근접공간(Proximity space)

정의1

임의의 집합 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 

근접공간 :

$\mathcal{P}(X)$의 관계 $\pmb{\delta} \subseteq \mathcal{P}(X)\times \mathcal{P}(X)$가 아래 6가지 성질을 만족하면 

순서쌍 $(X,\pmb\delta)$를 근접공간으로 정의하고 $\pmb{\delta}$를 $X$의 근접구조(proximity structure)로 정의한다.

1. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,B$이면 $B\,\pmb{\delta}\,A$이다.

2. 모든 $A ,B\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,B$이면 $A\ne \emptyset$이다.

3. 모든 $A ,B\subseteq X$에 대해 $A\cap B\ne \emptyset$이면 $A\,\pmb{\delta}\,B$이다.

4. 모든 $A,B,C\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,(B\cup C)$이기 위한 필요충분조건은 $A\,\pmb{\delta}\,B$ 또는 $A\,\pmb{\delta}\,C$인 것이다.

5. 임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 모든 $S \subseteq X$가 $A\,\pmb{\delta}\,S$ 또는 $B\,\pmb{\delta}\,(X\setminus S)$이면 $A\,\pmb{\delta}\,B$이다.

근접성 :

근접공간이 $(X,\pmb{\delta})$일때 임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\pmb{\,\delta\,}B$이면 $A$와 $B$가 $(X,\pmb{\delta})$에서 근접하다고 정의한다.

분리근접공간(separated proximity space) :

모든 $x,y\in X$에 대해 $\{ x\}\,\pmb{\delta}\,\{ y\}$이면 $x = y$가 성립하는 근접공간 $(X,\pmb{\delta})$를 분리근접공간으로 정의한다. $\phantom{\displaystyle \sum_{i=1}^n}$

 

 

 

정리1(기본 근접공간[elementary proximity space])

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 정규공간일때 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$의 관계 $\pmb{\delta}$가 모든 $A,B\subseteq X$에 대해

$A\,\pmb{\delta}\,B$이기 위한 필요충분조건이 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}$$(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\ne \emptyset$인 것이면 다음이 성립한다.

1. $(X,\pmb{\delta})$는 근접공간이다.

2. $(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간인 것이다.

증명

1.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이므로 

$A\,\pmb{\delta}\,B$이면 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\ne \emptyset$가 되어 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\ne \emptyset$임에 따라 $B\,\pmb{\delta}\,A$이다.

어떤 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,B$이고 $A = \emptyset$이라고 가정하면 위상공간 정리와 폐포 정리로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\emptyset) = \emptyset$이므로 $\emptyset = \emptyset\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\ne \emptyset$이 되어 모순임에 따라 

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,B$이면 $A \ne \emptyset$이다.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\cap B \ne \emptyset$이면 

폐포 정리로 $A\cap B\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이므로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\ne \emptyset$이 되어 $A\,\pmb{\delta}\,B$이다.

모든 $A,B,C\subseteq X$에 대해 폐포 정리와 집합 정리로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B\cup C) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(C)) = (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B))\cup (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(C))\text{ 이므로}$

$A\,\pmb{\delta}\,(B\cup C)$이면 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B\cup C)\ne \emptyset$임에 따라

$x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B\cup C) = (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B))\cup (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(C))$가 존재하여 

$x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$ 또는 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(C)$이고 

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\ne \emptyset$ 또는 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(C)\ne \emptyset$이므로 $A\,\pmb{\delta}\,B$ 또는 $A\,\pmb{\delta}\,C$이고

$A\,\pmb{\delta}\,B$ 또는 $A\,\pmb{\delta}\,C$이면 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\ne \emptyset$ 또는 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(C)\ne \emptyset$이므로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B\cup C) = (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B))\cup (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(C))\ne \emptyset$이 되어 $A\,\pmb{\delta}\,(B\cup C)$이다.

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,B$이면 

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)= \emptyset$이고 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A), \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 정규공간 정리로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\subseteq U$와 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\subseteq V$가 성립하고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V) = \emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)\subseteq U\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V) = \emptyset$임에 따라

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)= \emptyset$이므로 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,V$이고 위상공간 정리로 $X\setminus V$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라

폐포 정리와 집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus V)=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\cap (X\setminus V)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B))= \emptyset$이 되어

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus V) = \emptyset$이고 $B\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,(X\setminus V)$이다.

따라서 임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 모든 $S \subseteq X$가 $A\,\pmb{\delta}\,S$ 또는 $B\,\pmb{\delta}\,(X\setminus S)$이면 $A\,\pmb{\delta}\,B$이므로 $(X,\pmb{\delta})$는 근접공간이다.

2.

$(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간이면

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $\{x\}\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,\{y\}$이므로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\})\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\}) = \emptyset$이고 

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\}), \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 정규공간의 정의로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{ x\})\subseteq U$와 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{ y\})\subseteq V$가 성립하고 $U\cap V = \emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여

폐포 정리로 $x\in \{x\}\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{ x\})\subseteq U$와 $y\in \{y\}\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{ y\})\subseteq V$임에 따라 

$U$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방이므로

$(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이 되어 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간이면 

임의의 $x,y\in X$에 대해 $T_1$공간 정리로 $\{x\},\{y\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로

$\{x\}\,\pmb{\delta}\,\{y\}$이면 폐포 정리로 $\{x\}\cap \{y\}=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\})\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\}) \ne \emptyset$이고

$z\in \{x\}\cap \{ y\}$가 존재하여 $x = z = y$임에 따라 $(X,\pmb{\delta})$는 분리근접공간이다.

 

 

 

정리2(균등 근접공간)

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$의 관계 $\pmb{\delta}$가 모든 $A,B\subseteq X$에 대해

$A\,\pmb{\delta}\,B$이기 위한 필요충분조건이 모든 $D\in \mathcal{D}$가 $D[A]$$\,\cap\, D[B]\ne \emptyset$인 것이면 다음이 성립한다.

1. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,B$이기 위한 필요충분조건은 모든 $D\in \mathcal{D}$가 $D[A]\cap B\ne \emptyset$인 것이다.

2. $(X,\pmb{\delta})$는 근접공간이다.

3. $(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간인 것이다.

증명

1.

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,B$이면 

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 균등공간 정리로 $E\circ E\subseteq D$이고 $E = E^{-1}$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 $E[A]\cap E[B]\ne \emptyset$이므로

$z\in E[A]\cap E[B]$가 존재하고 관계의 상의 정의로 $z\in E[x]$인 $x\in A$와 $z\in E[y]$인 $y\in B$가 존재하여

$(x,z),(y,z)\in E$이므로 역관계의 정의로 $(z,y)\in E^{-1} = E$임에 따라 합성관계의 정의로 $(x,y)\in E\circ E\subseteq D$이고

관계의 상의 정의로 $y\in D[x] \subseteq D[A]$이므로 $y\in D[A]\cap B$가 되어 $D[A]\cap B\ne \emptyset$이다.

역으로 임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 모든 $D\in \mathcal{D}$가 $D[A]\cap B\ne \emptyset$이면

균등공간 정리로 $B\subseteq D[B]$이므로 $D[A]\cap B\subseteq D[A]\cap D[B]$가 되어 $D[A]\cap D[B]\ne \emptyset$임에 따라 $A\,\pmb{\delta}\,B$이다.

2.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 모든 $D\in \mathcal{D}$는 $D[A]\cap D[B] = D[B]\cap D[A]$이므로 

$A\,\pmb{\delta}\,B$이면 $D[A]\cap D[B]\ne \emptyset$가 되어 $D[B]\cap D[A]\ne \emptyset$임에 따라 $B\,\pmb{\delta}\,A$이다.

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,B$이면 

균등공간의 정의로 $\mathcal{D}\ne \emptyset$이므로 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $D[A]\cap D[B] \ne \emptyset$이고

$x\in D[A]\cap D[B] \subseteq D[A]$가 존재하여 관계의 상의 정의로 $x\in D[y]$인 $y\in A$가 존재하므로 $A\ne \emptyset$이다.

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\cap B\ne \emptyset$이면 $x\in A\cap B$가 존재하여

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 균등공간 정리와 관계의 상의 정의로 $x\in D[x] \subseteq D[A\cap B]$이므로 $D[A\cap B]\ne \emptyset$이고 

관계 정리로 $D[A\cap B]\subseteq D[A]$와 $D[A\cap B]\subseteq D[B]$가 성립하여

$D[A\cap B]\subseteq D[A]\cap D[B]$이므로 $D[A]\cap D[B]\ne \emptyset$임에 따라 $A\,\pmb{\delta}\,B$이다.

임의의 $A,B,C\subseteq X$에 대해 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,B$이고 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,C$이면 

1번으로 어떤 $D_1,D_2\in \mathcal{D}$가 존재하여 $D_1[A]\cap B = \emptyset$이고 $D_2[A]\cap C = \emptyset$이므로 

균등공간의 정의로 $D_1\cap D_2\in \mathcal{D}$에 대해 관계 정리와 집합 정리로

$\begin{align*}(D_1\cap D_2)[A]\cap (B\cup C) &\subseteq (D_1[A]\cap D_2[A])\cap (B\cup C) = (D_1[A]\cap D_2[A]\cap B)\cup (D_1[A]\cap D_2[A]\cap C) \\[0.5em]& \subseteq (D_1[A]\cap B) \cup (D_2[A]\cap C) = \emptyset \cup \emptyset = \emptyset\text{ 임에 따라} \end{align*}$

$(D_1\cap D_2)[A]\cap (B\cup C) =\emptyset$이므로 1번으로 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,(B\cup C)$이고

$A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,(B\cup C)$이면 1번으로 어떤 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $D[A]\cap (B\cup C) = \emptyset$이므로 

$D[A]\cap B \subseteq D[A]\cap (B\cup C) = \emptyset$이고 $D[A]\cap C \subseteq D[A]\cap (B\cup C) = \emptyset$임에 따라 

$D[A]\cap B = \emptyset$이고 $D[A]\cap C = \emptyset$이 되어 1번으로 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,B$이고 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,C$이므로 

모든 $A,B,C\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,(B\cup C)$이기 위한 필요충분조건은 $A\,\pmb{\delta}\,B$ 또는 $A\,\pmb{\delta}\,C$인 것이다.

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,B$이면 

1번으로 $D[A]\cap B = \emptyset$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하므로 균등공간 정리로 $E\circ E\subseteq D$이고 $E = E^{-1}$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 

$S = X\setminus E[A]$일때 $E[A]\cap S = E[A]\cap (X\setminus E[A]) = \emptyset$이므로 1번으로 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,S$이고 

$E[B] \cap (X\setminus S)\ne \emptyset$이라고 가정하면 

집합 정리로 $z\in E[B] \cap (X\setminus S)= E[B]\cap (X\setminus (X\setminus E[A])) = E[B]\cap E[A]$가 존재하여 

관계의 상의 정의로 $z\in E[x]$이고 $z\in E[y]$인 $x\in A$와 $y\in B$가 존재하므로 $(x,z),(y,z)\in E$이고

역관계의 정의로 $(z,y)\in E^{-1} = E$이므로 합성관계의 정의로 $(x,y)\in E\circ E \subseteq D$가 되어

관계의 상의 정의로 $y\in D[x] \subseteq D[A]$이고 $y\in D[A]\cap B = \emptyset$임에 따라 모순이므로

$E[B] \cap (X\setminus S)= \emptyset$이고 1번으로 $B\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,(X\setminus S)$이다.

따라서 임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 모든 $S \subseteq X$가 $A\,\pmb{\delta}\,S$ 또는 $B\,\pmb{\delta}\,(X\setminus S)$이면 $A\,\pmb{\delta}\,B$이므로 $(X,\pmb{\delta})$는 근접공간이다.

3.

$(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간이면

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $\{x\}\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, \{ y\}$이므로

1번과 관계의 상의 정의로 $D[x]\cap \{ y\} = D[\{x\}]\cap \{ y\} = \emptyset$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하고

$(x,y)\in D$라고 가정하면 $y\in D[x]\cap \{ y\} = \emptyset$임에 따라 모순이 되어

$(x,y)\notin D$이므로 균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 분리균등공간이다.

역으로 $(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간이면 

모든 $x,y\in X$에 대해 $\{x\}\, \pmb{\delta}\, \{ y\}$일때 1번으로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $D[x]\cap \{ y\} = D[\{ x\}]\cap \{ y\}\ne \emptyset$이므로 

$z\in D[x]\cap \{ y\}$가 존재하여 $z \in D[x]$이고 $y =z$이므로 관계의 상의 정의로 $(x,y)=(x,z)\in D$임에 따라 

$X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 분리균등공간의 정의로 $(x,y)\in \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D = \Delta_X$가 되어 $x = y$이고

$(X,\pmb{\delta})$는 분리근접공간이다.

 

 

 

정리3(균등덮개 근접공간)

균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U})$일때 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$의 관계 $\pmb{\delta}$가 모든 $A,B\subseteq X$에 대해

$A\,\pmb{\delta}\,B$이기 위한 필요충분조건이 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 $\operatorname{st}$$(A,\mathcal{U})\,\cap\, \operatorname{st}(B,\mathcal{U})\ne \emptyset$인 것이면 다음이 성립한다.

1. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,B$이기 위한 필요충분조건은 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap B\ne \emptyset$인 것이다.

2. $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때 $(X,\pmb{\delta})$는 $(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간이다.

3. $(X,\pmb{\delta})$는 근접공간이다.

4. $(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathbf{U})$가 분리균등덮개공간인 것이다.

증명

1.

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,B$이면 

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 균등덮개공간의 정의로 어떤 $\mathcal{V}\in \mathbf{U}$가 $\mathcal{U}$의 성형세분이고

$\operatorname{st}(A,\mathcal{V})\cap \operatorname{st}(B,\mathcal{V})\ne \emptyset$이므로 $z\in \operatorname{st}(A,\mathcal{V})\cap \operatorname{st}(B,\mathcal{V})$가 존재함에 따라

별의 정의로 $z\in V_1$와 $A\cap V_1\ne \emptyset$이 성립하고 $z\in V_2$와 $B\cap V_2\ne \emptyset$이 성립하는 $V_1,V_2\in \mathcal{V}$가 존재하여 

$x\in A\cap V_1$와 $y\in B\cap V_2$가 존재하고 성형세분의 정의로 $\operatorname{st}(V_2,\mathcal{V})\subseteq U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하므로 

$z\in V_1\cap V_2$임에 따라 $V_1\cap V_2\ne \emptyset$이 되어 별의 정의로 $x\in V_1\subseteq \operatorname{st}(V_2,\mathcal{V})\subseteq U$이고

$x\in A\cap U$임에 따라 $A\cap U\ne \emptyset$이고 별의 정의로 $U \subseteq \operatorname{st}(A,\mathcal{U})$이므로 

별 정리로 $y\in V_2\subseteq \operatorname{st}(V_2,\mathcal{V})\subseteq U \subseteq \operatorname{st}(A,\mathcal{U})$가 되어 $y\in \operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap B$이고 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap B\ne \emptyset$이다.

역으로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap B\ne \emptyset$이면 

별 정리로 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap B\subseteq \operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap \operatorname{st}(B, \mathcal{U})$이므로 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap \operatorname{st}(B, \mathcal{U})\ne \emptyset$이 되어 $A\,\pmb{\delta}\,B$이다.

2.

임의의 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $E_\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2$일때 균등덮개공간 정리로 $\{ E_\mathcal{U}: \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이므로 

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,B$이면 

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 기저의 정의로 $E_\mathcal{U}\subseteq D$인 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하여 1번으로 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap B\ne \emptyset$이므로

$y \in \operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap B$가 존재함에 따라 별의 정의로 $y\in U$이고 $A\cap U\ne \emptyset$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하고

$x\in A\cap U$가 존재하여 $(x,y)\in U^2 \subseteq E_\mathcal{U} \subseteq D$이므로 관계의 상의 정의로 $y\in D[x]\subseteq D[A]$이고

$y\in D[A]\cap B$임에 따라 $D[A]\cap B\ne \emptyset$이다.

역으로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $D[A]\cap B\ne \emptyset$이면 

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 기저의 정의로 $E_\mathcal{U}\in \mathcal{D}$임에 따라 $E_\mathcal{U}[A]\cap B\ne \emptyset$이므로 $y \in E_\mathcal{U}[A]\cap B$가 존재하여

관계의 상의 정의로 $y\in E_\mathcal{U}[x]$인 $x\in A$가 존재하고 $(x,y)\in E_\mathcal{U}$이므로 $(x,y)\in U^2$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 

$x\in A\cap U$임에 따라 $A\cap U\ne \emptyset$이고 별의 정의로 $y\in U\subseteq \operatorname{st}(A,\mathcal{U})$이므로 $y\in \operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap B$가 되어

$\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap B\ne \emptyset$이고 1번으로 $A\,\pmb{\delta}\,B$이다.

따라서 위 정리로 $(X,\pmb{\delta})$는 $(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간이다.

3, 4

2번과 위 정리로 $(X,\pmb{\delta})$는 근접공간이고 

$(X,\mathbf{U})$가 분리균등덮개공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간인 것이므로

2번과 위 정리로 $(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathbf{U})$가 분리균등덮개공간인 것이다.

 

 

 

정리4(유사거리 근접공간, 거리 근접공간)

유사거리공간이 $(X,\rho)$일때

$X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$의 관계 $\pmb{\delta}$가 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,B$이기 위한 필요충분조건이

$A\ne \emptyset$와 $B\ne \emptyset$가 성립하고 $\inf$$\{ \rho(x,y): x\in A,y\in B\} =\inf \rho(A\times B) =0$인 것이면 다음이 성립한다.

1. 모든 $A,B\in \mathcal{P}(X)\setminus \{ \emptyset\}$에 대해 $\inf \rho(A\times B)$가 존재하고 $\inf \rho(A\times B)\ge 0$이다.

2. 모든 $A,B\in \mathcal{P}(X)\setminus \{ \emptyset\}$에 대해 $\inf \rho(A\times B) = \inf \rho(B\times A)$이다.

3. 모든 $A,B\in \mathcal{P}(X)$에 대해 $A\cap B\ne \emptyset$이면 $\inf \rho(A\times B) = 0$이다.

4. 모든 $A,B,C\in \mathcal{P}(X)\setminus \{ \emptyset\}$에 대해 $\inf \rho(A\times (B\cup C)) = $ $\min$$\{\inf \rho(A\times B),\inf \rho(A\times C) \}$이다.

5. 모든 $x,y\in X$에 대해 $\inf \rho(\{x\}\times \{ y\}) = \rho(x,y)$이다.

6. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,B$이기 위한 필요충분조건은 

$A = \emptyset$ 또는 $B=\emptyset$가 성립하거나 $A \ne \emptyset$와 $B\ne \emptyset$가 성립하고 $\inf\rho(A\times B) > 0$인 것이다.

7. $(X,\pmb{\delta})$는 근접공간이다.

8. $(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\rho)$가 거리공간인 것이다.

증명

1.

$A\ne \emptyset$와 $B\ne \emptyset$이 성립하여 데카르트곱 정리로 $A\times B\ne \emptyset$이므로 $\rho(A\times B) \ne \emptyset$이고

모든 $(x,y)\in A\times B$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,y) \ge 0$이므로

완비성으로 $\inf \{ \rho(x,y) : x\in A,y\in B\} = \inf \rho(A\times B)$가 존재하고

하한의 정의로 $\inf \{ \rho(x,y) : x\in A,y\in B\} = \inf \rho(A\times B)\ge 0$이다.

2.

모든 $t\in \rho(A\times B)$는 $t = \rho(x,y)$인 $x\in A$와 $y\in B$가 존재하여

유사거리공간의 정의로 $t = \rho(x,y) = \rho(y,x)\in \rho(B\times A)$이므로 $\rho(A\times B)\subseteq \rho(B\times A)$이고 

비슷하게 $\rho(B\times A)\subseteq \rho(A\times B)$임에 따라 집합 정리로 $\rho(A\times B) =\rho(B\times A)$이므로

$\inf \rho(A\times B) = \inf \rho(B\times A)$이다.

3.

$A\cap B\ne \emptyset$이므로 $A\cap B\subseteq A$와 $A\cap B\subseteq B$가 성립하여 $A\ne \emptyset$와 $B\ne \emptyset$가 성립하고

$x\in A\cap B$가 존재하므로 유사거리공간의 정의와 하한의 정의로 $0 =\rho(x,x) \ge \inf \rho(A\times B) \ge 0$이 되어

부등식 정리로 $\inf \rho(A\times B) = 0$이다.

4.

데카르트곱 정리로 $A \times (B\cup C) = (A\times B)\cup (A\times C)$이므로

$A\times B \subseteq A\times (B\cup C)$이고 $A\times C \subseteq A\times (B\cup C)$임에 따라 

$\rho(A\times B)\subseteq \rho(A\times (B\cup C))$이고 $\rho(A\times C)\subseteq \rho(A\times (B\cup C))$가 되어 

하한 정리로 $\inf \rho(A\times (B\cup C)) \le \inf \rho (A\times B)$이고 $\inf \rho(A\times (B\cup C)) \le \inf \rho (A\times C)$이므로 

최소원소의 정의로 $\inf \rho(A\times (B\cup C)) \le \min \{\inf \rho (A\times B) ,\inf \rho(A\times C)\}$이다.

모든 $t\in \rho(A\times (B\cup C))$에 대해 $t = \rho(x,y)$인 $(x,y)\in A\times (B\cup C) = (A\times B)\cup (A\times C)$가 존재하여 

최소원소의 정의와 하한의 정의로

$(x,y)\in A\times B$이면 $\min \{ \inf \rho(A\times B),\inf \rho(A\times C)\}\le \inf \rho(A\times B)\le \rho(x,y)$이고 

$(x,y)\in A\times C$이면 $\min \{ \inf \rho(A\times B),\inf \rho(A\times C)\}\le \inf \rho(A\times C)\le \rho(x,y)$이므로 

하한의 정의로 $\min \{\inf \rho (A\times B) ,\inf \rho(A\times C)\}\le \inf \rho(A\times (B\cup C))$가 되어 

부등식 정리로 $\inf \rho(A\times (B\cup C)) = \min \{\inf \rho (A\times B) ,\inf \rho(A\times C)\}$이다.

5.

임의의 $x,y\in X$에 대해 데카르트곱 정리로 $\{ x\}\times \{ y\} = \{ (x,y)\}$는 $1$개의 원소를 갖는 유한집합이므로

함수 정리와 함수 정리로 $\rho (\{ x\}\times \{ y\}) = \rho(\{ (x,y)\}) = \{ \rho(x,y) \}$는 $1$개의 원소를 갖는 유한집합이 되어

최소원소 정리와 최소원소 정리와 최소원소의 정의로

$\inf \rho(\{x\}\times \{ y\}) =\min \rho(\{x\}\times \{ y\}) = \min \{ \rho(x,y)\} = \rho(x,y)$이다.

6.

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 명제 정리와 명제 정리로

$\begin{align*} A\,\pmb{\delta}\, B  &\equiv ((A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset))\land (\inf \rho(A\times B) =0)\\[0.5em]& \equiv \mathbf{F} \lor (((A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset))\land (\inf \rho(A\times B) =0)) \\[0.5em] &\equiv ( ((A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset)) \land \neg ((A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset)) ) \lor (((A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset))\land (\inf \rho(A\times B) =0)) \\[0.5em] &\equiv ((A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset)) \land ( \neg ((A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset)) \lor (\inf \rho(A\times B) =0)) \\[0.5em] &\equiv ((A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset)) \land ( ((A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset)) \to (\inf \rho(A\times B) =0)) \text{ 이므로} \end{align*}$

$\begin{align*} A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, B &\equiv \neg(A \,\pmb{\delta} \, B)  \\[0.5em]& \equiv \neg ( ((A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset)) \land ( \neg ((A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset)) \lor (\inf \rho(A\times B) =0)) ) \\[0.5em]& \equiv \neg ( (A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset) ) \lor \neg ( \neg ( (A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset) ) \lor (\inf \rho(A\times B) =0) ) \\[0.5em]& \equiv ( \neg (A\ne \emptyset) \lor \neg (B\ne \emptyset) ) \lor ( ( (A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset) ) \land \neg (\inf \rho(A\times B) =0) ) \\[0.5em]& \equiv ( (A= \emptyset) \lor (B= \emptyset) ) \lor ( ((A\ne \emptyset) \land (B\ne \emptyset)) \land (\inf \rho(A\times B) \ne 0))\text{ 이다.} \end{align*}$

7.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,B$이면 

$A\ne \emptyset$와 $B\ne \emptyset$가 성립하고 2번으로 $\inf \rho(B\times A) =\inf \rho(A\times B) = 0$이므로 $B\,\pmb{\delta}\,A$이다.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\cap B\ne \emptyset$이면 $A\ne \emptyset$와 $B\ne \emptyset$가 성립하고 3번으로 $\inf \rho(A\times B) = 0$이므로 $A\,\pmb{\delta}\,B$이다.

임의의 $A,B,C\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta}\,(B\cup C)$이면

$A\ne \emptyset$와 $B\cup C\ne \emptyset$가 성립하고 $\inf \rho(A\times (B\cup C)) = 0$이므로 $A\ne \emptyset$와 $B\ne \emptyset$ 또는 $C\ne \emptyset$가 성립하여

$B = \emptyset$이고 $C\ne \emptyset$일때

$A\times C = A \times (B\cup C)$이므로 $\inf \rho(A\times C)=\inf \rho(A\times (B\cup C)) = 0$이 되어 $A\, \pmb{\delta}\,C$이고

$B\ne \emptyset$이고 $C = \emptyset$일때

$A\times B = A \times (B\cup C)$이므로 $\inf \rho(A\times B)=\inf \rho(A\times (B\cup C)) = 0$이 되어 $A\, \pmb{\delta}\,B$이고

$B\ne \emptyset$이고 $C \ne \emptyset$일때 

4번으로 $\min \{\inf \rho(A\times B) ,\inf \rho(A\times C)\}=\inf \rho(A\times (B\cup C)) = 0$이므로

최소원소의 정의로 $\inf \rho(A\times B)  = 0$ 또는 $\inf \rho(A\times C)  = 0$이 되어 $A\, \pmb{\delta}\,B$ 또는 $A\, \pmb{\delta}\,C$이다.

임의의 $A,B,C\subseteq X$에 대해 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,(B\cup C)$이면 

$A= \emptyset$ 또는 $B\cup C= \emptyset$가 성립하거나 $A\ne \emptyset$와 $B\cup C\ne \emptyset$가 성립하고 $\inf \rho(A\times (B\cup C)) > 0$이므로 

$A = \emptyset$일때 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,B$와 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,C$가 성립하고 $B\cup C= \emptyset$일때

$B \subseteq B\cup C= \emptyset$와 $C \subseteq B\cup C = \emptyset$가 성립하여 $B = \emptyset$이고 $C = \emptyset$이므로 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,B$와 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,C$가 성립하고

$A\ne \emptyset$와 $B\cup C\ne \emptyset$가 성립하고 $\inf \rho(A\times (B\cup C)) > 0$일때 $B\ne \emptyset$ 또는 $C\ne \emptyset$이므로

$B\ne \emptyset$이면 $A\times B \subseteq A\times (B\cup C)$이고 $\rho(A\times B)\subseteq \rho(A\times (B\cup C))$임에 따라

하한 정리로 $0< \inf \rho(A\times (B\cup C)) \le \inf \rho (A\times B)$가 되어 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,B$이고 

$C\ne \emptyset$이면 $A\times C \subseteq A\times (B\cup C)$이고 $\rho(A\times C)\subseteq \rho(A\times (B\cup C))$임에 따라

하한 정리로 $0< \inf \rho(A\times (B\cup C)) \le \inf \rho (A\times C)$가 되어 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,C$이고

$B= \emptyset$이면 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,B$이고 $C= \emptyset$이면 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,C$이므로 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,(B\cup C)$이면 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,B$이고 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,C$가 되어

모든 $A,B,C\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta}\,(B\cup C)$이기 위한 필요충분조건은 $A\, \pmb{\delta}\,B$ 또는 $A\, \pmb{\delta}\,C$인 것이다.

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,B$이면 

$A= \emptyset$ 또는 $B= \emptyset$가 성립하거나 $A\ne \emptyset$와 $B\ne \emptyset$가 성립하고 $\inf \rho(A\times B) > 0$가 성립하여

$A= \emptyset$이면 $X\subseteq X$에 대해 $X\setminus X = \emptyset$이므로 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,X$와 $B \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,(X\setminus X)$가 성립하고 

$B= \emptyset$이면 $\emptyset \subseteq X$에 대해 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,\emptyset$와 $B \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,(X\setminus \emptyset)$가 성립하고 

$A\ne \emptyset$와 $B\ne \emptyset$가 성립하고 $\inf \rho(A\times B) > 0$가 성립하면

$\epsilon = \inf \rho(A\times B)$에 대해 $C = \{ x\in X: \inf \rho(A\times \{ x\})<\frac{\epsilon}{2} \}$이고 $S = X\setminus C$일때 

모든 $x\in A$에 대해 3번으로 $\inf\rho(A\times \{ x\}) = 0<\dfrac{\epsilon}{2}$이므로 $x\in C$가 되어

$A\subseteq C$임에 따라 집합 정리로 $X\setminus S =X\setminus (X\setminus C) = C\ne \emptyset$이고 

모든 $x\in B$에 대해 $\rho(A\times \{ x\})\subseteq \rho(A\times B)$이므로 하한 정리로 $\dfrac{\epsilon}{2}< \epsilon= \inf \rho(A\times B) \le \inf \rho(A\times \{ x\})$가 되어

$x\notin C$이고 $x\in X\setminus C = S$임에 따라 $B\subseteq S$이므로 $S\ne \emptyset$이고

모든 $(x,y)\in A\times S = A\times (X\setminus C)$에 대해

$y\notin C$이므로 하한의 정의로 $\dfrac{\epsilon}{2}\le \inf \rho(A\times \{ y\})\le \rho(x,y)$가 되어 $0< \dfrac{\epsilon}{2} \le \inf \rho(A\times S)$임에 따라 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,S$이고 

모든 $(x,y)\in B\times (X\setminus S) = B\times C$에 대해

$y\in C$이므로 $\inf \rho(A\times \{ y\})<\dfrac{\epsilon}{2}$가 되어 $0 <\dfrac{\epsilon}{2} - \inf \rho(A\times \{ y\})$임에 따라

하한 정리로 $\rho(z,y) < \inf \rho(A\times \{ y\}) + \dfrac{\epsilon}{2} -\inf \rho(A\times \{y\}) = \dfrac{\epsilon}{2}$인 $z\in A$가 존재하고 

하한의 정의와 유사거리공간의 정의로 $\epsilon =\inf \rho(A\times B)\le \rho(z,x) \le \rho(z,y) +\rho(y,x) < \dfrac{\epsilon}{2} + \rho(y,x)$이므로

$\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon -\dfrac{\epsilon}{2} < \rho(y,x) = \rho(x,y)$이고 하한의 정의로 $0< \dfrac{\epsilon}{2} \le \inf \rho(B\times (X\setminus S))$임에 따라 $B\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,(X\setminus S)$이다.

따라서 임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 모든 $S \subseteq X$가 $A\,\pmb{\delta}\,S$ 또는 $B\,\pmb{\delta}\,(X\setminus S)$이면 $A\,\pmb{\delta}\,B$이므로 $(X,\pmb{\delta})$는 근접공간이다.

8.

$(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간이면

$x\ne y$인 어떤 $x,y\in X$가 존재하여 $\rho(x,y) = 0$이라고 가정할때 

$\{ x\}\ne \emptyset$와 $\{y\}\ne \emptyset$가 성립하고 5번으로 $\inf \rho(\{x\}\times \{y\}) = \rho(x,y) =0$이므로 

$\{ x\}\,\pmb{\delta}\,\{ y\}$이고 분리근접공간의 정의로 $x = y$가 되어 모순임에 따라 

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$는 $\rho(x,y) > 0$이고 유사거리공간의 정의로 $(X,\rho)$는 거리공간이다.

역으로 $(X,\rho)$가 거리공간이면

임의의 $x,y\in X$에 대해 $\{ x\}\,\pmb{\delta}\,\{ y\}$일때 5번으로 $\rho(x,y)=\inf \rho(\{x\}\times \{y\}) =0$이 되어

거리공간 정리로 $x=y$이므로 $(X,\pmb{\delta})$는 분리근접공간이다.

 

 

 

정의2

근접공간이 $(X,\pmb{\delta})$이고 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 

근접근방(proximity neighborhood) :

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,(X\setminus B)$이면 $B$를 $(X,\pmb{\delta})$에서 $A$의 근접근방으로 정의한다.

근접근방관계 : 

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이기 위한 필요충분조건이 $B$가 $(X,\pmb{\delta})$에서 $A$의 근접근방인 것이 되는

$\mathcal{P}(X)$의 관계 $\ll_{\pmb{\delta}} \; \subseteq \mathcal{P}(X)\times \mathcal{P}(X)$를 $(X,\pmb{\delta})$에서 근접근방관계로 정의한다.

 

 

 

정리5

근접공간 $(X,\pmb{\delta})$에서 근접근방관계 $\ll_{\pmb{\delta}}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $A\ne \emptyset$인 모든 $A\subseteq X$에 대해 $A \,\pmb{\delta}\, A$이다.

2. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\pmb{\delta}\,B$이면 $A\subseteq C$이고 $B\subseteq D$인 모든 $C,D\subseteq X$에 대해 $C\, \pmb{\delta}\,D$이다.

3. 모든 $A\subseteq X$에 대해 $\emptyset \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, A$이고 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, \emptyset$이다.

4. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, B$이면 $B \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, A$이고 $A\cap B = \emptyset$이다.

5. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, B$이면 $A\ll_{\pmb{\delta }}C$와 $B\ll_{\pmb{\delta }}D$가 성립하고 $C\cap D = \emptyset$인 $C,D\subseteq X$가 존재한다.

6. 모든 $A\subseteq X$에 대해 $\emptyset\ll_{\pmb{\delta}} A$이고 $A\ll_{\pmb{\delta}} X$이다.

7. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이면 $A\subseteq B$이다.

8. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이면 $A\ll_{\pmb{\delta}} C$이고 $C\ll_{\pmb{\delta}} B$인 $C\subseteq X$가 존재한다.

9. 모든 $A,B,C\subseteq X$에 대해 $A\ll_{\pmb{\delta}} (B\cap C)$이기 위한 필요충분조건은 $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이고 $A\ll_{\pmb{\delta}} C$인 것이다.

10. 모든 $B,C\subseteq X$에 대해 $B\ll_{\pmb{\delta}} C$이면 $A\subseteq B$이고 $ C\subseteq D$인 모든 $A,D\subseteq X$에 대해 $A\ll_{\pmb{\delta}} D$이다.

11. $(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간이기 위한 필요충분조건은 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $\{ x\}\ll_{\pmb{\delta}} X\setminus \{ y\}$인 것이다.

증명

1.

집합 정리로 $A\cap A = A\ne \emptyset$이므로 근접공간의 정의로 $A \,\pmb{\delta}\, A$이다.

2.

집합 정리로 $B\cup D = D$이고 $A \,\pmb{\delta}\, B$이므로 근접공간의 정의로 $A \,\pmb{\delta}\, (B\cup D)$임에 따라 $A \,\pmb{\delta}\, D$가 되어 $D\, \pmb{\delta}\, A$이고 

집합 정리로 $A\cup C = C$이므로 근접공간의 정의로 $D\, \pmb{\delta}\, (A\cup C)$가 되어 $D\, \pmb{\delta}\, C$임에 따라 $C\, \pmb{\delta}\, D$이다.

3.

근접공간의 정의로 $\emptyset \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, A$이다.

$A\, \pmb{\delta}\, \emptyset$이라고 가정하면 근접공간의 정의로 $\emptyset\, \pmb{\delta}\, A$가 되어 모순이므로 $A\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, \emptyset$이다.

4.

$A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, B$이므로 근접공간의 정의로 $A\cap B = \emptyset$이고

$B\, \pmb{\delta}\, A$라고 가정할때 근접공간의 정의로 $A\, \pmb{\delta}\, B$가 되어 모순임에 따라 $B \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, A$이다.

5.

$A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, B$이므로 근접공간의 정의로 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, S$이고 $B \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus S)$인 $S\subseteq X$가 존재하여

$C = X\setminus S$이고 $D = S$이면 집합 정리로 $S = X\setminus (X\setminus S) = X\setminus C$이므로

$A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus C)$와 $B \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus D)$가 성립하여 근접근방의 정의로 $A\ll_{\pmb{\delta}} C$와 $B\ll_{\pmb{\delta}}D$가 성립하고

$C\cap D = (X\setminus S) \cap S = \emptyset$이다.

6.

3번으로 $\emptyset \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus A)$이므로 근접근방의 정의로 $\emptyset \ll_{\pmb{\delta}} A$이고 

3번으로 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, \emptyset$이므로 $X\setminus X = \emptyset$임에 따라 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus X)$가 되어 근접근방의 정의로 $A\ll_{\pmb{\delta}} X$이다.

7.

$A\ll_{\pmb{\delta}} B$일때 $A\not\subseteq B$라고 가정하면 $x\notin B$인 $x\in A$가 존재하여

$x\in A\setminus B$이므로 $x\in A\cap (A\setminus B)$이고 $A\cap (A\setminus B)\ne \emptyset$임에 따라 근접공간의 정의로 $A \, \pmb{\delta}\, (A\setminus B)$인데 

근접근방의 정의로 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus B)$이고 $A\setminus B\subseteq X\setminus B$이므로 2번으로 $A \, \pmb{\delta}\, (X\setminus B)$가 되어 모순임에 따라 

$A\ll_{\pmb{\delta}} B$이면 $A\subseteq B$이다.

8.

$A\ll_{\pmb{\delta}} B$이므로 근접근방의 정의로 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus B)$이고

근접공간의 정의로 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, S$와 $(X\setminus B) \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus S)$가 성립하는 $S\subseteq X$가 존재하여 $C = X\setminus S$이면

집합 정리로 $S = X\setminus (X\setminus S) = X\setminus C$임에 따라 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus C)$이므로 근접근방의 정의로 $A\ll_{\pmb{\delta}} C$이고

$(X\setminus B) \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, C$임에 따라 4번으로 $C \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus B)$가 되어 근접근방의 정의로 $C\ll_{\pmb{\delta}} B$이다.

9.

근접공간의 정의로 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, ((X\setminus B)\cup (X\setminus C))$이기 위한 필요충분조건은 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus B)$이고 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus C)$인 것이므로 

집합 정리로 $X\setminus (B\cap C) = (X\setminus B)\cup (X\setminus C)$임에 따라 

$A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus (B\cap C))$이기 위한 필요충분조건은 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus B)$이고 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus C)$인 것이 되어 

근접근방의 정의로 $A\ll_{\pmb{\delta}} (B\cap C)$이기 위한 필요충분조건은 $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이고 $A\ll_{\pmb{\delta}} C$인 것이다.

10.

$B\ll_{\pmb{\delta}} C$이므로 근접근방의 정의로 $B \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus C)$가 되어

$B \, \pmb{\delta}\, (X\setminus D)$라고 가정하면 $C\subseteq D$임에 따라 집합 정리로 $X\setminus D\subseteq X\setminus C$인데

2번으로 $B \, \pmb{\delta}\, (X\setminus C)$가 되어 모순이므로 $B \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus D)$이고

$A \, \pmb{\delta}\, (X\setminus D)$라고 가정하면 $A\subseteq B$임에 따라 2번으로 $B \, \pmb{\delta}\, (X\setminus D)$가 되어 모순이므로

$A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus D)$이고 근접근방의 정의로 $A\ll_{\pmb{\delta}} D$이다.

11.

$(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간이기 위한 필요충분조건은 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $\{x\} \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,\{y\}$인 것이고

집합 정리로 모든 $y\in X$에 대해 $\{y\} = X\setminus (X\setminus \{y\})$임에 따라

$(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간이기 위한 필요충분조건은 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $\{x\} \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,(X\setminus (X\setminus \{y\}))$인 것이므로

근접근방의 정의로

$(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간이기 위한 필요충분조건은 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $\{ x\}\ll_{\pmb{\delta}} (X\setminus \{y\})$인 것이다.

 

 

 

정의3

임의의 집합 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 

쿠라토프스키 폐포공간(Kuratowski closure space) :

함수 $\mathbf{c} : \mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X)$가 아래 4가지 성질을 만족하면

순서쌍 $(X,\mathbf{c})$를 쿠라토프스키 폐포공간으로 정의하고 $\mathbf{c}$를 $X$의 쿠라토프스키 폐포연산자로 정의한다.

1. $\mathbf{c}(\emptyset) = \emptyset$

2. 모든 $A\subseteq X$에 대해 $A\subseteq \mathbf{c}(A)$이다.

3. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $\mathbf{c}(A\cup B) = \mathbf{c}(A)\cup \mathbf{c}(B)$이다.

4. 모든 $A\subseteq X$에 대해 $\mathbf{c}(\mathbf{c}(A)) = \mathbf{c}(A)$이다.

쿠라토프스키 폐포위상공간 : 

쿠라토프스키 폐포공간 $(X,\mathbf{c})$에 대해 $\mathcal{C} = \{ C\in \mathcal{P}(X) : \mathbf{c}(C) = C\}$일때

$\mathcal{T} = \{ O\in \mathcal{P}(X) : X\setminus O\in \mathcal{C}\}$인 순서쌍 $(X,\mathcal{T})$를 $(X,\mathbf{c})$의 쿠라토프스키 폐포위상공간으로 정의한다.

 

 

 

정리6

쿠라토프스키 폐포공간 $(X,\mathbf{c})$의 쿠라토프스키 폐포위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\subseteq B$이면 $\mathbf{c}(A)\subseteq \mathbf{c}(B)$이다.

2. $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

3. 모든 $A\subseteq X$에 대해 $\mathbf{c}(A) = $ $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}$$(A)$이다.

증명

위 정의로 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해 $\mathcal{C} = \{ C\in \mathcal{P}(X) : \mathbf{c}(C) = C\}$일때 $\mathcal{T} = \{ O\in \mathcal{P}(X) : X\setminus O\in \mathcal{C}\}$이다.

1.

$A\subseteq B$이므로 집합 정리로 $B = A\cup B$가 되어

위 정의로 $\mathbf{c}(B) = \mathbf{c}(A\cup B) = \mathbf{c}(A)\cup \mathbf{c}(B)$임에 따라 집합 정리로 $\mathbf{c}(A)\subseteq \mathbf{c}(B)$이다.

2.

위 정의로 $\mathbf{c}(\emptyset) = \emptyset$임에 따라 집합 정리로 $X\setminus X=\emptyset\in \mathcal{C}$이 되어 $X\in \mathcal{T}$이다.

위 정의로 $X\subseteq \mathbf{c}(X)$이고 멱집합의 정의로 $\mathbf{c}(X)\subseteq X$이므로 

집합 정리로 $\mathbf{c}(X) = X$가 되어 집합 정리로 $X\setminus \emptyset=X\in \mathcal{C}$임에 따라 $\emptyset\in \mathcal{T}$이다.

임의의 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$에 대해 $\mathcal{O} = \emptyset$이면 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup\mathcal{O}=\bigcup \emptyset =\emptyset\in \mathcal{T}$이고 

$\mathcal{O} \ne \emptyset$이면 위 정의로 $\displaystyle X\setminus \bigcup \mathcal{O} \subseteq \mathbf{c}(X\setminus \bigcup \mathcal{O})$이고 

모든 $O\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$는 $X\setminus O\in \mathcal{C}$이므로 $\mathbf{c}(X\setminus O) = X\setminus O$이고 집합 정리와 함수 정리로

$\begin{align*}\mathbf{c}(X\setminus \bigcup \mathcal{O}) = \mathbf{c}(X\setminus \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O ) =\mathbf{c}(\bigcap_{O\in \mathcal{O}}(X\setminus O)) \subseteq \bigcap_{O\in \mathcal{O}}\mathbf{c}(X\setminus O) = \bigcap_{O\in \mathcal{O}}(X\setminus O) = X\setminus \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O = X\setminus \bigcup \mathcal{O} \text{ 가 되어}  \end{align*}$

집합 정리로 $\displaystyle \mathbf{c}(X\setminus \bigcup \mathcal{O}) = X\setminus \bigcup\mathcal{O}$이므로 $\displaystyle X\setminus \bigcup \mathcal{O}\in \mathcal{C}$임에 따라 $\displaystyle \bigcup \mathcal{O}\in \mathcal{T}$이다.

모든 $O_1,O_2\in \mathcal{T}$에 대해 $X\setminus O_1,X\setminus O_2\in \mathcal{C}$이므로 집합 정리와 위 정의로

$\mathbf{c}(X\setminus (O_1\cap O_2)) =\mathbf{c}((X\setminus O_1)\cup (X\setminus O_2)) =\mathbf{c}(X\setminus O_1)\cup \mathbf{c}(X\setminus O_2) = (X\setminus O_1)\cup (X\setminus O_2) = X\setminus (O_1\cap O_2)\text{ 가 되어}$

$X\setminus (O_1\cap O_2)\in \mathcal{C}$임에 따라 $O_1\cap O_2\in \mathcal{T}$이고 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

3.

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로

$X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\in \mathcal{T}$가 되어 집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) =X\setminus (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A))\in \mathcal{C}$이고 

폐포 정리로 $A\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이므로 1번으로 $\mathbf{c}(A)\subseteq \mathbf{c}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이다.

위 정의로 $\mathbf{c}(\mathbf{c}(A)) = \mathbf{c}(A)$이므로 $\mathbf{c}(A)\in \mathcal{C}$가 되어 $X\setminus \mathbf{c}(A)\in \mathcal{T}$임에 따라 $\mathbf{c}(A)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 

위 정의로 $A\subseteq \mathbf{c}(A)$이므로 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\mathbf{c}(A)) = \mathbf{c}(A)$가 되어

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)= \mathbf{c}(A)$이다.

 

 

 

정리7

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$가 $T_0$공간이기 위한 필요충분조건은 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\})\ne \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$인 것이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간이기 위한 필요충분조건은 모든 $x\in X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\}) = \{x\}$인 것이다.

3. $(X,\mathcal{T})$가 $T_2$공간이기 위한 필요충분조건은

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A_{x,y})$이고 $y\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus A_{x,y})$인 $A_{x,y}\subseteq X$가 존재하는 것이다.

증명

1.

$(X,\mathcal{T})$가 $T_0$공간일때 $x\ne y$인 어떤 $x,y\in X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\})= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$라고 가정하면 

$T_0$공간의 정의로 $x\in O$와 $y\notin O$가 성립하거나 $x\notin O$와 $y\in O$가 성립하는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$가 존재하여

일반성을 잃지 않고 $x\in O$와 $y\notin O$가 성립할때

폐포 정리로 $x \in \{ x\}\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\})= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$이고 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방인데

폐포의 정의로 $O\cap \{ y\}\ne \emptyset$가 되어 $y\in O$임에 따라 모순이므로 

$(X,\mathcal{T})$가 $T_0$공간이면 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\})\ne \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$이다.

역으로 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\})\ne \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$이면 

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\})\not\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$ 또는 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})\not\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\})$이므로

일반성을 잃지 않고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\})\not\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$일때

$z\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$인 $z\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\})$가 존재하여 $z\in X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$이고

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $z$의 열린근방이므로

폐포의 정의로 $(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\}))\cap \{ x\}\ne \emptyset$가 되어 $x\in X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$이고 

폐포 정리로 $\{ y\}\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{ y\})$이므로 집합 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{ y\})\subseteq X\setminus \{ y\}$임에 따라 $y\notin X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$이고

$X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{y\})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_0$공간이다.

2.

$T_1$공간 정리로 

$(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간이기 위한 필요충분조건은 모든 $x\in X$에 대해 $\{x\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합인 것이고 

폐포 정리로 모든 $x\in X$에 대해

$\{x\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\}) = \{x\}$인 것이므로 

$(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간이기 위한 필요충분조건은 모든 $x\in X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\}) = \{x\}$인 것이다.

3.

$(X,\mathcal{T})$가 $T_2$공간이면

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $x\in U$와 $y\in V$가 성립하고 $U\cap V = \emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여

$A = X\setminus U$일때

위상공간 정리로 $X\setminus U$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 폐포 정리로 $x\notin X\setminus U = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus U) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이고 

$y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)$라고 가정하면 $V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방이므로 폐포의 정의로 $U\cap V\ne \emptyset$이 되어 모순임에 따라

집합 정리로 $y\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus (X\setminus U)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus A)$이다.

역으로 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이고 $y\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus A)$인 $A\subseteq X$가 존재하면

$x\in X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이고 $y\in X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus A)$이므로 

폐포 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus A)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방이 되어 

집합 정리와 집합 정리와 집합 정리와 위상공간 정리와 폐포 정리로 

$\begin{align*}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A))\cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus A)) &= X\setminus (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus A)) \\[0.5em]&= X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A\cup (X\setminus A)) \\[0.5em]&= X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X) \\[0.5em]&= X\setminus X \\[0.5em]&= \emptyset\text{ 임에 따라 } \end{align*}$

$(X,\mathcal{T})$는 $T_2$공간이다.

 

 

 

정의4

근접공간이 $(X,\pmb{\delta})$이고 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 

모든 $A\subseteq X$가 $\mathbf{c}(A) = \{ x\in X : \{x\}\, \pmb{\delta}\, A \}$인 함수 $\mathbf{c} :\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X)$에 대해 

$\mathcal{C} = \{ C\in \mathcal{P}(X) : \mathbf{c}(C) = C\}$이고 $\mathcal{T} = \{ O\in \mathcal{P}(X) : X\setminus O\in \mathcal{C}\}$인

순서쌍 $(X,\mathcal{T})$를 $(X,\pmb{\delta})$의 근접위상공간으로 정의한다.

 

 

 

정리8

근접공간 $(X,\pmb{\delta})$에서 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}}$이고 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 

모든 $A\subseteq X$가 $\mathbf{c}(A) = \{ x\in X : \{x\}\, \pmb{\delta}\, A\}$인 함수 $\mathbf{c} :\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이면 $\mathbf{c}(A)\subseteq B$이다.

2. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta}\, B$이기 위한 필요충분조건은 $\mathbf{c}(A)\, \pmb{\delta}\, B$인 것이다.

3. $(X,\mathbf{c})$는 쿠라토프스키 폐포공간이다.

4. $(X,\pmb{\delta})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이고 $(X,\mathbf{c})$의 쿠라토프스키 폐포위상공간이다.

5. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta}\, B$이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\, \pmb{\delta}\, \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$인 것이다.

6. 모든 $A\subseteq X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A) = \{ x\in X : \{ x\} \ll_{\pmb{\delta}} A\}$이다.

7. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이면 $A\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)\subseteq B$이다.

8. $(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간인 것이다.

증명

1, 2, 3

위 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $\{ x\}\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\,\emptyset$이므로 $\mathbf{c}(\emptyset)= \emptyset$이다.

모든 $A\subseteq X$에 대해 모든 $x\in A$는 $\{ x\}\ne \emptyset$이므로 위 정리로 $\{x\}\, \pmb{\delta}\, \{x\}$이고

$\{ x\}\subseteq A$임에 따라 위 정리로 $\{x\}\, \pmb{\delta}\, A$가 되어 $x\in \mathbf{c}(A)$이므로 $A\subseteq \mathbf{c}(A)$이다.

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해

모든 $x\in \mathbf{c}(A\cup B)$는 $\{x\}\, \pmb{\delta}\, (A\cup B)$이므로 근접공간의 정의로 $\{x\}\, \pmb{\delta}\, A$ 또는 $\{x\}\, \pmb{\delta}\, B$이고

$x\in \mathbf{c}(A)$ 또는 $x\in \mathbf{c}(B)$임에 따라 $x\in \mathbf{c}(A)\cup \mathbf{c}(B)$가 되어 $\mathbf{c}(A\cup B) \subseteq \mathbf{c}(A)\cup \mathbf{c}(B)$이고 

모든 $x\in \mathbf{c}(A)\cup \mathbf{c}(B)$는 $x\in \mathbf{c}(A)$ 또는 $x\in \mathbf{c}(B)$이므로 $\{x\}\, \pmb{\delta}\, A$ 또는 $\{x\}\, \pmb{\delta}\, B$가 되어 

근접공간의 정의로 $\{x\}\, \pmb{\delta}\, (A\cup B)$임에 따라 $x\in \mathbf{c}(A\cup B)$이고 $\mathbf{c}(A)\cup \mathbf{c}(B)\subseteq \mathbf{c}(A\cup B)$이므로

집합 정리로 $\mathbf{c}(A\cup B) =\mathbf{c}(A)\cup \mathbf{c}(B)$이다.

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이면 근접근방의 정의로 $A \, \big / \hspace{-0.55em}\pmb{\delta}\, (X\setminus B)$인데

어떤 $x\in \mathbf{c}(A)$가 $x\notin B$라고 가정할때 $\{x\}\, \pmb{\delta}\, A$이고 $\{ x\}\subseteq X\setminus B$이므로

위 정리로 $(X\setminus B)\, \pmb{\delta}\, A$이고 근접공간의 정의로 $A\, \pmb{\delta}\, (X\setminus B)$임에 따라 모순이 되어

모든 $x\in \mathbf{c}(A)$는 $x\in B$이므로 $\mathbf{c}(A)\subseteq B$이다.

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta}\, B$이면 $A\subseteq \mathbf{c}(A)$이므로 위 정리로 $\mathbf{c}(A)\, \pmb{\delta}\, B$이고

$\mathbf{c}(A)\, \pmb{\delta}\, B$일때 $A\, \big / \hspace{-0.55em}\pmb{\delta}\, B$라고 가정하면 

집합 정리로 $B = X\setminus (X\setminus B)$이므로 $A\, \big / \hspace{-0.55em}\pmb{\delta} \, (X\setminus (X\setminus B))$이고 근접근방의 정의로 $A\ll_{\pmb{\delta}} (X\setminus B)$가 되어

위 정리로 $A\ll_{\pmb{\delta}} C$이고 $C\ll_{\pmb{\delta}} (X\setminus B)$인 $C\subseteq X$가 존재하므로 $\mathbf{c}(A)\subseteq C$이고 근접근방의 정의로 $C \, \big / \hspace{-0.55em}\pmb{\delta}\, B$인데

위 정리로 $C\, \pmb{\delta}\, B$임에 따라 모순이 되어 $\mathbf{c}(A)\, \pmb{\delta}\, B$이면 $A\, \pmb{\delta}\, B$이고

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta}\, B$이기 위한 필요충분조건은 $\mathbf{c}(A)\, \pmb{\delta}\, B$인 것이다.

임의의 $A\subseteq X$에 대해 $\mathbf{c}(A)\subseteq \mathbf{c}(\mathbf{c}(A))$이고 

모든 $x\in \mathbf{c}(\mathbf{c}(A))$에 대해 $\{ x\}\, \pmb{\delta}\, \mathbf{c}(A)$이므로 근접공간의 정의로 $\mathbf{c}(A)\, \pmb{\delta}\, \{x\}$가 되어 $A\, \pmb{\delta}\, \{x\}$이고

근접공간의 정의로 $\{ x\}\, \pmb{\delta}\, A$임에 따라 $x\in \mathbf{c}(A)$가 되어 $\mathbf{c}(\mathbf{c}(A))\subseteq \mathbf{c}(A)$이므로 집합 정리로 $\mathbf{c}(\mathbf{c}(A))=\mathbf{c}(A)$이다.

따라서 $(X,\mathbf{c})$는 쿠라토프스키 폐포공간이다.

4.

근접위상공간의 정의와 3번과 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이고 $(X,\mathbf{c})$의 쿠라토프스키 폐포위상공간이다.

5.

$A\, \pmb{\delta}\, B$이면 폐포 정리로 $A\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이고 $B\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이므로 위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\, \pmb{\delta}\, \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이다.

역으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\, \pmb{\delta}\, \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이면 

4번과 위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) =\mathbf{c}(A)$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) =\mathbf{c}(B)$이므로 $\mathbf{c}(A)\, \pmb{\delta}\, \mathbf{c}(B)$가 되어 

2번으로 $A\, \pmb{\delta}\, \mathbf{c}(B)$이고 근접공간의 정의로 $\mathbf{c}(B)\, \pmb{\delta}\, A$이므로 2번으로 $B\, \pmb{\delta}\, A$가 되어 근접공간의 정의로 $A\, \pmb{\delta}\, B$이다.

6.

집합 정리와 위상공간 정리와 4번과 위 정리와 근접근방의 정의로 

$\begin{align*}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A) &= X\setminus (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A)) \\[0.5em]&= X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus A) \\[0.5em]&= X\setminus \mathbf{c}(X\setminus A) \\[0.5em]& = X\setminus \{ x\in X: \{ x\}\, \pmb{\delta}\, (X\setminus A)\} \\[0.5em]& =\{ x\in X: \{ x\}\, \big / \hspace{-0.55em}\pmb{\delta}\, (X\setminus A)\} \\[0.5em]& =\{ x\in X: \{x\}\ll_{\pmb{\delta}} A\}  \text{ 이다.}\end{align*}$

7.

$A \ll_{\pmb{\delta}} B$이므로 위 정리로 $A\ll_{\pmb{\delta}} C$이고 $C\ll_{\pmb{\delta}} B$인 $C\subseteq X$가 존재하여

4번과 위 정리와 1번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)=\mathbf{c}(A)\subseteq C$이고 

모든 $x\in C$는 $\{ x\}\subseteq C$이므로 위 정리로 $\{ x\}\ll_{\pmb{\delta}} B$가 되어 6번으로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)$임에 따라 $C\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)$이고 

폐포 정리와 내부 정리로 $A\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\subseteq C\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)\subseteq B$이다.

8.

$(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간이면

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $\{x\}\,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, \{y\}$이므로 

위 정리로 $\{ x\}\ll_{\pmb{\delta}}A$와 $\{ y\}\ll_{\pmb{\delta}}B$가 성립하고 $A\cap B = \emptyset$인 $A,B\subseteq X$가 존재하여 

6번으로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A)$와 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)$가 성립하므로

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방이 되어

내부 정리와 위상공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}( A\cap B) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\emptyset) = \emptyset$임에 따라

$(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이면 

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $x\in U$와 $y\in V$가 성립하고 $U\cap V =\emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여 

내부 정리로 $x\in U = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(U)$이므로 6번으로 $\{ x\}\ll_{\pmb{\delta}}U$이고 

집합 정리와 집합 정리로 $U\subseteq X\setminus V \subseteq X\setminus \{ y\}$임에 따라 위 정리로 $\{ x\}\ll_{\pmb{\delta}}(X\setminus \{y\})$가 되어

위 정리로 $(X,\pmb{\delta})$는 분리근접공간이다.

 

 

 

정리9

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}}$일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이기 위한 필요충분조건은 $D[A]\subseteq B$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하는 것이다.

2. $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 $(X,\pmb{\delta})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})$에 대해 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$이다.

증명

1.

$A\ll_{\pmb{\delta}} B$이면

근접근방의 정의로 $A \, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus B)$가 되어 관계의 상의 정의와 위 정리로 $D[A]\cap (X\setminus B) = \emptyset$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하므로

집합 정리와 집합 정리로 $X\setminus B\subseteq X\setminus D[A]$이고 $D[A] = X\setminus (X\setminus D[A])\subseteq X\setminus (X\setminus B) = B$이다.

역으로 $D[A]\subseteq B$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하면

집합 정리로 $X\setminus B \subseteq X\setminus D[A]$이므로 관계의 상의 정의와 집합 정리로 $D[A]\cap (X\setminus B) = \emptyset$이고 

위 정리로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus B)$가 되어 근접근방의 정의로 $A\ll_{\pmb{\delta}}B$이다.

2.

모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해

관계의 상의 정의와 균등위상공간의 정의로 $D[\{x\}]=D[x]\subseteq O$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여

1번으로 $\{ x\}\ll_{\pmb{\delta}}O$이므로 위 정리와 내부 정리로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})}{\operatorname{int}}(O) \subseteq O$이고 

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})}{\operatorname{int}}(O)$가 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})$에서 $x$의 열린근방임에 따라 위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$가 되어 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$의 모든 $x\in O$에 대해

내부 정리로 $x\in O = \underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})}{\operatorname{int}}(O)$이므로 위 정리로 $\{ x\}\ll_{\pmb{\delta}}O$임에 따라

관계의 상의 정의와 1번으로 $D[x] = D[\{x\}] \subseteq O$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하고

균등위상공간의 정의로 $O\in \mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{T}_{\pmb{\delta}}\subseteq \mathcal{T}$이므로 집합 정리로 $\mathcal{T}=\mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$이다.

 

 

 

정의5

근접공간이 $(X,\pmb{\delta}_X),(Y,\pmb{\delta}_Y)$일때

근접연속함수(proximity map) :

$A\,\pmb{\delta}_X\, B$인 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $f(A)$$\, \pmb{\delta}_Y\, f(B)$가 되는

함수 $f:X\to Y$를 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수로 정의한다.

근접동형사상(proximity isomorphism) :

전단사함수 $f:X\to Y$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이고

$f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접연속함수이면

$f$를 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상으로 정의한다.

$(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상이 존재하면 $(X,\pmb{\delta}_X)$와 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$를 근접동형이라 정의한다.

 

 

 

정리10

근접공간 $(X,\pmb{\delta}_X),(Y,\pmb{\delta}_Y)$의 근접근방관계 $\ll_{\pmb{\delta}_X},\ll_{\pmb{\delta}_Y}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이기 위한 필요충분조건은

$C\ll_{\pmb{\delta}_Y}D$인 모든 $C,D\subseteq Y$에 대해 $f^{-1}(C)$ $\ll_{\pmb{\delta}_X} f^{-1}(D)$인 것이다.

2. 전단사함수 $f:X\to Y$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상이기 위한 필요충분조건은

$A\,\pmb{\delta}_X\, B$인 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $f(A)\,\pmb{\delta}_Y\, f(B)$이고

$C\,\pmb{\delta}_Y\, D$인 모든 $C,D\subseteq X$에 대해 $f^{-1}(C)\,\pmb{\delta}_X\, f^{-1}(D)$인 것이다.

3. 전단사함수 $f:X\to Y$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상이기 위한 필요충분조건은

$A\ll_{\pmb{\delta}_X} B$인 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $f(A)\ll_{\pmb{\delta}_Y} f(B)$이고

$C\ll_{\pmb{\delta}_Y} D$인 모든 $C,D\subseteq X$에 대해 $f^{-1}(C)\ll_{\pmb{\delta}_X} f^{-1}(D)$인 것이다.

증명

1.

$f$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이면

$C\ll_{\pmb{\delta}_Y}D$인 임의의 $C,D\subseteq Y$에 대해 근접근방의 정의로 $C\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}_Y\,(Y\setminus D)$이므로 

$f^{-1}(C)\, \pmb{\delta}_X \,(X\setminus f^{-1}(D))$라고 가정할때

근접연속함수의 정의로 $f(f^{-1}(C))\, \pmb{\delta}_Y \,f(X\setminus f^{-1}(D))$가 되어 함수 정리로 $f(f^{-1}(C))\subseteq C$이고

함수 정리와 함수 정리로 $f(X\setminus f^{-1}(D)) = f(f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(D)) = f(f^{-1}(Y\setminus D))\subseteq Y\setminus D$임에 따라 

위 정리로 $C\, \pmb{\delta}_Y \,(Y\setminus D)$가 되어 모순이므로

$f^{-1}(C)\, \big / \hspace{-0.55em}\pmb{\delta}_X \,(X\setminus f^{-1}(D))$이고 근접근방의 정의로 $f^{-1}(C)\ll_{\pmb{\delta}_X} f^{-1}(D)$이다.

역으로 $C\ll_{\pmb{\delta}_Y}D$인 모든 $C,D\subseteq Y$에 대해 $f^{-1}(C)\ll_{\pmb{\delta}_X} f^{-1}(D)$이면 

$A\, \pmb{\delta}_X \,B$인 임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $f(A)\,\big /\hspace{-0.55em} \pmb{\delta}_Y \,f(B)$라고 가정할때

집합 정리로 $f(B) = Y\setminus (Y\setminus f(B))$이므로 $f(A)\,\big /\hspace{-0.55em} \pmb{\delta}_Y \,(Y\setminus (Y\setminus f(B))$가 되어

근접근방의 정의로 $f(A)\ll_{\pmb{\delta}_Y} (Y\setminus f(B))$임에 따라 $f^{-1}(f(A))\ll_{\pmb{\delta}_X} f^{-1}(Y\setminus f(B))$이고

함수 정리로 $A\subseteq f^{-1}(f(A))$와 $B\subseteq f^{-1}(f(B))$가 성립하여

함수 정리와 집합 정리로 $f^{-1}(Y\setminus f(B)) = f^{-1}(Y) \setminus f^{-1}(f(B)) =X\setminus f^{-1}(f(B))\subseteq X\setminus B$임에 따라 

위 정리로 $A \ll_{\pmb{\delta}_X} (X\setminus B)$이므로 근접근방의 정의로 $A \,\big /\hspace{-0.55em} \pmb{\delta}_X \,(X\setminus (X\setminus B))$이고 

집합 정리로 $B = X\setminus (X\setminus B)$가 되어 $A \,\big /\hspace{-0.55em} \pmb{\delta}_X \,B$임에 따라 모순이므로 

$f(A)\,\pmb{\delta}_Y \,f(B)$이고 $f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이다.

2.

$f$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상이면 

$f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이므로 $A\,\pmb{\delta}_X\, B$인 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $f(A)\,\pmb{\delta}_Y\, f(B)$이고

$f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접연속함수이므로 

$C\,\pmb{\delta}_Y\, D$인 모든 $C,D\subseteq X$에 대해 $f^{-1}(C)\,\pmb{\delta}_X\, f^{-1}(D)$이다.

역으로 조건이 성립하면 

$A\,\pmb{\delta}_X\, B$인 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $f(A)\,\pmb{\delta}_Y\, f(B)$이므로 $f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이고

$f$는 전단사이므로 역함수 정리로 $f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 존재하여

$C\,\pmb{\delta}_Y\, D$인 모든 $C,D\subseteq X$에 대해 $f^{-1}(C)\,\pmb{\delta}_X\, f^{-1}(D)$임에 따라 $f^{-1}$은 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접연속함수이고

$f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상이다.

3.

$f$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상이면 

$f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이므로

1번으로 $C\ll_{\pmb{\delta}_Y}D$인 모든 $C,D\subseteq Y$에 대해 $f^{-1}(C)\ll_{\pmb{\delta}_X} f^{-1}(D)$이고

$f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접연속함수이므로 

1번으로 $A\ll_{\pmb{\delta}_X} B$인 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $(f^{-1})^{-1}(A)\ll_{\pmb{\delta}_Y} (f^{-1})^{-1}(B)$이고

함수 정리로 $(f^{-1})^{-1}(A) = f(A)$와 $(f^{-1})^{-1}(B) = f(B)$가 성립하여 $f(A)\ll_{\pmb{\delta}_Y} f(B)$이다.

역으로 조건이 성립하면 

$C\ll_{\pmb{\delta}_Y}D$인 모든 $C,D\subseteq Y$에 대해 $f^{-1}(C)\ll_{\pmb{\delta}_X} f^{-1}(D)$이므로

1번으로 $f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이고

$A\ll_{\pmb{\delta}_X} B$인 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $f(A)\ll_{\pmb{\delta}_Y} f(B)$이므로 

$f$가 전단사임에 따라 역함수 정리로 $f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 존재하고

함수 정리로 $(f^{-1})^{-1}(A) = f(A)$와 $(f^{-1})^{-1}(B) = f(B)$가 성립하여 $(f^{-1})^{-1}(A)\ll_{\pmb{\delta}_Y} (f^{-1})^{-1}(B)$이므로

1번으로 $f^{-1}$은 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접연속함수이고 $f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상이다.

 

 

 

정리11

근접공간 $(X,\pmb{\delta}_X),(Y,\pmb{\delta}_Y)$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

2. $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상은 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이다.

증명

1.

함수 $f:X\to Y$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수일때

임의의 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합 $V$에 대해 모든 $x\in f^{-1}(V)$는 $f(x) \in V = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(V)$이므로 

$(X,\pmb{\delta}_X),(Y,\pmb{\delta}_Y)$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}_X},\ll_{\pmb{\delta}_Y}$일때 위 정리로 $\{f(x) \}\ll_{\pmb{\delta}_Y}V$가 되어 

위 정리로 $f^{-1}(\{f(x)\}) \ll_{\pmb{\delta}_X} f^{-1}(V)$이고 함수 정리와 함수 정리로 $\{x\} \subseteq f^{-1}(f(\{x\})) =f^{-1}(\{ f(x)\})$이므로 

위 정리로 $\{x \}\ll_{\pmb{\delta}_X}f^{-1}(V)$임에 따라 위 정리와 내부 정리로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(f^{-1}(V)) \subseteq f^{-1}(V)$이고 

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(f^{-1}(V))$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방이므로

위상공간 정리로 $f^{-1}(V)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이 되어

연속함수 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

2.

함수 $f:X\to Y$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상일때 $f$는 전단사이고

$f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이므로 1번으로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 

$f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접연속함수이므로 

1번으로 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수가 되어 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이다.

 

 

 

정리12

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta}_X),(Y,\pmb{\delta}_Y)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이다.

2. $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등동형사상은 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상이다.

증명

1.

$(X,\pmb{\delta}_X),(Y,\pmb{\delta}_Y)$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}_X},\ll_{\pmb{\delta}_Y}$이고

함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수일때

$B_1\ll_{\pmb{\delta}_Y}B_2$인 모든 $B_1,B_2\subseteq Y$에 대해 위 정리로 $D_Y[B_1]\subseteq B_2$인 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여

균등연속함수의 정의로 모든 $(x_1,x_2)\in D_X$가 $(f(x_1),f(x_2))\in D_Y$인 $D_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하므로

관계의 상의 정의로 모든 $x_2 \in D_X[f^{-1}(B_1)]$는 $x_2 \in D_X[x_1]$인 $x_1\in f^{-1}(B_1)$이 존재하고

관계의 상의 정의로 $(x_1,x_2)\in D_X$가 되어 $(f(x_1),f(x_2))\in D_Y$이므로 $f(x_1)\in B_1$임에 따라

관계의 상의 정의로 $f(x_2)\in D_Y[f(x_1)]\subseteq D_Y[B_1] \subseteq B_2$가 되어 $x_2\in f^{-1}(B_2)$이고

$D_X[f^{-1}(B_1)] \subseteq f^{-1}(B_2)$임에 따라 위 정리로 $f^{-1}(B_1)\ll_{\pmb{\delta}_X} f^{-1}(B_2)$이므로

위 정리로 $f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이다.

2.

함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등동형사상일때 $f$는 전단사이고

$f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이므로 1번으로 $f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이고

$f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $(X,\mathcal{D}_X)$로의 균등연속함수이므로

1번으로 $f^{-1}$은 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접연속함수가 되어 $f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상이다.

 

 

 

정리13

근접공간 $(X,\pmb{\delta})$와 $X$의 항등함수 $i_X:X\to X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $i_X$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $(X,\pmb{\delta})$로의 근접연속함수이다.

2. $i_X$의 역함수 $i_X^{-1}:X\to X$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $(X,\pmb{\delta})$로의 근접연속함수이다.

증명

1.

$A\, \pmb{\delta}\, B$인 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 항등함수 정리로 $i_X(A) = A$이고 $i_X(B) = B$이므로 $i_X(A)\, \pmb{\delta}\, i_X(B)$가 되어

$i_X$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $(X,\pmb{\delta})$로의 근접연속함수이다.

2.

항등함수 정리와 1번으로 $i_X^{-1} = i_X$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $(X,\pmb{\delta})$로의 근접연속함수이다.

 

 

 

정리14

근접공간이 $(X,\pmb{\delta}_X),(Y,\pmb{\delta}_Y),(Z,\pmb{\delta}_Z)$일때

함수 $f:X\to Y$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이고

함수 $g:Y\to Z$가 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$에서 $(Z,\pmb{\delta}_Z)$로의 근접연속함수이면 

합성함수 $g \circ f : X\to Z$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Z,\pmb{\delta}_Z)$로의 근접연속함수이다.

증명

$A\, \pmb{\delta}_X\, B$인 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 근접연속함수의 정의로 $f(A)\, \pmb{\delta}_Y\, f(B)$이고 $g(f(A))\, \pmb{\delta}_Z\, g(f(B))$이므로

함수 정리로 $g(f(A)) = (g\circ f)(A)$이고 $g(f(B)) = (g\circ f)(B)$임에 따라 $(g\circ f)(A)\, \pmb{\delta}_Z\, (g\circ f)(B)$가 되어

$g \circ f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Z,\pmb{\delta}_Z)$로의 근접연속함수이다.

 

 

 

정리15

근접공간이 $(X,\pmb{\delta}_X),(Y,\pmb{\delta}_Y),(Z,\pmb{\delta}_Z)$일때

함수 $f:X\to Y$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상이고

함수 $g:Y\to Z$가 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$에서 $(Z,\pmb{\delta}_Z)$로의 근접동형사상이면 다음이 성립한다.

반사성 : $X$의 항등함수 $i_X : X\to X$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접동형사상이다.

대칭성 : $f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$은 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접동형사상이다.

추이성 : 합성함수 $g\circ f:X\to Z$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Z,\pmb{\delta}_Z)$로의 근접동형사상이다.

증명

반사성

항등함수 정리로 $i_X$는 전단사이고 $i_X$와 $i_X$의 역함수 $i_X^{-1}$에 대해 

위 정리로 $i_X,i_X^{-1}$은 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접연속함수이므로

$i_X$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접동형사상이다.

대칭성

근접동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1}$은 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접연속함수이고

역함수 정리로 $f^{-1}$은 전단사이므로

$f^{-1}$의 역함수 $(f^{-1})^{-1} = f$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수임에 따라

$f^{-1}$은 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접동형사상이다.

추이성

근접동형사상의 정의로 $f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이고

$g$는 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$에서 $(Z,\pmb{\delta}_Z)$로의 근접연속함수이므로

위 정리로 $g\circ f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Z,\pmb{\delta}_Z)$로의 근접연속함수이고

$f,g$가 전단사임에 따라 함수 정리로 $g\circ f$는 전단사이다.

$f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$은  $(Y,\pmb{\delta}_Y)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접연속함수이고

$g$의 역함수 $g^{-1} : Z\to Y$은 $(Z,\pmb{\delta}_Z)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이므로

함수 정리와 위 정리로 $g\circ f $의 역함수 $(g\circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$은 $(Z,\pmb{\delta}_Z)$에서 $(X,\pmb{\delta}_X)$로의 근접연속함수가 되어

$g\circ f $는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Z,\pmb{\delta}_Z)$로의 근접동형사상이다.

 

 

 

-------------------------------------------------------------------------------

정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/121#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/121#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797