근접공간에 대한 정리

정리1

균등공간 $(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간이기 위한 필요충분조건은 모든 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$에 대해

유한집합인 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{F}$가 존재하여 $\mathcal{F}$가 $\mathcal{U}$의 세분인 것이다.

증명

$(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간이면

모든 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$는 어떤 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\{ D[x]:x\in X\}$가 $\mathcal{U}$의 세분이므로

$X = \emptyset$일때 $\{ D[x]:x\in X\} = \emptyset$이고 균등공간 정리로 $\{ D[x]:x\in X\}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이다.

$X\ne \emptyset$일때 균등공간의 정의로 $E\circ E \subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하므로

완전유계 정리로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^n E[x_i]$인 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in X$이 존재하여

함수 정리로 $\mathcal{F} = \{ D[x_i]: i= 1,2,\cdots,n\}$는 유한집합이다.

모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^n E[x_i]$에 대해 $x\in E[x_i]$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하여 관계의 상의 정의로 $(x_i,x)\in E$이고 

모든 $y\in E[x]$는 $(x,y)\in E$이므로

합성관계의 정의로 $(x_i,y)\in E\circ E\subseteq D$임에 따라 관계의 상의 정의로 $y\in D[x_i]$이고 $E[x] \subseteq D[x_i]$이다.

균등공간 정리로 $\{ E[x]:x\in X\}$는 $X$의 덮개이므로 $\mathcal{F}$는 $X$의 덮개이고

$\{ E[x]:x\in X\}$가 $\mathcal{F}$의 세분임에 따라 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이다.

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $D[x_i]\in \{ D[x]:x\in X\}$이므로

세분의 정의로 $D[x_i]\subseteq U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 $\mathcal{F}$는 $\mathcal{U}$의 세분이다.

역으로 조건이 성립하면 

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 균등공간 정리로 $E\circ E^{-1}\subseteq D$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여 

균등공간 정리로 $\{ E[x]:x\in X\}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개이므로

유한집합인 어떤 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{F}$가 $\{ E[x]:x\in X\}$의 세분임에 따라 

모든 $U\in \mathcal{F}$에 대해 $U\subseteq E[x]$인 $x\in X$가 존재하고

모든 $(x_1,x_2)\in U\times U$에 대해 $x_1,x_2\in U\subseteq E[x]$이므로 관계의 상의 정의로 $(x,x_1),(x,x_2)\in E$가 되어 

역관계의 정의로 $(x_1,x)\in E^{-1}$이고 합성관계의 정의로 $(x_1,x_2)\in E\circ E^{-1}\subseteq D$임에 따라 $U\times U\subseteq D$이므로

$(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

 

 

 

정리2

균등공간이 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$일때 $(Y,\mathcal{D}_Y)$가 완전유계균등공간이면 

임의의 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이기 위한 필요충분조건은

유한집합인 모든 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개 $\mathcal{G}$에 대해 $\{ f^{-1}(G):G\in \mathcal{G}\}$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개인 것이다.

증명

$f$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이면 균등연속 정리로

유한집합인 모든 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개 $\mathcal{G}$에 대해 $\{ f^{-1}(G):G\in \mathcal{G}\}$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개이다.

역으로 조건이 성립하면 모든 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개 $\mathcal{V}$에 대해

$(Y,\mathcal{D}_Y)$가 완전유계균등공간임에 따라 위 정리로 유한집합인 어떤 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개 $\mathcal{G}$가 $\mathcal{V}$의 세분이므로 

덮개 정리로 $\{ f^{-1}(G):G\in \mathcal{G}\}$는 $\{ f^{-1}(V):V\in \mathcal{V}\}$의 세분이고 

$\{ f^{-1}(G):G\in \mathcal{G}\}$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개임에 따라

균등공간 정리로 $\{ f^{-1}(V):V\in \mathcal{V}\}$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개가 되어 

균등연속 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

 

 

 

정리3

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}}$일때 임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $A\,\pmb{\delta}\, B$이기 위한 필요충분조건은 모든 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$에 대해 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap B \ne \emptyset$인 것이다.

2. $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이기 위한 필요충분조건은 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\subseteq B$인 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$가 존재하는 것이다.

증명

1.

$(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 모든 균등덮개들의 집합 $\mathbf{U}$에 대해 균등공간 정리로 

$(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등구조는 $(X,\mathcal{D})$이므로 $(X,\mathbf{U})$의 균등덮개근접공간은 $(X,\pmb{\delta})$가 되어 

$A\,\pmb{\delta}\, B$이기 위한 필요충분조건은 모든 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$에 대해 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap B \ne \emptyset$인 것이다.

2.

$A\ll_{\pmb{\delta}} B$이면 근접근방의 정의로 $A \, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus B)$가 되어

관계의 상의 정의와 1번으로 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap (X\setminus B) = \emptyset$인 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$가 존재하므로

집합 정리와 집합 정리로 $X\setminus B\subseteq X\setminus \operatorname{st}(A,\mathcal{U})$이고 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U}) = X\setminus (X\setminus \operatorname{st}(A,\mathcal{U}))\subseteq X\setminus (X\setminus B) = B$이다.

역으로 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\subseteq B$인 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$가 존재하면 

집합 정리로 $X\setminus B\subseteq X\setminus \operatorname{st}(A,\mathcal{U})$이므로 관계의 상의 정의와 집합 정리로 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap (X\setminus B) = \emptyset$이고 

1번으로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus B)$가 되어 근접근방의 정의로 $A\ll_{\pmb{\delta}}B$이다.

 

 

 

정리4

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등근접공간이 $(X,\pmb{\delta}_X),(Y,\pmb{\delta}_Y)$일때 $(Y,\mathcal{D}_Y)$가 완전유계균등공간이면 

임의의 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이기 위한 필요충분조건은

$f$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수인 것이다.

증명

$f$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이면

균등연속 정리로 $f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이다.

역으로 $f$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이면

유한집합인 임의의 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개 $\mathcal{G}$의 원소개수가 $n\in \mathbb{N}$개일때

덮개 정리로 성분역상 $f^{-1}[\mathcal{G}] = \{ f^{-1}(G):G\in \mathcal{G}\}$는 $X$의 덮개이고 

$n = 0$이면 $\mathcal{G} = \emptyset$이므로 덮개 정리로 $Y = \emptyset$이 되어 함수의 정의로 $X = \emptyset$이고 

균등공간의 정의로 $\mathcal{D}_X\ne \emptyset$이므로 $D_X\in \mathcal{D}_X$가 존재하여 $\{ D_X[x]:x\in X\} = \emptyset \subseteq f^{-1}[\mathcal{G}]$임에 따라

덮개 정리로 $\{ D_X[x]:x\in X\}$는 $f^{-1}[\mathcal{G}]$의 세분이고 $f^{-1}[\mathcal{G}]$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개이다.

$n = 1$이면 덮개 정리로 $\mathcal{G} = \{ Y\}$이므로 함수 정리와 성분역상의 정의로 $f^{-1}[\mathcal{G}] = \{ f^{-1}(Y)\} = \{ X\}$가 되어 

균등공간 정리와 균등덮개공간 정리로 $f^{-1}[\mathcal{G}] = \{X\}$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개이다.

$n = 2$일때

$\mathcal{G} = \{ G_1,G_2\}$에 대해 $f^{-1}[\mathcal{G}] =\{ f^{-1}(G_1),f^{-1}(G_2)\}$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개가 아니라고 가정하면

균등공간 정리로 모든 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$는 $\{ f^{-1}(G_1),f^{-1}(G_2)\}$의 세분이 아니므로 

어떤 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여 $U\not\subseteq f^{-1}(G_1)$과 $U\not\subseteq f^{-1}(G_2)$가 성립함에 따라

$U\cap (X\setminus f^{-1}(G_1))\ne \emptyset$과 $U\cap (X\setminus f^{-1}(G_2))\ne \emptyset$가 성립하고 

별의 정의로 $U\cap (X\setminus f^{-1}(G_2))\subseteq \operatorname{st}(X\setminus f^{-1}(G_1),\mathcal{U})\cap (X\setminus f^{-1}(G_2))$이므로 

$\operatorname{st}(X\setminus f^{-1}(G_1),\mathcal{U})\cap (X\setminus f^{-1}(G_2))\ne \emptyset$이 되어 위 정리로 $(X\setminus f^{-1}(G_1))\, \pmb{\delta}_X\,(X\setminus f^{-1}(G_2))$이고 

근접연속함수의 정의로 $f(X\setminus f^{-1}(G_1))\, \pmb{\delta}_Y\,f(X\setminus f^{-1}(G_2))$가 되어 함수 정리와 함수 정리로

모든 $i=1,2$에 대해 $f(X\setminus f^{-1}(G_i)) = f(f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(G_i)) = f(f^{-1}(Y\setminus G_i)) \subseteq Y\setminus G_i$임에 따라 

근접공간 정리로 $(Y\setminus G_1)\, \pmb{\delta}_Y\,(Y\setminus G_2)$이므로 위 정리로 $\operatorname{st}(Y\setminus G_1,\mathcal{G})\cap (Y\setminus G_2)\ne \emptyset$이고

$y\in \operatorname{st}(Y\setminus G_1,\mathcal{G})\cap (Y\setminus G_2)$가 존재하여 별의 정의로 $y\in G_j$이고 $G_j\cap (Y\setminus G_1)\ne \emptyset$인 $j=1,2$가 존재하는데

$j=1$이면 $G_1 \cap (Y\setminus G_1) = \emptyset$임에 따라 모순이고 $j=2$이면 $y\in G_2\cap (Y\setminus G_2) = \emptyset$임에 따라 모순이므로 

$f^{-1}[\mathcal{G}]=\{ f^{-1}(G_1),f^{-1}(G_2)\}$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개이다.

$n \ge 3$일때 $\mathcal{G} = \{ G_1,G_2,\cdots, G_n\}$에 대해 $f^{-1}[\mathcal{G}] =\{ f^{-1}(G_1),f^{-1}(G_2),\cdots, f^{-1}(G_n)\}$이면 

균등덮개의 정의와 균등공간 정리로 어떤 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개 $\mathcal{V}$가 $\mathcal{G}$의 성형세분이므로

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $V_i = \displaystyle \bigcup \{ V\in \mathcal{V} : \operatorname{st}(V,\mathcal{V})\subseteq G_i\}$이고 $\mathcal{V}_i = \{ G_i , Y\setminus V_i\}$일때

임의의 $V\in \mathcal{V}$에 대해 어떤 $y\in V$가 $y\notin Y\setminus V_i$라고 가정하면

$y\in V_i$가 되어 $y\in W$이고 $\operatorname{st}(W,\mathcal{V})\subseteq G_i$인 $W\in \mathcal{V}$가 존재하므로

$y\in V\cap W$임에 따라 $V\cap W\ne \emptyset$이 되어 별의 정의로 $V\subseteq \operatorname{st}(W,\mathcal{V})\subseteq G_i$이고 

모든 $y\in V$가 $y\in Y\setminus V_i$이면 $V\subseteq Y\setminus V_i$이므로 $\mathcal{V}$가 $Y$의 덮개임에 따라 $\mathcal{V}_i$는 $Y$의 덮개이고

$\mathcal{V}$는 $\mathcal{V}_i$의 세분이 되어 균등공간 정리로 $\mathcal{V}_i$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $Y$의 균등덮개이고 

$\mathcal{V}_i$는 $2$개이하의 원소를 갖는 유한집합이므로 성분역상 $f^{-1}[\mathcal{V_i}]$가 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개임에 따라

균등덮개 정리로 성분교집합 $f^{-1}[\mathcal{V}_1]\Cap f^{-1}[\mathcal{V}_2]\Cap \cdots \Cap f^{-1}[\mathcal{V}_n]$은 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개이다.

덮개의 정의로 모든 $y\in Y\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{V}$에 대해 $y\in V$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여 

성형세분의 정의로 $\operatorname{st}(V,\mathcal{V})\subseteq G_i$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하므로 $y\in V\subseteq V_i$임에 따라 $y\in \displaystyle \bigcup_{i=1}^n V_i$이고 

$Y\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^n V_i$가 되어 $\{ V_1,V_2,\cdots,V_n\}$은 $Y$의 덮개이므로 덮개 정리로 $Y=\displaystyle \bigcup_{i=1}^n V_i$이다.

모든 $U \in f^{-1}[\mathcal{V_1}]\Cap f^{-1}[\mathcal{V}_2]\Cap \cdots \Cap f^{-1}[\mathcal{V}_n]$에 대해 성분교집합의 정의로

$U = f^{-1}(W_1)\cap f^{-1}(W_2)\cap \cdots \cap f^{-1}(W_n)$인 $(W_1,W_2,\cdots,W_n)\in \mathcal{V}_1\times \mathcal{V}_2\times \cdots \times \mathcal{V}_n$이 존재하여 

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $W_i\ne G_i$이면 $W_i = Y\setminus V_i$이므로 함수 정리와 집합 정리로

$\begin{align*} U = \bigcap_{i=1}^n f^{-1}(W_i) = \bigcap_{i=1}^n f^{-1}(Y\setminus V_i) = f^{-1}( \bigcap_{i=1}^n (Y\setminus V_i) ) = f^{-1}( Y\setminus \bigcup_{i=1}^n V_i ) = f^{-1}( Y\setminus Y ) = f^{-1}(\emptyset)  \subseteq f^{-1}(G_i) \text{ 이고}\end{align*}$

어떤 $i = 1,2,\cdots,n$에 대해 $W_i = G_i$이면 $U\subseteq f^{-1}(W_i) = f^{-1}(G_i)$임에 따라 

$f^{-1}[\mathcal{V_1}]\Cap f^{-1}[\mathcal{V}_2]\Cap \cdots \Cap f^{-1}[\mathcal{V}_n]$은 $f^{-1}[\mathcal{G}]=\{ f^{-1}(G_1),f^{-1}(G_2),\cdots, f^{-1}(G_n)\}$의 세분이 되어 

균등공간 정리로 $f^{-1}[\mathcal{G}]=\{ f^{-1}(G): G\in \mathcal{G}\}$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $X$의 균등덮개이고

위 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이다.

 

 

 

정리5

근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}}$일때 모든 $A,B ,C\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

반대칭성 : $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이고 $B\ll_{\pmb{\delta}} A$이면 $A = B$이다.

추이성 : $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이고 $B\ll_{\pmb{\delta}} C$이면 $A\ll_{\pmb{\delta}} C$이다.

유한여집합 성질 : $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이기 위한 필요충분조건은 $(X\setminus B) \ll_{\pmb{\delta}} (X\setminus A)$인 것이다.

유한합집합 성질 : $A\ll_{\pmb{\delta}}C$이고 $B\ll_{\pmb{\delta}}C$이기 위한 필요충분조건은 $(A\cup B)\ll_{\pmb{\delta}} C$인 것이다.

증명

반대칭성

$A\ll_{\pmb{\delta}} B$이고 $B\ll_{\pmb{\delta}} A$이므로 근접공간 정리로 $A\subseteq B$이고 $B\subseteq A$가 되어 집합 정리로 $A = B$이다.

추이성

$A\ll_{\pmb{\delta}} B$이고 $B\ll_{\pmb{\delta}} C$이므로 근접공간 정리로 $B\subseteq C$가 되어 근접공간 정리로 $A\ll_{\pmb{\delta}} C$이다.

유한여집합 성질 

$A\ll_{\pmb{\delta}} B$이면

근접근방의 정의로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (X\setminus B)$인데 $(X\setminus B)\, \pmb{\delta} \, (X\setminus (X\setminus A))$라고 가정할때

집합 정리로 $X\setminus (X\setminus A) = A$이고 $(X\setminus B)\, \pmb{\delta} \, A$이므로 근접공간의 정의로 $A\, \pmb{\delta} \, (X\setminus B)$임에 따라 모순이 되어 

$(X\setminus B)\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (X\setminus (X\setminus A))$이고 근접근방의 정의로 $(X\setminus B) \ll_{\pmb{\delta}} (X\setminus A)$이다.

역으로 $(X\setminus B) \ll_{\pmb{\delta}} (X\setminus A)$이면 $(X\setminus (X\setminus A)) \ll_{\pmb{\delta}} (X\setminus (X\setminus B))$이므로

집합 정리로 $X\setminus (X\setminus A) = A$이고 $X\setminus (X\setminus B) = B$임에 따라 $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이다.

유한합집합 성질

$A\ll_{\pmb{\delta}}C$이고 $B\ll_{\pmb{\delta}}C$이면

근접근방의 정의로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (X\setminus C)$이고 $B\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (X\setminus C)$이므로 $(A\cup B)\,  \pmb{\delta} \, (X\setminus C)$라고 가정할때

근접공간의 정의로 $(X\setminus C)\,  \pmb{\delta} \, (A\cup B)$이고 근접공간의 정의로 $(X\setminus C)\,  \pmb{\delta} \, A$ 또는 $(X\setminus C)\,  \pmb{\delta} \, B$임에 따라 

근접공간의 정의로 $A\, \pmb{\delta} \, (X\setminus C)$ 또는 $B\,  \pmb{\delta} \, (X\setminus C)$가 되어 모순이므로 

$(A\cup B)\, \big /\hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (X\setminus C)$이고 근접근방의 정의로 $(A\cup B)\ll_{\pmb{\delta}} C$이다.

역으로 $(A\cup B)\ll_{\pmb{\delta}} C$이면 $A\subseteq A\cup B$이고 $B\subseteq A\cup B$이므로 근접공간 정리로 $A\ll_{\pmb{\delta}}C$이고 $B\ll_{\pmb{\delta}}C$이다.

 

 

 

정의1

근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}}$이고 임의의 $X$의 덮개가 $\mathcal{U},\mathcal{V}$일때 

어떤 유한집합 $I$가 존재하여 모든 $i\in I$에 대해 $U_i\ll_{\pmb{\delta}}V_i$인 $U_i,V_i\subseteq X$가 유일하게 존재하고

$\mathcal{U} = \{ U_i :i\in I\}$와 $\mathcal{V} = \{ V_i:i\in I\}$가 성립하면 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$를 $(X,\pmb{\delta})$에서 유한근접세분한다고 정의한다.

$\mathcal{U}$를 $(X,\pmb{\delta})$에서 유한근접세분하는 $X$의 덮개가 존재하면 $\mathcal{U}$를 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개로 정의한다.

 

 

 

정리6

근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}}$일때 임의의 $X$의 덮개 $\mathcal{U},\mathcal{V}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\{ X\}$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개이다.

2. $X = \emptyset$일때 $\emptyset$은 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개이다.

3. $\mathcal{U}$가 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개이면 $\mathcal{U}$는 유한집합이다.

4. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$를 $(X,\pmb{\delta})$에서 유한근접세분하면 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 세분이다.

5. $X\ne \emptyset$일때 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$를 $(X,\pmb{\delta})$에서 유한근접세분하면 어떤 $n\in $ $\mathbb{Z}^+$이 존재하여

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $U_k\ll_{\pmb{\delta}}V_k$인 $U_k,V_k\subseteq X$가 유일하게 존재하고

$\mathcal{U} = \{ U_1,U_2,\cdots, U_n\}$와 $\mathcal{V} = \{ V_1,V_2,\cdots,V_n\}$가 성립한다.

6. $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$를 $(X,\pmb{\delta})$에서 유한근접세분하면 모든 $A\subseteq X$에 대해 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\ll_{\pmb{\delta}}\operatorname{st}(A,\mathcal{V})$이다.

증명

1.

덮개 정리로 $\{ X\}$는 $X$의 덮개이고 근접공간 정리로 $X\ll_{\pmb{\delta}} X$이므로

$\{ X\}$는 유한집합이고 $\{ X\} = \{ A :  A \in \{ X\}\}$임에 따라 

$\{ X\}$는 $\{ X\}$를 $(X,\pmb{\delta})$에서 유한근접세분하여 $\{ X\}$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개이다.

2.

덮개 정리로 $\emptyset$은 $X = \emptyset$의 덮개이고 공허하게 모든 $A\in \emptyset$에 대해 $A\ll_{\pmb{\delta}} A$이므로 

$\emptyset$은 유한집합이고 $\emptyset = \{ A:A\in \emptyset\}$임에 따라

$\emptyset$은 $\emptyset$를 $(X,\pmb{\delta})$에서 유한근접세분하여 $\emptyset$은 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개이다.

3.

유한근접덮개의 정의로 어떤 $X$의 덮개 $\mathcal{C}$와 어떤 유한집합 $I$가 존재하여

모든 $i\in I$에 대해 $C_i\ll_{\pmb{\delta}}U_i$인 $C_i,U_i\subseteq X$가 유일하게 존재하고

$\mathcal{C} = \{ C_i:i\in I\}$와 $\mathcal{U} = \{ U_i:i\in I\}$가 성립하므로 함수 정리로 $\mathcal{U} = \{ U_i:i\in I\}$는 유한집합이다.

4.

유한근접덮개의 정의로 어떤 유한집합 $I$가 존재하여

모든 $i\in I$에 대해 $U_i\ll_{\pmb{\delta}}V_i$인 $U_i,V_i\subseteq X$가 유일하게 존재하고

$\mathcal{U} = \{ U_i :i\in I\}$와 $\mathcal{V} = \{ V_i:i\in I\}$가 성립하므로 

모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U = U_i$인 $i\in I$가 존재하여 $V_i\in \mathcal{V}$에 대해 $U= U_i\ll_{\pmb{\delta}}V_i$임에 따라 

근접공간 정리로 $U\subseteq V_i$이고 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{V}$의 세분이다.

5.

유한근접덮개의 정의로 어떤 유한집합 $I$가 존재하여

모든 $i\in I$에 대해 $U_i\ll_{\pmb{\delta}}V_i$인 $U_i,V_i\subseteq X$가 유일하게 존재하고

$\mathcal{U} = \{ U_i :i\in I\}$와 $\mathcal{V} = \{ V_i:i\in I\}$가 성립하므로 

$X\ne \emptyset$임에 따라 덮개 정리로 $\mathcal{U}\ne \emptyset$이 되어 $U\in \mathcal{U}$가 존재하고 $U = U_i$인 $i\in I$가 존재하므로 $I\ne \emptyset$이다.

$I$가 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$개 원소를 갖는 유한집합일때 기수 정리로 $|I| = |\{ 1,2,\cdots,n\}|$이므로

기수 정리로 전단사함수 $f:\{ 1,2,\cdots,n\}\to I$가 존재하여 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $U_{f(k)}\ll_{\pmb{\delta}}V_{f(k)}$이다.

모든 $i\in I$에 대해 전사의 정의로 $f(k) = i$인 $k=1,2,\cdots,n$가 존재하고 

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 함수의 정의로 $f(k)\in I$이므로

$\mathcal{U} = \{ U_i :i\in I\} = \{ U_{f(1)},U_{f(2)},\cdots,U_{f(n)}\}$과 $\mathcal{V} = \{ V_i:i\in I\} = \{ V_{f(1)},V_{f(2)},\cdots, V_{f(n)}\}$이 성립한다.

6.

$A = \emptyset$이면 별 정리와 근접공간 정리로 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})=\emptyset\ll_{\pmb{\delta}}\emptyset=\operatorname{st}(A,\mathcal{V})$이다.

$A\ne \emptyset$이면 $X\ne \emptyset$이므로 5번으로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $U_k\ll_{\pmb{\delta}}V_k$인 $U_k,V_k\subseteq X$가 유일하게 존재하고

$\mathcal{U} = \{ U_1,U_2,\cdots, U_n\}$와 $\mathcal{V} = \{ V_1,V_2,\cdots,V_n\}$가 성립한다.

덮개의 정의로 $x\in A\subseteq X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$가 존재하여 $x\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하므로 

$x\in A\cap U$임에 따라 $A\cap U\ne \emptyset$이고 $\{ U\in \mathcal{U}: A\cap U\ne \emptyset\}\ne \emptyset$이 되어

$\{ U\in \mathcal{U}: A\cap U\ne \emptyset\}\subseteq \mathcal{U}$임에 따라 3번과 유한집합 정리로 $\{ U\in \mathcal{U}: A\cap U\ne \emptyset\}$은 공집합이 아닌 유한집합이다.

$A\cap U\ne \emptyset$인 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U = U_k$인 $k=1,2,\cdots,n$가 존재하여

$U_k\ll_{\pmb{\delta}} V_k$이므로 근접공간 정리로 $A\cap U_k\subseteq A\cap V_k$임에 따라 $A\cap V_k\ne \emptyset$이고 

별의 정의로 $U=U_k\ll_{\pmb{\delta}} V_k \subseteq \displaystyle \bigcup \{ V\in \mathcal{V}:A\cap V\ne \emptyset \}=\operatorname{st}(A,\mathcal{V})$가 되어

근접공간 정리로 $U \ll_{\pmb{\delta}} \operatorname{st}(A,\mathcal{V})$이므로 위 정리로 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})=\displaystyle \bigcup \{ U\in \mathcal{U}:A\cap U\ne \emptyset \} \ll_{\pmb{\delta}} \operatorname{st}(A,\mathcal{V})$이다.

 

 

 

정의2

근접공간의 균등화 :

근접공간이 $(X,\pmb{\delta})$일때 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여 

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta}_\mathcal{D})$가 $\pmb{\delta} = \pmb{\delta}_\mathcal{D}$이면 $(X,\pmb{\delta})$가 균등화가능하다고 정의한다.

근접공간의 완전유계균등화 :

근접공간이 $(X,\pmb{\delta})$일때 $(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간이 되는 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여 

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta}_\mathcal{D})$가 $\pmb{\delta} = \pmb{\delta}_\mathcal{D}$이면 $(X,\pmb{\delta})$가 완전유계균등화가능하다고 정의한다.

위상공간의 근접화 :

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 $X$의 근접구조 $\pmb{\delta}$가 존재하여 

근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$이면 $(X,\mathcal{T})$가 근접화가능하다고 정의한다.

 

 

 

정리7

균등덮개공간이 $(X,\mathbf{U})$일때 어떤 $(X,\mathbf{U})$의 기저 $\mathbf{B}$가 존재하여

모든 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 유한집합이면 $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

증명

$X = \emptyset$이면 완전유계 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

$X\ne \emptyset$이면 균등덮개공간 정리로 모든 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$는 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$이므로 

기저의 정의로 어떤 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 $\mathcal{U}$의 세분이 되어 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}\subseteq \mathbf{U}$가 유한집합이고

균등덮개공간 정리로 $\mathcal{B}$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개임에 따라 위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

 

 

 

정리8

근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}}$일때 임의의 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개 $\mathcal{U},\mathcal{V}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 성분교집합 $\mathcal{U}\Cap \mathcal{V}$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개이다.

2. $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개 $\mathcal{F}$가 존재하여 $\mathcal{F}$가 $\mathcal{U}$의 무게중심 세분이다.

3. $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개 $\mathcal{F}$가 존재하여 $\mathcal{F}$가 $\mathcal{U}$의 성형 세분이다.

증명

1.

유한근접덮개의 정의로 어떤 $X$의 덮개 $\mathcal{A},\mathcal{B}$와 어떤 유한집합 $I,J$가 존재하여 

모든 $i\in I$와 모든 $j\in I$에 대해 $A_i \ll_{\pmb{\delta}}U_i$이고 $B_j\ll_{\pmb{\delta}} V_j$인 $A_i,U_i,B_j,V_j\subseteq X$가 유일하게 존재하고

$\mathcal{A} = \{ A_i:i\in I\}$와 $\mathcal{U}=\{ U_i:i\in I\}$가 성립하고 $\mathcal{B}=\{ B_j:j\in J\}$와 $\mathcal{V}=\{ V_j:j\in J\}$가 성립한다.

모든 $(i,j)\in I\times J$에 대해 $U_i\in \mathcal{U}$이고 $V_j\in \mathcal{V}$이므로

성분교집합의 정의로 $U_i\cap V_j\in \mathcal{U}\Cap \mathcal{V}$가 되어 $\{ U_i\cap V_j : (i,j)\in I\times J\}\subseteq \mathcal{U}\Cap \mathcal{V}$이고

모든 $W \in \mathcal{U}\Cap \mathcal{V}$에 대해 성분교집합의 정의로 $W = U\cap V$인 $(U,V)\in \mathcal{U}\times \mathcal{V}$가 존재하여 

$U = U_i$이고 $V = V_j$인 $(i,j)\in I\times J$가 존재하므로

$W = U\cap V = U_i\cap V_j$는 $W\in \{ U_i\cap V_j : (i,j)\in I\times J\}$이고 $\mathcal{U}\Cap \mathcal{V}\subseteq \{ U_i\cap V_j : (i,j)\in I\times J\}$임에 따라

집합 정리로 $\mathcal{U}\Cap \mathcal{V}=\{ U_i\cap V_j : (i,j)\in I\times J\}$이고 비슷하게 $\mathcal{A}\Cap \mathcal{B} = \{ A_i\cap B_j : (i,j)\in I\times J\}$이다.

모든 $(i,j)\in I\times J$에 대해 $A_i\cap B_j\subseteq A_i \ll_{\pmb{\delta}}U_i$이고 $A_i\cap B_j\subseteq B_j\ll_{\pmb{\delta}} V_j$이므로

근접공간 정리로 $A_i\cap B_j \ll_{\pmb{\delta}}U_i$와 $A_i\cap B_j \ll_{\pmb{\delta}}V_j$가 성립하여 근접공간 정리로 $A_i\cap B_j \ll_{\pmb{\delta}}U_i\cap V_j$이다.

덮개 정리로 $\mathcal{A}\Cap \mathcal{B},\mathcal{U}\Cap \mathcal{V}$는 $X$의 덮개이고 데카르트곱 정리로 $I\times J$는 유한집합이므로 

$\mathcal{A}\Cap \mathcal{B}$는 $\mathcal{U}\Cap \mathcal{V}$를 $(X,\pmb{\delta})$에서 유한근접세분하여 $\mathcal{U}\Cap \mathcal{V}$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개이다.

2.

$X = \emptyset$이면 위 정리로 $\emptyset$은 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개이고 공허하게 $\emptyset$은 $\mathcal{U}$의 무게중심 세분이다.

$X\ne \emptyset$이면 유한근접덮개의 정의와 위 정리로 어떤 $X$의 덮개 $\mathcal{A}$와 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $A_k\ll_{\pmb{\delta}}U_k$인 $A_k,U_k\subseteq X$가 유일하게 존재하고

$\mathcal{A} = \{ A_1,A_2,\cdots,A_n\}$와 $\mathcal{U} = \{ U_1,U_2,\cdots,U_n\}$가 성립하므로

근접공간 정리로 $A_k\ll_{\pmb{\delta}} B_k\ll_{\pmb{\delta}}U_k$인 $B_k\subseteq X$가 존재하고

$\mathcal{B} = \{ B_1,B_2,\cdots,B_n\}$일때 근접공간 정리로 $A_k\subseteq B_k$가 되어

덮개의 정의로 $X \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{A} = \bigcup_{k=1}^n A_k\subseteq \bigcup_{k=1}^nB_k = \bigcup \mathcal{B}$임에 따라 $\mathcal{B}$는 $X$의 덮개이다.

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $\mathcal{E}_k = \{ B_k, X\setminus B_k\}$이고 $\mathcal{F}_k = \{ U_k, X\setminus A_k\}$일때

근접공간 정리로 $A_k\subseteq U_k$이므로 집합 정리로 $X\setminus U_k\subseteq X\setminus A_k$가 되어 

집합 정리로 $X\subseteq X\cup U_k = U_k\cup (X\setminus U_k) \subseteq U_k \cup (X\setminus A_k) = \displaystyle \bigcup \{ U_k,X\setminus A_k\} = \bigcup \mathcal{F}_k$이고

$X\subseteq X\cup B_k = B_k \cup (X\setminus B_k) = \displaystyle \bigcup \{ B_k,X\setminus B_k\} = \bigcup \mathcal{E}_k$임에 따라 $\mathcal{E}_k,\mathcal{F}_k$는 $X$의 덮개이고

덮개 정리로 $\mathcal{E} = \mathcal{E}_1\Cap \mathcal{E}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{E}_n$와 $\mathcal{F} = \mathcal{F}_1\Cap \mathcal{F}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{F}_n$는 $X$의 덮개이다.

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $E_k(1) = B_k$와 $E_k(2) = X\setminus B_k$와 $F_k(1) = U_k$와 $F_k(2) = X\setminus A_k$를 정의할때

성분교집합의 정의로 

$\mathcal{E} = \mathcal{E}_1\Cap \mathcal{E}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{E}_n = \{ E_1(i_1)\cap E_2(i_2) \cap \cdots \cap E_n(i_n) : (i_1,i_2,\cdots,i_n)\in \{ 1,2\}^n\}$이고

$\mathcal{F} = \mathcal{F}_1\Cap \mathcal{F}_2\Cap \cdots \Cap \mathcal{F}_n = \{ F_1(i_1)\cap F_2(i_2) \cap \cdots \cap F_n(i_n) : (i_1,i_2,\cdots,i_n)\in \{ 1,2\}^n\}$이다.

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $E_k(1) = B_k \ll_{\pmb{\delta}} U_k = F_k(1)$이고 

$A_k \ll_{\pmb{\delta}} B_k$임에 따라 위 정리로 $E_k(2) = X\setminus B_k \ll_{\pmb{\delta}} X\setminus A_k = F_k(2)$이므로 

모든 $i_1,i_2,\cdots, i_n\in \{ 1,2\}$에 대해 $E_1(i_1)\cap E_2(i_2)\cap \cdots \cap E_n(i_n)\subseteq E_k(i_k) \ll_{\pmb{\delta}} F_k(i_k)$가 되어 

근접공간 정리로 $E_1(i_1)\cap E_2(i_2)\cap \cdots \cap E_n(i_n) \ll_{\pmb{\delta}} F_k(i_k)$임에 따라

근접공간 정리로 $E_1(i_1)\cap E_2(i_2)\cap \cdots \cap E_n(i_n) \ll_{\pmb{\delta}} F_1(i_1)\cap F_2(i_2)\cap \cdots \cap F_n(i_n)$이다.

$n$-데카르트곱 정리로 $\{ 1,2\}^n$은 유한집합이므로 $\mathcal{E}$는 $\mathcal{F}$를 $(X,\pmb{\delta})$에서 유한근접세분하여

$\mathcal{F}$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개이다.

덮개의 정의로 모든 $x\in X \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{A} = \bigcup_{k=1}^n A_k$에 대해 $x\in A_k$인 $k=1,2,\cdots,n$가 존재하고 

모든 $y\in \operatorname{st}(x,\mathcal{F})$에 대해 별의 정의로 $x,y\in F$인 $F \in \mathcal{F}$가 존재하여

$F = F_1(i_1)\cap F_2(i_2)\cap \cdots \cap F_n(i_n)$인 $i_1,i_2,\cdots, i_n\in \{ 1,2\}$가 존재하는데 $i_k = 2$라고 가정하면 

$x\in F = F_1(i_1)\cap F_2(i_2)\cap \cdots \cap F_n(i_n) \subseteq F_k(i_k) = F_k(2) = X\setminus A_k$이므로 $x\notin A_k$임에 따라 모순이 되어

$i_k = 1$이고 $y \in F = F_1(i_1)\cap F_2(i_2)\cap \cdots \cap F_n(i_n) \subseteq F_k(i_k) = F_k(1) = U_k$이므로 $\operatorname{st}(x, \mathcal{F})\subseteq U_k$임에 따라 

$\mathcal{F}$는 $\mathcal{U}$의 무게중심 세분이다.

3.

$X = \emptyset$이면 위 정리로 $\emptyset$은 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개이고 공허하게 $\emptyset$은 $\mathcal{U}$의 성형 세분이다.

$X\ne \emptyset$이면 덮개 정리로 $\mathcal{U}\ne \emptyset$이므로 2번으로 어떤 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개 $\mathcal{G}$가 $\mathcal{U}$의 무게중심 세분이고

어떤 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개 $\mathcal{F}$가 $\mathcal{G}$의 무게중심 세분임에 따라 덮개 정리로 $\mathcal{F}$는 $\mathcal{U}$의 성형 세분이다.

 

 

 

정리9

근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}}$이고 $X$의 모든 덮개들의 집합이 $\mathbf{C}$일때

$\mathbf{B} = \{ \mathcal{C}\in \mathbf{C} : \mathcal{C}\text{는 }(X,\pmb{\delta})\text{에서 } X\text{의 유한근접덮개}\}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathbf{U} = \{ \mathcal{U}\in \mathbf{C} : \text{어떤 }\mathcal{B}\in \mathbf{B}\text{가 } \mathcal{U}\text{의 세분} \}$에 대해 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

2. $(X,\mathbf{U})$의 생성균등공간 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

3. $(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta}_\mathcal{D})$에 대해 $\pmb{\delta} = \pmb{\delta}_\mathcal{D}$이다.

4. $(X,\pmb{\delta})$는 완전유계균등화가능하다.

증명

1.

$\mathbf{B}\subseteq \mathbf{C}$이고 위 정리로 $\{X\}$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개이므로 $\{X\}\in \mathbf{B}$가 되어 $\mathbf{B}\ne \emptyset$이다.

모든 $\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2\in \mathbf{B}$에 대해 위 정리로 성분교집합 $\mathcal{B}_1\Cap \mathcal{B}_2$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개이고

덮개 정리로 $\mathcal{B}_1\Cap \mathcal{B}_2$는 $\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2$의 세분이 되어

위 정리로 어떤 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개 $\mathcal{A}$가 $\mathcal{B}_1\Cap \mathcal{B}_2$의 성형세분임에 따라

덮개 정리로 $\mathcal{A}$는 $\mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2$의 성형세분이고 $\mathcal{A}\in \mathbf{B}$이므로 

균등덮개공간 정리로 $(X,\mathbf{U})$는 균등덮개공간이고 $\mathbf{B}$는 $(X,\mathbf{U})$의 기저이다.

2.

$X = \emptyset$일때 완전유계 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

$X\ne \emptyset$일때 

모든 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$는 균등덮개공간 정리로 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$이므로 기저의 정의로 어떤 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}$가 $\mathcal{U}$의 세분이고

$\mathcal{B}$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개이므로 위 정리로 $\mathcal{B}$는 유한집합이고 기저의 정의로 $\mathcal{B}\in \mathbf{B}\subseteq \mathbf{U}$임에 따라

균등덮개공간 정리로 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개가 되어 위 정리로 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이다.

3, 4

$(X,\pmb{\delta}_\mathcal{D})$는 $(X,\mathbf{U})$의 균등덮개근접공간이므로 

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A \, \pmb{\delta}_\mathcal{D}\, B$이기 위한 필요충분조건은 모든 $\mathcal{U}\in \mathbf{U}$가 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\cap B\ne \emptyset$인 것이다.

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, B$이면 

집합 정리로 $X\setminus (X\setminus B)=B$임에 따라 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus (X\setminus B))$이므로 근접근방의 정의로 $A\ll_{\pmb{\delta}} X\setminus B$가 되어 

근접공간 정리로 $A\ll_{\pmb{\delta}} C_1 \ll_{\pmb{\delta}} C_2 \ll_{\pmb{\delta}}C_3 \ll_{\pmb{\delta}}C_4\ll_{\pmb{\delta}} X\setminus B$인 $C_1,C_2,C_3,C_4\subseteq X$가 존재하고 

위 정리와 근접공간 정리로 $X\setminus C_3\subseteq X\setminus C_2$와 $X\setminus C_4 \subseteq X\setminus C_1$이 성립하여

$\mathcal{U} = \{ C_3,X\setminus C_2\}$이고 $\mathcal{V} = \{ C_4,X\setminus C_1\}$일때 집합 정리로

$X\subseteq X\cup C_3 = C_3\cup (X\setminus C_3) \subseteq C_3 \cup (X\setminus C_2) = \displaystyle \bigcup \{ C_3,X\setminus C_2\} = \bigcup \mathcal{U}$이고

$X\subseteq X\cup C_4 = C_4\cup (X\setminus C_4) \subseteq C_4 \cup (X\setminus C_1) = \displaystyle \bigcup \{ C_4,X\setminus C_1\} = \bigcup \mathcal{V}$이므로 $\mathcal{U},\mathcal{V}$는 $X$의 덮개이고

위 정리로 $C_3\ll_{\pmb{\delta}} C_4$와 $X\setminus C_2\ll_{\pmb{\delta}} X\setminus C_1$이 성립함에 따라 $\mathcal{V}$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 유한근접덮개이다.

모든 $x\in \operatorname{st}(A,\mathcal{V})$에 대해 별의 정의로 $x\in V$이고 $A\cap V\ne \emptyset$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하여 

$V\ne C_4$라고 가정하면 위 정리와 근접공간 정리로 $V = X\setminus C_1\subseteq X\setminus A$임에 따라

$A\cap V = A\cap (X\setminus C_1) \subseteq A\cap (X\setminus A) = \emptyset$이고 $A\cap V = \emptyset$이 되어 모순이므로 

$x\in V = C_4$이고 근접공간 정리로 $\operatorname{st}(A,\mathcal{V})\subseteq C_4\subseteq X\setminus B$가 되어

기저의 정의로 $\mathcal{V}\in \mathbf{B}\subseteq \mathbf{U}$에 대해 집합 정리로 $\operatorname{st}(A,\mathcal{V})\cap B = \emptyset$임에 따라 $A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}_\mathcal{D}\, B$이다.

$A \,\big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}_\mathcal{D}\, B$이면

어떤 $\mathcal{W}\in \mathbf{U}$에 대해 $\operatorname{st}(A,\mathcal{W})\cap B =\emptyset$이고 기저의 정의로 어떤 $\mathcal{V}\in \mathbf{B}$가 $\mathcal{W}$의 세분이므로

어떤 $X$의 덮개 $\mathcal{U}$가 $\mathcal{V}$를 $(X,\pmb{\delta})$에서 유한근접세분하여 위 정리로 $\operatorname{st}(A,\mathcal{U})\ll_{\pmb{\delta}} \operatorname{st}(A,\mathcal{V})$이고 

별 정리와 집합 정리로 $A\subseteq \operatorname{st}(A,\mathcal{U})\ll_{\pmb{\delta}} \operatorname{st}(A,\mathcal{V}) \subseteq \operatorname{st}(A,\mathcal{W}) \subseteq X\setminus B$이므로 

근접공간 정리로 $A\ll_{\pmb{\delta}} X\setminus B$이고 근접근방의 정의로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (X\setminus (X\setminus B))$가 되어 

집합 정리로 $X\setminus (X\setminus B) = B$임에 따라 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, B$이다.

따라서 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta} \, B$이기 위한 필요충분조건은 $A\, \pmb{\delta}_\mathcal{D} \, B$인 것이므로 

관계의 정의와 집합 정리로 $\pmb{\delta} = \pmb{\delta}_\mathcal{D}$가 되어 $(X,\pmb{\delta})$는 완전유계균등화가능하다.

 

 

 

정리10

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 근접화가능하기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{T})$가 완비정칙공간인 것이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$가 근접화가능하면

어떤 $X$의 근접구조 $\pmb{\delta}$가 존재하여 근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$이고 

위 정리로 어떤 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여 균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta}_\mathcal{D})$가 $\pmb{\delta} = \pmb{\delta}_\mathcal{D}$이므로

균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$는 $\mathcal{T}_\mathcal{D} = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}} = \mathcal{T}$가 되어

균등화 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 완비정칙공간이다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$가 완비정칙공간이면 균등화 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 균등화가능하므로

어떤 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}$가 존재하여 균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T}_\mathcal{D})$는 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_\mathcal{D}$이고 

균등공간 정리로 $(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})$가 $\mathcal{T}_{\pmb{\delta}} = \mathcal{T}_\mathcal{D} = \mathcal{T}$임에 따라 

$(X,\mathcal{T})$는 근접화가능하다.

 

 

 

정리11

균등공간 $(X,\mathcal{D}_1),(X,\mathcal{D}_2)$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta}_1),(X,\pmb{\delta}_2)$가 $\pmb{\delta}_1 =  \pmb{\delta}_2$일때

$(X,\mathcal{D}_2)$가 완전유계균등공간이면 $\mathcal{D}_2 \subseteq \mathcal{D}_1$이다.

증명

근접공간 정리로 $X$의 항등함수 $i_X:X\to X$는 $(X,\pmb{\delta}_1)$에서 $(X,\pmb{\delta}_2)$로의 근접연속함수이고 

$(X,\mathcal{D}_2)$가 완전유계균등공간임에 따라 위 정리로 $i_X$는 $(X,\mathcal{D}_1)$에서 $(X,\mathcal{D}_2)$로의 균등연속함수이므로 

모든 $D_2\in \mathcal{D}_2$에 대해 모든 $(x,y)\in D_1$가 $(i_X(x),i_X(y))\in D_2$인 $D_1\in \mathcal{D}_1$이 존재하여

항등함수의 정의로 $(x,y)=(i_X(x),i_X(y))\in D_2$이고 $D_1\subseteq D_2$임에 따라

균등공간의 정의로 $D_2\in \mathcal{D}_1$이고 $\mathcal{D}_2 \subseteq \mathcal{D}_1$이다.

 

 

 

정의3

근접공간 $(X,\pmb{\delta})$에 대해 균등공간 $(X,\mathcal{E})$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta}_\mathcal{E})$가 $\pmb{\delta} = \pmb{\delta}_\mathcal{E}$일때

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta}_\mathcal{D})$가 $\pmb{\delta} = \pmb{\delta}_\mathcal{D}$인 모든 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}$에 대해 $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{D}$이면 

$(X,\mathcal{E})$를 $(X,\pmb{\delta})$의 약한균등공간으로 정의하고 $\mathcal{E}$를 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 약한균등구조로 정의한다.

 

 

 

정리12

근접공간 $(X,\pmb{\delta})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 약한균등구조가 유일하게 존재한다.

2. 균등공간 $(X,\mathcal{D})$가 $(X,\pmb{\delta})$의 약한균등공간이기 위한 필요충분조건은

$(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta}_\mathcal{D})$가 $\pmb{\delta} = \pmb{\delta}_\mathcal{D}$이고 $(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간인 것이다.

증명

1.

위 정리로 $(X,\mathcal{D}_{\pmb{\delta}})$가 완전유계균등공간인 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}_{\pmb{\delta}}$가 존재하여 $(X,\mathcal{D}_{\pmb{\delta}})$의 균등근접공간은 $(X,\pmb{\delta})$이고

균등공간 $(X,\mathcal{E})$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta}_\mathcal{E})$가 $\pmb{\delta} = \pmb{\delta}_\mathcal{E}$인 모든 $X$의 균등구조 $\mathcal{E}$에 대해 위 정리로 $\mathcal{D}_{\pmb{\delta}}\subseteq \mathcal{E}$이므로

$\mathcal{D}_{\pmb{\delta}}$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 약한균등구조이다.

임의의 $(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 약한균등구조 $\mathcal{D}_1,\mathcal{D}_2$에 대해 

균등공간 $(X,\mathcal{D}_1),(X,\mathcal{D}_2)$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta}_1),(X,\pmb{\delta}_2)$는 $\pmb{\delta}_1 = \pmb{\delta} =  \pmb{\delta}_2$이므로

약한균등구조의 정의로 $\mathcal{D}_1\subseteq \mathcal{D}_2$이고 $\mathcal{D}_2\subseteq \mathcal{D}_1$임에 따라 집합 정리로 $\mathcal{D}_1=\mathcal{D}_2$가 되어 

$(X,\pmb{\delta})$에서 $X$의 약한균등구조는 유일하게 존재한다.

2.

$(X,\mathcal{D})$가 $(X,\pmb{\delta})$의 약한균등공간이면 

위 정리로 $(X,\mathcal{D}_{\pmb{\delta}})$가 완전유계균등공간인 $X$의 균등구조 $\mathcal{D}_{\pmb{\delta}}$가 존재하여 $(X,\mathcal{D}_{\pmb{\delta}})$의 균등근접공간은 $(X,\pmb{\delta})$이고 

약한균등공간의 정의로 $(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta}_\mathcal{D})$는 $\pmb{\delta} = \pmb{\delta}_\mathcal{D}$이므로 

위 정리로 $\mathcal{D}_{\pmb{\delta}}\subseteq \mathcal{D}$이고 약한균등공간의 정의로 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{D}_{\pmb{\delta}}$임에 따라 

집합 정리로 $\mathcal{D}_{\pmb{\delta}}=\mathcal{D}$가 되어 $(X,\mathcal{D}) = (X,\mathcal{D}_{\pmb{\delta}})$는 완전유계균등공간이다.

역으로 $(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta}_\mathcal{D})$가 $\pmb{\delta} = \pmb{\delta}_\mathcal{D}$이고 $(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간이면 

균등공간 $(X,\mathcal{E})$의 균등근접공간 $(X,\pmb{\delta}_\mathcal{E})$가 $\pmb{\delta} = \pmb{\delta}_\mathcal{E}$인 모든 $X$의 균등구조 $\mathcal{E}$에 대해 위 정리로 $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{E}$이므로

$(X,\mathcal{D})$는 $(X,\pmb{\delta})$의 약한균등공간이다.

 

 

 

정리13

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 정규공간일때 $(X,\mathcal{T})$의 기본근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{T}_{\pmb{\delta}}\subseteq \mathcal{T}$

2. $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{T})$가 정칙공간인 것이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간이면 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$이다.

증명

$(X,\pmb{\delta})$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}}$일때

1.

모든 $O\in \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$의 모든 $x\in O$에 대해 내부 정리로 $x\in O = \underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})}{\operatorname{int}}(O)$이므로

근접공간 정리로 $\{ x\}\ll_{\pmb{\delta}} O$가 되어 근접근방의 정의로 $\{ x\} \, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (X\setminus O)$임에 따라

기본근접공간의 정의로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{ x\})\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus O) = \emptyset$이고 폐포 정리로 $X\setminus O \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus O)$이므로

폐포 정리와 집합 정리와 집합 정리로 $x\in \{x\}\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{ x\})\subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus O) \subseteq X\setminus (X\setminus O) = O$가 되어

폐포 정리와 닫힌집합의 정의로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus O)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방임에 따라

위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}$이고 $\mathcal{T}_{\pmb{\delta}}\subseteq \mathcal{T}$이다.

2.

$\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$이면 $(X,\mathcal{T})$는 근접화가능하므로 위 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$가 정칙공간이면

모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해 정칙공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\subseteq O$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재하여 

$\{ x\}\subseteq U$임에 따라 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{ x\})\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\subseteq O$이고 

위상공간 정리로 $X\setminus O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\})\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus O)=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{ x\})\cap (X\setminus O) \subseteq O\cap (X\setminus O) = \emptyset$이 되어 

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\})\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus O)= \emptyset$이고 기본근접공간의 정의로 $\{ x\} \, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (X\setminus O)$이므로

근접근방의 정의로 $\{ x\}\ll_{\pmb{\delta}} O$가 되어 근접공간 정리와 내부 정리로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})}{\operatorname{int}}(O)\subseteq O$이고 

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})}{\operatorname{int}}(O)$가 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})$에서 $x$의 열린근방임에 따라 위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$이고 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$이다.

따라서 1번으로 $\mathcal{T}_{\pmb{\delta}}\subseteq \mathcal{T}$이므로 집합 정리로 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$이다.

3.

$(X,\mathcal{T})$는 $T_4$공간이므로 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이 되어 2번으로 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$이다.

 

 

 

정리14

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 콤팩트공간일때 $(X,\mathcal{T})$의 기본근접공간 $(X,\pmb{\delta})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\pmb{\delta})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})$에 대해 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$이다.

2. 근접공간 $(X,\pmb{\epsilon})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}})$이 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}}$인 모든 $X$의 근접구조 $\pmb{\epsilon}$은 $\pmb{\delta} = \pmb{\epsilon}$이다.

증명

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 정규공간이므로 $(X,\mathcal{T})$의 기본근접공간 $(X,\pmb{\delta})$는 근접공간이다.

1.

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이므로 위 정리로 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$이다.

2.

$(X,\pmb{\delta}),(X,\pmb{\epsilon})$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}},\ll_{\pmb{\epsilon}}$일때

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\epsilon} \, B$이면 근접공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}})}{\operatorname{cl}}(A)\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\epsilon} \, \underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}})}{\operatorname{cl}}(B)$이므로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\epsilon} \, \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$가 되어

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) = X\setminus (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B))$임에 따라 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\epsilon} \, (X\setminus (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)))$이고

근접근방의 정의로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \ll_{\pmb{\epsilon}}  X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이므로 근접공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq  X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$가 되어

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) =\emptyset$이고 기본근접공간의 정의로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, B$이다.

$A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, B$이면 $A = \emptyset$일때 근접공간 정리로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\epsilon} \, B$이다.

$A\ne \emptyset$일때

근접공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이므로 기본근접공간의 정의로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) =\emptyset$이고 

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A), \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라

$X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 콤팩트 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.

$\mathcal{O} = \{ O\in \mathcal{T} : O\ll_{\pmb{\epsilon}} X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\}$일때 

집합 정리와 내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B))$이므로

모든 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)) = \underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}})}{\operatorname{int}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B))$에 대해

근접공간 정리로 $\{ x\}\ll_{\pmb{\epsilon}} X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$가 되어 

근접공간 정리로 $\{ x\}  \ll_{\pmb{\epsilon}} C_x \ll_{\pmb{\epsilon}}  X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$인 $C_x\subseteq X$가 존재하고

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(C_x)\in \mathcal{T}$이므로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(C_x)\subseteq C_x \ll_{\pmb{\epsilon}}  X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$임에 따라

근접공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(C_x) \ll_{\pmb{\epsilon}} X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이고

근접공간 정리로 $x\in \{ x\} \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\}) = \underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}})}{\operatorname{cl}}(\{x\})\subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}})}{\operatorname{int}}(C_x)= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(C_x)\in \mathcal{O}$가 되어 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이고

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$의 열린덮개가 되어

콤팩트 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{O}$가 존재한다.

$A\ne \emptyset$이므로 폐포 정리로 $A\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$임에 따라 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이고

모든 $O\in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{O}$는 $O\ll_{\pmb{\epsilon}} X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이므로 위 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F}\ll_{\pmb{\epsilon}} X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$가 되어 

근접공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \ll_{\pmb{\epsilon}} X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이고 근접근방의 정의로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\epsilon} \, (X\setminus (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)))$이므로 

$\underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}})}{\operatorname{cl}}(A)=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이고 집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}})}{\operatorname{cl}}(B)=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) = X\setminus (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B))$임에 따라

$\underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}})}{\operatorname{cl}}(A)\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\epsilon} \, \underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}})}{\operatorname{cl}}(B)$가 되어 근접공간 정리로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\epsilon} \, B$이다.

따라서 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta} \, B$이기 위한 필요충분조건은 $A\, \pmb{\epsilon} \, B$인 것이므로 

관계의 정의와 집합 정리로 $\pmb{\delta} = \pmb{\epsilon}$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/134#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/134#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797