곱공간(Product Space)

정의1

좌표 사영함수(coordinate projection map) :

임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 집합 $X_i$가 존재하고 일반 데카르트곱이 $X = \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$일때

임의의 $i\in I$와 모든 $x\in X$에 대해 $p_i(x) = x(i)\in X_i$인 함수 $p_i:X\to X_i$를 $X$의 $i$-좌표 사영함수로 정의한다.

곱공간 :

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때

일반 데카르트곱 $X = \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$의 $i$-좌표 사영함수 $p_i:X\to X_i$에 대해 $\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ p_i^{-1}(O_i) : O_i\in \mathcal{T}_i \}$이고

집합 $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty\{  S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n:(S_1,S_2,\cdots, S_n)\in \mathcal{S}^n \}$에 대해 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{O} :\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\}$이면

순서쌍 $(X,\mathcal{T})$를 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 또는 일반 곱공간 또는 $I$-일반 곱공간으로 정의한다.

 

 

 

정리1

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때

일반 데카르트곱 $X = \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i:X\to X_i$이면

집합 $\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ p_i^{-1}(O_i) : O_i\in \mathcal{T}_i \}$와 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

2. $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이다.

3. $p_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이다.

증명

1, 2

$X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 모든 $S\in \mathcal{S}$는 $S = p_i^{-1}(O_i)$인 $i\in I$와 $O_i\in \mathcal{T}_i$가 존재하여

역상의 정의로 $S = p_i^{-1}(O_i) \subseteq X$이므로 멱집합의 정의로 $S\in \mathcal{P}(X)$가 되어 $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{P}(X)$이다.

임의의 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$는 $x\in S$인 $S\in \mathcal{S}$가 존재하여 $S = p_i^{-1}(O_i)$인 $i\in I$와 $O_i\in \mathcal{T}_i$가 존재하므로

역상의 정의로 $x\in S = p_i^{-1}(O_i) \subseteq X$임에 따라 $\displaystyle \bigcup \mathcal{S} \subseteq X$이다.

임의의 $x\in X$에 대해 $I\ne \emptyset$이므로 $i\in I$가 존재하여 $p_i(x) = x(i) \in X_i$임에 따라 $x \in p_i^{-1}(X_i)$이고 

위상공간의 정의로 $X_i\in \mathcal{T}_i$이므로 $x\in p_i^{-1}(X_i)\in \mathcal{S}$가 되어 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$이고 

$X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$임에 따라 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{S} =X$이다.

따라서 곱공간의 정의와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이고 $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이다.

3.

모든 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 열린집합 $O_i$는 $O_i\in \mathcal{T}_i$이고 2번과 부분기저의 정의로 $p_i^{-1}(O_i)\in \mathcal{S} \subseteq \mathcal{T}$가 되어

$p_i^{-1}(O_i)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 연속함수 정리로 $p_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정리2

임의의 $n\in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해 $I = \{ i\in \mathbb{Z}^+: 1\le i\le n\}$이고 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때

$\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간이 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{T})$이고 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n$-곱공간이 $(\displaystyle \prod_{i=1}^nX_i,\mathcal{P})$이면

모든 $x\in \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$에 대해 $F(x) = (x(1),x(2),\cdots,x(n))\in \displaystyle \prod_{i=1}^n X_i$로 정의되는

함수 $F:\displaystyle \prod_{i\in I}X_i \to \prod_{i=1}^n X_i$는 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{T})$에서 $(\displaystyle \prod_{i=1}^nX_i,\mathcal{P})$로의 위상동형사상이다.

증명

$1\le n$이므로 $1\in I$이 되어 $I\ne \emptyset$이고

일반 데카르트곱 정리로 $F$는 전단사이므로 역함수 정리로 $F$의 역함수 $F^{-1}:\displaystyle \prod_{i=1}^nX_i \to \prod_{i\in I} X_i$이 존재한다.

임의의 $k =1,2,\cdots,n$에 대해 

$\displaystyle \prod_{i\in I}X_i$의 $k$-좌표 사영함수가 $p_k : \displaystyle \prod_{i\in I}X_i\to X_k$이고 $\displaystyle \prod_{i=1}^nX_i$의 $k$-좌표 사영함수가 $q_k : \displaystyle \prod_{i=1}^n X_i\to X_k$일때

위 정리로 $\mathcal{S}_I = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ p_i^{-1}(O_i) : O_i\in \mathcal{T}_i \}$는 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{T})$의 부분기저이고

$n$-곱공간 정리로 $\mathcal{S}_n = \displaystyle \bigcup_{i=1}^n \{ q_i^{-1}(O_i) : O_i\in \mathcal{T}_i \}$은 $(\displaystyle \prod_{i=1}^nX_i,\mathcal{P})$의 부분기저이다.

모든 $k =1,2,\cdots,n$와 모든 $O_k\in \mathcal{T}_k$에 대해 

임의의 $a = (a_1,a_2,\cdots,a_n)\in F(p_k^{-1}(O_k))$는 $F(x) = a$인 $x\in p_k^{-1}(O_k)$가 존재하여

$(x(1),x(2),\cdots, x(n)) = F(x) = a = (a_1,a_2,\cdots, a_n)$이고

$n$-순서쌍의 상등과 역상의 정의로 $q_k(a) =a_k= x(k)=p_k(x)\in O_k$이므로

$a\in q_k^{-1}(O_k)$임에 따라 $F(p_k^{-1}(O_k)) \subseteq q_k^{-1}(O_k)$이다.

임의의 $a = (a_1,a_2,\cdots,a_n)\in q_k^{-1}(O_k)$는

부분기저의 정의로 $q_k^{-1}(O_k)\in \mathcal{S}_n\subseteq \mathcal{P}$임에 따라 위상공간의 정의로 $a \in q_k^{-1}(O_k) \subseteq \displaystyle \prod_{i=1}^nX_i$이므로

전사의 정의로 $(x(1),x(2),\cdots, x(n))=F(x) = a = (a_1,a_2,\cdots,a_n)$인 $x\in \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$가 존재하여

$n$-순서쌍의 상등과 역상의 정의로 $p_k(x)=x(k)=a_k =q_k(a) \in O_k$이고 $x\in p_k^{-1}(O_k)$이므로

$a= F(x)\in F(p_k^{-1}(O_k))$임에 따라 $q_k^{-1}(O_k)\subseteq F(p_k^{-1}(O_k))$이고 집합 정리로 $F(p_k^{-1}(O_k)) = q_k^{-1}(O_k)$이다.

따라서 단사함수 정리로 $F^{-1}(q_k^{-1}(O_k)) = F^{-1}(F(p_k^{-1}(O_k))) =p_k^{-1}(O_k) \in \mathcal{S}_I \subseteq \mathcal{T}$이고

함수 정리로 $(F^{-1})^{-1}(p_k^{-1}(O_k)) =F(p_k^{-1}(O_k)) = q_k^{-1}(O_k)\in \mathcal{S}_n\subseteq \mathcal{P}$이므로

위상공간의 정의와 부분기저 정리로

$F$는 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{T})$에서 $(\displaystyle \prod_{i=1}^nX_i,\mathcal{P})$로의 연속함수이고 $F^{-1}$은 $(\displaystyle \prod_{i=1}^nX_i,\mathcal{P})$에서 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{T})$로의 연속함수임에 따라

$F$는 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{T})$에서 $(\displaystyle \prod_{i=1}^nX_i,\mathcal{P})$로의 위상동형사상이다.

 

 

 

정리3

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재하고

일반 데카르트곱 $X = \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i:X\to X_i$이고 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

위상공간 $(C,\mathcal{T}_C)$의 임의의 $c\in C$에 대해

함수 $f:C\to X$가 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $c$에서 연속이기 위한 필요충분조건은

모든 $i \in I$에 대해 합성함수 $p_i\circ f:C\to X_i$가 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에 대해 $c$에서 연속인 것이다.

증명

$f$가 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $c$에서 연속이면

위 정리로 모든 $i\in I$에 대해 $p_i$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수임에 따라

연속 정리로 $p_i\circ f$는 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에 대해 $c$에서 연속이다.

역으로 모든 $i\in I$에 대해 $p_i\circ f$가 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에 대해 $c$에서 연속이면

$f(c)\in p_i^{-1}(O_i)$인 모든 $O_i\in \mathcal{T}_i$는 $(p_i\circ f)(c) = p_i(f(c))\in O_i$이므로 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $(p_i\circ f)(c)$의 근방이 되어

함수 정리와 연속 정리로 $f^{-1}(p_i^{-1}(O_i))=(p_i\circ f)^{-1}(O_i)$는 $(C,\mathcal{T}_C)$에서 $c$의 근방이고

위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I} \{p_i^{-1}(O_i) :O_i\in \mathcal{T}_i \}$가 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저임에 따라

부분기저 정리로 $f$는 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $c$에서 연속이다.

 

 

 

정리4

임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 집합 $X_i$의 부분집합 $A_i\subseteq X_i$가 존재할때

합집합 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i$와 일반 데카르트곱 $\displaystyle \prod_{i\in I}A_i$와 집합의 크기에 대해 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i\subseteq \bigcup_{i\in I}X_i$

2. $\displaystyle \prod_{i\in I}A_i\subseteq \prod_{i\in I}X_i$

3. 임의의 기수 $\kappa$에 대해 모든 $i\in I$가 $|A_i|$ $\underline{\in}$ $\kappa$이면 $\displaystyle \left |\bigcup_{i\in I}A_i\right | \underline{\in} |I|$ $\otimes$ $\kappa$이다.

4. 임의의 기수 $\kappa$에 대해 모든 $i\in I$가 $|A_i|\underline{\in}\kappa$이면 $\displaystyle \left |\prod_{i\in I}A_i\right | \underline{\in} $ $\kappa^{|I|}$이다.

5. 임의의 집합 $J$에 대해 전사함수 $\varphi:J\to I$가 존재하면 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i = \bigcup_{j\in J} A_{\varphi(j)}$이다.

6. 임의의 집합 $J$에 대해 전단사함수 $\varphi:J\to I$가 존재하면 $\displaystyle \prod_{i\in I}A_i$와 $\displaystyle \prod_{j\in J}A_{\varphi(j)}$사이의 전단사함수가 존재한다.

증명

기수 정리로 모든 $i\in I$에 대해 $|A_i|\underline{\in}\kappa = |\kappa|$이므로

집합의 크기 정리로 단사함수 $f_i :A_i\to \kappa$가 존재함에 따라 선택 정리로 $f_i$를 선택한다.

1.

합집합의 정의로 임의의 $\displaystyle a\in \bigcup_{i\in I}A_i$는 $a\in A_i$인 $i\in I$가 존재하여

$a\in A_i\subseteq X_i$이므로 $\displaystyle a\in \bigcup_{i\in I}X_i$이고 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i\subseteq \bigcup_{i\in I}X_i$이다.

2.

일반 데카르트곱의 정의로 임의의 $\displaystyle a\in  \prod_{i\in I}A_i$는 $a: I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i$인 함수이고

모든 $i\in I$에 대해 $a(i) \in A_i\subseteq X_i$이므로 $x(i) = a(i)$인 함수 $x: I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I}X_i$에 대해

함수의 상등으로 $\displaystyle a=x \in  \prod_{i\in I}X_i$가 되어 $\displaystyle \prod_{i\in I}A_i\subseteq \prod_{i\in I}X_i$이다.

3.

모든 $a\in \displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i$에 대해 $a\in A_{i_a}$인 $i_a\in I$가 존재하므로 선택 정리로 $i_a$를 선택할때

$f(a) = (i_a,f_{i_a}(a))$인 함수 $f: \displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i\to I\times \kappa$를 정의하면

$(i_a,f_{i_a}(a)) = f(a) = f(b) = (i_b,f_{i_b}(b))$인 임의의 $a,b\in \displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i$는

순서쌍의 상등으로 $i_a = i_b$와 $f_{i_a}(a) = f_{i_b}(b)$가 성립하여

$f_{i_a}(a) = f_{i_b}(b) = f_{i_a}(b)$이므로 단사의 정의로 $a = b$임에 따라 $f$는 단사이고

집합의 크기 정리와 집합의 크기 정리와 기수 곱셈의 정의로 $\displaystyle \left |\bigcup_{i\in I}A_i\right | \underline{\in} |I\times \kappa| = ||I|\times \kappa| = |I|\otimes \kappa$이다.

4.

$\mathcal{F} = \{ f:\in \mathcal{P}(I\to \kappa) : \text{함수 }f: I\to \kappa\}$일때 

일반 데카르트곱의 정의로 임의의 $\displaystyle a\in  \prod_{i\in I}A_i$는 모든 $i\in I$에 대해 $a(i)\in A_i$이므로

$\phi_a(i) = f_i(a(i))$인 함수 $\phi_a :I\to \kappa$는 $\phi_a\in \mathcal{F}$가 되어 $\phi(a) = \phi_a$인 함수 $\phi :\displaystyle \prod_{i\in I}A_i\to \mathcal{F}$를 정의하면

$\phi_a = \phi(a) = \phi(b) = \phi_b$인 임의의 $\displaystyle a,b\in  \prod_{i\in I}A_i$는 

모든 $i\in I$에 대해 $f_i(a(i))=\phi_a(i) = \phi_b(i) = f_i(b(i))$가 되어 단사의 정의로 $a(i) = b(i)$임에 따라 $a =b$이므로

$\phi$는 단사이고 집합의 크기 정리와 집합의 크기 정리와 기수 거듭제곱의 정의로 $\displaystyle \left |\prod_{i\in I}A_i\right | \underline{\in} |\mathcal{F}| = \kappa^{|I|}$이다.

5.

모든 $a\in \displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i$에 대해 $a\in A_i$인 $i \in I$가 존재하여 전사의 정의로 $i = \varphi(j)$인 $j\in J$가 존재하므로

$a\in A_i = A_{\varphi(j)}$임에 따라 $a\in \displaystyle \bigcup_{j\in J} A_{\varphi(j)}$이고 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i \subseteq \bigcup_{j\in J} A_{\varphi(j)}$이다.

모든 $a\in \displaystyle \bigcup_{j\in J} A_{\varphi(j)}$에 대해 $a\in A_{\varphi(j)}$인 $j\in J$가 존재하여 $\varphi(j)\in I$이므로 $a\in \displaystyle A_{\varphi(j)}\subseteq \bigcup_{i\in I}A_i$임에 따라

$\displaystyle \bigcup_{j\in J} A_{\varphi(j)}\subseteq \bigcup_{i\in I}A_i$이고 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i = \bigcup_{j\in J} A_{\varphi(j)}$이다.

6.

일반 데카르트곱의 정의로 임의의 $\displaystyle a\in  \prod_{i\in I}A_i$는 $a: I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i$인 함수이고 모든 $i\in I$에 대해 $a(i) \in A_i$이므로

모든 $j\in J$에 대해 $(a\circ \varphi)(j) =a(\varphi(j)) \in A_{\varphi(j)}$이고 $a\circ \varphi: J\to \displaystyle \bigcup_{j\in J}A_{\varphi(j)}$임에 따라 $a\circ \varphi \in \displaystyle \prod_{j\in J}A_{\varphi(j)}$이다.

역함수 정리로 $\varphi$의 역함수 $\varphi^{-1} :I\to J$이 존재하고 $\varphi^{-1}$은 전단사이다.

임의의 $\displaystyle a\in  \prod_{i\in I}A_i$에 대해 $f(a) = a\circ \varphi$인 함수 $f: \displaystyle \prod_{i\in I}A_i \to \prod_{j\in J}A_{\varphi(j)}$를 정의하면

$a\circ \varphi = f(a) = f(b) = b\circ \varphi$인 임의의 $\displaystyle a,b\in  \prod_{i\in I}A_i$는 $a = a\circ \varphi \circ \varphi^{-1} = b\circ \varphi \circ \varphi^{-1} =b$가 되어 $f$는 단사이다.

모든 $c \in \displaystyle \prod_{j\in J}A_{\varphi(j)}$는 $c: J\to \displaystyle \bigcup_{j\in J}A_{\varphi(j)}$인 함수이고 모든 $j\in J$에 대해 $c(j)\in A_{\varphi(j)}$이므로

역함수의 정의로 모든 $i\in I$에 대해 $c(\varphi^{-1}(i))\in A_{\varphi(\varphi^{-1}(i))} = A_i$이고 $c\circ \varphi^{-1}:I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I} A_i$임에 따라

$c\circ \varphi^{-1}\in \displaystyle \prod_{i\in I}A_i$이고 $f(c\circ \varphi^{-1}) = c\circ \varphi^{-1}\circ \varphi = c$가 되어 $f$는 전사이다.

$f$가 전단사이므로 역함수 정리로 전단사함수 $f^{-1}: \displaystyle \prod_{j\in J}A_{\varphi(j)}\to \prod_{i\in I}A_i$이 존재하여

$\displaystyle \prod_{i\in I}A_i$와 $\displaystyle \prod_{j\in J}A_{\varphi(j)}$사이의 전단사함수가 존재한다.

 

 

 

정리18

임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 집합 $X_i$의 부분집합 $A_i\subseteq X_i$가 존재할때

일반 데카르트곱 $X = \displaystyle \prod_{k\in I}X_k$의 $i$-좌표 사영함수 $p_i:X\to X_i$에 대해 다음이 성립한다.

1. $A = \displaystyle \prod_{k\in I}A_k\ne \emptyset$이면 $p_i(A) =  A_i$이다.

2. $X = \displaystyle \prod_{k\in I}X_k\ne \emptyset$이면 $p_i$는 전사이다.

3. $i\ne j$인 모든 $j\in I$에 대해 $A_j = X_j$일때 $p_i^{-1}(A_i) = \displaystyle \prod_{k\in I}A_k$이다.

4. $I\ne \emptyset$일때 $\displaystyle \bigcap_{k\in I} p_k^{-1}(A_k) =\prod_{k\in I}A_k$이다.

증명

1.

임의의 $y_i \in p_i(A)$는 $y_i = p_i(x)$인 $x \in A = \displaystyle \prod_{k\in I}A_k$가 존재하여

$y_i = p_i(x) = x(i)\in A_i$이므로 $p_i(A) \subseteq A_i$이다.

$A = \displaystyle \prod_{k\in I}A_k\ne \emptyset$이므로 일반 데카르트곱 정리로 모든 $k\in I$에 대해 $A_k\ne \emptyset$가 되어

$i\ne j$인 모든 $j \in I$에 대해 선택 정리로 $x_j \in A_j$를 선택할때

모든 $x_i\in A_i$와 모든 $k\in I$에 대해 $x(k) = \begin{cases} x_i & k=i \\[0.5em] x_k & k\ne i\end{cases}$인 함수 $x: I \to \displaystyle \bigcup_{k\in I}A_k$는

일반 데카르트곱의 정의로 $x\in \displaystyle \prod_{k\in I}A_k \subseteq \prod_{k\in I}X_k$이고

$x_i = x(i) =p_i(x) \in p_i(A)$임에 따라 $A_i\subseteq p_i(A)$가 되어 집합 정리로 $p_i(A) =A_i$이다.

2.

$X\ne \emptyset$이므로 1번으로 $p_i(X) =X_i$가 되어 전사함수 정리로 $p_i$는 전사이다.

3.

모든 $x\in p_i^{-1}(A_i)$는 $x(i)=p_i(x)\in A_i$이고

역상의 정의로 $x\in p_i^{-1}(A_i) \subseteq X =\displaystyle \prod_{k\in I}X_k$이므로 $i\ne j$인 모든 $j\in I$에 대해 $x(j) \in X_j = A_j$가 되어

일반 데카르트곱의 정의로 $x\in \displaystyle \prod_{k\in I}A_k$임에 따라 $p_i^{-1}(A_i) \subseteq \displaystyle \prod_{k\in I}A_k$이고

모든 $x\in \displaystyle \prod_{k\in I}A_k$는 $p_i(x) = x(i)\in A_i$이므로 $x\in p_i^{-1}(A_i)$가 되어 $\displaystyle \prod_{k\in I}A_k\subseteq p_i^{-1}(A_i)$이고

집합 정리로 $p_i^{-1}(A_i) = \displaystyle \prod_{k\in I}A_k$이다.

4.

모든 $x\in \displaystyle \bigcap_{k\in I} p_k^{-1}(A_k)$는 교집합의 정의로 모든 $k\in I$에 대해 $x\in p_k^{-1}(A_k)$이므로 $x(k) = p_k(x)\in A_k$가 되어

일반 데카르트곱의 정의로 $x\in \displaystyle \prod_{k\in I}A_k$임에 따라 $\displaystyle \bigcap_{k\in I} p_k^{-1}(A_k) \subseteq \prod_{k\in I}A_k$이고

모든 $x\in \displaystyle \prod_{k\in I}A_k$는 일반 데카르트곱의 정의로 모든 $k\in I$에 대해 $p_k(x) =x(k)\in A_k$이므로 $x\in p_k^{-1}(A_k)$가 되어

교집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcap_{k\in I} p_k^{-1}(A_k)$이고 $\displaystyle \prod_{k\in I}A_k\subseteq \bigcap_{k\in I} p_k^{-1}(A_k)$임에 따라 집합 정리로 $\displaystyle \bigcap_{k\in I} p_k^{-1}(A_k) =\prod_{k\in I}A_k$이다.

 

 

 

정리5

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때

임의의 집합 $J$에 대해 전단사함수 $\varphi:J\to I$가 존재하면

$\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{T}_I)$와 $\{ (X_{\varphi(j)},\mathcal{T}_{\varphi(j)}) : j\in J\}$의 곱공간 $(\displaystyle \prod_{j\in J}X_{\varphi(j)},\mathcal{T}_J)$는 위상동형이다.

증명

위 정리로 임의의 $\displaystyle x\in  \prod_{i\in I}X_i$에 대해 $f(x) = x\circ \varphi$인 함수 $f: \displaystyle \prod_{i\in I}X_i \to \prod_{j\in J}X_{\varphi(j)}$는 전단사이고

역함수 정리로 $f$의 역함수 $f^{-1}: \displaystyle \prod_{j\in J}X_{\varphi(j)}\to \prod_{i\in I}X_i$이 존재하여 $f^{-1}$은 전단사이다.

임의의 $i_0\in I$에 대해 $\displaystyle \prod_{i\in I}X_i$의 $i_0$-좌표 사영함수가 $p_{i_0} : \displaystyle \prod_{i\in I}X_i\to X_{i_0}$이고

임의의 $j_0\in J$에 대해 $\displaystyle \prod_{j\in J}X_{\varphi(j)}$의 $j_0$-좌표 사영함수가 $q_{j_0} : \displaystyle \prod_{j\in J}X_{\varphi(j)}\to X_{\varphi(j_0)}$일때

위 정리로 $\mathcal{S}_I = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ p_i^{-1}(O_i) : O_i\in \mathcal{T}_i \}$는 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{T}_I)$의 부분기저이고

전사의 정의로 $J\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{S}_J = \displaystyle \bigcup_{j\in J} \{ q_j^{-1}(O_{\varphi(j)}) : O_{\varphi(j)}\in \mathcal{T}_{\varphi(j)} \}$는 $(\displaystyle \prod_{j\in J}X_{\varphi(j)},\mathcal{T}_J)$의 부분기저이다.

임의의 $i\in I$와 임의의 $j\in J$가 $i = \varphi(j)$이면 임의의 $O_i\in \mathcal{T}_i$와 임의의 $O_{\varphi(j)}\in \mathcal{T}_{\varphi(j)}$에 대해

임의의 $y\in f(p_i^{-1}(O_i))$는 $y = f(x)$인 $x\in p_i^{-1}(O_i)$가 존재하여

$q_j(y)=q_j(f(x))=q_j(x\circ \varphi) =(x\circ \varphi)(j) =x(\varphi(j))=x(i) =p_i(x) \in O_i = O_{\varphi(j)}$임에 따라

$y\in q_j^{-1}(O_{\varphi(j)})$이고 $f(p_i^{-1}(O_i))\subseteq q_j^{-1}(O_{\varphi(j)})$이다.

임의의 $y\in q_j^{-1}(O_{\varphi(j)})$는 $y\in \displaystyle \prod_{j\in J}X_{\varphi(j)}$이므로 전사의 정의로 $y = f(x)$인 $\displaystyle x\in  \prod_{i\in I}X_i$가 존재하여

$p_i(x)=x(i)= x(\varphi(j))=(x\circ \varphi)(j) = q_j(x\circ \varphi)= q_j(f(x))= q_j(y) \in O_{\varphi(j)} = O_i$이고

$x\in p_i^{-1}(O_i)$임에 따라 $y  = f(x) \in f(p_i^{-1}(O_i))$이므로 $q_j^{-1}(O_{\varphi(j)})\subseteq f(p_i^{-1}(O_i))$가 되어

집합 정리로 $f(p_i^{-1}(O_i))=q_j^{-1}(O_{\varphi(j)})$이고 함수 정리로 $p_i^{-1}(O_i) =f^{-1}(f(p_i^{-1}(O_i)))= f^{-1}(q_j^{-1}(O_{\varphi(j)}))$이다.

모든 $i\in I$에 대해 전사의 정의로 $i =\varphi(j)$인 $j\in J$가 존재하여

모든 $O_i\in \mathcal{T}_i$에 대해 함수 정리로 $(f^{-1})^{-1}(p_i^{-1}(O_i)) =f(p_i^{-1}(O_i))=q_j^{-1}(O_{\varphi(j)})\in \mathcal{S}_J \subseteq \mathcal{T}_J$이므로 

위상공간의 정의와 부분기저 정리로 $f^{-1}$은 $(\displaystyle \prod_{j\in J}X_{\varphi(j)},\mathcal{T}_J)$에서 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{T}_I)$로의 연속함수이고

모든 $j\in J$에 대해 $\varphi(j)\in I$이므로 $\varphi(j) = i$로 둘때

모든 $O_{\varphi(j)}\in \mathcal{T}_{\varphi(j)}$에 대해 $f^{-1}(q_j^{-1}(O_{\varphi(j)})) = p_i^{-1}(O_i)\in \mathcal{S}_I\subseteq \mathcal{T}_I$가 되어

위상공간의 정의와 부분기저 정리로 $f$는 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{T}_I)$에서 $(\displaystyle \prod_{j\in J}X_{\varphi(j)},\mathcal{T}_J)$로의 연속함수이므로

$f$는 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{T}_I)$에서 $(\displaystyle \prod_{j\in J}X_{\varphi(j)},\mathcal{T}_J)$로의 위상동형사상이고 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{T}_I)$와 $(\displaystyle \prod_{j\in J}X_{\varphi(j)},\mathcal{T}_J)$는 위상동형이다.

 

 

 

정리6

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때

$I$가 가산집합이고 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 분해가능하면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 분해가능하다.

증명

$X = \emptyset$이면 위상공간의 정의로 $\mathcal{T} = \{ \emptyset\} = \{ \emptyset,X\}$이므로 자명위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 분해가능하다.

$X \ne \emptyset$이면 일반 데카르트곱 정리로 모든 $i\in I$에 대해 $X_i\ne \emptyset$이고 $(X_i,\mathcal{T}_i)$는 분해가능하므로

$(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 조밀하고 가산집합인 $A_i\subseteq X_i$가 존재함에 따라 선택 정리로 $A_i$를 선택할때

$X_i\ne \emptyset$이므로 위상공간의 정의와 조밀집합 정리와 집합 정리로 $A_i = X_i\cap A_i\ne \emptyset$이다.

$I\ne \emptyset$이므로 $i\in I$가 존재하여 $\{i\}\subseteq I$이고 $\{i\}$가 유한집합임에 따라

가산집합 정리로 $I$의 멱집합 $\mathcal{P}(I)$에 대해 $\mathcal{F}_I = \{ J\in \mathcal{P}(I) : J\text{는 유한집합} \}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 

일반 데카르트곱 정리로 $\displaystyle \prod_{i\in I}A_i\ne \emptyset$이므로 $a\in \displaystyle \prod_{i\in I}A_i$가 존재하여

임의의 $x\in X$에 대해 $I_x = \{i\in I: x(i) \ne a(i) \}$일때

$D = \{ x\in X : \text{모든 }i\in I \text{ 에 대해 }x(i)\in A_i\text{이고 } I_x\text{가 유한집합} \}$이고

임의의 $J\in \mathcal{F}_I$에 대해 $D_J = \{ x\in D : \text{모든 }i\in I\setminus J \text{에 대해 } x(i) = a(i)\}$이면

임의의 $x\in D_J$는 $x\in D$이므로 모든 $i\in I$에 대해 $x(i)\in A_i$가 되어

제한함수의 정의로 모든 $j\in J$에 대해 $x|_J(j) =x(j) \in A_j$임에 따라 $x|_J \in \displaystyle \prod_{j\in J}A_j$이고

$f_J(x) = x|_J$인 함수 $f_J : D_J \to \displaystyle \prod_{j\in J}A_j$는 $x|_J = f_J(x) = f_J(y) =y|_J$인 임의의 $x,y\in D_J$가

모든 $i\in I$에 대해 $i\in J$이면 $x(i)=x|_J(i) = y|_J(i) = y(i)$이고

$i\notin J$이면 $x(i) = a(i) = y(i)$가 되어 $x = y$이므로 $f_J$는 단사이다.

자연수집합 $\mathbb{N}$과 모든 $i\in I$에 대해 집합의 크기 정리로 $|A_i|\underline{\in} \mathbb{N}$이므로

집합의 크기 정리와 위 정리와 자연수집합 정리와 기수 정리와 기수 정리로

모든 $J\in \mathcal{F}_I$에 대해 $\displaystyle |D_J| \underline{\in} \left | \prod_{j\in J} A_j\right| \underline{\in} \mathbb{N}^{|J|} \underline{\in} \mathbb{N}$이 되어 집합의 크기 정리로 $D_J$는 가산집합이다.

모든 $x\in D$에 대해 $I_x$는 유한집합이고 $I_x\subseteq I$이므로 $I_x\in \mathcal{F}_I$가 되어

모든 $i\in I\setminus I_x$에 대해 $i\notin I_x$임에 따라 $x(i) = a(i)$이고 $x\in D_{I_x}\subseteq \displaystyle \bigcup_{J\in \mathcal{F}_I}D_J$이므로 $D\subseteq \displaystyle \bigcup_{J\in \mathcal{F}_I}D_J$이다.

모든 $J\in \mathcal{F}_I$에 대해 $D_J\subseteq D$이므로 $\displaystyle \bigcup_{J\in \mathcal{F}_I}D_J \subseteq D$가 되어 집합 정리로 $D=\displaystyle \bigcup_{J\in \mathcal{F}_I}D_J$임에 따라

가산집합 정리와 위 정리와 가산집합 정리로 $D$는 가산집합이다.

임의의 $i\in I$에 대해 $X$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_{i} : X \to X_{i}$일때

위 정리로 $\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ p_i^{-1}(O_i) : O_i\in \mathcal{T}_i \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이므로

$\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 

$O\ne \emptyset$인 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$인 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하여

어떤 $x\in O$가 존재함에 따라 $x\in B$인 $B\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하고 $B = p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})$이 되는

$n\in $ $\mathbb{Z}^+$과 $i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$과 $(O_{i_1},O_{i_2},\cdots ,O_{i_n})\in \mathcal{T}_{i_1}\times \mathcal{T}_{i_2}\times \cdots\times \mathcal{T}_{i_n}$이 존재한다.

정렬성으로 $n$이 최소라고 가정할때

$k\ne r$이고 $i =i_k = i_r$인 $k,r = 1,2,\cdots, n$이 존재하면 위상공간의 정의로 $O_{i_k}\cap O_{i_r} \in \mathcal{T}_i$이고

함수 정리로 $p_{i_k}^{-1}(O_{i_k}) \cap p_{i_r}^{-1}(O_{i_r}) = p_{i}^{-1}(O_{i_k})\cap p_i^{-1}(O_{i_r}) = p_i^{-1}(O_{i_k}\cap O_{i_r})$이므로 $n$이 최소임에 모순이 되어

모든 $k,r =1,2,\cdots,n$에 대해 $i_k = i_r$이면 $k=r$이다.

모든 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해 $x\in B = p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})\subseteq p_{i_k}^{-1}(O_{i_k})$이므로 

$p_{i_k}(x) \in O_{i_k}$가 되어 $O_{i_k}\ne \emptyset$임에 따라 조밀집합 정리로 $A_{i_k} \cap O_{i_k}\ne \emptyset$이고 $y_{i_k}\in A_{i_k}\cap O_{i_k}$가 존재한다.

임의의 $i\in I$에 대해

$i = i_k$인 $k=1,2,\cdots,n$가 존재하면 $k$는 유일하므로 $y(i) = y(i_k) = y_{i_k}\in A_{i_k}\cap O_{i_k}\subseteq A_{i_k}\subseteq X_{i_k}$이고

$i\notin \{ i_1,i_2,\cdots,i_n\}$이면 $y(i) = a(i)\in A_i\subseteq X_i$인 함수 $y : I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I} X_i$를 정의할때

$y\in X$이고 모든 $i\in I$에 대해 $y(i)\in A_i$이므로

$I_y \subseteq \{ i_1,i_2,\cdots,i_n\}$이고 유한집합 정리로 $I_y$가 유한집합임에 따라 $y\in D$이다.

모든 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해 $p_{i_k}(y) = y(i_k) \in A_{i_k}\cap O_{i_k} \subseteq O_{i_k}$이므로 $y\in p_{i_k}^{-1}(O_{i_k})$가 되어 

$y\in p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) = B \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O} = O$임에 따라 

$y\in D\cap O$이고 $D\cap O\ne \emptyset$이므로 조밀집합 정리로 $D$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하여 $(X,\mathcal{T})$는 분해가능하다.

 

 

 

정리7

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 임의의 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$가 $(X,\mathcal{T})$의 기저이기 위한 필요충분조건은

모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해 $x\in B_x\subseteq O$인 $B_x\in \mathcal{B}$가 존재하는 것이다.

증명

$\mathcal{B}$가 $(X,\mathcal{T})$의 기저이면

$\mathcal{T}= \{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\}$이므로 모든 $O\in \mathcal{T}$는 $O =\displaystyle \bigcup \mathcal{O}$인 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하여

모든 $x\in O$에 대해 $x\in B$인 $B\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하고 $x\in B\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O} = O$이다.

역으로 조건이 성립하면 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이므로 위상공간의 정의로 $\{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\}\subseteq \mathcal{T}$이다.

임의의 $O\in \mathcal{T}$에 대해 $\mathcal{O} = \{ B\in \mathcal{B} : B\subseteq O\}$는 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$이므로

임의의 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$는 $x\in B$인 $B\in \mathcal{O}$가 존재하여 $x\in B\subseteq O$임에 따라 $ \displaystyle \bigcup \mathcal{O}\subseteq O$이고

모든 $x\in O$에 대해 $x \in B_x\subseteq O$인 $B_x\in \mathcal{B}$가 존재하여 $B_x\in \mathcal{O}$이므로 $x\in B_x\subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O}$이고

$ \displaystyle O\subseteq  \bigcup \mathcal{O}$임에 따라 집합 정리로 $\displaystyle O= \bigcup \mathcal{O} $가 되어

$\mathcal{T}\subseteq \{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\}$이므로 집합 정리로 $\mathcal{T}=\{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\}$이고 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

 

 

 

정리8

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때

$X$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_{i} : X \to X_{i}$이고 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간이 $(X,\mathcal{T})$이면 다음이 성립한다.

1. 임의의 $x\in X$와 모든 $i\in I$에 대해 $x(i)$에 대한 $(X_i,\mathcal{T}_i)$의 국소기저 $\mathcal{B}_{x(i)}$가 유일하게 존재할때

$\mathcal{S}_x = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ p_i^{-1}(B_i) : B_i\in \mathcal{B}_{x(i)} \}$에 대해

$\displaystyle \mathcal{B}_x = \bigcup_{n=1}^\infty\{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}_x^n\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

2. 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$의 기저 $\mathcal{B}_i$가 유일하게 존재할때 $\displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ p_i^{-1}(B_i) : B_i\in \mathcal{B}_{i} \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이다.

3. $I$가 가산집합이고 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 제1가산공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 제1가산공간이다.

4. $I$가 가산집합이고 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 제2가산공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 제2가산공간이다.

증명

위 정리로 $\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ p_i^{-1}(O_i) : O_i\in \mathcal{T}_i \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이므로

$\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

1.

국소기저의 정의로

모든 $i\in I$에 대해 $\mathcal{B}_{x(i)}\subseteq \mathcal{T}_i$이고 모든 $B_i\in \mathcal{B}_{x(i)}$에 대해 $p_i(x)=x(i)\in B_i$임에 따라 $x \in p_i^{-1}(B_i)$이다.

모든 $O\in \mathcal{B}_x$는 $O = p_{i_1}^{-1}(B_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(B_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(B_{i_n})$인

$n\in $ $\mathbb{Z}^+$과 $i_1,i_2,\cdots ,i_n\in I$과 $(B_{i_1},B_{i_2},\cdots,B_{i_n})\in \mathcal{B}_{x(i_1)} \times \mathcal{B}_{x(i_2)}\times \cdots \times \mathcal{B}_{x(i_n)}$이 존재하여

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $x\in p_{i_k}^{-1}(B_{i_k})$이므로 $x\in p_{i_1}^{-1}(B_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(B_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(B_{i_n}) = O$이고

$B_{i_k}\in \mathcal{B}_{x(i_k)}\subseteq \mathcal{T}_{i_k}$임에 따라 위 정리와 연속함수 정리로 $p_{i_k}^{-1}(B_{i_k})\in \mathcal{T}$이므로

위상공간 정리로 $O = p_{i_1}^{-1}(B_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(B_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(B_{i_n})\in \mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{B}_x\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린근방 $V$는 $x\in V\in \mathcal{T}$이므로

위 정리로 $x\in B\subseteq V$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $B = p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})$인

$n\in \mathbb{Z}^+$과 $i_1,i_2,\cdots ,i_n\in I$과 $(O_{i_1},O_{i_2},\cdots,O_{i_n})\in \mathcal{T}_{i_1} \times \mathcal{T}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{T}_{i_n}$이 존재하고

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $x\in p_{i_k}^{-1}(O_{i_k})$이므로 $x(i_k) = p_{i_k}(x)\in O_{i_k}$가 되어

국소기저의 정의로 $B_{i_k}\subseteq O_{i_k}$인 $B_{i_k}\in \mathcal{B}_{x(i_k)}$가 존재함에 따라 

$ p_{i_1}^{-1}(B_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(B_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(B_{i_n}) \subseteq p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) =B \subseteq  V$이고

$p_{i_k}^{-1}(B_{i_k})\in \mathcal{S}_x$이므로 $p_{i_1}^{-1}(B_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(B_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(B_{i_n})\in \mathcal{B}_x$가 되어 $\mathcal{B}_x$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

2.

$\mathcal{S}_I = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ p_i^{-1}(B_i) : B_i\in \mathcal{B}_{i} \}$이고 $\mathcal{B}_I = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}_I^n \}$일때

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $i_1,i_2,\cdots ,i_n\in I$과 모든 $(B_{i_1},B_{i_2},\cdots,B_{i_n})\in \mathcal{B}_{i_1} \times \mathcal{B}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{B}_{i_n}$은

기저의 정의로 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_{i_k}\in \mathcal{B}_{i_k}\subseteq \mathcal{T}_{i_k}$이므로 $p_{i_k}^{-1}(B_{i_k})\in \mathcal{S}$가 되어 $\mathcal{S}_I\subseteq \mathcal{S}\subseteq \mathcal{T}$이고

$p_{i_1}^{-1}(B_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(B_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(B_{i_n})\in \mathcal{B}$이므로 $\mathcal{B}_I\subseteq \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이다.

위 정리로 모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해

$x\in B\subseteq O$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $B = p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})$인

$n\in \mathbb{Z}^+$과 $i_1,i_2,\cdots ,i_n\in I$과 $(O_{i_1},O_{i_2},\cdots,O_{i_n})\in \mathcal{T}_{i_1} \times \mathcal{T}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{T}_{i_n}$이 존재하고

모든 $k=1,2,\cdots, n$에 대해 $x\in p_{i_k}^{-1}(O_{i_k})$이므로 $p_{i_k}(x) \in O_{i_k}$가 되어 

위 정리로 $p_{i_k}(x) \in B_{i_k}\subseteq O_{i_k}$인 $B_{i_k}\in \mathcal{B}_{i_k}$가 존재하고 $x\in p_{i_k}^{-1}(B_{i_k})$임에 따라

$x\in p_{i_1}^{-1}(B_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(B_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(B_{i_n}) \subseteq p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})=B\subseteq O$이고

$p_{i_1}^{-1}(B_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(B_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(B_{i_n}) \in \mathcal{B}_I$이므로

위 정리로 $\mathcal{B}_I$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 $\mathcal{S}_I$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이다.

3.

임의의 $x\in X$는 모든 $i\in I$에 대해 $x(i)\in X_i$이므로

제1가산공간의 정의로 $x(i)$에 대한 $(X_i,\mathcal{T}_i)$의 국소기저 $\mathcal{B}_{x(i)}$가 존재하여 $\mathcal{B}_{x(i)}$는 가산집합이고

선택 정리로 $\mathcal{B}_{x(i)}$를 선택할때 함수 정리로 $\{ p_i^{-1}(B_i) : B_i\in \mathcal{B}_{x(i)} \}$는 가산집합이므로 

가산집합 정리로 $\mathcal{S}_x = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ p_i^{-1}(B_i) : B_i\in \mathcal{B}_{x(i)} \}$는 가산집합이다.

모든 $n\in\mathbb{Z}^+$에 대해 집합의 크기 정리와 집합의 크기 정리와 기수 정리로 $n$-데카르트곱 $\mathcal{S}_x^n$은 가산집합이므로 

함수 정리로 $\{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}_x^n\}$은 가산집합이 되어

가산집합 정리로 $\displaystyle \mathcal{B}_x = \bigcup_{n=1}^\infty\{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}_x^n\}$는 가산집합이고

1번으로 $\mathcal{B}_x$가 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 제1가산공간이다.

4.

제2가산공간의 정의로 가산집합인 $(X_i,\mathcal{T}_i)$의 기저 $\mathcal{B}_{i}$가 존재하므로 선택 정리로 $\mathcal{B}_{i}$를 선택할때

함수 정리로 $\{ p_i^{-1}(B_i) : B_i\in \mathcal{B}_{i} \}$는 가산집합이므로 

가산집합 정리로 $\mathcal{S}_I = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ p_i^{-1}(B_i) : B_i\in \mathcal{B}_{i} \}$는 가산집합이다.

모든 $n\in\mathbb{Z}^+$에 대해 집합의 크기 정리와 집합의 크기 정리와 기수 정리로 $n$-데카르트곱 $\mathcal{S}_I^n$은 가산집합이므로 

함수 정리로 $\{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}_I^n\}$은 가산집합이 되어

가산집합 정리로 $\mathcal{B}_I = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}_I^n \}$는 가산집합이고 

2번과 부분기저의 정의로 $\mathcal{B}_I$가 $(X,\mathcal{T})$의 기저임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 제2가산공간이다.

 

 

 

정리9

거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 임의의 $x,y\in X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $d_1(x,y) = $ $\min$$\{ 1, d(x,y) \}$인 함수 $d_1 :X\times X\to [0,\infty)$에 대해 $(X,d_1)$은 거리공간이다.

2. $d_2(x,y) = \dfrac{d(x,y)}{1+d(x,y)} $인 함수 $d_2 :X\times X\to [0,\infty)$에 대해 $(X,d_2)$는 거리공간이다.

3. $(X,d_1)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_1)$에 대해 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_1$이다.

4. $(X,d_2)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_2)$에 대해 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_2$이다.

증명

1.

임의의 $x\in X$에 대해 거리공간의 정의로 $d(x,x) = 0$이고 $0< 1$이므로

최소원소의 정의로 $d_1(x,x) = \min \{ 1,d(x,x) \} = \min \{ 1,0\} = 0$이다.

$x\ne y$인 임의의 $x,y\in X$에 대해 거리공간의 정의로 $d(x,y) > 0$이고 $1 >0$이므로

최소원소의 정의로 $d_1(x,y) = \min \{ 1,d(x,y) \} > 0$이다.

임의의 $x,y\in X$에 대해 거리공간의 정의로 $d(x,y) = d(y,x)$이므로 $ \{ 1,d(x,y) \} = \{ 1,d(y,x)\}$가 되어

$d_1(x,y) = \min \{ 1,d(x,y) \} = \min \{ 1,d(y,x)\} = d_1(y,x)$이다.

임의의 $x,y,z\in X$에 대해 거리공간의 정의로 $d(x,z)\le d(x,y) + d(y,z)$이므로

최소원소의 정의로 $\min \{ 1,d(x,z)\} \le \min \{ 1, d(x,y) + d(y,z)\}$이고

$d(x,y) + d(y,z) \le 1$이면 $d(x,y)\le d(x,y) + d(y,z) \le 1$과 $d(y,z)\le d(x,y) + d(y,z) \le 1$이 성립하여

$\min \{ 1, d(x,y) + d(y,z)\} = d(x,y) + d(y,z) = \min \{ 1,d(x,y)\} +\min\{ 1,d(y,z)\}$이다.

$1< d(x,y) + d(y,z)$일때 $\min \{ 1, d(x,y) + d(y,z)\} = 1$이므로 

$d(x,y)\le 1$이고 $d(y,z)\le 1$이면 

$\min \{ 1, d(x,y) + d(y,z)\} = 1 < d(x,y) +d(y,z) = \min \{ 1,d(x,y)\} +\min\{ 1,d(y,z)\}$이고

$d(x,y)\le 1 < d(y,z)$이면 

$\min \{ 1, d(x,y) + d(y,z)\} = 1 \le d(x,y) +1 = \min \{ 1,d(x,y)\} +\min\{ 1,d(y,z)\}$이고

$d(y,z)\le 1 < d(x,y)$이면 

$\min \{ 1, d(x,y) + d(y,z)\} = 1 \le 1+ d(y,z) = \min \{ 1,d(x,y)\} +\min\{ 1,d(y,z)\}$이고

$1<d(x,y)$이고 $1< d(y,z)$이면

$\min \{ 1, d(x,y) + d(y,z)\} = 1 < 1+ 1 = \min \{ 1,d(x,y)\} +\min\{ 1,d(y,z)\}$이다.

$d_1(x,z) = \min \{ 1,d(x,z)\} \le \min \{ 1, d(x,y) + d(y,z)\}\le \min \{ 1,d(x,y)\} + \min \{ 1,d(y,z)\} = d_1(x,y) + d_1(y,z)\text{ 이므로}$

$(X,d_1)$은 거리공간이다.

2.

임의의 $x\in X$에 대해 거리공간의 정의로 $d(x,x) = 0$이므로 $d_2(x,x) = \dfrac{d(x,x)}{1+d(x,x)} = \dfrac{0}{1} = 0$이다.

$x\ne y$인 임의의 $x,y\in X$에 대해 거리공간의 정의로 $d(x,y) > 0$이므로 $d_2(x,y) = \dfrac{d(x,y)}{1+d(x,y)} > 0$이다.

임의의 $x,y\in X$에 대해 거리공간의 정의로 $d(x,y) = d(y,x)$이므로

$d_2(x,y) = \dfrac{d(x,y)}{1+d(x,y)} = \dfrac{d(y,x)}{1+d(y,x)} = d_2(y,x)$이다.

함수 정리로 임의의 $t\in (-1,\infty)$에 대해 $f(t) = \dfrac{t}{1+t}$인 함수 $f: (-1,\infty)\to \mathbb{R}$는 $(-1,\infty)$에서 순증가하므로

임의의 $x,y,z\in X$에 대해 거리공간의 정의로 $d(x,z)\le d(x,y) + d(y,z)$이고

$1+d(x,y) \le 1 + d(x,y) + d(y,z)$와 $1+d(y,z) \le 1+d(x,y) + d(y,z)$가 성립함에 따라 증가함수의 정의로

$ \begin{align*} d_2(x,z) & = \dfrac{d(x,z)}{1+d(x,z)} =f(d(x,z)) \\[0.5em] & \le f(d(x,y) + d(y,z))  = \dfrac{d(x,y) + d(y,z)}{1+d(x,y) + d(y,z)}  = \dfrac{d(x,y)}{1+d(x,y) + d(y,z)}+\dfrac{d(y,z)}{1+d(x,y) + d(y,z)} \\[0.5em] & \le \dfrac{d(x,y)}{1+d(x,y)} + \dfrac{d(y,z)}{1+d(y,z)} = d_2(x,y) + d_2(y,z)\text{ 가 되어} \end{align*}$

$(X,d_2)$는 거리공간이다.

3.

거리위상공간의 정의로 $\mathcal{B}_1 = \{ \underset{(X,d_1)}{B}(x,r) : x\in X,r\in (0,\infty)\}$은 $(X,\mathcal{T}_1)$의 기저이다.

모든 $x\in X$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 열린공의 정의로

임의의 $y\in \underset{(X,d_1)}{B}(x,r) \subseteq X$는 $\min \{ 1,d(x,y)\} =d_1(x,y) < r$이므로 

$d_1(x,y) = d(x,y)$이면 $r-d(x,y) =r-d_1(x,y) > 0$이고

임의의 $z\in \underset{(X,d)}{B}(y, r -d(x,y))$는 최소원소의 정의와 거리공간의 정의로

$d_1(x,z) = \min\{1,d(x,z)\} \le d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) < d(x,y) + r -d(x,y) = r$이 되어

$z \in \underset{(X,d_1)}{B}(x,r)$임에 따라 $\underset{(X,d)}{B}(y, r -d(x,y)) \subseteq \underset{(X,d_1)}{B}(x,r)$이다.

$d_1(x,y) = 1$이면

임의의 $z\in \underset{(X,d)}{B}(y, 1)$에 대해 최소원소의 정의로 $d_1(x,z) = \min \{ 1,d(x,z)\} \le 1 = d_1(x,y) < r$이 되어

$z \in \underset{(X,d_1)}{B}(x,r)$이므로 $\underset{(X,d)}{B}(y, 1) \subseteq \underset{(X,d_1)}{B}(x,r)$이고

거리공간 정리와 위상공간 정리로 $\underset{(X,d_1)}{B}(x,r)\in \mathcal{T}$임에 따라 $\mathcal{B}_1\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해 거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x)\subseteq O$인 $r_x>0$가 존재하여

모든 $y\in \underset{(X,d_1)}{B}(x,\min\{1,r_x\})$는 $\min \{ 1 ,d(x,y) \} = d_1(x,y)< \min \{ 1, r_x\}$이므로

$d_1(x,y) = 1$이면 $1 = d_1(x,y) < \min\{ 1,r_x\}\le 1$임에 따라 모순이고

$d_1(x,y) = d(x,y)$이면 $d(x,y) = d_1(x,y) < \min\{ 1,r_x\}\le r_x$임에 따라 $y\in \underset{(X,d)}{B}(x,r_x)\subseteq O$가 되어

$x\in \underset{(X,d_1)}{B}(x,\min\{1,r_x\})\subseteq O$이므로 위 정리로 $\mathcal{B}_1$은 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 $\mathcal{T}_1 = \{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}_1\} = \mathcal{T}$이다.

4.

거리위상공간의 정의로 $\mathcal{B}_2 = \{ \underset{(X,d_2)}{B}(x,r) : x\in X,r\in (0,\infty)\}$는 $(X,\mathcal{T}_2)$의 기저이다.

모든 $x\in X$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 열린공의 정의로 임의의 $y\in \underset{(X,d_2)}{B}(x,r) \subseteq X$는 

$r\ge 1$일때

임의의 $z\in \underset{(X,d)}{B}(y, 1)$에 대해 $d(x,z) < 1 + d(x,z)$이므로 $d_2(x,z) = \dfrac{d(x,z)}{ 1 + d(x,z)} < 1\le r$이 되어

$z \in \underset{(X,d_2)}{B}(x,r)$임에 따라 $\underset{(X,d)}{B}(y, 1)\subseteq \underset{(X,d_2)}{B}(x,r)$이다.

$r < 1$일때

$d_2(x,y) < r$이므로 $0 < r - d_2(x,y) \le r <1$이 되어 함수 정리로

임의의 $s\in (-\infty, 1)$에 대해 $g(s) = \dfrac{s}{1-s}$인 함수 $g: (-\infty,1)\to \mathbb{R}$가 $g((0,1)) = (0,\infty)$임에 따라

임의의 $z\in \underset{(X,d)}{B}(y, g(r-d_2(x,y)))$는 $0\le d(y,z) < g(r-d_2(x,y))$이고 함수 정리로

임의의 $t\in (-1,\infty)$에 대해 $f(t) = \dfrac{t}{1+t}$인 함수 $f: (-1,\infty)\to \mathbb{R}$는 $(-1,\infty)$에서 순증가하므로

함수 정리로 $d_2(y,z)=\dfrac{d(y,z)}{1+d(y,z)}=f(d(y,z))< f(g(r-d_2(x,y))) = r-d_2(x,y)$가 되어

$d_2(x,z) \le d_2(x,y) + d_2(y,z) < d_2(x,y) + r-d_2(x,y) = r$임에 따라

 $z \in \underset{(X,d_2)}{B}(x,r)$이고 $\underset{(X,d)}{B}(y, g(r-d_2(x,y)))\subseteq \underset{(X,d_2)}{B}(x,r)$이 되어

거리공간 정리와 위상공간 정리로 $\underset{(X,d_2)}{B}(x,r)\in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{B}_2\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해

거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x)\subseteq O$인 $r_x>0$가 존재하여 함수 정리로 $f((0,\infty)) = (0,1)$이므로 

모든 $y\in \underset{(X,d_2)}{B}(x,f(r_x))$에 대해 $f(d(x,y))=\dfrac{d(x,y)}{1+d(x,y)} = d_2(x,y) < f(r_x)$이고

함수 정리로 $d(x,y) = g(f(d(x,y))) < g(f(r_x))=r_x$임에 따라 $y\in \underset{(X,d)}{B}(x,r_x)\subseteq O$이므로

$x\in \underset{(X,d_2)}{B}(x,f(r_x))\subseteq O$가 되어 위 정리로 $\mathcal{B}_2$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 $\mathcal{T}_2 = \{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}_2\} = \mathcal{T}$이다.

 

 

 

정리10

양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$의 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 유일한 거리공간 $(X_k,d_k)$가 존재하고

$(X_k,d_k)$의 거리위상공간이 $(X_k,\mathcal{T}_k)$이고 $\{ (X_k,\mathcal{T}_k) : k\in \mathbb{Z}^+\}$의 곱공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

모든 $x_k,y_k\in X_k$가 $\rho_k(x_k,y_k) = \min\{1,d_k(x_k,y_k)\}$인 함수 $\rho_k :X_k\times X_k\to [0,\infty)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x,y\in X$에 대해 실수열 $\left( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} \right )_{n=1}^\infty$은 수렴한다.

2. 모든 $x,y\in X$가 $d(x,y) =\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k}$인 함수 $d:X\times X\to [0,\infty)$에 대해 $(X,d)$는 거리공간이다.

3. $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_d)$에 대해 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_d$이다.

증명

위 정리로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(X_k,\rho_k)$는 거리공간이고 $(X_k,\rho_k)$의 거리위상공간은 $(X_k,\mathcal{T}_k)$이다.

1.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$와 모든 $x_k,y_k\in X_k$에 대해

최소원소의 정의로 $\rho_k(x_k,y_k)=\min \{ 1,d_k(x_k,y_k)\}\le 1$이므로 $0\le \dfrac{\rho_k(x_k,y_k)}{2^k} \le \dfrac{1}{2^k}$이고

급수 정리와 급수 정리로 실수열 $\left( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^k} \right )_{n=1}^\infty$은 수렴하므로 급수 정리로 유계가 되어 모든 $x,y\in X$에 대해

$\left( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} \right )_{n=1}^\infty$이 유계임에 따라 급수 정리로 $\left( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} \right )_{n=1}^\infty$은 수렴한다.

2.

1번으로 모든 $x,y\in X$에 대해 실수열 $\left( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} \right )_{n=1}^\infty$은 수렴하므로

$d(x,y) =\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} = \lim_{n\to \infty} \left (\sum_{k=1}^n\dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} \right )$인 함수 $d:X\times X\to [0,\infty)$가 존재한다.

모든 $x\in X$와 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 거리공간의 정의로 $\rho_k(x(k),x(k)) = 0$이므로

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\rho_k(x(k),x(k))}{2^k} = 0$이 되어 실수열 정리로 $d(x,y) =\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} = 0$이다.

임의의 $x,y\in X$가 $x\ne y$이면

함수의 상등으로 $x(m)\ne y(m)$인 $m \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 거리공간의 정의로 $\rho_m(x(m),y(m)) > 0$이므로

$n\ge m$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} \ge \dfrac{\rho_m(x(m),y(m))}{2^m} > 0$임에 따라

꼬리수열 정리와 수열 부등식 정리로 $\displaystyle d(x,y)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} \ge \dfrac{\rho_m(x(m),y(m))}{2^m} > 0$이다.

임의의 $x,y\in X$와 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 거리공간의 정의로 $\rho_k(x(k),y(k)) = \rho_k(y(k),x(k))$이므로 

수열 수렴의 정의로 $\displaystyle d(x,y)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k}= \sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(y(k),x(k))}{2^k} = d(y,x)$이다.

임의의 $x,y,z\in X$와 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해

거리공간의 정의로 $\rho_k(x(k),z(k))\le \rho_k(x(k),y(k)) + \rho_k(y(k),z(k))$이므로

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\rho_k(x(k),z(k))}{2^k}\le \sum_{k=1}^n\dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} + \sum_{k=1}^n\dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k}$가 되어

수열 덧셈 정리와 수열 부등식 정리로

$\displaystyle d(x,z)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac{\rho_k(x(k),z(k))}{2^k}\le \sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} + \sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k} = d(x,y)+d(y,z)$이다.

따라서 $(X,d)$는 거리공간이다.

3.

거리위상공간의 정의로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{B}_k = \{ \underset{(X_k,\rho_k)}{B}(x_k,r) : x_k\in X_k, r\in (0,\infty)\}$는 $(X_k,\mathcal{T}_k)$의 기저이고

$\mathcal{B}_d = \{ \underset{(X,d)}{B}(x,r) : x\in X, r\in (0,\infty)\}$는 $(X,\mathcal{T}_d)$의 기저이다.

임의의 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X$의 $k$-좌표 사영함수가 $p_{k} : X \to X_{k}$일때

위 정리로 $\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty \{ p_k^{-1}(O_k) : O_k\in \mathcal{T}_k \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이므로

$\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

기저의 정의로 $\mathcal{B}_d\subseteq \mathcal{T}_d$와 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{B}_k\subseteq \mathcal{T}_k$가 성립하고 집합 정리로 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $x\in X$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 열린공의 정의로 

임의의 $y\in \underset{(X,d)}{B}(x,r) \subseteq X$는 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} =d(x,y) < r$이므로

$r_y = r - d(x,y) > 0$에 대해 급수 정리와 급수 정리로 어떤 $N(y)\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $\displaystyle \sum_{k=N(y)+1}^\infty \dfrac{1}{2^k} < \dfrac{r_y}{2}$이고 

모든 $\displaystyle z\in \bigcap_{k=1}^{N(y)} p_k^{-1}(\underset{(X_k,\rho_k)}{B}(y(k) , \textstyle{\frac{r_y}{2}}))$는 모든 $k = 1,2,\cdots, N(y)$에 대해 $z\in p_k^{-1}(\underset{(X_k,\rho_k)}{B}(y(k) , \frac{r_y}{2}))$이므로

$z(k) =p_k(z)\in \underset{(X_k,\rho_k)}{B}(y(k) , \frac{r_y}{2})$가 되어 $\rho_k(y(k),z(k)) < \dfrac{r_y}{2}$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0\le \rho_k(y(k),z(k))\le 1$이므로 $0\le \dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k}\le \dfrac{1}{2^k}$가 되어

급수 정리와 수열 정리로 $\displaystyle \sum_{k=N(y)+1}^\infty \dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k}\le \sum_{k=N(y)+1}^\infty\dfrac{1}{2^k}< \dfrac{r_y}{2}$이고 급수 정리로

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{N(y)}\dfrac{1}{2^k} =\sum_{k=0}^{N(y)} \dfrac{1}{2^k} - 1 = \dfrac{1 - \frac{1}{2^{N(y)+1}}}{1 -\frac{1}{2}} - 1 = \left( 1- \dfrac{1}{2^{N(y) +1}} \right)\cdot 2 -1  =  2 - \frac{1}{2^{N(y)}} -1 = 1-\dfrac{1}{2^{N(y)}} < 1 \text{ 이므로}\end{align*}$

$\begin{align*} d(y,z) & = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k} = \sum_{k=1}^{N(y)} \dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k} + \sum_{k=N(y) + 1}^\infty \dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k} \\[0.5em]& \le \sum_{k=1}^{N(y)} \dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k} + \sum_{k=N(y) + 1}^\infty \dfrac{1}{2^k} \\[0.5em]& \lt\sum_{k=1}^{N(y)} \dfrac{r_y}{2}\cdot \dfrac{1}{2^k} + \dfrac{r_y}{2} =\dfrac{r_y}{2}\cdot \sum_{k=1}^{N(y)} \dfrac{1}{2^k} + \dfrac{r_y}{2}  \\[0.5em]& \lt \dfrac{r_y}{2} + \dfrac{r_y}{2} = r_y = r- d(x,y) \text{ 가 되어}\end{align*}$

$\begin{align*}d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) < d(x,y) + r- d(x,y) = r \end{align*}$임에 따라 $z\in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이다.

모든 $k = 1,2,\cdots, N(y)$에 대해 $p_k(y) =y(k)\in \underset{(X_k,\rho_k)}{B}(y(k) , \textstyle{\frac{r_y}{2}})$이므로 $y \in p_k^{-1}(\underset{(X_k,\rho_k)}{B}(y(k) , \textstyle{\frac{r_y}{2}}))$가 되어 

$y\in \displaystyle \bigcap_{k=1}^{N(y)} p_k^{-1}(\underset{(X_k,\rho_k)}{B}(y(k) , \textstyle{\frac{r_y}{2}})) \in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이고 $\displaystyle \bigcap_{k=1}^{N(y)} p_k^{-1}(\underset{(X_k,\rho_k)}{B}(y(k) , \textstyle{\frac{r_y}{2}})) \subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r)$임에 따라

위상공간 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)\in \mathcal{T}$이고 $\mathcal{B}_d \subseteq \mathcal{T}$이다.

위 정리로 모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해

$x\in B \subseteq O$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $B = p_{k_1}^{-1}(O_{k_1})\cap p_{k_2}^{-1}(O_{k_2})\cap \cdots \cap p_{k_n}^{-1}(O_{k_n})$인

$n\in \mathbb{Z}^+$과 $k_1,k_2,\cdots ,k_n\in \mathbb{Z}^+$과 $(O_{k_1},O_{k_2},\cdots,O_{k_n})\in \mathcal{T}_{k_1} \times \mathcal{T}_{k_2}\times \cdots \times \mathcal{T}_{k_n}$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $x\in p_{k_i}^{-1}(O_{k_i})$이므로 $x(k_i)=p_{k_i}(x) \in O_{k_i}$가 되어

거리공간 정리로 $\underset{(X_{k_i},\rho_{k_i})}{B}(x(k_i),r_i)\subseteq O_{k_i}$인 $r_i\in (0,\infty)$가 존재한다.

최소원소 정리로 $r = \min\{ \frac{r_1}{2^{k_1}},\frac{r_2}{2^{k_2}},\cdots, \frac{r_n}{2^{k_n}}\} > 0$이 존재하여 모든 $y\in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$는

모든 $i = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\displaystyle \dfrac{\rho_{k_i}(x(k_i),y(k_i))}{2^{k_i}}\le \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} =d(x,y) < r\le \dfrac{r_i}{2^{k_i}}$이므로

$\rho_{k_i}(x(k_i),y(k_i))< r_i$가 되어 $p_{k_i}(y) = y(k_i)\in \underset{(X_{k_i},\rho_{k_i})}{B}(x(k_i),r_i)$이고

$y\in p_{k_i}^{-1}(\underset{(X_{k_i},\rho_{k_i})}{B}(x(k_i),r_i))$임에 따라 $\displaystyle y\in \bigcap_{i=1}^n p_{k_i}^{-1}(\underset{(X_{k_i},\rho_{k_i})}{B}(x(k_i),r_i))$가 되어 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)\in \mathcal{B}_d$이고

$\displaystyle x\in \underset{(X,d)}{B}(x,r) \subseteq \bigcap_{i=1}^n p_{k_i}^{-1}(\underset{(X_{k_i},\rho_{k_i})}{B}(x(k_i),r_i)) \subseteq p_{k_1}^{-1}(O_{k_1})\cap p_{k_2}^{-1}(O_{k_2})\cap \cdots \cap p_{k_n}^{-1}(O_{k_n}) = B\subseteq O$이므로

위 정리로 $\mathcal{B}_d$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 $\mathcal{T}_d = \{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}_d\} = \mathcal{T}$이다.

 

 

 

정리11

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음은 동치이다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이다.

2. $\mathcal{F}\ne \emptyset$인 모든 $X$의 필터 $\mathcal{F}$의 $(X,\mathcal{T})$에서 집적점이 존재한다.

3. $\Lambda\ne \emptyset$인 모든 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 $(X,\mathcal{T})$에서 집적점이 존재한다.

4. 모든 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 초그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴한다.

5. 모든 $X$의 초필터 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴한다.

증명

$1\to 2$

$\mathcal{F}\ne \emptyset$이므로 필터 정리로 $X\in \mathcal{F}$와 $X\ne \emptyset$이 성립하고 집합 $\mathcal{C} = \{ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F) : F\in \mathcal{F}\}$에 대해

모든 $C\in \mathcal{C}$는 $C=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F)$인 $F\in \mathcal{F}$가 존재하여 폐포 정리로 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

$F\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F)\subseteq X$임에 따라 필터의 정의로 $C = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F)\in \mathcal{F}$이므로 $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{F}$이고 $\mathcal{F}\ne \emptyset$임에 따라 $\mathcal{C}\ne \emptyset$이다.

모든 공집합이 아닌 유한집합 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}$는 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}\subseteq \mathcal{F}$임에 따라 필터 정리로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{A}\ne \emptyset$이므로 

콤팩트 정리로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{C}\ne \emptyset$이 되어 $x\in \displaystyle \bigcap \mathcal{C} = \bigcap_{F\in \mathcal{F}}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F)$가 존재하고

필터 정리로 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이다.

$2\to 3$

$\Lambda\ne \emptyset$이므로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 생성필터 $\mathcal{F}$는 생성필터 정리로 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이고

$(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점 $x\in X$가 존재함에 따라 생성필터 정리로 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이다.

$3\to 4$

초그물 정리로 $\Lambda\ne \emptyset$이므로

$(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점 $x\in X$가 존재하여 초그물 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다

$4\to 5$

$\mathcal{F}$의 기저그물 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$는 기저그물 정리로 상향 원순서집합 $(\Lambda_\mathcal{F},\le_\mathcal{F})$에서 $X$의 초그물이므로

$(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x_0\in X$으로 수렴하여 기저그물 정리로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x_0$으로 수렴한다.

$5\to 1$

$(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이 아니라고 가정하면

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 열린덮개 $\mathcal{O}$가 존재하여 모든 유한집합 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{O}$에 대해 $X\not\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{A}$이므로 $X\setminus \displaystyle \bigcup \mathcal{A}\ne \emptyset$이다.

$X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$이고

$\mathcal{B} = \{ X\setminus \bigcup \mathcal{A} : \text{유한집합 }\mathcal{A}\subseteq \mathcal{O} \}$에 대해 $\mathcal{F} = \{ F\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 }B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq F\}$일때

모든 $B\in \mathcal{B}$는 $B = X\setminus \displaystyle \bigcup \mathcal{A}$인 유한집합 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하여

$B = X\setminus \displaystyle \bigcup \mathcal{A} \subseteq X$이므로 $B\in \mathcal{P}(X)$임에 따라 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$이고 $B = X\setminus \displaystyle \bigcup \mathcal{A} \ne \emptyset$이므로 $\emptyset\notin \mathcal{B}$이다.

임의의 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$에 대해

$B_1 = X\setminus \displaystyle \bigcup \mathcal{A}_1$인 유한집합 $\mathcal{A}_1\subseteq \mathcal{O}$과 $B_2 = X\setminus \displaystyle \bigcup \mathcal{A}_2$인 유한집합 $\mathcal{A}_2\subseteq \mathcal{O}$가 존재하여

유한집합 정리로 $\mathcal{A} = \mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2$는 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{O}$인 유한집합이므로 $X\setminus \displaystyle \bigcup \mathcal{A} \in \mathcal{B}$이고

모든 $x\in X\setminus \displaystyle \bigcup \mathcal{A}$에 대해 $x\notin \displaystyle \bigcup \mathcal{A}$임에 따라 $x\notin \displaystyle \bigcup \mathcal{A}_1 \subseteq \bigcup \mathcal{A}$와 $x\notin \displaystyle \bigcup \mathcal{A}_2\subseteq \bigcup\mathcal{A}$가 성립하고

$x\in ( X\setminus \bigcup \mathcal{A}_1) \cap (X\setminus \bigcup \mathcal{A}_2) = B_1\cap B_2$이므로 $\displaystyle X\setminus \bigcup \mathcal{A} \subseteq B_1\cap B_2$가 되어

필터 정리로 $\mathcal{F}$는 $X$의 필터이고 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{F}$의 기저이다.

$\emptyset\subseteq \mathcal{O}$은 유한집합이므로 기저의 정의로 $\displaystyle X = X\setminus \emptyset = X\setminus \bigcup\emptyset \in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$가 되어 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이고

초필터 정리로 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$인 $X$의 초필터 $\mathcal{G}$가 존재하여 $\mathcal{G}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in X$로 수렴하는데

열린덮개의 정의로 $x\in X \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$가 존재하여 수렴의 정의로 $O\in \mathcal{G}$이고

$\{ O\}\subseteq \mathcal{O}$는 유한집합이므로 기저의 정의로 $\displaystyle X\setminus O = X\setminus \bigcup \{ O \}\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}$인데

필터의 정의로 $\emptyset = (X\setminus O)\cap O\in \mathcal{G}$가 되어 $\emptyset\notin \mathcal{G}$임에 모순임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이다.

 

 

 

정리12(알렉산더[Alexander] 부분기저 정리)

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이기 위한 필요충분조건은 어떤 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저 $\mathcal{S}$가 존재하여

모든 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{S}$에 대해 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이면 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$가 되는 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하는 것이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이면 콤팩트 정리와 기저 정리로 성립한다.

역으로 조건을 만족하는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저 $\mathcal{S}$가 존재할때 $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이 아니라고 가정하면

위 정리로 어떤 $X$의 초필터 $\mathcal{U}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 발산하므로

모든 $x\in X$에 대해 $x\in O$인 어떤 $O \in \mathcal{T}$가 존재하여 $O\notin \mathcal{U}$이고

부분기저의 정의로 $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n \}$가 $(X,\mathcal{T})$의 기저임에 따라

위 정리로 $x\in B \subseteq O$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $B = S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n$인 $n\in \mathbb{Z}^+$과 $S_1,S_2,\cdots,S_n\in \mathcal{S}$이 존재한다.

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $S_i\in \mathcal{U}$라고 가정하면 필터 정리로 $B = S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n\in \mathcal{U}$인데

$B\subseteq O\subseteq X$임에 따라 필터의 정의로 $O\in \mathcal{U}$가 되어 모순이므로

$S_{i_x}\notin \mathcal{U}$인 $i_x = 1,2,\cdots ,n$가 존재하고 $x\in B = S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n\subseteq S_{i_x}$이다.

선택 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $S_x\notin \mathcal{U}$이고 $x\in S_x$인 $S_{x}\in \mathcal{S}$를 선택할때 집합 $\mathcal{O} = \{ S_{x} : x\in X\}$는 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{S}$이고 

$x\in S_{x}\in \mathcal{O}$이므로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O}$가 되어 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재한다.

집합 정리와 기저의 정의로 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O} \subseteq \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이므로

위상공간의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F}\subseteq X$가 되어 집합 정리로 $X=\displaystyle \bigcup \mathcal{F} = \bigcup_{S\in \mathcal{F}} S$이고

초필터 정리로 $X\ne \emptyset$임에 따라 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이고 모든 $S\in \mathcal{F}$에 대해 $S\notin \mathcal{U}$이므로 초필터의 정의로 $X\setminus S\in \mathcal{U}$가 되어

집합 정리와 필터 정리로 $\displaystyle \emptyset =X\setminus X=X\setminus \bigcup_{S\in \mathcal{F}}S =\bigcap_{S\in \mathcal{F}}(X\setminus S)\in \mathcal{U}$임에 따라 필터의 정의에 모순이다.

따라서 조건을 만족하는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저 $\mathcal{S}$가 존재하면 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이다.

 

 

 

정리13(티호노프[Tychonoff] 정리)

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때 

모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 콤팩트공간이면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이다.

증명

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 초그물이 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$이고

임의의 $i\in I$에 대해 $X$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_{i} : X \to X_{i}$일때

초그물 정리로 $(p_i(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X_i$의 초그물이므로

$(X_i,\mathcal{T}_i)$가 콤팩트공간임에 따라 위 정리로 $(p_i(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 어떤 $x_i\in X_i$로 수렴한다.

모든 $i\in I$에 대해 선택 정리로 $x_i$를 선택할때

$x(i) = x_i$인 함수 $x:I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I}X_i$는 일반 데카르트곱의 정의로 $x\in X$이고

$(p_i(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $p_i(x)=x(i)=x_i$로 수렴하므로 그물 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하여

위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이다.

 

 

 

정리14

양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$의 모든 $i \in \mathbb{Z}^+$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때 

모든 $i \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 점렬 콤팩트공간이면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in \mathbb{Z}^+\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 점렬 콤팩트공간이다.

증명

임의의 $X$의 수열 $(y_n)_{n=n_0}^\infty$에 대해 $n_1 = \max\{n_0,1\}\in \mathbb{Z}^+$로 정의하고

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\max\{n_0,k\}\le n_k$인 $n_k\in \mathbb{Z}^+$가 귀납적으로 정의될때

정렬성으로 $n_k < n_{k+1}$인 최소 $n_{k+1}\in \mathbb{Z}^+$이 유일하게 존재하여

$\max\{n_0,k\}\le n_k < n_{k+1}$이므로 $\max\{n_0,k +1\}\le n_{k+1}$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_k = y_{n_k}$인 $X$의 수열 $(x_k)_{k=1}^\infty = (y_{n_k})_{k=1}^\infty$는 $(y_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열이다.

임의의 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_{i} : X \to X_{i}$일때

모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$가 $k\le f_m(k)< f_m(k+1)$이고

$i \le m$인 모든 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f_i(k)\le f_m(k)$이고

$X_i$의 수열 $(p_i(x_{f_m(k)}))_{k=1}^\infty$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 수렴하고 $(p_i(x_{f_m(k)}))_{k=1}^\infty$가 $(p_i(x_{f_i(k)}))_{k=1}^\infty$의 부분수열이 되는 

어떤 함수 $f_m : \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$이 존재함을 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 보인다.

$m = 1$이면 $(p_1(x_k))_{k=1}^\infty$는 $X_1$의 수열이고 $(X_1,\mathcal{T}_1)$은 점렬 콤팩트공간이므로

$(p_1(x_k))_{k=1}^\infty$의 부분수열 $(p_1(x_{f_1(k)}))_{k=1}^\infty$가 존재하여 $(p_1(x_{f_1(k)}))_{k=1}^\infty$는 $(X_1,\mathcal{T}_1)$에서 수렴하고

부분수열의 정의로 함수 $f_1 : \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$은 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $k\le f_1(k)< f_1(k+1)$이다.

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 조건을 만족하는 $f_r : \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$이 존재하면

$(p_{r+1}(x_{f_r(k)}))_{k=1}^\infty$는 $X_{r+1}$의 수열이고 $(X_{r+1},\mathcal{T}_{r+1})$은 점렬 콤팩트공간이므로

$(p_{r+1}(x_{f_r(k)}))_{k=1}^\infty$의 부분수열 $(p_{r+1}(x_{f_{r+1}(k)}))_{k=1}^\infty$가 존재하여 $(p_{r+1}(x_{f_{r+1}(k)}))_{k=1}^\infty$는 $(X_{r+1},\mathcal{T}_{r+1})$에서 수렴하고

부분수열의 정의로 함수 $f_{r+1} : \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$은 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $k\le f_r(k)\le f_{r+1}(k)< f_{r+1}(k+1)$이다.

귀납가정으로 $i \le r$인 모든 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$가 $f_i(k) \le f_r(k)\le f_{r+1}(k)$이고

$X_i$의 수열 $(p_i(x_{f_r(k)}))_{k=1}^\infty$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 수렴하여

$(p_i(x_{f_{r+1}(k)}))_{k=1}^\infty$가 $(p_i(x_{f_r(k)}))_{k=1}^\infty$의 부분수열임에 따라 수열 정리로 $(p_i(x_{f_{r+1}(k)}))_{k=1}^\infty$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 수렴하고

$(p_i(x_{f_r(k)}))_{k=1}^\infty$는 $(p_i(x_{f_i(k)}))_{k=1}^\infty$의 부분수열이므로 $(p_i(x_{f_{r+1}(k)}))_{k=1}^\infty$는 $(p_i(x_{f_i(k)}))_{k=1}^\infty$의 부분수열이다.

모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 조건을 만족하는 함수 $f_m : \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$이 존재하여 선택 정리로 $f_m$을 선택할때

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $k\le f_k(k)\le f_{k+1}(k)< f_{k+1}(k+1)$이므로 $X$의 수열 $(x_{f_k(k)})_{k=1}^\infty$는 $(x_k)_{k=1}^\infty$의 부분수열이고

모든 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X_i$의 수열 $(p_i(x_{f_i(k)}))_{k=1}^\infty$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 어떤 $c_i \in X_i$로 수렴함에 따라

선택 정리로 $c_i$를 선택하면 $c(i) = c_i$인 함수 $c:\mathbb{Z}^+ \to \displaystyle \bigcup_{i=1}^\infty X_i$는 일반 데카르트곱의 정의로 $c \in X$이다.

모든 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $p_i(c) = c(i)$의 열린근방이 $V_i$이면

수렴의 정의로 $k\ge K_i$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $p_i(x_{f_i(k)}) \in V_i$가 되는 $K_i\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$m \ge i$인 모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(p_i(x_{f_m(k)}))_{k=1}^\infty$가 $(p_i(x_{f_i(k)}))_{k=1}^\infty$의 부분수열임에 따라

$\{ p_i(x_{f_m(k)}) : k\in \mathbb{Z}^+\}\subseteq \{ p_i(x_{f_i(k)}) :k\in \mathbb{Z}^+\}$이고

$\{ p_i(x_{f_m(k)}) : k\ge K_i \} \subseteq \{ p_i(x_{f_i(k)}) : k\ge K_i \}\subseteq V_i$이므로

$\displaystyle \bigcup_{m = i}^\infty \{ p_i(x_{f_m(k)}) : k\ge K_i\}\subseteq \{ p_i(x_{f_i(k)}) : k\ge K_i\}\subseteq V_i$가 되어

$k\ge \max \{K_i ,i \}$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $p_i(x_{f_k(k)}) \in V_i$이고 $(p_i(x_{f_k(k)}))_{k=1}^\infty$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $p_i(c)$로 수렴한다.

수열 정리와 그물 정리로 $(x_{f_k(k)})_{k=1}^\infty$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $c$로 수렴하고

$(x_{f_k(k)})_{k=1}^\infty$가 $(x_k)_{k=1}^\infty = (y_{n_k})_{k=1}^\infty$의 부분수열임에 따라 $(y_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열이므로 $(X,\mathcal{T})$는 점렬 콤팩트공간이다.

 

 

 

정리15

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때 다음이 성립한다.

1. 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 연결공간이면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 연결공간이다.

2. 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 경로연결공간이면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 경로연결공간이다.

증명

임의의 $i\in I$에 대해 $X$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_{i} : X \to X_{i}$일때

1.

$X=\emptyset$이면 공허하게 $(X,\mathcal{T})$는 연결공간이다.

$X\ne \emptyset$이면 $x\in X$가 존재하고

$(X,\mathcal{T})$의 연결성분관계 $\mathcal{R}$에 대해 연결성분 정리로 $E = [x]_\mathcal{R}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

위 정리로 $\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ p_i^{-1}(O_i) : O_i\in \mathcal{T}_i \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이므로

$\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고

$O\ne \emptyset$인 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$는 $c \in O$가 존재하여 위 정리로 $c \in B \subseteq O$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하므로

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B = p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})$인

$i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$과 $(O_{i_1},O_{i_2},\cdots,O_{i_n})\in \mathcal{T}_{i_1}\times \mathcal{T}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{T}_{i_n}$이 존재하고

모든 $k=1,2,\cdots, n$에 대해 $c\in p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) \subseteq p_{i_k}^{-1}(O_{i_k})$임에 따라 $p_{i_k}(c)\in O_{i_k}$이다.

정렬성으로 $n$이 최소라고 가정할때

$k\ne r$이고 $i =i_k = i_r$인 $k,r = 1,2,\cdots, n$이 존재하면 위상공간의 정의로 $O_{i_k}\cap O_{i_r} \in \mathcal{T}_i$이고

함수 정리로 $p_{i_k}^{-1}(O_{i_k}) \cap p_{i_r}^{-1}(O_{i_r}) = p_{i}^{-1}(O_{i_k})\cap p_i^{-1}(O_{i_r}) = p_i^{-1}(O_{i_k}\cap O_{i_r})$이므로 $n$이 최소임에 모순이 되어

모든 $k,r =1,2,\cdots,n$에 대해 $i_k = i_r$이면 $k=r$이다.

모든 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해

$E_k = \{ a\in X : \text{모든 }i\in \{i_1,\cdots, i_k \}\setminus \{ i_k\}\text{에 대해 }a(i)= c(i) \text{이고 모든 }i\in I\setminus \{ i_1,\cdots,i_k\}\text{에 대해 } a(i) = x(i)\} \text{ 일때}$

임의의 $a_k\in X_{i_k}$에 대해 $a(i_k) = a_k$이고 모든 $i\in \{ i_1,\cdots, i_k\}\setminus \{ i_k\}$에 대해 $a(i) = c(i)$이고 

모든 $i\in I\setminus \{ i_1,\cdots,i_k\}$가 $a(i) = x(i)$인 함수 $a : I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I}X_i$에 대해 $f(a_k) = a$인 함수 $f:X_{i_k} \to X$를 정의하면

$a\in E_k$이므로 $f(X_{i_k})\subseteq E_k$이고

모든 $a\in E_k\subseteq X$에 대해 일반 데카르트곱의 정의로 $a(i_k)\in X_{i_k}$임에 따라 $a =f(a(i_k)) \in f(X_{i_k})$가 되어

$E_k\subseteq f(X_{i_k})$이므로 집합 정리로 $f(X_{i_k})= E_k$이다.

임의의 $i \in I$와 임의의 $V_i\in \mathcal{T}_i$에 대해 함수 정리와 역상의 정의로 $(p_i\circ f)^{-1}(V_i) = f^{-1}(p_i^{-1}(V_i))\subseteq X_{i_k}$이므로

$i\ne i_k$일때 모든 $a_k\in X_{i_k}$에 대해 

$(p_i\circ f)(a_k) = p_i(f(a_k)) = p_i(a) = a(i)$이고 $a(i) = c(i)$ 또는 $a(i) = x(i)$ 중 하나만 성립함에 따라

$c(i)\in V_i$ 또는 $x(i)\in V_i$이면 $(p_i\circ f)(a_k) = a(i) =c(i)\in V_i$ 또는 $(p_i\circ f)(a_k) = a(i) =x(i)\in V_i$가 되어

$X_{i_k}\subseteq (p_i\circ f)^{-1}(V_i) $이고 집합 정리로 $(p_i\circ f)^{-1}(V_i) = X_{i_k}\in \mathcal{T}_{i_k}$이다.

$c(i)\notin V_i$이고 $x(i)\notin V_i$일때 $(p_i\circ f)^{-1}(V_i) \ne \emptyset$라고 가정하면 $a_k\in (p_i\circ f)^{-1}(V_i)$가 존재하여

$c(i)= (p_i\circ f)(a_k) \in V_i$ 또는 $x(i)= (p_i\circ f)(a_k) \in V_i$임에 따라 모순이므로

위상공간의 정의로 $(p_i\circ f)^{-1}(V_i) = \emptyset\in \mathcal{T}_{i_k}$이다.

$i= i_k$이면 모든 $a_k\in X_{i_k}$에 대해 $(p_i\circ f)(a_k) = p_i(f(a_k)) = p_i(a) = a(i) = a(i_k) = a_k$이므로 

$(p_i\circ f)^{-1}(V_i) = V_i = V_{i_k}\in \mathcal{T}_{i_k}$가 되어 연속함수 정리로 $f$는 $(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 연속함수이고

연결집합 정리로 $f(X_{i_k})= E_k$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

$n= 1$이면 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^n E_k = E_1$은 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이고

$2< n$이면 $k<n$일때 $k+1\le n$이고

모든 $i\in (\{ i_1,\cdots,i_k\}\setminus \{i_k\}) \cup \{ i_k\} = \{ i_1,\cdots, i_k\}$에 대해 $a(i) = c(i)$이고

모든 $i\in I\setminus \{ i_1,\cdots,i_k\}$에 대해 $a(i) = x(i)$인 함수 $a : I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I}X_i$는 $a\in E_k$이므로

모든 $i\in \{ i_1,\cdots i_k\} = \{ i_1,\cdots, i_k,i_{k+1}\}\setminus \{ i_{k+1}\}$에 대해 $a(i) = c(i)$와

모든 $i\in I\setminus \{ i_1,\cdots,i_k,i_{k+1}\} \subseteq I\setminus \{ i_1,\cdots ,i_k\}$에 대해 $a(i) = x(i)$가 성립함에 따라 $a\in E_{k+1}$가 되어

$a\in E_k\cap E_{k+1}$이고 $E_k\cap E_{k+1}\ne \emptyset$이므로 연결집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^n E_k$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

모든 $i\in (\{ i_1, i_2, \cdots, i_n\}\setminus \{ i_n\}) \cup \{ i_n\} = \{ i_1,i_2,\cdots,i_n\}$에 대해 $a(i) = c(i)$와

모든 $i\in I\setminus \{ i_1,i_2,\cdots,i_n\}$에 대해 $a(i) = x(i)$가 성립하는 함수 $a : I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I}X_i$는 $a\in E_n \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^nE_k$이고 

모든 $i\in \{ i_1,i_2,\cdots,i_n\}$에 대해 $p_i(a) =a(i) = c(i) = p_i(c) \in O_i$이므로 $a\in p_i^{-1}(O_i)$가 되어 

$a \in p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) =B \subseteq O$이고 $a \in \displaystyle \bigcup_{k=1}^n E_k\cap O$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^n E_k\cap O\ne \emptyset$이다.

$\{i_1\}\setminus \{ i_1\} = \emptyset$이므로 $x\in E_1\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^n E_k$이고 연결성분 정리로 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^n E_k \subseteq [x]_\mathcal{R} = E$가 되어 $E\cap O\ne \emptyset$임에 따라

조밀집합 정리와 연결집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이고 $(X,\mathcal{T})$는 연결공간이다.

2.

$1$차원 유클리드 거리공간 $($$[0,1]$$,d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_d)$일때

모든 $x,y\in X$와 모든 $i\in I$에 대해 일반 데카르트곱의 정의로 $x(i),y(i)\in X_i$이고 $(X_i,\mathcal{T}_i)$는 경로연결공간이므로

$\gamma_i(0) = x(i)$이고 $\gamma_i(1) = y(i)$인 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수 $\gamma_i : [0,1]\to X_i$가 존재한다.

선택 정리로 $\gamma_i$를 선택할때 모든 $i\in I$와 모든 $t\in [0,1]$에 대해 $p_i(\gamma(t)) = \gamma_i(t)$인 함수 $\gamma : [0,1]\to X$가 존재하여

$\gamma(0) = x$와 $\gamma(1) = y$가 성립하고 $p_i\circ \gamma = \gamma_i$가 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수임에 따라

위 정리로 $\gamma$는 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 연속함수이므로 $(X,\mathcal{T})$는 경로연결공간이다.

 

 

 

정리16

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때 다음이 성립한다.

1. 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 $T_0$공간이면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 $T_0$공간이다.

2. 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 $T_1$공간이면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이다.

3. 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 $T_{1\frac{1}{3}}$공간이면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 $T_{1\frac{1}{3}}$공간이다.

4. 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 $T_2$공간이면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 $T_2$공간이다.

5. 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 $T_{2\frac{1}{2}}$공간이면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 $T_{2\frac{1}{2}}$공간이다.

증명

임의의 $i\in I$에 대해 $X$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_{i} : X \to X_{i}$일때

위 정리로 $\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ p_i^{-1}(O_i) : O_i\in \mathcal{T}_i \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이므로 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{T}$이다.

1.

임의의 $x,y \in X$가 $x\ne y$이면 함수의 상등으로 $x(i)\ne y(i)$인 $i\in I$가 존재하여 $(X_i,\mathcal{T}_i)$는 $T_0$공간이므로

$x(i)\in O_i$와 $y(i)\notin O_i$가 성립하거나 $x(i)\notin O_i$와 $y(i)\in O_i$가 성립하는 $O_i\in \mathcal{T}_i$가 존재하고

$p_i(x)=x(i)\in O_i$와 $p_i(y) = y(i)\notin O_i$가 성립하거나 $p_i(x)=x(i)\notin O_i$와 $p_i(y) = y(i)\in O_i$가 성립함에 따라

$x\in p_i^{-1}(O_i)$와 $y\notin p_i^{-1}(O_i)$가 성립하거나 $x\notin p_i^{-1}(O_i)$와 $y\in p_i^{-1}(O_i)$가 성립하여 $(X,\mathcal{T})$는 $T_0$공간이다.

2.

임의의 $x ,y \in X$가 $x\ne y$이면 함수의 상등으로 $x(i)\ne y(i)$인 $i\in I$가 존재하여 $(X_i,\mathcal{T}_i)$는 $T_1$공간이므로

$x(i)\in U_i$와 $y(i)\notin U_i$가 성립하고 $x(i)\notin V_i$와 $y(i)\in V_i$가 성립하는 $U_i,V_i\in \mathcal{T}_i$가 존재하고

$p_i(x)=x(i)\in U_i$와 $p_i(y) = y(i)\notin U_i$가 성립하고 $p_i(x)=x(i)\notin V_i$와 $p_i(y) = y(i)\in V_i$가 성립함에 따라

$x\in p_i^{-1}(U_i)$와 $y\notin p_i^{-1}(U_i)$가 성립하고 $x\notin p_i^{-1}(V_i)$와 $y\in p_i^{-1}(V_i)$가 성립하여 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이다.

3.

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 $X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 임의의 $x ,y  \in X$로 수렴할때 모든 $i\in I$에 대해

수열 정리와 그물 정리로 $X_i$의 수열 $(p_i(x_n))_{n=n_0}^\infty$은 $p_i(x),p_i(y)$로 수렴하고 $(X_i,\mathcal{T}_i)$는 $T_{1\frac{1}{3}}$공간이므로

$x(i)=p_i(x) = p_i(y) = y(i)$가 되어 함수의 상등으로 $x= y$임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 $T_{1\frac{1}{3}}$공간이다.

4.

임의의 $x, y \in X$가 $x\ne y$이면 함수의 상등으로 $x(i)\ne y(i)$인 $i\in I$가 존재하여 $(X_i,\mathcal{T}_i)$는 $T_2$공간이므로

$U_i\cap V_i = \emptyset$이고 $x(i)\in U_i$와 $y(i)\in V_i$가 성립하는 $U_i,V_i\in \mathcal{T}_i$가 존재하고

$p_i(x)=x(i)\in U_i$와 $p_i(y) = y(i)\in V_i$가 성립하여 $x\in p_i^{-1}(U_i)$와 $y\in p_i^{-1}(V_i)$가 성립하므로

함수 정리로 $p_i^{-1}(U_i)\cap p_i^{-1}(V_i) = p_i^{-1}(U_i\cap V_i) = p_i^{-1}(\emptyset) = \emptyset$임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 $T_2$공간이다.

5.

임의의 $x, y \in X$가 $x\ne y$이면 함수의 상등으로 $x(i)\ne y(i)$인 $i\in I$가 존재하여 $(X_i,\mathcal{T}_i)$는 $T_{2\frac{1}{2}}$공간이므로

$\underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(U_i)\cap \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(V_i) = \emptyset$이고 $x(i)\in U_i$와 $y(i)\in V_i$가 성립하는 $U_i,V_i\in \mathcal{T}_i$가 존재하고

$p_i(x)=x(i)\in U_i$와 $p_i(y) = y(i)\in V_i$가 성립하여 $x\in p_i^{-1}(U_i)$와 $y\in p_i^{-1}(V_i)$가 성립한다.

함수 정리로 $p_i(p_i^{-1}(U_i)) \subseteq U_i$이고 $p_i(p_i^{-1}(V_i)) \subseteq V_i$이므로 연속함수 정리와 폐포 정리로

$p_i(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(U_i))) \subseteq \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(p_i(p_i^{-1}(U_i))) \subseteq \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(U_i) $와

$p_i(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(V_i))) \subseteq \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(p_i(p_i^{-1}(V_i))) \subseteq \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(V_i) $가 성립하여 함수 정리로

$ p_i(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(U_i))\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(V_i))) \subseteq p_i(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(U_i))) \cap p_i(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(V_i))) \subseteq \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(U_i) \cap \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(V_i) = \emptyset \text{ 임에 따라}$

함수 정리로 $ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(U_i))\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(V_i))\subseteq p_i^{-1}(p_i(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(U_i))\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(V_i)))) \subseteq p_i^{-1}(\emptyset) = \emptyset $이고

$ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(U_i))\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(V_i))= \emptyset $이므로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_{2\frac{1}{2}}$공간이다.

 

 

 

정리17

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때 다음이 성립한다.

1. 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 정칙공간이면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이다.

2. 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 완비정칙공간이면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 완비정칙공간이다.

3. 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 $T_3$공간이면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 $T_3$공간이다.

4. 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 $T_{3\frac{1}{2}}$공간이면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 $T_{3\frac{1}{2}}$공간이다.

증명

임의의 $i\in I$에 대해 $X$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_{i} : X \to X_{i}$일때

위 정리로 $\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ p_i^{-1}(O_i) : O_i\in \mathcal{T}_i \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이므로 

$\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 집합 정리로 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이다.

1.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$는 $O\in \mathcal{T}$이므로 모든 $x\in O$에 대해 위 정리로 $x\in B\subseteq O$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B = p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})$인

$i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$과 $(O_{i_1},O_{i_2},\cdots,O_{i_n})\in \mathcal{T}_{i_1}\times \mathcal{T}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{T}_{i_n}$이 존재하고

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $x\in B = p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) \subseteq p_{i_k}^{-1}(O_{i_k})$가 되어 

$x(i_k)=p_{i_k}(x)\in O_{i_k}$이고 $(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})$가 정칙공간임에 따라

정칙공간 정리로 $\underset{(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})}{\operatorname{cl}}(V_{i_k})\subseteq O_{i_k}$인 $(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})$에서 $x(i_k)$의 열린근방 $V_{i_k}$가 존재한다.

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 폐포 정리로 $p_{i_k}(x)=x(i_k) \in V_{i_k}\subseteq \underset{(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})}{\operatorname{cl}}(V_{i_k})\subseteq O_{i_k}$이므로 $x\in p_{i_k}^{-1}(V_{i_k})$가 되어

$\begin{align*}x\in p_{i_1}^{-1}(V_{i_1}) \cap p_{i_2}^{-1}(V_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(V_{i_n}) &\subseteq p_{i_1}^{-1}(\underset{(X_{i_1},\mathcal{T}_{i_1})}{\operatorname{cl}}(V_{i_1})) \cap p_{i_2}^{-1}(\underset{(X_{i_2},\mathcal{T}_{i_2})}{\operatorname{cl}}(V_{i_2}))\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(\underset{(X_{i_n},\mathcal{T}_{i_n})}{\operatorname{cl}}(V_{i_n}))\\[0.5em]& \subseteq p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})\text{ 이고}\end{align*}$

$(V_{i_1},V_{i_2},\cdots,V_{i_n})\in \mathcal{T}_{i_1}\times \mathcal{T}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{T}_{i_n}$임에 따라 $p_{i_1}^{-1}(V_{i_1}) \cap p_{i_2}^{-1}(V_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(V_{i_n})\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이므로

$p_{i_1}^{-1}(V_{i_1}) \cap p_{i_2}^{-1}(V_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(V_{i_n})$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 폐포 정리로 $\underset{(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})}{\operatorname{cl}}(V_{i_k})$는 $(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})$에서 닫힌집합이므로

위 정리와 연속함수 정리로 $p_{i_k}^{-1}(\underset{(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})}{\operatorname{cl}}(V_{i_k}))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이 되어 

위상공간 정리로 $p_{i_1}^{-1}(\underset{(X_{i_1},\mathcal{T}_{i_1})}{\operatorname{cl}}(V_{i_1})) \cap p_{i_2}^{-1}(\underset{(X_{i_2},\mathcal{T}_{i_2})}{\operatorname{cl}}(V_{i_2}))\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(\underset{(X_{i_n},\mathcal{T}_{i_n})}{\operatorname{cl}}(V_{i_n}))$은 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

폐포 정리로 

$\begin{align*} \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}( p_{i_1}^{-1}(V_{i_1}) \cap p_{i_2}^{-1}(V_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(V_{i_n})) & \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}( p_{i_1}^{-1}(\underset{(X_{i_1},\mathcal{T}_{i_1})}{\operatorname{cl}}(V_{i_1})) \cap p_{i_2}^{-1}(\underset{(X_{i_2},\mathcal{T}_{i_2})}{\operatorname{cl}}(V_{i_2}))\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(\underset{(X_{i_n},\mathcal{T}_{i_n})}{\operatorname{cl}}(V_{i_n}))) \\[0.5em] & \qquad = p_{i_1}^{-1}(\underset{(X_{i_1},\mathcal{T}_{i_1})}{\operatorname{cl}}(V_{i_1})) \cap p_{i_2}^{-1}(\underset{(X_{i_2},\mathcal{T}_{i_2})}{\operatorname{cl}}(V_{i_2}))\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(\underset{(X_{i_n},\mathcal{T}_{i_n})}{\operatorname{cl}}(V_{i_n})) \\[0.5em] &\subseteq p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap\cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) = B \\[0.5em]& \subseteq O\text{ 이므로} \end{align*}$

정칙공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이다.

2.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$는 $X\setminus C\in \mathcal{T}$이므로

모든 $x\in X\setminus C$에 대해 위 정리로 $x\in B\subseteq X\setminus C$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B = p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})$인

$i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$과 $(O_{i_1},O_{i_2},\cdots,O_{i_n})\in \mathcal{T}_{i_1}\times \mathcal{T}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{T}_{i_n}$이 존재하고

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $x\in B = p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) \subseteq p_{i_k}^{-1}(O_{i_k})$가 되어 

집합 정리로 $x(i_k)=p_{i_k}(x)\in O_{i_k} = X_{i_k} \setminus (X_{i_k}\setminus O_{i_k})$이고 

위상공간 정리로 $X_{i_k}\setminus O_{i_k}$는 $(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})$에서 닫힌집합이므로 $(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})$가 완비정칙공간임에 따라

$1$차원 유클리드 거리공간 $($$[0,1]$$,d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$일때

$f_k(x(i_k)) = 0$이고 $f_k(X_{i_k}\setminus O_{i_k})\subseteq \{1\}$이 성립하는

$(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수 $f_k:X_{i_k}\to [0,1]$가 존재한다.

$1$차원 유클리드 거리공간 $($$\mathbb{R}$$,d)$의 거리위상공간이 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$일때

$([0,1],d)$는 $(\mathbb{R},d)$의 부분거리공간이므로 위상공간 정리로 $\mathcal{T}_{\mathbb{R}}|_{[0,1]} = \mathcal{T}_{[0,1]}$이 되어

위 정리와 연속함수 정리로 $f_k\circ p_{i_k} : X\to [0,1]$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수임에 따라

모든 $a \in X$에 대해 연속함수 정리와 연속함수 정리로

$f(a) = \max \{ f_1(a(i_1)), f_2(a(i_2)),\cdots, f_n(a(i_n))\} = \max \{ |(f_1\circ p_{i_1})(a)|, |(f_2\circ p_{i_2})(a)|,\cdots, |(f_n\circ p_{i_n})(a)|\}$인

함수 $f:X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이고

$f(x) = \max \{ f_1(x(i_1)), f_2(x(i_2)),\cdots, f_n(x(i_n))\} = \max \{ 0\} = 0$이다.

$p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) = B \subseteq X\setminus C$이므로 집합 정리와 집합 정리와 집합 정리와 함수 정리로

$\begin{align*} C & = X\setminus (X\setminus C) \\[0.5em] & \subseteq X\setminus (p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})) \\[0.5em] & \qquad =(X\setminus p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})) \cup (X\setminus p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})) \cup \cdots \cup (X\setminus p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})) \\[0.5em] & \qquad =(p_{i_1}^{-1}(X_{i_1})\setminus p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})) \cup (p_{i_2}^{-1}(X_{i_2})\setminus p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})) \cup \cdots \cup (p_{i_n}^{-1}(X_{i_n})\setminus p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})) \\[0.5em] & \qquad =p_{i_1}^{-1}(X_{i_1}\setminus O_{i_1}) \cup p_{i_2}^{-1}(X_{i_2}\setminus O_{i_2}) \cup \cdots \cup p_{i_n}^{-1}(X_{i_n}\setminus O_{i_n}) \text{ 이 되어} \end{align*}$

모든 $a \in C$는 $a\in p_{i_k}^{-1}(X_{i_k}\setminus O_{i_k})$인 $k = 1,2,\cdots, n$가 존재함에 따라

$a(i_k) = p_{i_k}(a)\in X_{i_k}\setminus O_{i_k}$이고 $f_k(a(i_k)) \in f_k(X_{i_k}\setminus O_{i_k}) \subseteq \{ 1\}$이므로 $f_k(a(i_k)) = 1$이 되어

$f(a)= \max \{ f_1(a(i_1)), f_2(a(i_2)),\cdots, f_n(a(i_n))\} = f_k(a(i_k)) = 1 $이고 $f(C)\subseteq \{ 1\}$이므로

$(X,\mathcal{T})$는 완비정칙공간이다.

3.

$T_3$공간의 정의로 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$은 $T_1$공간이고 정칙공간이므로

위 정리와 1번으로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이고 정칙공간이 되어 $(X,\mathcal{T})$는 $T_3$공간이다.

4.

$T_{3\frac{1}{2}}$공간의 정의로 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$은 $T_1$공간이고 완비정칙공간이므로

위 정리와 2번으로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이고 완비정칙공간이 되어 $(X,\mathcal{T})$는 $T_{3\frac{1}{2}}$공간이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/115#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/115#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797