위상공간의 콤팩트화(Compactification)

정의1

포함사상(inclusion map) :

임의의 집합 $X$의 임의의 부분집합이 $A\subseteq X$일때

모든 $x\in A$에 대해 $\iota(x) = x$인 함수 $\iota:A\to X$를 $A$에서 $X$로의 포함사상으로 정의한다.

조밀매장(dense embedding) : 

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 매장 $e : X\to Y$의 치역 $e(X)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 조밀집합이면

$e$를 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 조밀매장으로 정의한다.

콤팩트화 :

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(K,\mathcal{T}_K)$에 대해

$(K,\mathcal{T}_K)$가 콤팩트공간이고 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 조밀매장 $e:X\to K$가 존재하면

$(K,\mathcal{T}_K)$를 $(X,\mathcal{T}_X)$의 콤팩트화라고 정의한다.

 

 

 

정리1

임의의 집합 $X$의 임의의 부분집합이 $A\subseteq X$일때 $A$에서 $X$로의 포함사상 $\iota : A\to X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\iota(A) = A$

2. 모든 $x\in A$에 대해 $i_A(x) = \iota(x)$인 함수 $i_A:A\to \iota(A)$는 $A$의 항등함수이다.

3. 위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(A,\mathcal{T}|_A)$일때 $\iota$는 $(A,\mathcal{T}|_A)$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 매장이다.

4. 위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $X$의 항등함수 $i_X:X \to X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 조밀매장이다.

증명

1.

모든 $y \in \iota(A)$에 대해 $y = \iota(x)$인 $x\in A$가 존재하여 포함사상의 정의로 $y = \iota(x) = x\in A$이므로 $\iota(A)\subseteq A$이고

모든 $x\in A$에 대해 포함사상의 정의로 $x = \iota(x)\in \iota(A)$이므로 $A\subseteq \iota(A)$가 되어 집합 정리로 $\iota(A) = A$이다.

2.

1번과 함수 정리로 $i_A(A) =\iota(A) = A$이고 포함사상의 정의로 모든 $x\in A$에 대해 $i_A(x) = \iota(x) =x$이므로

$i_A$는 $A$의 항등함수이다.

3.

1, 2번과 위상동형사상 정리로 $i_A$는 $(A,\mathcal{T}|_A)$에서 $(A,\mathcal{T}|_A)=(\iota(A),\mathcal{T}|_{\iota(A)})$로의 위상동형사상이므로

$\iota$는 $(A,\mathcal{T}|_A)$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 매장이다.

4.

$i_X$는 $X$에서 $X$로의 포함사상이므로 3번으로 $i_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 매장이고

항등함수 정리와 위상공간 정리와 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(i_X(X)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X) = X$임에 따라

$i_X(X)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이 되어 $i_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 조밀매장이다.

 

 

 

정리2(알렉산드로프[Alexandroff] 한점[one point] 콤팩트화)

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 $\infty = X$와 $X_\infty = X\cup \{ \infty\}$로 둘때 $X_\infty$의 멱집합 $\mathcal{P}(X_\infty)$에 대해

$\mathcal{T}_\infty = \mathcal{T} \cup \{ O \in \mathcal{P}(X_\infty) : \infty\in O  \text{이고 } X\setminus O\text{는 } (X,\mathcal{T})\text{에서 콤팩트한 닫힌집합} \}$이면 다음이 성립한다.

1. $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$는 위상공간이다.

2. $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$의 부분위상공간 $(X,\mathcal{T}_\infty|_X)$는 $\mathcal{T}_\infty|_X=\{ O\cap X:O\in \mathcal{T}_\infty \}= \mathcal{T}$이다.

3. $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$는 콤팩트공간이다.

4. $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$가 하우스도르프 공간이기 위한 필요충분조건은

$(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 국소 콤팩트공간인 것이다.

5. $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이기 위한 필요충분조건은 $\{ \infty\}$가 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 열린집합인 것이다.

6. $X$가 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 조밀하기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이 아닌 것이다.

7. $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이 아니면

$X$에서 $X_\infty$의 포함사상 $\iota:X\to X_\infty$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$로의 조밀매장이다.

8. $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이 아니면 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$의 콤팩트화이다.

증명

집합 정리로 $\infty=X\notin X$이므로 모든 $x\in X$에 대해 $x\ne \infty$이고

위상공간의 정의로 모든 $O\in \mathcal{T}$는 $O\subseteq X$이므로 $\infty\notin O$이다.

1.

$\infty\in X_\infty$이고 $X_\infty\subseteq X_\infty$이므로 멱집합의 정의로 $X_\infty\in \mathcal{P}(X_\infty)$이고

집합 정리로 $X\setminus X_\infty = X\setminus (X\cup \{ \infty\}) = (X\setminus X) \cap (X\setminus \{ \infty\}) = \emptyset\cap (X\setminus \{\infty\})= \emptyset$이 되어

유한집합의 정의와 콤팩트 정리와 위상공간 정리로 $\emptyset$이 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하고 닫힌집합임에 따라 $X_\infty\in \mathcal{T}_\infty$이다.

위상공간의 정의로 $\emptyset\in \mathcal{T}$이므로 $\emptyset\in \mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}_\infty$이다.

임의의 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_\infty$에 대해 

모든 $O\in \mathcal{F}$가 $\infty\notin O$이면 $O\in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}$가 되어 위상공간의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F}\in \mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}_\infty$이다.

$\infty\in O_0$인 $O_0\in \mathcal{F}$가 존재할때

모든 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$는 합집합의 정의로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{T}_\infty$가 존재하여 $O\in \mathcal{T}$이면 $x\in O\subseteq X\subseteq X_\infty$이고

$O\notin \mathcal{T}$이면 $x\in O\subseteq X_\infty$이므로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \subseteq X_\infty$가 되어 멱집합의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \in \mathcal{P}(X_\infty)$이다.

$\mathcal{F}\ne \emptyset$이므로 집합 정리로 $\displaystyle X\setminus \left ( \bigcup \mathcal{F}\right ) = X\setminus \left ( \bigcup_{O\in \mathcal{F}}O\right ) = \bigcap_{O\in \mathcal{F}}(X\setminus O)$가 되어

임의의 $O\in \mathcal{F}$에 대해 $O\in \mathcal{T}$이면 위상공간 정리로 $X\setminus O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

$O\notin \mathcal{T}$이면 $\mathcal{T}_\infty$의 정의로 $X\setminus O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라

위상공간 정리로 $\displaystyle X\setminus \left ( \bigcup \mathcal{F}\right ) = \bigcap_{O\in \mathcal{F}}(X\setminus O)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

$X\setminus O_0$이 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하고 교집합의 정의로 $\displaystyle \bigcap_{O\in \mathcal{F}}(X\setminus O) \subseteq X\setminus O_0$이므로

콤팩트 정리로 $\displaystyle X\setminus \left ( \bigcup \mathcal{F}\right ) = \bigcap_{O\in \mathcal{F}}(X\setminus O)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하여

합집합의 정의로 $\infty\in O_0 \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$임에 따라 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F}\in \mathcal{T}_\infty$이다.

임의의 $O_1,O_2\in \mathcal{T}_\infty$에 대해

$\infty\notin O_1$이고 $\infty\notin O_2$이면 $O_1,O_2\in \mathcal{T}$이므로 위상공간의 정의로 $O_1\cap O_2\in \mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}_\infty$이다.

일반성을 잃지 않고 $\infty\in O_1$이고 $\infty\notin O_2$이면

$O_1\in \mathcal{T}_\infty\setminus \mathcal{T}$이고 $O_2\in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{T}_\infty$의 정의와 위상공간 정리로 $X\setminus O_1$과 $X\setminus O_2$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이 되어

위상공간 정리와 집합 정리로 $(X\setminus O_1) \cup (X\setminus O_2) = X\setminus (O_1\cap O_2)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

$O_1\cap O_2 \subseteq O_2\subseteq X$임에 따라

집합 정리로 $X\setminus (X\setminus (O_1\cap O_2)) = O_1\cap O_2$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 $O_1\cap O_2\in \mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}_\infty$이다.

$\infty\in O_1$이고 $\infty\in O_2$이면

$\mathcal{T}_\infty$의 정의로 $X\setminus O_1$과 $X\setminus O_2$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트한 닫힌집합이므로

콤팩트 정리와 위상공간 정리와 집합 정리로

$(X\setminus O_1) \cup (X\setminus O_2) = X\setminus (O_1\cap O_2)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트한 닫힌집합이 되어

$O_1\cap O_2\subseteq O_2\subseteq X_\infty$이고 $\infty\in O_1\cap O_2$임에 따라 $O_1\cap O_2\in \mathcal{T}_\infty$이다.

따라서 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$는 위상공간이다.

2.

부분위상공간의 정의로 $\mathcal{T}_\infty|_X=\{ O\cap X:O\in \mathcal{T}_\infty \}$이다.

위상공간의 정의로 $X\in \mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}_\infty$이므로 모든 $O\in \mathcal{T}_\infty$에 대해 1번으로 $O\cap X\in \mathcal{T}_\infty$이고 

$\infty\notin X$이므로 $\infty\notin O\cap X$가 되어 $O\cap X\in \mathcal{T}$임에 따라 $\mathcal{T}_\infty|_X \subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}_\infty$는 $O\subseteq X$이므로 집합 정리로 $O =O\cap X \in \mathcal{T}_\infty|_X$가 되어 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}_\infty|_X$임에 따라

집합 정리로 $\mathcal{T}_\infty|_X=\{ O\cap X:O\in \mathcal{T}_\infty \}= \mathcal{T}$이다.

3.

임의의 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 $X_\infty$의 열린덮개 $\mathcal{O}_\infty$에 대해

$\infty \in X_\infty\subseteq \displaystyle\bigcup \mathcal{O}_\infty$이므로 $\infty\in O$인 $O\in \mathcal{O}_\infty$가 존재하여 $X\setminus O \subseteq X_\infty\setminus O$이고

모든 $x\in X_\infty\setminus O$는 $x\ne \infty$임에 따라 $x\in X$이므로 $X_\infty\setminus O\subseteq X\setminus O$가 되어 집합 정리로 $X\setminus O =X_\infty\setminus O$이다.

$\mathcal{O}  = \{ U \cap X : U \in \mathcal{O}_\infty \}$일때

모든 $x\in X\setminus O=X_\infty \setminus O \subseteq X_\infty\subseteq \displaystyle\bigcup \mathcal{O}_\infty$는 $x\in U$인 $U\in \mathcal{O}_\infty$가 존재하여

$x\in U\cap X \in \mathcal{O}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$임에 따라 $X_\infty \setminus O \subseteq\displaystyle\bigcup \mathcal{O}$이고

2번으로 $\mathcal{O} \subseteq \mathcal{T}_\infty|_X = \mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X_\infty\setminus O$의 열린덮개이다.

$\mathcal{T}_\infty$의 정의로 $X_\infty\setminus O = X\setminus O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하므로

콤팩트 정리로 $X_\infty \setminus O \subseteq\displaystyle\bigcup \mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{O}$가 존재하여

모든 $V\in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{O}$에 대해 $V = U_V\cap X$인 $U_V\in \mathcal{O}_\infty$가 존재함에 따라 선택 정리로 $U_V$를 선택하면

$\mathcal{F}_\infty = \{ U_V : V\in \mathcal{F}\} \cup \{ O\}$는 함수 정리와 집합 정리로 유한집합이고 $\mathcal{F}_\infty \subseteq \mathcal{O}_\infty$이다.

모든 $x\in X_\infty$에 대해 $x\notin O$이면 $x\in X_\infty \setminus O \subseteq\displaystyle\bigcup \mathcal{F}$이므로

$x\in V$인 $V\in \mathcal{F}$가 존재하여 $x\in V = U_V\cap X \subseteq U_V\in \mathcal{F}_\infty$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_\infty$이고

$x\in O$이면 $x\in O\in \mathcal{F}_\infty$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_\infty$가 되어 $X_\infty \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_\infty$임에 따라 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$는 콤팩트공간이다.

4.

$(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$가 하우스도르프 공간이면

2번과 계승적 성질로 $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이고 $\infty\in X_\infty$는 모든 $x\in X \subseteq X_\infty$에 대해 $x\ne \infty$이므로

$U\cap V=\emptyset$이 되는 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 $\infty$의 열린근방 $U$와 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재한다.

$\infty\in U\in \mathcal{T}_\infty$이므로 $X_\infty \setminus U = X\setminus U$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트한 닫힌집합이고

집합 정리로 $V\subseteq X_\infty \setminus U = X\setminus U \subseteq X$이므로 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus U) = X\setminus U$이고

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라 콤팩트 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하여

$(X,\mathcal{T})$는 모든 $x\in X$에서 국소 콤팩트하고 $(X,\mathcal{T})$는 국소 콤팩트공간이다.

$(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 국소 콤팩트공간일때 $x\ne y$인 임의의 $x,y\in X_\infty$가

$x,y\in X$이면 $U\cap V=\emptyset$이 되는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U$와 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $V$가 존재하여

$U,V\in \mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}_\infty$이므로 $U$는 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 $x$의 열린근방이고 $V$는 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 $y$의 열린근방이다.

일반성을 잃지 않고 $x \in X$이고 $y= \infty$이면 

$(X,\mathcal{T})$는 $x$에서 국소 콤팩트하므로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트한 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여

폐포 정리로 $(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V))\cap V \subseteq (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V))\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V) = \emptyset$임에 따라 $(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V))\cap V = \emptyset$이다.

$\infty\notin V$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)\subseteq X$이므로 $(X_\infty \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V))\cap V = \emptyset$와 $\infty \in X_\infty \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$가 성립하고

$\infty\notin X$이므로 집합 정리와 집합 정리로 $X\setminus ( X_\infty \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)) = X\setminus (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$가 되어

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라 $V\in \mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}_\infty$와 $X_\infty \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)\in \mathcal{T}_\infty$가 성립한다.

$V$는 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 $x$의 열린근방이고 $X_\infty \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$는 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 $y= \infty$의 열린근방이므로

$(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$는 하우스도르프 공간이다.

5.

$(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이면 콤팩트의 정의와 위상공간 정리로 $X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트한 닫힌집합이고

$\infty\notin X$이므로 $X\setminus \{\infty\} = X$가 되어 $\infty\in \{ \infty \}$임에 따라 $\{ \infty \}\in \mathcal{T}_\infty$이고 $\{ \infty \}$는 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 열린집합이다.

역으로 $\{ \infty \}$가 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 열린집합이면 $\{\infty \}\in \mathcal{T}_\infty$이고

$\infty\in \{ \infty \}$임에 따라 $\{ \infty\}\notin \mathcal{T}$이므로 $X\setminus \{\infty\} = X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하고 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이다.

6.

$X$가 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 조밀할때 $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이라고 가정하면

$\underset{(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)}{\operatorname{cl}(X)} = X_\infty$이고 5번으로 $\{ \infty\}$는 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 열린집합이므로

$X = X_\infty \setminus \{ \infty\}$는 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 닫힌집합이 되어 폐포 정리로 $X = \underset{(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)}{\operatorname{cl}(X)} = X_\infty$임에 따라 모순이므로

$X$가 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 조밀하면 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이 아니다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이 아닐때 $X$가 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 조밀하지 않다고 가정하면

$\underset{(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)}{\operatorname{cl}(X)} \ne X_\infty$인데 폐포 정리로 $X \subseteq  \underset{(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)}{\operatorname{cl}(X)}$이고 $\underset{(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)}{\operatorname{cl}(X)}$는 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 닫힌집합이므로

$X_\infty \setminus \underset{(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)}{\operatorname{cl}(X)}\ne \emptyset$이고 집합 정리로 $X_\infty \setminus \underset{(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)}{\operatorname{cl}(X)}\subseteq X_\infty\setminus X = \{ \infty\}$임에 따라

$X_\infty \setminus \underset{(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)}{\operatorname{cl}(X)}= \{ \infty\}$는 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 열린집합이 되어 5번으로 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트공간이므로 모순이다.

따라서 $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이 아니면 $X$는 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 조밀하다.

7, 8

2번으로 $(X,\mathcal{T})$는 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$의 부분위상공간이므로 위 정리로 $\iota$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$로의 매장이고

6번으로 $\iota(X)= X$는 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$에서 조밀집합이 되어 $\iota$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$로의 조밀매장이므로

3번으로 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$가 콤팩트공간임에 따라 $(X_\infty,\mathcal{T}_\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$의 콤팩트화이다.

 

 

 

정리3

임의의 $a,b\in \mathbb{R}$가 끝점인 닫힌구간 $[a,b]$에 대해

$1$차원 유클리드 거리공간 $([a,b],d)$의 거리위상공간 $([a,b],\mathcal{T}_{[a,b]})$는 콤팩트공간이다.

증명

$1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d)$의 거리위상공간 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$에 대해 $([a,b],d)$는 $(\mathbb{R},d)$의 부분거리공간이므로

위상공간 정리로 $\mathcal{T}_\mathbb{R}|_{[a,b]} = \mathcal{T}_{[a,b]}$가 되어 $([a,b],\mathcal{T}_{[a,b]})$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$의 부분위상공간이다.

$M = $ $\max$$ \{ |a|,|b|\} \ge 0$일때 절댓값 정리로 $-M\le -|a|\le a\le |a|\le M$이고 $-M\le -|b|\le b\le |b|\le M$이 되어

구간의 정의로 모든 $x,y\in [a,b]$는 $-M\le a\le x\le b\le M$이고 $-M \le a\le y\le b \le M$이므로 

절댓값 정리와 절댓값 정리로 $d(x,y) = |x-y|\le |x| + |y|\le 2\cdot M$임에 따라 $[a,b]$는 $(\mathbb{R},d)$에서 유계이다.

위상공간 정리로 $[a,b]$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$에서 닫힌집합이므로

위상공간 정리로 $[a,b]$는 $(\mathbb{R},d)$에서 닫힌집합이 되어 하이네-보렐 정리로 $[a,b]$는 $(\mathbb{R},d)$에서 콤팩트하다.

$[a,b] = \emptyset$이면 콤팩트 정리로 $[a,b]$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$에서 콤팩트하고

$[a,b]\ne \emptyset$이면 거리공간 정리로 $[a,b]$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$에서 콤팩트하여 $([a,b],\mathcal{T}_{[a,b]})$는 콤팩트공간이다.

 

 

 

정리4(스톤[Stone]-체흐[Čech] 콤팩트화)

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d)$의 거리위상공간 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$에 대해

유계인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$로의 모든 연속함수들의 집합족이 $\mathcal{C}_\mathbb{R}(X)$이고

모든 $f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)$에 대해 $M_f = \begin{cases} 0& X = \emptyset\text{일때} \\[0.5em] \sup\{|f(x)|:x\in X \} & X\ne \emptyset \text{일때} \end{cases}$가 끝점인 닫힌구간이 $I_f = [-M_f,M_f]$일때

$1$차원 유클리드 거리공간 $(I_f,d)$의 거리위상공간 $(I_f,\mathcal{T}_{I_f})$에 대해 $\{(I_f,\mathcal{T}_{I_f}) : f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X) \}$의 곱공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y)$이고

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $\{(I_f,\mathcal{T}_{I_f},f) : f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X) \}$의 평가함수가 $e_X : X\to Y$이면

$\beta X = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(e_X(X))$이고 $\mathcal{T}_{\beta X}=\mathcal{T}_Y|_{\beta X} $인 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분위상공간 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이다.

2. $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이다.

3. $e_X(X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 조밀하다.

4. $(X,\mathcal{T}_X)$가 콤팩트공간이면 $\beta X = e_X(X)$이다.

5. $(X,\mathcal{T}_X)$가 티호노프 공간이면 $e_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장이다.

6. $(X,\mathcal{T}_X)$가 티호노프 공간이면 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 $(X,\mathcal{T}_X)$의 콤팩트화이다.

7. 임의의 위상공간 $(K,\mathcal{T}_K)$가 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이면

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 연속함수 $\phi: X\to K$에 대해

$\Phi \circ e_X = \phi$가 되는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 연속함수 $\Phi :\beta X\to K$가 유일하게 존재한다.

증명

모든 $f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)$에 대해 $(I_f,d)$는 $(\mathbb{R},d)$의 부분거리공간이므로

위상공간 정리로 $\mathcal{T}_\mathbb{R}|_{I_f} = \mathcal{T}_{I_f}$가 되어 $(I_f,\mathcal{T}_{I_f})$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$의 부분위상공간이고

상한의 정의로 모든 $x\in X$가 $|f(x)|\le M_f$임에 따라 $- M_f \le  f(x) \le M_f $가 되어 $f(x)\in [-M_f,M_f] = I_f$이므로

함수의 상등과 연속함수 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(I_f,\mathcal{T}_{I_f})$로의 연속함수이고 연속함수 정리로 $\mathcal{C}_\mathbb{R}(X)\ne \emptyset$이다.

1.

위 정리로 $(I_f,\mathcal{T}_{I_f})$는 콤팩트공간이므로 곱공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 콤팩트공간이고 위상공간 정리와 위상공간 정리로

$(I_f,\mathcal{T}_{I_f})$는 하우스도르프 공간이 되어 곱공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 하우스도르프 공간이다.

2.

폐포 정리로 $\beta X = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(e_X(X))$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이므로

1번과 콤팩트 정리로 $\beta X$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트하여

$(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분위상공간임에 따라 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 콤팩트공간이고

1번과 하우스도르프 공간의 계승적 성질로 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 하우스도르프 공간이다.

3.

위상공간 정리로 $e_X(X)$는 $(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(e_X(X)),\mathcal{T}_Y|_{\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(e_X(X))}) = (\beta X,\mathcal{T}_Y|_{\beta X}) = (\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 조밀하다.

4.

위상공간 정리로 $X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이므로 1번으로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$가 하우스도르프 공간임에 따라

평가함수 정리와 연속함수 정리로 $e_X(X)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이 되어

폐포 정리로 $\beta X = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(e_X(X)) =e_X(X)$이다.

5, 6

티호노프 공간의 정의로 $(X,\mathcal{T}_X)$는 완비정칙공간이므로

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T}_X)$는 $\{ (\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R},\mathcal{C}_\mathbb{R}(X))\}$의 약한위상공간이 되어

위상공간 정리로 $\{ f^{-1}(V) : (V, f)\in \mathcal{T}_\mathbb{R}\times \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)\}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$의 기저이고

모든 $O\in \mathcal{T}_X$의 모든 $x_O\in O$에 대해 기저 정리로 $x_O\in f^{-1}(V) \subseteq O$인 $V\in \mathcal{T}_\mathbb{R}$와 $f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)$가 존재하여

모든 $x\in f^{-1}(V)$는 $f(x)\in V$이고 $f(x)\in I_f$이므로

$f(x)\in V\cap I_f$이고 $x\in f^{-1}(V\cap I_f)$임에 따라 $f^{-1}(V)\subseteq f^{-1}(V\cap I_f)$이고

$V\cap I_f\subseteq V$이므로 $f^{-1}(V\cap I_f)\subseteq f^{-1}(V)$가 되어 집합 정리로 $f^{-1}(V)=f^{-1}(V\cap I_f)$이고

위상공간 정리로 $V\cap I_f\in \mathcal{T}_{I_f}$와 $x_O \in f^{-1}(V\cap I_f) = f^{-1}(V) \subseteq O$가 성립함에 따라 

기저 정리로 $\displaystyle \bigcup_{f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)} \{ f^{-1}(U): U\in \mathcal{T}_{I_f}\}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$의 기저이다.

티호노프 공간의 정의로 $(X,\mathcal{T}_X)$는 $T_1$공간이고

위상공간 정리로 $\{ \{f \} : f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)\}$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $\{ (I_f,\mathcal{T}_{I_f}) : f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)\}$로 닫힌집합과 점을 분리하므로

폐포 정리와 곱공간의 정의로 $e_X(X)\subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(e_X(X)) = \beta X\subseteq Y = \displaystyle \prod_{f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)}I_f$이고 $\mathcal{T}_{\beta X}=\mathcal{T}_Y|_{\beta X} $임에 따라

함수의 상등과 연속함수 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $e_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 매장이다.

3번으로 $e_X$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 조밀집합이므로 $e_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장이고

2번으로 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 콤팩트공간이므로 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 $(X,\mathcal{T}_X)$의 콤팩트화이다.

7.

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(K,\mathcal{T}_K)$는 티호노프 공간이다.

유계인 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$로의 모든 연속함수들의 집합족이 $\mathcal{C}_\mathbb{R}(K)$이고

모든 $g\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(K)$에 대해 $N_g = \begin{cases} 0& K = \emptyset\text{일때} \\[0.5em] \sup\{|g(k)|:k\in K \} & K\ne \emptyset \text{일때} \end{cases}$이고 $J_g = [-N_g,N_g]$이고

$1$차원 유클리드 거리공간 $(J_g,d)$의 거리위상공간 $(J_g,\mathcal{T}_{J_g})$에 대해

$\{(J_g,\mathcal{T}_{J_g}) : g\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(K) \}$의 곱공간이 $(Z,\mathcal{T}_Z)$이고

$(K,\mathcal{T}_K)$에서 $\{(J_g,\mathcal{T}_{J_g},g) : g\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(K) \}$의 평가함수가 $e_K : K \to Z$일때

상한의 정의로 모든 $k\in K$에 대해 $|g(k)|\le N_g$임에 따라 

모든 $x\in X$에 대해 $|(g\circ \phi)(x)|=|g(\phi(x))|\le N_g$가 되어 $g\circ \phi : X\to \mathbb{R}$는 유계이고

$g$는 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$로의 연속함수이므로

연속함수 정리로 $g\circ \phi$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$로의 연속함수가 되어 $g\circ \phi \in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)$이고

$\phi(X)\subseteq K$임에 따라 $\{ |(g\circ \phi)(x)| : x\in X \} \subseteq \{ |g(k)| : k\in K\} $가 되어 

$K \ne \emptyset$일때 상한 정리로 $M_{g\circ \phi} =\sup \{ |(g\circ \phi)(x)| : x\in X \} \le \sup \{ |g(k)| : k\in K\} =N_g$이므로

$(g\circ \phi)(x)\in I_{g\circ \phi} = [-M_{g\circ \phi},M_{g\circ \phi}]\subseteq [-N_g,N_g]=J_g$이다.

$Y = \displaystyle \prod_{f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)}I_f$의 임의의 $f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)$-좌표 사영함수가 $p_f:Y\to I_f$이고

$Z = \displaystyle \prod_{g\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(K)}J_g$의 임의의 $g \in \mathcal{C}_\mathbb{R}(K)$-좌표 사영함수가 $q_g:Z\to J_g$일때 일반 데카르트곱의 정의로

임의의 $y\in Y$는 모든 $f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)$에 대해 $p_f(y)=y(f)\in I_f$인 함수 $y : \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)\to \displaystyle \bigcup_{f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)}I_f$이고

임의의 $z\in Z$는 모든 $g\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(K)$에 대해 $q_g(z)=z(g)\in J_g$인 함수 $z : \mathcal{C}_\mathbb{R}(K)\to \displaystyle \bigcup_{g\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(K)}J_g$이므로

$\psi(y)(g) = y(g\circ \phi)\in I_{g\circ \phi} \subseteq J_g$인 함수 $\psi(y) : \mathcal{C}_\mathbb{R}(K)\to \displaystyle \bigcup_{g\in \mathcal{C}_\mathbb{R}}J_g$는 $\psi(y)\in \displaystyle \prod_{g\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(K)}J_g = Z$가 되어

함수 $\psi : \displaystyle Y\to Z$에 대해 $(q_g\circ \psi)(y) = q_g(\psi(y)) = \psi(y)(g) = y(g\circ \phi) = p_{g\circ \phi}(y)\in I_{g\circ \phi}\subseteq J_g$이고

사영함수 정리와 함수의 상등과 연속함수 정리로 $q_g\circ \psi = p_{g\circ \phi}$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(J_g,\mathcal{T}_{J_g})$로의 연속함수임에 따라 

곱공간 정리로 $\psi$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 연속함수이다.

$(K,\mathcal{T}_K)$에서 $\{(J_g,\mathcal{T}_{J_g},g) : g\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(K) \}$의 평가함수가 $e_K : K\to Z$이고

$\beta K = \underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(e_K(K))$이고 $\mathcal{T}_{\beta K}=\mathcal{T}_Z|_{\beta K}$인 $(K,\mathcal{T}_K)$의 스톤-체흐 콤팩트화가 $(\beta K,\mathcal{T}_{\beta K})$일때

모든 $f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(X)$와 모든 $g\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(K)$에 대해 평가함수의 정의로 $p_f\circ e_X = f$와 $q_g\circ e_K = g$가 성립하고

모든 $x\in X$에 대해 $e_X(x)\in Y$와 $e_K(\phi(x)) \in Z$가 성립함에 따라

$\begin{align*}\psi(e_X(x))(g) &= e_X(x)(g\circ \phi) \\[0.5em]& = p_{g\circ \phi}(e_X(x)) \\[0.5em]&= (p_{g\circ \phi}\circ e_X)(x) \\[0.5em]&= (g\circ \phi)(x) \\[0.5em]&= g(\phi(x)) \\[0.5em]&=(q_g\circ e_K)(\phi(x)) \\[0.5em]&= q_g(e_K(\phi(x))) \\[0.5em]&= e_K(\phi(x))(g)\text{ 가 되어} \end{align*}$

$(\psi\circ e_X)(x) = \psi(e_X(x)) = e_K(\phi(x)) = (e_K\circ \phi)(x)$이고 $\psi\circ e_X = e_K \circ \phi$이다.

$\psi(e_X(X)) =(\psi\circ e_X)(X) = (e_K \circ \phi)(X) = e_K(\phi(X))\subseteq e_K(K)$이고

3번으로 $e_X(X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X}) = (\beta X,\mathcal{T}_Y|_{\beta X})$에서 조밀하므로

연속함수 정리와 전사 정리와 연속함수 정리로 $\psi(e_X(X))$는 $(\psi(\beta X), \mathcal{T}_Z|_{\psi(\beta X)})$에서 조밀하여

조밀집합의 정의와 위상공간 정리와 폐포 정리와 4번으로

$\psi(\beta X)=\underset{(\psi(\beta X),\mathcal{T}_Z|_{\psi(\beta X)})}{\operatorname{cl}(\psi(e_X(X)))} = \underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(\psi(e_X(X)))\cap \psi(\beta X)\subseteq \underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(\psi(e_X(X)))\subseteq \underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(e_K(K)) = \beta K = e_K(K)\text{ 이다.}$

5번과 매장의 정의와 위상공간 정리로 모든 $k\in K$에 대해 $h_K(k) = e_K(k)$인

함수 $h_K : K\to e_K(K)$는 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $(e_K(K), \mathcal{T}_Z|_{e_K(K)})$로의 위상동형사상이므로

$h_K$의 역함수 $h_K^{-1}:e_K(K)\to K$은 $(e_K(K), \mathcal{T}_Z|_{e_K(K)})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 연속함수가 되어

연속함수 정리와 연속함수 정리로 모든 $y \in \beta X\subseteq Y$에 대해 $\Phi(y) = h_K^{-1}(\psi(y))$인

함수 $\Phi : \beta X\to K$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 연속함수이고 모든 $x\in X$에 대해 

$\begin{align*}(\Phi\circ e_X)(x)&=\Phi(e_X(x))\\[0.5em]&= h_K^{-1}(\psi(e_X(x)))\\[0.5em]& = h_K^{-1}((\psi\circ e_X)(x)) \\[0.5em]&= h_K^{-1}((e_K\circ \phi)(x)) \\[0.5em]&= h_K^{-1}(e_K(\phi(x))) \\[0.5em] &= h_K^{-1}(h_K(\phi(x))) \\[0.5em]&= \phi(x)\text{ 임에 따라}\end{align*}$

$\Phi \circ e_X = \phi$이다.

3번으로 $e_X(X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 조밀집합이고 $(K,\mathcal{T}_K)$는 하우스도르프 공간이므로

$\Phi_1 \circ e_X = \phi = \Phi_2\circ e_X$가 되는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 연속함수 $\Phi_1,\Phi_2 :\beta X\to K$는

모든 $y\in e_X(X)$에 대해 $y=e_X(x)$인 $x\in X$가 존재하여

$\Phi_1(y) = \Phi_1(e_X(x)) = (\Phi_1\circ e_X)(x) = (\Phi_2\circ e_X)(x) = \Phi_2(e_X(x)) = \Phi_2(y)$임에 따라

위상공간 정리로 $\Phi_1 = \Phi_2$이다.

 

 

 

정리5

임의의 집합 $K_1,K_2$와 임의의 $X\subseteq K_1\cap K_2$에 대해

$X$에서 $K_1,K_2$로의 포함사상이 $e_1:X\to K_1$과 $e_2:X\to K_2$이면

$\Phi\circ e_2 = e_1$인 모든 함수 $\Phi :K_2\to K_1$는 모든 $x\in X$에 대해 $\Phi(x) = x$이다.

증명

포함사상의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $\Phi(x) =\Phi(e_2(x)) = (\Phi\circ e_2)(x) = e_1(x) = x$이다.

 

 

 

정리6

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 하우스도르프 공간 $(K_1,\mathcal{T}_1),(K_2,\mathcal{T}_2)$의 함수 $e_1:X\to K_1$과 함수 $e_2:X\to K_2$에 대해 

$e_1(X)$가 $(K_1,\mathcal{T}_1)$에서 조밀하고 $e_2(X)$가 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 조밀할때 다음이 성립한다.

1. 임의의 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1)$로의 연속함수 $\Phi :K_2\to K_1$와

임의의 $(K_1,\mathcal{T}_1)$에서 $(K_2,\mathcal{T}_2)$로의 연속함수 $\Psi : K_1\to K_2$가 $\Phi\circ e_2 = e_1$이고 $\Psi \circ e_1 = e_2$이면

$\Phi,\Psi$의 역함수 $\Phi^{-1}:K_1\to K_2$과 $\Psi^{-1}:K_2\to K_1$이 존재하여 $\Phi^{-1} = \Psi$이고 $\Psi^{-1} = \Phi$이다.

2. $\Phi\circ e_2 = e_1$인 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1)$로의 연속함수 $\Phi :K_2\to K_1$가 존재하고

$\Psi \circ e_1 = e_2$인 $(K_1,\mathcal{T}_1)$에서 $(K_2,\mathcal{T}_2)$로의 연속함수 $\Psi : K_1\to K_2$가 존재하기 위한 필요충분조건은

$\Theta \circ e_2 = e_1$인 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1)$로의 위상동형사상 $\Theta:K_2\to K_1$가 존재하는 것이다.

증명

1.

연속함수 정리와 연속함수 정리로

$\Phi \circ \Psi : K_1 \to K_1$와 $K_1$의 항등함수 $i_1 :K_1\to K_1$은 $(K_1,\mathcal{T}_1)$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1)$로의 연속함수이고

$\Psi \circ \Phi : K_2\to K_2$와 $K_2$의 항등함수 $i_2:K_2\to K_2$는 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $(K_2,\mathcal{T}_2)$로의 연속함수이다.

모든 $k_1\in e_1(X)\subseteq K_1$과 모든 $k_2\in e_2(X)\subseteq K_2$에 대해

$k_1 = e_1(x_1)$이고 $k_2=e_2(x_2)$인 $x_1,x_2\in X$가 존재하여 항등함수의 정의로

$(\Phi \circ \Psi)(k_1) = \Phi(\Psi(k_1)) = \Phi(\Psi(e_1(x_1))) = \Phi((\Psi\circ e_1)(x_1)) = \Phi(e_2(x_1)) = (\Phi\circ e_2)(x_1) = e_1(x_1) = k_1 = i_1(k_1)\text{이고}$

$(\Psi \circ \Phi)(k_2) = \Psi(\Phi(k_2)) = \Psi(\Phi(e_2(x_2))) = \Psi((\Phi\circ e_2)(x_2)) = \Psi(e_1(x_2)) = (\Psi\circ e_1)(x_2) = e_2(x_2) = k_2 = i_2(k_2)\text{이므로}$

하우스도르프 공간 정리로 $\Phi\circ \Psi = i_1$과 $\Psi\circ \Phi = i_2$가 성립하여

$\Phi,\Psi$의 역함수 $\Phi^{-1}:K_1\to K_2$과 $\Psi^{-1}:K_2\to K_1$이 존재하고 $\Phi^{-1} = \Psi$와 $\Psi^{-1} = \Phi$가 성립한다.

2.

$\Phi\circ e_2 = e_1$인 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1)$로의 연속함수 $\Phi :K_2\to K_1$가 존재하고

$\Psi \circ e_1 = e_2$인 $(K_1,\mathcal{T}_1)$에서 $(K_2,\mathcal{T}_2)$로의 연속함수 $\Psi : K_1\to K_2$가 존재하면

1번으로 $\Phi$는 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1)$로의 연속함수이고 $\Phi^{-1} = \Psi$는 $(K_1,\mathcal{T}_1)$에서 $(K_2,\mathcal{T}_2)$로의 연속함수이므로

$\Phi$는 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1)$로의 위상동형사상이고 $\Phi\circ e_2 = e_1$이다.

역으로 $\Theta \circ e_2 = e_1$인 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1)$로의 위상동형사상 $\Theta:K_2\to K_1$가 존재하면

$\Theta \circ e_2 = e_1$인 $\Theta$는 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1)$로의 연속함수이고

$\Theta^{-1}\circ e_1 = \Theta^{-1}\circ \Theta \circ e_2 = e_2$인 $\Theta$의 역함수 $\Theta^{-1}:K_1\to K_2$은 $(K_1,\mathcal{T}_1)$에서 $(K_2,\mathcal{T}_2)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정리7

위상공간 $(X,\mathcal{T}),(K_1,\mathcal{T}_1),(K_2,\mathcal{T}_2)$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1),(K_2,\mathcal{T}_2)$로의 매장이 $e_1:X\to K_1$과 $e_2:X\to K_2$이고

$(K_1,\mathcal{T}_1),(K_2,\mathcal{T}_2)$의 부분위상공간이 $(e_1(X),\mathcal{T}_1|_{e_1(X)}),(e_2(X),\mathcal{T}_2|_{e_2(X)})$일때

임의의 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1)$로의 연속함수 $\Phi :K_2\to K_1$가 $\Phi\circ e_2 = e_1$이면

모든 $k_2 \in e_2(X)$에 대해 $\phi(k_2) =\Phi(k_2)$인

함수 $\phi : e_2(X)\to e_1(X)$는 $(e_2(X),\mathcal{T}_2|_{e_2(X)})$에서 $(e_1(X),\mathcal{T}_1|_{e_1(X)})$로의 위상동형사상이다.

증명

매장의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 

$h_1(x) =e_1(x)$인 함수 $h_1:X\to e_1(X)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $(e_1(X),\mathcal{T}_1|_{e_1(X)})$로의 위상동형사상이고

$h_2(x) = e_2(x)$인 함수 $h_2:X\to e_2(X)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(e_2(X),\mathcal{T}_2|_{e_2(X)})$로의 위상동형사상이므로

위상동형사상 정리로 $h_1 \circ h_2^{-1} : e_2(X)\to e_1(X)$은 $(e_2(X),\mathcal{T}_2|_{e_2(X)})$에서 $(e_1(X),\mathcal{T}_1|_{e_1(X)})$로의 위상동형사상이다.

모든 $k_2 \in e_2(X)$에 대해 $k_2 = e_2(x)$인 $x\in X$가 존재하여 $k_2 = e_2(x) = h_2(x)$이므로 $h_2^{-1}(k_2) = x$임에 따라

$\phi(k_2) =\Phi(k_2) = \Phi(e_2(x)) = (\Phi\circ e_2)(x) = e_1(x) = h_1(x) = h_1(h_2^{-1}(k_2)) = (h_1\circ h_2^{-1})(k_2)$이고

$\phi = h_1\circ h_2^{-1}$이다.

 

 

 

정리8

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 콤팩트화 $(K_1,\mathcal{T}_1),(K_2,\mathcal{T}_2)$가 하우스도르프 공간이고

$(X,\mathcal{T})$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1),(K_2,\mathcal{T}_2)$로의 조밀매장이 $e_1:X\to K_1$과 $e_2:X\to K_2$일때

$\Phi\circ e_2 = e_1$인 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $(K_1,\mathcal{T}_1)$로의 연속함수 $\Phi :K_2\to K_1$는 전사이고 $\Phi(K_2\setminus e_2(X)) = K_1\setminus e_1(X)$이다.

증명

위상공간 정리로 $K_2$는 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 닫힌집합이므로 연속함수 정리로 $\Phi(K_2)$는 $(K_1,\mathcal{T}_1)$에서 닫힌집합이고

$K_1\setminus \Phi(K_2)\ne \emptyset$이라고 가정하면 $K_1\setminus \Phi(K_2)$는 $(K_1,\mathcal{T}_1)$에서 열린집합이고

조밀매장의 정의로 $e_1(X)$가 $(K_1,\mathcal{T}_1)$에서 조밀함에 따라 조밀집합 정리로 $e_1(X)\cap (K_1\setminus \Phi(K_2)) \ne \emptyset$인데

함수 정리로 $e_1(X) = (\Phi\circ e_2)(X) = \Phi(e_2(X)) \subseteq \Phi(K_2)$이므로 집합 정리로 $K_1\setminus \Phi(K_2) \subseteq K_1\setminus e_1(X)$이고

$e_1(X)\cap (K_1\setminus \Phi(K_2)) \subseteq e_1(X)\cap (K_1\setminus e_1(X)) = \emptyset$이 되어 $e_1(X)\cap (K_1\setminus \Phi(K_2)) = \emptyset$임에 따라 모순이다.

$K_1\setminus \Phi(K_2)= \emptyset$이므로 집합 정리로 $\Phi(K_2) = K_1 \setminus (K_1\setminus \Phi(K_2)) = K_1\setminus \emptyset = K_1$이 되어 $\Phi$는 전사이다.

모든 $k_1\in K_1\setminus e_1(X)$은 $k_1\notin e_1(X)$이고 전사의 정의로 $k_1 = \Phi(k_2)$인 $k_2\in K_2$가 존재하는데

$k_2\in e_2(X)$라고 가정하면

$k_2 = e_2(x)$인 $x\in X$가 존재하여 $k_1 = \Phi(k_2) = \Phi(e_2(x)) = (\Phi\circ e_2)(x) = e_1(x)\in e_1(X)$임에 따라 모순이므로

$k_2\notin e_2(X)$이고 $k_2\in K_2\setminus e_2(X)$임에 따라

$k_1 = \Phi(k_2)\in \Phi(K_2\setminus e_2(X))$이 되어 $K_1\setminus e_1(X)\subseteq \Phi(K_2\setminus e_2(X))$이다.

$(K_1,\mathcal{T}_1),(K_2,\mathcal{T}_2)$의 부분위상공간이 $(e_1(X),\mathcal{T}_1|_{e_1(X)}),(e_2(X),\mathcal{T}_2|_{e_2(X)})$일때

위 정리로 모든 $k_2 \in e_2(X)$에 대해 $\phi(k_2) =\Phi(k_2)$인

함수 $\phi : e_2(X)\to e_1(X)$는 $(e_2(X),\mathcal{T}_2|_{e_2(X)})$에서 $(e_1(X),\mathcal{T}_1|_{e_1(X)})$로의 위상동형사상이므로 전단사이다.

어떤 $k_1\in \Phi(K_2\setminus e_2(X))$이 $k_1\in e_1(X)$이라고 가정하면

$k_1 = \Phi(k_2)$인 $k_2 \in K_2\setminus e_2(X)$가 존재하고 $k_1 = e_1(x)$인 $x\in X$가 존재하여

$\Phi(e_2(x)) = (\Phi\circ e_2)(x) = e_1(x) = k_1 = \Phi(k_2)$이므로 $e_2(x)\in e_2(X)$임에 따라 $e_2(x)\ne k_2$이고

하우스도르프 공간의 정의로

$U_2\cap V_2 = \emptyset$인 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $e_2(x)$의 열린근방 $U_2$와 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $k_2$의 열린근방 $V_2$가 존재한다.

부분위상공간 정리로 $U_2\cap e_2(X)$는 $(e_2(X),\mathcal{T}_2|_{e_2(X)})$에서 $e_2(x)$의 열린근방이므로

함수 정리와 위상동형사상 정리로 $\Phi(U_2\cap e_2(X)) = \phi(U_2\cap e_2(X))$는 $(e_1(X),\mathcal{T}_1|_{e_1(X)})$에서 열린집합이 되어 

부분위상공간 정리로 $\Phi(U_2\cap e_2(X)) =\phi(U_2\cap e_2(X)) = U_1\cap e_1(X)$인 $(K_1,\mathcal{T}_1)$에서 열린집합 $U_1$이 존재한다.

$\Phi(k_2) =\Phi(e_2(x)) \in \Phi(U_2\cap e_2(X)) = U_1\cap e_1(X) \subseteq U_1$이므로 $U_1$은 $(K_1,\mathcal{T}_1)$에서 $\Phi(k_2)$의 열린근방이 되어

연속함수 정리로 $\Phi(W_2)\subseteq U_1$인 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $k_2$의 열린근방 $W_2$가 존재하고

위상공간의 정의로 $V_2\cap W_2$는 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 $k_2$의 열린근방이다.

조밀매장의 정의로 $e_2(X)$가 $(K_2,\mathcal{T}_2)$에서 조밀함에 따라

조밀집합 정리로 $V_2\cap W_2\cap e_2(X)\ne \emptyset$이므로 $k\in V_2\cap W_2\cap e_2(X)$가 존재하는데

$\phi(V_2\cap W_2\cap e_2(X)) = \Phi(V_2\cap W_2\cap e_2(X)) \subseteq \Phi(W_2)\subseteq U_1$과 $\phi(V_2\cap W_2\cap e_2(X))\subseteq e_1(X)$가 성립하여

$\phi(V_2\cap W_2\cap e_2(X)) \subseteq U_1\cap e_1(X) = \phi(U_2\cap e_2(X))$이고

함수 정리로 $k\in V_2\cap W_2\cap e_2(X) = \phi^{-1}(\phi(V_2\cap W_2\cap e_2(X))) \subseteq \phi^{-1}(\phi(U_2\cap e_2(X))) = U_2\cap e_2(X)$이므로

$k \in U_2\cap V_2 = \emptyset$임에 따라 모순이다.

따라서 모든 $k_1\in \Phi(K_2\setminus e_2(X))$은 $k_1\notin e_1(X)$이 되어 $k_1\in K_1\setminus e_1(X)$이고

$\Phi(K_2\setminus e_2(X))\subseteq K_1\setminus e_1(X)$이므로 집합 정리로 $\Phi(K_2\setminus e_2(X))=K_1\setminus e_1(X)$이다.

 

 

 

정리9

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$의 스톤-체흐 콤팩트화가 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$이고 위 정리에 나온 함수가 $e_X$일때

임의의 위상공간 $(K,\mathcal{T}_K)$가 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이면

$e(X)$가 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 조밀한 임의의 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 연속함수 $e:X\to K$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\Phi \circ e_X = e$인 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 연속함수 $\Phi :\beta X\to K$가 유일하게 존재한다.

2. $\Psi \circ e = e_X$인 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$로의 연속함수 $\Psi :K\to \beta X$가 존재하면

$\Theta \circ e_X = e$인 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 위상동형사상 $\Theta:\beta X\to K$가 유일하게 존재한다.

증명

1.

위 정리로 $\Phi \circ e_X = e$인 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 연속함수 $\Phi :\beta X\to K$가 유일하게 존재한다.

2.

위 정리로 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$는 하우스도르프 공간이고 $e_X(X)$는 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 조밀하므로

1번과 위 정리로 $\Theta \circ e_X = e$인 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 위상동형사상 $\Theta:\beta X\to K$가 존재한다.

$\Theta_1 \circ e_X = e= \Theta_2\circ e_X$가 되는

$(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 위상동형사상 $\Theta_1,\Theta_2 :\beta X\to K$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 연속함수이고 

모든 $y\in e_X(X)$에 대해 $y=e_X(x)$인 $x\in X$가 존재하여

$\Theta_1(y) = \Theta_1(e_X(x)) = (\Theta_1\circ e_X)(x) = (\Theta_2\circ e_X)(x) = \Theta_2(e_X(x)) = \Theta_2(y)$이므로

$(K,\mathcal{T}_K)$가 하우스도르프 공간임에 따라 위상공간 정리로 $\Theta_1 = \Theta_2$이다.

 

 

 

정리10

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 조밀집합이 $E$이고 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수가 $f : X\to Y$일때

임의의 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합 $C$에 대해 $f(E)\subseteq C$이면 $f(X)\subseteq C$이다.

증명

조밀집합의 정의와 연속함수 정리와 폐포 정리로 $f(X) = f(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(E)) \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(E))\subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(C) = C$이다.

 

 

 

정리11

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$의 스톤-체흐 콤팩트화가 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$이고 위 정리에 나온 함수가 $e_X$이고

$(X,\mathcal{T}_X)$의 콤팩트화 $(K,\mathcal{T}_K)$가 하우스도르프 공간이고

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 조밀매장 $e:X\to K$에 대해 $(K,\mathcal{T}_K)$의 부분위상공간이 $(e(X),\mathcal{T}_K|_{e(X)})$이고

$1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d)$의 거리위상공간 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$에 대해

유계인 $(e(X),\mathcal{T}_K|_{e(X)}), (K,\mathcal{T}_K)$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$로의 모든 연속함수들의 집합족이 $\mathcal{C}_\mathbb{R}(e(X)), \mathcal{C}_\mathbb{R}(K)$일때

모든 $g \in \mathcal{C}_\mathbb{R}(e(X))$에 대해 모든 $k\in e(X)$가 $G(k)= g(k)$인 $G\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(K)$가 존재하면

$\Theta \circ e_X = e$인 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 위상동형사상 $\Theta : \beta X\to K$가 유일하게 존재한다.

증명

위 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 티호노프 공간이다.

유계인 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$로의 모든 연속함수들의 집합족이 $\mathcal{C}_\mathbb{R}(\beta X)$이고

모든 $f \in \mathcal{C}_\mathbb{R}(\beta X)$에 대해 $M_f = \begin{cases} 0& \beta X = \emptyset\text{일때} \\[0.5em] \sup\{|f(y)|:y\in \beta X \} & \beta X\ne \emptyset \text{일때} \end{cases}$이고 

닫힌구간 $I_f = [-M_f,M_f]$에 대해 $1$차원 유클리드 거리공간 $(I_f,d)$의 거리위상공간이 $(I_f,\mathcal{T}_{I_f})$일때

$(I_f,d)$는 $(\mathbb{R},d)$의 부분거리공간이므로 위상공간 정리로 $\mathcal{T}_\mathbb{R}|_{I_f} = \mathcal{T}_{I_f}$가 되어

$(I_f,\mathcal{T}_{I_f})$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$의 부분위상공간이고 모든 $y\in \beta X$에 대해 $f(y)\in I_f$이므로

함수의 상등과 연속함수 정리로 $f$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(I_f,\mathcal{T}_{I_f})$로의 연속함수이다.

$\{(I_f,\mathcal{T}_{I_f}) : f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(\beta X) \}$의 곱공간이 $(Z,\mathcal{T}_Z)$이고

$Z = \displaystyle \prod_{f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(\beta X)}I_f$의 임의의 $f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(\beta X)$-좌표 사영함수가 $p_f : Z\to I_f$일때

$(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 $\{(I_f,\mathcal{T}_{I_f},f) : f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(\beta X) \}$의 평가함수 $e_{\beta X} : \beta X\to Z$는 $p_f\circ e_{\beta X} = f$이고

위 정리와 함수의 상등과 연속함수 정리와 위상공간 정리로 $e_{\beta X}$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 매장이다.

위 정리와 평가함수 정리와 연속함수 정리로 $e_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 연속함수이고

매장의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $h(x) = e(x)$인

함수 $h :X\to e(X)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(e(X),\mathcal{T}_K|_{e(X)})$로의 위상동형사상이므로

$h$의 역함수 $h^{-1} : e(X)\to X$은 $(e(X),\mathcal{T}_K|_{e(X)})$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이다.

모든 $f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(\beta X)$에 대해 연속함수 정리와 함수의 상등과 연속함수 정리로

함수 $g_f = f \circ e_X \circ h^{-1}$는 $g_f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(e(X))$가 되어

모든 $k\in e(X)$에 대해 $G_f(k)= g_f(k) = f(e_X(h^{-1}(k)))\in I_f$인 $G_f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(K)$가 존재하므로

조밀매장의 정의로 $e(X)$가 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 조밀하고 $(K,\mathcal{T}_K)$가 하우스도르프 공간임에 따라

위상공간 정리로 $f$에 대해 $G_f$는 유일하게 존재하여

위상공간 정리로 $I_f=[-M_f,M_f]$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$에서 닫힌집합이므로 위 정리로 모든 $k\in K$에 대해 $G_f(k)\in I_f$이고

연속함수 정리로 $G_f$는 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $(I_f,\mathcal{T}_{I_f})$로의 연속함수가 되어

$(K,\mathcal{T}_K)$에서 $\{ (I_f,\mathcal{T}_{I_f},G_f) : f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(\beta X) \}$의 평가함수 $\psi : K\to Z$는 $p_f\circ \psi = G_f$이고

평가함수 정리로 $\psi$는 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $(Z, \mathcal{T}_Z)$로의 연속함수이다.

모든 $f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}(\beta X)$와 모든 $x\in X$에 대해

$\begin{align*}\psi(e(x))(f) &=p_f(\psi(e(x))) \\[0.5em] & =(p_f\circ \psi)(e(x))\\[0.5em]&=G_f(e(x)) \\[0.5em]&=g_f(e(x)) \\[0.5em]&= (f\circ e_X\circ h^{-1})(e(x)) \\[0.5em]& = (f\circ e_X)(h^{-1}(h(x))) \\[0.5em]& = f(e_X(x)) \\[0.5em] & =(p_f \circ e_{\beta X})(e_X(x)) \\[0.5em]& = p_f(e_{\beta X}(e_X(x))) \\[0.5em]& = e_{\beta X}(e_X(x))(f)\text{ 이므로} \end{align*}$

$(\psi\circ e)(x)=\psi(e(x)) = e_{\beta X}(e_X(x)) = (e_{\beta X}\circ e_X)(x)$가 되어 $\psi\circ e= e_{\beta X}\circ e_X$이다.

위 정리로 $e_X(X)\subseteq \beta X$이므로 $\psi(e(X)) =(\psi\circ e)(X)= (e_{\beta X}\circ e_X)(X) = e_{\beta X}(e_X(X)) \subseteq e_{\beta X}(\beta X)$이고

$e(X)$는 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 조밀하므로

연속함수 정리와 전사 정리와 연속함수 정리로 $\psi(e(X))$는 $(\psi(K), \mathcal{T}_Z|_{\psi(K)})$에서 조밀하고

조밀집합의 정의와 위상공간 정리와 폐포 정리와 위 정리로 

$\psi(K) = \underset{(\psi(K),\mathcal{T}_Z|_{\psi(K)})}{\operatorname{cl}(\psi(e(X)))} = \underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(\psi(e(X)))\cap \psi(K) \subseteq \underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(\psi(e(X))) \subseteq \underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(e_{\beta X}(\beta X)) = e_{\beta X}(\beta X)$이다.

위 정리와 매장의 정의와 위상공간 정리로 모든 $y\in \beta X$에 대해 $h_{\beta X}(y) = e_{\beta X}(y)$인

함수 $h_{\beta X} : \beta X\to e_{\beta X}(\beta X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(e_{\beta X}(\beta X), \mathcal{T}_Z|_{e_{\beta X}(\beta X)})$로의 위상동형사상이므로

역함수 $h_{\beta X}^{-1}:e_{\beta X}(\beta X)\to \beta X$은 $(e_{\beta X}(\beta X), \mathcal{T}_Z|_{e_{\beta X}(\beta X)})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 연속함수가 되어

연속함수 정리와 연속함수 정리로 모든 $k \in K$에 대해 $\Psi(k) = h_{\beta X}^{-1}(\psi(k))$인

함수 $\Psi : K\to \beta X$는 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 연속함수이고 모든 $x\in X$에 대해 

$\begin{align*}(\Psi\circ e)(x)&=\Psi(e(x))\\[0.5em]&= h_{\beta X}^{-1}(\psi(e(x)))\\[0.5em]& = h_{\beta X}^{-1}((\psi\circ e)(x)) \\[0.5em]&= h_{\beta X}^{-1}((e_{\beta X}\circ e_X)(x)) \\[0.5em]&= h_{\beta X}^{-1}(e_{\beta X}(e_X(x))) \\[0.5em] &= h_{\beta X}^{-1}(h_{\beta X}(e_X(x))) \\[0.5em]&= e_X(x)\text{ 임에 따라}\end{align*}$

$\Psi \circ e = e_X$이므로

위 정리로 $\Theta \circ e_X = e$인 $(\beta X, \mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 위상동형사상 $\Theta : \beta X\to K$가 유일하게 존재한다.

 

 

 

정리12

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y),(Z,\mathcal{T}_Z)$에 대해

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 매장이 $e_X : X\to Y$이고 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 매장이 $e_Y:Y\to Z$일때

합성함수 $e_Y\circ e_X:X\to Z$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 매장이다.

증명

$(Y,\mathcal{T}_Y),(Z,\mathcal{T}_Z)$의 부분위상공간이 $(e_X(X),\mathcal{T}_Y|_{e_X(X)}),(e_Y(Y),\mathcal{T}_Z|_{e_Y(Y)})$일때

매장의 정의로 모든 $x\in X$와 모든 $y\in Y$에 대해

$f_X(x) = e_X(x)$인 함수 $f_X:X\to e_X(X)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(e_X(X),\mathcal{T}_Y|_{e_X(X)})$로의 위상동형사상이고

$f_Y(y) = e_Y(y)$인 함수 $f_Y:Y\to e_Y(Y)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(e_Y(Y),\mathcal{T}_Z|_{e_Y(Y)})$로의 위상동형사상이다.

$e_X(X)\subseteq Y$이므로 함수 정리로 $(e_Y\circ e_X)(X) =e_Y(e_X(X)) \subseteq e_Y(Y)$가 되어

위상동형사상 정리와 위상공간 정리로

모든 $y\in e_X(X)$에 대해 $g_Y(y) = f_Y(y) = e_Y(y)$인 함수 $g_Y: e_X(X)\to (e_Y\circ e_X)(X)$는

$(e_X(X),\mathcal{T}_Y|_{e_X(X)})$에서 $((e_Y\circ e_X)(X),\mathcal{T}_Z|_{(e_Y\circ e_X)(X)})$로의 위상동형사상이고 위상동형사상 정리로

$g_Y\circ f_X:X\to (e_Y\circ e_X)(X)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $((e_Y\circ e_X)(X),\mathcal{T}_Z|_{(e_Y\circ e_X)(X)})$로의 위상동형사상이다.

따라서 모든 $x\in X$에 대해 $(e_Y\circ e_X)(x) = e_Y(e_X(x)) = g_Y(e_X(x)) = g_Y(f_X(x)) = (g_Y\circ f_X)(x)$이므로

$e_Y\circ e_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 매장이다.

 

 

 

정리13

위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y),(Z,\mathcal{T}_Z)$일때 함수 $e_X : X\to Y$와 함수 $e_Y:Y\to Z$에 대해 다음이 성립한다.

1. $e_X$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 $e_Y$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 연속함수일때

$\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(e_X(X)) = Y$이고 $\underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(e_Y(Y)) = Z$이면 $\underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(e_Y( e_X(X))) = Z$이다.

2. $e_X$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 조밀매장이고 $e_Y$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 조밀매장이면

합성함수 $e_Y\circ e_X:X\to Z$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 조밀매장이다.

증명

1.

연속함수 정리로 $ e_Y(Y) = e_Y(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}( e_X(X))) \subseteq \underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(e_Y( e_X(X) )) $이고

폐포 정리로 $Z= \underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(e_Y(Y)) \subseteq \underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}( \underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(e_Y (e_X(X) ) ) = \underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(e_Y (e_X(X)))\subseteq Z$임에 따라

집합 정리로 $ \underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(e_Y( e_X(X)))=Z$이다.

2.

조밀매장의 정의로 $e_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 매장이고 $e_Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 매장이므로

위 정리로 $e_Y\circ e_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 매장이고

조밀집합의 정의로 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(e_X(X)) = Y$와 $\underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(e_Y(Y)) = Z$가 성립한다.

연속함수 정리로 $e_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 $e_Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 연속함수이므로

함수 정리와 1번으로 $\underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}((e_Y\circ e_X)(X))=\underset{(Z,\mathcal{T}_Z)}{\operatorname{cl}}(e_Y( e_X(X))) = Z$가 되어 

$e_Y\circ e_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Z,\mathcal{T}_Z)$로의 조밀매장이다.

 

 

 

정리14

위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(K,\mathcal{T}_K)$이고 $1$차원 유클리드 거리공간 $(E,d)$의 거리위상공간이 $(E,\mathcal{T}_{E})$일때 

임의의 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 연속함수 $e:X\to K$의 치역 $e(X)$가 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 조밀하고

임의의 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(E,\mathcal{T}_E)$로의 연속함수 $\phi :X\to E$에 대해 

$\Phi \circ e =\phi$인 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $(E,\mathcal{T}_E)$로의 연속함수 $\Phi: K\to E$가 존재하면 

$\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{supp}}(\phi) = \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X : \phi(x)\ne 0 \})$와 $\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{supp}}(\Phi) = \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(\{ k\in K : \Phi(k)\ne 0 \}) $에 대해

$\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{supp}}(\Phi) = \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(e(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{supp}}(\phi)))$이다.

증명

역상의 정의로

$\phi^{-1}(E\setminus \{ 0\}) = \{ x\in X : \phi(x)\in E\setminus \{ 0\}\} = \{ x\in X:\phi(x) \ne 0\}$이고 

$\Phi^{-1}(E\setminus \{ 0\}) = \{ k\in K : \Phi(k)\in E\setminus \{ 0\}\} = \{ k\in K:\Phi(k) \ne 0\}$이므로

$\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{supp}}(\phi) = \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X : \phi(x)\ne 0 \}) = \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(\phi^{-1}(E\setminus \{0\}))$이고

$\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{supp}}(\Phi) = \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(\{ k\in K : \Phi(k)\ne 0 \}) =\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(\Phi^{-1}(E\setminus \{0\}))$이다.

$0\notin E$이면 집합 정리와 위상공간 정리로 $E\setminus \{0\} = E\setminus (E\cap \{ 0\}) = E\setminus \emptyset = E$는 $(E,\mathcal{T}_E)$에서 열린집합이고

$0\in E$이면 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(E,\mathcal{T}_E)$는 $T_1$공간이므로

위상공간 정리로 $\{ 0\}$은 $(E,\mathcal{T}_E)$에서 닫힌집합이 되어 $E\setminus \{0\}$은 $(E,\mathcal{T}_E)$에서 열린집합이다.

모든 $k\in e(\phi^{-1}(E\setminus \{ 0\}))$에 대해

$e(x)=k$인 $x\in \phi^{-1}(E\setminus \{0\})$가 존재하여 $\Phi(e(x)) =(\Phi\circ e)(x) =\phi(x)\in E\setminus \{ 0\}$이므로

$k = e(x)\in \Phi^{-1}(E\setminus \{0\})$임에 따라 $e(\phi^{-1}(E\setminus \{ 0\}))\subseteq \Phi^{-1}(E\setminus \{0\})$이고 연속함수 정리와 폐포 정리로 

$e(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{supp}}(\phi))=e(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(\phi^{-1}(E\setminus \{0\})))\subseteq \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}( e(\phi^{-1}(E\setminus \{ 0\})) ) \subseteq \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(\Phi^{-1}(E\setminus \{0\}))$이므로 

폐포 정리로 $\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(e(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{supp}}(\phi))) \subseteq \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(\Phi^{-1}(E\setminus \{0\})) = \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{supp}}(\Phi)$이다.

연속함수 정리로 $\Phi^{-1}(E\setminus \{0\})$은 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 열린집합이므로

모든 $k\in \Phi^{-1}(E\setminus \{0\})$는 모든 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 $k$의 열린근방 $O$에 대해 $k\in O\cap \Phi^{-1}(E\setminus \{0\})$가 되어

$O\cap \Phi^{-1}(E\setminus \{0\})\ne \emptyset$이고 위상공간 정리로 $O\cap \Phi^{-1}(E\setminus \{0\})$은 $(K,\mathcal{T}_K)$에서 열린집합이므로 

조밀집합 정리로 $O\cap \Phi^{-1}(E\setminus \{0\})\cap e(X)\ne \emptyset$이고 $e(x)\in O\cap \Phi^{-1}(E\setminus \{ 0\})$인 $x\in X$가 존재하여 

$\phi(x)=(\Phi\circ e)(x)=\Phi(e(x))\in E\setminus \{ 0\}$이므로 $x\in \phi^{-1}(E\setminus \{ 0\})$이고

$e(x)\in e(\phi^{-1}(E\setminus \{0\}))$임에 따라 $e(x)\in O\cap e(\phi^{-1}(E\setminus \{0\}))$가 되어 $O\cap e(\phi^{-1}(E\setminus \{0\}))\ne \emptyset$이고

폐포의 정의로 $k\in \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(e(\phi^{-1}(E\setminus \{0\}))) $이므로 $\Phi^{-1}(E\setminus \{0\})\subseteq \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(e(\phi^{-1}(E\setminus \{0\})))$가 되어

폐포 정리로 $\phi^{-1}(E\setminus \{ 0\}) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(\phi^{-1}(E\setminus \{0\})) = \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{supp}}(\phi)$이고 $e(\phi^{-1}(E\setminus \{ 0\})) \subseteq e(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{supp}}(\phi))$임에 따라

폐포 정리로 $\Phi^{-1}(E\setminus \{0\})\subseteq \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(e(\phi^{-1}(E\setminus \{0\}))) \subseteq \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(e(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{supp}}(\phi)))$이므로

폐포 정리로 $\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{supp}}(\Phi)=\underset{(K,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\Phi^{-1}(E\setminus \{0\}))\subseteq \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(e(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{supp}}(\phi)))$가 되어

집합 정리로 $\underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{supp}}(\Phi) = \underset{(K,\mathcal{T}_K)}{\operatorname{cl}}(e(\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{supp}}(\phi)))$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/124#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/124#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797