균등공간의 완비화(Completion)

정의1

유사거리공간 $(X,\rho)$일때

유사거리공간에서 수열의 극한 :

$X$의 수열 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$과 임의의 점 $x \in X$에 대해

실수열 $(\rho(x_n , x))_{n = n_0}^\infty$가 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n , x)) = 0$으로 수렴하면

$x$를 $(X,\rho)$에서 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$의 극한이라 정의하고 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 $(X,\rho)$에서 $x$로 수렴한다고 정의한다.

$(X,\rho)$에서 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$의 극한이 유일하게 존재할때 극한이 $x$이면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,\rho)}(x_n) = x$로 표기한다.

$(X,\rho)$에서 수열의 극한이 존재하면 $(X,\rho)$에서 수렴한다고 정의하고

$(X,\rho)$에서 극한이 존재하지 않으면 $(X,\rho)$에서 발산한다고 정의한다.

유사거리공간에서 코시수열 :

$X$의 수열이 $(x_n)_{n =n_0}^\infty$일때

모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해 $H(\epsilon) \ge n_0$인 어떤 자연수 $H(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하여

$n,m \ge H(\epsilon) \ge n_0$인 모든 자연수 $n, m\in \mathbb{N}$이 $\rho(x_n , x_m) < \epsilon$이면 

$(x_n)_{n =n_0}^\infty$을 $(X,\rho)$에서 코시수열로 정의한다.

$X$의 수열을 $(x_{n})$인 형태로 표기하면 $n,m \ge H(\epsilon) \ge n_0$을 $n,m \ge H(\epsilon)$으로 표기하고

$H(\epsilon)$을 $(x_{n})$의 정의역의 최소원소보다 크거나 같다고 가정한다.

완비유사거리공간 :

$(X,\rho)$에서 모든 코시수열이 $(X,\rho)$에서 수렴하면 $(X,\rho)$를 완비유사거리공간 또는 완비라 정의한다.

 

 

 

정리1

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 임의의 $X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$과 임의의 $x\in X$에 대해

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\rho)$에서 $x$로 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하는 것이다.

증명

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\rho)$에서 $x$로 수렴하면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $x\in V$이고 

유사거리위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)\subseteq V$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여

유사거리공간에서 수렴의 정의로 $n\ge N(\epsilon)\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $\rho(x_n,x)< \epsilon$이 되는 $N(\epsilon)\in \mathbb{N}$이 존재함에 따라

열린공의 정의로 $x_n\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)\subseteq V$이고 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴한다.

역으로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하면

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 열린공의 정의와 유사거리위상공간의 정의로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로

위상공간에서 수렴의 정의로 $n\ge N(\epsilon)\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $x_n\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$이 되는 $N(\epsilon)\in \mathbb{N}$이 존재하여

열린공의 정의로 $\rho(x_n,x)< \epsilon$임에 따라 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\rho)$에서 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리2

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\rho)$에서 모든 코시수열은 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

2. $(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\rho)$가 완비유사거리공간인 것이다.

증명

임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2 : \rho(x,y)<\epsilon\}$일때 유사거리균등공간 정리로

$\{ D_\epsilon : \epsilon\in (0,\infty)\}$은 $(X,\mathcal{D})$의 기저이고 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간이다.

1.

$X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(X,\rho)$에서 코시수열일때

그물 정리로 $S = \{ n\in \mathbb{N}: n_0\le n\}$에 대해 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 상향 원순서집합 $(S,\le)$에서 $X$의 그물이고

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 기저의 정의로 $D_\epsilon \subseteq D$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여 

코시수열의 정의로 $H(\epsilon)\le n,m$인 모든 $n,m\in S$이 $\rho(x_n,x_m)< \epsilon$이 되는 $H(\epsilon)\in S$이 존재하므로 

$(x_n,x_m)\in D_\epsilon\subseteq D$임에 따라 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이다.

2.

$(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간이면

1번으로 $(X,\rho)$에서 모든 코시수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물이므로

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 어떤 $x\in X$로 수렴하고

수열 수렴의 정의와 위 정리로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\rho)$에서 $x$로 수렴하여 $(X,\rho)$는 완비유사거리공간이다.

역으로 $(X,\rho)$가 완비유사거리공간이면 

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 코시그물일때

$D_1\in \mathcal{D}$이므로 $\lambda_1\le_\Lambda \lambda, \mu$인 모든 $\lambda ,\mu\in \Lambda$에 대해 $(x_\lambda,x_\mu)\in D_1$인 $\lambda_1\in \Lambda$이 존재하고

반사성으로 $\lambda_1\le_\Lambda \lambda_1$임에 따라 선택 정리로 $\lambda_1$을 선택한다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\lambda_k \le_\Lambda \lambda, \mu$인 모든 $\lambda ,\mu\in \Lambda$가 $(x_\lambda,x_\mu)\in D_\frac{1}{k}$이고 

$i \le k$인 모든 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\lambda_i\le_\Lambda \lambda_k$인 $\lambda_k\in \Lambda$가 귀납적으로 정의될때

$D_\frac{1}{k+1}\in \mathcal{D}$이므로 코시그물의 정의로 $\lambda_0 \le_\Lambda \lambda, \mu$인 모든 $\lambda ,\mu\in \Lambda$가 $(x_\lambda,x_\mu)\in D_\frac{1}{k+1}$인 $\lambda_0\in \Lambda$이 존재하여

상향 원순서집합의 정의와 선택 정리로 $\lambda_k,\lambda_0\le_\Lambda \lambda_{k+1}$인 $\lambda_{k+1}\in \Lambda$을 선택하면

$\lambda_{k+1}\le_\Lambda \lambda,\mu$인 모든 $\lambda ,\mu\in \Lambda$는 추이성으로 $\lambda_0 \le_\Lambda \lambda, \mu$가 되어 $(x_\lambda,x_\mu)\in D_\frac{1}{k+1}$이고

$\lambda_k \le_\Lambda \lambda_{k+1}$이므로 추이성과 반사성으로 $\lambda_i\le_\Lambda \lambda_{k+1}$과 $\lambda_{k+1}\le_\Lambda \lambda_{k+1}$이 성립함에 따라 

$i \le k+1$인 모든 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\lambda_i\le_\Lambda \lambda_{k+1}$이다.

귀납적으로 정의된 $\Lambda$의 수열 $(\lambda_n)_{n=1}^\infty$에 대해 $X$의 수열이 $(x_{\lambda_n})_{n=1}^\infty$일때

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{N_\epsilon}<\epsilon$인 $N_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하고

$N_\epsilon\le n,m$인 모든 $n,m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\lambda_{N_\epsilon}\le_\Lambda \lambda_n,\lambda_m$이므로 $(x_{\lambda_n},x_{\lambda_m})\in D_\frac{1}{N_\epsilon}$이 되어

$\rho(x_{\lambda_n},x_{\lambda_m}) < \dfrac{1}{N_\epsilon} < \epsilon$임에 따라 $(x_{\lambda_n})_{n=1}^\infty$은 $(X,\rho)$에서 코시수열이고

완비유사거리공간의 정의로 $(x_{\lambda_n})_{n=1}^\infty$은 $(X,\rho)$에서 어떤 $x\in X$로 수렴한다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

유사거리위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)\subseteq V$인 $\epsilon \in (0,\infty)$이 존재하여

수열 수렴의 정의로 $N_\epsilon\le n$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$이 $\rho(x,x_{\lambda_n}) <\dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $N_\epsilon \in \mathbb{Z}^+$이 존재하고 

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{M_\epsilon}< \dfrac{\epsilon}{2}$인 $M_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$K_\epsilon = $ $\max$$\{ N_\epsilon,M_\epsilon\}$에 대해 $N_\epsilon\le K_\epsilon$이므로 $\rho(x,x_{\lambda_{K_\epsilon}})<\dfrac{\epsilon}{2}$이고

$\lambda_{K_\epsilon}\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $\lambda_{K_\epsilon}\le_\Lambda \lambda_{K_\epsilon},\lambda$임에 따라 $(x_{\lambda_{K_\epsilon}},x_\lambda)\in D_\frac{1}{K_\epsilon}$이고

$M_\epsilon\le K_\epsilon$이므로 $\rho(x_{\lambda_{K_\epsilon}},x_\lambda)< \dfrac{1}{K_\epsilon}\le \dfrac{1}{M_\epsilon}< \dfrac{\epsilon}{2}$가 되어

유사거리공간의 정의로 $\rho(x,x_\lambda) \le \rho(x,x_{\lambda_{K_\epsilon}}) + \rho(x_{\lambda_{K_\epsilon}},x_\lambda) < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$임에 따라

열린공의 정의로 $x_\lambda\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)\subseteq V$이고 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하므로 $(X,\mathcal{D})$는 완비균등공간이다.

 

 

 

정의2

유사거리공간 $(X,\rho)$에 대해 양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$와 $X$의 데카르트곱의 멱집합이 $\mathcal{P}(\mathbb{Z}^+\times X)$이고

$(X,\rho)$에서 코시수열들의 집합이 $\mathcal{C} = \{ (x_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{P}(\mathbb{Z}^+\times X): (x_n)_{n=1}^\infty\text{은 }(X,\rho)\text{에서 코시수열}\}$일때

$\mathcal{C}$의 관계 $\mathcal{R}$이 모든 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$에 대해 

$((x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty)\in \mathcal{R}$이기 위한 필요충분조건이 실수열 $(\rho(x_n,y_n))_{n=1}^\infty$의 극한이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n,y_n)) = 0$인 것이면 

$\mathcal{R}$에 대한 $\mathcal{C}$의 몫집합 $\mathcal{C}/\mathcal{R}$과 동치류 $[(x_n)_{n=1}^\infty]_{\mathcal{R}},[(y_n)_{n=1}^\infty]_{\mathcal{R}}\in \mathcal{C}/\mathcal{R}$이

$\overline{\rho}([(x_n)_{n=1}^\infty]_{\mathcal{R}},[(y_n)_{n=1}^\infty]_{\mathcal{R}}) = \displaystyle \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n,y_n))$인 함수 $\overline{\rho}: \mathcal{C}/\mathcal{R}\times \mathcal{C}/\mathcal{R}\to [0,\infty)$에 대해

순서쌍 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\rho})$를 $(X,\rho)$의 완비화(completion)으로 정의한다.

 

 

 

정리3

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등동형사상이면

$f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이다.

2. 함수 $e:X\to Y$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등매장이면

 $e$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 매장이다.

증명

1.

균등동형사상의 정의로 $f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이고

$f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 존재하여 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $(X,\mathcal{D}_X)$로의 균등연속함수이므로

균등연속 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고

$f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수임에 따라 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이다.

2.

$(Y,\mathcal{D}_Y)$의 부분균등공간이 $(e(X),\mathcal{D}_Y|_{e(X)})$이고 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분위상공간이 $(e(X),\mathcal{T}_Y|_{e(X)})$일때

균등공간 정리로 $(e(X),\mathcal{D}_Y|_{e(X)})$의 균등위상공간은 $(e(X),\mathcal{T}_Y|_{e(X)})$이다.

균등매장의 정의로 모든 $x\in X$가 $f(x) = e(x)$인

함수 $f:X\to e(X)$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(e(X),\mathcal{D}_Y|_{e(X)})$로의 균등동형사상이므로 

1번으로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(e(X),\mathcal{T}_Y|_{e(X)})$로의 위상동형사상이 되어 $e$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 매장이다.

 

 

 

정리4

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때

임의의 $A\subseteq X$에 대해 $(X,\rho)$의 부분유사거리공간 $(A,\rho)$이고 $(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간이 $(A,\mathcal{D}|_A)$이면 

$(A,\rho)$의 유사거리균등공간 $(A,\mathcal{D}_A)$에 대해 $\mathcal{D}|_A = \mathcal{D}_A$이다.

증명

유사거리균등공간 정리로 임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2: \rho(x,y) < \epsilon\}$의 축소관계는 $D_\epsilon|_A = D_\epsilon\cap A^2 = \{ (x,y)\in A^2 : \rho(x,y)<\epsilon\}$이므로

$\{ D_\epsilon: \epsilon\in (0,\infty)\}$는 $\mathcal{D}$의 기저이고 $\{ D_\epsilon|_A: \epsilon\in (0,\infty)\}$는 $\mathcal{D}_A$의 기저이다.

모든 $D|_A\in \mathcal{D}|_A$에 대해 부분균등공간의 정의로 $D|_A = D\cap A^2$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 

기저의 정의로 $D_\epsilon \subseteq D$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하므로 $D_\epsilon|_A = D_\epsilon\cap A^2 \subseteq D\cap A^2 =D|_A$이고

기저의 정의로 $D_\epsilon|_A\in \mathcal{D}_A$임에 따라 균등공간의 정의로 $D|_A\in \mathcal{D}_A$이므로 $\mathcal{D}|_A \subseteq \mathcal{D}_A$이다.

모든 $D_A\in \mathcal{D}_A$에 대해 기저의 정의로 $D_\epsilon|_A\subseteq D_A$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하고 $D_\epsilon\in \mathcal{D}$이므로 

부분균등공간의 정의로 $D_\epsilon|_A = D_\epsilon \cap A^2\in \mathcal{D}|_A$임에 따라 균등공간의 정의로 $D_A\in \mathcal{D}|_A$가 되어 $\mathcal{D}_A \subseteq \mathcal{D}|_A$이고

집합 정리로 $\mathcal{D}|_A = \mathcal{D}_A$이다.

 

 

 

정리5

유사거리공간 $(X,\rho_X),(Y,\rho_Y)$의 유사거리위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$이고

$(X,\rho_X),(Y,\rho_Y)$의 유사거리균등공간이 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$일때

모든 $x_1,x_2\in X$가 $\rho_X(x_1,x_2) = \rho_Y(f(x_1),f(x_2))$인 함수 $f:X\to Y$에 대해

$(Y,\rho_Y)$의 부분유사거리공간이 $(f(X),\rho_Y)$이고 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분위상공간이 $(f(X),\mathcal{T}_Y|_{f(X)})$이면 다음이 성립한다.

1. $f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

2. $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

3. 모든 $x\in X$와 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon) = f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon)) = f^{-1}(\underset{(f(X),\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon))$이다.

4. 모든 $x\in X$와 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $f(\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon)) = \underset{(f(X),\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon)$이다.

5. 모든 $x\in X$에 대해 $g(x) =f(x)$인

함수 $g:X\to f(X)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(f(X),\mathcal{T}_Y|_{f(X)})$로의 열린함수이고 닫힌함수이다.

6. $f$가 단사이면 $f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등매장이다.

7. $f$가 단사이면 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 매장이다.

증명

1.

유사거리균등공간 정리로 임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$D_\epsilon = \{ (x_1,x_2)\in X^2 : \rho_X(x_1,x_2)<\epsilon\}$이고 $E_\epsilon = \{ (y_1,y_2)\in Y^2 : \rho_Y(y_1,y_2)<\epsilon\}$일때 

$\{ D_\epsilon:\epsilon\in (0,\infty)\}$은 $(X,\mathcal{D}_X)$의 기저이고 $\{ E_\epsilon:\epsilon\in (0,\infty)\}$은 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 기저이다.

모든 $E \in \mathcal{D}_Y$에 대해 $E_\epsilon\subseteq E$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여 $D_\epsilon\in \mathcal{D}_X$이고

모든 $(x_1,x_2)\in D_\epsilon$에 대해 $\rho_Y(f(x_1),f(x_2))=\rho_X(x_1,x_2) < \epsilon$이므로 $(f(x_1),f(x_2))\in E_\epsilon \subseteq E$임에 따라

$f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

2.

유사거리균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$이므로

1번과 균등연속 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

3.

모든 $x_0\in \underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon)$은 열린공의 정의로 $\rho_Y(f(x),f(x_0))=\rho_X(x,x_0) < \epsilon$이므로

$f(x_0)\in \underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon)$이 되어 $x_0\in f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon)$임에 따라 $\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon) \subseteq f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon))$이다.

모든 $x_0\in f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon))$은 $f(x_0)\in \underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon)$이므로 

열린공의 정의로 $\rho_X(x,x_0)=\rho_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon$이 되어 $x_0\in \underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon)$임에 따라

$f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon))\subseteq \underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon)$이고 집합 정리로 $\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon) = f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon))$이다.

$f(x)\in f(X)\subseteq Y$임에 따라

열린공의 정의로 $\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon)\cap f(X) = \underset{(f(X),\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon)$이고 $\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon)\subseteq X$이므로 

집합 정리와 함수 정리와 함수 정리로

$\begin{align*}\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon) &=\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon)\cap X \\[0.5em]&=f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon))\cap f^{-1}(f(X)) \\[0.5em]&=f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon)\cap f(X)) \\[0.5em]&= f^{-1}(\underset{(f(X),\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon))\text{ 이다.} \end{align*}$

4.

3번과 함수 정리로 $f(\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon)) = f(f^{-1}(\underset{(f(X),\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon))) \subseteq \underset{(f(X),\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon)$이고

모든 $y_0\in \underset{(f(X),\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon)\subseteq f(X)$은 $y_0 = f(x_0)$인 $x_0\in X$이 존재하여 

열린공의 정의로 $\rho_X(x,x_0) =\rho_Y(f(x),f(x_0)) = \rho_Y(f(x),y_0) < \epsilon$이므로 $x_0\in \underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon)$임에 따라

$y_0 = f(x_0)\in f(\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon))$이고 $\underset{(f(X),\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon)\subseteq f(\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon))$이 되어

집합 정리로 $f(\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon)) = \underset{(f(X),\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon)$이다.

5.

유사거리위상공간 정리로 $(f(X),\rho_Y)$의 유사거리위상공간은 $(f(X),\mathcal{T}_Y|_{f(X)})$이다.

임의의 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합 $O$에 대해 모든 $y\in g(O) = f(O)$는 $y = f(x)$인 $x\in O$가 존재하여

유사거리위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon)\subseteq O$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하고

모든 $y_0 \in \underset{(f(X),\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon) \subseteq f(X)$에 대해 $y_0= f(x_0)$인 $x_0\in X$이 존재하므로 

열린공의 정의로 $\rho_X(x,x_0) =\rho_Y(f(x),f(x_0))=\rho_Y(f(x),y_0) < \epsilon$이 되어 $x_0\in \underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon)\subseteq O$이고

$y_0 =f(x_0)\in f(O)$임에 따라 $\underset{(f(X),\rho_Y)}{B}(y,\epsilon)=\underset{(f(X),\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon) \subseteq f(O) = g(O)$가 되어

유사거리위상공간 정리로 $g(O)$는 $(f(X),\mathcal{T}_Y|_{f(X)})$에서 열린집합이므로

$g$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(f(X),\mathcal{T}_Y|_{f(X)})$로의 열린함수이다.

임의의 $E\subseteq X$에 대해 모든 $y\in \underset{(f(X),\mathcal{T}_Y|_{f(X)})}{\operatorname{cl}(g(E))} = \underset{(f(X),\mathcal{T}_Y|_{f(X)})}{\operatorname{cl}(f(E))}\subseteq f(X)$는 $y = f(x)$인 $x\in X$가 존재하여

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방 $U$에 대해 $f(x) \in f(U)$임에 따라

$f(U)=g(U)$는 $(f(X),\mathcal{T}_Y|_{f(X)})$에서 $y=f(x)$의 열린근방이므로 밀착점의 정의로 $f(U)\cap f(E)\ne \emptyset$이고

$y_0\in f(U)\cap f(E)$이 존재하여 $f(x_U)=y_0 = f(x_E)$인 $x_U\in U$와 $x_E\in E$가 존재하므로 

유사거리위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho_X)}{B}(x_U, \epsilon)\subseteq U$인 $\epsilon \in (0,\infty)$이 존재하고

유사거리공간의 정의로 $\rho_X(x_U,x_E)=\rho_Y(f(x_U),f(x_E)) = \rho_Y(y_0,y_0) = 0< \epsilon$임에 따라

열린공의 정의로 $x_E\in \underset{(X,\rho)}{B}(x_U, \epsilon)\subseteq U$이므로 $x_E\in U\cap E$이고 $U\cap E\ne \emptyset$이 되어

밀착점의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E)$이고 $y = f(x)\in f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E)) = g(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E))$임에 따라 

$\underset{(f(X),\mathcal{T}_Y|_{f(X)})}{\operatorname{cl}(g(E))}\subseteq g(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E))$이므로 닫힌함수 정리로 $g$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(f(X),\mathcal{T}_Y|_{f(X)})$로의 닫힌함수이다.

6.

$(Y,\mathcal{D}_Y)$의 부분균등공간이 $(f(X),\mathcal{D}_Y|_{f(X)})$일때 위 정리로 $(f(X),\rho_Y)$의 유사거리균등공간은 $(Y,\mathcal{D}_Y|_{f(X)})$이다.

1번과 균등연속 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $g(x) =f(x)$인

함수 $g:X\to f(X)$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(f(X),\mathcal{D}_Y|_{f(X)})$로의 균등연속함수이고

함수 정리와 역함수 정리로 $g$의 역함수 $g^{-1} : f(X)\to X$이 존재하여

모든 $y_1,y_2\in f(X)$에 대해 $y_1=f(x_1)=g(x_1)$이고 $y_2=f(x_2) =g(x_2)$인 $x_1,x_2\in X$가 존재함에 따라 

$\rho_Y(y_1,y_2) = \rho_Y(f(x_1),f(x_2)) = \rho_X(x_1,x_2) = \rho_X(g^{-1}(g(x_1)),g^{-1}(g(x_2))) = \rho_X(g^{-1}(y_1),g^{-1}(y_2))$이므로

1번으로 $g^{-1}$은 $(f(X),\mathcal{D}_Y|_{f(X)})$에서 $(X,\mathcal{D}_X)$로의 균등연속함수이고

$g$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(f(X),\mathcal{D}_Y|_{f(X)})$로의 균등동형사상이 되어 $f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등매장이다.

7.

6번과 위 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 매장이다.

 

 

 

정리6

유사거리공간 $(X,\rho)$의 완비화 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\rho})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{R}$은 $\mathcal{C}$의 동치관계이다.

2. $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\rho})$는 완비유사거리공간이다.

3. $(\{ [(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R} : x\in X\},\overline{\rho})$는 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\rho})$의 부분유사거리공간이다.

4. $(X,\rho),(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\rho})$의 유사거리위상공간이 $(X,\mathcal{T}),(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$이고 유사거리균등공간이 $(X,\mathcal{D}),(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{D}})$일때

모든 $x\in X$에 대해 $f(x) = [(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$인 함수 $f:X\to \mathcal{C}/\mathcal{R}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{D}})$로의 균등연속함수이고

모든 $x,y\in X$에 대해 $\rho(x,y) = \overline{\rho}(f(x),f(y))$와 $f(X) =\{ [(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}:x\in X\}$와 $\underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})}{\operatorname{cl}(f(X))} = \mathcal{C}/\mathcal{R}$이 성립한다.

증명

1.

모든 $(x_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$는 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x_n,x_n) = 0$이므로

상수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n,x_n)) = 0$이 되어 $((x_n)_{n=1}^\infty,(x_n)_{n=1}^\infty)\in \mathcal{R}$이다.

모든 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$에 대해 $((x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty)\in \mathcal{R}$이면

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x_n,y_n) = \rho(y_n,x_n)$이므로

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\rho(y_n,x_n))=\lim_{n\to \infty}(\rho(x_n,y_n)) = 0$이 되어 $((y_n)_{n=1}^\infty,(x_n)_{n=1}^\infty)\in \mathcal{R}$이다.

모든 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty,(z_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$에 대해 $((x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty)\in \mathcal{R}$이고 $((y_n)_{n=1}^\infty,(z_n)_{n=1}^\infty)\in \mathcal{R}$이면 

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 유사거리공간의 정의로 $0\le \rho(x_n,z_n)\le \rho(x_n,y_n) + \rho(y_n,z_n)$이므로

상수열 정리와 실수열 정리와 실수열 정리로

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} (\rho(x_n,z_n)) =\lim_{n\to \infty}( \rho(x_n,y_n) + \rho(y_n,z_n)) = \lim_{n\to\infty}(\rho(x_n,y_n)) + \lim_{n\to \infty}(\rho(y_n,z_n)) = 0$이 되어

$((x_n)_{n=1}^\infty,(z_n)_{n=1}^\infty)\in \mathcal{R}$임에 따라 $\mathcal{R}$은 $\mathcal{C}$의 동치관계이다.

2.

임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty \in \mathcal{C}$은 $(X,\rho)$에서 코시수열이므로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$n,m\ge K(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $n,m\in \mathbb{Z}^+$이 $\rho(x_n,x_m)<\dfrac{\epsilon}{2}$인 $K(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하고

$n,m\ge H(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $n,m\in \mathbb{Z}^+$이 $\rho(y_n,y_m)<\dfrac{\epsilon}{2}$인 $H(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$n,m\ge $ $\max$$\{K(\frac{\epsilon}{2}), H(\frac{\epsilon}{2})\}$인 모든 $n,m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 유사거리공간의 정의로

$\begin{align*}\rho(x_n,y_n) -\rho(x_m,y_m) &\le \rho(x_n,x_m) + \rho(x_m,y_n) - \rho(x_m,y_m) \\[0.5em]&\le \rho(x_n,x_m) + \rho(x_m,y_m) + \rho(y_m,y_n) - \rho(x_m,y_m)= \rho(x_n,x_m) + \rho(y_m,y_n) \\[0.5em]& < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이고}\end{align*}$

$\begin{align*}\rho(x_m,y_m) -\rho(x_n,y_n) &\le \rho(x_m,x_n) + \rho(x_n,y_m) - \rho(x_n,y_n) \\[0.5em]&\le \rho(x_m,x_n) + \rho(x_n,y_n) + \rho(y_n,y_m) - \rho(x_n,y_n)= \rho(x_m,x_n) + \rho(y_n,y_m) \\[0.5em]& < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 임에 따라}\end{align*}$

절댓값 정리로 $|\rho(x_n,y_n)- \rho(x_m,y_m)|< \epsilon$이므로

실수 코시수열 정리로 실수열 $(\rho(x_n,y_n))_{n=1}^\infty$은 수렴하고 실수열 정리로 $(\rho(x_n,y_n))_{n=1}^\infty$의 극한은 유일하다.

임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty,(z_n)_{n=1}^\infty,(w_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$에 대해

$[(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R} = [(z_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$이고 $[(y_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R} = [(w_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$이면

동치류 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\rho(x_n,z_n))= 0 = \lim_{n\to \infty}(\rho(y_n,w_n))$이므로 유사거리공간의 정의와 실수열 정리와 실수열 정리로

$\begin{align*} \overline{\rho}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(y_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) & = \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n,y_n)) \\[0.5em] & \le \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n,z_n) + \rho(z_n,y_n)) \\[0.5em] & \qquad = \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n,z_n)) +\lim_{n\to \infty}( \rho(z_n,y_n)) \\[0.5em] & \qquad = \lim_{n\to \infty}( \rho(z_n,y_n)) \\[0.5em] & \le \lim_{n\to \infty}( \rho(z_n,w_n) + \rho(w_n,y_n)) \\[0.5em] & \qquad = \lim_{n\to \infty}( \rho(z_n,w_n))+ \lim_{n\to \infty}( \rho(w_n,y_n)) \\[0.5em] & \qquad= \lim_{n\to \infty}( \rho(z_n,w_n)) \\[0.5em] & \qquad= \overline{\rho}([(z_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(w_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} \overline{\rho}([(z_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(w_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) & = \lim_{n\to \infty}(\rho(z_n,w_n)) \\[0.5em] & \le \lim_{n\to \infty}(\rho(z_n,y_n) + \rho(y_n,w_n)) \\[0.5em] & \qquad = \lim_{n\to \infty}(\rho(z_n,y_n)) +\lim_{n\to \infty}( \rho(y_n,w_n)) \\[0.5em] & \qquad = \lim_{n\to \infty}( \rho(z_n,y_n)) \\[0.5em] & \le \lim_{n\to \infty}( \rho(z_n,x_n) + \rho(x_n,y_n)) \\[0.5em] & \qquad = \lim_{n\to \infty}( \rho(z_n,x_n))+ \lim_{n\to \infty}( \rho(x_n,y_n)) \\[0.5em] & \qquad= \lim_{n\to \infty}( \rho(x_n,y_n)) \\[0.5em] & \qquad= \overline{\rho}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(y_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) \text{ 임에 따라} \end{align*}$

$\overline{\rho}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(y_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) = \overline{\rho}([(z_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(w_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R})$이다.

모든 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$은

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x_n,y_n)\ge 0$이므로 실수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(\rho(x_n,y_n))\ge 0$이 되어 

$\overline{\rho}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(y_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) = \displaystyle \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n,y_n))$인 $\overline{\rho} :\mathcal{C}/\mathcal{R}\times \mathcal{C}/\mathcal{R}\to [0,\infty)$는 함수이다.

임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty \in \mathcal{C}$은 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x_n,x_n) = 0$이므로 

실수열 정리로 $\overline{\rho}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R})=\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n,x_n)) = 0$이다.

임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$은 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

유사거리공간의 정의로 $\rho(x_n,y_n) = \rho(y_n,x_n)$이므로 $(\rho(x_n,y_n))_{n=1}^\infty = (\rho(y_n,x_n))_{n=1}^\infty$이 되어 

$\displaystyle \overline{\rho}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(y_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R})=\lim_{n\to \infty}(\rho(x_n,y_n)) = \lim_{n\to \infty}(\rho(y_n,x_n)) = \overline{\rho}([(y_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R})$이다.

임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty,(z_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$은 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

유사거리공간의 정의로 $\rho(x_n,z_n)\le \rho(x_n,y_n) + \rho(y_n,z_n)$이므로 실수열 정리와 실수열 정리로

$\begin{align*}\overline{\rho}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(z_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R})  = \lim_{n\to\infty}(\rho(x_n,z_n)) &\le \lim_{n\to\infty}(\rho(x_n,y_n) + \rho(y_n,z_n)) \\[0.5em]& =\lim_{n\to\infty}(\rho(x_n,y_n)) + \lim_{n\to \infty}(\rho(y_n,z_n)) \\[0.5em]& =\overline{\rho}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(y_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) +\overline{\rho}([(y_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(z_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R})\text{ 임에 따라} \end{align*} $

$(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\rho})$는 유사거리공간이다.

임의의 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\rho})$에서 코시수열 $(A_k)_{k = k_0}^\infty$는

$k\ge k_0$인 모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $A_k\in \mathcal{C}/\mathcal{R}$이므로 선택 정리로 $A_k = [(x_{n}(k))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$인 $(x_{n}(k))_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$를 선택할때

모든 $r \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정렬성과 코시수열의 정의와 귀납적 정의로 $k_{r+1}> k_r\ge \max\{r,k_0\}$이고

$i,j\ge k_r \ge k_0$인 모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$가 $\overline{\rho}([(x_{n}(i))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{n}(j))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) < \dfrac{1}{2\cdot r}$이 되는 $k_r\in \mathbb{Z}^+$을 선택하면

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n(i),x_n(j))) =\overline{\rho}([(x_{n}(i))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{n}(j))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) < \dfrac{1}{2\cdot r} < \dfrac{1}{r}$이므로

정렬성과 실수열 수렴의 정의와 귀납적 정의로 $n_{r+1}> n_r \ge r$이고 

$m \ge n_r$인 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$이 $|\rho(x_m(i),x_m(j)) - \displaystyle \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n(i),x_n(j)))| < \dfrac{1}{2\cdot r}$이 되는 $n_r\in \mathbb{Z}^+$을 선택하여

$-\dfrac{1}{2\cdot r}< \rho(x_m(i),x_m(j)) - \displaystyle \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n(i),x_n(j))) < \dfrac{1}{2\cdot r}$이고

$\rho(x_m(i),x_m(j)) < \dfrac{1}{2\cdot r} + \displaystyle \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n(i),x_n(j))) < \dfrac{1}{2\cdot r} + \dfrac{1}{2\cdot r} = \dfrac{1}{r}$이다.

$(x_{n_r}(k_r))_{r=1}^\infty$은 $X$의 수열이고 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{p}< \epsilon$인 $p\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$(x_n(k_{2\cdot p}))_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$는 $(X,\rho)$에서 코시수열이므로

$n,m \ge K(\epsilon - \frac{1}{p})$인 모든 $n,m\in \mathbb{Z}^+$이 $\rho(x_n(k_{2\cdot p}),x_m(k_{2\cdot p}))< \epsilon - \dfrac{1}{p}$인 $K(\epsilon-\frac{1}{p})\in \mathbb{Z}^+$가 존재하고

$q = \max \{ 2\cdot p, K(\epsilon -\frac{1}{p})\}$일때 

$i,j\ge q$인 모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$는 $k_i,k_j\ge k_q \ge k_{2\cdot p}$가 되어

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n(k_i),x_n(k_{2\cdot p}))) =\overline{\rho}([(x_{n}(k_i))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{n}(k_{2\cdot p}))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) < \dfrac{1}{2\cdot p}$이고 

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n(k_{2\cdot p}),x_n(k_j))) =\overline{\rho}([(x_{n}(k_{2\cdot p}))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{n}(k_j))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) < \dfrac{1}{2\cdot p}$이므로

$n_i,n_j \ge n_q \ge n_{2\cdot p}$임에 따라 $\rho(x_{n_i}(k_i),x_{n_i}(k_{2\cdot p})) < \dfrac{1}{2\cdot p}$이고 $\rho(x_{n_j}(k_{2\cdot p}),x_{n_j}(k_j)) < \dfrac{1}{2\cdot p}$가 되어

$n_i,n_j \ge n_q \ge q \ge K(\epsilon-\frac{1}{p})$이므로 유사거리공간의 정의로

$\begin{align*}\rho(x_{n_i}(k_i),x_{n_j}(k_j)) &\le \rho(x_{n_i}(k_i),x_{n_i}(k_{2\cdot p})) + \rho(x_{n_i}(k_{2\cdot p}),x_{n_j}(k_j)) \\[0.5em]& \le \rho(x_{n_i}(k_i),x_{n_i}(k_{2\cdot p})) + \rho(x_{n_i}(k_{2\cdot p}),x_{n_j}(k_{2\cdot p})) + \rho(x_{n_j}(k_{2\cdot p}), x_{n_j}(k_j)) \\[0.5em] &< \dfrac{1}{2\cdot p} + \epsilon - \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{2\cdot p} = \epsilon - \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p} = \epsilon \text{ 이고} \end{align*}$

$(x_{n_r}(k_r))_{r=1}^\infty$은 $(X,\rho)$에서 코시수열이다.

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{p}< \dfrac{\epsilon}{2}$인 $p\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$k\ge k_{2\cdot p}\ge k_0$인 모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $(x_n(k))_{n=1}^\infty$는 $(X,\rho)$에서 코시수열이므로

$i,j \ge H_k(\frac{1}{2\cdot p})$인 모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$가 $\rho(x_i(k), x_j(k)) < \dfrac{1}{2\cdot p}$가 되는 $H_k(\frac{1}{2\cdot p})\in \mathbb{Z}^+$이 존재하고

$i,j\ge k_{2\cdot p}$인 모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$는 $\overline{\rho}([(x_{n}(i))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{n}(j))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) < \dfrac{1}{2\cdot p}$이므로

$m \ge n_{2\cdot p}$인 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\rho(x_m(i),x_m(j)) < \dfrac{1}{2\cdot p}$이고

$r \ge \max \{H_k(\frac{1}{2\cdot p}) ,n_{2\cdot p}\}$인 모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n_r \ge r\ge H_k(\frac{1}{2\cdot p})$이므로 $\rho(x_r(k),x_{n_r}(k)) < \dfrac{1}{2\cdot p}$이고

$n_r\ge r \ge n_{2\cdot p}\ge 2\cdot p$이므로 $k, k_r\ge k_{2\cdot p}$임에 따라 $\rho(x_{n_r}(k),x_{n_r}(k_r))< \dfrac{1}{2\cdot p}$가 되어 유사거리공간의 정의로

$\rho(x_r(k), x_{n_r}(k_r))\le \rho(x_r(k),x_{n_r}(k)) + \rho(x_{n_r}(k),x_{n_r}(k_r)) < \dfrac{1}{2\cdot p} + \dfrac{1}{2\cdot p} = \dfrac{1}{p} < \dfrac{\epsilon}{2}$이고 

꼬리수열 정리와 실수열 정리로 $\displaystyle \overline{\rho}([(x_r(k))_{r=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{n_r}(k_r))_{r=1}^\infty]_\mathcal{R})=\lim_{r\to \infty}(\rho(x_r(k), x_{n_r}(k_r))) \le \dfrac{\epsilon}{2} < \epsilon$이므로

실수열 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty} (\overline{\rho}([(x_r(k))_{r=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{n_r}(k_r))_{r=1}^\infty]_\mathcal{R}))=0$이 되어

$(A_k)_{k=k_0}^\infty = ([(x_n(k))_{n=1}^\infty]_\mathcal{R})_{k=k_0}^\infty$가 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\rho})$에서 $[(x_{n_r}(k_r))_{r=1}^\infty]_\mathcal{R}$로 수렴함에 따라

$(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\rho})$는 완비유사거리공간이다.

3.

모든 $x\in X$에 대해 상수열 $(x)_{n=1}^\infty$는

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$과 모든 $n,m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,x) = 0<\epsilon$이므로 

$(x)_{n=1}^\infty$는 $(X,\rho)$에서 코시수열임에 따라 $(x)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$이고

$[(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}\in \mathcal{C}/\mathcal{R}$이므로 $\{ [(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}:x\in X\}\subseteq \mathcal{C}/\mathcal{R}$가 되어

유사거리공간 정리로 $(\{ [(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R} : x\in X\},\overline{\rho})$는 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\rho})$의 부분유사거리공간이다.

4.

$f(X) = \{ f(x) : x\in X\} = \{ [(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}:x\in X\}$이다.

모든 $A\in \mathcal{C}/\mathcal{R}$에 대해 $A = [(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$인 $(x_n)_{n=1}^\infty\in \mathcal{C}$이 존재하고

모든 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})$에서 $[(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}$의 열린근방 $\mathcal{O}$에 대해

유사거리위상공간 정리로 $\underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\rho})}{B}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},\epsilon)\subseteq \mathcal{O}$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여

코시수열의 정의로 $n,m\ge K(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $n,m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\rho(x_n,x_m)< \dfrac{\epsilon}{2}$인 $K(\frac{\epsilon}{2})\in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$[(x_{K(\frac{\epsilon}{2})})_{n=1}^\infty]_\mathcal{R} = f(x_{K(\frac{\epsilon}{2})})\in f(X)$이고 $n\ge K(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\rho(x_n,x_{K(\frac{\epsilon}{2})})< \dfrac{\epsilon}{2}$임에 따라

꼬리수열 정리와 실수열 정리로 $\displaystyle \overline{\rho}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},[(x_{K(\frac{\epsilon}{2})})_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) = \lim_{n\to \infty}(\rho(x_n,x_{K(\frac{\epsilon}{2})}))\le \dfrac{\epsilon}{2}<\epsilon$이므로

열린공의 정의로 $[(x_{K(\frac{\epsilon}{2})})]_\mathcal{R}\in \underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\rho})}{B}([(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R},\epsilon)\subseteq \mathcal{O}$이고

$[(x_{K(\frac{\epsilon}{2})})_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}\in \mathcal{O}\cap f(X)$가 되어 $\mathcal{O}\cap f(X)\ne \emptyset$이므로

폐포의 정의로 $A = [(x_n)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}\in \underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})}{\operatorname{cl}(f(X))}$임에 따라 $\mathcal{C}/\mathcal{R}\subseteq \underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})}{\operatorname{cl}(f(X))}$이고

폐포의 정의로 $\underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})}{\operatorname{cl}(f(X))} \subseteq \mathcal{C}/\mathcal{R}$이므로 집합 정리로 $\underset{(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{T}})}{\operatorname{cl}(f(X))} = \mathcal{C}/\mathcal{R}$이다.

실수열 정리로 모든 $x,y\in X$에 대해 $\displaystyle \rho(x,y) = \lim_{n\to \infty}(\rho(x,y))=\overline{\rho}([(x)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}, [(y)_{n=1}^\infty]_\mathcal{R}) = \overline{\rho}(f(x),f(y))$이므로

위 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(\mathcal{C}/\mathcal{R},\overline{\mathcal{D}})$로의 균등연속함수이다.

 

 

 

정리7

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$와 임의의 $A\subseteq X$에 대해

$(X,\mathcal{D}_X)$의 부분균등공간 $(A,\mathcal{D}_X|_A)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수가 $f:A\to Y$일때

$(Y,\mathcal{D}_Y)$가 완비균등공간이면 모든 $x\in A$에 대해 $\overline{f}(x) = f(x)$인

$(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A),\mathcal{D}_X|_{\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)})$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수 $\overline{f} : \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)\to Y$가 존재한다.

증명

분류 공리로 모든 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)$에 대해

$Y_x= \left \{ y\in Y : \; \begin{align*} & \text{모든 상향 원순서집합 }(\Lambda,\le_\Lambda)\text{에서 }A\text{의 그물 }(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}\text{에 대해 }\\[0.5em]& (x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}\text{가 }(X,\mathcal{T}_X)\text{에서 }x\text{로 수렴하면 }\\[0.5em]& (\Lambda,\le_\Lambda)\text{에서 }Y\text{의 그물 }(f(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}\text{가 }(Y,\mathcal{T}_Y)\text{에서 }y\text{로 수렴} \end{align*} \right \}$가 존재한다.

모든 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)$에 대해 임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $A$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$로 수렴하면 

그물 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 코시그물이므로 그물 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(A,\mathcal{D}_X|_A)$에서 코시그물이 되어

균등연속 정리로 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 코시그물이고

$(Y,\mathcal{D}_Y)$가 완비균등공간임에 따라 $(f(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 수렴한다.

밀착점 정리로 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$로 수렴하는 어떤 상향 원순서집합 $(M,\le_M)$에서 $A$의 그물 $(a_\mu)_{\mu\in M}$가 존재하여 

$(M,\le_M)$에서 $Y$의 그물 $(f(a_\mu))_{\mu\in M}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 어떤 $y \in Y$로 수렴한다.

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y$의 열린근방 $V_Y$에 대해 균등위상공간의 정의로 $D_Y[y]\subseteq V_Y$인 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하고

균등공간 정리로 $E_Y \circ E_Y\subseteq D_Y$인 $E_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하므로 

균등공간 정리로 $E_Y[y]$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y$의 근방임에 따라 

그물 수렴의 정의로 $\mu_{E_Y}\le_M \mu$인 모든 $\mu\in M$가 $f(a_\mu)\in E_Y[y]$가 되는 $\mu_{E_Y} \in M$가 존재하여

관계의 상의 정의로 $(y,f(a_\mu))\in E_Y$이다.

균등연속함수의 정의와 부분균등공간의 정의로

모든 $(a,b)\in D_X|_A = D_X\cap A^2$가 $(f(a),f(b))\in E_Y$가 되는 $D_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하여

균등공간 정리로 $E_X\circ E_X^{-1}\subseteq D_X$인 $E_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하고 균등공간 정리로 $E_X[x]$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 근방이므로

그물 수렴의 정의로 $\mu_{E_X}\le_M \mu$인 모든 $\mu\in M$가 $a_\mu\in E_X[x]$인 $\mu_{E_X} \in M$가 존재하고 

$\lambda_{E_X}\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$가 $x_\lambda\in E_X[x]$인 $\lambda_{E_X}\in \Lambda$가 존재하여 관계의 상의 정의로 $(x,x_\lambda),(x,a_\mu)\in E_X$이고

역관계의 정의로 $(a_\mu,x)\in E_X^{-1}$이므로 합성관계의 정의로 $(a_\mu,x_\lambda)\in E_X\circ E_X^{-1} \subseteq D_X$가 되어

$(a_\mu,x_\lambda)\in D_X\cap A^2 = D_X|_A$임에 따라 $(f(a_\mu),f(x_\lambda))\in E_Y$이다.

상향 원순서집합의 정의로 $\mu_{E_Y},\mu_{E_X}\le_M \mu$인 $\mu\in M$가 존재하여 $(y,f(a_\mu))\in E_Y$이고

$\lambda_{E_X}\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $(f(a_\mu),f(x_\lambda))\in E_Y$이므로

합성관계의 정의로 $(y,f(x_\lambda))\in E_Y\circ E_Y\subseteq D_Y$이고 관계의 상의 정의로 $f(x_\lambda)\in D_Y[y]\subseteq V_Y$임에 따라 

$(f(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y$로 수렴하여 $y\in Y_x$이고 $Y_x\ne \emptyset$이다.

$(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간이 $(A,\mathcal{T}_X|_A)$일때 균등공간 정리로 $(A,\mathcal{D}_X|_A)$의 균등위상공간은 $(A,\mathcal{T}_X|_A)$이고

모든 $x\in A$에 대해 임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $A$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$로 수렴하면 

그물 정리로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(A,\mathcal{T}_X|_A)$에서 $x$로 수렴하므로 균등연속 정리와 연속함수 정리로

$(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f(x_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(x)$로 수렴하여 $f(x)\in Y_x$이다.

선택 정리로 모든 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)\setminus A$에 대해 $g(x)\in Y_x$인 함수 $g :\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)\setminus A \to Y$가 존재하여 

모든 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)$에 대해 $\overline{f}(x)= \begin{cases} f(x) & x\in A\text{일때}\\[0.5em] g(x)& x\notin A\text{일때} \end{cases}$인 함수 $\overline{f} : \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)\to Y$는

폐포 정리로 $A\subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)$이므로 모든 $x\in A\subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)$에 대해 $\overline{f}(x) = f(x)\in Y_x$이고

모든 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)\setminus A$에 대해 $x\notin A$임에 따라 $\overline{f}(x) = g(x)\in Y_x$이다.

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 균등공간 정리로 $E_Y\circ E_Y \circ E_Y\subseteq D_Y$이고 $E_Y = E_Y^{-1}$인 $E_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하므로

균등연속함수의 정의와 부분균등공간의 정의로 모든 $(a,b)\in D_X|_A$가 $(f(a),f(b))\in E_Y$인 $D_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하고

균등공간 정리로 $E_X \circ E_X^{-1} \subseteq D_X$인 $E_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하여

모든 $x\in X$에 대해 $E_X[x]$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방이고 부분균등공간의 정의로 $E_X|_{\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)}\in \mathcal{D}_X|_{\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)}$이다.

모든 $(a,b)\in E_X|_{\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)}$는 $a,b\in \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)$이므로 밀착점 정리로 

어떤 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda),(M,\le_M)$에서 $A$의 그물 $(a_\lambda)_{\lambda\in \Lambda},(b_\mu)_{\mu\in M}$가 존재하여 

$(a_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $a$로 수렴하고 $(b_\mu)_{\mu\in M}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $b$로 수렴하므로

$\overline{f}(a)\in Y_a$이고 $\overline{f}(b)\in Y_b$임에 따라 $(\Lambda,\le_\Lambda),(M,\le_M)$에서 $Y$의 그물 $(f(a_\lambda))_{\lambda\in \Lambda},(f(b_\mu))_{\mu\in M}$에 대해 

$(f(a_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $\overline{f}(a)$로 수렴하고 $(f(b_\mu))_{\mu\in M}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $\overline{f}(b)$로 수렴한다.

축소관계의 정의로 $(a,b)\in E_X|_{\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)} \subseteq E_X$이므로

관계의 상의 정의로 $b\in E_X[a]$가 되어 $E_X[a]$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $a,b$의 열린근방임에 따라

그물 수렴의 정의로 $\lambda_{E_X}\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda \in \Lambda$가 $a_\lambda \in E_X[a]$인 $\lambda_{E_X} \in \Lambda$가 존재하고 

$\mu_{E_X}\le_M \mu$인 모든 $\mu\in M$가 $b_\mu\in E_X[a]$인 $\mu_{E_X}\in M$가 존재하여 관계의 상의 정의로 $(a,a_\lambda),(a,b_\mu)\in E_X$이고

역관계의 정의로 $(a_\lambda,a)\in E_X^{-1}$이므로 합성관계의 정의로 $(a_\lambda,b_\mu)\in E_X\circ E_X^{-1} \subseteq D_X$가 되어

$(a_\lambda,b_\mu)\in D_X\cap A^2 = D_X|_A$임에 따라 $(f(a_\lambda),f(b_\mu))\in E_Y$이다.

균등공간 정리로 $E_Y[\overline{f}(a)]$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $\overline{f}(a)$의 근방이고 $E_Y[\overline{f}(b)]$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $\overline{f}(b)$의 근방이므로 

그물 수렴의 정의와 관계의 상의 정의로

$\lambda_{E_Y}\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$가 $f(a_\lambda)\in E_Y[\overline{f}(a)]$인 $\lambda_{E_Y} \in \Lambda$가 존재하여 $(\overline{f}(a),f(a_\lambda))\in E_Y$이고

$\mu_{E_Y}\le_M \mu$인 모든 $\mu\in M$가 $f(b_\mu)\in E_Y[\overline{f}(b)]$인 $\mu_{E_Y}\in M$가 존재하여 $(\overline{f}(b),f(b_\mu))\in E_Y$이다.

상향 원순서집합의 정의로 $\lambda_{E_X},\lambda_{E_Y}\le_\Lambda\lambda$인 $\lambda\in \Lambda$가 존재하고 $\mu_{E_X},\mu_{E_Y}\le_M \mu$인 $\mu\in M$가 존재하여 

$(\overline{f}(a),f(a_\lambda)),(f(a_\lambda),f(b_\mu)),(\overline{f}(b),f(b_\mu))\in E_Y$이므로 역관계의 정의로 $(f(b_\mu),\overline{f}(b))\in E_Y^{-1} = E_Y$이고 

합성관계의 정의로 $(\overline{f}(a),f(b_\mu))\in E_Y\circ E_Y$가 되어

합성관계의 정의와 관계 정리로 $(\overline{f}(a),\overline{f}(b)) \in E_Y \circ (E_Y\circ E_Y) = E_Y \circ E_Y\circ E_Y \subseteq D_Y$임에 따라 

$\overline{f}$는 $(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A),\mathcal{D}_X|_{\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(A)})$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

 

 

 

정리8

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이면

$(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$의 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 유사거리공간 $(X,\rho_\mathcal{U})$가 유일하게 존재하여 

$(X,\rho_\mathcal{U})$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{U})$와 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_\mathcal{U})$에 대해 $\mathcal{T}_\mathcal{U}\subseteq \mathcal{T}$와 $\mathcal{D}_\mathcal{U}\subseteq \mathcal{D}$가 성립하고

$\{ (X,\mathcal{T}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱공간이 $($$X^\mathbf{U}$$,\mathcal{P})$이고 $\{(X,\mathcal{D}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱균등공간이 $(X^\mathbf{U},\mathcal{D}_\mathbf{U})$일때

$X$의 항등함수 $i_X:X\to X$와 $(X,\mathcal{D})$에서 $\{(X,\mathcal{D}_\mathcal{U},i_X) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 평가함수 $e: X\to X^\mathbf{U}$에 대해

$e$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X^\mathbf{U},\mathcal{D}_\mathbf{U})$로의 균등매장이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X^\mathbf{U},\mathcal{P})$로의 매장이다.

증명

균등공간 정리로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D})$이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 균등덮개 정리로

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\mathcal{B}_\mathcal{U}(\epsilon) = \{ \underset{(X,\rho_\mathcal{U})}{B}(x,\epsilon) : x\in X\}$이 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이고 $\mathcal{B}_\mathcal{U}(1)$이 $\mathcal{U}$의 세분인

유사거리함수 $\rho_\mathcal{U} : X\times X\to [0,\infty)$가 존재하여 선택 정리로 $\rho_\mathcal{U}$를 선택하면

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 유사거리공간 $(X,\rho_\mathcal{U})$가 유일하게 존재한다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $(X,\rho_\mathcal{U})$의 유사거리균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U}_\mathcal{U})$이고 $(X,\rho_\mathcal{U})$의 유사거리균등공간이 $(X,\mathcal{D}_\mathcal{U})$일때 

유사거리공간 정리로 $(X,\mathbf{U}_\mathcal{U})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D}_\mathcal{U})$이고

$(X,\mathcal{D}_\mathcal{U})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합은 $\mathbf{U}_\mathcal{U}$이므로 

모든 $\mathcal{V}\in \mathbf{U}_\mathcal{U}$는 유사거리균등덮개공간 정리로 $\mathcal{B}_\mathcal{U}(\epsilon)$이 $\mathcal{V}$의 세분인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여 

$\mathcal{B}_\mathcal{U}(\epsilon)$이 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개임에 따라 $\mathcal{B}_\mathcal{U}(\epsilon)\in \mathbf{U}$이고 균등덮개공간의 정의로 $\mathcal{V}\in \mathbf{U}$이므로 $\mathbf{U}_\mathcal{U}\subseteq \mathbf{U}$이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 모든 $(X,\mathcal{D}_\mathcal{U})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{V}$는

$\mathcal{V}\in \mathbf{U}_\mathcal{U}\subseteq \mathbf{U}$이므로 $\mathcal{V}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개가 되어 

항등함수 정리로 $\mathcal{V} = \{ V:V\in \mathcal{V}\} = \{ i_X(V): V\in \mathcal{V}\} = \{ i_X^{-1}(V):V\in \mathcal{V}\}$임에 따라

균등연속 정리로 $i_X$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X,\mathcal{D}_\mathcal{U})$로의 균등연속함수이다.

균등덮개공간의 정의로 $\mathbf{U}\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하여

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $i_X(x) = x\ne y = i_X(y)$임에 따라 

$\{ i_X: \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $\{ (X,\mathcal{D}_\mathcal{U}):\mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$로 점을 분리한다.

$\{ (X,\mathbf{U}_\mathcal{U},\{i_X\}): \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 약한균등덮개공간이 $(X,\mathbf{W})$일때

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $(X,\mathbf{U}_\mathcal{U})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D}_\mathcal{U})$이므로

균등덮개공간 정리로 $(X,\mathbf{W})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D}_\mathbf{W})$는 $\{ (X,\mathcal{D}_\mathcal{U},\{i_X\}): \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 약한균등공간이고

모든 $\mathcal{V}\in \mathbf{U}_\mathcal{U}$에 대해 $i_X^{-1}[\mathcal{V}] = \{ i_X^{-1}(V) : V\in \mathcal{V}\} = \mathcal{V}$이므로 

$\displaystyle  \bigcup_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\{ i_X^{-1}[\mathcal{V}] : \mathcal{V}\in \mathbf{U}_\mathcal{U}\} = \bigcup_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}} \{ \mathcal{V} : \mathcal{V}\in \mathbf{U}_\mathcal{U}\} = \bigcup_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}} \mathbf{U}_\mathcal{U}$는 $(X,\mathbf{W})$의 부분기저이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 유사거리균등덮개공간 정리로 $\mathcal{B}_\mathcal{U}(1)\in \mathbf{U}_\mathcal{U}$이고

$\mathcal{B}_\mathcal{U}(1)$은 $\mathcal{U}$의 세분이므로 균등덮개공간의 정의와 부분기저의 정의로 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}_\mathcal{U} \subseteq \mathbf{W}$가 되어 $\mathbf{U}\subseteq \mathbf{W}$이다.

모든 $\mathcal{W}\in \mathbf{W}$에 대해 기저의 정의와 덮개 정리와 부분기저의 정의로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$\mathcal{B}_{\mathcal{U}_1}(\epsilon_1)\Cap \mathcal{B}_{\mathcal{U}_2}(\epsilon_2)\Cap \cdots \Cap \mathcal{B}_{\mathcal{U}_n}(\epsilon_n)$이 $\mathcal{W}$의 세분인 $\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2,\cdots, \mathcal{U}_n\in \mathbf{U}$과 $\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots, \epsilon_n\in (0,\infty)$이 존재하고 

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $\mathcal{B}_{\mathcal{U}_k}(\epsilon_k)$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로

균등덮개 정리로 $\mathcal{B}_{\mathcal{U}_1}(\epsilon_1)\Cap \mathcal{B}_{\mathcal{U}_2}(\epsilon_2)\Cap \cdots \Cap \mathcal{B}_{\mathcal{U}_n}(\epsilon_n)\in \mathbf{U}$가 되어 

균등덮개공간의 정의로 $\mathcal{W}\in \mathbf{U}$임에 따라 $\mathbf{W}\subseteq \mathbf{U}$이고 집합 정리로 $\mathbf{U} = \mathbf{W}$이므로 

$(X,\mathbf{U}) = (X,\mathbf{W})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$는 $\mathcal{D} = \mathcal{D}_\mathbf{W}$가 되어

$\{ (X,\mathcal{D}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱균등공간 $(X^\mathbf{U},\mathcal{D}_\mathbf{U})$에 대해 균등공간 정리로 

$(X,\mathcal{D})$에서 $\{(X,\mathcal{D}_\mathcal{U},i_X) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 평가함수 $e: X\to X^\mathbf{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X^\mathbf{U},\mathcal{D}_\mathbf{U})$로의 균등매장이다.

유사거리균등공간 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해

$(X,\mathcal{D}_\mathcal{U})$의 균등위상공간은 $(X,\rho_\mathcal{U})$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{U})$이므로

균등공간 정리로 $(X^\mathbf{U},\mathcal{D}_\mathbf{U})$의 균등위상공간은 $\{ (X,\mathcal{T}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱공간 $(X^\mathbf{U},\mathcal{P})$가 되어

위 정리로 $e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\displaystyle (X^\mathbf{U},\mathcal{P})$로의 매장이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $\mathbf{U}_\mathcal{U}\subseteq \mathbf{U}$이므로 균등공간 정리로 $\mathcal{D}_\mathcal{U}\subseteq \mathcal{D}$이고 $\mathcal{T}_\mathcal{U}\subseteq \mathcal{T}$이다.

 

 

 

정리9

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합이 $\mathbf{U}$이면

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 완비유사거리공간 $(X_\mathcal{U},\overline{\rho}_\mathcal{U})$가 유일하게 존재하여 

$(X_\mathcal{U},\overline{\rho}_\mathcal{U})$의 유사거리위상공간 $(X_\mathcal{U},\mathcal{T}_\mathcal{U})$에 대해 $\{ (X_\mathcal{U},\mathcal{T}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱공간이 $(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}X_\mathcal{U},\mathcal{P})$이고

$(X_\mathcal{U},\overline{\rho}_\mathcal{U})$의 유사거리균등공간 $(X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathcal{U})$에 대해 $\{ (X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱균등공간이 $(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathbf{U})$일때

어떤 함수 $e: X\to \displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}X_\mathcal{U}$가 존재하여

$(X,\mathcal{D})$에서 $(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathbf{U})$로의 균등연속함수이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $\displaystyle (\prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}X_\mathcal{U},\mathcal{P})$로의 연속함수이다.

증명

균등공간 정리로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D})$이다.

위 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해

유사거리공간 $(X,\rho_\mathcal{U})$가 유일하게 존재하여 $(X,\rho_\mathcal{U})$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{E}_\mathcal{U})$는 $\mathcal{E}_\mathcal{U}\subseteq \mathcal{D}$이므로

위 정리로 $(X,\rho_\mathcal{U})$의 완비화 $(X_\mathcal{U},\overline{\rho}_\mathcal{U})$가 완비유사거리공간이고

$(X_\mathcal{U},\overline{\rho}_\mathcal{U})$의 유사거리균등공간 $(X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathcal{U})$에 대해

$(X,\mathcal{E}_\mathcal{U})$에서 $(X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathcal{U})$로의 균등연속함수 $f_\mathcal{U} : X\to X_\mathcal{U}$가 유일하게 존재함에 따라

$f_\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathcal{U})$로의 균등연속함수가 되어

$(X,\mathcal{D})$에서 $\{(X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathcal{U},f_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 평가함수가 $e: X\to \displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}X_\mathcal{U}$일때

$\{ (X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱균등공간 $(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathbf{U})$에 대해

균등공간 정리로 $e$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathbf{U})$로의 균등연속함수이다.

유사거리균등공간 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해

$(X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathcal{U})$의 균등위상공간은 $(X_\mathcal{U},\overline{\rho}_\mathcal{U})$의 유사거리위상공간 $(X_\mathcal{U},\mathcal{T}_\mathcal{U})$이므로

균등공간 정리로 $(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathbf{U})$의 균등위상공간은 $\{ (X_\mathcal{U},\mathcal{T}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱공간 $(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}} X_\mathcal{U},\mathcal{P})$가 되어

균등연속 정리로 $e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\displaystyle (\prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}X_\mathcal{U},\mathcal{P})$로의 연속함수이다.

 

 

 

정리10

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때 완비균등공간인 어떤 균등공간 $(K,\mathcal{D}_K)$가 존재하여

$(X,\mathcal{D})$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등연속함수 $e:X\to K$가 존재하고

$(K,\mathcal{D}_K)$의 균등위상공간 $(K,\mathcal{T}_K)$에 대해 $\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(e(X)) = K$이다.

증명

$(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합이 $\mathbf{U}$일때

균등공간 정리로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D})$이다.

위 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 완비유사거리공간 $(X_\mathcal{U},\overline{\rho}_\mathcal{U})$가 유일하게 존재하여 

일반 데카르트곱이 $Y = \displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}X_\mathcal{U}$이고

$(X_\mathcal{U},\overline{\rho}_\mathcal{U})$의 유사거리균등공간 $(X_\mathcal{U},\mathcal{E}_\mathcal{U})$에 대해 $\{(X_\mathcal{U},\mathcal{E}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱균등공간이 $(Y,\mathcal{E})$일때

$(X,\mathcal{D})$에서 $(Y,\mathcal{E})$로의 균등연속함수 $f: X\to Y$가 존재하고

위 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $(X_\mathcal{U},\mathcal{E}_\mathcal{U})$는 완비균등공간이므로 균등공간 정리로 $(Y,\mathcal{E})$는 완비균등공간이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해

유사거리균등공간 정리로 $(X_\mathcal{U},\mathcal{E}_\mathcal{U})$의 균등위상공간은 $(X_\mathcal{U},\overline{\rho}_\mathcal{U})$의 유사거리위상공간 $(X_\mathcal{U},\mathcal{T}_\mathcal{U})$이므로

균등공간 정리로 $(Y,\mathcal{E})$의 균등위상공간은 $\{ (X_\mathcal{U},\mathcal{T}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱공간 $(Y,\mathcal{P})$이다.

폐포 정리로 $f(X)\subseteq \underset{(Y,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(f(X))$이고 $\underset{(Y,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(f(X))$는 $(Y,\mathcal{P})$에서 닫힌집합이므로 

$K = \underset{(Y,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(f(X))$일때 균등공간 정리로 $(Y,\mathcal{E})$의 부분균등공간 $(K,\mathcal{D}_K) = (K,\mathcal{E}|_K)$는 완비균등공간이다.

균등연속 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $e(x) = f(x)$인

함수 $e:X\to K$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등연속함수이고

$(Y,\mathcal{P})$의 부분위상공간이 $(K,\mathcal{P}|_K) = (K,\mathcal{T}_K)$일때

균등공간 정리로 $(K,\mathcal{D}_K) = (K,\mathcal{E}|_K)$의 균등위상공간은 $(K,\mathcal{T}_K) = (K,\mathcal{P}|_K)$이고 함수 정리와 조밀집합 정리로

$e(X) = f(X)$는 $(K,\mathcal{T}_K) = (K,\mathcal{P}|_K)=(\underset{(Y,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(f(X)),\mathcal{P}|_{\underset{(Y,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(f(X))})$에서 조밀하므로 $\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(e(X)) = K$이다.

 

 

 

정리11

완전유계균등공간이 $(X,\mathcal{D})$이고 완비균등공간이 $(K,\mathcal{D}_K)$일때

$(X,\mathcal{D})$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등연속함수 $e:X\to K$와 $(K,\mathcal{D}_K)$의 균등위상공간 $(K,\mathcal{T}_K)$에 대해

$\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(e(X)) = K$이면 $(K,\mathcal{T}_K)$는 콤팩트공간이다.

증명

완전유계 정리로 $(K,\mathcal{D}_K)$의 부분균등공간 $(e(X),\mathcal{D}_K|_{e(X)})$는 완전유계균등공간이므로

균등공간 정리와 완전유계 정리로

$(K,\mathcal{D}_K) = (K,\mathcal{D}_K|_K)=(\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(e(X)),\mathcal{D}_K|_{\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(e(X))})$는 완전유계균등공간이 되어

균등공간 정리로 $(K,\mathcal{T}_K)$는 콤팩트공간이다.

 

 

 

정리12

분리균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이면

$(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$의 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 완비거리공간 $(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})$가 유일하게 존재하여 

$(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})$의 거리위상공간 $(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{T}}_\mathcal{U})$에 대해 $\{ (\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{T}}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱공간이 $(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\overline{X}_\mathcal{U},\mathcal{P})$이고

$(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})$의 거리균등공간 $(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathcal{U})$에 대해 $\{ (\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱균등공간이 $(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathbf{U})$일때

어떤 함수 $e: X\to \displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\overline{X}_\mathcal{U}$가 존재하여

$(X,\mathcal{D})$에서 $(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathbf{U})$로의 균등매장이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $\displaystyle (\prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\overline{X}_\mathcal{U},\mathcal{P})$로의 매장이다.

증명

균등공간 정리로 균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D})$이므로 $(X,\mathbf{U})$는 분리균등덮개공간이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 균등덮개 정리로

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\mathcal{B}_\mathcal{U}(\epsilon) = \{ \underset{(X,\rho_\mathcal{U})}{B}(x,\epsilon) : x\in X\}$이 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이고 $\mathcal{B}_\mathcal{U}(1)$이 $\mathcal{U}$의 세분인

유사거리함수 $\rho_\mathcal{U} : X\times X\to [0,\infty)$가 존재하여 선택 정리로 $\rho_\mathcal{U}$를 선택하면

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 유사거리공간 $(X,\rho_\mathcal{U})$가 유일하게 존재한다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $(X,\rho_\mathcal{U})$의 유사거리균등덮개공간이 $(X,\mathbf{V}_\mathcal{U})$이고 $(X,\rho_\mathcal{U})$의 유사거리균등공간이 $(X,\mathcal{E}_\mathcal{U})$일때 

유사거리공간 정리로 $(X,\mathbf{V}_\mathcal{U})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{E}_\mathcal{U})$이고

$(X,\mathcal{E}_\mathcal{U})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합은 $\mathbf{V}_\mathcal{U}$이므로 

모든 $\mathcal{V}\in \mathbf{V}_\mathcal{U}$는 유사거리균등덮개공간 정리로 $\mathcal{B}_\mathcal{U}(\epsilon)$이 $\mathcal{V}$의 세분인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여 

$\mathcal{B}_\mathcal{U}(\epsilon)$이 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개임에 따라 $\mathcal{B}_\mathcal{U}(\epsilon)\in \mathbf{U}$이고

균등덮개공간의 정의로 $\mathcal{V}\in \mathbf{U}$이므로 $\mathbf{V}_\mathcal{U}\subseteq \mathbf{U}$가 되어 균등공간 정리로 $\mathcal{E}_\mathcal{U}\subseteq \mathcal{D}$이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 거리동치화 정리로 $(X,\rho_\mathcal{U})$의 거리동치화 $(X_\mathcal{U},d_\mathcal{U})$는 거리공간이고

모든 $x,y\in X$에 대해 $d_\mathcal{U}(q_\mathcal{U}(x),q_\mathcal{U}(y)) = \rho_\mathcal{U}(x,y)$인 함수 $q_\mathcal{U} :X\to X_\mathcal{U}$가 존재하여

$(X_\mathcal{U},d_\mathcal{U})$의 거리균등공간 $(X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathcal{U})$에 대해 위 정리로 $q_\mathcal{U}$가 $(X,\mathcal{E}_\mathcal{U})$에서 $(X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathcal{U})$로의 균등연속함수임에 따라

$q_\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathcal{U})$로의 균등연속함수이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 완비화 정리로 $(X_\mathcal{U},d_\mathcal{U})$의 완비화 $(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})$는 완비거리공간이고

모든 $x_\mathcal{U},y_\mathcal{U}\in X_\mathcal{U}$에 대해 $\overline{d}_\mathcal{U}(f_\mathcal{U}(x_\mathcal{U}),f_\mathcal{U}(y_\mathcal{U})) = d_\mathcal{U}(x_\mathcal{U},y_\mathcal{U})$인 단사함수 $f_\mathcal{U} :X_\mathcal{U}\to \overline{X}_\mathcal{U}$가 존재하여

$(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})$의 거리균등공간 $(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathcal{U})$에 대해 위 정리로 $f_\mathcal{U}$는 $(X_\mathcal{U},\mathcal{D}_\mathcal{U})$에서 $(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathcal{U})$로의 균등연속함수이므로

균등연속 정리로 $f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U} : X\to \overline{X}_\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathcal{U})$로의 균등연속함수이다.

분리균등덮개공간 정리로 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\cap \operatorname{st}(y,\mathcal{U}) = \emptyset$인 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하여 

$\mathcal{B}_\mathcal{U}(1)$은 $\mathcal{U}$의 세분이고 $x\in \underset{(X,\rho_\mathcal{U})}{B}(x,1)\in \mathcal{B}_\mathcal{U}(1)$과 $y\in \underset{(X,\rho_\mathcal{U})}{B}(y,1)\in \mathcal{B}_\mathcal{U}(1)$이 성립하므로 

별 정리로 $\underset{(X,\rho_\mathcal{U})}{B}(x,1)\cap \underset{(X,\rho_\mathcal{U})}{B}(y,1)\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{B}_\mathcal{U}(1))\cap \operatorname{st}(y,\mathcal{B}_\mathcal{U}(1))\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U})\cap \operatorname{st}(y,\mathcal{U}) = \emptyset$이 되어

$\underset{(X,\rho_\mathcal{U})}{B}(x,1)\cap \underset{(X,\rho_\mathcal{U})}{B}(y,1) = \emptyset$이고 $ y\notin \underset{(X,\rho_\mathcal{U})}{B}(x,1)$임에 따라

열린공의 정의로 $d_\mathcal{U}(q_\mathcal{U}(x),q_\mathcal{U}(y))=\rho_\mathcal{U}(x,y)\ge 1>0$이므로 거리공간 정리로 $q_\mathcal{U}(x)\ne q_\mathcal{U}(y)$이고 

단사 정리로 $(f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})(x)=f_\mathcal{U}(q_\mathcal{U}(x))\ne f_\mathcal{U}(q_\mathcal{U}(y)) = (f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})(y)$가 되어 

$\{ f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U} : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $\{ (\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathcal{U}):\mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$로 점을 분리한다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})$의 거리균등덮개공간이 $(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathbf{U}}_\mathcal{U})$일때

거리공간 정리로 $(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathbf{U}}_\mathcal{U})$의 생성균등공간은 $(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathcal{U})$이고

$(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathcal{U})$에서 $\overline{X}_\mathcal{U}$의 모든 균등덮개들의 집합은 $\overline{\mathbf{U}}_\mathcal{U}$이므로 

$\{ (\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathbf{U}}_\mathcal{U},\{f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U}\}): \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 약한균등덮개공간 $(X,\mathbf{W})$에 대해

균등덮개공간 정리로 $(X,\mathbf{W})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D}_\mathbf{W})$는 $\{ (\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathcal{U},\{f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U}\}): \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 약한균등공간이 되어

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{D}_\mathcal{U})$로의 균등연속함수임에 따라 균등공간 정리로 $\mathcal{D}_\mathbf{W}\subseteq \mathcal{D}$이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $\mathcal{B}_\mathcal{U}(1)$은 $\mathcal{U}$의 세분이고

거리균등덮개공간 정리로 $\{ \underset{(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})}{B}(x_\mathcal{U},\frac{1}{2}):x_\mathcal{U}\in \overline{X}_\mathcal{U}\}\in \overline{\mathbf{U}}_\mathcal{U}$이므로 

약한균등덮개공간 정리로 $\mathcal{W} = \{ (f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})^{-1}(\underset{(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})}{B}(x_\mathcal{U},\frac{1}{2})):x_\mathcal{U}\in \overline{X}_\mathcal{U}\}\in \mathbf{W}$이고 

$X = \emptyset$일때 거리동치화 정리와 완비화 정리로 $\overline{X}_\mathcal{U} = \emptyset$이므로 $\mathcal{W} = \emptyset \subseteq \mathcal{U}$가 되어 덮개 정리로 $\mathcal{W}$는 $\mathcal{U}$의 세분이고

$X\ne \emptyset$일때 임의의 $x_\mathcal{U}\in \overline{X}_\mathcal{U}$에 대해 $(f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})^{-1}(\underset{(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})}{B}(x_\mathcal{U},\frac{1}{2})) = \emptyset$이면 $x\in X$가 존재하여

세분의 정의로 $\underset{(X,\rho_\mathcal{U})}{B}(x,1)\subseteq U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하므로 $(f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})^{-1}(\underset{(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})}{B}(x_\mathcal{U},\frac{1}{2})) = \emptyset\subseteq \underset{(X,\rho_\mathcal{U})}{B}(x,1)\subseteq U$이고 

$(f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})^{-1}(\underset{(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})}{B}(x_\mathcal{U},\frac{1}{2})) \ne \emptyset$이면 $x\in (f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})^{-1}(\underset{(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})}{B}(x_\mathcal{U},\frac{1}{2}))\subseteq X$가 존재하여 

모든 $y\in (f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})^{-1}(\underset{(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})}{B}(x_\mathcal{U},\frac{1}{2}))$에 대해 $(f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})(x), (f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})(y)\in \underset{(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})}{B}(x_\mathcal{U},\frac{1}{2})$이므로 

거리공간의 정의와 열린공의 정의로

$\begin{align*} \rho_\mathcal{U}(x,y) &= d_\mathcal{U}(q_\mathcal{U}(x),q_\mathcal{U}(y)) \\[0.5em]& = \overline{d}_\mathcal{U}(f_\mathcal{U}(q_\mathcal{U}(x)),f_\mathcal{U}(q_\mathcal{U}(y))) \\[0.5em]& = \overline{d}_\mathcal{U}((f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})(x),(f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})(y)) \\[0.5em]& \le \overline{d}_\mathcal{U}((f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})(x),x_\mathcal{U})+ \overline{d}_\mathcal{U}(x_\mathcal{U},(f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})(y)) \\[0.5em]& \lt \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\text{ 임에 따라} \end{align*}$

$y\in \underset{(X,\rho_\mathcal{U})}{B}(x,1)$이고 세분의 정의로 $\underset{(X,\rho_\mathcal{U})}{B}(x,1)\subseteq U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

$(f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U})^{-1}(\underset{(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})}{B}(x_\mathcal{U},\frac{1}{2}))\subseteq \underset{(X,\rho_\mathcal{U})}{B}(x,1)\subseteq U$이므로 

$\mathcal{W}$는 $\mathcal{U}$의 세분이 되어 균등덮개공간의 정의로 $\mathcal{U}\in \mathbf{W}$이고 $\mathbf{U}\subseteq \mathbf{W}$이다.

$\mathbf{U}\subseteq \mathbf{W}$이므로 균등공간 정리로 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{D}_\mathbf{W}$가 되어 집합 정리로 $\mathcal{D} = \mathcal{D}_\mathbf{W}$임에 따라 

$(X,\mathcal{D})$에서 $\{(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathcal{U},f_\mathcal{U}\circ q_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 평가함수가 $e: X\to \displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\overline{X}_\mathcal{U}$일때

$\{ (\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱균등공간 $(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathbf{U})$에 대해

균등공간 정리로 $e$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathbf{U})$로의 균등매장이다.

거리균등공간 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해

$(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathcal{U})$의 균등위상공간은 $(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{d}_\mathcal{U})$의 거리위상공간 $(\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{T}}_\mathcal{U})$이므로 균등공간 정리로 

$(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{D}}_\mathbf{U})$의 균등위상공간은 $\{ (\overline{X}_\mathcal{U},\overline{\mathcal{T}}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱공간 $(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\overline{X}_\mathcal{U},\mathcal{P})$가 되어

위 정리로 $e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}\overline{X}_\mathcal{U},\mathcal{P})$로의 매장이다.

 

 

 

정리13(균등공간의 완비화)

분리균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 완비균등공간인 어떤 분리균등공간 $(K,\mathcal{D}_K)$가 존재하여

$(X,\mathcal{D})$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등매장 $e:X\to K$가 존재하고

$(K,\mathcal{D}_K)$의 균등위상공간 $(K,\mathcal{T}_K)$에 대해 $e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 조밀매장이다.

증명

$(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합이 $\mathbf{U}$일때

균등공간 정리로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D})$이다.

위 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 완비거리공간 $(X_\mathcal{U},d_\mathcal{U})$가 유일하게 존재하여 

일반 데카르트곱이 $Y = \displaystyle \prod_{\mathcal{U}\in \mathbf{U}}X_\mathcal{U}$이고

$(X_\mathcal{U},d_\mathcal{U})$의 거리균등공간 $(X_\mathcal{U},\mathcal{E}_\mathcal{U})$에 대해 $\{ (X_\mathcal{U},\mathcal{E}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱균등공간이 $(Y,\mathcal{E})$일때

$(X,\mathcal{D})$에서 $(Y,\mathcal{E})$로의 균등매장 $f: X\to Y$가 존재하고

거리공간 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $(X_\mathcal{U},\mathcal{E}_\mathcal{U})$는 완비균등공간이므로 균등공간 정리로 $(Y,\mathcal{E})$는 완비균등공간이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해

거리균등공간 정리로 $(X_\mathcal{U},\mathcal{E}_\mathcal{U})$의 균등위상공간은 $(X_\mathcal{U},d_\mathcal{U})$의 거리위상공간 $(X_\mathcal{U},\mathcal{T}_\mathcal{U})$이므로

균등공간 정리로 $(Y,\mathcal{E})$의 균등위상공간은 $\{ (X_\mathcal{U},\mathcal{T}_\mathcal{U}) : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$의 일반 곱공간 $(Y,\mathcal{P})$이다.

폐포 정리로 $f(X)\subseteq \underset{(Y,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(f(X))$이고 $\underset{(Y,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(f(X))$는 $(Y,\mathcal{P})$에서 닫힌집합이므로 

$K = \underset{(Y,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(f(X))$일때 균등공간 정리로 $(Y,\mathcal{E})$의 부분균등공간 $(K,\mathcal{D}_K) = (K,\mathcal{E}|_K)$는 완비균등공간이다.

$(Y,\mathcal{P})$의 부분위상공간이 $(K,\mathcal{P}|_K) = (K,\mathcal{T}_K)$일때

균등공간 정리로 $(K,\mathcal{D}_K) = (K,\mathcal{E}|_K)$의 균등위상공간은 $(K,\mathcal{T}_K) = (K,\mathcal{P}|_K)$이므로

$f$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(Y,\mathcal{E})$로의 균등매장이고 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{P})$로의 매장임에 따라

균등연속 정리와 연속함수 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $e(x) = f(x)$인

함수 $e:X\to K$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등매장이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 매장이다.

함수 정리와 조밀집합 정리로

$e(X) = f(X)$는 $(K,\mathcal{T}_K) = (K,\mathcal{P}|_K)=(\underset{(Y,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(f(X)),\mathcal{P}|_{\underset{(Y,\mathcal{P})}{\operatorname{cl}}(f(X))})$에서 조밀하므로 $\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(e(X)) = K$가 되어 

$e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 조밀매장이다.

위상공간 정리와 위상공간 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $(X_\mathcal{U},\mathcal{T}_\mathcal{U})$는 하우스도르프 공간이므로 

곱공간 정리로 $(Y,\mathcal{P})$는 하우스도르프 공간이 되어

계승적 성질로 $(K,\mathcal{T}_K) = (K,\mathcal{P}|_K)$가 하우스도르프 공간임에 따라 균등공간 정리로 $(K,\mathcal{D}_K)$는 분리균등공간이다.

 

 

 

정리14

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고

완비균등공간인 임의의 분리균등공간 $(K_1,\mathcal{D}_1),(K_2,\mathcal{D}_2)$의 균등위상공간이 $(K_1,\mathcal{T}_1),(K_2,\mathcal{T}_2)$일때

$(X,\mathcal{D})$에서 $(K_1,\mathcal{D}_1)$로의 균등매장 $e_1:X\to K_1$과 $(X,\mathcal{D})$에서 $(K_2,\mathcal{D}_2)$로의 균등매장 $e_2:X\to K_2$에 대해 

$e_1$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1)$로의 조밀매장이고 $e_2$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(K_2,\mathcal{T}_2)$로의 조밀매장이면 

$\Phi \circ e_2 = e_1$인 $(K_2,\mathcal{D}_2)$에서 $(K_1,\mathcal{D}_1)$로의 균등동형사상 $\Phi : K_2\to K_1$가 존재한다.

증명

조밀매장의 정의로 $\underset{(K_1,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}(e_1(X)) = K_1$이고 $\underset{(K_2,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{cl}}(e_2(X)) = K_2$이다.

균등매장의 정의와 균등연속 정리로

$e_1$은 $(X,\mathcal{D})$에서 $(K_1,\mathcal{D}_1)$로의 균등연속함수이고 $e_2$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(K_2,\mathcal{D}_2)$로의 균등연속함수이므로

균등연속 정리로 $e_1$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1)$로의 연속함수이고 $e_2$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(K_2,\mathcal{T}_2)$로의 연속함수이다.

$(K_1,\mathcal{D}_1),(K_2,\mathcal{D}_2)$의 부분균등공간이 $(e_1(X),\mathcal{D}_1|_{e_1(X)}),(e_2(X),\mathcal{D}_2|_{e_2(X)})$일때

균등매장의 정의로 모든 $x\in X$에 대해

$f_1(x)=e_1(x)$인 함수 $f_1 :X\to e_1(X)$은 $(X,\mathcal{D})$에서 $(e_1(X),\mathcal{D}_1|_{e_1(X)})$로의 균등동형사상이고

$f_2(x)=e_2(x)$인 함수 $f_2 :X\to e_2(X)$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(e_2(X),\mathcal{D}_2|_{e_2(X)})$로의 균등동형사상이므로

$f_1$의 역함수 $f_1^{-1} : e_1(X)\to X$은 $(e_1(X),\mathcal{D}_1|_{e_1(X)})$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등연속함수이고

$f_2$의 역함수 $f_2^{-1} : e_2(X)\to X$은 $(e_2(X),\mathcal{D}_2|_{e_2(X)})$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등연속함수가 되어 균등연속 정리로

$e_1\circ f_2^{-1} : e_2(X) \to K_1$은 $(e_2(X),\mathcal{D}_2|_{e_2(X)})$에서 $(K_1,\mathcal{D}_1)$로의 균등연속함수이고 

$e_2\circ f_1^{-1} : e_1(X) \to K_2$은 $(e_1(X),\mathcal{D}_1|_{e_1(X)})$에서 $(K_2,\mathcal{D}_2)$로의 균등연속함수이다.

위 정리로 모든 $k_1\in e_1(X)$과 모든 $k_2\in e_2(X)$에 대해

$\Psi(k_1) = (e_2\circ f_1^{-1})(k_1)$인 $(K_1,\mathcal{D}_1)$에서 $(K_2,\mathcal{D}_2)$로의 균등연속함수 $\Psi : K_1\to K_2$가 존재하고 

$\Phi(k_2) = (e_1\circ f_2^{-1})(k_2)$인 $(K_2,\mathcal{D}_2)$에서 $(K_1,\mathcal{D}_1)$로의 균등연속함수 $\Phi : K_2\to K_1$가 존재하여

모든 $x\in X$에 대해

$(\Psi \circ e_1)(x)=\Psi(e_1(x)) = (e_2\circ f_1^{-1})(e_1(x)) = e_2(f_1^{-1}(f_1(x))) = e_2(x)$이므로 $\Psi \circ e_1 = e_2$이고

$(\Phi\circ e_2)(x)=\Phi(e_2(x)) = (e_1\circ f_2^{-1})(e_2(x)) = e_1(f_2^{-1}(f_2(x))) = e_1(x)$이므로 $\Phi \circ e_2 = e_1$이다.

균등연속 정리로 $\Psi$는 $(K_1,\mathcal{T}_1)$에서 $(K_2,\mathcal{T}_2)$로의 연속함수이고 $\Phi$는 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1)$로의 연속함수이므로 

균등공간 정리로 $(K_1,\mathcal{T}_1),(K_2,\mathcal{T}_2)$가 하우스도르프 공간임에 따라 위상공간 정리로 

$\Phi,\Psi$의 역함수 $\Phi^{-1} : K_1\to K_2$과 $\Psi^{-1}:K_2\to K_1$이 존재하여 $\Phi^{-1} = \Psi$이고 $\Psi^{-1} = \Phi$이다.

따라서 $\Phi$는 $(K_2,\mathcal{D}_2)$에서 $(K_1,\mathcal{D}_1)$로의 균등동형사상이다.

 

 

 

정의3

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간이 되는 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$가 $\mathcal{T}= \mathcal{T}_\mathcal{D}$이면 $(X,\mathcal{T})$가 완비균등화가능하다고 정의한다.

 

 

 

정리15

균등공간 $(X,\mathcal{D}_1),(X,\mathcal{D}_2)$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_1),(X, \mathcal{T}_2)$가 $\mathcal{T}_1 = \mathcal{T}_2$일때

$\mathcal{D}_1\subseteq \mathcal{D}_2$이고 $(X,\mathcal{D}_1)$이 완비균등공간이면 $(X,\mathcal{D}_2)$는 완비균등공간이다.

증명

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $X$의 그물 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$이 $(X,\mathcal{D}_2)$에서 코시그물이면

모든 $D\in \mathcal{D}_1\subseteq \mathcal{D}_2$에 대해 $\lambda_D\le_\Lambda \lambda_1,\lambda_2$인 모든 $\lambda_1,\lambda_2\in \Lambda$가 $(x_{\lambda_1},x_{\lambda_2})\in D$가 되는 $\lambda_D\in \Lambda$가 존재하므로 

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{D}_1)$에서 코시그물이 되어 완비균등공간의 정의로 $(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(X,\mathcal{T}_1)$에서 어떤 $x\in X$로 수렴하고

$(x_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(X,\mathcal{T}_2)=(X,\mathcal{T}_1) $에서 $x$로 수렴함에 따라 $(X,\mathcal{D}_2)$는 완비균등공간이다.

 

 

 

정리16

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 완비균등화가능할때 $(X,\mathcal{T})$의 강한균등공간 $(X,\mathcal{E})$는 완비균등공간이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$는 균등화가능하므로 균등화 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등구조 $\mathcal{E}$가 존재하여

균등공간 $(X,\mathcal{E})$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T})$이다.

완비균등화가능의 정의로 $(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간인 어떤 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여

$(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T})$이므로 강한균등공간의 정의로 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{E}$임에 따라

위 정리로 $(X,\mathcal{E})$는 완비균등공간이다.

 

 

 

정리17

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 완비균등화가능하다.

증명

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 티호노프 공간이므로

$(X,\mathcal{T})$의 스톤-체흐 콤팩트화 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에 대해 $(X,\mathcal{T}),(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P}),((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$이고

스톤-체흐 콤팩트화 정리에 나온 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장 $e_X$의 곱함수가 $P_{e_X}$일때 

스톤-체흐 콤팩트화 정리로 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$가 하우스도르프 공간이고 콤팩트공간임에 따라 

위상공간 정리로 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$는 $T_1$공간이고

$T_1$공간 정리로 모든 $y\in \beta X\setminus e_X(X)$에 대해 $\{ y\}$는 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 닫힌집합이 되어 

콤팩트 정리로 $\{ y\}$는 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 콤팩트하므로 위상공간 정리로 $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해

$\displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D = \Delta_X$이고 $\{ O\in \mathcal{P} : \Delta_X\subseteq O\}$가 $(X,\mathcal{D})$의 기저인 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여 

분리균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathcal{D}$이고

$P_{e_X}(\Delta_X)\subseteq U$와 $(y,y)\notin U$가 성립하는 $((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$에서 정칙열린집합 $U$가 존재하므로 

균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간임에 따라 $(X,\mathcal{T}) = (X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$는 완비균등화가능하다.

 

 

 

정리18

거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 완비균등화가능하다.

증명

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이고

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이므로 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 완비균등화가능하다.

 

 

 

정리19

티호노프 공간 $(X,\mathcal{T})$의 스톤-체흐 콤팩트화 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에 대해 

스톤-체흐 콤팩트화에 나온 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장 $e_X$이고

$1$차원 유클리드 거리공간 $([0,\infty),d)$의 거리위상공간이 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$일때

$(X,\mathcal{T})$가 완비균등화가능하기 위한 필요충분조건은

모든 $y\in \beta X\setminus e_X(X)$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 단위분할 $\mathcal{F}_{y}$가 존재하여 

모든 $f\in \mathcal{F}_{y}$에 대해 $F \circ e_X = f$이고 모든 $z\in \beta X$에 대해 $0\le F(z)\le 1$인

어떤 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수 $F:\beta X\to [0,\infty)$가 $F(y) = 0$인 것이다.

증명

$1$차원 유클리드 거리공간 $([0,1],d),(\mathbb{R},d),(\mathbb{C},d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]}),(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R}),(\mathbb{C},\mathcal{T}_\mathbb{C})$일때

$[0,1] \subseteq [0,\infty)\subseteq \mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}$이므로

부분거리공간의 정의와 위상공간 정리로 $\mathcal{T}_{[0,\infty)}|_{[0,1]} = \mathcal{T}_{[0,1]} = \mathcal{T}_\mathbb{R}|_{[0,1]}$이고 $\mathcal{T}_\mathbb{R}|_{[0,\infty)} = \mathcal{T}_{[0,\infty)} = \mathcal{T}_\mathbb{C}|_{[0,\infty)}$이다.

$(X,\mathcal{T}),(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P}),((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$이고

$(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X}),((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$의 부분위상공간이 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)}),((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})$일때

$(X,\mathcal{T})$가 티호노프 공간임에 따라 스톤-체흐 콤팩트화 정리로

$e_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장이므로 $e_X(X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 조밀집합이고 

곱함수 정리로 $e_X$의 곱함수 $P_{e_X}$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$로의 조밀매장이 되어

곱함수 정리로 $P_{e_X}(X^2) = (e_X(X))^2$는 $((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$에서 조밀집합이고

조밀매장의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $f_X(x) = e_X(x)$인

함수 $f_X:X\to e_X(X)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$로의 위상동형사상이므로 $f_X$의 곱함수 $P_{f_X}$는

모든 $x_1,x_2\in X$에 대해 $P_{f_X}(x_1,x_2) = (f_X(x_1),f_X(x_2)) = (e_X(x_1),e_X(x_2))=P_{e_X}(x_1,x_2)$이고

유한 곱공간 정리로 $((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})$가 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$의 $2$-곱공간임에 따라

곱함수 정리로 $P_{f_X}$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})$로의 위상동형사상이고 $P_{e_X}$는 단사이다.

$(X,\mathcal{T})$가 완비균등화가능하면

$(X,\mathcal{D})$가 완비균등공간인 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여 균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathcal{D}$이고 

$(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})=(X,\mathcal{T})$는 티호노프 공간이므로 균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 분리균등공간이다.

모든 $y\in \beta X\setminus e_X(X)$에 대해 균등공간 정리와 균등공간 정리와 위상공간 정리로

$(y,y)\notin \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$인 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙열린집합 $D\in \mathcal{D}$가 존재하고

$(X,\mathcal{T})$는 균등화가능하므로 균등공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등구조 $\mathcal{E}$가 존재하여

균등공간 $(X,\mathcal{E})$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T})$이고 $D\in \mathcal{D}\subseteq \mathcal{E}$이므로

강한균등공간 정리와 균등공간 정리로 $X$의 대각관계 $\Delta_X$와 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$D_{n+1}\subseteq D_n$과 $\Delta_X\subseteq D_n$과 $D_n = D_n^{-1}$과 $D_{n+1}\circ D_{n+1}\subseteq D_n$이 성립하는

$\mathcal{P}$의 수열 $(D_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여 $D_1\subseteq D$이고 모든 $x_1,x_2\in X$에 대해 $(x_1,x_2)\notin D_1$이면 $\rho(x_1,x_2) = 1$이고

모든 $x_1,x_2\in X$에 대해 $\rho(x_1,x_2)\le 1$인 유사거리함수 $\rho :X\times X\to [0,\infty)$가 존재하여

$(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 $2$-곱공간 $(X^2,\mathcal{P}_\rho)$에 대해 $\mathcal{T}_\rho \subseteq \mathcal{T}$와 $\mathcal{P}_\rho \subseteq \mathcal{P}$가 성립한다.

위상공간 정리로 $\mathcal{B}_\rho = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{4}) : x\in X\}$가 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 $X$의 열린덮개이므로

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T}_\rho)$는 파라콤팩트 공간이고 정규공간임에 따라 

어떤 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{A}$가 존재하여 $\mathcal{A}$는 $\mathcal{B}_\rho$의 세분이고 파라콤팩트 정리로

$(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 단위분할 $\mathcal{F}_y$가 존재하여 $\mathcal{F}_y$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에서 $\mathcal{A}$의 종속이고

$\mathcal{T}_\rho \subseteq \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{A}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개가 되어

$\mathcal{F}_y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이고 연속함수의 정의로 $\mathcal{F}_y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 단위분할이다.

종속의 정의로 모든 $f\in \mathcal{F}_y$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T}_\rho)}{\operatorname{supp}}(f)\subseteq A_f$인 $A_f\in \mathcal{A}$가 존재하여 지지집합의 정의와 위상공간 정리로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\in X: f(x)\ne 0 \}) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_\rho)}{\operatorname{cl}}(\{x\in X: f(x)\ne 0 \})=\underset{(X,\mathcal{T}_\rho)}{\operatorname{supp}}(f)\subseteq A_f$이므로 

$\mathcal{F}_y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{A}$의 종속이다.

단위분할의 정의로 모든 $f\in \mathcal{F}_y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이고

함수족의 합 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $f(x)\le 1$이므로

연속함수 정리와 함수의 상등으로 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수가 되어 

위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$이 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간임에 따라

스톤-체흐 콤팩트화 정리로 $F\circ e_X = f$인 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수 $F:\beta X\to [0,1]$가 존재하여

모든 $z\in \beta X$에 대해 $0\le F(z) \le 1$이고

연속함수 정리와 함수의 상등으로 $F$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이다.

$\mathcal{P}_\rho \subseteq \mathcal{P}$이므로 유사거리 정리와 연속함수 정리와 함수의 상등으로 $\rho$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이고

유한 곱공간 정리로 모든 $x_0,x\in X$에 대해 $\phi_{x_0}(x) =\rho(x_0,x)$인

함수 $\phi_{x_0} :X\to [0,1]$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수가 되어

위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$이 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간임에 따라

스톤-체흐 콤팩트화 정리로 $\Phi_{x_0}\circ e_X = \phi_{x_0}$이 되는 

$(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수 $\Phi_{x_0}:\beta X\to [0,1]$이 존재한다.

어떤 $A\in \mathcal{A}$에 대해 $y \in \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(e_X(A))}$라고 가정하면 세분의 정의로 $A\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,\frac{1}{4})$인 $x_0\in X$이 존재하여 

$\dfrac{1}{4} < \Phi_{x_0}(y)$라고 가정할때 $\Phi_{x_0}(y)\in (\frac{1}{4},1]$이고 $y\in \Phi_{x_0}^{-1}((\frac{1}{4},1])$이므로

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(\frac{1}{4},1] = (\frac{1}{4},2)\cap [0,1]$은 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$에서 열린집합이 되어

연속함수 정리로 $\Phi_{x_0}^{-1}((\frac{1}{4},1])$은 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 $y$의 열린근방이고 폐포의 정의로 $\Phi_{x_0}^{-1}((\frac{1}{4},1])\cap e_X(A)\ne \emptyset$이므로

$e_X(x)\in \Phi_{x_0}^{-1}((\frac{1}{4},1])$인 $x\in A\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,\frac{1}{4})$가 존재하여 열린공의 정의로 $\phi_{x_0}(x) =\rho(x_0,x)< \dfrac{1}{4}$인데 

$\phi_{x_0}(x)=(\Phi_{x_0}\circ e_X)(x)=\Phi_{x_0}(e_X(x))\in (\frac{1}{4},1]$이고 $\dfrac{1}{4} < \phi_{x_0}(x)$임에 따라 모순이 되어

$\Phi_{x_0}(y)\le \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2}$이고 $y\in \Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2}))$이다.

모든 $(x_1,x_2)\in P_{e_X}^{-1}((\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2)$에 대해 $(e_X(x_1),e_X(x_2))=P_{e_X}(x_1,x_2)\in (\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2$이므로 

$e_X(x_1),e_X(x_2)\in \Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2}))$가 되어 $\Phi_{x_0}(e_X(x_1)), \Phi_{x_0}(e_X(x_2))\in [0,\frac{1}{2})$이고 

$\rho(x_0,x_1) =\phi_{x_0}(x_1) =\Phi_{x_0}(e_X(x_1))<\dfrac{1}{2}$와 $\rho(x_0,x_2) =\phi_{x_0}(x_2) =\Phi_{x_0}(e_X(x_2))<\dfrac{1}{2}$가 성립함에 따라 

유사거리공간의 정의로 $\rho(x_1,x_2) \le \rho(x_1,x_0) + \rho(x_0,x_2)< \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} = 1$이므로

$\rho(x_1,x_2)\ne 1$이 되어 $(x_1,x_2)\in D_1 \subseteq D$이고 $P_{e_X}^{-1}((\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2) \subseteq D$이다.

함수 정리와 함수 정리와 곱함수 정리와 함수 정리와 집합 정리로

$\begin{align*}\textstyle P_{f_X}^{-1}((\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2\cap (e_X(X))^2) &\textstyle=P_{e_X}^{-1}((\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2\cap (e_X(X))^2) \\[0.5em]&\textstyle =P_{e_X}^{-1}((\Phi^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2) \cap P_{e_X}^{-1}((e_X(X))^2) \\[0.5em]&\textstyle= P_{e_X}^{-1}(\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2)\cap P_{e_X}^{-1}(P_{e_X}(X^2)) \\[0.5em]&\textstyle= P_{e_X}^{-1}(\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2)\cap X^2 \\[0.5em]&\textstyle =P_{e_X}^{-1}((\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2) \\[0.5em]& \subseteq D\text{ 이고} \end{align*}$

함수 정리와 곱함수 정리로 $P_{e_X}(D) = P_{f_X}(D)$는 $((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})$에서 정칙열린집합이므로

위상공간 정리로 $\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) \cap (e_X(X))^2 = \underset{((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})}{\operatorname{int}}(\underset{((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) = P_{e_X}(D) $가 되어

전사 정리로

$(\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2\cap (e_X(X))^2= P_{f_X}(P_{f_X}^{-1}((\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})))^2\cap (e_X(X))^2) ) \subseteq P_{f_X}(D) = P_{e_X}(D) = \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) \cap (e_X(X))^2\text{ 이고}$

위상공간 정리와 위상공간 정리와 연속함수 정리로 $\Phi_{x_0}^{-1}( [0,\frac{1}{2}) )$는 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 열린집합이므로 

유한 곱공간 정리로 $(\Phi_{x_0}^{-1}( [0,\frac{1}{2}) ))^2$는 $((\beta X)^2, \mathcal{P}_{\beta X})$에서 열린집합이고

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(y,y)\in (\Phi_{x_0}^{-1}([0,\frac{1}{2})) )^2 \subseteq \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) $임에 따라 모순이므로

모든 $A\in \mathcal{A}$에 대해 $y\notin \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(e_X(A))}$이다.

조밀매장의 정의와 연속함수 정리로 $e_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$로의 연속함수이고

$\mathcal{F}_y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{A}$의 종속이므로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f) \subseteq A_f$인 $A_f\in \mathcal{A}$가 존재하여 $e_X(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)) \subseteq e_X(A_f)$이고 

모든 $f\in \mathcal{F}_y$에 대해 $F\circ e_X = f$임에 따라 지지집합의 정의와 폐포 정리와 지지집합 정리로

$\{ z\in \beta X: F(z)\ne 0\}\subseteq \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{supp}}(F) =\underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}}(e_X(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f))) \subseteq \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}}(e_X(A_f))$이므로 

$y\notin \{ z\in \beta X :F(z)\ne 0 \}$가 되어 $F(y) = 0$이다.

역으로 모든 $y\in \beta X\setminus e_X(X)$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 단위분할 $\mathcal{F}_{y}$가 존재하여

모든 $f\in \mathcal{F}_{y}$에 대해 $F \circ e_X = f$이고 모든 $z\in \beta X$에 대해 $0\le F(z)\le 1$인

어떤 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수 $F:\beta X\to [0,\infty)$가 $F(y) = 0$이면

$(X,\mathcal{T})$는 완비정칙공간이므로 균등화 정리와 균등화 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$는 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathcal{D}$이고

$(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})=(X,\mathcal{T})$가 티호노프 공간임에 따라 균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 분리균등공간이다.

유사거리 정리로 모든 $x_1,x_2\in X$에 대해

$\rho_y(x_1,x_2) = \displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}_y}|f(x_1)-f(x_2)|$인 함수 $\rho_y : X\times X\to [0,\infty)$는 유사거리함수이고

유사거리공간 $(X,\rho_y)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_y)$가 $\mathcal{T}_y \subseteq \mathcal{T}$임에 따라 

유사거리 정리로 $(X,\rho_y)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_y)$는 $\mathcal{D}_y \subseteq \mathcal{D}$이고

$D_y= \{ (x_1,x_2)\in X^2 : \rho_y(x_1,x_2)<\frac{1}{2}\}$는 유사거리균등공간 정리로 $D_y\in \mathcal{D}_y \subseteq \mathcal{D}$이므로

균등공간 정리로 $D\subseteq D_y$인 $(X^2,\mathcal{P})$에서 정칙열린집합 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여

위상공간 정리로 $U = \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$는 $((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})$에서 정칙열린집합이고

함수 정리와 곱함수 정리로 $P_{e_X}(D) = P_{f_X}(D)$는 $((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})$에서 정칙열린집합이므로

위상공간 정리로

$U\cap (e_X(X))^2 = \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) \cap (e_X(X))^2 = \underset{((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})}{\operatorname{int}}(\underset{((e_X(X))^2,\mathcal{P}_{\beta X}|_{(e_X(X))^2})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))}) = P_{e_X}(D) \text{ 이다.}$

$(y,y)\in U$라고 가정하면 위상공간 정리와 위상공간 정리로

$(y,y)\in O_y^2\subseteq U$인 $O_y\in \mathcal{T}_{\beta X}$가 존재하여 $O_y\ne \emptyset$임에 따라 조밀집합 정리로 $O_y\cap e_X(X)\ne \emptyset$이고

$e_X(x_1) \in O_y$인 $x_1\in X$이 존재하여 국소유한의 정의로

$x_1 \in B$인 어떤 $B \in \mathcal{T}$에 대해 $\mathcal{F}_y(B) = \{ f\in \mathcal{F}_y : B\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\}$가 유한집합이고 

단위분할의 정의로 $\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}_y}f(x_1) = 1$이므로 국소유한 정리로 $\{ f\in \mathcal{F}_y : f(x_1) \ne 0\}\subseteq \mathcal{F}_y(B)$임에 따라 

$\mathcal{F}_y(B)$의 원소개수가 $n\in \mathbb{Z}^+$일때 $\mathcal{F}_y(B) =\{f_1,f_2,\cdots, f_n\}$인 $f_1,f_2,\cdots,f_n\in \mathcal{F}_y$이 존재하고

$x_1\in B$이므로 함수족의 합 정리로 $\displaystyle 1= \sum_{f\in \mathcal{F}_y}f(x_1) = \sum_{i=1}^n f_i(x_1)$이다.

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

$(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수 $F_i:\beta X\to [0,\infty)$가 $F_i(y)=0$이고 $F_i \circ e_X = f_i$일때

연속함수 정리와 연속함수 정리로 모든 $z\in \beta X$에 대해 $G(z) = \displaystyle \sum_{i=1}^nF_i(z)$인

함수 $G :\beta X\to [0,\infty)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이고 

$e_X(x_2) \in O_y$인 모든 $x_2\in X$에 대해 $(e_X(x_1),e_X(x_2))\in (O_y\cap e_X(X))^2\subseteq O_y^2\subseteq U$이므로

$P_{e_X}(x_1,x_2)=(e_X(x_1),e_X(x_2))\in U\cap (e_X(X))^2 = P_{e_X}(D) \subseteq P_{e_X}(D_y)$이고

단사 정리로 $(x_1,x_2) \in P_{e_X}^{-1}(P_{e_X}(D_y)) = D_y$임에 따라

절댓값 정리와 유한집합의 정의와 색인된 함수족의 합 정리로 

$\begin{align*} 1- G(e_X(x_2)) & = 1 - \sum_{i=1}^n F_i(e_X(x_2)) = \sum_{i=1}^nf_i(x_1) - \sum_{i=1}^nf_i(x_2)  = \sum_{i=1}^n(f_i(x_1) - f_i(x_2)) =  \sum_{i=1}^n(|f_i(x_1)| - |f_i(x_2)|) \\[0.5em]& \le \sum_{i=1}^n |f_i(x_1) - f_i(x_2)| \\[0.5em]& \le \sum_{f\in \mathcal{F}_y}|f(x_1)-f(x_2)| =\rho_y(x_1,x_2)\\[0.5em]& <\dfrac{1}{2} \text{ 가 되어}\end{align*}$

$\displaystyle \dfrac{1}{2} = 1 -\dfrac{1}{2} < G(e_X(x_2))$이고 $e_X(x_2)\in G^{-1}((\frac{1}{2},\infty))$이므로 $O_y\cap e_X(X) \subseteq G^{-1}((\frac{1}{2},\infty))$이다.

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $[\frac{1}{2},\infty) = [\frac{1}{2},\infty)\cap [0,\infty)$는 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$에서 닫힌집합이므로

연속함수 정리로 $G^{-1}([\frac{1}{2},\infty))$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 닫힌집합이 되어

$(\frac{1}{2},\infty) \subseteq [\frac{1}{2},\infty)$임에 따라 $G^{-1}((\frac{1}{2},\infty)) \subseteq G^{-1}([\frac{1}{2},\infty))$이고 위상공간 정리와 폐포 정리로

$y\in O_y\subseteq \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}}(O_y\cap e_X(X)) \subseteq \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}}(G^{-1}((\frac{1}{2},\infty))) \subseteq \underset{(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})}{\operatorname{cl}}(G^{-1}([\frac{1}{2},\infty)))=G^{-1}([\frac{1}{2},\infty))$인데 

$G(y) \in [\frac{1}{2},\infty)$이므로 $\displaystyle \dfrac{1}{2}\le G(y) = \sum_{i=1}^nF_i(y) = 0$이 되어 모순임에 따라

$(y,y)\notin U = \underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{int}}(\underset{((\beta X)^2,\mathcal{P}_{\beta X})}{\operatorname{cl}(P_{e_X}(D))})$이고

균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 완비균등공간이므로 $(X,\mathcal{T}) = (X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$는 완비균등화가능하다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/132#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/132#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797