다변수함수의 연속미분

정의1

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때

모든 $x,y\in \mathbb{R}^n$에 대해 $d_n(x,y) = \lVert x-y\rVert_n$인 거리함수 $d_n : \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \to [0,\infty)$과

거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U\subseteq \mathbb{R}^n$가 정의역인 함수 $f:U \to \mathbb{R}^m$에 대해

$U$에서 $f$의 편도함수 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}},\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}},\cdots,\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}} : U\to \mathbb{R}^m$이 존재하고 모두 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$로의 연속함수이면

$f$가 $U$에서 연속미분가능(continuously differentiable)하다고 정의한다.

$f$가 $U$에서 연속미분가능하면 미분정리로 $f$는 $U$의 모든 점에서 미분가능하다.

임의의 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $U$에서 $f$의 모든 $k$계 편도함수가 존재하고 모두 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$로의 연속함수이면

$f$가 $U$에서 $k$번 연속미분가능하다고 정의한다.

모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $f$가 $U$에서 $k$번 연속미분가능하면 $f$가 $U$에서 무한번 연속미분가능하다고 정의한다. 

 

 

 

정리1(클레로[Clairaut] 정리)

위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U\subseteq \mathbb{R}^n$에서 함수 $f:U \to \mathbb{R}^m$가 $2$번 연속미분가능하면

모든 $i,j =1,2,\cdots, n$에 대해 $U$에서 $f$의 $2$계 편도함수 $\dfrac{\partial^2f}{\partial x_i \partial x_j} , \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} : U \to \mathbb{R}^m$는 $\dfrac{\partial^2f}{\partial x_i \partial x_j} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$이다.

증명

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의

$n$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$이고

모든 $x\in U$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_m(x))\in \mathbb{R}^m$인 함수가 $f_1,f_2,\cdots,f_m:U \to \mathbb{R}$일때

임의의 $c\in U$에 대해 편도함수 정리로

$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(c) = \left ( \dfrac{\partial f_1}{\partial x_i}(c),\dfrac{\partial f_2}{\partial x_i}(c),\cdots ,\dfrac{\partial f_m}{\partial x_i}(c) \right )$와 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(c) = \left ( \dfrac{\partial f_1}{\partial x_j}(c),\dfrac{\partial f_2}{\partial x_j}(c),\cdots ,\dfrac{\partial f_m}{\partial x_j}(c) \right )$가 성립하고

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(c) = \left ( \dfrac{\partial^2 f_1}{\partial x_j\partial x_i}(c),\dfrac{\partial^2 f_2}{\partial x_j \partial x_i}(c),\cdots ,\dfrac{\partial^2 f_m}{\partial x_j\partial x_i}(c) \right )$와

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(c) = \left ( \dfrac{\partial^2 f_1}{\partial x_i\partial x_j}(c),\dfrac{\partial^2 f_2}{\partial x_i \partial x_j}(c),\cdots ,\dfrac{\partial^2 f_m}{\partial x_i\partial x_j}(c) \right )$가 성립하므로 모든 $k= 1,2,\cdots, m$에 대해

연속미분의 정의와 연속함수 정리로 $\dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}$와 $\dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_i \partial x_j}$는 $(U,d_n)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $c$에서 연속이 되어

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\lVert x-c \rVert_n < \delta$인 모든 $x\in U$가

$\left | \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(x)- \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(c) \right | < \epsilon$이고 $\left | \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_i \partial x_j}(x)- \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_i \partial x_j}(c) \right | < \epsilon$이 되는 $\delta > 0$가 존재한다.

또 열린집합 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(c,r) \subseteq U$인 $r>0$이 존재하므로

$2\cdot \eta < \min\{\delta, r\}$인 임의의 $\eta > 0$와 벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 순서기저 $\beta = (e_1,e_2,\cdots, e_n)$에 대해

노름의 정의로

$\lVert \eta \cdot_n e_i +_n \eta \cdot_n e_j +_n c - c\rVert_n = \lVert \eta\cdot_n e_i +_n \eta\cdot_n e_j\rVert_n \le \lVert \eta \cdot_n e_i \rVert_n + \lVert \eta \cdot_n e_j\rVert_n = \eta \cdot \lVert e_i \rVert_n + \eta \cdot \lVert e_j\rVert_n = 2\cdot \eta \text{ 임에 따라}$

$\eta \cdot_n e_i +_n \eta \cdot_n e_j +_n c \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(c,r)\subseteq U$이고 비슷하게 $\eta \cdot_n e_i +_n c , \eta\cdot_n e_j +_n c \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(c,r)\subseteq U$이다.

연속미분의 정의와 미분정리와 미분연속성과 연속함수 정리로 $f_k$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로

편도함수 정리와 미적분학의 기본정리로

$f_k(\eta \cdot_n e_i +_n \eta \cdot_n e_j +_n c) - f_k(\eta\cdot_n e_j +_n c) = \displaystyle \int_0^\eta \dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n \eta \cdot_n e_j +_n c) \operatorname{d}\!t_i$와

$f_k(\eta \cdot_n e_i +_n c) - f_k(c) = \displaystyle \int_0^\eta \dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n c) \operatorname{d}\!t_i$가 성립하여 적분정리로

$f_k(\eta \cdot_n e_i +_n \eta \cdot_n e_j +_n c) - f_k(\eta\cdot_n e_j +_n c) - f_k(\eta \cdot_n e_i +_n c) + f_k(c) = \displaystyle \int_0^\eta \left (\dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n \eta \cdot_n e_j +_n c) - \dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n c)\right ) \operatorname{d}\!t_i \text{ 이고}$

연속미분의 정의와 미분정리와 미분연속성과 연속함수 정리로 $\dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로

임의의 $t_i\in [0,\eta]$에 대해 편도함수 정리와 평균값 정리로 $t_j\in (0,\eta)$가 존재하여

$\dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}(t_i \cdot_n e_i+_n \eta\cdot_n e_j +_n c) - \dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n c) = \eta \cdot \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n t_j\cdot_n e_j +_n c)$이다.

위와 비슷하게 $t_i\cdot_n e_i +_n t_j \cdot_n e_j +_n c \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(c,r)\subseteq U$이고 $\lVert t_i\cdot_n e_i +_n t_j\cdot_n e_j +_n c -c \rVert_n < \delta$이므로

$\begin{align*} \left | \dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}(t_i \cdot_n e_i+_n \eta\cdot_n e_j +_n c) - \dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n c) - \eta\cdot \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(c) \right | & = \left | \eta\cdot \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n t_j \cdot_n e_j +_n c)- \eta\cdot \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(c) \right | \\[0.5em] & = \eta\cdot \left | \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n t_j \cdot_n e_j +_n c)- \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(c) \right | \\[0.5em] & < \eta\cdot \epsilon \text{ 이고} \end{align*}$

상수함수 적분정리와 적분정리와 절댓값 적분정리로

$\begin{align*} & \left |f_k(\eta \cdot_n e_i +_n \eta \cdot_n e_j +_n c) - f_k(\eta\cdot_n e_j +_n c) - f_k(\eta \cdot_n e_i +_n c) + f_k(c) - \eta^2\cdot \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(c) \right | \\[0.5em] & = \left | \int_0^\eta \left (\dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n \eta \cdot_n e_j +_n c) - \dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n c)\right ) \operatorname{d}\!t_i - \int_0^\eta \eta\cdot \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(c) \operatorname{d}\!t_i \right | \\[0.5em] & = \left | \int_0^\eta \left (\dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n \eta \cdot_n e_j +_n c) - \dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n c) -\eta\cdot \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(c)\right ) \operatorname{d}\!t_i \right | \\[0.5em] & \le \int_0^\eta \left | \dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n \eta \cdot_n e_j +_n c) - \dfrac{\partial f_k}{\partial x_i}(t_i\cdot_n e_i +_n c) -\eta\cdot \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(c)\right | \operatorname{d}\!t_i \\[0.5em] & \le \int_0^\eta \eta\cdot \epsilon \operatorname{d}\!t_i = \eta^2 \cdot \epsilon \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 $\dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_i \partial x_j}(c)$에 대해서도 비슷하게 적용하면

$ \left |f_k(\eta \cdot_n e_i +_n \eta \cdot_n e_j +_n c) - f_k(\eta\cdot_n e_j +_n c) - f_k(\eta \cdot_n e_i +_n c) + f_k(c) - \eta^2\cdot \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_i \partial x_j}(c) \right | \le \eta^2 \cdot \epsilon$이므로

$X = f_k(\eta \cdot_n e_i +_n \eta \cdot_n e_j +_n c) - f_k(\eta\cdot_n e_j +_n c) - f_k(\eta \cdot_n e_i +_n c) + f_k(c) $일때 삼각부등식으로

$\begin{align*} \eta^2\cdot \left | \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(c)- \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_i \partial x_j}(c) \right | & = \left | \eta^2\cdot \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(c)- \eta^2\cdot \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_i \partial x_j}(c) \right | \\[0.5em] & = \left | \eta^2\cdot \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(c) -X + X- \eta^2\cdot\dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_i \partial x_j}(c) \right | \\[0.5em] & \le \left |X - \eta^2\cdot \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(c) \right |+ \left | X- \eta^2\cdot \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_i \partial x_j}(c) \right | \\[0.5em] & \le \eta^2 \cdot \epsilon+ \eta^2 \cdot \epsilon = 2\cdot \eta^2 \cdot \epsilon \text{ 임에 따라}\end{align*}$

$\begin{align*}\left | \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(c)- \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_i \partial x_j}(c) \right | \le 2\cdot \epsilon \end{align*}$이고 부등식 정리로 $\dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_j \partial x_i}(c) = \dfrac{\partial^2 f_k}{\partial x_i \partial x_j}(c)$가 되어

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(c) = \left ( \dfrac{\partial^2 f_1}{\partial x_j\partial x_i}(c),\dfrac{\partial^2 f_2}{\partial x_j \partial x_i}(c),\cdots ,\dfrac{\partial^2 f_m}{\partial x_j\partial x_i}(c) \right ) = \left ( \dfrac{\partial^2 f_1}{\partial x_i\partial x_j}(c),\dfrac{\partial^2 f_2}{\partial x_i \partial x_j}(c),\cdots ,\dfrac{\partial^2 f_m}{\partial x_i\partial x_j}(c) \right ) =\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(c) \text{ 이므로}$

$c\in U$가 임의임에 따라 $\dfrac{\partial^2f}{\partial x_i \partial x_j} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$이다.

 

 

 

정의2

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고

벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 순서기저가 $\beta = (e_1,e_2,\cdots, e_n)$이고

위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$과 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$와 임의의 $x_0\in E$과 모든 $j= 1,2,\cdots,n$에 대해

$0$이 $(\mathbb{R},d_1)$에서 집합 $S_j = \{ t\in \mathbb{R}\setminus \{0\} : x_0 +_n t\cdot_n e_j\in E \}$의 집적점일때

$x_0$에서 함수 $f:E\to \mathbb{R}$의 편도함수 $ \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0),\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x_0)  \in \mathbb{R}$이 존재하면

$\nabla f(x_0)= \left (\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0),\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x_0)  \right )\in \mathbb{R}^n$을 $x_0$에서 $f$의 기울기(gradient)로 정의한다.

 

 

 

정리2

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고

벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 순서기저가 $\beta = (e_1,e_2,\cdots, e_n)$이고

위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$과 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$와 임의의 $x_0\in E$과 모든 $j= 1,2,\cdots,n$에 대해

$0$이 $(\mathbb{R},d_1)$에서 집합 $S_j = \{ t\in \mathbb{R}\setminus \{0\} : x_0 +_n t\cdot_n e_j\in E \}$의 집적점일때

$x_0$에서 함수 $f,g :E\to \mathbb{R}$의 기울기 $\nabla f(x_0),\nabla g(x_0)\in \mathbb{R}^n$이 존재하면 다음이 성립한다.

1. 임의의 $a,b \in \mathbb{R}$와 모든 $x\in E$에 대해 $F(x) = a\cdot f(x) + b\cdot g(x)$인 함수 $F :E\to \mathbb{R}$의

기울기 $\nabla F(x_0)\in \mathbb{R}^n$이 존재하고 $\nabla F(x_0) = a\cdot_n \nabla f(x_0) +_n b\cdot_n\nabla g(x_0)$이다.

2. 모든 $x\in E$에 대해 $G(x) = f(x)\cdot g(x)$인 함수 $G :E\to \mathbb{R}$의

기울기 $\nabla G(x_0)\in \mathbb{R}^n$이 존재하고 $\nabla G(x_0) = g(x_0)\cdot_n \nabla f(x_0) +_n f(x_0)\cdot_n \nabla g(x_0)$이다.

3. 모든 $x\in E$에 대해 $g(x)\ne 0$일때 모든 $x\in E$에 대해 $H(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$인 함수 $H :E\to \mathbb{R}$의

기울기 $\nabla H(x_0)\in \mathbb{R}^n$이 존재하고 $\nabla H(x_0) = \dfrac{1}{(g(x_0))^2}\cdot_n (g(x_0) \cdot_n \nabla f(x_0) -  f(x_0)\cdot_n \nabla g(x_0))$이다.

증명

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$일때

$\nabla f(x_0)= \left (\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0),\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x_0)  \right )$이고 $\nabla g(x_0)= \left (\dfrac{\partial{g}}{\partial{x_1}}(x_0),\dfrac{\partial{g}}{\partial{x_2}}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial{g}}{\partial{x_n}}(x_0)  \right )$이므로

모든 $t\in S_j \cup \{ 0\}$에 대해 $f_j(t)=f(x_0+_n t\cdot_n e_j) $이고 $g_j(t) = g(x_0+_n t\cdot_n e_j) $인

함수 $f_j,g_j:S_j\cup \{0\}\to \mathbb{R}$는 다변수함수 미분정리로 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) = f_j'(0)$이고 $\dfrac{\partial{g}}{\partial{x_j}}(x_0) = g_j'(0)$이다.

1.

모든 $t\in S_j \cup \{ 0\}$에 대해

$F_j(t) = F(x_0+_nt\cdot_n e_j) = a\cdot f(x_0+_nt\cdot_ne_j) + b\cdot g(x_0+_nt\cdot_n e_j) = a\cdot f_j(t) + b\cdot g_j(t)$인

함수 $F_j :S_j\cup \{0\}\to \mathbb{R}$는 미분정리와 다변수함수 미분정리로

$\dfrac{\partial{F}}{\partial{x_j}}(x_0)=F_j'(0) = a\cdot f_j'(0) + b\cdot g_j'(0) = a\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) + b\cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_j}}(x_0)$이므로

$\begin{align*} \nabla F(x_0) & = \left (\dfrac{\partial{F}}{\partial{x_1}}(x_0),\dfrac{\partial{F}}{\partial{x_2}}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial{F}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) \\[0.5em]& = \left (a\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0) + b\cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_1}}(x_0),a\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_0) + b\cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_2}}(x_0),\cdots,a\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x_0) + b\cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) \\[0.5em]& = \left (a\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0) ,a\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_0) ,\cdots,a\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) +_n \left (b\cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_1}}(x_0), b\cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_2}}(x_0),\cdots, b\cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) \\[0.5em]& = a\cdot_n \left ( \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0) , \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_0) ,\cdots, \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) +_n b\cdot_n \left ( \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_1}}(x_0), \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_2}}(x_0),\cdots, \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) \\[0.5em]& = a\cdot_n \nabla f(x_0) +_n b\cdot_n \nabla g(x_0) \text{ 이다.} \end{align*}$

2.

모든 $t\in S_j \cup \{ 0\}$에 대해 $G_j(t) = G(x_0+_nt\cdot_n e_j) = f(x_0+_nt\cdot_ne_j) \cdot g(x_0+_nt\cdot_n e_j) =  f_j(t) \cdot g_j(t)$인

함수 $G_j :S_j\cup \{0\}\to \mathbb{R}$는 미분정리와 다변수함수 미분정리로

$\dfrac{\partial{G}}{\partial{x_j}}(x_0)= G_j'(0) = g_j(0)\cdot f_j'(0) +  f_j(0)\cdot g_j'(0) = g(x_0)\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) + f(x_0) \cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_j}}(x_0)$이므로

$\begin{align*} \nabla G(x_0) & = \left (\dfrac{\partial{G}}{\partial{x_1}}(x_0),\dfrac{\partial{G}}{\partial{x_2}}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial{G}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) \\[0.5em]& = \left (g(x_0)\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0) + f(x_0) \cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_1}}(x_0) , g(x_0)\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_0) + f(x_0) \cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_2}}(x_0) ,\cdots, g(x_0)\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x_0) + f(x_0) \cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) \\[0.5em]& = \left (g(x_0)\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0) ,g(x_0)\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_0) ,\cdots,g(x_0)\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) +_n \left (f(x_0)\cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_1}}(x_0), f(x_0)\cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_2}}(x_0),\cdots, f(x_0) \cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) \\[0.5em]& = g(x_0)\cdot_n \left ( \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0) , \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_0) ,\cdots, \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) +_n f(x_0) \cdot_n \left ( \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_1}}(x_0), \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_2}}(x_0),\cdots, \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) \\[0.5em]& = g(x_0)\cdot_n \nabla f(x_0) +_n f(x_0) \cdot_n \nabla g(x_0) \text{ 이다.} \end{align*}$

3.

모든 $t\in S_j \cup \{ 0\}$에 대해 $H_j(t) = H(x_0+_nt\cdot_n e_j) = \dfrac{f(x_0+_nt\cdot_ne_j)}{ g(x_0+_nt\cdot_n e_j)} =  \dfrac{f_j(t)}{g_j(t)}$인

함수 $H_j :S_j\cup \{0\}\to \mathbb{R}$는 미분정리와 다변수함수 미분정리로

$\dfrac{\partial{H}}{\partial{x_j}}(x_0)= H_j'(0) = \dfrac{1}{(g_j(0))^2}\cdot (g_j(0)\cdot f_j'(0) - f_j(0)\cdot g_j'(0) ) = \dfrac{1}{(g(x_0))^2}\cdot (g(x_0)\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) - f(x_0)\cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_j}}(x_0) )\text{ 이므로} $

$\begin{align*} & \nabla H(x_0) = \left (\dfrac{\partial{H}}{\partial{x_1}}(x_0),\dfrac{\partial{H}}{\partial{x_2}}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial{H}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) \\[0.5em]& = \dfrac{1}{(g(x_0))^2}\cdot_n \left ( g(x_0)\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0) - f(x_0)\cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_1}}(x_0) , g(x_0)\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_0) - f(x_0)\cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_2}}(x_0) , \cdots, g(x_0)\cdot \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x_0) - f(x_0)\cdot \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) \\[0.5em]& = \dfrac{1}{(g(x_0))^2}\cdot_n \left (g(x_0)\cdot_n \left ( \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0) , \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_0) , \cdots, \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) - f(x_0)\cdot_n \left ( \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_1}}(x_0) , \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_2}}(x_0) , \cdots, \dfrac{\partial{g}}{\partial{x_n}}(x_0) \right ) \right ) \\[0.5em]& = \dfrac{1}{(g(x_0))^2}\cdot_n \left (g(x_0)\cdot_n \nabla f(x_0) - f(x_0)\cdot_n \nabla g(x_0) \right ) \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정의3

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$일때 임의의 $x,y\in \mathbb{R}^n$에 대해

집합 $L(x,y) = \{ (1-t)\cdot_n x +_n t\cdot_n y : t\in $ $[0,1]$$\}$를 $x$에서 $y$로의 선분(line segment)으로 정의한다.

 

 

 

정리3

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고

위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R},d_1),(\mathbb{R}^n,d_n)$과 $a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에 대해

$(\mathbb{R},d_1)$의 부분거리공간이 $([a,b],d_1)$일때 임의의 $x,y\in \mathbb{R}^n$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\beta(t) = t \cdot_n x$로 정의되는 

함수 $\beta: [a,b] \to \mathbb{R}^n$는 $([a,b],d_1)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이다.

2. 모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\gamma(t) = (1- t)\cdot_n x +_n t\cdot_n y$인 

함수 $\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^n$는 $([a,b],d_1)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이다.

증명

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$일때

1.

$x = \vec{0}_n$이면 모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\beta(t) = \vec{0}_n$이므로 연속함수 정리로 $\beta$는 $([a,b],d_1)$과 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에 대해 연속이다.

$x\ne \vec{0}_n$이면

임의의 $\epsilon >0$에 대해 $d_1(c_1,c_2) = \lVert c_1-c_2\rVert_1 = |c_1-c_2|<\dfrac{\epsilon}{\lVert x\rVert_n}$인 모든 $c_1,c_2\in \mathbb{R}$가 노름의 정의로

$d_n(\beta(c_1),\beta(c_2)) = \lVert \beta(c_1)-\beta(c_2)\rVert_n = \lVert c_1\cdot_n x - c_2\cdot_n x\rVert_n = \lVert (c_1-c_2)\cdot_n x\rVert_n = |c_1-c_2|\cdot \lVert x\rVert_n < \dfrac{\epsilon}{\lVert x\rVert_n}\cdot \lVert x\rVert_n = \epsilon \text{ 이므로}$

$\beta$는 $([a,b],d_1)$과 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에 대해 연속이다.

2.

모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\gamma(t) = (1- t)\cdot_n x +_n t\cdot_n y = x +_n t\cdot_n (y-x)$이므로

연속함수 정리와 1번과 연속함수 정리로 $\gamma$는 $([a,b],d_1)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이다.

 

 

 

정리8

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 점곱이 $\bullet$이고

정의역이 $E\subseteq \mathbb{R}^n$인 함수 $f:E \to \mathbb{R}$와 위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 내부점인 $x_0\in E$에 대해

$f$가 $x_0$에서 미분가능하면 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$와 기울기 $\nabla f(x_0) \in \mathbb{R}^n$이 존재하여

모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $Df(x_0)(x) = \nabla f(x_0)\bullet x$이다.

증명

$f$가 $x_0$에서 미분가능하므로 도함수 $Df(x_0)$이 존재하고 미분정리와 기울기의 정의로 $\nabla f(x_0)$이 존재하여

벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R},+_1,\cdot_1, 0)$의 순서기저가 각각 $\beta,\gamma$일때

행렬곱 $*$과 행렬표현 $[Df(x_0)]_\beta^\gamma \in M_{1\times n}(\mathbb{R})$과 좌표벡터 $[Df(x_0)(x)]_\gamma \in M_{1\times 1}(\mathbb{R})$와

$x = (x_1,x_2,\cdots, x_n)\in \mathbb{R}^n$의 좌표벡터 $[x]_\beta = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\in M_{n\times 1}(\mathbb{R})$에 대해

행렬표현 정리와 미분정리와 점곱의 정의로

$\begin{align*}[Df(x_0)(x)]_\gamma &= [Df(x_0)]_\beta^\gamma * [x]_\beta \\[0.5em]&= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x_0) & \dfrac{\partial f}{\partial x_2}(x_0) & \cdots & \dfrac{\partial f}{\partial x_n}(x_0) \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x_0) \cdot x_1 +\dfrac{\partial f}{\partial x_2}(x_0) \cdot x_2 + \cdots +\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(x_0) \cdot x_n \end{bmatrix} \\[0.5em] & = \begin{bmatrix} \nabla f(x_0)\bullet x \end{bmatrix} \\[0.5em] & = [ \nabla f(x_0)\bullet x ]_\gamma \text{ 이므로} \end{align*}$

좌표벡터 정리로 $Df(x_0)(x) = \nabla f(x_0)\bullet x$이다.

 

 

 

정리4(스칼라장의 평균값 정리)

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 점곱이 $\bullet$이고

위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U\subseteq \mathbb{R}^n$에서 함수 $f:U \to \mathbb{R}$가 미분가능할때

임의의 $x,y\in U$에 대해 $x$에서 $y$로의 선분이 $L(x,y) \subseteq U$이면 어떤 $z\in L(x,y)$가 존재하여

도함수 $Df(z) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$와 기울기 $\nabla f(z) \in \mathbb{R}^n$에 대해 $f(y) - f(x) = Df(z)(y-x) = \nabla f(z)\bullet (y-x)$이다.

증명

임의의 $t\in [0,1]$에 대해 $g(t) = (1-t)\cdot_n x +_n t\cdot_n y$인 함수 $g: [0,1]\to \mathbb{R}^n$는 다변수함수 미분정리로

모든 $c\in (0,1)$에서 미분가능하고 $g$의 도함수 $Dg(c):\mathbb{R}\to \mathbb{R}^n$는 모든 $t\in \mathbb{R}$에 대해 $Dg(c)(t) = t\cdot_n (y-x)$이다.

선분의 정의로 $g(c)\in L(x,y)\subseteq U$이므로 $g(c)$에서 $f$의 도함수 $Df(g(c)) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$에 대해

연쇄법칙으로 합성함수 $f\circ g : [0,1]\to \mathbb{R}$의 도함수 $D(f\circ g)(c) : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$가 존재하여

도함수의 정의와 선형변환의 정의로

$D(f\circ g)(c)(t) = Df(g(c))(Dg(c)(t)) = Df(g(c))(t\cdot_n (y-x)) = t\cdot Df(g(c))(y-x)$이고

미분정리로 $(0,1)$에서 $f\circ g$의 도함수 $(f\circ g)' :(0,1)\to \mathbb{R}$은 모든 $c\in (0,1)$에 대해

$(f\circ g)'(c) = (f\circ g)'(c) \cdot 1= D(f\circ g)(c)(1) = 1\cdot Df(g(c))(y-x) = Df(g(c))(y-x)$이다.

$f$는 $L(x,y)\subseteq U$에서 미분가능하므로 미분정리로 $(L(x,y),d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수가 되어

위 정리와 연속함수 정리로 $f\circ g$는 $([0,1],d_1)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고 평균값 정리로

$f(y)- f(x) = (f\circ g)(1) - (f\circ g)(0) = (f\circ g)'(a) \cdot (1-0)= Df(g(a))(y-x)$인 $a\in (0,1)$가 존재한다.

따라서 $z = g(a) \in L(x,y)$로 둘때

위 정리로 $\begin{align*} f(y)- f(x) &= Df(g(a))(y-x)  = Df(z)(y-x) = \nabla f(z)\bullet (y-x)\end{align*}$이다.

 

 

 

정리6

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$일때

정의역이 $E\subseteq \mathbb{R}^n$인 함수 $f,g:E \to \mathbb{R}^m$와 위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 내부점인 $x_0\in E$에 대해

$x_0$에서 $f,g$의 도함수 $Df(x_0),Dg(x_0) :\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$이 존재하면

$(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$의 점곱 $\bullet$과 모든 $x\in E$에 대해 $\varphi(x) = f(x)\bullet g(x)$인 함수 $\varphi:E\to \mathbb{R}$는

$x_0$에서 미분가능하고 $x_0$에서 $\varphi$의 도함수 $D\varphi(x_0): \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$는

모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $D\varphi(x_0)(v) = f(x_0)\bullet Dg(x_0)(v) + Df(x_0)(v)\bullet g(x_0)$이다.

증명

모든 $x\in E$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_m(x))\in \mathbb{R}^m$이고 $g(x) = (g_1(x),g_2(x),\cdots, g_m(x))\in \mathbb{R}^m$인

함수 $f_1,f_2,\cdots, f_m ,g_1,g_2,\cdots,g_m: E\to \mathbb{R}$에 대해 점곱의 정의로 $\varphi(x) = f(x)\bullet g(x) = \displaystyle \sum_{i=1}^m f_i(x)\cdot g_i(x)$이므로

미분정리와 미분정리로 모든 $v \in \mathbb{R}^n$에 대해

$D\varphi(x_0)(v) = \displaystyle \sum_{i=1}^m (Df_i(x_0)(v)\cdot g_i(x_0) + f_i(x_0)\cdot Dg_i(x_0)(v)) = Df(x_0)(v)\bullet g(x_0) + f(x_0)\bullet Dg(x_0)(v)$이다.

 

 

 

정리5(벡터장의 평균값 정리)

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고

위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U\subseteq \mathbb{R}^n$에서 함수 $f:U \to \mathbb{R}^m$가 미분가능할때

임의의 $x,y\in U$에 대해 $x$에서 $y$로의 선분이 $L(x,y) \subseteq U$이면 임의의 $u\in \mathbb{R}^m$에 대해 어떤 $z\in L(x,y)$가 존재하여 

$(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$의 점곱 $\bullet$과 도함수 $Df(z) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$에 대해 $u\bullet (f(y) - f(x)) = u\bullet Df(z)(y-x)$이다.

증명

임의의 $a \in U$에 대해 $g_u(a) = u\bullet f(a)$인 함수 $g_u : U\to \mathbb{R}$의 임의의 $x_0 \in U$에서의 도함수 $Dg_u(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$은

위 정리와 미분정리로 $Dg_u(x_0)(a) = u \bullet Df(x_0)(a)$임에 따라 위 정리로 $z\in L(x,y)$가 존재하여 내적정리로

$u\bullet (f(y) - f(x))= u\bullet f(y) - u\bullet f(x)= g_u(y) - g_u(x) = Dg_u(z)(y-x) = u\bullet Df(z)(y-x)$이다.

 

 

 

정리7(다변수함수의 테일러 정리)

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해

위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U\subseteq \mathbb{R}^n$에서 함수 $f:U \to \mathbb{R}$가 $m+1$번 연속미분가능할때

임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots, x_n)\in U$와 임의의 $h = (h_1,h_2,\cdots, h_n)\in \mathbb{R}^n\setminus \{ \vec{0}_n\}$에 대해

$x$에서 $x+_n h$로의 선분이 $L(x,x+_nh) \subseteq U$이면 어떤 $c_0 \in $ $(0,1)$이 존재하여

$\begin{align*}f(x +_n h ) = f(x) & + \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)\cdot h_i + \dfrac{1}{2}\cdot \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x)\cdot h_i \cdot h_j \\[0.5em] & + \; \cdots \\[0.5em] & + \dfrac{1}{m!}\cdot \sum_{k_1 = 1}^n \cdots \sum_{k_m = 1}^n \dfrac{\partial^m f}{\partial x_{k_1} \cdots \partial x_{k_m}}(x)\cdot h_{k_1}\cdot \,\cdots\, \cdot h_{k_m} \\[0.5em] & + \dfrac{1}{(m+1)!}\cdot \sum_{k_1 = 1}^n \cdots \sum_{k_m = 1}^n\sum_{k_{m+1} = 1}^n \dfrac{\partial^{m+1} f}{\partial x_{k_1} \cdots \partial x_{k_m}\partial x_{k_{m+1}}}(x+_n c_0\cdot_n h)\cdot h_{k_1}\cdot \,\cdots\, \cdot h_{k_m}\cdot h_{k_{m+1}} \text{ 이다.}\end{align*}$

증명

열린집합 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x,r_1)$ $\subseteq U$이고 $ \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x+_nh,r_2) \subseteq U$인 $r_1,r_2 > 0$가 존재하여

노름의 정의로 $\lVert h\rVert_n > 0$이므로 $\delta = \dfrac{1}{2\cdot \lVert h\rVert_n}\cdot $ $\min$$\{r_1, r_2\} > 0$일때 임의의 $t \in $ $[-\delta,1 +\delta]$가

$t\in [-\delta , 0)$이면

$\begin{align*}d_n(x+_n t\cdot_n h, x) &= \lVert x +_n t\cdot_n h - x\rVert_n = \lVert t\cdot_n h\rVert_n = |t|\cdot \lVert h\rVert_n \\[0.5em]&\le \delta \cdot \lVert h\rVert_n = \dfrac{1}{2\cdot \lVert h\rVert_n} \cdot \min\{r_1,r_2\} \cdot \lVert h\rVert_n = \dfrac{1}{2}\cdot \min \{r_1, r_2 \} \\[0.5em] & \le \dfrac{1}{2}\cdot r_1 \\[0.5em] & < r_1 \text{ 이 되어} \end{align*}$

열린공의 정의로 $x+_n t\cdot_n h \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x,r_1) \subseteq U$이고

$t\in [0,1]$이면 선분의 정의로 $x +_n t\cdot_n h = (1-t)\cdot_n x +_n t\cdot_n (x+_n h) \in L(x,x+_nh) \subseteq U$이고

$t\in (1,1+\delta]$이면

$\begin{align*} d_n(x+_n t\cdot_n h, x+_n h) &= \lVert x+_n t\cdot_n h - x - h\rVert_n = \lVert (t-1)\cdot_n h\rVert_n = |t-1| \cdot \lVert h\rVert_n \le \delta \cdot \lVert h\rVert_n  < r_2 \end{align*}$이므로

$x+_n t\cdot_n h \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x+_nh,r_2) \subseteq U$이다.

함수 $\gamma : [-\delta,1+\delta] \to U$와 $F : [-\delta,1+\delta]\to \mathbb{R}$가

$\gamma(t) = x +_n t\cdot_n h $이고 $F(t) = f(x+_n t\cdot_n h)= f(\gamma(t)) = (f $ $\circ$ $ \gamma)(t)$일때

미분정리로 임의의 $c\in [0,1] \subseteq (-\delta, 1+\delta)$에서 $\gamma$의 도함수 $D\gamma(c) : \mathbb{R}\to \mathbb{R}^n$는

모든 $t\in \mathbb{R}$에 대해 $D\gamma(c)(t) = t\cdot_n (x+_n h - x) = t\cdot_n h$이므로

벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 기저 $\{ e_1,e_2,\cdots, e_n\}$에 대해

미분정리와 도함수의 정의와 연속미분의 정의와 미분정리와 연쇄법칙과 선형변환 정리로

$\begin{align*}F'(c) \cdot t & = DF(c)(t) \\[0.5em]&= D(f\circ \gamma)(c)(t) \\[0.5em]&= Df(\gamma(c))(D\gamma(c)(t)) \\[0.5em] &= Df(x+_n c\cdot_n h)(t\cdot_n h) \\[0.5em]&=t\cdot Df(x+_n c\cdot_n h)(\sum_{i = 1}^n h_i \cdot_n e_i) \\[0.5em]& = t\cdot \sum_{i=1}^n h_i \cdot Df(x+_n c\cdot_n h)(e_i) \\[0.5em] & = t\cdot \sum_{i=1}^n h_i \cdot \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x+_n c\cdot_n h) \text{ 가 되어 }\end{align*}$

$1$계도함수의 정의로 $\displaystyle F^{(1)}(c)=F'(c) = \sum_{i=1}^n h_i\cdot \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x+_n c\cdot_n h)  = \sum_{k_1=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_{k_1}}(x+_n c\cdot_n h)\cdot h_{k_1}$이다.

$p\le m+1$인 모든 $p\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\displaystyle F^{(p)}(c) =\sum_{k_1 =1}^n \cdots \sum_{k_p = 1}^n \dfrac{\partial^p f}{\partial x_{k_1} \cdots \partial x_{k_p}}(x+_n c\cdot_n h)\cdot h_{k_1}\cdot\, \cdots \, \cdot h_{k_p}$라고 귀납가정할때 $p +1 \le m+1$이면

$\displaystyle g(x) =\sum_{k_1 =1}^n \cdots \sum_{k_p = 1}^n \dfrac{\partial^p f}{\partial x_{k_1} \cdots \partial x_{k_p}}(x)\cdot h_{k_1}\cdot\, \cdots \, \cdot h_{k_p}$인 함수 $g: U\to \mathbb{R}$는

편도함수 정리와 방향도함수 정리로 $U$에서 연속미분가능하므로 고계도함수의 정의와 위와 비슷하게

$\begin{align*}F^{(p+1)}(c)\cdot t &= (F^{(p)})'(c) \cdot t \\[0.5em]&= DF^{(p)}(c)(t) \\[0.5em] &= D(g\circ \gamma)(c)(t) \\[0.5em]& = t\cdot \sum_{k_{p+1} = 1}^n \dfrac{\partial g}{\partial x_{k_{p+1}}}(x+_n c\cdot_n h) \cdot h_{k_{p+1}} \\[0.5em]& = t\cdot \sum_{k_{p+1} = 1}^n \sum_{k_1 =1}^n \cdots \sum_{k_p = 1}^n \dfrac{\partial^{p+1} f}{\partial x_{k_{p+1}}\partial x_{k_1} \cdots \partial x_{k_p}}(x+_n c\cdot_n h)\cdot h_{k_1}\cdot\, \cdots \, \cdot h_{k_p}\cdot h_{k_{p+1}} \\[0.5em]& = t\cdot \sum_{k_1 =1}^n \cdots \sum_{k_p = 1}^n \sum_{k_{p+1} = 1}^n\dfrac{\partial^{p+1} f}{\partial x_{k_1} \cdots \partial x_{k_p}\partial x_{k_{p+1}}}(x+_n c\cdot_n h)\cdot h_{k_1}\cdot\, \cdots \, \cdot h_{k_p}\cdot h_{k_{p+1}} \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 $F', F'',\cdots , F^{(m)},F^{(m+1)}$이 $[0,1]$에서 존재하고 연속이므로 테일러 정리로 어떤 $c_0\in (0,1)$이 존재하여

$\begin{align*}f(x+_n h) &=F(1) \\[0.5em] &= F(0) + F'(0) + \dfrac{1}{2}\cdot F''(0) + \cdots + \dfrac{1}{m!}\cdot F^{(m)}(0) + \dfrac{1}{(m+1)!}\cdot F^{(m+1)}(c_0) \\[0.5em] &= f(x) + \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x_i}(x)\cdot h_i + \dfrac{1}{2}\cdot \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x)\cdot h_i \cdot h_j \\[0.5em] & \qquad \quad \;\, + \; \cdots \\[0.5em] & \qquad \quad \;\, + \dfrac{1}{m!}\cdot \sum_{k_1 = 1}^n \cdots \sum_{k_m = 1}^n \dfrac{\partial^m f}{\partial x_{k_1} \cdots \partial x_{k_m}}(x)\cdot h_{k_1}\cdot \,\cdots\, \cdot h_{k_m} \\[0.5em] & \qquad \quad \;\, + \dfrac{1}{(m+1)!}\cdot \sum_{k_1 = 1}^n \cdots \sum_{k_m = 1}^n\sum_{k_{m+1} = 1}^n \dfrac{\partial^{m+1} f}{\partial x_{k_1} \cdots \partial x_{k_m}\partial x_{k_{m+1}}}(x+_n c_0\cdot_n h)\cdot h_{k_1}\cdot \,\cdots\, \cdot h_{k_m}\cdot h_{k_{m+1}} \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/94#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/94#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Terence Tao - Analysis 2 - 9791156646808

Walter Rudin - Principles of Mathmatical Analysis - 9788956152714

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