균등공간의 거리화 가능성

정의1

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때

유사거리화가능한 균등공간 :

유사거리함수 $\rho : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_\rho)$가 $\mathcal{D} = \mathcal{D}_\rho$이면 $(X,\mathcal{D})$가 유사거리화가능하다고 정의한다.

거리화가능한 균등공간 :

거리함수 $d : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

거리공간 $(X,d)$의 거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_d)$가 $\mathcal{D} = \mathcal{D}_d$이면 $(X,\mathcal{D})$가 거리화가능하다고 정의한다.

 

 

 

정의2

균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U})$일때

유사거리화가능한 균등덮개공간 :

유사거리함수 $\rho : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리균등덮개공간 $(X,\mathbf{U}_\rho)$가 $\mathbf{U} = \mathbf{U}_\rho$이면 $(X,\mathbf{U})$가 유사거리화가능하다고 정의한다.

거리화가능한 균등덮개공간 :

거리함수 $d : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

거리공간 $(X,d)$의 거리균등덮개공간 $(X,\mathbf{U}_d)$가 $\mathbf{U} = \mathbf{U}_d$이면 $(X,\mathbf{U})$가 거리화가능하다고 정의한다.

 

 

 

정리1

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리균등공간이 $(X,\mathcal{D}_\rho)$이고 유사거리균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U}_\rho)$일때 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathbf{U}_\rho)$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 $\mathcal{D}_\rho = \mathcal{D}$이다.

2. $(X,\mathcal{D}_\rho)$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$에 대해 $\mathbf{U}_\rho = \mathbf{U}$이다.

증명

1.

유사거리균등덮개공간 정리로 $\mathcal{D}_\rho = \mathcal{D}$이다.

2.

1번으로 $(X,\mathbf{U}_\rho)$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D}_\rho)$이므로

균등덮개공간 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}_\rho$는 $(X,\mathcal{D}_\rho)$에서 $X$의 균등덮개가 되어 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$임에 따라 $\mathbf{U}_\rho \subseteq \mathbf{U}$이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$는 $(X,\mathcal{D}_\rho)$에서 $X$의 균등덮개이므로 어떤 $D\in \mathcal{D}_\rho$에 대해 $\{ D[x]:x\in X\}$가 $\mathcal{U}$의 세분이고

유사거리균등공간 정리로 어떤 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2 : \rho(x,y)<\epsilon\}$이 $D_\epsilon \subseteq D$이므로 

유사거리균등공간 정리와 관계 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)=D_\epsilon[x] \subseteq D[x]$임에 따라 

$\mathcal{B}_\epsilon=\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X\}$은 $\{ D[x]:x\in X\}$의 세분이 되어 덮개 정리로 $\mathcal{B}_\epsilon$은 $\mathcal{U}$의 세분이고 

유사거리균등덮개공간 정리로 $\mathcal{B}_\epsilon\in \mathbf{U}_\rho$이므로 균등덮개공간의 정의로 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}_\rho$가 되어

$\mathbf{U} \subseteq \mathbf{U}_\rho$임에 따라 집합 정리로 $\mathbf{U}_\rho = \mathbf{U}$이다.

 

 

 

정리2

거리공간 $(X,d)$의 거리균등공간이 $(X,\mathcal{D}_d)$이고 거리균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U}_d)$일때 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathbf{U}_d)$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 $\mathcal{D}_d= \mathcal{D}$이다.

2. $(X,\mathcal{D}_d)$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$에 대해 $\mathbf{U}_d= \mathbf{U}$이다.

증명

1.

거리균등덮개공간 정리로 $\mathcal{D}_d= \mathcal{D}$이다.

2.

1번으로 $(X,\mathbf{U}_d)$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D}_d)$이므로

균등덮개공간 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}_d$는 $(X,\mathcal{D}_d)$에서 $X$의 균등덮개가 되어 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$임에 따라 $\mathbf{U}_d\subseteq \mathbf{U}$이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$는 $(X,\mathcal{D}_d)$에서 $X$의 균등덮개이므로 어떤 $D\in \mathcal{D}_d$에 대해 $\{ D[x]:x\in X\}$가 $\mathcal{U}$의 세분이고

거리균등공간 정리로 어떤 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2 : d(x,y)<\epsilon\}$이 $D_\epsilon \subseteq D$이므로 

거리균등공간 정리와 관계 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon)=D_\epsilon[x] \subseteq D[x]$임에 따라 

$\mathcal{B}_\epsilon=\{ \underset{(X,d)}{B}(x,\epsilon) : x\in X\}$은 $\{ D[x]:x\in X\}$의 세분이 되어 덮개 정리로 $\mathcal{B}_\epsilon$은 $\mathcal{U}$의 세분이고 

거리균등덮개공간 정리로 $\mathcal{B}_\epsilon\in \mathbf{U}_d$이므로 균등덮개공간의 정의로 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}_d$가 되어

$\mathbf{U} \subseteq \mathbf{U}_d$임에 따라 집합 정리로 $\mathbf{U}_d= \mathbf{U}$이다.

 

 

 

정리3

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D}_\mathbf{U})$에 대해 $\mathcal{D}_\mathbf{U} = \mathcal{D}$이다.

2. $(X,\mathcal{D})$가 유사거리화가능하기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathbf{U})$가 유사거리화가능한 것이다.

3. $(X,\mathcal{D})$가 거리화가능하기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathbf{U})$가 거리화가능한 것이다.

증명

1.

균등공간 정리로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $\mathcal{D}_\mathbf{U} = \mathcal{D}$이다.

2.

$(X,\mathcal{D})$가 유사거리화가능하면 유사거리함수 $\rho : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_\rho)$가 $\mathcal{D} = \mathcal{D}_\rho$이고

위 정리로 $(X,\rho)$의 유사거리균등덮개공간 $(X,\mathbf{U}_\rho)$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D}_\rho)$이므로 

위 정리로 $(X,\mathcal{D}) = (X,\mathcal{D}_\rho)$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$는

$\mathbf{U} = \mathbf{U}_\rho$가 되어 $(X,\mathbf{U})$는 유사거리화가능하다.

역으로 $(X,\mathbf{U})$가 유사거리화가능하면 유사거리함수 $\rho : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

 유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리균등덮개공간 $(X,\mathbf{U}_\rho)$가 $\mathbf{U} = \mathbf{U}_\rho$이고

위 정리로 $(X,\rho)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_\rho)$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합은 $\mathbf{U}_\rho$이므로

1번과 위 정리로 $(X,\mathbf{U}) = (X,\mathbf{U}_\rho)$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$는 $\mathcal{D}= \mathcal{D}_\rho$가 되어 $(X,\mathcal{D})$는 유사거리화가능하다.

3.

$(X,\mathcal{D})$가 거리화가능하면 거리함수 $d : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

거리공간 $(X,d)$의 거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_d)$가 $\mathcal{D} = \mathcal{D}_d$이고

위 정리로 $(X,d)$의 거리균등덮개공간 $(X,\mathbf{U}_d)$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D}_d)$이므로 

위 정리로 $(X,\mathcal{D}) = (X,\mathcal{D}_d)$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$는

$\mathbf{U} = \mathbf{U}_d$가 되어 $(X,\mathbf{U})$는 거리화가능하다.

역으로 $(X,\mathbf{U})$가 거리화가능하면 거리함수 $d: X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

거리공간 $(X,d)$의 거리균등덮개공간 $(X,\mathbf{U}_d)$가 $\mathbf{U} = \mathbf{U}_d$이고

위 정리로 $(X,d)$의 거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_d)$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합은 $\mathbf{U}_d$이므로

1번과 위 정리로 $(X,\mathbf{U}) = (X,\mathbf{U}_d)$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$는 $\mathcal{D}= \mathcal{D}_d$가 되어 $(X,\mathcal{D})$는 거리화가능하다.

 

 

 

정리4

$X\ne \emptyset$인 균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}_\mathcal{D}$는 $\mathbf{U}_\mathcal{D} = \mathbf{U}$이다.

2. $(X,\mathcal{D})$가 유사거리화가능하기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathbf{U})$가 유사거리화가능한 것이다.

3. $(X,\mathcal{D})$가 거리화가능하기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathbf{U})$가 거리화가능한 것이다.

증명

1.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}_\mathcal{D}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로

$X\ne \emptyset$임에 따라 균등덮개공간 정리로 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 되어 $\mathbf{U}_\mathcal{D} \subseteq \mathbf{U}$이고

균등덮개공간 정리로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}_\mathcal{D}$가 되어 $\mathbf{U} \subseteq \mathbf{U}_\mathcal{D}$임에 따라

집합 정리로 $\mathbf{U}_\mathcal{D} = \mathbf{U}$이다.

2, 3

1번과 위 정리로 2, 3번이 성립한다.

 

 

 

정리5

균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathbf{U})$가 유사거리화가능하면 $(X,\mathcal{D})$는 유사거리화가능하다.

2. $(X,\mathbf{U})$가 거리화가능하면 $(X,\mathcal{D})$는 거리화가능하다.

증명

1.

$\mathbf{U}$가 유사거리화가능하므로 유사거리함수 $\rho : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리균등덮개공간 $(X,\mathbf{U}_\rho)$가 $\mathbf{U} = \mathbf{U}_\rho$이고

위 정리로 $(X,\rho)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_\rho)$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합은 $\mathbf{U}_\rho$이므로

위 정리로 $(X,\mathbf{U}) = (X,\mathbf{U}_\rho)$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$는 $\mathcal{D}= \mathcal{D}_\rho$가 되어 $(X,\mathcal{D})$는 유사거리화가능하다.

2.

$\mathbf{U}$가 거리화가능하므로 거리함수 $d: X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

거리공간 $(X,d)$의 거리균등덮개공간 $(X,\mathbf{U}_d)$가 $\mathbf{U} = \mathbf{U}_d$이고

위 정리로 $(X,d)$의 거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_d)$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합은 $\mathbf{U}_d$이므로

위 정리로 $(X,\mathbf{U}) = (X,\mathbf{U}_d)$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$는 $\mathcal{D}= \mathcal{D}_d$가 되어 $(X,\mathcal{D})$는 거리화가능하다.

 

 

 

정리6

균등공간 $(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간이기 위한 필요충분조건은

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $(x,y)\notin D_{x,y}$인 $D_{x,y}\in \mathcal{D}$가 존재하는 것이다.

증명

$(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간이면

$X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 $\displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D = \Delta_X$이고 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 대각관계의 정의와 집합 정리로

$(x,y)\in \displaystyle X^2 \setminus \Delta_X=X^2\setminus \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D = \bigcup_{D\in \mathcal{D}}(X^2\setminus D)$이므로 $(x,y)\in X^2\setminus D$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하고 $(x,y)\notin D$이다.

역으로 조건이 성립하면 

균등공간 정리로 $\displaystyle \Delta_X \subseteq \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D$이므로 집합 정리로 $\displaystyle X^2\setminus \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D\subseteq X^2\setminus \Delta_X$이다.

모든 $\displaystyle (x,y)\in X^2\setminus \Delta_X$는 $2$-데카르트곱의 정의로 $x,y\in X$이고 대각관계의 정의로 $x\ne y$이므로 

$(x,y)\notin D$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $(x,y)\in X^2\setminus D$임에 따라 $\displaystyle (x,y)\in \bigcup_{D\in \mathcal{D}}(X^2\setminus D)$이고

집합 정리로 $\displaystyle X^2\setminus \Delta_X \subseteq \bigcup_{D\in \mathcal{D}}(X^2\setminus D) = X^2\setminus \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D$가 되어 집합 정리로 $\displaystyle X^2\setminus \Delta_X = X^2\setminus \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D$이므로

집합 정리로 $\displaystyle \bigcap_{D\in \mathcal{D}}D = \Delta_X$이고 $(X,\mathcal{D})$는 분리균등공간이다.

 

 

 

정리7

균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$가 분리균등덮개공간이기 위한 필요충분조건은

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}_{x,y})\cap \operatorname{st}(y,\mathcal{U}_{x,y}) = \emptyset$인 $\mathcal{U}_{x,y}\in \mathbf{U}$가 존재하는 것이다.

증명

$(X,\mathbf{U})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이다.

$(X,\mathbf{U})$가 분리균등덮개공간이면

$(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간이므로 균등공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이 되어 

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $x\in O_x$와 $y\in O_y$가 성립하고 $O_x\cap O_y = \emptyset$인 $O_x,O_y\in \mathcal{T}$가 존재하므로 

균등덮개공간 정리로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{V})\subseteq O_x$이고 $\operatorname{st}(y,\mathcal{W})\subseteq O_y$인 $\mathcal{V},\mathcal{W}\in \mathbf{U}$가 존재한다.

균등덮개공간의 정의로 어떤 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 $\mathcal{V},\mathcal{W}$의 성형세분이므로 덮개 정리로 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V},\mathcal{W}$의 세분이 되어

별의 정의와 별 정리로

$\operatorname{st}(x,\mathcal{U})=\operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U})\subseteq \operatorname{st}(\{x\},\mathcal{V})=\operatorname{st}(x,\mathcal{V})\subseteq O_x$이고

$\operatorname{st}(y,\mathcal{U})=\operatorname{st}(\{y\},\mathcal{U})\subseteq \operatorname{st}(\{y\},\mathcal{W})=\operatorname{st}(y,\mathcal{W})\subseteq O_y$임에 따라

$\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\cap \operatorname{st}(y,\mathcal{U})\subseteq O_x\cap O_y = \emptyset$이므로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\cap \operatorname{st}(y,\mathcal{U})= \emptyset$이다.

역으로 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{V})\cap \operatorname{st}(y,\mathcal{V}) = \emptyset$인 $\mathcal{V}\in \mathbf{U}$가 존재하면 

균등덮개공간 정리로 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 $\mathcal{V}$의 세분이므로 별의 정의와 별 정리로

$x\in \operatorname{st}(x,\mathcal{U})=\operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U})\subseteq \operatorname{st}(\{x\},\mathcal{V})=\operatorname{st}(x,\mathcal{V})$이고

$y\in \operatorname{st}(y,\mathcal{U})=\operatorname{st}(\{y\},\mathcal{U})\subseteq \operatorname{st}(\{y\},\mathcal{V})=\operatorname{st}(y,\mathcal{V})$임에 따라

$\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\cap \operatorname{st}(y,\mathcal{U})\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{V})\cap \operatorname{st}(y,\mathcal{V}) = \emptyset$이 되어 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\cap \operatorname{st}(y,\mathcal{U})= \emptyset$이고

열린덮개의 정의로 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{T}$이므로 위상공간의 정의와 별의 정의로

$\operatorname{st}(x,\mathcal{U})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $\operatorname{st}(y,\mathcal{U})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방임에 따라 

$(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이고 균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 분리균등공간이 되어 $(X,\mathbf{U})$는 분리균등덮개공간이다.

 

 

 

정리8

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{D})$가 유사거리화가능하기 위한 필요충분조건은 어떤 $(X,\mathbf{U})$의 기저 $\mathbf{B}$가 존재하여 $\mathbf{B}$가 가산집합인 것이다.

2. $(X,\mathcal{D})$가 거리화가능하기 위한 필요충분조건은

어떤 $(X,\mathbf{U})$의 기저 $\mathbf{B}$가 존재하여 $\mathbf{B}$가 가산집합이고 $(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간인 것이다.

증명

1.

$(X,\mathcal{D})$가 유사거리화가능하면

위 정리로 $(X,\mathbf{U})$는 유사거리화가능하므로 유사거리함수 $\rho : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리균등덮개공간 $(X,\mathbf{U}_\rho)$가 $\mathbf{U} = \mathbf{U}_\rho$이고

임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\mathcal{B}_\epsilon = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X\}$일때

$\mathbf{B}_\rho = \{ \mathcal{B}_\epsilon:\epsilon\in  (0,\infty)\}$가 $(X,\mathbf{U}) = (X,\mathbf{U}_\rho)$의 기저임에 따라

가산집합 정리와 함수 정리와 가산집합 정리로 $\mathbf{B} = \{ \mathcal{B}_\frac{1}{2^n} : n\in \mathbb{Z}^+\}$는 가산집합이고 $\mathbf{B}\subseteq \mathbf{B}_\rho\subseteq \mathbf{U}_\rho = \mathbf{U}$이다.

기저의 정의로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 어떤 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여 $\mathcal{B}_\epsilon$이 $\mathcal{U}$의 세분이고

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{2^n}< \epsilon$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

열린공의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^n})\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$이므로 $\mathcal{B}_\frac{1}{2^n}$이 $\mathcal{B}_\epsilon$의 세분임에 따라

덮개 정리로 $\mathcal{B}_\frac{1}{2^n}\in \mathbf{B}$은 $\mathcal{U}$의 세분이고 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

역으로 어떤 $(X,\mathbf{U})$의 기저 $\mathbf{B}$가 존재하여 $\mathbf{B}$가 가산집합이면

가산집합 정리와 함수 정리와 가산집합 정리로 전사함수 $\phi : \mathbb{Z}^+\to \mathbf{B}$가 존재하여

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi(n) = \mathcal{U}_n\in \mathbf{B}\subseteq \mathbf{U}$일때 $\mathcal{U}_n$이 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개임에 따라

유사거리공간 정리와 선택 정리로 모든 $x,y\in X$에 대해 $\rho_n(x,y)\le 1$이고

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\mathcal{A}_n(\epsilon) = \{ \underset{(X,\rho_n)}{B}(x,\epsilon) : x\in X\}$이 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이고 

$\mathcal{A}_n(1)$이 $\mathcal{U}_n$의 세분인 유사거리함수 $\rho_n : X\times X \to [0,\infty)$을 선택하면 

최소원소의 정의로 $\rho_n(x,y)=\min \{ \rho_n(x,y),1\}$이므로 $X$의 $\mathbb{Z}^+$-일반 데카르트곱이 $X^{\mathbb{Z}^+}$일때 유사거리공간 정리로 

모든 $f,g\in X^{\mathbb{Z}^+}$에 대해 $d(f,g) = \displaystyle \sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(f(k),g(k))}{2^k}$인 함수 $d:X^{\mathbb{Z}^+}\times X^{\mathbb{Z}^+}\to [0,\infty)$는 유사거리함수이고

일반 데카르트곱 정리로 임의의 $x\in X$와 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f_x(k) = x$인 함수 $f_x : \mathbb{Z}^+\to X$는 $f_x\in X^{\mathbb{Z}^+}$가 되어

모든 $x,y\in X$가 $\rho(x,y) = d(f_x,f_y) = \displaystyle \sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(f_x(k),f_y(k))}{2^k} = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\rho_k(x,y)}{2^k}$인 함수 $\rho :X\times X\to [0,\infty)$는

유사거리공간의 정의로

모든 $x,y,z\in X$에 대해 $\rho(x,x) = d(f_x,f_x) = 0$과 $\rho(x,y) = d(f_x,f_y) = d(f_y,f_x) = \rho(y,x)$가 성립하고

$\rho(x,z) = d(f_x,f_z) \le d(f_x,f_y) + d(f_y,f_z) = \rho(x,y) + \rho(y,z)$가 성립함에 따라 $(X,\rho)$는 유사거리공간이다.

$(X,\rho)$의 유사거리균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U}_\rho)$일때

임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\mathcal{B}_\epsilon = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X\}$인 $\mathbf{B}_\rho = \{ \mathcal{B}_\epsilon:\epsilon\in  (0,\infty)\}$는 $(X,\mathbf{U}_\rho)$의 기저이고

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 기저의 정의와 전사의 정의로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $\mathcal{U}_n$이 $\mathcal{U}$의 세분이므로

모든 $x\in X$에 대해 모든 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n}})$는

급수 정리와 열린공의 정의로 $\displaystyle \dfrac{\rho_{n}(x,y)}{2^{n}}\le\sum_{k=1}^{n} \dfrac{\rho_k(x,y)}{2^k}\le \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\rho_k(x,y)}{2^k} = \rho(x,y) < \dfrac{1}{2^{n}}$이고

$\rho_{n}(x,y) < 1$임에 따라 $y\in \underset{(X,\rho_{n})}{B}(x,1)$가 되어 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^{n}}) \subseteq \underset{(X,\rho_{n})}{B}(x,1)$이므로

$\mathcal{B}_\frac{1}{2^{n}}$은 $\mathcal{A}_{n}(1)$의 세분이고 $\mathcal{A}_{n}(1)$이 $\mathcal{U}_{n}$의 세분임에 따라

덮개 정리로 $\mathcal{B}_\frac{1}{2^{n}}\in \mathbf{B}_\rho \subseteq \mathbf{U}_\rho$은 $\mathcal{U}$의 세분이 되어 균등덮개공간의 정의로 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}_\rho$이고 $\mathbf{U}\subseteq \mathbf{U}_\rho$이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}_\rho$에 대해 기저의 정의로 어떤 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여 $\mathcal{B}_\epsilon$이 $\mathcal{U}$의 세분이고 

급수 정리와 급수 정리로 어떤 $N_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=N_\epsilon+1}^\infty \dfrac{1}{2^k} < \dfrac{\epsilon}{2}$이므로

모든 $k=1,2,\cdots,N_\epsilon$에 대해 $\mathcal{A}_k(\frac{2^k\cdot \epsilon}{4\cdot N_\epsilon}) \in \mathbf{U}$임에 따라 기저 정리와 전사의 정의와 덮개 정리로

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $\mathcal{U}_n$이 $\mathcal{A}_1(\frac{2^1\cdot \epsilon}{4\cdot N_\epsilon}),\mathcal{A}_2(\frac{2^2\cdot \epsilon}{4\cdot N_\epsilon}),\cdots,\mathcal{A}_{N_\epsilon}(\frac{2^{N_\epsilon}\cdot \epsilon}{4\cdot N_\epsilon})$의 세분이다.

세분의 정의로 모든 $U\in \mathcal{U}_n$는 모든 $k=1,2,\cdots,N_\epsilon$에 대해 $U\subseteq \underset{(X,\rho_k)}{B}(x_k,\frac{2^k\cdot \epsilon}{4\cdot N_\epsilon})$인 $x_k\in X$가 존재하여 

$U= \emptyset$이면 $U= \emptyset \subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x_k,\epsilon)$이고 

$U\ne \emptyset$이면 어떤 $x\in U$가 존재하여 모든 $y\in U\subseteq \displaystyle \bigcap_{k=1}^{N_\epsilon} \underset{(X,\rho_k)}{B}(x_k,\textstyle{\frac{2^k\cdot \epsilon}{4\cdot N_\epsilon}})$는

모든 $k=1,2,\cdots,N_\epsilon$에 대해 $x,y \in \underset{(X,\rho_k)}{B}(x_k,\frac{2^k\cdot \epsilon}{4\cdot N_\epsilon})$이므로 유사거리공간의 정의와 열린공의 정의로

$\rho_k(x,y)\le \rho_k(x,x_k)+\rho_k(x_k,y) < \dfrac{2^k\cdot \epsilon}{4\cdot N_\epsilon} + \dfrac{2^k\cdot \epsilon}{4\cdot N_\epsilon} = \dfrac{2^k\cdot \epsilon}{2\cdot N_\epsilon}$이 되어 $\dfrac{\rho_k(x,y)}{2^k} < \dfrac{\epsilon}{2\cdot N_\epsilon}$이고

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0\le \rho_k(x,y)\le 1$임에 따라 $0\le \dfrac{\rho_k(x,y)}{2^k}\le \dfrac{1}{2^k}$가 되어

급수 정리와 수열 정리로 $\displaystyle \sum_{k=N_\epsilon+1}^\infty \dfrac{\rho_k(x,y)}{2^k}\le \sum_{k=N_\epsilon+1}^\infty\dfrac{1}{2^k}< \dfrac{\epsilon}{2}$이므로

$\begin{align*} \rho(x,y) & = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\rho_k(x,y)}{2^k} = \sum_{k=1}^{N_\epsilon} \dfrac{\rho_k(x,y)}{2^k} + \sum_{k=N_\epsilon + 1}^\infty \dfrac{\rho_k(x,y)}{2^k} \\[0.5em]& \le \sum_{k=1}^{N_\epsilon} \dfrac{\rho_k(x,y)}{2^k} + \sum_{k=N_\epsilon + 1}^\infty \dfrac{1}{2^k} \\[0.5em]& \lt \sum_{k=1}^{N_\epsilon}\frac{\epsilon}{2\cdot N_\epsilon} + \dfrac{\epsilon}{2} =\dfrac{\epsilon}{2} +\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이고}\end{align*}$

열린공의 정의로 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$임에 따라 $U\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$가 되어 $\mathcal{U}_n$은 $\mathcal{B}_\epsilon$의 세분이다.

덮개 정리로 $\mathcal{U}_n\in \mathbf{B}\subseteq \mathbf{U}$이 $\mathcal{U}$의 세분이므로 균등덮개공간의 정의로 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 되어 $\mathbf{U}_\rho \subseteq \mathbf{U}$이고

집합 정리로 $\mathbf{U}=\mathbf{U}_\rho$임에 따라 $(X,\mathbf{U})$는 유사거리화가능하여 위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 유사거리화가능하다.

2.

$(X,\mathcal{D})$가 거리화가능하면

거리함수 $d : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여 거리공간 $(X,d)$의 거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_d)$는 $\mathcal{D}_d = \mathcal{D}$이고 

$(X,d)$의 거리균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U}_d)$일때

위 정리로 $(X,\mathcal{D}) = (X,\mathcal{D}_d)$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$는 $\mathbf{U}_d= \mathbf{U}$이다.

$d$는 유사거리함수이므로 $(X,\mathbf{U}_d)$는 유사거리균등덮개공간이 되어 $(X,\mathbf{U}) = (X,\mathbf{U}_d)$가 유사거리화가능함에 따라

1번으로 가산집합인 $(X,\mathbf{U})$의 기저 $\mathbf{B}$가 존재한다.

거리균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})=(X,\mathcal{D}_d)$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 $(X,d)$의 거리위상공간이므로 

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이 되어 균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 분리균등공간이다.

역으로 어떤 $(X,\mathbf{U})$의 기저 $\mathbf{B}$가 존재하여 $\mathbf{B}$가 가산집합이고 $(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간이면

1번으로 $(X,\mathcal{D})$가 유사거리화가능함에 따라

유사거리공간 $(X,d)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_d)$가 $\mathcal{D} = \mathcal{D}_d$인 유사거리함수 $d: X\times X \to [0,\infty)$가 존재한다.

유사거리균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})=(X,\mathcal{D}_d)$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 $(X,d)$의 유사거리위상공간이므로

$(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간임에 따라 균등공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_0$공간이 되어

유사거리위상공간 정리로 $(X,d)$는 거리공간이고 $(X,\mathcal{D}) = (X,\mathcal{D}_d)$는 $(X,d)$의 거리균등공간이므로

$(X,\mathcal{D})$는 거리화가능하다.

 

 

 

정리9

균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{D})$가 유사거리화가능하기 위한 필요충분조건은 어떤 $(X,\mathcal{D})$의 기저 $\mathcal{E}$가 존재하여 $\mathcal{E}$가 가산집합인 것이다.

2. $(X,\mathcal{D})$가 거리화가능하기 위한 필요충분조건은

어떤 $(X,\mathcal{D})$의 기저 $\mathcal{E}$가 존재하여 $\mathcal{E}$가 가산집합이고 $(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간인 것이다.

증명

1.

균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$에 대해

$(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D})$이다.

$(X,\mathcal{D})$가 유사거리화가능하면

위 정리로 가산집합인 $(X,\mathbf{U})$의 기저 $\mathbf{B}$가 존재하여 임의의 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$에 대해 $E_\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{B\in \mathcal{B}}B^2$일때

균등덮개공간 정리로 $\mathcal{E} = \{ E_\mathcal{B}: \mathcal{B}\in \mathbf{B}\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이고 함수 정리로 $\mathcal{E}$는 가산집합이다.

역으로 어떤 $(X,\mathcal{D})$의 기저 $\mathcal{E}$가 존재하여 $\mathcal{E}$가 가산집합이면

임의의 $D\in \mathcal{D}$에 대해 균등공간 정리로 $\mathcal{U}_D = \{ D[x]:x\in X\}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개가 되어 $\mathcal{U}_D\in \mathbf{U}$이다.

함수 정리로 $\mathbf{B} = \{ \mathcal{U}_E : E\in \mathcal{E}\}$는 가산집합이고

기저의 정의로 모든 $E\in \mathcal{E}\subseteq \mathcal{D}$는 $\mathcal{U}_E\in \mathbf{U}$이므로 $\mathbf{B}\subseteq \mathbf{U}$이다.

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 어떤 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $\mathcal{U}_D$가 $\mathcal{U}$의 세분이고 

기저의 정의로 $E\subseteq D$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재하여 관계의 상 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $E[x]\subseteq D[x]$이므로 

$\mathcal{U}_E$가 $\mathcal{U}_D$의 세분임에 따라 덮개 정리로 $\mathcal{U}_E$는 $\mathcal{U}$의 세분이고

$\mathcal{U}_E\in \mathbf{B}$이므로 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저가 되어 위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 유사거리화가능하다.

2.

$(X,\mathcal{D})$가 거리화가능하면

거리함수 $d : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여 거리공간 $(X,d)$의 거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_d)$는 $\mathcal{D}_d = \mathcal{D}$이고 

$d$는 유사거리함수이므로 1번으로 $(X,\mathcal{D})$의 기저 $\mathcal{E}$가 존재하여 $\mathcal{E}$는 가산집합이고 

$(X,\mathcal{D})=(X,\mathcal{D}_d)$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 $(X,d)$의 거리위상공간임에 따라

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이 되어 균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 분리균등공간이다.

역으로 어떤 $(X,\mathcal{D})$의 기저 $\mathcal{E}$가 존재하여 $\mathcal{E}$가 가산집합이고 $(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간이면

1번으로 $(X,\mathcal{D})$가 유사거리화가능함에 따라

유사거리공간 $(X,d)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_d)$가 $\mathcal{D} = \mathcal{D}_d$인 유사거리함수 $d: X\times X \to [0,\infty)$가 존재한다.

$(X,\mathcal{D})=(X,\mathcal{D}_d)$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 $(X,d)$의 유사거리위상공간이므로

$(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간임에 따라 균등공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_0$공간이 되어

유사거리위상공간 정리로 $(X,d)$는 거리공간이고 $(X,\mathcal{D}) = (X,\mathcal{D}_d)$는 $(X,d)$의 거리균등공간이므로

$(X,\mathcal{D})$는 거리화가능하다.

 

 

 

정리10

$X\ne \emptyset$인 균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathbf{U})$가 유사거리화가능하기 위한 필요충분조건은 어떤 $(X,\mathbf{U})$의 기저 $\mathbf{B}$가 존재하여 $\mathbf{B}$가 가산집합인 것이다.

2. $(X,\mathbf{U})$가 거리화가능하기 위한 필요충분조건은

어떤 $(X,\mathbf{U})$의 기저 $\mathbf{B}$가 존재하여 $\mathbf{B}$가 가산집합이고 $(X,\mathbf{U})$가 분리균등덮개공간인 것이다.

증명

$(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때

$(X,\mathbf{U})$가 분리균등덮개공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{D})$가 분리균등공간인 것이고

위 정리로 $(X,\mathbf{U})$가 유사거리화가능하기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{D})$가 유사거리화가능한 것이고

$(X,\mathbf{U})$가 거리화가능하기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{D})$가 거리화가능한 것이므로

위 정리로 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합이 $\mathbf{U}$임에 따라 위 정리로 1, 2번이 성립한다.

 

 

 

정리11

임의의 집합 $X$의 $2$-데카르트곱이 $X^2$이고 대각관계가 $\Delta_X$일때 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$D_{n+1}\subseteq D_n$과 $\Delta_X\subseteq D_n$과 $D_n = D_n^{-1}$과 $D_{n+1}\circ D_{n+1}\subseteq D_n$이 성립하는 $D_n\subseteq X^2$이 유일하게 존재하면

어떤 유사거리함수 $\rho :X\times X\to [0,\infty)$가 존재하여 $B_n = \{ (x,y)\in X^2 : \rho(x,y) < \frac{1}{2^n}\}$일때

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $D_{2\cdot (n+1)}\subseteq B_n\subseteq D_{2\cdot n}$이다.

증명

임의의 $x,y\in X$에 대해 최소원소 $m = \min \{ n\in \mathbb{Z}^+: (x,y)\notin D_{2\cdot n} \}$이 존재할때 $(x,y)\notin D_{2\cdot m}$이고

$m < n$인 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(x,y)\in D_{2\cdot n}$이라고 가정하면 $(x,y) \in D_{2\cdot n} \subseteq D_{2\cdot m}$임에 따라 모순이 되어

$m \le n$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$은 $(x,y)\notin D_{2\cdot n}$이고 최소원소의 정의로 $n<m$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$은 $(x,y)\in D_{2\cdot n}$이다.

임의의 $x,y\in X$가 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(x,y)\in D_{2\cdot n}$일때 $t(x,y) = 0$으로

$(x,y)\notin D_{2\cdot n}$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재할때

정렬성으로 $m =\min \{ n\in \mathbb{Z}^+: (x,y)\notin D_{2\cdot n}\}$이 유일하게 존재함에 따라 $t(x,y) = \dfrac{1}{2^{m-1}}$로 

함수 $t:X\times X\to [0,\infty)$를 정의한다.

임의의 $x\in X$는 대각관계의 정의로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(x,x)\in \Delta_X\subseteq D_{2\cdot n}$이므로 $t(x,x) = 0$이다.

임의의 $x,y\in X$가 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(x,y) \in D_{2\cdot n}$일때

역관계의 정의로 $(y,x)\in D_{2\cdot n}^{-1} = D_{2\cdot n}$이므로 $t(x,y) = 0 =t(y,x)$이다.

$m =\min \{ n\in \mathbb{Z}^+: (x,y)\notin D_{2\cdot n}\}$이 존재할때 $(x,y)\notin D_{2\cdot m}$이므로

$(y,x)\in D_{2\cdot m}$이라고 가정하면 역관계의 정의로 $(x,y)\in D_{2\cdot m}^{-1} = D_{2\cdot m}$이 되어 모순임에 따라 $(y,x)\notin D_{2\cdot m}$이고

$n<m$인 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(y,x)\notin D_{2\cdot n}$이라고 가정하면 

최소원소의 정의로 $(x,y)\in D_{2\cdot n}$이 되어 역관계의 정의로 $(y,x)\in D_{2\cdot n}^{-1} = D_{2\cdot n}$임에 따라 모순이므로 

$m =\min \{ n\in \mathbb{Z}^+: (y,x)\notin D_{2\cdot n} \}$이고 $t(x,y) = \dfrac{1}{2^{m-1}} = t(y,x)$이다.

임의의 $x,y\in X$와 $n\ge 2$인 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X$의 $n$-데카르트곱이 $X^n$일때

$E_n(x,y) = \{ (x_1,x_2,\cdots, x_{n-1},x_n)\in X^n : x_1 = x\text{ 이고 } x_n = y \}$이고

$S(x,y) = \displaystyle \bigcup_{n=2}^\infty \left \{ \sum_{i= 2}^n t(x_{i-1},x_i) : (x_1,x_2,\cdots, x_{n-1},x_n)\in E_n(x,y) \right  \}$이면

$(x,y)\in E_2(x,y)$이므로 $t(x,y)\in S(x,y)$가 되어 $S(x,y)\ne \emptyset$이고 모든 $s\in S(x,y)$에 대해 $s\ge 0$임에 따라

완비성으로 $\inf S(x,y)\ge 0$가 유일하게 존재하므로 $\rho(x,y) = \inf S(x,y)$인 함수 $\rho :X\times X\to [0,\infty)$를 정의한다.

임의의 $x\in X$에 대해 $0=t(x,x)\in S(x,x)$이 되어

하한의 정의로 $0 = t(x,x) \ge \inf S(x,x)\ge 0$임에 따라 $\rho(x,x) = \inf S(x,x)=0$이다.

임의의 $x,y\in X$에 대해 모든 $s\in S(x,y)$는

$n\ge 2$인 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $s = \displaystyle \sum_{i=2}^n t(x_{i-1},x_i)$가 되는 $(x_1,x_2,\cdots, x_{n-1},x_n)\in E_n(x,y)$이 존재하여

$x_1 = x$와 $x_n = y$가 성립하므로 $(x_n,x_{n-1},\cdots, x_2,x_1) \in E_n(y,x)$이고 

$s = \displaystyle \sum_{i=2}^n t(x_{i-1},x_i) = t(x_1,x_2) + \cdots + t(x_{n-1}, x_n) = t(x_n,x_{n-1}) + \cdots + t(x_2,x_1)\in S(y,x)$임에 따라 

$S(x,y)\subseteq S(y,x)$이고 비슷하게 $S(y,x)\subseteq S(x,y)$이므로 집합 정리로 $S(x,y) = S(y,x)$가 되어

$\rho(x,y) = \inf S(x,y) = \inf S(y,x) = \rho(y,x)$이다.

임의의 $x,y,z\in X$와 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 하한 정리로 $n\ge 2$이고 $k\ge 2$인 어떤 $n,k\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$t(x_1,x_2) + \cdots + t(x_{n-1},x_n) \le \inf S(x,y) +\dfrac{\epsilon}{2}$이고

$t(x_{n+1},x_{n+2}) + \cdots + t(x_{n+k-1},x_{n+k}) \le \inf S(y,z) +\dfrac{\epsilon}{2}$이 되는

$(x_1,x_2,\cdots, x_{n-1},x_n)\in E_n(x,y)$과 $(x_{n+1},x_{n+2},\cdots, x_{n+k-1},x_{n+k})\in E_k(y,z)$가 존재하므로

$x_1 =x$와 $x_{n+k} = z$가 성립하고 $x_n = y = x_{n+1}$이므로 $t(x_n,x_{n+1})= t(y,y) = 0$이고 $n+k\ge 4>2$임에 따라 

$(x_1,x_2, \cdots, x_{n-1},x_n, x_{n+1},x_{n+2},\cdots, x_{n+k-1},x_{n+k})\in E_{n+k}(x,z)$가 되어

$t(x_1,x_2) + \cdots +t(x_{n-1},x_n) + t(x_n, x_{n+1}) + t(x_{n+1},x_{n+2}) + \cdots +t(x_{n+k-1}, x_{n+k})\in S(x,z)$이고

하한의 정의로

$\begin{align*} \inf S(x,z) & \le t(x_1,x_2) + \cdots +t(x_{n-1},x_n) + t(x_n, x_{n+1}) + t(x_{n+1},x_{n+2}) + \cdots +t(x_{n+k-1}, x_{n+k}) \\[0.5em]& \qquad = t(x_1,x_2)+\cdots + t(x_{n-1},x_n) + t(x_{n+1},x_{n+2})+\cdots +t(x_{n+k-1},x_{n+k}) \\[0.5em] & \le \inf S(x,y) +\dfrac{\epsilon}{2}+ \inf S(y,z) +\dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em]& \qquad = \inf S(x,y) + \inf S(y,z) +\epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

부등식 정리로 $\rho(x,z) = \inf S(x,z) \le \inf S(x,y) + \inf S(y,z) = \rho(x,y) + \rho(y,z)$이고 $\rho$는 유사거리함수이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B_n = \{ (x,y)\in X^2 : \rho(x,y) < \frac{1}{2^n}\}$이면 모든 $(x,y)\in D_{2\cdot (n+1)}$는

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(x,y)\in D_{2\cdot k}$일때 $t(x,y) = 0 < \dfrac{1}{2^{n}}$이고

$m =\min \{ k\in \mathbb{Z}^+: (x,y)\notin D_{2\cdot k}\}$이 존재할때 $2\le n +1 < m$이므로 $t(x,y) = \dfrac{1}{2^{m-1}}< \dfrac{1}{2^n}$이고

$t(x,y)\in S(x,y)$임에 따라 하한의 정의로 $\rho(x,y) = \inf S(x,y)\le t(x,y) < \dfrac{1}{2^n}$이 되어

$(x,y)\in B_n$이고 $D_{2\cdot (n+1)}\subseteq B_n$이다.

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $x,y\in X$에 대해 $t(x,y)< \dfrac{1}{2^{n}}$이면

$\{ k\in \mathbb{Z}^+: (x,y)\notin D_{2\cdot k}\} = \emptyset$일때 $(x,y)\in D_{2\cdot (n+1)}$이고

$\{ k\in \mathbb{Z}^+: (x,y)\notin D_{2\cdot k}\} \ne \emptyset$일때 $m =\min \{ k\in \mathbb{Z}^+: (x,y)\notin D_{2\cdot k}\}$이 존재하여 $\dfrac{1}{2^{m-1}} = t(x,y)< \dfrac{1}{2^{n}}$이므로 

$n< m-1$임에 따라 $n+1\le m-1<m$이 되어 $(x,y)\in D_{2\cdot (n+1)}$이다.

$k\ge 2$인 임의의 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대한 강귀납법으로 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $x,y\in X$에 대해 

임의의 $(x_1,x_2,\cdots,x_k)\in E_k(x,y)$가 $\displaystyle \sum_{i=2}^k t(x_{i-1},x_i)< \dfrac{1}{2^{n}}$이면 $(x,y)\in D_{2\cdot n}$임을 보인다.

$k = 2$일때 $t(x,y)< \dfrac{1}{2^{n}}$이면 $(x,y)\in D_{2\cdot (n+1)}\subseteq D_{2\cdot n}$이다.

$r\ge 2$인 모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 조건이 성립할때

임의의 $(x_1,x_2,\cdots,x_r,x_{r+1})\in E_{r+1}(x,y)$이 $\displaystyle \sum_{i=2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i)< \dfrac{1}{2^{n}}$이면

모든 $j = 2,\cdots ,r,r+1$에 대해 $\displaystyle \sum_{i=2}^j t(x_{i-1},x_i) \ge \dfrac{1}{2^{n+1}}$일때 $\displaystyle -t(x_1,x_2) =-\sum_{i=2}^2 t(x_{i-1},x_i) \le -\dfrac{1}{2^{n+1}}$이 되어

$\displaystyle \sum_{i=3}^{r+1} t(x_{i-1},x_i)=\sum_{i=2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i)  - t(x_1, x_2)< \dfrac{1}{2^{n}} - \dfrac{1}{2^{n+1}} = \dfrac{1}{2^{n+1}}$이고 $(x_2,\cdots,x_r,x_{r+1})\in E_{r}(x_2,y)$이므로

귀납가정으로 $(x_2,y)\in D_{2\cdot (n+1)} \subseteq D_{2\cdot n +1}$이고

$\displaystyle t(x_1,x_2) \le \sum_{i=2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i)< \dfrac{1}{2^{n}}$이므로 $(x_1,x_2)\in E_2(x,x_2)$임에 따라 $(x,x_2)\in D_{2\cdot (n+1)} \subseteq D_{2\cdot n +1}$이 되어

합성관계의 정의로 $(x,y)\in D_{2\cdot n+1}\circ D_{2\cdot n+1} \subseteq D_{2\cdot n}$이다.

어떤 $j = 2,\cdots ,r,r+1$에 대해 $\displaystyle \sum_{i=2}^j t(x_{i-1},x_i) < \dfrac{1}{2^{n+1}}$일때

최대원소 정리로 $\displaystyle j_0 = \max \left \{ j\in \{ 2,\cdots,r,r+1\} : \sum_{i=2}^j t(x_{i-1},x_i) < \dfrac{1}{2^{n+1}} \right \}$이 존재하여

$j_0 = r+1$이면 $\displaystyle \sum_{i=2}^{r} t(x_{i-1},x_i) \le \sum_{i=2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i) < \dfrac{1}{2^{n+1}}$이고

$j_0 = r$이면 $\displaystyle \sum_{i=2}^{r} t(x_{i-1},x_i) < \dfrac{1}{2^{n+1}}$이므로 $(x_1,x_2,\cdots,x_r)\in E_{r}(x,x_r)$임에 따라

귀납가정으로 $(x, x_r)\in D_{2\cdot (n+1)} \subseteq D_{2\cdot n+1}$이고

$\displaystyle t(x_r,x_{r+1}) \le \sum_{i=2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i)< \dfrac{1}{2^{n}}$이므로 $(x_r,x_{r+1})\in E_2(x_r,y)$가 되어 $(x_r,y) \in D_{2\cdot (n+1)} \subseteq D_{2\cdot n +1}$이고

합성관계의 정의로 $(x,y)\in D_{2\cdot n+1}\circ D_{2\cdot n+1} \subseteq D_{2\cdot n}$이다.

$j_0 < r$이면 $\displaystyle \sum_{i=2}^{j_0} t(x_{i-1},x_i) < \dfrac{1}{2^{n+1}}$이고

$j_0+1\le r<r+1$이므로 최대원소의 정의로 $\displaystyle \sum_{i=2}^{j_0+1} t(x_{i-1},x_i) \ge \dfrac{1}{2^{n+1}}$이고

$j_0+2\le r+1$임에 따라 $\displaystyle \sum_{i=j_0+ 2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i) \ge \dfrac{1}{2^{n+1}}$이라고 가정할때

$\displaystyle\dfrac{1}{2^{n}} =\dfrac{1}{2^{n+1}}+\dfrac{1}{2^{n+1}}\le \sum_{i=2}^{j_0+1}t(x_{i-1},x_i) + \sum_{i= j_0+2}^{r+1}t(x_{i-1}x_i) = \sum_{i=2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i)< \dfrac{1}{2^{n}}$이므로 모순이 되어

$\displaystyle \sum_{i=j_0+ 2}^{r+1} t(x_{i-1},x_i) < \dfrac{1}{2^{n+1}}$이고 $t(x_{j_0},x_{j_0+1})\le \displaystyle \sum_{i=2}^{r+1}t(x_{i-1},x_i) <\dfrac{1}{2^{n}}$이다.

$(x_1,x_2,\cdots, x_{j_0})\in E_{j_0}(x,x_{j_0})$이므로 귀납가정으로 $(x,x_{j_0})\in D_{2\cdot (n+1)} = D_{2\cdot n +2}$이고

$(x_{j_0},x_{j_0+1})\in E_{2}(x_{j_0}, x_{j_0+1})$이므로 $(x_{j_0},x_{j_0+1})\in D_{2\cdot (n+1)} = D_{2\cdot n +2}$이고

$(x_{j_0+1}, \cdots ,x_r,x_{r+1})\in E_{r-j_0+1}(x_{j_0+1},y)$이므로 귀납가정으로 $(x_{j_0+1}, y) \in D_{2\cdot (n+1)} \subseteq D_{2\cdot n+1}$가 되어

합성관계의 정의로 $(x,x_{j_0+1})\in D_{2\cdot n+2}\circ D_{2\cdot n+2} \subseteq D_{2\cdot n+1}$이고 $(x,y)\in D_{2\cdot n+1}\circ D_{2\cdot n+1}\subseteq D_{2\cdot n}$이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $(x,y)\in B_n$는 $\inf S(x,y)=\rho(x,y)<\dfrac{1}{2^{n}}$이므로 

$0<\dfrac{1}{2^{n}} - \inf S(x,y)$임에 따라 하한 정리로 $k\ge 2$인 어떤 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\displaystyle \sum_{i=2}^k t(x_{i-1},x_i)< \inf S(x,y) + \dfrac{1}{2^{n}} - \inf S(x,y) = \dfrac{1}{2^{n}}$인 $(x_1,x_2,\cdots, x_{k-1},x_k)\in E_k(x,y)$가 존재하여

$(x,y)\in D_{2\cdot n}$이고 $B_n\subseteq D_{2\cdot n}$이다.

 

 

 

정리12

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리균등공간이 $(X,\mathcal{D})$이고 모든 $s\in (0,\infty)$와 모든 $x,y\in X$가

$\rho_1(x,y) = $ $\min$$\{ \rho(x,y),1\}$이고 $\rho_2(x,y) = \dfrac{\rho(x,y)}{1+\rho(x,y)}$이고 $\rho_3(x,y) = s\cdot \rho(x,y)$인

유사거리함수가 $\rho_1,\rho_2,\rho_3:X\times X\to [0,\infty)$이고 유사거리공간이 $(X,\rho_1),(X,\rho_2),(X,\rho_3)$일때

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon= \{ (x,y)\in X^2 : \rho(x,y)<\epsilon\}$이면 다음이 성립한다.

1. $E_{\epsilon} = \{ (x,y)\in X^2:\rho_1(x,y)<\epsilon\}$일때 $\epsilon\le 1$이면 $D_{\epsilon} = E_{\epsilon}$이고 $1<\epsilon$이면 $X^2 = E_{\epsilon}$이다.

2. $F_{\epsilon} = \{ (x,y)\in X^2:\rho_2(x,y)<\epsilon\}$일때 $D_\epsilon \subseteq F_\epsilon$이고 $1\le \epsilon$이면 $X^2 = F_\epsilon$이다.

3. $G_{\epsilon} = \{ (x,y)\in X^2:\rho_3(x,y)<\epsilon\}$일때 $D_\epsilon = G_{s\cdot \epsilon}$이다.

4. $(X,\rho_1)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{E})$에 대해 $\mathcal{D} = \mathcal{E}$이다.

5. $(X,\rho_2)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{F})$에 대해 $\mathcal{D} = \mathcal{F}$이다.

6. $(X,\rho_3)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{G})$에 대해 $\mathcal{D} = \mathcal{G}$이다.

증명

유사거리공간 정리로 $(X,\rho_1),(X,\rho_2),(X,\rho_3)$은 유사거리공간이다.

1.

$\epsilon\le 1$이면 임의의 $(x,y)\in D_\epsilon$에 대해

관계의 상의 정의와 유사거리균등공간 정리와 유사거리공간 정리로

$y\in D_\epsilon[x] = \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) = \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\epsilon) = E_\epsilon[x]$이므로 관계의 상의 정의로 $(x,y)\in E_\epsilon$이 되어 $D_\epsilon \subseteq E_\epsilon$이고

비슷하게 $E_\epsilon\subseteq D_\epsilon$이므로 집합 정리로 $D_\epsilon = E_\epsilon$이다.

$1< \epsilon$이면 임의의 $(x,y)\in X^2$에 대해

관계의 상의 정의와 관계 정리와 유사거리공간 정리와 유사거리균등공간 정리로

$y\in X^2[x] = X =\underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\epsilon) = E_\epsilon[x]$이므로 관계의 상의 정의로 $(x,y)\in E_\epsilon$이 되어 $X^2\subseteq E_\epsilon$이고

$E_\epsilon\subseteq X^2$이므로 집합 정리로 $X^2 = E_\epsilon$이다.

2.

임의의 $(x,y)\in D_\epsilon$에 대해

관계의 상의 정의와 유사거리균등공간 정리와 유사거리공간 정리로

$y\in D_\epsilon[x] = \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) \subseteq \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,\epsilon) = F_\epsilon[x]$이므로 관계의 상의 정의로 $(x,y)\in F_\epsilon$이 되어 $D_\epsilon \subseteq F_\epsilon$이다.

$1\le \epsilon$이면 임의의 $(x,y)\in X^2$에 대해

관계의 상의 정의와 관계 정리와 유사거리공간 정리와 유사거리균등공간 정리로

$y\in X^2[x] = X =\underset{(X,\rho_2)}{B}(x,\epsilon) = F_\epsilon[x]$이므로 관계의 상의 정의로 $(x,y)\in F_\epsilon$이 되어 $X^2\subseteq F_\epsilon$이고

$F_\epsilon\subseteq X^2$이므로 집합 정리로 $X^2 = F_\epsilon$이다.

3.

임의의 $(x,y)\in D_\epsilon$에 대해

관계의 상의 정의와 유사거리균등공간 정리와 유사거리공간 정리로

$y\in D_\epsilon[x] = \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) = \underset{(X,\rho_3)}{B}(x,s\cdot \epsilon) = G_{s\cdot \epsilon}[x]$이므로 관계의 상의 정의로 $(x,y)\in G_{s\cdot \epsilon}$이 되어 $D_\epsilon \subseteq G_{s\cdot \epsilon}$이고

비슷하게 $G_{s\cdot \epsilon}\subseteq D_\epsilon$이므로 집합 정리로 $D_\epsilon = G_{s\cdot \epsilon}$이다.

4.

모든 $D\in \mathcal{D}$는 유사거리균등공간 정리로 $D_\delta \subseteq D$인 $\delta \in (0,\infty)$가 존재하여 $\epsilon = \min \{ \delta ,1\}\in (0,\infty)$일때

최소원소의 정의로 $\epsilon\le \delta$이고 $\epsilon\le 1$이므로 2번으로 $E_\epsilon = D_\epsilon\subseteq D_\delta \subseteq D$이고 

유사거리균등공간 정리로 $E_\epsilon\in \mathcal{E}$이므로 균등공간의 정의로 $D\in \mathcal{E}$임에 따라 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{E}$이고 

비슷하게 $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{D}$이므로 집합 정리로 $\mathcal{D}=\mathcal{E}$이다.

5.

함수 정리로

모든 $s\in (-\infty, 1)$에 대해 $g(s) = \dfrac{s}{1-s}$인 함수 $g: (-\infty,1)\to \mathbb{R}$는 $(-\infty,1)$에서 순증가하고

모든 $t\in (-1,\infty)$에 대해 $f(t) = \dfrac{t}{1+t}$인 함수 $f: (-1,\infty)\to \mathbb{R}$는 $f((0,\infty)) = (0,1)$과 $g(f(t)) = t$가 성립한다.

모든 $D\in \mathcal{D}$는 유사거리균등공간 정리로 $D_\epsilon \subseteq D$인 $\epsilon \in (0,\infty)$이 존재하여

$f(\epsilon)\in (0,1)$이므로 유사거리균등공간 정리로 $F_{f(\epsilon)}\in \mathcal{F}$이고

모든 $(x,y)\in F_{f(\epsilon)}$에 대해 $\rho(x,y)\in [0,\infty) \subseteq (-1,\infty)$이므로 $f(\rho(x,y)) =\dfrac{\rho(x,y)}{1+ \rho(x,y)} =\rho_2(x,y) < f(\epsilon)$이고

순증가의 정의로 $\rho(x,y)=g(f(\rho(x,y))) < g(f(\epsilon)) = \epsilon$이 되어 $(x,y)\in D_\epsilon$임에 따라 $F_{f(\epsilon)}\subseteq D_\epsilon \subseteq D$이고 

$F_{f(\epsilon)}\in \mathcal{F}$이므로 균등공간의 정의로 $D\in \mathcal{F}$가 되어 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{F}$이다. 

모든 $F\in \mathcal{F}$는 유사거리균등공간 정리로 $F_\epsilon\subseteq F$인 $\epsilon \in (0,\infty)$이 존재하여

유사거리균등공간 정리로 $D_\epsilon \in \mathcal{D}$이고 2번으로 $D_\epsilon \subseteq F_\epsilon \subseteq F$이므로 

균등공간의 정의로 $F\in \mathcal{D}$가 되어 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{D}$이고 집합 정리로 $\mathcal{D}=\mathcal{F}$이다.

6.

모든 $D\in \mathcal{D}$는 유사거리균등공간 정리로 $D_\epsilon \subseteq D$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여 4번으로 $G_{s\cdot \epsilon} = D_\epsilon \subseteq D$이고 

$s\cdot \epsilon\in (0,\infty)$이므로 유사거리균등공간 정리로 $G_{s\cdot \epsilon} \in \mathcal{G}$가 되어 균등공간의 정의로 $D\in \mathcal{G}$임에 따라 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{G}$이다.

모든 $G\in \mathcal{G}$는 유사거리균등공간 정리로 $G_\epsilon \subseteq G$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여 4번으로 $D_{\frac{1}{s}\cdot \epsilon} = G_{s\cdot \frac{1}{s}\cdot \epsilon} = G_\epsilon \subseteq G$이고 

$\dfrac{1}{s}\cdot \epsilon \in (0,\infty)$이므로 유사거리균등공간 정리로 $D_{\frac{1}{s}\cdot \epsilon} \in \mathcal{D}$가 되어 균등공간의 정의로 $G\in \mathcal{D}$임에 따라 $\mathcal{G}\subseteq \mathcal{D}$이고

집합 정리로 $\mathcal{D}=\mathcal{G}$이다.

 

 

 

정리13

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P})$이고 $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 $\mathcal{O} = \{ O\in \mathcal{P}:\Delta_X\subseteq O\}$일때

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $O_{n+1}\circ O_{n+1} \subseteq O_{n}$인 $\mathcal{O}$의 수열 $(O_n)_{n=1}^\infty$이 존재하면 

$D_{n+1}\subseteq D_n\subseteq O_n$과 $D_n = D_n^{-1}$과 $D_{n+1}\circ D_{n+1} \subseteq D_{n}$이 성립하는 $\mathcal{O}$의 수열 $(D_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여

$\{ D_n : n\in \mathbb{Z}^+\}$이 기저인 균등공간 $(X,\mathcal{D})$가 존재한다.

이때 임의의 $x,y\in X$에 대해 $(x,y)\notin D_1$이면 $\rho(x,y) = 1$이고

모든 $x,y\in X$에 대해 $\rho(x,y)\le 1$인 유사거리함수 $\rho : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_\rho)$에 대해 $\mathcal{D} = \mathcal{D}_\rho$이고 

$(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 $2$-곱공간 $(X^2,\mathcal{P}_\rho)$에 대해 $\mathcal{T}_\rho\subseteq \mathcal{T}$와 $\mathcal{P}_\rho\subseteq \mathcal{P}$가 성립한다.

증명

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $O_n\in \mathcal{O}$이므로 $\Delta_X\subseteq O_n$이 되어

관계 정리로 $\Delta_X=\Delta_X^{-1}\subseteq O_n^{-1}$임에 따라 곱공간 정리로 $O_n^{-1}\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{P}$이고

위상공간의 정의로 $O_n\cap O_n^{-1}\in \mathcal{P}$이므로 $\Delta_X =\Delta_X \cap \Delta_X \subseteq O_n\cap O_n^{-1}$임에 따라 $O_n\cap O_n^{-1}\in \mathcal{O}$이 되어

$E_n = O_n\cap O_n^{-1}$으로 둘때 관계 정리로 $E_n = E_n^{-1}$이고 $E_n = O_n\cap O_n^{-1}\subseteq O_n$이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 관계 정리로 $O_{n+1}^{-1}\circ O_{n+1}^{-1}=(O_{n+1}\circ O_{n+1})^{-1}\subseteq O_n^{-1}$임에 따라 

모든 $(x,y)\in E_{n+1}\circ E_{n+1}$에 대해 합성관계의 정의로 $(x,z),(z,y)\in E_{n+1}$인 $z\in X$가 존재하여 

$(x,z),(z,y)\in E_{n+1} \subseteq O_{n+1}$이므로 $(x,y)\in O_{n+1}\circ O_{n+1}\subseteq O_n$이고 

$(x,z),(z,y)\in E_{n+1} \subseteq O_{n+1}^{-1}$이므로 $(x,y)\in O_{n+1}^{-1}\circ O_{n+1}^{-1}\subseteq O_n^{-1}$이 되어 

$(x,y)\in O_n\cap O_n^{-1} = E_n$이고 $E_{n+1}\circ E_{n+1}\subseteq E_n$이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $D_n = \displaystyle \bigcap_{i=1}^n E_i$로 둘때 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $E_i\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{P}$이므로

$\Delta_X \subseteq E_i$가 되어 $\Delta_X\subseteq \displaystyle \bigcap_{i=1}^n E_i$이고 위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n E_i \in \mathcal{P}$임에 따라 $D_n=\displaystyle \bigcap_{i=1}^n E_i \in \mathcal{O}$이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle D_{n+1}=\bigcap_{i=1}^{n+1}E_i\subseteq \bigcap_{i=1}^n E_i =D_n$과 $D_n=\displaystyle \bigcap_{i=1}^n E_i \subseteq E_n \subseteq O_n$이 성립하고

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $E_i = E_i^{-1}$이므로 관계 정리로 

$D_n = \displaystyle \bigcap_{i=1}^n E_i = E_1\cap E_2\cap \cdots \cap E_n = E_1^{-1}\cap E_2^{-1}\cap \cdots \cap E_n^{-1} = (E_1\cap E_2\cap \cdots \cap E_n)^{-1} = \left (\bigcap_{i=1}^nE_i\right )^{-1} = D_n^{-1}\text{ 이다.}$

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $(x,y)\in D_{n+1}\circ D_{n+1}$는 합성관계의 정의로

$(x,z),(z,y)\in D_{n+1} = \displaystyle \bigcap_{i=1}^{n+1}E_i$인 $z\in X$가 존재하여 모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $(x,z),(z,y)\in E_{i+1}$이므로

$(x,y)\in E_{i+1}\circ E_{i+1}\subseteq E_i$임에 따라 $(x,y)\in \displaystyle \bigcap_{i=1}^n E_i = D_n$이고 $D_{n+1}\circ D_{n+1}\subseteq D_n$이다.

$\mathcal{O}$의 수열 $(D_n)_{n=1}^\infty$은 모든 $m,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$D_{n+1}\subseteq D_n\subseteq O_n$과 $\Delta_X\subseteq D_n$과 $D_n = D_n^{-1}$과 $D_{n+1}\circ D_{n+1} \subseteq D_{n}$이 성립하고 

$k = $ $\max$$\{ m,n\} \in \mathbb{Z}^+$에 대해 

$\displaystyle \bigcap_{i=1}^k E_i \subseteq \bigcap_{i=1}^m E_i$와 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^k E_i \subseteq \bigcap_{i=1}^n E_i$가 성립함에 따라 $\displaystyle D_k =\bigcap_{i=1}^k E_i \subseteq \bigcap_{i=1}^m E_i \cap \bigcap_{i=1}^n E_i = D_m\cap D_n$이고

$\mathcal{E} = \{ D_n : n\in \mathbb{Z}^+\}$는 $\mathcal{E}\ne \emptyset$이므로 $X^2$의 멱집합 $\mathcal{P}(X^2)$에 대해 균등공간 정리로 

$\mathcal{D} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2): \text{어떤 }E\in \mathcal{E}\text{에 대해 }E\subseteq D\}$인 $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이고 $\mathcal{E}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $D_n\subseteq X^2$이므로 위 정리로 어떤 유사거리함수 $\rho_1 :X\times X\to [0,\infty)$이 존재하여

$B_n = \{ (x,y)\in X^2 : \rho_1(x,y) < \frac{1}{2^n}\}$일때 $D_{2\cdot (n+1)}\subseteq B_n\subseteq D_{2\cdot n}$이다.

유사거리공간 $(X,\rho_1)$의 유사거리균등공간이 $(X,\mathcal{D}_{\rho_1})$일때 

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 기저의 정의로 $D_n \subseteq D$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $B_n\subseteq D_{2\cdot n}\subseteq D_n \subseteq D$이고

유사거리균등공간 정리로 $B_n\in \mathcal{D}_{\rho_1}$이므로 균등공간의 정의로 $D\in \mathcal{D}_{\rho_1}$이 되어 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{D}_{\rho_1}$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}_{\rho_1}$에 대해 유사거리균등공간 정리로 $\{ (x,y)\in X^2 : \rho_1(x,y)<\epsilon \}\subseteq D$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여 

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{2^n}< \epsilon$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 $D_{2\cdot (n+1)}\subseteq B_n\subseteq \{ (x,y)\in X^2 : \rho_1(x,y)<\epsilon \}\subseteq D$이고

기저의 정의로 $D_{2\cdot (n+1)}\in \mathcal{D}$이므로 균등공간의 정의로 $D\in \mathcal{D}$가 되어 $\mathcal{D}_{\rho_1}\subseteq \mathcal{D}$이고 집합 정리로 $\mathcal{D}=\mathcal{D}_{\rho_1}$이다.

위 정리로 모든 $x,y\in X$가 $\rho_2(x,y) = 2\cdot \rho_1(x,y)$인 유사거리함수 $\rho_2 :X\times X\to [0,\infty)$에 대해 

유사거리공간 $(X,\rho_2)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_{\rho_2})$는 $\mathcal{D}_{\rho_2}=\mathcal{D}_{\rho_1} = \mathcal{D}$이므로

위 정리로 모든 $x,y\in X$가 $\rho(x,y) = \min \{ 1, \rho_2(x,y) \}$인 유사거리함수 $\rho :X\times X\to [0,\infty)$에 대해 

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_{\rho})$는 $\mathcal{D}_{\rho} = \mathcal{D}_{\rho_2}=\mathcal{D}_{\rho_1} = \mathcal{D}$이고 위 정리로

$\{ (x,y)\in X^2:\rho(x,y)< 1\} =\{ (x,y)\in X^2:\rho_2(x,y) < 1\} = \{ (x,y)\in X^2 : \rho_1(x,y) < \frac{1}{2}\} = B_1 \subseteq D_2 \subseteq D_1\text{ 이다.}$

모든 $x,y\in X$에 대해 $\rho(x,y)\le 1$이므로 

$\rho(x,y)\ne 1$이면 $\rho(x,y)< 1$이 되어 $(x,y)\in D_1$임에 따라 $(x,y)\notin D_1$이면 $\rho(x,y) = 1$이다.

$(X,\rho)$의 유사거리위상공간이 $(X,\mathcal{T}_\rho)$일때

유사거리균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D}) = (X,\mathcal{D}_\rho)$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T}_\rho)$이므로

모든 $U\in \mathcal{T}_\rho$의 모든 $x\in U$에 대해

균등위상공간 정리로 $D_n[x] \subseteq U$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 균등공간 정리로 $x\in D_n[x]$이고 $D_n\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{P}$이므로

유한 곱공간 정리로 $D_n[x]$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방임에 따라 위상공간 정리로 $U\in \mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{T}_\rho \subseteq \mathcal{T}$이고

$(X,\mathcal{T}_\rho)$의 $2$-곱공간 $(X^2,\mathcal{P}_\rho)$에 대해 유한 곱공간 정리로 $\mathcal{P}_\rho \subseteq \mathcal{P}$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/130#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/130#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797