위상공간에서의 연속성(Continuity)

정의1

위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$이고 함수가 $f:X\to Y$일때

임의의 $c\in X$와 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$에 대해

모든 $x\in U$가 $f(x)\in V$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재하면

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이라고 정의한다.

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $X$의 모든 점에서 연속이면 

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 연속이라 정의하고 $f$를 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수로 정의한다.

 

 

 

정리1

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분위상공간이 $(E,\mathcal{T}_X|_E),(F,\mathcal{T}_Y|_F)$일때

함수 $f:X\to Y$와 함수 $g:E\to F$와 함수 $h :E\to Y$가 

모든 $x\in E$에 대해 $f(x) = g(x) = h(x)$이면 임의의 $c\in E$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이면 $g$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$와 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$에 대해 $c$에서 연속이다.

2. $g$가 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$와 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$에 대해 $c$에서 연속이기 위한 필요충분조건은

$h$가 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속인 것이다.

3. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $E$의 모든 점에서 연속이면 $g$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$로의 연속함수이다.

4. $g$가 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$로의 연속함수이기 위한 필요충분조건은 

$h$가 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수인 것이다.

증명

1.

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이므로 모든 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$에서 $g(c)$의 열린근방 $O$에 대해

위상공간 정리로 $O = V\cap F$인 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $g(c)$의 열린근방 $V$가 존재하고

$c\in E$이므로 $f(c) = g(c)$가 되어 $V$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방임에 따라

연속의 정의로 모든 $x\in U$가 $f(x)\in V$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재한다.

$c\in E$이므로 위상공간 정리로 $U\cap E$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $c$의 열린근방이고

모든 $x\in U\cap E$는 $x\in U$이고 $x\in E$임에 따라 $g(x)=f(x)\in V$이고 $f(x) = g(x)\in F$이므로

$g(x) \in V\cap F =O$가 되어 $g$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$와 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$에 대해 $c$에서 연속이다.

2.

$g$가 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$와 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$에 대해 $c$에서 연속이면 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $h(c)$의 열린근방 $V$에 대해

$c\in E$이므로 $h(c) = g(c)\in F$가 되어 위상공간 정리로 $V\cap F$는 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$에서 $g(c)$의 열린근방임에 따라

연속의 정의로 모든 $x\in O$가 $g(x)\in V\cap F$인 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $c$의 열린근방 $O$가 존재하고

$x\in O\subseteq E$임에 따라 $h(x) =g(x)\in V\cap F\subseteq V$이므로 $h$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이다.

역으로 $h$가 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이면

1번으로 $g$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$와 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$에 대해 $c$에서 연속이다.

3.

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $E$의 모든 점에서 연속이면

1번으로 $g$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$와 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$에 대해 $E$의 모든 점에서 연속이므로

$g$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$로의 연속함수이다.

4.

$g$가 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$로의 연속함수이면

$g$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$와 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$에 대해 $E$의 모든 점에서 연속이므로

2번으로 $h$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $E$의 모든 점에서 연속이 되어

$h$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

역으로 $h$가 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이면

$h$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $E$의 모든 점에서 연속이므로

3번으로 $g$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정의2

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $E\subseteq X$와 임의의 $x\in X$에 대해

$V\subseteq E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하면 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방(neighborhood)이라 정의한다.

 

 

 

정리2

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $x\in X$에 대해 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이다.

2. 임의의 $x\in X$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이면 $E\subseteq F$인 모든 $F\subseteq X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이다.

3. 임의의 $x\in X$와 모든 $n\in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방 $E_1,E_2,\cdots, E_n$의 교집합 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n E_i$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이다.

4. $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에 대해 임의의 부분집합이 $E\subseteq Y$일때

임의의 $y\in Y$에 대해 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 근방이면 $E$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 근방이다.

5. 임의의 $x\in X$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이기 위한 필요충분조건은 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$인 것이다.

6. $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$와 임의의 $x\in X$에 대해 $\mathcal{N}_x = \{ E\in \mathcal{P}(X): E\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 }x\text{의 근방}\}$일때

$\mathcal{B}_x = \{ O\in \mathcal{T} : O\in \mathcal{N}_x\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

증명

1.

$V\subseteq V$이므로 $V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이다.

2.

$E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이므로 $V\subseteq E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여

$V\subseteq E\subseteq F$임에 따라 $F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이다.

3.

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 근방의 정의로 $V_i\subseteq E_i$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V_i$가 존재하여

$x\in V_i$이므로 $\displaystyle x\in \bigcap_{i=1}^n V_i$이고 위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n V_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어

$\displaystyle \bigcap_{i=1}^n V_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n V_i \subseteq \bigcap_{i=1}^n E_i$임에 따라 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n E_i$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이다.

4.

근방의 정의로 $U \subseteq E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $U$가 존재하여

$y\in U\subseteq E\subseteq Y\subseteq X$이므로 위상공간 정리로 $U\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방이고

집합 정리로 $U\cap Y = U \subseteq E$임에 따라 $E$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 근방이다.

5.

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이면

근방의 정의로 $U \subseteq E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재하여 내부 정리로 $x\in U = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(U) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이다.

역으로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이면

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\subseteq E$이므로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이다.

6.

정의로부터 $\mathcal{B}_x\subseteq \mathcal{T}$이고 $\mathcal{B}_x\subseteq \mathcal{N}_x$이므로

모든 $O\in \mathcal{B}_x$는 근방의 정의로 $U\subseteq O$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재하여 $x\in U\subseteq O$이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 $V\in \mathcal{T}$이고 1번으로 $V\in \mathcal{N}_x$이므로

$V\in \mathcal{B}_x$이고 $V\subseteq V$임에 따라 $\mathcal{B}_x$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

 

 

 

정리3

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$와 함수 $f:X\to Y$와 임의의 $c\in X$에 대해 다음은 동치이다.

1. $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이다.

2. 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$에 대해 $f(U)$ $\subseteq V$가 되는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재한다.

3. 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$에 대해 $U\subseteq $ $f^{-1}(V)$가 되는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재한다.

4. 임의의 $A\subseteq X$에 대해 $c\in $ $\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)$이면 $f(c) \in \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(A))$이다.

5. 임의의 $B\subseteq Y$에 대해 $f(c)\in $ $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(B)$이면 $c\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(f^{-1}(B))$이다.

6. 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 근방 $B$에 대해 $f^{-1}(B)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 근방이다.

7. 모든 $B\in \mathcal{B}_{f(c)}$에 대해 $f^{-1}(B)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 근방인 $f(c)$에 대한 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 국소기저 $\mathcal{B}_{f(c)}$가 존재한다.

증명

$1\to 2$

연속의 정의로 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$에 대해

모든 $x\in U$가 $f(x)\in V$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재하여 상의 정의로 $f(U)\subseteq V$이다.

$2\to 3$

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$에 대해 $f(U)\subseteq V$가 되는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재하므로

모든 $x\in U \subseteq X$에 대해 $f(x)\in f(U) \subseteq V$임에 따라 역상의 정의로 $x\in f^{-1}(V)$가 되어 $U\subseteq f^{-1}(V)$이다.

$3\to 4$

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$에 대해 

$U\subseteq f^{-1}(V)$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재하여 $U\cap A \subseteq f^{-1}(V)\cap A$이고

$c \in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)$이므로 밀착점의 정의로 $U\cap A\ne \emptyset$이 되어 $x\in U\cap A$가 존재함에 따라

함수 정리와 함수 정리로 $f(x) \in f(U\cap A) \subseteq f(f^{-1}(V)\cap A) \subseteq f(f^{-1}(V))\cap f(A) \subseteq V\cap f(A)$이다.

따라서 $V\cap f(A)\ne \emptyset$이므로 밀착점의 정의로 $f(c) \in \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(A))$이다.

$4\to 5$

$f(c)\in \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(B)$일때 $c\notin \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(f^{-1}(B))$인 $B\subseteq Y$가 존재한다고 가정하면 집합 정리와 내부 정리와 폐포 정리로

$c\in X\setminus \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(f^{-1}(B)) = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}( X\setminus (X\setminus f^{-1}(B)) ) = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{ext}}(X\setminus f^{-1}(B)) = \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}( X\setminus f^{-1}(B) ) \text{ 이므로}$

$f(c)\in \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}( f(X\setminus f^{-1}(B)) )$이고

함수 정리와 함수 정리로 $f(X\setminus f^{-1}(B)) \subseteq f(f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(B) ) = f(f^{-1}(Y\setminus B))\subseteq Y\setminus B$임에 따라

폐포 정리로 $f(c)\in \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}( f(X\setminus f^{-1}(B) ) ) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(Y\setminus B)$가 되어

내부 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(B)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방이므로 밀착점의 정의로 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(B)\cap  (Y\setminus B)\ne \emptyset$인데

내부 정리로 $\emptyset\ne \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(B)\cap  (Y\setminus B) \subseteq B \cap (Y\setminus B) = \emptyset$임에 따라 모순이 되어

모든 $B\subseteq Y$에 대해 $f(c)\in \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(B)$이면 $c\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(f^{-1}(B))$이다.

$5\to 6$

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 근방 $B$는 $V\subseteq B$인 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$가 존재하여

내부 정리로 $f(c)\in V = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(V) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(B)$임에 따라 $c\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(f^{-1}(B)) \subseteq f^{-1}(B)$이고

$\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(f^{-1}(B))$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방이므로 $f^{-1}(B)$는 $c$의 근방이다.

$6\to 7$

분류 공리로 집합 $\mathcal{B}_{f(c)} = \{ B\in \mathcal{T}_Y : f(c)\in B\}$가 존재하여 $\mathcal{B}_{f(c)} \subseteq \mathcal{T}_Y$이다.

모든 $B\in \mathcal{B}_{f(c)}$는 $f(c)\in B$이고 $B \in \mathcal{T}_Y$이므로 $B$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방이 되어

위 정리로 $B$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 근방임에 따라 $f^{-1}(B)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 근방이다.

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$는 $f(c)\in V$이고 $V\in \mathcal{T}_Y$이므로

$V\in \mathcal{B}_{f(c)}$가 되어 $V\subseteq V$임에 따라 $\mathcal{B}_{f(c)}$는 $f(c)$에 대한 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 국소기저이다.

$7\to 1$

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$에 대해 국소기저의 정의로 $O_V \subseteq V$인 $O_V \in \mathcal{B}_{f(c)}$가 존재하여 

$f^{-1}(O_V)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 근방이고 역상의 정의로 $f^{-1}(O_V) \subseteq f^{-1}(V)$이므로

근방의 정의로 $U \subseteq f^{-1}(O_V)$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재함에 따라

모든 $x\in U \subseteq f^{-1}(O_V) \subseteq f^{-1}(V)$는 $f(x) \in V$가 되어 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이다.

 

 

 

정리4

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$와 함수 $f:X\to Y$에 대해 다음은 동치이다.

1. $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

2. 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합 $O$에 대해 $f^{-1}(O)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이다.

3. 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합 $C$에 대해 $f^{-1}(C)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이다.

4. 임의의 $A\subseteq X$에 대해 $f($$\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)$$) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(A))$이다.

5. 임의의 $B\subseteq Y$에 대해 $f^{-1}($$\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(B)$$) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(f^{-1}(B))$이다.

6. 모든 $B\in \mathcal{B}$에 대해 $f^{-1}(B)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합인 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재한다.

증명

$1\to 2$

$f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 모든 $x\in X$에서 연속이고

모든 $x\in f^{-1}(O)$에 대해 $f(x)\in O$이므로 $O$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(x)$의 열린근방이 되어

위 정리로 $U \subseteq f^{-1}(O)$가 되는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재함에 따라

위상공간 정리로 $f^{-1}(O)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이다.

$2\to 3$

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합 $C$에 대해 $Y\setminus C$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이므로

$f^{-1}(Y\setminus C)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합임에 따라 함수 정리와 집합 정리와 위상공간 정리로

$X\setminus f^{-1}(Y\setminus C) = X\setminus (f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(C)) = X\setminus (X\setminus f^{-1}(C)) = f^{-1}(C)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이다.

$3\to 4$

폐포 정리로 $f(A) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(A))$이고 함수 정리로 $A\subseteq f^{-1}(f(A)) \subseteq f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(A)))$이므로

폐포 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(A))$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합임에 따라 $f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(A)))$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이 되어 

$\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)\subseteq f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(A)))$이고 함수 정리로 $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A))\subseteq f(f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(A)))) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(A))$이다.

$4\to 5$

모든 $x\in X$에 대해 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)$이면 $f(x) \in f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(A))$가 되어 $f(x) \in \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(A))$이므로

모든 $x\in f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(B)) \subseteq X$는 $x\in X$와 $f(x)\in \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(B)$가 성립하여

위 정리로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(f^{-1}(B))$임에 따라 $f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(B)) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(f^{-1}(B))$이다.

$5\to 6$

위상공간 정리로 $\mathcal{T}_Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 기저이고 모든 $O\in \mathcal{T}_Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합 $O$이므로

내부 정리로 $f^{-1}(O) = f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(O)) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(f^{-1}(O)) \subseteq f^{-1}(O)$가 되어

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(f^{-1}(O)) =f^{-1}(O)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이다.

$6\to 1$

기저의 정의로 $\mathcal{T}_Y = \{ \bigcup \mathcal{F} : \mathcal{F}\subseteq \mathcal{B} \}$이므로

임의의 $c\in X$에 대해 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$는 $V\in \mathcal{T}_Y$임에 따라 $V = \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{B}$가 존재하여

임의의 $x\in f^{-1}(V)$는 $f(x) \in V$이고 합집합의 정의로 $f(x) \in B$인 $B\in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{B}$가 존재한다.

$f^{-1}(B)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이고 $B\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F} = V$와 $x\in f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(V)$가 성립하므로 

$f^{-1}(B)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방임에 따라 위상공간 정리로 $f^{-1}(V)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이고

$f(c)\in V$이므로 $c\in f^{-1}(V)$가 되어 $f^{-1}(V)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방이다.

따라서 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 모든 $c\in X$에서 연속이므로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정리5

위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y),(Z,\mathcal{T}_Z)$일때

함수 $f:X\to Y$와 함수 $g: Y\to Z$와 임의의 $c\in X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이고 $g$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$와 $(Z,\mathcal{T}_Z)$에 대해 $f(c)$에서 연속이면

합성함수 $g \circ f :X\to Z$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Z,\mathcal{T}_Z)$에 대해 $c$에서 연속이다.

2. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 $g$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 연속함수이면

합성함수 $g \circ f :X\to Z$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 연속함수이다.

증명

1.

모든 $(Z,\mathcal{T}_Z)$에서 $(g\circ f)(c) =g(f(c))$의 열린근방 $W$에 대해

모든 $y\in V$가 $g(y)\in W$인 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$가 존재하고

모든 $x\in U$가 $f(x)\in V$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재하므로

모든 $x\in U$에 대해 $(g\circ f)(x) =g(f(x))\in W$가 되어 $g \circ f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Z,\mathcal{T}_Z)$에 대해 $c$에서 연속이다.

2.

$f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 모든 $x\in X$에서 연속이고 

$g$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$와 $(Z,\mathcal{T}_Z)$에 대해 $f(x)\in Y$에서 연속이므로

1번으로 $g\circ f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Z,\mathcal{T}_Z)$에 대해 $X$의 모든 점에서 연속이 되어

$g \circ f $는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정의3

위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$이고 함수 $f:X\to Y$가 전단사일때

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 $f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이면

$f$를 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상으로 정의한다.

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 존재하면 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$를 위상동형이라 정의한다.

 

 

 

정리6

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $X$의 항등함수 $i_X : X\to X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $i_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 연속함수이다.

2. $i_X$의 역함수 $i_X^{-1} : X\to X$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 연속함수이다.

증명

1.

임의의 $c\in X$와 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $i_X(c) =c$의 열린근방 $V$에 대해 모든 $x\in V$는 $i_X(x)=x \in V$이므로

$i_X$가 $(X,\mathcal{T})$와 $(X,\mathcal{T})$에 대해 모든 $c\in X$에서 연속이 되어 $i_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 연속함수이다.

2.

항등함수 정리와 1번으로 $i_X^{-1} = i_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 연속함수이다.

 

 

 

정리7

위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y),(Z,\mathcal{T}_Z)$일때

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상 $f : X\to Y$와

$(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 위상동형사상 $g:Y\to Z$에 대해 다음이 성립한다.

반사성 : $X$의 항등함수 $i_X : X\to X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 위상동형사상이다.

대칭성 : $f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 위상동형사상이다.

추이성 : 합성함수 $g\circ f:X\to Z$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 위상동형사상이다.

증명

반사성

항등함수 정리로 $i_X$는 전단사이고 $i_X$와 $i_X$의 역함수 $i_X^{-1}$에 대해 

위 정리로 $i_X,i_X^{-1}$은 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이므로 $i_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 위상동형사상이다.

대칭성

위상동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이고

역함수 정리로 $f^{-1}$은 전단사이므로 $f^{-1}$의 역함수 $(f^{-1})^{-1} = f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수임에 따라

 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 위상동형사상이다.

추이성

위상동형사상의 정의로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 $g$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 연속함수이므로

위 정리로 $g\circ f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 연속함수이고 $f,g$가 전단사임에 따라 함수정리로 $g\circ f$도 전단사이다.

$f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이고

$g$의 역함수 $g^{-1} : Z\to Y$은 $(Z,\mathcal{T}_Z)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이므로

함수 정리로 $g\circ f $의 역함수 $(g\circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$은 위 정리로 $(Z,\mathcal{T}_Z)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수가 되어

$g\circ f $는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 위상동형사상이다.

 

 

 

정리8

위상공간들의 임의의 집합 $\mathbf{T}$가 존재할때 임의의 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y) \in \mathbf{T}$에 대해

$((X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)) \in \mathbf{H}$이기 위한 필요충분조건이 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$가 위상동형인 관계 $\mathbf{H}$는 $\mathbf{T}$의 동치관계이다.

증명

임의의 $(X,\mathcal{T}_X) \in \mathbf{T}$에 대해 위 정리로

$X$의 항등함수 $i_X : X\to X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 위상동형사상이므로 $((X,\mathcal{T}_X),(X,\mathcal{T}_X)) \in \mathbf{H}$이다.

임의의 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y) \in \mathbf{T}$에 대해 $((X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)) \in \mathbf{H}$이면

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상 $f:X\to Y$가 존재하여

위 정리로 역함수 $f^{-1} : Y\to X$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 위상동형사상이므로 $((Y,\mathcal{T}_Y),(X,\mathcal{T}_X)) \in \mathbf{H}$이다.

임의의 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y),(Z,\mathcal{T}_Z) \in \mathbf{T}$에 대해 $((X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)) \in \mathbf{H}$이고 $((Y,\mathcal{T}_Y),(Z,\mathcal{T}_Z)) \in \mathbf{H}$이면

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상 $f:X\to Y$가 존재하여

$(Y,\mathcal{T}_X)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 위상동형사상 $g : Y\to Z$가 존재하여

위 정리로 $g\circ f :X\to Z$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 위상동형사상이므로 $((X,\mathcal{T}_X),(Z,\mathcal{T}_Z)) \in \mathbf{H}$이다.

따라서 $\mathbf{H}$는 $\mathbf{T}$의 동치관계이다.

 

 

 

정리9

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$와 전단사함수 $f:X\to Y$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$에 대해 다음은 동치이다.

1. $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이다.

2. 모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합 $O$에 대해 $f(O)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이다.

3. 모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합 $C$에 대해 $f(C)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이다.

증명

$1\to 2$

위 정리와 함수 정리로 $f(O)=(f^{-1})^{-1}(O)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이다.

$2\to 3$

위 정리와 함수 정리로 $f(C)=(f^{-1})^{-1}(C)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이다.

$3\to 1$

위 정리와 함수 정리로 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정리10

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$와 전단사함수 $f:X\to Y$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$에 대해 다음은 동치이다.

1. $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이다.

2. 모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합 $O_X$에 대해 $f(O_X)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이고

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합 $O_Y$에 대해 $f^{-1}(O_Y)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이다.

3. 모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합 $C_X$에 대해 $f(C_X)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이고

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합 $C_Y$에 대해 $f^{-1}(C_Y)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이다.

4. $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합 $O_X$에 대해 $f(O_X)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이다

5. $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합 $C_X$에 대해 $f(C_X)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이다.

증명

$1\to 2$

위상동형사상의 정의로

$f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이므로

위 정리로 $f(O_X)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이고 위 정리로 $f^{-1}(O_Y)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이다.

$2\to 3$

위 정리로 $f(C_X)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이고 위 정리로 $f^{-1}(C_Y)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이다.

$3\to 4$

위 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 위 정리로 $f(O_X)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이다.

$4\to 5$

위 정리로 $f(C_X)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이다.

$5\to 1$

위 정리로 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이므로

위상동형사상의 정의로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이다.

 

 

 

정리11

위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$이고 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수 $f:X\to Y$가 전사일때

임의의 $A\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 조밀하면 $f(A)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 조밀하다.

증명

전사 정리와 조밀집합의 정의와 위 정리와 폐포의 정의로 $Y=f(X)=f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(A)) \subseteq Y$가 되어

집합 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(A)) =Y$임에 따라 $f(A)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 조밀하다.

 

 

 

정리12

위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$이고 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 다음이 성립한다.

1. 임의의 $A\subseteq X$에 대해 $A$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 조밀한 곳이 존재하면 $f(A)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 조밀한 곳이 존재한다.

2. 임의의 $A\subseteq X$에 대해 $f(A)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 조밀한 곳이 없으면 $A$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 조밀한 곳이 없다.

증명

위상동형사상의 정의와 역함수 정리로

$(f^{-1})^{-1} =f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이다.

1.

$A$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 조밀한 곳이 존재하여 $\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)) \ne \emptyset$이므로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A))$가 존재하고

상의 정의와 함수 정리와 위 정리와 내부 정리로

$f(x) \in f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A))) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}( f( \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A) ) ) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}( \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}} ( f(A) ) ) $임에 따라

$\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}( \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}} ( f(A) ) ) \ne \emptyset $이므로 $f(A)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 조밀한 곳이 존재한다.

2.

1번의 대우로 성립한다.

 

 

 

정리13

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$와 임의의 $y\in Y$에 대해 

모든 $x\in X$가 $f(x) = y$인 함수 $f: X \to Y$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

증명

임의의 $c\in X$와 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$에 대해

모든 $x \in X$는 $f(x) = y = f(c) \in V$이고 $X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방이므로 

$f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $X$의 모든 점에서 연속이 되어 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정리14

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 임의의 $C, D$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이고

$(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간 $(C,\mathcal{T}_X|_{C}),(D,\mathcal{T}_X|_D)$에 대해 

$(C,\mathcal{T}_X|_{C})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수가 $g : C\to Y$이고 $(D,\mathcal{T}_X|_D)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수가 $h:D\to Y$일때

모든 $x\in C\cap D$에 대해 $g(x) = h(x)$이면

모든 $x\in C$에 대해 $f(x) = g(x)$이고 모든 $x\in D$에 대해 $f(x) = h(x)$인 함수 $f : C\cup D \to Y$가 존재하여

$f$는 $(C\cup D,\mathcal{T}_X|_{C\cup D})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

증명

$C, D\subseteq X$이므로 $C\cup D\subseteq X$가 되어 $(C\cup D,\mathcal{T}_X|_{C\cup D})$는 $(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간이고

집합 정리로 $(C\setminus D) \cap D = \emptyset$과 $(C\setminus D) \cup D = C\cup D$가 성립하므로

모든 $x\in C\cup D$에 대해 $f(x)= \begin{cases} g(x) & x\in C\setminus D\text{ 일때} \\[0.5em] h(x) & x\in D\text{ 일때} \end{cases}$로 정의되는 함수 $f : C\cup D \to Y$가 존재하여

집합 정리로 $\emptyset =(C\setminus D) \cap (C\cap D)$와 $C = (C\setminus D) \cup (C\cap D)$가 성립함에 따라

모든 $x\in C$가 $x\in C\setminus D$이면 $f(x) = g(x)$이고 $x\in C\cap D \subseteq D$이면 $f(x) = h(x) = g(x)$이고

모든 $x\in D$에 대해 $f(x) = h(x)$이다.

임의의 $E\subseteq Y$에 대해 역상의 정의로 

$\begin{align*}f^{-1}(E) &= \{ x\in C\cup D : f(x) \in E\} \\[0.5em]&= \{ x\in C\setminus D: g(x) \in E \}\cup \{ x\in D : h(x)\in E\} \\[0.5em] & \subseteq \{ x\in C:g(x)\in E\} \cup \{ x\in D: h(x)\in E\}= g^{-1}(E) \cup h^{-1}(E) \text{ 이고} \end{align*}$

임의의 $x\in g^{-1}(E)$는 $x\in C$와 $g(x)\in E$가 성립하므로 $f(x) = g(x)\in E$가 되어 $x\in f^{-1}(E)$이고

임의의 $x\in h^{-1}(E)$는 $x\in D$와 $h(x)\in E$가 성립하므로 $f(x) = h(x)\in E$가 되어 $x\in f^{-1}(E)$이고

$g^{-1}(E)\cup h^{-1}(E)\subseteq f^{-1}(E)$임에 따라 집합 정리로 $f^{-1}(E) = g^{-1}(E)\cup h^{-1}(E)$이다.

임의의 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합 $E$에 대해 위 정리로

$g^{-1}(E)$는 $(C,\mathcal{T}_X|_{C})$에서 닫힌집합이고 $h^{-1}(E)$는 $(D,\mathcal{T}_X|_D)$에서 닫힌집합이므로

위상공간 정리로 $g^{-1}(E) = A\cap C$이고 $h^{-1}(E) = B\cap D$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합 $A,B$가 존재하여

$(A\cap C)\cup (B\cap D)\subseteq C\cup D$이므로 집합 정리로 $(A\cap C)\cup (B\cap D) = ((A\cap C) \cup (B\cap D)) \cap (C\cup D)$이고

$A,B,C,D$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합임에 따라

위상공간 정리로 $(A\cap C)\cup (B\cap D)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이 되어

위상공간 정리로 $f^{-1}(E) = g^{-1}(E)\cup h^{-1}(E) = (A\cap C) \cup (B\cap D) = ((A\cap C)\cup (B\cap C))\cap (C\cup D)$는

$(C\cup D,\mathcal{T}_X|_{C\cup D})$에서 닫힌집합이므로 위 정리로 $f$는 $(C\cup D,\mathcal{T}_X|_{C\cup D})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정리15

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$와 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 $C_1,C_2,\cdots, C_n$이 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이고

모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간 $(C_i,\mathcal{T}_X|_{C_i})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수가 $f_i : C_i\to Y$일때

모든 $i ,j = 1,2,\cdots, n$에 대해 모든 $x\in C_i\cap C_j$가 $f_i(x) = f_j(x)$이면

모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 모든 $x\in C_i$가 $f(x) = f_i(x)$인 함수 $f : \displaystyle \bigcup_{i=1}^nC_i\to Y$가 존재하여

$f$는 $(\overset{n}{\underset{i=1}{\bigcup}}C_i,\mathcal{T}_X|_{\overset{n}{\underset{i=1}{\bigcup}}C_i})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

증명

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$n = 1$이면 자명하게 성립한다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때

모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 모든 $x\in C_i$가 $g(x) = f_i(x)$인 함수 $g : \displaystyle \bigcup_{i=1}^kC_i\to Y$가 존재하여

$g$는 $(\overset{k}{\underset{i=1}{\bigcup}}C_i,\mathcal{T}_X|_{\overset{k}{\underset{i=1}{\bigcup}}C_i})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^kC_i$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이다.

집합 정리로 $\displaystyle \left (\bigcup_{i=1}^kC_i \right) \cap C_{k+1} = \bigcup_{i=1}^k (C_i\cap C_{k+1})$이므로 모든 $x\in \displaystyle \left (\bigcup_{i=1}^kC_i \right) \cap C_{k+1} = \bigcup_{i=1}^k (C_i\cap C_{k+1})$에 대해

$x\in C_i\cap C_{k+1}$인 $i= 1,2,\cdots, k$가 존재하여 $g(x) = f_i(x) = f_{k+1}(x)$임에 따라

위 정리로 모든 $x\in \displaystyle \bigcup_{i=1}^kC_i$에 대해 $f(x) = g(x)$이고 모든 $x\in C_{k+1}$에 대해 $f(x) = f_{k+1}(x)$인

함수 $f : \displaystyle \bigcup_{i=1}^{k+1} C_i \to Y$가 존재하고 $f$는 $(\overset{k+1}{\underset{i=1}{\bigcup}}C_i,\mathcal{T}_X|_{\overset{k+1}{\underset{i=1}{\bigcup}}C_i})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

모든 $i = 1,2,\cdots, k,k+1$에 대해

$i < k+1$이면 모든 $x\in C_i$는 $x\in \displaystyle \bigcup_{i=1}^kC_i$이므로 $f(x) = g(x) = f_i(x)$이고

$i = k+1$이면 모든 $x\in C_{k+1}$는 $f(x) = f_{k+1}(x)$이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리16

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합인 집합족이 $\mathcal{O}$이고

모든 $O\in \mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간 $(O,\mathcal{T}_X|_O)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수 $f_O : O\to Y$가 유일하게 존재할때

모든 $U,V\in \mathcal{O}$에 대해 모든 $x\in U\cap V$가 $f_{U}(x) = f_{V}(x)$이면

모든 $O\in \mathcal{O}$에 대해 모든 $x\in O$가 $f(x) = f_O(x)$인 함수 $f : \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O\to Y$가 존재하여

$f$는 $(\underset{O\in\mathcal{O}}{\bigcup}O,\mathcal{T}_X|_{\underset{O\in\mathcal{O}}{\bigcup}O})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

증명

함수의 정의로 모든 $O\in \mathcal{O}$에 대해 $f_O\subseteq O\times Y$이므로 $f = \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}f_O$로 정의하면 $f = \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}f_O \subseteq \left ( \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O\right )\times Y$이다.

임의의 $x\in \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O$와 임의의 $y_1,y_2\in Y$에 대해 $(x,y_1),(x,y_2)\in f = \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}f_O$이면

$(x,y_1) \in f_U \subseteq U\times Y$이고 $(x,y_2)\in f_V \subseteq V \times Y$인 $U,V\in \mathcal{O}$가 존재하여

$x\in U\cap V$임에 따라 $y_1= f_U(x)= f_V(x) = y_2$이므로 $f$는 $f : \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O\to Y$인 함수이고

모든 $O\in \mathcal{O}$에 대해 모든 $x\in O$는 $(x,f_O(x)) \in f_O \subseteq f$이므로 $f(x) = f_O(x)$이다.

임의의 $W\subseteq Y$에 대해 역상의 정의로 

모든 $x\in f^{-1}(W)$는 $x\in \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O$이고 $f(x) \in W$이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여

$f_O(x) = f(x) \in W$이고 $x\in f_O^{-1}(W)$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}f_O^{-1}(W)$이고 $f^{-1}(W) \subseteq \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}f_O^{-1}(W)$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}f_O^{-1}(W)$는 $x\in f_O^{-1}(W)$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 $x\in O$이고 $f(x) = f_O(x)\in W$이므로 

$x\in f^{-1}(W)$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}f_O^{-1}(W) \subseteq f^{-1}(W)$이고 집합 정리로 $f^{-1}(W) = \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}f_O^{-1}(W)$이다.

임의의 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이 $W$일때 

위 정리로 모든 $O \in \mathcal{O}$에 대해 $f_O^{-1}(W)$는 $(O,\mathcal{T}_X|_O)$에서 열린집합이므로 

위상공간 정리로 $f_O^{-1}(W) = E_O \cap O$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $E_O$가 존재하여 선택 정리로 $E_O$를 선택하면 

$O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라 위상공간 정리로 $E_O\cap O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}} (E_O\cap O)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

$\displaystyle \displaystyle \bigcup \mathcal{O} = \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O$이고 $\displaystyle O \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 집합 정리로 $E_O\cap O = E_O\cap O\cap \displaystyle \bigcup\mathcal{O}$가 되어

집합 정리와 위상공간 정리로

$f^{-1}(W) = \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}f_O^{-1}(W) = \bigcup_{O\in \mathcal{O}}(E_O\cap O) = \bigcup_{O\in \mathcal{O}}\left ( E_O\cap O \cap \bigcup \mathcal{O}\right ) = \left ( \bigcup_{O\in \mathcal{O}}(E_O\cap O)\right)\cap \left ( \bigcup \mathcal{O}\right )$는

$(\underset{O\in\mathcal{O}}{\bigcup}O,\mathcal{T}_X|_{\underset{O\in\mathcal{O}}{\bigcup}O})$에서 열린집합이 되어 위 정리로 $f$는 $(\underset{O\in\mathcal{O}}{\bigcup}O,\mathcal{T}_X|_{\underset{O\in\mathcal{O}}{\bigcup}O})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정리17

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f : X\to Y$일때 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T}_X)$의 임의의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에 대해 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분위상공간이 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$이면

모든 $x\in E$에 대해 $g(x) = f(x)$인

함수 $g: E\to f(E)$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$로의 위상동형사상이다.

2. $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 임의의 부분위상공간 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$에 대해 $(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간이 $(f^{-1}(F),\mathcal{T}_X|_{f^{-1}(F)})$이면

모든 $x\in f^{-1}(F)$에 대해 $h(x) = f(x)$인

함수 $h: f^{-1}(F)\to F$는 $(f^{-1}(F),\mathcal{T}_X|_{f^{-1}(F)})$에서 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$로의 위상동형사상이다.

증명

1.

위상동형사상의 정의로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이므로

위 정리로 $g$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$로의 연속함수이고

$f$는 단사이므로 함수 정리로 $g$는 전단사가 되어 역함수 정리로 $g^{-1}:f(E)\to E$이 존재한다.

위상동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이고

함수 정리로 모든 $y\in f(E)$에 대해 $g^{-1}(y) = f^{-1}(y)$이므로

위 정리로 $g^{-1}$은 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$에서 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$로의 연속함수가 되어

$g^{-1}$은 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$에서 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$로의 위상동형사상이다.

2.

위상동형사상의 정의로 $f$는 전사이므로 전사 정리로 $f(f^{-1}(F)) = F$가 되어

1번으로 $h$는 $(f^{-1}(F),\mathcal{T}_X|_{f^{-1}(F)})$에서 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$로의 위상동형사상이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/109#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/109#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402