lVert T(v)\rVert = \lVert \lambda\cdot_V v\rVert = |\lambda|\cdot \lVert v\rVert$이고 $v\ne \vec{0}$이므로 노름정리로 $\lVert v\rVert \ne 0$이 되어

$1 = \lVert v\rVert \cdot \lVert v\rVert^{-1} = |\lambda|\cdot \lVert v\rVert \cdot \lVert v\rVert^{-1} = |\lambda|\cdot 1 = |\lambda|$이다.

3.

유니타리연산자의 정의와 역함수 정리로 $T,U$는 전단사이므로 합성함수 정리로 $T\circ U$도 전단사이고

선형변환 정리로 $T\circ U$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자가 되어

유니타리연산자의 정의와 위 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름 $\lVert\cdot\rVert :V\to [0,\infty)$와 모든 $x \in V$에 대해

$\lVert (T\circ U)(x)\rVert =\lVert T(U(x))\rVert = \lVert U(x)\rVert= \lVert x\rVert$이므로 다시 위 정리로 $T\circ U$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이다.

4.

유니타리연산자의 정의와 역함수 정리로 $T$는 전단사이고 복소수 정리로 $c\ne 0$이므로

모든 $y\in V$에 대해 $T(x) =c^{-1} \cdot_V y$인 $x\in V$가 존재하여

$(c\cdot_L T)(x) = c\cdot_V T(x) = c\cdot_V (c^{-1}\cdot_V y) = (c\cdot c^{-1})\cdot_V y = 1\cdot_V y =y$이고 $c\cdot_L T$는 전사이므로

유니타리연산자의 정의와 위 정리와 노름의 정의로 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름 $\lVert\cdot\rVert :V\to [0,\infty)$와 모든 $x \in V$에 대해

$\lVert (c\cdot_L T)(x)\rVert = \lVert c\cdot_V T(x)\rVert = |c|\cdot \lVert T(x)\rVert = 1\cdot \lVert T(x)\rVert = \lVert T(x)\rVert = \lVert x\rVert$가 되어

다시 위 정리로 $c\cdot_L T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이다.

 

 

 

정리5

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원인 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$와 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$에 대해

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자이고 유니타리연산자이기 위한 필요충분조건은

모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $v_j$가 $|\lambda_j|$ $ = 1$인 $T$의 고윳값 $\lambda_j \in \mathbb{R}$에 대응되는 $T$의 고유벡터인

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$가 존재하는 것이다.

증명

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자이고 유니타리연산자이면

자기수반연산자 정리로 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $v_j$가 $T$의 고윳값 $\lambda_j \in \mathbb{R}$에 대응되는 $T$의 고유벡터인

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta =(v_1,v_2,\cdots,v_n) $가 존재하여 위 정리로 $|\lambda_j| = 1$이다.

역으로 정리가 성립하면

자기수반연산자 정리로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자이므로

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^*:V\to V$에 대해 $T^* = T$가 되어

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 항등변환 $I_V:V\to V$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

고유벡터의 정의와 선형변환의 정의와 실수정리로

$\begin{align*}(T\circ T^*)(v_j) &= (T\circ T)(v_j) \\[0.5em]&= T(T(v_j)) \\[0.5em]&= T(\lambda_j\cdot_V v_j) \\[0.5em]&=\lambda_j\cdot_V T(v_j)\\[0.5em]& = \lambda_j \cdot_V (\lambda_j\cdot_V v_j)\\[0.5em]& = \lambda_j^2\cdot_V v_j \\[0.5em]&= |\lambda_j|^2\cdot_V v_j \\[0.5em]&= 1\cdot_V v_j \\[0.5em]&= v_j \\[0.5em]&= I_V(v_j) \text{ 이다.}\end{align*}$

따라서 선형변환 정리로 $T\circ T^* = I_V$이므로 위 정리로 $T\circ T^* = I_V = T^*\circ T$가 되어

역함수의 정의로 $T^* = T^{-1}$이고 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이다.

 

 

 

정리7

복소수체 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원인 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$와 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$에 대해

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이기 위한 필요충분조건은

모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $v_j$가 $|\lambda_j|$ $ = 1$인 $T$의 고윳값 $\lambda_j \in \mathbb{C}$에 대응되는 $T$의 고유벡터인

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$가 존재하는 것이다.

증명

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이면

위 정리와 정규연산자 정리로 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $v_j$가 $T$의 고윳값 $\lambda_j \in \mathbb{C}$에 대응되는 $T$의 고유벡터인

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta =(v_1,v_2,\cdots,v_n) $가 존재하여 위 정리로 $|\lambda_j| = 1$이다.

역으로 정리가 성립하면

정규연산자 정리로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규연산자이므로

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 항등변환 $I_V:V\to V$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

정규연산자 정리와 선형변환의 정의와 고유벡터의 정의와 복소수 정리로

$\begin{align*}(T\circ T^*)(v_j) &= T(T^*(v_j)) \\[0.5em]&= T(\overline{\lambda_j}\cdot_V v_j) \\[0.5em]&=\overline{\lambda_j}\cdot_V T(v_j)\\[0.5em]& = \overline{\lambda_j} \cdot_V ( \lambda_j\cdot_V v_j)\\[0.5em]& = (\overline{\lambda_j} \cdot \lambda_j)\cdot_V v_j \\[0.5em]&= |\lambda_j|^2\cdot_V v_j \\[0.5em]&= 1\cdot_V v_j \\[0.5em]&= v_j \\[0.5em]&= I_V(v_j) \text{ 이다.}\end{align*}$

따라서 선형변환 정리로 $T\circ T^* = I_V$이므로 위 정리로 $T\circ T^* = I_V = T^*\circ T$가 되어

역함수의 정의로 $T^* = T^{-1}$이고 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이다.

 

 

 

정리14

복소수체 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원인 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자 $T:V\to V$와 임의의 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해

합성함수 연산 $\circ$에 대한 $k$번 연산이 $T = U^k$가 되는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자 $U:V\to V$가 존재한다.

증명

위 정리로 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $v_j$가 $|\lambda_j| = 1$인 $T$의 고윳값 $\lambda_j \in \mathbb{C}$에 대응되는 $T$의 고유벡터인

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$가 존재하고

오일러수 $e\in \mathbb{R}$와 허수 $i \in \mathbb{C}$에 대해 복소수 정리로 $\lambda_j = |\lambda_j|\cdot e^{i\cdot \theta} = e^{i\cdot \theta}$인 실수 $\theta\in \mathbb{R}$가 존재하여

선형변환 정리로 $U(v_j) = e^{i\cdot \frac{\theta}{k}}\cdot_V v_j$인 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $U:V\to V$가 존재한다.

따라서 복소수 정리로 $|e^{i\cdot \frac{\theta}{k}}| = 1$이고 $v_j$는 $U$의 고윳값 $e^{i\cdot \frac{\theta}{k}} \in \mathbb{C}$에 대응되는 $U$의 고유벡터이므로

위 정리로 $U$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이고 선형연산자의 정의와 고윳값의 정의와 복소수 정리로

$U^k(v_j) = (e^{i\cdot \frac{\theta}{k}})^k \cdot_V v_j = e^{i\cdot k\cdot \frac{\theta}{k}}\cdot_V v_j = e^{i\cdot \theta}\cdot_V v_j = \lambda_j \cdot_V v_j = T(v_j) $가 되어

선형변환 정리로 $U^k:V\to V$가 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자임에 따라 선형변환 정리로 $T = U^k$이다.

 

 

 

정의3

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$의 임의의 행렬 $A,B \in M_{n\times n}(F)$와 행렬곱 $\bullet $에 대해

$A = P^*\bullet B \bullet P$인 유니타리행렬 $P \in M_{n\times n}(F)$가 존재하면 $A,B$가 유니타리동치라고 정의한다.

$(F,+,\cdot,0,1)$가 $F = \mathbb{R}$인 실수체이면 $A,B$를 직교동치라고도 한다.

 

 

 

정리8

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$의 유니타리행렬 $A,B\in M_{n\times n}(F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$은 유니타리행렬이다.

2. $A$의 켤레전치행렬 $A^*\in M_{n\times n}(F)$는 유니타리행렬이다.

3. $A,B$의 행렬곱 $A\bullet B\in M_{n\times n}(F)$는 유니타리행렬이다.

증명

1.

켤레전치행렬 정리로 $I_n^* = I_n$이고 $I_n^* \bullet I_n = I_n\bullet I_n = I_n = I_n\bullet I_n = I_n\bullet I_n^*$이므로

$I_n$의 역행렬은 $I_n^{-1} = I_n^*$가 되어 $I_n$은 유니타리행렬이다.

2.

유니타리행렬의 정의로 $A$의 역행렬은 $A^{-1} = A^*$이므로

켤레전치행렬 정리로 $(A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = (A^*)^*$가 되어 $A^*$는 유니타리행렬이다.

3.

유니타리행렬의 정의로 $A,B$의 역행렬은 $A^{-1} = A^*$이고 $B^{-1} = B^*$이므로

역행렬 정리와 켤레전치행렬 정리로 $(A\bullet B)^{-1} = B^{-1} \bullet A^{-1} = B^*\bullet A^* = (A\bullet B)^*$가 되어

$A\bullet B$는 유니타리행렬이다.

 

 

 

정리9

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$의 행렬집합 $M_{n\times n}(F)$의 부분집합 $\mathcal{S} \subseteq M_{n\times n}(F)$와 임의의 $A,B \in \mathcal{S}$에 대해

$(A,B) \in \mathcal{R}$이기 위한 필요충분조건이 $A$와 $B$가 유니타리동치인 관계 $\mathcal{R}$은 $\mathcal{S}$의 동치관계이다.

증명

행렬곱 $\bullet$과 항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$에 대해 $\mathcal{R}$은 아래 동치관계의 성질을 모두 만족하므로 $\mathcal{S}$의 동치관계이다.

반사성

위 정리로 $I_n$은 유니타리행렬이고 켤레전치행렬 정리로 $I_n^* = I_n$이므로

임의의 $A \in \mathcal{S}$에 대해 $A = I_n \bullet A \bullet I_n = I_n^* \bullet A \bullet I_n$이 되어 $(A,A) \in \mathcal{R}$이다.

대칭성

임의의 $A,B \in \mathcal{S}$에 대해 $(A, B) \in \mathcal{R}$이면

$A = P^* \bullet B \bullet P$인 유니타리행렬 $P \in M_{n\times n}(F)$가 존재하여 위 정리로 $P^* \in M_{n\times n}(F)$는 유니타리행렬이고

켤레전치행렬 정리로 $(P^*)^* \bullet A \bullet P^* = P \bullet A \bullet P^{*} = P \bullet P^{*} \bullet B \bullet P \bullet P^{*} = B$이므로 $(B,A) \in \mathcal{R}$이다.

추이성

임의의 $A, B, C \in \mathcal{S}$에 대해 $(A , B) \in \mathcal{R}$이고 $(B, C) \in \mathcal{R}$이면

$A = Q^{*} \bullet B \bullet Q$이고 $B = P^{*} \bullet C \bullet P$인 유니타리행렬 $Q,P \in M_{n\times n}(F)$가 존재하여

위 정리로 $P\bullet Q\in M_{n\times n}(F)$는 유니타리행렬이고

켤레전치행렬 정리로 $A = Q^{*} \bullet B \bullet Q = Q^{*} \bullet P^{*} \bullet C \bullet P \bullet Q = (P\bullet Q)^{*} \bullet C \bullet (P \bullet Q)$이므로 $(A,C) \in \mathcal{R}$이다.

 

 

 

정리10

복소수체 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$의 임의의 행렬 $A\in M_{n\times n}(\mathbb{C})$와 행렬곱 $\bullet$에 대해

$A$가 정규행렬이기 위한 필요충분조건은 $A$와 유니타리동치인 대각행렬 $D \in M_{n\times n}(\mathbb{C})$가 존재하는 것이다.

증명

$A$가 정규행렬이면

행렬 $\mathbb{C}$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(\mathbb{C}),+_n,\cdot_n,O_n)$위의 행렬내적공간이 $(M_{n\times 1}(\mathbb{C}),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$일때

$A$의 좌측곱변환 $L_{A}:M_{n\times 1}(\mathbb{C})\to M_{n\times 1}(\mathbb{C})$는 행렬정리에 나온 $(M_{n\times 1}(\mathbb{C}),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$의 정규직교순서기저 $\beta$에 대해

행렬정리로 $[L_A]_\beta = A$이므로 정규연산자 정리로 $L_A$는 $(M_{n\times 1}(\mathbb{C}),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$의 정규연산자이다.

항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(\mathbb{C})$의 좌측곱변환 $L_{I_n}:M_{n\times 1}(\mathbb{C})\to M_{n\times 1}(\mathbb{C})$은 $(M_{n\times 1}(\mathbb{C}),+_n,\cdot_n,O_n)$의 항등변환이고

정규연산자 정리로 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $v_j$가 $L_A$의 고유벡터인

$(M_{n\times 1}(\mathbb{C}),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$의 정규직교순서기저 $\gamma =(v_1,v_2,\cdots,v_n) $가 존재하므로

행렬표현 정리와 항등변환 정리와 수반연산자 정리로

$ ([L_{I_n}]_\beta^\gamma)^{-1} = [L_{I_n}]_\gamma^\beta = [L_{I_n}^*]_\gamma^\beta = ([L_{I_n}]_\beta^\gamma)^*$가 되어 $[L_{I_n}]_\beta^\gamma\in M_{n\times n}(\mathbb{C})$는 유니타리행렬이고

행렬표현 정리로 $A = [L_A]_\beta = [L_{I_n}\circ L_{A}\circ L_{I_n}]_\beta^\beta = [L_{I_n}]_\gamma^\beta \bullet [L_A]_\gamma^\gamma \bullet [L_{I_n}]_\beta^\gamma = ([L_{I_n}]_\beta^\gamma)^*\bullet [L_A]_\gamma\bullet [L_{I_n}]_\beta^\gamma $이므로

$A$와 $[L_{A}]_\gamma$는 유니타리동치이고 대각화 정리로 $[L_A]_\gamma\in M_{n\times n}(\mathbb{C})$는 대각행렬이다.

역으로 $A = P^*\bullet D \bullet P$인 유니타리행렬 $P\in M_{n\times n}(\mathbb{C})$와 대각행렬 $D\in M_{n\times n}(\mathbb{C})$가 존재하면

켤레전치행렬 정리와 유니타리행렬의 정의와 대각행렬 정리로

$ \begin{align*} A\bullet A^* & = (P^*\bullet D\bullet P) \bullet (P^*\bullet D\bullet P)^* \\[0.5em] & = P^*\bullet D\bullet P \bullet P^*\bullet D^*\bullet (P^*)^* \\[0.5em] & = P^*\bullet D\bullet P \bullet P^*\bullet D^*\bullet P \\[0.5em] & = P^*\bullet D\bullet I_n \bullet D^*\bullet P \\[0.5em] & = P^*\bullet D \bullet D^*\bullet P \\[0.5em] & = P^*\bullet D^* \bullet D\bullet P \\[0.5em] & = P^*\bullet D^* \bullet I_n \bullet D\bullet P \\[0.5em] & = P^*\bullet D^* \bullet P\bullet P^* \bullet D\bullet P \\[0.5em] & = P^*\bullet D^* \bullet (P^*)^*\bullet P^* \bullet D\bullet P \\[0.5em] & = (P^*\bullet D\bullet P)^* \bullet (P^*\bullet D\bullet P) \\[0.5em] & = A^*\bullet A \text{ 이므로}\end{align*} $

$A$는 정규행렬이다.

 

 

 

정리11

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$의 임의의 행렬 $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$와 행렬곱 $\bullet$에 대해

$A$가 대칭행렬이기 위한 필요충분조건은 $A$와 직교동치인 대각행렬 $D \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$가 존재하는 것이다.

증명

$A$가 대칭행렬이면

대칭행렬의 정의와 켤레전치행렬 정리로 $A = A^t = A^*$이므로 $A$는 자기수반행렬이고

행렬 $\mathbb{R}$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),+_n,\cdot_n,O_n)$위의 행렬내적공간이 $(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$일때

$A$의 좌측곱변환 $L_{A}:M_{n\times 1}(\mathbb{R})\to M_{n\times 1}(\mathbb{R})$는 행렬정리에 나온 $(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$의 정규직교순서기저 $\beta$에 대해

행렬정리로 $[L_A]_\beta = A$이므로 자기수반연산자 정리로 $L_A$는 $(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$의 자기수반연산자이다.

항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$의 좌측곱변환 $L_{I_n}:M_{n\times 1}(\mathbb{R})\to M_{n\times 1}(\mathbb{R})$은 $(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),+_n,\cdot_n,O_n)$의 항등변환이고

자기수반연산자 정리로 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $v_j$가 $L_A$의 고유벡터인

$(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$의 정규직교순서기저 $\gamma =(v_1,v_2,\cdots,v_n) $가 존재하므로

행렬표현 정리와 항등변환 정리와 수반연산자 정리와 켤레전치행렬 정리로

$ ([L_{I_n}]_\beta^\gamma)^{-1} = [L_{I_n}]_\gamma^\beta = [L_{I_n}^*]_\gamma^\beta = ([L_{I_n}]_\beta^\gamma)^* = ([L_{I_n}]_\beta^\gamma)^t$가 되어 $[L_{I_n}]_\beta^\gamma\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$는 직교행렬이고

행렬표현 정리로 $A = [L_A]_\beta = [L_{I_n}\circ L_{A}\circ L_{I_n}]_\beta^\beta = [L_{I_n}]_\gamma^\beta \bullet [L_A]_\gamma^\gamma \bullet [L_{I_n}]_\beta^\gamma = ([L_{I_n}]_\beta^\gamma)^t \bullet [L_A]_\gamma\bullet [L_{I_n}]_\beta^\gamma $이므로

$A$와 $[L_{A}]_\gamma$는 직교동치이고 대각화 정리로 $[L_A]_\gamma\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$는 대각행렬이다.

역으로 $A = P^t\bullet D \bullet P$인 직교행렬 $P\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$와 대각행렬 $D\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$가 존재하면

전치행렬 정리와 대각행렬 정리와 전치행렬 정리로

$A = P^t \bullet D \bullet P = P^t\bullet D^t \bullet (P^t)^t = (P^t \bullet D\bullet P)^t = A^t$이므로 $A$는 대칭행렬이다.

 

 

 

정리12(슈어[Schur]의 정리)

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$의 분수다항식체가 $(Q(F),+_Q,\bullet,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_Q$일때

임의의 행렬 $A\in M_{n\times n}(F)$의 특성다항식 $f(x) \in P_n(F)$가

$f(x) = (-1)^n \cdot_Q ((x^1-\lambda_1\cdot_Q x^0)^{m_1}\bullet (x^1-\lambda_2\cdot_Qx^0)^{m_2}\bullet \cdots\bullet (x^1-\lambda_k\cdot_Q x^0)^{m_k})$가 되는

$k\le n$인 $k\in \mathbb{Z}^+$개의 서로 다른 $A$의 고윳값 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k\in F$와

$n = m_1+m_2+\cdots+m_k$인 중복가능한 $m_1,m_2,\cdots,m_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재하면

$A$와 유니타리동치인 상삼각행렬 $U \in M_{n\times n}(F)$가 존재한다.

증명

행렬 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$위의 행렬내적공간이 $(M_{n\times 1}(F),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$일때

$A$의 좌측곱변환 $L_{A}:M_{n\times 1}(F)\to M_{n\times 1}(F)$는 행렬정리에 나온 $(M_{n\times 1}(F),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$의 정규직교순서기저 $\beta$에 대해

행렬정리로 $[L_A]_\beta = A$이다.

항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(F)$의 좌측곱변환 $L_{I_n}:M_{n\times 1}(F)\to M_{n\times 1}(F)$은 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$의 항등변환이고

$A$의 고윳값과 특성다항식은 $L_A$의 고윳값과 특성다항식이므로

슈어의 정리로 $[L_A]_\gamma \in M_{n\times n}(F)$가 상삼각행렬이 되는 $(M_{n\times 1}(F),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$의 정규직교순서기저 $\gamma$가 존재하여

행렬표현 정리와 항등변환 정리와 수반연산자 정리로

$ ([L_{I_n}]_\beta^\gamma)^{-1} = [L_{I_n}]_\gamma^\beta = [L_{I_n}^*]_\gamma^\beta = ([L_{I_n}]_\beta^\gamma)^*$임에 따라 $[L_{I_n}]_\beta^\gamma\in M_{n\times n}(F)$는 유니타리행렬이고

행렬표현 정리로 $A = [L_A]_\beta = [L_{I_n}\circ L_{A}\circ L_{I_n}]_\beta^\beta = [L_{I_n}]_\gamma^\beta \bullet [L_A]_\gamma^\gamma \bullet [L_{I_n}]_\beta^\gamma = ([L_{I_n}]_\beta^\gamma)^*\bullet [L_A]_\gamma\bullet [L_{I_n}]_\beta^\gamma $이므로

$A$와 $[L_{A}]_\gamma$는 유니타리동치이다.

 

 

 

정리13

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$의 임의의 행렬 $A,B\in M_{n\times n}(F)$가 유니타리동치일때 다음이 성립한다.

1. $A$가 양의 준정부호이기 위한 필요충분조건은 $B$가 양의 준정부호인 것이다.

2. $A$가 양의 정부호이기 위한 필요충분조건은 $B$가 양의 정부호인 것이다.

증명

행렬 $F$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(F),+_n,\cdot_n,O_n)$위의 행렬내적공간이 $(M_{n\times 1}(F),\langle\cdot,\cdot\rangle_n)$이고 행렬곱 $\bullet$일때

유니타리동치의 정의로 $A = P^*\bullet B\bullet P$인 유니타리행렬 $P\in M_{n\times n}(F)$가 존재한다.

1.

일반성을 잃지 않고 $B$가 양의 준정부호이면 내적정리와 양의 준정부호의 정의로 모든 $x\in M_{n\times 1}(F)$에 대해 

$ \langle A \bullet x,x\rangle_n = \langle P^*\bullet B\bullet P\bullet x,x\rangle_n =\langle B\bullet P\bullet x, P\bullet x\rangle_n \ge 0 $이므로 $A$도 양의 준정부호이다.

2.

일반성을 잃지 않고 $B$가 양의 정부호이면 내적정리와 양의 정부호의 정의로 모든 $x\in M_{n\times 1}(F)\setminus \{O_n\}$에 대해 

$ \langle A \bullet x,x\rangle_n = \langle P^*\bullet B\bullet P\bullet x,x\rangle_n =\langle B\bullet P\bullet x, P\bullet x\rangle_n > 0 $이므로 $A$도 양의 정부호이다.

 

 

 

정리15

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$의 임의의 행렬 $A,B\in M_{n\times n}(F)$가 유니타리동치일때

$A,B$의 켤레전치행렬 $A^*,B^*\in M_{n\times n}(F)$와 행렬곱 $\bullet$에 대해 다음이 성립한다.

1. $A,B$는 닮음이다.

2. $A^*\bullet A$와 $B^*\bullet B$는 유니타리동치이다.

3. $A\bullet A^*$와 $B\bullet B^*$는 유니타리동치이다.

증명

유니타리동치의 정의로 $A = P^*\bullet B\bullet P$인 유니타리행렬 $P\in M_{n\times n}(F)$가 존재한다.

1.

유니타리행렬의 정의로 $A = P^*\bullet B\bullet P = P^{-1}\bullet B\bullet P$이므로 $A,B$는 닮음이다.

2.

켤레전치행렬 정리와 유니타리행렬의 정의로 항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$에 대해

$\begin{align*} A^*\bullet A & = (P^*\bullet B \bullet P)^* \bullet P^*\bullet B\bullet P \\[0.5em] & = P^*\bullet B^*\bullet (P^*)^* \bullet P^*\bullet B\bullet P \\[0.5em] & = P^*\bullet B^*\bullet P \bullet P^*\bullet B\bullet P \\[0.5em] & = P^*\bullet B^*\bullet I_n \bullet B\bullet P \\[0.5em] & = P^*\bullet B^* \bullet B\bullet P \text{ 이므로} \end{align*}$

$A^*\bullet A$와 $B^*\bullet B$는 유니타리동치이다.

3.

켤레전치행렬 정리와 유니타리행렬의 정의로 항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$에 대해

$\begin{align*} A\bullet A^* & = P^*\bullet B\bullet P \bullet (P^*\bullet B \bullet P)^* \\[0.5em] & = P^*\bullet B\bullet P\bullet P^*\bullet B^*\bullet (P^*)^* \\[0.5em] & = P^*\bullet B\bullet P \bullet P^*\bullet B^*\bullet P \\[0.5em] & = P^*\bullet B\bullet I_n \bullet B^*\bullet P \\[0.5em] & = P^*\bullet B \bullet B^*\bullet P \text{ 이므로} \end{align*}$

$A\bullet A^*$와 $B\bullet B^*$는 유니타리동치이다.

 

 

 

정리16

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 임의의 정규직교순서기저 $\beta ,\beta '$와 행렬곱 $\bullet$에 대해 다음이 성립한다.

1. 항등변환 $I_V \in L(V\to V)$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자이고 유니타리연산자이다.

2. $\beta ,\beta '$에 대한 $I_V$의 행렬표현 $[I_V]_{\beta'}^\beta$는 유니타리행렬이고 $([I_V]_{\beta'}^\beta)^{*} = [I_V]_\beta^{\beta'}$이다.

3. 임의의 선형변환 $T \in L(V\to V)$에 대해 $[T]_\beta$와 $[T]_{\beta'}$는 유니타리동치이다.

증명

1.

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $I_V$의 수반연산자는 수반연산자 정리로 $I_V^* = I_V$가 되어 $I_V$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 자기수반연산자이고

$I_V^* \circ I_V =I_V\circ I_V=  I_V=I_V\circ I_V= I_V \circ I_V^*$이므로 $I_V$의 역함수는 $I_V^{-1} =I_V^{*} = I_V $가 되어

$I_V$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이다.

2.

1번과 항등변환 정리와 수반연산자 정리로

$([I_V]_{\beta'}^\beta)^{-1} =[I_V]_\beta^{\beta'} =[I_V^*]_\beta^{\beta'} = ([I_V]_{\beta'}^\beta)^*$이므로 $[I_V]_{\beta'}^\beta$는 유니타리행렬이다.

3.

$T \circ I_V = T = I_V \circ T$이므로 행렬표현 정리로

$[I_V]_{\beta'}^{\beta} \bullet[T]_{\beta'} =[I_V]_{\beta'}^{\beta} \bullet [T]_{\beta'}^{\beta'} = [I_V \circ T]_{\beta'}^{\beta} = [T \circ I_V]_{\beta'}^{\beta} = [T]_\beta^\beta \bullet [I_V]_{\beta'}^\beta = [T]_\beta \bullet[I_V]_{\beta'}^\beta$가 되어

2번으로 $[T]_{\beta'} = ([I_V]_{\beta'}^{\beta})^{-1} \bullet [T]_\beta \bullet[I_V]_{\beta'}^\beta = ([I_V]_{\beta'}^{\beta})^{*} \bullet [T]_\beta \bullet [I_V]_{\beta'}^\beta$이고 $[T]_\beta$와 $[T]_{\beta'}$는 유니타리동치이다.

 

 

 

정리18

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$이고

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 순서기저 $\beta ,\gamma$에 대한 항등변환 $I_V :V\to V$의 행렬표현 $[I_V]_{\beta}^\gamma\in M_{n\times n}(F)$가 유니타리행렬일때

$\beta$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저이기 위한 필요충분조건은 $\gamma$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저인 것이다.

증명

행렬곱이 $\bullet$이고 $(F,+,\cdot,0,1)$의 크로네커델타가 $\delta$이고 항등행렬이 $I_n\in M_{n\times n}(F)$이고

 $\beta ,\gamma$가 $\beta = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$이고 $\gamma = (w_1,w_2,\cdots,w_n)$일때

행렬표현의 정의로 임의의 $j =1,2,\cdots,n$에 대해

$v_j = I_V(v_j) = \displaystyle \sum_{i=1}^n ([I_V]_\beta^\gamma)_{i,j}\cdot_V w_i $와 $w_j = I_V(w_j) = \displaystyle \sum_{i=1}^n ([I_V]_\gamma^\beta)_{i,j}\cdot_V v_i $가 성립하고

유니타리행렬의 정의와 행렬표현 정리로 $([I_V]_\beta^\gamma)^* = ([I_V]_\beta^\gamma)^{-1} = [I_V]_\gamma^\beta$이므로

켤레전치행렬 정리로 $([I_V]_\gamma^\beta)^* = (([I_V]_\beta^\gamma)^*)^{*} = [I_V]_\beta^\gamma$이다.

$\beta$가 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저이면

내적정리와 정규직교 정리와 켤레전치행렬의 정의와 행렬표현 정리와 항등변환 정리로 모든 $i,j =1,2,\cdots,n$에 대해

$\begin{align*} \langle w_i,w_j\rangle &= \left \langle \sum_{k=1}^n ([I_V]_\gamma^\beta)_{k,i}\cdot_V v_k , \sum_{r=1}^n ([I_V]_\gamma^\beta)_{r,j}\cdot_V v_r \right \rangle \\[0.5em] &= \sum_{k=1}^n ([I_V]_\gamma^\beta)_{k,i}\cdot \left \langle v_k , \sum_{r=1}^n ([I_V]_\gamma^\beta)_{r,j}\cdot_V v_r \right \rangle \\[0.5em] &= \sum_{k=1}^n ([I_V]_\gamma^\beta)_{k,i}\cdot \left ( \sum_{r=1}^n \overline{([I_V]_\gamma^\beta)_{r,j}}\cdot \left \langle v_k , v_r \right \rangle \right ) \\[0.5em] &= \sum_{k=1}^n ([I_V]_\gamma^\beta)_{k,i}\cdot \left ( \sum_{r=1}^n \overline{([I_V]_\gamma^\beta)_{r,j}}\cdot \delta_{k,r} \right ) \\[0.5em] &= \sum_{k=1}^n ([I_V]_\gamma^\beta)_{k,i}\cdot \overline{([I_V]_\gamma^\beta)_{k,j}}\cdot \delta_{k,k} \\[0.5em] &= \sum_{k=1}^n \overline{([I_V]_\gamma^\beta)_{k,j}}\cdot ([I_V]_\gamma^\beta)_{k,i} \\[0.5em] &= \sum_{k=1}^n \overline{(([I_V]_\gamma^\beta)^t)_{j,k}} \cdot ([I_V]_\gamma^\beta)_{k,i} \\[0.5em] &= \sum_{k=1}^n ( \overline{([I_V]_\gamma^\beta)^t})_{j,k} \cdot ([I_V]_\gamma^\beta)_{k,i} \\[0.5em] &= \sum_{k=1}^n ( ([I_V]_\gamma^\beta)^* )_{j,k} \cdot ([I_V]_\gamma^\beta)_{k,i} \\[0.5em] &= \sum_{k=1}^n ( [I_V]_\beta^\gamma )_{j,k} \cdot ([I_V]_\gamma^\beta)_{k,i} \\[0.5em] &= ( [I_V]_\beta^\gamma \bullet [I_V]_\gamma^\beta)_{j,i} \\[0.5em] &= ( [I_V\circ I_V]_\gamma)_{j,i} \\[0.5em] &= ( [I_V]_\gamma)_{j,i} \\[0.5em] &= ( I_n)_{j,i} \\[0.5em] &= \delta_{j,i} \\[0.5em] &= \delta_{i,j}\text{ 이므로} \end{align*}$

정규직교 정리로 $\gamma$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저이다.

역도 비슷하게 성립한다.

 

 

 

정리17

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 유한차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자 $T : V\to V$에 대해

$(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $T$-불변부분공간이면 다음이 성립한다.

1. $T|_W$ $: W\to W$는 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이다.

2. 직교여공간 $(\underset{(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $T$-불변부분공간이다.

3. $T|_{\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}} :\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}\to \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp} $는 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp},\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이다.

증명

1.

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름 $\lVert\cdot\rVert :V\to [0,\infty)$의 정의역을 $W$로 제한하면 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름이고

유니타리연산자의 정의와 위 정리와 제한함수의 정의로 모든 $w\in W$에 대해 $\lVert w\rVert = \lVert T(w)\rVert = \lVert T|_W(w)\rVert$이므로

부분공간 정리로 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 유한차원임에 따라 다시 위 정리로 $T|_W$는 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자이다.

2.

임의의 $x\in \underset{(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$와 임의의 $y\in W$에 대해

1번과 유니타리연산자의 정의와 역함수 정리로 $T|_W$는 전단사이므로 $T|_W(w) = y$인 $w\in W$가 존재하여

제한함수의 정의로 $T(w) =T|_W(w) = y$이고 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^*:V\to V$에 대해

수반연산자의 정의와 유니타리연산자의 정의와 직교여공간의 정의로 

$\langle T(x),y\rangle = \langle x, T^*(y)\rangle = \langle x,T^{-1}(y)\rangle =\langle x,T^{-1}(T(w))\rangle =\langle x,w\rangle =0$이므로

$T(x)\in \underset{(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$가 되어 $T(\underset{(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}) \subseteq \underset{(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp}$임에 따라 $(\underset{(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)}{W^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $T$-불변부분공간이다.

3.

1, 2번으로 성립한다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/84#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/84#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244