음함수 정리(Implicit function theorem)

정리1

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 $n\in\mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(F^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고

임의의 $p \in $ $[1,\infty]$에 대한 $n $차원 민코프스키 거리공간이 $(F^n,d_p)$이면

임의의 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in F^n$에 대해 $\lVert x \rVert_p = d_p(x,\vec{0}_n)$인 함수 $\lVert \cdot \rVert_p:F^n\to [0,\infty)$가 노름인

$(F^n,\lVert\cdot\rVert_p)$는 $(F^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 노름공간이다.

증명

임의의 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n) ,y = (y_1,y_2,\cdots,y_n)\in F^n$ 에 대해 $(F^n,d_p)$는 민코프스키 거리공간이므로

$p \in [1,\infty)$이면

$d_p(x+_ny,y) = \displaystyle \left (\sum_{i=1}^n |(x_i+ y_i) - y_i |^p \right )^{\frac{1}{p}} = \left ( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p} = d_p(x,\vec{0}_n) = \lVert x\rVert_p$이고

$p =\infty$이면

$d_\infty(x+_ny,y) = \max \{ |(x_i+y_i) - y_i| : i= 1,2,\cdots, n \} = \max \{|x_i| : i= 1,2,\cdots,n \} = d_\infty(x,\vec{0}_n) = \lVert x\rVert_\infty \text{ 이다.}$

임의의 $p\in [1,\infty]$에 대해 $(F^n,d_p)$는 거리공간이므로

$\lVert x +_n y \rVert_p = d_p(x+_n y,\vec{0}_n) \le d_p(x+_ny,y) + d_p(y,\vec{0}_n) = \lVert x\rVert_p + \lVert y\rVert_p$이고

$x\ne \vec{0}_n$이면 $\lVert x\rVert_p = d_p(x,\vec{0}_n) > 0$이다.

임의의 $c\in F$에 대해

$p\in [1,\infty)$이면 절댓값 정리와 실수 거듭제곱 정리와 실수 거듭제곱 정리로

$\lVert c\cdot_n x \rVert_p = \displaystyle \left (\sum_{i=1}^n|c\cdot x_i|^p \right )^\frac{1}{p} = \left (\sum_{i=1}^n|c|^p\cdot |x_i|^p \right )^\frac{1}{p} = \left ( |c|^p\cdot \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p} = (|c|^p)^\frac{1}{p}\cdot \left (\sum_{i=1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p} = |c|\cdot \lVert x \rVert_p \text{ 이고}$

$p =\infty$이면 절댓값 정리와 상한정리와 최대원소 정리로

$\lVert c\cdot_n x\rVert_\infty = \max \{ |c\cdot x_i| : i= 1,2,\cdots, n \} = \max \{|c|\cdot |x_i| : i= 1,2,\cdots,n \} = |c|\cdot \max\{|x_i|:i=1,2,\cdots, n\} = |c|\cdot \lVert x\rVert_\infty \text{ 이다.}$

따라서 $(F^n,\lVert\cdot\rVert_p)$는 $(F^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 노름공간이다.

 

 

 

정리2

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간이 $(V,\lVert\cdot \rVert)$이고

모든 $x,y\in V$에 대해 $d(x,y) = \lVert x-y\rVert$인 거리함수 $d:V\times V\to [0,\infty)$에 대해 거리공간이 $(V,d)$일때

임의의 $U\subseteq V$가 $(V,d)$에서 열린집합이면 $(V,d)$의 부분거리공간 $(U,d)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x_0\in U$와 모든 $r\in $ $(0,\infty)$에 대해 열린공의 폐포는 닫힌공 $\underset{(U,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(U,d)}{B}(x_0,r)) = \underset{(U,d)}{B}[x_0,r]$이다.

2. 모든 $x_0\in U$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 닫힌공의 내부는 열린공 $\underset{(U,d)}{\operatorname{int}}(\underset{(U,d)}{B}[x_0,r]) = \underset{(U,d)}{B}(x_0,r)$이다.

3. 열린공과 닫힌공의 경계는 $\underset{(U,d)}{\partial}(\underset{(U,d)}{B}(x_0,r)) = \{ x\in U: d(x_0,x) =r \} =\underset{(U,d)}{\partial}(\underset{(U,d)}{B}[x_0,r])$이다.

증명

1.

거리공간 정리로 $\underset{(U,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(U,d)}{B}(x_0,r)) \subseteq \underset{(U,d)}{B}[x_0,r]$이다.

임의의 $x\in \underset{(U,d)}{B}[x_0,r]$는 $d(x_0,x)\le r$이므로

$d(x_0,x)< r$이면 폐포정리와 열린공의 정의로 $x\in \underset{(U,d)}{B}(x_0,r)\subseteq \underset{(U,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(U,d)}{B}(x_0,r))$이다.

$d(x_0,x)= r$이면

$x\in U$이므로 열린집합 정리로 $\underset{(V,d)}{B}(x,r_x)\subseteq U$인 $r_x>0$가 존재하여

임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $t = \min\{ \frac{r_x}{2\cdot r}, \frac{\epsilon}{2\cdot r}, 1 \} \in (0,1]$일때 $(1-t)\cdot_V x +_V  t\cdot_V x_0$는 노름의 정의로

$d((1-t)\cdot_V x +_V t\cdot_V x_0,x) = \lVert (1-t)\cdot_V x+_V t\cdot_V x_0 - x\rVert = \lVert t\cdot_V (x_0-x)\rVert = |t|\cdot \lVert x_0-x\rVert = t\cdot d(x_0,x) = t\cdot r \text{ 이므로}$

$d((1-t)\cdot_V x +_V t\cdot_V x_0,x) = t\cdot r \le \dfrac{r_x}{2\cdot r}\cdot r = \dfrac{r_x}{2}<r_x$가 되어

$(1-t)\cdot_V x +_V t\cdot_V x_0 \in \underset{(V,d)}{B}(x,r_x)\subseteq U$이고 $d((1-t)\cdot_V x +_V t\cdot_V x_0,x) = t\cdot r \le \dfrac{\epsilon}{2\cdot r}\cdot r = \dfrac{\epsilon}{2}<\epsilon$이다.

$(1-t)\cdot_V x+_V t\cdot_V x_0 =x$라고 가정하면 $t\cdot_V x_0 =t\cdot_V x$이고 $t>0$이므로

$x_0 = x$임에 따라 노름의 정의로 $0 =\lVert x_0-x\rVert =d(x_0,x)= r > 0$이 되어 모순이고

$\begin{align*}d((1-t)\cdot_V x +_V t\cdot_V x_0,x_0) = \lVert (1-t)\cdot_V x+_V t\cdot_V x_0 - x_0\rVert = \lVert (1-t)\cdot_V (x- x_0) \rVert =|1-t|\cdot \lVert x-x_0\rVert = (1-t)\cdot r < r\text{ 이므로}\end{align*}$

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $d((1-t)\cdot_V x +_V t\cdot_V x_0,x)<\epsilon$이고

$(1-t)\cdot_V x+_V t\cdot_V x_0 \ne x$인 $(1-t)\cdot_V x+_V t\cdot_V x_0 \in \underset{(U,d)}{B}(x_0,r)$이 존재한다.

따라서 폐포정리와 집적점의 정의로 $x\in \underset{(U,d)}{(\underset{(U,d)}{B}(x_0,r))'}\subseteq\underset{(U,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(U,d)}{B}(x_0,r))$이 되어

$\underset{(U,d)}{B}[x_0,r]\subseteq \underset{(U,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(U,d)}{B}(x_0,r))$이고 집합정리로 $\underset{(U,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(U,d)}{B}(x_0,r)) = \underset{(U,d)}{B}[x_0,r]$이다.

2.

열린공 정리로 $\underset{(U,d)}{B}(x_0,r)$는 $(U,d)$에서 열린집합이고 열린공, 닫힌공의 정의로 $\underset{(U,d)}{B}(x_0,r)\subseteq \underset{(U,d)}{B}[x_0,r]$이므로

내부정리로 $\underset{(U,d)}{B}(x_0,r)=\underset{(U,d)}{\operatorname{int}}(\underset{(U,d)}{B}(x_0,r)) \subseteq \underset{(U,d)}{\operatorname{int}}(\underset{(U,d)}{B}[x_0,r])$이다.

임의의 $x\in \underset{(U,d)}{\operatorname{int}}(\underset{(U,d)}{B}[x_0,r])$는 내부의 정의로 $\underset{(U,d)}{B}(x,r_x)\subseteq \underset{(U,d)}{B}[x_0,r]$인 $r_x>0$가 존재하여 $d(x_0,x)\le r$이고

$x\in U$이므로 열린집합 정리로 $\underset{(V,d)}{B}(x,\delta_x) \subseteq U$인 $\delta_x > 0$가 존재한다.

$d(x_0,x)= r$이라고 가정하면

$\lVert x-x_0\rVert =d(x_0,x)= r>0$이므로 $u = \dfrac{1}{\lVert x-x_0\rVert}\cdot_V (x - x_0)$와 $\delta = \min \{ \frac{r_x}{2},\frac{\delta_x}{2}\} >0$에 대해

$d(x +_V \delta \cdot_V u ,x) = \lVert x+_V \delta\cdot_V u - x\rVert = \lVert \delta \cdot_V u\rVert = |\delta|\cdot \lVert u\rVert = \delta$임에 따라

$d(x +_V \delta \cdot_V u ,x) =  \delta\le \dfrac{\delta_x}{2}<\delta_x$가 되어 $x+_V \delta\cdot_V u \in \underset{(V,d)}{B}(x,\delta_x)\subseteq U$이고

$d(x +_V \delta \cdot_V u ,x) =  \delta\le \dfrac{r_x}{2}<r_x$이므로 $x+_V \delta\cdot_V u \in \underset{(U,d)}{B}(x,r_x)\subseteq \underset{(U,d)}{B}(x_0,r)$인데 노름의 정의로

$\begin{align*} r > d(x+_V \delta\cdot_V u,x_0) &= \lVert x+_V \delta\cdot_V u - x_0\rVert \\[0.5em]& =\left \lVert x+_V \frac{\delta}{\lVert x-x_0\rVert}\cdot_V (x-x_0) - x_0 \right \rVert \\[0.5em]& = \left \lVert (x-x_0)+_V \frac{\delta}{\lVert x-x_0\rVert}\cdot_V (x-x_0) \right \rVert \\[0.5em]& = \left \lVert \left (1+\frac{\delta}{\lVert x-x_0\rVert}\right )\cdot_V (x-x_0) \right \rVert \\[0.5em]& = \left |1+\frac{\delta}{\lVert x-x_0\rVert} \right | \cdot \lVert x-x_0\rVert \\[0.5em]& = \left (1+\frac{\delta}{r}\right )\cdot r \\[0.5em]& \gt r\text{ 이 되어 모순이다.} \end{align*}$

따라서 $d(x_0,x)< r$이므로 $x\in \underset{(U,d)}{B}(x_0,r)$가 되어 $\underset{(U,d)}{\operatorname{int}}(\underset{(U,d)}{B}[x_0,r])\subseteq \underset{(U,d)}{B}(x_0,r)$이고 

집합정리로 $\underset{(U,d)}{\operatorname{int}}(\underset{(U,d)}{B}[x_0,r]) = \underset{(U,d)}{B}(x_0,r)$이다.

3.

경계정리와 1번과 내부정리와 열린공, 닫힌공의 정의로

$\underset{(U,d)}{\partial}(\underset{(U,d)}{B}(x_0,r)) = \underset{(U,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(U,d)}{B}(x_0,r)) \setminus \underset{(U,d)}{\operatorname{int}}(\underset{(U,d)}{B}(x_0,r)) = \underset{(U,d)}{B}[x_0,r]\setminus \underset{(U,d)}{B}(x_0,r) = \{ x\in U : d(x_0,x) = r\} \text{ 이고}$

경계정리와 닫힌공 정리와 폐포정리와 2번과 열린공, 닫힌공의 정의로

$\underset{(U,d)}{\partial}(\underset{(U,d)}{B}[x_0,r]) = \underset{(U,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(U,d)}{B}[x_0,r]) \setminus \underset{(U,d)}{\operatorname{int}}(\underset{(U,d)}{B}[x_0,r]) = \underset{(U,d)}{B}[x_0,r]\setminus \underset{(U,d)}{B}(x_0,r) = \{ x\in U : d(x_0,x) = r\} \text{ 이므로}$

$\underset{(U,d)}{\partial}(\underset{(U,d)}{B}(x_0,r)) = \{ x\in U: d(x_0,x) =r \} =\underset{(U,d)}{\partial}(\underset{(U,d)}{B}[x_0,r])$이다.

 

 

 

정리3

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간이 $(V,\lVert\cdot \rVert)$이고

모든 $x,y\in V$에 대해 $d(x,y) = \lVert x-y\rVert$인 거리함수 $d:V\times V\to [0,\infty)$에 대해 거리공간이 $(V,d)$일때

임의의 거리공간 $(X,d_X)$에 대해 함수 $f: X\to V$가 $(X,d_X)$에서 $(V,d)$로의 연속함수이면

임의의 $v_0\in V$에 대해 모든 $x\in X$가 $\phi(x) = \lVert  f(x) +_V v_0\rVert$인 함수 $\phi : X\to \mathbb{R}$는

$(X,d_X)$에서 $1$차원 유클리드거리공간 $(\mathbb{R},d_2)$로의 연속함수이다.

증명

연속함수의 정의로 임의의 $x_0\in X$과 모든 $\epsilon >0$에 대해

$d_X(x,x_0)<\delta(\epsilon)$인 모든 $x\in X$가 $\lVert f(x) - f(x_0)\rVert =d(f(x),f(x_0))<\epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon)>0$이 존재하여

노름정리와 절댓값 정리로

$d_2(\phi(x),\phi(x_0)) = |\phi(x) - \phi(x_0)|= \left |\lVert f(x) +_V v_0\rVert - \lVert f(x_0)+_V v_0\rVert \right |\le \lVert (f(x)+_Vv_0) - (f(x_0)+_V v_0)\rVert = \lVert f(x)-f(x_0)\rVert <\epsilon \text{ 이므로}$

$\phi$는 $(X,d_X)$에서 $(\mathbb{R},d_2)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정의1

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$이고

모든 $x,y\in \mathbb{R}^n$에 대해 $d_n(x,y) = \lVert x-y\rVert_n$인 거리함수 $d_n : \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \to [0,\infty)$일때

거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U\subseteq \mathbb{R}^n$가 정의역인 함수 $f:U \to \mathbb{R}^n$에 대해

임의의 $x_0\in U$에서 $f$의 편도함수 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0),\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x_0) \in \mathbb{R}^n$이 존재하면

모든 $x\in U$가 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x))$인 함수 $f_1,f_2,\cdots, f_n :U\to \mathbb{R}$과

모든 $i,j = 1,2,\cdots, n$에 대해 편도함수 정리로 $x_0$에서 $f_i$의 편도함수 $\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)\in \mathbb{R}$가 존재하므로

행렬식 $Jf(x_0) = \det ( \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(x_0) & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}(x_0) & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(x_0) \\ \dfrac{\partial f_2}{\partial x_1}(x_0) & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}(x_0) & & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_n}(x_0) \\ \vdots& & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_n}{\partial x_1}(x_0) & \dfrac{\partial f_n}{\partial x_2}(x_0) & \cdots & \dfrac{\partial f_n}{\partial x_n}(x_0) \end{bmatrix})$을 $x_0$에서 $f$의 야코비안으로 정의한다.

$U$에서 $f$의 편도함수 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}},\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}},\cdots,\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}} : U\to \mathbb{R}^n$이 존재하면 

모든 $x\in U$에서 $f$의 야코비안 $Jf(x)$을 함수 $Jf: U\to \mathbb{R}$로 정의하고 $U$에서 $f$의 야코비안이라 한다.

$f$가 $x_0$에서 미분가능하면

벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 순서기저 $\beta$에 대한

$x_0$에서 $f$의 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$의 행렬표현 $[Df(x_0)]_\beta\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$은 야코비 행렬이므로 

선형변환의 행렬식의 정의로 $x_0$에서 $f$의 야코비안은 $Jf(x_0) = \det([Df(x_0)]_\beta )= \det( Df(x_0))$이다.

 

 

 

정리4

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$일때

임의의 $U\subseteq \mathbb{R}^n$가 위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이면

모든 $x\in U$에 대해 $f(x) = x$인 함수 $f:U\to \mathbb{R}^n$는 임의의 $x_0 \in U$에서 미분가능하고

$x_0$에서 $f$의 도함수 $Df(x_0):\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$은 모든 $h\in \mathbb{R}^n$에 대해 $Df(x_0)(h) = h$이다.

또 벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 순서기저가 $\beta = (e_1,e_2,\cdots, e_n)$일때

임의의 $j=1,2,\cdots, n$에 대해 $f$의 편도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial x_i} : U\to \mathbb{R}^n$는 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j} (x_0) = e_j$이다.

증명

모든 $h\in \mathbb{R}^n$에 대해 $L(h) = h$인 함수 $L:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$은 선형변환 정리로 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 선형연산자이므로

선형변환 정리와 도함수의 정의와 도함수 정리로 임의의 $x_0 \in U$에 대해 $Df(x_0) = DL(x_0) = L$이다.

모든 $x\in U$에 대해 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x=f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x))\in \mathbb{R}^n$인

함수가 $f_1,f_2,\cdots, f_n:U\to \mathbb{R}$이고 항등행렬이 $I_n\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$일때 모든 $i,j=1,2,\cdots, n$에 대해

행렬표현 정리와 도함수 정리로 $(I_n)_{i,j} =([Df(x_0)]_\beta)_{i,j} = \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)$이므로 편도함수 정리로 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j} (x_0) = e_j$이다.

 

 

 

정리5

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m,p \in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$,$(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$,$(\mathbb{R}^p,+_p,\cdot_p,\vec{0}_p)$에 대해

위 정의에 나온 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1)$, $(\mathbb{R}^n,d_n)$, $(\mathbb{R}^m,d_m)$, $(\mathbb{R}^p,d_p)$이고

정의역이 $E\subseteq \mathbb{R}^n$인 함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$와 $f(E)$ $\subseteq F$인 임의의 $F\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해

함수 $g:F\to \mathbb{R}^p$와 $g_1,g_2,\cdots, g_p:F\to \mathbb{R}$가 모든 $y\in F$에 대해 $g(y) = (g_1(y),g_2(y),\cdots, g_p(y))\in \mathbb{R}^p$이고

임의의 $x_0\in E$과 벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 순서기저 $\beta = (e_1,e_2,\cdots, e_n)$와

임의의 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $0$이 $(\mathbb{R},d_1)$에서 집합 $S_j = \{ t\in \mathbb{R}\setminus \{0\} : x_0 +_n t\cdot_n e_j\in E\}$의 집적점일때

$f$의 편도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하고 $f(x_0)$이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 $F$의 내부점이고 $g$가 $f(x_0)$에서 미분가능하면

모든 $x\in E$에 대해 $(h_1(x),h_2(x),\cdots, h_p(x)) =h(x) = (g $ $\circ$ $f)(x) = g(f(x))$인 함수 $h:E\to \mathbb{R}^p$와

$h_1,h_2,\cdots,h_p:E\to \mathbb{R}$의 편도함수 $\dfrac{\partial h}{\partial x_j}(x_0) = \left ( \dfrac{\partial h_1}{\partial x_j}(x_0),\dfrac{\partial h_2}{\partial x_j}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial h_p}{\partial x_j}(x_0)\right )\in \mathbb{R}^p$가 존재한다.

이때 임의의 $i= 1,2,\cdots, p$에 대해 $g_i$의 기울기가 $\nabla g_i(f(x_0))\in \mathbb{R}^m$이면

$(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$의 점곱 $\bullet$에 대해 $\dfrac{\partial h_i}{\partial x_j}(x_0) = \nabla g_i(f(x_0))\bullet \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)$이다.

증명

$f(x_0)$에서 $g$의 도함수 $Dg(f(x_0)) : \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^p$와 모든 $v \in \mathbb{R}^m$에 대해

미분정리로 $Dg(f(x_0))(v) = (Dg_1(f(x_0))(v),Dg_2(f(x_0))(v),\cdots, Dg_p(f(x_0))(v))\in \mathbb{R}^m$인

$f(x_0)$에서 $g_i$의 도함수 $Dg_i(f(x_0)) :\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$이 존재하므로

도함수의 정의로 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $0<\lVert y-f(x_0)\rVert_m <\delta(\epsilon)$인 모든 $y\in F$가 

$\dfrac{|g_i(y) - g_i(f(x_0)) - Dg_i(f(x_0))(y-f(x_0))|}{\lVert y-f(x_0)\rVert_m}<\epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon)>0$이 존재하여

$\lVert y-f(x_0)\rVert_m <\delta(\epsilon)$인 모든 $y\in F$는 $|g_i(y) - g_i(f(x_0)) - Dg_i(f(x_0))(y-f(x_0))|\le \epsilon\cdot \lVert y-f(x_0)\rVert_m$이고

선형변환 정리로 $| Dg_i(f(x_0))(v)| \le M\cdot \lVert v\rVert_m$인 실수 $M>0$이 존재한다.

편도함수의 정의로 $0<|t|<\eta_1(\epsilon)$인 모든 $t\in S_j$에 대해

$\left \lVert \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) - \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0) \right \rVert_m < \epsilon$이 되는 $\eta_1(\epsilon) > 0$이 존재하고

편도함수 정리와 미분연속성 정리와 연속함수 정리로 $|t|<\eta_2(\delta(\epsilon))$인 모든 $t\in S_j\cup\{ 0\}$가

$\lVert f(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)\rVert_m < \delta(\epsilon)$이 되는 $\eta_2(\delta(\epsilon))>0$이 존재한다.

따라서 $0<|t|<$ $\min$$\{ \eta_1(\epsilon), \eta_2(\delta(\epsilon))\}$인 모든 $t\in S_j$에 대해 도함수 정리와 선형변환 정리와 노름의 정의로

$\begin{align*} & \left | \dfrac{h_i(x_0+_n t\cdot_n e_j) - h_i(x_0)}{t} - \nabla g_i(f(x_0)) \bullet \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0) \right| = \left | \dfrac{g_i(f(x_0+_n t\cdot_n e_j)) - g_i(f(x_0))}{t} - Dg_i(f(x_0)) ( {\textstyle \frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)}) \right| \\[0.5em] & = \left | \dfrac{g_i(f(x_0+_n t\cdot_n e_j)) - g_i(f(x_0))}{t} - Dg_i(f(x_0)) ( {\textstyle \frac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) - \frac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) +_m \frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)} ) \right| \\[0.5em] & \le \left | \dfrac{g_i(f(x_0+_n t\cdot_n e_j)) - g_i(f(x_0))}{t} - \dfrac{1}{t}\cdot Dg_i(f(x_0)) (f(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) \right | + \left |Dg_i(f(x_0)) ( {\textstyle \frac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) - \frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)} ) \right| \\[0.5em] & \le \dfrac{1}{|t|}\cdot \left | g_i(f(x_0+_n t\cdot_n e_j)) - g_i(f(x_0)) - Dg_i(f(x_0)) (f(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) \right | + M\cdot \left \lVert \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) - \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0) \right \rVert_m \\[0.5em] & \le \dfrac{1}{|t|}\cdot \epsilon \cdot \left \lVert f(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)\right \rVert_m+ M\cdot \epsilon \\[0.5em] & \qquad = \epsilon \cdot \left \lVert \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) \right \rVert_m+ M\cdot \epsilon \\[0.5em] & \qquad = \epsilon \cdot \left (\left \lVert \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) - \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0) +_m \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0) \right \rVert_m+ M \right )\\[0.5em] & \le \epsilon \cdot \left (\left \lVert \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) - \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0) \right \rVert_m + \left \lVert \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0) \right \rVert_m + M \right ) \\[0.5em] & \lt \epsilon \cdot \left (\epsilon + \left \lVert \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0) \right \rVert_m +M \right ) \text{ 이므로} \end{align*}$

$\epsilon >0$이 임의임에 따라 $\dfrac{\partial h_i}{\partial x_j}(x_0) = \nabla g_i(f(x_0))\bullet \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)$이 되어

편도함수 정리로 $\dfrac{\partial h}{\partial x_j}(x_0) = \left ( \dfrac{\partial h_1}{\partial x_j}(x_0),\dfrac{\partial h_2}{\partial x_j}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial h_p}{\partial x_j}(x_0)\right )\in \mathbb{R}^p$가 존재한다.

 

 

 

정리6

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 점곱이 $\bullet$이고 점곱의 노름이 $\lVert\cdot \rVert_n$일때

임의의 $U\subseteq \mathbb{R}^n$가 위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이면 임의의 $y\in \mathbb{R}^n$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x\in U$에 대해 $f(x) = (d_n(x,y))^2 = \lVert x-y\rVert_n^2$인 함수 $f:U\to \mathbb{R}$는 임의의 $x_0 \in U$에서 미분가능하고

$x_0$에서 $f$의 도함수 $Df(x_0):\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$은 모든 $h\in \mathbb{R}^n$에 대해 $Df(x_0)(h) = 2\cdot ((x_0 - y)\bullet h)$이다.

또 $x_0$에서 $f$의 기울기 $\nabla f(x_0)\in \mathbb{R}^n$은 $\nabla f(x_0) = 2\cdot_n (x_0-y)$이다.

2. $y\notin U$이면

모든 $x\in U$에 대해 $g(x) = d_n(x,y) = \lVert x-y\rVert_n$인 함수 $g:U\to \mathbb{R}$는 임의의 $x_0 \in U$에서 미분가능하고

$x_0$에서 $g$의 도함수 $Dg(x_0):\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$은 모든 $h\in \mathbb{R}^n$에 대해 $Dg(x_0)(h) =  \dfrac{(x_0 - y)\bullet h}{\lVert x_0-y\rVert_n}$이다.

또 $x_0$에서 $g$의 기울기 $\nabla g(x_0)\in \mathbb{R}^n$은 $\nabla g(x_0) = \dfrac{1}{\lVert x_0-y\rVert_n}\cdot_n (x_0-y)$이다.

3. 임의의 $i= 1,2,\cdots, n$와 임의의 $x_0\in U$에 대해 함수 $\psi : U \to \mathbb{R}^n$의 편도함수 $\dfrac{\partial \psi}{\partial x_i}(x_0)\in \mathbb{R}^n$이 존재하면

모든 $x\in U$에 대해 $\gamma(x) = (d_n(\psi(x),y))^2 = \lVert \psi(x) -y\rVert_n^2$인

함수 $\gamma:U\to \mathbb{R}$의 편도함수 $\dfrac{\partial \gamma}{\partial x_i}(x_0)\in \mathbb{R}$이 존재하고 $\dfrac{\partial \gamma}{\partial x_i}(x_0) = 2\cdot\left ((\psi(x_0)-y)\bullet \dfrac{\partial \psi}{\partial x_i}(x_0)\right)$이다.

증명

1.

임의의 $h\in \mathbb{R}^n$에 대해 $L(h) = 2\cdot ((x_0 - y)\bullet h)$인 함수 $L:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$은 

내적정리로 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 $(\mathbb{R},+_1,\cdot_1,0)$으로의 선형변환이고 모든 $x\in U$에 대해 내적정리와 노름정리로

$\begin{align*} f(x) - f(x_0) - L(x-x_0) &= \lVert x-y\rVert_n^2 - \lVert x_0-y\rVert_n^2 - 2\cdot ((x_0-y)\bullet (x-x_0)) \\[0.5em] &= \lVert x\rVert_n^2 - 2\cdot (x\bullet y) + \lVert y\rVert_n^2 - \lVert x_0\rVert_n^2 + 2\cdot (x_0\bullet y) -\lVert y\rVert_n^2 - 2\cdot ( ((x_0-y)\bullet x) - ((x_0-y)\bullet x_0) ) \\[0.5em] &= \lVert x\rVert_n^2 - 2\cdot (x\bullet y) - (x_0\bullet x_0) + 2\cdot (x_0\bullet y) - 2\cdot ((x_0-y)\bullet x) + 2\cdot ((x_0-y)\bullet x_0) \\[0.5em] &= \lVert x\rVert_n^2 + (x\bullet (-2\cdot_n y)) + (x_0\bullet (-x_0)) + (x_0\bullet (2\cdot_n y)) - 2\cdot (x\bullet (x_0-y)) +2\cdot (x_0 \bullet (x_0-y)) \\[0.5em] &= \lVert x\rVert_n^2 +(x\bullet (- 2\cdot_n y)) + (x_0\bullet (-x_0 + 2\cdot_n y)) + (x\bullet (-2\cdot_n x_0+_n2\cdot_n y)) + (x_0 \bullet (2\cdot_n x_0- 2\cdot_n y)) \\[0.5em] &= \lVert x\rVert_n^2+ (x\bullet (- 2\cdot_n y-2\cdot_n x_0+_n2\cdot_n y)) + (x_0\bullet (-x_0 + 2\cdot_n y+_n 2\cdot_n x_0- 2\cdot_n y)) \\[0.5em] &= \lVert x\rVert_n^2+ (x\bullet (-2\cdot_n x_0)) + (x_0\bullet x_0) \\[0.5em] &= \lVert x\rVert_n^2- 2\cdot (x\bullet x_0) +\lVert x_0\rVert_n^2 \\[0.5em] &= \lVert x -x_0\rVert_n^2 \text{ 이므로} \end{align*}$

모든 $\epsilon > 0$에 대해

$0<\lVert x-x_0\rVert_n <\epsilon$인 모든 $x\in U$가 $\dfrac{|f(x)-f(x_0) - L(x-x_0)|}{\lVert x-x_0\rVert_n} = \dfrac{\lVert x-x_0\rVert_n^2}{\lVert x-x_0\rVert_n} = \lVert x-x_0\rVert_n < \epsilon$이 되어

함수의 극한의 정의와 미분의 정의로 $f$는 $x_0$에서 미분가능하고

$x_0$에서 $f$의 도함수는 모든 $h\in \mathbb{R}^n$에 대해 $Df(x_0)(h) = 2\cdot ((x_0 - y)\bullet h)$이다.

또 기울기 정리로 모든 $h\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\nabla f(x_0)\bullet h=Df(x_0)(h) = 2\cdot ((x_0 - y)\bullet h) = (2\cdot_n (x_0-y))\bullet h$이므로

내적정리로 $\nabla f(x_0) = 2\cdot_n (x_0-y)$이다.

2.

$g(x) = \lVert x-y\rVert_n = 0$인 $x\in U$가 존재한다고 가정하면

노름정리로 $y=x\in U$가 되어 모순이므로 모든 $x\in U$에 대해 $g(x) = \lVert x-y\rVert_n > 0$이다.

1번으로 모든 $x\in U$에 대해 $f(x)  = \lVert x-y\rVert_n^2 = (g(x))^2 > 0$인 $f$는 $x_0$에서 미분가능하고

모든 $t\in $ $(0,\infty)$에 대해 $\phi(t) = t^\frac{1}{2}$인 함수 $\phi:(0,\infty)\to \mathbb{R}$는 거듭제곱 정리와 도함수 정리와 도함수의 정의로 

모든 $c\in (0,\infty)$에서 미분가능하여 $c$에서 $\phi$의 도함수 $D\phi(c) : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$는

모든 $t\in \mathbb{R}$에 대해 $D\phi(c)(t) = \phi'(c)\cdot t = \dfrac{1}{2}\cdot c^{-\frac{1}{2}} \cdot t = \dfrac{1}{2\cdot c^\frac{1}{2}}\cdot t$이다.

따라서 거듭제곱 정리로 모든 $x\in U$에 대해 $(\phi\circ f)(x) = \phi(f(x)) = (f(x))^\frac{1}{2} = ((g(x))^2)^\frac{1}{2} = g(x)$이므로

연쇄법칙과 1번과 거듭제곱 정리로 모든 $h\in \mathbb{R}^n$에 대해

$\begin{align*}Dg(x_0)(h) &= D(\phi\circ f)(x_0)(h) \\[0.5em]&= D\phi(f(x_0))(Df(x_0)(h))\\[0.5em]&=D\phi(f(x_0))(2\cdot ((x_0-y)\bullet h)) \\[0.5em]& = \dfrac{1}{2 \cdot (f(x_0))^\frac{1}{2}}\cdot 2\cdot ((x_0-y)\bullet h) \\[0.5em]&= \dfrac{(x_0-y)\bullet h}{ (\lVert x_0-y\rVert_n^2)^\frac{1}{2}} \\[0.5em]&= \dfrac{(x_0-y)\bullet h}{\lVert x_0-y\rVert_n} \text{ 이다.}\end{align*}$

또 기울기 정리로 모든 $h\in \mathbb{R}^n$에 대해 

$\nabla g(x_0)\bullet h=Dg(x_0)(h) = \dfrac{(x_0 - y)\bullet h}{\lVert x_0-y\rVert_n} = \left ( \dfrac{1}{\lVert x_0-y\rVert_n}\cdot_n (x_0-y)\right )\bullet h $이므로

내적정리로 $\nabla g(x_0) = \dfrac{1}{\lVert x_0-y\rVert_n}\cdot_n (x_0-y)$이다.

3.

모든 $x\in U$에 대해 $\gamma(x) = \lVert \psi(x) -y\rVert_n^2 = f(\psi(x))$이므로 내부점 정리와 1번과 위 정리와 내적정리로

$\dfrac{\partial \gamma}{\partial x_i}(x_0) = \nabla f(\psi(x_0))\bullet \dfrac{\partial \psi}{\partial x_i}(x_0) = (2\cdot_n (\psi(x_0) -y))\bullet \dfrac{\partial \psi}{\partial x_i}(x_0) = 2\cdot\left ((\psi(x_0)-y)\bullet \dfrac{\partial \psi}{\partial x_i}(x_0)\right)$이다.

 

 

 

정리7

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고

위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U\subseteq \mathbb{R}^n$가 정의역인 함수 $f:U \to \mathbb{R}^n$가 단사일때

$f$가 부분거리공간 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이고

$U$에서 $f$의 야코비안 $Jf: U\to \mathbb{R}$가 존재하여 모든 $x\in U$에 대해 $Jf(x)\ne 0$이면

모든 $x\in U$에 대해 $g(x) = f(x)$인 함수 $g: U\to $ $f(U)$의 역함수 $g^{-1} : f(U)\to U$이 존재하여

$g^{-1}$은 $(f(U),d_n)$에서 $(U,d_n)$으로 연속함수이고 $f(U)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이다.

증명

함수 정리로 $g$는 전단사가 되어 역함수 정리로 $g$의 역함수 $g^{-1}$이 존재한다.

임의의 $(U,d_n)$에서 열린집합 $O\subseteq U$에 대해

역함수 정리로 $f(O)=g(O) = (g^{-1})^{-1}(O)$이고 모든 $y_0 \in f(O)$은 $f(a) =y_0$인 $a\in O \subseteq U$가 존재하여

열린집합 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r_1) \subseteq U$인 $r_1>0$과 $\underset{(U,d_n)}{B}(a,r_2) \subseteq O$인 $r_2 > 0$가 존재하므로

$r = \dfrac{\min\{ r_1,r_2\}}{2} > 0$에 대해 열린공, 닫힌공의 정의와 폐포정리와 위 정리로 

$\{ x\in U : \lVert x-a\rVert_n=r\}=\underset{(U,d_n)}{\partial}(\underset{(U,d_n)}{B}(a,r))\subseteq \underset{(U,d_n)}{\operatorname{cl}}(\underset{(U,d_n)}{B}(a,r))= \underset{(U,d_n)}{B}[a,r] \subseteq \underset{(U,d_n)}{B}(a,r_2) \subseteq O$이고

열린공의 정의와 집합정리로

$\underset{(U,d_n)}{\partial}(\underset{(U,d_n)}{B}(a,r))\subseteq  \underset{(U,d_n)}{B}[a,r] \subseteq \underset{(U,d_n)}{B}(a,r_1) = U\cap \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r_1) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r_1) \subseteq U$이다.

비슷하게 $\{x\in \mathbb{R}^n:\lVert x-a\rVert_n= r\}=\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r))\subseteq\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r_1) \subseteq U$이고

$\underset{(U,d_n)}{\partial}(\underset{(U,d_n)}{B}(a,r))=U\cap \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r))= \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r)) \ne \emptyset$이므로

경계정리와 위 정리로 $\underset{(U,d_n)}{\partial}(\underset{(U,d_n)}{B}(a,r))$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이고 유계임에 따라

하이네-보렐 정리로 $\underset{(U,d_n)}{\partial}(\underset{(U,d_n)}{B}(a,r))$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트하다.

임의의 $x\in \underset{(U,d_n)}{\partial}(\underset{(U,d_n)}{B}(a,r))$에 대해 $\phi(x) = \lVert f(x) - f(a)\rVert_n$인 함수 $\phi : \underset{(U,d_n)}{\partial}(\underset{(U,d_n)}{B}(a,r))\to \mathbb{R}$는

위 정리와 최소값 정리로 $\min$ $\phi(\underset{(U,d_n)}{\partial}(\underset{(U,d_n)}{B}(a,r)))= \phi(x_0)\ge 0$인 $x_0\in \underset{(U,d_n)}{\partial}(\underset{(U,d_n)}{B}(a,r))$이 존재하여

$\lVert f(x_0)-f(a)\rVert_n=\phi(x_0)= 0$이라 가정하면 노름정리로 $f(x_0) = f(a)$인데

단사의 정의로 $x_0 = a$이므로 $r=\lVert x_0-a\rVert_n =0< r$임에 따라 모순이 되어 $\dfrac{\phi(x_0)}{2}> 0$이다.

위와 비슷하게 $\underset{(U,d_n)}{B}[a,r]=U\cap\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}[a,r]= \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}[a,r] \ne \emptyset$이고

닫힌공 정리와 닫힌공의 정의로 $\underset{(U,d_n)}{B}[a,r]$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이고 유계임에 따라

하이네-보렐 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트하므로 임의의 $y=(y_1,y_2,\cdots, y_n) \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(f(a),\frac{\phi(x_0)}{2})\subseteq \mathbb{R}^n$에 대해

모든 $x\in \underset{(U,d_n)}{B}[a,r]$가 $\psi(x) = \lVert f(x)-y\rVert_n$인 함수 $\psi : \underset{(U,d_n)}{B}[a,r]\to \mathbb{R}$는

위 정리와 최소값 정리로 $\min \psi(\underset{(U,d_n)}{B}[a,r]) = \psi(c) \ge 0$인 $c\in \underset{(U,d_n)}{B}[a,r]$가 존재하여

열린공의 정의와 최소원소의 정의로 $\dfrac{\phi(x_0)}{2}>d_n(f(a),y)=\lVert f(a)-y\rVert_n = \psi(a)\ge \psi(c)$이다.

$c\notin \underset{(U,d_n)}{B}(a,r)$라고 가정하면

열린공, 닫힌공의 정의와 위 정리로 $c \in \underset{(U,d_n)}{B}[a,r]\setminus \underset{(U,d_n)}{B}(a,r)=\underset{(U,d_n)}{\partial}(\underset{(U,d_n)}{B}(a,r))$가 되어 

$\lVert f(c) - f(a)\rVert_n = \phi(c)\ge \phi(x_0) = \lVert f(x_0)-f(a)\rVert_n$이고 $-\lVert f(a)-y\rVert_n=-\psi(a)>-\dfrac{\phi(x_0)}{2}$이므로 노름정리로

$\dfrac{\phi(x_0)}{2}>\psi(c) = \lVert f(c)-y\rVert_n = \lVert f(c) -f(a) - (y - f(a) )\rVert_n \ge \lVert f(c) -f(a)\rVert_n - \lVert f(a) -y\rVert_n > \phi(x_0) - \dfrac{\phi(x_0)}{2} = \dfrac{\phi(x_0)}{2} \text{ 임에 따라}$

모순이 되어 $c\in \underset{(U,d_n)}{B}(a,r)$이다.

위와 비슷하게 $\underset{(U,d_n)}{B}(a,r)=U\cap\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r)= \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r)$이고

모든 $x\in \underset{(U,d_n)}{B}(a,r) \subseteq \underset{(U,d_n)}{B}[a,r]$에 대해 $\lVert f(x)-y\rVert_n^2=(\psi(x))^2\ge (\psi(c))^2 = \lVert f(c)-y\rVert_n^2$이므로

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 점곱이 $\bullet$이고 함수 $f_1,f_2,\cdots, f_n :U\to \mathbb{R}$가

모든 $x\in U$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x))\in \mathbb{R}^n$일때

임의의 $i,j = 1,2,\cdots, n$에 대해 위 정리와 극값정리로 $(f(c) - y)\bullet \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(c) = 0$이고

 $A_{i,j} = \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(c)$인 행렬 $A\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$는 $\det(A) = Jf(c) \ne 0$이므로 행렬식 정리로 가역이 되어

영행렬 $O_n\in M_{n\times 1}(\mathbb{R})$과 $b_{i,1} = f_i(c) - y_i$인 열벡터 $b\in M_{n\times 1}(\mathbb{R})$와 행렬곱 $*$에 대해

$A*b = O_n$이고 역행렬의 정의와 행렬정리로 $b = A^{-1} * O_n = O_n$임에 따라

$0 = b_{i,1} = f_i(c) - y_i$이므로 $y = f(c)\in f(\underset{(U,d_n)}{B}(a,r) ) \subseteq f(\underset{(U,d_n)}{B}(a,r_2)) \subseteq f(O)$이다.

모든 $f(a) =y_0 \in f(O)$에 대해 열린공의 정의로

$\underset{(f(U),d_n)}{B}(f(a),\frac{\phi(x_0)}{2})= f(U)\cap \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(f(a),\frac{\phi(x_0)}{2}) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(f(a),\frac{\phi(x_0)}{2}) \subseteq f(O)$인 $\dfrac{\phi(x_0)}{2}>0$가 존재하여 

열린집합 정리로 $f(O)$는 $(f(U),d_n)$에서 열린집합이고

열린집합 정리로 $U$는 $(U,d_n)$에서 열린집합이므로 $f(U)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이다.

따라서 모든 $(U,d_n)$에서 열린집합 $O\subseteq U$에 대해

$f(O)=g(O) = (g^{-1})^{-1}(O)$가 $(f(U),d_n)$에서 열린집합임에 따라

연속함수 정리로 $g^{-1}$은 $(f(U),d_n)$에서 $(U,d_n)$으로 연속함수이다.

 

 

 

정리8

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 점곱이 $\bullet$이고 점곱의 노름이 $\lVert\cdot \rVert_n$이고

임의의 $U\subseteq \mathbb{R}^n$에 대해 위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$의 부분거리공간이 $(U,d_n)$일때

모든 $i,j=1,2,\cdots, n$에 대해 함수 $f_{i,j}:U\to \mathbb{R}$가 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고

임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n),y= (y_1,y_2,\cdots, y_n)\in $ $U^n$에 대해 

행렬 $A(x) \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$가 $(A(x))_{i,j} = f_{i,j}(x_i)$이고 함수 $h:U^n\to \mathbb{R}$가 $h(x) = $ $\det$$(A(x))$이면 다음이 성립한다.

1. $d(x,y) = \sqrt{\lVert x_1 - y_1\rVert_n^2 + \lVert x_2-y_2\rVert_n^2 + \cdots +\lVert x_n-y_n\rVert_n^2}$인

함수 $d:U^n\times U^n \to [0,\infty)$에 대해 $(U^n,d)$는 거리공간이다.

2. $h$는 $(U^n,d)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

3. $U$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고 $h(a,a,\cdots, a) \ne 0$인 $a\in U$가 존재하면

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r)$ $\subseteq U$인 $r>0$이 존재하여 모든 $c_1,c_2,\cdots, c_n\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r)$에 대해 $h(c_1,c_2,\cdots, c_n) \ne 0$이다.

증명

1.

$n^2$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^{n^2},+_{n^2},\cdot_{n^2},\vec{0}_{n^2})$의 점곱에 대한 거리공간이 $(\mathbb{R}^{n^2},d_{n^2})$이고

임의의 $i= 1,2,\cdots, n$에 대해 $x_i = (x_{i,1},x_{i,2},\cdots, x_{i,n}), y_i = (y_{i,1},y_{i,2},\cdots, y_{i,n})\in U$일때

$\begin{align*}d(x,y) &= \sqrt{\lVert x_1 - y_1\rVert_n^2 + \lVert x_2-y_2\rVert_n^2 + \cdots +\lVert x_n-y_n\rVert_n^2} \\[0.5em] &=\sqrt{ (x_1 - y_1)\bullet(x_1 - y_1) + (x_2 - y_2)\bullet(x_2 - y_2) + \cdots +(x_n - y_n)\bullet(x_n - y_n)} \\[0.5em] &=\sqrt{ \sum_{j = 1}^n (x_{1,j} - y_{1,j})^2 + \sum_{j = 1}^n (x_{2,j} - y_{2,j})^2 + \cdots + \sum_{j = 1}^n (x_{n,j} - y_{n,j})^2} \\[0.5em] &=\sqrt{ \sum_{i=1}^n\sum_{j = 1}^n (x_{i,j} - y_{i,j})^2 } \\[0.5em] &= d_{n^2}( (x_{1,1},x_{1,2},\cdots, x_{1,n}, x_{2,1},x_{2,2},\cdots, x_{2,n},\cdots,x_{n,1},x_{n,2},\cdots, x_{n,n}), (y_{1,1},y_{1,2},\cdots, y_{1,n}, y_{2,1},y_{2,2},\cdots, y_{2,n},\cdots,y_{n,1},y_{n,2},\cdots, y_{n,n})) \text{ 이므로} \end{align*}$

거리공간의 정의로 $(U^n,d)$는 거리공간이다.

2.

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n= 1$이면 임의의 $x,y\in U^1= U$에 대해 1번과 같이 $d_1(x,y) = d_{1^2}(x,y) = d(x,y)$이고

행렬식의 정의로 $h(x) = \det(A(x)) = (A(x))_{1,1} = f_{1,1}(x)$이므로  

$f_{1,1}$이 $(U,d_1)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수임에 따라 $h$는 $(U,d)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 2번이 성립할때

$k+1$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^{k+1},+_{k+1},\cdot_{k+1},\vec{0}_{k+1})$과 $U\subseteq \mathbb{R}^{k+1}$인 점곱에 대한 거리공간 $(U,d_{k+1})$과

모든 $i,j=1,2,\cdots, k,k+1$에 대해 함수 $f_{i,j}:U\to \mathbb{R}$가 $(U,d_{k+1})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고

임의의 $x= (x_1,x_2,\cdots, x_k,x_{k+1})\in U^{k+1}$에 대해 행렬 $A(x) \in M_{(k+1)\times (k+1)}(\mathbb{R})$가 $(A(x))_{i,j} = f_{i,j}(x_i)$이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 연속함수의 정의로 

$\lVert x_1 -y_1\rVert_n < \delta(\epsilon)$인 모든 $y_1\in U$이 $|f_{1,j}(x_1) - f_{1,j}(y_1)|<\epsilon$이 되는 $\delta_1(\epsilon)>0$이 존재하여

$g_j(x) = f_{1,j}(x_1)$인 함수 $g_j:U^{k+1}\to \mathbb{R}$에 대해

$\displaystyle  \lVert x_1-y_1\rVert_n =\sqrt{\lVert x_1 -y\rVert_n^2} \le \sqrt{\sum_{i=1}^{k+1} \lVert x_i - y_i\rVert_n^2}= d(x,y)<\delta_1(\epsilon)$인 모든 $y= (y_1,y_2,\cdots, y_k,y_{k+1})\in U^{k+1}$는

$|g_j(x) - g_j(y)| =|f_{1,j}(x_1) - f_{1,j}(y_1)| < \epsilon$이므로 $g_j$는 $(U^{k+1},d)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고

$A(x)$에서 $1$행과 $j$열을 제거한 행렬 $B_j(x_2,\cdots,x_k,x_{k+1}) = \widetilde{(A(x))}_{1,j}\in M_{k\times k}(\mathbb{R})$에 대해

귀납가정으로 $\displaystyle \sqrt{\sum_{i=2}^{k+1}\lVert x_i -y_i\rVert_n^2} < \delta_2(\epsilon)$인 모든 $(y_2,\cdots, y_k,y_{k+1})\in U^k$가

$|\det(B_j(x_2,\cdots, x_k,x_{k+1})) - \det(B_j(y_2,\cdots, y_k,y_{k+1}))| < \epsilon$이 되는 $\delta_2(\epsilon)>0$이 존재하여

$h_j(x) =\det(B_j(x_2,\cdots,x_k,x_{k+1}))= \det(\widetilde{(A(x))}_{1,j})$인 함수 $h_j:U^{k+1}\to \mathbb{R}$에 대해

$\displaystyle \sqrt{\sum_{i=2}^{k+1}\lVert x_i -y_i\rVert_n^2} \le \sqrt{\sum_{i=1}^{k+1}\lVert x_i-y_i\rVert_n^2}=d(x,y) < \delta_2(\epsilon)$인 모든 $y= (y_1,y_2,\cdots, y_k,y_{k+1})\in U^{k+1}$는

$|h_j(x)-h_j(y)|=|\det(B_j(x_2,\cdots, x_k,x_{k+1})) - \det(B_j(y_2,\cdots, y_k,y_{k+1}))| < \epsilon$이 되어 

$h_j$는 $(U^{k+1},d)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

따라서 행렬식의 정의로 함수 $h:U^{k+1}\to \mathbb{R}$에 대해

$\begin{align*}h(x) &= \det(A(x)) \\[0.5em]&= \sum_{j=1}^{k+1}(-1)^{1+j}\cdot (A(x))_{1,j}\cdot \det(\widetilde{(A(x))}_{1,j} ) \\[0.5em]&= \sum_{j=1}^{k+1}(-1)^{1+j}\cdot f_{1,j}(x_1)\cdot \det(B_j(x_2,\cdots, x_k,x_{k+1})) \\[0.5em]&= \sum_{j=1}^{k+1}(-1)^{1+j}\cdot g_j(x) \cdot h_j(x) \text{ 이므로} \end{align*}$

연속함수 정리로 $h$는 $(U^{k+1},d)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수가 되어 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 2번이 성립한다.

3.

$m = |h(a,a,\cdots, a)| > 0$일때 2번과 연속함수의 정의와 노름정리로 $d((a,a,\cdots,a), x)<\delta(\frac{m}{2})$인 모든 $x \in U^n$가

$m - |h(x)|= |h(a,a,\cdots, a)| - |h(x)|\le |h(a,a,\cdots, a) - h(x)|<\dfrac{m}{2}$이 되는 $\delta(\frac{m}{2})>0$이 존재하여

$0<\dfrac{m}{2}=m -\dfrac{m}{2}< |h(x)|$이다.

또 열린집합 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r_a) \subseteq U$인 $r_a>0$이 존재하여 $r = \min\{ (\sqrt{n})^{-1}\cdot \delta(\frac{m}{2}) , r_a\} > 0$이면

임의의 $c_1,c_2,\cdots,c_n \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r)\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r_a) \subseteq U$은 $(c_1,c_2,\cdots,c_n)\in U^n$이고

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 열린공의 정의로 $\lVert a-c_i\rVert_n = d_n(a,c_i) < r$이므로

$\begin{align*}d((a,a,\cdots,a),(c_1,c_2,\cdots,c_n)) &= \sqrt{\lVert a - c_1\rVert_n^2 + \lVert a-c_2\rVert_n^2 + \cdots +\lVert a-c_n\rVert_n^2} \\[0.5em]&= \sqrt{\sum_{i=1}^n\lVert a-c_i\rVert_n^2} \\[0.5em]&< \sqrt{\sum_{i=1}^n r^2} = \sqrt{n\cdot r^2} = \sqrt{n}\cdot r \\[0.5em]& \le \sqrt{n}\cdot (\sqrt{n})^{-1}\cdot \delta({\textstyle\frac{m}{2}}) =\delta({\textstyle\frac{m}{2}}) \text{ 가 되어} \end{align*}$

$0<\dfrac{m}{2}< |h(c_1,c_2,\cdots,c_n)|$이다.

 

 

 

정리9

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고

위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U\subseteq \mathbb{R}^n$에서 함수 $f:U \to \mathbb{R}^n$가 연속미분가능할때

$U$에서 $f$의 야코비안 $Jf: U\to \mathbb{R}$에 대해 $Jf(a)\ne 0$인 $a\in U$가 존재하면 어떤 $r>0$이 존재하여 다음이 성립한다.

1. 모든 $x\in $ $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r)$ $\subseteq U$에 대해 $g(x) = f(x)$인 함수 $g: \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r)\to f(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r))$는 전단사이다.

2. 함수 $f_1,f_2,\cdots,f_n :U\to \mathbb{R}$이 모든 $x\in U$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x))\in \mathbb{R}^n$일때

모든 $c_1,c_2,\cdots, c_n \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r)\subseteq U$과 모든 $i,j=1,2,\cdots,n$에 대해 $(A(c_1,c_2,\cdots,c_n))_{i,j} = \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(c_i)$인

행렬 $A(c_1,c_2,\cdots,c_n) \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$의 행렬식은 $\det(A(c_1,c_2,\cdots,c_n))\ne 0$이다.

3. 모든 $x \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r)\subseteq U$에 대해 $Jf(x)\ne 0$이다.

증명

연속미분의 정의와 위 정리로 모든 $c_1,c_2,\cdots, c_n \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r_a)\subseteq U$에 대해 $\det(A(c_1,c_2,\cdots,c_n))\ne 0$이 되는

$r_a>0$가 존재하여 야코비안의 정의로 모든 $x \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r_a)$에 대해 $Jf(x) =\det(A(x,x,\cdots,x))\ne 0$이다.

모든 $r>0$에 대해 $g$가 단사가 아니라고 가정하면

$r \le r_a$일때 $f(x) = f(y)$이고 $x\ne y$인 $x,y \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r)\subseteq\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r_a)\subseteq U$가 존재하므로

$(f_1(y)-f_1(x),f_2(y)-f_2(x),\cdots,f_n(y)-f_n(x))=(f_1(y),f_2(y),\cdots,f_n(y)) - (f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x))=f(y) - f(x) = \vec{0}_n\text{ 이고}$

임의의 $t\in [0,1]$에 대해 노름의 정의와 열린공의 정의로

$\begin{align*}\lVert (1-t)\cdot_n x+_n t\cdot_n y - a\rVert_n &= \lVert (1-t)\cdot_n x +_n t\cdot_n y-(1-t)\cdot_n a - t\cdot_n a\rVert_n \\[0.5em] & \le \lVert (1-t)\cdot_n x - (1-t)\cdot_n a\rVert_n + \lVert t\cdot_ny -t\cdot_n a\rVert_n = |1-t|\cdot \lVert x-a\rVert_n + |t|\cdot \lVert y- a\rVert_n \\[0.5em]&< (1-t)\cdot r + t\cdot r= r \text{ 임에 따라} \end{align*}$

$x$에서 $y$로의 선분은 $L(x,y)\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r)$이 되어

$x = (x_1,x_2,\cdots,x_n), y = (y_1,y_2,\cdots, y_n)\in \mathbb{R}^n$일때 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 평균값 정리로

$0 = f_i(y)- f_i(x) = \displaystyle \sum_{j=1}^n \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(c_i)\cdot (y_j-x_j)$인 $c_i\in L(x,y)\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r)\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(a,r_a)$가 존재하는데

$\det(A(c_1,c_2,\cdots,c_n))\ne 0$이므로 행렬식 정리로 $A(c_1,c_2,\cdots,c_n)$은 가역이 되어

영행렬 $O_n\in M_{n\times 1}(\mathbb{R})$과 열벡터 $b = \begin{bmatrix} y_1 -x_1 \\ y_2 -x_2 \\ \vdots \\ y_n - x_n\end{bmatrix}\in M_{n\times 1}(\mathbb{R})$와 행렬곱 $*$에 대해 $A(c_1,c_2,\cdots,c_n) * b = O_n$이고

역행렬의 정의와 행렬정리로 $b = (A(c_1,c_2,\cdots,c_n))^{-1} * O_n = O_n$임에 따라 $x=y$이므로 모순이다.

따라서 함수 정리로 단사함수의 정의역을 축소해도 단사이므로

$r \le r_a$이고 $g$가 단사인 $r>0$이 존재하여 함수 정리로 $g$는 전단사임에 따라 1, 2, 3번이 모두 성립한다.

 

 

 

정리10(역함수 정리)

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 점곱이 $\bullet$이고 점곱의 노름이 $\lVert\cdot \rVert_n$이고

위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U\subseteq \mathbb{R}^n$에서 함수 $f:U \to \mathbb{R}^n$가 연속미분가능할때

$U$에서 $f$의 야코비안 $Jf: U\to \mathbb{R}$에 대해 $Jf(a)\ne 0$인 $a\in U$가 존재하면

$a\in W$인 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $W\subseteq U$가 존재하여 다음이 성립한다.

1. 모든 $x\in W$에 대해 $g(x) = f(x)$인 함수 $g: W \to f(W)$의 $g$의 역함수 $g^{-1}:f(W)\to W$이 존재한다.

2. $f(W)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이다.

3. 모든 $y_0\in f(W)$에 대해

$g^{-1}(y_0)$에서 $g$의 도함수 $Dg(g^{-1}(y_0)) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$의 역함수 $(Dg(g^{-1}(y_0)))^{-1} : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$이 존재한다.

4. $g^{-1}$은 $f(W)$에서 연속미분가능하다.

5. $g^{-1}$은 $f(W)$에서 미분가능하여 임의의 $y_0\in f(W)$에서 $g^{-1}$의 도함수 $Dg^{-1}(y_0):\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$은

모든 $h\in \mathbb{R}^n$에 대해 $Dg^{-1}(y_0)(h) = (Dg(g^{-1}(y_0)))^{-1}(h)$이다.

증명

함수 $f_1,f_2,\cdots,f_n :U\to \mathbb{R}$이 모든 $x\in U$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x))\in \mathbb{R}^n$일때

열린공 정리와 위 정리로 $a\in W$인 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $W\subseteq U$가 존재하여

$g$는 전단사이므로 역함수 정리로 $g$의 역함수 $g^{-1}$이 존재하고

모든 $c_1,c_2,\cdots, c_n \in W$과 모든 $i,j=1,2,\cdots,n$에 대해 $(A(c_1,c_2,\cdots,c_n))_{i,j} = \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(c_i)$인

행렬 $A(c_1,c_2,\cdots,c_n) \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$의 행렬식은 $\det(A(c_1,c_2,\cdots,c_n))\ne 0$이다.

또 $g$는 $W$에서 연속미분가능하므로

미분정리로 $g$는 $W$에서 미분가능하여 미분연속성으로 $g$는 $(W,d_n)$에서 $(f(W),d_n)$으로의 연속함수이고

$g$의 야코비안 $Jg:W\to \mathbb{R}$는 모든 $x\in W$에 대해 $Jg(x) = Jf(x) = \det(A(x,x,\cdots,x))\ne 0$이므로

위 정리로 $g^{-1}$은 $(f(W),d_n)$에서 $(W,d_n)$으로의 연속함수이고 $f(W)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이다.

벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 순서기저가 $\beta = (e_1,e_2,\cdots,e_n)$일때 모든 $y_0\in f(W)$에 대해

$g(x_0)=f(x_0) = y_0$인 $x_0\in W$가 존재하여 역함수의 정의로 $g^{-1}(y_0) = g^{-1}(g(x_0)) =x_0$이므로

$g^{-1}(y_0)$에서 $f$의 도함수 $Df(g^{-1}(y_0)):\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$이 $Df(g^{-1}(y_0)) = Dg(g^{-1}(y_0))$임에 따라

도함수 정리로 행렬표현은 $[Dg(g^{-1}(y_0))]_\beta = [Df(g^{-1}(y_0))]_\beta = A(g^{-1}(y_0),g^{-1}(y_0),\cdots, g^{-1}(y_0))$이고

행렬식이 $\det([Dg(g^{-1}(y_0))]_\beta) =\det( A(g^{-1}(y_0),g^{-1}(y_0),\cdots, g^{-1}(y_0))) \ne 0$이 되어

행렬식 정리로 $[Dg(g^{-1}(y_0))]_\beta$는 가역이므로 선형변환 정리로 $Dg(g^{-1}(y_0))$의 역함수 $(Dg(g^{-1}(y_0)))^{-1}$이 존재한다.

함수 $g_1,g_2,\cdots,g_n :W\to \mathbb{R}$과 $(g^{-1})_1,(g^{-1})_2,\cdots,(g^{-1})_n :f(W)\to \mathbb{R}$이

모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in W$에 대해 $g(x) = (g_1(x),g_2(x),\cdots,g_n(x))\in f(W)\subseteq \mathbb{R}^n$이고

모든 $y=(y_1,y_2,\cdots, y_n)\in f(W)$에 대해 $g^{-1}(y) = ((g^{-1})_1(y),(g^{-1})_2(y),\cdots,(g^{-1})_n(y))\in W\subseteq \mathbb{R}^n$일때

역함수의 정의로 $(y_1,y_2,\cdots,y_n)=y=g(g^{-1}(y)) = (g_1(g^{-1}(y)),g_2(g^{-1}(y)),\cdots,g_n(g^{-1}(y)))$과

$(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x = g^{-1}(g(x)) = ((g^{-1})_1(g(x)), (g^{-1})_2(g(x)),\cdots, (g^{-1})_n(g(x)))$가 성립하고

$f(W)$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이므로 내부점 정리로

임의의 $y_0 = (y_{0,1},y_{0,2},\cdots, y_{0,n})\in f(W)$과 임의의 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 

$0$은 $(\mathbb{R},d_1)$에서 집합 $S_j = \{ t\in \mathbb{R}\setminus \{ 0 \} : y_0+_n t\cdot_n e_j \in f(W)\}$의 집적점이 되어

$(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$의 크로네커 델타 $\delta$와 임의의 $i=1,2,\cdots, n$와 임의의 $t\in S_j$에 대해

$g_i(g^{-1}(y_0+_n t\cdot_n e_j)) - g_i(g^{-1}(y_0)) = y_{0,i} + t\cdot \delta_{i,j} - y_{0,i} = t\cdot \delta_{i,j}$이다.

$g^{-1}(y_0)\in W$이므로 열린집합 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(g^{-1}(y_0),r)\subseteq W$인 $r >0$이 존재하고

모든 $\epsilon > 0$에 대해 연속함수의 정의로 $\lVert y-y_0 \rVert_n < \eta_1(\epsilon)$인 모든 $y\in f(W)$가

$\lVert g^{-1}(y) -g^{-1}(y_0)\rVert_n<\epsilon$이 되는 $\eta_1(\epsilon) >0$이 존재하여 노름의 정의로

$0<|t|<\eta_1(\epsilon)$인 임의의 $t\in S_j$에 대해 $\lVert y_0+_n t\cdot_n e_j - y_0\rVert_n = \lVert t\cdot_n e_j\rVert_n = |t|\cdot \lVert e_j \rVert_n = |t|<\eta_1(\epsilon)$이므로

$0<|t|<\eta_1(r)$인 임의의 $t\in S_j$와 임의의 $t_0\in (0,1]$에 대해

$\begin{align*}\lVert (1-t_0)\cdot_n g^{-1}(y_0) +_n t_0\cdot_n g^{-1}(y_0 +_n t\cdot_n e_j) - g^{-1}(y_0)\rVert_n &= \lVert t_0\cdot_n (g^{-1}(y_0+_n t\cdot_n e_j) - g^{-1}(y_0))\rVert_n \\[0.5em] & = |t_0|\cdot \lVert g^{-1}(y_0+_n t\cdot_n e_j) -g^{-1}(y_0)\rVert_n \\[0.5em]& < t_0 \cdot r \\[0.5em] & \le r \text{ 임에 따라} \end{align*}$

$g^{-1}(y_0)$에서 $g^{-1}(y_0+_n t\cdot_n e_j)$로의 선분은 $L(g^{-1}(y_0),g^{-1}(y_0+_nt\cdot_n e_j)) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(g^{-1}(y_0),r)\subseteq W$이고

평균값 정리로 어떤 $c_i\in L(g^{-1}(y_0),g^{-1}(y_0+_nt\cdot_n e_j))$가 존재하여

$t\cdot \delta_{i,j} = g_i(g^{-1}(y_0+_n t\cdot_n e_j)) - g_i(g^{-1}(y_0)) = \nabla g_i(c_i)\bullet (g^{-1}(y_0+_n t\cdot_n e_j) - g^{-1}(y_0)) $이므로

내적정리로 $\delta_{i,j} = \nabla g_i(c_i)\bullet \left ( \dfrac{1}{t}\cdot_n(g^{-1}(y_0+_n t\cdot_n e_j) - g^{-1}(y_0)) \right ) $이다.

행렬곱 $*$에 대해 $A(c_1,c_2,\cdots,c_n) * \begin{bmatrix} \dfrac{(g^{-1})_1(y_0+_n t\cdot_n e_j) - (g^{-1})_1(y_0)}{t} \\ \dfrac{(g^{-1})_2(y_0+_n t\cdot_n e_j) - (g^{-1})_2(y_0)}{t} \\ \vdots \\ \dfrac{(g^{-1})_n(y_0+_n t\cdot_n e_j) - (g^{-1})_n(y_0)}{t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_{1,j} \\ \delta_{2,j} \\ \vdots \\ \delta_{n,j} \end{bmatrix}$이므로

임의의 $k= 1,2,\cdots, n$에 대해 

$k\ne j$이면 $(M_k(c_1,c_2,\cdots, c_n))_{i,j} = (A(c_1,c_2,\cdots,c_n))_{i,j}$이고

$k= j$이면 $(M_k(c_1,c_2,\cdots, c_n))_{i,k} = \delta_{i,k}$인 행렬 $M_k(c_1,c_2,\cdots,c_n)\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$는

크라메르 법칙으로 $A(c_1,c_2,\cdots,c_n) * \begin{bmatrix} \dfrac{\det(M_1(c_1,c_2,\cdots,c_n))}{\det(A(c_1,c_2,\cdots, c_n))} \\ \dfrac{\det(M_2(c_1,c_2,\cdots,c_n))}{\det(A(c_1,c_2,\cdots,c_n))} \\ \vdots \\ \dfrac{\det(M_n(c_1,c_2,\cdots,c_n))}{\det(A(c_1,c_2,\cdots,c_n))}  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \delta_{1,j}\\ \delta_{2,j} \\ \vdots \\ \delta_{n,j} \end{bmatrix}$가 되어

$A(c_1,c_2,\cdots,c_n)$이 가역임에 따라

연립일차방정식 정리로 $\begin{bmatrix} \dfrac{(g^{-1})_1(y_0+_n t\cdot_n e_j) - (g^{-1})_1(y_0)}{t} \\ \dfrac{(g^{-1})_2(y_0+_n t\cdot_n e_j) - (g^{-1})_2(y_0)}{t} \\ \vdots \\ \dfrac{(g^{-1})_n(y_0+_n t\cdot_n e_j) - (g^{-1})_n(y_0)}{t} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{\det(M_1(c_1,c_2,\cdots,c_n))}{\det(A(c_1,c_2,\cdots, c_n))} \\ \dfrac{\det(M_2(c_1,c_2,\cdots,c_n))}{\det(A(c_1,c_2,\cdots,c_n))} \\ \vdots \\ \dfrac{\det(M_n(c_1,c_2,\cdots,c_n))}{\det(A(c_1,c_2,\cdots,c_n))}  \end{bmatrix}$이다.

상수함수 정리와 위 정리와 연속함수 정리와 연속함수의 정의로 모든 $k= 1,2,\cdots, n$와

$\sqrt{\lVert b_1 - g^{-1}(y_0)\rVert_n^2 + \lVert b_2- g^{-1}(y_0)\rVert_n^2 + \cdots + \lVert b_n -g^{-1}(y_0)\rVert_n^2}< \eta_2(\epsilon)$인 모든 $b_1,b_2,\cdots, b_n\in W$에 대해 

$\left | \dfrac{\det(M_k(b_1,b_2,\cdots, b_n))}{\det(A(b_1,b_2,\cdots,b_n))} -\dfrac{\det(M_k(g^{-1}(y_0),g^{-1}(y_0),\cdots,g^{-1}(y_0)))}{\det(A(g^{-1}(y_0),g^{-1}(y_0),\cdots, g^{-1}(y_0)))} \right |<\epsilon$이 되는 $\eta_2(\epsilon) >0$이 존재하므로

$0<|t|< \min \{\eta_1(r) , \eta_1( (\sqrt{n})^{-1} \cdot \eta_2(\epsilon)) \}$인 모든 $t\in S_j$에 대해

선분의 정의로 $c_i = (1-t_i)\cdot_n g^{-1}(y_0) +_n t_i\cdot_ng^{-1}(y_0+_n t\cdot_n e_j)$인 $t_i\in [0,1]$가 존재하여

$\begin{align*}\lVert c_i - g^{-1}(y_0)\rVert_n &= \lVert (1-t_i)\cdot_n g^{-1}(y_0 ) +_n t_i\cdot_n g^{-1}(y_0+_n t\cdot_n e_j) - g^{-1}(y_0)\rVert_n \\[0.5em]& = \lVert t_i\cdot_n (g^{-1}(y_0+_n t\cdot_n e_j) - g^{-1}(y_0))\rVert_n\\[0.5em] & = |t_i| \cdot \lVert g^{-1}(y_0+_n t\cdot_n e_j) - g^{-1}(y_0)\rVert_n < (\sqrt{n})^{-1}\cdot \eta_2(\epsilon)\text{ 이고} \end{align*}$

$\sqrt{\lVert c_1 - g^{-1}(y_0)\rVert_n^2 + \lVert c_2- g^{-1}(y_0)\rVert_n^2 + \cdots + \lVert c_n -g^{-1}(y_0)\rVert_n^2}< \sqrt{n\cdot ((\sqrt{n})^{-1}\cdot \eta_2(\epsilon) )^2} = \sqrt{n} \cdot (\sqrt{n})^{-1}\cdot \eta_2(\epsilon) = \eta_2(\epsilon) \text{ 임에 따라}$

$\begin{align*} & \left |\dfrac{(g^{-1})_k(y_0 +_n t\cdot_n e_j) - (g^{-1})_k(y_0)}{t} - \dfrac{\det(M_k(g^{-1}(y_0),g^{-1}(y_0),\cdots, g^{-1}(y_0)))}{\det(A(g^{-1}(y_0),g^{-1}(y_0),\cdots, g^{-1}(y_0)))} \right | \\[0.5em] & =\left |\dfrac{(g^{-1})_k(y_0 +_n t\cdot_n e_j) - (g^{-1})_k(y_0)}{t} - \dfrac{\det(M_k(c_1,c_2,\cdots, c_n))}{\det(A(c_1,c_2,\cdots,c_n))}+\dfrac{\det(M_k(c_1,c_2,\cdots, c_n))}{\det(A(c_1,c_2,\cdots,c_n))} - \dfrac{\det(M_k(g^{-1}(y_0),g^{-1}(y_0),\cdots, g^{-1}(y_0)))}{\det(A(g^{-1}(y_0),g^{-1}(y_0),\cdots, g^{-1}(y_0)))} \right | \\[0.5em] & \le \left |\dfrac{(g^{-1})_k(y_0 +_n t\cdot_n e_j) - (g^{-1})_k(y_0)}{t} - \dfrac{\det(M_k(c_1,c_2,\cdots, c_n))}{\det(A(c_1,c_2,\cdots,c_n))}\right |+ \left |\dfrac{\det(M_k(c_1,c_2,\cdots, c_n))}{\det(A(c_1,c_2,\cdots,c_n))} - \dfrac{\det(M_k(g^{-1}(y_0),g^{-1}(y_0),\cdots, g^{-1}(y_0)))}{\det(A(g^{-1}(y_0),g^{-1}(y_0),\cdots, g^{-1}(y_0)))} \right |  \\[0.5em] & \lt \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

편도함수의 정의로 $\dfrac{\partial (g^{-1})_k}{\partial y_j}(y_0) = \dfrac{\det(M_k( g^{-1}(y_0),g^{-1}(y_0),\cdots,g^{-1}(y_0) ))}{\det(A(g^{-1}(y_0),g^{-1}(y_0),\cdots,g^{-1}(y_0)))}$이 되어

편도함수 정리로 $\dfrac{\partial g^{-1}}{\partial y_j} : f(W)\to \mathbb{R}^n$이 존재하고

위 정리와 연속함수 정리로 $\dfrac{\partial g^{-1}}{\partial y_j}$는 $(f(W),d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이므로 

$j=1,2,\cdots,n$가 임의임에 따라 $g^{-1}$은 $f(W)$에서 연속미분가능하다.

$g^{-1}$이 $f(W)$에서 연속미분가능하므로 미분정리로 모든 $y_0\in f(W)$에서 $g^{-1}$의 도함수 $Dg^{-1}(y_0)$이 존재하고

합성함수 $g\circ g^{-1}: f(W)\to f(W)$은 모든 $y\in f(W)$에 대해 $(g\circ g^{-1})(y) = g(g^{-1}(y)) = y$이므로

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 항등변환 $I_{\mathbb{R}^n} : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$과 모든 $h\in \mathbb{R}^n$에 대해 

위 정리와 연쇄법칙으로 $I_{\mathbb{R}^n}(h) = h = D(g\circ g^{-1})(y_0)(h) = (Dg(g^{-1}(y_0))\circ Dg^{-1}(y_0))(h)$가 되어

$I_{\mathbb{R}^n} = Dg(g^{-1}(y_0)) \circ Dg^{-1}(y_0)$이고 항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$에 대해 항등변환 정리와 행렬표현 정리로

$I_n = [I_{\mathbb{R}^n}]_\beta = [Dg(g^{-1}(y_0))\circ Dg^{-1}(y_0)]_\beta = [Dg(g^{-1}(y_0))]_\beta * [Dg^{-1}(y_0)]_\beta$이므로

$[Dg(g^{-1}(y_0))]_\beta$가 가역임에 따라

역행렬의 정의와 행렬표현 정리로 $[(Dg(g^{-1}(y_0)))^{-1}]_\beta=([Dg(g^{-1}(y_0))]_\beta)^{-1} = [Dg^{-1}(y_0)]_\beta$가 되어

행렬표현 정리로 $Dg^{-1}(y_0) = (Dg(g^{-1}(y_0)))^{-1}$이고 $Dg^{-1}(y_0)(h) = (Dg(g^{-1}(y_0)))^{-1}(h)$이다.

 

 

 

정리11(음함수 정리)

임의의 $n,p\in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해 실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의

$n+p,n,p$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^{n+p},+_{n+p},\cdot_{n+p},\vec{0}_{n+p})$, $(\mathbb{R}^{n},+_{n},\cdot_{n},\vec{0}_{n})$, $(\mathbb{R}^{p},+_{p},\cdot_{p},\vec{0}_{p})$이고

위 정의에 나온 거리공간이 $(\mathbb{R}^{n+p},d_{n+p})$, $(\mathbb{R}^{n},d_{n})$, $(\mathbb{R}^{p},d_{p})$이고

$x=(x_1,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$와 $t = (t_1,\cdots, t_p)\in \mathbb{R}^p$에 대해 $(x,t) = (x_1,\cdots, x_n, t_1,\cdots, t_p)\in \mathbb{R}^{n+p}$로 표기할때

$(\mathbb{R}^{n+p},d_{n+p})$에서 열린집합인 $U\subseteq \mathbb{R}^{n+p}$에서 함수 $F:U \to \mathbb{R}^n$가 연속미분가능하고

모든 $(x,t)\in U$와 모든 $i,j = 1,\cdots,n$에 대해 함수 $F_1,\cdots,F_n :U\to \mathbb{R}$과 행렬 $A(x,t)\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$가

$F(x,t)= (F_1(x,t),\cdots, F_n(x,t))\in \mathbb{R}^n$와 $(A(x,t))_{i,j} = \dfrac{\partial F_i}{\partial x_j}(x,t)$이고

$x_0\in \mathbb{R}^n$과 $t_0\in \mathbb{R}^p$인 어떤 $(x_0,t_0)\in U$이 존재하여 $F(x_0,t_0) = \vec{0}_n$과 $\det$$(A(x_0,t_0))\ne 0$이 성립하면

$t_0\in \Omega$인 $(\mathbb{R}^p,d_p)$에서 열린집합 $\Omega\subseteq \mathbb{R}^p$가 존재하고 $\Omega$에 대해 함수 $\gamma: \Omega\to \mathbb{R}^n$가 유일하게 존재하여

$\gamma$는 $\Omega$에서 연속미분가능하고 $\gamma(t_0) = x_0$과 모든 $t\in \Omega$에 대해 $(\gamma(t),t)\in U$와 $F(\gamma(t),t) = \vec{0}_n$이 성립한다.

증명

함수 $f_1,\cdots,f_n,f_{n+1},\cdots,f_{n+p}:U\to \mathbb{R}$와 $f:U\to \mathbb{R}^{n+p}$가 모든 $(x,t) = (x_1,\cdots, x_n, t_1,\cdots, t_p)\in U$에 대해

$f(x,t) = (f_1(x,t),\cdots,f_n(x,t),  f_{n+1}(x,t),\cdots, f_{n+p}(x,t))= (F_1(x,t),\cdots, F_n(x,t), t_1,\cdots, t_p)= (F(x,t),t)\in \mathbb{R}^{n+p} \text{ 로 정의될때}$

임의의 $i,j=1,\cdots,n$와 임의의 $k,r = 1,\cdots,p$에 대해

연속미분의 정의와 편도함수 정리로 $\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x,t) = \dfrac{\partial F_i}{\partial x_j}(x,t)$와 $\dfrac{\partial f_i}{\partial t_r}(x,t) = \dfrac{\partial F_i}{\partial t_r}(x,t)$가 성립하고

연속함수 정리로 $\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}, \dfrac{\partial f_i}{\partial t_r}:U\to \mathbb{R}$은 $(U,d_{n+p})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

또 편도함수 정리와 미분정리와 미분정리로 

$\dfrac{\partial f_{n+k}}{\partial x_j}(x,t) = 0$과 $k\ne r$이면 $\dfrac{\partial f_{n+k}}{\partial t_r}(x,t) = 0$과 $k= r$이면 $\dfrac{\partial f_{n+k}}{\partial t_r}(x,t) = 1$이 성립하고

연속함수 정리로 $\dfrac{\partial f_{n+k}}{\partial x_j}, \dfrac{\partial f_{n+k}}{\partial t_r}:U\to \mathbb{R}$은 $(U,d_{n+p})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로

$f$가 $U$에서 연속미분가능함에 따라 미분정리와 미분정리로

벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^{n+p},+_{n+p},\cdot_{n+p},\vec{0}_{n+p})$의 순서기저 $\beta$에 대한 도함수 $Df(x_0,t_0): \mathbb{R}^{n+p}\to \mathbb{R}^{n+p}$의

행렬표현은 $[Df(x_0,t_0)]_\beta = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial x_1}(x_0,t_0) & \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial x_n}(x_0,t_0) & \dfrac{\partial F_1}{\partial t_1}(x_0,t_0)& \cdots & \dfrac{\partial F_1}{\partial t_p}(x_0,t_0) \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial F_n}{\partial x_1}(x_0,t_0) & \cdots & \dfrac{\partial F_n}{\partial x_n}(x_0,t_0) & \dfrac{\partial F_n}{\partial t_1}(x_0,t_0)& \cdots & \dfrac{\partial F_n}{\partial t_p}(x_0,t_0) \\ 0 & \cdots & 0 & 1& \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots& \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0& \cdots & 1 \end{bmatrix}$이 되어

$(x_0,t_0)$에서 $f$의 야코비안은 행렬식 정리로 $Jf(x_0,t_0) = \det([Df(x_0,t_0)]_\beta) = \det(A(x_0,t_0)) \ne 0$이다.

위 정리로 $(x_0,t_0)\in W\subseteq U$인 $(\mathbb{R}^{n+p},d_{n+p})$에서 열린집합 $W$가 존재하여

모든 $(x,t)\in W$에 대해 $g(x,t) = (F(x,t),t) =f(x,t)$인 함수 $g:W\to f(W)$의

역함수 $g^{-1}:f(W)\to W$이 존재하고 $(\mathbb{R}^{n+p},d_{n+p})$에서 열린집합인 $f(W)$에서 $g^{-1}$이 연속미분가능하다.

모든 $(y, t)\in f(W)$에 대해

$g^{-1}(y,t) = ((g^{-1})_1(y,t),\cdots, (g^{-1})_n(y,t),(g^{-1})_{n+1}(y,t),\cdots, (g^{-1})_{n+p}(y,t)) \in \mathbb{R}^{n+p}$인

함수 $(g^{-1})_1,\cdots, (g^{-1})_n,(g^{-1})_{n+1},\cdots, (g^{-1})_{n+p} : f(W)\to \mathbb{R}$에 대해

$H(y,t) = ((g^{-1})_1(y,t),\cdots, (g^{-1})_n(y,t))\in \mathbb{R}^n$인 함수 $H:f(W)\to \mathbb{R}^n$를 정의하면

역함수의 정의로 모든 $(x,t)\in W$에 대해 

$(x,t)=g^{-1}(g(x,t)) = ((g^{-1})_1(g(x,t)),\cdots, (g^{-1})_n(g(x,t)),(g^{-1})_{n+1}(g(x,t)),\cdots, (g^{-1})_{n+p}(g(x,t)))$이므로

$H(g(x,t)) =((g^{-1})_1(g(x,t)),\cdots,(g^{-1})_n(g(x,t))) = x$이고

모든 $(y,t)\in f(W)$는

$g(x,t)= (F(x,t),t) = f(x,t) = (y,t)$인 $(x,t)\in W$가 존재하여 $H(y,t) = H(g(x,t)) = x$이므로

$(F(H(y,t),t),t) = f(H(y,t),t)=g(H(y,t),t) = g(x,t)  = (y,t)$임에 따라 $F(H(y,t),t) = y$이다.

$\Omega = \{ t\in \mathbb{R}^p : (\vec{0}_n, t)\in f(W) \}$로 정의하면

$F(x_0,t_0) = \vec{0}_n$이므로 $(\vec{0}_n,t_0) = (F(x_0,t_0),t_0) = f(x_0,t_0) \in f(W)$이 되어 $t_0\in \Omega$이고

모든 $t= (t_1,\cdots,t_p)\in \Omega$에 대해

$(\vec{0}_n,t)\in f(W)$이므로 열린집합 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^{n+p},d_{n+p})}{B}((\vec{0}_n,t), \delta)\subseteq f(W)$인 $\delta >0$가 존재하여

모든 $s = (s_1,\cdots, s_p)\in \underset{(\mathbb{R}^p,d_p)}{B}(t,\delta)$는

$\displaystyle \lVert (\vec{0}_n ,t) - (\vec{0}_n,s)\rVert_{n+p} = \sqrt{\sum_{i = 1}^n (0-0)^2 +\sum_{k=1}^p(t_k-s_k)^2 } = \sqrt{\sum_{k = 1}^p (t_k-s_k)^2 } = \lVert t - s\rVert_p < \delta$임에 따라

열린공의 정의로 $(\vec{0}_n,s)\in \underset{(\mathbb{R}^{n+p},d_{n+p})}{B}((\vec{0}_n,t), \delta)\subseteq f(W)$이고 $\Omega$의 정의로 $s\in \Omega$이므로 

$\underset{(\mathbb{R}^p,d_p)}{B}(t,\delta) \subseteq \Omega$가 되어 열린집합 정리로 $\Omega$는 $(\mathbb{R}^p,d_p)$에서 열린집합이다.

함수 $\gamma: \Omega\to \mathbb{R}^n$를 모든 $t\in \Omega$에 대해 $\gamma(t) = H(\vec{0}_n,t) = ((g^{-1})_1(\vec{0}_n,t),\cdots, (g^{-1})_n(\vec{0}_n,t))$로 정의하면

$f(W)$에서 $g^{-1}$이 연속미분가능함에 따라 $\gamma$는 $\Omega$에서 연속미분가능하고

$\gamma(t_0) = H(\vec{0}_n,t_0) = H(F(x_0,t_0),t_0) = H(g(x_0,t_0)) = x_0$이다.

또 모든 $t\in \Omega$에 대해 $(\vec{0}_n,t) \in f(W)$이므로 $(\vec{0}_n,t) = f(x,t) = g(x,t)$인 $(x,t)\in W$가 존재하여

$(\gamma(t),t) = (H(\vec{0}_n,t),t) = (H(g(x,t)),t) = (x,t)\in W\subseteq U$이고 $F(\gamma(t),t) = F(H(\vec{0}_n, t), t)  = \vec{0}_n$이다.

$\gamma$의 유일성을 보이기 위해 모든 $t\in \Omega$에 대해 $F(\psi(t),t) = \vec{0}_n$인 함수 $\psi:\Omega\to \mathbb{R}^n$가 존재한다고 가정하면

$g(\gamma(t), t) = f(\gamma(t), t) = (F(\gamma(t),t),t) = (\vec{0}_n,t) = (F(\psi(t),t),t) = f(\psi(t),t) = g(\psi(t),t)$이고

역함수 정리로 $g$는 단사이므로 $\gamma(t) = \psi(t)$가 되어 $\gamma = \psi$이고 $\gamma$는 유일하다.

 

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/98#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/98#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Terence Tao - Analysis 2 - 9791156646808

William R. Wade - Introduction to Analysis - 9780132296380

Jerrold E. Marsden - Vector Calculus - 9791196120313