사무엘 콤팩트화(Samuel compactification)

정의1

근접공간이 $(X,\pmb{\delta})$이고 임의의 $Y \subseteq X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(Y)$일때

모든 $A,B\subseteq Y$에 대해 $A\, \pmb{\delta}|_Y \, B$이기 위한 필요충분조건이 $A\, \pmb{\delta}\, B$인 것이 되는

$\mathcal{P}(Y)$의 관계가 $\pmb{\delta}|_Y \subseteq \mathcal{P}(Y)\times \mathcal{P}(Y)$이면 $(Y,\pmb{\delta}|_Y)$를 $(X,\pmb{\delta})$의 부분근접공간으로 정의한다.

 

 

 

정리1

근접공간이 $(X,\pmb{\delta})$일때 임의의 $Y\subseteq X$에 대해 $(X,\pmb{\delta})$의 부분근접공간 $(Y,\pmb{\delta}|_Y)$는 근접공간이다.

증명

모든 $A,B,C\subseteq Y\subseteq X$에 대해 근접공간의 정의와 부분근접공간의 정의로

$A\, \pmb{\delta}|_Y \, B$이면 $A\, \pmb{\delta}\, B$이므로 $B\, \pmb{\delta}\, A$가 되어 $B\, \pmb{\delta}|_Y \, A$이고 $A\ne \emptyset$이다.

$A\cap B\ne \emptyset$이면 $A\, \pmb{\delta}\, B$이므로 $A\, \pmb{\delta}|_Y \, B$이다.

$A\, \pmb{\delta}|_Y \, (B\cup C)$이면 $A\, \pmb{\delta}\, (B\cup C)$이므로 $A\, \pmb{\delta}\, B$ 또는 $A\, \pmb{\delta}\, C$가 되어 $A\, \pmb{\delta}|_Y\, B$ 또는 $A\, \pmb{\delta}|_Y\, C$이다.

$A\, \pmb{\delta}|_Y\, B$ 또는 $A\, \pmb{\delta}|_Y\, C$이면 $A\, \pmb{\delta}\, B$ 또는 $A\, \pmb{\delta}\, C$이므로 $A\, \pmb{\delta}\, (B\cup C)$가 되어 $B\cup C\subseteq Y$임에 따라 $A\, \pmb{\delta}|_Y \, (B\cup C)$이다.

$A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}|_Y \, B$이면 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, B$가 되어 어떤 $S\subseteq X$에 대해 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, S$이고 $B \, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (X\setminus S)$인데

$A\, \pmb{\delta} \, (Y\cap S)$라고 가정할때 $Y\cap S\subseteq S$임에 따라 근접공간 정리로 $A\, \pmb{\delta} \, S$가 되어 모순이고 

$B \,  \pmb{\delta} \, (Y\setminus (Y\cap S))$라고 가정할때

집합 정리로 $Y\setminus (Y\cap S) = Y\cap (X\setminus S)\subseteq X\setminus S$임에 따라 근접공간 정리로 $B\, \pmb{\delta} \, (X\setminus S)$가 되어 모순이므로 

$A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (Y\cap S)$와 $B \, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (Y\setminus (Y\cap S))$가 성립하고

$Y\cap S, Y\setminus (Y\cap S) \subseteq Y$임에 따라 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}|_Y \, (Y\cap S)$와 $B \, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}|_Y \, (Y\setminus (Y\cap S))$가 성립하여

모든 $S_Y \subseteq Y$에 대해 $A\, \pmb{\delta}|_Y \, S_Y$ 또는 $B\, \pmb{\delta}|_Y \, (Y\setminus S_Y)$이면 $A\, \pmb{\delta}|_Y \, B$이고 $(Y,\pmb{\delta}|_Y)$는 근접공간이다.

 

 

 

정리2

근접공간이 $(X,\pmb{\delta})$일때 임의의 $Y\subseteq X$에 대해 $(X,\pmb{\delta})$의 부분근접공간이 $(Y,\pmb{\delta}|_Y)$이면 다음이 성립한다.

1. $(X,\pmb{\delta}),(Y,\pmb{\delta}|_Y)$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}},\ll_{\pmb{\delta}|_Y}$일때 모든 $A,B\subseteq Y$에 대해 

$A\ll_{\pmb{\delta}|_Y}  B$이기 위한 필요충분조건은 $A\ll_{\pmb{\delta}} C$이고 $B = Y\cap C$인 $C\subseteq X$가 존재하는 것이다.

2. $(X,\pmb{\delta})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때

$(Y,\pmb{\delta}|_Y)$의 근접위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $\mathcal{T}|_Y = \mathcal{T}_Y$이다.

증명

1.

$A\ll_{\pmb{\delta}|_Y}  B$이면 $C = (X\setminus Y)\cup B$는 집합 정리와 집합 정리로

$Y\cap C = Y\cap ((X\setminus Y)\cup B) = (Y\cap (X\setminus Y))\cup (Y\cap B) = \emptyset \cup (Y\cap B) = Y\cap B = B$이고

집합 정리와 집합 정리로

$X\setminus C = X\setminus ((X\setminus Y)\cup B) = (X\setminus (X\setminus Y))\cap (X\setminus B) = Y\cap (X\setminus B) = Y\setminus (Y\cap B) = Y\setminus B$이므로 

근접근방의 정의로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}|_Y \, (Y\setminus B)$이고 부분근접공간의 정의로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (Y\setminus B)$임에 따라 

$A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (X\setminus C)$가 되어 근접근방의 정의로 $A\ll_{\pmb{\delta}} C$이다.

역으로 $A\ll_{\pmb{\delta}} C$이고 $B = Y\cap C$인 $C\subseteq X$가 존재하면 근접근방의 정의로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (X\setminus C)$이므로 

$A\, \pmb{\delta} \, (Y\setminus B)$라고 가정할때 집합 정리로 $Y \setminus B = Y\setminus (Y\cap C) = Y\cap (X\setminus C) \subseteq X\setminus C$이고

근접공간 정리로 $A\, \pmb{\delta} \, (X\setminus C)$임에 따라 모순이 되어 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (Y\setminus B)$이므로 

부분근접공간의 정의로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}|_Y \, (Y\setminus B)$이고 근접근방의 정의로 $A\ll_{\pmb{\delta}|_Y}  B$이다.

2.

모든 $U \in \mathcal{T}|_Y$에 대해 위상공간 정리로 $U = Y\cap O$인 $O\in \mathcal{T}$가 존재하여 

내부 정리와 근접공간 정리로 모든 $y \in U \subseteq O = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(O)$는 $\{ y\}\ll_{\pmb{\delta}} O$이므로

1번으로 $\{ y\} \ll_{\pmb{\delta}|_Y} U$이고 근접공간 정리와 내부 정리로 $y\in \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(U)\subseteq U$가 되어

내부 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(U)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y$의 열린근방임에 따라 위상공간 정리로 $U\in \mathcal{T}_Y$이고 $\mathcal{T}|_Y\subseteq \mathcal{T}_Y$이다.

모든 $U\in \mathcal{T}_Y$에 대해 내부 정리와 근접공간 정리로 모든 $y\in U = \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{int}}(U)$는 $\{ y\}\ll_{\pmb{\delta}|_Y} U$이므로 

1번으로 $\{ y\}\ll_{\pmb{\delta}} C$이고 $U = Y\cap C$인 $C\subseteq X$가 존재하여 근접공간 정리로 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(C)$이고 

내부 정리로 $y\in Y\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(C)\subseteq Y\cap C = U$이므로 

내부 정리와 위상공간 정리로 $Y\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(C)$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방임에 따라

위상공간 정리로 $U\in \mathcal{T}|_Y$가 되어 $\mathcal{T}_Y\subseteq \mathcal{T}|_Y$이고 집합 정리로 $\mathcal{T}|_Y = \mathcal{T}_Y$이다.

 

 

 

정리3

균등공간 $(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간이 $(X,\pmb{\delta})$일때 임의의 $Y\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $A,B\subseteq Y$에 대해 모든 $D\in \mathcal{D}$는 $D[A]$ $\cap \; B = $ $D|_Y$$[A]\cap B$이다.

2. $(X,\mathcal{D})$의 부분균등공간 $(Y,\mathcal{D}|_Y)$의 균등근접공간 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$와 $(X,\pmb{\delta})$의 부분근접공간 $(Y,\pmb{\delta}|_Y)$는 $\pmb{\delta}_Y = \pmb{\delta}|_Y$이다.

증명

1.

모든 $y\in D[A]\cap B$에 대해 관계의 상의 정의로 $y\in D[z]$인 $z\in A$가 존재하여 $(z,y)\in D$이고

$(z,y)\in A\times B \subseteq Y^2$이므로 축소관계의 정의로 $(z,y)\in D\cap Y^2 = D|_Y$가 되어

관계의 상의 정의로 $y\in D|_Y[z] \subseteq D|_Y[A]$임에 따라 $y\in D|_Y[A]\cap B$이고 $D[A]\cap B\subseteq D|_Y[A]\cap B$이다.

축소관계의 정의로 $D|_Y = D\cap Y^2 \subseteq D$이므로 관계 정리로 $D|_Y[A]\cap B \subseteq D[A]\cap B$가 되어

집합 정리로 $D[A]\cap B=D|_Y[A]\cap B$이다.

2.

임의의 $A,B\subseteq Y$에 대해 $A\, \pmb{\delta}_Y\, B$이면 

모든 $D\in \mathcal{D}$에 대해 부분균등공간의 정의로 $D|_Y = D\cap Y^2\in \mathcal{D}|_Y$임에 따라 

1번과 균등근접공간 정리로 $D[A]\cap B =D|_Y[A]\cap B \ne \emptyset$이고 $A\, \pmb{\delta}\, B$이므로 부분근접공간의 정의로 $A\, \pmb{\delta}|_Y\, B$이다.

$A\, \pmb{\delta}|_Y\, B$이면 부분근접공간의 정의로 $A\, \pmb{\delta}\, B$이고

모든 $D|_Y\in \mathcal{D}|_Y$는 부분균등공간의 정의로 $D|_Y = D\cap Y^2$인 $D\in \mathcal{D}$가 존재하므로

1번과 균등근접공간 정리로 $D|_Y[A]\cap B = D[A]\cap B \ne \emptyset$가 되어 $A\, \pmb{\delta}_Y\, B$이다.

따라서 모든 $A,B\subseteq Y$에 대해 $A\, \pmb{\delta}_Y\, B$이기 위한 필요충분조건은 $A\, \pmb{\delta}|_Y\, B$인 것이므로 

관계의 정의와 집합 정리로 $\pmb{\delta}_Y = \pmb{\delta}|_Y$이다.

 

 

 

정리4

임의의 집합 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 $\mathcal{P}(X)$의 관계 $\ll \; \subseteq \mathcal{P}(X)\times \mathcal{P}(X)$가 아래 5가지 성질을 만족하면 

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,  \pmb{\delta}\, B$이기 위한 필요충분조건이 $A \not\ll (X\setminus B)$인 것이 되는

$\mathcal{P}(X)$의 관계 $\pmb{\delta} \subseteq \mathcal{P}(X)\times \mathcal{P}(X)$에 대해 $(X,\pmb{\delta})$는 근접공간이고 $(X,\pmb{\delta})$의 근접근방관계 $\ll_{\pmb{\delta}}$는 $\ll_{\pmb{\delta}} \;= \;\ll$이다.

1. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\ll B$이면 $(X\setminus B)\ll (X\setminus A)$이다.

2. 모든 $A\subseteq X$에 대해 $\emptyset\ll A$이다.

3. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\ll B$이면 $A\subseteq B$이다.

4. 모든 $A,B,C\subseteq X$에 대해 $A\ll (B\cap C)$이기 위한 필요충분조건은 $A\ll B$이고 $A\ll C$인 것이다.

5. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\ll B$이면 $A\ll C$이고 $C\ll B$인 $C\subseteq X$가 존재한다.

증명

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $B\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \,A$이면 $B \ll (X\setminus A)$이므로

$(X\setminus (X\setminus A)) \ll (X\setminus B)$가 되어 집합 정리로 $A = X\setminus (X\setminus A)$임에 따라 $A \ll (X\setminus B)$이고 $A \, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \,B$이므로 

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,  \pmb{\delta}\, B$이면 $B\,  \pmb{\delta}\, A$이다.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A = \emptyset$이면 $\emptyset\ll (X\setminus B)$이므로 $A\ll (X\setminus B)$임에 따라 $A \, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \,B$가 되어 

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,  \pmb{\delta}\, B$이면 $A \ne \emptyset$이다.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \,B$이면 $A \ll (X\setminus B)$이므로 $A \subseteq X\setminus B$가 되어 집합 정리로 $A\cap B = \emptyset$임에 따라 

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\cap B \ne \emptyset$이면 $A\,  \pmb{\delta}\, B$이다.

모든 $A,B,C\subseteq X$에 대해 집합 정리로 $X\setminus (B\cup C) = (X\setminus B)\cap (X\setminus C)$이므로 

$A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (B\cup C)$이면 $A\ll (X\setminus (B\cup C))$이고 $A\ll ((X\setminus B)\cap (X\setminus C))$가 되어 

$A\ll(X\setminus B)$와 $A\ll (X\setminus C)$가 성립하므로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, B$와 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, C$가 성립하고

$A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, B$와 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, C$가 성립하면 $A\ll(X\setminus B)$와 $A\ll (X\setminus C)$가 성립하여

$A\ll ((X\setminus B)\cap (X\setminus C))$임에 따라 $A\ll (X\setminus (B\cup C))$이고 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (B\cup C)$이므로 

모든 $A,B,C\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta} \, (B\cup C)$이기 위한 필요충분조건은 $A\, \pmb{\delta} \, B$ 또는 $A\, \pmb{\delta} \, C$인 것이다.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \,B$이면 $A \ll (X\setminus B)$이므로 $A \ll C$이고 $C \ll (X\setminus B)$인 $C\subseteq X$가 존재하여

$S = X\setminus C$일때 집합 정리로 $C = X\setminus (X\setminus C) = X\setminus S$이므로 $A \ll (X\setminus S)$임에 따라 $A \, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \,S$이고

$(X\setminus S)\ll (X\setminus B)$임에 따라 $(X\setminus S) \, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, B$가 되어 $B\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \,(X\setminus S)$이므로 

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 모든 $S\subseteq X$가 $A\,  \pmb{\delta}\, S$ 또는 $B\,  \pmb{\delta}\, (X\setminus S)$이면 $A\,  \pmb{\delta}\, B$이고 $(X,\pmb{\delta})$는 근접공간이다.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 집합 정리로 $B = X\setminus (X\setminus B)$이므로 

$A\ll_{\pmb{\delta}} B$이면 근접근방의 정의로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (X\setminus B)$이고 $A \ll (X\setminus (X\setminus B))$임에 따라 $A\ll B$이고 

$A\ll B$이면 $A\ll (X\setminus (X\setminus B))$이므로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta} \, (X\setminus B)$가 되어 근접근방의 정의로 $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이고 

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\ll_{\pmb{\delta}} B$이기 위한 필요충분조건은 $A\ll B$인 것이므로 

관계의 정의와 집합 정리로 $\ll_{\pmb{\delta}} \;= \;\ll$이다.

 

 

 

정의2(집합의 근접구조의 비교)

임의의 집합 $X$의 임의의 근접구조 $\pmb{\delta}_1,\pmb{\delta}_2$가 $\pmb{\delta}_1\subseteq \pmb{\delta}_2$일때

$\pmb{\delta}_2$는 $\pmb{\delta}_1$보다 약하다(weaker) 또는 약한 근접구조라고 정의하고 

$\pmb{\delta}_1$은 $\pmb{\delta}_2$보다 강하다(stronger) 또는 강한 근접구조라고 정의한다.

 

 

 

정리5

근접공간 $(X,\pmb{\delta}_1),(X,\pmb{\delta}_2)$의 근접근방관계 $\ll_{\pmb{\delta}_1},\ll_{\pmb{\delta}_2}$에 대해 다음은 동치이다.

1. $\pmb{\delta}_1 \subseteq \pmb{\delta}_2$

2. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta}_1 \, B$이면 $A\,\pmb{\delta}_2 \,B$이다.

3. $\ll_{\pmb{\delta}_2} \;\subseteq\; \ll_{\pmb{\delta}_1}$

4. 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A \ll_{\pmb{\delta}_2} B$이면 $A\ll_{\pmb{\delta}_1} B$이다.

증명

$1\leftrightarrow 2$

$\pmb{\delta}_1 \subseteq \pmb{\delta}_2$이면 $A\, \pmb{\delta}_1 \, B$인 모든 $A,B\subseteq X$는 관계의 정의로 $(A,B)\in \pmb{\delta}_1\subseteq \pmb{\delta}_2$이므로 $A\, \pmb{\delta}_2 \, B$이다.

역으로 2번이 성립하면 모든 $(A,B)\in \pmb{\delta}_1$는 관계의 정의로 $A\, \pmb{\delta}_1 \, B$이므로

근접공간의 정의로 $A,B\subseteq X$임에 따라 $A\,\pmb{\delta}_2 \,B$가 되어 $(A,B)\in \pmb{\delta}_2$이고 $\pmb{\delta}_1 \subseteq \pmb{\delta}_2$이다.

$2\to 4$

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A \ll_{\pmb{\delta}_2}  B$이면 근접근방의 정의로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}_2 \,(X\setminus B)$이므로 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}_1 \,(X\setminus B)$가 되어 $A \ll_{\pmb{\delta}_1}  B$이다.

$3\leftrightarrow 4$

$\ll_{\pmb{\delta}_2} \;\subseteq\; \ll_{\pmb{\delta}_1}$이면 $A \ll_{\pmb{\delta}_2}  B$인 모든 $A,B\subseteq X$는 관계의 정의로 $(A,B)\in\; \ll_{\pmb{\delta}_2} \;\subseteq\; \ll_{\pmb{\delta}_1}$이므로 $A\ll_{\pmb{\delta}_1} B$이다.

역으로 4번이 성립하면 모든 $(A,B)\in\; \ll_{\pmb{\delta}_2}$는 관계의 정의로 $A \ll_{\pmb{\delta}_2}  B$이므로

근접근방의 정의로 $A,B\subseteq X$임에 따라 $A\ll_{\pmb{\delta}_1} B$가 되어 $(A,B)\in \;\ll_{\pmb{\delta}_1}$이고 $\ll_{\pmb{\delta}_2} \;\subseteq\; \ll_{\pmb{\delta}_1}$이다.

$4\to 2$

임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\,\big / \hspace{-0.55em}\pmb{\delta}_2 \,B$이면 집합 정리로 $B = X\setminus (X\setminus B)$임에 따라

$A\,\big / \hspace{-0.55em}\pmb{\delta}_2 \,(X\setminus (X\setminus B))$이므로 근접근방의 정의로 $A \ll_{\pmb{\delta}_2}  X\setminus B$가 되어 $A \ll_{\pmb{\delta}_1}  X\setminus B$이고 

$A\,\big / \hspace{-0.55em}\pmb{\delta}_1 \,(X\setminus (X\setminus B))$가 되어 $A\,\big / \hspace{-0.55em}\pmb{\delta}_1 \,B$임에 따라 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta}_1 \, B$이면 $A\,\pmb{\delta}_2 \,B$이다.

 

 

 

정리6(이산 근접공간[discrete proximity space])

임의의 집합 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$의 관계 $\pmb{\delta}$가 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 

$A\, \pmb{\delta}\, B$이기 위한 필요충분조건이 $A\cap B\ne \emptyset$인 것이면 다음이 성립한다.

1. $(X,\pmb{\delta})$는 근접공간이다.

2. $(X,\pmb{\delta})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T})$는 이산 위상공간 $(X,\mathcal{P}(X))$에 대해 $\mathcal{T} = \mathcal{P}(X)$이다.

3. 모든 근접공간 $(X,\pmb{\epsilon})$에 대해 $\pmb{\delta} \subseteq \pmb{\epsilon}$이다.

증명

1.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta}\, B$이면 $B\cap A = A\cap B\ne \emptyset$이므로 $B\, \pmb{\delta}\, A$이다.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta}\, B$이면 $A\cap B\ne \emptyset$이고 $A\cap B\subseteq A$이므로 $A\ne \emptyset$이다.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\cap B\ne \emptyset$이면 $A\, \pmb{\delta}\, B$이다.

모든 $A,B,C\subseteq X$에 대해 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (B\cup C)$이면 집합 정리로 $(A\cap B)\cup (A\cap C) =A\cap (B\cup C) = \emptyset$이므로 

$A\cap B\subseteq (A\cap B)\cup (A\cap C)= \emptyset$와 $A\cap C\subseteq (A\cap B)\cup (A\cap C)= \emptyset$이 성립함에 따라

$A\cap B = \emptyset$와 $A\cap C=\emptyset$가 성립하여 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, B$와 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, C$가 성립하고 

$A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, B$와 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, C$가 성립하면 $A\cap B = \emptyset = A\cap C$이므로 

집합 정리로 $A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C) = \emptyset\cup \emptyset = \emptyset$이 되어 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (B\cup C)$이고 

모든 $A,B,C\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta}\, (B\cup C)$이기 위한 필요충분조건은 $A\, \pmb{\delta}\, B$ 또는 $A\,  \pmb{\delta}\, C$인 것이다.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, B$이면 $A\cap B = \emptyset$이므로 

$S = X\setminus A$일때 $A\cap S = A\cap (X\setminus A) = \emptyset$이 되어 $A\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, S$이고 

집합 정리로 $B\cap (X\setminus S)=B\cap (X\setminus (X\setminus A)) = B\cap A = A\cap B = \emptyset$이 되어 $B\, \big / \hspace{-0.55em} \pmb{\delta}\, (X\setminus S)$임에 따라

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 모든 $S\subseteq X$가 $A\,  \pmb{\delta}\, S$ 또는 $B\,  \pmb{\delta}\, (X\setminus S)$이면 $A\,  \pmb{\delta}\, B$이고 $(X,\pmb{\delta})$는 근접공간이다.

2.

근접위상공간의 정의로 모든 $A\subseteq X$가 $\mathbf{c}(A) = \{ x\in X : \{x\}\, \pmb{\delta}\, A \}$인 함수 $\mathbf{c} :\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(X)$에 대해 

$\mathcal{C} = \{ C\in \mathcal{P}(X) : \mathbf{c}(C) = C\}$이고 $\mathcal{T} = \{ O\in \mathcal{P}(X) : X\setminus O\in \mathcal{C}\}$이므로 $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$이다.

모든 $A\in \mathcal{P}(X)$에 대해 근접위상공간 정리로 $A\subseteq \mathbf{c}(A)$이고 

모든 $x\in \mathbf{c}(A)$는 $\{ x\} \, \pmb{\delta}\, A$이므로 $\{ x\}\cap A\ne \emptyset$임에 따라 $x\in A$가 되어 $\mathbf{c}(A)\subseteq A$이고 집합 정리로 $\mathbf{c}(A) = A$이다.

모든 $A\in \mathcal{P}(X)$에 대해 $X\setminus A\in \mathcal{P}(X)$이므로 $\mathbf{c}(X\setminus A) = X\setminus A$임에 따라 $X\setminus A\in \mathcal{C}$가 되어 $A\in \mathcal{T}$이고

$\mathcal{P}(X)\subseteq \mathcal{T}$이므로 집합 정리로 $\mathcal{T} = \mathcal{P}(X)$이다.

3.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta}\, B$이면 $A\cap B\ne \emptyset$이 되어 근접공간의 정의로 $A\, \pmb{\epsilon}\, B$이므로 위 정리로 $\pmb{\delta}\subseteq \pmb{\epsilon}$이다. 

 

 

 

정리7

근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}}$일때 임의의 $A,B\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. 양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$와 구간 $[0,1]$에 대해 $\mathbb{D} = \{ \frac{m}{2^n} : m,n\in (\mathbb{Z}^+\cup \{0\}) \}\cap [0,1]$이고 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 

$A\ll_{\pmb{\delta}}B$이면 함수 $f:\mathbb{D}\to \mathcal{P}(X)$가 존재하여

$f(0) = A$와 $f(1) = B$가 성립하고 $t_1<t_2$인 모든 $t_1,t_2\in \mathbb{D}$에 대해 $f(t_1) \ll_{\pmb{\delta}} f(t_2)$이다.

2. $A\ll_{\pmb{\delta}}B$이면 모든 $m,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $A = \displaystyle \bigcup_{i=1}^m A_i$와 $B = \displaystyle \bigcap_{j=1}^nB_j$가 성립하는

모든 $A_1,A_2,\cdots,A_m,B_1,B_2,\cdots,B_n\subseteq X$은 모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $A_i \ll_{\pmb{\delta}} B_j$이다.

3. 어떤 $m,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $A = \displaystyle \bigcup_{i=1}^m A_i$이고 $B = \displaystyle \bigcap_{j=1}^nB_j$인 $A_1,A_2,\cdots,A_m,B_1,B_2,\cdots,B_n\subseteq X$이 존재하여 

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $A_i \ll_{\pmb{\delta}} B_j$이면 $A\ll_{\pmb{\delta}}B$이다.

증명

1.

근접공간 정리와 선택 정리로 $A \ll_{\pmb{\delta}} C_\frac{1}{2}\ll_{\pmb{\delta}} B$인 $C_\frac{1}{2^1}=C_\frac{1}{2}\in \mathcal{P}(X) = (\mathcal{P}(X))^1$를 선택하고

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $A\ll_{\pmb{\delta}} C_\frac{1}{2^k}\ll_{\pmb{\delta}} C_\frac{2}{2^k}\ll_{\pmb{\delta}} \cdots \ll_{\pmb{\delta}}C_\frac{2^k-1}{2^k}\ll_{\pmb{\delta}} B$인

$(C_\frac{1}{2^k}, C_\frac{2}{2^k},\cdots , C_\frac{2^k-1}{2^k})\in (\mathcal{P}(X))^{2^k-1}$가 귀납적으로 정의될때 부등식 정리로 $3<4 =2^2\le 2^{k+1}$이므로

$m<2^{k+1}$인 임의의 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $m = 2\cdot p$인 $p\in \mathbb{Z}^+$가 존재하면 $C_\frac{m}{2^{k+1}} = C_\frac{p\cdot 2}{2^{k+1}} = C_\frac{p}{2^k}$로 정의한다.

$m = 2\cdot p$인 $p\in \mathbb{Z}^+$가 존재하지 않을때

$m = 1$이면 $A\ll_{\pmb{\delta}}C_\frac{1}{2^k} = C_\frac{2}{2^{k+1}}$이므로

근접공간 정리와 선택 정리로 $A\ll_{\pmb{\delta}}C_\frac{1}{2^{k+1}}\ll_{\pmb{\delta}}C_\frac{2}{2^{k+1}}$인 $C_\frac{1}{2^{k+1}}\in \mathcal{P}(X)$을 선택하고

$m = 2^{k+1} -1$이면 $C_\frac{2^{k+1} - 2}{2^{k+1}}=C_\frac{2^k-1}{2^k} \ll_{\pmb{\delta}}B$이므로

근접공간 정리와 선택 정리로 $C_\frac{2^{k+1} - 2}{2^{k+1}}\ll_{\pmb{\delta}} C_\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}} \ll_{\pmb{\delta}}B$인 $C_\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\in \mathcal{P}(X)$를 선택한다.

$1< m < 2^{k+1} -1$이면 홀수 정리로 $m = 2\cdot p  + 1$인 $p\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $C_\frac{2 \cdot p}{2^{k+1}}=C_\frac{p}{2^k} \ll_{\pmb{\delta}}C_\frac{p+1}{2^k} = C_\frac{2\cdot p +2}{2^{k+1}}$이므로

근접공간 정리와 선택 정리로 $C_\frac{2 \cdot p}{2^{k+1}}\ll_{\pmb{\delta}}C_\frac{2\cdot p+1}{2^{k+1}}\ll_{\pmb{\delta}}C_\frac{2\cdot p +2}{2^{k+1}}$인 $C_\frac{2\cdot p +1}{2^{k+1}}\in \mathcal{P}(X)$을 선택할때

$(C_\frac{1}{2^{k+1}}, C_\frac{2}{2^{k+1}},\cdots , C_\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}})\in (\mathcal{P}(X))^{2^{k+1}-1}$은 $A\ll_{\pmb{\delta}}C_\frac{1}{2^{k+1}}\ll_{\pmb{\delta}} C_\frac{2}{2^{k+1}}\ll_{\pmb{\delta}} \cdots \ll_{\pmb{\delta}}C_\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}} \ll_{\pmb{\delta}} B$이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 귀납적으로 정의된 $2^n-1$-순서쌍이 $(C_\frac{1}{2^n}, C_\frac{2}{2^n},\cdots , C_\frac{2^n-1}{2^n})\in (\mathcal{P}(X))^{2^n-1}$일때

$\dfrac{p}{2^q} = \dfrac{m}{2^n} < 1$인 임의의 $p,q,m,n\in \mathbb{Z}^+$이 $q = n$이면 $p = m$이 되어 $C_\frac{p}{2^q} = C_\frac{m}{2^n}$이고 

$q\ne n$일때 일반성을 잃지 않고 $q < n$이라 가정하면 $p < 2^q$이고 $m<2^n$이므로

부등식 정리로 $p<2^q< 2^n$이고 $n -q > 0$가 되어 $n-q\in \mathbb{Z}^+$임에 따라 $2^{n-q}\in \mathbb{Z}^+$이고 $p\cdot 2^{n-q}\in \mathbb{Z}^+$이므로

$p\cdot 2^{n-q} < 2^q\cdot 2^{n-q} = 2^{q + n-q} = 2^n$이고 $\dfrac{p\cdot 2^{n-q}}{2^{q+n-q}} = \dfrac{p\cdot 2^{n-q}}{2^q\cdot 2^{n-q}} =\dfrac{p}{2^q} = \dfrac{m}{2^n}$이 되어 $C_\frac{m}{2^n} = C_\frac{p\cdot 2^{n-q}}{2^{q+n-q}} = C_\frac{p}{2^q}$이다.

$0< t< 1$인 모든 $t\in \mathbb{D}$에 대해 $t = \dfrac{m}{2^n}$인 $m,n\in \mathbb{Z}^+\cup \{ 0\}$이 존재하여

$m= 0$이면 $t = \dfrac{m}{2^n} = \dfrac{0}{2^n} = 0$임에 따라 모순이고 

$n = 0$이면 $t = \dfrac{m}{2^n} = \dfrac{m}{2^0} = \dfrac{m}{1} = m$이므로 정수 정리에 모순이 되어 

$m\ne 0$이고 $n\ne 0$임에 따라 $m,n\in \mathbb{Z}^+$이고 $t$에 대해 $C_\frac{m}{2^n}$은 유일하게 존재하므로 $C_t = C_\frac{m}{2^n}$으로 정의한다.

모든 $t\in \mathbb{D}$에 대해 $f(t) = \begin{cases} A & t =0 \text{일때} \\[0.5em] C_t & 0<t<1 \text{일때} \\[0.5em] B & t=1\text{일때}\end{cases}$ 로 정의되는 함수 $f: \mathbb{D}\to \mathcal{P}(X)$는

$f(0) = A$와 $f(1) = B$가 성립하고 $t_1<t_2$인 모든 $t_1,t_2\in \mathbb{D}$에 대해

$t_1 = 0$이면 $t_2\ne 0$이므로 근접공간 정리로 $f(t_1) = f(0) = A \ll_{\pmb{\delta}} f(t_2)$이고 

$t_2 = 1$이면 $t_1\ne 1$이므로 근접공간 정리로 $f(t_1)  \ll_{\pmb{\delta}} B=f(1)=f(t_2)$이고 

$0 < t_1< t_2 <1$이면 $t_1 =\dfrac{p}{2^q} $와 $t_2= \dfrac{m}{2^n}$이 성립하는 $p,q,m,n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$t_1 =\dfrac{p}{2^q} = \dfrac{p\cdot 2^n}{2^{q}\cdot 2^n} =\dfrac{p\cdot 2^n}{2^{q+n}} = \dfrac{p\cdot 2^n}{2^{n+q}}$와 $t_2 =\dfrac{m}{2^n} = \dfrac{m\cdot 2^q}{2^{n}\cdot 2^q} =\dfrac{m\cdot 2^q}{2^{n+q}}$가 성립하고 

$\dfrac{p\cdot 2^n}{2^{n+q}}=t_1<t_2 = \dfrac{m\cdot 2^q}{2^{n+q}}$이므로 $p\cdot 2^n,m\cdot 2^q\in \mathbb{Z}^+$이고 $p\cdot 2^n<m\cdot 2^q$임에 따라 

근접공간 정리로 $f(t_1) = C_{t_1} = C_\frac{p\cdot 2^n}{2^{n+q}} \ll_{\pmb{\delta}} C_\frac{m\cdot 2^q}{2^{n+q}}=C_{t_2}= f(t_2)$이다.

2.

$A\ll_{\pmb{\delta}}B = \displaystyle \bigcap_{j=1}^n B_j$이므로 근접공간 정리로 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $A\ll_{\pmb{\delta}} B_j$이고 

$\displaystyle \bigcup_{i=1}^mA_i=A\ll_{\pmb{\delta}} B_j$이므로 근접공간 정리로 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $A_i\ll_{\pmb{\delta}}B_j$이다.

3.

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $A_i\ll_{\pmb{\delta}} B_j$이므로

근접공간 정리로 $A_i \ll_{\pmb{\delta}}\displaystyle \bigcap_{j=1}^n B_j =B$가 되어 근접공간 정리로 $\displaystyle A = \bigcup_{i=1}^mA_i\ll_{\pmb{\delta}} B$이다.

 

 

 

정리8

$I\ne \emptyset$인 임의의 집합 $I, J$에 대해 $J$의 $I$-일반 데카르트곱이 $J^I$이고 

모든 $i\in I$와 모든 $j\in J$에 대해 임의의 집합 $C_{i,j}$가 유일하게 존재할때 $\displaystyle \bigcap_{i\in I} \left ( \bigcup_{j\in J} C_{i,j}\right ) = \bigcup_{f\in J^I} \left ( \bigcap_{i\in I}C_{i,f(i)}\right )$이다.

증명

모든 $x\in \displaystyle \bigcap_{i\in I} \left ( \bigcup_{j\in J} C_{i,j}\right )$는 모든 $i\in I$에 대해 $\displaystyle x\in \bigcup_{j\in J} C_{i,j}$이므로 $x\in C_{i,j_i}$인 $j_i\in J$가 존재하여

선택 정리로 모든 $i\in I$에 대해 $x\in C_{i,f(i)}$인 함수 $f: I\to J$가 존재함에 따라 일반 데카르트곱 정리로 $f\in J^I$이고 

$x\in \displaystyle \bigcap_{i\in I} C_{i,f(i)}$가 되어 $x\in \displaystyle \bigcup_{f\in J^I} \left ( \bigcap_{i\in I}C_{i,f(i)}\right )$이므로 $\displaystyle \bigcap_{i\in I} \left ( \bigcup_{j\in J} C_{i,j}\right ) \subseteq \bigcup_{f\in J^I} \left ( \bigcap_{i\in I}C_{i,f(i)}\right )$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup_{f\in J^I} \left ( \bigcap_{i\in I}C_{i,f(i)}\right )$는 $x\in \displaystyle \bigcap_{i\in I} C_{i,f(i)}$인 $f\in J^I$가 존재하여

$f$는 일반 데카르트곱 정리로 $f:I\to J$인 함수이므로

모든 $i\in I$에 대해 $f(i)\in J$이고 $x\in C_{i,f(i)} \subseteq \displaystyle \bigcup_{j\in J}C_{i,j}$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcap_{i\in I} \left ( \bigcup_{j\in J} C_{i,j}\right )$이고 

$\displaystyle \bigcup_{f\in J^I} \left ( \bigcap_{i\in I} C_{i,f(i)}\right ) \subseteq \bigcap_{i\in I} \left ( \bigcup_{j\in J} C_{i,j}\right )$이므로 집합 정리로 $\displaystyle \bigcap_{i\in I} \left ( \bigcup_{j\in J} C_{i,j}\right ) = \bigcup_{f\in J^I} \left ( \bigcap_{i\in I}C_{i,f(i)}\right )$이다.

 

 

 

정리9

임의의 집합 $X$에 대해 근접공간 $(X,\pmb{\delta}_1),(X,\pmb{\delta}_2)$의 근접위상공간이 $(X,\mathcal{T}_1),(X,\mathcal{T}_2)$이고 

균등공간 $(X,\mathcal{D}),(X,\mathcal{E})$의 균등근접공간이 $(X,\pmb{\delta}_{\mathcal{D}}),(X,\pmb{\delta}_{\mathcal{E}})$일때 다음이 성립한다.

1. $\pmb{\delta}_1 \subseteq \pmb{\delta}_2$이면 $\mathcal{T}_2\subseteq \mathcal{T}_1$이다.

2. $\mathcal{D} \subseteq \mathcal{E}$이면 $\pmb{\delta}_\mathcal{E} \subseteq \pmb{\delta}_\mathcal{D}$이다.

증명

1.

$(X,\pmb{\delta}_1),(X,\pmb{\delta}_2)$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}_1},\ll_{\pmb{\delta}_2}$일때

모든 $O\in \mathcal{T}_2$에 대해 내부 정리와 근접공간 정리로 모든 $x\in O = \underset{(X,\mathcal{T}_2)}{\operatorname{int}}(O)$는 $\{ x\}\ll_{\pmb{\delta}_2} O$이므로

$\pmb{\delta}_1 \subseteq \pmb{\delta}_2$임에 따라 위 정리로 $\{x\} \ll_{\pmb{\delta}_1} O$가 되어 근접공간 정리와 내부 정리로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(O) \subseteq O$이고 

내부 정리로 $ \underset{(X,\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}(O)$는 $(X,\mathcal{T}_1)$에서 $x$의 열린근방이므로 위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}_1$이고 $\mathcal{T}_2\subseteq \mathcal{T}_1$이다.

2.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\, \pmb{\delta}_\mathcal{E}\, B$이면

균등근접공간 정리로 모든 $D\in \mathcal{D}\subseteq \mathcal{E}$에 대해 $D[A]\cap B\ne \emptyset$이므로 $A\, \pmb{\delta}_\mathcal{D}\, B$가 되어 위 정리로 $\pmb{\delta}_\mathcal{E} \subseteq \pmb{\delta}_\mathcal{D}$이다.

 

 

 

정리10

임의의 집합 $X$에 대해 모든 $X$의 근접구조들의 집합이 $\mathfrak{D}$일때 

모든 $\pmb{\delta}\in \mathfrak{D}$에 대해 근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접근방관계가 $\ll_{\pmb{\delta}}$이면 $\mathfrak{A} = \{ \ll_{\pmb{\delta}} \; : \pmb{\delta}\in \mathfrak{D}\}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 부분집합관계 $\subseteq $에 대해 $(\mathfrak{D},\subseteq)$는 부분순서집합이고 $\mathfrak{D}\ne \emptyset$이다.

2. 부분집합관계 $\subseteq$에 대해 $(\mathfrak{A},\subseteq)$는 부분순서집합이고 $\mathfrak{A}\ne \emptyset$이다.

3. 임의의 $\mathfrak{E}\subseteq \mathfrak{D}$와 $\mathfrak{B} = \{ \ll_{\pmb{\epsilon}} \; : \pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}\}$에 대해

임의의 $\pmb{\delta}\in \mathfrak{D}$가 $(\mathfrak{D},\subseteq)$에서 $\mathfrak{E}$의 상계이기 위한 필요충분조건은 $\ll_{\pmb{\delta}}$가 $(\mathfrak{A},\subseteq)$에서 $\mathfrak{B}$의 하계인 것이다.

4. 임의의 $\mathfrak{E}\subseteq \mathfrak{D}$와 $\mathfrak{B} = \{ \ll_{\pmb{\epsilon}} \; : \pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}\}$에 대해

임의의 $\pmb{\delta}\in \mathfrak{D}$가 $(\mathfrak{D},\subseteq)$에서 $\mathfrak{E}$의 하계이기 위한 필요충분조건은 $\ll_{\pmb{\delta}}$가 $(\mathfrak{A},\subseteq)$에서 $\mathfrak{B}$의 상계인 것이다.

5. 양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$와 구간 $[0,1]$에 대해 $\mathbb{D} = \{ \frac{m}{2^n} : m,n\in (\mathbb{Z}^+\cup \{0\}) \}\cap [0,1]$이고 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 

$\mathfrak{E}\ne \emptyset$인 임의의 $\mathfrak{E}\subseteq \mathfrak{D}$와 $\mathfrak{B} = \{ \ll_{\pmb{\epsilon}} \; : \pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}\}$에 대해 $\mathcal{P}(X)$의 관계 $\underline{\ll}$가

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\underline{\ll} B$이기 위한 필요충분조건이 $f(0) = A$와 $f(1) = B$가 성립하고

$t_1<t_2$인 모든 $t_1,t_2\in \mathbb{D}$에 대해 모든 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$이 $f(t_1) \ll_{\pmb{\epsilon}} f(t_2)$인 함수 $f:\mathbb{D}\to \mathcal{P}(X)$가 존재하는 것이면 

$(\mathfrak{A},\subseteq)$에서 $\mathfrak{B}$의 하한에 대해 $\underline{\ll}\;=\underset{(\mathfrak{A},\subseteq)}{\inf}\mathfrak{B}$이고 $(\mathfrak{D},\subseteq)$에서 $\mathfrak{E}$의 상한 $\pmb{\overline{\epsilon}}=\underset{(\mathfrak{D},\subseteq)}{\sup} \mathfrak{E}$에 대해 $\ll_{\overline{\pmb{\epsilon}}} \; = \; \underline{\ll}$이다.

6. $\mathfrak{E}\ne \emptyset$인 임의의 $\mathfrak{E}\subseteq \mathfrak{D}$와 $\mathfrak{B} = \{ \ll_{\pmb{\epsilon}} \; : \pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}\}$에 대해 $\mathcal{P}(X)$의 관계 $\overline{\ll}$가

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\overline{\ll} B$이기 위한 필요충분조건이

어떤 $m,n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $A = \displaystyle \bigcup_{i=1}^m A_i$이고 $B = \displaystyle \bigcap_{j=1}^nB_j$인 $A_1,A_2,\cdots,A_m,B_1,B_2,\cdots,B_n\subseteq X$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} B_j$인 $\pmb{\epsilon}_{i,j}\in \mathfrak{E}$가 존재하는 것이면

$(\mathfrak{A},\subseteq)$에서 $\mathfrak{B}$의 상한에 대해 $\overline{\ll}\;=\underset{(\mathfrak{A},\subseteq)}{\sup}\mathfrak{B}$이고 $(\mathfrak{D},\subseteq)$에서 $\mathfrak{E}$의 하한 $\pmb{\underline{\epsilon}}=\underset{(\mathfrak{D},\subseteq)}{\inf} \mathfrak{E}$에 대해 $\ll_{\underline{\pmb{\epsilon}}} \; = \; \overline{\ll}$이다.

7. 위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

$\mathfrak{E}\ne \emptyset$인 임의의 $\mathfrak{E}\subseteq \mathfrak{D}$의 모든 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$에 대해 $(X,\pmb{\epsilon})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}})$이 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}}$이면 

$\pmb{\underline{\epsilon}}=\underset{(\mathfrak{D},\subseteq)}{\inf} \mathfrak{E}$에 대해 $(X,\pmb{\underline{\epsilon}})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\underline{\epsilon}}})$은 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\underline{\epsilon}}}$이다.

증명

1, 2

순서집합 정리로 $(\mathfrak{D},\subseteq)$와 $(\mathfrak{A},\subseteq)$는 부분순서집합이고

위 정리로 $\pmb{\delta}\in \mathfrak{D}$가 존재하여 $\mathfrak{D}\ne \emptyset$이고 $\ll_{\pmb{\delta}}\;\in \mathfrak{A}$임에 따라 $\mathfrak{A}\ne \emptyset$이다.

3.

$\pmb{\delta}$가 $(\mathfrak{D},\subseteq)$에서 $\mathfrak{E}$의 상계이면 모든 $\ll\; \in \mathfrak{B}$에 대해 $\ll \; = \; \ll_{\pmb{\epsilon}}$인 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$이 존재하여

상계의 정의로 $\pmb{\epsilon} \subseteq \pmb{\delta}$이므로 위 정리로 $\ll_{\pmb{\delta}}\; \subseteq \; \ll_{\pmb{\epsilon}} \; = \; \ll$임에 따라 $\ll_{\pmb{\delta}}$는 $(\mathfrak{A},\subseteq)$에서 $\mathfrak{B}$의 하계이다.

역으로 $\ll_{\pmb{\delta}}$가 $(\mathfrak{A},\subseteq)$에서 $\mathfrak{B}$의 하계이면 모든 $\pmb{\epsilon} \in \mathfrak{E}$에 대해 $\ll_{\pmb{\epsilon}}\; \in \mathfrak{B}$임에 따라

하계의 정의로 $\ll_{\pmb{\delta}}\; \subseteq \; \ll_{\pmb{\epsilon}}$이므로 위 정리로 $\pmb{\epsilon} \subseteq \pmb{\delta}$가 되어 $\pmb{\delta}$는 $(\mathfrak{D},\subseteq)$에서 $\mathfrak{E}$의 상계이다.

4.

$\pmb{\delta}$가 $(\mathfrak{D},\subseteq)$에서 $\mathfrak{E}$의 하계이면 모든 $\ll\; \in \mathfrak{B}$에 대해 $\ll \; = \; \ll_{\pmb{\epsilon}}$인 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$이 존재하여

하계의 정의로 $\pmb{\delta} \subseteq \pmb{\epsilon}$이므로 위 정리로 $\ll \; =\; \ll_{\pmb{\epsilon}}\; \subseteq \; \ll_{\pmb{\delta}}$임에 따라 $\ll_{\pmb{\delta}}$는 $(\mathfrak{A},\subseteq)$에서 $\mathfrak{B}$의 상계이다.

역으로 $\ll_{\pmb{\delta}}$가 $(\mathfrak{A},\subseteq)$에서 $\mathfrak{B}$의 상계이면 모든 $\pmb{\epsilon} \in \mathfrak{E}$에 대해 $\ll_{\pmb{\epsilon}}\; \in \mathfrak{B}$임에 따라

상계의 정의로 $\ll_{\pmb{\epsilon}}\; \subseteq \; \ll_{\pmb{\delta}}$이므로 위 정리로 $\pmb{\delta} \subseteq \pmb{\epsilon}$이 되어 $\pmb{\delta}$는 $(\mathfrak{D},\subseteq)$에서 $\mathfrak{E}$의 하계이다.

5.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A \underline{\ll} B$이면 $f(0) = A$와 $f(1) = B$가 성립하고

$t_1<t_2$인 모든 $t_1,t_2\in \mathbb{D}$에 대해 모든 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$이 $f(t_1) \ll_{\pmb{\epsilon}} f(t_2)$인 함수 $f:\mathbb{D}\to \mathcal{P}(X)$가 존재하므로 

모든 $t \in \mathbb{D}$에 대해 $t = \dfrac{m}{2^n}\le 1$인 $m,n\in \mathbb{Z}^+\cup \{0\}$이 존재하여 거듭제곱의 정의와 거듭제곱 정리로 $2^n\in \mathbb{Z}^+$이고

$m\le 2^n$임에 따라 정수 정리로 $2^n - m\in \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$이고 $0\le t\le 1$임에 따라 $0\le 1-t \le 1$이 되어

$1 - t = \dfrac{2^n}{2^n} - \dfrac{m}{2^n} = \dfrac{2^n - m}{2^n}\in \mathbb{D}$이므로 $g(t) = X\setminus f(1 - t)$인 함수 $g : \mathbb{D} \to \mathcal{P}(X)$를 정의하면

$g(0) = X\setminus f(1) = X\setminus B$와 $g(1) = X\setminus f(0) = X\setminus A$가 성립하고

$-t_2< -t_1$이므로 $1-t_2<1-t_1$이 되어 $f(1-t_2)\ll_{\pmb{\epsilon}} f(1-t_1)$이고

근접공간 정리로 $g(t_1)=X\setminus f(1-t_1)\ll_{\pmb{\epsilon}} X\setminus f(1-t_2) = g(t_2)$임에 따라 $X\setminus B \underline{\ll} X\setminus A$이다.

모든 $A\subseteq X$에 대해 모든 $t\in \mathbb{D}$가 $f(t) = \begin{cases} \emptyset& t\ne 1\text{일때} \\[0.5em] A & t=1\text{일때}\end{cases}$인 함수 $f: \mathbb{D}\to \mathcal{P}(X)$는

$f(0) = \emptyset$과 $f(1) = A$가 성립하고 $t_1< t_2$인 모든 $t_1,t_2\in \mathbb{D}$에 대해 $t_1< t_2\le 1$이므로 $t_1\ne 1$이 되어

모든 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$에 대해 근접공간 정리로 $f(t_1) = \emptyset \ll_{\pmb{\epsilon}} f(t_2)$임에 따라 $\emptyset \underline{\ll} A$이다.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\underline{\ll} B$이면 어떤 함수 $f:\mathbb{D}\to \mathcal{P}(X)$가 존재하여 $f(0) = A$와 $f(1) = B$가 성립하고 

$\mathfrak{E}\ne \emptyset$이므로 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$이 존재하여 $A = f(0)\ll_{\pmb{\epsilon}}f(1) = B$임에 따라 근접공간 정리로 $A\subseteq B$이다. 

모든 $A,B,C\subseteq X$에 대해 $A\underline{\ll} B\cap C$이면 $f(0) = A$와 $f(1) = B\cap C$가 성립하고

$t_1<t_2$인 모든 $t_1,t_2\in \mathbb{D}$에 대해 모든 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$이 $f(t_1) \ll_{\pmb{\epsilon}} f(t_2)$인 함수 $f:\mathbb{D}\to \mathcal{P}(X)$가 존재하므로 

모든 $t\in \mathbb{D}$가 $g(t) = \begin{cases} f(t)& t\ne 1\text{일때} \\[0.5em] B & t=1\text{일때}\end{cases}$이고 $h(t) = \begin{cases} f(t)& t\ne 1\text{일때} \\[0.5em] C & t=1\text{일때}\end{cases}$인 함수 $g,h: \mathbb{D}\to \mathcal{P}(X)$를 정의하면 

$g(0) = A = h(0)$과 $g(1) = B$와 $h(1) = C$가 성립하고 

$t_2\ne 1$일때 $g(t_1) = f(t_1)\ll_{\pmb{\epsilon}} f(t_2) = g(t_2)$와 $h(t_1) = f(t_1)\ll_{\pmb{\epsilon}} f(t_2) = h(t_2)$가 성립하고

$t_2 = 1$일때

$g(t_1) = f(t_1)\ll_{\pmb{\epsilon}} f(1) = B\cap C \subseteq B = g(1) = g(t_2)$와

$h(t_1) = f(t_1)\ll_{\pmb{\epsilon}} f(1) = B\cap C\subseteq C = h(1) = h(t_2)$가 성립함에 따라 

근접공간 정리로 $g(t_1) \ll_{\pmb{\epsilon}} g(t_2)$와 $h(t_1)\ll_{\pmb{\epsilon}} h(t_2)$가 성립하여 $A\underline{\ll} B$와 $A\underline{\ll} C$가 성립하고 

$A\underline{\ll} B$와 $A\underline{\ll} C$가 성립하면

$g(0) = A = h(0)$과 $g(1) = B$와 $h(1) = C$가 성립하고 $t_1<t_2$인 모든 $t_1,t_2\in \mathbb{D}$에 대해

모든 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$이 $g(t_1) \ll_{\pmb{\epsilon}} g(t_2)$이고 $h(t_1) \ll_{\pmb{\epsilon}} h(t_2)$인 함수 $g,h:\mathbb{D}\to \mathcal{P}(X)$가 존재하므로 

모든 $t\in \mathbb{D}$에 대해 $f(t) = g(t)\cap h(t)$인 함수 $f:\mathbb{D}\to \mathcal{P}(X)$를 정의하면

집합 정리로 $f(0) = g(0)\cap h(0) = A\cap A = A$와 $f(1) = g(1)\cap h(1) = B\cap C$가 성립하고 

$f(t_1)=g(t_1)\cap h(t_1)\subseteq g(t_1) \ll_{\pmb{\epsilon}} g(t_2)$와 $f(t_1)=g(t_1)\cap h(t_1)\subseteq h(t_1)\ll_{\pmb{\epsilon}} h(t_2)$가 성립하여 

근접공간 정리로 $f(t_1) \ll_{\pmb{\epsilon}} g(t_2)$와 $f(t_1)\ll_{\pmb{\epsilon}} h(t_2)$가 성립하고 $f(t_1)\ll_{\pmb{\epsilon}} g(t_2)\cap h(t_2) = f(t_2)$이므로

$A\underline{\ll} B\cap C$이다.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A \underline{\ll} B$이면 $f(0) = A$와 $f(1) = B$가 성립하고

$t_1<t_2$인 모든 $t_1,t_2\in \mathbb{D}$에 대해 모든 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$이 $f(t_1) \ll_{\pmb{\epsilon}} f(t_2)$인 함수 $f:\mathbb{D}\to \mathcal{P}(X)$가 존재하므로 

모든 $t\in \mathbb{D}$에 대해 $t = \dfrac{m}{2^n}\in [0,1]$인 $m,n\in \mathbb{Z}^+\cup \{0\}$이 존재하여

$0\le \dfrac{t}{2}\le \dfrac{1}{2}<1$이므로 $n+1\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dfrac{t}{2} = \dfrac{m}{2^{n+1}}\in \mathbb{D}$이고 

$0< \dfrac{1}{2}\le \dfrac{t}{2} +\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2}= 1$이고 $m+2^n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dfrac{t}{2} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{m}{2^{n+1}} + \dfrac{2^n}{2^{n+1}} = \dfrac{m+2^n}{2^{n+1}}\in \mathbb{D}$임에 따라 

$g(t) = f(\frac{t}{2})$이고 $h(t) = f(\frac{t}{2} + \frac{1}{2})$인 함수 $g,h:\mathbb{D}\to \mathcal{P}(X)$를 정의하면 $C = f(\frac{1}{2})$일때

$g(0) = f(\frac{0}{2}) = f(0) = A$와 $g(1) = f(\frac{1}{2}) = C$가 성립하고 

$h(0) = f(\frac{0}{2}+\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) = C$와 $h(1) = f(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = f(1) = B$가 성립하여 

$\dfrac{t_1}{2} < \dfrac{t_2}{2}$이고 $\dfrac{t_1}{2} + \dfrac{1}{2}< \dfrac{t_2}{2} + \dfrac{1}{2}$이므로 

$g(t_1)=f(\frac{t_1}{2}) \ll_{\pmb{\epsilon}} f(\frac{t_2}{2}) = g(t_2)$와 $h(t_1)=f(\frac{t_1}{2}+\frac{1}{2}) \ll_{\pmb{\epsilon}} f(\frac{t_2}{2}+\frac{1}{2}) = h(t_2)$가 성립함에 따라 

$A\underline{\ll} C$이고 $C\underline{\ll} B$이므로 위 정리로 어떤 $\overline{\pmb{\epsilon}}\in \mathfrak{D}$이 존재하여 $\underline{\ll}\;=\;\ll_{\overline{\pmb{\epsilon}}}\; \in \mathfrak{A}$이다.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\ll_{\overline{\pmb{\epsilon}}} B$이면 $A\underline{\ll} B$이므로 $f(0) = A$와 $f(1) = B$가 성립하고

$t_1<t_2$인 모든 $t_1,t_2\in \mathbb{D}$에 대해 모든 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$이 $f(t_1) \ll_{\pmb{\epsilon}} f(t_2)$인 함수 $f:\mathbb{D}\to \mathcal{P}(X)$가 존재하여 

$A = f(0) \ll_{\pmb{\epsilon}} f(1) = B$임에 따라 위 정리로 $\ll_{\overline{\pmb{\epsilon}}} \; \subseteq \; \ll_{\pmb{\epsilon}}$이고 $\pmb{\epsilon}\subseteq \overline{\pmb{\epsilon}}$이므로

$\ll_{\overline{\pmb{\epsilon}}}$은 $(\mathfrak{A},\subseteq)$에서 $\mathfrak{B}$의 하계이고 $\overline{\pmb{\epsilon}}$은 $(\mathfrak{D},\subseteq)$에서 $\mathfrak{E}$의 상계이다.

임의의 $\pmb{\delta}\in \mathfrak{D}$에 대해 $\ll_{\pmb{\delta}}\;\in \mathfrak{A}$가 $(\mathfrak{A},\subseteq)$에서 $\mathfrak{B}$의 하계이면

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\ll_{\pmb{\delta}}B$일때 위 정리로 $f(0) = A$와 $f(1) = B$가 성립하고

$t_1<t_2$인 모든 $t_1,t_2\in \mathbb{D}$에 대해 $f(t_1) \ll_{\pmb{\delta}} f(t_2)$인 함수 $f:\mathbb{D}\to \mathcal{P}(X)$가 존재하여 

하계의 정의로 모든 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$이 $\ll_{\pmb{\delta}} \; \subseteq \; \ll_{\pmb{\epsilon}}$임에 따라 위 정리로 $f(t_1) \ll_{\pmb{\epsilon}} f(t_2)$이므로 $A\underline{\ll} B$이고 $A\ll_{\overline{\pmb{\epsilon}}} B$가 되어

위 정리로 $\ll_{\pmb{\delta}} \; \subseteq \; \ll_{\pmb{\overline{\epsilon}}}$이므로 $\pmb{\overline{\epsilon}} \subseteq \pmb{\delta}$임에 따라 $\ll_{\overline{\pmb{\epsilon}}}$은 $(\mathfrak{A},\subseteq)$에서 $\mathfrak{B}$의 하한이고 $\pmb{\overline{\epsilon}}$은 $(\mathfrak{D},\subseteq)$에서 $\mathfrak{E}$의 상한이 되어

순서집합 정리로 $\underline{\ll}\; = \; \ll_{\pmb{\overline{\epsilon}}} \;=\underset{(\mathfrak{A},\subseteq)}{\inf}\mathfrak{B}$이고 $\pmb{\overline{\epsilon}}=\underset{(\mathfrak{D},\subseteq)}{\sup} \mathfrak{E}$이다.

6.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\overline{\ll} B$이면

어떤 $m,n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $A = \displaystyle \bigcup_{i=1}^m A_i$이고 $B = \displaystyle \bigcap_{j=1}^nB_j$인 $A_1,A_2,\cdots,A_m,B_1,B_2,\cdots,B_n\subseteq X$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} B_j$인 $\pmb{\epsilon}_{i,j}\in \mathfrak{E}$가 존재하므로 

집합 정리로 $X\setminus B = \displaystyle X\setminus \bigcap_{j=1}^nB_j = \bigcup_{j=1}^n (X\setminus B_j)$와 $X\setminus A = \displaystyle X\setminus \bigcup_{i=1}^m A_i = \bigcap_{i=1}^m (X\setminus A_i)$가 성립하고 

근접공간 정리로 $X\setminus B_j \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} X\setminus A_i$임에 따라 $X\setminus B\overline{\ll} X\setminus A$이다.

모든 $A\subseteq X$에 대해 $\emptyset =\displaystyle \bigcup_{i=1}^1 \emptyset$과 $A = \displaystyle \bigcap_{j=1}^1A$가 성립하고

$\mathfrak{E}\ne \emptyset$이므로 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$이 존재하여 근접공간 정리로 $\emptyset \ll_{\pmb{\epsilon}} A$임에 따라 $\emptyset\overline{\ll} A$이다.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\overline{\ll} B$이면

어떤 $m,n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $A = \displaystyle \bigcup_{i=1}^m A_i$이고 $B = \displaystyle \bigcap_{j=1}^nB_j$인 $A_1,A_2,\cdots,A_m,B_1,B_2,\cdots,B_n\subseteq X$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} B_j$인 $\pmb{\epsilon}_{i,j}\in \mathfrak{E}$가 존재하므로 

근접공간 정리로 $A_i \subseteq B_j$가 되어 모든 $x\in A = \displaystyle \bigcup_{i=1}^m A_i$는 $x\in A_i$인 $i=1,2,\cdots,m$가 존재함에 따라 

모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $x\in A_i \subseteq B_j$이고 $x\in \displaystyle \bigcap_{j=1}^nB_j = B$이므로 $A\subseteq B$이다. 

모든 $A,B,C\subseteq X$에 대해 $A\overline{\ll} B\cap C$이면 어떤 $m,n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$A = \displaystyle \bigcup_{i=1}^m A_i$이고 $B\cap C = \displaystyle \bigcap_{j=1}^nD_j$인 $A_1,A_2,\cdots,A_m,D_1,D_2,\cdots,D_n\subseteq X$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} D_j$인 $\pmb{\epsilon}_{i,j}\in \mathfrak{E}$가 존재하므로 집합 정리와 집합 정리로

$B =B\cup (B\cap C) = \displaystyle B\cup \bigcap_{j=1}^n D_j = \bigcap_{j=1}^n (B\cup D_j)$와 $C =C\cup (B\cap C) = \displaystyle C\cup \bigcap_{j=1}^n D_j = \bigcap_{j=1}^n (C\cup D_j)$가 성립하고 

$A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} D_j\subseteq B\cup D_j$와 $A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} D_j\subseteq C\cup D_j$가 성립함에 따라 

근접공간 정리로 $A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} B\cup D_j$와 $A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} C\cup D_j$가 성립하므로 $A\overline{\ll} B$와 $A\overline{\ll} C$가 성립하고

$A\overline{\ll} B$와 $A\overline{\ll} C$가 성립하면 어떤 $m,n,p,q\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$A = \displaystyle \bigcup_{i=1}^m A_i(B)$이고 $B = \displaystyle \bigcap_{j=1}^nB_j$인 $A_1(B),A_2(B),\cdots,A_m(B),B_1,B_2,\cdots,B_n\subseteq X$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $A_i(B) \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}(B)} B_j$인 $\pmb{\epsilon}_{i,j}(B)\in \mathfrak{E}$가 존재하므로

$A = \displaystyle \bigcup_{k=1}^p A_k(C)$이고 $C = \displaystyle \bigcap_{r=1}^qC_r$인 $A_1(C),A_2(C),\cdots,A_p(C),C_1,C_2,\cdots,C_q\subseteq X$가 존재하고

모든 $k=1,2,\cdots,p$와 모든 $r=1,2,\cdots,q$에 대해 $A_k(C) \ll_{\pmb{\epsilon}_{k,r}(C)} C_r$인 $\pmb{\epsilon}_{k,r}(C)\in \mathfrak{E}$가 존재함에 따라 

집합 정리로 전단사함수 $\phi : \{ 1,2,\cdots, m\cdot p \} \to \{ 1,2,\cdots, m\}\times \{1,2,\cdots, p\}$가 존재하여 

모든 $s = 1,2,\cdots, m\cdot p$에 대해 $\phi(s)=(i_s,k_s)$일때 집합 정리와 집합 정리와 집합 정리로

$A = A \cap A = \displaystyle \left (\bigcup_{i=1}^m A_i(B) \right )\cap \left ( \bigcup_{k=1}^p A_k(C) \right ) = \bigcup_{(i,k)\in \{ 1,2,\cdots,m\}\times \{ 1,2,\cdots, p\}} (A_i(B)\cap A_k(C)) = \bigcup_{s=1}^{m\cdot p}(A_{i_s}(B)\cap A_{k_s}(C))\text{ 이고}$

모든 $t = 1,2,\cdots, n+ q$에 대해 $t\le n$이면 $D_t = B_t$이고 $n< t\le n+ q$이면 $D_t = C_{t - n}$일때

$B\cap C = \displaystyle \left ( \bigcap_{j=1}^n B_j\right)\cap \left ( \bigcap_{r=1}^q C_r \right ) = \bigcap_{t =1}^{n+q} D_t$이므로 근접공간 정리로

$t\le n$이면 $A_{i_s}(B) \cap A_{k_s}(C) \subseteq A_{i_s}(B) \ll_{\pmb{\epsilon}_{i_s,t}(B)} B_t = D_t$가 되어 $A_{i_s}(B) \cap A_{k_s}(C) \ll_{\pmb{\epsilon}_{i_s,t}(B)} D_t$이고

$n< t\le n+ q$이면 $0< t-n\le q$이므로

$A_{i_s}(B) \cap A_{k_s}(C)\subseteq A_{k_s}(C) \ll_{\pmb{\epsilon}_{k_s,t -n}(C)} C_{t-n} = D_t$가 되어 $A_{i_s}(B) \cap A_{k_s}(C) \ll_{\pmb{\epsilon}_{k_s,t -n}(C)} D_t$임에 따라 

$A\overline{\ll} B\cap C$이다.

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\overline{\ll} B$이면

어떤 $m,n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $A = \displaystyle \bigcup_{i=1}^m A_i$이고 $B = \displaystyle \bigcap_{j=1}^nB_j$인 $A_1,A_2,\cdots,A_m,B_1,B_2,\cdots,B_n\subseteq X$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} B_j$인 $\pmb{\epsilon}_{i,j}\in \mathfrak{E}$가 존재하므로 

근접공간 정리로 $A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} C_{i,j} \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} B_j$인 $C_{i,j}\subseteq X$가 존재하여 $C = \displaystyle \bigcap_{j=1}^n \left ( \bigcup_{k=1}^m C_{k,j} \right )$일때

$A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} C_{i,j} \subseteq \displaystyle \bigcup_{k= 1}^m C_{k,j}$임에 따라 근접공간 정리로 $A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} \displaystyle \bigcup_{k=1}^m C_{k,j}$이고 

$I= \{ 1,2,\cdots, m\}$와 $J = \{ 1,2,\cdots,n\}$에 대해 기수 정리로 $|I| = m$과 $|J| = n$이 성립하므로 

기수 정리와 일반 데카르트곱 정리와 기수 정리와 기수 정리로 $|I^J| = m^n = |\{1,2,\cdots,m^n \}|$이 되어

기수 정리로 전단사함수 $\phi : \{ 1,2,\cdots, m^n\} \to I^J$가 존재하고

위 정리와 집합 정리로 $\displaystyle C = \bigcap_{j=1}^n \left ( \bigcup_{i=1}^m C_{i,j}\right ) = \bigcap_{j\in J} \left ( \bigcup_{i\in I} C_{i,j}\right ) = \bigcup_{f\in I^J} \left ( \bigcap_{j\in J}C_{f(j),j}\right ) = \bigcup_{k=1}^{m^n} \left ( \bigcap_{r=1}^n C_{\phi(k)(r),r}\right )$이므로 

모든 $k = 1,2,\cdots, m^n$에 대해 $\displaystyle \bigcap_{r=1}^n C_{\phi(k)(r),r} \subseteq C_{\phi(k)(j),j} \ll_{\pmb{\epsilon}_{\phi(k)(j),j}} B_j$이고

근접공간 정리로 $\displaystyle \bigcap_{r=1}^n C_{\phi(k)(r),r} \ll_{\pmb{\epsilon}_{\phi(k)(j),j}} B_j$임에 따라 $A\overline{\ll} C$이고 $C\overline{\ll} B$이므로

위 정리로 어떤 $\underline{\pmb{\epsilon}}\in \mathfrak{D}$이 존재하여 $\overline{\ll}\;=\;\ll_{\underline{\pmb{\epsilon}}}\; \in \mathfrak{A}$이다.

임의의 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$에 대해 모든 $A,B\subseteq X$가 $A \ll_{\pmb{\epsilon}} B$이면 $\displaystyle A = \bigcup_{i=1}^1A$와 $\displaystyle B = \bigcap_{i=1}^1B$가 성립하여 $A \overline{\ll} B$이므로

$A \ll_{\pmb{\underline{\epsilon}}} B$임에 따라 위 정리로 $\ll_{\pmb{\epsilon}}\; \subseteq \; \ll_{\pmb{\underline{\epsilon}}}$이고 $\pmb{\underline{\epsilon}}\subseteq \pmb{\epsilon}$이므로

$\ll_{\pmb{\underline{\epsilon}}}$은 $(\mathfrak{A},\subseteq)$에서 $\mathfrak{B}$의 상계이고 $\pmb{\underline{\epsilon}}$은 $(\mathfrak{D},\subseteq)$에서 $\mathfrak{E}$의 하계이다.

임의의 $\pmb{\delta}\in \mathfrak{D}$에 대해 $\ll_{\pmb{\delta}}\;\in \mathfrak{A}$가 $(\mathfrak{A},\subseteq)$에서 $\mathfrak{B}$의 상계이면

모든 $A,B\subseteq X$에 대해 $A\ll_{\pmb{\underline{\epsilon}}}B$일때 $A\overline{\ll} B$임에 따라 

어떤 $m,n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $A = \displaystyle \bigcup_{i=1}^m A_i$이고 $B = \displaystyle \bigcap_{j=1}^nB_j$인 $A_1,A_2,\cdots,A_m,B_1,B_2,\cdots,B_n\subseteq X$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} B_j$인 $\pmb{\epsilon}_{i,j}\in \mathfrak{E}$가 존재하므로 

상계의 정의로 $\ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} \; \subseteq \; \ll_{\pmb{\delta}}$가 되어 위 정리로 $A_i \ll_{\pmb{\delta}} B_j$임에 따라 위 정리로 $A \ll_{\pmb{\delta}} B$이고 

위 정리로 $\ll_{\pmb{\underline{\epsilon}}} \; \subseteq \; \ll_{\pmb{\delta}}$이므로 $\pmb{\delta} \subseteq \pmb{\underline{\epsilon}}$임에 따라 $\ll_{\pmb{\underline{\epsilon}}}$은 $(\mathfrak{A},\subseteq)$에서 $\mathfrak{B}$의 상한이고 $\pmb{\underline{\epsilon}}$은 $(\mathfrak{D},\subseteq)$에서 $\mathfrak{E}$의 하한이 되어

순서집합 정리로 $\overline{\ll}\; = \; \ll_{\pmb{\underline{\epsilon}}} \;=\underset{(\mathfrak{A},\subseteq)}{\sup}\mathfrak{B}$이고 $\pmb{\underline{\epsilon}}=\underset{(\mathfrak{D},\subseteq)}{\inf} \mathfrak{E}$이다.

7.

$\mathfrak{E}\ne \emptyset$이므로 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$이 존재하여 하한의 정의로 $\pmb{\underline{\epsilon}} \subseteq \pmb{\epsilon}$임에 따라 위 정리로 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}} \subseteq \mathcal{T}_{\pmb{\underline{\epsilon}}}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}_{\pmb{\underline{\epsilon}}}$에 대해 내부 정리와 근접공간 정리로 모든 $x \in O = \underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\underline{\epsilon}}})}{\operatorname{int}}(O)$는 $\{ x\}\ll_{\pmb{\underline{\epsilon}}} O$이므로

어떤 $m,n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $\{ x\} = \displaystyle \bigcup_{i=1}^m A_i$이고 $O = \displaystyle \bigcap_{j=1}^nO_j$인 $A_1,A_2,\cdots,A_m,O_1,O_2,\cdots,O_n\subseteq X$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} O_j$인 $\pmb{\epsilon}_{i,j}\in \mathfrak{E}$가 존재하므로 

$x\in \{ x\} = \displaystyle \bigcup_{i=1}^m A_i$임에 따라 $x\in A_i$인 $i= 1,2,\cdots,n$가 존재하여

모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $\{ x\}\subseteq A_i \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} O_j$이고 근접공간 정리로 $\{ x\} \ll_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} O_j$가 되어

$\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}_{i,j}} =\mathcal{T}$임에 따라 근접공간 정리로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}_{i,j}})}{\operatorname{int}}(O_j) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(O_j)$이므로

내부 정리로 $x\in \displaystyle \bigcap_{j=1}^n \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(O_j) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\bigcap_{j=1}^nO_j) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(O) \subseteq O$이고 

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(O)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방임에 따라 위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}$이고 $\mathcal{T}_{\pmb{\underline{\epsilon}}}\subseteq \mathcal{T}$가 되어

집합 정리로 $\mathcal{T} =\mathcal{T}_{\pmb{\underline{\epsilon}}}$이다.

 

 

 

정의3

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 근접화가능하고 근접공간 $(X,\pmb{\epsilon})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}})$이 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}}$일때

근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$인 모든 $X$의 근접구조 $\pmb{\delta}$에 대해 $\pmb{\epsilon} \subseteq \pmb{\delta}$이면 

$(X,\pmb{\epsilon})$을 $(X,\mathcal{T})$의 강한근접공간으로 정의하고 $\pmb{\epsilon}$을 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한근접구조로 정의한다.

 

 

 

정리11

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 근접화가능할때 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한근접구조가 유일하게 존재한다.

증명

모든 $X$의 근접구조들의 집합 $\mathfrak{D}$에 대해 $\mathfrak{E} = \{ \pmb{\delta}\in \mathfrak{D} : \text{근접공간 }(X,\pmb{\delta})\text{의 근접위상공간 }(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})\text{가 } \mathcal{T}= \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}\}$일때

$(X,\mathcal{T})$는 근접화가능하므로 $X$의 근접구조 $\pmb{\delta}\in \mathfrak{D}$가 존재하여 

근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}})$가 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}}$임에 따라 $\pmb{\delta}\in \mathfrak{E}$이고 $\mathfrak{E}\ne \emptyset$이다.

위 정리로 $(\mathfrak{D},\subseteq)$에서 $\mathfrak{E}$의 하한 $\pmb{\underline{\epsilon}}=\underset{(\mathfrak{D},\subseteq)}{\inf} \mathfrak{E}$가 존재하여 모든 $\pmb{\epsilon}\in \mathfrak{E}$에 대해 $\pmb{\underline{\epsilon}} \subseteq \pmb{\epsilon}$이고 

근접공간 $(X,\pmb{\epsilon})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}})$은 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\epsilon}}$이므로 

위 정리로 근접공간 $(X,\pmb{\underline{\epsilon}})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\pmb{\underline{\epsilon}}})$은 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\pmb{\underline{\epsilon}}}$이 되어 $\pmb{\underline{\epsilon}}$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한근접구조이다.

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한근접구조 $\pmb{\epsilon}_1,\pmb{\epsilon}_2$는 $\pmb{\epsilon}_1,\pmb{\epsilon}_2\in \mathfrak{E}$이므로 

강한근접구조의 정의로 $\pmb{\epsilon}_1\subseteq \pmb{\epsilon}_2$와 $\pmb{\epsilon}_2\subseteq \pmb{\epsilon}_1$이 성립하여 집합 정리로 $\pmb{\epsilon}_1=\pmb{\epsilon}_2$임에 따라 

$(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 강한근접구조가 유일하게 존재한다.

 

 

 

정리12

분리균등공간 $(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간일때 $(X,\mathcal{D})$의 균등위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. 어떤 분리균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$가 존재하여 $(Y,\mathcal{D}_Y)$는 완전유계균등공간이고 완비균등공간이다.

2. $(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이다.

3. 어떤 함수 $u_X : X\to Y$가 존재하여

$u_X$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등매장이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 조밀매장이다.

4. 임의의 분리균등공간 $(K,\mathcal{D}_K)$가 완전유계균등공간이고 완비균등공간이면

모든 $(X,\mathcal{D})$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등연속함수 $\phi :X\to K$에 대해 

$\Phi \circ u_X = \phi$가 되는 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등연속함수 $\Phi : Y\to K$가 유일하게 존재한다.

증명

1, 2, 3

균등공간 정리로 완비균등공간인 어떤 분리균등공간 $(Y,\mathcal{D}_Y)$가 존재하여

어떤 함수 $u_X : X\to Y$가 $(X,\mathcal{D})$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등매장이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 조밀매장이다.

균등매장의 정의와 균등연속 정리로 $u_X$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등연속함수이므로 

$(Y,\mathcal{D}_Y)$의 부분균등공간이 $(u_X(X), \mathcal{D}_Y|_{u_X(X)})$일때

$(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간임에 따라 균등연속 정리로 $(u_X(X), \mathcal{D}_Y|_{u_X(X)})$는 완전유계균등공간이고 

조밀매장의 정의로 $Y =\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(u_X(X))$이므로 균등공간 정리로 $(Y,\mathcal{D}_Y)$는 완전유계균등공간이다.

따라서 균등공간 정리와 분리균등공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이다.

4.

$(Y,\mathcal{D}_Y)$의 부분균등공간이 $(u_X(X), \mathcal{D}_Y|_{u_X(X)})$일때

균등매장의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $f_X(x) = u_X(x)$인

함수 $f_X : X\to u_X(X)$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(u_X(X), \mathcal{D}_Y|_{u_X(X)})$로의 균등동형사상이므로 

$f_X$의 역함수 $f_X^{-1} : u_X(X)\to X$은 $(u_X(X), \mathcal{D}_Y|_{u_X(X)})$에서 $(X,\mathcal{D})$로의 균등연속함수이고 

균등연속 정리로 $\phi \circ f_X^{-1} : u_X(X)\to K$는 $(u_X(X), \mathcal{D}_Y|_{u_X(X)})$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등연속함수가 되어 

조밀매장의 정의로 $Y =\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(u_X(X))$이고 $(K,\mathcal{D}_K)$가 완비균등공간임에 따라 균등공간 정리로

모든 $y\in u_X(X)$에 대해 $\Phi(y) = (\phi\circ f_X^{-1})(y)$인 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등연속함수 $\Phi : Y\to K$가 존재하고

모든 $x\in X$에 대해

$\phi(x) = \phi(f_X^{-1}(f_X(x))) = (\phi\circ f_X^{-1})(f_X(x)) = \Phi(f_X(x)) = \Phi(u_X(x)) = (\Phi\circ u_X)(x)$이므로 $\Phi \circ u_X = \phi$이다.

$(K,\mathcal{D}_K)$의 균등위상공간이 $(K,\mathcal{T}_K)$일때

$\Phi_1 \circ u_X = \phi = \Phi_2\circ u_X$인 임의의 $(Y,\mathcal{D}_Y)$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등연속함수가 $\Phi_1,\Phi_2 : Y\to K$이면

균등연속 정리로 $\Phi_1,\Phi_2$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 연속함수이고 

모든 $y\in u_X(X)$에 대해 $y = u_X(x)$인 $x\in X$가 존재하여

$\Phi_1(y) =\Phi_1(u_X(x))= (\Phi_1 \circ u_X)(x) = \phi(x) = (\Phi_2\circ u_X)(x) = \Phi_2(u_X(x)) = \Phi_2(y)$이므로

분리균등공간 정리로 $(K,\mathcal{T}_K)$가 하우스도르프 공간이고

조밀매장의 정의로 $u_X(X)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 조밀집합임에 따라 위상공간 정리로 $\Phi_1 = \Phi_2$이다.

 

 

 

정리13

근접공간 $(X,\pmb{\delta}_X),(Y,\pmb{\delta}_Y)$의 부분근접공간이 $(E,\pmb{\delta}_X|_E),(F,\pmb{\delta}_Y|_F)$일때

함수 $f:X\to Y$와 함수 $g:E\to F$와 함수 $h:E\to Y$가 

모든 $x\in E$에 대해 $f(x) = g(x) = h(x)$이면 다음이 성립한다.

1. $f$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이면 $g$는 $(E,\pmb{\delta}_X|_E)$에서 $(F,\pmb{\delta}_Y|_F)$로의 근접연속함수이다.

2. $g$가 $(E,\pmb{\delta}_X|_E)$에서 $(F,\pmb{\delta}_Y|_F)$로의 근접연속함수이기 위한 필요충분조건은 

$h$가 $(E,\pmb{\delta}_X|_E)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수인 것이다.

증명

1.

$A\, \pmb{\delta}_X|_E \, B$인 모든 $A,B\subseteq E$에 대해 부분근접공간의 정의로 $A\, \pmb{\delta}_X\, B$이므로 

근접연속함수의 정의로 $f(A)\, \pmb{\delta}_Y\, f(B)$가 되어 함수 정리로 $f(A) = g(A)$이고 $f(B) = g(B)$임에 따라

$g(A)\, \pmb{\delta}_Y\, g(B)$이고 함수의 상의 정의로 $g(A),g(B)\subseteq F$이므로 부분근접공간의 정의로 $g(A)\, \pmb{\delta}_Y|_F\, g(B)$가 되어 

$g$는 $(E,\pmb{\delta}_X|_E)$에서 $(F,\pmb{\delta}_Y|_F)$로의 근접연속함수이다.

2.

$g$가 $(E,\pmb{\delta}_X|_E)$에서 $(F,\pmb{\delta}_Y|_F)$로의 근접연속함수이면

$A\, \pmb{\delta}_X|_E \, B$인 모든 $A,B\subseteq E$에 대해 $g(A)\, \pmb{\delta}_Y|_F\, g(B)$이므로 

부분근접공간의 정의로 $g(A)\, \pmb{\delta}_Y\, g(B)$가 되어 함수 정리로 $g(A) = h(A)$이고 $g(B) = h(B)$임에 따라

$h(A)\, \pmb{\delta}_Y\, h(B)$이고 $h$는 $(E,\pmb{\delta}_X|_E)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이다.

역으로 $h$가 $(E,\pmb{\delta}_X|_E)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접연속함수이면

1번으로 $g$는 $(E,\pmb{\delta}_X|_E)$에서 $(F,\pmb{\delta}_Y|_F)$로의 근접연속함수이다.

 

 

 

정의4

근접공간이 $(X,\pmb{\delta}_X),(Y,\pmb{\delta}_Y)$일때 함수 $e:X\to Y$와 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$의 부분근접공간 $(e(X),\pmb{\delta}_Y|_{e(X)})$에 대해 

모든 $x\in X$가 $f(x) = e(x)$인 함수 $f:X\to e(X)$가 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(e(X),\pmb{\delta}_Y|_{e(X)})$로의 근접동형사상이면

$e$를 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접매장으로 정의한다.

 

 

 

정리14

근접공간 $(X,\pmb{\delta}_X),(Y,\pmb{\delta}_Y)$의 근접위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$일때

$(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접매장 $e:X\to Y$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 매장이다.

증명

$(Y,\pmb{\delta}_Y)$의 부분근접공간이 $(e(X),\pmb{\delta}_Y|_{e(X)})$일때 근접매장의 정의로

모든 $x\in X$가 $f(x) = e(x)$인 함수 $f:X\to e(X)$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(e(X),\pmb{\delta}_Y|_{e(X)})$로의 근접동형사상이고 

$(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분위상공간이 $(e(X),\mathcal{T}_Y|_{e(X)})$일때

위 정리로 $(e(X),\pmb{\delta}_Y|_{e(X)})$의 근접위상공간은 $(e(X),\mathcal{T}_Y|_{e(X)})$이므로 

근접공간 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(e(X),\mathcal{T}_Y|_{e(X)})$로의 위상동형사상이 되어

$e$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 매장이다.

 

 

 

정리15

균등공간 $(X,\mathcal{D}_X),(Y,\mathcal{D}_Y)$의 균등근접공간이 $(X,\pmb{\delta}_X),(Y,\pmb{\delta}_Y)$일때

$(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등매장 $e:X\to Y$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접매장이다.

증명

$(Y,\mathcal{D}_Y)$의 부분균등공간이 $(e(X),\mathcal{D}_Y|_{e(X)})$일때 균등매장의 정의로

모든 $x\in X$가 $f(x) = e(x)$인 함수 $f:X\to e(X)$는 $(X,\mathcal{D}_X)$에서 $(Y,\mathcal{D}_Y)$로의 균등동형사상이고

$(Y,\pmb{\delta}_Y)$의 부분근접공간이 $(e(X),\pmb{\delta}_Y|_{e(X)})$일때

위 정리로 $(e(X),\mathcal{D}_Y|_{e(X)})$의 균등근접공간은 $(e(X),\pmb{\delta}_Y|_{e(X)})$이므로 

균등공간 정리로 $f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(e(X),\pmb{\delta}_Y|_{e(X)})$로의 근접동형사상이 되어 

$e$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접매장이다.

 

 

 

정리16(근접공간의 사무엘 콤팩트화)

분리근접공간 $(X,\pmb{\delta})$의 근접위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. 어떤 분리근접공간 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\pmb{\epsilon})$이 존재하여

$(\beta_{\pmb{\delta}}X,\pmb{\epsilon})$의 근접위상공간 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$는 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이다.

2. $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\pmb{\epsilon})$은 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$의 기본근접공간이다.

3. 어떤 함수 $p_X : X\to \beta_{\pmb{\delta}}X$가 존재하여

$p_X$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\pmb{\epsilon})$로의 근접매장이고 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$로의 조밀매장이다.

4. 임의의 분리근접공간 $(K,\pmb{\eta})$의 근접위상공간 $(K,\mathcal{T}_K)$가 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이면

모든 $(X,\pmb{\delta})$에서 $(K,\pmb{\eta})$로의 근접연속함수 $\phi :X\to K$에 대해 

$\Phi \circ p_X = \phi$가 되는 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\pmb{\epsilon})$에서 $(K,\pmb{\eta})$로의 근접연속함수 $\Phi : \beta_{\pmb{\delta}}X\to K$가 유일하게 존재한다.

증명

근접공간 정리로 $(X,\pmb{\delta})$의 약한균등공간 $(X,\mathcal{D})$는 완전유계균등공간이고

$(X,\mathcal{D})$의 균등근접공간은 $(X,\pmb{\delta})$이므로 $(X,\pmb{\delta})$가 분리근접공간임에 따라 $(X,\mathcal{D})$는 분리균등공간이다.

위 정리로 완전유계균등공간이고 완비균등공간인 분리균등공간 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{D}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$가 존재하여

$(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{D}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$의 균등위상공간은 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$는 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이다.

$(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{D}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$의 균등근접공간 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\pmb{\epsilon})$은 분리근접공간이고 

근접공간 정리로 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\pmb{\epsilon})$의 근접위상공간은 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$이므로

근접공간 정리로 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\pmb{\epsilon})$은 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$의 기본근접공간이다.

위 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$로의 조밀매장 $p_X:X\to \beta_{\pmb{\delta}}X$가 존재하여 

$p_X$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{D}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$로의 균등매장이므로 위 정리로 $p_X$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\pmb{\epsilon})$로의 근접매장이다.

임의의 분리근접공간 $(K,\pmb{\eta})$의 근접위상공간 $(K,\mathcal{T}_K)$가 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이면

$(K,\pmb{\eta})$의 약한균등공간 $(K,\mathcal{D}_K)$는 분리균등공간이고

$(K,\mathcal{D}_K)$의 균등근접공간은 $(K,\pmb{\eta})$이므로 근접공간 정리로 $(K,\mathcal{D}_K)$의 균등위상공간이 $(K,\mathcal{T}_K)$임에 따라 

균등공간 정리로 $(K,\mathcal{D}_K)$는 완전유계균등공간이고 완비균등공간이므로 균등연속 정리로

모든 $(X,\pmb{\delta})$에서 $(K,\pmb{\eta})$로의 근접연속함수 $\phi :X\to K$는 $(X,\mathcal{D})$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등연속함수가 되어

위 정리로 $\Phi \circ p_X = \phi$인 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{D}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$에서 $(K,\mathcal{D}_K)$로의 균등연속함수 $\Phi : \beta_{\pmb{\delta}}X \to K$가 존재하고 

균등연속 정리로 $\Phi$는 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\pmb{\epsilon})$에서 $(K,\pmb{\eta})$로의 근접연속함수이다.

$\Phi_1 \circ p_X = \phi = \Phi_2\circ p_X$인 임의의 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\pmb{\epsilon})$에서 $(K,\pmb{\eta})$로의 근접연속함수가 $\Phi_1,\Phi_2 : \beta_{\pmb{\delta}}X\to K$이면

근접연속 정리로 $\Phi_1,\Phi_2$는 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$에서 $(K,\mathcal{T}_K)$로의 연속함수이고 

모든 $y\in p_X(X)$에 대해 $y = p_X(x)$인 $x\in X$가 존재하여

$\Phi_1(y) =\Phi_1(p_X(x))= (\Phi_1 \circ p_X)(x) = \phi(x) = (\Phi_2\circ p_X)(x) = \Phi_2(p_X(x)) = \Phi_2(y)$이므로

조밀매장의 정의로 $p_X(X)$가 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$에서 조밀집합임에 따라 위상공간 정리로 $\Phi_1 = \Phi_2$이다.

 

 

 

정리17

근접공간 $(X,\pmb{\delta}_X)$이고 임의의 집합 $Y$의 멱집합이 $\mathcal{P}(Y)$일때 함수 $f:X\to Y$에 대해 $\mathcal{P}(Y)$의 관계 $\pmb{\delta}_Y$가

모든 $C,D\subseteq Y$에 대해 $C\, \pmb{\delta}_Y \, D$이기 위한 필요충분조건이 $f^{-1}(C)\, \pmb{\delta}_X\, f^{-1}(D)$인 것이면 다음이 성립한다.

1. $f$가 전단사이면 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$는 근접공간이고 $f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상이다.

2. $(X,\pmb{\delta}_X)$의 근접위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X)$이고 위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y)$일때

$f$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이면 근접공간 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$의 근접위상공간 $(Y,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}_Y})$는 $\mathcal{T}_Y = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}_Y}$이다.

증명

1.

모든 $C,D\subseteq Y$에 대해 $C\, \pmb{\delta}_Y \, D$이면 $f^{-1}(C)\, \pmb{\delta}_X\, f^{-1}(D)$이므로

근접공간의 정의로 $f^{-1}(D)\, \pmb{\delta}_X\, f^{-1}(C)$가 되어 $D\, \pmb{\delta}_Y \, C$이고 

근접공간의 정의로 $f^{-1}(C)\ne \emptyset$이므로 $x\in f^{-1}(C)$가 존재하여 $f(x)\in C$임에 따라 $C\ne \emptyset$이다.

모든 $C,D\subseteq Y$에 대해 $C\cap D\ne \emptyset$이면 $y\in C\cap D \subseteq Y$가 존재하여

전사의 정의로 $f(x)= y$인 $x\in X$가 존재하므로 $f(x)= y\in C\cap D$임에 따라 $x\in f^{-1}(C\cap D) $이고 함수 정리로

$f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D) = f^{-1}(C\cap D)\ne \emptyset$이므로 근접공간의 정의로 $f^{-1}(C)\, \pmb{\delta}_X\, f^{-1}(D)$가 되어 $C\, \pmb{\delta}_Y \, D$이다.

모든 $C,D,E\subseteq Y$에 대해 $C\, \pmb{\delta}_Y \, (D\cup E)$이기 위한 필요충분조건은 $f^{-1}(C)\, \pmb{\delta}_X\, f^{-1}(D\cup E)$인 것이고

$C\, \pmb{\delta}_Y \, D$ 또는 $C\, \pmb{\delta}_Y \, E$이기 위한 필요충분조건은 $f^{-1}(C)\, \pmb{\delta}_X\, f^{-1}(D)$ 또는 $f^{-1}(C)\, \pmb{\delta}_X\, f^{-1}(E)$인 것이므로 

근접공간의 정의로

$f^{-1}(C)\, \pmb{\delta}_X\, (f^{-1}(D)\cup f^{-1}(E))$이기 위한 필요충분조건은 $f^{-1}(C)\, \pmb{\delta}_X\, f^{-1}(D)$ 또는 $f^{-1}(C)\, \pmb{\delta}_X\, f^{-1}(E)$인 것이고

함수 정리로 $f^{-1}(D\cup E) = f^{-1}(D)\cup f^{-1}(E)$임에 따라 

$C\, \pmb{\delta}_Y \, (D\cup E)$이기 위한 필요충분조건은 $C\, \pmb{\delta}_Y \, D$ 또는 $C\, \pmb{\delta}_Y \, E$인 것이다.

모든 $C,D\subseteq Y$에 대해 $C\, \big /\hspace{-0.55em} \pmb{\delta}_Y \, D$이면 $f^{-1}(C)\, \big/\hspace{-0.55em}\pmb{\delta}_X\, f^{-1}(D)$이므로

근접공간의 정의로 어떤 $S\subseteq X$에 대해 $f^{-1}(C)\, \big/\hspace{-0.55em}\pmb{\delta}_X\, S$이고 $f^{-1}(D)\, \big/\hspace{-0.55em}\pmb{\delta}_X\, (X\setminus S)$가 되어 

단사 정리와 함수 정리로 $S = f^{-1}(f(S))$이고 $X\setminus S = f^{-1}(Y) \setminus f^{-1}(f(S)) = f^{-1}(Y\setminus f(S))$임에 따라

$f^{-1}(C)\, \big/\hspace{-0.55em}\pmb{\delta}_X\, f^{-1}(f(S))$이고 $f^{-1}(D)\, \big/\hspace{-0.55em}\pmb{\delta}_X\, f^{-1}(Y\setminus f(S))$이므로 $C\, \big /\hspace{-0.55em} \pmb{\delta}_Y \, f(S)$이고 $D\, \big /\hspace{-0.55em} \pmb{\delta}_Y \, (Y\setminus f(S))$가 되어 

모든 $S_Y\subseteq Y$에 대해 $C\, \pmb{\delta}_Y \, S_Y$ 또는 $D\, \pmb{\delta}_Y \, (Y\setminus S_Y)$이면 $C\, \pmb{\delta}_Y \, D$이고 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$는 근접공간이다.

$C\, \pmb{\delta}_Y \, D$인 모든 $C,D\subseteq Y$에 대해 $f^{-1}(C)\, \pmb{\delta}_X\, f^{-1}(D)$이고

$A\, \pmb{\delta}_X \, B$인 모든 $A,B\subseteq X$에 대해 단사 정리로 $A = f^{-1}(f(A))$와 $B = f^{-1}(f(B))$가 성립함에 따라

$f^{-1}(f(A))\, \pmb{\delta}_X \, f^{-1}(f(B))$이므로 $f(A)\, \pmb{\delta}_Y \, f(B)$가 되어 

근접공간 정리로 $f$는 $(X,\pmb{\delta}_X)$에서 $(Y,\pmb{\delta}_Y)$로의 근접동형사상이다.

2.

1번과 근접동형사상 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_{\pmb{\delta}_Y})$로의 위상동형사상이다.

위상동형사상의 정의와 위상동형사상 정리와 전사 정리로

모든 $O\in \mathcal{T}_{\pmb{\delta}_Y}$에 대해 $f^{-1}(O)\in \mathcal{T}_X$이므로 $O=f(f^{-1}(O))\in \mathcal{T}_Y$가 되어 $\mathcal{T}_{\pmb{\delta}_Y}\subseteq \mathcal{T}_Y$이고 

모든 $O\in \mathcal{T}_{Y}$에 대해 $f^{-1}(O)\in \mathcal{T}_X$이므로 $O=f(f^{-1}(O))\in \mathcal{T}_{\pmb{\delta}_Y}$가 되어 $\mathcal{T}_{Y}\subseteq \mathcal{T}_{\pmb{\delta}_Y}$임에 따라

집합 정리로 $\mathcal{T}_Y = \mathcal{T}_{\pmb{\delta}_Y}$이다.

 

 

 

정리18

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 티호노프 공간일때 $(X,\mathcal{T})$의 강한근접공간 $(X,\pmb{\delta})$에 대해 

$(X,\pmb{\delta})$의 사무엘 콤팩트화 $(\beta_{\pmb{\delta}}X, \pmb{\epsilon})$의 근접위상공간이 $(\beta_{\pmb{\delta}}X, \mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$이고

$(X,\mathcal{T})$의 스톤-체흐 콤팩트화가 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$이면 $(\beta_{\pmb{\delta}}X, \mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$와 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 위상동형이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$는 완비정칙공간이므로

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 근접화가능하여 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$의 강한근접공간 $(X,\pmb{\delta})$가 존재한다.

스톤-체흐 콤팩트화 정리로 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이다.

$(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$의 기본근접공간이 $(\beta X, \pmb{\eta})$일때 

근접공간 정리로 $(\beta X, \pmb{\eta})$의 근접위상공간은 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$이므로 근접공간 정리로 $(\beta X, \pmb{\eta})$는 분리근접공간이다.

스톤-체흐 콤팩트화 정리에 나온 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장이 $e_X$이고

$(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$의 부분위상공간이 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$일때 모든 $x\in X$에 대해 $f_X(x) = e_X(x)$인

함수 $f_X:X\to e_X(X)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$로의 위상동형사상이므로 

위상동형사상 정리로 $f_X$의 역함수 $f_X^{-1}:e_X(X)\to X$은 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$에서 $(X,\mathcal{T})$로의 위상동형사상이고 

$(\beta X, \pmb{\eta})$의 부분근접공간 $(e_X(X),\pmb{\eta}|_{e_X(X)})$에 대해 

위 정리로 어떤 근접공간 $(X,\pmb{\gamma})$가 존재하여 $f_X^{-1}$은 $(e_X(X),\pmb{\eta}|_{e_X(X)})$에서 $(X,\pmb{\gamma})$로의 근접동형사상이고

$(X,\pmb{\gamma})$의 근접위상공간이 $(X,\mathcal{T})$임에 따라 강한근접공간의 정의로 $\pmb{\delta}\subseteq \pmb{\gamma}$이고

역함수 정리와 근접동형사상의 정의로 $f_X = (f_X^{-1})^{-1}$은 $(X,\pmb{\gamma})$에서 $(e_X(X),\pmb{\eta}|_{e_X(X)})$로의 근접연속함수가 되어 

위 정리로 $e_X$는 $(X,\pmb{\gamma})$에서 $(\beta X, \pmb{\eta})$로의 근접연속함수이므로 $e_X$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $(\beta X, \pmb{\eta})$로의 근접연속함수이다.

위 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$로의 조밀매장 $p_X : X\to \beta_{\pmb{\delta}}X$가 존재하여

$p_X$는 $(X,\pmb{\delta})$에서 $(\beta_{\pmb{\delta}}X, \pmb{\epsilon})$으로 근접연속함수이고 

$\Psi \circ p_X = e_X$인 $(\beta_{\pmb{\delta}}X, \pmb{\epsilon})$에서 $(\beta X, \pmb{\eta})$로의 근접연속함수 $\Psi : \beta_{\pmb{\delta}}X\to \beta X$가 존재하므로 근접연속 정리로

$p_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta_{\pmb{\delta}}X,\mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$로의 연속함수이고 $\Psi$는 $(\beta_{\pmb{\delta}}X, \mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 연속함수임에 따라  

콤팩트화 정리로 $\Theta \circ e_X= p_X$인 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $(\beta_{\pmb{\delta}}X, \mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$로의 위상동형사상 $\Theta : \beta X\to \beta_{\pmb{\delta}} X$가 존재하여 

$(\beta_{\pmb{\delta}}X, \mathcal{T}_{\beta_{\pmb{\delta}}X})$와 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 위상동형이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/135#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/135#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797