수학/위상수학 2025. 6. 21. 01:52

정의1

유한 곱공간 :

임의의 $n\in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해 위상공간이 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$일때

$n$-데카르트곱 $X = \displaystyle \prod_{i=1}^nX_i = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$와

집합 $\mathcal{B} = \{ O_1\times O_2\times \cdots \times O_n:(O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n \}$에 대해

$\mathcal{T} = \{$$\bigcup$$\,\mathcal{S}:\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}$인 순서쌍 $(X,\mathcal{T})$를 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n$-곱공간으로 정의한다.

유한 곱공간의 거듭제곱 :

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 위상공간이 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$일때

임의의 위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 모든 $i=1,2,\cdots,n$가 $(X,\mathcal{T})=(X_i,\mathcal{T}_i)$이면

$(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n$-곱공간 $(\displaystyle \prod_{i=1}^n X_i, \mathcal{P})$와 $X$의 $n$-데카르트곱 $X^n$에 대해

$(\displaystyle \prod_{i=1}^n X_i, \mathcal{P}) = (X^n,\mathcal{P})$를 $(X,\mathcal{T})$의 $n$-곱공간으로 정의한다.

좌표 사영함수(coordinate projection map) :

임의의 집합 $X_1,X_2,\cdots, X_n$의 $n$-데카르트곱이 $X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$일때

임의의 $i=1,2,\cdots,n$와 모든 $(x_1,x_2,\cdots, x_n) \in X$에 대해

$p_i(x_1,x_2,\cdots,x_n) = x_i$인 함수 $p_i:X\to X_i$를 $X$의 $i$-좌표 사영함수로 정의한다.

정리1

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 집합 $A_1,A_2,\cdots, A_n, B_1,B_2,\cdots, B_n$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(A_1\times B_1) \cup (A_2\times B_2)\cup \cdots \cup (A_n\times B_n) \subseteq (A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n) \times (B_1\cup B_2\cup \cdots \cup B_n)$

2. $(A_1\times B_1) \cap (A_2\times B_2)\cap \cdots \cap (A_n\times B_n) = (A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n) \times (B_1\cap B_2\cap \cdots \cap B_n)$

3. $(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n)\cup (B_1\times B_2\times \cdots \times B_n) \subseteq (A_1\cup B_1)\times (A_2\cup B_2) \times \cdots \times (A_n\cup B_n)$

4. $(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n)\cap (B_1\times B_2\times \cdots \times B_n) = (A_1\cap B_1)\times (A_2\cap B_2) \times \cdots \times (A_n\cap B_n)$

5. $(A_1\setminus B_1)\times (A_2\setminus B_2) \times \cdots \times (A_n\setminus B_n) \subseteq (A_1\times A_2\times\cdots \times A_n)\setminus (B_1\times B_2\times \cdots \times B_n)$

6. $(A_1\times A_2\times\cdots \times A_n)\setminus (B_1\times B_2\times \cdots \times B_n) = \displaystyle \bigcup_{i=1}^n(A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i) \times A_{i+1}\times \cdots \times A_n)$

증명

1, 2

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$이면 자명하게 성립한다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립할때 집합 정리로

$\begin{align*} ((A_1\times B_1) \cup \cdots \cup (A_k\times B_k)) \cup (A_{k+1}\times B_{k+1}) & \subseteq ((A_1\cup \cdots \cup A_k) \times (B_1\cup \cdots \cup B_k) ) \cup (A_{k+1}\times B_{k+1}) \\[0.5em] & \subseteq (A_1\cup \cdots \cup A_k\cup A_{k+1}) \times (B_1\cup \cdots \cup B_k\cup B_{k+1}) \text{ 이고}\end{align*}$

$\begin{align*} ((A_1\times B_1) \cap \cdots \cap (A_k\times B_k)) \cap (A_{k+1}\times B_{k+1}) & =((A_1\cap \cdots \cap A_k) \times (B_1\cap \cdots \cap B_k) ) \cap (A_{k+1}\times B_{k+1}) \\[0.5em] & =(A_1\cap \cdots \cap A_k\cap A_{k+1}) \times (B_1\cap \cdots \cap B_k\cap B_{k+1}) \text{ 이다.}\end{align*}$

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

$n = 1$이면 $1$-데카르트곱의 정의로 자명하게 성립한다.

$n\ge 2$이면 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 2$이면 모든 $(x_1,x_2) \in (A_1\times A_2) \cup (B_1\times B_2)$는

$(x_1,x_2)\in A_1\times A_2$ 또는 $(x_1,x_2)\in B_1\times B_2$이므로 $x_1\in A_1\cup B_1$과 $x_2 \in A_2\cup B_2$가 성립함에 따라

$(x_1,x_2)\in (A_1\cup B_1)\times (A_2\cup B_2)$가 되어 $(A_1\times A_2)\cup (B_1\times B_2)\subseteq (A_1\cup B_1)\times (A_2\cup B_2)$이다.

$k\ge 2$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립한다고 가정하면 $k+1$-데카르트곱의 정의로

$\begin{align*} (A_1\times \cdots \times A_k \times A_{k+1})\cup (B_1\times \cdots \times B_k\times B_{k+1}) & = ((A_1\times \cdots \times A_k) \times A_{k+1})\cup ((B_1\times \cdots \times B_k)\times B_{k+1}) \\[0.5em] & \subseteq ((A_1\times \cdots \times A_k) \cup (B_1\times \cdots \times B_k) )\times (A_{k+1} \cup B_{k+1}) \\[0.5em] & \subseteq ((A_1\cup B_1)\times \cdots \times (A_k\cup B_k) ) \times (A_{k+1} \cup B_{k+1}) \\[0.5em] & \qquad = (A_1\cup B_1)\times \cdots \times (A_k\cup B_k) \times (A_{k+1} \cup B_{k+1}) \text{ 이다.}\end{align*}$

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

$n = 1$이면 $1$-데카르트곱의 정의로 자명하게 성립한다.

$n\ge 2$이면 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 2$이면 모든 $(x_1,x_2) \in (A_1\times A_2) \cap (B_1\times B_2)$는

$(x_1,x_2)\in A_1\times A_2$이고 $(x_1,x_2)\in B_1\times B_2$이므로 $x_1\in A_1\cap B_1$과 $x_2 \in A_2\cap B_2$가 성립함에 따라

$(x_1,x_2)\in (A_1\cap B_1)\times (A_2\cap B_2)$가 되어 $(A_1\times A_2)\cap (B_1\times B_2)\subseteq (A_1\cap B_1)\times (A_2\cap B_2)$이고

모든 $(x_1,x_2)\in (A_1\cap B_1)\times (A_2\cap B_2)$는

$x_1\in A_1\cap B_1$이고 $x_2\in A_2\cap B_2$이므로 $(x_1,x_2)\in A_1\times A_2$와 $(x_1,x_2)\in B_1\times B_2$가 성립함에 따라

$(x_1,x_2) \in (A_1\times A_2) \cap (B_1\times B_2)$가 되어 $(A_1\cap B_1)\times (A_2\cap B_2)\subseteq (A_1\times A_2)\cap (B_1\times B_2)$이고

집합 정리로 $(A_1\times A_2)\cap (B_1\times B_2) =(A_1\cap B_1)\times (A_2\cap B_2)$이다.

$k\ge 2$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립한다고 가정하면 $k+1$-데카르트곱의 정의로

$\begin{align*} (A_1\times \cdots \times A_k \times A_{k+1})\cap (B_1\times \cdots \times B_k\times B_{k+1}) & = ((A_1\times \cdots \times A_k) \times A_{k+1})\cap ((B_1\times \cdots \times B_k)\times B_{k+1}) \\[0.5em] & =((A_1\times \cdots \times A_k) \cap (B_1\times \cdots \times B_k) )\times (A_{k+1} \cap B_{k+1}) \\[0.5em] & = ((A_1\cap B_1)\times \cdots \times (A_k\cap B_k) ) \times (A_{k+1} \cap B_{k+1}) \\[0.5em] & = (A_1\cap B_1)\times \cdots \times (A_k\cap B_k) \times (A_{k+1} \cap B_{k+1}) \text{ 이다.}\end{align*}$

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

$n = 1$이면 $1$-데카르트곱의 정의로 자명하게 성립한다.

$n\ge 2$이면 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 2$이면 모든 $(x_1,x_2)\in (A_1\setminus B_1)\times (A_2\setminus B_2)$는 $x_1\in A_1\setminus B_1$이고 $x_2\in A_2\setminus B_2$이므로

$(x_1,x_2)\in A_1\times A_2$이고 $x_1\notin B_1$과 $x_2\notin B_2$가 성립하여 $(x_1,x_2)\notin B_1\times B_2$가 성립함에 따라

$(x_1,x_2) \in (A_1\times A_2) \setminus (B_1\times B_2)$이고 $(A_1\setminus B_1)\times (A_2\setminus B_2)\subseteq (A_1\times A_2)\setminus (B_1\times B_2)$이다.

$k\ge 2$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립한다고 가정하면 $k+1$-데카르트곱의 정의로

$\begin{align*} (A_1\setminus B_1)\times \cdots \times (A_k\setminus B_k) \times (A_{k+1} \setminus B_{k+1}) & = ((A_1\setminus B_1)\times \cdots \times (A_k\setminus B_k) ) \times (A_{k+1} \setminus B_{k+1}) \\[0.5em] & \subseteq ((A_1\times \cdots \times A_k) \setminus (B_1\times \cdots \times B_k) )\times (A_{k+1} \setminus B_{k+1}) \\[0.5em] & \subseteq ((A_1\times \cdots \times A_k) \times A_{k+1})\setminus ((B_1\times \cdots \times B_k)\times B_{k+1}) \\[0.5em] & \qquad = (A_1\times \cdots \times A_k \times A_{k+1})\setminus (B_1\times \cdots \times B_k\times B_{k+1}) \text{ 이다.}\end{align*}$

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

$n = 1$이면 $1$-데카르트곱의 정의로 자명하게 성립한다.

$n\ge 2$이면 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 2$이면 모든 $(x_1,x_2)\in (A_1\times A_2)\setminus (B_1\times B_2)$는

$(x_1,x_2)\in A_1\times A_2$이고 $(x_1,x_2)\notin B_1\times B_2$이므로 $x_1\notin B_1$ 또는 $x_2\notin B_2$가 되어

$x_1\notin B_1$이면 $x_1\in A_1\setminus B_1$임에 따라 $(x_1,x_2) \in (A_1\setminus B_1) \times A_2$이고

$x_2\notin B_2$이면 $x_2\in A_2\setminus B_2$임에 따라 $(x_1,x_2) \in A_1\times (A_2\setminus B_2)$이므로

$(x_1,x_2) \in ((A_1\setminus B_1) \times A_2)\cup (A_1\times (A_2\setminus B_2))$가 되어

$(A_1\times A_2)\setminus (B_1\times B_2)\subseteq ((A_1\setminus B_1) \times A_2)\cup (A_1\times (A_2\setminus B_2))$이다.

모든 $(x_1,x_2) \in ((A_1\setminus B_1) \times A_2)\cup (A_1\times (A_2\setminus B_2))$는

$(x_1,x_2) \in (A_1\setminus B_1) \times A_2$ 또는 $(x_1,x_2) \in A_1\times (A_2\setminus B_2)$이므로

$(x_1,x_2) \in (A_1\setminus B_1) \times A_2$이면

$(x_1,x_2)\in A_1\times A_2$이고 $x_1\notin B_1$이 되어 $(x_1,x_2)\notin B_1\times B_2$이므로 $(x_1,x_2)\in (A_1\times A_2)\setminus (B_1\times B_2)$이고

$(x_1,x_2) \in A_1\times (A_2\setminus B_2)$이면

$(x_1,x_2)\in A_1\times A_2$이고 $x_2\notin B_2$이 되어 $(x_1,x_2)\notin B_1\times B_2$이므로 $(x_1,x_2)\in (A_1\times A_2)\setminus (B_1\times B_2)$임에 따라

$((A_1\setminus B_1) \times A_2)\cup (A_1\times (A_2\setminus B_2)) \subseteq (A_1\times A_2)\setminus (B_1\times B_2)$이고

집합 정리로 $(A_1\times A_2)\setminus (B_1\times B_2)=((A_1\setminus B_1) \times A_2)\cup (A_1\times (A_2\setminus B_2))$이다.

$k\ge 2$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립한다고 가정하면 $k+1$-데카르트곱의 정의로

임의의 $(x_1,\cdots,x_k,x_{k+1})\in \displaystyle \left (\bigcup_{i=1}^k (A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i) \times A_{i+1} \times \cdots \times A_k) \right)\times A_{k+1}$은

$(x_1,\cdots,x_k)\in \displaystyle \bigcup_{i=1}^k (A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i) \times A_{i+1} \times \cdots \times A_k)$이고 $x_{k+1}\in A_{k+1}$이므로

$(x_1,\cdots,x_k)\in A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i) \times A_{i+1} \times \cdots \times A_k$인 $i =1,\cdots ,k$가 존재하여

$(x_1,\cdots,x_k,x_{k+1})\in A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i) \times A_{i+1} \times \cdots \times A_k\times A_{k+1}$임에 따라

$(x_1,\cdots,x_k,x_{k+1})\in \displaystyle \bigcup_{i=1}^k (A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i) \times A_{i+1} \times \cdots \times A_k\times A_{k+1})$이고

$\displaystyle \left (\bigcup_{i=1}^k (A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i) \times A_{i+1} \times \cdots \times A_k) \right)\times A_{k+1} \subseteq \bigcup_{i=1}^k (A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i)\times A_{i+1}\times \cdots \times A_k\times A_{k+1})\text{ 이다.}$

임의의 $\displaystyle (x_1,\cdots,x_k,x_{k+1})\in \bigcup_{i=1}^k (A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i)\times A_{i+1}\times \cdots \times A_k\times A_{k+1})$은

$(x_1,\cdots,x_k,x_{k+1})\in A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i)\times A_{i+1}\times \cdots \times A_k\times A_{k+1}$인 $i =1,\cdots,k$가 존재하여

$(x_1,\cdots,x_k)\in A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i)\times A_{i+1}\times \cdots \times A_k$이고 $x_{k+1}\in A_{k+1}$이므로

$(x_1,\cdots,x_k)\in \displaystyle \bigcup_{i=1}^k (A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i) \times A_{i+1} \times \cdots \times A_k)$임에 따라

$(x_1,\cdots,x_k,x_{k+1})\in \displaystyle \left (\bigcup_{i=1}^k (A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i) \times A_{i+1} \times \cdots \times A_k) \right)\times A_{k+1}$이 되어

$\displaystyle \bigcup_{i=1}^k (A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i)\times A_{i+1}\times \cdots\times A_k\times A_{k+1}) \subseteq \left (\bigcup_{i=1}^k (A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i) \times A_{i+1} \times \cdots \times A_k) \right)\times A_{k+1} \text{ 이고}$

집합 정리로

$\displaystyle \left (\bigcup_{i=1}^k (A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i) \times A_{i+1} \times \cdots \times A_k) \right)\times A_{k+1} =\bigcup_{i=1}^k (A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i)\times A_{i+1}\times \cdots \times A_k\times A_{k+1})\text{ 이므로}$

귀납가정으로

$\begin{align*} & (A_1\times A_2\times\cdots \times A_k \times A_{k+1})\setminus (B_1\times B_2\times \cdots \times B_k \times B_{k+1}) \\[0.5em] & = ( (A_1\times A_2\times\cdots \times A_k) \times A_{k+1})\setminus ((B_1\times B_2\times \cdots \times B_k) \times B_{k+1}) \\[0.5em] & = (((A_1\times A_2\times\cdots \times A_k)\setminus (B_1\times B_2\times \cdots \times B_k)) \times A_{k+1})\cup ((A_1\times A_2\times\cdots \times A_k)\times (A_{k+1}\setminus B_{k+1})) \\[0.5em] & = \left( \left ( \bigcup_{i=1}^k(A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i) \times A_{i+1}\times \cdots \times A_k) \right ) \times A_{k+1}\right )\cup (A_1\times A_2\times\cdots \times A_k\times (A_{k+1}\setminus B_{k+1})) \\[0.5em] & = \left( \bigcup_{i=1}^k(A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i) \times A_{i+1}\times \cdots \times A_k \times A_{k+1})\right )\cup (A_1\times A_2\times\cdots \times A_k\times (A_{k+1}\setminus B_{k+1})) \\[0.5em] & = \bigcup_{i=1}^{k+1}(A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times (A_i\setminus B_i) \times A_{i+1}\times \cdots \times A_{k+1}) \text{ 이다.}\end{align*}$

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

정리2

위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n\in\mathbb{Z}^+$-곱공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

2. $\mathcal{B} = \{ O_1\times O_2\times \cdots \times O_n:(O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

3. $n=1$이면 $(X_1,\mathcal{T}_1) = (X,\mathcal{T})$이다.

증명

1, 2

$X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$이고 $\mathcal{T} = \{ \bigcup\mathcal{S}:\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}$이므로

모든 $(O_1,O_2,\cdots, O_n) \in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n$에 대해

$n$-데카르트곱의 정의와 위상공간의 정의로 $O_1\times O_2 \times \cdots \times O_n \subseteq X_1\times X_2 \times \cdots \times X_n = X$가 되어

$X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해

$O_1\times O_2 \times \cdots \times O_n \in \mathcal{P}(X)$임에 따라 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$이고 집합 정리로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$이다.

위상공간의 정의로 $(X_1,X_2,\cdots,X_n) \in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n$임에 따라 $X = X_1\times X_2 \times \cdots \times X_n \in \mathcal{B}$이고

임의의 $A,B\in \mathcal{B}$는 $A = U_1\times U_2\times \cdots \times U_n$이고 $B = V_1\times V_2\times \cdots \times V_n$인

$(U_1,U_2,\cdots, U_n),(V_1,V_2,\cdots,V_n) \in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n$이 존재하여

위상공간의 정의로 $(U_1\cap V_1,U_2\cap V_2,\cdots, U_n\cap V_n) \in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n$임에 따라 위 정리로

$A\cap B = (U_1\times U_2\times \cdots \times U_n)\cap (V_1\times V_2\times \cdots \times V_n) = (U_1\cap V_1)\times (U_2\cap V_2) \times \cdots \times (U_n\cap V_n)\in \mathcal{B} \text{ 이므로}$

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이고 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

$1$-데카르트곱의 정의로 $X_1 = X$이고 2번과 기저의 정의로 $\mathcal{T}_1 = \{ O_1 : O_1\in \mathcal{T}_1 \} = \mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$이다.

임의의 $O\in \mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B} \}$는

$O = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$인 $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}$가 존재하여 $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B} = \mathcal{T}_1$이므로 위상공간의 정의로 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}\in \mathcal{T}_1$임에 따라

$\mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}_1$이고 집합 정리로 $\mathcal{T}_1 =\mathcal{T}$가 되어 순서쌍의 상등으로 $(X_1,\mathcal{T}_1) = (X,\mathcal{T})$이다.

정의2

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 임의의 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{T}$에 대해

집합 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n : (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{S}^n \}$이 $(X,\mathcal{T})$의 기저이면

$\mathcal{S}$를 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저(subbasis)로 정의한다.

정리3

임의의 집합 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 임의의 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{P}(X)$에 대해

$\displaystyle \mathcal{B} = \bigcup_{n=1}^\infty \{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n : (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{S}^n \}$이면 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$

2. $\displaystyle \bigcup \mathcal{O} = X$인 $\mathcal{O} \subseteq \mathcal{B}$가 존재하면 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{O} :\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\}$인 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이고 $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이다.

증명

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $O_1,O_2,\cdots, O_n\in \mathcal{S} \subseteq \mathcal{P}(X)$에 대해

멱집합의 정의로 $O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n \subseteq O_1 \subseteq X$이므로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$이고 $1$-데카르트곱의 정의로 $\mathcal{S}^1 = \mathcal{S}$이므로

$\mathcal{S} = \{ O_1: O_1\in \mathcal{S}\} \subseteq \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n : (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{S}^n \} =\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$이다.

집합 정리로 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B} \subseteq \mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$이고

모든 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}$에 대해 $x\in O$인 $O\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$가 존재하여 $x\in O\subseteq X$임에 따라

$\displaystyle X = \bigcup\mathcal{O} \subseteq \bigcup \mathcal{B} \subseteq X$이므로 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{B} = X$이다.

임의의 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$는 어떤 $n,m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B_1 = U_1\cap \cdots \cap U_n$이고 $B_2 = V_1\cap \cdots \cap V_m$인

$U_1,\cdots, U_n,V_1,\cdots,V_m\in \mathcal{S}$이 존재하여 $B_1\cap B_2 = U_1\cap \cdots \cap U_n \cap V_1\cap \cdots \cap V_m \in \mathcal{B}$이므로

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이고 $\mathcal{B}$가 $(X,\mathcal{T})$의 기저임에 따라 $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이다.

정리4

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$에 대해 $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{C}$인 모든 $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{T}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

2. 모든 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이다.

3. 모든 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저 $\mathcal{R}$에 대해 $\mathcal{R} \subseteq \mathcal{S}$인 모든 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{T}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이다.

4. 모든 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저 $\mathcal{S}$에 대해 $\displaystyle \bigcup \mathcal{S} = X$이다.

5. $(X,\mathcal{T})$의 부분기저 $\mathcal{S}$와 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에 대해 $\mathcal{S}|_Y = \{ S\cap Y : S\in \mathcal{S}\}$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$의 부분기저이다.

증명

기저의 정의로 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{O} :\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\}$이고 모든 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{C}$는 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{C} \subseteq \mathcal{T}$임에 따라

위상공간의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{O}\in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{O} :\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\} \subseteq \{ \bigcup\mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{C}\} \subseteq \mathcal{T}$가 되어

집합 정리로 $\mathcal{T} = \{ \bigcup\mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{C}\}$이고 $\mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $O_1,O_2,\cdots, O_n\in \mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$에 대해 위상공간 정리로 $O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n\in \mathcal{T}$이고

$1$-데카르트곱의 정의로 $\mathcal{B}^1 = \mathcal{B}$이므로

$\mathcal{B} = \{ O_1: O_1\in \mathcal{B}\} \subseteq \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n : (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{B}^n \} \subseteq \mathcal{T}$임에 따라

1번으로 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n : (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{B}^n \}$은 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이다.

부분기저의 정의로 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n : (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{R}^n \}$은 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고

$\mathcal{R}\subseteq \mathcal{S}$임에 따라 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n$-데카르트곱의 정의로 $\mathcal{R}^n\subseteq \mathcal{S}^n$이 되어

$\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n : (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{R}^n \} \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty \{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n: (O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{S}^n\} \text{ 이므로}$

1번으로 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n : (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{S}^n \}$은 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이다.

$\mathcal{B} =\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n : (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{S}^n \}$일때 $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이므로

$\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B} \}$이고 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{T}$임에 따라 위상공간의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{S}\in \mathcal{T}$가 되어 $\displaystyle \bigcup \mathcal{S}\subseteq X$이다.

위상공간의 정의로 $X\in \mathcal{T}$이므로

$X = \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$인 $\mathcal{O} \subseteq \mathcal{B}$가 존재하여 모든 $x\in X$는 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O} \subseteq \mathcal{B}$가 존재하고

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $O = O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n$인 $O_1,O_2,\cdots, O_n\in \mathcal{S}$이 존재함에 따라

$x\in O\subseteq O_1 \in \mathcal{S}$이고 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$이므로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$가 되어 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{S} = X$이다.

부분기저의 정의로 $\mathcal{B} =\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n : (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{S}^n \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이므로

위상공간 정리로 $\mathcal{B}|_Y = \{ B\cap Y:B\in \mathcal{B}\}$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$의 기저이고

$\mathcal{C} =\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ V_1\cap V_2\cap \cdots \cap V_n : (V_1,V_2,\cdots,V_n)\in \mathcal{S}|_Y^n \}$일때

임의의 $B\in \mathcal{B}$는 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B = O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n$인 $O_1,O_2,\cdots,O_n\in \mathcal{S}$이 존재하여

모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $O_i\cap Y\in \mathcal{S}|_Y$이고

$B\cap Y = (O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n)\cap Y = (O_1\cap Y)\cap (O_2\cap Y)\cap \cdots \cap (O_n\cap Y)\in \mathcal{C}$이므로 $\mathcal{B}|_Y \subseteq \mathcal{C}$이다.

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $V_1,V_2,\cdots,V_n\in \mathcal{S}|_Y$은

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $V_i = O_i\cap Y$인 $O_i\in \mathcal{S}$가 존재하여 $O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n\in \mathcal{B}$이므로

$V_1\cap V_2\cap\cdots \cap V_n = (O_1\cap Y)\cap (O_2\cap Y) \cap \cdots \cap (O_n\cap Y) = (O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n)\cap Y\in \mathcal{B}|_Y$임에 따라

$\mathcal{C}\subseteq \mathcal{B}|_Y$이고 집합 정리로 $\mathcal{B}|_Y = \mathcal{C}$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$의 기저가 되어 $\mathcal{S}|_Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$의 부분기저이다.

정리5

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$와 함수 $f:X\to Y$와 임의의 $c\in X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이기 위한 필요충분조건은

$f(c)\in S$인 모든 $S\in \mathcal{S}$에 대해 $f^{-1}(S)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 근방인 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분기저 $\mathcal{S}$가 존재하는 것이다.

2. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이기 위한 필요충분조건은

모든 $S\in \mathcal{S}$에 대해 $f^{-1}(S)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합인 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분기저 $\mathcal{S}$가 존재하는 것이다.

증명

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이면

위상공간 정리로 $\mathcal{T}_Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 기저이므로 위 정리로 $\mathcal{T}_Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분기저이고

$f(c)\in V$인 모든 $V\in \mathcal{T}_Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 근방임에 따라 연속 정리로 $f^{-1}(V)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 근방이다.

역으로 조건을 만족하는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분기저 $\mathcal{S}$가 존재하면

$\displaystyle \mathcal{B} = \bigcup_{n=1}^\infty \{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n : (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{S}^n \}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 기저이므로

국소기저 정리로 $\mathcal{B}_{f(c)} = \{ B\in \mathcal{B} : f(c)\in B\}$는 $f(c)$에 대한 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 국소기저가 되어

모든 $B\in \mathcal{B}_{f(c)}\subseteq \mathcal{B}$는 $B = S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n$인 $n\in \mathbb{Z}^+$과 $S_1,S_2,\cdots S_n\in \mathcal{S}$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $f(c)\in B = S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n\subseteq S_i$이므로 함수 정리와 근방 정리로

$f^{-1}(B) = f^{-1}(S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n) = f^{-1}(S_1)\cap f^{-1}(S_2)\cap \cdots \cap f^{-1}(S_n)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 근방임에 따라

연속 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이다.

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이면

연속함수 정리로 모든 $B\in \mathcal{B}$에 대해 $f^{-1}(B)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합인 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재하여

위 정리로 $\mathcal{B}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분기저이다.

역으로 조건을 만족하는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분기저 $\mathcal{S}$가 존재하면

$\displaystyle \mathcal{B} = \bigcup_{n=1}^\infty \{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n : (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{S}^n \}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 기저이고

모든 $B\in \mathcal{B}$에 대해 $B = S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n = \displaystyle \bigcap_{i=1}^nS_i$인 $n\in \mathbb{Z}^+$과 $S_1,S_2,\cdots, S_n\in \mathcal{S}$이 존재하여

기저의 정의로 $B = \displaystyle \bigcap_{i=1}^nS_i$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이고

함수 정리와 위상공간 정리로 $\displaystyle f^{-1}(B)= f^{-1}(\bigcap_{i=1}^n S_i) = \bigcap_{i=1}^n f^{-1}(S_i)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합임에 따라

연속함수 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

정리6

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 집합이 $X_1,X_2,\cdots, X_n$일때 임의의 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해

$i$-좌표 사영함수가 $p_i : X_1 \times X_2\times \cdots \times X_n \to X_i$이고 임의의 부분집합이 $A_i\subseteq X_i$이면 다음이 성립한다.

1. $ A_1 \times A_2\times \cdots \times A_n\ne \emptyset$이면 $p_i(A_1\times A_2 \times \cdots \times A_n)$ $= A_i$이다.

2. $ X_1 \times X_2\times \cdots \times X_n\ne \emptyset$이면 $p_i$는 전사이다.

3. $p_i^{-1}(A_i)$ $= X_1\times \cdots \times X_{i-1} \times A_i \times X_{i+1} \times \cdots \times X_n$

4. $p_1^{-1}(A_1)\cap p_2^{-1}(A_2)\cap \cdots \cap p_n^{-1}(A_n) = A_1\times A_2 \times \cdots \times A_n$

증명

임의의 $y_i \in p_i(A_1\times A_2 \times \cdots \times A_n)$는

$y_i = p_i(x_1, x_2,\cdots,x_n)$인 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in A_1\times A_2 \times \cdots \times A_n$이 존재하여

$y_i = p_i(x_1, x_2,\cdots,x_n) = x_i\in A_i$이므로 $p_i(A_1\times A_2 \times \cdots \times A_n) \subseteq A_i$이다.

$ A_1 \times A_2\times \cdots \times A_n\ne \emptyset$이므로 $n$-데카르트곱 정리로 모든 $k = 1,2,\cdots,n$에 대해 $A_k\ne \emptyset$가 되어

$i\ne j$인 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $x_j \in A_j$가 존재하고 모든 $a_i\in A_i$에 대해

$a_i =p_i(x_1,\cdots ,x_{i-1},a_i,x_{i+1},\cdots, x_n) \in p_i(A_1\times \cdots \times A_{i-1}\times A_i\times A_{i+1}\times \cdots \times A_n)$임에 따라

$A_i\subseteq p_i(A_1\times A_2 \times \cdots \times A_n)$가 되어 집합 정리로 $p_i(A_1\times A_2 \times \cdots \times A_n) =A_i$이다.

$ X_1 \times X_2\times \cdots \times X_n\ne \emptyset$이므로 1번으로 $p_i(X_1\times X_2\times \cdots \times X_n) =X_i$가 되어 전사함수 정리로 $p_i$는 전사이다.

임의의 $(x_1,\cdots,x_{i-1}, a_i,x_{i+1},\cdots ,x_n )\in p_i^{-1}(A_i)\subseteq X_1\times \cdots \times X_{i-1}\times X_i\times X_{i+1}\times \cdots \times X_n$은

$a_i = p_i(x_1,\cdots ,x_{i-1}, a_i,x_{i+1},\cdots, x_n) \in A_i$이므로

$(x_1,\cdots,x_{i-1}, a_i,x_{i+1},\cdots, x_n) \in X_1\times \cdots \times X_{i-1} \times A_i \times X_{i+1}\times \cdots\times X_n$이 되어

$p_i^{-1}(A_i)\subseteq X_1\times \cdots \times X_{i-1} \times A_i \times X_{i+1}\times \cdots\times X_n$이고

모든 $(x_1,\cdots, x_{i-1},a_i, x_{i+1},\cdots, x_n) \in X_1\times \cdots \times X_{i-1} \times A_i \times X_{i+1}\times \cdots \times X_n$은

$p_i(x_1,\cdots, x_{i-1},a_i,x_{i+1},\cdots, x_n) = a_i \in A_i$이므로 $(x_1,\cdots,x_{i-1}, a_i,x_{i+1},\cdots ,x_n )\in p_i^{-1}(A_i)$가 되어

$X_1\times \cdots \times X_{i-1} \times A_i \times X_{i+1} \times \cdots\times X_n \subseteq p_i^{-1}(A_i)$임에 따라

집합 정리로 $p_i^{-1}(A_i)=X_1\times \cdots \times X_{i-1} \times A_i \times X_{i+1} \times \cdots \times X_n$이다.

모든 $(x_1,x_2,\cdots , x_n)\in A_1\times A_2\times \cdots \times A_n$은

$p_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x_i\in A_i$이므로 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in p_i^{-1}(A_i)$임에 따라

$(x_1,x_2,\cdots, x_n)\in p_1^{-1}(A_1) \cap p_2^{-1}(A_2) \cap \cdots \cap p_n^{-1}(A_n)$이 되어

$A_1\times A_2\times \cdots \times A_n\subseteq p_1^{-1}(A_1) \cap p_2^{-1}(A_2) \cap \cdots \cap p_n^{-1}(A_n)$이고

모든 $(x_1,x_2,\cdots,x_n) \in p_1^{-1}(A_1) \cap p_2^{-1}(A_2) \cap \cdots \cap p_n^{-1}(A_n) \subseteq p_i^{-1}(A_i)$은

$x_i=p_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in A_i$가 되어 $(x_1,x_2,\cdots , x_n)\in A_1\times A_2\times \cdots \times A_n$이므로

$p_1^{-1}(A_1) \cap p_2^{-1}(A_2) \cap \cdots \cap p_n^{-1}(A_n) \subseteq A_1\times A_2\times \cdots\times A_n$임에 따라

집합 정리로 $A_1\times A_2\times \cdots \times A_n= p_1^{-1}(A_1) \cap p_2^{-1}(A_2) \cap \cdots \cap p_n^{-1}(A_n)$이다.

정리7

위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n\in\mathbb{Z}^+$-곱공간이 $(X,\mathcal{T})$이고

임의의 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $i$-좌표 사영함수가 $p_i :X\to X_i$일때 다음이 성립한다.

1. $p_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이다.

2. $\displaystyle \bigcup_{k=1}^n \{p_k^{-1}(O_k) :O_k\in \mathcal{T}_k \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이다.

3. 위상공간 $(C,\mathcal{T}_C)$의 임의의 점이 $c\in C$일때

함수 $f:C\to X$가 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $c$에서 연속이기 위한 필요충분조건은

모든 $k = 1,2,\cdots, n $에 대해 합성함수 $p_k\circ f: C\to X_k$가 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X_k,\mathcal{T}_k)$에 대해 $c$에서 연속인 것이다.

증명

임의의 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 열린집합 $O_i$에 대해

위 정리로 $p_i^{-1}(O_i)=X_1\times \cdots \times X_{i-1}\times O_i \times X_{i+1} \times \cdots \times X_n$이고

위상공간의 정의와 열린집합의 정의로

$(X_1,\cdots,X_{i-1}, O_i, X_{i+1},\cdots, X_n)\in \mathcal{T}_1\times \cdots \times \mathcal{T}_{i-1}\times \mathcal{T}_i \times \mathcal{T}_{i+1} \times \cdots \times \mathcal{T}_n$이므로

위 정리와 기저의 정의로 $p_i^{-1}(O_i)=X_1\times \cdots X_{i-1} \times O_i \times X_{i+1}\times \cdots \times X_n\in \mathcal{T}$가 되어

$p_i^{-1}(O_i)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라 연속함수 정리로 $p_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이다.

$\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{k=1}^n \{p_k^{-1}(O_k) :O_k\in \mathcal{T}_k \}$에 대해 $\displaystyle \mathcal{B} = \bigcup_{m=1}^\infty \{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_m : (O_1,O_2,\cdots,O_m)\in \mathcal{S}^m \}$일때

모든 $k=1,2,\cdots,n$와 모든 $O_k\in \mathcal{T}_k$에 대해 1번과 연속함수 정리로 $p_k^{-1}(O_k)\in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{T}$이고

모든 $B\in \mathcal{B}$는 어떤 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B = O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_m$인 $O_1,O_2,\cdots,O_m\in \mathcal{S} \subseteq \mathcal{T}$이 존재하여

위상공간 정리로 $B = O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_m\in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $(O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n $과 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해

$p_k^{-1}(O_k)\in \mathcal{S}$이므로 위 정리로 $O_1\times O_2\times \cdots \times O_n = p_1^{-1}(O_1)\cap p_2^{-1}(O_2)\cap \cdots \cap p_n^{-1}(O_n)\in \mathcal{B}$이 되어

위 정리로 $\mathcal{A} = \{ O_1\times O_2\times \cdots \times O_n:(O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고

$\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$임에 따라 위 정리로 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 $\mathcal{S}=\displaystyle \bigcup_{k=1}^n \{p_k^{-1}(O_k) :O_k\in \mathcal{T}_k \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이다.

$f$가 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $c$에서 연속이면

1번으로 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $p_k$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_k,\mathcal{T}_k)$로의 연속함수임에 따라

연속 정리로 $p_k\circ f$는 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X_k,\mathcal{T}_k)$에 대해 $c$에서 연속이다.

역으로 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $p_k\circ f$가 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X_k,\mathcal{T}_k)$에 대해 $c$에서 연속이면

$f(c)\in p_k^{-1}(O_k)$인 모든 $O_k\in \mathcal{T}_k$는 $(p_k\circ f)(c) = p_k(f(c))\in O_k$이므로 $(X_k,\mathcal{T}_k)$에서 $(p_k\circ f)(c)$의 근방이 되어

함수 정리와 연속 정리로 $f^{-1}(p_k^{-1}(O_k))=(p_k\circ f)^{-1}(O_k)$는 $(C,\mathcal{T}_C)$에서 $c$의 근방이고

2번으로 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^n \{p_k^{-1}(O_k) :O_k\in \mathcal{T}_k \}$가 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저임에 따라

위 정리로 $f$는 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $c$에서 연속이다.

정리8

위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n\in\mathbb{Z}^+$-곱공간이 $(X,\mathcal{T})$이고

임의의 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 임의의 부분집합이 $A_i\subseteq X_i$일때 내부와 폐포에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 열린집합 $O_i$에 대해 $O_1\times O_2\times \cdots \times O_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

2. $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 닫힌집합 $C_i$에 대해 $C_1\times C_2\times \cdots \times C_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

3. 임의의 $x_i\in X_i$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i$의 열린근방이 $O_i$일때

$O_1\times O_2\times \cdots \times O_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in X$의 열린근방이다.

4. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n) = \underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(A_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{int}}(A_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{int}}(A_n)$

5. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n) = \underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(A_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{cl}}(A_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(A_n)$

증명

$\mathcal{B} = \{ O_1\times O_2\times \cdots \times O_n:(O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n \}$일때

위 정리로 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이므로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이고 $\mathcal{T} = \{ \bigcup\mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}$이다.

열린집합의 정의로 $O_i\in \mathcal{T}_i$이므로 $(O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n$임에 따라

$O_1\times O_2\times \cdots \times O_n \in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이 되어 $O_1\times O_2\times \cdots \times O_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

닫힌집합의 정의로 $X_i\setminus C_i\in \mathcal{T}_i$이고

위상공간의 정의로 $(X_1,\cdots ,X_{i-1},X_i\setminus C_i,X_{i+1},\cdots,X_n)\in \mathcal{T}_1\times \cdots \times \mathcal{T}_{i-1}\times \mathcal{T}_i\times \mathcal{T}_{i+1}\times \cdots \times \mathcal{T}_n$이므로

$X_1\times \cdots \times X_{i-1}\times (X_i\setminus C_i) \times X_{i+1}\times \cdots \times X_n\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$가 되어

위 정리와 위상공간 정리로

$\begin{align*} X\setminus (C_1\times C_2\times \cdots \times C_n) & = (X_1\times X_2\times \cdots \times X_n)\setminus (C_1\times C_2\times \cdots \times C_n) \\[0.5em] & = \bigcup_{i=1}^n (X_1 \times \cdots \times X_{i-1}\times (X_i\setminus C_i)\times X_{i+1}\times \cdots \times X_n) \in \mathcal{T} \text{ 임에 따라} \end{align*} $

$C_1\times C_2\times \cdots \times C_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

열린근방의 정의로 $x_i\in O_i$이고 $O_i$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 열린집합이므로

$(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in O_1\times O_2\times \cdots \times O_n$이고 1번으로 $O_1\times O_2\times \cdots \times O_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라

$O_1\times O_2\times \cdots \times O_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in X$의 열린근방이다.

모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n)$은

내부의 정의로 $V\subseteq A_1\times A_2\times \cdots \times A_n$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여

$V\in \mathcal{T}$이므로 $V = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$인 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하고 $x\in V$임에 따라 $x\in O$인 $O\in \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하여

$O = O_1\times O_2 \times \cdots \times O_n$인 $(O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n$이 존재한다.

$(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x\in O = O_1\times O_2 \times \cdots \times O_n \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S} = V \subseteq A_1\times A_2\times \cdots \times A_n$이고

$x_i \in O_i \subseteq A_i$이므로 $O_i$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i$의 열린근방임에 따라

내부의 정의로 $x_i\in \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{int}}(A_i)$이고 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(A_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{int}}(A_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{int}}(A_n)$가 되어

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n) \subseteq \underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(A_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{int}}(A_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{int}}(A_n)$이다.

내부 정리로 $\underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{int}}(A_i) \subseteq A_i$이고 $\underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{int}}(A_i) \in \mathcal{T}_i$이므로

$\underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(A_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{int}}(A_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{int}}(A_n) \subseteq A_1\times A_2\times \cdots\times A_n $이고

내부 정리로 $\underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(A_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{int}}(A_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{int}}(A_n) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A_1\times A_2\times \cdots\times A_n)$이 되어

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n) = \underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(A_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{int}}(A_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{int}}(A_n)$이다.

임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n)$와 모든 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i$의 열린근방 $O_i$에 대해

3번으로 $O_1\times O_2\times \cdots \times O_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방임에 따라 위 정리와 폐포의 정의로

$(O_1\cap A_1)\times (O_2\cap A_2)\times \cdots \times (O_n\cap A_n)=(O_1\times O_2\times \cdots \times O_n)\cap (A_1\times A_2\times \cdots \times A_n)\ne \emptyset$이고

$n$-데카르트곱 정리로 $O_i\cap A_i\ne \emptyset$이므로 폐포의 정의로 $x_i\in \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(A_i)$가 되어

$x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(A_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{cl}}(A_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(A_n)$이고

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n) \subseteq \underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(A_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{cl}}(A_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(A_n)$이다.

폐포 정리로 $A_i \subseteq \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(A_i)$이고 $\underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(A_i)$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 닫힌집합이므로

2번으로 $\underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(A_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{cl}}(A_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(A_n)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

$A_1\times A_2\times \cdots \times A_n\subseteq \underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(A_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{cl}}(A_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(A_n)$임에 따라

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n) \subseteq \underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(A_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{cl}}(A_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(A_n)$이 되어

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n) = \underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(A_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{cl}}(A_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(A_n)$이다.

정리9

임의의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 집합 $X_1,\cdots,X_n,X_{n+1},\cdots,X_{n+m}$의

모든 $((x_1,\cdots,x_n),(x_{n+1},\cdots, x_{n+m})) \in \displaystyle (\prod_{i=1}^nX_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}X_j)$에 대해

$f((x_1,\cdots,x_n),(x_{n+1},\cdots, x_{n+m})) = (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1},\cdots,x_{n+m})$로 정의되는

함수가 $f:\displaystyle (\prod_{i=1}^nX_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}X_j) \to \prod_{k=1}^{n+m}X_k$이고

모든 $k=1,\cdots,n,n+1,\cdots,n+m$에 대해 임의의 부분집합이 $A_k\subseteq X_k$일때 다음이 성립한다.

1. $f$는 전단사이다.

2. $\displaystyle f((\prod_{i=1}^nA_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}A_j)) = \prod_{k=1}^{n+m}A_k$

3. $\displaystyle f^{-1}(\prod_{k=1}^{n+m}A_k)=(\prod_{i=1}^nA_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}A_j) $

증명

모든 $((x_1,\cdots,x_n),(x_{n+1},\cdots, x_{n+m})),((y_1,\cdots,y_n),(y_{n+1},\cdots,y_{n+m})) \in \displaystyle (\prod_{i=1}^nX_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}X_j)$에 대해

$f((x_1,\cdots,x_n),(x_{n+1},\cdots, x_{n+m})) = f((y_1,\cdots,y_n),(y_{n+1},\cdots,y_{n+m}))$이면

$(x_1,\cdots,x_n,x_{n+1},\cdots,x_{n+m}) = (y_1,\cdots,y_n,y_{n+1},\cdots,y_{n+m})$이 되어

$n+m$-순서쌍의 상등으로 모든 $k=1,\cdots,n,n+1,\cdots,n+m$에 대해 $x_k=y_k$이므로

$(x_1,\cdots,x_n) = (y_1,\cdots,y_n)$과 $(x_{n+1},\cdots,x_{n+m}) = (y_{n+1},\cdots,y_{n+m})$이 성립함에 따라

$((x_1,\cdots,x_n),(x_{n+1},\cdots, x_{n+m})) = ((y_1,\cdots,y_n),(y_{n+1},\cdots,y_{n+m}))$이고 $f$는 단사이다.

모든 $(x_1,\cdots,x_n,x_{n+1},\cdots,x_{n+m}) \in \displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}X_k$는

$((x_1,\cdots,x_n),(x_{n+1},\cdots, x_{n+m})) \in \displaystyle (\prod_{i=1}^nX_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}X_j)$에 대해

$f((x_1,\cdots,x_n),(x_{n+1},\cdots, x_{n+m})) = (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1},\cdots,x_{n+m})$이므로 $f$는 전사이다.

모든 $((x_1,\cdots,x_n),(x_{n+1},\cdots, x_{n+m})) \in \displaystyle (\prod_{i=1}^nA_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}A_j)$에 대해

$f((x_1,\cdots,x_n),(x_{n+1},\cdots, x_{n+m})) = (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1},\cdots,x_{n+m}) \in \displaystyle \prod_{k=1}^{n+m} A_k$이므로

$\displaystyle f((\prod_{i=1}^nA_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}A_j)) \subseteq \prod_{k=1}^{n+m}A_k$이고

모든 $(x_1,\cdots,x_n,x_{n+1},\cdots,x_{n+m}) \in \displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}A_k$에 대해

$\displaystyle (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1},\cdots,x_{n+m}) = f((x_1,\cdots,x_n),(x_{n+1},\cdots,x_{n+m})) \in f((\prod_{i=1}^nA_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}A_j))$이므로

$\displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}A_k \subseteq f((\prod_{i=1}^nA_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}A_j))$가 되어 집합 정리로 $\displaystyle f((\prod_{i=1}^nA_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}A_j)) = \prod_{k=1}^{n+m}A_k$이다.

역함수 정리로 $f$의 역함수 $f^{-1}:\displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}X_k \to (\prod_{i=1}^nX_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}X_j)$이 존재하여

모든 $(x_1,\cdots,x_n,x_{n+1},\cdots,x_{n+m}) \in \displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}X_k$에 대해

$f^{-1}(x_1,\cdots,x_n,x_{n+1},\cdots,x_{n+m}) = ((x_1,\cdots,x_n),(x_{n+1},\cdots,x_{n+m}))$이고 $f^{-1}$의 상은 $f$의 역상과 같다.

모든 $(x_1,\cdots,x_n,x_{n+1},\cdots,x_{n+m}) \in \displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}A_k$에 대해

$f^{-1}(x_1,\cdots,x_n,x_{n+1},\cdots,x_{n+m}) = ((x_1,\cdots,x_n),(x_{n+1},\cdots,x_{n+m}))\in \displaystyle (\prod_{i=1}^nA_i)\times (\prod_{j=n+1}^{n+m}A_j)$이므로

$\displaystyle f^{-1}(\prod_{k=1}^{n+m}A_k)\subseteq (\prod_{i=1}^nA_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}A_j) $이고

모든 $((x_1,\cdots,x_n),(x_{n+1},\cdots, x_{n+m})) \in \displaystyle (\prod_{i=1}^nA_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}A_j)$에 대해

$((x_1,\cdots,x_n),(x_{n+1},\cdots,x_{n+m})) = f^{-1}(x_1,\cdots,x_n,x_{n+1},\cdots,x_{n+m})\in f^{-1}(\displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}A_k)$이므로

$\displaystyle (\prod_{i=1}^nA_i) \times (\prod_{j=n+1}^{n+m}A_j)\subseteq f^{-1}(\prod_{k=1}^{n+m}A_k)$가 되어 집합 정리로 $\displaystyle f^{-1}(\prod_{k=1}^{n+m}A_k)=(\prod_{i=1}^nA_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}A_j) $이다.

정리10

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 집합족 $\mathcal{F},\mathcal{G},\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\cdots, \mathcal{F}_n$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle \left (\bigcup_{A\in \mathcal{F}}A \right )\times \left ( \bigcup_{B\in \mathcal{G}}B\right) = \bigcup_{(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}} (A\times B)$

2. $\mathcal{F}\times \mathcal{G}\ne \emptyset$일때 $\displaystyle \left (\bigcap_{A\in \mathcal{F}}A \right )\times \left ( \bigcap_{B\in \mathcal{G}}B\right) = \bigcap_{(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}} (A\times B)$이다.

3. $\displaystyle \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}}A_1 \right )\times \left ( \bigcup_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right)\times \cdots\times \left (\bigcup_{A_n\in \mathcal{F}_n}A_n \right ) = \bigcup_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n} (A_1\times A_2\times \cdots \times A_n)$

4. $\mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n\ne \emptyset$일때

$\displaystyle \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}}A_1 \right )\times \left ( \bigcap_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right)\times \cdots\times \left (\bigcap_{A_n\in \mathcal{F}_n}A_n \right ) = \bigcap_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n} (A_1\times A_2\times \cdots \times A_n)$이다.

증명

모든 $(a,b) \in \displaystyle \left (\bigcup_{A\in \mathcal{F}}A \right )\times \left ( \bigcup_{B\in \mathcal{G}}B\right)$는 데카르트곱의 정의로 $a \in \displaystyle\bigcup_{A\in \mathcal{F}}A $이고 $b \in \displaystyle \bigcup_{B\in \mathcal{G}}B$이므로

합집합의 정의로 $a\in A$인 $A\in \mathcal{F}$가 존재하고 $b\in B$인 $B\in \mathcal{G}$가 존재하여

데카르트곱의 정의로 $(a,b)\in A\times B$이고 $(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}$임에 따라

합집합의 정의로 $(a,b)\in \displaystyle \bigcup_{(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}} (A\times B)$이므로 $\displaystyle \left (\bigcup_{A\in \mathcal{F}}A \right )\times \left ( \bigcup_{B\in \mathcal{G}}B\right) \subseteq \bigcup_{(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}} (A\times B)$이다.

모든 $(a,b)\in \displaystyle \bigcup_{(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}} (A\times B)$는 합집합의 정의로 $(a,b)\in A\times B$인 $(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}$가 존재하여

데카르트곱의 정의로 $a\in A\in \mathcal{F}$이고 $b\in B\in \mathcal{G}$이므로 합집합의 정의로 $a \in \displaystyle\bigcup_{A\in \mathcal{F}}A $이고 $b \in \displaystyle \bigcup_{B\in \mathcal{G}}B$임에 따라

데카르트곱의 정의로 $(a,b) \in \displaystyle \left (\bigcup_{A\in \mathcal{F}}A \right )\times \left ( \bigcup_{B\in \mathcal{G}}B\right)$가 되어 $\displaystyle \bigcup_{(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}}(A\times B) \subseteq \left (\bigcup_{A\in \mathcal{F}}A \right )\times \left ( \bigcup_{B\in \mathcal{G}}B\right)$이고

집합 정리로 $\displaystyle \left (\bigcup_{A\in \mathcal{F}}A \right )\times \left ( \bigcup_{B\in \mathcal{G}}B\right) = \bigcup_{(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}} (A\times B)$이다.

$\mathcal{F}\times \mathcal{G}\ne \emptyset$이므로 데카르트곱 정리로 $\mathcal{F}\ne \emptyset$와 $\mathcal{G}\ne \emptyset$가 성립하여

교집합 정리로 $\displaystyle \bigcap_{A\in \mathcal{F}}A $와 $\displaystyle \bigcap_{B\in \mathcal{G}}B$와 $\displaystyle \bigcap_{(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}} (A\times B)$가 존재한다.

모든 $(a,b) \in \displaystyle \left (\bigcap_{A\in \mathcal{F}}A \right )\times \left ( \bigcap_{B\in \mathcal{G}}B\right)$는 데카르트곱의 정의로 $a \in \displaystyle\bigcap_{A\in \mathcal{F}}A $이고 $b \in \displaystyle \bigcap_{B\in \mathcal{G}}B$이므로

교집합의 정의로 모든 $A\in \mathcal{F}$에 대해 $a\in A$이고 모든 $B\in \mathcal{G}$에 대해 $b\in B$가 되어

모든 $(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}$는 데카르트곱의 정의로 $A\in \mathcal{F}$이고 $B\in \mathcal{G}$임에 따라

$a\in A$이고 $b\in B$이므로 데카르트곱의 정의로 $(a,b)\in A\times B$이고

교집합의 정의로 $(a,b)\in \displaystyle \bigcap_{(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}} (A\times B)$가 되어 $\displaystyle \left (\bigcap_{A\in \mathcal{F}}A \right )\times \left ( \bigcap_{B\in \mathcal{G}}B\right) \subseteq \bigcap_{(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}} (A\times B)$이다.

모든 $(a,b)\in \displaystyle \bigcap_{(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}} (A\times B)$는 교집합의 정의로 모든 $(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}$에 대해 $(a,b)\in A\times B$이고

$\mathcal{F}\ne \emptyset$와 $\mathcal{G}\ne \emptyset$가 성립하여 $A_0\in \mathcal{F}$과 $B_0\in \mathcal{G}$이 존재하므로

모든 $A\in \mathcal{F}$에 대해 데카르트곱의 정의로 $(A,B_0)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}$임에 따라 $(a,b)\in A\times B_0$이고

데카르트곱의 정의로 $a\in A$이므로 교집합의 정의로 $a\in \displaystyle \bigcap_{A\in \mathcal{F}}A$이고

모든 $B\in \mathcal{G}$에 대해 데카르트곱의 정의로 $(A_0,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}$임에 따라 $(a,b)\in A_0\times B$이고

데카르트곱의 정의로 $b\in B$이므로 교집합의 정의로 $b\in \displaystyle \bigcap_{B\in \mathcal{G}}B$가 되어

데카르트곱의 정의로 $(a,b) \in \displaystyle \left (\bigcap_{A\in \mathcal{F}}A \right )\times \left ( \bigcap_{B\in \mathcal{G}}B\right)$이고 $\displaystyle \bigcup_{(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}}(A\times B) \subseteq \left (\bigcap_{A\in \mathcal{F}}A \right )\times \left ( \bigcap_{B\in \mathcal{G}}B\right)$임에 따라

집합 정리로 $\displaystyle \left (\bigcap_{A\in \mathcal{F}}A \right )\times \left ( \bigcap_{B\in \mathcal{G}}B\right) = \bigcap_{(A,B)\in \mathcal{F}\times \mathcal{G}} (A\times B)$이다.

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$이면 $1$-데카르트곱의 정의로 자명하게 성립한다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립한다고 가정하면 $k+1$-데카르트곱의 정의와 1번으로

$\begin{align*} \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}}A_1 \right )\times \cdots \times \left ( \bigcup_{A_k\in \mathcal{F}_k}A_k\right) \times \left (\bigcup_{A_{k+1}\in \mathcal{F}_{k+1}}A_{k+1} \right ) & = \left( \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}}A_1 \right )\times \cdots \times \left ( \bigcup_{A_k\in \mathcal{F}_k}A_k\right) \right ) \times \left (\bigcup_{A_{k+1}\in \mathcal{F}_{k+1}}A_{k+1} \right ) \\[0.5em] & =\left( \bigcup_{(A_1,\cdots,A_k)\in \mathcal{F}_1\times \cdots \times \mathcal{F}_k} (A_1\times \cdots \times A_k) \right ) \times \left (\bigcup_{A_{k+1}\in \mathcal{F}_{k+1}}A_{k+1} \right ) \\[0.5em] & = \bigcup_{((A_1,\cdots,A_k),A_{k+1})\in (\mathcal{F}_1\times \cdots \times \mathcal{F}_k)\times \mathcal{F}_{k+1}} ((A_1\times \cdots \times A_k)\times A_{k+1}) \\[0.5em] & = \bigcup_{(A_1,\cdots,A_k,A_{k+1})\in \mathcal{F}_1\times \cdots \times \mathcal{F}_k\times \mathcal{F}_{k+1}} (A_1\times \cdots \times A_k\times A_{k+1})\text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립한다.

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$이면 $1$-데카르트곱의 정의로 자명하게 성립한다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립한다고 가정하면 $k+1$-데카르트곱의 정의와 2번으로

$\begin{align*} \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}}A_1 \right )\times \cdots \times \left ( \bigcap_{A_k\in \mathcal{F}_k}A_k\right) \times \left (\bigcap_{A_{k+1}\in \mathcal{F}_{k+1}}A_{k+1} \right ) & = \left( \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}}A_1 \right )\times \cdots \times \left ( \bigcap_{A_k\in \mathcal{F}_k}A_k\right) \right ) \times \left (\bigcap_{A_{k+1}\in \mathcal{F}_{k+1}}A_{k+1} \right ) \\[0.5em] & =\left( \bigcap_{(A_1,\cdots,A_k)\in \mathcal{F}_1\times \cdots \times \mathcal{F}_k} (A_1\times \cdots \times A_k) \right ) \times \left (\bigcap_{A_{k+1}\in \mathcal{F}_{k+1}}A_{k+1} \right ) \\[0.5em] & = \bigcap_{((A_1,\cdots,A_k),A_{k+1})\in (\mathcal{F}_1\times \cdots \times \mathcal{F}_k)\times \mathcal{F}_{k+1}} ((A_1\times \cdots \times A_k)\times A_{k+1}) \\[0.5em] & = \bigcap_{(A_1,\cdots,A_k,A_{k+1})\in \mathcal{F}_1\times \cdots \times \mathcal{F}_k\times \mathcal{F}_{k+1}} (A_1\times \cdots \times A_k\times A_{k+1})\text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립한다.

정리11

임의의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$에 대해

위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n$-곱공간이 $(\displaystyle \prod_{i=1}^nX_i,\mathcal{P}_1^n)$이고

위상공간 $(X_{n+1},\mathcal{T}_{n+1}),\cdots, (X_{n+m},\mathcal{T}_{n+m})$의 $m$-곱공간이 $(\displaystyle \prod_{j=n+1}^{n+m} X_j,\mathcal{P}_{n+1}^{n+m})$일때

$(\displaystyle \prod_{i=1}^nX_i,\mathcal{T}_1^n)$와 $(\displaystyle \prod_{j=n+1}^{n+m} X_i,\mathcal{T}_{n+1}^{n+m})$의 $2$-곱공간이 $(\displaystyle (\prod_{i=1}^n X_i) \times (\prod_{j=n+1}^{n+m} X_j),\mathcal{P})$이고

$(X_1,\mathcal{T}_1),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$과 $(X_{n+1},\mathcal{T}_{n+1}),\cdots, (X_{n+m},\mathcal{T}_{n+m})$의 $n+m$-곱공간이 $(\displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}X_k,\mathcal{P}_1^{n+m})$이면

위 정리의 함수 $f:\displaystyle (\prod_{i=1}^nX_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}X_j) \to \prod_{k=1}^{n+m}X_k$는

$(\displaystyle (\prod_{i=1}^n X_i) \times (\prod_{j=n+1}^{n+m} X_j),\mathcal{P})$에서 $(\displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}X_k,\mathcal{P}_1^{n+m})$으로의 위상동형사상이다.

증명

위 정리와 역함수 정리로

$f$의 역함수 $f^{-1}:\displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}X_k \to (\prod_{i=1}^nX_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}X_j)$이 존재하여 $f^{-1}$의 상은 $f$의 역상과 같다.

위 정리로

$\mathcal{B}_1^n =\displaystyle \left \{ \prod_{i=1}^n O_i:(O_1,\cdots, O_n)\in \prod_{i=1}^n\mathcal{T}_i \right \}$은 $(\displaystyle \prod_{i=1}^nX_i,\mathcal{P}_1^n)$의 기저이고

$\mathcal{B}_{n+1}^{n+m}=\displaystyle \left \{ \prod_{j=n+1}^{n+m} O_j:(O_{n+1},\cdots, O_{n+m})\in \prod_{j=n+1}^{n+m}\mathcal{T}_j \right \}$은 $(\displaystyle \prod_{j=n+1}^{n+m} X_j,\mathcal{P}_{n+1}^{n+m})$의 기저이고

$\displaystyle \left \{ U\times V:(U,V)\in \mathcal{P}_1^n\times \mathcal{P}_{n+1}^{n+m}\right \}$는 $(\displaystyle (\prod_{i=1}^n X_i) \times (\prod_{j=n+1}^{n+m} X_j),\mathcal{P})$의 기저이고

$\displaystyle \left \{ \prod_{k=1}^{n+m} O_k:(O_1,\cdots, O_n,O_{n+1},\cdots,O_{n+m})\in \prod_{k=1}^{n+m}\mathcal{T}_k \right \}$는 $(\displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}X_k,\mathcal{P}_1^{n+m})$의 기저이다.

임의의 $\displaystyle (O_1,\cdots, O_n,O_{n+1},\cdots,O_{n+m})\in \prod_{k=1}^{n+m}\mathcal{T}_k $에 대해

위 정리로 $\displaystyle f^{-1}(\prod_{k=1}^{n+m}O_k)=(\prod_{i=1}^nO_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}O_j) $이고 $\displaystyle (\prod_{i=1}^nO_i ,\prod_{j=n+1}^{n+m}O_j )\in \mathcal{P}_1^n\times \mathcal{P}_{n+1}^{n+m}$이므로

$\displaystyle f^{-1}(\prod_{k=1}^{n+m}O_k)=(\prod_{i=1}^nO_i) \times(\prod_{j=n+1}^{n+m}O_j) \in \mathcal{P}$는 $(\displaystyle (\prod_{i=1}^n X_i) \times (\prod_{j=n+1}^{n+m} X_j),\mathcal{P})$에서 열린집합이 되어

연속함수 정리로 $f$는 $(\displaystyle (\prod_{i=1}^n X_i) \times (\prod_{j=n+1}^{n+m} X_j),\mathcal{P})$에서 $(\displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}X_k,\mathcal{P}_1^{n+m})$으로의 연속함수이다.

임의의 $(U,V)\in \mathcal{P}_1^n\times \mathcal{P}_{n+1}^{n+m}$에 대해

기저의 정의로 $U = \displaystyle\bigcup \mathcal{S}_1^n$인 $\mathcal{S}_1^n\subseteq \mathcal{B}_1^n$과 $V = \displaystyle\bigcup \mathcal{S}_{n+1}^{n+m}$인 $\mathcal{S}_{n+1}^{n+m}\subseteq \mathcal{B}_{n+1}^{n+m}$이 존재하여 선택 정리로

모든 $A \in \mathcal{S}_1^n\subseteq \mathcal{B}_1^n$에 대해 $A = \displaystyle \prod_{i=1}^n O_{i,A}$인 $(O_{1,A},\cdots,O_{n,A})\in \displaystyle \prod_{i=1}^n \mathcal{T}_i$를 선택하고

모든 $B \in \mathcal{S}_{n+1}^{n+m}\subseteq \mathcal{B}_{n+1}^{n+m}$에 대해 $B = \displaystyle \prod_{j=n+1}^{n+m} O_{j,B}$인 $(O_{n+1,B},\cdots,O_{n+m,B})\in \displaystyle \prod_{j=n+1}^{n+m} \mathcal{T}_j$를 선택하면

$O_{1,A}\times \cdots \times O_{n,A} \times O_{n+1,B}\times \cdots\times O_{n+m,B}\in \mathcal{P}_{1}^{n+m}$이므로

위 정리와 함수 정리와 위 정리와 위상공간 정리로

$\begin{align*} f(U\times V) & = f \left ( \left (\bigcup \mathcal{S}_1^n \right )\times \left (\bigcup \mathcal{S}_{n+1}^{n+m} \right ) \right ) \\[0.5em] & = f \left ( \left (\bigcup_{A\in \mathcal{S}_1^n}A \right )\times \left (\bigcup_{B\in \mathcal{S}_{n+1}^{n+m}}B\right)\right) \\[0.5em] & = f \left( \bigcup_{(A,B)\in \mathcal{S}_1^n \times \mathcal{S}_{n+1}^{n+m}}(A\times B) \right ) \\[0.5em] & = \bigcup_{(A,B)\in \mathcal{S}_1^n \times \mathcal{S}_{n+1}^{n+m}} f(A\times B) \\[0.5em] & = \bigcup_{(A,B)\in \mathcal{S}_1^n \times \mathcal{S}_{n+1}^{n+m}} f\left ( \left (\prod_{i=1}^n O_{i,A}\right ) \times \left (\prod_{j=n+1}^{n+m} O_{j,B} \right ) \right ) \\[0.5em] & = \bigcup_{(A,B)\in \mathcal{S}_1^n \times \mathcal{S}_{n+1}^{n+m}} (O_{1,A}\times \cdots \times O_{n,A} \times O_{n+1,B} \times \cdots \times O_{n+m,B}) \in \mathcal{P}_{1}^{n+m} \text{ 이 되어 }\end{align*}$

함수 정리로 $(f^{-1})^{-1}(U\times V)=f(U\times V)$는 $(\displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}X_k,\mathcal{P}_1^{n+m})$에서 열린집합이고

연속함수 정리로 $f^{-1}$은 $(\displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}X_k,\mathcal{P}_1^{n+m})$에서 $(\displaystyle (\prod_{i=1}^n X_i) \times (\prod_{j=n+1}^{n+m} X_j),\mathcal{P})$로의 연속함수이다.

따라서 $f$는 $(\displaystyle (\prod_{i=1}^n X_i) \times (\prod_{j=n+1}^{n+m} X_j),\mathcal{P})$에서 $(\displaystyle \prod_{k=1}^{n+m}X_k,\mathcal{P}_1^{n+m})$으로의 위상동형사상이다.

정리12

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 집합 $X_1, X_2,\cdots,X_n$이 가산집합이면 $X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$은 가산집합이다.

증명

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n=1$이면 $1$-데카르트곱의 정의로 자명하게 성립한다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X_1\times \cdots\times X_k$가 가산집합이면

자연수집합 $\mathbb{N}$에 대해 집합의 크기 정리로 $|X_1\times \cdots\times X_k| \underline{\in} \mathbb{N}$이고 $|X_{k+1}| \underline{\in} \mathbb{N}$이므로

$k+1$-데카르트곱의 정의와 집합의 크기 정리와 기수 곱셈의 정의와 기수 정리와 자연수집합 정리와 기수 정리로

$\begin{align*} |X_1\times \cdots\times X_k\times X_{k+1}| &= |(X_1\times \cdots \times X_k)\times X_{k+1}| \\[0.5em] &= | |X_1\times \cdots \times X_k| \times |X_{k+1}|| \\[0.5em] &= |X_1\times \cdots \times X_k| \otimes |X_{k+1}| \\[0.5em]& \underline{\in}\mathbb{N} \otimes |X_{k+1}| \\[0.5em] & \underline{\in} \mathbb{N} \otimes \mathbb{N} =\mathbb{N} \text{ 이므로} \end{align*}$

집합의 크기 정리로 $X_1\times \cdots\times X_k \times X_{k+1}$은 가산집합이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X_1, X_2,\cdots,X_n$이 가산집합이면 $X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$은 가산집합이다.

정리13

위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n\in\mathbb{Z}^+$-곱공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

$(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 분해가능하면 $(X,\mathcal{T})$는 분해가능하다.

증명

$(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 분해가능하므로

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 조밀집합이고 가산집합인 $E_i\subseteq X_i$가 존재하여

위 정리와 조밀집합의 정의와 $n$-곱공간의 정의로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E_1\times E_2\times \cdots \times E_n) = \underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(E_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{cl}}(E_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(E_n) = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n = X \text{ 이고}$

위 정리로 $E_1\times E_2\times \cdots \times E_n$이 가산집합임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 분해가능하다.

정리14

위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n\in\mathbb{Z}^+$-곱공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

임의의 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $x_i\in X_i$에 대한 $(X_i,\mathcal{T}_i)$의 국소기저가 $\mathcal{B}_{x_i}$이고 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in X$일때

$\mathcal{B}_x = \{ B_1\times B_2 \times \cdots \times B_n :(B_1,B_2,\cdots, B_n)\in \mathcal{B}_{x_1}\times \mathcal{B}_{x_2}\times \cdots \times \mathcal{B}_{x_n} \}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

2. $(X_i,\mathcal{T}_i)$의 기저가 $\mathcal{B}_i$일때

$\mathcal{B} = \{ B_1\times B_2 \times \cdots \times B_n :(B_1,B_2,\cdots, B_n)\in \mathcal{B}_{1}\times \mathcal{B}_{2}\times \cdots \times \mathcal{B}_{n} \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

3. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 제1가산공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 제1가산공간이다.

4. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 제2가산공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 제2가산공간이다.

증명

위 정리로 $\mathcal{A}= \{ O_1\times O_2\times \cdots \times O_n:(O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

모든 $B\in \mathcal{B}_x$는 $B = B_1\times B_2\times \cdots \times B_n$인 $(B_1,B_2,\cdots, B_n)\in \mathcal{B}_{x_1}\times \mathcal{B}_{x_2}\times \cdots \times \mathcal{B}_{x_n}$이 존재하여

국소기저의 정의로 $B_i\in \mathcal{B}_{x_i}$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i$의 열린근방이므로

위 정리로 $B = B_1\times B_2\times \cdots \times B_n$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)$의 열린근방임에 따라

$x = (x_1,x_2,\cdots,x_n) \in B_1\times B_2\times \cdots \times B_n = B \in \mathcal{T}$이고 $\mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 $V\in \mathcal{T}$이므로 기저의 정의로 $V = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$인 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{A}$가 존재하여

$x\in V$임에 따라 $x\in O$인 $O\in \mathcal{S}\subseteq \mathcal{A}$가 존재하고

$O = O_1\times O_2\times \cdots \times O_n$인 $(O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n$이 존재한다.

$(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x\in O = O_1\times O_2\times \cdots \times O_n$이므로

$x_i\in O_i$가 되어 $O_i$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i$의 열린근방임에 따라 국소기저의 정의로 $B_i\subseteq O_i$인 $B_i\in \mathcal{B}_{x_i}$가 존재하고

$B_1\times B_2\times \cdots\times B_n \subseteq O_1\times O_2\times \cdots \times O_n = O \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S}=V$이므로

$B_1\times B_2\times \cdots \times B_n\in \mathcal{B}_x$임에 따라 $\mathcal{B}_x$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

$\mathcal{B}_i \subseteq \mathcal{T}_i$이므로 $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A} \subseteq \mathcal{T}$이다.

임의의 $x_i\in X_i$에 대해 위상공간 정리로 $\mathcal{B}_{x_i} = \{ B_i\in \mathcal{B}_i : x_i\in B_i \}$는 $x_i$에 대한 $(X_i,\mathcal{T}_i)$의 국소기저이므로

임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$에 대해 1번으로

임의의 $B\in \displaystyle \bigcup_{x\in X} \mathcal{B}_x $는 $B\in \mathcal{B}_x$인 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in X$가 존재하여

$B = B_1\times B_2\times \cdots \times B_n$인 $(B_1,B_2,\cdots, B_n)\in \mathcal{B}_{x_1}\times \mathcal{B}_{x_2}\times \cdots \times \mathcal{B}_{x_n}$이 존재하고

$(B_1,B_2,\cdots, B_n)\in \mathcal{B}_{x_1}\times \mathcal{B}_{x_2}\times \cdots \times \mathcal{B}_{x_n} \subseteq \mathcal{B}_1\times \mathcal{B}_2\times \cdots \times \mathcal{B}_n$이므로

$B = B_1\times B_2\times \cdots \times B_n\in \mathcal{B}$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{x\in X} \mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{B}$이다.

따라서 $\displaystyle \bigcup_{x\in X} \mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$이고 위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcup_{x\in X} \mathcal{B}_x$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이므로 위 정리로 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in X$에 대해

$(X_i,\mathcal{T}_i)$가 제1가산공간이므로 $x_i$에 대한 어떤 $(X_i,\mathcal{T}_i)$의 국소기저 $\mathcal{B}_{x_i}$가 존재하여 $\mathcal{B}_{x_i}$는 가산집합이고

위 정리로 $\mathcal{B}_{x_1}\times \mathcal{B}_{x_2}\times \cdots \times \mathcal{B}_{x_n}$은 가산집합이므로

함수 정리로 $\mathcal{B}_x = \{ B_1\times B_2 \times \cdots \times B_n :(B_1,B_2,\cdots, B_n)\in \mathcal{B}_{x_1}\times \mathcal{B}_{x_2}\times \cdots \times \mathcal{B}_{x_n} \}$는 가산집합이 되어

1번으로 $\mathcal{B}_x$가 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 제1가산공간이다.

$(X_i,\mathcal{T}_i)$는 제2가산공간이므로 어떤 $(X_i,\mathcal{T}_i)$의 기저 $\mathcal{B}_i$가 존재하여 $\mathcal{B}_{i}$는 가산집합이고

위 정리로 $\mathcal{B}_{1}\times \mathcal{B}_{2}\times \cdots \times \mathcal{B}_{n}$은 가산집합이므로

함수 정리로 $\mathcal{B} = \{ B_1\times B_2 \times \cdots \times B_n :(B_1,B_2,\cdots, B_n)\in \mathcal{B}_{1}\times \mathcal{B}_{2}\times \cdots \times \mathcal{B}_{n} \}$는 가산집합이 되어

2번으로 $\mathcal{B}$가 $(X,\mathcal{T})$의 기저임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 제2가산공간이다.

정리15

거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 임의의 $x\in X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,d)$에서 열린공들의 집합족 $\mathcal{B}_x = \{ \underset{(X,d)}{B}(x,r) : r\in (0,\infty)\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

2. 양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$에 대해 $\{ \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

3. $p > 1$인 임의의 실수 $p\in \mathbb{R}$에 대해 $\{ \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{p^n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

증명

모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 거리공간의 정의로 $d(x,x) = 0<r$이므로 열린공의 정의로 $x\in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이고

위상공간 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)\in \mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$는 $O\in \mathcal{T}$이므로 위상공간 정리로 $O$는 $(X,d)$에서 열린집합이 되어

$x\in O$임에 따라 거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_O)\subseteq O$인 $r_O\in (0,\infty)$가 존재하고 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_O)\in \mathcal{B}_x$이다.

따라서 $\mathcal{B}_x$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dfrac{1}{n}\in (0,\infty)$이므로

1번과 국소기저의 정의로 $\{ \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}\subseteq \mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{T}$이고 $x\in \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n})$이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$에 대해 1번과 국소기저의 정의로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)\subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하고

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n}<r$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 열린공의 정의로 $\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n})\subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r)\subseteq O$이므로

$\{ \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dfrac{1}{p^n}\in (0,\infty)$이므로

1번과 국소기저의 정의로 $\{ \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{p^n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}\subseteq \mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{T}$이고 $x\in \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{p^n})$이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$에 대해 1번과 국소기저의 정의로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)\subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하고

실수 정리로 $\dfrac{1}{p^n}<r$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 열린공의 정의로 $\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{p^n})\subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r)\subseteq O$이므로

$\{ \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{p^n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

정리16

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 거리공간이 $(X_1,d_1),(X_2,d_2),\cdots, (X_n,d_n)$이고

$X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$에 대해 임의의 $x= (x_1,x_2,\cdots, x_n),y=(y_1,y_2,\cdots, y_n)\in X$가

$d(x,y) = \sqrt{(d_1(x_1,y_1))^2 + (d_2(x_2,y_2))^2 + \cdots + (d_n(x_n,y_n))^2}$인 함수가 $d: X\times X \to [0,\infty)$일때

$(X_1,d_1),(X_2,d_2),\cdots, (X_n,d_n)$의 거리위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,d)$는 거리공간이다.

2. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n$-곱공간 $(X,\mathcal{T})$와 $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_d)$에 대해 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_d$이다.

증명

모든 $x= (x_1,x_2,\cdots, x_n)\in X$와 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 거리공간의 정의로 $d_i(x_i,x_i) = 0$이므로

$d(x,x) = \sqrt{(d_1(x_1,x_1))^2 + (d_2(x_2,x_2))^2 + \cdots + (d_n(x_n,x_n))^2} = 0$이다.

$x\ne y$인 임의의 $x= (x_1,x_2,\cdots, x_n),y=(y_1,y_2,\cdots, y_n)\in X$에 대해

$n$-순서쌍의 상등으로 $x_i\ne y_i$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하여 거리공간의 정의로 $d_i(x_i,y_i) > 0$이므로

$d(x,y) = \sqrt{(d_1(x_1,y_1))^2 + (d_2(x_2,y_2))^2 + \cdots + (d_n(x_n,y_n))^2} \ge \sqrt{(d_i(x_i,y_2))^2} = d_i(x_i,y_i) >0$이다.

모든 $x= (x_1,x_2,\cdots, x_n),y=(y_1,y_2,\cdots, y_n)\in X$와 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

거리공간의 정의로 $d_i(x_i,y_i) = d_i(y_i,x_i)$이므로

$\begin{align*}d(x,y) &= \sqrt{(d_1(x_1,y_1))^2 + (d_2(x_2,y_2))^2 + \cdots + (d_n(x_n,y_n))^2}\\[0.5em]&= \sqrt{(d_1(y_1,x_1))^2 + (d_2(y_2,x_2))^2 + \cdots + (d_n(y_n,x_n))^2} \\[0.5em]&=d(y,x) \text{ 이다.}\end{align*}$

모든 $x= (x_1,x_2,\cdots, x_n),y=(y_1,y_2,\cdots, y_n) ,z =(z_1,z_2,\cdots,z_n)\in X$와 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

거리공간의 정의로 $d_i(x_i,z_i)\le d_i(x_i,y_i) + d_i(y_i,z_i)$이므로

부등식 정리로 $(d_i(x_i,z_i))^2\le (d_i(x_i,y_i) + d_i(y_i,z_i))^2$가 되어 횔더 부등식으로

$\begin{align*} (d(x,z))^2 &= \sum_{i=1}^n(d_i(x_i,z_i))^2 \\[0.5em]&\le \sum_{i=1}^n (d_i(x_i,y_i) + d_i(y_i,z_i))^2 \\[0.5em]&\qquad = \sum_{i=1}^n \left ( (d_i(x_i,y_i))^2 + 2\cdot d_i(x_i,y_i)\cdot d_i(y_i,z_i) + (d_i(y_i,z_i))^2 \right ) \\[0.5em]&\qquad = \sum_{i=1}^n (d_i(x_i,y_i))^2 + 2\cdot \sum_{i=1}^n (d_i(x_i,y_i)\cdot d_i(y_i,z_i)) + \sum_{i=1}^n (d_i(y_i,z_i))^2 \\[0.5em]&\qquad = (d(x,y))^2 + 2\cdot \sum_{i=1}^n (d_i(x_i,y_i)\cdot d_i(y_i,z_i)) + (d(y,z))^2 \\[0.5em]& \le (d(x,y))^2 + 2\cdot \left ( \sum_{i=1}^n (d_i(x_i,y_i))^2 \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left ( \sum_{i=1}^n (d_i(y_i,z_i))^2 \right )^{\frac{1}{2}} + (d(y,z))^2 \\[0.5em]& \qquad = (d(x,y))^2 + 2\cdot d(x,y) \cdot d(y,z) + (d(y,z))^2 \\[0.5em]& \qquad = (d(x,y) + d(y,z))^2 \text{ 이고} \end{align*}$

부등식 정리로 $d(x,z)\le d(x,y) + d(y,z)$이다.

따라서 $(X,d)$는 거리공간이다.

위 정리로 $\mathcal{B}= \{ O_1\times O_2\times \cdots \times O_n:(O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고

거리위상공간의 정의로 $\mathcal{B}_d = \{ \underset{(X,d)}{B}(x,r) : x\in X,r\in (0,\infty)\}$는 $(X,\mathcal{T}_d)$의 기저이다.

모든 $B\in \mathcal{B}$는 $B = O_1\times O_2\times \cdots \times O_n$인 $(O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times\mathcal{T}_n$이 존재하여

모든 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in O_1\times O_2\times \cdots \times O_n = B$는 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $x_i \in O_i\in \mathcal{T}_i$이므로

위상공간 정리와 거리공간 정리로 $\underset{(X_i,d_i)}{B}(x_i,r_i)\subseteq O_i$인 $r_i>0$가 존재하고

최소원소 정리로 $r = \min \{ r_1,r_2,\cdots,r_n\} >0$이 존재하여

모든 $y = (y_1,y_2,\cdots,y_n)\in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$는 최소원소의 정의로

$d_i(x_i,y_i)=\sqrt{(d_i(x_i,y_i))^2}\le \sqrt{(d_1(x_1,y_1))^2 + (d_2(x_2,y_2))^2 + \cdots + (d_n(x_n,y_n))^2} = d(x,y)< r \le r_i$이므로

열린공의 정의로 $y_i\in \underset{(X_i,d_i)}{B}(x_i,r_i)$임에 따라

$y= (y_1,y_2,\cdots,y_n) \in \underset{(X_1,d_1)}{B}(x_1,r_1)\times \underset{(X_2,d_2)}{B}(x_2,r_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,d_n)}{B}(x_n,r_n) \subseteq O_1\times O_2\times \cdots \times O_n$이고

$\underset{(X,d)}{B}(x,r) \subseteq O_1\times O_2\times \cdots \times O_n=B$이므로 거리공간 정리와 위상공간 정리로 $B\in \mathcal{T}_d$이고 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}_d$이다.

모든 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$에 대해 $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}_d$이므로

위상공간의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{S}\in \mathcal{T}_d$가 되어 기저의 정의로 $\mathcal{T} =\{\bigcup \mathcal{S}:\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B} \}\subseteq \mathcal{T}_d$이다.

모든 $B\in \mathcal{B}_d$는 $B= \underset{(X,d)}{B}(x,r)$인 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in X$와 $r \in (0,\infty)$이 존재하여

모든 $y= (y_1,y_2,\cdots,y_n)\in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$에 대해 $d(x,y) < r$이므로 $r - d(x,y) > 0$이고

모든 $z = (z_1,z_2,\cdots, z_n)\in \underset{(X_1,d_1)}{B}(y_1,\frac{r-d(x,y)}{\sqrt{n}})\times \underset{(X_2,d_2)}{B}(y_2,\frac{r-d(x,y)}{\sqrt{n}})\times \cdots \times \underset{(X_n,d_n)}{B}(y_n,\frac{r-d(x,y)}{\sqrt{n}})$는

$\begin{align*}d(x,z) & \le d(x,y) + d(y,z) \\[0.5em] & \qquad = d(x,y) + \sqrt{(d_1(y_1,z_1))^2 + (d_2(y_2,z_2))^2 +\cdots +(d_n(y_n,z_n))^2 } \\[0.5em] & < d(x,y) + \sqrt{ n\cdot \left(\frac{r- d(x,y)}{\sqrt{n}}\right )^2 } \\[0.5em]&\qquad = d(x,y) +\sqrt{n\cdot \frac{(r-d(x,y))^2}{n} } \\[0.5em]&\qquad = d(x,y) + \sqrt{(r-d(x,y))^2} \\[0.5em]&\qquad = d(x,y) + |r-d(x,y)| \\[0.5em]&\qquad = d(x,y) +r-d(x,y) \\[0.5em]&\qquad = r\text{ 이 되어} \end{align*}$

열린공의 정의로 $z \in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이므로

$\underset{(X_1,d_1)}{B}(y_1,\frac{r-d(x,y)}{\sqrt{n}})\times \underset{(X_2,d_2)}{B}(y_2,\frac{r-d(x,y)}{\sqrt{n}})\times \cdots \times \underset{(X_n,d_n)}{B}(y_n,\frac{r-d(x,y)}{\sqrt{n}}) \subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이고

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 위상공간 정리로 $\underset{(X_i,d_i)}{B}(y_i,\frac{r-d(x,y)}{\sqrt{n}})$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $y_i$의 열린근방임에 따라 위 정리로

위상공간 정리로 $B = \underset{(X,d)}{B}(x,r)\in \mathcal{T}$이고 $\mathcal{B}_d \subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}_d$에 대해 $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}_d\subseteq \mathcal{T}$이므로

위상공간의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{S}\in \mathcal{T}$가 되어 기저의 정의로 $\mathcal{T}_d =\{\bigcup \mathcal{S}:\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}_d \}\subseteq \mathcal{T}$이고 집합 정리로 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_d$이다.

정리17

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이기 위한 필요충분조건은

어떤 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$에 대해 모든 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$가 $X \subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O}$이면 $X \subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하는 것이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간일때 어떤 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$에 대해 임의의 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$가 $X \subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O}$이면

기저의 정의로 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$이고 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이므로 $X \subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재한다.

역으로 조건은 만족하는 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재할때

임의의 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$에 대해 $X \subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O}$이면 분류 공리로 $\mathcal{H} = \{ B\in \mathcal{B} : \text{어떤 }O\in \mathcal{O} \text{ 에 대해 } B \subseteq O \}$가 존재하고

모든 $x\in X$에 대해 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$가 존재하여 기저의 정의로 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$인 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하므로

$x\in B$인 $B\in \mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}$가 존재하고 $B\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S} = O$임에 따라 $B\in \mathcal{H}$가 되어 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{H}$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{H}$이다.

$\mathcal{H}\subseteq \mathcal{B}$이므로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{H}$가 존재하여

모든 $B \in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{H}$는 $B \subseteq O_B$인 $O_B\in \mathcal{O}$가 존재하고 선택 정리로 $O_B$를 선택하면

$\mathcal{G} = \{ O_B : B\in \mathcal{F}\}$는 함수 정리로 유한집합이므로 $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{O}$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F} \subseteq \bigcup \mathcal{G}$임에 따라

$(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이다.

정리18

위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n\in\mathbb{Z}^+$-곱공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 다음이 성립한다.

1. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 콤팩트공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이다.

2. 임의의 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in X$에 대해

$X$의 수열 $((x_{m,1},x_{m,2},\cdots,x_{m,n}))_{m=m_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$으로 수렴하기 위한 필요충분조건은

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $X_i$의 수열 $(x_{m,i})_{m=m_0}^\infty$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i$로 수렴하는 것이다.

3. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 점렬 콤팩트공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 점렬 콤팩트공간이다.

4. 임의의 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$의 부분위상공간이 $(A_i,\mathcal{T}_i|_{A_i})$이고 $A = A_1\times A_2\times \cdots \times A_n$일때

$(A_1,\mathcal{T}_1|_{A_1}),(A_2,\mathcal{T}_2|_{A_2}),\cdots, (A_n,\mathcal{T}_n|_{A_n})$의 $n$-곱공간 $(A,\mathcal{T}_A)$에 대해 $\mathcal{T}|_A = \{ O\cap A : O\in \mathcal{T} \} = \mathcal{T}_A$이다.

5. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 국소 콤팩트공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 국소 콤팩트공간이다.

증명

$n = 1$이면 자명하게 성립한다.

$n\ge 2$이면 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 2$일때 $\mathcal{B}= \{ U\times V:(U,V)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\}$이고 $X = \emptyset$이면 콤팩트 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이다.

$X_1\times X_2 = X \ne \emptyset$이면 데카르트곱 정리로 $X_1\ne \emptyset$과 $X_2\ne \emptyset$가 성립하고

임의의 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$에 대해 $X_1\times X_2 =X \subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O}$일때 모든 $x\in X_1$과 모든 $y \in X_2$에 대해

$(x,y)\in X_1\times X_2 \subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O}$이므로 $(x,y)\in U_{x,y}\times V_{x,y}\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$인 $(U_{x,y},V_{x,y})\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2$가 존재하여

선택 정리로 $f(x,y) = (U_{x,y},V_{x,y})$인 함수 $f:X_1\times X_2\to \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2$가 존재한다.

모든 $x\in X_1$에 대해 치환 공리로 집합 $\{V_{x,y} : y\in X_2 \}$가 존재하여 $X_2\subseteq \displaystyle \bigcup \{ V_{x,y}:y\in X_2\}$이고

$\{ V_{x,y}:y\in X_2\}\subseteq \mathcal{T}_2$는 $(X_2, \mathcal{T}_2)$에서 $X_2$의 열린덮개이므로

$(X_2, \mathcal{T}_2)$가 콤팩트공간임에 따라 $X_2\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{G}_{x}$인 유한집합 $\mathcal{G}_x \subseteq \{ V_{x,y}:y\in X_2\}$가 존재한다.

모든 $V\in \mathcal{G}_x$에 대해 $V = V_{x,y}$인 $y\in X_2$가 존재하여 $f(x,y) = (U_{x,y},V_{x,y})$인 $U_{x,y}$가 존재하므로

선택 정리로 $x\in X_1$에 대해 $\mathcal{G}_x$를 선택하고 $V$에 대해 $U_V = U_{x,y}$를 선택하면

$\mathcal{F}_x = \{ U_V : V\in \mathcal{G}_x\}$와 $\mathcal{S}_x = \{ U_V\times V : V\in \mathcal{G}_x\}$가 존재하고 함수 정리로 $\mathcal{F}_x$와 $\mathcal{S}_x$는 유한집합이다.

$\mathcal{G}_x = \emptyset$이면 $X_2\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{G}_{x} = \emptyset$이므로 $X_2 = \emptyset$이 되어 모순임에 따라 $\mathcal{G}_x \ne \emptyset$이고 $\mathcal{F}_x\ne \emptyset$이므로

모든 $U\in \mathcal{F}_x$에 대해 $x\in U\in \mathcal{T}_1$임에 따라 위상공간 정리로 $x\in \displaystyle \bigcap \mathcal{F}_x\in \mathcal{T}_1$이고

모든 $(a,b)\in \displaystyle \left (\bigcap \mathcal{F}_x \right ) \times \left (\bigcup \mathcal{G}_x \right )$에 대해

$b\in V$인 $V\in \mathcal{G}_x$가 존재하여 $U_V\in \mathcal{F}_x$임에 따라 $(a,b)\in U_V\times V\in \mathcal{O}$이므로

$\{ x\}\times X_2 \subseteq\displaystyle \left (\bigcap \mathcal{F}_x \right ) \times \left (\bigcup \mathcal{G}_x \right ) \subseteq \bigcup \{ U_V\times V: V\in \mathcal{G}_x\} \subseteq \bigcup \mathcal{O}$이다.

$X_1 \subseteq {\displaystyle \bigcup} \{\bigcap \mathcal{F}_x : x\in X_1 \}$이고 $\{ \bigcap \mathcal{F}_x : x\in X_1\}\subseteq \mathcal{T}_1$이므로 $(X_1, \mathcal{T}_1)$이 콤팩트공간임에 따라

$X_1 \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \{\bigcap \mathcal{F}_x : x\in X_1 \}$가 존재하고

모든 $A\in \mathcal{F}$는 $A = \displaystyle \bigcap \mathcal{F}_{x_A}$인 $x_A \in X_1$가 존재하므로 선택 정리로 $x_A$를 선택하면

$\displaystyle \left (\bigcap \mathcal{F}_{x_A} \right ) \times \left (\bigcup \mathcal{G}_{x_A} \right ) \subseteq \bigcup \{ U_V\times V: V\in \mathcal{G}_{x_A}\}$인 유한집합 $\displaystyle \mathcal{S}_{x_A}=\{ U_V\times V: V\in \mathcal{G}_{x_A}\} \subseteq \mathcal{O}$에 대해

$\displaystyle \mathcal{S} =\bigcup_{A\in \mathcal{F}} \mathcal{S}_{x_A}$는 유한집합 정리로 유한집합이고 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{O}$이다.

따라서 임의의 $(a,b)\in X_1\times X_2$에 대해 $a\in X_1 \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$이므로 $a\in A$인 $A\in \mathcal{F}$가 존재하고

$A = \displaystyle \bigcap \mathcal{F}_{x_A}$에 대해 $\displaystyle (x_A,b) \in \{ x_A\} \times X_2 \subseteq \left (\bigcap \mathcal{F}_{x_A} \right ) \times \left (\bigcup \mathcal{G}_{x_A} \right )$가 되어

$\displaystyle (a,b) \in \left (\bigcap \mathcal{F}_{x_A} \right ) \times \left (\bigcup \mathcal{G}_{x_A} \right ) \subseteq \bigcup \{ U_V\times V: V\in \mathcal{G}_{x_A}\}$이고

$(a,b)\in U_V\times V$인 $V\in \mathcal{G}_{x_A}$가 존재하므로 $(a,b)\in U_V \times V \in \mathcal{S}_{x_A}\subseteq \mathcal{S}$임에 따라

$(a,b)\in \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$이고 $X = X_1\times X_2 \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$가 되어 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이다.

$k\ge 2$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 $(X_1,\mathcal{T}_1),\cdots, (X_k,\mathcal{T}_k),(X_{k+1},\mathcal{T}_{k+1})$이 콤팩트공간이면

$(X_1,\mathcal{T}_1),\cdots, (X_k,\mathcal{T}_k)$의 $k$-곱공간 $(\displaystyle \prod_{i=1}^kX_i, \mathcal{P}_k)$는 콤팩트공간이고

$(\displaystyle \prod_{i=1}^kX_i, \mathcal{P}_k)$와 $(X_{k+1}, \mathcal{T}_{k+1})$의 $2$-곱공간 $(\displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}X_i, \mathcal{P})$는 콤팩트공간이므로

위 정리와 위상적 성질로 $(X_1,\mathcal{T}_1),\cdots, (X_k,\mathcal{T}_k),(X_{k+1},\mathcal{T}_{k+1})$의 $k+1$-곱공간 $(\displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}X_i, \mathcal{T})$는 콤팩트공간이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

$((x_{m,1},x_{m,2},\cdots,x_{m,n}))_{m=m_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$으로 수렴하면 모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해

위 정리로 $i$-좌표 사영함수 $p_i:X\to X_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이므로 수열 정리로

$X_i$의 수열 $(p_i(x_{m,1},x_{m,2},\cdots, x_{m,n}))_{m=m_0}^\infty = (x_{m,i})_{m=m_0}^\infty$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $p_i(x_1,x_2,\cdots,x_n) = x_i$로 수렴한다.

역으로 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $(x_{m,i})_{m=m_0}^\infty$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i$로 수렴하면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$의 열린근방 $V$는

$V\in \mathcal{T} = \{ \bigcup\mathcal{S}:\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}$이므로 $V = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$인 $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}$가 존재하여 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in V$임에 따라

$(x_1,x_2,\cdots, x_n)\in V_1\times V_2\times \cdots \times V_n\in \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$인 $(V_1,V_2,\cdots,V_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n$이 존재하고

$V_1\times V_2 \times \cdots \times V_n\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S} = V$이다.

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $x_i\in V_i\in \mathcal{T}_i$이고 $(x_{m,i})_{m=m_0}^\infty$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i$로 수렴하므로

$m\ge M_i\ge m_0$인 모든 $m\in \mathbb{N}$에 대해 $x_{m,i}\in V_i$가 되는 $M_i\in \mathbb{N}$이 존재하여

최대원소 정리로 $M = \max \{ M_1,M_2,\cdots, M_n\}\ge m_0$이 존재하고

$m\ge M$인 모든 $m\in \mathbb{N}$에 대해 $(x_{m,1},x_{m,2},\cdots,x_{m,n})\in V_1\times V_2 \times \cdots \times V_n\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S} = V$임에 따라

$((x_{m,1},x_{m,2},\cdots,x_{m,n}))_{m=m_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$으로 수렴한다.

$n = 1$이면 자명하게 성립한다.

$n\ge 2$이면 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 2$일때 임의의 $X = X_1\times X_2$의 수열 $((x_m,y_m))_{m=m_0}^\infty$에 대해

$(x_m)_{m=m_0}^\infty$은 $X_1$의 수열이고 $(X_1,\mathcal{T}_1)$은 점렬 콤팩트공간이므로

$(X_1,\mathcal{T}_1)$에서 수렴하는 $(x_m)_{m=m_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{m_k})_{k=1}^\infty$가 존재하여

$(x_{m_k})_{k=1}^\infty$의 첨수에 대해 $((x_{m_k},y_{m_k}))_{k=1}^\infty$는 $((x_m,y_m))_{m=m_0}^\infty$의 부분수열이다.

$(y_{m_k})_{k=1}^\infty$는 $X_2$의 수열이고 $(X_2,\mathcal{T}_2)$는 점렬 콤팩트공간이므로

$(X_2,\mathcal{T}_2)$에서 수렴하는 $(y_{m_k})_{k=1}^\infty$의 부분수열 $(y_{m_{k_r}})_{r=1}^\infty$이 존재하여

$(y_{m_{k_r}})_{r=1}^\infty$의 첨수에 대해 $(x_{m_{k_r}})_{r=1}^\infty$이 $(x_{m_k})_{k=1}^\infty$의 부분수열임에 따라

수열 정리로 $(x_{m_{k_r}})_{r=1}^\infty$은 $(X_1,\mathcal{T}_1)$에서 수렴하므로 2번으로 $((x_{m_{k_r}},y_{m_{k_r}}))_{r=1}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하고

$((x_{m_{k_r}},y_{m_{k_r}}))_{r=1}^\infty$이 $((x_m,y_m))_{m=m_0}^\infty$의 부분수열임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 점렬 콤팩트공간이다.

$k\ge 2$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 $(X_1,\mathcal{T}_1),\cdots, (X_k,\mathcal{T}_k),(X_{k+1},\mathcal{T}_{k+1})$이 점렬 콤팩트공간이면

$(X_1,\mathcal{T}_1),\cdots, (X_k,\mathcal{T}_k),(X_{k+1},\mathcal{T}_{k+1})$의 $k+1$-곱공간 $(X, \mathcal{T})$는 위 정리와 위상적 성질로 점렬 콤팩트공간이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

위 정리로 $\mathcal{B}_A = \{ B_1\times B_2\times \cdots \times B_n:(B_1,B_2,\cdots, B_n)\in \mathcal{T}_1|_{A_1}\times \mathcal{T}_2|_{A_2}\times \cdots \times \mathcal{T}_n|_{A_n} \}$는

$(A,\mathcal{T}_A)$의 기저이고

모든 $(B_1,B_2,\cdots, B_n)\in \mathcal{T}_1|_{A_1}\times \mathcal{T}_2|_{A_2} \times \cdots \times \mathcal{T}_n|_{A_n}$은 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

$B_i\in \mathcal{T}_i|_{A_i}$이므로 부분위상공간의 정의로 $B_i = O_i \cap A_i$인 $O_i\in \mathcal{T}_i$가 존재하여

$O_1\times O_2\times \cdots \times O_n \in \mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$임에 따라 위 정리로

$\begin{align*}B_1\times B_2\times \cdots \times B_n &= (O_1\cap A_1)\times (O_2\cap A_2)\times \cdots \times (O_n\cap A_n) \\[0.5em]&= (O_1\times O_2\times \cdots\times O_n) \cap (A_1\times A_2\times \cdots \times A_n) \\[0.5em]&= (O_1\times O_2\times \cdots \times O_n)\cap A \in \mathcal{T}|_A \text{ 이고} \end{align*}$

$\mathcal{B}_A \subseteq \mathcal{T}|_A$이므로 기저의 정의와 위상공간의 정의로 $\mathcal{T}_A = \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}_A \} \subseteq \mathcal{T}|_A$이다.

위상공간 정리로 $\mathcal{B}|_A = \{ B\cap A: B\in \mathcal{B}\}$는 $(A,\mathcal{T}|_A)$의 기저이고

모든 $(O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2 \times \cdots \times \mathcal{T}_n$은 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

부분위상공간의 정의로 $O_i\cap A_i \in \mathcal{T}_i|_{A_i}$이므로 위 정리로

$\begin{align*} (O_1\times O_2\times \cdots \times O_n)\cap A &= (O_1\times O_2\times \cdots\times O_n) \cap (A_1\times A_2\times \cdots \times A_n) \\[0.5em] &= (O_1\cap A_1)\times (O_2\cap A_2)\times \cdots \times (O_n\cap A_n) \in \mathcal{B}_A \subseteq \mathcal{T}_A \text{ 가 되어 } \end{align*}$

$\mathcal{B}|_A \subseteq \mathcal{T}_A$임에 따라 기저의 정의와 위상공간의 정의로 $\mathcal{T}|_A = \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}|_A \} \subseteq \mathcal{T}_A$이고

집합 정리로 $\mathcal{T}|_A = \{ O\cap A : O\in \mathcal{T} \} = \mathcal{T}_A$이다.

임의의 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n) \in X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$는 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

$x_i\in X_i$이고 $(X_i,\mathcal{T}_i)$는 국소 콤팩트공간이므로 어떤 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i$의 열린근방 $V_i$가 존재하여

폐포 $C_i = \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(V_i)$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 콤팩트함에 따라 $(X_i,\mathcal{T}_i)$의 부분위상공간 $(C_i,\mathcal{T}_i|_{C_i})$는 콤팩트공간이다.

$C = C_1\times C_2\times \cdots \times C_n$일때

1번으로 $(C_1,\mathcal{T}_1|_{C_1}),(C_2,\mathcal{T}_2|_{C_2}),\cdots, (C_n,\mathcal{T}_n|_{C_n})$의 $n$-곱공간 $(C,\mathcal{T}_C)$는 콤팩트공간이고

4번으로 $\mathcal{T}|_C = \mathcal{T}_C$이므로 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하여

위 정리로 $V_1\times V_2\times \cdots \times V_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고

$\begin{align*}C & = C_1\times C_2\times \cdots \times C_n = \underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(V_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{cl}}(V_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(V_n) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_1\times V_2\times \cdots \times V_n) \text{ 임에 따라 } \end{align*}$

$(X,\mathcal{T})$는 국소 콤팩트공간이다.

정리19

위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n\in\mathbb{Z}^+$-곱공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 다음이 성립한다.

1. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 연결공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 연결공간이다.

2. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 경로연결공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 경로 연결공간이다.

3. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 국소 연결공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 국소 연결공간이다.

4. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 국소 경로연결공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 국소 경로연결공간이다.

증명

1, 2

$n= 1$이면 자명하게 성립한다.

$n\ge 2$일때 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n= 2$일때 $X = \emptyset$이면 공허하게 $(X,\mathcal{T})$는 연결공간, 경로연결공간이다.

$(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2)$가 연결공간, 경로연결공간일때

$X_1\times X_2 = X \ne \emptyset$이면 데카르트곱 정리로 $X_1\ne \emptyset$과 $X_2\ne \emptyset$가 성립하고 모든 $x_1\in X_1$과 모든 $x_2 \in X_2$에 대해

$f_1(x_1,x_2) = x_1$이고 $f_2(x_1,x_2) = x_2$인 함수 $f_1: X_1\times \{ x_2\}\to X_1$와 함수 $f_2 : \{ x_1\}\times X_2 \to X_2$는 전단사이고

$f_1$의 역함수 $f_1^{-1}:X_1\to X_1\times \{ x_2\}$와 $f_2$의 역함수 $f_2^{-1} : X_2\to \{ x_1\}\times X_2$는

$f_1^{-1}(x_1) = (x_1,x_2)$이고 $f_2^{-1}(x_2) = (x_1,x_2)$이다.

$Y_1 = X_1\times \{ x_2\}$과 $Y_2 = \{ x_1\}\times X_2$에 대해 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y_1,\mathcal{T}|_{Y_1})$과 $(Y_2,\mathcal{T}|_{Y_2})$일때

임의의 $(X_1,\mathcal{T}_1)$에서 열린집합 $O_1$과 임의의 $(X_2,\mathcal{T}_2)$에서 열린집합 $O_2$에 대해

위상공간의 정의로 $(O_1 ,X_2),(X_1,O_2)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2$가 성립하여 $O_1\times X_2, X_1\times O_2 \in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이므로

$\{ x_1\},O_1 \subseteq X_1$과 $\{ x_2\},O_2 \subseteq X_1$가 성립함에 따라 집합 정리와 위 정리로

$O_1\times \{ x_2\} =(O_1\cap X_1) \times (X_2 \cap \{ x_2\}) =(O_1\times X_2) \cap (X_1\times \{ x_2\}) = (O_1\times X_2)\cap Y_1\in \mathcal{T}|_{Y_1}$와

$\{ x_1\} \times O_2 =(X_1\cap \{ x_1\}) \times (O_2 \cap X_2) =(X_1\times O_2) \cap (\{ x_1\}\times X_2) = (X_1\times O_2)\cap Y_2\in \mathcal{T}|_{Y_2}$가 성립하고

$f_1^{-1}(O_1) = O_1 \times \{ x_2\}$와 $f_2^{-1}(O_2) = \{x_1\} \times O_2$가 성립하므로 연속함수 정리로

$f_1$는 $(X_1,\mathcal{T}_1)$에서 $(Y_1,\mathcal{T}|_{Y_1})$로의 연속함수이고 $f_2$는 $(X_2,\mathcal{T}_2)$에서 $(Y_2,\mathcal{T}|_{Y_2})$로의 연속함수이다.

또 위상공간 정리로

$\mathcal{B}|_{Y_1} = \{ B\cap Y_1 : B\in \mathcal{B}\}$는 $(Y_1,\mathcal{T}|_{Y_1})$의 기저이고 $\mathcal{B}|_{Y_2} = \{ B\cap Y_2 : B\in \mathcal{B}\}$는 $(Y_2,\mathcal{T}|_{Y_2})$의 기저이므로

임의의 $B\in \mathcal{B}$는 $B = B_1\times B_2$인 $(B_1,B_2)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2$가 존재하여

$B_1\subseteq X_1$이고 $B_2\subseteq X_2$임에 따라 집합 정리와 위 정리로

$B_1\times (B_2\cap \{ x_2\}) =(B_1\cap X_1) \times (B_2 \cap \{ x_2\}) =(B_1\times B_2) \cap (X_1\times \{ x_2\}) = (B_1\times B_2)\cap Y_1 = B\cap Y_1$과

$(B_1\cap \{ x_1\}) \times B_2 =(B_1\cap \{ x_1\}) \times (B_2 \cap X_2) =(B_1\times B_2) \cap (\{ x_1\}\times X_2) = (B_1\times B_2)\cap Y_2 = B\cap Y_2$는

집합 정리와 데카르트곱 정리와 위상공간의 정의와 연속함수 정리로

$x_2\in B_2$이면 $f_1(B\cap Y_1) = f_1(B_1\times \{ x_2\}) = B_1\in \mathcal{T}|_{Y_1}$이고

$x_2\notin B_2$이면 $f_1(B\cap Y_1) = f_1(B_1\times \emptyset) =\emptyset \in \mathcal{T}|_{Y_1}$이므로 $f_1^{-1}$은 $(Y_1,\mathcal{T}|_{Y_1})$에서 $(X_1,\mathcal{T}_1)$로의 연속함수이고

$x_1\in B_1$이면 $f_2(B\cap Y_2) = f_2(\{ x_1\}\times B_2) = B_2\in \mathcal{T}|_{Y_2}$이고

$x_1\notin B_1$이면 $f_2(B\cap Y_2) = f_2(\emptyset\times B_2) =\emptyset \in \mathcal{T}|_{Y_2}$이므로 $f_2^{-1}$는 $(Y_2,\mathcal{T}|_{Y_2})$에서 $(X_2,\mathcal{T}_2)$로의 연속함수가 되어

$(X_1,\mathcal{T}_1)$과 $(Y_1,\mathcal{T}|_{Y_1})$은 위상동형이고 $(X_2,\mathcal{T}_2)$와 $(Y_2,\mathcal{T}|_{Y_2})$는 위상동형이다.

위상적 성질로 $(Y_1,\mathcal{T}|_{Y_1})$와 $(Y_2,\mathcal{T}|_{Y_2})$는 연결공간, 경로연결공간이므로

$Y_1 = X_1\times \{ x_2\}$과 $Y_2 = \{ x_1\}\times X_2$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합, 경로연결집합이 되어

위 정리로 $(\{x_1 \}\times X_2) \cap (X_1\times \{x_2\}) = (\{ x_1\}\cap X_1)\times (X_2\cap \{ x_2\}) = \{ x_1\}\times \{ x_2\}\ne \emptyset$임에 따라

연결집합 정리와 경로연결집합 정리로 $(\{x_1 \}\times X_2) \cup (X_1\times \{x_2\})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합, 경로연결집합이고

집합 정리로 $\displaystyle \bigcap_{x_2\in X_2} ((\{ x_1\}\times X_2)\cup (X_1\times \{ x_2\})) = (\{ x_1\}\times X_2)\cup \bigcap_{x_2\in X_2} (X_1\times \{ x_2\}) \ne \emptyset$이므로

연결집합 정리와 경로연결집합 정리로

$\displaystyle \bigcup_{x_2\in X_2} ((\{ x_1\}\times X_2)\cup (X_1\times \{ x_2\})) = (\{ x_1\}\times X_2)\cup \bigcup_{x_2\in X_2} (X_1\times \{ x_2\}) = (\{ x_1\}\times X_2)\cup (X_1\times X_2) = X_1\times X_2 = X\text{는}$

$(X,\mathcal{T})$에서 연결집합, 경로연결집합임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 연결공간, 경로연결공간이다.

$k\ge 2$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때

$(X_1,\mathcal{T}_1),\cdots, (X_k,\mathcal{T}_k),(X_{k+1},\mathcal{T}_{k+1})$이 연결공간, 경로연결공간이면

$(X_1,\mathcal{T}_1),\cdots, (X_k,\mathcal{T}_k)$의 $k$-곱공간 $(\displaystyle \prod_{i=1}^kX_i, \mathcal{P}_k)$는 연결공간, 경로연결공간이고

$(\displaystyle \prod_{i=1}^kX_i, \mathcal{P}_k)$와 $(X_{k+1}, \mathcal{T}_{k+1})$의 $2$-곱공간 $(\displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}X_i, \mathcal{P})$는 연결공간, 경로연결공간이므로 위 정리와 위상적 성질로

$(X_1,\mathcal{T}_1),\cdots, (X_k,\mathcal{T}_k),(X_{k+1},\mathcal{T}_{k+1})$의 $k+1$-곱공간 $(\displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}X_i, \mathcal{T})$는 연결공간, 경로연결공간이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

3, 4

임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in X$와 모든 $i = 1,2,\cdots,n$에 대해

$x_i\in X_i$이고 $(X_i,\mathcal{T}_i)$는 국소연결공간, 국소경로연결공간이므로 국소 연결공간 정리와 국소 경로연결공간 정리로

모든 $B_i\in \mathcal{B}_{x_i}$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 연결집합, 경로연결집합인 $x_i$에 대한 $(X_i,\mathcal{T}_i)$의 국소기저 $\mathcal{B}_{x_i}$가 존재한다.

위 정리로 $\mathcal{B}_x = \{ B_1\times B_2 \times \cdots \times B_n :(B_1,B_2,\cdots, B_n)\in \mathcal{B}_{x_1}\times \mathcal{B}_{x_2}\times \cdots \times \mathcal{B}_{x_n} \}$는

$x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이고 모든 $B\in \mathcal{B}_x$는

$B = B_1\times B_2\times \cdots \times B_n$인 $(B_1,B_2,\cdots, B_n)\in \mathcal{B}_{x_1}\times \mathcal{B}_{x_2}\times \cdots \times \mathcal{B}_{x_n}$이 존재하여

$(B_i,\mathcal{T}_i|_{B_i})$는 연결공간, 경로연결공간이므로

1, 2번으로 $(B_1,\mathcal{T}_1|_{B_1}),(B_2,\mathcal{T}_2|_{B_2}),\cdots, (B_n,\mathcal{T}_n|_{B_n})$의 $n$-곱공간 $(B,\mathcal{T}_B)$는 연결공간, 경로연결공간이고

위 정리로 $\mathcal{T}|_B= \mathcal{T}_B$임에 따라 $B = B_1\times B_2\times \cdots \times B_n$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결공간, 경로연결집합이 되어

국소 연결공간 정리와 국소 경로연결공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 국소 연결공간, 국소 경로연결공간이다.

정리20

위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n\in\mathbb{Z}^+$-곱공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 다음이 성립한다.

1. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 $T_0$공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 $T_0$공간이다.

2. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 $T_1$공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이다.

3. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 $T_{1\frac{1}{3}}$공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 $T_{1\frac{1}{3}}$공간이다.

4. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 $T_2$공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 $T_2$공간이다.

5. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 $T_{2\frac{1}{2}}$공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 $T_{2\frac{1}{2}}$공간이다.

증명

임의의 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $i$-좌표 사영함수가 $p_i :X\to X_i$일때

위 정리로 $\displaystyle \mathcal{S}= \bigcup_{k=1}^n \{p_k^{-1}(O_k) :O_k\in \mathcal{T}_k \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이므로 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{T}$이다.

임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n),y = (y_1,y_2,\cdots,y_n) \in X$가 $x\ne y$이면

$n$-순서쌍의 상등으로 $x_i\ne y_i$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하여 $(X_i,\mathcal{T}_i)$는 $T_0$공간이므로

$x_i\in O_i$와 $y_i\notin O_i$가 성립하거나 $x_i\notin O_i$와 $y_i\in O_i$가 성립하는 $O_i\in \mathcal{T}_i$가 존재하고

$p_i(x)=x_i\in O_i$와 $p_i(y) = y_i\notin O_i$가 성립하거나 $p_i(x)=x_i\notin O_i$와 $p_i(y) = y_i\in O_i$가 성립함에 따라

$x\in p_i^{-1}(O_i)$와 $y\notin p_i^{-1}(O_i)$가 성립하거나 $x\notin p_i^{-1}(O_i)$와 $y\in p_i^{-1}(O_i)$가 성립하여 $(X,\mathcal{T})$는 $T_0$공간이다.

임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n),y = (y_1,y_2,\cdots,y_n) \in X$가 $x\ne y$이면

$n$-순서쌍의 상등으로 $x_i\ne y_i$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하여 $(X_i,\mathcal{T}_i)$는 $T_1$공간이므로

$x_i\in U_i$와 $y_i\notin U_i$가 성립하고 $x_i\notin V_i$와 $y_i\in V_i$가 성립하는 $U_i,V_i\in \mathcal{T}_i$가 존재하고

$p_i(x)=x_i\in U_i$와 $p_i(y) = y_i\notin U_i$가 성립하고 $p_i(x)=x_i\notin V_i$와 $p_i(y) = y_i\in V_i$가 성립함에 따라

$x\in p_i^{-1}(U_i)$와 $y\notin p_i^{-1}(U_i)$가 성립하고 $x\notin p_i^{-1}(V_i)$와 $y\in p_i^{-1}(V_i)$가 성립하여 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이다.

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 $X$의 수열 $((x_{m,1},x_{m,2},\cdots,x_{m,n}))_{m=m_0}^\infty$이

임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n),y = (y_1,y_2,\cdots,y_n) \in X$로 수렴할때

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 위 정리로 $X_i$의 수열 $(x_{m,i})_{m=m_0}^\infty$는 $x_i,y_i$로 수렴하고

$(X_i,\mathcal{T}_i)$는 $T_{1\frac{1}{3}}$공간이므로 $x_i = y_i$가 되어 $n$-순서쌍의 상등으로 $x= y$임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 $T_{1\frac{1}{3}}$공간이다.

임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n), y = (y_1,y_2,\cdots,y_n) \in X$가 $x\ne y$이면

$n$-순서쌍의 상등으로 $x_i\ne y_i$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하여 $(X_i,\mathcal{T}_i)$는 $T_2$공간이므로

$U_i\cap V_i = \emptyset$이고 $x_i\in U_i$와 $y_i\in V_i$가 성립하는 $U_i,V_i\in \mathcal{T}_i$가 존재하고

$p_i(x)=x_i\in U_i$와 $p_i(y) = y_i\in V_i$가 성립하여 $x\in p_i^{-1}(U_i)$와 $y\in p_i^{-1}(V_i)$가 성립하므로

함수 정리로 $p_i^{-1}(U_i)\cap p_i^{-1}(V_i) = p_i^{-1}(U_i\cap V_i) = p_i^{-1}(\emptyset) = \emptyset$임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 $T_2$공간이다.

임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n), y = (y_1,y_2,\cdots,y_n) \in X$가 $x\ne y$이면

$n$-순서쌍의 상등으로 $x_i\ne y_i$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하여 $(X_i,\mathcal{T}_i)$는 $T_{2\frac{1}{2}}$공간이므로

$\underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(U_i)\cap \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(V_i) = \emptyset$이고 $x_i\in U_i$와 $y_i\in V_i$가 성립하는 $U_i,V_i\in \mathcal{T}_i$가 존재하고

$p_i(x)=x_i\in U_i$와 $p_i(y) = y_i\in V_i$가 성립하여 $x\in p_i^{-1}(U_i)$와 $y\in p_i^{-1}(V_i)$가 성립한다.

함수 정리로 $p_i(p_i^{-1}(U_i)) \subseteq U_i$이고 $p_i(p_i^{-1}(V_i)) \subseteq V_i$이므로 연속함수 정리와 폐포 정리로

$p_i(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(U_i))) \subseteq \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(p_i(p_i^{-1}(U_i))) \subseteq \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(U_i) $와

$p_i(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(V_i))) \subseteq \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(p_i(p_i^{-1}(V_i))) \subseteq \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(V_i) $가 성립하여 함수 정리로

$ p_i(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(U_i))\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(V_i))) \subseteq p_i(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(U_i))) \cap p_i(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(V_i))) \subseteq \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(U_i) \cap \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(V_i) = \emptyset \text{ 임에 따라}$

함수 정리로 $ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(U_i))\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(V_i))\subseteq p_i^{-1}(p_i(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(U_i))\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(V_i)))) \subseteq p_i^{-1}(\emptyset) = \emptyset $이고

$ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(U_i))\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(p_i^{-1}(V_i))= \emptyset $이므로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_{2\frac{1}{2}}$공간이다.

정리21

위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n\in\mathbb{Z}^+$-곱공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 다음이 성립한다.

1. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 정칙공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이다.

2. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 완비정칙공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 완비정칙공간이다.

3. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 $T_3$공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 $T_3$공간이다.

4. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$이 $T_{3\frac{1}{2}}$공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 $T_{3\frac{1}{2}}$공간이다.

증명

$\mathcal{B} = \{ O_1\times O_2\times \cdots \times O_n:(O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n \}$일때

위 정리로 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이므로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이고 $\mathcal{T} = \{ \bigcup\mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}$이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$는 $O \in \mathcal{T}$이므로 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$인 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하고

모든 $x=(x_1,x_2,\cdots, x_n)\in O\subseteq X$에 대해 $x\in B$인 $B \in \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하여

$B=O_1\times O_2\times \cdots\times O_n$인 $(O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n$이 존재하므로

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $x_i\in O_i$이고 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 정칙공간임에 따라

정칙공간 정리로 $\underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(V_i)\subseteq O_i$인 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i$의 열린근방 $V_i$가 존재한다.

$x=(x_1,x_2,\cdots, x_n)\in V_1\times V_2\times \cdots \times V_n\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이므로 $V_1\times V_2\times \cdots \times V_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고

위 정리로

$\begin{align*}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_1\times V_2\times \cdots \times V_n) &= \underset{(X_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(V_1)\times \underset{(X_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{cl}}(V_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(V_n) \subseteq O_1\times O_2\times \cdots \times O_n = B \subseteq \bigcup\mathcal{S}=O \text{ 임에 따라} \end{align*}$

정칙공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$는 $X\setminus C\in \mathcal{T}$이므로 $X\setminus C = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$인 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하고

모든 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in X\setminus C$에 대해 $x\in B$인 $B\in \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하여

$B=O_1\times O_2\times \cdots\times O_n$인 $(O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n$이 존재한다.

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 집합 정리로 $x_i\in O_i = X_i\setminus (X_i\setminus O_i)$이고

위상공간 정리로 $X_i\setminus O_i$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 닫힌집합이므로 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 완비정칙공간임에 따라

$1$차원 유클리드 거리공간 $($$[0,1]$$,d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$일때

$f_i(x_i) = 0$이고 $f_i(X_i\setminus O_i)\subseteq \{1\}$이 되는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수 $f_i:X_i\to [0,1]$가 존재한다.

$1$차원 유클리드 거리공간 $($$\mathbb{R}$$,d)$의 거리위상공간이 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$일때

$([0,1],d)$는 $(\mathbb{R},d)$의 부분거리공간이므로 위상공간 정리로 $\mathcal{T}_{\mathbb{R}}|_{[0,1]} = \mathcal{T}_{[0,1]}$이 되어

임의의 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $i$-좌표 사영함수가 $p_i :X\to X_i$일때

위 정리와 연속함수 정리로 $f_i\circ p_i : X\to [0,1]$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수임에 따라

모든 $a = (a_1,a_2,\cdots,a_n) \in X$에 대해 연속함수 정리와 연속함수 정리로

$f(a) = \max \{ f_1(a_1), f_2(a_2),\cdots, f_n(a_n)\} = \max \{ |(f_1\circ p_1)(a)|, |(f_2\circ p_2)(a)|,\cdots, |(f_n\circ p_n)(a)|\}$인

함수 $f:X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이고

$f(x) = \max \{ f_1(x_1), f_2(x_2),\cdots, f_n(x_n)\} = \max \{ 0\} = 0$이다.

$O_1\times O_2\times \cdots \times O_n = B \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S}= X\setminus C$이므로 집합 정리와 집합 정리와 $n$-곱공간의 정의와 위 정리로

$\begin{align*} C & = X\setminus (X\setminus C) \\[0.5em]& \subseteq X\setminus (O_1\times O_2\times \cdots\times O_n) \\[0.5em]& \qquad =(X_1\times X_2\times \cdots \times X_n) \setminus (O_1\times O_2\times \cdots\times O_n) \\[0.5em]& \qquad =\bigcup_{i=1}^n(X_1\times \cdots \times X_{i-1}\times (X_i\setminus O_i) \times X_{i+1}\times \cdots \times X_n) \text{ 이 되어} \end{align*}$

모든 $a =(a_1,a_2,\cdots, a_n)\in C$는

$a\in X_1\times \cdots \times X_{i-1}\times (X_i\setminus O_i) \times X_{i+1}\times \cdots \times X_n$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재함에 따라

$a_i\in X_i\setminus O_i$이고 $f_i(a_i) \in f_i(X_i\setminus O_i) \subseteq \{ 1\}$이므로 $f_i(a_i) = 1$이 되어

$ f(a)= \max \{ f_1(a_1), f_2(a_2),\cdots, f_n(a_n)\} = f_i(a_i) = 1 $이고 $f(C)\subseteq \{ 1\}$이므로 $(X,\mathcal{T})$는 완비정칙공간이다.

$T_3$공간의 정의로 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$은 $T_1$공간이고 정칙공간이므로

위 정리와 1번으로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이고 정칙공간이 되어 $(X,\mathcal{T})$는 $T_3$공간이다.

$T_{3\frac{1}{2}}$공간의 정의로 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$은 $T_1$공간이고 완비정칙공간이므로

위 정리와 2번으로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이고 완비정칙공간이 되어 $(X,\mathcal{T})$는 $T_{3\frac{1}{2}}$공간이다.

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정의의 링크 :

https://openknowledgevl.tistory.com/113#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

정리의 링크 :

https://openknowledgevl.tistory.com/113#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402

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정의1

정리1

증명

정리2

증명

정의2

정리3

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