균등연속성(Uniform Continuity)

정의1

균등공간이 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$이고 임의의 함수가 $f:X\to Y$일때

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 모든 $(x_1,x_2)\in D_X$가 $(f(x_1),f(x_2))\in D_Y$인 $D_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하면

$f$를 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수로 정의한다.

 

 

 

정리1

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$일때 

모든 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수 $f:X\to Y$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

증명

임의의 $c\in X$에 대해 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(c)$의 열린근방 $V$는 $f(c)\in V\in \mathcal{T}_Y$이므로 

균등위상공간의 정의로 $D_Y[f(c)] \subseteq V$인 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여

균등연속함수의 정의로 모든 $(x_1,x_2)\in D_X$가 $(f(x_1),f(x_2))\in D_Y$인 $D_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하고

균등위상공간 정리로 $D_X[c]$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 근방이므로 $U\subseteq D_X[c]$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $c$의 열린근방 $U$가 존재하여

관계의 상의 정의로

모든 $x\in U\subseteq D_X[c]$는 $(c,x)\in D_X$이고 $(f(c),f(x))\in D_Y$임에 따라 $f(x)\in D_Y[f(c)] \subseteq V$이므로

$f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $c$에서 연속이고 $c$는 임의이므로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정리2

거리공간 $(X,d_X),(Y,d_Y)$의 거리균등공간이 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$일때 

임의의 함수 $f:X\to Y$가 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 균등연속함수이기 위한 필요충분조건은 

$f$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수인 것이다.

증명

거리균등공간의 정의로 임의의 $\delta, \epsilon \in (0,\infty)$에 대해

$E_X(\delta)= \{ (x_1,x_2)\in X^2 : d_X(x_1,x_2)< \delta\}$이고 $E_Y(\epsilon) = \{ (y_1,y_2)\in Y^2 : d_Y(y_1,y_2)< \epsilon \}$일때

$\{ E_X(\delta): \delta\in (0,\infty)\}$는 $(X,\mathcal{D}_X)$의 기저이고 $\{ E_Y(\epsilon) : \epsilon \in (0,\infty)\}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 기저이다.

$f$가 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 균등연속함수이면

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 기저의 정의로 $E_Y(\epsilon)\subseteq D_Y$인 $\epsilon \in (0,\infty)$이 존재하여

$d_X(x_1,x_2)< \delta_\epsilon$인 모든 $x_1,x_2\in X$가 $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$이 되는 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하므로

거리균등공간의 정의로 $E_X(\delta_\epsilon)\in \mathcal{D}_X$이고

모든 $(x_1,x_2)\in E_X(\delta_\epsilon)$는 $d_X(x_1,x_2)< \delta_\epsilon$임에 따라 $d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$이 되어

$(f(x_1),f(x_2))\in E_Y(\epsilon) \subseteq D_Y$이므로 $f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

역으로 $f$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이면

모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 거리균등공간의 정의로 $E_Y(\epsilon)\in \mathcal{D}_Y$이므로 

모든 $(x_1,x_2)\in D_X$가 $(f(x_1),f(x_2))\in E_Y(\epsilon)$인 $D_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하여

기저의 정의로 $E_X(\delta_\epsilon)\subseteq D_X$인 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하고

$d_X(x_1,x_2)< \delta_\epsilon$인 모든 $x_1,x_2\in X$는 $(x_1,x_2)\in E_X(\delta_\epsilon)\subseteq D_X$이므로 $(f(x_1),f(x_2))\in E_Y(\epsilon)$이 되어

$d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon$임에 따라 $f$는 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 균등연속함수이다.

 

 

 

정리3

임의의 집합 $X,Y$와 임의의 함수 $f:X\to Y$와 모든 $X$의 덮개 $\mathcal{U},\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2$와 모든 $Y$의 덮개 $\mathcal{V},\mathcal{V}_1,\mathcal{V}_2$에 대해

$f[\mathcal{U}] = \{ f(U) : U\in \mathcal{U}\}$이고 $f^{-1}[\mathcal{V}] = \{ f^{-1}(V) : V\in \mathcal{V}\}$일때 다음이 성립한다.

1. $f^{-1}[\mathcal{V}]$는 $X$의 덮개이다.

2. $\mathcal{V}_2$가 $\mathcal{V}_1$의 세분이면 $f^{-1}[\mathcal{V}_2]$는 $f^{-1}[\mathcal{V}_1]$의 세분이다.

3. $\mathcal{V}_2$가 $\mathcal{V}_1$의 무게중심 세분이면 $f^{-1}[\mathcal{V}_2]$는 $f^{-1}[\mathcal{V}_1]$의 무게중심 세분이다.

4. $\mathcal{V}_2$가 $\mathcal{V}_1$의 성형세분이면 $f^{-1}[\mathcal{V}_2]$는 $f^{-1}[\mathcal{V}_1]$의 성형세분이다.

5. $f$가 전사일때 $f[\mathcal{U}]$는 $Y$의 덮개이다.

6. $\mathcal{U}_2$가 $\mathcal{U}_1$의 세분이면 모든 $U_2\in \mathcal{U}_2$에 대해 $f(U_2)\subseteq f(U_1)$인 $U_1\in \mathcal{U}_1$이 존재한다.

7. $f$가 전사일때 $\mathcal{U}_2$가 $\mathcal{U}_1$의 세분이면 $f[\mathcal{U}_2]$는 $f[\mathcal{U}_1]$의 세분이다.

8. $f$가 전단사일때 $\mathcal{U}_2$가 $\mathcal{U}_1$의 무게중심 세분이면 $f[\mathcal{U}_2]$는 $f[\mathcal{U}_1]$의 무게중심 세분이다.

9. $f$가 전단사일때 $\mathcal{U}_2$가 $\mathcal{U}_1$의 성형세분이면 $f[\mathcal{U}_2]$는 $f[\mathcal{U}_1]$의 성형세분이다.

증명

1.

모든 $V\in \mathcal{V}$에 대해 역상의 정의로 $f^{-1}(V)\subseteq X$이고 

모든 $x\in X$에 대해 덮개의 정의로 $f(x) \in Y\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{V}$이므로

$f(x)\in V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여 $x\in f^{-1}(V) \in f^{-1}[\mathcal{V}]$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup f^{-1}[\mathcal{V}]$이고

$X\subseteq \displaystyle \bigcup f^{-1}[\mathcal{V}]$이므로 $f^{-1}[\mathcal{V}] $는 $X$의 덮개이다.

2.

모든 $U\in f^{-1}[\mathcal{V}_2]$에 대해 $U = f^{-1}(V_2)$인 $V_2\in \mathcal{V}_2$가 존재하여

세분의 정의로 $V_2\subseteq V_1$인 $V_1\in \mathcal{V}_1$이 존재하므로 $U = f^{-1}(V_2)\subseteq f^{-1}(V_1)$이고

$f^{-1}(V_1)\in f^{-1}[\mathcal{V}_1]$임에 따라 $f^{-1}[\mathcal{V}_2]$는 $f^{-1}[\mathcal{V}_1]$의 세분이다.

3.

모든 $x \in X$에 대해 모든 $u\in \operatorname{st}(x, f^{-1}[\mathcal{V}_2])$는 별의 정의로 $x,u\in f^{-1}(V_2)$인 $V_2\in \mathcal{V}_2$가 존재하여

$f(x),f(u)\in V_2$이므로 무게중심 세분의 정의로 $f(u)\in \operatorname{st}(f(x),\mathcal{V}_2)\subseteq V_1$인 $V_1\in \mathcal{V}_1$이 존재하고

$u \in f^{-1}(V_1)$임에 따라 $\operatorname{st}(x, f^{-1}[\mathcal{V}_2])\subseteq f^{-1}(V_1)$이고 $f^{-1}(V_1)\in f^{-1}[\mathcal{V}_1]$이므로 

$f^{-1}[\mathcal{V}_2]$는 $f^{-1}[\mathcal{V}_1]$의 무게중심 세분이다.

4.

모든 $U\in f^{-1}[\mathcal{V}_2]$에 대해 $U = f^{-1}(V_2)$인 $V_2\in \mathcal{V}_2$가 존재하여

모든 $x\in \operatorname{st}(f^{-1}(V_2),f^{-1}[\mathcal{V}_2])$는 별의 정의로 $x\in f^{-1}(V)$이고 $f^{-1}(V_2)\cap f^{-1}(V)\ne \emptyset$인 $V\in \mathcal{V}_2$가 존재하므로

$f(x)\in V$이고 함수 정리로 $f^{-1}(V_2\cap V) = f^{-1}(V_2)\cap f^{-1}(V)\ne \emptyset$임에 따라 $u\in f^{-1}(V_2\cap V)$가 존재하여

$f(u)\in V_2\cap V$이고 $V_2\cap V\ne \emptyset$이므로

별의 정의와 성형세분의 정의로 $f(x)\in V\subseteq \operatorname{st}(V_2,\mathcal{V}_2)\subseteq V_1$인 $V_1\in \mathcal{V}_1$이 존재하여 $x\in f^{-1}(V_1)$임에 따라

$\operatorname{st}(U,f^{-1}[\mathcal{V}_2])=\operatorname{st}(f^{-1}(V_2),f^{-1}[\mathcal{V}_2])\subseteq f^{-1}(V_1)$이고 $f^{-1}(V_1)\in f^{-1}[\mathcal{V}_1]$이므로

$f^{-1}[\mathcal{V}_2]$는 $f^{-1}[\mathcal{V}_1]$의 성형세분이다.

5.

모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 상의 정의로 $f(U)\subseteq Y$이고 

모든 $y\in Y$에 대해 전사의 정의로 $f(x) = y$인 $x\in X$가 존재하여 덮개의 정의로 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이므로 

$x\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하고 $y=f(x)\in f(U)\in f[\mathcal{U}]$임에 따라 $y\in \displaystyle \bigcup f[\mathcal{U}]$이므로 

$Y\subseteq \displaystyle \bigcup f[\mathcal{U}]$가 되어 $f[\mathcal{U}] $는 $Y$의 덮개이다.

6.

모든 $U_2\in \mathcal{U}_2$에 대해 세분의 정의로 $U_2\subseteq U_1$인 $U_1\in \mathcal{U}_1$이 존재하여 $f(U_2)\subseteq f(U_1)$이다.

7.

5번으로 $f[\mathcal{U}_1],f[\mathcal{U}_2]$는 $Y$의 덮개이고 모든 $V\in f[\mathcal{U}_2]$에 대해 $V = f(U_2)$인 $U_2\in \mathcal{U}_2$가 존재하여

6번으로 $V = f(U_2)\subseteq f(U_1)$인 $U_1\in \mathcal{U}_1$이 존재하므로 $f(U_1)\in f[\mathcal{U}_1]$임에 따라 $f[\mathcal{U}_2]$는 $f[\mathcal{U}_1]$의 세분이다.

8.

5번으로 $f[\mathcal{U}_1],f[\mathcal{U}_2]$는 $Y$의 덮개이고 모든 $y\in Y$에 대해 전사의 정의로 $f(x) = y$인 $x\in X$가 존재하여

무게중심 세분의 정의로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_2)\subseteq U_1$인 $U_1\in \mathcal{U}_1$이 존재하고

모든 $v\in \operatorname{st}(f(x), f[\mathcal{U}_2])$는 별의 정의로 $v,f(x)\in f(U_2)$인 $U_2\in \mathcal{U}_2$가 존재하므로 $v = f(u)$인 $u\in U_2$가 존재하고

단사 정리로 $x\in \{ x\}=f^{-1}(f(\{ x\}))\subseteq f^{-1}(f(U_2)) = U_2$이므로 별 정리로 $u\in U_2\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_2)$임에 따라

$v= f(u)\in f(\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_2))$가 되어 $\operatorname{st}(y,f[\mathcal{U}_2])=\operatorname{st}(f(x),f[\mathcal{U}_2])\subseteq f(\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_2))\subseteq f(U_1)$이고

$f(U_1)\in f[\mathcal{U}_1]$이므로 $f[\mathcal{U}_2]$는 $f[\mathcal{U}_1]$의 무게중심 세분이다.

9.

5번으로 $f[\mathcal{U}_1],f[\mathcal{U}_2]$는 $Y$의 덮개이고 모든 $V\in f[\mathcal{U}_2]$에 대해 $V = f(U_2)$인 $U_2\in \mathcal{U}_2$가 존재하여

성형세분의 정의로 $\operatorname{st}(U_2,\mathcal{U}_2)\subseteq U_1$인 $U_1\in \mathcal{U}_1$이 존재하고

모든 $y\in \operatorname{st}(f(U_2),f[\mathcal{U}_2])$는 별의 정의로 $y\in f(U)$이고 $f(U_2)\cap f(U)\ne \emptyset$인 $U\in \mathcal{U}_2$가 존재하므로 

$y = f(x)$인 $x\in U$가 존재하고 단사 정리로 $f(U_2\cap U)=f(U_2)\cap f(U)\ne \emptyset$임에 따라 $v\in f(U_2\cap U)$가 존재하여

$v = f(u)$인 $u\in U_2\cap U$가 존재하고 $U_2\cap U\ne \emptyset$이므로 별의 정의로 $x\in U\subseteq \operatorname{st}(U_2,\mathcal{U}_2)$가 되어 

$y= f(x)\in f(\operatorname{st}(U_2,\mathcal{U}_2))$임에 따라 $\operatorname{st}(V,f[\mathcal{U}_2])=\operatorname{st}(f(U_2),f[\mathcal{U}_2])\subseteq f(\operatorname{st}(U_2,\mathcal{U}_2))\subseteq f(U_1)$이고

$f(U_1)\in f[\mathcal{U}_1]$이므로 $f[\mathcal{U}_2]$는 $f[\mathcal{U}_1]$의 성형세분이다.

 

 

 

정리4

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$와 임의의 함수 $f:X\to Y$에 대해 다음은 동치이다.

1. $f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

2. 모든 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개 $\mathcal{V}$에 대해

어떤 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $f(U)\subseteq V_U$인 $V_U\in \mathcal{V}$가 존재한다.

3. 모든 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개 $\mathcal{V}$에 대해 $\{ f^{-1}(V) : V\in \mathcal{V}\}$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개이다.

증명

$1\to 2$

임의의 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개 $\mathcal{V}$에 대해 어떤 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여 $\{ D_Y[y] : y\in Y\}$가 $\mathcal{V}$의 세분이고

$f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이므로

어떤 $D_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하여 모든 $(x_1,x_2)\in D_X$에 대해 $(f(x_1),f(x_2))\in D_Y$이다.

균등덮개 정리로 $\{ D_X[x]:x\in X\}$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개이고

모든 $x \in X$에 대해 모든 $y_0 \in f(D_X[x])$은 $y_0 = f(x_0)$인 $x_0\in D_X[x]$이 존재하여

관계의 상의 정의로 $(x,x_0)\in D_X$이므로 $(f(x),f(x_0))\in D_Y$이고

관계의 상의 정의로 $y_0=f(x_0)\in D_Y[f(x)]$이 되어 $f(D_X[x])\subseteq D_Y[f(x)]$이고 

세분의 정의로 $D_Y[f(x)] \subseteq V_{f(x)}$인 $V_{f(x)}\in \mathcal{V}$가 존재함에 따라 $f(D_X[x])\subseteq D_Y[f(x)]\subseteq V_{f(x)}$이다.

$2\to 3$

임의의 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개 $\mathcal{V}$는 $Y$의 덮개이므로 위 정리로 $\{ f^{-1}(V) : V\in \mathcal{V}\}$는 $X$의 덮개이고

어떤 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $f(U)\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하므로

함수 정리로 $U\subseteq f^{-1}(f(U))\subseteq f^{-1}(V)$임에 따라 $\mathcal{U}$는 $\{ f^{-1}(V) : V\in \mathcal{V}\}$의 세분이고

균등덮개 정리로 $\{ f^{-1}(V) : V\in \mathcal{V}\}$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개이다.

$3\to 1$

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 균등공간 정리로 $E_Y\circ E_Y^{-1} \subseteq D_Y$인 $E_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여 

균등덮개 정리로 $\mathcal{V}_{E_Y} = \{ E_Y[y]:y\in Y\}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개이므로

$\{ f^{-1}(V) : V\in \mathcal{V}_{E_Y}\}$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개임에 따라

어떤 $D_X\in \mathcal{D}_X$에 대해 $\{ D_X[x]:x\in X\}$는 $\{ f^{-1}(V) : V\in \mathcal{V}_{E_Y}\}$의 세분이고

모든 $(x_1,x_2)\in D_X$에 대해 $D_X[x_1] \subseteq f^{-1}(V)$인 $V\in \mathcal{V}_{E_Y}$가 존재하여 $V = E_Y[y]$인 $y\in Y$가 존재하고 

균등공간 정리로 $x_1,x_2\in D_X[x_1] \subseteq f^{-1}(V) = f^{-1}(E_Y[y])$이므로 $f(x_1),f(x_2)\in E_Y[y]$이고

관계의 상의 정의로 $(y,f(x_1)),(y,f(x_2))\in E_Y$가 되어 역관계의 정의로 $(f(x_1),y)\in E_Y^{-1}$이므로

합성관계의 정의로 $(f(x_1),f(x_2))\in E_Y\circ E_Y^{-1}\subseteq D_Y$임에 따라 $f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

 

 

 

정의2

임의의 집합 $X$의 모든 덮개들의 집합이 $\mathbf{C}$이고 위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

정규덮개열(normal cover sequence) : 

임의의 $\mathbf{C}$의 수열이 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$일때

모든 $n\in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_{n+1}$이 $\mathcal{U}_n$의 성형세분이면 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$을 $X$의 정규덮개열로 정의한다.

정규열린덮개열 : 

$X$의 정규덮개열이 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$일때

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이면 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$을 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열로 정의한다.

정규덮개(normal cover) : 

임의의 $\mathcal{U}\in \mathbf{C}$에 대해

$\mathcal{U} = \mathcal{U}_1$인 $X$의 정규덮개열 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$이 존재하면 $\mathcal{U}$를 $X$의 정규덮개로 정의한다.

정규열린덮개 : 

임의의 $\mathcal{U}\in \mathbf{C}$에 대해

$\mathcal{U} = \mathcal{U}_1$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$이 존재하면 $\mathcal{U}$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개로 정의한다.

정규덮개족(normal cover family) : 

임의의 부분집합이 $\mathbf{N}\subseteq \mathbf{C}$일때

모든 $\mathcal{V}\in \mathbf{N}$에 대해 어떤 $\mathcal{U}\in \mathbf{N}$가 존재하여 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 성형세분이면 $\mathbf{N}$을 $X$의 정규덮개족으로 정의한다.

정규열린덮개족 : 

$X$의 정규덮개족이 $\mathbf{N}$일때

모든 $\mathcal{V}\in \mathbf{N}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이면 $\mathbf{N}$을 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개족으로 정의한다.

 

 

 

정리5

임의의 집합 $X$의 모든 덮개들의 집합이 $\mathbf{C}$이고 위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 다음이 성립한다.

1. $X$의 정규덮개열 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$은 모든 $n,k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_{n+k}$가 $\mathcal{U}_n$의 성형세분이다.

2. $X$의 정규덮개열 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$은 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_k$가 $X$의 정규덮개이다.

3. $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$은 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_k$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개이다.

4. $X$의 정규덮개열 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$에 대해 $\{ \mathcal{U}_n:n\in \mathbb{Z}^+\}$은 $X$의 정규덮개족이다.

5. $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$에 대해 $\{ \mathcal{U}_n:n\in \mathbb{Z}^+\}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개족이다.

6. $X$의 정규덮개족 $\mathbf{N}$에 대해 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{N}$는 $X$의 정규덮개이다.

7. $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개족 $\mathbf{N}$에 대해 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{N}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개이다.

8. $X$의 모든 정규덮개들의 집합 $\mathbf{N}$은 $X$의 정규덮개족이다.

9. $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 모든 정규열린덮개들의 집합 $\mathbf{N}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개족이다.

10. 임의의 $X$의 덮개 $\mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개이면 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다. 

11. $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간일때 임의의 $X$의 덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$\mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이기 위한 필요충분조건은 $\mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개인 것이다.

증명

1.

$k\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$k=1$이면 정규덮개열의 정의로 $\mathcal{U}_{n+1}$은 $\mathcal{U}_n$의 성형세분이다.

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_{n+r}$이 $\mathcal{U}_n$의 성형세분이면

정규덮개열의 정의로 $\mathcal{U}_{n+r+1}$은 $\mathcal{U}_{n+r}$의 성형세분이므로 덮개 정리로 $\mathcal{U}_{n+r+1}$은 $\mathcal{U}_n$의 성형세분이다.

따라서 모든 $n,k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_{n+k}$가 $\mathcal{U}_n$의 성형세분이다.

2, 3

모든 $n,k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n\ge 1$이고 $k\ge 1$이므로 $n+k -1\ge 2-1 = 1$이 되어 $n+k-1\in \mathbb{Z}^+$이고

정규덮개열의 정의로 $\mathcal{U}_{n+k}$는 $\mathcal{U}_{n+k-1}$의 성형세분이므로 

$(\mathcal{U}_{n +k-1})_{n=1}^\infty$은 $X$의 정규덮개열이고 $\mathcal{U}_k = \mathcal{U}_{1+k-1}$임에 따라 $\mathcal{U}_k$는 $X$의 정규덮개이다.

$(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열이면

$(\mathcal{U}_{n +k-1})_{n=1}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열이므로 $\mathcal{U}_k$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개이다.

4, 5

$\{ \mathcal{U}_n:n\in \mathbb{Z}^+\}$일때 정규덮개열의 정의로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_n\in \mathbf{C}$이므로 $\{ \mathcal{U}_n:n\in \mathbb{Z}^+\}\subseteq \mathbf{C}$이다.

정규덮개열의 정의로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_{n+1}$은 $\mathcal{U}_n$의 성형세분이므로 $\{ \mathcal{U}_n:n\in \mathbb{Z}^+\}$은 $X$의 정규덮개족이다.

$(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열이면

$\{ \mathcal{U}_n:n\in \mathbb{Z}^+\}$은 $X$의 정규덮개족이고 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이므로

$ \{ \mathcal{U}_n:n\in \mathbb{Z}^+\}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개족이다.

6, 7

$\mathcal{U}_1 = \mathcal{U}\in \mathbf{N}$로 둘때 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_k\in \mathbf{N}$가 귀납적으로 정의되면 

정규덮개족의 정의로 어떤 $\mathcal{U}_{k+1}\in \mathbf{N}$이 존재하여 $\mathcal{U}_{k+1}$은 $\mathcal{U}_k$의 성형세분이므로 선택 정리로 $\mathcal{U}_{k+1}$을 선택한다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_{n+1}$이 $\mathcal{U}_n$의 성형세분인 $\mathcal{U}_n\in \mathbf{N}\subseteq \mathbf{C}$이 유일하게 존재하므로 

$(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$은 $X$의 정규덮개열이고 $\mathcal{U}= \mathcal{U}_1$임에 따라 $\mathcal{U}$는 $X$의 정규덮개이다.

$\mathbf{N}$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개족이면 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_n\in \mathbf{N}$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개임에 따라

$(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열이므로 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개이다.

8.

정규덮개의 정의로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{N}$에 대해

$\mathcal{U} = \mathcal{U}_1$인 $X$의 정규덮개열 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여 $\mathcal{U} = \mathcal{U}_1\in \mathbf{C}$이므로 $\mathbf{N}\subseteq \mathbf{C}$이다.

2번으로 $\mathcal{U}_2$는 $X$의 정규덮개이므로 $\mathcal{U}_2\in \mathbf{N}$이고 $\mathcal{U}_2$는 $\mathcal{U} = \mathcal{U}_1$의 성형세분이므로 $\mathbf{N}$은 $X$의 정규덮개족이다.

9.

정규열린덮개의 정의로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{N}$에 대해 $\mathcal{U} = \mathcal{U}_1$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여

$\mathcal{U} = \mathcal{U}_1\in \mathbf{C}$이므로 $\mathbf{N}\subseteq \mathbf{C}$이고 $\mathcal{U} = \mathcal{U}_1$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

3번으로 $\mathcal{U}_2$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개이므로 $\mathcal{U}_2\in \mathbf{N}$이고

$\mathcal{U}_2$는 $\mathcal{U} = \mathcal{U}_1$의 성형세분이므로 $\mathbf{N}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개족이다.

10.

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여 $\mathcal{O} = \mathcal{U}_1$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

11.

$\mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이면

$\mathcal{U}_1 = \mathcal{O}$로 두고 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}_k$가 귀납적으로 정의될때

위상공간 정리와 파라콤팩트 정리로

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}_{k+1}$이 존재하여 $\mathcal{U}_{k+1}$은 $\mathcal{U}_k$의 성형세분이므로 선택 정리로 $\mathcal{U}_{k+1}$을 선택한다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_{n+1}$이 $\mathcal{U}_n$의 성형세분인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}_n$이 유일하게 존재하므로 

$(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열이고 $\mathcal{O}= \mathcal{U}_1$임에 따라 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개이다.

역으로 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개이면 10번으로 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

 

 

 

정리6

임의의 집합 $X$와 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X$의 덮개가 $\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2,\cdots, \mathcal{U}_k$이고

$\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k = \{ U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_k : (U_1,U_2,\cdots, U_k)\in \mathcal{U}_1\times \mathcal{U}_2\times \cdots \times \mathcal{U}_k\}$일때 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $X$의 덮개이다.

2. 모든 $i=1,2,\cdots ,k$에 대해 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $\mathcal{U}_i$의 세분이다. 

3. 임의의 위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

$\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2,\cdots, \mathcal{U}_k$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이면 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

4. 임의의 $A_1,A_2,\cdots, A_k\subseteq X$에 대해

$\operatorname{st}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_k, \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k) \subseteq \operatorname{st}(A_1,\mathcal{U}_1)\cap \operatorname{st}(A_2,\mathcal{U}_2)\cap \cdots \cap \operatorname{st}(A_k,\mathcal{U}_k)$이다.

5. 모든 $x\in X$에 대해 $\operatorname{st}(x, \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k) =\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_1)\cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_2)\cap \cdots \cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_k)$이다.

6. 임의의 $X$의 덮개가 $\mathcal{V}_1,\mathcal{V}_2,\cdots, \mathcal{V}_k$일때 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해

$\mathcal{U}_i$가 $\mathcal{V}_i$의 세분이면 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $\mathcal{V}_1\Cap \mathcal{V}_2\Cap \cdots\Cap \mathcal{V}_k$의 세분이다.

7. 임의의 $X$의 덮개가 $\mathcal{V}_1,\mathcal{V}_2,\cdots, \mathcal{V}_k$일때 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해

$\mathcal{U}_i$가 $\mathcal{V}_i$의 성형세분이면 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $\mathcal{V}_1\Cap \mathcal{V}_2\Cap \cdots\Cap \mathcal{V}_k$의 성형세분이다.

8. 임의의 $X$의 덮개가 $\mathcal{V}_1,\mathcal{V}_2,\cdots, \mathcal{V}_k$일때 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 

$\mathcal{U}_i$가 $\mathcal{V}_i$의 무게중심 세분이면 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $\mathcal{V}_1\Cap \mathcal{V}_2\Cap \cdots\Cap \mathcal{V}_k$의 무게중심 세분이다.

증명

1.

모든 $U\in \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$에 대해

$U = U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_k$인 $(U_1,U_2,\cdots,U_k)\in \mathcal{U}_1\times \mathcal{U}_2\times \cdots\times \mathcal{U}_k$가 존재하여

덮개의 정의로 모든 $i=1,2,\cdots, k$에 대해 $U_i\subseteq X$이므로 $U = U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_k\subseteq X$이다.

덮개의 정의로 모든 $i=1,2,\cdots, k$에 대해 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}_i$는 $x\in U_i$인 $U_i\in \mathcal{U}_i$가 존재하여 

$x\in U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_k\in \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup (\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k)$가 되어 

$X\subseteq \displaystyle \bigcup (\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k)$임에 따라 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $X$의 덮개이다.

2.

모든 $U\in \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$에 대해

$U = U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_k$인 $(U_1,U_2,\cdots,U_k)\in \mathcal{U}_1\times \mathcal{U}_2\times \cdots\times \mathcal{U}_k$가 존재하여

모든 $i=1,2,\cdots, k$에 대해 $U = U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_k\subseteq U_i$이므로 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $\mathcal{U}_i$의 세분이다.

3.

모든 $U\in \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$에 대해

$U = U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_k$인 $(U_1,U_2,\cdots,U_k)\in \mathcal{U}_1\times \mathcal{U}_2\times \cdots\times \mathcal{U}_k$가 존재하여

열린덮개의 정의로 모든 $i=1,2,\cdots, k$에 대해 $U_i\in \mathcal{U}_i\subseteq \mathcal{T}$이므로 

위상공간 정리로 $U = U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_k\in \mathcal{T}$임에 따라 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k\subseteq \mathcal{T}$이고 

1번으로 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $X$의 덮개이므로 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

4.

모든 $i=1,2,\cdots, k$에 대해 $A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_k \subseteq A_i$이고 2번으로 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $\mathcal{U}_i$의 세분이므로 

별 정리로 $\operatorname{st}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_k, \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k) \subseteq \operatorname{st}(A_i,\mathcal{U}_i)$가 되어 

$\operatorname{st}(A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_k, \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k) \subseteq \operatorname{st}(A_1,\mathcal{U}_1)\cap \operatorname{st}(A_2,\mathcal{U}_2)\cap \cdots \cap \operatorname{st}(A_k,\mathcal{U}_k)$이다.

5.

4번과 별의 정의로

$\begin{align*} \operatorname{st}(x, \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k) & = \operatorname{st}(\{x \}, \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k) \\[0.5em] & = \operatorname{st}(\{x \}\cap\{x \}\cap\cdots \cap \{x \} , \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k) \\[0.5em] & \subseteq \operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U}_1)\cap \operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U}_2)\cap \cdots \cap \operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U}_k) = \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_1)\cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_2)\cap \cdots \cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_k)\text{ 이고} \end{align*}$

모든 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_1)\cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_2)\cap \cdots \cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_k)$는 모든 $i=1,2,\cdots, k$에 대해 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_i)$이므로

별의 정의로 $x,y\in U_i$인 $U_i\in \mathcal{U}_i$가 존재하여 $x,y\in U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_k\in \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$임에 따라

$y\in \operatorname{st}(x, \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k) $이고 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_1)\cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_2)\cap \cdots \cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_k)\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k)$이므로 

집합 정리로 $\operatorname{st}(x, \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k) =\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_1)\cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_2)\cap \cdots \cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_k)$이다.

6.

모든 $U\in \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$에 대해

$U = U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_k$인 $(U_1,U_2,\cdots,U_k)\in \mathcal{U}_1\times \mathcal{U}_2\times \cdots\times \mathcal{U}_k$가 존재하여

세분의 정의로 모든 $i=1,2,\cdots,k$에 대해 $U_i\subseteq V_i$인 $V_i\in \mathcal{V}_i$가 존재하므로

$U = U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_k\subseteq V_1\cap V_2\cap \cdots \cap V_k$이고 $V_1\cap V_2\cap \cdots \cap V_k\in \mathcal{V}_1\Cap \mathcal{V}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{V}_k$임에 따라

$\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $\mathcal{V}_1\Cap \mathcal{V}_2\Cap \cdots\Cap \mathcal{V}_k$의 세분이다.

7.

모든 $U\in \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$에 대해

$U = U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_k$인 $(U_1,U_2,\cdots,U_k)\in \mathcal{U}_1\times \mathcal{U}_2\times \cdots\times \mathcal{U}_k$가 존재하여

성형세분의 정의로 모든 $i=1,2,\cdots,k$에 대해 $\operatorname{st}(U_i,\mathcal{U}_i)\subseteq V_i$인 $V_i\in \mathcal{V}_i$가 존재하므로 4번으로

$\operatorname{st}(U, \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k) \subseteq \operatorname{st}(U_1,\mathcal{U}_1)\cap \operatorname{st}(U_2,\mathcal{U}_2)\cap \cdots \cap \operatorname{st}(U_k,\mathcal{U}_k)\subseteq V_1\cap V_2\cap \cdots \cap V_k$이고

$V_1\cap V_2\cap \cdots \cap V_k\in \mathcal{V}_1\Cap \mathcal{V}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{V}_k$임에 따라 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $\mathcal{V}_1\Cap \mathcal{V}_2\Cap \cdots\Cap \mathcal{V}_k$의 성형세분이다.

8.

모든 $x\in X$에 대해 5번으로 $\operatorname{st}(x, \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k) =\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_1)\cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_2)\cap \cdots \cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_k)$이고

무게중심 세분의 정의로 모든 $i=1,2,\cdots,k$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_i)\subseteq V_i$인 $V_i\in \mathcal{V}_i$가 존재하므로 

$\operatorname{st}(x, \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k) =\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_1)\cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_2)\cap \cdots \cap \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_k)\subseteq V_1\cap V_2\cap \cdots \cap V_k$이고

$V_1\cap V_2\cap \cdots \cap V_k\in \mathcal{V}_1\Cap \mathcal{V}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{V}_k$임에 따라 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $\mathcal{V}_1\Cap \mathcal{V}_2\Cap \cdots\Cap \mathcal{V}_k$의 무게중심 세분이다.

 

 

 

정리7

$\mathbf{N}\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$의 정규덮개족이 $\mathbf{N}$이고 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$와 모든 $\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2,\cdots, \mathcal{U}_k\in \mathbf{N}$에 대해

$\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k = \{ U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_k : (U_1,U_2,\cdots, U_k)\in \mathcal{U}_1\times \mathcal{U}_2\times \cdots \times \mathcal{U}_k\}$일때

$X$의 모든 덮개들의 집합 $\mathbf{C}$와 집합 $\mathbf{B} = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty \{ \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k : (\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2,\cdots, \mathcal{U}_k)\in \mathbf{N}^k\}$에 대해

$\mathbf{U} = \{ \mathcal{U}\in \mathbf{C} : \text{어떤 }\mathcal{B}\in \mathbf{B}\text{가 } \mathcal{U}\text{의 세분} \}$인 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

증명

$\mathbf{N}\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{U}\in \mathbf{N}$가 존재하여 $1$-데카르트곱의 정의로 $\mathcal{U}\in \mathbf{N}=\mathbf{N}^1\subseteq \mathbf{B}$임에 따라 $\mathbf{B}\ne \emptyset$이고 

정규덮개족의 정의로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2,\cdots, \mathcal{U}_k\in \mathbf{N}\subseteq \mathbf{C}$는 $X$의 덮개이므로

위 정리로 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $X$의 덮개가 되어 $\mathbf{B}\subseteq \mathbf{C}$이고

모든 $i=1,2,\cdots,k$에 대해 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$는 $\mathcal{U}_i$의 세분이다.

모든 $\mathcal{V},\mathcal{W}\in \mathbf{B}$에 대해 어떤 $n,m\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$\mathcal{V} = \mathcal{V}_1\Cap \cdots \Cap \mathcal{V}_n$이고 $\mathcal{W} = \mathcal{W}_1\Cap \cdots \Cap \mathcal{W}_m$인 $\mathcal{V}_1,\cdots ,\mathcal{V}_n, \mathcal{W}_1,\cdots, \mathcal{W}_m\in \mathbf{N}$이 존재하므로

정규덮개족의 정의로 모든 $i = 1,\cdots, n$와 모든 $j=1,\cdots,m$에 대해

$\mathcal{U}_i, \mathcal{U}_{n+j}\in \mathbf{N}$가 존재하여 $\mathcal{U}_i$는 $\mathcal{V}_i$의 성형세분이고 $\mathcal{U}_{n+j}$는 $\mathcal{W}_j$의 성형세분이다.

$\mathcal{U} = \mathcal{U}_1\Cap  \cdots \Cap \mathcal{U}_n\Cap \mathcal{U}_{n+1}\Cap\cdots \Cap \mathcal{U}_{n+m}$일때 $\mathcal{U} = \mathcal{U}_1\Cap  \cdots \Cap \mathcal{U}_n\Cap \mathcal{U}_{n+1}\Cap\cdots \Cap \mathcal{U}_{n+m}\in \mathbf{B}$이고

모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U = U_1\cap \cdots \cap U_n \cap U_{n+1}\cap \cdots \cap U_{n+m}$인

$(U_1,\cdots ,U_n,U_{n+1},\cdots, U_{n+m})\in \mathcal{U}_1\times \cdots \times \mathcal{U}_n\times \mathcal{U}_{n+1}\times \cdots \times \mathcal{U}_{n+m}$이 존재하여

성형세분의 정의로 모든 $i = 1,\cdots, n$와 모든 $j=1,\cdots,m$에 대해

$\operatorname{st}(U_i,\mathcal{U}_i)\subseteq V_i$이고 $\operatorname{st}(U_{n+j},\mathcal{U}_{n+j})\subseteq W_j$인 $V_i\in \mathcal{V}_i$와 $W_j\in \mathcal{W}_j$가 존재하므로 

$\mathcal{U}$는 $\mathcal{U}_i,\mathcal{U}_{n+j}$의 세분이고 $U\subseteq U_i$와 $U\subseteq U_{n+j}$가 성립함에 따라

별 정리로 $\operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq \operatorname{st}(U_i,\mathcal{U}_i)\subseteq V_i$이고 $\operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq \operatorname{st}(U_{n+j},\mathcal{U}_{n+j})\subseteq W_j$이므로

$\operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq V_1\cap \cdots \cap V_n\in \mathcal{V}$와 $\operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq W_1\cap \cdots \cap W_m\in \mathcal{W}$가 성립하여 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V},\mathcal{W}$의 성형세분이다.

따라서 균등덮개공간 정리로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

 

 

 

정의4

집합의 균등덮개구조의 비교 :

임의의 집합 $X$의 임의의 균등덮개구조 $\mathbf{U},\mathbf{V}$가 $\mathbf{U}\subseteq \mathbf{V}$이면 

$\mathbf{U}$는 $\mathbf{V}$보다 약하다(weaker) 또는 약한 균등덮개구조라고 정의하고 

$\mathbf{V}$는 $\mathbf{U}$보다 강하다(stronger) 또는 강한 균등덮개구조라고 정의한다.

집합의 균등구조의 비교 :

임의의 집합 $X$의 임의의 균등구조 $\mathcal{D}_1,\mathcal{D}_2$가 $\mathcal{D}_1\subseteq \mathcal{D}_2$이면 

$\mathcal{D}_1$은 $\mathcal{D}_2$보다 약하다(weaker) 또는 약한 균등구조라고 정의하고 

$\mathcal{D}_2$는 $\mathcal{D}_1$보다 강하다(stronger) 또는 강한 균등구조라고 정의한다.

 

 

 

정의3

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 균등화가능할때

강한균등덮개공간 :

균등덮개공간 $(X,\mathbf{S})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathbf{S})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathbf{S}$일때

균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathbf{U})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathbf{U}$인 모든 $X$의 균등덮개구조 $\mathbf{U}$에 대해 $\mathbf{U}\subseteq \mathbf{S}$이면 

$(X,\mathbf{S})$를 $(X,\mathcal{T})$의 강한균등덮개공간으로 정의하고 $\mathbf{S}$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등덮개구조로 정의한다.

강한균등공간 :

균등공간 $(X,\mathcal{E})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{E})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathcal{E}$일때

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathcal{D}$인 모든 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}$에 대해 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{E}$이면 

$(X,\mathcal{E})$를 $(X,\mathcal{T})$의 강한균등공간으로 정의하고 $\mathcal{E}$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등구조로 정의한다.

 

 

 

정리8

임의의 집합 $X$에 대해 균등공간 $(X,\mathcal{D}_1),(X,\mathcal{D}_2)$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T}_1),(X,\mathcal{T}_2)$이고

균등덮개공간 $(X,\mathbf{U}),(X,\mathbf{V})$의 생성균등공간이 $(X,\mathcal{D}_\mathbf{U}),(X,\mathcal{D}_\mathbf{V})$이고

$(X,\mathbf{U}),(X,\mathbf{V})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T}_\mathbf{U}),(X,\mathcal{T}_\mathbf{V})$일때 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{D}_1\subseteq \mathcal{D}_2$이면 $\mathcal{T}_1\subseteq \mathcal{T}_2$이다.

2. $\mathbf{U}\subseteq \mathbf{V}$이면 $\mathcal{D}_\mathbf{U}\subseteq \mathcal{D}_\mathbf{V}$이다.

3. $\mathbf{U}\subseteq \mathbf{V}$이면 $\mathcal{T}_\mathbf{U}\subseteq \mathcal{T}_\mathbf{V}$이다.

증명

1.

균등위상공간의 정의로 모든 $O\in \mathcal{T}_1$의 모든 $x\in O$에 대해

$D[x]\subseteq O$인 $D\in \mathcal{D}_1\subseteq \mathcal{D}_2$가 존재하므로 $O\in \mathcal{T}_2$가 되어 $\mathcal{T}_1\subseteq \mathcal{T}_2$이다.

2.

생성균등공간의 정의로 모든 $D\in \mathcal{D}_\mathbf{U}$에 대해

$\displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2\subseteq D$인 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}\subseteq \mathbf{V} $가 존재하므로 $D\in \mathcal{D}_\mathbf{V}$가 되어 $\mathcal{D}_\mathbf{U}\subseteq \mathcal{D}_\mathbf{V}$이다.

3.

$(X,\mathbf{U}),(X,\mathbf{V})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathbf{U}),(X,\mathcal{T}_\mathbf{V})$는 $(X,\mathcal{D}_\mathbf{U}),(X,\mathcal{D}_\mathbf{V})$의 균등위상공간이므로

2번으로 $\mathcal{D}_\mathbf{U}\subseteq \mathcal{D}_\mathbf{V}$임에 따라 1번으로 $\mathcal{T}_\mathbf{U}\subseteq \mathcal{T}_\mathbf{V}$이다.

 

 

 

정리9

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 균등화가능하면 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등덮개구조가 유일하게 존재한다.

2. $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등구조가 유일하게 존재한다.

이때 $(X,\mathcal{T})$의 강한균등덮개공간의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{T})$의 강한균등공간이다.

증명

1.

$X$의 모든 덮개들의 집합 $\mathbf{C}$의 멱집합 $\mathcal{P}(\mathbf{C})$에 대해

$\mathfrak{U} = \{ \mathbf{U}\in \mathcal{P}(\mathbf{C}) :\text{균등덮개공간 }(X,\mathbf{U})\text{의 균등위상공간 } (X,\mathcal{T}_\mathbf{U})\text{가 }\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathbf{U}\}$일때 $(X,\mathcal{T})$는 균등화가능하므로

$X$의 균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여 균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T})$이고

$(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$에 대해

균등공간 정리로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D})$이므로

$(X,\mathbf{U})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathbf{U})$는 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathbf{U}$가 되어 

균등덮개구조의 정의로 $\mathbf{U}\subseteq \mathbf{C}$임에 따라 $\mathbf{U}\in \mathcal{P}(\mathbf{C})$이고 $\mathbf{U}\in \mathfrak{U}$이다.

$\mathbf{N} = \displaystyle \bigcup \mathfrak{U}$일때 균등덮개구조의 정의로 $\mathbf{U}\ne \emptyset$이므로 $\mathbf{U}\subseteq \displaystyle \bigcup \mathfrak{U}= \mathbf{N}$임에 따라 $\mathbf{N}\ne \emptyset$이고

모든 $\mathcal{V}\in \mathbf{N}$에 대해 $\mathcal{V}\in \mathbf{V}$인 $\mathbf{V}\in \mathfrak{U}$가 존재하여 균등덮개구조의 정의로 $\mathcal{V} \in \mathbf{V}\subseteq \mathbf{C}$이므로 $\mathbf{N}\subseteq \mathbf{C}$이고 

균등덮개구조의 정의로 어떤 $\mathcal{U}\in \mathbf{V} \subseteq \displaystyle \bigcup \mathfrak{U}= \mathbf{N}$가 $\mathcal{V}$의 성형세분임에 따라 $\mathbf{N}$은 $X$의 정규덮개족이 되어

위 정리로 $\mathbf{B} = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty \{ \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k : (\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2,\cdots, \mathcal{U}_k)\in \mathbf{N}^k\}$에 대해

$\mathbf{S} = \{ \mathcal{U}\in \mathbf{C} : \text{어떤 }\mathcal{B}\in \mathbf{B}\text{가 } \mathcal{U}\text{의 세분} \}$인 $(X,\mathbf{S})$는 균등덮개공간이고 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{S})$의 기저이다.

$(X,\mathbf{S})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T}_\mathbf{S})$일때

$1$-데카르트곱의 정의와 기저의 정의로 $\mathbf{U} \subseteq \mathbf{N}=\mathbf{N}^1\subseteq \mathbf{B}\subseteq \mathbf{S}$이므로 위 정리로 $\mathcal{T}=\mathcal{T}_\mathbf{U} \subseteq \mathcal{T}_\mathbf{S}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}_\mathbf{S}$의 모든 $x\in O$에 대해 균등덮개구조 정리로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\subseteq O$인 $\mathcal{U}\in \mathbf{B}$가 존재하여

어떤 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U} = \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$인 $\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2,\cdots ,\mathcal{U}_k\in \mathbf{N} = \displaystyle \bigcup \mathfrak{U}$가 존재하므로

모든 $i=1,2,\cdots,k$에 대해 $\mathcal{U}_i\in \mathbf{U}_i$인 $\mathbf{U}_i\in \mathfrak{U}$가 존재하고 $(X,\mathbf{U}_i)$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T})$이므로

균등덮개공간 정리와 기저의 정의로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}_i\in \mathbf{U}_i$가 존재하여 $\mathcal{O}_i$가 $\mathcal{U}_i$의 세분임에 따라

위 정리로 $\mathcal{O}_1\Cap \mathcal{O}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{O}_k$는 $\mathcal{U} = \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{U}_k$의 세분이고

$\mathcal{O}_1\Cap \mathcal{O}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{O}_k$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이므로 별 정리와 별의 정의와 위상공간의 정의로

$x\in \operatorname{st}(x,\mathcal{O}_1\Cap \mathcal{O}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{O}_k)\in \mathcal{T}$이고 $\operatorname{st}(x,\mathcal{O}_1\Cap \mathcal{O}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{O}_k)\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U})\subseteq O$임에 따라

위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{T}_\mathbf{S}\subseteq \mathcal{T}$이고 집합 정리로 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathbf{S}$이므로 $\mathbf{S}\in \mathfrak{U}$이다.

균등덮개공간 $(X,\mathbf{V})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathbf{V})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathbf{V}$인 모든 $X$의 균등덮개구조 $\mathbf{V}$는

$\mathbf{V}\in \mathfrak{U}$이므로 $1$-데카르트곱의 정의와 기저의 정의로 $\mathbf{V} \subseteq \displaystyle \bigcup \mathfrak{U}=\mathbf{N}=\mathbf{N}^1\subseteq \mathbf{B}\subseteq \mathbf{S}$임에 따라

$\mathbf{S}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등덮개구조이다.

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등덮개구조 $\mathbf{S}_1,\mathbf{S}_2$는 $\mathbf{S}_1,\mathbf{S}_2\in \mathfrak{U}$이므로

강한균등덮개구조의 정의로 $\mathbf{S}_1\subseteq \mathbf{S}_2$와 $\mathbf{S}_2\subseteq \mathbf{S}_1$이 성립하여 집합 정리로 $\mathbf{S}_1=\mathbf{S}_2$임에 따라

$(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등덮개구조가 유일하게 존재한다.

2.

1번으로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등덮개구조 $\mathbf{S}$가 존재하여 $(X,\mathbf{S})$는 균등덮개공간이고

$(X,\mathbf{S})$의 생성균등공간이 $(X,\mathcal{D}_\mathbf{S})$일때 $(X,\mathbf{S})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 $(X,\mathcal{D}_\mathbf{S})$의 균등위상공간임에 따라

임의의 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}$에 대해 균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathcal{D}$이면

$(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$에 대해 

균등공간 정리로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D})$이므로

$(X,\mathbf{U})$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D}) = (X,\mathcal{T})$가 되어

강한균등덮개공간의 정의로 $\mathbf{U}\subseteq \mathbf{S}$이고 위 정리로 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{D}_\mathbf{S}$임에 따라 $\mathcal{D}_\mathbf{S}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등구조이다.

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등구조 $\mathcal{D}_1,\mathcal{D}_2$는

강한균등구조의 정의로 $\mathcal{D}_1\subseteq \mathcal{D}_2$와 $\mathcal{D}_2\subseteq \mathcal{D}_1$이 성립하여 집합 정리로 $\mathcal{D}_1=\mathcal{D}_2$임에 따라

$(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등구조가 유일하게 존재한다.

 

 

 

정리10

균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 임의의 $\mathcal{O}\in \mathbf{U}$에 대해

$\mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이기 위한 필요충분조건은 $\mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개인 것이다.

이때 어떤 $\mathbf{U}$의 수열 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여 $\mathcal{O} = \mathcal{U}_1$이고 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열이다.

증명

$\mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이면

$\mathcal{U}_1 = \mathcal{O}\in \mathbf{U}$로 두고 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}_k\in \mathbf{U}$가 귀납적으로 정의될때

균등덮개공간의 정의로 어떤 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 $\mathcal{U}_k$의 성형세분이고

균등덮개공간 정리와 기저의 정의로 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}_{k+1}\in \mathbf{U}$이 $\mathcal{U}$의 세분이므로 

선택 정리로 $\mathcal{U}_{k+1}$을 선택하면 덮개 정리로 $\mathcal{U}_{k+1}$은 $\mathcal{U}_k$의 성형세분이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_{n+1}$이 $\mathcal{U}_n$의 성형세분인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}_n\in \mathbf{U}$이 유일하게 존재하므로 

$(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열이고 $\mathcal{O}= \mathcal{U}_1$임에 따라 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개이다.

역으로 $\mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개이면 위 정리로 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

 

 

 

정리11

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 균등화가능할때 $(X,\mathcal{T})$의 강한균등덮개공간 $(X,\mathbf{S})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 모든 정규열린덮개들의 집합은 $(X,\mathbf{S})$의 기저이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간일때

$(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 모든 열린덮개들의 집합은 $(X,\mathbf{S})$의 기저이다.

증명

1.

$X$의 모든 덮개들의 집합이 $\mathbf{C}$이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 모든 정규열린덮개들의 집합이 $\mathbf{O}$일때

임의의 $\mathcal{U}\in \mathbf{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여 $\mathcal{U} = \mathcal{U}_1$이고

$(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$은 $\mathbf{C}$의 수열이므로 $\{ \mathcal{U}_n:n\in \mathbb{Z}^+\}\subseteq \mathbf{C}$이고 강한균등덮개공간의 정의로 $\mathbf{S}\subseteq \mathbf{C}$가 되어

$\mathbf{N} = \mathbf{S} \cup \{ \mathcal{U}_n:n\in \mathbb{Z}^+\}$은 $\mathbf{N}\subseteq \mathbf{C}$이고 $\mathbf{N}\ne \emptyset$이다.

모든 $\mathcal{W}\in \mathbf{N}$에 대해 $\mathcal{W}\in \mathbf{S}$이면 균등덮개공간의 정의로 어떤 $\mathcal{V}\in \mathbf{S}\subseteq \mathbf{N}$가 $\mathcal{W}$의 성형세분이고 

$\mathcal{W} = \mathcal{U}_n$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하면 정규열린덮개열의 정의로 $\mathcal{U}_{n+1}\in \mathbf{N}$이 $\mathcal{W}$의 성형세분이므로 

$\mathbf{N}$은 $X$의 정규덮개족이 되어 위 정리로 $\mathbf{B} = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty \{ \mathcal{V}_1\Cap \mathcal{V}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{V}_k : (\mathcal{V}_1,\mathcal{V}_2,\cdots, \mathcal{V}_k)\in \mathbf{N}^k\}$에 대해

$\mathbf{U} = \{ \mathcal{V}\in \mathbf{C} : \text{어떤 }\mathcal{B}\in \mathbf{B}\text{가 } \mathcal{V}\text{의 세분} \}$인 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

강한균등덮개공간의 정의로 $(X,\mathbf{S})$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T})$이고 

$1$-데카르트곱의 정의와 기저의 정의로 $\mathbf{S}\subseteq \mathbf{N} = \mathbf{N}^1 \subseteq \mathbf{B}\subseteq \mathbf{U}$가 되어

$(X,\mathbf{U})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathbf{U})$는 위 정리로 $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}_\mathbf{U}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}_\mathbf{U}$의 모든 $x\in O$에 대해 균등덮개공간 정리로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{B})\subseteq O$인 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 존재하여

어떤 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{B} = \mathcal{V}_1\Cap \mathcal{V}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{V}_k$인 $\mathcal{V}_1,\mathcal{V}_2,\cdots ,\mathcal{V}_k\in \mathbf{N}$가 존재하므로

모든 $i=1,2,\cdots,k$에 대해 $\mathcal{V}_i\in \mathbf{S}$이면

균등덮개공간 정리와 기저의 정의로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}_i\in \mathbf{S}$가 존재하여 $\mathcal{O}_i$는 $\mathcal{V}_i$의 세분이고

$\mathcal{V}_i = \mathcal{U}_{n_i}$인 $n_i\in \mathbb{Z}^+$가 존재하면 정규열린덮개열의 정의로 $\mathcal{U}_{n_i}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이므로

$\mathcal{O}_i = \mathcal{U}_{n_i} = \mathcal{V}_i$로 둘때 덮개 정리로 $\mathcal{O}_i$는 $\mathcal{V}_i$의 세분이 되어 

위 정리로 $\mathcal{O}_1\Cap \mathcal{O}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{O}_k$는 $\mathcal{B} = \mathcal{V}_1\Cap \mathcal{V}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{V}_k$의 세분이고

$\mathcal{O}_1\Cap \mathcal{O}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{O}_k$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이므로 별 정리와 별의 정의와 위상공간의 정의로

$x\in \operatorname{st}(x,\mathcal{O}_1\Cap \mathcal{O}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{O}_k)\in \mathcal{T}$이고 $\operatorname{st}(x,\mathcal{O}_1\Cap \mathcal{O}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{O}_k)\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{B})\subseteq O$임에 따라

위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{T}_\mathbf{U}\subseteq \mathcal{T}$이고 집합 정리로 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathbf{U}$이다.

강한균등덮개공간의 정의로 $\mathbf{U}\subseteq \mathbf{S}$가 되어 집합 정리로 $\mathbf{U}=\mathbf{S}$이고

기저의 정의로 $\mathcal{U} = \mathcal{U}_1\in \mathbf{N} \subseteq \mathbf{U}=\mathbf{S}$임에 따라 $\mathbf{O}\subseteq \mathbf{S}$이다.

모든 $\mathcal{V}\in \mathbf{S}$에 대해

균등덮개공간 정리와 기저의 정의로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}\in \mathbf{S}$가 존재하여 $\mathcal{O}$는 $\mathcal{V}$의 세분이고

위 정리로 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개이므로 $\mathcal{O}\in \mathbf{O}$가 되어 

$(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 모든 정규열린덮개들의 집합 $\mathbf{O}$는 $\mathbf{S}$의 기저이다.

2.

$(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 모든 정규열린덮개들의 집합 $\mathbf{N}$과 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 모든 열린덮개들의 집합 $\mathbf{O}$에 대해 

위 정리로 $\mathbf{N} = \mathbf{O}$이므로 1번으로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 모든 열린덮개들의 집합 $\mathbf{N} = \mathbf{O}$는 $(X,\mathbf{S})$의 기저이다.

 

 

 

정리12

임의의 집합 $X$의 덮개 $\mathcal{U},\mathcal{V}$에 대해 $D_\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2$이고 $D_\mathcal{V} = \displaystyle \bigcup_{V\in \mathcal{V}}V^2$일때

$X$의 대각관계 $\Delta_X$와 $X$의 $2$-데카르트곱 $X^2$에 대해 임의의 $D,E\subseteq X^2$가 $\Delta_X\subseteq D,E$이면 다음이 성립한다.

1. $\Delta_X \subseteq D_\mathcal{U}$

2. $D_\mathcal{U}$의 역관계는 $D_\mathcal{U}^{-1} = D_\mathcal{U}$이다.

3. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분이면 $D_\mathcal{U} $ $\circ$ $D_\mathcal{U}^{-1} = D_\mathcal{U}\circ D_\mathcal{U} \subseteq D_\mathcal{V}$이다.

4. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 성형세분이면 $D_\mathcal{U}\circ D_\mathcal{U}^{-1}= D_\mathcal{U}\circ D_\mathcal{U} \subseteq D_\mathcal{V}$이다.

5. $\{ D[x] : x\in X\}$는 $X$의 덮개이다.

6. $E\circ E^{-1}\subseteq D$이면 $\{ E[x] : x\in X\}$는 $\{ D[x] : x\in X\}$의 무게중심 세분이다.

증명

덮개의 정의로 모든 $U\in \mathcal{U}$와 모든 $V\in \mathcal{V}$는 $U\subseteq X$와 $V\subseteq X$가 성립하여

$2$-데카르트곱의 정의로 $U^2\subseteq X^2$와 $V^2\subseteq X^2$가 성립하므로 $D_\mathcal{U}\subseteq X^2$와 $D_\mathcal{V}\subseteq X^2$가 성립한다.

1.

덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$에 대해

$x\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 $(x,x)\in U^2\subseteq D_\mathcal{U}$이므로 대각관계의 정의로 $\Delta_X\subseteq D_\mathcal{U}$이다.

2.

모든 $(x,y)\in D_\mathcal{U}$에 대해 $(x,y)\in U^2$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 $(y,x)\in U^2\subseteq D_\mathcal{U}$이므로

역관계의 정의로 $(x,y)\in D_\mathcal{U}^{-1}$임에 따라 $D_\mathcal{U} \subseteq D_\mathcal{U}^{-1}$이고

관계 정리로 $D_\mathcal{U}^{-1} \subseteq (D_\mathcal{U}^{-1})^{-1} = D_\mathcal{U}$이므로 집합 정리로 $D_\mathcal{U}^{-1} = D_\mathcal{U}$이다.

3.

합성관계의 정의로 모든 $(x,y)\in D_\mathcal{U}\circ \mathcal{D}_\mathcal{U}$는 $(x,z),(z,y)\in D_\mathcal{U}$인 $z\in X$가 존재하므로 

$(x,z)\in U_1^2$이고 $(z,y)\in U_2^2$인 $U_1,U_2\in \mathcal{U}$가 존재하여 $x,z\in U_1$와 $z,y\in U_2$가 성립하고

무게중심 세분의 정의로 $\operatorname{st}(z,\mathcal{U})\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여

별 정리로 $x\in U_1\subseteq \operatorname{st}(z,\mathcal{U})\subseteq V$이고 $y\in U_2\subseteq \operatorname{st}(z,\mathcal{U})\subseteq V$이므로

$(x,y)\in V^2\subseteq D_\mathcal{V}$임에 따라 2번으로 $D_\mathcal{U}\circ D_\mathcal{U}^{-1}=D_\mathcal{U}\circ D_\mathcal{U} \subseteq D_\mathcal{V}$이다.

4.

덮개 정리로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분이므로 3번으로 $D_\mathcal{U}\circ D_\mathcal{U}^{-1}=D_\mathcal{U}\circ D_\mathcal{U} \subseteq D_\mathcal{V}$이다.

5.

$\mathcal{W} = \{D[x] : x\in X \}$일때 관계의 상의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $D[x]\subseteq X$이고

관계 정리로 $x\in \{ x\}=\Delta_X[x]\subseteq D[x]\in \mathcal{W}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{W}$가 되어 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{W}$임에 따라

$\mathcal{W} = \{D[x] : x\in X \}$는 $X$의 덮개이다.

6.

$\mathcal{W}_E = \{E[x] : x\in X \}$일때 모든 $x\in X$에 대해 

모든 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{W}_E)$에 대해 별의 정의로 $x,y\in E[z]$인 $z\in X$가 존재하여 관계의 상의 정의로 $(z,x),(z,y)\in E$이고

역관계의 정의로 $(x,z)\in E^{-1}$이므로 합성관계의 정의로 $(x,y)\in E\circ E^{-1}\subseteq D$임에 따라

관계의 상의 정의로 $y\in D[x]$이고 $\operatorname{st}(x,\mathcal{W}_E)\subseteq D[x]$가 되어

$\mathcal{W}_E = \{E[x] : x\in X \}$는 $\{D[x] : x\in X \}$의 무게중심 세분이다.

 

 

 

정리13

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 균등화가능하고 $(X,\mathcal{T})$의 강한균등공간이 $(X,\mathcal{D})$이면

$(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간 $(X^2,\mathcal{P})$와 $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 $\mathcal{O} = \{ O\in \mathcal{P} : \Delta_X\subseteq O\}$이고

$\mathcal{N} = \{ O\in \mathcal{O} : \text{모든 } n\in \mathbb{Z}^+\text{에 대해 } D_{n+1}\circ D_{n+1}\subseteq D_n \text{인 어떤 }\mathcal{O}\text{의 수열 } (D_n)_{n=1}^\infty\text{에 대해 }O = D_1\}\text{ 일때 다음이 성립한다.}$

1. $\mathcal{N}$은 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간일때 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$의 강한균등덮개공간이 $(X,\mathbf{S})$일때 위 정리로 $(X,\mathbf{S})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D})$이다.

1.

위 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 모든 정규열린덮개들의 집합 $\mathbf{N}$은 $(X,\mathbf{S})$의 기저이므로 

임의의 $\mathcal{U}\in \mathbf{N}$에 대해 $E_\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2$일때 균등덮개공간 정리로 $\{ E_\mathcal{U}:\mathcal{U}\in \mathbf{N}\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

임의의 $O\in \mathcal{N}$는 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E_{n+1}\circ E_{n+1}\subseteq E_n$인 어떤 $\mathcal{O}$의 수열 $(E_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여 $O = E_1$이고

$E_n\in \mathcal{O}$이므로 $\Delta_X\subseteq E_n$이 되어 관계 정리로 $\Delta_X=\Delta_X^{-1}\subseteq E_n^{-1}$임에 따라 곱공간 정리로 $E_n^{-1}\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{P}$이고

위상공간의 정의로 $E_n\cap E_n^{-1}\in \mathcal{P}$이므로 $\Delta_X =\Delta_X \cap \Delta_X \subseteq E_n\cap E_n^{-1}$임에 따라 $E_n\cap E_n^{-1}\in \mathcal{O}$이 되어

$D_n = E_n\cap E_n^{-1}$으로 둘때 관계 정리로 $D_n = D_n^{-1}$이고 $E_{n+1}^{-1}\circ E_{n+1}^{-1}=(E_{n+1}\circ E_{n+1})^{-1}\subseteq E_n^{-1}$임에 따라 

합성관계의 정의로 모든 $(x,y)\in D_{n+1}\circ D_{n+1}$에 대해 $(x,z),(z,y)\in D_{n+1}$인 $z\in X$가 존재하여 

$(x,z),(z,y)\in D_{n+1} \subseteq E_{n+1}$이므로 $(x,y)\in E_{n+1}\circ E_{n+1}\subseteq E_n$이고 

$(x,z),(z,y)\in D_{n+1} \subseteq E_{n+1}^{-1}$이므로 $(x,y)\in E_{n+1}^{-1}\circ E_{n+1}^{-1}\subseteq E_n^{-1}$이 되어 

$(x,y)\in E_n\cap E_n^{-1} = D_n$임에 따라 $D_{n+1}\circ D_{n+1}^{-1} = D_{n+1}\circ D_{n+1}\subseteq D_n$이다.

$(D_n)_{n=1}^\infty$은 $\mathcal{O}$의 수열이고 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_n = \{ D_n[x] : x\in X\}$일때

$D_n\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{P}$이므로 곱공간 정리로 $\mathcal{U}_n\subseteq \mathcal{T}$가 되어

$\Delta_X\subseteq D_n$임에 따라 위 정리로 $\mathcal{U}_n = \{ D_n[x] : x\in X\}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이고

$X = \emptyset$이면 $\mathcal{U}_{n+2}=\emptyset$이므로 공허하게 $\mathcal{U}_{n+2}=\emptyset$는 $\mathcal{U}_n$의 성형세분이고

$X\ne \emptyset$이면 $\mathcal{U}_n\ne \emptyset$이 되어 위 정리로 $\mathcal{U}_{n +2}$는 $\mathcal{U}_{n+1}$의 무게중심 세분이고 $\mathcal{U}_{n +1}$은 $\mathcal{U}_n$의 무게중심세분임에 따라 

덮개 정리로 $\mathcal{U}_{n+2}$는 $\mathcal{U}_n$의 성형세분이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_{2\cdot (n+1)}=\mathcal{U}_{2\cdot n +2}$은 $\mathcal{U}_{2\cdot n}$의 성형세분이므로

$(\mathcal{U}_{2\cdot n})_{n=1}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열이 되어 $\mathcal{U}_2 =\mathcal{U}_{2\cdot 1}\in \mathbf{N}$이고 기저의 정의로 $E_{\mathcal{U}_2}\in \mathcal{D}$이다.

모든 $(x,y)\in E_{\mathcal{U}_2}$에 대해

$(x,y)\in (D_2[z])^2$인 $z\in X$가 존재하여 $x,y\in D_2[z]$이고 관계의 상의 정의로 $(z,x),(z,y)\in D_2$이므로

역관계의 정의로 $(x,z)\in D_2^{-1}$이 되어 합성관계의 정의로 $(x,y)\in D_2\circ D_2^{-1}\subseteq D_1$임에 따라

$E_{\mathcal{U}_2}\subseteq D_1 \subseteq E_1 = O$이고 균등공간의 정의로 $O\in \mathcal{D}$이므로 $\mathcal{N}\subseteq \mathcal{D}$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 기저의 정의로 $E_\mathcal{U}\subseteq D$인 $\mathcal{U}\in \mathbf{N}$가 존재하여

정규열린덮개의 정의로 $\mathcal{U} = \mathcal{U}_1$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 정규열린덮개열 $(\mathcal{U}_n)_{n=1}^\infty$이 존재하고

열린덮개의 정의로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_n \subseteq \mathcal{T}$이므로 모든 $U\in \mathcal{U}_n$에 대해 곱공간 정리로 $U^2\in \mathcal{P}$가 되어 

위상공간의 정의로 $E_{\mathcal{U}_n} = \displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}_n}U^2\in \mathcal{P}$이고

위 정리로 $\Delta_X \subseteq E_{\mathcal{U}_n}$과 $E_{\mathcal{U}_{n+1}}\circ E_{\mathcal{U}_{n+1}}\subseteq E_{\mathcal{U}_n}$이 성립함에 따라 $E_\mathcal{U}=E_{\mathcal{U}_1}\in \mathcal{N}$이므로 $\mathcal{N}$은 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

2.

위 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 모든 열린덮개들의 집합 $\mathbf{O}$는 $(X,\mathbf{S})$의 기저이므로 

임의의 $\mathcal{U}\in \mathbf{O}$에 대해 $D_\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2$일때 균등덮개공간 정리로 $\{ D_\mathcal{U}:\mathcal{U}\in \mathbf{O}\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

임의의 $O\in \mathcal{O}$에 대해 $\mathcal{W} = \{ U\cap V : U\times V \subseteq O \text{인 }(U,V)\in \mathcal{T}^2\}$일때

모든 $W\in \mathcal{W}$는 $W = U\cap V$인 $U,V\in \mathcal{T}$가 존재하여 위상공간의 정의로 $W= U\cap V\in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{W}\subseteq \mathcal{T}$이고

곱공간 정리로 $\{ U\times V : (U,V)\in \mathcal{T}^2\}$는 $(X^2,\mathcal{P})$의 기저이므로 모든 $x\in X$에 대해

대각관계의 정의로 $(x,x)\in \Delta_X \subseteq O$임에 따라 기저 정리로 $(x,x)\in U\times V\subseteq O$인 $U,V\in \mathcal{T}$가 존재하여

$x\in U\cap V\in \mathcal{W}$이고 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{W}$이므로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{W}$가 되어 $\mathcal{W}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개임에 따라 $\mathcal{W}\in \mathbf{O}$이다.

모든 $(x,y)\in D_\mathcal{W}$에 대해 $(x,y)\in W^2$인 $W\in \mathcal{W}$가 존재하여

$x,y\in W = U\cap V$이고 $U\times V\subseteq O$인 $U,V\in \mathcal{T}$가 존재하므로 

$(x,y)\in W^2 = W\times W = (U\cap V)\times (U\cap V)\subseteq U\times V \subseteq O$임에 따라 $D_\mathcal{W}\subseteq O$이고 

기저의 정의로 $D_\mathcal{W}\in \mathcal{D}$이므로 균등공간의 정의로 $O\in \mathcal{D}$가 되어 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{D}$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 기저의 정의로 $D_\mathcal{U}\subseteq D$인 $\mathcal{U}\in \mathbf{O}$가 존재하여

열린덮개의 정의로 $\mathcal{U} \subseteq \mathcal{T}$이므로 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 곱공간 정리로 $U^2\in \mathcal{P}$임에 따라

위상공간의 정의로 $D_{\mathcal{U}} = \displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2\in \mathcal{P}$이고 위 정리로 $\Delta_X \subseteq D_{\mathcal{U}}$이므로 $D_\mathcal{U}\in \mathcal{O}$가 되어 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

 

 

 

정리14

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 모든 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$에 대해

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$가 존재하여 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이고 $\mathcal{U}$의 세분이다.

증명

균등덮개의 정의로 어떤 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\{ D[x]:x\in X\}$는 $\mathcal{U}$의 세분이고 $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P})$일때

균등공간 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)\in \mathcal{D}$이고 내부 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이므로

곱공간 정리로 $E= \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)$는 모든 $x\in X$에 대해 $E[x]$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라  

균등공간 정리로 $\{ E[x]: x\in X\}\subseteq \mathcal{T}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이고 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이다.

내부 정리로 $E= \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)\subseteq D$이므로 관계 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $E[x]\subseteq D[x]$가 되어

$\{ E[x]: x\in X\}$는 $\{ D[x]:x\in X\}$의 세분이므로 덮개 정리로 $\{ E[x]: x\in X\}$는 $\mathcal{U}$의 세분이다.

 

 

 

정리15

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$가 균등화가능할때

$(X,\mathcal{T}_X)$의 강한균등공간이 $(X,\mathcal{D}_X)$이고 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y)$이면

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수 $f:X\to Y$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

증명

$(X,\mathcal{T}_X)$의 강한균등덮개공간이 $(X,\mathbf{S})$일때 위 정리로 $(X,\mathbf{S})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D}_X)$이다.

균등공간 정리로 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{V}$에 대해

$(Y,\mathbf{V})$는 균등덮개공간이고 $(Y,\mathbf{V})$의 생성균등공간은 $(Y,\mathcal{D}_Y)$이다.

임의의 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개 $\mathcal{V}$에 대해

위 정리로 어떤 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $Y$의 열린덮개 $\mathcal{O}$가 존재하여 $\mathcal{O}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개이고 $\mathcal{V}$의 세분이므로 

$\mathcal{O}\in \mathbf{V}$임에 따라 위 정리로 $\mathcal{O}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $Y$의 정규열린덮개이다.

$\mathcal{O} = \mathcal{O}_1$인 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $Y$의 정규열린덮개열 $(\mathcal{O}_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여 위 정리와 연속함수 정리로

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f^{-1}[\mathcal{O}_n] = \{ f^{-1}(O): O\in \mathcal{O}_n\}$은 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $X$의 열린덮개이고

$\mathcal{O}_{n+1}$이 $\mathcal{O}_n$의 성형세분임에 따라 위 정리로 $f^{-1}[\mathcal{O}_{n+1}]$은 $f^{-1}[\mathcal{O}_n]$의 성형세분이므로 

$(f^{-1}[\mathcal{O}_n])_{n=1}^\infty$은 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $X$의 정규열린덮개열이 되어 위 정리와 기저의 정의로 $f^{-1}[\mathcal{O}]=f^{-1}[\mathcal{O}_1]\in \mathbf{S}$이고

균등덮개공간 정리로 $f^{-1}[\mathcal{O}]$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개이므로 위 정리로 $f^{-1}[\mathcal{O}]$가 $f^{-1}[\mathcal{V}]$의 세분임에 따라

균등공간 정리로 $f^{-1}[\mathcal{V}] = \{ f^{-1}(V): V\in \mathcal{V}\}$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개가 되어

위 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

 

 

 

정리16

균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$의 기저가 $\mathbf{B}$이고 임의의 양의 정수가 $n\in \mathbb{Z}^+$일때

모든 $\mathcal{U}_1, \mathcal{U}_2,\cdots, \mathcal{U}_n\in \mathbf{U}$에 대해 어떤 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 존재하여 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{U}_1, \mathcal{U}_2,\cdots, \mathcal{U}_n$의 성형세분이다.

증명

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$n = 1$일때 임의의 $\mathcal{U}_1\in \mathbf{U}$에 대해 균등덮개공간의 정의로 어떤 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{U}_1$의 성형세분이고

기저의 정의로 어떤 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 존재하여 $\mathcal{B}$가 $\mathcal{U}$의 세분이므로 덮개 정리로 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{U}_1$의 성형세분이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 $\mathcal{U}_1, \mathcal{U}_2,\cdots, \mathcal{U}_k\in \mathbf{U}$의 성형세분인 $\mathcal{B}_k\in \mathbf{B}$가 존재할때

기저의 정의로 $\mathcal{B}_k\in \mathbf{B}\subseteq \mathbf{U}$이므로 임의의 $\mathcal{U}_{k+1}\in \mathbf{U}$에 대해

균등덮개공간의 정의로 어떤 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{B}_k,\mathcal{U}_{k+1}$의 성형세분이고

덮개 정리로 모든 $i=1,2,\cdots,k$에 대해 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{U}_i$의 성형세분이므로 

기저의 정의로 어떤 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 존재하여 $\mathcal{B}$가 $\mathcal{U}$의 세분임에 따라

덮개 정리로 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2,\cdots, \mathcal{U}_k,\mathcal{U}_{k+1}$의 성형세분이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리17

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 균등화가능할때 $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 콤팩트공간이면 

$(X,\mathcal{T})$의 강한균등덮개공간 $(X,\mathbf{S})$와 $(X,\mathcal{T})$의 강한균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $X\ne \emptyset$이면

균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathbf{U})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathbf{U}$인 모든 $X$의 균등덮개구조 $\mathbf{U}$는 $\mathbf{U} = \mathbf{S}$이다.

2. 균등공간 $(X,\mathcal{E})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{E})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathcal{E}$인 모든 $X$의 균등구조 $\mathcal{E}$는 $\mathcal{E} = \mathcal{D}$이다.

증명

1.

강한균등덮개공간의 정의로 $\mathbf{U}\subseteq \mathbf{S}$이고 콤팩트 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이므로

위 정리로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개들의 집합 $\mathbf{O}$가 $(X,\mathbf{S})$의 기저임에 따라

모든 $\mathcal{S}\in \mathbf{S}$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$가 존재하여 $\mathcal{O}$는 $\mathcal{S}$의 세분이다.

$\mathcal{U} = \{ V\in \mathcal{T} : \text{어떤 } \mathcal{V}\in \mathbf{U}\text{와 어떤 }S\in \mathcal{S}\text{에 대해 }V\in \mathcal{V}\text{이고 }\operatorname{st}(V,\mathcal{V})\subseteq S\} $일때

열린덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$에 대해 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$가 존재하여 

균등덮개공간 정리로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{W}_x)\subseteq O$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{W}_x\in \mathbf{U}$가 존재하고

위 정리와 균등덮개공간 정리로 $\mathcal{W}_x$의 성형세분인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{V}_x\in \mathbf{U}$가 존재하므로

열린덮개의 정의로 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{V}_x$임에 따라 $x\in V_x$인 $V_x\in \mathcal{V}_x\subseteq \mathcal{T}$가 존재하고

성형세분의 정의로 $\operatorname{st}(V_x,\mathcal{V}_x)\subseteq W_x$인 $W_x\in \mathcal{W}_x$가 존재하여 별 정리로 $x\in V_x\subseteq \operatorname{st}(V_x,\mathcal{V}_x)\subseteq W_x$이므로

세분의 정의로 $O\subseteq S$인 $S\in \mathcal{S}$가 존재함에 따라 별 정리로 $\operatorname{st}(V_x,\mathcal{V}_x)\subseteq W_x\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{W}_x)\subseteq O \subseteq S$이고

$x\in V_x\in \mathcal{U}$가 되어 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이므로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이고 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{T}$임에 따라 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

콤팩트공간의 정의로

유한집합인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{U}$가 존재하여 $X\ne \emptyset$이므로 덮개 정리로 $\mathcal{F}\ne \emptyset$임에 따라

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{F} = \{ U_1,U_2,\cdots, U_n\}$인 $U_1,U_2,\cdots, U_n\in \mathcal{T}$이 존재하고 

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $U_i\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{U}$이므로

어떤 $\mathcal{U}_i\in \mathbf{U}$와 어떤 $S_i\in \mathcal{S}$가 존재하여 $U_i\in \mathcal{U}_i$이고 $\operatorname{st}(U_i,\mathcal{U}_i)\subseteq S_i$이다.

위 정리와 균등덮개공간 정리로 어떤 $\mathcal{U}_0\in \mathbf{U}$이 존재하여 $\mathcal{U}_0$은 $\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2,\cdots ,\mathcal{U}_n$의 성형세분이므로

모든 $U_0 \in \mathcal{U}_0$에 대해 $U_0 = \emptyset$이면 $U_0 = \emptyset \subseteq S_n$이고 

$U_0\ne \emptyset$이면 어떤 $u\in U_0$가 존재하여

덮개의 정의로 $u\in U_0\subseteq X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F} = U_1\cup U_2\cup \cdots \cup U_n$이므로 $u\in U_i$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재하고

$u\in U_0\cap U_i$가 되어 $U_0\cap U_i\ne \emptyset$이므로 덮개 정리로 $\mathcal{U}_0$이 $\mathcal{U}_i$의 세분임에 따라

별의 정의와 별 정리로 $U_0\subseteq \operatorname{st}(U_i,\mathcal{U}_0) \subseteq \operatorname{st}(U_i,\mathcal{U}_i)\subseteq S_i$이고

$\mathcal{U}_0$은 $\mathcal{S}$의 세분이 되어 균등덮개공간의 정의로 $\mathcal{S}\in \mathbf{U}$이므로 $\mathbf{S}\subseteq \mathbf{U}$이고 집합 정리로 $\mathbf{U}=\mathbf{S}$이다.

2.

위 정리로 $(X,\mathbf{S})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D})$이다.

균등공간 정리로 $(X,\mathcal{E})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$에 대해

$(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{E})$이므로

$(X,\mathbf{U})$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{E}) = (X,\mathcal{T})$가 되어 강한균등덮개공간의 정의로 $\mathbf{U}\subseteq \mathbf{S}$이다.

$X = \emptyset$이면 균등공간의 정의로 $\mathcal{E}\ne \emptyset$이므로 $E\in \mathcal{E}$가 존재하여 균등공간 정리로 $\emptyset =\{ E[x] : x\in X\}\in \mathbf{U}$이고

모든 $\mathcal{S}\in \mathbf{S}$에 대해 $\emptyset \subseteq \mathcal{S}$임에 따라 덮개 정리로 $\emptyset$은 $\mathcal{S}$의 세분이므로

균등덮개공간의 정의로 $\mathcal{S}\in \mathbf{U}$가 되어 $\mathbf{S}\subseteq \mathbf{U}$이고 집합 정리로 $\mathbf{U}=\mathbf{S}$이다.

$X\ne \emptyset$이면 1번으로 $\mathbf{U}=\mathbf{S}$이므로 $(X,\mathbf{U})=(X,\mathbf{S})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{E}) = (X,\mathcal{D})$가 되어 $\mathcal{E} = \mathcal{D}$이다.

 

 

 

정리18

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$일때

$(X,\mathcal{T}_X)$가 하우스도르프 공간이고 콤팩트공간이면

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수 $f:X\to Y$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

증명

$(X,\mathcal{T}_X)$는 균등화가능하므로 위 정리로 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $X$의 강한균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여

위 정리와 위 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{D}_X) = (X,\mathcal{D})$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/125#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/125#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797