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정리1
거리공간이 $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$이고 거리공간 $(X,d_X)$에서 임의의 $E\subseteq X$의 집적점이 $x_0 \in \underset{(X,d_X)}{E'}$이고
어떤 $L \in Y$에 대해 모든 $x\in E$가 $f(x) = L$인 함수가 $f:E\to Y$일때
$(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $x_0$에서 $f$의 극한은 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d_X,d_Y} f(x) = L$이다.
증명
모든 $\epsilon >0$에 대해 $0<d_X(x,x_0)$인 모든 $x\in E$는
거리공간의 정의로 $d_Y(f(x),L) = d_Y(L,L) = 0<\epsilon$이므로 함수의 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d_X,d_Y} f(x) = L$이다.
정리11
거리공간이 $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$이고 거리공간 $(X,d_X)$에서 임의의 $E\subseteq X$의 집적점이 $x_0 \in \underset{(X,d_X)}{E'}$일때
$(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $x_0$에서 함수 $f:E\to Y$의 극한이 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d_X,d_Y} f(x) = L$이면
임의의 $y\in Y$와 어떤 $M_y>0$에 대해 $d_X( x,x_0) < \delta$인 모든 $x\in E$가 $d_Y (f(x),y) \le M_y$가 되는 $\delta >0$가 존재한다.
증명
$0<d_X(x,x_0)< \delta (1)$인 모든 $x \in E$에 대해 $d_Y (f(x), L) <1$이 되는 $\delta (1) > 0$이 존재하여
거리공간의 정의로 $d_Y(f(x),y) \le d_Y(f(x),L) + d_Y(L,y) < 1 + d_Y(L,y)$이고
$d_Y(L,y) +1 \ge 0+1 =1 > 0$이므로
$x_0\notin E$이면 $d_X(x,x_0)< \delta (1)$인 모든 $x \in E$에 대해 $d_Y(f(x),y) < d_Y(L,y)+1$이고
$x_0\in E$이면 $d_X(x,x_0)< \delta (1)$인 모든 $x \in E$에 대해 $d_Y(f(x),y) \le $ $\max$$\{ d_Y( f(x_0),y), d_Y(L,y)+1 \}$이다.
정의1
환 $(R,+_R,\cdot_R, 0_R,1_R)$의 원소가 성분인 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍이 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n),y= (y_1,y_2,\cdots,y_n)\in R^n$일때
$n$-순서쌍의 덧셈 :
$x+_n y = (x_1,x_2,\cdots,x_n)+_n(y_1,y_2,\cdots,y_n) = (x_1+_Ry_1,x_2+_R y_2,\cdots, x_n+_R y_n)\in R^n$인
$n$-순서쌍을 $x$와 $y$의 덧셈 $+_n$으로 정의한다.
$n$-순서쌍의 스칼라곱 :
임의의 $c \in R$에 대해 $c\cdot_n x = c\cdot_n (x_1,x_2,\cdots,x_n)= (c\cdot_R x_1,c\cdot_R x_2,\cdots, c\cdot_R x_n)\in R^n$인
$n$-순서쌍을 $c$에 대한 $x$의 스칼라곱 $\cdot_n$으로 정의한다.
$n$-순서쌍의 뺄셈 :
$n$-순서쌍의 덧셈과 스칼라곱 $+_n,\cdot_n$에 대해
$-x = (-1_R)\cdot_n x$로 정의하고 뺄셈 $-$은 $x-y = x+_n (-1_R)\cdot_n y$로 정의한다.
$n$-순서쌍의 성분곱 :
$x\odot y = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\odot (y_1,y_2,\cdots,y_n) = (x_1\cdot_R y_1,x_2\cdot_R y_2,\cdots, x_n\cdot_R y_n)\in R^n$인
$n$-순서쌍을 $x$와 $y$의 성분곱 $\odot$으로 정의한다.
$n$-순서쌍의 성분나눗셈 :
$(R,+_R,\cdot_R, 0_R,1_R)$이 나눗셈환이고 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $y_i\ne 0_R$일때
$y$의 성분이 가역이라 정의하고 $y$의 성분곱에 대한 역원을 $y^{-1} = (y_1^{-1},y_2^{-1},\cdots,y_n^{-1})$로 정의한다.
또 $x$를 $y$의 성분으로 나누는 것을 $\dfrac{x}{y} = x\odot y^{-1}$로 정의한다.
정리12
$(R,+_R,\cdot_R, 0_R,1_R)$이 환이고 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍의 덧셈이 $+_n$이고 스칼라곱이 $\cdot_n$일때
임의의 $a,b,c\in R$와 임의의 $x ,y,z\in R^n$와 $\vec{0}_n = (0_R,0_R,\cdots,0_R)$에 대해 다음이 성립한다.
1. $x+_n y = y+_nx$
2. $(x+_ny)+_nz = x +_n(y+_nz)$
3. $x +_n \vec{0}_n = x$
4. $0_R \cdot_n x = \vec{0}_n$
5. $1_R \cdot_n x = x$
6. $(a\cdot_R b) \cdot_n x = a\cdot_n (b\cdot_n x)$
7. $c\cdot_n (x+_n y) = (c\cdot_n x) +_n (c\cdot_n y)$
8. $(a+_R b)\cdot_n x = (a\cdot_n x) +_n (b\cdot_n x)$
9. $x +_n ((-1_R)\cdot_n x) = \vec{0}_n$
증명
$x =(x_1,x_2,\cdots,x_n),y= (y_1,y_2,\cdots,y_n),z =(z_1,z_2,\cdots,z_n)$일때
환의 정의와 환 정리와 $n$-순서쌍의 상등으로 다음이 성립한다.
1.
$\begin{align*} x +_n y = (x_{1}+_Ry_{1},x_{2}+_Ry_{2}, \cdots ,x_{n}+_Ry_{n}) = (y_{1}+_Rx_{1},y_{2}+_Rx_{2}, \cdots ,y_{n}+_Rx_{n}) = y+_n x \end{align*}$
2.
$\begin{align*} x +_n (y +_n z) &= (x_{1}+_R(y_{1} +_R z_{1}),x_{2}+_R(y_{2} +_R z_{2}), \cdots ,x_{n}+_R(y_{n} +_R z_{n})) \\[0.5em] &= ((x_{1}+_Ry_{1}) +_R z_{1},(x_{2}+_Ry_{2}) +_R z_{2}, \cdots ,(x_{n}+_Ry_{n}) +_R z_{n}) \\[0.5em] &= (x+_n y)+_n z \end{align*}$
3.
$x +_n \vec{0}_n = (x_{1}+_R0_R,x_{2}+_R0_R, \cdots ,x_{n}+_R0_R) = (x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n}) = x $
4.
$ 0_R\cdot_n x = (0_R \cdot_R x_{1}, 0_R \cdot_R x_{2}, \cdots , 0_R \cdot_R x_{n}) = (0_R,0_R, \cdots ,0_R) = \vec{0}_n$
5.
$ 1_R\cdot_n x = (1_R \cdot_R x_{1}, 1_R \cdot_R x_{2}, \cdots , 1_R \cdot_R x_{n}) = (x_{1},x_{2}, \cdots ,x_{n}) = x$
6.
$\begin{align*} (a\cdot_R b)\cdot_n x &= ((a\cdot_R b) \cdot_R x_{1}, (a\cdot_R b) \cdot_R x_{2}, \cdots , (a\cdot_R b) \cdot_R x_{n}) \\[0.5em] &=(a\cdot_R (b \cdot_R x_{1}), a\cdot_R (b \cdot_R x_{2}), \cdots , a\cdot_R (b \cdot_R x_{n})) \\[0.5em] &= a\cdot_n (b\cdot_n x) \end{align*} $
7.
$\begin{align*} c\cdot_n (x +_n y) &= (c \cdot_R ( x_{1}+_Ry_{1}), c \cdot_R (x_{2}+_Ry_{2}), \cdots , c \cdot_R (x_{n}+_Ry_{n})) \\[0.5em] &= ((c \cdot_R x_{1})+_R(c \cdot_R y_{1}), (c \cdot_R x_{2})+_R (c \cdot_R y_{2}), \cdots , (c \cdot_R x_{n})+_R (c \cdot_R y_{n})) \\[0.5em] &= (c \cdot_n x) +_n (c \cdot_n y) \end{align*} $
8.
$\begin{align*} (a+_R b)\cdot_n x &= ((a+_R b) \cdot_R x_{1}, (a+_R b) \cdot_R x_{2}, \cdots , (a+_R b) \cdot_R x_{n}) \\[0.5em] &= ((a\cdot_R x_{1}) +_R (b \cdot_R x_{1}), (a\cdot_R x_{2}) +_R (b \cdot_R x_{2}), \cdots , (a\cdot_R x_{n})+_R (b \cdot_R x_{n})) \\[0.5em] &= (a\cdot_n x) +_n (b\cdot_n y) \end{align*} $
9.
$ x +_n ((-1_R)\cdot_n x) = (x_{1} +_R (-x_{1}) ,x_{2}+_R (-x_{2}), \cdots ,x_{n}+_R (-x_{n})) = (0_R, 0_R, \cdots, 0_R) =\vec{0}_n$
정리13
$(R,+_R,\cdot_R, 0_R,1_R)$이 환이고 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍의 덧셈이 $+_n$이고 스칼라곱이 $\cdot_n$이고 성분곱이 $\odot$일때
임의의 $x ,y,z\in R^n$와 $\vec{0}_n = (0_R,0_R,\cdots,0_R), \vec{1}_n = (1_R,1_R,\cdots, 1_R)\in R^n$에 대해 다음이 성립한다.
1. $x\odot (y+_nz) = (x \odot y) +_n (x \odot z)$
2. $(x+_ny)\odot z = (x\odot z) +_n (y \odot z)$
3. $x\odot \vec{1}_n = x = \vec{1}_n \odot x$
4. $x\odot \vec{0}_n =\vec{0}_n = \vec{0}_n\odot x$
5. 임의의 $c\in R$에 대해 $(c\cdot_n x) \odot y = c\cdot_n(x\odot y)$이다.
6. 임의의 $c\in R$에 대해 $(c,c,\cdots,c) \in R^n$일때 $c\cdot_n x = (c,c,\cdots,c)\odot x$이다.
7. $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 가환환이면 $x\odot y = y\odot x$이다.
8. $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 가환환이면 임의의 $c\in R$에 대해 $c\cdot_n (x \odot y) = x \odot (c\cdot_n y)= (c\cdot_n x) \odot y$이다.
증명
$x =(x_1,x_2,\cdots,x_n),y= (y_1,y_2,\cdots,y_n),z =(z_1,z_2,\cdots,z_n)$일때
환의 정의와 환 정리와 $n$-순서쌍의 상등으로 다음이 성립한다.
1.
$\begin{align*} x\odot (y+_nz) & = (x_1,x_2,\cdots,x_n) \odot (y_1+_R z_1,y_2+_Rz_2,\cdots, y_n+_R z_n) \\[0.5em] &= (x_1\cdot_R (y_1+_R z_1),x_2\cdot_R (y_2+_Rz_2),\cdots, x_n\cdot_R (y_n+_R z_n)) \\[0.5em] &= ((x_1\cdot_R y_1 )+_R (x_1\cdot_Rz_1),(x_2\cdot_R y_2)+_R(x_2\cdot_R z_2),\cdots, (x_n\cdot_R y_n)+_R (x_n\cdot_Rz_n)) \\[0.5em] &= (x_1\cdot_R y_1 ,x_2\cdot_R y_2,\cdots, x_n\cdot_R y_n) +_n (x_1\cdot_Rz_1,x_2\cdot_R z_2,\cdots, x_n\cdot_Rz_n) \\[0.5em] &= (x \odot y) +_n (x \odot z) \end{align*}$
2.
$\begin{align*} (x+_ny)\odot z & = (x_1+_R y_1,x_2+_Ry_2,\cdots, x_n+_R y_n) \odot (z_1,z_2,\cdots,z_n) \\[0.5em] &= ((x_1+_R y_1)\cdot_R z_1,(x_2+_Ry_2)\cdot_R z_2,\cdots, (x_n+_R y_n)\cdot_R z_n) \\[0.5em] &= ((x_1\cdot_R z_1)+_R (y_1\cdot_R z_1),(x_2\cdot_R z_2)+_R(y_2\cdot_R z_2),\cdots, (x_n\cdot_R z_n) +_R (y_n\cdot_R z_n)) \\[0.5em] &= (x_1\cdot_R z_1,x_2\cdot_R z_2,\cdots, x_n\cdot_R z_n) +_n (y_1\cdot_R z_1,y_2\cdot_R z_2,\cdots, y_n\cdot_R z_n) \\[0.5em] & = (x\odot z) +_n (y \odot z) \end{align*} $
3.
$\begin{align*} x\odot \vec{1}_n = (x_1,x_2,\cdots,x_n) \odot (1_R,1_R,\cdots, 1_R ) = (x_1\cdot_R 1_R,x_2\cdot_R 1_R,\cdots,x_n\cdot_R 1_R) = (x_1,x_2,\cdots,x_n) = x \text{ 이고}\end{align*} $
$\begin{align*} \vec{1}_n \odot x= (1_R,1_R,\cdots, 1_R )\odot (x_1,x_2,\cdots,x_n) = (1_R \cdot_R x_1,1_R \cdot_R x_2,\cdots,1_R \cdot_R x_n)=(x_1,x_2,\cdots,x_n) = x \text{ 이다.}\end{align*} $
4.
$\begin{align*} x\odot \vec{0}_n = (x_1,x_2,\cdots,x_n) \odot (0_R,0_R,\cdots, 0_R ) = (x_1\cdot_R 0_R,x_2\cdot_R 0_R,\cdots,x_n\cdot_R 0_R) = (0_R,0_R,\cdots,0_R) = \vec{0}_n \text{ 이고}\end{align*} $
$\begin{align*} \vec{0}_n \odot x= (0_R,0_R,\cdots, 0_R )\odot (x_1,x_2,\cdots,x_n) = (0_R \cdot_R x_1,0_R \cdot_R x_2,\cdots,0_R \cdot_R x_n)=(0_R,0_R,\cdots,0_R) = \vec{0}_n \text{ 이다.}\end{align*} $
5.
$\begin{align*} (c\cdot_n x) \odot y & = (c\cdot_R x_1,c\cdot_R x_2,\cdots,c\cdot_R x_n) \odot (y_1,y_2,\cdots,y_n) \\[0.5em] & =((c\cdot_R x_1)\cdot_R y_1,(c\cdot_R x_2)\cdot_R y_2,\cdots,(c\cdot_R x_n)\cdot_R y_n) \\[0.5em] & =(c\cdot_R (x_1\cdot_R y_1),c\cdot_R (x_2\cdot_R y_2),\cdots,c\cdot_R (x_n\cdot_R y_n)) \\[0.5em] & = c\cdot_n(x\odot y) \end{align*}$
6.
$c\cdot_n x = (c\cdot_R x_1,c\cdot_R x_2,\cdots,c\cdot_R x_n) = (c,c,\cdots,c)\odot (x_1,x_2,\cdots,x_n) = (c,c,\cdots,c)\odot x$
7.
가환환의 정의로 $\begin{align*} x\odot y = (x_1\cdot_R y_1,x_2\cdot_R y_2,\cdots,x_n\cdot_R y_n) = (y_1\cdot_R x_1,y_2\cdot_R x_2,\cdots,y_n\cdot_R x_n)= y\odot x \end{align*}$이다.
8.
$\begin{align*} (c\cdot_n x) \odot y & = (c\cdot_R x_1,c\cdot_R x_2,\cdots,c\cdot_R x_n) \odot (y_1,y_2,\cdots,y_n) \\[0.5em] & =((c\cdot_R x_1)\cdot_R y_1,(c\cdot_R x_2)\cdot_R y_2,\cdots,(c\cdot_R x_n)\cdot_R y_n) \\[0.5em] & =((x_1\cdot_R c)\cdot_R y_1,(x_2\cdot_R c)\cdot_R y_2,\cdots,(x_n\cdot_R c)\cdot_R y_n) \\[0.5em] & =(x_1\cdot_R (c\cdot_R y_1),x_2\cdot_R (c\cdot_R y_2),\cdots,x_n\cdot_R (c\cdot_R y_n)) \\[0.5em] & = x\odot (c\cdot_n y) \text{ 이므로} \end{align*}$
5번으로 $(c\cdot_n x)\odot y =c\cdot_n (x \odot y) = x \odot (c\cdot_n y)$이다.
정리14
$(R,+_R,\cdot_R, 0_R,1_R)$이 나눗셈환이고 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍의 성분곱이 $\odot$일때
임의의 $x, y \in R^n$와 $\vec{1}_n = (1_R,1_R,\cdots, 1_R)\in R^n$에 대해 다음이 성립한다.
1. $x$의 성분이 가역이기 위한 필요충분조건은 $x\odot z = \vec{1}_n = z\odot x$인 $z\in R^n$가 존재하는 것이다.
이때 $x$의 성분곱에 대한 역원은 $x^{-1} = z$이다.
2. $\vec{1}_n$의 성분은 가역이고 $\vec{1}_n^{-1} = \vec{1}_n$이다.
3. $x$의 성분이 가역이면 $x^{-1}$의 성분은 가역이고 $(x^{-1})^{-1}=x$이다.
4. $x,y$의 성분이 가역이기 위한 필요충분조건은 $x\odot y$의 성분이 가역인 것이다.
이때 $(x\odot y)^{-1} = y^{-1}\odot x^{-1}$이 성립한다.
5. $x\odot y = \vec{1}_n$이면 $x,y$의 성분은 가역이고 $x =y^{-1}$과 $y = x^{-1}$이 성립한다.
증명
$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n),y= (y_1,y_2,\cdots,y_n)$일때
1.
$x$의 성분이 가역이면
나눗셈환의 정의로 성분곱에 대한 역원 $x^{-1} = (x_1^{-1},x_2^{-1},\cdots,x_n^{-1})\in R^n$에 대해
$x\odot x^{-1} = (x_1\cdot_R x_1^{-1},x_2\cdot_R x_2^{-1},\cdots, x_n\cdot_R x_n^{-1}) = (1,1,\cdots, 1) = \vec{1}_n$이고
$x^{-1}\odot x = (x_1^{-1}\cdot_R x_1,x_2^{-1}\cdot_R x_2,\cdots, x_n^{-1}\cdot_R x_n) = (1,1,\cdots, 1) = \vec{1}_n$이다.
또 $x\odot z = \vec{1}_n = z\odot x$인 $z\in R^n$가 존재하면 위 정리로 $x^{-1} = x^{-1} \odot \vec{1}_n = x^{-1}\odot x \odot z = \vec{1}_n \odot z = z$이다.
역으로 $x\odot z = \vec{1}_n = z\odot x$인 $z = (z_1,z_2,\cdots,z_n)\in R^n$가 존재할때 $x$의 성분이 가역이 아니면
$x_i = 0_R$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재하여 환 정리로
$\begin{align*} (1,\cdots,1,1,1,\cdots, 1)&=\vec{1}_n \\[0.5em]&=x\odot z\\[0.5em] &= (x_1,\cdots,x_{i-1}, x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)\odot (z_1,\cdots,z_{i-1}, z_i,z_{i+1},\cdots, z_n)\\[0.5em]& = (x_1\cdot_R z_1,\cdots,x_{i-1}\cdot_R z_{i-1} ,x_i\cdot_R z_i,x_{i+1}\cdot_R z_{i+1},\cdots,x_n\cdot_R z_n) \\[0.5em] & = (x_1\cdot_R z_1,\cdots,x_{i-1}\cdot_R z_{i-1},0,x_{i+1}\cdot_R z_{i+1},\cdots,x_n\cdot_R z_n) \text{ 인데}\end{align*}$
나눗셈환의 정의와 $n$-순서쌍의 상등에 모순이므로 $x$의 성분은 가역이다.
2.
나눗셈환의 정의로 $\vec{1}_n=(1,1,\cdots,1)$의 성분은 가역이고 위 정리와 1번으로 $\vec{1}_n^{-1} = \vec{1}_n^{-1}\odot \vec{1}_n = \vec{1}_n$이다.
3.
$(x^{-1})^{-1} = (x_1^{-1} , x_2^{-1},\cdots,x_n^{-1})^{-1} = ((x_1^{-1})^{-1},(x_2^{-1})^{-1},\cdots, (x_n^{-1})^{-1}) = (x_1,x_2,\cdots,x_n) = x$이다.
4.
나눗셈환 정리로 모든 $i= 1,2,\cdots, n$에 대해
$x_i\ne 0_R$이고 $y_i\ne 0_R$이기 위한 필요충분조건은 $x_i\cdot_R y_i \ne 0_R$인 것이므로
$x,y$의 성분이 가역이기 위한 필요충분조건은 $x\odot y$의 성분이 가역인 것이다.
또 나눗셈환 정리로
$(x\odot y)^{-1} = ((x_1\cdot_R y_1)^{-1},(x_2\cdot_R y_2)^{-1},\cdots, (x_n\cdot_R y_n)^{-1}) = (y_1^{-1}\cdot_Rx_1^{-1},y_2^{-1}\cdot_R x_2^{-1},\cdots,y_n^{-1}\cdot_R x_n^{-1}) = y^{-1}\odot x^{-1}\text{ 이다.}$
5.
$x\odot y = \vec{1}_n$이면 $n$-순서쌍의 상등으로 모든 $i= 1,2,\cdots, n$에 대해 $x_i\cdot_R y_i = 1_R$이므로
나눗셈환 정리로 $x_i\ne 0_R$과 $y_i \ne 0_R$이 성립하고 $x_i = y_i^{-1}$와 $y_i = x_i^{-1}$이 성립하여
$x,y$의 성분은 가역이고 $x =y^{-1}$과 $y = x^{-1}$이 성립한다.
정리18
체 $(F,+_F,\cdot_F, 0_F,1_F)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$와 $m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 $F$-벡터공간 $(F^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$에 대해
$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $(F^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환이 $T : V \to F^m$일때
임의의 $w \in F^m$와 성분곱 $\odot$에 대해 모든 $x\in V$가 $U(x) = w\odot T(x)$인
함수 $U : V \to F^m$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $(F^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환이다.
증명
선형변환 정리와 위 정리로 모든 $x,y\in V$와 임의의 $c\in F$에 대해
$\begin{align*}U(c\cdot_V x+_V y) &= w\odot T(c\cdot_V x+_V y) \\[0.5em]&= w\odot (c\cdot_m T(x) +_m T(y)) \\[0.5em]&= (w\odot (c\cdot_m T(x))) +_m (w\odot T(y)) \\[0.5em]&= c\cdot_m (w\odot T(x)) +_m (w\odot T(y)) \\[0.5em] &= c\cdot_m U(x) +_m U(y) \text{ 이므로}\end{align*}$
다시 선형변환 정리로 $U$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $(F^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환이다.
정의2
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$일때
임의의 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$의 성분절댓값을 $|x|_n = ($$|x_1|$$,|x_2|,\cdots, |x_n|)\in \mathbb{R}^n$으로 정의한다.
정리15
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$일때
성분곱 $\odot$와 임의의 $x, y \in \mathbb{R}^n$와 성분절댓값 $|x|_n,|y|_n\in \mathbb{R}^n$에 대해 다음이 성립한다.
1. $\lVert x\odot y\rVert_n \le \lVert x\rVert_n \cdot \lVert y\rVert_n$
2. $|x\odot y|_n = |x|_n \odot |y|_n$
3. $x$의 성분이 가역이면 $\lVert x\rVert_n \ne 0$이다.
4. $x$의 성분이 가역이기 위한 필요충분조건은 $|x|_n$의 성분이 가역인 것이다.
증명
$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n),y= (y_1,y_2,\cdots,y_n)$일때
1.
$\displaystyle \lVert x\odot y\rVert_n^2= \sum_{i=1}^n (x_i\cdot y_i)^2 \le \left (\sum_{i=1}^n x_i^2\right )\cdot \left ( \sum_{i=1}^n y_i^2\right ) = \lVert x\rVert_n^2 \cdot \lVert y\rVert_n^2$임을 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 보인다.
$n = 1$이면 $(x_1\cdot y_1)^2 =x_1^2\cdot y_1^2 $이다.
모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \sum_{i=1}^k (x_i\cdot y_i)^2 \le \left (\sum_{i=1}^k x_i^2\right )\cdot \left ( \sum_{i=1}^k y_i^2\right ) $일때
$\begin{align*} \sum_{i=1}^{k+1} (x_i\cdot y_i)^2 & = \sum_{i=1}^{k} (x_i\cdot y_i)^2 + (x_{k+1}\cdot y_{k+1})^2 \\[0.5em] & \le \left (\sum_{i=1}^k x_i^2\right )\cdot \left ( \sum_{i=1}^k y_i^2\right ) + x_{k+1}^2 \cdot y_{k+1}^2 \\[0.5em] & \le \left (\sum_{i=1}^k x_i^2\right )\cdot \left ( \sum_{i=1}^k y_i^2\right ) + x_{k+1}^2 \cdot \left ( \sum_{i=1}^k y_i^2\right ) + y_{k+1}^2 \cdot \left (\sum_{i=1}^k x_i^2\right ) + x_{k+1}^2 \cdot y_{k+1}^2 \\[0.5em] & \quad = \left (\sum_{i=1}^k x_i^2 + x_{k+1}^2 \right)\cdot \left ( \sum_{i=1}^k y_i^2 + y_{k+1}^2 \right ) \\[0.5em] & \quad = \left (\sum_{i=1}^{k+1} x_i^2 \right)\cdot \left ( \sum_{i=1}^{k+1} y_i^2 \right ) \text{ 이다.} \end{align*}$
따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \lVert x\odot y\rVert_n^2= \sum_{i=1}^n (x_i\cdot y_i)^2 \le \left (\sum_{i=1}^n x_i^2\right )\cdot \left ( \sum_{i=1}^n y_i^2\right ) = \lVert x\rVert_n^2 \cdot \lVert y\rVert_n^2$이므로
부등식 정리로 $\lVert x\odot y\rVert_n \le \lVert x\rVert_n \cdot \lVert y\rVert_n$이다.
2.
$|x\odot y|_n = (|x_1\cdot y_1|,|x_2\cdot y_2|,\cdots, |x_n\cdot y_n|) =(|x_1|\cdot |y_1|,|x_2|\cdot |y_2|,\cdots, |x_n|\cdot |y_n|) = |x|_n \odot |y|_n$이다.
3.
$x$의 성분이 가역이면 $x\ne \vec{0}_n$이므로 노름정리로 $\lVert x\rVert_n \ne 0$이다.
4.
절댓값 정리로 모든 $i= 1,2,\cdots,n$에 대해 $x_i \ne 0$이기 위한 필요충분조건은 $|x_i|\ne 0$인 것이므로
$x$의 성분이 가역이기 위한 필요충분조건은 $|x|_n$의 성분이 가역인 것이다.
정리2
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)$의 노름이 $\lVert \cdot \rVert :V\to [0,\infty)$이고
$m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 $\mathbb{R}$-벡터공간 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
모든 $v_1,v_2 \in V$에 대해 $d(v_1,v_2) = \lVert v_1-v_2\rVert$인 거리함수 $d : V\times V \to [0,\infty)$와
모든 $y_1,y_2 \in \mathbb{R}^m$에 대해 $d_m(y_1,y_2) = \lVert y_1-y_2\rVert_m$인 거리함수 $d_m : \mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^m \to [0,\infty)$과
정의역이 $E\subseteq V$인 함수 $f,g:E\to \mathbb{R}^m$와 거리공간 $(V,d)$에서 $E$의 집적점 $x_0 \in \underset{(V,d)}{E'}$에 대해
함수의 극한이 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} f(x) = L\in \mathbb{R}^m$과 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} g(x) = M\in \mathbb{R}^m$이면 다음이 성립한다.
1. 임의의 $c\in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} (c\cdot_m f(x)) = c\cdot_m L$이다.
2. $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} (f(x)+_m g(x)) = L+_m M$
3. 임의의 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} (a\cdot_m f(x) +_m b\cdot_mg(x)) = a\cdot_m L +_m b\cdot_m M$이다.
증명
1.
$c = 0$이면 모든 $x\in E$에 대해 $c\cdot_m f(x) = 0\cdot_m f(x) = \vec{0}_m$이므로
위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} (c\cdot_m f(x)) =\lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m}(0\cdot_m f(x)) = \vec{0}_m = 0\cdot_m L = c\cdot_m L$이다.
$c\ne 0$이면 함수의 극한의 정의로 모든 $\epsilon >0$에 대해
$0<\lVert x-x_0\rVert<\delta(\frac{\epsilon}{|c|})$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x) - L\rVert_m <\dfrac{\epsilon}{|c|}$인 $\delta(\frac{\epsilon}{|c|}) > 0$가 존재하므로
노름의 정의로 $\lVert c\cdot_m f(x) - c\cdot_m L\rVert_m = \lVert c\cdot_m (f(x) - L)\rVert_m = |c|\cdot \lVert f(x)-L\rVert_m <|c|\cdot \dfrac{\epsilon}{|c|} = \epsilon$이 되어
함수의 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} (c\cdot_m f(x)) = c\cdot_m L$이다.
2.
함수의 극한의 정의로 모든 $\epsilon >0$에 대해
$0<\lVert x-x_0\rVert<\delta_1(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x) - L\rVert_m <\dfrac{\epsilon}{2}$인 $\delta_1(\frac{\epsilon}{2}) > 0$이 존재하고
$0<\lVert x-x_0\rVert<\delta_2(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $x\in E$가 $\lVert g(x) - M\rVert_m <\dfrac{\epsilon}{2}$인 $\delta_2(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재하므로
노름의 정의로 $\lVert f(x) +_m g(x) - (L +_mM)\rVert_m \le \lVert f(x) - L\rVert_m + \lVert g(x) -M\rVert_m < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이 되어
함수의 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} (f(x)+_m g(x)) = L+_m M$이다.
3.
1, 2번으로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} (a\cdot_m f(x) +_m b\cdot_mg(x)) = a\cdot_m L +_m b\cdot_m M$이다.
정리3
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)$의 노름이 $\lVert \cdot \rVert :V\to [0,\infty)$이고
$m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 $\mathbb{R}$-벡터공간 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$이고
정의역이 $E\subseteq V$인 함수 $f :E\to \mathbb{R}^m$와 $f_1,f_2,\cdots,f_m :E\to \mathbb{R}$이
모든 $x\in E$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_m(x))\in \mathbb{R}^m$일때
모든 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 $d_1(a,b) = |a-b|$인 거리함수 $d_1 : \mathbb{R}\times \mathbb{R} \to [0,\infty)$과
임의의 $L = (L_1,L_2,\cdots,L_m)\in \mathbb{R}^m$과 위 정리에 나온 거리공간 $(V,d)$, $(\mathbb{R}^m,d_m)$과
거리공간 $(V,d)$에서 $E$의 집적점 $x_0 \in \underset{(V,d)}{E'}$에 대해
함수의 극한이 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} f(x) = L$이기 위한 필요충분조건은 모든 $i = 1,2,\cdots,m$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_1} f_i(x) = L_i$인 것이다.
증명
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} f(x) = L$이면
임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $0<\lVert x-x_0\rVert<\delta(\epsilon)$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x) - L\rVert_m <\epsilon$인 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하여
임의의 $i= 1,2,\cdots, m$에 대해
$\begin{align*}\lVert f_i(x) - L_i \rVert_1 =|f_i(x) - L_i| = \sqrt{(f_i(x) - L_i)^2} \le \sqrt{\sum_{i= 1}^m (f_i(x) - L_i)^2} = \lVert f(x) - L\rVert_m <\epsilon \end{align*}$이므로
함수의 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_1} f_i(x) = L_i$이다.
역으로 모든 $i = 1,2,\cdots,m$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_1} f_i(x) = L_i$이면
모든 $\epsilon >0$에 대해 $0<\lVert x-x_0\rVert <\delta_i(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}})$인 모든 $x\in E$가
$|f_i(x) - L_i| = \lVert f_i(x) - L_i\rVert_1 < \dfrac{\epsilon}{\sqrt{m}}$이 되는 $\delta_i(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}) > 0$이 존재하여
$0<\lVert x-x_0\rVert < \min\{ \delta_1(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}) ,\delta_2(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}),\cdots, \delta_m(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}))\}$인 모든 $x\in E$가
$(f_i(x) - L_i)^2= |f_i(x) - L_i|^2 < \dfrac{\epsilon^2}{m}$이고 $\displaystyle \sum_{i=1}^m (f_i(x) - L_i)^2< \epsilon^2$임에 따라
$\begin{align*} \lVert f(x) - L\rVert_m & = \sqrt{\sum_{i=1}^m (f_i(x) - L_i)^2} \lt \epsilon\end{align*} $이므로 함수의 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} f(x) = L$이다.
정리16
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)$의 노름이 $\lVert \cdot \rVert :V\to [0,\infty)$이고
$m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 $\mathbb{R}$-벡터공간 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$이고
위 정리에 나온 거리공간이 $(V,d)$, $(\mathbb{R}^m,d_m)$, $(\mathbb{R},d_1)$일때
임의의 $E\subseteq V$와 거리공간 $(V,d)$에서 $E$의 집적점인 $x_0 \in \underset{(V,d)}{E'}$과 함수 $f :E\to \mathbb{R}^m$에 대해
함수의 극한이 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} f(x) = L\in \mathbb{R}^m$이면 다음이 성립한다.
1. 어떤 $M >0$에 대해 $\lVert x-x_0\rVert < \delta$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x)\rVert_m \le M$이 되는 $\delta >0$가 존재한다.
2. $L$의 성분이 가역이면 $0<\lVert x-x_0\rVert < \delta$인 모든 $x\in E$에 대해 $f(x)$의 성분이 가역인 $\delta > 0$가 존재한다.
증명
1.
위 정리로 $\vec{0}_m \in \mathbb{R}^m$과 어떤 $M >0$에 대해
$\lVert x-x_0\rVert < \delta$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x)\rVert_m=\lVert f(x) -\vec{0}_m\rVert_m \le M$이 되는 $\delta >0$가 존재한다.
2.
모든 $x\in E$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_m(x))$인 함수가 $f_1,f_2,\cdots,f_m : E\to \mathbb{R}$일때
$L=(L_1,L_2,\cdots,L_m)\in \mathbb{R}^m$의 성분이 가역이므로
위 정리로 모든 $i=1,2,\cdots, m$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_1} f_i(x) = L_i\ne 0$가 성립하여 함수의 극한의 정의로
$0<\lVert x-x_0\rVert < \delta_i(\frac{|L_i|}{2})$인 모든 $x\in E$에 대해 $-\dfrac{|L_i|}{2}<f_i(x) - L_i<\dfrac{|L_i|}{2}$이 되는 $\delta_i(\frac{|L_i|}{2})>0$가 존재한다.
$L_i >0$이면 $|L_i| = L_i$이므로 $-\dfrac{L_i}{2} = -\dfrac{|L_i|}{2}<f_i(x) - L_i$가 되어 $0< \dfrac{L_i}{2} = L_i - \dfrac{L_i}{2} < f_i(x)$이고
$L_i < 0$이면 $|L_i| = -L_i$이므로 $f_i(x) - L_i<\dfrac{|L_i|}{2} = -\dfrac{L_i}{2}$가 되어 $f_i(x) < -\dfrac{L_i}{2} +L_i = \dfrac{L_i}{2} < 0$임에 따라
$0<\lVert x-x_0\rVert < \delta_i(\frac{|L_i|}{2})$인 모든 $x\in E$에 대해 $f_i(x) \ne 0$이다.
따라서 $0<\lVert x-x_0\rVert < \min\{\delta_1(\frac{|L_1}{2}), \delta_2(\frac{|L_2|}{2}),\cdots, \delta_m(\frac{|L_m|}{2})\}$인 모든 $x\in E$에 대해
$f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_m(x))$의 성분은 가역이다.
정리9
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)$의 노름이 $\lVert \cdot \rVert :V\to [0,\infty)$이고
$m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 $\mathbb{R}$-벡터공간 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$이고
위 정리에 나온 거리공간이 $(V,d)$, $(\mathbb{R}^m,d_m)$, $(\mathbb{R},d_1)$이고 성분곱이 $\odot$일때
임의의 $E\subseteq V$와 거리공간 $(V,d)$에서 $E$의 집적점인 $x_0 \in \underset{(V,d)}{E'}$과 함수 $f,g :E\to \mathbb{R}^m$에 대해
함수의 극한이 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} f(x) = L\in \mathbb{R}^m$이고 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} g(x) = M\in \mathbb{R}^m$이면 다음이 성립한다.
1. $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} (f(x)\odot g(x)) = L\odot M$
2. 모든 $x\in E$에 대해 $g(x)$와 $M$의 성분이 가역일때 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} \dfrac{f(x)}{g(x)} = $ $\dfrac{L}{M}$이다.
3. $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} | f(x) |_m = $ $| L|_m$
4. $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_1} \lVert f(x)\rVert_m = \lVert L\rVert_m$
증명
모든 $x\in E$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_m(x))$인 함수가 $f_1,f_2,\cdots,f_m : E\to \mathbb{R}$이고
모든 $x\in E$에 대해 $g(x) = (g_1(x),g_2(x),\cdots, g_m(x))$인 함수가 $g_1,g_2,\cdots,g_m : E\to \mathbb{R}$이고
$L=(L_1,L_2,\cdots, L_m)\in \mathbb{R}^m$이고 $M=(M_1,M_2,\cdots,M_m)\in \mathbb{R}^m$일때
1.
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} f(x) = L$이므로 위 정리로
어떤 $a>0$에 대해 $\lVert x-x_0\rVert < \delta$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x)\rVert_m \le a$이 되는 $\delta >0$가 존재하여
$b =\max \{ \lVert M\rVert_m, a \} > 0$를 정의할때 함수의 극한의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해
$0<\lVert x-x_0\rVert < \eta_1(\frac{\epsilon}{2\cdot b})$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x) - L\rVert_m<\dfrac{\epsilon}{2\cdot b}$인 $\eta_1(\frac{\epsilon}{2\cdot b}) >0$가 존재하고
$0<\lVert x-x_0\rVert < \eta_2(\frac{\epsilon}{2\cdot b})$인 모든 $x\in E$가 $\lVert g(x) - M\rVert_m<\dfrac{\epsilon}{2\cdot b}$인 $\eta_2(\frac{\epsilon}{2\cdot b}) >0$가 존재하므로
$0<\lVert x-x_0\rVert < $ $\min$$ \left \{\eta_1(\frac{\epsilon}{2\cdot b}), \eta_2(\frac{\epsilon}{2\cdot b}) ,\delta\right \}$인 모든 $x\in E$에 대해 노름의 정의와 위 정리와 위 정리로
$\begin{align*} \lVert f(x)\odot g(x) - L\odot M\rVert_m &= \lVert(f(x)\odot g(x) - f(x)\odot M) +_m (f(x)\odot M - L\cdot M)\rVert_m \\[0.5em] &\le \lVert f(x)\odot g(x) - f(x)\odot M\rVert_m + \lVert f(x)\odot M - L\odot M\rVert_m = \lVert f(x)\odot (g(x) -M) \rVert_m + \lVert (f(x)-L)\odot M \rVert_m \\[0.5em] & \le \lVert f(x)\rVert_m \cdot \lVert g(x) - M\rVert_m + \lVert f(x) - L\rVert_m \cdot \lVert M\rVert_m \\[0.5em] & \le a\cdot \lVert g(x)-M\rVert_m + \lVert f(x)-L\rVert_m\cdot \lVert M\rVert_m \\[0.5em] &\le b \cdot \lVert g(x) - M\rVert_m + \lVert f(x) - L\rVert_m \cdot b \\[0.5em] &< b \cdot \frac{\epsilon}{2\cdot b} + \frac{\epsilon}{2\cdot b}\cdot b = \epsilon \text{ 임에 따라} \end{align*}$
함수의 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} (f(x)\odot g(x)) = L\odot M$이다.
2.
모든 $x\in E$에 대해 $\dfrac{f(x)}{g(x)} = \left ( \dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}, \dfrac{f_2(x)}{g_2(x)},\cdots, \dfrac{f_m(x)}{g_m(x)}\right )\in \mathbb{R}^m$이고
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} f(x) = L$과 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} g(x) = M$이 성립하므로
위 정리로 모든 $i=1,2,\cdots, m$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_1} f_i(x) = L_i$와 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_1} g_i(x) = M_i$가 성립하여
거리공간 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_1} \dfrac{f_i(x)}{g_i(x)} = \dfrac{L_i}{M_i}$임에 따라 다시 위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$이다.
3.
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} f(x) = L$이므로 위 정리로 모든 $i=1,2,\cdots, m$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_1} f_i(x) = L_i$가 성립하여
거리공간 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_1} |f_i(x)| = |L_i|$임에 따라 다시 위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_m} |f(x)|_m = |L|_m$이다.
4.
함수의 극한의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해
$0<\lVert x-x_0\rVert< \delta (\epsilon)$인 모든 $x \in E$가 $\lVert f(x) - L\rVert_m<\epsilon$이 되는 $\delta (\epsilon) > 0$이 존재하여
노름정리로 $-\lVert f(x)-L\rVert_m \le \lVert f(x)\rVert_m - \lVert L\rVert_m \le \lVert f(x) - L\rVert_m$이므로
부등식 정리로 $|\lVert f(x) \rVert_m - \lVert L\rVert_m| \le \lVert f(x)-L\rVert_m <\epsilon$임에 따라 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d,d_1} \lVert f(x)\rVert_m = \lVert L\rVert_m$이다.
정리4
거리공간이 $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$일때 $E\subseteq X$인 부분거리공간 $(E,d_X)$와 어떤 $L \in Y$에 대해
모든 $x\in E$가 $f(x) = L$인 함수 $f:E\to Y$는 $(E,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 임의의 $x_0\in E$에서 연속이다.
증명
모든 $\epsilon >0$에 대해 모든 $x\in E$는
거리공간의 정의로 $d_Y(f(x),f(x_0)) = d_Y(L,L) = 0<\epsilon$이므로 $f$는 $(E,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
정리5
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)$의 노름이 $\lVert \cdot \rVert :V\to [0,\infty)$이고
$m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 $\mathbb{R}$-벡터공간 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
위 정리에 나온 거리공간 $(V,d)$, $(\mathbb{R}^m,d_m)$과 $E\subseteq V$인 부분거리공간 $(E,d)$에 대해
함수 $f,g:E\to \mathbb{R}^m$가 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 임의의 $x_0 \in E$에서 연속이면 다음이 성립한다.
1. 임의의 $c\in \mathbb{R}$와 모든 $x\in E$에 대해 $F(x) = c\cdot_m f(x)$인
함수 $F:E\to \mathbb{R}^m$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
2. 모든 $x\in E$에 대해 $G(x) = f(x) +_m g(x)$인 함수 $G :E\to \mathbb{R}^m$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
3. 임의의 $a,b \in \mathbb{R}$와 모든 $x\in E$에 대해 $H(x) = a\cdot_m f(x) +_m b\cdot_m g(x)$인
함수 $H :E\to \mathbb{R}^m$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
증명
1.
$c = 0$이면 모든 $x\in E$에 대해 $F(x) = c\cdot_m f(x) = 0\cdot_m f(x) = \vec{0}_m$이므로
위 정리로 $F$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
$c\ne 0$이면 연속의 정의로 모든 $\epsilon >0$에 대해
$\lVert x-x_0\rVert<\delta(\frac{\epsilon}{|c|})$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x) - f(x_0)\rVert_m <\dfrac{\epsilon}{|c|}$인 $\delta(\frac{\epsilon}{|c|}) > 0$가 존재하므로 노름의 정의로
$\lVert F(x)-F(x_0)\rVert_m =\lVert c\cdot_m f(x) - c\cdot_m f(x_0)\rVert_m = \lVert c\cdot_m (f(x) - f(x_0))\rVert_m = |c|\cdot \lVert f(x)-f(x_0) \rVert_m <|c|\cdot \dfrac{\epsilon}{|c|} = \epsilon \text{ 이 되어}$
연속의 정의로 $F$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
2.
연속의 정의로 모든 $\epsilon >0$에 대해
$\lVert x-x_0\rVert<\delta_1(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x) - f(x_0)\rVert_m <\dfrac{\epsilon}{2}$인 $\delta_1(\frac{\epsilon}{2}) > 0$이 존재하고
$\lVert x-x_0\rVert<\delta_2(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $x\in E$가 $\lVert g(x) - g(x_0)\rVert_m <\dfrac{\epsilon}{2}$인 $\delta_2(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재하므로 노름의 정의로
$\lVert G(x) - G(x_0)\rVert_m =\lVert f(x) +_m g(x) - (f(x_0) +_m g(x_0))\rVert_m \le \lVert f(x) - f(x_0)\rVert_m + \lVert g(x) -g(x_0)\rVert_m < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이 되어}$
연속의 정의로 $G$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
3.
1, 2번으로 $H$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
정리6
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)$의 노름이 $\lVert \cdot \rVert :V\to [0,\infty)$이고
$m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 $\mathbb{R}$-벡터공간 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
$E\subseteq V$인 부분거리공간 $(E,d)$와 함수 $f :E\to \mathbb{R}^m$와 $f_1,f_2,\cdots,f_m :E\to \mathbb{R}$이
모든 $x\in E$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_m(x))\in \mathbb{R}^m$일때
위 정리에 나온 거리공간 $(V,d)$, $(\mathbb{R}^m,d_m)$, $(\mathbb{R},d_1)$과 임의의 $x_0\in E$에 대해
$f$가 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이기 위한 필요충분조건은
모든 $i = 1,2,\cdots,m$에 대해 $f_i$가 $(E,d)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x_0$에서 연속인 것이다.
증명
$f$가 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이면
임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $\lVert x-x_0\rVert<\delta(\epsilon)$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x) - f(x_0)\rVert_m <\epsilon$인 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하여
임의의 $i= 1,2,\cdots, m$에 대해
$\begin{align*}\lVert f_i(x) - f_i(x_0) \rVert_1 =|f_i(x) - f_i(x_0)| = \sqrt{(f_i(x) - f_i(x_0))^2} \le \sqrt{\sum_{i= 1}^m (f_i(x) - f_i(x_0))^2} = \lVert f(x) - f(x_0)\rVert_m <\epsilon \text{ 이므로}\end{align*}$
$f_i$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
역으로 모든 $i = 1,2,\cdots,m$에 대해 $f_i$가 $(E,d)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x_0$에서 연속이면
모든 $\epsilon >0$에 대해 $\lVert x-x_0\rVert <\delta_i(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}})$인 모든 $x\in E$가
$|f_i(x) - f_i(x_0)| = \lVert f_i(x) - f_i(x_0)\rVert_1 < \dfrac{\epsilon}{\sqrt{m}}$이 되는 $\delta_i(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}) > 0$이 존재하여
$\lVert x-x_0\rVert < \min\{ \delta_1(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}) ,\delta_2(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}),\cdots, \delta_m(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}))\}$인 모든 $x\in E$가
$(f_i(x) - f_i(x_0))^2= |f_i(x) - f_i(x_0)|^2 < \dfrac{\epsilon^2}{m}$이고 $\displaystyle \sum_{i=1}^m (f_i(x) - f_i(x_0))^2< \epsilon^2$임에 따라
$\begin{align*} \lVert f(x) - f(x_0)\rVert_m & = \sqrt{\sum_{i=1}^m (f_i(x) - f_i(x_0))^2} \lt \epsilon\end{align*} $이므로 $f$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
정리10
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle \cdot,\cdot\rangle)$의 노름이 $\lVert \cdot \rVert :V\to [0,\infty)$이고
$m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 $\mathbb{R}$-벡터공간 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$이고
위 정리에 나온 거리공간이 $(V,d)$, $(\mathbb{R}^m,d_m)$, $(\mathbb{R},d_1)$이고 성분곱이 $\odot$일때
$E\subseteq V$인 부분거리공간 $(E,d)$와 임의의 $x_0\in E$에 대해
함수 $f,g:E\to \mathbb{R}^m$가 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이면 다음이 성립한다.
1. 모든 $x\in E$에 대해 $F(x) = f(x)\odot g(x)$인 함수 $F:E\to \mathbb{R}^m$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
2. 모든 $x\in E$에 대해 $g(x)$의 성분이 가역일때
모든 $x\in E$에 대해 $G(x) = $ $\dfrac{f(x)}{g(x)}$인 함수 $G:E\to \mathbb{R}^m$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
3. 모든 $x\in E$에 대해 $H(x) = $ $|f(x)|_m$인 함수 $H:E\to \mathbb{R}^m$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
4. 모든 $x\in E$에 대해 $h(x) = \lVert f(x)\rVert_m$인 함수 $h:E\to \mathbb{R}$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
증명
모든 $x\in E$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_m(x))$인 함수가 $f_1,f_2,\cdots,f_m : E\to \mathbb{R}$이고
모든 $x\in E$에 대해 $g(x) = (g_1(x),g_2(x),\cdots, g_m(x))$인 함수가 $g_1,g_2,\cdots,g_m : E\to \mathbb{R}$일때
1.
위 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots,m$에 대해 $f_i,g_i$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x_0$에서 연속이므로
거리공간 정리로 모든 $x\in E$에 대해 $F_i(x) = f_i(x)\cdot g_i(x)$인
함수 $F_i: E\to \mathbb{R}$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x_0$에서 연속이고
$F(x) = f(x)\odot g(x) = (f_1(x)\cdot g_1(x), f_2(x)\cdot g_2(x),\cdots, f_m(x)\cdot g_m(x)) = (F_1(x),F_2(x),\cdots, F_m(x))$임에 따라
다시 위 정리로 $F$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
2.
위 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots,m$에 대해 $f_i,g_i$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x_0$에서 연속이므로
거리공간 정리로 모든 $x\in E$에 대해 $G_i(x) = \dfrac{f_i(x)}{g_i(x)}$인
함수 $G_i: E\to \mathbb{R}$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x_0$에서 연속이고
$G(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} = \left ( \dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}, \dfrac{f_2(x)}{g_2(x)},\cdots, \dfrac{f_m(x)}{g_m(x)}\right ) = (G_1(x),G_2(x),\cdots, G_m(x))$임에 따라
다시 위 정리로 $G$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
4.
위 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots,m$에 대해 $f_i$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x_0$에서 연속이므로
거리공간 정리로 모든 $x\in E$에 대해 $H_i(x) = |f_i(x)|$인
함수 $H_i: E\to \mathbb{R}$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x_0$에서 연속이고
$H(x) = |f(x)|_m = \left ( |f_1(x)|, |f_2(x)|,\cdots, |f_m(x)|\right ) = (H_1(x),H_2(x),\cdots, H_m(x))$임에 따라
다시 위 정리로 $H$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
5.
연속의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해
$0<\lVert x-x_0\rVert< \delta (\epsilon)$인 모든 $x \in E$가 $\lVert f(x) - f(x_0)\rVert_m<\epsilon$이 되는 $\delta (\epsilon) > 0$이 존재하여
노름정리로 $-\lVert f(x)-f(x_0)\rVert_m \le \lVert f(x)\rVert_m - \lVert f(x_0)\rVert_m \le \lVert f(x) - f(x_0)\rVert_m$이므로
부등식 정리로 $|h(x)-h(x_0)| =|\lVert f(x) \rVert_m - \lVert f(x_0)\rVert_m| \le \lVert f(x)-f(x_0)\rVert_m <\epsilon$임에 따라
$h$는 $(E,d)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
정리19
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$일때
위 정리에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$과 임의의 $E \subseteq \mathbb{R}^n$에 대해 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(E)$ $\subseteq $ $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{E'}$이다.
증명
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$일때
내부점의 정의로 임의의 $x_0\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(E)$은 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_0,r) \subseteq E$인 $r>0$이 존재하여
모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0< \lVert v\rVert_n < \min\{\epsilon,r\}$인 $v\in \mathbb{R}^n$는 노름정리로 $v\ne \vec{0}_n$이므로 $x_0 +_n v \ne x_0$이고
$\lVert x_0 +_n v - x_0\rVert_n = \lVert v\rVert_n < r$임에 따라 $x_0+_n v \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_0,r) \subseteq E$이다.
또 $\lVert x_0 +_n v - x_0\rVert_n = \lVert v\rVert_n < \epsilon$이므로 집적점의 정의로 $x_0 \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{E'}$이 되어 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(E) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{E'}$이다.
정리8
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$일때
임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\lVert x\rVert_n \le |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n|$이다.
증명
벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 순서기저가 $\beta = (e_1,e_2,\cdots, e_n)$일때
모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $\lVert e_i \rVert_n = 1$이므로 노름의 정의로
$\begin{align*} \lVert x\rVert_n & = \lVert x_1\cdot_n e_1 +_n x_2\cdot_n e_2 +_n \cdots +_n x_n\cdot_n e_n\rVert_n \\[0.5em] & \le \lVert x_1\cdot_n e_1 \rVert_n + \lVert x_2\cdot_n e_2 \rVert_n + \cdots + \lVert x_n\cdot_n e_n\rVert_n \\[0.5em] & \quad = |x_1|\cdot \lVert e_1 \rVert_n + |x_2|\cdot \lVert e_2 \rVert_n + \cdots + |x_n|\cdot \lVert e_n\rVert_n \\[0.5em] &\quad = |x_1|\cdot 1 + |x_2|\cdot 1 + \cdots + |x_n|\cdot 1 \\[0.5em] &\quad = |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n| \text{ 이다.} \end{align*}$
정리17
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$이고 $m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 $\mathbb{R}$-벡터공간이 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
함수 $L : V \to \mathbb{R}^m$과 $L_1,L_2,\cdots,L_m : V \to \mathbb{R}$이
모든 $x\in V$에 대해 $L(x) = (L_1(x),L_2(x),\cdots, L_m(x))\in \mathbb{R}^m$일때
$L$이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환이기 위한 필요충분조건은
$L_1,L_2,\cdots,L_m $이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $(\mathbb{R},+_1,\cdot_1,0)$으로의 선형변환인 것이다.
증명
$L$이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$로의 선형변환이면
선형변환 정리로 모든 $x,y\in V$와 모든 $c\in \mathbb{R}$에 대해
$\begin{align*} (L_1(c\cdot_V x +_V y),L_2(c\cdot_V x +_V y),\cdots, L_m(c\cdot_V x +_V y)) & = L(c\cdot_V x +_V y) \\[0.5em] & = c\cdot_m L(x) +_m L(y) \\[0.5em] & = c\cdot_m (L_1(x),L_2(x),\cdots, L_m(x))+_m (L_1(y),L_2(y),\cdots, L_m(y)) \\[0.5em] & = (c\cdot L_1(x), c\cdot L_2(x),\cdots, c\cdot L_m(x))+_m (L_1(y),L_2(y),\cdots, L_m(y)) \\[0.5em] & = (c\cdot L_1(x) + L_1(y) , c\cdot L_2(x) + L_2(y),\cdots, c\cdot L_m(x) + L_m(y)) \\[0.5em] & = (c\cdot_1 L_1(x) +_1 L_1(y) , c\cdot_1 L_2(x) +_1 L_2(y),\cdots, c\cdot_1 L_m(x) +_1 L_m(y)) \text{ 이므로} \end{align*}$
$m$-순서쌍의 상등으로 모든 $i = 1,2,\cdots,m$에 대해 $L_i(c\cdot_V x +_V y) = c\cdot_1 L_i(x) +_1 L_i(y)$가 되어
$L_1,L_2,\cdots,L_m $은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $(\mathbb{R},+_1,\cdot_1,0)$로의 선형변환이다.
역도 비슷하게 성립한다.
정리7
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환 $T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$에 대해 다음이 성립한다.
1. 어떤 실수 $M>0$에 대해 모든 $x\in \mathbb{R}^n$가 $\lVert T(x)\rVert_m \le M\cdot \lVert x\rVert_n$이다.
2. 위 정리에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$, $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $T$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 균등연속함수이다.
3. $T$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이다.
4. $T$는 모든 $x_0\in \mathbb{R}^n$에서 미분가능하고 $x_0$에서 $T$의 도함수는 $DT(x_0) = T$이다.
증명
1.
벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$의 순서기저가 $\beta$와 $\gamma$일때
$\beta$에 대한 $x = (x_1,x_2,\cdots, x_n)\in \mathbb{R}^n$의 좌표벡터는 $[x]_\beta = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\in M_{n\times 1}(\mathbb{R})$이므로
행렬곱 $*$과 전치행렬 $([x]_\beta)^t \in M_{1\times n}(\mathbb{R})$에 대해
$\begin{align*} (([x]_\beta)^t * [x]_\beta)_{1,1} = \left (\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}^t * \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \right )_{1,1} = \left (\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \right )_{1,1} = \sum_{j=1}^n x_j \cdot x_j = \lVert x \rVert_n^2 \end{align*}$이 되어
$\beta,\gamma$에 대한 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta^\gamma \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$에 대해
$\displaystyle K = \max\{|([T]_\beta^\gamma)_{i,j}| : i = 1,2,\cdots, m \text{ 이고 } j = 1,2,\cdots, n \} \ge 0$로 두면
$\gamma$에 대한 $T(x)$의 좌표벡터 $[T(x)]_\gamma\in M_{m\times 1}(\mathbb{R})$는 행렬표현 정리로
$\begin{align*} [T(x)]_\gamma = [T]_\beta^\gamma * [x]_\beta = \begin{bmatrix} ([T]_\beta^\gamma * [x]_\beta)_{1,1} \\ ([T]_\beta^\gamma * [x]_\beta)_{2,1} \\ \vdots \\ ([T]_\beta^\gamma * [x]_\beta)_{m,1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \sum_{j= 1}^n ([T]_\beta^\gamma)_{1,j}\cdot ([x]_\beta)_{j,1} \\ \displaystyle \sum_{j= 1}^n ([T]_\beta^\gamma)_{2,j}\cdot ([x]_\beta)_{j,1} \\ \vdots \\ \displaystyle \sum_{j= 1}^n ([T]_\beta^\gamma)_{m,j}\cdot ([x]_\beta)_{j,1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \sum_{j= 1}^n ([T]_\beta^\gamma)_{1,j}\cdot x_j \\ \displaystyle \sum_{j= 1}^n ([T]_\beta^\gamma)_{2,j}\cdot x_j \\ \vdots \\ \displaystyle \sum_{j= 1}^n ([T]_\beta^\gamma)_{m,j}\cdot x_j \end{bmatrix} \end{align*}$이므로
$\begin{align*} \lVert T(x) \rVert_m^2 & = (([T(x)]_\gamma)^t * [T(x)]_\gamma)_{1,1} \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^m \left ( \sum_{j=1}^n ([T]_\beta^\gamma)_{i,j} \cdot x_j \right )^2 \\[0.5em] & \le \sum_{i=1}^m \left ( \sum_{j=1}^n |([T]_\beta^\gamma)_{i,j} \cdot x_j| \right )^2 = \sum_{i=1}^m \left ( \sum_{j=1}^n |([T]_\beta^\gamma)_{i,j} | \cdot | x_j| \right )^2 \\[0.5em] & \le \sum_{i=1}^m \left ( \sum_{j=1}^n K \cdot | x_j| \right )^2 = \sum_{i=1}^m\left ( K \cdot \sum_{j=1}^n | x_j| \right )^2 = \sum_{i=1}^m K^2 \cdot \left ( \sum_{j=1}^n | x_j| \right )^2 = m\cdot K^2 \cdot \left ( \sum_{j=1}^n | x_j| \right )^2 \text{ 이 되어} \end{align*}$
$\lVert T(x) \rVert_m \le \sqrt{m} \cdot K \cdot \displaystyle \sum_{j=1}^n |x_j|$이다.
또 휠더부등식으로
$\displaystyle \sum_{j=1}^n |x_j| = \sum_{j=1}^n |x_j \cdot 1| \le \sqrt{ \sum_{j=1}^n |x_j|^2 } \cdot \sqrt{ \sum_{j=1}^n |1|^2} = \sqrt{ \sum_{j=1}^n |x_j|^2 } \cdot \sqrt{ \sum_{j=1}^n 1} = \sqrt{ \sum_{j=1}^n |x_j|^2 } \cdot \sqrt{ n} = \sqrt{ n} \cdot \sqrt{ \sum_{j=1}^n |x_j|^2 } \text{ 이므로}$
$M = \sqrt{m\cdot n} \cdot (K +1 )> 0$으로 두면
$\begin{align*}\lVert T(x) \rVert_m &\le \sqrt{m} \cdot K \cdot \sum_{j=1}^n |x_j| \\[0.5em] & \le \sqrt{m} \cdot K \cdot \sqrt{n} \cdot \sqrt{\sum_{j =1}^n |x_j|^2} = \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} \cdot K \cdot \sqrt{\sum_{j =1}^n x_j^2} = \sqrt{m\cdot n} \cdot K \cdot \lVert x\rVert_n \\[0.5em] & \le \sqrt{m\cdot n} \cdot (K +1) \cdot \lVert x\rVert_n= M \cdot \lVert x\rVert_n \text{ 이다.}\end{align*}$
2, 3
1번과 선형변환 정리로 어떤 실수 $M>0$에 대해 모든 $x,y \in \mathbb{R}^n$가
$ d_m(T(x), T(y)) = \lVert T(x) - T(y)\rVert_m = \lVert T(x-y)\rVert_m \le M\cdot \lVert x - y\rVert_n = M\cdot d_n(x,y)$이므로
$T$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 립시츠함수가 되어
립시츠함수 정리로 $T$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 균등연속함수이고 연속함수이다.
4.
모든 $\epsilon >0$과 $0< \lVert x-x_0\rVert_n $인 모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 선형변환 정리와 노름정리로
$ \dfrac{\lVert T(x) - T(x_0) - T(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x- x_0\rVert_n} = \dfrac{\lVert T(x) - T(x_0) - (T(x)-T(x_0)) \rVert_m}{\lVert x- x_0\rVert_n} = \dfrac{\lVert \vec{0}_m \rVert_m}{\lVert x- x_0\rVert_n} = \dfrac{0}{\lVert x- x_0\rVert_n} = 0 <\epsilon \text{ 이므로}$
함수의 극한의 정의와 미분의 정의로 $T$는 $x_0$에서 미분가능하고 $x_0$에서 $T$의 도함수는 $DT(x_0) = T$이다.
정의4
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환 $T : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$에 대해
$T$의 노름을 하한 $\lVert T\rVert_{n,m} = \inf \{ M \in [0,\infty) : \text{ 모든 } x\in \mathbb{R}^n \text{ 에 대해 }\lVert T(x)\rVert_m \le M\cdot \lVert x\rVert_n \}$로 정의한다.
정리23
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의
$n,m,p\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$과 $(\mathbb{R}^p,+_p,\cdot_p,\vec{0}_m)$위의
점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_p :\mathbb{R}^p\to [0,\infty)$일때
선형변환 $\mathbb{R}$-벡터공간이 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m),+_{n,m},\cdot_{n,m}, T_0)$과 $(L(\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^p),+_{m,p},\cdot_{m,p}, U_0)$이면
선형변환의 노름 $\lVert \cdot \rVert_{n,m} : L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m)\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_{m,p} : L(\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^p)\to [0,\infty)$에 대해 다음이 성립한다.
1. 임의의 $T \in L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m)$는 모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\lVert T(x)\rVert_m \le \lVert T\rVert_{n,m} \cdot \lVert x\rVert_n $이다.
2. 임의의 $T \in L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m)$에 대해 $\lVert T\rVert_{n,m} =0 $이기 위한 필요충분조건은 $T=T_0$인 것이다.
3. $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m),\lVert \cdot\rVert_{n,m})$은 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m),+_{n,m},\cdot_{n,m}, T_0)$위의 노름공간이다.
4. 모든 $T\in L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m)$와 모든 $U\in L(\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^p)$에 대해 $\lVert U $ $\circ$ $ T\rVert_{n,p} \le \lVert U \rVert_{m,p} \cdot \lVert T\rVert_{n,m}$이다.
증명
위 정리로 임의의 $T\in L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m)$에 대해
집합 $\mathcal{M} = \{ M \in [0,\infty) : \text{ 모든 } x\in \mathbb{R}^n \text{ 에 대해 }\lVert T(x)\rVert_m \le M\cdot \lVert x\rVert_n \}$은 공집합이 아니고
모든 $M\in \mathcal{M}$은 $M\ge 0$이므로 하한정리로 $\lVert T\rVert_{n,m}\in \mathbb{R}$이 존재하여 하한의 정의로 $\lVert T\rVert_{n,m} = \inf \mathcal{M} \ge 0$이다.
1.
$x\ne \vec{0}_n$인 임의의 $x \in \mathbb{R}^n$에 대해 모든 $M\in \mathcal{M}$은 $\lVert T(x)\rVert_m \le M \cdot \lVert x\rVert_n $이고
노름정리로 $\lVert x\rVert_n \ne 0$이 되어 $\dfrac{\lVert T(x)\rVert_m}{\lVert x\rVert_n} \le M $임에 따라 $\dfrac{\lVert T(x)\rVert_m}{\lVert x\rVert_n}$은 $\mathcal{M}$의 하계이므로
하한의 정의로 $\dfrac{\lVert T(x)\rVert_m}{\lVert x\rVert_n}\le \lVert T\rVert_{n,m} \le M $이고 $\lVert T(x)\rVert_m \le \lVert T\rVert_{n,m} \cdot \lVert x\rVert_n $이다.
또 선형변환 정리와 노름정리로 $\lVert T(\vec{0}_n)\rVert_m = \lVert \vec{0}_m\rVert_m = 0 = \lVert T\rVert_{n,m}\cdot 0 = \lVert T\rVert_{n,m} \cdot \lVert \vec{0}_n\rVert_n $이므로
모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\lVert T(x)\rVert_m \le \lVert T\rVert_{n,m} \cdot \lVert x\rVert_n $이다.
2.
$T=T_0$이면 노름정리와 영변환의 정의로 모든 $x \in \mathbb{R}^n$에 대해 $\lVert T_0(x)\rVert_m = \lVert \vec{0}_m\rVert_m = 0 = 0\cdot \lVert x\rVert_n$이므로
$0\in \{ M \in [0,\infty) : \text{ 모든 } x\in \mathbb{R}^n \text{ 에 대해 }\lVert T_0(x)\rVert_m \le M\cdot \lVert x\rVert_n \} $이 되어
하한의 정의로 $0\le \lVert T_0\rVert_{n,m} \le 0$임에 따라 $\lVert T\rVert_{n,m} = \lVert T_0\rVert_{n,m} =0$이다.
역으로 $\lVert T\rVert_{n,m} =0$이면 1번으로 모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $0\le \lVert T(x)\rVert_m \le \lVert T\rVert_{n,m} \cdot \lVert x\rVert_n = 0\cdot \lVert x\rVert_n = 0 $이 되어
$\lVert T(x)\rVert_m = 0$이므로 노름정리와 영변환의 정의로 $T(x) =\vec{0}_m = T_0(x)$임에 따라 함수의 상등으로 $T = T_0$이다.
3.
임의의 $T, S \in L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m)$는 모든 $x \in \mathbb{R}^n$에 대해 노름의 정의와 1번으로
$\lVert (T+_{n,m} S)(x)\rVert_{m} = \lVert T(x) +_m S(x)\rVert_m \le \lVert T(x)\rVert_m + \lVert S(x)\rVert_m\le \lVert T\rVert_{n,m}\cdot \lVert x\rVert_n + \lVert S\rVert_{n,m}\cdot \lVert x\rVert_n = (\lVert T\rVert_{n,m} +\lVert S\rVert_{n,m})\cdot \lVert x\rVert_n \text{ 이고}$
$\lVert T \rVert_{n,m} + \lVert S\rVert_{n,m} \ge 0$이므로
$\lVert T \rVert_{n,m} + \lVert S\rVert_{n,m} \in \{ M \in [0,\infty) : \text{ 모든 } x\in \mathbb{R}^n \text{ 에 대해 }\lVert (T+_{n,m} S)(x)\rVert_m \le M\cdot \lVert x\rVert_n \}$이 되어
하계의 정의로 $\lVert T+_{n,m} S\rVert_{n,m} \le \lVert T \rVert_{n,m} + \lVert S\rVert_{n,m}$이다.
또 임의의 $c\in \mathbb{R}$에 대해 $c= 0$이면 2번으로 $\lVert c\cdot_{n,m} T\rVert_{n,m} = \lVert T_0\rVert_{n,m} = 0 =0 \cdot \lVert T\rVert_{n,m} = |c|\cdot\lVert T\rVert_{n,m}$이고
$c\ne 0$이면
임의의 $a\in \{ M \in [0,\infty) : \text{ 모든 } x\in \mathbb{R}^n \text{ 에 대해 }\lVert (c\cdot_{n,m} T)(x)\rVert_m \le M\cdot \lVert x\rVert_n \}$는
모든 $x \in \mathbb{R}^n$에 대해 노름의 정의로 $|c|\cdot \lVert T(x)\rVert_m = \lVert c\cdot_m T(x)\rVert_m = \lVert (c\cdot_{n,m}T)(x)\rVert_m \le a \cdot \lVert x\rVert_n $이므로
$\lVert T(x)\rVert_m \le \dfrac{a}{|c|} \cdot \lVert x\rVert_n $가 되어 $\dfrac{a}{|c|} \in \mathcal{M}$임에 따라 $a=|c|\cdot \dfrac{a}{|c|} \in \{ |c|\cdot M : M\in \mathcal{M}\}$이고
$\{ M \in [0,\infty) : \text{ 모든 } x\in \mathbb{R}^n \text{ 에 대해 }\lVert (c\cdot_{n,m} T)(x)\rVert_m \le M\cdot \lVert x\rVert_n \} \subseteq \{ |c|\cdot M: M\in \mathcal{M}\}$이다.
모든 $a \in \{ |c|\cdot M : M\in \mathcal{M}\}$는 $a = |c|\cdot M$인 $M\in \mathcal{M}$이 존재하여
모든 $x \in \mathbb{R}^n$에 대해 $\lVert (c\cdot_{n,m} T)(x)\rVert_{m} = |c|\cdot \lVert T(x)\rVert_m \le |c| \cdot M \cdot \lVert x\rVert_n = a\cdot \lVert x\rVert_n $이고 $a = |c|\cdot M \ge 0$이므로
$a \in \{ M \in [0,\infty) : \text{ 모든 } x\in \mathbb{R}^n \text{ 에 대해 }\lVert (c\cdot_{n,m} T)(x)\rVert_m \le M\cdot \lVert x\rVert_n \}$임에 따라
$\{ |c|\cdot M : M\in \mathcal{M}\}\subseteq \{ M \in [0,\infty) : \text{ 모든 } x\in \mathbb{R}^n \text{ 에 대해 }\lVert (c\cdot_{n,m} T)(x)\rVert_m \le M\cdot \lVert x\rVert_n \}$이 되어
집합정리로 $\{ |c|\cdot M : M\in \mathcal{M}\}=\{ M \in [0,\infty) : \text{ 모든 } x\in \mathbb{R}^n \text{ 에 대해 }\lVert (c\cdot_{n,m} T)(x)\rVert_m \le M\cdot \lVert x\rVert_n \}$이고
하한정리로 $\lVert c\cdot_{n,m} T\rVert_{n,m} = \inf \{ |c|\cdot M : M\in \mathcal{M}\} = |c|\cdot \inf \mathcal{M} = |c|\cdot \lVert T\rVert_{n,m}$이다.
따라서 2번으로 $T\ne T_0$이면 $\lVert T\rVert_{n,m} \ne 0$이므로 $\lVert T\rVert_{n,m} > 0$이 되어
$(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m),\lVert \cdot\rVert_{n,m})$은 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m),+_{n,m},\cdot_{n,m}, T_0)$위의 노름공간이다.
4.
1번으로 모든 $x \in \mathbb{R}^n$에 대해
$\lVert (U\circ T)(x)\rVert_{p} = \lVert U(T(x))\rVert_p \le \lVert U\rVert_{m,p}\cdot \lVert T(x)\rVert_m \le \lVert U\rVert_{m,p}\cdot \lVert T\rVert_{n,m}\cdot \lVert x\rVert_n$이고 $\lVert U\rVert_{m,p}\cdot \lVert T \rVert_{n,m} \ge 0$이므로
$\lVert U\rVert_{m,p}\cdot \lVert T \rVert_{n,m} \in \{ M \in [0,\infty) : \text{ 모든 } x\in \mathbb{R}^n \text{ 에 대해 }\lVert (U\circ T)(x)\rVert_p \le M\cdot \lVert x\rVert_n \}$이 되어
하계의 정의로 $\lVert U\circ T\rVert_{n,p} \le \lVert U\rVert_{m,p}\cdot \lVert T \rVert_{n,m} $이다.
정리24
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의
$n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$이고
선형변환 $\mathbb{R}$-벡터공간이 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n),+_L,\cdot_L, T_0)$이고 선형변환의 노름이 $\lVert \cdot \rVert : L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n)\to [0,\infty)$일때
모든 $T,U\in L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n)$에 대해 $d(T,U) = \lVert T-U\rVert$인 거리공간 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n),d)$와
가역인 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 선형연산자들의 집합 $\Omega \subseteq L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n)$에 대해 다음이 성립한다.
1. 모든 $T\in \Omega$는 $\lVert T\rVert \ne 0$이고 $\lVert T^{-1}\rVert \ne 0$이다.
2. 임의의 $U\in L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n)$에 대해 어떤 $T\in \Omega$가 존재하여 $\lVert U-T\rVert <\dfrac{1}{\lVert T^{-1}\rVert}$이면 $U\in \Omega$이다.
3. $\Omega$는 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n),d)$에서 열린집합이다.
4. 모든 $T\in \Omega$에 대해 $\phi(T) = T^{-1}$인 함수 $\phi : \Omega \to \Omega$의 역함수 $\phi^{-1} : \Omega\to \Omega$이 존재하고 $\phi = \phi^{-1}$이다.
5. $\phi$는 $(\Omega,d)$에서 $(\Omega,d)$로의 연속함수이다.
증명
1.
$\lVert T\rVert = 0$인 $T\in \Omega$가 존재한다고 가정하면 위 정리로 $T_0 = T$인데
$x\ne \vec{0}_n$인 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 영변환의 정의로 $T(x) = T_0(x) = \vec{0}_n = T(\vec{0}_n)$이 되어 $T$는 단사가 아니므로
역함수 정리에 모순이 되어 모든 $T\in \Omega$는 $\lVert T\rVert \ne 0$이다.
또 선형변환 정리로 $T^{-1}\in \Omega$이므로 $\lVert T^{-1}\rVert \ne 0$이다.
2.
모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 위 정리와 노름의 정의로
$\begin{align*} \dfrac{1}{\lVert T^{-1}\rVert}\cdot \lVert x\rVert_n &= \dfrac{1}{\lVert T^{-1}\rVert}\cdot \lVert T^{-1}(T(x))\rVert_n \\[0.5em] & \le \dfrac{1}{\lVert T^{-1}\rVert}\cdot \lVert T^{-1}\rVert\cdot \lVert T(x)\rVert_n = \lVert T(x)\rVert_n = \lVert T(x) -U(x) +_n U(x)\rVert_n \\[0.5em] & \le \lVert T(x) -U(x)\rVert_n + \lVert U(x)\rVert_n = \lVert (T-U)(x)\rVert_n + \lVert U(x)\rVert_n \\[0.5em] & \le \lVert T-U\rVert\cdot \lVert x\rVert_n + \lVert U(x)\rVert_n \text{ 이고} \end{align*} $
노름정리로 $\lVert U-T\rVert =\lVert T-U\rVert$임에 따라 $\left( \dfrac{1}{\lVert T^{-1}\rVert} - \lVert U-T\rVert\right )\cdot \lVert x\rVert_n \le \lVert U(x)\rVert_n$이다.
따라서 $0<\dfrac{1}{\lVert T^{-1}\rVert} - \lVert U-T\rVert$이므로 $x\ne y$인 모든 $x,y\in \mathbb{R}^n$에 대해
$x-y\ne \vec{0}_n$이 되어 노름의 정의로 $\lVert x-y\rVert_n > 0$이고 선형변환 정리로
$0<\left( \dfrac{1}{\lVert T^{-1}\rVert} - \lVert U-T\rVert\right )\cdot \lVert x-y\rVert_n \le \lVert U(x-y)\rVert_n = \lVert U(x) - U(y)\rVert_n$임에 따라
노름정리로 $U(x)\ne U(y)$이므로 $U$는 단사이고 벡터공간 정리와 선형변환 정리로 $U$는 가역이 되어 $U\in \Omega$이다.
3.
열린공의 정의로 임의의 $T\in \Omega$에 대해 모든 $U\in \underset{(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n,d))}{B(T,\frac{1}{\lVert T^{-1}\rVert})}$는 $\lVert U-T\rVert <\dfrac{1}{\lVert T^{-1}\rVert}$이므로
2번으로 $U\in \Omega$가 되어 $\underset{(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n,d))}{B(T,\frac{1}{\lVert T^{-1}\rVert})} \subseteq\Omega$임에 따라 열린집합 정리로 $\Omega$는 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n),d)$에서 열린집합이다.
4.
역함수 정리로 모든 $T\in \Omega$에 대해 $\phi(\phi(T)) = \phi(T^{-1}) = (T^{-1})^{-1} = T$이므로 역함수의 정의로 $\phi = \phi^{-1}$이다.
5.
임의의 $\epsilon >0$과 임의의 $T\in \Omega$에 대해
$\lVert U-T\rVert < \dfrac{1}{\lVert T^{-1}\rVert}$이고 $\lVert U-T\rVert < \dfrac{1}{2\cdot \lVert T^{-1}\rVert}$이고 $\lVert U-T\rVert < \dfrac{\epsilon}{2\cdot \lVert T^{-1}\lVert^2}$인 모든 $U\in \Omega$는
2번에 나온 것과 같이 모든 $y \in \mathbb{R}^n$에 대해 $\left( \dfrac{1}{\lVert T^{-1}\rVert} - \lVert U-T\rVert\right )\cdot \lVert U^{-1}(y)\rVert_n \le \lVert U(U^{-1}(y))\rVert_n = \lVert y\rVert_n$이고
$0<\dfrac{1}{\lVert T^{-1}\rVert} - \lVert U-T\rVert$이므로 $\lVert U^{-1}(y)\rVert_n\le \left( \dfrac{1}{\lVert T^{-1}\rVert} - \lVert U-T\rVert\right )^{-1}\cdot \lVert y\rVert_n$이 되어 선형변환의 노름의 정의로
$\lVert U^{-1}\rVert \le \left( \dfrac{1}{\lVert T^{-1}\rVert} - \lVert U-T\rVert\right )^{-1} = \left( \dfrac{1-\lVert T^{-1}\rVert \cdot \lVert U-T\rVert}{\lVert T^{-1}\rVert}\right)^{-1} = \dfrac{\lVert T^{-1}\rVert}{1- \lVert T^{-1}\rVert \cdot \lVert U-T\rVert}$이다.
따라서 선형변환 정리로
$U^{-1}\circ (T-U) \circ T^{-1} = U^{-1} \circ (T\circ T^{-1} - U\circ T^{-1}) = U^{-1} \circ T\circ T^{-1} - U^{-1}\circ U\circ T^{-1} = U^{-1}-T^{-1}$이고
$\lVert T^{-1}\rVert\cdot \lVert U-T\rVert < \dfrac{1}{2}$이므로 $\dfrac{1}{2}=1 -\dfrac{1}{2}< 1-\lVert T^{-1}\rVert\cdot \lVert U-T\rVert$가 되어
$\dfrac{1}{1-\lVert T^{-1}\rVert\cdot \lVert U-T\rVert} < 2$임에 따라 위 정리로
$\begin{align*} \lVert \phi(U) - \phi(T)\rVert & = \lVert U^{-1} - T^{-1}\rVert = \lVert U^{-1}\circ (T-U) \circ T^{-1} \rVert \\[0.5em] & \le \lVert U^{-1}\rVert \cdot \lVert T-U\rVert \cdot \lVert T^{-1} \rVert \\[0.5em] & \le \dfrac{\lVert T^{-1}\rVert}{1- \lVert T^{-1}\rVert \cdot \lVert U-T\rVert}\cdot \lVert T-U\rVert \cdot \lVert T^{-1} \rVert \\[0.5em] & \le \lVert T^{-1}\rVert \cdot 2\cdot \lVert T-U\rVert \cdot \lVert T^{-1} \rVert = 2\cdot \lVert T^{-1}\rVert^2\cdot \lVert T-U\rVert \\[0.5em] & \lt 2\cdot \lVert T^{-1}\rVert^2 \cdot \dfrac{\epsilon }{2\cdot \lVert T^{-1}\rVert^2 } = \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$
$\phi$는 $(\Omega,d)$와 $(\Omega,d)$에 대해 모든 $T\in \Omega$에서 연속이 되어 $\phi$는 $(\Omega,d)$에서 $(\Omega,d)$로의 연속함수이다.
정의3
실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때
임의의 $C \subseteq V$의 모든 $x,y\in C$가 모든 $t\in [0,1]$에 대해 $t\cdot_V x +_V (1-t)\cdot_V y\in C$이면
$C$를 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합(convex set)이라고 정의한다.
정리20
실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에 대해 다음이 성립한다.
1. $\emptyset$은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합이다.
2. $V$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합이다.
3. 임의의 $v\in V$에 대해 $\{ v\}$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합이다.
4. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합들의 집합족 $\mathcal{C}$에 대해 $\displaystyle \bigcap$$\, \mathcal{C}$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합이다.
증명
1.
공허하게 성립한다.
2.
벡터공간의 정의로 모든 $x,y\in V$는 모든 $t\in [0,1]$에 대해
$t\cdot_V x +_V (1-t)\cdot_V y\in V$이므로 $V$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합이다.
3.
모든 $x,y\in \{ v\}$는 $x = v= y$이므로 모든 $t\in [0,1]$에 대해
$t\cdot_V x +_V (1-t)\cdot_V y = t\cdot_V v +_V (1-t)\cdot_V v = (t + 1 -t)\cdot_V v = 1\cdot_V v=v$가 되어
$\{ v\}$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합이다.
4.
임의의 $x,y \in \displaystyle \bigcap \mathcal{C}$는 모든 $C\in \mathcal{C}$에 대해 $x,y \in C$이므로 볼록집합의 정의로
모든 $t\in [0,1]$에 대해 $t\cdot_V x +_V (1-t)\cdot_V y\in C$가 되어 $t\cdot_Vx+_V (1-t)\cdot_V y \in \displaystyle \bigcap \mathcal{C}$이다.
정리21
실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle \cdot,\cdot\rangle )$일때
$(V,\langle \cdot,\cdot\rangle )$의 노름 $\lVert \cdot\rVert : V\to [0,\infty)$와 모든 $x,y\in V$에 대해 $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$인
$d:V\times V\to [0,\infty)$가 거리함수인 거리공간이 $(V,d)$이면 다음이 성립한다.
1. $(V,d)$에서 열린집합 $U$와 $c\ne 0$인 임의의 $c \in \mathbb{R}$에 대해 $\{ c\cdot_V x : x\in U \}$는 $(V,d)$에서 열린집합이다.
2. $(V,d)$에서 열린집합 $U$와 임의의 $W\subseteq V$에 대해 $\{ x +_V y : x\in U, y\in W \}$는 $(V,d)$에서 열린집합이다.
3. $(V,d)$에서 열린집합 $U_1,U_2$와 $a\ne 0$ 또는 $b\ne 0$인 임의의 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해
집합 $\{ a\cdot_V x +_V b\cdot_V y : x\in U_1, y\in U_2 \}$는 $(V,d)$에서 열린집합이다.
4. 모든 원소가 $x_n = x\in V$인 $V$의 수열 $(x_n)$은 $(V,d)$에서 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(V,d)} (x_n) = x$로 수렴한다.
5. $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(V,d)} (x_n) = x\in V$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(V,d)} (y_n) = y\in V$인 $V$의 수열 $(x_n), (y_n)$은
임의의 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(V,d)} (a\cdot_V x_n +_V b\cdot_V y_n) = a\cdot_V x+_V b\cdot_V y$이다.
증명
1.
임의의 $v\in \{ c\cdot_V x : x\in U \}$는 $v = c\cdot_V x$인 $x\in U$가 존재하여
열린집합 정리로 $\underset{(V,d)}{B}(x,r) \subseteq U$인 $r>0$이 존재하므로
모든 $w\in \underset{(V,d)}{B}(c\cdot_V x,|c|\cdot r) $는 열린공의 정의로 $\lVert w - c\cdot_V x\rVert < |c|\cdot r$임에 따라
노름의 정의로 $\left \lVert \dfrac{1}{c}\cdot_V w - x \right \rVert = \dfrac{1}{|c|}\cdot \lVert w - c\cdot_V x\rVert < \dfrac{1}{|c|}\cdot |c|\cdot r = r$이다.
따라서 $\dfrac{1}{c}\cdot_Vw \in \underset{(V,d)}{B}(x,r) \subseteq U$이므로 $w=c\cdot_V \left (\dfrac{1}{c}\cdot_V w\right ) \in \{ c\cdot_V x: x\in U\}$가 되어
$\underset{(V,d)}{B}(v,|c|\cdot r)=\underset{(V,d)}{B}(c\cdot_V x,|c|\cdot r) \subseteq \{ c\cdot_V x : x\in U\}$이고
다시 열린집합 정리로 $\{ c\cdot_V x : x\in U \}$는 $(V,d)$에서 열린집합이다.
2.
임의의 $v\in \{ x +_V y : x\in U, y\in W \}$는 $v = x+_V y$인 $x\in U$와 $y\in W$가 존재하여
열린집합 정리로 $\underset{(V,d)}{B}(x,r) \subseteq U$인 $r>0$이 존재하므로
모든 $w \in \underset{(V,d)}{B}(x+_V y,r)$는 열린공의 정의로 $\lVert w - (x+_V y)\rVert < r$임에 따라
노름정리로 $\lVert x -(w-y)\rVert =\lVert (w-y) -x\rVert = \lVert w -x-y\rVert = \lVert w-(x+_V y)\rVert < r$이다.
따라서 $w- y\in \underset{(V,d)}{B}(x,r) \subseteq U$이므로 $w = (w-y) +_V y \in \{ x+_V y : x\in U , y\in W\}$가 되어
$\underset{(V,d)}{B}(v,r)= \underset{(V,d)}{B}(x+_V y,r) \subseteq \{ x+_V y: x\in U,y\in W\}$이고
다시 열린집합 정리로 $\{ x +_V y : x\in U, y\in W \}$는 $(V,d)$에서 열린집합이다.
3.
일반성을 잃지 않고 $a\ne 0$이라고 가정하면 1번으로 $\{ a\cdot_V x: x\in U_1\}$는 $(V,d)$에서 열린집합이므로
2번으로 $\{ a\cdot_V x +_V b\cdot_V y : x\in U_1, y\in U_2 \}$는 $(V,d)$에서 열린집합이다.
4.
실수열 $(\lVert x_n -x\rVert)$은 노름정리로 모든 원소가 $\lVert x_n -x\rVert =\lVert x-x\rVert = \lVert \vec{0}\rVert =0$이므로
상수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\lVert x_n-x\rVert) = 0$이 되어 거리공간수열의 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(V,d)}(x_n) = x$이다.
5.
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(V,d)} (x_n) = x$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(V,d)} (y_n) = y$이므로 거리공간수열의 극한의 정의로
실수열 $(\lVert x_n -x\rVert), (\lVert y_n - y\rVert)$는 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\lVert x_n-x\rVert) = 0 = \lim_{n\to \infty}(\lVert y_n -y\rVert)$가 되어
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\lVert a\cdot_V x_n - a\cdot_V x\rVert)=\lim_{n\to \infty}(|a|\cdot \lVert x_n-x\rVert) = |a|\cdot 0 =0 = \lim_{n\to \infty}(\lVert b\cdot_V y_n -b\cdot_V y\rVert)$이고
실수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\lVert a\cdot_V x_n - a\cdot_V x\rVert + \lVert b\cdot_V y_n -b\cdot_V y\rVert)= 0+0 = 0 $이다.
따라서 노름의 정의로 모든 원소가
$\begin{align*}\lVert a\cdot_V x_n +_V b\cdot_V y_n - (a\cdot_V x +_V b\cdot_V y)\rVert \le \lVert a\cdot_V x_n -a\cdot_Vx\rVert + \lVert b\cdot_V y_n +_V b\cdot_Vy \rVert \end{align*}$이므로
실수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\lVert a\cdot_V x_n +_V b\cdot_V y_n - (a\cdot_V x +_V b\cdot_V y)\rVert ) = 0$이 되어
거리공간수열의 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(V,d)}(a\cdot_V x_n +_V b\cdot_V y_n) = a\cdot_V x +_Vb\cdot_V y$이다.
정리22
실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle \cdot,\cdot\rangle )$일때
$(V,\langle \cdot,\cdot\rangle )$의 노름 $\lVert \cdot\rVert : V\to [0,\infty)$와 모든 $x,y\in V$에 대해 $d(x,y)=\lVert x-y\rVert$인
$d:V\times V\to [0,\infty)$가 거리함수인 거리공간이 $(V,d)$이면 다음이 성립한다.
1. 임의의 $x_0\in V$과 임의의 $r>0$에 대해 $(V,d)$에서 열린공 $\underset{(V,d)}{B}(x_0,r)$은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합이다.
2. 임의의 $x_0\in V$과 임의의 $r>0$에 대해 $(V,d)$에서 닫힌공 $\underset{(V,d)}{B}[x_0,r]$은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합이다.
3. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합 $C\subseteq V$에 대해 $(V,d)$에서 $C$의 내부 $\underset{(V,d)}{\operatorname{int}}(C)$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합이다.
4. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합 $C\subseteq V$에 대해 $(V,d)$에서 $C$의 폐포 $\underset{(V,d)}{\operatorname{cl}}(C)$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합이다.
5. $C\ne \emptyset$인 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합 $C\subseteq V$는 $(V,d)$에서 경로연결집합이고 연결집합이다.
증명
1, 2
열린공의 정의로 임의의 $x,y\in \underset{(V,d)}{B}(x_0,r)$는 $\lVert x-x_0\rVert < r$이고 $\lVert y-x_0\rVert < r$이므로
노름의 정의로 모든 $t\in [0,1]$에 대해
$\begin{align*} \lVert t\cdot_Vx+_V (1-t)\cdot_V y -x_0 \rVert &= \lVert t\cdot_v x +_V (1-t)\cdot_V y - t\cdot_V x_0 - (1-t)\cdot_V x_0 \rVert \\[0.5em] & \le \lVert t\cdot_V x - t\cdot_V x_0 \rVert + \lVert (1-t)\cdot_V y- (1-t)\cdot_V x_0 \rVert = t\cdot \lVert x - x_0 \rVert + (1-t)\cdot \lVert y- x_0 \rVert \\[0.5em] & \lt t\cdot r + (1-t)\cdot r = r \text{ 이 되어} \end{align*}$
$t\cdot_V x +_V (1-t)\cdot_V y\in \underset{(V,d)}{B}(x_0,r)$이다.
비슷하게 닫힌공에 대해서도 정리가 성립한다.
3.
내부의 정의로 임의의 $v,w \in \underset{(V,d)}{\operatorname{int}}(C)$는 $\underset{(V,d)}{B}(v,r_v)\subseteq C$이고 $\underset{(V,d)}{B}(w,r_w)\subseteq C$인 $r_v >0$와 $r_w >0$가 존재하여
모든 $t\in [0,1]$에 대해 열린공 정리와 위 정리로
$\{ t\cdot_V x +_V (1-t)\cdot_V y : x\in \underset{(V,d)}{B}(v,r_v),y\in \underset{(V,d)}{B}(w,r_w)\}$는 $(V,d)$에서 열린집합이고
$\{ t\cdot_V x +_V (1-t)\cdot_V y : x\in \underset{(V,d)}{B}(v,r_v),y\in \underset{(V,d)}{B}(w,r_w)\} \subseteq \{ t\cdot_V x+_V (1-t)\cdot_V y : x,y\in C\} \subseteq C$이므로
내부정리로
$t\cdot_V v +_V (1-t)\cdot_V w\in \{ t\cdot_V x +_V (1-t)\cdot_V y : x\in \underset{(V,d)}{B}(v,r_v),y\in \underset{(V,d)}{B}(w,r_w)\} \subseteq \underset{(V,d)}{\operatorname{int}}(C)$임에 따라
$\underset{(V,d)}{\operatorname{int}}(C)$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합이다.
4.
폐포정리로 $\underset{(V,d)}{\operatorname{cl}}(C) = C\cup \underset{(V,d)}{C'}$이므로 임의의 $x\in \underset{(V,d)}{\operatorname{cl}}(C) = C\cup \underset{(V,d)}{C'}$가
$x\in C$이면 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n = x$인 $C$의 수열 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$은 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(V,d)}(x_n) = x$이고
$x\in \underset{(V,d)}{C'}$이면 집적점 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(V,d)}(x_n) = x$인 $C$의 수열 $(x_n)_{n=1}^{\infty}$이 존재한다.
비슷하게 임의의 $y \in \underset{(V,d)}{\operatorname{cl}}(C) = C\cup \underset{(V,d)}{C'}$도 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(V,d)}(y_n) = y$인 $C$의 수열 $(y_n)_{n=1}^{\infty}$이 존재하므로
모든 $t\in [0,1]$에 대해 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(V,d)}(t\cdot_V x_n +_V (1-t)\cdot_V y_n) = t\cdot_V x +_V(1-t)\cdot_V y$이다.
따라서 폐포정리로 $\underset{(V,d)}{\operatorname{cl}}(C)$는 $(V,d)$에서 닫힌집합이고
볼록집합의 정의로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $t\cdot_V x_n +_V (1-t)\cdot_V y_n\in C \subseteq \underset{(V,d)}{\operatorname{cl}}(C)$이므로
닫힌집합 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(V,d)}(t\cdot_V x_n +_V (1-t)\cdot_V y_n) = t\cdot_V x +_V(1-t)\cdot_V y\in \underset{(V,d)}{\operatorname{cl}}(C)$가 되어
$\underset{(V,d)}{\operatorname{cl}}(C)$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합이다.
5.
$C\ne \emptyset$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 볼록집합이므로 임의의 $x,y\in C$와 모든 $t\in [0,1]$에 대해
$\gamma_{x,y}(t) = (1- t)\cdot_V x +_V t\cdot_V y$인 함수 $\gamma_{x,y} : [0,1]\to C$가 존재하여
$\gamma_{x,y}(0) = 1\cdot_V x +_V 0\cdot_V y = x$와 $\gamma_{x,y}(1) = 0\cdot_V x +_V 1\cdot_V y = y$가 성립하고
임의의 $c\in [0,1]$에 대해 노름의 정의로
$\begin{align*}\lVert \gamma_{x,y}(t) - \gamma_{x,y}(c)\rVert = \lVert (1-t)\cdot_V x+_V t\cdot_V y - (1-c)\cdot_V x-c\cdot_V y\rVert = \lVert (c-t)\cdot_V x - (c-t)\cdot_V y\rVert = |t-c|\cdot \lVert x-y\rVert \text{ 이다.}\end{align*}$
모든 $\epsilon >0$에 대해 $\lVert x- y\rVert=0$이면 $\begin{align*}\lVert \gamma_{x,y}(t) - \gamma_{x,y}(c)\rVert = |t-c|\cdot \lVert x-y\rVert = 0 <\epsilon\end{align*}$이고
$\lVert x- y\rVert\ne 0$이면 $|t-c|< \dfrac{\epsilon}{\lVert x-y\rVert}$인 모든 $t\in [0,1]$에 대해
$\begin{align*}\lVert \gamma_{x,y}(t) - \gamma_{x,y}(c)\rVert = |t-c|\cdot \lVert x-y\rVert <\dfrac{\epsilon}{\lVert x-y\rVert}\cdot \lVert x-y\rVert = \epsilon \end{align*}$이므로
연속함수의 정의와 경로연결집합의 정의로 $C$는 $(V,d)$에서 경로연결집합이고
연결집합 정리로 $C$는 $(V,d)$에서 연결집합이다.
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정의의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/93#def번호
번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
정리의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/93#thm번호
번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.
틀린 내용이 존재할 수 있습니다.
출처(저자 - 제목 - ISBN13)
Terence Tao - Analysis 2 - 9791156646808
Walter Rudin - Principles of Mathmatical Analysis - 9788956152714
Jerrold E. Marsden - Vector Calculus - 9791196120313
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