균등공간(Uniform space)

정의1

임의의 집합 $X$의 $2$-데카르트곱이 $X^2$이고 임의의 부분집합이 $U,V\subseteq X^2$일때

대각관계(diagonal relation) :

$X^2$의 부분집합 $\Delta_X = \{ (x,x):x\in X\}$를 $X$의 대각관계으로 정의한다.

합성관계(composite relation) :

$U\circ V = \{ (x,y)\in X^2 : \text{어떤 }z\in X\text{에 대해 }(x,z)\in V\text{이고 }(z,y)\in U\}$를 $U$와 $V$의 합성관계으로 정의한다.

역관계(inverse relation) :

$X^2$의 부분집합 $U^{-1} = \{ (y,x) : (x,y)\in U \}$을 $U$의 역관계으로 정의한다.

균등공간 :

모든 $D\in \mathcal{D}$가 $D\subseteq X^2$인 임의의 집합족 $\mathcal{D}$가 아래 6가지 성질을 만족하면

순서쌍 $(X,\mathcal{D})$를 균등공간으로 정의하고 $\mathcal{D}$를 $X$의 균등구조(uniform structure)로 정의한다.

1. $\mathcal{D}\ne \emptyset$

2. 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $\Delta_X\subseteq D$이다.

3. 모든 $D_1,D_2\in \mathcal{D}$에 대해 $D_1\cap D_2\in \mathcal{D}$이다.

4. 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E_D\circ E_D\subseteq D$인 $E_D\in \mathcal{D}$가 존재한다.

5. 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E_D^{-1}\subseteq D$인 $E_D\in \mathcal{D}$가 존재한다.

6. 임의의 $D\in \mathcal{D}$와 임의의 $P \subseteq X^2$에 대해 $D\subseteq P$이면 $P\in \mathcal{D}$이다.

측근(surrounding, entourage) :

균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 임의의 $D\in \mathcal{D}$를 $(X,\mathcal{D})$에서 측근으로 정의한다.

분리균등공간(separated uniform space) :

균등공간 $(X,\mathcal{D})$가 $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 $\displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}$$\, D = \Delta_X$이면 $(X,\mathcal{D})$를 분리균등공간으로 정의한다.

 

 

 

정리1

임의의 집합 $X$의 $2$-데카르트곱이 $X^2$일때

임의의 $U,V,W\subseteq X^2$와 합성관계와 역관계와 $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(U\circ V)\circ W = U\circ (V\circ W)$

2. $(U^{-1})^{-1} = U$

3. $(U\circ V)^{-1} = V^{-1}\circ U^{-1}$

4. $\Delta_X\circ U = U = U\circ \Delta_X$

5. $\Delta_X^{-1} = \Delta_X$이고 모든 $A_1,A_2\subseteq X$에 대해 $(A_1\times A_2)^{-1} = A_2\times A_1$이다.

6. $U\circ V = \Delta_X = V\circ U$이면 $U = V^{-1}$이고 $V = U^{-1}$이다.

7. $U\subseteq V$이면 $U^{-1}\subseteq V^{-1}$이다.

8. $U\subseteq V$이면 $U\circ W \subseteq V\circ W$이다.

9. $U\subseteq V$이면 $W\circ U \subseteq W\circ V$이다.

10. $(U\cap V)^{-1} = U^{-1} \cap V^{-1}$

11. $U\cap U^{-1} = (U\cap U^{-1})^{-1}$

12. $\Delta_X \subseteq U$이면 $\Delta_X \subseteq U\cap U^{-1}$이다.

증명

1.

임의의 $(x,w) \in (U\circ V)\circ W$에 대해 합성관계의 정의로 

$(x,y)\in W$이고 $(y,w)\in U\circ V$인 $y \in X$가 존재하여 $(y,z)\in V$이고 $(z,w)\in U$인 $z\in X$가 존재하므로

$y$에 대해 $(x,y)\in W$이고 $(y,z)\in V$임에 따라 $(x,z)\in V\circ W$가 되어

$z$에 대해 $(x,z)\in V\circ W$이고 $(z,w)\in U$임에 따라 $(x,w)\in U\circ (V\circ W)$이고 $(U\circ V)\circ W\subseteq U\circ (V\circ W)$이다.

임의의 $(x,w)\in U\circ (V\circ W)$에 대해 합성관계의 정의로 

$(x,z)\in V\circ W$이고 $(z,w)\in U$인 $z\in X$가 존재하여 $(x,y)\in W$이고 $(y,z)\in V$인 $y\in X$가 존재하므로

$z$에 대해 $(y,z)\in V$이고 $(z,w)\in U$임에 따라 $(y,w)\in U\circ V$가 되어

$y$에 대해 $(x,y)\in W$이고 $(y,w)\in U\circ V$임에 따라 $(x,w) \in (U\circ V)\circ W$이고 $U\circ (V\circ W)\subseteq (U\circ V)\circ W$이다.

따라서 집합 정리로 $(U\circ V)\circ W = U\circ (V\circ W)$이다.

2.

임의의 $(x,y)\in (U^{-1})^{-1}$에 대해 역관계의 정의로 $(y,x)\in U^{-1}$이므로 $(x,y)\in U$가 되어 $(U^{-1})^{-1} \subseteq U$이고

임의의 $(x,y)\in U$에 대해 역관계의 정의로 $(y,x)\in U^{-1}$이므로 $(x,y)\in (U^{-1})^{-1}$가 되어 $U\subseteq (U^{-1})^{-1}$임에 따라

집합 정리로 $(U^{-1})^{-1} = U$이다.

3.

임의의 $(y,x)\in (U\circ V)^{-1}$에 대해

역관계의 정의로 $(x,y)\in U\circ V$이므로 합성관계의 정의로 $(x,z)\in V$이고 $(z,y)\in U$인 $z\in X$가 존재하여

$(y,z)\in U^{-1}$이고 $(z,x)\in V^{-1}$임에 따라 $(y,x)\in V^{-1}\circ U^{-1}$이고 $(U\circ V)^{-1} \subseteq V^{-1}\circ U^{-1}$이다.

임의의 $(y,x)\in V^{-1}\circ U^{-1}$에 대해 합성관계의 정의로 $(y,z)\in U^{-1}$이고 $(z,x)\in V^{-1}$인 $z\in X$가 존재하여

역관계의 정의로 $(x,z)\in V$이고 $(z,y)\in U$임에 따라 $(x,y)\in U\circ V$이고 $(y,x)\in (U\circ V)^{-1}$이므로

$V^{-1}\circ U^{-1}\subseteq (U\circ V)^{-1}$이고 집합 정리로 $(U\circ V)^{-1} = V^{-1}\circ U^{-1}$이다.

4.

임의의 $(x,y)\in U\subseteq X^2$는 $x\in X$이므로 대각관계의 정의로 $(x,x)\in \Delta_X$이고 $(x,y)\in U$임에 따라

합성관계의 정의로 $(x,y)\in U\circ \Delta_X$가 되어 $U\subseteq U\circ \Delta_X$이다.

임의의 $(x,y)\in U\circ \Delta_X$는 합성관계의 정의로 $(x,z)\in \Delta_X$이고 $(z,y)\in U$인 $z\in X$가 존재하여

대각관계의 정의로 $x=z$이므로 $(x,y)=(z,y)\in U \subseteq X^2$이고

$y\in X$이므로 $(y,y)\in \Delta_X$임에 따라 $(x,y)\in \Delta_X\circ U$가 되어 $U\circ \Delta_X \subseteq \Delta_X\circ U$이다.

임의의 $(x,y)\in \Delta_X \circ U$는 합성관계의 정의로 $(x,z)\in U$이고 $(z,y)\in \Delta_X$인 $z\in X$가 존재하여

대각관계의 정의로 $y=z$이므로 $(x,y)=(x,z)\in U$임에 따라 $\Delta_X \circ U \subseteq U$이다.

따라서 $U\subseteq U\circ \Delta_X\subseteq \Delta_X\circ U\subseteq U$이므로 집합 정리로 $\Delta_X\circ U = U = U\circ \Delta_X$이다.

5.

임의의 $(x,y)\in \Delta_X^{-1}$는

역관계의 정의로 $(y,x)\in \Delta_X$이므로 대각관계의 정의로 $x=y$가 되어 $(x,y)=(y,x)\in \Delta_X$이고 $\Delta_X^{-1}\subseteq \Delta_X$이다.

임의의 $(x,y)\in \Delta_X$는 대각관계의 정의로 $x= y$이므로

대각관계의 정의로 $(x,y) = (y,x)\in \Delta_X^{-1}$이 되어 $\Delta_X\subseteq \Delta_X^{-1}$이고 집합 정리로 $\Delta_X^{-1} = \Delta_X$이다.

임의의 $(x,y)\in (A_1\times A_2)^{-1}$는 역관계의 정의로 $(y,x)\in A_1\times A_2$이므로

데카르트곱의 정의로 $y\in A_1$와 $x\in A_2$가 성립하여 $(x,y)\in A_2\times A_1$임에 따라 $(A_1\times A_2)^{-1} \subseteq A_2\times A_1$이다.

임의의 $(x,y)\in A_2\times A_1$는 데카르트곱의 정의로 $x\in A_2$이고 $y\in A_1$이므로

$(y,x)\in A_1\times A_2$가 되어 역관계의 정의로 $(x,y)\in (A_1\times A_2)^{-1}$임에 따라 $A_2\times A_1\subseteq (A_1\times A_2)^{-1}$이고

집합 정리로 $(A_1\times A_2)^{-1} = A_2\times A_1$이다.

6.

임의의 $(x,y)\in U\subseteq X^2$에 대해 대각관계의 정의로 $(x,x)\in \Delta_X = V\circ U$이므로

합성관계의 정의로 $(x,z)\in U$이고 $(z,x)\in V$인 $z\in X$가 존재하여

$x$에 대해 $(z,x)\in V$이고 $(x,y)\in U$이므로 $(z,y)\in U\circ V = \Delta_X$임에 따라 $z= y$이고

$(y,x) = (z,x)\in V$가 되어 역관계의 정의로 $(x,y)\in V^{-1}$이고 $U\subseteq V^{-1}$이다.

임의의 $(y,x)\in V^{-1}$에 대해

역관계의 정의로 $(x,y)\in V\subseteq X^2$이고 대각관계의 정의로 $(y,y)\in \Delta_X = V\circ U$이므로

합성관계의 정의로 $(y,z)\in U$이고 $(z,y)\in V$인 $z\in X$가 존재하여 $y$에 대해 $(x,y)\in V$이고 $(y,z)\in U$임에 따라

$(x,z)\in U\circ V = \Delta_X$이므로 $x =z$이고 $(y,x) = (y,z)\in U$가 되어 $V^{-1}\subseteq U$이다.

따라서 집합 정리로 $U = V^{-1}$이고 2번으로 $V = (V^{-1})^{-1} = U^{-1}$이다.

7.

모든 $(y,x)\in U^{-1}$에 대해 역관계의 정의로 $(x,y)\in U\subseteq V$이므로 $(y,x)\in V^{-1}$가 되어 $U^{-1}\subseteq V^{-1}$이다.

8.

임의의 $(x,y)\in U\circ W$에 대해 합성관계의 정의로 $(x,z)\in W$이고 $(z,y)\in U$인 $z\in X$가 존재하여

$z$에 대해 $(x,z)\in W$이고 $(z,y)\in U\subseteq V$임에 따라 $(x,y)\in V\circ W$이므로 $U\circ W \subseteq V\circ W$이다.

9.

임의의 $(x,y)\in W\circ U$에 대해 합성관계의 정의로 $(x,z)\in U$이고 $(z,y)\in W$인 $z\in X$가 존재하여

$z$에 대해 $(x,z)\in U\subseteq V$이고 $(z,y)\in W$임에 따라 $(x,y)\in W\circ V$이므로 $W\circ U \subseteq W\circ V$이다

10.

모든 $(x,y)\in (U\cap V)^{-1}$는 역관계의 정의로 $(y,x)\in U\cap V$이므로 $(y,x)\in U$이고 $(y,x)\in V$임에 따라

역관계의 정의로 $(x,y)\in U^{-1}$이고 $(x,y)\in V^{-1}$가 되어 $(x,y)\in U^{-1} \cap V^{-1}$이고 $(U\cap V)^{-1} \subseteq U^{-1} \cap V^{-1}$이다.

모든 $(x,y)\in U^{-1} \cap V^{-1}$는 $(x,y)\in U^{-1}$이고 $(x,y)\in V^{-1}$이므로

역관계의 정의로 $(y,x)\in U$이고 $(y,x)\in V$가 되어 $(y,x)\in U\cap V$이고

역관계의 정의로 $(x,y)\in (U\cap V)^{-1}$임에 따라 $U^{-1} \cap V^{-1}\subseteq (U\cap V)^{-1}$이고

집합 정리로 $(U\cap V)^{-1} = U^{-1} \cap V^{-1}$이다.

11.

2, 10번으로 $(U\cap U^{-1})^{-1} = U^{-1}\cap (U^{-1})^{-1} = U^{-1}\cap U =U\cap U^{-1}$이다.

12.

$\Delta_X \subseteq U$이므로 5, 7번으로 $\Delta_X = \Delta_X^{-1} \subseteq U^{-1}$이 되어 $\Delta_X \subseteq U\cap U^{-1}$이다.

 

 

 

정리2

임의의 집합 $X$의 $2$-데카르트곱이 $X^2$일때

임의의 $U\subseteq X^2$와 합성관계와 역관계와 $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 다음이 성립한다.

반사성 :

$\Delta_X\subseteq U$이기 위한 필요충분조건은 모든 $x\in X$에 대해 $(x,x)\in U$인 것이다.

대칭성 :

$U=U^{-1}$이기 위한 필요충분조건은 모든 $x,y\in X$에 대해 $(x,y)\in U$이면 $(y,x)\in U$인 것이다.

추이성 :

$U\circ U\subseteq U$이기 위한 필요충분조건은 모든 $x,y,z\in X$에 대해 $(x,y)\in U$이고 $(y,z)\in U$이면 $(x,z)\in U$인 것이다.

반대칭성 : 

$U\cap U^{-1}\subseteq \Delta_X$이기 위한 필요충분조건은 모든 $x,y\in X$에 대해 $(x,y)\in U$이고 $(y,x)\in U$이면 $x=y$인 것이다.

반사성과 반대칭성 :

$U\cap U^{-1}= \Delta_X$이기 위한 필요충분조건은 $\Delta_X \subseteq U$이고 $U\cap U^{-1}\subseteq \Delta_X$인 것이다.

증명

반사성

$\Delta_X\subseteq U$이면 대각관계의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $(x,x)\in \Delta_X\subseteq U$이다.

역으로 모든 $x\in X$에 대해 $(x,x)\in U$이면 대각관계의 정의로 $\Delta_X \subseteq U$이다.

대칭성

$U=U^{-1}$일때 모든 $x,y\in X$에 대해 $(x,y)\in U$이면 $(x,y)\in U = U^{-1}$이므로 역관계의 정의로 $(y,x)\in U$이다.

역으로 모든 $x,y\in X$에 대해 $(x,y)\in U$이면 $(y,x)\in U$일때

임의의 $(x,y)\in U\subseteq X^2$는 $(y,x)\in U$이므로 역관계의 정의로 $(x,y)\in U^{-1}$이 되어 $U\subseteq U^{-1}$이고

임의의 $(y,x)\in U^{-1}$는

역관계의 정의로 $(x,y)\in U\subseteq X^2$이므로 $(y,x)\in U$가 되어 $U^{-1}\subseteq U$임에 따라 집합 정리로 $U=U^{-1}$이다.

추이성

$U\circ U\subseteq U$일때

모든 $x,y,z\in X$에 대해 $(x,y)\in U$이고 $(y,z)\in U$이면 합성관계의 정의로 $(x,z)\in U\circ U\subseteq U$이다.

역으로 모든 $x,y,z\in X$에 대해 $(x,y)\in U$이고 $(y,z)\in U$이면 $(x,z)\in U$일때 모든 $(x,z)\in U\circ U$는

합성관계의 정의로 $(x,y)\in U\subseteq X^2$이고 $(y,z)\in U \subseteq X^2$인 $y\in X$가 존재하여 $(x,z)\in U$이므로 $U\circ U\subseteq U$이다.

반대칭성

$U\cap U^{-1}\subseteq \Delta_X$일때 모든 $x,y\in X$에 대해 $(x,y)\in U$이고 $(y,x)\in U$이면

역관계의 정의로 $(x,y)\in U^{-1}$이므로 $(x,y)\in U\cap U^{-1}\subseteq \Delta_X$가 되어 대각관계의 정의로 $x= y$이다.

역으로 모든 $x,y\in X$에 대해 $(x,y)\in U$이고 $(y,x)\in U$이면 $x=y$일때

모든 $(x,y)\in U\cap U^{-1}$는 $(x,y)\in U\subseteq X^2$이고 $(x,y)\in U^{-1}$이므로 역관계의 정의로 $(y,x)\in U\subseteq X^2$가 되어

$x=y$임에 따라 대각관계의 정의로 $(x,y)\in \Delta_X$이고 $U\cap U^{-1}\subseteq \Delta_X$이다.

반사성과 반대칭성 :

$U\cap U^{-1}= \Delta_X$이면 $\Delta_X = U\cap U^{-1} \subseteq U$이고 집합 정리로 $U\cap U^{-1} = \Delta_X \subseteq \Delta_X$이다.

역으로 $\Delta_X \subseteq U$이고 $U\cap U^{-1}\subseteq \Delta_X$이면 위 정리로 $\Delta_X\subseteq U\cap U^{-1}$이므로 집합 정리로 $U\cap U^{-1}= \Delta_X$이다.

 

 

 

정의2

균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 임의의 $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{D}$가

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E_D \subseteq D$인 $E_D\in \mathcal{E}$가 존재하면 $\mathcal{E}$를 $(X,\mathcal{D})$의 기저(basis)로 정의한다.

 

 

 

정리3

균등공간 $(X,\mathcal{D})$와 $X$의 $2$-데카르트곱 $X^2$에 대해 다음이 성립한다.

1. $X^2\in \mathcal{D}$

2. $X\ne \emptyset$이면 $\mathcal{D}$는 $X^2$의 필터이다.

3. 모든 $D\in \mathcal{D}$의 역관계는 $D^{-1}\in \mathcal{D}$이다.

4. 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 합성관계가 $E_D\circ E_D^{-1}\subseteq D$인 $E_D\in \mathcal{D}$가 존재한다.

5. $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 $\Delta_X \subseteq \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D$이다.

6. 모든 $n\in $ $\mathbb{Z}^+$과 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E_1\circ E_2\circ \cdots \circ E_n \subseteq D$인 $E_1=E_2=\cdots = E_n\in \mathcal{D}$이 존재한다.

7. $\mathcal{E} = \{ E\in \mathcal{D} : E = E^{-1}\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

8. 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해

$E\circ E\circ \cdots \circ E =E_1\circ E_2\circ \cdots \circ E_n \subseteq D$인 $E^{-1} =E = E_1 = E_2=\cdots = E_n\in \mathcal{D}$가 존재한다.

증명

1.

균등공간의 정의로 $\mathcal{D}\ne \emptyset$이므로 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $D\subseteq X^2$임에 따라 균등공간의 정의로 $X^2\in \mathcal{D}$이다.

2.

$X^2$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X^2)$일때 모든 $D\in \mathcal{D}$는 $D\subseteq X^2$이므로 $D\in \mathcal{P}(X^2)$가 되어 $\mathcal{D} \subseteq \mathcal{P}(X^2)$이고

$X\ne \emptyset$이므로 $x\in X$가 존재하여

대각관계의 정의와 균등공간의 정의로 $(x,x)\in \Delta_X \subseteq D$이고 $D\ne \emptyset$임에 따라 $\emptyset\notin \mathcal{D}$이다.

균등공간의 정의로 모든 $D_1,D_2\in \mathcal{D}$에 대해 $D_1\cap D_2\in \mathcal{D}$이고 

임의의 $D\in \mathcal{D}$와 임의의 $P\subseteq X^2$에 대해 $D\subseteq P$이면 $P\in \mathcal{D}$이므로 $\mathcal{D}$는 $X^2$의 필터이다.

3.

균등공간의 정의로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E^{-1}\subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 

위 정리로 $E=(E^{-1})^{-1}\subseteq D^{-1} \subseteq X^2$임에 따라 $D^{-1}\in \mathcal{D}$이다.

4.

균등공간의 정의로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E_1\circ E_1\subseteq D$인 $E_1\in \mathcal{D}$이 존재하여 $E_2^{-1}\subseteq E_1$인 $E_2\in \mathcal{D}$가 존재하므로

$E_1\cap E_2\in \mathcal{D}$이고 위 정리로 $(E_1\cap E_2)\circ (E_1\cap E_2)^{-1}\subseteq (E_1\cap E_2)\circ E_2^{-1} \subseteq E_1\circ E_2^{-1} \subseteq E_1\circ E_1\subseteq D$이다.

5.

균등공간의 정의로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $\Delta_X \subseteq D$이므로 $\Delta_X \subseteq \displaystyle \bigcap_{D\in\mathcal{D}}D$이다.

6.

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$일때 $D\in \mathcal{D}$는 $D\subseteq D$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E_1\circ \cdots \circ E_{k-1} \circ E_k \subseteq D$인 $E = E_1=\cdots= E_{k-1}= E_k\in \mathcal{D}$가 존재할때

균등공간의 정의로 $F\circ F \subseteq E$인 $F\in \mathcal{D}$가 존재하여 $F\cap E\in \mathcal{D}$이고 $F\cap E\subseteq F$와 $F\cap E \subseteq E$가 성립하므로

$F\cap E = F_1=\cdots = F_{k-1} = F_k = F_{k+1}$에 대해 위 정리로 $F_k\circ F_{k+1} \subseteq F\circ F \subseteq E = E_k$이고

$k > 2$이면 $F_1\circ \cdots \circ F_{k-1} \subseteq E_1\circ\cdots \circ E_{k-1} $임에 따라

$F_1\circ \cdots \circ F_{k-1}\circ F_k\circ F_{k+1}\subseteq E_1\circ \cdots \circ E_{k-1} \circ F_k\circ F_{k+1} \subseteq E_1\circ \cdots\circ E_{k-1} \circ E_k \subseteq D$이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E_1\circ E_2\circ \cdots \circ E_n \subseteq D$인 $E_1=E_2=\cdots = E_n\in \mathcal{D}$이 존재한다.

7.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 3번으로 $D^{-1}\in \mathcal{D}$이므로 균등공간의 정의로 $D\cap D^{-1}\in \mathcal{D}$이 되어 $D\cap D^{-1} \subseteq D$이고

위 정리로 $D\cap D^{-1} = (D\cap D^{-1})^{-1}$임에 따라 $D\cap D^{-1}\in \mathcal{E}$이고 $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{D}$이므로 $\mathcal{E}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

8.

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

모든 $E_i,D_i\in \mathcal{D}$가 $E_i\subseteq D_i$이면 $E_1\circ E_2\circ \cdots \circ E_n \subseteq D_1\circ D_2\circ \cdots \circ D_n$임을 보인다.

$n=1$일때 자명하게 성립한다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E_1\circ \cdots \circ E_k \subseteq D_1\circ \cdots \circ D_k$일때 $E_{k+1}\subseteq D_{k+1}$인 모든 $E_{k+1},D_{k+1}\in \mathcal{D}$에 대해 위 정리로

$E_1\circ \cdots \circ E_k\circ E_{k+1}=(E_1\circ \cdots \circ E_k)\circ E_{k+1} \subseteq (E_1\circ \cdots \circ E_k)\circ D_{k+1} \subseteq (D_1\circ \cdots \circ D_k)\circ D_{k+1} = D_1\circ \cdots \circ D_k\circ D_{k+1}\text{ 이다.}$

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 6번으로 $D_1\circ D_2\circ \cdots \circ D_n \subseteq D$인 $D_1=D_2=\cdots = D_n\in \mathcal{D}$이 존재하여

7번으로 임의의 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $E_i\subseteq D_i$인 $E^{-1} = E = E_1= E_2=\cdots = E_n\in \mathcal{D}$가 존재하므로 

$E\circ E \circ \cdots \circ E = E_1\circ E_2\circ \cdots \circ E_n \subseteq D_1\circ D_2\circ \cdots \circ D_n \subseteq D$이다.

 

 

 

정리4

임의의 집합 $X$의 $2$-데카르트곱 $X^2$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X^2)$일때 합성관계와 역관계와 $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해

임의의 $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{P}(X^2)$가 아래 1, 2, 3, 4, 5를 모두 만족하면

$\mathcal{D} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 }E\in \mathcal{E}\text{에 대해 }E\subseteq D \}$에 대해 $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이고 $\mathcal{E}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

1. $\mathcal{E}\ne \emptyset$

2. 모든 $E\in \mathcal{E}$에 대해 $\Delta_X \subseteq E$이다.

3. 모든 $E\in \mathcal{E}$에 대해 $F_E\circ F_E\subseteq E$인 $F_E\in \mathcal{E}$가 존재한다.

4. 모든 $E\in \mathcal{E}$에 대해 $F_E^{-1}\subseteq E$인 $F_E \in \mathcal{E}$가 존재한다.

5. 모든 $E_1,E_2\in \mathcal{E}$에 대해 $E\subseteq E_1\cap E_2$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재한다.

증명

모든 $E\in \mathcal{E}\subseteq \mathcal{P}(X^2)$는 $E\subseteq E$이므로 $E\in \mathcal{D}$가 되어 $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{D}$이고 $\mathcal{E}\ne \emptyset$임에 따라 $\mathcal{D}\ne \emptyset$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}\subseteq \mathcal{P}(X^2)$는 멱집합의 정의로 $D\subseteq X^2$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E\subseteq D$인 $E \in \mathcal{E}$가 존재하여 $\Delta_X\subseteq E\subseteq D$이다.

모든 $D_1,D_2\in \mathcal{D}$에 대해 $E_1\subseteq D_1$이고 $E_2\subseteq D_2$인 $E_1,E_2\in \mathcal{E}$가 존재하여

$E\subseteq E_1\cap E_2\subseteq D_1\cap D_2$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재하므로 $D_1\cap D_2 \subseteq D_1 \subseteq X^2$임에 따라

멱집합의 정의로 $D_1\cap D_2\in \mathcal{P}(X^2)$이고 $D_1\cap D_2\in \mathcal{D}$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E\subseteq D$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재하여 $F\circ F\subseteq E\subseteq D$인 $F\in \mathcal{E}\subseteq \mathcal{D}$가 존재한다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E\subseteq D$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재하여 $F^{-1}\subseteq E\subseteq D$인 $F\in \mathcal{E}\subseteq \mathcal{D}$가 존재한다.

임의의 $D\in \mathcal{D}$와 임의의 $P\subseteq X^2$에 대해 $D\subseteq P$이면 $E\subseteq D\subseteq P$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재하여

멱집합의 정의로 $P\in \mathcal{P}(X^2)$임에 따라 $P\in \mathcal{D}$이다.

따라서 $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이고 $\mathcal{E}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

 

 

 

정리5(거리 균등공간)

거리공간 $(X,d)$에 대해 $X$의 $2$-데카르트곱 $X^2$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X^2)$이고

임의의 $\epsilon\in $ $(0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2 : d(x,y)<\epsilon\}$일때 $\mathcal{E} = \{ D_\epsilon : \epsilon\in (0,\infty)\}$이면

$\mathcal{D} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 }E\in \mathcal{E}\text{에 대해 }E\subseteq D \}$에 대해 $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이고 $\mathcal{E}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

증명

$D_1\in \mathcal{E}$이므로 $\mathcal{E}\ne \emptyset$이고 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon \subseteq X^2$이므로 $D_\epsilon\in \mathcal{P}(X^2)$가 되어 $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{P}(X^2)$이고

모든 $x\in X$에 대해 거리공간의 정의로 $d(x,x) = 0<\epsilon$이므로

$(x,x)\in D_\epsilon$이 되어 $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 $\Delta_X \subseteq D_\epsilon$이다.

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$과 임의의 $(x,y)\in D_\frac{\epsilon}{2}\circ D_\frac{\epsilon}{2}$에 대해

합성관계의 정의로 $(x,z)\in D_\frac{\epsilon}{2}$이고 $(z,y)\in D_\frac{\epsilon}{2}$인 $z\in X$가 존재하여 $d(x,z) < \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $d(z,y)< \dfrac{\epsilon}{2}$임에 따라

거리공간의 정의로 $d(x,y)\le d(x,z) + d(z,y) < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이므로 $(x,y)\in D_\epsilon$이고 $D_\frac{\epsilon}{2}\circ D_\frac{\epsilon}{2}\subseteq D_\epsilon$이다.

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$과 모든 $(y,x)\in D_\epsilon^{-1}$에 대해 역관계의 정의로 $(x,y)\in D_\epsilon$이고 

거리공간의 정의로 $d(y,x)=d(x,y) <\epsilon$이므로 $(y,x)\in D_\epsilon$이 되어 $D_\epsilon^{-1}\subseteq D_\epsilon$이다.

모든 $\delta,\eta\in (0,\infty)$에 대해 $\epsilon = $ $\min$$\{ \delta, \eta \} > 0$일때 

모든 $(x,y) \in D_\epsilon$는 $d(x,y) < \epsilon \le \delta$이고 $d(x,y) < \epsilon \le \eta$이므로 $(x,y)\in D_\delta$이고 $(x,y)\in D_\eta$가 되어 

$(x,y)\in D_\delta\cap D_\eta$이고 $D_\epsilon\subseteq D_\delta\cap D_\eta$임에 따라 위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이고 $\mathcal{E}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

 

 

 

정의3

임의의 집합 $X$의 $2$-데카르트곱이 $X^2$이고 임의의 부분집합이 $U\subseteq X^2$일때

관계의 상(image) :

임의의 $x\in X$에 대해 $U[x] = \{ y\in X : (x,y) \in U \}$를 $U$에 의한 $x$의 상으로 정의하고

임의의 $A\subseteq X$에 대해 $U[A] = \displaystyle \bigcup_{x\in A}U[x]$를 $U$에 의한 $A$의 상으로 정의한다.

균등공간의 균등위상공간 :

균등공간 $(X,\mathcal{D})$와 임의의 $x\in X$에 대해 $\mathcal{D}_x = \{ D[x] : D\in \mathcal{D}\}$이고

$X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해 $\mathcal{T} = \{ O\in \mathcal{P}(X) : \text{모든 }x\in O\text{에 대해 어떤 } B\in \mathcal{D}_x\text{가 존재하여 }B\subseteq O\}$인

순서쌍 $(X,\mathcal{T})$를 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간으로 정의한다.

 

 

 

정리6

임의의 집합 $X$의 $2$-데카르트곱이 $X^2$일때

임의의 $U ,V\subseteq X^2$와 관계의 상과 $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $U\subseteq V$이면 모든 $x\in X$에 대해 $U[x]\subseteq V[x]$이다.

2. 모든 $x\in X$에 대해 $U[x] \cap V[x] = (U\cap V)[x]$이다.

3. 모든 $x\in X$에 대해 $U[x] \cup V[x] = (U\cup V)[x]$이다.

4. 모든 $x\in X$에 대해 $\Delta_X[x] = \{ x\}$이다.

5. 모든 $x\in X$에 대해 $X^2[x] = X$이다.

6. $U\subseteq V$이면 $A\subseteq B$인 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $U[A]\subseteq V[B]$이다.

7. 모든 $A\subseteq X$에 대해 $(U\cap V)[A] \subseteq U[A]\cap V[A]$이다.

8. 모든 $A\subseteq X$에 대해 $U[A] \cup V[A] = (U\cup V)[A]$이다.

9. 모든 $A\subseteq X$에 대해 $\Delta_X[A] = A$이다.

10. $A\ne \emptyset$인 모든 $A\subseteq X$에 대해 $X^2[A] = X$이다.

증명

1.

모든 $y\in U[x]$는 관계의 상의 정의로 $(x,y)\in U\subseteq V$이므로 $y\in U[x]$가 되어 $U[x]\subseteq V[x]$이다.

2.

모든 $y\in U[x] \cap V[x]$는 $y\in U[x]$이고 $y\in V[x]$이므로

관계의 상의 정의로 $(x,y)\in U$이고 $(x,y)\in V$가 되어 $(x,y)\in U\cap V$임에 따라

$y\in (U\cap V)[x]$이고 $U[x] \cap V[x] \subseteq (U\cap V)[x]$이다.

모든 $y\in (U\cap V)[x]$는 관계의 상의 정의로 $(x,y)\in U\cap V$이므로 $(x,y)\in U$이고 $(x,y)\in V$가 되어

$y\in U[x]$이고 $y\in V[x]$임에 따라 $y\in U[x] \cap V[x]$이고 $(U\cap V)[x] \subseteq U[x]\cap V[x]$이므로

집합 정리로 $U[x] \cap V[x] = (U\cap V)[x]$이다.

3.

모든 $y\in U[x] \cup V[x]$는 $y\in U[x]$ 또는 $y\in V[x]$이므로 관계의 상의 정의로 $(x,y)\in U$ 또는 $(x,y)\in V$가 되어

$(x,y)\in U\cup V$임에 따라 $y\in (U\cup V)[x]$이고 $U[x] \cup V[x] \subseteq (U\cup V)[x]$이다.

모든 $y\in (U\cup V)[x]$는 관계의 상의 정의로 $(x,y)\in U\cup V$이므로 $(x,y)\in U$ 또는 $(x,y)\in V$가 되어

$y\in U[x]$ 또는 $y\in V[x]$임에 따라 $y\in U[x] \cup V[x]$이고 $(U\cup V)[x] \subseteq U[x]\cup V[x]$이므로

집합 정리로 $U[x] \cup V[x] = (U\cup V)[x]$이다.

4.

모든 $y\in \Delta_X[x]$에 대해

관계의 상의 정의로 $(x,y)\in \Delta_X$가 되어 대각관계의 정의로 $y= x\in \{ x\}$이므로 $\Delta_X[x]\subseteq \{x\}$이고

$(x,x)\in \Delta_X$이므로 $x\in \Delta_X[x]$가 되어 $\{ x\}\subseteq \Delta_X[x]$임에 따라 집합 정리로 $\Delta_X[x]=\{x\}$이다.

5.

관계의 상의 정의로 $X^2[x]\subseteq X$이고

모든 $y\in X$에 대해 $(x,y)\in X^2$이므로 $y\in X^2[x]$가 되어 $X\subseteq X^2[x]$임에 따라 집합 정리로 $X^2[x] = X$이다.

6.

관계의 상의 정의로 모든 $y\in U[A] = \displaystyle \bigcup_{x\in A}U[x]$는 $y\in U[x]$인 $x\in A$가 존재하여

$x\in A\subseteq B$이고 1번으로 $y\in U[x] \subseteq V[x]$이므로 $y\in \displaystyle \bigcup_{x\in B}V[x] = V[B]$임에 따라 $U[A]\subseteq V[B]$이다.

7.

관계의 상의 정의로 모든 $y\in (U\cap V)[A] = \displaystyle \bigcup_{x\in A}(U\cap V)[x]$는 $y\in (U\cap V)[x]$인 $x\in A$가 존재하여

2번으로 $y\in (U\cap V)[x] = U[x]\cap V[x]$이므로 $y\in U[x]$이고 $y\in V[x]$임에 따라

$y\in \displaystyle \bigcup_{x\in A} U[x] = U[A]$이고 $y\in \displaystyle \bigcup_{x\in A} V[x] = V[A]$가 되어 $y\in U[A]\cap V[A]$이므로 $(U\cap V)[A]\subseteq U[A]\cap V[A]$이다.

8.

모든 $y\in U[A]\cup V[A]$는 관계의 상의 정의로 $y\in U[A] = \displaystyle \bigcup_{x\in A}U[x]$ 또는 $y\in V[A] = \displaystyle \bigcup_{x\in A}V[x]$이므로

$y\in U[x]$ 또는 $y\in V[x]$인 $x\in A$가 존재하여 $(x,y)\in U$ 또는 $(x,y)\in V$임에 따라 $(x,y)\in U\cup V$이고

$y\in (U\cup V)[x]$이므로 $y\in \displaystyle \bigcup_{x\in A}(U\cup V)[x] = (U\cup V)[A]$가 되어 $U[A]\cup V[A]\subseteq (U\cup V)[A]$이다.

관계의 상의 정의로 모든 $y\in (U\cup V)[A] = \displaystyle \bigcup_{x\in A}(U\cup V)[x]$는 $y\in (U\cup V)[x]$인 $x\in A$가 존재하여

3번으로 $y\in U[x]\cup V[x]$이므로 $y\in U[x]$ 또는 $y\in V[x]$이고

$y\in \displaystyle \bigcup_{x\in A} U[x] = U[A]$ 또는 $y\in \displaystyle \bigcup_{x\in A} V[x] = V[A]$임에 따라 $y\in U[A]\cup V[A]$이고

$(U\cup V)[A]\subseteq U[A]\cup V[A]$가 되어 집합 정리로 $U[A] \cup V[A] = (U\cup V)[A]$이다.

9.

관계의 상의 정의와 4번으로 $\Delta_X[A] = \displaystyle \bigcup_{x\in A}\Delta_X[x] = \bigcup_{x\in A}\{ x\} = A$이다.

10.

관계의 상의 정의로 $X^2[A]\subseteq X$이고 $A\ne \emptyset$이므로 $x\in A$가 존재하여

5번으로 $X^2[x] = X$임에 따라 $X\subseteq \displaystyle \bigcup_{x\in A}X^2[x] = X^2[A]$이고 집합 정리로 $X^2[A] = X$이다.

 

 

 

정리7

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$이고 관계의 상과 모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{D}_x = \{ D[x] : D\in \mathcal{D}\}$일때 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{D}_x\ne \emptyset$

2. $\mathcal{D}_x$는 $X$의 필터이다.

3. 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $x \in D[x]$이다.

4. 모든 $D_1,D_2\in \mathcal{D}$에 대해 $D_1[x]\cap D_2[x]\in \mathcal{D}_x$이다.

5. 임의의 $D \in \mathcal{D}$와 임의의 $P\subseteq X$에 대해 $D[x] \subseteq P$이면 $P\in \mathcal{D}_x$이다.

6. 모든 $D \in \mathcal{D}$에 대해 어떤 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 모든 $y\in E[x]$에 대해 $D[x]\in \mathcal{D}_y$이다.

증명

1.

균등공간의 정의로 $\mathcal{D}\ne \emptyset$이므로 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $D[x]\in \mathcal{D}_x$임에 따라 $\mathcal{D}_x\ne \emptyset$이다.

2, 3, 4, 5

$X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$이고 $X$의 대각관계가 $\Delta_X$일때

임의의 $D\in \mathcal{D}$에 대해 관계의 상의 정의로 $D[x]\subseteq X$이므로 $D[x]\in \mathcal{P}(X)$가 되어 $\mathcal{D}_x\subseteq \mathcal{P}(X)$이고

균등공간의 정의로 $(x,x) \in \Delta_X\subseteq D$이므로 관계의 상의 정의로 $x\in D[x]$가 되어 $D[x]\ne \emptyset$이고 $\emptyset\notin \mathcal{D}_x$이다.

임의의 $D_1,D_2\in \mathcal{D}$에 대해

균등공간의 정의로 $D_1\cap D_2\in \mathcal{D}$이므로 위 정리로 $D_1[x]\cap D_2[x]=(D_1\cap D_2)[x]\in \mathcal{D}_x$이다.

임의의 $D\in \mathcal{D}$와 임의의 $P\subseteq X$에 대해 $D[x] \subseteq P$일때 

$C = D \cup (\{ x\}\times P)$는 $D\subseteq C \subseteq X^2$이므로 균등공간의 정의로 $C\in \mathcal{D}$이고

모든 $y\in C[x]$는 관계의 상의 정의로 $(x,y)\in C$가 되어

$(x,y)\in D$이면 $y\in D[x]\subseteq P$이고 $(x,y)\in \{ x\}\times P$이면 $y\in P$이므로 $C[x]\subseteq P$이다.

모든 $y\in P$에 대해 $(x,y)\in \{ x\}\times P\subseteq C$이므로 관계의 상의 정의로 $y\in C[x]$가 되어 $P\subseteq C[x]$임에 따라

집합 정리로 $P = C[x]\in \mathcal{D}_x$가 되어 $\mathcal{D}_x$는 $X$의 필터이다.

6.

균등공간의 정의로 $E\circ E\subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 관계의 상의 정의로 모든 $y\in E[x]$에 대해 $(x,y)\in E$이고

모든 $z\in E[y]$에 대해 $(y, z)\in E$이므로

합성관계의 정의로 $(x,z)\in E\circ E\subseteq D$가 되어 $z\in D[x]$임에 따라 $E[y]\subseteq D[x]\subseteq X$이고

$E[y]\in \mathcal{D}_y$이므로 5번으로 $D[x]\in \mathcal{D}_y$이다.

 

 

 

정리8

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 임의의 $x\in X$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 모든 근방들의 집합이 $\mathcal{N}_x = \{ E\in \mathcal{P}(X) : E\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 }x\text{의 근방}\}$이면 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{N}_x\ne \emptyset$

2. 모든 $E \in \mathcal{N}_x$에 대해 $x\in E$이다.

3. 모든 $E_1,E_2\in \mathcal{N}_x$에 대해 $E_1\cap E_2\in \mathcal{N}_x$이다.

4. 임의의 $E \in \mathcal{N}_x$와 임의의 $P\subseteq X$에 대해 $E \subseteq P$이면 $P\in \mathcal{N}_x$이다.

5. 모든 $E\in \mathcal{N}_x$에 대해 어떤 $F \in \mathcal{N}_x$가 존재하여 모든 $y\in F$에 대해 $E\in \mathcal{N}_y$이다.

6. 임의의 $O\subseteq X$에 대해

$O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은 모든 $x\in O$에 대해 $E\subseteq O$인 $E\in \mathcal{N}_x$가 존재하는 것이다.

증명

1.

$x\in X$이므로 위상공간 정리와 근방 정리로 $X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방임에 따라 $X\in \mathcal{N}_x$이고 $\mathcal{N}_x\ne \emptyset$이다.

2.

근방의 정의로 $U\subseteq E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재하여 $x\in U\subseteq E$이다.

3.

근방 정리로 $E_1\cap E_2\in \mathcal{N}_x$이다.

4.

근방 정리로 $P\in \mathcal{N}_x$이다.

5.

근방 정리와 내부 정리로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\in \mathcal{N}_x$이므로

모든 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\in \mathcal{N}_y$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\subseteq E$임에 따라 4번으로 $E\in \mathcal{N}_y$이다.

6.

근방 정리와 근방의 정의와 위상공간 정리로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리9

임의의 집합 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$와 모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{N}_x\ne \emptyset$인 $\mathcal{N}_x \subseteq \mathcal{P}(X)$가 유일하게 존재할때

모든 $E_1,E_2\in \mathcal{N}_x$에 대해 $E_1\cap E_2\in \mathcal{N}_x$이면

$\mathcal{T} = \{ O\in \mathcal{P}(X) : \text{모든 }x\in O\text{에 대해 어떤 } E\in \mathcal{N}_x\text{가 존재하여 } E\subseteq O\}$에 대해 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

이때 모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{N}_x$가 아래 1, 2, 3을 모두 만족하면 $\mathcal{N}_x = \{ E\in \mathcal{P}(X) : E\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 }x\text{의 근방}\}$이다.

1. 모든 $E \in \mathcal{N}_x$에 대해 $x\in E$이다.

2. 임의의 $E \in \mathcal{N}_x$와 임의의 $P\subseteq X$에 대해 $E \subseteq P$이면 $P\in \mathcal{N}_x$이다.

3. 모든 $E\in \mathcal{N}_x$에 대해 어떤 $F \in \mathcal{N}_x$가 존재하여 모든 $y\in F$에 대해 $E \in \mathcal{N}_y$이다.

증명

정의로부터 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$이고 공허하게 $\emptyset\in \mathcal{T}$이다.

모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{N}_x\ne \emptyset$이므로 $E\in \mathcal{N}_x \subseteq \mathcal{P}(X)$가 존재하여

멱집합의 정의로 $E\subseteq X$이고 $X\in \mathcal{P}(X)$임에 따라 $X\in \mathcal{T}$이다.

모든 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}$에 대해 모든 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$는 $x\in O \subseteq X$인 $O\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}$가 존재하여

$E\subseteq O$인 $E\in \mathcal{N}_x$가 존재하므로 $E\subseteq O\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F} \subseteq X$임에 따라 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F}\in \mathcal{T}$이다.

모든 $O_1,O_2\in \mathcal{T}$에 대해

모든 $x\in O_1\cap O_2\subseteq X$는 $x\in O_1$이고 $x\in O_2$이므로 $E_1\subseteq O_1$이고 $E_2\subseteq O_2$인 $E_1,E_2\in \mathcal{N}_x$가 존재하여

$E_1\cap E_2\subseteq O_1\cap O_2$이고 $E_1\cap E_2\in \mathcal{N}_x$임에 따라 $O_1\cap O_2\in \mathcal{T}$이므로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

1, 2, 3번이 성립하고 임의의 $x\in X$에 대해 $\mathcal{M}_x = \{ E\in \mathcal{P}(X) : E\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 }x\text{의 근방}\}$일때

모든 $F\in \mathcal{M}_x$에 대해 근방의 정의로 $O \subseteq F$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여

$x\in O\in \mathcal{T}$이므로 $E\subseteq O$인 $E\in \mathcal{N}_x$가 존재하고 $E\subseteq O\subseteq F\subseteq X$임에 따라 $F\in \mathcal{N}_x$이므로 $\mathcal{M}_x\subseteq \mathcal{N}_x$이다.

임의의 $E\in \mathcal{N}_x$에 대해 $U = \{ y \in X : E\in \mathcal{N}_y \}$일때 모든 $y \in U$는 $E\in \mathcal{N}_y$이므로

어떤 $F\in \mathcal{N}_y$가 존재하여 모든 $z\in F$에 대해 $E\in \mathcal{N}_z$임에 따라 $z\in U$이고 $F\subseteq U$가 되어 $U\in \mathcal{T}$이다.

$E\in \mathcal{N}_x$이므로 $x\in U$가 되어 $U$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 

모든 $y\in U$는 $E\in \mathcal{N}_y$이므로 $y\in E$임에 따라 $U\subseteq E$가 되어 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이고

$E\in \mathcal{M}_x$가 되어 $\mathcal{N}_x\subseteq \mathcal{M}_x$이므로 집합 정리로 $\mathcal{N}_x=\mathcal{M}_x = \{ E\in \mathcal{P}(X) : E\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 }x\text{의 근방}\}$이다.

 

 

 

정리10

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

2. 모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{D}_x = \{ D[x] : D\in \mathcal{D}\}$는 $\mathcal{D}_x = \{ B\in \mathcal{P}(X) : B\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 }x\text{의 근방}\}$이다.

3. 모든 $(X,\mathcal{D})$의 기저 $\mathcal{E}$와 모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{E}_x = \{ E[x] : E\in \mathcal{E}\}$일때

$\mathcal{T} = \{ O\in \mathcal{P}(X) : \text{모든 }x\in O\text{에 대해 어떤 } A\in \mathcal{E}_x\text{가 존재하여 }A\subseteq O\}$이다.

4. $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간인 것이다.

5. 임의의 $A\subseteq X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) = \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D[A]$이다.

6. 임의의 $A\subseteq X$는 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $A\subseteq D[A]$이다.

증명

1, 2

균등위상공간의 정의로 $\mathcal{T} = \{ O\in \mathcal{P}(X) : \text{모든 }x\in O\text{에 대해 어떤 } B\in \mathcal{D}_x\text{가 존재하여 }B\subseteq O\}$이므로

위 정리와 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이고 $\mathcal{D}_x = \{ B\in \mathcal{P}(X) : B\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 }x\text{의 근방}\}$이다.

3.

$\mathcal{O} = \{ O\in \mathcal{P}(X) : \text{모든 }x\in O\text{에 대해 어떤 } A\in \mathcal{E}_x\text{가 존재하여 }A\subseteq O\}$일때

균등위상공간의 정의로 모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해 $B\subseteq O$인 $B\in \mathcal{D}_x$가 존재하여

$B = D[x]$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하고 기저의 정의로 $E\subseteq D$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재하므로

$E[x]\in \mathcal{E}_x$이고 위 정리로 $E[x]\subseteq D[x] = B\subseteq O$임에 따라 $O\in \mathcal{O}$가 되어 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{O}$이다.

모든 $O\in \mathcal{O}$의 모든 $x\in O$에 대해 $A\subseteq O$인 $A\in \mathcal{E}_x$가 존재하여

$A = E[x]$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재하므로 기저의 정의로 $E\in \mathcal{E}\subseteq \mathcal{D}$이고 $A=E[x]\in \mathcal{D}_x$임에 따라

균등위상공간의 정의로 $O\in \mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$이고

집합 정리로 $\mathcal{T} =\mathcal{O} = \{ O\in \mathcal{P}(X) : \text{모든 }x\in O\text{에 대해 어떤 } A\in \mathcal{E}_x\text{가 존재하여 }A\subseteq O\}$이다.

4.

$(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간일때 $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해

어떤 $(x,y)\in \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D$가 $(x,y)\notin \Delta_X$라고 가정하면 $x\ne y$이므로 하우스도르프 공간의 정의로

$O_1\cap O_2 = \emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O_1$과 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $O_2$가 존재하여 

2번과 근방 정리로 $O_1\in \mathcal{D}_{x}$이고 $O_2\in \mathcal{D}_{y}$이므로 $O_1=D_1[x]$이고 $O_2 = D_2[y]$인 $D_1,D_2\in \mathcal{D}$가 존재하는데

$(x,y)\in \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D \subseteq  D_1\cap D_2$이므로 위 정리로 $y\in (D_1\cap D_2)[x] \subseteq D_1[x]$이고

위 정리로 $y\in D_2[y]$임에 따라 $y\in D_1[x]\cap D_2[y] = O_1\cap O_2 = \emptyset$가 되어 모순이다.

따라서 모든 $(x,y)\in \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D$는 $(x,y)\in \Delta_X$이므로 $\displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D \subseteq \Delta_X$이고

위 정리로 $\Delta_X\subseteq \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D$가 되어 집합 정리로 $\displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D = \Delta_X$이므로 $(X,\mathcal{D})$는 분리균등공간이다.

역으로 $(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간이면 $\displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D = \Delta_X$이므로 $x\ne y$인 임의의 $x,y\in X$는 $(x,y)\notin \Delta_X$가 되어

집합 정리로 $\displaystyle (x,y)\in X^2\setminus \Delta_X = X^2\setminus \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D = \bigcup_{D\in \mathcal{D}}(X^2\setminus D)$임에 따라 $(x,y)\notin D$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하고

위 정리로 $E\circ E\subseteq D$이고 $E = E^{-1}$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하므로

$E[x]\cap E[y]\ne \emptyset$이라고 가정하면 $z\in E[x]\cap E[y]$가 존재하여 $z\in E[x]$이고 $z\in E[y]$이므로

관계의 상의 정의로 $(x,z),(y,z)\in E$임에 따라 역관계의 정의로 $(z,y)\in E^{-1} = E$이고

합성관계의 정의로 $(x,y)\in E\circ E\subseteq D$가 되어 모순이므로 $E[x]\cap E[y]= \emptyset$이다.

$E[x]\in \mathcal{D}_x$이고 $E[y]\in \mathcal{D}_y$이므로 2번과 근방의 정의로

$O_1\subseteq E[x]$이고 $O_2\subseteq E[y]$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O_1$과 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $O_2$가 존재하여 

$O_1\cap O_2 \subseteq E[x]\cap E[y] = \emptyset$임에 따라 $O_1\cap O_2 = \emptyset$이고 $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이다.

5.

모든 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$에 대해 모든 $D\in \mathcal{D}$는 균등공간의 정의로 $E^{-1}\subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

2번으로 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이므로 $O\subseteq E[x]$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하고 

폐포의 정의로 $O\cap A\ne \emptyset$이므로 $y\in O\cap A \subseteq E[x]\cap A$가 존재하여 $y\in E[x]$임에 따라

관계의 상의 정의로 $(x,y)\in E$이고 역관계의 정의로 $(y,x)\in E^{-1} \subseteq D$가 되어 $y\in A$임에 따라

관계의 상의 정의로 $x\in D[y] \subseteq D[A]$이므로 $x\in \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D[A]$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D[A]$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D[A]$에 대해 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$는 $x\in O$이므로 

균등위상공간의 정의로 $D[x]\subseteq O$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 균등공간의 정의로 $E^{-1}\subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하고 

$x\in E[A]$이므로 관계의 상의 정의로 $x\in E[y]$인 $y\in A$가 존재하여 $(y,x)\in E$이고

역관계의 정의로 $(x,y)\in E^{-1}\subseteq D$임에 따라 $y\in D[x] \subseteq O$이므로 $y\in O\cap A$가 되어 $O\cap A\ne \emptyset$이고

폐포의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이므로 $\displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D[A]\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$가 되어 집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) = \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D[A]$이다.

6.

모든 $x\in A$에 대해 위 정리와 관계의 상의 정의로 $x\in D[x]\subseteq D[A]$이므로 $A\subseteq D[A]$이다.

 

 

 

정리11

거리공간 $(X,d)$의 거리균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $X$의 $2$-데카르트곱 $X^2$와 임의의 $\epsilon\in $ $(0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2 : d(x,y)<\epsilon\}$일때

관계의 상과 열린공과 모든 $x\in X$에 대해 $D_\epsilon[x] = \underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)$이다.

2. $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_d)$에 대해 $\mathcal{T}=\mathcal{T}_d$이다.

증명

$X^2$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X^2)$일때 거리균등공간의 정의로 $\mathcal{E} = \{ D_\epsilon : \epsilon\in (0,\infty)\}$에 대해

$\mathcal{D} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 }E\in \mathcal{E}\text{에 대해 }E\subseteq D \}$이고 $\mathcal{E}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이므로 

위 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{E}_x = \{ E[x] : E\in \mathcal{E}\}$일때 

$\mathcal{T} = \{ O\in \mathcal{P}(X) : \text{모든 }x\in O\text{에 대해 어떤 } A\in \mathcal{E}_x\text{가 존재하여 }A\subseteq O\}$이다.

1.

관계의 상의 정의와 열린공의 정의로 $D_\epsilon[x] = \{y\in X : (x,y)\in D_\epsilon \} = \{ y\in  X :d(x,y)<\epsilon\} = \underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)$이다.

2.

거리위상공간의 정의로 $\mathcal{B}_d = \{ \underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon) : x\in X, \epsilon\in (0,\infty) \}$는 $(X,\mathcal{T}_d)$의 기저이다.

임의의 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해 $A\subseteq O$인 $A\in \mathcal{E}_x$가 존재하여 $A = E[x]$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재하고

$E = D_\epsilon$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하므로 1번으로 $\underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)=D_\epsilon[x]=E[x]=A\subseteq O$임에 따라

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}_d$이고 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}_d$이다.

위상공간 정리와 거리공간 정리와 1번으로

임의의 $O\in \mathcal{T}_d$의 모든 $x\in O$에 대해 $D_\epsilon[x]= \underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)\subseteq O$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여

$D_\epsilon\in \mathcal{E}$이고 $D_\epsilon[x]\in \mathcal{E}_x$이므로 $O\in \mathcal{T}$임에 따라 $\mathcal{T}_d\subseteq \mathcal{T}$이고 집합 정리로 $\mathcal{T}=\mathcal{T}_d$이다.

 

 

 

정리12

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{U})$일때 다음이 성립한다.

1. $(X^2,\mathcal{U})$에서 모든 $D\in \mathcal{D}$의 내부와 폐포는 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(D),\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(D) \in \mathcal{D}$이다.

2. 임의의 $D\in \mathcal{D}$의 역관계가 $D = D^{-1}$이면 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(D) = (\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(D))^{-1}$이고 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(D) = (\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(D))^{-1}$이다.

3. $\{ E\in \mathcal{D} : E\text{는 }(X^2,\mathcal{U})\text{에서 열린집합이고 }E = E^{-1}\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

4. $\{ E\in \mathcal{D} : E\text{는 }(X^2,\mathcal{U})\text{에서 닫힌집합이고 }E = E^{-1}\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

증명

1.

위 정리로 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$와 모든 $x\in X$에 대해 

$\mathcal{D}_x = \{ D[x] : D\in \mathcal{D}\}$는 $\mathcal{D}_x = \{ B\in \mathcal{P}(X) : B\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 }x\text{의 근방}\}$이다.

위 정리로 $E\circ E\circ E \subseteq D$이고 $E = E^{-1}$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

임의의 $(x,y)\in E$에 대해 모든 $(z,w)\in E[x]\times E[y]$는

$z\in E[x]$이고 $w\in E[y]$이므로 관계의 상의 정의로 $(x,z)\in E$이고 $(y,w)\in E$가 되어

역관계의 정의와 합성관계의 정의로 $(z,x)\in E^{-1} = E$이고 $(x,w)\in E\circ E$임에 따라

위 정리와 합성관계의 정의로 $(z,w)\in (E\circ E)\circ E=E\circ E\circ E \subseteq D$이고 $E[x]\times E[y]\subseteq D$이다.

$E[x]\in \mathcal{D}_x$이고 $E[y]\in \mathcal{D}_y$이므로 근방의 정의로

$O_1\subseteq E[x]$이고 $O_2\subseteq E[y]$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O_1$과 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $O_2$가 존재하여 

유한 곱공간 정리로 $O_1\times O_2$는 $(X^2,\mathcal{U})$에서 $(x,y)$의 열린근방이고 $O_1\times O_2 \subseteq E[x]\times E[y]\subseteq D$임에 따라

내부의 정의로 $(x,y)\in \underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(D)$이고 $E\subseteq \underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(D)\subseteq X^2$이므로 균등공간의 정의로 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(D)\in \mathcal{D}$이다.

폐포 정리로 $D\subseteq \underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(D)$이므로 균등공간의 정의로 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(D)\in \mathcal{D}$이다.

2.

유한 곱공간 정리로 $\{ O_1\times O_2 : O_1,O_2\in \mathcal{T}\}$는 $(X^2,\mathcal{U})$의 기저이다.

모든 $(x,y)\in \underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(D)$에 대해 내부의 정의와 기저 정리로

$O_1\times O_2 \subseteq D$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O_1$과 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $O_2$가 존재하여 

모든 $(w,z)\in O_2\times O_1$는 $(z,w)\in O_1\times O_2 \subseteq D$이므로 $(w,z)\in D^{-1} = D$임에 따라 $O_2\times O_1\subseteq D$이고

유한 곱공간 정리로 $O_2\times O_1$은 $(X^2,\mathcal{U})$에서 $(y,x)$의 열린근방이므로

내부의 정의로 $(y,x)\in \underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(D)$가 되어 위 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(D) = (\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(D))^{-1}$이다.

모든 $(x,y)\in \underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(D)$는 모든 $(X^2,\mathcal{U})$에서 $(y,x)$의 열린근방 $O$에 대해 

기저 정리로 $(y,x)\in O_2\times O_1 \subseteq O$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O_1,O_2$가 존재하여 $(x,y)\in O_1\times O_2$이고 

유한 곱공간 정리로 $O_1\times O_2$는 $(X^2,\mathcal{U})$에서 $(x,y)$의 열린근방이므로 폐포의 정의로 $(O_1\times O_2)\cap D\ne \emptyset$이고 

$(z,w)\in (O_1\times O_2)\cap D$가 존재하여 $(w,z)\in O_2\times O_1$이고 $(w,z)\in D^{-1} =D$임에 따라

$(w,z)\in (O_2\times O_1)\cap D \subseteq O\cap D$이고 $O\cap D\ne \emptyset$이므로 

폐포의 정의로 $(y,x)\in \underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(D)$가 되어 위 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(D) = (\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(D))^{-1}$이다.

3.

$\mathcal{E} = \{ E\in \mathcal{D} : E\text{는 }(X^2,\mathcal{U})\text{에서 열린집합이고 }E = E^{-1}\}$는 $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{D}$이고

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 위 정리로 $E\subseteq D$이고 $E=E^{-1}$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

1번으로 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(E) \in \mathcal{D}$이고 2번으로 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(E) = (\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(E))^{-1}$이므로

내부 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(E)$는 $(X^2,\mathcal{U})$에서 열린집합임에 따라 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(E) \in \mathcal{E}$이고

내부 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{int}}(E) \subseteq E \subseteq D$이므로 $\mathcal{E}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

4.

위 정리로 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$와 모든 $x\in X$에 대해 

$\mathcal{D}_x = \{ D[x] : D\in \mathcal{D}\}$는 $\mathcal{D}_x = \{ B\in \mathcal{P}(X) : B\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 }x\text{의 근방}\}$이고

$\mathcal{E} = \{ E\in \mathcal{D} : E\text{는 }(X^2,\mathcal{U})\text{에서 닫힌집합이고 }E = E^{-1}\}$는 $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{D}$이다.

위 정리로 $E\circ E\circ E \subseteq D$이고 $E = E^{-1}$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

1, 2번으로 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(E)\in \mathcal{D}$와 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(E) = (\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(E))^{-1}$이 성립하고

폐포 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(E)$는 $(X^2,\mathcal{U})$에서 닫힌집합이므로 $\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(E)\in \mathcal{E}$이다.

모든 $(x,y)\in \underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(E)$에 대해 $E[x]\in \mathcal{D}_x$이고 $E[y]\in \mathcal{D}_y$이므로 근방의 정의로

$O_1\subseteq E[x]$이고 $O_2\subseteq E[y]$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O_1$과 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $O_2$가 존재하여 

유한 곱공간 정리로 $O_1\times O_2$가 $(X^2,\mathcal{U})$에서 $(x,y)$의 열린근방임에 따라

폐포의 정의로 $(O_1\times O_2)\cap E\ne \emptyset$이고 $(z,w)\in (O_1\times O_2)\cap E$가 존재하여

$z\in O_1 \subseteq E[x]$와 $w\in O_2\subseteq E[y]$가 성립하므로 관계의 상의 정의로 $(x,z),(y,w)\in E$이고

역관계의 정의로 $(w,y)\in E^{-1} = E$이므로 합성관계의 정의로 $(x,w)\in E\circ E$이고

위 정리와 합성관계의 정의로 $(x,y)\in E\circ (E\circ E)= E\circ E\circ E \subseteq D$임에 따라

$\underset{(X^2,\mathcal{U})}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq D$가 되어 $\mathcal{E}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

 

 

 

정의4

균등덮개(uniform cover) :

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때 임의의 $X$의 덮개 $\mathcal{U}$에 대해 어떤 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\{ $$D[x]$ $:x\in X\}$가 $\mathcal{U}$의 세분이면

$\mathcal{U}$를 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개로 정의한다.

균등덮개공간 :

임의의 집합 $X$에 대해 임의의 집합 $\mathbf{U}$의 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 $X$의 덮개일때 아래 3가지 성질을 만족하면 

순서쌍 $(X,\mathbf{U})$를 균등덮개공간으로 정의하고 $\mathbf{U}$를 $X$의 균등덮개구조(uniform covering structure)로 정의한다.

1. $\mathbf{U}\ne \emptyset$

2. 모든 $\mathcal{V},\mathcal{W}\in \mathbf{U}$에 대해 어떤 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V},\mathcal{W}$의 성형세분이다.

3. 임의의 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$와 임의의 $X$의 덮개 $\mathcal{V}$에 대해 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 세분이면 $\mathcal{V}\in \mathbf{U}$이다.

균등덮개공간의 기저(basis) :

균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$에 대해 임의의 $\mathbf{B}\subseteq \mathbf{U}$가

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 어떤 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 존재하여 $\mathcal{B}$가 $\mathcal{U}$의 세분이면 $\mathbf{B}$를 $(X,\mathbf{U})$의 기저로 정의한다.

균등덮개공간의 생성균등공간 :

균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U})$이고 $2$-데카르트곱 $X^2$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X^2)$일때

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $E_\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2$이면 $\mathcal{E} = \{ E_\mathcal{U} : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$에 대해

$\mathcal{D} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 }E\in \mathcal{E}\text{에 대해 }E\subseteq D \}$인 순서쌍 $(X,\mathcal{D})$를 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간로 정의한다.

균등덮개공간의 균등위상공간 :

균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때

$(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$를 $(X,\mathbf{U})$의 균등위상공간으로 정의한다.

분리균등덮개공간 :

균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간이면 $(X,\mathbf{U})$를 분리균등덮개공간으로 정의한다.

 

 

 

정리13

균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$와 $2$-데카르트곱 $X^2$의 멱집합 $\mathcal{P}(X^2)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이다.

2. 임의의 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $E_\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2$일때 $\mathcal{E} = \{ E_\mathcal{U} : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

3. 임의의 $(X,\mathbf{U})$의 기저 $\mathbf{B}$의 모든 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$에 대해 $F_\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{B\in \mathcal{B}}B^2$일때 $\mathcal{F} = \{ F_\mathcal{B} : \mathcal{B}\in \mathbf{B}\}$에 대해 

$\mathcal{D} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 } F\in \mathcal{F}\text{에 대해 }F\subseteq D \}$이고 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

4. $X\ne \emptyset$일때 모든 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{V}$는 $\mathcal{V}\in \mathbf{U}$이다.

5. 모든 $\mathcal{V}\in \mathbf{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이다.

6. $\{ X\}\in \mathbf{U}$

7. $\mathbf{U}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

증명

1, 2

균등덮개공간의 정의로 $\mathbf{U}\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하여 $E_\mathcal{U}\in \mathcal{E}$임에 따라 $\mathcal{E}\ne \emptyset$이다.

모든 $E\in \mathcal{E}$에 대해 $E = E_\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2$인 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하고

균등덮개공간의 정의로 $\mathcal{U}$는 $X$의 덮개이므로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$에 대해 $x\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

$2$-데카르트곱의 정의로 $(x,x)\in U^2$임에 따라 $(x,x)\in E_\mathcal{U} = E$이고 $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 $\Delta_X\subseteq E$이다.

모든 $E\in \mathcal{E}$에 대해 $E = E_\mathcal{V} = \displaystyle \bigcup_{V\in \mathcal{V}}V^2$인 $\mathcal{V}\in \mathbf{U}$가 존재하여 균등덮개공간의 정의로

$\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 성형세분인 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하므로 덮개 정리로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분이고 세분이다.

모든 $(x,y)\in E_\mathcal{U}\circ E_\mathcal{U}$에 대해 합성관계의 정의로 $(x,z),(z,y)\in E_\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2$인 $z\in X$가 존재하여

$(x,z)\in U_1^2$이고 $(z,y)\in U_2^2$인 $U_1,U_2\in \mathcal{U}$가 존재하므로 무게중심 세분의 정의로

$\operatorname{st}(z,\mathcal{U})\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하고 $2$-데카르트곱의 정의로 $x,z\in U_1$와 $z,y\in U_2$가 성립함에 따라

별 정리로 $x\in U_1\subseteq \operatorname{st}(z,\mathcal{U})\subseteq V$와 $y\in U_2\subseteq \operatorname{st}(z,\mathcal{U})\subseteq V$가 성립하여

$(x,y)\in V^2$이고 $(x,y)\in E_\mathcal{V}$이므로 $E_\mathcal{U}\in \mathcal{E}$에 대해 $E_\mathcal{U}\circ E_\mathcal{U}\subseteq E_\mathcal{V}= E$이다.

모든 $(x,y)\in E_\mathcal{U}^{-1}$에 대해 역관계의 정의로 $(y,x)\in E_\mathcal{U}$이므로 $(y,x)\in U^2$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하고

$2$-데카르트곱의 정의와 세분의 정의로 $x,y \in U\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여 $(x,y)\in V^2$이고

$(x,y)\in E_\mathcal{V}$임에 따라 $E_\mathcal{U}\in \mathcal{E}$에 대해 $E_\mathcal{U}^{-1}\subseteq E_\mathcal{V}= E$이다.

모든 $E,F\in \mathcal{E}$에 대해 $E = E_\mathcal{V}$이고 $F = E_\mathcal{W}$인 $\mathcal{V}, \mathcal{W}\in \mathbf{U}$가 존재하여

균등덮개공간의 정의로 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V},\mathcal{W}$의 성형세분인 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하므로 덮개 정리로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V},\mathcal{W}$의 세분이고

모든 $(x,y)\in E_\mathcal{U}$에 대해 $(x,y)\in U^2$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 

$2$-데카르트곱의 정의와 세분의 정의로 $x,y \in U\subseteq V$이고 $x,y\in U\subseteq W$인 $V\in \mathcal{V}$와 $W\in \mathcal{W}$가 존재하므로 

$(x,y)\in V^2$이고 $(x,y)\in W^2$임에 따라 $(x,y)\in E_\mathcal{V}$이고 $(x,y)\in E_\mathcal{W}$가 되어

$(x,y)\in E_\mathcal{V}\cap E_\mathcal{W}$이므로 $E_\mathcal{U}\in \mathcal{E}$에 대해 $E_\mathcal{U}\subseteq E_\mathcal{V}\cap E_\mathcal{W} = E\cap F$이다.

생성균등공간의 정의로 $\mathcal{D} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 }E\in \mathcal{E}\text{에 대해 }E\subseteq D \}$임에 따라

위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이고 $\mathcal{E} = \{ E_\mathcal{U} : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

3.

생성균등공간의 정의로 임의의 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $E_\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2$일때 

$\mathcal{E} = \{ E_\mathcal{U} : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$에 대해 $\mathcal{D} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 }E\in \mathcal{E}\text{에 대해 }E\subseteq D \}$이므로

$\mathcal{C} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 } F\in \mathcal{F}\text{에 대해 }F\subseteq D \}$이면

모든 $D \in \mathcal{C}$에 대해 $F\subseteq D$인 $F\in \mathcal{F}$가 존재하여 $F= F_\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{B\in \mathcal{B}}B^2$인 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 존재하고

기저의 정의로 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}\subseteq \mathbf{U}$임에 따라 $F= F_\mathcal{B}\in \mathcal{E}$이므로 $D\in \mathcal{D}$가 되어 $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{D}$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E\subseteq D$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재하여

$E = E_\mathcal{U}$인 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하므로 기저의 정의로 어떤 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 $\mathcal{U}$의 세분임에 따라

모든 $(x,y)\in F_\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{B\in \mathcal{B}}B^2$에 대해 $(x,y)\in B^2$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하고

$2$-데카르트곱의 정의와 세분의 정의로 $x,y\in B\subseteq U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하므로 $(x,y)\in U^2$이고 $(x,y)\in E_\mathcal{U}$가 되어 

$F_\mathcal{B}\in \mathcal{F}$에 대해 $F_\mathcal{B} \subseteq E_\mathcal{U} = E\subseteq D$이므로 $D\in \mathcal{C}$임에 따라 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{C}$이고

집합 정리로 $\mathcal{D} =\mathcal{C} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 } F\in \mathcal{F}\text{에 대해 }F\subseteq D \}$이다.

4.

임의의 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $\mathcal{V}_D =\{D[x]:x\in X \}$일때 관계의 상의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $D[x]\subseteq X$이고

위 정리로 $x\in D[x]\in \mathcal{V}_D$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{V}_D$가 되어 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{V}_D$임에 따라 $\mathcal{V}_D$는 $X$의 덮개이고

$\mathcal{V}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 어떤 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\mathcal{V}_D =\{D[x]:x\in X \}$는 $\mathcal{V}$의 세분이다.

임의의 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $E_\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2$일때 

2번으로 $\mathcal{E} = \{ E_\mathcal{U} : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이므로 $D\in \mathcal{D}$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2 = E_\mathcal{U}\subseteq D$인 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재한다.

모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U = \emptyset$이면 $X\ne \emptyset$이므로 $x\in X$가 존재하여 $D[x]\in \mathcal{V}_D$에 대해 $U = \emptyset\subseteq D[x]$이고

$U\ne \emptyset$이면 $x\in U$가 존재하여 모든 $y\in U$에 대해 $(x,y)\in U^2 \subseteq E_\mathcal{U} \subseteq D$이므로

$D[x]\in \mathcal{V}_D$에 대해 관계의 상의 정의로 $y\in D[x]$임에 따라 $U\subseteq D[x]$이다.

$\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}_D$의 세분이고 $\mathcal{V}_D$는 $\mathcal{V}$의 세분이므로 덮개 정리로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 세분이 되어 균등덮개공간의 정의로 $\mathcal{V}\in \mathbf{U}$이다.

5.

$\mathcal{V}\in \mathbf{U}$이므로 균등덮개공간의 정의로 어떤 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 $\mathcal{V}$의 성형세분이 되어

덮개 정리로 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분임에 따라 모든 $x\in X$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\subseteq V_x$인 $V_x\in \mathcal{V}$가 존재한다.

2번과 기저의 정의로 $\displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2=E_\mathcal{U}\in \mathcal{D}$이고 모든 $y\in E_\mathcal{U}[x]$는 관계의 상의 정의로 $(x,y)\in E_\mathcal{U}$이므로

$(x,y)\in U^2$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 $x,y\in U$이고 별 정리로 $y\in U\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U})\subseteq V_x$임에 따라 $E_\mathcal{U}[x]\subseteq V_x$가 되어

$\{ E_\mathcal{U}[x]:x\in X\}$는 $\mathcal{V}$의 세분이므로 $\mathcal{V}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이다.

6.

모든 $x\in X\in \{ X\}$는 $x\in \displaystyle \bigcup \{ X\}$이므로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \{ X\}$가 되어 $\{ X\}$는 $X$의 덮개이고

균등덮개공간의 정의로 $\mathbf{U}\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$가 $X$의 덮개임에 따라 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U\subseteq X$이고

$\mathcal{U}$는 $\{ X\}$의 세분이 되어 균등덮개공간의 정의로 $\{ X\}\in \mathbf{U}$이다.

7.

$\mathbf{U}\subseteq \mathbf{U}$이고 덮개 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$는 $\mathcal{U}$의 세분이므로 $\mathbf{U}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

 

 

 

정리14

균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $\{D[x] : x\in X \}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이다.

2. 임의의 $X$의 덮개 $\mathcal{U},\mathcal{V}$에 대해 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 세분일때

$\mathcal{U}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이면 $\mathcal{V}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이다.

3. 임의의 $D\in \mathcal{D}$와 모든 $X$의 덮개 $\mathcal{U}$에 대해

$\{D[x] : x\in X \}$가 $\mathcal{U}$의 세분이면 어떤 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\{E[x] : x\in X \}$는 $\mathcal{U}$의 무게중심 세분이다.

4. 임의의 $D_1,D_2\in \mathcal{D}$와 모든 $X$의 덮개 $\mathcal{U},\mathcal{V}$에 대해

$\{D_1[x] : x\in X \}$가 $\mathcal{U}$의 세분이고 $\{D_2[x] : x\in X \}$가 $\mathcal{V}$의 세분이면

어떤 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\{ E[x] : x\in X \}$는 $\mathcal{U},\mathcal{V}$의 성형세분이다.

5. $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$에 대해 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $\mathcal{B}_D = \{ D[x]:x\in X\}$일때 $\mathbf{B} = \{ \mathcal{B}_D: D\in \mathcal{D}\}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이고

$(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D}_\mathbf{U})$에 대해 $\mathcal{D}_\mathbf{U} = \mathcal{D}$이다.

증명

1.

$\mathcal{U}_D = \{D[x] : x\in X \}$일때 관계의 상의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $D[x]\subseteq X$이고

위 정리로 $x\in D[x]\in \mathcal{U}_D$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}_D$가 되어 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}_D$임에 따라 $\mathcal{U}_D$는 $X$의 덮개이다.

덮개 정리로 $\mathcal{U}_D$는 $\mathcal{U}_D$의 세분이므로 $\mathcal{U}_D = \{D[x] : x\in X \}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이다.

2.

$\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 어떤 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\mathcal{U}_D = \{D[x] : x\in X \}$가 $\mathcal{U}$의 세분이고

$\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 세분임에 따라 덮개 정리로 $\mathcal{U}_D$는 $\mathcal{V}$의 세분이 되어 $\mathcal{V}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이다.

3.

위 정리로 $E\circ E^{-1} \subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 1번으로 $\mathcal{U}_E = \{ E[x] : x\in X\}$는 $X$의 덮개이다.

세분의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $D[x]\subseteq U_x$인 $U_x\in \mathcal{U}$가 존재하고

모든 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_E)$에 대해 별의 정의로 $x,y\in E[z]$인 $z\in X$가 존재하여 관계의 상의 정의로 $(z,x),(z,y)\in E$이고

역관계의 정의로 $(x,z)\in E^{-1}$이므로 합성관계의 정의로 $(x,y)\in E\circ E^{-1}\subseteq D$임에 따라

관계의 상의 정의로 $y\in D[x]\subseteq U_x$이고 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_E)\subseteq U_x$가 되어 $\mathcal{U}_E = \{ E[x] : x\in X\}$는 $\mathcal{U}$의 무게중심 세분이다.

4.

3번으로 어떤 $E_1,E_2\in \mathcal{D}$가 존재하여

$\{E_1[x] : x\in X \}$가 $\mathcal{U}$의 무게중심 세분이고 $\{E_2[x] : x\in X \}$가 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분이므로

균등공간의 정의로 $E_1\cap E_2\in \mathcal{D}$임에 따라

위 정리로 $E\circ E^{-1} \subseteq E_1\cap E_2$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 1번으로 $\mathcal{U}_E = \{ E[x] : x\in X\}$는 $X$의 덮개이다.

모든 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_E)$에 대해 별의 정의로 $x,y\in E[z]$인 $z\in X$가 존재하여 관계의 상의 정의로 $(z,x),(z,y)\in E$이고

역관계의 정의로 $(x,z)\in E^{-1}$이므로 합성관계의 정의로 $(x,y)\in E\circ E^{-1}\subseteq E_1\cap E_2$임에 따라

관계의 상의 정의로 $y\in (E_1\cap E_2)[x]$가 되어 위 정리로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_E)\subseteq (E_1\cap E_2)[x] = E_1[x]\cap E_2[x]$이고

$\mathcal{U}_E = \{ E[x] : x\in X\}$는 $\{E_1[x] : x\in X \}$와 $\{E_2[x] : x\in X \}$의 무게중심 세분이다.

$X = \emptyset$이면 $\mathcal{U}_E = \{ E[x] : x\in X\} = \emptyset$이므로 공허하게 $\mathcal{U}_E = \emptyset$은 $\mathcal{U}$와 $\mathcal{V}$의 성형세분이고

$X\ne \emptyset$이면 덮개 정리로 $\mathcal{U}\ne \emptyset$이고 $\mathcal{V}\ne \emptyset$임에 따라 덮개 정리로 $\mathcal{U}_E = \{ E[x] : x\in X\}$는 $\mathcal{U}$와 $\mathcal{V}$의 성형세분이다.

5.

균등공간의 정의로 $\mathcal{D}\ne \emptyset$이므로 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여

1번으로 $\{D[x] : x\in X \}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개임에 따라 $\{ D[x]: x\in X\}\in \mathbf{U}$이고 $\mathbf{U}\ne \emptyset$이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 $\mathcal{U}$는 $X$의 덮개이다.

모든 $\mathcal{V},\mathcal{W}\in \mathbf{U}$에 대해 $\mathcal{V},\mathcal{W}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 

어떤 $D_1,D_2\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\{D_1[x] : x\in X \}$가 $\mathcal{V}$의 세분이고 $\{D_2[x] : x\in X \}$가 $\mathcal{W}$의 세분임에 따라

4번으로 어떤 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\{D[x] : x\in X \}$는 $\mathcal{V},\mathcal{W}$의 성형세분이고

1번으로 $\{D[x] : x\in X \}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 $\{D[x] : x\in X \}\in \mathbf{U}$이다.

임의의 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$와 임의의 $X$의 덮개 $\mathcal{V}$에 대해 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 세분이면 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로

어떤 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\{D[x] : x\in X \}$가 $\mathcal{U}$의 세분임에 따라 덮개 정리로 $\{D[x] : x\in X \}$는 $\mathcal{V}$의 세분이고

$\mathcal{V}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개가 되어 $\mathcal{V}\in \mathbf{U}$이므로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해

1번으로 $\mathcal{B}_D = \{D[x] : x\in X \}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 $\mathcal{B}_D\in \mathbf{U}$가 되어 $\mathbf{B}\subseteq \mathbf{U}$이고

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 어떤 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\mathcal{B}_D = \{D[x] : x\in X \}$가 $\mathcal{U}$의 세분이고

$\mathcal{B}_D\in \mathbf{B}$임에 따라 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

위 정리로 모든 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$에 대해 $F_\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{B\in \mathcal{B}}B^2$일때 

$\mathcal{F} = \{ F_\mathcal{B} : \mathcal{B}\in \mathbf{B}\}$에 대해 $\mathcal{D}_\mathbf{U} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 } F\in \mathcal{F}\text{에 대해 }F\subseteq D \}$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}_\mathbf{U}$에 대해 $F\subseteq D$인 $F\in \mathcal{F}$가 존재하여 $F = F_\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{B\in \mathcal{B}}B^2$인 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 존재하므로

$\mathcal{B} = \mathcal{B}_E = \{ E[x] : x\in X\}$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하고

모든 $(x,y)\in E$에 대해 위 정리와 관계의 상의 정의로 $x,y\in E[x]$이므로 $(x,y) \in (E[x])^2$이고

$E[x]\in \mathcal{B}_E=\mathcal{B}$임에 따라 $(x,y) \in (E[x])^2\subseteq F_\mathcal{B} = F\subseteq D$가 되어

$E\subseteq D$이므로 균등공간의 정의로 $D\in \mathcal{D}$이고 $\mathcal{D}_\mathbf{U}\subseteq \mathcal{D}$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해

위 정리로 $E\circ E^{-1}\subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\mathcal{B}_E = \{ E[x] : x\in X\}\in \mathbf{B}$이고 $\displaystyle \bigcup_{B\in \mathcal{B}_E}B^2=F_{\mathcal{B}_E}\in \mathcal{F}$이므로

모든 $(x,y) \in F_{\mathcal{B}_E}$에 대해 $(x,y)\in B^2$인 $B\in \mathcal{B}_E$가 존재하고 $B = E[z]$인 $z\in X$가 존재하므로 

$x,y\in B = E[z]$가 되어 관계의 상의 정의로 $(z,x),(z,y)\in E$이고 역관계의 정의로 $(x,z)\in E^{-1}$이므로

합성관계의 정의로 $(x,y)\in E\circ E^{-1}\subseteq D$임에 따라 $F_{\mathcal{B}_E}\subseteq D$가 되어 $D\in \mathcal{D}_\mathbf{U}$이고 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{D}_\mathbf{U}$이므로

집합 정리로 $\mathcal{D}_\mathbf{U}=\mathcal{D}$이다.

 

 

 

정리15

임의의 집합 $X$의 모든 덮개들의 집합이 $\mathbf{C}$일때

$\mathbf{B}\ne \emptyset$인 임의의 $\mathbf{B}\subseteq \mathbf{C}$의 모든 $\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2\in \mathbf{B}$에 대해 어떤 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 존재하여 $\mathcal{B}$가 $\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2$의 성형세분이면

$\mathbf{U} = \{ \mathcal{U}\in \mathbf{C} : \text{어떤 }\mathcal{B}\in \mathbf{B}\text{가 } \mathcal{U}\text{의 세분} \}$에 대해 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

증명

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U} \subseteq \mathbf{C}$는 $X$의 덮개이고

덮개 정리로 모든 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}\subseteq \mathbf{C}$는 $\mathcal{B}$의 세분이므로 $\mathcal{B}\in \mathbf{U}$가 되어 $\mathbf{B}\subseteq \mathbf{U}$이고 $\mathbf{B}\ne \emptyset$임에 따라 $\mathbf{U}\ne \emptyset$이다.

모든 $\mathcal{U},\mathcal{V}\in \mathbf{U}$에 대해 어떤 $\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2\in \mathbf{B}$가 존재하여

$\mathcal{B}_1$은 $\mathcal{U}$의 세분이고 $\mathcal{B}_2$는 $\mathcal{V}$의 세분이므로 어떤 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 $\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2$의 성형세분임에 따라

덮개 정리로 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{U}$와 $\mathcal{V}$의 성형세분이다.

임의의 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$와 임의의 $X$의 덮개 $\mathcal{V}$에 대해 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 세분이면

어떤 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 $\mathcal{U}$의 세분이므로 덮개 정리로 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{V}$의 세분이 되어 $\mathcal{V}\in \mathbf{C}$임에 따라 $\mathcal{V}\in \mathbf{U}$이다.

$(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 어떤 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 $\mathcal{U}$의 세분이므로 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

 

 

 

정리16(거리 균등덮개공간)

거리공간이 $(X,d)$이고 $X$의 모든 덮개들의 집합이 $\mathbf{C}$일때

임의의 $\epsilon\in $ $(0,\infty)$에 대해 $\mathcal{B}_\epsilon = \{\underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon) :x\in X\}$이면 $\mathbf{B} = \{ \mathcal{B}_\epsilon: \epsilon\in (0,\infty)\}$에 대해 

$\mathbf{U} = \{ \mathcal{U}\in \mathbf{C} : \text{어떤 }\mathcal{B}\in \mathbf{B}\text{가 } \mathcal{U}\text{의 세분} \}$인 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이고

$(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D}_\mathbf{U})$와 $(X,d)$의 거리균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 $\mathcal{D}_\mathbf{U} = \mathcal{D}$이다.

증명

$\mathcal{B}_1\in \mathbf{B}$이므로 $\mathbf{B}\ne \emptyset$이고 임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

모든 $x\in X$는 거리공간의 정의로 $d(x,x) = 0<\epsilon$이므로 열린공의 정의로 $x\in \underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)\in \mathcal{B}_\epsilon$이 되어

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_\epsilon$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_\epsilon$임에 따라 $\mathcal{B}_\epsilon\in \mathbf{C}$이므로 $\mathbf{B}\subseteq \mathbf{C}$이다.

모든 $\delta,\eta \in (0,\infty)$에 대해 $\mathcal{B}_\delta,\mathcal{B}_\eta \in \mathbf{B}$이고 $\epsilon = $ $\min$$\{ \frac{\delta}{3}, \frac{\eta}{3} \} > 0$이 존재하여 $\mathcal{B}_\epsilon\in \mathbf{B}$이고

모든 $B\in \mathcal{B}_\epsilon$에 대해 $B = \underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)\in \mathcal{B}_\epsilon$인 $x\in X$가 존재하므로

모든 $w\in \operatorname{st}(\underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon), \mathcal{B}_\epsilon)$는 별의 정의로 $w\in \underset{(X,d)}{B}(z,\epsilon)$이고 $\underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)\cap \underset{(X,d)}{B}(z,\epsilon)\ne \emptyset$인 $z\in X$가 존재하여

$y \in \underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)\cap \underset{(X,d)}{B}(z,\epsilon)$가 존재함에 따라 거리공간의 정의와 열린공의 정의로

$d(x,w)\le d(x,z) + d(z,w) \le d(x,y)+ d(y,z) + d(z,w) < \epsilon + \epsilon + \epsilon = 3\cdot \epsilon$이고

최소원소의 정의로 $d(x,w)< 3\cdot \epsilon \le 3\cdot \dfrac{\delta}{3} = \delta$와 $d(x,w)< 3\cdot \epsilon \le 3\cdot \dfrac{\eta}{3} = \eta$가 성립하므로 

열린공의 정의로 $w\in \underset{(X,d)}{B}(x,\delta)$와 $w\in \underset{(X,d)}{B}(x,\eta)$가 성립하여 

$\operatorname{st}(B,\mathcal{B}_\epsilon)=\operatorname{st}(\underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon), \mathcal{B}_\epsilon)\subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,\delta)\in \mathcal{B}_\delta$이고 $\operatorname{st}(B,\mathcal{B}_\epsilon)=\operatorname{st}(\underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon), \mathcal{B}_\epsilon)\subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,\eta)\in \mathcal{B}_\eta$임에 따라 

$\mathcal{B}_\epsilon$은 $\mathcal{B}_\delta,\mathcal{B}_\eta$의 성형세분이다.

따라서 위 정리로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

$X$의 $2$-데카르트곱 $X^2$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X^2)$일때 위 정리로 모든 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$에 대해 $F_\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{B\in \mathcal{B}}B^2$이면 

$\mathcal{F} = \{ F_\mathcal{B} : \mathcal{B}\in \mathbf{B}\}$에 대해 $\mathcal{D}_\mathbf{U} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 } F\in \mathcal{F}\text{에 대해 }F\subseteq D \}$이고

거리균등공간의 정의로 임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2 : d(x,y)<\epsilon\}$일때

$\mathcal{E} = \{ D_\epsilon : \epsilon\in (0,\infty)\}$에 대해 $\mathcal{D} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 }E\in \mathcal{E}\text{에 대해 }E\subseteq D \}$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}_\mathbf{U}$에 대해 $F \subseteq D$인 $F\in \mathcal{F}$가 존재하고 $F = F_\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{B\in \mathcal{B}}B^2$인 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 존재하여

$\mathcal{B} = \mathcal{B}_\epsilon = \{\underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon) :x\in X\}$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하므로 

모든 $(x,y)\in D_\epsilon$는 $d(x,y)<\epsilon$이고 $x,y\in \underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)\in \mathcal{B}_\epsilon = \mathcal{B}$임에 따라

$(x,y)\in (\underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon))^2 \subseteq F_\mathcal{B} = F\subseteq D$가 되어 $D_\epsilon\in \mathcal{E}$에 대해 $D_\epsilon\subseteq D$이므로 $D\in \mathcal{D}$이고 $\mathcal{D}_\mathbf{U}\subseteq \mathcal{D}$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E \subseteq D$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재하고 $E = D_\epsilon$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하므로

모든 $(x,y)\in F_{\mathcal{B}_\frac{\epsilon}{2}}$는 $(x,y)\in B^2$인 $B\in \mathcal{B}_\frac{\epsilon}{2}$가 존재하고 $x,y\in B = \underset{(X,d)}{B}(z,\frac{\epsilon}{2})$인 $z\in X$가 존재하여

$d(x,y)\le d(x,z) + d(z,y) < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이므로 $(x,y)\in D_\epsilon$이고

$F_{\mathcal{B}_\frac{\epsilon}{2}}\in \mathcal{F}$에 대해 $F_{\mathcal{B}_\frac{\epsilon}{2}}\subseteq D_\epsilon = E \subseteq D$임에 따라 $D\in \mathcal{D}_\mathbf{U}$이고 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{D}_\mathbf{U}$이므로 집합 정리로 $\mathcal{D}_\mathbf{U}=\mathcal{D}$이다.

 

 

 

정리17

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P})$일때 모든 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합 $O,P$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x\in X$에 대해 관계의 상 $O[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

2. $O$의 역관계 $O^{-1}$은 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이다.

3. $O,P$의 합성관계 $O\circ P$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이다.

증명

1.

모든 $y\in O[x]$는 관계의 상의 정의로 $(x,y)\in O$이므로

유한 곱공간 정리와 기저 정리로 $(x,y)\in U\times V \subseteq O$인 $U,V\in \mathcal{T}$가 존재하고

모든 $z\in V$에 대해 $(x,z)\in U\times V \subseteq O$이므로 관계의 상의 정의로 $z\in O[x]$가 되어 $V\subseteq O[x]$이고

$V$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방임에 따라 위상공간 정리로 $O[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

2.

모든 $(y,x)\in O^{-1}$에 대해 역관계의 정의로 $(x,y)\in O$이므로 

유한 곱공간 정리와 기저 정리로 $(x,y)\in U\times V \subseteq O$인 $U,V\in \mathcal{T}$가 존재하고

모든 $(v,u)\in V\times U$에 대해 $(u,v)\in U\times V\subseteq O$가 되어 역관계의 정의로 $(v,u)\in O^{-1}$임에 따라

$V\times U\subseteq O^{-1}$이고 유한 곱공간 정리와 기저의 정의로 $(y,x)\in V\times U\in \mathcal{P}$이므로

위상공간 정리로 $O^{-1}$은 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이다.

3.

$(X,\mathcal{T})$의 $3$-곱공간이 $(X^3,\mathcal{Q})$일때

유한 곱공간 정리로 모든 $(x_1,x_2,x_3)\in X^3$와 $i\ne j$인 모든 $i,j=1,2,3$에 대해 

$f_{i,j}(x_1,x_2,x_3) = (x_i,x_j)$인 함수 $f_{i,j}:X^3\to X^2$는 $(X^3,\mathcal{Q})$에서 $(X^2,\mathcal{P})$에서 연속함수이고 열린함수이다.

연속함수 정리로 $f_{1,2}^{-1}(P) = \{ (x_1,x_2,x_3)\in X^3 : (x_1,x_2) = f_{1,2}(x_1,x_2,x_3)\in P\}$와

$f_{2,3}^{-1}(O) = \{ (x_1,x_2,x_3)\in X^3 : (x_2,x_3) =f_{2,3}(x_1,x_2,x_3)\in O\}$는 $(X^3,\mathcal{Q})$에서 열린집합이므로 

위상공간 정리로 $f_{2,3}^{-1}(O)\cap f_{1,2}^{-1}(P)$는 $(X^3,\mathcal{Q})$에서 열린집합이 되어

열린함수의 정의로 $f_{1,3}(f_{2,3}^{-1}(O)\cap f_{1,2}^{-1}(P))$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이다.

모든 $(x,y)\in f_{1,3}(f_{2,3}^{-1}(O)\cap f_{1,2}^{-1}(P))$에 대해 $(x,y) = f_{1,3}(x,z,y)$인 $(x,z,y)\in f_{2,3}^{-1}(O)\cap f_{1,2}^{-1}(P)$가 존재하여

$(z,y)=f_{2,3}(x,z,y)\in O$이고 $(x,z) =f_{1,2}(x,z,y)\in P$이므로

합성관계의 정의로 $(x,y)\in O\circ P$임에 따라 $f_{1,3}(f_{2,3}^{-1}(O)\cap f_{1,2}^{-1}(P))\subseteq O\circ P$이다.

모든 $(x,y)\in O\circ P$에 대해 합성관계의 정의로 $(x,z)\in P$이고 $(z,y)\in O$인 $z\in X$가 존재하여 $(x,z,y)\in X^3$이고 

$f_{2,3}(x,z,y)=(z,y)\in O$와 $f_{1,2}(x,z,y)=(x,z)\in P$가 성립하므로 $(x,z,y)\in f_{2,3}^{-1}(O)\cap f_{1,2}^{-1}(P)$이고 

$(x,y)=f_{1,3}(x,z,y)\in f_{1,3}(f_{2,3}^{-1}(O)\cap f_{1,2}^{-1}(P))$임에 따라 $O\circ P\subseteq f_{1,3}(f_{2,3}^{-1}(O)\cap f_{1,2}^{-1}(P))$가 되어

집합 정리로 $O\circ P = f_{1,3}(f_{2,3}^{-1}(O)\cap f_{1,2}^{-1}(P))$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이다.

 

 

 

정리18

균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $\mathbf{U}$의 기저 $\mathbf{B}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathbf{O} = \{ \mathcal{U}\in \mathbf{U} : \mathcal{U}\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 }X\text{의 열린덮개} \}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

2. 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$와 모든 $x\in X$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이다.

3. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$의 모든 $x\in O$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{B}_x)\subseteq O$인 $\mathcal{B}_x\in \mathbf{B}$가 존재한다.

4. 모든 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이면

임의의 $x\in X$에 대해 $\{ \operatorname{st}(x,\mathcal{B}):\mathcal{B}\in \mathbf{B}\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

5. 모든 $A\subseteq X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) = \displaystyle \bigcap_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\operatorname{st}(A,\mathcal{U})$이다.

증명

위 정리로 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이고

$(X,\mathbf{U})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이므로 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

1.

$X = \emptyset$일때 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $\mathcal{U} = \emptyset$이면

$\emptyset\subseteq \mathcal{T}$이므로 $\emptyset$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개임에 따라 $\emptyset\in \mathbf{O}$이 되어 덮개 정리로 $\emptyset$은 $\mathcal{U} = \emptyset$의 세분이고 

$\mathcal{U}\ne \emptyset$이면 덮개 정리로 $\mathcal{U} = \{ \emptyset\}$이고

위상공간의 정의로 $\emptyset\in \mathcal{T}$이므로 $\{ \emptyset\}\subseteq \mathcal{T}$이 되어 $\{ \emptyset\}$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개임에 따라 $\{\emptyset \}\in \mathbf{O}$이고

덮개 정리로 $\{ \emptyset\}$은 $\mathcal{U} = \{ \emptyset\}$의 세분이므로 $\mathbf{O}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

$X\ne \emptyset$일때 위 정리로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $\mathcal{U}_D = \{ D[x]:x\in X\}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로

$\mathcal{U}_D$는 $X$의 덮개이고 위 정리로 $\mathcal{U}_D\in \mathbf{U}$이다.

위 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 어떤 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\mathcal{U}_D$가 $\mathcal{U}$의 세분이고 

위 정리와 기저의 정의로 $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 $E\subseteq D$이므로 

위 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $E[x]\subseteq D[x]$임에 따라 $\mathcal{U}_E$는 $\mathcal{U}_D$의 세분이고 

위 정리로 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어 $\mathcal{U}_E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이므로

$\mathcal{U}_E\in \mathbf{U}$임에 따라 $\mathcal{U}_E\in \mathbf{O}$이고 덮개 정리로 $\mathcal{U}_E$는 $\mathcal{U}$의 세분이므로 $\mathbf{O}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

2.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 1번과 기저의 정의로 어떤 $\mathcal{O}\in \mathbf{O}$가 $\mathcal{U}$의 세분이고

열린덮개의 정의로 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$이므로 별의 정의와 위상공간의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{O})\in \mathcal{T}$가 되어

별 정리와 별의 정의로 $x \in \operatorname{st}(x,\mathcal{O}) = \operatorname{st}(\{ x\},\mathcal{O})\subseteq \operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U}) = \operatorname{st}(x,\mathcal{U})$임에 따라

$\operatorname{st}(x,\mathcal{U})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이다.

3.

$x\in O\in \mathcal{T}$이므로 균등위상공간의 정의로 $D[x]\subseteq O$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하고 

위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{B\in \mathcal{B}}B^2 =F_\mathcal{B}\subseteq D$인 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 존재하여

별의 정의로 모든 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{B})$는 $x,y\in B$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하므로

$(x,y)\in B^2 \subseteq F_\mathcal{B}\subseteq D$이고 관계의 상의 정의로 $y\in D[x]$임에 따라 $\operatorname{st}(x,\mathcal{B})\subseteq D[x]\subseteq O$이다.

4.

모든 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이므로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$가 되어

별의 정의와 위상공간의 정의로 임의의 $x\in X$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{B})\in \mathcal{T}$임에 따라 $\{ \operatorname{st}(x,\mathcal{B}):\mathcal{B}\in \mathbf{B}\}\subseteq \mathcal{T}$이므로

2, 3번으로 $\{ \operatorname{st}(x,\mathcal{B}):\mathcal{B}\in \mathbf{B}\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

5.

모든 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$에 대해 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$는 1번으로 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}\in \mathbf{U}$가 $\mathcal{U}$의 세분이고 

별 정리로 $x\in \operatorname{st}(x, \mathcal{O})$이므로 별의 정의와 위상공간의 정의로 $\operatorname{st}(x, \mathcal{O})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이 되어

폐포의 정의로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{O})\cap A\ne \emptyset$임에 따라 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{O})\cap A$가 존재하고 

$y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{O})$이므로 별의 정의로 $x,y\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 세분의 정의로 $x,y\in O\subseteq U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하고

$y\in A$임에 따라 $y\in U\cap A$가 되어 $U\cap A\ne \emptyset$이고 별의 정의로 $x\in U\subseteq \operatorname{st}(A,\mathcal{U})$이므로

$x\in \displaystyle \bigcap_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\operatorname{st}(A,\mathcal{U})$가 되어 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq \displaystyle \bigcap_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\operatorname{st}(A,\mathcal{U})$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcap_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\operatorname{st}(A,\mathcal{U})$에 대해 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$는 $x\in O$이므로 

위 정리와 3번으로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{V})\subseteq O$인 $\mathcal{V}\in \mathbf{U}$가 존재하여 균등덮개공간의 정의로 어떤 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 $\mathcal{V}$의 성형세분이고 

$x\in \operatorname{st}(A,\mathcal{U})$이므로 별의 정의로 $x\in U$이고 $U\cap A\ne \emptyset$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 $y\in U\cap A$가 존재하고

덮개 정리와 세분의 정의로 $U\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여 $x,y\in U \subseteq V$이므로 

별 정리로 $y\in V\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{V})\subseteq O$이고 $y\in A$임에 따라 $y\in O\cap A$이고 $O\cap A\ne \emptyset$이므로 

폐포의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$가 되어 $\displaystyle \bigcap_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이고 집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) = \displaystyle \bigcap_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\operatorname{st}(A,\mathcal{U})$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/120#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/120#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797