수학/위상수학 2025. 10. 29. 15:04

정의1

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 임의의 부분집합이 $E\subseteq X$일때

정칙열린집합(regular open set) :

$(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 폐포의 내부가 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$이면 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합으로 정의한다.

정칙닫힌집합(regular closed set) :

$(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 내부의 폐포가 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$이면 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합으로 정의한다.

정리1

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P})$일때 임의의 $E ,F\subseteq X$와 임의의 $D\subseteq X^2$에 대해 다음이 성립한다.

1. $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$

2. $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus E)$

3. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면 $E \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$이다.

4. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))\subseteq E$이다.

5. $E\subseteq F$이면 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F))$이다.

6. $E\subseteq F$이면 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F))$이다.

7. $D =$ $D^{-1}$이면 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D) = (\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D))^{-1}$이다.

8. $D = D^{-1}$이면 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D) = (\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D))^{-1}$이다.

9. $D = D^{-1}$이면 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D))=(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D)))^{-1}$이다.

10. $D = D^{-1}$이면 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D))=(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)))^{-1}$이다.

11. $D$가 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합일때

임의의 $x\in X$에 대해 $(x,x)\in D$이면 $(x,x)\in U^2=U\times U \subseteq D$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U$가 존재한다.

증명

폐포 정리와 집합 정리와 내부 정리로

$X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = X\setminus (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$이다.

집합 정리와 내부 정리와 폐포 정리로

$X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus (X\setminus E)) = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(X\setminus E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus E)$이다.

폐포 정리로 $E \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이므로 내부 정리로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$이다.

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\subseteq E$이므로 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = E$이다.

5, 6

$E\subseteq F$이므로 내부 정리와 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F)$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F)$임에 따라

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F))$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F))$이다.

7, 8

유한 곱공간 정리로 $\{ O_1\times O_2 : O_1,O_2\in \mathcal{T}\}$는 $(X^2,\mathcal{P})$의 기저이다.

모든 $(x,y)\in \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)$에 대해 내부의 정의와 기저 정리로

$O_1\times O_2 \subseteq D$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O_1$과 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $O_2$가 존재하여

모든 $(w,z)\in O_2\times O_1$는 $(z,w)\in O_1\times O_2 \subseteq D$이므로 역관계의 정의로 $(w,z)\in D^{-1} = D$임에 따라

$O_2\times O_1\subseteq D$이고 유한 곱공간 정리로 $O_2\times O_1$은 $(X^2,\mathcal{U})$에서 $(y,x)$의 열린근방이므로

내부의 정의로 $(y,x)\in \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)$가 되어 관계 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D) = (\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D))^{-1}$이다.

모든 $(x,y)\in \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D)$는 모든 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $(y,x)$의 열린근방 $O$에 대해

기저 정리로 $(y,x)\in O_2\times O_1 \subseteq O$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O_1,O_2$가 존재하여 $(x,y)\in O_1\times O_2$이고

유한 곱공간 정리로 $O_1\times O_2$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $(x,y)$의 열린근방이므로 폐포의 정의로 $(O_1\times O_2)\cap D\ne \emptyset$이고

$(z,w)\in (O_1\times O_2)\cap D$가 존재하여 $(w,z)\in O_2\times O_1$이고 역관계의 정의로 $(w,z)\in D^{-1} =D$임에 따라

$(w,z)\in (O_2\times O_1)\cap D \subseteq O\cap D$이고 $O\cap D\ne \emptyset$이므로

폐포의 정의로 $(y,x)\in \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D)$가 되어 관계 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D) = (\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D))^{-1}$이다.

9, 10

7, 8번으로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D) = (\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D))^{-1}$이고 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D) = (\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D))^{-1}$이므로

$\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D)) = (\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D)))^{-1}$이고 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)) = (\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)))^{-1}$이다.

11.

유한 곱공간 정리로 $\{ O_1\times O_2 : O_1,O_2\in \mathcal{T}\}$는 $(X^2,\mathcal{P})$의 기저이므로

기저 정리로 $(x,x)\in O_1\times O_2 \subseteq D$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O_1,O_2$가 존재하여

위상공간 정리로 $x\in O_1\cap O_2\in \mathcal{T}$임에 따라 $U = O_1\cap O_2$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고

$(x,x)\in U^2= U\times U=(O_1\cap O_2)\times (O_1\cap O_2)\subseteq O_1\times O_2 \subseteq D$이다.

정리2

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음은 동치이다.

1. $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이다.

2. $X\setminus E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이다.

3. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\subseteq E$이고 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

4. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} = \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$이고 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

증명

$1\leftrightarrow 2$

$E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이면

위 정리로 $ X\setminus E = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)) $이므로

$X\setminus E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이다.

역으로 $X\setminus E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이면 집합 정리와 위 정리로

$\begin{align*} E &= X\setminus (X\setminus E) \\[0.5em] &= X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)) \\[0.5em] &= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)) \\[0.5em] &= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus (X\setminus E))) \\[0.5em] &= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\text{ 이므로} \end{align*} $

$E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이다.

$1\leftrightarrow 3$

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이면

내부 정리로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = E$이다.

역으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\subseteq E$이고 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면

위 정리로 $E \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$이므로 집합 정리로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$가 되어 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이다.

$1\leftrightarrow 4$

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이면

내부 정리로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 경계 정리와 내부 정리와 폐포 정리로

$\begin{align*} \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} &= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \\[0.5em]&= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))) \\[0.5em]&= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) \\[0.5em]&= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) \\[0.5em]&= \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\text{ 이다.} \end{align*}$

역으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} = \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$이고 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면

내부 정리와 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) = E$이고 $E \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$와 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$가 성립하므로

내부 정리와 경계 정리와 폐포 정리로

$\begin{align*}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\setminus E&=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\\[0.5em]& =\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \\[0.5em]&= \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\\[0.5em]& = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) \\[0.5em]&= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\text{ 가 되어} \end{align*}$

집합 정리로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$임에 따라 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이다.

정리3

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음은 동치이다.

1. $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이다.

2. $X\setminus E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이다.

3. $E\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$이고 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

4. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} = \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$이고 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

증명

$1\leftrightarrow 2$

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이면

집합 정리로 $X\setminus (X\setminus E) = E$이므로 위 정리로 $X\setminus E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이다.

역으로 $X\setminus E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이면

집합 정리와 위 정리로 $E = X\setminus (X\setminus E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이다.

$1\leftrightarrow 3$

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이면

폐포 정리로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

집합 정리로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$이다.

역으로 $E\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$이고 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면

위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))\subseteq E$이므로 집합 정리로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$가 되어 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이다.

$1\leftrightarrow 4$

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이면

폐포 정리로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 경계 정리와 폐포 정리와 내부 정리로

$\begin{align*} \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} &= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \\[0.5em]&= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \\[0.5em]&= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) ) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \\[0.5em]&= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)) \\[0.5em]&= \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))\text{ 이다.} \end{align*}$

역으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} = \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$이고 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \subseteq E$이고 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$와 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = E$가 성립하므로

폐포 정리와 경계 정리와 내부 정리로

$\begin{align*}E\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)& = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \\[0.5em] & =\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \\[0.5em]&= \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))\\[0.5em]& = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)) \\[0.5em]&= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\text{ 임에 따라} \end{align*}$

임의의 $x\in E$에 대해 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이면 폐포 정리로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$이고

$x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이면 $x\in E\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$가 되어

$E \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$이므로 집합 정리로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$이고 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이다.

정리4

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $E,F\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 닫힌집합이면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이고 정칙닫힌집합이다.

2. $X,\emptyset$은 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이고 정칙닫힌집합이다.

3. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이다.

4. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이다.

5. $E,F$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이면 $E\cap F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이다.

6. $E,F$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이면 $E\cup F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이다.

7. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합일때 $U\not\subseteq E$인 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U$에 대해

$V\ne \emptyset$이고 $V\subseteq U$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $V$가 존재하여 $E\cap V = \emptyset$이다.

8. $F$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합일때 $F\not\subseteq C$인 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$에 대해

$X\ne D$이고 $C\subseteq D$인 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $D$가 존재하여 $F\cup D = X$이다.

증명

내부 정리와 폐포 정리로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$이고 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$이므로

$E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이고 정칙닫힌집합이다.

위상공간 정리와 1번으로 $X,\emptyset$은 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이고 정칙닫힌집합이다.

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이므로 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$가 되어

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)))) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$임에 따라

위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이다.

위 정리와 3번으로

$X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus E))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이므로

위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이다.

위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\subseteq E$와 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F))\subseteq F$가 성립하고 $E,F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

위상공간 정리로 $E\cap F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E\cap F)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F)$임에 따라 내부 정리로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E\cap F))\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F))=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(F))\subseteq E\cap F$가 되어

위 정리로 $E\cap F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이다.

위 정리로 $X\setminus E,X\setminus F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이므로

집합 정리와 5번으로 $X\setminus (E\cup F) = (X\setminus E)\cap (X\setminus F)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이 되어

위 정리로 $E\cup F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이다.

$U\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$라고 가정하면

내부 정리와 정칙열린집합의 정의로 $U=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(U)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = E$가 되어 모순이므로 $U\not\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이고

$x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$인 $x\in U$가 존재하여 $x\in U\cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$이므로

폐포 정리와 위상공간 정리로 $V = U\cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$는 $V\ne \emptyset$이고 $V\subseteq U$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

폐포 정리로 $E\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이므로 $V\cap E = (U\cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)))\cap E \subseteq (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = \emptyset$이 되어

$V\cap E = \emptyset$이다.

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F)\subseteq C$라고 가정하면

정칙닫힌집합의 정의와 폐포 정리로 $F=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F))\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(C) = C$가 되어 모순이므로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F)\not\subseteq C$이고

$x\notin C$인 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F) \subseteq X$가 존재하여 $x\notin C\cup (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F))$이므로

내부 정리와 위상공간 정리로 $D = C\cup (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F))$는 $X\ne D$이고 $C\subseteq D$인 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

모든 $x\in X$에 대해 $x\in F$이면 $x\in F\subseteq F\cup D$이고 $x\notin F$이면 내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F)\subseteq F$이므로

집합 정리로 $x\in X\setminus F\subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F) \subseteq C\cup (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(F)) = D \subseteq F\cup D$가 되어 $X\subseteq F\cup D$이고

$F\cup D\subseteq X$임에 따라 집합 정리로 $F\cup D = X$이다.

정리5

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에 대해 $Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하면 다음이 성립한다.

1. 모든 $E\subseteq Y$에 대해 $\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\cap Y$이다.

2. 임의의 $E\subseteq Y$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 정칙열린집합이기 위한 필요충분조건은

$E = O\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합 $O$가 존재하는 것이다.

3. 임의의 $E\subseteq Y$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 정칙닫힌집합이기 위한 필요충분조건은

$E = C\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합 $C$가 존재하는 것이다.

4. 임의의 $U,E\subseteq X$에 대해 $U$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합일때

$U\cap Y\subseteq E\cap Y$이면 $U\subseteq E$이다.

5. 임의의 $C,F\subseteq X$에 대해 $C$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $F$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합일때

$F\cap Y\subseteq C\cap Y$이면 $F\subseteq C$이다.

6. 임의의 $E,F\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합일때 $E\cap Y = F\cap Y$이면 $E = F$이다.

7. 임의의 $E,F\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합일때 $E\cap Y = F\cap Y$이면 $E = F$이다.

8. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 $O\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(O\cap Y)$이다.

증명

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이므로

위상공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\cap Y \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap Y = \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E)$이고

내부 정리와 위상공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이므로

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\cap Y \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}( \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E))$이다.

내부 정리와 위상공간 정리로

$\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}( \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E)) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap Y$이고 $\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}( \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E))$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이므로

위상공간 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}( \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E)) = U\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U$가 존재한다.

$U \not\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$라고 가정하면 $x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$인 $x\in U\subseteq X$가 존재하여 $x\in U \cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$이므로

$U \cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\ne \emptyset$이고 폐포 정리와 위상공간 정리로 $U \cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어

조밀집합 정리로 $U \cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\cap Y\ne \emptyset$인데

$\begin{align*} U \cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\cap Y & = U \cap Y \cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) \\[0.5em] & = \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E)) \cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) \\[0.5em] & \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \cap Y\cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) \\[0.5em] & \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = \emptyset\text{ 이므로} \end{align*}$

$U \cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\cap Y= \emptyset$임에 따라 모순이 되어 $U \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이다.

내부 정리로 $U = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(U) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$이고 $\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E))=U \cap Y \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\cap Y$이므로

집합 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\cap Y$이다.

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 정칙열린집합이면

위 정리로 $O= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이고

정칙열린집합의 정의와 1번으로 $E = \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\cap Y = O\cap Y$이다.

역으로 $E = O\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합 $O$가 존재하면 $E = O\cap Y\subseteq O$이므로

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(O)$가 되어 내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(O))$임에 따라

1번과 위 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\cap Y\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(O))\cap Y \subseteq O\cap Y = E$이고

위 정리와 위상공간 정리로 $E = O\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이므로

위 정리로 $E$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 정칙열린집합이다.

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 정칙닫힌집합이면

위 정리로 $Y\setminus E$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 정칙열린집합이므로

2번으로 $Y\setminus E = O\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합 $O$가 존재하여

위 정리로 $C = X\setminus O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합이고

집합 정리로 $E = Y\setminus (Y\setminus E) = Y\setminus (O\cap Y) = (X\setminus O)\cap Y = C\cap Y$이다.

역으로 $E = C\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙닫힌집합 $C$가 존재하면

위 정리로 $X\setminus C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이므로

집합 정리와 2번으로 $Y\setminus E = Y\setminus (C\cap Y) = (X\setminus C)\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 정칙열린집합이 되어

위 정리로 $E$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 정칙닫힌집합이다.

$U\cap Y\subseteq E\cap Y$이고 $U\not\subseteq E$라고 가정하면

위 정리로 $V\ne \emptyset$이고 $V\subseteq U$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $V$가 존재하여 $E\cap V = \emptyset$인데

$V\cap Y\subseteq U\cap Y\subseteq E\cap Y$이고 조밀집합 정리로 $V\cap Y\ne \emptyset$이므로 $x\in V\cap Y$가 존재하여

$x\in V\cap Y \subseteq E\cap Y\subseteq E$이고 $x\in V\cap Y\subseteq V$임에 따라 $x\in E\cap V = \emptyset$이므로 모순이다.

따라서 $U\cap Y\subseteq E\cap Y$이면 $U\subseteq E$이다.

닫힌집합의 정의로 $X\setminus C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 위 정리로 $X\setminus F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 정칙열린집합이므로

집합 정리와 집합 정리로 $(X\setminus C)\cap Y=Y\setminus (C\cap Y) \subseteq Y\setminus (F\cap Y) = (X\setminus F)\cap Y$임에 따라

4번으로 $X\setminus C \subseteq X\setminus F$가 되어 집합 정리와 집합 정리로 $F = X\setminus (X\setminus F) \subseteq X\setminus (X\setminus C) = C$이다.

위 정리로 $E,F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 집합 정리로 $E\cap Y \subseteq F\cap Y$와 $F\cap Y \subseteq E\cap Y$가 성립하므로

4번으로 $E\subseteq F$와 $F\subseteq E$가 성립하여 집합 정리로 $E = F$이다.

위 정리로 $E,F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 집합 정리로 $E\cap Y \subseteq F\cap Y$와 $F\cap Y \subseteq E\cap Y$가 성립하므로

5번으로 $E\subseteq F$와 $F\subseteq E$가 성립하여 집합 정리로 $E = F$이다.

모든 $x \in O$에 대해 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U$는 위상공간의 정의로 $x\in U\cap O\in \mathcal{T}$이므로 $U\cap O\ne \emptyset$이고

조밀집합 정리로 $U\cap O\cap Y \ne \emptyset$임에 따라 폐포의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(O\cap Y)$가 되어 $O\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(O\cap Y)$이다.

정리6

완비균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 위상공간 $(K,\mathcal{T}_K)$가 $T_3$공간일때

임의의 $X$의 필터 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터이면 $(X,\mathcal{T})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 연속함수 $f:X\to K$에 대해

어떤 $x\in X$가 존재하여 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하고 $\displaystyle \bigcap_{A\in \mathcal{F}}\underset{(K, \mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(f(A)) = \{ f(x)\}$이다.

증명

균등공간 정리로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in X$로 수렴하고 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이므로

필터 정리로 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{F}$의 집적점이 되어 필터 정리로 $x\in \displaystyle \bigcap_{A\in \mathcal{F}}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이고

함수 정리와 연속함수 정리로

$f(x)\in \displaystyle f(\bigcap_{A\in \mathcal{F}}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)) \subseteq \bigcap_{A\in \mathcal{F}}f(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)) \subseteq \bigcap_{A\in \mathcal{F}}\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(f(A))$이므로 $\{ f(x)\}\subseteq \displaystyle \bigcap_{A\in \mathcal{F}}\underset{(K, \mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(f(A))$이다.

어떤 $\displaystyle y\in \bigcap_{A\in \mathcal{F}}\underset{(K, \mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(f(A))$가 $f(x)\ne y$라고 가정하면 위상공간 정리로 $(K,\mathcal{T}_K)$는 하우스도르프 공간이므로

$f(x)\in U$와 $y\in V$가 성립하고 $U\cap V = \emptyset$인 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여

정칙공간 정리로 $\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(O)\subseteq U$인 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $f(x)$의 열린근방 $O$가 존재한다.

$f(x)\in O$이므로 $x\in f^{-1}(O)$가 되어 연속함수 정리로 $f^{-1}(O)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방임에 따라

필터 수렴의 정의로 $f^{-1}(O)\in \mathcal{F}$이고 함수 정리로 $f(f^{-1}(O))\subseteq O$이므로

폐포 정리로 $\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(f(f^{-1}(O)))\subseteq \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(O)\subseteq U$이고 $\displaystyle y\in \bigcap_{A\in \mathcal{F}}\underset{(K, \mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(f(A)) \subseteq \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(f(f^{-1}(O)))$인데

집합 정리와 집합 정리로

$y\in V \subseteq K\setminus U \subseteq K\setminus \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(f(f^{-1}(O)))$임에 따라 $y\notin \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(f(f^{-1}(O)))$가 되어 모순이므로

모든 $\displaystyle y\in \bigcap_{A\in \mathcal{F}}\underset{(K, \mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(f(A))$는 $y=f(x)\in \{ f(x)\}$이고 $\displaystyle \bigcap_{A\in \mathcal{F}}\underset{(K, \mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(f(A))\subseteq \{f(x) \}$가 되어

집합 정리로 $\displaystyle \bigcap_{A\in \mathcal{F}}\underset{(K, \mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(f(A)) = \{ f(x)\}$이다.

정리7

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P})$일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D)),\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)) \in \mathcal{D}$이다.

2. $\{ E\in \mathcal{D} : E\text{는 }(X^2,\mathcal{P})\text{에서 정칙열린집합이고 }E = E^{-1}\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

3. $\{ E\in \mathcal{D} : E\text{는 }(X^2,\mathcal{P})\text{에서 정칙닫힌집합이고 }E = E^{-1}\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

4. 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E\circ E \subseteq D$이고 $E = E^{-1}$인 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙열린집합 $E\in \mathcal{D}$가 존재한다.

5. 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E\circ E \subseteq D$이고 $E = E^{-1}$인 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙닫힌집합 $E\in \mathcal{D}$가 존재한다.

증명

균등공간 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D),\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D) \in \mathcal{D}$이므로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D)),\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)) \in \mathcal{D}$이다.

$\mathcal{E} =\{ E\in \mathcal{D} : E\text{는 }(X^2,\mathcal{P})\text{에서 정칙열린집합이고 }E = E^{-1}\}$는 $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{D}$이고

균등공간 정리로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E\subseteq D$이고 $E = E^{-1}$인 $(X^2,\mathcal{P})$에서 닫힌집합 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

1번으로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(E)) \in \mathcal{D}$이고 위 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(E)) = (\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(E)))^{-1}$이므로

위 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(E))$가 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙열린집합임에 따라 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(E))\in \mathcal{E}$이고

내부 정리와 폐포 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(E))\subseteq \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(E)=E\subseteq D $가 되어

$\mathcal{E}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

$\mathcal{E} =\{ E\in \mathcal{D} : E\text{는 }(X^2,\mathcal{P})\text{에서 정칙닫힌집합이고 }E = E^{-1}\}$는 $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{D}$이고

균등공간 정리로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E\subseteq D$이고 $E = E^{-1}$인 $(X^2,\mathcal{P})$에서 닫힌집합 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

1번으로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(E)) \in \mathcal{D}$이고 위 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(E)) = (\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(E)))^{-1}$이므로

위 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(E))$가 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙닫힌집합임에 따라 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(E))\in \mathcal{E}$이고

내부 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(E) \subseteq E$이므로 폐포 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(E)) \subseteq \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(E) =E \subseteq D$가 되어

$\mathcal{E}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 균등공간 정의로 $E_D\circ E_D\subseteq D$인 $E_D\in \mathcal{D}$가 존재하여

2번과 기저의 정의로 $E\subseteq E_D$이고 $E = E^{-1}$인 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙열린집합 $E\in \mathcal{D}$가 존재하므로

관계 정리로 $E\circ E\subseteq E_D\circ E_D\subseteq D$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 균등공간의 정의로 $E_D\circ E_D\subseteq D$인 $E_D\in \mathcal{D}$가 존재하여

3번과 기저의 정의로 $E\subseteq E_D$이고 $E = E^{-1}$인 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙닫힌집합 $E\in \mathcal{D}$가 존재하므로

관계 정리로 $E\circ E\subseteq E_D\circ E_D\subseteq D$이다.

정리8

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해

함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상일때 임의의 $E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E))=\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(f(E))$

2. $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E))=\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(E))$

3. $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\partial E})=\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\partial} (f(E))$

3. $E$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 정칙열린집합이면 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 정칙열린집합이다.

4. $E$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 정칙닫힌집합이면 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 정칙닫힌집합이다.

증명

1, 2, 3

위상동형사상의 정의와 위상동형사상 정리로

$f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 열린함수이고 닫힌함수이고 전단사이다.

열린함수 정리로 $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E))\subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(f(E))$이고

연속함수 정리와 단사 정리로 $f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(f(E))) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(f^{-1}(f(E))) = \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E)$이므로

전사 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(f(E))=f(f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(f(E)))) \subseteq f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E))$임에 따라

집합 정리로 $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E))=\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(f(E))$이다.

닫힌함수 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(E))\subseteq f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E))$이고 연속함수 정리로 $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E))\subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(E))$이므로

집합 정리로 $f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E))=\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(E))$이다.

경계 정리와 단사 정리로

$ f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\partial E}) = f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E) ) = f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E)) \setminus f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E) ) =\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(E)) \setminus \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(f(E)) =\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\partial} (f(E)) \text{ 이다.}$

정칙열린집합의 정의와 1, 2번으로

$f(E) = f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E))) = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E))) = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(E)))$이므로

$f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 정칙열린집합이다.

정칙닫힌집합의 정의와 1, 2번으로

$f(E) = f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E))) = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}(E))) = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(f(E)))$이므로

$f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 정칙닫힌집합이다.

정리9

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P}_X),(Y^2,\mathcal{P}_Y)$일때

함수 $f:X\to Y$의 곱함수 $P_f:X^2\to Y^2$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이면 $P_f$는 $(X^2,\mathcal{P}_X)$에서 $(Y^2,\mathcal{P}_Y)$로의 연속함수이다.

2. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 열린함수이면 $P_f$는 $(X^2,\mathcal{P}_X)$에서 $(Y^2,\mathcal{P}_Y)$로의 열린함수이다.

3. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이면 $P_f$는 $(X^2,\mathcal{P}_X)$에서 $(Y^2,\mathcal{P}_Y)$로의 위상동형사상이다.

4. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 매장이면 $P_f$는 $(X^2,\mathcal{P}_X)$에서 $(Y^2,\mathcal{P}_Y)$로의 매장이다.

5. $f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 조밀매장이면 $P_f$는 $(X^2,\mathcal{P}_X)$에서 $(Y^2,\mathcal{P}_Y)$로의 조밀매장이다.

증명

유한 곱공간 정리로

$\{ U_1\times U_2 : U_1,U_2\in \mathcal{T}_X\}$는 $(X^2,\mathcal{P}_X)$의 기저이고 $\{ V_1\times V_2 : V_1,V_2\in \mathcal{T}_Y\}$는 $(Y^2,\mathcal{P}_Y)$의 기저이다.

모든 $V_1,V_2\in \mathcal{T}_Y$에 대해 연속함수 정리로 $f^{-1}(V_1),f^{-1}(V_2)\in \mathcal{T}_X$이므로

곱함수 정리와 기저의 정의로 $P_f^{-1}(V_1\times V_2) = f^{-1}(V_1)\times f^{-1}(V_2)\in \mathcal{P}_X$가 되어

연속함수 정리로 $P_f$는 $(X^2,\mathcal{P}_X)$에서 $(Y^2,\mathcal{P}_Y)$로의 연속함수이다.

모든 $U\in \mathcal{P}_X$에 대해 모든 $(y_1,y_2)\in P_f(U)$는 $(y_1,y_2) = P_f(x_1,x_2)$인 $(x_1,x_2)\in U$가 존재하여

기저 정리로 $(x_1,x_2)\in U_1\times U_2\subseteq U$인 $U_1,U_2\in \mathcal{T}_X$가 존재하므로

열린함수의 정의로 $f(U_1),f(U_2)\in \mathcal{T}_Y$임에 따라

곱함수 정리와 기저의 정의로 $P_f(U_1\times U_2) = f(U_1)\times f(U_2)\in \mathcal{P}_Y$이고

곱함수의 정의로 $(y_1,y_2)=P_f(x_1,x_2)=(f(x_1),f(x_2)) \in f(U_1)\times f(U_2) = P_f(U_1\times U_2) \subseteq P_f(U)$이므로

위상공간 정리로 $P_f(U)\in \mathcal{P}_Y$가 되어 $P_f$는 $(X^2,\mathcal{P}_X)$에서 $(Y^2,\mathcal{P}_Y)$로의 열린함수이다.

위상동형사상의 정의와 위상동형사상 정리로

$f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 열린함수이고 전단사이므로

1, 2번과 곱함수 정리로 $P_f$는 $(X^2,\mathcal{P}_X)$에서 $(Y^2,\mathcal{P}_Y)$로의 연속함수이고 열린함수이고 전단사가 되어

위상동형사상 정리로 $P_f$는 $(X^2,\mathcal{P}_X)$에서 $(Y^2,\mathcal{P}_Y)$로의 위상동형사상이다.

4, 5

$(Y,\mathcal{T}_Y),(Y^2,\mathcal{P}_Y)$의 부분위상공간이 $(f(X),\mathcal{T}_Y|_{f(X)}),(P_f(X^2),\mathcal{P}_Y|_{P_f(X^2)})$일때

곱함수 정리로 $P_f(X^2) = (f(X))^2$이고

모든 $x\in X$에 대해 $g(x) =f(x) $인 함수 $g : X\to f(X)$의 곱함수 $P_g : X^2\to P_f(X^2)$는

모든 $(x_1,x_2)\in X^2$에 대해 $P_g(x_1,x_2) = (g(x_1),g(x_2)) = (f(x_1),f(x_2)) = P_f(x_1,x_2)$이다.

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 매장이면

$g$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(f(X),\mathcal{T}_Y|_{f(X)})$로의 위상동형사상이고

위상공간 정리로 $(f(X),\mathcal{T}_Y|_{f(X)})$의 $2$-곱공간은 $((f(X))^2,\mathcal{P}_Y|_{(f(X))^2}) = (P_f(X^2), \mathcal{P}_Y|_{P_f(X^2)})$이므로

3번으로 $P_g$는 $(X^2,\mathcal{P}_X)$에서 $(P_f(X^2), \mathcal{P}_Y|_{P_f(X^2)})$로의 위상동형사상이 되어

$P_f$는 $(X^2,\mathcal{P}_X)$에서 $(Y^2,\mathcal{P}_Y)$로의 매장이다.

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 조밀매장이면 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(X)) = Y$이므로 유한 곱공간 정리로

$\underset{(Y^2,\mathcal{P}_Y)}{\operatorname{cl}}(P_f(X^2)) = \underset{(Y^2,\mathcal{P}_Y)}{\operatorname{cl}}((f(X))^2) = \underset{(Y^2,\mathcal{P}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(X)\times f(X)) = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(X)) \times \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(X)) = Y\times Y = Y^2\text{ 가 되어}$

$P_f$는 $(X^2,\mathcal{P}_X)$에서 $(Y^2,\mathcal{P}_Y)$로의 조밀매장이다.

정리10

임의의 집합 $X,Y$에 대해 함수 $f:X\to Y$의 곱함수가 $P_f:X^2\to Y^2$일때 다음이 성립한다.

1. $f$가 전사이면 $X,Y$의 대각관계 $\Delta_X,\Delta_Y$에 대해 $P_f(\Delta_X) = \Delta_Y$이고

2. $f$가 단사이면 $X,Y$의 대각관계 $\Delta_X,\Delta_Y$에 대해 $\Delta_X = P_f^{-1}(\Delta_Y)$이다.

3. $f$가 단사이면 임의의 $D_X,E_X\subseteq X^2$에 대해 $P_f(D_X\circ E_X) = P_f(D_X)\circ P_f(E_X)$이다.

4. $f$가 전사이면 임의의 $D_Y,E_Y \subseteq Y^2$에 대해 $P_f^{-1}(D_Y)\circ P_f^{-1}(E_Y) = P_f^{-1}(D_Y\circ E_Y)$이다.

5. $f$가 단사이면 $E_X\circ E_X\subseteq D_X$인 모든 $D_X,E_X\subseteq X^2$에 대해 $P_f(E_X)\circ P_f(E_X) \subseteq P_f(D_X)$이다.

6. $D_X = D_X^{-1}$인 모든 $D_X\subseteq X^2$에 대해 $P_f(D_X) = (P_f(D_X))^{-1}$이다.

7. 균등공간이 $(X,\mathcal{D}_X)$일때 $f$가 전단사이면

$\mathcal{D}_Y = \{ P_f(D_X) : D_X\in \mathcal{D}_X\}$인 $(Y,\mathcal{D}_Y)$는 균등공간이고 $f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등동형사상이다.

8. 균등공간 $(X,\mathcal{D}_X)$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X)$이고 위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y)$일때

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이면

$\mathcal{D}_Y = \{ P_f(D_X) : D_X\in \mathcal{D}_X\}$인 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등위상공간 $(Y,\mathcal{T}_{\mathcal{D}_Y})$는 $\mathcal{T}_Y = \mathcal{T}_{\mathcal{D}_Y}$이다.

증명

모든 $y\in Y$에 대해 대각관계의 정의로 $(y,y)\in \Delta_Y$이고 전사의 정의로 $y = f(x)$인 $x\in X$가 존재하여

대각관계의 정의로 $(x,x)\in \Delta_X$이므로 $(y,y)=(f(x),f(x))=P_f(x,x)\in P_f(\Delta_X)$임에 따라

$\Delta_Y\subseteq P_f(\Delta_X)$이고 곱함수 정리로 $P_f(\Delta_X) \subseteq \Delta_Y$이므로 집합 정리로 $P_f(\Delta_X) = \Delta_Y$이다.

모든 $(x_1,x_2)\in P_f^{-1}(\Delta_Y)$에 대해 $(f(x_1),f(x_2))=P_f(x_1,x_2) \in \Delta_Y$이므로

대각관계의 정의로 $f(x_1) = f(x_2)$이고 단사의 정의로 $x_1 = x_2$가 되어 $(x_1,x_2)\in \Delta_X$임에 따라

$P_f^{-1}(\Delta_Y) \subseteq \Delta_X$이고 곱함수 정리로 $\Delta_X \subseteq P_f^{-1}(\Delta_Y)$이므로 집합 정리로 $\Delta_X = P_f^{-1}(\Delta_Y)$이다.

임의의 $(y_1,y_2)\in P_f(D_X)\circ P_f(E_X)$에 대해

합성관계의 정의로 $(y_1,y_3)\in P_f(E_X)$이고 $(y_3,y_2)\in P_f(D_X)$인 $y_3\in Y$이 존재하여

$(f(x_1),f(x_3))=P_f(x_1,x_3) = (y_1,y_3)$인 $(x_1,x_3)\in E_X$이 존재하고

$(f(x_4),f(x_2)) = P_f(x_4,x_2) = (y_3,y_2)$인 $(x_4,x_2)\in D_X$가 존재하므로

$f(x_3) = y_3 = f(x_4)$임에 따라 단사의 정의로 $x_3 = x_4$이고 $(x_3,x_2)=(x_4,x_2)\in D_X$이므로

합성관계의 정의로 $(x_1,x_2)\in D_X\circ E_X$가 되어 $(y_1,y_2)=(f(x_1),f(x_2))=P_f(x_1,x_2)\in P_f(D_X\circ E_X)$이고

$P_f(D_X)\circ P_f(E_X)\subseteq P_f(D_X\circ E_X)$이다.

곱함수 정리로 $P_f(D_X\circ E_X)\subseteq P_f(D_X)\circ P_f(E_X)$이므로 집합 정리로 $P_f(D_X\circ E_X) = P_f(D_X)\circ P_f(E_X)$이다.

모든 $(x_1,x_2)\in P_f^{-1}(D_Y\circ E_Y)$에 대해 $(f(x_1),f(x_2))=P_f(x_1,x_2)\in D_Y\circ E_Y$이므로

합성관계의 정의로 $(f(x_1),y_3)\in E_Y$이고 $(y_3,f(x_2))\in D_Y$인 $y_3\in Y$이 존재하여

전사의 정의로 $y_3 = f(x_3)$인 $x_3\in X$이 존재하고

$P_f(x_1,x_3)=(f(x_1),f(x_3))=(f(x_1),y_3)\in E_Y$이므로 $(x_1,x_3)\in P_f^{-1}(E_Y)$이고

$P_f(x_3,x_2)=(f(x_3),f(x_2))=(y_3,f(x_2))\in D_Y$이므로 $(x_3,x_2)\in P_f^{-1}(D_Y)$임에 따라

합성관계의 정의로 $(x_1,x_2)\in P_f^{-1}(D_Y)\circ P_f^{-1}(E_Y)$가 되어 $P_f^{-1}(D_Y\circ E_Y)\subseteq P_f^{-1}(D_Y)\circ P_f^{-1}(E_Y)$이고

곱함수 정리로 $P_f^{-1}(D_Y)\circ P_f^{-1}(E_Y) \subseteq P_f^{-1}(D_Y\circ E_Y)$이므로

집합 정리로 $P_f^{-1}(D_Y)\circ P_f^{-1}(E_Y) = P_f^{-1}(D_Y\circ E_Y)$이다.

3번으로 $P_f(E_X)\circ P_f(E_X) = P_f(E_X\circ E_X)\subseteq P_f(D_X)$이다.

곱함수 정리로 $P_f(D_X) = P_f(D_X^{-1}) = (P_f(D_X))^{-1}$이다.

곱함수 정리로 $P_f$는 전단사이고 모든 $D_X\in \mathcal{D}_X$에 대해 $P_f(D_X) \subseteq Y^2$이다.

균등공간의 정의로 $\mathcal{D}_X\ne \emptyset$이므로 $D_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하여 $P_f(D_X)\in \mathcal{D}_Y$임에 따라 $\mathcal{D}_Y\ne \emptyset$이다.

모든 $D_X\in \mathcal{D}_X$는 균등공간의 정의로 $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 $\Delta_X \subseteq D_X$이고

1번으로 $Y$의 대각관계 $\Delta_Y$에 대해 $\Delta_Y = P_f(\Delta_X) \subseteq P_f(D_X)$이다.

모든 $D_X,E_X\in \mathcal{D}$에 대해 균등공간의 정의로 $D_X\cap E_X\in \mathcal{D}_X$이므로

단사 정리로 $P_f(D_X)\cap P_f(E_X) = P_f(D_X\cap E_X)\in \mathcal{D}_Y$이다.

모든 $D_X\in \mathcal{D}_X$에 대해 균등공간의 정의로 $E_X\circ E_X\subseteq D_X$인 $E_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하여

5번으로 $P_f(E_X)\circ P_f(E_X)\subseteq P_f(D_X)$이다.

모든 $D_X\in \mathcal{D}_X$에 대해 균등공간의 정의로 $E_X^{-1}\subseteq D_X$인 $E_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하여

곱함수 정리로 $(P_f(E_X))^{-1}=P_f(E_X^{-1}) \subseteq P_f(D_X)$이다.

임의의 $D_X\in \mathcal{D}_X$와 임의의 $D_Y\subseteq Y^2$에 대해 $P_f(D_X)\subseteq D_Y$이면

단사 정리로 $D_X=P_f^{-1}(P_f(D_X)) \subseteq P_f^{-1}(D_Y)$이므로 균등공간의 정의로 $P_f^{-1}(D_Y)\in \mathcal{D}_X$이고

전사 정리로 $D_Y=P_f(P_f^{-1}(D_Y))\in \mathcal{D}_Y$가 되어 $(Y,\mathcal{D}_Y)$는 균등공간이다.

모든 $D_X\in \mathcal{D}_X$에 대해 $P_f(D_X)\in \mathcal{D}_Y$이고 단사 정리로 $P_f^{-1}(P_f(D_X))=D_X\in \mathcal{D}_X$이므로

균등공간 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등동형사상이다.

7번과 균등동형사상 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_{\mathcal{D}_Y})$로의 위상동형사상이다.

위상동형사상의 정의와 위상동형사상 정리와 전사 정리로

모든 $O\in \mathcal{T}_{\mathcal{D}_Y}$에 대해 $f^{-1}(O)\in \mathcal{T}_X$이므로 $O=f(f^{-1}(O))\in \mathcal{T}_Y$가 되어 $\mathcal{T}_{\mathcal{D}_Y}\subseteq \mathcal{T}_Y$이고

모든 $O\in \mathcal{T}_{Y}$에 대해 $f^{-1}(O)\in \mathcal{T}_X$이므로 $O=f(f^{-1}(O))\in \mathcal{T}_{\mathcal{D}_Y}$가 되어 $\mathcal{T}_{Y}\subseteq \mathcal{T}_{\mathcal{D}_Y}$임에 따라

집합 정리로 $\mathcal{T}_Y = \mathcal{T}_{\mathcal{D}_Y}$이다.

정리11

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P})$이고

위상공간 $(K,\mathcal{T}_K)$의 $2$-곱공간이 $(K^2,\mathcal{P}_K)$일때

$(X,\mathcal{T})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 조밀매장 $e:X\to K$의 곱함수 $P_e :X^2\to K^2$에 대해

임의의 $D\in \mathcal{D}$가 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙열린집합이면

$\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))\circ \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D))) \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)\circ P_e(D)))$이다.

증명

$e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 조밀매장이므로 $e(X)$는 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 조밀집합이고

위 정리로 $P_e$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $(K^2,\mathcal{P}_K)$로의 조밀매장이 되어

곱함수 정리로 $P_e(X^2) = (e(X))^2$는 $(K^2,\mathcal{P}_K)$에서 조밀집합이고

$(K,\mathcal{T}_K),(K^2,\mathcal{P}_K)$의 부분위상공간이 $(e(X),\mathcal{T}_K|_{e(X)}),((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})$일때

조밀매장의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $f(x) = e(x)$인

함수 $f:X\to e(X)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(e(X),\mathcal{T}_K|_{e(X)})$로의 위상동형사상이므로 $f$의 곱함수 $P_f : X^2\to (e(X))^2$는

모든 $(x_1,x_2)\in X^2$에 대해 $P_f(x_1,x_2) = (f(x_1),f(x_2)) = (e(x_1),e(x_2)) = P_e(x_1,x_2)$이고

유한 곱공간 정리로 $((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})$가 $(e(X),\mathcal{T}_K|_{e(X)})$의 $2$-곱공간임에 따라

위 정리로 $P_f$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})$로의 위상동형사상이다.

임의의 $D\in \mathcal{D}$가 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙열린집합일때

$\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))\circ \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D))) \not\subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)\circ P_e(D)))$라고 가정하면

내부 정리로 $\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))$는 $(K^2,\mathcal{P}_K)$에서 열린집합이므로

유한 곱공간 정리로 $\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))\circ \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D))) $는 $(K^2,\mathcal{P}_K)$에서 열린집합이고

위 정리로 $\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)\circ P_e(D)))$는 $(K^2,\mathcal{P}_K)$에서 정칙열린집합이므로

$V\subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))\circ \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D))) $이고 $V\ne \emptyset$인 $(K^2,\mathcal{P}_K)$에서 열린집합 $V$가 존재하여

$V\cap \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)\circ P_e(D))) =\emptyset$이다.

조밀집합 정리로 $V\cap (e(X))^2\ne \emptyset$이므로 $(k_1,k_2)\in V\cap (e(X))^2$가 존재하여

$(k_1,k_2)\in V\subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))\circ \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))$이고

합성관계의 정의로 $(k_1,k),(k,k_2)\in \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))$인 $k\in K$가 존재하여

유한 곱공간 정리와 기저 정리로 $(k_1,k)\in V_1 \times V_{3} \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))$이고

$(k,k_2)\in V_4 \times V_2 \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))$인 $V_1,V_2,V_3,V_4\in \mathcal{T}_K$가 존재하므로

$k\in V_3\cap V_4$가 되어 $V_3\cap V_4\ne \emptyset$이고 위상공간의 정의로 $V_3\cap V_4\in \mathcal{T}_K$임에 따라

조밀집합 정리로 $V_3\cap V_4 \cap e(X)\ne \emptyset$이므로 $k_3\in V_3\cap V_4 \cap e(X)$이 존재하여

$(k_1,k_3)\in V_1\times (V_3\cap V_4) \subseteq V_1 \times V_{3} \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))$이고

$(k_3,k_2)\in (V_3\cap V_4)\times V_2 \subseteq V_4 \times V_2 \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))$이므로

$(k_1,k_3),(k_3,k_2)\in \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))\cap (e(X))^2$이다.

함수 정리와 위 정리로 $P_e(D) = P_f(D)$는 $((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})$에서 정칙열린집합이므로

위 정리로 $\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))\cap (e(X))^2 = \underset{((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})}{\operatorname{int}}(\underset{((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})}{\operatorname{cl}(P_e(D))}) = P_e(D)$가 되어

$(k_1,k_3),(k_3,k_2)\in P_e(D)$임에 따라 합성관계의 정의로 $(k_1,k_2)\in P_e(D)\circ P_e(D)$이고

위 정리로 $P_e(D)$는 $((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})$에서 열린집합이므로

유한 곱공간 정리로 $((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})$가 $(e(X),\mathcal{T}_K|_{e(X)})$의 $2$-곱공간임에 따라

유한 곱공간 정리로 $P_e(D)\circ P_e(D)$는 $((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})$에서 열린집합이 되어 위 정리와 위 정리로

$\begin{align*} P_e(D)\circ P_e(D) & \subseteq \underset{((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})}{\operatorname{int}}(\underset{((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})}{\operatorname{cl}(P_e(D)\circ P_e(D))}) = \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)\circ P_e(D)))\cap (e(X))^2 \\[0.5em]& \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)\circ P_e(D)))\text{ 이고} \end{align*}$

$(k_1,k_2)\in V\cap \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)\circ P_e(D))) =\emptyset$임에 따라 모순이 되어

임의의 $D\in \mathcal{D}$가 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙열린집합이면

정리12

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

$(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{T})$가 티호노프 공간인 것이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$는 균등화가능하므로 균등화 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 완비정칙공간이다.

$(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간이면

균등공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이므로 $(X,\mathcal{T})$는 티호노프 공간이다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$가 티호노프 공간이면

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이므로 균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 분리균등공간이다.

정리13

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수일때

$X$의 필터 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 코시필터이면 $f$에 의한 $\mathcal{F}$의 상필터 $f[\mathcal{F}]$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 코시필터이다.

증명

필터 정리로 $f[\mathcal{F}]$는 $Y$의 필터이고 $\{ f(F) : F\in \mathcal{F}\}$는 $f[\mathcal{F}]$의 기저이다.

$f$의 곱함수가 $P_f:X^2\to Y^2$일때 균등연속 정리로 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $P_f^{-1}(D_Y)\in \mathcal{D}_X$이므로

코시필터의 정의로 $F\times F\subseteq P_f^{-1}(D_Y)$인 $F\in \mathcal{F}$가 존재하여 기저의 정의로 $f(F)\in f[\mathcal{F}]$이고

곱함수 정리와 함수 정리로 $f(F)\times f(F) = P_f(F\times F)\subseteq P_f(P_f^{-1}(D_Y)) \subseteq D_Y$임에 따라

$f[\mathcal{F}]$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 코시필터이다.

정리14

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P})$이고

위상공간 $(K,\mathcal{T}_K)$의 $2$-곱공간 $(K^2,\mathcal{P}_K)$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 조밀매장 $e:X\to K$의 곱함수가 $P_e :X^2\to K^2$이면

임의의 $(k_1,k_2)\in \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_{e}(D)))$에 대해

$\mathcal{U}_K = \{ (U_1,U_2)\in \mathcal{T}_K\times \mathcal{T}_K : \text{어떤 }D\in \mathcal{D}\text{에 대해 }(k_1,k_2)\in U_1\times U_2 \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_{e}(D)))\}$일때

$\mathcal{B} = \{ e^{-1}(U_1\cup U_2) : (U_1,U_2)\in \mathcal{U}_K\}$가 기저인 $X$의 필터 $\mathcal{F}$가 존재하여 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터이다.

증명

$e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 조밀매장이므로 $e(X)$는 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 조밀집합이고

위 정리로 $P_e$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $(K^2,\mathcal{P}_K)$로의 조밀매장이 되어

곱함수 정리로 $P_e(X^2) = (e(X))^2$는 $(K^2,\mathcal{P}_K)$에서 조밀집합이고

$(K,\mathcal{T}_K),(K^2,\mathcal{P}_K)$의 부분위상공간이 $(e(X),\mathcal{T}_K|_{e(X)}),((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})$일때

조밀매장의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $f(x) = e(x)$인

함수 $f:X\to e(X)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(e(X),\mathcal{T}_K|_{e(X)})$로의 위상동형사상이므로 $f$의 곱함수 $P_f : X^2\to (e(X))^2$는

모든 $(x_1,x_2)\in X^2$에 대해 $P_f(x_1,x_2) = (f(x_1),f(x_2)) = (e(x_1),e(x_2)) = P_e(x_1,x_2)$이고

유한 곱공간 정리로 $((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})$가 $(e(X),\mathcal{T}_K|_{e(X)})$의 $2$-곱공간임에 따라

위 정리로 $P_f$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})$로의 위상동형사상이다.

$X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때

임의의 $(U_1,U_2)\in \mathcal{U}_K$에 대해 $e^{-1}(U_1\cup U_2)\subseteq X$이므로 $e^{-1}(U_1\cup U_2) \in \mathcal{P}(X)$가 되어 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$이고

$(k_1,k_2)\in U_1\times U_2 \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_{e}(D)))$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $k_1,k_2\in U_1\cup U_2$이므로 $U_1\cup U_2\ne \emptyset$이고

위상공간의 정의로 $U_1\cup U_2\in \mathcal{T}_K$임에 따라 조밀집합 정리로 $(U_1\cup U_2)\cap e(X)\ne \emptyset$이므로

$k\in (U_1\cup U_2)\cap e(X)$가 존재하여 $e(x) = k\in U_1\cup U_2$인 $x\in X$가 존재하고

$x\in e^{-1}(U_1\cup U_2)$이므로 $e^{-1}(U_1\cup U_2) \ne \emptyset$이 되어 $\emptyset\notin \mathcal{B}$이다.

임의의 $(U_1,U_2),(V_1,V_2)\in \mathcal{U}_K$는 어떤 $D,E\in \mathcal{D}$에 대해

$(k_1,k_2)\in U_1\times U_2 \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_{e}(D)))$이고 $(k_1,k_2)\in V_1\times V_2 \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_{e}(E)))$이므로

위상공간의 정의로 $U_1\cap V_1, U_2\cap V_2\in \mathcal{T}_K$이고 $k_1\in U_1\cap V_1$과 $k_2\in U_2\cap V_2$가 성립하여

$(k_1,k_2)\in (U_1\cap V_1)\times (U_2\cap V_2) \subseteq U_1\times U_2 \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_{e}(D)))$이므로 $(U_1\cap V_1, U_2\cap V_2)\in \mathcal{U}_K$이고

$U_1\cap V_1 \subseteq (U_1\cup U_2)\cap (V_1\cup V_2)$와 $U_2\cap V_2 \subseteq (U_1\cup U_2)\cap (V_1\cup V_2)$가 성립하여

$(U_1\cap V_1)\cup (U_2\cap V_2) \subseteq (U_1\cup U_2)\cap (V_1\cup V_2)$임에 따라 함수 정리로

$e^{-1}((U_1\cap V_1)\cup (U_2\cap V_2)) \subseteq e^{-1}((U_1\cup U_2)\cap (V_1\cup V_2))=e^{-1}(U_1\cup U_2)\cap e^{-1}(V_1\cup V_2)$이므로

필터 정리로 $\mathcal{F} = \{ F\in \mathcal{P}(X) : \text{어떤 }B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq F\}$는 $X$의 필터이고 $\mathcal{B}$는 $\mathcal{F}$의 기저이다.

모든 $C \in \mathcal{D}$에 대해 위 정리로 $D\subseteq C$인 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙열린집합 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여

균등공간 정리로 $E\subseteq D$이고 $E = E^{-1}$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재함에 따라

위 정리로 $O\circ O\subseteq E\subseteq D$이고 $O = O^{-1}$인 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙열린집합 $O\in \mathcal{D}$가 존재하고

위 정리로 $P_e(O) = (P_e(O))^{-1}$과 $P_e(E) = (P_e(E))^{-1}$이 성립하여 위 정리로

$\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O))) = (\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O))))^{-1}$이고

$\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(E))) = (\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(E))))^{-1}$이다.

조밀매장의 정의로 $e$는 단사이므로 위 정리로 $P_e(O)\circ P_e(O)\subseteq P_e(E)\subseteq P_e(D)$가 되어 위 정리와 위 정리로

$\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O)))\circ \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O))) \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O)\circ P_e(O))) \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(E)))\text{ 이고}$

$\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(E))) \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))$이다.

$(k_1,k_2)\in \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_{e}(O)))$이고 $(k_1,k_2)\in \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_{e}(E)))$이므로

내부 정리로 $\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O))) ,\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(E)))$가 $(K^2,\mathcal{P}_K)$에서 열린집합임에 따라

유한 곱공간 정리와 기저 정리로

$(k_1,k_2)\in V_1 \times V_2 \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O)))$이고 $(k_1,k_2)\in W_1 \times W_2 \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(E)))$인

$V_1,V_2, W_1,W_2\in \mathcal{T}_K$가 존재하여 위상공간의 정의로 $V_1\cap V_2, W_1\cap W_2\in \mathcal{T}_K$이므로

$U_1 = V_1\cap W_1$이고 $U_2 = V_2\cap W_2$일때 $k_1\in V_1\cap W_1=U_1$과 $k_2\in V_2\cap W_2=U_2$가 성립하여

$(k_1,k_2)\in U_1\times U_2=(V_1\cap W_1)\times (V_2\cap W_2) \subseteq V_1 \times V_2 \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O)))$이고

$(k_1,k_2)\in U_1\times U_2 = (V_1\cap W_1)\times (V_2\cap W_2)\subseteq W_1 \times W_2 \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(E)))$임에 따라

$(U_1,U_2)\in \mathcal{U}_K$이다.

모든 $(k,r) \in (U_1\cup U_2)\times (U_1\cup U_2)$은 $k,r\in U_1\cup U_2$이므로

$k,r\in U_1$이면 $(k,k_2),(r,k_2)\in U_1 \times U_2 \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O)))$가 되어

역관계의 정의로 $(k_2,r)\in (\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O))))^{-1} = \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O)))$임에 따라

합성관계의 정의로 $(k,r)\in \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O)))\circ \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O))) \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))$이고

$k,r\in U_2$이면 $(k_1,k),(k_1,r)\in U_1 \times U_2 \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O)))$이 되어

역관계의 정의로 $(k,k_1)\in (\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O))))^{-1} = \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(O)))$임에 따라

$k\in U_1$와 $r\in U_2$이 성립하면 $(k,r)\in U_1\times U_2\subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(E)))\subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))$이고

$r\in U_1$과 $k\in U_2$가 성립하면 관계 정리로

$(k,r)\in U_2\times U_1 = (U_1\times U_2)^{-1} \subseteq (\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(E))))^{-1} =\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(E)))\subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D))) \text{ 이므로}$

$(U_1\cup U_2)^2=(U_1\cup U_2)\times (U_1\cup U_2) \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))$이다.

함수 정리와 위 정리로 $P_e(D) = P_f(D)$는 $((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})$에서 정칙열린집합이므로 위 정리로

$(U_1\cup U_2)^2\cap (e(X))^2 \subseteq \underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{int}}(\underset{(K^2,\mathcal{P}_K)}{\operatorname{cl}}(P_e(D)))\cap (e(X))^2 = \underset{((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})}{\operatorname{int}}(\underset{((e(X))^2,\mathcal{P}_K|_{(e(X))^2})}{\operatorname{cl}(P_e(D))}) = P_e(D)$가 되어

곱함수 정리로 $P_e$가 단사임에 따라 집합 정리와 단사 정리와 곱함수 정리와 함수 정리로

$\begin{align*}(e^{-1}(U_1\cup U_2))^2 &=(e^{-1}(U_1\cup U_2))^2\cap X^2 \\[0.5em]& =(e^{-1}(U_1\cup U_2))^2 \cap P_e^{-1}(P_e(X^2)) \\[0.5em]&=P_e^{-1}((U_1\cup U_2)^2) \cap P_e^{-1}((e(X))^2) \\[0.5em]& =P_e^{-1}((U_1\cup U_2)^2\cap (e(X))^2) \\[0.5em]& \subseteq P_e^{-1}(P_e(D)) = D \\[0.5em]&\subseteq C \text{ 이고} \end{align*}$

기저의 정의로 $e^{-1}(U_1\cup U_2)\in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{F}$이므로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터이다.

정리15

분리균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고

완비균등공간인 분리균등공간 $(K,\mathcal{D}_K)$의 균등위상공간이 $(K,\mathcal{T}_K)$이고

함수 $e:X\to K$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등매장이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 조밀매장일때

$(X,\mathcal{T}),(K,\mathcal{T}_K)$의 스톤-체흐 콤팩트화가 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X}), (\beta K ,\mathcal{T}_{\beta K})$이고

스톤-체흐 콤팩트화에 나온 $(X,\mathcal{T}),(K,\mathcal{T}_K)$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X}), (\beta K ,\mathcal{T}_{\beta K})$로의 조밀매장이 $e_X , e_K$이면

곱함수 $P_e,P_{e_X},P_{e_K}$와 $2$-곱공간 $(X^2,\mathcal{P}),(K^2,\mathcal{P}_K),((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X}), ((\beta K)^2,\mathcal{P}_{\beta K})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\varphi \circ e_X = e_K\circ e$인 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(\beta K ,\mathcal{T}_{\beta K})$로의 연속함수 $\varphi :\beta X\to \beta K$가 유일하게 존재하여

$\varphi$는 전사이고 $\varphi(\beta X \setminus e_X(X)) = \beta K \setminus (e_K\circ e)(X) = \beta K\setminus e_K(e(X))$이다.

2. $\varphi$의 곱함수가 $P_\varphi : (\beta X)^2\to (\beta K)^2$일때 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해

$D_K\cap (e(X))^2 \subseteq P_e(D)$이고 $P_\varphi^{-1}(P_{e_K}(D_K))\subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$인 $D_K\in \mathcal{D}_K$가 존재한다.

3. 임의의 $(y_1,y_2)\in (\beta X)^2$에 대해

$(y_1,y_2)\in \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$이기 위한 필요충분조건은 $\varphi(y_1) = \varphi(y_2)\in e_K(K)$인 것이다.

증명

스톤-체흐 콤팩트화 정리로 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X}), (\beta K ,\mathcal{T}_{\beta K})$는 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이다.

위 정리로 $(X,\mathcal{T}),(K,\mathcal{T}_K)$가 티호노프 공간임에 따라 스톤-체흐 콤팩트화 정리로

$e_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장이고 $e_K$는 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $(\beta K ,\mathcal{T}_{\beta K})$로의 조밀매장이므로

조밀매장 정리로 $e_K\circ e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta K ,\mathcal{T}_{\beta K})$로의 조밀매장이 되어

$(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X}), (\beta K ,\mathcal{T}_{\beta K})$는 $(X,\mathcal{T})$의 콤팩트화이다.

콤팩트화 정리로 $\varphi \circ e_X = e_K\circ e$인 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(\beta K ,\mathcal{T}_{\beta K})$로의 연속함수 $\varphi :\beta X\to \beta K$가 유일하게 존재하여

콤팩트화 정리와 함수 정리로 $\varphi$는 전사이고 $\varphi(\beta X \setminus e_X(X)) = \beta K \setminus (e_K\circ e)(X) = \beta K\setminus e_K(e(X))$이다.

$(K,\mathcal{D}_K)$의 부분균등공간이 $(e(X),\mathcal{D}_K|_{e(X)})$일때 균등매장의 정의로

모든 $x\in X$가 $f(x) = e(x)$인 함수 $f : X\to e(X)$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(e(X),\mathcal{D}_K|_{e(X)})$로의 균등동형사상이므로

$f$의 곱함수 $P_f :X^2 \to (e(X))^2$가

모든 $(x_1,x_2)\in X^2$에 대해 $P_f(x_1,x_2) = (f(x_1),f(x_2)) = (e(x_1),e(x_2)) = P_e(x_1,x_2)$임에 따라

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 함수 정리와 균등동형사상 정리로 $P_e(D)=P_f(D)\in \mathcal{D}_K|_{e(X)}$이고

부분균등공간의 정의로 $C_K\cap (e(X))^2 = P_e(D)$인 $C_K\in \mathcal{D}_K$가 존재하여

균등공간 정리로 $O_K\subseteq C_K$인 $(K^2,\mathcal{P}_K)$에서 열린집합 $O_K\in \mathcal{D}_K$가 존재한다.

$e_K$는 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $(\beta K,\mathcal{T}_{\beta K})$로의 조밀매장이고 곱함수 정리로 $P_{e_K}(K^2) = (e_K(K))^2$이므로

$(\beta K,\mathcal{T}_{\beta K}),((\beta K)^2,\mathcal{P}_{\beta K})$의 부분위상공간이 $(e_K(K),\mathcal{T}_{\beta K}|_{e_K(K)}),((e_K(K))^2,\mathcal{P}_{\beta K}|_{(e_K(K))^2})$일때

모든 $k\in K$가 $f_K(k) = e_K(k)$인

함수 $f_K : K\to e_K(K)$는 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $(e_K(K),\mathcal{T}_{\beta K}|_{e_K(K)})$로의 위상동형사상이 되어

$f_K$의 곱함수 $P_{f_K} : K^2\to (e_K(K))^2$가

모든 $(k_1,k_2)\in K^2$에 대해 $P_{f_K}(k_1,k_2) = (f_K(k_1),f_K(k_2)) = (e_K(k_1),e_K(k_2)) = P_{e_K}(k_1,k_2)$이고

유한 곱공간 정리로 $((e_K(K))^2,\mathcal{P}_{\beta K}|_{(e_K(K))^2})$가 $(e_K(K),\mathcal{T}_{\beta K}|_{e_K(K)})$의 $2$-곱공간임에 따라

위 정리로 $P_{f_K}$는 $(K^2,\mathcal{P}_K)$에서 $((e_K(K))^2,\mathcal{P}_{\beta K}|_{(e_K(K))^2})$로의 위상동형사상이므로

함수 정리와 위상동형사상 정리로 $P_{e_K}(O_K) = P_{f_K}(O_K)\in \mathcal{P}_{\beta K}|_{(e_K(K))^2}$이 되어

위상공간 정리로 $O_{\beta K} \cap (e_K(K))^2 = P_{e_K}(O_K)$인 $O_{\beta K}\in \mathcal{P}_{\beta K}$가 존재하고

1번으로 $\varphi$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(\beta K ,\mathcal{T}_{\beta K})$로의 연속함수이므로

위 정리로 $P_\varphi$는 $((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$에서 $((\beta K)^2,\mathcal{P}_{\beta K})$로의 연속함수가 되어 연속함수 정리로 $P_\varphi^{-1}(O_{\beta K})\in \mathcal{P}_{\beta X}$이다.

$e_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장이므로

위 정리로 $P_{e_X}$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$로의 조밀매장이 되어

곱함수 정리로 $P_{e_X}(X^2) = (e_X(X))^2$가 $((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$에서 조밀집합임에 따라

위 정리로 $P_\varphi^{-1}(O_{\beta K})\subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}}(P_\varphi^{-1}(O_{\beta K})\cap (e_X(X))^2)$이다.

모든 $(y_1,y_2)\in P_\varphi^{-1}(O_{\beta K})\cap (e_X(X))^2 = P_\varphi^{-1}(O_{\beta K})\cap P_{e_X}(X^2)$에 대해

$(y_1,y_2) = P_{e_X}(x_1,x_2) = (e_X(x_1),e_X(x_2))$인 $(x_1,x_2)\in X^2$가 존재하여

$\begin{align*} P_{e_K}(e(x_1),e(x_2)) & =(e_K(e(x_1)),e_K(e(x_2))) \\[0.5em]&=((e_K\circ e)(x_1),(e_K\circ e)(x_2) )\\[0.5em] &=((\varphi\circ e_X)(x_1),(\varphi\circ e_X)(x_2)) \\[0.5em]&=(\varphi(e_X(x_1)),\varphi(e_X(x_2))) \\[0.5em]& =P_\varphi(e_X(x_1),e_X(x_2)) \\[0.5em]& =P_\varphi(y_1,y_2)\in O_{\beta K} \text{ 임에 따라} \end{align*}$

$P_{e_K}(e(x_1),e(x_2))\in O_{\beta K} \cap (e_K(K))^2 = P_{e_K}(O_K)$이고

조밀매장의 정의와 단사 정리로 $P_e(x_1,x_2)=(e(x_1),e(x_2))\in P_{e_K}^{-1}(P_{e_K}(O_K)) = O_K$이므로

$P_e(x_1,x_2)\in O_K \cap (e(X))^2 \subseteq C_K \cap (e(X))^2 = P_e(D)$가 되어

균등매장의 정의와 곱함수 정리와 단사 정리로 $(x_1,x_2)\in P_e^{-1}(P_e(D)) = D$이고

$(y_1,y_2) = P_{e_X}(x_1,x_2) \in P_{e_X}(D)$임에 따라 $P_\varphi^{-1}(O_{\beta K})\cap (e_X(X))^2 \subseteq P_{e_X}(D)$가 되어

폐포 정리로 $P_\varphi^{-1}(O_{\beta K})\subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}}(P_\varphi^{-1}(O_{\beta K})\cap (e_X(X))^2)\subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}}(P_{e_X}(D))$이므로

내부 정리로 $P_\varphi^{-1}(O_{\beta K})=\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(P_\varphi^{-1}(O_{\beta K}))\subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$이다.

따라서 $D_K = O_K$일때

$D_K = O_K\in \mathcal{D}_K$와 $D_K\cap (e(X))^2= O_K \cap (e(X))^2 \subseteq C_K \cap (e(X))^2 = P_e(D)$가 성립하고

$P_{e_K}(D_K) = P_{e_K}(O_K) = O_{\beta K}\cap (e_K(K))^2\subseteq O_{\beta K}$이므로

$P_\varphi^{-1}(P_{e_K}(D_K)) \subseteq P_\varphi^{-1}(O_{\beta K}) \subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$이다.

$\mathcal{U}_{\beta X} = \{ (U_1,U_2)\in \mathcal{T}_{\beta X}\times \mathcal{T}_{\beta X} : \text{어떤 }D\in \mathcal{D}\text{에 대해 }(y_1,y_2)\in U_1\times U_2 \subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})\}$일때

위 정리로 $\{ e_X^{-1}(U_1\cup U_2) : (U_1,U_2)\in \mathcal{U}_{\beta X}\}$가 기저인 $X$의 필터 $\mathcal{F}$가 존재하여 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터이므로

균등매장의 정의와 균등연속 정리로 $e$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등연속함수임에 따라

위 정리로 상필터 $e[\mathcal{F}]$는 $(K,\mathcal{D}_K)$에서 코시필터이다.

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(\beta K ,\mathcal{T}_{\beta K})$는 $T_3$공간이고

조밀매장의 정의와 연속함수 정리로 $e_K$는 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $(\beta K ,\mathcal{T}_{\beta K})$로의 연속함수이므로

위 정리로 어떤 $k\in K$가 존재하여 $e[\mathcal{F}]$가 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $k$로 수렴하고 $\displaystyle \bigcap_{G\in e[\mathcal{F}]} \underset{(\beta K,\mathcal{T}_{\beta K})}{\operatorname{cl}}(e_K(G)) = \{ e_K(k)\}$이다.

모든 $G\in e[\mathcal{F}]$에 대해 상필터의 정의와 기저의 정의로 $e(F) \subseteq G$인 $F\in \mathcal{F}$가 존재하여

기저의 정의로 $e_X^{-1}(U_1\cup U_2)\subseteq F$인 $(U_1,U_2)\in \mathcal{U}_{\beta X}$가 존재하므로 $e(e_X^{-1}(U_1\cup U_2))\subseteq e(F)\subseteq G$이고

어떤 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $(y_1,y_2)\in U_1\times U_2\subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$이다.

$U_1,U_2\in \mathcal{T}_{\beta X}$이므로 위상공간의 정의로 $y_1,y_2\in U_1\cup U_2\in \mathcal{T}_{\beta X}$이고 임의의 $i=1,2$에 대해

모든 $(\beta X ,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $y_i$의 열린근방 $U$는 $y_i\in U\cap U_i\subseteq U\cap (U_1\cup U_2)$이므로 $U\cap (U_1\cup U_2)\ne \emptyset$이고

위상공간의 정의로 $U\cap (U_1\cup U_2) \in \mathcal{T}_{\beta X}$임에 따라 조밀매장의 정의와 조밀집합 정리로

$U\cap (U_1\cup U_2)\cap e_X(X)\ne \emptyset$이 되어 $e_X(x)\in U\cap (U_1\cup U_2)$인 $x\in X$가 존재하고

$e_X(x)\in U$와 $e_X(x)\in U_1\cup U_2$가 성립하므로 $x\in e_X^{-1}(U_1\cup U_2)$가 되어 $e_X(x)\in e_X(e_X^{-1}(U_1\cup U_2))$임에 따라

$e_X(x)\in U\cap e_X(e_X^{-1}(U_1\cup U_2))$이고

$U\cap e_X(e_X^{-1}(U_1\cup U_2))\ne \emptyset$이므로 폐포의 정의로 $y_1,y_2\in \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}}(e_X(e_X^{-1}(U_1\cup U_2)))$이고 함수 정리로

$\begin{align*}\varphi(e_X(e_X^{-1}(U_1\cup U_2)))&=(\varphi \circ e_X)(e_X^{-1}(U_1\cup U_2))\\[0.5em]&=(e_K\circ e)(e_X^{-1}(U_1\cup U_2)) \\[0.5em]&=e_K(e(e_X^{-1}(U_1\cup U_2)))\\[0.5em]&\subseteq e_K(e(F))\\[0.5em]&\subseteq e_K(G)\text{ 임에 따라} \end{align*}$

연속함수 정리와 폐포 정리로

$\varphi(y_1),\varphi(y_2)\in \varphi(\underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}}(e_X(e_X^{-1}(U_1\cup U_2)))) \subseteq \underset{(\beta K,\mathcal{T}_{\beta K})}{\operatorname{cl}}(\varphi(e_X(e_X^{-1}(U_1\cup U_2))))\subseteq \underset{(\beta K,\mathcal{T}_{\beta K})}{\operatorname{cl}}(e_K(G))$가 되어

$\varphi(y_1),\varphi(y_2)\in \displaystyle \bigcap_{G\in e[\mathcal{F}]} \underset{(\beta K,\mathcal{T}_{\beta K})}{\operatorname{cl}}(e_K(G)) = \{ e_K(k)\}$이고 $\varphi(y_1) = \varphi(y_2) = e_K(k)\in e_K(K)$이다.

역으로 $\varphi(y_1) = \varphi(y_2)\in e_K(K)$이면

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 2번으로 $P_\varphi^{-1}(P_{e_K}(D_K))\subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$인 $D_K\in \mathcal{D}_K$가 존재하고

$\varphi(y_1) = \varphi(y_2)= e_K(k)$인 $k\in K$가 존재하므로 대각관계의 정의와 균등공간의 정의로 $(k,k)\in \Delta_K\subseteq D_K$가 되어

$P_\varphi(y_1,y_2) =(\varphi(y_1),\varphi(y_2)) =(e_K(k),e_K(k))=P_{e_K}(k,k)\in P_{e_K}(D_K)$이고

$(y_1,y_2)\in P_\varphi^{-1}(P_{e_K}(D_K))\subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$임에 따라 $(y_1,y_2)\in \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$이다.

정리16

분리균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고

$(X,\mathcal{T})$의 스톤-체흐 콤팩트화 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에 대해 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$의 $2$-곱공간이 $((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$이고

스톤-체흐 콤팩트화에 나온 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장 $e_X$의 곱함수가 $P_{e_X}$일때 다음이 성립한다.

1. $X$의 대각관계가 $\Delta_X$일때 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $P_{e_X}(\Delta_X)\subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$이다.

2. $(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) = P_{e_X}(\Delta_X)$인 것이다.

3. $(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간이기 위한 필요충분조건은

모든 $y\in \beta X\setminus e_X(X)$에 대해 $(y,y)\notin \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D_y))}) $인 $D_y\in \mathcal{D}$가 존재하는 것이다.

4. $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간 $(X,\mathcal{P})$에 대해 $\{ O\in \mathcal{P} : \Delta_X\subseteq O\}$가 $(X,\mathcal{D})$의 기저일때

$(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간이기 위한 필요충분조건은 모든 $y\in \beta X\setminus e_X(X)$에 대해

$P_{e_X}(\Delta_X)\subseteq U_y$이고 $(y,y)\notin U_y$인 $((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$에서 정칙열린집합 $U_y$가 존재하는 것이다.

증명

$e_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장이므로

위 정리로 $P_{e_X}$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$로의 조밀매장이 되어

곱함수 정리로 $P_{e_X}(X^2) = (e_X(X))^2$는 $((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$에서 조밀집합이고

$(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X}),((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$의 부분위상공간이 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)}),((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})$일때

조밀매장의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $f_X(x) = e_X(x)$인

함수 $f_X:X\to e_X(X)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$로의 위상동형사상이므로

$f_X$의 곱함수 $P_{f_X} : X^2\to (e_X(X))^2$는

모든 $(x_1,x_2)\in X^2$에 대해 $P_{f_X}(x_1,x_2) = (f_X(x_1),f_X(x_2)) = (e_X(x_1),e_X(x_2)) = P_{e_X}(x_1,x_2)$이고

유한 곱공간 정리로 $((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})$가 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$의 $2$-곱공간임에 따라

위 정리로 $P_{f_X}$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})$로의 위상동형사상이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 위 정리로 $E\subseteq D$인 $(X,\mathcal{P})$에서 정칙열린집합 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

함수 정리와 위 정리로 $P_{e_X}(E) = P_{f_X}(E)$는 $((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})$에서 정칙열린집합이고

균등공간의 정의로 $\Delta_X\subseteq E \subseteq D$이므로 정칙열린집합의 정의와 위 정리와 위 정리로

$\begin{align*}P_{e_X}(\Delta_X) \subseteq P_{e_X}(E) & = \underset{((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})}{\operatorname{int}}(\underset{((e_X( X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(E))}) \\[0.5em] & = \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(E))}) \cap (e_X(X))^2 \\[0.5em] & \subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(E))}) \\[0.5em] & \subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) \text{ 이다.} \end{align*}$

2, 3

$(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간이면 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해

1번으로 $P_{e_X}(\Delta_X)\subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$이므로 $P_{e_X}(\Delta_X)\subseteq \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$이다.

균등공간 정리와 위상공간 정리로

$X$의 항등함수 $i_X : X\to X$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등매장이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 조밀매장이므로

위 정리로 $\varphi \circ e_X = e_X\circ i_X$인 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 연속함수 $\varphi :\beta X\to \beta X$가 유일하게 존재하여

$\beta X$의 항등함수 $i_{\beta X}: \beta X\to \beta X$에 대해 $\varphi \circ e_X = e_X\circ i_X = e_X = i_{\beta X}\circ e_X$이고

연속함수 정리로 $i_{\beta X}$가 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 연속함수임에 따라 $\varphi = i_{\beta X}$이다.

모든 $(y_1,y_2)\in \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$에 대해

위 정리로 $y_1=i_{\beta X}(y_1) = i_{\beta X}(y_2) = y_2\in e_X(X)$이므로 $y_1 = y_2 = e_X(x)$인 $x\in X$가 존재하여

대각관계의 정의로 $(x,x)\in \Delta_X$임에 따라 $(y_1,y_2)=(e_X(x),e_X(x))=P_{e_X}(x,x)\in P_{e_X}(\Delta_X)$이고

$\displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})\subseteq P_{e_X}(\Delta_X)$이므로 집합 정리로 $\displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})=P_{e_X}(\Delta_X)$이다.

대각관계의 정의로 $\Delta_X\subseteq X^2$이므로 곱함수 정리로 $P_{e_X}(\Delta_X) \subseteq P_{e_X}(X^2) = (e_X(X))^2$가 되어

집합 정리와 집합 정리와 집합 정리로

$\begin{align*} (\beta X\setminus e_X(X))^2 & = (\beta X\setminus e_X(X)) \times (\beta X \setminus e_X(X)) \\[0.5em]& \subseteq (\beta X\times \beta X)\setminus (e_X(X) \times e_X(X))= (\beta X)^2 \setminus (e_X(X))^2 \\[0.5em] & \subseteq (\beta X)^2 \setminus P_{e_X}(\Delta_X) = (\beta X)^2 \setminus \bigcap_{D\in \mathcal{D}}\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) = \bigcup_{D\in \mathcal{D}} \left ( (\beta X)^2 \setminus \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) \right )\text{ 이고} \end{align*}$

모든 $y\in \beta X\setminus e_X(X)$에 대해 $(y,y)\in (\beta X\setminus e_X(X))^2$임에 따라

$(y,y)\in (\beta X)^2\setminus \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하므로 $(y,y)\notin \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) $이다.

균등공간 정리로 완비균등공간인 어떤 분리균등공간 $(K,\mathcal{D}_K)$가 존재하고

$(X,\mathcal{D})$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등매장 $e : X\to K$가 존재하여

$(K,\mathcal{D}_K)$의 균등위상공간 $(K,\mathcal{T}_K)$에 대해 $e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 조밀매장이다.

스톤-체흐 콤팩트화에 나온 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $(\beta K ,\mathcal{T}_{\beta K})$로의 조밀매장이 $e_K$이고

$(K,\mathcal{T}_K)$의 스톤-체흐 콤팩트화가 $(\beta K ,\mathcal{T}_{\beta K})$일때 위 정리로 $\varphi \circ e_X = e_K\circ e$인

$(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(\beta K,\mathcal{T}_{\beta K})$로의 연속함수 $\varphi :\beta X\to \beta K$가 유일하게 존재하여 $\varphi$는 전사이다.

$e(X)\ne K$라고 가정할때 $k\in K\setminus e(X)$가 존재하여 $k\notin e(X)$이고

전사의 정의로 $\varphi(y) = e_K(k)$인 $y\in \beta X$가 존재하여 $\varphi(y) = e_K(k)\in e_K(K)$이므로

위 정리로 $(y,y)\in \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$인데

$y\in e_X(X)$이면 $y = e_X(x)$인 $x\in X$가 존재하여

$e_K(e(x)) = (e_K\circ e)(x) = (\varphi \circ e_X)(x) = \varphi(e_X(x)) = \varphi(y) = e_K(k)$이므로

조밀매장의 정의와 단사의 정의로 $k = e(x)\in e(X)$임에 따라 모순이고

$y\notin e_X(X)$이면 $y\in \beta X\setminus e_X(X)$이므로 $(y,y)\notin \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여

$(y,y)\notin \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$임에 따라 모순이다.

따라서 $e(X) = K$이므로 균등매장의 정의로 $e$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등동형사상이고

균등동형사상 정리와 균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 완비균등공간이다.

$(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간이면

모든 $y\in \beta X\setminus e_X(X)$에 대해 3번으로 $(y,y)\notin \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여

1번으로 $P_{e_X}(\Delta_X)\subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$이고

위 정리로 $\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$는 $((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$에서 정칙열린집합이다.

역으로 모든 $y\in \beta X\setminus e_X(X)$에 대해

$P_{e_X}(\Delta_X)\subseteq U$이고 $(y,y)\notin U$인 $((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$에서 정칙열린집합 $U$가 존재하면

조밀매장의 정의와 연속함수 정리로 $e_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(\beta X ,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 연속함수이고 단사이므로

위 정리와 곱함수 정리로 $P_{e_X}$가 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$로의 연속함수이고 단사임에 따라

위 정리와 연속함수 정리와 단사 정리로 $P_{e_X}^{-1}(U)\in \mathcal{P}$이고 $\Delta_X =P_{e_X}^{-1}(P_{e_X}(\Delta_X))\subseteq P_{e_X}^{-1}(U)$가 되어

기저의 정의로 $P_{e_X}^{-1}(U)\in \mathcal{D}$이고 함수 정리로 $P_{e_X}(P_{e_X}^{-1}(U)) \subseteq U$이므로

위 정리와 정칙열린집합의 정의로 $\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(P_{e_X}^{-1}(U)))}) \subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(U)}) =U$가 되어

$(y,y)\notin \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(P_{e_X}^{-1}(U)))})$임에 따라 3번으로 $(X,\mathcal{D})$는 완비균등공간이다.

정리17

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때

$(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\rho)$가 거리공간인 것이다.

증명

유사거리균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간이다.

$(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간이면

위 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_0$공간이므로 유사거리공간 정리로 $(X,\rho)$는 거리공간이다.

역으로 $(X,\rho)$가 거리공간이면

$(X,\mathcal{T})$는 $(X,\rho)$의 거리위상공간이므로 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 티호노프 공간이 되어

위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 분리균등공간이다.

정리18

완비거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고

스톤-체흐 콤팩트화에 나온 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장이 $e_X$일때

$e_X(X)$는 $(X,\mathcal{T})$의 스톤-체흐 콤팩트화 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $G_\delta$-집합이다.

증명

균등공간 정리로 $(X,d)$의 거리균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T})$이므로

거리균등공간의 정의와 유사거리균등공간의 정의와 위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 분리균등공간이고

균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 완비균등공간이 되어 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$의 $2$-곱공간이 $((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$일때

$X$의 대각관계 $\Delta_X$와 $e_X$의 곱함수 $P_{e_X}$에 대해 위 정리로 $\displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) = P_{e_X}(\Delta_X)$이다.

균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$의 기저 $\mathcal{E}$가 존재하여 $\mathcal{E}$는 가산집합이고 연속함수 정리로

모든 $y\in \beta X$가 $\phi(y) = (y,y)$인 함수 $\phi :\beta X\to (\beta X)^2$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$로의 연속함수가 되어

모든 $E\in \mathcal{E}$에 대해 내부 정리로 $\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(E))})$가 $((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$에서 열린집합임에 따라

연속함수 정리로 $O_E = \phi^{-1}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(E))}))$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 열린집합이다.

모든 $y\in e_X(X)$에 대해 $y = e_X(x)$인 $x\in X$가 존재하여 대각관계의 정의로 $(x,x)\in \Delta_X$이므로

$(y,y)= (e_X(x),e_X(x))= P_{e_X}(x,x)\in P_{e_X}(\Delta_X)= \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$이고

기저의 정의로 모든 $E\in \mathcal{E}\subseteq \mathcal{D}$에 대해 $\phi(y)=(y,y)\in \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(E))})$가 되어

$y\in \phi^{-1}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(E))})) = O_E$이고 $y\in \displaystyle \bigcap_{E\in \mathcal{E}}O_E$임에 따라 $e_X(X)\subseteq \displaystyle \bigcap_{E\in \mathcal{E}}O_E$이다.

모든 $y\in \displaystyle \bigcap_{E\in \mathcal{E}}O_E$는 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 기저의 정의로 $E\subseteq D$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재함에 따라

$y\in O_E=\phi^{-1}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(E))}))$이고 $P_{e_X}(E)\subseteq P_{e_X}(D)$이므로

위 정리로 $(y,y) = \phi(y)\in \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(E))}) \subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$가 되어

$(y,y)\in \displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) = P_{e_X}(\Delta_X)$이고

$(y,y) = P_{e_X}(x,x) = (e_X(x),e_X(x))$인 $(x,x)\in \Delta_X$가 존재함에 따라

$y= e_X(x)\in e_X(X)$이므로 $\displaystyle \bigcap_{E\in \mathcal{E}}O_E\subseteq e_X(X)$이다.

따라서 균등공간의 정의로 $\mathcal{D}\ne \emptyset$이므로 $D\in \mathcal{D}$가 존재하고 기저의 정의로 $E\subseteq D$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재하여

$\mathcal{E}\ne \emptyset$임에 따라 함수 정리로 $\mathcal{O} = \{ O_E:E\in \mathcal{E}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고

집합 정리로 $e_X(X)=\displaystyle \bigcap_{E\in \mathcal{B}}O_E = \bigcap \mathcal{O}$이므로 $e_X(X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $G_\delta$-집합이다.

정리19

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 스톤-체흐 콤팩트화 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에 대해 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P}),((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$이고

스톤-체흐 콤팩트화에 나온 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장 $e_X$의 곱함수가 $P_{e_X}$일때

$(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간이기 위한 필요충분조건은

$X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 $\displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D = \Delta_X$이고 $\{ O\in \mathcal{P} : \Delta_X\subseteq O\}$가 $(X,\mathcal{D})$의 기저인 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여

분리균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathcal{D}$이고

$(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 콤팩트한 모든 $G\subseteq \beta X\setminus e_X(X)$에 대해 $G$의 대각관계가 $\Delta_G$일때

$P_{e_X}(\Delta_X)\subseteq U_G$이고 $U_G\cap \Delta_G = \emptyset$인 $((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$에서 정칙열린집합 $U_G$가 존재하는 것이다.

증명

스톤-체흐 콤팩트화 정리로 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이다.

$(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X}),((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$의 부분위상공간이 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)}),((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})$일때

$(X,\mathcal{T})$가 티호노프 공간이면 스톤-체흐 콤팩트화 정리로

$e_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장이므로 $e_X(X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 조밀집합이고

위 정리로 $P_{e_X}$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$로의 조밀매장이 되어

곱함수 정리로 $P_{e_X}(X^2) = (e_X(X))^2$는 $((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$에서 조밀집합이고 연속함수 정리로

$e_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 연속함수이므로 위 정리로 $P_{e_X}$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$로의 연속함수이고

조밀매장의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $f_X(x) = e_X(x)$인

함수 $f_X:X\to e_X(X)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$로의 위상동형사상이므로 $f_X$의 곱함수 $P_{f_X}$는

모든 $x_1,x_2\in X$에 대해 $P_{f_X}(x_1,x_2) = (f_X(x_1),f_X(x_2)) = (e_X(x_1),e_X(x_2))=P_{e_X}(x_1,x_2)$이고

유한 곱공간 정리로 $((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})$가 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$의 $2$-곱공간임에 따라

위 정리로 $P_{f_X}$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})$로의 위상동형사상이고 $P_{e_X}$는 단사이다.

$(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간이면

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 티호노프 공간이므로

위상동형사상 정리와 파라콤팩트 정리로 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$는 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간이다.

균등화 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 균등화가능하므로 균등공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$임에 따라

위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 분리균등공간이 되어 $\displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D = \Delta_X$이고

강한균등공간 정리로 $\{ O\in \mathcal{P} : \Delta_X\subseteq O\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 정칙공간이고

위상공간 정리로 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 콤팩트한 임의의 $G\subseteq \beta X\setminus e_X(X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 닫힌집합이다.

$\mathcal{O}_{\beta X} = \{ O\in \mathcal{T}_{\beta X} : \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(O)}\cap G = \emptyset \}$이고 $\mathcal{O}_{\beta X}|_{e_X(X)} = \{ O\cap e_X(X) : O\in \mathcal{O}_{\beta X}\}$일때

모든 $O\in \mathcal{O}_{\beta X}\subseteq \mathcal{T}_{\beta X}$에 대해 위상공간 정리로 $O\cap e_X(X)\in \mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)}$이므로 $\mathcal{O}_{\beta X}|_{e_X(X)}\subseteq \mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)}$이다.

모든 $y\in e_X(X)$에 대해 $y = e_X(x)$인 $x\in X$가 존재하여 $e_X(x)\notin G$이므로 $e_X(x)\in \beta X\setminus G$임에 따라

정칙공간 정리로 $e_X(x)\in O$와 $G\subseteq P$가 성립하고 $\underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(O)}\cap \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P)} = \emptyset$인 $O,P\in \mathcal{T}_{\beta X}$가 존재하여

폐포 정리로 $\underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(O)}\cap G\subseteq \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(O)}\cap \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P)} = \emptyset$이므로 $\underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(O)}\cap G = \emptyset$임에 따라 $O\in \mathcal{O}_{\beta X}$이고

$e_X(x)\in O\cap e_X(X)\in \mathcal{O}_{\beta X}|_{e_X(X)}$이므로 $y=e_X(x)\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_{\beta X}|_{e_X(X)}$가 되어

$e_X(X)\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_{\beta X}|_{e_X(X)}$이고 $\mathcal{O}_{\beta X}|_{e_X(X)}$는 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$에서 $e_X(X)$의 열린덮개이다.

위상공간 정리로 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$는 $T_1$공간이므로 파라콤팩트 정리로

$(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$에서 국소유한인 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$에서 단위분할 $\mathcal{F}$가 존재하여

$\mathcal{F}$는 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$에서 $\mathcal{O}_{\beta X}|_{e_X(X)}$의 종속이고

국소유한 정리와 유사거리 정리로 모든 $y_1,y_2\in e_X(X)$에 대해

$\rho(y_1,y_2) = \displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}|f(y_1)-f(y_2)|$인 함수 $\rho : (e_X(X))^2\to [0,\infty)$는 유사거리함수이므로

$V = \{ (y_1,y_2)\in (e_X(X))^2 : \rho(y_1,y_2)<\frac{1}{2}\}$는

유사거리 정리와 유사거리 정리로 $V\in \mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2}$가 되어 연속함수 정리와 연속함수 정리로 $P_{e_X}^{-1}(V)\in \mathcal{P}$이고

유사거리함수의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $\rho(e_X(x),e_X(x)) = 0<\dfrac{1}{2}$이므로 $P_{e_X}(\Delta_X)\subseteq V$가 되어

단사 정리로 $\Delta_X =P_{e_X}^{-1}(P_{e_X}(\Delta_X)) \subseteq P_{e_X}^{-1}(V)$임에 따라 기저의 정의로 $P_{e_X}^{-1}(V)\in \mathcal{D}$이고

위 정리로 $D\subseteq P_{e_X}^{-1}(V)$인 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙열린집합 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여

함수 정리로 $P_{e_X}(D)\subseteq P_{e_X}(P_{e_X}^{-1}(V))\subseteq V$이다.

함수 정리와 위 정리로 $P_{e_X}(D) = P_{f_X}(D)$가 $((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})$에서 정칙열린집합임에 따라

위 정리로 $\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) \cap (e_X(X))^2 = \underset{((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})}{\operatorname{int}}(\underset{((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) = P_{e_X}(D)$이다.

위 정리로 $U = \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$는 $((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$에서 정칙열린집합이고

위 정리로 $P_{e_X}(\Delta_X)\subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) = U$이다.

어떤 $g\in G$가 $(g,g)\in U$라고 가정하면 위 정리와 위 정리로 $(g,g)\in O_g^2\subseteq U$인 $O_g\in \mathcal{T}_{\beta X}$가 존재하여

$O_g\ne \emptyset$이므로 조밀집합 정리로 $O_g\cap e_X(X)\ne \emptyset$이고 $z \in O_g\cap e_X(X)$가 존재하여

국소유한의 정의와 위상공간 정리로

$z \in O_{z}$인 어떤 $O_{z} \in \mathcal{T}_{\beta X}$에 대해 $\mathcal{F}_z = \{ f\in \mathcal{F} : O_z\cap e_X(X)\cap \underset{(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})}{\operatorname{supp}(f)}\ne \emptyset\}$가 유한집합이고

단위분할의 정의로 $\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(z) = 1$이므로 국소유한 정리로 $\{ f\in \mathcal{F} : f(z) \ne 0\}\subseteq \mathcal{F}_z$임에 따라

$\mathcal{F}_z$의 원소개수가 $n\in \mathbb{Z}^+$일때 $\mathcal{F}_z =\{f_1,f_2,\cdots, f_n\}$인 $f_1,f_2,\cdots,f_n\in \mathcal{F}$이 존재하고

$z\in O_z\cap e_X(X)$이므로 함수족의 합 정리로 $\displaystyle 1= \sum_{f\in \mathcal{F}}f(z) = \sum_{i=1}^n f_i(z)$이다.

임의의 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $F_i = \{ y\in e_X(X) : f_i(y)\ne 0\}$일때

어떤 $w\in O_g \cap e_X(X)$가 $w\notin \displaystyle \bigcup_{i=1}^n F_i$라고 가정하면 $f_i(w) = 0$이고

$(z,w)\in (O_g\cap e_X(X))^2\subseteq O_g^2\subseteq U$이므로 $(z,w)\in U\cap (e_X(X))^2 = P_{e_X}(D) \subseteq V$가 되어 $\rho(z,w)<\dfrac{1}{2}$인데

유한집합의 정의와 색인된 함수족의 합 정리로

$\displaystyle 1=\sum_{i=1}^n f_i(z)=\sum_{i=1}^n |f_i(z)|=\sum_{i=1}^n |f_i(z) - f_i(w)|\le \sum_{f\in \mathcal{F}}|f(z)-f(w)| =\rho(z,w)<\dfrac{1}{2}$이므로 모순이 되어

모든 $w\in O_g \cap e_X(X)$가 $w\in \displaystyle \bigcup_{i=1}^n F_i$임에 따라 $O_g \cap e_X(X) \subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^n F_i$이고

위 정리와 폐포 정리로 $g\in O_g \subseteq \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}}(O_g \cap e_X(X)) \subseteq \displaystyle \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}}(\bigcup_{i=1}^n F_i)$인데

지지집합의 정의와 폐포 정리와 종속의 정의로

$F_i\subseteq \underset{(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})}{\operatorname{supp}(f_i)} \subseteq O_{f_i}\cap e_X(X)\subseteq O_{f_i}$인 $O_{f_i}\in \mathcal{O}_{\beta X}$가 존재하여 $\underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(O_{f_i})}\cap G = \emptyset$이고

폐포 정리로 $g\in \displaystyle \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}}(\bigcup_{i=1}^n F_i) \subseteq \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}}(\bigcup_{i=1}^n O_{f_i}) = \bigcup_{i=1}^n \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(O_{f_i})}$이므로

어떤 $j =1,2,\cdots,n$가 존재하여 집합 정리로 $g\in \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(O_{f_j})} \subseteq \beta X \setminus G$이고 $g\notin G$임에 따라 모순이다.

모든 $g\in G$는 $(g,g)\notin U$이므로 대각관계의 정의로 $\Delta_G \subseteq \beta X\setminus U$가 되어 집합 정리로 $U\cap \Delta_G = \emptyset$이다.

역으로 조건이 성립하면

분리균등공간의 정의와 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 티호노프 공간이므로 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이다.

$X = \emptyset$이면 파라콤팩트 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이고

$X \ne \emptyset$이면 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$의 모든 $O\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$에 대해

함수 정리와 위상동형사상 정리로 $e_X(O)=f_X(O)\in \mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)}$이고

$\mathcal{O}_{\beta X} = \{ O_\beta\in \mathcal{T}_{\beta X} : \text{어떤 }O\in \mathcal{O}\text{에 대해 }e_X(O) = O_{\beta X}\cap e_X(X)\}$일때

덮개 정리로 $\mathcal{O}\ne \emptyset$이므로 어떤 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여

위상공간 정리로 $e_X(O) = O_{\beta X}\cap e_X(X)$인 $O_{\beta X}\in \mathcal{T}_{\beta X}$가 존재하고 $O_{\beta X}\in \mathcal{O}_{\beta X}$임에 따라 $\mathcal{O}_{\beta X}\ne \emptyset$이다.

모든 $O_{\beta X}\in \mathcal{O}_{\beta X}\subseteq \mathcal{T}_{\beta X}$에 대해 위상공간 정리로

$\beta X\setminus O_{\beta X}$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 닫힌집합이므로 콤팩트 정리로 $\beta X\setminus O_{\beta X}$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 콤팩트하여

콤팩트 정리로 $G = \displaystyle \bigcap_{O_{\beta X}\in \mathcal{O}_{\beta X}} (\beta X\setminus O_{\beta X})$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 콤팩트하고 모든 $y\in \displaystyle \bigcap_{O_{\beta X}\in \mathcal{O}_{\beta X}} (\beta X\setminus O_{\beta X})$는

모든 $O\in \mathcal{O}$에 대해 위상공간 정리로 $e_X(O) = O_{\beta X}\cap e_X(X)$인 $O_{\beta X}\in \mathcal{O}_{\beta X}$가 존재하여

$e_X(O) \subseteq O_{\beta X}$이므로 집합 정리로 $y\in \beta X\setminus O_{\beta X} \subseteq \beta X\setminus e_X(O)$이고 $y\in \displaystyle \bigcap_{O\in \mathcal{O}}( \beta X\setminus e_X(O))$가 되어

집합 정리와 함수 정리와 덮개 정리로

$G = \displaystyle \bigcap_{O_{\beta X}\in \mathcal{O}_{\beta X}} (\beta X\setminus O_{\beta X}) \subseteq \bigcap_{O\in \mathcal{O}}(\beta X\setminus e_X(O)) = \beta X \setminus \bigcup_{O\in \mathcal{O}}e_X(O) = \beta X \setminus e_X(\bigcup_{O\in \mathcal{O}}O) = \beta X\setminus e_X(X)\text{ 임에 따라}$

$P_{e_X}(\Delta_X)\subseteq U$이고 $U\cap \Delta_G = \emptyset$인 $((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$에서 정칙열린집합 $U$가 존재한다.

집합 정리와 함수 정리와 곱함수 정리와 함수 정리와 함수 정리로

$P_{e_X}^{-1}(U)=P_{e_X}^{-1}(U)\cap X^2=P_{e_X}^{-1}(U)\cap P_{e_X}^{-1}(P_{e_X}(X^2))=P_{e_X}^{-1}(U\cap (e_X(X))^2) = P_{f_X}^{-1}(U\cap (e_X(X))^2)\text{ 이므로}$

위 정리로 $U\cap (e_X(X))^2$가 $((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})$에서 정칙열린집합임에 따라

위상동형사상 정리와 위 정리로 $P_{e_X}^{-1}(U)$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙열린집합이고

단사 정리로 $\Delta_X = P_{e_X}^{-1}(P_{e_X}(\Delta_X))\subseteq P_{e_X}^{-1}(U)$이므로 위 정리로 $P_{e_X}^{-1}(U)\in \mathcal{P}$임에 따라

기저의 정의로 $P_{e_X}^{-1}(U)\in \mathcal{D}$이다.

$(X,\mathcal{T})$는 균등화가능하므로 균등공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등구조 $\mathcal{E}$가 존재하여 $P_{e_X}^{-1}(U)\in \mathcal{D}\subseteq \mathcal{E}$이고

강한균등공간 정리와 균등공간 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$D_{n+1}\subseteq D_n$과 $\Delta_X\subseteq D_n$과 $D_n = D_n^{-1}$과 $D_{n+1}\circ D_{n+1}\subseteq D_n$이 성립하는

$\mathcal{P}$의 수열 $(D_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여 $D_1\subseteq P_{e_X}^{-1}(U)$이고 모든 $x_1,x_2\in X$에 대해 $(x_1,x_2)\notin D_1$이면 $\rho(x_1,x_2) = 1$이고

모든 $x_1,x_2\in X$에 대해 $\rho(x_1,x_2)\le 1$인 유사거리함수 $\rho :X\times X\to [0,\infty)$가 존재하여

$(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 $2$-곱공간 $(X^2,\mathcal{P}_\rho)$에 대해 $\mathcal{T}_\rho \subseteq \mathcal{T}$와 $\mathcal{P}_\rho \subseteq \mathcal{P}$가 성립한다.

위상공간 정리로 $\mathcal{B}_\rho = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{4}) : x\in X\}$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 $X$의 열린덮개이고

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T}_\rho)$는 파라콤팩트 공간이므로

$(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 국소유한인 어떤 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{A}$가 $\mathcal{B}_\rho$의 세분이 되어

$\mathcal{A}\subseteq \mathcal{T}_\rho \subseteq \mathcal{T}$임에 따라 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이고 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

$1$차원 유클리드 거리공간이 $([0,1]),d),([0,\infty),d),(\mathbb{R},d)$이고

$([0,1]),d),([0,\infty),d),(\mathbb{R},d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]}),([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)}),(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$일때

$([0,1],d)$는 $([0,\infty),d),(\mathbb{R},d)$의 부분거리공간이므로 위상공간 정리로 $\mathcal{T}_{[0,\infty)}|_{[0,1]} = \mathcal{T}_{[0,1]} = \mathcal{T}_\mathbb{R}|_{[0,1]}$이고

$\mathcal{P}_\rho \subseteq \mathcal{P}$이므로 유사거리 정리와 연속함수 정리와 함수의 상등으로 $\rho$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이고

유한 곱공간 정리로 모든 $x_0,x\in X$에 대해 $\phi_{x_0}(x) =\rho(x_0,x)$인

함수 $\phi_{x_0} :X\to [0,1]$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수가 되어

위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$이 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간임에 따라

스톤-체흐 콤팩트화 정리로 $\Phi_{x_0}\circ e_X = \phi_{x_0}$이 되는

$(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수 $\Phi_{x_0}:\beta X\to [0,1]$이 존재한다.

어떤 $A\in \mathcal{A}$에 대해 $\underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(e_X(A))}\cap G \ne \emptyset$이라고 가정하면

어떤 $g\in \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(e_X(A))}\cap G$가 존재하고 세분의 정의로 $A\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,\frac{1}{4})$인 $x_0\in X$이 존재하여

$\dfrac{1}{4} < \Phi_{x_0}(g)$라고 가정할때 $\Phi_{x_0}(g)\in (\frac{1}{4},1]$이고 $g\in \Phi_{x_0}^{-1}((\frac{1}{4},1])$이므로

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(\frac{1}{4},1] = (\frac{1}{4},2)\cap [0,1]$은 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$에서 열린집합이 되어

연속함수 정리로 $\Phi_{x_0}^{-1}((\frac{1}{4},1])$은 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 $g$의 열린근방이고 폐포의 정의로 $\Phi_{x_0}^{-1}((\frac{1}{4},1])\cap e_X(A)\ne \emptyset$이므로

$e_X(x)\in \Phi_{x_0}^{-1}((\frac{1}{4},1])$인 $x\in A\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,\frac{1}{4})$가 존재하여 열린공의 정의로 $\phi_{x_0}(x) =\rho(x_0,x)< \dfrac{1}{4}$인데

$\phi_{x_0}(x)=(\Phi_{x_0}\circ e_X)(x)=\Phi_{x_0}(e_X(x))\in (\frac{1}{4},1]$이고 $\dfrac{1}{4} < \phi_{x_0}(x)$임에 따라 모순이 되어

$\Phi_{x_0}(g)\le \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}$이고 $g\in \Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2}))$이다.

모든 $(x_1,x_2)\in P_{e_X}^{-1}((\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2)$에 대해 $(e_X(x_1),e_X(x_2))=P_{e_X}(x_1,x_2)\in (\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2$이므로

$e_X(x_1),e_X(x_2)\in \Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2}))$가 되어 $\Phi_{x_0}(e_X(x_1)), \Phi_{x_0}(e_X(x_2))\in [0,\frac{1}{2})$이고

$\rho(x_0,x_1) =\phi_{x_0}(x_1) =\Phi_{x_0}(e_X(x_1))<\dfrac{1}{2}$와 $\rho(x_0,x_2) =\phi_{x_0}(x_2) =\Phi_{x_0}(e_X(x_2))<\dfrac{1}{2}$가 성립함에 따라

유사거리공간의 정의로 $\rho(x_1,x_2) \le \rho(x_1,x_0) + \rho(x_0,x_2)< \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} = 1$이므로

$\rho(x_1,x_2)\ne 1$이 되어 $(x_1,x_2)\in D_1 \subseteq P_{e_X}^{-1}(U)$이고 $P_{e_X}^{-1}((\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2) \subseteq P_{e_X}^{-1}(U)$이다.

집합 정리와 함수 정리와 곱함수 정리와 함수 정리와 함수 정리로

$P_{f_X}^{-1}((\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2\cap (e_X(X))^2) =P_{e_X}^{-1}((\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2) \subseteq P_{e_X}^{-1}(U) = P_{f_X}^{-1}(U\cap (e_X(X))^2)$이므로

전사 정리로

$(\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2\cap (e_X(X))^2= P_{f_X}(P_{f_X}^{-1}((\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2\cap (e_X(X))^2) ) \subseteq P_{f_X}(P_{f_X}^{-1}(U\cap (e_X(X))^2))= U\cap (e_X(X))^2\text{ 이고}$

위상공간 정리와 위상공간 정리와 연속함수 정리로 $\Phi_{x_0}^{-1}( [0,\frac{1}{2}) )$는 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 열린집합이므로

유한 곱공간 정리로 $(\Phi_{x_0}^{-1}( [0,\frac{1}{2}) ))^2$는 $((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$에서 열린집합이고

위 정리로 $(g,g)\in (\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2 \subseteq U$가 되어 $(g,g)\in U\cap \Delta_G = \emptyset$임에 따라 모순이다.

모든 $A\in \mathcal{A}$에 대해 $\underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(e_X(A))}\cap G = \emptyset$이므로 집합 정리와 집합 정리로

$\displaystyle \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(e_X(A))}\subseteq \beta X \setminus G = \beta X \setminus \bigcap_{O_{\beta X}\in \mathcal{O}_{\beta X}}(\beta X\setminus O_{\beta X}) = \bigcup_{O_{\beta X}\in \mathcal{O}_{\beta X}} (\beta X\setminus (\beta X\setminus O_{\beta X})) = \bigcup_{O_{\beta X}\in \mathcal{O}_{\beta X}} O_{\beta X} = \bigcup \mathcal{O}_{\beta X} \text{ 가 되어}$

$\mathcal{O}_{\beta X}$는 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 $\underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(e_X(A))}$의 열린덮개이고

폐포 정리와 콤팩트 정리로 $\underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(e_X(A))}$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 콤팩트하므로

콤팩트 정리로 $\underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(e_X(A))}\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_{\beta X}(A)$인 유한집합 $\mathcal{F}_{\beta X}(A)\subseteq \mathcal{O}_{\beta X}$가 존재한다.

모든 $A\in \mathcal{A}$에 대해 선택 정리로 $\mathcal{F}_{\beta X}(A)$를 선택할때 모든 $O_{\beta X}\in \mathcal{F}_{\beta X}(A)\subseteq \mathcal{O}_{\beta X}$에 대해

$e_X(O) = O_{\beta X}\cap e_X(X)$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 단사 정리로 $O=e_X^{-1}(e_X(O)) = e_X^{-1}(O_{\beta X}\cap e_X(X))$이고

열린덮개의 정의로 $A\in \mathcal{A}\subseteq \mathcal{T}$와 $O\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$가 성립하므로

위상공간의 정의로 $A\cap e_X^{-1}(O_{\beta X}\cap e_X(X)) = A\cap O\in \mathcal{T}$가 되어

$\mathcal{A}_0 = \displaystyle \bigcup_{A\in \mathcal{A}}\{ A\cap e_X^{-1}(O_{\beta X}\cap e_X(X)) : O_{\beta X}\in \mathcal{F}_{\beta X}(A) \}$은 $\mathcal{A}_0\subseteq \mathcal{T}$이다.

열린덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{A}$에 대해 $x\in A$인 $A\in \mathcal{A}$가 존재하여

폐포 정리로 $e_X(x)\in e_X(A)\subseteq \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(e_X(A))}\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_{\beta X}(A)$이므로 $e_X(x)\in O_{\beta X}$인 $O_{\beta X}\in \mathcal{F}_{\beta X}(A)$가 존재하고

$e_X(x)\in O_{\beta X}\cap e_X(X)$이므로 $x\in e_X^{-1}(O_{\beta X}\cap e_X(X))$가 되어 $x\in A\cap e_X^{-1}(O_{\beta X}\cap e_X(X))\in \mathcal{A}_0$임에 따라

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{A}_0$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{A}_0$이므로 $\mathcal{A}_0$은 $(X, \mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

모든 $A_0\in \mathcal{A}_0$에 대해 $A_0 = A\cap e_X^{-1}(O_{\beta X}\cap e_X(X))$인 $A\in \mathcal{A}$와 $O_{\beta X}\in \mathcal{F}_{\beta X}(A)\subseteq \mathcal{O}_{\beta X}$가 존재하여

$A_0 = A\cap e_X^{-1}(O_{\beta X}\cap e_X(X)) = A\cap O \subseteq O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하므로 $\mathcal{A}_0$은 $\mathcal{O}$의 세분이다.

$\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이므로

모든 $x\in X$에 대해 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $B$가 존재하여 $\mathcal{A}(B) = \{A\in \mathcal{A} : B\cap A\ne \emptyset \}$는 유한집합이고

모든 $A\in \mathcal{A}(B)$에 대해 $\mathcal{F}_{\beta X}(A)$는 유한집합이므로

함수 정리로 $\{ A\cap e_X^{-1}(O_{\beta X}\cap e_X(X)): O_{\beta X}\in \mathcal{F}_{\beta X}(A)\}$는 유한집합이 되어 $\mathcal{A}(B)$가 유한집합임에 따라

유한집합 정리로 $\mathcal{A}_0(B) = \displaystyle \bigcup_{A\in \mathcal{A}(B)}\{ A\cap e_X^{-1}(O_{\beta X}\cap e_X(X)) : O_{\beta X}\in \mathcal{F}_{\beta X}(A)\}$는 유한집합이고

$B\cap A_0\ne \emptyset$인 모든 $A_0\in \mathcal{A}_0$은 $A_0 = A\cap e_X^{-1}(O_{\beta X}\cap e_X(X))$인 $A\in \mathcal{A}$와 $O_{\beta X}\in \mathcal{F}_{\beta X}(A)$가 존재하여

$B\cap A_0\subseteq B\cap A$이고 $B\cap A\ne \emptyset$이므로 $A\in \mathcal{A}(B)$가 되어 $A_0\in \mathcal{A}_0(B)$임에 따라

$\{ A_0\in \mathcal{A}_0 : B\cap A_0\ne \emptyset\}\subseteq \mathcal{A}_0(B)$이므로 유한집합 정리로 $\{ A_0\in \mathcal{A}_0 : B\cap A_0\ne \emptyset\}$은 유한집합이고

$\mathcal{A}_0$은 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이 되어 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

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정의의 링크 :

https://openknowledgevl.tistory.com/133#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

정리의 링크 :

https://openknowledgevl.tistory.com/133#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797

Hisahiro Tamano - Some properties of the Stone-Čech compactification - DOI: 10.2969/jmsj/01210104

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정의1

정리1

증명

정리2

증명

정리3

증명

정리4

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정리5

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정리6

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정리7

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정리8

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정리9

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정리10

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정리11

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정리12

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정리13

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정리14

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정리15

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정리16

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정리18

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정리19

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