환(Ring)

정의1

환 :

집합 $R$과 이항연산인 덧셈 $+ : R \times R \to R$과 곱셈 $\cdot : R \times R \to R$과

상수 $0,1\in R$에 대해 아래 성질들을 만족하는 $5$-순서쌍 $(R,+,\cdot,0,1)$을 환으로 정의한다.

연산의 순서를 명시하지 않으면 연산의 순서는

괄호 $()$안에 묶인 연산이 가장 먼저 계산되고

괄호 안이나 괄호가 없을때는

곱셈이 1순위, 덧셈이 2순위로 연산된다.

이항연산에 대해 닫힘 : 

모든 $a, b \in R$에 대해 $a + b \in R$이다.

모든 $a, b \in R$에 대해 $a \cdot b \in R$이다.

덧셈에 대한 교환법칙 :

모든 $a, b \in R$에 대해 $ a+b = b+a$이다.

덧셈에 대한 역원 :

모든 $a \in R$에 대해 $ a+c = 0 = c+ a $인 $a$의 덧셈에 대한 역원 $c \in R$가 존재한다.

항등원 :

모든 $a \in R$에 대해 $ 0 +a= a = a +0  $인 덧셈에 대한 항등원 $0 \in R$과

모든 $a \in R$에 대해 $ a \cdot 1 = a =  1 \cdot a$인 곱셈에 대한 항등원 $ 1\in R$이 존재한다.

결합법칙 :

모든 $a, b, c \in R$에 대해 $ (a+b) + c = a + (b + c) $이다.

모든 $a, b, c \in R$에 대해 $(a \cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c) $이다.

우측 분배법칙 :

모든 $a, b, c \in R$에 대해 $ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$이다.

좌측 분배법칙 :

모든 $a, b, c \in R$에 대해 $ (b+c)\cdot a = b \cdot a + c \cdot a$이다.

 

 

 

정리1

환 $(R,+,\cdot,0,1)$의 임의의 $a,b,c \in R$에 대해 $  a+b = c+b$이면 $a=c$이다.

증명

$a+b = c+b$일때 $b+d = 0$인 $b$의 덧셈에 대한 역원 $d \in R$가 존재하여

양변에 $d$를 더하면 $(a+b)+d = (c+b)+d$이다.

또 덧셈에 대한 항등원 $0 \in F$과 결합법칙으로  

$(a+b)+d = a+(b+d) = a+0 =a$이고 

$(c+b)+d = c + (b+d) = c+0 = c$이므로 $a=c$이다.

 

 

 

정리3

환 $(R,+,\cdot,0,1)$의 덧셈, 곱셈에 대한 항등원과 덧셈에 대한 역원은 유일하다.

증명

덧셈에 대한 항등원의 유일성

임의의 $a \in R$에 대해 $a+0  = a = a+0_R $인 $0,0_R \in R$이 존재하면 위 정리로 $0 = 0_R$이다.

덧셈에 대한 역원의 유일성

임의의 $a \in R$에 대해 $a + c = 0 =  a + c_R $인 $c,c_R \in R$이 존재하면 위 정리로 $c = c_R$이다.

곱셈에 대한 항등원의 유일성

임의의 $a \in R$에 대해 $1 \cdot a = a = 1_R \cdot a$이고 $a \cdot 1 = a = a \cdot 1_R$인 $1,1_R \in R$이 존재하면

$1 = 1\cdot 1_R = 1_R$이므로 곱셈에 대한 항등원은 유일하다.

 

 

 

정의2

$(R,+,\cdot,0,1)$이 환일때

모든 $a \in R$에 대해 $a +c = 0$인 $a$의 덧셈에 대한 역원 $c \in R$를 $c = -a$로 정의하고

모든 $a ,b \in R$에 대해 $a$에서 $b$를 빼는 것을 $a  -b = a+(-b)$로 정의한다.

 

 

 

정리2

$(R,+,\cdot,0,1)$이 환일때 임의의 $a,b \in R$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $a \cdot 0 = 0 = 0\cdot a$

2. $(-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -(a \cdot b)$

3. $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$

증명

1.

덧셈에 대한 항등원 $0 \in R$에 대해 $0 + 0 = 0$이고

우측 분배법칙으로 $ a \cdot 0 +0= a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a\cdot 0 + a\cdot 0$ 이므로 

$ a \cdot 0+0 =  a\cdot 0 + a\cdot 0$에 대해 위 정리로 $a \cdot 0 = 0$이고

좌측 분배법칙으로 $ 0 \cdot a+0 = 0 \cdot a = (0+0) \cdot a = 0\cdot a + 0\cdot a$이므로

$ 0 \cdot a+0 = 0\cdot a + 0\cdot a$에 대해 위 정리로 $0 \cdot a = 0$이다.

2.

분배법칙과 $a$의 덧셈에 대한 역원 $-a$에 대해

$a \cdot b + (-a) \cdot b = (a + (-a)) \cdot b = 0 \cdot b = 0$,

$a \cdot b + a \cdot (-b)  = a\cdot (b + (-b))  = a \cdot 0 = 0$,

$a \cdot b + (-(a \cdot b )) = 0$ 이므로 

$a \cdot b + (-a) \cdot b =a \cdot b + a \cdot (-b) =a \cdot b + (-(a \cdot b ))$ 이다.

따라서 위 정리로 $(-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -(a \cdot b )$ 이다.

3.

$a$의 덧셈에 대한 역원 $-a$에 대해 $a + (-a) = 0 = -(-a) + (-a)$이므로 위 정리로 $a = -(-a)$이다.

따라서 2번으로 $(-a) \cdot (-b) = -(a \cdot (-b)) = -(-(a \cdot b)) = a \cdot b$이다.

 

 

 

정리4

임의의 환 $(R,+,\cdot,0,1)$에 대해 $0 = 1$이면 $R = \{ 0 \}$이다.

증명

모든 $a \in R$에 대해 위 정리로 $a \cdot 0 = 0 = 0\cdot a$이고 곱셈에 대한 항등원 $1 \in R$에 대해 $a\cdot 1 = a = 1\cdot a$인데

$0 = 1$이므로 $a = a\cdot 1 = a\cdot 0 = 0$이 되어 $R = \{ 0 \}$이다.

 

 

 

정의3

$(R,+,\cdot,0_R,1_R)$이 환일때

가환환(commutative ring) : 

모든 $a, b\in R$에 대해 $a\cdot b = b\cdot a$이면 $(R,+,\cdot,0_R,1_R)$을 가환환으로 정의한다.

나눗셈환(division ring) :

$a \ne 0_R$인 모든 $a \in R$에 대해 $a\cdot a^{-1} = 1_R = a^{-1}\cdot a$인 $a$의 곱셈에 대한 역원 $a^{-1} \in R$이 존재하고

$0_R\ne 1_R$이면 $(R,+,\cdot,0_R,1_R)$을 나눗셈환으로 정의한다.

비가환체(strictly skew field) :

가환환이 아닌 나눗셈환을 비가환체로 정의한다.

가환환이고 나눗셈환인 환은 체이다.

 

 

 

정리5

$(R,+,\cdot,0,1)$이 가환환이기 위한 필요충분조건은 모든 $a,b \in R$에 대해 $a\cdot a  -b\cdot b = (a+b)\cdot (a-b)$인 것이다.

증명

$(R,+,\cdot,0,1)$이 가환환이면

분배법칙과 덧셈에 대한 항등원 $0\in R$과 위 정리로

$\begin{align*}(a + b) \cdot (a-b) & = (a+b)\cdot (a +(-b))\\[0.5em]&= a\cdot (a+(-b)) + b\cdot (a +(-b)) \\[0.5em] & =a\cdot a + a\cdot (-b) +b\cdot a + b\cdot (-b) \\[0.5em] & = a\cdot a - a\cdot b + b\cdot a - b\cdot b \\[0.5em] & = a\cdot a - a\cdot b + a\cdot b - b\cdot b \\[0.5em] & = a\cdot a + 0 - b\cdot b \\[0.5em] & = a\cdot a - b\cdot b \text{ 이다.} \end{align*}$

역으로 $a\cdot a  -b\cdot b = (a+b)\cdot (a-b)$이면

위와 비슷하게 $a\cdot a  -b\cdot b = (a+b)\cdot (a-b) = a\cdot a - a\cdot b + b\cdot a -b\cdot b$이므로

양변에 $a\cdot a  -b\cdot b$를 빼면 $0 =-a\cdot b + b\cdot a$이고 다시 $a\cdot b$를 더하면 $a\cdot b = b\cdot a$가 되어

$(R,+,\cdot,0,1)$은 가환환이다.

 

 

 

정리12

$(R,+,\cdot,0_R,1_R)$이 나눗셈환일때 임의의 $a,b \in R$에 대해 다음이 성립한다.

1. $a\ne 0_R$일때 $a$의 곱셈에 대한 역원은 유일하게 존재한다.

2. $1_R^{-1} = 1_R$

3. $a\ne 0_R$이면 $a^{-1}\ne 0_R$이고 $(a^{-1})^{-1} = a$이다.

4. $a\ne 0_R$이고 $b\ne 0_R$이기 위한 필요충분조건은 $a\cdot b \ne 0_R$인 것이다.

이때 $(a\cdot b)^{-1} = b^{-1}\cdot a^{-1}$이 성립한다.

5. $a\cdot b = 1_R$이면 $a\ne 0_R$과 $b\ne 0_R$이 성립하고 $a = b^{-1}$과 $b = a^{-1}$이 성립한다.

증명

1.

나눗셈환의 정의로 $a\cdot c = 1_R = c\cdot a$이고 $a\cdot d = 1_R = d \cdot a$인 $c,d\in R$가 존재할때

환의 정의로 $c = c\cdot 1_R = c\cdot (a\cdot d) = (c\cdot a)\cdot d = 1_R\cdot d = d$이므로 $a$의 곱셈에 대한 역원은 유일하다.

2.

나눗셈환의 정의로 $1_R\ne 0_R$이고 환의 정의로 $1_R^{-1} =1_R^{-1} \cdot 1_R = 1_R$이다.

3.

$a\ne 0_R$일때 $a^{-1} = 0_R$이라고 가정하면

위 정리로 $1_R = a\cdot a^{-1} = a\cdot 0_R= 0_R$이 되어 나눗셈환의 정의에 모순이므로 $a^{-1}\ne 0_R$임에 따라

환의 정의로 $(a^{-1})^{-1}\cdot 1_R = (a^{-1})^{-1} \cdot (a^{-1}\cdot a) = ((a^{-1})^{-1} \cdot a^{-1}) \cdot a = 1_R\cdot a = a$이다.

4.

$a\ne 0_R$이고 $b\ne 0_R$일때 $a\cdot b = 0_R$이라고 가정하면 위 정리로

$1_R = a^{-1}\cdot a = (a^{-1}\cdot a)\cdot 1_R = (a^{-1}\cdot a)\cdot (b\cdot b^{-1}) = (a^{-1}\cdot (a\cdot b)) \cdot b^{-1} = (a^{-1}\cdot 0_R) \cdot b^{-1} = 0_R\cdot b^{-1} = 0_R\text{ 이 되어}$

나눗셈환의 정의에 모순이므로 $a\cdot b \ne 0_R$이다.

또 $(a\cdot b) \cdot (b^{-1}\cdot a^{-1}) = (a\cdot (b\cdot b^{-1}))\cdot a^{-1} = (a\cdot 1_R)\cdot a^{-1} = a\cdot a^{-1} = 1_R$이고

$(b^{-1}\cdot a^{-1}) \cdot (a\cdot b) = (b^{-1}\cdot (a^{-1}\cdot a))\cdot b = (b^{-1}\cdot 1_R)\cdot b = b^{-1}\cdot b = 1_R$이므로 $(a\cdot b)^{-1} = b^{-1}\cdot a^{-1}$이다.

역은 대우로 증명한다.

$a =0_R$ 또는 $b = 0_R$이면 위 정리로 $a\cdot b = 0_R$이다.

5.

나눗셈환의 정의로 $a\cdot b = 1_R \ne 0_R$이므로 4번으로 $a\ne 0_R$과 $b\ne 0_R$이 성립하여

환의 정의로 $a^{-1}=a^{-1} \cdot 1_R = a^{-1} \cdot (a\cdot b) = (a^{-1}\cdot a)\cdot b = 1_R\cdot b = b$이고 3번으로 $b^{-1} = (a^{-1})^{-1} = a$이다.

 

 

 

정의4

환 $(R,+,\cdot,0,1)$의 임의의 $S\subseteq R$에 대해 $(S,+,\cdot,0,1)$이 환이면 

$(S,+,\cdot,0,1)$를 $(R,+,\cdot,0,1)$의 부분환(subring)으로 정의한다.

 

 

 

정리6

$S\subseteq R$일때 $(S,+,\cdot,0,1)$가 환 $(R,+,\cdot,0,1)$의 부분환이기 위한 필요충분조건은 다음을 모두 만족하는 것이다.

1. $0,1 \in S$

2. 모든 $a,b \in S$에 대해 $a-b  \in S$이다.

3. 모든 $a,b \in S$에 대해 $a\cdot b  \in S$이다.

증명

$(S,+,\cdot,0,1)$가 $(R,+,\cdot,0,1)$의 부분환이면

$(S,+,\cdot,0,1)$는 환이므로 $0,1 \in S$이고 $a\cdot b  \in S$이다.

또 $b$의 덧셈에 대한 역원 $-b \in S$가 존재하고 $+$에 대해 닫혀있으므로 $a-b = a +(-b) \in S$이다.

역으로 1,2,3을 만족할때

2번으로 $a-b \in S$이고 $-b  =0- b = (a-b) - a \in S$이므로 모든 $b \in S$의 덧셈에 대한 역원이 존재하여

위 정리로 $ a+b = a+ 1\cdot b = a + (-1)\cdot (-b)= a - ((-1) \cdot b)= a - (-(1\cdot b)) = a - (-b) \in S$이고

3번으로 $a\cdot b \in S$이므로 $S$는 $+,\cdot$에 대해 닫혀있다.

또 $S\subseteq R$이므로 $S$의 모든 원소는 $R$에 속하여 결합법칙, 분배법칙과 덧셈에 대한 교환법칙을 만족하고

1번으로 항등원 $0,1 \in S$이 존재하여 $(S,+,\cdot,0,1)$는 환이므로 $(R,+,\cdot,0,1)$의 부분환이다.

 

 

 

정의5

영인자(zero divisor) : 

$a\cdot b = 0$이고 영이 아닌 $a ,b \in R \setminus \{ 0 \}$를 환 $(R,+,\cdot,0,1)$의 영인자로 정의한다.

정역(integral domain) :

$0\ne 1$인 가환환 $(R,+,\cdot,0,1)$에 영인자가 존재하지 않으면 $(R,+,\cdot,0,1)$을 정역으로 정의한다.

 

 

 

정리7

환 $(R,+,\cdot,0,1)$에 영인자가 존재하지 않기 위한 필요충분조건은 다음을 모두 만족하는 것이다.

우측 소거법칙 : 모든 $a,b,c \in R$에 대해 $b\cdot a = c\cdot a$이고 $a\ne 0$이면 $b = c$이다.

좌측 소거법칙 : 모든 $a,b,c \in R$에 대해 $a\cdot b = a\cdot c$이고 $a\ne 0$이면 $b = c$이다.

증명

$(R,+,\cdot,0,1)$에 영인자가 존재하지 않을때

$a \ne 0$이고 $b\cdot a = c\cdot a$이면 분배법칙과 덧셈에 대한 역원으로

$0 = b\cdot a - b\cdot a = b\cdot a - c\cdot a = b\cdot a + (-c)\cdot a = (b-c)\cdot a$이고 $(R,+,\cdot,0,1)$에 영인자가 존재하지 않으므로

$b -c = 0$ 또는 $a = 0$인데 $a\ne 0$이므로 $b -c = 0$이 되어 양변에 $c$를 더하면 $b = c$이다.

$a \ne 0$이고 $a\cdot b = a\cdot c$이면 분배법칙과 덧셈에 대한 역원으로

$0 = a \cdot b - a\cdot b = a\cdot b - a\cdot c = a\cdot b + a \cdot (-c) = a\cdot (b-c)$이고 $(R,+,\cdot,0,1)$에 영인자가 존재하지 않으므로

$a = 0$ 또는 $b -c = 0$인데 $a\ne 0$이므로 $b -c = 0$이 되어 양변에 $c$를 더하면 $b = c$이다.

역으로 소거법칙이 성립할때 $x \cdot y = 0$인 $x,y \in R \setminus \{ 0 \}$가 존재한다고 가정하면

$x \ne 0$에 대해 위 정리로 $x\cdot y  = 0= x\cdot 0$이므로 소거법칙으로 $y = 0$이 되어 모순이고

$y \ne 0$에 대해 위 정리로 $x\cdot y  = 0= 0\cdot y$이므로 소거법칙으로 $x = 0$이 되어 모순이므로

$x \cdot y = 0$이면 $x = 0$ 또는 $y = 0$이 되어 $(R,+,\cdot,0,1)$에 영인자가 존재하지 않는다.

 

 

 

정리8

환 $(R,+,\cdot,0,1)$의 부분환 $(S,+,\cdot,0,1)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(R,+,\cdot,0,1)$이 가환환이면 $(S,+,\cdot,0,1)$도 가환환이다.

2. $(R,+,\cdot,0,1)$에 영인자가 존재하지 않으면 $(S,+,\cdot,0,1)$에도 영인자가 존재하지 않는다.

3. $(R,+,\cdot,0,1)$이 정역이면 $(S,+,\cdot,0,1)$도 정역이다.

증명

1.

모든 $a,b \in S$는 $a,b \in R$이고 $(R,+,\cdot,0,1)$이 가환환이므로 $a\cdot b = b\cdot a$가 되어 $(S,+,\cdot,0,1)$은 가환환이다.

2.

모든 $a,b,c \in S$는 $a,b,c \in R$이고 $(R,+,\cdot,0,1)$에 영인자가 존재하지 않으므로

위 정리로 $b\cdot a = c\cdot a$이거나 $a\cdot b = a\cdot c$일때 $a \ne 0$이면 $b = c$가 되어

다시 위 정리로 $(S,+,\cdot,0,1)$에 영인자가 존재하지 않는다.

3.

$(R,+,\cdot,0,1)$이 정역이면 $0\ne 1$이고 $(S,+,\cdot,0,1)$는 $(R,+,\cdot,0,1)$의 부분환이므로 위 정리로 $0,1\in S$이다.

또 2번으로 $(S,+,\cdot,0,1)$에는 영인자가 존재하지 않으므로 $(S,+,\cdot,0,1)$는 정역이다.

 

 

 

정리9

다음이 성립한다.

1. 체 $(F,+,\cdot,0,1)$는 정역이다.

2. $F$가 유한집합이고 $(F,+,\cdot,0,1)$가 정역이면 $(F,+,\cdot,0,1)$는 체이다.

증명

1.

임의의 $a,b,c \in F$에 대해 $a\cdot b = b\cdot a = c\cdot a = a\cdot c$이고 $a \ne 0$이면 체 정리로 $b = c$이므로

위 정리로 $(F,+,\cdot,0,1)$에는 영인자가 존재하지 않고 체의 정의로 $0\ne 1$이므로 $(F,+,\cdot,0,1)$는 정역이다.

2.

정역의 정의로 $0 \ne 1$이므로 $F$는 원소개수가 2개이상인 집합이 되어 $F \setminus \{ 0\}$은 1개이상의 원소를 갖고

임의의 $a \in F\setminus \{ 0\}$에 대한 $F \setminus \{ 0\}$의 좌측잉여류가 $a \cdot (F\setminus \{ 0\})$일때

임의의 $x \in F\setminus \{ 0\}$에 대해 $\phi(x) = a\cdot x$인 함수 $\phi : F\setminus \{ 0\} \to a\cdot (F\setminus \{ 0\})$는

자명하게 전사이고 임의의 $x,y \in F\setminus \{ 0\}$에 대해 $ a\cdot x =\phi(x) = \phi(y) = a\cdot y$이면

$a\ne 0$이고 $(F,+,\cdot,0,1)$는 정역이므로 위 정리로 $x = y$가 되어 $\phi$는 단사이다.

$\phi$가 전단사이므로 유한집합 정리로 $F \setminus \{ 0\}$와 $a \cdot (F\setminus \{ 0\})$의 원소개수는 동일하고

모든 $x \in F\setminus \{ 0\}$에 대해 $a\cdot x \ne 0$이므로 $a\cdot (F\setminus \{ 0\}) \subseteq F\setminus \{ 0 \}$가 되어

유한집합 정리로 $a\cdot (F\setminus \{ 0\}) = F\setminus \{ 0 \}$이다.

따라서 $x\cdot a = a\cdot x = 1$인 $x \in F\setminus \{ 0\}$가 존재하여 $x$는 $a$의 곱셈에 대한 역원이고

$a \in F\setminus \{ 0\}$는 임의이므로 $(F,+,\cdot,0,1)$은 나눗셈환이 되어 $(F,+,\cdot,0,1)$은 체이다.

 

 

 

정의6

준동형사상(homomorphism) :

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$와 $(S,+_S,\cdot_S,0_S,1_S)$가 환일때 임의의 $a,b \in R$에 대해

$\phi(a +_R b) = \phi(a) +_S \phi(b)$와 $\phi(a \cdot_R b) = \phi(a) \cdot_S \phi(b)$가 성립하고 $\phi(1_R) = 1_S$인

함수 $\phi : R \to S$를 $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$에서 $(S,+_S,\cdot_S,0_S,1_S)$로의 준동형사상으로 정의한다.

동형사상(isomorphism) :

환 $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$에서 환 $(S,+_S,\cdot_S,0_S,1_S)$로의 준동형사상 $\phi : R \to S$가 전단사이면

$\phi$를 $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$에서 $(S,+_S,\cdot_S,0_S,1_S)$로의 동형사상으로 정의한다.

또 $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$에서 $(S,+_S,\cdot_S,0_S,1_S)$로의 동형사상이 존재하면

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$와 $(S,+_S,\cdot_S,0_S,1_S)$를 동형(isomorphic)이라 정의한다.

 

 

 

정리11

환 $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$에서 환 $(S,+_S,\cdot_S,0_S,1_S)$로의 준동형사상 $\phi : R \to S$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(R,+_R,0_R)$은 가환군이고 $(R, \cdot_R, 1_R)$은 모노이드이다.

2. $\phi$는 군 $(R,+_R,0_R)$에서 군 $(S,+_S,0_S)$로의 준동형사상이다.

3. $\phi(0_R) = 0_S$이다.

4. 임의의 $a,b \in R$에 대해 $\phi(a-b) = \phi(a) - \phi(b)$이다.

증명

1.

환의 정의로 $(R,+_R,0_R)$은 가환군이고 $(R, \cdot_R, 1_R)$은 모노이드이다.

2.

환 준동형사상의 정의로 임의의 $a,b \in R$에 대해 $\phi(a+_Rb) = \phi(a) +_S \phi(b)$이므로

$\phi$는 $(R,+_R,0_R)$에서 $(S,+_S,0_S)$로의 군 준동형사상이다.

3.

2번과 군 준동형사상 정리로 $\phi(0_R) = 0_S$이다.

4.

2번과 군 준동형사상 정리로 임의의 $a,b \in R$에 대해 $\phi( -b) = -\phi(b)$이므로

$\phi(a-b) = \phi(a+_R (-b)) = \phi(a)+_S \phi(-b) = \phi(a) +_S (- \phi(b)) = \phi(a) -\phi(b)$이다.

 

 

 

정리10

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R),(S,+_S,\cdot_S,0_S,1_S),(H,+_H,\cdot_H ,0_H,1_H)$이 환일때

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$에서 $(S,+_S,\cdot_S,0_S,1_S)$로의 준동형사상 $\phi : R \to S$와

$(S,+_S,\cdot_S,0_S,1_S)$에서 $(H,+_H,\cdot_H ,0_H,1_H)$로의 준동형사상 $\psi : S\to H$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\phi,\psi$의 합성함수 $\psi \circ \phi : R\to H$는 $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$에서 $(H,+_H,\cdot_H ,0_H,1_H)$로의 준동형사상이다.

2. $\phi$가 전단사이면 역함수 $\phi^{-1} : S \to R$은 $(S,+_S,\cdot_S,0_S,1_S)$에서 $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$로의 동형사상이다.

3. 환들의 임의의 집합 $\mathcal{B}$가 존재할때 임의의 $(X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X),(Y,+_Y,\cdot_Y,0_Y,1_Y) \in \mathcal{B}$에 대해

$((X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X),(Y,+_Y,\cdot_Y,0_Y,1_Y)) \in \mathcal{R}$이기 위한 필요충분조건이

$(X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X)$와 $(Y,+_Y,\cdot_Y,0_Y,1_Y) $가 동형인 관계 $\mathcal{R}$은 $\mathcal{B}$의 동치관계이다.

증명

1.

준동형사상의 정의로 임의의 $a,b \in R$에 대해

$(\psi \circ \phi)(a +_R b) = \psi(\phi(a+_R b)) = \psi(\phi(a) +_S \phi(b)) = \psi(\phi(a)) +_H \psi(\phi(b)) = (\psi \circ \phi)(a) +_H (\psi \circ \phi)(b)$와

$(\psi \circ \phi)(a \cdot_R b) = \psi(\phi(a\cdot_R b)) = \psi(\phi(a) \cdot_S \phi(b)) = \psi(\phi(a)) \cdot_H \psi(\phi(b)) = (\psi \circ \phi)(a) \cdot_H (\psi \circ \phi)(b)$가 성립하고

$(\psi \circ \phi)(1_R) = \psi(\phi(1_R)) =\psi(1_S) = 1_H$이므로

$\psi \circ \phi$는 $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$에서 $(H,+_H,\cdot_H ,0_H,1_H)$로의 준동형사상이다.

2.

$\phi$가 전단사이면 역함수 정리로 $\phi^{-1}$이 존재하고 $\phi^{-1}$은 전단사이다.

또 임의의 $a,b \in R$와 임의의 $x,y \in S$에 대해

$\phi(a) = x$이고 $\phi(b) = y$이기 위한 필요충분조건은 $a =\phi^{-1}(x) $이고 $b = \phi^{-1}(y)$인 것이므로

$\phi^{-1}(x +_S y) = \phi^{-1}(\phi(a) +_S \phi(b)) = \phi^{-1}(\phi(a)) +_R \phi^{-1}(\phi(b)) = a+_R b = \phi^{-1}(x) +_R \phi^{-1}(y)$와

$\phi^{-1}(x \cdot_S y) = \phi^{-1}(\phi(a) \cdot_S \phi(b)) = \phi^{-1}(\phi(a)) \cdot_R \phi^{-1}(\phi(b)) = a\cdot_R b = \phi^{-1}(x) \cdot_R \phi^{-1}(y)$가 성립하고

$\phi^{-1}(1_S) = \phi^{-1}(\phi(1_R)) = 1_R$이므로 $\phi^{-1}$은 $(S,+_S,\cdot_S,0_S,1_S)$에서 $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$로의 동형사상이다.

3.

임의의 $(X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X) \in \mathcal{B}$에 대해

모든 $x \in X$가 $I_X(x) = x$인 함수 $I_X : X \to X$는 자명하게 전단사이고 임의의 $x,y \in X$에 대해

$I_X(x+_X y) = x+_Xy = I_X(x) +_X I_X(y)$와 $I_X(x\cdot_X y) = x\cdot_Xy = I_X(x) \cdot_X I_X(y)$가 성립하고

$I_X(1_X) = 1_X$이므로 $I_X $는 $(X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X)$에서 $(X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X)$로의 동형사상이 되어

$((X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X),(X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X)) \in \mathcal{R}$이다.

임의의 $(X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X),(Y,+_Y,\cdot_Y,0_Y,1_Y) \in \mathcal{B}$에 대해 $((X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X),(Y,+_Y,\cdot_Y,0_Y,1_Y)) \in \mathcal{R}$이면

$(X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X)$에서 $(Y,+_Y,\cdot_Y,0_Y,1_Y) $로의 동형사상 $\theta : X \to Y$가 존재하여

1번으로 역함수 $\theta^{-1} : Y\to X$는 $(Y,+_Y,\cdot_Y,0_Y,1_Y) $에서 $(X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X)$로의 동형사상이므로

$((Y,+_Y,\cdot_Y,0_Y,1_Y),(X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X)) \in \mathcal{R}$이다.

임의의 $(X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X),(Y,+_Y,\cdot_Y,0_Y,1_Y),(Z,+_Z,\cdot_Z,0_Z,1_Z) \in \mathcal{B}$에 대해 

$((X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X),(Y,+_Y,\cdot_Y,0_Y,1_Y)) \in \mathcal{R}$이고 $((Y,+_Y,\cdot_Y,0_Y,1_Y),(Z,+_Z,\cdot_Z,0_Z,1_Z)) \in \mathcal{R}$이면

$(X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X)$에서 $(Y,+_Y,\cdot_Y,0_Y,1_Y) $로의 동형사상 $\theta : X \to Y$와

$(Y,+_Y,\cdot_Y,0_Y,1_Y) $에서 $(Z,+_Z,\cdot_Z,0_Z,1_Z)$로의 동형사상 $\gamma : Y \to Z$가 존재하고

$\gamma \circ \theta : X \to Z$는 합성함수 정리로 전단사이므로

2번으로 $(X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X)$에서 $(Z,+_Z,\cdot_Z,0_Z,1_Z)$로의 동형사상이 되어

$((X,+_X,\cdot_X,0_X,1_X),(Z,+_Z,\cdot_Z,0_Z,1_Z)) \in \mathcal{R}$이다.

따라서 $\mathcal{R}$은 반사성, 대칭성, 추이성이 성립하므로 $\mathcal{B}$의 동치관계이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/65#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/65#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

John B. Fraleigh - A First course in Abstract Algebra - 9788998308162