실내적공간에서의 등거리변환(Isometry), 기하학(Geometry)

정의1

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름이 $\lVert \cdot\rVert :V\to [0,\infty)$일때 

모든 $x,y \in V$가 $d(x,y) = \lVert x-y\rVert$인 함수 $d : V\times V \to [0,\infty)$에 대해 노름정리로 $(V,d)$는 거리공간이므로

$\lVert f(x) -f(y)\rVert = \lVert x-y\rVert$인 임의의 전단사함수 $f: V \to V$는 $(V,d)$에서 $(V,d)$로의 등거리변환이 되어

$f$를 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 등거리변환으로 정의한다. $\phantom{\displaystyle \sum_{i=1}^n}$

 

 

 

정리1

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름 $\lVert \cdot\rVert :V\to [0,\infty)$와 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T : V\to V$에 대해 다음은 동치이다.

1. $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 등거리변환이다.

2. $T$가 전사이고 모든 $x,y \in V$에 대해 $\lVert T(x) -T(y)\rVert = \lVert x-y\rVert$이다.

3. $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교연산자이다.

증명

$1\to 2$

등거리변환의 정의로 자명하게 성립한다.

$2\to 3$

선형변환 정리로 모든 $x\in V$에 대해 $\lVert T(x)\rVert=\lVert T(x) -\vec{0}\rVert=\lVert T(x) -T(\vec{0})\rVert = \lVert x-\vec{0}\rVert = \lVert x\rVert$이므로

수반변환 정리와 직교연산자의 정의로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교연산자이다.

$3\to 1$

직교연산자의 정의와 역함수 정리로 $T$는 전단사이고 수반변환 정리로 모든 $x \in V$에 대해 $\lVert T(x)\rVert = \lVert x\rVert$가 성립하여

선형변환 정리로 모든 $x,y \in V$에 대해 $\lVert T(x)-T(y)\rVert =\lVert T(x-y)\rVert = \lVert x-y\rVert$이므로 

$T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 등거리변환이다.

 

 

 

정리2

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 유한차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름 $\lVert \cdot\rVert :V\to [0,\infty)$와 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T : V\to V$에 대해 다음은 동치이다.

1. $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 등거리변환이다.

2. 모든 $x,y \in V$에 대해 $\lVert T(x) -T(y)\rVert = \lVert x-y\rVert$이다.

3. $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교연산자이다.

증명

$1\to 2$

등거리변환의 정의로 자명하게 성립한다.

$2\to 3$

선형변환 정리로 모든 $x\in V$에 대해 $\lVert T(x)\rVert=\lVert T(x) -\vec{0}\rVert=\lVert T(x) -T(\vec{0})\rVert = \lVert x-\vec{0}\rVert = \lVert x\rVert$이므로

수반변환 정리와 직교연산자의 정의로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교연산자이다.

$3\to 1$

직교연산자의 정의와 역함수 정리로 $T$는 전단사이고 수반변환 정리로 모든 $x \in V$에 대해 $\lVert T(x)\rVert = \lVert x\rVert$가 성립하여

선형변환 정리로 모든 $x,y \in V$에 대해 $\lVert T(x)-T(y)\rVert =\lVert T(x-y)\rVert = \lVert x-y\rVert$이므로 

$T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 등거리변환이다.

 

 

 

정의2

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

임의의 $x, v_0\in V$에 대해 $g_{v_0}(x) = x +_V v_0$인 함수 $g_{v_0}:V\to V$을

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $v_0$에 의한 평행이동(translation) 또는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 평행이동으로 정의한다.

 

 

 

정리3

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 임의의 $v,w\in V$에 의한 평행이동 $g_{v},g_{w} :V\to V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $g_{v}$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 등거리변환이다.

2. $g_{v+_V w} = g_{w}$ $\circ$ $g_{v}$

3. $g_v\circ g_{w} = g_{w}\circ g_{v}$

증명

1.

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름 $\lVert \cdot\rVert :V\to [0,\infty)$와 임의의 $x,y \in V$에 대해 

$\lVert g_v(x) - g_v(y)\rVert = \lVert x+_V v - (y+_Vv)\rVert =\lVert x+_V v - y -v \rVert= \lVert x - y\rVert$이고

$x+_V v=g_v(x) = g_v(y) = y+_V v$이면 $x = x+_V v-v = y+_V v-v= y$이므로 $g_v$는 단사이다.

또 모든 $x\in V$에 대해 $x-v\in V$이고 $g_v (x - v) = x-v +_V v = x$이므로 $g_v$는 전사가 되어

$g_v$가 전단사임에 따라 $g_v$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 등거리변환이다.

2.

평행이동의 정의로 모든 $x\in V$에 대해

$g_{v+_V w}(x) = x+_V (v+_V w) =  (x+_V v) +_V w = g_v(x)+_V w = g_w(g_v(x)) = (g_w\circ g_v)(x)$가 되어

함수의 상등으로 $g_{v+_V w} = g_w \circ g_v$이다.

3.

2번으로 $g_v\circ g_{w} = g_{w+_V v} = g_{v+_V w} = g_{w}\circ g_{v}$이다.

 

 

 

정리4

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 임의의 등거리변환 $f:V\to V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f = g_{v_0} \circ T$가 되는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교연산자 $T:V\to V$와

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 어떤 $v_0\in V$에 의한 평행이동 $g_{v_0}:V\to V$이 유일하게 존재한다.

2. $f = T\circ g_{v_0} $가 되는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교연산자 $T:V\to V$와

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 어떤 $v_0\in V$에 의한 평행이동 $g_{v_0}:V\to V$이 유일하게 존재한다.

증명

1.

$v_0 = f(\vec{0})$으로 두고 모든 $x\in V$에 대해 $T(x) = f(x) - v_0$인 함수 $T:V\to V$를 정의하면

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $v_0$에 의한 평행이동 $g_{v_0}:V\to V$에 대해

$f(x) = T(x) +_V v_0 = g_{v_0}(T(x)) = (g_{v_0}\circ T)(x)$가 되어 함수의 상등으로 $f = g_{v_0}\circ T$이다.

등거리변환의 정의로 $f$는 전단사이므로 모든 $v \in V$에 대해 $f(x_0) = v +_V v_0$인 $x_0\in V$이 존재하여

$T(x_0) = f(x_0) - v_0 = v+_V v_0 - v_0 = v$이므로 $T$는 전사이다.

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름 $\lVert \cdot\rVert :V\to [0,\infty)$와 임의의 $x,y \in V$에 대해 등거리변환의 정의로

$\lVert T(x) - T(y)\rVert = \lVert f(x) -v_0 - (f(y) - v_0)\rVert = \lVert f(x) - v_0 -f(y) +_V v_0\rVert = \lVert f(x)-f(y)\rVert = \lVert x-y\rVert$이고

$\lVert T(x) \rVert = \lVert f(x) -v_0 \rVert = \lVert f(x) - f(\vec{0}) \rVert = \lVert x- \vec{0}\rVert = \lVert x\rVert$이다.

임의의 $x,y \in V$에 대해 실수부의 정의와 내적의 정의로

$\operatorname{Re}(\langle T(x),T(y)\rangle) = \langle T(x),T(y)\rangle$와 $\operatorname{Re}(\langle x,y\rangle) = \langle x,y\rangle$이 성립하여

노름정리로 $\lVert x - y\rVert^2 = \lVert x\rVert^2 -2\cdot \langle x,y\rangle + \lVert y\rVert^2$이고 $\lVert x - y\rVert^2 +2\cdot \langle x,y\rangle = \lVert x\rVert^2 + \lVert y\rVert^2$이므로

$\begin{align*}\lVert T(x) - T(y)\rVert^2 &= \lVert T(x)\rVert^2 -2\cdot \langle T(x),T(y)\rangle + \lVert T(y)\rVert^2 \\[0.5em]&= \lVert x\rVert^2 -2\cdot \langle T(x),T(y)\rangle + \lVert y\rVert^2 \\[0.5em]&= -2\cdot \langle T(x),T(y)\rangle + \lVert x - y\rVert^2 +2\cdot \langle x,y\rangle \\[0.5em]&= -2\cdot \langle T(x),T(y)\rangle + \lVert T(x) - T(y)\rVert^2 +2\cdot \langle x,y\rangle \text{ 가 되어} \end{align*}$

$\langle T(x),T(y)\rangle = \langle x,y\rangle$이고 임의의 $c\in \mathbb{R}$에 대해 실수부의 정의와 내적의 정의로

$\operatorname{Re}(\langle T(x+_V c\cdot_V y) -T(x),-c\cdot_V T(y)\rangle) = \langle T(x+_Vc\cdot_V y)-T(x),-c\cdot_VT(y)\rangle$이므로

노름정리와 내적정리와 노름의 정의와 절댓값의 정의와 절댓값 정리로

$\begin{align*} \lVert T(x +_V c\cdot_V y) - (T(x) +_V c\cdot_V T(y))\rVert^2 &= \lVert (T(x +_V c\cdot_V y) - T(x)) +_V (- c\cdot_V T(y))\rVert^2 \\[0.5em]&= \lVert T(x +_V c\cdot_V y) - T(x) \rVert^2 + 2\cdot \langle T(x+_V c\cdot_V y) -T(x),- c\cdot_V T(y) \rangle + \lVert- c\cdot_V T(y)\rVert^2 \\[0.5em]&= \lVert T(x +_V c\cdot_V y) - T(x) \rVert^2 -2\cdot c\cdot \langle T(x+_V c\cdot_V y) -T(x), T(y) \rangle + |-c|^2 \cdot \lVert T(y)\rVert^2 \\[0.5em]&= \lVert T(x +_V c\cdot_V y) - T(x) \rVert^2 -2\cdot c\cdot \langle T(x+_V c\cdot_V y) -T(x), T(y) \rangle + |c|^2 \cdot \lVert T(y)\rVert^2 \\[0.5em]&= \lVert T(x +_V c\cdot_V y) - T(x) \rVert^2 -2\cdot c\cdot \langle T(x+_V c\cdot_V y) -T(x), T(y) \rangle + c^2 \cdot \lVert T(y)\rVert^2 \\[0.5em]&= \lVert x +_V c\cdot_V y - x \rVert^2 + c^2 \cdot \lVert y\rVert^2 -2\cdot c\cdot \langle T(x+_V c\cdot_V y) -T(x), T(y) \rangle \\[0.5em]&= \lVert c\cdot_V y \rVert^2 + c^2 \cdot \lVert y\rVert^2 - 2\cdot c\cdot (\langle T(x+_V c\cdot_V y) , T(y) \rangle - \langle T(x), T(y) \rangle ) \\[0.5em]&= |c|^2 \cdot \lVert y\rVert^2 + c^2 \cdot \lVert y\rVert^2 - 2\cdot c\cdot (\langle x+_V c\cdot_V y , y \rangle - \langle x, y \rangle ) \\[0.5em]&= c^2 \cdot \lVert y\rVert^2 + c^2 \cdot \lVert y\rVert^2 - 2\cdot c\cdot (\langle x+_V c\cdot_V y , y \rangle - \langle x, y \rangle ) \\[0.5em]&= 2\cdot c^2\cdot \lVert y\rVert^2 - 2\cdot c\cdot (\langle x, y \rangle + c\cdot \langle y , y \rangle - \langle x, y \rangle ) \\[0.5em]&= 2\cdot c^2\cdot \lVert y\rVert^2 - 2\cdot c\cdot c\cdot \lVert y\rVert^2 \\[0.5em]&= 2\cdot c^2\cdot \lVert y\rVert^2 - 2\cdot c^2\cdot \lVert y\rVert^2 \\[0.5em]&= 0 \text{ 이 되어} \end{align*}$

노름정리로 $T(x+_V c\cdot_Vy) - (T(x)+_V c\cdot_V T(y)) = \vec{0}$이고 $T(x+_V c\cdot_Vy) = T(x)+_V c\cdot_V T(y)$이므로

선형변환 정리로 $T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자이고 위 정리로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교연산자이다.

또 모든 $x\in V$에 대해

$T(x) +_V v_1 = g_{v_1}(T(x)) = (g_{v_1}\circ T)(x) = f(x) = (g_{v_2}\circ U)(x) = g_{v_2}(U(x)) = U(x) +_V v_2 $인

$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교연산자 $T,U:V\to V$와

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 어떤 $v_1,v_2\in V$에 의한 평행이동 $g_{v_1} ,g_{v_2} :V\to V$가 존재하면

선형변환 정리로 $v_1=\vec{0}+_V v_1=T(\vec{0}) +_V v_1 = f(\vec{0}) = U(\vec{0}) +_V v_2 = \vec{0} +_V v_2 = v_2$이므로 $g_{v_1} = g_{v_2}$이고

$T(x) +_V v_1 = f(x) = U(x) +_V v_2 = U(x) +_V v_1$이므로 $T(x) = U(x)$가 되어 함수의 상등으로 $T =U$이다.

2.

1번으로 $f = g_{v_0} \circ T$가 되는 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교연산자 $T:V\to V$와

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 어떤 $v_0\in V$에 의한 평행이동 $g_{v_0}:V\to V$이 유일하게 존재하여

선형변환 정리로 모든 $x\in V$에 대해

$f(x) = (g_{v_0} \circ T)(x) = g_{v_0}(T(x)) = T(x)+_V v_0 = T(x+_V v_0) = T(g_{v_0}(x)) = (T\circ g_{v_0})(x)$이므로

함수의 상등으로 $f = T\circ g_{v_0}$이다.

 

 

 

정의3

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $2$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$이고

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 임의의 정규직교순서기저가 $\beta = (x_1,x_2)$일때

임의의 실수 $\theta \in \mathbb{R}$와 실삼각함수 $\cos,\sin : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해 선형변환 정리로

$T_\theta(x_1) = \cos(\theta) \cdot_V x_1 +_V \sin(\theta)\cdot_V x_2 $와 $T_\theta(x_2) = -\sin(\theta) \cdot_V x_1 +_V \cos(\theta)\cdot_V x_2 $가 성립하는

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T_\theta : V \to V$가 유일하게 존재하므로

$T_\theta$를 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $\beta$를 축(axis)으로 하는 $\theta$에 의한 회전변환(rotation) 또는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환으로 정의한다.

 

 

 

정리6

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $2$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 임의의 정규직교순서기저 $\beta = (x_1,x_2)$와 실삼각함수 $\cos,\sin : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $\beta$를 축으로 하는 임의의 실수 $\theta,\phi \in \mathbb{R}$에 의한 회전변환이 $T_\theta,T_\phi : V\to V$이면 다음이 성립한다.

1. $T_\theta$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자이다.

2. $\beta$에 대한 $T_\theta$의 행렬표현 $[T_\theta]_\beta  \in M_{2\times2}(\mathbb{R})$는 $[T_\theta]_\beta = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix}$이다.

3. $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $T_\theta$의 수반연산자 $T_\theta^* : V\to V$는 $T_\theta^* = T_{-\theta}$이다.

4. $T_\theta $ $\circ$ $ T_\phi = T_{\theta + \phi}$

5. $T_\theta \circ T_\phi = T_\phi\circ T_\theta$

6. $T_\theta$의 행렬식은 $\det(T_\theta) = 1$이다.

7. $-\pi < \theta < 0$ 또는 $0< \theta <\pi$이면 $T_\theta$의 고윳값은 존재하지 않는다.

증명

1.

기저정리로 모든 $x\in V$는 $x = a\cdot_V x_1 +_V b\cdot_V x_2 $인 $a,b\in \mathbb{R}$가 존재하여 회전변환의 정의와 선형변환 정리로

$\begin{align*} T_\theta(x) & = T_\theta(a\cdot_V x_1 +_V b\cdot_V x_2) \\[0.5em]&= a\cdot_VT_\theta(x_1) +_V b\cdot_V T_\theta(x_2) \\[0.5em]&= a\cdot_V(\cos(\theta) \cdot_V x_1 +_V \sin(\theta)\cdot_V x_2) +_V b\cdot_V (-\sin(\theta) \cdot_V x_1 +_V \cos(\theta)\cdot_V x_2 ) \\[0.5em]&= (a\cdot \cos(\theta)) \cdot_V x_1 +_V (a\cdot \sin(\theta))\cdot_V x_2 +_V (-b\cdot \sin(\theta)) \cdot_V x_1 +_V (b\cdot \cos(\theta))\cdot_V x_2 \\[0.5em]&= (a\cdot \cos(\theta)-b\cdot \sin(\theta)) \cdot_V x_1 +_V (a\cdot \sin(\theta)+b\cdot \cos(\theta))\cdot_V x_2 \text{ 이므로} \end{align*}$

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 노름 $\lVert \cdot \rVert : V\to [0,\infty)$에 대해

내적정리와 절댓값 정리와 정규직교집합의 정의와 피타고라스 항등식으로

$\begin{align*} \lVert T_\theta(x)\rVert^2 & = \lVert (a\cdot \cos(\theta)-b\cdot \sin(\theta)) \cdot_V x_1 +_V (a\cdot \sin(\theta)+b\cdot \cos(\theta))\cdot_V x_2 \rVert^2 \\[0.5em]& = |a\cdot \cos(\theta)-b\cdot \sin(\theta)|^2 \cdot \lVert x_1\rVert^2 + |a\cdot \sin(\theta)+b\cdot \cos(\theta)|^2 \cdot\lVert x_2\rVert^2 \\[0.5em]& = (a\cdot \cos(\theta)-b\cdot \sin(\theta))^2 \cdot 1 + (a\cdot \sin(\theta)+b\cdot \cos(\theta))^2 \cdot1 \\[0.5em]& =(a\cdot \cos(\theta) - b\cdot \sin(\theta))^2 + (a\cdot \sin(\theta) +b\cdot \cos(\theta))^2 \\[0.5em]& = a^2\cdot (\cos(\theta))^2 - 2\cdot a\cdot b \cdot \sin(\theta)\cdot\cos(\theta) + b^2\cdot (\sin(\theta))^2+ a^2\cdot (\sin(\theta))^2 + 2\cdot a\cdot b \cdot \sin(\theta)\cdot\cos(\theta) + b^2\cdot (\cos(\theta))^2 \\[0.5em]& = a^2\cdot (\cos(\theta))^2 + b^2\cdot (\sin(\theta))^2+ a^2\cdot (\sin(\theta))^2 + b^2\cdot (\cos(\theta))^2 \\[0.5em]& = a^2\cdot \left((\cos(\theta))^2 + (\sin(\theta))^2 \right) + b^2\cdot \left((\sin(\theta))^2+ (\cos(\theta))^2\right ) \\[0.5em]& = a^2\cdot1 + b^2\cdot 1 \\[0.5em]& = |a|^2\cdot \lVert x_1\rVert^2 + |b|^2 \cdot \lVert x_2\rVert^2 \\[0.5em]& = \lVert a\cdot_V x_1 +_V b\cdot_V x_2 \rVert^2 \\[0.5em]& = \lVert x\rVert^2 \text{ 이 되어} \end{align*} $

$\lVert T_\theta(x)\rVert = \lVert x\rVert$이고 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $2$차원이므로

수반변환 정리와 직교연산자의 정의로 $T_\theta$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자이다.

2.

회전변환의 정의로 $T_\theta(x_1) = \cos(\theta) \cdot_V x_1 +_V \sin(\theta)\cdot_V x_2 $이고 $T_\theta(x_2) = -\sin(\theta) \cdot_V x_1 +_V \cos(\theta)\cdot_V x_2 $이므로

행렬표현의 정의로 $[T_\theta]_\beta = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix}$이다.

3.

수반변환 정리와 켤레전치행렬 정리와 2번과 삼각함수 정리로

$[T_\theta^*]_\beta = ([T_\theta]_\beta)^* = [T_\theta]_\beta^t = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix}^t =\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos(-\theta) & -\sin(-\theta) \\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta)\end{bmatrix} = [T_{-\theta}]_\beta \text{ 이므로} $

행렬표현 정리로 $T_\theta^* = T_{-\theta}$이다.

4.

행렬곱 $\bullet$에 대해 2번과 행렬표현 정리와 삼각함수 덧셈공식으로

$\begin{align*} [T_\theta\circ T_\phi]_\beta & = [T_\theta]_\beta \bullet [T_\phi]_\beta \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix}\bullet \begin{bmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & \cos(\phi)\end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} \cos(\theta)\cdot\cos(\phi) -\sin(\theta)\cdot\sin(\phi) & -\cos(\theta) \cdot \sin(\phi) - \sin(\theta)\cdot \cos(\phi) \\ \sin(\theta)\cdot\cos(\phi) +\cos(\theta)\cdot\sin(\phi) & -\sin(\theta) \cdot \sin(\phi) + \cos(\theta)\cdot \cos(\phi) \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} \cos(\theta)\cdot\cos(\phi) -\sin(\theta)\cdot\sin(\phi) & - ( \sin(\theta)\cdot \cos(\phi) + \cos(\theta) \cdot \sin(\phi) ) \\ \sin(\theta)\cdot\cos(\phi) +\cos(\theta)\cdot\sin(\phi) & \cos(\theta)\cdot \cos(\phi) - \sin(\theta) \cdot \sin(\phi) \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} \cos(\theta +\phi) & - \sin(\theta +\phi) \\ \sin(\theta +\phi) & \cos(\theta + \phi)\end{bmatrix} \\[0.5em] & = [T_{\theta +\phi}]_\beta \text{ 이므로}\end{align*}$

행렬표현 정리로 $T_\theta\circ T_\phi = T_{\theta+\phi}$이다.

5.

4번으로 $T_\theta \circ T_\phi = T_{\theta +\phi} = T_{\phi + \theta} = T_\phi\circ T_\theta$이다.

6.

선형변환의 행렬식의 정의와 2번과 행렬식 정리와 피타고라스 항등식으로

$\det(T_\theta) = \det([T_\theta]_\beta) = (\cos(\theta))^2 + (\sin(\theta))^2 = 1$이다.

7.

$0< \theta <\pi$일때 $T_\theta(x) = \lambda\cdot_V x$인 $T_\theta$의 고윳값 $\lambda\in \mathbb{R}$와 $T_\theta$의 고유벡터 $x\in V\setminus \{\vec{0}\}$가 존재한다고 가정하면

기저정리로 $x = a\cdot_V x_1 +_V b\cdot_V x_2 $인 $a,b\in \mathbb{R}$가 존재하여 1번과 같이

$ (\lambda \cdot a)\cdot_V x_1 +_V (\lambda\cdot b)\cdot_V x_2= \lambda\cdot_V x= T_\theta(x)  = (a\cdot \cos(\theta)-b\cdot \sin(\theta)) \cdot_V x_1 +_V (a\cdot \sin(\theta)+b\cdot \cos(\theta))\cdot_V x_2 \text{ 이므로}$

다시 기저정리로 $\lambda\cdot a = a\cdot \cos(\theta) - b\cdot \sin(\theta)$와 $\lambda\cdot b = a\cdot \sin(\theta) + b\cdot \cos(\theta)$가 성립하고

$\lambda\cdot a^2 = a^2\cdot \cos(\theta) - a\cdot b\cdot \sin(\theta)$와 $\lambda\cdot b^2 = a\cdot b\cdot \sin(\theta) + b^2\cdot \cos(\theta)$를 더하면

$\lambda \cdot (a^2  + b^2) = (a^2+b^2)\cdot \cos(\theta)$이고 $x\ne \vec{0}$이므로 노름정리로 $a^2+b^2 \ne 0$이 되어

$\lambda = \cos(\theta)$이고 1번과 직교연산자 정리로 $\lambda = 1$ 또는 $\lambda = -1$인데

삼각함수 정리에 모순이므로 $0< \theta <\pi$이면 $T_\theta$의 고윳값이 존재하지 않는다.

$-\pi < \theta < 0$일때 $T_\theta(x) = \lambda\cdot_V x$인 $T_\theta$의 고윳값 $\lambda\in \mathbb{R}$와 $T_\theta$의 고유벡터 $x\in V\setminus \{\vec{0}\}$가 존재한다고 가정하면

1, 3번과 직교연산자 정리와 정규연산자 정리와 켤레복소수 정리로 $T_{-\theta}(x)=T_\theta^*(x) = \overline{\lambda}\cdot_V x = \lambda\cdot_V x$이므로

$\lambda$는 $T_{-\theta}$의 고윳값인데 $0< -\theta <\pi$로 위와 같이 모순이 되어 $-\pi < \theta < 0$이면 $T_\theta$의 고윳값이 존재하지 않는다.

 

 

 

정의4

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $2$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$이고

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $1$차원 부분공간이 $(L,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

모든 $x \in L$에 대해 $T(x) = x$이고 모든 $x \in $ $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp}$에 대해 $T(x) = -x$가 성립하는

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$를

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $L$에 대한 대칭변환(reflection)또는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환으로 정의한다.

 

 

 

정리7

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $2$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$이고

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $1$차원 부분공간이 $(L,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $L$에 대한 대칭변환 $T: V\to V$가 유일하게 존재한다.

증명

$(L,+_V,\cdot_V,\vec{0})$은 $1$차원이므로 $x_1\ne \vec{0}$인 $x_1\in L$이 존재하여

일차독립 정리로 $\{ x_1\}$은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 일차독립이고

생성공간 정리와 차원의 정의와 부분공간 정리로 $L = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\{ x_1\})}$이므로 $\{ x_1\}$은 $(L,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저이다.

직교여공간 정리로 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간이고 직교여공간 정리로 $V = L $ $\oplus$ $ \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp}$이므로

정규직교 정리로 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $1$차원임에 따라

$\{ x_1,x_2\}$가 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저가 되는 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저 $\{ x_2\}$가 존재한다.

선형변환 정리로 $T(x_1) = x_1$이고 $T(x_2) = -x_2$인 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T: V \to V$가 유일하게 존재하므로

모든 $x \in L$는 $x = a_1 \cdot_V x_1$인 $a_1\in \mathbb{R}$이 존재하여

선형변환 정리로 $T(x) = T(a_1\cdot_Vx_1) = a_1\cdot_V T(x_1) = a_1\cdot_V x_1 = x$이고

모든 $x\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp}$는 $x = a_2 \cdot_V x_2$인 $a_2\in \mathbb{R}$가 존재하여

선형변환 정리로 $T(x) = T(a_2\cdot_Vx_2) = a_2\cdot_V T(x_2) = a_2\cdot_V (- x_2) = -a_2\cdot_V x_2 = -x$이므로

$T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $L$에 대한 대칭변환이다.

 

 

 

정리8

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $2$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $1$차원 부분공간 $(L,+_V,\cdot_V,\vec{0})$와 직교여공간 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$에 대해

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 임의의 단위벡터 $x_1\in L$과 $ x_2\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp}$로 구성된 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규직교순서기저가 $\beta = (x_1,x_2)$이고

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $L$에 대한 대칭변환이 $T: V\to V$이면 다음이 성립한다.

1. $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자이다.

2. $\beta$에 대한 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta  \in M_{2\times2}(\mathbb{R})$는 $[T]_\beta = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$이다.

3. $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^* : V\to V$는 $T^* = T$이다.

4. $T$의 행렬식은 $\det(T) = -1$이다.

증명

$x_1\in L$과 $x_2\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp}$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 단위벡터이므로 노름정리로 $x_1\ne \vec{0}$와 $x_2\ne \vec{0}$가 성립하고

직교여공간 정리로 $V = L $ $\oplus$ $ \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp}$이 되어 정규직교 정리로 $(L,+_V,\cdot_V,\vec{0})$와 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $1$차원임에 따라

직합정리로 $\beta$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 순서기저이고 직교여공간의 정의로 $\langle x_1,x_2\rangle = 0$이므로

$\beta$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규직교순서기저이다.

1.

기저정리로 모든 $x\in V$는 $x = a\cdot_V x_1 +_V b\cdot_V x_2 $인 $a,b\in \mathbb{R}$가 존재하여 대칭변환의 정의와 선형변환 정리로

$T(x) = T(a\cdot_V x_1+_V b\cdot_V x_2) = a\cdot_V T(x_1) +_V b\cdot_V T(x_2) = a\cdot_V x_1 - b\cdot_V x_2$이므로

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 노름 $\lVert \cdot \rVert : V\to [0,\infty)$에 대해 내적정리와 절댓값의 정의와 절댓값 정리와 정규직교집합의 정의로

$\lVert T(x)\rVert^2 = \lVert a\cdot_V x_1 -b\cdot_V x_2\rVert^2 = |a|^2\cdot \lVert x_1\rVert^2 + |-b|^2 \cdot\lVert x_2\rVert^2 = |a|^2\cdot \lVert x_1\rVert^2 + |b|^2 \cdot\lVert x_2\rVert^2 = \lVert a\cdot_V x_1 +_Vb\cdot_V x_2\rVert^2 =\lVert x\rVert^2 \text{ 이 되어} $

$\lVert T(x)\rVert = \lVert x\rVert$이고 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $2$차원이므로

수반변환 정리와 직교연산자의 정의로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자이다.

2.

대칭변환의 정의로 $T(x_1) = x_1$이고 $T(x_2) = -x_2$이므로 행렬표현의 정의로 $[T]_\beta = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$이다.

3.

수반변환 정리와 켤레전치행렬 정리와 2번으로

$[T^*]_\beta = ([T]_\beta)^* = [T]_\beta^t = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}^t =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} = [T]_\beta  $이므로 행렬표현 정리로 $T^* = T$이다.

4.

선형변환의 행렬식의 정의와 2번과 행렬식 정리로 $\det(T) = \det([T]_\beta)  = 1\cdot (-1)= -1$이다.

 

 

 

정리9

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $2$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$일때 다음이 성립한다.

1. $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 모든 직교연산자는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이거나 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이다.

2. $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 모든 등거리변환은

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 평행이동과 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환의 합성이거나

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 평행이동과 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환의 합성이다. 

증명

1.

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 임의의 직교연산자가 $T:V\to V$이고 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 노름이 $\lVert \cdot \rVert : V\to [0,\infty)$일때

정규직교 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta = (x_1,x_2)$가 존재하여

직교연산자 정리로 집합 $\{T(x_1),T(x_2)\}$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규직교기저이고

기저정리로 $T(x_1)=a\cdot_V x_1 +_V b\cdot_V x_2$인 $a,b\in \mathbb{R}$가 유일하게 존재하므로 내적정리와 정규직교집합의 정의로

$1=\lVert T(x_1)\rVert^2 = \lVert a\cdot_V x_1+_Vb\cdot_V x_2\rVert^2 = |a|^2\cdot \lVert x_1\rVert^2 + |b|^2\cdot \lVert x_2\rVert^2 = a^2 + b^2$이 되어 삼각함수 정리로

$a = \cos(\theta)$이고 $b = \sin(\theta)$인 $\theta \in (-\pi,\pi]$가 유일하게 존재하고 $T(x_1) = \cos(\theta)\cdot_V x_1 +_V \sin(\theta)\cdot_V x_2$이다.

또 기저정리로 $T(x_2) = c\cdot_V x_1 +_V d\cdot_V x_2$인 $c,d\in \mathbb{R}$가 유일하게 존재하여

위와 같이 $1=\lVert T(x_2)\rVert^2  = c^2 + d^2$이므로 $c = \sin(\phi)$이고 $d = \cos(\phi)$인 $\phi \in (-\pi,\pi]$가 유일하게 존재하고

내적정리와 켤레복소수 정리와 정규직교집합의 정의와 삼각함수 덧셈공식으로

$\begin{align*}0 &= \langle T(x_1),T(x_2)\rangle \\[0.5em]&= \langle \cos(\theta)\cdot_V x_1+_V \sin(\theta)\cdot_V x_2, c\cdot_V x_1+_Vd\cdot_V x_2\rangle \\[0.5em]&= \langle \cos(\theta)\cdot_V x_1+_V \sin(\theta)\cdot_V x_2, c\cdot_V x_1\rangle + \langle \cos(\theta)\cdot_V x_1+_V \sin(\theta)\cdot_V x_2, d\cdot_V x_2\rangle \\[0.5em]&= \langle \cos(\theta)\cdot_V x_1, c\cdot_V x_1\rangle + \langle \sin(\theta)\cdot_V x_2, c\cdot_V x_1\rangle + \langle \cos(\theta)\cdot_V x_1, d\cdot_V x_2\rangle+ \langle \sin(\theta)\cdot_V x_2, d\cdot_V x_2\rangle \\[0.5em]&=\cos(\theta)\cdot c\cdot \langle x_1, x_1\rangle + \sin(\theta)\cdot c\cdot \langle x_2, x_1\rangle + \cos(\theta)\cdot d\cdot \langle x_1, x_2\rangle+\sin(\theta)\cdot d\cdot \langle x_2, x_2\rangle \\[0.5em]&=\cos(\theta)\cdot c\cdot 1 + \sin(\theta)\cdot c\cdot 0+ \cos(\theta)\cdot d\cdot 0+\sin(\theta)\cdot d\cdot 1 \\[0.5em]&= c\cdot \cos(\theta) + d\cdot \sin(\theta) \\[0.5em] & = \sin(\phi)\cdot \cos(\theta) + \cos(\phi)\cdot \sin(\theta)\\[0.5em]&= \sin(\phi + \theta) \text{ 가 되어} \end{align*}$

$-\pi<\phi \le \pi$와 $-\pi<\theta \le \pi$가 성립함에 따라 $-2\cdot \pi < \phi + \theta \le 2\cdot \pi$이므로

삼각함수 정리와 삼각함수 정리와 삼각함수 정리로 $\phi +\theta = -\pi,0,\pi, 2\cdot \pi$이다.

$\phi +\theta = -\pi$이면 $\phi = -\theta -\pi$이므로 삼각함수 정리와 삼각함수 정리로

$\sin(\phi) = \sin(-\theta - \pi) = -\sin(\theta +\pi) = \sin (\theta) $와 $\cos(\phi) = \cos(-\theta - \pi) = \cos(\theta +\pi) = -\cos (\theta) $가 성립하고

$\phi +\theta = 0$이면 $\phi = -\theta$이므로 삼각함수 정리로

$\sin(\phi)  = \sin (-\theta) = -\sin(\theta)$와 $\cos(\phi) = \cos(-\theta ) = \cos (\theta) $가 성립하고

$\phi +\theta = \pi$이면 $\phi = -\theta +\pi$이므로 삼각함수 정리와 삼각함수 정리로

$\sin(\phi) = \sin(-\theta + \pi) = -\sin(\theta -\pi) = \sin (\theta) $와 $\cos(\phi) = \cos(-\theta + \pi) = \cos(\theta -\pi) = -\cos (\theta) $가 성립하고

$\phi +\theta = 2\cdot \pi$이면 $\phi = -\theta +2\cdot \pi$이므로 삼각함수 정리와 삼각함수 정리로

$\sin(\phi) = \sin(-\theta + 2\cdot \pi) = -\sin(\theta -2\cdot \pi) = -\sin (\theta) $와

$\cos(\phi) = \cos(-\theta + 2\cdot\pi) = \cos(\theta -2\cdot \pi) = \cos (\theta) $가 성립하여

$T(x_2) = -\sin(\theta)\cdot_V x_1 +_V \cos(\theta)\cdot_V x_2$ 또는 $T(x_2) = \sin(\theta)\cdot_V x_1 - \cos(\theta)\cdot_V x_2$이다.

 

$T(x_1) = \cos(\theta)\cdot_V x_1 +_V \sin(\theta)\cdot_V x_2$이고 $T(x_2) = -\sin(\theta)\cdot_V x_1 +_V \cos(\theta)\cdot_V x_2$이면

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $\beta$를 축으로 하는 $\theta$에 의한 회전변환 $T_\theta : V\to V$에 대해

행렬표현의 정의와 위 정리로 $[T]_\beta = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix} = [T_\theta]_\beta$가 되어 행렬표현 정리로 $T=T_\theta$이다.

 

$T(x_1) = \cos(\theta)\cdot_V x_1 +_V \sin(\theta)\cdot_V x_2$이고 $T(x_2) = \sin(\theta)\cdot_V x_1 - \cos(\theta)\cdot_V x_2$이면

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $\beta$를 축으로 하는 $\alpha = \dfrac{\theta}{2}$에 의한 회전변환 $T_\alpha: V\to V$에 대해

$T_\alpha(x_1) = \cos(\alpha) \cdot_V x_1 +_V \sin(\alpha)\cdot_V x_2$와 $T_\alpha(x_2) = -\sin(\alpha) \cdot_V x_1 +_V \cos(\alpha)\cdot_V x_2$가 성립하고

위 정리와 직교연산자 정리로 $\gamma = (T_\alpha(x_1),T_\alpha(x_2))$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규직교순서기저이므로

$L = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ T_\alpha(x_1)\})$에 대해 $(L,+_V,\cdot_V,\vec{0})$은 $1$차원인 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간이다.

모든 $x \in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ T_\alpha(x_2)\})$는 $x = k\cdot_V T_\alpha(x_2)$인 $k \in \mathbb{R}$가 존재하여 내적정리와 정규직교집합의 정의로

$\langle x, T_\alpha(x_1)\rangle = \langle k\cdot_V T_\alpha(x_2),T_\alpha(x_1)\rangle = k\cdot \langle T_\alpha(x_2),T_\alpha(x_1)\rangle  =k\cdot 0 = 0$이므로

직교여공간 정리로 $x\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp}$임에 따라 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ T_\alpha(x_2)\}) \subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp}$이고

임의의 $x\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp} \subseteq V$는 기저정리로 $x=k_1\cdot_V T_\alpha(x_1) +_V k_2\cdot_V T_\alpha(x_2)$인 $k_1,k_2\in \mathbb{R}$가 유일하게 존재하여

직교여공간의 정의와 내적정리와 정규직교집합의 정의로

$\begin{align*} 0 & = \langle x,T_\alpha(x_1)\rangle \\[0.5em]& = \langle k_1\cdot_VT_\alpha(x_1)+_V k_2\cdot_V T_\alpha(x_2),T_\alpha(x_1)\rangle \\[0.5em]& = k_1\cdot \langle T_\alpha(x_1),T_\alpha(x_1)\rangle + k_2\cdot \langle T_\alpha(x_2),T_\alpha(x_1)\rangle \\[0.5em]& = k_1\cdot 1 + k_2\cdot 0 \\[0.5em]& = k_1 \text{ 이므로} \end{align*} $

$x = k_2\cdot_V T_\alpha(x_2) \in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ T_\alpha(x_2)\})$이고 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp}\subseteq \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ T_\alpha(x_2)\}) $임에 따라

집합정리로 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp} =\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}}(\{ T_\alpha(x_2)\}) $이다.

따라서 선형변환 정리와 삼각함수 정리로

$\begin{align*}T(T_\alpha(x_1)) & = T( \cos(\alpha) \cdot_V x_1 +_V \sin(\alpha)\cdot_V x_2) \\[0.5em] & = \cos(\alpha) \cdot_V T( x_1) +_V \sin(\alpha)\cdot_V T(x_2) \\[0.5em] & = \cos(\alpha) \cdot_V (\cos(\theta)\cdot_V x_1 +_V \sin(\theta)\cdot_V x_2) +_V \sin(\alpha)\cdot_V (\sin(\theta)\cdot_V x_1 - \cos(\theta)\cdot_V x_2) \\[0.5em] & = (\cos(\alpha) \cdot \cos(\theta))\cdot_V x_1 +_V (\cos(\alpha) \cdot\sin(\theta))\cdot_V x_2 +_V (\sin(\alpha)\cdot \sin(\theta))\cdot_V x_1 - (\sin(\alpha)\cdot\cos(\theta)) \cdot_V x_2 \\[0.5em] & =(\cos(\alpha) \cdot \cos(\theta) +\sin(\alpha)\cdot \sin(\theta))\cdot_V x_1 +_V (\cos(\alpha) \cdot\sin(\theta) - \sin(\alpha)\cdot\cos(\theta)) \cdot_V x_2 \\[0.5em] & =(\cos(-\alpha) \cdot \cos(\theta) -\sin(-\alpha)\cdot \sin(\theta))\cdot_V x_1 +_V (\cos(-\alpha) \cdot\sin(\theta) + \sin(-\alpha)\cdot\cos(\theta)) \cdot_V x_2 \\[0.5em] & = \cos(\theta-\alpha) \cdot_V x_1 +_V \sin(\theta -\alpha) \cdot_V x_2 \\[0.5em] & = \cos(\theta-\frac{\theta}{2}) \cdot_V x_1 +_V \sin(\theta -\frac{\theta}{2}) \cdot_V x_2 \\[0.5em] & = \cos(\frac{\theta}{2}) \cdot_V x_1 +_V \sin(\frac{\theta}{2}) \cdot_V x_2 \\[0.5em] & = \cos(\alpha) \cdot_V x_1 +_V \sin(\alpha) \cdot_V x_2 \\[0.5em] & = T_\alpha(x_1) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} T(T_\alpha(x_2)) & = T( - \sin(\alpha) \cdot_V x_1 +_V \cos(\alpha)\cdot_V x_2) \\[0.5em] & = - \sin(\alpha) \cdot_V T( x_1) +_V \cos(\alpha)\cdot_V T(x_2) \\[0.5em] & = - \sin(\alpha) \cdot_V (\cos(\theta)\cdot_V x_1 +_V \sin(\theta)\cdot_V x_2) +_V \cos(\alpha)\cdot_V (\sin(\theta)\cdot_V x_1 - \cos(\theta)\cdot_V x_2) \\[0.5em] & = -( \sin(\alpha)\cdot \cos(\theta))\cdot_V x_1 - (\sin(\alpha) \cdot\sin(\theta))\cdot_V x_2 +_V (\cos(\alpha)\cdot \sin(\theta))\cdot_V x_1 - (\cos(\alpha)\cdot\cos(\theta)) \cdot_V x_2 \\[0.5em] & = (- \sin(\alpha)\cdot \cos(\theta) + \cos(\alpha)\cdot \sin(\theta))\cdot_V x_1 +_V(-\sin(\alpha) \cdot\sin(\theta) -\cos(\alpha)\cdot\cos(\theta)) \cdot_V x_2 \\[0.5em] & = (\sin(-\alpha)\cdot \cos(\theta) + \cos(-\alpha)\cdot \sin(\theta))\cdot_V x_1 +_V(\sin(-\alpha) \cdot\sin(\theta) -\cos(-\alpha)\cdot\cos(\theta)) \cdot_V x_2 \\[0.5em] & = (\sin(-\alpha)\cdot \cos(\theta) + \cos(-\alpha)\cdot \sin(\theta))\cdot_V x_1 - (\cos(-\alpha)\cdot\cos(\theta)-\sin(-\alpha) \cdot\sin(\theta)) \cdot_V x_2 \\[0.5em] & = \sin(\theta -\alpha)\cdot_V x_1 - \cos(\theta -\alpha)\cdot_V x_2 \\[0.5em] & = \sin(\theta -\frac{\theta}{2})\cdot_V x_1 - \cos(\theta -\frac{\theta}{2})\cdot_V x_2 \\[0.5em] & = \sin(\frac{\theta}{2})\cdot_V x_1 - \cos(\frac{\theta}{2})\cdot_V x_2 \\[0.5em] & = \sin(\alpha)\cdot_V x_1 - \cos(\alpha)\cdot_V x_2 \\[0.5em] & = -(\sin(\alpha)\cdot_V x_1 +_V \cos(\alpha)\cdot_V x_2) \\[0.5em] & = -T_\alpha(x_2) \text{ 이므로} \end{align*}$

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $L$에 대한 대칭변환 $U: V\to V$에 대해

행렬표현의 정의와 위 정리로 $[T]_\gamma = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} = [U]_\gamma$가 되어 행렬표현 정리로 $T=U$이다.

2.

1번과 위 정리로 성립한다.

 

 

 

정리5

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $2$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$일때 

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 임의의 직교연산자 $T:V\to V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이기 위한 필요충분조건은 $T$의 행렬식이 $\det(T) = 1$인 것이다.

2. $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이기 위한 필요충분조건은 $T$의 행렬식이 $\det(T) = -1$인 것이다.

증명

1.

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이면 위 정리로 $\det(T) = 1$이다.

역으로 $\det(T) = 1$일때 위 정리로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이거나 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환인데

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이면 위 정리로 $1=\det(T) = -1$이 되어 모순이므로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이다.

2.

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이면 위 정리로 $\det(T) = -1$이다.

역으로 $\det(T) = -1$일때 위 정리로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이거나 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환인데

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이면 위 정리로 $-1=\det(T) = 1$이 되어 모순이므로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이다.

 

 

 

정리10

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $2$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$일때 다음이 성립한다.

1. $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환과 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환의 합성은 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이다.

2. $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환과 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환의 합성은 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이다.

3. $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환과 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환의 합성은 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이다.

증명

1.

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환 $T:V\to V$와 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환 $U :V\to V$에 대해

위 정리와 위 정리와 행렬식 정리로 $\det(T\circ U) = \det(T)\cdot \det(U) = 1\cdot (-1) = -1$이고

직교연산자 정리로 $T\circ U : V\to V$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자이므로 위 정리로 $T\circ U$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이다.

비슷하게 $\det(U\circ T) = \det(U)\cdot \det(T) = -1\cdot 1 = -1$이므로 $U\circ T : V\to V$도 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이다.

2.

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환 $T, U :V\to V$에 대해

1번과 비슷하게 $\det(T\circ U) = \det(T)\cdot \det(U) = (-1)\cdot (-1) = 1$이므로

위 정리로 $T\circ U$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이다.

3.

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환 $T, U :V\to V$에 대해

1번과 비슷하게 $\det(T\circ U) = \det(T)\cdot \det(U) = 1\cdot 1 = 1$이므로

위 정리로 $T\circ U$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이다.

 

 

 

정의5

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $1$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$이고

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자가 $T:V\to V$일때

모든 $x\in V$에 대해 $T(x) = x$이면 $T$를 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환으로 정의하고

모든 $x\in V$에 대해 $T(x) = -x$이면 $T$를 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환으로 정의한다.

 

 

 

정리11

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $1$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이면 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자이고 $T$의 행렬식은 $\det(T) = 1$이다.

2. $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이면 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자이고 $T$의 행렬식은 $\det(T) = -1$이다.

3. $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자이면 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이거나 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이다.

4. $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자일때 $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이기 위한 필요충분조건은 $\det(T) = 1$인 것이다.

5. $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자일때 $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이기 위한 필요충분조건은 $\det(T) = -1$인 것이다.

증명

1.

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 항등변환 $I_V:V\to V$와 모든 $x\in V$에 대해 회전변환의 정의로 $T(x) =x = I_V(x)$이므로

함수의 상등으로 $T= I_V$가 되어 직교연산자 정리로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자이다.

또 기저정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 순서기저 $\beta$가 존재하여

항등행렬 $I_1\in M_{1\times 1}(\mathbb{R})$에 대해 행렬표현 정리로 $[T]_\beta = [I_V]_\beta = I_1$이므로

선형변환의 행렬식의 정의와 행렬식 정리로 $\det(T) = \det([T]_\beta) = \det(I_1) = 1$이다.

2.

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 항등변환 $I_V:V\to V$는 직교연산자 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자이고

대칭변환의 정의로 모든 $x\in V$에 대해 $T(x) = -x = -1\cdot_V x = -1\cdot_V I_V(x)$이므로

직교연산자 정리로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자이다.

또 기저정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 순서기저 $\beta = (x_1)$가 존재하여 $T(x_1) = -x_1$이므로

선형변환의 행렬식의 정의와 행렬표현의 정의와 행렬식의 정의로 $\det(T) = \det([T]_\beta) = \det(\begin{bmatrix} -1\end{bmatrix}) = -1$이다.

3.

정규직교 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규직교순서기저 $\beta = (x_1)$가 존재하고

기저정리로 $T(x_1) = a\cdot_V x_1$인 $a\in \mathbb{R}$가 유일하게 존재하므로 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 노름 $\lVert \cdot \rVert : V\to [0,\infty)$에 대해

정규직교집합의 정의와 직교연산자의 정의와 직교연산자 정리와 노름의 정의로

$1=\lVert x_1\rVert=\lVert T(x_1)\rVert = \lVert a\cdot_V x_1\rVert = |a|\cdot \lVert x_1\rVert = |a|\cdot 1 = |a|$가 되어 $a = 1$ 또는 $a = -1$이다.

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환 $T_1:V\to V$와 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환 $T_2:V\to V$에 대해

$a = 1$이면 $T(x_1) = x_1 = T_1(x_1)$이므로 선형변환 정리로 $T = T_1$이고

$a = -1$이면 $T(x_1) = -x_1 = T_2(x_1)$이므로 선형변환 정리로 $T = T_2$이다.

4.

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이면 1번으로 $\det(T) = 1$이다.

역으로 $\det(T) = 1$일때 3번으로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이거나 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환인데

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이면 2번으로 $1=\det(T) = -1$이 되어 모순이므로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이다.

5.

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이면 2번으로 $\det(T) = -1$이다.

역으로 $\det(T) = -1$일때 3번으로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이거나 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환인데

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이면 1번으로 $-1=\det(T) = 1$이 되어 모순이므로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이다.

 

 

 

정리12

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in\mathbb{Z}^+$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$에 대해 

$1\le $ $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W)}$ $\le 2$인 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $T$-불변부분공간 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 존재한다.

증명

기저정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots, v_n)$가 존재하여

$\beta$에 대한 $T$의 행렬표현은 $A = [T]_\beta \in M_{n\times n}(\mathbb{R}) \subseteq M_{n\times n}(\mathbb{C})$이므로 복소수체 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$의 행렬이고

$A$의 좌측곱변환 $L_A :M_{n\times 1}(\mathbb{C})\to M_{n\times 1}(\mathbb{C})$와 열벡터 $\mathbb{C}$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(\mathbb{C}),+_n,\cdot_n,O_n)$에 대해 고윳값 정리로

$L_A(x) = \lambda\cdot_n x$인 $L_A$의 고윳값 $\lambda \in \mathbb{C}$와 $L_A$의 고유벡터 $x =\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\in M_{n\times 1}(\mathbb{C})\setminus \{ O_n\}$가 존재하여

복소수 정리로 허수 $i \in \mathbb{C}$에 대해

$\lambda = \operatorname{Re}(\lambda) + i\cdot \operatorname{Im}(\lambda)$이고 $x = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \operatorname{Re}(x_1) + i\cdot \operatorname{Im}(x_1)\\ \operatorname{Re}(x_2) + i\cdot \operatorname{Im}(x_2) \\ \vdots \\ \operatorname{Re}(x_n) + i\cdot \operatorname{Im}(x_n) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \operatorname{Re}(x_1) \\ \operatorname{Re}(x_2) \\ \vdots \\ \operatorname{Re}(x_n) \end{bmatrix} +_n i\cdot_n \begin{bmatrix} \operatorname{Im}(x_1)\\ \operatorname{Im}(x_2) \\ \vdots \\ \operatorname{Im}(x_n) \end{bmatrix} $이다.

$x\ne O_n$이므로 $x_k \ne 0$인 $k = 1,2,\cdots, n$가 존재하여

$\operatorname{Re}(x_k)\ne 0$ 또는 $\operatorname{Im}(x_k)\ne 0$이므로 $y = \begin{bmatrix} \operatorname{Re}(x_1) \\ \operatorname{Re}(x_2) \\ \vdots \\ \operatorname{Re}(x_n) \end{bmatrix} \ne O_n $ 또는 $z = \begin{bmatrix} \operatorname{Im}(x_1) \\ \operatorname{Im}(x_2) \\ \vdots \\ \operatorname{Im}(x_n) \end{bmatrix} \ne O_n $이고

$y,z \in M_{n\times 1}(\mathbb{R})$와 열벡터 $\mathbb{R}$-벡터공간 $(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),+_n,\cdot_n,O_n)$에 대해

$Z = \underset{(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),+_n,\cdot_n,O_n)}{\operatorname{span}(\{ y,z\})}$인 $(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),+_n,\cdot_n,O_n)$의 부분공간 $(Z,+_n,\cdot_n,O_n)$는 $0$차원이 아니므로

기저정리와 유한집합 정리와 차원의 정의로 $1\le \underset{(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),+_n,\cdot_n,O_n)}{\dim(Z)}\le 2$이다.

행렬곱 $\bullet$에 대해 행렬정리로

$L_A(x) = A\bullet x = A\bullet (y+_n i\cdot_n z) = (A\bullet y) +_n (A\bullet (i\cdot_n z)) = (A\bullet y) +_n i\cdot_n (A\bullet z)$이고

$\begin{align*}L_A(x) &= \lambda\cdot_n x \\[0.5em] & = \lambda \cdot_n (y +_n i\cdot_n z) \\[0.5em] &= \lambda \cdot_n y +_n \lambda\cdot_n (i\cdot_n z) \\[0.5em] &= \lambda \cdot_n y +_n (i\cdot \lambda)\cdot_n z \\[0.5em] &= (\operatorname{Re}(\lambda) + i\cdot \operatorname{Im}(\lambda)) \cdot_n y +_n (i\cdot (\operatorname{Re}(\lambda) + i\cdot \operatorname{Im}(\lambda)))\cdot_n z \\[0.5em] &= (\operatorname{Re}(\lambda) + i\cdot \operatorname{Im}(\lambda)) \cdot_n y +_n (i\cdot \operatorname{Re}(\lambda) - \operatorname{Im}(\lambda)))\cdot_n z \\[0.5em] &= \operatorname{Re}(\lambda) \cdot_n y +_n (i\cdot \operatorname{Im}(\lambda)) \cdot_n y +_n (i\cdot \operatorname{Re}(\lambda))\cdot_n z - \operatorname{Im}(\lambda)\cdot_n z \\[0.5em] &= \operatorname{Re}(\lambda) \cdot_n y - \operatorname{Im}(\lambda)\cdot_n z +_n i\cdot_n ( \operatorname{Im}(\lambda) \cdot_n y +_n \operatorname{Re}(\lambda)\cdot_n z ) \text{ 이므로} \end{align*}$

복소수 정리와 행렬의 상등으로

$L_A(y) = A\bullet y = \operatorname{Re}(\lambda)\cdot_n y-\operatorname{Im}(\lambda)\cdot_n z $와 $L_A(z) = A\bullet z = \operatorname{Im}(\lambda)\cdot_n y+_n\operatorname{Re}(\lambda)\cdot_n z $가 성립한다.

$(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),+_n,\cdot_n,O_n)$에서 $A$의 좌측곱변환 $U : M_{n\times 1}(\mathbb{R})\to M_{n\times 1}(\mathbb{R})$는

모든 $u \in M_{n\times 1}(\mathbb{R})$에 대해 $U(u) = L_A(u)$이고

모든 $u\in Z$는 생성집합의 정의로 $u = a\cdot_n y +_n b\cdot_n z$인 $a,b\in \mathbb{R}$가 존재하여 선형변환 정리로

$\begin{align*} U(u) &= L_A(u) \\[0.5em]&= L_A(a\cdot_n y+_n b\cdot_n z) \\[0.5em]&= a\cdot_n L_A(y) +_n b\cdot_n L_A(z) \\[0.5em]&= a\cdot_n (\operatorname{Re}(\lambda)\cdot_n y-\operatorname{Im}(\lambda)\cdot_n z) +_n b\cdot_n (\operatorname{Im}(\lambda)\cdot_n y+_n\operatorname{Re}(\lambda)\cdot_n z) \\[0.5em]&= (a\cdot\operatorname{Re}(\lambda))\cdot_n y+_n (-a\cdot \operatorname{Im}(\lambda))\cdot_n z +_n (b\cdot\operatorname{Im}(\lambda))\cdot_n y+_n (b\cdot\operatorname{Re}(\lambda))\cdot_n z \\[0.5em]&= (a\cdot\operatorname{Re}(\lambda) +b\cdot\operatorname{Im}(\lambda) )\cdot_n y+_n (b\cdot\operatorname{Re}(\lambda)-a\cdot \operatorname{Im}(\lambda)  )\cdot_n z \in Z \text{ 이므로} \end{align*}$

$U(Z) \subseteq Z$이고 $(Z,+_n,\cdot_n,O_n)$는 $(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),+_n,\cdot_n,O_n)$의 $U$-불변부분공간이다.

좌표벡터 정리로 모든 $v\in V$에 대해 $\phi_\beta(v) = [v]_\beta$인 함수 $\phi_\beta :V\to M_{n\times 1}(\mathbb{R})$는

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),+_n,\cdot_n,O_n)$로의 동형사상이므로 동형사상 정리로

$\phi_\beta $의 역함수 $\phi_\beta^{-1} : M_{n\times 1}(\mathbb{R})\to V$는 $(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),+_n,\cdot_n,O_n)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$로의 동형사상이 되어

선형변환 정리로 $W= \phi_\beta^{-1}(Z)$인 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간이고

동형사상 정리로 $\underset{(M_{n\times 1}(\mathbb{R}),+_n,\cdot_n,O_n)}{\dim(Z)} =\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(\phi_\beta^{-1}(Z))}=\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W)} $이므로 $1\le \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W)} \le 2$이다.

또 모든 $w\in W = \phi_\beta^{-1}(Z)$는 $[w]_\beta=\phi_\beta(w)  \in Z$이므로

좌표벡터 정리로 $\phi_\beta(T(w)) = [T(w)]_\beta = [T]_\beta \bullet [w]_\beta = A\bullet [w]_\beta  =L_A([w]_\beta)= U([w]_\beta)\in U(Z) \subseteq Z$가 되어

$T(w) \in \phi_\beta^{-1}(Z) = W$임에 따라 $T(W) \subseteq W$이고 $(W,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $T$-불변부분공간이다.

 

 

 

정리13

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in\mathbb{Z}^+$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자 $T: V\to V$에 대해

$k\le n$인 $k\in \mathbb{Z}^+$개의 부분집합 $W_1,W_2,\cdots,W_k \subseteq V$가 존재하여 다음을 만족한다.

1. 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $(W_i,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $T$-불변부분공간이다.

2. 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $1\le $ $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W_i)}$ $\le 2$이다.

3. $i\ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots, k$에 대해 모든 $x\in W_i$와 모든 $y\in W_j$가 $\langle x,y\rangle = 0$이다.

4. $V = W_1$ $\oplus$ $W_2 \oplus \cdots \oplus W_k$

증명

$n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 강귀납법을 사용한다.

$n = 1$이면 $V = W_1$에 대해

불변부분공간 정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $T$-불변부분공간이므로 1번이 성립하고

$\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W_1)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(V)} = n =1 $로 2번이 성립하고

공허하게 3번이 성립하고 부분공간의 직합의 정의로 4번이 성립한다.

모든 $1,2,\cdots, r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $r+1$차원이면

위 정리로 $1\le \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W_1)} \le 2$인 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $T$-불변부분공간 $(W_1,+_V,\cdot_V,\vec{0})$이 존재하여

$V = W_1$이면 위와 같이 1, 2, 3, 4번이 성립한다.

$V \ne W_1$일때 직합정리로 $V = W_1\oplus \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W_1^\perp}$이고 

$\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W_1^\perp} = \{\vec{0} \}$이라고 가정하면 직합정리로 $V = W_1\oplus \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W_1^\perp} = W_1\oplus \{\vec{0}\} = W_1$이 되어 모순이므로

$\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W_1^\perp} \ne \{\vec{0} \}$이고 직교여공간 정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(V)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W_1)} + \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W_1^\perp})} $임에 따라

$1 \le \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W_1^\perp})} =\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(V)} - \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W_1)} \le r+1 -1 =r $이다.

직교연산자 정리로 $T|_{\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W_1^\perp}}$ $:\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W_1^\perp}\to \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W_1^\perp} $는 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W_1^\perp},\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 직교연산자이므로

귀납가정으로 $k \le r$인 $k\in \mathbb{Z}^+$개의 $W_2, \cdots ,W_k,W_{k+1} \subseteq V$이 존재하여 1, 2, 3, 4번이 성립함에 따라

모든 $i = 2,\cdots,k, k+1$에 대해 

불변부분공간의 정의와 제한함수의 정의로 $T(W_i)= T|_{\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W_1^\perp}}(W_i) \subseteq W_i$이므로 

$(W_i,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $T$-불변부분공간이고

차원의 정의로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W_i)}=\underset{(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W_1^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W_i)}$이므로 $1\le \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W_i)}\le 2$이고

직교여공간의 정의와 부분공간의 합 정리로 모든 $x\in W_1$와 모든 $y\in W_i \subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W_1^\perp}$가 $\langle x,y\rangle = 0$이므로

$i\ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots, k,k+1$에 대해 모든 $x\in W_i$와 모든 $y\in W_j$가 $\langle x,y\rangle = 0$이고

직합정리로 $V= W_1\oplus \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{W_1^\perp} =W_1\oplus ( W_2\oplus \cdots \oplus W_{k} \oplus W_{k+1}) = W_1\oplus W_2\oplus \cdots \oplus W_k \oplus W_{k+1}$이므로

$k+1\le r+1$인 $k+1$개의 부분집합 $W_1,W_2,\cdots,W_k ,W_{k+1}\subseteq V$은 1, 2, 3, 4번이 성립한다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리14

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in\mathbb{Z}^+$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자 $T: V\to V$와 $k\in \mathbb{Z}^+$인 모든 $i = 1,2,\cdots,k$에 대해 

위 정리에 나온 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $T$-불변부분공간이 $(W_i,+_V,\cdot_V,\vec{0})$이면 다음이 성립한다.

1. $T|_{W_i}$는 $(W_i,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이거나 $(W_i,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이다.

2. $T$의 행렬식은 $\det(T) = 1$ 또는 $\det(T) = -1$이다.

3. $\det(T) = 1$이기 위한 필요충분조건은 $T|_{W_1}, T|_{W_2},\cdots, T|_{W_k}$중 대칭변환의 개수가 짝수인 것이다.

4. $\det(T) = -1$이기 위한 필요충분조건은 $T|_{W_1}, T|_{W_2},\cdots, T|_{W_k}$중 대칭변환의 개수가 홀수인 것이다.

증명

1.

직교연산자 정리로 $T|_{W_i}$는 $(W_i,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자이고 위 정리로 $(W_i,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $1$차원이거나 $2$차원이므로

$(W_i,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $1$차원이면 위 정리로 $T|_{W_i}$는 $(W_i,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이거나 $(W_i,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이고

$(W_i,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $2$차원이면 위 정리로 $T|_{W_i}$는 $(W_i,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이거나 $(W_i,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이다.

2.

위 정리로 $V = W_1\oplus W_2\oplus \cdots \oplus W_k$이므로

행렬식 정리로 $\det(T) = \det(T|_{W_1})\cdot \det(T|_{W_2})\cdot \;\cdots\;\cdot \det(T|_{W_k})$가 되어

1번과 위 정리와 위 정리와 절댓값 정리로

$|\det(T)| = |\det(T|_{W_1})\cdot \det(T|_{W_2})\cdot \;\cdots\;\cdot \det(T|_{W_k})| =|\det(T|_{W_1})|\cdot |\det(T|_{W_2})|\cdot \;\cdots\;\cdot |\det(T|_{W_k})| = 1 \text{ 임에 따라}$

$\det(T) = 1$ 또는 $\det(T) = -1$이다.

3.

$T|_{W_1}, T|_{W_2},\cdots, T|_{W_k}$중 대칭변환의 개수 $r\in \mathbb{N}$이 짝수이면 $r = 2\cdot m$인 $m\in \mathbb{N}$이 존재하여

2번과 같이 $\det(T) = \det(T|_{W_1})\cdot \det(T|_{W_2})\cdot \;\cdots\;\cdot \det(T|_{W_k}) = (-1)^{2\cdot m}= 1$이다.

역으로 $\det(T) = 1$일때

$T|_{W_1}, T|_{W_2},\cdots, T|_{W_k}$중 대칭변환의 개수 $r\in \mathbb{N}$이 홀수라고 가정하면 $r = 2\cdot m+1$인 $m\in \mathbb{N}$이 존재하는데

2번과 같이 $1=\det(T) = \det(T|_{W_1})\cdot \det(T|_{W_2})\cdot \;\cdots\;\cdot \det(T|_{W_k}) = (-1)^{2\cdot m+1} = -1$이 되어 모순이므로

$T|_{W_1}, T|_{W_2},\cdots, T|_{W_k}$중 대칭변환의 개수는 짝수이다.

4.

$T|_{W_1}, T|_{W_2},\cdots, T|_{W_k}$중 대칭변환의 개수 $r\in \mathbb{N}$이 홀수이면 $r = 2\cdot m+1$인 $m\in \mathbb{N}$이 존재하여

2번과 같이 $\det(T) = \det(T|_{W_1})\cdot \det(T|_{W_2})\cdot \;\cdots\;\cdot \det(T|_{W_k}) = (-1)^{2\cdot m+1}=- 1$이다.

역으로 $\det(T) = -1$일때

$T|_{W_1}, T|_{W_2},\cdots, T|_{W_k}$중 대칭변환의 개수 $r\in \mathbb{N}$이 짝수라고 가정하면 $r = 2\cdot m$인 $m\in \mathbb{N}$이 존재하는데

2번과 같이 $-1=\det(T) = \det(T|_{W_1})\cdot \det(T|_{W_2})\cdot \;\cdots\;\cdot \det(T|_{W_k}) = (-1)^{2\cdot m} = 1$이 되어 모순이므로

$T|_{W_1}, T|_{W_2},\cdots, T|_{W_k}$중 대칭변환의 개수는 홀수이다.

 

 

 

정리15

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in\mathbb{Z}^+$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 직교연산자 $T: V\to V$에 대해 $k\le n$인 $k\in \mathbb{Z}^+$개의 부분집합 $W_1,W_2,\cdots,W_k \subseteq V$가 존재하여

1. 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $(W_i,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $T$-불변부분공간이다.

2. 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $1\le $ $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W_i)}$ $\le 2$이다. 

3. $i\ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots, k$에 대해 모든 $x\in W_i$와 모든 $y\in W_j$가 $\langle x,y\rangle = 0$이다.

4. $V = W_1$ $\oplus$ $W_2 \oplus \cdots \oplus W_k$

1, 2, 3, 4를 만족하고 다음을 만족한다.

$\det(T) = 1$이면 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $T|_{W_i}$는 $(W_i,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이다.

$\det(T) = -1$이면 $T|_{W_j}$가 $(W_j,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환인 $j = 1,2,\cdots, k$가 유일하게 존재하고 $ \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W_j)} = 1$이다.

증명

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $\mathbb{R}$-벡터공간 $(L(V\to V),+_L,\cdot_L, T_0)$과 항등변환 $I_V:V\to V$에 대해

$T+_LI_V$의 핵이 $E = \{ x\in V : T(x) = -x\} = N(T +_L I_V)$일때

불변부분공간 정리로 $(E,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $T$-불변부분공간이므로

직교연산자 정리로 직교여공간 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$도 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $T$-불변부분공간이고

부분공간 정리로 $(E,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 유한차원이므로 직교여공간 정리로 $V = E\oplus \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E^\perp}$이다.

$(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $0$차원이면 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E^\perp} = \{\vec{0}\}$이고 직합정리로 $V = E\oplus \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E^\perp} = E\oplus \{\vec{0}\} = E$이므로

정규직교 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규직교기저 $\{ v_1,v_2,\cdots, v_n\}$이 존재하여

$n$이 홀수일때 $\{ v_1,v_2\}, \cdots, \{v_{n-2},v_{n-1}\} , \{ v_n\}$으로 분할하면

직합정리로 $E =V = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\{ v_1,v_2 \})}\oplus \cdots \oplus \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\{ v_{n-2},v_{n-1} \})} \oplus \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\{ v_n \})} $이고

임의의 $i = 1,3,\cdots, n-2$에 대해 $W_i = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\{ v_i,v_{i+1} \})}$는 차원의 정의로 $ \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W_i)} = 2$이고

$W_i\subseteq E$이므로 $T(v_i) = -v_i$와 $T(v_{i+1}) = -v_{i+1}$가 성립하여

모든 $x\in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\{ v_i,v_{i+1} \})} = W_i$는 $x = a_i\cdot_V v_i +_V a_{i+1}\cdot_V v_{i+1}$인 $a_i,a_{i+1}\in \mathbb{R}$가 존재함에 따라 선형변환 정리로

$\begin{align*} T(x) &= T(a_i\cdot_V v_i +_Va_{i+1}\cdot_V v_{i+1}) \\[0.5em]& = a_i\cdot_V T(v_i) +_V a_{i+1}\cdot_V T(v_{i+1}) \\[0.5em]&= a_i\cdot_V (-v_i)+_V a_{i+1}\cdot_V (-v_{i+1}) \\[0.5em]& = -a_i\cdot_V v_i - a_{i+1}\cdot_V v_{i+1} \in W_i \text{ 이고} \end{align*}$

$T(W_i) \subseteq W_i$이므로 $(W_i,+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 $T$-불변부분공간이고

$i\ne j$인 임의의 $j = 1,3,\cdots, n-2$에 대해

모든 $y\in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\{ v_j,v_{j+1} \})} = W_j$는 $y = a_j\cdot_V v_j +_V a_{j+1}\cdot_V v_{j+1}$인 $a_j,a_{j+1}\in \mathbb{R}$이 존재하여

내적정리와 정규직교집합의 정의로

$\begin{align*} \langle x,y\rangle &= \langle a_i\cdot_V v_i +_V a_{i+1}\cdot_V v_{i+1}, a_j\cdot_V v_{j} +_V a_{j+1}\cdot_V v_{j+1}\rangle \\[0.5em] & = \langle a_i\cdot_V v_i , a_j\cdot_V v_{j} +_V a_{j+1}\cdot_V v_{j+1}\rangle + \langle a_{i+1}\cdot_V v_{i+1}, a_j\cdot_V v_{j} +_V a_{j+1}\cdot_V v_{j+1}\rangle \\[0.5em] & = \langle a_i\cdot_V v_i , a_j\cdot_V v_{j} \rangle +\langle a_i\cdot_V v_i , a_{j+1}\cdot_V v_{j+1}\rangle + \langle a_{i+1}\cdot_V v_{i+1}, a_j\cdot_V v_{j} \rangle+ \langle a_{i+1}\cdot_V v_{i+1}, a_{j+1}\cdot_V v_{j+1}\rangle \\[0.5em] & = a_i\cdot a_j \cdot \langle v_i , v_{j} \rangle + a_i\cdot a_{j+1} \cdot \langle v_i , v_{j+1}\rangle + a_{i+1}\cdot a_j \cdot \langle v_{i+1}, v_{j} \rangle+ a_{i+1}\cdot a_{j+1}\cdot \langle v_{i+1}, v_{j+1}\rangle \\[0.5em] & = a_i\cdot a_j \cdot 0 + a_i\cdot a_{j+1} \cdot 0 + a_{i+1}\cdot a_j \cdot 0+ a_{i+1}\cdot a_{j+1}\cdot 0 \\[0.5em] & = 0 \text{ 이고} \end{align*}$

$W_n =\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\{ v_n\} \})}$은 차원의 정의로 $ \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(W_n)} = 1$이고

모든 $z\in \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\{ v_n\} \})} = W_n$는 $z = a_n\cdot v_n$인 $a_n \in \mathbb{R}$이 존재하여

$\begin{align*} \langle x,z\rangle &= \langle a_i\cdot_V v_i +_V a_{i+1}\cdot_V v_{i+1}, a_n\cdot_V v_{n} \rangle \\[0.5em] & = \langle a_i\cdot_V v_i , a_n\cdot_V v_{n} \rangle + \langle a_{i+1}\cdot_V v_{i+1}, a_n\cdot_V v_{n}\rangle  \\[0.5em] & = a_i\cdot a_n \cdot \langle v_i , v_{n} \rangle + a_{i+1}\cdot a_n \cdot \langle v_{i+1}, v_{n} \rangle\\[0.5em] & = a_i\cdot a_n \cdot 0  + a_{i+1}\cdot a_n \cdot 0 \\[0.5em] & = 0 \text{ 이다.} \end{align*}$

또 선형변환의 행렬식의 정의와 행렬표현의 정의와 행렬식 정리로  

$\det(T|_{W_i}) = \det(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}) = (-1)\cdot (-1) = 1$이므로 위 정리로 $T|_{W_i}$는 $(W_i,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이고

행렬식의 정의로 $\det(T|_{W_n}) = \det(\begin{bmatrix} -1 \end{bmatrix}) = -1$이므로 위 정리로 $T|_{W_n}$은 $(W_n,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환이다.

$n$이 짝수일때는 $\{ v_1,v_2\}, \cdots, \{v_{n-3},v_{n-2}\} , \{v_{n-1}, v_n\}$으로 분할하면 위와 비슷하게 정리가 성립한다.

$(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E^\perp},+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $0$차원이 아니면

어떤 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 위 정리를 만족하는 $W_1,W_2,\cdots, W_k$가 존재하여 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E^\perp} = W_1 \oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_k $이고

$T|_{W_j}$가 $(W_j,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 대칭변환인 $j = 1,2,\cdots, k$가 존재한다고 가정할때

$(W_j,\langle\cdot,\cdot\rangle)$가 $2$차원이면 위 정리와 비슷하게 $(W_j,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규직교기저 $\{ w_1,w_2\}$가 존재하여

$L = \underset{(W_j,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\{ w_1\})}$과 $\underset{(W_j,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{L^\perp} = \underset{(W_j,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\{ w_2\})}$에 대해

제한함수의 정의와 $2$차원 대칭변환의 정의로 $ T(w_2)= T|_{W_j}(w_2) = -w_2$이고 $w_2 \in E$인데

부분공간의 합 정리와 직교여공간 정리로 $w_2\in E\cap W_j \subseteq E \cap \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E^\perp} = \{ \vec{0}\}$이므로 $w_2 = \vec{0}$로 기저임에 모순이다.

$(W_j,\langle\cdot,\cdot\rangle)$가 $1$차원이면 $W_j = \underset{(W_j,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\{ w\})}$인 기저 $\{ w\}$가 존재하여

제한함수의 정의와 $1$차원 대칭변환의 정의로 $T(w) = T|_{W_j}(w) = -w$이고 $w\in E$인데

부분공간의 합 정리와 직교여공간 정리로 $w\in E\cap W_j \subseteq E \cap \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E^\perp} = \{ \vec{0}\}$이므로 $w = \vec{0}$로 기저임에 모순이다.

따라서 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $T|_{W_i}$는 $(W_i,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 회전변환이므로

$E = \{ \vec{0} \}$이면 $V = E\oplus \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E^\perp} = \{\vec{0}\}\oplus \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E^\perp} = \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E^\perp} = W_1\oplus W_2\oplus \cdots \oplus W_k$임에 따라 정리가 성립하고

$E \ne \{ \vec{0} \}$일때

위와 같이 $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규직교기저를 분할하면 어떤 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E = E_1\oplus E_2\oplus \cdots \oplus E_m$이고

$V = E\oplus \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E^\perp} = E_1\oplus E_2\oplus \cdots \oplus E_m \oplus W_1\oplus W_2\oplus \cdots \oplus W_k$이므로 위 정리와 비슷하게 정리가 성립한다.

또 대칭변환의 개수는 위 정리로 $\det(T) = 1$이면 $0$개이고 $\det(T) = -1$이면 $1$개이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/86#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/86#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244