필터(Filter)

정의1

임의의 집합 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해

임의의 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(X)$가 아래 3가지 성질을 만족할때 $\mathcal{F}$를 $X$의 필터로 정의한다.

1. $\emptyset\notin \mathcal{F}$

2. 모든 $F_1,F_2\in \mathcal{F}$에 대해 $F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$이다.

3. 임의의 $F\in \mathcal{F}$와 임의의 $P\subseteq X$에 대해 $F\subseteq P$이면 $P\in \mathcal{F}$이다.

 

 

 

정리1

임의의 집합 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$와 공집합 $\emptyset$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\emptyset$은 $X$의 필터이다.

2. $\mathcal{P}(X)$는 $X$의 필터가 아니다.

3. $B\ne \emptyset$인 임의의 $B\subseteq X$에 대해 $\mathcal{F}_B = \{ F\in \mathcal{P}(X) : B \subseteq F \}$는 $X$의 필터이다. 

증명

1.

$\emptyset \subseteq \mathcal{P}(X)$과 $\emptyset\notin \emptyset$이 성립하고 필터의 성질 2, 3번이 공허하게 성립하여 $\emptyset$은 $X$의 필터이다.

2.

$\emptyset \subseteq X$이므로 멱집합의 정의로 $\emptyset\in \mathcal{P}(X)$가 되어 $\mathcal{P}(X)$는 $X$의 필터가 아니다.

3.

$\mathcal{F}_B\subseteq \mathcal{P}(X)$이고 $B\ne \emptyset$이므로 모든 $F\in \mathcal{F}_B$가 $B\subseteq F$임에 따라 $F\ne \emptyset$이고 $\emptyset\notin \mathcal{F}_B$이다.

모든 $F_1,F_2\in \mathcal{F}_B$에 대해

$B\subseteq F_1 \subseteq X$와 $B\subseteq F_2 \subseteq X$가 성립하여 $B\subseteq F_1\cap F_2 \subseteq X$이고 $F_1\cap F_2\in \mathcal{P}(X)$임에 따라 $F_1\cap F_2\in \mathcal{F}_B$이고

임의의 $F\in \mathcal{F}_B$와 임의의 $P\subseteq X$에 대해 $F\subseteq P$이면 $B\subseteq F \subseteq P$가 되어 $P\in \mathcal{F}_B$이므로 $\mathcal{F}_B$는 $X$의 필터이다.

 

 

 

정리2

임의의 집합 $X$의 필터 $\mathcal{F}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{F}\ne \emptyset$이기 위한 필요충분조건은 $X\ne \emptyset$이고 $X\in \mathcal{F}$인 것이다.

2. 모든 $n\in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $F_1,F_2,\cdots,F_n\in \mathcal{F}$은 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n F_i\in \mathcal{F}$이고 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n F_i\ne \emptyset$이다.

증명

1.

$\mathcal{F}\ne \emptyset$이면 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때

$F\in \mathcal{F}$가 존재하여 필터의 정의로 $F\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(X)$이므로 멱집합의 정의로 $F\subseteq X$이고

집합 정리로 $X\subseteq X$이므로 필터의 정의로 $X\in \mathcal{F}$가 되어 $\emptyset\notin \mathcal{F}$임에 따라 $X\ne \emptyset$이다.

역으로 $X\ne \emptyset$이고 $X\in \mathcal{F}$이면 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이다.

2.

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 모든 $F_1,F_2,\cdots,F_n\in \mathcal{F}$에 대해 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n F_i\in \mathcal{F}$임을 보인다.

$n = 1$이면 자명하게 성립한다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^k F_i \in \mathcal{F}$이면 $F_{k+1}\in \mathcal{F}$에 대해 필터의 정의로 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{k+1} F_i = \left(\bigcap_{i=1}^k F_i \right )\cap F_{k+1} \in \mathcal{F}$이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $F_1,F_2,\cdots,F_n\in \mathcal{F}$은 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n F_i\in \mathcal{F}$이고

필터의 정의로 $\emptyset\notin \mathcal{F}$이므로 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n F_i\ne \emptyset$이다.

 

 

 

정의2

임의의 집합 $X$의 필터 $\mathcal{F}$에 대해 임의의 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$가

모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 $B_F\subseteq F$인 $B_F \in \mathcal{B}$가 존재하면 $\mathcal{B}$를 $\mathcal{F}$의 기저(basis)로 정의한다.

 

 

 

정리3

임의의 집합 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$의 임의의 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$에 대해 다음은 동치이다.

1. $\mathcal{F}$는 $X$의 필터이다.

2. $\mathcal{F}$는 $X$의 필터이고 $\mathcal{F}$는 $\mathcal{F}$의 기저이다.

3. $\emptyset\notin \mathcal{B}$이고 모든 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$에 대해 $B_1\cap B_2\in \mathcal{B}$이고

$\mathcal{F} = \{ F\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 } B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq F\}$인 $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$가 존재한다.

4. $\emptyset\notin \mathcal{B}$이고 모든 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$에 대해 $B\subseteq B_1\cap B_2$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하고

$\mathcal{F} = \{ F\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 } B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq F\}$인 $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$가 존재한다.

증명

$1\to 2$

$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}$이고 모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 $F\subseteq F$이므로 $\mathcal{F}$는 $\mathcal{F}$의 기저이다.

$2\to 3$

필터의 정의로 $\emptyset\notin \mathcal{F}$이고 모든 $F_1,F_2\in \mathcal{F}$에 대해 $F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$이다.

$\mathcal{G}= \{ F\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 } B\in \mathcal{F}\text{에 대해 }B\subseteq F\}$일때

모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 $F\subseteq F$와 $F\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(X)$가 성립하여 $F\in \mathcal{G}$임에 따라 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이고 

모든 $G\in \mathcal{G}$에 대해 $F\subseteq G$인 $F \in \mathcal{F}$가 존재하므로 $G\in \mathcal{G}\subseteq \mathcal{P}(X)$임에 따라 $G\subseteq X$이고

필터의 정의로 $G\in \mathcal{F}$가 되어 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{F}$이므로 집합 정리로 $\mathcal{F} = \mathcal{G}= \{ F\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 } B\in \mathcal{F}\text{에 대해 }B\subseteq F\}$이다.

$3\to 4$

모든 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$에 대해 $B_1\cap B_2\in \mathcal{B}$이고 $B_1\cap B_2 \subseteq B_1\cap B_2$이다.

$4\to 1$

모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 $B\subseteq F$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $\emptyset\notin \mathcal{B}$이므로 $B\ne \emptyset$임에 따라 $F\ne \emptyset$이고 $\emptyset\notin \mathcal{F}$이다.

모든 $F_1,F_2\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(X)$에 대해 $B_1\subseteq F_1 \subseteq X$이고 $B_2\subseteq F_2\subseteq X$인 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$가 존재하여

$B\subseteq B_1\cap B_2 \subseteq F_1\cap F_2 \subseteq X$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재함에 따라 $F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$이다.

임의의 $F\in \mathcal{F}$와 임의의 $P\subseteq X$에 대해 $F\subseteq P$이면 $B\subseteq F\subseteq P$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $P\in \mathcal{F}$이므로

$\mathcal{F}$는 $X$의 필터이다.

 

 

 

정리4

임의의 집합 $X$의 필터 $\mathcal{F}$와 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $\mathcal{F}$의 기저 $\mathcal{B}$에 대해 $\mathcal{F} = \{ F\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 } B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq F\}$이다.

2. 모든 $\mathcal{F}$의 기저 $\mathcal{B}$의 모든 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$에 대해 $B\subseteq B_1\cap B_2$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재한다.

3. $\emptyset\notin \mathcal{B}$인 임의의 $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$의 모든 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$에 대해 $B\subseteq B_1\cap B_2$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하면

$\mathcal{G} = \{ G\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 } B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq G\}$는 $X$의 필터이고 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{G}$의 기저이다.

증명

1.

$\mathcal{G} = \{ F\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 } B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq F\}$일때

모든 $G\in \mathcal{G}\subseteq \mathcal{P}(X)$는 $B\subseteq G$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 기저의 정의로 $B\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$이므로 

멱집합의 정의로 $B\subseteq G\subseteq X$임에 따라 필터의 정의로 $G\in \mathcal{F}$이고 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{F}$이다.

필터의 정의와 기저의 정의로 모든 $F\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(X)$는 $B\subseteq F$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $F\in \mathcal{G}$이므로 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$임에 따라

집합 정리로 $\mathcal{F} =\mathcal{G} = \{ F\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 } B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq F\}$이다.

2.

기저의 정의와 필터의 정의로 모든 $B_1,B_2\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$에 대해 $B_1\cap B_2\in \mathcal{F}$이므로 

기저의 정의로 $B\subseteq B_1\cap B_2$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재한다.

3.

위 정리로 $\mathcal{G}$는 $X$의 필터이고

모든 $B\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$에 대해 $B\subseteq B$이므로 $B\in \mathcal{G}$임에 따라 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{G}$가 되어 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{G}$의 기저이다.

 

 

 

정리5

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $B\ne \emptyset$인 임의의 $B\subseteq X$에 대해 $\mathcal{F}_B = \{ F\in \mathcal{P}(X) : B\subseteq \,$$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}$$(F) \}$는 $X$의 필터이다. 

2. $(X,\mathcal{T})$에서 임의의 $x\in X$의 근방들의 집합 $\mathcal{N}_x = \{ E \in \mathcal{P}(X): E\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 }x\text{의 근방}\}$는 $X$의 필터이고

$x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 모든 국소기저는 $\mathcal{N}_x$의 기저이다.

증명

1.

$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(X)$이고 모든 $F\in \mathcal{F}_B$에 대해

내부 정리로 $B\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F) \subseteq F$이므로 $B\ne \emptyset$임에 따라 $F\ne \emptyset$이 되어 $\emptyset\notin \mathcal{F}$이다.

모든 $F_1,F_2\in \mathcal{F}_B$에 대해 내부 정리로 $B\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F_1) \subseteq F_1 \subseteq X$와 $B\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F_2) \subseteq F_2 \subseteq X$가 성립하여

$B\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F_1)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F_2) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F_1\cap F_2) \subseteq F_1\cap F_2 \subseteq X$이고 $F_1\cap F_2\in \mathcal{P}(X)$임에 따라 $F_1\cap F_2\in \mathcal{F}_B$이다.

임의의 $F\in \mathcal{F}_B$와 임의의 $P\subseteq X$에 대해 $F\subseteq P$이면

내부 정리로 $B\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(P)$가 되어 $P\in \mathcal{F}_B$이므로 $\mathcal{F}$는 $X$의 필터이다.

2.

$\mathcal{N}_x\subseteq \mathcal{P}(X)$이고 모든 $E\in \mathcal{N}_x$에 대해

근방의 정의로 $V\subseteq E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여 $x\in V\subseteq E$이므로 $E\ne \emptyset$임에 따라 $\emptyset\notin \mathcal{N}_x$이다.

모든 $E_1, E_2\in \mathcal{N}_x$는 근방의 정의로

$V_1\subseteq E_1\subseteq X$이고 $V_2\subseteq E_2 \subseteq X$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V_1,V_2$가 존재하여

$x\in V_1\cap V_2\in \mathcal{T}$이므로 $V_1\cap V_2$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고

$V_1\cap V_2\subseteq E_1\cap E_2 \subseteq X$임에 따라 $E_1\cap E_2\in \mathcal{P}(X)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이 되어 $E_1\cap E_2\in \mathcal{N}_x$이다.

임의의 $E\in \mathcal{N}_x$와 임의의 $P\subseteq X$에 대해 $E\subseteq P$이면

$V\subseteq E\subseteq P$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여 $P$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이므로 $P\in \mathcal{N}_x$이고 

$\mathcal{N}_x = \{ E \in \mathcal{P}(X): E\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 }x\text{의 근방}\}$는 $X$의 필터이다.

$x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 임의의 국소기저가 $\mathcal{B}_x$일때 모든 $B\in \mathcal{B}_x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로

$B\subseteq B$임에 따라 $B$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방이 되어 $B\in \mathcal{N}_x$이고 $\mathcal{B}_x\subseteq \mathcal{N}_x$이다.

모든 $E\in \mathcal{N}_x$에 대해 $V\subseteq E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여

국소기저의 정의로 $B\subseteq V\subseteq E$인 $B\in \mathcal{B}_x$가 존재하므로 $\mathcal{B}_x$는 $\mathcal{N}_x$의 기저이다.

 

 

 

정의3

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $X$의 필터가 $\mathcal{F}$이고 임의의 점이 $x\in X$일때

위상공간에서 필터의 수렴(convergence) :

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 $V\in \mathcal{F}$이면

$x$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 극한이라 정의하고 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다고 정의한다.

$(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 극한이 유일하게 존재할때 극한이 $x$이면 $\displaystyle \lim^{(X,\mathcal{T})} (\mathcal{F}) =x$로 표기한다.

$(X,\mathcal{T})$에서 필터의 극한이 존재하면 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴한다고 정의하고

$(X,\mathcal{T})$에서 극한이 존재하지 않으면 $(X,\mathcal{T})$에서 발산한다고 정의한다.

위상공간에서 필터의 집적점(cluster point) :

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$와 모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 $V\cap F\ne \emptyset$이면

$x$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점으로 정의한다.

 

 

 

정리6

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

임의의 $x\in X$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저 $\mathcal{B}_x$와 $X$의 필터 $\mathcal{F}$와 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해 다음은 동치이다.

1. $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

2. $\{ O\in \mathcal{T}: x\in O \}\subseteq \mathcal{F}$

3. $\mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{F}$

4. $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방들의 집합 $\mathcal{N}_x = \{ E \in \mathcal{P}(X): E\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 }x\text{의 근방}\}$에 대해 $\mathcal{N}_x \subseteq \mathcal{F}$이다.

증명

$1\to 2$

$x\in O$인 모든 $O\in \mathcal{T}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고

$\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하므로 $O\in \mathcal{F}$가 되어 $\{ O\in \mathcal{T}: x\in O \}\subseteq \mathcal{F}$이다.

$2\to 3$

국소기저의 정의로 $\mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{T}$이고 모든 $B\in \mathcal{B}_x$는 $x\in B$이므로 $B\in \{ O\in \mathcal{T}: x\in O \}\subseteq \mathcal{F}$가 되어 $\mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{F}$이다.

$3\to 4$

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 근방 $E$는 $V\subseteq E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여

국소기저의 정의로 $B\subseteq V\subseteq E$인 $B\in \mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{F}$가 존재하므로 $B\subseteq E\subseteq X$임에 따라

필터의 정의로 $E\in \mathcal{F}$가 되어 $\mathcal{N}_x \subseteq \mathcal{F}$이다.

$4\to 1$

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 근방 정리로 $V\in \mathcal{N}_x \subseteq \mathcal{F}$이므로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리7

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $X$의 필터 $\mathcal{F}$의 기저 $\mathcal{B}$와 임의의 $x\in X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하기 위한 필요충분조건은

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $B\subseteq V$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하는 것이다.

2. $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이다.

3. $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$인 모든 $X$의 필터 $\mathcal{G}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

증명

1.

$\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 수렴의 정의로 $V\in\mathcal{F}$이므로 기저의 정의로 $B\subseteq V$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재한다.

역으로 조건이 성립하면 기저의 정의로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

$B\subseteq V$인 $B\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$가 존재하여 필터의 정의로 $V\in \mathcal{F}$이므로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

2.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 수렴의 정의로 $V\in\mathcal{F}$이므로

모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 위 정리로 $V\cap F\ne \emptyset$이 되어 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이다.

3.

$\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V\in\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이므로 $\mathcal{G}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리8

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $X$의 필터 $\mathcal{F}$의 기저 $\mathcal{B}$와 임의의 $x\in X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이기 위한 필요충분조건은

모든 $B\in \mathcal{B}$와 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V\cap B\ne \emptyset$인 것이다.

2. $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$인 임의의 $X$의 필터 $\mathcal{G}$에 대해 $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{G}$의 집적점이면 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이다.

3. $\mathcal{F}\ne \emptyset$일때 $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이기 위한 필요충분조건은

$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}$이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $X$의 필터 $\mathcal{G}$가 존재하는 것이다.

증명

1.

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이면 기저의 정의로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$이고 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이므로

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$와 모든 $B\in \mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}$에 대해 $V\cap B\ne \emptyset$이다.

역으로 조건이 성립하면 

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$와 모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 기저의 정의로 $B\subseteq F$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 

$V\cap B\ne \emptyset$이고 $V\cap B\subseteq V\cap F$이므로 $V\cap F\ne \emptyset$임에 따라 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이다.

2.

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{G}$의 집적점이므로

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$와 모든 $F\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$에 대해 $V\cap F \ne \emptyset$이 되어 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이다.

3.

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이면

$X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$이고 $\mathcal{O}_x = \{ O\in \mathcal{T} : x\in O\}$에 대해 $\mathcal{B}_x = \{ V\cap F : (V, F) \in \mathcal{O}_x \times \mathcal{F} \}$일때

모든 $B\in \mathcal{B}_x$는 $B = V\cap F$인 $V\in \mathcal{O}_x \subseteq \mathcal{T}$와 $F\in \mathcal{F}$가 존재하여

위상공간의 정의로 $B\subseteq V\cap F \subseteq V \subseteq X$이므로 멱집합의 정의로 $B\in \mathcal{P}(X)$임에 따라 $\mathcal{B}_x\subseteq \mathcal{P}(X)$이고 

$V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로 집적점의 정의로 $B = V\cap F\ne \emptyset$이 되어 $\emptyset\notin \mathcal{B}_x$이다.

임의의 $B_1,B_2\in \mathcal{B}_x$는 $B_1 = V_1\cap F_1$이고 $B_2 = V_2\cap F_2$인 $V_1,V_2\in \mathcal{O}_x$와 $F_1,F_2\in \mathcal{F}$가 존재하여

위상공간의 정의로 $x\in V_1\cap V_2\in \mathcal{T}$이므로 $V_1\cap V_2\in \mathcal{O}_x$이고 필터의 정의로 $F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$임에 따라

$B_1\cap B_2 = (V_1\cap F_1) \cap (V_2\cap F_2) = (V_1\cap V_2) \cap (F_1\cap F_2)\in \mathcal{B}_x$이다.

위 정리로 $\mathcal{G} = \{ G\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 } B\in \mathcal{B}_x\text{에 대해 }B\subseteq G\}$는 $X$의 필터이고 $\mathcal{B}_x$는 $\mathcal{G}$의 기저이다.

$x\in X$이므로 위상공간의 정의로 $X\in \mathcal{T}$임에 따라 $X\in \mathcal{O}_x$가 되어

모든 $F\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(X)$에 대해 $X\cap F \in \mathcal{B}_x$이고 $X\cap F \subseteq F$이므로 $F\in \mathcal{G}$가 되어 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이다.

$\mathcal{F}\ne \emptyset$이므로 $F\in \mathcal{F}$가 존재하여 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

$V\cap F\in \mathcal{B}_x$와 $V\cap F \subseteq V$가 성립하고 $V\in \mathcal{P}(X)$이므로 $V\in \mathcal{G}$임에 따라 $\mathcal{G}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

역으로 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}$이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $X$의 필터 $\mathcal{G}$가 존재하면

위 정리로 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{G}$의 집적점이므로 2번으로 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이다.

 

 

 

정리9

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $\mathcal{F}\ne \emptyset$인 $X$의 필터 $\mathcal{F}$의 기저 $\mathcal{B}$와 임의의 $x\in X$에 대해 다음은 동치이다.

1. $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이다.

2. $x\in \displaystyle \bigcap_{B\in \mathcal{B}}\,$$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$

3. $x\in \displaystyle \bigcap_{F\in \mathcal{F}}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F)$

증명

$1\to 2$

$\mathcal{F}\ne \emptyset$이므로 $F\in \mathcal{F}$가 존재하고 기저의 정의로 $B\subseteq F$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $\mathcal{B}\ne \emptyset$이다.

기저의 정의로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$이므로 모든 $B\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$는 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

집적점의 정의로 $V\cap B\ne \emptyset$이 되어 폐포의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$임에 따라 교집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcap_{B\in \mathcal{B}} \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이다.

$2\to 3$

모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 기저의 정의로 $B\subseteq F$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여

폐포 정리로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F)$이므로 $x\in \displaystyle \bigcap_{F\in \mathcal{F}}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F)$이다. 

$3\to 1$

교집합의 정의로 모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F)$이므로

폐포의 정의로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V\cap F\ne \emptyset$이 되어 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이다.

 

 

 

정리10

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $X$의 필터 $\mathcal{F}$와 임의의 $x\in X$에 대해 다음이 성립한다.

1. 어떤 $\mathcal{F}$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재하여

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $B\subseteq V$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하면 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

2. 어떤 $\mathcal{F}$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재하여

모든 $B\in \mathcal{B}$와 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V\cap B\ne \emptyset$이면 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이다.

증명

1.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $B\subseteq V$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하므로

기저의 정의로 $B\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$이고 $V\subseteq X$임에 따라 필터의 정의로 $V\in \mathcal{F}$가 되어 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

2.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$와 모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 

기저의 정의로 $B\subseteq F$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $V\cap B\ne \emptyset$이고 $V\cap B \subseteq V\cap F$이므로

$V\cap F\ne \emptyset$임에 따라 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이다.

 

 

 

정리11

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $x\in X$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 밀착점이기 위한 필요충분조건은

$E\in \mathcal{F}$이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $X$의 필터 $\mathcal{F}$가 존재하는 것이다.

2. $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 집적점이기 위한 필요충분조건은

$E\setminus \{ x\}\in \mathcal{F}$이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $X$의 필터 $\mathcal{F}$가 존재하는 것이다.

증명

1.

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 밀착점이면

$X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$이고 $\mathcal{B}_x = \{ O\in \mathcal{T} : x\in O\}$에 대해 $\mathcal{B} = \{ V\cap E : V\in  \mathcal{B}_x\}$일때

모든 $B\in \mathcal{B}$는 $B = V\cap E$인 $V\in \mathcal{B}_x\subseteq \mathcal{T}$가 존재하여

위상공간의 정의로 $B=V\cap E \subseteq V \subseteq X$이므로 $B\in \mathcal{P}(X)$임에 따라 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$이고

$V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로 밀착점의 정의로 $B = V\cap E\ne \emptyset$이 되어 $\emptyset\notin \mathcal{B}$이다.

임의의 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$에 대해 $B_1 =V_1\cap E$이고 $B_2= V_2\cap E$인 $V_1,V_2\in \mathcal{B}_x\subseteq \mathcal{T}$가 존재하여

위상공간의 정의로 $x\in V_1\cap V_2\in \mathcal{T}$임에 따라 $V_1\cap V_2\in \mathcal{B}_x$이고

집합 정리로 $B_1\cap B_2 = (V_1\cap E) \cap (V_2\cap E) = (V_1\cap V_2) \cap (E\cap E) = (V_1\cap V_2)\cap E\in \mathcal{B}$이므로

위 정리로 $\mathcal{F} = \{ F\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 } B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq F\}$는 $X$의 필터이고 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{F}$의 기저이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 $V\in \mathcal{B}_x$이므로 $V\cap E\in \mathcal{B}$가 되어

$V\cap E\subseteq V$임에 따라 위 정리로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하고

위상공간의 정의로 $x\in X\in \mathcal{T}$이므로 $X\in \mathcal{B}_x$가 되어

$E\subseteq X$임에 따라 집합 정리와 기저의 정의로 $E=X\cap E\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$이다.

역으로 조건을 만족하는 $X$의 필터 $\mathcal{F}$가 존재하면

$\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하므로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 $V\in \mathcal{F}$가 되어

$E\in \mathcal{F}$임에 따라 필터의 정의로 $V\cap E\in \mathcal{F}$이고 $\emptyset\notin \mathcal{F}$이므로 $V\cap E\ne \emptyset$이 되어 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 밀착점이다.

2.

위상공간 정리와 1번으로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리12

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은

$E\in \mathcal{F}$이고 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 모든 $X$의 필터 $\mathcal{F}$의 모든 극한 $x\in X$가 $x\in E$인 것이다.

증명

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합일때

$E\in \mathcal{F}$이고 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in X\setminus E$로 수렴하는 $X$의 필터 $\mathcal{F}$가 존재하면

$X\setminus E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로 수렴의 정의로 $X\setminus E\in \mathcal{F}$인데

필터의 정의로 $\emptyset=E\cap (X\setminus E)\in \mathcal{F}$임에 따라 모순이 되어 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면

$E\in \mathcal{F}$이고 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 모든 $X$의 필터 $\mathcal{F}$의 모든 극한 $x\in X$는 $x\in E$이다.

역으로 조건은 만족하면 모든 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$에 대해

도집합의 정의와 위 정리로 $E\setminus \{ x\}\in \mathcal{F}$이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $X$의 필터 $\mathcal{F}$가 존재하여

$E\setminus \{ x\} \subseteq E\subseteq X$이므로 필터의 정의로 $E\in \mathcal{F}$임에 따라 $x\in E$이고

$\underset{(X,\mathcal{T})}{E'}\subseteq E$가 되어 위상공간 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

 

 

 

정의4

임의의 집합 $X,Y$에 대해 $X$의 필터가 $\mathcal{F}$이고 $Y$의 멱집합이 $\mathcal{P}(Y)$일때

함수 $f:X\to Y$에 대해 $\mathcal{B} = \{ f(F):F\in \mathcal{F}\}$이면

집합 $f[\mathcal{F}] = \{ H\in \mathcal{P}(Y) : \text{어떤 } B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq H\}$를 $f$에 의한 $\mathcal{F}$의 상필터(image filter)으로 정의한다.

 

 

 

정리13

임의의 집합 $X,Y$에 대해 함수 $f:X\to Y$에 의한 $X$의 필터 $\mathcal{F}$의 상필터가 $f[\mathcal{F}]$일때 다음이 성립한다.

1. $f[\mathcal{F}]$는 $Y$의 필터이고 $\mathcal{B} = \{ f(F):F\in \mathcal{F}\}$는 $f[\mathcal{F}]$의 기저이다.

2. $\mathcal{F}\ne \emptyset$이기 위한 필요충분조건은 $f[\mathcal{F}] \ne \emptyset$인 것이다.

3. $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$인 모든 $X$의 필터 $\mathcal{G}$에 대해 $f[\mathcal{F}] \subseteq f[\mathcal{G}]$이다.

증명

1.

$Y$의 멱집합이 $\mathcal{P}(Y)$일때 모든 $B\in \mathcal{B}$는 $B = f(F)$인 $F\in \mathcal{F}$가 존재하여

함수의 상의 정의로 $f(F)\subseteq Y$이므로 $B= f(F)\in \mathcal{P}(Y)$임에 따라 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(Y)$이고

필터의 정의로 $\emptyset\notin \mathcal{F}$이므로 $F\ne \emptyset$이 되어 함수 정리로 $B = f(F)\ne \emptyset$임에 따라 $\emptyset\notin \mathcal{B}$이다.

임의의 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$에 대해 $B_1 =f(F_1)$이고 $B_2 = f(F_2)$인 $F_1,F_2\in \mathcal{F}$가 존재하여

필터의 정의로 $F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$이므로 $f(F_1\cap F_2)\in \mathcal{B}$이고

함수 정리로 $f(F_1\cap F_2) \subseteq  f(F_1)\cap f(F_2) = B_1\cap B_2 $임에 따라

상필터의 정의와 위 정리로 $f[\mathcal{F}]$는 $Y$의 필터이고 $\mathcal{B}$는 $f[\mathcal{F}]$의 기저이다.

2.

$\mathcal{F}\ne \emptyset$이면 $F\in \mathcal{F}$가 존재하여 기저의 정의로 $f(F)\in \mathcal{B}\subseteq f[\mathcal{F}]$이므로 $f[\mathcal{F}]\ne \emptyset$이다.

역으로 $f[\mathcal{F}] \ne \emptyset$이면 

$H\in f[\mathcal{F}]$가 존재하여 기저의 정의로 $B\subseteq H$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하고 $B = f(F)$인 $F\in \mathcal{F}$가 존재하므로 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이다.

3.

임의의 $H\in f[\mathcal{F}]$에 대해 기저의 정의로 $B\subseteq H$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $B = f(F)$인 $F\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$가 존재하고

상필터의 정의와 기저의 정의로 $B = f(F)\in \{ f(G) : G\in \mathcal{G}\} \subseteq f[\mathcal{G}]$임에 따라

필터의 정의로 $H\in f[\mathcal{G}]$이므로 $f[\mathcal{F}] \subseteq f[\mathcal{G}]$이다.

 

 

 

정리14

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$와 임의의 $c\in X$와 함수 $f:X\to Y$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이기 위한 필요충분조건은

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$로 수렴하는 모든 $X$의 필터 $\mathcal{F}$에 대해 상필터 $f[\mathcal{F}]$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$로 수렴하는 것이다.

2. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속일때 임의의 $X$의 필터 $\mathcal{F}$와 상필터 $f[\mathcal{F}]$에 대해

$c$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이면 $f(c)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f[\mathcal{F}]$의 집적점이다.

증명

1.

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이면

연속 정리로 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$에 대해 $f(U)\subseteq V$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재하여

수렴의 정의로 $U\in \mathcal{F}$임에 따라 위 정리와 기저의 정의로 $f(U)\in f[\mathcal{F}]$이고

$V\subseteq Y$이므로 필터의 정의로 $V\in f[\mathcal{F}]$가 되어 $f[\mathcal{F}]$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$로 수렴한다.

역으로 조건이 성립하면

기저 정리와 국소기저 정리로 $\mathcal{B}_c =\{ O\in \mathcal{T}_X :c\in O \}$는 $c$에 대한 $(X,\mathcal{T}_X)$의 국소기저이므로

위 정리로 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 근방들의 집합 $\mathcal{N}_c$는 $X$의 필터이고 $\mathcal{B}_c$는 $\mathcal{N}_c$의 기저이다.

위 정리로 $\mathcal{N}_c$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$로 수렴하므로 상필터 $f[\mathcal{N}_c]$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$로 수렴하여

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$에 대해 $V\in f[\mathcal{N}_c]$이다.

위 정리와 기저의 정의로 $f(E)\subseteq V$인 $E\in \mathcal{N}_c$가 존재하고 $U\subseteq E$인 $U\in \mathcal{B}_c$가 존재하여

$f(U)\subseteq f(E)\subseteq V$이므로 $U$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방임에 따라

연속 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이다.

2.

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$와 모든 $H\in f[\mathcal{F}]$에 대해

연속 정리로 $f(U)\subseteq V$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재하고

위 정리와 기저의 정의로 $f(F)\subseteq H$인 $F\in \mathcal{F}$가 존재하므로

$c$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $\mathcal{F}$의 집적점임에 따라 $U\cap F\ne \emptyset$이 되어 $x\in U\cap F$가 존재하고

함수 정리로 $f(x)\in f(U\cap F) \subseteq f(U)\cap f(F) \subseteq V\cap H$이므로

$V\cap H\ne \emptyset$이 되어 $f(c)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f[\mathcal{F}]$의 집적점이다.

 

 

 

정리15

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때

일반 데카르트곱 $X = \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i:X\to X_i$이고 $\{(X_i,\mathcal{T}_i):i\in I \}$의 곱공간이 $(X,\mathcal{T})$이면

임의의 $x \in X$와 $X$의 필터 $\mathcal{F}$와 상필터 $p_i[\mathcal{F}]$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하기 위한 필요충분조건은

모든 $i\in I$에 대해 $p_i[\mathcal{F}]$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $p_i(x)$로 수렴하는 것이다.

2. $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이면 모든 $i\in I$에 대해 $p_i(x)$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $p_i[\mathcal{F}]$의 집적점이다.

증명

1.

$\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면 

모든 $i\in I$에 대해 곱공간 정리로 $p_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이므로

위 정리로 $p_i[\mathcal{F}]$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $p_i(x)$로 수렴한다.

역으로 모든 $i\in I$에 대해 $p_i[\mathcal{F}]$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $p_i(x)$로 수렴할때

곱공간 정리로 $\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ p_i^{-1}(O_i):O_i\in \mathcal{T}_i\}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이므로

$\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots, S_n)\in \mathcal{S}^n \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 위상공간의 기저의 정의로 $V\in \mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{O}:\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\}$이므로

$V =\displaystyle \bigcup \mathcal{O}$인 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하고 $x\in V$임에 따라 $x\in B$인 $B\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하여

$B = S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n$인 $n\in \mathbb{Z}^+$과 $S_1,S_2,\cdots, S_n\in \mathcal{S}$이 존재하고

모든 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해 $S_k= p_{i_k}^{-1}(O_{i_k})$인 $i_k\in I$와 $O_{i_k}\in \mathcal{T}_{i_k}$가 존재한다.

$x\in B = S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n = p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})$이므로

모든 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해 $x\in p_{i_k}^{-1}(O_{i_k})$가 되어 $p_{i_k}(x) \in O_{i_k}$이고

$O_{i_k}$는 $(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})$에서 $p_{i_k}(x)$의 열린근방이므로 $p_{i_k}[\mathcal{F}]$가 $(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})$에서 $p_{i_k}(x)$로 수렴함에 따라 $O_{i_k}\in p_{i_k}[\mathcal{F}]$이고

위 정리와 필터의 기저의 정의로 $p_{i_k}(F_{i_k}) \subseteq O_{i_k}$인 $F_{i_k}\in \mathcal{F}$가 존재하여 위 정리로 $F_{i_1}\cap F_{i_2}\cap \cdots \cap F_{i_n}\in \mathcal{F}$이고

함수 정리로 

$\begin{align*} F_{i_1}\cap F_{i_2}\cap \cdots \cap F_{i_n} &\subseteq p_{i_1}^{-1}(p_{i_1}(F_{i_1}))\cap p_{i_2}^{-1}(p_{i_2}(F_{i_2}))\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(p_{i_n}(F_{i_n})) \\[0.5em] & \subseteq p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})  = S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n  = B \\[0.5em] & \subseteq \bigcup \mathcal{O} = V  \text{ 임에 따라 }\end{align*}$

필터의 정의로 $V\in \mathcal{F}$이므로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

2.

모든 $i\in I$에 대해 곱공간 정리로 $p_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이므로

위 정리로 $p_i(x)$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $p_i[\mathcal{F}]$의 집적점이다.

 

 

 

정의5

임의의 집합 $X$의 필터 $\mathcal{F}$가

모든 $E\subseteq X$에 대해 $E\in \mathcal{F}$ 또는 $X\setminus E\in \mathcal{F}$이면 $\mathcal{F}$를 $X$의 초필터(ultrafilter)로 정의한다.

 

 

 

정리16

임의의 집합 $X$의 필터 $\mathcal{F}$가 $\mathcal{F}\ne \emptyset$일때

$\mathcal{F}$가 $X$의 초필터이기 위한 필요충분조건은 모든 $X$의 필터 $\mathcal{G}$가 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이면 $\mathcal{F} =\mathcal{G}$인 것이다.

증명

$\mathcal{F}$가 $X$의 초필터일때 어떤 $X$의 필터 $\mathcal{G}$가 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이고 $\mathcal{F} \ne \mathcal{G}$라고 가정하면

$G\in \mathcal{G}\setminus \mathcal{F}$가 존재하여 필터의 정의로 $G\subseteq X$이므로 초필터의 정의로 $G\in \mathcal{F}$ 또는 $X\setminus G\in \mathcal{F}$이고

$G\notin \mathcal{F}$이므로 $X\setminus G\in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}$인데 필터의 정의로 $\emptyset = G \cap (X\setminus G) \in \mathcal{G}$이 되어 모순임에 따라

$\mathcal{F}$가 $X$의 초필터일때 모든 $X$의 필터 $\mathcal{G}$가 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이면 $\mathcal{F} =\mathcal{G}$이다.

역으로 조건을 만족할때 어떤 $E\subseteq X$가 존재하여 $E\notin \mathcal{F}$이고 $X\setminus E\notin \mathcal{F}$라고 가정하면

$X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$이고 $\mathcal{B} = \{ F\cap E : F\in \mathcal{F}\}$에 대해 $\mathcal{G} = \{ G\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 } B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq G \}$일때

모든 $B\in \mathcal{B}$에 대해 $B = F\cap E$인 $F\in \mathcal{F}$가 존재하여

$B= F\cap E \subseteq E\subseteq X$이므로 $B\in \mathcal{P}(X)$임에 따라 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$이고

$F\cap E = \emptyset$이라고 가정하면 집합 정리로 $F\subseteq X\setminus E$가 되어 필터의 정의로 $X\setminus E\in \mathcal{F}$임에 따라 모순이므로

$B = F\cap E\ne \emptyset$이고 $\emptyset \notin \mathcal{B}$이다.

모든 $B_1, B_2 \in \mathcal{B}$에 대해 $B_1 = F_1\cap E$이고 $B_2= F_2\cap E$인 $F_1,F_2\in \mathcal{F}$가 존재하여

필터의 정의로 $F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$이므로 $B_1\cap B_2 = (F_1\cap E) \cap (F_2\cap E) = (F_1\cap F_2)\cap E\in \mathcal{B}$임에 따라 

위 정리로 $\mathcal{G}$는 $X$의 필터이고 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{G}$의 기저이다.

모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 $F\cap E\in \mathcal{B}$이고 $F\cap E \subseteq F \subseteq X$이므로 $F\in \mathcal{G}$가 되어 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$임에 따라 $\mathcal{F} = \mathcal{G}$인데 

$\mathcal{F}\ne \emptyset $임에 따라 $F\in \mathcal{F}$가 존재하여 $F\cap E\in \mathcal{B}$이고 $F \cap E \subseteq E \subseteq X$이므로 $E\in \mathcal{G} = \mathcal{F}$임에 따라 모순이 되어

모든 $E\subseteq X$에 대해 $E\in \mathcal{F}$ 또는 $X\setminus E\in \mathcal{F}$이고 $\mathcal{F}$는 $X$의 초필터이다.

 

 

 

정리17

임의의 집합 $X$의 초필터 $\mathcal{F}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $X\ne \emptyset$이고 $X\in \mathcal{F}$이다.

2. 모든 $E\subseteq X$에 대해 $E\in \mathcal{F}$ 또는 $X\setminus E\in \mathcal{F}$ 중 하나만 성립한다.

3. $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$인 모든 $X$의 필터 $\mathcal{G}$는 $X$의 초필터이다.

4. 모든 집합 $Y$와 모든 함수 $f:X\to Y$에 대해 상필터 $f[\mathcal{F}]$는 $Y$의 초필터이다.

증명

1.

$X\subseteq X$이므로 초필터의 정의로 $X\in \mathcal{F}$ 또는 $\emptyset=X\setminus X\in \mathcal{F}$이 되어

필터의 정의로 $\emptyset\notin \mathcal{F}$임에 따라 $X\in \mathcal{F}$이고 $X\ne \emptyset$이다.

2.

어떤 $E\subseteq X$가 $E\in \mathcal{F}$이고 $X\setminus E\in \mathcal{F}$이면 필터의 정의로 $\emptyset = E\cap (X\setminus E) \in \mathcal{F}$이 되어 모순이므로

초필터의 정의로 모든 $E\subseteq X$에 대해 $E\in \mathcal{F}$ 또는 $X\setminus E\in \mathcal{F}$ 중 하나만 성립한다.

3.

초필터의 정의로 모든 $E\subseteq X$에 대해 $E\in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}$ 또는 $X\setminus E\in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}$이므로 $\mathcal{G}$는 $X$의 초필터이다.

4.

모든 $H\subseteq Y$에 대해 역상의 정의로 $f^{-1}(H)\subseteq X$이므로

초필터의 정의와 함수 정리로 $f^{-1}(H) \in \mathcal{F}$ 또는 $f^{-1}(Y\setminus H)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(H)=X\setminus f^{-1}(H)\in \mathcal{F}$가 되어

위 정리와 기저의 정의로 $f(f^{-1}(H)) \in f[\mathcal{F}]$ 또는 $f(f^{-1}(Y\setminus H))\in f[\mathcal{F}]$이고

함수 정리로 $f(f^{-1}(H)) \subseteq H\subseteq Y$와 $f(f^{-1}(Y\setminus H)) \subseteq Y\setminus H\subseteq Y$가 성립함에 따라 

필터의 정의로 $H\in f[\mathcal{F}]$ 또는 $Y\setminus H\in f[\mathcal{F}]$이므로 $f[\mathcal{F}]$는 $Y$의 초필터이다.

 

 

 

정리18

임의의 집합 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$와 임의의 $x\in X$에 대해 $\mathcal{F}_x = \{ F\in \mathcal{P}(X) : x\in F\}$는 $X$의 초필터이다.

증명

임의의 $F\in \mathcal{P}(X)$에 대해 $\{ x\}\subseteq F$이기 위한 필요충분조건은 $x\in F$인 것이고 $\{ x\}\ne \emptyset$과 $\{ x\}\subseteq X$가 성립하므로

위 정리로 $\mathcal{F}_x = \{ F\in \mathcal{P}(X) : x\in F\} = \{ F\in \mathcal{P}(X) : \{ x\}\subseteq F\}$는 $X$의 필터이다.

모든 $E\subseteq X$에 대해 $x\in E$이면 $E\in \mathcal{P}(X)$이므로 $E\in \mathcal{F}_x$이고

$x\notin E$이면 $x\in X\setminus E$가 되어 $X\setminus E\in \mathcal{P}(X)$임에 따라 $X\setminus E\in \mathcal{F}_x$이므로 $\mathcal{F}_x$는 $X$의 초필터이다.

 

 

 

정리19

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $x\in X$와 $X$의 초필터 $\mathcal{F}$에 대해

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이면 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

증명

위 정리로 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이므로 위 정리로 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $X$의 필터 $\mathcal{G}$가 존재하여

위 정리로 $\mathcal{F} =\mathcal{G}$임에 따라 $\mathcal{F} =\mathcal{G}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리20

임의의 집합 $X$의 필터 $\mathcal{F}$가 $\mathcal{F}\ne \emptyset$일때 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$인 $X$의 초필터 $\mathcal{G}$가 존재한다.

2. $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$인 $X$의 초필터 $\mathcal{G}$가 유일하게 존재하면 $\mathcal{F}=\mathcal{G}$이다.

증명

1.

$X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$의 멱집합 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$에 대해 $\mathbf{G} = \{ \mathcal{G}\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) : \mathcal{F}\subseteq \mathcal{G} \text{인 }X\text{의 필터 }\mathcal{G} \}$일때

집합 정리로 $(\mathbf{G},\subseteq)$는 부분순서집합이고 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(X)$임에 따라 $\mathcal{F}\in \mathbf{G}$가 되어 $\mathbf{G}\ne \emptyset$이다.

$\mathbf{F}\ne \emptyset$이고 $(\mathbf{F},\subseteq)$가 전순서인 임의의 $\mathbf{F}\subseteq \mathbf{G}$에 대해 

모든 $G \in \displaystyle \bigcup \mathbf{F}$는 $G\in \mathcal{G} \subseteq \mathcal{P}(X)$인 $\mathcal{G}\in \mathbf{F}$가 존재하여 $\displaystyle \bigcup \mathbf{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$이므로 $\displaystyle \bigcup \mathbf{F} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$이고

$\emptyset \in \displaystyle \bigcup \mathbf{F}$이라고 가정하면

$\emptyset\in \mathcal{G}$인 $\mathcal{G}\in \mathbf{F} \subseteq \mathbf{G}$가 존재하는데 필터의 정의로 $\emptyset\notin \mathcal{G}$임에 따라 모순이므로 $\emptyset \notin \displaystyle \bigcup \mathbf{F}$이고

$\mathbf{F}\ne \emptyset$임에 따라 $\mathcal{G} \in \mathbf{F} \subseteq \mathbf{G}$가 존재하여 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G} \subseteq \displaystyle \bigcup \mathbf{F}$이다.

모든 $G_1,G_2 \in \displaystyle \bigcup \mathbf{F}$에 대해 $G_1\in \mathcal{G}_1$이고 $G_2\in \mathcal{G}_2$인 $\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2\in \mathbf{F} $가 존재하여 

전순서집합 정리로 $\mathcal{G} = \underset{(\mathbf{F},\subseteq)}{\max}\{\mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2 \}\in \mathbf{F}\subseteq \mathbf{G}$가 존재하고 $\mathcal{G}$는 $X$의 필터이므로

최대원소 정리로 $G_1\in \mathcal{G}_1 \subseteq \mathcal{G}$와 $G_2\in \mathcal{G}_2 \subseteq \mathcal{G}$가 성립함에 따라 필터의 정의로 $G_1\cap G_2\in \mathcal{G}\subseteq \displaystyle \bigcup \mathbf{F}$이다.

임의의 $G \in \displaystyle \bigcup \mathbf{F}$는 $G\in \mathcal{G}$인 $\mathcal{G}\in \mathbf{F}$가 존재하여 $\mathcal{G}$는 $X$의 필터이므로

임의의 $P\subseteq X$에 대해 $G\subseteq P$이면 필터의 정의로 $P\in \mathcal{G}\subseteq \displaystyle \bigcup \mathbf{F}$임에 따라

$\displaystyle \bigcup \mathbf{F}$는 $X$의 필터가 되어 순서집합 정리로 $\underset{(\mathbf{G},\subseteq)}{\sup} \mathbf{F} =\displaystyle \bigcup \mathbf{F}\in \mathbf{G}$이다.

순서집합 정리로 $(\mathbf{G},\subseteq)$에서 $\mathbf{G}$의 극대원소 $\mathcal{G}\in \mathbf{G}$가 존재하여 $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{G}$이고 $\mathcal{G}$는 $X$의 필터이므로

$\mathcal{G}\subseteq \mathcal{H}$인 모든 $X$의 필터 $\mathcal{H}$에 대해

$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}\subseteq \mathcal{H}\subseteq \mathcal{P}(X)$임에 따라 $\mathcal{H}\in \mathbf{G}$가 되어 극대원소의 정의로 $\mathcal{G} = \mathcal{H}$이고

$\mathcal{F}\ne \emptyset$임에 따라 $\mathcal{G}\ne \emptyset$이므로 위 정리로 $\mathcal{G}$는 $X$의 초필터이다.

2.

$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$인 $X$의 초필터 $\mathcal{G}$가 유일하게 존재할때 $\mathcal{F}$가 $X$의 초필터가 아니라고 가정하면

어떤 $E\subseteq X$가 존재하여 $E\notin \mathcal{F}$이고 $X\setminus E\notin \mathcal{F}$이므로 

$\mathcal{B}_1 = \{ F\cap E : F\in \mathcal{F}\}$과 $\mathcal{B}_2 = \{ F\cap (X\setminus E) : F\in \mathcal{F}\}$와 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해

$\mathcal{F}_1 = \{ F\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 } B\in \mathcal{B}_1\text{에 대해 }B\subseteq F \}$이고 $\mathcal{F}_2 = \{ F\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 } B\in \mathcal{B}_2\text{에 대해 }B\subseteq F \}$일때

$D_1 = E$과 $D_2 = X\setminus E$와 모든 $i=1,2$에 대해

모든 $B_i \in \mathcal{B}_i$는 $B_i = F_i\cap D_i$인 $F_i\in \mathcal{F}$가 존재하여

$B_i= F_i\cap D_i \subseteq D_i\subseteq X$이므로 $B_i\in \mathcal{P}(X)$임에 따라 $\mathcal{B}_i\subseteq \mathcal{P}(X)$이고

$F_i\cap D_i = \emptyset$이라고 가정하면 집합 정리로 $F_i\subseteq X\setminus D_i$가 되어

$F_1\subseteq X\setminus D_1 = X\setminus E$이고 $F_2 \subseteq X\setminus D_2 = X\setminus (X\setminus E) =E$이므로 

필터의 정의로 $X\setminus E\in \mathcal{F}$이고 $E\in \mathcal{F}$임에 따라 모순이므로 $B_i = F_i\cap E_i\ne \emptyset$이고 $\emptyset \notin \mathcal{B}_i$이다.

모든 $A_i, B_i \in \mathcal{B}_i$에 대해 $A_i = F_i\cap D_i$이고 $B_i= G_i\cap D_i$인 $F_i,G_i\in \mathcal{F}$가 존재하여

필터의 정의로 $F_i\cap G_i\in \mathcal{F}$이므로 $A_i\cap B_i = (F_i\cap D_i) \cap (G_i\cap D_i) = (F_i\cap G_i)\cap D_i\in \mathcal{B}_i$임에 따라 

위 정리로 $\mathcal{F}_i$는 $X$의 필터이고 $\mathcal{B}_i$는 $\mathcal{F}_i$의 기저이다.

모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 $F\cap D_i\in \mathcal{B}_i$이고 $F\cap D_i \subseteq F \subseteq X$이므로 $F\in \mathcal{F}_i$가 되어 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}_i$이다.

$\mathcal{F}\ne \emptyset$이고 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}_i$이므로 $\mathcal{F}_i \ne \emptyset$이 되어

1번으로 $\mathcal{F}_i \subseteq \mathcal{G}_i$인 $X$의 초필터 $\mathcal{G}_i$가 존재하고 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}_i \subseteq \mathcal{G}_i$임에 따라 $\mathcal{G}_1 =\mathcal{G}_2$인데

$\mathcal{F} \ne \emptyset$이므로 위 정리로 $X\in \mathcal{F}$이고 집합 정리와 기저의 정의로 

$E= X\cap E\in \mathcal{B}_1 \subseteq \mathcal{F}_1 \subseteq \mathcal{G}_1$과 $X\setminus E= X\cap (X\setminus E)\in \mathcal{B}_2 \subseteq \mathcal{F}_2 \subseteq \mathcal{G}_2$가 성립함에 따라

필터의 정의로 $\emptyset = E\cap (X\setminus E) \in \mathcal{G}_1 = \mathcal{G}_2$가 되어 모순이다.

따라서 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$인 $X$의 초필터 $\mathcal{G}$가 유일하게 존재하면 $\mathcal{F}$는 $X$의 초필터이고 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}$이므로 $\mathcal{F}=\mathcal{G}$이다.

 

 

 

정의6

임의의 집합 $X$의 필터 $\mathcal{F}$에 대해 $\Lambda_\mathcal{F} = \{ (x,F) \in X\times \mathcal{F}  : x\in F \}$의 관계 $\le_\mathcal{F}$가

임의의 $(x_1,F_1), (x_2,F_2)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해 $(x_1,F_1)\le_\mathcal{F} (x_2,F_2)$이기 위한 필요충분조건이 $F_2\subseteq F_1$인 것이면 

상향 원순서집합 $(\Lambda_\mathcal{F},\le_\mathcal{F})$에서 $X$의 그물 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$를 $\mathcal{F}$의 기저그물(net based on filter)로 정의한다.

 

 

 

정리21

임의의 집합 $X$의 필터 $\mathcal{F}$에 대해 $\Lambda_\mathcal{F} = \{ (x,F) \in X\times \mathcal{F}  : x\in F \}$의 관계 $\le_\mathcal{F}$가

모든 $(x_1,F_1), (x_2,F_2)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해 $(x_1,F_1)\le_\mathcal{F} (x_2,F_2)$이기 위한 필요충분조건이 $F_2\subseteq F_1$인 것일때

$\mathcal{F}$의 기저그물 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$와 모든 $(x_0,F_0)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해

$B_{(x_0,F_0)} = \{x : (x_0,F_0)\le_\mathcal{F} (x,F) \}$이고 $\mathcal{B} = \{ B_{(x,F)} : (x,F)\in \Lambda_\mathcal{F} \}$이면 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{F}\ne \emptyset$이기 위한 필요충분조건은 $\Lambda_\mathcal{F}\ne \emptyset$인 것이다.

2. $(\Lambda_\mathcal{F},\le_\mathcal{F})$는 상향 원순서집합이다.

3. $\mathcal{F} = \mathcal{B}$이고 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{F}$의 기저이다.

4. $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$의 생성필터 $\mathcal{G}$는 $\mathcal{F} =\mathcal{G}$이다.

5. $\mathcal{F}$가 $X$의 초필터이기 위한 필요충분조건은 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$가 $X$의 초그물인 것이다.

증명

1.

$\mathcal{F}\ne \emptyset$이면 $F\in \mathcal{F}$가 존재하여

필터의 정의로 $\emptyset\notin \mathcal{F}$임에 따라 $F\ne \emptyset$이므로 $x\in F$가 존재하고 $(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}$가 되어 $\Lambda_\mathcal{F}\ne \emptyset$이다.

역으로 $\Lambda_\mathcal{F}\ne \emptyset$이면 $(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}$가 존재하여 $F\in\mathcal{F}$이므로 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이다.

2.

모든 $(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해 집합 정리로 $F\subseteq F$이므로 $(x,F)\le_\mathcal{F}(x,F)$이다.

모든 $(x_1,F_1), (x_2,F_2),(x_3,F_2)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해 $(x_1,F_1)\le_\mathcal{F}(x_2,F_2)$이고 $(x_2,F_2)\le_\mathcal{F}(x_3,F_3)$이면

$F_2\subseteq F_1$이고 $F_3\subseteq F_2$이므로 집합 정리로 $F_3\subseteq F_1$이 되어 $(x_1,F_1)\le_\mathcal{F}(x_3,F_3)$이다.

모든 $(x_1,F_1), (x_2,F_2)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해

$F_1,F_2\in \mathcal{F}$이므로 필터의 정의로 $F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$가 되어 $F_1\cap F_2\subseteq F_1$과 $F_1\cap F_2\subseteq F_2$가 성립하고

필터의 정의로 $\emptyset\notin \mathcal{F}$임에 따라 $F_1\cap F_2\ne \emptyset$이 되어 $x\in F_1\cap F_2$가 존재하므로

$(x,F_1\cap F_2)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해 $(x_1,F_1)\le_\mathcal{F}(x,F_1\cap F_2)$이고 $(x_2,F_2)\le_\mathcal{F}(x,F_1\cap F_2)$임에 따라

$(\Lambda_\mathcal{F},\le_\mathcal{F})$는 상향 원순서집합이다.

3.

모든 $(x_0,F_0)\in \Lambda_\mathcal{F}$와 $B_{(x_0,F_0)}\in \mathcal{B}$에 대해 

모든 $x\in F_0$는 $(x,F_0)\in \Lambda_\mathcal{F}$이고 $F_0\subseteq F_0$임에 따라 $(x_0,F_0)\le_\mathcal{F}(x,F_0)$이 되어 

$x\in B_{(x_0,F_0)}$이므로 $F_0\subseteq B_{(x_0,F_0)}$이고

모든 $x\in B_{(x_0,F_0)}$는 $(x_0,F_0)\le_\mathcal{F}(x,F)$인 $(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}$가 존재하여 $x\in F\subseteq F_0$이므로 

$B_{(x_0,F_0)}\subseteq F_0$이고 집합 정리로 $F_0 = B_{(x_0,F_0)}$이다.

모든 $F \in \mathcal{F}$는 필터의 정의로 $\emptyset\notin \mathcal{F}$임에 따라 $F\ne \emptyset$이므로

$x\in F$가 존재하여 $(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}$이고 $F = B_{(x,F)}\in \mathcal{B}$이므로 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{B}$이고

모든 $B\in \mathcal{B}$는 $B = B_{(x,F)}$인 $(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}$가 존재하여 $B = B_{(x,F)} =F\in \mathcal{F}$이므로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$이다.

따라서 집합 정리로 $\mathcal{F}=\mathcal{B}$이고 위 정리로 $\mathcal{F} = \mathcal{B}$는 $\mathcal{F}$의 기저이다.

4.

$X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해 필터의 정의로 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(X)$이고

생성필터의 정의로 $\mathcal{G} =\{ G\in \mathcal{P}(X):\text{어떤 }B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq G\}$이므로

모든 $F\in \mathcal{F}$는 3번으로 $F \in \mathcal{F} = \mathcal{B}$이고 $F\subseteq F\subseteq X$임에 따라 $F\in \mathcal{G}$가 되어 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}$이다.

모든 $G\in \mathcal{G}$는 $B\subseteq G$인 $B\in \mathcal{B}=\mathcal{F}$가 존재하여 $B\subseteq G\subseteq X$이므로

필터의 정의로 $G\in \mathcal{F}$이고 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{F}$임에 따라 집합 정리로 $\mathcal{F}=\mathcal{G}$이다.

5.

$\mathcal{F}$가 $X$의 초필터이면 모든 $E\subseteq X$에 대해 $E\in \mathcal{F}$ 또는 $X\setminus E\in \mathcal{F}$이므로

임의의 $D\in \{ E, X\setminus E\}$가 $D \in \mathcal{F}$일때

필터의 정의로 $\emptyset\notin \mathcal{F}$임에 따라 $D\ne \emptyset$이 되어 $x_D\in D$가 존재하고 $(x_D, D)\in \Lambda_\mathcal{F}$이므로

$(x_D,D)\le_\mathcal{F}(x,F)$인 모든 $(x, F)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해 $x\in F\subseteq D$임에 따라 $\{ x: (x_D,D)\le_\mathcal{F}(x,F)\}\subseteq D$가 되어

$\{ x: (x_E,E)\le_\mathcal{F}(x,F)\}\subseteq E$ 또는 $\{ x: (x_{X\setminus E},X\setminus E)\le_\mathcal{F}(x,F)\}\subseteq X\setminus E$이고 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$는 $X$의 초그물이다.

역으로 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$가 $X$의 초그물이면

$(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$의 생성필터 $\mathcal{G}$에 대해 4번과 생성필터 정리로 $\mathcal{F} =\mathcal{G}$는 $X$의 초필터이다.

 

 

 

정리22

자연수집합 $\mathbb{N}$의 멱집합 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$에 대해

$\mathcal{F}=\{ F\in \mathcal{P}(\mathbb{N}) : 0\in F \text{이고 }\mathbb{N}\setminus F\text{는 유한집합}\}$이고 $\mathcal{G}=\{ G\in \mathcal{P}(\mathbb{N}) : 0\in G \}$일때

$\mathcal{F},\mathcal{G}$에 대한 위 정리의 상향 원순서집합 $(\Lambda_\mathcal{F},\le_\mathcal{F}),(\Lambda_\mathcal{G},\le_\mathcal{G})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이고 $\mathcal{F},\mathcal{G}$는 $\mathbb{N}$의 필터이다.

2. $\mathcal{F}\ne \emptyset$이고 $\mathcal{G}\ne \emptyset$이다.

3. $(\Lambda_\mathcal{G},\le_\mathcal{G})$에서 $(\Lambda_\mathcal{F},\le_\mathcal{F})$로의 증가 공종함수는 존재하지 않는다.

4. $\mathcal{G}$의 기저그물은 $\mathcal{F}$의 기저그물의 부분그물이 아니다.

증명

1.

모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 $0\in F\in \mathcal{P}(\mathbb{N})$이므로 $F\in \mathcal{G}$가 되어 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이다.

모든 $G\in \mathcal{G}$는 $0\in G$이므로 $G\ne \emptyset$임에 따라 $\emptyset\notin \mathcal{G}$이고 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이므로 $\emptyset\notin \mathcal{F}$이다.

모든 $F_1,F_2\in \mathcal{F}$에 대해 $0\in F_1$이고 $0\in F_2$이므로 $0\in F_1\cap F_2$이고

집합 정리와 유한집합 정리로 $\mathbb{N}\setminus (F_1\cap F_2) = (\mathbb{N}\setminus F_1)\cup (\mathbb{N}\setminus F_2)$는 유한집합이므로 $F_1\cap F_2\in \mathcal{F}$이다.

임의의 $F\in\mathcal{F}$와 임의의 $P\in \mathcal{P}(\mathbb{N})$에 대해 $F\subseteq P$이면 $0\in F\subseteq P$이고 

집합 정리로 $\mathbb{N}\setminus P\subseteq \mathbb{N}\setminus F$이므로 유한집합 정리로 $\mathbb{N}\setminus P$는 유한집합이 되어 $P\in \mathcal{F}$임에 따라 

$\mathcal{F}$는 $\mathbb{N}$의 필터이고 위 정리로 $\mathcal{G}$는 $\mathbb{N}$의 필터이다.

2.

$0\in \mathbb{N} $이고 $\mathbb{N}\setminus \mathbb{N} = \emptyset$은 유한집합이므로 1번으로 $\mathbb{N}\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$이 되어 $\mathcal{F}\ne \emptyset$과 $\mathcal{G}\ne \emptyset$이 성립한다.

3.

$\Lambda_\mathcal{F} = \{ (n,F) \in \mathbb{N}\times \mathcal{F}  : n\in F \}$와 $\Lambda_\mathcal{G} = \{ (n,G) \in \mathbb{N}\times \mathcal{G}  : n\in G \}$에 대해

$0\in \{ 0\}\in \mathcal{G}$이므로 $(0,\{0\})\in\Lambda_\mathcal{G}$이고

모든 $(n,G)\in \Lambda_\mathcal{G}$에 대해 $0\in G$임에 따라 $\{0\}\subseteq G$이므로 $(n,G)\le_\mathcal{G}(0,\{0\})$이다.

$(\Lambda_\mathcal{G},\le_\mathcal{G})$에서 $(\Lambda_\mathcal{F},\le_\mathcal{F})$로의 증가 공종함수 $\phi :\Lambda_\mathcal{G}\to \Lambda_\mathcal{F}$가 존재한다고 가정할때

$\phi(0,\{0\}) = (n,F)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해 $F$가 유한집합이라고 가정하면 $F\in \mathcal{F}$이므로 $\mathbb{N}\setminus F$는 유한집합인데

자연수집합 정리와 무한집합 정리로 $\mathbb{N}\setminus F$가 무한집합임에 따라 모순이 되어

$F$는 무한집합이고 무한집합 정리로 $F\setminus \{0,n\}$은 무한집합이다.

$F\setminus \{0,n\}\ne \emptyset$이므로 어떤 $m\in F\setminus \{ 0,n\}$이 존재하여 $F\setminus \{m\}$은 무한집합이고

임의의 $x\in \mathbb{N}\setminus (F\setminus \{m\})$는 $x\in \mathbb{N}$이고 $x\notin F\setminus \{ m\}$이므로 

$x\in F$이면 집합 정리로 $x\in F\setminus (F\setminus \{ m\}) = \{ m\}$이므로 $x = m$이고 $x\notin F$이면 $x\in \mathbb{N}\setminus F$가 되어

$\mathbb{N}\setminus (F\setminus \{m\}) \subseteq (\mathbb{N}\setminus F)\cup \{ m\}$이므로 유한집합 정리와 유한집합 정리로 $\mathbb{N}\setminus (F\setminus \{m\})$은 유한집합이고

$m\ne 0$임에 따라 $0\in F\setminus \{m\}$이 되어 $F\setminus \{m\}\in \mathcal{F}$이고

$m\ne n$임에 따라 $n\in F\setminus \{m\}$이 되어 $(n,F\setminus \{m\})\in \Lambda_\mathcal{F}$이다.

증가 공종함수의 정의로 $(n,F\setminus \{m\})\le_\mathcal{F} \phi(k,G)$인 $(k,G)\in \Lambda_\mathcal{G}$가 존재하여

$(k,G)\le_\mathcal{G} (0,\{0\})$임에 따라 $(n,F\setminus \{m\})\le_\mathcal{F} \phi(k,G)\le_\mathcal{F} \phi(0,\{0\}) = (n,F)$인데

원순서집합의 추이성과 위 정리로 $m \in F\subseteq F\setminus \{ m\}$이므로 $m\notin F\setminus \{m\}$임에 모순이다.

따라서 $(\Lambda_\mathcal{G},\le_\mathcal{G})$에서 $(\Lambda_\mathcal{F},\le_\mathcal{F})$로의 증가 공종함수는 존재하지 않는다.

4.

$\mathcal{F}$의 기저그물은 $(\Lambda_\mathcal{F},\le_\mathcal{F})$에서 $\mathbb{N}$의 그물 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}=f:\Lambda_\mathcal{F}\to \mathbb{N}$이고

$\mathcal{G}$의 기저그물은 $(\Lambda_\mathcal{G},\le_\mathcal{G})$에서 $\mathbb{N}$의 그물 $(x)_{(x,G)\in \Lambda_\mathcal{G}}=g :\Lambda_\mathcal{G}\to\mathbb{N}$이므로 

$g$가 $f$의 부분그물이라고 가정하면

$g = f\circ \phi$가 되는 $(\Lambda_\mathcal{G},\le_\mathcal{G})$에서 $(\Lambda_\mathcal{F},\le_\mathcal{F})$로의 증가 공종함수 $\phi :\Lambda_\mathcal{G}\to \Lambda_\mathcal{F}$가 존재하여 3번에 모순이다.

따라서 $\mathcal{G}$의 기저그물은 $\mathcal{F}$의 기저그물의 부분그물이 아니다.

 

 

 

정리23

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $X$의 필터 $\mathcal{F}$의 기저그물 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$와 임의의 $c\in X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $c$로 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $c$로 수렴하는 것이다.

2. $c$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이기 위한 필요충분조건은 $c$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$의 집적점인 것이다.

증명

$\mathcal{F}$의 기저그물 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$의 상향 원순서집합이 $(\Lambda_\mathcal{F},\le_\mathcal{F})$이고

임의의 $(x_0,F_0)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해 $B_{(x_0,F_0)} = \{x : (x_0,F_0)\le_\mathcal{F} (x,F) \}$일때

1.

$\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $c$로 수렴하면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $c$의 열린근방 $V$는 $V\in \mathcal{F}$이므로 위 정리로 $B_{(x_V,F_V)}=V$인 $(x_V,F_V)\in \Lambda_\mathcal{F}$가 존재하여

$(x_V,F_V)\le_\mathcal{F} (x,F)$인 모든 $(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}$가 $x\in B_{(x_V,F_V)}=V$임에 따라 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $c$로 수렴한다.

역으로 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $c$로 수렴하면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $c$의 열린근방 $V$에 대해

$(x_V,F_V)\le_\mathcal{F} (x,F)$인 모든 $(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}$가 $x\in V$인 $(x_V,F_V)\in \Lambda_\mathcal{F}$가 존재하므로

$F_V\not \subseteq V$라고 가정하면 $x_0\in F_V\setminus V$이 존재하여 $x_0\in F_V\in \mathcal{F}$임에 따라 $(x_0,F_V)\in \Lambda_\mathcal{F}$이고

$F_V\subseteq F_V$이므로 $(x_V,F_V)\le_\mathcal{F} (x_0,F_V)$가 되어 $x_0\in V$인데 $x_0\notin V$임에 따라 모순이므로

$F_V\subseteq V\subseteq X$이고 $F_V\in \mathcal{F}$임에 따라 필터의 정의로 $V\in \mathcal{F}$가 되어 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $c$로 수렴한다.

2.

$c$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $c$의 열린근방 $V$와 모든 $(x_0,F_0)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해 $F_0\in \mathcal{F}$임에 따라 $V\cap F_0\ne \emptyset$이므로

$x\in V\cap F_0$이 존재하여 $x\in V$와 $x\in F_0$가 성립하므로

$(x,F_0)\in \Lambda_\mathcal{F}$이고 $F_0\subseteq F_0$임에 따라 $(x_0,F_0)\le_\mathcal{F}(x,F_0)$이 되어 $c$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$의 집적점이다.

역으로 $c$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$의 집적점이면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $c$의 열린근방 $V$와 모든 $F\in \mathcal{F}$에 대해 위 정리로 $B_{(x_0,F_0)}=F$인 $(x_0,F_0)\in \Lambda_\mathcal{F}$이 존재하여

$(x_0,F_0)\le_\mathcal{F}(x,G)$이고 $x\in V$인 $(x,G)\in \Lambda_\mathcal{F}$가 존재하므로 $x\in B_{(x_0,F_0)}=F$임에 따라

$x\in V\cap F$가 되어 $V\cap F\ne \emptyset$이고 $c$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/118#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/118#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797