파라콤팩트 공간(Paracompact space)

정의1

덮개(cover) :

임의의 집합 $X$에 대해 모든 $A\in \mathcal{A}$가 $A\subseteq X$인 임의의 집합족 $\mathcal{A}$가 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{A}$이면 $\mathcal{A}$를 $X$의 덮개로 정의한다.

덮개의 세분(refinement) :

임의의 집합 $X$의 덮개가 $\mathcal{U},\mathcal{V}$일때

모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U\subseteq V_U$인 $V_U\in \mathcal{V}$가 존재하면

$\mathcal{U}$를 $\mathcal{V}$의 세분 또는 $X$에서 세분으로 정의한다.

덮개에 대한 부분집합과 점의 별(star) : 

임의의 집합 $X$의 덮개가 $\mathcal{U}$일때 임의의 $A\subseteq X$와 임의의 $x\in X$에 대해

$\operatorname{st}(A,\mathcal{U}) = \displaystyle \bigcup \{U\in \mathcal{U}: A\cap U\ne \emptyset \}$를 $A$의 $\mathcal{U}$-별 또는 $X$에서 $\mathcal{U}$-별로 정의하고

$\operatorname{st}(x,\mathcal{U})=\operatorname{st}(\{ x\},\mathcal{U}) = \displaystyle \bigcup \{U\in \mathcal{U}: \{ x\}\cap U\ne \emptyset \}$를 $x$의 $\mathcal{U}$-별 또는 $X$에서 $\mathcal{U}$-별로 정의한다.

덮개의 성형 세분(star refinement) : 

임의의 집합 $X$의 덮개가 $\mathcal{U},\mathcal{V}$일때

모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $\operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq V_U$인 $V_U\in \mathcal{V}$가 존재하면

$\mathcal{U}$를 $\mathcal{V}$의 성형 세분 또는 $X$에서 성형 세분으로 정의한다.

덮개의 무게중심 세분(barycentric refinement) : 

임의의 집합 $X$의 덮개가 $\mathcal{U},\mathcal{V}$일때

모든 $x\in X$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\subseteq V_x$인 $V_x\in \mathcal{V}$가 존재하면

$\mathcal{U}$를 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분 또는 $X$에서 무게중심 세분으로 정의한다.

 

 

 

정리1

임의의 집합 $X$의 덮개 $\mathcal{U},\mathcal{V}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $X\ne \emptyset$이면 $\mathcal{U}\ne \emptyset$이다.

2. $X = \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이다.

3. $\mathcal{U} \subseteq \mathcal{V}$이면 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 세분이다.

4. 모든 $A\subseteq X$의 $\mathcal{U}$-별은 $A\subseteq \operatorname{st}(A,\mathcal{U})$이다.

5. 임의의 $A\subseteq X$에 대해 $A = \emptyset$이기 위한 필요충분조건은 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U}) = \emptyset$인 것이다.

6. 모든 $x\in X$의 $\mathcal{U}$-별은 $x\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U})$이다.

7. 임의의 $U_0\in \mathcal{U}$의 모든 $x_0\in U_0$에 대해 $U_0\subseteq \operatorname{st}(x_0,\mathcal{U})$이다.

8. 임의의 $A,B\subseteq X$가 $A\subseteq B$이고 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 세분이면 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\subseteq \operatorname{st}(B,\mathcal{V})$이다.

9. $X = \emptyset$일때 $\emptyset, \{ \emptyset\}$은 $X$의 덮개이다.

10. $X = \emptyset$이면 $\mathcal{U}= \emptyset$ 또는 $\mathcal{U} = \{ \emptyset \}$이다.

11. $\{X \}$는 $X$의 덮개이다.

12. $\mathcal{U}$가 $1$개의 원소를 갖는 유한집합이면 $\mathcal{U} = \{X\}$이다.

증명

1.

$X\ne \emptyset$이므로 $x\in X$가 존재하여 덮개의 정의로 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$임에 따라 $x\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}\ne \emptyset$이다.

2.

덮개의 정의로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이고

모든 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$에 대해 $x\in U\subseteq X$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하므로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{U}\subseteq X$임에 따라 집합 정리로 $X = \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이다.

3.

모든 $U\in \mathcal{U}\subseteq \mathcal{V}$에 대해 $U\subseteq U$이므로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 세분이다.

4.

$\mathcal{F} = \{U\in \mathcal{U}: A\cap U\ne \emptyset \}$일때 덮개의 정의로 모든 $x\in A\subseteq X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$에 대해 $x\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

$x\in A\cap U$임에 따라 $A\cap U\ne \emptyset$이므로 $U\in \mathcal{F}$이고 별의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F} = \operatorname{st}(A,\mathcal{U})$가 되어 $A\subseteq \operatorname{st}(A,\mathcal{U})$이다.

5.

$\mathcal{F} = \{U\in \mathcal{U}: A\cap U\ne \emptyset \}$일때

$A = \emptyset$이고 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\ne \emptyset$이라고 가정하면 별의 정의로 $x\in \operatorname{st}(A,\mathcal{U}) = \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$가 존재하여

$x\in U$인 $U\in \mathcal{F}$가 존재하고 $A\cap U\ne \emptyset$이므로 $A\ne \emptyset$임에 따라 모순이 되어 $A = \emptyset$이면 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})=\emptyset$이다.

역으로 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})=\emptyset$이면 4번으로 $A\subseteq \operatorname{st}(A,\mathcal{U}) =\emptyset$이므로 $A = \emptyset$이다.

6.

4번과 별의 정의로 $x\in \{ x\}\subseteq \operatorname{st}(\{ x\},\mathcal{U}) = \operatorname{st}(x,\mathcal{U})$이다.

7.

$\mathcal{F} = \{U\in \mathcal{U}: \{ x_0\}\cap U\ne \emptyset \}$일때

$x_0\in U_0$이므로 $\{ x_0\}\cap U_0\ne \emptyset$이고 $U_0\in \mathcal{U}$임에 따라 $U_0\in \mathcal{F}$이 되어 별의 정의로 $U_0\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F} = \operatorname{st}(x_0,\mathcal{U})$이다.

8.

$\mathcal{F} = \{U\in \mathcal{U}: A\cap U\ne \emptyset \}$이고 $\mathcal{G} = \{V\in \mathcal{V}: B\cap V\ne \emptyset \}$일때

별의 정의로 모든 $x\in \operatorname{st}(A,\mathcal{U}) = \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$에 대해 $x\in U$인 $U\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{U}$가 존재하여 $A\cap U\ne \emptyset$이고

세분의 정의로 $U\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하므로 $x\in U\subseteq V$가 되어

$A\cap U \subseteq B\cap V$임에 따라 $B\cap V\ne \emptyset$이고 $V\in \mathcal{G}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{G}=\operatorname{st}(B,\mathcal{V})$가 되어 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\subseteq \operatorname{st}(B,\mathcal{V})$이다.

9.

합집합 정리로 $X = \emptyset =\displaystyle \bigcup \emptyset$이고 $X = \emptyset = \displaystyle \bigcup \{ \emptyset\}$이므로 

공허하게 $\emptyset$은 $X$의 덮개이고 모든 $A\in \{ \emptyset\}$에 대해 $A = \emptyset = X$임에 따라 $\{\emptyset\}$은 $X$의 덮개이다.

10.

덮개의 정의로 모든 $U\in \mathcal{U}$는 $U\subseteq X$이므로 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해 $U\in \mathcal{P}(X)$가 되어 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{P}(X)$이고

멱집합의 정의와 집합 정리로 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{P}(X) = \mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}$이 되어 $\mathcal{U}= \emptyset$ 또는 $\mathcal{U} = \{ \emptyset \}$이다.

11.

합집합 정리로 $X =  \displaystyle \bigcup \{ X\}$이고 집합 정리로 $X\subseteq X$이므로 $\{ X\}$는 $X$의 덮개이다.

12.

$A\ne X$인 어떤 $A\subseteq X$에 대해 $\mathcal{U} = \{ A\}$라고 가정하면

2번과 합집합 정리로 $X = \displaystyle \bigcup \mathcal{U} = \bigcup\{ A\} = A$가 되어 모순이므로

$\mathcal{U}$가 $1$개의 원소를 갖는 유한집합이면 $\mathcal{U} = \{X\}$이다.

 

 

 

정리2

임의의 집합 $X$의 덮개 $\mathcal{U},\mathcal{V},\mathcal{W}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 세분이고 $\mathcal{V}$가 $\mathcal{W}$의 세분이면 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 세분이다.

2. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 성형 세분이고 $\mathcal{V}$가 $\mathcal{W}$의 성형 세분이면 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 성형 세분이다.

3. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 성형 세분이면 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 세분이다.

4. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 성형 세분이면 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분이다.

5. $\mathcal{V}\ne \emptyset$일때 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분이면 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 세분이다.

6. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분이고 $\mathcal{V}$가 $\mathcal{W}$의 세분이면 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 무게중심 세분이다.

7. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 세분이고 $\mathcal{V}$가 $\mathcal{W}$의 무게중심 세분이면 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 무게중심 세분이다.

8. $\mathcal{W}\ne \emptyset$일때 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분이고 $\mathcal{V}$가 $\mathcal{W}$의 무게중심 세분이면 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 성형 세분이다.

9. $\mathcal{W}\ne \emptyset$일때 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분이고 $\mathcal{V}$가 $\mathcal{W}$의 무게중심 세분이면 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 무게중심 세분이다.

10. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 성형 세분이고 $\mathcal{V}$가 $\mathcal{W}$의 세분이면 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 성형 세분이다.

11. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 세분이고 $\mathcal{V}$가 $\mathcal{W}$의 성형 세분이면 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 성형 세분이다.

증명

1.

세분의 정의로 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하고

$V\subseteq W$인 $W\in \mathcal{W}$가 존재하여 $U\subseteq V\subseteq W$임에 따라 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 세분이다.

2.

성형 세분의 정의로 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $\operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하고

$\operatorname{st}(V,\mathcal{V})\subseteq W$인 $W\in \mathcal{W}$가 존재하여 위 정리로 $\operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq V\subseteq \operatorname{st}(V,\mathcal{V})\subseteq W$이므로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 성형 세분이다.

3.

성형 세분의 정의로 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $\operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여

위 정리로 $U\subseteq \operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq V$이므로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 세분이다.

4.

덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$에 대해 $x\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

성형 세분의 정의로 $\operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하고

별의 정의와 위 정리로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})=\operatorname{st}(\{ x\},\mathcal{U}) \subseteq \operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq V$이므로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분이다.

5.

모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U = \emptyset$이면 $\mathcal{V}\ne \emptyset$이므로 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여 $U = \emptyset\subseteq V$이다.

$U\ne \emptyset$이면 $x\in U$가 존재하여 $U\in \mathcal{U}$임에 따라 덮개의 정의로 $x\in U\subseteq X$이고

무게중심 세분의 정의로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여 위 정리로 $U\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U})\subseteq V$이므로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 세분이다.

6.

무게중심 세분의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여

세분의 정의로 $V\subseteq W$인 $W\in \mathcal{W}$가 존재하므로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\subseteq V\subseteq W$임에 따라 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 무게중심 세분이다.

7.

무게중심 세분의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{V})\subseteq W$인 $W\in \mathcal{W}$가 존재하여

별의 정의와 위 정리로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})=\operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U})\subseteq \operatorname{st}(\{ x\},\mathcal{V}) = \operatorname{st}(x,\mathcal{V})\subseteq W$이므로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 무게중심 세분이다.

8.

임의의 $U_0\in \mathcal{U}$에 대해 $\mathcal{F} = \{ U\in \mathcal{U} : U_0\cap U \ne \emptyset\}$일때

$U_0 =\emptyset $이면 $\mathcal{W}\ne \emptyset$임에 따라 $W\in \mathcal{W}$가 존재하여 위 정리로 $\operatorname{st}(U_0,\mathcal{U}) = \emptyset \subseteq W$이다.

$U_0\ne \emptyset$이면 $x_0\in U_0\subseteq X$이 존재하여

모든 $x \in \operatorname{st}(U_0,\mathcal{U}) = \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$에 대해 $x\in U_x$인 $U_x\in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{U}$가 존재하므로 $U_0\cap U_x\ne \emptyset$임에 따라

$y \in U_0\cap U_x\subseteq X$가 존재하고 무게중심 세분의 정의로 $\operatorname{st}(y,\mathcal{U})\subseteq V_y$인 $V_y \in \mathcal{V}$가 존재하여 

위 정리로 $U_0 \subseteq \operatorname{st}(y,\mathcal{U})\subseteq V_y$이고 $U_x \subseteq \operatorname{st}(y,\mathcal{U})\subseteq V_y$이므로 $x_0 \in U_0 \subseteq \operatorname{st}(y,\mathcal{U})\subseteq V_y$임에 따라

위 정리와 무게중심 세분의 정의로 $V_y \subseteq \operatorname{st}(x_0,\mathcal{V})\subseteq W_{x_0}$인 $W_{x_0}\in \mathcal{W}$이 존재하고

$x \in U_x \subseteq \operatorname{st}(y,\mathcal{U})\subseteq V_y \subseteq \operatorname{st}(x_0,\mathcal{V})\subseteq W_{x_0}$가 되어 $\operatorname{st}(U_0,\mathcal{U}) \subseteq W_{x_0}$이고 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 성형 세분이다.

9.

4, 8번으로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 무게중심 세분이다.

10.

성형 세분의 정의로 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $\operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여

세분의 정의로 $V\subseteq W$인 $W\in \mathcal{W}$가 존재하므로 $\operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq V\subseteq W$임에 따라 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 성형 세분이다.

11.

세분의 정의로 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하고

성형 세분의 정의로 $\operatorname{st}(V,\mathcal{V})\subseteq W$인 $W\in \mathcal{W}$가 존재하여

위 정리로 $\operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq \operatorname{st}(V,\mathcal{V}) \subseteq W$이므로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{W}$의 성형 세분이다.

 

 

 

정의2

임의의 집합 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$이고 위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

닫힌덮개(closed cover) :

임의의 $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{P}(X)$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 

모든 $C\in \mathcal{C}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$이면 $\mathcal{C}$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 닫힌덮개로 정의한다.

열린덮개의 수축(shrinking) :

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개가 $\mathcal{U},\mathcal{V}$일때

모든 $V\in \mathcal{V}$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}$$(f(V))\subseteq V$인 전사함수 $f:\mathcal{V}\to \mathcal{U}$가 존재하면 $\mathcal{U}$를 $\mathcal{V}$의 $(X,\mathcal{T})$에서 수축이라 정의한다.

$\mathcal{U}$의 $(X,\mathcal{T})$에서 수축인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개가 존재하면 $\mathcal{U}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 수축가능하다고 정의한다.

점유한(point finite) :

임의의 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X)$와 모든 $x\in X$에 대해 $\{ A\in \mathcal{A} : \{ x\}\cap A \ne \emptyset \}$가 유한집합이면

$\mathcal{A}$를 $X$에서 점유한이라 정의한다.

국소유한(locally finite) :

임의의 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X)$와 모든 $x\in X$에 대해 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여

$\{ A\in \mathcal{A} : O\cap A \ne \emptyset \}$가 유한집합이면 $\mathcal{A}$를 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이라 정의한다.

$\sigma$-국소유한 : 

$\mathcal{P}(X)$의 멱집합 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$에 대해 $\mathbf{B} =\{ \mathcal{B}\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X)) : \mathcal{B}\text{는 }(X,\mathcal{T})\text{에서 국소유한} \}$일때

임의의 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(X)$에 대해 가산집합인 어떤 $\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$가 존재하여 $\mathcal{A} = \displaystyle \bigcup \mathbf{A}$이면

$\mathcal{A}$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이라 정의한다.

 

 

 

정리3

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 임의의 $\mathcal{A}, \mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개와 닫힌덮개는 $X$의 덮개이다.

2. $\mathcal{A}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이면 $\mathcal{A}$는 $X$에서 점유한이다.

3. $\mathcal{A}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이면 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이다.

4. $\mathcal{A}$가 유한집합이면 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

5. $X$가 유한집합이면 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

6. $\mathcal{A}$가 가산집합이면 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이다.

7. $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$일때 $\mathcal{B}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이면 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

8. $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$일때 $\mathcal{B}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이면 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이다.

9. $\mathcal{A}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이면 $\{ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) : A\in \mathcal{A}\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

10. $\mathcal{A}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이면 $\displaystyle \bigcup_{A\in \mathcal{A}}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcup_{A\in \mathcal{A}}A )$이다.

11. $\mathcal{A}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이고 모든 $A\in \mathcal{A}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 $\displaystyle \bigcup \mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

증명

1.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$와 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 닫힌덮개 $\mathcal{C}$에 대해

$X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$와 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$가 성립하고 위상공간의 정의와 멱집합의 정의로 

모든 $O\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{P}(X)$와 모든 $C\in \mathcal{C}\subseteq \mathcal{P}(X)$에 대해 $O\subseteq X$와 $C\subseteq X$가 성립하므로 $\mathcal{O},\mathcal{C}$는 $X$의 덮개이다.

2.

국소유한의 정의로 모든 $x\in X$에 대해

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $\{ A\in \mathcal{A} : O\cap A \ne \emptyset \}$는 유한집합이고

$\{ x\}\cap A\ne \emptyset$인 모든 $A\in \mathcal{A}$는 $x\in A$이므로 $x\in O\cap A$임에 따라 $O\cap A\ne \emptyset$이고

$\{ A\in \mathcal{A} : \{ x\}\cap A \ne \emptyset \} \subseteq \{ A\in \mathcal{A}:O\cap A\ne \emptyset\}$이 되어

유한집합 정리로 $\{ A\in \mathcal{A} : \{ x\}\cap A \ne \emptyset \}$는 유한집합이므로 $\mathcal{A}$는 $X$에서 점유한이다.

3.

$\mathcal{A} = \displaystyle \bigcup \{\mathcal{A} \}$이고 $\{ \mathcal{A}\}$는 유한집합이므로 가산집합이 되어 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이다.

4.

모든 $x\in X$에 대해 위상공간의 정의로 $X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $\{ A\in \mathcal{A} : X\cap A \ne \emptyset \} \subseteq \mathcal{A}$이므로

유한집합 정리로 $\{ A\in \mathcal{A} : X\cap A \ne \emptyset \}$는 유한집합이 되어 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

5.

유한집합 정리와 유한집합 정리로 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(X)$는 유한집합이므로 4번으로 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

6.

$\mathcal{A} = \emptyset$이면 3, 4번으로 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이다.

$\mathcal{A}\ne \emptyset$이면 가산집합 정리로 $\mathcal{A}$의 멱집합 $\mathcal{P}(\mathcal{A})$에 대해 $\mathbf{A} = \{ \mathcal{S}\in \mathcal{P}(\mathcal{A}) : \mathcal{S}\text{는 유한집합}\}$는 가산집합이고

모든 $\mathcal{S}\in \mathbf{A}$는 유한집합이므로 3, 4번으로 $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이다.

모든 $A\in \mathcal{A}$에 대해

$\{ A\}\subseteq \mathcal{A}$이고 $\{ A\}$는 유한집합이므로 $A\in \{ A\}\in \mathbf{A}$가 되어 $A\in \displaystyle \bigcup \mathbf{A}$임에 따라 $\mathcal{A}\subseteq \displaystyle \bigcup \mathbf{A}$이고

모든 $A\in \displaystyle \bigcup \mathbf{A}$에 대해 $A\in \mathcal{S}$인 $\mathcal{S}\in \mathbf{A}$가 존재하여 $A\in \mathcal{S}\subseteq \mathcal{A}$이므로 $\displaystyle \bigcup \mathbf{A}\subseteq \mathcal{A}$임에 따라

집합 정리로 $\mathcal{A} =\displaystyle \bigcup \mathbf{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이다.

7.

국소유한의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $\{ B\in \mathcal{B} : O\cap B \ne \emptyset \}$는 유한집합이고

$O\cap A\ne \emptyset$인 모든 $A\in \mathcal{A}$는 $A\in \mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$이므로 $\{ A\in \mathcal{A}: O\cap A\ne \emptyset \}\subseteq \{ B\in \mathcal{B} : O\cap B \ne \emptyset \}$임에 따라

유한집합 정리로 $\{ A\in \mathcal{A}: O\cap A\ne \emptyset \}$는 유한집합이 되어 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

8.

$\sigma$-국소유한의 정의로 $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup \mathbf{B}$인 가산집합 $\mathbf{B}$가 존재하여 모든 $\mathcal{G}\in \mathbf{B}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이므로

함수 정리로 $\mathbf{A} = \{ \mathcal{A}\cap \mathcal{G} : \mathcal{G}\in \mathbf{B}\}$는 가산집합이고 모든 $\mathcal{F}\in \mathbf{A}$에 대해 

$\mathcal{F} = \mathcal{A}\cap \mathcal{G}$인 $\mathcal{G}\in \mathbf{B}$가 존재하여 $\mathcal{F} = \mathcal{A}\cap \mathcal{G}\subseteq \mathcal{G}$임에 따라 7번으로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

모든 $A\in \mathcal{A} \subseteq \mathcal{B} = \displaystyle \bigcup \mathbf{B}$에 대해

$A\in \mathcal{G}$인 $\mathcal{G}\in \mathbf{B}$가 존재하여 $A\in \mathcal{A}\cap \mathcal{G}\in \mathbf{A}$이므로 $A\in \displaystyle \bigcup \mathbf{A}$임에 따라 $\mathcal{A} \subseteq \displaystyle \bigcup \mathbf{A}$이고

모든 $A \in \displaystyle \bigcup \mathbf{A}$에 대해 $A\in \mathcal{F}$인 $\mathcal{F}\in \mathbf{A}$가 존재하여 $\mathcal{F} = \mathcal{A}\cap \mathcal{G}$인 $\mathcal{G}\in \mathbf{B}$가 존재하므로

$A\in \mathcal{F} = \mathcal{A}\cap \mathcal{G}\subseteq \mathcal{A}$임에 따라 $\displaystyle \bigcup \mathbf{A}\subseteq \mathcal{A}$이고 집합 정리로 $\mathcal{A} =\displaystyle \bigcup \mathbf{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이다.

9.

$\mathcal{C} = \{ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) : A\in \mathcal{A}\}$일때 국소유한의 정의로

모든 $x\in X$에 대해 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $\mathcal{A}_O = \{ A\in \mathcal{A} : O\cap A \ne \emptyset \}$가 유한집합이고

$O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\ne \emptyset$인 모든 $A\in \mathcal{A}$에 대해 $y\in O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$가 존재하므로

$O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방이고 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$임에 따라 폐포의 정의로 $O\cap A\ne \emptyset$가 되어 $A\in \mathcal{A}_O$이고

$\{ C\in \mathcal{C}: O\cap C\ne \emptyset\} \subseteq \{ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) : A\in \mathcal{A}_O\}$이므로

함수 정리와 유한집합 정리로 $\{ C\in \mathcal{C}: O\cap C\ne \emptyset\}$는 유한집합이고 $\mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

10.

모든 $A\in \mathcal{A}$에 대해 $A\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{A}$이므로

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\subseteq \displaystyle \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcup \mathcal{A})$가 되어 $\displaystyle \bigcup_{A\in \mathcal{A}}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcup \mathcal{A})$이다.

임의의 $x\in \displaystyle \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcup \mathcal{A}) \subseteq X$에 대해

국소유한의 정의로 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $\mathcal{A}_O = \{ A\in \mathcal{A} : O\cap A \ne \emptyset \}$는 유한집합이고

폐포의 정의로 $\displaystyle O\cap \bigcup \mathcal{A}\ne \emptyset$이므로 $\displaystyle y\in O\cap \bigcup \mathcal{A}$가 존재하여 $y\in O$이고 $y\in A$인 $A\in \mathcal{A}$가 존재함에 따라

$O\cap A\ne \emptyset$이므로 $A\in \mathcal{A}_O$이고 $\mathcal{A}_O\ne \emptyset$이 되어

유한집합의 정의로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{A}_O = \{ A_1,A_2,\cdots, A_n\}$인 $A_1,A_2,\cdots, A_n\in \mathcal{A}$이 존재한다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 위상공간 정리로 $V\cap O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로

폐포의 정의로 $\displaystyle (V\cap O)\cap \bigcup \mathcal{A}\ne \emptyset$이 되어 $z \in \displaystyle (V\cap O)\cap \bigcup \mathcal{A}$가 존재하고

$z\in A$인 $A\in \mathcal{A}$가 존재하여 $z\in O\cap A$임에 따라 $O\cap A\ne \emptyset$이고 $A\in \mathcal{A}_O$이므로

$A= A_i$인 $i=1,2,\cdots, n$가 존재함에 따라 $z\in V\cap A_i \subseteq V\cap (A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)$이고

$V\cap (A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)\ne \emptyset$이므로 폐포의 정의와 폐포 정리로

$x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A_1)\cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A_2)\cup \cdots \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A_n) $이 되어

$x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A_j) \subseteq \displaystyle \bigcup_{A\in \mathcal{A}}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$인 $j = 1,2,\cdots, n$가 존재하고

$\displaystyle \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\displaystyle \bigcup \mathcal{A}) \subseteq \bigcup_{A\in \mathcal{A}}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$임에 따라 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{A\in \mathcal{A}}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcup \mathcal{A}) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcup_{A\in \mathcal{A}} A)$이다.

11.

폐포 정리와 10번으로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{A} = \bigcup_{A\in \mathcal{A}}A = \bigcup_{A\in \mathcal{A}}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcup_{A\in \mathcal{A}}A ) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcup \mathcal{A})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

 

 

 

정리4

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 정규공간이기 위한 필요충분조건은

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 $\mathcal{O}$가 $X$에서 점유한이면 $\mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 수축가능한 것이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$가 정규공간이면 $X$에서 점유한인 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$는

모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{F}_x = \{O\in \mathcal{O}: \{ x\}\cap O\ne \emptyset \}$가 유한집합이고

$\mathcal{O}$의 크기 $|\mathcal{O}|$가 기수임에 따라 순서수의 정의로 $(|\mathcal{O}|,\underline{\in})$는 정렬집합이다.

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $f : |\mathcal{O}|\to \mathcal{O}$가 존재하므로 모든 $\lambda\in |\mathcal{O}|$에 대해 $f(\lambda)= O_\lambda\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$일때

$(|\mathcal{O}|,\underline{\in})$에 대한 초한 귀납법으로 임의의 $\lambda\in |\mathcal{O}|$의 모든 $\sigma\in \lambda$에 대해

$C_\sigma = \displaystyle X\setminus \left ( \bigcup_{\alpha\in \sigma } U_\alpha \cup \bigcup_{\sigma \in \kappa\in |\mathcal{O}|} O_\kappa\right )$이고 $C_\sigma \subseteq U_\sigma \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_\sigma)\subseteq O_\sigma$인 $U_\sigma \in \mathcal{T}$가 초한 귀납적으로 정의되면

$C_\lambda = \displaystyle X\setminus \left ( \bigcup_{\beta\in \lambda} U_\beta\cup \bigcup_{\lambda\in \kappa\in |\mathcal{O}|} O_\kappa\right )$는 집합 정리로 $\displaystyle C_\lambda = \left ( X \setminus \bigcup_{\beta\in \lambda}U_\beta \right )\cap \left (X\setminus \bigcup_{\lambda\in \kappa\in |\mathcal{O}|} O_\kappa \right) $이고

임의의 $x\in C_\lambda$는 열린덮개의 정의로 $x\in C_\lambda \subseteq X\subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O}$이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여

$\{ x\}\cap O\ne \emptyset$이고 $O\in \mathcal{F}_x$이므로 $\mathcal{F}_x\ne \emptyset$이 되어 전사의 정의와 유한집합의 정의로 

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{F}_x = \{ O_{\sigma_1},O_{\sigma_2},\cdots, O_{\sigma_n}\}$인 $\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n\in |\mathcal{O}|$이 존재하고

정렬집합의 정의와 전순서집합 정리로 $\sigma =\underset{(|\mathcal{O}|,\underline{\in})}{\max} \{ \sigma_1,\sigma_2,\cdots, \sigma_n \}\in |\mathcal{O}|$가 존재하여 $O_\sigma\in \mathcal{F}_x$이므로 $x\in O_\sigma$이고

순서수 정리와 전순서집합 정리로 $\sigma\in \kappa$인 모든 $\kappa \in |\mathcal{O}|$에 대해 $O_\kappa\notin \mathcal{F}_x$이므로 $x\notin O_\kappa$이고 $x\notin \displaystyle \bigcup_{\sigma \in \kappa\in |\mathcal{O}|} O_\kappa$이다.

$\lambda\in \sigma$이면 $x\in C_\lambda$이므로 $x\notin O_\sigma$임에 따라 모순이 되어 순서수 정리로 $\sigma \underline{\in} \lambda$이고

$\sigma\in \lambda$이면 모든 $y\in \displaystyle \bigcup_{\alpha\in \sigma} U_\alpha$는 $y\in U_\alpha$인 $\alpha\in \sigma$가 존재하여

$\alpha\in \sigma\in \lambda$임에 따라 순서수의 정의로 $\alpha\in \lambda$이고 $y\in U_\alpha\subseteq\displaystyle \bigcup_{\beta \in \lambda} U_\beta$이므로 $\displaystyle \bigcup_{\alpha\in \sigma}U_\alpha\subseteq \bigcup_{\beta \in \lambda} U_\beta$가 되어

집합 정리로 $\displaystyle x\in C_\lambda \subseteq X\setminus \bigcup_{\beta\in \lambda} U_\beta \subseteq X\setminus \bigcup_{\alpha\in \sigma}U_\alpha$임에 따라 $\displaystyle x\notin \bigcup_{\alpha\in \sigma}U_\alpha$이고 귀납가정으로 $x\in C_\sigma \subseteq U_\sigma$인데

$x\in C_\lambda$이므로 $x\notin U_\sigma$이 되어 모순임에 따라 순서수 정리로 $\sigma = \lambda$이고 $x\in O_\sigma=O_\lambda$이므로 $C_\lambda \subseteq O_\lambda$이다.

$C_\lambda$는 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $O_\lambda$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

선택 정리와 정규공간 정리로 $C_\lambda \subseteq U_\lambda \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_\lambda )\subseteq O_\lambda$인 $U_\lambda\in \mathcal{T}$를 선택하면

모든 $\lambda\in |\mathcal{O}|$에 대해 $U_\lambda$가 유일하게 존재하므로 치환 공리로 집합 $\mathcal{U} = \{ U_\lambda : \lambda\in |\mathcal{O}|\}$가 존재하여 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{T}$이다.

역함수 정리로 $f$의 역함수 $f^{-1} : \mathcal{O}\to |\mathcal{O}|$이 존재하여 $f^{-1}$은 전단사이고

모든 $\lambda\in |\mathcal{O}|$에 대해 $g(\lambda)= U_\lambda$인 함수 $g:|\mathcal{O}|\to \mathcal{U}$는 전사이므로 함수 정리로 $g \circ f^{-1}: \mathcal{O}\to \mathcal{U}$은 전사이고

전사의 정의로 모든 $O\in \mathcal{O}$에 대해 $f(\sigma) = O_\sigma= O$인 $\sigma \in |\mathcal{O}|$가 존재하여

역함수의 정의로 $(g\circ f^{-1})(O) = g(f^{-1}(O)) = g(f^{-1}(f(\sigma))) = g(\sigma) = U_\sigma$이므로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}((g\circ f^{-1})(O)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_\sigma)\subseteq O_\sigma= O$이다.

열린덮개의 정의로 임의의 $x\in X \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 $\{ x\}\cap O\ne \emptyset$임에 따라

$O\in \mathcal{F}_x$이고 $\mathcal{F}_x \ne \emptyset$이므로 전사의 정의와 유한집합의 정의로

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{F}_x = \{ O_{\lambda_1},O_{\lambda_2},\cdots, O_{\lambda_n}\}$인 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\in |\mathcal{O}|$이 존재하여

정렬집합의 정의와 전순서집합 정리로 $\lambda =\underset{(|\mathcal{O}|,\underline{\in})}{\max} \{ \lambda_1,\lambda_2,\cdots, \lambda_n \}$가 존재하고

순서수 정리와 전순서집합 정리로 $\lambda\in \kappa$인 모든 $\kappa \in |\mathcal{O}|$에 대해 $O_\kappa\notin \mathcal{F}_x$이므로 $\{ x\}\cap O_\kappa = \emptyset$임에 따라

집합 정리로 $\{ x\}\cap \displaystyle \bigcup_{\lambda\in \kappa\in |\mathcal{O}|} O_\kappa = \bigcup_{\lambda\in \kappa\in |\mathcal{O}|}(\{ x\}\cap O_\kappa) = \bigcup_{\lambda\in \kappa\in |\mathcal{O}|}\emptyset= \emptyset$이고

집합 정리로 $x\in \{ x\}\subseteq X\setminus \displaystyle \bigcup_{\lambda\in \kappa\in |\mathcal{O}|} O_\kappa$이다.

$\sigma\in \lambda$인 어떤 $\sigma\in |\mathcal{O}|$에 대해 $x\in U_\sigma$이면 $x\in U_\sigma \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이고

$\sigma\in \lambda$인 모든 $\sigma\in |\mathcal{O}|$에 대해 $x\notin U_\sigma$이면 $x\in X\setminus \displaystyle \bigcup_{\sigma\in \lambda}U_\sigma $이므로 집합 정리로

$\displaystyle x\in \left ( X \setminus \bigcup_{\sigma\in \lambda}U_\sigma \right )\cap \left (X\setminus \bigcup_{\lambda\in \kappa\in |\mathcal{O}|} O_\kappa \right) = C_\lambda \subseteq U_\lambda\subseteq \bigcup \mathcal{U}$가 되어 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

따라서 전사함수 $g \circ f^{-1}: \mathcal{O}\to \mathcal{U}$에 대해 모든 $O\in \mathcal{O}$가 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}((g\circ f^{-1})(O)) \subseteq O$이므로

$\mathcal{U}$는 $\mathcal{O}$의 $(X,\mathcal{T})$에서 수축이 되어 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 수축가능하다.

역으로 조건이 성립하면

$C\cap D = \emptyset$인 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C,D$에 대해 $X\setminus C, X\setminus D\in \mathcal{T}$이므로

$\mathcal{O} = \{X\setminus C, X\setminus D\}$는 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$이고 $\mathcal{O}$가 유한집합임에 따라 위 정리로 $\mathcal{O}$는 $X$에서 점유한이다.

모든 $x\in X$에 대해 $x\in C$이면 집합 정리로 $x\in C\subseteq X\setminus D$이고 $x\notin C$이면 $x\in X\setminus C$가 되어

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$임에 따라 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

$\mathcal{O}$의 $(X,\mathcal{T})$에서 수축인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린덮개 $\mathcal{U}$가 존재하므로

어떤 전사함수 $f: \mathcal{O}\to \mathcal{U}$가 존재하여 $f(X\setminus C) = U$이고 $f(X\setminus D) = V$일때

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(X\setminus C))\subseteq X\setminus C$와 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(X\setminus D))\subseteq X\setminus D$가 성립하고

전사 정리로 $\{ U,V\} = \{ f(X\setminus C), f(X\setminus D)\} =f(\{ X\setminus C, X\setminus D\}) = f(\mathcal{O}) = \mathcal{U}$이다.

열린덮개의 정의로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U} = \bigcup \{ U, V\} = U\cup V \subseteq X$이므로 집합 정리로 $U\cup V = X$이고

집합 정리와 집합 정리로 $C = X\setminus (X\setminus C) \subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)$와 $D = X\setminus (X\setminus D) \subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$가 성립하여

폐포 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)$와 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 집합 정리와 폐포 정리와 위상공간 정리로

$ (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)) \cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)) = X\setminus (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)) = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U\cup V) = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X) = X\setminus X = \emptyset \text{ 임에 따라}$

$(X,\mathcal{T})$는 정규공간이다.

 

 

 

정의3

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

파라콤팩트 공간 :

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{O}$의 세분이면

$(X,\mathcal{T})$를 파라콤팩트 공간으로 정의한다.

파라콤팩트 집합 :

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 파라콤팩트 공간이면

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 파라콤팩트하다고 정의하고 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 파라콤팩트 집합으로 정의한다.

 

 

 

정리5

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 정칙공간일때 다음은 동치이다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

2. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{O}$의 세분이다.

3. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $X$의 덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{O}$의 세분이다.

4. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 닫힌덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{O}$의 세분이다.

증명

$1\to 2$

파라콤팩트 공간의 정의로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{O}$의 세분이고

위 정리로 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이다.

$2\to 3$

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{V}$가 존재하여 $\mathcal{V}$는 $\mathcal{O}$의 세분이고

모든 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 가산집합 $\mathbf{B}$가 존재하여 $\mathcal{V} = \displaystyle \bigcup \mathbf{B}$이다.

$X = \emptyset$이면 위 정리로 $\mathcal{V}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이고 $X$의 덮개이다.

$X\ne \emptyset$이면 열린덮개의 정의로 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{V}$가 존재하여

$x\in V$인 $V\in \mathcal{V}=\displaystyle \bigcup \mathbf{B}$가 존재하고 $V\in \mathcal{B}$인 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 존재하므로 $\mathbf{B}\ne \emptyset$이다.

가산집합 정리로 전사함수 $f:\mathbb{N}\to \mathbf{B}$가 존재하여 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $f(n) =\mathcal{B}_n\in \mathbf{B}$일때

모든 $B\in \mathcal{B}_n$는 국소유한의 정의로 $B\subseteq X$이므로 $\displaystyle \left (\bigcup \mathcal{B}_n\setminus \bigcup_{k=0}^{n-1}\left(\bigcup \mathcal{B}_k\right)\right) \cap B \subseteq B\subseteq X$이다.

임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $\mathcal{U}_n = \{ (\bigcup \mathcal{B}_n\setminus {\displaystyle \bigcup_{k=0}^{n-1}}(\bigcup \mathcal{B}_k)) \cap B : B\in \mathcal{B}_n \}$이고 $\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty\mathcal{U}_n$일때 열린덮개의 정의로

모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{V}$에 대해 $x\in V$인 $V\in \mathcal{V}=\displaystyle \bigcup \mathbf{B}$가 존재하여 $V\in \mathcal{B}$인 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 존재하고

전사의 정의로 $\mathcal{B} = \mathcal{B}_n$인 $n\in \mathbb{N}$이 존재하므로 $x\in V\in \mathcal{B}_n$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_n$이다.

모든 $x\in X$에 대해 정렬성으로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_{n_0}$인 최소 $n_0\in \mathbb{N}$이 존재하므로

$k<n_0$인 모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $x\notin \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k $가 되어 $x\notin \displaystyle \bigcup_{k=0}^{n_0-1} \left (\bigcup \mathcal{B}_k \right )$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_{n_0} \setminus \bigcup_{k =0}^{n_0-1} \left (\bigcup \mathcal{B}_k \right )$이고

$x\in B$인 $B\in \mathcal{B}_{n_0}$가 존재하여 $x\in \displaystyle \left (\bigcup \mathcal{B}_{n_0} \setminus \bigcup_{k=0}^{n_0-1} \left (\bigcup \mathcal{B}_k \right ) \right )\cap B\in \mathcal{U}_{n_0}\subseteq \mathcal{U}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이고

$X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$임에 따라 $\mathcal{U}$는 $X$의 덮개이다.

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 모든 $B\in \mathcal{B}_n$는 $B\in \mathcal{B}_n \in \mathbf{B}$임에 따라 $B\in \displaystyle \bigcup \mathbf{B} = \mathcal{V}$가 되어

$\displaystyle \left (\bigcup \mathcal{B}_n\setminus \bigcup_{k=0}^{n-1}\left(\bigcup \mathcal{B}_k\right)\right) \cap B \subseteq B$이므로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 세분이고 위 정리로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{O}$의 세분이다.

덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$에 대해 어떤 $n\in \mathbb{N}$이 존재하여 $x\in U_n$인 $U_n \in \mathcal{U}_n\subseteq \mathcal{U}$이 존재하므로

$\displaystyle U_{n}= \left (\bigcup \mathcal{B}_{n}\setminus \bigcup_{k=0}^{n-1}\left(\bigcup \mathcal{B}_k\right)\right) \cap B_{n}$인 $B_{n}\in \mathcal{B}_{n}$이 존재하고

열린덮개의 정의로 $x\in B_{n}\in \mathcal{B}_{n}\subseteq \displaystyle \bigcup \mathbf{B} = \mathcal{V}\subseteq \mathcal{T}$이므로 $B_{n}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

모든 $m\in \mathbb{N}$에 대해 $\mathcal{B}_m\in \mathbf{B}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이므로

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O_m$이 존재하여 $\mathcal{B}_m(O_m) = \{ B\in \mathcal{B}_m : O_m\cap B\ne \emptyset\}$은 유한집합이고

위상공간 정리로 $O = O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n\cap B_n$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

$O\cap U\ne \emptyset$인 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $y\in O\cap U$가 존재하고

$U\in \mathcal{U}_m$인 $m\in \mathbb{N}$이 존재하여 $\displaystyle U= \left (\bigcup \mathcal{B}_{m}\setminus \bigcup_{k=0}^{m-1}\left(\bigcup \mathcal{B}_k\right)\right) \cap B$인 $B\in \mathcal{B}_{m}$가 존재하는데

$n<m$이라고 가정하면 $y\in B_n \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_n \subseteq \bigcup_{k =0}^{m-1}\left (\bigcup \mathcal{B}_k \right)$이고 $y\notin \displaystyle \bigcup_{k=0}^{m-1} \left ( \bigcup \mathcal{B}_k\right)$임에 따라 모순이므로

$m\le n$이고 $y\in O\cap U \subseteq O_m\cap B$가 되어 $O_m \cap B\ne \emptyset$이므로 $B\in \mathcal{B}_m(O_m)$이다.

따라서 $\{ U\in \mathcal{U} : O\cap U\ne \emptyset\} \subseteq {\displaystyle \bigcup_{m =0}^{n} } \{ (\bigcup\mathcal{B}_m \setminus {\displaystyle\bigcup_{k=0}^{m-1}} (\bigcup \mathcal{B}_k)) \cap B : B\in \mathcal{B}_m(O_m) \}$이므로

함수 정리와 유한집합 정리와 유한집합 정리로 $\{ U\in \mathcal{U} : O\cap U\ne \emptyset\}$는 유한집합이 되어

$\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

$3\to 4$

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 $\mathcal{V} = \{ V\in \mathcal{T} : \text{어떤 }O\in \mathcal{O}\text{에 대해 } \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)\subseteq O \}$는 $\mathcal{V}\subseteq \mathcal{T}$이고 

모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$는 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}\subseteq\mathcal{T}$가 존재하여

정칙공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)\subseteq O$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하므로 $x\in V\in \mathcal{V}$임에 따라

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{V}$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{V}$가 되어 $\mathcal{V}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

모든 $V\in \mathcal{V}$에 대해 폐포 정리로 $V\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)\subseteq O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 $\mathcal{V}$는 $\mathcal{O}$의 세분이므로

$(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $X$의 덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 세분이다.

$\mathcal{C} = \{ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U) : U\in \mathcal{U}\}$의 모든 $C\in \mathcal{C}$는 폐포 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

$\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이므로 위 정리로 $\mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$에 대해 $x\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

폐포 정리로 $x\in U\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\in \mathcal{C}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$임에 따라 $\mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 닫힌덮개이다.

모든 $C\in \mathcal{C}$에 대해 $C= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

세분의 정의로 $U\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)\subseteq O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하므로

폐포 정리로 $C =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)\subseteq O$임에 따라 $\mathcal{C}$는 $\mathcal{O}$의 세분이다.

$4\to 1$

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 닫힌덮개 $\mathcal{D}$가 존재하여 $\mathcal{D}$는 $\mathcal{O}$의 세분이고

임의의 $A\subseteq X$에 대해 $\mathcal{D}_A = \{ D\in \mathcal{D}: D \cap A\ne \emptyset\}$일때 $\mathcal{V} = \{ V\in \mathcal{T} : \mathcal{D}_V\text{는 유한집합}\}$는 $\mathcal{V}\subseteq \mathcal{T}$이므로

국소유한의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여 $\mathcal{D}_V$는 유한집합이고

$V\in \mathcal{T}$임에 따라 $x\in V\in \mathcal{V}$이고 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{V}$이므로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{V}$가 되어 $\mathcal{V}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

$(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 닫힌덮개 $\mathcal{C}$가 존재하여 $\mathcal{C}$는 $\mathcal{V}$의 세분이고

임의의 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $\mathcal{C}_D = \{ C\in \mathcal{C} : C \cap D = \emptyset\}$는 $\mathcal{C}_D\subseteq \mathcal{C}$이므로

닫힌덮개의 정의와 위 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{C}_D$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이 되어 $X\setminus \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_D$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라

위상공간의 정의로 모든 $O\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$에 대해 $\left (X\setminus \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_D\right )\cap O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

선택 정리와 세분의 정의로 $D\subseteq O_D$인 $O_D\in \mathcal{O}$를 선택하면 $\mathcal{U} = \{ (X\setminus \bigcup \mathcal{C}_D)\cap O_D :D\in \mathcal{D}\}$는 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{T}$이다.

닫힌덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{D}$에 대해 $x\in D$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_D $라고 가정하면 $x\in C$인 $C\in \mathcal{C}_D$가 존재하고 $x\in C\cap D = \emptyset$임에 따라 모순이므로

$x\notin \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_D $임에 따라 $\displaystyle x\in X\setminus \bigcup \mathcal{C}_D$이고 $x\in D\subseteq O_D$이므로 $\displaystyle x\in \left (X\setminus \bigcup \mathcal{C}_D\right )\cap O_D\in \mathcal{U}$가 되어

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$임에 따라 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $O_D\in \mathcal{O}$이고 $\displaystyle \left (X\setminus \bigcup \mathcal{C}_D\right )\cap O_D \subseteq O_D$이므로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{O}$의 세분이다.

국소유한의 정의로 모든 $x\in X$에 대해

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $\mathcal{C}(O)= \{ C\in \mathcal{C}: O \cap C\ne \emptyset\}$는 유한집합이고

모든 $C\in \mathcal{C}$에 대해 모든 $D\in \mathcal{D}_C$는 $D\cap C\ne \emptyset$이므로

세분의 정의로 $C\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여 $\mathcal{D}_{V}$는 유한집합이고 $D\cap C\subseteq D\cap V$임에 따라 $D\cap V\ne \emptyset$이고

$D\in \mathcal{D}_V$이므로 $\mathcal{D}_C\subseteq \mathcal{D}_V$가 되어 유한집합 정리로 $\mathcal{D}_C$가 유한집합임에 따라

유한집합 정리로 $\mathcal{D}(O) = \displaystyle \bigcup_{C\in \mathcal{C}(O)} \mathcal{D}_C$는 유한집합이다.

$O\cap U\ne \emptyset$인 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $\displaystyle U = \left (X\setminus \bigcup \mathcal{C}_D\right )\cap O_D$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여

닫힌덮개의 정의로 $y\in O\cap U\subseteq X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$가 존재하고 $y\in C$인 $C\in \mathcal{C}$가 존재하므로

$y\in O\cap C$임에 따라 $O\cap C\ne \emptyset$이 되어 $C\in \mathcal{C}(O)$이고

$D\cap C = \emptyset$이라고 가정하면 $y\in C\in \mathcal{C}_D$이므로 $y\in \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_D$임에 따라 모순이 되어

$D\cap C\ne \emptyset$이고 $D\in \mathcal{D}_C$이므로 $D\in \displaystyle \bigcup_{C\in \mathcal{C}(O)} \mathcal{D}_C = \mathcal{D}(O)$가 되어

$\{ U\in \mathcal{U} : O\cap U\ne \emptyset\}\subseteq \{ (X\setminus \bigcup \mathcal{C}_D)\cap O_D: D\in \mathcal{D}(O)\}$임에 따라

함수 정리와 유한집합 정리로 $\{ U\in \mathcal{U} : O\cap U\ne \emptyset\}$는 유한집합이 되어 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

따라서 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

 

 

 

정리6

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 파라콤팩트하기 위한 필요충분조건은 

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U\cap E\subseteq O_U\cap E$인 $O_U\in \mathcal{O}$가 존재하고

모든 $x\in E$에 대해 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여 $\{ U\in \mathcal{U} : U\cap V\cap E\ne \emptyset\}$가 유한집합인 것이다.

증명

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 파라콤팩트하면

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(E,\mathcal{T}|_E)$일때 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 

집합 $\mathcal{O}|_E = \{ O\cap E : O\in \mathcal{O}\}$는 위상공간 정리로 $\mathcal{O}|_E\subseteq \mathcal{T}|_E$이고

열린덮개의 정의로 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 임의의 $x\in E$에 대해 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여

$x\in O\cap E\in \mathcal{O}|_E$이고 합집합의 정의로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_E$임에 따라 $E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_E$이다.

$(E,\mathcal{T}|_E)$는 파라콤팩트 공간이고 $\mathcal{O}|_E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $E$의 열린덮개이므로

$(E,\mathcal{T}|_E)$에서 국소유한인 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{U}|_E$가 존재하여 $\mathcal{U}|_E$는 $E$에서 $\mathcal{O}|_E$의 세분이고

열린덮개의 정의와 부분위상공간의 정의로 모든 $U_E\in \mathcal{U}|_E\subseteq \mathcal{T}|_E$는 $U_E= U\cap E$인 $U\in \mathcal{T}$가 존재하므로

선택 정리로 $f(U_E) = U$인 함수 $f:\mathcal{U}|_E \to \mathcal{T}$가 존재하여 $\mathcal{U} = \{ f(U_E) : U_E\in \mathcal{U}|_E\}$는 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $f(U_E) =U$인 $U_E\in \mathcal{U}|_E$가 존재하여 $U\cap E = U_E$이고

세분의 정의로 $U_E\subseteq O_E$인 $O_E\in \mathcal{O}|_E$가 존재하므로 $O_E=O\cap E$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여

$U\cap E =U_E\subseteq O_E = O\cap E$이다.

열린덮개의 정의로 모든 $x\in E \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}|_E$에 대해 $x\in U_E$인 $U_E\in \mathcal{U}|_E$가 존재하여

$x\in U_E = f(U_E)\cap E\subseteq f(U_E)\in \mathcal{U}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$임에 따라 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이고

$\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개이다.

국소유한의 정의로 모든 $x\in E$에 대해

어떤 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $x$의 열린근방 $V_E$가 존재하여 $\mathcal{U}|_E(V_E)=\{ U_E\in \mathcal{U}|_E: U_E\cap V_E\ne \emptyset\}$은 유한집합이고

위상공간 정리로 $V_E = V\cap E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $V$가 존재하여

$x\in V$이므로 $V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고

$U\cap V\cap E\ne \emptyset$인 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U = f(U_E)$인 $U_E\in \mathcal{U}|_E$가 존재하여 $U_E = U\cap E$이므로 

$U_E\cap V_E = (U\cap E)\cap (V\cap E) = U\cap V\cap E\ne \emptyset$임에 따라 $U_E\in \mathcal{U}|_E(V_E)$이고

$\{ U\in \mathcal{U} : U\cap V\cap E\ne \emptyset\} \subseteq \{ f(U_E):U_E\in \mathcal{U}|_E(V_E)\}$이므로

함수 정리로 $\{ U\in \mathcal{U} : U\cap V\cap E\ne \emptyset\}$는 유한집합이다.

역으로 조건이 성립하면

임의의 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{O}|_E$는 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_E$이고 집합 $\mathcal{O} = \{ O\in \mathcal{T} : O\cap E\in \mathcal{O}|_E\}$는 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$이므로

모든 $x\in E$에 대해 $x\in O_E$인 $O_E\in \mathcal{O}|_E\subseteq \mathcal{T}|_E$가 존재하여 위상공간 정리로 $O_E= O\cap E$인 $O \in \mathcal{T}$가 존재하고

$O\in \mathcal{O}$임에 따라 $x\in O_E=O\cap E \subseteq O$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$가 되어 $E\subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O}$이다.

$\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개이므로

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 열린덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U\cap E\subseteq O\cap E$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하고

모든 $x\in E$에 대해 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여 $\{ U\in \mathcal{U} : U\cap V\cap E\ne \emptyset\}$가 유한집합이다.

$\mathcal{U}|_E = \{ U\cap E : U\in \mathcal{U}\}$의 모든 $U_E\in \mathcal{U}$에 대해 $U_E = U\cap E$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

열린덮개의 정의로 $U\in \mathcal{U} \subseteq \mathcal{T}$이므로 위상공간 정리로 $U_E = U\cap E\in \mathcal{T}|_E$임에 따라 $\mathcal{U}|_E\subseteq \mathcal{T}|_E$이다.

열린덮개의 정의로 모든 $x\in E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$에 대해 $x\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

$x\in U\cap E\in \mathcal{U}|_E$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}|_E$임에 따라 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}|_E$이고 $\mathcal{U}|_E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $E$의 열린덮개이다.

모든 $U_E\in \mathcal{U}$에 대해 $U_E = U\cap E$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

$U_E = U\cap E\subseteq O\cap E$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하므로 $O\cap E\in \mathcal{O}|_E$임에 따라 $\mathcal{U}|_E$는 $\mathcal{O}|_E$의 $E$에서 세분이다.

모든 $x\in E$에 대해

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여 $\mathcal{U}(V) = \{ U\in \mathcal{U} : U\cap V\cap E\ne \emptyset\}$는 유한집합이고

위상공간 정리로 $x\in V\cap E\in \mathcal{T}|_E$이므로 $V\cap E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $x$의 열린근방이 되어

$U_E\cap (V\cap E)\ne \emptyset$인 모든 $U_E\in \mathcal{U}|_E$에 대해 $U_E = U\cap E$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하고

$U\cap V\cap E = (U\cap E)\cap (V\cap E) = U_E \cap (V\cap E)\ne \emptyset$임에 따라 $U\in \mathcal{U}(V)$이고

$\{ U_E\in \mathcal{U}|_E : U_E\cap (V\cap E)\ne \emptyset\} \subseteq \{ U\cap E : U\in \mathcal{U}(V) \}$이므로 함수 정리와 유한집합 정리로

$\{ U_E\in \mathcal{U}|_E : U_E\cap (V\cap E)\ne \emptyset\}$는 유한집합이고 $\mathcal{U}|_E$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 국소유한이다.

따라서 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 파라콤팩트 공간이므로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 파라콤팩트하다.

 

 

 

정리7

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 정칙공간이고 린델뢰프 공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

3. 모든 유한집합 $F\subseteq X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 파라콤팩트하다.

4. $(X,\mathcal{T})$가 파라콤팩트 공간이면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 파라콤팩트하다.

5. $(X,\mathcal{T})$가 정칙공간이고 파라콤팩트 공간일때

가산집합인 임의의 집합족 $\mathcal{C}$의 모든 $C\in \mathcal{C}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 $\displaystyle \bigcup \mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 파라콤팩트하다.

증명

1.

콤팩트공간의 정의로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이고 유한집합인 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하여 위 정리로 $\mathcal{F}$는 $\mathcal{O}$의 세분이고

위 정리로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이므로 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

2.

린델뢰프 공간의 정의로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이고 가산집합인 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하여 위 정리로 $\mathcal{F}$는 $\mathcal{O}$의 세분이고

위 정리로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이므로 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

3.

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(F,\mathcal{T}|_F)$일때 콤팩트 정리로 $F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하므로

$(F,\mathcal{T}|_F)$는 콤팩트공간이 되어 1번으로 $(F,\mathcal{T}|_F)$가 파라콤팩트 공간임에 따라 $F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 파라콤팩트하다.

4.

$C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 $X\setminus C\in \mathcal{T}$가 되어

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $C$의 열린덮개 $\mathcal{O}_C$에 대해 $\mathcal{O} = \{X\setminus C \}\cup \mathcal{O}_C$는 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$이다.

임의의 $x\in X$에 대해 $x\in C$이면 $\mathcal{O}_C\subseteq \mathcal{O}$이므로 열린덮개의 정의로 $x\in C\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_C \subseteq \bigcup \mathcal{O}$이고

$x\notin C$이면 $x\in X\setminus C\in \mathcal{O}$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이고 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

$(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이므로 

$(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{O}$의 세분이고

$\mathcal{U}_C = \{ U\in \mathcal{U}: U\cap C \ne \emptyset\}$는 열린덮개의 정의로 $\mathcal{U}_C\subseteq \mathcal{U} \subseteq \mathcal{T}$이다.

열린덮개의 정의로 모든 $x\in C\subseteq X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$에 대해 $x\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

$x\in U\cap C$임에 따라 $U\cap C\ne \emptyset$이므로 $x\in U\in \mathcal{U}_C$이고 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}_C$가 되어 $C\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}_C$이므로

$\mathcal{U}_C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $C$의 열린덮개이다.

모든 $U\in \mathcal{U}_C$에 대해 $U\in \mathcal{U}$이므로 세분의 정의로 $U\subseteq O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 $U\cap C\subseteq O\cap C$이고

$O = X\setminus C$이라고 가정하면 $U\cap C\ne \emptyset$인데

$U\cap C \subseteq U\subseteq O = X\setminus C$이므로 집합 정리로 $U\cap C =(U\cap C) \cap C = \emptyset$이 되어 모순임에 따라

$O\ne X\setminus C$이고 $O\in \mathcal{O}_C$이다.

국소유한의 정의로 모든 $x\in C \subseteq X$에 대해

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여 $\{ U\in \mathcal{U} : U\cap V\ne \emptyset\}$은 유한집합이므로

$U\cap V\cap C\ne \emptyset$인 모든 $U\in \mathcal{U}_C$는 $U\in \mathcal{U}$이고 $U\cap V\cap C\subseteq U\cap V$이므로 $U\cap V\ne \emptyset$이 되어 

$\{ U\in \mathcal{U}_C : U\cap V\cap C\ne \emptyset\}\subseteq \{ U\in \mathcal{U} : U\cap V\ne \emptyset\}$임에 따라

유한집합 정리로 $\{ U\in \mathcal{U}_C : U\cap V\cap C\ne \emptyset\}$는 유한집합이고 위 정리로 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 파라콤팩트하다.

5.

$D= \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$일때 $D = \emptyset$이면 3번으로 $D= \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 파라콤팩트하다.

$D \ne \emptyset$이면 $x\in D = \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$가 존재하여 $x\in C$인 $C\in \mathcal{C}$가 존재하므로 $\mathcal{C}\ne \emptyset$임에 따라

가산집합 정리로 전사함수 $f: \mathbb{N}\to\mathcal{C}$가 존재하고 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $f(n) = C_n\in \mathcal{C}$일때 $X\setminus C_n\in \mathcal{T}$이므로

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(D,\mathcal{T}|_D)$일때 임의의 $(D,\mathcal{T}|_D)$에서 $D$의 열린덮개 $\mathcal{O}|_D$에 대해

$\mathcal{O} = \{ O\in \mathcal{T} : O\cap D\in \mathcal{O}|_D\}$이면 $\mathcal{O}_n = \{X\setminus C_n \}\cup \mathcal{O}$은 $\mathcal{O}_n\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $n\in \mathbb{N}$과 임의의 $x\in X$에 대해

$x\in D$이면 열린덮개의 정의로 $x\in D\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_D$이므로 $x\in O_D$인 $O_D\in \mathcal{O}|_D \subseteq \mathcal{T}|_D$가 존재하고

위상공간 정리로 $O_D = O\cap D$인 $O\in \mathcal{T}$가 존재하여 $x\in O_D =O\cap D\subseteq O\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{O}_n$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_n$이고

$x\notin D$이면 집합 정리로 $x\in X\setminus D = \displaystyle X\setminus \bigcup \mathcal{C} = X\setminus \bigcup_{n=0}^\infty C_n = \bigcap_{n=0}^\infty (X\setminus C_n)$이므로 $x\in X\setminus C_n\in \mathcal{O}_n$임에 따라

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_n$이므로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_n$이고 $\mathcal{O}_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

$(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이므로 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 

$(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{V}_n$이 존재하여 $\mathcal{V}_n$은 $X$에서 $\mathcal{O}_n$의 세분이고

선택 정리로 $\mathcal{V}_n$을 선택할때 모든 $V\in \mathcal{V}_n$는 열린덮개의 정의로 $V\in \mathcal{V}_n \subseteq \mathcal{T}$이므로

부분위상공간의 정의로 $V\cap D\in \mathcal{T}|_D$가 되어 $\mathcal{U}_n = \{ V\cap D: V\in \mathcal{V}_n \}$은 $\mathcal{U}_n\subseteq \mathcal{T}|_D$이다.

국소유한의 정의로 모든 $x\in D$에 대해

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $W$가 존재하여 $\mathcal{V}_n(W) =\{ V\in \mathcal{V}_n: V\cap W \ne \emptyset\}$는 유한집합이고

부분위상공간의 정의로 $x\in W\cap D\in \mathcal{T}|_D$이므로 $W\cap D$는 $(D,\mathcal{T}|_D)$에서 $x$의 열린근방이고

$U\cap W\cap D\ne \emptyset$인 모든 $U\in \mathcal{U}_n$에 대해 $U = V\cap D$인 $V\in \mathcal{V}_n$가 존재하여

$U\cap W\cap D = V\cap D\cap W\cap D \subseteq V\cap W$이므로 $V\cap W\ne \emptyset$임에 따라 $V\in \mathcal{V}_n(W)$이고

$\{ U\in \mathcal{U}_n : U\cap W\cap D\ne \emptyset\}\subseteq \{ V\cap D : V\in \mathcal{V}_n(W) \}$이므로

함수 정리와 유한집합 정리로 $\{ U\in \mathcal{U}_n : U\cap W\cap D\ne \emptyset\}$는 유한집합이고 $\mathcal{U}_n$은 $(D,\mathcal{T}|_D)$에서 국소유한이다.

$\mathcal{U}_n(C_n) = \{ U\in \mathcal{U}_n : U\cap C_n\ne \emptyset\}$은 $\mathcal{U}_n(C_n) \subseteq \mathcal{U}_n$이므로 위 정리로 $\mathcal{U}_n(C_n)$은 $(D,\mathcal{T}|_D)$에서 국소유한이고

가산집합 정리로 $\{ \mathcal{U}_n(C_n):n\in \mathbb{N}\}$은 가산집합이므로 $\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty \mathcal{U}_n(C_n)$는 $(D,\mathcal{T}|_D)$에서 $\sigma$-국소유한이다.

모든 $x\in D =\displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty C_n$에 대해 $x\in C_n$인 $n\in \mathbb{N}$이 존재하여

열린덮개의 정의로 $x\in C_n \subseteq X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{V}_n$이므로 $x\in V$인 $V\in \mathcal{V}_n$가 존재하고

$x\in V \cap D\cap C_n$임에 따라 $V\cap D\cap C_n\ne \emptyset$이고 $V\cap D\in \mathcal{U}_n$이므로 $x\in V\cap D\in \mathcal{U}_n(C_n) \subseteq \mathcal{U}$가 되어 

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이고 $D\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이므로 $\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty \mathcal{U}_n(C_n)\subseteq \bigcup_{n=0}^\infty\mathcal{U}_n \subseteq \mathcal{T}|_D$임에 따라 $\mathcal{U}$는 $(D,\mathcal{T}|_D)$에서 $D$의 열린덮개이다.

모든 $U\in \mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty\mathcal{U}_n(C_n)$에 대해 $U\in \mathcal{U}_n(C_n)$인 $n\in \mathbb{N}$이 존재하여 $U\cap C_n\ne \emptyset$이고

$U\in \mathcal{U}_n(C_n)\subseteq \mathcal{U}_n$이므로 $U = V\cap D$인 $V\in \mathcal{V}_n$가 존재하여 세분의 정의로 $V\subseteq O$인 $O\in \mathcal{O}_n$가 존재하는데

$O = X\setminus C_n$이라고 가정하면

$U\cap C_n=V\cap D \cap C_n \subseteq O\cap D\cap C_n = (X\setminus C_n)\cap C_n \cap D = \emptyset$임에 따라 $U\cap C_n = \emptyset$이 되어 모순이므로

$O\in \mathcal{O}$이고 $O\cap D\in \mathcal{O}|_D$가 되어 $U=V\cap D \subseteq O\cap D$임에 따라 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{O}|_D$의 $D$에서 세분이다.

따라서 위 정리로 $(D,\mathcal{T}|_D)$는 파라콤팩트 공간이므로 $D= \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 파라콤팩트하다.

 

 

 

정리8

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$가 파라콤팩트 공간일때 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C,D$에 대해

$\mathcal{O}_{C,D} = \{ X\setminus C\}\cup \{ V \in \mathcal{T} : D\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V) = \emptyset \}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이면

$C\subseteq U$와 $D\subseteq V$가 성립하고 $U\cap V = \emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재한다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 $T_4$공간이다.

증명

1.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C,D$에 대해 $\mathcal{V}_D = \{ V \in \mathcal{T} : D\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V) = \emptyset \}$일때

$X\setminus C\in \mathcal{T}$이고 $\mathcal{V}_D\subseteq \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{O}_{C,D} = \{ X\setminus C\}\cup \mathcal{V}_D$는 $\mathcal{O}_{C,D}\subseteq \mathcal{T}$이다.

$\mathcal{O}_{C,D}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이면 파라콤팩트 공간의 정의로

$(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{O}_{C,D}$의 세분이고

열린덮개의 정의로 $\mathcal{U}_C = \{ U\in \mathcal{U} : U\cap C \ne \emptyset\}$는 $\mathcal{U}_C \subseteq \mathcal{U} \subseteq \mathcal{T}$이므로

위 정리로 $\mathcal{U}_C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이고 위상공간의 정의로 $U = \displaystyle \bigcup \mathcal{U}_C = \bigcup_{U_C\in \mathcal{U}_C}U_C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\in \mathcal{T}$이고

어떤 $x\in D$가 존재하여 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)$라고 가정하면

위 정리로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U) = \displaystyle \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcup_{U_C\in \mathcal{U}_C}U_C) = \bigcup_{U_C\in \mathcal{U}_C}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_C)$이므로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_C)$인 $U_C\in \mathcal{U}_C$가 존재하여

$U_C\cap C\ne \emptyset$이고 $U_C\in \mathcal{U}_C\subseteq \mathcal{U}$이므로 세분의 정의로 $U_C\subseteq O$인 $O\in \mathcal{O}_{C,D}$가 존재하는데

$O= X\setminus C$일때 $U_C\cap C \subseteq U_C\subseteq O = X\setminus C$가 되어 집합 정리로 $U_C\cap C = (U_C\cap C)\cap C = \emptyset$이므로 모순이고

$O \in \mathcal{V}_D$일때 $D\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(O) = \emptyset$이므로 집합 정리로 $x\in D\subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(O)$가 되어 $x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(O)$이고

$U_C\subseteq O$이므로 폐포 정리로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_C) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(O)$가 되어 모순임에 따라

모든 $x\in D$는 $x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)$이므로 $x\in X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)$이고 $D\subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)$가 되어

$V = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $D\subseteq V$이다.

폐포 정리로 $U\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)$이므로 집합 정리로 $V = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\subseteq X\setminus U$가 되어 집합 정리로 $U\cap V = \emptyset$이다.

열린덮개의 정의로 모든 $x\in C\subseteq X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$에 대해 $x\in U_C$인 $U_C\in \mathcal{U}$가 존재하여

$x\in U_C\cap C$이므로 $U_C\cap C\ne \emptyset$임에 따라 $x\in U_C\in \mathcal{U}_C$이고 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}_C=U$이므로 $C\subseteq U$이다.

따라서 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C,D$에 대해 $\mathcal{O}_{C,D}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이면

$C\subseteq U$와 $D\subseteq V$가 성립하고 $U\cap V=\emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재한다.

2.

$(X,\mathcal{T})$는 $T_2$공간이므로 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이 되어

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$의 임의의 $x\in X\setminus C$에 대해

$T_1$공간 정리로 $\{ x\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $\{ x\}\subseteq X\setminus C$임에 따라 집합 정리로 $C\cap \{x\} = \emptyset$이다.

임의의 $y\in X$에 대해 $y\notin C$이면 $y\in X\setminus C\in \mathcal{O}_{C,\{ x\}}$이므로 $y\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_{C,\{x\}}$이고

$y\in C$이면 $x\ne y$이므로 하우스도르프 공간의 정의로

$U_{x,y}\cap V_{x,y}=\emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U_{x,y}$와 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $V_{x,y}$가 존재하여

$X\setminus U_{x,y}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 집합 정리로 $V_{x,y}\subseteq X\setminus U_{x,y}$이므로

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_{x,y}) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus U_{x,y}) = X\setminus U_{x,y}$이고

집합 정리와 집합 정리로 $\{x\}\subseteq U_{x,y} = X\setminus (X\setminus U_{x,y})\subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_{x,y})$가 되어 $\{x\}\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_{x,y}) = \emptyset$임에 따라

$y\in V_{x,y}\in \mathcal{O}_{C,\{x\}}$이고 $y\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_{C,\{ x\}}$이므로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_{C,\{x\}}$이다.

닫힌집합의 정의로 $X\setminus C\in \mathcal{T}$임에 따라 $\mathcal{O}_{C,\{ x\}}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이므로 1번으로

$C\subseteq U$와 $x\in \{ x\}\subseteq V$가 성립하고 $U\cap V = \emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이다.

$C\cap D = \emptyset$인 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C,D$에 대해

임의의 $x\in X$에 대해 $x\notin C$이면 $x\in X\setminus C\in \mathcal{O}_{C,D}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_{C,D}$이고

$x\in C$이면 집합 정리로 $x\in C \subseteq X\setminus D$이므로 정칙공간 정리로

$x\in U_x$와 $D \subseteq V_x$가 성립하고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_x)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_x)= \emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U_x,V_x$가 존재하여

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_x)\cap D \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_x)\cap V_x \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_x)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V_x)= \emptyset$임에 따라 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_x)\cap D= \emptyset$이므로

$x\in U_x\in \mathcal{O}_{C,D}$이고 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_{C,D}$가 되어 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_{C,D}$이다.

닫힌집합의 정의로 $X\setminus C\in \mathcal{T}$임에 따라 $\mathcal{O}_{C,D}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이므로 1번으로

$C\subseteq U$와 $D\subseteq V$가 성립하고 $U\cap V = \emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여 $(X,\mathcal{T})$는 정규공간이다.

따라서 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이고 정규공간이므로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_4$공간이다.

 

 

 

정리9

거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

증명

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$\mathcal{O}$의 크기 $|\mathcal{O}|$가 기수임에 따라 순서수의 정의로 $(|\mathcal{O}|,\underline{\in})$는 정렬집합이다.

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $f : |\mathcal{O}|\to \mathcal{O}$가 존재하므로 모든 $\kappa \in |\mathcal{O}|$에 대해 $f(\kappa)= O_\kappa\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$일때

임의의 $n\in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해 $E_n(\kappa) = \{ x\in X: \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n})\subseteq O_\kappa\}$이고 $F_n(\kappa) = E_n(\kappa) \setminus \displaystyle \bigcup_{\lambda\in \kappa}O_\lambda$이면

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $G_n(\kappa) = {\displaystyle \bigcup_{x\in F_n(\kappa)}} \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{3\cdot n})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어

$\mathcal{U}_n = \{ G_n(\kappa):\kappa \in |\mathcal{O}|\}$은 $\mathcal{U}_n\subseteq \mathcal{T}$이다.

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $x\in X$에 대해 위상공간 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{6\cdot n})$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로

임의의 $\lambda,\kappa\in |\mathcal{O}|$에 대해 $G_n(\lambda)\cap \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{6\cdot n})\ne \emptyset$이고 $G_n(\kappa)\cap \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{6\cdot n})\ne \emptyset$이면

$x_\lambda \in G_n(\lambda)\cap \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{6\cdot n})$와 $x_\kappa \in G_n(\kappa)\cap \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{6\cdot n})$가 존재하여

$x_\lambda\in \underset{(X,d)}{B}(y_\lambda,\frac{1}{3\cdot n})$이고 $x_\kappa \in \underset{(X,d)}{B}(y_\kappa,\frac{1}{3\cdot n})$인 $y_\lambda\in F_n(\lambda)\subseteq E_n(\lambda)$와 $y_\kappa \in F_n(\kappa)\subseteq E_n(\kappa)$가 존재함에 따라

$\underset{(X,d)}{B}(y_\lambda,\frac{1}{n})\subseteq O_\lambda$와 $\underset{(X,d)}{B}(y_\kappa,\frac{1}{n})\subseteq O_\kappa$가 성립하고 $y_\lambda\notin \displaystyle \bigcup_{\alpha\in \lambda}O_\alpha$와 $y_\kappa\notin \displaystyle \bigcup_{\beta\in \kappa}O_\beta$가 성립한다.

열린공의 정의로

$d(x,x_\lambda)<\dfrac{1}{6\cdot n}$와 $d(x,x_\kappa)<\dfrac{1}{6\cdot n}$가 성립하고 $d(x_\lambda,y_\lambda)<\dfrac{1}{3\cdot n}$와 $d(x_\kappa,y_\kappa)<\dfrac{1}{3\cdot n}$이 성립하여

거리공간의 정의로

$\begin{align*}d(y_\lambda,y_\kappa) & \le d(y_\lambda,x_\lambda) + d(x_\lambda,y_\kappa) \\[0.5em] &\le d(x_\lambda,y_\lambda) + d(x_\lambda,x_\kappa) + d(x_\kappa,y_\kappa) \\[0.5em]&\le d(x_\lambda,y_\lambda) +d(x_\lambda,x) + d(x,x_\kappa) + d(x_\kappa,y_\kappa) \\[0.5em] & < \dfrac{1}{3\cdot n} + \dfrac{1}{6\cdot n} + \dfrac{1}{6\cdot n} + \dfrac{1}{3\cdot n} = \dfrac{2}{3\cdot n} + \dfrac{2}{6\cdot n} = \left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\right )\cdot \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{n} \text{ 이므로} \end{align*}$

$y_\kappa \in \underset{(X,d)}{B}(y_\lambda,\frac{1}{n})\subseteq O_\lambda$이고 $y_\lambda\in \underset{(X,d)}{B}(y_\kappa,\frac{1}{n})\subseteq O_\kappa$인데

$\lambda \in \kappa$이면 $y_\kappa \in \underset{(X,d)}{B}(y_\lambda,\frac{1}{n})\subseteq O_\lambda \subseteq \displaystyle \bigcup_{\beta\in \kappa}O_\beta$가 되어 모순이고

$\kappa\in \lambda$이면 $y_\lambda\in \underset{(X,d)}{B}(y_\kappa,\frac{1}{n})\subseteq O_\kappa \subseteq \displaystyle \bigcup_{\alpha\in \lambda}O_\alpha$가 되어 모순임에 따라

순서수 정리로 $\lambda = \kappa$이고 $G_n(\lambda) = G_n(\kappa)$이므로

$\{U\in \mathcal{U}_n : U\cap \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{6\cdot n})\ne \emptyset \}$는 원소개수가 $1$개이하인 유한집합이 되어 $\mathcal{U}_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

가산집합 정리와 함수 정리와 가산집합 정리로 

$\{ \mathcal{U}_n:n\in \mathbb{Z}^+\}$은 가산집합이므로 $\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{U}_n$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이고 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{T}$이다.

열린덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$에 대해 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여

전사의 정의로 $O =O_\kappa $인 $\kappa\in |\mathcal{O}|$가 존재하므로 정렬집합의 정의로 $\kappa_0 = \underset{(|\mathcal{O}|, \underline{\in})}{\min} \{ \kappa\in |\mathcal{O}| : x\in O_\kappa \}$이 존재하고

$x\in O_{\kappa_0}\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$임에 따라 거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)\subseteq O_{\kappa_0}$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하므로

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n} < r$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 열린공의 정의로 $\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n})\subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r)\subseteq  O_{\kappa_0}$이다.

$x\in E_n(\kappa_0)$이고 최소원소 정리와 순서수 정리로 모든 $\lambda\in \kappa_0$에 대해 $x\notin O_\lambda$이므로 $x\notin \displaystyle \bigcup_{\lambda\in \kappa_0}O_\lambda$가 되어

$x\in F_n(\kappa_0)$임에 따라 $x\in \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{3\cdot n})\subseteq G_n(\kappa_0)\in \mathcal{U}_n\subseteq \mathcal{U} $이고

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이므로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$가 되어 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U\in \mathcal{U}_n$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $U = G_n(\kappa)$인 $\kappa\in |\mathcal{O}|$가 존재하므로

모든 $x\in G_n(\kappa)$는 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{3\cdot n})$인 $y\in F_n(\kappa)\subseteq E_n(\kappa) $가 존재하여 $\underset{(X,d)}{B}(y,\frac{1}{n})\subseteq O_\kappa$이고 열린공의 정의로

$d(x,y)< \dfrac{1}{3\cdot n} < \dfrac{1}{n}$임에 따라 $x\in \underset{(X,d)}{B}(y,\frac{1}{n})\subseteq O_\kappa$이므로 $U=G_n(\kappa)\subseteq O_\kappa$이고 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{O}$의 세분이다.

따라서 거리위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이므로 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

 

 

 

정리10

임의의 집합 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 임의의 $\mathcal{U},\mathcal{V}\subseteq \mathcal{P}(X)$와 임의의 함수 $\Phi : \mathcal{U}\to \mathcal{P}(X)$에 대해 다음은 동치이다.

1. 모든 $V\in \mathcal{V}$에 대해 $\Phi(f(V))\subseteq V$인 전사함수 $f: \mathcal{V}\to \mathcal{U}$가 존재한다.

2. 모든 집합 $I$의 모든 $i\in I $에 대해 $V_i\in \mathcal{V}$가 유일하게 존재하여 $\mathcal{V} = \{V_i :i\in I \}$이면

모든 $i\in I $에 대해 $\Phi(U_i)\subseteq V_i$인 $U_i\in \mathcal{U}$가 유일하게 존재하여 $\mathcal{U} = \{U_i :i\in I \}$이다. 

3. 모든 $i\in I $에 대해 $V_i\in \mathcal{V}$가 유일하게 존재하는 어떤 집합 $I$가 존재하여

$i\ne j$인 모든 $i,j\in I$에 대해 $V_i\ne V_j$와 $\mathcal{V} = \{V_i :i\in I \}$가 성립하고

모든 $i\in I $에 대해 $\Phi(U_i)\subseteq V_i$인 $U_i\in \mathcal{U}$가 유일하게 존재하여 $\mathcal{U} = \{U_i :i\in I \}$이다. 

증명

$1\to 2$

임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I $에 대해 $V_i\in \mathcal{V}$가 유일하게 존재하여 $\mathcal{V} = \{V_i :i\in I \}$일때

모든 $i\in I$에 대해 $U_i = f(V_i)\in \mathcal{U}$로 두면 $\Phi(U_i)=\Phi(f(V_i)) \subseteq V_i$이다.

모든 $i\in I$에 대해 $U_i = f(V_i)\in \mathcal{U}$이므로 $\{ U_i : i\in I\}\subseteq \mathcal{U}$이고

전사의 정의로 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U = f(V)$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여 $V=V_i$인 $i\in I$가 존재하므로 

$U=f(V) = f(V_i) = U_i$임에 따라 $\mathcal{U}\subseteq \{ U_i : i\in I\}$이고 집합 정리로 $\mathcal{U}=\{ U_i : i\in I\}$이다.

$2\to 3$

$\mathcal{V}$의 크기를 $I = |\mathcal{V}|$로 두면 집합의 크기 정리로 $|I| = |\,|\mathcal{V}|\,| = |\mathcal{V}|$이고

집합의 크기 정리로 전단사함수 $\phi : I\to \mathcal{V}$가 존재하여 모든 $i\in I$에 대해 $\phi(i) = V_i\in \mathcal{V}$일때

단사 정리로 $i\ne j$인 모든 $i,j\in I$에 대해 $V_i = \phi(i)\ne \phi(j) = V_j$이고

전사 정리로 $\mathcal{V} = \phi(I) = \{ \phi(i):i\in I \} = \{ V_i: i\in I\}$이므로

모든 $i\in I $에 대해 $\Phi(U_i)\subseteq V_i$인 $U_i\in \mathcal{U}$가 유일하게 존재하여 $\mathcal{U} = \{U_i :i\in I \}$이다. 

$3\to 1$

모든 $i\in I$에 대해 $\phi(i) = V_i$인 함수 $\phi : I\to \mathcal{V}$는 

$i\ne j$인 모든 $i,j\in I$에 대해 $\phi(i) = V_i\ne V_j = \phi(j)$이므로 단사 정리로 $\phi$는 단사이고

$\mathcal{V} = \{ V_i: i\in I\} = \{ \phi(i) : i\in I\} = \phi(I)$이므로 전사 정리로 $\phi$는 전사이다.

모든 $i\in I$에 대해 $\Phi(U_i) \subseteq V_i$인 $U_i\in \mathcal{U}$가 유일하게 존재하여 $\mathcal{U} = \{ U_i : i\in I\}$이므로

모든 $i\in I$에 대해 $\psi(i) = U_i$인 함수 $\psi :I\to \mathcal{U}$는 전사이고

역함수 정리로 $\phi$의 역함수 $\phi^{-1} : \mathcal{V}\to I$이 존재하여 $\phi^{-1}$은 전단사이므로 함수 정리로 $\psi \circ \phi^{-1}: \mathcal{V}\to \mathcal{U}$은 전사이다.

전사의 정의로 모든 $V\in \mathcal{V}$에 대해 $\phi(i) = V_i=V$인 $i\in I$가 존재하여

역함수의 정의로 $(\psi\circ \phi^{-1})(V) = \psi(\phi^{-1}(V)) = \psi(\phi^{-1}(\phi(i))) = \psi(i) = U_i$이므로

$\Phi((\psi\circ \phi^{-1})(V)) = \Phi(U_i)\subseteq V_i = V$이다.

 

 

 

정리11

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$이고

임의의 $\mathcal{U},\mathcal{V}\subseteq \mathcal{P}(X)$에 대해 모든 $V\in \mathcal{V}$가 $f(V) \subseteq V$인 전사함수 $f: \mathcal{V}\to \mathcal{U}$가 존재할때 다음이 성립한다.

1. 임의의 $E\subseteq X$와 임의의 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{V}$에 대해 $f$에 의한 $\mathcal{B}$의 상이 $\mathcal{A} = f(\mathcal{B})$일때

$\{V\in \mathcal{B} : V\cap E\ne \emptyset \}$가 유한집합이면 $\{ U\in \mathcal{A} : U\cap E\ne \emptyset \}$는 유한집합이다.

2. $\mathcal{V}$가 $X$에서 점유한이면 $\mathcal{U}$는 $X$에서 점유한이다.

3. $\mathcal{V}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이면 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

4. $\mathcal{V}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이면 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이다.

증명

1.

$\mathcal{B}(E) = \{V\in \mathcal{B} : V\cap E\ne \emptyset \}$와 $\mathcal{A}(E) =\{ U\in \mathcal{A} : U\cap E\ne \emptyset \}$에 대해

모든 $U\in \mathcal{A}(E)$는 $U\cap E\ne \emptyset$이고 $U\in \mathcal{A}(E)\subseteq \mathcal{A} = f(\mathcal{B})$이므로 상의 정의로 $f(V) = U$인 $V\in \mathcal{B}$가 존재하여

$U = f(V)\subseteq V$임에 따라 $U\cap E\subseteq V\cap E$이고 $V\cap E\ne \emptyset$이므로 $V\in \mathcal{B}(E)$가 되어

$\mathcal{A}(E) \subseteq \{ f(V) : V\in \mathcal{B}(E)  \}$이고 함수 정리와 유한집합 정리로 $\mathcal{A}(E)$는 유한집합이다.

2.

점유한의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $\{V\in \mathcal{V} : V\cap \{ x\}\ne \emptyset \}$가 유한집합이고

전사 정리로 $f(\mathcal{V}) =\mathcal{U}$이므로 1번으로 $\{U\in \mathcal{U} : U\cap \{ x\}\ne \emptyset \}$는 유한집합이 되어 $\mathcal{U}$는 $X$에서 점유한이다.

3.

국소유한의 정의로 모든 $x\in X$에 대해

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $\{V\in \mathcal{V} : V\cap O \ne \emptyset \}$가 유한집합이고

전사 정리로 $f(\mathcal{V}) =\mathcal{U}$이므로 1번으로 $\{U\in \mathcal{U} : U\cap O\ne \emptyset \}$는 유한집합이 되어 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

4.

$\sigma$-국소유한의 정의로 모든 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 가산집합 $\mathbf{B}$가 존재하여 $\mathcal{V} = \displaystyle \bigcup \mathbf{B}$이므로

모든 $x\in X$에 대해 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $\{V\in \mathcal{B} : V\cap O \ne \emptyset \}$가 유한집합이고

$\mathcal{B} \subseteq \displaystyle \bigcup \mathbf{B}= \mathcal{V}$임에 따라 1번으로 $\{U\in f(\mathcal{B}) : U\cap O \ne \emptyset \}$는 유한집합이 되어

$f(\mathcal{B})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이고 함수 정리로 $\mathbf{A} = \{ f(\mathcal{B}) : \mathcal{B} \in \mathbf{B}\}$가 가산집합임에 따라

전사 정리와 함수 정리로 $\mathcal{U} = f(\mathcal{V}) = \displaystyle f(\bigcup \mathbf{B}) = f(\bigcup_{\mathcal{B}\in \mathbf{B}}\mathcal{B}) = \bigcup_{\mathcal{B}\in \mathbf{B}}f(\mathcal{B}) = \bigcup_{\mathcal{A}\in \mathbf{A}}\mathcal{A} = \bigcup \mathbf{A}$이므로

$\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이다.

 

 

 

정리12

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $X$의 덮개 $\mathcal{U}, \mathcal{V}$에 대해 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해

$U_i\in \mathcal{U}$와 $V_i\in \mathcal{V}$가 유일하게 존재하여 $\mathcal{U} = \{ U_i:i\in I\}$이고 $\mathcal{V} = \{ V_i : i\in I\}$일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $i\in I$에 대해 $U_i \subseteq V_i$이면 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 세분이다.

2. 모든 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}$의 $\displaystyle \bigcup \mathcal{A}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 닫힌덮개 $\mathcal{C}$가 존재하여 $\mathcal{C}$가 $\mathcal{U}$의 세분이면

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 닫힌덮개 $\mathcal{B}$가 존재하여 모든 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$의 $\displaystyle \bigcup \mathcal{A}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

모든 $i\in I$에 대해 $B_i\subseteq U_i$인 $B_i\in \mathcal{B}$가 유일하게 존재하여 $\mathcal{B} = \{ B_i:i\in I\}$이다.

증명

1.

모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U= U_i$인 $i\in I$가 존재하여 $V_i\in \mathcal{V}$이고 $U=U_i\subseteq V_i$이므로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 세분이다.

2.

세분의 정의로 모든 $C\in \mathcal{C}$에 대해 $C\subseteq U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하고 $U = U_{k(C)}$인 $k(C)\in I$가 존재하므로 

선택 정리로 모든 $C\in \mathcal{C}$에 대해 $C\subseteq U_{k(C)}$인 $k(C) \in I$를 선택할때

모든 $i\in I$에 대해 $\mathcal{C}_i = \{ C\in \mathcal{C} : k(C) = i\}$는 $\mathcal{C}_i \subseteq \mathcal{C}$이므로 $B_i= \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

$\mathcal{B} = \{ B_i: i\in I \}$이면 닫힌덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$에 대해 $x\in C$인 $C\in \mathcal{C}$가 존재하여

$C\in \mathcal{C}_{k(C)}$이므로 $x\in C\subseteq  \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_{k(C)}= B_{k(C)}\in \mathcal{B}$이고

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}$임에 따라 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}$가 되어 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 닫힌덮개이다.

임의의 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$에 대해 $I(\mathcal{A}) = \{ i\in I : B_i\in \mathcal{A} \}$이고 $\mathcal{C}(\mathcal{A}) = \displaystyle \bigcup_{i\in I(\mathcal{A})}\mathcal{C}_i$이면

모든 $C\in \mathcal{C}(\mathcal{A})$에 대해 $C\in \mathcal{C}_i$인 $i\in I(\mathcal{A})\subseteq I$가 존재하여 $C\in \mathcal{C}_i\subseteq \mathcal{C}$이므로 $\mathcal{C}(\mathcal{A})\subseteq \mathcal{C}$임에 따라

$\displaystyle \bigcup \mathcal{C}(\mathcal{A})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 모든 $i\in I(\mathcal{A})$에 대해 $\mathcal{C}_i\subseteq \mathcal{C}(\mathcal{A})$이므로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{C}_i \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{C}(\mathcal{A})$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{A}$에 대해 $x\in A$인 $A\in \mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하여 $A = B_i = \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_i$인 $i\in I$가 존재하고

$B_i = A\in \mathcal{A}$임에 따라 $i\in I(\mathcal{A})$이므로 $x\in A= B_i = \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_i \subseteq \bigcup \mathcal{C}(\mathcal{A})$이고 $\displaystyle \bigcup \mathcal{A} \subseteq \bigcup \mathcal{C}(\mathcal{A})$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{C}(\mathcal{A})$에 대해 $x\in C$인 $C\in \mathcal{C}(\mathcal{A})$가 존재하여 $C\in \mathcal{C}_i$인 $i\in I(\mathcal{A})$가 존재하므로

$\displaystyle x\in C\subseteq \bigcup \mathcal{C}_i =B_i\in \mathcal{A}$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{A}$이고 $\displaystyle \bigcup \mathcal{C}(\mathcal{A})\subseteq \bigcup \mathcal{A}$이므로

집합 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{A} = \bigcup \mathcal{C}(\mathcal{A})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

모든 $i\in I$에 대해 모든 $x\in B_i= \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_i$는

$x\in C$인 $C\in \mathcal{C}_i$가 존재하여 $k(C) = i$이므로 $x\in C\subseteq U_{k(C)} = U_i$임에 따라 $B_i\subseteq U_i$이다.

 

 

 

정리13

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간일때 $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간이기 위한 필요충분조건은 

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

모든 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{C}$의 $\displaystyle \bigcup \mathcal{B}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 닫힌덮개 $\mathcal{C}$가 존재하여 $\mathcal{C}$가 $\mathcal{O}$의 세분인 것이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간이면 위 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이므로

위 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 닫힌덮개 $\mathcal{C}$가 존재하여 $\mathcal{C}$는 $\mathcal{O}$의 세분이다.

위 정리로 모든 $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{C}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이고 모든 $B\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{C}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라

위 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

역으로 조건이 성립하면

$C_1\cap C_2 = \emptyset$인 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C_1,C_2$는 $X\setminus C_1, X\setminus C_2\in \mathcal{T}$이므로 $\{ X\setminus C_1, X\setminus C_2\} \subseteq \mathcal{T}$이고

모든 $x\in X$에 대해 $x\in C_1$이면 집합 정리로 $x\in C_1\subseteq X\setminus C_2$이고 $x\notin C_1$이면 $x\in X\setminus C_1$이므로

$x \in \displaystyle (X\setminus C_1)\cup (X\setminus C_2)=  \bigcup \{ X\setminus C_1, X\setminus C_2\}$가 되어

$X\subseteq \displaystyle \bigcup \{ X\setminus C_1,X\setminus C_2\}$이고 $\{ X\setminus C_1,X\setminus C_2\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

위 정리로 $B_1 \subseteq X\setminus C_1$이고 $B_2 \subseteq X\setminus C_2$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 닫힌덮개 $\{ B_1,B_2\}$가 존재하여

$X\setminus B_1,X\setminus B_2$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

집합 정리로 $C_1 = X\setminus (X\setminus C_1) \subseteq X\setminus B_1$과 $C_2 = X\setminus (X\setminus C_2)\subseteq X\setminus B_2$가 성립하므로

$X\subseteq \displaystyle \bigcup \{ B_1,B_2\} = B_1\cup B_2 \subseteq X$임에 따라 집합 정리로 $X = B_1\cup B_2$이고

집합 정리로 $(X\setminus B_1) \cap (X\setminus B_2) = X\setminus (B_1\cup B_2) = X\setminus X = \emptyset$이 되어 $(X,\mathcal{T})$는 정규공간이다.

$(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이므로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_4$공간이 되어 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이고 정칙공간이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 $\mathcal{O}$의 크기 $|\mathcal{O}|$가 기수임에 따라 순서수의 정의로 $(|\mathcal{O}|,\underline{\in})$는 정렬집합이고

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $f : |\mathcal{O}|\to \mathcal{O}$가 존재하므로 모든 $\kappa\in |\mathcal{O}|$에 대해 $f(\kappa)= O_\kappa\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$일때

전사 정리로 $\mathcal{O} = f(|\mathcal{O}|) = \{ f(\kappa):\kappa\in |\mathcal{O}| \} = \{ O_\kappa:\kappa\in |\mathcal{O}|\}$이다.

모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $\kappa\in |\mathcal{O}|$에 대해 $C_{\kappa,n}\subseteq O_\kappa$인 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C_{\kappa,n}$이 유일하게 존재하여

$n-1\in \mathbb{N}$이면 $\lambda\in \kappa$인 모든 $\lambda\in |\mathcal{O}|$에 대해 $C_{\lambda,n-1}\cap C_{\kappa,n} = \emptyset$이고

$\mathcal{C}_n = \{ C_{\kappa,n} : \kappa\in |\mathcal{O}| \}$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 닫힌덮개이고

모든 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}_n$의 $\displaystyle \bigcup \mathcal{A}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임을 $n\in \mathbb{N}$에 대한 귀납법으로 보인다.

$n = 0$이면 $n-1 = -1\notin \mathbb{N}$이므로 위 정리로 조건이 성립한다.

모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 조건이 성립하는 $\mathcal{C}_k = \{ C_{\kappa,k} : \kappa\in |\mathcal{O}| \}$가 존재할때

모든 $\kappa\in |\mathcal{O}|$에 대해 $\displaystyle \bigcup_{\lambda\in \kappa}C_{\lambda,k}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 집합 정리와 집합 정리와 위상공간 정리로

$O_{\kappa,k+1} = \displaystyle O_\kappa\setminus\bigcup_{\lambda\in \kappa}C_{\lambda,k} =O_\kappa \cap \left ( X\setminus \bigcup_{\lambda\in \kappa}C_{\lambda,k}\right )$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

열린덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O} = \bigcup_{\kappa\in |\mathcal{O}|}O_\kappa$에 대해 $x\in O_\kappa$인 $\kappa\in |\mathcal{O}|$가 존재하여

정렬집합의 정의로 $\kappa_0 = \underset{(|\mathcal{O}|,\underline{\in})}{\min} \{ \kappa\in |\mathcal{O}|: x\in O_\kappa\}$이 존재하므로 $x\in O_{\kappa_0}$이고

순서수 정리와 전순서집합 정리로 모든 $\lambda\in \kappa_0$에 대해 $x\notin O_\lambda$임에 따라 $x\notin \displaystyle \bigcup_{\lambda\in \kappa_0}O_\lambda$이므로

$C_{\lambda,k}\subseteq O_\lambda$이고 $\displaystyle \bigcup_{\lambda\in \kappa_0}C_{\lambda,k}\subseteq \bigcup_{\lambda\in \kappa_0}O_\lambda$가 되어 집합 정리로 $x\in \displaystyle X\setminus \bigcup_{\lambda\in \kappa_0}O_\lambda\subseteq X\setminus \bigcup_{\lambda\in \kappa_0}C_{\lambda,k}$이므로

$\mathcal{O}_{k+1} = \{ O_{\kappa,k+1}: \kappa\in |\mathcal{O}|\}$일때

$x\in O_{\kappa_0,k+1}\subseteq\displaystyle \bigcup_{\kappa\in |\mathcal{O}|}O_{\kappa,k+1} =\bigcup \mathcal{O}_{k+1}$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{O}_{k+1}$이 되어 $\mathcal{O}_{k+1}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

위 정리로 모든 $\kappa\in |\mathcal{O}|$에 대해 $C_{\kappa,k+1}\subseteq O_{\kappa,k+1}$인 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C_{\kappa,k+1}$이 유일하게 존재하여

$\mathcal{C}_{k+1} = \{ C_{\kappa,k+1} : \kappa\in |\mathcal{O}| \}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 닫힌덮개이고 모든 $\mathcal{A}\subseteq \mathcal{C}_{k+1}$의 $\displaystyle \bigcup \mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

모든 $\kappa\in |\mathcal{O}|$에 대해 $C_{\kappa,k+1}\subseteq O_{\kappa,k+1} = \displaystyle O_\kappa\setminus\bigcup_{\lambda\in \kappa}C_{\lambda,k} \subseteq O_\kappa$이고

$k+1-1=k \in \mathbb{N}$에 대해 $\lambda\in \kappa$인 모든 $\lambda\in |\mathcal{O}|$는 $C_{\lambda,k}\cap C_{\kappa,{k+1}} = \emptyset$이다.

모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $\kappa\in |\mathcal{O}|$에 대해

$\displaystyle \bigcup_{\lambda\in |\mathcal{O}|\setminus \{\kappa \}} C_{\lambda,n}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 $U_{\kappa,n} = X\setminus \displaystyle \bigcup_{\lambda\in |\mathcal{O}|\setminus \{ \kappa\}} C_{\lambda,n}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

$\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty\{ U_{\kappa,n}: \kappa\in |\mathcal{O}|\}$일때 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해

닫힌덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle\bigcup \mathcal{C}_n =\bigcup_{\kappa\in |\mathcal{O}|}C_{\kappa,n}$는 $x\in C_{\kappa,n}$인 $\kappa\in |\mathcal{O}|$가 존재하여

정렬집합의 정의로 $\kappa_n = \underset{(|\mathcal{O}|,\underline{\in})}{\min} \{ \kappa\in |\mathcal{O}|: x\in C_{\kappa,n}\}$이 존재하므로 $\kappa_{m} = \underset{(|\mathcal{O}|,\underline{\in})}{\min} \{ \kappa_n: n\in \mathbb{N}\}$인 $m\in \mathbb{N}$이 존재하고

$x\in C_{\kappa_m,m}$임에 따라 $\lambda\ne \kappa_m$인 어떤 $\lambda\in |\mathcal{O}|$에 대해 $x\in C_{\lambda,m+1}$이라고 가정하면

$\lambda\in \kappa_m$일때 $\lambda\in \{ \kappa\in |\mathcal{O}| : x\in C_{\kappa,m+1}\}$이고 $\kappa_{m+1}\in \{ \kappa_n:n\in \mathbb{N}\}$이므로

전순서집합 정리로 $\kappa_m\underline{\in} \kappa_{m+1}\underline{\in} \lambda$이 되어 $\kappa_m\underline{\in} \lambda$임에 따라 순서수 정리에 모순이고

$\kappa_m\in \lambda$일때 $x\in C_{\kappa_m,m} \cap C_{\lambda,m+1} =\emptyset$이 되어 모순이므로 

$\lambda\ne \kappa_m$인 모든 $\lambda\in |\mathcal{O}|$에 대해 $x\notin C_{\lambda ,m+1}$가 되어 $x\in X\setminus \displaystyle \bigcup_{\lambda\in |\mathcal{O}|\setminus \{ \kappa_m\}} C_{\lambda,m+1} = U_{\kappa_m,m+1} \in \mathcal{U}$이고

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이므로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$가 되어 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

모든 $\kappa\in |\mathcal{O}|$와 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해

닫힌덮개의 정의로 모든 $x\in U_{\kappa,n}= X \setminus \displaystyle \bigcup_{\sigma\in |\mathcal{O}|\setminus \{\kappa \}}C_{\sigma,n}\subseteq X\subseteq  \bigcup_{\lambda\in |\mathcal{O}|}C_{\lambda,n}$는 $x\in C_{\lambda,n}$인 $\lambda\in |\mathcal{O}|$가 존재하여

$\lambda = \kappa$임에 따라 $x\in C_{\lambda,n} = C_{\kappa,n}$이므로 $U_{\kappa,n}\subseteq C_{\kappa,n}\subseteq O_\kappa$이다.

$\lambda\ne \kappa$인 모든 $\lambda,\kappa\in |\mathcal{O}|$와 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해

닫힌덮개의 정의로 $\displaystyle X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_n = \bigcup_{\sigma\in |\mathcal{O}|}C_{\sigma,n} =C_{\kappa,n}\cup \bigcup_{\sigma\in |\mathcal{O}|\setminus \{ \kappa\}}C_{\sigma,n} \subseteq \bigcup_{\sigma\in |\mathcal{O}|\setminus \{\lambda\}}C_{\sigma,n} \cup \bigcup_{\sigma\in |\mathcal{O}|\setminus \{\kappa\}}C_{\sigma,n}\subseteq X$이므로

집합 정리로 $\displaystyle X=\displaystyle \bigcup_{\sigma\in |\mathcal{O}|\setminus \{\lambda\}}C_{\sigma,n}  \cup \bigcup_{\sigma\in |\mathcal{O}|\setminus \{\kappa\}}C_{\sigma,n}$가 되어 집합 정리로

$U_{\lambda,n}\cap U_{\kappa,n} = \displaystyle \left (X \setminus \bigcup_{\sigma \in |\mathcal{O}|\setminus \{ \lambda\}}C_{\sigma,n}  \right )\cap \left ( X\setminus \bigcup_{\sigma\in |\mathcal{O}|\setminus \{ \kappa\}}C_{\sigma,n}\right ) = X\setminus \left ( \bigcup_{\sigma\in |\mathcal{O}|\setminus \{ \lambda\}}C_{\sigma,n} \cup \bigcup_{\sigma\in |\mathcal{O}|\setminus \{ \kappa\}}C_{\sigma,n} \right ) = X\setminus X = \emptyset\text{ 이다.}$

위 정리로 모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $\kappa\in |\mathcal{O}|$에 대해 $A_{\kappa,n}\subseteq U_{\kappa,n}$인 $(X,\mathcal{T})$에서 닫한집합 $A_{\kappa,n}$이 유일하게 존재하여

$\mathcal{A} = \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty\{ A_{\kappa,n}:\kappa\in |\mathcal{O}|\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 닫힌덮개이고 $\displaystyle \bigcup_{\kappa\in |\mathcal{O}|}A_{\kappa,n}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 닫한집합이므로

$\displaystyle \bigcup_{\kappa\in |\mathcal{O}|}A_{\kappa,n} \subseteq \bigcup_{\kappa\in |\mathcal{O}|}U_{\kappa,n}$이고 열린덮개의 정의와 위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcup_{\kappa\in |\mathcal{O}|}U_{\kappa,n}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어

선택 정리와 정규공간 정리로 $\displaystyle \bigcup_{\kappa\in |\mathcal{O}|}A_{\kappa,n}\subseteq E_n\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E_n) \subseteq \bigcup_{\kappa\in |\mathcal{O}|}U_{\kappa,n}$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $E_n$을 선택할때

위상공간 정리로 $B_{\kappa,n} = U_{\kappa,n}\cap E_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

$A_{\kappa,n}\subseteq U_{\kappa,n}$과 $A_{\kappa,n}\subseteq E_n$이 성립함에 따라 $A_{\kappa,n}\subseteq B_{\kappa,n} = U_{\kappa,n}\cap E_n \subseteq U_{\kappa,n}$이다.

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $\mathcal{B}_n = \{ B_{\kappa,n}: \kappa\in |\mathcal{O}|\}$일때 임의의 $x\in X$에 대해

$x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E_n)$이면

$x\in X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E_n)$이고 폐포 정리와 위상공간 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E_n)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로 

모든 $\kappa\in |\mathcal{O}|$에 대해 $B_{\kappa,n} \subseteq E_n \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E_{n})$이고 집합 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E_{n})\subseteq X\setminus B_{\kappa,n}$임에 따라 

$(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E_{n}))\cap B_{\kappa,n}\subseteq (X\setminus B_{\kappa,n})\cap B_{\kappa,n} = \emptyset$이 되어 $(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E_{n}))\cap B_{\kappa,n} = \emptyset$이고 

$\{ B\in \mathcal{B}_n : (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E_n))\cap B\ne \emptyset\}$은 공집합이므로 유한집합이다.

$\displaystyle x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E_n) \subseteq \bigcup_{\kappa\in |\mathcal{O}|}U_{\kappa,n}$이면

$x\in U_{\lambda,n}$인 $\lambda\in |\mathcal{O}|$가 존재하여 열린덮개의 정의로 $U_{\lambda,n}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 

$U_{\lambda,n}\cap B_{\kappa,n}\ne \emptyset$이고 $\lambda\ne \kappa$인 $\kappa\in |\mathcal{O}|$가 존재한다고 가정할때 $U_{\lambda,n}\cap B_{\kappa,n}\subseteq U_{\lambda,n}\cap U_{\kappa,n} = \emptyset$이 되어 모순이므로

$U_{\lambda,n}\cap B_{\kappa,n}\ne \emptyset$인 모든 $\kappa\in |\mathcal{O}|$는 $\lambda = \kappa$임에 따라 $\{ B\in \mathcal{B}_n : U_{\lambda,n}\cap B\ne \emptyset\} \subseteq \{ B_{\lambda,n}\}$이고

유한집합 정리로 $\{ B\in \mathcal{B}_n : U_{\lambda,n}\cap B\ne \emptyset\}$은 유한집합이 되어 $\mathcal{B}_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

가산집합 정리로 $\{ \mathcal{B}_n:n\in \mathbb{N}\}$은 가산집합이므로 $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty\mathcal{B}_n$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이고

닫힌덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{A}$에 대해 $x\in A_{\kappa,n}$인 $\kappa\in |\mathcal{O}|$와 $n\in \mathbb{N}$이 존재하여 

$x\in A_{\kappa,n} \subseteq B_{\kappa,n}\in \mathcal{B}_n\subseteq \mathcal{B}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}$임에 따라 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}$이고 

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $\mathcal{B}_n\subseteq \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty\mathcal{B}_n\subseteq \mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

모든 $B\in \mathcal{B}$에 대해 $B\in \mathcal{B}_n$인 $n\in \mathbb{N}$이 존재하여 $B = B_{\kappa,n}$인 $\kappa\in |\mathcal{O}|$가 존재하므로 $O_\kappa\in \mathcal{O}$이고

$B= B_{\kappa,n}\subseteq U_{\kappa,n}\subseteq C_{\kappa,n}\subseteq O_\kappa$임에 따라 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{O}$의 세분이 되어 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

 

 

 

정리14

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 전사함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 닫힌함수일때 

$(X,\mathcal{T}_X)$가 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간이면 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트공간이다.

증명

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T}_X)$는 $T_1$공간이므로 닫힌함수 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_1$공간이다.

임의의 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $Y$의 열린덮개 $\mathcal{O}_Y$에 대해 연속함수 정리로 $\mathcal{O}_X = \{ f^{-1}(O_Y) : O_Y\in \mathcal{O}_Y \}$는 $\mathcal{O}_X\subseteq \mathcal{T}_X$이고

모든 $x\in X$에 대해 $f(x)\in Y\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_Y$이므로 $f(x)\in O_Y$인 $O_Y\in \mathcal{O}_Y$가 존재하여 

$x\in f^{-1}(O_Y)\in \mathcal{O}_X$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_X$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_X$이므로 $\mathcal{O}_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $X$의 열린덮개이다.

위 정리로 어떤 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $X$의 닫힌덮개 $\mathcal{C}_X$가 존재하여 $\mathcal{C}_X$는 $\mathcal{O}_X$의 세분이고

모든 $\mathcal{B}_X \subseteq \mathcal{C}_X$에 대해 $\displaystyle \bigcup \mathcal{B}_X$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이다.

$\mathcal{C}_Y = \{ f(C_X) : C_X\in \mathcal{C}_X\}$일때

모든 $C_X\in \mathcal{C}_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이므로 닫힌함수의 정의로 $f(C_X)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이고

모든 $y\in Y$에 대해 전사의 정의로 $f(x) = y$인 $x\in X$가 존재하여

닫힌덮개의 정의로 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_X$임에 따라 $x\in C_X$인 $C_X\in \mathcal{C}_X$가 존재하고

$y = f(x) \in f(C_X) \in \mathcal{C}_Y$이므로 $y\in \displaystyle \bigcup\mathcal{C}_Y$가 되어 $Y\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_Y$이고 $\mathcal{C}_Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $Y$의 닫힌덮개이다.

모든 $C_Y\in \mathcal{C}_Y$에 대해 $C_Y = f(C_X)$인 $C_X\in \mathcal{C}_X$가 존재하여 세분의 정의로 $C_X\subseteq O_X$인 $O_X\in \mathcal{O}_X$가 존재하고

$O_X = f^{-1}(O_Y)$인 $O_Y\in \mathcal{O}_Y$가 존재하므로 전사 정리로 $C_Y = f(C_X)\subseteq f(O_X) = f(f^{-1}(O_Y)) = O_Y$임에 따라

$\mathcal{C}_Y$는 $\mathcal{O}_Y$의 세분이다.

임의의 $\mathcal{B}_Y\subseteq \mathcal{C}_Y$에 대해 $\mathcal{B}_X = \{ B_X\in \mathcal{C}_X : f(B_X)\in \mathcal{B}_Y\}$일때

모든 $y\in \displaystyle \bigcup_{B_Y\in \mathcal{B}_Y}B_Y$는 $y\in B_Y$인 $B_Y\in \mathcal{B}_Y\subseteq \mathcal{C}_Y$가 존재하여

$B_Y = f(C_X)$인 $C_X\in \mathcal{C}_X$가 존재하므로 $f(C_X) = B_Y\in \mathcal{B}_Y$임에 따라 $C_X\in \mathcal{B}_X$이고

$y\in B_Y = f(C_X)\subseteq \displaystyle \bigcup_{B_X\in \mathcal{B}_X}f(B_X)$가 되어 $\displaystyle \bigcup_{B_Y\in \mathcal{B}_Y}B_Y\subseteq \bigcup_{B_X\in \mathcal{B}_X}f(B_X)$이고

모든 $y\in \displaystyle  \bigcup_{B_X\in \mathcal{B}_X}f(B_X)$는 $y\in f(B_X)$인 $B_X\in \mathcal{B}_X$가 존재하여 $f(B_X)\in \mathcal{B}_Y$이므로

$y\in f(B_X)\subseteq \displaystyle \bigcup_{B_Y\in \mathcal{B}_Y}B_Y$이고 $\displaystyle  \bigcup_{B_X\in \mathcal{B}_X}f(B_X)\subseteq \bigcup_{B_Y\in \mathcal{B}_Y}B_Y$임에 따라

집합 정리와 함수 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{B}_Y =\bigcup_{B_Y\in \mathcal{B}_Y}B_Y= \bigcup_{B_X\in \mathcal{B}_X}f(B_X) = f(\bigcup_{B_X\in \mathcal{B}_X}B_X) = f(\bigcup \mathcal{B}_X)$이고

$\mathcal{B}_X\subseteq \mathcal{C}_X$이므로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{B}_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이 되어

닫힌함수의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{B}_Y = f(\bigcup \mathcal{B}_X)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합임에 따라

위 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트공간이다.

 

 

 

정리15

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간일때 다음은 동치이다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간이다.

2. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{O}$의 성형 세분이다.

3. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{O}$의 무게중심 세분이다.

증명

$2\leftrightarrow 3$

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{O}$의 성형 세분이면 위 정리로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{O}$의 무게중심 세분이다.

역으로 조건이 성립할때 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$X = \emptyset$이면 $\emptyset\subseteq \mathcal{T}$이고 $X = \emptyset = \displaystyle \bigcup \emptyset$이므로

$\emptyset$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이고 공허하게 $\emptyset$은 $\mathcal{O}$의 성형 세분이다.

$X \ne \emptyset$이면 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{V}$가 존재하여 $\mathcal{V}$는 $\mathcal{O}$의 무게중심 세분이고

$(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분이므로

위 정리로 $\mathcal{O}\ne \emptyset$임에 따라 위 정리로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{O}$의 성형 세분이다.

$1\leftrightarrow 3$

$(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간이면 

위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 정규공간이고 파라콤팩트 공간의 정의로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{W}$가 존재하여 $\mathcal{W}$는 $\mathcal{O}$의 세분이고

위 정리로 $\mathcal{W}$가 $X$에서 점유한임에 따라

위 정리로 $\mathcal{W}$의 $(X,\mathcal{T})$에서 수축인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{V}$가 존재하므로

수축의 정의와 폐포 정리로 모든 $W\in \mathcal{W}$에 대해 $f(W)\subseteq\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(W))\subseteq W$인 전사함수 $f:\mathcal{W}\to \mathcal{V}$가 존재하여

위 정리로 위 정리와 위 정리로 $\mathcal{V}$는 $\mathcal{W}$의 세분이고 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한임에 따라

위 정리로 $\overline{\mathcal{V}} = \{ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V) : V\in \mathcal{V}\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

열린덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{V}$에 대해 $x\in V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여

전사의 정의로 $V = f(W)$인 $W\in \mathcal{W}$가 존재하므로 $x\in V = f(W) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(W))\subseteq W$임에 따라

$\{ W\in \mathcal{W} : x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(W))\}$는 공집합이 아니고

$\{ W\in \mathcal{W} : x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(W))\} \subseteq \{ W\in \mathcal{W} : x\in W\} = \{ W\in \mathcal{W} : \{x\}\cap W\ne \emptyset\}$이므로

점유한의 정의와 유한집합 정리로 $\{ W\in \mathcal{W} : x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(W))\}$는 유한집합이 되어 

열린덮개의 정의로 모든 $W\in \mathcal{W}\subseteq \mathcal{T}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라

위상공간 정리로 $B_x = \displaystyle \bigcap \{ W\in \mathcal{W} : x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(W))\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

$\{ A\in \overline{\mathcal{V}} : x\notin A \}\subseteq \overline{\mathcal{V}}$이므로 위 정리로 $\{ A\in \overline{\mathcal{V}} : x\notin A \}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이고

모든 $A\in \overline{\mathcal{V}}$는 $A = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여 폐포 정리로 $A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라

위 정리로 $A_x = \displaystyle \bigcup \{ A\in \overline{\mathcal{V}} : x\notin A \}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

$X\setminus A_x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 집합 정리와 집합 정리와 위상공간 정리로

$U_x = B_x\setminus A_x = B_x \cap (X\setminus A_x)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어 $\mathcal{U} = \{ U_x:x\in X\}$는 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{T}$이다.

임의의 $x\in X$에 대해 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(W))$인 모든 $W\in \mathcal{W}$는 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(W))\subseteq W$이므로 $x\in B_x$이고

$x\in A_x$라고 가정하면 $x \in A$이고 $x\notin A$인 $A\in \overline{\mathcal{V}}$가 존재하여 모순임에 따라 $x\notin A_x$이므로

$x\in B_x\setminus A_x =U_x\in \mathcal{U}$이고 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$가 되어 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$임에 따라 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

열린덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{V}$에 대해 $x\in V_x$인 $V_x\in \mathcal{V}$가 존재하여

전사의 정의로 $V_x = f(W_x)$인 $W_x\in \mathcal{W}$가 존재하므로 $x\in V_x = f(W_x) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(W_x))\subseteq W_x$이고

별의 정의로 모든 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U})= \displaystyle \bigcup \{U\in \mathcal{U}: \{ x\}\cap U\ne \emptyset \}=\bigcup \{ U\in \mathcal{U} : x\in U\}$는

$x,y\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 $U = U_z =B_z\setminus A_z$인 $z\in X$가 존재하고 $x,y \in U_z = B_z\setminus A_z$이다.

$z\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(W_x))$라고 가정하면

$f(W_x)\in \mathcal{V}$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(W_x))\in \overline{\mathcal{V}}$이므로 $x \in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(W_x))\subseteq A_z$인데 $x\notin A_z$임에 모순이 되어

$z\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(W_x))$이고 $y\in B_z$이므로 $z\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f(W))$인 모든 $W\in \mathcal{W}$에 대해 $y\in W$임에 따라

$y\in W_x$가 되어 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\subseteq W_x$이고

세분의 정의로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\subseteq W_x\subseteq O_x$인 $O_x\in \mathcal{O}$가 존재하므로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{O}$의 무게중심 세분이다.

역으로 조건이 성립하면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$의 임의의 $x\in X\setminus C$에 대해

$T_1$공간 정리로 $\{ x\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 $\{X\setminus \{x\},X\setminus C \}\subseteq \mathcal{T}$이고 임의의 $y\in X$에 대해

$x = y$이면 $y=x\in X\setminus C$와 $x\ne y$이면 $y\in X\setminus \{ x\}$가 성립하여 $y\in (X\setminus \{ x\})\cup (X\setminus C)$이므로

$X\subseteq (X\setminus \{x\})\cup (X\setminus C) = \displaystyle \bigcup \{ X\setminus \{x\},X\setminus C\}$이고 $\{ X\setminus \{ x\},X\setminus C\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

2번으로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{W}$가 존재하여 $\mathcal{W}$는 $\{ X\setminus \{ x\},X\setminus C\}$의 성형 세분이고

$\mathcal{W}\subseteq \mathcal{T}$이므로 별의 정의와 위상공간의 정의로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{W}), \operatorname{st}(C,\mathcal{W})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 

위 정리로 $x\in \operatorname{st}(x,\mathcal{W})$와 $C\subseteq \operatorname{st}(C,\mathcal{W})$가 성립한다.

$\operatorname{st}(x,\mathcal{W})\cap \operatorname{st}(C,\mathcal{W})\ne \emptyset$이라고 가정하면 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{W})\cap \operatorname{st}(C,\mathcal{W})$가 존재하여

별의 정의로 $y\in W_x$와 $y\in W_C$가 성립하고 $x\in W_x$와 $C\cap W_C\ne \emptyset$이 성립하는 $W_x,W_C\in \mathcal{W}$가 존재하므로

위 정리와 별의 정의로 $x,y\in W_x\subseteq \operatorname{st}(W_x,\mathcal{W})$이고 $W_C\subseteq \operatorname{st}(y,\mathcal{W}) = \operatorname{st}(\{y\},\mathcal{W})\subseteq \operatorname{st}(W_x,\mathcal{W})$인데

성형 세분의 정의로 $\operatorname{st}(W_x,\mathcal{W})\subseteq O$인 $O\in \{ X\setminus \{x\},X\setminus C\}$가 존재하여

$O = X\setminus \{ x\}$이면 $x\in \operatorname{st}(W_x,\mathcal{W})\subseteq X\setminus \{ x\}$이므로 모순이고

$O = X\setminus C$이면

$C\cap W_C\subseteq W_C\subseteq  \operatorname{st}(W_x,\mathcal{W})\subseteq X\setminus C$이므로 집합 정리로 $C\cap W_C = (C\cap W_C)\cap C = \emptyset$이 되어 모순임에 따라

$\operatorname{st}(x,\mathcal{W})\cap \operatorname{st}(C,\mathcal{W}) = \emptyset$이고 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이 되어

$(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 $T_3$공간이므로 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이다.

$X = \emptyset$이면 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

$X\ne \emptyset$이면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

선택 정리로 $\mathcal{O}$의 무게중심 세분인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}_0$을 선택하고

모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $\mathcal{U}_k$가 $i<k$인 모든 $i\in \mathbb{N}$에 대해 $\mathcal{U}_i$와 $\mathcal{O}$의 무게중심 세분이 되는

$(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}_0,\cdots, \mathcal{U}_k$가 강귀납적으로 정의될때

선택 정리로 $\mathcal{U}_k$의 무게중심 세분인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}_{k+1}$을 선택하면 $i<k+1$인 모든 $i\in \mathbb{N}$에 대해

위 정리로 $\mathcal{U}_i\ne \emptyset$이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$이므로 위 정리로 $\mathcal{U}_{k+1}$은 $\mathcal{U}_i$와 $\mathcal{O}$의 무게중심 세분이다.

$\mathcal{O}$의 크기 $|\mathcal{O}|$는 기수이므로 순서수의 정의로 $(|\mathcal{O}|,\underline{\in})$는 정렬집합이고

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $f : |\mathcal{O}|\to \mathcal{O}$가 존재하므로 모든 $\kappa\in |\mathcal{O}|$에 대해 $f(\kappa)= O_\kappa\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$일때

$V_\kappa = \{ x\in O_\kappa: \text{어떤 }n\in \mathbb{N}\text{에 대해 }\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)\subseteq O_\kappa\}$는 $V_\kappa\subseteq O_\kappa\subseteq X$이고 $\mathcal{V} = \{ V_\kappa: \kappa\in |\mathcal{O}|\}$이면

$\mathcal{U}_0$은 $\mathcal{O}$의 무게중심 세분이므로 모든 $x\in X$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_0)\subseteq O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여

전사의 정의로 $O=O_{\kappa_0}$인 $\kappa_0\in |\mathcal{O}|$이 존재하므로 위 정리로 $x\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_0)\subseteq O = O_{\kappa_0}$이고 $0\in \mathbb{N}$임에 따라

$x\in V_{\kappa_0}\in \mathcal{V}$가 되어 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{V}$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{V}$이므로 $\mathcal{V}$는 $X$의 덮개이다.

모든 $x\in X$와 모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $\kappa\in |\mathcal{O}|$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)\subseteq O_\kappa$이면

별의 정의로 모든 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1}) = \displaystyle \bigcup \{ U_{n+1}\in \mathcal{U}_{n+1} : \{x\}\cap U_{n+1}\ne \emptyset\} = \bigcup \{ U_{n+1}\in \mathcal{U}_{n+1}:x\in U_{n+1}\}$는

$x,y\in U_{n+1}$인 $U_{n+1}\in \mathcal{U}_{n+1}$이 존재하여 $\mathcal{U}_{n+1}$이 $\mathcal{U}_n$의 무게중심 세분임에 따라

위 정리와 무게중심 세분의 정의로 $x,y\in U_{n+1}\subseteq \operatorname{st}(y,\mathcal{U}_{n+1})\subseteq U_n$인 $U_n\in \mathcal{U}_n$이 존재하고

위 정리로 $y\in \operatorname{st}(y,\mathcal{U}_{n+1})\subseteq U_n \subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)\subseteq O_\kappa$이므로 $n+1\in \mathbb{N}$임에 따라 $y\in V_\kappa$이고 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})\subseteq V_\kappa$이다.

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $(|\mathcal{O}|,\underline{\in})$에 대한 초한 귀납법을 사용하여

임의의 $\kappa \in |\mathcal{O}|$의 모든 $\lambda\in \kappa$에 대해 집합 $F_{\lambda,n}\subseteq X$이 초한 귀납적으로 정의될때

$F_{\kappa,n} = X\setminus \displaystyle \operatorname{st}((X\setminus V_\kappa)\cup \bigcup_{\sigma\in \kappa}F_{\sigma,n},\mathcal{U}_n)$로 정의하면 별의 정의로 모든 $x\in \operatorname{st}(F_{\kappa,n},\mathcal{U}_n)$에 대해

$x\in U_n$이고 $U_n\cap F_{\kappa,n}\ne \emptyset$인 $U_n\in \mathcal{U}_n$이 존재하여 $y \in U_n\cap F_{\kappa,n}$가 존재하고

$U_n\cap (X\setminus V_\kappa)\ne \emptyset$이라고 가정하면 $U_n\cap (X\setminus V_\kappa)\subseteq U_n\cap ((X\setminus V_\kappa) \cup \displaystyle \bigcup_{\sigma\in \kappa}F_{\sigma,n})$이므로

$U_n\cap ((X\setminus V_\kappa) \cup \displaystyle \bigcup_{\sigma\in \kappa}F_{\sigma,n})\ne \emptyset$이 되어 별의 정의로 $y\in U_n\subseteq \displaystyle \operatorname{st}((X\setminus V_\kappa)\cup \bigcup_{\sigma\in \kappa}F_{\sigma,n},\mathcal{U}_n)$인데

$y\in F_{\kappa,n} = X\setminus \displaystyle \operatorname{st}((X\setminus V_\kappa)\cup \bigcup_{\sigma\in \kappa}F_{\sigma,n},\mathcal{U}_n)$이므로 $y\notin \displaystyle \operatorname{st}((X\setminus V_\kappa)\cup \bigcup_{\sigma\in \kappa}F_{\sigma,n},\mathcal{U}_n)$임에 따라 모순이 되어

$U_n\cap (X\setminus V_\kappa)= \emptyset$이고 집합 정리로 $x\in U_n\subseteq X\setminus (X\setminus V_\kappa)= V_\kappa$가 되어 $\operatorname{st}(F_{\kappa,n},\mathcal{U}_n)\subseteq V_\kappa$이다.

$F_{\lambda,n}\subseteq \displaystyle \bigcup_{\sigma\in \kappa}F_{\sigma,n} \subseteq (X\setminus V_\kappa)\cup \bigcup_{\sigma\in \kappa}F_{\sigma,n}$이므로 위 정리로 $\operatorname{st}(F_{\lambda,n},\mathcal{U}_n)\subseteq \operatorname{st}((X\setminus V_\kappa)\cup \displaystyle \bigcup_{\sigma\in \kappa}F_{\sigma,n},\mathcal{U}_n)$이 되어 

집합 정리로 $F_{\kappa,n}= X\setminus \operatorname{st}((X\setminus V_\kappa)\cup \displaystyle \bigcup_{\sigma\in \kappa}F_{\sigma,n},\mathcal{U}_n) \subseteq X\setminus \operatorname{st}(F_{\lambda,n},\mathcal{U}_n)$임에 따라

집합 정리로 $\operatorname{st}(F_{\lambda,n},\mathcal{U}_n)\cap F_{\kappa,n} = \emptyset$이다.

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $\mathcal{F}_n = \{ F_{\kappa,n}: \kappa\in |\mathcal{O}|\}$일때 $\mathcal{F} = \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty \mathcal{F}_n$이면

덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{V} = \bigcup_{\kappa\in |\mathcal{O}|}V_\kappa$이므로 $x\in V_\kappa$인 $\kappa\in |\mathcal{O}|$가 존재하여

정렬집합의 정의로 $\kappa_0 = \underset{(|\mathcal{O}|,\underline{\in})}{\min}\{ \kappa\in |\mathcal{O}|:x\in V_\kappa\}$이 존재하고

$x\in V_{\kappa_0}$이므로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_n)\subseteq O_{\kappa_0}$인 $n\in \mathbb{N}$이 존재하여 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})\subseteq V_{\kappa_0}$이다.

$x\notin F_{\kappa_0,n+1}$이라고 가정하면 $x\in \operatorname{st}((X\setminus V_{\kappa_0})\cup \displaystyle \bigcup_{\lambda\in \kappa_0}F_{\lambda,n+1},\mathcal{U}_{n+1})$가 되어 

별의 정의로 $x\in U_{n+1}$이고 $U_{n+1}\cap ((X\setminus V_{\kappa_0})\cup \displaystyle \bigcup_{\lambda\in \kappa_0}F_{\lambda,n+1}) \ne \emptyset$인 $U_{n+1}\in \mathcal{U}_{n+1}$이 존재하므로

$y\in U_{n+1}\cap ((X\setminus V_{\kappa_0})\cup \displaystyle \bigcup_{\lambda\in \kappa_0}F_{\lambda,n+1})$가 존재하는데

$y\in X\setminus V_{\kappa_0}$이면 $y\notin V_{\kappa_0}$이므로 위 정리로 $y\in U_{n+1}\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{n+1})\subseteq V_{\kappa_0}$가 되어 모순이고

$y\in \displaystyle \bigcup_{\lambda\in \kappa_0}F_{\lambda,n+1}$이면 $y\in F_{\lambda,n+1}$인 $\lambda\in \kappa_0$가 존재하여

위 정리와 별의 정의로 $x\in U_{n+1}\subseteq \operatorname{st}(y,\mathcal{U}_{n+1})=\operatorname{st}(\{ y\},\mathcal{U}_{n+1})\subseteq \operatorname{st}(F_{\lambda,n+1},\mathcal{U}_{n+1})\subseteq V_\lambda$이고

전순서집합 정리로 $\kappa_0\underline{\in}\lambda$임에 따라 순서수 정리에 모순이므로

$x\in F_{\kappa_0,n+1}\in \mathcal{F}_{n+1}\subseteq \mathcal{F}$이고 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$가 되어 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$이므로 $\mathcal{F}$는 $X$의 덮개이다.

모든 $n\in \mathbb{N}$과 모든 $\kappa\in |\mathcal{O}|$에 대해 열린덮개의 정의와 별의 정의와 위상공간의 정의로

$G_{\kappa,n} = \operatorname{st}(F_{\kappa,n},\mathcal{U}_{n+2})$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 $\mathcal{G}_n =\{ G_{\kappa,n} : \kappa\in |\mathcal{O}|\}$은 $\mathcal{G}_{n}\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 열린덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}_{n+2}$는

$x\in U_{n+2}$인 $U_{n+2}\in \mathcal{U}_{n+2}\subseteq \mathcal{T}$가 존재하여 $U_{n+2}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고

임의의 $\lambda,\kappa\in |\mathcal{O}|$에 대해 $U_{n+2}\cap G_{\lambda,n}\ne \emptyset$과 $U_{n+2}\cap G_{\kappa,n}\ne \emptyset$이 성립하면

$x_\lambda\in U_{n+2}\cap G_{\lambda,n}$와 $x_\kappa\in U_{n+2}\cap G_{\kappa,n}$가 존재하여 별의 정의로

$x_\lambda\in B_\lambda$와 $x_\kappa\in B_\kappa$가 성립하고 $B_\lambda\cap F_{\lambda,n}\ne \emptyset$와 $B_\kappa\cap F_{\kappa,n}\ne \emptyset$이 성립하는 $B_\lambda,B_\kappa\in \mathcal{U}_{n+2}$이 존재하므로

$y_\lambda \in B_\lambda\cap F_{\lambda,n}$와 $y_\kappa\in B_\kappa\cap F_{\kappa,n}$가 존재한다.

$x_\lambda\in U_{n+2}\cap B_\lambda$와 $x_\kappa\in U_{n+2}\cap B_\kappa$가 성립하여 $U_{n+2}\cap B_\lambda\ne \emptyset$이고 $U_{n+2}\cap B_\kappa\ne \emptyset$이므로

별의 정의로 $B_\lambda \subseteq \operatorname{st}(U_{n+2},\mathcal{U}_{n+2})$와 $B_\kappa\subseteq \operatorname{st}(U_{n+2},\mathcal{U}_{n+2})$가 성립한다.

$\mathcal{U}_{n+2}$는 $\mathcal{U}_{n+1}$의 무게중심 세분이고 $\mathcal{U}_{n+1}$은 $\mathcal{U}_n$의 무게중심 세분이므로 위 정리로 $\mathcal{U}_{n+2}$가 $\mathcal{U}_n$의 성형 세분임에 따라

$\operatorname{st}(U_{n+2},\mathcal{U}_{n+2})\subseteq U_n$이 되는 $U_n\in \mathcal{U}_n$이 존재하여

$y_\lambda\in B_\lambda\cap F_{\lambda,n} \subseteq \operatorname{st}(U_{n+2},\mathcal{U}_{n+2})\cap F_{\lambda,n} \subseteq U_n\cap F_{\lambda,n}$이고

$y_\kappa\in B_\kappa\cap F_{\kappa,n} \subseteq \operatorname{st}(U_{n+2},\mathcal{U}_{n+2})\cap F_{\kappa,n}\subseteq U_n\cap F_{\kappa,n}$이므로

$U_n\cap F_{\lambda,n}\ne \emptyset$와 $U_n\cap F_{\kappa,n}\ne \emptyset$이 성립하고 별의 정의로 $U_n\subseteq \operatorname{st}(F_{\lambda,n},\mathcal{U}_n)$과 $U_n\subseteq \operatorname{st}(F_{\kappa,n},\mathcal{U}_n)$이 성립한다.

$\lambda\in \kappa$이면 $y_\kappa \in U_n\cap F_{\kappa,n} \subseteq \operatorname{st}(F_{\lambda,n},\mathcal{U}_n)\cap F_{\kappa,n} = \emptyset$가 되어 모순이고

$\kappa\in \lambda$이면 $y_\lambda\in U_n\cap F_{\lambda,n} \subseteq \operatorname{st}(F_{\kappa,n},\mathcal{U}_n)\cap F_{\lambda,n}= \emptyset$가 되어 모순이므로

순서수 정리로 $\lambda = \kappa$이고 $G_{\lambda,n} = G_{\kappa,n}$임에 따라

$\{G\in \mathcal{G}_n : G\cap U_{n+2}\ne \emptyset \}$는 원소개수가 $1$개이하인 유한집합이 되어 $\mathcal{G}_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이고

가산집합 정리로 $\{ \mathcal{G}_n:n\in \mathbb{N}\}$은 가산집합이므로 $\mathcal{G} = \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty \mathcal{G}_n$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이고 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{T}$이다.

덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$에 대해 $x\in F$인 $F\in \mathcal{F} = \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty\mathcal{F}_n$가 존재하여 $F\in \mathcal{F}_n$인 $n\in \mathbb{N}$이 존재하고

$F = F_{\kappa,n}$인 $\kappa\in |\mathcal{O}|$가 존재하므로 위 정리로 $x\in F = F_{\kappa,n}\subseteq \operatorname{st}(F_{\kappa,n},\mathcal{U}_{n+2}) = G_{\kappa,n}\in \mathcal{G}_n\subseteq \mathcal{G}$임에 따라

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{G}$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{G}$이므로 $\mathcal{G}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

모든 $G\in \mathcal{G}$에 대해 $G\in \mathcal{G}_n$인 $n\in \mathbb{N}$이 존재하여 $G = G_{\kappa,n}$인 $\kappa\in |\mathcal{O}|$가 존재하고

$\mathcal{U}_{n+2}$가 $\mathcal{U}_n$의 무게중심 세분임에 따라 위 정리와 위 정리로 $\mathcal{U}_{n+2}$는 $\mathcal{U}_n$의 세분이므로 

$O_\kappa\in \mathcal{O}$이고 위 정리로 $G = G_{\kappa,n} = \operatorname{st}(F_{\kappa,n},\mathcal{U}_{n+2})\subseteq \operatorname{st}(F_{\kappa,n},\mathcal{U}_n) \subseteq V_\kappa \subseteq O_\kappa$가 되어

$\mathcal{G}$는 $\mathcal{O}$의 세분이므로 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/122#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/122#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797

James Munkres - Topology - 9788120320468

Ernest Michael - A note on paracompact spaces - DOI: 10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8

Ernest Michael - Another note on paracompact spaces - DOI: 10.1090/S0002-9939-1957-0087079-9