위상공간의 거리화 가능성(Metrizability)

정의1

거리화가능(metrizable)한 위상공간 :

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 거리함수 $d : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_d)$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_d$이면 $(X,\mathcal{T})$가 거리화가능하다고 정의한다.

일반 데카르트곱의 거듭제곱 :

임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$마다 유일한 집합 $A_i$가 존재하고 임의의 집합 $A$에 대해 모든 $i\in I$가 $A = A_i$일때

일반 데카르트곱 $\displaystyle \prod_{i\in I}A_i$를 $A$의 $I$-일반 데카르트곱으로 정의하고 $A^I = \displaystyle \prod_{i\in I}A_i$로 표기한다.

일반 곱공간의 거듭제곱 :

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재하고

임의의 위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 모든 $i\in I$가 $(X,\mathcal{T}) = (X_i,\mathcal{T}_i)$일때

$\{(X_i,\mathcal{T}_i):i\in I \}$의 일반 곱공간 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{P})$와 $X$의 $I$-일반 데카르트곱 $X^I$에 대해

$(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{P}) = (X^I,\mathcal{P})$를 $(X,\mathcal{T})$의 $I$-일반 곱공간으로 정의한다.

 

 

 

정리1

임의의 집합 $A,I$에 대해 데카르트곱 $I\times A$의 멱집합이 $\mathcal{P}(I\times A)$일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $i\in I$에 대해 $A_i = A$일때 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i \subseteq A$이다.

2. 모든 $i\in I$에 대해 $A_i = A$일때 $I\ne \emptyset$이면 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i = A$이다.

3. $\mathcal{F} = \{ f\in \mathcal{P}(I\times A) : \text{함수 }f : I\to A\}$일때 $I = \emptyset$이면 $\mathcal{F} = \{\emptyset\}$이다.

4. $A$의 $I$-일반 데카르트곱은 $A^I = \{ f\in \mathcal{P}(I\times A) : \text{함수 }f : I\to A\}$이다.

5. $A\subseteq B$인 임의의 집합 $B$에 대해 $A^I\subseteq B^I$이다.

6. $A = \emptyset$이고 $I\ne \emptyset$이기 위한 필요충분조건은 $A^I = \emptyset$인 것이다.

증명

1.

모든 $a\in \displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i$에 대해 $a\in A_i = A$인 $i\in I$가 존재하여 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i\subseteq A$이다.

2.

$I \ne \emptyset$이므로 어떤 $i\in I$가 존재하여 

모든 $a\in A$에 대해 $a\in A = A_i$임에 따라 $a\in \displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i$이고 $A \subseteq \displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i$이다.

1번으로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i\subseteq A$이므로 집합 정리로 $A =\displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i$이다.

3.

$I = \emptyset$이면 함수 정리로 함수 $f: \emptyset\to A$가 존재하여

함수의 정의와 데카르트곱 정리로 $f\subseteq \emptyset\times A = \emptyset$이므로 $\emptyset =f \in \mathcal{F}$이고 $\{ \emptyset \}\subseteq \mathcal{F}$이다.

모든 $f\in \mathcal{F}$는 함수 $f : I\to A$이므로

$f\subseteq I\times A =\emptyset\times A = \emptyset$이고 $f = \emptyset\in \{\emptyset\}$임에 따라 $\mathcal{F}\subseteq \{ \emptyset\}$이 되어 집합 정리로 $\mathcal{F}=\{ \emptyset\}$이다.

4.

모든 $i\in I$에 대해 $A_i = A$일때 $I$-일반 데카르트곱의 정의로 $A^I = \displaystyle \prod_{i\in I}A_i$이고

$\mathcal{F} = \{ f\in \mathcal{P}(I\times A) : \text{함수 }f : I\to A\}$일때

$I=\emptyset$이면 3번과 일반 데카르트곱 정리로 $\mathcal{F}=\{ \emptyset\} = \displaystyle \prod_{i\in I}A_i = A^I$이다.

$I\ne\emptyset$이면 모든 $x\in A^I = \displaystyle \prod_{i\in I}A_i$는 일반 데카르트곱의 정의로 

모든 $i\in I$에 대해 $x(i) \in A_i = A$인 함수 $x : I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I}A_i$이므로 2번으로 $x\in \mathcal{F}$가 되어 $A^I \subseteq \mathcal{F}$이고 

모든 $x\in \mathcal{F}$는 함수 $x : I\to A$이므로

모든 $i\in I$에 대해 $x(i)\in A = A_i$가 되어 2번과 일반 데카르트곱의 정의로 $x\in \displaystyle \prod_{i\in I}A_i =A^I$임에 따라 $\mathcal{F}\subseteq A^I$이고

집합 정리로 $A^I =\mathcal{F}= \{ f\in \mathcal{P}(I\times A) : \text{함수 }f : I\to A\}$이다.

5.

4번으로 모든 $f\in A^I$는 함수 $f: I\to A$이므로 모든 $i\in I$에 대해 $g(i) = f(i)\in A\subseteq B$인 함수 $g:I\to B$는

함수의 상등으로 $f = g\in B^I$가 되어 $A^I\subseteq B^I$이다.

6.

모든 $i\in I$에 대해 $A_i = A $일때 $A$의 $I$-일반 데카르트곱 $A^I$은 일반 데카르트곱 $\displaystyle \prod_{i\in I}A_i$에 대해 $A^I = \displaystyle \prod_{i\in I}A_i$이다.

$A = \emptyset$이고 $I\ne \emptyset$이면

$i\in I$가 존재하여 $A_i = A = \emptyset$임에 따라 일반 데카르트곱 정리로 $A^I = \displaystyle \prod_{i\in I}A_i = \emptyset$이다.

$A^I = \emptyset$이면 

$\displaystyle \prod_{i\in I}A_i = A^I = \emptyset$이므로 일반 데카르트곱 정리로 $A_i = \emptyset$인 $i\in I$가 존재하여 $A = A_i = \emptyset$이고 $I\ne \emptyset$이다.

 

 

 

정리2

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$에 대해 $(X,\mathcal{T})$의 $I$-일반 곱공간이 $(X^I,\mathcal{P})$이고

모든 $i\in I$에 대해 $X^I$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i:X^I \to X$일때 $\displaystyle \bigcup_{i\in I} \{p_i^{-1}(O) : O\in \mathcal{T} \}$는 $(X^I,\mathcal{P})$의 부분기저이다.

증명

모든 $i\in I$에 대해 $X_i = X$이고 $\mathcal{T}_i =\mathcal{T}$일때 

$I$-일반 곱공간의 정의로 $X^I = \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$이고 $(X^I,\mathcal{P})$는 $\{(X_i,\mathcal{T}_i):i\in I \}$의 일반 곱공간이므로

곱공간 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I} \{p_i^{-1}(O) : O\in \mathcal{T} \} = \bigcup_{i\in I}\{ p_i^{-1}(O_i):O_i\in \mathcal{T}_i \}$는 $(X^I,\mathcal{P}) = (\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{P})$의 부분기저이다.

 

 

 

정리3

$I\ne \emptyset$인 임의의 가산집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때

모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 거리화가능하면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 일반 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 거리화가능하다.

증명

거리화가능의 정의와 선택 정리로 모든 $i\in I$에 대해

거리공간 $(X_i,d_i)$의 거리위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_{d_i})$가 $\mathcal{T}_i = \mathcal{T}_{d_i}$가 되는 거리함수 $d_i: X\times X \to [0,\infty)$를 선택하고

양의 정수집합이 $\mathbb{Z}^+$일때

$I$가 유한집합이면 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $I$는 $n$개의 원소를 갖고

$\{ k\in \mathbb{Z}^+ : 1\le k\le n\}$은 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이므로

기수 정리와 기수 정리로 $\{ k\in \mathbb{Z}^+ : 1\le k\le n\}$에서 $I$로의 전단사함수가 존재하여 

일반 곱공간 정리와 일반 곱공간 정리와 유한 곱공간 정리와 위상적 성질로 $(X,\mathcal{T})$는 거리화가능하다.

$I$가 유한집합이 아니면 $I$는 가부번이므로 가산집합 정리와 가부번 정리로 $\mathbb{Z}^+$에서 $I$로의 전단사함수가 존재하여 

일반 곱공간 정리와 일반 곱공간 정리와 위상적 성질로 $(X,\mathcal{T})$는 거리화가능하다.

 

 

 

정리4

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에 대해

$(X,\mathcal{T})$가 분해가능하고 거리화가능하면 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 분해가능하고 거리화가능하다.

증명

거리화가능의 정의와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$은 제2가산공간이 되어 계승적 성질로 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 제2가산공간이고

계승적 성질로 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 거리화가능하므로 위상공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 분해가능하다.

 

 

 

정리5(우리손[Urysohn] 거리화 정리)

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간이고 $1$차원 유클리드 거리공간 $($$[0,1]$$,\rho)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$일때

임의의 가부번집합 $I$에 대해 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$의 $I$-일반 곱공간이 $([0,1]^I,\mathcal{P})$이면 다음은 동치이다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 분해가능하고 거리화가능하다.

2. $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이고 제2가산공간이다.

3. $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1]^I,\mathcal{P})$로의 매장이 존재한다.

증명

$1\to 2$

거리함수 $d : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여 거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_d)$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_d$이므로

위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})=(X,\mathcal{T}_d)$는 정칙공간이고 제2가산공간이다.

$2\to 3$

제2가산공간의 정의로 가산집합인 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재하여

$\mathcal{C} = \mathcal{B}\cup \{ X\}$이면 기저의 정의로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이고 위상공간의 정의로 $X\in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{T}$가 되어

$\mathcal{B}\subseteq \mathcal{C}$임에 따라 기저 정리로 $\mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

$X\in \mathcal{C}$이므로 $\mathcal{C}\ne \emptyset$이고 $\{ X\}$는 가산집합이므로 가산집합 정리로 $\mathcal{C} = \mathcal{B}\cup \{ X\}$는 가산집합이다.

집합 정리로 $\mathcal{C}\times \mathcal{C}$는 가산집합이므로 가산집합 정리로 $\mathcal{D} =\{ (U,V)\in \mathcal{C}\times \mathcal{C} : \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\subseteq V \}$는 가산집합이고

위상공간 정리와 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X)=X\subseteq X$이므로 $(X,X)\in \mathcal{D}$가 되어 $\mathcal{D}\ne \emptyset$이다.

모든 $(U,V)\in \mathcal{D}$는 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\subseteq V$이므로 집합 정리로 $X\setminus V \subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)$이고

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\cap ( X\setminus V) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)) = \emptyset$이 되어 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\cap ( X\setminus V) = \emptyset$이고

폐포 정리와 위상공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U), X\setminus V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$가 정규공간임에 따라 우리손 보조정리로 $f_{U,V}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U) )\subseteq \{0\}$이고 $f_{U,V}(X\setminus V)\subseteq \{ 1\}$인

$(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수 $f_{U,V}:X\to [0,1]$가 존재하여

폐포 정리로 $f_{U,V}(U) \subseteq f_{U,V}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U) )\subseteq \{0\}$이다.

선택 정리로 모든 $(U,V)\in \mathcal{D}$에 대해 $f_{U,V}(U) \subseteq \{0\}$이고 $f_{U,V}(X\setminus V)\subseteq \{ 1\}$인

$(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수 $f_{U,V}:X\to [0,1]$를 선택할때

함수 정리로 $\mathcal{F} = \{ f_{U,V} : (U,V)\in \mathcal{D}\}$는 가산집합이고 $\mathcal{D}\ne \emptyset$임에 따라 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이 되어 

가산집합 정리로 전사함수 $\psi : \mathbb{N}\to \mathcal{F}$가 존재하고

$I$는 가부번이므로 $I\ne \emptyset$이고 전단사함수 $\phi :I\to \mathbb{N}$가 존재하여 함수 정리로 $\Phi =\psi \circ \phi : I\to \mathcal{F}$는 전사이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$의 모든 $x\in X\setminus C$에 대해 

$X\setminus C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 기저 정리로 $x\in V \subseteq X\setminus C$인 $V\in \mathcal{C}$가 존재하고

$T_1$공간 정리로 $\{ x\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로

정규공간 정리로 $\{ x\} \subseteq O\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(O)\subseteq V$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$가 존재하여

기저 정리로 $x\in U\subseteq O$인 $U\in \mathcal{C}$가 존재하고 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(O)\subseteq V$이므로 $(U,V)\in \mathcal{D}$이다.

$x\in U$이고 집합 정리와 집합 정리로 $C = X\setminus (X\setminus C)\subseteq X\setminus V$이므로

$f_{U,V}(x) \in f_{U,V}(U) \subseteq \{0\}$와 $f_{U,V}(C) \subseteq f_{U,V}(X\setminus V)\subseteq \{ 1\}$이 성립하여

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$이 $T_1$공간임에 따라

폐포 정리와 $T_1$공간 정리로 $\underset{([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})}{\operatorname{cl}}(f_{U,V}(C)) \subseteq \underset{([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})}{\operatorname{cl}}(\{ 1\})=\{1\}$이고

집합 정리로 $f_{U,V}(x) =0 \in [0,1) = [0,1]\setminus \{ 1\} \subseteq [0,1]\setminus \underset{([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})}{\operatorname{cl}}(f_{U,V}(C))$이므로 전사의 정의로

$\Phi(i) = f_{U,V}$인 $i\in I$가 존재하여 $\Phi(i)(x)=f_{U,V}(x) \notin \underset{([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})}{\operatorname{cl}}(f_{U,V}(C)) = \underset{([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})}{\operatorname{cl}}(\Phi(i)(C))$이다.

$(X,\mathcal{T})$에서 $\{ ([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]},\Phi(i)):i\in I\}$의 평가함수가 $e : X\to [0,1]^I$일때

$(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이고 $\{ \{\Phi(i)\} : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ ([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]}):i\in I \}$로 닫힌집합과 점을 분리하므로 

위상공간 정리로 $e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1]^I,\mathcal{P})$로의 매장이다.

$3\to 1$

$([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$은 자명하게 거리화가능하므로 $I$가 가산집합임에 따라 위 정리로 $([0,1]^I,\mathcal{P})$는 거리화가능하고

$(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1]^I,\mathcal{P})$로의 매장 $e : X\to [0,1]^I$가 존재하여

계승적 성질로 $([0,1]^I,\mathcal{P})$의 부분위상공간 $(e(X), \mathcal{P}|_{e(X)})$는 거리화가능하므로

매장의 정의와 위상적 성질로 $(X,\mathcal{T})$는 거리화가능하다.

$1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},\rho)$의 거리위상공간이 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$일때

$([0,1],\rho)$는 $(\mathbb{R},\rho)$의 부분거리공간이므로 위상공간 정리로 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$은 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$의 부분위상공간이고

유클리드 거리공간의 정의와 위상공간 정리로 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$은 분해가능하므로

위상공간 정리로 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$은 제2가산공간이 되어 계승적 성질로 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$은 제2가산공간이고

일반 곱공간 정리로 $([0,1]^I,\mathcal{P})$가 제2가산공간임에 따라

매장의 정의와 계승적 성질과 위상적 성질로 $(X,\mathcal{T})$는 제2가산공간이므로 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 분해가능하다.

 

 

 

정리6

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 거리화가능할때 다음은 동치이다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 린델뢰프 공간이다.

2. $(X,\mathcal{T})$는 분해가능하다.

3. $(X,\mathcal{T})$는 제2가산공간이다.

증명

거리화가능의 정의로 거리함수 $d : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_d)$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_d$이다.

$1\to 2$

$X = \emptyset$이면

위상공간의 정의로 $\mathcal{T} = \{ \emptyset\}$이므로 $(X,\mathcal{T})$는 자명위상공간이 되어 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 분해가능하다.

$X\ne \emptyset$이면 

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{B}_n = \{ \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n}):x\in X\}$은 위상공간 정리로 $\mathcal{B}_n\subseteq \mathcal{T}_d = \mathcal{T}$이고

모든 $x\in X$에 대해 열린공의 정의로 $x\in \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n}) \in \mathcal{B}_n$이 되어 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_n$임에 따라

$X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_n$이고 $\mathcal{B}_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이므로

린델뢰프 공간의 정의로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개인 가산집합 $\mathcal{A}_n\subseteq \mathcal{B}_n$이 존재한다.

선택 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{A}_n$을 선택하고

$X\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{A}_n\ne \emptyset$이 되어 가산집합 정리로 전사함수 $\phi_n : \mathbb{N}\to \mathcal{A}_n$을 선택할때

모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $\phi_n(k)\in \mathcal{A}_n\subseteq \mathcal{B}_n$이므로 $\phi_n(k) = \underset{(X,d)}{B}(x_n(k), \frac{1}{n})$인 $x_n(k)\in X$를 선택하면 

가산집합 정리로 $\{ x_n(k):k\in \mathbb{N} \}$는 가산집합이 되어 가산집합 정리로 $E = \displaystyle \bigcup_{n =1}^\infty \{x_n(k):k\in \mathbb{N} \}$는 가산집합이다.

$O\ne \emptyset$인 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 $x\in O$가 존재하여

위상공간 정리와 거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)\subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하므로

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n}< r$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하고

열린덮개의 정의로 $x\in O\subseteq X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{A}_n$이므로 $x\in A$인 $A\in \mathcal{A}_n$이 존재하여

전사의 정의로 $x\in A =\phi_n(k) = \underset{(X,d)}{B}(x_n(k), \frac{1}{n})$인 $k\in \mathbb{N}$가 존재하고

열린공의 정의로 $d(x_n(k),x)< \dfrac{1}{n}< r$임에 따라 $x_n(k)\in \underset{(X,d)}{B}(x,r)\subseteq O$이므로 $x_n(k)\in E\cap O$이고

$E\cap O\ne \emptyset$이 되어 위상공간 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하므로 $(X,\mathcal{T})$는 분해가능하다.

$2\to 3$

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T}) = (X,\mathcal{T}_d)$는 제2가산공간이다.

$3\to 1$

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 린델뢰프 공간이다.

 

 

 

정리7

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해

전사함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 $(Y,\mathcal{T}_Y)$가 하우스도르프 공간일때

$(X,\mathcal{T}_X)$가 콤팩트공간이고 $(X,\mathcal{T}_X)$가 거리화가능하면 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 분해가능하고 거리화가능하다.

증명

콤팩트 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 콤팩트공간이므로 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_1$공간이고 정칙공간이다.

콤팩트 정리로 $(X,\mathcal{T}_X)$는 린델뢰프 공간이므로 위 정리로 $(X,\mathcal{T}_X)$는 제2가산공간이 되어 

가산집합인 $(X,\mathcal{T}_X)$의 기저 $\mathcal{B}_X$가 존재한다.

$\mathcal{C}_X = \mathcal{B}_X\cup \{ X\}$이면 기저의 정의로 $\mathcal{B}_X\subseteq \mathcal{T}_X$이고 위상공간의 정의로 $X\in \mathcal{T}_X$이므로 $\mathcal{C}_X\subseteq \mathcal{T}_X$가 되어

$\mathcal{B}_X\subseteq \mathcal{C}_X$임에 따라 기저 정리로 $\mathcal{C}_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$의 기저이다.

$X\in \mathcal{C}_X$이므로 $\mathcal{C}_X\ne \emptyset$이고 $\{ X\}$는 가산집합이므로 가산집합 정리로 $\mathcal{C}_X = \mathcal{B}_X\cup \{ X\}$는 가산집합이다.

$\mathcal{C}_X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(\mathcal{C}_X)$일때 가산집합 정리로 $\mathbf{C}_X = \{ \mathcal{C}\in \mathcal{P}(\mathcal{C}_X) : \mathcal{C}\text{는 유한집합}\}$는 가산집합이므로

함수 정리로 $\mathcal{D}_X = \{ \bigcup \mathcal{C} : \mathcal{C}\in \mathbf{C}_X \}$는 가산집합이고 $\mathcal{D}_Y = \{ Y\setminus f(X\setminus D) : D\in \mathcal{D}_X\}$는 가산집합이다.

모든 $D\in \mathcal{D}_X$에 대해 $D = \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$인 $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{C}_X \subseteq \mathcal{T}_X$가 존재하여

위상공간의 정의로 $D = \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이므로 $X\setminus D$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이고 

연속함수 정리로 $f(X\setminus D)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이므로

$Y\setminus f(X\setminus D)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이 되어 $\mathcal{D}_Y\subseteq \mathcal{T}_Y$이다.

임의의 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합 $O$의 모든 $y\in O$에 대해 

$T_1$공간 정리로 $\{ y\}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이므로 연속함수 정리로 $f^{-1}(\{y\})$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이 되어

콤팩트 정리로 $f^{-1}(\{y\})$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트하고 연속함수 정리로 $f^{-1}(O)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합임에 따라

$\mathcal{O}_X = \{ C\in \mathcal{C}_X : C\subseteq f^{-1}(O)\}$일때 모든 $x\in f^{-1}(\{y\})\subseteq f^{-1}(O)$는

기저 정리로 $x\in C\subseteq f^{-1}(O)$인 $C\in \mathcal{C}_X$가 존재하여 $C\in \mathcal{O}_X$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_X$이고

$f^{-1}(\{y\})\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_X$임에 따라 콤팩트 정리로 $f^{-1}(\{y\})\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_X$인 유한집합 $\mathcal{F}_X\subseteq \mathcal{O}_X$가 존재하여

$\mathcal{F}_X\subseteq \mathcal{O}_X\subseteq \mathcal{C}_X$이므로 $\mathcal{F}_X\in \mathbf{C}_X$이고 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F}_X \in \mathcal{D}_X$이다.

$D =\displaystyle \bigcup \mathcal{F}_X$일때 모든 $C \in \mathcal{F}_X\subseteq \mathcal{O}_X$는 $C\subseteq f^{-1}(O)$이므로 $f^{-1}(\{y\})\subseteq D=\displaystyle \bigcup \mathcal{F}_X \subseteq f^{-1}(O)$가 되어 

함수 정리와 집합 정리로

$f^{-1}(Y\setminus O) =f^{-1}(Y) \setminus f^{-1}(O) =X\setminus f^{-1}(O) \subseteq X\setminus D \subseteq X\setminus f^{-1}(\{ y\}) = f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(\{ y\}) = f^{-1}(Y\setminus \{y\})\text{ 이고}$

전사 정리로 $Y\setminus O=f(f^{-1}(Y\setminus O)) \subseteq f(X\setminus D)\subseteq f(f^{-1}(Y\setminus \{y\})) = Y\setminus \{ y\}$이므로 

집합 정리와 집합 정리로 $y\in \{y\} =Y\setminus (Y\setminus \{ y\}) \subseteq Y\setminus f(X\setminus D) \subseteq Y\setminus (Y\setminus O) = O$가 되어 

기저 정리로 $\mathcal{D}_Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 기저이다.

따라서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 제2가산공간이므로 위 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 분해가능하고 거리화가능하다.

 

 

 

정의2

유사거리공간(pseudometric space) :

임의의 집합 $X$와 함수 $\rho : X\times X \to [0,\infty)$가 아래 2가지 성질을 만족할때

순서쌍 $(X,\rho)$를 유사거리공간으로 정의하고 함수 $\rho$를 $X$의 유사거리함수로 정의한다.

1. 모든 $x  \in X$에 대해 $\rho(x,x) = 0$이다.

2. 모든 $x ,y \in X$에 대해 $\rho(x,y) = \rho(y,x)$이다.

3. 모든 $x ,y ,z \in X$에 대해 $\rho(x,z) \le \rho(x,y) + \rho(y,z)$이다.

유사거리공간에서 열린공(open ball), 닫힌공(closed ball) : 

유사거리공간이 $(X,\rho)$일때 임의의 $x_0 \in X$과 임의의 $r \in (0,\infty)$에 대해

집합 $\underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r)= \{ x \in X : \rho(x_0,x) < r\}$를 중심이 $x_0$이고 반지름이 $r$인 $(X,\rho)$에서 열린공으로 정의하고

집합 $\underset{(X,\rho)}{B}[x_0,r]= \{ x \in X : \rho(x_0,x) \le r\}$를 중심이 $x_0$이고 반지름이 $r$인 $(X,\rho)$에서 닫힌공으로 정의한다.

유사거리화가능(pseudometrizable)한 위상공간 :

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 유사거리함수 $\rho : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\rho$이면 $(X,\mathcal{T})$가 유사거리화가능하다고 정의한다.

부분유사거리공간 :

유사거리공간이 $(X,\rho)$일때 임의의 $Y\subseteq X$에 대해 $(Y,\rho)$를 $(X,\rho)$의 부분유사거리공간으로 정의한다.

이때 $(Y,\rho)$의 유사거리함수는 $(X,\rho)$의 유사거리함수의 제한함수이다.

 

 

 

정리8(유사거리 위상공간)

유사거리공간 $(X,\rho)$에서 열린공들의 집합족이 $\mathcal{B} = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r) : x_0\in X, r\in (0,\infty) \}$일때 

$\mathcal{B}$의 부분집합의 합집합들의 집합 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이고 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

2. 임의의 $O\subseteq X$에 대해 

$O\in \mathcal{T}$이기 위한 필요충분조건은 모든 $x\in O$에 대해 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r_x)\subseteq O$인 $r_x\in (0,\infty)$이 존재하는 것이다.

3. $(X,\rho)$가 거리공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{T})$가 $T_0$공간인 것이다.

4. 임의의 $Y\subseteq X$에 대해 $(Y,\rho)$는 유사거리공간이고

$(Y,\rho)$의 유사거리위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y)$이면 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에 대해 $\mathcal{T}|_Y = \mathcal{T}_Y$이다.

증명

1.

$X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 모든 $x_0\in X$과 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 열린공의 정의로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r)\subseteq X$임에 따라

멱집합의 정의로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r)\in\mathcal{P}(X)$이므로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$가 되어 집합 정리로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$이다.

임의의 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}$에 대해 합집합의 정의로 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r)\in \mathcal{B}$인 $x_0\in X$과 $r\in (0,\infty)$이 존재하여

열린공의 정의로 $x\in\underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r)\subseteq X$임에 따라 $\displaystyle \bigcup \mathcal{B} \subseteq X$이고

임의의 $x\in X$에 대해 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,1) \in\mathcal{B}$과 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,x) = 0 < 1$이 성립하므로

열린공의 정의와 합집합의 정의로 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,1) \subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{B}$가 되어 $\displaystyle X\subseteq \bigcup\mathcal{B}$임에 따라 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{B} = X$이다.

임의의 $x_1,x_2\in X$와 임의의 $r_1,r_2\in (0,\infty)$에 대해 모든 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x_1,r_1)\cap \underset{(X,\rho)}{B}(x_2,r_2)$는

열린공의 정의로 $\rho(x,x_1)< r_1$이고 $\rho(x,x_2)< r_2$이므로 $0< r_1 - \rho(x,x_1)$과 $0< r_2 - \rho(x,x_2)$가 성립하여

$r_0 = $ $\min$$ \{ r_1 -\rho(x,x_1),r_2-\rho(x,x_2)\}$에 대해 모든 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r_0)$은 $\rho(x,y) < r_0$이고

유사거리공간의 성질과 최소원소의 정의로

$\rho(y,x_1) \le \rho(y,x) + \rho(x,x_1)< r_0 + \rho(x,x_1)\le r_1 - \rho(x,x_1) + \rho(x,x_1) = r_1$과

$\rho(y,x_2) \le \rho(y,x) + \rho(x,x_2)< r_0 + \rho(x,x_2)\le r_2 - \rho(x,x_2) + \rho(x,x_2) = r_2$가 성립하여

$y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x_1,r_1)\cap \underset{(X,\rho)}{B}(x_2,r_2)$이고 $\rho(x,x) = 0 < r_0$이므로

$\underset{(X,\rho)}{B}(x,r_0)\in \mathcal{B}$에 대해 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r_0) \subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x_1,r_1)\cap \underset{(X,\rho)}{B}(x_2,r_2)$이다.

따라서 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이고 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

2.

$O\in \mathcal{T}$이면

1번과 기저 정리로 모든 $x \in O$에 대해 $x \in \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r) \subseteq O$인 $x_0 \in X$과 $r \in (0,\infty)$이 존재하므로

열린공의 정의로 $\rho(x_0,x) < r$이 되어 $0 < r - \rho(x_0,x) = r_x$로 두면 임의의 $y \in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r_x)$는 $\rho(x,y) < r_x$이므로

유사거리공간의 정의로 $\rho(x_0,y) \le \rho(x_0,x) + \rho(x,y) < \rho(x_0,x) + r_x = \rho(x_0,x) +r - \rho(x_0,x) = r$이 되어

$y \in \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r)$이고 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r_x) \subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r) \subseteq O$이다.

역으로 모든 $x \in O$에 대해 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r_x) \subseteq O$인 $r_x \in (0,\infty)$가 존재하면

유사거리공간의 정의로 $\rho(x,x) = 0<r_x$이므로

1번과 열린공의 정의와 기저의 정의로 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r_x) \in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$가 되어 위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}$이다.

3.

$(X,\rho)$가 거리공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 거리위상공간이므로 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_0$공간이다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$가 $T_0$공간일때 $x\ne y$인 어떤 $x,y\in X$가 존재하여 $\rho(x,y) = 0$이라고 가정하면

$T_0$공간의 정의로 $x\in O$와 $y\notin O$가 성립하거나 $x\notin O$와 $y\in O$가 성립하는 $O\in \mathcal{T}$가 존재한다.

일반성을 잃지 않고 $x\in O$와 $y\notin O$가 성립한다고 가정하면 2번으로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r) \subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하는데

$\rho(x,y) = 0<r$이므로 열린공의 정의로 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r) \subseteq O$임에 따라 모순이 되어 

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$는 $\rho(x,y) >0$이고 유사거리공간의 정의로 $(X,\rho)$는 거리공간이다.

4.

$Y \subseteq X$이므로 모든 $y \in Y$는 $y \in X$가 되어 $\rho$에 대해 유사거리공간의 성질이 성립하고

$X$의 유사거리함수 $\rho$를 $\rho$의 정의역을 $Y\times Y$로 제한한 함수 $\rho|_{Y\times Y}$로 나타내면 $(Y,\rho)$는 유사거리공간이다.

1번으로 $\mathcal{B}_Y = \{ \underset{(Y,\rho)}{B}(y_0,r) : y_0\in Y, r\in (0,\infty) \}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 기저이고 

1번과 위상공간 정리로 $\mathcal{B}|_Y = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r)\cap Y : x_0\in X, r\in (0,\infty) \}$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$의 기저이다.

모든 $y_0\in Y$과 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 열린공의 정의로 $\underset{(Y,\rho)}{B}(y_0,r) =\underset{(X,\rho)}{B}(y_0,r)\cap Y$이므로

$\mathcal{B}_Y\subseteq \mathcal{B}|_Y \subseteq \mathcal{T}|_Y$가 되어 기저의 정의와 위상공간의 정의로 $\mathcal{T}_Y = \{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}_Y\} \subseteq \mathcal{T}|_Y$이고

모든 $O_Y \in \mathcal{T}|_Y$에 대해 부분위상공간의 정의로 $O_Y = O\cap Y$인 $O\in \mathcal{T}$가 존재하여 

모든 $y \in O_Y\subseteq Y$에 대해 $y\in O_Y\subseteq O$이므로 2번으로 $\underset{(X,\rho)}{B}(y,r_y)\subseteq O$인 $r_y\in (0,\infty)$가 존재하고

$\underset{(Y,\rho)}{B}(y,r_y)=\underset{(X,\rho)}{B}(y,r_y)\cap Y\subseteq O\cap Y = O_Y$가 되어 2번으로 $O_Y\in \mathcal{T}_Y$임에 따라 $\mathcal{T}|_Y\subseteq \mathcal{T}_Y$이므로

집합 정리로 $\mathcal{T}|_Y = \mathcal{T}_Y$이다.

 

 

 

정리9

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$와 열린공에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x\in X$에 대해 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,r) : r\in (0,\infty)\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

2. 모든 $x\in X$에 대해 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

3. 모든 $x\in X$와 $p > 1$인 임의의 실수 $p\in \mathbb{R}$에 대해 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{p^n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

4. 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\mathcal{B}_\epsilon = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X\}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

5. 모든 $x\in X$와 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\operatorname{st}(\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^{n+1}}),\mathcal{B}_{\frac{1}{3^{n+1}}}) \subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^n})$이다.

6. 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{B}_{\frac{1}{3^{n+1}}}$은 $\mathcal{B}_{\frac{1}{3^n}}$의 성형세분이다.

7. 모든 $x\in X$에 대해 별들의 집합 $\{ \operatorname{st}(x,\mathcal{B}_{\frac{1}{3^n}}):n\in \mathbb{Z}^+\}$은 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

증명

1.

모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,x) = 0<r$이므로 열린공의 정의로 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$이고

위 정리와 기저의 정의로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\in \mathcal{T}$가 되어 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,r) : r\in (0,\infty)\}\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$는 $x\in O\in \mathcal{T}$이므로 위 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r_O)\subseteq O$인 $r_O\in (0,\infty)$가 존재하고

$\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,r) : r\in (0,\infty)\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

2.

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dfrac{1}{n}\in (0,\infty)$이므로

1번과 국소기저의 정의로 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}\subseteq \{\underset{(X,\rho)}{B}(x,r):r\in (0,\infty) \} \subseteq \mathcal{T}$이고 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{n})$이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$에 대해 1번과 국소기저의 정의로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하고

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n}<r$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 열린공의 정의로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{n})\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\subseteq O$이므로

$\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

3.

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dfrac{1}{p^n}\in (0,\infty)$이므로

1번과 국소기저의 정의로 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{p^n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}\subseteq \{\underset{(X,\rho)}{B}(x,r):r\in (0,\infty) \} \subseteq \mathcal{T}$이고 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{p^n})$이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$에 대해 1번과 국소기저의 정의로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하고

실수 정리로 $\dfrac{1}{p^n}<r$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 열린공의 정의로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{p^n})\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\subseteq O$이므로

$\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{p^n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

4.

모든 $x\in X$에 대해 위 정리와 기저의 정의로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)\in\mathcal{T}$이므로 $\mathcal{B}_\epsilon \subseteq \mathcal{T}$이고 

유사거리공간의 정의로 $\rho(x,x) = 0<\epsilon$이므로 열린공의 정의로 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)\in\mathcal{B}_\epsilon$이 되어

$x\in \displaystyle \bigcup\mathcal{B}_\epsilon$임에 따라 $X\subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{B}_\epsilon$이고 $\mathcal{B}_\epsilon$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

5.

모든 $x\in X$와 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $w \in \operatorname{st}(\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^{n+1}}),\mathcal{B}_{\frac{1}{3^{n+1}}})$는

별의 정의로 $w \in \underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{3^{n+1}})$이고 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^{n+1}})\cap \underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{3^{n+1}})\ne \emptyset$인 $y\in X$가 존재하여

$z\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^{n+1}})\cap \underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{3^{n+1}})$가 존재하므로 유사거리공간의 정의와 열린공의 정의로

$\rho(x,w) \le \rho(x,z) +\rho(z,w) \le \rho(x,z) + \rho (z,y) + \rho(y,w) < \dfrac{1}{3^{n+1}} + \dfrac{1}{3^{n+1}} + \dfrac{1}{3^{n+1}} = 3\cdot \dfrac{1}{3^{n+1}} = \dfrac{1}{3^n}\text{ 임에 따라}$

$w\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^n})$이고 $\operatorname{st}(\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^{n+1}}),\mathcal{B}_{\frac{1}{3^{n+1}}}) \subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^n})$이다.

6.

모든 $x\in X$와 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^{n+1}})\in \mathcal{B}_{\frac{1}{3^{n+1}}}$이고 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^{n}})\in \mathcal{B}_{\frac{1}{3^{n}}}$이므로

5번으로 $\operatorname{st}(\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^{n+1}}),\mathcal{B}_{\frac{1}{3^{n+1}}}) \subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^n})$임에 따라 $\mathcal{B}_{\frac{1}{3^{n+1}}}$은 $\mathcal{B}_\frac{1}{3^n}$의 성형세분이다.

7.

임의의 $x\in X$와 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{B}_\frac{1}{3^n}\subseteq \mathcal{T}$임에 따라 별의 정의와 위상공간의 정의로

$\operatorname{st}(x,\mathcal{B}_\frac{1}{3^n})\in \mathcal{T}$이므로 $\{ \operatorname{st}(x,\mathcal{B}_\frac{1}{3^n}):n\in \mathbb{Z}^+\} \subseteq \mathcal{T}$이고 별 정리로 $x\in \operatorname{st}(x,\mathcal{B}_\frac{1}{3^n})$이다.

임의의 $x\in X$에 대해 3번으로 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}$이 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저임에 따라

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$에 대해 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^n})\subseteq O$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 별의 정의와 별 정리와 5번으로

$\operatorname{st}(x,\mathcal{B}_{\frac{1}{3^{n+1}}})=\operatorname{st}(\{x\},\mathcal{B}_{\frac{1}{3^{n+1}}} )\subseteq \operatorname{st}(\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^{n+1}}),\mathcal{B}_{\frac{1}{3^{n+1}}}) \subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^n}) \subseteq O$가 되어

$\{ \operatorname{st}(x,\mathcal{B}_\frac{1}{3^n}):n\in \mathbb{Z}^+\}$은 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

 

 

 

정리10

임의의 집합 $X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $X\ne \emptyset$일때 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_{n+1}$이 $\mathcal{U}_n$의 성형세분인 $X$의 덮개 $\mathcal{U}_n$이 유일하게 존재하면

어떤 유사거리함수 $\rho :X\times X\to [0,\infty)$가 존재하여 $\mathcal{V}_n = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^n}): x\in X\}$일때

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{V}_{n+1}$은 $\mathcal{U}_n$의 세분이고 $\mathcal{U}_{n+1}$은 $\mathcal{V}_n$의 세분이다.

2. 위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 유사거리화가능하기 위한 필요충분조건은

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_{n+1}$이 $\mathcal{U}_n$의 성형세분인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}_n$이 유일하게 존재하여

모든 $x\in X$에 대해 별들의 집합 $\{ \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n):n\in \mathbb{Z}^+\}$이 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저인 것이다.

증명

1.

임의의 $x,y\in X$에 대해 최소원소 $m = \min \{ n\in \mathbb{Z}^+: y\notin \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)\}$이 존재한다고 가정할때 $y\notin \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_m)$이고

$m < n$인 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$라고 가정하면 성형세분 정리로 $\mathcal{U}_n$은 $\mathcal{U}_m$의 세분이므로

별의 정의와 별 정리로 $y \in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n) =\operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U}_n) \subseteq \operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U}_m)=\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_m)$임에 따라 모순이 되어

$m \le n$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$은 $y\notin \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$이고 최소원소의 정의로 $n<m$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$은 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$이다.

임의의 $x,y\in X$가 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$일때 $t(x,y) = 0$으로

$y\notin \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재할때

정렬성으로 $m =\min \{ n\in \mathbb{Z}^+: y\notin \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)\}$이 유일하게 존재함에 따라 $t(x,y) = \dfrac{1}{2^{m-1}}$로 

함수 $t:X\times X\to [0,\infty)$를 정의한다.

임의의 $x\in X$는 별 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$이므로 $t(x,x) = 0$이다.

임의의 $x,y\in X$가 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $y \in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$일때

별의 정의로 $y\in U_n$이고 $\{ x\}\cap U_n\ne \emptyset$인 $U_n\in \mathcal{U}_n$이 존재하여 

$x\in U_n$이고 $\{ y\}\cap U_n\ne \emptyset$이므로 $x\in \operatorname{st}(y,\mathcal{U}_n)$임에 따라 $t(x,y) = 0 =t(y,x)$이다.

$m =\min \{ n\in \mathbb{Z}^+: y\notin \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)\}$이 존재할때 $y\notin \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_m)$이므로

$x\in \operatorname{st}(y,\mathcal{U}_m)$라고 가정하면 $y \in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_m)$가 되어 모순임에 따라 $x\notin \operatorname{st}(y,\mathcal{U}_m)$이고

$n<m$인 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x\notin \operatorname{st}(y,\mathcal{U}_n)$라고 가정하면 

최소원소의 정의로 $y \in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$가 되어 $x\in \operatorname{st}(y,\mathcal{U}_n)$임에 따라 모순이므로 

$m =\min \{ n\in \mathbb{Z}^+: x\notin \operatorname{st}(y,\mathcal{U}_n)\}$이고 $t(x,y) = \dfrac{1}{2^{m-1}} = t(y,x)$이다.

임의의 $x,y\in X$와 $n\ge 2$인 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X$의 $n$-데카르트곱이 $X^n$일때

$E_n(x,y) = \{ (x_1,x_2,\cdots, x_{n-1},x_n)\in X^n : x_1 = x\text{ 이고 } x_n = y \}$이고

$S(x,y) = \displaystyle \bigcup_{n=2}^\infty \left \{ \sum_{i= 2}^n t(x_{i-1},x_i) : (x_1,x_2,\cdots, x_{n-1},x_n)\in E_n(x,y) \right  \}$이면

$(x,y)\in E_2(x,y)$이므로 $t(x,y)\in S(x,y)$가 되어 $S(x,y)\ne \emptyset$이고 모든 $s\in S(x,y)$에 대해 $s\ge 0$임에 따라

완비성으로 $\inf S(x,y)\ge 0$가 유일하게 존재하므로 $\rho(x,y) = \inf S(x,y)$인 함수 $\rho :X\times X\to [0,\infty)$를 정의한다.

임의의 $x\in X$에 대해 $0=t(x,x)\in S(x,x)$이 되어

하한의 정의로 $0 = t(x,x) \ge \inf S(x,x)\ge 0$임에 따라 $\rho(x,x) = \inf S(x,x)=0$이다.

임의의 $x,y\in X$에 대해 모든 $s\in S(x,y)$는

$n\ge 2$인 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $s = \displaystyle \sum_{i=2}^n t(x_{i-1},x_i)$가 되는 $(x_1,x_2,\cdots, x_{n-1},x_n)\in E_n(x,y)$이 존재하여

$x_1 = x$와 $x_n = y$가 성립하므로 $(x_n,x_{n-1},\cdots, x_2,x_1) \in E_n(y,x)$이고 

$s = \displaystyle \sum_{i=2}^n t(x_{i-1},x_i) = t(x_1,x_2) + \cdots + t(x_{n-1}, x_n) = t(x_n,x_{n-1}) + \cdots + t(x_2,x_1)\in S(y,x)$임에 따라 

$S(x,y)\subseteq S(y,x)$이고 비슷하게 $S(y,x)\subseteq S(x,y)$이므로 집합 정리로 $S(x,y) = S(y,x)$가 되어

$\rho(x,y) = \inf S(x,y) = \inf S(y,x) = \rho(y,x)$이다.

임의의 $x,y,z\in X$와 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 하한 정리로 $n\ge 2$이고 $k\ge 2$인 어떤 $n,k\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$t(x_1,x_2) + \cdots + t(x_{n-1},x_n) \le \inf S(x,y) +\dfrac{\epsilon}{2}$이고

$t(x_{n+1},x_{n+2}) + \cdots + t(x_{n+k-1},x_{n+k}) \le \inf S(y,z) +\dfrac{\epsilon}{2}$이 되는

$(x_1,x_2,\cdots, x_{n-1},x_n)\in E_n(x,y)$과 $(x_{n+1},x_{n+2},\cdots, x_{n+k-1},x_{n+k})\in E_k(y,z)$가 존재하므로

$x_1 =x$와 $x_{n+k} = z$가 성립하고 $x_n = y = x_{n+1}$이므로 $t(x_n,x_{n+1})= t(y,y) = 0$이고 $n+k\ge 4>2$임에 따라 

$(x_1,x_2, \cdots, x_{n-1},x_n, x_{n+1},x_{n+2},\cdots, x_{n+k-1},x_{n+k})\in E_{n+k}(x,z)$가 되어

$t(x_1,x_2) + \cdots +t(x_{n-1},x_n) + t(x_n, x_{n+1}) + t(x_{n+1},x_{n+2}) + \cdots +t(x_{n+k-1}, x_{n+k})\in S(x,z)$이고

하한의 정의로

$\begin{align*} \inf S(x,z) & \le t(x_1,x_2) + \cdots +t(x_{n-1},x_n) + t(x_n, x_{n+1}) + t(x_{n+1},x_{n+2}) + \cdots +t(x_{n+k-1}, x_{n+k}) \\[0.5em]& \qquad = t(x_1,x_2)+\cdots + t(x_{n-1},x_n) + t(x_{n+1},x_{n+2})+\cdots +t(x_{n+k-1},x_{n+k}) \\[0.5em] & \le \inf S(x,y) +\dfrac{\epsilon}{2}+ \inf S(y,z) +\dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em]&\qquad = \inf S(x,y) + \inf S(y,z) +\epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

부등식 정리로 $\rho(x,z) = \inf S(x,z) \le \inf S(x,y) + \inf S(y,z) = \rho(x,y) + \rho(y,z)$이고 $\rho$는 유사거리함수이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{V}_n = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^n}) : x\in X\}$일때 임의의 $U_{n+1}\in \mathcal{U}_{n+1}$에 대해

$U_{n+1} = \emptyset$이면 $X\ne \emptyset$이므로 $x\in X$가 존재하여 $U_{n+1} = \emptyset\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^n})$이고

$U_{n+1} \ne \emptyset$이면 $x\in U_{n+1}$가 존재하여 모든 $y\in U_{n+1}$에 대해 별 정리로 $y\in U_{n+1}\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})$이므로 

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{k})$일때 $t(x,y) = 0 < \dfrac{1}{2^{n}}$이고

$m =\min \{ k\in \mathbb{Z}^+: y\notin \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_k)\}$이 존재할때 $2\le n+1 < m$이므로 $t(x,y) = \dfrac{1}{2^{m-1}}< \dfrac{1}{2^n}$이고

$t(x,y)\in S(x,y)$임에 따라 하한의 정의로 $\rho(x,y) = \inf S(x,y)\le t(x,y) < \dfrac{1}{2^n}$이 되어

열린공의 정의로 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^n})$이고 $U_{n+1}\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^n})$이므로 $\mathcal{U}_{n+1}$은 $\mathcal{V}_n$의 세분이다.

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $x,y\in X$에 대해 $t(x,y)< \dfrac{1}{2^{n}}$이면

$\{ k\in \mathbb{Z}^+: y\notin \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_k)\} = \emptyset$일때 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})$이고

$\{ k\in \mathbb{Z}^+: y\notin \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_k)\} \ne \emptyset$일때 $m =\min \{ k\in \mathbb{Z}^+: y\notin \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_k)\}$이 존재하여 $\dfrac{1}{2^{m-1}} = t(x,y)< \dfrac{1}{2^n}$이므로 

$n< m-1$임에 따라 $n+1\le m-1<m$이 되어 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})$이다.

$k\ge 2$인 임의의 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대한 강귀납법으로 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $x,y\in X$에 대해 

임의의 $(x_1,x_2,\cdots,x_k)\in E_k(x,y)$가 $\displaystyle \sum_{i=2}^k t(x_{i-1},x_i)< \dfrac{1}{2^{n}}$이면 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n})$임을 보인다.

$k = 2$일때 $t(x,y)< \dfrac{1}{2^{n}}$이면 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})$이고 성형세분 정리로 $\mathcal{U}_{n+1}$은 $\mathcal{U}_n$의 세분이므로 

별의 정의와 별 정리로 $y \in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1}) =\operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U}_{n+1}) \subseteq \operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U}_n)=\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$이다.

$r\ge 2$인 모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 조건이 성립할때

임의의 $(x_1,x_2,\cdots,x_r,x_{r+1})\in E_{r+1}(x,y)$이 $\displaystyle \sum_{i=2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i)< \dfrac{1}{2^{n}}$이면

모든 $j = 2,\cdots ,r,r+1$에 대해 $\displaystyle \sum_{i=2}^j t(x_{i-1},x_i) \ge \dfrac{1}{2^{n+1}}$일때 $\displaystyle -t(x_1,x_2) =-\sum_{i=2}^2 t(x_{i-1},x_i) \le -\dfrac{1}{2^{n+1}}$이 되어

$\displaystyle \sum_{i=3}^{r+1} t(x_{i-1},x_i)=\sum_{i=2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i)  - t(x_1, x_2)< \dfrac{1}{2^{n}} - \dfrac{1}{2^{n+1}} = \dfrac{1}{2^{n+1}}$이고 $(x_2,\cdots,x_r,x_{r+1})\in E_{r}(x_2,y)$이므로

귀납가정으로 $y\in \operatorname{st}(x_2,\mathcal{U}_{n+1})$이 되어 별의 정의로 $x_2,y\in U$인 $U\in \mathcal{U}_{n+1}$가 존재하고

$\displaystyle t(x_1,x_2) \le \sum_{i=2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i)< \dfrac{1}{2^{n}}$이므로 $(x_1,x_2)\in E_2(x,x_2)$임에 따라 $x_2\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})$이 되어

별의 정의로 $x,x_2\in V$인 $V\in \mathcal{U}_{n+1}$가 존재하고 별 정리로 $x\in V\subseteq \operatorname{st}(x_2,\mathcal{U}_{n+1})$이므로

성형세분 정리로 $\mathcal{U}_{n+1}$이 $\mathcal{U}_n$의 무게중심 세분임에 따라

$x,y\in \operatorname{st}(x_2,\mathcal{U}_{n+1})\subseteq U_n$인 $U_n\in \mathcal{U}_n$이 존재하여 별의 정의로 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$이다.

어떤 $j = 2,\cdots ,r,r+1$에 대해 $\displaystyle \sum_{i=2}^j t(x_{i-1},x_i) < \dfrac{1}{2^{n+1}}$일때

최대원소 정리로 $\displaystyle j_0 = \max \left \{ j\in \{ 2,\cdots,r,r+1\} : \sum_{i=2}^j t(x_{i-1},x_i) < \dfrac{1}{2^{n+1}} \right \}$이 존재하여

$j_0 = r+1$이면 $\displaystyle \sum_{i=2}^{r} t(x_{i-1},x_i) \le \sum_{i=2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i) < \dfrac{1}{2^{n+1}}$이고

$j_0 = r$이면 $\displaystyle \sum_{i=2}^{r} t(x_{i-1},x_i) < \dfrac{1}{2^{n+1}}$이므로 $(x_1,x_2,\cdots,x_r)\in E_{r}(x,x_r)$임에 따라

귀납가정으로 $x_r\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})$이 되어 별의 정의로 $x,x_r\in U$인 $U\in \mathcal{U}_{n+1}$가 존재하고

$\displaystyle t(x_r,x_{r+1}) \le \sum_{i=2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i)< \dfrac{1}{2^{n}}$이므로 $(x_r,x_{r+1})\in E_2(x_r,y)$가 되어 $y \in \operatorname{st}(x_r,\mathcal{U}_{n+1})$이고

별의 정의로 $x_r,y\in V$인 $V\in \mathcal{U}_{n+1}$가 존재하므로 별 정리로 $x\in U\subseteq \operatorname{st}(x_r,\mathcal{U}_{n+1})$이고

성형세분 정리로 $\mathcal{U}_{n+1}$이 $\mathcal{U}_n$의 무게중심 세분임에 따라

$x,y\in \operatorname{st}(x_r,\mathcal{U}_{n+1})\subseteq U_n$인 $U_n\in \mathcal{U}_n$이 존재하여 별의 정의로 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$이다.

$j_0 < r$이면 $\displaystyle \sum_{i=2}^{j_0} t(x_{i-1},x_i) < \dfrac{1}{2^{n+1}}$이고

$j_0+1\le r<r+1$이므로 최대원소의 정의로 $\displaystyle \sum_{i=2}^{j_0+1} t(x_{i-1},x_i) \ge \dfrac{1}{2^{n+1}}$이고

$j_0+2\le r+1$임에 따라 $\displaystyle \sum_{i=j_0+ 2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i) \ge \dfrac{1}{2^{n+1}}$이라고 가정할때

$\displaystyle\dfrac{1}{2^n} =\dfrac{1}{2^{n+1}}+\dfrac{1}{2^{n+1}}\le \sum_{i=2}^{j_0+1}t(x_{i-1},x_i) + \sum_{i= j_0+2}^{r+1}t(x_{i-1}x_i) = \sum_{i=2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i)< \dfrac{1}{2^{n}}$이므로 모순이 되어

$\displaystyle \sum_{i=j_0+ 2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i) < \dfrac{1}{2^{n+1}}$이고 $t(x_{j_0},x_{j_0+1})\le \displaystyle \sum_{i=2}^{r+1}t(x_{i-1},x_i) <\dfrac{1}{2^n}$이다.

$(x_1,x_2,\cdots, x_{j_0})\in E_{j_0}(x,x_{j_0})$이므로 귀납가정으로 $x_{j_0}\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})$이고

$(x_{j_0},x_{j_0+1})\in E_{2}(x_{j_0}, x_{j_0+1})$이므로 $x_{j_0+1}\in \operatorname{st}(x_{j_0},\mathcal{U}_{n+1})$이고

$(x_{j_0+1}, \cdots ,x_r,x_{r+1})\in E_{r-j_0+1}(x_{j_0+1},y)$이므로 귀납가정으로 $y \in \operatorname{st}(x_{j_0+1},\mathcal{U}_{n+1})$가 되어 

별의 정의로 $x,x_{j_0}\in U$이고 $x_{j_0},x_{j_0+1}\in V$이고 $x_{j_0+1},y\in W$인 $U,V,W\in \mathcal{U}_{n+1}$가 존재함에 따라

$x_{j_0}\in U\cap V$과 $x_{j_0+1}\in V\cap W$이 성립하므로 $U\cap V\ne \emptyset$와 $V\cap W\ne \emptyset$가 성립하여

별의 정의로 $x\in U\subseteq \operatorname{st}(V,\mathcal{U}_{n+1})$와 $y\in W\subseteq \operatorname{st}(V,\mathcal{U}_{n+1})$가 성립하고 $\mathcal{U}_{n+1}$이 $\mathcal{U}_n$의 성형세분임에 따라

$x,y\in \operatorname{st}(V,\mathcal{U}_{n+1})\subseteq U_n$인 $U_n\in \mathcal{U}_n$이 존재하므로 별의 정의로 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $x\in X$에 대해

모든 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n+1}})$는 열린공의 정의로 $\inf S(x,y)=\rho(x,y)<\dfrac{1}{2^{n+1}}$이므로 

$0<\dfrac{1}{2^{n+1}} - \inf S(x,y)$임에 따라 하한 정리로 $k\ge 2$인 어떤 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\displaystyle \sum_{i=2}^k t(x_{i-1},x_i)< \inf S(x,y) + \dfrac{1}{2^{n+1}} - \inf S(x,y) = \dfrac{1}{2^{n+1}}$인 $(x_1,x_2,\cdots, x_{k-1},x_k)\in E_k(x,y)$가 존재하여

$y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})$이고 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n+1}})\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})$이므로

성형세분 정리로 $\mathcal{U}_{n+1}$이 $\mathcal{U}_n$의 무게중심 세분임에 따라 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n+1}})\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})\subseteq U_n$인 $U_n\in \mathcal{U}_n$이 존재하여

$\mathcal{V}_{n+1} = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n+1}}) : x\in X\}$은 $\mathcal{U}_n$의 세분이다.

2.

$(X,\mathcal{T})$가 유사거리화가능하면 유사거리함수 $\rho : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\rho$이므로

위 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_n = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^n}) : x\in X\}$은 $(X,\mathcal{T}) = (X,\mathcal{T}_\rho)$에서 $X$의 열린덮개이고 

$\mathcal{U}_{n+1}$은 $\mathcal{U}_n$의 성형세분이고 모든 $x\in X$에 대해 $\{ \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n):n\in \mathbb{Z}^+\}$은 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

역으로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 조건이 성립하는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}_n$이 존재하면 

$X = \emptyset$일때 데카르트곱 정리로 $X\times X = \emptyset$이므로 함수 정리로 함수 $\rho : X\times X\to [0,\infty)$가 존재하여

공허하게 $\rho$는 유사거리함수이고 유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에 대해

위상공간의 정의로 $\mathcal{T} = \{ \emptyset\} = \mathcal{T}_\rho$임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 유사거리화가능하다. 

$X\ne \emptyset$일때 1번으로 유사거리함수 $\rho : X\times X\to [0,\infty)$가 존재하여

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{V}_{n} = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n}}) : x\in X\}$이면 $\mathcal{V}_{n+1}$은 $\mathcal{U}_n$의 세분이고 $\mathcal{U}_{n+1}$은 $\mathcal{V}_n$의 세분이다.

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간이 $(X,\mathcal{T}_\rho)$일때 임의의 $x\in X$에 대해 위 정리와 기저 정리로

$\mathcal{B}_\rho(x) = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,{\textstyle \frac{1}{2^n})} : n\in \mathbb{Z}^+\}$은 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 국소기저이므로 $\displaystyle \mathcal{B}_\rho =\bigcup_{x\in X} \mathcal{B}_\rho(x)$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 기저이고

$\mathcal{B}(x) = \{ \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n) : n\in \mathbb{Z}^+\}$은 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이므로 $\displaystyle \mathcal{B} = \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}(x)$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $x\in X$에 대해 

임의의 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+2})$는 별의 정의로 $x,y\in U_{n+2}$인 $U_{n+2}\in \mathcal{U}_{n+2}$이 존재하여

$\mathcal{U}_{n+2}$는 $\mathcal{V}_{n+1}$의 세분이므로 $x,y\in U_{n+2} \subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(z,\frac{1}{2^{n+1}})$인 $z\in X$가 존재하고

유사거리공간의 정의로 $\rho(x,y) \le \rho(x,z) + \rho (z,y) < \dfrac{1}{2^{n+1}} + \dfrac{1}{2^{n+1}} = \dfrac{1}{2^n}$이 되어 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^n})$이고

$x\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+2})\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^n})$임에 따라 위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^n})\in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{B}_\rho(x) \subseteq \mathcal{T}$이다.

임의의 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n+1}})$에 대해

$\mathcal{V}_{n+1}$은 $\mathcal{U}_n$의 세분이므로 $x,y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n+1}})\subseteq U_n$인 $U_n\in \mathcal{U}_n$이 존재하여 별의 정의로 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$이고

$x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n+1}})\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$이므로 위상공간 정리로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)\in \mathcal{T}_\rho$가 되어 $\mathcal{B}(x) \subseteq \mathcal{T}_\rho$이다.

$\mathcal{B}_\rho = \displaystyle \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_\rho(x) \subseteq \mathcal{T}$이므로 위상공간의 정의와 기저의 정의로 $\mathcal{T}_\rho = \{\bigcup \mathcal{O}: \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}_\rho \} \subseteq \mathcal{T}$이고 

$\mathcal{B} =\displaystyle \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}(x) \subseteq \mathcal{T}_\rho $이므로 위상공간의 정의와 기저의 정의로 $\mathcal{T}= \{\bigcup \mathcal{O}: \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\} \subseteq \mathcal{T}_\rho$가 되어

집합 정리로 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\rho$이고 $(X,\mathcal{T})$는 유사거리화가능하다.

 

 

 

정리11

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 유사거리화가능하기 위한 필요충분조건은 모든 $x\in X$에 대해

집합 $\{ U_n(x) : n\in \mathbb{Z}^+\}$가 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저인 어떤 $\mathcal{T}$의 수열 $(U_n(x))_{n=1}^\infty$이 유일하게 존재하여

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $x, y\in X$에 대해

$y\in U_{n+1}(x)$이면 $U_{n+1}(y)\subseteq U_n(x)$이고 $y\notin U_{n}(x)$이면 $U_{n+1}(y)\cap U_{n+1}(x) = \emptyset$인 것이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$가 유사거리화가능하면

유사거리함수 $\rho : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여 유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\rho$이고

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $x \in X$에 대해 위 정리와 기저의 정의로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^n})\in \mathcal{T}_\rho = \mathcal{T}$이므로

$(\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^n}))_{n=1}^\infty$는 $\mathcal{T}$의 수열이고 위 정리로 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}$은 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $x, y\in X$에 대해

$y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n+1}})$이면 모든 $z \in \underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{2^{n+1}})$는 유사거리공간의 정의와 열린공의 정의로

$\rho(x,z) \le \rho(x,y) + \rho(y,z) < \dfrac{1}{2^{n+1}} +\dfrac{1}{2^{n+1}} = \dfrac{1}{2^n}$이므로 $z \in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n}})$가 되어

$ \underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{2^{n+1}})\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^n})$이다.

$y\notin \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n}})$일때 $\underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{2^{n+1}})\cap \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n+1}})\ne \emptyset$이라고 가정하면

열린공의 정의로 $\rho(x,y) \ge \dfrac{1}{2^n}$이고 $z\in \underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{2^{n+1}})\cap \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n+1}})$가 존재하여

유사거리공간의 정의로 $\dfrac{1}{2^n}\le \rho(x,y) \le \rho(x,z) + \rho(z,y) < \dfrac{1}{2^{n+1}}+\dfrac{1}{2^{n+1}} = \dfrac{1}{2^n}$임에 따라 모순이므로 

$y\notin \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n}})$이면 $\underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{2^{n+1}})\cap \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n+1}})= \emptyset$이다.

역으로 모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{T}$의 수열 $(U_n(x))_{n=1}^\infty$이 유일하게 존재하여 조건을 만족하면

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_n = \{ U_n(x) : x\in X\}$은 $U_n(x)\in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{U}_n\subseteq \mathcal{T}$이고 

국소기저의 정의로 $x\in U_n(x)$가 되어 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}_n$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}_n$이므로 $\mathcal{U}_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $x\in X$에 대해 모든 $z \in \operatorname{st}(U_{n+2}(x) , \mathcal{U}_{n+2})$는

별의 정의로 $z\in U_{n+2}(y)$이고 $U_{n+2}(y)\cap U_{n+2}(x)\ne \emptyset$인 $y\in X$가 존재하여 $U_{n+2}(z) \subseteq U_{n+1}(y)$이고

$y\notin U_{n+1}(x)$라고 가정하면 $U_{n+2}(y)\cap U_{n+2}(x)= \emptyset$임에 따라 모순이므로 

$y\in U_{n+1}(x)$가 되어 $U_{n+1}(y)\subseteq U_{n}(x)$이고 국소기저의 정의로 $z\in U_{n+2}(z)\subseteq U_{n+1}(y)\subseteq U_n(x)$이므로

$\operatorname{st}(U_{n+2}(x) , \mathcal{U}_{n+2})\subseteq U_n(x)$가 되어 $\mathcal{U}_{n+2}$는 $\mathcal{U}_n$의 성형세분이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_n\subseteq \mathcal{T}$이므로

모든 $x\in X$에 대해 별의 정의와 위상공간의 정의로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)\in \mathcal{T}$가 되어 $\{ \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{2\cdot k -1}) : k\in \mathbb{Z}^+\} \subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_{2\cdot (k+1) -1} = \mathcal{U}_{2\cdot k +1}$은 $\mathcal{U}_{2\cdot k-1}$의 성형세분이고

모든 $x\in X$에 대해 별 정리로 $x\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{2\cdot k-1})$이다.

임의의 $x\in X$에 대해 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$는 국소기저의 정의로 $U_n(x)\subseteq O$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$n$이 짝수이면

$n = 2\cdot q$인 $q\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $x\in U_{2\cdot q +1}(x)$임에 따라 $U_{2\cdot (q+1) -1}=U_{2\cdot q+1}(x)\subseteq U_{2\cdot q}(x) = U_n(x)\subseteq O$이고 

$n$이 홀수이면 $n = 2\cdot q -1 $인 $q\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $U_{2\cdot q-1}(x)=U_n(x)\subseteq O$이므로 

$U_{2\cdot k -1}(x)\subseteq O$인 $k\in \mathbb{Z}^+$가 존재하고 $x\in U_{2\cdot k+1}(x)$임에 따라

별의 정의와 별 정리로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{2\cdot (k+1) -1}) = \operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U}_{2\cdot k +1}) \subseteq \operatorname{st}(U_{2\cdot k+1}(x) , \mathcal{U}_{2\cdot k +1})\subseteq U_{2\cdot k -1}(x)\subseteq O$가 되어 

$\{ \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{2\cdot k -1}) : k\in \mathbb{Z}^+\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이고 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 유사거리화가능하다.

 

 

 

정리12

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 유사거리화가능하기 위한 필요충분조건은

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_{n+1}$이 $\mathcal{U}_n$의 세분인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}_n$이 유일하게 존재하여

$U\cap V\ne \emptyset$인 모든 $U,V\in \mathcal{U}_{n+1}$에 대해 $U\cup V\subseteq W_{U,V}$인 $W_{U,V}\in \mathcal{U}_n$가 존재하고

모든 $x\in X$에 대해 별들의 집합 $\{ \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n):n\in \mathbb{Z}^+\}$이 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저인 것이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$가 유사거리화가능하면

유사거리함수 $\rho : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여 유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\rho$이므로

위 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_n = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3^n}) : x\in X\}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이고

$\mathcal{U}_{n+1}$은 $\mathcal{U}_n$의 성형세분이므로 성형세분 정리로 $\mathcal{U}_{n+1}$은 $\mathcal{U}_n$의 세분이고

모든 $x\in X$에 대해 $\{ \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n):n\in \mathbb{Z}^+\}$은 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $U\cap V\ne \emptyset$인 임의의 $U,V\in \mathcal{U}_{n+1}$는 $x_0 \in U\cap V$이 존재하여

$U = \underset{(X,\rho)}{B}(x_1,\frac{1}{3^{n+1}})$이고 $V = \underset{(X,\rho)}{B}(x_2,\frac{1}{3^{n+1}})$인 $x_1,x_2\in X$가 존재함에 따라

$x_0\in U\cap V= \underset{(X,\rho)}{B}(x_1,\frac{1}{3^{n+1}})\cap \underset{(X,\rho)}{B}(x_2,\frac{1}{3^{n+1}})$이고

모든 $x \in \underset{(X,\rho)}{B}(x_1,\frac{1}{3^{n+1}})\cup \underset{(X,\rho)}{B}(x_2,\frac{1}{3^{n+1}})$는 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x_i,\frac{1}{3^{n+1}})$인 $i=1,2$가 존재하므로

유사거리공간의 정의와 열린공의 정의로

$\rho(x,x_0)\le \rho(x,x_i) + \rho(x_i,x_0)< \dfrac{1}{3^{n+1}}+\dfrac{1}{3^{n+1}} = \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{3^n} < \dfrac{1}{3^n}$이 되어

$\underset{(X,\rho)}{B}(x_0,\frac{1}{3^n})\in \mathcal{U}_n$에 대해 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,\frac{1}{3^n})$이고 $U\cup V = \underset{(X,\rho)}{B}(x_1,\frac{1}{3^{n+1}})\cup \underset{(X,\rho)}{B}(x_2,\frac{1}{3^{n+1}})\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,\frac{1}{3^n})$이다.

역으로 

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}_n$이 유일하게 존재하여 조건을 만족하면

임의의 $x\in X$에 대해 $\{ \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n): n\in \mathbb{Z}^+\}$은 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이므로

$\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)\in \mathcal{T}$임에 따라 $(\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n))_{n=1}^\infty$은 $\mathcal{T}$의 수열이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $x,y\in X$에 대해 

$y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})$이면 별의 정의로 $x,y\in U$인 $U\in \mathcal{U}_{n+1}$가 존재하고

모든 $z\in \operatorname{st}(y,\mathcal{U}_{n+1})$에 대해 $y,z\in V$인 $V\in \mathcal{U}_{n+1}$가 존재하므로 $y\in U\cap V$이고 $U\cap V\ne \emptyset$임에 따라

$x,z\in U\cup V \subseteq W$인 $W\in \mathcal{U}_n$가 존재하여 별 정리로 $z\in W \subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$이므로 $\operatorname{st}(y,\mathcal{U}_{n+1})\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$이다.

$y\notin \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n})$일때 $\operatorname{st}(y,\mathcal{U}_{n+1})\cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})\ne \emptyset$이라고 가정하면 

$z\in \operatorname{st}(y,\mathcal{U}_{n+1})\cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})$가 존재하여 별의 정의로 $y,z\in U$이고 $x,z\in V$인 $U,V\in \mathcal{U}_{n+1}$가 존재하므로

$z\in U\cap V$임에 따라 $U\cap V\ne \emptyset$이고 $x,y\in U\cup V\subseteq W$인 $W\in \mathcal{U}_n$가 존재하여 

별 정리로 $y\in W \subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)$임에 따라 모순이므로 

$y\notin \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n})$이면 $\operatorname{st}(y,\mathcal{U}_{n+1})\cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})= \emptyset$이 되어 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 유사거리화가능하다.

 

 

 

정리13

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 $T_0$공간일때 $(X,\mathcal{T})$가 거리화가능하기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{T})$가 유사거리화가능한 것이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$가 거리화가능하면

거리함수 $d : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여 거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_d)$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_d$이고

$(X,d)$는 유사거리공간이므로 $(X,\mathcal{T})=(X,\mathcal{T}_d)$는 유사거리위상공간이 되어 $(X,\mathcal{T})$는 유사거리화가능하다

역으로 $(X,\mathcal{T})$는 유사거리화가능하면

유사거리함수 $\rho : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여 유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\rho$이고

$(X,\mathcal{T}) = (X,\mathcal{T}_\rho)$는 $T_0$공간이므로 위 정리로 $(X,\rho)$는 거리공간이 되어

$(X,\mathcal{T}) = (X,\mathcal{T}_\rho)$가 거리위상공간임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 거리화가능하다.

 

 

 

정리14

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 정규공간일때 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해 다음은 동치이다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 완전정규공간이다

2. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$에 대해

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 공집합이 아닌 가산집합 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{P}(X)$가 존재하여 $C = \displaystyle \bigcap \mathcal{O}$이다.

3. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해

모든 $C\in \mathcal{C}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 공집합이 아닌 가산집합 $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{P}(X)$가 존재하여 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$이다.

증명

$1\leftrightarrow 2$

완전정규공간 정리로 성립한다.

$2\to 3$

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 위상공간 정리로 $X\setminus O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로

모든 $U \in \mathcal{U}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 공집합이 아닌 가산집합 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{P}(X)$가 존재하여 $X\setminus O = \displaystyle \bigcap \mathcal{U}$이다.

함수 정리로 $\mathcal{C} = \{ X\setminus U: U\in \mathcal{U}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 

모든 $C\in \mathcal{C}$는 $C = X\setminus U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 $U$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

위상공간 정리로 $C = X\setminus U$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

집합 정리와 집합 정리로 $O = X\setminus (X\setminus O) = \displaystyle X\setminus \bigcap \mathcal{U} = X\setminus \bigcap_{U\in \mathcal{U}} U = \bigcup_{U\in \mathcal{U}} (X\setminus U) = \bigcup \mathcal{C}$이다.

$3\to 2$

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$에 대해 $X\setminus C\in \mathcal{T}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

모든 $A \in \mathcal{A}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 공집합이 아닌 가산집합 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X)$가 존재하여 $X\setminus C = \displaystyle \bigcup \mathcal{A}$이다.

함수 정리로 $\mathcal{O} = \{ X\setminus A: A\in \mathcal{A}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 

모든 $O\in \mathcal{O}$는 $O = X\setminus A$인 $A\in \mathcal{A}$가 존재하여 $A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로

$O = X\setminus A\in \mathcal{T}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

집합 정리와 집합 정리로 $C = X\setminus (X\setminus C) = \displaystyle X\setminus \bigcup \mathcal{A} = X\setminus \bigcup_{A\in \mathcal{A}} A = \bigcap_{A\in \mathcal{A}} (X\setminus A) = \bigcap \mathcal{O}$이다.

 

 

 

정리15

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $(X,\mathcal{T})$의 기저가 $\mathcal{B}$일때 $(X,\mathcal{T})$가 $T_4$공간이면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$의 모든 $x\in O$에 대해 $x\in B_x\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B_x)\subseteq O$인 $B_x\in \mathcal{B}$가 존재한다.

2. 임의의 $r\in (0,\infty)$에 대해 $1$차원 유클리드 거리공간 $($$[0,r]$$,\rho)$의 거리위상공간이 $([0,r],\mathcal{T}_{[0,r]})$일때 

$(X,\mathcal{T})$가 완전정규공간이면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 

$O = \{ x\in X : f_O(x)\ne 0\}$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,r],\mathcal{T}_{[0,r]})$로의 연속함수 $f_O : X\to [0,r]$가 존재한다.

증명

1.

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이 되어 $T_1$공간 정리로 $\{x\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

$\{x \}\subseteq O$이므로 정규공간 정리로 $x\in \{ x\}\subseteq U_x\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_x)\subseteq O$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U_x$가 존재하고

기저 정리로 $x\in B_x\subseteq U_x$인 $B_x\in \mathcal{B}$가 존재함에 따라 폐포 정리로 $x\in B_x\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B_x) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_x)\subseteq O$이다.

2.

위상공간 정리로 $\emptyset, X\setminus O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $(X\setminus O)\cap \emptyset = \emptyset$이므로 완전정규공간의 정의로

$X\setminus O = g_O^{-1}(\{ 0\})$이고 $\emptyset = g_O^{-1}(\{ 1\})$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수 $g_O : X\to [0,1]$가 존재한다.

$1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{C},\rho)$의 거리위상공간이 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_{\mathbb{C}})$일때 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 

$([0,r],\rho)$는 $(\mathbb{C},\rho)$의 부분거리공간이므로 위상공간 정리로 $([0,r],\mathcal{T}_{[0,r]})$은 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_{\mathbb{C}})$의 부분위상공간이 되어

모든 $x\in X$에 대해 $0\le g_O(x)\le 1$이고 $0\le r\cdot g_O(x)\le r$임에 따라 연속함수 정리와 연속함수 정리로  

$f_O(x) = r\cdot g_O(x)$인 함수 $f_O : X\to [0,r]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,r],\mathcal{T}_{[0,r]})$로의 연속함수이다.

집합 정리와 함수 정리로

$O = X\setminus (X\setminus O) = X\setminus g_O^{-1}(\{ 0\}) = g_O^{-1}([0,1])\setminus g_O^{-1}(\{0\}) = g_O^{-1}([0,1] \setminus \{ 0 \}) = g_O^{-1}((0,1])$이고

모든 $x\in O = g_O^{-1}((0,1])$는

$g_O(x) \in (0,1]$이 되어 $f_O(x) = r\cdot g_O(x) \in (0,r]$임에 따라 $x\in f_O^{-1}((0,r])$이므로 $O\subseteq f_O^{-1}((0,r])$이고

모든 $x\in f_O^{-1}((0,r])$는 $ r\cdot g_O(x) = f_O(x) \in (0,r]$이므로 $g_O(x)\in (0,1]$이 되어 $x\in g_O^{-1}((0,1]) = O$임에 따라

$f_O^{-1}((0,r])\subseteq O$이고 집합 정리와 역상의 정의와 구간의 정의로 

$O = f_O^{-1}((0,r]) = \{ x\in X :f_O(x)\in (0,r]\} = \{ x\in X: f_O(x) > 0\}= \{ x\in X : f_O(x)\ne 0\}$이다.

 

 

 

정리16

임의의 집합 $X$의 위상 $\mathcal{T},\mathcal{U}$에 대해 위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저 $\mathcal{S}$가 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{U}$이면 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{U}$이다.

증명

부분기저의 정의로 $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n: (S_1,S_2,\cdots, S_n)\in \mathcal{S}^n\}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고

모든 $B\in \mathcal{B}$는 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B = S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n$인 $S_1,S_2,\cdots, S_n\in \mathcal{S}\subseteq \mathcal{U}$이 존재하므로

위상공간의 정의와 위상공간 정리로 $B = S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n\in \mathcal{U}$이 되어 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{U}$이고

모든 $O\in \mathcal{T}$는 기저의 정의로 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$인 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B} $가 존재하므로 

$\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B} \subseteq \mathcal{U}$임에 따라 위상공간의 정의로 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{O}\in \mathcal{U}$가 되어 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{U}$이다.

 

 

 

정리17(균등거리공간)

$1$차원 유클리드 거리공간 $(E,\rho)$에 대해

모든 $a,b\in E$가 $\rho_1(a,b) = \min \{ \rho(a,b) ,1\} = \min \{ |a-b|,1\}$인 거리함수가 $\rho_1: E\times E\to [0,\infty)$이고

공집합이 아닌 임의의 집합 $I$에 대해 $E$의 $I$-일반 데카르트곱이 $E^I$일때

모든 $x,y\in E^I$가 $d(x,y) = \sup \{ \rho_1(x(i),y(i)) : i\in I\} $인 함수 $d:E^I\times E^I \to [0,\infty)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(E^I,d)$는 거리공간이다.

2. $(E,\rho)$의 거리위상공간 $(E,\mathcal{T}_\rho)$의 $I$-일반 곱공간 $(E^I,\mathcal{P})$와 $(E^I,d)$의 거리위상공간 $(E^I ,\mathcal{U})$에 대해 $\mathcal{P}\subseteq \mathcal{U}$이다.

증명

거리공간 정리로 $(E,\rho_1)$은 거리공간이고

$(E,\rho_1)$의 거리위상공간 $(E,\mathcal{T}_{\rho_1})$은 $(E,\rho)$의 거리위상공간 $(E,\mathcal{T}_\rho)$에 대해 $\mathcal{T}_\rho = \mathcal{T}_{\rho_1}$이다.

모든 $x,y\in E^I$는 모든 $i_0\in I$에 대해 최소원소의 정의로 $1\ge \rho_1(x(i_0),y(i_0))$이므로

$I\ne \emptyset$임에 따라 완비성으로 $\sup \{ \rho_1(x(i),y(i)) : i\in I\} $가 존재하고

상한의 정의와 거리공간의 정의로 $d(x,y) = \sup \{ \rho_1(x(i),y(i)):i\in I\} \ge \rho_1(x(i_0),y(i_0)) \ge 0$이다.

1.

임의의 $x\in E^I$는 모든 $i_0\in I$에 대해 거리공간의 정의로 $0\ge 0= \rho_1(x(i_0),x(i_0))$이므로 

상한의 정의로 $0\ge \sup \{ \rho_1(x(i),y(i)):i\in I \}\ge \rho_1(x(i_0),x(i_0)) \ge 0$이 되어

$d(x,x) = \sup \{ \rho_1(x(i),y(i)) : i\in I\}  =0$이다.

$x\ne y$인 임의의 $x,y\in E^I$는 함수의 상등으로 $x(i_0)\ne y(i_0)$인 $i_0\in I$이 존재하여

상한의 정의와 거리공간의 정의로 $d(x,y) = \sup \{ \rho_1(x(i),y(i)):i\in I\} \ge \rho_1(x(i_0),y(i_0)) > 0$이다.

임의의 $x,y\in E^I$는 모든 $i_0\in I$에 대해 거리공간의 정의로 $\rho_1(x(i_0),y(i_0)) = \rho_1(y(i_0),x(i_0))$이므로

상한의 정의로

$\sup\{ \rho_1(x(i),y(i)):i\in I\} \ge \rho_1(x(i_0),y(i_0)) = \rho_1(y(i_0),x(i_0))$임에 따라

$\sup\{ \rho_1(x(i),y(i)):i\in I\} \ge \sup\{ \rho_1(y(i),x(i)):i\in I \}$이고

$\sup\{ \rho_1(y(i),x(i)):i\in I\} \ge \rho_1(y(i_0),x(i_0)) = \rho_1(x(i_0),y(i_0))$임에 따라

$\sup\{ \rho_1(y(i),x(i)):i\in I\} \ge \sup\{ \rho_1(x(i),y(i)):i\in I \}$가 되어

$d(x,y) = \sup\{ \rho_1(x(i),y(i)):i\in I\} = \sup\{ \rho_1(y(i),x(i)):i\in I \} = d(y,x)$이다.

임의의 $x,y,z\in E^I$는 모든 $i_0\in I$에 대해

거리공간의 정의로 $\rho_1(x(i_0),z(i_0))\le \rho_1(x(i_0),y(i_0)) +\rho_1(y(i_0),z(i_0))$이므로 상한의 정의로

$\rho_1(x(i_0),z(i_0))\le \rho_1(x(i_0),y(i_0)) +\rho_1(y(i_0),z(i_0)) \le \sup \{ \rho_1(x(i),y(i)):i\in I\} + \sup \{ \rho_1(y(i),z(i)) : i\in I\}\text{ 가 되어}$

$d(x,z) =\sup \{\rho_1(x(i),z(i)) :i\in I\}\le \sup \{ \rho_1(x(i),y(i)):i\in I\} + \sup \{ \rho_1(y(i),z(i)) : i\in I\} = d(x,y) + d(y,z)\text{ 이다.}$

따라서 $(E^I,d)$는 거리공간이다.

2.

위 정리로 모든 $i\in I$에 대해 $E^I$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i:E^I \to E$일때

$\mathcal{S} =\displaystyle \bigcup_{i\in I} \{p_i^{-1}(O) : O\in \mathcal{T}_\rho \}$는 $(E^I,\mathcal{P})$의 부분기저이고

모든 $i_0\in I$과 모든 $O\in \mathcal{T}_\rho = \mathcal{T}_{\rho_1}$에 대해 모든 $x\in p_{i_0}^{-1}(O)$는

$x(i_0) = p_{i_0}(x) \in O$이므로 위상공간 정리와 거리공간 정리로 $\underset{(E,\rho_1)}{B}(x(i_0),r)\subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하여

모든 $y\in \underset{(E^I,d)}{B}(x,r)$에 대해 상한의 정의와 열린공의 정의로

$\rho_1(x(i_0),y(i_0))\le \sup \{ \rho_1(x(i),y(i)): i\in I\} = d(x,y)< r$임에 따라

$p_{i_0}(y) =y(i_0) \in \underset{(E,\rho_1)}{B}(x(i_0),r)\subseteq O$이고 $y \in p_{i_0}^{-1}(\underset{(E,\rho_1)}{B}(x(i_0),r))\subseteq p_{i_0}^{-1}(O)$이므로

$\underset{(E^I,d)}{B}(x,r) \subseteq p_{i_0}^{-1}(O)$이 되어 거리공간 정리와 위상공간 정리로 $p_{i_0}^{-1}(O)\in \mathcal{U}$이고

$\mathcal{S}\subseteq \mathcal{U}$임에 따라 위 정리로 $\mathcal{P}\subseteq \mathcal{U}$이다.

 

 

 

정리18(나가타[Nagata]-스미르노프[Smirnov] 거리화 정리)

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 거리화가능하기 위한 필요충분조건은

$(X,\mathcal{T})$가 $T_3$공간이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한인 $(X,\mathcal{T})$의 기저가 존재하는 것이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$가 거리화가능하면

거리함수 $d : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여 거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_d)$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_d$이므로

위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})=(X,\mathcal{T}_d)$는 $T_3$공간이고 파라콤팩트 공간이다.

위 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{V}_n = \{ \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{2^n}) : x\in X\}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이므로

선택 정리와 파라콤팩트의 정의로

$\mathcal{V}_n$의 세분이고 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}_n$을 선택하면

가산집합 정리와 함수 정리와 가산집합 정리로 $\{ \mathcal{U}_n:n\in \mathbb{Z}^+\}$은 가산집합이 되어

$\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{U}_n$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이고 열린덮개의 정의로 $\mathcal{U}_n\subseteq \mathcal{T}$임에 따라 $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{U}_n\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해 위상공간 정리와 국소기저의 정의로 $\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{2^n})\subseteq O$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하고

열린덮개의 정의로 $x\in O\subseteq X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}_{n+1}$이므로 $x\in U_{n+1}$인 $U_{n+1}\in \mathcal{U}_{n+1}$이 존재하여

세분의 정의로 $x\in U_{n+1} \subseteq \underset{(X,d)}{B}(y,\frac{1}{2^{n+1}})$인 $y\in X$가 존재하고 열린공의 정의로 $d(x,y)< \dfrac{1}{2^{n+1}}$임에 따라

모든 $z\in \underset{(X,d)}{B}(y,\frac{1}{2^{n+1}})$에 대해 $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) < \dfrac{1}{2^{n+1}} + \dfrac{1}{2^{n+1}} = \dfrac{1}{2^n}$이 되어 $z\in \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{2^{n}})$이고

$x\in U_{n+1} \subseteq \underset{(X,d)}{B}(y,\frac{1}{2^{n+1}})\subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{2^n})\subseteq O$이므로 $U_{n+1}\in \mathcal{U}_{n+1}\subseteq \mathcal{B}$임에 따라

기저 정리로 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$가 $T_3$공간이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한인 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{A}$가 존재하면

모든 $\mathcal{A}_0\in \mathbf{A}$이 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 가산집합 $\mathbf{A}$에 대해 $\mathcal{A} = \displaystyle \bigcup \mathbf{A}$이고

$\{ X\}$는 유한집합이므로 국소유한 정리로 $\{ X\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이 되어

가산집합 정리로 $\mathbf{B} = \mathbf{A} \cup \{ \{ X \} \}$가 가산집합임에 따라 $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup \mathbf{B}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이다.

모든 $B\in \mathcal{B}$에 대해 $B\in \mathcal{B}_0$인 $\mathcal{B}_0\in \mathbf{B}$이 존재하여 $\mathcal{B}_0\in \mathbf{A}$이면 기저의 정의로 $B\in \displaystyle \bigcup \mathbf{A} = \mathcal{A} \subseteq \mathcal{T}$이고

$\mathcal{B}_0\in \{ \{ X\}\}$이면 $B\in \mathcal{B}_0 = \{ X\}$이므로 위상공간의 정의로 $B = X\in \mathcal{T}$임에 따라 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이고 

$\mathcal{A} = \displaystyle \bigcup \mathbf{A} \subseteq \bigcup \mathbf{B} = \mathcal{B}$이므로 기저 정리로 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

$\{ X\}\in \mathbf{B}$이므로 $\mathbf{B}\ne \emptyset$임에 따라 가산집합 정리와 함수 정리와 가산집합 정리로 전사함수 $\phi : \mathbb{Z}^+ \to \mathbf{B}$가 존재하여

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi(n) = \mathcal{B}_n$일때 $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup \mathbf{B} = \bigcup_{n=1}^\infty\mathcal{B}_n$이고 $\mathcal{B}_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 $\mathcal{V} = \{ B\in \mathcal{B}: \text{어떤 }O\in \mathcal{O}\text{에 대해 }B\subseteq O\}$는 $\mathcal{V}\subseteq \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이므로

$\sigma$-국소유한 정리로 $\mathcal{V}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이고 열린덮개의 정의로

모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$에 대해 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$가 존재하여 기저 정리로 $x\in B\subseteq O$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하므로

$x\in B\in \mathcal{V}$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{V}$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{V}$가 되어 $\mathcal{V}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

모든 $V\in \mathcal{V}$에 대해 $V\subseteq O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하므로 $\mathcal{V}$는 $\mathcal{O}$의 세분이 되어 

파라콤팩트 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이고 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이므로 

파라콤팩트 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_4$공간이다.

국소유한 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{C}_n = \{ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) : B\in \mathcal{B}_n\}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이므로

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 $\mathcal{C}_n(O) = \{ C\in \mathcal{C}_n: C\subseteq O\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이고

모든 $C \in \mathcal{C}_n(O)$는 $C = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$인 $B\in \mathcal{B}_n$가 존재하여 폐포 정리로 $C$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라

국소유한 정리로 $C_n = \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_n(O)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty C_n$에 대해 $x\in C_n$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$x\in C$인 $C\in \mathcal{C}_n(O)$가 존재하므로 $x\in C\subseteq O$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty C_n \subseteq O$이고 

모든 $x\in O$에 대해 위 정리로 $x\in B_x \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B_x)\subseteq O$인 $B_x\in \mathcal{B}$가 존재하여

$B_x\in \mathcal{B}_n$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B_x)\in \mathcal{C}_n(O)$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_n(O) = C_n$이고 

$x\in \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty C_n$이 되어 $O\subseteq \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty C_n$이고 집합 정리로 $O=\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty C_n$이므로

가산집합 정리와 함수 정리와 가산집합 정리로 $\{ C_n:n\in \mathbb{Z}^+\}$이 공집합이 아닌 가산집합임에 따라

위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 완전정규공간이다.

$X\in \{ X\}\in \mathbf{B}$이므로 $X \in \displaystyle \bigcup \mathbf{B} = \mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{B}_n$임에 따라 $X\in \mathcal{B}_n$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$I = \{ (n,B)\in \mathbb{Z}^+ \times \mathcal{B} : B\in \mathcal{B}_n \}$는 $(n,X)\in I$이고 $I\ne \emptyset$이다.

임의의 $r\in (0,\infty)$에 대해 $1$차원 유클리드 거리공간 $([0,r],\rho)$의 거리위상공간이 $([0,r],\mathcal{T}_{[0,r]})$일때 

모든 $(n,B)\in I$에 대해 $B\in \mathcal{B}_n\subseteq \mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$이므로 $B$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어 선택 정리와 위 정리로

$B = \{ x\in X : f_{n,B}(x) \ne 0\}$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\frac{1}{n}],\mathcal{T}_{[0,\frac{1}{n}]})$으로 연속함수 $f_{n,B} : X\to [0,\frac{1}{n}]$를 선택하면

$[0,\frac{1}{n}]\subseteq [0,1]$이므로 유클리드 거리공간의 정의로 $([0,\frac{1}{n}],\rho)$은 $([0,1],\rho)$의 부분거리공간이 되어

위상공간 정리로 $([0,\frac{1}{n}],\mathcal{T}_{[0,\frac{1}{n}]})$은 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$의 부분위상공간이고

함수의 상등과 연속함수 정리로 $f_{n,B}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이므로 

$([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$의 $I$-일반 곱공간이 $([0,1]^I,\mathcal{P})$이고 $[0,1]^I$의 $(n,B)$-좌표 사영함수가 $p_{n,B}:[0,1]^I \to [0,1]$일때

$(X,\mathcal{T})$에서 $\{ ([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]}, f_{n,B}) : (n,B)\in I\}$의 평가함수 $e : X\to [0,1]^I$가 존재하여 $p_{n,B}\circ e = f_{n,B}$이다.

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$은 $T_1$공간이므로

$T_1$공간 정리로 $\{ 0\}$은 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$에서 닫힌집합이 되어 $(0,1]=[0,1]\setminus \{0\}$은 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$에서 열린집합이고

모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해 기저 정리로 $x\in B\subseteq O$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $B\in \mathcal{B}_n$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$(n,B)\in I$이고 역상의 정의로 $B = \{ x\in X : f_{n,B}(x) \ne 0\} = f_{n,B}^{-1}((0,1])$임에 따라

$x\in B = f_{n,B}^{-1}((0,1])\subseteq O$이고 기저 정리로 $\displaystyle \bigcup_{(n,B)\in I} \{ f_{n,B}^{-1}(W) : W\in \mathcal{T}_{[0,1]} \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저가 되어

위상공간 정리로 $\{ \{ f_{n,B}\}: (n,B)\in I\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ ([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]}):(n,B)\in I\}$로 닫힌집합과 점을 분리하므로 

$(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간임에 따라 위상공간 정리로 $e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1]^I,\mathcal{P})$로의 매장이다.

$([0,1]^I,\mathcal{P})$의 부분위상공간 $(e(X),\mathcal{P}|_{e(X)})$와 균등거리공간 $([0,1]^I, d)$의 거리위상공간 $([0,1]^I,\mathcal{U})$에 대해

위상공간 정리로 $([0,1]^I, d)$의 부분거리공간 $(e(X), d)$의 거리위상공간은 $(e(X),\mathcal{U}|_{e(X)})$이고

위 정리로 $\mathcal{P}\subseteq \mathcal{U}$이므로 부분위상공간의 정의로 $\mathcal{P}|_{e(X)}\subseteq \mathcal{U}|_{e(X)}$가 되어 매장의 정의로

모든 $x\in X$에 대해 $f(x) = e(x)$인 함수 $f:X\to e(X)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(e(X),\mathcal{P}|_{e(X)})$로의 위상동형사상임에 따라

$f$는 전단사이고 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해

위상동형사상 정리로 $f(O)\in \mathcal{P}|_{e(X)}\subseteq \mathcal{U}|_{e(X)}$이므로 $f(O)$는 $(e(X),\mathcal{U}|_{e(X)})$에서 열린집합이다.

모든 $\phi, \psi \in [0,1]^I$는 모든 $(n,B)\in I$에 대해

$-1 \le \phi(n,B) - \psi(n,B)\le 1$이므로 $|\phi(n,B) -\psi(n,B) |\le 1$이 되어

최소원소의 정의로 $\min \{ |\phi(n,B) - \psi(n,B)|, 1\} = |\phi(n,B) -\psi(n,B)|$임에 따라 균등거리공간의 정의로

$d(\phi,\psi) =\sup \{\min \{ |\phi(n,B) - \psi(n,B)|, 1\} :(n,B)\in I\}= \sup \{|\phi(n,B) -\psi(n,B)| :(n,B)\in I\}$이다.

모든 $(e(X),\mathcal{U}|_{e(X)})$에서 열린집합 $U_e$는 위상공간 정리로 $U_e = U\cap e(X)$인 $([0,1]^I,\mathcal{U})$에서 열린집합 $U$가 존재하여

함수 정리와 집합 정리와 함수 정리와 함수 정리로

$e^{-1}(U)=f^{-1}(U) = f^{-1}(U)\cap X = f^{-1}(U)\cap f^{-1}(f(X)) = f^{-1}(U)\cap f^{-1}(e(X)) = f^{-1}(U\cap e(X)) = f^{-1}(U_e)\text{ 이고}$

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{B}_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한임에 따라 모든 $x\in e^{-1}(U)\subseteq X$에 대해

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O_n$이 존재하여 $\mathcal{B}_n(O_n) = \{B\in \mathcal{B}_n : O_n\cap B\ne \emptyset \}$은 유한집합이고

$e(x) \in U$이므로 위상공간 정리와 거리공간 정리로 $\underset{([0,1]^I, d)}{B}(e(x), r)\subseteq U$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하여

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{N}<\dfrac{r}{2}$인 $N\in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

모든 $n=1,2,\cdots,N$에 대해 모든 $B\in \mathcal{B}_n(O_n)\subseteq \mathcal{B}_n$는 $(n,B)\in I$이므로

$\mathcal{B}_n(O_n) = \emptyset$이면 $V_n = O_n$으로 둘때

공허하게 모든 $B\in \mathcal{B}_n(O_n)$에 대해 모든 $y\in V_n$는 $|f_{n,B}(x)-f_{n,B}(y)|< \dfrac{r}{2}$이고

$\mathcal{B}_n(O_n) \ne \emptyset$이면 $\mathcal{B}_n(O_n)$은 유한집합이므로 $\mathcal{B}_n(O_n) = \{ B_1,B_2,\cdots, B_m\}$인 $m\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

모든 $k=1,2,\cdots, m$에 대해

위상공간 정리로 $\underset{([0,1],\rho)}{B}(f_{n,B_k}(x),\frac{r}{2})$가 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$에서 $f_{n,B_k}(x)$의 열린근방임에 따라

연속함수의 정의로 모든 $y\in V_{n,k}$가 $f_{n,B_k}(y)\in \underset{([0,1],\rho)}{B}(f_{n,B_k}(x),\frac{r}{2})$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V_{n,k}$가 존재하고

열린공의 정의로 $|f_{n,B_k}(x)-f_{n,B_k}(y)|< \dfrac{r}{2}$이므로

$V_n = O_n\cap V_{n,1}\cap V_{n,2}\cap \cdots \cap V_{n,m}$으로 둘때 위상공간 정리로 $V_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고

모든 $B\in \mathcal{B}_n(O_n)$는 $B = B_k$인 $k=1,2,\cdots,m$가 존재하여

모든 $y\in V_n\subseteq V_{n,k}$에 대해 $|f_{n,B}(x) - f_{n,B}(y)|=|f_{n,B_k}(x)-f_{n,B_k}(y)|< \dfrac{r}{2}$이다.

모든 $n=1,2,\cdots,N$에 대해 $V_n\subseteq O_n$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V_n$이 존재하여 

모든 $y\in V_n$와 모든 $B\in \mathcal{B}_n(O_n)$에 대해 $|f_{n,B}(x)-f_{n,B}(y)|< \dfrac{r}{2}$이고

위상공간 정리로 $V = V_1\cap V_2\cap \cdots \cap V_N$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

모든 $(n,B)\in I$는 $B\in \mathcal{B}_n$이므로 모든 $y\in V$에 대해 $n\le N$일때

$x\in B$ 또는 $y\in B$이면

$x, y\in V\subseteq V_n\subseteq O_n$임에 따라 $O_n\cap B\ne \emptyset$이 되어 $B\in \mathcal{B}_n(O_n)$이므로 $|f_{n,B}(x)-f_{n,B}(y)|< \dfrac{r}{2}$이고

$x\notin B$이고 $y\notin B$이면

함수 정리로 $x,y\in X\setminus B = f_{n,B}^{-1}([0,1])\setminus f_{n,B}^{-1}((0,1]) = f_{n,B}^{-1}([0,1]\setminus (0,1]) = f_{n,B}^{-1}(\{0\})$이므로

$|f_{n,B}(x)-f_{n,B}(y)| = |0-0| = 0< \dfrac{r}{2}$이고

$N<n$일때 $f_{n,B}(x),f_{n,B}(y)\in [0,\frac{1}{n}]$이므로

$-\dfrac{1}{n}\le f_{n,B}(x) - f_{n,B}(y)\le \dfrac{1}{n}$이 되어 $| f_{n,B}(x) - f_{n,B}(y)|\le \dfrac{1}{n} < \dfrac{1}{N} <\dfrac{r}{2}$이다.

모든 $(n,B)\in I$와 모든 $y\in V$에 대해

$|e(x)(n,B) - e(y)(n,B)|=|p_{n,B}(e(x))- p_{n,B}(e(y))| = |(p_{n,B}\circ e)(x) - (p_{n,B}\circ e)(y)| = |f_{n,B}(x) - f_{n,B}(y)| < \dfrac{r}{2}\text{ 이므로}$

상한의 정의로 $d(e(x),e(y)) = \sup\{ |e(x)(n,B) - e(y)(n,B)| : (n,B)\in I\}\le \dfrac{r}{2}<r$이 되어

열린공의 정의로 $e(y)\in \underset{([0,1]^I, d)}{B}(e(x), r)\subseteq U$임에 따라 $e(V)\subseteq U$이고

함수 정리로 $x\in V\subseteq e^{-1}(e(V)) \subseteq e^{-1}(U)$가 되어

위상공간 정리로 $f^{-1}(U_e) = e^{-1}(U)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

위상동형사상 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(e(X),\mathcal{U}|_{e(X)})$로의 위상동형사상이고

위상적 성질로 $(X,\mathcal{T})$는 거리화가능하다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/123#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/123#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797

James Munkres - Topology - 9788120320468