수학/위상수학 2025. 12. 11. 15:18

정의1

$X\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$에 대해 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $X$-일반 곱공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$일때

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$의 부분위상공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$이면

$(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$를 $X$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 점별수렴위상공간(topology of pointwise convergence)으로 정의한다.

정리1

$X\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$에 대해 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $X$-일반 곱공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$이고

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$의 부분위상공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$일때 임의의 $f\in \mathcal{F}$에 대해

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $\mathcal{F}$의 그물 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$에서 $f$로 수렴하기 위한 필요충분조건은

모든 $x\in X$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(x)$로 수렴하는 것이다.

증명

그물 정리로

$(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 $f$로 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$에서 $f$로 수렴하는 것이고

임의의 $x\in X$에 대해 $Y^X$의 $x$-좌표 사영함수가 $\pi_x : Y^X\to Y$일때 그물 정리로

$(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 $f$로 수렴하기 위한 필요충분조건은

모든 $x\in X$에 대해 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}=(\pi_x(f_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(x) = \pi_x(f)$로 수렴하는 것이므로

$(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$에서 $f$로 수렴하기 위한 필요충분조건은

모든 $x\in X$에 대해 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(x)$로 수렴하는 것이다.

정리2

$X\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$에 대해 하우스도르프 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $X$-일반 곱공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$일때

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$가 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 콤팩트하기 위한 필요충분조건은

$\mathcal{F}$가 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 닫힌집합이고 모든 $x\in X$에 대해 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(\{ f(x) : f\in \mathcal{F}\})$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트한 것이다.

증명

$(Y,\mathcal{T}_Y)$는 하우스도르프 공간이므로 곱공간 정리로 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$는 하우스도르프 공간이고 곱공간 정리로

모든 $x\in X$에 대해 $Y^X$의 $x$-좌표 사영함수 $\pi_x : Y^X\to Y$는 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고

함수의 상의 정의로 $\{ f(x): f\in \mathcal{F}\} = \{ \pi_x(f) : f\in \mathcal{F}\} = \pi_x(\mathcal{F})$이다.

$\mathcal{F}$가 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 콤팩트하면

위상공간 정리로 $\mathcal{F}$는 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 닫힌집합이고 모든 $x\in X$에 대해

연속함수 정리로 $\pi_x(\mathcal{F})$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트하므로 위상공간 정리로 $\pi_x(\mathcal{F})$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이 되어

폐포 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(\{ f(x) : f\in \mathcal{F}\}) = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(\pi_x(\mathcal{F})) = \pi_x(\mathcal{F})$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트하다.

역으로 조건이 성립하면

임의의 $x\in X$에 대해 $F_x=\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(\{ f(x) : f\in \mathcal{F}\})$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트하므로

$(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분위상공간 $(F_x,\mathcal{T}_Y|_{F_x})$는 콤팩트공간이 되어

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $\mathcal{F}$의 초그물이 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$일때 폐포 정리로

모든 $f\in \mathcal{F}$가 $\rho_x(f) = \pi_x(f)\in \pi_x(\mathcal{F})\subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(\pi_x(\mathcal{F})) = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(\{f(x):f\in \mathcal{F}\}) = F_x$인

함수 $\rho_x : \mathcal{F}\to F_x$에 대해 그물 정리로 $(\rho_x(f_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $F_x$의 초그물임에 따라

콤팩트공간 정리로 $(\rho_x(f_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(F_x,\mathcal{T}_Y|_{F_x})$에서 어떤 $y_x\in F_x\subseteq Y$로 수렴하고

그물 정리로 $(\pi_x(f_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}=(\rho_x(f_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y_x$로 수렴한다.

위상공간 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $(\pi_x(f_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 수렴하는 $y_x\in Y$는 유일하게 존재하므로

$f(x) = y_x$인 함수 $f: X\to Y$가 존재하여 일반 데카르트곱 정리로 $f\in Y^X$이고

$\pi_x(f) = f(x) = y_x$이므로 그물 정리로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 $f$로 수렴하고

$\mathcal{F}$가 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 닫힌집합임에 따라 그물 정리로 $f\in \mathcal{F}$가 되어 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$의 부분위상공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$일때

콤팩트공간 정리로 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$는 콤팩트공간이므로 $\mathcal{F}$는 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 콤팩트하다.

정의2

유한 곱균등공간의 거듭제곱 :

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 균등공간이 $(X_1,\mathcal{D}_1),(X_2,\mathcal{D}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{D}_n)$일때

임의의 균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 모든 $i=1,2,\cdots,n$가 $(X,\mathcal{D})=(X_i,\mathcal{D}_i)$이면

$(X_1,\mathcal{D}_1),(X_2,\mathcal{D}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{D}_n)$의 $n$-곱균등공간 $(\displaystyle \prod_{i=1}^n X_i, \mathcal{E})$와 $X$의 $n$-데카르트곱 $X^n$에 대해

$(\displaystyle \prod_{i=1}^n X_i, \mathcal{E}) = (X^n,\mathcal{E})$를 $(X,\mathcal{D})$의 $n$-곱균등공간으로 정의한다.

일반 곱균등공간의 거듭제곱 :

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 유일한 균등공간 $(X_i,\mathcal{D}_i)$가 존재하고

임의의 균등공간 $(X,\mathcal{D})$에 대해 모든 $i\in I$가 $(X,\mathcal{D}) = (X_i,\mathcal{D}_i)$일때

$\{(X_i,\mathcal{D}_i):i\in I \}$의 일반 곱균등공간 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{E})$와 $X$의 $I$-일반 데카르트곱 $X^I$에 대해

$(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i,\mathcal{E}) = (X^I,\mathcal{E})$를 $(X,\mathcal{D})$의 $I$-일반 곱균등공간으로 정의한다.

정의3

$X\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$에 대해 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 $X$-일반 곱균등공간이 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$일때

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$의 부분균등공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$이면

$(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$를 $X$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 점별수렴균등공간(uniformity of pointwise convergence)으로 정의한다.

정리3

$X\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$에 대해 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 $X$-일반 곱균등공간이 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$이고

$(Y,\mathcal{D}_Y),(Y^X,\mathcal{D}_p)$의 균등위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y),(Y^X,\mathcal{T}_p)$일때 모든 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(Y^X,\mathcal{T}_p)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $X$-일반 곱공간이다.

2. $(Y^X,\mathcal{D}_p)$의 부분균등공간 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$의 균등위상공간은 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$의 부분위상공간 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$이다.

3. $X$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 점별수렴균등공간의 균등위상공간은 $X$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 점별수렴위상공간이다.

증명

균등공간 정리로 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$의 균등위상공간 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $X$-일반 곱공간이고

$(Y^X,\mathcal{T}_p)$의 부분위상공간 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$에 대해

균등공간 정리로 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$의 부분균등공간 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$의 균등위상공간은 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$이므로

$X$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 점별수렴균등공간의 균등위상공간은 $X$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 점별수렴위상공간이다.

정리4

$X\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$에 대해 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 $X$-일반 곱균등공간이 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$이고

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$의 부분균등공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$일때

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $\mathcal{F}$의 그물 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$에서 코시그물이기 위한 필요충분조건은

모든 $x\in X$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 코시그물인 것이다.

증명

$(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$에서 코시그물이면 임의의 $x\in X$에 대해

균등공간 정리로 $Y^X$의 $x$-좌표 사영함수 $\pi_x : Y^X\to Y$는 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이므로

균등공간 정리로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$에서 코시그물임에 따라

균등연속 정리로 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda} = (\pi_x(f_\lambda))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 코시그물이다.

역으로 모든 $x\in X$에 대해 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 코시그물이면

$Y^X$의 $x$-좌표 사영함수 $\pi_x : Y^X\to Y$의 곱함수가 $P_{\pi_x} : Y^X\times Y^X \to Y\times Y$일때

균등공간 정리로 모든 $D\in \mathcal{D}_p$에 대해 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$P_{\pi_{x_1}}^{-1}(D_1) \cap P_{\pi_{x_2}}^{-1}(D_2)\cap \cdots \cap P_{\pi_{x_n}}^{-1}(D_n) \subseteq D$인 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in X$과 $D_1,D_2,\cdots,D_n\in \mathcal{D}_Y$이 존재하고

코시그물의 정의로 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $\lambda_{D_i} \le_\Lambda \lambda,\mu$인 모든 $\lambda,\mu\in \Lambda$가

$P_{\pi_{x_i}}(f_\lambda,f_\mu)=(\pi_{x_i}(f_\lambda),\pi_{x_i}(f_\mu))=(f_{\lambda}(x_i),f_{\mu}(x_i))\in D_i$인 $\lambda_{D_i}\in \Lambda$가 존재하므로

상향 원순서집합 정리로 어떤 $\lambda_D\in \Lambda$에 대해 모든 $i=1,2,\cdots,n$가 $\lambda_{D_i}\le_\Lambda \lambda_D$임에 따라

$\lambda_{D_i}\le_\Lambda\lambda_{D}\le_\Lambda \lambda,\mu$인 모든 $\lambda,\mu\in \Lambda$는 $P_{\pi_{x_i}}(f_\lambda,f_\mu)\in D_i$가 되어 $(f_\lambda,f_\mu)\in P_{\pi_{x_i}}^{-1}(D_i)$이고

$(f_\lambda,f_\mu)\in P_{\pi_{x_1}}^{-1}(D_1) \cap P_{\pi_{x_2}}^{-1}(D_2)\cap \cdots \cap P_{\pi_{x_n}}^{-1}(D_n) \subseteq D$이므로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$에서 코시그물이 되어

균등공간 정리로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$에서 코시그물이다.

정리5

$X\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$에 대해 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 $X$-일반 곱균등공간이 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$이고

$(Y,\mathcal{D}_Y),(Y^X,\mathcal{D}_p)$의 균등위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y),(Y^X,\mathcal{T}_p)$일때

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$가 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 닫힌집합이고

모든 $x\in X$에 대해 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(\{ f(x) : f\in \mathcal{F}\})$가 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 완비이면 $\mathcal{F}$는 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$에서 완비이다.

증명

$(Y^X,\mathcal{D}_p)$의 부분균등공간 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$에 대해

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $\mathcal{F}$의 그물 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$에서 코시그물이면

위 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 코시그물이므로

$F_x = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(\{ f(x) : f\in \mathcal{F}\})$일때

모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 폐포 정리로 $f_\lambda(x)\in \{ f(x):f\in \mathcal{F}\}\subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(\{ f(x):f\in \mathcal{F}\}) = F_x$임에 따라

$(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $F_x$의 그물이고 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 부분균등공간이 $(F_x,\mathcal{D}_Y|_{F_x})$일때

균등공간 정리로 $(F_x,\mathcal{D}_Y|_{F_x})$의 균등위상공간은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분위상공간 $(F_x,\mathcal{T}_Y|_{F_x})$이므로

균등공간 정리로 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(F_x,\mathcal{D}_Y|_{F_x})$에서 코시그물이고 $(F_x,\mathcal{D}_Y|_{F_x})$가 완비균등공간임에 따라

$(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(F_x,\mathcal{T}_Y|_{F_x})$에서 어떤 $y_x\in F_x\subseteq Y$로 수렴하여

그물 정리로 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y_x$로 수렴한다.

임의의 $x\in X$에 대해 $Y^X$의 $x$-좌표 사영함수가 $\pi_x : Y^X\to Y$일때

선택 정리로 $(\pi_x(f_\lambda))_{\lambda\in \Lambda} = (f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$가 $f(x)$로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 수렴하는 함수 $f: X\to Y$가 존재하여

일반 데카르트곱 정리로 $f\in Y^X$이고 $\pi_x(f) = f(x)$이므로

위 정리와 그물 정리로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 $f$로 수렴하고

$\mathcal{F}$가 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 닫힌집합임에 따라 그물 정리로 $f\in \mathcal{F}$이고

위 정리로 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$의 균등위상공간은 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$의 부분위상공간 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$이므로

그물 정리로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$에서 $f$로 수렴함에 따라

$(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$는 완비균등공간이 되어 $\mathcal{F}$는 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$에서 완비이다.

정리6(점별수렴 균등공간)

$X\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$에 대해 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 $X$-일반 곱균등공간이 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$이고

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$의 부분균등공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$일때

$X$의 모든 유한인 부분집합들의 집합 $\mathcal{A}_X$의 모든 $A\in \mathcal{A}_X$와 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해

$\mathcal{F}(A,D_Y) = \{ (f,g)\in \mathcal{F}\times \mathcal{F} : \text{모든 } x\in A\text{에 대해 } (f(x), g(x))\in D_Y\}$이면

$\{ \mathcal{F}(A,D_Y) : A\in \mathcal{A}_X, D_Y\in \mathcal{D}_Y\}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$의 기저이다.

증명

모든 $x\in X$에 대해 $Y^X$의 $x$-좌표 사영함수 $\pi_x : Y^X\to Y$의 곱함수가 $P_{\pi_x} : Y^X\times Y^X \to Y\times Y$일때

모든 $A\in \mathcal{A}_X$와 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $\mathcal{F}(A,D_Y)\subseteq \mathcal{F}\times \mathcal{F}$이므로

$A = \emptyset$이면

모든 $(f,g)\in \mathcal{F}\times \mathcal{F}$는 공허하게 모든 $x\in \emptyset= A$에 대해 $(f(x),g(x))\in D_Y$가 되어

$(f,g)\in \mathcal{F}(A,D_Y)$임에 따라 $\mathcal{F}\times \mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}(A,D_Y)$이고

집합 정리와 균등공간 정리로 $\mathcal{F}(A,D_Y) = \mathcal{F}\times \mathcal{F}\in \mathcal{D}_p|_\mathcal{F}$이다.

$A\ne\emptyset$이면 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $A = \{ x_1,x_2,\cdots,x_n\}$인 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in X$이 존재하여

균등공간 정리로 $P_{\pi_{x_1}}^{-1}(D_Y)\cap P_{\pi_{x_2}}^{-1}(D_Y)\cap \cdots \cap P_{\pi_{x_n}}^{-1}(D_Y)\in \mathcal{D}_p$이므로

부분균등공간의 정의로 $P_{\pi_{x_1}}^{-1}(D_Y)\cap P_{\pi_{x_2}}^{-1}(D_Y)\cap \cdots \cap P_{\pi_{x_n}}^{-1}(D_Y)\cap (\mathcal{F}\times \mathcal{F})\in \mathcal{D}_p|_\mathcal{F}$이고

모든 $(f,g)\in P_{\pi_{x_1}}^{-1}(D_Y)\cap P_{\pi_{x_2}}^{-1}(D_Y)\cap \cdots \cap P_{\pi_{x_n}}^{-1}(D_Y)\cap (\mathcal{F}\times \mathcal{F})$는

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $(f(x_i),g(x_i))=(\pi_{x_i}(f),\pi_{x_i}(g))=P_{\pi_{x_i}}(f,g)\in D_Y$이므로

$(f,g)\in \mathcal{F}(A,D_Y)$가 되어 $P_{\pi_{x_1}}^{-1}(D_Y)\cap P_{\pi_{x_2}}^{-1}(D_Y)\cap \cdots \cap P_{\pi_{x_n}}^{-1}(D_Y)\cap (\mathcal{F}\times \mathcal{F})\subseteq \mathcal{F}(A,D_Y)$임에 따라

균등공간의 정의로 $\mathcal{F}(A,D_Y)\in \mathcal{D}_p|_\mathcal{F}$이고 $\{ \mathcal{F}(A,D_Y) : A\in \mathcal{A}_X, D_Y\in \mathcal{D}_Y\}\subseteq \mathcal{D}_p|_\mathcal{F}$이다.

모든 $D|_\mathcal{F}\in \mathcal{D}_p|_\mathcal{F}$에 대해 부분균등공간의 정의로 $D|_\mathcal{F} = D\cap (\mathcal{F}\times \mathcal{F})$인 $D\in \mathcal{D}_p$가 존재하고

균등공간 정리로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$P_{\pi_{x_1}}^{-1}(D_1) \cap P_{\pi_{x_2}}^{-1}(D_2)\cap \cdots \cap P_{\pi_{x_n}}^{-1}(D_n) \subseteq D$인 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in X$과 $D_1,D_2,\cdots,D_n\in \mathcal{D}_Y$이 존재하므로

유한집합 정리로 $\{ x_1,x_2,\cdots,x_n\} = \{ x_1\}\cup \{ x_2\}\cup \cdots \cup \{ x_n\}\in \mathcal{A}_X$이고

균등공간의 정의로 $D_1\cap D_2\cap \cdots \cap D_n\in \mathcal{D}_Y$임에 따라

모든 $(f,g)\in \mathcal{F}(\{ x_1,x_2,\cdots,x_n\}, D_1\cap D_2\cap \cdots \cap D_n) \subseteq \mathcal{F}\times \mathcal{F}$는

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $P_{\pi_{x_i}}(f,g) = (\pi_{x_i}(f),\pi_{x_i}(g)) =(f(x_i),g(x_i))\in D_1\cap D_2\cap \cdots \cap D_n \subseteq D_i$가 되어

$(f,g)\in P_{\pi_{x_i}}^{-1}(D_i)$이므로 $(f,g)\in P_{\pi_{x_1}}^{-1}(D_1) \cap P_{\pi_{x_2}}^{-1}(D_2)\cap \cdots \cap P_{\pi_{x_n}}^{-1}(D_n) \subseteq D$이고

$\mathcal{F}(\{ x_1,x_2,\cdots,x_n\}, D_1\cap D_2\cap \cdots \cap D_n) \subseteq D$임에 따라

$\mathcal{F}(\{ x_1,x_2,\cdots,x_n\}, D_1\cap D_2\cap \cdots \cap D_n) \subseteq D\cap (\mathcal{F}\times \mathcal{F}) = D|_\mathcal{F}$이므로

$\{ \mathcal{F}(A,D_Y) : A\in \mathcal{A}_X, D_Y\in \mathcal{D}_Y\}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$의 기저이다.

정리7(균등수렴 균등공간)

임의의 집합 $X$와 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 $Y$의 $X$-일반 데카르트곱이 $Y^X$이고

$Y^X$의 데카르트곱 $Y^X\times Y^X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(Y^X\times Y^X)$일때

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $E(D_Y) = \{ (f,g)\in Y^X\times Y^X : \text{모든 }x\in X\text{에 대해 }(f(x),g(x))\in D_Y\}$이고

$\mathcal{E} = \{ E(D_Y) : D_Y\in \mathcal{D}_Y\}$이면 $\mathcal{D}_u = \{ D\in \mathcal{P}(Y^X\times Y^X) : \text{어떤 }E\in \mathcal{E}\text{에 대해 }E\subseteq D \}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(Y^X,\mathcal{D}_u)$는 균등공간이고 $\mathcal{E}$는 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$의 기저이다.

2. 임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$의 부분균등공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_u|_\mathcal{F})$일때

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $\mathcal{F}(D_Y) = \{ (f,g)\in \mathcal{F}\times \mathcal{F} : \text{모든 }x\in X\text{에 대해 }(f(x),g(x))\in D_Y\}$이면

$\{ \mathcal{F}(D_Y): D_Y\in \mathcal{D}_Y\}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_u|_\mathcal{F})$의 기저이다.

증명

균등공간의 정의로 $\mathcal{D}_Y\ne \emptyset$이므로 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여 $E(D_Y)\in \mathcal{E}$임에 따라 $\mathcal{E}\ne \emptyset$이다.

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$는 균등공간의 정의로 $Y$의 대각관계 $\Delta_Y$에 대해 $\Delta_Y\subseteq D_Y$이므로

모든 $f\in Y^X$는 대각관계의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $(f(x),f(x))\in \Delta_Y\subseteq D_Y$임에 따라

$(f,f)\in E(D_Y)$가 되어 $Y^X$의 대각관계 $\Delta_{Y^X}$에 대해 $\Delta_{Y^X}\subseteq E(D_Y)$이다.

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 균등공간의 정의로 $E_Y\circ E_Y \subseteq D_Y$인 $E_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여

모든 $(f,g)\in E(E_Y)\circ E(E_Y)$에 대해 합성관계의 정의로 $(f,h),(h,g)\in E(E_Y)$인 $h\in Y^X$가 존재하므로

모든 $x\in X$에 대해 $(f(x),h(x)),(h(x),g(x)) \in E_Y$임에 따라

합성관계의 정의로 $(f(x),g(x))\in E_Y\circ E_Y \subseteq D_Y$이고 $(f,g)\in E(D_Y)$가 되어 $E(E_Y)\circ E(E_Y)\subseteq E(D_Y)$이다.

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 균등공간의 정의로 $E_Y^{-1} \subseteq D_Y$인 $E_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여

모든 $(g,f)\in (E(E_Y))^{-1}$에 대해 역관계의 정의로 $(f,g)\in E(E_Y)$이므로

모든 $x\in X$에 대해 $(f(x),g(x))\in E_Y$임에 따라 역관계의 정의로 $(g(x),f(x))\in E_Y^{-1}\subseteq D_Y$이고

$(g,f)\in E(D_Y)$가 되어 $(E(E_Y))^{-1}\subseteq E(D_Y)$이다.

모든 $E_Y,D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 균등공간의 정의로 $E_Y\cap D_Y\in \mathcal{D}_Y$이므로

모든 $(f,g)\in E(E_Y\cap D_Y)$는 모든 $x\in X$에 대해 $(f(x),g(x))\in E_Y\cap D_Y$임에 따라

$(f(x),g(x))\in E_Y$이고 $(f(x),g(x))\in D_Y$이므로 $(f,g)\in E(E_Y)$이고 $(f,g)\in E(D_Y)$가 되어

$(f,g)\in E(E_Y)\cap E(D_Y)$이고 $E(E_Y\cap D_Y)\subseteq E(E_Y)\cap E(D_Y)$이다.

따라서 균등공간 정리로 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$는 균등공간이고 $\mathcal{E}$는 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$의 기저이다.

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $\mathcal{F}(D_Y) = E(D_Y)\cap (\mathcal{F}\times \mathcal{F})$이고

1번으로 $\{ E(D_Y) : D_Y\in \mathcal{D}_Y\}$는 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$의 기저이므로

균등공간 정리로 $\{ \mathcal{F}(D_Y): D_Y\in \mathcal{D}_Y\} = \{ E(D_Y)\cap (\mathcal{F}\times \mathcal{F}):D_Y\in \mathcal{D}_Y\}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_u|_\mathcal{F})$의 기저이다.

정의4

임의의 집합 $X$와 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해

$Y$의 $X$-일반 데카르트곱이 $Y^X$이고 위 정리에 나온 균등공간이 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$일때

균등수렴균등공간 :

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$의 부분균등공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_u|_\mathcal{F})$이면

$(\mathcal{F},\mathcal{D}_u|_\mathcal{F})$를 $X$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등수렴균등공간(uniformity of uniform convergence)으로 정의한다.

균등수렴위상공간 :

$(Y,\mathcal{D}_Y),(Y^X,\mathcal{D}_u)$의 균등위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y),(Y^X,\mathcal{T}_u)$일때

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{T}_u)$의 부분위상공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_u|_\mathcal{F})$이면

$(\mathcal{F},\mathcal{T}_u|_\mathcal{F})$를 $X$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 균등수렴위상공간(topology of uniform convergence)으로 정의한다.

정리8

$X\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$와 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해

$(Y,\mathcal{D}_Y)$의 $X$-일반 곱균등공간이 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$이고 $X$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등수렴균등공간이 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$일때

임의의 $\mathcal{F} \subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{D}_p),(Y^X,\mathcal{D}_u)$의 부분균등공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F}),(\mathcal{F},\mathcal{D}_u|_\mathcal{F})$이면 다음이 성립한다.

1. $(Y^X,\mathcal{D}_p),(Y^X,\mathcal{D}_u)$의 균등위상공간 $(Y^X,\mathcal{T}_p),(Y^X,\mathcal{T}_u)$의 부분위상공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}),(\mathcal{F},\mathcal{T}_u|_\mathcal{F})$일때

$(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$의 균등위상공간이고 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_u|_\mathcal{F})$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_u|_\mathcal{F})$의 균등위상공간이다.

2. $\mathcal{D}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{D}_u|_\mathcal{F}$

3. $\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_u|_\mathcal{F}$

4. 임의의 $f\in \mathcal{F}$에 대해

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $\mathcal{F}$의 그물 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_u|_\mathcal{F})$에서 $f$로 수렴하기 위한 필요충분조건은

$(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_u|_\mathcal{F})$에서 코시그물이고 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$에서 $f$로 수렴하는 것이다.

증명

모든 유한집합 $A\subseteq X$와 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해

$\mathcal{F}(A,D_Y) = \{ (f,g)\in \mathcal{F}\times \mathcal{F} : \text{모든 } x\in A\text{에 대해 } (f(x), g(x))\in D_Y\}$이고

$\mathcal{F}(D_Y) = \{ (f,g)\in \mathcal{F}\times \mathcal{F} : \text{모든 }x\in X\text{에 대해 }(f(x),g(x))\in D_Y\}$일때

균등공간 정리로 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$의 균등위상공간이고 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_u|_\mathcal{F})$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_u|_\mathcal{F})$의 균등위상공간이다.

모든 $D_p|_\mathcal{F}\in \mathcal{D}_p|_\mathcal{F}$에 대해 위 정리로 $\mathcal{F}(A,D_Y)\subseteq D_p|_\mathcal{F}$인 유한집합 $A\subseteq X$와 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하므로

모든 $(f,g)\in \mathcal{F}(D_Y)$는 모든 $x\in A\subseteq X$에 대해 $(f(x),g(x))\in D_Y$가 되어

$(f,g)\in \mathcal{F}(A,D_Y)$임에 따라 $\mathcal{F}(D_Y)\subseteq \mathcal{F}(A,D_Y)\subseteq D_p|_\mathcal{F}$이고

위 정리로 $\mathcal{F}(D_Y)\in \mathcal{D}_u|_\mathcal{F}$이므로 균등공간의 정의로 $D_p|_\mathcal{F}\in \mathcal{D}_u|_\mathcal{F}$가 되어 $\mathcal{D}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{D}_u|_\mathcal{F}$이다.

1, 2번과 균등공간 정리로 $\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_u|_\mathcal{F}$이다.

$(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_u|_\mathcal{F})$에서 $f$로 수렴하면

1번과 균등공간 정리로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_u|_\mathcal{F})$에서 코시그물이고 모든 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$에서 $f$의 열린근방 $O_p|_\mathcal{F}$는

3번으로 $O_p|_\mathcal{F}\in \mathcal{T}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_u|_\mathcal{F}$이므로 $O_p|_\mathcal{F}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_u|_\mathcal{F})$에서 $f$의 열린근방이 되어

$\lambda_p\le_\Lambda\lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 $f_\lambda\in O_p|_\mathcal{F}$인 $\lambda_p\in \Lambda$가 존재함에 따라 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$에서 $f$로 수렴한다.

역으로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_u|_\mathcal{F})$에서 코시그물이고 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$에서 $f$로 수렴하면

모든 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_u|_\mathcal{F})$에서 $f$의 열린근방 $O_u|_\mathcal{F}$는 $f\in O_u|_\mathcal{F}\in \mathcal{T}_u|_\mathcal{F}$이므로

1번과 위 정리와 균등공간 정리로 $(\mathcal{F}(D_Y))[f]\subseteq O_u|_\mathcal{F}$인 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하고

$(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $2$-곱공간이 $(Y\times Y,\mathcal{P}_Y)$일때

균등공간 정리로 $C_Y^{-1}= C_Y$인 $(Y\times Y,\mathcal{P}_Y)$에서 닫힌집합 $C_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여 $C_Y\subseteq D_Y$이다.

위 정리와 위 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(x)$로 수렴하고

위 정리로 $\mathcal{F}(C_Y)\in \mathcal{D}_u|_\mathcal{F}$이므로

코시그물의 정의로 $\lambda_u\le_\Lambda \lambda,\mu$인 모든 $\lambda,\mu\in \Lambda$가 $(f_\lambda,f_\mu)\in \mathcal{F}(C_Y)$인 $\lambda_u\in \Lambda$가 존재하여

$(f_\lambda(x),f_\mu(x))\in C_Y$임에 따라 관계의 상의 정의로 $f_\mu(x)\in C_Y[f_\lambda(x)]$이고

그물 정리로 $\Lambda_u = \{ \mu \in \Lambda : \lambda_u\le_\Lambda \mu\}$에 대해

상향 원순서집합 $(\Lambda_u,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f_\mu(x))_{\mu\in \Lambda_u}$는 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$의 부분그물이므로

그물 정리로 $(f_\mu(x))_{\mu\in \Lambda_u}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(x)$로 수렴하여 $(f_\mu(x))_{\mu\in \Lambda_u}$가 $(\Lambda_u,\le_\Lambda)$에서 $C_Y[f_\lambda(x)]$의 그물이고

유한 곱공간 정리로 $C_Y[f_\lambda(x)]$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합임에 따라

그물 정리로 $f(x)\in C_Y[f_\lambda(x)]$가 되어 관계의 상의 정의로 $(f_\lambda(x),f(x))\in C_Y$이고

합성관계의 정의로 $(f(x),f_\lambda(x))\in C_Y^{-1} = C_Y\subseteq D_Y$이므로 $(f,f_\lambda)\in \mathcal{F}(D_Y)$가 되어

관계의 상의 정의로 $f_\lambda\in (\mathcal{F}(D_Y))[f]\subseteq O_u|_\mathcal{F}$임에 따라 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_u|_\mathcal{F})$에서 $f$로 수렴한다.

정리9

임의의 집합 $X$와 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해

$Y$의 $X$-일반 데카르트곱이 $Y^X$이고 $X$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등수렴균등공간이 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$일때

$(Y,\mathcal{D}_Y),(Y^X,\mathcal{D}_u)$의 균등위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y),(Y^X,\mathcal{T}_u)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$의 부분균등공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_u|_\mathcal{F})$일때

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $\mathcal{F}$의 그물 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_u|_\mathcal{F})$에서 코시그물이면

모든 $x\in X$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 코시그물이다.

2. $(Y,\mathcal{D}_Y)$가 완비균등공간이면 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$는 완비균등공간이다.

3. 임의의 위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 모든 연속함수들의 집합 $\mathcal{C}(X\to Y)$는 $(Y^X,\mathcal{T}_u)$에서 닫힌집합이다.

4. $(Y^X,\mathcal{D}_u)$가 완비균등공간이면 $\mathcal{C}(X\to Y)$는 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$에서 완비이다.

증명

$X= \emptyset$이면 공허하게 모든 $x\in \emptyset=X$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 코시그물이다.

$X\ne \emptyset$이면 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 $X$-일반 곱균등공간 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$의 균등위상공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$일때

$(Y^X,\mathcal{D}_p)$의 부분균등공간 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$에 대해

위 정리로 $\mathcal{D}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{D}_u|_\mathcal{F}$이므로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F})$에서 코시그물이 되어

위 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 코시그물이다.

$X = \emptyset$일때 일반 데카르트곱 정리로 $Y^X$는 유한집합이므로 균등공간 정리로 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$는 완비균등공간이다.

$X\ne \emptyset$일때 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 $X$-일반 곱균등공간 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$의 균등위상공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$이고

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y^X$의 그물 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$에서 코시그물이면

1번으로 모든 $x\in X$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 코시그물이므로

완비균등공간의 정의로 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 어떤 $y_x\in Y$로 수렴한다.

임의의 $x\in X$에 대해 $Y^X$의 $x$-좌표 사영함수가 $\pi_x : Y^X\to Y$일때

선택 정리로 $(\pi_x(f_\lambda))_{\lambda\in \Lambda} = (f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$가 $f(x)$로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 수렴하는 함수 $f: X\to Y$가 존재하여

일반 데카르트곱 정리로 $f\in Y^X$이고 $\pi_x(f) = f(x)$임에 따라

위 정리와 그물 정리로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 $f$로 수렴하므로

위 정리로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^X,\mathcal{T}_u)$에서 $f$로 수렴하고 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$는 완비균등공간이다.

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $E(D_Y) = \{ (f,g)\in Y^X\times Y^X : \text{모든 }x\in X\text{에 대해 }(f(x),g(x))\in D_Y\}$일때

모든 $f\in Y^X \setminus \mathcal{C}(X\to Y)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수가 아님에 따라

$f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 어떤 $x_0 \in X$에서 연속이 아니므로

연속함수 정리로 어떤 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(x_0)$의 근방 $V_0$이 존재하여 $f^{-1}(V_0)$은 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x_0$의 근방이 아니다.

근방의 정의와 균등위상공간의 정의로 $D_Y[f(x_0)]\subseteq V_0$인 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여

균등공간 정리로 $E_Y\circ E_Y\circ E_Y \subseteq D_Y$이고 $E_Y^{-1} = E_Y$인 $E_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재한다.

모든 $g\in (E(E_Y))[f]$에 대해 관계의 상의 정의로 $(f,g)\in E(E_Y)$이고

모든 $x\in g^{-1}(E_Y[g(x_0)])$에 대해 $g(x)\in E_Y[g(x_0)]$이므로 관계의 상의 정의로 $(g(x_0),g(x))\in E_Y$이고

$(f(x_0),g(x_0)),(f(x),g(x))\in E_Y$임에 따라 합성관계의 정의로 $(f(x_0),g(x))\in E_Y\circ E_Y$이고

역관계의 정의로 $(g(x),f(x))\in E_Y^{-1} = E_Y$이므로

합성관계의 정의와 관계 정리로 $(f(x_0),f(x))\in E_Y\circ (E_Y\circ E_Y) = E_Y\circ E_Y\circ E_Y\subseteq D_Y$가 되어

관계의 상의 정의로 $f(x)\in D_Y[f(x_0)]$임에 따라

$x\in f^{-1}(D_Y[f(x_0)])$이고 $g^{-1}(E_Y[g(x_0)])\subseteq f^{-1}(D_Y[f(x_0)])\subseteq f^{-1}(V_0)$이다.

균등공간 정리로 $E_Y[g(x_0)]$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $g(x_0)$의 근방이고

$g^{-1}(E_Y[g(x_0)])\subseteq f^{-1}(V_0)$임에 따라 $g^{-1}(E_Y[g(x_0)])$은 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x_0$의 근방이 아니므로

연속함수 정리로 $g$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $x_0$에서 연속이 아니고

$g$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수가 아님에 따라

$g\in Y^X\setminus \mathcal{C}(X\to Y)$가 되어 $(E(E_Y))[f]\subseteq Y^X\setminus \mathcal{C}(X\to Y)$이다.

위 정리와 균등공간 정리로 $(E(E_Y))[f]$는 $(Y^X,\mathcal{T}_u)$에서 $f$의 근방이므로

위상공간 정리로 $Y^X\setminus \mathcal{C}(X\to Y)$는 $(Y^X,\mathcal{T}_u)$에서 열린집합이 되어 $\mathcal{C}(X\to Y)$는 $(Y^X,\mathcal{T}_u)$에서 닫힌집합이다.

$(Y^X,\mathcal{D}_u)$는 완비균등공간이므로 3번과 균등공간 정리로 $\mathcal{C}(X\to Y)$는 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$에서 완비이다.

정리10(점-열린 위상공간)

$X\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$에 대해 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $X$-일반 곱공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$이고

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$의 부분위상공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$일때

모든 $x\in X$와 모든 $V \in \mathcal{T}_Y$에 대해 $\mathcal{F}(x,V) = \{ f\in \mathcal{F} : f(x)\in V \}$이면

$\{ \mathcal{F}(x,V): x\in X,V\in \mathcal{T}_Y\}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$의 부분기저이다.

증명

모든 $x\in X$와 모든 $V \in \mathcal{T}_Y$에 대해 $Y^X$의 $x$-좌표 사영함수가 $\pi_x : Y^X\to Y$일때

모든 $f\in \mathcal{F}(x,V)\subseteq \mathcal{F}$는 $\pi_x(f)=f(x)\in V$이므로

$f\in \pi_x^{-1}(V)$가 되어 $f\in \pi_x^{-1}(V)\cap \mathcal{F}$임에 따라 $\mathcal{F}(x,V)\subseteq \pi_x^{-1}(V)\cap \mathcal{F}$이고

모든 $f\in \pi_x^{-1}(V)\cap \mathcal{F}$는 $f(x) = \pi_x(f)\in V$가 되어 $f\in \mathcal{F}(x,V)$이므로 $\pi_x^{-1}(V)\cap \mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}(x,V)$이고

집합 정리로 $\mathcal{F}(x,V)=\pi_x^{-1}(V)\cap \mathcal{F}$이다.

따라서 곱공간 정리와 위상공간 정리로

$\{ \mathcal{F}(x,V): x\in X,V\in \mathcal{T}_Y\} = \{ \pi_x^{-1}(V)\cap \mathcal{F} : x\in X,V\in \mathcal{T}_Y\} = \displaystyle \bigcup_{x\in X}\{ \pi_x^{-1}(V)\cap \mathcal{F} : V\in \mathcal{T}_Y\}$는

$(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$의 부분기저이다.

정리11(콤팩트-열린 위상공간)

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $Y$의 $X$-일반 데카르트곱이 $Y^X$일때

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 모든 콤팩트집합들의 집합 $\mathcal{K}_X$의 모든 $K\in \mathcal{K}_X$와 모든 $V\in \mathcal{T}_Y$에 대해

$S(K,V)= \{ f\in Y^X : f(K)\subseteq V\}$이고 $\mathcal{S} = \{ S(K,V) : K\in \mathcal{K}_X, V\in \mathcal{T}_Y\}$이면

$\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots, S_n)\in \mathcal{S}^n\}$인 $\mathcal{T}_c = \{ \bigcup \mathcal{O} : \mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(Y^X,\mathcal{T}_c)$는 위상공간이고 $\mathcal{S}$는 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$의 부분기저이다.

2. 임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$의 부분위상공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})$일때

모든 $K\in \mathcal{K}_X$와 모든 $V\in \mathcal{T}_Y$에 대해 $\mathcal{F}(K,V) = \{ f\in \mathcal{F} : f(K)\subseteq V \}$이면

$\{ \mathcal{F}(K,V): K\in \mathcal{K}_X,V\in \mathcal{T}_Y\}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})$의 부분기저이다.

증명

$Y^X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(Y^X)$일때 모든 $K\in \mathcal{K}_X$와 모든 $V\in \mathcal{T}_Y$에 대해

$S(K,V)\subseteq Y^X$이므로 $S(K,V)\in \mathcal{P}(Y^X)$가 되어 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{P}(Y^X)$임에 따라 집합 정리로 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(Y^X)$이다.

모든 $f\in Y^X$에 대해 콤팩트 정리로 $\emptyset \in \mathcal{K}_X$이고 위상공간 정리로 $Y\in \mathcal{T}_Y$이므로

$f(\emptyset) = \emptyset \subseteq Y$임에 따라 $f\in S(\emptyset,Y)\in \mathcal{S}$이고 $f\in \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$가 되어 $Y^X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$이고

$\displaystyle \bigcup \mathcal{S} \subseteq Y^X$이므로 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{S} =Y^X$임에 따라

위상공간 정리로 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$는 위상공간이고 $\mathcal{S}$는 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$의 부분기저이다.

모든 $K\in \mathcal{K}_X$와 모든 $V\in \mathcal{T}_Y$에 대해 $S(K,V) \cap \mathcal{F} = \mathcal{F}(K,V)$이므로 1번과 위상공간 정리로

$\{ \mathcal{F}(K,V): K\in \mathcal{K}_X,V\in \mathcal{T}_Y\} = \{ S(K,V)\cap \mathcal{F} : K\in\mathcal{K}_X,V\in \mathcal{T}_Y\}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})$의 부분기저이다.

정의5

점-열린 위상공간(point-open topology) :

$X\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$에 대해 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $X$-일반 곱공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$일때

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$의 부분위상공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$이면

$(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$를 $X$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 점-열린 위상공간으로 정의한다.

콤팩트-열린 위상공간(compact-open topology) :

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $Y$의 $X$-일반 데카르트곱이 $Y^X$일때

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 위 정리에 나온 위상공간 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$의 부분위상공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})$이면

$(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})$를 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 콤팩트-열린 위상공간으로 정의한다.

정리12

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$가 정칙공간일때

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합 $K$와 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $V$에 대해 $K\subseteq V$이면

$K\subseteq U\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\subseteq V$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U$가 존재한다.

2. $(X,\mathcal{T})$의 부분기저가 $\mathcal{S}$일때

모든 $S\in \mathcal{S}$의 모든 $x\in S$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\subseteq S$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재하면 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이다.

증명

$K = \emptyset$이면

위상공간 정리로 $\emptyset$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 닫힌집합이므로 폐포 정리로 $K = \emptyset \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\emptyset) = \emptyset \subseteq V$이다.

$K\ne \emptyset$이면 $\mathcal{O} = \{ O\in \mathcal{T} : \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(O)\subseteq V\}$일때

모든 $x\in K\subseteq V$에 대해 정칙공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(O)\subseteq V$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여

$x\in O\in \mathcal{O}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이고 $K\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$임에 따라 콤팩트 정리로 $K\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재한다.

$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$이므로 위상공간 정리로 $U =\displaystyle \bigcup \mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

$K\ne \emptyset$이므로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{F} = \{ U_1,U_2,\cdots,U_n\}$인 $U_1,U_2,\cdots,U_n\in \mathcal{O}$이 존재하여

모든 $i=1,2\cdots,n$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_i)\subseteq V$임에 따라

폐포 정리로 $K \subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{F} = U \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcup \mathcal{F}) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcup_{i=1}^n U_i) = \bigcup_{i=1}^n \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_i)\subseteq V$이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$의 모든 $x\in O$에 대해 부분기저의 정의와 기저 정리로

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $x\in S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n\subseteq O$인 $S_1,S_2,\cdots, S_n\in \mathcal{S}$이 존재하고

모든 $i=1,2\cdots,n$에 대해 $x\in S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n\subseteq S_i$이므로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_i)\subseteq S_i$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U_i$가 존재하여

위상공간 정리로 $U = U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_n$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 폐포 정리로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_n)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_1)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_2)\cap\cdots \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_n) \subseteq S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n\subseteq O\text{ 이므로} $

정칙공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이다.

정리13

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $X\ne \emptyset$이고

$(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $X$-일반 곱공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$이고 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 콤팩트-열린 위상공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$일때

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{T}_p),(Y^X,\mathcal{T}_c)$의 부분위상공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}),(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})$이면 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_c|_\mathcal{F}$

2. $(Y,\mathcal{T}_Y)$가 $T_0$공간이면 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}),(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})$는 $T_0$공간이다.

3. $(Y,\mathcal{T}_Y)$가 $T_1$공간이면 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}),(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})$는 $T_1$공간이다.

4. $(Y,\mathcal{T}_Y)$가 $T_2$공간이면 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}),(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})$는 $T_2$공간이다.

5. $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 모든 연속함수들의 집합이 $\mathcal{C}(X\to Y)$일때

$(Y,\mathcal{T}_Y)$가 정칙공간이면 $(\mathcal{C}(X\to Y),\mathcal{T}_p|_{\mathcal{C}(X\to Y)}),(\mathcal{C}(X\to Y),\mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)})$는 정칙공간이다.

증명

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$와 모든 $V\in \mathcal{T}_Y$에 대해 $\mathcal{F}(K,V) = \{ f\in \mathcal{F} : f(K)\subseteq V \}$일때

모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{F}(x,V) = \{ f\in \mathcal{F} : f(x)\in V \}$이면 콤팩트 정리로 $\{x\}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합이고

$\mathcal{F}(x,V) = \{ f\in \mathcal{F} : f(x)\in V \} = \{ f\in \mathcal{F} : f(\{ x\})\subseteq V\} = \mathcal{F}(\{ x\},V)$이다.

모든 $O_p|_\mathcal{F}\in \mathcal{T}_p|_\mathcal{F}$의 모든 $f\in O_p|_\mathcal{F}$에 대해

위 정리와 기저 정리로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $f\in \mathcal{F}(x_1,V_1)\cap \mathcal{F}(x_2,V_2)\cap \cdots\cap \mathcal{F}(x_n,V_n)\subseteq O_p|_\mathcal{F}$인

$x_1,x_2,\cdots,x_n\in X$과 $V_1,V_2,\cdots,V_n\in \mathcal{T}_Y$이 존재하고 위 정리로

$\mathcal{F}(x_1,V_1)\cap \mathcal{F}(x_2,V_2)\cap \cdots \cap \mathcal{F}(x_n,V_n) = \mathcal{F}(\{ x_1\},V_1)\cap \mathcal{F}(\{ x_2\},V_2)\cap \cdots \cap \mathcal{F}(\{ x_n\}, V_n)\in \mathcal{T}_c|_\mathcal{F}$이므로

위상공간 정리로 $O_p|_\mathcal{F}\in \mathcal{T}_c|_\mathcal{F}$가 되어 $\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_c|_\mathcal{F}$이다.

곱공간 정리와 계승적 성질로 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$는 $T_0$공간이므로 $f\ne g$인 모든 $f,g\in \mathcal{F}$에 대해

$f\in O_p|_\mathcal{F}$와 $g\notin O_p|_\mathcal{F}$가 성립하거나 $f\notin O_p|_\mathcal{F}$와 $g\in O_p|_\mathcal{F}$가 성립하는 $O_p|_\mathcal{F}\in \mathcal{T}_p|_\mathcal{F}$가 존재하여

1번으로 $O_p|_\mathcal{F}\in \mathcal{T}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_c|_\mathcal{F}$임에 따라 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})$는 $T_0$공간이다.

곱공간 정리와 계승적 성질로 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$는 $T_1$공간이므로 $f\ne g$인 모든 $f,g\in \mathcal{F}$에 대해

$f\in U_p|_\mathcal{F}$와 $g\notin U_p|_\mathcal{F}$가 성립하고 $f\notin V_p|_\mathcal{F}$와 $g\in V_p|_\mathcal{F}$가 성립하는 $U_p|_\mathcal{F},V_p|_\mathcal{F}\in \mathcal{T}_p|_\mathcal{F}$가 존재하여

1번으로 $U_p|_\mathcal{F},V_p|_\mathcal{F}\in \mathcal{T}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_c|_\mathcal{F}$임에 따라 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})$는 $T_1$공간이다.

곱공간 정리와 계승적 성질로 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$는 $T_2$공간이므로 $f\ne g$인 모든 $f,g\in \mathcal{F}$에 대해

$f\in U_p|_\mathcal{F}$와 $g\in V_p|_\mathcal{F}$가 성립하고 $U_p|_\mathcal{F}\cap V_p|_\mathcal{F} = \emptyset$인 $U_p|_\mathcal{F},V_p|_\mathcal{F}\in \mathcal{T}_p|_\mathcal{F}$가 존재하여

1번으로 $U_p|_\mathcal{F},V_p|_\mathcal{F}\in \mathcal{T}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_c|_\mathcal{F}$임에 따라 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})$는 $T_2$공간이다.

곱공간 정리와 계승적 성질로 $(\mathcal{C}(X\to Y),\mathcal{T}_p|_{\mathcal{C}(X\to Y)})$는 정칙공간이다.

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 모든 콤팩트집합들의 집합 $\mathcal{K}_X$의 모든 $K\in \mathcal{K}_X$와 모든 $B\subseteq Y$에 대해

$S(K,B) = \{ f\in \mathcal{C}(X\to Y) : f(K)\subseteq B \}$일때

위 정리로 $\{ S(K,V) : K\in \mathcal{K}_X,V\in \mathcal{T}_Y\}$는 $(\mathcal{C}(X\to Y),\mathcal{T}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)})$의 부분기저이다.

모든 $K\in \mathcal{K}_X$와 모든 $V\in \mathcal{T}_Y$에 대해

모든 $f\in S(K,V)\subseteq \mathcal{C}(X\to Y)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 $f(K)\subseteq V$이므로

$(Y,\mathcal{T}_Y)$가 정칙공간이고 콤팩트 정리로 $f(K)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트집합임에 따라

위 정리로 $f(K) \subseteq U\subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(U)\subseteq V$인 $U\in \mathcal{T}_Y$가 존재하여 $f\in S(K,U)$이고

모든 $g\in S(K,\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(U))$는 $g(K)\subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(U)\subseteq V$이므로 $g\in S(K,V)$가 되어 $S(K,\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(U))\subseteq S(K,V)$이다.

$\underset{(\mathcal{C}(X\to Y), \mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)})}{\operatorname{cl}(S(K,U))}\not \subseteq S(K,\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(U))$라고 가정하면

어떤 $g\in \underset{(\mathcal{C}(X\to Y), \mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)})}{\operatorname{cl}(S(K,U))}$가 $g\notin S(K,\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(U))$가 되어 $g(K)\not\subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(U)$이므로

어떤 $y\in g(K)$에 대해 $y\notin \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(U)$이고 $y = g(x)$인 $x\in K$가 존재하여

폐포 정리와 닫힌집합의 정의로 $g(x) =y\in Y\setminus \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(U)\in \mathcal{T}_Y$이므로

콤팩트 정리와 부분기저의 정의로 $g\in S(\{ x\},Y\setminus \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(U))\in \mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)}$이고

폐포의 정의로 $S(\{ x\},Y\setminus \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(U))\cap S(K,U)\ne \emptyset$인데 $h\in S(\{ x\},Y\setminus \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(U))\cap S(K,U)$가 존재하여

폐포 정리와 집합 정리로 $h(x)\in h(\{ x\})\subseteq Y\setminus \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(U) \subseteq Y\setminus U$이고

$h(x)\in h(K)\subseteq U$이므로 $h(x)\in (Y\setminus U)\cap U = \emptyset$임에 따라 모순이고

$\underset{(\mathcal{C}(X\to Y), \mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)})}{\operatorname{cl}(S(K,U))}\subseteq S(K,\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(U))\subseteq S(K,V)$가 되어 부분기저의 정의로 $f\in S(K,U)\in \mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)}$임에 따라

위 정리로 $(\mathcal{C}(X\to Y),\mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)})$는 정칙공간이다.

정리14(콤팩트수렴 균등공간)

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 $Y$의 $X$-일반 데카르트곱이 $Y^X$이고

$Y^X$의 데카르트곱 $Y^X\times Y^X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(Y^X\times Y^X)$일때

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 모든 콤팩트집합들의 집합 $\mathcal{K}_X$의 모든 $K\in \mathcal{K}_X$와 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해

$S(K,D_Y) = \{ (f,g)\in Y^X\times Y^X : \text{모든 }x\in K\text{에 대해 }(f(x),g(x))\in D_Y\}$이고

$\mathcal{S} = \{ S(K,D_Y) : K\in \mathcal{K}_X,D_Y\in \mathcal{D}_Y\}$에 대해 $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty \{ S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n : (S_1,S_2,\cdots, S_n)\in \mathcal{S}^n\}$이면

$\mathcal{D}_k = \{ D\in \mathcal{P}(Y^X\times Y^X) : \text{어떤 }B\in \mathcal{B}\text{에 대해 }B\subseteq D \}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(Y^X,\mathcal{D}_k)$는 균등공간이고 $\mathcal{S}$는 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$의 부분기저이다.

2. 임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$의 부분균등공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_k|_\mathcal{F})$일때 모든 $K\in \mathcal{K}_X$와 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해

$\mathcal{F}(K,D_Y) = \{ (f,g)\in \mathcal{F}\times \mathcal{F} : \text{모든 }x\in K\text{에 대해 }(f(x),g(x))\in D_Y\}$이면

$\{ \mathcal{F}(K,D_Y): K\in \mathcal{K}_X,D_Y\in \mathcal{D}_Y\}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_k|_\mathcal{F})$의 부분기저이다.

증명

콤팩트 정리로 $\emptyset \in \mathcal{K}_X$이고 균등공간의 정의로 $\mathcal{D}_Y\ne \emptyset$이므로

$D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재함에 따라 $S(\emptyset,D_Y)\in \mathcal{S}$가 되어 $\mathcal{S}\ne \emptyset$이다.

모든 $K\in \mathcal{K}_X$와 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$는 균등공간의 정의로 $Y$의 대각관계 $\Delta_Y$에 대해 $\Delta_Y\subseteq D_Y$이므로

모든 $f\in Y^X$는 대각관계의 정의로 모든 $x\in K$에 대해 $(f(x),f(x))\in \Delta_Y\subseteq D_Y$임에 따라

$(f,f)\in S(K,D_Y)$가 되어 $Y^X$의 대각관계 $\Delta_{Y^X}$에 대해 $\Delta_{Y^X}\subseteq S(K,D_Y)$이다.

모든 $K\in \mathcal{K}_X$와 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 균등공간의 정의로 $E_Y\circ E_Y \subseteq D_Y$인 $E_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여

모든 $(f,g)\in S(K,E_Y)\circ S(K,E_Y)$는 합성관계의 정의로 $(f,h),(h,g)\in S(K,E_Y)$인 $h\in Y^X$가 존재하므로

모든 $x\in K$에 대해 $(f(x),h(x)),(h(x),g(x)) \in E_Y$임에 따라

합성관계의 정의로 $(f(x),g(x))\in E_Y\circ E_Y \subseteq D_Y$이고

$(f,g)\in S(K,D_Y)$가 되어 $S(K,E_Y)\circ S(K,E_Y)\subseteq S(K,D_Y)$이다.

모든 $K\in \mathcal{K}_X$와 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 균등공간의 정의로 $E_Y^{-1} \subseteq D_Y$인 $E_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여

모든 $(g,f)\in (S(K,E_Y))^{-1}$에 대해 역관계의 정의로 $(f,g)\in S(K,E_Y)$이므로

모든 $x\in K$에 대해 $(f(x),g(x))\in E_Y$임에 따라 역관계의 정의로 $(g(x),f(x))\in E_Y^{-1}\subseteq D_Y$이고

$(g,f)\in S(K,D_Y)$가 되어 $(S(K,E_Y))^{-1}\subseteq S(K,D_Y)$이다.

따라서 균등공간 정리로 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$는 균등공간이고 $\mathcal{S}$는 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$의 부분기저이다.

모든 $K\in \mathcal{K}_X$와 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $\mathcal{F}(K,D_Y) = S(K,D_Y)\cap (\mathcal{F}\times \mathcal{F})$이고

1번으로 $\{ S(K,D_Y) : K\in \mathcal{K}_X, D_Y\in \mathcal{D}_Y\}$는 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$의 부분기저이므로 균등공간 정리로

$\{ \mathcal{F}(K,D_Y): K\in \mathcal{K}_X,D_Y\in \mathcal{D}_Y\} = \{ S(K,D_Y)\cap (\mathcal{F}\times \mathcal{F}):K\in \mathcal{K}_X,D_Y\in \mathcal{D}_Y\}$는

$(\mathcal{F},\mathcal{D}_k|_\mathcal{F})$의 부분기저이다.

정의6

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해

$Y$의 $X$-일반 데카르트곱이 $Y^X$이고 위 정리에 나온 균등공간이 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$일때

콤팩트수렴균등공간 :

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$의 부분균등공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_k|_\mathcal{F})$이면

$(\mathcal{F},\mathcal{D}_k|_\mathcal{F})$를 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 콤팩트수렴균등공간(uniformity of compact convergence)으로 정의한다.

콤팩트수렴위상공간 :

$(Y,\mathcal{D}_Y),(Y^X,\mathcal{D}_k)$의 균등위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y),(Y^X,\mathcal{T}_k)$일때

임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{T}_k)$의 부분위상공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_k|_\mathcal{F})$이면

$(\mathcal{F},\mathcal{T}_k|_\mathcal{F})$를 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 콤팩트수렴위상공간(topology of compact convergence)으로 정의한다.

정리15

$X\ne \emptyset$인 위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 $X$-일반 곱균등공간이 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$이고

$X$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등수렴균등공간이 $(Y^X,\mathcal{D}_u)$이고

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 콤팩트수렴균등공간이 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$일때 임의의 $\mathcal{F} \subseteq Y^X$에 대해

$(Y^X,\mathcal{D}_p),(Y^X,\mathcal{D}_u),(Y^X,\mathcal{D}_k)$의 부분균등공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_p|_\mathcal{F}),(\mathcal{F},\mathcal{D}_u|_\mathcal{F}),(\mathcal{F},\mathcal{D}_k|_\mathcal{F})$이면 다음이 성립한다.

1. $(Y^X,\mathcal{D}_k)$의 균등위상공간 $(Y^X,\mathcal{T}_k)$의 부분위상공간 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_k|_\mathcal{F})$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_k|_\mathcal{F})$의 균등위상공간이다.

2. $\mathcal{D}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{D}_k|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{D}_u|_\mathcal{F}$

3. $\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_k|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_u|_\mathcal{F}$

증명

모든 $A\subseteq X$와 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해

$\mathcal{F}(A,D_Y) = \{ (f,g)\in \mathcal{F}\times \mathcal{F} : \text{모든 } x\in A\text{에 대해 } (f(x), g(x))\in D_Y\}$일때

균등공간 정리로 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_k|_\mathcal{F})$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_k|_\mathcal{F})$의 균등위상공간이다.

모든 $D_p|_\mathcal{F}\in \mathcal{D}_p|_\mathcal{F}$에 대해 위 정리로 $\mathcal{F}(A,D_Y)\subseteq D_p|_\mathcal{F}$인 유한집합 $A\subseteq X$와 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여

콤팩트 정리로 $A$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합이므로 위 정리로 $\mathcal{F}(A,D_Y)\in \mathcal{D}_k|_\mathcal{F}$임에 따라

균등공간의 정의로 $D_p|_\mathcal{F}\in \mathcal{D}_k|_\mathcal{F}$이고 $\mathcal{D}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{D}_k|_\mathcal{F}$이다.

모든 $D_k|_\mathcal{F}\in \mathcal{D}_k|_\mathcal{F}$에 대해 위 정리로 $\mathcal{F}(K,D_Y)\subseteq D_k|_\mathcal{F}$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$와 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하므로

모든 $(f,g)\in \mathcal{F}(X,D_Y)$는 모든 $x\in K\subseteq X$에 대해 $(f(x),g(x))\in D_Y$가 되어

$(f,g)\in \mathcal{F}(K,D_Y)$임에 따라 $\mathcal{F}(X,D_Y)\subseteq \mathcal{F}(K,D_Y)\subseteq D_k|_\mathcal{F}$이고

위 정리로 $\mathcal{F}(X,D_Y)\in \mathcal{D}_u|_\mathcal{F}$이므로 균등공간의 정의로 $D_k|_\mathcal{F}\in \mathcal{D}_u|_\mathcal{F}$가 되어 $\mathcal{D}_k|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{D}_u|_\mathcal{F}$이다.

위 정리와 1, 2번과 균등공간 정리로 $\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_k|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_u|_\mathcal{F}$이다.

정리16

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합 $K$와 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $V$에 대해 $K\subseteq V$이면

$K\subseteq $ $D[K]$ $\subseteq V$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재한다.

2. 모든 $D\in \mathcal{D}$는 모든 $x\in X$에 대해 $D[x] \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}((D\circ D)[x])$이다.

증명

$K = \emptyset$이면 균등공간의 정의로 $\mathcal{D}\ne \emptyset$이므로 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여

관계의 상의 정의로 $K = \emptyset = D[\emptyset] = D[K]$임에 따라 $D[K] = K\subseteq V$이다.

$K\ne \emptyset$이면 $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간이 $(X^2,\mathcal{P})$일때

모든 $x\in K\subseteq V$에 대해 균등위상공간의 정의로 $D_x[x]\subseteq V$인 $D_x\in \mathcal{D}$가 존재하므로

선택정리로 $x\in K$에 대해 $D_x[x]\subseteq V$인 $D_x\in \mathcal{D}$를 선택하고

균등공간의 정의로 $E\circ E \subseteq D_x$인 $E\in \mathcal{D}$가 존재하여

균등공간 정리로 $E_x\subseteq E$인 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합 $E_x\in \mathcal{D}$가 존재하므로

$E_x\in \mathcal{D}\cap \mathcal{P}$이고 관계 정리로 $E_x\circ E_x\subseteq E\circ E \subseteq D_x$임에 따라

선택정리로 $x\in K$에 대해 $E_x\circ E_x\subseteq D_x$인 $E_x\in \mathcal{D}\cap \mathcal{P}$를 선택한다.

$\mathcal{O} = \{ E_x[x] : x\in K\}$일때

모든 $x\in K\subseteq X$에 대해 균등공간 정리로 $x\in E_x[x]\in \mathcal{O}$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 $K\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이고

$E_x$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이므로 유한 곱공간 정리로 $E_x[x]\in\mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$이다.

콤팩트 정리로 $K\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하여 $K\ne \emptyset$이므로

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{F} = \{ E_{x_1}[x_1],E_{x_2}[x_2],\cdots,E_{x_n}[x_n]\}$인 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in K$이 존재하고

$D = E_{x_1}\cap E_{x_2}\cap \cdots \cap E_{x_n}$일때 균등공간의 정의로 $D\in \mathcal{D}$이므로 균등공간 정리로 $K\subseteq D[K]$이고

모든 $x\in D[K]$에 대해 관계의 상의 정의로 $x\in D[k]$인 $k\in K\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F} = \bigcup_{i=1}^n E_{x_i}[x_i]$가 존재하므로

$k\in E_{x_i}[x_i]$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하여 관계의 상의 정의로 $(x_i,k)\in E_{x_i}$이고 $(k,x)\in D\subseteq E_{x_i}$임에 따라

합성관계의 정의로 $(x_i,x)\in E_{x_i}\circ E_{x_i}\subseteq D_{x_i}$가 되어 관계의 상의 정의로 $x\in D_{x_i}[x_i]\subseteq V$이고 $D[K]\subseteq V$이다.

모든 $y\in D[x]$에 대해 관계의 상의 정의로 $(x,y)\in D$이고

모든 $z\in D[y]$에 대해 관계의 상의 정의로 $(y,z)\in D$이므로 합성관계의 정의로 $(x,z)\in D\circ D$가 되어

관계의 상의 정의로 $z\in (D\circ D)[x]$임에 따라 $D[y]\subseteq (D\circ D)[x]$이고

균등공간 정리로 $D[y]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 근방이므로 근방 정리로 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}((D\circ D)[x])$가 되어

$D[x] \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}((D\circ D)[x])$이다.

정리17

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 $Y$의 $X$-일반 데카르트곱이 $Y^X$이고

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 콤팩트수렴균등공간 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$의 균등위상공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_k)$일때 임의의 $\mathcal{F} \subseteq Y^X$에 대해

$(Y^X,\mathcal{D}_k)$의 부분균등공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_k|_\mathcal{F})$이고 $(Y^X,\mathcal{T}_k)$의 부분위상공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_k|_\mathcal{F})$이면 다음이 성립한다.

1. 임의의 $f\in \mathcal{F}$에 대해

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $\mathcal{F}$의 그물 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_k|_\mathcal{F})$에서 $f$로 수렴하기 위한 필요충분조건은

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등수렴균등공간 $(Y^K,\mathcal{E}_K)$의 균등위상공간 $(Y^K,\mathcal{U}_K)$에 대해

$(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y^K$의 그물 $($$f_\lambda|_K$$)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y^K,\mathcal{U}_K)$에서 $f|_K$로 수렴하는 것이다.

2. 임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $\mathcal{F}$의 그물 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_k|_\mathcal{F})$에서 코시그물이기 위한 필요충분조건은

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등수렴균등공간 $(Y^K,\mathcal{E}_K)$에 대해

$(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y^K$의 그물 $(f_\lambda|_K)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y^K,\mathcal{E}_K)$에서 코시그물인 것이다.

3. $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 콤팩트-열린 위상공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$일때

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 모든 연속함수들의 집합 $\mathcal{C}(X\to Y)$에 대해 $\mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)} = \mathcal{T}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)}$이다.

증명

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$와 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해

$Y^X(K,D_Y) = \{ (f,g)\in Y^X\times Y^X : \text{모든 }x\in K\text{에 대해 }(f(x),g(x))\in D_Y\}$이고

$Y^K(D_Y) = \{ (f_K,g_K)\in Y^K\times Y^K : \text{모든 }x\in K\text{에 대해 }(f_K(x),g_K(x))\in D_Y\}$일때

$(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_k|_\mathcal{F})$에서 $f$로 수렴하면 그물 정리로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^X,\mathcal{T}_k)$에서 $f$로 수렴하고

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$에 대해 모든 $(Y^K,\mathcal{U}_K)$에서 $f|_K$의 열린근방 $U_K$는 $f|_K\in U_K\in \mathcal{U}_K$이므로

위 정리와 균등공간 정리로 $(Y^K(D_Y))[f|_K] \subseteq U_K$인 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여 위 정리로 $Y^X(K,D_Y)\in \mathcal{D}_k$임에 따라

균등공간 정리와 수렴의 정의로 $\lambda_{D_Y}\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$가 $f_\lambda\in (Y^X(K,D_Y))[f]$인 $\lambda_{D_Y}\in \Lambda$가 존재하고

관계의 상의 정의로 $(f, f_\lambda)\in Y^X(K,D_Y)$이므로

제한함수의 정의로 모든 $x\in K$에 대해 $(f|_K(x) ,f_\lambda|_K(x)) =(f(x),f_\lambda(x))\in D_Y$가 되어

$(f|_K,f_\lambda|_K)\in Y^K(D_Y)$이고 관계의 상의 정의로 $f_\lambda|_K\in (Y^K(D_Y))[f|_K] \subseteq U_K$임에 따라

$(f_\lambda|_K)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^K,\mathcal{U}_K)$에서 $f|_K$로 수렴한다.

역으로 조건이 성립하면

모든 $(Y^X,\mathcal{T}_k)$에서 $f$의 열린근방 $O$는 $f\in O\in \mathcal{T}_k$이므로 균등위상공간의 정의로 $D[f]\subseteq O$인 $D\in \mathcal{D}_k$가 존재하여

위 정리로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $Y^X(K_1, D_1)\cap Y^X(K_2,D_2)\cap \cdots \cap Y^X(K_n,D_n)\subseteq D$인

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K_1,K_2,\cdots,K_n$과 $D_1,D_2,\cdots, D_n\in \mathcal{D}_Y$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y^{K_i}$의 그물 $(f_\lambda|_{K_i})_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y^{K_i},\mathcal{U}_{K_i})$에서 $f|_{K_i}$로 수렴하여

위 정리로 $Y^{K_i}(D_i)\in \mathcal{E}_{K_i}$임에 따라

균등공간 정리와 수렴의 정의로 $\lambda_i\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$가 $f_\lambda|_{K_i}\in (Y^{K_i}(D_i))[f|_{K_i}]$인 $\lambda_i\in \Lambda$가 존재하므로

관계의 상의 정의로 $(f|_{K_i},f_\lambda|_{K_i})\in Y^{K_i}(D_i)$이고

제한함수의 정의로 모든 $x\in K_i$에 대해 $(f(x),f_\lambda(x))=(f|_{K_i}(x),f_\lambda|_{K_i}(x))\in D_i$임에 따라

$(f,f_\lambda)\in Y^X(K_i,D_i)$이고 상향 원순서집합 정리로 어떤 $\lambda_D\in \Lambda$에 대해 모든 $i=1,2,\cdots,n$가 $\lambda_i\le_\Lambda \lambda_D$이므로

$\lambda_D\le_\Lambda \lambda$인 모든 $\lambda\in \Lambda$는 $(f,f_\lambda)\in Y^X(K_1, D_1)\cap Y^X(K_2,D_2)\cap \cdots \cap Y^X(K_n,D_n)\subseteq D$가 되어

관계의 상의 정의로 $f_\lambda\in D[f]\subseteq O$임에 따라 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^X,\mathcal{T}_k)$에서 $f$로 수렴하고

그물 정리로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_k|_\mathcal{F})$에서 $f$로 수렴한다.

$(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_k|_\mathcal{F})$에서 코시그물이면

균등공간 정리로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$에서 코시그물이고 모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$에 대해

모든 $E_K\in \mathcal{E}_K$는 위 정리로 $Y^K(D_Y) \subseteq E_K$인 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여 위 정리로 $Y^X(K,D_Y)\in \mathcal{D}_k$임에 따라

코시그물의 정의로 $\lambda_{D_Y}\le_\Lambda \lambda,\mu$인 모든 $\lambda,\mu\in \Lambda$가 $(f_\lambda,f_\mu)\in Y^X(K,D_Y)$인 $\lambda_{D_Y}\in \Lambda$가 존재하고

제한함수의 정의로 모든 $x\in K$에 대해 $(f_\lambda|_K(x),f_\mu|_K(x)) =(f_\lambda(x),f_\mu(x))\in D_Y$이므로

$(f_\lambda|_K,f_\mu|_K)\in Y^K(D_Y)\subseteq E_K$가 되어 $(f_\lambda|_K)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^K,\mathcal{E}_K)$에서 코시그물이다.

역으로 조건이 성립하면 모든 $D\in \mathcal{D}_k$에 대해

위 정리로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $Y^X(K_1, D_1)\cap Y^X(K_2,D_2)\cap \cdots \cap Y^X(K_n,D_n)\subseteq D$인

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K_1,K_2,\cdots,K_n$과 $D_1,D_2,\cdots, D_n\in \mathcal{D}_Y$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y^{K_i}$의 그물 $(f_\lambda|_{K_i})_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y^{K_i},\mathcal{E}_{K_i})$에서 코시그물이므로

위 정리로 $Y^{K_i}(D_i)\in \mathcal{E}_{K_i}$임에 따라

$\lambda_i\le_\Lambda\lambda,\mu$인 모든 $\lambda,\mu\in \Lambda$가 $(f_\lambda|_{K_i},f_\mu|_{K_i})\in Y^{K_i}(D_i)$인 $\lambda_i\in \Lambda$가 존재하고

제한함수의 정의로 모든 $x\in K_i$에 대해 $(f_\lambda(x),f_\mu(x))=(f_\lambda|_{K_i}(x),f_\mu|_{K_i}(x))\in D_i$가 되어

$(f_\lambda,f_\mu)\in Y^X(K_i,D_i)$이고 상향 원순서집합 정리로 어떤 $\lambda_D\in \Lambda$에 대해 모든 $i=1,2,\cdots,n$가 $\lambda_i\le_\Lambda \lambda_D$이므로

$\lambda_D\le_\Lambda\lambda,\mu$인 모든 $\lambda,\mu\in \Lambda$는 $(f_\lambda,f_\mu)\in Y^X(K_1, D_1)\cap Y^X(K_2,D_2)\cap \cdots \cap Y^X(K_n,D_n)\subseteq D$가 되어

$(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$에서 코시그물이고 균등공간 정리로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\mathcal{F},\mathcal{D}_k|_\mathcal{F})$에서 코시그물이다.

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$와 모든 $V\in \mathcal{T}_Y$에 대해 $S(K,V)= \{ f\in \mathcal{C}(X\to Y) : f(K)\subseteq V\}$이고

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해

$S(K,D_Y) = \{ (f,g)\in \mathcal{C}(X\to Y)\times \mathcal{C}(X\to Y) : \text{모든 }x\in K\text{에 대해 }(f(x),g(x))\in D_Y\}$일때

모든 $O\in \mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)}$의 모든 $f\in O$에 대해 위 정리와 기저 정리로

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $f\in S(K_1,V_1)\cap S(K_2,V_2)\cap \cdots \cap S(K_n,V_n) \subseteq O$인

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K_1,K_2,\cdots, K_n$과 $V_1,V_2,\cdots, V_n\in \mathcal{T}_Y$이 존재하므로

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $f\in S(K_i,V_i)$임에 따라 $f(K_i)\subseteq V_i$이고

$f\in O\subseteq \mathcal{C}(X\to Y)$이므로 연속함수 정리로 $f(K_i)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트집합이 되어

위 정리로 $D_i[f(K_i)]\subseteq V_i$인 $D_i\in \mathcal{D}_Y$가 존재하고

모든 $g\in (S(K_i,D_i))[f]$에 대해 관계의 상의 정의로 $(f,g)\in S(K_i,D_i)$이므로

모든 $x\in K_i$에 대해 $(f(x),g(x))\in D_i$임에 따라 관계의 상의 정의로 $g(x)\in D_i[f(x)]\subseteq D_i[f(K_i)]\subseteq V_i$이고

$g(K_i)\subseteq V_i$가 되어 $g\in S(K_i,V_i)$이므로 $(S(K_i,D_i))[f]\subseteq S(K_i,V_i)$이다.

위 정리와 균등공간 정리와 균등공간 정리와 근방 정리로

$(S(K_1,D_1))[f]\cap (S(K_2,D_2))[f]\cap \cdots \cap (S(K_n,D_n))[f]$는 $(\mathcal{C}(X\to Y),\mathcal{T}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)})$에서 $f$의 근방이므로

$(S(K_1,D_1))[f]\cap (S(K_2,D_2))[f]\cap \cdots \cap (S(K_n,D_n))[f]\subseteq S(K_1,V_1)\cap S(K_2,V_2)\cap \cdots \cap S(K_n,V_n)\subseteq O\text{ 임에 따라}$

위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)}$가 되어 $\mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)}\subseteq \mathcal{T}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)}$의 모든 $f\in O$에 대해 위 정리와 균등공간 정리와 균등공간 정리로

$(S(K,D_Y))[f]\subseteq O$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$와 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여

$K = \emptyset$이면

모든 $g\in \mathcal{C}(X\to Y)$는 공허하게 모든 $x\in \emptyset = K$에 대해 $(f(x),g(x))\in D_Y$이므로 $(f,g)\in S(K,D_Y)$이고

관계의 상의 정의로 $g\in (S(K,D_Y))[f]$가 되어 $\mathcal{C}(X\to Y)\subseteq (S(K,D_Y))[f]\subseteq O\subseteq \mathcal{C}(X\to Y)$임에 따라

집합 정리와 위상공간의 정의로 $O=\mathcal{C}(X\to Y)\in \mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)}$이다.

$K \ne \emptyset$이면 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $2$-곱공간이 $(Y\times Y,\mathcal{P}_Y)$일때 균등공간 정리와 관계 정리와 균등공간 정리로

$C_Y\circ C_Y \circ C_Y\subseteq D_Y$이고 $C_Y = C_Y^{-1}$인 $(Y\times Y,\mathcal{P}_Y)$에서 닫힌집합 $C_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여

$f\in O\subseteq \mathcal{C}(X\to Y)$이므로 연속함수 정리로 $f(K)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트집합임에 따라

균등공간 정리로 $f(K)$는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 완전유계이고 $f(K)\ne \emptyset$이므로

균등공간 정리로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f(K)\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^n C_Y[f(x_i)]$인 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in K$이 존재한다.

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $K_i = K\cap f^{-1}(C_Y[f(x_i)])$이고 $V_i = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}((C_Y\circ C_Y)[f(x_i)])$일때

내부 정리로 $V_i$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이고 유한 곱공간 정리로 $C_Y[f(x_i)]$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이므로

연속함수 정리로 $f^{-1}(C_Y[f(x_i)])$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이 되어

위상공간 정리로 $K_i = K\cap f^{-1}(C_Y[f(x_i)])$는 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 닫힌집합이고 $K$는 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 콤팩트하므로

콤팩트 정리로 $K_i$는 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 콤팩트하여 콤팩트 정리로 $K_i$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합이고

함수 정리와 위 정리로 $f(K_i)\subseteq f(f^{-1}(C_Y[f(x_i)])) \subseteq C_Y[f(x_i)] \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{int}}((C_Y\circ C_Y)[f(x_i)]) = V_i$이므로

$f\in S(K_i,V_i)$이다.

모든 $g\in S(K_1,V_1)\cap S(K_2,V_2)\cap \cdots \cap S(K_n,V_n)$와 모든 $x\in K$에 대해

$f(x)\in f(K)\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^n C_Y[f(x_i)]$이므로 $f(x)\in C_Y[f(x_i)]$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하여

관계의 상의 정의로 $(f(x_i),f(x))\in C_Y$이고 $x\in f^{-1}(C_Y[f(x_i)])$이므로 $x\in K\cap f^{-1}(C_Y[f(x_i)]) = K_i$가 되어

$g\in S(K_i,V_i)$임에 따라 내부 정리로 $g(x)\in g(K_i)\subseteq V_i = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}((C_Y\circ C_Y)[f(x_i)])\subseteq (C_Y\circ C_Y)[f(x_i)]$이고

관계의 상의 정의로 $(f(x_i),g(x))\in C_Y\circ C_Y$가 되어 역관계의 정의로 $(f(x),f(x_i))\in C_Y^{-1} = C_Y$임에 따라

합성관계의 정의와 관계 정리로 $(f(x),g(x))\in (C_Y\circ C_Y)\circ C_Y = C_Y\circ C_Y\circ C_Y\subseteq D_Y$이므로

$(f,g)\in S(K,D_Y)$이고 관계의 상의 정의로 $g\in (S(K,D_Y))[f]\subseteq O$가 되어

$f\in S(K_1,V_1)\cap S(K_2,V_2)\cap \cdots \cap S(K_n,V_n)\subseteq O$임에 따라

위 정리와 위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)}$이므로 $\mathcal{T}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)}\subseteq \mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)}$이고

집합 정리로 $\mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)}=\mathcal{T}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)}$이다.

정의7

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합 $K$에 대해

$O\cap K$가 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(K,\mathcal{T}|_K)$에서 열린집합인 모든 $O\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면

$(X,\mathcal{T})$를 콤팩트생성공간으로 정의하고 $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트하게 생성된다(compactly generated)고 정의한다.

정리18

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트생성공간이기 위한 필요충분조건은 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합 $K$에 대해

$C\cap K$가 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(K,\mathcal{T}|_K)$에서 닫힌집합인 모든 $C\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합인 것이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 국소 콤팩트공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트생성공간이다.

3. $(X,\mathcal{T})$가 제1가산공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트생성공간이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$가 콤팩트생성공간이면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합 $K$에 대해

$C\cap K$가 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(K,\mathcal{T}|_K)$에서 닫힌집합인 모든 $C\subseteq X$에 대해

집합 정리로 $(X\setminus C)\cap K=K\setminus (C\cap K)$는 $(K,\mathcal{T}|_K)$에서 열린집합이므로

콤팩트생성공간의 정의로 $X\setminus C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어 위상공간 정리로 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

역으로 조건이 성립하면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합 $K$에 대해

$O\cap K$가 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(K,\mathcal{T}|_K)$에서 열린집합인 모든 $O\subseteq X$에 대해

위상공간 정리와 집합 정리로 $(X\setminus O)\cap K=K\setminus (O\cap K)$는 $(K,\mathcal{T}|_K)$에서 닫힌집합이므로

$X\setminus O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이 되어 집합 정리로 $O= X\setminus (X\setminus O)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

$(X,\mathcal{T})$는 콤팩트생성공간이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합 $K$에 대해

$O\cap K$가 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(K,\mathcal{T}|_K)$에서 열린집합인 모든 $O\subseteq X$의 모든 $x\in O$에 대해

국소 콤팩트공간의 정의로 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합이므로

$O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)$는 $(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V),\mathcal{T}|_{\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)})$에서 열린집합이고

폐포 정리와 집합 정리와 위상공간 정리로 $V = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)\cap V$는 $(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V),\mathcal{T}|_{\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)})$에서 열린집합이므로

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $O\cap V=O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)\cap V$는 $(V,\mathcal{T}|_V)$에서 열린집합이 되어

위상공간 정리로 $O\cap V = U\cap V$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U$가 존재하고 $x\in O\cap V = U\cap V$이므로

위상공간 정리로 $U\cap V$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $U\cap V = O\cap V \subseteq O$임에 따라

위상공간 정리로 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트생성공간이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합 $K$에 대해

$C\cap K$가 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(K,\mathcal{T}|_K)$에서 닫힌집합인 모든 $C\subseteq X$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 수렴하는 모든 $C$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$의 임의의 극한이 $x\in X$일때 수열 정리로

$S_x = \{ x_n:n\in \mathbb{Z}^+\}\cup \{ x\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합이므로 $C\cap S_x$는 $(S_x,\mathcal{T}|_{S_x})$에서 닫힌집합이 되어

$(x_n)_{n=1}^\infty$이 $S_x$의 수열이고 $x\in S_x$임에 따라 수열 정리와 그물 정리로 $(x_n)_{n=1}^\infty$은 $(S_x,\mathcal{T}|_{S_x})$에서 $x$로 수렴하고

$(x_n)_{n=1}^\infty$은 $C\cap S_x$의 수열이므로 수열 정리로 $x\in C\cap S_x\subseteq C$가 되어

제1가산공간 정리로 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 1번으로 $(X,\mathcal{T})$는 콤팩트생성공간이다.

정리19

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$가 콤팩트생성공간이면 다음이 성립한다.

1. 위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y)$일때

임의의 함수 $f:X\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이기 위한 필요충분조건은

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$에 대해

$f$의 제한함수 $f|_K:K\to Y$가 $(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수인 것이다.

2. 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y)$이고

$Y$의 $X$-일반 데카르트곱 $Y^X$에 대해 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 콤팩트수렴균등공간이 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$일때

$(Y,\mathcal{D}_Y)$가 완비균등공간이면

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 모든 연속함수들의 집합 $\mathcal{C}(X\to Y)$는 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$에서 완비이다.

증명

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이면 모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$에 대해

제한함수의 정의와 연속함수 정리로 $f|_K$는 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

역으로 조건이 성립하면

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$와 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합 $V$에 대해

함수 정리와 연속함수 정리로 $f^{-1}(V)\cap K =f|_K^{-1}(V)$는 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 열린집합이므로

콤팩트생성공간의 정의로 $f^{-1}(V)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이 되어

연속함수 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

$(Y^X,\mathcal{D}_k)$의 균등위상공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_k)$이고 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$의 부분균등공간이 $(\mathcal{C}(X\to Y),\mathcal{D}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)})$일때

$(Y^X,\mathcal{T}_k)$의 부분위상공간 $(\mathcal{C}(X\to Y),\mathcal{T}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)})$에 대해

균등공간 정리로 $(\mathcal{C}(X\to Y),\mathcal{D}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)})$의 균등위상공간은 $(\mathcal{C}(X\to Y),\mathcal{T}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)})$이다.

임의의 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $\mathcal{C}(X\to Y)$의 그물 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{C}(X\to Y),\mathcal{D}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)})$에서 코시그물이면

위 정리로 모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등수렴균등공간 $(Y^K,\mathcal{E}_K)$에 대해

$(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y^K$의 그물 $(f_\lambda|_K)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^K,\mathcal{E}_K)$에서 코시그물이고

$(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 모든 연속함수들의 집합이 $\mathcal{C}(K\to Y)$일때

1번으로 $(f_\lambda|_K)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $\mathcal{C}(K\to Y)$의 그물이 되어

코시그물 정리로 $(f_\lambda|_K)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^K,\mathcal{E}_K)$의 부분균등공간 $(\mathcal{C}(K\to Y),\mathcal{E}_K|_{\mathcal{C}(K\to Y)})$에서 코시그물이고

위 정리로 $\mathcal{C}(K\to Y)$는 $(Y^K,\mathcal{E}_K)$에서 완비이므로

$(Y^K,\mathcal{E}_K)$의 균등위상공간 $(Y^K,\mathcal{U}_K)$의 부분위상공간 $(\mathcal{C}(K\to Y),\mathcal{U}_K|_{\mathcal{C}(K\to Y)})$에 대해

균등공간 정리로 $(\mathcal{C}(K\to Y),\mathcal{E}_K|_{\mathcal{C}(K\to Y)})$의 균등위상공간이 $(\mathcal{C}(K\to Y),\mathcal{U}_K|_{\mathcal{C}(K\to Y)})$임에 따라

$(f_\lambda|_K)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\mathcal{C}(K\to Y),\mathcal{U}_K|_{\mathcal{C}(K\to Y)})$에서 어떤 $f_K\in \mathcal{C}(K\to Y)$로 수렴한다.

모든 $x\in X$에 대해 콤팩트 정리로 $\{ x\}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합이므로

선택 정리로 $(f_\lambda|_{\{x\}})_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\mathcal{C}(\{x\}\to Y),\mathcal{U}_{\{x\}}|_{\mathcal{C}(\{x\}\to Y)})$에서 수렴하는 $f_{\{x\}}\in \mathcal{C}(\{x\}\to Y)$를 선택할때

$f(x) = f_{\{x\}}(x)$인 함수 $f:X\to Y$를 정의하면 $\{x\}\ne \emptyset$이므로 제한함수의 정의와 위 정리와 위 정리로

$(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}=(f_\lambda|_{\{x\}}(x))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(x) = f_{\{ x\}}(x)$로 수렴한다.

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$에 대해

$K = \emptyset$이면 코시그물 정리로 $\Lambda\ne \emptyset$이고 모든 $\lambda\in \Lambda$에 대해 함수 정리로 $f_\lambda|_K = f|_K$이므로

그물 정리로 $(f_\lambda|_K)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^K,\mathcal{U}_K)$에서 $f|_K$로 수렴하여

위 정리로 $\mathcal{C}(K\to Y)$가 $(Y^K,\mathcal{U}_K)$에서 닫힌집합임에 따라 그물 정리로 $f|_K\in \mathcal{C}(K\to Y)$이다.

$K \ne \emptyset$이면 $(f_\lambda|_K)_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y^K,\mathcal{E}_K)$에서 코시그물이고 제한함수의 정의로

모든 $x\in K\subseteq X$에 대해 $(f_\lambda|_K(x))_{\lambda\in \Lambda} = (f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f|_K(x)=f(x)$로 수렴하므로

위 정리와 위 정리로 $(f_\lambda|_K)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y^K,\mathcal{E}_K)$에서 $f|_K$로 수렴하여

위 정리로 $\mathcal{C}(K\to Y)$가 $(Y^K,\mathcal{U}_K)$에서 닫힌집합임에 따라 그물 정리로 $f|_K\in \mathcal{C}(K\to Y)$이다.

따라서 1번으로 $f\in \mathcal{C}(X\to Y)$이고 위 정리로 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$는 $(\mathcal{C}(X\to Y),\mathcal{T}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)})$에서 $f$로 수렴하므로

$(\mathcal{C}(X\to Y),\mathcal{D}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)})$는 완비균등공간이 되어 $\mathcal{C}(X\to Y)$는 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$에서 완비이다.

정의8

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 $X$에서 $Y$로의 함수들의 임의의 집합이 $\mathcal{F}$일때

임의의 $x\in X$와 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방 $U_{D_Y}$가 존재하여 모든 $f\in \mathcal{F}$가 $f(U_{D_Y})\subseteq D_Y[f(x)]$이면

$\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 $x$에서 동등연속(equicontinuous)이라고 정의한다.

$\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 모든 $x\in X$에서 동등연속이면

$\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 동등연속이라고 정의하고

$\mathcal{F}$를 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 동등연속함수족으로 정의한다.

정리20

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $x\in X$와 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 $f(U_{D_Y})\subseteq D_Y[f(x)]$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방 $U_{D_Y}$가 존재하는

모든 함수 $f:X\to Y$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $x$에서 연속이다.

2. $X$에서 $Y$로의 함수들의 임의의 집합 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 임의의 $x\in X$에서 동등연속이면

모든 $f\in \mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $x$에서 연속이다.

3. $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 동등연속함수족 $\mathcal{F}$의 모든 $f\in \mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

4. $X$에서 $Y$로의 함수들의 임의의 집합 $\mathcal{F},\mathcal{G}$에 대해 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$일때 임의의 $x\in X$에 대해

$\mathcal{G}$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 $x$에서 동등연속이면 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 $x$에서 동등연속이다.

5. $X$에서 $Y$로의 함수들의 임의의 집합 $\mathcal{F},\mathcal{G}$에 대해 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$일때

$\mathcal{G}$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 동등연속함수족이면 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 동등연속함수족이다.

6. 임의의 $A\subseteq X$에 대해 $(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간이 $(A,\mathcal{T}_X|_A)$일때

$X$에서 $Y$로의 함수들의 임의의 집합 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 임의의 $x\in A$에서 동등연속이면

$\{ f|_A: f\in \mathcal{F}\}$는 $(A,\mathcal{T}_X|_A)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 $x$에서 동등연속이다.

7. $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 동등연속함수족이 $\mathcal{F}$일때

모든 $A\subseteq X$에 대해 $\{ f|_A: f\in \mathcal{F}\}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간 $(A,\mathcal{T}_X|_A)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 동등연속함수족이다.

증명

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(x)$의 열린근방 $V$는 $f(x)\in V\in \mathcal{T}_Y$이므로 균등위상공간의 정의로

$D_Y[f(x)]\subseteq V$인 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여 $f(U)\subseteq D_Y[f(x)]$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재함에 따라

$f(U)\subseteq D_Y[f(x)]\subseteq V$이고 연속 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $x$에서 연속이다.

1번과 동등연속의 정의로 모든 $f\in \mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $x$에서 연속이다.

동등연속함수족의 정의로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 모든 $x\in X$에서 동등연속이므로

2번으로 모든 $f\in \mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 모든 $x\in X$에서 연속이 되어

모든 $f\in \mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이다.

동등연속의 정의로 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방 $U_{D_Y}$가 존재하여 모든 $f\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{G}$가 $f(U_{D_Y})\subseteq D_Y[f(x)]$이므로

$\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 $x$에서 동등연속이다.

동등연속함수족의 정의로 $\mathcal{G}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 모든 $x\in X$에서 동등연속이므로

4번으로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 모든 $x\in X$에서 동등연속이 되어

$\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 동등연속함수족이다.

동등연속의 정의로 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방 $U_{D_Y}$가 존재하여 모든 $f\in \mathcal{F}$가 $f(U_{D_Y})\subseteq D_Y[f(x)]$이고

$x\in U_{D_Y}\cap A$이므로 위상공간 정리로 $U_{D_Y}\cap A$는 $(A,\mathcal{T}_X|_A)$에서 $x$의 열린근방이 되어

함수 정리와 제한함수의 정의로 $f|_A(U_{D_Y}\cap A)=f(U_{D_Y}\cap A)\subseteq f(U_{D_Y})\subseteq D_Y[f(x)] = D_Y[f|_A(x)]$임에 따라

$\{ f|_A: f\in \mathcal{F}\}$는 $(A,\mathcal{T}_X|_A)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 $x$에서 동등연속이다.

동등연속함수족의 정의로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T}_X)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 모든 $x\in A\subseteq X$에서 동등연속이므로

6번으로 $\{ f|_A: f\in \mathcal{F}\}$는 $(A,\mathcal{T}_X|_A)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 모든 $x\in A$에서 동등연속이 되어

$\{ f|_A: f\in \mathcal{F}\}$는 $(A,\mathcal{T}_X|_A)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 동등연속함수족이다.

정리21

$X\ne \emptyset$인 위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 동등연속함수족이 $\mathcal{F}$일때

$(Y,\mathcal{D}_Y)$의 $X$-일반 곱균등공간 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$와 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 콤팩트수렴균등공간 $(Y^X,\mathcal{D}_k)$에 대해

$(Y,\mathcal{D}_Y),(Y^X,\mathcal{D}_p),(Y^X,\mathcal{D}_k)$의 균등위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y),(Y^X,\mathcal{T}_p),(Y^X,\mathcal{T}_k)$이면

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 콤팩트-열린 위상공간 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\underset{(Y^X,\mathcal{T}_p)}{\operatorname{cl}}(\mathcal{F})$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 동등연속함수족이다.

2. $(Y^X,\mathcal{T}_p),(Y^X,\mathcal{T}_k),(Y^X,\mathcal{T}_c)$의 부분위상공간 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}),(\mathcal{F},\mathcal{T}_k|_\mathcal{F}),(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})$는 $\mathcal{T}_p|_\mathcal{F} = \mathcal{T}_k|_\mathcal{F} =\mathcal{T}_c|_\mathcal{F}$이다.

증명

모든 $f\in \underset{(Y^X,\mathcal{T}_p)}{\operatorname{cl}}(\mathcal{F})$에 대해

그물 정리로 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 $f$로 수렴하는 어떤 상향 원순서집합 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $\mathcal{F}$의 그물 $(f_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$가 존재하여

위 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y$의 그물 $(f_\lambda(x))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(x)$로 수렴하므로

$(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $2$-곱공간이 $(Y\times Y,\mathcal{P}_Y)$일때 그물 정리로 모든 $x_1,x_2\in X$에 대해

$(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $Y\times Y$의 그물 $((f_\lambda(x_1),f_\lambda(x_2)))_{\lambda\in \Lambda}$는 $(Y\times Y,\mathcal{P}_Y)$에서 $(f(x_1),f(x_2))$로 수렴한다.

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 균등공간 정리로 $C_Y\subseteq D_Y$인 $(Y\times Y,\mathcal{P}_Y)$에서 닫힌집합 $C_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하고

동등연속의 정의로 모든 $x_0\in X$에 대해 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x_0$의 열린근방 $U_{D_Y}$가 존재하여

모든 $\lambda\in \Lambda$가 $f_\lambda\in \mathcal{F}$임에 따라 $f_\lambda(U_{D_Y}) \subseteq C_Y[f_\lambda(x_0)]$이고

모든 $x\in U_{D_Y}$에 대해 $f_\lambda(x)\in f_\lambda(U_{D_Y})\subseteq C_Y[f_\lambda(x_0)]$이므로 관계의 상의 정의로 $(f_\lambda(x_0),f_\lambda(x))\in C_Y$가 되어

$((f_\lambda(x_0),f_\lambda(x)))_{\lambda\in \Lambda}$가 $(\Lambda,\le_\Lambda)$에서 $C_Y$의 그물임에 따라 그물 정리로 $(f(x_0),f(x))\in C_Y\subseteq D_Y$이고

관계의 상의 정의로 $f(x)\in D_Y[f(x_0)]$이 되어 $f(U_{D_Y}) \subseteq D_Y[f(x_0)]$이므로

$\underset{(Y^X,\mathcal{T}_p)}{\operatorname{cl}}(\mathcal{F})$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 동등연속함수족이다.

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 모든 연속함수들의 집합이 $\mathcal{C}(X\to Y)$일때

위 정리로 $\mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)} = \mathcal{T}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)}$이므로 위 정리로 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{C}(X\to Y)$임에 따라

위상공간 정리로 $\mathcal{T}_c|_\mathcal{F} =(\mathcal{T}_c|_{\mathcal{C}(X\to Y)})|_\mathcal{F} = (\mathcal{T}_k|_{\mathcal{C}(X\to Y)})|_\mathcal{F} = \mathcal{T}_k|_\mathcal{F}$이고 위 정리로 $\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_k|_\mathcal{F}$이다.

모든 유한집합 $A\subseteq X$와 모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해

$\mathcal{F}(A,D_Y) = \{ (f,g)\in \mathcal{F}\times \mathcal{F} : \text{모든 } x\in A\text{에 대해 } (f(x), g(x))\in D_Y\}$이고

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$와 모든 $V\in \mathcal{T}_Y$에 대해 $\mathcal{F}(K,V) = \{ f\in \mathcal{F}: f(K)\subseteq V\}$일때

$K = \emptyset$이면 $\mathcal{F}(K,V) \subseteq \mathcal{F}$이고 모든 $f\in \mathcal{F}$에 대해 $f(K) = f(\emptyset) = \emptyset \subseteq V$이므로 $f\in \mathcal{F}(K,V)$가 되어

$\mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}(K,V)$임에 따라 집합 정리와 위상공간 정리로 $\mathcal{F}(K,V)=\mathcal{F}\in \mathcal{T}_p|_\mathcal{F}$이다.

$K \ne \emptyset$이면 모든 $f\in \mathcal{F}(K,V)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 $f(K)\subseteq V$이므로

연속함수 정리로 $f(K)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트집합임에 따라 위 정리로 $D_Y[f(K)]\subseteq V$인 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여

균등공간 정리로 $E_Y\circ E_Y\circ E_Y \subseteq D_Y$이고 $E_Y = E_Y^{-1}$인 $E_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재한다.

$\mathcal{O}_X = \{ U\in \mathcal{T}_X : \text{어떤 }x\in K\text{에 대해 }x\in U\text{이고 모든 }g\in \mathcal{F}\text{에 대해 }g(U)\subseteq E_Y[g(x)]\}$일때

동등연속의 정의로 모든 $x\in K\subseteq X$에 대해 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재하여

모든 $g\in \mathcal{F}$가 $g(U)\subseteq E_Y[g(x)]$이므로 $x\in U\in \mathcal{O}_X$이고 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_X$임에 따라 $K\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}_X$가 되어

콤팩트 정리로 $K\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}_X$인 유한집합 $\mathcal{U}_X\subseteq \mathcal{O}_X$가 존재하고 $K\ne \emptyset$이므로

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{U}_X = \{ U_1,U_2,\cdots, U_n\}$인 $U_1,U_2,\cdots, U_n\in \mathcal{O}_X$이 존재하여

어떤 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in K$에 대해 모든 $i=1,2,\cdots,n$가 $x_i\in U_i$이고 모든 $g\in \mathcal{F}$에 대해 $g(U_i)\subseteq E_Y[g(x_i)]$이다.

모든 $g\in (\mathcal{F}(\{x_1\},E_Y))[f]\cap (\mathcal{F}(\{x_2\},E_Y))[f]\cap \cdots \cap (\mathcal{F}(\{x_n \},E_Y))[f]$에 대해

모든 $x\in K\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}_X= \bigcup_{i=1}^n U_i$는 $x\in U_i$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하여

$g\in (\mathcal{F}(\{x_i\},E_Y))[f]$이므로 관계의 상의 정의로 $(f,g)\in \mathcal{F}(\{x_i\},E_Y)$임에 따라 $(f(x_i),g(x_i))\in E_Y$이고

$f,g\in \mathcal{F}$이므로 $f(x)\in f(U_i)\subseteq E_Y[f(x_i)]$와 $g(x)\in g(U_i)\subseteq E_Y[g(x_i)]$가 성립하여

관계의 상의 정의로 $(f(x_i),f(x)),(g(x_i),g(x))\in E_Y$이고 역관계의 정의로 $(f(x),f(x_i))\in E_Y^{-1}=E_Y$이므로

합성관계의 정의로 $(f(x),g(x_i))\in E_Y\circ E_Y$임에 따라

관계 정리로 $(f(x),g(x))\in E_Y\circ (E_Y\circ E_Y) = E_Y\circ E_Y \circ E_Y \subseteq D_Y$이고

관계의 상의 정의로 $g(x)\in D_Y[f(x)]\subseteq D_Y[f(K)]\subseteq V$이므로 $g(K)\subseteq V$가 되어 $g\in \mathcal{F}(K,V)$이고

$(\mathcal{F}(\{x_1\},E_Y))[f]\cap (\mathcal{F}(\{x_2\},E_Y))[f]\cap \cdots \cap (\mathcal{F}(\{x_n \},E_Y))[f]\subseteq \mathcal{F}(K,V)$이므로

위 정리와 균등공간 정리와 근방 정리와 위상공간 정리로 $\mathcal{F}(K,V)\in \mathcal{T}_p|_\mathcal{F}$가 되어

위 정리와 위상공간 정리로 $\mathcal{T}_k|_\mathcal{F}=\mathcal{T}_c|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_p|_\mathcal{F}$임에 따라 집합 정리로 $\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}=\mathcal{T}_k|_\mathcal{F} =\mathcal{T}_c|_\mathcal{F}$이다.

정리22

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 콤팩트-열린 위상공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$이고

$(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간 $(A,\mathcal{T}_X|_A)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 콤팩트-열린 위상공간이 $(Y^A,\mathcal{U}_A)$일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $f\in Y^X$에 대해 $\Phi_A(f) = f|_A$인 함수 $\Phi_A: Y^X\to Y^A$는 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$에서 $(Y^A,\mathcal{U}_{A})$로의 연속함수이다.

2. 임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$가 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$에서 콤팩트하면 $\{ f|_A:f\in \mathcal{F}\}$는 $(Y^A,\mathcal{U}_{A})$에서 콤팩트하다.

증명

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 모든 콤팩트집합들의 집합이 $\mathcal{K}_X$이고 $(A,\mathcal{T}_X|_A)$에서 모든 콤팩트집합들의 집합이 $\mathcal{K}_A$일때

모든 $K\in \mathcal{K}_A$는 $K\subseteq A\subseteq X$이고 $(A,\mathcal{T}_X|_A)$에서 콤팩트하므로

콤팩트 정리로 $K$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트하여 $K\in \mathcal{K}_X$임에 따라 $\mathcal{K}_A\subseteq \mathcal{K}_X$이다.

모든 $K\in \mathcal{K}_A$와 모든 $V\in \mathcal{T}_Y$에 대해

$S(K,V) = \{ f\in Y^X : f(K)\subseteq V\}$이고 $S_A(K,V) = \{ f_A\in Y^A : f_A(K) \subseteq V\}$일때

모든 $f\in \Phi_A^{-1}(S_A(K,V))$에 대해 $f|_A=\Phi_A(f)\in S_A(K,V)$이므로 제한함수의 정의와 함수 정리로

$f(K)=f|_A(K)\subseteq V$가 되어 $f\in S(K,V)$임에 따라 $\Phi_A^{-1}(S_A(K,V))\subseteq S(K,V)$이고

모든 $f\in S(K,V)$에 대해 제한함수의 정의와 함수 정리로 $f|_A(K) = f(K)\subseteq V$이므로

$\Phi_A(f)=f|_A\in S_A(K,V)$가 되어 $f\in \Phi_A^{-1}(S_A(K,V))$이고 $S(K,V)\subseteq \Phi_A^{-1}(S_A(K,V))$임에 따라

집합 정리와 위 정리로 $\Phi_A^{-1}(S_A(K,V))= S(K,V)\in \mathcal{T}_c$이다.

따라서 위 정리로 $\{ S_A(K,V) : K\in \mathcal{K}_A,V\in \mathcal{T}_Y\}$는 $(Y^A,\mathcal{U}_{A})$의 부분기저이므로

연속함수 정리로 $\Phi_A$는 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$에서 $(Y^A,\mathcal{U}_{A})$로의 연속함수이다.

1번과 콤팩트 정리로 $\{ f|_A:f\in \mathcal{F}\} = \{ \Phi_A(f):f\in \mathcal{F}\} = \Phi_A(\mathcal{F})$는 $(Y^A,\mathcal{U}_{A})$에서 콤팩트하다.

정리23

$X\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$에 대해 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $X$-일반 곱공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$이고

$A\ne \emptyset$인 임의의 $A\subseteq X$에 대해 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $A$-일반 곱공간이 $(Y^A,\mathcal{U}_{A})$일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $f\in Y^X$에 대해 $\Phi_A(f) = f|_A$인 함수 $\Phi_A: Y^X\to Y^A$는 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 $(Y^A,\mathcal{U}_{A})$로의 연속함수이다.

2. 임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$가 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 콤팩트하면 $\{ f|_A:f\in \mathcal{F}\}$는 $(Y^A,\mathcal{U}_{A})$에서 콤팩트하다.

증명

모든 $x\in A\subseteq X$와 모든 $V\in \mathcal{T}_Y$에 대해

$S(x,V) = \{ f\in Y^X : f(x)\in V\}$이고 $S_A(x,V) = \{ f_A\in Y^A : f_A(x) \in V\}$일때

모든 $f\in \Phi_A^{-1}(S_A(x,V))$에 대해 $f|_A=\Phi_A(f)\in S_A(x,V)$이므로

제한함수의 정의로 $f(x)=f|_A(x)\in V$가 되어 $f\in S(x,V)$임에 따라 $\Phi_A^{-1}(S_A(x,V))\subseteq S(x,V)$이고

모든 $f\in S(x,V)$에 대해 제한함수의 정의로 $f|_A(x) = f(x)\in V$이므로

$\Phi_A(f)=f|_A\in S_A(x,V)$가 되어 $f\in \Phi_A^{-1}(S_A(x,V))$이고 $S(x,V)\subseteq \Phi_A^{-1}(S_A(x,V))$임에 따라

집합 정리와 위 정리로 $\Phi_A^{-1}(S_A(x,V))= S(x,V)\in \mathcal{T}_p$이다.

따라서 위 정리로 $\{ S_A(x,V) : x\in A,V\in \mathcal{T}_Y\}$는 $(Y^A,\mathcal{U}_{A})$의 부분기저이므로

연속함수 정리로 $\Phi_A$는 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 $(Y^A,\mathcal{U}_{A})$로의 연속함수이다.

1번과 콤팩트 정리로 $\{ f|_A:f\in \mathcal{F}\} = \{ \Phi_A(f):f\in \mathcal{F}\} = \Phi_A(\mathcal{F})$는 $(Y^A,\mathcal{U}_{A})$에서 콤팩트하다.

정리24(아스콜리[Ascoli] 정리)

$X\ne \emptyset$인 위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$가 하우스도르프 공간 또는 정칙공간이고 균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$가 분리균등공간이고

$(Y,\mathcal{D}_Y)$의 $X$-일반 곱균등공간 $(Y^X,\mathcal{D}_p)$에 대해 $(Y,\mathcal{D}_Y),(Y^X,\mathcal{D}_p)$의 균등위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y),(Y^X,\mathcal{T}_p)$일때

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 콤팩트-열린 위상공간 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$와

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 모든 연속함수들의 집합 $\mathcal{C}(X\to Y)$에 대해

임의의 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{C}(X\to Y)$가 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$에서 콤팩트하기 위한 필요충분조건은

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$에 대해 $\{ f|_K : f\in \mathcal{F}\}$가 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 동등연속함수족인 것이다.

증명

위 정리로 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $X$-일반 곱공간이고 균등공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 하우스도르프 공간이다.

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$에 대해 $\mathcal{F}_K = \{ f|_K : f\in \mathcal{F}\}$이고

$(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 모든 연속함수들의 집합이 $\mathcal{C}(K\to Y)$일때

모든 $f\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{C}(X\to Y)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로 연속함수이므로

연속함수 정리로 $f$의 제한함수 $f|_K:K\to Y$는 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수가 되어

$f|_K\in \mathcal{C}(K\to Y)$임에 따라 $\mathcal{F}_K\subseteq \mathcal{C}(K\to Y)$이고

$(X,\mathcal{T}_X)$가 하우스도르프 공간일때 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$는 콤팩트공간이고

계승적 성질로 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$는 하우스도르프 공간이므로 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$는 정칙공간이고

$(X,\mathcal{T}_X)$가 정칙공간일때 계승적 성질로 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$는 정칙공간이다.

$\mathcal{F}$가 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$에서 콤팩트하면

위 정리로 $\mathcal{T}_p\subseteq \mathcal{T}_c$이므로 위상공간 정리로 $\mathcal{F}$는 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 콤팩트하여

위 정리로 $\mathcal{F}$는 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 닫힌집합이고 모든 $x\in X$에 대해 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(\{ f(x) : f\in \mathcal{F}\})$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트하다.

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$에 대해

$\mathcal{F}_K = \emptyset$일때 위상공간 정리로 모든 $x\in K$에 대해 $K$는 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 $x$의 열린근방이므로

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해 공허하게 모든 $f_K\in \emptyset= \mathcal{F}_K$가 $f_K(K)\subseteq D_Y[f_K(x)]$가 되어

$\mathcal{F}_K$가 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$와 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에 대해 모든 $x\in K$에서 동등연속임에 따라

$\mathcal{F}_K$는 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 동등연속함수족이다.

$\mathcal{F}_K \ne \emptyset$일때

$(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 콤팩트-열린 위상공간 $(Y^K,\mathcal{U}_K)$에 대해 위 정리로 $\mathcal{F}_K$는 $(Y^K,\mathcal{U}_K)$에서 콤팩트하고

모든 $D_Y\in \mathcal{D}_Y$에 대해

균등공간 정리로 $E_Y\circ E_Y^{-1}\subseteq D_Y$인 $E_Y\in \mathcal{D}_Y$가 존재하여 모든 $y\in Y$에 대해 $E_Y[y]$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이고

모든 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 콤팩트집합 $A$와 모든 $V\in \mathcal{T}_Y$에 대해 $S_K(A,V) = \{ f_K\in Y^K : f_K(A)\subseteq V\}$일때

모든 $U\in \mathcal{T}_X|_K$에 대해

폐포 정리로 $\underset{(K,\mathcal{T}_X|_K)}{\operatorname{cl}(U)}$는 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 닫힌집합이므로 콤팩트 정리로 $\underset{(K,\mathcal{T}_X|_K)}{\operatorname{cl}(U)}$는 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 콤팩트하여

임의의 $x\in K$와 모든 $f\in \mathcal{F}$에 대해

균등공간 정리로 $f|_K(x)\in E_Y[f|_K(x)]$이고 $E_Y[f|_K(x)]$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f|_K(x)$의 열린근방임에 따라

$x\in f|_K^{-1}(E_Y[f|_K(x)])$이고 연속함수 정리로 $f|_K^{-1}(E_Y[f|_K(x)])$는 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 $x$의 열린근방이므로

정칙공간 정리로 $\underset{(K,\mathcal{T}_X|_K)}{\operatorname{cl}(U_f)}\subseteq f|_K^{-1}(E_Y[f|_K(x)])$인 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 $x$의 열린근방 $U_f$가 존재하여

함수 정리로 $f|_K(\underset{(K,\mathcal{T}_X|_K)}{\operatorname{cl}(U_f)})\subseteq f|_K(f|_K^{-1}(E_Y[f|_K(x)]))\subseteq E_Y[f|_K(x)]$임에 따라

선택 정리로 $f\in \mathcal{F}$에 대해 $f|_K(\underset{(K,\mathcal{T}_X|_K)}{\operatorname{cl}(U_f)})\subseteq E_Y[f|_K(x)]$이고 $x\in U_f$인 $U_f\in \mathcal{T}_X|_K$를 선택할때

$\mathcal{S}_x = \{ S_K(\underset{(K,\mathcal{T}_X|_K)}{\operatorname{cl}(U_f)},E_Y[f|_K(x)]) : f\in \mathcal{F}\}$는 위 정리는 $\mathcal{S}_x \subseteq \mathcal{U}_K$이고

$f|_K\in S_K(\underset{(K,\mathcal{T}_X|_K)}{\operatorname{cl}(U_f)},E_Y[f|_K(x)]) \in \mathcal{S}_x$이므로 $f|_K\in \displaystyle \bigcup \mathcal{S}_x$가 되어 $\mathcal{F}_K\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S}_x$이다.

콤팩트 정리로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{F}_K\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^n S_K(\underset{(K,\mathcal{T}_X|_K)}{\operatorname{cl}(U_{f_i})},E_Y[f_i|_K(x)])$인 $f_1,f_2,\cdots, f_n\in \mathcal{F}$이 존재하여

위상공간 정리로 $U = U_{f_1}\cap U_{f_2}\cap \cdots \cap U_{f_n}$는 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 $x$의 열린근방이고

모든 $f\in \mathcal{F}$에 대해 $f|_K\in \mathcal{F}_K\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=1}^n S_K(\underset{(K,\mathcal{T}_X|_K)}{\operatorname{cl}(U_{f_i})},E_Y[f_i|_K(x)])$이므로

$f|_K\in S_K(\underset{(K,\mathcal{T}_X|_K)}{\operatorname{cl}(U_{f_i})},E_Y[f_i|_K(x)])$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하여

모든 $u\in U$에 대해 폐포 정리로 $f|_K(x),f|_K(u)\in f|_K(U)\subseteq f|_K(U_{f_i})\subseteq f|_K(\underset{(K,\mathcal{T}_X|_K)}{\operatorname{cl}(U_{f_i})})\subseteq E_Y[f_i|_K(x)]$이고

관계의 상의 정의로 $(f_i|_K(x),f|_K(x)),(f_i|_K(x),f|_K(u))\in E_Y$가 되어

역관계의 정의로 $(f|_K(x),f_i|_K(x))\in E_Y^{-1}$이고

합성관계의 정의로 $(f|_K(x),f|_K(u))\in E_Y\circ E_Y^{-1}\subseteq D_Y$임에 따라

관계의 상의 정의로 $f|_K(u)\in D_Y[f|_K(x)]$이고 $f|_K(U)\subseteq D_Y[f|_K(x)]$이므로

$\mathcal{F}_K$는 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 동등연속함수족이다.

역으로 조건이 성립하면

$(Y^X,\mathcal{T}_p),(Y^X,\mathcal{T}_c)$의 부분위상공간 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}),(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})$에 대해 위 정리로 $\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_c|_\mathcal{F}$이고

위 정리로 $\mathcal{F}$는 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$에서 콤팩트하므로 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$는 콤팩트공간이다.

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $K$와 모든 $V\in \mathcal{T}_Y$에 대해 $\mathcal{F}(K,V) = \{ f\in \mathcal{F} : f(K)\subseteq V\}$일때

$K = \emptyset$이면 $\mathcal{F}(K,V)\subseteq \mathcal{F}$이고 모든 $f\in \mathcal{F}$에 대해 $f(K) = f(\emptyset) = \emptyset \subseteq V$이므로

$f\in \mathcal{F}(K,V)$가 되어 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{F}(K,V)$임에 따라 집합 정리와 위상공간 정리로 $\mathcal{F}(K,V)=\mathcal{F}\in \mathcal{T}_p|_\mathcal{F}$이다.

$K\ne \emptyset$이면 $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 $K$-일반 곱균등공간 $(Y^K,\mathcal{E}_K)$의 균등위상공간이 $(Y^K,\mathcal{U}_K)$일때

위 정리로 $(Y^K,\mathcal{U}_K)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $K$-일반 곱공간이고

위 정리로 $(Y^K,\mathcal{U}_K)$의 부분위상공간 $(\mathcal{F}_K,\mathcal{U}_K|_{\mathcal{F}_K})$는 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 콤팩트-열린 위상공간이 되어

$\mathcal{F}_K(V) = \{ f_K\in \mathcal{F}_K : f_K(K)\subseteq V\}$에 대해

$K$가 $(K,\mathcal{T}_X|_K)$에서 콤팩트집합임에 따라 위 정리로 $\mathcal{F}_K(V)\in \mathcal{U}_K|_{\mathcal{F}_K}$이고 위 정리와 연속함수 정리로

모든 $f\in \mathcal{F}$에 대해 $\Phi_K(f)=f|_K$인 함수 $\Phi_K: \mathcal{F}\to \mathcal{F}_K$는 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$에서 $(\mathcal{F}_K,\mathcal{U}_K|_{\mathcal{F}_K})$로의 연속함수이다.

모든 $f\in \Phi_K^{-1}(\mathcal{F}_K(V))$에 대해 $f|_K = \Phi_K(f) \in \mathcal{F}_K(V)$이므로 제한함수의 정의와 함수 정리로

$f(K) = f|_K(K)\subseteq V$가 되어 $f\in \mathcal{F}(K,V)$임에 따라 $\Phi_K^{-1}(\mathcal{F}_K(V))\subseteq \mathcal{F}(K,V)$이고

모든 $f\in \mathcal{F}(K,V)$에 대해 제한함수의 정의와 함수 정리로 $f|_K(K) = f(K)\subseteq V$가 되어

$\Phi_K(f)=f|_K\in \mathcal{F}_K(V)$이므로 $f\in \Phi_K^{-1}(\mathcal{F}_K(V))$이고 $\mathcal{F}(K,V)\subseteq \Phi_K^{-1}(\mathcal{F}_K(V))$임에 따라

집합 정리와 연속함수 정리로 $\mathcal{F}(K,V)=\Phi_K^{-1}(\mathcal{F}_K(V))\in \mathcal{T}_p|_\mathcal{F}$이다.

따라서 위 정리와 위상공간 정리로 $\mathcal{T}_c|_\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}_p|_\mathcal{F}$이므로 집합 정리로 $\mathcal{T}_c|_\mathcal{F}=\mathcal{T}_p|_\mathcal{F}$이고

$(\mathcal{F},\mathcal{T}_c|_\mathcal{F})=(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$는 콤팩트공간이므로 $\mathcal{F}$는 $(Y^X,\mathcal{T}_c)$에서 콤팩트하다.

-------------------------------------------------------------------------------

정의의 링크 :

https://openknowledgevl.tistory.com/136#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

정리의 링크 :

https://openknowledgevl.tistory.com/136#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797

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정의1

정리1

증명

정리2

증명

정의2

정의3

정리3

증명

정리4

증명

정리5

증명

정리6(점별수렴 균등공간)

증명

정리7(균등수렴 균등공간)

증명

정의4

정리8

증명

정리9

증명

정리10(점-열린 위상공간)

증명

정리11(콤팩트-열린 위상공간)

증명

정의5

정리12

증명

정리13

증명

정리14(콤팩트수렴 균등공간)

증명

정의6

정리15

증명

정리16

증명

정리17

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정의7

정리18

증명

정리19

증명

정의8

정리20

증명

정리21

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정리22

증명

정리23

증명

정리24(아스콜리[Ascoli] 정리)

증명

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