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위상공간에서의 콤팩트성(Compactness)수학/위상수학 2025. 6. 21. 01:22반응형
정의1
위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 임의의 부분집합이 $E \subseteq X$일때
열린덮개(open cover) :
임의의 $\mathcal{O} \subseteq \mathcal{T}$의 합집합이 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이면 $\mathcal{O}$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개로 정의한다.
콤팩트공간 :
모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해
$(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이고 유한집합인 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하면
$(X,\mathcal{T})$를 콤팩트공간 또는 콤팩트위상공간으로 정의한다.
콤팩트집합 :
$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 콤팩트공간이면
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다고 정의하고 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합으로 정의한다.
정리1
위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하기 위한 필요충분조건은
모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하는 것이다.
증명
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하면
임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 집합 $\mathcal{O}|_E = \{ O\cap E : O\in \mathcal{O}\}$는 위상공간 정리로 $\mathcal{O}|_E\subseteq \mathcal{T}|_E$이고
열린덮개의 정의로 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 임의의 $x\in E$에 대해 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여
$x\in O\cap E\in \mathcal{O}|_E$이고 합집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_E$임에 따라 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_E$이다.
$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 콤팩트공간이고 $\mathcal{O}|_E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $E$의 열린덮개이므로
$E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}|_E$인 유한집합 $\mathcal{F}|_E\subseteq \mathcal{O}|_E$가 존재하여 모든 $V\in \mathcal{F}|_E\subseteq \mathcal{O}|_E $는 $V = O_V\cap E$인 $O_V \in \mathcal{O}$가 존재한다.
선택 정리로 $O_V$를 선택하면 함수 정리로 $\mathcal{F} = \{ O_V : V\in \mathcal{F}|_E\}$는 유한집합이고
$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$와 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}|_E = \bigcup_{V\in \mathcal{F}|_E} V =\bigcup_{V\in \mathcal{F}|_E}(O_V \cap E ) \subseteq \bigcup_{V\in \mathcal{F}|_E} O_V = \bigcup \mathcal{F}$가 성립한다.
역으로 조건이 성립하면
임의의 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}|_E$는 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_E$이므로 집합 $\mathcal{O} = \{ O\in \mathcal{T} : O\cap E\in \mathcal{O}|_E\}$에 대해
임의의 $x\in E$는 $x\in V$인 $V\in \mathcal{O}|_E\subseteq \mathcal{T}|_E$가 존재하여 위상공간 정리로 $V= O\cap E$인 $O \in \mathcal{T}$가 존재하고
$O\in \mathcal{O}$임에 따라 $x\in V=O\cap E \subseteq O$이므로 합집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$가 되어 $E\subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O}$이다.
$\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개이므로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하여
함수 정리로 $\mathcal{F}|_E = \{ O\cap E : O\in \mathcal{F} \}$는 유한집합이고 모든 $O\in \mathcal{F}$가 $O\cap E\in \mathcal{O}|_E$임에 따라 $\mathcal{F}|_E \subseteq \mathcal{O}|_E$이다.
모든 $x\in E$는 $x\in O$인 $O\in \mathcal{F}$가 존재하여 $x\in O\cap E \in \mathcal{F}|_E$이므로 합집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}|_E$임에 따라
$E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}|_E$이고 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 콤팩트공간이 되어 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
정리2
위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.
1. $E$가 유한집합이면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
2. 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 $E_1,E_2,\cdots, E_n\subseteq X$이 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하면 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n E_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
3. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트할때 임의의 $A\subseteq E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 $A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
4. $E\subseteq Y\subseteq X$인 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에 대해
$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트한 것이다.
증명
1.
임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해
$E = \emptyset$이면 $\emptyset \subseteq \mathcal{O}$이고 합집합의 정의로 $E = \emptyset =\displaystyle \bigcup \emptyset$이므로 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
$E \ne \emptyset$이면 유한집합의 정의로 어떤 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E = \{ x_1,x_2,\cdots,x_k\}$이고 열린덮개의 정의로 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로
선택 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $x_i\in O_i$인 $O_i\in \mathcal{O}$를 선택할때
$\mathcal{F} = \{ O_1,O_2,\cdots, O_k\}$는 유한집합이고 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$와 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$가 성립하여 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
2.
임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n E_i$의 열린덮개 $\mathcal{O}$는
모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $E_j \subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^nE_i \subseteq \bigcup \mathcal{O}$이므로 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E_j$의 열린덮개가 되어
$E_1,E_2,\cdots, E_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트함에 따라 위 정리와 선택 정리로 $E_j \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_j$인 유한집합 $\mathcal{F}_j \subseteq \mathcal{O}$를 선택하면
$\displaystyle \bigcup_{i=1}^n \mathcal{F}_i \subseteq \mathcal{O}$이고 유한집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n \mathcal{F}_i$는 유한집합이다.
임의의 $\displaystyle x\in \bigcup_{i=1}^nE_i$는 $x\in E_i$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재하여 $x \in E_i \subseteq\displaystyle \bigcup \mathcal{F}_i$이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{F}_i$가 존재하고
$\displaystyle x\in O\in \bigcup_{i=1}^n \mathcal{F}_i$임에 따라 합집합의 정의로 $\displaystyle x \in \bigcup \left ( \bigcup_{i=1}^n \mathcal{F}_i\right )$가 되어
$\displaystyle \bigcup_{i=1}^nE_i \subseteq \bigcup \left(\bigcup_{i=1}^n \mathcal{F}_i\right)$이므로 위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n E_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
3.
임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $A$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해
$A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 $X\setminus A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어 집합 $\mathcal{S} = \mathcal{O} \cup \{ X\setminus A\}$는 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{T}$이다.
임의의 $x\in E \subseteq X$에 대해
$x\in A$이면 열린덮개의 정의로 $x\in A\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O} $이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 $x\in O\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{S}$이고
$x\notin A$이면
$x\in X\setminus A\in \mathcal{S}$임에 따라 합집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$가 되어 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$이므로 $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개이다.
$E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하므로 위 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{G}$인 유한집합 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{S}$가 존재하여
집합 $\mathcal{F} = \mathcal{G} \setminus \{ X\setminus A\}$는 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이므로 유한집합 정리로 유한집합이고
모든 $O\in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{G} \subseteq \mathcal{S}$는 $O\in \mathcal{O}$ 또는 $O \in \{X\setminus A\}$인데 $O \notin \{X\setminus A\}$이므로 $O\in \mathcal{O}$가 되어 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{O}$이다.
임의의 $x\in A$는 $x\in A\subseteq E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{G}$이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{G}$가 존재하여
$O\in \mathcal{G} \subseteq \mathcal{S} $임에 따라 $O\in \mathcal{O}$ 또는 $O \in \{X\setminus A\}$인데
$O \in \{ X\setminus A\}$이면 $x\in O = X\setminus A$가 되어 $x\notin A$이므로 모순임에 따라 $O\notin \{ X\setminus A\}$이고
$x\in O\in \mathcal{G} \setminus \{ X\setminus A\} =\mathcal{F}$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$가 되어 $ A\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$이므로 위 정리로 $A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
4.
$E\subseteq Y \subseteq X$임에 따라 위상공간 정리로 $(\mathcal{T}|_Y)|_E = \mathcal{T}|_E$이므로 $(E,(\mathcal{T}|_Y)|_E) = (E,\mathcal{T}|_E)$이다.
$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 콤팩트하면 $(E,(\mathcal{T}|_Y)|_E)$는 콤팩트공간이고
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하면 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 콤팩트공간이므로
$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트한 것이다.
정리3
위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 $E\ne \emptyset$일때 다음은 동치이다.
1. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
2. 모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 열린집합인 임의의 집합족 $\mathcal{O}$에 대해
$E =\displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O$이면 $E =\displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{F}}O$가 성립하는 공집합이 아닌 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재한다.
3. 모든 $C\in \mathcal{C}$가 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 닫힌집합인 임의의 집합족 $\mathcal{C}$가 $\mathcal{C}\ne \emptyset$일때
모든 공집합이 아닌 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{C}$에 대해 $\displaystyle \bigcap_{C\in \mathcal{F}}C \ne \emptyset$이면 $\displaystyle \bigcap_{C\in \mathcal{C}}C \ne \emptyset$이다.
증명
$1\to 2$
$E =\displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O$이므로 $E \subseteq \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O$가 되어 $\mathcal{O}$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $E$의 열린덮개이고
$(E,\mathcal{T}|_E)$가 콤팩트공간임에 따라 $E \subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{F}=\bigcup_{O\in \mathcal{F}}O$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하여
$E \subseteq \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{F}}O \subseteq \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O = E$이므로 집합 정리로 $E =\displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{F}}O$이고 $E \ne \emptyset$임에 따라 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이다.
$2\to 3$
모든 공집합이 아닌 유한집합 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{C}$에 대해 $\displaystyle \bigcap_{C \in \mathcal{F}}C \ne \emptyset$일때 $ \displaystyle \bigcap_{C \in \mathcal{C}}C = \emptyset$이 성립하는
모든 $C \in \mathcal{C}$가 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 닫힌집합이고 $\mathcal{C}\ne \emptyset$인 집합족 $\mathcal{C}$가 존재한다고 가정하면
집합 정리와 집합 정리로 $E = E\setminus \emptyset = E\setminus \displaystyle \bigcap_{C \in \mathcal{C}}C =\bigcup_{C \in \mathcal{C}} (E\setminus C)$이고
닫힌집합의 정의로 모든 $C \in \mathcal{C}$에 대해 $E \setminus C$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 열린집합이므로
$E = \displaystyle \bigcup_{C \in \mathcal{F}}(E\setminus C)$가 성립하는 공집합이 아닌 유한집합 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{C}$가 존재하여
집합 정리와 집합 정리와 집합 정리로 $\displaystyle \bigcap_{C\in \mathcal{F}}C=\bigcap_{C \in \mathcal{F}}(E\setminus(E\setminus C)) =E\setminus \bigcup_{C \in \mathcal{F}}(E\setminus C)= E\setminus E =\emptyset$인데
$\displaystyle \bigcap_{C\in \mathcal{F}}C \ne \emptyset$임에 모순이므로 모든 $C\in \mathcal{C}$가 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 닫힌집합인 임의의 집합족 $\mathcal{C}$가 $\mathcal{C}\ne \emptyset$일때
모든 공집합이 아닌 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{C}$에 대해 $\displaystyle \bigcap_{C\in \mathcal{F}}C \ne \emptyset$이면 $\displaystyle \bigcap_{C\in \mathcal{C}}C \ne \emptyset$이다.
$3\to 1$
$E \subseteq \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O$일때 모든 공집합이 아닌 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$에 대해 $E \not \subseteq \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{F}}O$인
모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 열린집합인 어떤 집합족 $\mathcal{O}$가 존재한다고 가정하면 $E\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{O}\ne \emptyset$이고
위상공간 정리로 모든 $O \in \mathcal{O}$에 대해 $E \setminus O$가 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 닫힌집합임에 따라
집합 정리로 모든 공집합이 아닌 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$에 대해 $\displaystyle \bigcap_{O\in \mathcal{F}}(E\setminus O) = E \setminus \left (\bigcup_{O\in \mathcal{F}}O\right ) \ne \emptyset$이 되어
$\displaystyle E \setminus \left (\bigcup_{O\in \mathcal{O}}O\right ) =\bigcap_{O\in \mathcal{O}} (E\setminus O) \ne \emptyset$이므로 $E \not \subseteq \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O$이고 $E \subseteq \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O$임에 모순이다.
따라서 모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 열린집합인 임의의 집합족 $\mathcal{O}$에 대해 $E \subseteq \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O$이면
$\mathcal{O}$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $E$의 열린덮개이고 $E \subseteq \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{F}}O$인 공집합이 아닌 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하여
$\mathcal{F}$도 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $E$의 열린덮개이므로 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 콤팩트공간이고 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
정리4
위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간일때 다음이 성립한다.
1. $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트한 임의의 $A,B\subseteq X$가 $A\cap B = \emptyset$이면
$A\subseteq U$와 $B\subseteq V$가 성립하고 $U\cap V = \emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재한다.
2. $\mathcal{C}\ne \emptyset$인 집합족 $\mathcal{C}$의 모든 $C\in \mathcal{C}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하면 $\displaystyle \bigcap \mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
3. $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$와 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해
$A_n\ne \emptyset$인 $A_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하고 $A_{n+1}\subseteq A_n$인 모든 $\mathcal{P}(X)$의 수열 $(A_n)_{n=1}^\infty$은 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n \ne \emptyset $이다.
증명
1.
$A= \emptyset$ 또는 $B = \emptyset$일때 일반성을 잃지 않고 $A = \emptyset$이라고 가정하면
위상공간 정리로 $\emptyset,X$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $\emptyset\cap X= \emptyset$과 $A\subseteq \emptyset$와 $B\subseteq X$가 성립한다.
$A\ne \emptyset$이고 $B \ne \emptyset$일때
$A\cap B= \emptyset$이므로 모든 $x\in A$와 모든 $y\in B$에 대해 $x\ne y$임에 따라 하우스도르프 공간의 정의로
$U_{x,y}\cap V_{x,y} =\emptyset$이 되는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U_{x,y}$와 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $V_{x,y}$가 존재하여
선택 정리로 $f(x,y) = (U_{x,y},V_{x,y})$인 함수 $f: A\times B\to \mathcal{T}\times \mathcal{T}$가 존재한다.
모든 $x\in A$에 대해 치환 공리로 집합 $\{ V_{x,y} : y\in B\}$가 존재하여 합집합의 정의로 $B\subseteq \displaystyle \bigcup \{ V_{x,y}:y\in B\}$이고
$\{ V_{x,y} : y\in B\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $B$의 열린덮개임에 따라
위 정리로 $B \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{G}_x$인 유한집합 $\mathcal{G}_x \subseteq \{ V_{x,y} : y\in B\}$가 존재한다.
모든 $V\in \mathcal{G}_x$에 대해 $V = V_{x,y}$인 $y\in B$가 존재하여 $f(x,y)= (U_{x,y},V_{x,y})$인 $U_{x,y}$가 존재하므로
선택 정리로 $V$에 대해 $U_V = U_{x,y}$를 선택하면 $\mathcal{F}_x = \{ U_V : V\in \mathcal{G}_x\}$가 존재하고 함수 정리로 $\mathcal{F}_x$는 유한집합이다.
$\mathcal{G}_x = \emptyset$이면 합집합의 정의로 $B \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{G}_x = \emptyset$이므로 $B = \emptyset$이 되어 모순임에 따라
$\mathcal{G}_x \ne \emptyset$이고 $\mathcal{F}_x \ne \emptyset$이므로 교집합 $\displaystyle \bigcap \mathcal{F}_x$가 존재하여 모든 $U\in \mathcal{F}_x$에 대해 $x\in U$임에 따라 $x \in \displaystyle \bigcap \mathcal{F}_x$이다.
$\mathcal{F}_x,\mathcal{G}_x$는 유한집합이므로 위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{F}_x ,\bigcup \mathcal{G}_x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고
$\displaystyle \left (\bigcap \mathcal{F}_x \right )\cap \left (\bigcup \mathcal{G}_x\right) \ne \emptyset$이라고 가정하면 $z\in \displaystyle \left (\bigcap \mathcal{F}_x \right )\cap \left (\bigcup \mathcal{G}_x\right)$가 존재하여
$z\in V$인 $V\in \mathcal{G}_x$가 존재하고 $z\in U_V$이므로 $z\in U_V\cap V = \emptyset$가 되어 모순임에 따라 $\displaystyle \left (\bigcap \mathcal{F}_x \right )\cap \left (\bigcup \mathcal{G}_x\right) = \emptyset$이다.
선택 정리로 모든 $x\in A$에 대해 $g(x) = \displaystyle \left (\bigcap \mathcal{F}_x , \bigcup \mathcal{G}_x\right)$인 함수 $g:A\to \mathcal{T}\times \mathcal{T}$가 존재하여
$g(x) = \displaystyle \left (\bigcap \mathcal{F}_x , \bigcup \mathcal{G}_x\right) = (U_x,V_x)$로 두면 $x\in U_x $와 $B \subseteq V_x$가 성립하고 $U_x\cap V_x = \emptyset$이다.
$A\subseteq \displaystyle \bigcup \{ U_x:x\in A\}$이므로 $\{ U_{x} : x\in A\}$가 $A$의 열린덮개임에 따라
위 정리로 $A \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F} \subseteq \{ U_{x} : x\in A\}$가 존재하여
모든 $U\in \mathcal{F}$에 대해 $U = U_x$인 $x\in A$가 존재하고 $g(x) = (U_x,V_x)$이므로
선택 정리로 $U$에 대해 $V_U = V_x$를 선택하면 함수 정리 $\mathcal{G} = \{ V_U : U\in \mathcal{F}\}$는 유한집합이다.
$\mathcal{F} = \emptyset$이면 합집합의 정의로 $A \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F} = \emptyset$이므로 $A = \emptyset$이 되어 모순임에 따라
$\mathcal{F} \ne \emptyset$이고 $\mathcal{G} \ne \emptyset$이므로 교집합 $\displaystyle \bigcap \mathcal{G}$가 존재하여 모든 $V\in \mathcal{G}$에 대해 $B\subseteq V$임에 따라 $B\subseteq \displaystyle \bigcap \mathcal{G}$이다.
$\mathcal{F},\mathcal{G}$는 유한집합이므로 위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} ,\bigcap \mathcal{G}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고
$\displaystyle \left (\bigcup \mathcal{F} \right )\cap \left (\bigcap \mathcal{G}\right) \ne \emptyset$이라고 가정하면 $z\in \displaystyle \left (\bigcup \mathcal{F} \right )\cap \left (\bigcap \mathcal{G}\right)$가 존재하여
$z\in U$인 $U\in \mathcal{F}$가 존재하고 $z\in V_U$이므로 $z\in U\cap V_U = \emptyset$가 되어 모순임에 따라 $\displaystyle \left (\bigcup \mathcal{F} \right )\cap \left (\bigcap \mathcal{G}\right) = \emptyset$이다.
따라서 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합인 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} ,\bigcap \mathcal{G}$는 $A \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$와 $B\subseteq \displaystyle \bigcap \mathcal{G}$가 성립하고 $\displaystyle \left (\bigcup \mathcal{F} \right )\cap \left (\bigcap \mathcal{G}\right) = \emptyset$이다.
2.
모든 $C\in \mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하므로 하우스도르프 공간 정리로 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이 되어
위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $\displaystyle \bigcap \mathcal{C}\subseteq C$임에 따라 위 정리로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
3.
$(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간임에 따라 계승적 성질로 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(A_1,\mathcal{T}|_{A_1})$은 하우스도르프 공간이다.
모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $A_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하므로 하우스도르프 공간 정리로 $A_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고
$A_n \subseteq A_1$이므로 집합 정리로 $A_n = A_n \cap A_1$이 되어 위상공간 정리로 $A_n$은 $(A_1,\mathcal{T}|_{A_1})$에서 닫힌집합이다.
집합족 $\mathcal{C} = \{ A_n : n\in \mathbb{Z}^+ \}$는 $\mathcal{C}\ne \emptyset$이고 $(\mathcal{C},\subseteq)$는 전순서집합이므로 모든 공집합이 아닌 유한집합 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{C}$는
최소원소 정리로 $\underset{(\mathcal{C},\subseteq)}{\min} \mathcal{F} \in \mathcal{F}$가 존재하여 $\underset{(\mathcal{C},\subseteq)}{\min} \mathcal{F} = A_n$인 $n \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로
최소원소 정리와 상한 정리로 $A_n=\underset{(\mathcal{C},\subseteq)}{\min} \mathcal{F} = \underset{(\mathcal{C},\subseteq)}{\inf} \mathcal{F} = \displaystyle \bigcap_{C\in\mathcal{F}}C$이고 $\displaystyle \bigcap_{C\in\mathcal{F}}C = A_n \ne \emptyset$이다.
따라서 $A_1\ne \emptyset$이고 $A_1$은 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하므로 위 정리로 $ \displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n= \bigcap_{C \in \mathcal{C}} C \ne \emptyset$이다.
정리5
위상공간 $(X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수일때 다음이 성립한다.
1. 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트하면 함수의 상 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트하다.
2. $f$가 전사일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 콤팩트공간이면 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 콤팩트공간이다.
증명
1.
임의의 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(E)$의 열린덮개 $\mathcal{O}_Y$에 대해 $f(E)\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_Y = \bigcup_{O_Y\in \mathcal{O}_Y}O_Y$이고
모든 $O_Y\in \mathcal{O}_Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이므로 연속함수 정리로 $f^{-1}(O_Y)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이 되어
역상들의 집합 $\mathcal{O}_X = \{ f^{-1}(O_Y): O_Y\in \mathcal{O}_Y\}$는 $\mathcal{O}_X \subseteq \mathcal{T}_X$이다.
임의의 $x\in E$에 대해 상의 정의로 $f(x)\in f(E) \subseteq \displaystyle \bigcup_{O_Y\in \mathcal{O}_Y}O_Y$이므로
역상의 정의와 함수 정리로 $x\in \displaystyle f^{-1}(\bigcup_{O_Y\in \mathcal{O}_Y}O_Y) = \bigcup_{O_Y\in \mathcal{O}_Y}f^{-1}(O_Y) = \bigcup \mathcal{O}_X$가 되어
$E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_X$이고 $E$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트함에 따라 위 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_X$인 유한집합 $\mathcal{F}_X \subseteq \mathcal{O}_X$가 존재한다.
임의의 $O_X\in \mathcal{F}_X$는 $O_X\in \mathcal{F}_X \subseteq \mathcal{O}_X$이므로 $O_X = f^{-1}(O_Y)$인 $O_Y\in \mathcal{O}_Y$가 존재하여
선택 정리로 $\phi(O_X) = O_Y$인 함수 $\phi: \mathcal{F}_X \to \mathcal{O}_Y$가 존재하고 $O_X = f^{-1}(O_Y) = f^{-1}(\phi(O_X))$이다
따라서 집합 $\mathcal{F}_Y = \{ \phi(O_X) : O_X\in \mathcal{F}_X\}$는 함수 정리로 유한집합이고 $\mathcal{F}_Y \subseteq \mathcal{O}_Y$이므로
$f(E)\subseteq \displaystyle f(\bigcup \mathcal{F}_X) = f(\bigcup_{O_X\in \mathcal{F}_X}O_X) = \bigcup_{O_X\in \mathcal{F}_X}f(O_X) = \bigcup_{O_X\in \mathcal{F}_X}f(f^{-1}(\phi(O_X))) \subseteq \bigcup_{O_X\in \mathcal{F}_X}\phi(O_X) = \bigcup \mathcal{F}_Y\text{ 임에 따라}$
위 정리로 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트하다.
2.
$(X,\mathcal{T}_X)$가 콤팩트공간이므로 $X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트하고
전사함수 정리로 $f(X) = Y$임에 따라 1번으로 $f(X) = Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트하여 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 콤팩트공간이다.
정리6
위상공간 $(X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수일때
$(X,\mathcal{T}_X)$가 콤팩트공간이고 $(Y,\mathcal{T}_Y)$가 하우스도르프 공간이면 다음이 성립한다.
1. 모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합 $C$에 대해 함수의 상 $f(C)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이다.
2. $f$가 전단사이면 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이다.
증명
1.
$(X,\mathcal{T}_X)$가 콤팩트공간이므로 $X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트하여 $C\subseteq X$이고 $C$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합임에 따라
위 정리로 $C$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트하고 위 정리로 $f(C)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트하므로
하우스도르프 공간 정리로 $f(C)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이다.
2.
역함수 정리로 $f$의 역함수 $f^{-1}: Y\to X$이 존재하여 모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합 $C$에 대해
함수 정리와 1번으로 $(f^{-1})^{-1}(C) = f(C)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이므로
연속함수 정리로 $f^{-1}$이 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수임에 따라
$f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이다.
정의2
위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때
점렬 콤팩트공간(sequentially compact space) :
모든 $X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 존재하면
$(X,\mathcal{T})$를 점렬 콤팩트공간 또는 점렬 콤팩트위상공간으로 정의한다.
$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 점렬 콤팩트공간이면
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하다고 정의하고 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트집합으로 정의한다.
극한점 콤팩트공간(limit point compact space) :
무한집합인 모든 $A\subseteq X$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $A$의 도집합이 $\underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\ne \emptyset$이면
$(X,\mathcal{T})$를 극한점 콤팩트공간 또는 극한점 콤팩트위상공간으로 정의한다.
$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 극한점 콤팩트공간이면
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하다고 정의하고 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트집합으로 정의한다.
가산 콤팩트공간(countably compact space) :
가산집합인 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해
$(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이고 유한집합인 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하면
$(X,\mathcal{T})$를 가산 콤팩트공간 또는 가산 콤팩트위상공간으로 정의한다.
$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 가산 콤팩트공간이면
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하다고 정의하고 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트집합으로 정의한다.
린델뢰프 공간(Lindelöf space) :
모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해
$(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이고 가산집합인 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하면
$(X,\mathcal{T})$를 린델뢰프 공간 또는 린델뢰프 위상공간으로 정의한다.
$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 린델뢰프 공간이면 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합으로 정의한다.
정리7
위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.
1. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하기 위한 필요충분조건은
모든 $E$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 존재하고
어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$의 극한 $x\in X$가 존재하여 $x\in E$인 것이다.
2. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하기 위한 필요충분조건은
무한집합인 모든 $A\subseteq E$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $A$의 도집합이 $\underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap E\ne \emptyset$인 것이다.
3. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하기 위한 필요충분조건은
가산집합인 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하는 것이다.
4. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이기 위한 필요충분조건은
모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 가산집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하는 것이다.
증명
$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(E,\mathcal{T}|_E)$일때
1.
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하면
$(E,\mathcal{T}|_E)$는 점렬 콤팩트공간이므로 모든 $E$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$에 대해
$(E,\mathcal{T}|_E)$에서 수렴하는 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 존재하여 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$의 극한이 $x \in E$일때
모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$에 대해 위상공간 정리로 $O\cap E$가 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $x$의 열린근방임에 따라
수렴의 정의로 $k \ge N_O$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$가 $x_{n_k}\in O\cap E$인 $N_O\in \mathbb{Z}^+$가 존재하고
$x_{n_k}\in O\cap E \subseteq O$이므로 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x\in E$로 수렴한다.
역으로 모든 $E$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$에 대해
어떤 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 존재하고 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in E$로 수렴하면
모든 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 위상공간 정리로 $V = O\cap E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여
수렴의 정의로 $k\ge N_O$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$가 $x_{n_k}\in O$인 $N_O\in \mathbb{Z}^+$가 존재하므로
$(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 $E$의 수열임에 따라 $x_{n_k}\in E$가 되어 $x_{n_k}\in O\cap E = V$이고 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 수렴하므로
$(E,\mathcal{T}|_E)$는 점렬 콤팩트공간이고 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하다.
2.
모든 $A\subseteq E$에 대해 위상공간 정리로 $\underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{A'} = \underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap E$이므로
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하면
$(E,\mathcal{T}|_E)$는 극한점 콤팩트공간임에 따라 무한집합인 모든 $A\subseteq E$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap E=\underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{A'}\ne \emptyset$이고
역으로 무한집합인 모든 $A\subseteq E$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap E\ne \emptyset$이면
$\underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{A'} = \underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap E\ne \emptyset$임에 따라 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 극한점 콤팩트공간이 되어 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하다.
3.
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하면 가산집합인 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해
집합 $\mathcal{O}|_E = \{ O\cap E : O\in \mathcal{O}\}$는 함수 정리로 가산집합이고 위상공간 정리로 $\mathcal{O}|_E\subseteq \mathcal{T}|_E$이므로
열린덮개의 정의로 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$임에 따라 임의의 $x\in E$에 대해 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여
$x\in O\cap E\in \mathcal{O}|_E$이고 합집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_E$이므로 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_E$이다.
$(E,\mathcal{T}|_E)$는 가산 콤팩트공간이고 $\mathcal{O}|_E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $E$의 열린덮개이므로
$E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}|_E$인 유한집합 $\mathcal{F}|_E\subseteq \mathcal{O}|_E$가 존재하여 모든 $V\in \mathcal{F}|_E\subseteq \mathcal{O}|_E $는 $V = O_V\cap E$인 $O_V \in \mathcal{O}$가 존재한다.
선택 정리로 $O_V$를 선택하면 함수 정리로 $\mathcal{F} = \{ O_V : V\in \mathcal{F}|_E\}$는 유한집합이고
$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$와 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}|_E = \bigcup_{V\in \mathcal{F}|_E} V =\bigcup_{V\in \mathcal{F}|_E}(O_V \cap E ) \subseteq \bigcup_{V\in \mathcal{F}|_E} O_V = \bigcup \mathcal{F}$가 성립한다.
역으로 조건이 성립하면
가산집합인 임의의 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}|_E$는 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_E$이고
모든 $V\in \mathcal{O}|_E\subseteq \mathcal{T}|_E$에 대해 위상공간 정리로 $V= O_V\cap E$인 $O_V \in \mathcal{T}$가 존재하므로
선택 정리로 $O_V$를 선택하면 집합 $\mathcal{O} = \{ O_V : V\in \mathcal{O}|_E\}$는 함수 정리로 가산집합이고 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$이다.
임의의 $x\in E$는 $x\in V$인 $V\in \mathcal{O}|_E\subseteq \mathcal{T}|_E$가 존재하여 $V= O_V\cap E$인 $O_V \in \mathcal{O}$가 존재하므로
$x\in V=O_V\cap E \subseteq O_V$임에 따라 합집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O}$이다.
$\mathcal{O}$는 가산집합인 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개이므로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하여
모든 $O\in \mathcal{F}$는 $O=O_V$인 $V\in \mathcal{O}|_E$가 존재하고 $O\cap E = O_V\cap E = V\in \mathcal{O}|_E$임에 따라
함수 정리로 $\mathcal{F}|_E = \{ O\cap E : O\in \mathcal{F} \}$는 유한집합이고 $\mathcal{F}|_E \subseteq \mathcal{O}|_E$이다.
모든 $x\in E$는 $x\in O$인 $O\in \mathcal{F}$가 존재하여 $x\in O\cap E \in \mathcal{F}|_E$이므로 합집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}|_E$임에 따라
$E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}|_E$이고 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 가산 콤팩트공간이 되어 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하다.
4.
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이면
임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 집합 $\mathcal{O}|_E = \{ O\cap E : O\in \mathcal{O}\}$는 위상공간 정리로 $\mathcal{O}|_E\subseteq \mathcal{T}|_E$이고
열린덮개의 정의로 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 임의의 $x\in E$에 대해 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여
$x\in O\cap E\in \mathcal{O}|_E$이고 합집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_E$임에 따라 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_E$이다.
$(E,\mathcal{T}|_E)$는 린델뢰프 공간이고 $\mathcal{O}|_E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $E$의 열린덮개이므로
$E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}|_E$인 가산집합 $\mathcal{F}|_E\subseteq \mathcal{O}|_E$가 존재하여 모든 $V\in \mathcal{F}|_E\subseteq \mathcal{O}|_E $는 $V = O_V\cap E$인 $O_V \in \mathcal{O}$가 존재한다.
선택 정리로 $O_V$를 선택하면 함수 정리로 $\mathcal{F} = \{ O_V : V\in \mathcal{F}|_E\}$는 가산집합이고
$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$와 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}|_E = \bigcup_{V\in \mathcal{F}|_E} V =\bigcup_{V\in \mathcal{F}|_E}(O_V \cap E ) \subseteq \bigcup_{V\in \mathcal{F}|_E} O_V = \bigcup \mathcal{F}$가 성립한다.
역으로 조건이 성립하면
임의의 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}|_E$는 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_E$이므로 집합 $\mathcal{O} = \{ O\in \mathcal{T} : O\cap E\in \mathcal{O}|_E\}$에 대해
임의의 $x\in E$는 $x\in V$인 $V\in \mathcal{O}|_E\subseteq \mathcal{T}|_E$가 존재하여 위상공간 정리로 $V= O\cap E$인 $O \in \mathcal{T}$가 존재하고
$O\in \mathcal{O}$임에 따라 $x\in V=O\cap E \subseteq O$이므로 합집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$가 되어 $E\subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O}$이다.
$\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개이므로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{F}$인 가산집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하여
함수 정리로 $\mathcal{F}|_E = \{ O\cap E : O\in \mathcal{F} \}$는 가산집합이고 모든 $O\in \mathcal{F}$가 $O\cap E\in \mathcal{O}|_E$임에 따라 $\mathcal{F}|_E \subseteq \mathcal{O}|_E$이다.
모든 $x\in E$는 $x\in O$인 $O\in \mathcal{F}$가 존재하여 $x\in O\cap E \in \mathcal{F}|_E$이므로 합집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}|_E$임에 따라
$E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}|_E$이고 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 린델뢰프 공간이 되어 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이다.
정리8
위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$와 임의의 $E\subseteq Y$에 대해 다음이 성립한다.
1. $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 점렬 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트한 것이다.
2. $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 극한점 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트한 것이다.
3. $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 가산 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트한 것이다.
4. $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 린델뢰프 집합이기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합인 것이다.
증명
$E\subseteq Y \subseteq X$임에 따라 위상공간 정리로 $(\mathcal{T}|_Y)|_E = \mathcal{T}|_E$이므로 $(E,(\mathcal{T}|_Y)|_E) = (E,\mathcal{T}|_E)$이다.
$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 점렬 콤팩트집합 또는 극한점 콤팩트집합 또는 가산 콤팩트집합 또는 린델뢰프 집합이면
$(E,(\mathcal{T}|_Y)|_E)$는 점렬 콤팩트공간 또는 극한점 콤팩트공간 또는 가산 콤팩트공간 또는 린델뢰프 공간이고
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트집합 또는 극한점 콤팩트집합 또는 가산 콤팩트집합 또는 린델뢰프 집합이면
$(E,\mathcal{T}|_E)$는 점렬 콤팩트공간 또는 극한점 콤팩트공간 또는 가산 콤팩트공간 또는 린델뢰프 공간이므로
1, 2, 3, 4가 성립한다.
정리9
위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 임의의 $E\subseteq X$가 유한집합일때 다음이 성립한다.
1. $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하다.
2. $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하다.
3. $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하다.
4. $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이다.
증명
1.
모든 $E$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$에 대해 $\{ x_n : n\ge n_0\} \subseteq E$이므로 유한집합 정리로 $\{ x_n : n\ge n_0\}$은 유한집합이 되어
수열 정리로 어떤 $x\in \{ x_n : n\ge n_0\} \subseteq E$가 존재하고
$(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 어떤 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴함에 따라 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하다.
2.
유한집합 정리로 모든 $A\subseteq E$는 무한집합이 아니므로 공허하게 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하다.
3, 4
임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해
$E = \emptyset$이면 $\emptyset \subseteq \mathcal{O}$이고 합집합의 정의로 $E = \emptyset =\displaystyle \bigcup \emptyset$이므로
$\emptyset$이 유한집합임에 따라 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하고
$\emptyset$은 가산집합이므로 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이다.
$E \ne \emptyset$이면 유한집합의 정의로 어떤 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E = \{ x_1,x_2,\cdots,x_k\}$이고 열린덮개의 정의로 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로
선택 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $x_i\in O_i$인 $O_i\in \mathcal{O}$를 선택할때
$\mathcal{F} = \{ O_1,O_2,\cdots, O_k\}$는 유한집합이고 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$와 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$가 성립하여
위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하고 $\mathcal{F}$가 가산집합임에 따라 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이다.
정리10
위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $p\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 부분집합이 $E_1,E_2,\cdots, E_p\subseteq X$일때 다음이 성립한다.
1. $E_1,E_2,\cdots, E_p$가 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하면 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^p E_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하다.
2. $E_1,E_2,\cdots, E_p$가 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하면 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^p E_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하다.
3. $E_1,E_2,\cdots, E_p$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하면 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^p E_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하다.
4. $E_1,E_2,\cdots, E_p$가 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이면 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^p E_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이다.
증명
1.
$\displaystyle E = \bigcup_{i=1}^p E_i$일때 임의의 $E$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$에 대해 $S = \{n \in \mathbb{N} : n\ge n_0\}$이면
모든 $n \in S$에 대해 $x_n \in E = E_1\cup E_2\cup \cdots \cup E_p$이므로 $x_n\in E_i$인 $i = 1,2,\cdots, p$가 존재하여
$S = \{ n \in S : x_n \in E_1\} \cup \{ n\in S : x_n \in E_2 \}\cup \cdots \cup \{ n\in S : x_n \in E_p\}$이다.
모든 $i = 1,2,\cdots, p$에 대해 $\{ n \in S : x_n \in E_i \}$가 유한집합이라고 가정하면
유한집합 정리로 $S = \displaystyle \bigcup_{i = 1}^p\{ n \in S : x_n \in E_i \}$가 유한집합이 되어 모순이므로
$\{ n \in S : x_n \in E_i \}$가 무한집합인 $i = 1,2,\cdots, p$가 존재하고 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해
정렬성과 귀납적 정의로 $\max\{n_0,k\}\le n_k< n_{k+1}$이고 최소인 $n_k \in \{ n \in S : x_n \in E_i\}$를 선택하여
$(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$를 만들면 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$는 $E_i$의 수열이다.
$E_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하므로
위 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in E_i$로 수렴하는 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_{k_j}})_{j=1}^\infty$가 존재하여
$(x_{n_{k_j}})_{j=1}^\infty$는 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열이고 $x\in E_i\subseteq E$임에 따라 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하다.
2.
무한집합인 모든 $\displaystyle A\subseteq \bigcup_{i=1}^p E_i$가 $\underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap \displaystyle \left (\bigcup_{i=1}^p E_i \right)\ne \emptyset$임을 $p\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.
$p=1$이면 무한집합인 모든 $\displaystyle A\subseteq \bigcup_{i=1}^1 E_i$에 대해
$\displaystyle \bigcup_{i=1}^1 E_i = E_1$이 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트집합임에 따라 위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap \displaystyle \left (\bigcup_{i=1}^1 E_i \right) = \underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap E_1\ne \emptyset$이다.
모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 무한집합인 모든 $\displaystyle A \subseteq \bigcup_{i=1}^k E_i$가 $\underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap \displaystyle \left (\bigcup_{i=1}^k E_i \right)\ne \emptyset$이라고 가정할때
무한집합인 모든 $\displaystyle A\subseteq \bigcup_{i=1}^{k+1} E_i$에 대해 $\displaystyle D= \bigcup_{i=1}^k E_i$일때 집합 정리로 $A = (A\setminus D) \cup (A\cap D)$이므로
$A\setminus D$와 $A\cap D$가 유한집합이라고 가정하면
유한집합 정리로 $A = (A\setminus D) \cup (A\cap D)$가 유한집합이 되어 모순임에 따라 $A\setminus D$ 또는 $A\cap D$는 무한집합이다.
$\displaystyle A \cap D \subseteq D = \bigcup_{i=1}^k E_i$이고 $A\setminus D \subseteq E_{k+1}$이므로 $A\cap D$가 무한집합이면 귀납가정으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{(A\cap D)'} \cap D \ne \emptyset$이고
$A\setminus D$가 무한집합이면 $E_{k+1}$이 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트집합임에 따라 위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{(A\setminus D)'}\cap E_{k+1} \ne \emptyset$이 되어
$\underset{(X,\mathcal{T})}{(A\cap D)'} \cap D \ne \emptyset$ 또는 $\underset{(X,\mathcal{T})}{(A\setminus D)'}\cap E_{k+1} \ne \emptyset$이다.
$A\cap D \subseteq A$이고 $A\setminus D \subseteq A$이므로 도집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{(A\cap D)'} \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{A'}$와 $\underset{(X,\mathcal{T})}{(A\setminus D)'} \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{A'}$가 성립하여 집합 정리로
$\begin{align*} (\underset{(X,\mathcal{T})}{(A\cap D)'} \cap D ) \cup (\underset{(X,\mathcal{T})}{(A\setminus D)'}\cap E_{k+1} ) \subseteq (\underset{(X,\mathcal{T})}{A'} \cap D ) \cup (\underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap E_{k+1} ) = \underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap (D\cup E_{k+1})= \underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap \left ( \bigcup_{i=1}^{k+1}E_i \right ) \text{ 임에 따라} \end{align*}$
$\begin{align*} \underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap \left ( \bigcup_{i=1}^{k+1}E_i \right ) \ne \emptyset \end{align*}$이다.
따라서 모든 $p\in \mathbb{Z}^+$에 대해
무한집합인 모든 $\displaystyle A\subseteq \bigcup_{i=1}^p E_i$가 $\underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap \displaystyle \left (\bigcup_{i=1}^p E_i \right)\ne \emptyset$이므로 위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^p E_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하다.
3.
가산집합인 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^p E_i$의 열린덮개 $\mathcal{O}$는
모든 $j = 1,2,\cdots, p$에 대해 $E_j \subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^pE_i \subseteq \bigcup \mathcal{O}$이므로 $\mathcal{O}$는 가산집합인 $(X,\mathcal{T})$에서 $E_j$의 열린덮개가 되어
$E_1,E_2,\cdots, E_p$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트함에 따라
위 정리와 선택 정리로 $E_j \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_j$인 유한집합 $\mathcal{F}_j \subseteq \mathcal{O}$를 선택하면
$\displaystyle \bigcup_{i=1}^p \mathcal{F}_i \subseteq \mathcal{O}$이고 유한집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^p \mathcal{F}_i$는 유한집합이다.
임의의 $\displaystyle x\in \bigcup_{i=1}^pE_i$는 $x\in E_i$인 $i = 1,2,\cdots, p$가 존재하여 $x \in E_i \subseteq\displaystyle \bigcup \mathcal{F}_i$이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{F}_i$가 존재하고
$\displaystyle x\in O\in \bigcup_{i=1}^p \mathcal{F}_i$임에 따라 합집합의 정의로 $\displaystyle x \in \bigcup \left ( \bigcup_{i=1}^p \mathcal{F}_i\right )$가 되어
$\displaystyle \bigcup_{i=1}^pE_i \subseteq \bigcup \left(\bigcup_{i=1}^p \mathcal{F}_i\right)$이므로 위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^p E_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하다.
4.
임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^p E_i$의 열린덮개 $\mathcal{O}$는
모든 $j = 1,2,\cdots, p$에 대해 $E_j \subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^pE_i \subseteq \bigcup \mathcal{O}$이므로 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E_j$의 열린덮개가 되어
$E_1,E_2,\cdots, E_p$가 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합임에 따라
위 정리와 선택 정리로 $E_j \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_j$인 가산집합 $\mathcal{F}_j \subseteq \mathcal{O}$를 선택하면
$\displaystyle \bigcup_{i=1}^p \mathcal{F}_i \subseteq \mathcal{O}$이고 가산집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^p \mathcal{F}_i$는 가산집합이다.
임의의 $\displaystyle x\in \bigcup_{i=1}^pE_i$는 $x\in E_i$인 $i = 1,2,\cdots, p$가 존재하여 $x \in E_i \subseteq\displaystyle \bigcup \mathcal{F}_i$이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{F}_i$가 존재하고
$\displaystyle x\in O\in \bigcup_{i=1}^p \mathcal{F}_i$임에 따라 합집합의 정의로 $\displaystyle x \in \bigcup \left ( \bigcup_{i=1}^p \mathcal{F}_i\right )$가 되어
$\displaystyle \bigcup_{i=1}^pE_i \subseteq \bigcup \left(\bigcup_{i=1}^p \mathcal{F}_i\right)$이므로 위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^p E_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이다.
정리11
위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 임의의 $C\subseteq E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합일때 다음이 성립한다.
1. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하면 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하다.
2. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하면 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하다.
3. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하면 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하다.
4. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이면 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이다.
증명
1.
$C\subseteq E$이므로 임의의 $C$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $E$의 수열임에 따라
위 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in E$로 수렴하는 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 존재하고
$C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 수열 정리로 $x\in C$가 되어 위 정리로 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하다.
2.
무한집합인 모든 $A\subseteq C$는 $A\subseteq C\subseteq E$이므로 위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap E \ne \emptyset$이고
$C$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라 도집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{C'} \subseteq C \subseteq E$가 되어
집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap C =\underset{(X,\mathcal{T})}{A'} = \underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap E \ne \emptyset$이므로 위 정리로 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하다.
3.
가산집합인 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $C$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로
$X\setminus C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어 집합 $\mathcal{S} = \mathcal{O} \cup \{ X\setminus C\}$는 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{T}$이고 가산집합 정리로 가산집합이다.
임의의 $x\in E \subseteq X$에 대해
$x\in C$이면 열린덮개의 정의로 $x\in C\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O} $이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 $x\in O\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{S}$이고
$x\notin C$이면 $x\in X\setminus C\in \mathcal{S}$임에 따라
합집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$가 되어 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$이므로 $\mathcal{S}$는 가산집합인 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개이다.
$E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하므로 위 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{G}$인 유한집합 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{S}$가 존재하여
집합 $\mathcal{F} = \mathcal{G} \setminus \{ X\setminus C\}$는 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이므로 유한집합 정리로 유한집합이고
모든 $O\in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{G} \subseteq \mathcal{S}$는 $O\in \mathcal{O}$ 또는 $O \in \{X\setminus C\}$인데 $O \notin \{X\setminus C\}$이므로 $O\in \mathcal{O}$가 되어 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{O}$이다.
임의의 $x\in C$는 $x\in C \subseteq E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{G}$이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{G}$가 존재하여
$O\in \mathcal{G} \subseteq \mathcal{S} $임에 따라 $O\in \mathcal{O}$ 또는 $O \in \{X\setminus C\}$인데
$O \in \{ X\setminus C\}$이면 $x\in O = X\setminus C$가 되어 $x\notin C$이므로 모순임에 따라 $O\notin \{ X\setminus C\}$이고
$x\in O\in \mathcal{G} \setminus \{ X\setminus C\} =\mathcal{F}$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$가 되어
$C\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$이므로 위 정리로 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하다.
4.
임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $C$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해
$C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 $X\setminus C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어 집합 $\mathcal{S} = \mathcal{O} \cup \{ X\setminus C\}$는 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{T}$이다.
임의의 $x\in E \subseteq X$에 대해
$x\in C$이면 열린덮개의 정의로 $x\in C\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O} $이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 $x\in O\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{S}$이고
$x\notin C$이면
$x\in X\setminus C\in \mathcal{S}$임에 따라 합집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$가 되어 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$이므로 $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개이다.
$E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이므로 위 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{G}$인 가산집합 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{S}$가 존재하여
집합 $\mathcal{F} = \mathcal{G} \setminus \{ X\setminus C\}$는 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이므로 가산집합 정리로 가산집합이고
모든 $O\in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{G} \subseteq \mathcal{S}$는 $O\in \mathcal{O}$ 또는 $O \in \{X\setminus C\}$인데 $O \notin \{X\setminus C\}$이므로 $O\in \mathcal{O}$가 되어 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{O}$이다.
임의의 $x\in C$는 $x\in C \subseteq E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{G}$이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{G}$가 존재하여
$O\in \mathcal{G} \subseteq \mathcal{S} $임에 따라 $O\in \mathcal{O}$ 또는 $O \in \{X\setminus C\}$인데
$O \in \{ X\setminus C\}$이면 $x\in O = X\setminus C$가 되어 $x\notin C$이므로 모순임에 따라 $O\notin \{ X\setminus C\}$이고
$x\in O\in \mathcal{G} \setminus \{ X\setminus C\} =\mathcal{F}$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$가 되어
$C\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$이므로 위 정리로 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이다.
정리12
위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.
1. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이고 가산 콤팩트한 것이다.
2. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하다.
3. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하다.
4. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 무한집합인 모든 $A\subseteq E$에 대해
어떤 $x\in E$가 존재하여 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V\cap A$가 무한집합인 것이다.
증명
1.
$E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하면
임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 위 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$가 되는 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하여
$\mathcal{F}$는 가산집합이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개이므로 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이고 가산 콤팩트하다.
역으로 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이고 가산 콤팩트하면
임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 위 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{G}$가 되는 가산집합 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하여
$\mathcal{G}$는 가산집합인 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개이므로 위 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$가 되는 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$가 존재한다.
$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}\subseteq \mathcal{O}$이고 $\mathcal{F}$는 유한집합인 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개이므로 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
2.
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트할때 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하지 않다고 가정하면
위 정리로 가산집합인 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$가 존재하여
모든 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$에 대해 $E\not \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$이므로 $E\setminus \displaystyle \left (\bigcup \mathcal{F} \right) \ne \emptyset$이다.
$\emptyset \subseteq \mathcal{O}$이고 $\emptyset$은 유한집합이므로 합집합의 정의와 집합 정리로 $E=E\setminus \emptyset =E\setminus \displaystyle \left (\bigcup \emptyset \right) \ne \emptyset$이 되어
$x\in E$가 존재하고 열린덮개의 정의로 $x\in E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재함에 따라 $\mathcal{O}\ne \emptyset$이다.
가산집합 정리로 전사함수 $f:\mathbb{N}\to \mathcal{O}$가 존재하여
모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 함수 정리로 $\mathcal{F}_n = \{ f(i) : 0\le i \le n\}$은 유한집합이고 $\mathcal{F}_n \subseteq \mathcal{O}$이므로
$E\setminus \displaystyle \left (\bigcup \mathcal{F}_n \right) \ne \emptyset$임에 따라 선택 정리로 $x_n \in E\setminus \displaystyle \left (\bigcup \mathcal{F}_n \right)$인 $E$의 수열 $(x_n)_{n=0}^\infty$이 존재하여
위 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in E$로 수렴하는 $(x_n)_{n=0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 존재한다.
$x\in E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여
전사의 정의로 $f(m) = O$인 $m\in \mathbb{N}$이 존재하고 $O=f(m) \in \{ f(i) : 0\le i\le m\} = \mathcal{F}_m$이므로
$n \ge m$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $O=f(m) \in \mathcal{F}_m = \{ f(i) : 0\le i \le m \} \subseteq \{ f(i):0\le i\le n\} = \mathcal{F}_n$이다.
$O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방임에 따라
수렴의 정의로 $k \ge N$인 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$가 $x_{n_k}\in O$가 되는 $N\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여
$k\ge \max \{ N,m\}$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 부분수열의 정의로 $n_k \ge k\ge \max \{ N,m\}$이므로
$x_{n_k}\in O\in \mathcal{F}_m \subseteq \mathcal{F}_{n_k}$이고 $x_{n_k}\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_{n_k}$인데 $x_{n_k} \in E\setminus \displaystyle \left (\bigcup \mathcal{F}_{n_k} \right)$이므로 $x_{n_k}\notin \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_{n_k}$가 되어 모순이다.
따라서 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하다.
3.
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트할때 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하지 않다고 가정하면
$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 극한점 콤팩트공간이 아니므로
무한집합인 어떤 $B\subseteq E$가 존재하여 $\underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{B'} = \emptyset$이고
가부번 정리와 비가산집합 정리로 $A\subseteq B$인 가부번집합 $A$가 존재한다.
도집합 정리로 $\underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{A'}\subseteq \underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{B'} = \emptyset $이므로 모든 $x\in A \subseteq E$에 대해 $x\notin \emptyset =\underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{A'}$가 되어
$x\in A\setminus \underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{A'}$임에 따라 도집합 정리로 $A\cap O_x = \{ x\}$인 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $x$의 열린근방 $O_x$가 존재하고
선택 정리로 $f(x) = O_x$인 함수 $f: A\to \mathcal{T}|_E$가 존재하므로 $\mathcal{O} = \{ f(x) : x\in A\}$는 함수 정리로 가산집합이고
$\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}|_E$와 $A \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$가 성립하여 $\mathcal{O}$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $A$의 열린덮개이다.
$(E,\mathcal{T}|_E)$는 가산 콤팩트공간이므로 $A \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하고
모든 $x\in A$에 대해 $x\in U_x$인 $U_x\in \mathcal{F}$가 존재하여 선택 정리로 $g(x) = U_x$인 함수 $g : A\to \mathcal{F}$가 존재하고
$U_x\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$이므로 $U_x = O_y = f(y)$인 $y\in A$가 존재하여
$x\in A \cap U_x = A\cap O_y = \{ y\}$임에 따라 $x = y$이고 $g(x) = U_x = O_y = f(y) = f(x)$이므로 $g = f$이다.
모든 $x,y\in A$에 대해 $g(x) = g(y)$이면 $O_x=f(x) = g(x) = g(y) = f(y) = O_y$이므로
$\{x\} =A\cap O_x = A\cap O_y = \{ y\}$가 되어 $x = y$임에 따라 $g$는 단사인데
$A$는 가부번이고 $\mathcal{F}$는 유한집합이므로 집합의 크기 정리와 가부번 정리와 유한집합 정리로 모순이다.
따라서 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하다.
4.
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트할때 무한집합인 어떤 $D\subseteq E$가 존재하여
모든 $x\in E$에 대해 $V_x\cap D$가 유한집합인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V_x$가 존재한다고 가정하면
가부번 정리와 비가산집합 정리로 $C\subseteq D$인 가부번집합 $C$가 존재하여
$V_x\cap C\subseteq V_x \cap D$이므로 집합 정리로 $V_x\cap C$는 유한집합이다.
$\mathcal{S} = \{ V\in \mathcal{T} : \text{어떤 }x\in E\text{에 대해 }x\in V \text{이고 } V\cap C\text{가 유한집합 }\}$일때
임의의 유한집합 $B \subseteq C$에 대해 $\mathcal{S}_B = \{ V\in \mathcal{S}: V\cap C \subseteq B\}$이고 $O_B = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}_B$이면
$\mathcal{S}_B\subseteq \mathcal{S}\subseteq \mathcal{T}$이므로 위상공간의 정의로 $O_B$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고
$C\ne \emptyset$임에 따라 가산집합 정리와 함수 정리로 $\mathcal{O} = \{ O_B : \text{유한집합 }B\subseteq C\}$는 가산집합이다.
임의의 $x\in E$에 대해
$V_x\cap C$가 유한집합인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V_x$가 존재하여 $V_x\in \mathcal{T}$이고 $x\in V_x$이므로 $V_x\in \mathcal{S}$이고
$V_x \cap C\subseteq C$이므로 $x\in V_x \in \mathcal{S}_{V_x\cap C}$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{S}_{V_x\cap C} = O_{V_x\cap C}$이고
$O_{V_x\cap C}\in \mathcal{O}$이므로 $x\in O_{V_x\cap C} \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$가 되어 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이다.
$\mathcal{O}$는 가산집합인 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개이므로 위 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하고
임의의 $O\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$는 $O = O_B =\displaystyle \bigcup \mathcal{S}_B$인 유한집합 $B\subseteq C$가 존재하여
모든 $x\in O\cap C$는 $x\in O =\displaystyle \bigcup \mathcal{S}_B$이므로 $x\in V$인 $V\in \mathcal{S}_B$가 존재하고
$x\in V\cap C \subseteq B$임에 따라 $O\cap C\subseteq B$가 되어 집합 정리로 $O\cap C$는 유한집합이고
$\{O\cap C : O\in \mathcal{F} \}$는 함수 정리로 유한집합이므로 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{F}} (O\cap C)$는 유한집합이다.
$C\subseteq D\subseteq E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$이므로 모든 $x\in C\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$에 대해
$x\in O$인 $O\in \mathcal{F}$가 존재하여 $x\in O\cap C$이고 $x\in \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{F}}(O\cap C) $임에 따라
$C\subseteq \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{F}}(O\cap C) $인데 집합 정리로 $C$는 유한집합이 되어 가부번 정리로 $C$가 무한집합임에 모순이다.
따라서 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하면 무한집합인 모든 $A\subseteq E$에 대해
어떤 $x\in E$가 존재하여 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V\cap A$가 무한집합이다.
역으로 조건이 성립할때 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하지 않다고 가정하면
위 정리로 가산집합인 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 모든 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$는 $E\not \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$이다.
$E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 $\mathcal{O}$는 무한집합이 되어 가부번 정리로 가부번임에 따라 전단사함수 $\phi :\mathbb{N}\to \mathcal{O}$가 존재하고
모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $E\not \subseteq \displaystyle \bigcup_{i=0}^n \phi(i)$이므로 $E\setminus \displaystyle \left (\bigcup_{i=0}^n \phi(i) \right)\ne \emptyset$이 되어
선택 정리로 $x_n\in E\setminus \displaystyle \left (\bigcup_{i=0}^n \phi(i) \right)$인 $E$의 수열 $(x_n)_{n=0}^\infty$이 존재한다.
$A = \{ x_n : n\in \mathbb{N}\}$는 $A\subseteq E$이고 $A$가 유한집합이라고 가정하면
수열 정리로 어떤 $x\in A$에 대해 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$가 $x_{n_k} = x$인 $(x_n)_{n=0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 존재하여
$x\in A\subseteq E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 $x \in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하고 전사의 정의로 $\phi(m) = O$인 $m\in \mathbb{N}$이 존재하는데
$k\ge m$인 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 부분수열의 정의로 $n_k\ge k \ge m$이고 $\displaystyle \bigcup_{i=0}^m \phi(i)\subseteq \bigcup_{i=0}^{n_k}\phi(i)$이므로
집합 정리와 집합 정리로 $x_{n_k}\in E\setminus \displaystyle \left (\bigcup_{i=0}^{n_k} \phi(i) \right) \subseteq E\setminus \left ( \bigcup_{i=0}^m\phi(i)\right ) = \bigcap_{i=0}^m(E\setminus \phi(i))$가 되어
$x=x_{n_k}\notin \phi(m) = O$임에 따라 모순이다.
$A$가 무한집합이면
어떤 $x\in E$가 존재하여 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V\cap A$가 무한집합이고
$x\in E \subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O}$이므로 $x \in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 전사의 정의로 $\phi(m) = O$인 $m\in \mathbb{N}$이 존재한다.
$\phi(m)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로 $\phi(m)\cap A$는 무한집합이고 $\{ x_n : n < m\}$은 함수 정리로 유한집합인데
$n\ge m$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $x_{n}\in E\setminus \displaystyle \left (\bigcup_{i=0}^{n} \phi(i) \right) \subseteq E\setminus \left ( \bigcup_{i=0}^m\phi(i)\right ) $이 되어 $x_n \notin \phi(m)$이므로
모든 $y\in \phi(m)\cap A$는 $y\in \phi(m)$이고 $y\in A$임에 따라 $y = x_n$인 $n\in \mathbb{N}$은 $n<m$이 되어
$y\in \{ x_n : n < m\}$이고 $\phi(m)\cap A \subseteq \{ x_n : n<m\}$이므로 집합 정리로 $\phi(m)\cap A$가 유한집합임에 따라 모순이다.
따라서 무한집합인 모든 $A\subseteq E$에 대해 어떤 $x\in E$가 존재하여
모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V\cap A$가 무한집합이면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하다.
정리13
위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 제1가산공간일때 임의의 $E\subseteq X$에 대해
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트한 것이다.
증명
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하면 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하다.
역으로 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트할때
임의의 $E$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$에 대해 $A = \{ x_n : n\ge n_0\}$는 수열의 정의로 $A\subseteq E$이고
$A$가 유한집합이면 수열 정리로 어떤 $x\in A\subseteq E$가 존재하여
$(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 어떤 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하므로 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하다.
$A$가 무한집합이면
위 정리로 어떤 $x\in E$가 존재하여 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V\cap A$가 무한집합이고
제1가산공간 정리로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해
$S_{k+1}(x)\subseteq S_k(x)$이고 $\{S_k(x) :k\in \mathbb{Z}^+ \}$가 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저인 $\mathcal{T}$의 수열 $(S_k(x))_{k=1}^\infty$가 존재한다.
$S_1(x) \cap A\ne \emptyset$이므로 $y\in S_1(x) \cap A$가 존재하여 정렬성으로 $y = x_{n_1}$인 최소 $n_1\in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.
모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_{n_k}\in S_k(x) \cap A$인 $n_k\in \mathbb{Z}^+$가 귀납적으로 정의될때
$S_{k+1}(x) \cap A$는 무한집합이므로 정렬성으로 $n_k<n_{k+1}$이고 $x_{n_{k+1}}\in S_{k+1}(x)\cap A$인 최소 $n_{k+1}\in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.
모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 귀납적으로 정의된 $n_k\in \mathbb{Z}^+$는 $x_{n_k}\in S_k(x)\cap A$이므로 $x_{n_k}\in A$이고 $n_{k}<n_{k+1}$임에 따라
수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$는 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열이고
모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 국소기저의 정의로 $S_{N_V}(x)\subseteq V$인 $N_V\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여
$n_k\ge k\ge N_V$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_{n_k}\in S_k(x)\subseteq S_{N_V}(x)\subseteq V$이므로
$(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x\in E$로 수렴함에 따라 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하다.
정리14
위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.
1. $(X,\mathcal{T})$가 제2가산공간이면 모든 $E\subseteq X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이다.
2. $(X,\mathcal{T})$가 린델뢰프 공간이면 비가산집합인 모든 $E\subseteq X$는 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$ $\ne \emptyset$이다.
증명
1.
제2가산공간의 정의로 가산집합인 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재하여
위상공간 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{B}_x = \{ O\in \mathcal{B} : x\in O\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.
임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 $\mathcal{S} = \{ B \in \mathcal{B} : \text{어떤 } O\in \mathcal{O} \text{에 대해 } B\subseteq O \}$일때
모든 $x\in E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$는 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여
국소기저의 정의로 $x\in B\subseteq O$인 $B\in \mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{B}$가 존재하므로 $B\in \mathcal{S}$이고 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$임에 따라 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$이다.
$\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}$이므로 $\mathcal{S}$는 가산집합 정리로 가산집합이고 모든 $B\in \mathcal{S}$에 대해 $B\subseteq O_B$인 $O_B\in \mathcal{O}$가 존재하여
선택 정리로 $O_B$를 선택하면 함수 정리로 $\mathcal{F} = \{ O_B : B\in \mathcal{S}\}$는 가산집합이고 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$이다.
모든 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$에 대해 $x\in B$인 $B\in \mathcal{S}$가 존재하여 $x\in B\subseteq O_B \in \mathcal{F}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$이고
$E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S} \subseteq \bigcup \mathcal{F}$임에 따라 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이다.
2.
비가산집합인 어떤 $E\subseteq X$가 존재하여 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'} = \emptyset$이면 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'} = \emptyset \subseteq E$이므로
도집합 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이 되어 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이고
모든 $x\in E = E\setminus \emptyset = E\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$는 도집합 정리로 $E\cap V = \{ x\}$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하므로
집합 $\mathcal{O} = \{ V\in \mathcal{T} : \text{어떤 }x\in E\text{에 대해 } E\cap V = \{ x\} \;\}$에 대해 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$임에 따라
위 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 가산집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하고
$E$는 비가산이므로 $E\ne \emptyset$이 되어 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이고 가산집합 정리로 전사함수 $f: \mathbb{N}\to \mathcal{F}$가 존재한다.
모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $f(n) = V_n$일때 $E\cap V_n = \{ x\}$인 $x\in E$가 존재하여
임의의 $a\in \displaystyle \bigcup (E\cap V_n)$는 $a\in y$인 $y\in E\cap V_n = \{ x\}$가 존재하므로 $a\in y= x$가 되어 $\displaystyle \bigcup (E\cap V_n)\subseteq x$이고
임의의 $a\in x$는 $a\in x\in \{ x\} = E\cap V_n$이므로 $a\in \displaystyle \bigcup (E\cap V_n)$임에 따라 $x\subseteq \displaystyle \bigcup (E\cap V_n)$이고
집합 정리로 $\displaystyle \bigcup (E\cap V_n)=x$가 되어 $g(n) = \displaystyle \bigcup (E\cap V_n) = \bigcup \{ x\} = x$인 함수 $g:\mathbb{N} \to E$를 정의하면
모든 $x\in E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$에 대해 $x\in V$인 $V\in \mathcal{F}$가 존재하여 $x\in E\cap V$이므로 $E\cap V = \{ x\}$이고
전사의 정의로 $V = V_n$인 $n\in \mathbb{N}$이 존재함에 따라 $g(n) = \displaystyle \bigcup (E\cap V_n) = \bigcup \{ x\} = x$이고
$g$는 전사가 되어 가산집합 정리로 $E$는 가산이므로 모순이다.
따라서 비가산집합인 모든 $E\subseteq X$는 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'} \ne \emptyset$이다.
정리15
위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 제2가산공간일때 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음은 동치이다.
1. $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
2. $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하다.
3. $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하다.
증명
$1\to 2$
위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하므로
위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$가 제1가산공간임에 따라 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 점렬 콤팩트하다.
$2\to 3$
위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 제1가산공간이므로 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하다.
$3\to 1$
위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 린델뢰프 집합이므로 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
정리16
위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간일때 임의의 $E\subseteq X$에 대해
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트한 것이다.
증명
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하면 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하다.
역으로 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 극한점 콤팩트하면
무한집합인 모든 $A\subseteq E$에 대해 위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap E\ne \emptyset$이므로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{A'}\cap E$가 존재하여 $x\in E$이고
$x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{A'}$임에 따라 $T_1$공간 정리로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V\cap A$는 무한집합이므로
위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 가산 콤팩트하다.
정리17
위상공간 $(X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수일때 다음이 성립한다.
1. 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 가산 콤팩트하면 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 가산 콤팩트하다.
2. 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 린델뢰프 집합이면 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 린델뢰프 집합이다.
3. 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 점렬 콤팩트하면 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 점렬 콤팩트하다.
4. $f$가 전단사일때 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 극한점 콤팩트하면 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 극한점 콤팩트하다.
5. $f$가 전사일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 가산 콤팩트공간이면 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 가산 콤팩트공간이다.
6. $f$가 전사일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 린델뢰프 공간이면 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 린델뢰프 공간이다.
7. $f$가 전사일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 점렬 콤팩트공간이면 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 점렬 콤팩트공간이다.
8. $f$가 전단사일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 극한점 콤팩트공간이면 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 극한점 콤팩트공간이다.
증명
1, 2
$E$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 가산 콤팩트하거나 린델뢰프 집합일때
임의의 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(E)$의 열린덮개 $\mathcal{O}_Y$에 대해 $f(E)\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_Y = \bigcup_{O_Y\in \mathcal{O}_Y}O_Y$이고
모든 $O_Y\in \mathcal{O}_Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이므로 연속함수 정리로 $f^{-1}(O_Y)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이 되어
$\mathcal{O}_X = \{ f^{-1}(O_Y): O_Y\in \mathcal{O}_Y\}$는 $\mathcal{O}_X \subseteq \mathcal{T}_X$이고
$\psi(O_Y) = f^{-1}(O_Y)$인 함수 $\psi :\mathcal{O}_Y\to \mathcal{O}_X$에 대해 $\mathcal{O}_Y$가 가산집합이면 함수 정리로 $\mathcal{O}_X = \psi(\mathcal{O}_Y)$는 가산집합이다.
임의의 $x\in E$에 대해
$f(x)\in f(E) \subseteq \displaystyle \bigcup_{O_Y\in \mathcal{O}_Y}O_Y$이므로 함수 정리로 $x\in \displaystyle f^{-1}(\bigcup_{O_Y\in \mathcal{O}_Y}O_Y) = \bigcup_{O_Y\in \mathcal{O}_Y}f^{-1}(O_Y) = \bigcup \mathcal{O}_X$가 되어
$E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_X$임에 따라 위 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_X$인 유한집합 또는 가산집합 $\mathcal{F}_X \subseteq \mathcal{O}_X$가 존재한다.
임의의 $O_X\in \mathcal{F}_X$는 $O_X\in \mathcal{F}_X \subseteq \mathcal{O}_X$이므로 $O_X = f^{-1}(O_Y)$인 $O_Y\in \mathcal{O}_Y$가 존재하여
선택 정리로 $\phi(O_X) = O_Y$인 함수 $\phi: \mathcal{F}_X \to \mathcal{O}_Y$가 존재하고 $O_X = f^{-1}(O_Y) = f^{-1}(\phi(O_X))$이다
따라서 집합 $\mathcal{F}_Y = \{ \phi(O_X) : O_X\in \mathcal{F}_X\}$는 함수 정리로 유한집합 또는 가산집합이고 $\mathcal{F}_Y \subseteq \mathcal{O}_Y$이므로
$f(E)\subseteq \displaystyle f(\bigcup \mathcal{F}_X) = f(\bigcup_{O_X\in \mathcal{F}_X}O_X) = \bigcup_{O_X\in \mathcal{F}_X}f(O_X) = \bigcup_{O_X\in \mathcal{F}_X}f(f^{-1}(\phi(O_X))) \subseteq \bigcup_{O_X\in \mathcal{F}_X}\phi(O_X) = \bigcup \mathcal{F}_Y\text{ 임에 따라}$
위 정리로 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 가산 콤팩트하거나 린델뢰프 집합이다.
3.
임의의 $f(E)$의 수열 $(y_n)_{n=n_0}^\infty$은 $n\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $y_n \in f(E)$이므로 $y_n = f(x_n)$인 $x_n\in E$이 존재하여
선택 정리로 $x_n$을 선택하면 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $E$의 수열이므로
위 정리로 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 어떤 $x\in E$로 수렴하는 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 존재한다.
부분수열의 정의로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\max \{n_0 ,k\}\le n_k<n_{k+1}$이고 $y_{n_k} = f(x_{n_k})$이므로
$(y_{n_k})_{k=1}^\infty$는 $(y_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열이고 수열 정리로 $(y_{n_k})_{k=1}^\infty = (f(x_{n_k}))_{k=1}^\infty$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(x)$로 수렴하여
$f(x)\in f(E)$임에 따라 위 정리로 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 점렬 콤팩트하다.
4.
무한집합인 임의의 $B\subseteq f(E)$에 대해 단사함수 정리로 $f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(f(E)) = E$이고
$f^{-1}(B)$가 유한집합이라고 가정하면
전사함수 정리와 함수 정리로 $f(f^{-1}(B))=B$가 유한집합이 되어 모순이므로 $f^{-1}(B)$는 무한집합이고
위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{(f^{-1}(B))'} \cap E\ne \emptyset$이므로 $c\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{(f^{-1}(B))'} \cap E$가 존재하여 $c\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{(f^{-1}(B))'}$이고 $f(c) \in f(E)$이다.
모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$에 대해 연속함수 정리로 $f^{-1}(V)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이고
$f(c)\in V$임에 따라 $c\in f^{-1}(V)$이므로 $f^{-1}(V)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방이 되어
집적점의 정의로 $x\in f^{-1}(V)$이고 $c\ne x$인 $x\in f^{-1}(B)$가 존재한다.
$f(x) \in V$와 $f(x) \in B \subseteq f(E)$가 성립하고 단사 정리로 $f(c)\ne f(x)$이므로 집적점의 정의로 $f(x)\in \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{B'}$가 되어
$f(x)\in \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{B'} \cap f(E)$임에 따라 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{B'} \cap f(E)\ne \emptyset$이고 위 정리로 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 극한점 콤팩트하다.
5, 6, 7, 8
$(X,\mathcal{T}_X)$가 가산 콤팩트공간 또는 린델뢰프 공간 또는 점렬 콤팩트공간 또는 극한점 콤팩트공간이면
$X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 가산 콤팩트하거나 린델뢰프 집합이거나 점렬 콤팩트 또는 극한점 콤팩트하므로
전사함수 정리와 1, 2, 3, 4번으로
$f(X) = Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 가산 콤팩트하거나 린델뢰프 집합이거나 점렬 콤팩트 또는 극한점 콤팩트하여
$(Y,\mathcal{T}_Y)$는 가산 콤팩트공간 또는 린델뢰프 공간 또는 점렬 콤팩트공간 또는 극한점 콤팩트공간이다.
정의3
위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때
임의의 $x\in X$에 대해 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하면
$(X,\mathcal{T})$가 $x$에서 국소 콤팩트(locally compact)하다고 한다.
$(X,\mathcal{T})$가 모든 $x\in X$에서 국소 콤팩트하면 $(X,\mathcal{T})$를 국소 콤팩트공간으로 정의한다.
$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 국소 콤팩트공간이면 $(X,\mathcal{T})$가 $E$에서 국소 콤팩트하다고 정의한다.
정리18
위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.
1. $(X,\mathcal{T})$가 $E$에서 국소 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 모든 $x\in E$에 대해
어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V_x$가 존재하여 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_x\cap E)$ $\cap \;E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트한 것이다.
2. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하면 $(X,\mathcal{T})$는 $E$에서 국소 콤팩트하다.
3. 임의의 $x\in X$에 대해 $(X,\mathcal{T})$가 $x$에서 국소 콤팩트하기 위한 필요충분조건은
$x$에 대한 어떤 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저 $\mathcal{B}_x$가 존재하여 모든 $B\in \mathcal{B}_x$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트한 것이다.
4. $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간일때 임의의 $x\in X$에 대해
$(X,\mathcal{T})$가 $x$에서 국소 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합 $K_x$가 $x\in$ $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(K_x)$인 것이다.
증명
1.
$(X,\mathcal{T})$가 $E$에서 국소 콤팩트하면 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 국소 콤팩트공간이므로
모든 $x\in E$에 대해 어떤 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $x$의 열린근방 $U_x$가 존재하여 $\underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{\operatorname{cl}}(U_x)$가 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 콤팩트하고
위상공간 정리로 $U_x = V_x\cap E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V_x$가 존재하여
$\underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{\operatorname{cl}}(U_x) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_x)\cap E=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_x\cap E)\cap E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 콤팩트하므로
$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_x\cap E)\cap E\subseteq E\subseteq X$임에 따라 위 정리로 $ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_x\cap E)\cap E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
역으로 모든 $x\in E$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V_x$가 존재하여 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_x\cap E)\cap E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하면
위상공간 정리와 위 정리로 $\underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{\operatorname{cl}}(V_x\cap E)= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_x\cap E)\cap E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 콤팩트하고
위상공간 정리로 $V_x\cap E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $x$의 열린근방이므로 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 국소 콤팩트공간이고
$(X,\mathcal{T})$는 $E$에서 국소 콤팩트하다.
2.
$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하므로 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 콤팩트공간이고 $E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 콤팩트하다.
위상공간 정리로 $E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 열린집합이고 닫힌집합이므로
모든 $x\in E$에 대해 $E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $x$의 열린근방이고 폐포 정리로 $\underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{\operatorname{cl}}(E) = E$가 되어
$\underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{\operatorname{cl}}(E) = E$가 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 콤팩트함에 따라 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 모든 $x\in E$에서 국소 콤팩트하고
$(E,\mathcal{T}|_E)$는 국소 콤팩트공간이므로 $(X,\mathcal{T})$는 $E$에서 국소 콤팩트하다.
3.
$(X,\mathcal{T})$가 $x$에서 국소 콤팩트하면
어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하고
치환 공리로 $\mathcal{B}_x = \{ V\cap O : x\in O\in \mathcal{T} \}$가 존재하여
모든 $B\in \mathcal{B}_x$는 $B = V\cap O$이고 $x\in O$인 $O\in \mathcal{T}$가 존재하므로
위상공간의 정의로 $B = V\cap O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $\mathcal{B}_x\subseteq \mathcal{T}$이다.
모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$는
$x\in O\in \mathcal{T}$이므로 $V\cap O\in \mathcal{B}_x$이고 $V\cap O\subseteq O$임에 따라 $\mathcal{B}_x$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.
모든 $B\in \mathcal{B}_x$에 대해 $B\subseteq V$이므로 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$이고
$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라 위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.
역으로 조건을 만족하면 $x\in X$이므로
위상공간의 정의로 $X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방임에 따라 국소기저의 정의로 $B\subseteq X$인 $B\in \mathcal{B}_x$가 존재하여
$B$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하므로 $(X,\mathcal{T})$는 $x$에서 국소 콤팩트하다.
4.
$(X,\mathcal{T})$가 $x$에서 국소 콤팩트하면
어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V_x$가 존재하여 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_x)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하고
폐포 정리로 $V_x \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_x)$이므로 내부 정리와 폐포 정리로 $x\in V_x =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(V_x) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_x))$이다.
역으로 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합 $K_x$가 존재하여 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(K_x)$이면
내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(K_x)\subseteq K_x$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(K_x)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로
하우스도르프 공간 정리로 $K_x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라
폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(K_x))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(K_x)) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(K_x) = K_x$가 되어
위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(K_x))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하고 $(X,\mathcal{T})$는 $x$에서 국소 콤팩트하다.
정리19
위상공간 $(X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상일때
$(X,\mathcal{T}_X)$가 국소 콤팩트공간이면 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 국소 콤팩트공간이다.
증명
위상동형사상의 정의로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고
$f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이다.
전사함수 정리로 $f(X) = Y$임에 따라 모든 $y\in Y = f(X)$는 $y = f(x)$인 $x\in X$가 존재하고
$(X,\mathcal{T}_X)$는 $x$에서 국소 콤팩트하므로
어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재하여 $\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(U)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트하다.
연속함수 정리와 함수 정리로 $f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(U)) ) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(f^{-1}(f(U))) = \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(U)$이고
함수 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(U))=f(f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(U)) )) \subseteq f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(U))$이므로
위 정리로 $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(U))$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트하고 폐포 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(U))$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합임에 따라
위 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(U))$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트하다.
$y = f(x)\in f(U)$이므로 함수 정리와 연속함수 정리로 $f(U) = (f^{-1})^{-1}(U)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y$의 열린근방이 되어
$(Y,\mathcal{T}_Y)$가 모든 $y\in Y$에서 국소 콤팩트함에 따라 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 국소 콤팩트공간이다.
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정의의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/111#def번호
번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
정리의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/111#thm번호
번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.
틀린 내용이 존재할 수 있습니다.
출처(저자 - 제목 - ISBN13)
Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402
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