조르당 영역(Jordan region)

정의1

임의의 양의 정수 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 실수집합 $\mathbb{R}$의 $n$-데카르트곱이 $\mathbb{R}^n$일때

열린상자(open box) :

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $a_i\le b_i$인 열린구간 $(a_i,b_i)$에 대해

$n$-데카르트곱 $B = (a_1,b_1) \times (a_2,b_2) \times \cdots \times (a_n,b_n) = \displaystyle \prod_{i=1}^n (a_i,b_i) \subseteq \mathbb{R}^n$를 $n$차원 열린상자로 정의하고

$B$의 부피를 $vol(B) = (b_1- a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot\; \cdots\; \cdot (b_n-a_n) = \displaystyle \prod_{i=1}^n (b_i-a_i)$로 정의한다.

$a_j=b_j$인 $j=1,2,\cdots,n$가 존재하면

열린구간의 정의로 $(a_j,b_j) =\emptyset$이고 데카르트곱 정리로 $B = \emptyset$이므로 $B$를 공상자(empty box)로 정의한다.

$n = 2$이면 $B$를 열린직사각형(open rectangle)으로 정의하고

$B$의 부피를 $B$의 면적으로 정의하여 $vol(B) = area(B)$로 표기하고 공상자를 공직사각형으로 정의한다.

$n = 1$이면 $1$-데카르트곱의 정의로 $B$는 열린구간이고

$B$의 부피를 $B$의 길이로 정의하여 $vol(B) = len(B)$로 표기하고 공상자는 공구간이다.

닫힌상자(closed box) :

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $a_i\le b_i$인 닫힌구간 $[a_i,b_i]$에 대해

$n$-데카르트곱 $B = [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \times \cdots \times [a_n,b_n] = \displaystyle \prod_{i=1}^n [a_i,b_i] \subseteq \mathbb{R}^n$를 $n$차원 열린상자로 정의하고

$B$의 부피를 $vol(B) = (b_1- a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot\; \cdots\; \cdot (b_n-a_n) = \displaystyle \prod_{i=1}^n (b_i-a_i)$로 정의한다.

$a_j=b_j$인 $j=1,2,\cdots,n$가 존재하면

닫힌구간의 정의로 $\{a_j\}=[a_j,b_j]  = \{b_j\}$이므로 $B$를 퇴화상자(degenerate box)로 정의한다.

$n = 2$이면 $B$를 닫힌직사각형(closed rectangle)으로 정의하고

$B$의 부피를 $B$의 면적으로 정의하여 $vol(B) = area(B)$로 표기하고 퇴화상자를 퇴화직사각형으로 정의한다.

$n = 1$이면 $1$-데카르트곱의 정의로 $B$는 닫힌구간이고

$B$의 부피를 $B$의 길이로 정의하여 $vol(B) = len(B)$로 표기하고 퇴화상자는 퇴화구간이다.

유한색인된 합 :

임의의 집합 $X$와 임의의 정수 $m,M\in \mathbb{Z}$에 대해

집합 $I = \{ k\in \mathbb{Z} : m\le k\le M\}$의 모든 $k\in I$에 대한 임의의 $x_k\in X$가 유일하게 존재하고

복소수체 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$에 대해 $X$에서 임의의 $E\subseteq \mathbb{C}$로의 함수가 $f : X\to E$일때 

모든 $x\in X$에 대한 명제함수 $P$에 대해 분류공리와 유한집합 정리로

$\{ k\in I : P(x_k) \equiv \mathbf{T} \}$는 $\max \{ M-m +1,0\}\ge r\ge 0$인 $r\in \mathbb{N}$개의 원소를 갖는 유한집합이므로 

$\{ k\in I : P(x_k) \equiv \mathbf{T} \} = \emptyset$이면 $\displaystyle \sum_{\substack{k\ge m \\ P(x_k)\equiv \mathbf{T}}}^M f(x_k) = 0$으로 정의하고

$\{ k\in I : P(x_k) \equiv \mathbf{T} \} \ne \emptyset$이면

$\{ k\in I : P(x_k) \equiv \mathbf{T} \} = \{ k_1,k_2,\cdots, k_r\}$인 임의의 $k_1,k_2,\cdots, k_r\in I = \{ m,m+1,\cdots,M\}$에 대해

$\displaystyle \sum_{\substack{k\ge m \\ P(x_k)\equiv \mathbf{T}}}^M f(x_k) = f(x_{k_1}) + f(x_{k_2}) +\cdots +f(x_{k_r})$로 정의한다.

 

 

 

정리1

실수집합 $\mathbb{R}$에 대해 $1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1)$일때 모든 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $1$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R},+,\cdot,0)$이고 절댓값함수가 $|\cdot| : \mathbb{R}\to [0,\infty)$일때

$(\mathbb{R},+,\cdot,0)$위의 점곱 내적공간은 $(\mathbb{R},\cdot)$이고 

$(\mathbb{R},+,\cdot,0)$위의 점곱내적공간의 노름공간은 $(\mathbb{R},|\!\cdot\!|)$이고

$(\mathbb{R},+,\cdot,0)$위의 점곱내적공간의 노름공간의 노름거리공간은 $(\mathbb{R},d_1)$이다.

2. 모든 열린구간 $(-\infty,b),(a,b),(a,\infty)$는 $(\mathbb{R},d_1)$에서 열린집합이다.

3. 모든 닫힌구간 $(-\infty,b],[a,b],[a,\infty)$는 $(\mathbb{R},d_1)$에서 닫힌집합이다.

4. 모든 $c\in \mathbb{R}$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}(c,r) = (c-r,c+r)$이고 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}[c,r] = [c-r,c+r]$이다.

5. $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}((-\infty,b]) = (-\infty,b)$와 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([a,\infty)) = (a,\infty)$가 성립한다.

6. $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((-\infty,b)) = (-\infty,b]$와 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((a,\infty)) = [a,\infty)$가 성립한다.

7. $a< b$일때 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((a,b)) = [a,b]= \underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}[\frac{a+b}{2},\frac{b-a}{2}]$와 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([a,b]) = (a,b)= \underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}(\frac{a+b}{2},\frac{b-a}{2})$가 성립한다.

8. $a \ge b$일때 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((a,b)) = \emptyset = \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([a,b])$이다.

증명

1.

$1$-데카르트곱의 정의로 $\mathbb{R}^1 = \mathbb{R}$이므로 복소수 정리와 함수의 상등으로 $(\mathbb{R},+,\cdot,0)$위의 점곱 내적공간은 $(\mathbb{R},\cdot)$이다.

$(\mathbb{R},\cdot)$의 노름공간이 $(\mathbb{R}, \lVert \cdot \rVert)$일때 모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해 절댓값 정리로 $|t| = \sqrt{t^2} = \sqrt{t\cdot t} = \lVert t\rVert$이므로 

함수의 상등으로 $|\cdot | = \lVert \cdot \rVert$가 되어 $(\mathbb{R},|\!\cdot \!|)=(\mathbb{R}, \lVert \cdot \rVert)$는 $(\mathbb{R},\cdot)$의 노름공간이다.

$(\mathbb{R}, \lVert \cdot \rVert)$의 노름거리공간이 $(\mathbb{R},d)$일때 모든 $t_1,t_2\in \mathbb{R}$에 대해 유클리드 거리공간의 정의와 절댓값 정리로

$d_1(t_1,t_2) = \sqrt{|t_1-t_2|^2} = \sqrt{(t_1-t_2)^2} = \sqrt{(t_1-t_2)\cdot (t_1- t_2)} = \lVert t_1- t_2\rVert = d(t_1,t_2)$이므로 

함수의 상등으로 $d_1 = d$가 되어 $(\mathbb{R},d_1) = (\mathbb{R},d)$는 $(\mathbb{R},|\!\cdot \!|)=(\mathbb{R}, \lVert \cdot \rVert)$의 노름거리공간이다.

2, 3

$(\mathbb{R},d_1)$의 거리위상공간이 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_1)$일때 위상공간 정리로 

$(-\infty,b),(a,b),(a,\infty)$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_1)$에서 열린집합이고 $(-\infty,b],[a,b],[a,\infty)$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_1)$에서 닫힌집합이므로 

위상공간 정리로 

$(-\infty,b),(a,b),(a,\infty)$는 $(\mathbb{R},d_1)$에서 열린집합이고 $(-\infty,b],[a,b],[a,\infty)$는 $(\mathbb{R},d_1)$에서 닫힌집합이다.

4.

열린공의 정의와 절댓값 정리와 열린구간의 정의로

$\begin{align*} \underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}(c,r) & = \{ t\in \mathbb{R} : d_1(c,t)< r\} \\[0.5em] & = \{t\in \mathbb{R} : |c-t| < r \} \\[0.5em] & = \{t\in \mathbb{R} : |t-c| < r \} \\[0.5em] & = \{t\in \mathbb{R} : -r < t-c < r \} \\[0.5em] & = \{t\in \mathbb{R} : c-r < t < c +r \} \\[0.5em] & = ( c-r , c +r )\text{ 이고} \end{align*}$

닫힌공의 정의와 절댓값 정리와 닫힌구간의 정의로

$\begin{align*} \underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}[c,r] & = \{ t\in \mathbb{R} : d_1(c,t)\le r\} \\[0.5em] & = \{t\in \mathbb{R} : |c-t| \le r \} \\[0.5em] & = \{t\in \mathbb{R} : |t-c| \le r \} \\[0.5em] & = \{t\in \mathbb{R} : -r \le t-c \le r \} \\[0.5em] & = \{t\in \mathbb{R} : c-r \le t \le c +r \} \\[0.5em] & = [ c-r , c +r]\text{ 이다.} \end{align*}$

5.

$(a,\infty)\subseteq [a,\infty)$이고 $(-\infty,b) \subseteq (-\infty,b]$이므로 2번과 내부 정리로

$(a,\infty)=\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}((a,\infty)) \subseteq \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([a,\infty))$이고 $(-\infty,b)=\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}((-\infty,b)) \subseteq \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}((-\infty,b])$이다. 

모든 $t_a\in \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([a,\infty))$와 모든 $t_b\in \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}((-\infty,b])$에 대해 내부의 정의로 

$\underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}(t_a,r_a) \subseteq [a,\infty)$이고 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}(t_b,r_b) \subseteq (-\infty,b]$인 $r_a,r_b\in (0,\infty)$가 존재하여 

거리공간 정리와 거리공간 정리와 1, 3, 4번과 폐포 정리로

$t_a-r_a\in [t_a-r_a,t_a+r_a]=\underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}[t_a,r_a] = \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}(\underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}(t_a,r_a)) \subseteq \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}([a,\infty)) = [a,\infty)$이고 

$t_b +r_b \in [t_b-r_b,t_b+r_b]=\underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}[t_b,r_b] = \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}(\underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}(t_b,r_b)) \subseteq \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((-\infty,b]) = (-\infty,b]$이므로 

$a \le t_a-r_a <t_a$이고 $t_b <t_b+r_b\le b$임에 따라 $t_a\in (a,\infty)$와 $t_b\in (-\infty,b)$가 성립하여 

$\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([a,\infty))\subseteq (a,\infty)$와 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}((-\infty,b])\subseteq (-\infty,b)$가 성립하므로 

집합 정리로 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([a,\infty)) = (a,\infty)$와 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}((-\infty,b]) = (-\infty,b)$가 성립한다.

6.

$(a,\infty)\subseteq [a,\infty)$이고 $(-\infty,b) \subseteq (-\infty,b]$이므로 3번과 폐포 정리로

$\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((a,\infty)) \subseteq \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}([a,\infty)) = [a,\infty)$이고 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((-\infty,b)) \subseteq \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((-\infty,b]) = (-\infty,b]$이다. 

모든 $t_a\in [a,\infty)$와 모든 $t_b \in (-\infty,b]$는 $a\le t_a$이고 $t_b\le b$이므로

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a\le t_a < t_a+\dfrac{1}{n}$과 $t_b -\dfrac{1}{n} < t_b\le b$가 성립하여

$t_a+\dfrac{1}{n}\in (a,\infty)$와 $t_b-\dfrac{1}{n}\in (-\infty,b)$가 성립하고 

$d_1(t_a+\frac{1}{n},t_a) = \left |t_a + \dfrac{1}{n} - t_a\right | = \left | \dfrac{1}{n}\right | = \dfrac{1}{n}$과 $d_1(t_b-\frac{1}{n},t_b) = \left |t_b - \dfrac{1}{n} - t_b\right | = \left | -\dfrac{1}{n}\right | = \dfrac{1}{n}$이 성립하므로 

실수열 정리로 실수열 $(d_1(t_a+\frac{1}{n},t_a))_{n=1}^\infty = (\frac{1}{n})_{n=1}^\infty = (d_1(t_b-\frac{1}{n},t_b))_{n=1}^\infty$은 $0$으로 수렴하여

$(a,\infty)$의 수열 $(t_a+\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$과 $(-\infty,b)$의 수열 $(t_b-\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$에 대해 

거리공간에서 수렴의 정의로 ${\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(\mathbb{R},d_1)}}(t_a+\frac{1}{n}) = t_a$이고 ${\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(\mathbb{R},d_1)}}(t_b-\frac{1}{n}) = t_b$임에 따라

밀착점 정리로 $t_a\in \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((a,\infty))$와 $t_b\in \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((-\infty,b))$가 성립하여 

$[a,\infty) \subseteq \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((a,\infty))$이고 $(-\infty,b] \subseteq \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((-\infty,b))$이므로

집합 정리로 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((a,\infty)) = [a,\infty)$와 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((-\infty,b)) = (-\infty,b]$가 성립한다.

7.

$0< b-a$이므로 $\dfrac{b-a}{2}\in (0,\infty)$가 되어 4번으로 

$(a,b) = (\frac{2\cdot a}{2},\frac{2\cdot b}{2}) = (\frac{(a+b) - (b -a)}{2},\frac{(a+b) + (b-a)}{2}) = (\frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2}, \frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}) = \underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}(\frac{a+b}{2},\frac{b-a}{2})$이고

$[a,b] =[\frac{2\cdot a}{2},\frac{2\cdot b}{2}]= [\frac{(a+b) - (b -a)}{2},\frac{(a+b) + (b-a)}{2}] = [\frac{a+b}{2} - \frac{b-a}{2}, \frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}] = \underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}[\frac{a+b}{2},\frac{b-a}{2}]$임에 따라 

거리공간 정리와 거리공간 정리와 1번으로 

$ \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((a,b)) =\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}} ( \underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}(\frac{a+b}{2},\frac{b-a}{2})) = \underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}[\frac{a+b}{2},\frac{b-a}{2}] = [a,b] $이고 

$ \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([a,b]) =\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}} ( \underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}[\frac{a+b}{2},\frac{b-a}{2}]) = \underset{(\mathbb{R},d_1)}{B}(\frac{a+b}{2},\frac{b-a}{2}) = (a,b)$이다.

8.

$a\ge b$이므로 열린구간의 정의로 $(a,b) = \emptyset$이 되어 거리공간 정리와 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((a,b)) = \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}(\emptyset)= \emptyset$이다.

닫힌구간의 정의로 $a>b$이면 $[a,b] = \emptyset$이고 $a= b$이면 $\{a\}=[a,b] = \{b\}$이므로

$a\ge b$일때 $[a,b]$는 유한집합이 되어

1번과 거리공간 정리와 도집합 정리로 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([a,b]) \subseteq \underset{(\mathbb{R},d_1)}{([a,b])'}  = \emptyset$임에 따라 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}([a,b]) = \emptyset$이다.

 

 

 

정리2

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름공간 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에 대해

$(\mathbb{R}^n,d_n)$의 거리위상공간이 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$일때 다음이 성립한다.

1. $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$의 거리위상공간 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_1)$의 $n$-곱공간은 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$이다.

2. $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $n$차원 유클리드 거리공간이다.

3. 모든 $n$차원 열린상자는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 볼록집합이다.

4. 모든 $n$차원 닫힌상자는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이고 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 볼록집합이다.

5. 임의의 $a_1,b_1,a_2,b_2,\cdots , a_n,b_n\in \mathbb{R}$이 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $a_i<b_i$일때

$\displaystyle \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\prod_{i=1}^n (a_i,b_i)) = \prod_{i=1}^n[a_i,b_i]$와 $\displaystyle \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]) = \prod_{i=1}^n(a_i,b_i)$가 성립하고 

$\begin{align*}& \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial}(\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]) = \left ( \prod_{i=1}^n [a_i,b_i]\right )\setminus \left ( \prod_{i=1}^n (a_i,b_i)\right ) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial}(\prod_{i=1}^n (a_i,b_i))\\[0.5em]&= \bigcup_{i=1}^n ([a_1,b_1]\times \cdots \times [a_{i-1},b_{i-1}] \times \{ a_i,b_i\}\times [a_{i+1},b_{i+1}]\times \cdots \times [a_n,b_n]) \text{ 이다.}\end{align*}$

증명

1, 2

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간이 $(\mathbb{R}^n,\bullet)$일때

모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n),y = (y_1,y_2,\cdots,y_n)\in \mathbb{R}^n$에 대해 복소수 정리와 절댓값 정리와 위 정리로

$\begin{align*}d_n(x,y) &=\lVert x-y\rVert_n \\[0.5em]&=  \sqrt{ (x-y)\bullet (x-y)} \\[0.5em]&= \sqrt{ (x_1-y_1,x_2-y_2,\cdots, x_n-y_n)\bullet (x_1-y_1,x_2-y_2,\cdots, x_n-y_n)}\\[0.5em]& = \sqrt{ (x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \cdots + (x_n-y_n)^2} \\[0.5em]& = \sqrt{|x_1-y_1|^2 + |x_2-y_2|^2+\cdots + |x_n-y_n|^2} \\[0.5em]& = \sqrt{(d_1(x_1,y_1))^2 +(d_1(x_2,y_2))^2+\cdots + (d_1(x_n,y_n))^2} \text{ 이므로} \end{align*}$

유한 곱공간 정리로 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_1)$의 $n$-곱공간은 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$이고 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $n$차원 유클리드 거리공간이다.

3.

모든 $n$차원 열린상자 $B$는 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $a_i\le b_i$인 열린구간 $(a_i,b_i)$에 대해 $B  = \displaystyle \prod_{i=1}^n (a_i,b_i)$이고

위상공간 정리로 $(a_i,b_i)$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_1)$에서 열린집합이므로

1번과 유한 곱공간 정리로 $B  = \displaystyle \prod_{i=1}^n (a_i,b_i)$는 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 열린집합이 되어 

위상공간 정리로 $B  = \displaystyle \prod_{i=1}^n (a_i,b_i)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이다.

모든 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n), y= (y_1,y_2,\cdots,y_n)\in B  = \displaystyle \prod_{i=1}^n (a_i,b_i)$는

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $x_i,y_i\in (a_i,b_i)$이고

모든 $t\in [0,1]$는 $t, 1-t\in [0,1]$와 $t + 1-t = 1$이 성립하므로 구간 정리로 $t\cdot x_i + (1-t)\cdot y_i\in (a_i,b_i)$임에 따라

$t\cdot_n x +_n (1-t)\cdot_n y =(t\cdot x_1 + (1-t)\cdot y_1, t\cdot x_2 + (1-t)\cdot y_2 ,\cdots, t\cdot x_n + (1-t)\cdot y_n) \in \displaystyle \prod_{i=1}^n (a_i,b_i) = B\text{ 가 되어}$

$B$는 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 볼록집합이다.

4.

모든 $n$차원 닫힌상자 $B$는 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $a_i\le b_i$인 닫힌구간 $[a_i,b_i]$에 대해 $B  = \displaystyle \prod_{i=1}^n [a_i,b_i]$이고

위상공간 정리로 $[a_i,b_i]$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_1)$에서 닫힌집합이므로

1번과 유한 곱공간 정리로 $B  = \displaystyle \prod_{i=1}^n [a_i,b_i]$는 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 닫힌집합이 되어 

위상공간 정리로 $B  = \displaystyle \prod_{i=1}^n [a_i,b_i]$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이다.

모든 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n), y= (y_1,y_2,\cdots,y_n)\in B  = \displaystyle \prod_{i=1}^n [a_i,b_i]$는

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $x_i,y_i\in [a_i,b_i]$이고

모든 $t\in [0,1]$는 $t, 1-t\in [0,1]$와 $t + 1-t = 1$이 성립하므로 구간 정리로 $t\cdot x_i + (1-t)\cdot y_i\in [a_i,b_i]$임에 따라

$t\cdot_n x +_n (1-t)\cdot_n y =(t\cdot x_1 + (1-t)\cdot y_1, t\cdot x_2 + (1-t)\cdot y_2 ,\cdots, t\cdot x_n + (1-t)\cdot y_n) \in \displaystyle \prod_{i=1}^n[a_i,b_i] = B\text{ 가 되어}$

$B$는 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 볼록집합이다.

5.

위상공간 정리와 1번과 유한 곱공간 정리와 위 정리로

$\displaystyle \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\prod_{i=1}^n (a_i,b_i)) = \underset{(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(\prod_{i=1}^n (a_i,b_i)) = \prod_{i=1}^n \underset{(\mathbb{R},\mathcal{T}_1)}{\operatorname{cl}}( (a_i,b_i) ) = \prod_{i=1}^n \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}( (a_i,b_i) ) = \prod_{i=1}^n[a_i,b_i]$이고

$\displaystyle \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]) = \underset{(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{int}}(\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]) = \prod_{i=1}^n \underset{(\mathbb{R},\mathcal{T}_1)}{\operatorname{int}}( [a_i,b_i] ) = \prod_{i=1}^n \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{int}}( [a_i,b_i] ) = \prod_{i=1}^n(a_i,b_i)$이므로 

3, 4번과 내부 정리와 폐포 정리와 경계 정리로 

$\displaystyle \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial}(\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]) \setminus \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\prod_{i=1}^n [a_i,b_i]) = \left ( \prod_{i=1}^n [a_i,b_i]\right )\setminus \left ( \prod_{i=1}^n (a_i,b_i)\right )$이고

$\displaystyle \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial}(\prod_{i=1}^n (a_i,b_i)) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\prod_{i=1}^n (a_i,b_i)) \setminus \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\prod_{i=1}^n (a_i,b_i)) = \left ( \prod_{i=1}^n [a_i,b_i]\right )\setminus \left ( \prod_{i=1}^n (a_i,b_i)\right )  $이다.

데카르트곱 정리로

$\begin{align*} \left ( \prod_{i=1}^n [a_i,b_i]\right )\setminus \left ( \prod_{i=1}^n (a_i,b_i)\right ) &= \bigcup_{i=1}^n ([a_1,b_1]\times \cdots \times [a_{i-1},b_{i-1}] \times ( [a_i,b_i]\setminus (a_i,b_i)) \times [a_{i+1},b_{i+1}]\times \cdots \times [a_n,b_n]) \\[0.5em] &= \bigcup_{i=1}^n ([a_1,b_1]\times \cdots \times [a_{i-1},b_{i-1}] \times \{ a_i,b_i\}\times [a_{i+1},b_{i+1}]\times \cdots \times [a_n,b_n]) \text{ 이다.}\end{align*}$

 

 

 

정리3

임의의 양의 정수가 $m \in \mathbb{Z}^+$일때

임의의 $n_1,n_2,\cdots, n_m\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $\mathbb{Z}_{n_i}^+ = \{ j_i\in \mathbb{Z}^+ : j_i\le n_i \} = \{ 1,2,\cdots, n_i\}$이고

모든 $u,v \in \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2\cdot \, \cdots\, \cdot n_m}^+$와 모든 $(j_1,j_2,\cdots,j_m), (k_1,k_2,\cdots,k_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$에 대해 

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) <_m (k_1,k_2,\cdots,k_m)$이기 위한 필요충분조건이

$q = \max \{ p \in \mathbb{Z}_m^+ :  j_p < k_p\}$가 존재하여 $q< r$인 모든 $r= 1,2,\cdots, m$에 대해 $j_r = k_r$인 것이면 다음이 성립한다.

1. $(j_1,j_2,\cdots,j_m) = (k_1,k_2,\cdots,k_m)$ 또는

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) <_m (k_1,k_2,\cdots,k_m)$ 또는 $(k_1,k_2,\cdots,k_m) <_m (j_1,j_2,\cdots,j_m)$ 중 하나만 성립한다.

2. $<_m$ 또는 $=$인 관계 $\le_m$에 대해 $(\mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+,\le_m)$은 전순서집합이다.

3. $\phi(j_1,j_2,\cdots,j_m) = j_1 + \displaystyle \sum_{i=2}^m \left ( (j_i -1)\cdot \prod_{p=1}^{i-1}n_p \right )$인

함수 $\phi : \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2 \cdot \, \cdots \,\cdot n_m}^+$는 전단사이고

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) <_m (k_1,k_2,\cdots,k_m)$이기 위한 필요충분조건은 $\phi(j_1,j_2,\cdots,j_m) < \phi(k_1,k_2,\cdots,k_m)$인 것이다.

4. $\psi(u) = \displaystyle \left ( ((u-1) \bmod n_1) +1, \left (\left \lfloor \frac{u-1}{n_1}\right \rfloor \bmod n_2 \right )+1,\cdots, \left( \left \lfloor \frac{u-1}{n_1\cdot  \,\cdots\, \cdot n_{m-1}} \right \rfloor \bmod n_m \right ) +1 \right )$인

함수 $\psi : \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2\cdot \, \cdots\, \cdot n_m}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$는 전단사이고 

$u< v$이기 위한 필요충분조건은 $\psi(u) <_m \psi(v)$인 것이다.

5. $\phi,\psi$의 역함수는 $\phi = \psi^{-1}$이고 $\psi = \phi^{-1}$이다.

증명

1, 2

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) <_m (k_1,k_2,\cdots,k_m)$ 또는 $(k_1,k_2,\cdots,k_m) <_m (j_1,j_2,\cdots,j_m)$이면 

$q = \max \{ p \in \mathbb{Z}_m^+ :  j_p < k_p\}$ 또는 $q = \max \{ p \in \mathbb{Z}_m^+ :  k_p < j_p\}$가 존재하여

부등식 정리와 최대원소의 정의로 $j_q\ne k_q$이므로 $m$-순서쌍의 상등으로 $(j_1,j_2,\cdots,j_m) \ne (k_1,k_2,\cdots,k_m)$이다.

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) \ne (k_1,k_2,\cdots,k_m)$이면 $m$-순서쌍의 상등으로 $j_p\ne k_p$인 $p=1,2,\cdots, m$가 존재하여

$\{ p \in \mathbb{Z}_m^+ :  j_p \ne k_p\} \subseteq \mathbb{Z}_m^+ = \{ 1,2,\cdots, m\}$이므로

유한집합 정리와 최대원소 정리로 $q = \max \{ p \in \mathbb{Z}_m^+ :  j_p \ne k_p\}$가 존재하고

최대원소의 정의로 $q<r$인 모든 $r= 1,2,\cdots, m$에 대해 $j_r = k_r$이다.

최대원소의 정의로 $j_q\ne k_q$이므로 부등식 정리로 $j_q< k_q$ 또는 $k_q< j_q$가 되어

$j_q < k_q$이면 부등식 정리와 최대원소의 정의로

$q = \max \{ p \in \mathbb{Z}_m^+ :  j_p \ne k_p\} = \max \{ p\in \mathbb{Z}_m^+ : j_p< k_p\}$임에 따라 $(j_1,j_2,\cdots,j_m) <_m (k_1,k_2,\cdots,k_m)$이고 

$k_q< j_q$이면 부등식 정리와 최대원소의 정의로

$q = \max \{ p \in \mathbb{Z}_m^+ :  j_p \ne k_p\} = \max \{ p\in \mathbb{Z}_m^+ : k_p< j_p\}$임에 따라 $(k_1,k_2,\cdots,k_m) <_m (j_1,j_2,\cdots,j_m)$이다.

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) <_m (k_1,k_2,\cdots,k_m)$이고 $(k_1,k_2,\cdots,k_m) <_m (j_1,j_2,\cdots,j_m)$이라고 가정하면

$q_1 = \max \{ p \in \mathbb{Z}_m^+ :  j_p < k_p\}$과 $q_2 = \max \{ p \in \mathbb{Z}_m^+ :  k_p < j_p\}$가 존재하여

$q_1 = q_2$일때 $j_{q_1}< k_{q_1} = k_{q_2} < j_{q_2} = j_{q_1}$임에 따라 모순이고 

$q_1< q_2$일때 $j_{q_2} = k_{q_2}$가 되어 모순이고 $q_2<q_1$일때 $j_{q_1} = k_{q_1}$가 되어 모순이므로 

모든 $(j_1,j_2,\cdots,j_m), (k_1,k_2,\cdots,k_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$은 $(j_1,j_2,\cdots,j_m) = (k_1,k_2,\cdots,k_m)$ 또는

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) <_m (k_1,k_2,\cdots,k_m)$ 또는 $(k_1,k_2,\cdots,k_m) <_m (j_1,j_2,\cdots,j_m)$ 중 하나만 성립한다.

임의의 $(j_1,j_2,\cdots,j_m), (k_1,k_2,\cdots,k_m),(l_1,l_2,\cdots,l_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$에 대해 

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) <_m (k_1,k_2,\cdots,k_m)$이고 $(k_1,k_2,\cdots,k_m) <_m (l_1,l_2,\cdots,l_m)$이면

$q_1 = \max \{ p \in \mathbb{Z}_m^+ :  j_p < k_p\}$가 존재하여 $q_1< r$인 모든 $r= 1,2,\cdots, m$에 대해 $j_r = k_r$이고 

$q_2 = \max \{ p \in \mathbb{Z}_m^+ :  k_p < l_p\}$가 존재하여 $q_2< r$인 모든 $r= 1,2,\cdots, m$에 대해 $k_r = l_r$이므로

$q = \max \{ q_1,q_2\}$일때 $q < r$인 모든 $r= 1,2,\cdots, m$에 대해 $j_r = k_r = l_r$이 되어

$q = q_1 = q_2$이면 $j_{q} = j_{q_1}< k_{q_1} = k_{q_2}< l_{q_2} = l_q$이고 

$q_1< q_2 = q$이면 $j_q = k_q = k_{q_2} < l_{q_2} = l_q$이고 

$q_2< q_1 = q$이면 $j_q =j_{q_1} < k_{q_1}=k_q = l_q$임에 따라 $q = \max \{ p \in \mathbb{Z}_m^+ :  j_p < l_p\}$이고 

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) <_m (l_1,l_2,\cdots,l_m)$이므로 $(\mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+,\le_m)$은 전순서집합이다.

3.

$m = 2$일때

모든 $(j_1,j_2)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+$에 대해 $\phi(j_1,j_2) = j_1 + \displaystyle \sum_{i=2}^2 \left ( (j_i -1)\cdot \prod_{p=1}^{i-1}n_p \right ) = j_1 + (j_2-1)\cdot n_1$이므로

함수 정리로 함수 $\phi : \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2}^+$는 전단사이고 임의의 $(j_1,j_2),(k_1,k_2)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+$에 대해

$(j_1,j_2) <_2 (k_1,k_2)$이면 $q = \max \{ p \in \{ 1,2\} :  j_p < k_p\}$가 존재하여 $q< r$인 모든 $r= 1,2$에 대해 $j_r = k_r$이므로 

$q = 1$일때 $j_1< k_1$이고 $j_2 = k_2$임에 따라

$\phi(j_1,j_2) = j_1 + (j_2-1)\cdot n_1 = j_1 + (k_2 -1)\cdot n_1 < k_1 + (k_2 -1)\cdot n_1 =\phi(k_1,k_2)$이고

$q = 2$일때 $j_2 <k_2$이므로 $1\le k_2 - j_2$이고

$j_1,k_1\in \mathbb{Z}_{n_1}^+$임에 따라 $1\le j_1\le n_1$이고 $1\le k_1 \le n_1$이므로 $-(n_1 -1)\le k_1 - j_1 \le n_1 -1$이 되어 

$\begin{align*}0 & < 1 =-n_1 +1 +n_1 = -(n_1-1) + 1\cdot n_1 \\[0.5em]& \le -(n_1-1) +(k_2-j_2)\cdot n_1 \\[0.5em]& \le (k_1 - j_1) + (k_2 - j_2)\cdot n_1 =k_1 + (k_2-1)\cdot n_1  - j_1 - (j_2-1)\cdot n_1 = \phi(k_1,k_2) - \phi(j_1,j_2)\text{ 임에 따라}\end{align*}$

$\phi(j_1,j_2) < \phi(k_1,k_2)$이다.

$m\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 모든 $(j_1,j_2,\cdots,j_m), (k_1,k_2,\cdots,k_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$에 대해 

$\phi(j_1,j_2,\cdots,j_m) = j_1 + \displaystyle \sum_{i=2}^m \left ( (j_i -1)\cdot \prod_{p=1}^{i-1}n_p \right )$인

함수 $\phi : \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2 \cdot \, \cdots \,\cdot n_m}^+$가 전단사이고

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) <_m (k_1,k_2,\cdots,k_m)$이면 $\phi(j_1,j_2,\cdots,j_m) < \phi(k_1,k_2,\cdots,k_m)$임을 증명한다.

$m = 1$이면 모든 $j_1\in \mathbb{Z}_{n_1}^+$에 대해 $\phi(j_1) =j_1$이므로 항등함수 정리로 함수 $\phi : \mathbb{Z}_{n_1}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1}^+$는 전단사이고

모든 $j_1, k_1\in \mathbb{Z}_{n_1}^+$에 대해 $j_1 <_1 k_1$이면 $\phi(j_1) =j_1 < k_1= \phi(k_1) $이다.

모든 $l\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $(j_1,\cdots,j_l)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_l}^+$이

$\phi_l(j_1,\cdots,j_l) = j_1 + \displaystyle \sum_{i=2}^l \left ( (j_i -1)\cdot \prod_{p=1}^{i-1}n_p \right )$인 함수 $\phi_l : \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_l}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1\cdot \, \cdots \,\cdot n_l}^+$이 조건을 만족하면 

모든 $(j, j_{l+1})\in \mathbb{Z}_{n_1\cdot \,\cdots \, \cdot n_l}^+\times \mathbb{Z}_{n_{l+1}}^+$이

$\varphi(j,j_{l+1}) = j + (j_{l+1} -1)\cdot n_1\cdot \, \cdots \, \cdot n_l$인 함수 $\varphi : \mathbb{Z}_{n_1\cdot \,\cdots \, \cdot n_l}^+\times \mathbb{Z}_{n_{l+1}}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1\cdot \,\cdots \, \cdot n_l \cdot n_{l+1}}^+$에 대해 

모든 $(j_1,\cdots,j_l,j_{l+1})\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_l}^+\times \mathbb{Z}_{n_{l+1}}^+$이

$\begin{align*} j_1 + \sum_{i=2}^{l+1} \left ( (j_i -1)\cdot \prod_{p=1}^{i-1}n_p \right ) &= j_1 + \sum_{i=2}^{l} \left ( (j_i -1)\cdot \prod_{p=1}^{i-1}n_p \right ) + (j_{l+1}-1)\cdot n_1\cdot \, \cdots \, \cdot n_{l} \\[0.5em] &= \phi_l(j_1,\cdots, j_l) + (j_{l+1}-1)\cdot n_1\cdot \, \cdots \, \cdot n_{l} \\[0.5em]& = \varphi(\phi_l(j_1,\cdots,j_l), j_{l+1}) \text{ 이므로} \end{align*}$

$\phi(j_1,\cdots,j_l,j_{l+1}) = j_1 + \displaystyle \sum_{i=2}^{l+1} \left ( (j_i -1)\cdot \prod_{p=1}^{i-1}n_p \right )$인 함수 $\phi : \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_l}^+\times \mathbb{Z}_{n_{l+1}}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1\cdot \, \cdots \,\cdot n_l \cdot n_{l+1}}^+$는 

$\phi(j_1,\cdots,j_l,j_{l+1})= \varphi(\phi_l(j_1,\cdots,j_l), j_{l+1})$이고

$(j_1,\cdots,j_l,j_{l+1})<_{l+1} (k_1,\cdots, k_l,k_{l+1})$인 모든 $(j_1,\cdots,j_l,j_{l+1}), (k_1,\cdots, k_l,k_{l+1})\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_l}^+\times \mathbb{Z}_{n_{l+1}}^+$은

$q = \max \{ p \in \mathbb{Z}_{l+1}^+ :  j_p < k_p\}$가 존재하여 $q< r$인 모든 $r= 1,\cdots, l,l+1$에 대해 $j_r = k_r$이므로 

$q \le l$이면 $q = \max \{ p \in \mathbb{Z}_{l}^+ :  j_p < k_p\}$가 되어 $(j_1,\cdots,j_l)<_{l} (k_1,\cdots, k_l)$임에 따라

$\phi_l(j_1,\cdots,j_l)< \phi_l(k_1,\cdots, k_l)$이고 $j_{l+1} = k_{l+1}$이므로 $(\phi_l(j_1,\cdots,j_l),j_{l+1})<_2 (\phi_l(k_1,\cdots, k_l),k_{l+1})$이고 

$q = l+1$이면 $j_{l+1}< k_{l+1}$이 되어 $(\phi_l(j_1,\cdots,j_l),j_{l+1})<_2 (\phi_l(k_1,\cdots, k_l),k_{l+1})$이므로 

$\phi(j_1,\cdots,j_l,j_{l+1})=\varphi(\phi_l(j_1,\cdots,j_l),j_{l+1})< \varphi(\phi_l(k_1,\cdots, k_l),k_{l+1}) = \phi(j_1,\cdots,j_l,j_{l+1})$이고

1번과 단사 정리로 $\phi$는 단사이다.

모든 $u \in \mathbb{Z}_{n_1\cdot\, \cdots\, \cdot n_l \cdot n_{l+1}}^+$에 대해 전사의 정의로 $u = \varphi(j,j_{l+1})$인 $(j, j_{l+1})\in \mathbb{Z}_{n_1\cdot \,\cdots \, \cdot n_l}^+\times \mathbb{Z}_{n_{l+1}}^+$이 존재하여 

$j = \phi_l(j_1,\cdots, j_l)$인 $(j_1,\cdots,j_l)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_l}^+$이 존재하므로 

$\phi(j_1,\cdots,j_l,j_{l+1})= \varphi(\phi_l(j_1,\cdots,j_l), j_{l+1}) = \varphi(j,j_{l+1}) = u$임에 따라 $\phi$는 전사이다.

따라서 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 함수 $\phi : \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2 \cdot \, \cdots \,\cdot n_m}^+$는 전단사이고

모든 $(j_1,j_2,\cdots,j_m), (k_1,k_2,\cdots,k_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$에 대해 

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) <_m (k_1,k_2,\cdots,k_m)$이면 $\phi(j_1,j_2,\cdots,j_m) < \phi(k_1,k_2,\cdots,k_m)$이므로

$\phi(j_1,j_2,\cdots,j_m)< \phi(k_1,k_2,\cdots, k_m)$이면 1번으로 $(j_1,j_2,\cdots,j_m) = (k_1,k_2,\cdots,k_m)$ 또는

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) <_m (k_1,k_2,\cdots,k_m)$ 또는 $(k_1,k_2,\cdots,k_m) <_m (j_1,j_2,\cdots,j_m)$ 중 하나만 성립하여

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) = (k_1,k_2,\cdots,k_m)$일때 $\phi(j_1,j_2,\cdots,j_m)= \phi(k_1,k_2,\cdots, k_m)$임에 따라 모순이고

$(k_1,k_2,\cdots,k_m) <_m (j_1,j_2,\cdots,j_m)$일때 $\phi(k_1,k_2,\cdots,k_m)< \phi(j_1,j_2,\cdots, j_m)$이 되어 모순이므로

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) <_m (k_1,k_2,\cdots,k_m)$임에 따라

$(j_1,j_2,\cdots,j_m) <_m (k_1,k_2,\cdots,k_m)$이기 위한 필요충분조건은 $\phi(j_1,j_2,\cdots,j_m) < \phi(k_1,k_2,\cdots,k_m)$인 것이다.

4, 5

$m\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 모든 $u \in \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2\cdot \, \cdots\, \cdot n_m}^+$에 대해

$\displaystyle \phi(\psi(u)) =((u-1)\bmod n_1) +1 + \sum_{i=2}^m \left ( \left ( \left \lfloor \dfrac{u-1}{ \underset{p=1}{\overset{i-1}{\prod}} n_p}\right \rfloor \bmod n_i \right ) \cdot \prod_{p=1}^{i-1}n_p  \right ) = u$임을 보인다.

$m = 1$이면 모든 $u \in \mathbb{Z}_{n_1}^+$는 $1\le u\le n_1$이므로 $0\le u -1 < n_1$이 되어

모듈로연산의 정의로 $\phi(\psi(u))=((u-1)\bmod n_1) +1  = (u-1) + 1= u$이다.

모든 $l\in \mathbb{Z}^+$에 대해 

모든 $u_l \in \mathbb{Z}_{n_1\cdot \, \cdots\, \cdot n_l}^+$이 $\displaystyle ((u_l-1)\bmod n_1) +1 + \sum_{i=2}^l \left ( \left ( \left \lfloor \dfrac{u_l-1}{ \underset{p=1}{\overset{i-1}{\prod}} n_p}\right \rfloor \bmod n_i \right ) \cdot \prod_{p=1}^{i-1}n_p  \right ) = u_l$이라고 가정하면 

$\displaystyle \prod_{p=1}^l n_p \in \mathbb{Z}^+$이므로 모든 $u \in \mathbb{Z}_{n_1\cdot \, \cdots\, \cdot n_l\cdot n_{l+1}}^+$에 대해

나눗셈 정리로 $u-1 = a \cdot \displaystyle \prod_{p=1}^l n_p + b$이고 $0\le b < \displaystyle \prod_{p=1}^l n_p$인 $a,b \in \mathbb{Z}$가 존재하여 $b+1 \in \mathbb{Z}_{n_1\cdot \, \cdots\, \cdot n_l}^+$이고 

모든 $i= 1,\cdots, l,l+1$에 대해 

$i = 1$일때 모듈로연산 정리와 모듈로연산의 정의로 

$\begin{align*} (u-1)\bmod n_1 & = \left ( a\cdot \prod_{p=1}^l n_p + b\right )\bmod n_1 \\[0.5em]&= \left (\left (\left ( a\cdot \prod_{p=1}^l n_p\right ) \bmod n_1 \right) + b\right ) \bmod n_1 \\[0.5em] &= ( 0 + b +1 -1)\bmod n_1 \\[0.5em]& =((b+1)-1) \bmod n_1 \text{ 이고} \end{align*}$

$2\le i\le l$일때 바닥 정리와 모듈로연산 정리와 모듈로연산의 정의로 

$\begin{align*} \left \lfloor \dfrac{u-1}{ \displaystyle \prod_{p=1}^{i-1} n_p }\right \rfloor \bmod n_i &= \left \lfloor \dfrac{a \cdot \displaystyle \prod_{p=1}^l n_p + b}{ \displaystyle \prod_{p=1}^{i-1} n_p }\right \rfloor \bmod n_i \\[0.5em]&= \left \lfloor a \cdot \displaystyle \prod_{p=i}^l n_p + \dfrac{b}{ \displaystyle \prod_{p=1}^{i-1} n_p }\right \rfloor \bmod n_i \\[0.5em]&= \left (a \cdot \displaystyle \prod_{p=i}^l n_p + \left \lfloor \dfrac{b}{ \displaystyle \prod_{p=1}^{i-1} n_p }\right \rfloor \right ) \bmod n_i \\[0.5em]&= \left ( \left ( \left (a \cdot \displaystyle \prod_{p=i}^l n_p \right ) \bmod n_i \right ) + \left \lfloor \dfrac{b +1 -1}{ \displaystyle \prod_{p=1}^{i-1} n_p }\right \rfloor \right ) \bmod n_i \\[0.5em]&= \left \lfloor \dfrac{(b +1) -1}{ \displaystyle \prod_{p=1}^{i-1} n_p }\right \rfloor \bmod n_i \text{ 이고} \end{align*}$

$i=l+1$일때 

$n_{l+1} \le a$라고 가정하면 $\displaystyle \prod_{p=1}^{l+1} n_p \le a\cdot \prod_{p=1}^l n_p + b =u-1 <u\le \prod_{p= 1}^{l+1} n_p$임에 따라 모순이므로 $a<n_{l+1}$이고 

$0\le \dfrac{b}{\underset{p=1}{\overset{l}{\prod}} n_p} < 1$이므로 바닥 정리와 바닥 정리와 모듈로연산의 정의로 

$\begin{align*} \left \lfloor \dfrac{u-1}{ \displaystyle \prod_{p=1}^{l} n_p }\right \rfloor \bmod n_{l+1} &= \left \lfloor \dfrac{a \cdot \displaystyle \prod_{p=1}^l n_p + b}{ \displaystyle \prod_{p=1}^{l} n_p }\right \rfloor \bmod n_{l+1} \\[0.5em]&= \left \lfloor a + \dfrac{b}{ \displaystyle \prod_{p=1}^{l} n_p }\right \rfloor \bmod n_{l+1} \\[0.5em]&= \left (a +\left \lfloor \dfrac{b}{ \displaystyle \prod_{p=1}^{l} n_p }\right \rfloor \right ) \bmod n_{l+1} \\[0.5em]&= a \bmod n_{l+1} \\[0.5em]&= a \text{ 가 되어 } \end{align*}$

$\begin{align*} \phi(\psi(u)) &= ((u-1)\bmod n_1) +1 + \sum_{i=2}^{l+1} \left ( \left ( \left \lfloor \dfrac{u-1}{ \underset{p=1}{\overset{i-1}{\prod}} n_p}\right \rfloor \bmod n_i \right ) \cdot \prod_{p=1}^{i-1}n_p \right ) \\[0.5em] & =((u-1)\bmod n_1) +1 + \sum_{i=2}^{l} \left ( \left ( \left \lfloor \dfrac{u-1}{ \underset{p=1}{\overset{i-1}{\prod}} n_p}\right \rfloor \bmod n_i \right ) \cdot \prod_{p=1}^{i-1}n_p \right ) + \left ( \left \lfloor \dfrac{u-1}{ \underset{p=1}{\overset{l}{\prod}} n_p}\right \rfloor \bmod n_{l+1} \right ) \cdot \prod_{p=1}^{l}n_p \\[0.5em] & =(((b+1)-1)\bmod n_1) +1 + \sum_{i=2}^{l} \left ( \left ( \left \lfloor \dfrac{(b+1)-1}{ \underset{p=1}{\overset{i-1}{\prod}} n_p}\right \rfloor \bmod n_i \right ) \cdot \prod_{p=1}^{i-1}n_p \right ) + a \cdot \prod_{p=1}^{l}n_p \\[0.5em] & = b+1 + a \cdot \prod_{p=1}^{l}n_p \\[0.5em] & = a \cdot \prod_{p=1}^{l}n_p +b+1 \\[0.5em] & = u-1 +1 \\[0.5em] & = u \text{ 이다.} \end{align*}$

모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 3번으로 함수 $\phi$는 전단사이므로 역함수 $\phi^{-1}$이 존재하여 

모든 $u \in \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2\cdot \, \cdots\, \cdot n_m}^+$에 대해 $\phi^{-1}(u) = \phi^{-1}(\phi(\psi(u))) = \psi(u)$이므로 $\phi^{-1} = \psi$임에 따라 

역함수 정리로 $\psi = \phi^{-1}$는 전단사이고 $\psi^{-1} = (\phi^{-1})^{-1} = \phi$이다.

모든 $u,v \in \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2\cdot \, \cdots\, \cdot n_m}^+$에 대해 전사의 정의로 $u =\phi(j_1,j_2,\cdots,j_m)$이고 $v = \phi(k_1,k_2,\cdots,k_m)$인

$(j_1,j_2,\cdots,j_m), (k_1,k_2,\cdots,k_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$이 존재하여 역함수의 정의로

$\psi(u) =\psi(\phi(j_1,j_2,\cdots,j_m)) = (j_1,j_2,\cdots,j_m)$이고 $\psi(v) = \psi(\phi(k_1,k_2,\cdots,k_m)) = (k_1,k_2,\cdots,k_m)$이므로 

$u< v$이면 $\phi(j_1,j_2,\cdots,j_m) =u < v = \phi(k_1,k_2,\cdots,k_m)$이 되어

3번으로 $\psi(u) =(j_1,j_2,\cdots,j_m)<_m (k_1,k_2,\cdots,k_m) = \psi(v)$이고 

$\psi(u)<_m\psi(v)$이면 $(j_1,j_2,\cdots,j_m) =\psi(u)<_m \psi(v)=(k_1,k_2,\cdots,k_m)$이므로 

3번으로 $u=\phi(j_1,j_2,\cdots,j_m)  <  \phi(k_1,k_2,\cdots,k_m) =v$임에 따라

$u< v$이기 위한 필요충분조건은 $\psi(u) <_m \psi(v)$인 것이다.

 

 

 

정의2

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때

닫힌상자의 격자(Grid) :

퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $\displaystyle \prod_{i=1}^m[a_i,b_i]$는 모든 $i=1,2,\cdots, m$에 대해 $a_i< b_i$이므로 

임의의 $n_i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $[a_i,b_i] = [x_{i,0},x_{i,1}] \cup [x_{i,1},x_{i,2}]\cup \cdots \cup [x_{i,n_i-1}, x_{i,n_i}]$이고 

$a_i = x_{i,0} < x_{i,1}< \cdots < x_{i,n_i-1} < x_{i,n_i} = b_i$인 임의의 점이 $x_{i,0},x_{i,1},\cdots, x_{i,n_i-1},x_{i,n_i}\in [a_i,b_i]$일때

임의의 $j_i = 1,2,\cdots,n_i$에 대해 $B(j_1,j_2,\cdots, j_m) = [x_{1,j_1 -1}, x_{1, j_1}] \times [x_{2,j_2-1},x_{2,j_2}]\times \cdots \times [x_{m, j_m-1},x_{m,j_m}]$이고

위 정리의 전단사함수가 $\psi : \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2\cdot \, \cdots\, \cdot n_m}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$이면 $n = n_1\cdot n_2 \cdot \, \cdots \, \cdot n_m\in \mathbb{Z}^+$에 대해

집합 $\mathcal{G} = \{ B(\psi(k)) : k=1,2,\cdots,n\} = \{ B(\psi(k))\}_{k=1}^n$를 $\displaystyle \prod_{i=1}^m[a_i,b_i]$의 격자 또는 $m$차원 격자로 정의한다.

세분(refinement) : 

퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$의 임의의 격자가 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$와 $\mathcal{H} = \{ C_r\}_{r= 1}^p$일때

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k = \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k$인 $\mathcal{B}_k\subseteq \mathcal{H}$가 존재하면 $\mathcal{H}$를 $\mathcal{G}$의 세분으로 정의한다.

외합(outer sum) :

퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$의 임의의 $E\subseteq B$에 대해 

$B$의 임의의 격자 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$에 대응하는 $E$의 외합 또는 $m$차원 외합을 

$B_k\;\cap $ $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$ $\ne \emptyset$인 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k$의 부피들의 합 $\overline{vol}(E;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset}}^n vol(B_k)$로 정의한다.

$m= 2$이면 $\overline{vol}(E;\mathcal{G}) = \overline{area}(E;\mathcal{G})$로 표기하고 $m = 1$이면 $\overline{vol}(E;\mathcal{G}) = \overline{len}(E;\mathcal{G})$로 표기한다.

내합(inner sum) :

퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$의 임의의 $E\subseteq B$에 대해 

$B$의 임의의 격자 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$에 대응하는 $E$의 내합 또는 $m$차원 내합을 

$B_k\subseteq $ $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$인 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k$의 부피들의 합 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n vol(B_k)$로 정의한다.

$m= 2$이면 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}) = \underline{area}(E;\mathcal{G})$로 표기하고 $m = 1$이면 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}) = \underline{len}(E;\mathcal{G})$로 표기한다.

 

 

 

정리4

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때 다음이 성립한다.

1. 임의의 $m$차원 열린상자 $B$가 공상자이면 $B$의 부피는 $vol(B) = 0$이다.

2. 임의의 $m$차원 닫힌상자 $B$가 퇴화상자이면 $B$의 부피는 $vol(B) = 0$이다.

3. 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$과 모든 $l_1,l_2,\cdots,l_m\in \mathbb{R}$에 대해 

$(l_1 + \delta_\epsilon)\cdot (l_2+\delta_\epsilon)\cdot \, \cdots\, \cdot (l_m+\delta_\epsilon) = l_1\cdot l_2\cdot \, \cdots\, \cdot l_m +\epsilon$인 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재한다.

4. 공상자가 아닌 모든 $m$차원 열린상자 $B$와 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$B \subseteq $ $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(B)}$ $\subseteq B_\epsilon$과 $vol(B_\epsilon) = vol(B) +\epsilon$이 성립하고 공상자가 아닌 $m$차원 열린상자 $B_\epsilon$이 존재한다.

5. 퇴화상자가 아닌 모든 $m$차원 닫힌상자 $B$와 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$B \subseteq $ $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_\epsilon)}$ $\subseteq B_\epsilon$과 $vol(B_\epsilon) = vol(B) +\epsilon$이 성립하고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B_\epsilon$이 존재한다.

6. 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^m$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이기 위한 필요충분조건은

$E\subseteq B$인 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하는 것이다.

증명

1.

열린상자의 정의로 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^m (a_i,b_i)$이고 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i\le b_i$인 열린구간 $(a_i,b_i)$가 존재하여

$B$는 공상자이므로 $a_j = b_j$인 $j=1,2,\cdots,m$가 존재하고

$b_j-a_j = 0$임에 따라 부피의 정의로 $vol(B) = (b_1- a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot\; \cdots\; \cdot (b_n-a_n) = 0$이다.

2.

닫힌상자의 정의로 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$이고 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i\le b_i$인 닫힌구간 $[a_i,b_i]$가 존재하여

$B$는 퇴화상자이므로 $a_j = b_j$인 $j=1,2,\cdots,m$가 존재하고

$b_j-a_j = 0$임에 따라 부피의 정의로 $vol(B) = (b_1- a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot\; \cdots\; \cdot (b_m-a_m) = 0$이다.

3.

모든 $t\in [0,\infty)$에 대해 $f(t) = (l_1 + t)\cdot (l_2 +t)\cdot \, \cdots \, \cdot (l_m + t) - l_1\cdot l_2 \cdot\, \cdots\, \cdot l_m$인 함수 $f: [0,\infty)\to \mathbb{R}$는 

다항식 정리와 다항함수의 정의로 $f(t) = a_m\cdot t^m + \cdots + a_1\cdot t + a_0$인 $a_m,\cdots,a_1,a_0\in \mathbb{R}$이 존재하여 

$a_m = 1$이고 $a_0 = l_1\cdot l_2\cdot\, \cdots\, \cdot l_m - l_1\cdot l_2\cdot\, \cdots \, \cdot l_m = 0$이므로 $f(0) = a_m\cdot 0^m + \cdots + a_1\cdot 0+ a_0  = 0$이다.

다항함수 정리로 $f$는 $[0,\infty)$에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{t\to \infty}$$\,f(t) = \infty$이므로 $f(0)=0<\epsilon< f(t_\epsilon)$인 $t_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여

중간값 정리로 어떤 $\delta_\epsilon \in (0,t_\epsilon)$에 대해 

$\epsilon = f(\delta_\epsilon) = (l_1 + \delta_\epsilon)\cdot (l_2 + \delta_\epsilon) \cdot \, \cdots\, \cdot (l_m + \delta_\epsilon) - l_1\cdot l_2\cdot \,\cdots\, \cdot l_m$임에 따라 

$(l_1 + \delta_\epsilon)\cdot (l_2+\delta_\epsilon)\cdot \, \cdots\, \cdot (l_m+\delta_\epsilon) = l_1\cdot l_2\cdot \, \cdots\, \cdot l_m +\epsilon$이다.

4.

열린상자의 정의와 공상자의 정의로

$B = \displaystyle \prod_{i=1}^m (a_i,b_i)$이고 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i< b_i$인 열린구간 $(a_i,b_i)$가 존재하여 $b_i -a_i\in (0,\infty)$이므로 

3번으로 $\begin{align*}vol(B) +\epsilon = (b_1 - a_1 + \delta_\epsilon) \cdot (b_2-a_2+\delta_\epsilon)\cdot \, \cdots \, \cdot (b_m-a_m + \delta_\epsilon) \end{align*} $인 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하고 

$\dfrac{\delta_\epsilon}{2} > 0$이므로 $a_i-\dfrac{\delta_\epsilon}{2}<a_i< b_i < b_i +\dfrac{\delta_\epsilon}{2}$임에 따라

$B_\epsilon = {\displaystyle \prod_{i=1}^m} (a_i - \frac{\delta_\epsilon}{2} ,b_i + \frac{\delta_\epsilon}{2})$은 공상자가 아닌 $m$차원 열린상자이고

$(a_i,b_i)\subseteq [a_i,b_i] \subseteq (a_i-\frac{\delta_\epsilon}{2},b_i+\frac{\delta_\epsilon}{2})$이므로

$\displaystyle \prod_{i=1}^m(a_i,b_i)\subseteq \prod_{i=1}^m[a_i,b_i] \subseteq \prod_{i=1}^m {\textstyle(a_i-\frac{\delta\epsilon}{2},b_i+\frac{\delta_\epsilon}{2})}$가 되어 위 정리로 $B \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(B)}\subseteq B_\epsilon$이고

$\begin{align*} vol(B) +\epsilon &= (b_1 - a_1 + \delta_\epsilon) \cdot (b_2-a_2+\delta_\epsilon)\cdot \, \cdots \, \cdot (b_m-a_m + \delta_\epsilon) \\[0.5em] &= {\textstyle ((b_1 + \frac{\delta_\epsilon}{2}) - (a_1 - \frac{\delta_\epsilon}{2}) ) \cdot ((b_2 + \frac{\delta_\epsilon}{2}) - (a_2 - \frac{\delta_\epsilon}{2}))\cdot \, \cdots \, \cdot ((b_m + \frac{\delta_\epsilon}{2}) - (a_m - \frac{\delta_\epsilon}{2})) } \\[0.5em] &= vol(B_\epsilon) \text{ 이다.}\end{align*}$

5.

닫힌상자의 정의와 퇴화상자의 정의로

$B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$이고 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i< b_i$인 닫힌구간 $[a_i,b_i]$가 존재하여 $b_i -a_i\in (0,\infty)$이므로 

3번으로 $\begin{align*}vol(B) +\epsilon = (b_1 - a_1 + \delta_\epsilon) \cdot (b_2-a_2+\delta_\epsilon)\cdot \, \cdots \, \cdot (b_m-a_m + \delta_\epsilon) \end{align*} $인 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하고 

$\dfrac{\delta_\epsilon}{2} > 0$이므로 $a_i-\dfrac{\delta_\epsilon}{2}<a_i< b_i < b_i +\dfrac{\delta_\epsilon}{2}$임에 따라

$B_\epsilon = {\displaystyle \prod_{i=1}^m} [a_i - \frac{\delta_\epsilon}{2} ,b_i + \frac{\delta_\epsilon}{2}]$은 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자이고

$[a_i,b_i] \subseteq (a_i-\frac{\delta_\epsilon}{2},b_i+\frac{\delta_\epsilon}{2}) \subseteq [a_i-\frac{\delta_\epsilon}{2},b_i+\frac{\delta_\epsilon}{2}]$이므로

$\displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i] \subseteq \prod_{i=1}^m {\textstyle(a_i-\frac{\delta_\epsilon}{2},b_i+\frac{\delta_\epsilon}{2})} \subseteq \prod_{i=1}^m {\textstyle[a_i-\frac{\delta_\epsilon}{2},b_i+\frac{\delta_\epsilon}{2}]}$가 되어 위 정리로 $B \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_\epsilon)}\subseteq B_\epsilon$이고

$\begin{align*} vol(B) +\epsilon &= (b_1 - a_1 + \delta_\epsilon) \cdot (b_2-a_2+\delta_\epsilon)\cdot \, \cdots \, \cdot (b_m-a_m + \delta_\epsilon) \\[0.5em] &= {\textstyle ((b_1 + \frac{\delta_\epsilon}{2}) - (a_1 - \frac{\delta_\epsilon}{2}) ) \cdot ((b_2 + \frac{\delta_\epsilon}{2}) - (a_2 - \frac{\delta_\epsilon}{2}))\cdot \, \cdots \, \cdot ((b_m + \frac{\delta_\epsilon}{2}) - (a_m - \frac{\delta_\epsilon}{2})) } \\[0.5em] &= vol(B_\epsilon) \text{ 이다.}\end{align*}$

6.

$E$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이면 거리공간 정리로 $\vec{0} = (0,0,\cdots,0)\in \mathbb{R}^m$에 대해

어떤 $r \in (0,\infty)$이 존재하여 모든 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_m)\in E$가 $d_m(x,\vec{0}) \le r$이고

$-r<0<r$임에 따라 $\displaystyle \prod_{i=1}^m [-r,r]$은 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자이고 절댓값 정리와 부등식 정리로

모든 $j=1,2,\cdots,m$에 대해 $\displaystyle |x_j|=\sqrt{|x_j|^2}\le \sqrt{\sum_{i=1}^m|x_i|^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^m |x_i-0|^2} =d_m(x,\vec{0}) \le r$이므로

$-r \le x_j\le r$이고 $x_j\in [-r,r]$이 되어 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_m)\in \displaystyle \prod_{i=1}^m[-r,r]$임에 따라 $E\subseteq \displaystyle \prod_{i=1}^m[-r,r]$이다.

역으로 $E\subseteq B$인 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하면 닫힌상자의 정의와 퇴화상자의 정의로

$B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$이고 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i< b_i$인 닫힌구간 $[a_i,b_i]$가 존재하여 

$r = \max \{ |a_1|,|a_2|,\cdots, |a_m| , |b_1|,|b_2|,\cdots, |b_m| , 1\} > 0$일때

모든 $x= (x_1,x_2,\cdots,x_m), y=(y_1,y_2,\cdots,y_m)\in E\subseteq B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$는

$x_i,y_i\in [a_i,b_i]$이므로 절댓값 정리와 최대원소의 정의로

$-r \le -|a_i|\le a_i \le x_i \le b_i \le |b_i| \le r$이고 $-r \le -|a_i|\le a_i \le y_i \le b_i \le |b_i| \le r$이 되어 

$-r\le -y_i\le r$임에 따라 $-2\cdot r = -r- r \le x_i- y_i \le r+r=2\cdot r$이고 절댓값 정리로 $|x_i - y_i|\le 2\cdot r$이므로 

$\sqrt{m\cdot (2\cdot r)^2}> 0$에 대해 부등식 정리로 $\displaystyle d_m(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^m |x_i - y_i|^2}\le \sqrt{\sum_{i=1}^m (2\cdot r)^2} = \sqrt{m\cdot (2\cdot r)^2}$이고

$E$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이다.

 

 

 

정리5

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때

퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$의 격자 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k$는 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자이고 $B_k\subseteq B$이다.

2. $k\ne r$인 모든 $k,r = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)}$ $\cap\; B_r = \emptyset$이다.

3. $\displaystyle \bigcup \mathcal{G} = \bigcup_{k=1}^n B_k = B$

4. $\mathcal{G}$는 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이다.

5. 모든 $E\subseteq B$에 대해 내합과 외합은 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}) \le \overline{vol}(E;\mathcal{G})$이다.

6. 모든 $E,F\subseteq B$에 대해 $E\subseteq F$이면 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}) \le \underline{vol}(F;\mathcal{G})$이고 $\overline{vol}(E;\mathcal{G}) \le \overline{vol}(F;\mathcal{G})$이다.

7. $\underline{vol}(\emptyset;\mathcal{G}) = 0 = \overline{vol}(\emptyset;\mathcal{G})$

8. $\displaystyle \overline{vol}(B;\mathcal{G}) = \sum_{k=1}^n vol(B_k) = vol(B)$

9. $\{ B\}$는 $B$의 격자이다.

10. $\mathcal{G}$는 $\{ B\}$의 세분이다.

증명

닫힌상자의 정의와 퇴화상자의 정의로

$B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$이고 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i< b_i$인 닫힌구간 $[a_i,b_i]$가 존재하므로

격자의 정의로 어떤 $n_i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n = n_1\cdot n_2 \cdot \, \cdots \, \cdot n_m$이고

$[a_i,b_i] = [x_{i,0},x_{i,1}] \cup [x_{i,1},x_{i,2}]\cup \cdots \cup [x_{i,n_i-1}, x_{i,n_i}]$이고 $a_i = x_{i,0} < x_{i,1}< \cdots < x_{i,n_i-1} < x_{i,n_i} = b_i$인

어떤 $x_{i,0},x_{i,1},\cdots, x_{i,n_i-1},x_{i,n_i}\in [a_i,b_i]$가 존재하여

모든 $j_i = 1,2,\cdots,n_i$에 대해 $B(j_1,j_2,\cdots, j_m) = [x_{1,j_1 -1}, x_{1, j_1}] \times [x_{2,j_2-1},x_{2,j_2}]\times \cdots \times [x_{m, j_m-1},x_{m,j_m}]$이고

위 정리의 전단사함수가 $\psi : \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2\cdot \, \cdots\, \cdot n_m}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$일때

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k = B(\psi(k))$이다.

1.

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i -1}, x_{i, j_i}]$인 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$이 존재하여 

모든 $i=1,2,\cdots, m$에 대해 $x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i}$임에 따라 $B_k$는 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자이고

$a_i\le x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i}\le b_i$이므로 $B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i -1}, x_{i, j_i}] \subseteq \prod_{i=1}^m[a_i,b_i] = B$이다.

2.

일반성을 잃지 않고 $k< r$이라고 가정할때

위 정리로 어떤 $(p_1,p_2,\cdots,p_m), (q_1,q_2,\cdots,q_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$이 존재하여 

$(p_1,p_2,\cdots,p_m)<_m (q_1,q_2,\cdots,q_m)$이고 $B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,p_i -1}, x_{i, p_i}]$와 $B_r = \displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,q_i -1}, x_{i, q_i}]$이 성립하므로 

위 정리로 어떤 $j=1,2,\cdots,m$에 대해 $1\le p_j < q_j\le n_j$가 되어 $a_j\le x_{j,p_j-1} <x_{j,p_j} \le x_{j,q_j-1}< x_{j,q_j}\le b_j$이고 

$(x_{j,p_j -1}, x_{j, p_j}) \cap [x_{j,q_j -1}, x_{j, q_j}] =\emptyset $임에 따라 1번과 위 정리와 데카르트곱 정리와 데카르트곱 정리로

$ \begin{align*} \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)} \cap B_r & = \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}} (\prod_{i=1}^m [x_{i,p_i -1}, x_{i, p_i}])\cap  \left (\prod_{i=1}^m [x_{i,q_i -1}, x_{i, q_i}] \right ) \\[0.5em] & = \left (\prod_{i=1}^m (x_{i,p_i -1}, x_{i, p_i}) \right )\cap \left (\prod_{i=1}^m [x_{i,q_i -1}, x_{i, q_i}] \right ) \\[0.5em] & = \prod_{i=1}^m ( (x_{i,p_i -1}, x_{i, p_i}) \cap [x_{i,q_i -1}, x_{i, q_i}] ) \\[0.5em] & = ((x_{1,p_1 -1}, x_{1, p_1}) \cap [x_{1,q_1 -1}, x_{1, q_1}] )\times \cdots \times ((x_{j,p_j -1}, x_{j, p_j}) \cap [x_{j,q_j -1}, x_{j, q_j}] )\times \cdots \times ((x_{m,p_m -1}, x_{m, p_m}) \cap [x_{m,q_m -1}, x_{m, q_m}] ) \\[0.5em] & = ((x_{1,p_1 -1}, x_{1, p_1}) \cap [x_{1,q_1 -1}, x_{1, q_1}] )\times \cdots \times \emptyset \times \cdots \times ((x_{m,p_m -1}, x_{m, p_m}) \cap [x_{m,q_m -1}, x_{m, q_m}] ) \\[0.5em] & = \emptyset \text{ 이다.}\end{align*} $

3.

1번으로 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k\subseteq B$이므로 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^n B_k\subseteq B$이고 

모든 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_m)\in B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$는

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $x_i\in [a_i,b_i]  = [x_{i,0},x_{i,1}]\cup [x_{i,1},x_{i,2}]\cup \cdots\cup [x_{i,n_i-1}, x_{i,n_i}]$이므로 

$x_i\in [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]$인 $j_i=1,2,\cdots, n_i$가 존재하여

$x =(x_1,x_2,\cdots,x_m)\in \displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i -1}, x_{i, j_i}] = B_k$인 $k=1,2,\cdots,n$가 존재하고

$x\in \displaystyle \bigcup_{k=1}^n B_k$임에 따라 $B\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^n B_k$이므로 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{G} = \bigcup_{k=1}^n B_k = B$이다. 

4.

$k\ne r$인 어떤 $k,r = 1,2,\cdots, n$에 대해 $B_k =B_r$이라고 가정하면 

1번으로 $B_k$는 퇴화상자가 아니므로 위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)} \ne \emptyset$인데

내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)} \subseteq B_k = B_r$이 되어 집합 정리와 2번으로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)} = \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)}\cap B_r =\emptyset$임에 따라 모순이다.

따라서 $k\ne r$인 모든 $k,r = 1,2,\cdots, n$에 대해 $B_k \ne B_r$이므로 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$는 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이다.

5.

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 부피의 정의로 $vol(B_k)\ge 0$이다.

$B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$인 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해

내부 정리와 폐포 정리로 $B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$이므로 집합 정리와 1번으로 $B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} = B_k \ne \emptyset$이 되어 

내합의 정의와 외합의 정의로 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n vol(B_k) \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset}}^n vol(B_k) = \overline{vol}(E;\mathcal{G}) $이다

6.

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 부피의 정의로 $vol(B_k)\ge 0$이다.

$B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$인 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 내부 정리로 $B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(F)}$이므로

내합의 정의로 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n vol(B_k)\le \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(F)}}}^n vol(B_k) = \underline{vol}(F;\mathcal{G})$이다.

$B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset$인 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해  

폐포 정리로 $B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(F)}$이므로 $B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(F)}\ne \emptyset$이고 

외합의 정의로 $\overline{vol}(E;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset}}^n vol(B_k)\le \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(F)}\ne \emptyset}}^n vol(B_k) = \overline{vol}(F;\mathcal{G})$이다.

7.

$\emptyset\subseteq B$이고 거리공간 정리로 $\emptyset$은 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 열린집합이고 닫힌집합이다.

$B_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(\emptyset)}$인 $k = 1,2,\cdots, n$가 존재하면 

내부 정리로 $B_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(\emptyset)} = \emptyset$이 되어 $B_k = \emptyset$이고 1번으로 $B_k\ne \emptyset$임에 따라 모순이므로 

내합의 정의로 $\underline{vol}(\emptyset;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(\emptyset)}}}^n vol(B_k) =0 $이다.

모든 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해 폐포 정리로 $B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(\emptyset)} = B_k\cap \emptyset = \emptyset$이므로

외합의 정의로 $\overline{vol}(\emptyset;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(\emptyset)}\ne \emptyset}}^n vol(B_k) = 0$이다.

8.

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 1번으로 $B_k\subseteq B$이므로

위 정리와 폐포 정리와 집합 정리와 퇴화상자의 정의로 $B_k \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(B)}=B_k\cap B=B_k\ne \emptyset$이 되어

외합의 정의로 $\overline{vol}(B;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(B)}\ne \emptyset}}^n vol(B_k) = \sum_{k=1}^n vol(B_k)$이고

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n vol(B_k) &= \sum_{k=1}^n vol(B(\psi(k))) \\[0.5em] & = \sum_{j_1 =1}^{n_1} \sum_{j_2 = 1}^{n_2} \cdots \sum_{j_m = 1}^{n_m} vol(B(j_1,j_2,\cdots,j_m)) \\[0.5em] & = \sum_{j_1 =1}^{n_1} \sum_{j_2 = 1}^{n_2} \cdots \sum_{j_m = 1}^{n_m} vol([x_{1,j_1 -1}, x_{1, j_1}] \times [x_{2,j_2-1},x_{2,j_2}]\times \cdots \times [x_{m, j_m-1},x_{m,j_m}]) \\[0.5em] & = \sum_{j_1 =1}^{n_1} \sum_{j_2 = 1}^{n_2} \cdots \sum_{j_m = 1}^{n_m} (x_{1, j_1} - x_{1,j_1 -1})\cdot (x_{2, j_2} - x_{2,j_2 -1})\cdot\, \cdots\, \cdot (x_{m, j_m} - x_{m,j_m -1}) \\[0.5em] & = \left (\sum_{j_1 =1}^{n_1}(x_{1, j_1} - x_{1,j_1 -1}) \right )\cdot \left (\sum_{j_2 = 1}^{n_2} (x_{2, j_2} - x_{2,j_2 -1})\right ) \cdot\, \cdots\, \cdot \left (\sum_{j_m = 1}^{n_m} (x_{m, j_m} - x_{m,j_m -1}) \right) \\[0.5em] & = (b_1 - a_1)\cdot (b_2-a_2) \cdot\, \cdots\, \cdot (b_m-a_m) \\[0.5em] & = vol(B)\text{ 이다.} \end{align*}$

9.

$\{ B\} = \left \{ \displaystyle \prod_{i=1}^m[a_i,b_i]\right \}$는 $B$의 격자이다.

10.

3, 9번으로 $\mathcal{G}$는 $\{ B\}$의 세분이다.

 

 

 

정리6

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자가 $B$일때

$B$의 격자 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$와 $\mathcal{H} = \{ C_r\}_{r=1}^p$에 대해 $\mathcal{H}$가 $\mathcal{G}$의 세분이면 다음이 성립한다.

1. 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k = \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k$인 $\mathcal{B}_k\subseteq \mathcal{H}$가 유일하게 존재한다.

2. 모든 $r= 1,2,\cdots,p$에 대해 $C_r\in \mathcal{B}_{k_r}$이고 $C_r\subseteq B_{k_r}$인 $k_r=1,2,\cdots,n$이 유일하게 존재한다.

3. $\{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots,\mathcal{B}_n\}$은 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이고 $\mathcal{H}$의 분할이다.

4. $n\le p$

5. $n =p$이면 $\mathcal{G} = \mathcal{H}$이다.

6. 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $\mathcal{B}_k$는 $B_k$의 격자이다.

7. 모든 $E\subseteq B$에 대해 내합과 외합은 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}) \le \underline{vol}(E;\mathcal{H})\le \overline{vol}(E;\mathcal{H}) \le \overline{vol}(E;\mathcal{G})$이다.

8. 모든 $E,F\subseteq B$에 대해 $E\subseteq F$이면 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}) \le \underline{vol}(F;\mathcal{H})$이고 $\overline{vol}(E;\mathcal{H}) \le \overline{vol}(F;\mathcal{G})$이다.

증명

1.

$\displaystyle \bigcup \mathcal{A}_k = B_k = \bigcup \mathcal{B}_k$이고 $\mathcal{A}_k\ne \mathcal{B}_k$인 $\mathcal{A}_k,\mathcal{B}_k\subseteq \mathcal{H}$가 존재한다고 가정하면 

집합 정리로 $\mathcal{A}_k\not\subseteq \mathcal{B}_k$ 또는 $\mathcal{B}_k\not\subseteq \mathcal{A}_k$이므로 일반성을 잃지 않고 $\mathcal{A}_k\not\subseteq \mathcal{B}_k$라고 가정할때

$C_r\in \mathcal{A}_k$인 $r= 1,2,\cdots,p$이 존재하여 $C_r \notin \mathcal{B}_k$이고 위 정리와 위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)}\ne \emptyset$이므로

$x\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)}$가 존재하여 내부 정리로 $x\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)} \subseteq C_r \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{A}_k = \bigcup \mathcal{B}_k$임에 따라 

$x\in C_l\in \mathcal{B}_k$인 $l=1,2,\cdots,p$이 존재하고 $r\ne l$인데 위 정리로 $x\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)}\cap C_l = \emptyset$이 되어 모순이므로 

$\displaystyle \bigcup \mathcal{A}_k = B_k = \bigcup \mathcal{B}_k$인 모든 $\mathcal{A}_k,\mathcal{B}_k\subseteq \mathcal{H}$는 $\mathcal{A}_k= \mathcal{B}_k$이다.

따라서 세분의 정의로 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k = \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k$인 $\mathcal{B}_k\subseteq \mathcal{H}$가 유일하게 존재한다.

2.

모든 $r= 1,2,\cdots, p$에 대해 위 정리와 위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)}\ne \emptyset$이므로 $x\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)}$가 존재하여

내부 정리와 위 정리로 $x\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)}\subseteq C_r\subseteq B = \displaystyle \bigcup_{k=1}^n B_k$임에 따라 $x\in B_k$인 $k=1,2,\cdots,n$가 존재하고 

1번으로 $x\in B_k =\displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k$인 $\mathcal{B}_k \subseteq \mathcal{H}$가 존재하여 $x\in C_l\in \mathcal{B}_k$인 $l=1,2,\cdots,p$이 존재하고

$r\ne l$이라고 가정하면

위 정리로 $x \in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)}\cap C_l = \emptyset$임에 따라 모순이므로 $r = l$이 되어 $C_r = C_l\in \mathcal{B}_k$이고 $C_r \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k = B_k$이다.

$C_r \subseteq B_j$와 $C_r \subseteq B_k$가 성립하고 $j\ne k$인 $j,k = 1,2,\cdots, n$가 존재한다고 가정하면 

내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_j)}$이고 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)}\subseteq C_r\subseteq  B_k$임에 따라 

위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_j)}\cap B_k = \emptyset$이고 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)} = \emptyset$이 되어 모순이므로 

모든 $r= 1,2,\cdots,p$에 대해 $C_r\in \mathcal{B}_{k_r}$이고 $C_r\subseteq B_{k_r}$인 $k_r=1,2,\cdots,n$이 유일하게 존재한다.

3.

1번으로 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k = \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k$인 $\mathcal{B}_k\subseteq \mathcal{H}$가 유일하게 존재하여

위 정리로 $B_k\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{B}_k\ne \emptyset$이다.

$j\ne k$인 어떤 $j,k = 1,2,\cdots, n$에 대해 $\mathcal{B}_j =\mathcal{B}_k$이라고 가정하면

$\displaystyle B_j =\bigcup \mathcal{B}_j =\bigcup \mathcal{B}_k = B_k$인데 위 정리와 유한집합의 정의로 $B_j\ne B_k$이므로 모순이 되어 

$j\ne k$인 모든 $j,k = 1,2,\cdots, n$에 대해 $\mathcal{B}_j \ne \mathcal{B}_k$이고 $\{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots,\mathcal{B}_n\}$은 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이다.

$j\ne k$인 어떤 $j,k = 1,2,\cdots, n$에 대해 $\mathcal{B}_j \cap \mathcal{B}_k\ne \emptyset$이라고 가정하면

$C_r\in \mathcal{B}_j\cap \mathcal{B}_k$인 $r= 1,2,\cdots,p$이 존재하여

$C_r\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_j = B_j$이고 $C_r\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k = B_k$이므로 2번으로 $j=k$가 되어 모순임에 따라 

$j\ne k$인 모든 $j,k = 1,2,\cdots, n$에 대해 $\mathcal{B}_j \cap \mathcal{B}_k= \emptyset$이다.

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $\mathcal{B}_k\subseteq \mathcal{H}$이므로 $\displaystyle \bigcup \{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots,\mathcal{B}_n\} \subseteq \mathcal{H}$이고 

모든 $r= 1,2,\cdots, p$에 대해 2번으로 $C_r\subseteq B_k = \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k$인 $k=1,2,\cdots,n$가 존재하여

위 정리와 위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)}\ne \emptyset$이므로 $x\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)}$가 존재하고

내부 정리로 $x\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)} \subseteq C_r \subseteq B_k =\displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k$이므로 $x\in C_l\in \mathcal{B}_k$인 $l=1,2,\cdots,p$이 존재하여 

$r\ne l$이라고 가정하면 위 정리로 $x \in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_r)}\cap C_l = \emptyset$임에 따라 모순이므로 $r = l$이고 

$C_r = C_l\in \mathcal{B}_k\in \{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots, \mathcal{B}_n\}$이 되어 $C_r\in \displaystyle \bigcup \{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots, \mathcal{B}_n\}$이므로 $\mathcal{H}\subseteq  \displaystyle \bigcup \{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots, \mathcal{B}_n\}$이고

집합 정리로 $\mathcal{H}= \displaystyle \bigcup \{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots, \mathcal{B}_n\}$임에 따라 $\{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots,\mathcal{B}_n\}$은 $\mathcal{H}$의 분할이다.

4.

3번으로 $\{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots,\mathcal{B}_n\}$은 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이고 $\mathcal{H}$의 분할이므로

위 정리로 $\mathcal{H}$가 $p$개의 원소를 갖는 유한집합임에 따라 집합 정리로 $n\le p$이다.

5.

3번으로 $\{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots,\mathcal{B}_n\}$은 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이고 $\mathcal{H}$의 분할이므로

$n= p$임에 따라 유한집합 정리로 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $\mathcal{B}_k$는 $1$개의 원소를 갖는 유한집합이고

$\mathcal{B}_k = \{ C_r\}$인 $r = 1,2,\cdots, p$이 존재하여 $B_k= \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k = \bigcup\{ C_{r}\} = C_{r}\in \mathcal{H}$임에 따라

$\mathcal{G}\subseteq \mathcal{H}$이고 위 정리와 유한집합 정리로 $\mathcal{G}=\mathcal{H}$이다.

6.

닫힌상자의 정의와 퇴화상자의 정의로

$B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$이고 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i < b_i$인 닫힌구간 $[a_i,b_i]$가 존재하므로

격자의 정의로 어떤 $p_i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $p = p_1\cdot p_2 \cdot \, \cdots \, \cdot p_m$이고

$[a_i,b_i] = [y_{i,0},y_{i,1}] \cup [y_{i,1},y_{i,2}]\cup \cdots \cup [y_{i,p_i-1}, y_{i,p_i}]$이고 $a_i = y_{i,0} < y_{i,1}< \cdots < y_{i,p_i-1} < y_{i,p_i} = b_i$인

어떤 $y_{i,0},y_{i,1},\cdots, y_{i,p_i-1},y_{i,p_i}\in [a_i,b_i]$가 존재하여 

모든 $j_i = 1,2,\cdots,p_i$에 대해 $C(j_1,j_2,\cdots, j_m) = [y_{1,j_1 -1}, y_{1, j_1}] \times [y_{2,j_2-1},y_{2,j_2}]\times \cdots \times [y_{m, j_m-1},y_{m,j_m}]$이고

위 정리의 전단사함수가 $\psi : \mathbb{Z}_{p_1\cdot p_2\cdot \, \cdots\, \cdot p_m}^+ \to \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$일때

모든 $r=1,2,\cdots,p$에 대해 $C_r = C(\psi(r))$이다.

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해

$I_k = \{ (j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+ : \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)}\cap C(j_1,j_2,\cdots, j_m)\ne \emptyset\}$이고

$\mathcal{C}_k = \{ C(j_1,j_2,\cdots,j_m) : (j_1,j_2,\cdots,j_m)\in I_k\}$일때 모든 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in I_k$에 대해

2번으로 $C(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathcal{B}_j$이고 $C(j_1,j_2,\cdots,j_m)\subseteq B_j$인 $j = 1,2,\cdots,n$가 존재하여

$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)}\cap C(j_1,j_2,\cdots, j_m)\ne \emptyset$인데

$j\ne k$이면 위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)}\cap C(j_1,j_2,\cdots, j_m)\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)}\cap B_j = \emptyset$임에 따라 모순이므로

$j= k$이고 $C(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathcal{B}_j = \mathcal{B}_k$가 되어 $\mathcal{C}_k\subseteq \mathcal{B}_k$이고 

$C(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathcal{B}_k$인 모든 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$에 대해 

1번으로 $C(j_1,j_2,\cdots,j_m)\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k = B_k$이므로 

내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(C(j_1,j_2,\cdots,j_m))\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)}$이고 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(C(j_1,j_2,\cdots,j_m))\subseteq C(j_1,j_2,\cdots,j_m)$이 되어 

위 정리와 위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(C(j_1,j_2,\cdots,j_m))\ne \emptyset$임에 따라 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)}\cap C(j_1,j_2,\cdots,j_m)\ne \emptyset$이고

$(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in I_k$이므로 $C(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathcal{C}_k$가 되어 $\mathcal{B}_k\subseteq \mathcal{C}_k$이고 집합 정리로 $\mathcal{B}_k=\mathcal{C}_k$이다.

위 정리와 닫힌상자의 정의와 퇴화상자의 정의와 1번으로 $\displaystyle \prod_{i=1}^m[a_i(k), b_i(k)] =B_k =\bigcup \mathcal{B}_k= \bigcup \mathcal{C}_k$이고 

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i(k)< b_i(k)$인 닫힌구간 $[a_i(k),b_i(k)]$가 존재한다.

모든 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in I_k$에 대해 $\displaystyle \prod_{i=1}^m [y_{i,j_i-1},y_{i,j_i}]=C(j_1,j_2,\cdots, j_m) \subseteq \bigcup \mathcal{C}_k= \prod_{i=1}^m[a_i(k),b_i(k)]$이므로 

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i(k)\le y_{i,j_i-1} < y_{i,j_i}\le b_i(k)$이고 

$(a_1(k),a_2(k),\cdots,a_m(k)),(b_1(k),b_2(k),\cdots,b_m(k)) \in \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i(k),b_i(k)] = \bigcup \mathcal{C}_k$가 되어 

$(a_1(k),a_2(k),\cdots,a_m(k))\in C(l_1,l_2,\cdots,l_m)= \displaystyle \prod_{i=1}^m [y_{i,l_i-1},y_{i,l_i}] $인 $(l_1,l_2,\cdots, l_m)\in I_k$이 존재하고 

$(b_1(k),b_2(k),\cdots,b_m(k))\in C(u_1,u_2,\cdots,u_m)= \displaystyle \prod_{i=1}^m [y_{i,u_i-1},y_{i,u_i}] $인 $(u_1,u_2,\cdots, u_m)\in I_k$이 존재하므로 

$y_{i,l_i-1}\le a_i(k)\le y_{i,l_i}$와 $y_{i,u_i-1}\le b_i(k)\le y_{i,u_i}$가 성립함에 따라

$a_i =y_{i,0} \le y_{i,l_i-1}=a_i(k) \le y_{i,j_i-1} < y_{i,j_i}\le b_i(k) = y_{i,u_i} \le y_{i,p_i} = b_i$가 되어

$1\le l_i\le j_i\le u_i\le p_i$이고 $\displaystyle B_k = \prod_{i=1}^m[a_i(k),b_i(k)] = \prod_{i=1}^m [y_{i,l_i-1},y_{i,u_i}]$이다.

임의의 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$이 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $l_i\le j_i\le u_i$이면

$a_i(k)=y_{i,l_i-1}\le y_{i,j_i-1}< y_{i,j_i}\le y_{i,u_i} = b_i(k)$이므로

$\displaystyle C(j_1,j_2,\cdots,j_m) = \prod_{i=1}^m[y_{i,j_i-1},y_{i,j_i}] \subseteq \prod_{i=1}^m [a_i(k),b_i(k)] = B_k$이고

내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(C(j_1,j_2,\cdots,j_m))\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)}$와 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(C(j_1,j_2,\cdots,j_m))\subseteq C(j_1,j_2,\cdots,j_m)$이 성립하여

위 정리와 위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(C(j_1,j_2,\cdots,j_m))\ne \emptyset$임에 따라 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)}\cap C(j_1,j_2,\cdots,j_m)\ne \emptyset$이고

$(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in I_k$이므로 모든 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$에 대해 

$(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in I_k$이기 위한 필요충분조건은 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $l_i\le j_i\le u_i$인 것이다.

위 정리의 전단사함수가 $\psi_k : \mathbb{Z}_{(u_1-l_1+1)\cdot (u_2-l_2+1)\cdot \, \cdots\, \cdot (u_m-l_m+1)}^+ \to \mathbb{Z}_{u_1-l_1+1}^+ \times \mathbb{Z}_{u_2-l_2+1}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{u_m-l_m+1}^+$이고 

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$의 $m$-순서쌍 덧셈이 $+_m$이고 $u = (u_1-l_1+1)\cdot (u_2-l_2+1)\cdot \, \cdots \, \cdot (u_m-l_m+1)$일때

$\mathcal{B}_k = \mathcal{C}_k = \{ C(\psi_k(v) +_m (l_1-1,l_2-1,\cdots,l_m-1)) : v = 1,2,\cdots,u\}$이므로 $\mathcal{B}_k$는 $B$의 격자이다.

7.

모든 $k =1,2,\cdots,n$에 대해 $\mathcal{B}_k \subseteq \mathcal{H}$이고 $\mathcal{B}_k\ne \emptyset$이므로

유한집합 정리로 $\mathcal{B}_k$는 $p_k\le p$인 어떤 $p_k\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이 되어

어떤 $r_1,r_2,\cdots,r_{p_k} = 1,2,\cdots,p$에 대해 $\mathcal{B}_k = \{ C_{r_1}, C_{r_2},\cdots, C_{r_{p_k}}\}$일때

1번으로 $B_k = \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k$이고 6번과 위 정리로 $\displaystyle \sum_{j_k=1}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}}) = vol(B_k)$이다.

임의의 $k= 1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$이면

모든 $j_k=1,2,\cdots,p_k$에 대해 $C_{r_{j_k}}\subseteq B_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$이므로 $\displaystyle vol(B_k)=\sum_{j_k = 1}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}}) =\sum_{\substack{j_k \ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}})$가 되어 

3번으로 $\{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots,\mathcal{B}_n\}$이 $\mathcal{H}$의 분할임에 따라 내합의 정의로

$\begin{align*} \underline{vol}(E;\mathcal{G}) & =\sum_{\substack{k \ge 1 \\ B_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} }}^{n} vol(B_k) \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{j_1 \ge 1 \\ C_{r_{j_1}}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^{p_1} vol(C_{r_{j_1}}) + \sum_{\substack{j_2 \ge 1 \\ C_{r_{j_2}}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^{p_2} vol(C_{r_{j_2}})+\cdots +\sum_{\substack{j_n \ge 1 \\ C_{r_{j_n}}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} }}^{p_n} vol(C_{r_{j_n}})  = \sum_{\substack{r \ge 1 \\ C_r \subseteq\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} }}^{p} vol(C_{r})  = \underline{vol}(E;\mathcal{H}) \text{ 이다.}\end{align*}$

모든 $k= 1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset$이면 $\displaystyle \sum_{\substack{j_k \ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} \ne \emptyset}}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}})\le \sum_{j_k = 1}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}}) = vol(B_k)$이고

$B_k \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}= \emptyset$이면 모든 $j_k=1,2,\cdots,p_k$에 대해

$C_{r_{j_k}}\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq B_k \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}= \emptyset$이 되어 $C_{r_{j_k}}\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}= \emptyset$이고 $\displaystyle \sum_{\substack{j_k \ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} \ne \emptyset}}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}}) = 0$이므로 

3번으로 $\{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots,\mathcal{B}_n\}$이 $\mathcal{H}$의 분할임에 따라 외합의 정의로

$\begin{align*} \overline{vol}(E;\mathcal{H}) & = \sum_{\substack{r \ge 1 \\ C_r \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} \ne \emptyset}}^{p} vol(C_{r})  = \sum_{\substack{j_1 \ge 1 \\ C_{r_{j_1}}\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} \ne \emptyset}}^{p_1} vol(C_{r_{j_1}}) + \sum_{\substack{j_2 \ge 1 \\ C_{r_{j_2}}\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} \ne \emptyset}}^{p_2} vol(C_{r_{j_2}})+\cdots +\sum_{\substack{j_n \ge 1 \\ C_{r_{j_n}}\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} \ne \emptyset}}^{p_n} vol(C_{r_{j_n}}) \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{k \ge 1 \\ B_k \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} \ne \emptyset}}^{n} vol(B_k) = \overline{vol}(E;\mathcal{G}) \text{ 이다.}\end{align*}$

따라서 위 정리로 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}) \le \underline{vol}(E;\mathcal{H})\le \overline{vol}(E;\mathcal{H}) \le \overline{vol}(E;\mathcal{G})$이다.

8.

7번과 위 정리로 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}) \le \underline{vol}(E;\mathcal{H})\le \underline{vol}(F;\mathcal{H})$이고 $ \overline{vol}(E;\mathcal{H}) \le \overline{vol}(E;\mathcal{G})\le \overline{vol}(F;\mathcal{G})$이다.

 

 

 

정리7

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $B$의 격자 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$와 $\mathcal{H} = \{ C_r\}_{r=1}^p$에 대해 $\mathcal{G},\mathcal{H}$의 세분인 $B$의 격자 $\mathcal{I}$가 존재한다.

2. 모든 $B$의 격자 $\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2$에 대해 임의의 $E\subseteq B$의 내합과 외합은 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}_1)\le \overline{vol}(E;\mathcal{G}_2)$이다.

증명

1.

닫힌상자의 정의와 퇴화상자의 정의로

$B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$이고 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i< b_i$인 닫힌구간 $[a_i,b_i]$가 존재하므로

격자의 정의로 어떤 $n_i,p_i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n = n_1\cdot n_2 \cdot \, \cdots \, \cdot n_m$과 $p = p_1\cdot p_2 \cdot \, \cdots \, \cdot p_m$이 성립하고

$[x_{i,0},x_{i,1}] \cup [x_{i,1},x_{i,2}]\cup \cdots \cup [x_{i,n_i-1}, x_{i,n_i}] = [a_i,b_i] = [y_{i,0},y_{i,1}]\cup [y_{i,1},y_{i,2}]\cup \cdots \cup [y_{i,p_i-1},y_{i,p_i}]$이고 

$a_i = x_{i,0} < x_{i,1}< \cdots < x_{i,n_i-1} < x_{i,n_i} = b_i$와 $a_i = y_{i,0} < y_{i,1}< \cdots < y_{i,p_i-1} < y_{i,p_i} = b_i$가 성립하는

어떤 $x_{i,0},x_{i,1},\cdots, x_{i,n_i-1},x_{i,n_i},y_{i,0},y_{i,1},\cdots, y_{i,p_i-1},y_{i,p_i} \in [a_i,b_i]$가 존재하여

모든 $j_i = 1,2,\cdots,n_i$와 모든 $k_i = 1,2,\cdots, p_i$에 대해 

$B(j_1,j_2,\cdots, j_m) = [x_{1,j_1 -1}, x_{1, j_1}] \times [x_{2,j_2-1},x_{2,j_2}]\times \cdots \times [x_{m, j_m-1},x_{m,j_m}]$이고

$C(k_1,k_2,\cdots, k_m) = [y_{1,k_1 -1}, y_{1, k_1}] \times [y_{2,k_2-1},y_{2,k_2}]\times \cdots \times [y_{m, k_m-1},y_{m,k_m}]$이면 위 정리의 전단사함수가

$\psi_\mathcal{G} : \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2\cdot \, \cdots\, \cdot n_m}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$이고 $\psi_\mathcal{H} : \mathbb{Z}_{p_1\cdot p_2\cdot \, \cdots\, \cdot p_m}^+ \to \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$일때

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k = B(\psi_\mathcal{G}(k))$이고 모든 $r =1,2,\cdots,p$에 대해 $C_r = C(\psi_\mathcal{H}(r))$이다.

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 함수 정리와 유한집합 정리로 

$Z_i = \{ x_{i,j_i} : j_i=0,1,2,\cdots, n_i\} \cup \{ y_{i,k_i} : k_i = 0,1,2,\cdots,p_i\}$는 $a_i,b_i\in Z_i$인 유한집합이 되어

어떤 $q_i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $Z_i$가 $q_i+1$개의 원소를 갖는 유한집합일때 어떤 $z_{i,0},z_{i,1},\cdots, z_{i,q_i-1},z_{i,q_i}\in [a_i,b_i]$에 대해

$a_i = z_{i,0} < z_{i,1}< \cdots < z_{i,q_i-1} < z_{i,q_i} = b_i$이고 $Z_i = \{ z_{i,0},z_{i,1},\cdots, z_{i,q_i-1},z_{i,q_i} \}$이므로

$[z_{i,0},z_{i,1}] \cup [z_{i,1},z_{i,2}]\cup \cdots \cup [z_{i,q_i-1}, z_{i,q_i}] \subseteq [a_i,b_i]$이다.

모든 $k_i = 1,2,\cdots, p_i$에 대해

임의의 $t\in [y_{i,k_i-1},y_{i,k_i}]$는 $a_i \le y_{i,k_i-1}\le t\le y_{i,k_i}\le b_i$이고 $y_{i,k_i-1}, y_{i,k_i}\in Z_i$이므로 

$y_{i,k_i-1} = t$일때 $t= y_{i,k_i-1}<y_{i,k_i}$임에 따라

유한집합 정리와 최소원소 정리와 최소원소의 정의로 $z_{i,r_i} = \min \{ z\in Z_i : t < z\}$인 $r_i= 0, 1,2,\cdots,q_i$가 존재하고

$z_{i,0} = a_i\le t < z_{i,r_i}\le y_{i,k_i}$이므로 $r_i\ge 1$이 되어

최소원소의 정의로 $z_{i,r_i-1}\le t$이고 최대원소의 정의로 $z_{i,r_i-1} =\max \{ z\in Z_i : z\le t\}$임에 따라

$t= y_{i,k_i-1} \le z_{i,r_i-1}\le t$이므로 $t= z_{i,r_i-1}\in [z_{i,r_i-1},z_{i,r_i}]\subseteq [y_{i,k_i-1},y_{i,k_i}]$이다.

$y_{i,k_i-1} < t$일때 $y_{i,k_i-1} < t\le y_{i,k_i}$임에 따라

유한집합 정리와 최소원소 정리와 최소원소의 정의로 $z_{i,r_i} = \min \{ z\in Z_i : t \le z\}$인 $r_i= 0, 1,2,\cdots,q_i$가 존재하고

$z_{i,0} =a_i\le y_{i,k_i-1} < t\le z_{i,r_i}\le y_{i,k_i}$이므로 $r_i\ge 1$이 되어

최소원소의 정의로 $z_{i,r_i-1}< t$이고 최대원소의 정의로 $z_{i,r_i-1} =\max \{ z\in Z_i : z< t\}$임에 따라

$y_{i,k_i-1}\le z_{i,r_i-1} < t\le z_{i,r_i}\le y_{i,k_i}$이므로 $t \in [z_{i,r_i-1},z_{i,r_i}]\subseteq [y_{i,k_i-1},y_{i,k_i}]$이다.

모든 $k_i = 1,2,\cdots, p_i$에 대해

모든 $t\in [y_{i,k_i-1},y_{i,k_i}]$는 $t \in [z_{i,r_i-1},z_{i,r_i}]\subseteq [y_{i,k_i-1},y_{i,k_i}]$인 $r_i= 1,2,\cdots,q_i$가 존재하고

비슷하게 모든 $j_i = 1,2,\cdots, n_i$에 대해

모든 $t\in [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]$는 $t \in [z_{i,l_i-1},z_{i,l_i}]\subseteq [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]$인 $l_i= 1,2,\cdots,q_i$가 존재하여 

$[x_{i,0},x_{i,1}] \cup [x_{i,1},x_{i,2}]\cup \cdots \cup [x_{i,n_i-1}, x_{i,n_i}] = [a_i,b_i] = [y_{i,0},y_{i,1}]\cup [y_{i,1},y_{i,2}]\cup \cdots \cup [y_{i,p_i-1},y_{i,p_i}]$임에 따라

$[a_i,b_i]\subseteq [z_{i,0},z_{i,1}] \cup [z_{i,1},z_{i,2}]\cup \cdots \cup [z_{i,q_i-1}, z_{i,q_i}]$이고

집합 정리로 $[a_i,b_i]=[z_{i,0},z_{i,1}] \cup [z_{i,1},z_{i,2}]\cup \cdots \cup [z_{i,q_i-1}, z_{i,q_i}]$이다.

모든 $r_i = 1,2,\cdots, q_i$에 대해 $D(r_1,r_2,\cdots, r_m) = [z_{1,r_1 -1}, z_{1, r_1}] \times [z_{2,r_2-1},z_{2,r_2}]\times \cdots \times [z_{m, r_m-1},z_{m,r_m}]$이고

위 정리의 전단사함수가 $\psi : \mathbb{Z}_{q_1\cdot q_2\cdot \, \cdots\, \cdot q_m}^+ \to \mathbb{Z}_{q_1}^+ \times \mathbb{Z}_{q_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{q_m}^+$일때

$q = q_1\cdot q_2 \cdot \, \cdots \, \cdot q_m$에 대해 $\mathcal{I} = \{ D(\psi(u)) : u=1,2,\cdots, q\}$는 $B$의 격자이다.

모든 $k=1,2,\cdots, n$와 모든 $r=1,2,\cdots,p$에 대해

$\mathcal{B}_k = \{ D\in \mathcal{I} : D\subseteq B_k \}$와 $\mathcal{C}_r = \{ D\in \mathcal{I} : D\subseteq C_r\}$는 $\mathcal{B}_k,\mathcal{C}_r\subseteq \mathcal{I}$이고 $\displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k\subseteq B_k$와 $\displaystyle \bigcup \mathcal{C}_r\subseteq C_r$이 성립하고

$B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i -1}, x_{i, j_i}]$이고 $C_r = \displaystyle \prod_{i=1}^m [y_{r,k_r -1}, y_{r, k_r}]$인 

$(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$과 $(k_1,k_2,\cdots,k_m)\in \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$이 존재하여 

모든 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_m)\in B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i -1}, x_{i, j_i}]$와 모든 $y =(y_1,y_2,\cdots,y_m)\in C_r = \displaystyle \prod_{i=1}^m [y_{r,k_r -1}, y_{r, k_r}]$는 

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $x_i\in [x_{i,j_i-1}, x_{i,j_i}]$이고 $y_i\in [y_{i,k_i-1}, y_{i,k_i}]$이므로 

$x_i\in [z_{i,l_i -1},z_{i,l_i}]\subseteq [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]$이고 $y_i\in [z_{i,r_i-1},z_{i,r_i}]\subseteq [y_{i,k_i-1}, y_{i,k_i}]$인 $l_i,r_i = 1,2,\cdots, q_i$가 존재하여 

$x = (x_1,x_2,\cdots,x_m)\in \displaystyle \prod_{i=1}^m [z_{i,l_i -1},z_{i,l_i}]\subseteq \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}] =B_k$이고

$y = (y_1,y_2,\cdots,y_m) \in \displaystyle \prod_{i=1}^m [z_{i,r_i-1},z_{i,r_i}]\subseteq \prod_{i=1}^m [y_{i,k_i-1}, y_{i,k_i}] = C_r$이므로 

$x \in \displaystyle \prod_{i=1}^m [z_{i,l_i -1},z_{i,l_i}] = D(l_1,l_2,\cdots,l_m)\in \mathcal{B}_k$이고 $y \in \displaystyle \prod_{i=1}^m [z_{i,r_i-1},z_{i,r_i}] = D(r_1,r_2,\cdots,r_m)\in \mathcal{C}_r$임에 따라

$x \in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k$이고 $y \in \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_r$이므로 $\displaystyle B_k\subseteq \bigcup \mathcal{B}_k$와 $\displaystyle C_r\subseteq \bigcup \mathcal{C}_r$이 성립하여

집합 정리로 $\displaystyle B_k=\bigcup \mathcal{B}_k$이고 $\displaystyle C_r=\bigcup \mathcal{C}_r$이므로 $\mathcal{I}$는 $\mathcal{G},\mathcal{H}$의 세분이다.

2.

1번으로 $\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2$의 세분인 $B$의 격자 $\mathcal{G}$가 존재하여 위 정리로 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}_1) \le \underline{vol}(E;\mathcal{G})\le \overline{vol}(E;\mathcal{G}) \le \overline{vol}(E;\mathcal{G}_2)$이다.

 

 

 

정의3

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이고 임의의 부분집합이 $E\subseteq \mathbb{R}^m$일때

부피가 $0$인 집합 :

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $E\subseteq B_\epsilon$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B_\epsilon$이 존재하여

어떤 $B_\epsilon$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon$에 대응하는 $E$의 외합이 $\overline{vol}(E;\mathcal{G}_\epsilon)<\epsilon$이면 $E$의 부피가 $0$ 또는 $m$차원 부피가 $0$이라고 정의한다.

$m = 2$이면 $E$의 면적이 $0$이라고 하고 $m = 1$이면 $E$의 길이가 $0$이라고 한다.

내부피(inner volume) :

$E$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계일때 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 모든 $m$차원 닫힌상자 $B$의 모든 격자들의 집합 $\mathbf{G}$에 대해

$E$의 내합들의 상한 $\underline{vol}(E) = \sup \{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\}$를 $E$의 내부피 또는 $m$차원 내부피로 정의한다.

$m = 2$이면 $\underline{vol}(E) = \underline{area}(E)$로 표기하고 $m = 1$이면 $\underline{vol}(E) = \underline{len}(E)$로 표기한다.

외부피(outer volume) :

$E$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계일때 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 모든 $m$차원 닫힌상자 $B$의 모든 격자들의 집합 $\mathbf{G}$에 대해

$E$의 외합들의 하한 $\overline{vol}(E) = \inf \{ \overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\}$를 $E$의 외부피 또는 $m$차원 외부피로 정의한다.

$m = 2$이면 $\overline{vol}(E) = \overline{area}(E)$로 표기하고 $m = 1$이면 $\overline{vol}(E) = \overline{len}(E)$로 표기한다.

 

 

 

정리8

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B,C$의 모든 격자들의 집합이 $\mathbf{G}_B,\mathbf{G}_C$일때 $E\subseteq B$이고 $E\subseteq C$이면

$\sup$$ \{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} = \sup \{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_C\}$이고

$\inf$$ \{ \overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} = \inf \{ \overline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_C\}$이다.

2. $E$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계일때

$E$의 내부피와 외부피 $\underline{vol}(E),\overline{vol}(E)$가 유일하게 존재하고 $0\le \underline{vol}(E)\le \overline{vol}(E)$이다.

증명

1.

닫힌상자의 정의와 퇴화상자의 정의로 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i(B),b_i(B)]$와 $C = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i(C),b_i(C)]$가 성립하고 

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해

$a_i(B)< b_i(B)$와 $a_i(C)<b_i(C)$가 성립하는 닫힌구간 $[a_i(B),b_i(B)],[a_i(C),b_i(C)]$가 존재하여

$a_i = \min \{ a_i(B), a_i(C)\}-1$이고 $b_i = \max \{ b_i(B),b_i(C)\} +1$일때 최소원소의 정의와 최대원소의 정의로

$a_i < \min \{ a_i(B),a_i(C)\} \le a_i(B) < b_i(B) \le \max\{ b_i(B),b_i(C)\}<  b_i$이고

$a_i < \min \{ a_i(B),a_i(C)\} \le a_i(C) < b_i(C) \le \max\{ b_i(B),b_i(C)\}<  b_i$이므로

$A = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$는 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자이고

집합 정리로 $[a_i(B),b_i(B)]\cup [a_i(C),b_i(C)] \subseteq [a_i,b_i]\cup [a_i,b_i] = [a_i,b_i]$임에 따라 데카르트곱 정리로

$\begin{align*} E \subseteq B\cup C  = \left (\prod_{i=1}^m [a_i(B),b_i(B)] \right ) \cup \left (\prod_{i=1}^m [a_i(C),b_i(C)]\right) \subseteq \prod_{i=1}^m ([a_i(B),b_i(B)] \cup [a_i(C),b_i(C)]) \subseteq \prod_{i=1}^m[a_i,b_i] = A\text{ 이다.} \end{align*}$

$A$의 모든 격자들의 집합이 $\mathbf{G}_A$일때 위 정리로 $\{ A\}\in \mathbf{G}_A$이므로

$\{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A \}$와 $\{ \overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A \}$는 공집합이 아니고 모든 $\mathcal{G}_A \in \mathbf{G}_A$에 대해

위 정리로 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}_A)\le \overline{vol}(E;\mathcal{G}_A)\le \overline{vol}(A;\mathcal{G}_A) =vol(A)$와 $\overline{vol}(E;\mathcal{G}_A)\ge \overline{vol}(\emptyset;\mathcal{G}_A)=0$이 성립하므로 

완비성으로 $\sup \{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\} \le vol(A)$와 $\inf \{ \overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A \}\ge 0$가 존재한다.

비슷하게 $\sup \{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} , \sup \{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_C\}$가 존재하고

$ \inf \{ \overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\},\inf\{\overline{vol}(E;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C\}$가 존재한다.

모든 $\mathcal{G}_B\in \mathbf{G}_B$는 격자의 정의로 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 어떤 $n_i\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$[a_i(B),b_i(B)] = [x_{i,2},x_{i,3}] \cup [x_{i,3},x_{i,4}]\cup \cdots \cup [x_{i,n_i+1}, x_{i,n_i+2}]$이고

$a_i(B) = x_{i,2} < x_{i,3}< \cdots < x_{i,n_i+1} < x_{i,n_i+2} = b_i(B)$인

$x_{i,2},x_{i,3},\cdots, x_{i,n_i+1},x_{i,n_i+2}\in [a_i(B),b_i(B)]$가 존재하고 모든 $j_i = 1,2,\cdots,n_i$에 대해

$B(j_1,j_2,\cdots, j_m) = [x_{1,j_1 +1}, x_{1, j_1+2}] \times [x_{2,j_2+1},x_{2,j_2+2}]\times \cdots \times [x_{m, j_m+1},x_{m,j_m+2}]$이면

위 정리의 전단사함수가 $\psi_B : \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2\cdot \, \cdots\, \cdot n_m}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$일때

$n(B) = n_1\cdot n_2 \cdot \, \cdots \, \cdot n_m$에 대해 $\mathcal{G}_B= \{ B(\psi_B(k)) : k=1,2,\cdots,n(B)\}$이므로

$n(A) = (n_1+4)\cdot (n_2+4) \cdot \, \cdots \, \cdot (n_m+4)$이고 $L = \max \{ b_1-a_1, b_2-a_2,\cdots, b_m-a_m\}$일때

임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\delta_\epsilon =\min \{ \frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{2\cdot n(A) \cdot L^{m-1}} \} > 0$이고

$x_{i,0} = a_i$이고 $x_{i,1} = a_i(B) - \delta_\epsilon$이고 $x_{i,n_i+3} = b_i(B) + \delta_\epsilon$이고 $x_{i,n_i +4} = b_i$이면

$a_i = \min \{ a_i(B), a_i(C)\}-1 \le a_i(B) -1 < a_i(B) - \dfrac{1}{2} \le a_i(B) - \delta_\epsilon  < a_i(B) =x_{i,2}$이고

$x_{i,n_i+2}=b_i(B)< b_i(B) + \delta_\epsilon \le b_i(B) + \dfrac{1}{2}<b_i(B) +1 \le \max \{ b_i(B),b_i(C)\} +1 =b_i$이므로

$a_i =x_{i,0}< x_{i,1} < x_{i,2} < \cdots < x_{i,n_i} < x_{i,n_i+1} < x_{i,n_i +2} < x_{i,n_i+3}<x_{i,n_i+4} = b_i$가 되어 

$[a_i,b_i] = [x_{i,0},x_{i,1}] \cup [x_{i,1},x_{i,2}]\cup \cdots \cup [x_{i,n_i+2}, x_{i,n_i+3}]\cup [x_{i,n_i+3},x_{i,n_i+4}]$임에 따라 

모든 $j_i = 1,2,\cdots ,n_i+3,n_i +4$에 대해 

$A(j_1,j_2,\cdots, j_m) = [x_{1,j_1-1 }, x_{1, j_1}] \times [x_{2,j_2-1},x_{2,j_2}]\times \cdots \times [x_{m, j_m-1},x_{m,j_m}]$이고

위 정리의 전단사함수가 $\psi_A : \mathbb{Z}_{(n_1+4)\cdot (n_2+4)\cdot \, \cdots\, \cdot (n_m+4)}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1+4}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2+4}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m+4}^+$일때

$\mathcal{G}_A= \{ A(\psi_A(k)) : k=1,2,\cdots,n(A)\}$는 $A$의 격자이다.

모든 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$에 대해 

$B(j_1,j_2,\cdots, j_m) = \displaystyle \prod_{i=1}^m[x_{i,j_i +1}, x_{i, j_i+2}]= A(j_1+2,j_2+2,\cdots, j_m +2)\in \mathcal{G}_A$가 되어 $\mathcal{G}_B\subseteq \mathcal{G}_A$이므로

상한의 정의와 내합의 정의로

$\begin{align*} \underline{vol}(E;\mathcal{G}_B)&= \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B(\psi_B(k))\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} }}^{n(B)}vol(B(\psi_B(k))) \\[0.5em]& \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ A(\psi_A(k))\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} }}^{n(A)}vol(A(\psi_A(k))) = \underline{vol}(E;\mathcal{G}_A)\\[0.5em]& \le \sup \{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\} \text{ 임에 따라}\end{align*}$

상한의 정의로 $\sup\{\underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} \le \sup \{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\}$이다.

$A(\psi_A(k))\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset$인 모든 $k=1,2,\cdots,n(A)$에 대해

$\displaystyle A(\psi_A(k)) = A(j_1,j_2,\cdots, j_m)$인 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{n_1+4}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2+4}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m+4}^+$이 존재하여 $\mathcal{G}_B\subseteq \mathcal{G}_A$이므로

$\displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i -1}, x_{i, j_i}] = A(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathcal{G}_B$이면 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i(B)\le x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i}\le b_i(B)$이고 

$\displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i -1}, x_{i, j_i}] = A(j_1,j_2,\cdots,j_m)\notin \mathcal{G}_B$이면 

어떤 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i} \le a_i(B) = x_{i,2}$ 또는 $x_{i,n_i +2} = b_i(B)\le x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i}$이므로 

$E\subseteq B$임에 따라 위 정리와 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(B)} = B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i(B),b_i(B)]$가 되어

$x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i} \le a_i(B) = x_{i,2}$일때 $j_i < 2$라고 가정하거나 

$x_{i,n_i +2} = b_i(B)\le x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i}$일때 $n_i +2 < j_i -1$이라고 가정하면

$x_{i,j_i} \le x_{i,1} = a_i(B) - \delta_\epsilon < a_i(B)$ 또는 $b_i(B) < b_i(B) + \delta_\epsilon = x_{i,n_i+3}\le x_{i,j_i-1}$이고

$[x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]\cap [a_i(B),b_i(B)] = \emptyset$인데 데카르트곱 정리와 데카르트곱 정리로

$A(\psi_A(k))\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq \displaystyle \left ( \prod_{i=1}^m[x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]\right )\cap \left ( \prod_{i=1}^m [a_i(B),b_i(B)]\right ) = \prod_{i=1}^m ([x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]\cap [a_i(B),b_i(B)]) = \emptyset\text{ 이므로}$

$A(\psi_A(k))\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}= \emptyset$임에 따라 모순이 되어

$x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i} \le a_i(B) = x_{i,2}$이면 $j_i= 2$이고 $x_{i,n_i +2} = b_i(B)\le x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i}$이면 $n_i +2 = j_i -1$이므로 

$[x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}] = [a_i(B) -\delta_\epsilon, a_i(B)]$ 또는 $[x_{i,j_i-1}, x_{i,j_i}]=[b_i(B),b_i(B) + \delta_\epsilon]$가 되어

닫힌상자의 부피의 정의로

$vol(A(\psi_A(k))) = (x_{1,j_1}- x_{1,j_1 -1 })\cdot (x_{2,j_2}-x_{2,j_2-1})\cdot\; \cdots\; \cdot (x_{m,j_m}-x_{m,j_m-1}) \le L^{m-1}\cdot \delta_\epsilon$임에 따라 

$\begin{align*} \overline{vol}(E;\mathcal{G}_A) &= \sum_{\substack{k\ge 1 \\ A(\psi_A(k))\cap\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset }}^{n(A)}vol(A(\psi_A(k))) \\[0.5em]& \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B(\psi_B(k))\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset }}^{n(B)} vol(B(\psi_B(k))) + n(A) \cdot L^{m-1}\cdot \delta_\epsilon = \overline{vol}(E;\mathcal{G}_B) + n(A) \cdot L^{m-1} \cdot \delta_\epsilon \\[0.5em]& \le \overline{vol}(E;\mathcal{G}_B) + n(A) \cdot L^{m-1}\cdot \frac{\epsilon}{2\cdot n(A)\cdot L^{m-1}} = \overline{vol}(E;\mathcal{G}_B) + \frac{\epsilon}{2} \text{ 이다.}\end{align*}$

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 하한 정리로 $\overline{vol}(E;\mathcal{G}_B)<\inf \{\overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} +\dfrac{\epsilon}{2}$인 $\mathcal{G}_B\in \mathbf{G}_B$가 존재하여 

$\overline{vol}(E;\mathcal{G}_A)\le \overline{vol}(E;\mathcal{G}_B) + \dfrac{\epsilon}{2}$인 $\mathcal{G}_A\in \mathbf{G}_A$가 존재하므로 하한의 정의로

$\begin{align*}\inf \{ \overline{vol}(E;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\} & \le \overline{vol}(E;\mathcal{G}_A) \\[0.5em]& \le \overline{vol}(E;\mathcal{G}_B) +\dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em]& <\inf \{\overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} +\dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \inf\{\overline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} +\epsilon \text{ 임에 따라} \end{align*}$

부등식 정리로 $\inf \{ \overline{vol}(E;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\} \le \inf\{\overline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \}$이다.

모든 $\mathcal{G}_A\in \mathbf{G}_A$는 격자의 정의로 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 

어떤 $n_i\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $[a_i,b_i] = [x_{i,0},x_{i,1}] \cup [x_{i,1},x_{i,2}]\cup \cdots \cup [x_{i,n_i-1}, x_{i,n_i}]$이고

$a_i = x_{i,0} < x_{i,1}< \cdots < x_{i,n_i-1} < x_{i,n_i} = b_i$인 $x_{i,0},x_{i,1},\cdots, x_{i,n_i-1},x_{i,n_i}\in [a_i,b_i]$이 존재하고

모든 $j_i = 1,2,\cdots,n_i$에 대해 $A(j_1,j_2,\cdots, j_m) = [x_{1,j_1 -1}, x_{1, j_1}] \times [x_{2,j_2-1},x_{2,j_2}]\times \cdots \times [x_{m, j_m-1},x_{m,j_m}]$이면

위 정리의 전단사함수가 $\psi_A : \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2\cdot \, \cdots\, \cdot n_m}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$일때

$n = n_1\cdot n_2 \cdot \, \cdots \, \cdot n_m$에 대해 $\mathcal{G}_A= \{ A(\psi_A(k)) : k=1,2,\cdots,n\}$는 $A$의 격자이고

$Y_i = (\{ x_{i,j_i} : j_i = 0,1,2,\cdots,n_i\} \cup \{ a_i(B),b_i(B)\})\cap [a_i(B),b_i(B)]$는 $a_i(B),b_i(B)\in Y_i$인 유한집합이 되어

어떤 $p_i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $Y_i$가 $p_i+1$개의 원소를 갖는 유한집합일때

어떤 $y_{i,0},y_{i,1},\cdots, y_{i,p_i-1},y_{i,p_i}\in [a_i(B),b_i(B)]$에 대해

$a_i(B) = y_{i,0} < y_{i,1}< \cdots < y_{i,p_i-1} < y_{i,p_i} = b_i(B)$이고 $Y_i = \{ y_{i,0},y_{i,1},\cdots, y_{i,p_i-1},y_{i,p_i} \}$이므로

$[y_{i,0},y_{i,1}] \cup [y_{i,1},y_{i,2}]\cup \cdots \cup [y_{i,p_i-1}, y_{i,p_i}] =[a_i(B),b_i(B)]$이고

모든 $k_i = 1,2,\cdots,p_i$에 대해 $B(k_1,k_2,\cdots, k_m) = [y_{1,k_1 -1}, y_{1, k_1}] \times [y_{2,k_2-1},y_{2,k_2}]\times \cdots \times [y_{m, k_m-1},y_{m,k_m}]$이면

위 정리의 전단사함수가 $\psi_B : \mathbb{Z}_{p_1\cdot p_2\cdot \, \cdots\, \cdot p_m}^+ \to \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$일때

$p = p_1\cdot p_2 \cdot \, \cdots \, \cdot p_m$에 대해 $\mathcal{G}_B= \{ B(\psi_B(r)) : r=1,2,\cdots,p\}$는 $B$의 격자이다.

$A(\psi_A(k))\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$인 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해

$A(\psi_A(k))=A(j_1,j_2,\cdots, j_m) = \displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i -1}, x_{i, j_i}]$인 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$이 존재하여

내부 정리와 위 정리로 $\displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i -1}, x_{i, j_i}] = A(\psi_A(k)) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B)} = \prod_{i=1}^m (a_i(B),b_i(B))$이므로

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i(B) < x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i}< b_i(B)$이고 $x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}\in Y_i$임에 따라 

$x_{i,j_i-1} = y_{i,k_i-1}$이고 $x_{i,j_i} = y_{i,k_i}$인 $k_i = 1,2,\cdots,p_i$가 존재하여 

$A(\psi_A(k)) = \displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i -1}, x_{i, j_i}] = \prod_{i=1}^m [y_{i,k_i-1},y_{i,k_i}] = B(k_1,k_2,\cdots,k_m)\in \mathcal{G}_B$이므로 상한의 정의와 내합의 정의로

$\begin{align*} \underline{vol}(E;\mathcal{G}_A)&= \sum_{\substack{k\ge 1 \\ A(\psi_A(k))\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} }}^{n}vol(A(\psi_A(k))) \\[0.5em]& \le \sum_{\substack{r\ge 1 \\ B(\psi_B(r))\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} }}^{p} vol(B(\psi_B(r))) = \underline{vol}(E;\mathcal{G}_B)\\[0.5em]& \le \sup \{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} \text{ 이고}\end{align*}$

상한의 정의로 $\sup\{\underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A \} \le \sup \{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\}$가 되어

$\sup\{\underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} = \sup \{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\}$이다.

모든 $r=1,2,\cdots,p$에 대해

$B(\psi_B(r))=B(k_1,k_2,\cdots, k_m) = \displaystyle \prod_{i=1}^m [y_{i,k_i -1}, y_{i, k_i}]$인 $(k_1,k_2,\cdots,k_m)\in \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$이 존재하여

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $x_{i,0}=a_i< a_i(B)\le y_{i,k_i-1}< y_{i,k_i} \le b_i(B) < b_i = x_{i,n_i}$이므로 

$j_i = \min\{ r_i\in \{ 0,1,2,\cdots,n_i\} : y_{i,k_i}\le x_{i,r_i} \}$가 존재하고

$x_{i,0} \le y_{i,k_i-1}< y_{i,k_i} \le x_{i,j_i}$임에 따라 $0 < j_i$이므로 $0\le j_i-1$이고

$y_{i,k_i-1} < x_{i,j_i-1}$이라고 가정하면

최소원소의 정의로 $a_i(B)\le y_{i,k_i -1}< x_{i,j_i-1}< y_{i,k_i} \le b_i(B)$가 되어 $x_{i,j_i-1}\in Y_i$인데 

$y_{i, q_i} = x_{i,j_i-1}$인 $q_i = 0,1,2,\cdots,p_i$가 존재하여 $y_{i,k_i -1}< y_{i,q_i}< y_{i,k_i}$이고 $k_i -1 < q_i < k_i$임에 따라 모순이므로 

$x_{i,j_i -1} \le y_{i,k_i-1}< y_{i,k_i} \le x_{i,j_i}$가 되어

$B(\psi_B(r))=B(k_1,k_2,\cdots, k_m) = \displaystyle \prod_{i=1}^m [y_{i,k_i -1}, y_{i, k_i}] \subseteq \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}] = A(j_1,j_2,\cdots,j_m)$이고

닫힌상자의 부피의 정의로 $vol(B(\psi_B(r))) = vol(B(k_1,k_2,\cdots,k_m)) \le vol(A(j_1,j_2,\cdots,j_m))$이다.

임의의 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$에 대해 

$\displaystyle \prod_{i=1}^m [y_{i,k_i -1}, y_{i, k_i}]  = B(k_1,k_2,\cdots,k_m)\subseteq A(j_1,j_2,\cdots,j_m)=\prod_{i=1}^m [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}] $과

$\displaystyle \prod_{i=1}^m [y_{i,q_i -1}, y_{i, q_i}] =B(q_1,q_2,\cdots,q_m) \subseteq A(j_1,j_2,\cdots,j_m) =\prod_{i=1}^m [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]$이 성립하고

$(k_1,k_2,\cdots,k_m)\ne (q_1,q_2,\cdots, q_m)$인 $(k_1,k_2,\cdots,k_m),(q_1,q_2,\cdots,q_m)\in \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$이 존재하면

위 정리와 위 정리와 데카르트곱 정리로 $(y_{i,k_i-1},y_{i,k_i})\cap [y_{i,q_i-1},y_{i,q_i}] = \emptyset$인 $i=1,2,\cdots,m$가 존재하여

$x_{i,j_i -1} \le y_{i,k_i-1}< y_{i,k_i} \le y_{i,q_i-1} < y_{i,q_i} \le x_{i,j_i}$ 또는 $x_{i,j_i -1} \le y_{i,q_i-1}< y_{i,q_i} \le y_{i,k_i-1} < y_{i,k_i} \le x_{i,j_i}$이므로 

$a_i(B) \le y_{i,k_i-1}< y_{i,k_i} \le y_{i,q_i-1} < y_{i,q_i} \le b_i(B)$ 또는 $a_i(B) \le y_{i,q_i-1}< y_{i,q_i} \le y_{i,k_i-1} < y_{i,k_i} \le b_i(B)$임에 따라 

$y_{i,q_i-1} = x_{i,r_i}$ 또는 $y_{i,q_i} = x_{i,r_i}$인 $r_i = 0,1,2,\cdots,n_i$가 존재하는데

$x_{i,j_i -1} \le y_{i,k_i-1}< x_{i,r_i} < y_{i,q_i} \le x_{i,j_i}$ 또는 $x_{i,j_i -1} \le y_{i,q_i-1}< x_{i,r_i} < y_{i,k_i} \le x_{i,j_i}$이므로 

$j_i-1 < r_i < j_i$가 되어 모순임에 따라 하한의 정의와 외합의 정의로

$\begin{align*} \inf \{ \overline{vol}(E;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \}&\le \overline{vol}(E;\mathcal{G}_B)= \sum_{\substack{r\ge 1 \\ B(\psi_B(k))\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset }}^{p}vol(B(\psi_B(r))) \\[0.5em]& \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ A(\psi_A(k))\cap\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset }}^{n} vol(A(\psi_A(k))) = \overline{vol}(E;\mathcal{G}_A) \text{ 이고}\end{align*}$

하한의 정의로 $\inf \{\overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} \le \inf \{ \overline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\}$이므로 

$\inf \{\overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} = \inf \{ \overline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\}$이다.

비슷하게 $\sup\{\underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C \} = \sup \{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\}$이고

$\inf \{\overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C \} = \inf \{ \overline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\}$가 되어 

$\sup\{\underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} = \sup \{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\} = \sup\{\underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C \}$이고

$\inf \{\overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} = \inf \{ \overline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\} =\inf \{\overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C \} $이다.

2.

위 정리로 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하여

$E\subseteq C$이고 퇴화상자가 아닌 모든 $m$차원 닫힌상자 $C$에 대해 $B,C$의 모든 격자들의 집합이 $\mathbf{G}_B,\mathbf{G}_C$일때 1번으로

내부피 $\underline{vol}(E) = \sup\{\underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} = \sup\{\underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C \}$가 유일하게 존재하고

외부피 $\overline{vol}(E) = \inf \{\overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} = \inf \{\overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C \} $가 유일하게 존재한다.

위 정리로 $\{ B\}\in \mathbf{G}_B$임에 따라 $\{\underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} ,\{\overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \}$는 공집합이 아니고

모든 $\mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2\in \mathbf{G}_B$에 대해 위 정리로 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}_1)\le \overline{vol}(E;\mathcal{G}_2)$이므로 

상한, 하한 정리로 $\underline{vol}(E)=\sup \{\underline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} \le \inf \{\overline{vol}(E;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} = \overline{vol}(E)$이고

위 정리와 상한의 정의로 $0= \underline{vol}(\emptyset ;\{ B\})\le \underline{vol}(E;\{ B\}) \le \sup \{ \underline{vol}(E;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} = \underline{vol}(E)$이다.

 

 

 

정리9

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이고

임의의 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$의 격자가 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$일때 모든 $E\subseteq B$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$ $\subseteq E\subseteq $ $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$ $\subseteq B$

2. $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$ $\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq B$

3. $\underline{vol}$$(E;\mathcal{G}) = \underline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)};\mathcal{G})$

4. $\overline{vol}$$(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E};\mathcal{G})\le \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)};\mathcal{G})= \overline{vol}(E;\mathcal{G})$

5. $\partial I = \{ k\in \{1,2,\cdots,n\} : B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\ne \emptyset\}$이고 $I = \{ k\in \{ 1,2,\cdots,n\} : B_k\cap E\ne \emptyset\}$이고 

$\overline{I} = \{ k\in \{ 1,2,\cdots,n\} : B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset\}$이고 $I^\circ = \{ k\in \{ 1,2,\cdots,n\} : B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\}$일때

$I^\circ \subseteq I\subseteq \overline{I}$이고 $\overline{I}\setminus I\subseteq  \overline{I}\setminus I^\circ = \partial I$이다.

6. $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E};\mathcal{G}) = \overline{vol}(E;\mathcal{G})- \underline{vol}(E;\mathcal{G})$

증명

1.

내부 정리와 폐포 정리와 위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(B)} =B$이다.

2.

폐포 정리와 1번으로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq B$이다.

3.

내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}) = \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$이므로 내합의 정의로 $\underline{vol}(E;\mathcal{G}) = \underline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)};\mathcal{G})$이다.

4.

폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}) = \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$이므로 외합의 정의로 $\overline{vol}(E;\mathcal{G}) = \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)};\mathcal{G})$이고

2번과 위 정리로 $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E};\mathcal{G})\le \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)};\mathcal{G})= \overline{vol}(E;\mathcal{G})$이다.

5.

$B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$인 모든 $k=1,2,\cdots, n$에 대해 

1번으로 $B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$이므로 집합 정리와 위 정리로 $B_k\cap E = B_k\ne \emptyset$이 되어 $I^\circ \subseteq I$이고

집합 정리로 $\overline{I}\setminus I \subseteq \overline{I}\setminus I^\circ$이다.

$B_k\cap E \ne \emptyset$인 모든 $k=1,2,\cdots, n$에 대해 

1번으로 $B_k\cap E \subseteq B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$이므로 $B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset$이 되어 $I\subseteq \overline{I}$이다.

모든 $k\in \overline{I}\setminus I^\circ$에 대해 $B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset$이고 $B_k\not\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$이므로 $B_k\setminus \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\ne \emptyset$이고

$k\notin \partial I$라고 가정하면 $B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E} = \emptyset$이 되어 집합 정리와 폐포 정리로

$ B_k \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} = (B_k \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}) \cup \emptyset = (B_k \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}) \cup (B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) = B_k \cap (\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\cup \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) = B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset \text{ 이고}$

집합 정리와 집합 정리로 

$ B_k \setminus \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} =B_k \setminus (B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}) = B_k \setminus (B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}) = B_k \cap (\mathbb{R}^m\setminus \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}) $이므로

폐포 정리와 닫힌집합의 정의와 내부 정리와 거리공간 정리로

$B_k\setminus \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)},B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$의 부분거리공간 $(B_k,d_m)$에서 열린집합이고 

집합 정리로 $(B_k \setminus \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}) \cap (B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}) = \emptyset$과 $(B_k \setminus \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}) \cup (B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}) = B_k$가 성립함에 따라

$B_k$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 비연결집합인데

위 정리와 볼록집합 정리로 $B_k$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 연결집합이므로 모순이 되어 $k\in \partial I$이고 $\overline{I}\setminus I^\circ \subseteq \partial I$이다.

모든 $k\in \partial I$에 대해 $B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\ne \emptyset$이므로 2번으로 $B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\subseteq B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$임에 따라 $B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset$이고 

$B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$라고 가정하면 경계 정리로

$B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E} = \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\cap (\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} \setminus \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}) =\emptyset $이 되어 $B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}= \emptyset$임에 따라 모순이므로 

$B_k\not\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$이고 $k\in \overline{I}\setminus I^\circ$가 되어 $\partial I\subseteq \overline{I}\setminus I^\circ$이므로 집합 정리로 $\overline{I}\setminus I^\circ =\partial I$이다.

6.

경계 정리와 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) = \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$임에 따라 내합의 정의와 외합의 정의와 5번으로

$\displaystyle \overline{vol}(E;\mathcal{G}) - \underline{vol}(E;\mathcal{G})  = \sum_{ \substack{ k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} \ne \emptyset } }^n \!vol(B_k) - \sum_{ \substack{ k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} } }^n \!vol(B_k)  =\sum_{ \substack{ k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E} \ne \emptyset }}^n\!vol(B_k) = \sum_{ \substack{ k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) \ne \emptyset }}^n\!\! vol(B_k) = \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E};\mathcal{G})\text{ 이다.}$

 

 

 

정리10

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때 임의의 $E, F\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해 다음이 성립한다.

1. $E$의 부피가 $0$이면 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 어떤 $n_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$과 어떤 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $k = 1,2,\cdots, n_\epsilon$에 대해 $C_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m [c_i(k) -\delta_\epsilon,c_i(k)+\delta_\epsilon]$인 $c_i(k)\in \mathbb{R}$가 존재하여

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k= 1}^{n_\epsilon}C_k$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon} vol(C_k) < \epsilon$이다.

2. 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 어떤 $n_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하고 

모든 $k = 1,2,\cdots, n_\epsilon$에 대해 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $C_k$가 존재하여 

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k= 1}^{n_\epsilon}C_k$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon} vol(C_k) < \epsilon$이면 $E$의 부피는 $0$이다.

3. $E$의 부피가 $0$이기 위한 필요충분조건은

$E$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 $E$의 내부피와 외부피가 $\underline{vol}(E) = \overline{vol}(E) = 0$인 것이다.

4. $E\subseteq F$이고 $F$의 부피가 $0$이면 $E$의 부피는 $0$이다.

5. $E$의 부피가 $0$이면 경계와 폐포와 내부 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E},\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)},\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$의 부피는 $0$이다.

6. $E$가 유한집합이면 $E$의 부피는 $0$이다.

7. $E, F$의 부피가 $0$이면 $E\cup F$의 부피는 $0$이다.

증명

1.

$E = \emptyset$일때 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $n_\epsilon =1$이고 $\delta_\epsilon = \dfrac{\epsilon^\frac{1}{m}}{4} > 0$이면 $C_1 = {\displaystyle \prod_{i=1}^m} [-\delta_\epsilon,\delta_\epsilon]$에 대해 

$E = \emptyset \subseteq C_1$이고 닫힌상자의 부피의 정의로 $vol(C_1) = (2\cdot \delta_\epsilon)^m =\left ( 2\cdot \dfrac{\epsilon^\frac{1}{m}}{4}\right )^m = \dfrac{\epsilon}{2^m} < \epsilon$이다.

$E\ne \emptyset$일때

$E$의 부피는 $0$이므로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하여

어떤 $B$의 격자 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$에 대응하는 $E$의 외합이 $\displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset}}^n vol(B_k)=\overline{vol}(E;\mathcal{G})<\dfrac{\epsilon}{2}$이고 

$x\in E$가 존재하여 폐포 정리와 위 정리와 위 정리로 $x\in E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(B)} = B =\displaystyle \bigcup_{k=1}^n B_k$이므로 

$x\in B_k$인 $k=1,2,\cdots,n$가 존재하고 $x\in B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$임에 따라 $B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset$이므로

$I = \{ k\in \{ 1,2,\cdots,n\} : B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset\}$는 $I\ne \emptyset$이 되어 $I$가 어떤 $p\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이면 

$I = \{ k_1,k_2,\cdots, k_p\}$인 $k_1,k_2,\cdots, k_p = 1,2,\cdots,n$가 존재하고 $\displaystyle \sum_{r=1}^p vol(B_{k_r})=\sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset}}^n vol(B_k)< \dfrac{\epsilon}{2}$이다.

모든 $x\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^n B_k$에 대해 $x\in B_k$인 $k=1,2,\cdots,n$가 존재하여 $x\in B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$이고 

$B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset$이므로 $k\in I$가 되어 $x\in \displaystyle \bigcup_{r=1}^p B_{k_r}$임에 따라 $E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} \subseteq \displaystyle \bigcup_{r=1}^p B_{k_r}$이다.

격자의 정의로 모든 $r=1,2,\cdots,p$에 대해 $B_{k_r} = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i(r),b_i(r)]$이고

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i(r)< b_i(r)$인 닫힌구간 $[a_i(r),b_i(r)]$이 존재하여

$l_i(r) = b_i(r) -a_i(r) > 0$일때 위 정리로 어떤 $\delta(r)\in (0,\infty)$에 대해 

$(l_1(r) + \delta(r)) \cdot (l_2(r) + \delta(r))\cdot \, \cdots \, \cdot (l_m(r) +\delta(r)) = l_1(r)\cdot l_2(r)\cdot \, \cdots \, \cdot l_m(r) + \dfrac{\epsilon}{2\cdot p}$이므로

$\delta = \min \{ \delta(1),\delta(2),\cdots, \delta(p)\}$에 대해 최소원소의 정의와 닫힌상자의 부피의 정의로

$\begin{align*} \sum_{r =1}^p (l_1(r) + \delta) \cdot (l_2(r) + \delta)\cdot \, \cdots \, \cdot (l_m(r) +\delta) & \le \sum_{r =1}^p (l_1(r) + \delta(r)) \cdot (l_2(r) + \delta(r))\cdot \, \cdots \, \cdot (l_m(r) +\delta(r)) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{r =1}^p \left (l_1(r)\cdot l_2(r)\cdot \, \cdots \, \cdot l_m(r) + \dfrac{\epsilon}{2\cdot p} \right ) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{r =1}^p l_1(r)\cdot l_2(r)\cdot \, \cdots \, \cdot l_m(r) + \sum_{r =1}^p \dfrac{\epsilon}{2\cdot p} \\[0.5em] & \qquad = \sum_{r =1}^p (b_1(r) -a_1(r))\cdot (b_2(r) -a_2(r))\cdot \, \cdots \, \cdot (b_m(r) -a_m(r)) + p\cdot \dfrac{\epsilon}{2\cdot p} \\[0.5em] & \qquad = \sum_{r =1}^p vol(B_{k_r}) + \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \lt \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이고}\end{align*}$

$\delta_\epsilon = \dfrac{\delta}{4}>0$에 대해 $\dfrac{l_i(r)}{ 2\cdot \delta_\epsilon}\ge 0$이므로

바닥 정리와 바닥 정리로 $0 =\lfloor 0\rfloor \le \left \lfloor \dfrac{l_i(r)}{2\cdot \delta_\epsilon}\right \rfloor\le \dfrac{l_i(r)}{2\cdot \delta_\epsilon} < \left \lfloor \dfrac{l_i(r)}{2\cdot \delta_\epsilon}\right \rfloor +1$이 되어 $p_i(r) = \left \lfloor \dfrac{l_i(r)}{2\cdot \delta_\epsilon}\right \rfloor +1\in \mathbb{Z}^+$일때

모든 $j_i = 0,1,2,\cdots, p_i(r)$에 대해 $c_i(r,j_i) =a_i(r) + j_i\cdot 2 \cdot \delta_\epsilon$이면 

$c_i(r,0) - \delta_\epsilon < c_i(r,0)=a_i(r) + 0 \cdot 2 \cdot \delta_\epsilon = a_i(r)$이고

$\begin{align*}b_i(r) & =a_i(r) + b_i(r) - a_i(r)=a_i(r) + l_i(r) =a_i(r) + \dfrac{l_i(r)}{2\cdot \delta_\epsilon} \cdot 2\cdot \delta_\epsilon \\[0.5em]&< a_i(r) + \left ( \left \lfloor \dfrac{l_i(r)}{2\cdot \delta_\epsilon} \right \rfloor +1 \right )\cdot 2\cdot \delta_\epsilon = a_i(r) + p_i(r)\cdot 2\cdot \delta_\epsilon = c_i(r,p_i(r)) \\[0.5em]& < c_i(r,p_i(r)) +\delta_\epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

$0< j_i$일때

$\begin{align*}c_i(r,j_i-1) + \delta_\epsilon&=a_i(r) + (j_i -1)\cdot 2 \cdot \delta_\epsilon +\delta_\epsilon\\[0.5em]&= a_i(r) + j_i\cdot 2\cdot \delta_\epsilon - 2\cdot \delta_\epsilon + \delta_\epsilon \\[0.5em]&= a_i(r) + j_i\cdot 2\cdot \delta_\epsilon -\delta_\epsilon \\[0.5em]&= c_i(r,j_i) -\delta_\epsilon\text{ 이고} \end{align*}$

$j_i < p_i(r)$일때

$\begin{align*}c_i(r,j_i) + \delta_\epsilon &= a_i(r) + j_i\cdot 2\cdot \delta_\epsilon + \delta_\epsilon \\[0.5em]&= a_i(r) + j_i\cdot 2\cdot \delta_\epsilon +2\cdot \delta_\epsilon - \delta_\epsilon \\[0.5em]&= a_i(r) + (j_i +1)\cdot 2\cdot \delta_\epsilon -\delta_\epsilon \\[0.5em]&= c_i(r,j_i+1)-\delta_\epsilon \text{ 임에 따라}\end{align*}$

$[a_i(r),b_i(r)] \subseteq [c_i(r,0) -\delta_\epsilon,c_i(r,0) +\delta_\epsilon] \cup [c_i(r,1)-\delta_\epsilon,c_i(r,1)+\delta_\epsilon]\cup \cdots \cup [c_i(r,p_i(r))-\delta_\epsilon,c_i(r,p_i(r))+\delta_\epsilon]\text{ 이고}$

$\begin{align*} \sum_{j_i=0}^{p_i(r)} ((c_i(r,j_i) + \delta_\epsilon) - (c_i(r,j_i) - \delta_\epsilon)) & = \sum_{j_i=0}^{p_i(r)-1} ((c_i(r,j_i) + \delta_\epsilon) - (c_i(r,j_i) - \delta_\epsilon)) + ((c_i(r,p_i(r)) + \delta_\epsilon) - (c_i(r,p_i(r)) - \delta_\epsilon)) \\[0.5em] & = \sum_{j_i=0}^{p_i(r)-1} ((c_i(r,j_i+1) - \delta_\epsilon) - (c_i(r,j_i) - \delta_\epsilon)) + ((c_i(r,p_i(r)) + \delta_\epsilon) - (c_i(r,p_i(r)) - \delta_\epsilon)) \\[0.5em] & = ((c_i(r,p_i(r) -1 +1) - \delta_\epsilon) - (c_i(r,0) - \delta_\epsilon)) + ((c_i(r,p_i(r)) + \delta_\epsilon) - (c_i(r,p_i(r)) - \delta_\epsilon)) \\[0.5em] & = c_i(r,p_i(r)) - \delta_\epsilon - c_i(r,0) + \delta_\epsilon + c_i(r,p_i(r)) + \delta_\epsilon - c_i(r,p_i(r)) + \delta_\epsilon \\[0.5em] & = - c_i(r,0) + \delta_\epsilon + c_i(r,p_i(r)) + \delta_\epsilon \\[0.5em] & = c_i(r,p_i(r)) - c_i(r,0) + 2\cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] & = a_i(r) + p_i(r)\cdot 2 \cdot \delta_\epsilon - a_i(r) + 2\cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] & = (p_i(r) + 1)\cdot 2 \cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] & = \left ( \left \lfloor \dfrac{l_i(r)}{2\cdot \delta_\epsilon}\right \rfloor +1 +1 \right )\cdot 2 \cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] & \le \left ( \dfrac{l_i(r)}{2\cdot \delta_\epsilon} +2 \right )\cdot 2 \cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] & \qquad = \dfrac{l_i(r)}{2\cdot \delta_\epsilon} \cdot 2 \cdot \delta_\epsilon + 4 \cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] & \qquad = l_i(r) + 4 \cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] & \qquad = l_i(r) + 4 \cdot \dfrac{\delta}{4} \\[0.5em] & \qquad = l_i(r) + \delta \text{ 이다.} \end{align*}$

$n_\epsilon = \displaystyle \sum_{r=1}^p (p_1(r)+1)\cdot (p_2(r)+1)\cdot \, \cdots \, \cdot (p_m(r)+1)$이고 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해

모든 $j_i = 0,1,2,\cdots, p_i(r)$가 $C_r(j_1,j_2,\cdots,j_m) = \displaystyle \prod_{i=1}^m [c_i(r,j_i)-\delta_\epsilon,c_i(r,j_i) +\delta_\epsilon]$일때

모든 $k=1,2,\cdots,n_\epsilon$에 대해 

$\displaystyle \sum_{r=1}^{q_k -1} (p_1(r)+1)\cdot (p_2(r)+1)\cdot \, \cdots \, \cdot (p_m(r)+1) < k \le \sum_{r=1}^{q_k} (p_1(r)+1)\cdot (p_2(r)+1)\cdot \, \cdots \, \cdot (p_m(r)+1)$인

$q_k=1,2,\cdots,p$가 유일하게 존재하므로

위 정리의 전단사함수가 $\psi_{q_k} : \mathbb{Z}_{(p_1(q_k)+1)\cdot (p_2(q_k)+1)\cdot \, \cdots\, \cdot (p_m(q_k)+1)}^+ \to \mathbb{Z}_{p_1(q_k)+1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2(q_k)+1}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m(q_k)+1}^+$이면

$\displaystyle 1 \le k - \sum_{r=1}^{q_k-1}(p_1(r) +1)\cdot (p_2(r)+1)\cdot \, \cdots \, \cdot (p_m(r)+1) \le (p_1(q_k)+1)\cdot (p_2(q_k)+1)\cdot \, \cdots \, \cdot (p_m(q_k)+1)\text{ 임에 따라}$

$\displaystyle \psi_{q_k}(k-\sum_{r=1}^{q_k-1} (p_1(r)+1)\cdot (p_2(r)+1)\cdot \, \cdots \, \cdot (p_m(r)+1)) = (j_1(k),j_2(k),\cdots,j_m(k))$인 

$(j_1(k),j_2(k),\cdots,j_m(k)) \in \mathbb{Z}_{p_1(q_k)+1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2(q_k)+1}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m(q_k)+1}^+$이 유일하게 존재하여 

$\displaystyle C_k = C_{q_k}(j_1(k)-1,j_2(k)-1,\cdots, j_m(k) -1)$일때

$\displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon} C_k = \bigcup_{r= 1}^p \bigcup_{j_1 =0}^{p_1(r)} \bigcup_{j_2=0}^{p_2(r)}\cdots \bigcup_{j_m=0}^{p_m(r)} C_r(j_1,j_2,\cdots,j_m)$이고 

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{n_\epsilon}vol(C_k) = \sum_{r= 1}^p \sum_{j_1 =0}^{p_1(r)} \sum_{j_2=0}^{p_2(r)}\cdots \sum_{j_m=0}^{p_m(r)} vol(C_r(j_1,j_2,\cdots,j_m))  \end{align*}$이다.

모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_m)\in E\subseteq \displaystyle \bigcup_{r=1}^p B_{k_r}$에 대해 

$x = (x_1,x_2,\cdots,x_m)\in B_{k_r} = \displaystyle \prod_{i=1}^m[a_i(r),b_i(r)]$인 $r= 1,2,\cdots,p$이 존재하여 

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $x_i\in [a_i(r),b_i(r)]$이므로

$x_i\in [c_i(r,j_i)-\delta_\epsilon,c_i(r,j_i)+\delta_\epsilon]$인 $j_i = 0,1,2,\cdots,p_i(r)$가 존재하고

$x = (x_1,x_2,\cdots,x_m) \in\displaystyle \prod_{i=1}^m [c_i(r,j_i)-\delta_\epsilon,c_i(r,j_i)+\delta_\epsilon] = C_r(j_1,j_2,\cdots,j_m)$임에 따라

$x\in \displaystyle \bigcup_{r= 1}^p \bigcup_{j_1 =0}^{p_1(r)} \bigcup_{j_2=0}^{p_2(r)}\cdots \bigcup_{j_m=0}^{p_m(r)} C_r(j_1,j_2,\cdots,j_m)$이 되어 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{r= 1}^p \bigcup_{j_1 =0}^{p_1(r)} \bigcup_{j_2=0}^{p_2(r)}\cdots \bigcup_{j_m=0}^{p_m(r)} C_r(j_1,j_2,\cdots,j_m) = \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}C_k$이고 

$\begin{align*} & \sum_{k=1}^{n_\epsilon} vol(C_k)=\sum_{r= 1}^p \sum_{j_1 =0}^{p_1(r)} \sum_{j_2=0}^{p_2(r)}\cdots \sum_{j_m=0}^{p_m(r)} vol(C_r(j_1,j_2,\cdots,j_m)) \\[0.5em] & = \sum_{r= 1}^p \sum_{j_1 =0}^{p_1(r)} \sum_{j_2=0}^{p_2(r)}\cdots \sum_{j_m=0}^{p_m(r)} \left( ((c_1(r,j_1) + \delta_\epsilon) - (c_1(r,j_1) - \delta_\epsilon)) \cdot ((c_2(r,j_2) + \delta_\epsilon) - (c_2(r,j_2) - \delta_\epsilon)) \cdot \, \cdots \, \cdot ((c_m(r,j_m) + \delta_\epsilon) - (c_m(r,j_m) - \delta_\epsilon)) \right) \\[0.5em] & = \sum_{r= 1}^p \! \left (\sum_{j_1 =0}^{p_1(r)} ((c_1(r,j_1) + \delta_\epsilon) - (c_1(r,j_1) - \delta_\epsilon)) \!\!\right ) \cdot \left (\sum_{j_2 =0}^{p_2(r)} ((c_2(r,j_2) + \delta_\epsilon) - (c_2(r,j_2) - \delta_\epsilon))\! \!\right ) \cdot \, \cdots \, \cdot \left (\sum_{j_m =0}^{p_m(r)} ((c_m(r,j_m) + \delta_\epsilon) - (c_m(r,j_m) - \delta_\epsilon))\! \! \right )  \\[0.5em] & \le \sum_{r= 1}^p (l_1(r) + \delta) \cdot (l_2(r) + \delta)\cdot \, \cdots \, \cdot (l_m(r) +\delta) \\[0.5em] & \lt \epsilon \text{ 이다.}\end{align*}$

2.

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 어떤 $n_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하고 

모든 $k = 1,2,\cdots, n_\epsilon$에 대해 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $C_k$가 존재하여

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k= 1}^{n_\epsilon}C_k$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon} vol(C_k) < \dfrac{\epsilon}{2}$이므로

위 정리로 $C_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(D_k)}\subseteq D_k$와 $vol(D_k) = vol(C_k) + \dfrac{\epsilon}{2\cdot n_\epsilon}$이 성립하고

퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $D_k$가 존재하여 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k= 1}^{n_\epsilon}C_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon} \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(D_k)} \subseteq \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}D_k$이고 

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon}vol(D_k)=\sum_{k=1}^{n_\epsilon}\left (vol(C_k) + \dfrac{\epsilon}{2\cdot n_\epsilon}\right ) = \sum_{k=1}^{n_\epsilon}vol(C_k) + \sum_{k=1}^{n_\epsilon}\dfrac{\epsilon}{2\cdot n_\epsilon} < \dfrac{\epsilon}{2} + n_\epsilon\cdot \dfrac{\epsilon}{2\cdot n_\epsilon}= \epsilon$이다.

모든 $k=1,2,\cdots, n_\epsilon$에 대해 $D_{k} = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i(k),b_i(k)]$이고

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i(k)< b_i(k)$인 닫힌구간 $[a_i(k),b_i(k)]$가 존재하여 함수 정리와 유한집합 정리로

$X_i = \{ a_i(k): k=1,2,\cdots,n_\epsilon\}\cup \{ b_i(k):k=1,2,\cdots,n_\epsilon\}$는 $a_i(k),b_i(k)\in X_i$인 유한집합이므로

어떤 $p_i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X_i$가 $p_i +1$개의 원소를 가질때 $x_{i,0} < x_{i,1}< \cdots < x_{i,p_i-1} < x_{i,p_i}$이고

$X_i= \{x_{i,0}, x_{i,1}, \cdots , x_{i,p_i-1} , x_{i,p_i} \}$인 $x_{i,0}, x_{i,1}, \cdots , x_{i,p_i-1} , x_{i,p_i} \in \mathbb{R}$가 존재하여 

$a_i = x_{i,0}$이고 $b_i = x_{i,p_i}$이면 $[a_i,b_i] = [x_{i,0},x_{i,1}] \cup [x_{i,1},x_{i,2}]\cup \cdots \cup [x_{i,p_i-1}, x_{i,p_i}]$이고 

$B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$는 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자이므로 

임의의 $j_i = 1,2,\cdots,p_i$에 대해 $B(j_1,j_2,\cdots, j_m) = [x_{1,j_1 -1}, x_{1, j_1}] \times [x_{2,j_2-1},x_{2,j_2}]\times \cdots \times [x_{m, j_m-1},x_{m,j_m}]$이고

위 정리의 전단사함수가 $\psi : \mathbb{Z}_{p_1\cdot p_2\cdot \, \cdots\, \cdot p_m}^+ \to \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$일때

$p = p_1\cdot p_2\cdot\,\cdots\, \cdot p_m$에 대해 $\mathcal{G} = \{ B(\psi(r)) : r=1,2,\cdots,p\}$는 $B$의 격자이다.

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $k=1,2,\cdots,n_\epsilon$에 대해 $a_i(k),b_i(k)\in X_i$이므로

$a_i\le a_i(k)  < b_i(k)\le b_i$가 되어 $[a_i(k),b_i(k)] \subseteq [a_i,b_i]$이고

$\displaystyle D_k = \prod_{i=1}^m [a_i(k),b_i(k)] \subseteq \prod_{i=1}^m[a_i,b_i] = B$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}D_k\subseteq B$이고

위상공간 정리와 폐포 정리와 위 정리로 $E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq \displaystyle \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}}(\bigcup_{k= 1}^{n_\epsilon}C_k) = \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(C_k)} = \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}C_k \subseteq \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}D_k \subseteq B$이다.

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $k=1,2,\cdots,n_\epsilon$에 대해 $a_i(k),b_i(k)\in X_i$이므로

$x_{i,l_i(k)} = a_i(k) < b_i(k) = x_{i,r_i(k)}$인 $l_i(k),r_i(k) = 0,1,2\cdots, p_i$가 유일하게 존재하여 $l_i(k)< r_i(k)$이고

$q_i(k) =r_i(k) - l_i(k)\in \mathbb{Z}^+$일때 임의의 $j_i = 1,2,\cdots,p_i$가 $1\le j_i \le q_i(k) = r_i(k) - l_i(k)$이면

$ l_i(k)=1+ l_i(k)-1  \le j_i + l_i(k) -1 < j_i +l_i(k) \le r_i(k)-l_i(k)+l_i(k) =r_i(k)$이므로

$\displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i +l_i(k) -1}, x_{i, j_i +l_i(k)}] = B(j_1 +l_1(k),j_2 +l_2(k),\cdots,j_m + l_m(k))\in \mathcal{G}$이고

$\mathcal{B}_k = \{ B(j_1+l_1(k),j_2+ l_2(k),\cdots,j_m+l_m(k)) :(j_1,j_2,\cdots,j_m) \in \mathbb{Z}_{q_1(k)}^+ \times \mathbb{Z}_{q_2(k)}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{q_m(k)}^+ \}$인

$\mathcal{B}_k$는 $D_k$의 격자이므로 위 정리로 $D_k = \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k$이고 $vol(D_k) = \displaystyle  \sum_{\substack{r\ge 1\\ B(\psi(r))\in \mathcal{B}_k}}^p vol(B(\psi(r)))$이다.

$B(\psi(r))\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset$인 모든 $r= 1,2,\cdots,p$에 대해 $y=(y_1,y_2,\cdots,y_m)\in B(\psi(r))\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$가 존재하여

$y\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}C_k \subseteq \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(D_k)}$이므로 $y\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(D_k)} \subseteq D_k = \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k$인 $k=1,2,\cdots,n_\epsilon$가 존재하고

$B(\psi(r))= B(j_1,j_2,\cdots,j_m) = \displaystyle \prod_{i=1}^m[x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]$인 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$이 존재하여 

위 정리로 $y\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(D_k)} =\displaystyle \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(\prod_{i=1}^m[a_i(k),b_i(k)]) = \prod_{i=1}^m(a_i(k),b_i(k))$임에 따라 

$\displaystyle \prod_{i=1}^m[x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]\notin \mathcal{B}_k$라고 가정하면

$(y_1,y_2,\cdots,y_m)=y\in \displaystyle \left ( \prod_{i=1}^m(a_i(k),b_i(k)) \right )\cap \left ( \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}] \right )$인데 어떤 $i = 1,2,\cdots,m$에 대해

$x_{i,j_i-1} \le y_i\le x_{i,j_i}\le x_{i,l_i(k)} = a_i(k) < y_i$ 또는 $y_i <b_i(k)=x_{i,r_i(k)}\le x_{i,j_i-1}\le y_i\le x_{i,j_i}$가 되어 모순이므로

$\displaystyle B(\psi(r))=B(j_1,j_2,\cdots,j_m)=\prod_{i=1}^m[x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]\in \mathcal{B}_k$이고 외합의 정의로 

$\displaystyle \overline{vol}(E;\mathcal{G})  =\sum_{\substack{r\ge 1\\ B(\psi(r)) \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset }}^p vol(B(\psi(r)))  \le \sum_{k=1}^{n_\epsilon}\sum_{\substack{r\ge 1\\ B(\psi(r))\in \mathcal{B}_k}}^p vol(B(\psi(r))) = \sum_{k=1}^{n_\epsilon} vol(D_k) \lt \epsilon $이므로

$E$의 부피는 $0$이다.

3.

$E$의 부피가 $0$이면

$E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하여 위 정리로 $E$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이다.

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $E\subseteq B_\epsilon$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B_\epsilon$이 존재하여

어떤 $B_\epsilon$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon$에 대해 위 정리와 외부피의 정의와 하한의 정의로

$0\le \underline{vol}(E)\le\overline{vol}(E) \le \overline{vol}(E;\mathcal{G}_\epsilon)< \epsilon $이므로 부등식 정리로 $\underline{vol}(E) =0 = \overline{vol}(E)$이다.

역으로 $E$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 $\underline{vol}(E) = \overline{vol}(E) = 0$이면

위 정리로 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하여 외부피의 정의와 하한 정리로

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\overline{vol}(E; \mathcal{G}_\epsilon) < \overline{vol}(E) + \epsilon = \epsilon$인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon$이 존재하므로 $E$의 부피는 $0$이다.

4.

$F$의 부피는 $0$이므로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $F\subseteq B_\epsilon$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B_\epsilon$이 존재하여

$E\subseteq F\subseteq B_\epsilon$이고 어떤 $B_\epsilon$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon$에 대해 위 정리로 $\overline{vol}(E;\mathcal{G}_\epsilon)\le \overline{vol}(F;\mathcal{G}_\epsilon)< \epsilon$임에 따라 $E$의 부피는 $0$이다.

5.

$E$의 부피는 $0$이므로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $E\subseteq B_\epsilon$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B_\epsilon$이 존재하여

위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq B_\epsilon$이고 어떤 $B_\epsilon$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon$에 대해 

$\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E};\mathcal{G}_\epsilon)\le \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)};\mathcal{G}_\epsilon)= \overline{vol}(E;\mathcal{G}_\epsilon)< \epsilon$임에 따라 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E},\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$의 부피는 $0$이다.

내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$이고 $E$의 부피가 $0$임에 따라 4번으로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$의 부피는 $0$이다.

6.

$E = \emptyset$이면 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^m[0,1]$는 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자이고 $E=\emptyset \subseteq B$이므로

위 정리로 $\{ B\}$가 $B$의 격자이고 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\overline{vol}(E;\{ B\}) = \overline{vol}(\emptyset;\{B\}) =0<\epsilon$임에 따라

$E =\emptyset$의 부피는 $0$이다.

$E$가 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이면 

$E = \{ x(1), x(2),\cdots,x(n)\}$인 $x(1),x(2),\cdots,x(n)\in \mathbb{R}^m$이 존재하여 

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\delta_\epsilon = \dfrac{\epsilon^\frac{1}{m}}{4\cdot n^\frac{1}{m}}$이고 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $x(k) = (x_1(k),x_{2}(k),\cdots,x_{m}(k))$일때

$C_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i}(k)-\delta_\epsilon,x_{i}(k)+\delta_\epsilon]$는 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자이고

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $x_{i}(k)\in [x_{i}(k)-\delta_\epsilon,x_i(k)+\delta_\epsilon]$이므로 $x(k)\in C_k$가 되어 $E \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^n C_k$임에 따라

닫힌상자의 부피의 정의로

$\displaystyle \sum_{k=1}^n vol(C_k ) = \sum_{k=1}^n (2\cdot \delta_\epsilon)^m = \sum_{k=1}^n \left (2\cdot \dfrac{\epsilon^\frac{1}{m}}{4\cdot n^\frac{1}{m}} \right)^m  = \sum_{k=1}^n\dfrac{\epsilon}{2^m\cdot n} = n\cdot \dfrac{\epsilon}{2^m\cdot n} = \dfrac{\epsilon}{2^m} < \epsilon$이고

2번으로 $E = \{ x(1), x(2),\cdots,x(n)\}$의 부피는 $0$이다.

7.

$E,F$의 부피가 $0$이므로 1번으로 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 어떤 $n_\epsilon, p_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하고

모든 $k=1,2,\cdots,n_\epsilon$와 모든 $r= 1,2,\cdots,p_\epsilon$에 대해 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $A_k,B_r$이 존재하여 

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}A_k$와 $F\subseteq \displaystyle \bigcup_{r=1}^{p_\epsilon}B_r$가 성립하고 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon}vol(A_k)<\dfrac{\epsilon}{2}$와 $\displaystyle \sum_{r=1}^{p_\epsilon}vol(B_r) <\dfrac{\epsilon}{2}$가 성립하므로 

모든 $k=1,2,\cdots,n_\epsilon ,n_\epsilon+1,\cdots, n_\epsilon + p_\epsilon$에 대해

$1\le k\le n_\epsilon$이면 $C_k = A_k$이고 $n_\epsilon + 1\le k\le n_\epsilon + p_\epsilon$이면 $C_k = B_{k-n_\epsilon}$일때

$E\cup F\subseteq \displaystyle \left (\bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}A_k\right )\cup \left ( \bigcup_{r=1}^{p_\epsilon} B_r\right ) = \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon + p_\epsilon} C_k$이고 

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon+p_\epsilon}vol(C_k)=\left (\sum_{k=1}^{n_\epsilon}vol(A_k)\right ) + \left ( \sum_{r=1}^{p_\epsilon}vol(B_r)\right )<\dfrac{\epsilon}{2} +\dfrac{\epsilon}{2} =\epsilon$임에 따라 2번으로 $E\cup F$의 부피는 $0$이다.

 

 

 

정의4

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때

조르당 영역(Jordan region) :

임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^m$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 $E$의 경계 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$의 부피가 $0$이면

$E$를 조르당영역 또는 $m$차원 조르당영역으로 정의한다.

집합의 부피 : 

임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^m$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 $E$의 내부피와 외부피가 $\underline{vol}(E)= \overline{vol}(E)$이면

$vol(E) = \underline{vol}(E)= \overline{vol}(E)$를 $E$의 부피 또는 $m$차원 부피로 정의한다.

$m = 2$이면 $vol(E) = area(E)$로 표기하고 $m = 1$이면 $vol(E) = len(E)$로 표기한다.

 

 

 

정리11

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해 다음이 성립한다.

1. $E$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이면 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)},\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)},\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고

$\underline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}) = \underline{vol}(E)$와 $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}) = \overline{vol}(E)$와 $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) = \overline{vol}(E)- \underline{vol}(E)$가 성립한다.

2. $E$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계일때 $E$가 조르당영역이기 위한 필요충분조건은 $\underline{vol}(E)= \overline{vol}(E)$인 것이다.

3. $E$가 조르당영역이면 $E$의 부피 $vol(E)$가 유일하게 존재하고 $vol(E)\ge 0$이다.

4. $E$의 부피가 $0$이기 위한 필요충분조건은 $E$가 조르당영역이고 $vol(E) = 0$인 것이다.

5. $E$가 조르당영역이면 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)},\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$는 조르당영역이고 $vol(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}) = vol(E) = vol(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)})$이다.

6. $E$가 유한집합이면 $E$는 조르당영역이고 $vol(E) = 0$이다.

증명

1.

$E$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이므로 위 정리로 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하여

위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq B$와 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\subseteq B$가 성립하고

위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)},\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)},\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계임에 따라

위 정리로 $E$의 내부피와 외부피 $\underline{vol}(E),\overline{vol}(E)$가 유일하게 존재하고

$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$의 내부피 $\underline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)})$와 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)},\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$의 외부피 $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}),\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E})$가 유일하게 존재한다.

$B$의 모든 격자들의 집합 $\mathbf{G}$에 대해 위 정리로

$ \{ \underline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}; \mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} = \{ \underline{vol}(E; \mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} $이고 $ \{ \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}; \mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} = \{ \overline{vol}(E; \mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} $이므로 

내부피의 정의로 $\underline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)})=\sup \{ \underline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}; \mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} = \sup \{ \underline{vol}(E; \mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} = \underline{vol}(E)$이고

외부피의 정의로 $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)})=\inf \{ \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}; \mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} = \inf \{ \overline{vol}(E; \mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} = \overline{vol}(E)$이다.

모든 $B$의 격자 $\mathcal{G}$에 대해

외부피의 정의와 하한의 정의로 $\overline{vol}(E)\le \overline{vol}(E;\mathcal{G})$이고

내부피의 정의와 상한의 정의로 $\underline{vol}(E;\mathcal{G})\le \underline{vol}(E)$이므로 

위 정리로 $\overline{vol}(E)-\underline{vol}(E)\le \overline{vol}(E;\mathcal{G}) - \underline{vol}(E;\mathcal{G}) =\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E};\mathcal{G})$임에 따라 

외부피의 정의와 하한의 정의로 $\overline{vol}(E)-\underline{vol}(E)\le \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E})$이다.

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 

외부피의 정의와 하한 정리로 $\overline{vol}(E;\mathcal{G}_1) < \overline{vol}(E) + \dfrac{\epsilon}{2}$인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_1$이 존재하고 

내부피의 정의와 상한 정리로 $\underline{vol}(E)-\dfrac{\epsilon}{2} < \underline{vol}(E; \mathcal{G}_2)$인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_2$가 존재하므로

위 정리로 $\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2$의 세분인 $B$의 격자 $\mathcal{G}$가 존재하여

위 정리로 $\overline{vol}(E;\mathcal{G})\le \overline{vol}(E;\mathcal{G}_1) < \overline{vol}(E) + \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $\underline{vol}(E)-\dfrac{\epsilon}{2} < \underline{vol}(E; \mathcal{G}_2)\le \underline{vol}(E;\mathcal{G})$임에 따라 

외부피의 정의와 하한의 정의와 위 정리로

$\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E})\le \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E};\mathcal{G}) = \overline{vol}(E;\mathcal{G}) - \underline{vol}(E;\mathcal{G}) \lt \overline{vol}(E)+\dfrac{\epsilon}{2}-\underline{vol}(E) +\dfrac{\epsilon}{2} = \overline{vol}(E) -\underline{vol}(E)+\epsilon \text{ 이므로}$

부등식 정리로 $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E})\le \overline{vol}(E) -\underline{vol}(E)$가 되어 $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) = \overline{vol}(E)- \underline{vol}(E)$이다.

2.

$E$가 조르당영역이면 

$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$의 부피가 $0$이므로 1번과 위 정리로 $\overline{vol}(E)-\underline{vol}(E)= \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) = 0$이 되어 $\underline{vol}(E)= \overline{vol}(E)$이다.

역으로 $\underline{vol}(E)= \overline{vol}(E)$이면 1번과 위 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 $0\le \underline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E})\le \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) = \overline{vol}(E)-\underline{vol}(E) = 0$이므로 

$\underline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E})=\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) = 0$이 되어 위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$의 부피는 $0$이고 $E$는 조르당영역이다.

3.

$E$는 조르당영역이므로 $E$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계가 되어

위 정리로 $E$의 내부피와 외부피 $\underline{vol}(E), \overline{vol}(E)$가 유일하게 존재하고 

2번으로 $\overline{vol}(E) = \underline{vol}(E)\ge 0$이므로 $E$의 부피 $vol(E) = \overline{vol}(E) = \underline{vol}(E)\ge 0$가 유일하게 존재한다.

4.

$E$의 부피가 $0$이면 

위 정리로 $E$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 $\underline{vol}(E) = \overline{vol}(E) = 0$이므로

2번으로 $E$는 조르당영역이고 부피의 정의로 $vol(E) = \underline{vol}(E) = \overline{vol}(E) = 0$이다.

역으로 $E$가 조르당영역이고 $vol(E) = 0$이면 

$E$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 부피의 정의로 $\underline{vol}(E) = \overline{vol}(E)  = vol(E)= 0$이므로 위 정리로 $E$의 부피는 $0$이다.

5.

조르당영역의 정의로 $E$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이므로 1번으로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)},\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고

위상공간 정리와 경계 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)})\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$와 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)})\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$가 성립하므로

조르당영역의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$의 부피가 $0$임에 따라

위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}),\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)})$의 부피는 $0$이 되어 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)},\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$는 조르당영역이다.

따라서 부피의 정의와 1번으로

$vol(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)})=\underline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}) = \underline{vol}(E) = vol(E) = \overline{vol}(E) = \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}) =vol(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)})$이다.

6.

위 정리와 4번으로 $E$는 조르당영역이고 $vol(E) = 0$이다.

 

 

 

정리12

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $l_1,l_2,\cdots,l_m\in (0,\infty)$과 모든 $\epsilon\in (0,l_1\cdot l_2\cdot\,\cdots \,\cdot l_m)$에 대해

$l_1\cdot l_2\cdot\,\cdots \, \cdot l_m=(l_1 - \delta_\epsilon)\cdot (l_2-\delta_\epsilon)\cdot \, \cdots\, \cdot (l_m-\delta_\epsilon) +\epsilon$인 $\delta_\epsilon\in (0,\min \{ l_1,l_2,\cdots,l_m\})$이 존재한다.

2. 모든 $m$차원 닫힌상자는 조르당영역이고 닫힌상자의 부피는 집합의 부피와 같다.

3. 모든 $m$차원 열린상자는 조르당영역이고 열린상자의 부피는 집합의 부피와 같다.

증명

1.

모든 $t\in [0, \min\{l_1,l_2,\cdots,l_m\}]$에 대해

$f(t) = (l_1 - t)\cdot (l_2 -t)\cdot \, \cdots \, \cdot (l_m - t)$인 함수 $f: [0,\min\{l_1,l_2,\cdots,l_m\}]\to \mathbb{R}$는

다항식 정리와 다항함수의 정의로 $f(t) = a_m\cdot t^m + \cdots + a_1\cdot t + a_0$인 $a_m,\cdots,a_1,a_0\in \mathbb{R}$이 존재하여 

$a_m = (-1)^m$과 $a_0 = l_1\cdot l_2\cdot\, \cdots\, \cdot l_m > 0$이 성립하므로

$f(0) = a_m\cdot 0^m + \cdots + a_1\cdot 0+ a_0  = a_0 = l_1\cdot l_2\cdot \,\cdots \, \cdot l_m$이고

최소원소의 정의로 $f(\min \{ l_1,l_2,\cdots,l_m\}) = 0$이다.

최소원소의 정의로 $\min \{ l_1,l_2,\cdots,l_m\} > 0$이고

$f(\min \{ l_1,l_2,\cdots,l_m\}) = 0 < l_1\cdot l_2\cdot \, \cdots\, \cdot l_m -\epsilon < l_1\cdot l_2\cdot \, \cdots \, \cdot l_m = f(0)$이므로

다항함수 정리로 $f$가 $[0,\min\{l_1,l_2,\cdots,l_m\}]$에서 연속임에 따라 중간값 정리로

$l_1\cdot l_2\cdot\,\cdots\, \cdot l_m -\epsilon = f(\delta_\epsilon) = (l_1 - \delta_\epsilon)\cdot (l_2 - \delta_\epsilon) \cdot \, \cdots\, \cdot (l_m - \delta_\epsilon)$인 $\delta_\epsilon \in (0,\min\{ l_1,l_2,\cdots,l_m\})$이 존재하여 

$l_1\cdot l_2\cdot\,\cdots \, \cdot l_m=(l_1 - \delta_\epsilon)\cdot (l_2-\delta_\epsilon)\cdot \, \cdots\, \cdot (l_m-\delta_\epsilon) +\epsilon$이다.

2.

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i\le b_i$인 닫힌구간 $[a_i,b_i]$에 대해 $m$차원 닫힌상자가 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$일때

$B$가 퇴화상자이면 어떤 $j=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_j = b_j$이므로 위 정리로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 

$(b_1-a_1+\delta_\epsilon)\cdot (b_2-a_2+\delta_\epsilon)\cdot \, \cdots\,\cdot (b_m-a_m+\delta_\epsilon) = (b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot\,\cdots\,\cdot (b_m-a_m) + \dfrac{\epsilon}{2}=0+\dfrac{\epsilon}{2} = \dfrac{\epsilon}{2}\text{ 인}$

$\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여 $B_\epsilon = {\displaystyle \prod_{i=1}^m} [a_i-\frac{\delta_\epsilon}{2},b_i+\frac{\delta_\epsilon}{2}]$은 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자이고

$B\subseteq B_\epsilon$이므로 위 정리로 $\{B_\epsilon \}$은 $B_\epsilon$의 격자이고

$\overline{vol}(B;\{ B_\epsilon\})\le \overline{vol}(B_\epsilon;\{ B_\epsilon \}) = (b_1-a_1+\delta_\epsilon)\cdot (b_2-a_2+\delta_\epsilon)\cdot \, \cdots\,\cdot (b_m-a_m+\delta_\epsilon) = \dfrac{\epsilon}{2} < \epsilon$임에 따라

$B$의 부피는 $0$이 되어 위 정리로 $B$는 조르당영역이고 $vol(B) = 0 = (b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot\,\cdots\,\cdot (b_m-a_m)$이다.

$B$가 퇴화상자가 아니면 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i<b_i$이므로

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\epsilon_m = \min \{ (b_1-a_1)\cdot(b_2-a_2)\cdot\,\cdots\,\cdot (b_m-a_m) ,\epsilon\}$일때

최소원소의 정의로 $0< \dfrac{\epsilon_m}{2} < \epsilon_m \le (b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot\,\cdots\,\cdot (b_m-a_m)$임에 따라 1번으로

$(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot\,\cdots\,\cdot (b_m-a_m) = (b_1 -a_1-\delta_\epsilon)\cdot (b_2-a_2-\delta_\epsilon)\cdot\,\cdots\,\cdot (b_m-a_m -\delta_\epsilon) + \dfrac{\epsilon_m}{2}$인

$\delta_\epsilon\in (0,\min\{ b_1-a_1,b_2-a_2,\cdots,b_m-a_m\})$이 존재하여

최소원소의 정의로 $0< \dfrac{\delta_\epsilon}{2}< \delta_\epsilon < \min\{ b_1-a_1,b_2-a_2,\cdots,b_m-a_m\}\le b_i-a_i$이고 

$0< b_i-a_i -\delta_\epsilon = b_i - \dfrac{\delta_\epsilon}{2} - a_i - \dfrac{\delta_\epsilon}{2}$이므로 $a_i < a_i+\dfrac{\delta_\epsilon}{2} < b_i-\dfrac{\delta_\epsilon}{2} < b_i$가 되어 

$x_{i,0} =a_i $이고 $x_{i,1} = a_i+\dfrac{\delta_\epsilon}{2} $이고 $x_{i,2}= b_i-\dfrac{\delta_\epsilon}{2}$이고 $x_{i,3}= b_i$이면 

$[a_i, b_i] = [x_{i,0},x_{i,1}]\cup [x_{i,1},x_{i,2}]\cup [x_{i,2},x_{i,3}]$임에 따라

$\mathcal{G} =\{ \underset{i=1}{\overset{m}{\prod}} [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]  : j_1,j_2,\cdots,j_m\in \{ 1,2,3\} \}$는 $B$의 격자이다.

위 정리로 $\displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}] \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B)} = \prod_{i=1}^m(a_i,b_i)$인 임의의 $j_1,j_2,\cdots,j_m\in \{ 1,2,3\}$은

${\displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]  = \prod_{i=1}^m}[a_i +\frac{\delta_\epsilon}{2},b_i-\frac{\delta_\epsilon}{2}]$이므로 위 정리와 위 정리와 내합의 정의와 최소원소의 정의로

$\begin{align*} \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial B}; \mathcal{G}) & = \overline{vol}(B; \mathcal{G}) -\underline{vol}(B; \mathcal{G}) \\[0.5em] & = (b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot\,\cdots\,\cdot (b_m-a_m) - (b_1 -a_1-\delta_\epsilon)\cdot (b_2-a_2-\delta_\epsilon)\cdot\,\cdots\,\cdot (b_m-a_m -\delta_\epsilon) \\[0.5em] & = \dfrac{\epsilon_m}{2} \\[0.5em] & \lt \epsilon_m \\[0.5em] & \le \epsilon \text{ 이 되어} \end{align*}$

$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial B}$의 부피가 $0$임에 따라 $B$는 조르당영역이다.

$B$의 모든 격자들의 집합 $\mathbf{G}$에 대해 

위 정리로 $\{\overline{vol}(B;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} = \{ (b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot\,\cdots \cdot (b_m-a_m)\}$이므로 

위 정리와 부피의 정의와 외부피의 정의와 하한 정리로

$vol(B)=\overline{vol}(B) =\inf \{\overline{vol}(B;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} = (b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot\,\cdots \cdot (b_m-a_m)$이다.

3.

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i\le b_i$인 열린구간 $(a_i,b_i)$에 대해 $m$차원 열린상자가 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^m (a_i,b_i)$일때

$B$가 공상자이면 어떤 $j=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_j = b_j$이므로 $B = \emptyset$이 되어

위 정리로 $B$는 조르당영역이고 $vol(B) = 0 = (b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot\,\cdots\,\cdot (b_m-a_m)$이다.

$B$가 공상자가 아니면 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i<b_i$이므로

위 정리와 2번으로 $\displaystyle \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(B)} =\prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$는 조르당영역이 되어

위 정리와 위 정리로 $\displaystyle B =\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(\prod_{i=1}^m [a_i,b_i])$는 조르당영역이고 

위 정리와 2번으로 $vol(B) = vol(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(B)}) =(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\cdot \,\cdots\,\cdot (b_m-a_m)$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/99#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/99#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

William R. Wade - Introduction to Analysis - 9780132296380

Terence Tao - Analysis 2 - 9791156646808