균등공간에 대한 정리

정의1

축소관계, 제한관계 :

임의의 집합 $X$의 관계가 $U$일때

임의의 $A\subseteq X$의 $2$-데카르트곱 $A^2$에 대해 $U|_A = U\cap A^2$를 $U$의 축소관계 또는 제한관계로 정의한다.

부분균등공간 :

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때 임의의 $A\subseteq X$에 대해

$\mathcal{D}|_A = \{ D|_A : D\in \mathcal{D} \}$인 $(A,\mathcal{D}|_A)$를 $(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간으로 정의한다.

축소덮개, 제한덮개 :

임의의 집합 $X$의 덮개가 $\mathcal{U}$일때 

임의의 $A\subseteq X$에 대해 $\mathcal{U}|_A = \{ U\cap A: U\in \mathcal{U}\}$를 $\mathcal{U}$의 축소덮개 또는 제한덮개로 정의한다.

부분균등덮개공간 :

균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U})$이고 임의의 $A\subseteq X$의 모든 덮개들의 집합이 $\mathbf{C}_A$일때

$\mathbf{U}_A = \{ \mathcal{C}_A\in \mathbf{C}_A : \text{어떤 }\mathcal{U}\in \mathbf{U}\text{에 대해 } \mathcal{U}|_A\text{가 }\mathcal{C}_A\text{의 세분} \}$인 $(A,\mathbf{U}_A)$를 $(X,\mathbf{U})$의 부분균등덮개공간으로 정의한다.

 

 

 

정리1

임의의 집합 $X$의 부분집합 $A\subseteq X$와 $X$의 관계 $U,V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $U$의 축소관계 $U|_A$는 $A$의 관계이다.

2. $X$의 대각관계 $\Delta_X$의 축소관계는 $A$의 대각관계 $\Delta_A$에 대해 $\Delta_X|_A = \Delta_A$이다.

3. $U,V$의 합성관계 $U\circ V$의 축소관계는 $U|_A\circ V|_A \subseteq (U\circ V)|_A$이다.

4. $U$의 역관계 $U^{-1}$의 축소관계는 $U^{-1}|_A = U|_A^{-1}$이다.

5. $(U\cap V)|_A = U|_A\cap V|_A$

6. $(U\cup V)|_A = U|_A\cup V|_A$

7. 모든 $x\in A$에 대해 $U|_A$에 의한 $x$의 상은 $U|_A[x] = U[x] \cap A$이다.

8. $\{ U|_A[x]:x\in A\}\subseteq \{ U[x]\cap A : x\in X\}$

9. 균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간 $(A,\mathcal{D}|_A)$는 균등공간이다.

증명

1.

축소관계의 정의로 $U|_A = U\cap A^2 \subseteq A^2$이므로 $U|_A$는 $A$의 관계이다.

2.

모든 $(x_1,x_2)\in \Delta_X|_A = \Delta_X \cap A^2$는 대각관계의 정의로 $x_1 = x = x_2$인 $x\in X$가 존재하여

$(x,x)=(x_1,x_2)\in A^2$이므로 $x\in A$임에 따라 $(x_1,x_2)=(x,x)\in \Delta_A$이고 $\Delta_X|_A\subseteq \Delta_A$이다.

모든 $(x_1,x_2)\in \Delta_A\subseteq A^2$는 대각관계의 정의로 $x_1= x= x_2$인 $x \in A \subseteq X$가 존재하여 

$(x_1,x_2)=(x,x)\in \Delta_X$이므로 $(x_1,x_2)\in \Delta_X\cap A^2= \Delta_X|_A$임에 따라 $\Delta_A\subseteq \Delta_X|_A$이고

집합 정리로 $\Delta_X|_A = \Delta_A$이다.

3.

모든 $(x,y)\in U|_A\circ V|_A \subseteq A^2$는

합성관계의 정의로 $(x,z)\in V|_A = V\cap A^2\subseteq V$이고 $(z,y)\in U|_A = U\cap A^2\subseteq U$인 $z\in A\subseteq X$가 존재하여

$(x,y)\in U\circ V$이므로 $(x,y)\in (U\circ V)\cap A^2 = (U\circ V)|_A$임에 따라 $U|_A\circ V|_A \subseteq (U\circ V)|_A$이다.

4.

모든 $(x,y)\in U^{-1}|_A = U^{-1}\cap A^2$는

역관계의 정의로 $(y,x)\in U$이므로 $(y,x)\in U\cap A^2 = U|_A$가 되어 $(x,y)\in U|_A^{-1}$임에 따라 $U^{-1}|_A \subseteq U|_A^{-1}$이다.

모든 $(x,y)\in U|_A^{-1}$는 역관계의 정의로 $(y,x) \in U|_A = U\cap A^2$이므로 $(y,x)\in U$이고 $(x,y)\in U^{-1}$임에 따라

$(x,y)\in U^{-1} \cap A^2 = U^{-1}|_A$가 되어 $U|_A^{-1}\subseteq U^{-1}|_A$이고 집합 정리로 $U^{-1}|_A = U|_A^{-1}$이다.

5.

$(U\cap V)|_A= (U\cap V)\cap A^2 = (U\cap A^2)\cap (V\cap A^2) = U|_A\cap V|_A$

6.

집합 정리로 $(U\cup V)|_A= (U\cup V)\cap A^2 = (U\cap A^2)\cup (V\cap A^2) = U|_A\cup V|_A$이다.

7.

모든 $x\in A$에 대해 관계 정리로 $A^2[x] = A$이고 $U\subseteq X^2$와 $A^2\subseteq X^2$가 성립하므로

$x\in A\subseteq X$임에 따라 관계 정리로 $U|_A[x] = (U\cap A^2)[x] = U[x] \cap A^2[x] = U[x] \cap A$이다.

8.

$A\subseteq X$이므로 7번으로 $\{ U|_A[x]:x\in A\} = \{ U[x]\cap A : x\in A \}\subseteq \{ U[x]\cap A : x\in X\}$이다.

9.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $D|_A = D\cap A^2 \subseteq A^2$이고 부분균등공간의 정의로 $D|_A\in \mathcal{D}|_A$이다.

균등공간의 정의로 $\mathcal{D}\ne \emptyset$이므로 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $D|_A\in \mathcal{D}|_A$임에 따라 $\mathcal{D}|_A\ne \emptyset$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 균등공간의 정의로 $\Delta_X\subseteq D$이므로 

2번으로 $\Delta_A =\Delta_X|_A = \Delta_X \cap A^2 \subseteq D\cap A^2= D|_A$이다.

모든 $D_1,D_2\in \mathcal{D}$에 대해 균등공간의 정의로 $D_1\cap D_2\in \mathcal{D}$이므로

5번과 부분균등공간의 정의로 $D_1|_A\cap D_2|_A=(D_1\cap D_2)|_A \in \mathcal{D}|_A$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 균등공간의 정의로 $E\circ E \subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

부분균등공간의 정의로 $E|_A\in \mathcal{D}|_A$이고 3번으로 $E|_A\circ E|_A\subseteq (E\circ E)|_A = (E\circ E)\cap A^2 \subseteq D\cap A^2=D|_A$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 균등공간의 정의로 $E^{-1} \subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

부분균등공간의 정의로 $E|_A\in \mathcal{D}|_A$이고 4번으로 $E|_A^{-1} =E^{-1}|_A=E^{-1}\cap A^2\subseteq D\cap A^2 = D|_A$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$와 임의의 $P\subseteq A^2$에 대해 $D|_A\subseteq P$이면 

$P\subseteq A^2\subseteq X^2$이고 $D\subseteq X^2$이므로 $D\subseteq D\cup P\subseteq X^2$가 되어 균등공간의 정의로 $D\cup P\in \mathcal{D}$이고

집합 정리로 $P=P\cap A^2 = P|_A$이므로

집합 정리와 6번과 부분균등공간의 정의로 $P = D|_A\cup P = D|_A\cup P|_A = (D\cup P)|_A\in \mathcal{D}|_A$이다.

따라서 $(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간 $(A,\mathcal{D}|_A)$는 균등공간이다.

 

 

 

정리2

임의의 집합 $X$의 부분집합 $A\subseteq X$와 $X$의 덮개 $\mathcal{U},\mathcal{V}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{U}$의 축소덮개 $\mathcal{U}|_A$는 $A$의 덮개이다.

2. 임의의 $E\subseteq X$에 대해 $E\cap A$의 $\mathcal{U}|_A$-별은 $\operatorname{st}(E\cap A,\mathcal{U}|_A)\subseteq \operatorname{st}(E,\mathcal{U})\cap A$이다.

3. 모든 $E \subseteq A$에 대해 $\operatorname{st}(E,\mathcal{U}|_A) =\operatorname{st}(E,\mathcal{U})\cap A$이다.

4. 모든 $x\in A$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}|_A) =\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\cap A$이다.

5. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 세분이면 $\mathcal{U}|_A$는 $\mathcal{V}|_A$의 세분이다.

6. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분이면 $\mathcal{U}|_A$는 $\mathcal{V}|_A$의 무게중심 세분이다.

7. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$의 성형세분이면 $\mathcal{U}|_A$는 $\mathcal{V}|_A$의 성형세분이다.

8. $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{V}$이면 $\mathcal{U}|_A\subseteq \mathcal{V}|_A$이다.

9. $(\mathcal{U}\cup \mathcal{V})|_A = \mathcal{U}|_A\cup \mathcal{V}|_A$

10. 균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$의 부분균등덮개공간 $(A,\mathbf{U}_A)$는 균등덮개공간이고

$\mathbf{B}_A = \{ \mathcal{U}|_A : \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$는 $(A,\mathbf{U}_A)$의 기저이다.

증명

1.

덮개의 정의로 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U\subseteq X$이므로

집합 정리로 $U\cap A\subseteq X\cap A = A$이고 축소덮개의 정의로 $U\cap A\in \mathcal{U}|_A$이다.

덮개의 정의로 모든 $x\in A\subseteq X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$에 대해 $x\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

축소덮개의 정의로 $x\in U\cap A\in \mathcal{U}|_A$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}|_A$이고 $A\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}|_A$가 되어 $\mathcal{U}|_A$는 $A$의 덮개이다

2.

모든 $x\in\operatorname{st}(E\cap A,\mathcal{U}|_A)$는 별의 정의로 $x\in U\cap A$이고 $(E\cap A)\cap (U\cap A)\ne \emptyset$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 

$x\in U\cap A\subseteq U$이고 $(E \cap A)\cap (U\cap A) =(E\cap U)\cap A\subseteq E\cap U$이므로 $E\cap U\ne \emptyset$이 되어

$x\in \operatorname{st}(E,\mathcal{U})\cap A$이고 $\operatorname{st}(E\cap A,\mathcal{U}|_A)\subseteq \operatorname{st}(E,\mathcal{U})\cap A$이다.

3.

$E\subseteq A\subseteq X$이므로 집합 정리로 $E\cap A = E$가 되어 2번으로 $\operatorname{st}(E,\mathcal{U}|_A)=\operatorname{st}(E\cap A,\mathcal{U}|_A)\subseteq \operatorname{st}(E,\mathcal{U})\cap A$이고

모든 $x\in \operatorname{st}(E,\mathcal{U})\cap A$에 대해 별의 정의로 $x\in U$이고 $E\cap U\ne \emptyset$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 

$x\in U\cap A$이고 $E\cap (U\cap A) =(E\cap A)\cap U =E\cap U \ne \emptyset$이므로 $U\cap A\in \mathcal{U}|_A$임에 따라

$x\in \operatorname{st}(E,\mathcal{U}|_A)$이고 $\operatorname{st}(E,\mathcal{U})\cap A\subseteq \operatorname{st}(E,\mathcal{U}|_A)$가 되어 집합 정리로 $\operatorname{st}(E,\mathcal{U}|_A) =\operatorname{st}(E,\mathcal{U})\cap A$이다.

4.

$\{ x\}\subseteq A$이므로 3번과 별의 정의로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}|_A)=\operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U}|_A) =\operatorname{st}(\{x\},\mathcal{U})\cap A = \operatorname{st}(x,\mathcal{U})\cap A$이다.

5.

$\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 세분이므로 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여

$U\cap A\in \mathcal{U}|_A$와 $V\cap A\in \mathcal{V}|_A$에 대해 $U\cap A\subseteq V\cap A$이므로 $\mathcal{U}|_A$는 $\mathcal{V}|_A$의 세분이다.

6.

$\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 무게중심 세분이므로 모든 $x\in A\subseteq X$에 대해 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여

$V\cap A\in \mathcal{V}|_A$에 대해 4번으로 $\operatorname{st}(x,\mathcal{U}|_A) =\operatorname{st}(x,\mathcal{U})\cap A\subseteq V\cap A$임에 따라 $\mathcal{U}|_A$는 $\mathcal{V}|_A$의 무게중심 세분이다.

7.

$\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 성형세분이므로 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $\operatorname{st}(U,\mathcal{U})\subseteq V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여

$U\cap A\in \mathcal{U}|_A$와 $V\cap A\in \mathcal{V}|_A$에 대해 2번으로 $\operatorname{st}(U\cap A,\mathcal{U}|_A)\subseteq \operatorname{st}(U,\mathcal{U})\cap A\subseteq V\cap A$임에 따라

$\mathcal{U}|_A$는 $\mathcal{V}|_A$의 성형세분이다.

8.

$\mathcal{U}\subseteq \mathcal{V}$이므로 모든 $U\in \mathcal{U}$는 $U\in \mathcal{V}$가 되어 $U\cap A\in \mathcal{V}|_A$임에 따라 $\mathcal{U}|_A\subseteq \mathcal{V}|_A$이다.

9.

덮개의 정의로 모든 $U\in \mathcal{U}$와 모든 $V\in \mathcal{V}$에 대해 $U\subseteq X$와 $V\subseteq X$가 성립하고

집합 정리로 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}\subseteq \bigcup (\mathcal{U}\cup \mathcal{V})$이므로 $\mathcal{U}\cup \mathcal{V}$는 $X$의 덮개이다.

$\mathcal{U}\subseteq \mathcal{U}\cup \mathcal{V}$이고 $\mathcal{V}\subseteq \mathcal{U}\cup \mathcal{V}$이므로

8번으로 $\mathcal{U}|_A\subseteq (\mathcal{U}\cup \mathcal{V})|_A$와 $\mathcal{V}|_A\subseteq (\mathcal{U}\cup \mathcal{V})|_A$가 성립하여 $\mathcal{U}|_A\cup \mathcal{V}|_A \subseteq (\mathcal{U}\cup \mathcal{V})|_A$이고 

모든 $W\in \mathcal{U}\cup \mathcal{V}$에 대해

$W\in \mathcal{U}$이면 $W\cap A \in \mathcal{U}|_A\subseteq \mathcal{U}|_A\cup \mathcal{V}|_A$이고 $W\in \mathcal{V}$이면 $W\cap A \in \mathcal{V}|_A\subseteq \mathcal{U}|_A\cup \mathcal{V}|_A$이므로 

$(\mathcal{U}\cup \mathcal{V})|_A \subseteq \mathcal{U}|_A\cup \mathcal{V}|_A$가 되어 집합 정리로 $(\mathcal{U}\cup \mathcal{V})|_A = \mathcal{U}|_A\cup \mathcal{V}|_A$이다.

10.

$A$의 모든 덮개들의 집합이 $\mathbf{C}_A$일때

균등덮개공간의 정의로 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$는 $X$의 덮개이므로 1번으로 $\mathcal{U}|_A\in \mathbf{B}_A$는 $A$의 덮개가 되어 $\mathbf{B}_A \subseteq \mathbf{C}_A$이다.

균등덮개공간의 정의로 $\mathbf{U}\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}|_A\in \mathbf{B}_A$임에 따라 $\mathbf{B}_A\ne \emptyset$이다.

균등덮개공간의 정의로 모든 $\mathcal{V},\mathcal{W}\in \mathbf{U}$에 대해 어떤 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하여 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V},\mathcal{W}$의 성형세분이므로

$\mathcal{U}|_A,\mathcal{V}|_A,\mathcal{W}|_A\in \mathbf{B}_A$에 대해 7번으로 $\mathcal{U}|_A$는 $\mathcal{V}|_A,\mathcal{W}|_A$의 성형세분이다.

따라서 부분균등덮개공간의 정의로 

$\mathbf{U}_A = \{ \mathcal{C}_A\in \mathbf{C}_A : \text{어떤 }\mathcal{U}\in \mathbf{U}\text{에 대해 } \mathcal{U}|_A\text{가 }\mathcal{C}_A\text{의 세분} \} = \{ \mathcal{C}_A \in \mathbf{C}_A : \text{어떤 }\mathcal{B}_A\in \mathbf{B}_A\text{가 }\mathcal{C}_A\text{의 세분}\}$이므로

균등덮개공간 정리로 $(A,\mathbf{U}_A)$는 균등덮개공간이고 $\mathbf{B}_A$는 $(A,\mathbf{U}_A)$의 기저이다.

 

 

 

정리3

균등공간 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합이 $\mathbf{U}$이고

임의의 $A\subseteq X$에 대해 $(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간 $(A,\mathcal{D}|_A)$에서 $A$의 모든 균등덮개들의 집합이 $\mathbf{U}|_A$일때

$(X,\mathbf{U})$의 부분균등덮개공간 $(A,\mathbf{U}_A)$에 대해 $\mathbf{U}_A \subseteq \mathbf{U}|_A$이다.

증명

부분균등덮개공간의 정의로 모든 $\mathcal{C}_A\in \mathbf{U}_A$에 대해 어떤 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$의 축소덮개 $\mathcal{U}|_A$가 $\mathcal{C}_A$의 세분이고

$\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로 어떤 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\{ D[x] : x\in X\}$가 $\mathcal{U}$의 세분이고

위 정리로 $\{ D|_A[x] : x\in A\} \subseteq \{ D[x] \cap A : x\in X\}$이므로

축소덮개의 정의와 위 정리로 $\{ D[x] \cap A : x\in X\}$가 $A$의 덮개임에 따라

덮개 정리로 $\{ D|_A[x] : x\in A\}$는 $ \{ D[x] \cap A : x\in X\}$의 세분이고

축소덮개의 정의와 위 정리로 $\{ D[x]\cap A: x\in X\}$가 $\mathcal{U}|_A$의 세분이므로

덮개 정리로 $\{ D|_A[x] : x\in A\}$는 $\mathcal{C}_A$의 세분이다.

부분균등공간의 정의로 $D|_A\in \mathcal{D}|_A$이므로 $\mathcal{C}_A$는 $(A,\mathcal{D}|_A)$에서 $A$의 균등덮개가 되어 $\mathcal{C}_A\in \mathbf{U}|_A$이고

$\mathbf{U}_A \subseteq \mathbf{U}|_A$이다.

 

 

 

정리4

균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간이 $(X,\mathcal{D})$이고

임의의 $A\subseteq X$에 대해 $(X,\mathbf{U})$의 부분균등덮개공간 $(A,\mathbf{U}_A)$의 생성균등공간이 $(A,\mathcal{D}_A)$일때

$(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간 $(A,\mathcal{D}|_A)$에 대해 $\mathcal{D}|_A = \mathcal{D}_A$이다.

증명

생성균등공간 정리로 임의의 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $E_\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2$일때 $\mathcal{E} = \{ E_\mathcal{U}:\mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이고

$\mathcal{U}$의 축소덮개 $\mathcal{U}|_A = \{ U\cap A: U\in \mathcal{U}\}$에 대해 축소관계의 정의와 집합 정리와 집합 정리로

$\begin{align*} E_\mathcal{U}|_A & = E_\mathcal{U} \cap A^2 \\[0.5em] & = \left (\bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2\right) \cap A^2 \\[0.5em]&= \bigcup_{U\in \mathcal{U}}(U^2\cap A^2) \\[0.5em]&= \bigcup_{U\in \mathcal{U}}((U\times U) \cap (A\times A)) \\[0.5em]&=\bigcup_{U\in \mathcal{U}}((U\cap A)\times (U\cap A)) \\[0.5em]&=\bigcup_{U_A\in \mathcal{U}|_A}(U_A\times U_A)\\[0.5em]&=\bigcup_{U_A\in \mathcal{U}|_A}U_A^2 \text{ 이다.} \end{align*}$

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 기저의 정의로 어떤 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하여 $E_\mathcal{U}\subseteq D$이므로 

부분균등공간의 정의와 축소관계의 정의로 $D|_A\in \mathcal{D}|_A$에 대해 $E_\mathcal{U}|_A =E_\mathcal{U}\cap A^2 \subseteq D\cap A^2= D|_A$이고

위 정리로 $\mathcal{U}|_A\in \mathbf{U}_A$이므로 생성균등공간 정리로 $E_\mathcal{U}|_A = \displaystyle \bigcup_{U_A\in \mathcal{U}|_A}U_A^2\in \mathcal{D}_A$임에 따라 

균등공간의 정의로 $D|_A\in \mathcal{D}_A$가 되어 $\mathcal{D}|_A \subseteq \mathcal{D}_A$이다.

모든 $D_A\in \mathcal{D}_A$는

위 정리와 생성균등공간 정리로 어떤 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$의 축소덮개 $\mathcal{U}|_A$에 대해 $\displaystyle E_\mathcal{U}|_A =\bigcup_{U_A\in \mathcal{U}|_A}U_A^2\subseteq D_A$이므로

기저의 정의와 부분균등공간의 정의로 $E_\mathcal{U}|_A\in \mathcal{D}|_A$임에 따라 균등공간의 정의로 $D_A\in \mathcal{D}|_A$이고 $\mathcal{D}_A \subseteq \mathcal{D}|_A$가 되어

집합 정리로 $\mathcal{D}|_A = \mathcal{D}_A$이다.

 

 

 

정리5

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고

임의의 $A\subseteq X$에 대해 $(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간 $(A,\mathcal{D}|_A)$의 균등위상공간이 $(A,\mathcal{T}_A)$일때

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(A,\mathcal{T}|_A)$에 대해 $\mathcal{T}|_A = \mathcal{T}_A$이다.

증명

모든 $O\in \mathcal{T}|_A$에 대해 위상공간 정리로 $O = U\cap A$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U$가 존재하여

모든 $x\in O = U\cap A\subseteq U$에 대해 균등위상공간의 정의로 $D[x]\subseteq U$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하고

$x\in U\cap A\subseteq A$임에 따라 위 정리로 $D|_A[x] = D[x]\cap A \subseteq U\cap A = O$이므로

부분균등공간의 정의로 $D|_A\in \mathcal{D}|_A$가 되어 균등위상공간의 정의로 $O\in \mathcal{T}_A$이고 $\mathcal{T}|_A \subseteq \mathcal{T}_A$이다.

$(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P})$일때 모든 $O\in \mathcal{T}_A$의 모든 $x\in O\subseteq A$에 대해

부분균등공간의 정의와 균등위상공간의 정의로 어떤 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $D|_A\in \mathcal{D}|_A$에 대해 $D|_A[x]\subseteq O$이므로

내부 정리로 $E = \underset{(X^2,\mathcal{P})}{\operatorname{int}}(D)$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이고 $E\subseteq D$가 되어

축소관계의 정의로 $E|_A = E\cap A^2\subseteq D\cap A^2 = D|_A$이고

위 정리와 관계 정리로 $E[x]\cap A=E|_A[x] \subseteq D|_A[x]\subseteq O$이므로

위상공간 정리로 $E[x]$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라 위상공간 정리로 $E[x]\cap A$는 $(A,\mathcal{T}|_A)$에서 열린집합이고

균등공간 정리로 $E\in \mathcal{D}$이므로 균등공간 정리로 $x\in E[x]\cap A \subseteq  O$가 되어

위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}|_A$임에 따라 $\mathcal{T}_A\subseteq \mathcal{T}|_A$이고 집합 정리로 $\mathcal{T}|_A = \mathcal{T}_A$이다.

 

 

 

정의2

임의의 집합 $X, Y$의 $2$-데카르트곱 $X^2,Y^2$와 함수 $f:X\to Y$에 대해 

모든 $(x,y)\in X^2$가 $P_{f}(x,y) = (f(x),f(y))$인 함수 $P_{f} : X^2\to Y^2$를 $f$의 곱함수(product function)로 정의한다.

 

 

 

정리6

임의의 집합 $X,Y$의 $2$-데카르트곱이 $X^2,Y^2$이고 함수 $f:X\to Y$의 곱함수가 $P_{f}:X^2\to Y^2$일때

모든 $U_X,V_X\subseteq X^2$와 모든 $U_Y,V_Y\subseteq Y^2$와 모든 $A_1,A_2\subseteq X$와 모든 집합 $B_1,B_2$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f(A_1)\times f(A_2)= P_f(A_1\times A_2)$이고 $f^{-1}(B_1)\times f^{-1}(B_2) = P_f^{-1}(B_1\times B_2)$이다.

2. $f$가 전사이기 위한 필요충분조건은 $P_f$가 전사인 것이다.

3. $f$가 단사이기 위한 필요충분조건은 $P_f$가 단사인 것이다.

4. $X,Y$의 대각관계 $\Delta_X,\Delta_Y$에 대해 $P_f(\Delta_X)\subseteq \Delta_Y$이고 $\Delta_X \subseteq P_{f}^{-1}(\Delta_{Y})$이다.

5. 합성관계에 대해 $P_f(U_X\circ V_X)\subseteq P_f(U_X)\circ P_f(V_X)$이고 $P_f^{-1}(U_Y)\circ P_f^{-1}(V_Y) \subseteq P_{f}^{-1}(U_Y\circ V_Y)$이다.

6. 역관계에 대해 $(P_f(U_X))^{-1} = P_{f}(U_X^{-1})$이고 $(P_f^{-1}(U_Y))^{-1} = P_{f}^{-1}(U_Y^{-1})$이다.

7. 임의의 집합 $Z$와 함수 $g:Y\to Z$의 곱함수 $P_g:Y^2\to Z^2$에 대해 

합성함수 $g \circ f : X\to Z$의 곱함수 $P_{g\circ f} :X^2\to Z^2$는 $P_{g\circ f} = P_g \circ P_f$이다.

8. $f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$가 존재하면

$P_f$의 역함수 $P_f^{-1}: Y^2\to X^2$가 존재하고 $f^{-1}$의 곱함수 $P_{f^{-1}} : Y^2\to X^2$에 대해 $P_f^{-1} = P_{f^{-1}}$이다.

9. $X$의 항등함수 $i_X:X\to X$의 곱함수 $P_{i_X}:X^2\to X^2$는 $X^2$의 항등함수 $i_{X^2}:X^2\to X^2$에 대해 $P_{i_X} = i_{X^2}$이다.

10. 임의의 $x\in X$와 관계의 상에 대해 $f(U_X[x])\subseteq (P_f(U_X))[f(x)]$이고 $f^{-1}(U_Y[f(x)]) =(P_f^{-1}(U_Y))[x]$이다.

증명

1.

모든 $(y_1,y_2) \in f(A_1)\times f(A_2)$에 대해 $y_1 =f(x_1)$이고 $y_2 = f(x_2)$인 $x_1\in A_1$과 $x_2\in A_2$가 존재하여

$(x_1,x_2)\in A_1\times A_2$에 대해 $(y_1,y_2) = (f(x_1),f(x_2)) = P_f(x_1,x_2)\in P_f(A_1\times A_2)$이므로

$f(A_1)\times f(A_2)\subseteq P_f(A_1\times A_2)$이다.

모든 $(y_1,y_2)\in P_f(A_1\times A_2)$에 대해

$(y_1,y_2) = P_f(x_1,x_2)$인 $(x_1,x_2)\in A_1\times A_2$가 존재하여 $(y_1,y_2) = P_f(x_1,x_2) = (f(x_1),f(x_2))$이고

$x_1\in A_1$과 $x_2\in A_2$에 대해 $y_1= f(x_1)\in f(A_1)$과 $y_2 = f(x_2)\in f(A_2)$가 성립함에 따라 

$(y_1,y_2)\in f(A_1)\times f(A_2)$가 되어 $P_f(A_1\times A_2)\subseteq f(A_1)\times f(A_2)$이므로

집합 정리로 $f(A_1)\times f(A_2)= P_f(A_1\times A_2)$이다.

모든 $(x_1,x_2)\in f^{-1}(B_1)\times f^{-1}(B_2)$에 대해 $x_1\in f^{-1}(B_1)$이고 $x_2\in f^{-1}(B_2)$이므로

$f(x_1)\in B_1$이고 $f(x_2)\in B_2$가 되어 $P_f(x_1,x_2)=(f(x_1),f(x_2))\in B_1\times B_2$이고

$(x_1,x_2)\in P_f^{-1}(B_1\times B_2)$임에 따라 $f^{-1}(B_1)\times f^{-1}(B_2) \subseteq P_f^{-1}(B_1\times B_2)$이다.

모든 $(x_1,x_2)\in P_f^{-1}(B_1\times B_2)$에 대해 $(f(x_1),f(x_2))=P_f(x_1,x_2) \in B_1\times B_2$이므로

$f(x_1)\in B_1$이고 $f(x_2)\in B_2$가 되어 $x_1\in f^{-1}(B_1)$이고 $x_2\in f^{-1}(B_2)$이므로

$(x_1,x_2)\in f^{-1}(B_1)\times f^{-1}(B_2)$임에 따라 $P_f^{-1}(B_1\times B_2)\subseteq f^{-1}(B_1)\times f^{-1}(B_2)$이고

집합 정리로 $f^{-1}(B_1)\times f^{-1}(B_2) = P_f^{-1}(B_1\times B_2)$이다.

2.

$f$가 전사이면 전사 정리로 $f(X) = Y$이므로 1번으로 $Y^2 =(f(X))^2= P_f(X^2)$가 되어 전사 정리로 $P_f$는 전사이다.

역으로 $P_f$가 전사이면 

모든 $y\in Y$에 대해 $(y,y)\in Y^2$이므로 전사의 정의로 $P_f(x_1,x_2) = (y,y)$인 $(x_1,x_2)\in X^2$가 존재하여

$(f(x_1),f(x_2))=P_f(x_1,x_2) = (y,y)$임에 따라 $x_1,x_2\in X$에 대해 $f(x_1) = y = f(x_2)$이므로 $f$는 전사이다.

3.

$f$가 단사이면 임의의 $(x_1,x_2),(x_3,x_4)\in X^2$에 대해 $P_f(x_1,x_2) = P_f(x_3,x_4)$일때

$(f(x_1),f(x_2))=P_f(x_1,x_2) = P_f(x_3,x_4) = (f(x_3),f(x_4))$이므로 $f(x_1) =f(x_3)$이고 $f(x_2) = f(x_4)$임에 따라

단사의 정의로 $x_1=x_3$이고 $x_2 = x_4$가 되어 $(x_1,x_2) = (x_3,x_4)$이므로 $P_f$는 단사이다.

역으로 $P_f$가 단사이면 임의의 $x_1 ,x_2\in X$에 대해 $f(x_1) = f(x_2)$일때

$P_f(x_1,x_1) = (f(x_1),f(x_1)) = (f(x_2),f(x_2)) = P_f(x_2,x_2)$이므로 단사의 정의로 $(x_1,x_1) = (x_2,x_2)$임에 따라

$x_1 = x_2$가 되어 $f$는 단사이다.

4.

모든 $(y_1,y_2)\in P_f(\Delta_X)$에 대해 대각관계의 정의로 $(y_1,y_2) = P_f(x,x)$인 $(x,x)\in \Delta_X$가 존재하여 

곱함수의 정의로 $(y_1,y_2) = P_f(x,x) = (f(x),f(x))\in \Delta_Y$이므로 $P_f(\Delta_X) \subseteq \Delta_Y$이다.

대각관계의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $(x,x)\in \Delta_X$이고 곱함수의 정의로 $P_{f}(x,x) = (f(x),f(x))\in \Delta_{Y}$이므로

$(x,x)\in P_{f}^{-1}(\Delta_{Y})$가 되어 $\Delta_X \subseteq P_{f}^{-1}(\Delta_{Y})$이다.

5.

모든 $(y_1,y_2)\in P_f(U_X\circ V_X)$에 대해

$(y_1,y_2)=P_f(x_1,x_2) = (f(x_1),f(x_2))$인 $(x_1,x_2)\in U_X\circ V_X$가 존재하여 

합성관계의 정의로 $(x_1,x_3)\in V_X$이고 $(x_3,x_2)\in U_X$인 $x_3\in X$이 존재하므로 

$(y_1,f(x_3))=(f(x_1),f(x_3))=P_f(x_1,x_3)\in P_f(V_X)$이고

$(f(x_3),y_2) =(f(x_3),f(x_2))=P_f(x_3,x_2)\in P_f(U_X)$임에 따라 

합성관계의 정의로 $(y_1,y_2)\in P_f(U_X)\circ P_f(V_X)$가 되어 $P_f(U_X\circ V_X) \subseteq P_f(U_X)\circ P_f(V_X)$이다.

모든 $(x_1,x_2)\in P_f^{-1}(U_Y)\circ P_f^{-1}(V_Y)$에 대해

합성관계의 정의로 $(x_1,x_3)\in P_f^{-1}(V_Y)$이고 $(x_3,x_2)\in P_f^{-1}(U_Y)$인 $x_3\in X$이 존재하여

$(f(x_1),f(x_3))=P_f(x_1,x_3)\in V_Y$이고 $(f(x_3),f(x_2))=P_f(x_3,x_2)\in U_Y$이므로

합성관계의 정의로 $P_f(x_1,x_2)=(f(x_1),f(x_2))\in U_Y\circ V_Y$임에 따라 $(x_1,x_2)\in P_f^{-1}(U_Y\circ V_Y)$이고

$P_f^{-1}(U_Y)\circ P_f^{-1}(V_Y) \subseteq P_{f}^{-1}(U_Y\circ V_Y)$이다.

6.

모든 $(y_1,y_2)\in (P_f(U_X))^{-1}$에 대해

역관계의 정의로 $(y_2,y_1)\in P_f(U_X)$이므로 $(y_2,y_1) = P_f(x_2,x_1) = (f(x_2),f(x_1))$인 $(x_2,x_1)\in U_X$이 존재하여 

역관계의 정의로 $(x_1,x_2)\in U_X^{-1}$이고 $(y_1,y_2)=(f(x_1),f(x_2))=P_f(x_1,x_2)\in P_f(U_X^{-1})$임에 따라 

$(P_f(U_X))^{-1}\subseteq P_f(U_X^{-1})$이다.

모든 $(y_1,y_2)\in P_f(U_X^{-1})$에 대해 $(y_1,y_2) = P_f(x_1,x_2) = (f(x_1),f(x_2))$인 $(x_1,x_2)\in U_X^{-1}$이 존재하여 

역관계의 정의로 $(x_2,x_1)\in U_X$이고 $(y_2,y_1)=(f(x_2),f(x_1))=P_f(x_2,x_1)\in P_f(U_X)$이므로 

역관계의 정의로 $(y_1,y_2)\in (P_f(U_X))^{-1}$임에 따라 $P_f(U_X^{-1})\subseteq (P_f(U_X))^{-1}$이고 

집합 정리로 $(P_f(U_X))^{-1}=P_f(U_X^{-1})$이다.

모든 $(x_1,x_2)\in (P_f^{-1}(U_Y))^{-1}$에 대해

역관계의 정의로 $(x_2,x_1)\in P_f^{-1}(U_Y)$이므로 $(f(x_2),f(x_1))=P_f(x_2,x_1)\in U_Y$가 되어 

역관계의 정의로 $P_f(x_1,x_2) = (f(x_1),f(x_2))\in U_Y^{-1}$이고 $(x_1,x_2)\in P_f^{-1}(U_Y^{-1})$임에 따라

$(P_f^{-1}(U_Y))^{-1} \subseteq P_{f}^{-1}(U_Y^{-1})$이다.

모든 $(x_1,x_2)\in P_{f}^{-1}(U_Y^{-1})$에 대해 $(f(x_1),f(x_2))=P_f(x_1,x_2)\in U_Y^{-1}$이므로 

역관계의 정의로 $P_f(x_2,x_1)=(f(x_2),f(x_1))\in U_Y$가 되어 $(x_2,x_1)\in P_f^{-1}(U_Y)$이고

역관계의 정의로 $(x_1,x_2)\in (P_f^{-1}(U_Y))^{-1}$이므로 $P_f(U^{-1})\subseteq (P_f^{-1}(U_Y))^{-1}$임에 따라

집합 정리로 $(P_f^{-1}(U_Y))^{-1} = P_{f}^{-1}(U_Y^{-1})$이다.

7.

모든 $(x_1,x_2)\in X^2$에 대해

$\begin{align*}P_{g\circ f}(x_1,x_2) &= ((g\circ f)(x_1),(g\circ f)(x_2)) \\[0.5em]&= (g(f(x_1)),g(f(x_2)) ) \\[0.5em]& = P_g(f(x_1),f(x_2)) \\[0.5em]&= P_g(P_f(x_1,x_2)) \\[0.5em]& = (P_g\circ P_f)(x_1,x_2) \text{ 이므로} \end{align*}$

$P_{g\circ f} = P_g \circ P_f$이다.

8.

$f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$가 존재하므로 역함수 정리로 $f$는 전단사가 되어

2, 3번으로 $P_f$가 전단사임에 따라 $P_f$의 역함수 $P_f^{-1} : Y^2\to X^2$가 존재한다.

모든 $(x_1,x_2)\in X^2$와 모든 $(y_1,y_2)\in Y^2$에 대해

$P_{f^{-1}}(P_f(x_1,x_2)) = P_{f^{-1}}(f(x_1),f(x_2)) = (f^{-1}(f(x_1)),f^{-1}(f(x_2))) = (x_1,x_2)$이고 

$P_f(P_{f^{-1}}(y_1,y_2)) = P_f(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2)) = (f(f^{-1}(y_1)),f(f^{-1}(y_2))) = (y_1,y_2)$이므로 

역함수의 정의와 역함수 정리로 $P_f^{-1} = P_{f^{-1}}$이다.

9.

항등함수의 정의로 모든 $(x_1,x_2)\in X^2$에 대해

$P_{i_X}(x_1,x_2) = (i_X(x_1),i_X(x_2)) = (x_1,x_2) = i_{X^2}(x_1,x_2)$이므로 $P_{i_X} = i_{X^2}$이다.

10.

모든 $y_0\in f(U_X[x])$은

$y_0 =f(x_0)$인 $x_0\in U_X[x]$이 존재하여 관계의 상의 정의로 $(x,x_0)\in U_X$이므로 

$(f(x),y_0)=(f(x),f(x_0))=P_f(x,x_0)\in P_f(U_X)$이고 관계의 상의 정의로 $y_0 \in (P_f(U_X))[f(x)]$임에 따라

$f(U_X[x])\subseteq (P_f(U_X))[f(x)]$이다.

모든 $x_0\in f^{-1}(U_Y[f(x)])$은

$f(x_0)\in U_Y[f(x)]$이므로 관계의 상의 정의로 $P_f(x,x_0)=(f(x),f(x_0))\in U_Y$이 되어

$(x,x_0)\in P_f^{-1}(U_Y)$이고 관계의 상의 정의로 $x_0\in (P_f^{-1}(U_Y))[x]$임에 따라 $f^{-1}(U_Y[f(x)])\subseteq (P_f^{-1}(U_Y))[x]$이다.

모든 $x_0\in (P_f^{-1}(U_Y))[x]$은

관계의 상의 정의로 $(x,x_0)\in P_f^{-1}(U_Y)$이므로 $(f(x),f(x_0))=P_f(x,x_0)\in U_Y$가 되어

관계의 상의 정의로 $f(x_0)\in U_Y[f(x)]$이고 $x_0\in f^{-1}(U_Y[f(x)])$임에 따라 $(P_f^{-1}(U_Y))[x] \subseteq f^{-1}(U_Y[f(x)])$이므로

집합 정리로 $f^{-1}(U_Y[f(x)])= (P_f^{-1}(U_Y))[x]$이다.

 

 

 

정의3

임의의 집합 $X$와 $I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해

균등공간 $(X_i,\mathcal{D}_i)$와 $X$에서 $X_i$로의 함수들의 공집합이 아닌 임의의 집합 $\mathcal{F}_i$가 유일하게 존재하고

$X,X_i$의 $2$-데카르트곱 $X^2,X_i^2$에 대해 임의의 $f_i\in \mathcal{F}_i$의 곱함수가 $P_{f_i} :X^2\to X_i^2$이고 $X^2$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X^2)$일때

$\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ P_{f_i}^{-1}(D_i): (D_i,f_i)\in \mathcal{D}_i\times \mathcal{F}_i\}$에 대해

$\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty\{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n\}$이고 $\mathcal{D} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 }B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq D \}$이면

$(X,\mathcal{D})$를 $\{(X_i, \mathcal{D}_i,\mathcal{F}_i) : i\in I \}$의 약한균등공간 또는 $I$-약한균등공간으로 정의한다.

 

 

 

정의4

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때 임의의 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{D}$에 대해

집합 $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty\{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n\}$가 $(X,\mathcal{D})$의 기저이면

$\mathcal{S}$를 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저로 정의한다.

 

 

 

정리7

임의의 집합 $X$의 $2$-데카르트곱 $X^2$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X^2)$이고

임의의 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{P}(X^2)$에 대해 $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty\{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n\}$일때 

합성관계와 역관계와 $X$의 대각관계 $\Delta_X$에 대해 아래 1, 2, 3, 4를 모두 만족하면

$\mathcal{D} = \{ D\in \mathcal{P}(X^2) : \text{어떤 }B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq D \}$인 $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이고 $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저이다.

1. $\mathcal{S}\ne \emptyset$

2. 모든 $S \in \mathcal{S}$에 대해 $\Delta_X \subseteq S$이다.

3. 모든 $S\in \mathcal{S}$에 대해 $R_S\circ R_S \subseteq S$인 $R_S\in \mathcal{S}$가 존재한다.

4. 모든 $S\in \mathcal{S}$에 대해 $R_S^{-1}\subseteq S$인 $R_S \in \mathcal{S}$가 존재한다.

증명

집합 정리로 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X^2)$이고 1번으로 $\mathcal{S}\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{B}\ne \emptyset$이다.

모든 $B \in \mathcal{B}$는 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B = S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n$인 $S_1,S_2,\cdots,S_n\in \mathcal{S}$이 존재하여

모든 $i= 1,2,\cdots, n$에 대해 2번으로 $\Delta_X \subseteq S_i$이므로 $\Delta_X\subseteq S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n = B$이다.

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 3번으로 $R_i\circ R_i \subseteq S_i$인 $R_i\in \mathcal{S}$가 존재하여 $A = R_1\cap R_2\cap \cdots \cap R_n$는 $A\in \mathcal{B}$이고

$A\subseteq R_i$이므로 관계 정리로 $A\circ A \subseteq R_i\circ R_i \subseteq S_i$가 되어 $A\circ A\subseteq S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n = B$이다.

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 4번으로 $R_i^{-1} \subseteq S_i$인 $R_i\in \mathcal{S}$가 존재하여 $A = R_1\cap R_2\cap \cdots \cap R_n$는 $A\in \mathcal{B}$이고

$A\subseteq R_i$이므로 관계 정리로 $A^{-1}\subseteq R_i^{-1} \subseteq S_i$가 되어 $A^{-1}\subseteq S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n = B$이다.

모든 $B_1, B_2\in \mathcal{B}$는 어떤 $m,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 

$B_1 = S_1\cap \cdots \cap S_m$이고 $B_2 = S_{m+1}\cap \cdots \cap S_{m+n}$인 $S_1,\cdots ,S_m,S_{m+1},\cdots,S_{m+n}\in \mathcal{S}$이 존재하여 

$B_1\cap B_2 = S_1\cap \cdots \cap S_m\cap S_{m+1}\cap \cdots \cap S_{m+n}\in \mathcal{B}$이므로

균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이고 $\mathcal{B}$가 $(X,\mathcal{D})$의 기저임에 따라 $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저이다.

 

 

 

정리8

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y),(Z,\mathcal{D}_Z)$에 대해 

함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이고

함수 $g:Y\to Z$가 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $(Z,\mathcal{D}_Z)$로의 균등연속함수이면 

합성함수 $g \circ f : X\to Z$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Z,\mathcal{D}_Z)$로의 균등연속함수이다.

증명

균등연속함수의 정의로 모든 $D_Z\in \mathcal{D}_Z$에 대해

모든 $(y_1,y_2)\in D_Y$가 $(g(y_1),g(y_2))\in D_Z$인 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하고

모든 $(x_1,x_2)\in D_X$가 $(f(x_1),f(x_2))\in D_Y$인 $D_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하므로 

$((g\circ f)(x_1),(g\circ f)(x_2))=(g(f(x_1)),g(f(x_2)))\in D_Z$가 되어

$g \circ f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Z,\mathcal{D}_Z)$로의 균등연속함수이다.

 

 

 

정리9

균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $(X,\mathcal{D})$의 기저 $\mathcal{A}$에 대해 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}$인 모든 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{D}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

2. 모든 $(X,\mathcal{D})$의 기저 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저이다.

3. 모든 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저 $\mathcal{R}$에 대해 $\mathcal{R} \subseteq \mathcal{S}$인 모든 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{D}$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저이다.

4. $(X,\mathcal{D})$의 기저 $\mathcal{B}$와 부분균등공간 $(Y,\mathcal{D}|_Y)$에 대해 $\mathcal{B}|_Y = \{ B|_Y : B\in \mathcal{B}\}$는 $(Y,\mathcal{D}|_Y)$의 기저이다.

5. $(X,\mathcal{D})$의 부분기저 $\mathcal{S}$와 부분균등공간 $(Y,\mathcal{D}|_Y)$에 대해 $\mathcal{S}|_Y = \{ S|_Y : S\in \mathcal{S}\}$는 $(Y,\mathcal{D}|_Y)$의 부분기저이다.

증명

1.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 기저의 정의로 $A\subseteq D$인 $A\in \mathcal{A}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하므로 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이다.

2.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $B_1,B_2,\cdots, B_n\in \mathcal{B} \subseteq \mathcal{D}$에 대해 균등공간의 정의로 $B_1\cap B_2\cap \cdots \cap B_n\in \mathcal{D}$이고

$1$-데카르트곱의 정의로 $\mathcal{B}^1 = \mathcal{B}$이므로 

$\mathcal{B} = \{ B_1: B_1\in \mathcal{B}\} \subseteq \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ B_1\cap B_2\cap \cdots \cap B_n : (B_1,B_2,\cdots,B_n)\in \mathcal{B}^n \} \subseteq \mathcal{D}$임에 따라 

1번으로 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ B_1\cap B_2\cap \cdots \cap B_n : (B_1,B_2,\cdots,B_n)\in \mathcal{B}^n \}$은 $(X,\mathcal{D})$의 기저이고 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저이다.

3.

부분기저의 정의로 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ R_1\cap R_2\cap \cdots \cap R_n : (R_1,R_2,\cdots,R_n)\in \mathcal{R}^n \}$은 $(X,\mathcal{D})$의 기저이고 

$\mathcal{R}\subseteq \mathcal{S}$임에 따라 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n$-데카르트곱의 정의로 $\mathcal{R}^n\subseteq \mathcal{S}^n$이 되어

$\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ R_1\cap R_2\cap \cdots \cap R_n : (R_1,R_2,\cdots,R_n)\in \mathcal{R}^n \} \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n: (S_1,S_2,\cdots, S_n)\in \mathcal{S}^n\} \text{ 이므로}$

1번으로 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n \}$은 $(X,\mathcal{D})$의 기저이고 $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저이다.

4.

기저의 정의와 부분균등공간의 정의로 모든 $B\in \mathcal{B} \subseteq \mathcal{D}$는 $B|_Y\in \mathcal{D}|_Y$이므로 $\mathcal{B}|_Y\subseteq \mathcal{D}|_Y$이고 

부분균등공간의 정의로 모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 $D|_Y\in \mathcal{D}|_Y$이므로 기저의 정의로 $B\subseteq D$인 $B\in \mathcal{B}$가 존재하여

$B|_Y\in \mathcal{B}|_Y$이고 축소관계의 정의로 $B|_Y = B\cap Y^2 \subseteq D\cap Y^2 = D|_Y$임에 따라 $\mathcal{B}|_Y$는 $(Y,\mathcal{D}|_Y)$의 기저이다.

5.

부분기저의 정의와 부분균등공간의 정의로 모든 $S\in \mathcal{S} \subseteq \mathcal{D}$는 $S|_Y\in \mathcal{D}|_Y$이므로 $\mathcal{S}|_Y\subseteq \mathcal{D}|_Y$이고 

부분기저의 정의로 $\mathcal{B} =\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n \}$는 $(X,\mathcal{D})$의 기저이므로

4번으로 $\mathcal{B}|_Y = \{ B|_Y : B\in \mathcal{B}\}$는 $(Y,\mathcal{D}|_Y)$의 기저이고 위 정리로

$\begin{align*} \mathcal{B}|_Y &=\bigcup_{n=1}^\infty \{ (S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n)|_Y : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n \} \\[0.5em] &=\bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1|_Y\cap S_2|_Y\cap \cdots \cap S_n|_Y : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n \} \\[0.5em] &=\bigcup_{n=1}^\infty \{ R_1\cap R_2\cap \cdots \cap R_n : (R_1,R_2,\cdots,R_n)\in \mathcal{S}|_Y^n \}\text{ 이 되어} \end{align*}$

$\mathcal{S}|_Y$는 $(Y,\mathcal{D}|_Y)$의 부분기저이다.

 

 

 

정리10

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 함수 $f:X\to Y$의 곱함수가 $P_f:X^2\to Y^2$일때 다음은 동치이다.

1. $f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

2. 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $P_f^{-1}(D_Y)\in \mathcal{D}_X$이다.

3. 모든 $B\in \mathcal{B}$에 대해 $P_f^{-1}(B)\in \mathcal{D}_X$인 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재한다.

4. 모든 $S\in \mathcal{S}$에 대해 $P_f^{-1}(S)\in \mathcal{D}_X$인 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 부분기저 $\mathcal{S}$가 존재한다.

증명

$1\to 2$

$f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이므로 

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 모든 $(x_1,x_2)\in D_X$가 $(f(x_1),f(x_2))\in D_Y$인 $D_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하여

곱함수의 정의로 $P_f(x_1,x_2) = (f(x_1),f(x_2))\in D_Y$이므로 $(x_1,x_2)\in P_f^{-1}(D_Y)$이고

$D_X\subseteq P_f^{-1}(D_Y)\subseteq X^2$임에 따라 균등공간의 정의로 $P_f^{-1}(D_Y)\in \mathcal{D}_X$이다.

$2\to 3$

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $D_Y\subseteq D_Y$이므로 $\mathcal{D}_Y$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 기저이고 $P_f^{-1}(D_Y)\in \mathcal{D}_X$이다.

$3\to 4$

위 정리로 $\mathcal{B}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 부분기저이고 모든 $B\in \mathcal{B}$에 대해 $P_f^{-1}(B)\in \mathcal{D}_X$이다.

$4\to 1$

부분기저의 정의로 $\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots,S_n)\in \mathcal{S}^n \}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 기저이므로 

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n \subseteq D_Y$인 $S_1,S_2,\cdots,S_n\in \mathcal{S}$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $P_f^{-1}(S_i)\in \mathcal{D}_X$이므로

함수 정리와 균등공간의 정의로 $P_f^{-1}(S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n)=P_f^{-1}(S_1)\cap P_f^{-1}(S_2)\cap \cdots \cap P_f^{-1}(S_n)\in \mathcal{D}_X$이고 

모든 $(x_1,x_2)\in P_f^{-1}(S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n) \subseteq P_f^{-1}(D_Y)$에 대해 $(f(x_1),f(x_2))=P_f(x_1,x_2)\in D_Y$임에 따라 

$f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

 

 

 

정리11

임의의 집합 $X$와 $I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해

균등공간 $(X_i,\mathcal{D}_i)$와 $X$에서 $X_i$로의 함수들의 공집합이 아닌 임의의 집합 $\mathcal{F}_i$가 유일하게 존재할때

임의의 $f_i\in \mathcal{F}_i$의 곱함수 $P_{f_i}:X^2\to X_i^2$와 $\{(X_i, \mathcal{D}_i,\mathcal{F}_i) : i\in I \}$의 약한균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이다.

2. $\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ P_{f_i}^{-1}(D_i): (D_i,f_i)\in \mathcal{D}_i\times \mathcal{F}_i\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저이다.

3. 모든 $i\in I$에 대해 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X_i,\mathcal{D}_i)$로의 균등연속함수이다.

4. 모든 균등공간 $(X,\mathcal{E})$와 모든 $i\in I$에 대해

모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$가 $(X,\mathcal{E})$에서 $(X_i,\mathcal{D}_i)$로의 균등연속함수이면 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{E}$이다.

5. 임의의 균등공간이 $(C,\mathcal{D}_C)$일때

함수 $f: C\to X$가 $(C,\mathcal{D}_C)$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등연속함수이기 위한 필요충분조건은 

모든 $i\in I$와 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$에 대해 합성함수 $f_i\circ f : C\to X_i$가 $(C,\mathcal{D}_C)$에서 $(X_i,\mathcal{D}_i)$로의 균등연속함수인 것이다.

증명

1, 2

$X^2$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X^2)$이고 $\mathcal{S} = \displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ P_{f_i}^{-1}(D_i): (D_i,f_i)\in \mathcal{D}_i\times \mathcal{F}_i\}$일때

모든 $i\in I$에 대해 균등공간의 정의로 모든 $D_i\in \mathcal{D_i}$는 $D_i\subseteq X_i^2$이므로

모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$에 대해 곱함수의 정의로 $P_{f_i}^{-1}(D_i)\subseteq X^2$가 되어 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{P}(X^2)$이다.

$I\ne \emptyset$이므로 $i\in I$가 존재하여 균등공간의 정의로 $\mathcal{D}_i\ne \emptyset$이고 $\mathcal{F}_i\ne \emptyset$이므로

$D_i\in \mathcal{D}_i$와 $f_i\in \mathcal{F}_i$가 존재하여 $P_{f_i}^{-1}(D_i)\in \mathcal{S}$임에 따라 $\mathcal{S}\ne \emptyset$이다.

$X,X_i$의 대각관계가 $\Delta_X,\Delta_{X_i}$일때

균등공간의 정의로 $\Delta_{X_{i}} \subseteq D_{i}$이므로 위 정리로 $\Delta_X \subseteq P_{f_{i}}^{-1}(\Delta_{X_{i}}) \subseteq P_{f_{i}}^{-1}(D_{i})$이다.

균등공간의 정의로 $E_{i}\circ E_{i} \subseteq D_{i}$인 $E_{i}\in \mathcal{D}_{i}$가 존재하므로

$P_{f_i}^{-1}(E_i)\in \mathcal{S}$에 대해 위 정리로 $P_{f_{i}}^{-1}(E_{i})\circ P_{f_{i}}^{-1}(E_{i}) \subseteq P_{f_{i}}^{-1}(E_{i}\circ E_{i})\subseteq P_{f_{i}}^{-1}(D_{i})$이다.

균등공간의 정의로 $E_{i}^{-1}\subseteq D_{i}$인 $E_{i}\in \mathcal{D}_{i}$가 존재하므로 

$P_{f_i}^{-1}(E_i)\in \mathcal{S}$에 대해 위 정리로 $(P_{f_{i}}^{-1}(E_{i}))^{-1} = P_{f_{i}}^{-1}(E_{i}^{-1}) \subseteq P_{f_{i}}^{-1}(D_{i})$이다.

따라서 약한균등공간의 정의와 위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이고 $\mathcal{S}$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저이다.

3.

모든 $i\in I$에 대해 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$와 모든 $D_i\in \mathcal{D}_i$는 2번과 부분기저의 정의로 $P_{f_i}^{-1}(D_i)\in \mathcal{D}$이므로 

모든 $(x,y)\in P_{f_i}^{-1}(D_i)$에 대해 곱함수의 정의로 $(f_i(x),f_i(y))=P_{f_i}(x,y)\in D_i$가 되어

$f_i$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X_i,\mathcal{D}_i)$로의 균등연속함수이다.

4.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 2번과 부분기저의 정의로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

어떤 $i_1,i_2,\cdots,i_n\in I$에 대해 $P_{f_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{f_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) \subseteq D$인 

$(f_{i_1},f_{i_2},\cdots,f_{i_n})\in \mathcal{F}_{i_1}\times \mathcal{F}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{F}_{i_n}$과 $(D_{i_1},D_{i_2},\cdots,D_{i_n})\in \mathcal{D}_{i_1}\times \mathcal{D}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{D}_{i_n}$이 존재하고

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $f_{i_k}$는 $(X,\mathcal{E})$에서 $(X_{i_k},\mathcal{D}_{i_k})$로의 균등연속함수이므로 

어떤 $E_{i_k}\in \mathcal{E}$가 존재하여 모든 $(x,y) \in E_{i_k}$에 대해 $(f_{i_k}(x),f_{i_k}(y))\in D_{i_k}$이고

곱함수의 정의로 $P_{f_{i_k}}(x,y)=(f_{i_k}(x),f_{i_k}(y))\in D_{i_k}$임에 따라 $(x,y)\in P_{f_{i_k}}^{-1}(D_{i_k})$가 되어 $E_{i_k}\subseteq P_{f_{i_k}}^{-1}(D_{i_k})$이고 

균등공간의 정의로 $E_{i_1}\cap E_{i_2}\cap \cdots \cap E_{i_n}\in \mathcal{E}$이므로 

$E_{i_1}\cap E_{i_2}\cap \cdots \cap E_{i_n}\subseteq P_{f_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{f_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) \subseteq D$임에 따라 

균등공간의 정의로 $D\in \mathcal{E}$가 되어 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{E}$이다.

5.

$f$가 $(C,\mathcal{D}_C)$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등연속함수이면

3번과 위 정리로 모든 $i\in I$와 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$에 대해 $f_i\circ f $는 $(C,\mathcal{D}_C)$에서 $(X_i,\mathcal{D}_i)$로의 균등연속함수이다.

역으로 모든 $i\in I$와 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$에 대해 $f_i\circ f $가 $(C,\mathcal{D}_C)$에서 $(X_i,\mathcal{D}_i)$로의 균등연속함수이면

$f$의 곱함수가 $P_{f}:C^2\to X^2$이고 $f_i\circ f$의 곱함수가 $P_{f_i\circ f}: C^2\to X_i^2$일때 모든 $D_i\in \mathcal{D}_i$에 대해

함수 정리와 위 정리와 위 정리로 $P_f^{-1}(P_{f_i}^{-1}(D_i)) = (P_{f_i}\circ P_f)^{-1}(D_i) = P_{f_i\circ f}^{-1}(D_i)\in \mathcal{D}_C$이므로 

2번으로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ P_{f_i}^{-1}(D_i): (D_i,f_i)\in \mathcal{D}_i\times \mathcal{F}_i\}$가 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저임에 따라

위 정리로 $f$는 $(C,\mathcal{D}_C)$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등연속함수이다.

 

 

 

정리12

임의의 집합 $X$와 $I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 

균등공간 $(X_i,\mathcal{D}_i)$와 $X$에서 $X_i$로의 함수들의 공집합이 아닌 임의의 집합 $\mathcal{F}_i$가 유일하게 존재할때

$\{(X_i, \mathcal{D}_i,\mathcal{F}_i) : i\in I \}$의 약한균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$는 

$(X_i,\mathcal{D}_i)$의 균등위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$와 $\{(X_i, \mathcal{T}_i,\mathcal{F}_i) : i\in I \}$의 약한위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $\mathcal{T}_\mathcal{D}= \mathcal{T}$이다.

증명

위 정리로 모든 $i\in I$에 대해 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X_i,\mathcal{D}_i)$로의 균등연속함수이므로

균등연속 정리로 $f_i$는 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수가 되어 약한위상공간 정리로 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}_\mathcal{D}$이다.

임의의 $i\in I$에 대해 $f_i$의 곱함수가 $P_{f_i}: X^2\to X_i^2$일때

모든 $O\in \mathcal{T}_\mathcal{D}$의 모든 $x\in O$에 대해 균등위상공간의 정의로 $D[x]\subseteq O$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하고

위 정리로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $i_1,i_2,\cdots ,i_n\in I$이 존재하여 $P_{f_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{f_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) \subseteq D$인 

$(f_{i_1},f_{i_2},\cdots,f_{i_n})\in \mathcal{F}_{i_1}\times \mathcal{F}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{F}_{i_n}$과 $(D_{i_1},D_{i_2},\cdots,D_{i_n})\in \mathcal{D}_{i_1}\times \mathcal{D}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{D}_{i_n}$이 존재하므로

모든 $k=1,2,\cdots, n$에 대해 $(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})$의 $2$-곱공간이 $(X_{i_k}^2,\mathcal{P}_{i_k})$일때 

내부 정리로 $E_{i_k} = \underset{(X_{i_k}^2,\mathcal{P}_{i_k})}{\operatorname{int}}(D_{i_k})$는 $(X_{i_k}^2,\mathcal{P}_{i_k})$에서 열린집합이고 $E_{i_k}\subseteq D_{i_k}$가 되어 위 정리와 관계 정리로

$\begin{align*} f_{i_1}^{-1}(E_{i_1}[f_{i_1}(x)])\cap f_{i_2}^{-1}(E_{i_2}[f_{i_2}(x)])\cap \cdots \cap f_{i_n}^{-1}(E_{i_n}[f_{i_n}(x)]) & = (P_{f_{i_1}}^{-1}(E_{i_1}))[x] \cap (P_{f_{i_2}}^{-1}(E_{i_2}))[x]\cap \cdots \cap (P_{f_{i_n}}^{-1}(E_{i_n}))[x] \\[0.5em] & =(P_{f_{i_1}}^{-1}(E_{i_1}) \cap P_{f_{i_2}}^{-1}(E_{i_2})\cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(E_{i_n}))[x] \\[0.5em] & \subseteq ( P_{f_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{f_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) )[x] \\[0.5em] & \subseteq D[x] \\[0.5em] & \subseteq O\text{ 이고} \end{align*}$

균등공간 정리로 $E_{i_k}\in \mathcal{D}_{i_k}$이므로 균등공간 정리로 $f_{i_k}(x)\in E_{i_k}[f_{i_k}(x)]$가 되어 $x\in f_{i_k}^{-1}(E_{i_k}[f_{i_k}(x)])$이고

위상공간 정리로 $E_{i_k}[f_{i_k}(x)]$가 $(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})$에서 열린집합임에 따라

약한위상공간 정리로 $x\in f_{i_1}^{-1}(E_{i_1}[f_{i_1}(x)])\cap f_{i_2}^{-1}(E_{i_2}[f_{i_2}(x)])\cap \cdots \cap f_{i_n}^{-1}(E_{i_n}[f_{i_n}(x)]) \in \mathcal{T}$이므로 

위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{T}_\mathcal{D}\subseteq \mathcal{T}$이고 집합 정리로 $\mathcal{T}_\mathcal{D}= \mathcal{T}$이다.

 

 

 

정의5

임의의 양의 정수 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 집합 $X_1,X_2,\cdots,X_n$의 $n$-데카르트곱이 $X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$일때

좌표 쌍사영함수(coordinate biprojection map) :

임의의 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $i$-좌표 사영함수가 $p_i : X\to X_i$이고 $X,X_i$의 $2$-데카르트곱이 $X^2,X_i^2$이면 

모든 $(x,y)\in X$에 대해 $b_i(x,y) = (p_i(x),p_i(y))$인 함수 $b_i : X^2\to X_i^2$를 $X$의 $i$-좌표 쌍사영함수로 정의한다.

유한 곱균등공간 :

임의의 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 균등공간이 $(X_i,\mathcal{D}_i)$이면 

$\{(X_i, \mathcal{D}_i,\{ p_i\}) : i=1,2,\cdots,n \}$의 약한균등공간 $(X,\mathcal{D})$를

$(X_1,\mathcal{D}_1),(X_2,\mathcal{D}_2),\cdots,(X_n,\mathcal{D}_n)$의 $n$-곱균등공간으로 정의한다.

 

 

 

정리13

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 집합 $X_1,X_2,\cdots,X_n$의 $n$-데카르트곱이 $X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$이고

임의의 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $i$-좌표 사영함수가 $p_i : X\to X_i$이고 $i$-좌표 쌍사영함수가 $b_i:X^2\to X_i^2$일때 

균등공간 $(X_1,\mathcal{D}_1),(X_2,\mathcal{D}_2),\cdots,(X_n,\mathcal{D}_n)$의 $n$-곱균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이다.

2. $\displaystyle \bigcup_{k=1}^n\{ b_k^{-1}(D_k): D_k\in \mathcal{D}_k \}$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저이다.

3. 모든 $k=1,2,\cdots, n$에 대해 $p_k$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X_k,\mathcal{D}_k)$로의 균등연속함수이다.

4. 임의의 균등공간이 $(C,\mathcal{D}_C)$일때

함수 $f: C\to X$가 $(C,\mathcal{D}_C)$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등연속함수이기 위한 필요충분조건은 

모든 $k=1,2,\cdots, n$에 대해 합성함수 $p_k\circ f : C\to X_k$가 $(C,\mathcal{D}_C)$에서 $(X_k,\mathcal{D}_k)$로의 균등연속함수인 것이다.

증명

모든 $k=1,2,\cdots, n$에 대해 $p_k$의 곱함수가 $P_{p_k}: X^2\to X_k^2$일때

모든 $(x,y)\in X^2$에 대해 $b_k(x,y) = (p_k(x),p_k(y)) = P_{p_k}(x,y)$이므로 $b_k=P_{p_k}$이다.

유한 곱균등공간의 정의로 $(X,\mathcal{D})$는 $\{(X_i, \mathcal{D}_i,\{ p_i\}) : i=1,2,\cdots,n \}$의 약한균등공간이므로

위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이다.

$\displaystyle \bigcup_{k=1}^n\{ b_k^{-1}(D_k): D_k\in \mathcal{D}_k \} = \bigcup_{k=1}^n \{ P_{p_k}^{-1}(D_k): D_k\in \mathcal{D}_k\} = \bigcup_{k=1}^n \{ P_{f_k}^{-1}(D_k):(D_k,f_k)\in \mathcal{D}_k\times \{ p_k\}\}$이므로

위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^n\{ b_k^{-1}(D_k): D_k\in \mathcal{D}_k \}$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저이고 위 정리로 3, 4번이 성립한다.

 

 

 

정리14

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 집합 $X_1,X_2,\cdots,X_n$의 $n$-데카르트곱이 $X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$이고

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 균등공간 $(X_i,\mathcal{D}_i)$의 균등위상공간이 $(X_i,\mathcal{T}_i)$일때

$(X_1,\mathcal{D}_1),(X_2,\mathcal{D}_2),\cdots,(X_n,\mathcal{D}_n)$의 $n$-곱균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$는 

$(X_1, \mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots,(X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n$-곱공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $\mathcal{T}_\mathcal{D}= \mathcal{T}$이다.

증명

유한 곱균등공간의 정의와 유한 곱공간 정리와 위 정리로 정리가 성립한다.

 

 

 

정의6

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 집합 $X_i$가 존재하고 일반 데카르트곱이 $X=\displaystyle \prod_{i\in I}X_i$일때

좌표 쌍사영함수(coordinate biprojection map) :

$i$-좌표 사영함수가 $p_i : X\to X_i$이고 $X,X_i$의 $2$-데카르트곱이 $X^2,X_i^2$이면 

모든 $(x,y)\in X$에 대해 $b_i(x,y) = (p_i(x),p_i(y))$인 함수 $b_i : X^2\to X_i^2$를 $X$의 $i$-좌표 쌍사영함수로 정의한다.

일반 곱균등공간 :

모든 $i\in I$에 대해 균등공간 $(X_i,\mathcal{D}_i)$가 유일하게 존재하면 

$\{(X_i, \mathcal{D}_i,\{ p_i\}) : i\in I \}$의 약한균등공간 $(X,\mathcal{D})$를

$\{(X_i,\mathcal{D}_i) : i\in I \}$의 곱균등공간 또는 일반 곱균등공간 또는 $I$-일반 곱균등공간으로 정의한다.

 

 

 

정리15

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 균등공간 $(X_i,\mathcal{D}_i)$가 존재하고

일반 데카르트곱 $X=\displaystyle \prod_{i\in I}X_i$에 대해 $i$-좌표 사영함수가 $p_i : X\to X_i$이고 $i$-좌표 쌍사영함수가 $b_i:X^2\to X_i^2$일때 

$\{(X_i,\mathcal{D}_i) : i\in I \}$의 일반 곱균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이다.

2. $\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ b_i^{-1}(D_i): D_i\in \mathcal{D}_i \}$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저이다.

3. 모든 $i\in I$에 대해 $p_i$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X_i,\mathcal{D}_i)$로의 균등연속함수이다.

4. 임의의 균등공간이 $(C,\mathcal{D}_C)$일때

함수 $f: C\to X$가 $(C,\mathcal{D}_C)$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등연속함수이기 위한 필요충분조건은 

모든 $i\in I$에 대해 합성함수 $p_i\circ f : C\to X_i$가 $(C,\mathcal{D}_C)$에서 $(X_i,\mathcal{D}_i)$로의 균등연속함수인 것이다.

증명

모든 $i\in I$에 대해 $p_i$의 곱함수가 $P_{p_i}: X^2\to X_i^2$일때

모든 $(x,y)\in X^2$에 대해 $b_i(x,y) = (p_i(x),p_i(y)) = P_{p_i}(x,y)$이므로 $b_i=P_{p_i}$이다.

일반 곱균등공간의 정의로 $(X,\mathcal{D})$는 $\{(X_i, \mathcal{D}_i,\{ p_i\}) : i\in I \}$의 약한균등공간이므로

위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 균등공간이다.

$\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ b_i^{-1}(D_i): D_i\in \mathcal{D}_i \} = \bigcup_{i\in I} \{ P_{p_i}^{-1}(D_i): D_i\in \mathcal{D}_i\} = \bigcup_{i\in I} \{ P_{f_i}^{-1}(D_i):(D_i,f_i)\in \mathcal{D}_i\times \{ p_i\}\}$이므로

위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ b_i^{-1}(D_i): D_i\in \mathcal{D}_i \}$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저이고 위 정리로 3, 4번이 성립한다.

 

 

 

정리16

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 균등공간 $(X_i,\mathcal{D}_i)$가 존재할때

$(X_i,\mathcal{D}_i)$의 균등위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$와 일반 데카르트곱 $X=\displaystyle \prod_{i\in I}X_i$에 대해

$\{(X_i,\mathcal{D}_i) : i\in I \}$의 일반 곱균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$는 

$\{(X_i, \mathcal{T}_i) :i\in I\}$의 일반 곱공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $\mathcal{T}_\mathcal{D}= \mathcal{T}$이다.

증명

일반 곱균등공간의 정의와 일반 곱공간 정리와 위 정리로 정리가 성립한다.

 

 

 

정의7

균등공간이 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$일때

균등동형사상(uniform isomorphism) :

전단사함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이고

$f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $(X,\mathcal{D}_X)$로의 균등연속함수이면

$f$를 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등동형사상으로 정의한다.

$(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등동형사상이 존재하면 $(X,\mathcal{D}_X)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$를 균등동형이라 정의한다.

균등매장(uniform embedding) :

함수 $e:X\to Y$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 부분균등공간 $(e(X),\mathcal{D}_Y|_{e(X)})$에 대해 

모든 $x\in X$가 $f(x) = e(x)$인 함수 $f:X\to e(X)$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(e(X),\mathcal{D}_Y|_{e(X)})$로의 균등동형사상이면

$e$를 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등매장으로 정의한다.

 

 

 

정리17

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$의 부분균등공간이 $(A,\mathcal{D}_X|_A),(B,\mathcal{D}_Y|_B)$일때

함수 $f:X\to Y$와 함수 $g:A\to B$와 함수 $h :A\to Y$가 

모든 $x\in A$에 대해 $f(x) = g(x) = h(x)$이면 다음이 성립한다.

1. $f$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이면 $g$는 $(A,\mathcal{D}_X|_A)$에서 $(B,\mathcal{D}_Y|_B)$로의 균등연속함수이다.

2. $g$가 $(A,\mathcal{D}_X|_A)$에서 $(B,\mathcal{D}_Y|_B)$로의 균등연속함수이기 위한 필요충분조건은

$h$가 $(A,\mathcal{D}_X|_A)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수인 것이다.

증명

1.

부분균등공간의 정의로 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $D_Y|_B\in \mathcal{D}_Y|_B$이고 균등연속함수의 정의로

모든 $(x_1,x_2)\in D_X$가 $(f(x_1),f(x_2))\in D_Y$인 $D_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하므로 $D_X|_A\in\mathcal{D}_X|_A$가 되어 축소관계의 정의로

모든 $(x_1,x_2)\in D_X|_A = D_X\cap A^2 \subseteq D_X$는 $x_1,x_2\in A$임에 따라 $f(x_1) = g(x_1), f(x_2)=g(x_2)\in B$이고

$(g(x_1),g(x_2)) = (f(x_1),f(x_2))\in D_Y$이므로 $(g(x_1),g(x_2))\in D_Y\cap B^2=D_Y|_B$가 되어

$g$는 $(A,\mathcal{D}_X|_A)$에서 $(B,\mathcal{D}_Y|_B)$로의 균등연속함수이다.

2.

$g$가 $(A,\mathcal{D}_X|_A)$에서 $(B,\mathcal{D}_Y|_B)$로의 균등연속함수이면

부분균등공간의 정의로 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $D_Y|_B\in \mathcal{D}_Y|_B$이고 균등연속함수의 정의로

모든 $(x_1,x_2)\in D_X|_A$가 $(g(x_1),g(x_2))\in D_Y|_B$인 $D_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하므로 $x_1,x_2\in A$임에 따라

축소관계의 정의로 $(h(x_1),h(x_2)) =(g(x_1),g(x_2))\in D_Y|_B = D_Y\cap B^2 \subseteq D_Y$가 되어 

$h$는 $(A,\mathcal{D}_X|_A)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

역으로 $h$가 $(A,\mathcal{D}_X|_A)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이면

1번으로 $g$는 $(A,\mathcal{D}_X|_A)$에서 $(B,\mathcal{D}_Y|_B)$로의 균등연속함수이다.

 

 

 

정리18

균등공간 $(X,\mathcal{D})$와 $X$의 항등함수 $i_X : X\to X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $i_X$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등연속함수이다.

2. $i_X$의 역함수 $i_X^{-1} : X\to X$은 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등연속함수이다.

3. 임의의 $A\subseteq X$에 대해 $(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간이 $(A,\mathcal{D}|_A)$일때

$A$에서 $X$로의 포함사상 $\iota :A\to X$는 $(A,\mathcal{D}|_A)$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등매장이다.

4. $i_X$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등매장이다.

증명

1.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 모든 $(x,y)\in D$는 항등함수의 정의로 $(i_X(x),i_X(y))=(x,y) \in D$이므로

$i_X$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등연속함수이다.

2.

항등함수 정리와 1번으로 $i_X^{-1} = i_X$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등연속함수이다.

3.

포함사상 정리로 모든 $x\in A$에 대해 $i_A(x) = \iota(x)$인 함수 $i_A:A\to \iota(A)$는 $A$의 항등함수이고 $\iota(A) =A$이므로

1, 2번으로 $i_A$는 $(A,\mathcal{D}|_A)$에서 $(A,\mathcal{D}|_A) = (\iota(A),\mathcal{D}|_{\iota(A)})$로의 균등동형사상이 되어

$\iota$는 $(A,\mathcal{D}|_A)$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등매장이다.

4.

$i_X$는 $X$에서 $X$로의 포함사상이므로 3번으로 $i_X$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등매장이다.

 

 

 

정리19

균등공간이 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y),(Z,\mathcal{D}_Z)$일때

함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등동형사상이고

함수 $g:Y\to Z$가 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $(Z,\mathcal{D}_Z)$로의 균등동형사상이면 다음이 성립한다.

반사성 : $X$의 항등함수 $i_X : X\to X$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(X,\mathcal{D}_X)$로의 균등동형사상이다.

대칭성 : $f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$은 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $(X,\mathcal{D}_X)$로의 균등동형사상이다.

추이성 : 합성함수 $g\circ f:X\to Z$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Z,\mathcal{D}_Z)$로의 균등동형사상이다.

증명

반사성

항등함수 정리로 $i_X$는 전단사이고 $i_X$와 $i_X$의 역함수 $i_X^{-1}$에 대해 

위 정리로 $i_X,i_X^{-1}$은 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(X,\mathcal{D}_X)$로의 균등연속함수이므로

$i_X$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(X,\mathcal{D}_X)$로의 균등동형사상이다.

대칭성

균등동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $(X,\mathcal{D}_X)$로의 균등연속함수이고

역함수 정리로 $f^{-1}$은 전단사이므로

$f^{-1}$의 역함수 $(f^{-1})^{-1} = f$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수임에 따라

$f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $(X,\mathcal{D}_X)$로의 균등동형사상이다.

추이성

균등동형사상의 정의로 $f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이고

$g$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $(Z,\mathcal{D}_Z)$로의 균등연속함수이므로

위 정리로 $g\circ f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Z,\mathcal{D}_Z)$로의 균등연속함수이고

$f,g$가 전단사임에 따라 함수 정리로 $g\circ f$는 전단사이다.

$f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$은 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $(X,\mathcal{D}_X)$로의 균등연속함수이고

$g$의 역함수 $g^{-1} : Z\to Y$은 $(Z,\mathcal{D}_Z)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이므로

함수 정리와 위 정리로 $g\circ f $의 역함수 $(g\circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$은 $(Z,\mathcal{D}_Z)$에서 $(X,\mathcal{D}_X)$로의 균등연속함수가 되어

$g\circ f $는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Z,\mathcal{D}_Z)$로의 균등동형사상이다.

 

 

 

정리20

균등공간이 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$이고 전단사함수 $f:X\to Y$의 곱함수가 $P_f:X^2\to Y^2$일때

$f$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등동형사상이기 위한 필요충분조건은

모든 $D_X\in \mathcal{D}_X$에 대해 $P_f(D_X)\in \mathcal{D}_Y$이고 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $P_f^{-1}(D_Y)\in \mathcal{D}_X$인 것이다.

증명

$f$는 전단사이므로 역함수 정리로 $f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 존재하고

위 정리로 $P_f$의 역함수 $P_f^{-1}: Y^2\to X^2$는 $f^{-1}$의 곱함수 $P_{f^{-1}}:Y^2\to X^2$에 대해 $P_f^{-1} = P_{f^{-1}}$이다.

위 정리로 $f$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이기 위한 필요충분조건은 

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $P_f^{-1}(D_Y)\in \mathcal{D}_X$인 것이고

위 정리로 함수 정리로 $f^{-1}$이 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $(X,\mathcal{D}_X)$로의 균등연속함수이기 위한 필요충분조건은 

모든 $D_X\in \mathcal{D}_X$에 대해 $P_f(D_X) = (P_f^{-1})^{-1}(D_X)= P_{f^{-1}}^{-1}(D_X)\in \mathcal{D}_Y$인 것이므로 

$f$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등동형사상이기 위한 필요충분조건은

모든 $D_X\in \mathcal{D}_X$에 대해 $P_f(D_X)\in \mathcal{D}_Y$이고 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $P_f^{-1}(D_Y)\in \mathcal{D}_X$인 것이다.

 

 

 

정의8

균등공간 $(X,\mathcal{D})$와 $I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해

균등공간 $(X_i,\mathcal{D}_i)$가 유일하게 존재하고 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X_i,\mathcal{D}_i)$로의 균등연속함수 $f_i :X\to X_i$가 유일하게 존재할때 

평가함수(evaluation map) :

임의의 $i\in I$에 대해 일반 데카르트곱 $\displaystyle \prod_{i\in I}X_i$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i$이면

모든 $i\in I$에 대해 $p_i\circ e = f_i$인 함수 $e:X\to \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$를 $(X,\mathcal{D})$에서 $\{(X_i,\mathcal{D}_i,f_i): i\in I \}$의 평가함수로 정의한다.

점의 분리(separates points) :

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 어떤 $i\in I$가 존재하여 $f_i(x) \ne f_i(y)$이면

$\{ f_i : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{D}_i):i\in I\}$로 점을 분리한다고 정의한다.

 

 

 

정리21

균등공간 $(X,\mathcal{D})$와 $I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해

균등공간 $(X_i,\mathcal{D}_i)$가 유일하게 존재하고 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X_i,\mathcal{D}_i)$로의 균등연속함수 $f_i :X\to X_i$가 유일하게 존재할때 

일반 데카르트곱 $\displaystyle \prod_{i\in I}X_i$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i$이고 $\{(X_i,\mathcal{D}_i):i\in I \}$의 곱균등공간이 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{E})$이면

$(X,\mathcal{D})$에서 $\{(X_i,\mathcal{D}_i,f_i): i\in I \}$의 평가함수 $e:X\to \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$에 대해 다음이 성립한다.

1. $e$가 유일하게 존재한다.

2. $e$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{E})$로의 균등연속함수이다.

3. $e$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{E})$로의 균등매장이기 위한 필요충분조건은

$(X,\mathcal{D})$가 $\{ (X_i,\mathcal{D}_i,\{f_i\}): i\in I\}$의 약한균등공간이고

$\{ f_i : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{D}_i):i\in I\}$로 점을 분리하는 것이다.

증명

1.

임의의 $x\in X$와 모든 $i\in I$에 대해 $e_x(i) = f_i(x)\in X_i$인

함수 $e_x : I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I}X_i$는 일반 데카르트곱의 정의로 $e_x\in \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$이고

임의의 $x,y\in X$가 $x = y$이면 모든 $i\in I$에 대해 $e_x(i) = f_i(x) = f_i(y) = e_y(i)$가 되어 $e_x = e_y$임에 따라 

모든 $x\in X$에 대해 $e(x) = e_x$인 함수 $e:X\to \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$가 존재하고

좌표 사영함수의 정의로 모든 $i\in I$에 대해 $(p_i\circ e)(x) = p_i(e(x)) = p_i(e_x) = e_x(i) = f_i(x)$이므로

$p_i\circ e = f_i$가 되어 $e$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $\{(X_i,\mathcal{D}_i,f_i): i\in I \}$의 평가함수이다.

모든 $i\in I$에 대해 $p_i\circ e_1 = f_i = p_i\circ e_2$인 함수 $e_1,e_2:X\to \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$는

모든 $x\in X$에 대해 $e_1(x), e_2(x)\in \displaystyle \prod_{i\in I} X_i$이므로 일반 데카르트곱의 정의로 $e_1(x),e_2(x): I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I}X_i$인 함수이고

좌표 사영함수의 정의로 모든 $i\in I$에 대해

$e_1(x)(i) = p_i(e_1(x)) = (p_i\circ e_1)(x) = f_i(x) = (p_i\circ e_2)(x) = p_i(e_2(x)) = e_2(x)(i)$임에 따라

$e_1(x) = e_2(x)$가 되어 $e_1 = e_2$이다.

2.

모든 $i\in I$에 대해 $p_i\circ e = f_i$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X_i,\mathcal{D}_i)$로의 균등연속함수이므로

위 정리로 $e$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{E})$로의 균등연속함수이다.

3.

모든 $x\in X$에 대해 $f(x) = e(x)$인 함수가 $f:X\to e(X)$이고

$(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{E})$의 부분균등공간이 $(e(X),\mathcal{E}|_{e(X)})$이고 $\{ (X_i,\mathcal{D}_i,\{f_i\}): i\in I\}$의 약한균등공간이 $(X,\mathcal{D}_X)$일때

모든 $i\in I$에 대해 $p_i$의 곱함수가 $P_{p_i}$이고 $f_i$의 곱함수가 $P_{f_i}:X^2\to X_i^2$이면 

위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ P_{p_i}^{-1}(D_i) : D_i\in \mathcal{D}_i \}$는 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{E})$의 부분기저이고

위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ P_{f_i}^{-1}(D_i) : D_i\in \mathcal{D}_i\}$는 $(X,\mathcal{D}_X)$의 부분기저이다.

$e$의 곱함수가 $P_e$이고 $f$의 곱함수가 $P_f:X^2\to (e(X))^2$일때

모든 $(x_1,x_2)\in X^2$에 대해 $P_e(x_1,x_2) = (e(x_1),e(x_2)) = (f(x_1),f(x_2))=P_f(x_1,x_2)$이므로 

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$과 모든 $(D_{i_1},D_{i_2},\cdots, D_{i_n})\in \mathcal{D}_{i_1}\times \mathcal{D}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{D}_{i_n}$에 대해

축소관계의 정의와 함수 정리와 함수 정리와 함수 정리와 집합 정리와 함수 정리와 위 정리로

$\begin{align*} P_f^{-1}( (P_{p_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{p_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{p_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}))|_{e(X)}) & = P_f^{-1}((e(X))^2\cap P_{p_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{p_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{p_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) ) \\[0.5em] & = P_f^{-1}((e(X))^2) \cap P_f^{-1}(P_{p_{i_1}}^{-1}(D_{i_1}))\cap P_f^{-1}(P_{p_{i_2}}^{-1}(D_{i_2}))\cap \cdots \cap P_f^{-1}(P_{p_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) ) \\[0.5em] & = X^2 \cap P_f^{-1}(P_{p_{i_1}}^{-1}(D_{i_1}))\cap P_f^{-1}(P_{p_{i_2}}^{-1}(D_{i_2}))\cap \cdots \cap P_f^{-1}(P_{p_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) ) \\[0.5em] & = P_e^{-1}(P_{p_{i_1}}^{-1}(D_{i_1}))\cap P_e^{-1}(P_{p_{i_2}}^{-1}(D_{i_2}))\cap \cdots \cap P_e^{-1}(P_{p_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) ) \\[0.5em] & = (P_{p_{i_1}}\circ P_e)^{-1}(D_{i_1}) \cap (P_{p_{i_2}}\circ P_e)^{-1}(D_{i_2}) \cap \cdots \cap (P_{p_{i_n}}\circ P_e)^{-1}(D_{i_n}) \\[0.5em] & = P_{p_{i_1}\circ e}^{-1}(D_{i_1}) \cap P_{p_{i_2}\circ e}^{-1}(D_{i_2}) \cap \cdots \cap P_{p_{i_n}\circ e}^{-1}(D_{i_n}) \\[0.5em] & = P_{f_{i_1}}^{-1}(D_{i_1}) \cap P_{f_{i_2}}^{-1}(D_{i_2}) \cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) \text{ 이다.}\end{align*}$

$e$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{E})$로의 균등매장이면

$f$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(e(X),\mathcal{E}|_{e(X)})$로의 균등동형사상이므로 $f$의 역함수 $f^{-1} : e(X)\to X$이 존재하고

모든 $i\in I$에 대해 $f_i$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $(X_i,\mathcal{D}_i)$로의 균등연속함수임에 따라 위 정리로 $\mathcal{D}_X\subseteq \mathcal{D}$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 위 정리로 $P_f(D)\in \mathcal{E}|_{e(X)}$이므로 부분기저의 정의로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$(P_{p_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{p_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{p_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) )|_{e(X)} \subseteq P_f(D) $인

$i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$과 $(D_{i_1},D_{i_2},\cdots, D_{i_n})\in \mathcal{D}_{i_1}\times \mathcal{D}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{D}_{i_n}$이 존재하고

위 정리로 $P_f$는 전단사이므로 함수 정리로

$\begin{align*}P_{f_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{f_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) = P_f^{-1}((P_{p_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{p_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{p_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) )|_{e(X)}) \subseteq P_f^{-1}(P_f(D)) =D \text{ 가 되어} \end{align*}$

부분기저의 정의로 $P_{f_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{f_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) \in \mathcal{D}_X$임에 따라

균등공간의 정의로 $D\in \mathcal{D}_X$가 되어 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{D}_X$이고 집합 정리로 $\mathcal{D} = \mathcal{D}_X$이므로

$(X,\mathcal{D}) = (X,\mathcal{D}_X)$는 $\{ (X_i,\mathcal{D}_i,\{f_i\}): i\in I\}$의 약한균등공간이다.

$f$는 단사이므로 단사 정리로 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $e(x)=f(x)\ne f(y) = e(y)$가 되어

평가함수의 정의와 좌표 사영함수의 정의와 함수의 상등으로

$f_i(x)=(p_i\circ e)(x)=p_i(e(x))=e(x)(i) \ne e(y)(i) = p_i(e(y)) = (p_i\circ e)(y) = f_i(y)$인 $i\in I$가 존재함에 따라

$\{ f_i : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{D}_i):i\in I\}$로 점을 분리한다.

역으로 $(X,\mathcal{D}) = (X,\mathcal{D}_X)$이고 $\{ f_i : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{D}_i):i\in I\}$로 점을 분리하면

좌표 사영함수의 정의와 평가함수의 정의로 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 어떤 $i\in I$가 존재하여

$e(x)(i) =p_i(e(x))=(p_i\circ e)(x) = f_i(x)\ne f_i(y) = (p_i\circ e)(y) = p_i(e(y)) = e(y)(i)$이므로

$e(x)\ne e(y)$임에 따라 $e$는 단사이고 함수 정리로 $f$는 전단사이다.

2번과 위 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(e(X),\mathcal{E}|_{e(X)})$로의 균등연속함수이고 모든 $D\in \mathcal{D}= \mathcal{D}_X$는

부분기저의 정의로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $P_{f_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{f_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) \subseteq D$인

$i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$과 $(D_{i_1},D_{i_2},\cdots, D_{i_n})\in \mathcal{D}_{i_1}\times \mathcal{D}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{D}_{i_n}$이 존재하여

$P_f^{-1}((P_{p_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{p_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{p_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}))|_{e(X)})=P_{f_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{f_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}) \subseteq D\text{ 이고}$

위 정리로 $P_f$는 전단사이므로 함수 정리로

$(P_{p_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{p_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{p_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}))|_{e(X)}=P_f(P_f^{-1}((P_{p_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{p_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{p_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}))|_{e(X)})) \subseteq P_f(D)\text{ 가 되어}$

부분기저의 정의와 부분균등공간의 정의로 $(P_{p_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{p_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{p_{i_n}}^{-1}(D_{i_n}))|_{e(X)}\in \mathcal{E}|_{e(X)}$임에 따라

균등공간의 정의로 $P_f(D)\in \mathcal{E}|_{e(X)}$이고

위 정리와 위 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(e(X),\mathcal{E}|_{e(X)})$로의 균등동형사상이므로

$e$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{E})$로의 균등매장이다.

 

 

 

정의9

성분교집합 :

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 집합 $X$의 덮개 $\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2,\cdots, \mathcal{U}_n$에 대해 

$\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap\cdots \Cap \mathcal{U}_n = \{ U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_n:(U_1,U_2,\cdots,U_n)\in \mathcal{U}_1\times \mathcal{U}_2\times \cdots \times \mathcal{U}_n\}$를

$\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2,\cdots, \mathcal{U}_n$의 성분교집합으로 정의한다.

성분역상 :

임의의 집합 $X,Y$와 임의의 함수 $f:X\to Y$와 임의의 $Y$의 덮개 $\mathcal{V}$에 대해 

$f^{-1}[\mathcal{V}] = \{ f^{-1}(V) : V\in \mathcal{V}\}$를 $f$에 의한 $\mathcal{V}$의 성분역상으로 정의한다.

균등덮개공간의 부분기저 :

균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U})$일때 임의의 $\mathbf{S}\subseteq \mathbf{U}$에 대해 

집합 $\mathbf{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty\{ \mathcal{S}_1\Cap \mathcal{S}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{S}_n : (\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,\cdots,\mathcal{S}_n)\in \mathbf{S}^n\}$가 $(X,\mathbf{U})$의 기저이면

$\mathbf{S}$를 $(X,\mathbf{U})$의 부분기저로 정의한다.

 

 

 

정리22

균등공간이 $(X,\mathcal{D})$일때 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

모든 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2,\cdots,\mathcal{U}_n$의 성분교집합 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots\Cap \mathcal{U}_n$은 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이다.

증명

$\mathcal{U}_1,\mathcal{U}_2,\cdots,\mathcal{U}_n$은 $X$의 덮개이므로 성분교집합 정리로 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots\Cap \mathcal{U}_n$은 $X$의 덮개이다.

균등덮개의 정의로 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 어떤 $D_i\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\{ D_i[x]:x\in X\}$가 $\mathcal{U}_i$의 세분이고

$D_1\cap D_2\cap \cdots \cap D_n\subseteq D_i$이므로 모든 $x\in X$에 대해 관계 정리로 $(D_1\cap D_2\cap \cdots \cap D_n)[x]\subseteq D_i[x]$이고 

세분의 정의로 $(D_1\cap D_2\cap \cdots \cap D_n)[x]\subseteq D_i[x] \subseteq U_i$인 $U_i\in \mathcal{U}_i$가 존재하여 

성분교집합의 정의로 $U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_n\in \mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots\Cap \mathcal{U}_n$이고

관계 정리로 $(D_1\cap D_2\cap \cdots \cap D_n)[x]= D_1[x]\cap D_2[x]\cap \cdots \cap D_n[x] \subseteq U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_n$이므로

$\{(D_1\cap D_2\cap \cdots \cap D_n)[x] : x\in X\}$는 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots\Cap \mathcal{U}_n$의 세분이 되어

균등공간의 정의로 $D_1\cap D_2\cap \cdots \cap D_n\in \mathcal{D}$임에 따라 $\mathcal{U}_1\Cap \mathcal{U}_2\Cap \cdots\Cap \mathcal{U}_n$은 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이다.

 

 

 

정의10

약한균등덮개공간 :

임의의 집합 $X$와 $I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해

균등덮개공간 $(X_i,\mathbf{U}_i)$와 $X$에서 $X_i$로의 함수들의 공집합이 아닌 임의의 집합 $\mathcal{F}_i$가 유일하게 존재할때

$\mathbf{S} = \displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ $$f_i^{-1}[\mathcal{U}_i]$ $ : (\mathcal{U}_i ,f_i)\in \mathbf{U}_i\times \mathcal{F}_i\}$에 대해 $\mathbf{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty\{ \mathcal{S}_1\,$$\Cap$ $ \mathcal{S}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{S}_n : (\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,\cdots,\mathcal{S}_n)\in \mathbf{S}^n\}$이고

$X$의 모든 덮개들의 집합 $\mathbf{C}$에 대해 $\mathbf{U} = \{ \mathcal{U}\in \mathbf{C} : \text{어떤 }\mathcal{B}\in \mathbf{B}\text{가 }\mathcal{U}\text{의 세분}\}$이면

$(X,\mathbf{U})$를 $\{(X_i, \mathbf{U}_i,\mathcal{F}_i) : i\in I \}$의 약한균등덮개공간 또는 $I$-약한균등덮개공간으로 정의한다.

유한 곱균등덮개공간 :

임의의 양의 정수 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 집합 $X_1,X_2,\cdots,X_n$의 $n$-데카르트곱이 $X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$일때

임의의 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 균등덮개공간이 $(X_i,\mathbf{U}_i)$이고 $i$-좌표 사영함수가 $p_i : X\to X_i$이면 

$\{(X_i, \mathbf{U}_i,\{ p_i\}) : i=1,2,\cdots,n \}$의 약한균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$를

$(X_1,\mathbf{U}_1),(X_2,\mathbf{U}_2),\cdots,(X_n,\mathbf{U}_n)$의 $n$-곱균등덮개공간으로 정의한다.

일반 곱균등덮개공간 :

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 집합 $X_i$가 존재하고 일반 데카르트곱이 $X=\displaystyle \prod_{i\in I}X_i$일때

모든 $i\in I$에 대해 균등덮개공간 $(X_i,\mathbf{U}_i)$가 유일하게 존재하고 $i$-좌표 사영함수가 $p_i : X\to X_i$이면

$\{(X_i, \mathbf{U}_i,\{ p_i\}) : i\in I \}$의 약한균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$를

$\{(X_i,\mathbf{U}_i) : i\in I \}$의 곱균등덮개공간 또는 일반 곱균등덮개공간 또는 $I$-일반 곱균등덮개공간으로 정의한다.

 

 

 

정리23

임의의 집합 $X$와 $I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해

균등덮개공간 $(X_i,\mathbf{U}_i)$와 $X$에서 $X_i$로의 함수들의 공집합이 아닌 임의의 집합 $\mathcal{F}_i$가 유일하게 존재할때

$\{(X_i, \mathbf{U}_i,\mathcal{F}_i) : i\in I \}$의 약한균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이다.

2. $\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ f_i^{-1}[\mathcal{U}_i] : (\mathcal{U}_i ,f_i)\in \mathbf{U}_i\times \mathcal{F}_i\}$는 $(X,\mathbf{U})$의 부분기저이다.

3. 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathbf{U}_i)$의 생성균등공간이 $(X_i,\mathcal{D}_i)$일때

$\{(X_i, \mathcal{D}_i,\mathcal{F}_i) : i\in I \}$의 약한균등공간 $(X,\mathcal{D})$는

$(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D}_\mathbf{U})$에 대해 $\mathcal{D} = \mathcal{D}_\mathbf{U}$이다.

증명

1, 2

$X$의 모든 덮개들의 집합이 $\mathbf{C}$이고 $\mathbf{S} =\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ f_i^{-1}[\mathcal{U}_i] : (\mathcal{U}_i ,f_i)\in \mathbf{U}_i\times \mathcal{F}_i\}$일때

모든 $i\in I$에 대해 균등덮개공간의 정의로 모든 $\mathcal{U}_i\in \mathbf{U}_i$는 $X_i$의 덮개이므로

모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$에 대해 덮개 정리로 성분역상 $f_i^{-1}[\mathcal{U}_i]$는 $X$의 덮개가 되어 $\mathbf{S}\subseteq \mathbf{C}$이다.

$I\ne \emptyset$이므로 $i\in I$가 존재하여 균등덮개공간의 정의로 $\mathbf{U}_i\ne \emptyset$이고 $\mathcal{F}_i\ne \emptyset$이므로

$\mathcal{U}_i\in \mathbf{U}_i$와 $f_i\in \mathcal{F}_i$가 존재하여 $f_i[\mathcal{U}_i]\in \mathbf{S}$임에 따라 $\mathbf{S}\ne \emptyset$이다.

모든 $i\in I$에 대해 모든 $\mathcal{V}_i\in \mathbf{U}_i$는 균등덮개공간의 정의로 어떤 $\mathcal{U}_i\in \mathbf{U}_i$가 $\mathcal{V}_i$의 성형세분이므로 

모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$에 대해 덮개 정리로 $f_i^{-1}[\mathcal{U}_i]$는 $f_i^{-1}[\mathcal{V}_i]$의 성형세분이 되어 $\mathbf{S}$가 $X$의 정규덮개족임에 따라

성분교집합에 대해 $\mathbf{B} =\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ \mathcal{S}_1\Cap \mathcal{S}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{S}_n : (\mathcal{S}_1,\mathcal{S}_2,\cdots,\mathcal{S}_n)\in \mathbf{S}^n\}$일때

균등덮개공간 정리와 약한균등덮개공간의 정의로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이므로

$1$-데카르트곱의 정의로 $\mathbf{S} = \{ \mathcal{S}_1 : \mathcal{S}_1\in \mathbf{S}\} \subseteq \mathbf{B}\subseteq \mathbf{U}$가 되어 $\mathbf{S}$는 $(X,\mathbf{U})$의 부분기저이다.

3.

균등덮개공간 정리로

모든 $i\in I$와 모든 $\mathcal{U}_i\in \mathbf{U}_i$에 대해 $E_{\mathcal{U}_i} = \displaystyle \bigcup_{U_i\in \mathcal{U}_i}U_i^2$일때 $\{ E_{\mathcal{U}_i}: \mathcal{U}_i\in \mathbf{U}_i\}$는 $(X_i,\mathcal{D}_i)$의 기저이고

모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$에 대해 $E_{\mathcal{U}} = \displaystyle \bigcup_{U\in \mathcal{U}}U^2$일때 $\{ E_{\mathcal{U}}: \mathcal{U}\in \mathbf{U}\}$는 $(X,\mathcal{D}_\mathbf{U})$의 기저이다.

위 정리로 모든 $i\in I$에 대해 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$의 곱함수가 $P_{f_i}: X^2\to X_i^2$일때

$\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ P_{f_i}^{-1}(D_i) : (D_i,f_i)\in \mathcal{D}_i \times \mathcal{F}_i\}$는 $(X,\mathcal{D})$의 부분기저이다.

모든 $D\in \mathcal{D}$는 부분기저의 정의로

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $i_1,i_2,\cdots,i_n\in I$이 존재하여 $P_{f_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{f_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(D_{i_n})\subseteq D$인

$(f_{i_1},f_{i_2},\cdots ,f_{i_n})\in \mathcal{F}_{i_1}\times \mathcal{F}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{F}_{i_n}$과 $(D_{i_1},D_{i_2},\cdots,D_{i_n})\in \mathcal{D}_{i_1}\times \mathcal{D}_{i_2}\times \cdots\times \mathcal{D}_{i_n}$이 존재하고 

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 기저의 정의로 $E_{\mathcal{U}_{i_k}}\subseteq D_{i_k}$인 $\mathcal{U}_{i_k}\in \mathbf{U}_{i_k}$가 존재하므로 

2번과 부분기저의 정의로 $\mathcal{U} = f_{i_1}^{-1}[\mathcal{U}_{i_1}]\Cap f_{i_2}^{-1}[\mathcal{U}_{i_2}]\Cap\cdots \Cap f_{i_n}^{-1}[\mathcal{U}_{i_n}]\in \mathbf{U}$에 대해 $E_\mathcal{U}\in \mathcal{D}_\mathbf{U}$이고 

모든 $(x,y)\in E_\mathcal{U}$에 대해 $(x,y)\in U^2$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

성분역상의 정의와 성분교집합의 정의로 $U = f_{i_1}^{-1}(U_{i_1})\cap f_{i_2}^{-1}(U_{i_2})\cap \cdots \cap f_{i_n}^{-1}(U_{i_n})$인 $U_{i_k}\in \mathcal{U}_{i_k}$가 존재하므로 

$U_{i_k}^2 \subseteq E_{\mathcal{U}_{i_k}} \subseteq D_{i_k}$임에 따라 위 정리로 $(x,y) \in U^2\subseteq (f_{i_k}^{-1}(U_{i_k}))^2 = P_{f_{i_k}}^{-1}(U_{i_k}^2) \subseteq P_{f_{i_k}}^{-1}(D_{i_k})$가 되어 

$(x,y)\in P_{f_{i_1}}^{-1}(D_{i_1})\cap P_{f_{i_2}}^{-1}(D_{i_2})\cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(D_{i_n})\subseteq D$이고

$E_\mathcal{U}\subseteq D$가 되어 균등공간의 정의로 $D\in \mathcal{D}_\mathbf{U}$이므로 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{D}_\mathbf{U}$이다.

모든 $D\in \mathcal{D}_\mathbf{U}$에 대해 기저의 정의로 $E_\mathcal{U}\subseteq D$인 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 존재하고 2번과 부분기저의 정의로

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $i_1,i_2,\cdots,i_n\in I$이 존재하여 $f_{i_1}^{-1}[\mathcal{U}_{i_1}]\Cap f_{i_2}^{-1}[\mathcal{U}_{i_2}]\Cap\cdots \Cap f_{i_n}^{-1}[\mathcal{U}_{i_n}]$이 $\mathcal{U}$의 세분인 

$(f_{i_1},f_{i_2},\cdots ,f_{i_n})\in \mathcal{F}_{i_1}\times \mathcal{F}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{F}_{i_n}$과 $(\mathcal{U}_{i_1},\mathcal{U}_{i_2},\cdots,\mathcal{U}_{i_n})\in \mathbf{U}_{i_1}\times \mathbf{U}_{i_2}\times \cdots\times \mathbf{U}_{i_n}$이 존재하고 

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 기저의 정의로 $E_{\mathcal{U}_{i_k}}\in \mathcal{D}_{i_k}$이므로

부분기저의 정의로 $P_{f_{i_1}}^{-1}(E_{\mathcal{U}_{i_1}})\cap P_{f_{i_2}}^{-1}(E_{\mathcal{U}_{i_2}})\cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(E_{\mathcal{U}_{i_n}})\in \mathcal{D}$이 되어 

모든 $(x,y)\in P_{f_{i_1}}^{-1}(E_{\mathcal{U}_{i_1}})\cap P_{f_{i_2}}^{-1}(E_{\mathcal{U}_{i_2}})\cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(E_{\mathcal{U}_{i_n}})$는 $(x,y)\in P_{f_{i_k}}^{-1}(E_{\mathcal{U}_{i_k}})$이고

$(f_{i_k}(x),f_{i_k}(y)) =P_{f_{i_k}}(x,y)\in E_{\mathcal{U}_{i_k}}$이므로 $(f_{i_k}(x),f_{i_k}(y))\in U_{i_k}^2$인 $U_{i_k}\in \mathcal{U}_{i_k}$가 존재하여

$f_{i_k}(x),f_{i_k}(y)\in U_{i_k}$이고 성분역상의 정의로 $x,y\in f_{i_k}^{-1}(U_{i_k})\in f^{-1}[\mathcal{U}_{i_k}]$임에 따라

성분교집합의 정의로 $f_{i_1}^{-1}(U_{i_1})\cap f_{i_2}^{-1}(U_{i_2})\cap \cdots \cap f_{i_n}^{-1}(U_{i_n}) \in f_{i_1}^{-1}[\mathcal{U}_{i_1}]\Cap f_{i_2}^{-1}[\mathcal{U}_{i_2}]\Cap\cdots \Cap f_{i_n}^{-1}[\mathcal{U}_{i_n}]$이고

세분의 정의로 $x,y\in f_{i_1}^{-1}(U_{i_1})\cap f_{i_2}^{-1}(U_{i_2})\cap \cdots \cap f_{i_n}^{-1}(U_{i_n}) \subseteq U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 

$(x,y)\in U^2\subseteq E_\mathcal{U}\subseteq D$이므로 $P_{f_{i_1}}^{-1}(E_{\mathcal{U}_{i_1}})\cap P_{f_{i_2}}^{-1}(E_{\mathcal{U}_{i_2}})\cap \cdots \cap P_{f_{i_n}}^{-1}(E_{\mathcal{U}_{i_n}}) \subseteq D$이고 

균등공간의 정의로 $D\in \mathcal{D}$임에 따라 $\mathcal{D}_\mathbf{U}\subseteq \mathcal{D}$가 되어 집합 정리로 $\mathcal{D} = \mathcal{D}_\mathbf{U}$이다.

 

 

 

정리24

임의의 양의 정수 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 집합 $X_1,X_2,\cdots,X_n$의 $n$-데카르트곱이 $X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$일때

균등덮개공간 $(X_1,\mathbf{U}_1),(X_2,\mathbf{U}_2),\cdots,(X_n,\mathbf{U}_n)$의 $n$-곱균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이다.

2. 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $i$-좌표 사영함수가 $p_i : X\to X_i$일때

$\displaystyle \bigcup_{i=1}^n\{ p_i^{-1}[\mathcal{U}_i] : \mathcal{U}_i \in \mathbf{U}_i\}$는 $(X,\mathbf{U})$의 부분기저이다.

3. 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $(X_i,\mathbf{U}_i)$의 생성균등공간이 $(X_i,\mathcal{D}_i)$일때

$(X_1,\mathcal{D}_1),(X_2,\mathcal{D}_2),\cdots,(X_n,\mathcal{D}_n)$의 $n$-곱균등공간 $(X,\mathcal{D})$는

$(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D}_\mathbf{U})$에 대해 $\mathcal{D}= \mathcal{D}_\mathbf{U}$이다.

증명

$(X_1,\mathbf{U}_1),(X_2,\mathbf{U}_2),\cdots,(X_n,\mathbf{U}_n)$의 $n$-곱균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$는

$\{(X_i, \mathbf{U}_i,\{p_i\}) : i=1,2,\cdots,n \}$의 약한균등덮개공간이므로 위 정리로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고

$\displaystyle \bigcup_{i=1}^n\{ p_i^{-1}[\mathcal{U}_i] : \mathcal{U}_i \in \mathbf{U}_i\} = \bigcup_{i=1}^n\{ f_i^{-1}[\mathcal{U}_i] : (\mathcal{U}_i,f_i)\in \mathbf{U}_i\times \{p_i\}\}$는 $(X,\mathbf{U})$의 부분기저이다.

$(X_1,\mathcal{D}_1),(X_2,\mathcal{D}_2),\cdots,(X_n,\mathcal{D}_n)$의 $n$-곱균등공간 $(X,\mathcal{D})$는

$\{(X_i, \mathcal{D}_i,\{p_i\}) : i=1,2,\cdots,n \}$의 약한균등공간이므로 위 정리로 $\mathcal{D}= \mathcal{D}_\mathbf{U}$이다.

 

 

 

정리25

$I\ne \emptyset $인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 균등덮개공간 $(X_i,\mathbf{U}_i)$가 존재하고

일반 데카르트곱 $X=\displaystyle \prod_{i\in I}X_i$와 $\{\mathbf{U}_i : i\in I \}$의 일반 곱균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이다.

2. 모든 $i\in I$에 대해 $i$-좌표 사영함수가 $p_i : X\to X_i$일때

$\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ p_i^{-1}[\mathcal{U}_i] : \mathcal{U}_i \in \mathbf{U}_i\}$는 $(X,\mathbf{U})$의 부분기저이다.

3. 모든 $i\in I$에 대해 $(X_i,\mathbf{U}_i)$의 생성균등공간이 $(X_i,\mathcal{D}_i)$일때

$\{(X_i,\mathcal{D}_i) : i\in I \}$의 일반 곱균등공간 $(X,\mathcal{D})$는

$(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D}_\mathbf{U})$에 대해 $\mathcal{D}= \mathcal{D}_\mathbf{U}$이다.

증명

$\{(X_i,\mathbf{U}_i) : i\in I \}$의 일반 곱균등덮개공간 $(X,\mathbf{U})$는 

$\{(X_i, \mathbf{U}_i,\{p_i\}) : i\in I \}$의 약한균등덮개공간이므로 위 정리로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 

$\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ p_i^{-1}[\mathcal{U}_i] : \mathcal{U}_i \in \mathbf{U}_i\} = \bigcup_{i\in I}\{ f_i^{-1}[\mathcal{U}_i] : (\mathcal{U}_i,f_i)\in \mathbf{U}_i\times \{p_i\}\}$는 $(X,\mathbf{U})$의 부분기저이다.

$\{(X_i,\mathcal{D}_i) : i\in I \}$의 일반 곱균등공간 $(X,\mathcal{D})$는

$\{(X_i, \mathcal{D}_i,\{p_i\}) : i\in I\}$의 약한균등공간이므로 위 정리로 $\mathcal{D}= \mathcal{D}_\mathbf{U}$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/127#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/127#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797