위상공간에서의 수열

정의1

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $X$의 수열이 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이고 임의의 점이 $x\in X$일때

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

$N_V\ge n_0$인 어떤 $N_V\in \mathbb{N}$가 존재하여 $n\ge N_V\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $x_n\in V$이면

$x$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 극한이라 정의하고 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다고 정의한다.

$(X,\mathcal{T})$에서 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 극한이 유일하게 존재할때 극한이 $x$이면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,\mathcal{T})}(x_n) = x$로 표기한다.

$(X,\mathcal{T})$에서 수열의 극한이 존재하면 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴한다고 정의하고

$(X,\mathcal{T})$에서 극한이 존재하지 않으면 $(X,\mathcal{T})$에서 발산한다고 정의한다.

 

$X$의 수열을 $(x_{n})$인 형태로 표기하면 $n \ge N_V \ge n_0$을 $n \ge N_V$로 표기하고

$N_V$을 수열 $(x_{n})$의 정의역의 최소원소보다 크거나 같다고 가정한다.

아래 정리로 수열의 시작점은 수렴성과 무관하다.

 

 

 

정리1

임의의 집합 $X$에 대한 자명위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 모든 $x\in X$에 대해 $X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

증명

자명위상공간의 정의로 $\mathcal{T} = \{ X, \emptyset\}$이므로 임의의 $x\in X$에 대해

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 $x\in V$와 $V\in \mathcal{T}$가 성립하여 $V\ne \emptyset$임에 따라 $V = X$이고

수열의 정의로 $n\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $x_n \in X = V$이므로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리2

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $X$의 수열이 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$일때 임의의 $x\in X$와 임의의 $m \in \mathbb{N}$에 대해 다음은 동치이다.

1. $(x_{n})_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

2. $(x_{m+n})_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

3. $(x_{n})_{n=n_0+m}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

증명

$1 \to 2$

$(x_{n})_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

$n \ge N_V \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $x_{n} \in V$가 되는 $N_V \in \mathbb{N}$가 존재하므로 

$k \ge \max \{ n_0, N_V - m \}$인 모든 $k \in \mathbb{N}$는

$m + k \ge m + N_V - m = N_V \ge n_0$이 되어 $ x_{m + k } \in V$임에 따라 $(x_{m+n})_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

$2 \to 3$

$(x_{m+n})_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

$n \ge N_V \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $x_{m+n} \in V$가 되는 $N_V \in \mathbb{N}$가 존재하여

$n + m \ge N_V + m \ge n_0 +m$이고 $N_V + m \ge N_V$이므로

$k \ge N_V + m \ge n_0 + m$인 모든 $k \in \mathbb{N}$가 $x_{k} \in V$임에 따라 $(x_{n})_{n=n_0+m}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

$3 \to 1$

$(x_{n})_{n=n_0+m}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

$n \ge N_V  \ge n_0+m$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $x_{n} \in V$가 되는 $N_V \in \mathbb{N}$가 존재하고

$n \ge N_V \ge n_0+m \ge n_0$이므로 $(x_{n})_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리3

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $X$의 수열이 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$일때 임의의 $x\in X$에 대해

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 모든 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

증명

$(x_n)_{n= n_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $k \ge N_V \ge n_0$인 모든 $k \in \mathbb{N}$가 $ x_{k} \in V$가 되는 $N_V \in \mathbb{N}$가 존재하여

$k \ge $ $\max$$ \{N_V,1\} $인 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해

부분수열의 정의로 $n_k \ge k \ge N_V\ge n_0 $이므로 $x_{n_k} \in V$임에 따라 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리4

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$에 대해 $\{ x_n : n\ge n_0\}$이 유한집합이면 다음이 성립한다.

1. 어떤 $x\in \{ x_n : n\ge n_0\}$가 존재하여 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_{n_k} = x$인 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 존재한다.

2. 어떤 $x\in \{ x_n : n\ge n_0\}$가 존재하여 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 어떤 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

증명

$X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 함수이므로 $\{x_n : n\ge n_0 \}\ne \emptyset$이고

$\{x_n : n\ge n_0 \}$은 유한집합이므로 $\{x_n :n\ge n_0\}=\{x_{m_1} ,x_{m_2},\cdots,x_{m_k} \}$인 $k\in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

$S = \{n \in \mathbb{N} : n\ge n_0\}$일때

모든 $n \in S$에 대해 $x_n \in \{x_{m_1} ,x_{m_2},\cdots,x_{m_k} \}$이므로 $x_n =x_{m_i}$인 $i = 1,2,\cdots, k$가 존재하여

$S = \{ n \in S : x_n = x_{m_1}\} \cup \{ n\in S : x_n = x_{m_2}\}\cup \cdots \cup \{ n\in S : x_n = x_{m_k}\}$이다.

모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $\{ n \in S : x_n = x_{m_i}\}$가 유한집합이라고 가정하면

유한집합 정리로 $S = \displaystyle \bigcup_{i = 1}^k\{ n \in S : x_n = x_{m_i}\}$가 유한집합이 되어 모순이므로

$\{ n \in S : x_n = x_{m_i}\}$가 무한집합인 $i = 1,2,\cdots, k$가 존재하고 모든 $j \in \mathbb{Z}^+$에 대해

정렬성과 귀납적 정의로 $\max\{n_0,j\}\le n_j< n_{j+1}$이고 최소인 $n_j \in \{ n \in S : x_n = x_{m_i}\}$를 선택하여

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_j})_{j=1}^\infty$를 만들면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x_{m_i}$의 열린근방 $V$에 대해

모든 $j\in \mathbb{Z}^+$가 $x_{n_j} = x_{m_i}\in V$이므로 $(x_{n_j})_{j=1}^\infty$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x_{m_i}$로 수렴한다.

 

 

 

정리5

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $X$의 수열이 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$일때 임의의 $x\in X$에 대해

$N_x \ge n_0$인 어떤 $N_x\in \mathbb{N}$가 존재하여 $n\ge N_x \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $x_n = x$이면

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

증명

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 $x\in V$이므로

$n\ge N_x \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $x_n = x\in V$가 되어 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리6

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $x\in X$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $E$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 존재하면 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 밀착점이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 제1가산공간일때 

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 밀착점이면 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $E$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$이 존재한다.

증명

1.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

수렴의 정의로 $n\ge N_V\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $x_n\in V$이 되는 $N_V\in \mathbb{N}$가 존재하여 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $E$의 수열이므로

$x_n\in E$임에 따라 $x_n\in V\cap E$이고 $V\cap E\ne \emptyset$이 되어 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 밀착점이다.

2.

제1가산공간 정리로 어떤 $\mathcal{T}$의 수열 $(S_n(x))_{n=1}^\infty$이 존재하여

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $S_{n+1}(x)\subseteq S_n(x)$이고 $\{ S_n(x):n\in \mathbb{Z}^+\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이므로

$x\in S_n(x)\in \mathcal{T}$임에 따라 $S_n(x)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 밀착점의 정의로 $S_n(x)\cap E\ne \emptyset$이다.

선택 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n\in S_n(x)\cap E$인 $E$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여

국소기저의 정의로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $S_{N_V}(x)\subseteq V$인 $N_V\in \mathbb{Z}^+$가 존재하므로

$n\ge N_V$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n \in S_n(x)\subseteq S_{N_V}(x)\subseteq V$임에 따라 $(x_n)_{n=1}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리7

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 모든 $E$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 모든 극한 $x\in X$는 $x\in E$이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 제1가산공간일때

$(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 모든 $E$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$의 모든 극한 $x\in X$가 $x\in E$이면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

증명

1.

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합일때 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in X\setminus E$로 수렴하는 $E$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 존재하면

$X\setminus E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로 $n\ge N\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $x_n\in X\setminus E$이 되는 $N\in \mathbb{N}$이 존재하여

$x_n\notin E$인데 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $E$의 수열이므로 $x_n\in E$이 되어 모순임에 따라 

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 모든 $E$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 모든 극한 $x\in X$는 $x\in E$이다.

2.

위상공간 정리와 도집합의 정의로 모든 $x \in \underset{(X,\mathcal{T})}{E'} \subseteq X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E\setminus \{x\}$의 밀착점이므로

위 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $E\setminus \{x\}$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$이 존재하고

$(x_n)_{n=1}^\infty$이 $E$의 수열임에 따라 $x\in E$가 되어 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'} \subseteq E$이므로 위상공간 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

 

 

 

정리8

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간이면 다음이 성립한다.

1. 임의의 $x\in X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 임의의 $E\subseteq X$의 집적점일때

$\mathcal{T}$의 수열 $(S_n(x))_{n=1}^\infty$가 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $S_{n+1}(x)\subseteq S_{n}(x)$이고 $S_n(x)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이면

$i\ne j$인 모든 $i,j \in \mathbb{Z}^+$가 $x_i\ne x_j$이고 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n\in S_n(x)$인 $E\setminus \{x\}$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$이 존재한다.

2. 모든 $x\in $ $\underset{(X,\mathcal{T})}{X'}$에 대해 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 무한집합이다.

증명

1.

집적점의 정의로 $y\in S_1(x)$이고 $x\ne y$인 $y \in E$가 존재하여 선택 정리로 $x_1 = y$를 선택할때 $x_1\in E\setminus \{ x\}$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $i\ne j$인 모든 $i,j = 1,\cdots, k$가 $x_i\ne x_j$이고 $x_1\in S_1(x), \cdots , x_k\in S_{k}(x)$인

$x_1,\cdots, x_k\in E\setminus \{ x\}$가 강귀납적으로 정의될때 $\{ x_1,\cdots, x_k\}$는 유한집합이므로

$T_1$공간 정리로 $\{ x_1,\cdots, x_k\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이 되어 $X\setminus \{ x_1,\cdots, x_k\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

$x_1,\cdots, x_k\notin \{ x\}$이므로 $x\in X\setminus \{ x_1,\cdots, x_k\}$가 되어

위상공간 정리로 $(X\setminus \{ x_1,\cdots, x_k\})\cap S_{k+1}(x)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라

$(X\setminus \{ x_1,\cdots, x_k\})\cap S_{k+1}(x)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

집적점의 정의로 $y\in (X\setminus \{ x_1,\cdots, x_k\})\cap S_{k+1}(x)$이고 $x\ne y$인 $y \in E$가 존재하여

선택 정리로 $x_{k+1} = y$를 선택하면

모든 $i = 1,\cdots, k$에 대해 $x_i \ne x_{k+1}$과 $x_{k+1}\in S_{k+1}(x)$가 성립하고 $x_{k+1}\in E\setminus \{ x\}$이다.

따라서 강귀납적으로 정의된 $E\setminus \{ x\}$의 수열 $(x_{n})_{n=1}^\infty$은

$i\ne j$인 모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_i\ne x_j$이고 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n\in S_n(x)$이다.

2.

$V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로 열린집합의 정의로 $V\in \mathcal{T}$이고 $V\subseteq V$임에 따라

$\mathcal{T}$의 수열 $(V)_{n=1}^\infty$에 대해 1번으로

$i\ne j$인 모든 $i,j \in \mathbb{Z}^+$가 $x_i\ne x_j$이고 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n\in V$인 $X\setminus \{x\}$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$이 존재한다.

따라서 $\{ x_n :n\in \mathbb{Z}^+\}$은 무한집합이고 $\{ x_n: n\in \mathbb{Z}^+\} \subseteq V$임에 따라 무한집합 정리로 $V$는 무한집합이다.

 

 

 

정리9

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $x\in X$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $E\setminus \{x\}$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 존재하면 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 집적점이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 제1가산공간이고 $T_1$공간일때 $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 집적점이면

$(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하고 $i\ne j$인 모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_i\ne x_j$인 $E\setminus \{x\}$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$이 존재한다.

증명

1.

위 정리로 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E\setminus \{x\}$의 밀착점이므로 위상공간 정리로 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 집적점이다.

2.

제1가산공간 정리로 어떤 $\mathcal{T}$의 수열 $(S_n(x))_{n=1}^\infty$이 존재하여

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $S_{n+1}(x)\subseteq S_n(x)$이고 $\{ S_n(x):n\in \mathbb{Z}^+\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이므로

$S_n(x)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방임에 따라 위 정리로

$i\ne j$인 모든 $i,j \in \mathbb{Z}^+$가 $x_i\ne x_j$이고 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n\in S_n(x)$인 $E\setminus \{x\}$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$이 존재한다.

국소기저의 정의로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $S_{N_V}(x)\subseteq V$인 $N_V\in \mathbb{Z}^+$가 존재하므로

$n\ge N_V$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n \in S_n(x)\subseteq S_{N_V}(x)\subseteq V$임에 따라 $(x_n)_{n=1}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리10

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$와 임의의 $c\in X$와 함수 $f:X\to Y$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이면

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$로 수렴하는 모든 $X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$에 대해 $Y$의 수열 $(f(x_n))_{n=n_0}^\infty$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$로 수렴한다.

2. $(X,\mathcal{T}_X)$가 제1가산공간일때

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$로 수렴하는 모든 $X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$에 대해 $Y$의 수열 $(f(x_n))_{n=n_0}^\infty$이 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$로 수렴하면

$f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이다.

증명

1.

연속 정리로 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$에 대해 $f(U)\subseteq V$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재하므로

수렴의 정의로 $n\ge N_U\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $x_n\in U$가 되는 $N_U\in \mathbb{N}$가 존재하여

상의 정의로 $f(x_n)\in f(U)\subseteq V$임에 따라 $(f(x_n))_{n=n_0}^\infty$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$로 수렴한다.

2.

대우로 증명한다.

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이 아니라고 가정하면

어떤 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V_0$에 대해 모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$의 어떤 $x\in U$가 $f(x)\notin V_0$이고

제1가산공간 정리로 $\mathcal{T}_X$의 수열 $(S_n(c))_{n=1}^\infty$가 존재하여

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $S_{n+1}(c)\subseteq S_n(c)$이고 집합 $\{S_n(c):n\in \mathbb{Z}^+\}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$에 대한 국소기저이다.

국소기저의 정의로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $S_n(c)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방이므로

선택 정리로 $x_n\in S_n(c)$이고 $f(x_n)\notin V_0$인 $X$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여

국소기저의 정의로 모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$에 대해 $S_{N_U}(c)\subseteq U$인 $N_U\in \mathbb{Z}^+$가 존재함에 따라

$n\ge N_U$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n\in S_n(c)\subseteq S_{N_U}(c)\subseteq U$이므로 $(x_n)_{n=1}^\infty$은 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$로 수렴하는데

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f(x_n)\notin V_0$이므로 $Y$의 수열 $(f(x_n))_{n=1}^\infty$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$로 수렴하지 않는다.

 

 

 

정리11

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$와 임의의 $x\in X$에 대해

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면 집합 $\{ x_n : n\ge n_0\}\cup \{ x\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.

증명

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ x_n : n\ge n_0\}\cup \{ x\}$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 $\{ x_n:n\ge n_0\}\cup \{ x\} \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로

합집합의 정의로 $x\in V$인 $V\in \mathcal{O}$가 존재하여 $V$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방임에 따라

수렴의 정의로 $n\ge N_V\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $x_n \in V$인 $N_V\in \mathbb{N}$가 존재한다.

$N_V > k \ge n_0$인 모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 합집합의 정의로 $x_k\in V_k$인 $V_k\in \mathcal{O}$가 존재하여

$\mathcal{F} = \{ V_{n_0},\cdots, V_{N_V -1}, V\}$는 유한집합이고 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$이므로

$\{ x_n:n\ge n_0\}\cup \{ x\} \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$임에 따라 콤팩트 정리로 $\{ x_n : n\ge n_0\}\cup \{ x\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.

 

 

 

정리12

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 제1가산공간일때 $X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$과 임의의 $x\in X$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 어떤 상향 원순서집합에서 $X$의 그물이 존재하여 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분그물이면 

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 어떤 부분수열이 존재하여 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

증명

$S= \{ n\in \mathbb{N} : n\ge n_0\}$일때

수열 정리로 $(S,\le)$는 상향 원순서집합이고 $(x_n)_{n=n_0}^\infty = (x_n)_{n\in S}$은 $(S,\le)$에서 $X$의 그물이다.

$S\ne \emptyset$이므로 그물 정리로 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 집적점이다.

제1가산공간 정리로 어떤 $\mathcal{T}$의 수열 $(S_k(x))_{k=1}^\infty$가 존재하여

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $S_{k+1}(x)\subseteq S_k(x)$이고 $\{ S_k(x):k\in \mathbb{Z}^+\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이므로

$x\in S_k(x)\in \mathcal{T}$임에 따라 $S_k(x)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

집적점의 정의와 정렬성으로 $\max \{n_0 ,1\}\le n_1$이고 $x_{n_1}\in S_1(x)$인 $n_1\in \mathbb{Z}^+$을 선택하고 

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\max \{n_0 , r\}\le n_r$이고 $x_{n_r}\in S_r(x)$인 $n_r\in \mathbb{Z}^+$이 귀납적으로 정의될때 

집적점의 정의와 정렬성으로 $n_r + 1 \le n_{r+1}$이고 $x_{n_{r+1}}\in S_{r+1}(x)$인 $n_{r+1}\in \mathbb{Z}^+$을 선택하면

$\max \{ n_0,r\}\le n_r < n_r + 1 \le n_{r+1}$이므로 $n_0\le n_r < n_r +1\le n_{r+1}$이고

$r\le n_r < n_r +1\le n_{r+1}$이 되어 $r+1\le n_{r+1}$임에 따라 최대원소의 정의로 $\max \{ n_0,r+1\}\le n_{r+1}$이다.

귀납적으로 정의된 $\mathbb{Z}^+$의 수열 $(n_k)_{k=1}^\infty$에 대해 $X$의 수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$는 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열이고

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 국소기저의 정의로 어떤 $K_V\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $S_{K_V}(x)\subseteq V$이므로 

$k\ge K_V$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_{n_k}\in S_k(x)\subseteq S_{K_V}(x)\subseteq V$임에 따라 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/114#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/114#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402

Terence Tao - Analysis 2 - 9791156646808