약한위상공간(Weak topological space), 몫공간(Quotient space)

정의1

집합의 위상의 비교 :

임의의 집합 $X$의 임의의 위상 $\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2$가 $\mathcal{T}_1\subseteq \mathcal{T}_2$이면

$\mathcal{T}_1$은 $\mathcal{T}_2$보다 약하다(weaker) 또는 약한 위상이라 정의하고

$\mathcal{T}_2$는 $\mathcal{T}_1$보다 강하다(stronger) 또는 강한 위상이라 정의한다.

약한위상공간 :

임의의 집합 $X$와 $I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해

위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$와 $X$에서 $X_i$로의 함수들의 공집합이 아닌 임의의 집합 $\mathcal{F}_i$가 유일하게 존재할때

$\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ f_i^{-1}(O_i) : (O_i, f_i)\in \mathcal{T}_i\times \mathcal{F}_i \}$에 대해

$\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty\{  S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n:(S_1,S_2,\cdots, S_n)\in \mathcal{S}^n \}$이고 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{O} :\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\}$이면

순서쌍 $(X,\mathcal{T})$를 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i,\mathcal{F}_i): i\in I\}$의 약한위상공간 또는 $I$-약한위상공간으로 정의한다.

몫공간 :

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 집합 $Y$의 멱집합 $\mathcal{P}(Y)$와 전사함수 $g: X\to Y$에 대해

$\displaystyle \mathcal{T}_g = \{ O\in \mathcal{P}(Y) : g^{-1}(O)\in \mathcal{T}\}$인 순서쌍 $(Y,\mathcal{T}_g)$를 $g$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 몫공간으로 정의한다.

 

 

 

정리14

임의의 집합 $X$의 임의의 위상 $\mathcal{T}_1,\mathcal{T}_2$가 $\mathcal{T}_1\subseteq \mathcal{T}_2$일때 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $E$가 $(X,\mathcal{T}_1)$에서 열린집합이면 $E$는 $(X,\mathcal{T}_2)$에서 열린집합이다.

2. $E$가 $(X,\mathcal{T}_1)$에서 닫힌집합이면 $E$는 $(X,\mathcal{T}_2)$에서 닫힌집합이다.

3. $\underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{int}}(E)$

4. $\underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{ext}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{ext}}(E)$

5. $\underset{(X,\mathcal{T}_2)}{E'} \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_1)}{E'}$

6. $\underset{(X,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(E)$

7. $\underset{(X,\mathcal{T}_2)}{\partial E} \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\partial E}$

8. $E$가 $(X,\mathcal{T}_2)$에서 콤팩트하면 $E$는 $(X,\mathcal{T}_1)$에서 콤팩트하다.

증명

1.

열린집합의 정의로 $E\in \mathcal{T}_1\subseteq \mathcal{T}_2$이므로 $E$는 $(X,\mathcal{T}_2)$에서 열린집합이다.

2.

닫힌집합의 정의로 $X\setminus E\in \mathcal{T}_1\subseteq \mathcal{T}_2$이므로 $E$는 $(X,\mathcal{T}_2)$에서 닫힌집합이다.

3.

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(E) \subseteq E$이고 $\underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(E)$는 $(X,\mathcal{T}_1)$에서 열린집합이므로

1번으로 $\underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(E)$는 $(X,\mathcal{T}_2)$에서 열린집합이 되어 내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{int}}(E)$이다.

4.

외부 정리와 3번으로 $\underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{ext}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{int}}(X\setminus E) = \underset{(X,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{ext}}(E)$이다.

5.

모든 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_2)}{E'}$에 대해 1번으로 모든 $(X,\mathcal{T}_1)$에서 $x$의 열린근방 $V$가 $(X,\mathcal{T}_2)$에서 $x$의 열린근방임에 따라

집적점의 정의로 $y\in V$이고 $x\ne y$인 $y\in E$가 존재하여 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_1)}{E'}$이므로 $\underset{(X,\mathcal{T}_2)}{E'} \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_1)}{E'}$이다.

6.

5번과 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{cl}}(E)=E\cup \underset{(X,\mathcal{T}_2)}{E'} \subseteq E\cup \underset{(X,\mathcal{T}_1)}{E'} = \underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(E)$이다.

7.

경계 정리와 3, 5번과 집합 정리로

$\underset{(X,\mathcal{T}_2)}{\partial E} = \underset{(X,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{cl}}(E)\setminus \underset{(X,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{int}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(E)\setminus \underset{(X,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{int}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(E)\setminus \underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\partial E}$이다.

8.

모든 $(X,\mathcal{T}_1)$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$는 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이고 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}_1\subseteq \mathcal{T}_2$이므로 

$\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T}_2)$에서 $E$의 열린덮개가 되어 콤팩트 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재함에 따라 

콤팩트 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T}_1)$에서 콤팩트하다.

 

 

 

정리1

임의의 집합 $X$에 대해 $\mathbf{A}\ne \emptyset$인 임의의 집합족 $\mathbf{A}$의 모든 $\mathcal{T}\in \mathbf{A}$가 $X$의 위상일때 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{S} = \displaystyle \bigcap \mathbf{A}$에 대해 $(X,\mathcal{S})$는 위상공간이다.

2. $\mathcal{A} = \displaystyle \bigcup \mathbf{A}$이고 $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n : (A_1,A_2,\cdots, A_n)\in \mathcal{A}^n\}$일때

$\mathcal{U} = \{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B} \}$에 대해 $(X,\mathcal{U})$는 위상공간이고 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{U})$의 부분기저이다.

3. $X$의 임의의 위상 $\mathcal{R}$이 모든 $\mathcal{T}\in \mathbf{A}$에 대해 $\mathcal{R}\subseteq \mathcal{T}$이면 1번의 $\mathcal{S}$에 대해 $ \mathcal{R}\subseteq \mathcal{S}$이다.

4. $X$의 임의의 위상 $\mathcal{V}$가 모든 $\mathcal{T}\in \mathbf{A}$에 대해 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{V}$이면 2번의 $\mathcal{U}$에 대해 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{V}$이다.

증명

$X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$이고 $\mathcal{P}(X)$의 멱집합이 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$일때 순서집합 정리로 $(\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)),\subseteq )$는 부분순서집합이고

위상의 정의로 모든 $\mathcal{T}\in \mathbf{A}$에 대해 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$이므로 $\mathcal{T}\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$가 되어 $\mathbf{A}\subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$이다.

1.

$\mathbf{A}\ne \emptyset$이므로 어떤 $\mathcal{T}\in \mathbf{A}$가 존재하여 위상의 정의와 교집합의 정의로 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$이다.

위상의 정의로 모든 $\mathcal{T}\in \mathbf{A}$에 대해 $\emptyset,X\in \mathcal{T}$이므로 교집합의 정의로 $\emptyset,X\in \mathcal{S}$이다.

교집합의 정의로 모든 $\mathcal{T}\in \mathbf{A}$에 대해 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{T}$이므로

모든 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{S}$는 위상의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{O}\in \mathcal{T}$가 되어 교집합의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{O}\in \mathcal{S}$이고

모든 $O_1,O_2\in \mathcal{S}$에 대해 위상의 정의로 $O_1\cap O_2\in \mathcal{T}$이므로 $O_1\cap O_2\in \mathcal{S}$임에 따라 $(X,\mathcal{S})$는 위상공간이다.

2.

임의의 $A\in \mathcal{A}$에 대해

합집합의 정의로 $A\in \mathcal{T}$인 $\mathcal{T}\in \mathbf{A}$가 존재하여 위상의 정의로 $A\in \mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$이므로 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X)$이다.

임의의 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{A}$는 $x\in A$인 $A\in \mathcal{A}$가 존재하여 $x\in A\subseteq X$이므로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{A}\subseteq X$이고

$\mathbf{A}\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{T}\in \mathbf{A}$가 존재하여 위상의 정의로 $X\in \mathcal{T}\in \mathbf{A}$임에 따라 $X\in \displaystyle \bigcup \mathbf{A} = \mathcal{A}$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{A}$이므로

집합 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{A}= X$가 되어 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{U})$는 위상공간이고 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{U})$의 부분기저이다.

3.

모든 $\mathcal{T}\in \mathbf{A}$에 대해 $\mathcal{R}\subseteq \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{R}$은 $(\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)),\subseteq )$에서 $\mathbf{A}$의 하계이고

순서집합 정리로 $\mathcal{S} = \displaystyle \bigcap \mathbf{A} = \underset{(\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)))}{\inf} \mathbf{A}$가 되어 하한의 정의로 $\mathcal{R}\subseteq \mathcal{S}$이다.

4.

모든 $\mathcal{T}\in \mathbf{A}$에 대해 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{V}$이므로 $\mathcal{V}$는 $(\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)),\subseteq )$에서 $\mathbf{A}$의 상계이고

순서집합 정리로 $\mathcal{A} = \displaystyle \bigcup \mathbf{A} = \underset{(\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)))}{\sup} \mathbf{A}$가 되어 상한의 정의로 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{V}$이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $A_1,A_2,\cdots, A_n\in \mathcal{A}\subseteq \mathcal{V}$에 대해 위상 정리로 $A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n\in \mathcal{V}$이 되어 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{V}$이고

모든 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$는 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\subseteq \mathcal{V}$이므로 위상의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{O}\in \mathcal{V}$임에 따라 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{V}$이다.

 

 

 

정리2

임의의 집합 $X$와 $I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해

위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$와 $X$에서 $X_i$로의 함수들의 공집합이 아닌 임의의 집합 $\mathcal{F}_i$가 유일하게 존재할때

$\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{i\in I} \{ f_i^{-1}(O_i) : (O_i, f_i)\in \mathcal{T}_i\times \mathcal{F}_i \}$와 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i,\mathcal{F}_i): i\in I\}$의 약한위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

2. $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이다.

3. 모든 $i\in I$에 대해 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이다.

4. 모든 위상공간 $(X,\mathcal{U})$와 모든 $i\in I$에 대해 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$가 $(X,\mathcal{U})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이면 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{U}$이다.

5. 위상공간 $(C,\mathcal{T}_C)$의 임의의 점이 $c\in C$일때

함수 $f:C\to X$가 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $c$에서 연속이기 위한 필요충분조건은

모든 $i\in I$와 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$에 대해 합성함수 $f_i\circ f : C \to X_i$가 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에 대해 $c$에서 연속인 것이다.

증명

1, 2

$X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 모든 $i\in I$에 대해 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$는 $f_i:X\to X_i$인 함수이고

모든 $O_i\in \mathcal{T}_i$는 위상공간의 정의로 $O_i\subseteq X_i$이므로 역상의 정의로 $f_i^{-1}(O_i)\subseteq X$가 되어

멱집합의 정의로 $f_i^{-1}(O_i)\in \mathcal{P}(X)$임에 따라 $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{P}(X)$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$에 대해 $x\in S$인 $S\in \mathcal{S}$가 존재하여 $x\in S\subseteq X$이므로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{S}\subseteq X$이고

$I\ne \emptyset$이므로 $i\in I$가 존재하고 $\mathcal{F}_i\ne \emptyset$임에 따라 $f_i\in \mathcal{F}_i$가 존재하여 함수 정리로 $X=f_i^{-1}(X_i) \in \mathcal{S}$이므로 

$X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$이고 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{S}= X$이다.

따라서 약한위상공간의 정의와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이고 $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이다.

3.

모든 $i\in I$와 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$에 대해 모든 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 열린집합 $O_i$는 $O_i\in \mathcal{T}_i$임에 따라

부분기저의 정의로 $f_i^{-1}(O_i)\in \mathcal{S}\subseteq \mathcal{T}$이므로 $f_i^{-1}(O_i)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어

연속함수 정리로 $f_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이다.

4.

모든 $i\in I$에 대해 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$가 $(X,\mathcal{U})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이므로

연속함수 정리로 모든 $O_i\in \mathcal{T}_i$에 대해 $f_i^{-1}(O_i)\in \mathcal{U}$가 되어 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{U}$이고 

$\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty\{  S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n:(S_1,S_2,\cdots, S_n)\in \mathcal{S}^n \}$일때 

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $S_1,S_2,\cdots, S_n\in \mathcal{S}\subseteq \mathcal{U}$에 대해 위상공간 정리로 $S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n\in \mathcal{U}$임에 따라

$\mathcal{B}\subseteq \mathcal{U}$이므로 모든 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$에 대해 위상공간의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{O}\in \mathcal{U}$가 되어 

약한위상공간의 정의로 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{O} :\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\} \subseteq \mathcal{U}$이다.

5.

$f$가 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $c$에서 연속이면

3번으로 모든 $i\in I$에 대해 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수임에 따라

연속 정리로 $f_i\circ f$는 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에 대해 $c$에서 연속이다.

역으로 모든 $i\in I$와 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$에 대해 $f_i\circ f$가 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에 대해 $c$에서 연속이면

$f(c)\in f_i^{-1}(O_i)$인 모든 $O_i\in \mathcal{T}_i$는 $(f_i\circ f)(c) = f_i(f(c))\in O_i$이므로 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $(f_i\circ f)(c)$의 근방이 되어

함수 정리와 연속 정리로 $f^{-1}(f_i^{-1}(O_i))=(f_i\circ f)^{-1}(O_i)$는 $(C,\mathcal{T}_C)$에서 $c$의 근방이고

2번으로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I} \{f_i^{-1}(O_i) :(O_i,f_i)\in \mathcal{T}_i\times \mathcal{F}_i \}$가 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저임에 따라

부분기저 정리로 $f$는 $(C,\mathcal{T}_C)$와 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $c$에서 연속이다.

 

 

 

정리13

임의의 양의 정수 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 위상공간이 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots ,(X_n,\mathcal{T}_n)$이고

임의의 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $n$-데카르트곱 $X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i:X\to X_i$일때

$(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots ,(X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n$-곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i,\{ p_i\}): i=1,2,\cdots,n\}$의 약한위상공간이다.

증명

유한 곱공간 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i= 1}^n\{ p_i^{-1}(O_i) : O_i\in \mathcal{T}_i\} =\bigcup_{i=1}^n \{ f_i^{-1}(O_i) : (O_i,f_i)\in \mathcal{T}_i \times \{ p_i\} \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이므로

$(X,\mathcal{T})$는 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i,\{ p_i\}): i=1,2,\cdots,n\}$의 약한위상공간이다.

 

 

 

정리3

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 유일하게 존재하고

일반 데카르트곱 $X = \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i :X\to X_i$일때

$\{ (X_i,\mathcal{T}_i): i\in I\}$의 일반 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i,\{ p_i\}): i\in I\}$의 약한위상공간이다.

증명

일반 곱공간의 정의와 약한위상공간의 정의로

$\{ (X_i,\mathcal{T}_i): i\in I\}$의 일반 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i,\{ p_i\}): i\in I\}$의 약한위상공간이다.

 

 

 

정리4

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 집합 $Y$에 대해 전사함수 $g: X\to Y$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 몫공간이 $(Y,\mathcal{T}_g)$일때 다음이 성립한다.

1. $(Y,\mathcal{T}_g)$는 위상공간이다.

2. $g$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{T}_g)$로의 연속함수이다.

3. 모든 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $g$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이면 $\mathcal{T}_Y\subseteq \mathcal{T}_g$이다.

4. 위상공간 $(Z,\mathcal{T}_Z)$에 대해 함수 $h:Y\to Z$가 $(Y,\mathcal{T}_g)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 연속함수이기 위한 필요충분조건은

합성함수 $h \circ g : X\to Z$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 연속함수인 것이다.

증명

1.

$\emptyset\subseteq Y$이고 역상의 정의와 위상공간의 정의로 $g^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \mathcal{T}$이므로 몫공간의 정의로 $\emptyset\in \mathcal{T}_g$이고

$Y\subseteq Y$이고 함수 정리와 위상공간의 정의로 $g^{-1}(Y) = X \in \mathcal{T}$이므로 몫공간의 정의로 $Y\in \mathcal{T}_g$이다.

임의의 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{T}_g$에 대해

모든 $y\in \displaystyle \bigcup \mathcal{G}$는 $y\in O$인 $O\in \mathcal{G}\subseteq \mathcal{T}_g$가 존재하여 몫공간의 정의로 $y\in O\subseteq Y$이므로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{G}\subseteq Y$이고

몫공간의 정의로 모든 $O\in \mathcal{G}\subseteq \mathcal{T}_g$는 $g^{-1}(O)\in \mathcal{T}$이므로

함수 정리와 위상공간 정리로 $\displaystyle g^{-1}(\bigcup \mathcal{G})=g^{-1}(\bigcup_{O\in \mathcal{G}}O) =\bigcup_{O\in \mathcal{G}} g^{-1}(O)\in \mathcal{T}$가 되어 몫공간의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{G}\in \mathcal{T}_g$이다.

임의의 $O_1,O_2\in \mathcal{T}_g$에 대해

몫공간의 정의로 $O_1\cap O_2\subseteq O_1\subseteq Y$이고 $g^{-1}(O_1)\in \mathcal{T}$와 $g^{-1}(O_2)\in \mathcal{T}$가 성립하므로

함수 정리와 위상공간의 정의로 $g^{-1}(O_1\cap O_2) =g^{-1}(O_1)\cap g^{-1}(O_2)\in \mathcal{T}$가 되어

몫공간의 정의로 $O_1\cap O_2\in \mathcal{T}_g$임에 따라 $(Y,\mathcal{T}_g)$는 위상공간이다.

2.

모든 $(Y,\mathcal{T}_g)$에서 열린집합 $O$는 $O\in \mathcal{T}_g$이므로 몫공간의 정의로 $g^{-1}(O)\in \mathcal{T}$가 되어

$g^{-1}(O)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라 연속함수 정리로 $g$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{T}_g)$로의 연속함수이다.

3.

모든 $O\in \mathcal{T}_Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이고 $g$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이므로

연속함수 정리로 $g^{-1}(O)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어 $g^{-1}(O)\in \mathcal{T}$임에 따라

몫공간의 정의로 $O\in \mathcal{T}_g$이고 $\mathcal{T}_Y\subseteq \mathcal{T}_g$이다.

4.

$h$가 $(Y,\mathcal{T}_g)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 연속함수이면

2번으로 $g$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{T}_g)$로의 연속함수임에 따라

연속함수 정리로 $h\circ g$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 연속함수이다.

역으로 $h \circ g$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 연속함수이면

함수 정리로 모든 $O\in \mathcal{T}_Z$에 대해 $(h\circ g)^{-1}(O) = g^{-1}(h^{-1}(O))$이고 $O$는 $(Z,\mathcal{T}_Z)$에서 열린집합이므로

연속함수 정리로 $(h\circ g)^{-1}(O) = g^{-1}(h^{-1}(O))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어 $g^{-1}(h^{-1}(O))\in \mathcal{T}$이고

역상의 정의와 몫공간의 정의로 $h^{-1}(O)\in \mathcal{T}_g$임에 따라 $h^{-1}(O)$는 $(Y,\mathcal{T}_g)$에서 열린집합이므로 

연속함수 정리로 $h$는 $(Y,\mathcal{T}_g)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정의2

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 임의의 함수가 $f:X\to Y$일때

열린함수(open map) :

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합 $O$에 대해

$f(O)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이면 $f$를 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 열린함수로 정의한다.

닫힌함수(closed map) :

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합 $C$에 대해 

$f(C)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이면 $f$를 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 닫힌함수로 정의한다.

 

 

 

정리5

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$와 함수 $f:X\to Y$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이면 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 열린함수이고 닫힌함수이다.

2. $f$가 전단사함수일때

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 열린함수이기 위한 필요충분조건은

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 닫힌함수인 것이다.

3. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 열린함수이기 위한 필요충분조건은

모든 $E\subseteq X$에 대해 내부가 $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E)) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(f(E))$인 것이다.

4. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 닫힌함수이기 위한 필요충분조건은

모든 $E\subseteq X$에 대해 폐포가 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(E)) \subseteq f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E))$인 것이다.

증명

1.

위상동형사상 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 열린함수이고 닫힌함수이다.

2.

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 열린함수이면

임의의 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합 $C$에 대해 $X\setminus C$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합임에 따라

전사 정리와 단사 정리와 열린함수의 정의로 $Y\setminus f(C) =f(X)\setminus f(C)=f(X\setminus C)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이므로

$f(C)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이 되어 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 닫힌함수이다.

역으로 $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 닫힌함수이면

임의의 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합 $O$에 대해 위상공간 정리로 $X\setminus O$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합임에 따라

전사 정리와 단사 정리와 닫힌함수의 정의로 $Y\setminus f(O) =f(X)\setminus f(O)=f(X\setminus O)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이므로

집합 정리로 $f(O) = Y\setminus (Y\setminus f(O))$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이 되어 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 열린함수이다.

3.

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 열린함수이면

모든 $E\subseteq X$에 대해 내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이고 $\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E)\subseteq E$임에 따라

열린함수의 정의로 $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E))$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이고 상의 정의로 $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E))\subseteq f(E)$이므로

내부 정리로 $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E)) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(f(E))$이다.

역으로 모든 $E\subseteq X$에 대해 $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E)) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(f(E))$이면

임의의 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합 $O$에 대해 내부 정리로 $f(O)=f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(O)) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(f(O)) \subseteq f(O)$이므로

집합 정리로 $f(O)=\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(f(O))$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이 되어 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 열린함수이다.

4.

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 닫힌함수이면

모든 $E\subseteq X$에 대해 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이고 $E\subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E)$임에 따라

닫힌함수의 정의로 $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E))$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이고 상의 정의로 $f(E)\subseteq f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E))$이므로

폐포 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(E)) \subseteq f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E))$이다.

역으로 모든 $E\subseteq X$에 대해 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(E)) \subseteq f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E))$이면

임의의 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합 $C$에 대해 폐포 정리로 $f(C)\subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(C)) \subseteq f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(C)) = f(C)$이므로

집합 정리로 $f(C)=\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(C))$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이 되어 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 닫힌함수이다.

 

 

 

정리11

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$와 단사함수 $f:X\to Y$에 대해 부분위상공간이 $(E,\mathcal{T}_X|_E),(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$일때

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 열린함수 또는 닫힌함수이면 모든 $x\in E$에 대해 $g(x) = f(x)$인

함수 $g:E\to f(E)$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$로의 열린함수이고 닫힌함수이다.

증명

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 열린함수이면

모든 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 열린집합 $O_E$에 대해 위상공간 정리로 $O_E = O\cap E$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합 $O$가 존재하여

열린함수의 정의로 $f(O)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이므로

위상공간 정리로 $f(O)\cap f(E)$는 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$에서 열린집합이고

함수 정리와 단사 정리로 $g(O_E) = f(O_E) = f(O\cap E) =f(O)\cap f(E)$임에 따라

$g$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$로의 열린함수이다.

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 닫힌함수이면

모든 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 닫힌집합 $C_E$에 대해 위상공간 정리로 $C_E = C\cap E$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합 $C$가 존재하여

닫힌함수의 정의로 $f(C)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이므로

위상공간 정리로 $f(C)\cap f(E)$는 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$에서 닫힌집합이고

함수 정리와 단사 정리로 $g(C_E) = f(C_E) = f(C\cap E) =f(C)\cap f(E)$임에 따라

$g$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$로의 닫힌함수이다.

따라서 $f$는 단사이므로 함수 정리로 $g$는 전단사가 되어

위 정리로 $g$는 $(E,\mathcal{T}_X|_E)$에서 $(f(E),\mathcal{T}_Y|_{f(E)})$로의 열린함수이고 닫힌함수이다.

 

 

 

정리12

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 전사함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 닫힌함수일때

$(X,\mathcal{T}_X)$가 $T_1$공간이면 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_1$공간이다.

증명

모든 $y\in Y$에 대해

전사의 정의로 $f(x) = y$인 $x\in X$가 존재하므로 $T_1$공간 정리로 $\{x\}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이 되어

닫힌함수의 정의로 $\{ y\} = \{ f(x)\} = f(\{ x\})$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합임에 따라

$T_1$공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_1$공간이다.

 

 

 

정리6

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 전사함수 $g : X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수일때

$g$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 몫공간 $(Y,\mathcal{T}_g)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $g$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 열린함수이면 $\mathcal{T}_Y = \mathcal{T}_g$이다.

2. $g$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 닫힌함수이면 $\mathcal{T}_Y = \mathcal{T}_g$이다.

증명

$g$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이므로 위 정리로 $\mathcal{T}_Y \subseteq \mathcal{T}_g$이다.

1.

임의의 $O\in \mathcal{T}_g$에 대해 몫공간의 정의로 $g^{-1}(O)\in \mathcal{T}_X$이므로

전사 정리와 열린함수의 정의로 $O= g(g^{-1}(O))\in \mathcal{T}_Y$가 되어 $\mathcal{T}_g \subseteq \mathcal{T}_Y$이고 집합 정리로 $\mathcal{T}_Y = \mathcal{T}_g$이다.

2.

임의의 $O\in \mathcal{T}_g$에 대해 몫공간의 정의로 $g^{-1}(O)\in \mathcal{T}_X$이므로

함수 정리와 위상공간 정리로 $g^{-1}(Y\setminus O)=g^{-1}(Y)\setminus g^{-1}(O) =X\setminus g^{-1}(O)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이 되어

전사 정리와 닫힌함수의 정의로 $Y\setminus O= g(g^{-1}(Y\setminus O))$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합임에 따라

$O\in \mathcal{T}_Y$이고 $\mathcal{T}_g \subseteq \mathcal{T}_Y$이므로 집합 정리로 $\mathcal{T}_Y = \mathcal{T}_g$이다.

 

 

 

정의3

몫함수 :

임의의 집합 $X$의 동치관계가 $\mathcal{R}$이고 $\mathcal{R}$에 대한 $X$의 몫집합이 $X/\mathcal{R}$일때

임의의 $x\in X$의 $\mathcal{R}$에 대한 동치류 $[x]_\mathcal{R}\in X/\mathcal{R}$에 대해

$q(x) = [x]_\mathcal{R}$인 함수 $q :X\to X/\mathcal{R}$를 $\mathcal{R}$에 대한 $X$의 몫함수로 정의한다.

동치관계에 대한 몫공간 :

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $X$의 동치관계 $\mathcal{R}$에 대한 $X$의 몫함수 $q :X\to X/\mathcal{R}$에 대해

동치류 정리로 $q$는 전사이므로 $q$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 몫공간 $(X/\mathcal{R},\mathcal{T}_\mathcal{R})$을 $\mathcal{R}$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 몫공간으로 정의한다.

$X/\mathcal{R}$의 멱집합 $\mathcal{P}(X/\mathcal{R})$에 대해 몫공간의 정의로 $\mathcal{T}_\mathcal{R} = \{ O\in \mathcal{P}(X/\mathcal{R}) : q^{-1}(O)\in \mathcal{T}\}$이다.

 

 

 

정리7

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 전사함수 $f : X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수일때

모든 $x_1,x_2\in X$가 $(x_1,x_2)\in \mathcal{R}$이기 위한 필요충분조건이 $f(x_1) = f(x_2)$인 $X$의 관계 $\mathcal{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{R}$은 $X$의 동치관계이다.

2. 모든 $x\in X$의 $\mathcal{R}$에 대한 동치류 $[x]_\mathcal{R}$에 대해 $h([x]_\mathcal{R}) = f(x)$인 전단사함수 $h:X/\mathcal{R}\to Y$가 유일하게 존재한다.

3. $\mathcal{R}$에 대한 $(X,\mathcal{T}_X)$의 몫공간이 $(X/\mathcal{R},\mathcal{T}_\mathcal{R})$이고 $f$에 대한 $(X,\mathcal{T}_X)$의 몫공간이 $(Y,\mathcal{T}_f)$일때

$h$가 $(X/\mathcal{R},\mathcal{T}_\mathcal{R})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이기 위한 필요충분조건은 $\mathcal{T}_Y = \mathcal{T}_f$인 것이다.

증명

1.

모든 $x\in X$에 대해 집합 정리로 $f(x) =f(x)$이므로 $(x,x)\in \mathcal{R}$이다.

모든 $x_1,x_2\in X$가 $(x_1,x_2)\in \mathcal{R}$이면 $f(x_1) = f(x_2)$이므로 집합 정리로 $f(x_2)=f(x_1)$이 되어 $(x_2,x_1)\in \mathcal{R}$이다.

모든 $x_1,x_2,x_3\in X$가 $(x_1,x_2)\in \mathcal{R}$이고 $(x_2,x_3)\in \mathcal{R}$이면

$f(x_1) = f(x_2)$이고 $f(x_2) = f(x_3)$이므로 집합 정리로 $f(x_1) = f(x_3)$이 되어 $(x_1,x_3)\in \mathcal{R}$임에 따라

$\mathcal{R}$은 $X$의 동치관계이다.

2.

모든 $x\in X$에 대해 $h_1([x]_\mathcal{R}) = f(x)$이고 $h_2([x]_\mathcal{R}) = f(x)$인 함수 $h_1,h_2:X/\mathcal{R}\to Y$가 존재하면

모든 $E\in X/\mathcal{R}$는 몫집합의 정의로 $E = [x]_\mathcal{R}$인 $x\in X$가 존재함에 따라

$h_1(E) = h_1([x]_\mathcal{R}) = f(x) = h_2([x]_\mathcal{R}) = h_2(E)$이므로 함수의 상등으로 $h_1=h_2$이다.

분류 공리로 집합 $h = \{ (E,y)\in X/\mathcal{R}\times Y : \text{어떤 }x\in E\text{에 대해 } f(x) = y \}$가 존재하고 $h\subseteq X/\mathcal{R}\times Y$이다.

임의의 $E\in X/\mathcal{R}$와 임의의 $y_1,y_2\in Y$에 대해 $(E,y_1)\in h$이고 $(E,y_2)\in h$이면 

어떤 $x_1,x_2\in E$가 존재하여 $f(x_1)=y_1$과 $f(x_2) = y_2$가 성립하므로

동치류 정리로 $[x_1]_\mathcal{R} = E = [x_2]_\mathcal{R}$이고 $(x_1,x_2)\in \mathcal{R}$임에 따라 $y_1 = f(x_1) = f(x_2) = y_2$가 되어

$h$는 $h:X/\mathcal{R}\to Y$인 함수이다.

임의의 $x\in X$에 대해 몫집합의 정의로 $[x]_\mathcal{R}\in X/\mathcal{R}$이므로 $h([x]_\mathcal{R}) = y\in Y$에 대해

$f(x_0) = y$인 $x_0 \in [x]_\mathcal{R}$이 존재하여 동치류의 정의로 $(x_0,x)\in \mathcal{R}$임에 따라 $h([x]_\mathcal{R}) = y= f(x_0) = f(x)$이다.

모든 $y\in Y$에 대해 전사의 정의로 $f(x) = y$인 $x\in X$가 존재하여

몫집합의 정의로 $[x]_\mathcal{R}\in X/\mathcal{R}$이고 $h([x]_\mathcal{R}) = f(x) = y$이므로 $h$는 전사이다.

임의의 $E_1,E_2\in X/\mathcal{R}$에 대해 $h(E_1) = h(E_2)$이면

몫집합의 정의로 $E_1 = [x_1]_\mathcal{R}$이고 $E_2 = [x_2]_\mathcal{R}$인 $x_1,x_2\in X$가 존재하여

$f(x_1) = h([x_1]_\mathcal{R})=h(E_1) = h(E_2) = h([x_2]_\mathcal{R}) = f(x_2)$이므로 $(x_1,x_2)\in \mathcal{R}$임에 따라

동치류 정리로 $E_1 = [x_1]_\mathcal{R} = [x_2]_\mathcal{R}= E_2$이고 $h$는 단사이다.

3.

$\mathcal{R}$에 대한 $X$의 몫함수가 $q :X\to X/\mathcal{R}$일때

모든 $x\in X$에 대해 $(h\circ q)(x)=h(q(x))=h([x]_\mathcal{R}) = f(x)$이므로 함수의 상등으로 $h\circ q = f$이고

2번과 역함수 정리로 $h$의 역함수 $h^{-1}: Y\to X/\mathcal{R}$이 존재하여 $q = h^{-1}\circ h \circ q = h^{-1}\circ f$이다.

$h$가 $(X/\mathcal{R},\mathcal{T}_\mathcal{R})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이면

모든 $O\in \mathcal{T}_f$에 대해 함수 정리와 몫공간의 정의로 $q^{-1}(h^{-1}(O)) = (h\circ q)^{-1}(O) = f^{-1}(O)\in \mathcal{T}_X$이므로

몫공간의 정의로 $h^{-1}(O)\in \mathcal{T}_\mathcal{R}$가 되어

위상동형사상의 정의와 함수 정리와 위상동형사상 정리로 $O=h(h^{-1}(O))\in \mathcal{T}_Y$임에 따라 $\mathcal{T}_f\subseteq \mathcal{T}_Y$이고

$f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이므로 위 정리로 $\mathcal{T}_Y \subseteq \mathcal{T}_f$가 되어 집합 정리로 $\mathcal{T}_Y=\mathcal{T}_f$이다.

역으로 $\mathcal{T}_Y=\mathcal{T}_f$이면

모든 $V\in \mathcal{T}_Y = \mathcal{T}_f$에 대해 함수 정리와 몫공간의 정의로

$q^{-1}(h^{-1}(V))=(h\circ q)^{-1}(V)=f^{-1}(V)\in \mathcal{T}_X$이므로 몫공간의 정의로 $h^{-1}(V)\in \mathcal{T}_\mathcal{R}$이고

모든 $U \in \mathcal{T}_\mathcal{R}$에 대해 함수 정리와 함수 정리와 몫공간의 정의로

$f^{-1}(h(U))= f^{-1}((h^{-1})^{-1}(U))=(h^{-1}\circ f)^{-1}(U) =q^{-1}(U)\in \mathcal{T}_X$이므로

몫공간의 정의로 $h(U)\in \mathcal{T}_f = \mathcal{T}_Y$가 되어

위상동형사상 정리로 $h$는 $(X/\mathcal{R},\mathcal{T}_\mathcal{R})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이다.

 

 

 

정리8

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 집합 $Y$와 전사함수 $g : X\to Y$에 대해

$(X,\mathcal{T})$가 분해가능하면 $g$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 몫공간 $(Y,\mathcal{T}_g)$는 분해가능하다.

증명

$(X,\mathcal{T})$가 분해가능하므로 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이고 가산집합인 $E\subseteq X$가 존재한다.

$O\ne \emptyset$인 모든 $O\in \mathcal{T}_g$에 대해 

$y\in O\subseteq Y$가 존재하여 전사의 정의로 $g(x) = y\in O$인 $x\in X$가 존재하므로 $x\in g^{-1}(O)$이고 $g^{-1}(O)\ne \emptyset$이다.

몫공간의 정의로 $g^{-1}(O)\in \mathcal{T}$이므로 조밀집합 정리로 $E\cap g^{-1}(O)\ne \emptyset$이 되어 $x\in E\cap g^{-1}(O)$가 존재하고

함수 정리와 전사 정리로 $g(x) \in g(E\cap g^{-1}(O)) \subseteq g(E)\cap g(g^{-1}(O)) = g(E)\cap O$임에 따라 $g(E)\cap O\ne \emptyset$이므로

조밀집합 정리로 $g(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_g)$에서 조밀집합이고 함수 정리로 $g(E)$는 가산집합이 되어 $(Y,\mathcal{T}_g)$는 분해가능하다.

 

 

 

정리9

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 집합 $Y$와 전사함수 $g : X\to Y$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 몫공간 $(Y,\mathcal{T}_g)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이면 $(Y,\mathcal{T}_g)$는 콤팩트공간이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 점렬 콤팩트공간이면 $(Y,\mathcal{T}_g)$는 점렬 콤팩트공간이다.

3. $(X,\mathcal{T})$가 가산 콤팩트공간이면 $(Y,\mathcal{T}_g)$는 가산 콤팩트공간이다.

4. $(X,\mathcal{T})$가 린델뢰프 공간이면 $(Y,\mathcal{T}_g)$는 린델뢰프 공간이다.

증명

위 정리로 $g$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{T}_g)$로의 연속함수이므로 콤팩트 정리와 위상공간 정리로 1, 2, 3, 4가 성립한다.

 

 

 

정리10

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 집합 $Y$와 전사함수 $g : X\to Y$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 몫공간 $(Y,\mathcal{T}_g)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$가 연결공간이면 $(Y,\mathcal{T}_g)$는 연결공간이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 경로연결공간이면 $(Y,\mathcal{T}_g)$는 경로연결공간이다.

3. $(X,\mathcal{T})$가 국소 연결공간이면 $(Y,\mathcal{T}_g)$는 국소 연결공간이다.

4. $(X,\mathcal{T})$가 국소 경로연결공간이면 $(Y,\mathcal{T}_g)$는 국소 경로연결공간이다.

증명

1, 2

위 정리로 $g$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{T}_g)$로의 연속함수이므로 연결공간 정리와 경로연결공간 정리로 1, 2가 성립한다.

3, 4

모든 $O\in \mathcal{T}_g$의 모든 $y \in O$에 대해

부분위상공간 $(O,\mathcal{T}_g|_O)$에서 연결성분 또는 경로연결성분이 $[y]_{\mathcal{R}_g|_O}\subseteq O\subseteq Y$일때

몫공간의 정의로 $g^{-1}(O)\in \mathcal{T}$이므로 임의의 $x\in g^{-1}([y]_{\mathcal{R}_g|_O})\subseteq g^{-1}(O)$에 대해

$(g^{-1}(O),\mathcal{T}|_{g^{-1}(O)})$에서 연결성분 또는 경로연결성분 $[x]_{\mathcal{R}|_{g^{-1}(O)}}\subseteq g^{-1}(O)\subseteq X$는 

국소 연결공간 정리와 국소 경로연결공간 정리로 $[x]_{\mathcal{R}|_{g^{-1}(O)}}\in \mathcal{T}$이다.

연결성분 정리와 경로연결성분 정리로 $[x]_{\mathcal{R}|_{g^{-1}(O)}}$는 $(g^{-1}(O),\mathcal{T}|_{g^{-1}(O)})$에서 연결집합 또는 경로연결집합이므로

연결집합 정리와 경로연결집합 정리로 $[x]_{\mathcal{R}|_{g^{-1}(O)}}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합 또는 경로연결집합이 되어

연결집합 정리와 경로연결집합 정리로 $g([x]_{\mathcal{R}|_{g^{-1}(O)}})$는 $(Y,\mathcal{T}_g)$에서 연결집합 또는 경로연결집합이다.

전사 정리로 $g([x]_{\mathcal{R}|_{g^{-1}(O)}})\subseteq g(g^{-1}(O)) = O$이므로 

연결집합 정리와 경로연결집합 정리로 $g([x]_{\mathcal{R}|_{g^{-1}(O)}})$는 $(O,\mathcal{T}_g|_O)$에서 연결집합 또는 경로연결집합이고

$g(x) \in g([x]_{\mathcal{R}|_{g^{-1}(O)}})$와 $g(x)\in [y]_{\mathcal{R}_g|_O}$가 성립함에 따라

연결성분 정리와 경로연결성분 정리와 동치류 정리로 $g([x]_{\mathcal{R}|_{g^{-1}(O)}}) \subseteq [g(x)]_{\mathcal{R}_g|_O} = [y]_{\mathcal{R}_g|_O}$가 되어

함수 정리로 $x\in [x]_{\mathcal{R}|_{g^{-1}(O)}}\subseteq g^{-1}(g([x]_{\mathcal{R}|_{g^{-1}(O)}})) \subseteq g^{-1}( [y]_{\mathcal{R}_g|_O})$이다.

모든 $x\in g^{-1}([y]_{\mathcal{R}_g|_O})$에 대해 $[x]_{\mathcal{R}|_{g^{-1}(O)}}\subseteq g^{-1}( [y]_{\mathcal{R}_g|_O})$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $[x]_{\mathcal{R}|_{g^{-1}(O)}}$가 존재함에 따라

위상공간 정리로 $g^{-1}( [y]_{\mathcal{R}_g|_O})\in \mathcal{T}$가 되어 몫공간의 정의로 $[y]_{\mathcal{R}_g|_O}\in \mathcal{T}_g$이므로

국소 연결공간 정리와 국소 경로연결공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}_g)$는 국소 연결공간 또는 국소 경로연결공간이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/116#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/116#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797