위상공간에서의 연결성(Connectedness)

정의1

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

$U\ne \emptyset$이고 $V \ne \emptyset$인 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여

$U\cap V = \emptyset$과 $U\cup V = X$를 만족하면 $(X,\mathcal{T})$를 비연결공간 또는 비연결위상공간으로 정의한다.

$(X,\mathcal{T})$가 비연결공간이 아니면 $(X,\mathcal{T})$를 연결공간 또는 연결위상공간으로 정의한다.

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 연결공간이면 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합으로 정의하고

$(E,\mathcal{T}|_E)$가 비연결공간이면 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 비연결집합으로 정의한다.

 

 

 

정리1(이산 위상공간[discrete topological space])

임의의 집합 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{P}(X))$는 위상공간이다.

2. 모든 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 모든 함수 $f:X\to Y$는 $(X,\mathcal{P}(X))$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

3. 모든 위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$에 대해 모든 $x\in X$가 $\{ x\}\in \mathcal{T}_X$이면 $\mathcal{T}_X = \mathcal{P}(X)$이다.

증명

1.

멱집합의 정의로 $O\in \mathcal{P}(X)$는 $O\subseteq X$이고 $\emptyset,X\subseteq X$이므로 $\emptyset,X\in \mathcal{P}(X)$이다.

임의의 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(X)$에 대해 임의의 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$는 합집합의 정의로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{F}$가 존재하고

$O\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(X)$임에 따라 $x\in O\subseteq X$이므로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \subseteq X$가 되어 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \in \mathcal{P}(X)$이다.

임의의 $O_1,O_2\in \mathcal{P}(X)$는 $O_1,O_2\subseteq X$이므로 $O_1\cap O_2 \subseteq X$가 되어 $O_1\cap O_2\in \mathcal{P}(X)$이다.

따라서 $(X,\mathcal{P}(X))$는 위상공간이다.

2.

모든 $O_Y\in \mathcal{T}_Y$에 대해 역상의 정의로 $f^{-1}(O_Y)\subseteq X$이므로 멱집합의 정의로 $f^{-1}(O_Y)\in \mathcal{P}(X)$가 되어 

연속함수 정리로 함수 $f:X\to Y$는 $(X,\mathcal{P}(X))$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

3.

모든 $O\in \mathcal{P}(X)$에 대해 모든 $x\in O$는 $\{ x\}\subseteq O$이므로 $\displaystyle \bigcup_{x\in O}\{ x\}\subseteq O$이고 

$x\in \{ x\}$임에 따라 $O\subseteq \displaystyle \bigcup_{x\in O}\{x\}$가 되어 집합 정리와 위상공간의 정의로 $O = \displaystyle \bigcup_{x\in O}\{ x\}\in \mathcal{T}_X$이므로 $\mathcal{P}(X)\subseteq \mathcal{T}_X$이고

위상공간의 정의로 $\mathcal{T}_X\subseteq \mathcal{P}(X)$임에 따라 집합 정리로 $\mathcal{T}_X = \mathcal{P}(X)$이다.

 

 

 

정리2

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음은 동치이다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 비연결공간이다.

2. $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 닫힌집합인 어떤 $E\subseteq X$가 존재하여 $E\ne \emptyset$이고 $E\ne X$이다.

3. $C\ne \emptyset$이고 $D \ne \emptyset$인 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C,D$가 존재하여 $C\cap D = \emptyset$이고 $C\cup D = X$이다.

4. $E\ne \emptyset$이고 $E\ne X$인 어떤 $E\subseteq X$가 존재하여 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$ $\cap\, \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus E) = \emptyset$이다.

5. $A\ne \emptyset$이고 $B\ne \emptyset$인 어떤 $A,B\subseteq X$가 존재하여 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap B = \emptyset = A \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이고 $A\cup B =X$이다.

6. $a\ne b$인 임의의 $a,b$에 대해 이산위상공간이 $(\{ a,b\},\mathcal{P}(\{ a,b\}))$일때

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\{ a,b\},\mathcal{P}(\{ a,b\}))$로의 연속함수 $f:X\to \{ a,b\}$가 존재하여 $f$는 전사이다.

증명

$1\to 2$

$(X,\mathcal{T})$가 비연결공간임에 따라 

$U\ne \emptyset$이고 $V \ne \emptyset$인 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여 $U\cap V = \emptyset$이고 $U\cup V = X$이므로

$U,V\subseteq X$임에 따라 집합 정리로 $\emptyset \ne U = X\setminus V \ne X$와 $\emptyset\ne V = X\setminus U\ne X$가 성립하고

위상공간 정리로 $U = X\setminus V, V = X\setminus U$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

$2\to 3$

$E,X\setminus E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $E\ne \emptyset$와 $E\ne X$가 성립함에 따라 $X\setminus E\ne \emptyset$이고 

$E\cap (X\setminus E) = \emptyset$과 $E \cup (X\setminus E) = X$가 성립한다.

$3\to 4$

$C,D\subseteq X$임에 따라 집합 정리로 $\emptyset \ne C = X\setminus D \ne X$와 $\emptyset\ne D = X\setminus C\ne X$가 성립하고

$C,D= X\setminus C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(C) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus C) =C\cap (X\setminus C) = \emptyset$이다.

$4\to 5$

$E\ne \emptyset$와 $E\ne X$가 성립함에 따라 $X\setminus E\ne \emptyset$이고 폐포 정리로

$E\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus E) = \emptyset$와

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap (X\setminus E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus E) = \emptyset$이 성립하여

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap (X\setminus E) = \emptyset = E \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus E)$이고 $E\cup (X\setminus E) =X$이다.

$5\to 6$

폐포 정리로 $A\cap B\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap B = \emptyset$이므로 $A\cap B = \emptyset$이 되어

모든 $x\in X = A\cup B$에 대해 $f(x) = \begin{cases} a & x\in A\text{일때}\\[0.5em] b & x\in B\text{일때} \end{cases}$인 함수 $f:X\to \{ a,b\}$가 존재하고

$A\ne \emptyset$와 $B\ne \emptyset$가 성립함에 따라 $f$는 전사이다.

멱집합의 정의로 $\mathcal{P}(\{ a,b\}) = \{ \emptyset,\{ a\},\{ b\}, \{ a,b\}\}$이므로

$(\{ a,b\},\mathcal{P}(\{ a,b\}))$에서 $a$의 열린근방은 $\{ a\},\{ a,b\}$이고 $(\{ a,b\},\mathcal{P}(\{ a,b\}))$에서 $b$의 열린근방은 $\{ b\},\{ a,b\}$이다.

임의의 $x_0 \in X$에 대해 $a\ne b$이므로 

$f(x_0) = a$이면 

$x_0\in A$이 되어 $A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) = \emptyset = A\cap B$임에 따라 $x_0\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이므로 $x_0\in X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이고

폐포 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$는 $x_0$의 열린근방이 되어 집합 정리와 집합 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) \subseteq X\setminus B \subseteq A$이므로

모든 $x\in X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$에 대해 $f(x) = a\in \{ a\}\subseteq \{ a,b\}$이다.

$f(x_0) = b$이면 

$x_0\in B$이 되어 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap B = \emptyset = A\cap B$임에 따라 $x_0\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이므로 $x_0\in X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이고

폐포 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$는 $x_0$의 열린근방이 되어 집합 정리와 집합 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq X\setminus A \subseteq B$이므로 

모든 $x\in X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$에 대해 $f(x) = b\in \{ b\}\subseteq \{ a,b\}$임에 따라

$f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\{ a,b\},\mathcal{P}(\{ a,b\}))$로의 연속함수이다.

$6\to 1$

멱집합의 정의로 $\mathcal{P}(\{ a,b\}) = \{ \emptyset,\{ a\},\{ b\}, \{ a,b\}\}$이므로

연속함수 정리로 $f^{-1}(\{ a\}) , f^{-1}(\{ b\})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

전사의 정의로 $f(x) = a$와 $f(y) = b$가 성립하는 $x,y\in X$가 존재하여

$x\in f^{-1}(\{ a\})$이고 $y\in f^{-1}(\{b\})$이므로 $f^{-1}(\{ a\})\ne \emptyset$이고 $f^{-1}(\{b\})\ne \emptyset$이다.

$a\ne b$이므로 $\{ a\}\cap \{ b\} =\emptyset$이 되어 함수 정리와 역상의 정의와 함수 정리로

$f^{-1}(\{ a\})\cap f^{-1}(\{ b\}) = f^{-1}(\{ a\}\cap \{ b\}) = f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$이고

$f^{-1}(\{ a\})\cup f^{-1}(\{ b\}) = f^{-1}(\{ a\}\cup \{ b\}) = f^{-1}(\{a,b\}) = X$이므로 $(X,\mathcal{T})$는 비연결공간이다.

 

 

 

정리3

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음은 동치이다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 연결공간이다.

2. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$에 대해 $U\cap V = \emptyset$이고 $U\cup V = X$이면

$U = \emptyset$과 $V=X$가 성립하거나 $U=X$와 $V = \emptyset$이 성립한다.

3. 모든 $E\subseteq X$에 대해 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 닫힌집합이면 $E= \emptyset$ 또는 $E= X$이다.

4. 모든 $E\subseteq X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$ $\cap\, \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus E) = \emptyset$이면 $E= \emptyset$ 또는 $E= X$이다.

5. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap B = \emptyset = A \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이고 $A\cup B =X$이면 $A= \emptyset$ 또는 $B= \emptyset$이다.

6. $a\ne b$인 임의의 $a,b$에 대해 이산위상공간이 $(\{ a,b\},\mathcal{P}(\{ a,b\}))$일때

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\{ a,b\},\mathcal{P}(\{ a,b\}))$로의 연속함수 $f:X\to \{ a,b\}$는 전사가 아니다.

증명

$1\leftrightarrow 3 \leftrightarrow 4 \leftrightarrow 5 \leftrightarrow 6$

위 정리의 대우로 성립한다.

$1\leftrightarrow 2$

$(X,\mathcal{T})$가 연결공간일때 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$에 대해 $U\cap V = \emptyset$이고 $U\cup V = X$이면 

$U,V\subseteq X$임에 따라 집합 정리로 $U = X\setminus V$이고 $U$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 닫힌집합이므로

3번으로 $U = \emptyset$ 또는 $U = X$가 되어

$U = \emptyset$이면 $X\setminus V=U = \emptyset = X\setminus X $임에 따라 집합 정리로 $V = X$이고

$U = X$이면 $X\setminus V =U = X = X\setminus \emptyset$임에 따라 집합 정리로 $V = \emptyset$이다.

역으로 2번이 성립할때 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 닫힌집합이면 

$E$와 $X\setminus E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $E\cap (X\setminus E)  =\emptyset$과 $E\cup (X\setminus E) = X$가 성립하므로

$E = \emptyset$과 $X\setminus E=X$가 성립하거나 $E=X$와 $X\setminus E = \emptyset$이 성립하여 $E = \emptyset$ 또는 $E = X$임에 따라 

3번으로 $(X,\mathcal{T})$는 연결공간이다.

 

 

 

정리4

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수일때 다음이 성립한다.

1. $f$가 전사일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 연결공간이면 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 연결공간이다.

2. 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 연결집합이면 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 연결집합이다.

증명

1.

임의의 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합 $U,V$가 $U\cap V = \emptyset$이고 $U\cup V = Y$일때

연속함수 정리로 $f^{-1}(U),f^{-1}(V)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이고 역상의 정의와 함수 정리와 함수 정리로

$f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V) = f^{-1}(U\cap V) = f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$과 

$f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V) = f^{-1}(U\cup V) = f^{-1}(Y) = X$가 성립하여

위 정리로 $f^{-1}(U) = \emptyset$과 $f^{-1}(V)=X$가 성립하거나 $f^{-1}(U)=X$와 $f^{-1}(V) = \emptyset$이 성립한다.

따라서 전사함수 정리와 상의 정의와 전사함수 정리로

$U=f(f^{-1}(U)) = f(\emptyset) = \emptyset$과 $V = f(f^{-1}(V))=f(X) = Y$가 성립하거나

$U = f(f^{-1}(U))=f(X) = Y$와 $V = f(f^{-1}(V)) = f(\emptyset) = \emptyset$이 성립하여 위 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 연결공간이다.

2.

$(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간이 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$이고 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분위상공간이 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$일때

연속함수 정리로 모든 $x\in E$에 대해 $g(x) = f(x)$로 정의되는 

함수 $g : E\to f(E)$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$로의 연속함수이고

$g(E) = f(E)$임에 따라 함수 정리로 $g$는 전사이다.

$E$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 연결집합임에 따라 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$는 연결공간이고

1번으로 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$는 연결공간이 되어 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 연결집합이다.

 

 

 

정리5

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 비연결집합이기 위한 필요충분조건은

$U\cap E \ne \emptyset$이고 $V\cap E\ne \emptyset$인 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여

$U\cap V\cap E = \emptyset$과 $E\subseteq U\cup V$를 만족하는 것이다.

증명

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 비연결집합이면 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 비연결공간이므로

$O\ne \emptyset$이고 $P\ne \emptyset$인 어떤 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 열린집합 $O,P$가 존재하여 $O\cap P = \emptyset$이고 $O\cup P = E$이다.

위상공간 정리로 $O = U\cap E$이고 $P = V\cap E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여

$U\cap E = O\ne \emptyset$과 $V\cap E = P\ne \emptyset$이 성립하고

$U\cap V\cap E = (U\cap E) \cap (V\cap E) = O\cap P = \emptyset$과 $E = O\cup P = (U\cap E) \cup (V\cap E) \subseteq U\cup V$가 성립한다.

역으로 $U\cap E \ne \emptyset$이고 $V\cap E\ne \emptyset$인 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여

$U\cap V\cap E = \emptyset$과 $E\subseteq U\cup V$를 만족하면

위상공간 정리로 $U\cap E$와 $V\cap E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 열린집합이고 $(U\cap E) \cap (V\cap E) = U\cap V\cap E = \emptyset$이다.

모든 $x\in E \subseteq U\cup V$에 대해 $x\in U$일때 $x\in U\cap E$이고 $x\in V$일때 $x\in V\cap E$이므로 

$E\subseteq (U\cap E)\cup (V\cap E)$이고 집합 정리로 $(U\cap E)\cup (V\cap E) = (U\cup V)\cap E \subseteq E$임에 따라

집합 정리로 $E= (U\cap E)\cup (V\cap E)$가 되어 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 비연결공간이고 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 비연결집합이다.

 

 

 

정리6

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $C\in \mathcal{C}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합인 집합족 $\mathcal{C}$가 $\mathcal{C}\ne \emptyset$일때 $\displaystyle \bigcap_{C\in \mathcal{C}}C\ne \emptyset$이면 $\displaystyle \bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

2. 임의의 $n\in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 $C_1,C_2,\cdots,C_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합일때 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

$C_i\cap C_j\ne \emptyset$이고 $i\ne j$인 $j=1,2,\cdots,n$가 존재하면 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n C_i$은 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

3. 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 $C_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합일때 $n\ge 2$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$C_{k}\cap C_n\ne \emptyset$이고 $k < n$인 $k\in \mathbb{Z}^+$가 존재하면 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty C_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

3. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이면 $E \subseteq F\subseteq $ $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$인 모든 $F\subseteq X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

4. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이면 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

5. $E\subseteq Y\subseteq X$인 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에 대해

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 연결집합이기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합인 것이다.

증명

1.

$\bigcup \mathcal{C} = \displaystyle \bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$일때 임의의 $E \subseteq \bigcup \mathcal{C}$가 $(\bigcup \mathcal{C} ,\mathcal{T}|_{\bigcup \mathcal{C}})$에서 열린집합이고 닫힌집합이면

위상공간 정리로 $A\cap \bigcup \mathcal{C} = E =  B \cap \bigcup \mathcal{C}$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $A$와 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $B$가 존재하고

모든 $C \in \mathcal{C}$에 대해 $(C,\mathcal{T}|_C)$는 연결공간이므로 $C\ne \emptyset$이고 합집합의 정의로 $C \subseteq \bigcup\mathcal{C}$임에 따라 집합 정리로

$C\cap A = (C\cap \bigcup \mathcal{C})\cap A=C\cap(A\cap \bigcup\mathcal{C}) = C \cap E = C\cap (B\cap \bigcup\mathcal{C}) = (C\cap \bigcup \mathcal{C})\cap B = C\cap B$가 되어

위상공간 정리로 $C\cap E$는 $(C,\mathcal{T}|_C)$에서 열린집합이고 닫힌집합이므로 위 정리로 $C\cap E = C$ 또는 $C\cap E = \emptyset$이다.

$C_1\cap E = C_1$이고 $C_2\cap E = \emptyset$인 $C_1,C_2 \in \mathcal{C}$가 존재하면

$y \in \displaystyle \bigcap_{C\in\mathcal{C}}C$가 존재하므로 $y\in C_1=C_1\cap E$이고 $y \in C_2$인데 $y\in E$이므로 $y\in C_2\cap E = \emptyset$이 되어 모순이다.

모든 $C \in \mathcal{C}$에 대해 $C\cap E = C$이면

임의의 $x \in \bigcup \mathcal{C} $는 $x \in C =C\cap E$인 $C \in \mathcal{C}$가 존재하여 $x \in E$이므로 $\bigcup\mathcal{C} \subseteq E$이고 집합 정리로 $\bigcup\mathcal{C} =E$이다.

모든 $C \in \mathcal{C}$에 대해 $C\cap E = \emptyset$이면

$C \subseteq \bigcup \mathcal{C}$이므로 집합 정리로 $C \cap (\bigcup\mathcal{C}\setminus E) = C\setminus (C\cap E) = C\setminus \emptyset =C$이고

임의의 $x \in \bigcup \mathcal{C} $는 $x \in C = C\cap (\bigcup\mathcal{C}\setminus E)$인 $C \in \mathcal{C}$가 존재하여 $x\in \bigcup\mathcal{C}\setminus E$이므로 $\bigcup\mathcal{C} \subseteq \bigcup\mathcal{C}\setminus E$이고 

집합 정리로 $\bigcup\mathcal{C}\setminus \emptyset=\bigcup\mathcal{C} = \bigcup\mathcal{C}\setminus E$이므로 집합 정리로 $E =\emptyset$이다.

따라서 위 정리로 $(\bigcup \mathcal{C} ,\mathcal{T}|_{\bigcup\mathcal{C}})$는 연결공간이 되어 $\bigcup \mathcal{C} = \displaystyle \bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

2.

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$이면 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^1 C_i = C_1$은 자명하게 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $ \displaystyle \bigcup_{i=1}^k C_i$가 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이면

$C_{k+1}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이고 $C_j\cap C_{k+1}\ne \emptyset$인 $j=1,2,\cdots,k$가 존재하므로

$C_j\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^k C_i$이고 $C_j\cap C_{k+1}\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^kC_i \cap C_{k+1}$임에 따라 $\displaystyle  \bigcup_{i=1}^kC_i \cap C_{k+1} \ne \emptyset$이 되어

1번으로 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^{k+1} C_i = \bigcup_{i=1}^k C_i \cup C_{k+1}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

3.

2번으로 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 집합 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^m C_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이고 $C_1\cap C_2\ne \emptyset$임에 따라 $C_1\ne \emptyset$이므로

$\displaystyle \bigcap_{m=1}^\infty \left ( \bigcup_{n=1}^m C_n \right ) = C_1\ne \emptyset$이 되어 1번으로 $\displaystyle \bigcup_{m=1}^\infty \left (\bigcup_{n=1}^m C_n\right ) = \bigcup_{n=1}^\infty C_n $은 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

4.

$E \subseteq F\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$일때 $F$가 $(X,\mathcal{T})$에서 비연결집합이라고 가정하면

위 정리로 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여

$U\cap F\ne \emptyset$이고 $V\cap F\ne \emptyset$이고 $U\cap V\cap F = \emptyset$이고 $F\subseteq U\cup V$이다.

$x\in U\cap F \subseteq U\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$가 존재하여

$U$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$임에 따라 폐포의 정의로 $U\cap E\ne \emptyset$이고

$y\in V\cap F \subseteq V\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$가 존재하여

$V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방이므로 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$임에 따라 폐포의 정의로 $V\cap E\ne \emptyset$이다.

$U\cap V\cap E \subseteq U\cap V\cap F = \emptyset$이므로 $U\cap V \cap E = \emptyset$이고 $E\subseteq F\subseteq U\cup V$임에 따라

위 정리로 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 비연결집합이 되어 모순이므로 $F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

5.

폐포 정리로 $E\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이므로 4번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

6.

$E\subseteq Y \subseteq X$임에 따라 위상공간 정리로 $(\mathcal{T}|_Y)|_E = \mathcal{T}|_E$이므로 $(E,(\mathcal{T}|_Y)|_E) = (E,\mathcal{T}|_E)$이다.

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 연결집합이면 $(E,(\mathcal{T}|_Y)|_E)$는 연결공간이고

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이면 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 연결공간이므로

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 연결집합이기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합인 것이다.

 

 

 

정의2

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 임의의 $x,y\in X$에 대해

$(x,y) \in \mathcal{R}$이기 위한 필요충분조건이 $x,y \in E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합 $E$가 존재하는 $X$의 관계가 $\mathcal{R}$이면

$\mathcal{R}$을 $(X,\mathcal{T})$의 연결성분관계라고 정의하고

$\mathcal{R}$에 대한 임의의 $x\in X$의 동치류 $[x]_\mathcal{R}$을 $(X,\mathcal{T})$에서 연결성분으로 정의한다.

 

 

 

정리7

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$의 연결성분관계 $\mathcal{R}$은 $X$의 동치관계이다.

2. 임의의 $x\in X$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 연결성분 $[x]_\mathcal{R}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이고 닫힌집합이다.

3. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합 $E$는 모든 $x\in E$에 대해 $E\subseteq [x]_\mathcal{R}$이다.

4. 임의의 $x\in X$와 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합 $E$에 대해 $[x]_\mathcal{R}\subseteq E$이면 $E=[x]_\mathcal{R}$이다.

5. $X\ne \emptyset$일때 $(X,\mathcal{T})$가 연결공간이기 위한 필요충분조건은 $X= [x]_\mathcal{R}$이 되는 $x\in X$가 존재하는 것이다.

증명

1.

반사성

임의의 $x\in X$에 대해 모든 $E \subseteq \{x\}$는 $E = \emptyset$이거나 $E = \{ x\}$이므로

위 정리로 $(\{x\},\mathcal{T}|_{\{ x\}})$는 연결공간이 되어 $\{ x\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이고 $(x,x)\in \mathcal{R}$이다.

대칭성

임의의 $x,y\in X$에 대해 $(x,y) \in \mathcal{R}$이면 $x,y\in E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합 $E$가 존재하므로 $(y,x)\in \mathcal{R}$이다.

추이성

임의의 $x,y,z\in X$에 대해 $(x,y),(y,z) \in \mathcal{R}$이면

 $x,y\in E_1$이고 $y,z\in E_2$인 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합 $E_1,E_2$가 존재하여 $y\in E_1\cap E_2$이므로

$ E_1\cap E_2 \ne \emptyset$이고 위 정리로 $E_1\cup E_2$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이 되어 $x,z\in E_1\cup E_2$이고 $(x,z)\in \mathcal{R}$이다.

2.

$x \in [x]_\mathcal{R}$이므로 $[x]_\mathcal{R}\ne \emptyset$이고 모든 $y \in [x]_\mathcal{R}$에 대해 $x,y \in E_y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합 $E_y$가 존재하므로

선택 정리로 $E_y$를 선택할때

$\displaystyle x\in \bigcap_{y\in [x]_\mathcal{R}}E_y$이고 $\displaystyle  \bigcap_{y\in [x]_\mathcal{R}}E_y \ne \emptyset$이 되어 위 정리로 $\displaystyle  \bigcup_{y\in [x]_\mathcal{R}}E_y$은 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

모든 $\displaystyle z\in \bigcup_{y\in [x]_\mathcal{R}}E_y$는 $z\in E_y$인 $y\in [x]_\mathcal{R}$가 존재하여 $x, z\in E_y$이므로 $z\in [x]_\mathcal{R}$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{y\in [x]_\mathcal{R}}E_y \subseteq [x]_\mathcal{R}$이고

$\displaystyle [x]_\mathcal{R} \subseteq \bigcup_{y\in [x]_\mathcal{R}}E_y $임은 자명하므로 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{y\in [x]_\mathcal{R}}E_y = [x]_\mathcal{R}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}( [x]_\mathcal{R})$은 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이고 폐포 정리로 $x\in [x]_\mathcal{R} \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}( [x]_\mathcal{R})$이므로

모든 $y \in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}( [x]_\mathcal{R})$에 대해 $x,y \in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}( [x]_\mathcal{R})$가 되어 $y\in [x]_\mathcal{R}$임에 따라 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}( [x]_\mathcal{R})\subseteq [x]_\mathcal{R}$이고

집합 정리로 $[x]_\mathcal{R} = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}( [x]_\mathcal{R})$이므로 폐포 정리로 $[x]_\mathcal{R}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

3.

임의의 $x\in E$에 대해 모든 $y\in E$는 $x,y\in E$이고 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이므로 $y\in [x]_\mathcal{R}$가 되어 $E\subseteq [x]_\mathcal{R}$이다.

4.

$x\in [x]_\mathcal{R}\subseteq E$이므로 3번으로 $E\subseteq [x]_\mathcal{R}$가 되어 집합 정리로 $E=[x]_\mathcal{R}$이다.

5.

$(X,\mathcal{T})$가 연결공간이면

$X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이고 $X\ne \emptyset$이므로 $x\in X$가 존재하여 3번으로 $X\subseteq [x]_\mathcal{R}$이고

동치류의 정의로 $[x]_\mathcal{R}\subseteq X$임에 따라 집합 정리로 $X=[x]_\mathcal{R}$이다.

역으로 $X= [x]_\mathcal{R}$이 되는 $x\in X$가 존재하면

2번으로 $X= [x]_\mathcal{R}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이 되어 $(X,\mathcal{T})$는 연결공간이다.

 

 

 

정리8

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $(X,\mathcal{T}_X)$의 연결성분관계가 $\mathcal{R}_X$이고 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 연결성분관계가 $\mathcal{R}_Y$일때

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상 $f:X\to Y$와 임의의 $x\in X$에 대해

$f$에 의한 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 연결성분 $[x]_{\mathcal{R}_X}$의 상 $f([x]_{\mathcal{R}_X})$는 모든 $y\in f([x]_{\mathcal{R}_X})$에 대해 $f([x]_{\mathcal{R}_X}) = [y]_{\mathcal{R}_Y}$이다.

증명

위상동형사상의 정의로 $f$는 전단사인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고

$f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이다.

위 정리로 $[x]_{\mathcal{R}_X}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 연결집합이므로 위 정리로 $f([x]_{\mathcal{R}_X})$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 연결집합이 되어

위 정리로 모든 $y\in f([x]_{\mathcal{R}_X})$에 대해 $f([x]_{\mathcal{R}_X}) \subseteq [y]_{\mathcal{R}_Y}$이다.

단사함수 정리로 $[x]_{\mathcal{R}_X} =f^{-1}(f([x]_{\mathcal{R}_X})) \subseteq f^{-1}([y]_{\mathcal{R}_Y})$이고

위 정리로 $[y]_{\mathcal{R}_Y}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 연결집합이므로 위 정리로 $f^{-1}([y]_{\mathcal{R}_Y})$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 연결집합이 되어

위 정리로 $[x]_{\mathcal{R}_X} = f^{-1}([y]_{\mathcal{R}_Y})$임에 따라 전사함수 정리로 $f([x]_{\mathcal{R}_X}) = f(f^{-1}([y]_{\mathcal{R}_Y})) = [y]_{\mathcal{R}_Y}$이다.

 

 

 

정의3

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $1$차원 유클리드 거리공간 $($$[0,1]$$,d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_d)$일때

모든 $x,y \in X$에 대해 $\gamma_{x,y}(0) = x$와 $\gamma_{x,y}(1) = y$가 성립하는

$([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 연속함수 $\gamma_{x,y} : [0,1]\to X$가 존재하면

$(X,\mathcal{T})$를 경로연결공간 또는 경로연결위상공간으로 정의한다.

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 경로연결공간이면 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합으로 정의한다.

 

 

 

정리9

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

2. $E\subseteq Y\subseteq X$인 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에 대해

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 경로연결집합이기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합인 것이다.

증명

1.

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(E,\mathcal{T}|_E)$이고 $1$차원 유클리드 거리공간 $([0,1],d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_d)$일때

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이면 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 경로연결공간이므로

$E = \emptyset$이면 공허하게 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 연결공간이 되어 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

$E \ne \emptyset$이면 모든 $x,y \in E$에 대해

$\gamma_{x,y}(0) = x$이고 $\gamma_{x,y}(1) = y$인 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(E,\mathcal{T}|_E)$로의 연속함수 $\gamma_{x,y} : [0,1]\to E$가 존재하고

거리공간 정리와 거리위상공간 정리와 거리위상공간 정리로 $[0,1]$은 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 연결집합이므로

위 정리로 $\gamma_{x,y}([0,1])$은 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 연결집합이다.

$E\ne \emptyset$이므로 $x_0\in E$이 존재하여

모든 $x \in E$에 대해 $\gamma_{x_0,x}([0,1])$은 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 연결집합이고 $x_0=\gamma_{x_0,x}(0) \in \gamma_{x_0,x}([0,1])$이므로

$x_0 \in \displaystyle \bigcap_{x\in E}\gamma_{x_0,x}([0,1])$이 되어 $\displaystyle \bigcap_{x\in E}\gamma_{x_0,x}([0,1]) \ne \emptyset$이다.

따라서 위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{x\in E}\gamma_{x_0,x}([0,1])$은 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 연결집합이고

모든 $x \in E$에 대해 $x=\gamma_{x_0,x}(1) \in \gamma_{x_0,x}([0,1])\subseteq \displaystyle \bigcup_{x\in E}\gamma_{x_0,x}([0,1])$이므로 $\displaystyle E\subseteq \bigcup_{x\in E}\gamma_{x_0,x}([0,1])$이 되어

집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{x\in E}\gamma_{x_0,x}([0,1]) = E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 연결집합이고

$(E,\mathcal{T}|_E)$는 연결공간이므로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

2.

$E\subseteq Y \subseteq X$임에 따라 위상공간 정리로 $(\mathcal{T}|_Y)|_E = \mathcal{T}|_E$이므로 $(E,(\mathcal{T}|_Y)|_E) = (E,\mathcal{T}|_E)$이다.

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 경로연결집합이면 $(E,(\mathcal{T}|_Y)|_E)$는 경로연결공간이고

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이면 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 경로연결공간이므로

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 경로연결집합이기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합인 것이다.

 

 

 

정리10

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $C\in \mathcal{C}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합인 집합족 $\mathcal{C}$가 $\mathcal{C}\ne \emptyset$일때

$\displaystyle \bigcap_{C\in \mathcal{C}}C\ne \emptyset$이면 $\displaystyle \bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

2. 임의의 $n\in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 $C_1,C_2,\cdots,C_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합일때 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

$C_i\cap C_j\ne \emptyset$이고 $i\ne j$인 $j=1,2,\cdots,n$가 존재하면 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n C_i$은 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

3. 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 $C_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합일때 $n\ge 2$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$C_{k}\cap C_n\ne \emptyset$이고 $k < n$인 $k\in \mathbb{Z}^+$가 존재하면 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty C_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

증명

1.

$\bigcup \mathcal{C} = \displaystyle \bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$에 대해 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(\bigcup \mathcal{C} ,\mathcal{T}|_{\bigcup \mathcal{C}})$이고

$1$차원 유클리드 거리공간 $([0,1],d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_d)$일때

임의의 $x,y\in \displaystyle \bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$에 대해 $x\in C$이고 $y\in D$인 $C,D\in \mathcal{C}$가 존재하고

$\displaystyle \bigcap_{C\in \mathcal{C}}C\ne \emptyset$이므로 $z\in \displaystyle \bigcap_{C\in \mathcal{C}}C$가 존재하여 $z\in C\cap D$임에 따라

경로연결집합의 정의로 $\alpha_{x,z}(0) = x$와 $\alpha_{x,z}(1) = z$가 성립하고 $\beta_{z,y}(0) = z$와 $\beta_{z,y}(1) = y$가 성립하는 

$([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(C,\mathcal{T}|_C)$로의 연속함수 $\alpha_{x,z} : [0,1]\to C$와 

$([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(D,\mathcal{T}|_D)$로의 연속함수 $\beta_{z,y} : [0,1]\to D$가 존재한다.

모든 $t\in [0,\frac{1}{2}]$에 대해 $\alpha(t) = \alpha_{x,z}(2\cdot t)$인 함수 $\alpha : [0,\frac{1}{2}]\to \displaystyle \bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$와

모든 $t\in [\frac{1}{2},1]$에 대해 $\beta(t) = \beta_{z,y}(2\cdot t -1)$인 함수 $\beta : [\frac{1}{2},1]\to \displaystyle \bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$를 정의하면

$[0,\frac{1}{2}]\cap [\frac{1}{2},1] = \{ \frac{1}{2}\}$이고 $\alpha(\frac{1}{2}) = \alpha_{x,z}(2\cdot \frac{1}{2}) = \alpha_{x,z}(1) = z = \beta_{z,y}(0) = \beta_{z,y}(2\cdot \frac{1}{2} -1) = \beta(\frac{1}{2})$이므로

항등함수 정리와 거리공간 정리와 거리위상공간 정리와 연속함수 정리와 합성함수 정리와 연속함수 정리로

$([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(\bigcup \mathcal{C} ,\mathcal{T}|_{\bigcup \mathcal{C}})$로의 연속함수 $\gamma_{x,y} :[0,1]\to \displaystyle \bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$가 존재하여

$\gamma_{x,y}(0) = \alpha(0) = \alpha_{x,z}(2\cdot 0) = \alpha_{x,z}(0) = x$이고 $\gamma_{x,y}(1) = \beta(1) = \beta_{z,y}(2\cdot 1 -1) = \beta_{z,y}(1) = y$이므로

$(\bigcup \mathcal{C} ,\mathcal{T}|_{\bigcup \mathcal{C}})$는 경로연결공간이고 $\displaystyle \bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

2.

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$이면 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^1 C_i = C_1$은 자명하게 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $ \displaystyle \bigcup_{i=1}^k C_i$가 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이면

$C_{k+1}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이고 $C_j\cap C_{k+1}\ne \emptyset$인 $j=1,2,\cdots,k$가 존재하므로

$C_j\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^k C_i$이고 $C_j\cap C_{k+1}\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^kC_i \cap C_{k+1}$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^kC_i \cap C_{k+1} \ne \emptyset$이 되어

1번으로 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^{k+1} C_i = \bigcup_{i=1}^k C_i \cup C_{k+1}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

3.

2번으로 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 집합 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^m C_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이고 $C_1\cap C_2\ne \emptyset$임에 따라 $C_1\ne \emptyset$이므로

$\displaystyle \bigcap_{m=1}^\infty \left ( \bigcup_{n=1}^m C_n \right ) = C_1\ne \emptyset$이 되어 1번으로 $\displaystyle \bigcup_{m=1}^\infty \left (\bigcup_{n=1}^m C_n\right ) = \bigcup_{n=1}^\infty C_n $은 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

 

 

 

정리11

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수일때 다음이 성립한다.

1. $f$가 전사일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 경로연결공간이면 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 경로연결공간이다.

2. 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 경로연결집합이면 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 경로연결집합이다.

증명

1.

전사함수 정리로 임의의 $y_0,y_1\in Y =f(X)$는 $f(x_0) = y_0$이고 $f(x_1) = y_1$인 $x_0,x_1\in X$이 존재하여

$1$차원 유클리드 거리공간 $([0,1],d)$의 거리위상공간 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에 대해 경로연결공간의 정의로

$\gamma(0) = x_0$이고 $\gamma(1) = x_1$인 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수 $\gamma : [0,1]\to X$가 존재하므로

합성함수 정리로 $f \circ \gamma : [0,1]\to Y$는 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고

$(f\circ \gamma)(0) = f(\gamma(0)) = f(x_0) = y_0$과 $(f\circ \gamma)(1) = f(\gamma(1)) = f(x_1) = y_1$이 성립함에 따라

$(Y,\mathcal{T}_Y)$는 경로연결공간이다.

2.

연속함수 정리로 모든 $x\in E$에 대해 $g(x) = f(x)\in f(E) \subseteq Y$인

함수 $g: E\to f(E)$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$로의 연속함수이고

$g(E) = f(E)$이므로 전사함수 정리로 $g$는 전사이다.

$E$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 경로연결집합이므로 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$는 경로연결공간이 되어

1번으로 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$가 경로연결공간임에 따라 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 경로연결집합이다.

 

 

 

정의4

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 임의의 $x,y\in X$에 대해

$(x,y) \in \mathcal{R}$이기 위한 필요충분조건이 $x,y \in E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합 $E$가 존재하는 $X$의 관계가 $\mathcal{R}$이면

$\mathcal{R}$을 $(X,\mathcal{T})$의 경로연결성분관계라고 정의하고

$\mathcal{R}$에 대한 임의의 $x\in X$의 동치류 $[x]_\mathcal{R}$을 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결성분으로 정의한다.

 

 

 

정리12

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$의 경로연결성분관계 $\mathcal{R}$은 $X$의 동치관계이다.

2. 임의의 $x\in X$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결성분 $[x]_\mathcal{R}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

3. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합 $E$는 모든 $x\in E$에 대해 $E\subseteq [x]_\mathcal{R}$이다.

4. 임의의 $x\in X$와 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합 $E$에 대해 $[x]_\mathcal{R}\subseteq E$이면 $E=[x]_\mathcal{R}$이다.

5. $X\ne \emptyset$일때 $(X,\mathcal{T})$가 경로연결공간이기 위한 필요충분조건은 $X= [x]_\mathcal{R}$이 되는 $x\in X$가 존재하는 것이다.

증명

1.

반사성

$1$차원 유클리드 거리공간 $([0,1],d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_d)$일때

임의의 $x\in X$에 대해 모든 $t\in [0,1]$가 $\gamma(t) = x$인 함수 $\gamma:[0,1]\to \{ x\}$는

연속함수 정리로 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(\{ x\},\mathcal{T}|_{\{x\}})$로의 연속함수이고

모든 $y,z\in \{ x\}$에 대해 $y = x= z$임에 따라 $\gamma(0) = x = y$와 $\gamma(1) = x=z$가 성립하여 

$(\{x\},\mathcal{T}|_{\{ x\}})$는 경로연결공간이고 $\{ x\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이므로 $(x,x)\in \mathcal{R}$이다.

대칭성

임의의 $x,y\in X$에 대해 $(x,y) \in \mathcal{R}$이면 $x,y\in E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합 $E$가 존재하므로 $(y,x)\in \mathcal{R}$이다.

추이성

임의의 $x,y,z\in X$에 대해 $(x,y),(y,z) \in \mathcal{R}$이면

 $x,y\in E_1$이고 $y,z\in E_2$인 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합 $E_1,E_2$가 존재하여 $y\in E_1\cap E_2$이므로

$ E_1\cap E_2 \ne \emptyset$이고 위 정리로 $E_1\cup E_2$는 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이 되어 $x,z\in E_1\cup E_2$이고 $(x,z)\in \mathcal{R}$이다.

2.

$x \in [x]_\mathcal{R}$이므로 $[x]_\mathcal{R}\ne \emptyset$이고

모든 $y \in [x]_\mathcal{R}$에 대해 $x,y \in E_y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합 $E_y$가 존재하므로 선택 정리로 $E_y$를 선택할때

$\displaystyle x\in \bigcap_{y\in [x]_\mathcal{R}}E_y$이고 $\displaystyle  \bigcap_{y\in [x]_\mathcal{R}}E_y \ne \emptyset$이 되어 위 정리로 $\displaystyle  \bigcup_{y\in [x]_\mathcal{R}}E_y$은 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

모든 $\displaystyle z\in \bigcup_{y\in [x]_\mathcal{R}}E_y$는 $z\in E_y$인 $y\in [x]_\mathcal{R}$가 존재하여 $x, z\in E_y$이므로 $z\in [x]_\mathcal{R}$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{y\in [x]_\mathcal{R}}E_y \subseteq [x]_\mathcal{R}$이고

$\displaystyle [x]_\mathcal{R} \subseteq \bigcup_{y\in [x]_\mathcal{R}}E_y $임은 자명하므로 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{y\in [x]_\mathcal{R}}E_y = [x]_\mathcal{R}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

3.

임의의 $x\in E$에 대해 모든 $y\in E$는 $x,y\in E$이고

$E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이므로 $y\in [x]_\mathcal{R}$가 되어 $E\subseteq [x]_\mathcal{R}$이다.

4.

$x\in [x]_\mathcal{R}\subseteq E$이므로 3번으로 $E\subseteq [x]_\mathcal{R}$가 되어 집합 정리로 $E=[x]_\mathcal{R}$이다.

5.

$(X,\mathcal{T})$가 경로연결공간이면

$X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이고 $X\ne \emptyset$이므로 $x\in X$가 존재하여 3번으로 $X\subseteq [x]_\mathcal{R}$이고

동치류의 정의로 $[x]_\mathcal{R}\subseteq X$임에 따라 집합 정리로 $X=[x]_\mathcal{R}$이다.

역으로 $X= [x]_\mathcal{R}$이 되는 $x\in X$가 존재하면

2번으로 $X= [x]_\mathcal{R}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이 되어 $(X,\mathcal{T})$는 경로연결공간이다.

 

 

 

정리13

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 경로연결성분관계 $\mathcal{R}$과

$1$차원 유클리드 거리공간 $([0,1],d)$의 거리위상공간 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 연속함수 $\gamma : [0,1]\to X$의 상 $\gamma([0,1])$은 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

2. 임의의 $x,y\in X$에 대해 $y\in [x]_\mathcal{R}$이기 위한 필요충분조건은

$\gamma(0) =x$이고 $\gamma(1) = y$인 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 연속함수 $\gamma : [0,1]\to X$가 존재하는 것이다.

증명

1.

임의의 $x,y\in \gamma([0,1]) \subseteq X$에 대해 $\gamma(a) = x$와 $\gamma(b) = y$가 성립하는 $a,b\in [0,1]$가 존재하여 

모든 $t\in [0,1]$에 대해

$(1-t) + t = 1$이고 $(1-t),t, a,b\in [0,1]$이므로 실수 정리로 $(1-t)\cdot a + t\cdot b\in [0,1]$임에 따라

$\beta(t)=\gamma((1-t)\cdot a + t\cdot b)$인 함수 $\beta : [0,1]\to \gamma([0,1])$에 대해

$\beta(0) = \gamma((1-0)\cdot a + 0\cdot b) = \gamma(a) = x$와 $\beta(1) = \gamma((1-1)\cdot a + 1\cdot b) = \gamma(b) = y$가 성립하고

항등함수 정리와 거리공간 정리와 거리위상공간 정리와 연속함수 정리와 합성함수 정리로

$\beta$는 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(\gamma([0,1]),\mathcal{T}|_{\gamma([0,1])})$로의 연속함수가 되어

$(\gamma([0,1]),\mathcal{T}|_{\gamma([0,1])})$은 경로연결공간이고 $\gamma([0,1])$은 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

2.

$y\in [x]_\mathcal{R}$이면

경로연결성분의 정의로 $x,y\in E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합 $E$가 존재하여 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 경로연결공간이므로

$\gamma_{x,y}(0) =x$이고 $\gamma_{x,y}(1) = y$인 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(E,\mathcal{T}|_E)$로의 연속함수 $\gamma_{x,y} : [0,1]\to E$가 존재함에 따라

모든 $t\in [0,1]$에 대해 $\gamma(t) = \gamma_{x,y}(t)\in E\subseteq X$인 함수 $\gamma:[0,1]\to X$는

연속함수 정리로 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 연속함수이다.

역으로 $\gamma(0) =x$이고 $\gamma(1) = y$인 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 연속함수 $\gamma : [0,1]\to X$가 존재하면

1번으로 $\gamma([0,1])$은 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이고 $x=\gamma(0),y= \gamma(1) \in \gamma([0,1])$이므로

경로연결성분의 정의로 $y\in [x]_\mathcal{R}$이다.

 

 

 

정리14

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $(X,\mathcal{T}_X)$의 경로연결성분관계 $\mathcal{R}_X$이고 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 경로연결성분관계가 $\mathcal{R}_Y$일때

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상 $f:X\to Y$와 임의의 $x\in X$에 대해

$f$에 의한 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 경로연결성분 $[x]_{\mathcal{R}_X}$의 상 $f([x]_{\mathcal{R}_X})$는 모든 $y\in f([x]_{\mathcal{R}_X})$에 대해 $f([x]_{\mathcal{R}_X}) = [y]_{\mathcal{R}_Y}$이다.

증명

위상동형사상의 정의로 $f$는 전단사인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고

$f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이다.

위 정리로 $[x]_{\mathcal{R}_X}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 경로연결집합이므로 위 정리로 $f([x]_{\mathcal{R}_X})$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 경로연결집합이 되어

위 정리로 모든 $y\in f([x]_{\mathcal{R}_X})$에 대해 $f([x]_{\mathcal{R}_X}) \subseteq [y]_{\mathcal{R}_Y}$이다.

단사함수 정리로 $[x]_{\mathcal{R}_X} =f^{-1}(f([x]_{\mathcal{R}_X})) \subseteq f^{-1}([y]_{\mathcal{R}_Y})$이고

위 정리로 $[y]_{\mathcal{R}_Y}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 경로연결집합이므로 위 정리로 $f^{-1}([y]_{\mathcal{R}_Y})$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 경로연결집합이 되어

위 정리로 $[x]_{\mathcal{R}_X} = f^{-1}([y]_{\mathcal{R}_Y})$임에 따라 전사함수 정리로 $f([x]_{\mathcal{R}_X}) = f(f^{-1}([y]_{\mathcal{R}_Y})) = [y]_{\mathcal{R}_Y}$이다.

 

 

 

정의5

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

임의의 $x\in X$와 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

$O\subseteq V$인 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이면

$(X,\mathcal{T})$가 $x$에서 국소 연결(locally connected)되어 있다고 한다.

$(X,\mathcal{T})$가 모든 $x\in X$에서 국소 연결되어 있으면 $(X,\mathcal{T})$를 국소 연결공간으로 정의한다.

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 국소 연결공간이면 $(X,\mathcal{T})$가 $E$에서 국소 연결되어 있다고 정의한다.

 

 

 

정리15

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$가 $x$에서 국소 연결되어 있기 위한 필요충분조건은

모든 $B\in \mathcal{B}_x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합인 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저 $\mathcal{B}_x$가 존재하는 것이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 국소 연결공간이기 위한 필요충분조건은

모든 $B\in \mathcal{B}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합인 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재하는 것이다.

3. $(X,\mathcal{T})$가 국소 연결공간이기 위한 필요충분조건은

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$의 모든 $x\in O$에 대해 $(O,\mathcal{T}|_O)$에서 연결성분 $[x]_{\mathcal{R}_O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합인 것이다.

증명

1.

$(X,\mathcal{T})$가 $x$에서 국소 연결되어 있으면

분류 공리로 $\mathcal{B}_x = \{ O\in \mathcal{T}: x\in O \text{이고 } O\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 연결집합} \}$가 존재하여

$\mathcal{B}_x\subseteq \mathcal{T}$이고 모든 $B\in \mathcal{B}_x$는 $x\in B$이고 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

국소 연결의 정의로 $O\subseteq V$인 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이고

$O\in \mathcal{T}$와 $x\in O$가 성립하므로 $O\in \mathcal{B}_x$임에 따라 $\mathcal{B}_x$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

역으로 조건을 만족하는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저 $\mathcal{B}_x$가 존재하면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

국소기저의 정의로 $O\subseteq V$인 $O\in \mathcal{B}_x$가 존재하여 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이므로

$(X,\mathcal{T})$는 $x$에서 국소 연결되어 있다.

2.

$(X,\mathcal{T})$가 국소 연결공간이면 $(X,\mathcal{T})$가 모든 $x\in X$에서 국소 연결되어 있으므로

1번으로 $\mathcal{B}_x = \{ O\in \mathcal{T}: x\in O \text{이고 } O\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 연결집합} \}$가 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저임에 따라

위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_x$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고

모든 $B\in \displaystyle \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_x$는 $B\in \mathcal{B}_x$인 $x\in X$가 존재하여 $B$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

역으로 조건은 만족하는 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재하면 임의의 $x\in X$와 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 

기저의 정의로 $V = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$인 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하여 $x\in V$이므로 $x\in B$인 $B\in \mathcal{S}$가 존재하고

$x\in B\subseteq V$와 $B\in \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$가 성립하여 $B$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합임에 따라

$(X,\mathcal{T})$는 모든 $x\in X$에서 국소 연결되어 있고 $(X,\mathcal{T})$는 국소 연결공간이다.

3.

$(X,\mathcal{T})$가 국소 연결공간이면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$의 모든 $x\in O$에 대해 $(O,\mathcal{T}|_O)$에서 연결성분 $[x]_{\mathcal{R}_O}$는 $[x]_{\mathcal{R}_O}\subseteq O$이므로

모든 $y\in [x]_{\mathcal{R}_O} \subseteq O$에 대해 $O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방이고 $(X,\mathcal{T})$가 $y$에서 국소 연결되어 있음에 따라

$U\subseteq O$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $U$가 존재하여 $U$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

위 정리로 $U$는 $(O,\mathcal{T}|_O)$에서 연결집합이고 동치류 정리로 $[x]_{\mathcal{R}_O} = [y]_{\mathcal{R}_O}$이므로

$y\in U$임에 따라 위 정리로 $U \subseteq [y]_{\mathcal{R}_O} = [x]_{\mathcal{R}_O}$가 되어 위상공간 정리로 $[x]_{\mathcal{R}_O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

역으로 조건이 성립하면 임의의 $x\in X$와 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 

$x\in V$이고 $V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 $(V,\mathcal{T}|_V)$에서 연결성분 $[x]_{\mathcal{R}_V}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어

$x\in [x]_{\mathcal{R}_V}$임에 따라 $[x]_{\mathcal{R}_V}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 위 정리로 $[x]_{\mathcal{R}_V}$는 $(V,\mathcal{T}|_V)$에서 연결집합이므로

$[x]_{\mathcal{R}_V}\subseteq V\subseteq X$임에 따라 위 정리로 $[x]_{\mathcal{R}_V}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이 되어 

$(X,\mathcal{T})$는 모든 $x\in X$에서 국소 연결되어 있고 $(X,\mathcal{T})$는 국소 연결공간이다.

 

 

 

정리16

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상일때

$(X,\mathcal{T}_X)$가 국소 연결공간이면 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 국소 연결공간이다.

증명

위상동형사상의 정의로 $f$는 전단사인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고

$f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이다.

모든 $y\in Y =f(X)$는 $f(x) = y$인 $x\in X$가 존재하여

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y$의 열린근방 $V$에 대해 $f(x)=y\in V$이므로 $x \in f^{-1}(V)$이고

위상동형사상 정리로 $f^{-1}(V)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합임에 따라 $f^{-1}(V)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방이다.

$(X,\mathcal{T}_X)$는 $x$에서 국소 연결되어 있으므로

$U \subseteq f^{-1}(V)$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재하여 $U$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

$x\in U \subseteq f^{-1}(V)$이므로 전사함수 정리로 $y= f(x) \in f(U) \subseteq f(f^{-1}(V)) = V$가 되어

위상동형사상 정리로 $f(U)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y$의 열린근방이고 위 정리로 $f(U)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 연결집합임에 따라

$(Y,\mathcal{T}_Y)$는 모든 $y\in Y$에서 국소 연결되어 있고 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 국소 연결공간이다.

 

 

 

정의6

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

임의의 $x\in X$와 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

$O\subseteq V$인 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이면

$(X,\mathcal{T})$가 $x$에서 국소 경로연결(locally path connected)되어 있다고 한다.

$(X,\mathcal{T})$가 모든 $x\in X$에서 국소 경로연결되어 있으면 $(X,\mathcal{T})$를 국소 경로연결공간으로 정의한다.

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 국소 경로연결공간이면 $(X,\mathcal{T})$가 $E$에서 국소 경로연결되어 있다고 정의한다.

 

 

 

정리17

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$가 $x$에서 국소 경로연결되어 있기 위한 필요충분조건은

모든 $B\in \mathcal{B}_x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합인 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저 $\mathcal{B}_x$가 존재하는 것이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 국소 경로연결공간이기 위한 필요충분조건은

모든 $B\in \mathcal{B}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합인 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재하는 것이다.

3. $(X,\mathcal{T})$가 국소 경로연결공간이기 위한 필요충분조건은 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$의 모든 $x\in O$에 대해

$(O,\mathcal{T}|_O)$에서 경로연결성분 $[x]_{\mathcal{R}_O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합인 것이다.

4. $(X,\mathcal{T})$가 연결공간이고 국소 경로연결공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 경로연결공간이다.

증명

1.

$(X,\mathcal{T})$가 $x$에서 국소 경로연결되어  있으면

분류 공리로 $\mathcal{B}_x = \{ O\in \mathcal{T}: x\in O \text{이고 } O\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 경로연결집합} \}$가 존재하여

$\mathcal{B}_x\subseteq \mathcal{T}$이고 모든 $B\in \mathcal{B}_x$는 $x\in B$이고 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

국소 경로연결의 정의로 $O\subseteq V$인 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이고

$O\in \mathcal{T}$와 $x\in O$가 성립하므로 $O\in \mathcal{B}_x$임에 따라 $\mathcal{B}_x$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

역으로 조건을 만족하는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저 $\mathcal{B}_x$가 존재하면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

국소기저의 정의로 $O\subseteq V$인 $O\in \mathcal{B}_x$가 존재하여 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고

$(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이므로 $(X,\mathcal{T})$는 $x$에서 국소 경로연결되어 있다.

2.

$(X,\mathcal{T})$가 국소 경로연결공간이면 $(X,\mathcal{T})$가 모든 $x\in X$에서 국소 경로연결되어 있으므로

1번으로 $\mathcal{B}_x = \{ O\in \mathcal{T}: x\in O \text{이고 } O\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 경로연결집합} \}$가 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저임에 따라

위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_x$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고

모든 $B\in \displaystyle \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_x$는 $B\in \mathcal{B}_x$인 $x\in X$가 존재하여 $B$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합이다.

역으로 조건은 만족하는 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재하면 임의의 $x\in X$와 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 

기저의 정의로 $V = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$인 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하여 $x\in V$이므로 $x\in B$인 $B\in \mathcal{S}$가 존재하고

$x\in B\subseteq V$와 $B\in \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$가 성립하여 $B$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합임에 따라

$(X,\mathcal{T})$는 모든 $x\in X$에서 국소 경로연결되어 있고 $(X,\mathcal{T})$는 국소 경로연결공간이다.

3.

$(X,\mathcal{T})$가 국소 경로연결공간이면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$의 모든 $x\in O$에 대해 $(O,\mathcal{T}|_O)$에서 경로연결성분 $[x]_{\mathcal{R}_O}$는 $[x]_{\mathcal{R}_O}\subseteq O$이므로

모든 $y\in [x]_{\mathcal{R}_O} \subseteq O$에 대해 $O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방이고 $(X,\mathcal{T})$가 $y$에서 국소 경로연결되어 있음에 따라

$U\subseteq O$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $U$가 존재하여 $U$는 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

위 정리로 $U$는 $(O,\mathcal{T}|_O)$에서 경로연결집합이고 동치류 정리로 $[x]_{\mathcal{R}_O} = [y]_{\mathcal{R}_O}$이므로

$y\in U$임에 따라 위 정리로 $U \subseteq [y]_{\mathcal{R}_O} = [x]_{\mathcal{R}_O}$가 되어 위상공간 정리로 $[x]_{\mathcal{R}_O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

역으로 조건이 성립하면 임의의 $x\in X$와 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 

$x\in V$이고 $V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 $(V,\mathcal{T}|_V)$에서 경로연결성분 $[x]_{\mathcal{R}_V}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어

$x\in [x]_{\mathcal{R}_V}$임에 따라 $[x]_{\mathcal{R}_V}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 위 정리로 $[x]_{\mathcal{R}_V}$는 $(V,\mathcal{T}|_V)$에서 경로연결집합이므로

$[x]_{\mathcal{R}_V}\subseteq V\subseteq X$임에 따라 위 정리로 $[x]_{\mathcal{R}_V}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이 되어 

$(X,\mathcal{T})$는 모든 $x\in X$에서 국소 경로연결되어 있고 $(X,\mathcal{T})$는 국소 경로연결공간이다.

4.

$X = \emptyset$이면 공허하게 $(X,\mathcal{T})$는 경로연결공간이다.

$X\ne \emptyset$일때 $(X,\mathcal{T})$가 연결공간이고 국소 경로연결공간이면

어떤 $x\in X$가 존재하여 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결성분 $[x]_\mathcal{R}$이 $X \ne [x]_\mathcal{R}$라고 가정할때

$ [x]_\mathcal{R}\subseteq X$이므로 $X\setminus [x]_\mathcal{R}\ne \emptyset$이고

모든 $y\in X\setminus [x]_\mathcal{R}$에 대해 동치류 정리와 분할의 정의로 $[x]_\mathcal{R}\cap [y]_\mathcal{R} = \emptyset$임에 따라

집합 정리로 $\displaystyle [x]_\mathcal{R}\cap \left ( \bigcup_{y\in X\setminus [x]_\mathcal{R}}[y]_\mathcal{R}\right ) = \bigcup_{y\in X\setminus [x]_\mathcal{R}}([x]_\mathcal{R}\cap [y]_\mathcal{R}) = \bigcup_{y\in X\setminus [x]_\mathcal{R}}\emptyset  = \emptyset$이다.

$x, y\in X$이고 $X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 $(X,\mathcal{T})$가 국소 경로연결공간임에 따라

3번으로 $[x]_\mathcal{R}, [y]_{\mathcal{R}}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어 위상공간 정리로 $\displaystyle  \bigcup_{y\in X\setminus [x]_\mathcal{R}}[y]_\mathcal{R}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

모든 $z\in X$는 $z \in [x]_\mathcal{R}$이거나 $z\notin [x]_\mathcal{R}$가 되어 $z\notin [x]_\mathcal{R}$이면 $z \in X\setminus [x]_\mathcal{R}$이고 $\displaystyle z\in [z]_\mathcal{R}\subseteq \bigcup_{y\in X\setminus [x]_\mathcal{R}}[y]_\mathcal{R}$이므로

$X\subseteq \displaystyle [x]_\mathcal{R}\cup \left ( \bigcup_{y\in X\setminus [x]_\mathcal{R}}[y]_\mathcal{R}\right )$임에 따라 집합 정리로 $\displaystyle [x]_\mathcal{R}\cup \left ( \bigcup_{y\in X\setminus [x]_\mathcal{R}}[y]_\mathcal{R}\right ) = X$인데

$(X,\mathcal{T})$는 비연결공간이 되어 $(X,\mathcal{T})$가 연결공간임에 모순이다.

따라서 모든 $x\in X$에 대해 $X = [x]_\mathcal{R}$이고

$X\ne \emptyset$이므로 $x\in X$가 존재하여 $X = [x]_\mathcal{R}$임에 따라 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 경로연결공간이다.

 

 

 

정리18

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상일때

$(X,\mathcal{T}_X)$가 국소 경로연결공간이면 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 국소 경로연결공간이다.

증명

위상동형사상의 정의로 $f$는 전단사인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고

$f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이다.

모든 $y\in Y =f(X)$는 $f(x) = y$인 $x\in X$가 존재하여

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y$의 열린근방 $V$에 대해 $f(x)=y\in V$이므로 $x \in f^{-1}(V)$이고

위상동형사상 정리로 $f^{-1}(V)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합임에 따라 $f^{-1}(V)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방이다.

$(X,\mathcal{T}_X)$는 $x$에서 국소 경로연결되어 있으므로

$U \subseteq f^{-1}(V)$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재하여 $U$는 $(X,\mathcal{T})$에서 경로연결집합이다.

$x\in U \subseteq f^{-1}(V)$이므로 전사함수 정리로 $y= f(x) \in f(U) \subseteq f(f^{-1}(V)) = V$가 되어

위상동형사상 정리로 $f(U)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y$의 열린근방이고 위 정리로 $f(U)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 경로연결집합임에 따라

$(Y,\mathcal{T}_Y)$는 모든 $y\in Y$에서 국소 경로연결되어 있고 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 국소 경로연결공간이다.

 

 

 

-------------------------------------------------------------------------------

정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/112#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/112#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402