그물(Net)

정의1

원순서집합(preordered set) :

반사성 : 모든 $x \in X$에 대해 $x \le_X x$이다.

추이성 : 임의의 $x,y,z\in X$가 $x \le_X y$이고 $y \le_X z$이면 $x \le_X z$이다.

집합 $X$의 관계 $\le_{X}$가 위 성질을 모두 만족하면 순서쌍 $(X,\le_X)$를 원순서집합으로 정의한다.

상향 원순서집합(upward directed preordered set) : 

원순서집합 $(X,\le_X)$의 모든 $x,y\in X$에 대해 $x\le_X z$이고 $y\le_X z$인 $z\in X$가 존재하면

$(X,\le_X)$를 상향 원순서집합으로 정의한다.

하향 원순서집합(downward directed preordered set) : 

원순서집합 $(X,\le_X)$의 모든 $x,y\in X$에 대해 $z\le_X x$이고 $z\le_X y$인 $z\in X$가 존재하면

$(X,\le_X)$를 하향 원순서집합으로 정의한다.

 

 

 

정리1

임의의 집합 $X$의 관계 $\le_X$에 대해 $X$의 관계 $\ge_X$가 

모든 $x,y\in X$에 대해 $x\le_X y$이기 위한 필요충분조건이 $y \ge_X x$인 것일때 다음이 성립한다.

1. $(X,\le_X)$가 부분순서집합이면 $(X,\le_X)$는 원순서집합이다.

2. $(X,\le_X)$가 전순서집합이면 $(X,\le_X)$는 상향 원순서집합이고 하향 원순서집합이다.

3. $(X,\le_X)$가 원순서집합이기 위한 필요충분조건은 $(X,\ge_X)$가 원순서집합인 것이다.

4. $(X,\le_X)$가 부분순서집합이기 위한 필요충분조건은 $(X,\ge_X)$가 부분순서집합인 것이다.

5. $(X,\le_X)$가 전순서집합이기 위한 필요충분조건은 $(X,\ge_X)$가 전순서집합인 것이다.

6. $(X,\le_X)$가 상향 원순서집합이기 위한 필요충분조건은 $(X,\ge_X)$가 하향 원순서집합인 것이다.

7. $(X,\le_X)$가 하향 원순서집합이기 위한 필요충분조건은 $(X,\ge_X)$가 상향 원순서집합인 것이다.

증명

1.

부분순서집합의 정의로 $(X,\le_X)$는 원순서집합이다.

2.

임의의 $x,y\in X$에 대해

$\{ x,y\}$는 공집합이 아닌 유한집합이므로 전순서집합 정리로 $\underset{(X,\le_X)}{\min} \{ x,y\}, \underset{(X,\le_X)}{\max} \{ x,y\} \in X$가 존재하여

최소, 최대원소 정리로 $\underset{(X,\le_X)}{\min} \{ x,y\} \le_X x\le_X \underset{(X,\le_X)}{\max} \{ x,y\}$이고 $\underset{(X,\le_X)}{\min} \{ x,y\} \le_X y\le_X \underset{(X,\le_X)}{\max} \{ x,y\}$임에 따라

$(X,\le_X)$는 상향 원순서집합이고 하향 원순서집합이다.

3.

모든 $x \in X$에 대해 $x \le_X x$이기 위한 필요충분조건은 $x\ge_X x$인 것이고

임의의 $x,y,z\in X$가 $x \le_X y$이고 $y \le_X z$이기 위한 필요충분조건은 $y\ge_X x$이고 $z\ge_X y$인 것이고

$x \le_X z$이기 위한 필요충분조건은 $z\ge_X x$인 것이므로 

$(X,\le_X)$가 원순서집합이기 위한 필요충분조건은 $(X,\ge_X)$가 원순서집합인 것이다.

4.

임의의 $x,y\in X$에 대해 $x \le_X y$이고 $y \le_X x$이기 위한 필요충분조건은 $y\ge_X x$이고 $x\ge_X y$인 것이므로

1번과 3번으로 $(X,\le_X)$가 부분순서집합이기 위한 필요충분조건은 $(X,\ge_X)$가 부분순서집합인 것이다.

5.

임의의 $x,y\in X$에 대해 $x \le_X y$ 또는 $y \le_X x$이기 위한 필요충분조건은 $y\ge_X x$ 또는 $x\ge_X y$인 것이므로

4번으로 $(X,\le_X)$가 전순서집합이기 위한 필요충분조건은 $(X,\ge_X)$가 전순서집합인 것이다.

6.

모든 $x,y,z\in X$에 대해 $x\le_X z$이고 $y\le_X z$이기 위한 필요충분조건은 $z\ge_X x$이고 $z\ge_X y$인 것이므로

$(X,\le_X)$가 상향 원순서집합이기 위한 필요충분조건은 $(X,\ge_X)$가 하향 원순서집합인 것이다.

7.

모든 $x,y,z\in X$에 대해 $z\le_X x$이고 $z\le_X y$이기 위한 필요충분조건은 $x\ge_X z$이고 $y\ge_X z$인 것이므로

$(X,\le_X)$가 하향 원순서집합이기 위한 필요충분조건은 $(X,\ge_X)$가 상향 원순서집합인 것이다.

 

 

 

정리2

원순서집합 $(X,\le_X)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\le_X)$가 상향 원순서집합이기 위한 필요충분조건은

$A\ne \emptyset$인 모든 유한집합 $A\subseteq X$에 대해 어떤 $u\in X$가 존재하여 모든 $a\in A$에 대해 $a\le_X u$인 것이다.

2. $(X,\le_X)$가 하향 원순서집합이기 위한 필요충분조건은

$A\ne \emptyset$인 모든 유한집합 $A\subseteq X$에 대해 어떤 $w\in X$가 존재하여 모든 $a\in A$에 대해 $w\le_X a$인 것이다.

3. 모든 $Y\subseteq X$에 대해 $(Y,\le_X)$는 원순서집합이다.

4. $(X,\le_X)$가 상향 원순서집합일때

임의의 $x\in X$에 대해 $Y_x = \{ y\in X : x\le_X y\}$이면 $(Y_x,\le_X)$는 상향 원순서집합이다.

5. $(X,\le_X)$가 하향 원순서집합일때 

임의의 $x\in X$에 대해 $Y_x = \{ y\in X : y\le_X x\}$이면 $(Y_x,\le_X)$는 하향 원순서집합이다.

증명

1.

$A\ne \emptyset$인 모든 유한집합 $A\subseteq X$에 대해 어떤 $u\in X$가 존재하여 모든 $a\in A$에 대해 $a\le_X u$이면

임의의 $x,y\in X$에 대해 $\{ x,y\}$는 공집합이 아닌 유한집합이므로 어떤 $z\in X$가 존재하여

$x\le_X z$와 $y\le_X z$가 성립하고 $(X,\le_X)$가 원순서집합임에 따라 $(X,\le_X)$는 상향 원순서집합이다.

$(X,\le_X)$가 상향 원순서집합일때 임의의 유한집합 $A\subseteq X$의 원소개수가 $n\in \mathbb{Z}^+$이면

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 어떤 $u\in X$가 존재하여 모든 $a\in A$에 대해 $a\le_X u$임을 증명한다.

$n = 1$이면 어떤 $a_1 \in X$에 대해 $A = \{ a_1\}$이므로 모든 $a\in A$는 $a = a_1$이 되어 반사성으로 $a\le_X a_1$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 $A = \{ a_1,\cdots ,a_k,a_{k+1}\} \subseteq X$가 $k+1$개의 원소를 가지면

유한집합 정리로 $A \setminus \{ a_{k+1}\} \subseteq X$는 $k$개의 원소를 갖는 유한집합이므로

귀납가정으로 어떤 $b\in X$가 존재하여 모든 $a\in A \setminus \{ a_{k+1}\}$에 대해 $a\le_X b$이고

$b,a_{k+1}\in X$이므로 상향 원순서집합의 정의로 $b\le_X u$이고 $a_{k+1}\le_X u$인 $u\in X$가 존재함에 따라

임의의 $a\in A = (A\setminus \{ a_{k+1}\}) \cup \{ a_{k+1}\}$가

$a\in A \setminus \{ a_{k+1}\}$이면 $a\le_X b$와 $b\le_X u$가 성립하므로 추이성으로 $a\le_X u$이고

$a\in \{ a_{k+1}\}$이면 $a = a_{k+1}$이므로 $a\le_X u$이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립하여

공집합이 아닌 모든 유한집합 $A\subseteq X$에 대해 어떤 $u\in X$가 존재하여 모든 $a\in A$에 대해 $a\le_X u$이다.

2.

$A\ne \emptyset$인 모든 유한집합 $A\subseteq X$에 대해 어떤 $w\in X$가 존재하여 모든 $a\in A$에 대해 $w\le_X a$이면

임의의 $x,y\in X$에 대해 $\{ x,y\}$는 공집합이 아닌 유한집합이므로 어떤 $z\in X$가 존재하여

$z\le_X x$와 $z\le_X y$가 성립하고 $(X,\le_X)$가 원순서집합임에 따라 $(X,\le_X)$는 하향 원순서집합이다.

$(X,\le_X)$가 하향 원순서집합일때 임의의 유한집합 $A\subseteq X$의 원소개수가 $n\in \mathbb{Z}^+$이면

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 어떤 $w \in X$가 존재하여 모든 $a\in A$에 대해 $w\le_X a$임을 증명한다.

$n = 1$이면 어떤 $a_1 \in X$에 대해 $A = \{ a_1\}$이므로 모든 $a\in A$는 $a = a_1$이 되어 반사성으로 $a_1\le_X a$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 $A = \{ a_1,\cdots ,a_k,a_{k+1}\} \subseteq X$가 $k+1$개의 원소를 가지면

유한집합 정리로 $A \setminus \{ a_{k+1}\} \subseteq X$는 $k$개의 원소를 갖는 유한집합이므로

귀납가정으로 어떤 $b\in X$가 존재하여 모든 $a\in A \setminus \{ a_{k+1}\}$에 대해 $b\le_X a$이고

$b,a_{k+1}\in X$이므로 하향 원순서집합의 정의로 $w\le_X b$이고 $w\le_X a_{k+1}$인 $w\in X$가 존재함에 따라

임의의 $a\in A = (A\setminus \{ a_{k+1}\}) \cup \{ a_{k+1}\}$가

$a\in A \setminus \{ a_{k+1}\}$이면 $w\le_X b$와 $b\le_X a$가 성립하므로 추이성으로 $w\le_X a$이고

$a\in \{ a_{k+1}\}$이면 $a = a_{k+1}$이므로 $w\le_X a$이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립하여

공집합이 아닌 모든 유한집합 $A\subseteq X$에 대해 어떤 $w\in X$가 존재하여 모든 $a\in A$에 대해 $w\le_X a$이다.

3.

$Y \subseteq X$이므로 모든 $y \in Y$는 $y \in X$가 되어 $\le_X$에 대해 반사성, 추이성이 성립하고

$X$의 관계 $\le_X \; \subseteq X\times X$를 $\le_X \cap \; (Y \times Y)$로 나타내면 $\le_X$는 $Y$의 관계이므로 $(Y,\le_X)$는 원순서집합이다.

4.

$(X,\le_X)$는 원순서집합이고 $Y_x\subseteq X$이므로 3번으로 $(Y_x,\le_X)$는 원순서집합이다.

모든 $y_1,y_2\in Y_x$는 $x\le_X y_1$와 $x\le_X y_2$가 성립하고 $y_1,y_2\in X$이므로

$(X,\le_X)$가 상향 원순서집합임에 따라 $y_1\le_X y_3$이고 $y_2\le_X y_3$인 $y_3\in X$이 존재하여

추이성으로 $x\le_X y_3$이므로 $y_3\in Y_x$이고 $(Y_x,\le_X)$는 상향 원순서집합이다.

5.

$(X,\le_X)$는 원순서집합이고 $Y_x\subseteq X$이므로 3번으로 $(Y_x,\le_X)$는 원순서집합이다.

모든 $y_1,y_2\in Y_x$는 $y_1\le_X x$와 $y_2\le_X x$가 성립하고 $y_1,y_2\in X$이므로

$(X,\le_X)$가 하향 원순서집합임에 따라 $y_3\le_X y_1$이고 $y_3\le_X y_2$인 $y_3\in X$이 존재하여

추이성으로 $y_3\le_X x$이므로 $y_3\in Y_x$이고 $(Y_x,\le_X)$는 하향 원순서집합이다.

 

 

 

정의2

그물 :

상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$와 임의의 집합 $X$에 대해 함수 $\mathbf{X} : \Lambda \to X$를 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물로 정의한다.

모든 $\lambda \in \Lambda$에 대해 $\mathbf{X}(\lambda) = x_\lambda \in X$일때 $x_\lambda$를 그물의 항 또는 원소라고 하고 그물 $\mathbf{X}$를 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$형태로 표기한다.

증가 공종함수(increasing cofinal function) :

상향원순서집합이 $(M,\le_M),(\Lambda,\le_\Lambda)$일때 

모든 $\mu_1,\mu_2\in M$에 대해 $\mu_1\le_M \mu_2$이면 $\phi(\mu_1)\le_\Lambda \phi(\mu_2)$이고

모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $\lambda\le_\Lambda \phi(\mu)$인 $\mu\in M$가 존재하는

함수 $\phi : M\to \Lambda$를 $(M,\le_M)$에서 $(\Lambda,\le_\Lambda)$로의 증가 공종함수로 정의한다.

부분그물(subnet) :

상향원순서집합이 $(M,\le_M),(\Lambda,\le_\Lambda)$이고 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 임의의 집합 $X$의 그물이 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda} = \mathbf{X} : \Lambda\to X$일때

$(M,\le_M)$에서 $(\Lambda,\le_\Lambda)$로의 증가 공종함수 $\phi : M\to \Lambda$가

모든 $\mu\in M$에 대해 $\phi(\mu) = \lambda_\mu\in \Lambda$이면 원소가 $(\mathbf{X} $ $\circ$ $ \phi)(\mu)=\mathbf{X}(\phi(\mu)) =x_{\phi(\mu)} =x_{\lambda_\mu} \in X$인

$(M,\le_M)$에서 $X$의 그물 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M} = \mathbf{X}\circ \phi : M\to X$를 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물로 정의한다.

 

 

 

정리3

자연수집합 $\mathbb{N}$과 자연수부등식 $\le$과 임의의 $n_0\in \mathbb{N}$에 대해 $S = \{ n\in \mathbb{N}: n_0\le n\}$일때

임의의 집합 $X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$과 $\mathbb{Z}^+ = \{ k\in \mathbb{N} : 1\le k \}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(S,\le)$는 상향 원순서집합이다.

2. $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(S,\le)$에서 $X$의 그물 $(x_n)_{n=n_0}^\infty = (x_n)_{n\in S}$이다.

3. 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n_0\le n_k$이고 순증가하는 $\mathbb{Z}^+$의 수열 $(n_k)_{k=1}^\infty$는 $(\mathbb{Z}^+,\le)$에서 $(S,\le)$로의 증가 공종함수이다.

4. $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$는 $(x_n)_{n\in S}$의 부분그물 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty = (x_{n_k})_{k\in \mathbb{Z}^+}$이다.

증명

1.

자연수부등식의 정의와 자연수부등식 정리로 $(S,\le)$는 전순서집합이므로 위 정리로 $(S,\le)$는 상향 원순서집합이다.

2.

1번과 수열의 정의와 그물의 정의로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty = (x_n)_{n\in S}$이다.

3.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n_0\le n_k$이고 $n_k\in \mathbb{Z}^+\subseteq\mathbb{N}$이므로 $n_k\in S$가 되어 $(n_k)_{k=1}^\infty$는 $S$의 수열이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $k\le n_k$임을 귀납법으로 보인다.

$k= 1$이면 $n_1\in \mathbb{Z}^+$이므로 $1\le n_1$이다.

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $r\le n_r$이면 순증가의 정의로 $r\le n_r<n_{r+1}$이므로 자연수 정리로 $r+1\le n_{r+1}$이다.

따라서 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $k\le n_k$이고 순증가의 정의로 모든 $k,r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $k\le r$이면 $n_k \le n_r$이므로

수열의 정의로 $(n_k)_{k=1}^\infty$는 $(\mathbb{Z}^+,\le)$에서 $(S,\le)$로의 증가 공종함수이다.

4.

1번으로 $(\mathbb{Z}^+,\le),(S,\le)$는 상향 원순서집합이므로

3번과 부분수열의 정의와 부분그물의 정의로 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty = (x_{n_k})_{k\in \mathbb{Z}^+}$이다.

 

 

 

정의3

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물이 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$이고 임의의 점이 $x\in X$일때

위상공간에서 그물의 수렴(convergence) : 

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 어떤 $\lambda_V \in \Lambda$가 존재하여 $\lambda_V\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda \in \Lambda$가 $x_\lambda \in V$이면

$x$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 극한이라 정의하고 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다고 정의한다.

$(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 극한이 유일하게 존재할때 극한이 $x$이면 $\displaystyle \lim_{\lambda\in \Lambda}^{(X,\mathcal{T})}(x_\lambda) = x$로 표기한다.

$(X,\mathcal{T})$에서 그물의 극한이 존재하면 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴한다고 정의하고

$(X,\mathcal{T})$에서 극한이 존재하지 않으면 $(X,\mathcal{T})$에서 발산한다고 정의한다.

위상공간에서 그물의 집적점(cluster point) : 

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$와 모든 $\lambda_0\in \Lambda$에 대해 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda$이고 $x_\lambda\in V$인 $\lambda\in \Lambda$가 존재하면

$x$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점으로 정의한다.

 

 

 

정리4

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 임의의 $x\in X$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저가 $\mathcal{B}_x$이고

모든 $B_1,B_2\in \mathcal{B}_x$에 대해 $B_1\le_x B_2$이기 위한 필요충분조건은 $B_2\subseteq B_1$인 $\mathcal{B}_x$의 관계가 $\le_x$일때 다음이 성립한다.

1. $(\mathcal{B}_x,\le_x)$는 부분순서집합이고 상향 원순서집합이다.

2. 모든 $B\in \mathcal{B}_x$에 대해 $x_B\in B$인 $(\mathcal{B}_x,\le_x)$에서 $X$의 그물 $(x_B)_{B\in \mathcal{B}_x}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

증명

1.

모든 $B_1,B_2\in \mathcal{B}_x$에 대해 $B_1\le_x B_2$이기 위한 필요충분조건은 $B_2\subseteq B_1$인 것이고

$B_2\subseteq B_1$이기 위한 필요충분조건은 $B_1 \supseteq B_2$인 것이므로

위 정리와 집합 정리로 $(\mathcal{B}_x,\le_x)$는 부분순서집합이고 원순서집합이다.

임의의 $B_1,B_2 \in \mathcal{B}_x$는 국소기저의 정의로 $x\in B_1\in \mathcal{T}$이고 $x\in B_2\in \mathcal{T}$이므로

위상공간의 정의로 $x\in B_1\cap B_2\in \mathcal{T}$가 되어 국소기저의 정의로 $B_3\subseteq B_1\cap B_2$인 $B_3\in \mathcal{B}_x$가 존재함에 따라

$B_3\subseteq B_1\cap B_2 \subseteq B_1$이고 $B_3\subseteq B_1\cap B_2 \subseteq B_2$이므로 $B_1\le_xB_3$과 $B_2\le_xB_3$이 성립하여

$(\mathcal{B}_x,\le_x)$는 상향 원순서집합이다.

2.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 국소기저의 정의로 $B_V\subseteq V$인 $B_V\in \mathcal{B}_x$가 존재하여

$B_V \le_x B$인 모든 $B\in \mathcal{B}_x$에 대해 $x_B\in B\subseteq B_V \subseteq V$이므로 $(x_B)_{B\in \mathcal{B}_x}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리5

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 원순서집합이 $(X_1,\le_1),(X_2,\le_2),\cdots ,(X_n,\le_n)$일때

$n$-데카르트곱 $X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$의 관계 $\le_X$가 모든 $(x_1,x_2,\cdots,x_n),(y_1,y_2,\cdots,y_n)\in X$에 대해

$(x_1,x_2,\cdots,x_n)\le_X (y_1,y_2,\cdots,y_n)$이기 위한 필요충분조건이 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $x_i\le_i y_i$인 것이면

다음이 성립한다.

1. $(X,\le_X)$는 원순서집합이다.

2. 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $(X_i,\le_i)$가 상향 원순서집합이면 $(X,\le_X)$는 상향 원순서집합이다.

3. $(X,\le_X)$가 상향 원순서집합일때

임의의 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $(X_i,\le_i)$가 상향 원순서집합이고 $i\ne j$인 모든 $j=1,2,\cdots, n$에 대해 $X_j \ne \emptyset$이면

$\phi_i(x_1,x_2,\cdots,x_n) = x_i$인 함수 $\phi_i:X\to X_i$는 $(X,\le_X)$에서 $(X_i,\le_i)$로의 증가 공종함수이다.

증명

1.

모든 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in X$과 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

반사성으로 $x_i\le_i x_i$이므로 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\le_X (x_1,x_2,\cdots,x_n)$이다.

모든 $(x_1,x_2,\cdots,x_n),(y_1,y_2,\cdots,y_n),(z_1,z_2,\cdots,z_n)\in X$에 대해

$(x_1,x_2,\cdots,x_n)\le_X (y_1,y_2,\cdots,y_n)$이고 $(y_1,y_2,\cdots,y_n)\le_X(z_1,z_2,\cdots,z_n)$이면

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $x_i\le_iy_i$이고 $y_i\le_i z_i$이므로 추이성으로 $x_i\le_iz_i$가 되어

$(x_1,x_2,\cdots,x_n)\le_X (z_1,z_2,\cdots,z_n)$임에 따라 $(X,\le_X)$는 원순서집합이다.

2.

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $(X_i,\le_i)$는 상향 원순서집합이므로

모든 $(x_1,x_2,\cdots,x_n),(y_1,y_2,\cdots,y_n)\in X$에 대해 $x_i\le_i z_i$와 $y_i\le_i z_i$가 성립하는 $z_i\in X_i$가 존재하여

$(z_1,z_2,\cdots,z_n)\in X$에 대해 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\le_X (z_1,z_2,\cdots,z_n)$이고 $(y_1,y_2,\cdots,y_n)\le_X(z_1,z_2,\cdots,z_n)$이므로

$(X,\le_X)$는 상향 원순서집합이다.

3.

모든 $(x_1,x_2,\cdots,x_n),(y_1,y_2,\cdots,y_n)\in X$에 대해 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\le_X (y_1,y_2,\cdots,y_n)$이면

$\phi_i(x_1,x_2,\cdots,x_n) =x_i\le_i y_i = \phi_i(y_1,y_2,\cdots,y_n)$이고

$i\ne j$인 모든 $j=1,2,\cdots, n$에 대해 $X_j \ne \emptyset$이므로 $z_j \in X_j$가 존재하여

$(X_i,\le_i)$가 상향 원순서집합임에 따라 모든 $x_i\in X_i$에 대해 $x_i\le_i y_i$인 $y_i\in X_i$가 존재하고

$(z_1,\cdots,z_{i-1},y_i,z_{i+1},\cdots,z_n)\in X$에 대해 $x_i\le_iy_i=\phi_i(z_1,\cdots,z_{i-1},y_i,z_{i+1},\cdots,z_n)$이므로

$\phi_i$는 $(X,\le_X)$에서 $(X_i,\le_i)$로의 증가 공종함수이다.

 

 

 

정리6

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 집합 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이다.

2. 임의의 상향 원순서집합 $(M,\le_M)$에 대해

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu \in M}$이면 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu \in M}$의 모든 부분그물은 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이다.

3. 임의의 $\lambda_0\in \Lambda$에 대해

$\Lambda_0 = \{ \lambda\in \Lambda : \lambda_0\le_\Lambda \lambda\}$인 상향 원순서집합 $(\Lambda_0,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda_0}$는 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이다.

증명

1.

$(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물이 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda} = \mathbf{X}:\Lambda\to X$일때

위 정리로 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $\phi(\lambda) = \lambda$인 함수 $\phi: \Lambda\to \Lambda$는 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $(\Lambda,\le_\Lambda)$로의 증가 공종함수이고

모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $\mathbf{X}(\lambda) = \mathbf{X}(\phi(\lambda)) = (\mathbf{X}\circ \phi)(\lambda)$이므로

함수의 상등으로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda} = \mathbf{X} =\mathbf{X}\circ \phi  = (x_{\phi(\lambda)})_{\lambda\in \Lambda}$는 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이다.

2.

$(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물이 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda} = \mathbf{X}:\Lambda\to X$일때

$ (x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물인 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu \in M}$는 $(M,\le_M)$에서 $X$의 그물이고 

모든 $\mu\in M$가 $\phi(\mu) = \lambda_\mu$인 $(M,\le_M)$에서 $(\Lambda,\le_\Lambda)$로의 증가 공종함수 $\phi :M\to \Lambda$에 대해 

$(x_{\lambda_\mu})_{\mu \in M} = \mathbf{X}\circ \phi : M\to X$이므로

임의의 상향 원순서집합 $(N,\le_N)$에 대해 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu \in M}$의 부분그물이 $(x_{\lambda_{\mu_\nu}})_{\nu\in N}$이면

$(x_{\lambda_{\mu_\nu}})_{\nu\in N}$는 $(N,\le_N)$에서 $X$의 그물이고

모든 $\nu\in N$가 $\psi(\nu) = \mu_\nu$인 $(N,\le_N)$에서 $(M,\le_M)$로의 증가 공종함수 $\psi :N\to M$에 대해

$(x_{\lambda_{\mu_\nu}})_{\nu \in N} = (\mathbf{X}\circ \phi) \circ \psi : N\to X$이다.

합성함수 $\phi \circ \psi : N\to \Lambda$는 증가 공종함수의 정의로 모든 $\nu_1,\nu_2\in N$에 대해 $\nu_1\le_N\nu_2$이면

$\psi(\nu_1)\le_M \psi(\nu_2)$이므로 $(\phi\circ \psi)(\nu_1)=\phi(\psi(\nu_1)) \le_\Lambda \phi(\psi(\nu_2)) = (\phi \circ \psi)(\nu_2)$이고

모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $\lambda \le_\Lambda \phi(\mu)$인 $\mu\in M$가 존재하여 $\mu\le_M \psi(\nu)$인 $\nu\in N$가 존재하므로

$\phi(\mu)\le_\Lambda \phi(\psi(\nu)) = (\phi\circ \psi)(\nu)$임에 따라 $\lambda \le_\Lambda (\phi\circ \psi)(\nu)$이고

$\phi \circ \psi$는 $(N,\le_N)$에서 $(\Lambda,\le_\Lambda)$로의 증가 공종함수가 되어

함수 정리로 $(x_{\lambda_{\mu_\nu}})_{\nu \in N} = (\mathbf{X}\circ \phi) \circ \psi = \mathbf{X}\circ (\phi \circ \psi)$는 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이다.

3.

위 정리로 $(\Lambda_0,\le_\Lambda)$는 상향 원순서집합이고 모든 $\lambda\in \Lambda_0$에 대해 $\phi(\lambda) = \lambda $인 함수 $\phi:\Lambda_0\to \Lambda$는 

모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda_0\subseteq \Lambda$에 대해 $\lambda_1\le_\Lambda \lambda_2$이면 $\phi(\lambda_1)=\lambda_1\le_\Lambda \lambda_2 = \phi(\lambda_2)$이고 

모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 상향 원순서집합의 정의로 $\lambda_0\le_\Lambda \mu$와 $\lambda\le_\Lambda\mu $가 성립하는 $\mu \in \Lambda$가 존재하여

$\mu\in \Lambda_0$이고 $\lambda\le_\Lambda\mu =\phi(\mu)$이므로 $\phi$는 $(\Lambda_0,\le_\Lambda)$에서 $(\Lambda,\le_\Lambda)$로의 증가 공종함수가 되어

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda_0} = (x_{\phi(\lambda)})_{\lambda\in \Lambda_0}$는 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이다.

 

 

 

정리7

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$와 임의의 $x\in X$에 대해 다음이 성립한다.

1. 어떤 $\lambda_0\in \Lambda$이 존재하여 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda \in \Lambda$에 대해 $x_\lambda = x$이면 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

2. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면 $\Lambda\ne \emptyset$이고 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이다.

3. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하기 위한 필요충분조건은

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 모든 부분그물이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 것이다.

4. $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이기 위한 필요충분조건은

모든 $\lambda_0\in \Lambda$에 대해 $x\in $ $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}$$(\{ x_\lambda:\lambda_0\le_\Lambda \lambda\})$인 것이다.

증명

1.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 $x\in V$이므로

$\lambda_0\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $x_\lambda = x\in V$가 되어 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

2.

$x\in X$이므로 위상공간 정리로 $X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방임에 따라 

수렴의 정의로 어떤 $\lambda_X\in \Lambda$가 존재하여 $\lambda_X\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda \in \Lambda$가 $x_\lambda \in V$이고 $\Lambda\ne \emptyset$이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$와 모든 $\lambda_0\in \Lambda$에 대해

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하므로 $\lambda_V\le_\Lambda\lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$가 $x_\lambda\in V$가 되는 $\lambda_V\in \Lambda$가 존재하고

$(\Lambda,\le_\Lambda)$가 상향 원순서집합임에 따라 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda$이고 $\lambda_V\le_\Lambda\lambda $인 $\lambda \in \Lambda$가 존재하여

$x_\lambda\in V$이므로 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이다.

3.

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면

임의의 상향 원순서집합 $(M,\le_M)$에 대해 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$일때

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하므로 $\lambda_V\le_\Lambda\lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$가 $x_\lambda\in V$가 되는 $\lambda_V\in \Lambda$가 존재하고

부분그물의 정의로 $\lambda_V\le_\Lambda \lambda_{\mu_V}$인 $\mu_V\in M$가 존재하여 $\mu_V\le_M \mu$인 모든 $\mu\in M$에 대해

$\lambda_{\mu_V}\le_\Lambda \lambda_\mu$임에 따라 $\lambda_V\le_\Lambda \lambda_\mu$이므로 $x_{\lambda_\mu}\in V$이고 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

역으로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 모든 부분그물이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면

위 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이므로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

4.

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이면

임의의 $\lambda_0\in \Lambda$과 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda$인 $\lambda\in \Lambda$가 존재하여 $x_\lambda\in V$이므로

$V\cap \{ x_\lambda : \lambda_0\le_\Lambda \lambda \} \ne \emptyset$이 되어 폐포의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{ x_\lambda: \lambda_0\le_\Lambda \lambda\})$이다.

역으로 모든 $\lambda_0\in \Lambda$에 대해 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{ x_\lambda: \lambda_0\le_\Lambda \lambda\})$이면

폐포의 정의로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V\cap \{ x_\lambda : \lambda_0\le_\Lambda \lambda \} \ne \emptyset$이므로

$x_\lambda\in V$이고 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda$인 $\lambda\in \Lambda$가 존재하여 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이다.

 

 

 

정리8

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

$\Lambda\ne \emptyset$인 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$와 임의의 $x\in X$에 대해 다음은 동치이다.

1. $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이다.

2. $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이 존재한다.

3. $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 어떤 부분그물의 집적점이다.

증명

$1\to 2$

분류 공리로 $M = \{ (\lambda, U) \in \Lambda\times \mathcal{T} : x, x_\lambda\in U \}$이 존재하여 $M$의 관계 $\le_M$이

모든 $(\lambda_1,U_1),(\lambda_2,U_2)\in M$에 대해

$(\lambda_1,U_1)\le_M (\lambda_2,U_2)$이기 위한 필요충분조건이 $\lambda_1\le_\Lambda\lambda_2$이고 $U_2\subseteq U_1$인 것이면

모든 $(\lambda,U)\in M$에 대해 $\lambda\le_\Lambda\lambda$이고 $U\subseteq U$이므로 $(\lambda,U)\le_M (\lambda,U)$이다.

모든 $(\lambda_1,U_1),(\lambda_2,U_2),(\lambda_3,U_3)\in M$에 대해 $(\lambda_1,U_1)\le_M (\lambda_2,U_2)$이고 $(\lambda_2,U_2)\le_M (\lambda_3,U_3)$이면

$\lambda_1\le_\Lambda \lambda_2$와 $\lambda_2\le_\Lambda \lambda_3$이 성립하여 $\lambda_1\le_\Lambda \lambda_3$이고

$U_2\subseteq U_1$과 $U_3\subseteq U_2$가 성립하므로 $U_3\subseteq U_1$이 되어 $(\lambda_1,U_1)\le_M (\lambda_3,U_3)$임에 따라 $(M,\le_M)$은 원순서집합이다.

모든 $(\lambda_1,U_1),(\lambda_2,U_2)\in M$에 대해

$x\in U_1\in \mathcal{T}$이고 $x\in U_2\in \mathcal{T}$이므로 위상공간의 정의로 $U_1\cap U_2$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고

$\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$이므로 상향 원순서집합의 정의로 $\lambda_1\le_\Lambda \lambda$이고 $\lambda_2\le_\Lambda \lambda$인 $\lambda\in \Lambda$가 존재하여

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점임에 따라 $\lambda\le_\Lambda \lambda_3$이고 $x_{\lambda_3}\in U_1\cap U_2$인 $\lambda_3\in \Lambda$이 존재한다.

$\lambda_1\le_\Lambda \lambda_3$과 $\lambda_2\le_\Lambda \lambda_3$이 성립하고 $U_1\cap U_2\subseteq U_1$과 $U_1\cap U_2\subseteq U_2$가 성립하여 

$(\lambda_3,U_1\cap U_2)\in M$에 대해 $(\lambda_1,U_1)\le_M (\lambda_3,U_1\cap U_2)$이고 $(\lambda_2,U_2)\le_M (\lambda_3,U_1\cap U_2)$이므로

$(M,\le_M)$은 상향 원순서집합이다.

모든 $(\lambda,U)\in M$에 대해 $\phi(\lambda,U) = \lambda$인 함수 $\phi : M\to \Lambda$는 

모든 $(\lambda_1,U_1),(\lambda_2,U_2)\in M$에 대해 $(\lambda_1,U_1)\le_M (\lambda_2,U_2)$이면 $\phi(\lambda_1,U_1) = \lambda_1 \le_\Lambda \lambda_2 = \phi(\lambda_2,U_2)$이고

모든 $\lambda \in \Lambda$에 대해 $x,x_\lambda \in X\in \mathcal{T}$이므로 $(\lambda,X)\in M$가 되어 $\lambda \le_\Lambda \lambda = \phi(\lambda,X)$임에 따라

$\phi$는 $(M,\le_M)$에서 $(\Lambda,\le_\Lambda)$로의 증가 공종함수이고 $(x_{\phi(\lambda,U)})_{(\lambda,U)\in M}$는 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 $x\in V\in \mathcal{T}$이고 $\Lambda\ne \emptyset$임에 따라 $\lambda_0\in \Lambda$이 존재하여

집적점의 정의로 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda_V$이고 $x_{\lambda_V}\in V$인 $\lambda_V\in \Lambda$가 존재하므로 $(\lambda_V,V)\in M$이고

$(\lambda_V,V)\le_M (\lambda,U)$인 모든 $(\lambda,U)\in M$에 대해 $x_{\phi(\lambda,U)}=x_\lambda\in U\subseteq V$임에 따라 

$(x_{\phi(\lambda,U)})_{(\lambda,U)\in M}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

$2\to 3$

어떤 상향 원순서집합 $(M,\le_M)$이 존재하여 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면

위 정리로 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$의 집적점이다.

$3\to 1$

어떤 상향 원순서집합 $(M,\le_M)$이 존재하여 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 어떤 부분그물 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$에 대해 

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$의 집적점이면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$와 모든 $\lambda_0\in \Lambda$에 대해 

부분그물의 정의로 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda_{\mu_0}$인 $\mu_0 \in M$이 존재하고

집적점의 정의로 $\mu_0\le_M \mu$이고 $x_{\lambda_\mu}\in V$인 $\mu\in M$가 존재하므로 

부분그물의 정의로 $\lambda_\mu\in \Lambda$이고 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda_{\mu_0}\le_\Lambda \lambda_\mu$임에 따라 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이다.

 

 

 

정리9

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $x\in X$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 밀착점이기 위한 필요충분조건은 

$(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 어떤 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $E$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$가 존재하는 것이다.

2. $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 집적점이기 위한 필요충분조건은

$(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 어떤 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $E\setminus \{x\}$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$가 존재하는 것이다.

증명

1.

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 밀착점이면

기저 정리와 국소기저 정리로 $\mathcal{B}_x =\{ O\in \mathcal{T} :x\in O \}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이고

모든 $B\in \mathcal{B}_x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로 밀착점의 정의로 $B\cap E\ne \emptyset$이 되어

선택 정리로 $x_B\in B\cap E \subseteq B \subseteq X$를 선택하면

위 정리로 상향 원순서집합 $(\mathcal{B}_x,\le_x)$에서 $X$의 그물 $(x_B)_{B\in \mathcal{B}_x}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하고

모든 $B\in \mathcal{B}_x$에 대해 $x_B\in B\cap E\subseteq E$이므로 $(x_B)_{B\in \mathcal{B}_x}$는 $(\mathcal{B}_x,\le_x)$에서 $E$의 그물이다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 어떤 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $E$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 존재하면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $\lambda_V\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$가 $x_\lambda\in V$인 $\lambda_V\in \Lambda$가 존재하므로

그물의 정의로 $x_\lambda\in E$임에 따라 $x_\lambda \in V\cap E$가 되어 $V\cap E \ne \emptyset$이고 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 밀착점이다.

2.

위상공간 정리와 1번으로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리10

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은

$(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 모든 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $E$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 모든 극한 $x\in X$가 $x\in E$인 것이다.

증명

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합일때

$(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in X\setminus E$로 수렴하는 어떤 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $E$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 존재하면

$X\setminus E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$가 $x_\lambda\in X\setminus E$가 되는 $\lambda_0\in \Lambda$이 존재함에 따라

$x_\lambda\notin E$인데 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $E$의 그물이므로 $x_\lambda\in E$가 되어 모순이다.

따라서 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면

$(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 모든 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $E$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 모든 극한 $x\in X$는 $x\in E$이다.

역으로 조건을 만족하면 모든 $x \in \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$에 대해 도집합의 정의와 위 정리로

$(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 어떤 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $E\setminus \{x\}$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 존재하고

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $E$의 그물임에 따라 $x\in E$가 되어 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'} \subseteq E$이므로

위상공간 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

 

 

 

정리11

위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$이고 임의의 점이 $c\in X$이고 임의의 함수가 $f:X\to Y$일때 다음이 성립한다.

1. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이기 위한 필요충분조건은

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$로 수렴하는 모든 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$에 대해

$(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$로 수렴하는 것이다.

2. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속일때

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$와 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$에 대해

$c$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이면 $f(c)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(f(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이다.

증명

1.

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이면

연속 정리로 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$에 대해 $f(U)\subseteq V$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재하므로

수렴의 정의로 $\lambda_U\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $x_\lambda\in U$가 되는 $\lambda_U\in \Lambda$가 존재하여

상의 정의로 $f(x_\lambda)\in f(U)\subseteq V$임에 따라 $(f(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$로 수렴한다.

역은 대우로 증명한다.

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이 아니라고 가정하면

어떤 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V_0$에 대해 모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$의 어떤 $x\in U$가 $f(x)\notin V_0$이고

기저 정리와 국소기저 정리로 $\mathcal{B}_c =\{ O\in \mathcal{T}_X :c\in O \}$는 $c$에 대한 $(X,\mathcal{T}_X)$의 국소기저이다.

국소기저의 정의로 모든 $B\in \mathcal{B}_c$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방이므로

선택 정리로 $x_B\in B$이고 $f(x_B)\notin V_0$인 $x_B$를 선택하면 

위 정리로 상향 원순서집합 $(\mathcal{B}_x,\le_x)$에서 $X$의 그물 $(x_B)_{B\in \mathcal{B}_x}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $c$로 수렴하는데

$f(x_B)\notin V_0$이므로 $(\mathcal{B}_x,\le_x)$에서 $Y$의 그물 $(f(x_B))_{B\in \mathcal{B}_x}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$로 수렴하지 않는다.

2.

모든 $\lambda_0\in \Lambda$과 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$에 대해

연속 정리로 $f(U)\subseteq V$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재하여

$c$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점임에 따라 $\lambda_0 \le_\Lambda \lambda $이고 $x_\lambda\in U$인 $\lambda\in \Lambda$가 존재하므로

$f(x_\lambda) \in f(U)\subseteq V$가 되어 $f(c)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(f(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이다.

 

 

 

정리12

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때

일반 데카르트곱 $X = \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i:X\to X_i$이고 $\{(X_i,\mathcal{T}_i):i\in I \}$의 곱공간이 $(X,\mathcal{T})$이면

임의의 $x \in X$와 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하기 위한 필요충분조건은

모든 $i\in I$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X_i$의 그물 $(p_i(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $p_i(x)$로 수렴하는 것이다.

2. $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이면 모든 $i\in I$에 대해 $p_i(x)$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $(p_i(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이다.

증명

1.

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면

모든 $i\in I$에 대해 곱공간 정리로 $p_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이므로

위 정리로 $(p_i(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $p_i(x)$로 수렴한다.

역으로 모든 $i\in I$에 대해 $(p_i(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $p_i(x)$로 수렴할때

곱공간 정리로 $\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ p_i^{-1}(O_i):O_i\in \mathcal{T}_i\}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이므로

$\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots, S_n)\in \mathcal{S}^n \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 기저의 정의로 $V\in \mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{O}:\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\}$이므로

$V =\displaystyle \bigcup \mathcal{O}$인 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하고 $x\in V$임에 따라 $x\in B$인 $B\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하여

$B = S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n$인 $n\in \mathbb{Z}^+$과 $S_1,S_2,\cdots, S_n\in \mathcal{S}$이 존재하고

모든 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해 $S_k= p_{i_k}^{-1}(O_{i_k})$인 $i_k\in I$와 $O_{i_k}\in \mathcal{T}_{i_k}$가 존재한다.

$x\in B = S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n = p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})$이므로

모든 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해 $x\in p_{i_k}^{-1}(O_{i_k})$가 되어 $p_{i_k}(x) \in O_{i_k}$이고

$O_{i_k}$는 $(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})$에서 $p_{i_k}(x)$의 열린근방이므로 $(p_{i_k}(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})$에서 $p_{i_k}(x)$로 수렴함에 따라

$\lambda_k \le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$가 $p_{i_k}(x_\lambda)\in O_{i_k}$인 $\lambda_k\in \Lambda$가 존재한다.

$\{ \lambda_1,\lambda_2,\cdots, \lambda_n\}\subseteq \Lambda$은 공집합이 아닌 유한집합이므로

위 정리로 모든 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해 $\lambda_k \le_\Lambda \lambda_V$인 $\lambda_V\in \Lambda$가 존재하여

$\lambda_k \le_\Lambda \lambda_V \le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$는 $p_{i_k}(x_\lambda)\in O_{i_k}$이고 $x_\lambda \in p_{i_k}^{-1}(O_{i_k})$임에 따라

$x_\lambda \in p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) = B \subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O} = V$이므로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

2.

모든 $i\in I$에 대해 곱공간 정리로 $p_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이므로

위 정리로 $p_i(x)$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $(p_i(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이다.

 

 

 

정의4

상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 임의의 집합 $X$의 그물이 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$일때

모든 $E\subseteq X$에 대해 어떤 $\lambda_E\in \Lambda$가 존재하여

$\lambda_E \le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $x_\lambda\in E$이거나 $\lambda_E \le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $x_\lambda\in X\setminus E$이면

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$를 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 초그물(ultranet)로 정의한다.

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 초그물이기 위한 필요충분조건은

모든 $E\subseteq X$에 대해 어떤 $\lambda_E\in \Lambda$가 존재하여 $\{ x_{\lambda} : \lambda_E\le_\Lambda \lambda\} \subseteq E$ 또는 $\{ x_{\lambda} : \lambda_E\le_\Lambda \lambda\} \subseteq X\setminus E$인 것이다.

 

 

 

정리13

상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 임의의 집합 $X$의 그물이 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$일때 임의의 $x\in X$에 대해

어떤 $\lambda_0\in \Lambda$이 존재하여 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda \in \Lambda$가 $x_\lambda = x$이면 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 초그물이다.

증명

$\lambda_0\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda \in \Lambda$와 모든 $E\subseteq X$에 대해

$x\in E$이면 $x_\lambda= x\in E$이고 $x\notin E$이면 $x_\lambda= x\in X\setminus E$이므로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 초그물이다.

 

 

 

정리14

상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 임의의 집합 $X$의 초그물이 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$일때 다음이 성립한다.

1. $\Lambda\ne \emptyset$이고 $X\ne \emptyset$이다.

2. 임의의 상향원순서집합 $(M,\le_M)$에 대해 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 모든 부분그물 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$는 $(M,\le_M)$에서 $X$의 초그물이다.

3. 모든 집합 $Y$와 모든 함수 $f:X\to Y$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 초그물이다.

증명

1.

$X\subseteq X$이므로 초그물의 정의로 어떤 $\lambda_X \in \Lambda$가 존재하여 $\Lambda\ne \emptyset$이고

$\{ x_{\lambda} : \lambda_X \le_\Lambda \lambda\} \subseteq X$ 또는 $\{ x_{\lambda} : \lambda_X\le_\Lambda \lambda\} \subseteq X\setminus X = \emptyset$인데 

$\{ x_{\lambda} : \lambda_X\le_\Lambda \lambda\} \subseteq X\setminus X = \emptyset$이라고 가정하면 $x_{\lambda_X}\in \{ x_{\lambda} : \lambda_X\le_\Lambda \lambda\} \subseteq X\setminus X = \emptyset$가 되어 모순임에 따라

$x_{\lambda_X}\in \{ x_{\lambda} : \lambda_X \le_\Lambda \lambda\} \subseteq X$이므로 $X\ne \emptyset$이다.

2.

초그물의 정의로 모든 $E\subseteq X$에 대해

어떤 $\lambda_E \in \Lambda$가 존재하여 $\{ x_{\lambda} : \lambda_E\le_\Lambda \lambda\} \subseteq E$ 또는 $\{ x_{\lambda} : \lambda_E\le_\Lambda \lambda\} \subseteq X\setminus E$이고

부분그물의 정의로 $\lambda_E\le_\Lambda \lambda_{\mu_E}$인 $\mu_E\in M$이 존재하므로 $\mu_E\le_M\mu$인 모든 $\mu\in M$는 $\lambda_E\le_\Lambda \lambda_{\mu_E} \le_\Lambda \lambda_\mu$임에 따라

$\{x_{\lambda_\mu} : \mu_E\le_M\mu \}\subseteq \{ x_{\lambda} : \lambda_E\le_\Lambda \lambda\} \subseteq E$ 또는 $\{ x_{\lambda_\mu} : \mu_E\le_M \mu\}\subseteq \{ x_{\lambda} : \lambda_E\le_\Lambda \lambda\} \subseteq X\setminus E$가 되어

$(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$는 $(M,\le_M)$에서 $X$의 초그물이다.

3.

모든 $F\subseteq Y$에 대해

역상의 정의로 $f^{-1}(F)\subseteq X$이고 함수 정리로 $X\setminus f^{-1}(F) = f^{-1}(Y )\setminus f^{-1}(F) = f^{-1}(Y\setminus F)$이므로

초그물의 정의로 어떤 $\lambda_F \in \Lambda$가 존재하여

$\{ x_{\lambda} : \lambda_F\le_\Lambda \lambda\} \subseteq f^{-1}(F)$ 또는 $\{ x_{\lambda} : \lambda_F\le_\Lambda \lambda\} \subseteq X\setminus f^{-1}(F) = f^{-1}(Y\setminus F)$이고

$\lambda_F\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $f(x_\lambda)\in f(\{ x_\lambda : \lambda_F\le_\Lambda \lambda\})$이므로 함수 정리로

$\{ f(x_\lambda) : \lambda_F\le_\Lambda \lambda\}\subseteq f(\{ x_{\lambda} : \lambda_F\le_\Lambda \lambda\}) \subseteq f(f^{-1}(F)) \subseteq F$ 또는 

$\{ f(x_\lambda) : \lambda_F \le_\Lambda\lambda \}\subseteq f(\{ x_{\lambda} : \lambda_F\le_\Lambda \lambda\}) \subseteq f(f^{-1}(Y\setminus F)) \subseteq Y\setminus F$임에 따라

$(f(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 초그물이다.

 

 

 

정리15

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 초그물이 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$일때

임의의 $x\in X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이면 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

증명

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 $V\in \mathcal{T}$이므로 위상공간의 정의로 $V\subseteq X$임에 따라

초그물의 정의로 어떤 $\lambda_V \in \Lambda$가 존재하여 $\{ x_{\lambda} : \lambda_V\le_\Lambda \lambda\} \subseteq V$ 또는 $\{ x_{\lambda} : \lambda_V\le_\Lambda \lambda\} \subseteq X\setminus V$인데

$\{ x_{\lambda} : \lambda_V\le_\Lambda \lambda\} \subseteq X\setminus V$라고 가정하면 

집적점의 정의로 $x_\lambda\in V$이고 $\lambda_V\le_\Lambda \lambda$인 $\lambda\in \Lambda$가 존재하여 $x_\lambda \in X\setminus V$이므로 모순이다.

따라서 $\{ x_{\lambda} : \lambda_V\le_\Lambda \lambda\} \subseteq V$가 되어

$\lambda_V\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $x_\lambda\in V$이므로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정의5

상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 임의의 집합 $X$의 그물이 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$이고 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때

임의의 $\lambda_0\in \Lambda$에 대해 $B_{\lambda_0} = \{ x_\lambda : \lambda_0 \le_\Lambda \lambda \}$이면 $\mathcal{B} = \{ B_\lambda :  \lambda\in \Lambda \}$에 대해

$\mathcal{F} = \{ F\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 }B\in \mathcal{B} \text{에 대해 } B\subseteq F\}$를 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 생성필터(filter generated by net)로 정의한다.

 

 

 

정리16

상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 임의의 집합 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 생성필터 $\mathcal{F}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{F}$는 $X$의 필터이고 임의의 $\lambda_0\in \Lambda$에 대해 $B_{\lambda_0} = \{ x_\lambda : \lambda_0 \le_\Lambda \lambda \}$일때 $\mathcal{B} = \{ B_\lambda :  \lambda\in \Lambda \}$는 $\mathcal{F}$의 기저이다.

2. $\Lambda \ne \emptyset$이기 위한 필요충분조건은 $\mathcal{F} \ne \emptyset$인 것이다.

3. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $X$의 초그물이기 위한 필요충분조건은 $\mathcal{F}$가 $X$의 초필터인 것이다.

4. 임의의 상향 원순서집합 $(M,\le_M)$에 대해 모든 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu \in M}$의 생성필터 $\mathcal{G}$는 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이다.

5. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $\mathcal{F}$의 기저그물 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$의 부분그물이다.

증명

1.

$X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 임의의 $B\in \mathcal{B}$는 $B = B_{\lambda_0}$인 $\lambda_0\in \Lambda$이 존재하여 

$\lambda_0\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $x_\lambda\in X$임에 따라 $B = B_{\lambda_0}\subseteq X$이므로 $B\in \mathcal{P}(X)$가 되어 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$이고

반사성으로 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda_0$이므로 $x_{\lambda_0}\in B_{\lambda_0} = B$이 되어 $B\ne \emptyset$임에 따라 $\emptyset\notin \mathcal{B}$이다.

임의의 $B_1,B_2 \in \mathcal{B}$는 $B_1 = B_{\lambda_1}$이고 $B_2 =B_{\lambda_2}$인 $\lambda_1, \lambda_2\in \Lambda$가 존재하여 

상향 원순서집합의 정의로 $\lambda_1\le_\Lambda \lambda_0$이고 $\lambda_2\le_\Lambda\lambda_0$인 $\lambda_0\in \Lambda$이 존재하므로

$\lambda_0\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$는 $\lambda_1\le_\Lambda \lambda_0\le_\Lambda \lambda$이고 $\lambda_2\le_\Lambda\lambda_0\le_\Lambda\lambda$임에 따라 $x_\lambda\in B_{\lambda_1}\cap B_{\lambda_2}$이고 

$B_{\lambda_0}\in \mathcal{B}$에 대해 $B_{\lambda_0} \subseteq B_{\lambda_1}\cap B_{\lambda_2} = B_1\cap B_2$이므로

생성필터의 정의와 필터 정리로 $\mathcal{F}$는 $X$의 필터이고 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{F}$의 기저이다.

2.

$\Lambda \ne \emptyset$이면 $\lambda\in \Lambda$가 존재하여 필터의 기저의 정의로 $B_\lambda\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$이므로 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이다. 

역으로 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이면 $F\in \mathcal{F}$가 존재하여 $B\subseteq F$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하고 $B = B_\lambda$인 $\lambda\in \Lambda$가 존재함에 따라 $\Lambda\ne \emptyset$이다.

3.

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $X$의 초그물이면 모든 $E\subseteq X$에 대해

어떤 $\lambda_E\in \Lambda$가 존재하여 $B_{\lambda_E}=\{ x_{\lambda} : \lambda_E\le_\Lambda \lambda\} \subseteq E$ 또는 $B_{\lambda_E}=\{ x_{\lambda} : \lambda_E\le_\Lambda \lambda\} \subseteq X\setminus E$이므로

$E\subseteq X$이고 $X\setminus E\subseteq X$임에 따라 생성필터의 정의로 $E\in \mathcal{F}$ 또는 $X\setminus E\in \mathcal{F}$가 되어 $\mathcal{F}$는 $X$의 초필터이다.

역으로 $\mathcal{F}$가 $X$의 초필터이면 모든 $E\subseteq X$에 대해

$E\in \mathcal{F}$ 또는 $X\setminus E\in \mathcal{F}$이므로 $B\subseteq E$ 또는 $B\subseteq X\setminus E$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $B = B_{\lambda_E}$인 $\lambda_E\in \Lambda$가 존재하고

$\{ x_{\lambda} : \lambda_E\le_\Lambda \lambda\} =B_{\lambda_E} = B \subseteq E$ 또는 $\{ x_{\lambda} : \lambda_E\le_\Lambda \lambda\} = B_{\lambda_E} = B \subseteq X\setminus E$임에 따라

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $X$의 초그물이다.

4.

모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 $B\subseteq F$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여

$B = B_{\lambda_0}$인 $\lambda_0\in \Lambda$이 존재하고 부분그물의 정의로 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda_{\mu_0}$인 $\mu_0\in M$이 존재하므로

$\mu_0\le_M\mu$인 모든 $\mu\in M$에 대해 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda_{\mu_0}\le_\Lambda \lambda_\mu$임에 따라 $x_{\lambda_\mu}\in B_{\lambda_0}$이고

$\{ x_{\lambda_\mu} : \mu_0\le_M \mu\} \subseteq B_{\lambda_0} = B \subseteq F \subseteq X$이므로 생성필터의 정의로 $F\in \mathcal{G}$가 되어 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이다.

5.

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda} = \mathbf{S} : \Lambda\to X$는 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $\mathbf{S}(\lambda) = x_\lambda$이고

$(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}} = \mathbf{X} : \Lambda_\mathcal{F}\to X$는 모든 $(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해 $\mathbf{X}(x,F) = x$이고

$(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$의 상향 원순서집합 $(\Lambda_\mathcal{F},\le_\mathcal{F})$는 $\Lambda_\mathcal{F} = \{ (x,F)\in X\times \mathcal{F} : x\in F\}$이고

모든 $(x_1,F_1),(x_2,F_2)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해 $(x_1,F_1)\le_\mathcal{F}(x_2,F_2)$이기 위한 필요충분조건은 $F_2\subseteq F_1$인 것이다.

모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $x_\lambda\in B_\lambda \in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$이므로 $\phi(\lambda)=(x_\lambda,B_\lambda)\in \Lambda_\mathcal{F}$인 함수 $\phi:\Lambda\to \Lambda_\mathcal{F}$를 정의하면

$(\mathbf{X}\circ \phi)(\lambda) = \mathbf{X}(\phi(\lambda)) = \mathbf{X}(x_\lambda,B_\lambda) = x_\lambda = \mathbf{S}(\lambda)$가 되어 $\mathbf{S}= \mathbf{X}\circ \phi$이다.

모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$에 대해 $\lambda_1\le_\Lambda\lambda_2$이면

$B_{\lambda_2} = \{x_\lambda : \lambda_2\le_\Lambda \lambda \} \subseteq \{ x_\lambda :\lambda_1\le_\Lambda \lambda\} = B_{\lambda_1}$이므로 $\phi(\lambda_1) = (x_{\lambda_1},B_{\lambda_1})\le_\mathcal{F} (x_{\lambda_2},B_{\lambda_2}) = \phi(\lambda_2)$이고

모든 $(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해 $B_\lambda \subseteq F$인 $\lambda\in\Lambda$가 존재하여

$(x,F)\le_\mathcal{F}(x_\lambda,B_\lambda) = \phi(\lambda)$이므로 $\phi$는 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $(\Lambda_\mathcal{F},\le_\mathcal{F})$로의 증가 공종함수이다.

따라서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda} = \mathbf{S} = \mathbf{X}\circ \phi$는 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}} = \mathbf{X}$의 부분그물이다.

 

 

 

정리17

$\Lambda\ne \emptyset$인 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 임의의 집합 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$에 대해 

어떤 상향 원순서집합에서 $X$의 초그물인 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이 존재한다.

증명

임의의 $\lambda_0\in \Lambda$에 대해 $B_{\lambda_0} = \{ x_\lambda : \lambda_0 \le_\Lambda \lambda \}$이고 $\mathcal{B} = \{ B_\lambda :  \lambda\in \Lambda \}$일때

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}=\mathbf{X} :\Lambda\to X$의 생성필터 $\mathcal{F}$는 위 정리로 $\mathcal{F}\ne \emptyset$인 $X$의 필터이고 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{F}$의 기저이다.

필터 정리로 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$인 $X$의 초필터 $\mathcal{G}$가 존재하여

$M = \{ (\lambda,G)\in \Lambda\times \mathcal{G} : x_\lambda\in G\}$의 관계 $\le_M$이 모든 $(\lambda_1,G_1),(\lambda_2,G_2)\in M$에 대해

$(\lambda_1,G_1)\le_M(\lambda_2,G_2)$이기 위한 필요충분조건이 $\lambda_1\le_\Lambda\lambda_2$이고 $G_2\subseteq G_1$인 것일때

$M \subseteq \Lambda\times \mathcal{G}$이므로 순서집합 정리와 위 정리와 위 정리와 위 정리로 $(M,\le_M)$은 원순서집합이다.

임의의 $(\lambda_1,G_1),(\lambda_2,G_2)\in M$에 대해 $G_1,G_2\in \mathcal{G}$이므로 필터의 정의로 $G_1\cap G_2 \in \mathcal{G}$이고

$\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$임에 따라 상향 원순서집합의 정의로 $\lambda_1\le_\Lambda \lambda$와 $\lambda_2\le_\Lambda\lambda$가 성립하는 $\lambda\in\Lambda$가 존재하여

기저의 정의로 $B_\lambda\in \mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이므로 필터의 정의로 $B_\lambda\cap G_1\cap G_2 \in \mathcal{G}$이고

$\emptyset\notin \mathcal{G}$임에 따라 $B_\lambda\cap G_1\cap G_2 \ne \emptyset$이 되어

$\lambda\le_\Lambda \lambda_3$이고 $x_{\lambda_3}\in B_\lambda\cap G_1\cap G_2 \subseteq G_1\cap G_2$인 $\lambda_3\in \Lambda$이 존재하므로 $(\lambda_3,G_1\cap G_2)\in M$에 대해

$\lambda_1\le_\Lambda \lambda\le_\Lambda \lambda_3$과 $\lambda_2\le_\Lambda\lambda\le_\Lambda \lambda_3$이 성립하고 $G_1\cap G_2\subseteq G_1$과 $G_1\cap G_2\subseteq G_2$가 성립함에 따라

$(\lambda_1,G_1)\le_M(\lambda_3,G_1\cap G_2)$와 $(\lambda_2,G_2)\le_M(\lambda_3,G_1\cap G_2)$가 성립하여 $(M,\le_M)$은 상향 원순서집합이다.

임의의 $(\lambda,G)\in M$에 대해 $\phi(\lambda,G) = \lambda$인 함수 $\phi : M\to \Lambda$를 정의할때

모든 $(\lambda_1,G_1),(\lambda_2,G_2)\in M$에 대해 $(\lambda_1,G_1)\le_M(\lambda_2,G_2)$이면 $\phi(\lambda_1,G_1)=\lambda_1\le_\Lambda\lambda_2 = \phi(\lambda_2,G_2)$이고

모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 기저의 정의로 $B_\lambda\in \mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이므로 $x_\lambda\in B_\lambda$임에 따라

$(\lambda,B_\lambda)\in M$에 대해 $\lambda\le_\Lambda\lambda = \phi(\lambda,B_\lambda)$가 되어 $\phi$는 $(M\le_M)$에서 $(\Lambda,\le_\Lambda)$로의 증가 공종함수이고

$(x_\lambda)_{(\lambda,G)\in M} = \mathbf{X}\circ \phi : M\to X$는 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}=\mathbf{X} $의 부분그물이다.

모든 $E\subseteq X$에 대해 초필터의 정의로 $E\in \mathcal{G}$ 또는 $X\setminus E\in \mathcal{G}$이므로

임의의 $D \in \{ E,X\setminus E\}$에 대해 $D\in \mathcal{G}$이면 $\Lambda\ne \emptyset$임에 따라 $\lambda_0\in \Lambda$이 존재하여

기저의 정의로 $B_{\lambda_0}\in \mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이므로 필터의 정의로 $B_{\lambda_0} \cap D\in \mathcal{G}$이고

$\emptyset\notin \mathcal{G}$임에 따라 $B_{\lambda_0}\cap D\ne \emptyset$이 되어 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda_D$이고 $x_{\lambda_D}\in B_{\lambda}\cap D \subseteq D$인 $\lambda_D\in \Lambda$가 존재하므로

$(\lambda_D,D)\in M$에 대해 $(\lambda_D, D)\le_M(\lambda,G)$인 모든 $(\lambda,G)\in M$는 $x_{\phi(\lambda,G)}=x_\lambda \in G\subseteq D$임에 따라

$\{ x_{\phi(\lambda,G)} : (\lambda_E,E)\le_M(\lambda,G)\} \subseteq E$ 또는 $\{ x_{\phi(\lambda,G)} : (\lambda_{X\setminus E},X\setminus E)\le_M(\lambda,G)\} \subseteq X\setminus E$이고

$(x_\lambda)_{(\lambda,G)\in M} = (x_{\phi(\lambda,G)})_{(\lambda,G)\in M}$은 $(M,\le_M)$에서 $X$의 초그물이다.

 

 

 

정리18

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 생성필터 $\mathcal{F}$와 임의의 $x\in X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하기 위한 필요충분조건은 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 것이다.

2. $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이기 위한 필요충분조건은 $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점인 것이다.

증명

임의의 $\lambda_0\in \Lambda$에 대해 $B_{\lambda_0} = \{ x_\lambda : \lambda_0 \le_\Lambda \lambda \}$이고 $\mathcal{B} = \{ B_\lambda :  \lambda\in \Lambda \}$일때

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 생성필터 $\mathcal{F}$는 위 정리로 $X$의 필터이고 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{F}$의 기저이다.

1.

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

$\lambda_V\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$가 $x_\lambda\in V$인 $\lambda_V\in \Lambda$가 존재하여 기저의 정의로 $B_{\lambda_V}\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$이고

$B_{\lambda_V} \subseteq V\subseteq X$이므로 필터의 정의로 $V\in \mathcal{F}$임에 따라 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다

역으로 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 $V\in \mathcal{F}$이므로 기저의 정의로 $B_{\lambda_V}\subseteq V$인 $\lambda_V\in \Lambda$가 존재하여

$\lambda_V\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $x_\lambda \in B_{\lambda_V}\subseteq V$임에 따라 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

2.

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$와 모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해

기저의 정의로 $B_{\lambda_0}\subseteq F$인 $\lambda_0\in \Lambda$이 존재하여 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda$이고 $x_\lambda\in V$인 $\lambda\in \Lambda$가 존재하므로

$x_\lambda \in V\cap B_{\lambda_0} \subseteq V\cap F$임에 따라 $V\cap F\ne \emptyset$이고 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이다.

역으로 $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$와 모든 $\lambda_0\in \Lambda$에 대해

기저의 정의로 $B_{\lambda_0}\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$이므로 $V\cap B_{\lambda_0}\ne \emptyset$이 되어

$\lambda_0\le_\Lambda \lambda$이고 $x_\lambda\in V\cap B_{\lambda_0}\subseteq V$인 $\lambda\in \Lambda$가 존재함에 따라 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이다.

 

 

 

정리19

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때

상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(y_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$와 임의의 $y\in Y$에 대해 

$(y_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$로 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(y_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$로 수렴하는 것이다.

증명

$(y_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$로 수렴하면

모든 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방 $V_Y$는 위상공간 정리로 $V_Y = V\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $V$가 존재하여 

$\lambda_V\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$가 $y_\lambda\in V$가 되는 $\lambda_V\in \Lambda$가 존재하고

$y_\lambda\in Y$이므로 $y_\lambda\in V\cap Y = V_Y$임에 따라 $(y_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$로 수렴한다.

역으로 $(y_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$로 수렴하면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $V$에 대해 위상공간 정리로 $V\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방이므로 

$\lambda_V\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$가 $y_\lambda\in V\cap Y$가 되는 $\lambda_V\in \Lambda$가 존재하여

$y_\lambda\in V\cap Y\subseteq V$임에 따라 $(y_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$로 수렴한다.

 

 

 

정리20

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots,(X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n$-곱공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 

임의의 $(x_1,x_2,\cdots,x_n) \in X$과

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $((x_{\lambda,1},x_{\lambda,2},\cdots, x_{\lambda,n}))_{\lambda\in \Lambda}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $((x_{\lambda,1},x_{\lambda,2},\cdots, x_{\lambda,n}))_{\lambda\in \Lambda}$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$으로 수렴하기 위한 필요충분조건은

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X_i$의 그물 $(x_{\lambda,i})_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i$로 수렴하는 것이다.

2. $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $((x_{\lambda,1},x_{\lambda,2},\cdots, x_{\lambda,n}))_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이면

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $x_i$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $(x_{\lambda,i})_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이다.

증명

유한 곱공간 정리로 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $X$의 $i$-좌표 사영함수 $p_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이고 

유한 곱공간 정리로 $\{ O_1\times O_2\times \cdots \times O_n: (O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n\}$은 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

1.

$((x_{\lambda,1},x_{\lambda,2},\cdots, x_{\lambda,n}))_{\lambda\in \Lambda}$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$으로 수렴하면 위 정리로 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

$(x_{\lambda,i})_{\lambda\in \Lambda} =(p_i(x_{\lambda,1},x_{\lambda,2},\cdots, x_{\lambda,n}))_{\lambda\in \Lambda}$은 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i=p_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)$로 수렴한다.

역으로 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X_i$의 그물 $(x_{\lambda,i})_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i$로 수렴하면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$의 열린근방 $O$에 대해 

기저 정리로 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in O_1\times O_2\times \cdots \times O_n\subseteq O$인 $(O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n$이 존재하여 

$O_i$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i$의 열린근방이므로 수렴의 정의로 $\lambda_i \le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$가 $x_{\lambda,i}\in O_{i}$인 $\lambda_i\in \Lambda$가 존재하고 

$\{ \lambda_1,\lambda_2,\cdots, \lambda_n\}\subseteq \Lambda$은 공집합이 아닌 유한집합이므로

위 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $\lambda_i \le_\Lambda \lambda_O$인 $\lambda_O\in \Lambda$가 존재하여

$\lambda_i \le_\Lambda \lambda_O \le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$는 $x_{\lambda,i}\in O_{i}$임에 따라 $(x_{\lambda,1},x_{\lambda,2},\cdots,x_{\lambda,n})\in O_1\times O_2\times \cdots \times O_n\subseteq O$이고

$((x_{\lambda,1},x_{\lambda,2},\cdots, x_{\lambda,n}))_{\lambda\in \Lambda}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$으로 수렴한다.

2.

위 정리로 $x_i=p_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $(x_{\lambda,i})_{\lambda\in \Lambda} =(p_i(x_{\lambda,1},x_{\lambda,2},\cdots, x_{\lambda,n}))_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이다.

 

 

 

정리21

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

$\Lambda\ne \emptyset$인 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$와 임의의 $x\in X$에 대해 다음은 동치이다.

1. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

2. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 모든 부분그물이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

3. $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 모든 부분그물의 집적점이다.

4. 임의의 상향 원순서집합 $(M,\le_M)$에 대해 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$이면

$(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$의 부분그물이 존재한다.

증명

$1\to 2$

위 정리로 성립한다.

$2\to 3$

임의의 상향 원순서집합 $(M,\le_M)$에 대해 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$이면

$(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하므로 위 정리로 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$의 집적점이다.

$3\to 4$

$\Lambda\ne \emptyset$이므로 어떤 $\lambda\in \Lambda$가 존재하여 부분그물의 정의로 $\lambda\le_\Lambda \lambda_\mu$인 $\mu\in M$가 존재함에 따라 $M\ne \emptyset$이고 

$x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$의 집적점이므로 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$의 부분그물이 존재한다.

$4\to 1$

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하지 않는다고 가정하면 

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여 모든 $\lambda_0 \in \Lambda$에 대해 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda$이고 $x_{\lambda}\notin V$인 $\lambda \in \Lambda$가 존재하므로 

$M = \{ \lambda\in \Lambda : x_\lambda\notin V \}$에 대해 위 정리로 $(M,\le_\Lambda)$는 원순서집합이고 

$(\Lambda,\le_\Lambda)$가 상향 원순서집합임에 따라 모든 $\mu_1,\mu_2\in M$에 대해 $\mu_1\le_\Lambda \lambda_0$이고 $\mu_2\le_\Lambda \lambda_0$인 $\lambda_0 \in \Lambda$이 존재하여 

$\lambda_0\le_\Lambda \lambda$이고 $x_{\lambda}\notin V$인 $\lambda \in \Lambda$가 존재하므로 $\lambda\in M$이고 

원순서집합의 정의로 $\mu_1\le_\Lambda \lambda$와 $\mu_2\le_\Lambda \lambda$가 성립함에 따라 $(M,\le_\Lambda)$는 상향 원순서집합이고

모든 $\lambda_0 \in \Lambda$에 대해 $\lambda_0\le_\Lambda \lambda$이고 $x_{\lambda}\notin V$인 $\lambda \in \Lambda$가 존재하여 $\lambda\in M$이므로 $(x_\mu)_{\mu\in M}$는 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이다.

따라서 어떤 상향 원순서집합 $(N,\le_N)$에 대해 어떤 $(x_\mu)_{\mu\in M}$의 부분그물 $(x_{\mu_\nu})_{\nu\in N}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하므로

어떤 $\nu_V \in N$에 대해 $\nu_V\le_N \nu$인 모든 $\nu\in N$가 $x_{\mu_\nu} \in V$인데

원순서집합의 정의로 $\nu_V\le_N \nu_V$이므로 $x_{\mu_{\nu_V}} \in V$이고

부분그물의 정의로 $\mu_{\nu_V}\in M$임에 따라 $x_{\mu_{\nu_V}} \notin V$가 되어 모순이므로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리22

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간일때

$\Lambda\ne \emptyset$인 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$와 임의의 $x\in X$에 대해

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하기 위한 필요충분조건은 

$(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 모든 부분그물이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 것이다.

증명

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면 위 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 모든 부분그물이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 모든 부분그물이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면 

임의의 상향 원순서집합 $(M,\le_M)$에 대해 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$일때

$\Lambda\ne \emptyset$이므로 어떤 $\lambda\in \Lambda$가 존재하여 부분그물의 정의로 $\lambda\le_\Lambda \lambda_\mu$인 $\mu\in M$가 존재함에 따라 $M\ne \emptyset$이고 

위 정리로 어떤 상향 원순서집합 $(N,\le_N)$에서 $X$의 초그물인 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$의 부분그물 $(x_{\lambda_{\mu_\nu}})_{\nu\in N}$가 존재하므로

콤팩트공간 정리로 $(x_{\lambda_{\mu_\nu}})_{\nu\in N}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하고

위 정리로 $(x_{\lambda_{\mu_\nu}})_{\nu\in N}$가 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물임에 따라 $(x_{\lambda_{\mu_\nu}})_{\nu\in N}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하여 

위 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/117#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/117#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797