위상공간의 균등화 가능성(Uniformizability), 유사거리공간에 대한 정리

정의1

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$가 $\mathcal{T}= \mathcal{T}_\mathcal{D}$이면 $(X,\mathcal{T})$가 균등화가능하다고 정의한다.

 

 

 

정리1(유사거리 균등공간)

유사거리공간 $(X,\rho)$에 대해 $X$의 $2$-데카르트곱 $X^2$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X^2)$이고

임의의 $\epsilon\in $ $(0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2 : \rho(x,y)<\epsilon\}$이고

$\mathcal{E} = \{ D_\epsilon : \epsilon\in (0,\infty)\}$에 대해 $\mathcal{D} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 }E\in \mathcal{E}\text{에 대해 }E\subseteq D \}$일때 다음이 성립한다.

1. $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 $\Delta_X \subseteq D_\epsilon$이다.

2. 합성관계에 대해 $D_\frac{\epsilon}{2}\circ D_\frac{\epsilon}{2} \subseteq D_\epsilon$이다.

3. 역관계에 대해 $D_\epsilon = D_\epsilon^{-1}$이다.

4. $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이고 $\mathcal{E}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

5. 관계의 상과 열린공과 모든 $x\in X$에 대해 $D_\epsilon[x] = \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$이다.

6. $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에 대해 $\mathcal{T}=\mathcal{T}_\rho$이다.

증명

1, 2, 3, 4

$D_1\in \mathcal{E}$이므로 $\mathcal{E}\ne \emptyset$이고 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon \subseteq X^2$이므로 $D_\epsilon\in \mathcal{P}(X^2)$가 되어 $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{P}(X^2)$이고

모든 $x\in X$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,x) = 0<\epsilon$이므로

$(x,x)\in D_\epsilon$이 되어 대각관계의 정의로 $\Delta_X \subseteq D_\epsilon$이다.

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$과 임의의 $(x,y)\in D_\frac{\epsilon}{2}\circ D_\frac{\epsilon}{2}$에 대해

합성관계의 정의로 $(x,z)\in D_\frac{\epsilon}{2}$이고 $(z,y)\in D_\frac{\epsilon}{2}$인 $z\in X$가 존재하여 $\rho(x,z) < \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $\rho(z,y)< \dfrac{\epsilon}{2}$임에 따라

유사거리공간의 정의로 $\rho(x,y)\le \rho(x,z) + \rho(z,y) < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이므로 $(x,y)\in D_\epsilon$이고 $D_\frac{\epsilon}{2}\circ D_\frac{\epsilon}{2}\subseteq D_\epsilon$이다.

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$과 모든 $(y,x)\in D_\epsilon^{-1}$에 대해 역관계의 정의로 $(x,y)\in D_\epsilon$이고 

유사거리공간의 정의로 $\rho(y,x)=\rho(x,y) <\epsilon$이므로 $(y,x)\in D_\epsilon$이 되어 $D_\epsilon^{-1}\subseteq D_\epsilon$이고

관계 정리로 $D_\epsilon=(D_\epsilon^{-1})^{-1}\subseteq D_\epsilon^{-1}$이므로 집합 정리로 $D_\epsilon = D_\epsilon^{-1}$이다.

모든 $\delta,\eta\in (0,\infty)$에 대해 $\epsilon = $ $\min$$\{ \delta, \eta \} > 0$일때 

모든 $(x,y) \in D_\epsilon$는 $\rho(x,y) < \epsilon \le \delta$이고 $\rho(x,y) < \epsilon \le \eta$이므로 $(x,y)\in D_\delta$이고 $(x,y)\in D_\eta$가 되어 

$(x,y)\in D_\delta\cap D_\eta$이고 $D_\epsilon\subseteq D_\delta\cap D_\eta$임에 따라 균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이고 $\mathcal{E}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

5.

관계의 상의 정의와 열린공의 정의로 $D_\epsilon[x] = \{y\in X : (x,y)\in D_\epsilon \} = \{ y\in  X :\rho(x,y)<\epsilon\} = \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$이다.

6.

균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이고 모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{E}_x = \{ E[x] : E\in \mathcal{E}\}$일때

$X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해 $\mathcal{T} = \{ O\in \mathcal{P}(X) : \text{모든 }x\in O\text{에 대해 어떤 } A\in \mathcal{E}_x\text{가 존재하여 }A\subseteq O\}$이다.

유사거리위상공간의 정의로 $\mathcal{B}_\rho = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X, \epsilon\in (0,\infty) \}$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 기저이다.

임의의 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해 $A\subseteq O$인 $A\in \mathcal{E}_x$가 존재하여 $A = E[x]$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재하고

$E = D_\epsilon$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하므로 5번으로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)=D_\epsilon[x]=E[x]=A\subseteq O$임에 따라

유사거리공간 정리로 $O\in \mathcal{T}_\rho$이고 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}_\rho$이다.

임의의 $O\in \mathcal{T}_\rho$의 모든 $x\in O$에 대해 5번과 유사거리공간 정리로 $D_\epsilon[x]= \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)\subseteq O$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여

$D_\epsilon\in \mathcal{E}$이고 $D_\epsilon[x]\in \mathcal{E}_x$이므로 $O\in \mathcal{T}$임에 따라 $\mathcal{T}_\rho\subseteq \mathcal{T}$이고 집합 정리로 $\mathcal{T}=\mathcal{T}_\rho$이다.

 

 

 

정리2(유사거리 균등덮개공간)

유사거리공간 $(X,\rho)$에 대해 $X$의 모든 덮개들의 집합이 $\mathbf{C}$이고

임의의 $\epsilon\in $ $(0,\infty)$에 대해 $\mathcal{B}_\epsilon = \{\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) :x\in X\}$이고

$\mathbf{B} = \{ \mathcal{B}_\epsilon: \epsilon\in (0,\infty)\}$에 대해 $\mathbf{U} = \{ \mathcal{U}\in \mathbf{C} : \text{어떤 }\mathcal{B}\in \mathbf{B}\text{가 } \mathcal{U}\text{의 세분} \}$일때 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

2. $(X,\mathbf{U})$의 생성균등구조 $(X,\mathcal{D}_\mathbf{U})$와 $(X,\rho)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 $\mathcal{D}_\mathbf{U} = \mathcal{D}$이다.

증명

1.

$\mathcal{B}_1\in \mathbf{B}$이므로 $\mathbf{B}\ne \emptyset$이고 임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

모든 $x\in X$는 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,x) = 0<\epsilon$이므로 열린공의 정의로 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)\in \mathcal{B}_\epsilon$이 되어

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_\epsilon$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_\epsilon$임에 따라 $\mathcal{B}_\epsilon\in \mathbf{C}$이므로 $\mathbf{B}\subseteq \mathbf{C}$이다.

모든 $\delta,\eta \in (0,\infty)$에 대해 $\mathcal{B}_\delta,\mathcal{B}_\eta \in \mathbf{B}$이고 $\epsilon = $ $\min$$\{ \frac{\delta}{3}, \frac{\eta}{3} \} > 0$이 존재하여 $\mathcal{B}_\epsilon\in \mathbf{B}$이고

모든 $B\in \mathcal{B}_\epsilon$에 대해 $B = \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)\in \mathcal{B}_\epsilon$인 $x\in X$가 존재하므로

모든 $w\in \operatorname{st}(\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon), \mathcal{B}_\epsilon)$는 별의 정의로 $w\in \underset{(X,\rho)}{B}(z,\epsilon)$이고 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)\cap \underset{(X,\rho)}{B}(z,\epsilon)\ne \emptyset$인 $z\in X$가 존재하여

$y \in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)\cap \underset{(X,\rho)}{B}(z,\epsilon)$가 존재함에 따라 유사거리공간의 정의와 열린공의 정의로

$\rho(x,w)\le \rho(x,z) + \rho(z,w) \le \rho(x,y)+ \rho(y,z) + \rho(z,w) < \epsilon + \epsilon + \epsilon = 3\cdot \epsilon$이고

최소원소의 정의로 $\rho(x,w)< 3\cdot \epsilon \le 3\cdot \dfrac{\delta}{3} = \delta$와 $\rho(x,w)< 3\cdot \epsilon \le 3\cdot \dfrac{\eta}{3} = \eta$가 성립하므로 

열린공의 정의로 $w\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\delta)$와 $w\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\eta)$가 성립하여 

$\operatorname{st}(B,\mathcal{B}_\epsilon)=\operatorname{st}(\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon), \mathcal{B}_\epsilon)\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\delta)\in \mathcal{B}_\delta$이고 $\operatorname{st}(B,\mathcal{B}_\epsilon)=\operatorname{st}(\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon), \mathcal{B}_\epsilon)\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\eta)\in \mathcal{B}_\eta$임에 따라 

$\mathcal{B}_\epsilon$은 $\mathcal{B}_\delta,\mathcal{B}_\eta$의 성형세분이다.

따라서 균등덮개공간 정리로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

2.

균등덮개공간 정리로 모든 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$에 대해 $F_\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{B\in \mathcal{B}}B^2$일때

$\mathcal{F} = \{ F_\mathcal{B} : \mathcal{B}\in \mathbf{B}\}$에 대해 $\mathcal{D}_\mathbf{U} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 } F\in \mathcal{F}\text{에 대해 }F\subseteq D \}$이고

유사거리균등공간의 정의로 임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2 : \rho(x,y)<\epsilon\}$일때

$\mathcal{E} = \{ D_\epsilon : \epsilon\in (0,\infty)\}$에 대해 $\mathcal{D} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 }E\in \mathcal{E}\text{에 대해 }E\subseteq D \}$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}_\mathbf{U}$에 대해 $F \subseteq D$인 $F\in \mathcal{F}$가 존재하고 $F = F_\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{B\in \mathcal{B}}B^2$인 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 존재하여

$\mathcal{B} = \mathcal{B}_\epsilon = \{\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) :x\in X\}$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하므로 

모든 $(x,y)\in D_\epsilon$는 $\rho(x,y)<\epsilon$이고 $x,y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)\in \mathcal{B}_\epsilon = \mathcal{B}$임에 따라

$(x,y)\in (\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon))^2 \subseteq F_\mathcal{B} = F\subseteq D$가 되어 $D_\epsilon\in \mathcal{E}$에 대해 $D_\epsilon\subseteq D$이므로 $D\in \mathcal{D}$이고 $\mathcal{D}_\mathbf{U}\subseteq \mathcal{D}$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $E \subseteq D$인 $E\in \mathcal{E}$가 존재하고 $E = D_\epsilon$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하므로

모든 $(x,y)\in F_{\mathcal{B}_\frac{\epsilon}{2}}$는 $(x,y)\in B^2$인 $B\in \mathcal{B}_\frac{\epsilon}{2}$가 존재하고 $x,y\in B = \underset{(X,\rho)}{B}(z,\frac{\epsilon}{2})$인 $z\in X$가 존재하여

$\rho(x,y)\le \rho(x,z) + \rho(z,y) < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이므로 $(x,y)\in D_\epsilon$이고

$F_{\mathcal{B}_\frac{\epsilon}{2}}\in \mathcal{F}$에 대해 $F_{\mathcal{B}_\frac{\epsilon}{2}}\subseteq D_\epsilon = E \subseteq D$임에 따라 $D\in \mathcal{D}_\mathbf{U}$이고 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{D}_\mathbf{U}$이므로 집합 정리로 $\mathcal{D}_\mathbf{U}=\mathcal{D}$이다.

 

 

 

정리3

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 모든 $x,y\in X$와 모든 $s\in (0,\infty)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\rho_1(x,y) = $ $\min$$\{ 1, \rho(x,y) \}$인 함수 $\rho_1 :X\times X\to [0,\infty)$에 대해 $(X,\rho_1)$은 유사거리공간이다.

2. $\rho_2(x,y) = \dfrac{\rho(x,y)}{1+\rho(x,y)} $인 함수 $\rho_2 :X\times X\to [0,\infty)$에 대해 $(X,\rho_2)$는 유사거리공간이다.

3. $\rho_3(x,y) = s\cdot \rho(x,y)$인 함수 $\rho_3 :X\times X\to [0,\infty)$에 대해 $(X,\rho_3)$은 유사거리공간이다.

4. 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\epsilon\le 1$이면 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) = \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\epsilon)$이고 $1<\epsilon$이면 $X = \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\epsilon)$이다.

5. 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) \subseteq \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,\epsilon)$이고 $1\le \epsilon$이면 $X = \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,\epsilon)$이다.

6. 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,\rho)}{B}(x, \epsilon) =\underset{(X,\rho_3)}{B}(x,s\cdot \epsilon)$이다.

7. $(X,\rho_1)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_1)$에 대해 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_1$이다.

8. $(X,\rho_2)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_2)$에 대해 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_2$이다.

9. $(X,\rho_3)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_3)$에 대해 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_3$이다.

증명

1.

임의의 $x\in X$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,x) = 0$이고 $0< 1$이므로

최소원소의 정의로 $\rho_1(x,x) = \min \{ 1,\rho(x,x) \} = \min \{ 1,0\} = 0$이다.

임의의 $x,y\in X$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,y) = \rho(y,x)$이므로 $ \{ 1,\rho(x,y) \} = \{ 1,\rho(y,x)\}$가 되어

$\rho_1(x,y) = \min \{ 1,\rho(x,y) \} = \min \{ 1,\rho(y,x)\} = \rho_1(y,x)$이다.

임의의 $x,y,z\in X$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,z)\le \rho(x,y) + \rho(y,z)$이므로

최소원소의 정의로 $\min \{ 1,\rho(x,z)\} \le \min \{ 1, \rho(x,y) + \rho(y,z)\}$이고

$\rho(x,y) + \rho(y,z) \le 1$이면 $\rho(x,y)\le \rho(x,y) + \rho(y,z) \le 1$과 $\rho(y,z)\le \rho(x,y) + \rho(y,z) \le 1$이 성립하여

$\min \{ 1, \rho(x,y) + \rho(y,z)\} = \rho(x,y) + \rho(y,z) = \min \{ 1,\rho(x,y)\} +\min\{ 1,\rho(y,z)\}$이다.

$1< \rho(x,y) + \rho(y,z)$일때 $\min \{ 1, \rho(x,y) + \rho(y,z)\} = 1$이므로 

$\rho(x,y)\le 1$이고 $\rho(y,z)\le 1$이면 

$\min \{ 1, \rho(x,y) + \rho(y,z)\} = 1 < \rho(x,y) +\rho(y,z) = \min \{ 1,\rho(x,y)\} +\min\{ 1,\rho(y,z)\}$이고

$\rho(x,y)\le 1 < \rho(y,z)$이면 

$\min \{ 1, \rho(x,y) + \rho(y,z)\} = 1 \le \rho(x,y) +1 = \min \{ 1,\rho(x,y)\} +\min\{ 1,\rho(y,z)\}$이고

$\rho(y,z)\le 1 < \rho(x,y)$이면 

$\min \{ 1, \rho(x,y) + \rho(y,z)\} = 1 \le 1+ \rho(y,z) = \min \{ 1,\rho(x,y)\} +\min\{ 1,\rho(y,z)\}$이고

$1<\rho(x,y)$이고 $1< \rho(y,z)$이면

$\min \{ 1, \rho(x,y) + \rho(y,z)\} = 1 < 1+ 1 = \min \{ 1,\rho(x,y)\} +\min\{ 1,\rho(y,z)\}$이다.

$\rho_1(x,z) = \min \{ 1,\rho(x,z)\} \le \min \{ 1, \rho(x,y) + \rho(y,z)\}\le \min \{ 1,\rho(x,y)\} + \min \{ 1,\rho(y,z)\} = \rho_1(x,y) + \rho_1(y,z)\text{ 이므로}$

$(X,\rho_1)$은 유사거리공간이다.

2.

임의의 $x\in X$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,x) = 0$이므로 $\rho_2(x,x) = \dfrac{\rho(x,x)}{1+\rho(x,x)} = \dfrac{0}{1} = 0$이다.

임의의 $x,y\in X$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,y) = \rho(y,x)$이므로

$\rho_2(x,y) = \dfrac{\rho(x,y)}{1+\rho(x,y)} = \dfrac{\rho(y,x)}{1+\rho(y,x)} = \rho_2(y,x)$이다.

함수 정리로 임의의 $t\in (-1,\infty)$에 대해 $f(t) = \dfrac{t}{1+t}$인 함수 $f: (-1,\infty)\to \mathbb{R}$는 $(-1,\infty)$에서 순증가하므로

임의의 $x,y,z\in X$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,z)\le \rho(x,y) + \rho(y,z)$이고

$1+\rho(x,y) \le 1 + \rho(x,y) + \rho(y,z)$와 $1+\rho(y,z) \le 1+\rho(x,y) + \rho(y,z)$가 성립함에 따라 증가함수의 정의로

$ \begin{align*} \rho_2(x,z) & = \dfrac{\rho(x,z)}{1+\rho(x,z)} =f(\rho(x,z)) \\[0.5em] & \le f(\rho(x,y) + \rho(y,z))  = \dfrac{\rho(x,y) + \rho(y,z)}{1+\rho(x,y) + \rho(y,z)}  = \dfrac{\rho(x,y)}{1+\rho(x,y) + \rho(y,z)}+\dfrac{\rho(y,z)}{1+\rho(x,y) + \rho(y,z)} \\[0.5em] & \le \dfrac{\rho(x,y)}{1+\rho(x,y)} + \dfrac{\rho(y,z)}{1+\rho(y,z)} = \rho_2(x,y) + \rho_2(y,z)\text{ 가 되어} \end{align*}$

$(X,\rho_2)$는 유사거리공간이다.

3.

임의의 $x\in X$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,x) = 0$이므로 $\rho_3(x,x) = s\cdot \rho(x,x) = s\cdot 0 = 0$이다.

임의의 $x,y\in X$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,y) = \rho(y,x)$이므로

$\rho_3(x,y)=s\cdot \rho(x,y) = s\cdot \rho(y,x) = \rho_3(y,x)$이다.

임의의 $x,y,z\in X$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho(x,z)\le \rho(x,y) + \rho(y,z)$이고 $s>0$이므로

$\rho_3(x,z)=s\cdot \rho(x,z)\le s\cdot (\rho(x,y) + \rho(y,z)) = s\cdot \rho(x,y) + s\cdot \rho(y,z) = \rho_3(x,y) + \rho_3(y,z)$이 되어 

$(X,\rho_3)$은 유사거리공간이다.

4. 

$\epsilon\le 1$이면 

모든 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$에 대해 열린공의 정의로 $\rho(x,y)< \epsilon\le 1$이므로

최소원소의 정의로 $\rho_1(x,y) =\min\{1,\rho(x,y)\} = \rho(x,y)<\epsilon$이 되어

열린공의 정의로 $y\in \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\epsilon)$이고 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) \subseteq \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\epsilon)$이다.

모든 $y\in \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\epsilon)$에 대해

열린공의 정의로 $\min \{ 1,\rho(x,y) \}=\rho_1(x,y)< \epsilon \le 1$이고 최소원소의 정의로 $\rho_1(x,y)\in \{ 1,\rho(x,y)\}$이므로

$\rho_1(x,y) = 1$이면 $1 =\rho_1(x,y)< \epsilon \le 1$임에 따라 모순이 되어 $\rho(x,y) =\rho_1(x,y)< \epsilon$이고 

열린공의 정의로 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$가 되어 $\underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\epsilon) \subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$임에 따라 집합 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) = \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\epsilon)$이다.

$1<\epsilon$이면

모든 $y\in X$에 대해 최소원소의 정의로 $\rho_1(x,y) =\min\{ 1,\rho(x,y)\}\le 1< \epsilon$이므로

열린공의 정의로 $y\in \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\epsilon)$가 되어 $X\subseteq \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\epsilon)$이고

$\underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\epsilon)\subseteq X$임에 따라 집합 정리로 $X = \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\epsilon)$이다.

5. 

모든 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$에 대해 열린공의 정의로 $\rho(x,y) < \epsilon$이고

유사거리공간의 정의로 $\rho(x,y)\ge 0$이므로 $1 \le 1+\rho(x,y)$가 되어 $\dfrac{1}{1+\rho(x,y)}\le 1$이고

$\rho_2(x,y)=\dfrac{\rho(x,y)}{1+\rho(x,y)}\le \rho(x,y)<\epsilon$임에 따라 열린공의 정의로 $y\in \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,\epsilon)$이고 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) \subseteq \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,\epsilon)$이다.

$1\le \epsilon$이면 

모든 $y\in X$에 대해 $\rho(x,y) < 1 +\rho(x,y)$이므로 $\rho_2(x,y) = \dfrac{\rho(x,y)}{1+\rho(x,y)} < 1\le \epsilon$이 되어

열린공의 정의로 $y\in \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,\epsilon)$임에 따라 $X \subseteq \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,\epsilon)$이고

$\underset{(X,\rho_2)}{B}(x,\epsilon)\subseteq X$이므로 집합 정리로 $X = \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,\epsilon)$이다.

6. 

모든 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$에 대해 열린공의 정의로 $\rho(x,y) < \epsilon$이므로 $s >0$임에 따라

$\rho_3(x,y) = s\cdot \rho(x,y) <s\cdot \epsilon$이 되어 열린공의 정의로 $y\in \underset{(X,\rho_3)}{B}(x,s\cdot \epsilon)$이고 $\underset{(X,\rho)}{B}(x, \epsilon) \subseteq \underset{(X,\rho_3)}{B}(x,s\cdot \epsilon)$이다.

모든 $y\in \underset{(X,\rho_3)}{B}(x,s\cdot \epsilon)$는 열린공의 정의로 $s\cdot \rho(x,y)=\rho_3(x,y) < s\cdot \epsilon$이므로 $s >0$임에 따라

$\rho(x,y)<\epsilon$이 되어 열린공의 정의로 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$이고 $\underset{(X,\rho_3)}{B}(x, s\cdot \epsilon) \subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$이므로

집합 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x, \epsilon) =\underset{(X,\rho_3)}{B}(x,s\cdot \epsilon)$이다.

7.

유사거리위상공간의 정의로 $\mathcal{B}_1 = \{ \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,r) : x\in X,r\in (0,\infty)\}$은 $(X,\mathcal{T}_1)$의 기저이다.

모든 $x\in X$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 4번과 유사거리위상공간의 정의와 위상공간의 정의로 

$r\le 1$이면 $\underset{(X,\rho_1)}{B}(x,r) = \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\in \mathcal{T}$이고 $1< r$이면 $\underset{(X,\rho_1)}{B}(x,r) = X\in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{B}_1\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해 유사거리공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r_x)\subseteq O$인 $r_x>0$가 존재하여

모든 $y\in \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\min\{1,r_x\})$는 $\min \{ 1 ,\rho(x,y) \} = \rho_1(x,y)< \min \{ 1, r_x\}$이고

$\rho_1(x,y) = 1$이면 $1 = \rho_1(x,y) < \min\{ 1,r_x\}\le 1$임에 따라 모순이므로

$\rho_1(x,y) = \rho(x,y)$이고 $\rho(x,y) = \rho_1(x,y) < \min\{ 1,r_x\}\le r_x$임에 따라 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r_x)\subseteq O$가 되어

$x\in \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\min\{1,r_x\})\subseteq O$이므로 기저 정리로 $\mathcal{B}_1$은 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 $\mathcal{T}_1 = \{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}_1\} = \mathcal{T}$이다.

8.

유사거리위상공간의 정의로 $\mathcal{B}_2 = \{ \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,r) : x\in X,r\in (0,\infty)\}$는 $(X,\mathcal{T}_2)$의 기저이다.

모든 $x\in X$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 열린공의 정의로 임의의 $y\in \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,r) \subseteq X$는 

$r\ge 1$일때

임의의 $z\in \underset{(X,\rho)}{B}(y, 1)$에 대해 $\rho(x,z) < 1 + \rho(x,z)$이므로 $\rho_2(x,z) = \dfrac{\rho(x,z)}{ 1 + \rho(x,z)} < 1\le r$이 되어

$z \in \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,r)$임에 따라 $\underset{(X,\rho)}{B}(y, 1)\subseteq \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,r)$이다.

$r < 1$일때

$\rho_2(x,y) < r$이므로 $0 < r - \rho_2(x,y) \le r <1$이 되어 함수 정리로

임의의 $s\in (-\infty, 1)$에 대해 $g(s) = \dfrac{s}{1-s}$인 함수 $g: (-\infty,1)\to \mathbb{R}$가 $g((0,1)) = (0,\infty)$임에 따라

임의의 $z\in \underset{(X,\rho)}{B}(y, g(r-\rho_2(x,y)))$는 $0\le \rho(y,z) < g(r-\rho_2(x,y))$이고 함수 정리로

임의의 $t\in (-1,\infty)$에 대해 $f(t) = \dfrac{t}{1+t}$인 함수 $f: (-1,\infty)\to \mathbb{R}$는 $(-1,\infty)$에서 순증가하므로

$\rho_2(y,z)=\dfrac{\rho(y,z)}{1+\rho(y,z)}=f(\rho(y,z))< f(g(r-\rho_2(x,y))) = r-\rho_2(x,y)$가 되어

$\rho_2(x,z) \le \rho_2(x,y) + \rho_2(y,z) < \rho_2(x,y) + r-\rho_2(x,y) = r$임에 따라 $z \in \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,r)$이고 

$\underset{(X,\rho)}{B}(y, g(r-\rho_2(x,y)))\subseteq \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,r)$이 되어 유사거리공간 정리로 $\underset{(X,\rho_2)}{B}(x,r)\in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{B}_2\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해

유사거리공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r_x)\subseteq O$인 $r_x>0$가 존재하여 함수 정리로 $f((0,\infty)) = (0,1)$이므로 

모든 $y\in \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,f(r_x))$에 대해 $f(\rho(x,y))=\dfrac{\rho(x,y)}{1+\rho(x,y)} = \rho_2(x,y) < f(r_x)$이고

함수 정리로 $\rho(x,y) = g(f(\rho(x,y))) < g(f(r_x))=r_x$임에 따라 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r_x)\subseteq O$이므로

$x\in \underset{(X,\rho_2)}{B}(x,f(r_x))\subseteq O$가 되어 기저 정리로 $\mathcal{B}_2$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 $\mathcal{T}_2 = \{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}_2\} = \mathcal{T}$이다.

9.

유사거리위상공간의 정의로 $\mathcal{B}_3 = \{ \underset{(X,\rho_3)}{B}(x,r) : x\in X,r\in (0,\infty)\}$은 $(X,\mathcal{T}_3)$의 기저이다.

모든 $x\in X$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해

6번과 유사거리위상공간의 정의로 $\underset{(X,\rho_3)}{B}(x,r) = \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{s}\cdot r)\in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{B}_3\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해

유사거리공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r_x)\subseteq O$인 $r_x>0$가 존재하여 6번으로 $x\in \underset{(X,\rho_3)}{B}(x,s\cdot r_x)=\underset{(X,\rho)}{B}(x,r_x)\subseteq O$이므로 

기저 정리로 $\mathcal{B}_3$은 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 $\mathcal{T}_3 = \{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}_3\} = \mathcal{T}$이다.

 

 

 

정리4

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때 모든 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$에 대해

다음이 모두 성립하는 유사거리함수 $\rho:X\times X\to [0,\infty)$가 존재한다.

1. 모든 $x,y\in X$에 대해 $\rho(x,y)\le 1$이다.

2. 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X \}$은 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이다.

3. 모든 $\epsilon \in (0,1]$에 대해 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X \}$은 $\mathcal{U}$의 세분이다.

증명

$X = \emptyset$이면

데카르트곱 정리로 $X\times X = \emptyset$이므로 함수 정리로 함수 $\rho : X\times X\to [0,\infty)$가 존재하여

공허하게 $\rho$는 유사거리함수이고 모든 $x,y\in X$에 대해 $\rho(x,y)\le 1$이다.

균등공간의 정의로 $\mathcal{D}\ne \emptyset$이므로 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여

균등덮개 정리로 $\{ D[x] : x\in X\}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이고 

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 유사거리공간 정리로 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X \}$은 $X$의 덮개이므로

$\{ D[x]:x\in X\}=\emptyset\subseteq \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X \}$임에 따라

덮개 정리로 $\{ D[x] : x\in X\}$는 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X \}$의 세분이 되어 

균등덮개 정리로 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X \}$은 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이다.

모든 $\epsilon\in (0,1]$에 대해 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X \} =\emptyset\subseteq \mathcal{U}$이므로 덮개 정리로 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X \}$은 $\mathcal{U}$의 세분이다.

$X \ne \emptyset$이면

균등덮개 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$가 존재하여 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이고 $\mathcal{U}$의 세분이다.

$(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 균등덮개 정리로 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$에 대해

$(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간이 $(X,\mathcal{D})$임에 따라 $(X,\mathbf{U})$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T})$이므로

균등덮개공간 정리로 $\mathcal{O} = \mathcal{O}_1$인 $\mathbf{U}$의 수열 $(\mathcal{O}_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{O}_{n+1}$은 $\mathcal{O}_n$의 성형세분이고

유사거리공간 정리로 유사거리함수 $\rho_1:X\times X\to [0,\infty)$이 존재하여

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{B}_n = \{ \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\frac{1}{2^n}):x\in X\}$일때 $\mathcal{B}_{n+1}$은 $\mathcal{O}_n$의 세분이고 $\mathcal{O}_{n+1}$은 $\mathcal{B}_n$의 세분이다.

위 정리로 모든 $x,y\in X$에 대해 $\rho_4(x,y) = 4\cdot \rho_1(x,y)$인 함수 $\rho_4:X\times X\to [0,\infty)$는 유사거리함수이므로

위 정리로 $\rho(x,y) = \min \{ 1,\rho_4(x,y)\}$인 함수 $\rho:X\times X\to [0,\infty)$은 유사거리함수이고

최소원소의 정의로 $\rho(x,y) = \min \{ 1,\rho_4(x,y)\}\le 1$이다.

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 유사거리공간 정리로 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X \}$은 $X$의 덮개이고

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{2^n}< \epsilon$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $\dfrac{1}{2^n}\le \dfrac{1}{2^1} = \dfrac{1}{2}< 1$이므로 

모든 $x\in X$에 대해 위 정리와 열린공의 정의로

$\underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\frac{1}{2^{n+2}}) =\underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2^n}) =\underset{(X,\rho_4)}{B}(x,\frac{1}{2^n})=\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{2^n})\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)$임에 따라 

$\mathcal{B}_{n+2}$는 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X \}$의 세분이고 덮개 정리로 $\mathcal{O}_{n+3}\in \mathbf{U}$이 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X \}$의 세분이 되어 

균등덮개 정리로 $\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X \}$은 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이다.

$\mathcal{B}_2$는 $\mathcal{O}_1 = \mathcal{O}$의 세분이고 $\mathcal{O}$는 $\mathcal{U}$의 세분이므로 덮개 정리로 $\mathcal{B}_2$는 $\mathcal{U}$의 세분이 되어

모든 $\epsilon \in (0,1]$과 모든 $x\in X$에 대해 열린공의 정의와 위 정리와 세분의 정의로

$\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,1) = \underset{(X,\rho_4)}{B}(x,1) = \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\frac{1}{4}) = \underset{(X,\rho_1)}{B}(x,\frac{1}{2^2})\subseteq U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재함에 따라

$\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X \}$은 $\mathcal{U}$의 세분이다.

 

 

 

정리5

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 유사거리공간이 $(X_1,\rho_1),(X_2,\rho_2),\cdots, (X_n,\rho_n)$이고

$X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$에 대해 임의의 $x= (x_1,x_2,\cdots, x_n),y=(y_1,y_2,\cdots, y_n)\in X$가

$\rho(x,y) = \sqrt{(\rho_1(x_1,y_1))^2 + (\rho_2(x_2,y_2))^2 + \cdots + (\rho_n(x_n,y_n))^2}$인 함수가 $\rho: X\times X \to [0,\infty)$일때

$(X_1,\rho_1),(X_2,\rho_2),\cdots, (X_n,\rho_n)$의 유사거리위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\rho)$는 유사거리공간이다.

2. $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n$-곱공간 $(X,\mathcal{T})$와 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에 대해 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\rho$이다.

증명

1.

모든 $x= (x_1,x_2,\cdots, x_n)\in X$와 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho_i(x_i,x_i) = 0$이므로

$\rho(x,x) = \sqrt{(\rho_1(x_1,x_1))^2 + (\rho_2(x_2,x_2))^2 + \cdots + (\rho_n(x_n,x_n))^2} = 0$이다.

모든 $x= (x_1,x_2,\cdots, x_n),y=(y_1,y_2,\cdots, y_n)\in X$와 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

유사거리공간의 정의로 $\rho_i(x_i,y_i) = \rho_i(y_i,x_i)$이므로

$\begin{align*}\rho(x,y) &= \sqrt{(\rho_1(x_1,y_1))^2 + (\rho_2(x_2,y_2))^2 + \cdots + (\rho_n(x_n,y_n))^2}\\[0.5em]&= \sqrt{(\rho_1(y_1,x_1))^2 + (\rho_2(y_2,x_2))^2 + \cdots + (\rho_n(y_n,x_n))^2} \\[0.5em]&=\rho(y,x) \text{ 이다.}\end{align*}$

모든 $x= (x_1,x_2,\cdots, x_n),y=(y_1,y_2,\cdots, y_n) ,z =(z_1,z_2,\cdots,z_n)\in X$와 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

유사거리공간의 정의로 $\rho_i(x_i,z_i)\le \rho_i(x_i,y_i) + \rho_i(y_i,z_i)$이므로

부등식 정리로 $(\rho_i(x_i,z_i))^2\le (\rho_i(x_i,y_i) + \rho_i(y_i,z_i))^2$가 되어 횔더 부등식으로

$\begin{align*} (\rho(x,z))^2 &= \sum_{i=1}^n(\rho_i(x_i,z_i))^2 \\[0.5em]&\le \sum_{i=1}^n (\rho_i(x_i,y_i) + \rho_i(y_i,z_i))^2 \\[0.5em]&\qquad = \sum_{i=1}^n \left ( (\rho_i(x_i,y_i))^2 + 2\cdot \rho_i(x_i,y_i)\cdot \rho_i(y_i,z_i) + (\rho_i(y_i,z_i))^2 \right ) \\[0.5em]&\qquad = \sum_{i=1}^n (\rho_i(x_i,y_i))^2 + 2\cdot \sum_{i=1}^n (\rho_i(x_i,y_i)\cdot \rho_i(y_i,z_i)) + \sum_{i=1}^n (\rho_i(y_i,z_i))^2 \\[0.5em]&\qquad = (\rho(x,y))^2 + 2\cdot \sum_{i=1}^n (\rho_i(x_i,y_i)\cdot \rho_i(y_i,z_i)) + (\rho(y,z))^2 \\[0.5em]& \le (\rho(x,y))^2 + 2\cdot \left ( \sum_{i=1}^n (\rho_i(x_i,y_i))^2 \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left ( \sum_{i=1}^n (\rho_i(y_i,z_i))^2 \right )^{\frac{1}{2}} + (\rho(y,z))^2 \\[0.5em]& \qquad = (\rho(x,y))^2 + 2\cdot \rho(x,y) \cdot \rho(y,z) + (\rho(y,z))^2 \\[0.5em]& \qquad = (\rho(x,y) + \rho(y,z))^2 \text{ 이고} \end{align*}$

부등식 정리로 $\rho(x,z)\le \rho(x,y) + \rho(y,z)$이다.

따라서 $(X,\rho)$는 유사거리공간이다.

2.

유한 곱공간 정리로 $\mathcal{B}= \{  O_1\times O_2\times \cdots \times O_n:(O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고

유사거리위상공간의 정의로 $\mathcal{B}_\rho = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,r) : x\in X,r\in (0,\infty)\}$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 기저이다.

모든 $B\in \mathcal{B}$는 $B = O_1\times O_2\times \cdots \times O_n$인 $(O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times\mathcal{T}_n$이 존재하여

모든 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in O_1\times O_2\times \cdots \times O_n = B$는 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $x_i \in O_i\in \mathcal{T}_i$이므로

유사거리위상공간 정리로 $\underset{(X_i,\rho_i)}{B}(x_i,r_i)\subseteq O_i$인 $r_i>0$가 존재하고

최소원소 정리로 $r = \min \{ r_1,r_2,\cdots,r_n\} >0$이 존재하여

모든 $y = (y_1,y_2,\cdots,y_n)\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$는 최소원소의 정의로

$\rho_i(x_i,y_i)=\sqrt{(\rho_i(x_i,y_i))^2}\le \sqrt{(\rho_1(x_1,y_1))^2 + (\rho_2(x_2,y_2))^2 + \cdots + (\rho_n(x_n,y_n))^2} = \rho(x,y)< r \le r_i$이므로

열린공의 정의로 $y_i\in \underset{(X_i,\rho_i)}{B}(x_i,r_i)$임에 따라 

$y= (y_1,y_2,\cdots,y_n) \in \underset{(X_1,\rho_1)}{B}(x_1,r_1)\times \underset{(X_2,\rho_2)}{B}(x_2,r_2)\times \cdots \times \underset{(X_n,\rho_n)}{B}(x_n,r_n) \subseteq O_1\times O_2\times \cdots \times O_n$이고

$\underset{(X,\rho)}{B}(x,r) \subseteq O_1\times O_2\times \cdots \times O_n=B$이므로 유사거리위상공간 정리로 $B\in \mathcal{T}_\rho$이고 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}_\rho$가 되어

위상공간의 정의와 기저의 정의로 $\mathcal{T} =\{\bigcup \mathcal{O}:\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B} \}\subseteq \mathcal{T}_\rho$이다.

모든 $B\in \mathcal{B}_\rho$는 $B= \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$인 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in X$와 $r \in (0,\infty)$이 존재하여

모든 $y= (y_1,y_2,\cdots,y_n)\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$에 대해 $\rho(x,y) < r$이므로 $r - \rho(x,y) > 0$이고

모든 $z = (z_1,z_2,\cdots, z_n)\in \underset{(X_1,\rho_1)}{B}(y_1,\frac{r-\rho(x,y)}{\sqrt{n}})\times \underset{(X_2,\rho_2)}{B}(y_2,\frac{r-\rho(x,y)}{\sqrt{n}})\times \cdots \times \underset{(X_n,\rho_n)}{B}(y_n,\frac{r-\rho(x,y)}{\sqrt{n}})$는

$\begin{align*}\rho(x,z) & \le \rho(x,y) + \rho(y,z) \\[0.5em] & \qquad = \rho(x,y) + \sqrt{(\rho_1(y_1,z_1))^2 + (\rho_2(y_2,z_2))^2 +\cdots +(\rho_n(y_n,z_n))^2 } \\[0.5em] & < \rho(x,y) + \sqrt{ n\cdot \left(\frac{r- \rho(x,y)}{\sqrt{n}}\right )^2 } \\[0.5em]&\qquad = \rho(x,y) +\sqrt{n\cdot \frac{(r-\rho(x,y))^2}{n} } \\[0.5em]&\qquad = \rho(x,y) + \sqrt{(r-\rho(x,y))^2} \\[0.5em]&\qquad = \rho(x,y) + |r-\rho(x,y)| \\[0.5em]&\qquad = \rho(x,y) +r-\rho(x,y) \\[0.5em]&\qquad = r\text{ 이 되어} \end{align*}$

열린공의 정의로 $z \in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$이므로

$\underset{(X_1,\rho_1)}{B}(y_1,\frac{r-\rho(x,y)}{\sqrt{n}})\times \underset{(X_2,\rho_2)}{B}(y_2,\frac{r-\rho(x,y)}{\sqrt{n}})\times \cdots \times \underset{(X_n,\rho_n)}{B}(y_n,\frac{r-\rho(x,y)}{\sqrt{n}}) \subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$이고

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 유사거리위상공간 정리로 $\underset{(X_i,d_i)}{B}(y_i,\frac{r-\rho(x,y)}{\sqrt{n}})$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 $y_i$의 열린근방임에 따라

유한 곱공간 정리로

$\underset{(X_1,\rho_1)}{B}(y_1,\frac{r-\rho(x,y)}{\sqrt{n}})\times \underset{(X_2,\rho_2)}{B}(y_2,\frac{r-\rho(x,y)}{\sqrt{n}})\times \cdots \times \underset{(X_n,\rho_n)}{B}(y_n,\frac{r-\rho(x,y)}{\sqrt{n}})$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방이 되어

위상공간 정리로 $B = \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\in \mathcal{T}$이고 $\mathcal{B}_\rho \subseteq \mathcal{T}$이므로

위상공간의 정의와 기저의 정의로 $\mathcal{T}_\rho =\{\bigcup \mathcal{O}:\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}_\rho \}\subseteq \mathcal{T}$임에 따라 집합 정리로 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\rho$이다.

 

 

 

정리6

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 유사거리균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때

$1$차원 유클리드 거리공간 $([0,\infty),d)$의 거리위상공간이 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$이고 거리균등공간이 $([0,\infty),\mathcal{D}_{[0,\infty)})$이면 

$Y\ne \emptyset$인 임의의 $Y\subseteq X$와 $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간 $(X^2,\mathcal{P})$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x_1,x_2,y_1,y_2\in X$에 대해 $|\rho(x_1,x_2) -\rho(y_1,y_2)|\le \rho(x_1,y_1) +\rho(x_2,y_2)$이다.

2. $\rho$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이다.

3. 모든 $x_1,x_2\in X$에 대해 $|$$\inf$$ \{ \rho(x_1,y): y\in Y\} - \inf \{ \rho(x_2,y):y\in Y\}| \le \rho(x_1,x_2)$이다.

4. 모든 $x\in X$에 대해 $f_Y(x) =\inf \{ \rho(x,y): y\in Y\}$인 함수 $f_Y:X\to [0,\infty)$는

$(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이고 $(X,\mathcal{D})$에서 $([0,\infty),\mathcal{D}_{[0,\infty)})$로의 균등연속함수이다. 

5. $Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 모든 $x\in X\setminus Y$에 대해 $\inf \{ \rho(x,y): y\in Y\} > 0$인 것이다.

6. 임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2 : \rho(x,y)<\epsilon\}$은 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이다.

증명

1.

유사거리공간의 정의로

$\rho(x_1,x_2)\le \rho(x_1,y_1) + \rho(y_1,x_2) \le \rho(x_1,y_1) + \rho(y_1,y_2) + \rho(y_2,x_2)$이고

$\rho(y_1,y_2)\le \rho(y_1,x_1) + \rho(x_1,y_2) \le \rho(y_1,x_1) + \rho(x_1,x_2) + \rho(x_2,y_2)$이므로

$\rho(x_1,x_2) -\rho(y_1,y_2) \le \rho(x_1,y_1) + \rho(x_2,y_2)$와 $\rho(y_1,y_2) - \rho(x_1,x_2) \le \rho(x_1,y_1)  + \rho(x_2,y_2)$가 성립하여

$-\rho(x_1,y_1)-\rho(x_2,y_2)\le \rho(x_1,x_2) -\rho(y_1,y_2) \le \rho(x_1,y_1) + \rho(x_2,y_2)$임에 따라

절댓값 정리로 $|\rho(x_1,x_2) -\rho(y_1,y_2)|\le \rho(x_1,y_1) +\rho(x_2,y_2)$이다.

2.

임의의 $(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in X^2$가 $\rho_2((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = \sqrt{(\rho(x_1,y_1))^2 + (\rho(x_2,y_2))^2}$인

함수 $\rho_2: X^2\times X^2\to [0,\infty)$에 대해 위 정리로 유사거리공간 $(X^2,\rho_2)$의 유사거리위상공간은 $(X^2,\mathcal{P})$이다.

$(X^2,\rho_2)$의 유사거리균등공간이 $(X^2,\mathcal{D}_2)$일때

임의의 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 $D_\epsilon = \{ ((x_1,x_2),(y_1,y_2))\in (X^2)^2 : \rho_2((x_1,x_2),(y_1,y_2))<\epsilon \}$은 $D_\epsilon\in \mathcal{D}_2$이고

$E_\epsilon = \{ (s,t)\in [0,\infty)^2 : d(s,t) < \epsilon\}$일때

모든 $E \in \mathcal{D}_{[0,\infty)}$에 대해 거리균등공간 정리로 $E_\epsilon \subseteq E$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하므로

모든 $((x_1,x_2),(y_1,y_2))\in D_\frac{\epsilon}{2}$는 $\sqrt{(\rho(x_1,y_1))^2 + (\rho(x_2,y_2))^2} = \rho_2((x_1,x_2),(y_1,y_2))< \dfrac{\epsilon}{2}$이고

1번과 절댓값의 정의와 절댓값 정리와 부등식 정리로

$\begin{align*}d(\rho(x_1,x_2),\rho(y_1,y_2)) &= |\rho(x_1,x_2) -\rho(y_1,y_2)| \\[0.5em] & \le \rho(x_1,y_1) +\rho(x_2,y_2) = |\rho(x_1,y_1)| + |\rho(x_2,y_2)|= \sqrt{(\rho(x_1,y_1))^2} + \sqrt{(\rho(x_2,y_2))^2} \\[0.5em]&\le \sqrt{(\rho(x_1,y_1))^2 + (\rho(x_2,y_2))^2} + \sqrt{(\rho(x_1,y_1))^2 + (\rho(x_2,y_2))^2} \\[0.5em] & < \dfrac{\epsilon}{2} +\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 임에 따라}\end{align*}$

$(\rho(x_1,x_2),\rho(y_1,y_2))\in E_\epsilon \subseteq E$가 되어 $\rho$는 $(X^2,\mathcal{D}_2)$에서 $([0,\infty),\mathcal{D}_{[0,\infty)})$로의 균등연속함수이므로 

유사거리균등공간 정리로 $(X^2,\mathcal{D}_2)$의 균등위상공간이 $(X^2,\mathcal{P})$이고 

거리균등공간 정리로 $([0,\infty),\mathcal{D}_{[0,\infty)})$의 균등위상공간이 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$임에 따라

균등연속 정리로 $\rho$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이다.

3, 4

모든 $x\in X$와 모든 $y\in Y$에 대해 $\rho(x,y)\ge 0$이고 $Y\ne \emptyset$임에 따라

완비성으로 $\inf \{ \rho(x,y) : y\in Y\}$가 유일하게 존재하므로 하한의 정의로 $\inf \{ \rho(x,y) : y\in Y\}\ge 0$이 되어

모든 $x\in X$에 대해 $f_Y(x) =\inf \{ \rho(x,y) : y\in Y\}$인 함수 $f_Y:X\to [0,\infty)$가 존재한다.

임의의 $x_1,x_2\in X$와 모든 $y\in Y$에 대해 하한의 정의와 유사거리공간의 정의로

$f_Y(x_1) \le \rho(x_1,y)\le \rho(x_1,x_2) + \rho(x_2,y)$이므로 $f_Y(x_1) -\rho(x_1,x_2)\le \rho(x_2,y)$가 되어

$f_Y(x_1)-\rho(x_1,x_2)\le f_Y(x_2)\le \rho(x_2,y)$임에 따라 $f_Y(x_1)-f_Y(x_2)\le \rho(x_1,x_2)$이고

$f_Y(x_2) \le \rho(x_2,y)\le \rho(x_2,x_1) + \rho(x_1,y)$이므로 $f_Y(x_2) -\rho(x_1,x_2)\le \rho(x_1,y)$가 되어

$f_Y(x_2)-\rho(x_1,x_2)\le f_Y(x_1)\le \rho(x_1,y)$임에 따라 $f_Y(x_2)-f_Y(x_1)\le \rho(x_1,x_2)$이고

$-\rho(x_1,x_2)\le f_Y(x_1)-f_Y(x_2)\le \rho(x_1,x_2)$이므로

절댓값 정리로 $|\inf\{ \rho(x_1,y):y\in Y \} - \inf\{ \rho(x_2,y):y\in Y\}|=|f_Y(x_1)-f_Y(x_2)|\le \rho(x_1,x_2)$이다.

임의의 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 유사거리균등공간 정리로

$D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2: \rho(x,y)<\epsilon \}$은 $D_\epsilon\in \mathcal{D}$이고 $E_\epsilon = \{ (s,t)\in [0,\infty)^2 : d(s,t) < \epsilon\}$일때

모든 $E \in \mathcal{D}_{[0,\infty)}$에 대해 거리균등공간 정리로 $E_\epsilon \subseteq E$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하므로

모든 $(x_1,x_2)\in D_\epsilon$는 $\rho(x_1,x_2)< \epsilon$임에 따라 $d(f_Y(x_1),f_Y(x_2))=|f_Y(x_1)-f_Y(x_2)|\le \rho(x_1,x_2) < \epsilon$이고

$(f_Y(x_1),f_Y(x_2))\in E_\epsilon \subseteq E$가 되어 $f_Y$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $([0,\infty),\mathcal{D}_{[0,\infty)})$로의 균등연속함수이므로

유사거리균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 

거리균등공간 정리로 $([0,\infty),\mathcal{D}_{[0,\infty)})$의 균등위상공간이 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$임에 따라

균등연속 정리로 $f_Y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이다.

5.

$Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합일때 어떤 $x\in X\setminus Y$에 대해 $\inf \{ \rho(x,y): y\in Y\} =0$이라고 가정하면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 유사거리위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\subseteq V$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하므로 

하한 정리로 $\rho(x,y)< r$인 $y\in Y$가 존재하여 $x\ne y$이고 열린공의 정의로 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\subseteq V$임에 따라 

집적점의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{Y'}$인데 위상공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{Y'}\subseteq Y$이므로 

집합 정리로 $x\in X\setminus Y \subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{Y'}$이고 $x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{Y'}$임에 따라 모순이므로 

$Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 모든 $x\in X\setminus Y$는 $\inf \{ \rho(x,y): y\in Y\} \ne 0$이 되어 $\inf \{ \rho(x,y): y\in Y\} > 0$이다.

역으로 모든 $x\in X\setminus Y$에 대해 $\inf \{ \rho(x,y): y\in Y\} >0$이면

$r = \inf \{ \rho(x,y): y\in Y\}$에 대해 어떤 $z\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{r}{2})$가 $z\in Y$라고 가정할때

하한의 정의와 열린공의 정의로 $r = \inf \{ \rho(x,y):y\in Y\}\le \rho(x,z)< \dfrac{r}{2}$임에 따라 모순이므로

모든 $z\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{r}{2})\subseteq X$는 $z\notin Y$가 되어 $z\in X\setminus Y$이고 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{r}{2})\subseteq X\setminus Y$이므로

유사거리위상공간 정리로 $X\setminus Y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $Y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

6.

2번으로 $\rho$는 $(X^2,\mathcal{P}_\rho)$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이고

위상공간 정리로 $[0,\epsilon)$은 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$에서 열린집합이므로 

역상의 정의와 연속함수 정리로 $D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2 : \rho(x,y)<\epsilon\} = \rho^{-1}([0,\epsilon))$은 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이다.

 

 

 

정리7

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 균등화가능하기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{T})$가 완비정칙공간인 것이다.

증명

$1$차원 유클리드 거리공간이 $([0,1],d),([0,\infty),d),(\mathbb{R},d),(\mathbb{C},d)$이고

$([0,1],d),([0,\infty),d),(\mathbb{R},d),(\mathbb{C},d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]}),([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)}),(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R}),(\mathbb{C},\mathcal{T}_\mathbb{C})$일때

$([0,1],d)$는 $([0,\infty),d)$의 부분거리공간이고 $([0,1],d)$는 $(\mathbb{C},d)$의 부분거리공간이므로 

위상공간 정리로 $\mathcal{T}_\mathbb{C}|_{[0,1]} = \mathcal{T}_{[0,1]}$이고 $\mathcal{T}_{[0,\infty)}|_{[0,1]} = \mathcal{T}_{[0,1]}$이다.

$(X,\mathcal{T})$가 균등화가능하면

$X$의 균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여 균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$가 $\mathcal{T}= \mathcal{T}_\mathcal{D}$이다.

균등덮개 정리로 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$에 대해

$(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간은 $(X,\mathcal{D})$이므로 $(X,\mathbf{U})$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T})$이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$의 모든 $x\in X\setminus C$에 대해 $C = \emptyset$이면 연속함수 정리로

모든 $x_0\in X$에 대해 $f(x_0) = 0$인 함수 $f:X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}|_{[0,1]})$로의 연속함수이고 

$f(x) = 0$과 $f(C) = f(\emptyset) = \emptyset \subseteq \{ 1\}$이 성립한다.

$C\ne \emptyset$이면 $X\setminus C$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라

균등덮개공간 정리로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\subseteq X\setminus C$인 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로

위 정리로 모든 $x_1,x_2\in X$에 대해 $\rho(x_1,x_2)\le 1$인 유사거리함수 $\rho :X\times X\to [0,\infty)$가 존재하고 

$\{ \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,1) : x_0\in X \}$이 $\mathcal{U}$의 세분임에 따라 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,1)\subseteq U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

$x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,1)\subseteq U$이므로 별 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,1)\subseteq U\subseteq \operatorname{st}(x,\mathcal{U})\subseteq X\setminus C$이다.

모든 $x_0 \in X$에 대해 완비성과 하한의 정의로 $\inf \{ \rho(x_0,y): y\in C\} \le 1$이므로 

위 정리와 연속함수 정리로 $f_C(x_0) =\inf \{ \rho(x_0,y): y\in C\}$인

함수 $f_C: X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}|_{[0,1]})$로의 연속함수이다.

하한의 정의와 유사거리공간의 정의로 모든 $y\in C$에 대해 $0\le f_C(y) \le \rho(y,y) = 0$임에 따라 $f_C(y) = 0$이고

$f_C(x)\ne 1$이라고 가정하면 $\inf \{ \rho(x,y): y\in C\}=f_C(x) < 1$이므로 $0< 1-f_C(x)$이고

하한 정리로 $\rho(x,y) < f_C(x) + 1- f_C(x) = 1$인 $y\in C$가 존재하여

열린공의 정의로 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,1)\subseteq X\setminus C$이고 $y\notin C$임에 따라 모순이므로 $f_C(x)= 1$이다.

연속함수 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리로 모든 $x_0\in X$에 대해

$f(x_0) = 1-f_C(x_0)$인 함수 $f:X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}|_{[0,1]})$로의 연속함수이고 

모든 $y\in C$에 대해 $f(y) = 1-f_C(y) =1- 0 = 1$이므로 $f(C)\subseteq \{ 1\}$이고

$f(x) = 1-f_C(x) = 1-1 = 0$임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 완비정칙공간이다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$가 완비정칙공간이면 

균등공간 정리로 $(\mathbb{R},d)$의 거리균등공간 $(\mathbb{R},\mathcal{D}_\mathbb{R})$의 균등위상공간은 $(\mathbb{R},d)$의 거리위상공간 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$이므로

유계인 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$로의 모든 연속함수들의 집합이 $\mathcal{C}_\mathbb{R}$일때

위상공간 정리로 $\mathcal{C}_\mathbb{R}\ne \emptyset$이고 $\{ (\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R}, \mathcal{C}_\mathbb{R})\}$의 약한위상공간은 $(X,\mathcal{T})$가 되어 

균등공간 정리로 $\{ (\mathbb{R},\mathcal{D}_\mathbb{R}, \mathcal{C}_\mathbb{R})\}$의 약한균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$가

$\{ (\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R}, \mathcal{C}_\mathbb{R})\}$의 약한위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $\mathcal{T}_\mathcal{D}= \mathcal{T}$임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 균등화가능하다.

 

 

 

정리8

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 완비정칙공간이다.

2. $(X,\mathcal{T})$는 완전정규공간이다.

3. $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

4. $(X,\mathcal{T})$는 제1가산공간이다.

5. $(X,\mathcal{T})$가 제2가산공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{T})$가 분해가능한 것이다.

증명

1.

$(X,\rho)$의 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$는 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해

$\mathcal{T}_\mathcal{D} = \mathcal{T}$이므로 $(X,\mathcal{T})$는 균등화가능하여 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 완비정칙공간이다.

2.

$1$차원 유클리드 거리공간이 $([0,1],d),([0,\infty),d),(\mathbb{C},d)$이고

$([0,1],d),([0,\infty),d),(\mathbb{C},d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]}),([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)}),(\mathbb{C},\mathcal{T}_\mathbb{C})$일때

$([0,1],d)$는 $([0,\infty),d)$의 부분거리공간이고 $([0,1],d),([0,\infty),d)$는 $(\mathbb{C},d)$의 부분거리공간임에 따라

위상공간 정리로 $\mathcal{T}_{[0,\infty)}|_{[0,1]} = \mathcal{T}_{[0,1]}$이고 $\mathcal{T}_{\mathbb{C}}|_{[0,1]} = \mathcal{T}_{[0,1]}$과 $\mathcal{T}_{\mathbb{C}}|_{[0,\infty)} = \mathcal{T}_{[0,\infty)}$가 성립한다.

연속함수 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $\phi(x) = \dfrac{1}{2}$인

함수 $\phi:X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이므로

$C\cap D = \emptyset$인 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C,D$가 $C = \emptyset = D$이면

$\phi(X) \subseteq \{ \frac{1}{2}\}$임에 따라 $t\ne \dfrac{1}{2}$인 모든 $t\in [0,1]$에 대해 $\phi(X)\cap \{ t\} \subseteq \{ \frac{1}{2}\}\cap \{t\} = \emptyset$이 되어

$\phi(X)\cap \{ 0\} = \emptyset = \phi(X) \cap \{1\}$이므로 함수 정리로 $C = \emptyset= \phi^{-1}(\{ 0\})$과 $D = \emptyset= \phi^{-1}(\{ 1\})$이 성립한다.

$C = \emptyset$이고 $D\ne \emptyset$이면 모든 $x\in X$에 대해 위 정리로 $f_D(x) = \inf \{ \rho(x,y) : y\in D\}$인

함수 $f_D: X\to [0,\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이고

연속함수 정리와 연속함수 정리로 $h_D(x) = \min \{ f_D(x) , \phi(x) \} \in [0,\frac{1}{2}]\subseteq [0,1]$인

함수 $h_D:X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이므로

연속함수 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리로 $h(x) = 1 - h_D(x)\in [\frac{1}{2}, 1]\subseteq [0,1]$인

함수 $h:X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이다.

$h(X) \subseteq [\frac{1}{2},1]$이므로 $h(X)\cap \{ 0\}\subseteq [\frac{1}{2},1]\cap \{ 0\} = \emptyset$이 되어 함수 정리로 $C =\emptyset = h^{-1}(\{0\})$이고

유사거리공간의 정의와 하한의 정의와 최소원소의 정의로

모든 $x\in D$는 $0\le h_D(x) \le f_D(x) \le \rho(x,x) = 0$임에 따라

$h_D(x) = 0$이므로 $h(x) = 1- h_D(x) = 1\in \{ 1\}$이고 $x\in h^{-1}(\{1\})$이 되어 $D\subseteq h^{-1}(\{1\})$이고

어떤 $x\in h^{-1}(\{ 1\})\subseteq X$가 $x\notin D$라고 가정하면 $h(x)= 1$인데 $x\in X\setminus D$임에 따라

위 정리로 $f_D(x) > 0$이 되어 최소원소의 정의로 $h_D(x) > 0$이고 $h(x) = 1 - h_D(x) < 1$이므로 모순이 되어

모든 $x\in h^{-1}(\{ 1\})$는 $x\in D$이고 $h^{-1}(\{ 1\})\subseteq D$임에 따라 집합 정리로 $D = h^{-1}(\{1\})$이다.

$C \ne \emptyset$이고 $D= \emptyset$이면 모든 $x\in X$에 대해 위 정리로 $f_C(x) = \inf \{ \rho(x,y) : y\in C\}$인

함수 $f_C: X\to [0,\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이므로

연속함수 정리와 연속함수 정리로 $g(x) = \min \{ f_C(x) , \phi(x) \} \in [0,\frac{1}{2}]\subseteq [0,1]$인

함수 $g :X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이고

$g(X) \subseteq [0,\frac{1}{2}]$이므로 $g(X)\cap \{ 1\}\subseteq [0,\frac{1}{2}]\cap \{ 1\} = \emptyset$이 되어 함수 정리로 $D =\emptyset = g^{-1}(\{1\})$이다.

유사거리공간의 정의와 하한의 정의와 최소원소의 정의로 

모든 $x\in C$는 $0\le g(x) \le f_C(x) \le \rho(x,x) = 0$임에 따라

$g(x) = 0\in \{ 0\}$이므로 $x\in g^{-1}(\{0\})$이 되어 $C\subseteq g^{-1}(\{0\})$이고

어떤 $x\in g^{-1}(\{ 0\})\subseteq X$가 $x\notin C$라고 가정하면 $g(x)= 0$인데

$x\in X\setminus C$임에 따라 위 정리로 $f_C(x) > 0$이고 최소원소의 정의로 $g(x) > 0$이므로 모순이 되어

모든 $x\in g^{-1}(\{ 0\})$는 $x\in C$이고 $g^{-1}(\{ 0\})\subseteq C$임에 따라 집합 정리로 $C = g^{-1}(\{0\})$이다.

$C \ne \emptyset$이고 $D\ne \emptyset$이면 모든 $x\in X$에 대해 

위 정리로 $f_C(x) = \inf \{ \rho(x,y) : y\in C\}$이고 $f_D(x) = \inf \{ \rho(x,y) : y\in D\}$인

함수 $f_C,f_D: X\to [0,\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이므로

$x\in C$이면 집합 정리로 $x\in C\subseteq X\setminus D$가 되어 위 정리로 $0< f_D(x) \le f_C(x) + f_D(x)$이고

$x\notin C$이면 $x\in X\setminus C$이므로 위 정리로 $0< f_C(x) \le f_C(x) + f_D(x)$이고

모든 $x\in X$에 대해 $f_C(x) \le f_C(x) + f_D(x)$이므로 $0\le \dfrac{f_C(x)}{f_C(x) + f_D(x)} \le 1$임에 따라

연속함수 정리와 연속함수 정리로

$f(x) = \dfrac{f_C(x)}{f_C(x) + f_D(x)}$인 함수 $f:X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이다.

모든 $x\in C$에 대해 유사거리공간의 정의와 하한의 정의로 $0\le f_C(x) \le \rho(x,x) = 0$이므로 

$f_C(x) = 0$이 되어 $f(x) = 0\in \{0\}$이고 $x\in f^{-1}(\{ 0\})$임에 따라 $C\subseteq f^{-1}(\{ 0\})$이고 

모든 $x\in f^{-1}(\{ 0\})$는 $\dfrac{f_C(x)}{f_C(x)+f_D(x)} = f(x) = 0$이므로 $f_C(x) = 0$인데

$x\notin C$이면 $f_C(x)\ne 0$임에 따라 모순이 되어 $x\in C$이고 $f^{-1}(\{ 0\})\subseteq C$이므로 집합 정리로 $C=f^{-1}(\{ 0\})$이다.

모든 $x\in D$에 대해 유사거리공간의 정의와 하한의 정의로 $0\le f_D(x) \le \rho(x,x) = 0$이므로 $f_D(x) = 0$이고

집합 정리로 $x \in D\subseteq X\setminus C$이므로 $x\notin C$임에 따라 $f_C(x)\ne 0$이 되어 

$f(x) = \dfrac{f_C(x)}{f_C(x)+f_D(x)} = \dfrac{f_C(x)}{f_C(x)} = 1\in \{1\}$이고 $x\in f^{-1}(\{1\})$이므로 $D\subseteq f^{-1}(\{ 1\})$이고

모든 $x\in f^{-1}(\{1\})$에 대해 $\dfrac{f_C(x)}{f_C(x)+f_D(x)} = f(x) = 1$이므로 $f_C(x) = f_C(x) + f_D(x)$가 되어 $f_D(x) = 0$인데

$x\notin D$이면 $f_D(x)\ne 0$임에 따라 모순이 되어 $x\in D$이고 $f^{-1}(\{ 1\})\subseteq D$이므로 집합 정리로 $D=f^{-1}(\{ 1\})$이다.

따라서 $(X,\mathcal{T})$는 완전정규공간이다.

3.

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$\mathcal{O}$의 크기 $|\mathcal{O}|$가 기수임에 따라 순서수의 정의로 $(|\mathcal{O}|,\underline{\in})$는 정렬집합이다.

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $f : |\mathcal{O}|\to \mathcal{O}$가 존재하므로 모든 $\kappa \in |\mathcal{O}|$에 대해 $f(\kappa)= O_\kappa\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$일때

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E_n(\kappa) = \{ x\in X: \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{n})\subseteq O_\kappa\}$이고 $F_n(\kappa) = E_n(\kappa) \setminus \displaystyle \bigcup_{\lambda\in \kappa}O_\lambda$이면

유사거리위상공간 정리와 위상공간 정리로 $G_n(\kappa) = {\displaystyle \bigcup_{x\in F_n(\kappa)}} \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3\cdot n})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어

$\mathcal{U}_n = \{ G_n(\kappa):\kappa \in |\mathcal{O}|\}$은 $\mathcal{U}_n\subseteq \mathcal{T}$이다.

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $x\in X$에 대해 유사거리위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{6\cdot n})$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고

임의의 $\lambda,\kappa\in |\mathcal{O}|$에 대해 $G_n(\lambda)\cap \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{6\cdot n})\ne \emptyset$이고 $G_n(\kappa)\cap \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{6\cdot n})\ne \emptyset$이면

$x_\lambda \in G_n(\lambda)\cap \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{6\cdot n})$와 $x_\kappa \in G_n(\kappa)\cap \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{6\cdot n})$가 존재하여

$x_\lambda\in \underset{(X,\rho)}{B}(y_\lambda,\frac{1}{3\cdot n})$이고 $x_\kappa \in \underset{(X,\rho)}{B}(y_\kappa,\frac{1}{3\cdot n})$인 $y_\lambda\in F_n(\lambda)\subseteq E_n(\lambda)$와 $y_\kappa \in F_n(\kappa)\subseteq E_n(\kappa)$가 존재하므로

$\underset{(X,\rho)}{B}(y_\lambda,\frac{1}{n})\subseteq O_\lambda$와 $\underset{(X,\rho)}{B}(y_\kappa,\frac{1}{n})\subseteq O_\kappa$가 성립하고 $y_\lambda\notin \displaystyle \bigcup_{\alpha\in \lambda}O_\alpha$와 $y_\kappa\notin \displaystyle \bigcup_{\beta\in \kappa}O_\beta$가 성립한다.

열린공의 정의로

$\rho(x,x_\lambda)<\dfrac{1}{6\cdot n}$와 $\rho(x,x_\kappa)<\dfrac{1}{6\cdot n}$가 성립하고 $\rho(x_\lambda,y_\lambda)<\dfrac{1}{3\cdot n}$와 $\rho(x_\kappa,y_\kappa)<\dfrac{1}{3\cdot n}$이 성립하여

유사거리공간의 정의로

$\begin{align*}\rho(y_\lambda,y_\kappa) & \le \rho(y_\lambda,x_\lambda) + \rho(x_\lambda,y_\kappa) \\[0.5em] &\le \rho(x_\lambda,y_\lambda) + \rho(x_\lambda,x_\kappa) + \rho(x_\kappa,y_\kappa) \\[0.5em]&\le \rho(x_\lambda,y_\lambda) +\rho(x_\lambda,x) + \rho(x,x_\kappa) + \rho(x_\kappa,y_\kappa) \\[0.5em] & < \dfrac{1}{3\cdot n} + \dfrac{1}{6\cdot n} + \dfrac{1}{6\cdot n} + \dfrac{1}{3\cdot n} = \dfrac{2}{3\cdot n} + \dfrac{2}{6\cdot n} = \left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\right )\cdot \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{n} \text{ 이므로} \end{align*}$

$y_\kappa \in \underset{(X,\rho)}{B}(y_\lambda,\frac{1}{n})\subseteq O_\lambda$이고 $y_\lambda\in \underset{(X,\rho)}{B}(y_\kappa,\frac{1}{n})\subseteq O_\kappa$인데

$\lambda \in \kappa$이면 $y_\kappa \in \underset{(X,\rho)}{B}(y_\lambda,\frac{1}{n})\subseteq O_\lambda \subseteq \displaystyle \bigcup_{\beta\in \kappa}O_\beta$가 되어 모순이고

$\kappa\in \lambda$이면 $y_\lambda\in \underset{(X,\rho)}{B}(y_\kappa,\frac{1}{n})\subseteq O_\kappa \subseteq \displaystyle \bigcup_{\alpha\in \lambda}O_\alpha$가 되어 모순임에 따라

순서수 정리로 $\lambda = \kappa$이고 $G_n(\lambda) = G_n(\kappa)$이므로

$\{U\in \mathcal{U}_n : U\cap \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{6\cdot n})\ne \emptyset \}$는 원소개수가 $1$개이하인 유한집합이 되어 $\mathcal{U}_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

가산집합 정리와 함수 정리와 가산집합 정리로 

$\{ \mathcal{U}_n:n\in \mathbb{Z}^+\}$은 가산집합이므로 $\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{U}_n$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이고 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{T}$이다.

열린덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$에 대해 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여

전사의 정의로 $O =O_\kappa $인 $\kappa\in |\mathcal{O}|$가 존재하므로 정렬집합의 정의로 $\kappa_0 = \underset{(|\mathcal{O}|, \underline{\in})}{\min} \{ \kappa\in |\mathcal{O}| : x\in O_\kappa \}$이 존재하고

$x\in O_{\kappa_0}\in \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$임에 따라 유사거리공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\subseteq O_{\kappa_0}$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하므로

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n} < r$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 열린공의 정의로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{n})\subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\subseteq  O_{\kappa_0}$이다.

$x\in E_n(\kappa_0)$이고 최소원소 정리와 순서수 정리로 모든 $\lambda\in \kappa_0$에 대해 $x\notin O_\lambda$이므로 $x\notin \displaystyle \bigcup_{\lambda\in \kappa_0}O_\lambda$가 되어

$x\in F_n(\kappa_0)$임에 따라 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{3\cdot n})\subseteq G_n(\kappa_0)\in \mathcal{U}_n\subseteq \mathcal{U} $이고

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이므로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$가 되어 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U\in \mathcal{U}_n$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $U = G_n(\kappa)$인 $\kappa\in |\mathcal{O}|$가 존재하므로

모든 $x\in G_n(\kappa)$는 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{3\cdot n})$인 $y\in F_n(\kappa)\subseteq E_n(\kappa) $가 존재하여 $\underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{n})\subseteq O_\kappa$이고 열린공의 정의로

$\rho(x,y)< \dfrac{1}{3\cdot n} < \dfrac{1}{n}$임에 따라 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{n})\subseteq O_\kappa$이므로 $U=G_n(\kappa)\subseteq O_\kappa$이고 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{O}$의 세분이다.

따라서 1번과 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이므로 파라콤팩트 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

4.

유사거리위상공간 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{B}_x = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이고

가산집합 정리와 함수 정리와 가산집합 정리로 $\mathcal{B}_x$는 가산집합이므로 $(X,\mathcal{T})$는 제1가산공간이다.

5.

$(X,\mathcal{T})$가 제2가산공간이면 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 분해가능하다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$가 분해가능하면 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이고 가산집합인 $E\subseteq X$가 존재하여

$E =\emptyset$일때 조밀집합의 정의와 위상공간 정리와 폐포 정리로 $\emptyset = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\emptyset) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = X$이므로

위상공간의 정의로 $\mathcal{T} = \{ \emptyset \} = \{ \emptyset, X\}$가 되어 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 제2가산공간이다.

$E \ne\emptyset$일때 가산집합 정리로 전사함수 $\phi: \mathbb{N}\to E$가 존재하여 모든 $i\in \mathbb{N}$에 대해

$\mathcal{B}_i = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(\phi(i),\frac{1}{n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}$가 가산집합임에 따라 가산집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i=0}^\infty \mathcal{B}_i$는 가산집합이고

$\mathcal{B}_i \subseteq \mathcal{T}$이므로 $\displaystyle \bigcup_{i=0}^\infty \mathcal{B}_i \subseteq \mathcal{T}$이다.

임의의 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해 유사거리공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하여

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n}<\dfrac{r}{2}$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재함에 따라 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{n})$이므로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{n})\ne \emptyset$이고

유사거리위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{n})$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

위상공간 정리로 $E\cap \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{n})\ne \emptyset$이 되어 $y \in E\cap \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{n})$가 존재하고

$y \in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{1}{n})$이므로 유사거리공간의 정의와 열린공의 정의로 $\rho(y,x)=\rho(x,y) < \dfrac{1}{n}$가 되어 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{n})$이고

임의의 $z \in \underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{n})$는 유사거리공간의 정의와 열린공의 정의로 

$\rho(x,z) \le \rho(x,y) + \rho(y,z) < \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{2}{n} < r$이므로 $z\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\subseteq O$가 되어 $\underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{n}) \subseteq O$이고

$y\in E$임에 따라 전사의 정의로 $y= \phi(i)$인 $i\in \mathbb{N}$가 존재하여 $\underset{(X,\rho)}{B}(y,\frac{1}{n}) \in \displaystyle \bigcup_{i=0}^\infty \mathcal{B}_i$이다.

따라서 기저 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i=0}^\infty \mathcal{B}_i$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 가산임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 제2가산공간이다.

 

 

 

정리9

양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$의 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 유일한 유사거리공간 $(X_k,d_k)$가 존재하고

$(X_k,d_k)$의 유사거리위상공간이 $(X_k,\mathcal{T}_k)$이고 $\{ (X_k,\mathcal{T}_k) : k\in \mathbb{Z}^+\}$의 곱공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

모든 $x_k,y_k\in X_k$가 $\rho_k(x_k,y_k) = \min\{1,d_k(x_k,y_k)\}$인 함수 $\rho_k :X_k\times X_k\to [0,\infty)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x,y\in X$에 대해 실수열 $\left( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} \right )_{n=1}^\infty$은 수렴한다.

2. 모든 $x,y\in X$가 $\rho(x,y) =\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k}$인 함수 $\rho:X\times X\to [0,\infty)$에 대해 $(X,\rho)$는 유사거리공간이다.

3. $(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$에 대해 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\rho$이다.

증명

위 정리로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(X_k,\rho_k)$는 유사거리공간이고 $(X_k,\rho_k)$의 유사거리위상공간은 $(X_k,\mathcal{T}_k)$이다.

1.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$와 모든 $x_k,y_k\in X_k$에 대해

최소원소의 정의로 $\rho_k(x_k,y_k) =\min \{1,d_k(x_k,y_k)\}\le 1$이므로 $0\le \dfrac{\rho_k(x_k,y_k)}{2^k}  \le \dfrac{1}{2^k}$이고

급수 정리와 급수 정리로 실수열 $\left( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{2^k} \right )_{n=1}^\infty$은 수렴하므로 급수 정리로 유계가 되어 모든 $x,y\in X$에 대해

$\left( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} \right )_{n=1}^\infty$이 유계임에 따라 급수 정리로 $\left( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} \right )_{n=1}^\infty$은 수렴한다.

2.

1번으로 모든 $x,y\in X$에 대해 실수열 $\left( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} \right )_{n=1}^\infty$은 수렴하므로

$\rho(x,y) =\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} = \lim_{n\to \infty} \left (\sum_{k=1}^n\dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} \right )$인 함수 $\rho:X\times X\to [0,\infty)$가 존재한다.

모든 $x\in X$와 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho_k(x(k),x(k)) = 0$이므로

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{\rho_k(x(k),x(k))}{2^k} = 0$이 되어 실수열 정리로 $\rho(x,y) =\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} = 0$이다.

임의의 $x,y\in X$와 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 유사거리공간의 정의로 $\rho_k(x(k),y(k)) = \rho_k(y(k),x(k))$이므로 

수열 수렴의 정의로 $\displaystyle \rho(x,y)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k}= \sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(y(k),x(k))}{2^k} = \rho(y,x)$이다.

임의의 $x,y,z\in X$와 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해

유사거리공간의 정의로 $\rho_k(x(k),z(k))\le \rho_k(x(k),y(k)) + \rho_k(y(k),z(k))$이므로

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{\rho_k(x(k),z(k))}{2^k}\le \sum_{k=1}^n\dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} + \sum_{k=1}^n\dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k}$가 되어

수열 덧셈 정리와 수열 부등식 정리로

$\displaystyle \rho(x,z)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac{\rho_k(x(k),z(k))}{2^k}\le \sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} + \sum_{k=1}^\infty\dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k} = \rho(x,y)+\rho(y,z)$이다.

따라서 $(X,\rho)$는 유사거리공간이다.

3.

유사거리위상공간 정리로

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{B}_k = \{ \underset{(X_k,\rho_k)}{B}(x_k,r) : x_k\in X_k, r\in (0,\infty)\}$는 $(X_k,\mathcal{T}_k)$의 기저이고

$\mathcal{B}_\rho = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,r) : x\in X, r\in (0,\infty)\}$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 기저이다.

임의의 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X$의 $k$-좌표 사영함수가 $p_{k} : X \to X_{k}$일때

곱공간 정리로 $\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty \{ p_k^{-1}(O_k) : O_k\in \mathcal{T}_k \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분기저이므로

$\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n \}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

기저의 정의로 $\mathcal{B}_\rho\subseteq \mathcal{T}_\rho$와 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{B}_k\subseteq \mathcal{T}_k$가 성립하고 집합 정리로 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $x\in X$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 열린공의 정의로 

임의의 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r) \subseteq X$는 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} =\rho(x,y) < r$이므로

$r_y = r - \rho(x,y) > 0$에 대해 급수 정리와 급수 정리로 어떤 $N(y)\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $\displaystyle \sum_{k=N(y)+1}^\infty \dfrac{1}{2^k} < \dfrac{r_y}{2}$이고 

모든 $\displaystyle z\in \bigcap_{k=1}^{N(y)} p_k^{-1}(\underset{(X_k,\rho_k)}{B}(y(k) , \textstyle{\frac{r_y}{2}}))$는 모든 $k = 1,2,\cdots, N(y)$에 대해 $z\in p_k^{-1}(\underset{(X_k,\rho_k)}{B}(y(k) , \frac{r_y}{2}))$이므로

$z(k) =p_k(z)\in \underset{(X_k,\rho_k)}{B}(y(k) , \frac{r_y}{2})$가 되어 $\rho_k(y(k),z(k)) < \dfrac{r_y}{2}$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0\le \rho_k(y(k),z(k))\le 1$이므로 $0\le \dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k}\le \dfrac{1}{2^k}$가 되어

급수 정리와 수열 정리로 $\displaystyle \sum_{k=N(y)+1}^\infty \dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k}\le \sum_{k=N(y)+1}^\infty\dfrac{1}{2^k}< \dfrac{r_y}{2}$이고 급수 정리로

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{N(y)}\dfrac{1}{2^k} =\sum_{k=0}^{N(y)} \dfrac{1}{2^k} - 1 = \dfrac{1 - \frac{1}{2^{N(y)+1}}}{1 -\frac{1}{2}} - 1 = \left( 1- \dfrac{1}{2^{N(y) +1}} \right)\cdot 2 -1  =  2 - \frac{1}{2^{N(y)}} -1 = 1-\dfrac{1}{2^{N(y)}} < 1 \text{ 이므로}\end{align*}$

$\begin{align*} \rho(y,z) & = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k} = \sum_{k=1}^{N(y)} \dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k} + \sum_{k=N(y) + 1}^\infty \dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k} \\[0.5em]& \le \sum_{k=1}^{N(y)} \dfrac{\rho_k(y(k),z(k))}{2^k} + \sum_{k=N(y) + 1}^\infty \dfrac{1}{2^k} \\[0.5em]& \lt\sum_{k=1}^{N(y)} \dfrac{r_y}{2}\cdot \dfrac{1}{2^k} + \dfrac{r_y}{2} =\dfrac{r_y}{2}\cdot \sum_{k=1}^{N(y)} \dfrac{1}{2^k} + \dfrac{r_y}{2}  \\[0.5em]& \lt \dfrac{r_y}{2} + \dfrac{r_y}{2} = r_y = r- \rho(x,y) \text{ 가 되어}\end{align*}$

$\begin{align*}\rho(x,z) \le \rho(x,y) + \rho(y,z) < \rho(x,y) + r- \rho(x,y) = r \end{align*}$임에 따라 $z\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$이다.

모든 $k = 1,2,\cdots, N(y)$에 대해 $p_k(y) =y(k)\in \underset{(X_k,\rho_k)}{B}(y(k) , \textstyle{\frac{r_y}{2}})$이므로 $y \in p_k^{-1}(\underset{(X_k,\rho_k)}{B}(y(k) , \textstyle{\frac{r_y}{2}}))$가 되어 

$y\in \displaystyle \bigcap_{k=1}^{N(y)} p_k^{-1}(\underset{(X_k,\rho_k)}{B}(y(k) , \textstyle{\frac{r_y}{2}})) \in \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$이고 $\displaystyle \bigcap_{k=1}^{N(y)} p_k^{-1}(\underset{(X_k,\rho_k)}{B}(y(k) , \textstyle{\frac{r_y}{2}})) \subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$임에 따라

유사거리위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\in \mathcal{T}$이고 $\mathcal{B}_\rho \subseteq \mathcal{T}$이다.

기저 정리로 모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해

$x\in B \subseteq O$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여 $B = p_{k_1}^{-1}(O_{k_1})\cap p_{k_2}^{-1}(O_{k_2})\cap \cdots \cap p_{k_n}^{-1}(O_{k_n})$인

$n\in \mathbb{Z}^+$과 $k_1,k_2,\cdots ,k_n\in \mathbb{Z}^+$과 $(O_{k_1},O_{k_2},\cdots,O_{k_n})\in \mathcal{T}_{k_1} \times \mathcal{T}_{k_2}\times \cdots \times \mathcal{T}_{k_n}$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $x\in p_{k_i}^{-1}(O_{k_i})$이므로 $x(k_i)=p_{k_i}(x) \in O_{k_i}$가 되어

유사거리공간 정리로 $\underset{(X_{k_i},\rho_{k_i})}{B}(x(k_i),r_i)\subseteq O_{k_i}$인 $r_i\in (0,\infty)$가 존재한다.

최소원소 정리로 $r = \min\{ \frac{r_1}{2^{k_1}},\frac{r_2}{2^{k_2}},\cdots, \frac{r_n}{2^{k_n}}\} > 0$이 존재하여 모든 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$는

모든 $i = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\displaystyle \dfrac{\rho_{k_i}(x(k_i),y(k_i))}{2^{k_i}}\le \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\rho_k(x(k),y(k))}{2^k} =\rho(x,y) < r\le \dfrac{r_i}{2^{k_i}}$이므로

$\rho_{k_i}(x(k_i),y(k_i))< r_i$가 되어 $p_{k_i}(y) = y(k_i)\in \underset{(X_{k_i},\rho_{k_i})}{B}(x(k_i),r_i)$이고

$y\in p_{k_i}^{-1}(\underset{(X_{k_i},\rho_{k_i})}{B}(x(k_i),r_i))$임에 따라 $\displaystyle y\in \bigcap_{i=1}^n p_{k_i}^{-1}(\underset{(X_{k_i},\rho_{k_i})}{B}(x(k_i),r_i))$가 되어 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\in \mathcal{B}_\rho$이고

$\displaystyle x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r) \subseteq \bigcap_{i=1}^n p_{k_i}^{-1}(\underset{(X_{k_i},\rho_{k_i})}{B}(x(k_i),r_i)) \subseteq p_{k_1}^{-1}(O_{k_1})\cap p_{k_2}^{-1}(O_{k_2})\cap \cdots \cap p_{k_n}^{-1}(O_{k_n}) = B\subseteq O$이므로

기저 정리로 $\mathcal{B}_\rho$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 $\mathcal{T}_\rho = \{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}_\rho\} = \mathcal{T}$이다.

 

 

 

정리10

$I\ne \emptyset$인 임의의 가산집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때

모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 유사거리화가능하면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 일반 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 유사거리화가능하다.

증명

유사거리화가능의 정의와 선택 정리로

모든 $i\in I$에 대해 유사거리공간 $(X_i,\rho_i)$의 유사거리위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_{\rho_i})$가 $\mathcal{T}_i = \mathcal{T}_{\rho_i}$가 되는

유사거리함수 $\rho_i: X\times X \to [0,\infty)$를 선택하고 양의 정수집합이 $\mathbb{Z}^+$일때

$I$가 유한집합이면 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $I$는 $n$개의 원소를 갖고

$\{ k\in \mathbb{Z}^+ : 1\le k\le n\}$은 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이므로

기수 정리와 기수 정리로 $\{ k\in \mathbb{Z}^+ : 1\le k\le n\}$에서 $I$로의 전단사함수가 존재하여 

일반 곱공간 정리와 일반 곱공간 정리와 위 정리와 위상적 성질로 $(X,\mathcal{T})$는 유사거리화가능하다.

$I$가 유한집합이 아니면 $I$는 가부번이므로 가산집합 정리와 가부번 정리로 $\mathbb{Z}^+$에서 $I$로의 전단사함수가 존재하여 

일반 곱공간 정리와 위 정리와 위상적 성질로 $(X,\mathcal{T})$는 유사거리화가능하다.

 

 

 

정리11

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 존재할때

모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 균등화가능하면 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i) : i\in I\}$의 일반 곱공간 $(X,\mathcal{T})$는 균등화가능하다.

증명

위 정리와 일반 곱공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 균등화가능하다.

 

 

 

정리15

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots,(X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n$-곱공간이 $(X,\mathcal{T})$이고

위상공간 $(X_1,\mathcal{U}_1),(X_2,\mathcal{U}_2),\cdots,(X_n,\mathcal{U}_n)$의 $n$-곱공간이 $(X,\mathcal{U})$일때

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $\mathcal{T}_i\subseteq \mathcal{U}_i$이면 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{U}$이다.

증명

유한 곱공간 정리로

$\mathcal{B}_\mathcal{T} = \{ O_1\times O_2\times \cdots \times O_n : (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n\}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 

$\mathcal{B}_\mathcal{U} = \{ O_1\times O_2\times \cdots \times O_n: (O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{U}_1\times \mathcal{U}_2\times \cdots \times \mathcal{U}_n\}$는 $(X,\mathcal{U})$의 기저이므로

$\mathcal{B}_\mathcal{T}\subseteq \mathcal{B}_\mathcal{U}\subseteq \mathcal{U}$임에 따라 기저 정리와 위상공간 정리로 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{U}$이다.

 

 

 

정리12

$1$차원 유클리드 거리공간 $([0,\infty),d)$의 거리위상공간이 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$일때

임의의 집합 $X,Y$와 함수 $f:X\to Y$와 모든 $x_1,x_2\in X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\rho_0(x_1,x_2) = 0$인 함수 $\rho_0 :X\times X\to [0,\infty)$에 대해 $(X,\rho_0)$은 유사거리공간이다.

2. 유사거리공간이 $(X,\rho_1),(X,\rho_2)$일때

$\rho(x_1,x_2) = \rho_1(x_1,x_2) + \rho_2(x_1,x_2)$인 함수 $\rho :X\times X\to [0,\infty)$에 대해 $(X,\rho)$는 유사거리공간이다.

3. 유사거리공간이 $(Y,\rho_Y)$일때

$\rho_X(x_1,x_2) = \rho_Y(f(x_1),f(x_2))$인 함수 $\rho_X :X\times X\to [0,\infty)$에 대해 $(X,\rho_X)$는 유사거리공간이다.

4. 유사거리공간 $(X,\rho_X),(Y,\rho_Y)$의 유사거리위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$일때

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이면

$\rho(x_1,x_2) = \rho_X(x_1,x_2) + \rho_Y(f(x_1),f(x_2))$인 함수 $\rho :X\times X\to [0,\infty)$에 대해 $(X,\rho)$는 유사거리공간이고 

$(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_X$이다. 

5. 위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P})$이고 유사거리공간 $(Y,\rho_Y)$의 유사거리위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y)$일때

$f$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이면 

$\rho_X(x_1,x_2) = \rho_Y(f(x_1),f(x_2))$인 함수 $\rho_X :X^2\to [0,\infty)$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이다.

증명

1.

모든 $x\in X$에 대해 $\rho_0(x,x) = 0$이고 모든 $x_1,x_2\in X$에 대해 $\rho_0(x_1,x_2) = 0 = \rho_0(x_2,x_1)$이고

모든 $x_1,x_2,x_3\in X$에 대해 $\rho_0(x_1,x_3) = 0 = 0+0 = \rho_0(x_1,x_2) + \rho_0(x_2,x_3)$이므로

$(X,\rho_0)$은 유사거리공간이다.

2.

유사거리공간의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $\rho(x,x) = \rho_1(x,x) + \rho_2(x,x) = 0+0 = 0$이고

모든 $x_1,x_2\in X$에 대해 $\rho(x_1,x_2) = \rho_1(x_1,x_2) + \rho_2(x_1,x_2) = \rho_1(x_2,x_1) + \rho_2(x_2,x_1) = \rho(x_2,x_1)$이고

모든 $x_1,x_2,x_3\in X$에 대해

$\begin{align*}\rho(x_1,x_3) & = \rho_1(x_1,x_3) + \rho_2(x_1,x_3) \\[0.5em]& \le \rho_1(x_1,x_2)+\rho_1(x_2,x_3) +\rho_2(x_1,x_2) + \rho_2(x_2,x_3) \\[0.5em]& \qquad = \rho_1(x_1,x_2) +\rho_2(x_1,x_2) + \rho_1(x_2,x_3) +\rho_2(x_2,x_3) \\[0.5em]& \qquad = \rho(x_1,x_2) + \rho(x_2,x_3) \text{ 이므로}\end{align*}$

$(X,\rho)$는 유사거리공간이다.

3.

유사거리공간의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $\rho_X(x,x) = \rho_Y(f(x),f(x)) = 0$이고 

모든 $x_1,x_2\in X$에 대해 $\rho_X(x_1,x_2) = \rho_Y(f(x_1),f(x_2)) = \rho_Y(f(x_2),f(x_1)) = \rho_X(x_2,x_1)$이고

모든 $x_1,x_2,x_3\in X$에 대해

$\rho_X(x_1,x_3) = \rho_Y(f(x_1),f(x_3)) \le \rho_Y(f(x_1),f(x_2)) +\rho_Y(f(x_2),f(x_3)) = \rho_X(x_1,x_2) + \rho_X(x_2,x_3)$이므로 

$(X,\rho_X)$는 유사거리공간이다.

4.

2, 3번으로 $(X,\rho)$는 유사거리공간이므로 유사거리위상공간 정리로

$\mathcal{B} = \{ \underset{(X,\rho)}{B}(x,r) : x\in X,r\in (0,\infty)\}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고

$\mathcal{B}_X = \{ \underset{(X,\rho_X)}{B}(x,r) : x\in X,r\in (0,\infty)\}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$의 기저이다.

모든 $x\in X$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 모든 $x_0\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$은

열린공의 정의로 $\rho_X(x,x_0) +\rho_Y(f(x),f(x_0))=\rho(x,x_0)< r$이므로 $r - \rho(x,x_0)>0$이 되어

유사거리위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,\frac{r-\rho(x,x_0)}{2})\in \mathcal{T}_X$와 $\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x_0),\frac{r-\rho(x,x_0)}{2})\in \mathcal{T}_Y$가 성립하고 

연속함수 정리로 $f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x_0),\frac{r-\rho(x,x_0)}{2}))\in \mathcal{T}_X$이다. 

유사거리공간의 정의로 $\rho_X(x_0,x_0) = 0<\dfrac{r-\rho(x,x_0)}{2}$이므로 $x_0\in \underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,\frac{r-\rho(x,x_0)}{2})$이고

$\rho_Y(f(x_0),f(x_0)) = 0<\dfrac{r-\rho(x,x_0)}{2}$이므로 $f(x_0)\in \underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x_0),\frac{r-\rho(x,x_0)}{2})$이 되어

$x_0\in f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x_0),\frac{r-\rho(x,x_0)}{2}))$임에 따라

위상공간의 정의로 $x_0\in \underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,\frac{r-\rho(x,x_0)}{2})\cap f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x_0),\frac{r-\rho(x,x_0)}{2}))\in \mathcal{T}_X$이므로 

$\underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,\frac{r-\rho(x,x_0)}{2})\cap f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x_0),\frac{r-\rho(x,x_0)}{2}))$은 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x_0$의 열린근방이다.

모든 $u\in \underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,\frac{r-\rho(x,x_0)}{2})\cap f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x_0),\frac{r-\rho(x,x_0)}{2}))$는 

$u\in \underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,\frac{r-\rho(x,x_0)}{2})$이고 $f(u)\in \underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x_0),\frac{r-\rho(x,x_0)}{2})$이므로 유사거리공간의 정의와 열린공의 정의로

$\begin{align*}\rho(x,u) & =\rho_X(x,u) + \rho_Y(f(x),f(u)) \\[0.5em] & \le \rho_X(x,x_0) + \rho_X(x_0,u) + \rho_Y(f(x),f(x_0)) + \rho_Y(f(x_0),f(u)) = \rho(x,x_0) +\rho_X(x_0,u) + \rho_Y(f(x_0),f(u)) \\[0.5em]& < \rho(x,x_0) + \dfrac{r- \rho(x,x_0)}{2} +\dfrac{r-\rho(x,x_0)}{2}  = \rho(x,x_0) + r-\rho(x,x_0) = r\text{ 이 되어} \end{align*}$

$u \in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$임에 따라 $\underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,\frac{r-\rho(x,x_0)}{2})\cap f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x_0),\frac{r-\rho(x,x_0)}{2})) \subseteq \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$이고 

위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r)\in \mathcal{T}_X$이므로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}_X$가 되어

기저의 정의와 위상공간의 정의로 $\mathcal{T} = \{\bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B} \} \subseteq \mathcal{T}_X$이다.

모든 $x\in X$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 모든 $x_0\in \underset{(X,\rho_X)}{B}(x,r)$은

열린공의 정의로 $\rho_X(x,x_0) < r$이므로 $r - \rho_X(x,x_0) > 0$이 되어 

모든 $u \in \underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r-\rho_X(x,x_0))$는 유사거리공간의 정의와 열린공의 정의로

$\begin{align*}\rho_X(x,u)&\le \rho_X(x,x_0) + \rho_X(x_0,u) \\[0.5em]&\le \rho_X(x,x_0) + \rho_X(x_0,u) + \rho_Y(f(x_0),f(u)) = \rho_X(x,x_0) + \rho(x_0,u) \\[0.5em]& < \rho_X(x,x_0) + r-\rho_X(x,x_0) = r \text{ 임에 따라} \end{align*}$

$u \in \underset{(X,\rho_X)}{B}(x,r)$이고 $\underset{(X,\rho)}{B}(x_0,r-\rho_X(x,x_0)) \subseteq \underset{(X,\rho_X)}{B}(x,r)$이므로

유사거리위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,r)\in \mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{B}_X\subseteq \mathcal{T}$이고

기저의 정의와 위상공간의 정의로 $\mathcal{T}_X = \{\bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}_X \} \subseteq \mathcal{T}$이므로 집합 정리로 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_X$이다. 

5.

2번으로 $\rho_X$는 유사거리함수이므로

$\mathcal{B}_X = \{\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon) : x\in X,\epsilon\in (0,\infty) \}$는 $(X,\rho_X)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$의 기저이고

$(X,\mathcal{T}_X)$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P}_X)$일때 위 정리로 $\rho_X$는 $(X^2,\mathcal{P}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

모든 $x\in X$와 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

유사거리위상공간 정리로 $\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon)$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이므로

연속함수 정리로 $f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon))$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

유사거리 정리로 $f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x),\epsilon)) = \underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon)$임에 따라 

$\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어 $\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,\epsilon)\in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{B}_X\subseteq \mathcal{T}$이다.

기저 정리와 위상공간 정리로 $\mathcal{T}_X \subseteq \mathcal{T}$이므로 위 정리로 $\mathcal{P}_X\subseteq \mathcal{P}$이고

모든 $V\in \mathcal{T}_{[0,\infty)}$에 대해 연속함수 정리로 $\rho_X^{-1}(V)\in \mathcal{P}_X\subseteq \mathcal{P}$이므로

$\rho_X^{-1}(V)$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이 되어 연속함수 정리로 $\rho_X$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이다.

 

 

 

정의2

색인된 함수족의 합 :

임의의 집합이 $X$이고 복소수집합 $\mathbb{C}$의 임의의 부분집합이 $E\subseteq \mathbb{C}$이고

임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 함수 $f_i :X\to E$가 유일하게 존재할때

임의의 $x\in X$에 대해 $\{ i\in I : f_i(x)\ne 0 \}$가 유한집합이면 $x$에서 $\{ f_i : i\in I\}$의 합 $\displaystyle \sum_{i\in I}f_i(x)$를

$\{ i\in I : f_i(x)\ne 0 \}$가 공집합일때 $\displaystyle \sum_{i\in I}f_i(x) = 0$으로 정의하고

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\{ i\in I : f_i(x)\ne 0 \}$가 $n$개의 원소를 가질때

$\{ i\in I : f_i(x)\ne 0 \} = \{ i_1,i_2,\cdots,i_n\}$인 $i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$에 대해 $\displaystyle \sum_{i\in I} f_i(x) = \sum_{k=1}^n f_{i_k}(x)$로 정의한다.

색인된 함수족의 점유한 : 

임의의 집합이 $X$이고 복소수집합 $\mathbb{C}$의 임의의 부분집합이 $E\subseteq \mathbb{C}$이고

임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 함수 $f_i :X\to E$가 유일하게 존재할때

모든 $x\in X$에 대해 $\{ i\in I : f_i(x)\ne 0 \}$가 유한집합이면 $\{ f_i:i\in I\}$가 $X$에서 점유한이라 정의한다.

지지집합 : 

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $1$차원 유클리드 거리공간 $(E,d)$의 거리위상공간이 $(E,\mathcal{T}_E)$일때

$(X,\mathcal{T})$에서 $(E,\mathcal{T}_E)$로의 연속함수 $f:X\to E$에 대해 

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X: f(x)\ne 0\}) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f^{-1}(E\setminus \{0\}))$을 $(X,\mathcal{T})$에서 $f$의 지지집합으로 정의한다.

색인된 함수족의 국소유한 : 

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $1$차원 유클리드 거리공간 $(E,d)$의 거리위상공간이 $(E,\mathcal{T}_E)$이고

임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $(E,\mathcal{T}_E)$로의 연속함수 $f_i:X\to E$가 유일하게 존재할때 

모든 $x\in X$에 대해 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여

$\{ i\in I : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset \}$이 유한집합이면 $\{ f_i:i\in I\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이라 정의한다.

 

 

 

정리13

임의의 집합이 $X$이고 복소수집합 $\mathbb{C}$의 임의의 부분집합이 $E\subseteq \mathbb{C}$이고 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해

함수 $f_i :X\to E$가 유일하게 존재할때 $\{ i\in I:f_i(x)\ne 0\}$가 유한집합인 임의의 $x\in X$에 대해 다음이 성립한다.

1. 구간 $[0,\infty)$에 대해 모든 $i\in I$가 $f_i(x)\in [0,\infty)$이면 $\displaystyle \sum_{i\in I}$ $|f_i(x)| = \displaystyle \sum_{i\in I}f_i(x)$이다.

2. 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $i_1,i_2,\cdots,i_n\in I$에 대해

$m\ne p$인 모든 $m,p=1,2,\cdots,n$가 $i_m\ne i_p$이면 $\displaystyle \sum_{m=1}^n|f_{i_m}(x)|\le \sum_{i\in I}|f_i(x)|$이다.

증명

복소수 정리로 $|f_i(x)|\ne 0$이기 위한 필요충분조건은 $f_i(x)\ne 0$인 것이므로

$\{ i\in I:|f_i(x)|\ne 0\} = \{ i\in I:f_i(x)\ne 0\}$이다.

1.

모든 $i\in I$에 대해 $f_i(x)\in [0,\infty)$이므로 $|f_i(x)| = f_i(x)$가 되어 색인된 함수족의 합의 정의로

$\{ i\in I:|f_i(x)|\ne 0\} = \{ i\in I:f_i(x)\ne 0\}$가 공집합이면 $\displaystyle \sum_{i\in I} |f_i(x)| = 0 = \sum_{i\in I}f_i(x)$이고

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\{ i\in I:|f_i(x)|\ne 0\} = \{ i\in I:f_i(x)\ne 0\}$가 $n$개의 원소를 가지면 

$\{ i\in I : |f_i(x)|\ne 0 \} = \{ i\in I:f_i(x)\ne 0\}= \{ i_1,i_2,\cdots,i_n\}$인 $i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$이 존재하여 

$\displaystyle \sum_{i\in I}|f_i(x)| = \sum_{k=1}^n |f_{i_k}(x)| = \sum_{k=1}^n f_{i_k}(x)  = \sum_{i\in I}f_i(x)$이다.

2.

$I_x = \{ i\in I : |f_i(x)|\ne 0\}$일때

$m\ne p$인 모든 $m,p=1,2,\cdots,n$에 대해 $i_m\ne i_p$이므로 $\{ i_1,i_2,\cdots, i_n\}$은 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이고

$\{ i_1,i_2,\cdots, i_n\}\cap I_x = \emptyset$이면 모든 $m=1,2,\cdots,n$에 대해 $i_m\notin I_x$이 되어 $|f_{i_m}(x)|= 0$이므로

색인된 함수족의 합의 정의로 $\displaystyle \sum_{m=1}^n|f_{i_m}(x)|=0 \le \sum_{i\in I}|f_i(x)|$이다.

$\{ i_1,i_2,\cdots, i_n\}\cap I_x \ne \emptyset$이면

$\{ i_1,i_2,\cdots, i_n\}\cap I_x$는 유한집합 정리로 $q \le n$인 어떤 $q\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이므로

어떤 $j_1,j_2,\cdots, j_q\in I$에 대해

$\{ i_1,i_2,\cdots, i_n\}\cap I_x = \{ j_1,j_2,\cdots,j_q\}\subseteq I_x$가 되어 색인된 함수족의 합의 정의로 $\displaystyle \sum_{m=1}^q|f_{j_m}(x)| \le \sum_{i\in I}|f_i(x)|$이다.

$\{ j_1,j_2,\cdots,j_q\}\subseteq \{ i_1,i_2,\cdots,i_n\}$임에 따라

$q=n$이면

유한집합 정리로 $\{ i_1,i_2,\cdots,i_n\} = \{ j_1,j_2,\cdots,j_q\}$이므로 $\displaystyle \sum_{m=1}^n|f_{i_m}(x)| =\sum_{m=1}^q|f_{j_m}(x)| \le \sum_{i\in I}|f_i(x)|$이고

$q<n$이면

$\{ i_1,i_2,\cdots,i_n\} \setminus \{ j_1,j_2,\cdots,j_q\}$는 유한집합 정리로 $r =n-q\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이 되어

어떤 $k_1,k_2,\cdots, k_r\in I$에 대해 집합 정리로

$\{ i_1,i_2,\cdots, i_n\}\setminus I_x =\{ i_1,i_2,\cdots,i_n\}\setminus (\{ i_1,i_2,\cdots,i_n\}\cap I_x) = \{ i_1,i_2,\cdots,i_n\} \setminus \{ j_1,j_2,\cdots,j_q\} = \{ k_1,k_2,\cdots, k_r\}\text{ 이므로}$

모든 $p=1,2,\cdots,r$에 대해 $k_p\notin I_x$임에 따라 $|f_{k_p}(x)| = 0$이고

$\displaystyle \sum_{m=1}^n|f_{i_m}(x)| = \sum_{m=1}^q|f_{j_m}(x)| + \sum_{p=1}^r|f_{k_p}(x)| =\sum_{m=1}^q|f_{j_m}(x)| \le \sum_{i\in I}|f_i(x)|$이다.

 

 

 

정리14

임의의 집합이 $X$이고 $1$차원 유클리드 거리공간이 $(E,d)$이고 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해

함수 $f_i :X\to E$가 유일하게 존재할때 $\{f_i: i\in I \}$가 $X$에서 점유한이면

모든 $x,y \in X$가 $\rho(x,y) =$ $\displaystyle \sum_{i\in I}$$\,d(f_i(x),f_i(y)) = \displaystyle \sum_{i\in I}|f_i(x)-f_i(y)|$인 함수 $\rho:X\times X \to [0,\infty)$가 존재하고

$(X,\rho)$는 유사거리공간이다.

증명

점유한의 정의로 모든 $x,y\in X$에 대해

$I_x = \{ i\in I : f_i(x)\ne 0\}$와 $I_y=\{ i\in I : f_i(y)\ne 0\}$가 유한집합이므로 유한집합 정리로 $I_x\cup I_y$는 유한집합이고

복소수 정리로 $I_x = \{ i\in I : |f_i(x)|\ne 0\}$와 $I_y=\{ i\in I : |f_i(y)|\ne 0\}$가 성립한다.

$|f_i(x)-f_i(y)|\ne 0$인 모든 $i\in I$는 복소수 정리로 $0< |f_i(x)-f_i(y)|\le |f_i(x)| + |f_i(y)|$가 되어

$|f_i(x)| > 0$ 또는 $|f_i(y)| > 0$임에 따라 $|f_i(x)| > 0$이면 $i\in I_x$이고 $|f_i(y)| > 0$이면 $i\in I_y$이므로 

$i\in I_x\cup I_y$가 되어 $\{ i\in I : |f_i(x) - f_i(y)|\ne 0\}\subseteq I_x\cup I_y$임에 따라 

유한집합 정리로 $\{ i\in I : |f_i(x) - f_i(y)|\ne 0\}$는 유한집합이다.

임의의 $i\in I$와 모든 $x,y\in X$에 대해 $\rho_i(x,y) = |f_i(x)- f_i(y)|$인 함수가 $\rho_i :X\times X \to [0,\infty)$일때 

$\rho_i(x,y) = |f_i(x)- f_i(y)| = d(f_i(x),f_i(y))$이므로 위 정리로 $\rho_i$는 유사거리함수이고 

$\{ i\in I :\rho_i(x,y)\ne 0\}$가 공집합이면 색인된 함수족의 합의 정의로 $\displaystyle \sum_{i\in I}\rho_i(x,y) = 0$이고

$\{i\in I : \rho_i(x,y)\ne 0 \}$가 $n$개의 원소를 가지면

$\{ i\in I : \rho_i(x,y)\ne 0 \} = \{ i_1,i_2,\cdots,i_n\}$인 $i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$이 존재하여

색인된 함수족의 합의 정의로 $\displaystyle \sum_{i\in I}\rho_i(x,y) =  \sum_{k=1}^n \rho_{i_k}(x,y) \ge 0$이므로

$\{ \rho_i : i\in I\}$의 합에 대해 $\rho(x,y) = \displaystyle \sum_{i\in I}\rho_i(x,y)= \sum_{i\in I}|f_i(x)-f_i(y)|$인 함수 $\rho :X\times X\to [0,\infty)$가 존재한다.

모든 $i\in I$와 모든 $x\in X$에 대해 유사거리함수의 정의로 $\rho_i(x,x) = 0$이므로 

$\{ i\in I :\rho_i(x,x)\ne 0\}$는 공집합이 되어 색인된 함수족의 합의 정의로 $\rho(x,y) = \displaystyle \sum_{i\in I}\rho_i(x,y)= 0$이다.

모든 $i\in I$와 모든 $x,y\in X$에 대해

유사거리함수의 정의로 $\rho_i(x,y) = \rho_i(y,x)$이므로 $\{ i\in I :\rho_i(x,y)\ne 0\} = \{ i\in I: \rho_i(y,x)\ne 0\}$임에 따라 

$\{ i\in I :\rho_i(x,y)\ne 0\}$가 공집합이면 $\{ i\in I :\rho_i(y,x)\ne 0\}$는 공집합이 되어 

색인된 함수족의 합의 정의로 $\rho(x,y) = \displaystyle \sum_{i\in I}\rho_i(x,y)= 0 = \sum_{i\in I}\rho_i(y,x) = \rho(y,x)$이고 

$\{i\in I : \rho_i(x,y)\ne 0 \}$가 $n$개의 원소를 가지면

$\{ i\in I : \rho_i(x,y)\ne 0 \} = \{ i_1,i_2,\cdots,i_n\}$인 $i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$이 존재하여

$\{ i\in I : \rho_i(y,x)\ne 0 \} = \{ i_1,i_2,\cdots,i_n\}$이므로 색인된 함수족의 합의 정의로

$\rho(x,y) = \displaystyle \sum_{i\in I}\rho_i(x,y)= \sum_{k=1}^n \rho_{i_k}(x,y) = \sum_{k=1}^n\rho_{i_k}(y,x) = \sum_{i\in I}\rho_i(y,x) = \rho(y,x)$이다.

모든 $i\in I$와 모든 $x,y,z\in X$에 대해 유사거리함수의 정의로 $\rho_i(x,z) \le \rho_i(x,y) +\rho_i(y,z)$이므로

$\rho_i(x,z)\ne 0$이면 $0< \rho_i(x,z) \le \rho_i(x,y) +\rho_i(y,z)$임에 따라 $0< \rho_i(x,y)$ 또는 $0< \rho_i(y,z)$가 되어

$\{ i\in I :\rho_i(x,z)\ne 0\} \subseteq  \{ i\in I: \rho_i(x,y)\ne 0\}\cup \{ i\in I:\rho_i(y,z)\ne 0\}$이다.

$\{ i\in I:\rho_i(x,z)\ne 0\}$가 공집합이면 

색인된 함수족의 합의 정의로 $\rho(x,z) = \displaystyle \sum_{i\in I}\rho_i(x,z)= 0 \le \rho(x,y)+\rho(y,z)$이고

$\{i\in I : \rho_i(x,z)\ne 0 \}$가 $n$개의 원소를 가지면

$\{ i\in I : \rho_i(x,z)\ne 0 \} = \{i_1,i_2,\cdots,i_n\}$인 $i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$이 존재하여 유한집합의 정의로

$m\ne p$인 모든 $m,p=1,2,\cdots,n$에 대해 $i_m\ne i_p$이므로 색인된 함수족의 합의 정의와 위 정리로 

$\rho(x,z) = \displaystyle \sum_{i\in I}\rho_i(x,z)=\sum_{k=1}^n \rho_{i_k}(x,z)\le \sum_{k=1}^n \rho_{i_k}(x,y) + \sum_{k=1}^n \rho_{i_k}(y,z)\le \sum_{i\in I}\rho_i(x,y) + \sum_{i\in I}\rho_i(y,z)$임에 따라 

$(X,\rho)$는 유사거리공간이다.

 

 

 

정리16

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $1$차원 유클리드 거리공간 $(E,d)$의 거리위상공간이 $(E,\mathcal{T}_E)$이고

집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $(E,\mathcal{T}_E)$로의 연속함수 $f_i:X\to E$가 유일하게 존재할때 다음이 성립한다.

1. 임의의 $A\subseteq X$의 모든 $x\in A$에 대해 $\{ i\in I:f_i(x)\ne 0\}\subseteq \{ i\in I : A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset\}$이다.

2. $\{f_i: i\in I \}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이면 $\{f_i: i\in I \}$는 $X$에서 점유한이다.

3. 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $A\subseteq X$에 대해 $\{ i\in I : A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset\}$가 $n$개의 원소를 갖는 유한집합일때

임의의 $i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$에 대해 $\{ i\in I : A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset\} = \{ i_1,i_2,\cdots, i_n\}$이면

모든 $x\in A$에 대해 $x$에서 $\{ f_i : i\in I\}$의 합은 $\displaystyle \sum_{i\in I}f_i(x) =\sum_{m=1}^n f_{i_m}(x)$이다.

증명

1.

폐포 정리와 지지집합의 정의로 모든 $i\in I$에 대해 $\{ x\in X: f_i(x)\ne 0\} \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)$이므로 

모든 $x\in A$에 대해 $f_i(x)\ne 0$인 모든 $i\in I$는 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)$이고 $x\in A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)$임에 따라 

$A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset$이 되어 $\{ i\in I:f_i(x)\ne 0\}\subseteq \{ i\in I : A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset\}$이다.

2.

국소유한의 정의로 모든 $x\in X$에 대해

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $\{ i\in I : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset \}$이 유한집합이므로

$x\in O$임에 따라 1번으로 $\{ i\in I:f_i(x)\ne 0\}\subseteq \{ i\in I : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset\}$이고 

유한집합 정리로 $\{ i\in I:f_i(x)\ne 0\}$는 유한집합이 되어 $\{f_i: i\in I \}$는 $X$에서 점유한이다.

3.

$I_A=\{ i\in I : A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset\}$이고 임의의 $x\in A$에 대해 $I_x = \{ i\in I : f_i(x)\ne 0\}$일때

1번으로 $I_x \subseteq I_A$가 되어 유한집합 정리로 $I_x$는 $0\le k\le n$인 $k\in \mathbb{N}$개의 원소를 갖는 유한집합이다.

$I_x = \emptyset$이면 모든 $m =1,2,\cdots,n$에 대해 $i_m \notin \emptyset = I_x$이므로

$f_{i_m}(x) = 0$이 되어 색인된 함수족의 합의 정의로 $\displaystyle \sum_{i\in I}f_i(x) = 0= \sum_{m=1}^n f_{i_m}(x)$이다.

$I_x \ne \emptyset$이면 $I_x = \{ i_{n_1}, i_{n_2},\cdots,i_{n_k}\}$인 $n_1,n_2,\cdots,n_k\in \{1,2,\cdots, n\}$가 존재하여

모든 $m \in \{ 1,2,\cdots, n\}\setminus \{ n_1,n_2,\cdots,n_k\}$는 $i_m \notin I_x$이므로 $f_{i_m}(x) = 0$임에 따라

색인된 함수족의 합의 정의로 $\displaystyle \sum_{i\in I}f_i(x) = \sum_{p=1}^k f_{i_{n_p}}(x) = \sum_{m=1}^nf_{i_m}(x)$이다.

 

 

 

정리17

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{C},d)$의 거리위상공간이 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_\mathbb{C})$이고

임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_\mathbb{C})$로의 연속함수 $f_i:X\to \mathbb{C}$가 유일하게 존재할때

$\{f_i: i\in I \}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이면

모든 $x \in X$에 대해 $F(x) =$ $\displaystyle \sum_{i\in I}$$\,f_i(x)$인 함수 $F: X\to \mathbb{C}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_\mathbb{C})$로의 연속함수이다.

증명

임의의 $O\in \mathcal{T}$에 대해 $I_O=\{ i\in I : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset\}$일때

$\mathcal{O} = \{ O\in \mathcal{T} : I_O\text{는 유한집합}\}$이면 모든 $O\in \mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 $O\subseteq X$가 되어 $\displaystyle \bigcup \mathcal{O}\subseteq X$이고

국소유한의 정의로 모든 $x \in X$에 대해 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $I_O$는 유한집합이므로

$x\in O\in \mathcal{O}$가 되어 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$임에 따라 집합 정리로 $X=\displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이다.

모든 $O\in \mathcal{O}$에 대해 함수 $F_O : O\to [0,\infty)$가 모든 $x\in O$에 대해 $I_O = \emptyset$이면 $F_O(x) = 0$이고

어떤 $n_O\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $I_O$가 $n_O$개의 원소를 갖는 유한집합이면

$I_O = \{i_1,i_2,\cdots, i_{n_O} \}$인 $i_1,i_2,\cdots,i_{n_O}\in I$에 대해 $F_O(x) = \displaystyle \sum_{k=1}^{n_O}f_{i_k}(x)$일때

연속함수 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리로

$F_O$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(O,\mathcal{T}|_O)$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_\mathbb{C})$로의 연속함수이다.

임의의 $U,V\in \mathcal{O}$가 $U\subseteq V$이면 모든 $i\in I$에 대해 $U\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\subseteq V\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)$이므로 $I_U\subseteq I_V$가 되어 

모든 $x\in U$에 대해 $I_U = \emptyset$이고 $I_V = \emptyset$일때 $F_U(x) = 0 =F_V(x)$이고

$I_U = \emptyset$이고 $I_V = \{ i_1,i_2,\cdots, i_{n_V}\}$일때 모든 $k = 1,2,\cdots, n_V$에 대해 $i_k\notin \emptyset = I_U$이므로

폐포 정리와 지지집합의 정의로 $U\cap \{ x\in X:f_{i_k}(x)\ne 0\}\subseteq U\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_{i_k}) = \emptyset$이 되어

$U\cap \{ x\in X:f_{i_k}(x)\ne 0\}= \emptyset$이고 $f_{i_k}(x) = 0$임에 따라 $F_U(x) = 0 = \displaystyle \sum_{k=1}^{n_V}f_{i_k}(x) = F_V(x)$이고

$I_U = \{ i_{m_1},i_{m_2},\cdots, i_{m_{n_U}}\}$이고 $I_V = \{ i_1,i_2,\cdots, i_{n_V}\}$일때

모든 $k \in \{ 1,2,\cdots, n_V \}\setminus \{ m_1,m_2,\cdots, m_{n_U}\}$에 대해

$i_k\notin I_U$임에 따라 $f_{i_k}(x) = 0$이므로 $F_U(x) = \displaystyle \sum_{p=1}^{n_U} f_{i_{m_p}}(x) = \sum_{k=1}^{n_V}f_{i_k}(x) = F_V(x)$이다.

임의의 $U,V\in \mathcal{O}$에 대해 위상공간의 정의로 $U\cap V\in \mathcal{T}$이고

$U\cap V\subseteq U$와 $U\cap V\subseteq V$가 성립함에 따라 $I_{U\cap V}\subseteq I_U\cap I_V$이므로

유한집합 정리로 $U\cap V\in \mathcal{O}$가 되어 모든 $x\in U\cap V$에 대해 $F_U(x) = F_{U\cap V}(x) = F_V(x)$이고

연속함수 정리로 모든 $O\in \mathcal{O}$의 모든 $x\in O$에 대해 $F(x) = F_O(x)$가 되는

함수 $F:X\to \mathbb{C}$가 존재하여 $F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_\mathbb{C})$로의 연속함수이다.

모든 $x\in X = \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$에 대해 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 

$I_O = \emptyset$이면 위 정리로 $\{ i\in I : f_i(x)\ne 0\} \subseteq I_O = \emptyset$ 임에 따라

$\{ i\in I : f_i(x)\ne 0\} = \emptyset$이므로 색인된 함수족의 합의 정의로 $F(x) =F_O(x) = 0 = \displaystyle \sum_{i\in I}f_i(x)$이고

$I_O = \{ i_1,i_2,\cdots, i_{n_O}\}$이면 위 정리로 $F(x) =F_O(x)  = \displaystyle \sum_{k=1}^{n_O}f_{i_k}(x) = \sum_{i\in I}f_i(x)$이다.

 

 

 

정리18

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P})$이고 $1$차원 유클리드 거리공간 $(E,d)$의 거리위상공간이 $(E,\mathcal{T}_E)$이고

임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $(E,\mathcal{T}_E)$로의 연속함수 $f_i:X\to E$가 유일하게 존재할때

$\{f_i: i\in I \}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이면

모든 $x,y \in X$가 $\rho(x,y) =$ $\displaystyle \sum_{i\in I}$$\,d(f_i(x),f_i(y)) = \displaystyle \sum_{i\in I}|f_i(x)-f_i(y)|$인 함수 $\rho:X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

$(X,\rho)$는 유사거리공간이고

$(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 $2$-곱공간 $(X^2,\mathcal{P}_\rho)$에 대해 $\mathcal{T}_{\rho}\subseteq \mathcal{T}$와 $\mathcal{P}_{\rho}\subseteq \mathcal{P}$가 성립한다.

증명

$1$차원 유클리드 거리공간 $([0,\infty),d),(\mathbb{C},d)$의 거리위상공간이 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)}),(\mathbb{C},\mathcal{T}_\mathbb{C})$일때

$([0,\infty),d)$는 $(\mathbb{C},d)$의 부분거리공간이므로 위상공간 정리로 $\mathcal{T}_\mathbb{C}|_{[0,\infty)} = \mathcal{T}_{[0,\infty)}$이다.

모든 $i\in I$에 대해 $f_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(E,\mathcal{T}_E)$로의 연속함수이므로 

위 정리로 모든 $x,y\in X$가 $\rho_i(x,y) = d(f_i(x),f_i(y)) = |f_i(x)-f_i(y)|$인

함수 $\rho_i :X^2\to [0,\infty)$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이다.

위 정리로 $\{f_i: i\in I \}$는 $X$에서 점유한이므로 위 정리로

모든 $x,y \in X$가 $\displaystyle \rho(x,y)=\sum_{i\in I}d(f_i(x),f_i(y)) = \displaystyle \sum_{i\in I}|f_i(x)-f_i(y)| =\sum_{i\in I}\rho_i(x,y)$인

함수 $\rho:X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여 $(X,\rho)$는 유사거리공간이다.

$\{f_i: i\in I \}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이므로

모든 $x,y\in X$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U$와 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $V$가 존재하여 

$\{ i\in I : U\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset\}$와 $\{ i\in I : V\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset\}$가 유한집합임에 따라

유한집합 정리로 $\{ i\in I : U\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset\}\cup \{ i\in I :V\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset\}$는 유한집합이고

유한 곱공간 정리로 $U\times V$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $(x,y)$의 열린근방이므로

$(U\times V)\cap \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{supp}}(\rho_i)\ne \emptyset$인 모든 $i\in I$에 대해 

$(u,v)\in (U\times V)\cap \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{supp}}(\rho_i)$가 존재하여 $U\times V$가 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $(u,v)$의 열린근방임에 따라 

지지집합의 정의와 폐포의 정의로 $(U\times V)\cap \{ (x_1,x_2)\in X^2 : \rho_i(x_1,x_2)\ne 0\}\ne \emptyset$이고 

$(z,w)\in (U\times V)\cap \{ (x_1,x_2)\in X^2 : \rho_i(x_1,x_2)\ne 0\}$가 존재하여 복소수 정리로

$0< \rho_i(z,w) = d(f_i(z),f_i(w)) = |f_i(z) - f_i(w)|\le |f_i(z)| + |f_i(w)|$이므로 $|f_i(z)| > 0$ 또는 $|f_i(z)| > 0$이고

복소수 정리로 $f_i(z)\ne 0$ 또는 $f_i(w)\ne 0$임에 따라 지지집합의 정의와 폐포 정리로 

$f_i(z)\ne 0$이면 $z\in U\cap \{ x_0\in X : f_i(x_0)\ne 0\} \subseteq U\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)$가 되어 $U\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset$이고 

$f_i(w)\ne 0$이면 $w\in V\cap \{ x_0\in X : f_i(x_0)\ne 0\} \subseteq V\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)$가 되어 $V\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset$이므로 

$\{ i\in I:(U\times V)\cap \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{supp}}(\rho_i)\}\subseteq \{ i\in I : U\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset\}\cup \{ i\in I :V\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i)\ne \emptyset\}$이고 

유한집합 정리로 $\{ i\in I:(U\times V)\cap \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{supp}}(\rho_i)\}$는 유한집합이 되어 $\{ \rho_i:i\in I\}$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 국소유한이고

색인된 함수족의 합의 정의로 모든 $x,y\in X$에 대해 $\displaystyle \sum_{i\in I}\rho_i(x,y)\in [0,\infty)$임에 따라 

위 정리와 연속함수 정리로 $\rho$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이다.

$(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 $2$-곱공간 $(X^2,\mathcal{P}_\rho)$에 대해

유사거리위상공간 정리로 $\mathcal{B}_\rho = \{\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon) : x\in X,\epsilon\in (0,\infty) \}$는 $(X,\mathcal{T}_\rho)$의 기저이고

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 위상공간 정리로 $[0,\epsilon)$은 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$에서 열린집합이므로 

역상의 정의와 연속함수 정리로 $D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2 : \rho(x,y)<\epsilon\} = \rho^{-1}([0,\epsilon))$은 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이 되어 

모든 $x\in X$에 대해 위 정리와 유한 곱공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\epsilon)=D_\epsilon[x]\in \mathcal{T}$임에 따라 $\mathcal{B}_\rho \subseteq \mathcal{T}$이고 

기저 정리와 위상공간 정리로 $\mathcal{T}_\rho \subseteq \mathcal{T}$이므로 위 정리로 $\mathcal{P}_\rho\subseteq \mathcal{P}$이다.

 

 

 

정리19

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 균등화가능할때 $(X,\mathcal{T})$의 강한균등공간이 $(X,\mathcal{D})$이면

유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_\rho)$와 유사거리균등공간 $(X,\mathcal{D}_\rho)$에 대해 

$\mathcal{T}_\rho \subseteq \mathcal{T}$이기 위한 필요충분조건은 $\mathcal{D}_\rho \subseteq \mathcal{D}$인 것이다.

증명

균등화 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여 $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이므로

$(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간 $(X^2,\mathcal{P})$와 $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 $\mathcal{O} = \{ O\in \mathcal{P} : \Delta_X\subseteq O\}$이고

$\mathcal{N} = \{ O\in \mathcal{O} : \text{모든 } n\in \mathbb{Z}^+\text{에 대해 } D_{n+1}\circ D_{n+1}\subseteq D_n \text{인 어떤 }\mathcal{O}\text{의 수열 } (D_n)_{n=1}^\infty\text{에 대해 }O = D_1\}$일때

강한균등공간 정리로 $\mathcal{N}$은 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

$\mathcal{T}_\rho \subseteq \mathcal{T}$이면

$(X,\mathcal{T}_\rho)$의 $2$-곱공간 $(X^2,\mathcal{P}_\rho)$는 위 정리로 $\mathcal{P}_\rho\subseteq \mathcal{P}$가 되어 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$D_\epsilon = \{ (x,y)\in X^2 : \rho(x,y)<\epsilon\}$는 위 정리로 $D_\epsilon \in \mathcal{P}_\rho\subseteq \mathcal{P}$이고 위 정리로 $\Delta_X \subseteq D_\epsilon$이므로 $D_\epsilon\in \mathcal{O}$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}_\rho$에 대해 위 정리와 기저의 정의로 $D_\epsilon \subseteq D$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여 

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{2^N}< \epsilon$인 $N\in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 $D_\frac{1}{2^N} \subseteq D_\epsilon \subseteq D$이고 

위 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $D_\frac{1}{2^{N -1+n+1}}\circ D_\frac{1}{2^{N -1+ n+1}} \subseteq D_\frac{1}{2^{N-1 + n}}$임에 따라 $(D_\frac{1}{2^{N-1+n}})_{n=1}^\infty$은 $\mathcal{O}$의 수열이고

기저의 정의로 $D_\frac{1}{2^{N}} = D_\frac{1}{2^{N-1+1}}\in \mathcal{N}\subseteq \mathcal{D}$이므로 균등공간의 정의로 $D\in \mathcal{D}$가 되어 $\mathcal{D}_\rho \subseteq \mathcal{D}$이다.

역으로 $\mathcal{D}_\rho \subseteq \mathcal{D}$이면

유사거리균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D}_\rho)$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T}_\rho)$이고

강한균등공간의 정의로 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간은 $(X,\mathcal{T})$이므로 균등공간 정리로 $\mathcal{T}_\rho \subseteq \mathcal{T}$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/126#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/126#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797