완비 균등공간, 완전유계 균등공간

정의1

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$이고 임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물이 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$일때

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $\lambda_D \le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in D$가 되는 $\lambda_D\in \Lambda$가 존재하면

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$를 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물(Cauchy net)로 정의한다.

 

 

 

정의2

균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U})$이고 임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물이 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$일때

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $\lambda_\mathcal{U} \le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $x_{\lambda_2}\in $ $\operatorname{st}$$(x_{\lambda_1},\mathcal{U})$가 되는 $\lambda_\mathcal{U}\in \Lambda$가 존재하면

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$를 $(X,\mathbf{U})$에서 코시그물(Cauchy net)로 정의한다.

 

 

 

정리1

임의의 집합 $X$의 덮개 $\mathcal{U}$와 모든 $x,y\in X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\operatorname{st}$$(x,\mathcal{U}) = \displaystyle \bigcup \{U\in \mathcal{U} : x\in U \}$

2. $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U})$이기 위한 필요충분조건은 $x,y\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하는 것이다.

3. $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U})$이면 $x\in \operatorname{st}(y,\mathcal{U})$이다.

증명

1.

임의의 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $x\in U$이면 $x\in \{ x\}\cap U$가 되어 $\{ x\}\cap U\ne \emptyset$이고

$\{ x\}\cap U\ne \emptyset$이면 $z\in \{ x\}\cap U\subseteq \{x\}$가 존재하여 $x=z\in \{ x\}\cap U\subseteq U$이므로

별의 정의로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}) =\operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U}) = \displaystyle \bigcup \{ U\in \mathcal{U}: \{x\}\cap U\ne \emptyset\} =\bigcup \{U\in \mathcal{U} : x\in U \}$이다.

2.

$y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U})$이면 1번으로 $y\in U$이고 $x\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 $x,y\in U$이고

역으로 $x,y\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하면 별 정리로 $y\in U\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U})$이다.

3.

$y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U})$이면 2번으로 $x,y\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 2번으로 $x\in \operatorname{st}(y,\mathcal{U})$이다.

 

 

 

정리2

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때

$(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$와 임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$에 대해 

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이기 위한 필요충분조건은 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathbf{U})$에서 코시그물인 것이다.

증명

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이면

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 어떤 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $\{ D[x]:x\in X\}$가 $\mathcal{U}$의 세분이고

$\lambda_\mathcal{U} \le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in D$이 되는 $\lambda_\mathcal{U}\in \Lambda$가 존재하므로

관계의 상의 정의와 균등공간 정리와 세분의 정의로 $x_{\lambda_1},x_{\lambda_2}\in D[x_{\lambda_1}]\subseteq U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

위 정리로 $x_{\lambda_2}\in \operatorname{st}(x_{\lambda_1},\mathcal{U})$이고 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathbf{U})$에서 코시그물이다.

역으로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathbf{U})$에서 코시그물이면

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 균등공간 정리로 $E\circ E^{-1} \subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

균등공간 정리로 $\mathcal{U}_E =\{ E[x] : x\in X\}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 $\mathcal{U}_E\in \mathbf{U}$임에 따라 

$\lambda_D \le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $x_{\lambda_2}\in \operatorname{st}(x_{\lambda_1},\mathcal{U}_E)$인 $\lambda_D\in \Lambda$가 존재하고

위 정리로 $x_{\lambda_1},x_{\lambda_2}\in E[x]$인 $x\in X$가 존재하여 관계의 상의 정의로 $(x,x_{\lambda_1}),(x,x_{\lambda_2})\in E$이므로 

역관계의 정의로 $(x_{\lambda_1},x)\in E^{-1}$이고 합성관계의 정의로 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in E\circ E^{-1} \subseteq D$임에 따라

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

 

 

 

정리3

$X\ne \emptyset$인 균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U})$일때

$(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$와 임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$에 대해 

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이기 위한 필요충분조건은 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathbf{U})$에서 코시그물인 것이다.

증명

$X\ne \emptyset$이므로 균등공간 정리로 $\mathbf{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합이 되어 위 정리로 성립한다. 

 

 

 

정리4

균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U})$일때

$(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$와 임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$에 대해 

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이면 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathbf{U})$에서 코시그물이다.

증명

균등덮개공간 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로

어떤 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $\{ D[x]:x\in X\}$가 $\mathcal{U}$의 세분이고 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이므로

$\lambda_\mathcal{U} \le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in D$이 되는 $\lambda_\mathcal{U}\in \Lambda$가 존재하여

관계의 상의 정의와 균등공간 정리와 세분의 정의로 $x_{\lambda_1},x_{\lambda_2}\in D[x_{\lambda_1}]\subseteq U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재함에 따라 

위 정리로 $x_{\lambda_2}\in \operatorname{st}(x_{\lambda_1},\mathcal{U})$이고 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathbf{U})$에서 코시그물이다.

 

 

 

정리5

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$이고 균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U})$일때

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물이 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$이고

임의의 상향 원순서집합 $(M,\le_M)$에 대해 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$이면 다음이 성립한다.

1. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이면 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$은 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

2. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathbf{U})$에서 코시그물이면 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$은 $(X,\mathbf{U})$에서 코시그물이다.

증명

1.

코시그물의 정의로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $\lambda_D\le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in D$인 $\lambda_D\in \Lambda$가 존재하여

부분그물의 정의로 $\lambda_D\le_\Lambda \lambda_{\mu_D}$인 $\mu_D\in M$가 존재하고

$\mu_D\le_M \mu_1,\mu_2$인 모든 $\mu_1,\mu_2\in M$에 대해 $\lambda_{\mu_D}\le_\Lambda \lambda_{\mu_1}, \lambda_{\mu_2}$이므로

추이성으로 $\lambda_D\le_\Lambda \lambda_{\mu_1}, \lambda_{\mu_2}$가 되어 $(x_{\lambda_{\mu_1}},x_{\lambda_{\mu_2}})\in D$임에 따라 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$은 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

2.

코시그물의 정의로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $\lambda_\mathcal{U}\le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $x_{\lambda_2}\in \operatorname{st}(x_{\lambda_1},\mathcal{U})$인 $\lambda_\mathcal{U}\in \Lambda$가 존재하여

부분그물의 정의로 $\lambda_\mathcal{U}\le_\Lambda \lambda_{\mu_\mathcal{U}}$인 $\mu_\mathcal{U}\in M$가 존재하고

$\mu_\mathcal{U}\le_M \mu_1,\mu_2$인 모든 $\mu_1,\mu_2\in M$에 대해 $\lambda_{\mu_\mathcal{U}}\le_\Lambda \lambda_{\mu_1}, \lambda_{\mu_2}$이므로

추이성으로 $\lambda_\mathcal{U}\le_\Lambda \lambda_{\mu_1}, \lambda_{\mu_2}$가 되어 $x_{\lambda_{\mu_2}}\in \operatorname{st}(x_{\lambda_{\mu_1}},\mathcal{U})$임에 따라 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$은 $(X,\mathbf{U})$에서 코시그물이다.

 

 

 

정리6

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E\subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

모든 $x\in X$에 대해 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

2. 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E\circ E^{-1} \subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

모든 $x\in X$에 대해 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

3. 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E\circ E \subseteq D$이고 $E = E^{-1}$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

모든 $x\in X$에 대해 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P})$일때

1.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 내부 정리로 $E = \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이고 $E = \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)\subseteq D$이다.

균등공간 정리로 $E = \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)\in \mathcal{D}$이고

위상공간 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 

균등공간 정리로 $x\in E[x]$임에 따라 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

2.

균등공간 정리로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $F\circ F^{-1} \subseteq D$인 $F\in \mathcal{D}$가 존재하여 

내부 정리로 $E = \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(F)$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이고 $E = \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(F)\subseteq F$이다.

균등공간 정리로 $E = \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(F)\in \mathcal{D}$이고 관계 정리로 $E^{-1}\subseteq F^{-1}$이므로 $E\circ E^{-1} \subseteq F\circ F^{-1} \subseteq D$이다.

위상공간 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 

균등공간 정리로 $x\in E[x]$임에 따라 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

3.

균등공간의 정의로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $F\circ F \subseteq D$인 $F\in \mathcal{D}$가 존재하므로

균등공간 정리로 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이고 $E = E^{-1}$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 $E\subseteq F$이다.

관계 정리로 $E\circ E\subseteq F\circ F \subseteq D$이고

위상공간 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 

균등공간 정리로 $x\in E[x]$임에 따라 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

 

 

 

정리7

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하면 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

2. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이면 $\Lambda\ne \emptyset$이고 $X\ne \emptyset$이다.

3. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물일때 임의의 $x\in X$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이 존재하면 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

4. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물일때 임의의 $x\in X$에 대해

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이면 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

증명

1.

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in X$로 수렴하면 

위 정리로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E\circ E^{-1}\subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로 

$\lambda_D\le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $x_{\lambda_1},x_{\lambda_2}\in E[x]$가 되는 $\lambda_D\in \Lambda$가 존재하고 

관계의 상의 정의로 $(x,x_{\lambda_1}),(x,x_{\lambda_2}) \in E$이므로 역관계의 정의로 $(x_{\lambda_1},x)\in E^{-1}$가 되어

합성관계의 정의로 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in E\circ E^{-1} \subseteq D$임에 따라 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

2.

균등공간의 정의로 $\mathcal{D}\ne \emptyset$이므로 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 코시그물의 정의로

$\lambda_D\le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in D$인 $\lambda_D\in \Lambda$가 존재함에 따라 $\Lambda\ne \emptyset$이고

$x_{\lambda_D}\in X$이므로 $X\ne \emptyset$이다.

3.

어떤 상향 원순서집합 $(M,\le_M)$에 대해 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면 

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 균등위상공간의 정의로 $D[x]\subseteq V$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 

위 정리로 어떤 $E\in \mathcal{D}$에 대해 $E\circ E\subseteq D$이고 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로 

$(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴함에 따라 $\mu_E\le_M \mu$인 모든 $\mu\in M$가 $x_{\lambda_\mu}\in E[x]$가 되는 $\mu_E\in M$가 존재하고

코시그물의 정의로 $\lambda_E\le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in E$가 되는 $\lambda_E\in \Lambda$가 존재한다.

부분그물의 정의로 $\lambda_E\le_\Lambda \lambda_{\mu_0}$인 $\mu_0\in M$이 존재하고

상향 원순서집합의 정의로 $\mu_E,\mu_0\le_M \mu_V$인 $\mu_V\in M$가 존재하므로 $x_{\lambda_{\mu_V}}\in E[x]$가 되어

관계의 상의 정의로 $(x,x_{\lambda_{\mu_V}})\in E$이고 $\lambda_{\mu_V}\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 

부분그물의 정의와 상향 원순서집합의 정의로 $\lambda_E\le_\Lambda \lambda_{\mu_0}\le_\Lambda \lambda_{\mu_V}\le_\Lambda \lambda$임에 따라 $(x_{\lambda_{\mu_V}},x_\lambda)\in E$가 되어 

합성관계의 정의로 $(x,x_\lambda)\in E\circ E\subseteq D$이고 관계의 상의 정의로 $x_\lambda\in D[x]\subseteq V$이므로

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

4.

2번으로 $\Lambda\ne \emptyset$이므로 집적점 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이 존재하여

3번으로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리8

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수일때

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 코시그물이면

$(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 코시그물이다.

증명

$f$의 곱함수가 $P_f:X^2\to Y^2$일때 균등연속 정리로 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $P_f^{-1}(D_Y)\in \mathcal{D}_X$이므로 

코시그물의 정의로 $\lambda_{D_Y}\le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2}) \in P_f^{-1}(D_Y)$가 되는 $\lambda_{D_Y}\in \Lambda$가 존재하여

$(f(x_{\lambda_1}),f(x_{\lambda_2})) =P_f(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2}) \in D_Y$이므로 $(f(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 코시그물이다.

 

 

 

정의3

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

$(X,\mathcal{D})$에서 모든 코시그물이 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하면 $(X,\mathcal{D})$를 완비균등공간(complete uniform space)으로 정의한다.

임의의 $A\subseteq X$에 대해 $(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간 $(A,\mathcal{D}|_A)$가 완비균등공간이면 

$A$가 $(X,\mathcal{D})$에서 완비 또는 완비집합이라고 정의한다.

 

 

 

정리9

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등동형사상일때

$(X,\mathcal{D}_X)$가 완비균등공간이면 $(Y,\mathcal{D}_Y)$는 완비균등공간이다.

증명

$(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$일때

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(y_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 코시그물이면

균등동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 존재하여

$f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $(X,\mathcal{D}_X)$로의 균등연속함수이므로 

위 정리로 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(f^{-1}(y_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 코시그물임에 따라

완비균등공간의 정의로 $(f^{-1}(y_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 어떤 $x\in X$로 수렴한다.

균등동형사상의 정의와 균등연속 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이므로

역함수의 정의와 그물 정리로 $(y_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}=(f(f^{-1}(y_\lambda)))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(x)$로 수렴하여

$(Y,\mathcal{D}_Y)$는 완비균등공간이다.

 

 

 

정리10

거리공간 $(X,d)$의 거리균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,d)$에서 모든 코시수열은 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

2. $(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,d)$가 완비거리공간인 것이다.

증명

임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2 : d(x,y)<\epsilon\}$일때

거리균등공간 정리로 $\{ D_\epsilon : \epsilon\in (0,\infty)\}$은 $(X,\mathcal{D})$의 기저이고

거리균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 $(X,d)$의 거리위상공간이다.

1.

$X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,d)$에서 코시수열일때

그물 정리로 $S = \{ n\in \mathbb{N}: n_0\le n\}$에 대해 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 상향 원순서집합 $(S,\le)$에서 $X$의 그물이고

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 기저의 정의로 $D_\epsilon \subseteq D$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여 

코시수열의 정의로 $H(\epsilon)\le n,m$인 모든 $n,m\in S$이 $d(x_n,x_m)< \epsilon$이 되는 $H(\epsilon)\in S$이 존재하므로 

$(x_n,x_m)\in D_\epsilon\subseteq D$임에 따라 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

2.

$(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간이면

1번으로 $(X,d)$에서 모든 코시수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이므로

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in X$로 수렴하고

수열 수렴의 정의와 거리공간 정리로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,d)$에서 $x$로 수렴하여 $(X,d)$는 완비거리공간이다.

역으로 $(X,d)$가 완비거리공간이면 

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물일때

$D_1\in \mathcal{D}$이므로 $\lambda_1\le_\Lambda \lambda, \mu$인 모든 $\lambda ,\mu\in \Lambda$에 대해 $(x_\lambda,x_\mu)\in D_1$인 $\lambda_1\in \Lambda$이 존재하고

반사성으로 $\lambda_1\le_\Lambda \lambda_1$임에 따라 선택 정리로 $\lambda_1$을 선택한다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\lambda_k \le_\Lambda \lambda, \mu$인 모든 $\lambda ,\mu\in \Lambda$가 $(x_\lambda,x_\mu)\in D_\frac{1}{k}$이고 

$i \le k$인 모든 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\lambda_i\le_\Lambda \lambda_k$인 $\lambda_k\in \Lambda$가 귀납적으로 정의될때

$D_\frac{1}{k+1}\in \mathcal{D}$이므로 코시그물의 정의로 $\lambda_0 \le_\Lambda \lambda, \mu$인 모든 $\lambda ,\mu\in \Lambda$가 $(x_\lambda,x_\mu)\in D_\frac{1}{k+1}$인 $\lambda_0\in \Lambda$이 존재하여

상향 원순서집합의 정의와 선택 정리로 $\lambda_k,\lambda_0\le_\Lambda \lambda_{k+1}$인 $\lambda_{k+1}\in \Lambda$을 선택하면

$\lambda_{k+1}\le_\Lambda \lambda,\mu$인 모든 $\lambda ,\mu\in \Lambda$는 추이성으로 $\lambda_0 \le_\Lambda \lambda, \mu$가 되어 $(x_\lambda,x_\mu)\in D_\frac{1}{k+1}$이고

$\lambda_k \le_\Lambda \lambda_{k+1}$이므로 추이성과 반사성으로 $\lambda_i\le_\Lambda \lambda_{k+1}$과 $\lambda_{k+1}\le_\Lambda \lambda_{k+1}$이 성립함에 따라 

$i \le k+1$인 모든 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\lambda_i\le_\Lambda \lambda_{k+1}$이다.

귀납적으로 정의된 $\Lambda$의 수열 $(\lambda_n)_{n=1}^\infty$에 대해 $X$의 수열이 $(x_{\lambda_n})_{n=1}^\infty$일때

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{N_\epsilon}<\epsilon$인 $N_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하고

$N_\epsilon\le n,m$인 모든 $n,m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\lambda_{N_\epsilon}\le_\Lambda \lambda_n,\lambda_m$이므로 $(x_{\lambda_n},x_{\lambda_m})\in D_\frac{1}{N_\epsilon}$이 되어

$d(x_{\lambda_n},x_{\lambda_m}) < \dfrac{1}{N_\epsilon} < \epsilon$임에 따라 $(x_{\lambda_n})_{n=1}^\infty$은 $(X,d)$에서 코시수열이고

완비거리공간의 정의로 $(x_{\lambda_n})_{n=1}^\infty$은 $(X,d)$에서 어떤 $x\in X$로 수렴한다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

위상공간 정리와 거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)\subseteq V$인 $\epsilon \in (0,\infty)$이 존재하여

수열 수렴의 정의로 $N_\epsilon\le n$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$이 $d(x,x_{\lambda_n}) <\dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $N_\epsilon \in \mathbb{Z}^+$이 존재하고 

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{M_\epsilon}< \dfrac{\epsilon}{2}$인 $M_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$K_\epsilon = $ $\max$$\{ N_\epsilon,M_\epsilon\}$에 대해 $N_\epsilon\le K_\epsilon$이므로 $d(x,x_{\lambda_{K_\epsilon}})<\dfrac{\epsilon}{2}$이고

$\lambda_{K_\epsilon}\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $\lambda_{K_\epsilon}\le_\Lambda \lambda_{K_\epsilon},\lambda$임에 따라 $(x_{\lambda_{K_\epsilon}},x_\lambda)\in D_\frac{1}{K_\epsilon}$이고

$M_\epsilon\le K_\epsilon$이므로 $d(x_{\lambda_{K_\epsilon}},x_\lambda)< \dfrac{1}{K_\epsilon}\le \dfrac{1}{M_\epsilon}< \dfrac{\epsilon}{2}$가 되어

거리공간의 정의로 $d(x,x_\lambda) \le d(x,x_{\lambda_{K_\epsilon}}) + d(x_{\lambda_{K_\epsilon}},x_\lambda) < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$임에 따라

열린공의 정의로 $x_\lambda\in \underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)\subseteq V$이고 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하므로 $(X,\mathcal{D})$는 완비균등공간이다.

 

 

 

정리11

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간이 $(A,\mathcal{D}|_A)$일때

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $A$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$에 대해 

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이기 위한 필요충분조건은 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(A,\mathcal{D}|_A)$에서 코시그물인 것이다.

증명

모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $x_\lambda\in A\subseteq X$이므로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물이다.

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이면 

모든 $D|_A\in \mathcal{D}|_A$는 부분균등공간의 정의로 $D|_A = D\cap A^2$인 $D\in\mathcal{D}$가 존재하여 

$\lambda_{D|_A}\le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in D$가 되는 $\lambda_{D|_A}\in \Lambda$가 존재하므로 

$(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in A^2$임에 따라 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in D\cap A^2 = D|_A$이고 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(A,\mathcal{D}|_A)$에서 코시그물이다.

역으로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(A,\mathcal{D}|_A)$에서 코시그물이면 

모든 $D\in\mathcal{D}$에 대해 부분균등공간의 정의로 $D\cap A^2 = D|_A\in \mathcal{D}|_A$이므로 

$\lambda_D\le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in D|_A$가 되는 $\lambda_D\in \Lambda$가 존재하여

$(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in D|_A = D\cap A^2 \subseteq D$임에 따라 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

 

 

 

정리12

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 임의의 $A\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간일때 $A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 $A$는 $(X,\mathcal{D})$에서 완비이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간일때 $A$가 $(X,\mathcal{D})$에서 완비이면 $A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

증명

$(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간이 $(A,\mathcal{D}|_A)$이고 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(A,\mathcal{T}|_A)$일때

균등공간 정리로 $(A,\mathcal{D}|_A)$의 균등위상공간은 $(A,\mathcal{T}|_A)$이다.

1.

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $A$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(A,\mathcal{D}|_A)$에서 코시그물일때

위 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이므로 $(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간임에 따라

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in X$로 수렴한다.

$A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 그물 정리로 $x\in A$가 되어

그물 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(A,\mathcal{T}|_A)$에서 $x$로 수렴함에 따라

$(A,\mathcal{D}|_A)$는 완비균등공간이므로 $A$는 $(X,\mathcal{D})$에서 완비이다.

2.

$(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 모든 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $A$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$에 대해 

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 임의의 $x\in X$로 수렴하면 위 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이므로 

위 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(A,\mathcal{D}|_A)$에서 코시그물이 되어 $A$가 $(X,\mathcal{D})$에서 완비임에 따라

$(A,\mathcal{D}|_A)$는 완비균등공간이고 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(A,\mathcal{T}|_A)$에서 어떤 $y\in A$로 수렴한다.

그물 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$로 수렴하고 

모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $x_\lambda\in A\subseteq X$임에 따라 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물이므로

하우스도르프 공간 정리로 $x = y\in A$가 되어 그물 정리로 $A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

 

 

 

정리13

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 균등공간 $(X_i,\mathcal{D}_i)$가 존재할때

일반 데카르트곱 $X=\displaystyle \prod_{i\in I}X_i$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i:X\to X_i$이고

$\{(X_i,\mathcal{D}_i) : i\in I \}$의 일반 곱균등공간이 $(X,\mathcal{D})$이면 

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이기 위한 필요충분조건은 

모든 $i\in I$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X_i$의 그물 $(p_i(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X_i,\mathcal{D}_i)$에서 코시그물인 것이다.

증명

균등공간 정리로 모든 $i\in I$에 대해 $p_i$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X_i,\mathcal{D}_i)$로의 균등연속함수이고

$X$의 $i$-좌표 쌍사영함수가 $b_i: X^2\to X_i^2$일때 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ b_i^{-1}(D_i):D_i\in \mathcal{D}_i\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저이다.

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이면 위 정리로 모든 $i\in I$에 대해 $(p_i(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X_i,\mathcal{D}_i)$에서 코시그물이다.

역으로 모든 $i\in I$에 대해 $(p_i(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X_i,\mathcal{D}_i)$에서 코시그물이면

부분기저의 정의로 모든 $D\in \mathcal{D}$는 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $i_1,i_2,\cdots,i_n\in I$이 존재하여 

$b_{i_1}^{-1}(D_{i_1})\cap b_{i_2}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap b_{i_n}^{-1}(D_{i_n})\subseteq D$이 되는 $(D_{i_1},D_{i_2},\cdots,D_{i_n}) \in \mathcal{D}_{i_1}\times \mathcal{D}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{D}_{i_n}$이 존재하므로 

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $(p_{i_k}(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X_{i_k},\mathcal{D}_{i_k})$에서 코시그물임에 따라

$\lambda_k \le_\Lambda \lambda,\mu$인 모든 $\lambda,\mu\in \Lambda$가 $(p_{i_k}(x_\lambda),p_{i_k}(x_\mu))\in D_{i_k}$가 되는 $\lambda_k\in \Lambda$가 존재하고 

상향 원순서집합 정리로 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots, \lambda_n\le_\Lambda \lambda_D$인 $\lambda_D\in \Lambda$가 존재하여 

$\lambda_k \le_\Lambda \lambda_D \le_\Lambda \lambda,\mu$인 모든 $\lambda,\mu\in \Lambda$는 $b_{i_k}(x_\lambda,x_\mu)=(p_{i_k}(x_\lambda),p_{i_k}(x_\mu))\in D_{i_k}$이므로

$(x_{\lambda},x_\mu)\in b_{i_k}^{-1}(D_{i_k})$임에 따라 $(x_\lambda,x_\mu)\in b_{i_1}^{-1}(D_{i_1})\cap b_{i_2}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap b_{i_n}^{-1}(D_{i_n})\subseteq D$이고 

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

 

 

 

정리14

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 균등공간 $(X_i,\mathcal{D}_i)$가 존재할때

모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{D}_i)$가 완비균등공간이면

일반 데카르트곱 $X=\displaystyle \prod_{i\in I}X_i$에 대해 $\{(X_i,\mathcal{D}_i) : i\in I \}$의 일반 곱균등공간 $(X,\mathcal{D})$는 완비균등공간이다.

증명

모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{D}_i)$의 균등위상공간이 $(X_i,\mathcal{T}_i)$일때 균등공간 정리로 

$\{(X_i,\mathcal{D}_i) : i\in I \}$의 일반 곱균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$는 

$\{(X_i, \mathcal{T}_i) :i\in I\}$의 일반 곱공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $\mathcal{T}_\mathcal{D}= \mathcal{T}$이다.

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이면

모든 $i\in I$에 대해 $X$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i:X\to X_i$일때

위 정리로 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X_i$의 그물 $(p_i(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X_i,\mathcal{D}_i)$에서 코시그물이므로 

$(X_i,\mathcal{D}_i)$가 완비균등공간임에 따라 $(p_i(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 어떤 $x_i\in X_i$로 수렴한다.

선택 공리로 모든 $i\in I$에 대해 $x(i) = x_i$인 함수 $x : I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I}X_i$가 존재하여 일반 데카르트곱의 정의로 $x\in X$이고 

모든 $i\in I$에 대해 $(p_i(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $p_i(x) = x(i) = x_i$로 수렴하므로 

그물 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴함에 따라 $(X,\mathcal{D})$는 완비균등공간이다.

 

 

 

정의4

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$이고 $X$의 필터가 $\mathcal{F}$일때 

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $A_D^2 = A_D\times A_D \subseteq D$인 $A_D\in \mathcal{F}$가 존재하면

$\mathcal{F}$를 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터(Cauchy filter)로 정의한다.

 

 

 

정리15

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$와 $X$의 필터 $\mathcal{F}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이기 위한 필요충분조건은 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 생성필터가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터인 것이다.

2. $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터이기 위한 필요충분조건은 $\mathcal{F}$의 기저그물이 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물인 것이다.

증명

1.

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 생성필터가 $\mathcal{G}$일때

그물 정리로 임의의 $\lambda_0\in \Lambda$에 대해 $B_{\lambda_0} = \{ x_\lambda: \lambda_0\le_\Lambda \lambda\}$이면 $\{ B_{\lambda} : \lambda\in \Lambda\}$는 $\mathcal{G}$의 기저이다.

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이면

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $\lambda_D\le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in D$가 되는 $\lambda_D\in \Lambda$가 존재하여 

기저의 정의로 $B_{\lambda_D}\in \mathcal{G}$에 대해 모든 $(y_1,y_2)\in B_{\lambda_D}^2$는

$(y_1,y_2) = (x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})$이고 $\lambda_D \le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 존재하므로

$(y_1,y_2) = (x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in D$임에 따라 $B_{\lambda_D}^2 \subseteq D$이고 $\mathcal{G}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터이다.

역으로 $\mathcal{G}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터이면 

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $A_D^2 \subseteq D$인 $A_D\in \mathcal{G}$가 존재하여 기저의 정의로 $B_{\lambda_D}\subseteq A_D$인 $\lambda_D\in \Lambda$가 존재하므로 

$\lambda_D\le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$에 대해 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in B_{\lambda_D}^2 \subseteq A_D^2\subseteq D$임에 따라

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

2.

$\mathcal{F}$의 기저그물이 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$일때 기저그물 정리로

$(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$는 $\Lambda_\mathcal{F} = \{ (x,F)\in X\times \mathcal{F} : x\in F\}$인 상향 원순서집합 $(\Lambda_\mathcal{F}, \le_\mathcal{F})$에서 $X$의 그물이고 

모든 $(x_0,F_0)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해 $B_{(x_0,F_0)} = \{ x : (x_0,F_0)\le_\mathcal{F}(x,F)\}$이면 $\mathcal{F} = \{ B_{(x,F)} : (x,F)\in \Lambda_\mathcal{F} \}$이다.

$\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터이면 

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $A_D^2\subseteq D$인 $A_D\in \mathcal{F}$가 존재하여 $A_D = B_{(x_D,F_D)}$인 $(x_D,F_D)\in \Lambda_\mathcal{F}$가 존재하므로 

$(x_D,F_D)\le_\mathcal{F} (x_1,F_1),(x_2,F_2)$인 모든 $(x_1,F_1),(x_2,F_2)\in \Lambda_\mathcal{F}$에 대해

$(x_1,x_2)\in B_{(x_D,F_D)}^2 = A_D^2\subseteq D$임에 따라 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

역으로 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이면 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해

$(x_D,F_D)\le_\mathcal{F} (x_1,F_1),(x_2,F_2)$인 모든 $(x_1,F_1),(x_2,F_2)\in \Lambda_\mathcal{F}$가 $(x_1,x_2)\in D$인 $(x_D,F_D)\in \Lambda_\mathcal{F}$가 존재하여

$B_{(x_D,F_D)}\in \mathcal{F}$에 대해 모든 $(x_1,x_2)\in B_{x_D,F_D}^2$는 

$(x_D,F_D)\le_\mathcal{F} (x_1,F_1),(x_2,F_2)$인 $(x_1,F_1),(x_2,F_2)\in \Lambda_\mathcal{F}$가 존재하므로 $(x_1,x_2)\in D$임에 따라

$B_{(x_D,F_D)}^2 \subseteq D$이고 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터이다.

 

 

 

정리16

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 다음이 성립한다.

1. $X$의 필터 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하면 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터이다.

2. $X$의 필터 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터이면 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이고 $X\ne \emptyset$이다.

3. $(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간이기 위한 필요충분조건은

$(X,\mathcal{D})$에서 코시필터인 $X$의 모든 필터가 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 것이다.

증명

1.

$\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in X$로 수렴하면 위 정리로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해

$E\circ E^{-1}\subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로 수렴의 정의로 $E[x]\in \mathcal{F}$이고 

모든 $(x_1,x_2)\in (E[x])^2$는 $x_1,x_2\in E[x]$이므로 관계의 상의 정의로 $(x,x_1),(x,x_2)\in E$이고 

역관계의 정의로 $(x_1,x)\in E^{-1}$가 되어 합성관계의 정의로 $(x_1,x_2)\in E\circ E^{-1} \subseteq D$임에 따라

$(E[x])^2\subseteq D$이고 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터이다.

2.

균등공간의 정의로 $\mathcal{D}\ne \emptyset$이므로 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여

코시필터의 정의로 $A^2 \subseteq D$인 $A\in \mathcal{F}$가 존재함에 따라 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이고 필터 정리로 $X\ne \emptyset$이다.

3.

$(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간이면

$(X,\mathcal{D})$에서 코시필터인 $X$의 필터 $\mathcal{F}$의 기저그물이 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$일때

위 정리로 $(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이 되어 $(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간임에 따라

$(x)_{(x,F)\in \Lambda_\mathcal{F}}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x_0\in X$으로 수렴하고 필터 정리로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x_0$으로 수렴한다.

역으로 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터인 $X$의 모든 필터가 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하면

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물일때

위 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 생성필터 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시필터이므로 

$\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in X$로 수렴하고 그물 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하여

$(X,\mathcal{D})$는 완비균등공간이다.

 

 

 

정의5

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 유한집합인 $X$의 덮개 $\mathcal{F}_D$가 존재하여 모든 $U\in \mathcal{F}_D$에 대해 $U^2 = U\times U\subseteq D$이면

$(X,\mathcal{D})$를 완전유계(totally bounded)균등공간으로 정의한다.

임의의 $A\subseteq X$에 대해 $(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간 $(A,\mathcal{D}|_A)$가 완전유계균등공간이면

$A$가 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계 또는 완전유계집합이라고 정의한다.

 

 

 

정리17

균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $X\ne \emptyset$일때 $(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간이기 위한 필요충분조건은

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 어떤 $n_D\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $X\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_D}\,$$D[x_i]$인 $x_1,x_2,\cdots,x_{n_D}\in X$가 존재하는 것이다.

2. $X$가 유한집합이면 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

증명

1.

$(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간이면

모든 $U\in \mathcal{F}_D$에 대해 $U^2\subseteq D$이고 유한집합인 $X$의 덮개 $\mathcal{F}_D$가 존재하여 덮개 정리로 $\mathcal{F}_D\ne \emptyset$이고 

모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_D$에 대해 $x\in U$인 $U\in \mathcal{F}_D$가 존재하여 $U\ne \emptyset$이므로 $x\in U\in \mathcal{F}_D\setminus \{\emptyset \}$임에 따라 

$x\in \displaystyle \bigcup (\mathcal{F}_D\setminus \{\emptyset\})$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup (\mathcal{F}_D\setminus \{\emptyset\})$이다.

$\mathcal{F}_D\setminus \{\emptyset \}$은 $X$의 덮개이므로 덮개 정리로 $\mathcal{F}_D\setminus \{\emptyset\}\ne \emptyset$이고

$\mathcal{F}_D\setminus \{\emptyset \}\subseteq \mathcal{F}_D$임에 따라 유한집합 정리로 $\mathcal{F}_D\setminus \{\emptyset \}$은 유한집합이 되어

어떤 $n_D\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{F}_D\setminus \{\emptyset\} = \{ U_1,U_2,\cdots, U_{n_D}\}$인 $U_1,U_2,\cdots,U_{n_D}\in \mathcal{F}_D$이 존재한다.

모든 $i=1,2,\cdots,n_D$에 대해 $U_i\ne \emptyset$이므로 $x_i\in U_i$가 존재하고

모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup (\mathcal{F}_D\setminus \{ \emptyset\})$에 대해 $x\in U_i$인 $i=1,2,\cdots,n_D$가 존재하여 

$(x_i,x)\in U_i^2 \subseteq D$이므로 관계의 상의 정의로 $x\in D[x_i] $임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_D} D[x_i]$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_D} D[x_i]$이다.

역으로 조건이 성립하면 

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 균등공간 정리로 $E\circ E^{-1} \subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

어떤 $n_E\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_E} E[x_i]$인 $x_1,x_2,\cdots,x_{n_E}\in X$가 존재하므로

함수 정리로 $\{ E[x_i]:i=1,2,\cdots,n_E\}$는 유한집합인 $X$의 덮개이고

모든 $(x,y)\in (E[x_i])^2$에 대해 관계의 상의 정의로 $(x_i,x),(x_i,y)\in E$이므로 

역관계의 정의로 $(x,x_i)\in E^{-1}$이고 합성관계의 정의로 $(x,y)\in E\circ E^{-1} \subseteq D$임에 따라

$(E[x_i])^2\subseteq D$가 되어 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

2.

$X = \emptyset$이면 덮개 정리로 $\{\emptyset \}$은 유한집합인 $X$의 덮개이고

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 데카르트곱 정리로 $\emptyset^2 =\emptyset\times \emptyset =\emptyset \subseteq D$이므로 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

$X\ne \emptyset$이면 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X = \{ x_1,x_2,\cdots,x_n\}$이므로 

모든 $D\in \mathcal{D}$는 균등공간 정리로 모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $x_i \in D[x_i]$가 되어 $X\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^n D[x_i]$임에 따라

1번으로 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

 

 

 

정리18

거리공간 $(X,d)$의 거리균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 

$(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,d)$가 완전유계거리공간인 것이다.

증명

거리균등공간 정리로 임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2 : d(x,y)<\epsilon\}$일때

$\{ D_\epsilon : \epsilon\in (0,\infty)\}$은 $\mathcal{D}$의 기저이고 모든 $x\in X$에 대해 거리균등공간 정리로 $D_\epsilon[x] = \underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)$이다.

$(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간이면

$X = \emptyset$일때 거리공간 정리로 $(X,d)$는 완전유계거리공간이다.

$X\ne \emptyset$일때 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 기저의 정의로 $D_\epsilon\in\mathcal{D}$이므로 위 정리로 어떤 $n_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$X\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_\epsilon} D_\epsilon[x_i] = \bigcup_{i=1}^{n_\epsilon}\underset{(X,d)}{B}(x_i,\epsilon)$인 $x_1,x_2,\cdots,x_{n_\epsilon}\in X$이 존재하여 $(X,d)$는 완전유계거리공간이다.

역으로 $(X,d)$가 완전유계거리공간이면

$X = \emptyset$일때 위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

$X\ne \emptyset$일때 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 기저의 정의로 $D_\epsilon\subseteq D$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하고 완전유계거리공간의 정의로

어떤 $n_D\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_D}\underset{(X,d)}{B}(x_i,\epsilon) = \bigcup_{i=1}^{n_D}D_\epsilon[x_i]$인 $x_1,x_2,\cdots,x_{n_D}\in X$가 존재하므로

관계 정리로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_D}D_\epsilon[x_i] \subseteq \bigcup_{i=1}^{n_D}D[x_i]$가 되어 위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

 

 

 

정리19

균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 다음은 동치이다.

1. $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

2. 모든 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 초그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

3. $\Lambda\ne \emptyset$인 모든 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$에 대해

$(X,\mathcal{D})$에서 코시그물인 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이 존재한다.

증명

$1\to 2$

$(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간이므로

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 유한집합인 $X$의 덮개 $\mathcal{F}_D$가 존재하여 모든 $U\in \mathcal{F}_D$에 대해 $U^2 = U\times U\subseteq D$이고

$U\subseteq X$이므로 초그물의 정의로 어떤 $\lambda_U\in \Lambda$에 대해 $\{ x_\lambda : \lambda_U\le_\Lambda\lambda\}\subseteq U$ 또는 $\{ x_\lambda : \lambda_U\le_\Lambda\lambda\}\subseteq X\setminus U$이다.

초그물 정리로 $X\ne \emptyset$이므로 덮개 정리로 $\mathcal{F}_D\ne \emptyset$이 되어

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{F}_D = \{ U_1,U_2,\cdots,U_n\}$인 $U_1,U_2,\cdots,U_n\subseteq X$이 존재하는데

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $\{ x_\lambda : \lambda_{U_i}\le_\Lambda\lambda\}\subseteq X\setminus U_i$라고 가정하면 

상향 원순서집합 정리로 $\lambda_{U_1},\lambda_{U_2},\cdots, \lambda_{U_n}\le_\Lambda \lambda$인 $\lambda\in \Lambda$가 존재하여 $x_\lambda\in X\setminus U_i$인데 

집합 정리와 덮개 정리로 $x_\lambda \in \displaystyle \bigcap_{i=1}^n(X\setminus U_i) = X\setminus \bigcup_{i=1}^nU_i = X\setminus \bigcup\mathcal{F}_D = X\setminus X = \emptyset$임에 따라 모순이므로 

$\{ x_\lambda : \lambda_{U_i}\le_\Lambda\lambda\}\subseteq U_i$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하고

$\lambda_{U_i}\le_\Lambda \lambda,\mu$인 모든 $\lambda,\mu\in \Lambda$에 대해 $(x_\lambda,x_\mu)\in U_i^2\subseteq D$가 되어 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

$2\to 3$

그물 정리로 어떤 상향 원순서집합 $(M,\le_M)$에서 $X$의 초그물인 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물 $(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$가 존재하여 

$(x_{\lambda_\mu})_{\mu\in M}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

$3\to 1$

$(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간이 아니라고 가정하면 위 정리로 어떤 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in X$이 $X\not\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^nD[x_i]$이므로 $X\setminus \displaystyle \bigcup_{i=1}^n D[x_i]\ne \emptyset$이다.

위 정리로 $X\ne \emptyset$이므로 선택 정리로 $x_1\in X$를 선택하고

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $i<j$인 모든 $i,j=1,2,\cdots,k$가 $x_j\notin D[x_i]$인 $x_1,x_2,\cdots,x_k\in X$가 강귀납적으로 정의될때

$X\setminus \displaystyle \bigcup_{i=1}^k D[x_i]\ne \emptyset$이므로 선택 정리로 $x_{k+1}\in X\setminus \displaystyle \bigcup_{i=1}^k D[x_i]$을 선택하면

모든 $i=1,2,\cdots,k$에 대해 $x_{k+1}\notin D[x_i]$이다.

강귀납적으로 정의된 $X$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$은

그물 정리로 $(x_n)_{n=1}^\infty = (x_n)_{n\in \mathbb{Z}^+}$은 상향 원순서집합 $(\mathbb{Z}^+,\le)$에서 $X$의 그물이고 $\mathbb{Z}^+\ne \emptyset$이므로

어떤 상향 원순서집합 $(M,\le_M)$에 대해 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물인 $(x_n)_{n\in \mathbb{Z}^+}$의 부분그물 $(x_{n_\mu})_{\mu\in M}$가 존재하여

$D\in \mathcal{D}$임에 따라 $\mu_D\le_M \mu_1,\mu_2$인 모든 $\mu_1,\mu_2\in M$가 $(x_{n_{\mu_1}},x_{n_{\mu_2}})\in D$인 $\mu_D\in M$가 존재한다.

부분그물의 정의로 $n_{\mu_D}< n_{\mu_D} +1 \le n_{\mu_0}$인 $\mu_0\in M$이 존재하고

상향 원순서집합의 정의로 $\mu_D,\mu_0\le_M \mu$인 $\mu\in M$가 존재하여

$(x_{n_{\mu_D}}, x_{n_\mu})\in D$이므로 관계의 상의 정의로 $x_{n_\mu}\in D[x_{n_{\mu_D}}]$이고

부분그물의 정의로 $n_{\mu_D}< n_{\mu_D} +1 \le n_{\mu_0}\le n_\mu$이므로 $x_{n_\mu}\notin D[x_{n_{\mu_D}}]$임에 따라 모순이다.

따라서 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

 

 

 

정리20

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간이고 완전유계균등공간인 것이다.

2. 임의의 $A\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 $A$가 $(X,\mathcal{D})$에서 완비이고 완전유계인 것이다.

증명

1.

$(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이면

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $\mathcal{D}$에서 코시그물일때

위 정리로 $\Lambda\ne \emptyset$이므로 콤팩트 정리로 어떤 $x\in X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$의 집적점이 되어

위 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴함에 따라 $(X,\mathcal{D})$는 완비균등공간이다.

콤팩트 정리로 모든 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 초그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하므로

위 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이 되어 위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

역으로 $(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간이고 완전유계균등공간이면

위 정리로 모든 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 초그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이므로

완비균등공간의 정의로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 수렴하여 콤팩트 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이다.

2.

균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간 $(A,\mathcal{D}|_A)$의 균등위상공간 $(A,\mathcal{T}_A)$는

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(A,\mathcal{T}|_A)$에 대해 $\mathcal{T}|_A = \mathcal{T}_A$이므로 1번으로

$(A,\mathcal{T}|_A)$가 콤팩트공간이기 위한 필요충분조건은 $(A,\mathcal{D}|_A)$가 완비균등공간이고 완전유계균등공간인 것이 되어 

$A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 $A$가 $(X,\mathcal{D})$에서 완비이고 완전유계인 것이다.

 

 

 

정리21

균등공간 $(X,\mathcal{D})$와 임의의 $B\subseteq X$와 임의의 $A\subseteq B$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간 $(X,\mathcal{D}|_X)$에 대해 $\mathcal{D}|_X = \mathcal{D}$이다.

2. $(B,\mathcal{D}|_B)$의 부분균등공간 $(A,\mathcal{D}|_B|_A)$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간 $(A,\mathcal{D}|_A)$에 대해 $\mathcal{D}|_B|_A = \mathcal{D}|_A$이다.

증명

1.

균등공간의 정의로 모든 $D\in \mathcal{D}$는 $D\subseteq X^2$이므로

부분균등공간의 정의와 집합 정리로 $\mathcal{D}|_X = \{ D\cap X^2 : D\in \mathcal{D}\} = \{ D:D\in \mathcal{D}\} = \mathcal{D}$이다.

2.

$A\subseteq B\subseteq X$이므로 $A^2 \subseteq B^2 \subseteq X^2$가 되어 부분균등공간의 정의와 집합 정리로

$\mathcal{D}|_B|_A = \{ D|_B\cap A^2 : D|_B\in \mathcal{D}|_B\} = \{ D\cap B^2\cap A^2: D\in \mathcal{D}\} = \{ D\cap A^2:D\in \mathcal{D}\} = \mathcal{D}|_A$이다.

 

 

 

정리22

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P})$일때 임의의 $D\subseteq X^2$와 임의의 $x\in X$와 관계의 상에 대해 다음이 성립한다.

1. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(D[x]) \subseteq \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D)[x]$

2. $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)[x]\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(D[x])$

3. $D$가 $(X^2,\mathcal{P})$에서 닫힌집합이면 $D[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

4. $D$가 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이면 $D[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

증명

1.

모든 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(D[x])$는 모든 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $(x,y)$의 열린근방 $O$에 대해 

유한 곱공간 정리와 기저 정리로 $(x,y)\in U\times V\subseteq O$인 $U,V\in \mathcal{T}$가 존재하여 

$y\in V$이므로 $V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방이고 폐포의 정의로 $D[x]\cap V\ne \emptyset$이므로 

$z\in D[x]\cap V$가 존재하여 관계의 상의 정의로 $(x,z)\in D$이고 $(x,z)\in U\times V\subseteq O$임에 따라

$(x,z)\in D\cap O$이므로 $D\cap O\ne \emptyset$이고 폐포의 정의로 $(x,y) \in\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D)$가 되어

관계의 상의 정의로 $y \in\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D)[x]$이므로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(D[x]) \subseteq \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D)[x]$이다.

2.

내부 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)\subseteq D$이고 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이므로 

관계 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)[x]\subseteq D[x]$이고 관계 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어

내부 정리로 $\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)[x]\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(D[x])$이다.

3.

1번과 폐포 정리로 $D[x]\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(D[x]) \subseteq \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(D)[x] = D[x]$이므로 

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(D[x])= D[x]$가 되어 폐포 정리로 $D[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

3.

2번과 내부 정리로 $D[x]=\underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)[x]\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(D[x])\subseteq D[x]$이므로 

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(D[x])= D[x]$가 되어 내부 정리로 $D[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

 

 

 

정리23

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $B$가 유한집합이면 $B$는 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이다.

2. $B\ne \emptyset$일때 $B$가 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이면

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 어떤 $n_D\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $B\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_D}D[x_i]$인 $x_1,x_2,\cdots,x_{n_D}\in B$가 존재한다.

3. $B\ne \emptyset$일때 $B$가 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이기 위한 필요충분조건은 

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 어떤 $n_D\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $B\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_D}D[x_i]$인 $x_1,x_2,\cdots,x_{n_D}\in X$가 존재하는 것이다.

4. $B$가 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계일때 $A\subseteq B$이면 $A$는 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이다.

5. $B$가 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$가 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계인 것이다.

증명

$(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간이 $(A,\mathcal{D}|_A),(B,\mathcal{D}|_B)$일때

1.

위 정리로 $(B,\mathcal{D}|_B)$는 완전유계균등공간이므로 $B$는 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이다.

2, 3

$B$가 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이면

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 부분균등공간의 정의로 $D|_B=D\cap B^2\in \mathcal{D}|_B$이고 $D|_B=D\cap B^2 \subseteq D\subseteq X^2$이므로

$(B,\mathcal{D}|_B)$가 완전유계균등공간임에 따라

위 정리로 어떤 $n_D\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_D}D|_B[x_i]$인 $x_1,x_2,\cdots,x_{n_D}\in B\subseteq X$가 존재하여

관계 정리로 $B\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_D}D|_B[x_i] \subseteq \bigcup_{i=1}^{n_D}D[x_i]$이다.

역으로 조건이 성립하면

모든 $D|_B\in \mathcal{D}|_B$에 대해 부분균등공간의 정의로 $D|_B=D\cap B^2$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여

균등공간 정리로 $E\circ E^{-1}\subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하고

어떤 $n_E\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_E}E[x_i]$인 $x_1,x_2,\cdots,x_{n_E}\in X$가 존재한다.

함수 정리로 $\mathcal{F}_{D|_B} =\{E[x_i]\cap B : i=1,2,\cdots,n_E \}$는 유한집합이고

모든 $x\in B\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_E}E[x_i]$에 대해 $x\in E[x_i]$인 $i=1,2,\cdots,n_E$가 존재하여

$x\in E[x_i]\cap B\in \mathcal{F}_{D|_B}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_{D|_B}$이고 $B\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_{D|_B}$이다.

모든 $i=1,2,\cdots,n_E$에 대해 $E[x_i]\cap B\subseteq B$이므로 $\mathcal{F}_{D|_B}$는 $B$의 덮개이고

모든 $(x,y) \in (E[x_i]\cap B)^2$에 대해 $x,y\in E[x_i]$이므로 관계의 상의 정의로 $(x_i,x),(x_i,y)\in E$가 되어

역관계의 정의로 $(x,x_i)\in E^{-1}$이고 합성관계의 정의로 $(x,y)\in E\circ E^{-1}\subseteq D$이므로 $(x,y)\in B^2$임에 따라

$(x,y)\in D\cap B^2 = D|_B$가 되어 $(E[x_i]\cap B)^2\subseteq D|_B$이고 $(B,\mathcal{D}|_B)$는 완전유계균등공간이므로

$B$는 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이다.

4.

$A = \emptyset$이면 1번으로 $A$는 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이다.

$A\ne \emptyset$이면 $A\subseteq B$이므로 $B\ne \emptyset$이고 3번으로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 어떤 $n_D\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$A\subseteq B\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_D}D[x_i]$인 $x_1,x_2,\cdots,x_{n_D}\in X$가 존재함에 따라 3번으로 $A$는 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이다.

5.

$B$가 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이면

$B = \emptyset$일때 위상공간 정리와 폐포 정리로 $\emptyset = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\emptyset) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이므로

1번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$는 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이다.

$B\ne \emptyset$일때 폐포 정리로 $B\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이므로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\ne \emptyset$이다.

위 정리로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E\circ E\subseteq D$이고 $E = E^{-1}$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

모든 $x\in X$에 대해 $E[x]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고

3번으로 어떤 $n_D\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_D}E[x_i]$인 $x_1,x_2,\cdots,x_{n_D}\in X$가 존재한다.

모든 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$에 대해 폐포의 정의로 $E[x]\cap B\ne \emptyset$이므로 $y\in E[x]\cap B$가 존재하여

$y\in E[x]$이므로 관계의 상의 정의로 $(x,y)\in E$이고

$y\in B\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_E}E[x_i]$이므로 $y\in E[x_i]$인 $i=1,2,\cdots,n_D$가 존재하여 $(x_i,y)\in E$이고

역관계의 정의로 $(y,x)\in E^{-1} = E$임에 따라 합성관계의 정의로 $(x_i,x)\in E\circ E\subseteq D$가 되어

관계의 상의 정의로 $x\in D[x_i]$이고 $x\in \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_D}D[x_i]$이므로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^{n_D}D[x_i]$가 되어 3번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$는 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이다.

역으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$가 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이면

폐포 정리로 $B\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이므로 4번으로 $B$는 $(X,\mathcal{D})$에서 완전유계이다.

 

 

 

정리24

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수일때

임의의 $A\subseteq X$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 완전유계이면 $f(A)$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 완전유계이다.

증명

$A = \emptyset$이면 $f(A) = \emptyset$이므로 위 정리로 $f(A)$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 완전유계이다.

$A\ne \emptyset$이면 $f(A)\ne \emptyset$이고 

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 균등공간 정리로 $\{ D_Y[y] : y\in Y\}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개이므로 

균등연속 정리로 $\{ f^{-1}(D_Y[y]): y\in Y\}$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개가 되어 

어떤 $D_X\in \mathcal{D}_X$에 대해 $\{ D_X[x]:x\in X\}$가 $\{ f^{-1}(D_Y[y]): y\in Y\}$의 세분이고

위 정리로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $A\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^n D_X[x_i]$인 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in X$이 존재한다.

세분의 정의로 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $D_X[x_i]\subseteq f^{-1}(D_Y[y_i])$인 $y_i \in Y$가 존재하여

함수 정리와 함수 정리로 $f(A)\subseteq \displaystyle f(\bigcup_{i=1}^n D_X[x_i]) \subseteq f(\bigcup_{i=1}^n f^{-1}(D_Y[y_i])) \subseteq \bigcup_{i=1}^n f(f^{-1}(D_Y[y_i]))\subseteq \bigcup_{i=1}^n D_Y[y_i]$이므로 

위 정리로 $f(A)$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 완전유계이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/131#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/131#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797