유리수 집합

정의1

유리수(rational number) :

$b\ne $ $0_\mathbb{Z}$이고 $d \ne 0_\mathbb{Z}$인 임의의 정수 $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$와 정수 곱셈 $\cdot_\mathbb{Z} : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$에 대해

$(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$이기 위한 필요충분조건이 $a\cdot_\mathbb{Z} d = c\cdot_\mathbb{Z} b$인 데카르트곱 $ \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z}\})$의 관계 $\mathcal{R}$의 동치류를

유리수 $ a//b = [(a,b)]_{\mathcal{R}} = \{ (c,d) \in \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}) : (a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d) \}$로 정의한다. 

유리수 집합 :

$\mathbb{Q} = \{ x : \text{어떤 } (a,b) \in \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}) \text{ 에 대해 } x = a//b \}$를 유리수 집합으로 정의한다.

유리수 덧셈 :

임의의 두 유리수 $a//b, c//d \in \mathbb{Q}$를 더하는 것을 $(a//b) + (c//d) = (a\cdot_\mathbb{Z} d $ $+_\mathbb{Z}$ $ b\cdot_\mathbb{Z} c) // (b\cdot_\mathbb{Z} d)$로 정의한다.

유리수 곱셈 :

임의의 두 유리수 $a//b, c//d \in \mathbb{Q}$를 곱하는 것을 $(a//b) \cdot (c//d) = (a\cdot_\mathbb{Z} c) // (b\cdot_\mathbb{Z} d)$로 정의한다.

유리수 뺄셈 :

임의의 정수 $a \in \mathbb{Z}$의 $a +_\mathbb{Z} (-a) = 0_\mathbb{Z}$인 덧셈에 대한 역원이 $-a \in \mathbb{Z}$일때

임의의 유리수 $a//b \in \mathbb{Q}$에 대해 $-(a//b) = (-a)//b$를 $a//b$의 덧셈에 대한 역원이라 정의하고

임의의 두 유리수 $x,y \in \mathbb{Q}$에 대해 $x$에 $y$를 빼는 것을 $x -y = x + (-y)$로 정의한다.

양(positive)의 유리수, 음(negative)의 유리수, 유리수 영(zero) :

자연수 $0_\mathbb{Z},1_\mathbb{Z} \in \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$에 대해

임의의 정수 $a_\mathbb{Z} \in \mathbb{Z}$에 대한 유리수를 $a = a_\mathbb{Z}//1_\mathbb{Z}$로 정의하여

유리수 영을 $0 = 0_\mathbb{Z}//1_\mathbb{Z}$로 유리수 일을 $1 = 1_\mathbb{Z} // 1_\mathbb{Z}$로 정의한다.

임의의 양의 정수 $a, b \in \mathbb{Z}^+$에 대해 

$a // b$를 양의 유리수로 정의하고 $-(a//b) = (-a)//b$를 음의 유리수로 정의한다.

$\mathbb{Q}^+ = \{ x : \text{어떤 } (a,b) \in \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \text{ 에 대해 } x = a//b \}$를 양의 유리수 집합으로 정의하고

$\mathbb{Q}^- = \{ x : \text{어떤 } (a,b) \in \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \text{ 에 대해 } x = (-a)//b  \}$를 음의 유리수 집합으로 정의한다.

유리수 나눗셈 :

$a\ne 0_\mathbb{Z}$인 임의의 유리수 $a//b \in \mathbb{Q}$에 대해 $(a//b)^{-1} = b//a$를 $a//b$의 곱셈에 대한 역원이라 정의하고

$y\ne 0_\mathbb{Z}$인 임의의 두 유리수 $x,y \in \mathbb{Q}$에 대해 $x$를 $y$로 나누는 것을 $\dfrac{x}{y}= x / y = x \cdot y^{-1}$로 정의한다.

유리수집합의 자연수집합과 정수집합 :

정수집합이 $Z$이고 자연수집합이 $N \subseteq Z$일때 자연수 $1_Z \in N\subseteq Z$에 대해

유리수집합의 자연수집합을 $\mathbb{N} = \{ x : \text{어떤 } n \in N \text{ 에 대해 } x = n//1_Z \}$로 정의하고

유리수집합의 정수집합을 $\mathbb{Z} = \{ x : \text{어떤 } n \in Z \text{ 에 대해 } x = n//1_Z \}$로 정의한다.

$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$와 같이 집합 사이에 관계로 표기하면

$\mathbb{N}$과 $\mathbb{Z}$는 유리수집합의 자연수집합과 유리수집합의 정수집합을 나타낸다. $\phantom{\displaystyle \sum_{i = 1}^n }$

 

 

 

정리10

다음이 성립한다.

유리수의 존재성 : 유리수가 존재한다.

유리수집합의 존재성 : 유리수집합이 존재한다.

유리수의 상등 :

$b\ne 0_\mathbb{Z}$이고 $d \ne 0_\mathbb{Z}$인 임의의 $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$에 대해 $a\cdot_\mathbb{Z} d = c\cdot_\mathbb{Z} b$이기 위한 필요충분조건은 $a//b = c//d$인 것이다.

증명

유리수의 존재성 

위에서 정의된 관계 $\mathcal{R}$이 $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z}\})$의 동치관계임을 보인다.

반사성

임의의 $(a,b) \in \mathbb{Z}\times (\mathbb{Z} \setminus \{ 0_\mathbb{Z} \})$에 대해

정수 곱셈 $\cdot_\mathbb{Z}: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$은 함수이므로 $a \cdot_\mathbb{Z} b = a\cdot_\mathbb{Z} b$가 되어 $\mathcal{R}$의 정의로 $(a,b) \; \mathcal{R} \; (a,b)$이다.

대칭성

임의의 $(a,b),(c,d) \in \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{ 0_\mathbb{Z} \})$에 대해 $(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$이면 $\mathcal{R}$의 정의로 $a \cdot_\mathbb{Z} d = c \cdot_\mathbb{Z} b$이고

집합 상등의 대칭성으로 $c \cdot_\mathbb{Z} b = a \cdot_\mathbb{Z} d$이므로 $\mathcal{R}$의 정의로 $(c,d) \; \mathcal{R} \; (a,b)$이다.

추이성

임의의 $(a,b),(c,d),(e,f) \in \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{ 0_\mathbb{Z} \})$에 대해

$(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$이고 $(c,d) \; \mathcal{R} \; (e,f)$이면 $\mathcal{R}$의 정의로 $a \cdot_\mathbb{Z} d = c \cdot_\mathbb{Z} b$이고 $c \cdot_\mathbb{Z} f = e \cdot_\mathbb{Z} d$이므로

순서쌍의 상등으로 $(a \cdot_\mathbb{Z} d , c \cdot_\mathbb{Z} f) = (c \cdot_\mathbb{Z} b, e \cdot_\mathbb{Z} d)$이고

정수 곱셈 $\cdot_\mathbb{Z}: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$은 함수이므로 $(a \cdot_\mathbb{Z} d) \cdot_\mathbb{Z} (c \cdot_\mathbb{Z} f) = (c \cdot_\mathbb{Z} b) \cdot_\mathbb{Z} (e \cdot_\mathbb{Z} d)$가 되어

정수 곱셈 정리로 $(a \cdot_\mathbb{Z} f) \cdot_\mathbb{Z} (c \cdot_\mathbb{Z} d) = (e \cdot_\mathbb{Z} b) \cdot_\mathbb{Z} (c \cdot_\mathbb{Z} d)$이다.

$c\cdot_\mathbb{Z} d = 0_\mathbb{Z}$이면 

정수 곱셈 정리로 $d\ne 0_\mathbb{Z}$이므로 $c = 0_\mathbb{Z}$이 되어 $a \cdot_\mathbb{Z} d = 0_\mathbb{Z} = c \cdot_\mathbb{Z} b$는 $a = 0_\mathbb{Z}$이고

$c \cdot_\mathbb{Z} f = 0_\mathbb{Z} = e \cdot_\mathbb{Z} d$도 $e = 0_\mathbb{Z}$이 되어 $a\cdot_\mathbb{Z} f = 0_\mathbb{Z} = e\cdot_\mathbb{Z} b$이므로 $\mathcal{R}$의 정의로 $(a,b) \; \mathcal{R} \; (e,f)$이다.

$c\cdot_\mathbb{Z} d \ne 0_\mathbb{Z}$이면 

정수 곱셈 소거법칙으로 $a \cdot_\mathbb{Z} f = e \cdot_\mathbb{Z} b $이므로 $\mathcal{R}$의 정의로 $(a,b) \; \mathcal{R} \; (e,f)$이다.

동치관계의 반사성, 대칭성, 추이성이 성립하여 관계 $\mathcal{R}$은 동치관계이므로

분류 공리로 $\mathcal{R}$에 대한 $(a,b)$의 동치류 $[(a,b)]_{\mathcal{R}} = \{ (c,d) \in \mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}) : (a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d) \}$가 존재하여

유리수 $a//b = [(a,b)]_{\mathcal{R}}$가 존재한다.

유리수집합의 존재성

임의의 $(a,b) \in \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \})$에 대해 유리수 $a//b = [(a,b)]_{\mathcal{R}}$가 유일하게 존재하므로

치환 공리로 유리수집합 $\mathbb{Q} = \{ x : \text{어떤 } (a,b) \in \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}) \text{ 에 대해 } x = a//b \}$가 존재한다.

유리수의 상등

임의의 $(a,b),(c,d) \in \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{ 0_\mathbb{Z} \})$에 대해

동치류 정리로 $a//b = [(a,b)]_{\mathcal{R}} = [(c,d)]_{\mathcal{R}} = c//d$이기 위한 필요충분조건은 $(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$인 것이고

$(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$이기 위한 필요충분조건은 $a \cdot_\mathbb{Z} d = c \cdot_\mathbb{Z} b$인 것이므로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리1

임의의 정수 $a_1,a_2,c \in \mathbb{Z}$와 임의의 영이 아닌 정수 $b_1,b_2,d \in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$에 대해 다음이 성립한다.

덧셈의 타당성 : 

$a_1//b_1 = a_2//b_2$이면 1,2가 성립하여 유리수 덧셈은 $+ : \mathbb{Q}\times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$인 이항연산이다.

1. $(a_1//b_1) + (c//d) = (a_2//b_2) + (c//d)$

2. $(c//d) + (a_1//b_1) = (c//d) + (a_2//b_2)$

곱셈의 타당성 :

$a_1//b_1 = a_2//b_2$이면 1,2가 성립하여 유리수 곱셈은 $\cdot : \mathbb{Q}\times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$인 이항연산이다.

1. $(a_1//b_1) \cdot (c//d) = (a_2//b_2) \cdot (c//d)$

2. $(c//d) \cdot (a_1//b_1) = (c//d) \cdot (a_2//b_2)$

덧셈 역원의 타당성 :

$a_1//b_1 = a_2//b_2$이면 $-(a_1//b_1) = -(a_2//b_2)$가 성립하여 덧셈 역원연산은 $- :\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$인 함수이다.

곱셈 역원의 타당성 :

$a_1 \ne 0_\mathbb{Z}$이고 $a_2 \ne 0_\mathbb{Z}$일때 $a_1//b_1 = a_2//b_2$이면

$(a_1//b_1)^{-1} = (a_2//b_2)^{-1}$이 성립하여 곱셈 역원연산은 $(\cdot)^{-1} : \mathbb{Q} \setminus \{ 0\} \to \mathbb{Q} \setminus \{ 0 \}$인 함수이다.

정수와 유리수 사이의 관계 :

1. $a_1//1_\mathbb{Z} = a_2//1_\mathbb{Z} $이기 위한 필요충분조건은 $a_1 = a_2$인 것이다.

2. $(a_1//1_\mathbb{Z}) + (a_2//1_\mathbb{Z}) = (a_1 +_\mathbb{Z} a_2)//1_\mathbb{Z}$

3. $(a_1//1_\mathbb{Z}) \cdot (a_2//1_\mathbb{Z}) = (a_1 \cdot_\mathbb{Z} a_2)//1_\mathbb{Z} $

4. $0 = 0_\mathbb{Z}//1_\mathbb{Z} = 0_\mathbb{Z}//d$

5. $1 = 1_\mathbb{Z}//1_\mathbb{Z} = d//d$

6. $\dfrac{c//1_\mathbb{Z}}{d//1_\mathbb{Z}} = c//d$ 

7. $(-c)//d=-(c//d) = c//(-d)$

8. $c//d = (-c)//(-d)$

9. $(d//1_\mathbb{Z})^{-1} =  \dfrac{1_\mathbb{Z}//1_\mathbb{Z}}{d//1_\mathbb{Z}} = \dfrac{1}{d//1_\mathbb{Z}}$

증명

덧셈의 타당성

$a_1//b_1 = a_2//b_2$이므로

유리수의 상등으로 $a_1\cdot_\mathbb{Z} b_2 = a_2\cdot_\mathbb{Z} b_1$이고 집합 상등의 반사성으로 $c \cdot_\mathbb{Z} d = c\cdot_\mathbb{Z} d$이다.

정수 정리로 정수 덧셈과 정수 곱셈 $+_\mathbb{Z},\cdot_\mathbb{Z} : \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$은 함수이므로

$a_1\cdot_\mathbb{Z} b_2 = a_2\cdot_\mathbb{Z} b_1$에 $d\cdot_\mathbb{Z} d$를 곱하면 $a_1\cdot_\mathbb{Z} b_2 \cdot_\mathbb{Z} d \cdot_\mathbb{Z} d  = a_2\cdot_\mathbb{Z} b_1 \cdot_\mathbb{Z} d \cdot_\mathbb{Z} d $이고

$c \cdot_\mathbb{Z} d = c \cdot_\mathbb{Z} d$에 $b_1\cdot_\mathbb{Z} b_2$를 곱하면 $c\cdot_\mathbb{Z} d \cdot_\mathbb{Z} b_1\cdot_\mathbb{Z} b_2 = c\cdot_\mathbb{Z} d \cdot_\mathbb{Z} b_1 \cdot_\mathbb{Z} b_2$가 되어

$a_1\cdot_\mathbb{Z} b_2 \cdot_\mathbb{Z} d \cdot_\mathbb{Z} d +_\mathbb{Z} c \cdot_\mathbb{Z} d \cdot_\mathbb{Z} b_1 \cdot_\mathbb{Z} b_2 = a_2\cdot_\mathbb{Z} b_1 \cdot_\mathbb{Z} d \cdot_\mathbb{Z} d +_\mathbb{Z} c\cdot_\mathbb{Z} d \cdot_\mathbb{Z} b_1 \cdot_\mathbb{Z} b_2$이다.

또 $b_1,b_2,d \in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$이므로 정수 곱셈 정리로 $b_1 \cdot_\mathbb{Z} d \ne 0_\mathbb{Z}$이고 $b_2 \cdot_\mathbb{Z} d \ne 0_\mathbb{Z}$이다.

1.

정수 연산 정리로 위 식을 정리하면 $(a_1\cdot_\mathbb{Z} d +_\mathbb{Z} b_1\cdot_\mathbb{Z} c) \cdot_\mathbb{Z} (b_2\cdot_\mathbb{Z} d) = (a_2\cdot_\mathbb{Z} d +_\mathbb{Z} b_2 \cdot_\mathbb{Z} c) \cdot (b_1 \cdot_\mathbb{Z} d)$이고

유리수 덧셈의 정의로

$(a_1//b_1) + (c//d) = (a_1\cdot_\mathbb{Z} d +_\mathbb{Z} b_1\cdot_\mathbb{Z} c)//(b_1\cdot_\mathbb{Z} d)$이고

$(a_2//b_2) + (c//d) = (a_2\cdot_\mathbb{Z} d +_\mathbb{Z} b_2\cdot_\mathbb{Z} c)//(b_2 \cdot_\mathbb{Z} d)$이므로

유리수의 상등으로 $(a_1//b_1) + (c//d) = (a_2//b_2) + (c//d)$이다.

2.

정수 연산 정리로 위 식을 정리하면 $(c\cdot_\mathbb{Z} b_1 +_\mathbb{Z} d\cdot_\mathbb{Z} a_1) \cdot_\mathbb{Z} (d\cdot_\mathbb{Z} b_2) = (c\cdot_\mathbb{Z} b_2 +_\mathbb{Z} d\cdot_\mathbb{Z} a_2) \cdot_\mathbb{Z} (d\cdot_\mathbb{Z} b_1)$이고

유리수 덧셈의 정의로

$(c//d) + (a_1//b_1)  = (c\cdot_\mathbb{Z} b_1 +_\mathbb{Z} d\cdot_\mathbb{Z} a_1)//(d\cdot_\mathbb{Z} b_1)$이고

$(c//d ) + (a_2//b_2) = (c\cdot_\mathbb{Z} b_2 +_\mathbb{Z} d\cdot_\mathbb{Z} a_2)//(d\cdot_\mathbb{Z} b_2)$이므로

유리수의 상등으로 $(c//d) + (a_1//b_1) = (c//d) + (a_2//b_2)$이다.

곱셈의 타당성

$a_1//b_1 = a_2//b_2$이면 유리수의 상등으로 $a_1\cdot_\mathbb{Z} b_2 = a_2\cdot_\mathbb{Z} b_1$이고

정수 곱셈 $\cdot_\mathbb{Z} : \mathbb{Z}\times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$은 함수이므로 위 식에 $c \cdot_\mathbb{Z} d$를 곱하면 $a_1\cdot_\mathbb{Z} b_2 \cdot_\mathbb{Z} c \cdot d = a_2\cdot_\mathbb{Z} b_1 \cdot_\mathbb{Z} c \cdot_\mathbb{Z} d $이다.

또 $b_1,b_2,d \in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$이므로 정수 곱셈 정리로 $b_1 \cdot_\mathbb{Z} d \ne 0_\mathbb{Z}$이고 $b_2 \cdot_\mathbb{Z} d \ne 0_\mathbb{Z}$이다.

1.

정수 연산 정리로 위 식을 정리하면 $(a_1\cdot_\mathbb{Z} c) \cdot_\mathbb{Z} (b_2\cdot_\mathbb{Z} d) = (a_2\cdot_\mathbb{Z} c)\cdot_\mathbb{Z} (b_1\cdot_\mathbb{Z} d)$이고

유리수 곱셈의 정의로

$(a_1//b_1) \cdot (c//d) = (a_1 \cdot_\mathbb{Z} c) //(b_1\cdot_\mathbb{Z} d)$이고 $(a_2//b_2) \cdot (c//d) = (a_2\cdot_\mathbb{Z} c) // (b_2 \cdot_\mathbb{Z} d)$이므로

유리수의 상등으로 $(a_1//b_1) \cdot (c//d) = (a_2//b_2) \cdot (c//d)$이다.

2.

정수 연산 정리로 위 식을 정리하면 $(c\cdot_\mathbb{Z} a_1) \cdot_\mathbb{Z} (d\cdot_\mathbb{Z} b_2) = (c\cdot_\mathbb{Z} a_2)\cdot_\mathbb{Z} (d\cdot_\mathbb{Z} b_1)$이고

유리수 곱셈의 정의로

$(c//d)\cdot (a_1//b_1)  = (c\cdot_\mathbb{Z} a_1) //(d\cdot_\mathbb{Z} b_1)$이고 $(c//d)\cdot (a_2//b_2) = (c\cdot_\mathbb{Z} a_2) // (d\cdot_\mathbb{Z} b_2)$이므로

유리수의 상등으로 $(c//d) \cdot (a_1//b_1) = (c//d) \cdot (a_2//b_2)$이다.

덧셈 역원의 타당성

$a_1//b_1 = a_2//b_2$이면 유리수의 상등으로 $a_1\cdot_\mathbb{Z} b_2 = a_2\cdot_\mathbb{Z} b_1$이고

정수 덧셈 역원연산 $- : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$은 함수이므로

정수 연산 정리로 $(-a_1)\cdot_\mathbb{Z} b_2 = -(a_1\cdot_\mathbb{Z} b_2) = -(a_2\cdot_\mathbb{Z} b_1) = (-a_2)\cdot_\mathbb{Z} b_1$이 되어

유리수 덧셈 역원의 정의과 유리수의 상등으로 $-(a_1//b_1) = (-a_1) // b_1 = (-a_2)//b_2 = -(a_2//b_2)$이다.

곱셈 역원의 타당성

$a_1//b_1 = a_2//b_2$이면 유리수의 상등으로 $a_1\cdot_\mathbb{Z} b_2 = a_2\cdot_\mathbb{Z} b_1$이므로 교환법칙으로 $b_2 \cdot_\mathbb{Z} a_1 = b_1 \cdot_\mathbb{Z} a_2$이고

$a_1 ,a_2 \in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$이므로

유리수 곱셈 역원의 정의과 유리수의 상등으로 $ (a_2//b_2)^{-1}= b_2//a_2 = b_1 // a_1 = (a_1//b_1)^{-1}$이고

집합 상등의 대칭성으로 $(a_1//b_1)^{-1} = (a_2//b_2)^{-1}$이다.

정수와 유리수 사이의 관계

1. 

$a_1//1_\mathbb{Z} = a_2//1_\mathbb{Z}$이면

정수 연산 정리와 유리수의 상등으로 $a_1=a_1 \cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z} = a_2\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z} = a_2$이다.

역으로 $a_1 = a_2$이면

정수 연산 정리로 $a_1\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z}=a_1 = a_2 = a_2\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z}$이므로 유리수의 상등으로 $a_1//1_\mathbb{Z} = a_2//1_\mathbb{Z}$이다.

2.

정수 연산 정리로 $ (a_1\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z} +_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z}\cdot_\mathbb{Z} a_2 ) \cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z} = (a_1 +_\mathbb{Z} a_2)\cdot_\mathbb{Z} (1_\mathbb{Z}\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z})$이므로

유리수 덧셈의 정의와 유리수의 상등으로

$(a_1//1_\mathbb{Z}) + (a_2//1_\mathbb{Z})  = (a_1\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z} +_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z}\cdot_\mathbb{Z} a_2 )//(1_\mathbb{Z}\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z})= (a_1 +_\mathbb{Z} a_2)//1_\mathbb{Z} $이다.

3. 

정수 연산 정리로 $(a_1\cdot_\mathbb{Z} a_2) \cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z} = (a_1 \cdot_\mathbb{Z} a_2) \cdot_\mathbb{Z} (1_\mathbb{Z}\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z})$이므로

유리수 곱셈의 정의와 유리수의 상등으로

$(a_1//1_\mathbb{Z}) \cdot (a_2//1_\mathbb{Z}) = (a_1\cdot_\mathbb{Z} a_2)//(1_\mathbb{Z}\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z}) = (a_1 \cdot_\mathbb{Z} a_2)//1_\mathbb{Z} $이다.

4.

정수 연산 정리로 $0_\mathbb{Z}\cdot_\mathbb{Z} d = 0_\mathbb{Z} = 0_\mathbb{Z}\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z}$이므로 유리수의 상등으로 $0 = 0_\mathbb{Z}//1_\mathbb{Z} = 0_\mathbb{Z}//d$이다.

5.

정수 연산 정리로 $1_\mathbb{Z}\cdot_\mathbb{Z} d = d = d\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z}$이므로 유리수의 상등으로 $1 = 1_\mathbb{Z}//1_\mathbb{Z} = d//d$이다.

6.

정수 연산 정리로 $(c\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z} ) \cdot_\mathbb{Z} d = c \cdot_\mathbb{Z} (1_\mathbb{Z}\cdot_\mathbb{Z} d)$이므로

유리수 나눗셈의 정의와 유리수 곱셈의 정의와 유리수의 상등으로

$\dfrac{c//1_\mathbb{Z}}{d//1_\mathbb{Z}} = (c//1_\mathbb{Z})\cdot (d//1_\mathbb{Z})^{-1} = (c//1_\mathbb{Z})\cdot (1_\mathbb{Z}//d) = (c\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z}) // (1_\mathbb{Z}\cdot_\mathbb{Z} d) = c//d$이다.

7.

정수 덧셈 역원의 곱셈으로 $(-c)\cdot_\mathbb{Z} (-d) = c\cdot_\mathbb{Z} d$이고 $d \ne 0_\mathbb{Z}$이므로

정수 순서성질로 $d \in \mathbb{Z}^+$ 또는 $d \in \mathbb{Z}^-$가 되어 정수의 정의로 $-d \ne 0_\mathbb{Z}$이다.

따라서 유리수의 상등으로 $(-c)//d= c//(-d)$이고 유리수 덧셈 역원의 정의로 $-(c//d) = (-c)//d$이므로

$-(c//d) = (-c)//d = c//(-d)$이다.

8.

정수 연산 정리로 $c\cdot_\mathbb{Z} (-d) = (-c)\cdot_\mathbb{Z} d$이고 $d \ne 0_\mathbb{Z}$이므로

정수 순서성질로 $d \in \mathbb{Z}^+$ 또는 $d \in \mathbb{Z}^-$가 되어 정수의 정의로 $-d \ne 0_\mathbb{Z}$이다.

따라서 유리수의 상등으로 $c//d = (-c)//(-d)$이다.

9.

유리수 나눗셈의 정의와 유리수 곱셈의 정의로

$(d//1_\mathbb{Z})^{-1} =1_\mathbb{Z}//d = (1_\mathbb{Z} \cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z}) // (1_\mathbb{Z} \cdot_\mathbb{Z} d) = (1_\mathbb{Z}//1_\mathbb{Z})\cdot (1_\mathbb{Z}//d) = (1_\mathbb{Z}//1_\mathbb{Z})\cdot(d//1_\mathbb{Z})^{-1} = \dfrac{1_\mathbb{Z}//1_\mathbb{Z}}{d//1_\mathbb{Z}} =\dfrac{1}{d//1_\mathbb{Z}}\text{ 이다.}$

 

 

 

정리2

임의의 유리수 $x,y,z \in \mathbb{Q}$에 대해 다음이 성립한다.

덧셈에 대한 교환법칙 : $x + y = y+x$

곱셈에 대한 교환법칙 : $x \cdot y = y\cdot x$

덧셈에 대한 결합법칙 : $x +(y+z) = (x+y)+z$

곱셈에 대한 결합법칙 : $x \cdot(y\cdot z) = (x\cdot y)\cdot z$

덧셈의 항등원 : $x + 0 = x = 0 +x$

덧셈의 역원 : $x + (-x) = 0 = (-x) +x$

곱셈의 항등원 : $x\cdot 1 = x = 1\cdot x$

곱셈의 역원 : $x\ne 0$이면 $x \cdot x^{-1} = 1 = x^{-1} \cdot x$이다.

분배법칙 : $x \cdot (y + z) = x\cdot y + x\cdot z = y\cdot x + z\cdot x= (y +z)\cdot x$

이중 덧셈의 역원 : $x = -(-x)$

덧셈역원의 교환 : $(-x) \cdot y = -(x\cdot y) = x\cdot (-y)$

덧셈역원의 덧셈 : $-(x+y) = (-x) + (-y) $

덧셈역원의 곱셈 : $(-x) \cdot (-y) = x\cdot y$

이중 곱셈의 역원 : $x\ne 0$이면 $x = (x^{-1})^{-1}$이다.

곱셈역원의 곱셈 : $x\ne 0$이고 $y \ne 0$이면 $x^{-1} \cdot y^{-1} = (x\cdot y)^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1}$이다.

증명

덧셈에 대한 교환법칙

유리수의 정의로

$x = a//b$이고 $y = c//d$인 $a,c\in \mathbb{Z}$와 $b,d\in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$가 존재하여

덧셈의 정의로

$x + y= (a//b) + (c//d) = (a \cdot_\mathbb{Z} d +_\mathbb{Z} b\cdot_\mathbb{Z} c) // (b\cdot_\mathbb{Z} d)$이고

$y + x= (c//d) + (a//b) = (c\cdot_\mathbb{Z} b +_\mathbb{Z} d\cdot_\mathbb{Z} a) // (d\cdot_\mathbb{Z} b)$이므로

정수 연산 정리로 $(a\cdot_\mathbb{Z} d +_\mathbb{Z}b\cdot_\mathbb{Z} c) \cdot_\mathbb{Z} (d \cdot_\mathbb{Z} b)  = (c\cdot_\mathbb{Z} b +_\mathbb{Z} d \cdot_\mathbb{Z} a) \cdot_\mathbb{Z} (b \cdot_\mathbb{Z} d)$임에 따라

유리수의 상등으로 $x +y = (a\cdot_\mathbb{Z} d +_\mathbb{Z} b\cdot_\mathbb{Z} c)//(b\cdot_\mathbb{Z} d) = (c\cdot_\mathbb{Z} b +_\mathbb{Z} d\cdot_\mathbb{Z} a)//(d\cdot_\mathbb{Z} b) = y+x$이다.

곱셈에 대한 교환법칙

유리수의 정의로 $x = a//b$이고 $y = c//d$인 $a,c\in \mathbb{Z}$와 $b,d\in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$가 존재하여

곱셈의 정의로

$x \cdot y= (a//b) \cdot (c//d) = (a \cdot_\mathbb{Z} c) // (b\cdot_\mathbb{Z} d)$이고 $y \cdot x= (c//d) \cdot (a//b) = (c\cdot_\mathbb{Z} a) // (d\cdot_\mathbb{Z} b)$이므로

정수 연산 정리로 $(a\cdot_\mathbb{Z} c) \cdot_\mathbb{Z} (d\cdot_\mathbb{Z} b) = (c\cdot_\mathbb{Z} a) \cdot_\mathbb{Z} (b\cdot_\mathbb{Z} d)$임에 따라

유리수의 상등으로 $x \cdot y  = (a\cdot_\mathbb{Z} c) // (b\cdot_\mathbb{Z} d) = (c\cdot_\mathbb{Z} a)//(d\cdot_\mathbb{Z} b) = y\cdot x$이다.

덧셈에 대한 결합법칙

유리수의 정의로

$x = a_{x}//b_{x}$이고 $y = a_{y}//b_{y}$이고 $z = a_{z}//b_{z}$인 $a_{x},a_y,a_z \in \mathbb{Z}$와 $b_x,b_y,b_z \in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$가 존재하여

덧셈의 정의와 정수 연산 정리로

$\begin{align*} x +(y+z) & = (a_{x}//b_{x}) + ((a_{y}//b_{y}) + (a_{z}//b_{z})) \\[0.5em] & = (a_{x}//b_{x}) + ((a_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z +_\mathbb{Z}b_y \cdot_\mathbb{Z} a_z )//(b_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z)) \\[0.5em] & = (a_{x}\cdot_\mathbb{Z} ( b_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z ) +_\mathbb{Z} b_x\cdot_\mathbb{Z} (a_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z +_\mathbb{Z}b_y \cdot_\mathbb{Z} a_z ) )//( b_x \cdot_\mathbb{Z} (b_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z)) \\[0.5em] & = (a_{x}\cdot_\mathbb{Z} b_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z +_\mathbb{Z} b_x\cdot_\mathbb{Z} a_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z +_\mathbb{Z} b_x\cdot_\mathbb{Z} b_y \cdot_\mathbb{Z} a_z )//( b_x \cdot_\mathbb{Z} b_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} (x +y)+z & = ((a_{x}//b_{x}) + (a_{y}//b_{y})) + (a_{z}//b_{z}) \\[0.5em] & = ((a_{x}\cdot_\mathbb{Z} b_y +_\mathbb{Z} b_x \cdot_\mathbb{Z} a_y )//(b_{x}\cdot_\mathbb{Z} b_y)) + (a_{z}//b_{z}) \\[0.5em] & = ( (a_{x}\cdot_\mathbb{Z} b_y +_\mathbb{Z} b_x \cdot_\mathbb{Z} a_y )\cdot_\mathbb{Z} b_z +_\mathbb{Z} ( b_{x}\cdot_\mathbb{Z} b_y ) \cdot_\mathbb{Z} a_{z} )//( (b_x \cdot_\mathbb{Z} b_{y})\cdot_\mathbb{Z} b_z) \\[0.5em] & = (a_{x}\cdot_\mathbb{Z} b_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z +_\mathbb{Z} b_x\cdot_\mathbb{Z} a_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z +_\mathbb{Z} b_x\cdot_\mathbb{Z} b_y \cdot_\mathbb{Z} a_z )//( b_x \cdot_\mathbb{Z} b_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z) \text{ 이므로} \end{align*}$

$x +(y+z) = (x+y)+z$이다.

곱셈에 대한 결합법칙

유리수의 정의로

$x = a_{x}//b_{x}$이고 $y = a_{y}//b_{y}$이고 $z = a_{z}//b_{z}$인 $a_{x},a_y,a_z \in \mathbb{Z}$와 $b_x,b_y,b_z \in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$가 존재하여

곱셈의 정의와 정수 연산 정리로

$\begin{align*} x \cdot (y\cdot z) & = (a_{x}//b_{x}) \cdot ((a_{y}//b_{y}) \cdot (a_{z}//b_{z})) \\[0.5em] & = (a_{x}//b_{x}) \cdot ((a_{y}\cdot_\mathbb{Z} a_z)//(b_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z)) \\[0.5em] & = (a_x\cdot_\mathbb{Z} (a_{y}\cdot_\mathbb{Z} a_z) )//( b_x\cdot_\mathbb{Z} (b_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z) ) \\[0.5em] & = (a_x\cdot_\mathbb{Z} a_{y}\cdot_\mathbb{Z} a_z )//( b_x\cdot_\mathbb{Z} b_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z ) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} (x \cdot y)\cdot z & = ((a_{x}//b_{x}) \cdot (a_{y}//b_{y})) \cdot (a_{z}//b_{z}) \\[0.5em] & = ((a_{x}\cdot_\mathbb{Z} a_y)//(b_{x}\cdot_\mathbb{Z} b_y)) \cdot (a_z//b_z) \\[0.5em] & = ((a_x\cdot_\mathbb{Z} a_{y})\cdot_\mathbb{Z} a_z )//( (b_x\cdot_\mathbb{Z} b_{y})\cdot_\mathbb{Z} b_z ) \\[0.5em] & = (a_x\cdot_\mathbb{Z} a_{y}\cdot_\mathbb{Z} a_z )//( b_x\cdot_\mathbb{Z} b_{y}\cdot_\mathbb{Z} b_z ) \text{ 이므로} \end{align*}$

$x \cdot(y\cdot z) = (x\cdot y)\cdot z$이다.

덧셈의 항등원

유리수의 정의로 $x = a//b$인 $a\in \mathbb{Z}$와 $b\in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$가 존재하고 $0 = 0_\mathbb{Z}//1_\mathbb{Z}$이므로

덧셈의 정의와 정수 연산 정리로 $x + 0 = (a//b) + (0_\mathbb{Z}//1_\mathbb{Z}) = (a\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z} +_\mathbb{Z}b\cdot_\mathbb{Z} 0_\mathbb{Z})//(b\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z}) = a//b = x$이다.

따라서 덧셈에 대한 교환법칙으로 $x = x + 0 = 0 +x$이다.

덧셈의 역원

유리수의 정의로 $x = a//b$인 $a\in \mathbb{Z}$와 $b\in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$가 존재하고 $-x = -(a//b) = (-a)//b$이므로

덧셈의 정의와 정수 연산 정리와 위 정리로

$x + (-x) = (a//b) + ((-a)//b) = (a\cdot_\mathbb{Z} b +_\mathbb{Z} b\cdot_\mathbb{Z} (-a))//(b\cdot_\mathbb{Z} b) = 0_\mathbb{Z}//(b\cdot_\mathbb{Z} b) = 0$이다.

따라서 덧셈에 대한 교환법칙으로 $0 = x + (-x) = (-x) +x$이다.

곱셈의 항등원

유리수의 정의로 $x = a//b$인 $a\in \mathbb{Z}$와 $b\in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$가 존재하고 $1 = 1_\mathbb{Z}//1_\mathbb{Z}$이므로

곱셈의 정의와 정수 연산 정리로 $x\cdot 1 = (a//b) \cdot (1_\mathbb{Z}//1_\mathbb{Z}) = (a\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z})//(b\cdot_\mathbb{Z} 1_\mathbb{Z}) = a//b = x$이다.

따라서 곱셈에 대한 교환법칙으로 $x = x\cdot 1 = 1\cdot x$이다.

곱셈의 역원

$x\ne 0$이므로 유리수의 정의로 $x = a//b$인 $a,b\in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$가 존재하여 $x^{-1} = (a//b)^{-1} = b//a$이고

곱셈의 정의와 정수 연산 정리와 위 정리로 $x \cdot x^{-1} = (a//b)\cdot (b//a) = (a\cdot_\mathbb{Z} b)//(b\cdot_\mathbb{Z} a)  = 1$이다.

따라서 곱셈에 대한 교환법칙으로 $1 = x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x$이다.

분배법칙

유리수의 정의로

$x = a_{x}//b_{x}$이고 $y = a_{y}//b_{y}$이고 $z = a_{z}//b_{z}$인 $a_{x},a_y,a_z \in \mathbb{Z}$와 $b_x,b_y,b_z \in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$가 존재하여

덧셈의 정의와 곱셈의 정의와 정수 연산 정리로

$\begin{align*} x \cdot (y+z) & = (a_x//b_x) \cdot ( (a_y//b_y) + (a_z//b_z) ) \\[0.5em] & = (a_x//b_x) \cdot ( (a_y\cdot_\mathbb{Z} b_z +_\mathbb{Z} b_y\cdot_\mathbb{Z} a_z)//(b_y\cdot_\mathbb{Z} b_z) ) \\[0.5em] & = ( a_x\cdot_\mathbb{Z} (a_y\cdot_\mathbb{Z} b_z +_\mathbb{Z} b_y\cdot_\mathbb{Z} a_z) ) // ( b_x\cdot_\mathbb{Z} (b_y\cdot_\mathbb{Z} b_z)) \\[0.5em] & = ( a_x\cdot_\mathbb{Z} a_y\cdot_\mathbb{Z} b_z +_\mathbb{Z} a_x\cdot_\mathbb{Z} b_y\cdot_\mathbb{Z} a_z ) // ( b_x\cdot_\mathbb{Z} b_y\cdot_\mathbb{Z} b_z) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} x \cdot y+ x \cdot z & = ((a_x//b_x) \cdot (a_y//b_y)) + ((a_x//b_x) \cdot (a_z//b_z)) \\[0.5em] & = ( (a_x\cdot_\mathbb{Z} a_y )//(b_x \cdot_\mathbb{Z} b_y) ) + ( (a_x\cdot_\mathbb{Z} a_z )//(b_x \cdot_\mathbb{Z} b_z) ) \\[0.5em] & = ( (a_x\cdot_\mathbb{Z} a_y )\cdot_\mathbb{Z} (b_x \cdot_\mathbb{Z} b_z) +_\mathbb{Z} (b_x \cdot_\mathbb{Z} b_y) \cdot_\mathbb{Z} (a_x\cdot_\mathbb{Z} a_z ) ) //((b_x \cdot_\mathbb{Z} b_y) \cdot_\mathbb{Z} (b_x \cdot_\mathbb{Z} b_z) ) \\[0.5em] & = ( a_x\cdot_\mathbb{Z} a_y \cdot_\mathbb{Z} b_x \cdot_\mathbb{Z} b_z +_\mathbb{Z} b_x \cdot_\mathbb{Z} b_y \cdot_\mathbb{Z} a_x\cdot_\mathbb{Z} a_z ) //(b_x \cdot_\mathbb{Z} b_y \cdot_\mathbb{Z} b_x \cdot_\mathbb{Z} b_z ) \text{ 이다.} \end{align*}$

또 정수 연산 정리로

$ ( a_x\cdot_\mathbb{Z} a_y \cdot_\mathbb{Z} b_x \cdot_\mathbb{Z} b_z +_\mathbb{Z} b_x \cdot_\mathbb{Z} b_y \cdot_\mathbb{Z} a_x\cdot_\mathbb{Z} a_z ) \cdot_\mathbb{Z} (b_x\cdot_\mathbb{Z} b_y \cdot_\mathbb{Z} b_z)  =  ( a_x\cdot_\mathbb{Z} a_y\cdot_\mathbb{Z} b_z +_\mathbb{Z} a_x\cdot_\mathbb{Z} b_y\cdot_\mathbb{Z} a_z ) \cdot_\mathbb{Z} (b_x \cdot_\mathbb{Z} b_y \cdot_\mathbb{Z} b_x \cdot_\mathbb{Z} b_z ) \text{ 이므로}$

유리수의 상등으로 $x \cdot (y + z) = x\cdot y + x\cdot z $이다.

따라서 교환법칙으로 $x \cdot (y + z) = (y +z)\cdot x$이고 $ x\cdot y + x\cdot z = y\cdot x + z\cdot x$이므로

$x \cdot (y + z) = x\cdot y + x\cdot z = y\cdot x + z\cdot x= (y +z)\cdot x$이다.

이중 덧셈의 역원

유리수의 정의로 $x = a//b$인 $a\in \mathbb{Z}$와 $b\in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$가 존재하여

위 정리로 $-(-x) = -(-(a//b)) = -((-a)//b) = (-a)//(-b) = a//b=x$이다.

덧셈역원의 교환

유리수의 정의로 $x = a//b$이고 $y = c//d$인 $a,c\in \mathbb{Z}$와 $b, d\in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$가 존재하여

곱셈의 정의로 $x \cdot y= (a//b) \cdot (c//d) = (a \cdot_\mathbb{Z} c) // (b\cdot_\mathbb{Z} d)$이므로

위 정리와 정수 연산 정리로 $ -(x\cdot y) = (-(a\cdot_\mathbb{Z} c))//(b\cdot_\mathbb{Z} d) = ((-a)\cdot_\mathbb{Z} c)//(b\cdot_\mathbb{Z} d)$이고

덧셈역원의 정의로 $(-x) \cdot y = ((-a)//b) \cdot (c//d) = ((-a)\cdot_\mathbb{Z} c)//(b\cdot_\mathbb{Z} d)$이고

위 정리와 정수 연산 정리로

$x\cdot (-y) = (a//b) \cdot ((-c)// d) = (a\cdot_\mathbb{Z} (-c))//(b\cdot_\mathbb{Z} d) = ((-a)\cdot_\mathbb{Z} c)//(b\cdot_\mathbb{Z} d)$가 되어

$(-x) \cdot y = -(x\cdot y) = x\cdot (-y)$이다.

덧셈역원의 덧셈

곱셈의 항등원과 덧셈역원의 교환과 분배법칙으로

$-(x+y)  = 1\cdot (-(x+y)) = (-1) \cdot (x+y) =  (-1)\cdot x + (-1) \cdot y = 1\cdot (-x) + 1\cdot (-y) = (-x) + (-y)$이다.

덧셈역원의 곱셈

덧셈역원의 교환과 이중 덧셈의 역원으로 $(-x) \cdot (-y) = (-(-x)) \cdot y = x\cdot y$이다.

이중 곱셈의 역원

$x\ne 0$이면 유리수의 정의로 $x = a//b$인 $a,b\in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$가 존재하여

$x^{-1} = (a//b)^{-1} = b//a$이고 $(x^{-1})^{-1} = (b//a)^{-1} = a//b = x$이다.

곱셈역원의 곱셈

$x\ne 0$이고 $y \ne 0$이면 유리수의 정의로 $x = a//b$이고 $y = c//d$인 $a,b,c,d\in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$가 존재하여

정수 곱셈 정리로 $a\cdot_\mathbb{Z} c \ne 0_\mathbb{Z}$이고 $b\cdot_\mathbb{Z} d \ne 0_\mathbb{Z}$이므로

$(x\cdot y)^{-1} = ((a//b) \cdot (c//d))^{-1} = ((a\cdot_\mathbb{Z} c) // (b\cdot_\mathbb{Z} d))^{-1} = (b\cdot_\mathbb{Z} d)//(a\cdot_\mathbb{Z} c)$이다.

또 곱셈역원의 정의로 $x^{-1} = (a//b)^{-1} = b//a$이고 $y^{-1} = (c//d)^{-1} = d//c$이므로

$x^{-1} \cdot y^{-1} = (b//a)\cdot (d//c) = (b\cdot_\mathbb{Z} d) // (a\cdot_\mathbb{Z} c)$이고 교환법칙으로 $x^{-1} \cdot y^{-1} =y^{-1}\cdot x^{-1}$이 되어

$(x\cdot y)^{-1} = x^{-1} \cdot y^{-1} = y^{-1} \cdot x^{-1}$이다.

 

 

 

정리3

임의의 유리수 $x,y \in \mathbb{Q}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $x,y \in \mathbb{Q}^+$이면 $x + y \in \mathbb{Q}^+$이다.

2. $x,y \in \mathbb{Q}^+$이면 $x \cdot y \in \mathbb{Q}^+$이다.

3. $x \in \mathbb{Q}^+$ 또는 $x = 0$ 또는 $x \in \mathbb{Q}^-$ 중 하나만 성립한다.

4. $x,y \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0\}$이면 $x + y \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0\}$이다.

5. $x,y \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0 \}$이면 $x \cdot y \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0 \}$이다.

증명

1.

$x,y \in \mathbb{Q}^+$이면

양의 유리수집합 정의로 $x = a//b$이고 $y = c//d$인 양의 정수 $a,b,c,d \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

덧셈의 정의로 $x + y = (a//b) + (c//d) = (a\cdot_\mathbb{Z} d +_\mathbb{Z} b\cdot_\mathbb{Z} c)//(b\cdot_\mathbb{Z} d)$이다.

정수의 순서성질로 $(a\cdot_\mathbb{Z} d +_\mathbb{Z} b\cdot_\mathbb{Z} c ), (b\cdot_\mathbb{Z} d) \in \mathbb{Z}^+$이므로 양의 유리수집합 정의로 $x+y \in \mathbb{Q}^+$이다.

2.

$x,y \in \mathbb{Q}^+$이면

양의 유리수집합 정의로 $x = a//b$이고 $y = c//d$인 양의 정수 $a,b,c,d \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

곱셈의 정의로 $x \cdot y = (a//b) \cdot (c//d) = (a\cdot_\mathbb{Z} c)//(b\cdot_\mathbb{Z} d)$이다.

정수의 순서성질로 $(a\cdot_\mathbb{Z} c ), (b\cdot_\mathbb{Z} d) \in \mathbb{Z}^+$이므로 양의 유리수집합 정의로 $x\cdot y \in \mathbb{Q}^+$이다.

3.

유리수의 정의로 $x = a//b$인 $a \in \mathbb{Z}$와 $b \in \mathbb{Z}\setminus \{ 0_\mathbb{Z} \}$가 존재하여

정수의 순서성질로 $a \in \mathbb{Z}^+$ 또는 $a = 0$ 또는 $a \in \mathbb{Z}^-$이고 $b \in \mathbb{Z}^+$ 또는 $b \in \mathbb{Z}^-$이다.

경우 1 : $a \in \mathbb{Z}^+$이고 $b \in \mathbb{Z}^+$이면 양의 유리수 정의로 $x \in \mathbb{Q}^+$이다.

경우 2 : $a = 0_\mathbb{Z}$이고 $b \in \mathbb{Z}^+$이면 위 정리로 $x = a//b = 0_\mathbb{Z}//b = 0$이다.

경우 3 : $a \in \mathbb{Z}^-$이고 $b \in \mathbb{Z}^+$이면

정수의 정의로 $-a \in \mathbb{Z}^+$이고 유리수 덧셈 역원의 정의로 $(-a)//b = -(a//b) = - x$가 되어

양의 유리수 정의로 $-x \in \mathbb{Q}^+$이고 음의 유리수 정의와 위 정리로 $x = -(-x) \in \mathbb{Q}^-$이다.

경우 4 : $a \in \mathbb{Z}^+$이고 $b \in \mathbb{Z}^-$이면

정수의 정의로 $-b \in \mathbb{Z}^+$이고 위 정리로 $a//(-b) = -(a//b) = -x$가 되어

양의 유리수 정의로 $-x \in \mathbb{Q}^+$이고 음의 유리수 정의와 위 정리로 $x=-(-x) \in \mathbb{Q}^-$이다.

경우 5 : $a = 0_\mathbb{Z}$이고 $b \in \mathbb{Z}^-$이면 위 정리로 $x = a//b = 0_\mathbb{Z}//b = 0$이다.

경우 6 : $a \in \mathbb{Z}^-$이고 $b \in \mathbb{Z}^-$이면

정수의 정의로 $-a \in \mathbb{Z}^+$이고 $-b \in \mathbb{Z}^+$이므로 양의 유리수 정의로 $(-a)//(-b) \in \mathbb{Q}^+$이고

위 정리로 $(-a)//(-b) = a//b = x \in \mathbb{Q}^+$이다.

$x \in \mathbb{Q}^+$ 또는 $x = 0$ 또는 $x \in \mathbb{Q}^-$ 중 두개가 성립한다 가정할때

경우 1 : $x \in \mathbb{Q}^+$이고 $x = 0$이면

$x \in \mathbb{Q}^+$이므로 양의 유리수 정의로 $x = c//d$인 $c, d \in \mathbb{Z}^+$가 존재하고

$x = 0$이므로 위 정리로 $x = 0_\mathbb{Z}//d$가 되어 유리수의 상등으로 $c\cdot_\mathbb{Z} d = 0_\mathbb{Z}\cdot_\mathbb{Z} d$이다.

하지만 양의 정수 정의로 $c \ne 0_\mathbb{Z}$이고 $d \ne 0_\mathbb{Z}$인데 정수 소거법칙으로 $c = 0_\mathbb{Z}$이 되어 모순이다.

경우 2 : $x \in \mathbb{Q}^-$이고 $x = 0$이면

$x \in \mathbb{Q}^-$이므로 음의 유리수 정의로 $x = (-c)//d$인 $c, d \in \mathbb{Z}^+$가 존재하고

$x = 0$이므로 위 정리로 $x = 0_\mathbb{Z}//d$가 되어 유리수의 상등으로 $(-c)\cdot_\mathbb{Z} d = 0_\mathbb{Z}\cdot_\mathbb{Z} d$이다.

하지만 정수의 정의로 $-c \ne 0_\mathbb{Z}$이고 $d \ne 0_\mathbb{Z}$인데 정수 소거법칙으로 $-c = 0_\mathbb{Z}$이 되어 모순이다.

경우 3 : $x \in \mathbb{Q}^+$이고 $x \in \mathbb{Q}^-$이면

유리수 정의로 $a_1//b_1 = x = (-a_2)//b_2$인 $a_1,a_2,b_1, b_2 \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

유리수의 상등으로 $a_1\cdot_\mathbb{Z} b_2 = (-a_2)\cdot_\mathbb{Z} b_1$이다.

정수 정리로 $(a_1\cdot_\mathbb{Z} b_2) , (a_2\cdot_\mathbb{Z} b_1) \in \mathbb{Z}^+$이고 $(-a_2)\cdot_\mathbb{Z} b_1 = -(a_2\cdot_\mathbb{Z} b_1) $인데

음의 정수 정의로 $-(a_2\cdot_\mathbb{Z} b_1) \in \mathbb{Z}^-$이 되어 $a_1\cdot_\mathbb{Z} b_2 = (-a_2)\cdot_\mathbb{Z} b_1$는 정수 순서성질에 모순이다.

따라서 $x \in \mathbb{Q}^+$ 또는 $x = 0$ 또는 $x \in \mathbb{Q}^-$ 중 하나만 성립한다.

4. 

$x,y \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0\} \subset \mathbb{Q}$는 3번으로 양의 유리수이거나 $0$ 중 하나이므로

$x \in \mathbb{Q}^+$이고 $y \in \mathbb{Q}^+$이면 1번으로 $x + y \in \mathbb{Q}^+$이고

$x \in \mathbb{Q}^+$이고 $y = 0$이면 위 정리로 $ x +y = x+0 = x \in \mathbb{Q}^+$이고

$x = 0$이고 $y = 0$이면 위 정리로 $ x +y = 0+0 = 0 $이다.

따라서 일반성을 잃지 않고 모든 상황에서 $x + y \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0 \}$이다.

5. 

$x,y \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0\} \subset \mathbb{Q}$는 3번으로 양의 유리수이거나 $0$ 중 하나이므로

$x \in \mathbb{Q}^+$이고 $y \in \mathbb{Q}^+$이면 2번으로 $x \cdot y \in \mathbb{Q}^+$이고

$x \in \mathbb{Q}^+$이고 $y = 0$이면 위 정리로 $ x \cdot y = x\cdot 0 = 0$이고

$x = 0$이고 $y = 0$이면 위 정리로 $ x \cdot y = 0\cdot 0 = 0 $이다.

따라서 일반성을 잃지 않고 모든 상황에서 $x \cdot y \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0 \}$이다.

 

 

 

정의2(유리수 부등식)

유리수 $x,y \in \mathbb{Q}$와 양의 유리수 집합 $\mathbb{Q}^+$에 대해

$x-y \in \mathbb{Q}^+$이면 $x > y$ 또는 $y < x$로 정의한다. 

$x-y \in \mathbb{Q}^+ \cup \left \{ 0 \right\}$이면 $x \ge y$ 또는 $y \le x$로 정의한다. 

 

 

 

정리4

임의의 유리수 $x, y, z \in \mathbb{Q}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $x > y$ 또는 $x = y$ 또는 $x < y$ 중 하나만 성립한다.

2. $x \ge x$

3. $x \ge y$이고 $y \ge x$이기 위한 필요충분조건은 $x = y$인 것이다.

4. $x > y$이면 $x + z > y +z$ 이다.

5. $x \ge y$이면 $x + z \ge y +z$이다.

6. 임의의 $p \in \mathbb{Q}^+$에 대해 $x > y$이면 $x\cdot p > y\cdot p$이다.

7. 임의의 $p \in \mathbb{Q}^+\cup \{ 0 \}$에 대해 $x \ge y$이면 $x\cdot p \ge y\cdot p$이다.

8. $x \ge y$이면 $-x \le -y$이다.

9. $x > y$이면 $-x  < -y$이다.

10. 임의의 $m \in \mathbb{Q}^-\cup \{ 0 \}$에 대해 $x \ge y$이면 $x \cdot m \le y\cdot m$이다.

11. 임의의 $m \in \mathbb{Q}^-$에 대해 $x > y$이면 $x \cdot m < y\cdot m$이다.

12. $x > y$이고 $y > z$이면 $x > z$이다.

13. $x \ge y$이고 $y \ge z$이면 $x \ge z$이다.

증명

1. 

$x > y$ 또는 $x = y$ 또는 $x < y$ 중 하나가 성립함을 보인다.

위 정리로 $x - y \in \mathbb{Q}^+$ 또는 $x -y = 0$ 또는 $x - y \in \mathbb{Q}^-$ 중 하나가 성립하므로

$x - y \in \mathbb{Q}^+$이면 부등식의 정의로 $x >y$이고

$x -y = 0$이면 위 정리로 $x = x + y -y = x-y + y =0+y = y$이고

$x - y \in \mathbb{Q}^-$이면 음의 유리수 정의로 $-(x-y) \in \mathbb{Q}^+$이고

위 정리로 $-(x-y) = -(x+(-y)) = (-x) + (-(-y)) = y - x \in \mathbb{Q}^+$가 되어 부등식의 정의로 $y > x$이다.

$x > y$ 또는 $x = y$ 또는 $x < y$ 중 두개가 성립한다고 가정할때

경우 1 : $x > y$이고 $x = y$이면

$x > y$이므로 부등식의 정의로 $x -y \in \mathbb{Q}^+$인데

$x = y$이므로 위 정리로 $0 = y + (-y) = x + (-y) = x- y$이 되어 위 정리에 모순이다.

경우 2 : $x = y$이고 $x < y$이면

$y > x$이므로 부등식의 정의로 $y - x \in \mathbb{Q}^+$인데

$x = y$이므로 위 정리로 $0 = x + (-x) = y + (-x) = y- x$가 되어 위 정리에 모순이다.

경우 2 : $x > y$이고 $x < y$이면

$x > y$이므로 $x -y \in \mathbb{Q}^+$이고 $y > x$이므로 $y - x \in \mathbb{Q}^+$가 되어

위 정리로 $(x -y)+(y -x) \in \mathbb{Q}^+$인데 위 정리로 $(x-y) + (y-x) = x - x + y-y = 0$이므로 모순이다.

따라서 $x > y$ 또는 $x = y$ 또는 $x < y$ 중 하나만 성립한다.

2. 

위 정리로 $x - x = 0 \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0 \}$이므로 부등식의 정의로 $x \ge x$이다.

3. 

$x = y$이면

위 정리로 $x -y = x -x = 0 = y-y = y-x$이므로

$x-y = 0\in \mathbb{Q}^+ \cup \left \{ 0 \right\}$이 되어 부등식의 정의로 $x \ge y$이고

$y -x = 0\in \mathbb{Q}^+ \cup \left \{ 0 \right\}$이 되어 부등식의 정의로 $y \ge x$이다.

역으로 $x \ge y$이고 $y \ge x$일때

부등식의 정의로 $(x-y) , (y-x) \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0 \}$인데

$x-y \in \mathbb{Q}^+$라고 가정하면 음의 유리수 정의와 위 정리로

$-(x-y) = -(x+(-y)) = (-x) + (-(-y)) = y - x \in \mathbb{Q}^-$이므로 위 정리에 모순이고

$y-x \in \mathbb{Q}^+$라고 가정하면 음의 유리수 정의와 위 정리로

$-(y-x) = -(y+(-x)) = (-y) + (-(-x)) = x - y \in \mathbb{Q}^-$이므로 위 정리에 모순이다.

따라서 위 정리로 $x-y = 0 = y-x$이고 위 정리로 $x = x + y-x = y$이다.

4.

$x > y$이면 부등식의 정의로 $x - y \in \mathbb{Q}^+$이고 위 정리로

$\begin{align*} x  - y & = x - y + 0 \\[0.5em] & = x - y + z - z \\[0.5em] & = x+z  + (- y) + (-z) \\[0.5em] & = x+z + (-(y+z)) \\[0.5em] & = (x+z) - (y+z) \text{ 이므로} \end{align*}$

$(x+z) - (y+z)  =x-y \in \mathbb{Q}^+$가 되어 부등식의 정의로 $x + z > y +z$ 이다.

5. 

$x \ge y$이면 부등식의 정의로 $x - y \in \mathbb{Q}^+\cup \{ 0 \}$이고

4번처럼 $(x+z) - (y+z)  =x-y \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0 \}$가 되어 부등식의 정의로 $x+z \ge y+z$이다.

6. 

$x > y$이면 부등식의 정의로 $x -y = a \in \mathbb{Q}^+$가 존재하여

위 정리로 $a \cdot p = (x -y) \cdot p = (x + (-y)) \cdot p = x\cdot p + (-y) \cdot p = x\cdot p + (-(y\cdot p)) = x\cdot p - y\cdot p$이고

$p \in \mathbb{Q}^+$이므로 위 정리로 $ x\cdot p - y\cdot p = a \cdot p \in \mathbb{Q}^+$가 되어 부등식의 정의로 $x\cdot p > y\cdot p$이다. 

7. 

$x \ge y$이면 부등식의 정의로 $x -y = a \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0 \}$가 존재하여 6번처럼 $a\cdot p = x\cdot p - y\cdot p$이고

$a, p \in \mathbb{Q}^+\cup \{ 0 \}$는 위 정리로 $x\cdot p - y \cdot p = a \cdot p \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0\}$이 되어 부등식의 정의로 $x\cdot p \ge y\cdot p$이다.

8. 

$x \ge y$이면 부등식의 정의로 $x -y \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0 \}$이고

위 정리로 $x - y = x + (-y) = (-y) + (-(-x)) = (-y) - (-x) \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0\}$이므로

부등식의 정의로 $-y \ge -x$이다.

9. 

$x > y$이면 부등식의 정의로 $x -y \in \mathbb{Q}^+$이고

위 정리로 $x - y = x + (-y) = (-y) + (-(-x)) = (-y) - (-x) \in \mathbb{Q}^+$이므로

부등식의 정의로 $-y > -x$이다.

10. 

$x \ge y$이면 8번으로 $-y \ge -x$이고 위 정리로 $-0 = 0 +(-0) = 0$이므로

$m \in \mathbb{Q}^- \cup \{ 0 \}$는 양의 유리수 정의로 $ -m \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0 \} $이 되어 7번으로 $(-y) \cdot (-m) \ge (-x) \cdot (-m)$이다.

따라서 위 정리로 $(-y)\cdot (-m) = y\cdot m$이고 $(-x)\cdot (-m) = x\cdot m$이므로 $y\cdot m \ge x\cdot m$이다.

11. 

$x > y$이면 9번으로 $-y > -x$이고

$m \in \mathbb{Q}^-$는 양의 유리수 정의로 $-m \in \mathbb{Q}^+$이므로 6번으로 $(-y) \cdot (-m) > (-x) \cdot (-m)$이다.

따라서 위 정리로 $(-y)\cdot (-m) = y\cdot m$이고 $(-x)\cdot (-m) = x\cdot m$이므로 $y\cdot m > x\cdot m$이다.

12. 

$x > y$이고 $y > z$이면

9번으로 $-z > -y$이므로 부등식의 정의로 $(x -y) , ((-z) - (-y)) \in \mathbb{Q}^+$가 되어

위 정리로 $(x-y) + ((-z) - (-y)) \in \mathbb{Q}^+$이고

 $x-y + (-z) - (-y) = x -y -z + y = x -z +y -y = x-z \in \mathbb{Q}^+$이므로 부등식의 정의로 $x > z$이다.

13. 

$x \ge y$이고 $y \ge z$이면

8번으로 $-z \ge -y$이므로 부등식의 정의로 $(x -y) , ((-z) - (-y)) \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0 \}$가 되어

위 정리로 $(x-y) + ((-z) - (-y)) \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0 \}$이고

위 정리로 $x-y + (-z) - (-y) = x -y -z + y = x -z +y -y = x-z \in \mathbb{Q} \cup \{ 0 \}$이므로

부등식의 정의로 $x \ge z$이다.

 

 

 

정리5

임의의 유리수 $x, y, z \in \mathbb{Q}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $x> 0$이기 위한 필요충분조건은 $x^{-1} > 0$인 것이다.

2. $x < 0$이기 위한 필요충분조건은 $x^{-1} < 0$인 것이다.

증명

페아노 공리로 $1 = 0\!+\!+ \ne 0$이고 정수 연산 정리로 $1 = 0 +1$이므로

정수 부등식의 정의와 정수 부등식 정리로 $1 \in \mathbb{Z}^+$이고

양의 유리수 정의와 유리수 연산 정리로 $1 -0 = 1 \in \mathbb{Q}^+$이므로 부등식의 정의로 $1 > 0$이다.

1.

$x> 0$일때 $x^{-1} \le 0$이라 가정하면

부등식의 정의와 유리수 연산 정리로 $x = x -0 \in \mathbb{Q}^+$이므로

부등식 정리와 유리수 연산 정리로 $1 = x^{-1}\cdot x \le 0 \cdot x = 0$이 되어 $1>0$에 모순이므로 $x^{-1} > 0$이다.

역으로 $x^{-1} > 0$일때 $x \le 0$이라 가정하면

부등식의 정의와 유리수 연산 정리로 $x^{-1} = x^{-1} -0 \in \mathbb{Q}^+$이므로

부등식 정리와 유리수 연산 정리로 $1 = x^{-1}\cdot x \le x^{-1}\cdot 0 = 0$이 되어 $1>0$에 모순이므로 $x > 0$이다.

2.

$x< 0$일때 $x^{-1} \ge 0$이라 가정하면

부등식의 정의와 유리수 연산 정리로 $-x = 0 - x \in \mathbb{Q}^+$이므로 음의 유리수 정의로 $x \in \mathbb{Q}^-$이고

부등식 정리와 유리수 연산 정리로 $1 = x^{-1}\cdot x \le 0\cdot x = 0$이 되어 $1>0$에 모순이므로 $x^{-1} < 0$이다.

역으로 $x^{-1} < 0$일때 $x \ge 0$이라 가정하면

부등식의 정의와 유리수 연산 정리로 $-x^{-1} = 0 - x^{-1} \in \mathbb{Q}^+$이므로 음의 유리수 정의로 $x^{-1} \in \mathbb{Q}^-$이고

부등식 정리와 유리수 연산 정리로 $1 = x^{-1}\cdot x \le x^{-1}\cdot 0 = 0$이 되어 $1>0$에 모순이므로 $x < 0$이다.

 

 

 

정의3(유리수 거듭제곱)

임의의 유리수 $x \in \mathbb{Q}$에 대해

$x$의 $0$제곱을 $x^0 = 1 $로 정의하고 $0$의 $0$제곱도 $0^0 = 1$로 정의한다.

임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해

$x$의 $n$제곱이 $x^n \in \mathbb{Q}$으로 귀납적으로 정의될때

$x$의 $n+1$제곱을 $x^{n+1} = x^n \cdot x$로 정의한다.

임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n$제곱을 거듭제곱으로 정의한다.

 

$x \ne 0$인 임의의 유리수 $x \in \mathbb{Q} \setminus \{ 0 \}$에 대해

$x$의 $-1$제곱을 $x^{-1} = \dfrac{1}{x}$로 정의할때

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$x$의 $-n$제곱을 $x^{-n} = (x^{-1})^n = \dfrac{1}{x^n}$으로 정의한다.

임의의 정수 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 $n$제곱을 거듭제곱으로 정의한다.

 

 

 

정의4

유리수 절댓값 : 

유리수 $x \in \mathbb{Q}$에 대해 $\left | x \right | = \begin{cases} x , & x > 0 \text{ 일때} \\ 0 , & x = 0 \text{ 일때} \\ -x , & x< 0 \text{ 일때} \end{cases}$ 를 $x$의 절댓값으로 정의한다.

유리수 최댓값 : 

유리수 $x,y \in \mathbb{Q}$에 대해 $\max( x,y )= \begin{cases} x , & x \ge y \text{ 일때} \\ y , & x < y \text{ 일때}  \end{cases}$ 를 $x,y$의 최댓값으로 정의한다.

유리수 최솟값 : 

유리수 $x,y \in \mathbb{Q}$에 대해 $\min( x,y )= \begin{cases} x , & x \le y \text{ 일때} \\ y , & x > y \text{ 일때}  \end{cases}$ 를 $x,y$의 최솟값으로 정의한다.

 

 

정리6

임의의 유리수 $x, y \in \mathbb{Q}$와 임의의 자연수 $n,m \in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $1^n = 1$

2. $x^{m+n} =x^m \cdot x^n$

3. $x^{m\cdot n} = (x^m)^n$

4. $(x \cdot y)^n= x^n \cdot y^n$

증명

$(\mathbb{Q} , \cdot,1 )$은 유리수 연산 정리로 곱셈에 대해 결합적, 교환적이고 항등원이 존재하므로

가환 모노이드이고 모노이드 정리로 1,2,3,4가 성립한다.

 

 

 

정리7

영이 아닌 임의의 유리수 $x, y \in \mathbb{Q} \setminus \{ 0 \}$와 임의의 정수 $n,m \in \mathbb{Z}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $1^n = 1$

2. $x^{m+n} =x^m \cdot x^n$

3. $x^{m\cdot n} = (x^m)^n$

4. $(x \cdot y)^n= x^n \cdot y^n$

증명

$(\mathbb{Q} \setminus \{ 0 \} , \cdot ,1)$은 유리수 연산 정리로 곱셈에 대해 결합적, 교환적이고 항등원과 역원이 존재하므로

가환군이고 가환군 정리로 1,2,3,4가 성립한다.

 

 

 

정리8

임의의 유리수 $x \in \mathbb{Q}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $q \le x < q+1$을 만족하는 정수 $q \in \mathbb{Z}$이 유일하게 존재한다.

2. $x < n$을 만족하는 자연수 $n \in \mathbb{N}$이 존재한다.

증명

1.

유리수의 정의로 $x = \dfrac{b}{a}$이고 $a\ne 0$인 정수 $a,b \in \mathbb{Z}$가 존재하고

$a\ne 0$이면 위 정리와 부등식의 정의로 $a > 0$이거나 $a < 0$이다.

$a > 0$이면

나눗셈 정리로 $b = q\cdot a + r$이고 $0\le r < a$인 정수 $q,r \in \mathbb{Z}$이 유일하게 존재하고

위 정리와 역원정리로 $a^{-1} = \dfrac{1}{a} > 0$이므로 부등식의 정의로 $\dfrac{1}{a} \in \mathbb{Q}^+$이고

부등식 정리와 유리수 연산 정리로 $0 = 0\cdot \dfrac{1}{a} \le \dfrac{r}{1}\cdot \dfrac{1}{a} = \dfrac{r}{a} < \dfrac{a}{1}\cdot \dfrac{1}{a} = a\cdot a^{-1} = 1$이다.

또 $x = \dfrac{b}{a} = \dfrac{b}{1} \cdot \dfrac{1}{a} = b\cdot a^{-1}  = (q\cdot a + r) \cdot a^{-1}= q\cdot a \cdot a^{-1} + r \cdot  a^{-1} = q\cdot 1 + \dfrac{r}{1}\cdot \dfrac{1}{a} = q + \dfrac{r}{a}$이므로

부등식 정리로 $0  \le  \dfrac{r}{a} <  1$에 $q$를 더하면 $q \le x = q + \dfrac{r}{a} < q+1$이다.

$a < 0$이면

나눗셈 정리로 $b = q\cdot a + r$이고 $0\ge r > a$인 정수 $q,r \in \mathbb{Z}$이 유일하게 존재하고

위 정리와 역원정리로 $a^{-1} = \dfrac{1}{a} < 0$이므로 부등식의 정의와 음의 유리수 정의로 $\dfrac{1}{a} \in \mathbb{Q}^-$이고

부등식 정리와 유리수 연산 정리로 $0 = 0\cdot \dfrac{1}{a} \le \dfrac{r}{1}\cdot \dfrac{1}{a} = \dfrac{r}{a} < \dfrac{a}{1}\cdot \dfrac{1}{a} = a\cdot a^{-1} = 1$이다.

또 $x = \dfrac{b}{a} = \dfrac{b}{1} \cdot \dfrac{1}{a} = b\cdot a^{-1}  = (q\cdot a + r) \cdot a^{-1}= q\cdot a \cdot a^{-1} + r \cdot  a^{-1} = q\cdot 1 + \dfrac{r}{1}\cdot \dfrac{1}{a} = q + \dfrac{r}{a}$이므로

부등식 정리로 $0  \le  \dfrac{r}{a} <  1$에 $q$를 더하면 $q \le x = q + \dfrac{r}{a} < q+1$이다.

2. 

1번으로 $x < q+1$인 정수 $q \in \mathbb{Z}$가 존재하고 정수 순서성질로 $q \in \mathbb{N} = \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$이거나 $q \in \mathbb{Z}^-$이므로

$q \in \mathbb{N}$이면 $1 = 0\!+\!+$도 자연수이므로 자연수 덧셈으로 $x < q+1$인 자연수 $q +1 \in \mathbb{N}$이 존재한다.

$q \in \mathbb{Z}^-$이면

$0-q = -q \in \mathbb{Z}^+$이고 정수 부등식 정리로 $q<0$이므로 $ x< q+1 < 0+1 = 1$인 자연수 $1 \in \mathbb{N}$이 존재한다.

 

 

 

정리9

임의의 유리수 $x,y \in \mathbb{Q}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $|x| \ge 0$

2. $|x| = 0$이기 위한 필요충분조건은 $x = 0$인 것이다.

3. $|x\cdot y| = |x|\cdot |y|$

4. 임의의 유리수 $c \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0\}$에 대해 $|x|\le c$이기 위한 필요충분조건은 $-c \le x \le c$인 것이다.

5. $-|x|\le x \le |x|$

6. $|x + y| \le |x| + |y|$

7. $|x - y| \le |x| + |y|$

8. $|x-y| = |y-x|$

9. $-|x-y| \le |x| - |y| \le |x-y|$

10. $x \le \max(x,y)$이고 $y \le \max(x,y)$이다.

11. $x \ge \min(x,y)$이고 $y \ge \min(x,y)$이다.

증명

1.

절댓값의 정의로

$x >0$이면 $|x| = x > 0$이고

$x =0 $이면 $|x| = 0$이고

$x < 0$이면 부등식 정리로 $|x| = -x > 0$이므로 모든 $x \in \mathbb{Q}$에 대해 $|x| \ge 0$이다.

2.

절댓값의 정의로 $x =0 $이면 $|x| = 0$이고

역으로 $|x| = 0$일때 $x \ne 0 $이라 가정하면 

$x > 0$ 또는 $x < 0$이므로 절댓값의 정의로 $|x | > 0$이 되어 모순이므로 $x = 0$이다.

3.

$x = 0$ 또는 $y= 0$이면 

$x\cdot y= 0 = \left |x\cdot y\right |$ 이고 $x\cdot y= 0 = \left | x\right | \cdot  \left | y\right |$이므로 $\left |x\cdot y\right | =0 = \left | x\right | \cdot \left | y\right |$이다

$x>0 $이고 $ y> 0$이면

부등식 정리로 $x\cdot y > 0$이므로 $x\cdot y= \left | x\cdot y\right |$이다.

또 $x= \left | x\right |$이고 $y= \left | y\right |$이므로 $x\cdot y=\left | x\right |\cdot  \left | y\right |$이다.

따라서 $\left |x\cdot y\right | = x\cdot y= \left | x\right | \cdot  \left | y\right |$이다.

$x> 0$이고 $ y< 0$이면

부등식 정리로 $x\cdot y<0$이므로 $-x\cdot y = \left | x\cdot y\right |$이다.

또 $x= \left |x \right |$ 이고 $ -y= \left | y\right |$이므로 $-x\cdot y= \left | x\right | \cdot \left | y \right |$이다.

따라서 $\left |x\cdot y \right | = -x\cdot y= \left | x\right | \cdot \left | y\right |$이다.

$x < 0 $이고 $y < 0$이면

부등식 정리로 $x\cdot y > 0$이므로 $x\cdot y = \left | x\cdot y \right |$이다.

또 $-x = \left | x \right |$이고 $ -y = \left | y \right |$이므로 $x\cdot y = (-x)\cdot (-y) =\left | x \right | \cdot  \left | y \right |$이다.

따라서 $\left |x\cdot y \right | = x \cdot y = \left | x \right | \cdot  \left | y \right |$이다.

모든 경우에 대해 성립하므로 모든 $x,y\in \mathbb{Z}$에 대해 $\left |x\cdot y \right | = \left | x \right | \cdot \left | y \right |$이다.

4.

$\left | x \right | \le n$이면 절댓값의 정의로 $ x \le n$이고 $-x \le n$이므로 부등식 정리로 $-n \le x$가 되어 $-n \le x \le n$이다.

$-n \le x \le n$이면 $ x \le n$이고 $-n \le x$이므로 부등식 정리로 $-x \le n$가 되어 절댓값의 정의로 $\left | x \right | \le n$이다.

5.

1번으로 $\left | x \right | \ge 0$이므로 부등식의 정의로 $|x| \in \mathbb{Q}^+ \cup \{ 0\}$이고 $|x| \ge |x|$이므로 4번으로 $-\left | x \right |  \le x \le \left | x \right | $이다.

6. 

5번으로 $-|x| \le x \le |x|$이고 $-|y| \le y \le |y|$이므로 두 부등식을 더하면

부등식 정리로 $-(|x| + |y|) \le x+ y \le |x | +|y|$가 되어 4번으로 $|x + y| \le |x| + |y|$이다.

7. 

페아노 공리로 $1 = 0\!+\!+ \ne 0$이고 정수 연산 정리로 $1 = 0 +1$이므로

정수 부등식의 정의와 정수 부등식 정리로 $1 \in \mathbb{Z}^+$이고

양의 유리수 정의와 유리수 연산 정리로 $1 -0 = 1 \in \mathbb{Q}^+$이므로 부등식의 정의로 $1 > 0$이고

음의 유리수 정의로 $-1 \in \mathbb{Q}^-$이 되어 부등식 정리와 유리수 연산 정리로 $-1 = -1 \cdot 1 < -1\cdot 0 = 0$이다.

또 유리수 연산 정리로 $-(-1) = 1$이므로 절댓값의 정의로 $|-1| = 1$이다.

따라서 3번으로 $|-y|= |(-1) \cdot y| = |-1| \cdot |y| = 1\cdot |y| = |y|$이므로

6번으로 $|x - y| = |x + (-y)| \le |x| + |-y| = |x| + |y|$이다.

8. 

7번에서 $|-1| = 1$을 보였으므로

3번으로 $|y-x| = | -(x-y)| = |(-1) \cdot (x-y)| = |-1| \cdot |x- y| = 1\cdot |x-y| = |x-y|$이다.

9.

6번으로 $|x| = |(x-y) + y| \le |x - y| + |y|$이므로 부등식 정리로 $|x| - |y| \le |x -y|$이고

6,8번으로 $|y| = |(y- x) +x| \le |y-x| + |x| = |x-y| +|x|$이므로 부등식 정리로 $-|x-y| \le |x| - |y|$가 되어

$-|x-y| \le |x| - |y| \le |x-y|$이다.

10. 

부등식 정리로 $x \ge y$이거나 $x < y$이므로

$x \ge y$이면 최댓값의 정의로 $\max(x,y) = x$이고 $y\le x \le x = \max(x,y)$이다.

$x < y$이면 최댓값의 정의로 $\max(x,y) = y$이고 $x < y \le y = \max(x,y)$이다.

11. 

부등식 정리로 $x \le y$이거나 $x > y$이므로

$x \le y$이면 최솟값의 정의로 $\min(x,y) = x$이고 $y\ge x \ge x = \min(x,y)$이다.

$x > y$이면 최솟값의 정의로 $\min(x,y) = y$이고 $x > y \ge y = \min(x,y)$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/57#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/57#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Terence Tao - Analysis 1 - 9791156646662