기수의 연산(Cardinal arithmetic)

정의1

임의의 기수가 $\kappa,\lambda$이고 순서수 정렬집합이 $(\kappa,\underline{\in}),(\lambda,\underline{\in})$일때

기수 덧셈 :

$A = (\{ 0\} \times \kappa ) \cup (\{1\}\times \lambda)$인 $(\kappa,\underline{\in})$에서 $(\lambda,\underline{\in})$로의 연결 $(A,\le_A)$에 대해

$\kappa$와 $\lambda$의 기수 덧셈 $\kappa \oplus \lambda$를 $A$의 크기 $\kappa\oplus \lambda=|A| = |(\{ 0\} \times \kappa ) \cup (\{1\}\times \lambda)|$로 정의한다.

기수 곱셈 :

$B = \kappa \times \lambda$인 $(\kappa,\underline{\in})$에서 $(\lambda,\underline{\in})$로의 사전식 순서 $(B,\le_B)$에 대해

$\kappa$와 $\lambda$의 기수 곱셈 $\kappa \otimes \lambda$를 $B$의 크기 $\kappa \otimes \lambda = |B| = |\kappa\times \lambda|$로 정의한다.

 

 

 

정리1

임의의 집합 $A,B,C$와 데카르트곱과 집합의 크기와 공집합 $\emptyset$에 대해 다음이 성립한다.

1. $|A\times B|  = |B\times A|$

2. $||A|\times B| = |A\times B| = | A\times |B||$

3. $|A\times (B\times C)| = |(A\times B)\times C|$

4. $| \{A \}\times C| = |C| = |C\times \{A\}|$

5. $A\cap B = \emptyset$이면 $|A\cup B| = |A|\oplus |B|$이다.

증명

1.

임의의 $(a,b)\in A\times B$에 대해 $f(a,b) = (b,a)$인 함수 $f:A\times B\to B\times A$는 정의로부터 전사이고

$(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in A\times B$에 대해 $f(x_1,x_2) = f(y_1,y_2)$일때 $(x_2,x_1)=f(x_1,x_2) = f(y_1,y_2) = (y_2,y_1)$이므로

순서쌍의 상등으로 $x_2 = y_2$와 $x_1=y_1$이 성립하여 $(x_1,x_2)=(y_1,y_2)$임에 따라 $f$는 단사이다.

따라서 $f$는 전단사이므로 집합의 크기 정리로 $|A\times B| = |B\times A|$이다.

2.

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $f:A\to |A|$와 전단사함수 $g:B\to |B|$가 존재하므로

임의의 $(a,b)\in A\times B$에 대해 $h_A(a,b) = (f(a),b)$와 $h_B(a,b) = (a,g(b))$로

함수 $h_A : A\times B\to |A|\times B$와 함수 $h_B: A\times B \to A\times |B|$를 정의하면

임의의 $(y,b) \in |A|\times B$에 대해 $y\in |A|$이므로

전사의 정의로 $f(a) = y$인 $a\in A$가 존재하여 $h_A(a,b) = (f(a),b) = (y,b)$임에 따라 $h_A$는 전사이고

임의의 $(a,y)\in A\times |B|$에 대해 $y\in |B|$이므로

전사의 정의로 $g(b) = y$인 $b\in B$가 존재하여 $h_B(a,b) = (a,g(b)) = (a,y)$임에 따라 $h_B$는 전사이다.

임의의 $(a_1,b_1),(a_2,b_2)\in A\times B$에 대해

$(f(a_1),b_1)=h_A(a_1,b_1) = h_A(a_2,b_2) = (f(a_2),b_2)$이면 순서쌍의 상등으로 $f(a_1) = f(a_2)$이고 $b_1=b_2$이므로

단사의 정의로 $a_1=a_2$가 되어 순서쌍의 상등으로 $(a_1,b_1) = (a_2,b_2)$임에 따라 $h_A$는 단사이고

$(a_1,g(b_1))=h_B(a_1,b_1) = h_B(a_2,b_2) = (a_2,g(b_2))$이면 순서쌍의 상등으로 $a_1 = a_2$이고 $g(b_1)=g(b_2)$이므로

단사의 정의로 $b_1=b_2$가 되어 순서쌍의 상등으로 $(a_1,b_1) = (a_2,b_2)$임에 따라 $h_B$는 단사이다.

따라서 $h_A,h_B$는 전단사이므로 집합의 크기 정리로 $||A|\times B| = |A\times B| = | A\times |B||$이다.

3.

집합 정리로 $A\times (B\times C)$에서 $(A\times B)\times C$로의 전단사함수가 존재하므로

집합의 크기 정리로 $|A\times (B\times C)| = |(A\times B)\times C|$이다.

4.

임의의 $c\in C$에 대해 $f(A,c) = c$인 함수 $f:\{A\}\times C \to C$는 정의로부터 전사이고

$(A,c_1) \ne (A,c_2)$인 임의의 $(A,c_1), (A,c_2) \in \{A\}\times C$는

순서쌍의 상등으로 $f(A,c_1)=c_1\ne c_2 = f(A,c_2)$이므로 $f$는 단사이다.

따라서 $f$는 전단사이므로 집합의 크기 정리로 $| \{A \}\times C| = |C| $이고 1번으로 $|C\times \{A\}|=|\{A \}\times C| = |C| $이다.

5.

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $f:A\to |A|$와 전단사함수 $g:B\to |B|$가 존재하고

집합의 크기 정리로 $|A|,|B|$는 기수이므로 $A\cap B=\emptyset$임에 따라 함수 $h:A\cup B \to (\{0\}\times |A|)\cup (\{1\}\times |B|)$를

임의의 $x\in A\cup B$에 대해 $h(x) = \begin{cases} (0,f(x)) & x\in A \text{ 일때} \\[0.5em] (1,g(x)) & x\in B \text{ 일때} \end{cases}$로 정의한다.

임의의 $(i,y)\in  (\{0\}\times |A|)\cup (\{1\}\times |B|)$에 대해 전사의 정의로 

$i = 0$이면 $y\in |A|$이므로 $f(x) = y$인 $x\in A \subseteq A\cup B$가 존재하여 $h(x) = (0,f(x)) = (i,y)$이고

$i = 1$이면 $y\in |B|$이므로 $g(x) = y$인 $x\in B \subseteq A\cup B$가 존재하여 $h(x) = (1,g(x)) = (i,y)$임에 따라

$h$는 전사이다.

$x_1\ne x_2$인 임의의 $x_1,x_2\in A\cup B$에 대해 $A\cap B=\emptyset$이므로 단사 정리와 순서쌍의 상등으로 

$x_1,x_2\in A$이면 $f(x_1)\ne f(x_2)$가 되어 $h(x_1) = (0,f(x_1))\ne (0,f(x_2))=h(x_2)$이고

$x_1,x_2\in B$이면 $g(x_1)\ne g(x_2)$가 되어 $h(x_1) = (1,g(x_1))\ne (1,g(x_2))=h(x_2)$이고

일반성을 잃지 않고 $x_1\in A$이고 $x_2\in B$이면 연결의 정의와 자연수의 정의로 $0\ne 1$이므로

순서쌍의 상등으로 $h(x_1) = (0,f(x_1))\ne (1,g(x_2))=h(x_2)$임에 따라 $h$는 단사이다.

따라서 집합의 크기 정리와 기수 덧셈의 정의로 $|A\cup B| = |(\{ 0\}\times |A|)\cup (\{1\}\times |B|) | = |A|\oplus |B|$이다.

 

 

 

정리2

임의의 기수 $\kappa,\lambda,\sigma$와 기수 덧셈과 기수 곱셈과 자연수 $\emptyset = 0, \emptyset \cup \{ \emptyset\} = 1\in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\kappa\oplus \lambda = \lambda \oplus \kappa$

2. $(\kappa\oplus \lambda)\oplus \sigma = \kappa \oplus (\lambda\oplus \sigma)$

3. $\kappa \oplus 0 = \kappa = 0\oplus \kappa$

4. $\kappa\otimes \lambda = \lambda \otimes \kappa$

5. $(\kappa\otimes \lambda)\otimes \sigma = \kappa \otimes (\lambda\otimes \sigma)$

6. $\kappa \otimes 0 = 0 = 0\otimes \kappa$

7. $\kappa \otimes 1 = \kappa = 1\otimes \kappa$

8. $\kappa \otimes (\lambda \oplus \sigma) = (\kappa\otimes \lambda) \oplus (\kappa \otimes \sigma) = (\lambda \otimes \kappa)\oplus (\sigma \otimes \kappa) = (\lambda  \oplus \sigma )\otimes \kappa$

증명

자연수 정리로 $0,1$은 기수이다.

1.

$0\ne 1$이므로 데카르트곱의 정의와 순서쌍의 상등으로 $(\{ 1\}\times \kappa)\cap (\{ 0\}\times \lambda) =\emptyset$이 되어

기수 정리와 위 정리와 집합 정리와 기수 덧셈의 정의로

$\begin{align*} \kappa\oplus \lambda &=| \kappa| \oplus |\lambda| =|\{1\}\times \kappa| \oplus |\{0\}\times \lambda| = |(\{ 1\} \times \kappa) \cup (\{0\}\times \lambda) | = |(\{ 0\} \times \lambda) \cup (\{1\}\times \kappa) |  = \lambda \oplus \kappa  \end{align*}$이다.

2.

자연수 $1\cup \{1\} = 2\in \mathbb{N}$에 대해 $0\ne 1$과 $0\ne 2$과 $1\ne 2$이 성립하므로 데카르트곱의 정의와 순서쌍의 상등으로 

$((\{ 0\}\times \kappa) \cup (\{1\}\times \lambda)) \cap (\{2\}\times \sigma) = \emptyset = (\{0\}\times \kappa) \cap ((\{ 1\}\times \lambda ) \cup (\{2\}\times \sigma))$가 성립하고

$(\{ 1\}\times \lambda)\cap (\{ 2\}\times \sigma) = \emptyset$이 성립하여 기수 덧셈의 정의와 기수 정리와 위 정리와 집합 정리로

$\begin{align*} (\kappa\oplus \lambda)\oplus \sigma & = |(\{0\}\times \kappa) \cup (\{1\}\times \lambda )| \oplus \sigma \\[0.5em] & =|(\{0\}\times \kappa) \cup (\{1\}\times \lambda )| \oplus | \sigma | \\[0.5em] & =|(\{0\}\times \kappa) \cup (\{1\}\times \lambda )| \oplus | \{ 2 \}\times \sigma | \\[0.5em] & =| ((\{0\}\times \kappa) \cup (\{1\}\times \lambda )) \cup (\{ 2 \}\times \sigma)| \\[0.5em] & =| (\{0\}\times \kappa) \cup ((\{1\}\times \lambda ) \cup (\{ 2 \}\times \sigma))| \\[0.5em] & =| \{0\}\times \kappa| \oplus |(\{1\}\times \lambda ) \cup (\{ 2 \}\times \sigma)| \\[0.5em] & = |\kappa| \oplus (|\{1\}\times \lambda | \oplus |\{ 2 \}\times \sigma| ) \\[0.5em] & = \kappa \oplus (|\lambda | \oplus |\sigma| ) \\[0.5em] & = \kappa \oplus (\lambda\oplus \sigma) \text{ 이다.} \end{align*}$

3.

데카르트곱 정리로 $\{ 1\}\times 0 = \{ 1\}\times \emptyset = \emptyset$이므로 기수 덧셈의 정의와 집합 정리와 위 정리와 기수 정리로

$\kappa \oplus 0 = |(\{ 0\}\times \kappa) \cup (\{1\}\times 0) | = |(\{0\}\times \kappa) \cup \emptyset| = |\{0\}\times \kappa| = |\kappa| = \kappa$이고 1번으로 $0\oplus \kappa = \kappa \oplus 0 = \kappa$이다.

4.

기수 곱셈의 정의와 위 정리로 $\kappa\otimes \lambda = |\kappa\times \lambda| = |\lambda\times\kappa| = \lambda \otimes \kappa$이다.

5.

기수 곱셈의 정의와 위 정리로 

$\begin{align*}(\kappa\otimes \lambda)\otimes \sigma &= |\kappa\times \lambda| \otimes \sigma \\[0.5em]&= ||\kappa\times \lambda|\times \sigma| \\[0.5em]&=|(\kappa\times \lambda) \times \sigma | \\[0.5em]&= |\kappa \times (\lambda\times \sigma)| \\[0.5em]&= | \kappa \times |\lambda\times \sigma|| \\[0.5em]& = \kappa \otimes |\lambda\times \sigma| \\[0.5em]&= \kappa \otimes (\lambda\otimes \sigma) \text{ 이다.}\end{align*}$

6.

기수 곱셈의 정의와 데카르트곱 정리와 기수 정리로

$\kappa \otimes 0 = |\kappa \times 0| = |\kappa \times \emptyset| = |\emptyset| = \emptyset = 0$이고 4번으로 $0\otimes \kappa = \kappa \otimes 0 = 0$이다.

7.

기수 곱셈의 정의와 위 정리와 기수 정리로

$\kappa \otimes 1 = |\kappa\times 1| = |\kappa \times \{ 0\}| = |\kappa| =\kappa$이고 4번으로 $1\otimes \kappa = \kappa \otimes 1 = 1$이다.

8.

$0\ne 1$이므로 데카르트곱의 정의와 순서쌍의 상등으로 $(\{0 \}\times \lambda) \cap (\{1\}\times \sigma) = \emptyset$이고

데카르트곱 정리로 $(\kappa \times (\{0 \}\times \lambda)) \cap (\kappa \times (\{1\}\times \sigma) ) = \kappa \times ((\{0\}\times \lambda)\cap (\{1\}\times \sigma)) = \kappa \times \emptyset = \emptyset$이 되어

기수 덧셈의 정의와 위 정리와 데카르트곱 정리와 기수 곱셈의 정의로

$\begin{align*} \kappa \otimes (\lambda \oplus \sigma) &=\kappa\otimes |(\{0\}\times \lambda) \cup (\{1\}\times \sigma)| \\[0.5em]& = |\kappa \times |(\{0\}\times \lambda) \cup (\{1\}\times \sigma)|| \\[0.5em]& = |\kappa \times ((\{0\}\times \lambda) \cup (\{1\}\times \sigma))| \\[0.5em]& = | (\kappa \times (\{0\}\times \lambda)) \cup (\kappa \times (\{1\}\times \sigma) ) | \\[0.5em]& = |\kappa \times (\{0\}\times \lambda)| \oplus |\kappa \times (\{1\}\times \sigma)| \\[0.5em]& = |(\{0\}\times \lambda)\times \kappa | \oplus |(\{1\}\times \sigma) \times \kappa | \\[0.5em]& = |\{0\}\times (\lambda\times \kappa) | \oplus |\{1\}\times (\sigma \times \kappa )| \\[0.5em]& = |\lambda\times \kappa | \oplus |\sigma \times \kappa| \\[0.5em]& = |\kappa\times \lambda | \oplus |\kappa \times \sigma| \\[0.5em]&= (\kappa\otimes \lambda) \oplus (\kappa \otimes \sigma) \text{ 이고} \end{align*}$

4번으로 $(\lambda \oplus \sigma)\otimes \kappa =\kappa \otimes (\lambda \oplus \sigma) = (\kappa\otimes \lambda) \oplus (\kappa \otimes \sigma) = (\lambda \otimes \kappa)\oplus (\sigma \otimes \kappa) $이다.

 

 

 

정리3

임의의 기수 $\kappa,\lambda$와 자연수 $\emptyset = 0, \emptyset \cup \{ \emptyset\} = 1\in \mathbb{N}$과 임의의 $n,m\in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 기수 덧셈과 순서수 덧셈에 대해 $n\oplus m = n+m$이다.

2. 기수 곱셈과 순서수 곱셈에 대해 $n\otimes m = n\cdot m$이다.

3. $\kappa\oplus \lambda = 0$이기 위한 필요충분조건은 $\kappa = 0 = \lambda$인 것이다.

4. $\kappa \otimes \lambda = 0$이기 위한 필요충분조건은 $\kappa = 0$ 또는 $\lambda = 0$인 것이다.

증명

1.

순서수 덧셈의 정의로 $(\{ 0\} \times n) \cup (\{1\}\times m)$에서 $n+m$으로 전단사함수가 존재하고

순서수 덧셈 정리와 자연수 정리로 $n +m\in \mathbb{N}$은 기수이므로

기수 덧셈의 정의와 집합의 크기 정리와 기수 정리로 $n\oplus m = |(\{0\}\times n)\cup (\{1\}\times m)| = |n+m| = n+m$이다.

2.

순서수 곱셈의 정의로 $n\times m$에서 $m\cdot n$으로의 전단사함수가 존재하고

순서수 곱셈 정리와 자연수 정리로 $n \cdot m = m\cdot n \in \mathbb{N}$은 기수이므로

기수 곱셈의 정의와 집합의 크기 정리와 기수 정리로 $n\otimes m = |n\times m| = |m\cdot n| = m\cdot n=n\cdot m$이다.

3.

$\kappa\oplus \lambda = 0$이면

기수 정리와 기수 덧셈의 정의로 $|\emptyset|=\emptyset = 0 = \kappa \oplus \lambda = |(\{ 0\}\times \kappa)\cup (\{1\}\times \lambda)|$이므로 

집합의 크기 정리로 $\emptyset$에서 $(\{ 0\}\times \kappa)\cup (\{1\}\times \lambda)$으로의 전단사함수가 존재하여

함수 정리로 $(\{ 0\}\times \kappa)\cup (\{1\}\times \lambda) = \emptyset$이고 $\kappa \ne \emptyset$ 또는 $\lambda \ne \emptyset$이라고 가정할때 $x\in \kappa$ 또는 $y\in \lambda$가 존재하여

$(0,x) \in (\{ 0\}\times \kappa)\cup (\{1\}\times \lambda) = \emptyset$ 또는 $(1,y) \in (\{ 0\}\times \kappa)\cup (\{1\}\times \lambda) = \emptyset$이므로

공집합의 정의에 모순임에 따라 $\kappa =\emptyset= 0 = \emptyset = \lambda$이다.

역으로 $\kappa = 0 = \lambda$이면 위 정리로 $\kappa\oplus \lambda = 0\oplus 0 = 0$이다.

4.

$\kappa \otimes \lambda = 0$이면

기수 정리와 기수 곱셈의 정의로 $|\emptyset|=\emptyset = 0 = \kappa \otimes\lambda = |\kappa\times \lambda|$이므로 

집합의 크기 정리로 $\emptyset$에서 $\kappa\times \lambda$으로의 전단사함수가 존재하여 함수 정리로 $\kappa\times \lambda= \emptyset$이고

데카르트곱 정리로 $\kappa = \emptyset= 0$ 또는 $\lambda =\emptyset = 0$이다.

역으로 $\kappa= 0$ 또는 $\lambda = 0$이면 위 정리로 $\kappa\otimes \lambda  = 0$이다.

 

 

 

정리4

임의의 집합 $A,B$의 크기 $|A|,|B|$와 임의의 순서수 $\alpha,\beta$에 대해 다음이 성립한다.

1. $|A|$ $\underline{\in}$ $|B|$이기 위한 필요충분조건은 단사함수 $f:A\to B$가 존재하는 것이다.

2. $A\subseteq B$이면 $|A|\underline{\in} |B|$이다.

3. $\alpha \underline{\in} \beta$이면 $|\alpha|\underline{\in} |\beta|$이다.

4. $|\alpha|\in |\beta|$이면 $\alpha \in \beta$이다.

증명

1.

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $\phi:A\to |A|$와 전단사함수 $\psi:B\to |B|$가 존재하므로

역함수 정리로 $\phi$의 역함수 $\phi^{-1}:|A|\to A$과 $\psi$의 역함수 $\psi^{-1}:|B|\to B$이 존재하고 $\phi^{-1},\psi^{-1}$은 전단사이다.

$|A|\underline{\in}|B|$이면

집합의 크기 정리와 기수 정리로 단사함수 $g : |A| \to |B|$가 존재하여 함수 정리로 $\psi^{-1} \circ g \circ \phi : A\to B$는 단사이다.

역으로 단사함수 $f:A\to B$가 존재하면

함수 정리로 $\psi\circ f \circ \phi^{-1} : |A|\to |B|$은 단사이므로 집합의 크기 정리와 기수 정리로 $|A|\underline{\in}|B|$이다.

2.

모든 $a\in A$에 대해 $g(a) = a\in A\subseteq B$인 함수 $g: A\to B$는 단사이므로 1번으로 $|A|\underline{\in} |B|$이다.

3.

$\alpha \underline{\in} \beta$이면 순서수 정리로 $\alpha \subseteq \beta$이므로 2번으로 $|\alpha|\underline{\in} |\beta|$이다.

4.

$|\alpha|\in |\beta|$일때 $\beta \underline{\in} \alpha$라고 가정하면 3번으로 $|\beta|\underline{\in} |\alpha|$이고

집합의 크기 정리와 기수의 정의로 $|\alpha|,|\beta|$는 순서수이므로 순서수 정리에 모순임에 따라 $|\alpha|\in |\beta|$이면 $\alpha \in \beta$이다.

 

 

 

정리5

임의의 기수 $\kappa,\lambda,\sigma$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\kappa $ $\underline{\in}$ $\lambda$이면 $\kappa \oplus \sigma \underline{\in} \lambda \oplus \sigma$이다.

2. $\kappa \underline{\in} \lambda$이면 $\kappa \otimes \sigma \underline{\in} \lambda \otimes \sigma$이다.

3. $\kappa \oplus \sigma \in \lambda \oplus \sigma$이면 $\kappa \in \lambda$이다.

4. $\kappa \otimes \sigma \in \lambda \otimes \sigma$이면 $\kappa \in \lambda$이다.

증명

1.

기수는 순서수이고 $\kappa\underline{\in}\lambda$이므로 순서수 정리로 $\kappa \subseteq \lambda$가 되어

데카르트곱의 정의로 $(\{ 0\}\times \kappa) \cup (\{1\}\times \sigma) \subseteq (\{0\}\times \lambda) \cup (\{1\}\times \sigma)$임에 따라

모든 $(i,x) \in (\{ 0\}\times \kappa) \cup (\{1\}\times \sigma)$에 대해 $f(i,x) = (i,x)$로 정의되는

함수 $f : (\{ 0\}\times \kappa) \cup (\{1\}\times \sigma) \to (\{0\}\times \lambda) \cup (\{1\}\times \sigma)$는 단사이고

기수 덧셈의 정의와 위 정리로 $\kappa \oplus \sigma =| (\{ 0\}\times \kappa) \cup (\{1\}\times \sigma)| \underline{\in} |(\{0\}\times \lambda) \cup (\{1\}\times \sigma)| = \lambda\oplus \sigma$이다.

2.

기수는 순서수이고 $\kappa\underline{\in}\lambda$이므로 순서수 정리로 $\kappa \subseteq \lambda$가 되어 데카르트곱의 정의로 $\kappa \times \sigma \subseteq \lambda\times \sigma$임에 따라

모든 $(x,y) \in \kappa \times \sigma$에 대해 $f(x,y) = (x,y)$로 정의되는 함수 $f : \kappa\times \sigma \to \lambda \times \sigma$는 단사이고

기수 곱셈의 정의와 위 정리로 $\kappa \otimes \sigma =| \kappa\times \sigma| \underline{\in} | \lambda\times \sigma| = \lambda\otimes \sigma$이다.

3.

기수는 순서수이므로 $\kappa \oplus \sigma \in \lambda \oplus \sigma$일때 $\lambda \underline{\in}\kappa$라고 가정하면

1번으로 $\lambda \oplus \sigma \underline{\in}\kappa \oplus \sigma$가 되어 순서수 정리에 모순임에 따라 $\kappa \oplus \sigma \in \lambda \oplus \sigma$이면 $\kappa \in \lambda$이다.

4.

기수는 순서수이므로 $\kappa \otimes \sigma \in \lambda \otimes \sigma$일때 $\lambda \underline{\in}\kappa$라고 가정하면

2번으로 $\lambda \otimes \sigma \underline{\in}\kappa \otimes \sigma$가 되어 순서수 정리에 모순임에 따라 $\kappa \otimes \sigma \in \lambda \otimes \sigma$이면 $\kappa \in \lambda$이다.

 

 

 

정리6

부분순서집합 $(A,\le_A)$에 대해 $(A,\le_A)$에서 $(A,\le_A)$로의 사전식 순서가 $(A\times A,\le_L)$이고

임의의 $(x_1,x_2),(y_1,y_2) \in A\times A$에 대해 최대원소가 $x = \underset{(A,\le_A)}{\max}\{ x_1,x_2\}$와 $y = \underset{(A,\le_A)}{\max}\{ y_1,y_2\}$일때

$A\times A$의 관계 $\le_M$이 $(x_1,x_2)\le_M (y_1,y_2)$이기 위한 필요충분조건이 

$x\ne y$와 $x\le_A y$가 성립하거나 $x = y$와 $(x_1,x_2)\le_L (y_1,y_2)$가 성립하는 것이면 다음이 성립한다.

1. $(A\times A,\le_M)$은 부분순서집합이다.

2. $(A,\le_A)$가 전순서집합이면 $(A\times A,\le_M)$은 전순서집합이다.

3. $(A,\le_A)$가 정렬집합이면 $(A\times A,\le_M)$은 정렬집합이다.

증명

1.

$(A,\le_A)$가 부분순서집합이므로 순서집합 정리로 $(A\times A,\le_L)$은 부분순서집합이다.

임의의 $(x_1,x_2) \in A\times A$에 대해

$x = \underset{(A,\le_A)}{\max}\{ x_1,x_2\}$일때 $x =x$이고 반사성으로 $(x_1,x_2)\le_L (x_1,x_2)$가 되어 $(x_1,x_2)\le_M (x_1,x_2)$이다.

임의의 $(x_1,x_2),(y_1,y_2) \in A\times A$에 대해

$x = \underset{(A,\le_A)}{\max}\{ x_1,x_2\}$이고 $y = \underset{(A,\le_A)}{\max}\{ y_1,y_2\}$일때 $(x_1,x_2)\le_M (y_1,y_2)$이고 $(y_1,y_2)\le_M (x_1,x_2)$이면

$x\ne y$일때 $x\le_A y$와 $y\le_A x$가 성립하여 반대칭성으로 $x = y$임에 따라 모순이다.

$x = y$일때 $(x_1,x_2)\le_L (y_1,y_2)$이고 $(y_1,y_2)\le_L (x_1,x_2)$이므로 반대칭성으로 $(x_1,x_2)= (y_1,y_2)$이다.

임의의 $(x_1,x_2),(y_1,y_2),(z_1,z_2) \in A\times A$에 대해

$x = \underset{(A,\le_A)}{\max}\{ x_1,x_2\}$이고 $y = \underset{(A,\le_A)}{\max}\{ y_1,y_2\}$이고 $z = \underset{(A,\le_A)}{\max}\{ z_1,z_2\}$일때

$(x_1,x_2)\le_M (y_1,y_2)$이고 $(y_1,y_2)\le_M (z_1,z_2)$이면

$x\ne y$이고 $y\ne z$일때 $x\le_A y$와 $y\le_A z$가 성립하여 추이성으로 $x\le_A z$이고 $x = z$라고 가정하면

$x\le_A y\le_A z = x$가 되어 반대칭성으로 $x = y$임에 따라 모순이므로 $x\ne z$가 되어 $(x_1,x_2)\le_M (z_1,z_2)$이다.

$x\ne y=z$일때 $x\le_A y = z$가 성립하여 $(x_1,x_2)\le_M (z_1,z_2)$이고

$x= y\ne z$일때 $x=y\le_A z$가 성립하여 $(x_1,x_2)\le_M (z_1,z_2)$이다.

$x = y= z$일때 $(x_1,x_2)\le_L (y_1,y_2)$이고 $(y_1,y_2)\le_L (z_1,z_2)$이므로

추이성으로 $(x_1,x_2)\le_L (z_1,z_2)$가 되어 $(x_1,x_2)\le_M (z_1,z_2)$이다.

따라서 $(A,\le_A)$가 부분순서집합일때 $(A\times A,\le_M)$은 부분순서집합이다.

2.

$(A,\le_A)$가 전순서집합이므로 순서집합 정리로 $(A\times A,\le_L)$은 전순서집합이다.

임의의 $(x_1,x_2),(y_1,y_2) \in A\times A$에 대해 $x = \underset{(A,\le_A)}{\max}\{ x_1,x_2\}$이고 $y = \underset{(A,\le_A)}{\max}\{ y_1,y_2\}$일때 

$x\ne y$이면 $x\le_A y$ 또는 $y\le_A x$이므로 $(x_1,x_2)\le_M (y_1,y_2)$ 또는 $(y_1,y_2)\le_M (x_1,x_2)$이다.

$x= y$이면 

$(x_1,x_2)\le_L (y_1,y_2)$ 또는 $(y_1,y_2)\le_L (x_1,x_2)$이므로 $(x_1,x_2)\le_M (y_1,y_2)$ 또는 $(y_1,y_2)\le_M (x_1,x_2)$이다.

따라서 $(A,\le_A)$가 전순서집합일때 $(A\times A,\le_M)$은 전순서집합이다.

3.

$(A,\le_A)$가 정렬집합이므로 순서집합 정리로 $(A\times A,\le_L)$은 정렬집합이다.

공집합이 아닌 임의의 $B \subseteq A\times A$에 대해 

어떤 $(x_1,x_2) \in B$가 존재하여 $\{ x_1,x_2\}\subseteq A$임에 따라 순서집합 정리로 최대원소 $\underset{(A,\le_A)}{\max} \{ x_1,x_2\} $가 존재하므로

치환 공리로 집합 $C = \{ \underset{(A,\le_A)}{\max} \{ x_1,x_2\} : (x_1,x_2) \in B \}$가 존재하여 $C$는 공집합이 아니다.

$C\subseteq A$이므로 정렬집합의 정의로 최소원소 $a= \underset{(A,\le_A)}{\min} C $가 존재하여

$a\in C$임에 따라 $a = \underset{(A,\le_A)}{\max} \{ x_1,x_2\} $인 $(x_1,x_2)\in B$가 존재하고

분류 공리로 집합 $D = \{ (x_1,x_2) \in B : a =\underset{(A,\le_A)}{\max}\{ x_1,x_2\}\}$가 존재하여 $D$는 공집합이 아니다.

$D\subseteq B \subseteq A\times A$이므로 정렬집합의 정의로 최소원소 $(a_1,a_2)=\underset{(A\times A,\le_L)}{\min D}$가 존재하여

$(a_1,a_2)\in D$임에 따라 $a = \underset{(A,\le_A)}{\max} \{ a_1,a_2\} $이다.

임의의 $(x_1,x_2)\in B$에 대해 $x = \underset{(A,\le_A)}{\max} \{ x_1,x_2\} $일때 

$a \ne x$이면 $x\in C$이므로 최소원소 정리로 $a\le_A x$가 되어 $(a_1,a_2)\le_M (x_1,x_2)$이고

$a = x$이면 $(x_1,x_2) \in D$가 되어 최소원소 정리로 $(a_1,a_2)\le_L (x_1,x_2)$임에 따라 $(a_1,a_2)\le_M (x_1,x_2)$이다.

따라서 최소원소 정리로 $(a_1,a_2)\in B$는 $(A\times A,\le_M)$에서 $B$의 최소원소이므로 $(A\times A,\le_M)$은 정렬집합이다.

 

 

 

정리7

임의의 기수 $\kappa$가 무한집합이면 $\kappa\otimes \kappa = \kappa$이다.

증명

기수는 순서수이므로 $\kappa$에 대한 초한 귀납법으로 증명한다.

임의의 순서수 $\lambda$가 무한집합인 기수일때 임의의 $\mu\in \lambda$가 무한집합인 기수이면 $\mu\otimes \mu = \mu$라고 가정한다.

자연수집합 $\mathbb{N}$에 대해 기수 정리로 $\lambda = \aleph_\beta$인 순서수 $\beta$가 존재하여

순서수 정리와 순서수 정리와 공집합의 정의로 $\emptyset\underline{\in} \beta$이므로

알레프수의 정의와 알레프수 정리로 $\mathbb{N} = \aleph_\emptyset \underline{\in} \aleph_\beta = \lambda$이다.

$\mathbb{N}= \lambda$이면 가부번 정리로 $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$은 가부번이므로 전단사함수 $f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}\times \mathbb{N}$가 존재하여

기수 곱셈의 정의와 집합의 크기 정리와 기수 정리로 $\lambda \otimes \lambda = |\lambda \times \lambda| = |\mathbb{N}\times \mathbb{N}| = |\mathbb{N}| = |\lambda| = \lambda$이다.

$\mathbb{N}\in \lambda$이면 $(\lambda,\underline{\in})$에서 $(\lambda,\underline{\in})$로의 사전식 순서가 $(\lambda\times \lambda,\le_L)$일때

순서수의 정의로 $(\lambda,\underline{\in})$가 정렬집합임에 따라 위 정리에 나온 부분순서집합 $(\lambda\times \lambda,\le_M)$은 정렬집합이 되어

모스토프스키 붕괴로 어떤 순서수 $\sigma$에 대해 $(\lambda\times \lambda,\le_M)$에서 $(\sigma,\underline{\in})$로의 순서동형사상 $f : \lambda\times \lambda \to \sigma$가 존재하고

모든 $(\alpha,\beta)\in \lambda\times \lambda$에 대해

$f(\alpha,\beta) = \{ f(\gamma,\delta) : \text{ 어떤 } (\gamma,\delta)\in \lambda\times \lambda \text{ 에 대해 } (\gamma,\delta)\le_M (\alpha,\beta) \text{ 이고 } (\gamma,\delta)\ne (\alpha,\beta)\}$이다.

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $g:\sigma \to |\sigma|$가 존재하여 함수 정리로 $g \circ f : \lambda\times \lambda \to |\sigma|$는 전단사이고

무한집합의 정의로 $\lambda \ne \emptyset$이므로 순서수 정리로 $\emptyset\in \lambda$이 되어

모든 $\alpha\in \lambda$에 대해 $h(\alpha) = (g\circ f)(\alpha,\emptyset)$인 함수 $h:\lambda \to |\sigma|$를 정의하면

임의의 $\alpha,\beta\in \lambda$에 대해 $(g\circ f)(\alpha,\emptyset) = h(\alpha) = h(\beta) = (g\circ f)(\beta,\emptyset)$일때

단사의 정의로 $(\alpha,\emptyset) = (\beta,\emptyset)$이므로 순서쌍의 상등으로 $\alpha = \beta$임에 따라

$h$는 단사이고 집합의 크기 정리와 기수 정리와 순서수 정리로 $\lambda\underline{\in}|\sigma| \underline{\in}\sigma$가 되어 순서수 정리로 $\lambda\subseteq \sigma$이다.

임의의 $x\in \sigma$에 대해 전사의 정의로 $f(\alpha,\beta)= x$인 $(\alpha,\beta)\in \lambda\times \lambda$가 존재하여

순서집합 정리로 최대원소 $\gamma =\underset{(\lambda,\underline{\in})}{\max} \{ \alpha,\beta,\mathbb{N}\} $가 존재하고 기수 정리와 극한순서수 정리로 $\gamma\cup \{ \gamma\} \in \lambda$이다.

최대원소 정리로 $\mathbb{N} \underline{\in} \gamma \in \gamma\cup \{ \gamma\} \in \lambda$이고

자연수집합 정리와 위 정리와 순서수 정리로 $\mathbb{N} = |\mathbb{N}| \underline{\in} |\gamma \cup \{ \gamma\}| \underline{\in} \gamma\cup \{\gamma \}\in \lambda$이므로

$\mu = |\gamma \cup \{ \gamma \}|$로 둘때 집합의 크기 정리로 $\mu = |\gamma \cup \{ \gamma \}|\in \lambda$는 기수이고 순서수 정리로 $\mathbb{N} \subseteq \mu$임에 따라

자연수집합 정리와 무한집합 정리로 $\mu$는 무한집합이 되어 귀납가정으로 $\mu\otimes \mu = \mu$이다.

$\underset{(\lambda,\underline{\in})}{\max}\{ \alpha,\beta\}\underline{\in} \underset{(\lambda,\underline{\in})}{\max} \{ \alpha,\beta,\mathbb{N}\} =\gamma = \underset{(\lambda,\underline{\in})}{\max}\{ \gamma,\gamma\}$이고 $\alpha \underline{\in}\gamma$와 $\beta \underline{\in} \gamma$가 성립하므로

사전식 순서의 정의로 $(\alpha,\beta)\le_L (\gamma,\gamma)$가 되어 $(\alpha,\beta) \le_M (\gamma,\gamma)$이고 순서동형사상의 정의로 $f(\alpha,\beta) \underline{\in} f(\gamma,\gamma)$이다.

$f$가 단사임에 따라 모든 $y\in f(\gamma,\gamma)$에 대해

$y = f(\eta,\theta)$인 $(\eta,\theta)\in \lambda\times \lambda$가 유일하게 존재하여 $(\eta,\theta)\ne (\gamma,\gamma)$이고 $(\eta,\theta)\le_M (\gamma,\gamma)$이므로

$\underset{(\lambda,\underline{\in})}{\max}\{ \eta,\theta\}\underline{\in} \underset{(\lambda,\underline{\in})}{\max}\{ \gamma,\gamma\} = \gamma\in \gamma \cup \{ \gamma\}$가 되어 최대원소 정리로 $\eta,\theta \in \gamma \cup \{ \gamma \}$임에 따라

$(\eta,\theta) \in (\gamma \cup \{ \gamma \}) \times(\gamma \cup \{ \gamma \})$이고 $f(\gamma,\gamma)$에서 $(\gamma \cup \{ \gamma \}) \times(\gamma \cup \{ \gamma \})$로의 단사함수가 존재한다.

위 정리와 위 정리와 기수 곱셈의 정의와 기수 정리로

$|x| =|f(\alpha,\beta)| \underline{\in} |f(\gamma,\gamma)| \underline{\in} |(\gamma \cup \{ \gamma\}) \times (\gamma \cup \{\gamma \})| =||\gamma \cup \{ \gamma\}| \times |\gamma \cup \{\gamma \}||= |\mu\times \mu| = \mu\otimes \mu = \mu \in \lambda = |\lambda| \text{ 이므로}$

위 정리로 $x\in \lambda$가 되어 $\sigma \subseteq \lambda$임에 따라 집합 정리로 $\lambda = \sigma$이고 $f$는 $\lambda \times \lambda$에서 $\lambda=\sigma$로의 전단사함수이므로

기수 곱셈의 정의와 집합의 크기 정리와 기수 정리로 $\lambda\otimes \lambda = |\lambda\times \lambda| = |\lambda| = \lambda$이다.

따라서 임의의 기수 $\kappa$가 무한집합이면 $\kappa\otimes \kappa = \kappa$이다.

 

 

 

정리8

임의의 기수 $\kappa,\lambda$에 대해 $\kappa\underline{\in} \lambda$이고 $\lambda$가 무한집합이면 자연수 $\emptyset = 0,\emptyset\cup \{ \emptyset\}=1\in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\kappa \oplus \lambda = \lambda$

2. $\kappa\ne 0$이면 $\kappa \oplus \lambda =\lambda = \kappa \otimes \lambda$이다.

증명

$\kappa = 0$이면 위 정리로 $\kappa \oplus \lambda = 0\oplus \lambda = \lambda$이다.

$\kappa \ne 0$이면 순서수 정리로 $0\in \kappa$이므로 순서수 정리로 $1=0\cup \{0\} \underline{\in}\kappa$이고

기수 정리로 $\lambda = \aleph_\beta$인 순서수 $\beta$가 존재하여 $\emptyset\underline{\in} \beta$임에 따라

알레프수의 정의와 알레프수 정리로 $\mathbb{N} = \aleph_\emptyset \underline{\in} \aleph_\beta = \lambda$이다.

$\kappa = 1$일때 임의의 $(i,x) \in (\{0\}\times \kappa) \cup (\{1\}\times \lambda)$에 대해

$i = 0$이면 $x\in \kappa = 1 = \{ 0\}$이므로 $x = 0 \in \mathbb{N}\underline{\in} \lambda$이고

$i = 1$이면 $x\in \lambda$임에 따라 기수 정리와 극한순서수 정리로 $x\cup \{x\}\in \lambda$가 되어

함수 $f: (\{ 0\}\times \kappa) \cup (\{ 1\}\times \lambda) \to \lambda$를 $f(i,x) = \begin{cases} 0 & i = 0\text{ 일때} \\[0.5em] x \cup \{x\}& i = 1\text{ 일때} \end{cases}$로 정의한다.

임의의 $(i,x),(j,y) \in (\{0\}\times \kappa) \cup (\{1\}\times \lambda)$에 대해 $(i,x)\ne (j,y)$일때

$i = 0 = j$이면 순서쌍의 상등으로 $x\ne y$인데 $x,y\in \kappa = \{ 0\}$임에 따라 $x = 0=y$가 되어 모순이다.

일반성을 잃지 않고 $i = 0$이고 $j = 1$이면 $y\in \lambda$이고 $x\in \kappa = \{ 0\}$이므로 $x = 0 = \emptyset \underline{\in} y \in y\cup \{ y\}$임에 따라

$0 \in y\cup \{ y\}$가 되어 집합 정리로 $f(i,x) =0  \ne y\cup \{ y\} = f(j,y)$이다.

$i = 1 = y$이면 순서쌍의 상등으로 $x\ne y$이므로 집합 정리로 $f(i,x) = x\cup \{ x\} \ne y\cup \{ y\} = f(j,y)$가 되어

$f$가 단사임에 따라 기수 덧셈의 정의와 위 정리와 기수 정리로 $\kappa \oplus \lambda = |(\{0\}\times \kappa) \cup (\{1\}\times \lambda)|\underline{\in} |\lambda| = \lambda$이고

$0\in 1$이므로 위 정리와 위 정리로 $\lambda =0\oplus \lambda \underline{\in} 1 \oplus \lambda = \kappa \oplus \lambda\underline{\in} \lambda$가 되어 $\kappa \oplus \lambda = \lambda$이고

위 정리로 $\kappa\otimes \lambda = 1\otimes \lambda = \lambda = \kappa \oplus \lambda$이다.

$1\in \kappa$일때 순서수 정리로 $2=1\cup \{1\} \underline{\in}\kappa$이고 $0\in 1\in 2 \underline{\in} \kappa\underline{\in}\lambda$이므로 위 정리와 위 정리와 위 정리와 위 정리로 

$\lambda = 0\oplus \lambda \underline{\in} \kappa\oplus \lambda \underline{\in} \lambda\oplus \lambda = (1\otimes \lambda) \oplus (1\otimes \lambda) = (1\oplus 1)\otimes \lambda = 2\otimes \lambda \underline{\in} \kappa\otimes \lambda \underline{\in} \lambda\otimes \lambda = \lambda $가 되어

$\kappa \oplus \lambda =\lambda = \kappa \otimes \lambda$이다.

 

 

 

정의2

임의의 기수 $\kappa,\lambda$에 대해 $\lambda$에서 $\kappa$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{F} = \{ f\in $ $\mathcal{P}(\lambda\times \kappa)$ $ : \text{ 함수 }f:\lambda\to \kappa\}$일때

$\mathcal{F}$의 크기 $\kappa^\lambda= |\mathcal{F}|$를 $\kappa$의 $\lambda$제곱 또는 기수 거듭제곱으로 정의한다.

 

 

 

정리9

임의의 기수 $\kappa$와 자연수 $\emptyset = 0, \emptyset \cup \{ \emptyset\} = 1\in \mathbb{N}$와 기수 거듭제곱에 대해 다음이 성립한다.

1. $\kappa^0 = 1$

2. $\kappa\ne 0$이면 $0^\kappa = 0$이다.

3. $1^\kappa = 1$

4. $\kappa^1 = \kappa$

증명

자연수 정리로 $0,1$은 기수이다.

1.

$0$에서 $\kappa$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}( 0 \times \kappa)$일때

데카르트곱 정리로 $0\times \kappa = \emptyset\times \kappa = \emptyset$이므로 멱집합의 정의로 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}( 0 \times \kappa) = \mathcal{P}(\emptyset) = \{ \emptyset\}$이다.

또 함수 정리로 $\kappa$에 대해 함수 $f : \emptyset \to \kappa$가 유일하게 존재하여

함수의 정의와 데카르트곱 정리로 $f \subseteq \emptyset\times \kappa = \emptyset$이므로 공집합 정리로 $f = \emptyset$이고

$\emptyset=f\in \mathcal{F}$임에 따라 $\{ \emptyset\}\subseteq \mathcal{F}$가 되어 집합 정리와 공집합 정리로 $\mathcal{F} = \{ \emptyset\} = \emptyset \cup \{ \emptyset\} = 1$이다.

따라서 기수 거듭제곱의 정의와 기수 정리로 $\kappa^0 = |\mathcal{F}| = |1| =1$이다.

2.

$\kappa$에서 $0$으로의 함수들의 집합이 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}( \kappa \times 0)$일때

$\mathcal{F}\ne \emptyset$이라고 가정하면 $f\in \mathcal{F}$가 존재하여 $f:\kappa \to 0$는 함수인데

$\kappa \ne 0=\emptyset$임에 따라 $x\in \kappa$가 존재하여 $f(x) \in 0 = \emptyset$이므로 공집합의 정의에 모순이다.

따라서 $\mathcal{F}= \emptyset =0$이므로 기수 거듭제곱의 정의와 기수 정리로 $0^\kappa = |\mathcal{F}| = |0| = 0$이다.

3.

$\kappa$에서 $1$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\kappa \times 1)$일때

임의의 $f_1,f_2\in \mathcal{F}$는 $f_1,f_2: \kappa\to 1$인 함수이므로 모든 $x\in \kappa$에 대해

$f_1(x) ,f_2(x)\in 1 =\emptyset \cup \{ \emptyset\} = \{ \emptyset\}$이 되어 $f_1(x) = \emptyset = f_2(x)$임에 따라 $f_1 = f_2$이다.

또 모든 $x\in \kappa$에 대해 $f(x) = \emptyset\in 1$인 함수 $f:\kappa\to 1$는 $f\in \mathcal{F}$가 되어 $\{ f\} = \mathcal{F}$이다.

따라서 $\mathcal{F}$는 $1$개의 원소를 갖는 유한집합이므로 기수 거듭제곱의 정의와 기수 정리로 $1^\kappa = |\mathcal{F}| = 1$이다.

4.

$1$에서 $\kappa$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(1\times \kappa)$일때

모든 $f\in \mathcal{F}$는 $f: 1 \to \kappa$인 함수이고 공집합 정리로 $\{ \emptyset\} = \emptyset \cup \{ \emptyset\} = 1$이므로

$\phi(f) = f(\emptyset)\in \kappa$인 함수 $\phi: \mathcal{F}\to \kappa$를 정의하면

$f\ne g$인 임의의 $f,g\in \mathcal{F}$에 대해 $\phi(f) =f(\emptyset)\ne g(\emptyset) = \phi(g)$이므로 $\phi$는 단사이고

임의의 $x \in \kappa$에 대해 $h(\emptyset) = x$인 함수 $h : 1\to \kappa$는 $h\in \mathcal{F}$이고 $\phi(h) = h(\emptyset) = x$이므로 $\phi$는 전사이다.

따라서 기수 거듭제곱의 정의와 집합의 크기 정리와 기수 정리로 $\kappa^1 = |\mathcal{F}| = |\kappa| = \kappa$이다.

 

 

 

정리10

임의의 기수 $\kappa,\lambda,\sigma$와 기수 거듭제곱에 대해 다음이 성립한다.

1. $\kappa^{\lambda\oplus \sigma} = \kappa^\lambda \otimes \kappa^\sigma$

2. $\kappa^{\lambda\otimes \sigma} = (\kappa^\lambda)^\sigma$

3. $(\kappa\otimes \lambda)^\sigma = \kappa^\sigma \otimes \lambda^\sigma$

증명

1.

$\lambda\oplus \sigma$에서 $\kappa$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}((\lambda \oplus \sigma)\times \kappa)$이고

$\lambda$에서 $\kappa$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{P}(\lambda\times \kappa)$이고

$\sigma$에서 $\kappa$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{H}\subseteq \mathcal{P}(\sigma\times \kappa)$일때

기수 덧셈의 정의로 $\lambda\oplus \sigma = |(\{0\}\times \lambda)\cup(\{1\}\times \sigma)|$이므로

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $\phi : (\{ 0\}\times \lambda)\cup (\{1\}\times \sigma) \to \lambda\oplus \sigma$가 존재하여

임의의 $f\in \mathcal{F}$가 $f:\lambda\oplus \sigma \to \kappa$인 함수임에 따라

모든 $x\in \lambda$에 대해 $g(x) = f(\phi(0,x))$인 함수 $g:\lambda\to \kappa$는 $g\in \mathcal{G}$이고

모든 $x\in \sigma$에 대해 $h(x) = f(\phi(1,x))$인 함수 $h:\sigma\to \kappa$는 $h\in \mathcal{H}$이므로

함수 $\psi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}\times \mathcal{H}$를 $\psi(f) = (g,h)\in \mathcal{G}\times \mathcal{H}$로 정의한다.

임의의 $f_1,f_2\in \mathcal{F}$에 대해 $(g_1,h_1) =\psi(f_1) = \psi(f_2) = (g_2,h_2)$일때

모든 $y \in \lambda\oplus \sigma$에 대해 전사의 정의로 $y = \phi(i,x)$인 $(i,x)\in (\{ 0\}\times \lambda) \cup (\{1\}\times \sigma)$가 존재하고

순서쌍의 상등으로 $g_1=g_2$와 $h_1=h_2$가 성립함에 따라

$i = 0$이면 $f_1(y) = f_1(\phi(i,x)) = f_1(\phi(0,x)) = g_1(x) = g_2(x) = f_2(\phi(0,x)) = f_2(\phi(i,x)) = f_2(y)$이고

$i = 1$이면 $f_1(y) = f_1(\phi(i,x)) = f_1(\phi(1,x)) = h_1(x) = h_2(x) = f_2(\phi(1,x)) = f_2(\phi(i,x)) = f_2(y)$이므로

$f_1 = f_2$가 되어 $\psi$는 단사이다.

모든 $y \in \lambda\oplus \sigma$에 대해 전단사의 정의로 $y = \phi(i,x)$인 $(i,x)\in (\{ 0\}\times \lambda) \cup (\{1\}\times \sigma)$가 유일하게 존재하므로

임의의 $(g,h)\in \mathcal{G}\times \mathcal{H}$에 대해 $f(y) = \begin{cases} g(x) & y =\phi(i,x)\text{ 이고 } i= 0\text{ 일때} \\[0.5em] h(x) & y=\phi(i,x) \text{ 이고 }i= 1\text{ 일때} \end{cases}$로 함수 $f: \lambda\oplus \sigma\to \kappa$를 정의하면

$f\in \mathcal{F}$이고 $\psi(f) = (g,h)$이므로 $\psi$는 전사이다.

따라서 기수 거듭제곱의 정의와 집합의 크기 정리와 위 정리와 기수 곱셈의 정의로

$\kappa^{\lambda\oplus \sigma} = |\mathcal{F}| = |\mathcal{G}\times \mathcal{H}| = ||\mathcal{G}|\times |\mathcal{H}|| = |\kappa^\lambda \times \kappa^\sigma| = \kappa^\lambda\otimes \kappa^\sigma$이다.

2.

$\lambda\otimes \sigma$에서 $\kappa$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}((\lambda \otimes\sigma)\times \kappa)$이고

$\lambda$에서 $\kappa$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{P}(\lambda\times \kappa)$이고

$\sigma$에서 $\kappa^\lambda$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{H}\subseteq \mathcal{P}(\sigma\times \kappa^\lambda)$일때

기수 곱셈의 정의로 $\lambda\otimes \sigma = |\lambda\times \sigma|$이므로 집합의 크기의 정의로 전단사함수 $\phi : \lambda\times \sigma \to \lambda\otimes \sigma$가 존재하고

기수 거듭제곱의 정의로 $\kappa^\lambda = |\mathcal{G}|$이므로 집합의 크기의 정의로 전단사함수 $\psi : \mathcal{G}\to \kappa^\lambda$가 존재한다.

임의의 $f\in \mathcal{F}$가 $f:\lambda\otimes \sigma \to \kappa$인 함수임에 따라 모든 $x\in \lambda$와 모든 $y \in \sigma$에 대해

$g_y(x) = f(\phi(x,y))$인 함수 $g_y:\lambda\to \kappa$는 $g_y\in \mathcal{G}$이고 $h(y) = \psi(g_y)$인 함수 $h: \sigma\to \kappa^\lambda$는 $h\in \mathcal{H}$이므로

함수 $\varphi :\mathcal{F}\to \mathcal{H}$를 $\varphi(f) = h \in \mathcal{H}$로 정의한다.

임의의 $f_1,f_2\in \mathcal{F}$에 대해 $h_1=\varphi(f_1) = \varphi(f_2) = h_2$일때

모든 $z\in \lambda\otimes \sigma$에 대해 전사의 정의로 $z = \phi(x,y)$인 $(x,y)\in \lambda\times \sigma$가 존재하여

$\psi(g_{1,y})=h_1(y) = h_2(y) = \psi(g_{2,y})$이고 단사의 정의로 $g_{1,y} = g_{2,y}$이므로

$f_1(z) = f_1(\phi(x,y)) = g_{1,y}(x) = g_{2,y}(x) = f_2(\phi(x,y)) = f_2(z)$임에 따라 $f_1 = f_2$가 되어 $\varphi$는 단사이다.

임의의 $h\in \mathcal{H}$에 대해

모든 $z\in \lambda\otimes \sigma$는 전단사의 정의로 $z = \phi(x,y)$인 $(x,y)\in \lambda\times \sigma$가 유일하게 존재하고

$h(y)\in \kappa^\lambda$임에 따라 전단사의 정의로 $h(y) = \psi(g_y)$인 $g_y\in \mathcal{G}$가 유일하게 존재하므로

$f(\phi(x,y))=f(z) = g_y(x)$인 함수 $f:\lambda\otimes \sigma\to \kappa$는 $f\in \mathcal{F}$이고 $\varphi(f) = h$가 되어 $\varphi$는 전사이다.

따라서 기수 거듭제곱의 정의와 집합의 크기 정리로 $\kappa^{\lambda\otimes \sigma} = |\mathcal{F}| = |\mathcal{H}| = (\kappa^\lambda)^\sigma$이다.

3.

$\sigma$에서 $\kappa\otimes \lambda$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(\sigma\times (\kappa\otimes \lambda))$이고

$\sigma$에서 $\kappa$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{P}(\sigma\times \kappa)$이고

$\sigma$에서 $\lambda$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{H}\subseteq \mathcal{P}(\sigma\times \lambda)$일때

기수 곱셈의 정의로 $\kappa\otimes \lambda= |\kappa\times \lambda|$이므로 집합의 크기의 정의로 전단사함수 $\phi : \kappa\times \lambda \to \kappa \otimes \lambda$가 존재하여

역함수 정리로 $\phi$의 역함수 $\phi^{-1}:\kappa\otimes \lambda \to \kappa\times \lambda$이 존재하고 $\phi^{-1}$은 전단사이다.

임의의 $f\in \mathcal{F}$가 $f:\sigma \to \kappa\otimes \lambda$인 함수임에 따라

임의의 $x\in \sigma$에 대해 $(g(x) , h(x)) = \phi^{-1}(f(x))\in \kappa\times \lambda$인 함수 $g:\sigma\to \kappa$와 함수 $h:\sigma\to \lambda$는

$g\in \mathcal{G}$이고 $h\in \mathcal{H}$이므로 $\psi(f) = (g,h)\in \mathcal{G}\times \mathcal{H}$로 함수 $\psi:\mathcal{F}\to \mathcal{G}\times \mathcal{H}$를 정의한다.

임의의 $f_1,f_2\in \mathcal{F}$에 대해 $(g_1,h_1)=\psi(f_1) = \psi(f_2) = (g_2,h_2)$일때

순서쌍의 상등으로 $g_1=g_2$와 $h_1=h_2$가 성립하여

모든 $x\in \sigma$에 대해 $\phi^{-1}(f_1(x)) = (g_1(x),h_1(x)) = (g_2(x),h_2(x)) = \phi^{-1}(f_2(x))$이므로

단사의 정의로 $f_1(x) = f_2(x)$임에 따라 $f_1=f_2$이고 $\psi$는 단사이다.

임의의 $(g,h)\in \mathcal{G}\times \mathcal{H}$는

모든 $x\in \sigma$에 대해 $(g(x),h(x))\in \kappa\times\lambda$이므로 $f(x) = \phi(g(x),h(x))$인 함수 $f: \sigma\to \kappa\otimes \lambda$는 $f\in \mathcal{F}$이고

역함수 정리로 $\phi^{-1}(f(x)) = (g(x),h(x))$임에 따라 $\psi(f) = (g,h)$가 되어 $\psi$는 전사이다.

따라서 기수 거듭제곱의 정의와 집합의 크기 정리와 위 정리와 기수 곱셈의 정의로

$(\kappa\otimes \lambda)^\sigma = |\mathcal{F}| = |\mathcal{G}\times \mathcal{H}| = ||\mathcal{G}|\times |\mathcal{H}|| = |\kappa^\sigma\times \lambda^\sigma| = \kappa^\sigma\otimes \lambda^\sigma$이다.

 

 

 

정리11

임의의 기수 $\kappa$와 자연수 $\emptyset = 0\in \mathbb{N}$과 임의의 자연수 $n,m\in \mathbb{N}$와 기수 거듭제곱에 대해 다음이 성립한다.

1. $n$의 $m$기수 거듭제곱 $n^m$은 $n$의 $m$순서수 거듭제곱과 같다.

2. $\kappa\ne 0$이면 모든 기수 $\lambda$에 대해 $\kappa^\lambda\ne 0$이다.

3. $\kappa^\lambda \ne 0$이고 $\lambda\ne 0$인 기수 $\lambda$가 존재하면 $\kappa \ne 0$이다.

4. $\kappa$가 무한집합이면 $n\ge 1$일때 $\kappa^n = \kappa$이다.

5. $\kappa$가 무한집합이면 $\kappa^n $ $\underline{\in}$ $ \kappa$이다.

6. $\kappa\underline{\in} \mathbb{N}$이면 $\kappa^n \underline{\in} \mathbb{N}$이다.

증명

1.

자연수 정리로 $n,m$은 기수이고 $n$의 $m$순서수 거듭제곱 $p(n,m)$은 순서수 정리로 $n$의 $m$자연수 거듭제곱과 같다.

$m\in \mathbb{N}$에 대한 귀납법으로 $n^m = p(n,m)$임을 보인다.

$m = 0$이면 위 정리와 자연수 거듭제곱의 정의로 $n^m=n^0 = 1= p(n,0) =p(n,m)$이다.

모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $n^k = p(n,k)$이면 순서수 정리와 위 정리와 위 정리와 위 정리와 자연수 거듭제곱의 정의로

$n^{k+1} = n^{k\oplus 1} = n^k \otimes n^1 = n^k \otimes n = n^k\cdot n = p(n,k)\cdot n = p(n,k+1)$이다.

따라서 모든 $m\in \mathbb{N}$에 대해 $n^m = p(n,m)$이다.

2.

$\kappa\ne 0$일때 $\kappa^\lambda = 0$인 기수 $\lambda$가 존재하면 $\lambda$에서 $\kappa$로의 함수들의 집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(\lambda\times \kappa)$에 대해

기수 거듭제곱의 정의로 $0=\kappa^\lambda = |\mathcal{F}|$이므로 집합의 크기 정리와 유한집합의 정의로 $\mathcal{F} = \emptyset$인데 

$\kappa\ne 0 =\emptyset$임에 따라 순서수 정리로 $0=\emptyset\in \kappa$이고

모든 $x\in \lambda$에 대해 $f(x) = 0$인 함수 $f:\lambda\to \kappa$가 존재하여 $f\in \mathcal{F}=\emptyset$이므로 모순이다.

따라서 $\kappa\ne 0$이면 모든 기수 $\lambda$에 대해 $\kappa^\lambda \ne 0$이다.

3.

$\kappa^\lambda \ne 0$이고 $\lambda\ne 0$인 기수 $\lambda$가 존재할때 $\kappa = 0$이라고 가정하면

위 정리로 $0\ne \kappa^\lambda = 0^\lambda = 0$이므로 모순이 되어 $\kappa^\lambda \ne 0$이고 $\lambda\ne 0$인 기수 $\lambda$가 존재하면 $\kappa \ne 0$이다.

4.

$n\ge 1$인 $n\in \mathbb{N}$에 대한 귀납법으로 증명한다.

위 정리로 $\kappa^1 = \kappa$이다.

$k\ge 1$인 모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $\kappa^k =\kappa$일때

위 정리와 위 정리와 위 정리로 $\kappa^{k+1} = \kappa^{k\oplus 1} = \kappa^k \otimes \kappa^1 = \kappa\otimes \kappa = \kappa$이다.

따라서 $n\ge 1$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $\kappa^n =\kappa$이다.

5.

$n = 0$이면 위 정리와 기수 정리로 $\kappa^0 = 1\in \mathbb{N}\underline{\in}\kappa$이고

$n \ge 1$이면 4번으로 $\kappa^n =\kappa$이므로 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $\kappa^n \underline{\in} \kappa$이다.

6.

$\kappa\in \mathbb{N}$이면 1번으로 $\kappa^n\in \mathbb{N}$이고

$\kappa= \mathbb{N}$이면 기수 정리와 5번으로 $\kappa^n \underline{\in} \kappa = \mathbb{N}$이 되어 $\kappa^n\underline{\in} \mathbb{N}$이다.

 

 

 

정리12

임의의 집합 $A$의 크기 $|A|$와 임의의 기수 $\kappa$와 자연수 $2\in \mathbb{N}$와 기수 거듭제곱에 대해 다음이 성립한다.

1. $A$의 멱집합 $\mathcal{P}(A)$의 크기는 $|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}$이다.

2. $\kappa$의 멱집합 $\mathcal{P}(\kappa)$의 크기는 $|\mathcal{P}(\kappa)| = 2^\kappa$이다.

3. $\kappa$의 따름기수 $\kappa\!+\!+$에 대해 $\kappa\!+\!+\underline{\in} 2^\kappa$이다.

증명

1.

자연수 정리로 $2$는 기수이고 자연수 정리로 $2 = \{0,1\}$이다.

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $\phi : A\to |A|$가 존재하여

역함수 정리로 $\phi$의 역함수 $\phi^{-1}:|A| \to A$이 존재하고 $\phi^{-1}$은 전단사이다.

$|A|$에서 $2$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(|A|\times 2)$일때 임의의 $X\in \mathcal{P}(A)$에 대해 

모든 $y \in |A|$가 $f(y) = \begin{cases} 0 & \phi^{-1}(y) \notin X \text{ 일때} \\[0.5em] 1&  \phi^{-1}(y)\in X\text{ 일때} \end{cases}$인 함수 $f : |A|\to 2$를 정의하면

$f\in \mathcal{F}$임에 따라 함수 $\psi :\mathcal{P}(A)\to \mathcal{F}$를 $\psi(X) = f\in \mathcal{F}$로 정의한다.

임의의 $X_1,X_2\in \mathcal{P}(A)$에 대해 $f_1 =\psi(X_1) =\psi(X_2) = f_2$일때

모든 $x\in X_1$은 멱집합의 정의로 $x\in X_1\subseteq A$이므로 전사의 정의로 $\phi^{-1}(y) =x\in X_1$인 $y\in |A|$가 존재하여

$1 = f_1(y) = f_2(y)$임에 따라 $x = \phi^{-1}(y) \in X_2$이고 $X_1\subseteq X_2$이다.

비슷하게 $X_2\subseteq X_1$이므로 집합 정리로 $X_1 = X_2$가 되어 $\psi$는 단사이다.

임의의 $f\in \mathcal{F}$에 대해 분류 공리로 집합 $Y = \{ y\in |A| : f(y) = 1 \}$가 존재하여

$Y\subseteq |A|$이므로 함수의 상 $X = \{ \phi^{-1}(y) : y\in Y\}$가 존재하고 $X \subseteq A$임에 따라 멱집합의 정의로 $X\in \mathcal{P}(A)$이다.

모든 $z \in |A|$에 대해 $g(z) = \begin{cases} 0 & \phi^{-1}(z) \notin X \text{ 일때} \\[0.5em] 1&  \phi^{-1}(z)\in X\text{ 일때} \end{cases}$인 함수 $g : |A|\to 2$를 정의하면

$g(z) = 0$일때 $\phi^{-1}(z) \notin X$이므로 $z\notin Y$가 되어 $f(z)\ne 1$이고 $f(z)\in 2 = \{ 0,1\}$임에 따라 $g(z) = 0=f(z)$이고

$g(z) = 1$일때 $\phi^{-1}(z) \in X$이므로 $\phi^{-1}(z) = \phi^{-1}(y)$인 $y\in Y$가 존재하여

단사의 정의로 $z=y\in Y$이고 $g(z) = 1 = f(y) = f(z)$임에 따라 $f =g = \psi(X)$이므로 $\psi$는 전사이다.

따라서 집합의 크기 정리로 $|A|$는 기수이므로 집합의 크기 정리와 기수 거듭제곱의 정의로 $|\mathcal{P}(A)| = |\mathcal{F}|= 2^{|A|}$이다.

2.

1번과 기수 정리로 $|\mathcal{P}(\kappa)| = 2^{|\kappa|}= 2^\kappa$이다.

3.

2번과 따름기수 정리로 $\kappa\!+\!+\underline{\in} |\mathcal{P}(\kappa)|=2^\kappa$이다.

 

 

 

정리13

유리수집합 $\mathbb{Q}$와 실수집합 $\mathbb{R}$과 자연수 $2\in \mathbb{N}$와 $n\ge 1$인 모든 $n\in \mathbb{N}$과 기수 거듭제곱에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathbb{R}$의 크기는 $|\mathbb{R}| = 2^\mathbb{N}$이다.

2. $\mathbb{N}\underline{\in} |A|$인 임의의 집합 $A$의 $n$-데카르트곱 $A^n$의 크기는 $|A^n| =|A| = |A|^n$이다.

3. 임의의 집합 $A$에 대해 $|A^n|= |A|^n$이다.

4. $|\mathbb{R}^n| = 2^\mathbb{N}$

5. $|\mathbb{Q}^n| = \mathbb{N}$

증명

1.

$\mathbb{Q}$의 멱집합이 $\mathcal{P}(\mathbb{Q})$일때 모든 $a \in \mathbb{R}$에 대해 $\phi(a) = \{ x\in \mathbb{Q} : x< a\}$인 함수 $\phi: \mathbb{R}\to \mathcal{P}(\mathbb{Q})$는

$a\ne b$인 임의의 $a,b\in \mathbb{R}$가 일반성을 잃지 않고 $a<b$라고 가정할때

조밀성으로 $a< r < b$인 $r\in \mathbb{Q}$이 존재하여 $r\notin \phi(a)$이고 $r\in \phi(b)$임에 따라 $\phi(a)\ne \phi(b)$이므로

단사 정리로 $\phi$는 단사이고 위 정리와 위 정리와 집합의 크기 정리로 $|\mathbb{R}|\underline{\in} |\mathcal{P}(\mathbb{Q})| = 2^{|\mathbb{Q}|} = 2^\mathbb{N}$이다.

$\mathbb{N}$에서 $2$로의 함수들의 집합이 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\mathbb{N}\times 2)$일때 임의의 $f\in \mathcal{F}$에 대해 실수열 $\displaystyle \left (\sum_{k=0}^n  \dfrac{f(k)}{3^k}\right )_{n=0}^\infty$을 정의하면

실수열 $\displaystyle \left ( \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{3^k}\right )_{n=0}^\infty$은 급수 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left ( \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{3^k}\right ) = \lim_{n\to \infty} \left ( \sum_{k=0}^n\left (\dfrac{1}{3}\right )^k\right ) = \dfrac{1}{1-\frac{1}{3}} =  \dfrac{1}{\frac{2}{3}} = \dfrac{3}{2}$이고

급수 정리로 $\displaystyle \sup \left \{ \sum_{k=0}^n\dfrac{1}{3^k} : n\in \mathbb{N}  \right \} = \lim_{n\to \infty}\left( \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{3^k} \right) = \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{3^k}$이므로

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 자연수 정리로 $f(n) \in 2 = \{0,1\}$임에 따라 $0\le f(n) \le 1$이 되어

상한의 정의로 $\begin{align*} 0\le \sum_{k=0}^n \dfrac{f(k)}{3^k} \le \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{3^k} \le \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{3^k}=\dfrac{3}{2} \end{align*}$이고 급수 정리로 $\displaystyle \left (\sum_{k=0}^n  \dfrac{f(k)}{3^k}\right )_{n=0}^\infty$은 수렴하므로

함수 $\psi:\mathcal{F}\to \mathbb{R}$를 $\psi(f) = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \dfrac{f(k)}{3^k}$로 정의한다.

$f\ne g$인 임의의 $f,g\in \mathcal{F}$는 정렬성으로 $f(m) \ne g(m)$인 최소 $m\in \mathbb{N}$이 존재하므로

$k<m$인 모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $f(k) = g(k)$가 되어 $\displaystyle \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{f(k)}{3^k} = \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{g(k)}{3^k}$이고

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $\displaystyle 0\le \sum_{k=m+1}^n \dfrac{f(k)}{3^k}\le \sum_{k=m+1}^n\dfrac{1}{3^k}  \le \sum_{k=0}^n\dfrac{1}{3^k}\le \dfrac{3}{2}$와 $\displaystyle 0\le \sum_{k=m+1}^n \dfrac{g(k)}{3^k}\le \dfrac{3}{2}$가 성립하므로

급수 정리로 $\displaystyle \left (\sum_{k=m+1}^n  \dfrac{f(k)}{3^k}\right )_{n=0}^\infty$와 $\displaystyle \left (\sum_{k=m+1}^n  \dfrac{g(k)}{3^k}\right )_{n=0}^\infty$와 $\displaystyle \left (\sum_{k=m+1}^n  \dfrac{1}{3^k}\right )_{n=0}^\infty$는 수렴하여

수열 정리로 $\displaystyle  \sum_{k=m+1}^\infty \dfrac{f(k)}{3^k}\le \sum_{k=m+1}^\infty \dfrac{1}{3^k} $이고 수열 정리로 $\displaystyle 0\le \sum_{k=m+1}^\infty \dfrac{g(k)}{3^k}$이다.

일반성을 잃지 않고 $f(m) < g(m)$이라고 가정하면 $f(m) = 0 < 1 = g(m)$이 되어

$\displaystyle  \psi(f) = \sum_{k=0}^\infty\dfrac{f(k)}{3^k} = \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{f(k)}{3^k} + \dfrac{f(m)}{3^m} + \sum_{k=m+1}^\infty\dfrac{f(k)}{3^k} = \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{f(k)}{3^k} + \sum_{k=m+1}^\infty \dfrac{f(k)}{3^k}$이고 

$\displaystyle  \psi(g) = \sum_{k=0}^\infty\dfrac{g(k)}{3^k} = \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{g(k)}{3^k} + \dfrac{g(m)}{3^m} + \sum_{k=m+1}^\infty\dfrac{g(k)}{3^k} = \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{g(k)}{3^k} + \dfrac{1}{3^m} + \sum_{k=m+1}^\infty \dfrac{g(k)}{3^k}$이므로

급수 정리와 급수 정리로

$\begin{align*} \psi(f)& = \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{f(k)}{3^k} + \sum_{k=m+1}^\infty \dfrac{f(k)}{3^k} \\[0.5em] & \le \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{f(k)}{3^k} + \sum_{k=m+1}^\infty \dfrac{1}{3^k} \\[0.5em] & \qquad =\sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{f(k)}{3^k} + \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{3^k} - \sum_{k=0}^m \dfrac{1}{3^k} \\[0.5em] & \qquad = \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{f(k)}{3^k} + \dfrac{3}{2} - \dfrac{1- \frac{1}{3^{m+1}}}{1-\frac{1}{3}} \\[0.5em] & \qquad = \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{f(k)}{3^k} + \dfrac{3}{2} - \dfrac{3}{2}\cdot \left (1- \dfrac{1}{3^{m+1}} \right ) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{f(k)}{3^k} + \dfrac{3}{2} \cdot \left ( 1 -1+ \dfrac{1}{3^{m+1}} \right ) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{f(k)}{3^k} + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3^{m+1}} \\[0.5em] & \qquad = \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{f(k)}{3^k} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3^m} \\[0.5em] & \lt \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{f(k)}{3^k} + \dfrac{1}{3^m} = \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{g(k)}{3^k} + \dfrac{1}{3^m} \\[0.5em] & \le \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{g(k)}{3^k} + \dfrac{1}{3^m} + \sum_{k=m+1}^\infty \dfrac{g(k)}{3^k} = \psi(g) \text{ 임에 따라} \end{align*}$

$\psi$는 단사이고 기수 거듭제곱의 정의와 위 정리로 $2^\mathbb{N} = |\mathcal{F}| \underline{\in} |\mathbb{R}|$이 되어 $|\mathbb{R}| = 2^\mathbb{N}$이다.

2.

$\mathbb{N}\underline{\in} |A|$이므로 기수 정리로 $A$는 무한집합이 되어 $|A|$도 무한집합이다.

$n\ge 1$인 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $|A^n| = |A|$임을 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$이면 $n$-데카르트곱의 정의로 $|A^n| = |A^1| =|A|$이다.

$k\ge 1$인 모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $|A^k| =|A|$라고 가정하면

$k+1$-데카르트곱의 정의와 기수 곱셈의 정의와 집합의 크기 정리와 위 정리로

$|A^{k+1}| = |A^k \times A| = ||A^k|\times |A|| = |A^k|\otimes |A| = |A|\otimes |A| =|A|$이다.

따라서 $\mathbb{N}\underline{\in} |A|$이면 $n\ge 1$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $|A^n| =|A|$이고 기수 정리와 위 정리로 $|A^n| =|A| = |A|^n$이다.

3.

$|A|\in \mathbb{N}$이면 기수 정리와 $n$-데카르트곱 정리와 위 정리로 $|A^n| = |A|^n$이고 $\mathbb{N}\underline{\in} |A|$이면 2번으로 $|A^n| = |A|^n$이다.

4.

위 정리와 1번으로 $\mathbb{N}\in 2^\mathbb{N} = |\mathbb{R}|$이므로 2번으로 $|\mathbb{R}^n| = |\mathbb{R}| = 2^\mathbb{N}$이다.

5.

유리수집합 정리로 $|\mathbb{Q}|= \mathbb{N}$이므로 2번으로 $|\mathbb{Q}^n| =|\mathbb{Q}|= \mathbb{N}$이다.

 

 

 

정리14

임의의 집합 $A,B$의 크기가 $|A|,|B|$일때 기수 거듭제곱 $|A|^{|B|}$와 $\mathcal{F} = \{ f \in \mathcal{P}(B\times A) : \text{함수 }f:B\to A\}$와

$\mathcal{G} = \{ g \in \mathcal{P}(|B|\times A) : \text{함수 }g:|B|\to A\}$와 $\mathcal{H} = \{ h \in \mathcal{P}(B\times |A|) : \text{함수 }h:B\to |A|\}$에 대해

$|A|^{|B|} = |\mathcal{F}| = |\mathcal{G}| = |\mathcal{H}|$이다.

증명

기수 거듭제곱의 정의로 $|A|^{|B|} = | \{f \in \mathcal{P}(|B|\times |A|) : \text{함수 }f:|B|\to |A| \}|$이고

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $\phi : A\to |A|$와 전단사함수 $\psi :B\to |B|$가 존재하므로

역함수 정리로 $\phi$의 역함수 $\phi^{-1}:|A|\to A$과 $\psi$의 역함수 $\psi^{-1} :|B|\to B$이 존재하여 $\phi^{-1},\psi^{-1}$은 전단사이다.

임의의 $f\in \mathcal{F}$는 $f:B\to A$인 함수이므로 $G(f) = f\circ \psi^{-1} : |B|\to A$인 함수 $G:\mathcal{F}\to \mathcal{G}$를 정의하면

$f_1\circ \psi^{-1}=G(f_1) = G(f_2) = f_2\circ \psi^{-1}$인 모든 $f_1,f_2\in \mathcal{F}$에 대해

역함수의 정의와 함수의 상등으로 $f_1 = f_1\circ \psi^{-1}\circ \psi = f_2\circ \psi^{-1}\circ \psi = f_2$가 되어 $G$는 단사이다.

임의의 $g\in \mathcal{G}$는 $g :|B|\to A$인 함수이므로

$g\circ \psi : B\to A$는 $g\circ \psi\in \mathcal{F}$가 되어 $G(g\circ \psi) = g\circ \psi \circ \psi^{-1} = g$임에 따라 $G$는 전사이다.

$G$는 전단사이므로 집합의 크기 정리로 $|\mathcal{F}| = |\mathcal{G}|$이다.

임의의 $f\in \mathcal{F}$는 $f:B\to A$인 함수이므로 $H(f) = \phi \circ f : B\to |A|$인 함수 $H:\mathcal{F}\to \mathcal{H}$를 정의하면

$\phi\circ  f_1=H(f_1) = H(f_2) =\phi \circ f_2$인 모든 $f_1,f_2\in \mathcal{F}$에 대해

역함수의 정의와 함수의 상등으로 $f_1=\phi^{-1}\circ \phi\circ  f_1 =\phi^{-1} \circ \phi \circ f_2 = f_2$가 되어 $H$는 단사이다.

임의의 $h\in \mathcal{H}$는 $h :B\to |A|$인 함수이므로

$\phi^{-1} \circ h : B\to A$는 $\phi^{-1}\circ h\in \mathcal{F}$가 되어 $H(\phi^{-1}\circ h) = \phi \circ \phi^{-1}\circ h = h$임에 따라 $H$는 전사이다.

$H$는 전단사이므로 집합의 크기 정리로 $|\mathcal{F}| = |\mathcal{H}|$이고 $A,B$가 임의임에 따라 $|A|^{|B|}=|\mathcal{G}|=|\mathcal{F}| = |\mathcal{H}|$이다.

 

 

 

정리15

임의의 기수 $\kappa,\lambda,\sigma$와 자연수 $\emptyset=0\in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\kappa $ $\underline{\in}$ $\lambda$이면 $\kappa^\sigma \underline{\in} \lambda^\sigma$이다.

2. $\kappa \ne 0$일때 $\lambda \underline{\in} \sigma$이면 $\kappa^\lambda \underline{\in} \kappa^\sigma$이다.

3. $\kappa^\sigma \in \lambda^\sigma$이면 $\kappa \in \lambda$이다.

4. $\kappa \ne 0$일때 $\kappa^\lambda \in \kappa^\sigma$이면 $\lambda \in \sigma$이다.

증명

1.

$\kappa\underline{\in}\lambda$이므로 기수 정리로 단사함수 $\phi :\kappa\to \lambda$가 존재하여

$\mathcal{F} = \{ f\in \mathcal{P}(\sigma \times \kappa) : \text{함수 }f:\sigma\to \kappa\}$이고 $\mathcal{G} = \{ g\in \mathcal{P}(\sigma \times \lambda) : \text{함수 }g:\sigma\to \lambda\}$일때

모든 $f\in \mathcal{F}$에 대해 $\psi(f) = \phi \circ f$인 함수 $\psi : \mathcal{F}\to \mathcal{G}$를 정의하면 

임의의 $f_1,f_2\in \mathcal{F}$에 대해 $\phi\circ f_1=\psi(f_1) = \psi(f_2) = \phi \circ f_2$일때 모든 $x\in \sigma$에 대해

$\phi(f_1(x)) = (\phi\circ f_1)(x) = (\phi\circ f_2)(x) = \phi(f_2(x))$이므로 단사의 정의로 $f_1(x) =f_2(x)$임에 따라 $f_1 = f_2$이고

$\psi$는 단사가 되어 기수 거듭제곱의 정의와 위 정리로 $\kappa^\sigma =|\mathcal{F}|\underline{\in}|\mathcal{G}| = \lambda^\sigma$이다.

2.

$\lambda = \emptyset = 0$이면 위 정리로 $\kappa^\lambda = \kappa^0 = 1$이고 $\kappa\ne 0$이므로 위 정리로 $\kappa^\sigma\ne 0$이 되어 $\kappa^\lambda = \kappa^0 = 1\underline{\in} \kappa^\sigma$이다.

$\lambda \ne \emptyset$이면 $\lambda \underline{\in} \sigma$임에 따라 기수 정리로 단사함수 $\phi:\lambda \to \sigma$가 존재하여

모든 $x\in \lambda$에 대해 $\varphi(x) = \phi(x)$인 함수 $\varphi:\lambda\to \phi(\lambda)$는 함수 정리로 전단사이므로

역함수 정리로 $\varphi$의 역함수 $\varphi^{-1} : \phi(\lambda)\to \lambda$가 존재하고 $\varphi^{-1}$은 전단사이다.

$\mathcal{F} = \{ f\in \mathcal{P}(\lambda\times \kappa) : \text{함수 }f:\lambda \to \kappa\}$이고 $\mathcal{G} = \{ g\in \mathcal{P}(\sigma \times \kappa) : \text{함수 }g:\sigma\to \kappa\}$일때

$\lambda \ne \emptyset$이므로 $\alpha\in \lambda$가 존재함에 따라

모든 $f\in \mathcal{F}$와 모든 $y\in \sigma$에 대해 $g_f(y) =\begin{cases} f(\varphi^{-1}(y)) & y\in \phi(\lambda)\text{ 일때} \\[0.5em] f(\alpha) & y\notin \phi(\lambda)\text{ 일때} \end{cases}$인 함수 $g_f :\sigma \to \kappa$는 $g_f\in \mathcal{G}$이고

모든 $f\in \mathcal{F}$에 대해 $\psi(f) = g_f$인 함수 $\psi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$가 모든 $f_1,f_2\in \mathcal{F}$에 대해 $g_1 = \psi(f_1) = \psi(f_2) = g_2$이면

모든 $x\in \lambda$에 대해 전사의 정의로 $x = \varphi^{-1}(y)$인 $y\in \phi(\lambda)$가 존재함에 따라

$f_1(x) = f_1(\varphi^{-1}(y))=g_1(y) = g_2(y)= f_2(\varphi^{-1}(y)) = f_2(x)$이므로 $f_1 = f_2$이고

$\psi$는 단사가 되어 기수 거듭제곱의 정의와 위 정리로 $\kappa^\lambda =|\mathcal{F}|\underline{\in}|\mathcal{G}| = \kappa^\sigma$이다.

3.

기수는 순서수이므로 $\kappa^\sigma \in \lambda^\sigma$일때 $\lambda \underline{\in} \kappa$라고 가정하면

1번으로 $\lambda^\sigma \underline{\in} \kappa^\sigma$가 되어 순서수 정리에 모순임에 따라 $\kappa^\sigma \in \lambda^\sigma$이면 $\kappa \in \lambda$이다.

4.

기수는 순서수이므로 $\kappa^\lambda \in \kappa^\sigma$일때 $\sigma \underline{\in}\lambda$라고 가정하면

2번으로 $\kappa^\sigma \underline{\in} \kappa^\lambda$가 되어 순서수 정리에 모순임에 따라 $\kappa^\lambda \in \kappa^\sigma$이면 $\lambda \in \sigma$이다.

 

 

 

정리16

임의의 기수 $\kappa,\lambda$와 자연수 $\emptyset=0\in \mathbb{N}$과 임의의 집합 $A,B$의 크기 $|A|,|B|$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\kappa\ne 0$일때 $\kappa $ $\underline{\in}$ $\lambda$이면 전사함수 $\varphi : \lambda\to \kappa$가 존재한다.

2. 전사함수 $\varphi : \lambda\to \kappa$가 존재하면 $\kappa \underline{\in}\lambda$이다.

3. $A\ne \emptyset$일때 $|A|\underline{\in} |B|$이면 전사함수 $\varphi : B\to A$가 존재한다.

4. 전사함수 $\varphi : B\to A$가 존재하면 $|A|\underline{\in} |B|$이다.

5. 임의의 함수 $f: A\to B$와 임의의 $E\subseteq A$에 대해 $|f(E)|\underline{\in}|E|$이다.

증명

1, 2

$\kappa\ne 0$일때 $\kappa\underline{\in}\lambda $이면 기수 정리로 단사함수 $\phi :\kappa\to \lambda$가 존재하여

모든 $x\in \kappa$에 대해 $\psi(x) = \phi(x)$인 함수 $\psi:\kappa\to \phi(\kappa)$는 함수 정리로 전단사이므로

역함수 정리로 $\psi$의 역함수 $\psi^{-1} : \phi(\kappa)\to \kappa$이 존재하고 $\psi^{-1}$은 전단사이다.

$\kappa \ne \emptyset$이므로 $\alpha\in \kappa$가 존재함에 따라

모든 $y\in \lambda$에 대해 $\varphi(y) =\begin{cases} \psi^{-1}(y) & y\in \phi(\kappa)\text{ 일때} \\[0.5em] \alpha & y\notin \phi(\kappa)\text{ 일때} \end{cases}$인 함수 $\varphi :\lambda \to \kappa$를 정의할때

모든 $x\in \kappa$에 대해 전사의 정의로 $x = \psi^{-1}(y)$인 $y\in \phi(\kappa)$가 존재하여 $\varphi(y) = \psi^{-1}(y) = x$이므로 $\varphi$는 전사이다.

전사함수 $\varphi : \lambda\to \kappa$가 존재하면

모든 $x\in \kappa$에 대해 전사의 정의로 $x = \varphi(y)$인 $y\in \lambda$가 존재하여 $\varphi(y)\in \{ x\}$이고 $y\in \varphi^{-1}(\{ x\})$이므로 

선택 정리로 $\phi(x) = y\in \varphi^{-1}(\{ x\})$인 함수 $\phi :\kappa\to \lambda$가 존재하고 임의의 $x_1,x_2\in X$에 대해 

$\phi(x_1)\in \varphi^{-1}(\{ x_1\})$이 되어 $\varphi(\phi(x_1)) \in \{ x_1\}$이므로 $\varphi(\phi(x_1)) = x_1$이고

$\phi(x_2)\in \varphi^{-1}(\{ x_2\})$가 되어 $\varphi(\phi(x_2)) \in \{ x_2\}$이므로 $\varphi(\phi(x_2)) = x_2$임에 따라 $\phi(x_1) = \phi(x_2)$일때

$x_1 = \varphi(\phi(x_1)) = \varphi(\phi(x_2)) = x_2$가 되어 $\phi$는 단사이므로 기수 정리로 $\kappa\underline{\in}\lambda $이다.

3, 4

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $\phi:A\to |A|$와 전단사함수 $\psi:B\to |B|$가 존재하므로

역함수 정리로 $\phi$의 역함수 $\phi^{-1}:|A|\to A$과 $\psi$의 역함수 $\psi^{-1}:|B|\to B$이 존재하고 $\phi^{-1},\psi^{-1}$은 전단사이다.

$A\ne \emptyset$이므로 집합의 크기 정리로 $|A|\ne  0$이다.

$A\ne \emptyset$일때 $|A|\underline{\in}|B|$이면

집합의 크기 정리와 1번으로 전사함수 $\varphi : |B| \to |A|$가 존재하여 함수 정리로 $\phi^{-1} \circ \varphi \circ \psi : B\to A$는 전사이다.

전사함수 $\varphi : B\to A$가 존재하면

함수 정리로 $\phi\circ \varphi \circ \psi^{-1} : |B|\to |A|$은 전사이므로 집합의 크기 정리와 2번으로 $|A|\underline{\in}|B|$이다.

5.

모든 $x\in E$에 대해 $g(x) = f(x)$인 함수 $g:E\to f(E)$를 정의하면

$g(E) = f(E)$임에 따라 함수 정리로 $g$는 전사이고 2번으로 $|f(E)| \underline{\in} |E|$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/105#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/105#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Ernest Schimmerling - A Course on Set Theory - 9781107400481

You-Feng Lin - Set Theory : An Intuitive Approach - 9788961053778