완비 거리공간에 대한 정리

정의1

유사거리공간이 $(X,\rho)$이고

모든 $x,y\in X$에 대해 $(x,y)\in \mathcal{R}_\rho$이기 위한 필요충분조건이 $\rho(x,y) = 0$인 것인 $X$의 관계가 $\mathcal{R}_\rho$일때

$\mathcal{R}_\rho$에 대한 $X$의 몫집합 $X/\mathcal{R}_\rho$와 동치류 $[x]_{\mathcal{R}_\rho},[y]_{\mathcal{R}_\rho}\in X/\mathcal{R}_\rho$가

$d_\rho([x]_{\mathcal{R}_\rho},[y]_{\mathcal{R}_\rho}) = \rho(x,y)$인 함수 $d_\rho: X/\mathcal{R}_\rho \times X/\mathcal{R}_\rho\to [0,\infty)$에 대해

순서쌍 $(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)$를 $(X,\rho)$의 거리동치화(metric identification)으로 정의한다.

 

 

 

정리1

유사거리공간 $(X,\rho)$의 거리동치화 $(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)$와 $\mathcal{R}_\rho$에 대한 $X$의 몫함수 $q : X\to X/\mathcal{R}_\rho$에 대해

$(X,\rho)$의 유사거리위상공간이 $(X,\mathcal{T}_\rho)$이고 $(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)$의 거리위상공간이 $(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$일때 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{R}_\rho$는 $X$의 동치관계이고 $X = \emptyset$이기 위한 필요충분조건은 $X/\mathcal{R}_\rho = \emptyset$인 것이다.

2. $(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)$는 거리공간이다.

3. 모든 $x\in X$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 $q(\underset{(X,\rho)}{B}(x,r)) = \underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r)$이고 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r) = q^{-1}(\underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r))$이다.

4. $q$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 $(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$로의 연속함수이고 열린함수이고 닫힌함수이다.

5. $(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$는 $\mathcal{R}_\rho$에 대한 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 몫공간이다.

6. $(X,\rho)$가 거리공간이면 $q$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 $(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$로의 위상동형사상이다.

7. $(X,\rho)$의 부분유사거리공간 $(Y,\rho)$가 거리공간이고 $Y$가 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 열린집합 또는 닫힌집합이면

$(X,\mathcal{T}_\rho)$와 $(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_\rho|_Y)$와 $(q(Y),\mathcal{T}_{d_\rho}|_{q(Y)})$일때

모든 $y\in Y$에 대해 $p(y) = q(y)$인 함수 $p:Y\to q(Y)$는 $(Y,\mathcal{T}_\rho|_Y)$에서 $(q(Y),\mathcal{T}_{d_\rho}|_{q(Y)})$로의 위상동형사상이다.

증명

1.

유사거리공간의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $\rho(x,x) = 0$이므로 $(x,x)\in \mathcal{R}_\rho$이고

모든 $x,y\in X$에 대해 $(x,y)\in \mathcal{R}_\rho$이면 $0 = \rho(x,y) = \rho(y,x)$이므로 $(y,x)\in \mathcal{R}_\rho$이고

모든 $x,y,z\in X$에 대해 $(x,y)\in \mathcal{R}_\rho$이고 $(y,z)\in \mathcal{R}_\rho$이면

$0\le \rho(x,z)\le \rho(x,y) + \rho(y,z) = 0 +0 =0$이 되어 $\rho(x,z) = 0$이므로 $(x,z)\in \mathcal{R}_\rho$임에 따라

$\mathcal{R}_\rho$는 $X$의 동치관계이다.

동치류 정리와 분할 정리로 $X = \emptyset$이기 위한 필요충분조건은 $X/\mathcal{R}_\rho = \emptyset$인 것이다.

2.

임의의 $x,y,z,w\in X$에 대해 $[x]_{\mathcal{R}_\rho} = [z]_{\mathcal{R}_\rho}$이고 $[y]_{\mathcal{R}_\rho} = [w]_{\mathcal{R}_\rho}$이면

동치류 정리로 $(x,z),(y,w)\in \mathcal{R}_\rho$가 되어 $\rho(x,z) =0 = \rho(y,w)$임에 따라 유사거리공간의 정의로

$d_\rho([x]_{\mathcal{R}_\rho},[y]_{\mathcal{R}_\rho}) = \rho(x,y) \le \rho(x,z) + \rho(z,y) = \rho(z,y)\le \rho(z,w) + \rho(w,y) = \rho(z,w) = d_\rho([z]_{\mathcal{R}_\rho},[w]_{\mathcal{R}_\rho})$이고 

$d_\rho([z]_{\mathcal{R}_\rho},[w]_{\mathcal{R}_\rho}) = \rho(z,w) \le \rho(z,y) + \rho(y,w) = \rho(z,y)\le \rho(z,x) + \rho(x,y) = \rho(x,y) = d_\rho([x]_{\mathcal{R}_\rho},[y]_{\mathcal{R}_\rho})$이므로

$d_\rho([x]_{\mathcal{R}_\rho},[y]_{\mathcal{R}_\rho}) = d_\rho([z]_{\mathcal{R}_\rho},[w]_{\mathcal{R}_\rho})$이다.

모든 $A,B\in X/\mathcal{R}_\rho$는 몫집합의 정의로 $A =[x]_{\mathcal{R}_\rho}$이고 $B = [y]_{\mathcal{R}_\rho}$인 $x,y\in X$가 존재하여 

유사거리공간의 정의로 $d_\rho(A,B) = d_\rho([x]_{\mathcal{R}_\rho},[y]_{\mathcal{R}_\rho}) = \rho(x,y)\ge 0$이므로

$d_\rho: X/\mathcal{R}_\rho \times X/\mathcal{R}_\rho\to [0,\infty)$는 함수이다.

$A\ne B$인 임의의 $A,B\in X/\mathcal{R}_\rho$에 대해 $A =[x]_{\mathcal{R}_\rho}$이고 $B = [y]_{\mathcal{R}_\rho}$인 $x,y\in X$가 존재하므로

$d_\rho([x]_{\mathcal{R}_\rho},[y]_{\mathcal{R}_\rho}) = 0$이라고 가정하면 $\rho(x,y)=d_\rho([x]_{\mathcal{R}_\rho},[y]_{\mathcal{R}_\rho}) = 0$이 되어 $(x,y)\in \mathcal{R}_\rho$이고

동치류 정리로 $A =[x]_{\mathcal{R}_\rho} = [y]_{\mathcal{R}_\rho} = B$임에 따라 모순이므로 

$d_\rho(A,B) = d_\rho([x]_{\mathcal{R}_\rho},[y]_{\mathcal{R}_\rho}) > 0$이고 유사거리공간의 정의로 $(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)$는 거리공간이다.

3.

모든 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$에 대해

열린공의 정의로 $d_\rho([x]_{\mathcal{R}_\rho},[y]_{\mathcal{R}_\rho}) = \rho(x,y)< r$이므로 열린공의 정의로 $q(y)=[y]_{\mathcal{R}_\rho} \in \underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r)$이 되어

$y \in q^{-1}(\underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r))$임에 따라 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r) \subseteq q^{-1}(\underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r))$이고

모든 $y\in q^{-1}(\underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r))$에 대해 $[y]_{\mathcal{R}_\rho}=q(y) \in \underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r)$이므로 

열린공의 정의로 $\rho(x,y) = d_\rho([x]_{\mathcal{R}_\rho},[y]_{\mathcal{R}_\rho})< r$이 되어 열린공의 정의로 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$임에 따라

$q^{-1}(\underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r))\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$이고 집합 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r) = q^{-1}(\underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r))$이다.

몫함수 정리로 $q$는 전사이므로 전사함수 정리로 $q(\underset{(X,\rho)}{B}(x,r)) = q(q^{-1}(\underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r))) = \underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r)$이다.

4.

몫함수 정리로 $q$는 전사이므로 

거리위상공간의 정의로 $\{ \underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r) : x\in X, r\in(0,\infty)\}$는 $(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$의 기저이고

유사거리위상공간의 정의로 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,r) : x\in X, r\in(0,\infty)\}$는 $(X,\mathcal{T}_{\rho})$의 기저이므로

모든 $x\in X$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 3번으로 $q^{-1}(\underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r)) = \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\in \mathcal{T}_\rho$임에 따라 

$q^{-1}(\underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r))$은 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 열린집합이고 연속함수 정리로 $q$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 $(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$로의 연속함수이다.

임의의 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 열린집합 $O$에 대해 모든 $A\in q(O)$는 $A = q(x) = [x]_{\mathcal{R}_\rho}$인 $x\in O$가 존재하여

3번과 유사거리위상공간 정리로 $q^{-1}(\underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r))=\underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하고

전사함수 정리로 $A = [x]_{\mathcal{R}_\rho}\in \underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r)=q(q^{-1}(\underset{(X/\mathcal{R}_\rho,d_\rho)}{B([x]_{\mathcal{R}_\rho}},r)))\subseteq q(O)$임에 따라

거리공간 정리와 위상공간 정리로 $q(O)$는 $(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$에서 열린집합이 되어

$q$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 $(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$로의 열린함수이다.

임의의 $E\subseteq X$에 대해 모든 $A\in \underset{(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})}{\operatorname{cl}(q(E))}$는 $A = [x]_{\mathcal{R}_\rho}$인 $x\in X$가 존재하여

모든 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 $x$의 열린근방 $U$에 대해 $[x]_{\mathcal{R}_\rho}=q(x) \in q(U)$임에 따라

$q(U)$는 $(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$에서 $[x]_{\mathcal{R}_\rho}$의 열린근방이므로 밀착점의 정의로 $q(U)\cap q(E)\ne \emptyset$이고

$B\in q(U)\cap q(E)$가 존재하여 $[y]_{\mathcal{R}_\rho}=q(y)=B = q(z)=[z]_{\mathcal{R}_\rho}$인 $y\in U$와 $z\in E$가 존재하므로 

유사거리위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(y, r)\subseteq U$인 $r \in (0,\infty)$이 존재하고

동치류 정리로 $(y,z)\in \mathcal{R}_\rho$임에 따라 $\rho(y,z) = 0< r$이 되어 열린공의 정의로 $z\in \underset{(X,\rho)}{B}(y, r)\subseteq U$이므로

$z\in U\cap E$이고 $U\cap E\ne \emptyset$이 되어 밀착점의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_\rho)}{\operatorname{cl}}(E)$이고 $A = [x]_{\mathcal{R}_\rho} =q(x)\in q(\underset{(X,\mathcal{T}_\rho)}{\operatorname{cl}}(E))$임에 따라 

$\underset{(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})}{\operatorname{cl}(q(E))}\subseteq q(\underset{(X,\mathcal{T}_\rho)}{\operatorname{cl}}(E))$이므로 닫힌함수 정리로 $q$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 $(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$로의 닫힌함수이다.

5.

몫함수 정리와 4번과 몫공간 정리로 $(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$는 $q$에 대한 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 몫공간이므로 

$(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$는 $\mathcal{R}_\rho$에 대한 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 몫공간이다.

6.

임의의 $x,y\in X$에 대해 $[x]_{\mathcal{R}_\rho}=q(x)= q(y) = [y]_{\mathcal{R}_\rho}$이면 

동치류 정리로 $(x,y)\in \mathcal{R}_\rho$가 되어 $\rho(x,y) = 0$이므로 거리공간 정리로 $x= y$임에 따라 $q$는 단사이고

몫함수 정리로 $q$는 전사이므로 4번과 위상동형사상 정리로 $q$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 $(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$로의 위상동형사상이다.

7.

위상공간 정리로 $(Y,\rho)$의 유사거리위상공간은 $(Y,\mathcal{T}_\rho|_Y)$이다.

임의의 $y,z\in Y$에 대해 $[y]_{\mathcal{R}_\rho}=q(y) = p(y) = p(z)= q(z) = [z]_{\mathcal{R}_\rho}$이면 

동치류 정리로 $(y,z)\in \mathcal{R}_\rho$가 되어 $\rho(y,z) = 0$이므로 거리공간 정리로 $y= z$임에 따라 $p$는 단사이고

함수 정리로 $p(Y) = q(Y)$이므로 $p$는 전사이다.

4번과 연속함수 정리로 $p$는 $(Y,\mathcal{T}_\rho|_Y)$에서 $(q(Y),\mathcal{T}_{d_\rho}|_{q(Y)})$로의 연속함수이다.

$Y$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 열린집합 또는 닫힌집합이므로 모든 $(Y,\mathcal{T}_\rho|_Y)$에서 열린집합 또는 닫힌집합 $E_Y$에 대해

위상공간 정리로 $E_Y = E\cap Y$인 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 열린집합 또는 닫힌집합 $E$가 존재하여 

위상공간 정리로 $E_Y = E\cap Y$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 열린집합 또는 닫힌집합이므로

4번과 열린함수의 정의와 닫힌함수의 정의로 $q(E_Y)$는 $(X/\mathcal{R}_\rho,\mathcal{T}_{d_\rho})$에서 열린집합 또는 닫힌집합이고

$E_Y\subseteq Y$이므로 $q(E_Y)\subseteq q(Y)$임에 따라 함수 정리와 집합 정리와 위상공간 정리로

$p(E_Y)=q(E_Y) =q(E_Y)\cap q(Y)$는 $(q(Y),\mathcal{T}_{d_\rho}|_{q(Y)})$에서 열린집합 또는 닫힌집합이 되어

$p$는 $(Y,\mathcal{T}_\rho|_Y)$에서 $(q(Y),\mathcal{T}_{d_\rho}|_{q(Y)})$로의 열린함수 또는 닫힌함수이다.

따라서 위상동형사상 정리로 $p$는 $(Y,\mathcal{T}_\rho|_Y)$에서 $(q(Y),\mathcal{T}_{d_\rho}|_{q(Y)})$로의 위상동형사상이다.

 

 

 

정의2

거리공간 $(X,d)$에 대해 양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$와 $X$의 데카르트곱의 멱집합이 $\mathcal{P}(\mathbb{Z}^+\times X)$이고

$(X,d)$에서 코시수열들의 집합이 $\mathcal{C} = \{ (x_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}^+\times X): (x_n)_{n=1}^\infty\text{은 }(X,d)\text{에서 코시수열}\}$일때

$\mathcal{C}$의 관계 $\mathcal{R}$이 모든 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$에 대해 

$((x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty)\in \mathcal{R}$이기 위한 필요충분조건이 실수열 $(d(x_n,y_n))_{n=1}^\infty$의 극한이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n,y_n)) = 0$인 것이면 

$\mathcal{R}$에 대한 $\mathcal{C}$의 몫집합 $\mathcal{C}/\mathcal{R}$과 동치류 $[(x_n)_{n=1}^\infty]_{\mathcal{R}},[(y_n)_{n=1}^\infty]_{\mathcal{R}}\in \mathcal{C}/\mathcal{R}$이

$\overline{d}([(x_n)_{n=1}^\infty]_{\mathcal{R}},[(y_n)_{n=1}^\infty]_{\mathcal{R}}) = \displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n,y_n))$인 함수 $\overline{d}: \mathcal{C}/\mathcal{R}\times \mathcal{C}/\mathcal{R}\to [0,\infty)$에 대해

순서쌍 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$를 $(X,d)$의 완비화(completion)으로 정의한다.

 

 

 

정리2

거리공간 $(X,d)$의 완비화 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{R}$은 $\mathcal{C}$의 동치관계이고 $X = \emptyset$이기 위한 필요충분조건은 $\mathcal{C}/\mathcal{R} = \emptyset$인 것이다.

2. $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$는 완비거리공간이다.

3. $\mathcal{D} = \{ [(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R} : x\in X\}$에 대해 $(\mathcal{D},\overline{d})$는 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$의 부분거리공간이다.

4. 모든 $x\in X$에 대해 $f(x) = [(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$인 함수 $f:X\to \mathcal{D}$는 $(X,d)$에서 $(\mathcal{D},\overline{d})$로의 등거리변환이다.

5. $(X,d)$의 거리위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$의 거리위상공간이 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$일때

$\underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})}{\operatorname{cl}(f(X)) }=\underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})}{\operatorname{cl}(\mathcal{D})} = \mathcal{C}/\mathcal{R}$이고 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$로의 조밀매장이다.

6. 완비거리공간 $(K,d_K)$의 거리위상공간이 $(K,\mathcal{T}_K)$일때

모든 $x,y\in X$에 대해 $d(x,y) = d_K(e(x),e(y))$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 조밀매장 $e:X\to K$가 존재하면

모든 $x\in X$에 대해 $\Phi(e(x)) = [(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$인 $(K,d_K)$에서 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$로의 등거리변환 $\Phi : K\to \mathcal{C}/\mathcal{R}$가 존재한다.

증명

1, 2

임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty \in \mathcal{C}$은 $(X,d)$에서 코시수열이므로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$n,m\ge K(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $n,m\in \mathbb{Z}^+$이 $d(x_n,x_m)<\dfrac{\epsilon}{2}$인 $K(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하고

$n,m\ge H(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $n,m\in \mathbb{Z}^+$이 $d(y_n,y_m)<\dfrac{\epsilon}{2}$인 $H(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$n,m\ge $ $\max$$\{K(\frac{\epsilon}{2}), H(\frac{\epsilon}{2})\}$인 모든 $n,m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 거리공간의 정의로

$\begin{align*}d(x_n,y_n) -d(x_m,y_m) &\le d(x_n,x_m) + d(x_m,y_n) - d(x_m,y_m) \\[0.5em]&\le d(x_n,x_m) + d(x_m,y_m) + d(y_m,y_n) - d(x_m,y_m)= d(x_n,x_m) + d(y_m,y_n) \\[0.5em]& < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이고}\end{align*}$

$\begin{align*}d(x_m,y_m) -d(x_n,y_n) &\le d(x_m,x_n) + d(x_n,y_m) - d(x_n,y_n) \\[0.5em]&\le d(x_m,x_n) + d(x_n,y_n) + d(y_n,y_m) - d(x_n,y_n)= d(x_m,x_n) + d(y_n,y_m) \\[0.5em]& < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 임에 따라}\end{align*}$

절댓값 정리로 $|d(x_n,y_n)- d(x_m,y_m)|< \epsilon$이므로

실수 코시수열 정리로 실수열 $(d(x_n,y_n))_{n=1}^\infty$은 수렴하고 실수열 정리로 $(d(x_n,y_n))_{n=1}^\infty$의 극한은 유일하다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 거리공간의 정의로 $d(x_n,y_n)\ge 0$이므로 실수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(d(x_n,y_n))\ge 0$이 되어 

$\rho((x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty) = \displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n,y_n))$인 $\rho :\mathcal{C}\times \mathcal{C}\to [0,\infty)$는 함수이다.

임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty \in \mathcal{C}$은 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 거리공간의 정의로 $d(x_n,x_n) = 0$이므로 

실수열 정리로 $\rho((x_n)_{n=1}^\infty,(x_n)_{n=1}^\infty)=\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n,x_n)) = 0$이다.

임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$은 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

거리공간의 정의로 $d(x_n,y_n) = d(y_n,x_n)$이므로 $(d(x_n,y_n))_{n=1}^\infty = (d(y_n,x_n))_{n=1}^\infty$이 되어 

$\displaystyle \rho((x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty)=\lim_{n\to \infty}(d(x_n,y_n)) = \lim_{n\to \infty}(d(y_n,x_n)) = \rho((y_n)_{n=1}^\infty,(x_n)_{n=1}^\infty)$이다.

임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty,(z_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$은 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

거리공간의 정의로 $d(x_n,z_n)\le d(x_n,y_n) + d(y_n,z_n)$이므로 실수열 정리와 실수열 정리로

$\begin{align*}\rho((x_n)_{n=1}^\infty,(z_n)_{n=1}^\infty)  = \lim_{n\to\infty}(d(x_n,z_n)) &\le \lim_{n\to\infty}(d(x_n,y_n) + d(y_n,z_n)) \\[0.5em]& =\lim_{n\to\infty}(d(x_n,y_n)) + \lim_{n\to \infty}(d(y_n,z_n)) \\[0.5em]& =\rho((x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty) +\rho((y_n)_{n=1}^\infty,(z_n)_{n=1}^\infty)\text{ 임에 따라} \end{align*} $

$(\mathcal{C},\rho)$는 유사거리공간이다.

완비화의 정의로 모든 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$에 대해 

$((x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty)\in \mathcal{R}$이기 위한 필요충분조건이 $\rho((x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty)=\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n,y_n)) = 0$인 것이고

$\overline{d}([(x_n)_{n=1}^\infty]_{\mathcal{R}},[(y_n)_{n=1}^\infty]_{\mathcal{R}}) = \displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n,y_n)) = \rho((x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty)$이므로

$(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$는 $(\mathcal{C},\rho)$의 거리동치화가 되어 위 정리로 $\mathcal{R}$은 $\mathcal{C}$의 동치관계이고 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$는 거리공간이다.

임의의 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$에서 코시수열 $(A_k)_{k = k_0}^\infty$는

$k\ge k_0$인 모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $A_k\in \mathcal{C}/\mathcal{R}$이므로 선택 정리로 $A_k = [(x_{n}(k))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$인 $(x_{n}(k))_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$를 선택할때

모든 $r \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정렬성과 코시수열의 정의와 귀납적 정의로 $k_{r+1}> k_r\ge \max \{ r, k_0\}$이고

$i,j\ge k_r \ge k_0$인 모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$가 $\overline{d}([(x_{n}(i))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{n}(j))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) < \dfrac{1}{2\cdot r}$이 되는 $k_r\in \mathbb{Z}^+$을 선택하면

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n(i),x_n(j))) =\overline{d}([(x_{n}(i))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{n}(j))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) < \dfrac{1}{2\cdot r} < \dfrac{1}{r}$이므로

정렬성과 실수열 수렴의 정의와 귀납적 정의로 $n_{r+1}> n_r \ge r$이고 

$m \ge n_r$인 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$이 $|d(x_m(i),x_m(j)) - \displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n(i),x_n(j)))| < \dfrac{1}{2\cdot r}$이 되는 $n_r\in \mathbb{Z}^+$을 선택하여

 $-\dfrac{1}{2\cdot r}< d(x_m(i),x_m(j)) - \displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n(i),x_n(j))) < \dfrac{1}{2\cdot r}$이고

$d(x_m(i),x_m(j)) < \dfrac{1}{2\cdot r} + \displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n(i),x_n(j))) < \dfrac{1}{2\cdot r} + \dfrac{1}{2\cdot r} = \dfrac{1}{r}$이다.

$(x_{n_r}(k_r))_{r=1}^\infty$은 $X$의 수열이고 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{p}< \epsilon$인 $p\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$(x_n(k_{2\cdot p}))_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$는 $(X,d)$에서 코시수열이므로

$n,m \ge K(\epsilon - \frac{1}{p})$인 모든 $n,m\in \mathbb{Z}^+$이 $d(x_n(k_{2\cdot p}),x_m(k_{2\cdot p}))< \epsilon - \dfrac{1}{p}$인 $K(\epsilon-\frac{1}{p})\in \mathbb{Z}^+$가 존재하고

$q = \max \{ 2\cdot p, K(\epsilon -\frac{1}{p})\}$일때 

$i,j\ge q$인 모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$는 $k_i,k_j\ge k_q \ge k_{2\cdot p}$가 되어

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n(k_i),x_n(k_{2\cdot p}))) =\overline{d}([(x_{n}(k_i))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{n}(k_{2\cdot p}))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) < \dfrac{1}{2\cdot p}$이고 

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n(k_{2\cdot p}),x_n(k_j))) =\overline{d}([(x_{n}(k_{2\cdot p}))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{n}(k_j))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) < \dfrac{1}{2\cdot p}$이므로

$n_i,n_j \ge n_q \ge n_{2\cdot p}$임에 따라 $d(x_{n_i}(k_i),x_{n_i}(k_{2\cdot p})) < \dfrac{1}{2\cdot p}$이고 $d(x_{n_j}(k_{2\cdot p}),x_{n_j}(k_j)) < \dfrac{1}{2\cdot p}$가 되어

$n_i,n_j \ge n_q \ge q \ge K(\epsilon-\frac{1}{p})$이므로 거리공간의 정의로

$\begin{align*}d(x_{n_i}(k_i),x_{n_j}(k_j)) &\le d(x_{n_i}(k_i),x_{n_i}(k_{2\cdot p})) + d(x_{n_i}(k_{2\cdot p}),x_{n_j}(k_j)) \\[0.5em]& \le d(x_{n_i}(k_i),x_{n_i}(k_{2\cdot p})) + d(x_{n_i}(k_{2\cdot p}),x_{n_j}(k_{2\cdot p})) + d(x_{n_j}(k_{2\cdot p}), x_{n_j}(k_j)) \\[0.5em] &< \dfrac{1}{2\cdot p} + \epsilon - \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{2\cdot p} = \epsilon - \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p} = \epsilon \text{ 이고} \end{align*}$

$(x_{n_r}(k_r))_{r=1}^\infty$은 $(X,d)$에서 코시수열이다.

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{p}< \dfrac{\epsilon}{2}$인 $p\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$k\ge k_{2\cdot p}\ge k_0$인 모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $(x_n(k))_{n=1}^\infty$는 $(X,d)$에서 코시수열이므로

$i,j \ge H_k(\frac{1}{2\cdot p})$인 모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$가 $d(x_i(k), x_j(k)) < \dfrac{1}{2\cdot p}$가 되는 $H_k(\frac{1}{2\cdot p})\in \mathbb{Z}^+$이 존재하고

$i,j\ge k_{2\cdot p}$인 모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$는 $\overline{d}([(x_{n}(i))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{n}(j))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) < \dfrac{1}{2\cdot p}$이므로

$m \ge n_{2\cdot p}$인 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $d(x_m(i),x_m(j)) < \dfrac{1}{2\cdot p}$이고

$r \ge \max \{H_k(\frac{1}{2\cdot p}) ,n_{2\cdot p}\}$인 모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n_r \ge r\ge H_k(\frac{1}{2\cdot p})$이므로 $d(x_r(k),x_{n_r}(k)) < \dfrac{1}{2\cdot p}$이고

$n_r\ge r \ge n_{2\cdot p}\ge 2\cdot p$이므로 $k, k_r\ge k_{2\cdot p}$임에 따라 $d(x_{n_r}(k),x_{n_r}(k_r))< \dfrac{1}{2\cdot p}$가 되어

거리공간의 정의로 $d(x_r(k), x_{n_r}(k_r))\le d(x_r(k),x_{n_r}(k)) + d(x_{n_r}(k),x_{n_r}(k_r)) < \dfrac{1}{2\cdot p} + \dfrac{1}{2\cdot p} = \dfrac{1}{p} < \dfrac{\epsilon}{2}$이고 

꼬리수열 정리와 실수열 정리로 $\displaystyle \overline{d}([(x_r(k))_{r=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{n_r}(k_r))_{r=1}^\infty]_\mathcal{R})=\lim_{r\to \infty}(d(x_r(k), x_{n_r}(k_r))) \le \dfrac{\epsilon}{2} < \epsilon$이므로

실수열 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty} (\overline{d}([(x_r(k))_{r=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{n_r}(k_r))_{r=1}^\infty]_\mathcal{R}))=0$이 되어

$(A_k)_{k=k_0}^\infty = ([(x_n(k))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R})_{k=k_0}^\infty$가 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$에서 $[(x_{n_r}(k_r))_{r=1}^\infty]_\mathcal{R}$로 수렴함에 따라 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$는 완비거리공간이다.

$\mathbb{Z}^+\ne \emptyset$임에 따라 $X = \emptyset$이면 $X$의 수열은 존재하지 않으므로 $\mathcal{C} = \emptyset$이고

$X\ne \emptyset$이면 $x\in X$가 존재하여 $(x)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$임에 따라 $\mathcal{C}\ne \emptyset$이므로 $X = \emptyset$이기 위한 필요충분조건은 $\mathcal{C} = \emptyset$인 것이고 

동치류 정리와 분할 정리로 $\mathcal{C} = \emptyset$이기 위한 필요충분조건은 $\mathcal{C}/\mathcal{R}= \emptyset$인 것이 되어

$X = \emptyset$이기 위한 필요충분조건은 $\mathcal{C}/\mathcal{R}= \emptyset$인 것이다.

3.

실수열 정리와 거리공간의 정의로

모든 $x\in X$에 대해 상수열 $(x)_{n=1}^\infty$는 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x,x))=d(x,x) = 0$이므로 $(X,d)$에서 $x$로 수렴하여 

수열 정리로 $(x)_{n=1}^\infty$는 $(X,d)$에서 코시수열임에 따라 $(x)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$이고

$[(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}\in \mathcal{C}/\mathcal{R}$이므로 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{C}/\mathcal{R}$가 되어 거리공간 정리로 $(\mathcal{D},\overline{d})$는 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$의 부분거리공간이다.

4.

$f(X) = \{ f(x) : x\in X\} = \{ [(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}:x\in X\} = \mathcal{D}$이므로 $f$는 전사이고 

임의의 $x,y\in X$에 대해 $[(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R} =f(x) = f(y) = [(y)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$이면

동치류 정리로 $((x)_{n=1}^\infty,(y)_{n=1}^\infty)\in \mathcal{R}$이므로 실수열 정리로 $\displaystyle d(x,y) = \lim_{n\to\infty}(d(x,y)) = 0$이 되어 

거리공간 정리로 $x=y$임에 따라 $f$는 단사이다.

실수열 정리로 모든 $x,y\in X$에 대해 $\displaystyle d(x,y) = \lim_{n\to \infty}(d(x,y))=\overline{d}([(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}, [(y)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) = \overline{d}(f(x),f(y))$이므로

$f$는 $(X,d)$에서 $(\mathcal{D},\overline{d})$로의 등거리변환이다.

5.

$f(X) = \mathcal{D}$이고 폐포의 정의로 $\underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})}{\operatorname{cl}(\mathcal{D})} \subseteq \mathcal{C}/\mathcal{R}$이다.

모든 $A\in \mathcal{C}/\mathcal{R}$에 대해 $A = [(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$인 $(x_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$이 존재하고

모든 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$에서 $[(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$의 열린근방 $\mathcal{O}$에 대해

위상공간 정리와 거리공간 정리로 $\underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})}{B}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},\epsilon)\subseteq \mathcal{O}$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여

코시수열의 정의로 $n,m\ge K(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $n,m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $d(x_n,x_m)< \dfrac{\epsilon}{2}$인 $K(\frac{\epsilon}{2})\in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$[(x_{K(\frac{\epsilon}{2})})_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}\in \mathcal{D}$이고 $n\ge K(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $d(x_n,x_{K(\frac{\epsilon}{2})})< \dfrac{\epsilon}{2}$임에 따라

꼬리수열 정리와 실수열 정리로 $\displaystyle \overline{d}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{K(\frac{\epsilon}{2})})_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) = \lim_{n\to \infty}(d(x_n,x_{K(\frac{\epsilon}{2})}))\le \dfrac{\epsilon}{2}<\epsilon$이므로

열린공의 정의로 $[(x_{K(\frac{\epsilon}{2})})]_\mathcal{R}\in \underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})}{B}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},\epsilon)\subseteq \mathcal{O}$이고 $[(x_{K(\frac{\epsilon}{2})})_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}\in \mathcal{O}\cap \mathcal{D}$가 되어 $\mathcal{O}\cap \mathcal{D}\ne \emptyset$이므로

폐포의 정의로 $A = [(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}\in \underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})}{\operatorname{cl}(\mathcal{D})}$이고 $\mathcal{C}/\mathcal{R}\subseteq \underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})}{\operatorname{cl}(\mathcal{D})}$임에 따라

집합 정리로 $\underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})}{\operatorname{cl}(f(X)) }=\underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})}{\operatorname{cl}(\mathcal{D})} = \mathcal{C}/\mathcal{R}$이다.

$(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$의 부분위상공간이 $(\mathcal{D},\overline{\mathcal{T}}|_\mathcal{D})$일때

$(\mathcal{D},\overline{d})$는 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$의 부분거리공간이므로 위상공간 정리로 $(\mathcal{D},\overline{d})$의 거리위상공간은 $(\mathcal{D},\overline{\mathcal{T}}|_\mathcal{D})$이고

등거리변환 정리와 거리공간 정리와 위상공간 정리와 함수 정리와 위상동형사상 정리로 

$f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathcal{D},\overline{\mathcal{T}}|_\mathcal{D})$로의 위상동형사상이므로 

함수의 상등으로 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$로의 매장이 되어 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$로의 조밀매장이다.

6.

분류 공리로

$\Phi = \{ (k,A)\in K\times \mathcal{C}/\mathcal{R} : \displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(K,d_K)}(e(x_n))=k\text{인 모든 }(X,d)\text{에서 코시수열 }(x_n)_{n=1}^\infty\text{에 대해 } A = [(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R} \}\text{ 가 존재하여}$

$\Phi \subseteq K\times \mathcal{C}/\mathcal{R}$이다.

임의의 $X$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$은 모든 $n,m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $d(x_n,x_m) = d_K(e(x_n),e(x_m))$이므로 

$(x_n)_{n=1}^\infty$이 $(X,d)$에서 코시수열이기 위한 필요충분조건은 $(e(x_n))_{n=1}^\infty$이 $(K,d_K)$에서 코시수열인 것이다.

임의의 $e(X)$의 수열 $(k_n)_{n=1}^\infty$은 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $k_n = e(x_n)$인 $x_n\in X$이 존재하여 조밀매장의 정의로

$e$가 단사임에 따라 $x_n$은 유일하게 존재하므로 $(k_n)_{n=1}^\infty = (e(x_n))_{n=1}^\infty$인 $X$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$이 존재한다.

모든 $k \in K$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(K,d_K)}(e(x_n)) = k$인 임의의 $(X,d)$에서 코시수열이 $(x_n)_{n=1}^\infty$일때

조밀매장의 정의와 위상공간 정리로 $k \in K = \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(e(X)) = \underset{(K,d_K)}{\operatorname{cl}}(e(X))$이므로 

밀착점 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(K,d_K)}(k_n) = k$인 $e(X)$의 수열 $(k_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $e(y_n) = k_n$인 $X$의 수열 $(y_n)_{n=1}^\infty$가 존재하고

수열 정리로 $(e(y_n))_{n=1}^\infty=(k_n)_{n=1}^\infty$은 $(K,d_K)$에서 코시수열이므로 $(y_n)_{n=1}^\infty$은 $(X,d)$에서 코시수열이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $d(x_n,y_n) = d_K(e(x_n),e(y_n))$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(K,d_K)}(e(x_n)) = k =\lim_{n\to\infty}^{(K,d_K)}(e(y_n))$이므로 

거리공간 정리와 거리공간의 정의로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n,y_n))=\lim_{n\to \infty}(d_K(e(x_n),e(y_n))) = d_K(k,k) = 0$이 되어 

$[(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R} = [(y_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$임에 따라 $\Phi$는 $\Phi:K\to \mathcal{C}/\mathcal{R}$인 함수이다.

모든 $x\in X$에 대해 실수열 정리와 거리공간의 정의로 상수열 $(x)_{n=1}^\infty,(e(x))_{n=1}^\infty$는

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d_K(e(x),e(x)))=d_K(e(x),e(x)) = 0 = d(x,x) = \lim_{n\to\infty}(d(x,x))$이므로

수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(K,d_K)}(e(x)) = e(x)$와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x) = x$가 성립하여

수열 정리로 $(x)_{n=1}^\infty$가 $(X,d)$에서 코시수열임에 따라 $\Phi(e(x)) = [(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$이다.

$\Phi(k_1) = \Phi(k_2)$인 모든 $k_1,k_2\in K$에 대해

밀착점 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(K,d_K)}(e(x_n)) = k_1$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(K,d_K)}(e(y_n)) = k_2$인 $X$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여 

$[(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}=\Phi(k_1) = \Phi(k_2) = [(y_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$이므로 동치류 정리로 $((x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty)\in \mathcal{R}$임에 따라 

거리공간 정리로 $0 = \displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n,y_n)) = \lim_{n\to \infty}(d_K(e(x_n),e(y_n))) = d_K(k_1,k_2)$이고 

거리공간 정리로 $k_1=k_2$이므로 $\Phi$는 단사이다.

모든 $A\in \mathcal{C}/\mathcal{R}$에 대해 $A =[(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$인 $(X,d)$에서 코시수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여 

$(e(x_n))_{n=1}^\infty$은 $(K,d_K)$에서 코시수열이므로 $(K,d_K)$가 완비거리공간임에 따라

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(K,d_K)}(e(x_n)) = k$인 $k\in K$가 존재하고 $\Phi(k) = [(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R} = A$가 되어 $\Phi$는 전사이다.

모든 $k_1,k_2\in K$에 대해

밀착점 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(K,d_K)}(e(x_n)) = k_1$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(K,d_K)}(e(y_n)) = k_2$인 $X$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여 

$\Phi(k_1) = [(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$이고 $\Phi(k_2) = [(y_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$이므로 거리공간 정리로

$\overline{d}(\Phi(k_1),\Phi(k_2)) =\overline{d}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(y_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) = \displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n,y_n)) = \lim_{n\to \infty}(d_K(e(x_n), e(y_n))) = d_K(k_1,k_2)\text{ 임에 따라}$

$\Phi$는 $(K,d_K)$에서 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$로의 등거리변환이다.

 

 

 

정의3

거리공간 $(X,d_X), (Y,d_Y)$와 임의의 $A\subseteq X$에 대해 함수 $f:A\to Y$의 치역 $f(A)$가 $(Y,d_Y)$에서 유계일때

부분집합에 대한 함수의 진동(oscillation) : 

$S\ne \emptyset$인 임의의 $S\subseteq A$에 대해 $(Y,d_Y)$로의 $S$에 대한 $f$의 진동을

$\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f, S) = $ $\sup$$\{ d_Y(f(x_1),f(x_2)) : x_1,x_2\in S\}$로 정의한다.

점에 대한 함수의 진동 :

임의의 $x\in $ $\underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$에 대해 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 $x$에 대한 $f$의 진동을

$\underset{(X,d_X)}{\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}}(f ,x) = $ $\inf$$\{ \overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f, \underset{(X,d_X)}{B}(x,r)\cap A) : r\in (0,\infty)\}$로 정의한다.

$G_\delta$-집합 :

임의의 $E \subseteq X$에 대해 모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,d_X)$에서 열린집합이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{O}$가 존재하여

$E = \displaystyle \bigcap \mathcal{O}$이면 $E$를 $(X,d_X)$에서 $G_\delta$-집합으로 정의한다.

$F_\sigma$-집합 :

임의의 $E \subseteq X$에 대해 모든 $C\in \mathcal{C}$가 $(X,d_X)$에서 닫힌집합이고 $\mathcal{C}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{C}$가 존재하여

$E = \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$이면 $E$를 $(X,d_X)$에서 $F_\sigma$-집합으로 정의한다.

 

 

 

정리3

거리공간 $(X,d_X), (Y,d_Y)$와 임의의 $A\subseteq X$에 대해 $(X,d_X)$의 부분거리공간이 $(A,d_X)$이고

함수 $f:A\to Y$의 치역 $f(A)$가 $(Y,d_Y)$에서 유계일때 다음이 성립한다.

1. $S\ne \emptyset$인 모든 $S\subseteq A$에 대해 $(Y,d_Y)$로의 $S$에 대한 $f$의 진동이 존재하고 $\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f, S) \ge 0$이다.

2. 모든 $x\in \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$에 대해 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 $x$에 대한 $f$의 진동이 존재하고 $\underset{(X,d_X)}{\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}}(f ,x) \ge 0$이다.

3. $S_1\ne \emptyset$이고 $S_2\ne \emptyset$인 모든 $S_1,S_2\subseteq A$가 $S_1\subseteq S_2$이면 $\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f, S_1) \le \overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,S_2)$이다.

4. $f$가 $(A,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 임의의 $c\in A$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,d_X)}{\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}}(f ,c) = 0$인 것이다.

5. $A$가 $(X,d_X)$에서 닫힌집합이면 

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $A_\epsilon = \{ x\in A :\underset{(X,d_X)}{\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}}(f ,x) \ge \epsilon \}$은 $(X,d_X)$에서 닫힌집합이다.

증명

1.

$S\ne \emptyset$이므로 $\{ d_Y(f(x_1),f(x_2)) : x_1,x_2\in S\}\ne \emptyset$이고 $f(A)$가 $(Y,d_Y)$에서 유계이므로

어떤 $M\in (0,\infty)$이 존재하여 모든 $x_1,x_2\in S\subseteq A$가 $f(x_1),f(x_2)\in f(A)$임에 따라 $d_Y(f(x_1),f(x_2))\le M$이고

상한성으로 $\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,S) = \sup \{ d_Y(f(x_1),f(x_2)) : x_1,x_2\in S\}$가 존재한다.

$S\ne \emptyset$이므로 어떤 $x\in S$가 존재하여 상한의 정의와 거리공간의 정의로 $\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,S) \ge d_Y(f(x),f(x)) = 0$이다.

2.

밀착점의 정의로 모든 $x\in \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$는 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,d_X)}{B}(x,r)\cap A\ne \emptyset$이므로 

$\underset{(X,d_X)}{B}(x,r)\cap A\subseteq A$임에 따라 1번으로 $\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(x,r)\cap A) \ge 0$가 되어

$\underset{(X,d_X)}{\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}}(f ,x) = \inf \{ \overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(x,r)\cap A) : r\in (0,\infty)\}$가 존재하고 하한의 정의로 $\underset{(X,d_X)}{\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}}(f ,x) \ge 0$이다.

3.

$S_1\subseteq S_2$이므로 $\{ d_Y(f(x_1),f(x_2)) : x_1,x_2\in S_1\}\subseteq \{ d_Y(f(x_1),f(x_2)) : x_1,x_2\in S_2\}$가 되어 상한 정리로

$\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,S_1) = \sup \{ d_Y(f(x_1),f(x_2)) : x_1,x_2\in S_1\}\le \sup \{ d_Y(f(x_1),f(x_2)) : x_1,x_2\in S_2\} = \overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,S_2)\text{ 이다.}$

4.

폐포 정리로 $c\in A\subseteq \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$이므로 2번으로 $\overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,c)$가 존재한다.

$f$가 $(A,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $c$에서 연속이면 

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $d_X(x,c)<\delta_\epsilon$인 모든 $x\in A$가 $d_Y(f(x),f(c))< \dfrac{\epsilon}{4}$가 되는 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여 

모든 $x_1,x_2\in \underset{(X,d_X)}{B}(c,\delta_\epsilon)\cap A\subseteq A$는 열린공의 정의로 $d_X(x_1,c)<\delta_\epsilon$이고 $d_X(x_2,c)<\delta_\epsilon$이므로

거리공간의 정의로 $d_Y(f(x_1),f(x_2)) \le d_Y(f(x_1),f(c)) + d_Y(f(c),f(x_2)) < \dfrac{\epsilon}{4} + \dfrac{\epsilon}{4} = \dfrac{\epsilon}{2}$가 되어 

상한의 정의로 $\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(c,\delta_\epsilon)\cap A) = \sup \{d_Y(f(x_1),f(x_2)) : x_1,x_2\in \underset{(X,d_X)}{B}(x,\delta_\epsilon)\cap A \}\le \dfrac{\epsilon}{2} < \epsilon$이고

하한 정리로 $\underset{(X,d_X)}{\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}}(f ,c) = \inf \{ \overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(c,r)\cap A) : r\in (0,\infty)\} = 0$이다.

역으로 $\underset{(X,d_X)}{\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}}(f ,c) = 0$이면 하한 정리로

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(c,\delta_\epsilon)\cap A) < \underset{(X,d_X)}{\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}}(f,c)+ \epsilon = 0+ \epsilon =\epsilon$이 되는 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여

$d_X(x,c) < \delta_\epsilon$인 모든 $x\in A$에 대해 열린공의 정의로 $x,c\in \underset{(X,d_X)}{B}(c,\delta_\epsilon)\cap A$이므로 상한의 정의로

$d_Y(f(x),f(c)) \le \sup \{d_Y(f(x_1),f(x_2)) :x_1,x_2\in \underset{(X,d_X)}{B}(c,\delta_\epsilon)\cap A \} =\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f;\underset{(X,d_X)}{B}(c,\delta_\epsilon)\cap A) < \epsilon$이고

$f$는 $(A,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $c$에서 연속이다.

5.

$A$는 $(X,d_X)$에서 닫힌집합이므로 $X\setminus A$는 $(X,d_X)$에서 열린집합이고

$A_\epsilon\subseteq A$임에 따라 집합 정리로 $X\setminus A\subseteq X\setminus A_\epsilon$이다.

임의의 $x\in X\setminus A_\epsilon$에 대해 

$x\notin A$이면 $x\in X\setminus A$이므로 거리공간 정리로 $\underset{(X,d_X)}{B}(x,r_x)\subseteq X\setminus A\subseteq X\setminus A_\epsilon$인 $r_x\in (0,\infty)$가 존재한다.

$x\in A$이면 $x\notin A_\epsilon$이므로 $\underset{(X,d_X)}{\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}}(f ,x) < \epsilon$이 되어 $0< \epsilon -\underset{(X,d_X)}{\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}}(f ,x)$이고

하한 정리로 $\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(x,r_x)\cap A) < \underset{(X,d_X)}{\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}}(f ,x) + \epsilon - \underset{(X,d_X)}{\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}}(f,x) = \epsilon$인 $r_x\in (0,\infty)$가 존재하여

모든 $x_0 \in \underset{(X,d_X)}{B}(x,\frac{r_x}{2})$에 대해 $x_0\notin A$일때 $x_0\in X\setminus A\subseteq X\setminus A_\epsilon$이고

$x_0\in A$일때 모든 $z\in \underset{(X,d_X)}{B}(x_0,\frac{r_x}{2})$는 거리공간의 정의와 열린공의 정의로

$d_X(x,z) \le d_X(x,x_0) + d_X(x_0,z) < \dfrac{r_x}{2} + \dfrac{r_x}{2} = r_x$이므로 $z\in \underset{(X,d_X)}{B}(x,r_x)$이고 

$\underset{(X,d_X)}{B}(x_0,\frac{r_x}{2}) \subseteq \underset{(X,d_X)}{B}(x,r_x)$가 되어 하한의 정의와 3번으로

$\overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,x_0) \le\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(x_0,\frac{r_x}{2})\cap A)\le \overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(x,r_x)\cap A) < \epsilon$임에 따라 $x_0\notin A_\epsilon$이고

$x_0 \in A\setminus A_\epsilon \subseteq X\setminus A_\epsilon$이므로 $\underset{(X,d_X)}{B}(x,\frac{r_x}{2})\subseteq X\setminus A_\epsilon$이다.

따라서 거리공간 정리로 $X\setminus A_\epsilon$은 $(X,d_X)$에서 열린집합이므로 $A_\epsilon$은 $(X,d_X)$에서 닫힌집합이다.

 

 

 

정리4

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 집합족 $\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\cdots, \mathcal{F}_n$에 대해 $\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2\times\cdots\times \mathcal{F}_n\ne \emptyset$일때 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cup \left ( \bigcup_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cup \cdots \cup \left ( \bigcup_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) = \bigcup_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)$

2. $\displaystyle \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cap \left ( \bigcap_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cap \cdots \cap \left ( \bigcap_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) = \bigcap_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)$

3. $\displaystyle \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cap \left ( \bigcup_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cap \cdots \cap \left ( \bigcup_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) = \bigcup_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)$

4. $\displaystyle \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cup \left ( \bigcap_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cup \cdots \cup \left ( \bigcap_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) = \bigcap_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)$

증명

$\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2\times\cdots\times \mathcal{F}_n\ne \emptyset$이므로 $n$-데카르트곱 정리로 모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $\mathcal{F}_i\ne \emptyset$이다.

1.

모든 $x\in \displaystyle \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cup \left ( \bigcup_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cup \cdots \cup \left ( \bigcup_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) $는

$x\in \displaystyle \bigcup_{A_i\in \mathcal{F}_i}A_i$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하여 $x\in A_i$인 $A_i\in \mathcal{F}_i$가 존재하고

$i\ne j$인 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $\mathcal{F}_j\ne \emptyset$이므로 $A_j\in \mathcal{F}_j$가 존재하여

$x\in A_1\cup \cdots \cup A_i\cup \cdots \cup A_n$이고 $(A_1,\cdots, A_i,\cdots ,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \cdots \times \mathcal{F}_i\times \cdots \times \mathcal{F}_n$임에 따라

$x\in \displaystyle \bigcup_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)$이고 

$\displaystyle \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cup \left ( \bigcup_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cup \cdots \cup \left ( \bigcup_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) \subseteq \bigcup_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)$는

$x\in A_1\cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$인 $(A_1,A_2,\cdots ,A_n)\in \mathcal{F}_1\times  \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n$이 존재하여 

$x\in A_i$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하므로 $x\in \displaystyle \bigcup_{A_i\in \mathcal{F}_i}A_i$임에 따라

$x\in \displaystyle \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cup \left ( \bigcup_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cup \cdots \cup \left ( \bigcup_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) $이고

$\displaystyle \bigcup_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)\subseteq \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cup \left ( \bigcup_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cup \cdots \cup \left ( \bigcup_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) $이므로

집합 정리로

$\displaystyle \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cup \left ( \bigcup_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cup \cdots \cup \left ( \bigcup_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) = \bigcup_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)$이다.

2.

모든 $x\in \displaystyle \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cap \left ( \bigcap_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cap \cdots \cap \left ( \bigcap_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) $는

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $x\in \displaystyle \bigcap_{A_i\in \mathcal{F}_i}A_i$이므로 모든 $A_i\in \mathcal{F}_i$에 대해 $x\in A_i$임에 따라

모든 $(A_1,A_2,\cdots ,A_n)\in \mathcal{F}_1\times  \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n$에 대해 $x\in A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n$이 되어 

$x\in \displaystyle \bigcap_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)$이고

$\displaystyle \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cap \left ( \bigcap_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cap \cdots \cap \left ( \bigcap_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) \subseteq \bigcap_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)$이다.

모든 $\displaystyle x\in \bigcap_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)$는 

모든 $(A_1,A_2,\cdots ,A_n)\in \mathcal{F}_1\times  \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n$에 대해 $x\in A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n$이고

모든 $i=1,2,\cdots, n$와 $i\ne j$인 모든 $j=1,2,\cdots, n$에 대해 $\mathcal{F}_j\ne \emptyset$이므로 $A_j\in \mathcal{F}_j$가 존재함에 따라

모든 $A_i\in \mathcal{F}_i$에 대해

$(A_1,\cdots, A_i,\cdots ,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \cdots \times \mathcal{F}_i\times \cdots \times \mathcal{F}_n$이고 $x\in A_1\cap \cdots \cap A_i\cap \cdots \cap A_n\subseteq A_i$이므로

$x\in \displaystyle \bigcap_{A_i\in \mathcal{F}_i}A_i$가 되어 $x\in \displaystyle \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cap \left ( \bigcap_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cap \cdots \cap \left ( \bigcap_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) $이고

$\displaystyle \bigcap_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)\subseteq \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cap \left ( \bigcap_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cap \cdots \cap \left ( \bigcap_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) $임에 따라 

집합 정리로

$\displaystyle \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cap \left ( \bigcap_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cap \cdots \cap \left ( \bigcap_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) = \bigcap_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)$이다.

3.

모든 $x\in \displaystyle \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cap \left ( \bigcup_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cap \cdots \cap \left ( \bigcup_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right)$는

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $x\in \displaystyle \bigcup_{A_i\in \mathcal{F}_i}A_i$이므로 $x\in A_i$인 $A_i\in \mathcal{F}_i$가 존재하여

$x\in A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n$이고 $(A_1,A_2,\cdots ,A_n)\in \mathcal{F}_1\times  \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n$이므로

$x\in \displaystyle \bigcup_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)$이고 

$\displaystyle \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cap \left ( \bigcup_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cap \cdots \cap \left ( \bigcup_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) \subseteq \bigcup_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)$는

$x\in A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n$인 $(A_1,A_2,\cdots ,A_n)\in \mathcal{F}_1\times  \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n$이 존재하여

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $x\in A_i\in \mathcal{F}_i$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup_{A_i\in \mathcal{F}_i}A_i$임에 따라

$x\in \displaystyle \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cap \left ( \bigcup_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cap \cdots \cap \left ( \bigcup_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right)$이고

$\displaystyle \bigcup_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n) \subseteq \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}_1}A_1 \right)\cap \left (\bigcup_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2 \right )\cap \cdots \cap \left ( \bigcup_{A_n\in \mathcal{F}_n}A_n\right )$이 되어

집합 정리로

$\displaystyle \left (\bigcup_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cap \left ( \bigcup_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cap \cdots \cap \left ( \bigcup_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) = \bigcup_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n)$이다.

4.

모든 $x\in \displaystyle \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cup \left ( \bigcap_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cup \cdots \cup \left ( \bigcap_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right)$는

$x\in \displaystyle \bigcap_{A_i\in \mathcal{F}_i}A_i$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하여 모든 $A_i\in \mathcal{F}_i$에 대해 $x\in A_i$이므로

모든 $(A_1,\cdots, A_i,\cdots ,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \cdots \times \mathcal{F}_i\times \cdots \times \mathcal{F}_n$에 대해 $x\in A_i\subseteq A_1\cup \cdots \cup A_i\cup \cdots \cup A_n$임에 따라 

$x\in \displaystyle  \bigcap_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)$이고

$\displaystyle \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cup \left ( \bigcap_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cup \cdots \cup \left ( \bigcap_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) \subseteq \bigcap_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)$이다.

임의의 $x\in \displaystyle \bigcap_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)$에 대해 

$x\notin \displaystyle \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cup \left ( \bigcap_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cup \cdots \cup \left ( \bigcap_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right)$이라고 가정하면 

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $x\notin \displaystyle \left (\bigcap_{A_i\in \mathcal{F}_i} A_i \right )$이므로 어떤 $A_i\in \mathcal{F}_i$가 존재하여 $x\notin A_i$인데

$(A_1,A_2,\cdots ,A_n)\in \mathcal{F}_1\times  \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n$임에 따라 $x\in A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n$이고

$x\in A_j$인 $j=1,2,\cdots,n$가 존재하므로 모순이 되어 $x\in \displaystyle \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cup \left ( \bigcap_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cup \cdots \cup \left ( \bigcap_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right)$이고

$\displaystyle \bigcap_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n) \subseteq \left ( \bigcap_{A_1\in \mathcal{F}_1}A_1\right )\cup \left ( \bigcap_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right )\cup \cdots \cup \left ( \bigcap_{A_n\in \mathcal{F}_n}  A_n\right )$임에 따라

집합 정리로

$\displaystyle \left (\bigcap_{A_1\in \mathcal{F}_1} A_1 \right )\cup \left ( \bigcap_{A_2\in \mathcal{F}_2}A_2\right ) \cup \cdots \cup \left ( \bigcap_{A_n\in \mathcal{F}_n} A_n\right) = \bigcap_{(A_1,A_2,\cdots,A_n)\in \mathcal{F}_1\times \mathcal{F}_2\times \cdots \times \mathcal{F}_n}(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)$이다.

 

 

 

정리5

거리공간 $(X,d)$와 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $A,A_1,A_2,\cdots,A_n \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $A$가 $(X,d)$에서 열린집합이면 $A$는 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이다.

2. $A$가 $(X,d)$에서 닫힌집합이면 $A$는 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

3. $A$가 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이기 위한 필요충분조건은 $X\setminus A$가 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합인 것이다.

4. $A$가 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이기 위한 필요충분조건은 $X\setminus A$가 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합인 것이다.

5. $A_1,A_2,\cdots,A_n$이 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이면 $A_1\cap A_2\cap \cdots\cap A_n$은 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이다.

6. $A_1,A_2,\cdots,A_n$이 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이면 $A_1\cup A_2\cup \cdots\cup A_n$은 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이다.

7. $A_1,A_2,\cdots,A_n$이 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이면 $A_1\cup A_2\cup \cdots\cup A_n$은 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

8. $A_1,A_2,\cdots,A_n$이 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이면 $A_1\cap A_2\cap \cdots\cap A_n$은 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

9. $A$가 $(X,d)$에서 닫힌집합이면 $A$는 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이다.

10. $A$가 $(X,d)$에서 열린집합이면 $A$는 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

증명

1.

$\{A \}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 교집합의 정의로 $A = \displaystyle \bigcap \{ A\}$이므로

$A$가 $(X,d)$에서 열린집합임에 따라 $A$는 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이다.

2.

$\{A \}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 합집합의 정의로 $A = \displaystyle \bigcup \{ A\}$이므로 

$A$가 $(X,d)$에서 닫힌집합임에 따라 $A$는 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

3, 4

$A$가 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이면

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,d)$에서 열린집합이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{O}$가 존재하여 $A = \displaystyle \bigcap \mathcal{O} = \bigcap_{O\in \mathcal{O}}O$이고

집합 정리로 $X\setminus (X\setminus O) = O$이므로 $X\setminus O$는 $(X,d)$에서 닫힌집합임에 따라

함수 정리로 $\mathcal{C} = \{ X\setminus O: O\in \mathcal{O}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 

집합 정리로 $X\setminus A= \displaystyle X\setminus \bigcap \mathcal{O} = X\setminus \bigcap_{O\in \mathcal{O}} O = \bigcup_{O\in \mathcal{O}} (X\setminus O) = \bigcup \mathcal{C}$이므로 $X\setminus A$는 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

$A$가 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이면

모든 $C\in \mathcal{C}$가 $(X,d)$에서 닫힌집합이고 $\mathcal{C}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{C}$가 존재하여 $A = \displaystyle \bigcup \mathcal{C} = \bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$이고

$X\setminus C$는 $(X,d)$에서 열린집합임에 따라

함수 정리로 $\mathcal{O} = \{ X\setminus C: C\in \mathcal{C}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 

집합 정리로 $X\setminus A= \displaystyle X\setminus \bigcup \mathcal{C} = X\setminus \bigcup_{C\in \mathcal{C}}C = \bigcap_{C\in \mathcal{C}} (X\setminus C) = \bigcap \mathcal{O}$이므로 $X\setminus A$는 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이다.

$X\setminus A$가 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이면 집합 정리로 $A = X\setminus (X\setminus A)$는 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이다.

$X\setminus A$가 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이면 집합 정리로 $A = X\setminus (X\setminus A)$는 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

5, 6

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $A_i$는 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이므로

모든 $O_i\in \mathcal{O}_i$가 $(X,d)$에서 열린집합이고 $\mathcal{O}_i\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{O}_i$가 존재하여 $A_i = \displaystyle \bigcap \mathcal{O}_i = \bigcap_{O_i\in \mathcal{O}_i}O_i$이고

거리공간 정리로 $O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n$과 $O_1\cup O_2\cup \cdots \cup O_n$은 $(X,d)$에서 열린집합이다.

가산집합 정리와 데카르트곱 정리로 $\mathcal{O}_1\times \mathcal{O}_2\times \cdots \times \mathcal{O}_n$은 공집합이 아닌 가산집합이므로 함수 정리로

$\{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n: (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{O}_1\times \mathcal{O}_2\times \cdots \times \mathcal{O}_n\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고

$\{ O_1\cup O_2\cup \cdots \cup O_n: (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{O}_1\times \mathcal{O}_2\times \cdots \times \mathcal{O}_n\}$는 공집합이 아닌 가산집합이 되어

위 정리로

$\begin{align*} A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n & = \left ( \bigcap_{O_1\in \mathcal{O}_1}O_1\right)\cap \left ( \bigcap_{O_2\in \mathcal{O}_2}O_2\right)\cap \cdots \cap\left ( \bigcap_{O_n\in \mathcal{O}_n}O_n\right)  = \bigcap_{(O_1,O_2,\cdots ,O_n)\in \mathcal{O}_1\times \mathcal{O}_2\times \cdots \times \mathcal{O}_n} (O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n & = \left ( \bigcap_{O_1\in \mathcal{O}_1}O_1\right)\cup \left ( \bigcap_{O_2\in \mathcal{O}_2}O_2\right)\cup \cdots \cup\left ( \bigcap_{O_n\in \mathcal{O}_n}O_n\right)  = \bigcap_{(O_1,O_2,\cdots ,O_n)\in \mathcal{O}_1\times \mathcal{O}_2\times \cdots \times \mathcal{O}_n} (O_1\cup O_2\cup \cdots \cup O_n) \text{ 임에 따라} \end{align*}$

$A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n$과 $A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n$은 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이다.

7, 8

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $A_i$는 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이므로 4번으로 $X\setminus A_i$는 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이고

집합 정리와 5번으로

$X\setminus (A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n) = (X\setminus A_1)\cap (X\setminus A_2)\cap \cdots \cap (X\setminus A_n)$은 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이 되어

4번으로 $A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n$은 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이고 집합 정리와 6번으로

$X\setminus (A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n) = (X\setminus A_1)\cup (X\setminus A_2)\cup \cdots \cup (X\setminus A_n)$은 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이 되어

4번으로 $A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n$은 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

9.

$A = \emptyset$이면 거리공간 정리로 $A=\emptyset$은 $(X,d)$에서 열린집합이므로 1번으로 $A=\emptyset$은 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이다.

$A\ne \emptyset$이면 $1$차원 유클리드 거리공간이 $([0,\infty),d_1)$일때

위상공간 정리와 위상공간 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리로

모든 $x\in X$에 대해 $f_A(x) = \inf\{ d(x,y):y\in A\}$인

함수 $f_A:X\to [0,\infty)$는 $(X,d)$에서 $([0,\infty),d_1)$로의 연속함수이고

위상공간 정리와 위상공간 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $[0,\frac{1}{n})$은 $([0,\infty),d_1)$에서 열린집합이므로 

연속함수 정리로 $A_n = f_A^{-1}([0,\frac{1}{n})) = \{ x\in X : f_A(x) <\frac{1}{n}\}$은 $(X,d)$에서 열린집합이다.

하한의 정의와 거리공간의 정의로

모든 $x\in A$는 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f_A(x) =\inf \{ d(x,y) : y\in A\}\le d(x,x) = 0 < \dfrac{1}{n}$이므로 

$x\in A_n$이 되어 $x\in \displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n$이고 $A\subseteq \displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n$이다.

임의의 $x\in \displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n$에 대해 $x\notin A$라고 가정하면

$x\in X\setminus A$이고 $A$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이므로 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $0< f_A(x)$인데 

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n}< f_A(x)$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $x\in A_n$이고 $\dfrac{1}{n}< f_A(x)<\dfrac{1}{n}$임에 따라 모순이므로

$x\in A$가 되어 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n\subseteq A$이고 집합 정리로 $A=\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n$이다.

가산집합 정리와 함수 정리와 가산집합 정리로 $\{ A_n:n\in \mathbb{Z}^+\}$은 공집합이 아닌 가산집합이므로 

$A=\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty A_n$는 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이다.

10.

$A$는 $(X,d)$에서 열린집합이고 집합 정리로 $X\setminus (X\setminus A) = A$이므로 $X\setminus A$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이 되어

9번으로 $X\setminus A$가 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합임에 따라 4번으로 $A$는 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

 

 

 

정리8

거리공간 $(X,d)$의 부분거리공간 $(Y,d)$와 임의의 $E\subseteq Y$에 대해 다음이 성립한다. 

1. $E$가 $(Y,d)$에서 $G_\delta$-집합이기 위한 필요충분조건은 $E = Y\cap A$인 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합 $A$가 존재하는 것이다.

2. $E$가 $(Y,d)$에서 $F_\sigma$-집합이기 위한 필요충분조건은 $E = Y\cap A$인 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합 $A$가 존재하는 것이다.

3. $Y$가 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이고 $E$가 $(Y,d)$에서 $G_\delta$-집합이면 $E$는 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이다.

4. $Y$가 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이고 $E$가 $(Y,d)$에서 $F_\sigma$-집합이면 $E$는 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

증명

1.

$E$가 $(Y,d)$에서 $G_\delta$-집합이면

모든 $U\in \mathcal{U}$가 $(Y,d)$에서 열린집합이고 $\mathcal{U}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{U}$가 존재하여 $E = \displaystyle \bigcap \mathcal{U} = \bigcap_{U\in \mathcal{U}}U$이고

거리공간 정리로 $U = Y\cap O_U$인 $(X,d)$에서 열린집합 $O_U$가 존재하므로 선택 정리로 $O_U$를 선택하면

함수 정리로 $\mathcal{O} = \{ O_U: U\in \mathcal{U}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 $A = \displaystyle \bigcap \mathcal{O}$는 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이 되어

집합 정리로 $E = \displaystyle \bigcap \mathcal{U} = \bigcap_{U\in \mathcal{U}}U = \bigcap_{U\in \mathcal{U}}(Y\cap O_U) = Y\cap \bigcap_{U\in \mathcal{U}}O_U = Y\cap \bigcap \mathcal{O} = Y\cap A$이다.

역으로 $E = Y\cap A$인 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합 $A$가 존재하면

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,d)$에서 열린집합이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{O}$가 존재하여 $A = \displaystyle \bigcap \mathcal{O} = \bigcap_{O\in \mathcal{O}}O$이고

거리공간 정리로 $Y\cap O$는 $(Y,d)$에서 열린집합이므로

함수 정리로 $\mathcal{U} = \{ Y\cap O: O\in \mathcal{O}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고

집합 정리로 $E =Y\cap A =\displaystyle Y\cap \bigcap \mathcal{O} = Y\cap \bigcap_{O\in \mathcal{O}}O = \bigcap_{O\in \mathcal{O}}(Y\cap O) = \bigcap\mathcal{U}$는 $(Y,d)$에서 $G_\delta$-집합이다.

2.

$E$가 $(Y,d)$에서 $F_\sigma$-집합이면

위 정리로 $Y\setminus E$는 $(Y,d)$에서 $G_\delta$-집합이므로 1번으로 $Y\setminus E = Y\cap A$인 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합 $A$가 존재하여

위 정리로 $X\setminus A$는 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이고 집합 정리로 $E = Y\setminus (Y\setminus E) = Y\setminus (Y\cap A) = Y\cap (X\setminus A)$이다.

역으로 $E = Y\cap A$인 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합 $A$가 존재하면

위 정리로 $X\setminus A$는 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이고 집합 정리로 $Y\setminus E = Y\setminus (Y\cap A) = Y\cap (X\setminus A)$이므로 

1번으로 $Y\setminus E$는 $(Y,d)$에서 $G_\delta$-집합이 되어 위 정리로 $E$는 $(Y,d)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

3.

$E$가 $(Y,d)$에서 $G_\delta$-집합이므로 1번으로 $E = Y\cap A$인 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합 $A$가 존재하여

$Y$가 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합임에 따라 위 정리로 $E$는 $(X,d)$에서 $G_\delta$-집합이다.

4.

$E$가 $(Y,d)$에서 $F_\sigma$-집합이므로 2번으로 $E = Y\cap A$인 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합 $A$가 존재하여

$Y$가 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합임에 따라 위 정리로 $E$는 $(X,d)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

 

 

 

정리6

거리공간 $(X,d_X), (Y,d_Y)$와 임의의 $A\subseteq X$에 대해 $(X,d_X)$의 부분거리공간이 $(A,d_X)$이고

치역 $f(A)$가 $(Y,d_Y)$에서 유계인 함수 $f:A\to Y$가 $(A,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수일때

$(Y,d_Y)$가 완비거리공간이면 $A\subseteq E\subseteq \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$인 어떤 $(X,d_X)$에서 $G_\delta$-집합 $E$가 존재하여

모든 $x\in A$에 대해 $\overline{f}(x) =f(x)$인 $(E,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수 $\overline{f}:E\to Y$가 존재한다.

증명

$E = \{ x\in \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A) : \overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,x) = 0 \}$는 $E\subseteq \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$이고

위 정리로 모든 $x\in A$에 대해 $\overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,x) = 0 $이므로 $x\in E$가 되어 $A\subseteq E\subseteq \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$이다.

분류 공리로 $\overline{f} = \{ (x,y)\in E\times Y : \displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d_X)}(x_n) = x\text{인 모든 }A\text{의 수열 }(x_n)\text{에 대해 } \lim_{n\to \infty}^{(Y,d_Y)}(f(x_n)) =y \}$가 존재하여

$\overline{f}\subseteq E\times Y$이다.

모든 $x\in E$는 $\overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,x) = 0$이므로 진동의 정의와 하한 정리로

모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 $\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(x,\delta(\epsilon))\cap A)  < \overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,x)+ \epsilon= \epsilon$인 $\delta(\epsilon)\in (0,\infty)$이 존재하고 

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d_X)}(x_n) = x$인 모든 $A$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은

수열 수렴의 정의로 $n\ge N(\delta(\epsilon))\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $d_X(x_n,x) < \delta(\epsilon)$인 $N(\delta(\epsilon))\in \mathbb{N}$이 존재하여

$n,m\ge N(\delta(\epsilon))\ge n_0$인 모든 $n,m\in \mathbb{N}$은 수열의 정의와 열린공의 정의로 $x_n,x_m\in\underset{(X,d_X)}{B}(x,\delta(\epsilon))\cap A$이므로 

진동의 정의와 상한의 정의로 $d_Y(f(x_n),f(x_m))\le \overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(x,\delta(\epsilon))\cap A) <\epsilon$임에 따라 

$Y$의 수열 $(f(x_n))_{n=n_0}^\infty$은 $(Y,d_Y)$에서 코시수열이고 완비거리공간의 정의로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(Y,d_Y)}(f(x_n)) = y$인 $y\in Y$가 존재하여

수열 수렴의 정의로 $n\ge H(\epsilon)\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $d_Y(f(x_n),y)<\epsilon$인 $H(\epsilon)\in \mathbb{N}$이 존재한다.

$x\in E\subseteq \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$임에 따라 밀착점 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d_X)}(a_n) = x$인 $A$의 수열 $(a_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여

$Y$의 수열 $(f(a_n))_{n=1}^\infty$은 $(Y,d_Y)$에서 코시수열이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}^{(Y,d_Y)}(f(a_n)) = b$인 $b\in Y$가 존재하므로 수열 수렴의 정의로

$n\ge M(\delta(\frac{\epsilon}{3}))$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$이 $d_X(a_n,x)< \delta(\frac{\epsilon}{3})$인 $M(\delta(\frac{\epsilon}{3}))\in \mathbb{Z}^+$이 존재하고

$n\ge K(\frac{\epsilon}{3})$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$이 $d_Y(f(a_n), b) < \dfrac{\epsilon}{3}$인 $K(\frac{\epsilon}{3})\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$n\ge \max \{ N(\delta(\frac{\epsilon}{3})), M(\delta(\frac{\epsilon}{3})), K(\frac{\epsilon}{3}),H(\frac{\epsilon}{3})\}\ge \max\{ n_0,1\}$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 

$x_n, a_n \in\underset{(X,d_X)}{B}(x,\delta(\frac{\epsilon}{3}))\cap A$이므로 $d_Y(f(x_n),f(a_n))\le \overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(x,\delta(\frac{\epsilon}{3}))\cap A) < \dfrac{\epsilon}{3}$임에 따라 

거리공간의 정의로

$\begin{align*}0\le d_Y(y,b)\le d_Y(y,f(x_n))+ d_Y(f(x_n),b) \le d_Y(y, f(x_n)) + d_Y(f(x_n), f(a_n)) + d_Y(f(a_n) ,b) < \dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{3} = \epsilon\text{ 이고} \end{align*}$

실수 정리로 $d_Y(y,b) = 0$이 되어 거리공간 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(Y,d_Y)}(f(x_n))=y= b = \lim_{n\to \infty}^{(Y,d_Y)}(f(a_n))$이므로

$\overline{f}$는 $\overline{f} :E\to Y$인 함수이다.

모든 $x\in A$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d_X)}(x_n) = x$인 임의의 $A$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은

수열 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(A,d_X)}(x_n)=\lim_{n\to \infty}^{(X,d_X)}(x_n) = x$가 되어 연속함수 정리로 $\displaystyle f(x) = \lim_{n\to \infty}^{(Y,d_Y)}(f(x_n)) = \overline{f}(x)$이다.

모든 $c\in E$는 밀착점 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d_X)}(c_n) = c$인 $A$의 수열 $(c_n)_{n=1}^\infty$이 존재하고

$\overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,c) = 0$이므로 진동의 정의와 하한 정리로

모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 $\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(c,\delta_\epsilon))\cap A)  < \dfrac{\epsilon}{3}$인 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여

$d_X(x,c)< \dfrac{\delta_\epsilon}{2}$인 모든 $x\in E$에 대해 밀착점 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d_X)}(x_n) = x$인 $A$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$이 존재함에 따라

수열 수렴의 정의로 $n\ge N(\delta_\epsilon)$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$이 $d_X(c_n,c)< \delta_\epsilon$인 $N(\delta_\epsilon)\in \mathbb{Z}^+$이 존재하고 

$n\ge M(\frac{\delta_\epsilon}{2})$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$이 $d_X(x_n,x)< \dfrac{\delta_\epsilon}{2}$인 $M(\frac{\delta_\epsilon}{2})\in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$n\ge \max\{N(\delta_\epsilon) ,M(\frac{\delta_\epsilon}{2})\}$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

거리공간의 정의로 $d_X(x_n, c) \le d_X(x_n,x) + d_X(x,c) < \dfrac{\delta_\epsilon}{2}+\dfrac{\delta_\epsilon}{2} = \delta_\epsilon$이고 

수열의 정의와 열린공의 정의로 $x_n,c_n\in \underset{(X,d_X)}{B}(c,\delta_\epsilon)\cap A$가 되어

진동의 정의와 상한의 정의로 $d_Y(f(x_n),f(c_n))\le \overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(c,\delta_\epsilon)\cap A) <\dfrac{\epsilon}{3}$이다.

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(Y,d_Y)}(f(c_n)) =\overline{f}(c)$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(Y,d_Y)}(f(x_n)) =\overline{f}(x)$이므로 수열 수렴의 정의로

$n\ge K(\frac{\epsilon}{3})$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$이 $d_Y(f(c_n),\overline{f}(c))< \dfrac{\epsilon}{3}$인 $K(\frac{\epsilon}{3})\in \mathbb{Z}^+$이 존재하고 

$n\ge M(\frac{\epsilon}{3})$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$이 $d_Y(f(x_n),\overline{f}(x))< \dfrac{\epsilon}{3}$인 $H(\frac{\epsilon}{3})\in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$n\ge \max\{N(\delta_\epsilon) ,M(\frac{\delta_\epsilon}{2}), K(\frac{\epsilon}{3}),H(\frac{\epsilon}{3})\}$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 거리공간의 정의로 

$\begin{align*}d_Y(\overline{f}(c),\overline{f}(x)) &\le d_Y(\overline{f}(c),f(c_n)) + d_Y(f(c_n),\overline{f}(x))\\[0.5em]&\le d_Y(\overline{f}(c),f(c_n))+d_Y(f(c_n),f(x_n)) + d_Y(f(x_n),\overline{f}(x))\\[0.5em]&< \dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{3}+\dfrac{\epsilon}{3} = \epsilon \text{ 이 되어} \end{align*}$

$\overline{f}$는 $(E,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $c$에서 연속이고 $c$가 임의임에 따라 $\overline{f}$는 $(E,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수이다.

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E_n = \{ x\in \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A) : \overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,x) <\frac{1}{n} \}$일때

모든 $x_n \in E_n$에 대해 $0<\dfrac{1}{n} - \overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,x_n)$이므로 진동의 정의와 하한 정리로 

$\overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(x_n,r)\cap A) < \overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,x_n)+\dfrac{1}{n} - \overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,x_n) = \dfrac{1}{n}$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하여

모든 $x\in \underset{(X,d_X)}{B}(x_n,r)\cap \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$는 열린공의 정의로 $0<r -d_X(x,x_n)$이므로

모든 $x_0\in \underset{(X,d_X)}{B}(x, r- d_X(x,x_n))$은 거리공간의 정의로

$d_X(x_0,x_n) \le d_X(x_0,x) + d_X(x,x_n) < r-d_X(x,x_n) + d_X(x,x_n) = r$이 되어 $x_0\in \underset{(X,d_X)}{B}(x_n,r)$임에 따라

$\underset{(X,d_X)}{B}(x, r- d_X(x,x_n))\subseteq \underset{(X,d_X)}{B}(x_n,r)$이고 $\underset{(X,d_X)}{B}(x, r- d_X(x,x_n))\cap A\subseteq \underset{(X,d_X)}{B}(x_n,r)\cap A$이므로 

진동의 정의와 하한의 정의와 위 정리로 

$\overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,x)\le \overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(x,r-d_X(x,x_n))\cap A)\le \overset{(Y,d_Y)}{\operatorname{osc}}(f,\underset{(X,d_X)}{B}(x_n,r)\cap A) <  \dfrac{1}{n}$이 되어 $x\in E_n$이고

열린공의 정의로 $\underset{(\underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A),d_X)}{B(x_n,r)}=\underset{(X,d_X)}{B}(x_n,r)\cap \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)\subseteq E_n$이므로

거리공간 정리로 $E_n$은 $(\underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A),d_X)$에서 열린집합이다.

가산집합 정리와 함수 정리와 가산집합 정리로 $\{ E_n:n\in \mathbb{Z}^+\}$은 공집합이 아닌 가산집합이므로 

$\displaystyle \bigcap_{n= 1}^\infty E_n$은 $(\underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A),d_X)$에서 $G_\delta$-집합이고

폐포 정리로 $\underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$가 $(X,d_X)$에서 닫힌집합임에 따라 위 정리로 $\underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$는 $(X,d_X)$에서 $G_\delta$-집합이므로 

위 정리로 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty E_n$은 $(X,d_X)$에서 $G_\delta$-집합이다.

모든 $x\in E$는

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,x) = 0 <\dfrac{1}{n}$이므로 $x\in E_n$이 되어 $x\in \displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty E_n$임에 따라 $E\subseteq \displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty E_n$이고

임의의 $x\in \displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty E_n$에 대해 $x\notin E$라고 가정하면

위 정리로 $0< \overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,x)$이므로 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n}< \overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,x)$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하는데

$x\in E_n$이므로 $\dfrac{1}{n}< \overset{(Y,d_Y)}{\underset{(X,d_X)}{\operatorname{osc}}}(f,x)< \dfrac{1}{n}$이 되어 모순임에 따라 $x\in E$이고 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty E_n \subseteq E$이므로

집합 정리로 $E=\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty E_n$이다.

 

 

 

정리7

거리공간 $(X,d_X), (Y,d_Y)$에 대해 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수가 $f:X\to Y$일때 다음이 성립한다.

1. 임의의 $B\subseteq Y$가 $(Y,d_Y)$에서 $G_\delta$-집합이면 $f^{-1}(B)$는 $(X,d_X)$에서 $G_\delta$-집합이다.

2. 임의의 $B\subseteq Y$가 $(Y,d_Y)$에서 $F_\sigma$-집합이면 $f^{-1}(B)$는 $(X,d_X)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

증명

1.

$B$는 $(Y,d_Y)$에서 $G_\delta$-집합이므로

모든 $V\in \mathcal{V}$가 $(Y,d_Y)$에서 열린집합이고 $\mathcal{V}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{V}$가 존재하여 $B = \displaystyle \bigcap \mathcal{V} = \bigcap_{V\in \mathcal{V}}V$이고

연속함수 정리로 $f^{-1}(V)$가 $(X,d_X)$에서 열린집합임에 따라

함수 정리로 $\mathcal{U} = \{ f^{-1}(V): V\in \mathcal{V}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 

함수 정리로 $f^{-1}(B) = \displaystyle f^{-1}( \bigcap \mathcal{V}) =  f^{-1}(\bigcap_{V\in \mathcal{V}} V) = \bigcap_{V\in \mathcal{V}} f^{-1}(V) = \bigcap \mathcal{U}$이므로 

$f^{-1}(B)$는 $(X,d_X)$에서 $G_\delta$-집합이다.

2.

$B$는 $(Y,d_Y)$에서 $F_\sigma$-집합이므로 위 정리로 $Y\setminus B$는 $(Y,d_Y)$에서 $G_\delta$-집합이 되어

함수 정리와 1번으로 $X\setminus f^{-1}(B)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(B)= f^{-1}(Y\setminus B)$가 $(X,d_X)$에서 $G_\delta$-집합임에 따라

위 정리로 $f^{-1}(B)$는 $(X,d_X)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

 

 

 

정리9

거리공간 $(X,d_X), (Y,d_Y)$와 임의의 $A\subseteq X$에 대해

$(X,d_X)$의 부분거리공간 $(A,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수가 $f:A\to Y$일때

$(Y,d_Y)$가 완비거리공간이면 $A\subseteq E\subseteq \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$인 어떤 $(X,d_X)$에서 $G_\delta$-집합 $E$가 존재하여

모든 $x\in A$에 대해 $\overline{f}(x) =f(x)$인 $(E,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수 $\overline{f}:E\to Y$가 존재한다.

증명

모든 $y_1,y_2\in Y$에 대해 $\rho_Y(y_1,y_2) = $ $\min$$\{d_Y(y_1,y_2) ,1\}$인 함수 $\rho_Y:Y\times Y\to [0,\infty)$에 대해

거리공간 정리로 $(Y,\rho_Y)$는 거리공간이고 최소원소의 정의로 $\rho_Y(y_1,y_2)\le 1 $이므로

$(Y,\rho_Y)$는 유계거리공간이 되어 $f(A)$는 $(Y,\rho_Y)$에서 유계이고

거리공간 정리와 위상공간 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리로 $f$는 $(A,d_X)$에서 $(Y,\rho_Y)$로의 연속함수이므로 

위 정리로 $A\subseteq E\subseteq \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$인 어떤 $(X,d_X)$에서 $G_\delta$-집합 $E$가 존재하여

모든 $x\in A$에 대해 $\overline{f}(x) =f(x)$인 $(E,d_X)$에서 $(Y,\rho_Y)$로의 연속함수 $\overline{f}:E\to Y$가 존재하고

거리공간 정리와 위상공간 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리로 $\overline{f}$는 $(E,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정리10

완비거리공간 $(X,d_X), (Y,d_Y)$와 임의의 $A\subseteq X$와 임의의 $B\subseteq Y$에 대해

함수 $h:A\to B$가 $(X,d_X)$의 부분거리공간 $(A,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$의 부분거리공간 $(B,d_Y)$로의 위상동형사상일때

$A\subseteq E\subseteq \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$이고 $B\subseteq F\subseteq \underset{(Y,d_Y)}{\operatorname{cl}}(B)$인 $(X,d_X)$에서 $G_\delta$-집합 $E$와 $(Y,d_Y)$에서 $G_\delta$-집합 $F$가 존재하여

모든 $x\in A$에 대해 $\overline{h}(x) = h(x)$인 $(E,d_X)$에서 $(F,d_Y)$로의 위상동형사상 $\overline{h}:E\to F$가 존재한다.

증명

모든 $x\in A$에 대해 $f(x) =h(x)$인 함수 $f:A\to Y$는 위상동형사상의 정의와 전사 정리로 $f(A) = h(A) = B$이고 

위상동형사상의 정의와 연속함수 정리로 $f$는 $(A,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수이므로

위 정리로 $A\subseteq C\subseteq \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$인 $(X,d_X)$에서 $G_\delta$-집합 $C$가 존재하여

모든 $x\in A$에 대해 $\overline{f}(x) = f(x)$인 $(C,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수 $\overline{f}:C\to Y$가 존재한다.

위상동형사상의 정의로 $h$의 역함수 $h^{-1} : B\to A$이 존재하여

모든 $y\in B$에 대해 $g(y) = h^{-1}(y)$인 함수 $g:B\to X$는 전사 정리로 $g(B) = h^{-1}(B) = A$이고 

위상동형사상의 정의와 연속함수 정리로 $g$는 $(B,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 연속함수이므로

위 정리로 $B\subseteq D\subseteq \underset{(Y,d_Y)}{\operatorname{cl}}(B)$인 $(Y,d_Y)$에서 $G_\delta$-집합 $D$가 존재하여

모든 $y\in B$에 대해 $\overline{g}(y) = g(y)$인 $(D,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 연속함수 $\overline{g}:D\to X$가 존재한다.

$E = \overline{f}^{-1}(D) = \{ x\in C : \overline{f}(x)\in D\}$이고 $F = \overline{g}^{-1}(C) = \{ y\in D : \overline{g}(y)\in C\}$일때

위 정리로 $E$는 $(C,d_X)$에서 $G_\delta$-집합이고 $F$는 $(D,d_Y)$에서 $G_\delta$-집합이므로

위 정리로 $E$는 $(X,d_X)$에서 $G_\delta$-집합이고 $F$는 $(Y,d_Y)$에서 $G_\delta$-집합이다.

모든 $x\in E\subseteq C\subseteq \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(A)$와 모든 $y\in F\subseteq D\subseteq \underset{(Y,d_Y)}{\operatorname{cl}}(B)$에 대해 밀착점 정리로

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}^{(X,d_X)}(x_n) = x$인 $A$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$과 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}^{(Y,d_Y)}(y_n) = y$인 $B$의 수열 $(y_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여

연속함수 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리와 역함수의 정의로

$\begin{align*} \overline{g}(\overline{f}(x)) = \lim_{n\to \infty}^{(X,d_X)}(\overline{g}(\overline{f}(x_n))) = \lim_{n\to \infty}^{(X,d_X)}(\overline{g}(f(x_n))) = \lim_{n\to \infty}^{(X,d_X)}(\overline{g}(h(x_n))) =\lim_{n\to \infty}^{(X,d_X)}(g(h(x_n))) =\lim_{n\to \infty}^{(X,d_X)}(h^{-1}(h(x_n))) =\lim_{n\to \infty}^{(X,d_X)}(x_n) = x\text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} \overline{f}(\overline{g}(y)) = \lim_{n\to \infty}^{(Y,d_Y)}(\overline{f}(\overline{g}(y_n))) = \lim_{n\to \infty}^{(Y,d_Y)}(\overline{f}(g(y_n))) = \lim_{n\to \infty}^{(Y,d_Y)}(\overline{f}(h^{-1}(y_n))) =\lim_{n\to \infty}^{(Y,d_Y)}(f(h^{-1}(y_n))) =\lim_{n\to \infty}^{(Y,d_Y)}(h(h^{-1}(y_n))) =\lim_{n\to \infty}^{(Y,d_Y)}(y_n) = y\text{ 이다.} \end{align*}$

모든 $x\in E$에 대해 $\overline{g}(\overline{f}(x)) = x\in E\subseteq C$이므로 $\overline{f}(x)\in \overline{g}^{-1}(C) = F$가 되어 $\overline{f}(E)\subseteq F$이고 

$x = \overline{g}(\overline{f}(x))\in \overline{g}(F)$이므로 $E\subseteq \overline{g}(F)$이다.

모든 $y\in F$에 대해 $\overline{f}(\overline{g}(y))= y\in F\subseteq D$이므로 $\overline{g}(y) \in \overline{f}^{-1}(D) = E$가 되어 $\overline{g}(F)\subseteq E$이고

$y = \overline{f}(\overline{g}(y))\in \overline{f}(E)$이므로 $F\subseteq \overline{f}(E)$임에 따라 집합 정리로 $\overline{f}(E) = F$이고 $\overline{g}(F) = E$이다.

모든 $x\in E$에 대해 $\overline{h}(x) =\overline{f}(x)\in \overline{f}(E) = F$인 함수 $\overline{h}:E\to F$와

모든 $y\in F$에 대해 $\overline{h}^{-1}(y) = \overline{g}(y) \in \overline{g}(F) = E$인 함수 $\overline{h}^{-1}:F\to E$이 

$\overline{h}^{-1}(\overline{h}(x)) =\overline{g}(\overline{f}(x)) = x$이고 $\overline{h}(\overline{h}^{-1}(y)) =\overline{f}(\overline{g}(y)) = y$이므로 $\overline{h}^{-1}$은 $\overline{h}$의 역함수가 되어

역함수 정리로 $\overline{h}$는 전단사이다.

연속함수 정리로 $\overline{h}$는 $(E,d_X)$에서 $(F,d_Y)$로의 연속함수이고 $\overline{h}^{-1}$은 $(F,d_Y)$에서 $(E,d_X)$로의 연속함수이므로 

$\overline{h}$는 $(E,d_X)$에서 $(F,d_Y)$로의 위상동형사상이고 모든 $x\in A$에 대해 $\overline{h}(x) = \overline{f}(x) = f(x)=h(x)$이다.

 

 

 

정리11

거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 임의의 $X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$과 임의의 $x\in X$에 대해

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d)$에서 $x$로 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 것이다.

증명

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d)$에서 $x$로 수렴하면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $x\in V$이고 위상공간 정리로 $V$는 $(X,d)$에서 열린집합이므로 

거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)\subseteq V$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여

거리공간에서 수렴의 정의로 $n\ge N(\epsilon)\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $d(x_n,x)< \epsilon$이 되는 $N(\epsilon)\in \mathbb{N}$이 존재함에 따라

열린공의 정의로 $x_n\in \underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)\subseteq V$이고 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

역으로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 위상공간 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로

위상공간에서 수렴의 정의로 $n\ge N(\epsilon)\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $x_n\in \underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)$이 되는 $N(\epsilon)\in \mathbb{N}$이 존재하여

열린공의 정의로 $d(x_n,x)< \epsilon$임에 따라 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,d)$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리12

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 거리공간이 $(X_1,d_1),(X_2,d_2),\cdots, (X_n,d_n)$이고

$X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$에 대해 임의의 $x= (x_1,x_2,\cdots, x_n),y=(y_1,y_2,\cdots, y_n)\in X$가

$d(x,y) = \sqrt{(d_1(x_1,y_1))^2 + (d_2(x_2,y_2))^2 + \cdots + (d_n(x_n,y_n))^2}$인 함수가 $d: X\times X \to [0,\infty)$일때

거리공간 $(X,d)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $X$의 수열 $((x_{m,1},x_{m,2},\cdots, x_{m,n}))_{m=m_0}^\infty$이 $(X,d)$에서 코시수열이기 위한 필요충분조건은

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $X_i$의 수열 $(x_{m,i})_{m=m_0}^\infty$가 $(X_i,d_i)$에서 코시수열인 것이다.

2. $(X_1,d_1),(X_2,d_2),\cdots, (X_n,d_n)$이 완비거리공간이면 $(X,d)$는 완비거리공간이다.

증명

유한 곱공간 정리로 $(X,d)$는 거리공간이다.

1.

$X$의 수열 $((x_{m,1},x_{m,2},\cdots, x_{m,n}))_{m=m_0}^\infty$이 $(X,d)$에서 코시수열이면 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

어떤 $H(\epsilon)\in \mathbb{N}$이 존재하여 $m,p\ge H(\epsilon)\ge m_0$인 모든 $m,p\in \mathbb{N}$와 모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해

절댓값의 정의와 절댓값 정리와 거듭제곱 정리로 

$\begin{align*} d_i(x_{m,i},x_{p,i})&=|d_i(x_{m,i},x_{p,i})|\\[0.5em]&=\sqrt{(d_i(x_{m,i},x_{p,i}))^2} \\[0.5em]& \le \sqrt{(d_1(x_{m,1},x_{p,1}))^2 + (d_2(x_{m,2},x_{p,2}))^2+\cdots + (d_n(x_{m,n},x_{p,n}))^2 } \\[0.5em]& \qquad = d((x_{m,1},x_{m,2},\cdots,x_{m,n}), (x_{p,1},x_{p,2},\cdots, x_{p,n})) \\[0.5em]& < \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

$X_i$의 수열 $(x_{m,i})_{m=m_0}^\infty$는 $(X_i,d_i)$에서 코시수열이다.

역으로 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $X_i$의 수열 $(x_{m,i})_{m=m_0}^\infty$이 $(X_i,d_i)$에서 코시수열이면 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$m,p\ge H_i(\frac{\epsilon}{\sqrt{n}})\ge m_0$인 모든 $m,p\in \mathbb{N}$가 $d_i(x_{m,i},x_{p,i})< \dfrac{\epsilon}{\sqrt{n}}$인 $H_i(\frac{\epsilon}{\sqrt{n}})\in \mathbb{N}$이 존재하여

거듭제곱 정리로 $(d_i(x_{m,i},x_{p,i}))^2 < \dfrac{\epsilon^2}{n}$이므로

$m,p\ge \max \{H_1(\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}),H_2(\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}),\cdots, H_n(\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}) \}$인 모든 $m,p\in \mathbb{N}$에 대해 

$\begin{align*} (d((x_{m,1},x_{m,2},\cdots,x_{m,n}), (x_{p,1},x_{p,2},\cdots, x_{p,n})))^2 & = (d_1(x_{m,1},x_{p,1}))^2 + (d_2(x_{m,2},x_{p,2}))^2+\cdots + (d_n(x_{m,n},x_{p,n}))^2 \\[0.5em] & \lt \dfrac{\epsilon^2}{n} + \dfrac{\epsilon^2}{n} + \cdots + \dfrac{\epsilon^2}{n} =\epsilon^2 \text{ 임에 따라} \end{align*}$

거듭제곱 정리로 $d((x_{m,1},x_{m,2},\cdots,x_{m,n}), (x_{p,1},x_{p,2},\cdots, x_{p,n})) < \epsilon$이고

$X$의 수열 $((x_{m,1},x_{m,2},\cdots, x_{m,n}))_{m=m_0}^\infty$은 $(X,d)$에서 코시수열이다.

2.

$(X,d)$의 거리위상공간이 $(X,\mathcal{T}_d)$일때 유한 곱공간 정리로 

$(X_1,d_1),(X_2,d_2),\cdots, (X_n,d_n)$의 거리위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n$-곱공간이 $(X,\mathcal{T})$이면

$\mathcal{T} = \mathcal{T}_d$이고 임의의 $(X,d)$에서 코시수열 $((x_{m,1},x_{m,2},\cdots, x_{m,n}))_{m=m_0}^\infty$은

1번으로 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $X_i$의 수열 $(x_{m,i})_{m=m_0}^\infty$가 $(X_i,d_i)$에서 코시수열이므로 완비거리공간의 정의로

$(x_{m,i})_{m=m_0}^\infty$는 $(X_i,d_i)$에서 어떤 $x_i\in X_i$로 수렴하여 위 정리로 $(x_{m,i})_{m=m_0}^\infty$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $x_i$로 수렴하고

유한 곱공간 정리로 $((x_{m,1},x_{m,2},\cdots, x_{m,n}))_{m=m_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{T}_d)$에서 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in X$으로 수렴함에 따라 

위 정리로 $((x_{m,1},x_{m,2},\cdots, x_{m,n}))_{m=m_0}^\infty$은 $(X,d)$에서 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$으로 수렴하고 $(X,d)$는 완비거리공간이다.

 

 

 

정리13

모든 $t\in (-1,\infty)$에 대해 $f(t) = \dfrac{t}{1+t}$인 함수가 $f: (-1,\infty)\to \mathbb{R}$이고

모든 $s\in (-\infty,1)$에 대해 $g(s) = \dfrac{s}{1-s}$인 함수가 $g:(-\infty,1)\to \mathbb{R}$일때 다음이 성립한다.

1. $(-1,\infty)$에서 $f$의 도함수 $f' : (-1,\infty)\to \mathbb{R}$이 존재하고 모든 $t\in (-1,\infty)$에 대해 $f'(t) =\dfrac{1}{(1+t)^2}$이다.

2. $f$는 $(-1,\infty)$에서 순증가하고 $\displaystyle \lim_{t\to \infty}$$\,\dfrac{t}{1+t} = 1$이다.

3. $f((-1,\infty)) = (-\infty,1)$이고 $f((0,\infty)) = (0,1)$이다.

4. 모든 $s\in (-\infty,1)$에 대해 $f(g(s))=s$이다.

5. $(-\infty,1)$에서 $g$의 도함수 $g' : (-\infty,1)\to \mathbb{R}$이 존재하고 모든 $s\in (-\infty,1)$에 대해 $g'(s) =\dfrac{1}{(1-s)^2}$이다.

6. $g$는 $(-\infty,1)$에서 순증가하고 $\displaystyle \lim_{s\to -\infty}$$\,\dfrac{s}{1-s} = -1$이다.

7. $g((-\infty,1)) = (-1,\infty)$이고 $g((0,1)) = (0,\infty)$이다.

8. 모든 $t\in (-1,\infty)$에 대해 $g(f(t)) = t$이다.

증명

1, 2

모든 $t\in (-1,\infty)$에 대해 $-1<t$임에 따라 $0< 1+t$이므로 상수함수 정리와 미분 정리와 미분 정리로

$f'(t) = \dfrac{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(t) \cdot (1+t) - t \cdot \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(1+t) }{(1+t)^2} = \dfrac{1\cdot (1+t) - t\cdot 1}{(1+t)^2} = \dfrac{1}{(1+t)^2} > 0$이고

미분 정리로 $f$는 $(-1,\infty)$에서 순증가한다.

모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{N_\epsilon} < \epsilon$인 $N_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$N_\epsilon - 1\ge 0$이므로 $N_\epsilon -1 \in (-1,\infty)$이고 $N_\epsilon - 1 < t$인 모든 $t\in (-1,\infty)$에 대해

$0\le N_\epsilon - 1 < t < 1 + t$이므로 $0 < \dfrac{t}{1+t} < 1$이고 $1 \le N_\epsilon < 1 + t$임에 따라 

$|\tfrac{t}{1+t} - 1| = 1 - \dfrac{t}{1+t} = \dfrac{1+t}{1+t} - \dfrac{t}{1+t} = \dfrac{1}{1+t} < \dfrac{1}{N_\epsilon} < \epsilon$이 되어 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{t\to \infty}\dfrac{t}{1+t} = 1$이다.

3, 4

모든 $t\in (0,\infty)$에 대해 $0< t < 1+t$이므로

$0< \dfrac{t}{1+t}< 1$이 되어 $f(t) = \dfrac{t}{1+t}\in (0,1)$임에 따라 $f((0,\infty)) \subseteq (0,1)$이고

모든 $s\in (0,1)$에 대해 $0< s<1$이므로 $0 < 1-s< 1$이고 $0< \dfrac{s}{1-s}$가 되어 $\dfrac{s}{1-s}\in (0,\infty)$이므로

$s=\dfrac{\frac{s}{1-s}}{\frac{1}{1-s}}=\dfrac{\frac{s}{1-s}}{\frac{1-s}{1-s} + \frac{s}{1-s}} = \dfrac{\frac{s}{1-s}}{1 +\frac{s}{1-s}}= f(\frac{s}{1-s})\in f((0,\infty))$임에 따라 $(0,1)\subseteq f((0,\infty))$이고

집합 정리로 $f((0,\infty)) =(0,1)$이다.

모든 $t\in (-1,0)$에 대해 $-1<t<0$이므로

$0<1+t < 1$이 되어 $f(t)=\dfrac{t}{1+t}<0$이고 $f(t)\in (-\infty,0)$임에 따라 $f((-1,0))\subseteq (-\infty,0)$이고

모든 $s\in (-\infty,0)$에 대해 $s< 0$이므로

$0< -s < 1- s$이 되어 $0<\dfrac{-s}{1-s} <1$이고 $-1<\dfrac{s}{1-s}<0$이므로 $\dfrac{s}{1-s}\in (-1,0)$임에 따라

$s=\dfrac{\frac{s}{1-s}}{\frac{1}{1-s}}=\dfrac{\frac{s}{1-s}}{\frac{1-s}{1-s} + \frac{s}{1-s}} = \dfrac{\frac{s}{1-s}}{1 +\frac{s}{1-s}}= f(\frac{s}{1-s})\in f((-1,0))$이고 $(-\infty,0)\subseteq f((-1,0))$이므로

집합 정리로 $f((-1,0)) = (-\infty,0)$이다.

$f(0) = \dfrac{0}{1 + 0} = 0$이므로 $f(\{0\}) = \{0\}$이 되어 함수 정리로

$f((-1,\infty)) = f((-1,0)\cup \{ 0\} \cup (0,\infty)) = f((-1,0)) \cup f(\{0\})\cup f((0,\infty)) = (-\infty,0)\cup \{ 0\}\cup (0,1) = (-\infty,1) \text{ 이다.}$

$f(g(0)) = f(\frac{0}{1-0}) =f(0) = 0$이므로 모든 $s\in (-\infty,0) \cup \{ 0\} \cup (0,1)=(-\infty,1)$에 대해 $f(g(s)) = s$이다.

5, 6

모든 $s\in (-\infty,1)$에 대해 $s < 1$임에 따라 $0< 1-s$이므로 상수함수 정리와 미분 정리와 미분 정리로

$g'(s) = \dfrac{\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!s}(s) \cdot (1-s) - s \cdot \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!s}(1-s) }{(1-s)^2} = \dfrac{1\cdot (1-s) - s\cdot (-1)}{(1-s)^2} = \dfrac{1}{(1-s)^2} > 0$이고

미분 정리로 $g$는 $(-\infty,1)$에서 순증가한다.

모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{N_\epsilon} < \epsilon$인 $N_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$1 - N_\epsilon \le 0$이므로 $1 - N_\epsilon \in (-\infty,1)$이고 $s < 1-N_\epsilon$인 모든 $s\in (-\infty,1)$에 대해

$s - 1 < s < 1-N_\epsilon\le 0$이므로 $-1 < \dfrac{s}{1-s} < 0$이고 $1 \le N_\epsilon < 1 - s$임에 따라 

$|\tfrac{s}{1-s} + 1| = 1 + \dfrac{s}{1-s} = \dfrac{1-s}{1-s} + \dfrac{s}{1-s} = \dfrac{1}{1-s} < \dfrac{1}{N_\epsilon} < \epsilon$이 되어 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{s\to -\infty}\dfrac{s}{1-s} = -1$이다.

7, 8

3번으로 $f((-1,\infty)) = (-\infty,1)$이고 $f((0,\infty)) = (0,1)$이므로

모든 $t\in (-1,\infty)$에 대해 $g(f(t))  = \dfrac{f(t)}{1- f(t)} = \dfrac{\frac{t}{1+t}}{1- \frac{t}{1+t}} = \dfrac{\frac{t}{1+t}}{\frac{1+t}{1+t} -\frac{t}{1+t}} = \dfrac{\frac{t}{1+t}}{\frac{1}{1+t}} = t$임에 따라 

$g((-\infty,1)) = g(f((-1,\infty))) = (-1,\infty)$이고 $g((0,1)) = g(f((0,\infty))) = (0,\infty)$이다.

 

 

 

정리14

거리공간이 $(X,d)$이고 임의의 $X$의 수열이 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$일때 임의의 $x,y\in X$가 

$d_1(x,y) = $ $\min$$\{ 1, d(x,y) \}$인 함수 $d_1 :X\times X\to [0,\infty)$에 대해 거리공간이 $(X,d_1)$이고

$d_2(x,y) = \dfrac{d(x,y)}{1+d(x,y)} $인 함수 $d_2 :X\times X\to [0,\infty)$에 대해 거리공간이 $(X,d_2)$이면 다음이 성립한다.

1. $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d)$에서 코시수열이기 위한 필요충분조건은 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d_1)$에서 코시수열인 것이다.

2. $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d)$에서 코시수열이기 위한 필요충분조건은 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d_2)$에서 코시수열인 것이다.

3. $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d)$에서 $x$로 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d_1)$에서 $x$로 수렴하는 것이다.

4. $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d)$에서 $x$로 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d_2)$에서 $x$로 수렴하는 것이다.

5. $(X,d)$가 완비거리공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,d_1)$이 완비거리공간인 것이다.

6. $(X,d)$가 완비거리공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,d_2)$가 완비거리공간인 것이다.

증명

위상공간 정리로 $(X,d_1)$과 $(X,d_2)$는 거리공간이다.

1.

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d)$에서 코시수열이면

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $n,m\ge N_\epsilon\ge n_0$인 모든 $n,m\in \mathbb{N}$이 $d(x_n,x_m)< \epsilon$이 되는 $N_\epsilon\in \mathbb{N}$이 존재하여

최소원소의 정의로 $d_1(x_n,x_m) = \min\{ 1,d(x_n,x_m)\} \le d(x_n,x_m) < \epsilon$이므로

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,d_1)$에서 코시수열이다.

역으로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d_1)$에서 코시수열이면

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $n,m\ge N_\epsilon\ge n_0$인 모든 $n,m\in \mathbb{N}$이 $d_1(x_n,x_m)< \min\{1,\epsilon \}$이 되는 $N_\epsilon\in \mathbb{N}$이 존재하여

최소원소의 정의로 $d_1(x_n,x_m)< \min\{1,\epsilon \}\le 1$이므로 $d(x_n,x_m)=d_1(x_n,x_m) < \min \{ 1,\epsilon\}\le \epsilon$임에 따라

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,d)$에서 코시수열이다.

2.

모든 $t\in (-1,\infty)$에 대해 $f(t) = \dfrac{t}{1+t}$인 함수가 $f: (-1,\infty)\to \mathbb{R}$이고

모든 $s\in (-\infty,1)$에 대해 $g(s) = \dfrac{s}{1-s}$인 함수가 $g:(-\infty,1)\to \mathbb{R}$일때 

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d)$에서 코시수열이면

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\delta_\epsilon = \min \{ \frac{1}{2},\epsilon\}$일때 $\delta_\epsilon\in (0,1) $이므로 위 정리로 $g(\delta_\epsilon)\in (0,\infty)$이 되어

$n,m\ge N_\epsilon\ge n_0$인 모든 $n,m\in \mathbb{N}$이 $d(x_n,x_m)< g(\delta_\epsilon)$이 되는 $N_\epsilon\in \mathbb{N}$이 존재하고 위 정리와 최소원소의 정의로 

$d_2(x_n,x_m) = \dfrac{d(x_n,x_m)}{1+d(x_n,x_m)} = f(d(x_n,x_m)) < f(g(\delta_\epsilon)) = \delta_\epsilon =\min \{ \frac{1}{2},\epsilon\}\le \epsilon$임에 따라 

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,d_2)$에서 코시수열이다.

역으로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d_2)$에서 코시수열이면 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 위 정리로 $f(\epsilon)\in (0,1)$이므로 

$n,m\ge N_\epsilon\ge n_0$인 모든 $n,m\in \mathbb{N}$이 $d_2(x_n,x_m)< f(\epsilon)$이 되는 $N_\epsilon\in \mathbb{N}$이 존재하여

위 정리로 $d(x_n,x_m) =g(f(d(x_n,x_m)))=g(\frac{d(x_n,x_m)}{1+d(x_n,x_m)})=g(d_2(x_n,x_m))< g(f(\epsilon)) =\epsilon$임에 따라 

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,d)$에서 코시수열이다.

3, 4

$(X,d)$의 거리위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 위상공간 정리로 

$(X,d_1)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_1)$과 $(X,d_2)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_2)$에 대해 $\mathcal{T}_1=\mathcal{T} = \mathcal{T}_2$이다.

$(x_n)_{n=1}^\infty$이 $(X,d)$에서 $x$로 수렴하면 

위 정리로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{T}_1)=(X,\mathcal{T}) = (X,\mathcal{T}_2)$에서 $x$로 수렴하므로 

위 정리로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,d_1)$에서 $x$로 수렴하고 $(X,d_2)$에서 $x$로 수렴한다.

역으로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d_1)$에서 $x$로 수렴하거나 $(X,d_2)$에서 $x$로 수렴하면

위 정리로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{T}_1)=(X,\mathcal{T}) = (X,\mathcal{T}_2)$에서 $x$로 수렴하므로 

위 정리로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,d)$에서 $x$로 수렴한다.

5, 6

$(X,d)$가 완비거리공간이면

임의의  $(X,d_1)$ 또는 $(X,d_2)$에서 코시수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 1, 2번으로 $(X,d)$에서 코시수열이므로 

완비거리공간의 정의로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,d)$에서 어떤 $x\in X$로 수렴하여

3, 4번으로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d_1)$에서 $x$로 수렴하고 $(X,d_2)$에서 $x$로 수렴함에 따라 

$(X,d_1)$과 $(X,d_2)$는 완비거리공간이다.

역으로 $(X,d_1)$ 또는 $(X,d_2)$가 완비거리공간이면 

임의의 $(X,d)$에서 코시수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 1, 2번으로 $(X,d_1)$과 $(X,d_2)$에서 코시수열이므로

완비거리공간의 정의로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,d_1)$ 또는 $(X,d_2)$에서 어떤 $x\in X$로 수렴하여

3, 4번으로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d)$에서 $x$로 수렴함에 따라 $(X,d)$는 완비거리공간이다.

 

 

 

정리15

양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$의 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 유일한 완비거리공간 $(X_k,d_k)$가 존재하고

모든 $x(k),y(k)\in X_k$가 $\rho_k(x(k),y(k)) = \min\{1,d_k(x(k),y(k))\}$인 함수 $\rho_k :X_k\times X_k\to [0,\infty)$에 대해 

모든 $x,y\in X$가 $d(x,y) =\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k}$인 함수가 $d:X\times X\to [0,\infty)$이면 $(X,d)$는 완비거리공간이다.

증명

곱공간 정리로 $(X,d)$는 거리공간이고

임의의 $(X,d)$에서 코시수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$와 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 

$n,m\ge N_\epsilon\ge n_0$인 모든 $n,m\in \mathbb{N}$이 $d(x_n,x_m)< \dfrac{\epsilon}{2^k}$가 되는 $N_\epsilon\in \mathbb{N}$이 존재하여

급수열 정리로 $\displaystyle\dfrac{\rho_k(x_n(k),x_m(k))}{2^k} \le \sum_{i=1}^k \dfrac{\rho_i(x_n(i),x_m(i))}{2^i} \le \sum_{i=1}^\infty\dfrac{\rho_i(x_n(i),x_m(i))}{2^i} =d(x_n,x_m)< \dfrac{\epsilon}{2^k}$이므로

$\rho_k(x_n(k),x_m(k)) <\epsilon$임에 따라 $X_k$의 수열 $(x_n(k))_{n=n_0}^\infty$는 $(X_k,\rho_k)$에서 코시수열이고

위 정리와 완비거리공간의 정의로 $(x_n(k))_{n=n_0}^\infty$는 $(X_k,\rho_k)$에서 어떤 $x(k)\in X_k$로 수렴한다.

급수 정리와 급수 정리와 급수 정리로 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 $K(\epsilon)\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $\displaystyle \sum_{i = K(\epsilon) +1}^\infty \dfrac{1}{2^i}< \dfrac{\epsilon}{2}$이고

거리공간 정리와 일반 데카르트곱의 정의로

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(x_n(k))_{n=n_0}^\infty$가 $(X_k,\rho_k)$에서 $x(k)\in X_k$로 수렴하는 $x\in X$가 존재하므로

$n\ge H_k(\epsilon)\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $\rho_k(x_n(k), x(k)) < \dfrac{\epsilon\cdot 2^k}{2\cdot K(\epsilon)}$이 되는 $H_k(\epsilon)\in \mathbb{N}$이 존재함에 따라

$\dfrac{\rho_k(x_n(k), x(k))}{2^k} < \dfrac{1}{2^k}\cdot \dfrac{\epsilon\cdot 2^k}{2\cdot K(\epsilon)} = \dfrac{\epsilon}{2\cdot K(\epsilon)}$이고 

$n\ge \max \{ H_1(\epsilon), H_2(\epsilon),\cdots , H_{K(\epsilon)}(\epsilon)\}\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 최소원소의 정의로

$\rho_k(x_n(k),x(k)) = \min\{1,d_k(x_n(k),x(k))\} \le 1$이므로 $\dfrac{\rho_k(x_n(k),x(k))}{2^k} \le \dfrac{1}{2^k}$가 되어

급수 정리와 실수열 정리로 $\displaystyle \sum_{i=K(\epsilon)+1}^\infty \dfrac{\rho_i(x_n(i),x(i))}{2^i}\le \sum_{i = K(\epsilon) +1}^\infty \dfrac{1}{2^i}< \dfrac{\epsilon}{2}$임에 따라 

$\begin{align*} d(x_n,x) &=\sum_{i=1}^\infty \dfrac{\rho_i(x_n(i),x(i))}{2^i} \\[0.5em]& = \sum_{i=1}^{K(\epsilon)}\dfrac{\rho_i(x_n(i),x(i))}{2^i} + \sum_{i=K(\epsilon)+1}^\infty \dfrac{\rho_i(x_n(i),x(i))}{2^i}\\[0.5em]&< \sum_{i=1}^{K(\epsilon)}\dfrac{\epsilon}{ 2\cdot K(\epsilon)} + \sum_{i=K(\epsilon)+1}^\infty \dfrac{\rho_i(x_n(i),x(i))}{2^i} \\[0.5em]&< K(\epsilon)\cdot \dfrac{\epsilon}{2\cdot K(\epsilon)} + \dfrac{\epsilon}{2} = \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} =\epsilon \text{ 이고} \end{align*}$

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,d)$에서 $x$로 수렴하므로 $(X,d)$는 완비거리공간이다.

 

 

 

정의4

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $(X,d)$가 완비거리공간이 되는 거리함수 $d:X\times X\to [0,\infty)$가 존재하여 

거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_d)$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_d$이면 $(X,\mathcal{T})$가 완비거리화가능하다고 정의한다.

 

 

 

정리16

$I\ne \emptyset$인 임의의 가산집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때

모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 완비거리화가능하면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 일반 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 완비거리화가능하다.

증명

완비거리화가능의 정의와 선택 정리로 모든 $i\in I$에 대해

완비거리공간 $(X_i,d_i)$의 거리위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_{d_i})$가 $\mathcal{T}_i = \mathcal{T}_{d_i}$가 되는 거리함수 $d_i: X\times X \to [0,\infty)$를 선택하고

양의 정수집합이 $\mathbb{Z}^+$일때

$I$가 유한집합이면 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $I$는 $n$개의 원소를 갖고

$\{ k\in \mathbb{Z}^+ : 1\le k\le n\}$은 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이므로

기수 정리와 기수 정리로 $\{ k\in \mathbb{Z}^+ : 1\le k\le n\}$에서 $I$로의 전단사함수가 존재하여 

일반 곱공간 정리와 일반 곱공간 정리와 유한 곱공간 정리와 위 정리와 위상적 성질로 $(X,\mathcal{T})$는 완비거리화가능하다.

$I$가 유한집합이 아니면 $I$는 가부번이므로 가산집합 정리와 가부번 정리로 $\mathbb{Z}^+$에서 $I$로의 전단사함수가 존재하여 

일반 곱공간 정리와 일반 곱공간 정리와 위 정리와 위상적 성질로 $(X,\mathcal{T})$는 완비거리화가능하다.

 

 

 

정리17

거리공간이 $(X,d_X),(Y,d_Y)$이고 임의의 함수가 $f : X\to Y$일때 모든 $x_1,x_2\in X$가

$\rho(x_1,x_2) = d_X(x_1,x_2) + d_Y(f(x_1),f(x_2))$인 함수 $\rho :X\times X\to [0,\infty)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\rho)$는 거리공간이다.

2. 모든 $(X,\rho)$에서 코시수열은 $(X,d_X)$에서 코시수열이다.

3. $f$가 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수이면

$(X,d_X)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $(X,\rho)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에 대해 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\rho$이다.

증명

1.

거리공간의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $\rho(x,x) = d_X(x,x) + d_Y(f(x),f(x)) = 0+0 = 0$이다.

거리공간의 정의로 $x_1\ne x_2$인 모든 $x_1,x_2\in X$에 대해

$d_X(x_1,x_2)>0$이고 $d_Y(f(x_1),f(x_2))\ge 0$이므로 $\rho(x_1,x_2) = d_X(x_1,x_2) + d_Y(f(x_1),f(x_2)) > 0$이다.

거리공간의 정의로 모든 $x_1,x_2\in X$에 대해

$\rho(x_1,x_2) = d_X(x_1,x_2) + d_Y(f(x_1),f(x_2)) = d_X(x_2,x_1) +d_Y(f(x_2),f(x_1)) = \rho(x_2,x_1)$이다.

거리공간의 정의로 모든 $x_1,x_2,x_3\in X$에 대해

$\begin{align*}\rho(x_1,x_3) &= d_X(x_1,x_3) + d_Y(f(x_1),f(x_3))\\[0.5em]& \le d_X(x_1,x_2) + d_X(x_2,x_3) + d_Y(f(x_1),f(x_2)) +d_Y(f(x_2),f(x_3)) = \rho(x_1,x_2) + \rho(x_2,x_3) \text{ 이므로} \end{align*}$

$(X,\rho)$는 거리공간이다.

2.

모든 $(X,\rho)$에서 코시수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 

$n,m\ge H(\epsilon)\ge n_0$인 모든 $n,m\in \mathbb{N}$이 $\rho(x_n,x_m)< \epsilon$이 되는 $H(\epsilon)\in \mathbb{N}$이 존재하여 

$d_X(x_n,x_m) \le d_X(x_n,x_m) + d_Y(f(x_n),f(x_m)) = \rho(x_n,x_m)< \epsilon$이므로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,d_X)$에서 코시수열이다.

3.

$\mathcal{B} = \{ \underset{(X,d_X)}{B}(x_0,r) : x_0\in X, r\in (0,\infty)\}$이고 $\mathcal{B}_\rho = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r) : x_0\in X ,r\in (0,\infty)\}$일때

거리위상공간의 정의로 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 $\mathcal{B}_\rho$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 기저이다.

임의의 $x_0\in X$과 임의의 $r\in (0,\infty)$에 대해 

모든 $x_r\in \underset{(X,d_X)}{B}(x_0,r)$은 열린공의 정의로 $d_X(x_0,x_r)< r$이므로 $r-d_X(x_0,x_r) > 0$이 되어

모든 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x_r, r - d_X(x_0,x_r))$는 거리공간의 정의와 열린공의 정의로

$\begin{align*}d_X(x_0,x)& \le d_X(x_0,x_r) + d_X(x_r,x)\\[0.5em]&\le d_X(x_0,x_r) + d_X(x_r,x) + d_Y(f(x_r),f(x)) = d_X(x_0,x_r) +\rho(x_r,x) \\[0.5em] &< d_X(x_0,x_r)+ r-d_X(x_0,x_r) = r \text{ 임에 따라}\end{align*}$

$x\in \underset{(X,d_X)}{B}(x_0,r)$이고 $\underset{(X,\rho)}{B}(x_r, r - d_X(x_0,x_r)) \subseteq \underset{(X,d_X)}{B}(x_0,r)$이 되어

위상공간 정리와 거리공간 정리로 $\underset{(X,d_X)}{B}(x_0,r)\in \mathcal{T}_\rho$이므로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}_\rho$임에 따라

위상공간의 정의와 기저의 정의로 $\mathcal{T} = \{\bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B} \}\subseteq \mathcal{T}_\rho$이다.

임의의 $x_0\in X$과 임의의 $r\in (0,\infty)$에 대해

모든 $x_r\in \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r)$은 열린공의 정의로 $\rho(x_0,x_r)< r$이므로 $r-\rho(x_0,x_r) > 0$이 되어 $\dfrac{r-\rho(x_0,x_r)}{2} > 0$이고

연속함수의 정의로 $d_X(x_r,x)< \delta_r$인 모든 $x\in X$가 $d_Y(f(x_r),f(x))< \dfrac{r - \rho(x_0,x_r)}{2}$인 $\delta_r \in (0,\infty)$이 존재하여

모든 $x\in \underset{(X,d_X)}{B}(x_r, \min \{ \delta_r, \frac{r-\rho(x_0,x_r)}{2} \})$는 열린공의 정의와 최소원소의 정의로

$d_X(x_r,x) <\min \{ \delta_r, \frac{r-\rho(x_0,x_r)}{2}\} \le \delta_r$이므로 $d_Y(f(x_r),f(x))< \dfrac{r-\rho(x_0,x_r)}{2}$이고

$d_X(x_r,x) <\min \{ \delta_r, \frac{r-\rho(x_0,x_r)}{2}\} \le \dfrac{r-\rho(x_0,x_r)}{2}$임에 따라 거리공간의 정의로

$\begin{align*}\rho(x_0,x) &\le \rho(x_0,x_r) + \rho(x_r,x) = \rho(x_0,x_r) + d_X(x_r,x) + d_Y(f(x_r),f(x))\\[0.5em]&< \rho(x_0,x_r) + \dfrac{r-\rho(x_0,x_r)}{2} +\dfrac{r-\rho(x_0,x_r)}{2} = \rho(x_0,x_r) + r-\rho(x_0,x_r) = r \text{ 이 되어} \end{align*}$

$x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r)$이고 $\underset{(X,d_X)}{B}(x_r, \min \{ \delta_r, \frac{r-\rho(x_0,x_r)}{2} \})\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r)$이므로

위상공간 정리와 거리공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r)\in \mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{B}_\rho \subseteq \mathcal{T}$임에 따라 

위상공간의 정의와 기저의 정의로 $\mathcal{T}_\rho = \{\bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}_\rho \}\subseteq \mathcal{T}$이고 집합 정리로 $\mathcal{T}= \mathcal{T}_\rho$이다.

 

 

 

정리18

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 완비거리화가능할때 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 완비거리화가능하다.

2. $Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 완비거리화가능하다.

3. $Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이면 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 완비거리화가능하다.

증명

완비거리화가능의 정의로 

$(X,d)$가 완비거리공간이 되는 거리함수 $d:X\times X\to [0,\infty)$가 존재하여 $(X,d)$의 거리위상공간은 $(X,\mathcal{T})$이다.

1.

$Y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 위상공간 정리로 $Y$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이고

거리공간 정리로 $(X,d)$의 부분거리공간 $(Y,d)$는 완비거리공간이 되어

위상공간 정리로 $(Y,d)$의 거리위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$임에 따라 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 완비거리화가능하다.

2.

$1$차원 유클리드 거리공간 $([0,\infty),d_1),(\mathbb{C},d_1)$의 거리위상공간이 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)}),(\mathbb{C},\mathcal{T}_\mathbb{C})$일때 

$([0,\infty),d_1)$은 $(\mathbb{C},d_1)$의 부분거리공간이므로 위상공간 정리로 $\mathcal{T}_{\mathbb{C}}|_{[0,\infty)} = \mathcal{T}_{[0,\infty)}$이다.

$Y = X$이면 위상공간 정리로 자명하게 $(Y,\mathcal{T}|_Y) = (X,\mathcal{T})$는 완비거리공간이다.

$Y\ne X$이면 $X\setminus Y\ne \emptyset$이므로 연속함수 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $f(x) = \inf \{ d(x,y): y\in X\setminus Y\}$인

함수 $f : X\to [0,\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이고 임의의 $\delta\in (0,\infty)$에 대해

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $[\delta,\infty) = [0,\infty)\setminus [0,\delta)$는 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$에서 닫힌집합이 되어 

연속함수 정리로 $f^{-1}([\delta,\infty)) = \{ x\in X : f(x)\ge \delta\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라 

위상공간 정리와 거리공간 정리로 $(X,d)$의 부분거리공간 $(f^{-1}([\delta,\infty)),d)$는 완비거리공간이다.

위상공간 정리로 $X\setminus Y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로

집합 정리와 위상공간 정리로 모든 $y \in Y = X\setminus (X\setminus Y)$에 대해 $f(y) =\inf \{ d(y,x) : x\in X\setminus Y\} > 0$가 되어

연속함수 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리로 

$g(y) = \dfrac{1}{f(y)}$인 함수 $g:Y\to [0,\infty)$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이다.

위상공간 정리로 $(X,d)$의 부분거리공간 $(Y,d)$의 거리위상공간은 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$이므로

위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리로 $g$는 $(Y,d)$에서 $([0,\infty),d_1)$로의 연속함수가 되어 

위 정리로 모든 $y_1,y_2\in Y$가 $\rho(y_1,y_2) = d(y_1,y_2) + d_1(g(y_1),g(y_2))$인 함수 $\rho:Y\times Y \to [0,\infty)$에 대해

$(Y,\rho)$는 거리공간이고 $(Y,\rho)$의 거리위상공간은 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$이다.

임의의 $(Y,\rho)$에서 코시수열 $(y_n)_{n=n_0}^\infty$은 

$n,m\ge N\ge n_0$인 모든 $n,m\in \mathbb{N}$이 $\rho(y_n,y_m)<1$이 되는 $N\in \mathbb{N}$이 존재하여 부등식 정리로

$\begin{align*} \dfrac{1}{f(y_n)} - \dfrac{1}{f(y_m)} &= \left |\dfrac{1}{f(y_n)}\right | - \left |\dfrac{1}{f(y_m)}\right | \\[0.5em] &\le \left |\dfrac{1}{f(y_n)} -\dfrac{1}{f(y_m)} \right | =|g(y_n)-g(y_m)|=d_1(g(y_n),g(y_m)) \\[0.5em]&\le d(y_n,y_m) + d_1(g(y_n),g(y_m)) =\rho(y_n,y_m)\\[0.5em]&<1\text{ 이므로} \end{align*}$

$\delta = \left (1 + \dfrac{1}{f(y_{N})} \right )^{-1} > 0$일때 $\dfrac{1}{f(y_n)} < 1+ \dfrac{1}{f(y_N)}$이고

$\delta = \left (1 + \dfrac{1}{f(y_{N})} \right )^{-1} < f(y_n)$임에 따라 $f(y_n)\in (\delta,\infty)\subseteq [\delta,\infty)$이 되어 $y_n\in f^{-1}([\delta,\infty))$이다.

$(y_{N + k })_{k=1}^\infty$는 $(y_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열이므로 거리공간 정리로

$(y_{N + k})_{k=1}^\infty$는 $(Y,\rho)$에서 코시수열이 되어 위 정리로 $(y_{N + k })_{k=1}^\infty$는 $(Y,d)$에서 코시수열이고

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $N + k \ge N + 1 > N\ge n_0$임에 따라

$y_{N + k}\in f^{-1}([\delta,\infty))$이므로 $(y_{N + k})_{k=1}^\infty$는 $(f^{-1}([\delta,\infty)),d)$에서 코시수열이 되어

완비거리공간의 정의로 $(y_{N + k})_{k=1}^\infty$는 $(f^{-1}([\delta,\infty)),d)$에서 어떤 $y\in f^{-1}([\delta,\infty))$로 수렴한다.

$y\notin Y$라고 가정하면 $y\in X\setminus Y$인데

하한의 정의와 거리공간의 정의로 $0<\delta \le f(y) = \inf \{ d(y,x) : x\in X\setminus Y\}\le d(y,y) = 0$임에 따라 모순이므로

$y\in Y$가 되어 $(y_{N + k})_{k=1}^\infty$는 $(Y,d)$에서 $y$로 수렴하고 위 정리로 $(y_{N + k})_{k=1}^\infty$는 $(Y,\rho)$에서 $y$로 수렴하므로 

거리공간 정리로 $(y_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(Y,\rho)$에서 $y$로 수렴하여 $(Y,\rho)$는 완비거리공간이고 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 완비거리화가능하다.

3.

$Y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이므로

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{O}$가 존재하여 $Y = \displaystyle \bigcap \mathcal{O}$이고

2번으로 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(O,\mathcal{T}|_O)$는 완비거리화가능하므로 $\Lambda = \displaystyle \prod_{O\in \mathcal{O}}O$일때

위 정리로 $\{ (O,\mathcal{T}|_O) : O\in \mathcal{O}\}$의 일반 곱공간 $(\Lambda,\mathcal{P})$는 완비거리화가능하다.

임의의 $y\in Y = \displaystyle \bigcap \mathcal{O}$는 모든 $O\in \mathcal{O}$에 대해 $y\in O$이므로 $\lambda_y(O) = y\in O$인

함수 $\lambda_y : \mathcal{O}\to \displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O$는 일반 데카르트곱의 정의로 $\lambda_y\in \Lambda$가 되어 $f(y) = \lambda_y$인 함수 $f:Y\to \Lambda$가 존재한다.

$\mathcal{O}\ne \emptyset$이므로 어떤 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해

$\lambda_x(O)=x\ne y = \lambda_y(O)$임에 따라 $f(x)= \lambda_x\ne \lambda_y = f(y)$이고 함수 정리로 $f$는 단사이다.

임의의 $O\in \mathcal{O}$에 대해 $\Lambda$의 $O$-좌표 사영함수가 $p_O : \Lambda\to O$일때

$Y=\displaystyle \bigcap\mathcal{O}\subseteq O\subseteq X$이고 위상공간 정리로 $(\mathcal{T}|_O)|_Y = \mathcal{T}|_Y$이므로 

임의의 $y\in Y$에 대해 $(p_O\circ f)(y) = p_O(f(y)) = p_O(\lambda_y) = \lambda_y(O) = y$임에 따라

포함사상 정리와 연속함수 정리로 $p_O\circ f:Y\to O$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $(O,\mathcal{T}|_O)$로의 연속함수가 되어 

곱공간 정리로 $f$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $(\Lambda,\mathcal{P})$로의 연속함수이다.

$(X,\mathcal{T})$는 완비거리화가능하므로 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이고 

임의의 $(O_1,O_2)\in \mathcal{O}^2$에 대해 $O_1,O_2\subseteq X$임에 따라

곱공간 정리와 연속함수 정리와 함수의 상등으로 $p_{O_1},p_{O_2}$는 $(\Lambda,\mathcal{P})$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 연속함수가 되어

위상공간 정리로 $\Delta(O_1,O_2) = \{ \lambda\in \Lambda : p_{O_1}(\lambda) = p_{O_2}(\lambda)\}$는 $(\Lambda,\mathcal{P})$에서 닫힌집합이므로

데카르트곱 정리로 $\mathcal{O}^2\ne \emptyset$임에 따라 위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcap_{(O_1,O_2)\in \mathcal{O}^2}\Delta(O_1,O_2)$는 $(\Lambda,\mathcal{P})$에서 닫힌집합이다.

모든 $y\in Y$에 대해 $f(y) = \lambda_y$는 모든 $(O_1,O_2)\in \mathcal{O}^2$에 대해 $p_{O_1}(\lambda_y) = \lambda_y(O_1) = y = \lambda_y(O_2) = p_{O_2}(\lambda_y)$이므로

$f(y)=\lambda_y\in \Delta(O_1,O_2)$이고 $f(y)\in \displaystyle \bigcap_{(O_1,O_2)\in \mathcal{O}^2}\Delta(O_1,O_2)$임에 따라 $f(Y)\subseteq \displaystyle \bigcap_{(O_1,O_2)\in \mathcal{O}^2}\Delta(O_1,O_2)$이다.

모든 $\lambda\in \displaystyle \bigcap_{(O_1,O_2)\in \mathcal{O}^2}\Delta(O_1,O_2)$는 $\mathcal{O}\ne \emptyset$이므로 $O_0\in \mathcal{O}$이 존재하여

모든 $O\in \mathcal{O}$에 대해 $(O_0,O)\in \mathcal{O}^2$임에 따라 $\lambda\in \Delta(O_0,O)$이고

$\lambda(O_0) =p_{O_0}(\lambda) = p_O(\lambda) = \lambda(O)\in O$이므로 $\lambda(O_0)\in \displaystyle \bigcap\mathcal{O} = Y$이고 $y_0 =\lambda(O_0)$일때

$\lambda_{y_0}(O) = y_0 = \lambda(O_0) = \lambda(O)$이므로 $\lambda = \lambda_{y_0} = f(y_0)\in f(Y)$가 되어 $ \displaystyle \bigcap_{(O_1,O_2)\in \mathcal{O}^2}\Delta(O_1,O_2)\subseteq f(Y)$임에 따라

집합 정리로 $f(Y)=\displaystyle \bigcap_{(O_1,O_2)\in \mathcal{O}^2}\Delta(O_1,O_2)$는 $(\Lambda,\mathcal{P})$에서 닫힌집합이고

1번으로 $(\Lambda,\mathcal{P})$의 부분위상공간 $(f(Y),\mathcal{P}|_{f(Y)})$은 완비거리화가능하다.

함수 정리로 모든 $y\in Y$에 대해 $g(y) = f(y)$인 함수 $g: Y\to f(Y)$는 전단사이므로

$g$의 역함수 $g^{-1}:f(Y)\to Y$이 존재하고 연속함수 정리로 $g$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $(f(Y),\mathcal{P}|_{f(Y)})$로의 연속함수이다.

$\mathcal{O}\ne \emptyset$이므로 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 곱공간 정리로 $p_O$는 $(\Lambda,\mathcal{P})$에서 $(O,\mathcal{T}|_O)$로의 연속함수이고

모든 $\lambda\in f(Y)\subseteq \Lambda$에 대해 $\lambda = f(y) =\lambda_y$인 $y\in Y$가 존재하여

$p_O(\lambda)=p_O(\lambda_y) = \lambda_y(O) = y = g^{-1}(g(y)) = g^{-1}(f(y)) = g^{-1}(\lambda_y) = g^{-1}(\lambda)$임에 따라

연속함수 정리로 $g^{-1}$은 $(f(Y),\mathcal{P}|_{f(Y)})$에서 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$로의 연속함수이므로

$g$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $(f(Y),\mathcal{P}|_{f(Y)})$로의 위상동형사상이 되어 위상적 성질로 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 완비거리화가능하다.

 

 

 

정리19

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 거리화가능할때

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$가 완비거리화가능하면 $Y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이다.

증명

거리화가능의 정의로 거리함수 $d:X\times X\to [0,\infty)$가 존재하여 $(X,d)$의 거리위상공간은 $(X,\mathcal{T})$이고

$(X,d)$의 완비화 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$의 거리위상공간이 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$일때

위 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $f(x) = [(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$인 함수 $f:X\to \mathcal{C}/\mathcal{R}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$로의 매장이므로

$(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$의 부분위상공간 $(f(Y),\overline{\mathcal{T}}|_{f(Y)})$에 대해 위상동형사상 정리로

모든 $y\in Y$가 $g(y) = f(y)$인 함수 $g:Y\to f(Y)$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $(f(Y),\overline{\mathcal{T}}|_{f(Y)})$로의 위상동형사상이 되어

위상적 성질로 $(f(Y),\overline{\mathcal{T}}|_{f(Y)})$는 완비거리화가능하다.

위상공간 정리로 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$의 부분거리공간 $(f(X),\overline{d})$의 거리위상공간은 $(f(Y),\overline{\mathcal{T}}|_{f(Y)})$이고

완비거리화가능의 정의로 $(f(Y),\rho)$가 완비거리공간이 되는 거리함수 $\rho:f(Y)\times f(Y)\to [0,\infty)$가 존재하여

$(f(Y),\rho)$의 거리위상공간은 $(f(Y),\overline{\mathcal{T}}|_{f(Y)})$이므로 위상공간 정리로

$f(Y)$의 항등함수 $\iota : f(Y)\to f(Y)$가 $(f(Y),\overline{\mathcal{T}}|_{f(Y)})$에서 $(f(Y),\overline{\mathcal{T}}|_{f(Y)})$로의 위상동형사상임에 따라

위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리로 $\iota$는 $(f(Y),\rho)$에서 $(f(Y),\overline{d})$로의 위상동형사상이다.

$(f(Y),\rho),(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$는 완비거리공간이므로

위 정리로 $f(Y)\subseteq \mathcal{A} \subseteq \underset{(f(Y),\rho)}{\operatorname{cl}}(f(Y))$이고 $f(Y)\subseteq \mathcal{B}\subseteq \underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})}{\operatorname{cl}}(f(Y))$인 

$(f(Y),\rho)$에서 $G_\delta$-집합 $\mathcal{A}$와 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$에서 $G_\delta$-집합 $\mathcal{B}$가 존재하여

폐포 정리와 거리공간 정리로 $f(Y)\subseteq \mathcal{A} \subseteq \underset{(f(Y),\rho)}{\operatorname{cl}}(f(Y)) = f(Y)$임에 따라 집합 정리로 $f(Y) = \mathcal{A}$이고 

모든 $A \in f(Y)$에 대해 $\overline{\iota}(A) = \iota(A)$인 $(f(Y),\rho)$에서 $(\mathcal{B},\overline{d})$로의 위상동형사상 $\overline{\iota}:f(Y)\to \mathcal{B}$가 존재하여

위상동형사상의 정의와 전사 정리와 함수 정리와 항등함수 정리로 $\mathcal{B} = \overline{\iota}(f(Y)) = \iota(f(Y)) = f(Y)$이다.

$f(Y)$는 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$에서 $G_\delta$-집합이므로 위상공간 정리로 $f(Y)$는 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$에서 $G_\delta$-집합이 되어

매장의 정의와 연속함수 정리로 $f$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$로의 연속함수이고 단사임에 따라

단사 정리와 연속함수 정리로 $Y = f^{-1}(f(Y))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이다.

 

 

 

정리20

위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots,(X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n\in \mathbb{Z}^+$-곱공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 임의의 위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y)$일때

함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{T})$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 임의의 $(c_1,c_2,\cdots, c_n)\in X$에서 연속이면

모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 모든 $x_i\in X_i$가 $f_i(x_i)=f(c_1,\cdots, c_{i-1}, x_i, c_{i+1},\cdots, c_n)$인

함수 $f_i:X_i\to Y$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c_i$에서 연속이다.

증명

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c_1,\cdots, c_{i-1}, c_i, c_{i+1},\cdots, c_n) = f_i(c_i)$의 열린근방 $V$에 대해

$f$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $(c_1,c_2,\cdots, c_n)$에서 연속이므로   

모든 $(x_1,x_2,\cdots, x)\in U$가 $f(x_1,x_2,\cdots, x_n)\in V$가 되는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(c_1,c_2,\cdots, c_n)$의 열린근방 $U$가 존재하여 

유한 곱공간 정리와 기저 정리로

$(c_1,c_2,\cdots, c_n)\in O_1\times O_2\times \cdots \times O_n\subseteq U$인 $(O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots\times \mathcal{T}_n$이 존재한다.

$c_i\in O_i$이므로 $O_i$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $c_i$의 열린근방이고 

모든 $x_i\in O_i$에 대해 $(c_1,\cdots, c_{i-1},x_i,c_{i+1} ,\cdots ,c_n)\in O_1\times \cdots \times O_{i-1}\times O_i\times O_{i+1}\times  \cdots \times O_n\subseteq U$임에 따라

$f_i(x_i)=f(c_1,\cdots, c_{i-1}, x_i, c_{i+1},\cdots, c_n)\in V$가 되어 $f_i$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c_i$에서 연속이다.

 

 

 

정리21

거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음은 동치이다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 완비거리화가능하다.

2. 완비화 정리에 나온 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$로의 조밀매장 $f$에 대해

$f(X)$는 $(X,d)$의 완비화 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$의 거리위상공간 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$에서 $G_\delta$-집합이다.

3. 임의의 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$가 거리화가능하면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 매장 $e :X\to Y$에 대해 $e(X)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $G_\delta$-집합이다.

4. 스톤-체흐 콤팩트화에 나온 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장이 $e_X$일때

$e_X(X)$는 $(X,\mathcal{T})$의 스톤-체흐 콤팩트화 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $G_\delta$-집합이다.

5. 임의의 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$가 티호노프 공간이면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 조밀매장 $e:X\to Y$에 대해 $e(X)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $G_\delta$-집합이다.

증명

$1\to 3$

$(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분위상공간이 $(e(X),\mathcal{T}_Y|_{e(X)})$일때

$e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 매장이므로 $(X,\mathcal{T})$와 $(e(X),\mathcal{T}_Y|_{e(X)})$는 위상동형이고

$(X,\mathcal{T})$는 완비거리화가능하므로 위상적 성질로 $(e(X),\mathcal{T}_Y|_{e(X)})$는 완비거리화가능하여

$(Y,\mathcal{T}_Y)$가 거리화가능함에 따라 위 정리로 $e(X)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $G_\delta$-집합이다.

$3\to 2$

위 정리로 $(X,d)$의 완비화 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$는 거리공간이므로 

$(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$의 거리위상공간 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$는 자명하게 거리화가능하고

위 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$로의 매장이므로 $f(X)$는 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$에서 $G_\delta$-집합이다.

$2\to 1$

$(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$의 거리위상공간 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$에 대해 위 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$로의 매장이므로 

$(X,\mathcal{T})$와 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$의 부분위상공간 $(f(X),\overline{\mathcal{T}}|_{f(X)})$는 위상동형이고 $f(X)$는 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$에서 $G_\delta$-집합이므로

위 정리로 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$가 완비거리공간임에 따라 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$는 완비거리화가능하고

위 정리로 $(f(X),\overline{\mathcal{T}}|_{f(X)})$는 완비거리화가능하여 위상적 성질로 $(X,\mathcal{T})$는 완비거리화가능하다.

$1\to 4$

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 티호노프 공간이므로

스톤-체흐 콤팩트화 정리로 $e_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장이고

$(X,\mathcal{T})$가 완비거리화가능함에 따라 $(X,\rho)$가 완비거리공간이 되는 거리함수 $\rho:X\times X\to [0,\infty)$가 존재하여

$(X,\rho)$의 거리위상공간은 $(X,\mathcal{T})$이므로 위상공간 정리로 $e_X(X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $G_\delta$-집합이다.

$4\to 5$

$e_X(X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $G_\delta$-집합이므로

모든 $U\in \mathcal{U}$가 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 열린집합이고 $\mathcal{U}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{U}$가 존재하여 $e_X(X) = \displaystyle \bigcap \mathcal{U}$이고

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 티호노프 공간이므로

스톤-체흐 콤팩트화 정리로 $e_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장이다.

임의의 티호노프 공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 스톤-체흐 콤팩트화가 $(\beta Y,\mathcal{T}_{\beta Y})$일때

스톤-체흐 콤팩트화 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(\beta Y,\mathcal{T}_{\beta Y})$로의 조밀매장 $e_Y$가 존재하고

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 조밀매장 $e:X\to Y$에 대해

조밀매장 정리와 연속함수 정리로 $e_Y\circ e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta Y,\mathcal{T}_{\beta Y})$로의 조밀매장이고 연속함수이므로

스톤-체흐 콤팩트화 정리로 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X}),(\beta Y,\mathcal{T}_{\beta Y})$가 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간임에 따라

$\Phi \circ e_X = e_Y\circ e$가 되는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(\beta Y,\mathcal{T}_{\beta Y})$로의 연속함수 $\Phi : \beta X\to \beta Y$가 존재하여

조밀매장 정리로 $\Phi$는 전사이고 $\Phi(\beta X\setminus e_X(X))  = \beta Y\setminus (e_Y\circ e)(X)$이다.

모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $\beta X\setminus U$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 닫힌집합이므로

콤팩트공간 정리로 $\beta X\setminus U$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 콤팩트하여

연속함수 정리로 $\Phi(\beta X\setminus U)$는 $(\beta Y,\mathcal{T}_{\beta Y})$에서 콤팩트하고 

하우스도르프 공간 정리로 $\Phi(\beta X\setminus U)$는 $(\beta Y,\mathcal{T}_{\beta Y})$에서 닫힌집합이 되어

위상공간 정리로 $\beta Y \setminus \Phi(\beta X\setminus U)$는 $(\beta Y,\mathcal{T}_{\beta Y})$에서 열린집합이고

함수 정리로 $\mathcal{V} = \{\beta Y \setminus \Phi(\beta X\setminus U) :U\in \mathcal{U}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이다.

모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $e_X(X) = \displaystyle \bigcap \mathcal{U}\subseteq U$이므로 집합 정리로 $\beta X\setminus U\subseteq \beta X\setminus e_X(X)$가 되어

$\Phi(\beta X\setminus U)\subseteq \Phi(\beta X\setminus e_X(X)) = \beta Y\setminus (e_Y\circ e)(X)$이고 함수 정리와 집합 정리로

$\Phi(e_X(X))= (\Phi\circ e_X)(X)=(e_Y\circ e)(X) = \beta Y\setminus (\beta Y\setminus (e_Y\circ e)(X)) \subseteq \beta Y\setminus \Phi(\beta X\setminus U)$가 되어

함수 정리로 $\beta X\setminus U\subseteq \Phi^{-1}(\Phi(\beta X\setminus U))$이고 함수 정리와 함수 정리와 집합 정리와 집합 정리로

$e_X(X)\subseteq \Phi^{-1}(\Phi(e_X(X))) \subseteq \Phi^{-1}(\beta Y\setminus \Phi(\beta X\setminus U)) = \Phi^{-1}(\beta Y) \setminus \Phi^{-1}(\Phi(\beta X\setminus U))\subseteq \beta X\setminus (\beta X\setminus U) = U\text{ 이므로}$

$e_X(X) \subseteq \displaystyle \bigcap_{U\in \mathcal{U}}\Phi^{-1}(\beta Y\setminus \Phi(\beta X\setminus U)) \subseteq \bigcap_{U\in \mathcal{U}}U = \bigcap\mathcal{U} = e_X(X)$임에 따라 집합 정리와 함수 정리로

$e_X(X) =\displaystyle \bigcap_{U\in \mathcal{U}}\Phi^{-1}(\beta Y\setminus \Phi(\beta X\setminus U)) =\bigcap_{V\in \mathcal{V}}\Phi^{-1}(V) = \Phi^{-1}(\bigcap_{V\in \mathcal{V}}V) = \Phi^{-1}(\bigcap \mathcal{V})$이다.

함수 정리와 전사 정리로 $e_Y(e(X))=(e_Y\circ e)(X) = (\Phi\circ e_X)(X)=\Phi(e_X(X)) = \displaystyle \Phi(\Phi^{-1}(\bigcap \mathcal{V})) = \bigcap \mathcal{V}$이므로

$e_Y(e(X))$는 $(\beta Y,\mathcal{T}_{\beta Y})$에서 $G_\delta$-집합이 되어

매장의 정의와 연속함수 정리로 $e_Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(\beta Y,\mathcal{T}_{\beta Y})$로의 연속함수이고 단사임에 따라 

단사 정리와 연속함수 정리로 $e(X) = e_Y^{-1}(e_Y(e(X)))$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $G_\delta$-집합이다.

$5\to 2$

위 정리로 $(X,d)$의 완비화 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$는 거리공간이므로 

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{d})$의 거리위상공간 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$는 티호노프 공간이고

위 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$로의 조밀매장이므로 $f(X)$는 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$에서 $G_\delta$-집합이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/128#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/128#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797

Terence Tao - Analysis 2 - 9791156646808

James Munkres - Topology - 9788120320468