노름공간과 다변수함수의 적분에 대한 정리

정의1

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이고 $\mathbb{R}^m$의 멱집합 $\mathcal{P}(\mathbb{R}^m)$의 임의의 부분집합이 $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{P}(\mathbb{R}^m)$일때

비중첩 집합족(non-overlapping family) : 

$E\ne F$인 모든 $E,F\in \mathcal{E}$에 대해 $E\cap F$의 부피가 $0$이면 $\mathcal{E}$를 비중첩집합족 또는 $m$차원 비중첩집합족으로 정의한다.

서로소 집합족(pairwise family) :

$E\ne F$인 모든 $E,F\in \mathcal{E}$에 대해 $E\cap F = \emptyset$이면 $\mathcal{E}$를 서로소집합족 또는 $m$차원 서로소집합족으로 정의한다.

 

 

 

정리1

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때 $m$차원 서로소집합족 $\mathcal{E}$는 $m$차원 비중첩집합족이다.

증명

서로소집합족의 정의로 $E\ne F$인 모든 $E,F\in \mathcal{E}$에 대해 $E\cap F = \emptyset$이므로 

부피 정리로 $E\cap F = \emptyset$의 부피는 $0$이 되어 $\mathcal{E}$는 $m$차원 비중첩집합족이다.

 

 

 

정리2

거리공간 $(X,d)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x\in X$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{r}{2})$ $\subseteq$ $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}$$(\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{r}{2})) \subseteq $ $\underset{(X,d)}{B}[x,\frac{r}{2}]$ $ \subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이다.

2. 임의의 $U\subseteq X$가 $(X,d)$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은

모든 $x\in U$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}[x,r_x]\subseteq U$인 $r_x\in (0,\infty)$가 존재하는 것이다.

3. 모든 $x\in X$와 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,r),\underset{(X,d)}{B}[x,r]$은 $(X,d)$에서 유계이다.

4. $(X,d)$에서 열린집합 $O$와 $(X,d)$에서 닫힌집합 $C$에 대해

$O\setminus C$는 $(X,d)$에서 열린집합이고 $C\setminus O$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.

5. 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,d)$에서 유계이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$가 $(X,d)$에서 유계인 것이다.

6. 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,d)$에서 유계일때 $(X,d)$에서 열린집합 $U$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)\subseteq U$이면 

$\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)\subseteq O\subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(O)\subseteq U$이고 $(X,d)$에서 유계인 열린집합 $O$가 존재한다.

7. $(X,d)$에서 콤팩트집합 $K$에 대해 모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,d)$에서 열린집합인 임의의 집합족 $\mathcal{O}$가 $K\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이면 

어떤 $\delta\in (0,\infty)$에 대해 지름이 존재하여 $\underset{(X,d)}{\operatorname{diam}}(A) < \delta$인 모든 $A\subseteq K$는 $A\subseteq O_A$인 $O_A\in \mathcal{O}$가 존재한다.

증명

1.

모든 $y\in \underset{(X,d)}{B}[x,\frac{r}{2}]$는 닫힌공의 정의로 $d(x,y)\le \dfrac{r}{2} < r$이므로

열린공의 정의로 $y\in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$가 되어 $\underset{(X,d)}{B}[x,\frac{r}{2}]\subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이고 

폐포 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{r}{2})\subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{r}{2}))\subseteq \underset{(X,d)}{B}[x,\frac{r}{2}]$이다.

2.

$U$가 $(X,d)$에서 열린집합이면 거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x)\subseteq U$인 $r_x\in (0,\infty)$가 존재하여 

$\dfrac{r_x}{2}\in (0,\infty)$이고 1번으로 $\underset{(X,d)}{B}[x,\frac{r_x}{2}]\subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r_x)\subseteq U$이다.

역으로 모든 $x\in U$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}[x,r_x]\subseteq U$인 $r_x\in (0,\infty)$가 존재하면 

1번으로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x)\subseteq \underset{(X,d)}{B}[x,r_x]\subseteq U$이므로 거리공간 정리로 $U$는 $(X,d)$에서 열린집합이다.

3.

모든 $y,z\in \underset{(X,d)}{B}[x,r]$에 대해

거리공간의 정의와 닫힌공의 정의로 $d(y,z) \le d(y,x) + d(x,z) \le 2\cdot r$이므로 $\underset{(X,d)}{B}[x,r]$은 $(X,d)$에서 유계이고

1번으로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)\subseteq \underset{(X,d)}{B}[x,r]$이므로 거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)$은 $(X,d)$에서 유계이다.

4.

닫힌집합의 정의로 $X\setminus C$는 $(X,d)$에서 열린집합이고 거리공간 정리로 $X\setminus O$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이므로 

$O,C\subseteq X$임에 따라 집합 정리와 집합 정리와 거리공간 정리로 

$O\setminus C = O\setminus (O\cap C) = O\cap (X\setminus C)$는 $(X,d)$에서 열린집합이고

$C\setminus O = C\setminus (C\cap O) = C\cap (X\setminus O)$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.

5.

$E$가 $(X,d)$에서 유계이면 

어떤 $M\in (0,\infty)$이 존재하여 모든 $x,y\in E$에 대해 $d(x,y) \le M$이고 밀착점 정리로 

모든 $x,y\in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) = x$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(y_n) = y$인 $E$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty$이 존재하여 

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $d(x_n,y_n)\le M$이므로

거리공간 정리와 실수열 정리로 $\displaystyle d(x,y) =\lim_{n\to \infty}(d(x_n,y_n)) \le M$임에 따라 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$는 $(X,d)$에서 유계이다.

역으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$가 $(X,d)$에서 유계이면 

폐포 정리로 $E\subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$임에 따라 거리공간 정리로 $E$는 $(X,d)$에서 유계이다.

6.

$E = \emptyset$일때 거리공간 정리로 $E = \emptyset$은 $(X,d)$에서 유계인 열린집합이고 닫힌집합이므로 

폐포 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) = E = \emptyset = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\emptyset) = \emptyset \subseteq U$이다.

$E\ne \emptyset$일때 $X\ne \emptyset$이고 5번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$는 $(X,d)$에서 유계이므로 거리공간 정리로

어떤 $M\in (0,\infty)$과 어떤 $x_0\in X$이 존재하여 모든 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$가 $d(x_0,x)\le M < M+1$임에 따라 

열린공의 정의로 $x\in \underset{(X,d)}{B}(x_0,M+1)$이고 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq \underset{(X,d)}{B}(x_0,M+1)$이다.

$U = X$이면 3번과 열린공 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x_0,M+1)$은 $(X,d)$에서 유계인 열린집합이고

폐포 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq \underset{(X,d)}{B}(x_0,M+1)\subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,d)}{B}(x_0,M+1)) \subseteq X = U$이다.

$U\ne X$이면 $X\setminus U\ne \emptyset$이고

거리공간 정리로 $X\setminus U$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이므로 집합 정리와 거리공간 정리와 위상공간 정리로

모든 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq U = X \setminus (X\setminus U)$에 대해 $\delta_x = \inf \{ d(x,y) : y\in X\setminus U\} > 0$이 되어

$r_x = \min \{ \frac{\delta_x}{2}, 1\} > 0$일때 거리공간 정리와 열린공 정리로 $O = \displaystyle \bigcup_{x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)} \underset{(X,d)}{B}(x,r_x)$는 $(X,d)$에서 열린집합이고

열린공의 정의로 $x \in  \underset{(X,d)}{B}(x,r_x)\subseteq O$이므로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq O$이다.

모든 $y\in O$에 대해 $y\in  \underset{(X,d)}{B}(x,r_x)$인 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$가 존재하여 열린공의 정의로 $d(x,y)< r_x \le 1$이므로 

거리공간의 정의로 $d(x_0,y) \le d(x_0,x) + d(x,y) < M + 1$임에 따라 거리공간 정리로 $O$는 $(X,d)$에서 유계이다.

어떤 $y \in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(O)$가 $y\notin U$라고 가정하면

$y \in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(O) \setminus U\subseteq X\setminus U$이므로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 밀착점의 정의로 $\underset{(X,d)}{B}(y,\frac{1}{2\cdot n})\cap O\ne \emptyset$이고

선택 정리로 $y_n\in \underset{(X,d)}{B}(y,\frac{1}{2\cdot n})\cap O$을 선택하여 $y_n \in \underset{(X,d)}{B}(x_n,r_{x_n})$인 $x_n\in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$을 선택할때

하한의 정의와 거리공간의 정의와 최소원소의 정의와 열린공의 정의로

$\delta_{x_n}\le d(x_n,y) \le d(x_n,y_n) + d(y_n,y) < r_{x_n} + \dfrac{1}{2\cdot n} \le \dfrac{\delta_{x_n}}{2} + \dfrac{1}{2\cdot n}$이므로 $\dfrac{\delta_{x_n}}{2} = \delta_{x_n} - \dfrac{\delta_{x_n}}{2} < \dfrac{1}{2\cdot n}$이고

$|d(x_n,y) - 0|=d(x_n,y) < \dfrac{\delta_{x_n}}{2} + \dfrac{1}{2\cdot n} < \dfrac{1}{2\cdot n} + \dfrac{1}{2\cdot n} = \dfrac{1}{n}$임에 따라

수열 정리와 수열 정리와 거리공간에서 수렴의 정의로 $\displaystyle  \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) = y$가 되어

폐포 정리와 닫힌집합 정리로 $\displaystyle y = \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) \in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq U$이므로 모순이다.

따라서 모든 $y \in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(O)$는 $y\in U$이고 폐포 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)\subseteq O\subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(O)\subseteq U$이다.

7.

모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해

지름이 존재하여 $\underset{(X,d)}{\operatorname{diam}}(A_\epsilon) < \epsilon$인 어떤 $A_\epsilon \subseteq K$이 모든 $O\in \mathcal{O}$에 대해 $A_\epsilon \not\subseteq O$라고 가정하면 

선택 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $O\in \mathcal{O}$가 $A_\frac{1}{n}\not\subseteq O$이고 $\underset{(X,d)}{\operatorname{diam}}(A_\frac{1}{n}) < \dfrac{1}{n}$인 $A_\frac{1}{n}\subseteq K$을 선택할때

지름의 정의로 $A_\frac{1}{n}\ne \emptyset$이므로 $x_n \in A_\frac{1}{n}$을 선택한 $K$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$이 존재함에 따라

위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리와 위상공간 정리와 콤팩트 정리와 그물 정리로

어떤 $x_0\in K$이 존재하여

모든 $r\in (0,\infty)$과 모든 $N \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $N\le n$이고 $x_n\in \underset{(X,d)}{B}(x_0,r)$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

$x_0\in K \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이므로 $x_0\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 

$O$가 $(X,d)$에서 열린집합임에 따라 거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x_0,r)\subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하고

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{N} < \dfrac{r}{2}$인 $N\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $N\le n$이고 $x_n\in \underset{(X,d)}{B}(x_0,\frac{r}{2})$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하는데

모든 $x\in A_\frac{1}{n}$에 대해 지름의 정의로 $d(x,x_n) \le \underset{(X,d)}{\operatorname{diam}}(A_\frac{1}{n}) < \dfrac{1}{n} \le \dfrac{1}{N} < \dfrac{r}{2}$이므로

거리공간의 정의와 열린공의 정의로 $d(x,x_0) \le d(x,x_n) + d(x_n,x_0) < \dfrac{r}{2}+\dfrac{r}{2} = r$이 되어 $x \in \underset{(X,d)}{B}(x_0,r)$이고 

$A_\frac{1}{n}\subseteq \underset{(X,d)}{B}(x_0,r)\subseteq O$임에 따라 모순이므로

어떤 $\delta\in (0,\infty)$에 대해 지름이 존재하여 $\underset{(X,d)}{\operatorname{diam}}(A) < \delta$인 모든 $A\subseteq K$는 $A\subseteq O_A$인 $O_A\in \mathcal{O}$가 존재한다.

 

 

 

정의2(노름 동치[equivalent])

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간이 $(V,\lVert\cdot\rVert_1),(V,\lVert\cdot\rVert_2)$일때

어떤 $m,M\in (0,\infty)$이 존재하여 모든 $x\in V$에 대해 $m\cdot \lVert x\rVert_2 \le \lVert x\rVert_1 \le M\cdot \lVert x\rVert_2$이면 

$(V,\lVert\cdot\rVert_1)$과 $(V,\lVert\cdot\rVert_2)$가 노름동치라고 정의한다.

 

 

 

정의3

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V),(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$이고

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V),(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$위의 노름공간이 $(V,\lVert\cdot\rVert_V),(W,\lVert\cdot\rVert_W)$이고

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 동형사상이 $T :V\to W$일때

노름 동형(isomorphism) :

어떤 $m,M\in (0,\infty)$가 존재하여 모든 $v\in V$에 대해 $m\cdot \lVert T(v)\rVert_W \le \lVert v\rVert_V \le M\cdot \lVert T(v)\rVert_W$이면 

$T$를 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$로의 노름동형사상으로 정의한다.

$(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$로의 노름동형사상이 존재하면 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$와 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$를 노름동형이라고 정의한다.

노름 등거리(isometry) :

모든 $v\in V$에 대해 $\lVert T(v)\rVert_W = \lVert v\rVert_V$이면 $T$를 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$로의 노름등거리변환으로 정의한다.

$(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$로의 노름등거리변환이 존재하면 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$와 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$를 노름등거리라고 정의한다.

 

 

 

정리3

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간이 $(V,\lVert\cdot\rVert)$일때 모든 $x\in V$에 대해 $\phi(x) = \lVert x\rVert$인

함수 $\phi : V\to \mathbb{R}$는 $(V,\lVert\cdot\rVert)$의 노름거리공간 $(V,d)$에서 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

2. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $n\in \mathbb{Z}^+$차원이고 임의의 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저가 $\{ v_1,v_2,\cdots,v_n\}$일때

모든 $x\in V$가 $x = a_1(x)\cdot_V v_1 +_V a_2(x)\cdot_V v_2+_V\cdots +_V a_n(x)\cdot_V v_n$인 $a_1(x),a_2(x),\cdots,a_n(x)\in F$에 대해

함수 $\lVert \cdot \rVert : V\to [0,\infty)$가 $\lVert x\rVert = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n |a_i(x)|^2}$이면 $(V,\lVert\cdot\rVert)$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간이고 

모든 $x\in V$에 대해 $\psi(x) = (a_1(x),a_2(x),\cdots,a_n(x))$인

함수 $\psi :V\to F^n$는 $(V,\lVert\cdot\rVert)$의 노름거리공간 $(V,d)$에서 $n$차원 유클리드 거리공간 $(F^n,d_n)$으로의 등거리변환이다.

3. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 유한차원이고 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간이 $(V,\lVert\cdot\rVert_1),(V,\lVert\cdot\rVert_2)$일때

어떤 $m,M\in (0,\infty)$이 존재하여 모든 $x\in V$에 대해 $m\cdot \lVert x\rVert_2 \le \lVert x\rVert_1 \le M\cdot \lVert x\rVert_2$이다.

4. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간 $(V,\lVert\cdot\rVert_1)$과 $(V,\lVert\cdot\rVert_2)$가 노름동치일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 항등변환 $I_V:V\to V$는 $(V,\lVert\cdot\rVert_1)$에서 $(V,\lVert\cdot\rVert_2)$로의 노름동형사상이다.

증명

1.

임의의 $x_0 \in V$와 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 

$\lVert x-x_0\rVert =d(x,x_0) < \epsilon$인 모든 $x\in V$는 노름공간 정리와 노름공간의 정의와 절댓값 정리로

$d_1(\phi(x),\phi(x_0)) = |\phi(x) - \phi(x_0)| = |\lVert x\rVert - \lVert x_0\rVert |\le \lVert x-x_0\rVert < \epsilon$이므로 

$\phi$는 $(V,d)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

2.

기저 정리로 모든 $x\in V$에 대해

$x = a_1(x)\cdot_V v_1 +_V a_2(x)\cdot_V v_2+_V\cdots +_V a_n(x)\cdot_V v_n$인 $a_1(x),a_2(x),\cdots,a_n(x)\in F$가 유일하게 존재하므로 

복소수 정리로 $\lVert x\rVert = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n |a_i(x)|^2}\ge 0$인 $\lVert \cdot \rVert : V\to [0,\infty)$는 함수이다.

모든 $x,y\in V$는 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 벡터공간의 정의로 $a_i(x+_V y) = a_i(x) + a_i(y)$이므로

민코프스키 부등식으로  

$\begin{align*}\lVert x+_V y\rVert &= \sqrt{\sum_{i=1}^n |a_i(x+_Vy)|^2} \\[0.5em]& = \left ( \sum_{i=1}^n |a_i(x) + a_i(y)|^2 \right )^\frac{1}{2} \\[0.5em]& \le \left ( \sum_{i=1}^n |a_i(x)|^2\right )^\frac{1}{2} + \left ( \sum_{i=1}^n |a_i(y)|^2\right )^\frac{1}{2} \\[0.5em]& \qquad = \sqrt{\sum_{i=1}^n|a_i(x)|^2} + \sqrt{\sum_{i=1}^n|a_i(y)|^2} \\[0.5em]&\qquad = \lVert x\rVert +\lVert y\rVert \text{ 이고}\end{align*}$

모든 $x\in V$와 모든 $c\in F$는 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 벡터공간의 정의로 $a_i(c\cdot_V x) = c\cdot a_i(x)$이므로

복소수 정리와 실수 정리와 절댓값 정리로 

$\begin{align*}\lVert c\cdot_V x\rVert &=\sqrt{\sum_{i=1}^n |a_i(c\cdot_V x)|^2} \\[0.5em]&= \sqrt{\sum_{i=1}^n |c\cdot a_i(x)|^2} \\[0.5em]&= \sqrt{\sum_{i=1}^n |c|^2\cdot |a_i(x)|^2} \\[0.5em]&= \sqrt{|c|^2\cdot \sum_{i=1}^n |a_i(x)|^2} \\[0.5em]&= \sqrt{|c|^2}\cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n|a_i(x)|^2} \\[0.5em]& = |c|\cdot \lVert x\rVert \text{ 이고} \end{align*}$

$x\ne \vec{0}$인 모든 $x\in V$는 벡터공간 정리와 벡터공간의 정의로 어떤 $j = 1,2,\cdots,n$가 존재하여 $a_j(x)\ne 0$임에 따라 

실수 정리와 절댓값 정리로 $\lVert x\rVert = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n |a_i(x)|^2}\ge \sqrt{|a_j(x)|^2}= |a_j(x)| >0$이므로

$(V,\lVert\cdot\rVert)$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간이다.

$x\ne y$인 모든 $x,y\in V$에 대해 $a_j(x)\ne a_j(y)$인 $j=1,2,\cdots,n$가 존재하여 $n$-순서쌍의 상등으로

$\psi(x)= (a_1(x),a_2(x),\cdots,a_n(x))\ne (a_1(y),a_2(y),\cdots, a_n(y)) = \psi(y)$이므로 $\psi$는 단사이고 

모든 $(c_1,c_2,\cdots,c_n)\in F^n$에 대해 벡터공간의 정의로 $c_1\cdot_V v_1 +_V c_2\cdot_V v_2+_V\cdots +_V c_n\cdot_V v_n\in V$이므로

$\psi(c_1\cdot_V v_1 +_V c_2\cdot_V v_2+_V\cdots +_V c_n\cdot_V v_n) = (c_1,c_2,\cdots,c_n)$임에 따라 $\psi$는 전사이다.

모든 $x,y\in V$는 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 벡터공간의 정의로 $a_i(x-y) = a_i(x) - a_i(y)$이므로

유클리드 거리공간의 정의로

$\begin{align*} d(x,y) & =\lVert x-y\rVert \\[0.5em] & = \sqrt{\sum_{i=1}^n |a_i(x-y)|^2} \\[0.5em]& = \sqrt{\sum_{i=1}^n |a_i(x) - a_i(y)|^2} \\[0.5em] & = d_n((a_1(x),a_2(x),\cdots,a_n(x)), (a_1(y),a_2(y),\cdots,a_n(y)) ) \\[0.5em] & = d_n(\psi(x),\psi(y)) \text{ 가 되어} \end{align*}$

$\psi$는 $(V,d)$에서 $(F^n,d_n)$으로의 등거리변환이다.

3.

임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $n$차원일때

$n = 0$이면 $\emptyset$은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저이므로 생성집합의 정의로 $V =\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\emptyset)} = \{\vec{0}\}$이고 

모든 $x\in V$는 $x = \vec{0}$이 되어 노름공간 정리로 $\lVert x\rVert_1 =\lVert \vec{0}\rVert_1 = 0 = \lVert \vec{0}\rVert_2 = \lVert x\rVert_2$이다.

$n \in \mathbb{Z}^+$이면 차원의 정의로 어떤 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저 $\{ v_1,v_2,\cdots,v_n\}$이 존재하여 2번으로

모든 $x\in V$가 $x = a_1(x)\cdot_V v_1 +_V a_2(x)\cdot_V v_2+_V\cdots +_V a_n(x)\cdot_V v_n$인 $a_1(x),a_2(x),\cdots,a_n(x)\in F$에 대해

$\lVert x\rVert = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n |a_i(x)|^2}$인 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간이 $(V,\lVert\cdot \rVert)$이고 $\psi(x) = (a_1(x),a_2(x),\cdots,a_n(x))$인

$(V,\lVert\cdot\rVert)$의 노름거리공간 $(V,d)$에서 $n$차원 유클리드 거리공간 $(F^n,d_n)$으로의 등거리변환이 $\psi :V\to F^n$일때

임의의 $k=1,2$에 대해 $M_k = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n \lVert v_i\rVert_k}$이면 기저의 정의와 벡터공간 정리로 

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $v_i\ne \vec{0}$이므로 노름공간의 정의로 $\lVert v_i\rVert_k > 0$이 되어 $M_k = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n \lVert v_i\rVert_k} >0$이고 

노름공간의 정의와 횔더 부등식으로  

$\begin{align*} \lVert x\rVert_k & = \left \lVert a_1(x)\cdot_V v_1 +_V a_2(x)\cdot_V v_2+_V\cdots +_V a_n(x)\cdot_V v_n \right\rVert_k \\[0.5em] & \le \sum_{i=1}^n |a_i(x)|\cdot \lVert v_i\rVert_k \\[0.5em] & \le \left (\sum_{i=1}^n |a_i(x)|^2 \right )^\frac{1}{2} \cdot \left (\sum_{i=1}^n \lVert v_i\rVert_k^2 \right )^\frac{1}{2} \\[0.5em] & \qquad = \sqrt{\sum_{i=1}^n |a_i(x)|^2 } \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n \lVert v_i\rVert_k^2 } \\[0.5em] & \qquad = \lVert x\rVert \cdot M_k \text{ 이다.} \end{align*}$

임의의 $k=1,2$에 대해 1번으로 모든 $x\in V$가 $\phi_k(x) = \lVert x\rVert_k$인

함수 $\phi_k : V\to \mathbb{R}$는 $(V,\lVert\cdot\rVert_k)$의 노름거리공간 $(V,\rho_k)$에서 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고

$(F,+,\cdot,0,1)$위의 $n$-순서쌍 벡터공간 $(F^n,+_n,\cdot_n, \vec{0}_n)$위의

점곱내적공간의 노름공간의 노름거리공간은 $(F^n,d_n)$이므로 노름공간 정리와 거리공간 정리와 경계 정리로 

$S = \{ (c_1,c_2,\cdots,c_n)\in F^n : d_n(\vec{0}_n,(c_1,c_2,\cdots,c_n)) =1 \} = \underset{(F^n,d_n)}{\partial}(\underset{(F^n,d_n)}{B}(\vec{0}_n,1))$는 $(F^n,d_n)$에서 닫힌집합이고

거리공간의 정의로 $S$가 $(F^n,d_n)$에서 유계임에 따라 하이네-보렐 정리로 $S$는 $(F^n,d_n)$에서 콤팩트집합이다.

거리공간 정리와 위상동형사상의 정의로 $\psi$의 역함수 $\psi^{-1} : F^n\to V$은 $(F^n,d_n)$에서 $(V,d)$로의 연속함수이므로 

위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리와 콤팩트 정리로 $\psi^{-1}(S)$는 $(V,d)$에서 콤팩트집합이고

$d_n(\vec{0}_n, (1,0,\cdots,0)) = \displaystyle \sqrt{|1-0| + |0-0|+\cdots +|0-0|} = \sqrt{1} = 1$이므로 

$\psi(v_1) = \psi(1\cdot_V v_1 +_V 0\cdot_V v_2 +_V\cdots+_V 0\cdot_V v_n) = (1,0,\cdots,0)\in S$이 되어 $v_1\in \psi^{-1}(S)$이고

$\psi^{-1}(S)\ne \emptyset$임에 따라 거리공간 정리로 $m_k = \min \phi_k(\psi^{-1}(S))$가 존재하고 

모든 $x \in \psi^{-1}(S)$는 $(a_1(x),a_2(x),\cdots,a_n(x))=\psi(x)\in S$이므로 

$1=d_n(\vec{0}_n, (a_1(x),a_2(x),\cdots,a_n(x))) = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n|a_i(x)|^2} = \lVert x\rVert$가 되어 노름공간 정리로 $x\ne \vec{0}$임에 따라

$\phi_k(x) = \lVert x\rVert_k > 0$이고 최소원소의 정의로 $m_k = \min \phi_k(\psi^{-1}(S)) > 0$이다.

임의의 $x\in V$에 대해 $x = \vec{0}$이면 노름공간 정리로 $m_k\cdot \lVert x\rVert =m_k\cdot 0 =0=\lVert x\rVert_k$이고 

$x\ne \vec{0}$이면 노름공간 정리로 $\left \lVert \lVert x\rVert^{-1}\cdot_V x \right \rVert =1$이므로 $\lVert x\rVert^{-1}\cdot_V x \in \psi^{-1}(S)$이고 

노름공간의 정의로 $\lVert x\rVert^{-1}\cdot \lVert x\rVert_k =\left \lVert \lVert x\rVert^{-1}\cdot_V x \right \rVert_k = \phi_k(\lVert x\rVert^{-1}\cdot_V x) \in \phi_k(\psi^{-1}(S))$이 되어

최소원소의 정의로 $m_k \le \lVert x\rVert^{-1}\cdot \lVert x\rVert_k$이므로 $\lVert x\rVert^{-1} > 0$임에 따라 $m_k\cdot \lVert x\rVert \le \lVert x\rVert_k\le M_k\cdot \lVert x\rVert$이다.

모든 $x\in V$에 대해 $m_1\cdot \lVert x\rVert \le \lVert x\rVert_1\le M_1\cdot \lVert x\rVert$이고 $m_2\cdot \lVert x\rVert \le \lVert x\rVert_2\le M_2\cdot \lVert x\rVert$이므로

$m = \dfrac{m_1}{M_2} >0$과 $M = \dfrac{M_1}{m_2} > 0$에 대해 

$m \cdot \lVert x\rVert_2 = \dfrac{m_1}{M_2} \cdot \lVert x\rVert_2 \le \dfrac{m_1}{M_2}\cdot M_2\cdot \lVert x\rVert = m_1\cdot \lVert x\rVert \le \lVert x\rVert_1 \le M_1 \cdot \lVert x\rVert = \dfrac{M_1}{m_2}\cdot m_2\cdot \lVert x\rVert \le \dfrac{M_1}{m_2}\cdot \lVert x\rVert_2 = M\cdot \lVert x\rVert_2\text{ 이다.}$

4.

선형변환 정리와 항등함수 정리로 $I_V$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$로의 선형변환이고 가역이므로

$I_V$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$로의 동형사상이고 $(V,\lVert\cdot\rVert_1)$과 $(V,\lVert\cdot\rVert_2)$가 노름동치임에 따라

어떤 $m,M\in (0,\infty)$이 존재하여 모든 $x\in V$에 대해

$m\cdot \lVert I_V(x)\rVert_2=m\cdot \lVert x\rVert_2 \le \lVert x\rVert_1 \le M\cdot \lVert x\rVert_2 = M\cdot \lVert I_V(x)\rVert_2$이므로 

$I_V$는 $(V,\lVert\cdot\rVert_1)$에서 $(V,\lVert\cdot\rVert_2)$로의 노름동형사상이다.

 

 

 

정리4

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V),(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$이고

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V),(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$위의 노름공간이 $(V,\lVert\cdot\rVert_V),(W,\lVert\cdot\rVert_W)$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 동형사상 $T :V\to W$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V),(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$가 유한차원이면 

어떤 $m,M\in (0,\infty)$가 존재하여 모든 $v\in V$에 대해 $m\cdot \lVert T(v)\rVert_W \le \lVert v\rVert_V \le M\cdot \lVert T(v)\rVert_W$이다.

2. $T$가 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$로의 노름등거리변환이면 $T$는 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$로의 노름동형사상이다.

증명

1.

동형사상 정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 차원은 같다.

임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$가 $n$차원일때

$n = 0$이면 $\emptyset$은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 기저이므로 생성집합의 정의로 $V =\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorname{span}(\emptyset)} = \{\vec{0}_V\}$이고

모든 $v\in V$는 $v = \vec{0}_V$가 되어 노름공간 정리와 선형변환 정리로 

$\lVert v\rVert_V =\lVert \vec{0}_V\rVert_V = 0 = \lVert \vec{0}_W\rVert_W = \lVert T(\vec{0}_V)\rVert_W = \lVert T(v)\rVert_W$이다.

$n\in \mathbb{Z}^+$이면 차원의 정의로 어떤 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$의 기저 $\{ v_1,v_2,\cdots,v_n\}$이 존재하므로

동형사상 정리로 $T(\{ v_1,v_2,\cdots,v_n\}) = \{ T(v_1),T(v_2),\cdots,T(v_n)\}$은 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$의 기저이고 

기저 정리로 모든 $v\in V$와 모든 $w\in W$에 대해 

$v = a_1(v)\cdot_V v_1 +_V a_2(v)\cdot_V v_2+_V\cdots +_V a_n(v)\cdot_V v_n$이고

$w = b_1(w)\cdot_W T(v_1) +_W b_2(w)\cdot_W T(v_2)+_W\cdots +_W b_n(w)\cdot_W T(v_n)$인

$a_1(v),a_2(v),\cdots,a_n(v),b_1(w),b_2(w),\cdots, b_n(w)\in F$가 유일하게 존재하여 

선형변환 정리로 $T(v) = a_1(v)\cdot_W T(v_1) +_W a_2(v)\cdot_W T(v_2)+_W\cdots +_W a_n(v)\cdot_W T(v_n)$이므로 

모든 $i= 1,2,\cdots,n$에 대해 $b_i(T(v_i)) = a_i(v_i)$임에 따라

위 정리에 나온 $\lVert v\rVert_1 = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n |a_i(v)|^2}$이고 $\lVert w\rVert_2 = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n |b_i(w)|^2}$인 

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V),(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$위의 노름공간 $(V,\lVert\cdot\rVert_1),(W,\lVert\cdot\rVert_2)$는

$\lVert v\rVert_1 = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n |a_i(v)|^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n|b_i(T(v_i))|^2} = \lVert T(v)\rVert_2$이다.

위 정리로 어떤 $m_1,M_1,m_2,M_2\in (0,\infty)$가 존재하여 모든 $v\in V$와 모든 $w\in W$에 대해 

$m_1\cdot \lVert v\rVert_1 \le \lVert v\rVert_V \le M_1\cdot \lVert v\rVert_1$이고 $m_2\cdot \lVert w\rVert_2 \le \lVert w\rVert_W \le M_2\cdot \lVert w\rVert_2$이므로 

$m = \dfrac{m_1}{M_2} >0$과 $M = \dfrac{M_1}{m_2} > 0$에 대해 

$m \cdot \lVert T(v)\rVert_W = \dfrac{m_1}{M_2} \cdot \lVert T(v) \rVert_W \le \dfrac{m_1}{M_2}\cdot M_2\cdot \lVert T(v) \rVert_2 = m_1\cdot \lVert v\rVert_1 \le \lVert v\rVert_V$이고 

$\lVert v\rVert_V \le M_1 \cdot \lVert v\rVert_1 = \dfrac{M_1}{m_2}\cdot m_2\cdot \lVert T(v)\rVert_2 \le \dfrac{M_1}{m_2}\cdot \lVert T(v)\rVert_W = M\cdot \lVert T(v)\rVert_W$이다.

2.

노름등거리변환의 정의로 모든 $v\in V$에 대해 $1\cdot \lVert T(v)\rVert_W = \lVert T(v)\rVert_W = \lVert v\rVert_V = \lVert T(v)\rVert_W = 1 \cdot \lVert T(v)\rVert_W$이므로

$T$는 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$로의 노름동형사상이다.

 

 

 

정리5

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의

벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V),(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W),(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)$위의 노름공간이 $(V,\lVert\cdot\rVert_V),(W,\lVert\cdot\rVert_W),(Z,\lVert\cdot\rVert_Z)$일때

$(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$로의 노름등거리변환 $T :V\to W$와

$(W,\lVert\cdot\rVert_W)$에서 $(Z,\lVert\cdot\rVert_Z)$로의 노름등거리변환 $U :W\to Z$에 대해 다음이 성립한다.

반사성 : $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 항등변환 $I_V:V\to V$는 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$로의 노름등거리변환이다.

대칭성 : $T$의 역함수 $T^{-1} :W\to V$는 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$에서 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$로의 노름등거리변환이다.

추이성 : 합성함수 $U\circ T:V\to Z$는 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(Z,\lVert\cdot\rVert_Z)$로의 노름등거리변환이다.

증명

반사성

선형변환 정리와 항등함수 정리로 $I_V$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$로의 선형변환이고 가역이므로

$I_V$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$로의 동형사상이고 모든 $v\in V$에 대해 $\lVert I_V(v)\rVert_V = \lVert v\rVert_V$임에 따라 

$I_V$는 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$로의 노름등거리변환이다.

대칭성

노름등거리변환의 정의와 동형사상의 정의로

$T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환이고 가역이므로 

선형변환 정리로 $T^{-1}$은 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$로의 동형사상이고

노름등거리변환의 정의로 모든 $w\in W$에 대해 $\lVert w\rVert_W =\lVert T(T^{-1}(w))\rVert_W = \lVert T^{-1}(w)\rVert_V$임에 따라 

$T^{-1}$은 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$에서 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$로의 노름등거리변환이다.

추이성

노름등거리변환의 정의와 동형사상의 정의와 선형변환 정리와 함수 정리로 

$U\circ T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)$로의 동형사상이고 노름등거리변환의 정의로

모든 $v\in V$에 대해 $\lVert v\rVert_V = \lVert T(v)\rVert_W = \lVert U(T(v))\rVert_Z = \lVert (U\circ T)(v)\rVert_Z$이므로 

$U\circ T$는 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(Z,\lVert\cdot\rVert_Z)$로의 노름등거리변환이다.

 

 

 

정리6

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의

벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V),(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W),(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)$위의 노름공간이 $(V,\lVert\cdot\rVert_V),(W,\lVert\cdot\rVert_W),(Z,\lVert\cdot\rVert_Z)$일때

$(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$로의 노름동형사상 $T :V\to W$와

$(W,\lVert\cdot\rVert_W)$에서 $(Z,\lVert\cdot\rVert_Z)$로의 노름동형사상 $U :W\to Z$에 대해 다음이 성립한다.

반사성 : $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 항등변환 $I_V:V\to V$는 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$로의 노름동형사상이다.

대칭성 : $T$의 역함수 $T^{-1} :W\to V$는 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$에서 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$로의 노름동형사상이다.

추이성 : 합성함수 $U\circ T:V\to Z$는 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(Z,\lVert\cdot\rVert_Z)$로의 노름동형사상이다.

증명

반사성 

위 정리와 위 정리로 $I_V$는 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$로의 노름동형사상이다.

대칭성

노름동형사상의 정의와 동형사상의 정의로

$T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환이고 가역이므로 

선형변환 정리로 $T^{-1}$은 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$로의 동형사상이고

노름동형사상의 정의로 어떤 $m,M\in (0,\infty)$이 존재하여

모든 $v\in V$에 대해 $m\cdot \lVert T(v)\rVert_W \le \lVert v\rVert_V \le M\cdot \lVert T(v)\rVert_W$이므로 

$\dfrac{1}{M},\dfrac{1}{m}\in (0,\infty)$에 대해 $\dfrac{1}{M}\cdot \lVert v\rVert_V \le \lVert T(v)\rVert_W\le \dfrac{1}{m}\cdot \lVert v\rVert_V$임에 따라 

모든 $w\in W$에 대해 $\dfrac{1}{M}\cdot \lVert T^{-1}(w)\rVert_V \le \lVert T(T^{-1}(w))\rVert_W = \lVert w\rVert_W = \lVert T(T^{-1}(w))\rVert_W \le \dfrac{1}{m}\cdot \lVert T^{-1}(w)\rVert_V$이고 

$T^{-1}$은 $(W,\lVert\cdot\rVert_W)$에서 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$로의 노름등거리변환이다.

추이성

노름동형사상의 정의와 동형사상의 정의와 선형변환 정리와 함수 정리로 

$U\circ T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(Z,+_Z,\cdot_Z,\vec{0}_Z)$로의 동형사상이고

노름동형사상의 정의로 어떤 $m_1,M_1,m_2,M_2\in (0,\infty)$가 존재하여 

모든 $v\in V$에 대해 $m_1\cdot \lVert T(v)\rVert_W \le \lVert v\rVert_V \le M_1\cdot \lVert T(v)\rVert_W$이고

모든 $w\in W$에 대해 $m_2\cdot \lVert U(w)\rVert_Z \le \lVert w\rVert_W \le M_2\cdot \lVert U(w)\rVert_Z$이므로 

$m = m_1\cdot m_2 >0$과 $M = M_1\cdot M_2 > 0$에 대해 

$m\cdot \lVert (U\circ T)(v)\rVert_Z = m_1\cdot m_2\cdot \lVert U(T(v))\rVert_Z \le m_1\cdot \lVert T(v)\rVert_W \le \lVert v\rVert_V$이고 

$\lVert v\rVert_V\le M_1\cdot \lVert T(v)\rVert_W \le M_1\cdot M_2\cdot \lVert U(T(v))\rVert_Z = M\cdot \lVert (U\circ T)(v)\rVert_Z$임에 따라 

$U\circ T$는 $(V,\lVert\cdot\rVert_V)$에서 $(Z,\lVert\cdot\rVert_Z)$로의 노름동형사상이다.

 

 

 

정리7

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의

점곱 내적공간의 노름공간 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n),(\mathbb{R}^m,\lVert\cdot\rVert_m)$의 노름거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m)$일때

선형변환 $\mathbb{R}$-벡터공간이 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m),+_L,\cdot_L,T_0)$이고

선형변환의 노름공간 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m),\lVert\cdot \rVert_L)$의 노름거리공간이 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m), d_L)$이면 

$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U\subseteq \mathbb{R}^n$에서 연속미분가능한 함수 $f:U\to \mathbb{R}^m$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x_0 \in U$에서 $f$의 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$에 대해 $\Phi(x_0) = Df(x_0)$인

함수 $\Phi : U\to L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m)$는 $(U,d_n)$에서 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m), d_L)$로의 연속함수이다.

2. 모든 $x_0 \in U$에서 $f$의 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$에 대해 $\phi(x_0) = \lVert Df(x_0)\rVert_L$인

함수 $\phi : U\to \mathbb{R}$는 부분거리공간 $(U,d_n)$에서 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

증명

1.

행렬 $\mathbb{R}$-벡터공간 $(M_{m\times n}(\mathbb{R}),+_M,\cdot_M,O)$위의 프로베니우스 내적공간의 노름공간이 $(M_{m\times n}(\mathbb{R}),\lVert\cdot\rVert_M)$이고

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$의 표준순서기저가 $\beta$와 $\gamma$일때 

벡터공간 정리로 $(M_{m\times n}(\mathbb{R}),+_M,\cdot_M,O)$은 $m\cdot n$차원이고

선형변환 정리로 $\beta,\gamma$에 대한 선형변환의 행렬표현 $[\,\cdot\,]_\beta^\gamma : L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m)\to M_{m\times n}(\mathbb{R})$는 

$(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m),+_L,\cdot_L,T_0)$에서 $(M_{m\times n}(\mathbb{R}),+_M,\cdot_M,O)$로의 동형사상이므로 

동형사상 정리와 위 정리로 어떤 $b\in (0,\infty)$가 존재하여 모든 $T\in L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m)$에 대해 $\lVert T\rVert_L \le b\cdot \lVert [T]_{\beta}^\gamma\rVert_M$이다.

모든 $x\in U$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x))\in \mathbb{R}^m$인 함수가 $f_1,f_2,\cdots,f_m : U\to \mathbb{R}$일때

연속미분의 정의와 편도함수 정리와 연속함수 정리로 모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해

변수 $x_j$에 대한 $f_i$의 편도함수 $\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j} : U\to \mathbb{R}$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로 

임의의 $x_0\in U$과 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $d_n(x,x_0) < \delta_{i,j}(\epsilon)$인 모든 $x\in U$가

$\left | \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0) \right |=d_1(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) , \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)) < \sqrt{\dfrac{\epsilon^2}{b^2\cdot m\cdot n}}$이 되는 $\delta_{i,j}(\epsilon)\in (0,\infty)$이 존재하여 

$d_n(x,x_0) < \min \{\delta_{i,j}(\epsilon) : (i,j)\in \{1,2,\cdots,m\}\times \{ 1,2,\cdots,n\} \}$인 모든 $x\in U$에 대해 

프로베니우스내적 정리와 야코비행렬 정리와 선형변환 정리로 

$\begin{align*} d_L(\Phi(x),\Phi(x_0))& =d_L(Df(x),Df(x_0)) \\[0.5em]& =\lVert Df(x) - Df(x_0)\rVert_L \\[0.5em] & \le b\cdot \lVert [Df(x) - Df(x_0)]_{\beta}^\gamma\rVert_M \\[0.5em] & \qquad = b\cdot \sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |([Df(x)-Df(x_0)]_\beta^\gamma)_{i,j}|^2 } \\[0.5em] & \qquad = b\cdot \sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |([Df(x)]_\beta^\gamma - [Df(x_0)]_\beta^\gamma)_{i,j}|^2 } \\[0.5em] & \qquad = b\cdot \sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n |([Df(x)]_\beta^\gamma)_{i,j} - ([Df(x_0)]_\beta^\gamma)_{i,j}|^2 } \\[0.5em] & \qquad = b\cdot \sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n \left | \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) - \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0) \right |^2 } \\[0.5em] & \lt b\cdot \sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n \dfrac{\epsilon^2}{b^2\cdot m\cdot n} } = b\cdot \sqrt{ m\cdot n\cdot \dfrac{\epsilon^2}{b^2\cdot m\cdot n} } = b\cdot \sqrt{ \dfrac{\epsilon^2}{b^2} } = b\cdot \dfrac{\epsilon}{b} = \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

$\Phi$는 $(U,d_n)$에서 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m), d_L)$로의 연속함수이다.

2.

위 정리로 모든 $T\in L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m)$에 대해 $\psi(T) = \lVert T\rVert_L$인

함수 $\psi : L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m)\to\mathbb{R}$는 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m), d_L)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로 

연속함수 정리로 모든 $x_0\in U$에 대해 $\phi(x_0) = \lVert Df(x_0)\rVert_L = \psi(Df(x_0)) = \psi(\Phi(x_0)) = (\psi \circ \Phi)(x_0)$인

합성함수 $\phi =\psi \circ \Phi : U\to \mathbb{R}$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정의4

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$이고 임의의 부분집합이 $E\subseteq V$일때

모든 $x,y\in E$에 대해 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 두 점 사이의 선분들의 합집합이

$\displaystyle \bigcup_{k=1}^n L(x_{k-1},x_k)\subseteq E$이고 $x_0 = x$와 $x_n =y$가 성립하는 $x_0,x_1,\cdots,x_{n-1}, x_n\in E$이 존재하면 

$E$를 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 다각연결집합(polygonally connected)으로 정의한다.

 

 

 

정리8

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 노름공간이 $(V,\lVert\cdot\rVert)$일때

$(V,\lVert\cdot\rVert)$의 노름거리공간 $(V,d)$와 임의의 $E\subseteq V$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $x,y\in V$에 대해 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $x$와 $y$의 선분 $L(x,y)$는 $(V,d)$에서 닫힌집합이다.

2. $E$가 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 다각연결집합이면 $E$는 $(V,d)$에서 경로연결집합이고 연결집합이다.

3. 임의의 $y\in E$에 대해 

$L(E,y) = {\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty} \{ x\in E : x_0 =x \text{이고 }x_n =y\text{인 어떤 }x_0,x_1,\cdots,x_{n-1},x_n\in E\text{에 대해 } \underset{k=1}{\overset{n}{\bigcup}}\! L(x_{k-1},x_k)\subseteq E\}$일때

$E$가 $(V,d)$에서 열린집합이면 $L(E,y)$는 $(V,d)$의 부분거리공간 $(E,d)$에서 열린집합이고 닫힌집합이다.

4. 임의의 $y\in E$에 대해 $y\in L(E,y) \subseteq E$이다.

5. $E$가 $(V,d)$에서 연결집합이고 열린집합이면 $E$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 다각연결집합이다.

증명

$1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$의 거리위상공간이 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_1)$일때 위상공간 정리로

임의의 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 닫힌구간 $[a,b]$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_1)$에서 닫힌집합이고 $[a,b]\subseteq \mathbb{R}\subseteq F$이다.

임의의 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 $([a,b],d_1)$은 $(\mathbb{R},d_1)$의 부분거리공간이므로 위상공간 정리로 

$(\mathbb{R},d_1)$의 거리위상공간 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_1)$의 부분위상공간 $([a,b],\mathcal{T}_1|_{[a,b]})$는 $([a,b],d_1)$의 거리위상공간이다.

1.

노름공간 정리와 연속함수 정리로 모든 $t\in [0,1]$에 대해 

$\gamma(t) = (1-t)\cdot_V x +_V t\cdot_V y$인 함수 $\gamma : [0,1]\to V$는 $([0,1],d_1)$에서 $(V,d)$로의 연속함수이므로 

거리공간 정리로 $[0,1]$은 $(\mathbb{R},d_1)$에서 유계이고 위상공간 정리로 $[0,1]$은 $(\mathbb{R},d_1)$에서 닫힌집합이 되어

하이네-보렐 정리로 $[0,1]$이 $(\mathbb{R},d_1)$에서 콤팩트집합임에 따라 선분의 정의와 콤팩트 정리로

$L(x,y) = \gamma([0,1])$는 $(V,d)$에서 콤팩트집합이고 콤팩트 정리로 $L(x,y)$는 $(V,d)$에서 닫힌집합이다.

2.

다각연결집합의 정의로 모든 $x,y\in E$에 대해 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$\displaystyle \bigcup_{k=1}^n L(x_{k-1},x_k)\subseteq E$이고 $x_0 = x$와 $x_n =y$가 성립하는 $x_0,x_1,\cdots,x_{n-1}, x_n\in E$이 존재한다.

임의의 $k = 1,2,\cdots,n$에 대해 노름공간 정리와 연속함수 정리로 모든 $t\in [0,1]$가

$\gamma_k(t) = (1-t)\cdot_V x_{k-1} +_V t\cdot_V x_k$인 함수 $\gamma_k : [0,1]\to E$는 $([0,1],d_1)$에서 $(E,d)$로의 연속함수이고

모든 $t\in [\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]$에 대해 $\dfrac{k-1}{n}\le t\le \dfrac{k}{n}$이므로 $0\le t- \dfrac{k-1}{n} \le \dfrac{k}{n} -\dfrac{k-1}{n} = \dfrac{1}{n}$이고 

$0\le n\cdot t - k+1 \le 1$이 되어 거리공간 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리로

$f_k(t) = n\cdot t -k+1$인 함수 $f_k : [\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]\to [0,1]$는 $([\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}],d_1)$에서 $([0,1],d_1)$로의 연속함수이고 

연속함수 정리로 $\gamma_k \circ f_k : [\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]\to E$는 $([\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}],d_1)$에서 $(E,d)$로의 연속함수이다.

모든 $k = 1,2,\cdots,n$에 대해

$(\gamma_{k}\circ f_{k})(\frac{k-1}{n}) = \gamma_{k}(f_{k}(\frac{k-1}{n})) = \gamma_{k}(n\cdot \frac{k-1}{n} -k+1) = \gamma_{k}(0) = x_{k-1}$이고

$(\gamma_{k}\circ f_{k})(\frac{k}{n}) = \gamma_{k}(f_{k}(\frac{k}{n})) = \gamma_{k}(n\cdot \frac{k}{n} -k+1) = \gamma_{k}(1) = x_{k}$이므로 

$1< k$일때 $(\gamma_{k-1}\circ f_{k-1})(\frac{k-1}{n})= x_{k-1}=(\gamma_{k}\circ f_{k})(\frac{k-1}{n})$이고 

$k<n$일때 $(\gamma_{k}\circ f_{k})(\frac{k}{n})= x_{k}=(\gamma_{k+1}\circ f_{k+1})(\frac{k}{n})$이 되어 $[0,1] = [\frac{0}{n},\frac{1}{n}]\cup [\frac{1}{n},\frac{2}{n}]\cup \cdots \cup [\frac{n-1}{n},\frac{n}{n}]$임에 따라

위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리와 연속함수 정리로 모든 $t\in [\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]$에 대해

$\gamma(t) = (\gamma_{k}\circ f_k)(t)$인 $([0,1],d_1)$에서 $(E,d)$로의 연속함수 $\gamma :[0,1]\to E$가 존재하므로

$E$는 $(V,d)$에서 경로연결집합이고 거리공간 정리로 $E$는 $(V,d)$에서 연결집합이다.

3.

모든 $x\in L(E,y)$에 대해 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$\displaystyle \bigcup_{k=2}^{n+1} L(x_{k-1},x_k)\subseteq E$이고 $x_1 = x$와 $x_{n+1} =y$가 성립하는 $x_1,x_2,\cdots,x_{n}, x_{n+1}\in E$이 존재하고 

$x = x_1\in E$이므로 거리공간 정리로 $\underset{(V,d)}{B}(x,r_x)\subseteq E$인 $r_x\in (0,\infty)$가 존재하여 

노름공간 정리로 모든 $x_0\in \underset{(V,d)}{B}(x,r_x)$은 모든 $t\in [0,1]$에 대해 $(1-t)\cdot_V x_0 +_V t\cdot_V x\in \underset{(V,d)}{B}(x,r_x)$임에 따라 

선분의 정의로 $L(x_0,x_1)=L(x_0, x)\subseteq \underset{(V,d)}{B}(x,r_x) \subseteq E$이고 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{n+1} L(x_{k-1},x_k)\subseteq E$이므로 $x_0\in L(E,y)$이 되어 

$\underset{(V,d)}{B}(x,r_x)\subseteq L(E,y)$이고 거리공간 정리로 $L(E,y)$는 $(V,d)$에서 열린집합이다.

임의의 $x_0\in E\setminus L(E,y)$에 대해 거리공간 정리로 $\underset{(V,d)}{B}(x_0,r)\subseteq E$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하므로

어떤 $x_1 \in \underset{(V,d)}{B}(x_0,r)$이 $x_1 \in L(E,y)$이라고 가정하면 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 

$\displaystyle \bigcup_{k=2}^{n+1} L(x_{k-1},x_k)\subseteq E$이고 $x_{n+1} =y$인 $x_2,\cdots,x_{n+1}\in E$이 존재하여 노름공간 정리와 선분의 정의로

$L(x_0,x_1)\subseteq \underset{(V,d)}{B}(x_0,r)\subseteq E$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{n+1} L(x_{k-1},x_k)\subseteq E$이고 $x_0\in L(E,y)$이므로 모순이 되어 

모든 $x \in \underset{(V,d)}{B}(x_0,r)$는 $x \notin L(E,y)$이고

$\underset{(V,d)}{B}(x_0,r)\subseteq E\setminus L(E,y)$임에 따라 거리공간 정리로 $E\setminus L(E,y)$는 $(V,d)$에서 열린집합이다.

정의로부터 $L(E,y) \subseteq E$이고 $E\setminus L(E,y) \subseteq E$이므로 집합 정리와 거리공간 정리로

$L(E,y) = L(E,y)\cap E$와 $E\setminus L(E,y) = (E\setminus L(E,y))\cap E$는 $(E,d)$에서 열린집합이고 

$L(E,y)$는 $(E,d)$에서 닫힌집합이다.

4.

정의로부터 $L(E,y) \subseteq E$이고 

모든 $t\in [0,1]$에 대해 $(1-t)\cdot_V y +_V t\cdot_V y = (1-t + t)\cdot_V y =1\cdot_V y= y\in E$이므로

선분의 정의로 $L(y,y)\subseteq E$가 되어 $y\in L(E,y)$이다.

5.

모든 $x,y\in E$에 대해 3번으로 $L(E,y)$는 $(E,d)$에서 열린집합이고 닫힌집합이므로 집합 정리와 집합 정리로

$L(E,y)\cap (E\setminus L(E,y)) = \emptyset$과 $L(E,y)\cup (E\setminus L(E,y)) = L(E,y)\cup E = E$가 성립하여

$(E,d)$가 연결거리공간이고 4번으로 $L(E,y)\ne \emptyset$임에 따라 거리공간 정리로 $L(E,y) = E$이고 

$x\in E = L(E,y)$가 되어 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\displaystyle \bigcup_{k=1}^{n} L(x_{k-1},x_k)\subseteq E$이고 $x_0 = x$와 $x_{n} =y$가 성립하는 $x_0,x_1,\cdots,x_{n-1}, x_{n}\in E$이 존재하므로 

$E$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 다각연결집합이다.

 

 

 

정리9

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의

점곱 내적공간의 노름공간 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n),(\mathbb{R}^m,\lVert\cdot\rVert_m)$의 노름거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m)$일때

$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $U\subseteq \mathbb{R}^n$가 정의역인 함수 $f:U\to \mathbb{R}^m$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f$가 $U$에서 연속미분가능할때 임의의 $K\subseteq U$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이면 어떤 $M_K\in (0,\infty)$가 존재하여 

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 볼록집합인 모든 $C\subseteq K$의 모든 $x,y\in C$에 대해 $\lVert f(x) - f(y)\rVert_m \le M_K\cdot \lVert x-y\rVert_n$이다.

2. $U$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 연결집합이고 $f$가 $U$에서 미분가능할때 모든 $x_0 \in U$에서 $f$의 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$가

모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $Df(x_0)(v) = \vec{0}_m$이면 어떤 $w_0\in \mathbb{R}^m$이 존재하여 모든 $x\in U$에 대해 $f(x) = w_0$이다.

증명

$(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간이 $(\mathbb{R}^m,\bullet)$일때

1.

$K = \emptyset$이면

모든 $C\subseteq K = \emptyset$는 $C = \emptyset$이 되어 공허하게 모든 $x,y\in C$에 대해 $\lVert f(x) - f(y)\rVert_m \le 1\cdot \lVert x-y\rVert_n$이다.

$K\ne \emptyset$이면 선형변환 $\mathbb{R}$-벡터공간이 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m),+_L,\cdot_L,T_0)$이고

선형변환의 노름공간 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m),\lVert\cdot \rVert_L)$의 노름거리공간이 $(L(\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m), d_L)$일때

위 정리로 모든 $x_0 \in U$에서 $f$의 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$에 대해 $\phi(x_0) = \lVert Df(x_0)\rVert_L$인

함수 $\phi : U\to \mathbb{R}$는 부분거리공간 $(U,d_n)$에서 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로

$K\subseteq U$임에 따라 $K$는 $(U,d_n)$에서 콤팩트집합이 되어

콤팩트 정리와 노름공간의 정의와 최대원소의 정의로 $M_K =\max \phi(K) +1 >0$이 존재한다.

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 볼록집합인 모든 $C\subseteq K$의 모든 $x,y\in C$에 대해

선분의 정의와 볼록집합의 정의로 $L(x,y)\subseteq C\subseteq K\subseteq U$이므로 벡터장의 평균값 정리로 어떤 $t\in [0,1]$에 대해

$\lVert f(x)-f(y)\rVert_m^2 = (f(x) - f(y))\bullet (f(x) - f(y)) = (f(x)-f(y))\bullet Df((1-t)\cdot_n x+_n t\cdot_n y)(x-y)$이고 

노름공간의 정의와 내적공간 정리와 선형변환 정리와 최대원소의 정의로

$\begin{align*} \lVert f(x)-f(y)\rVert_m^2 & = (f(x)-f(y))\bullet Df((1-t)\cdot_n x+_n t\cdot_n y)(x-y) \\[0.5em] & = |(f(x)-f(y))\bullet Df((1-t)\cdot_n x+_n t\cdot_n y)(x-y)| \\[0.5em] & \le \lVert f(x)-f(y)\rVert_m \cdot \lVert Df((1-t)\cdot_n x+_n t\cdot_n y)(x-y)\rVert_m \\[0.5em] & \le \lVert f(x)-f(y)\rVert_m \cdot \lVert Df((1-t)\cdot_n x+_n t\cdot_n y)\rVert_L\cdot \lVert x-y\rVert_n \\[0.5em] & \qquad = \lVert f(x)-f(y)\rVert_m \cdot \phi( (1-t)\cdot_n x+_n t\cdot_n y ) \cdot \lVert x-y\rVert_n \\[0.5em] & \le \lVert f(x)-f(y)\rVert_m \cdot \max \phi(K) \cdot \lVert x-y\rVert_n \\[0.5em] & \le \lVert f(x)-f(y)\rVert_m \cdot M_K \cdot \lVert x-y\rVert_n \text{ 이므로} \end{align*}$

$\lVert f(x)-f(y)\rVert_m = 0$이면 노름공간의 정의로 $\lVert f(x)-f(y)\rVert_m = 0 \le M_K\cdot \lVert x-y\rVert_n $이고

$\lVert f(x)-f(y)\rVert_m \ne 0$이면 $\lVert f(x)-f(y)\rVert_m \le M_K\cdot \lVert x-y\rVert_n $이다.

2.

$U=\emptyset$이면 공허하게 임의의 $w_0\in \mathbb{R}^m$에 대해 모든 $x\in U =\emptyset$가 $f(x) = w_0$이다.

$U\ne \emptyset$이면 어떤 $y\in U$가 존재하므로 $w_0 = f(y)$일때

위 정리로 $U$가 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 다각연결집합임에 따라 모든 $x\in U$에 대해 어떤 $p\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 

$\displaystyle \bigcup_{k=1}^{p} L(x_{k-1},x_k)\subseteq U$이고 $x_0 = x$와 $x_{p} =y$가 성립하는 $x_0,x_1,\cdots,x_{p-1}, x_{p}\in E$가 존재하고 

모든 $k=1,2,\cdots,p$에 대해 $L(x_{k-1},x_k)\subseteq U$이므로 벡터장의 평균값 정리와 내적 정리로 어떤 $t_k\in [0,1]$에 대해

$(f(y) - f(x))\bullet (f(x_k)-f(x_{k-1})) = (f(y)-f(x))\bullet Df((1-t_k)\cdot_n x_{k-1} +_n t_k\cdot_n x_k)(x_k-x_{k-1}) = (f(y)-f(x))\bullet \vec{0}_m  = 0 \text{ 이 되어}$

내적 정리와 내적공간의 노름의 정의와 노름 정리로 

$\begin{align*}0 &= \sum_{k=1}^p (f(y)-f(x))\bullet (f(x_k) - f(x_{k-1})) \\[0.5em] &= (f(y)-f(x))\bullet (f(x_1) - f(x_0) +_m f(x_2)- f(x_1) +_m\cdots +_m f(x_{k-2}) - f(x_{k-1}) +_m f(x_n) - f(x_{k-1}) ) \\[0.5em] & = (f(y)-f(x)) \bullet (f(x_n)-f(x_0)) \\[0.5em]& = (f(y)-f(x)) \bullet (f(y)-f(x)) \\[0.5em] & = \lVert f(y)-f(x)\rVert_m^2 \\[0.5em] & =\lVert f(x) -f(y)\rVert_m^2 \text{ 이고}\end{align*}$

$\lVert f(x)-f(y)\rVert_m = 0$이므로 노름 정리로 $f(x)-f(y) = \vec{0}_m$임에 따라 $f(x) = f(y) = w_0$이다.

 

 

 

정리10

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 열린집합 $U$에 대해

함수 $f: U\to \mathbb{R}^m$가 $U$에서 연속미분가능할때 다음이 성립한다.

1. $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$ $\subseteq U$인 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^m$의 부피가 $0$이면 $f(E)$의 부피는 $0$이다.

2. $f$가 단사이고 $U$에서 $f$의 야코비안 $Jf: U\to \mathbb{R}$이 모든 $x\in U$에 대해 $Jf(x)\ne 0$일때

$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq U$인 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^m$가 조르당영역이면 $f(E)$는 조르당영역이다.

3. $f$가 단사일때 $m$차원 비중첩집합족 $\mathcal{E}$에 대해

모든 $E\in \mathcal{E}$가 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq U$이면 $\{ f(E) : E\in \mathcal{E}\}$는 $m$차원 비중첩집합족이다.

증명

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $m$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$일때 거리공간 정리로 

$(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름공간 $(\mathbb{R}^m,\lVert\cdot\rVert_m)$의 노름거리공간은 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이다.

연속미분의 정의와 미분 정리와 미분 정리로 $f$는 $(U,d_m)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이다.

1.

$E = \emptyset$일때 $f(E) = \emptyset$이므로 부피 정리로 $f(E)$의 부피는 $0$이다.

$E\ne \emptyset$일때 폐포 정리로 $E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$이므로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset$이고 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 닫힌집합이다.

부피 정리로 $E$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이므로

위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq O\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(O)}\subseteq U$인 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계인 열린집합 $O$가 존재하여

위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}, \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(O)}$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 $\mathbb{R}^m\setminus O\ne \emptyset$이다.

위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리로

$1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1)$일때 모든 $x\in \mathbb{R}^m$에 대해

$\phi(x) = \inf \{ d_m(x,y) : y\in \mathbb{R}^m\setminus O\}$인 함수 $\phi: \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로 

하이네-보렐 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 콤팩트집합임에 따라 콤팩트 정리로 $\theta = \min \phi(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)})$가 존재하고

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $\mathbb{R}^m\setminus O$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 닫힌집합이므로

위상공간 정리와 위상공간 정리와 집합 정리로 모든 $x\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq O =\mathbb{R}^m\setminus (\mathbb{R}^m\setminus O)$는 $\phi(x) > 0$이 되어 

최소원소의 정의로 $\theta = \min \phi(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}) > 0$이다.

하이네-보렐 정리와 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(O)}$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 콤팩트집합이므로 위 정리로 어떤 $M\in (0,\infty)$이 존재하여

$(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$에서 볼록집합인 모든 $C\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(O)}$의 모든 $x,y\in C$가 $\lVert f(x)-f(y)\rVert_m \le M\cdot \lVert x-y\rVert_m $이다.

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 부피 정리로 어떤 $n_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$과 어떤 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하고 

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n_\epsilon$에 대해 $B_j = \displaystyle \prod_{i=1}^m[z_i(j)-\delta_\epsilon,z_i(j)+\delta_\epsilon]$인 $z_i(j)\in \mathbb{R}$가 존재하여 

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^{n_\epsilon}B_j$와 ${\displaystyle \sum_{j=1}^{n_\epsilon}}vol(B_j) < \min \{ \frac{\epsilon}{(2\cdot M\cdot \sqrt{m})^m}, (\frac{\theta}{\sqrt{m}})^m \}$이 성립하므로 닫힌상자의 부피의 정의와 최소원소의 정의로

$\begin{align*}(2\cdot \delta_\epsilon)^m &=(z_1(j) +\delta_\epsilon - z_1(j) + \delta_\epsilon)\cdot (z_2(j) +\delta_\epsilon -z_2(j)+\delta_\epsilon)\cdot\,\cdots\cdot (z_m(j) +\delta_\epsilon - z_m(j) +\delta_\epsilon)\\[0.5em]&=vol(B_j) \\[0.5em] &\le \sum_{j=1}^{n_\epsilon}vol(B_j) \\[0.5em]&< \min \{\tfrac{\epsilon}{(2\cdot M\cdot \sqrt{m})^m},(\tfrac{\theta}{\sqrt{m}})^m \}\\[0.5em]&\le (\tfrac{\theta}{\sqrt{m}})^m\text{ 임에 따라} \end{align*}$

$2\cdot \delta_\epsilon < \dfrac{\theta}{\sqrt{m}}$이고 $2\cdot \sqrt{m}\cdot \delta_\epsilon < \theta$이다.

$J = \{ j\in \{ 1,2,\cdots,n_\epsilon\} : E\cap B_j\ne \emptyset\}$일때 모든 $x\in E\subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^{n_\epsilon}B_j$에 대해

$x\in B_j$인 $j=1,2,\cdots,n_\epsilon$가 존재하여 $x\in E\cap B_j$임에 따라 $E\cap B_j\ne \emptyset$이므로 $j\in J$이고

$E\ne \emptyset$임에 따라 $J\ne \emptyset$이고

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{\substack{j \ge 1 \\ E\cap B_j\ne \emptyset}}^{n_\epsilon}B_j$와 $\displaystyle \sum_{\substack{j\ge 1 \\ E\cap B_j\ne \emptyset}}^{n_\epsilon}vol(B_j) \le \sum_{j=1}^{n_\epsilon}vol(B_j) < \min \{\tfrac{\epsilon}{(2\cdot M\cdot \sqrt{m})^m}, (\tfrac{\theta}{\sqrt{m}})^m \} \le \dfrac{\epsilon}{(2\cdot M\cdot \sqrt{m})^m}$이 성립한다.

$E\cap B_j\ne \emptyset$인 모든 $j=1,2,\cdots,n_\epsilon$에 대해 어떤 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_m)\in E\cap B_j$가 존재하여

모든 $y = (y_1,y_2,\cdots,y_m)\in B_j = \displaystyle \prod_{i=1}^m [z_i(j) -\delta_\epsilon,z_i(j)+\delta_\epsilon]$는

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $z_i(j) -\delta_\epsilon\le x_i \le z_i(j)+\delta_\epsilon$과 $z_i(j) -\delta_\epsilon\le y_i \le z_i(j)+\delta_\epsilon$가 성립하므로 

$-2\cdot \delta_\epsilon\le x_i-y_i \le 2\cdot \delta_\epsilon$이고 $|x_i-y_i| \le 2\cdot \delta_\epsilon$임에 따라 $|x_i-y_i|^2 \le 4\cdot \delta_\epsilon^2$이고

$\displaystyle \sum_{i=1}^m |x_i-y_i|^2 \le 4\cdot m\cdot \delta_\epsilon^2$이므로 $\displaystyle d_m(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^m |x_i-y_i|^2} \le \sqrt{4\cdot m\cdot \delta_\epsilon^2} = 2\cdot \sqrt{m}\cdot \delta_\epsilon < \theta$인데

$y\notin O$라고 가정하면 $x\in E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$이고 $y\in \mathbb{R}^m\setminus O$이므로 최소원소의 정의와 하한의 정의로

$\theta= \min \phi(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}) \le \phi(x) \le d_m(x,y) < \theta$임에 따라 모순이 되어 $y\in O$이고 $B_j\subseteq O\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(O)}$이므로

$\eta_\epsilon =M\cdot 2\cdot \sqrt{m}\cdot \delta_\epsilon > 0$일때 거리공간 정리로 $B_j$가 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$에서 볼록집합임에 따라

모든 $x,y\in B_j$에 대해 $\lVert f(x)-f(y)\rVert_m \le M\cdot \lVert x-y\rVert_m = M\cdot d_m(x,y) \le M\cdot 2\cdot \sqrt{m}\cdot \delta_\epsilon = \eta_\epsilon$이다.

모든 $x\in U$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x))$인 함수가 $f_1,f_2,\cdots,f_m : U\to \mathbb{R}$일때

$z(j) = (z_1(j),z_2(j),\cdots,z_m(j))$는 $z(j)\in B_j$이므로 $C_j = \displaystyle \prod_{i=1}^m [f_i(z(j)) - \eta_\epsilon,f_i(z(j)) +\eta_\epsilon]$이면 

모든 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_m)\in B_j$는 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 

$|f_i(x) - f_i(z(j))| = \sqrt{|f_i(x) -f_i(z(j))|^2} \le \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^m |f_i(x)-f_i(z(j))|^2}=\lVert f(x)-f(z(j))\rVert_m \le \eta_\epsilon$이고 

$f_i(x) \in [f_i(z(j)) - \eta_\epsilon,f_i(z(j)) +\eta_\epsilon]$이므로 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x))\in C_j$가 되어 $f(B_j) \subseteq C_j$이다.

따라서 함수 정리로 $ f(E)\subseteq \displaystyle f(\bigcup_{\substack{j\ge 1 \\ E\cap B_j\ne \emptyset}}^{n_\epsilon}B_j) = \bigcup_{\substack{j\ge 1 \\ E\cap B_j\ne \emptyset}}^{n_\epsilon}f(B_j) \subseteq \bigcup_{\substack{j\ge 1 \\ E\cap B_j\ne \emptyset}}^{n_\epsilon}C_j $이고

$\begin{align*} \sum_{\substack{j\ge 1 \\ E\cap B_j\ne \emptyset}}^{n_\epsilon} vol(C_j) & = \sum_{\substack{j\ge 1 \\ E\cap B_j\ne \emptyset}}^{n_\epsilon} (2\cdot \eta_\epsilon)^m \\[0.5em] & \le \sum_{j=1}^{n_\epsilon}(2\cdot \eta_\epsilon)^m \\[0.5em] & \qquad = \sum_{j=1}^{n_\epsilon} (2\cdot \delta_\epsilon \cdot 2 \cdot M\cdot \sqrt{m})^m \\[0.5em] & \qquad= \sum_{j=1}^{n_\epsilon} (2\cdot \delta_\epsilon)^m \cdot (2\cdot M\cdot \sqrt{m})^m \\[0.5em] & \qquad = \sum_{j=1}^{n_\epsilon} vol(B_j) \cdot (2\cdot M\cdot \sqrt{m})^m \\[0.5em] & \qquad = (2\cdot M\cdot \sqrt{m})^m\cdot  \sum_{j=1}^{n_\epsilon} vol(B_j) \\[0.5em] & < (2\cdot M\cdot \sqrt{m})^m \cdot \dfrac{\epsilon}{(2\cdot M\cdot \sqrt{m})^m} = \epsilon \text{ 이므로}\end{align*}$

부피 정리로 $f(E)$의 부피는 $0$이다.

2.

조르당영역의 정의로 $E$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이므로 위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 

폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 닫힌집합이므로 

하이네-보렐 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 콤팩트집합이고 $E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} \subseteq U$임에 따라

$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$는 $(U,d_m)$에서 콤팩트집합이 되어 콤팩트 정리로 $f(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)})$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 콤팩트집합이고

콤팩트 정리와 완전유계 정리로 $f(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)})$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계인 닫힌집합이므로

$f(E)\subseteq f(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)})$임에 따라 거리공간 정리로 $f(E)$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고

폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}}(f(E))\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}}( f(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)})) = f(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}) \subseteq f(U)$이다.

역함수 정리로 모든 $x\in U$에 대해 $g(x) = f(x)$인 함수 $g: U\to f(U)$의 역함수 $g^{-1} :f(U)\to U$이 존재하여 

$g^{-1}$은 $(f(U),d_m)$에서 $(U,d_m)$으로의 연속함수이고 $f(U)$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 열린집합이므로 

연속함수 정리와 역함수 정리로 $g$가 $(U,d_m)$에서 $(f(U),d_m)$으로의 연속함수이고 전단사임에 따라

$g$는 $(U,d_m)$에서 $(f(U),d_m)$으로의 위상동형사상이고 경계 정리와 폐포 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) =\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E} \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq U$와 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial }(f(E))\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}}(f(E))\subseteq f(U)$가 성립하여 

함수 정리와 집합 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와

위상공간 정리와 거리공간 정리와 위상동형사상 정리로 

$f(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E})  = g(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) = g(U \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) = g(\underset{(U,d_m)}{\partial E}) = \underset{(f(U),d_m)}{\partial (g(E))} = \underset{(f(U),d_m)}{\partial (f(E))} = f(U) \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial} (f(E)) = \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial} (f(E)) \text{ 이고}$

조르당영역의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$의 부피가 $0$임에 따라

1번으로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial}(f(E)) = f(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E})$의 부피는 $0$이므로 $f(E)$는 조르당영역이다.

3.

$\mathcal{F} = \{ f(E) : E\in \mathcal{E}\}$일때

$F_1\ne F_2$인 임의의 $F_1,F_2\in \mathcal{F}$는 $F_1 = f(E_1)$이고 $F_2 = f(E_2)$인 $E_1,E_2\in \mathcal{E}$가 존재하여 

$E_1 = E_2$이면 $F_1 = f(E_1) = f(E_2) = F_2$임에 따라 모순이므로 $E_1\ne E_2$이고 

비중첩집합족의 정의로 $E_1\cap E_2$의 부피는 $0$이 되어 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}}(E_1\cap E_2)\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E_1)}\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E_2)} \subseteq U$이므로

단사 정리와 1번으로 $F_1\cap F_2=f(E_1)\cap f(E_2) =f(E_1\cap E_2)$의 부피가 $0$임에 따라

$\mathcal{F} = \{ f(E) : E\in \mathcal{E}\}$는 $m$차원 비중첩집합족이다.

 

 

 

정의5

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이고 $\mathbb{R}^m$의 멱집합 $\mathcal{P}(\mathbb{R}^m)$이고 임의의 부분집합이 $E\subseteq \mathbb{R}^m$일때

영집합(null set) :

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\mathcal{P}(\mathbb{R}^m)$의 수열 $(B_k(\epsilon))_{k=1}^\infty$이 존재하여 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B_k(\epsilon)$이 $m$차원 닫힌상자이고

합집합이 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty B_k(\epsilon)$이고 닫힌상자의 부피의 급수가 수렴하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(B_k(\epsilon)) < \epsilon$이면 

$E$를 영집합 또는 $m$차원 영집합으로 정의한다.

거의 모든 점에서 참인 명제 :

명제함수 $Q$에 대해 임의의 $x \in E$에 대한 명제가 $Q(x)$일때

어떤 영집합 $Z \subseteq E$가 존재하여 모든 $x \in E\setminus Z$에 대해 $Q(x)$가 참이면

$Q$가 $E$의 거의 모든 점(almost everywhere on E)에서 참 또는 거의 모든 $x \in E$에 대해 $Q(x)$가 참이라고 한다.

 

 

 

정리11

임의의 집합 $A,B$의 데카르트곱이 $A\times B$이고 

모든 $a\in A$와 모든 $b\in B$에 대해 임의의 집합 $X_{a,b}$가 유일하게 존재할때 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle \bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B}X_{a,b} = \bigcup_{b\in B}\bigcup_{a\in A}X_{a,b}$

2. 임의의 집합 $C$와 전사함수 $\phi : C\to A\times B$에 대해 $\displaystyle \bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B}X_{a,b} = \bigcup_{c\in C} X_{\phi(c)} = \bigcup_{b\in B} \bigcup_{a\in A} X_{a,b}$이다.

증명

1.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B}X_{a,b}$에 대해 $x\in \displaystyle \bigcup_{b\in B}X_{a_0,b}$인 $a_0 \in A$이 존재하여 $x\in X_{a_0,b_0}$인 $b_0\in B$이 존재하므로 

$x\in \displaystyle \bigcup_{a\in A} X_{a,b_0}$이고 $x\in \displaystyle \bigcup_{b\in B}\bigcup_{a\in A} X_{a,b}$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B} X_{a,b} \subseteq \bigcup_{b\in B}\bigcup_{a\in A} X_{a,b}$이다. 

모든 $x\in \displaystyle \bigcup_{b\in B}\bigcup_{a\in A} X_{a,b}$에 대해 $x\in \displaystyle\bigcup_{a\in A} X_{a,b_0}$인 $b_0\in B$이 존재하여 $x\in X_{a_0,b_0}$인 $a_0\in A$이 존재하므로 

$x\in \displaystyle \bigcup_{b\in B} X_{a_0,b}$이고 $x\in \displaystyle \bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B} X_{a,b}$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{b\in B}\bigcup_{a\in A} X_{a,b}\subseteq \bigcup_{a\in A} \bigcup_{b\in B}X_{a,b}$이고 

집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B} X_{a,b} = \bigcup_{b\in B} \bigcup_{a\in A} X_{a,b}$이다.

2.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B}X_{a,b}$에 대해 $x\in \displaystyle \bigcup_{b\in B}X_{a_0,b}$인 $a_0 \in A$이 존재하여 $x\in X_{a_0,b_0}$인 $b_0\in B$이 존재하므로 

전사의 정의로 $(a_0,b_0) = \phi(c_0)$인 $c_0\in C$이 존재함에 따라 $x\in X_{a_0,b_0} = X_{\phi(c_0)}$이고 $x\in \displaystyle \bigcup_{c\in C}X_{\phi(c)}$이므로

$\displaystyle \bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B}X_{a,b} \subseteq \bigcup_{c\in C}X_{\phi(c)}$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup_{c\in C}X_{\phi(c)}$에 대해 $x\in X_{\phi(c_0)}$인 $c_0\in C$이 존재하여 $\phi(c_0) = (a_0,b_0)$인 $a_0\in A$과 $b_0\in B$에 대해 

$x\in X_{\phi(c_0)} = X_{a_0,b_0}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup_{b\in B} X_{a_0,b}$이고 $x\in \displaystyle \bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B} X_{a,b}$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{c\in C} X_{\phi(c)}\subseteq \bigcup_{a\in A} \bigcup_{b\in B}X_{a,b}$이고 

1번과 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{c\in C}X_{\phi(c)}=\bigcup_{a\in A}\bigcup_{b\in B} X_{a,b} = \bigcup_{b\in B} \bigcup_{a\in A} X_{a,b}$이다.

 

 

 

정리12

양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$의 데카르트곱이 $\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+$이고

모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 실수 $x_{i,j} \in $ $[0,\infty)$가 유일하게 존재할때 다음이 성립한다.

1. 모든 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 급수열 $\displaystyle \left ( \sum_{j=1}^n x_{i,j}\right )_{n=1}^\infty$이 수렴하고 $\displaystyle \left  (\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} \right )_{m=1}^\infty$이 수렴하기 위한 필요충분조건은 

모든 $j \in \mathbb{Z}^+$에 대해 급수열 $\displaystyle \left ( \sum_{i=1}^m x_{i,j}\right )_{m=1}^\infty$이 수렴하고 $\displaystyle \left  (\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^\infty x_{i,j} \right )_{n=1}^\infty$이 수렴하는 것이다.

이때 $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j}\in [0,\infty)$가 성립한다.

2. 전단사함수 $\phi : \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+$에 대해

$\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j} \in [0,\infty)$가 존재하기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty x_{\phi(k)} \in [0,\infty)$가 존재하는 것이다.

이때 $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j}  = \sum_{k=1}^\infty x_{\phi(k)} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j}$가 성립한다.

증명

1.

모든 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \left ( \sum_{j=1}^n x_{i,j}\right )_{n=1}^\infty$이 수렴하고 $\displaystyle \left  (\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} \right )_{m=1}^\infty$이 수렴하면 

급수 정리로 모든 $i,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \sum_{j=1}^n x_{i,j}\le \sum_{j=1}^\infty x_{i,j}$이므로

급수 정리로 모든 $m,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \sum_{i=1}^m x_{i,n} \le \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^{n} x_{i,j}\le \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} \le \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j}$가 되어 

급수 정리로 모든 $j \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \left ( \sum_{i=1}^m x_{i,j}\right )_{m=1}^\infty$이 수렴하고 

급수 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \left ( \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^{n} x_{i,j} \right )_{m=1}^\infty$이 수렴하므로 급수의 정의와 수열 정리와 수열 정리로 

$\begin{align*}  \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^\infty x_{i,j} & = \sum_{i=1}^\infty x_{i,1} + \sum_{i=1}^\infty x_{i,2} + \cdots + \sum_{i=1}^\infty x_{i,n} \\[0.5em]& = \lim_{m\to \infty} \left ( \sum_{i=1}^m x_{i,1} \right ) + \lim_{m\to \infty} \left (\sum_{i=1}^m x_{i,2} \right )+ \cdots + \lim_{m\to \infty} \left ( \sum_{i=1}^m x_{i,n} \right ) \\[0.5em]& = \lim_{m\to \infty} \left ( \sum_{i=1}^m x_{i,1} +\sum_{i=1}^m x_{i,2} + \cdots + \sum_{i=1}^m x_{i,n} \right ) \\[0.5em]& = \lim_{m\to \infty} \left (\sum_{i=1}^m (x_{i,1} + x_{i,2} + \cdots +x_{i,n}) \right ) \\[0.5em]& = \lim_{m\to \infty} \left (\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^{n} x_{i,j} \right )\\[0.5em]& \le \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} \text{ 임에 따라}\end{align*}$

급수 정리로 $\displaystyle \left  (\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^\infty x_{i,j} \right )_{n=1}^\infty$은 수렴하고 $\displaystyle  \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j}  \le \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} $이다.

역으로 모든 $j \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \left ( \sum_{i=1}^m x_{i,j}\right )_{m=1}^\infty$이 수렴하고 $\displaystyle \left  (\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^\infty x_{i,j} \right )_{n=1}^\infty$이 수렴하면 

급수 정리로 모든 $m,j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \sum_{i=1}^m x_{i,j}\le \sum_{i=1}^\infty x_{i,j}$이므로

급수 정리로 모든 $m,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \sum_{j=1}^n x_{m,j} \le \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^{m} x_{i,j}\le \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^\infty x_{i,j} \le \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j}$가 되어 

급수 정리로 모든 $i \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \left ( \sum_{j=1}^n x_{i,j}\right )_{n=1}^\infty$이 수렴하고 

급수 정리로 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \left ( \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^{m} x_{i,j} \right )_{n=1}^\infty$이 수렴하므로 급수의 정의와 수열 정리와 수열 정리로 

$\begin{align*}  \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} & = \sum_{j=1}^\infty x_{1,j} + \sum_{j=1}^\infty x_{2,j} + \cdots + \sum_{j=1}^\infty x_{m,j} \\[0.5em]& = \lim_{n\to \infty} \left ( \sum_{j=1}^n x_{1,j} \right ) + \lim_{n\to \infty} \left (\sum_{j=1}^n x_{2,j} \right )+ \cdots + \lim_{n\to \infty} \left ( \sum_{j=1}^n x_{m,j} \right ) \\[0.5em]& = \lim_{n\to \infty} \left ( \sum_{j=1}^n x_{1,j} +\sum_{j=1}^n x_{2,j} + \cdots + \sum_{j=1}^n x_{m,j} \right ) \\[0.5em]& = \lim_{n\to \infty} \left (\sum_{j=1}^n (x_{1,j} + x_{2,j} + \cdots +x_{m,j}) \right ) \\[0.5em]& = \lim_{n\to \infty} \left (\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m x_{i,j} \right )\\[0.5em]& \le \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j} \text{ 임에 따라}\end{align*}$

급수 정리로 $\displaystyle \left  (\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} \right )_{m=1}^\infty$은 수렴하고 $\displaystyle  \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j}  \le \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j} $이다.

따라서 $\displaystyle  \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j}  \le \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} $이고 $\displaystyle  \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j}  \le \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j} $이므로 $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j}$이다.

2.

$\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j} \in [0,\infty)$가 존재하면

모든 $p\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi(p) = (\phi_1(p),\phi_2(p))$인 함수가 $\phi_1,\phi_2 : \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$일때 

$m = \max \{ \phi_1(1), \phi_1(2),\cdots,\phi_1(p) \}$와 $n = \max \{ \phi_2(1), \phi_2(2),\cdots,\phi_2(p) \}$가 존재하여

모든 $k=1,2,\cdots,p$에 대해 $\phi_1(k)\le m$이고 $\phi_2(k)\le n$이므로

$\{ \phi(1),\phi(2),\cdots, \phi(p) \}\subseteq \{ (i,j)\in \mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+ : i\le m\text{이고 }j\le n\}$이 되어 $\phi$가 단사임에 따라

급수 정리로 $\displaystyle \sum_{k=1}^p x_{\phi(k)} \le \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nx_{i,j} \le \sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty x_{i,j}$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty x_{\phi(k)} \le  \sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty x_{i,j} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j}$이다.

역으로 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty x_{\phi(k)} \in [0,\infty)$가 존재하면 

모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 전단사의 정의로 $(i,j) = \phi(k_{i,j})$인 $k_{i,j}\in \mathbb{Z}^+$가 유일하게 존재하여 

모든 $m,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathbb{Z}_m^+ = \{ 1,2,\cdots,m\}$이고 $\mathbb{Z}_n^+ = \{ 1,2,\cdots,n\}$일때 

$p = \max \{ k_{i,j} : (i,j)\in \mathbb{Z}_m^+\times \mathbb{Z}_n^+\}$가 존재하므로

모든 $(i,j)\in \mathbb{Z}_m^+\times \mathbb{Z}_n^+$에 대해 $k_{i,j}\le p$임에 따라 $\{ k_{i,j} : (i,j)\in \mathbb{Z}_m^+\times \mathbb{Z}_n^+\} \subseteq \{ 1,2,\cdots, p\}$이고 

$\mathbb{Z}_m^+\times \mathbb{Z}_n^+ =\{ \phi(k_{i,j}) : (i,j)\in \mathbb{Z}_m^+\times\mathbb{Z}_n^+\} =\phi(\{ k_{i,j} : (i,j)\in \mathbb{Z}_m^+\times \mathbb{Z}_n^+\}) \subseteq \phi(\{ 1,2,\cdots, p\}) = \{ \phi(1),\phi(2),\cdots, \phi(p)\} \text{ 이므로}$

$\displaystyle \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m x_{i,j}=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n x_{i,j} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{\phi(k_{i,j})}\le \sum_{k=1}^p x_{\phi(k)}\le \sum_{k=1}^\infty x_{\phi(k)}$가 되어 1번과 같이

$\displaystyle \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^\infty x_{i,j}= \lim_{n\to \infty} \left (\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^m x_{i,j}\right ) \le \sum_{k=1}^\infty x_{\phi(k)}$이고 $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j}= \lim_{m\to \infty}\left (\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} \right ) \le \sum_{k=1}^\infty x_{\phi(k)}$임에 따라 

$\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j} \in [0,\infty)$가 존재하고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty x_{\phi(k)}= \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j}  = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j}$이다.

 

 

 

정리13

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $F \subseteq \mathbb{R}^m$가 영집합이면 모든 $E\subseteq F$는 영집합이다.

2. 모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 영집합 $E_r\subseteq \mathbb{R}^m$이 유일하게 존재할때 $\displaystyle \bigcup_{r=1}^\infty E_r$은 영집합이다.

3. 퇴화상자인 $m$차원 닫힌상자는 영집합이다.

4. 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^m$의 부피가 $0$이면 $E$는 영집합이다.

5. 임의의 $p\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E_1,E_2,\cdots,E_p\subseteq \mathbb{R}^m$가 영집합이면 $\displaystyle \bigcup_{r=1}^pE_r$은 영집합이다.

6. 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^m$가 가산집합이면 $E$는 영집합이다.

7. 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^m$가 영집합이기 위한 필요충분조건은 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$m$차원 열린상자들의 수열 $(B_k(\epsilon))_{k=1}^\infty$이 존재하여 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty B_k(\epsilon)$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(B_k(\epsilon)) \le \epsilon$인 것이다.

증명

1.

영집합의 정의로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $m$차원 닫힌상자들의 수열 $(B_k)_{k=1}^\infty$가 존재하여 

$F \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty B_k$와 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(B_k) < \epsilon$이 성립하므로 $E\subseteq F \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty B_k$임에 따라 $E$는 영집합이다.

2.

영집합의 정의로 모든 $r\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$m$차원 닫힌상자들의 수열 $(B_{k,r})_{k=1}^\infty$이 존재하여 $E_r \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty B_{k,r}$과 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(B_{k,r}) < \dfrac{\epsilon}{2^{r+1}} = \dfrac{\epsilon}{2}\cdot \dfrac{1}{2^r}$이 성립하므로

선택 정리로 모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(B_{k,r})_{k=1}^\infty$을 선택하면 가산집합 정리와 기수 정리와 기수 정리로

전단사함수 $\phi : \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+ $가 존재하고 $(B_{\phi(j)})_{j=1}^\infty$는 $m$차원 닫힌상자들의 수열이다.

위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{r=1}^\infty E_r \subseteq \bigcup_{r=1}^\infty \bigcup_{k=1}^\infty B_{k,r} = \bigcup_{j=1}^\infty B_{\phi(j)}$이고 위 정리와 급수 정리와 급수 정리와 수열 정리로 

$\displaystyle \sum_{j=1}^\infty vol(B_{\phi(j)}) = \sum_{r=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty vol(B_{k,r}) \le \sum_{r=1}^\infty \dfrac{\epsilon}{2}\cdot \dfrac{1}{2^r} = \dfrac{\epsilon}{2} \cdot \left (\sum_{r=0}^\infty \dfrac{1}{2^r} - 1 \right ) = \dfrac{\epsilon}{2} \cdot (2-1) = \dfrac{\epsilon}{2} < \epsilon$이므로 

$\displaystyle \bigcup_{r=1}^\infty E_r$은 영집합이다.

3.

퇴화상자인 $m$차원 닫힌상자 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^m[a_i,b_i]$는 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$과 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 실수 정리로 

$(b_1-a_1 + \delta_k(\epsilon))\cdot (b_2-a_2 + \delta_k(\epsilon))\cdot \, \cdots \, \cdot (b_m-a_m +\delta_k(\epsilon)) = vol(B) + \dfrac{\epsilon}{2^{k+1}} = 0+\dfrac{\epsilon}{2^{k+1}}= \dfrac{\epsilon}{2^{k+1}}$이 되는

$\delta_k(\epsilon)\in (0,\infty)$이 존재하므로 $B_k(\epsilon) = \displaystyle \prod_{i=1}^m[a_i -\tfrac{\delta_k(\epsilon)}{2},b_i + \tfrac{\delta_k(\epsilon)}{2}]$는 $B\subseteq B_k(\epsilon)$이 되어 $B\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty B_k(\epsilon)$이고 

닫힌상자의 부피의 정의로 $vol(B_k(\epsilon)) = \dfrac{\epsilon}{2^{k+1}} = \dfrac{\epsilon}{2}\cdot \dfrac{1}{2^k}$이므로 급수 정리와 수열 정리로 

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(B_k(\epsilon)) = \sum_{k=1}^\infty \dfrac{\epsilon}{2}\cdot \dfrac{1}{2^k} = \dfrac{\epsilon}{2} \cdot \left (\sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{2^k} - 1 \right ) = \dfrac{\epsilon}{2} \cdot (2-1) = \dfrac{\epsilon}{2} < \epsilon$이 되어 $B$는 영집합이다.

4.

부피 정리로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 어떤 $n_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}B_k$이고 ${\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon}}vol(B_k) < \epsilon$인 $m$차원 닫힌상자 $B_1,B_2,\cdots,B_{n_\epsilon}$이 존재하므로 

$n_\epsilon < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B_k$를 퇴화상자인 $m$차원 닫힌상자로 정의하면 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}B_k \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty B_k$이고

퇴화상자 정리로 $vol(B_k) = 0$임에 따라 급수 정리로 ${\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(B_k) =\sum_{k=1}^{n_\epsilon}}vol(B_k) < \epsilon$이 되어 $E$는 영집합이다.

5.

부피 정리로 $\emptyset$은 $m$차원 부피가 $0$이므로 4번으로 $\emptyset$은 $m$차원 영집합이 되어

$p < r$인 모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E_r = \emptyset$으로 정의하면 2번으로 $\displaystyle \bigcup_{r=1}^pE_r = \bigcup_{r=1}^\infty E_r$은 영집합이다.

6.

$E = \emptyset$이면 부피 정리와 4번으로 $E = \emptyset$은 영집합이다.

$E\ne \emptyset$이면 가산집합 정리와 가산집합 정리와 함수 정리로 전사함수 $\psi : \mathbb{Z}^+ \to E$가 존재하여 

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 부피 정리와 4번으로 $\{ \psi(r)\}$은 영집합이므로 2번으로 $E = \displaystyle \bigcup_{r=1}^\infty \{ \psi(r)\}$는 영집합이다.

7.

$E$가 영집합이면

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty B_k$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(B_k) < \dfrac{\epsilon}{2}$인 $m$차원 닫힌상자들의 수열 $(B_k)_{k=1}^\infty$가 존재하므로 

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m[a_i(k),b_i(k)]$이고

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i(k)\le b_i(k)$인 $a_i(k),b_i(k)\in \mathbb{R}$가 존재하여 실수 정리와 선택 정리로 

$(b_1(k)-a_1(k) + \delta_\epsilon(k))\cdot (b_2(k)-a_2(k) +\delta_\epsilon(k))\cdot \,\cdots\,\cdot (b_m(k)-a_m(k)+\delta_\epsilon(k)) = vol(B_k) + \dfrac{\epsilon}{2^{k+1}}$이 되는 

$\delta_\epsilon(k)\in (0,\infty)$를 선택하면 $C_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m (a_i(k)-\tfrac{\delta_\epsilon(k)}{2},b_i(k)+\tfrac{\delta_\epsilon(k)}{2})$는 $m$차원 열린상자이고

$[a_i(k),b_i(k)]\subseteq (a_i(k)-\tfrac{\delta_\epsilon(k)}{2},b_i(k)+\tfrac{\delta_\epsilon(k)}{2})$이므로 $B_k\subseteq C_k$가 되어 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty B_k\subseteq \bigcup_{k=1}^\infty C_k$이다. 

열린상자의 부피의 정의로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $vol(C_k) = vol(B_k) + \dfrac{\epsilon}{2^{k+1}}$이므로 

급수의 정의와 급수 정리와 수열 정리로 

$\begin{align*} \sum_{k=1}^\infty vol(C_k) & = \sum_{k=1}^\infty \left (vol(B_k) + \dfrac{\epsilon}{2^{k+1}}\right ) \\[0.5em]&= \lim_{n\to \infty }\left (\sum_{k=1}^n \left (vol(B_k) + \dfrac{\epsilon}{2^{k+1}}\right ) \right ) \\[0.5em]&= \lim_{n\to \infty }\left (\sum_{k=1}^n vol(B_k) + \sum_{k=1}^n\dfrac{\epsilon}{2^{k+1}} \right ) \\[0.5em]&= \lim_{n\to \infty }\left (\sum_{k=1}^n vol(B_k) \right ) + \lim_{n\to \infty }\left (\dfrac{\epsilon}{2} \cdot \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2^{k}} \right ) \\[0.5em]&= \sum_{k=1}^\infty vol(B_k) +\dfrac{\epsilon}{2} \cdot \lim_{n\to \infty }\left ( \sum_{k=0}^n\dfrac{1}{2^{k}} - 1\right ) \\[0.5em]&= \sum_{k=1}^\infty vol(B_k) +\dfrac{\epsilon}{2} \cdot \left ( \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{2^{k}} -1\right ) \\[0.5em]&= \sum_{k=1}^\infty vol(B_k) +\dfrac{\epsilon}{2} \cdot (2-1) \\[0.5em]& < \dfrac{\epsilon}{2} +\dfrac{\epsilon}{2} =\epsilon \text{ 이다.} \end{align*}$

역으로 조건이 성립하면

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty B_k$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(B_k) \le \dfrac{\epsilon}{2}$인 $m$차원 열린상자들의 수열 $(B_k)_{k=1}^\infty$가 존재하여 

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m(a_i(k),b_i(k))$이고

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i(k)\le b_i(k)$인 $a_i(k),b_i(k)\in \mathbb{R}$가 존재하므로 $C_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m[a_i(k),b_i(k)]$일때

$C_k$는 $m$차원 닫힌상자이고 $(a_i(k),b_i(k))\subseteq [a_i(k),b_i(k)]$임에 따라 $B_k\subseteq C_k$가 되어 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty B_k\subseteq \bigcup_{k=1}^\infty C_k$이고 

부피의 정의로 $vol(C_k) = vol(B_k)$이므로 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(C_k) = \sum_{k=1}^\infty vol(B_k) \le \dfrac{\epsilon}{2} <\epsilon$이 되어 $E$는 영집합이다.

 

 

 

정리14

임의의 집합이 $X$이고 $1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1)$일때

$E\ne \emptyset$이고 $F\ne \emptyset$인 임의의 $E,F\subseteq X$에서 유계인 함수 $f:X\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\sup \{ |f(x)- f(y)| : x,y\in E\} = \sup \{ f(x) - f(y) : x,y\in E\} = \sup f(E) - \inf f(E)$

2. $\sup \{ |f(x)- f(y)| : x,y\in E\} \le 2\cdot \sup \{ |f(x)| : x\in E\}$

3. $E\subseteq F$이면 $\inf f(F)\le \inf f(E) \le \sup f(E) \le \sup f(F)$이다.

4. $E\subseteq F$이면 $0\le \sup f(E) - \inf f(E) \le \sup f(F) - \inf f(F)$이다.

증명

함수 정리로 $f(E)$는 $(\mathbb{R},d_1)$에서 유계이므로

모든 $x,y\in E$에 대해 $d_1(f(x),f(y)) = |f(x)-f(y)|$이고 $E\ne \emptyset$임에 따라

완비성으로 $\sup \{ |f(x)- f(y)| : x,y\in E\}$가 존재하고 

절댓값의 정의로 $|f(x)-f(y)| = f(x) -f(y)$ 또는 $|f(x)-f(y)| = f(y) -f(x)$임에 따라

$\sup \{ f(x) - f(y) : x,y\in E\} $가 존재하고

$f$는 $E,F$에서 유계이므로 $E\ne \emptyset$이고 $F\ne \emptyset$임에 따라

$\inf f(E), \sup f(E) ,\inf f(F), \sup f(F) , \sup \{ |f(x)|:x\in E\}$가 존재한다.

1.

상한 정리로 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해

$\sup \{ |f(x)-f(y)| : x,y\in E \} - \epsilon < |f(x_1) - f(x_2)|$인 $x_1,x_2 \in E$가 존재하여 

$|f(x_1) - f(x_2)| = f(x_i) - f(x_j)$인 $i,j=1,2$가 존재하므로 상한의 정의로 

$\sup \{ |f(x)-f(y)| : x,y\in E \} - \epsilon < |f(x_1) - f(x_2)| = f(x_i) -f(x_j) \le  \sup \{ f(x)-f(y) : x,y\in E\}$이고 

부등식 정리로 $\sup \{ |f(x)-f(y)| : x,y\in E \} \le  \sup \{ f(x)-f(y) : x,y\in E\}$이다.

모든 $x_1,x_2\in E$에 대해

절댓값 정리로 $f(x_1)-f(x_2) \le |f(x_1)-f(x_2)| \le \sup \{ |f(x)-f(y)| : x,y\in E\}$이므로 

상한의 정의로 $\sup \{f(x)-f(y) : x,y\in E \} \le \sup \{ |f(x)-f(y)| : x,y\in E\}$가 되어 

$\sup \{ |f(x)-f(y)| : x,y\in E \} =  \sup \{ f(x)-f(y) : x,y\in E\}$이다.

상한 정리와 상한, 하한 정리로 

$\begin{align*} \sup \{ |f(x)-f(y)| : x,y\in E\} & = \sup \{ f(x)-f(y) : x,y\in E\} \\[0.5em] & =\sup \{ f(x) : x\in E\} + \sup \{ -f(x) : x\in E\} \\[0.5em] & = \sup f(E) - \inf f(E) \text{ 이다.}  \end{align*}$

2.

모든 $x_1 ,x_2 \in E$에 대해 삼각부등식과 상한의 정의와 최대원소의 정의로 

$|f(x_1) - f(x_2)| \le |f(x_1)| + |f(x_2)| \le 2\cdot \max\{ |f(x_1)|,|f(x_2)| \} \le 2\cdot \sup \{|f(x)| : x \in E \}$이므로 

상한의 정의로 $\sup \{ |f(x)-f(y)| : x,y\in E\} \le 2\cdot \sup \{|f(x)| : x \in E \}$이다.

3.

$E\subseteq F$이므로 $f(E)\subseteq f(F) \subseteq \mathbb{R}$이 되어 상한, 하한 정리로 $\inf f(F)\le \inf f(E) \le \sup f(E) \le \sup f(F)$이다.

4.

3번으로 $\inf f(F)\le \inf f(E) \le \sup f(E) \le \sup f(F)$이므로 $-\inf f(E)\le -\inf f(F)$가 되어

$0\le \sup f(E) - \inf f(E) \le \sup f(F) - \inf f(F)$이다.

 

 

 

정리15

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해 다음은 동치이다.

1. $E$의 부피가 $0$이다.

2. 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 어떤 $n_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}B_k$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon} vol(B_k) < \epsilon$인 $m$차원 닫힌상자 $B_1,B_2,\cdots,B_{n_\epsilon}$이 존재한다.

3. 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 어떤 $n_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}B_k$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon} vol(B_k) < \epsilon$인 $m$차원 열린상자 $B_1,B_2,\cdots,B_{n_\epsilon}$이 존재한다.

4. 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 어떤 $n_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon} \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)}$와 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon} vol(B_k) < \epsilon$이 성립하고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B_1,B_2,\cdots,B_{n_\epsilon}$이 존재한다.

증명

$1\to 2$

부피 정리로 성립한다.

$2\to 3$

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 어떤 $n_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}B_k$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon}vol(B_k) < \dfrac{\epsilon}{2}$인 $m$차원 닫힌상자 $B_1,B_2,\cdots,B_{n_\epsilon}$이 존재하므로

모든 $k= 1,2,\cdots,n_\epsilon$에 대해 $B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m[a_i(k),b_i(k)]$이고

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i(k)\le b_i(k)$인 $a_i(k),b_i(k)\in \mathbb{R}$가 존재하고 실수 정리로 

$(b_1(k)-a_1(k) + \delta_\epsilon(k))\cdot (b_2(k)-a_2(k) +\delta_\epsilon(k))\cdot \,\cdots\,\cdot (b_m(k)-a_m(k)+\delta_\epsilon(k)) = vol(B_k) + \dfrac{\epsilon}{2\cdot n_\epsilon}$이 되는 

$\delta_\epsilon(k)\in (0,\infty)$가 존재하여 $C_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m (a_i(k)-\tfrac{\delta_\epsilon(k)}{2},b_i(k)+\tfrac{\delta_\epsilon(k)}{2})$는 $m$차원 열린상자이고

$[a_i(k),b_i(k)]\subseteq (a_i(k)-\tfrac{\delta_\epsilon(k)}{2},b_i(k)+\tfrac{\delta_\epsilon(k)}{2})$이므로 $B_k\subseteq C_k$가 되어 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}B_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}C_k$이고

열린상자의 부피의 정의로 

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon}vol(C_k) = \sum_{k=1}^{n_\epsilon}\left (vol(B_k) + \dfrac{\epsilon}{2\cdot n_\epsilon}\right) = \sum_{k=1}^{n_\epsilon}vol(B_k) + \sum_{k=1}^{n_\epsilon} \dfrac{\epsilon}{2\cdot n_\epsilon} < \dfrac{\epsilon}{2} + n_\epsilon\cdot \dfrac{\epsilon}{2\cdot n_\epsilon} = \epsilon$이다.

$3\to 4$

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 어떤 $n_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}B_k$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon}vol(B_k) < \dfrac{\epsilon}{2}$인 $m$차원 열린상자 $B_1,B_2,\cdots,B_{n_\epsilon}$이 존재하므로

모든 $k= 1,2,\cdots,n_\epsilon$에 대해 $B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m(a_i(k),b_i(k))$이고

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i(k)\le b_i(k)$인 $a_i(k),b_i(k)\in \mathbb{R}$가 존재하고 실수 정리로 

$(b_1(k)-a_1(k) + \delta_\epsilon(k))\cdot (b_2(k)-a_2(k) +\delta_\epsilon(k))\cdot \,\cdots\,\cdot (b_m(k)-a_m(k)+\delta_\epsilon(k)) = vol(B_k) + \dfrac{\epsilon}{2\cdot n_\epsilon}$이 되는 

$\delta_\epsilon(k)\in (0,\infty)$가 존재하여 $C_k = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i(k)-\tfrac{\delta_\epsilon(k)}{2},b_i(k)+\tfrac{\delta_\epsilon(k)}{2}]$는 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자이고

상자 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_k)} = \displaystyle \prod_{i=1}^m (a_i(k)-\tfrac{\delta_\epsilon(k)}{2},b_i(k)+\tfrac{\delta_\epsilon(k)}{2})$가 되어

$(a_i(k),b_i(k))\subseteq (a_i(k)-\tfrac{\delta_\epsilon(k)}{2},b_i(k)+\tfrac{\delta_\epsilon(k)}{2})$임에 따라 $B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_k)}$이므로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}B_k\subseteq \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(C_k)}$이고

닫힌상자의 부피의 정의로 

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon}vol(C_k) = \sum_{k=1}^{n_\epsilon}\left (vol(B_k) + \dfrac{\epsilon}{2\cdot n_\epsilon}\right) = \sum_{k=1}^{n_\epsilon}vol(B_k) + \sum_{k=1}^{n_\epsilon} \dfrac{\epsilon}{2\cdot n_\epsilon} < \dfrac{\epsilon}{2} + n_\epsilon\cdot \dfrac{\epsilon}{2\cdot n_\epsilon} = \epsilon$이다.

$4\to 1$

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 어떤 $n_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon} \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)}$와 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon} vol(B_k) < \epsilon$이 성립하고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B_1,B_2,\cdots,B_{n_\epsilon}$이 존재하므로

내부 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon} \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_k)}\subseteq \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon}B_k$임에 따라 부피 정리로 $E$의 부피는 $0$이다.

 

 

 

정리16

$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때 임의의 $E,F\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해 다음이 성립한다.

1. $E$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 닫힌집합일때 $E$가 영집합이기 위한 필요충분조건은 $E$의 부피가 $0$인 것이다.

2. $E,F$가 조르당영역일때 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(F)} = \emptyset$이면 $vol(E\cap F) = 0$이다.

3. $E$가 영집합이면 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

공상자가 아닌 $m$차원 열린상자들의 수열 $(B_k(\epsilon))_{k=1}^\infty$이 존재하여 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty B_k(\epsilon)$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(B_k(\epsilon)) < \epsilon$이다.

증명

1.

$E$가 영집합이면 $E = \emptyset$일때 부피 정리로 $E$의 부피는 $0$이다.

$E\ne \emptyset$일때 위 정리로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty B_k$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(B_k) \le \dfrac{\epsilon}{2}$인 $m$차원 열린상자들의 수열 $(B_k)_{k=1}^\infty$가 존재하므로

거리공간 정리로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B_k$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 열린집합이고

하이네-보렐 정리로 $E$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 콤팩트집합임에 따라

거리공간 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}$이고 공집합이 아닌 유한집합 $\mathcal{B}\subseteq \{ B_k : k\in \mathbb{Z}^+\}$가 존재하여 

$n_\epsilon = \max \{ k\in \mathbb{Z}^+ : B_k\in \mathcal{B}\}$에 대해 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}\subseteq \bigcup_{k=1}^{n_\epsilon} B_k$이고

급수 정리로 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n_\epsilon}vol(B_k)\le \sum_{k=1}^\infty vol(B_k) \le \dfrac{\epsilon}{2} < \epsilon$이므로 위 정리로 $E$의 부피는 $0$이다.

역으로 $E$의 부피가 $0$이면 위 정리로 $E$는 영집합이다.

2.

조르당영역 정리로 $E\cap F$는 조르당영역이고 위상공간 정리와 내부 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(E\cap F) = \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(F)} = \emptyset$이므로 조르당영역 정리로 $vol(E\cap F)= 0$이다.

3.

위 정리로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty C_k(\epsilon)$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(C_k(\epsilon)) \le \dfrac{\epsilon}{4}$인 $m$차원 열린상자들의 수열 $(C_k(\epsilon))_{k=1}^\infty$가 존재하여

어떤 $K\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $K \le k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$가 $C_k(\epsilon) = \emptyset$이면 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty C_k(\epsilon) = \bigcup_{k=1}^{K-1} C_k(\epsilon)$이고 

일반성을 잃지 않고 $C_1(\epsilon),C_2(\epsilon),\cdots,C_{K-1}(\epsilon)$이 모두 공상자가 아니라고 가정할때 

$k < K$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B_k(\epsilon) = C_k(\epsilon)$는 공상자가 아닌 $m$차원 열린상자이고

$K \le k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 

$\delta_\epsilon(k) = \left (\dfrac{\epsilon}{2^{k+3 - K}}\right )^\frac{1}{m} > 0$인 $B_k(\epsilon) = \displaystyle \prod_{i=1}^m (0, \delta_\epsilon(k))$는 공상자가 아닌 $m$차원 열린상자이고

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^{K-1} C_k(\epsilon) \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty B_k(\epsilon)$이고 부피의 정의와 급수 정리와 급수 정리와 급수 정리와 급수 정리와 수열 정리로 

$\begin{align*} \sum_{k=1}^\infty vol(B_k(\epsilon)) & = \sum_{k=1}^{K-1} vol(B_k(\epsilon)) + \sum_{k = K}^\infty vol(B_k(\epsilon)) \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^{K-1} vol(C_k(\epsilon)) + \sum_{k = K}^\infty (\delta_\epsilon(k))^m \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^\infty vol(C_k(\epsilon)) + \sum_{k = K}^\infty \dfrac{\epsilon}{2^{ k + 3 - K}} \\[0.5em] & \le \dfrac{\epsilon}{4} + \sum_{k = 1}^\infty \dfrac{\epsilon}{2^{ k + K -1 + 3 - K}} \\[0.5em] & \qquad = \dfrac{\epsilon}{4} + \sum_{k = 1}^\infty \dfrac{\epsilon}{2^{k +2}} \\[0.5em] & \qquad = \dfrac{\epsilon}{4} + \dfrac{\epsilon}{2^2}\cdot \left ( \sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{2^k} - 1\right ) \\[0.5em] & \qquad = \dfrac{\epsilon}{4} + \dfrac{\epsilon}{4}\cdot (2 -1) \\[0.5em] & \qquad = \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & < \epsilon \text{ 이다.} \end{align*}$

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $r\le k_r$이고 $C_{k_r}(\epsilon)\ne \emptyset$인 $k_r\in \mathbb{Z}^+$이 존재하면 

정렬성과 귀납적 정의로 $r\le k_r < k_{r+1}$이고 공상자가 아닌 $m$차원 열린상자들의 수열 $(C_{k_r}(\epsilon))_{r=1}^\infty$이 존재하여 

$\{ C_k(\epsilon) : k\in \mathbb{Z}^+\} \setminus \{ \emptyset\} = \{ C_{k_r}(\epsilon): r\in \mathbb{Z}^+\}$이므로 

$E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty C_k(\epsilon) = \bigcup_{r=1}^\infty C_{k_r}(\epsilon)$이고 급수 정리로 $\displaystyle \sum_{r=1}^\infty vol(C_{k_r}(\epsilon)) \le \sum_{k=1}^\infty vol(C_k(\epsilon)) \le \dfrac{\epsilon}{4}<\epsilon$이다.

 

 

 

정리17

임의의 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $m,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m),(\mathbb{R},d_1)$일때

$E\subseteq F$인 임의의 $E,F\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해 $(\mathbb{R}^m,d_m)$의 부분거리공간이 $(E,d_m),(F,d_m)$이면 다음이 성립한다.

1. 함수 $\phi :E\to \mathbb{R}$가 $(E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $x\in E$에서 연속이면

$\phi$는 $(E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in E$에서 연속이다.

2. 함수 $\Phi : F\to \mathbb{R}$가 $(F,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in F$에서 연속이면 

$\Phi$의 제한함수 $\Phi|_E : E\to \mathbb{R}$는 $(E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in E$에서 연속이다.

3. $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 $E$의 경계 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$가 영집합일때

함수 $\phi :E\to \mathbb{R}$가 $(E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in E$에서 연속이고

$\Phi|_E = \phi$인 함수 $\Phi : F\to \mathbb{R}$에 대해 $\Phi|_{F\setminus E}$가 $(F\setminus E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in F\setminus E$에서 연속이면 

$\Phi$는 $(F,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in F$에서 연속이다.

4. $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$가 영집합이고 함수 $\phi:E\to \mathbb{R}$에 대해 $F$에서 $\phi$의 영확장함수가 $\Phi : F \to \mathbb{R}$일때

$\phi$가 $(E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in E$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 

$\Phi$가 $(F,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in F$에서 연속인 것이다.

증명

1.

위 정리로 $\emptyset$은 영집합이고 $\emptyset \subseteq E$이므로 $\phi$가 $(E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $x\in E = E\setminus \emptyset$에서 연속임에 따라

$\phi$는 $(E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in E$에서 연속이다.

2.

$\Phi$가 $(F,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in F$에서 연속이므로 

어떤 영집합 $Z\subseteq F$가 존재하여 $\Phi$는 $(F,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $x\in F\setminus Z$에서 연속이고 

$E\cap Z\subseteq Z$이므로 위 정리로 $E\cap Z$는 영집합이 되어 집합 정리와 제한함수의 정의와 연속함수 정리로

$\Phi|_E$는 $(E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $x\in E\setminus (E\cap Z) = E\cap (F\setminus Z) \subseteq F\setminus Z$에서 연속이다.

따라서 $\Phi|_E$는 $(E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in E$에서 연속이다.

3.

어떤 영집합 $Z_1\subseteq E$이 존재하여 $\phi$는 $(E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $x\in E\setminus Z_1$에서 연속이고

어떤 영집합 $Z_2\subseteq F\setminus E$가 존재하여 $\Phi|_{F\setminus E}$는 $(F\setminus E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $x\in (F\setminus E)\setminus Z_2$에서 연속이다.

$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$는 영집합이므로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\cap F\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$임에 따라 위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\cap F$는 영집합이고

$Z_1\subseteq E\subseteq F$와 $Z_2\subseteq F\setminus E \subseteq F$가 성립하여 $Z_1\cup Z_2 \cup (\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\cap F) \subseteq F$이고 

위 정리로 $Z = Z_1\cup Z_2 \cup (\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\cap F)$는 영집합이다.

임의의 $x_0\in F\setminus Z$에 대해 

$x_0\notin E$이면 $x_0\in F\setminus Z\subseteq F$이므로 $x_0\in F\setminus E$이고 $x_0\notin Z$이므로 $x_0\notin Z_2$이 되어 $x_0\in (F\setminus E)\setminus Z_2$임에 따라

연속의 정의로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 

$d_m(x,x_0)<\delta_\epsilon $인 모든 $x\in F\setminus E$가 $|\Phi|_{F\setminus E}(x) - \Phi|_{F\setminus E}(x_0)| <\epsilon$이 되는 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하고 

$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\cap (F\setminus E)\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\cap F \subseteq Z$이므로 내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$임에 따라

집합 정리와 집합 정리와 집합 정리와 폐포 정리로

$\begin{align*} (F\setminus E)\setminus Z & \subseteq (F\setminus E)\setminus (\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\cap (F\setminus E)) \\[0.5em]& \qquad = (F\setminus E)\setminus \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E} \\[0.5em] & \subseteq (F\setminus \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} )\setminus \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E} \\[0.5em]&\qquad = F\setminus (\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} \cup \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) \\[0.5em] &\qquad = F\setminus \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} \\[0.5em]&\qquad= F\setminus (\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\cap F) \text{ 이고} \end{align*}$

폐포 정리와 거리공간 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\cap F$는 $(F,d_m)$에서 닫힌집합이므로 

$F\setminus (\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\cap F)$는 $(F,d_m)$에서 열린집합이 되어 $x_0\in (F\setminus E)\setminus Z  \subseteq  F\setminus (\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\cap F) $이고

집합 정리와 폐포 정리로 $E = E\cap F\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\cap F$임에 따라 열린공의 정의와 거리공간 정리와 집합 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x_0,r)} \cap F = \underset{(F,d_m)}{B}(x_0,r)  \subseteq F\setminus (\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\cap F) \subseteq F\setminus E$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하여

$d_m(x,x_0) < \min \{ \delta_\epsilon,r\}$인 모든 $x\in F$는 열린공의 정의로 $x\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x_0,r)} \cap F \subseteq F\setminus E$이므로 

제한함수의 정의로 $d_1(\Phi(x),\Phi(x_0))=|\Phi(x)-\Phi(x_0)| =|\Phi|_{F\setminus E}(x)-\Phi|_{F\setminus E}(x_0)|  < \epsilon$이고 

$\Phi$는 $(F,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.

$x_0\in E$이면 폐포 정리로 $x_0\in E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} = \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} \cup \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$이므로 $x_0\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$이라고 가정할때

$x_0\in F\setminus Z\subseteq F$임에 따라 $x_0\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\cap F\subseteq Z$인데 $x_0\notin Z$이므로 모순이 되어

$x_0\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$이고 내부의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x_0,r)}\subseteq E$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하므로 $x_0\in E\setminus Z_1$임에 따라 연속의 정의로

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $d_m(x,x_0)<\delta_\epsilon$인 모든 $x\in E$가 $|\phi(x)-\phi(x_0)| < \epsilon$인 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하고

$d_m(x,x_0) < \min \{ \delta_\epsilon,r\}$인 모든 $x\in F$는 열린공의 정의로 $x\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x_0,r)}\subseteq E$가 되어

제한함수의 정의로 $d_1(\Phi(x),\Phi(x_0))=|\Phi(x)-\Phi(x_0)| =|\Phi|_E(x)-\Phi|_E(x_0)| =|\phi(x)-\phi(x_0)| < \epsilon$이므로 

$\Phi$는 $(F,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.

따라서 $\Phi$는 $(F,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $x\in F\setminus Z$에서 연속이므로

$\Phi$는 $(F,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in F$에서 연속이다.

4.

영확장함수 정리로 $\Phi|_E = \phi$이다.

$\phi$가 $(E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in E$에서 연속이면 

제한함수의 정의와 영확장함수의 정의로 모든 $x\in F\setminus E$에 대해 $\Phi|_{F\setminus E}(x)=\Phi(x) = 0$이므로 

연속함수 정리로 $\Phi|_{F\setminus E}$는 $(F\setminus E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $x\in F\setminus E$에서 연속이 되어

1, 3번으로 $\Phi$는 $(F,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in F$에서 연속이다.

역으로 $\Phi$가 $(F,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in F$에서 연속이면

2번으로 $\phi =\Phi|_E$는 $(E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in E$에서 연속이다.

 

 

 

정리18(르베그의 리만적분가능성 판정법)

임의의 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $m,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m),(\mathbb{R},d_1)$일때

임의의 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에서 유계인 함수 $f:E\to \mathbb{R}$가 $E$에서 리만적분가능하기 위한 필요충분조건은 

$f$가 $(E,d_m)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in E$에서 연속인 것이다.

증명

$f$가 $E$에서 리만적분가능하면 함수 정리로 $f(E)$는 $(\mathbb{R},d_1)$에서 유계이므로

진동 정리로 $f$가 $(E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 연속이 아닌 모든 점들의 집합 $Z \subseteq E$는

$Z = \{ x\in E : \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\overset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{osc}}}(f;x) > 0\}$이고 모든 양의 정수 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $Z_k = \{ x\in E : \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\overset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{osc}}}(f;x) \ge \frac{1}{2^k}\}$일때

모든 $x\in Z_k$는 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\overset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{osc}}}(f;x)\ge \dfrac{1}{2^k} > 0$이므로 $x\in Z$가 되어 $Z_k\subseteq Z$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty Z_k \subseteq Z$이고 

모든 $x\in Z$는 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\overset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{osc}}}(f;x) > 0$이므로 아르키메데스 성질로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\overset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{osc}}}(f;x)\ge \dfrac{1}{2^k}$인 $k\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $x\in Z_k$이고

$x\in \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty Z_k$임에 따라 $Z\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty Z_k$가 되어 집합 정리로 $Z=\displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty Z_k$이다.

모든 $\epsilon \in (0,\infty)$과 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 리만적분 정리로

$E\subseteq B_\epsilon(k)$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B_\epsilon(k)$가 존재하여 어떤 $n(k)\in \mathbb{Z}^+$에 대해 

$\displaystyle U(f;\mathcal{G}_\epsilon(k)) - L(f;\mathcal{G}_\epsilon(k)) < \frac{\epsilon}{2^{k+1}}$이 되는 $B_\epsilon(k)$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon(k) = \{ G_j(k) \}_{j=1}^{n(k)}$가 존재하고 격자 정리로

모든 $x\in Z_k\subseteq E \subseteq B_\epsilon(k) =\displaystyle \bigcup_{j=1}^{n(k)}G_j(k)$는 $x\in G_j(k)$인 $j =1,2,\cdots,n(k)$가 존재하여 

$x\notin \displaystyle \bigcup_{j=1}^{n(k)} \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial(G_j(k))}$이면 $x\notin \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial(G_j(k))}$이므로 격자 정리와 상자 정리와 폐포 정리로

$x\in G_j(k) = \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}}(G_j(k)) = \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k)) \cup \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial(G_j(k))}$임에 따라 $x\in  \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k))$이고 

$x\in  Z_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k))$이므로 $Z_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k))\ne \emptyset$이 되어 $x\in \displaystyle \bigcup_{\substack{j\ge 1 \\ Z_k \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k)) \ne \emptyset }}^{n(k)} \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k))$이고 

$Z_k\subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^{n(k)} \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial(G_j(k))} \cup \bigcup_{\substack{j\ge 1 \\ Z_k \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k)) \ne \emptyset }}^{n(k)}\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k))$이다.

$Z_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k))\ne \emptyset$인 모든 $j=1,2,\cdots,n(k)$에 대해 $x\in  Z_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k))$가 존재하여

내부 정리와 거리공간 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k)) \subseteq G_j(k)$인 $r_x\in (0,\infty)$가 존재하므로

$\mathbb{R}^m$에서 $f$의 영확장함수가 $\widehat{f} : \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$일때 진동의 정의와 하한의 정의와 영확장함수 정리와 위 정리로 

$\begin{align*} \dfrac{1}{2^k} & \le \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\overset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{osc}}}(f;x) = \inf \{ \overset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{osc}}(f; \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r)}\cap E) : r\in (0,\infty) \} \\[0.5em] & \le \overset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{osc}}(f; \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}\cap E) = \sup \{ d_1(f(x_1),f(x_2)) : x_1,x_2\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}\cap E \} \\[0.5em] & \qquad = \sup \{ |f(x_1)-f(x_2)| : x_1,x_2\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}\cap E \} \\[0.5em] & \qquad = \sup f(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}\cap E) - \inf f(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}\cap E) \\[0.5em] & \qquad = \sup \widehat{f}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}\cap E) - \inf \widehat{f}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}\cap E) \\[0.5em] & \le \sup \widehat{f}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}) - \inf \widehat{f}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}) \\[0.5em] & \le \sup \widehat{f}(G_j(k)) - \inf \widehat{f}(G_j(k)) \text{ 이고} \end{align*}$

$Z_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k))\subseteq E\cap G_j(k)$가 되어 $E\cap G_j(k)\ne \emptyset$임에 따라 하합, 상합의 정의로 

$\begin{align*} \frac{1}{2^k}\cdot \sum_{\substack{j\ge 1 \\ Z_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k)) \ne \emptyset}}^{n(k)} vol(G_j(k)) & = \sum_{\substack{j\ge 1 \\ Z_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k)) \ne \emptyset}}^{n(k)} \frac{1}{2^k}\cdot vol(G_j(k)) \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{j\ge 1 \\ Z_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k)) \ne \emptyset}}^{n(k)} (\sup \widehat{f}(G_j(k)) - \inf \widehat{f}(G_j(k))) \cdot vol(G_j(k)) \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{j\ge 1 \\ E \cap G_j(k) \ne \emptyset}}^{n(k)} (\sup \widehat{f}(G_j(k)) - \inf \widehat{f}(G_j(k))) \cdot vol(G_j(k)) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{j\ge 1 \\ E \cap G_j(k) \ne \emptyset}}^{n(k)} \sup \widehat{f}(G_j(k)) \cdot vol(G_j(k)) -\sum_{\substack{j\ge 1 \\ E \cap G_j(k) \ne \emptyset}}^{n(k)} \inf \widehat{f}(G_j(k)) \cdot vol(G_j(k)) \\[0.5em] & \qquad = U(f;\mathcal{G}_\epsilon(k)) - L(f;\mathcal{G}_\epsilon(k)) \\[0.5em] & < \frac{\epsilon}{2^{k+1}} \text{ 이고} \end{align*}$

격자 정리와 상자 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k))$가 $vol(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k))) = vol(G_j(k))$인 $m$차원 열린상자임에 따라

$\displaystyle \sum_{\substack{j\ge 1 \\ Z_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k)) \ne \emptyset}}^{n(k)} vol(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k))) = \sum_{\substack{j\ge 1 \\ Z_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k)) \ne \emptyset}}^{n(k)} vol(G_j(k)) < \frac{\epsilon}{2} $이다.

상자 정리와 조르당영역의 정의와 위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{j=1}^{n(k)}\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial (G_j(k))}$는 영집합이므로 위 정리로 

열린상자의 부피의 급수의 합이 $\dfrac{\epsilon}{2}$보다 작거나 같고 $\displaystyle \bigcup_{j=1}^{n(k)}\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial (G_j(k))}$를 포함하는 열린상자들의 수열에

$Z_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k))\ne \emptyset$인 $j=1,2,\cdots,n(k)$에 대해 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k))$를 추가한 수열이 $(H_j(k))_{j=1}^\infty$이면 

$Z_k\subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^{n(k)} \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial(G_j(k))} \cup \bigcup_{\substack{j\ge 1 \\ Z_k \cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k)) \ne \emptyset }}^{n(k)}\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k)) \subseteq \bigcup_{j=1}^\infty H_j(k)$이고 수열 정리와 수열 정리와 급수 정리로 

$\displaystyle \sum_{j=1}^\infty vol(H_j(k)) \le \sum_{\substack{j\ge 1 \\ Z_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k)) \ne \emptyset}}^{n(k)} vol(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(G_j(k))) +\frac{\epsilon}{2} < \frac{\epsilon}{2} +\frac{\epsilon}{2} = \epsilon$이므로 

위 정리로 $Z_k$는 영집합이 되어 $\displaystyle Z = \bigcup_{k = 1}^\infty Z_k$는 영집합이고

모든 $x\in E \setminus Z$에 대해 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\overset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{osc}}}(f;x) = 0$임에 따라 진동 정리로 $f$는 $(E,d_m)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x$에서 연속이므로

$f$는 $(E,d_m)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in E$에서 연속이다.

역으로 $f$가 $(E,d_m)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in E$에서 연속이면 

조르당영역의 정의로 $E$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$의 부피는 $0$이므로 

거리공간 정리로 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하여 위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$가 영집합임에 따라

위 정리로 $B$에서 $f$의 영확장함수 $g: B\to \mathbb{R}$는 $(B,d_m)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in B$에서 연속이고

영확장함수 정리로 $\mathbb{R}^m$에서 $g$의 영확장함수 $\widehat{g} : \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$는 유계이므로

어떤 $M\in (0,\infty)$에 대해 모든 $x\in \mathbb{R}^m$가 $|\widehat{g}(x)|\le M$이고 함수 정리로 $\widehat{g}(\mathbb{R}^m)$는 $(\mathbb{R},d_1)$에서 유계이다.

어떤 영집합 $Z\subseteq B$가 존재하여 $g$는 $(B,d_m)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $x\in B\setminus Z$에서 연속이고

부피의 정의로 $vol(B) > 0$이므로 임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $Z_\epsilon =\{ x\in B: \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\overset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{osc}}}(g;x)\ge \frac{\epsilon}{2\cdot vol(B)} \}$일때 

모든 $x\in Z_\epsilon$는 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\overset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{osc}}}(g;x)\ge \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)} > 0$이고 진동 정리로

$g$가 $(B,d_m)$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x$에서 연속이 아님에 따라 $x\in Z$가 되어 $Z_\epsilon \subseteq Z$이므로 위 정리로 $Z_\epsilon$은 영집합이다.

$Z_\epsilon \subseteq B$이므로 거리공간 정리로 $Z_\epsilon$은 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 

상자 정리로 $B$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 닫힌집합이므로 진동 정리로 $Z_\epsilon$은 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 닫힌집합이 되어

위 정리로 $Z_\epsilon$의 부피가 $0$임에 따라 위 정리로 어떤 $n_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$Z_\epsilon \subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^{n_\epsilon} \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_j)}$와 $\displaystyle \sum_{j=1}^{n_\epsilon} vol(B_j) < \dfrac{\epsilon}{4\cdot M}$이 성립하고

퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B_1,B_2,\cdots,B_{n_\epsilon}$이 존재한다.

$\displaystyle B = \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$와 모든 $j=1,2,\cdots n_\epsilon$에 대해 $\displaystyle B_j = \prod_{i=1}^m [a_i(j),b_i(j)]$가 성립하고

모든 $i= 1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i < b_i$와 $a_i(j) < b_i(j)$가 성립하는 닫힌구간 $[a_i,b_i],[a_i(j),b_i(j)]$가 존재하여 

$X_i = (\{  a_i(1),b_i(1),a_i(2),b_i(2),\cdots,a_i(n_\epsilon),b_i(n_\epsilon) \}\cup \{ a_i,b_i\})\cap [a_i,b_i]$는 $a_i,b_i\in X_i$인 유한집합이므로 

어떤 $p_i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X_i$가 $p_i+1$개의 원소를 갖는 유한집합일때 

어떤 $x_{i,0},x_{i,1},\cdots, x_{i,p_i-1}, x_{i,p_i}\in [a_i,b_i]$에 대해 

$a_i = x_{i,0} < x_{i,1} < \cdots < x_{i,p_i-1} < x_{i,p_i}\le b_i$이고 $X_i = \{x_{i,0},x_{i,1},\cdots, x_{i,p_i-1}, x_{i,p_i} \}$이므로 

$[a_i,b_i] = [x_{i,0},x_{i,1}]\cup [x_{i,1},x_{i,2}] \cup \cdots \cup [x_{i,p_i-1},x_{i,p_i}]$이고 

모든 $k_i = 1,2,\cdots,p_i$에 대해 $C(k_1,k_2,\cdots,k_m) = [x_{1,k_1-1},x_{1,k_1}] \times [x_{2,k_2-1},x_{2,k_2}] \times \cdots \times [x_{m,k_m-1},x_{m,k_m}]$이면 

격자 정의의 전단사함수가 $\psi : \mathbb{Z}_{p_1\cdot p_2\cdot\,\cdots\, \cdot p_m}^+\to \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$일때 

$p = p_1\cdot p_2\cdot \,\cdots \,\cdot p_m$에 대해 $\mathcal{G}_\epsilon = \{ C(\psi(r)) : r=1,2,\cdots,p \}$은 $B$의 격자이다.

$U = \displaystyle \bigcup_{j=1}^{n_\epsilon} \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_j)} $일때 $C(\psi(r))\cap U \ne \emptyset$인 모든 $r = 1,2,\cdots,p$에 대해 

$C(\psi(r))=C(k_1,k_2,\cdots,k_m) = \displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,k_i-1},x_{i,k_i}]$인 $(k_1,k_2,\cdots,k_m)\in \mathbb{Z}_{p_1}^+\times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$이 존재하고 

어떤 $z = (z_1,z_2,\cdots,z_m)\in C(\psi(r))\cap U \subseteq U =\displaystyle \bigcup_{j=1}^{n_\epsilon} \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_j)}$가 존재하여

상자 정리로 $z\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_j)} = \displaystyle \prod_{i=1}^m (a_i(j),b_i(j))$인 $j=1,2,\cdots,n_\epsilon$가 존재하므로 

어떤 $i=1,2,\cdots, m$에 대해 $x_{i,k_i-1} < a_i(j)$ 또는 $b_i(j) < x_{i,k_i}$라고 가정할때

$a_i(j) < z_i < b_i(j)$와 $x_{i,k_i-1} \le z_i \le x_{i,k_i}$가 성립하여

$x_{i,k_i} < a_i(j)$이면 $z_i \le x_{i,k_i}  < a_i(j) < z_i$이므로 모순임에 따라 $a_i(j)\le x_{i,k_i}$이고

$b_i(j) < x_{i,k_i-1}$이면 $z_i < b_i(j) < x_{i,k_i-1} \le z_i$이므로 모순이 되어 $x_{i,k_i-1} \le b_i(j)$인데 

$x_{i,k_i-1} < a_i(j)$일때 $a_i = x_{i,0} \le x_{i,k_i-1} < a_i(j) \le x_{i,k_i} \le x_{i,p_i}= b_i$임에 따라

$a_i(j)\in X_i$이므로 $a_i(j) = x_{i,k_i}$이고 $z_i\le x_{i,k_i} = a_i(j) < z_i$가 되어 모순이고

$b_i(j) < x_{i,k_i}$일때 $a_i = x_{i,0}\le x_{i,k_i-1} \le b_i(j) < x_{i,k_i} \le x_{i,p_i} = b_i$임에 따라

$b_i(j)\in X_i$이므로 $b_i(j) = x_{i,k_i - 1}$이고 $z_i < b_i(j) = x_{i,k_i-1} \le z_i$가 되어 모순임에 따라 

모든 $i = 1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i(j)\le x_{i,k_i -1} < x_{i,k_i} \le b_i(j)$이므로

$C(\psi(r)) = C(k_1,k_2,\cdots,k_m) = \displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,k_i-1},x_{i,k_i}] \subseteq \prod_{i=1}^m [a_i(j),b_i(j)] = B_j$이고

$\displaystyle \bigcup_{\substack{r\ge 1 \\ C(\psi(r))\cap U\ne \emptyset}}^p C(\psi(r)) \subseteq \bigcup_{j=1}^{n_\epsilon} B_j $가 되어

상자 정리와 조르당영역 정리와 조르당영역 정리와 격자 정리와 내부 정리와 위 정리로

$\displaystyle \sum_{\substack{r\ge 1 \\ C(\psi(r))\cap U\ne \emptyset}}^p vol(C(\psi(r)))=vol( \bigcup_{\substack{r\ge 1 \\ C(\psi(r))\cap U\ne \emptyset}}^p C(\psi(r))) \le vol(\bigcup_{j=1}^{n_\epsilon} B_j ) \le \sum_{j=1}^{n_\epsilon}vol(B_j) < \dfrac{\epsilon}{4\cdot M}$이다.

$Z_\epsilon \subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^{n_\epsilon} \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(B_j)} = U$이므로 집합 정리로 $B\setminus U \subseteq B\setminus Z_\epsilon$이고

상자 정리로 $B$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 닫힌집합이고 내부 정리와 거리공간 정리로 $U$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 열린집합이므로

거리공간 정리와 위 정리로 $K = B\setminus U$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계인 닫힌집합이 되어

하이네-보렐 정리로 $K$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 콤팩트집합이고

모든 $x\in K\subseteq B\setminus Z_\epsilon$에 대해 $\overset{(\mathbb{R},d_1)}{\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{osc}}}(g,x) < \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)}$이므로 진동의 정의와 하한 정리와 선택 정리로

$\overset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{osc}}(g, \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}\cap B) < \overset{(\mathbb{R},d_1)}{\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{osc}}}(g,x) + \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)} -\overset{(\mathbb{R},d_1)}{\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{osc}}}(g,x) = \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)}$인 $r_x\in (0,\infty)$를 선택할때 

$K\subseteq \displaystyle \bigcup_{x\in K} \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}$임에 따라 위 정리로 어떤 $\delta\in (0,\infty)$에 대해

지름이 존재하여 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{diam}}(D) < \delta$인 모든 $D\subseteq K$는 $D\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}$인 $x\in K$가 존재한다.

격자 정리로 $\mathcal{G}_\epsilon$의 세분인 $B$의 격자 $\mathcal{H}_\epsilon = \{ D_k\}_{k=1}^n$이 존재하여 모든 $k=1,2,\cdots, n$에 대해 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{diam}}(D_k) < \delta$이고 

$D_k\cap U \ne \emptyset$인 모든 $k=1,2,\cdots, n$에 대해

격자 정리로 $D_k \subseteq C(\psi(r))$인 $r= 1,2,\cdots,p$이 존재하므로

$C(\psi(r))\cap U\ne \emptyset$임에 따라 $\displaystyle \bigcup_{\substack{k\ge 1 \\ D_k\cap U\ne \emptyset}}^n D_k \subseteq \bigcup_{\substack{r\ge 1 \\ C(\psi(r))\cap U\ne \emptyset}}^p C(\psi(r))$이고

상자 정리와 조르당영역 정리와 조르당영역 정리와 격자 정리와 내부 정리와 위 정리로

$\displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ D_k\cap U\ne \emptyset}}^n vol(D_k) = vol(\bigcup_{\substack{k\ge 1 \\ D_k\cap U\ne \emptyset}}^nD_k) \le vol(\bigcup_{\substack{r\ge 1 \\ C(\psi(r))\cap U\ne \emptyset}}^pC(\psi(r))) = \sum_{\substack{r\ge 1 \\ C(\psi(r))\cap U\ne \emptyset}}^p vol(C(\psi(r)))$이 되어

위 정리와 상한의 정의로 

$\begin{align*}\sum_{\substack{k\ge 1 \\ D_k\cap U\ne \emptyset}}^n (\sup \widehat{g}(D_k) - \inf \widehat{g}(D_k)) \cdot vol(D_k) & \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ D_k\cap U\ne \emptyset}}^n 2\cdot M \cdot vol(D_k) = 2\cdot M \cdot \sum_{\substack{k\ge 1 \\ D_k\cap U\ne \emptyset}}^n vol(D_k) \\[0.5em] & \le 2\cdot M \cdot \sum_{\substack{r\ge 1 \\ C(\psi(r))\cap U\ne \emptyset}}^p vol(C(\psi(r))) \\[0.5em] & < 2\cdot M\cdot \dfrac{\epsilon}{4\cdot M} = \dfrac{\epsilon}{2} \text{ 이고}\end{align*}$

$D_k\cap U = \emptyset$인 모든 $k=1,2,\cdots, n$에 대해

격자 정리로 $D_k\subseteq B$이므로 집합 정리로 $D_k \subseteq B\setminus U = K$가 되어 $D_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}$인 $x\in K$가 존재함에 따라

$D_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}\cap B$이고 영확장함수 정리와 위 정리와 진동 정리와 진동의 정의로

$\sup \widehat{g}(D_k) - \inf \widehat{g}(D_k)=\sup g(D_k) - \inf g(D_k) = \overset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{osc}}(g,D_k) \le \overset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{osc}}(g, \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,r_x)}\cap B) <  \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)}$이므로 

모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 격자 정리와 집합 정리로 $D_k\cap B = D_k\ne \emptyset$이 되어 하합, 상합의 정의와 격자 정리로

$\begin{align*} U(g;\mathcal{H}_\epsilon) - L(g;\mathcal{H}_\epsilon) & = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ D_k\cap B\ne \emptyset}}^n \sup \widehat{g}(D_k) \cdot vol(D_k) - \sum_{\substack{k\ge 1 \\ D_k\cap B\ne \emptyset}}^n \inf \widehat{g}(D_k) \cdot vol(D_k) \\[0.5em] & =\sum_{k= 1}^n \sup \widehat{g}(D_k) \cdot vol(D_k) - \sum_{k= 1}^n \inf \widehat{g}(D_k) \cdot vol(D_k) \\[0.5em] & =\sum_{k= 1}^n (\sup \widehat{g}(D_k) -\inf \widehat{g}(D_k) )\cdot vol(D_k) \\[0.5em] & = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ D_k\cap U\ne \emptyset}}^n (\sup \widehat{g}(D_k) -\inf \widehat{g}(D_k) )\cdot vol(D_k) + \sum_{\substack{k\ge 1 \\ D_k\cap U = \emptyset}}^n (\sup \widehat{g}(D_k) -\inf \widehat{g}(D_k) )\cdot vol(D_k) \\[0.5em] & \lt \dfrac{\epsilon}{2} + \sum_{\substack{k\ge 1 \\ D_k\cap U = \emptyset}}^n \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)} \cdot vol(D_k) \\[0.5em] & \le \dfrac{\epsilon}{2} + \sum_{k=1}^n \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)} \cdot vol(D_k) = \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)} \cdot \sum_{k=1}^n vol(D_k) = \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)} \cdot vol(B) = \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이고} \end{align*}$

리만적분 정리로 $g$가 $B$에서 리만적분가능함에 따라 리만적분 정리로 $f$는 $E$에서 리만적분가능하다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/138#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/138#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

William R. Wade - Introduction to Analysis - 9780132296380