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정리1
임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R},d_1)$이고
$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U\subseteq \mathbb{R}^n$에서 함수 $\phi : U\to \mathbb{R}^n$가 연속미분가능할때
$U$에서 $\phi$의 야코비안 $J\phi : U\to \mathbb{R}$의 절댓값 $|J\phi| : U\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $J\phi$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.
2. $|J\phi|$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.
3. $|J\phi| $는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합인 모든 $n$차원 조르당영역 $E\subseteq U$에서 리만적분가능하다.
4. $|J\phi| $는 폐포가 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq U$인 모든 $n$차원 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}$에서 리만적분가능하다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$일때
거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간이다.
1, 2
$\phi$는 $U$에서 연속미분가능하므로 $\phi$의 편도함수 $\dfrac{\partial \phi}{\partial x_1} , \dfrac{\partial \phi}{\partial x_2},\cdots, \dfrac{\partial \phi}{\partial x_n} : U\to \mathbb{R}^n$이 존재하고
$\dfrac{\partial \phi}{\partial x_1} , \dfrac{\partial \phi}{\partial x_2},\cdots, \dfrac{\partial \phi}{\partial x_n}$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$의 부분거리공간 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이다.
함수 $\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n: U\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in U$에 대해 $\phi(x) = (\phi_1(x),\phi_2(x),\cdots,\phi_n(x))$일때
편도함수 정리로 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial \phi_1}{\partial x_j} , \dfrac{\partial \phi_2}{\partial x_j},\cdots, \dfrac{\partial \phi_n}{\partial x_j} : U\to \mathbb{R}$가 존재하고
연속함수 정리로 $\dfrac{\partial \phi_1}{\partial x_j} , \dfrac{\partial \phi_2}{\partial x_j},\cdots, \dfrac{\partial \phi_n}{\partial x_j}$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로
야코비안의 정의로 $J\phi(x) = \det ( \begin{bmatrix} \dfrac{\partial \phi_1}{\partial x_1}(x) & \dfrac{\partial \phi_1}{\partial x_2}(x) & \cdots & \dfrac{\partial \phi_1}{\partial x_n}(x) \\ \dfrac{\partial \phi_2}{\partial x_1}(x) & \dfrac{\partial \phi_2}{\partial x_2}(x) & & \dfrac{\partial \phi_2}{\partial x_n}(x) \\ \vdots& & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial \phi_n}{\partial x_1}(x) & \dfrac{\partial \phi_n}{\partial x_2}(x) & \cdots & \dfrac{\partial \phi_n}{\partial x_n}(x) \end{bmatrix})$임에 따라
행렬식 정리와 $1$-데카르트곱의 정의와 절댓값 정리로 $J\phi$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고
연속함수 정리와 연속함수 정리와 함수의 절댓값의 정의로 $|J\phi|$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.
3.
2번과 연속함수 정리로 $|J\phi|$의 제한함수 $(|J\phi|) |_E : E\to \mathbb{R}$는 $(E,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로
$E$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합임에 따라 적분 정리로 $(|J\phi|) |_E$는 $E$에서 유계이고 리만적분가능하여
$|J\phi|$는 $E$에서 리만적분가능하다.
4.
폐포 정리와 조르당영역 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이고 $n$차원 조르당영역이므로
3번으로 $|J\phi|$는 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$에서 리만적분가능하여 폐포 정리로 $E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)} \subseteq U$임에 따라
적분 정리로 $|J\phi|$는 $E$에서 리만적분가능하다.
정리2
임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R},d_1)$일때
임의의 $n$차원 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}^n$에서 리만적분가능한 함수 $f,g : E \to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.
1. 임의의 $I\subseteq \mathbb{R}$에 대해 $f$의 상이 $f(E)\subseteq I$이고
$(\mathbb{R},d_1)$의 부분거리공간 $(I,d_1)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수 $\varphi : I \to \mathbb{R}$가 $I$에서 유계이면
합성함수 $\varphi \circ f: E\to \mathbb{R}$는 $E$에서 리만적분가능하다.
2. 모든 $k\in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $x\in E$가 $f_k(x) = (f(x))^k$인 함수 $f_k:E\to \mathbb{R}$는 $E$에서 리만적분가능하다.
3. 모든 $x\in E$에 대해 $h(x) = f(x)\cdot g(x)$인 함수 $h:E\to \mathbb{R}$는 $E$에서 리만적분가능하다.
4. 어떤 $m,M \in \mathbb{R}$에 대해 모든 $x\in E$가 $m\le f(x)\le M$이고 $g(x) \ge 0$이면
$c\cdot \displaystyle \int_E g(x)\operatorname{d}\!x = \int_E f(x)\cdot g(x) \operatorname{d}\!x$가 되는 $c\in [m,M]$가 존재한다.
증명
1.
$\varphi$는 $I$에서 유계이므로 어떤 $M\in (0,\infty)$이 존재하여 모든 $t\in I$에 대해 $|\varphi(t)|\le M$이고
모든 $x\in E$에 대해 $f(x)\in f(E)\subseteq I$임에 따라 $|(\varphi\circ f)(x)| =|\varphi(f(x))| \le M$이므로 $\varphi\circ f$는 $E$에서 유계이다.
리만적분의 정의로 $f$는 $E$에서 유계이므로
르베그 판정법으로 $f$가 $(E,d_n)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in E$에서 연속임에 따라
어떤 $n$차원 영집합 $Z\subseteq E$가 존재하여 $f$는 $(E,d_n)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $x\in E\setminus Z$에서 연속이고
$\varphi$는 $(I,d_1)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $f(x)$에서 연속이므로
연속함수 정리로 $\varphi\circ f$는 $(E,d_n)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $x$에서 연속이다.
따라서 $\varphi\circ f$는 $(E,d_n)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $x\in E\setminus Z$에서 연속이므로
$\varphi\circ f$는 $(E,d_n)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 거의 모든 $x\in E$에서 연속이 되어
르베그 판정법으로 $\varphi \circ f$는 $E$에서 리만적분가능하다.
2.
리만적분의 정의로 $f$는 $E$에서 유계이므로 어떤 $M\in (0,\infty)$이 존재하여 모든 $x\in E$에 대해 $|f(x)|\le M$이고
절댓값 정리로 $-M\le f(x)\le M$이므로 닫힌구간 $[-M,M] \subseteq \mathbb{R}$에 대해 $f(x)\in [-M,M]$가 되어
함수의 상의 정의로 $f(E)\subseteq [-M,M]$이다.
항등함수 정리와 연속함수 정리로 모든 $t\in [-M,M]$에 대해 $\varphi(t) = t$인
함수 $\varphi : [-M,M]\to \mathbb{R}$는 $([-M,M],d_1)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고
$|\varphi(t)|=|t| \le M$이므로 $\varphi$는 $[-M,M]$에서 유계이다.
연속함수 정리와 연속함수 정리와 함수 정리로 모든 $t\in [-M,M]$에 대해 $\varphi_k(t) = t^k = (\varphi(t))^k$인
함수 $\varphi : [-M,M]\to \mathbb{R}$는 $([-M,M],d_1)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고 $[-M,M]$에서 유계이므로
모든 $x \in E$에 대해 $f_k(x) =(f(x))^k =\varphi_k(f(x)) = (\varphi_k \circ f)(x) $임에 따라
1번으로 $f_k = \varphi_k \circ f$는 $E$에서 리만적분가능하다.
3.
2번으로 $\displaystyle \int_E (f(x))^2 \operatorname{d}\!x$와 $\displaystyle \int_E (g(x))^2 \operatorname{d}\!x$가 존재하고 적분 정리와 2번으로 $\displaystyle \int_E (f(x) + g(x))^2 \operatorname{d}\!x$가 존재하므로
적분 정리로 $\displaystyle \int_E h(x) \operatorname{d}\!x = \int_E f(x)\cdot g(x)\operatorname{d}\!x = \int_E \frac{1}{2}\cdot ((f(x)+g(x))^2 - (f(x))^2 - (g(x))^2)\operatorname{d}\!x$가 존재하여
$h$는 $E$에서 리만적분가능하다.
4.
모든 $x\in E$에 대해 $0\le g(x)$이므로 적분 정리로 $0 = 0\cdot vol(E)\le \displaystyle \int_E g(x)\operatorname{d}\!x$이고
$m \le f(x)\le M$이므로 $m\cdot g(x) \le f(x)\cdot g(x)\le M\cdot g(x)$가 되어 3번과 적분 정리와 적분 정리로
$\displaystyle m\cdot \int_E g(x)\operatorname{d}\!x=\int_E m\cdot g(x)\operatorname{d}\!x \le \int_E f(x)\cdot g(x) \operatorname{d}\!x \le \int_EM\cdot g(x)\operatorname{d}\!x = M\cdot \int_E g(x)\operatorname{d}\!x$이다.
$\displaystyle \int_E g(x)\operatorname{d}\!x = 0$이면
$\displaystyle \int_E f(x)\cdot g(x) \operatorname{d}\!x = 0$이므로 임의의 $c\in [m,M]$에 대해 $c\cdot \displaystyle \int_E g(x)\operatorname{d}\!x = c\cdot 0 = 0 = \int_E f(x)\cdot g(x) \operatorname{d}\!x$이다.
$\displaystyle \int_E g(x)\operatorname{d}\!x \ne 0$이면 $\displaystyle m \le \dfrac{\int_E f(x)\cdot g(x) \operatorname{d}\!x}{\int_E g(x)\operatorname{d}\!x} \le M$이므로 $c= \dfrac{\int_E f(x)\cdot g(x) \operatorname{d}\!x}{\int_E g(x)\operatorname{d}\!x} \in [m,M]$에 대해
$c\cdot \displaystyle \int_E g(x)\operatorname{d}\!x = \dfrac{\int_E f(x)\cdot g(x)\operatorname{d}\!x}{\int_E g(x)\operatorname{d}\!x}\cdot \int_E g(x)\operatorname{d}\!x = \int_E f(x)\cdot g(x) \operatorname{d}\!x$이다.
정리3
$n\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$이고
임의의 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}^n$에서 유계인 함수가 $\phi :E\to \mathbb{R}$일때 다음이 성립한다.
1. $E\subseteq F$인 임의의 조르당영역 $F\subseteq \mathbb{R}^n$에서 $\phi$의 영확장함수가 $\Phi : F \to \mathbb{R}$이면
$\phi$가 $E$에서 리만적분가능하기 위한 필요충분조건은 $\Phi$가 $F$에서 리만적분가능한 것이다.
이때 $\displaystyle \int_F \Phi \operatorname{d}\!V = \int_E \phi\operatorname{d}\!V$가 성립한다.
2. $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 폐포 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$에서 $\phi$의 영확장함수가 $\Phi : \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)} \to \mathbb{R}$이면
$\phi$가 $E$에서 리만적분가능하기 위한 필요충분조건은 $\Phi$가 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$에서 리만적분가능한 것이다.
이때 $\displaystyle \int_\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)} \Phi \operatorname{d}\!V = \int_E \phi\operatorname{d}\!V$가 성립한다.
증명
1.
$\phi$가 $E$에서 유계임에 따라 영확장함수 정리로 $\Phi$는 $F$에서 유계이고
조르당영역의 정의와 상자 정리로 $E\subseteq F\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하여
영확장함수 정리로 $B$에서 $\phi,\Phi$의 영확장함수 $\widehat{\phi},\widehat{\Phi} : B\to \mathbb{R}$가 $\widehat{\Phi} = \widehat{\phi}$임에 따라 적분 정리로
$\phi$가 $E$에서 리만적분가능하기 위한 필요충분조건은 $\widehat{\phi}$가 $B$에서 리만적분가능한 것이고
$\Phi$가 $F$에서 리만적분가능하기 위한 필요충분조건은 $\widehat{\Phi}$가 $B$에서 리만적분가능한 것이므로
$\phi$가 $E$에서 리만적분가능하기 위한 필요충분조건은 $\Phi$가 $F$에서 리만적분가능한 것이고
$\displaystyle \int_F \Phi \operatorname{d}\!V = \int_B \widehat{\Phi} \operatorname{d}\!V = \int_B \widehat{\phi} \operatorname{d}\! V = \int_E \phi\operatorname{d}\!V$가 성립한다.
2.
폐포 정리로 $E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$이고 조르당영역 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$는 조르당영역이므로
1번으로 $\phi$가 $E$에서 리만적분가능하기 위한 필요충분조건은 $\Phi$가 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$에서 리만적분가능한 것이고
$\displaystyle \int_\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)} \Phi \operatorname{d}\!V = \int_E \phi\operatorname{d}\!V$가 성립한다.
정리4
거리공간 $(X,d)$에서 열린집합이 $U\subseteq X$일때 $(X,d)$에서 콤팩트집합인 모든 $K \subseteq U$에 대해
어떤 $\delta\in (0,\infty)$가 존재하여 지름이 $\underset{(X,d)}{\operatorname{diam}}(B) < \delta$이고 $B\cap K\ne \emptyset$인 모든 $B\subseteq X$는 $B\subseteq U$이다.
증명
$U = X$이면 모든 $B\subseteq X$는 $B\subseteq X = U$이다.
$U\ne X$이면
$K = \emptyset$일때 $B\cap K\ne \emptyset$인 $B\subseteq X$는 존재하지 않으므로 공허하게 성립한다.
$K\ne \emptyset$일때 $X\setminus U\ne \emptyset$이므로 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해
거리공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리와 거리공간 정리로
모든 $x\in X$가 $f(x) = \inf \{ d(x,y) : y\in X\setminus U\}$인 함수 $f: X\to \mathbb{R}$는 $(X,d)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고
콤팩트 정리로 $\delta = \min f(K)$가 존재하여 집합 정리와 거리공간 정리와 거리공간 정리로
모든 $x\in K \subseteq U = X \setminus (X\setminus U)$에 대해 $f(x) = \inf \{ d(x,y) : y\in X\setminus U\} > 0$임에 따라
최소원소의 정의로 $\delta = \min f(K) > 0$이다.
$\underset{(X,d)}{\operatorname{diam}}(B) < \delta$이고 $B\cap K\ne \emptyset$인 모든 $B\subseteq X$는 어떤 $x\in B\cap K$가 존재하여
어떤 $y \in B$가 $y \notin U$라고 가정하면 $y\in B\setminus U \subseteq X\setminus U$이고 최소원소의 정의와 하한의 정의와 지름의 정의로
$\min f(K)\le f(x) \le d(x,y) \le \underset{(X,d)}{\operatorname{diam}}(B) < \delta = \min f(K)$임에 따라 모순이므로
모든 $y \in B$는 $y \in U$가 되어 $B\subseteq U$이다.
정리5
$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$이고
임의의 $U\subseteq \mathbb{R}^n$에 대해 임의의 조르당영역이 $E,F\subseteq U$이고 함수가 $\phi :U\to \mathbb{R}$일때 다음이 성립한다.
1. $E\subseteq F$일때 모든 $x\in F$에 대해 $\phi(x)\ge 0$이고 $\phi$가 $F$에서 리만적분가능하면 $\displaystyle \int_E \phi \operatorname{d}\!V \le \int_F \phi\operatorname{d}\!V$이다.
2. $vol$$(E\cap F) = 0$이고 $\phi$가 $E\cup F$에서 리만적분가능하면 $\displaystyle \int_{E\cup F} \phi \operatorname{d}\!V= \int_E \phi \operatorname{d}\!V + \int_F\phi \operatorname{d}\!V$이다.
증명
1.
조르당영역 정리로 $F\setminus E$는 조르당영역이고 모든 $x\in F\setminus E$에 대해 $0\le \phi(x)$이므로
적분 정리와 적분 정리로 $0 = 0\cdot vol(F\setminus E) \le \displaystyle \int_{F\setminus E}\phi \operatorname{d}\!V = \int_F \phi\operatorname{d}\!V - \int_E \phi\operatorname{d}\!V$이 되어
$\displaystyle \int_E \phi \operatorname{d}\!V \le \int_F \phi\operatorname{d}\!V$이다.
2.
조르당영역 정리로 $E\cup F,E\cap F$는 조르당영역이고
적분 정리와 적분 정리로 $\displaystyle \int_{E\cup F} \phi \operatorname{d}\!V= \int_E \phi \operatorname{d}\!V + \int_F\phi \operatorname{d}\!V - \int_{E\cap F}\phi\operatorname{d}\!V = \int_E\phi\operatorname{d}\!V + \int_F\phi\operatorname{d}\!V$이다.
정리6
임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R},d_1)$이고 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $U$에 대해
단사함수 $\phi : U\to \mathbb{R}^n$가 $U$에서 연속미분가능하고 모든 $x\in U$에서 $\phi$의 야코비안이 $J\phi(x) \ne 0$이고
모든 $n$차원 닫힌상자 $B\subseteq \phi(U)$에 대해 부피가 $vol(B) = \displaystyle \int_{\phi^{-1}(B)} |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$일때
모든 $x\in U$가 $\psi(x) = \phi(x)$인 함수 $\psi : U\to \phi(U)$의 역함수 $\psi^{-1} : \phi(U)\to U$에 대해
$\psi^{-1}$이 $\phi(U)$에서 연속미분가능하고 모든 $y\in \phi(U)$에서 $\psi^{-1}$의 야코비안이 $J\psi^{-1}(y) \ne 0$이고
폐포가 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq U$인 임의의 $n$차원 조르당영역 $E \subseteq \mathbb{R}^n$와 임의의 부분집합 $S \subseteq \mathbb{R}^n$에 대해
$\phi(E)\subseteq S$인 함수 $f : S \to \mathbb{R}$가 $\phi(E)$에서 리만적분가능하고
모든 $x\in E$에 대해 $f_\phi(x) = f(\phi(x))$인 함수 $f_\phi : E\to \mathbb{R}$가 $E$에서 리만적분가능하면
$\displaystyle \int_{\phi(E)}f(y) \operatorname{d}\!y = \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$일때
거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간이다.
함수 정리로 $\psi$는 전단사이므로 $\psi$의 역함수 $\psi^{-1}$이 존재하여 역함수 정리로 $\psi^{-1}$은 전단사이고
연속미분의 정의와 미분 정리와 미분 정리로 $\phi$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이므로
역함수 정리로 $\psi^{-1}$은 $(\phi(U),d_n)$에서 $(U,d_n)$으로의 연속함수이고 $\phi(U)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이다.
상자 정리로 모든 $n$차원 닫힌상자 $B\subseteq \phi(U)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이므로 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(B)} = B\subseteq \phi(U)$이고
하이네-보렐 정리로 $B$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이 되어 $B$는 $(\phi(U),d_n)$에서 콤팩트집합이고
역함수 정리로 $\psi^{-1}(B) = \{ \psi^{-1}(y) : y\in B \} = \{ x\in U : \psi(x)\in B \} = \{ x\in U : \phi(x) \in B \} = \phi^{-1}(B)$임에 따라
연속함수 정리로 $\phi^{-1}(B) = \psi^{-1}(B)$는 $(U,d_n)$에서 콤팩트집합이 되어
$\phi^{-1}(B) = \psi^{-1}(B)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이므로
하이네-보렐 정리로 $\psi^{-1}(B) = \phi^{-1}(B)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이고
모든 $y\in \phi(U)$에 대해 $J\psi^{-1}(y) \ne 0$임에 따라
조르당영역 정리로 $\phi^{-1}(B) = \psi^{-1}(B)$는 조르당영역이고 단사 정리로 $\phi^{-1}(B)\subseteq \phi^{-1}(\phi(U)) = U$이므로
위 정리로 $U$에서 $\phi$의 야코비안 $J\phi : U\to \mathbb{R}$의 절댓값 $|J\phi | :U\to \mathbb{R}$는 $\phi^{-1}(B)$에서 리만적분가능하고
$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq U$이므로 위 정리로 $|J\phi|$는 $E$에서 리만적분가능하여
위 정리로 $\displaystyle \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x =\int_E f_\phi(x)\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$가 존재한다.
폐포 정리로 $E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq U$이므로 $\phi(E)\subseteq \phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)})\subseteq \phi(U)$이고
조르당영역의 정의와 거리공간 정리와 폐포 정리와 하이네-보렐 정리로
$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이므로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$는 $(U,d_n)$에서 콤팩트집합이 되어
연속함수 정리로 $\phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)})$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합임에 따라 하이네-보렐 정리로
$\phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)})$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이고 폐포 정리로 $ \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\phi(E)) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)})) = \phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)})\subseteq \phi(U) $이다.
연속함수 정리로 $\psi$는 $(U,d_n)$에서 $(\phi(U),d_n)$으로의 연속함수이므로
$\psi$는 $(U,d_n)$에서 $(\phi(U),d_n)$으로의 위상동형사상이 되어 함수 정리와 집합 정리와
위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리와 위상동형사상 정리로
$ \phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}) = \psi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}) = \psi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\cap U) = \psi(\underset{(U,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}) = \underset{(\phi(U),d_n)}{\operatorname{cl}(\psi(E))} = \underset{(\phi(U),d_n)}{\operatorname{cl}(\phi(E))} = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\phi(E))\cap \phi(U) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\phi(E)) \text{ 이고}$
모든 $x\in U$에 대해 $J\phi(x) \ne 0$임에 따라
조르당영역 정리로 $\phi(E)$는 조르당영역이므로 조르당영역 정리로 $\phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\phi(E))$는 조르당영역이다.
$f$의 제한함수가 $f|_{\phi(E)} : \phi(E)\to \mathbb{R}$이고 $\mathbb{R}^n$에서 $f|_{\phi(E)}$의 영확장함수가 $\widehat{f} :\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$일때
모든 $y\in \phi(E)$에 대해 $f(y) \ge 0$이면
조르당영역의 정의와 거리공간 정리로 $\phi(E)\subseteq C$이고 퇴화상자가 아닌 $n$차원 닫힌상자 $C$가 존재하고
$\phi(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\phi(E))$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이므로 위 정리로 어떤 $\delta\in (0,\infty)$가 존재하여
지름이 $\underset{(X,d)}{\operatorname{diam}}(B) < \delta$이고 $B\cap \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\phi(E))\ne \emptyset$인 모든 $B\subseteq \mathbb{R}^n$는 $B\subseteq \phi(U)$이고
모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\displaystyle U(f|_{\phi(E)};\mathcal{G}_\epsilon)< \int_{\phi(E)} f(y) \operatorname{d}\!y + \epsilon$인 $C$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon$이 존재하므로
격자 정리로 $\mathcal{G}_\epsilon$의 세분인 $C$의 격자 $\mathcal{H}_\epsilon = \{ C_i\}_{i = 1}^k$이 존재하여 모든 $i=1,2,\cdots,k$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{diam}}(C_i) < \delta$이고
격자 정리로 $\displaystyle U(f|_{\phi(E)};\mathcal{H}_\epsilon)\le U(f|_{\phi(E)};\mathcal{G}_\epsilon)< \int_{\phi(E)} f(y) \operatorname{d}\!y + \epsilon$이다.
격자 정리로 모든 $y\in \phi(E) \subseteq C = \displaystyle \bigcup_{i=1}^k C_i$에 대해 $y\in C_i$인 $i = 1,2,\cdots,k$가 존재하여
$y\in C_i\cap \phi(E)$이므로 $C_i\cap \phi(E)\ne \emptyset$이고 $y\in \displaystyle \bigcup_{\substack{i\ge 1 \\ C_i\cap \phi(E)\ne \emptyset}}^k C_i$임에 따라 $\phi(E)\subseteq \displaystyle \bigcup_{\substack{i\ge 1 \\ C_i\cap \phi(E)\ne \emptyset}}^k C_i$이다.
$I = \{ i\in \{ 1,2,\cdots,k\} : C_i\cap \phi(E)\ne \emptyset\}$일때
모든 $i\in I$에 대해 $C_i\cap \phi(E)\subseteq C_i\cap \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\phi(E))$이므로 $C_i\cap \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\phi(E))\ne \emptyset$이고 $\underset{(X,d)}{\operatorname{diam}}(C_i) < \delta$가 되어
$C_i\subseteq \phi(U)$이므로 격자 정리로 $C_i$가 $n$차원 닫힌상자임에 따라 $vol(C_i) = \displaystyle \int_{\phi^{-1}(C_i)} |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.
$i\ne j$인 모든 $i,j \in I$에 대해 격자의 정의로 $C_i\ne C_j$이고
$\phi^{-1}(C_i) = \phi^{-1}(C_j)$라고 가정하면 $\psi^{-1}(C_i)=\phi^{-1}(C_i) = \phi^{-1}(C_j) = \psi^{-1}(C_j)$이므로
전사 정리로 $C_i=\psi(\psi^{-1}(C_i)) = \psi(\psi^{-1}(C_j)) = C_j$임에 따라 모순이 되어 $\phi^{-1}(C_i) \ne \phi^{-1}(C_j)$이고
격자 정리와 내부 정리와 상자 정리와 조르당영역 정리로 $\{ C_i:i\in I\}$는 비중첩집합족이므로
$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(C_i)} = C_i\subseteq \phi(U)$임에 따라 조르당영역 정리로 $\{ \phi^{-1}(C_i) : i\in I\} =\{ \psi^{-1}(C_i) :i\in I\}$는 비중첩집합족이다.
$F = \displaystyle \bigcup_{\substack{i\ge 1 \\ C_i\cap \phi(E)\ne \emptyset}}^k \phi^{-1}(C_i)$일때 모든 $i\in I$에 대해 $\phi^{-1}(C_i) \subseteq \phi^{-1}(\phi(U)) = U$이므로 $F\subseteq U$이고
$\phi^{-1}(C_i)$는 조르당영역이므로 조르당영역 정리와 조르당영역 정리로 $F$는 조르당영역이다.
함수 정리와 단사 정리로 $E =\phi^{-1}(\phi(E))\subseteq \displaystyle \phi^{-1}(\bigcup_{\substack{i\ge 1 \\ C_i\cap \phi(E)\ne \emptyset}}^k C_i) = \bigcup_{\substack{i\ge 1 \\ C_i\cap \phi(E)\ne \emptyset}}^k \phi^{-1}(C_i) = F$이므로
함수 $g: E\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in E$에 대해 $g(x) = f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|$일때 $F$에서 $g$의 영확장함수 $h : F\to \mathbb{R}$는
모든 $x\in F$에 대해
$x\in E$이면 $\phi(x)\in \phi(E)$가 되어 영확장함수의 정의로 $\widehat{f}(\phi(x)) \cdot|J\phi(x)| = f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)| = g(x) = h(x)$이고
$x\notin E$일때 $\phi(x)\in \phi(E)$라고 가정하면 단사 정리로 $x\in \phi^{-1}(\phi(E)) = E$임에 따라 모순이므로 $\phi(x)\notin \phi(E)$이고
영확장함수의 정의로 $\widehat{f}(\phi(x)) \cdot|J\phi(x)| = 0\cdot |J\phi(x)| = 0 = h(x)$가 되어 리만적분의 정의와 위 정리로
$\displaystyle \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x =\int_E g(x) \operatorname{d}\!x = \int_F h(x)\operatorname{d}\!x = \int_F \widehat{f}(\phi(x))\cdot|J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.
모든 $i\in I$에 대해 모든 $x\in \phi^{-1}(C_i)$는
상한의 정의로 $\widehat{f}(\phi(x)) \le \sup \widehat{f}(\phi(\phi^{-1}(C_i)))$이므로 $\widehat{f}(\phi(x))\cdot |J\phi(x)| \le \sup \widehat{f}(\phi(\phi^{-1}(C_i)))\cdot |J\phi(x)|$이고
함수 정리와 전사 정리로 $\phi(\phi^{-1}(C_i)) = \phi(\psi^{-1}(C_i)) = \psi(\psi^{-1}(C_i)) = C_i$이므로
비중첩집합족의 정의와 위 정리와 적분 정리와 적분 정리와 상합의 정의로
$\begin{align*} \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x & = \int_F \widehat{f}(\phi(x))\cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \sum_{\substack{i\ge 1 \\ C_i\cap \phi(E)\ne \emptyset}}^k \int_{\phi^{-1}(C_i)} \widehat{f}(\phi(x))\cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{i\ge 1 \\ C_i\cap \phi(E)\ne \emptyset}}^k \int_{\phi^{-1}(C_i)} \sup \widehat{f}(\phi(\phi^{-1}(C_i))) \cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{i\ge 1 \\ C_i\cap \phi(E)\ne \emptyset}}^k \sup \widehat{f}(\phi(\phi^{-1}(C_i))) \cdot \int_{\phi^{-1}(C_i)} |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{i\ge 1 \\ C_i\cap \phi(E)\ne \emptyset}}^k \sup \widehat{f}(C_i) \cdot vol(C_i) \\[0.5em] & \qquad = U(f|_{\phi(E)};\mathcal{H}_\epsilon) \\[0.5em] & \lt \int_{\phi(E)}f(y)\operatorname{d}\!y +\epsilon \text{ 이 되어} \end{align*}$
부등식 정리로 $\displaystyle \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x \le \int_{\phi(E)}f(y)\operatorname{d}\!y$이다.
모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 적분 정리로 $|L(f|_{\phi(E)}) - L^\circ(f|_{\phi(E)}; \{ D_j\}_{j=1}^p)| < \epsilon$이 되는 $C$의 격자 $\{ D_j\}_{j=1}^p$가 존재하여
$-\epsilon < L(f|_{\phi(E)}) - L^\circ(f|_{\phi(E)}; \{ D_j\}_{j=1}^p) < \epsilon$이므로
리만적분의 정의로 $\displaystyle \int_{\phi(E)} f(y)\operatorname{d}\!y - \epsilon =L(f|_{\phi(E)}) - \epsilon < L^\circ(f|_{\phi(E)};\{ D_j\}_{j=1}^p)$이고
$J = \{ j\in \{ 1,2,\cdots,p\} : D_j\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\phi(E))\}$일때 모든 $j\in J$에 대해 $D_j\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\phi(E)) \subseteq \phi(E)\subseteq \phi(U)$이므로
영확장함수 정리와 함수 정리와 전사 정리로 $\widehat{f}(D_j) = f(D_j) = f(\phi(\phi^{-1}(D_j)))$이고 $\phi^{-1}(D_j)$는 조르당영역이 되어
$\displaystyle D = \bigcup_{\substack{j\ge 1\\ D_j\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\phi(E)) } }^p \phi^{-1}(D_j)$일때 조르당영역 정리와 조르당영역 정리로 $D$는 조르당영역이고
모든 $x\in \phi^{-1}(D_j)$에 대해
하한의 정의로 $\inf f(\phi(\phi^{-1}(D_j))) \le f(\phi(x))$이므로 $\inf f(\phi(\phi^{-1}(D_j))) \cdot |J\phi(x)| \le f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|$이고
함수 정리와 단사 정리로 $\displaystyle D = \bigcup_{\substack{j\ge 1\\ D_j\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\phi(E)) } }^p \phi^{-1}(D_j) =\phi^{-1}(\bigcup_{\substack{j\ge 1\\ D_j\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\phi(E)) } }^p D_j ) \subseteq \phi^{-1}( \phi(E)) = E $이므로
모든 $x\in E$에 대해 $0\le f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|$이고 비중첩집합족 정리로 $\{ \phi^{-1}(D_j) : j\in J\}$가 비중첩집합족임에 따라
내부하합의 정의와 적분 정리와 적분 정리와 비중첩집합족의 정의와 위 정리로
$\begin{align*} \int_{\phi(E)} f(y)\operatorname{d}\!y - \epsilon & < L^\circ(f|_{\phi(E)};\{ D_j\}_{j=1}^p) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{j\ge 1\\ D_j\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\phi(E)) } }^p \inf \widehat{f}(D_j)\cdot vol(D_j) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{j\ge 1\\ D_j\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\phi(E)) } }^p \inf f(D_j)\cdot \int_{\phi^{-1}(D_j)} |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{j\ge 1\\ D_j\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\phi(E)) } }^p \int_{\phi^{-1}(D_j)} \inf f(D_j)\cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{j\ge 1\\ D_j\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\phi(E)) } }^p \int_{\phi^{-1}(D_j)} \inf f(\phi(\phi^{-1}(D_j)))\cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{j\ge 1\\ D_j\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\phi(E)) } }^p \int_{\phi^{-1}(D_j)} f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & \qquad = \int_D f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & \le \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x \text{ 가 되어} \end{align*}$
부등식 정리로 $\displaystyle \int_{\phi(E)} f(y)\operatorname{d}\!y \le \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x$이므로 $\displaystyle \int_{\phi(E)} f(y)\operatorname{d}\!y = \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x$이다.
모든 $y \in \phi(E)$에 대해 $f(y) \ge 0$이 아닐때
절댓값 정리로 $- |f(y)| \le f(y) \le |f(y)|$이므로 $0\le f(y) + |f(y)|$이고 $0\le |f(y)| - f(y)$가 되어
적분 정리와 적분 정리로 $g(y) = \dfrac{f(y) + |f(y)|}{2}\ge 0$이고 $h(y) = \dfrac{|f(y)| - f(y)}{2}\ge 0$인
함수 $g,h : \phi(E)\to \mathbb{R}$는 $\phi(E)$에서 리만적분가능하고
$f(y) = \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot f(y) = \dfrac{1}{2}\cdot (f(y) + |f(y)| - |f(y)| + f(y)) = \dfrac{f(y) +|f(y)|}{2} - \dfrac{|f(y)| - f(y)}{2} = g(y) - h(y) \text{ 임에 따라}$
$\begin{align*} \int_{\phi(E)}f(y) \operatorname{d}\!y & = \int_{\phi(E)} g(y) - h(y) \operatorname{d}\!y \\[0.5em] & = \int_{\phi(E)} g(y) \operatorname{d}\!y - \int_{\phi(E)} h(y) \operatorname{d}\!y \\[0.5em] & = \int_E g(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x - \int_E h(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_E g(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|- h(\phi(x))\cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_E (g(\phi(x)) - h(\phi(x)) )\cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_E f(\phi(x)) \cdot |J\phi(x)| \operatorname{d}\!x \text{ 이다.} \end{align*}$
정리7
$n,m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m)$이고 임의의 $E,F\subseteq \mathbb{R}^n$가 $E\subseteq F$일때
함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$와 함수 $g:F\to \mathbb{R}^m$가 모든 $x\in E$에 대해 $f(x) = g(x)$이면
모든 $x_0\in $ $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}$와 모든 $v\in \mathbb{R}^n$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 다음이 성립한다.
1. $x_0$에서 $g$의 도함수 $Dg(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$이 존재하기 위한 필요충분조건은
$x_0$에서 $f$의 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$이 존재하는 것이다.
이때 $Df(x_0) = Dg(x_0)$이 성립한다.
2. $x_0$에서 $g$의 $v$방향도함수 $D_vg(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하기 위한 필요충분조건은
$x_0$에서 $f$의 $v$방향도함수 $D_vf(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하는 것이다.
이때 $D_vf(x_0) = D_vg(x_0)$이 성립한다.
3. $x_0$에서 변수 $x_j$에 대한 $g$의 편도함수 $\dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하기 위한 필요충분조건은
$x_0$에서 변수 $x_j$에 대한 $f$의 편도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하는 것이다.
이때 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)=\dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x_0)$이 성립한다.
4. $x_0$에서 $g$의 야코비안 $Jg(x_0)\in \mathbb{R}$이 존재하기 위한 필요충분조건은
$x_0$에서 $f$의 야코비안 $Jf(x_0)\in \mathbb{R}$이 존재하는 것이다.
이때 $Jf(x_0) = Jg(x_0)$이 성립한다.
5. $g$가 $(F,d_n)$과 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이기 위한 필요충분조건은
$f$가 $(E,d_n)$과 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속인 것이다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n,m$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n),(\mathbb{R}^m,\lVert\cdot \rVert_m)$일때
거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n),(\mathbb{R}^m,\lVert\cdot\rVert_m)$의 노름거리공간이다.
$1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1)$일때
1.
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환 $L : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$에 대해
함수 $\phi_L : E\setminus \{x_0\}\to \mathbb{R}$과 함수 $\psi_L : F \setminus \{x_0\} \to \mathbb{R}$이
모든 $x\in E\setminus \{ x_0 \}$에 대해 $\phi_L(x) = \dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) - L(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} $이고
모든 $x\in F \setminus \{ x_0 \}$에 대해 $\psi_L(x) =\dfrac{\lVert g(x)-g(x_0) - L(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n}$일때 모든 $x\in E\setminus \{ x_0\} \subseteq E$에 대해
$\phi_L(x) = \dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) - L(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} = \dfrac{\lVert g(x)-g(x_0) - L(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} = \psi_L(x)$이다.
$E\subseteq F$이므로 $E\setminus \{ x_0\}\subseteq F\setminus \{ x_0\}$이고 거리공간 정리로 $x_0$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E\setminus \{ x_0\}$의 집적점이다.
거리공간 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x_0,r)}\setminus \{ x_0\} \subseteq E\setminus \{ x_0\}$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하여
$(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x_0,r)}\cap (F\setminus \{ x_0\})) \setminus \{x_0\}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x_0,r)}\setminus \{ x_0\} \subseteq E\setminus \{ x_0\}$이다.
$x_0$에서 $g$의 도함수 $Dg(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$이 존재하면
도함수의 정의와 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E\setminus \{x_0\},d_n,d_1}\phi_{Dg(x_0)}(x) = \lim_{x\to x_0}^{F\setminus \{x_0\},d_n,d_1}\psi_{Dg(x_0)}(x) = 0$이 되어
$x_0$에서 $f$의 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$이 존재하고 도함수 정리로 $Df(x_0) = Dg(x_0)$이다.
역으로 $x_0$에서 $f$의 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$이 존재하면
도함수의 정의와 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{F\setminus \{x_0\},d_n,d_1}\psi_{Df(x_0)}(x) = \lim_{x\to x_0}^{E\setminus \{x_0\},d_n,d_1}\phi_{Df(x_0)}(x) = 0$이 되어
$x_0$에서 $g$의 도함수 $Dg(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$이 존재하고 도함수 정리로 $Dg(x_0) = Df(x_0)$이다.
2.
$A = \{ t\in (0,\infty) : x_0+_n t\cdot_n v\in E\}$이고 $B = \{ t\in (0,\infty) : x_0+_n t\cdot_n v\in F\}$일때
함수 $\phi : A \to \mathbb{R}$와 함수 $\psi : B \to \mathbb{R}$가
모든 $t \in A$에 대해 $\phi(t)= \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t \cdot_n v) - f(x_0))$이고
모든 $t\in B$에 대해 $\psi(t) = \dfrac{1}{t}\cdot_m (g(x_0+_n t \cdot_n v) - g(x_0))$일때
내부 정리로 $x_0 \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$이고 모든 $t\in A$에 대해 $x_0 +_n t\cdot_n v\in E$임에 따라
$\phi(t)= \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t \cdot_n v) - f(x_0)) = \dfrac{1}{t}\cdot_m (g(x_0+_nt\cdot_n v) - g(x_0)) = \psi(t)$이다.
$E\subseteq F$이므로 $A\subseteq B$이고 거리공간 정리로 $0\in \underset{(\mathbb{R},d_1)}{A'}$이다.
거리공간 정리로 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{B(0,r)}\cap (0,\infty)\subseteq A$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하여
$(\underset{(\mathbb{R},d_1)}{B(0,r)}\cap B) \setminus \{ 0\} \subseteq \underset{(\mathbb{R},d_1)}{B(0,r)}\cap B \subseteq \underset{(\mathbb{R},d_1)}{B(0,r)}\cap (0,\infty)\subseteq A$이다.
$x_0$에서 $g$의 $v$방향도함수 $D_vg(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하면
방향도함수의 정의와 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \phi(t) = \lim_{t\to 0}^{B,d_1,d_m}\psi(t) = D_vg(x_0)$이 되어
$x_0$에서 $f$의 $v$방향도함수 $D_vf(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하고 극한 정리로 $D_vf(x_0) = D_vg(x_0)$이다.
역으로 $x_0$에서 $f$의 $v$방향도함수 $D_vf(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하면
방향도함수의 정의와 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to 0}^{B,d_1,d_m} \psi(t) = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m}\phi(t) = D_vf(x_0)$이 되어
$x_0$에서 $g$의 $v$방향도함수 $D_vg(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하고 극한 정리로 $D_vg(x_0) = D_vf(x_0)$이다.
3.
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 표준순서기저가 $\beta = (e_1,e_2,\cdots,e_n)$일때
$A = \{ t\in \mathbb{R}\setminus \{ 0\}: x_0+_n t\cdot_n e_j\in E\}$이고 $B = \{ t\in \mathbb{R}\setminus \{0\} : x_0+_n t\cdot_n e_j\in F\}$이면
함수 $\phi : A \to \mathbb{R}$와 함수 $\psi : B \to \mathbb{R}$가
모든 $t \in A$에 대해 $\phi(t)= \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t \cdot_n e_j) - f(x_0))$이고
모든 $t\in B$에 대해 $\psi(t) = \dfrac{1}{t}\cdot_m (g(x_0+_n t \cdot_n e_j) - g(x_0))$일때
내부 정리로 $x_0 \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$이고 모든 $t\in A$에 대해 $x_0 +_n t\cdot_n e_j\in E$임에 따라
$\phi(t)= \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t \cdot_n e_j) - f(x_0)) = \dfrac{1}{t}\cdot_m (g(x_0+_nt\cdot_n e_j) - g(x_0)) = \psi(t)$이다.
$E\subseteq F$이므로 $A\subseteq B$이고 거리공간 정리로 $0\in \underset{(\mathbb{R},d_1)}{A'}$이다.
거리공간 정리로 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{B(0,r)}\setminus \{ 0\}\subseteq A$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하여 $(\underset{(\mathbb{R},d_1)}{B(0,r)}\cap B) \setminus \{ 0\} \subseteq \underset{(\mathbb{R},d_1)}{B(0,r)}\setminus \{0\}\subseteq A$이다.
$x_0$에서 변수 $x_j$에 대한 $g$의 편도함수 $\dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하면
편도함수의 정의와 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \phi(t) = \lim_{t\to 0}^{B,d_1,d_m}\psi(t) = \dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x_0)$이 되어
$x_0$에서 변수 $x_j$에 대한 $f$의 편도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하고 극한 정리로 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)=\dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x_0)$이다.
역으로 $x_0$에서 변수 $x_j$에 대한 $f$의 편도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하면
편도함수의 정의와 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to 0}^{B,d_1,d_m} \psi(t) = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m}\phi(t) = \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)$이 되어
$x_0$에서 변수 $x_j$에 대한 $g$의 편도함수 $\dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하고 극한 정리로 $\dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x_0)=\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)$이다.
4.
$x_0$에서 $g$의 야코비안 $Jg(x_0)\in \mathbb{R}$이 존재하기 위한 필요충분조건은
$x_0$에서 $f$의 야코비안 $Jf(x_0)\in \mathbb{R}$이 존재하는 것이고 $Jf(x_0) = Jg(x_0)$이 성립한다.
5.
내부 정리로 $x_0 \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E\subseteq F$이므로
위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $x_0\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}\cap F\subseteq \underset{(F,d_n)}{\operatorname{int}(E)}$이 되어 연속함수 정리로
$g$가 $(F,d_n)$과 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이기 위한 필요충분조건은
$f$가 $(E,d_n)$과 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속인 것이다.
정리8
$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이 $U,V$일때 임의의 $x_0\in U$에 대해 다음이 성립한다.
1. $x_0$에서 함수 $\phi : U\to \mathbb{R}^n$가 미분가능할때
$x_0$에서 $\phi$의 도함수 $D\phi(x_0):\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$와 $x_0$에서 $\phi$의 야코비안 $J\phi(x_0)\in \mathbb{R}$에 대해
$D\phi(x_0)$이 가역이기 위한 필요충분조건은 $J\phi(x_0)\ne 0$인 것이다.
2. 함수 $\phi :U\to \mathbb{R}^n$와 함수 $\psi : V\to \mathbb{R}^n$에 대해 $\phi(U)\subseteq V$일때
$x_0$에서 $\phi$가 미분가능하고 $\phi(x_0)$에서 $\psi$가 미분가능하면 합성함수 $\psi\circ \phi : U\to \mathbb{R}^n$는 $x_0$에서 미분가능하고
$x_0$에서 $\phi$의 야코비안 $J\phi(x_0)\in \mathbb{R}$과 $\phi(x_0)$에서 $\psi$의 야코비안 $J\psi(\phi(x_0))\in \mathbb{R}$에 대해
$x_0$에서 $\psi\circ \phi$의 야코비안은 $J(\psi\circ \phi)(x_0) = J\psi(\phi(x_0)) \cdot J\phi(x_0)$이다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$일때
거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간이다.
1.
$\phi$가 $x_0$에서 미분가능하므로 미분 정리로 $\phi$의 편도함수 $\dfrac{\partial \phi}{\partial x_1}(x_0),\dfrac{\partial \phi}{\partial x_2}(x_0),\cdots, \dfrac{\partial \phi}{\partial x_n}(x_0)\in \mathbb{R}^n$이 존재하여
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 표준순서기저가 $\beta$일때 야코비안의 정의로
$\beta$에 대한 $D\phi(x_0)$의 행렬표현 $[D\phi(x_0)]_\beta \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$의 행렬식에 대해 $J\phi(x_0) = \det([D\phi(x_0)]_\beta)$이다.
선형변환 정리로 $D\phi(x_0)$이 가역이기 위한 필요충분조건은 $[D\phi(x_0)]_\beta$가 가역인 것이고
행렬식 정리로 $[D\phi(x_0)]_\beta$가 가역이기 위한 필요충분조건은 $\det([D\phi(x_0)]_\beta)\ne 0$인 것이므로
$D\phi(x_0)$이 가역이기 위한 필요충분조건은 $J\phi(x_0) \ne 0$인 것이다.
2.
$x_0$에서 $\phi$의 도함수가 $D\phi(x_0):\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$이고 $\phi(x_0)$에서 $\psi$의 도함수가 $D\psi(\phi(x_0)) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$일때
도함수 정리로 $x_0$에서 $\psi\circ \phi$의 도함수 $D(\psi\circ \phi)(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$이 존재하여
$D(\psi \circ \phi)(x_0) = D\psi(\phi(x_0))\circ D\phi(x_0)$이므로 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 표준순서기저 $\beta$와 행렬곱 $*$에 대해
$\begin{align*}J(\psi\circ \phi)(x_0) & = \det([D(\psi\circ \phi)(x_0)]_\beta) \\[0.5em]& = \det([D\psi(\phi(x_0))\circ D\phi(x_0)]_\beta) \\[0.5em] & = \det([D\psi(\phi(x_0))]_\beta * [D\phi(x_0)]_\beta) \\[0.5em] & = \det([D\psi(\phi(x_0))]_\beta) \cdot \det([D\phi(x_0)]_\beta) \\[0.5em] & = J\psi(\phi(x_0))\cdot J\phi(x_0) \text{ 이다.} \end{align*}$
정리9
$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U$에서 함수 $\phi : U\to \mathbb{R}^n$가 연속미분가능할때
$U$에서 $\phi$의 야코비안 $J\phi : U\to \mathbb{R}$에 대해 $J\phi(x_0)\ne 0$인 $x_0\in U$이 존재하면
$x_0\in W\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(W)}\subseteq U$인 $n$차원 열린상자 $W$가 존재하여 다음이 성립한다.
1. 모든 $x\in W$에 대해 $\psi(x) = \phi(x)$인 함수 $\psi : W\to \phi(W)$의 역함수 $\psi^{-1} : \phi(W)\to W$이 존재한다.
2. $\phi(W)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이다.
3. $\psi$는 $W$에서 연속미분가능하고 모든 $x\in W$에 대해 $J\psi(x)\ne 0$이다.
4. $\psi^{-1}$은 $\phi(W)$에서 연속미분가능하고 모든 $y\in \phi(W)$에서 $\psi^{-1}$의 야코비안은 $J\psi^{-1}(y)\ne 0$이다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$일때
거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간이다.
$\phi$는 $U$에서 연속미분가능하므로
미분 정리로 $\phi$는 $U$에서 미분가능하여 미분 정리로 $\phi$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이다.
역함수 정리로 $x_0 \in V$인 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $V\subseteq U$가 존재하여 $\phi(V)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고
모든 $x\in V$와 모든 $y\in \phi(V)$에 대해
$\varphi(x) = \phi(x)$인 함수 $\varphi : V\to \phi(V)$의 역함수 $\varphi^{-1} :\phi(V)\to V$가 존재하여 $\varphi^{-1}$은 $\phi(V)$에서 연속미분가능하고
$\varphi^{-1}(y)$에서 $\varphi$의 도함수 $D\varphi(\varphi^{-1}(y)) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$의 역함수 $(D\varphi(\varphi^{-1}(y)))^{-1} : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$이 존재하여
$y$에서 $\varphi^{-1}$의 도함수 $D\varphi^{-1}(y) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$에 대해 $D\varphi^{-1}(y) = (D\varphi(\varphi^{-1}(y)))^{-1}$이다.
열린집합 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x_0,r)}\subseteq V\subseteq U$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하여
상자 정리와 상자 정리로 $x_0\in W\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(W)} \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x_0,r)}\subseteq V \subseteq U$인 $n$차원 열린상자 $W$가 존재한다.
모든 $x\in W$에 대해 $\psi(x) = \phi(x)$인 함수 $\psi : W\to \phi(W)$는 $\psi(x) = \phi(x) = \varphi(x)$이므로
역함수 정리로 $\varphi$가 전단사임에 따라 $\psi$는 단사이고 함수 정리로 $\psi(W) = \phi(W)$가 되어 함수 정리로 $\psi$는 전사이므로
역함수 정리로 $\psi$의 역함수 $\psi^{-1} : \phi(W)\to W$이 존재한다.
$W\subseteq V$이고 상자 정리로 $W$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이므로
집합 정리와 거리공간 정리로 $W = W\cap V $는 $(V,d_n)$에서 열린집합이고
미분 정리와 미분 정리와 연속함수 정리로 $\varphi^{-1}$은 $(\phi(V),d_n)$에서 $(V,d_n)$으로의 연속함수이므로
함수 정리와 함수 정리와 연속함수 정리로 $\phi(W) =\varphi(W) = (\varphi^{-1})^{-1}(W)$는 $(\phi(V),d_n)$에서 열린집합이 되어
$\phi(V)$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합임에 따라 거리공간 정리로 $\phi(W)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이다.
$W\subseteq V\subseteq U$이므로 $\phi(W)\subseteq \phi(V)\subseteq \phi(U)$이고 역함수 정리로 모든 $y\in \phi(W)$에 대해 $\psi^{-1}(y) = \varphi^{-1}(y)$이므로
$\phi$가 $U$에서 연속미분가능하고 $\varphi^{-1}$이 $\phi(V)$에서 연속미분가능함에 따라
위 정리와 연속함수 정리로 $\psi$는 $W$에서 연속미분가능하고 $\psi^{-1}$은 $\phi(W)$에서 연속미분가능하다.
모든 $x\in W$에 대해 전사의 정의로 $x = \psi^{-1}(y) = \varphi^{-1}(y)$인 $y\in \phi(W)$가 존재하여
위 정리로 $x$에서 $\psi$의 도함수 $D\psi(x) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$는 $D\psi(x) = D\varphi(\varphi^{-1}(y))$이므로
$D\psi(x) = D\varphi(\varphi^{-1}(y))$가 가역임에 따라 위 정리로 $x$에서 $\psi$의 야코비안은 $J\psi(x)\ne 0$이다.
모든 $y\in \phi(W)$에 대해 $\psi^{-1}(y) = \varphi^{-1}(y)$이므로
위 정리로 $y$에서 $\psi^{-1}$의 도함수 $D\psi^{-1}(y) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$가 $D\psi^{-1}(y) = D\varphi^{-1}(y) = (D\varphi(\varphi^{-1}(y)))^{-1}$임에 따라
역함수 정리로 $D\psi^{-1}(y) = (D\varphi(\varphi^{-1}(y)))^{-1}$은 가역이므로 위 정리로 $y$에서 $\psi^{-1}$의 야코비안은 $J\psi^{-1}(y)\ne 0$이다.
정리10
$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U$에서 단사함수 $\phi : U\to \mathbb{R}^n$가 연속미분가능할때
$V\subseteq U$인 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $V$에 대해 $\phi(V)$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고
모든 $x\in V$가 $\psi(x) = \phi(x)$인 함수 $\psi : V\to \phi(V)$의 역함수 $\psi^{-1} : \phi(V)\to V$가 $\phi(V)$에서 연속미분가능하여
$\phi(V)$에서 $\psi^{-1}$의 야코비안 $J\psi^{-1} : \phi(V)\to \mathbb{R}$이 모든 $y\in \phi(V)$에 대해 $J\psi^{-1}(y)\ne 0$이면 다음이 성립한다.
1. 모든 $n$차원 닫힌상자 $B\subseteq \phi(V)$에 대해 $\phi^{-1}(B)$는 조르당영역이고
$U$에서 $\phi$의 야코비안 $J\phi :U\to \mathbb{R}$의 절댓값 $|J\phi| : U\to \mathbb{R}$는 $\phi^{-1}(B)$에서 리만적분가능하다.
2. $n$차원 퇴화상자 $B\subseteq \phi(V)$에 대해 $\phi^{-1}(B)$의 부피는 $0$이고 $\displaystyle vol(B) = 0 = \int_{\phi^{-1}(B)}|J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.
3. 퇴화상자가 아닌 모든 $n$차원 닫힌상자 $B\subseteq \phi(V)$에 대해 $B$의 격자 $\{ B_k\}_{k=1}^p$는 비중첩집합족이고
$\{ \phi^{-1}(B_k) : k=1,2,\cdots,p\}$는 비중첩집합족이고 $p$개의 원소를 갖는 유한집합이다.
증명
$\phi$가 단사이므로 함수 정리로 $\psi$는 전단사가 되어 $\psi$의 역함수 $\psi^{-1}$이 존재하고 역함수 정리로 $\psi^{-1}$은 전단사이다.
연속미분의 정의와 미분 정리와 미분 정리와 연속함수 정리로
$\phi$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이고 $\psi^{-1}$은 $(\phi(V),d_n)$에서 $(V,d_n)$으로의 연속함수이다.
상자 정리로 모든 $n$차원 닫힌상자 $B\subseteq \phi(V)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이므로 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(B)} = B\subseteq \phi(V)$이고
하이네-보렐 정리로 $B$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이 되어 $B$는 $(\phi(V),d_n)$에서 콤팩트집합이고
단사 정리로 $\phi^{-1}(B)\subseteq \phi^{-1}(\phi(V)) = V$이므로 역함수 정리와 집합 정리로
$\psi^{-1}(B) = \{ \psi^{-1}(y) : y\in B \} = \{ x\in V : \psi(x)\in B \} = \{ x\in V : \phi(x) \in B \} = \phi^{-1}(B)\cap V = \phi^{-1}(B)$이고
연속함수 정리로 $\phi^{-1}(B) = \psi^{-1}(B)$는 $(V,d_n)$에서 콤팩트집합이 되어
$\phi^{-1}(B) = \psi^{-1}(B)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이므로
하이네-보렐 정리로 $\psi^{-1}(B) = \phi^{-1}(B)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이고
모든 $y\in \phi(V)$에 대해 $J\psi^{-1}(y) \ne 0$이므로 조르당영역 정리로 $\phi^{-1}(B) = \psi^{-1}(B)$는 조르당영역이고
$\phi^{-1}(B)\subseteq V\subseteq U$이므로 위 정리로 $|J\phi |$는 $\phi^{-1}(B)$에서 리만적분가능하다.
$B$가 퇴화상자이면 상자 정리와 조르당영역 정리로 $B$의 부피는 $0$이므로
조르당영역 정리로 $\phi^{-1}(B) = \psi^{-1}(B)$의 부피는 $0$이 되어 적분 정리로 $\displaystyle vol(B) = 0 = \int_{\phi^{-1}(B)}|J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.
격자 정리로 퇴화상자가 아닌 $n$차원 닫힌상자 $B$의 격자 $\{ B_k\}_{k=1}^p$는 $p$개의 원소를 갖는 유한집합이므로
$k\ne r$인 모든 $k,r = 1,2,\cdots,p$에 대해
격자 정리와 내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(B_k)}\cap \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(B_r)}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(B_k)}\cap B_r = \emptyset$이고 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(B_k)}\cap \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(B_r)} = \emptyset$이 되어
상자 정리와 조르당영역 정리와 조르당영역 정리로 $B_k\cap B_r$의 부피가 $0$임에 따라 $\{ B_k\}_{k=1}^p$는 비중첩집합족이다.
격자 정리로 $B = \displaystyle \bigcup_{k=1}^p B_k$이므로 모든 $k = 1,2,\cdots,p$에 대해 $B_k\subseteq B\subseteq \phi(V)$이고
$B_k$는 $n$차원 닫힌상자이므로 $\psi^{-1}(B_k) = \phi^{-1}(B_k)$이고 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(B_k)} = B_k\subseteq \phi(V)$임에 따라
비중첩집합족 정리로 $\{ \phi^{-1}(B_k) : k=1,2,\cdots,p\} = \{ \psi^{-1}(B_k) : k=1,2,\cdots,p\}$는 비중첩집합족이다.
$k\ne r$인 임의의 $k,r = 1,2,\cdots,p$에 대해 $\phi^{-1}(B_k) = \phi^{-1}(B_r)$이라고 가정하면 유한집합의 정의로 $B_k\ne B_r$인데
전사 정리로 $B_k = \psi(\psi^{-1}(B_k)) =\psi(\phi^{-1}(B_k)) = \psi(\phi^{-1}(B_r)) = \psi(\psi^{-1}(B_r)) = B_r$이 되어 모순임에 따라
$\phi^{-1}(B_k) \ne \phi^{-1}(B_r)$이고 $\{ \phi^{-1}(B_k) : k=1,2,\cdots,p\}$는 $p$개의 원소를 갖는 유한집합이다.
정리11(전역 역함수 정리)
$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U$에서 단사함수 $\phi : U\to \mathbb{R}^n$가 연속미분가능할때
$U$에서 $\phi$의 야코비안 $J\phi : U\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in U$에 대해 $J\phi(x)\ne 0$이면
모든 $x\in U$에 대해 $\psi(x) = \phi(x)$인 함수 $\psi : U\to \phi(U)$의 역함수 $\psi^{-1} : \phi(U)\to U$이 존재하여 다음이 성립한다.
1. 모든 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $V\subseteq U$에 대해 $\phi(V)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이다.
2. $\psi^{-1}$은 $\phi(U)$에서 연속미분가능하다.
3. 모든 $y\in \phi(U)$에서 $\psi^{-1}$의 도함수 $D\psi^{-1}(y) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$가 존재하고
$\psi^{-1}(y)$에서 $\phi$의 도함수 $D\phi(\psi^{-1}(y)) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$의 역함수 $(D\phi(\psi^{-1}(y)))^{-1} : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$이 존재하여
$D\psi^{-1}(y) = (D\phi(\psi^{-1}(y)))^{-1}$이다.
4. $\phi(U)$에서 $\psi^{-1}$의 야코비안 $J\psi^{-1} : \phi(U)\to \mathbb{R}$이 존재하여 모든 $y\in \phi(U)$에 대해 $J\psi^{-1}(y)\ne 0$이다.
5. $\psi$는 $(U,d_n)$에서 $(\phi(U),d_n)$으로의 위상동형사상이다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$일때
거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간이다.
$\phi$는 $U$에서 연속미분가능하므로
미분 정리로 $\phi$는 $U$에서 미분가능하여 미분 정리로 $\phi$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이다.
역함수 정리로 모든 $x\in U$에 대해 $\psi(x) = \phi(x)$인 함수 $\psi : U\to \phi(U)$의 역함수 $\psi^{-1} : \phi(U)\to U$이 존재하여
$\psi^{-1}$은 $(\phi(U),d_n)$에서 $(U,d_n)$으로의 연속함수이고 $\phi(U)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이다.
$\psi$는 $(U,d_n)$에서 $(\phi(U),d_n)$으로의 연속함수이므로 $\psi$는 $(U,d_n)$에서 $(\phi(U),d_n)$으로의 위상동형사상이다.
모든 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $V\subseteq U$에 대해
집합 정리와 거리공간 정리로 $V = U\cap V $는 $(U,d_n)$에서 열린집합이므로
함수 정리와 함수 정리와 연속함수 정리로 $\phi(V) =\psi(V) = (\psi^{-1})^{-1}(V)$는 $(\phi(U),d_n)$에서 열린집합이 되어
$\phi(U)$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합임에 따라 거리공간 정리로 $\phi(V)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이다.
모든 $y\in \phi(U)$에 대해 $y = \phi(x)$인 $x\in U$가 존재하여 $J\phi(x)\ne 0$이므로
역함수 정리로 $x\in V\subseteq U$인 어떤 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $V$에 대해
모든 $v \in V$가 $\varphi(v) = \phi(v)$인 함수 $\varphi : V\to \phi(V)$의 역함수 $\varphi^{-1} :\phi(V)\to V$은 $\phi(V)$에서 연속미분가능하고
$y = \phi(x) \in \phi(V)$이므로 $y$에서 $\varphi^{-1}$의 도함수 $D\varphi^{-1}(y) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$는
$\varphi^{-1}(y)$에서 $\varphi$의 도함수 $D\varphi(\varphi^{-1}(y)) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$의 역함수 $(D\varphi(\varphi^{-1}(y)))^{-1} : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$에 대해
$D\varphi^{-1}(y) = (D\varphi(\varphi^{-1}(y)))^{-1}$이다.
모든 $v \in V\subseteq U$에 대해 $\varphi(v) = \phi(v) = \psi(v)$이므로
역함수 정리로 모든 $w\in \phi(V)$에 대해 $ \varphi^{-1}(w) = \psi^{-1}(w)$가 되어
$\psi^{-1}(y) = \varphi^{-1}(y)\in V$이고 $V,\phi(V)$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합임에 따라
내부 정리로 $y\in \phi(V) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(\phi(V))$와 $\psi^{-1}(y) = \varphi^{-1}(y)\in V = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(V)}$가 성립한다.
연속미분의 정의로 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $y$에서 $\varphi^{-1}$의 편도함수 $\dfrac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_j}(y)$가 존재하므로
위 정리로 $y$에서 $\psi^{-1}$의 편도함수 $\dfrac{\partial \psi^{-1}}{\partial y_j}(y)$가 존재하고 $\dfrac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_j}(y) = \dfrac{\partial \psi^{-1}}{\partial y_j}(y)$이다.
$y\in \phi(U)$는 임의이므로 편도함수의 정의로 $\phi(U)$에서 $\psi^{-1}$의 편도함수 $\dfrac{\partial \psi^{-1}}{\partial y_j} : \phi(U) \to \mathbb{R}^n$가 존재하여
$\phi(V)$에서 $\varphi^{-1}$의 편도함수 $\dfrac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_j} : \phi(V) \to \mathbb{R}^n$에 대해 모든 $w\in \phi(V)\subseteq \phi(U)$가 $\dfrac{\partial \psi^{-1}}{\partial y_j}(w) = \dfrac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_j}(w)$이고
$\dfrac{\partial \varphi^{-1}}{\partial y_j}$가 $(\phi(V),d_n)$과 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에 대해 $y$에서 연속임에 따라
위 정리로 $\dfrac{\partial \psi^{-1}}{\partial y_j}$는 $(\phi(U),d_n)$과 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에 대해 $y$에서 연속이므로
$\dfrac{\partial \psi^{-1}}{\partial y_1}, \dfrac{\partial \psi^{-1}}{\partial y_2},\cdots,\dfrac{\partial \psi^{-1}}{\partial y_n}$은 $(\phi(U),d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수가 되어 $\psi^{-1}$은 $\phi(U)$에서 연속미분가능하다.
위 정리와 역함수 정리로 $D\psi^{-1}(y) = D\varphi^{-1}(y) = (D\varphi(\varphi^{-1}(y)))^{-1} = (D\varphi(\psi^{-1}(y)))^{-1} = (D\phi(\psi^{-1}(y)))^{-1}$이고
역함수 정리로 $D\psi^{-1}(y) = (D\phi(\psi^{-1}(y)))^{-1}$는 가역이므로 위 정리로 $J\psi^{-1}(y)\ne 0$이다.
정리12
임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,n+1, 1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1}),(\mathbb{R},d_1)$이고
퇴화상자가 아닌 $n+1$차원 닫힌상자가 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^{n+1}[a_i,b_i]$일때
$B$에서 유계인 함수 $f: B\to \mathbb{R}$와 $\displaystyle B_n =\prod_{i=1}^n[a_i,b_i]$에 대해 다음이 성립한다.
1. 모든 $x\in B_n$에 대해 함수 $f(x,\,\cdot\,) : [a_{n+1},b_{n+1}]\to \mathbb{R}$은 $[a_{n+1},b_{n+1}]$에서 유계이다.
2. $[a_{n+1},b_{n+1}]$에서 하적분, 상적분 $\displaystyle \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(\,\cdot\,,t)\operatorname{d}\!t , \overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(\,\cdot\,,t)\operatorname{d}\!t : B_n\to \mathbb{R}$는 $B_n$에서 유계이다.
3. $B_n$에서 하적분, 상적분은 $B$에서 $f$의 하적분, 상적분에 대해
$\displaystyle \underline{\int_B} f(x,t)\operatorname{d}(x,t) \le \underline{\int_{B_n}} \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x ,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x \le \overline{\int_{B_n}}\overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!x \le \overline{\int_B}f(x,t)\operatorname{d}(x,t)$이다.
4. $\displaystyle \underline{\int_{B_n}} \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x ,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x \le \underline{\int_{B_n}} \overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}}f(x,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x \le \overline{\int_{B_n}}\overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!x$
5. $\displaystyle \underline{\int_{B_n}} \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x ,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x \le \overline{\int_{B_n}} \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}}f(x,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x \le \overline{\int_{B_n}}\overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!x$
6. $f$가 $B$에서 리만적분가능하면 $\displaystyle \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(\,\cdot\,,t)\operatorname{d}\!t , \overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(\,\cdot\,,t)\operatorname{d}\!t$는 $B_n$에서 리만적분가능하고
$\displaystyle \int_B f(x,t)\operatorname{d}(x,t) = \int_{B_n} \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x ,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x = \int_{B_n}\overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!x$이다.
증명
1, 2
$f$는 $B$에서 유계이므로 어떤 $M\in (0,\infty)$이 존재하여
모든 $x\in B_n$와 모든 $t \in [a_{n+1},b_{n+1}]$에 대해 $|f(x,t)|\le M$임에 따라 $f(x,\,\cdot\,)$은 $[a_{n+1},b_{n+1}]$에서 유계이고
절댓값 정리로 $-M\le f(x,t)\le M$이므로
하한, 상한의 정의와 하한, 상한 정리로 $-M\le \inf f(x,[a_{n+1},b_{n+1}])\le \sup f(x,[a_{n+1},b_{n+1}])\le M$이고
$\{ [a_{n+1},b_{n+1}] \}$는 $[a_{n+1},b_{n+1}]$의 분할 $\mathcal{P}$이므로 하합, 상합의 정의로
$-M \cdot (b_{n+1}-a_{n+1}) \le \inf f(x,[a_{n+1},b_{n+1}])\cdot (b_{n+1}-a_{n+1}) = L(f(x,\,\cdot\,);\{ [a_{n+1},b_{n+1}]\})\le \displaystyle \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t)\operatorname{d}\!t \text{ 이고}$
$\displaystyle \overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t)\operatorname{d}\! t \le U(f(x,\,\cdot\,);\{ [a_{n+1},b_{n+1}]\}) = \sup f(x,[a_{n+1},b_{n+1}])\cdot (b_{n+1}-a_{n+1}) \le M\cdot (b_{n+1}-a_{n+1}) \text{ 이 되어}$
하적분, 상적분 정리로 $\displaystyle -M\cdot (b_{n+1}-a_{n+1}) \le \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t)\operatorname{d}\!t \le \overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t)\operatorname{d}\!t \le M\cdot (b_{n+1}-a_{n+1})$임에 따라
절댓값 정리로 $\displaystyle \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(\,\cdot\,,t)\operatorname{d}\!t , \overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(\,\cdot\,,t)\operatorname{d}\!t$는 $B_n$에서 유계이다.
3, 4, 5
함수 $\displaystyle\underline{F} = \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(\,\cdot\,,t) \operatorname{d}\!t, \overline{F} = \overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(\,\cdot\,, t)\operatorname{d}\!t : B_n\to \mathbb{R}$가
모든 $x\in B_n$에 대해 $\underline{F}(x) = \displaystyle \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x, t)\operatorname{d}\!t$이고 $\overline{F}(x) = \displaystyle \overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x, t)\operatorname{d}\!t$일때
하적분, 상적분 정리로 $\underline{F}(x) = \displaystyle \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x, t)\operatorname{d}\!t \le \overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t)\operatorname{d}\!t = \overline{F}(x)$이므로
하적분, 상적분 정리로 $L(\underline{F}) \le L(\overline{F}) \le U(\overline{F})$이고 $L(\underline{F}) \le U(\underline{F}) \le U(\overline{F})$임에 따라
$\displaystyle \underline{\int_{B_n}} \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x ,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x \le \underline{\int_{B_n}} \overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}}f(x,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x \le \overline{\int_{B_n}}\overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!x$이고
$\displaystyle \underline{\int_{B_n}} \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x ,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x \le \overline{\int_{B_n}} \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}}f(x,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x \le \overline{\int_{B_n}}\overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!x$이다.
모든 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^{n+1}[a_i,b_i]$의 격자 $\mathcal{G} = \{ G_r\}_{r=1}^p$는 어떤 $p_1, \cdots ,p_n, p_{n+1}\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $p = p_1\cdot \, \cdots\,\cdot p_n \cdot p_{n+1}$이고
모든 $i=1,\cdots,n,n+1$에 대해
$[a_i,b_i] = [x_{i,0},x_{i,1}] \cup [x_{i,1},x_{i,2}]\cup \cdots \cup [x_{i,p_i-1}, x_{i,p_i}]$이고 $a_i = x_{i,0} < x_{i,1}< \cdots < x_{i,p_i-1} < x_{i,p_i} = b_i$인
어떤 $x_{i,0},x_{i,1},\cdots, x_{i,p_i-1},x_{i,p_i}\in [a_i,b_i]$이 존재하여 모든 $r_i = 1,2,\cdots, p_i$에 대해
$G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}) = [x_{1,r_1-1}, x_{1,r_1}] \times \cdots \times [x_{n,r_n-1},x_{n,r_n}]\times [x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}]$이고
격자 정의의 전단사함수가 $\psi : \mathbb{Z}_{p_1\cdot \, \cdots \, \cdot p_n \cdot p_{n+1}}^+ \to \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times\cdots \times \mathbb{Z}_{p_n}^+\times \mathbb{Z}_{p_{n+1}}^+$일때
모든 $r=1,2,\cdots,p$에 대해 $G_r = G(\psi(r))$이다.
모든 $i=1,\cdots,n$에 대해 모든 $r_i = 1,2,\cdots, p_i$가 $H(r_1,\cdots,r_n) = [x_{1,r_1-1},x_{1,r_1}]\times \cdots \times [x_{n,r_n-1},x_{n,r_n}]$일때
격자 정의의 전단사함수 $\phi : \mathbb{Z}_{p_1\cdot \, \cdots \, \cdot p_n}^+ \to \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times\cdots \times \mathbb{Z}_{p_n}^+$와 $\mathcal{G} = \{ G(\psi(r))\}_{r=1}^p$에 대해
$B_n$의 격자가 $\mathcal{H} = \{ H(\phi(k))\}_{k=1}^{p_1\cdot\,\cdots\, \cdot p_n}$이고 $[a_{n+1},b_{n+1}]$의 분할이 $\mathcal{P} = \{ [x_{n+1,r_{n+1} -1},x_{n+1,r_{n+1}}]\}_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}}$이면
모든 $i=1,\cdots,n,n+1$와 모든 $r_i = 1,2, \cdots ,p_i$에 대해
모든 $x\in H(r_1,\cdots,r_n)$와 모든 $t\in [x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}]$는 하한, 상한의 정의와 $n+1$-데카르트곱의 정의로
$\inf f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))=\inf f(H(r_1,\cdots,r_n) \times [x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}]) \le f(x,t)$
$f(x,t) \le \sup f(H(r_1,\cdots,r_n)\times [x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}]) = \sup f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))$이므로
$\{ [x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}] \}$이 $[x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}]$의 분할임에 따라 하적분, 상적분의 정의로
$\begin{align*}\inf f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}}-x_{n+1,r_{n+1}-1}) & \le \inf f(x,[x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}])\cdot (x_{n+1,r_{n+1}} -x_{n+1,r_{n+1}-1} ) \\[0.5em] & \le \underline{\int_{x_{n+1,r_{n+1}-1}}^{x_{n+1,r_{n+1}}}} f(x,t) \operatorname{d}\!t \text{ 이고}\end{align*}$
$\begin{align*}\overline{\int_{x_{n+1,r_{n+1}-1}}^{x_{n+1,r_{n+1}}}} f(x,t) \operatorname{d}\!t & \le \sup f(x,[x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}])\cdot (x_{n+1,r_{n+1}} -x_{n+1,r_{n+1}-1}) \\[0.5em]& \le \sup f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}} - x_{n+1,r_{n+1}-1}) \text{ 이므로}\end{align*}$
하적분, 상적분 정리와 하한, 상한 정리와 하한, 상한의 정의로
$\begin{align*} \sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \inf f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}}-x_{n+1,r_{n+1}-1}) & \le \sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \inf \left \{ \underline{\int_{x_{n+1,r_{n+1}-1}}^{x_{n+1,r_{n+1}}}} f(x,t) \operatorname{d}\!t : x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em]& \le \inf \left \{ \sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \underline{\int_{x_{n+1,r_{n+1}-1}}^{x_{n+1,r_{n+1}}}} f(x,t) \operatorname{d}\!t : x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em]& \qquad= \inf \left \{ \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t) \operatorname{d}\!t : x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em] & \qquad = \inf \left \{ \underline{F}(x): x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em] & \qquad= \inf \underline{F}( H(r_1,\cdots,r_n) ) \text{ 이고} \end{align*}$
$\begin{align*} \sup \overline{F}( H(r_1,\cdots,r_n) ) & = \sup \left \{ \overline{F}(x): x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em]& = \sup \left \{ \overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t) \operatorname{d}\!t : x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em]& = \sup \left \{ \sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \overline{\int_{x_{n+1,r_{n+1}-1}}^{x_{n+1,r_{n+1}}}} f(x,t) \operatorname{d}\!t : x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em]& \le \sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \sup \left \{ \overline{\int_{x_{n+1,r_{n+1}-1}}^{x_{n+1,r_{n+1}}}} f(x,t) \operatorname{d}\!t : x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em] & \le \sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \sup f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}}-x_{n+1,r_{n+1}-1}) \text{ 임에 따라} \end{align*}$
하합, 상합 정리와 닫힌구간에서 하합, 상합의 정의와 닫힌상자에서 하합, 상합의 정의와 부피의 정의로
$\begin{align*} L(f;\mathcal{G}) & = \sum_{r=1}^p \inf f(G(\psi(r)))\cdot vol(G(\psi(r))) \\[0.5em] & = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n}\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \inf f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot vol(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1})) \\[0.5em] & = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n}\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \inf f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)\times [x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}]) \\[0.5em] & = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n}\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \inf f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}} -x_{n+1,r_{n+1}-1} ) \cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)) \\[0.5em] & = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n} \left (\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \inf f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}} -x_{n+1,r_{n+1}-1} ) \right ) \cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)) \\[0.5em] & \le \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n} \inf \underline{F}(H(r_1,\cdots,r_n)) \cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{k=1}^{p_1\cdot\,\cdots\, \cdot p_n} \inf \underline{F}( H(\phi(k)) ) \cdot vol( H(\phi(k)) ) \\[0.5em] & \qquad = L(\underline{F} ; \mathcal{H}) \text{ 이고} \end{align*}$
$\begin{align*} U(\overline{F}; \mathcal{H}) & = \sum_{k=1}^{p_1\cdot\,\cdots\, \cdot p_n} \sup \overline{F}( H(\phi(k)) ) \cdot vol( H(\phi(k)) ) \\[0.5em] & = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n} \sup \overline{F}(H(r_1,\cdots,r_n)) \cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)) \\[0.5em] & \le \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n} \left (\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \sup f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}} -x_{n+1,r_{n+1}-1} ) \right ) \cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n}\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \sup f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}} -x_{n+1,r_{n+1}-1} ) \cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n}\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \sup f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)\times [x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}]) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n}\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \sup f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot vol(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1})) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{r=1}^p \sup f(G(\psi(r)))\cdot vol(G(\psi(r))) \\[0.5em] & \qquad = U(f;\mathcal{G}) \text{ 이므로} \end{align*}$
닫힌상자에서 하적분, 상적분의 정의와 하한, 상한의 정의로
$\displaystyle L(f;\mathcal{G})\le L(\underline{F};\mathcal{H})\le L(\underline{F}) = \underline{\int_{B_n}}\underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}}f(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!x \le \overline{\int_{B_n}}\overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}}f(x,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x = U(\overline{F})\le U(\overline{F};\mathcal{H})\le U(f;\mathcal{G}) \text{ 가 되어}$
$\displaystyle\underline{\int_B}f(x,t)\operatorname{d}(x,t) =L(f)\le \underline{\int_{B_n}}\underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}}f(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!x \le \overline{\int_{B_n}}\overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}}f(x,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x \le U(f) = \overline{\int_B}f(x,t)\operatorname{d}(x,t)$이다.
6.
리만적분의 정의로 $\displaystyle \int_B f(x,t)\operatorname{d}(x,t) = \underline{\int_B}f(x,t)\operatorname{d}(x,t) = \overline{\int_B}f(x,t)\operatorname{d}(x,t)$이므로 3, 4, 5번으로
$\displaystyle \int_B f(x ,t)\operatorname{d}(x,t) = \underline{\int_{B_n}} \overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}}f(x,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x = \overline{\int_{B_n}}\overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!x$이고
$\displaystyle \underline{\int_{B_n}} \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x ,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x = \overline{\int_{B_n}} \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}}f(x,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x = \int_B f(x,t)\operatorname{d}(x,t)$가 되어
$\displaystyle \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(\,\cdot\,,t)\operatorname{d}\!t , \overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(\,\cdot\,,t)\operatorname{d}\!t$는 $B_n$에서 리만적분가능하고
$\displaystyle \int_B f(x,t)\operatorname{d}(x,t) = \int_{B_n} \underline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x ,t)\operatorname{d}\!t\operatorname{d}\!x = \int_{B_n}\overline{\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}} f(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!x$이다.
정리13
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의
$n,m,p\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m),(\mathbb{R}^p,+_p,\cdot_p,\vec{0}_p)$위의
점곱 내적공간의 노름공간 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n),(\mathbb{R}^m,\lVert\cdot\rVert_m),(\mathbb{R}^p,\lVert\cdot\rVert_p)$의 노름거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m),(\mathbb{R}^p,d_p)$일때
다음이 성립한다.
1. $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환 $T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$는 $\mathbb{R}^n$에서 연속미분가능하고
함수 $T_1,T_2,\cdots,T_m:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$이 모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$에 대해 $T(x) = (T_1(x),T_2(x),\cdots, T_m(x))$일때
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$의 표준순서기저 $\beta,\gamma$에 대한 $T$의 행렬표현이 $[T]_\beta^\gamma\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$이면
모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial T_i}{\partial x_j}(x) = ([T]_\beta^\gamma)_{i,j}$이다.
2. $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 임의의 $u\in \mathbb{R}^n$에 의한 평행이동 $g_u : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$는 $\mathbb{R}^n$에서 연속미분가능하고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 표준순서기저가 $\beta = (e_1,e_2,\cdots,e_n)$이면
모든 $j=1,2,\cdots,n$와 모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\dfrac{\partial g_u }{\partial x_j}(x) = e_j$이다.
3. $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이 $U\subseteq \mathbb{R}^n$이고 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 열린집합이 $V\subseteq \mathbb{R}^m$일때
$f(U)\subseteq V$인 함수 $f:U\to \mathbb{R}^m$와 함수 $g:V\to \mathbb{R}^p$에 대해
$f$가 $U$에서 연속미분가능하고 $g$가 $V$에서 연속미분가능하면 합성함수 $g \circ f : U\to \mathbb{R}^p$는 $U$에서 연속미분가능하다.
이때 함수 $f_1,f_2,\cdots, f_m : U\to \mathbb{R}$과 함수 $g_1,g_2,\cdots,g_p : V\to \mathbb{R}$가
모든 $x= (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in U$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x))$이고
모든 $y = (y_1,y_2,\cdots,y_m)\in V$에 대해 $g(y) = (g_1(y),g_2(y),\cdots,g_p(y))$이면 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해
$\displaystyle \dfrac{\partial (g\circ f)}{\partial x_j}(x) = \left (\sum_{i=1}^m \dfrac{\partial g_1}{\partial y_i}(f(x)) \cdot \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x), \sum_{i=1}^m \dfrac{\partial g_2}{\partial y_i}(f(x))\cdot \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x),\cdots, \sum_{i=1}^m \dfrac{\partial g_p}{\partial y_i}(f(x)) \cdot \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) \right )$이다.
증명
거리공간 정리로 $\mathbb{R}^n$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이다.
1.
선형변환 정리로 $T$는 모든 $x\in \mathbb{R}^n$에서 미분가능하고 $x$에서 $T$의 도함수 $DT(x) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$은 $DT(x) = T$이므로
미분 정리로 $T$의 편도함수 $\dfrac{\partial T}{\partial x_1},\dfrac{\partial T}{\partial x_2},\cdots,\dfrac{\partial T}{\partial x_n} : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$이 존재하여
모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial T_i}{\partial x_j}(x) = ([DT(x)]_\beta^\gamma)_{i,j} = ([T]_\beta^\gamma)_{i,j}$이고
편도함수 정리로 $\dfrac{\partial T}{\partial x_j}(x) =\left (\dfrac{\partial T_1}{\partial x_j}(x),\dfrac{\partial T_2}{\partial x_j}(x),\cdots, \dfrac{\partial T_m}{\partial x_j}(x)\right ) = ( ([T]_\beta^\gamma)_{1,j} ,([T]_\beta^\gamma)_{2,j},\cdots,([T]_\beta^\gamma)_{m,j})$이므로
연속함수 정리로 $\dfrac{\partial T}{\partial x_1},\dfrac{\partial T}{\partial x_2},\cdots,\dfrac{\partial T}{\partial x_n}$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수가 되어
$T$는 $\mathbb{R}^n$에서 연속미분가능하다.
2.
평행이동의 정의로 모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $g_u(x) = x+_n u$이므로
항등함수 정리와 상수함수 정리와 미분 정리로 $g_u$는 모든 $x\in \mathbb{R}^n$에서 미분가능하고
$x$에서 $g_u$의 도함수 $Dg_u(x) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$은 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 항등변환 $I_{\mathbb{R}^n}$에 대해 $Dg_u(x) = I_{\mathbb{R}^n}$이 되어
행렬표현 정리와 도함수 정리와 편도함수 정리로 $\dfrac{\partial g_u}{\partial x_j} (x) = e_j$임에 따라
연속함수 정리로 $g_u$의 편도함수 $\dfrac{\partial g_u}{\partial x_1},\dfrac{\partial g_u}{\partial x_2},\cdots,\dfrac{\partial g_u}{\partial x_n} : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이므로
$g_u$는 $\mathbb{R}^n$에서 연속미분가능하다.
3.
$f$의 편도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial x_1},\dfrac{\partial f}{\partial x_2},\cdots,\dfrac{\partial f}{\partial x_n} : U\to \mathbb{R}^m$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이고
$g$의 편도함수 $\dfrac{\partial g}{\partial y_1},\dfrac{\partial g}{\partial y_2},\cdots,\dfrac{\partial g}{\partial y_m} : V\to \mathbb{R}^p$는 $(V,d_m)$에서 $(\mathbb{R}^p,d_p)$로의 연속함수이므로
편도함수 정리와 연속함수 정리로 모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$와 모든 $k =1,2,\cdots,p$에 대해
$\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j} : U\to \mathbb{R}$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고 $\dfrac{\partial g_k}{\partial y_i} : V\to \mathbb{R}$는 $(V,d_m)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.
미분 정리로 $f$는 $U$에서 미분가능하고 $g$는 $V$에서 미분가능하므로 $f(U)\subseteq V$임에 따라
미분 정리로 $g\circ f$는 $U$에서 미분가능하여 모든 $x\in U$에서 $g\circ f$의 도함수 $D(g\circ f)(x) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^p$는
$x$에서 $f$의 도함수 $Df(x) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$와 $f(x)$에서 $g$의 도함수 $Dg(f(x)) : \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^p$에 대해
$D(g\circ f)(x) = Dg(f(x))\circ Df(x)$이고
$(g\circ f)(x) = g(f(x)) = (g_1(f(x)),g_2(f(x)),\cdots, g_p(f(x))) = ((g_1\circ f)(x),(g_2\circ f)(x),\cdots,(g_p\circ f)(x))$이므로
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m),(\mathbb{R}^p,+_p,\cdot_p,\vec{0}_p)$의 표준순서기저가 $\beta_n,\beta_m,\beta_p$이고 행렬곱이 $*$일때
모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$와 모든 $k =1,2,\cdots,p$에 대해 선형변환 정리와 미분 정리로
$\begin{align*} \dfrac{\partial (g_k\circ f)}{\partial x_j}(x) &= ([D(g\circ f)(x)]_{\beta_n}^{\beta_p})_{k,j} \\[0.5em] &= ([Dg(f(x)) \circ Df(x)]_{\beta_n}^{\beta_p})_{k,j} \\[0.5em] & = ([Dg(f(x))]_{\beta_m}^{\beta_p}* [Df(x)]_{\beta_n}^{\beta_m})_{k,j} \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^m ([Dg(f(x))]_{\beta_m}^{\beta_p})_{k,i} \cdot ([Df(x)]_{\beta_n}^{\beta_m})_{i,j} \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^m \dfrac{\partial g_k}{\partial y_i}(f(x)) \cdot \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^m (\tfrac{\partial g_k}{\partial y_i}\circ f)(x) \cdot \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) \text{ 이고} \end{align*}$
미분 정리로 $f$가 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수임에 따라
연속함수 정리와 연속함수 정리로 $\dfrac{\partial g_k}{\partial y_i} \circ f :U\to \mathbb{R}$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로
연속함수 정리와 연속함수 정리로 $\dfrac{\partial (g_k\circ f)}{\partial x_j} : U\to \mathbb{R}$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.
편도함수 정리로 모든 $j=1,2,\cdots,n$와 모든 $x\in U$에 대해
$\begin{align*}\dfrac{\partial (g\circ f)}{\partial x_j}(x) &= \left ( \dfrac{\partial (g_1\circ f)}{\partial x_j}(x), \dfrac{\partial (g_2\circ f)}{\partial x_j}(x),\cdots, \dfrac{\partial (g_p\circ f)}{\partial x_j}(x) \right ) \\[0.5em] & = \left (\sum_{i=1}^m \dfrac{\partial g_1}{\partial y_i}(f(x)) \cdot \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x), \sum_{i=1}^m \dfrac{\partial g_2}{\partial y_i}(f(x))\cdot \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x),\cdots, \sum_{i=1}^m \dfrac{\partial g_p}{\partial y_i}(f(x)) \cdot \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) \right ) \text{ 이므로}\end{align*}$
연속함수 정리로 $\dfrac{\partial (g\circ f)}{\partial x_1},\dfrac{\partial (g\circ f)}{\partial x_2},\cdots,\dfrac{\partial (g\circ f)}{\partial x_n} : U\to \mathbb{R}^p$은 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^p,d_p)$로의 연속함수가 되어
$g\circ f$는 $U$에서 연속미분가능하다.
정리14
임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n, 1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R},d_1)$일때
$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 등거리변환 $\phi : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$에 대해 다음이 성립한다.
1. $\phi$는 $\mathbb{R}^n$에서 연속미분가능하다.
2. $\mathbb{R}^n$에서 $\phi$의 야코비안 $J\phi : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$는 모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $|J\phi(x)| = 1$이다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간 $(\mathbb{R}^n,\bullet)$의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$일때
거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간이므로 $\phi$는 $(\mathbb{R}^n,\bullet)$의 등거리변환이고
거리공간 정리로 $\mathbb{R}^n$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이다.
등거리변환 정리로 $\phi = g_v \circ T$가 되는 $(\mathbb{R}^n,\bullet)$의 직교연산자 $T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$와
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 어떤 $v\in \mathbb{R}^n$에 의한 평행이동 $g_v : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$가 존재하여
함수 $T_1,T_2,\cdots,T_n:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$이 모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$에 대해 $T(x) = (T_1(x),T_2(x),\cdots, T_n(x))$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 표준순서기저 $\beta = (e_1,e_2,\cdots,e_n)$에 대한 $T$의 행렬표현이 $[T]_\beta\in M_{n\times n}(\mathbb{R})$이면 위 정리로
모든 $i,j=1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial T_i}{\partial x_j}(x) = ([T]_\beta)_{i,j}$이고
$(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$의 크로네커 델타 $\delta$에 대해 $\dfrac{\partial g_v }{\partial x_i}(x) = e_i = (\delta_{1,i},\delta_{2,i},\cdots, \delta_{n,i}) = \dfrac{\partial g_v}{\partial x_i}(T(x))$이므로
$\phi = g_v \circ T$는 $\mathbb{R}^n$에서 연속미분가능하여
$\begin{align*} \dfrac{\partial \phi}{\partial x_j}(x) & = \dfrac{\partial (g_v\circ T)}{\partial x_j}(x) \\[0.5em] & = \left (\sum_{i=1}^n \delta_{1,i} \cdot \dfrac{\partial T_i}{\partial x_j}(x), \sum_{i=1}^n \delta_{2,i}\cdot \dfrac{\partial T_i}{\partial x_j}(x),\cdots, \sum_{i=1}^n \delta_{n,i} \cdot \dfrac{\partial T_i}{\partial x_j}(x) \right ) \\[0.5em] & =\left ( \delta_{1,1} \cdot \dfrac{\partial T_1}{\partial x_j}(x), \delta_{2,2}\cdot \dfrac{\partial T_2}{\partial x_j}(x),\cdots, \delta_{n,n} \cdot \dfrac{\partial T_n}{\partial x_j}(x) \right ) \\[0.5em] & =\left ( ([T]_\beta)_{1,j}, ([T]_\beta)_{2,j}),\cdots, ([T]_\beta)_{n,j} \right ) \text{ 이다.} \end{align*}$
함수 $\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$이 모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\phi(x) = (\phi_1(x),\phi_2(x),\cdots, \phi_n(x))$일때
미분 정리로 $\phi$는 $\mathbb{R}^n$에서 미분가능하므로 $x$에서 $\phi$의 도함수 $D\phi(x) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$는 편도함수 정리와 미분 정리로
모든 $i,j=1,2,\cdots,n$에 대해 $([D\phi(x)]_\beta)_{i,j} = \dfrac{\partial \phi_i}{\partial x_j}(x) = ([T]_\beta)_{i,j}$가 되어 행렬의 상등으로 $[D\phi(x)]_\beta = [T]_\beta$이고
벡터공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$은 $n$차원이므로 야코비안의 정의와 직교연산자 정리와 선형변환의 행렬식의 정의로
$|J\phi(x)| = |\det([D\phi(x)]_\beta)| = |\det([T]_\beta)| = |\det(T)| = 1$이다.
정리15
임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n, 1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R},d_1)$이고 $\mathbb{Z}_n^+ = \{ 1,2,\cdots,n\}$일때
전단사함수 $\sigma : \mathbb{Z}_n^+\to \mathbb{Z}_n^+$에 대해 함수 $\phi : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$가
모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\phi(x) = (x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\cdots,x_{\sigma(n)})$이면 다음이 성립한다.
1. $\phi$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 등거리변환이다.
2. $\sigma$의 역함수 $\sigma^{-1} : \mathbb{Z}_n^+\to \mathbb{Z}_n^+$과 $\phi$의 역함수 $\phi^{-1} : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$은
모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\phi^{-1}(x) = (x_{\sigma^{-1}(1)},x_{\sigma^{-1}(2)},\cdots,x_{\sigma^{-1}(n)})$이다.
3. 모든 $n$차원 닫힌상자 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^n[a_i,b_i]$에 대해 $\phi(B) = \displaystyle \prod_{i=1}^n [a_{\sigma(i)},b_{\sigma(i)}]$이고 $\phi^{-1}(B) = \displaystyle \prod_{i=1}^n [a_{\sigma^{-1}(i)},b_{\sigma^{-1}(i)}]$이다.
4. 모든 $n$차원 영집합 $Z\subseteq \mathbb{R}^n$에 대해 $\phi(Z)$는 $n$차원 영집합이다.
증명
함수 정리로 $\phi$는 전단사이고 $\sigma$가 전단사임에 따라 모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n), y = (y_1,y_2,\cdots,y_n)\in \mathbb{R}^n$에 대해
$d_n(x,y) = \displaystyle \sqrt{ \sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_{\sigma(i)}- y_{\sigma(i)}|^2} = d_n(\phi(x),\phi(y))$이므로
$\phi$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 등거리변환이다.
모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\psi(x) = (x_{\sigma^{-1}(1)},x_{\sigma^{-1}(2)},\cdots,x_{\sigma^{-1}(n)})$인 함수 $\psi :\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$에 대해
$\phi(\psi(x)) = \phi(x_{\sigma^{-1}(1)},x_{\sigma^{-1}(2)},\cdots, x_{\sigma^{-1}(n)}) = (x_{\sigma(\sigma^{-1}(1))},x_{\sigma(\sigma^{-1}(2))},\cdots,x_{\sigma(\sigma^{-1}(n))}) = (x_1,x_2,\cdots,x_n) = x$이고
$\psi(\phi(x)) = \phi(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\cdots, x_{\sigma(n)}) = (x_{\sigma^{-1}(\sigma(1))},x_{\sigma^{-1}(\sigma(2))},\cdots,x_{\sigma^{-1}(\sigma(n))}) = (x_1,x_2,\cdots,x_n) =x$이므로
역함수의 정의와 역함수 정리로 $\psi = \phi^{-1}$이 되어
함수 정리로 $\phi(B) = \displaystyle \prod_{i=1}^n [a_{\sigma(i)},b_{\sigma(i)}]$이고 $\phi^{-1}(B) = \displaystyle \prod_{i=1}^n [a_{\sigma^{-1}(i)},b_{\sigma^{-1}(i)}]$이다.
영집합의 정의로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해
$n$차원 닫힌상자들의 수열 $(B_k)_{k=1}^\infty$가 존재하여 $Z\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty B_k$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(B_k) < \epsilon$이므로
함수 정리로 $\phi(Z) \subseteq \displaystyle \phi(\bigcup_{k=1}^\infty B_k) = \bigcup_{k=1}^\infty \phi(B_k)$이고 부피의 정의로 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty vol(\phi(B_k)) =\sum_{k=1}^\infty vol(B_k) < \epsilon$임에 따라
$\phi(Z)$는 $n$차원 영집합이다.
정리16
임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n, 1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R},d_1)$이고
퇴화상자가 아닌 $n$차원 닫힌상자 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^n[a_i,b_i]$에서 함수 $f:B\to \mathbb{R}$가 리만적분가능하면
닫힌상자에서 하적분, 상적분과 닫힌구간에서 하적분, 상적분에 대해 다음이 성립한다.
1. $\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \underline{\int_{a_1}^{b_1}} \underline{\int_{a_2}^{b_2}} \cdots \underline{\int_{a_n}^{b_n}} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \operatorname{d}\!x_n \cdots \operatorname{d}\!x_2\operatorname{d}\!x_1 $이고
$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \overline{\int_{a_1}^{b_1}} \overline{\int_{a_2}^{b_2}} \cdots \overline{\int_{a_n}^{b_n}} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \operatorname{d}\!x_n \cdots \operatorname{d}\!x_2\operatorname{d}\!x_1$이다.
2. $k < n$인 모든 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해 $B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^k[a_i,b_i]$일때
$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \int_{B_k} \underline{\int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}} \cdots \underline{\int_{a_n}^{b_n}} f(x_1,\cdots, x_k,x_{k+1},\cdots,x_n) \operatorname{d}\!x_n \cdots \operatorname{d}\!x_{k+1}\operatorname{d}(x_1,\cdots, x_k) $이고
$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \int_{B_k} \overline{\int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}} \cdots \overline{\int_{a_n}^{b_n}} f(x_1,\cdots, x_k,x_{k+1},\cdots,x_n) \operatorname{d}\!x_n \cdots \operatorname{d}\!x_{k+1}\operatorname{d}(x_1,\cdots, x_k)$이다.
3. $\mathbb{Z}^+_n = \{ 1,2,\cdots,n\}$일때 임의의 전단사함수 $\sigma : \mathbb{Z}^+_n\to \mathbb{Z}^+_n$에 대해
$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \underline{\int_{a_{\sigma(1)}}^{b_{\sigma(1)}}} \underline{\int_{a_{\sigma(2)}}^{b_{\sigma(2)}}} \cdots \underline{\int_{a_{\sigma(n)}}^{b_{\sigma(n)}}} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \operatorname{d}\!x_{\sigma(n)} \cdots \operatorname{d}\!x_{\sigma(2)}\operatorname{d}\!x_{\sigma(1)}$이고
$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \overline{\int_{a_{\sigma(1)}}^{b_{\sigma(1)}}} \overline{\int_{a_{\sigma(2)}}^{b_{\sigma(2)}}} \cdots \overline{\int_{a_{\sigma(n)}}^{b_{\sigma(n)}}} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \operatorname{d}\!x_{\sigma(n)} \cdots \operatorname{d}\!x_{\sigma(2)}\operatorname{d}\!x_{\sigma(1)}$이다.
증명
1.
$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.
$n = 1$일때 $1$-데카르트곱의 정의로 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^n[a_i,b_i] = [a_1,b_1]$이고 닫힌상자의 격자는 닫힌구간의 분할이므로
닫힌상자에서 리만적분의 정의와 닫힌구간에서 리만적분의 정의로
$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \int_{a_1}^{b_1}f(x_1)\operatorname{d}\!x_1 = \underline{\int_{a_1}^{b_1}}f(x_1)\operatorname{d}\!x_1$이고 $\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \int_{a_1}^{b_1}f(x_1)\operatorname{d}\!x_1 = \overline{\int_{a_1}^{b_1}}f(x_1)\operatorname{d}\!x_1$이다.
모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립할때 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^{k +1}[a_i,b_i]$이면 $B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^{k}[a_i,b_i]$는 퇴화상자가 아닌 $k$차원 닫힌상자이고
$f$가 $B$에서 리만적분가능함에 따라
위 정리로 함수 $\displaystyle \underline{\int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}} f(\,\cdot\,,x_{k+1})\operatorname{d}\!x_{k+1} , \overline{\int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}} f(\,\cdot\,,x_{k+1})\operatorname{d}\!x_{k+1} : B_k\to \mathbb{R}$는 $B_k$에서 리만적분가능하므로
귀납가정으로
$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \int_{B_k} \underline{\int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}} f(x,x_{k+1}) \operatorname{d}\! x_{k+1} \operatorname{d}\!x = \underline{\int_{a_1}^{b_1}} \underline{\int_{a_2}^{b_2}} \cdots \underline{\int_{a_k}^{b_k}}\underline{\int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}} f(x_1,x_2,\cdots,x_k,x_{k+1}) \operatorname{d}\!x_{k+1}\operatorname{d}\!x_k \cdots \operatorname{d}\!x_2\operatorname{d}\!x_1 \text{ 이고}$
$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \int_{B_k} \overline{\int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}} f(x,x_{k+1}) \operatorname{d}\! x_{k+1} \operatorname{d}\!x = \overline{\int_{a_1}^{b_1}} \overline{\int_{a_2}^{b_2}} \cdots \overline{\int_{a_k}^{b_k}}\overline{\int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}} f(x_1,x_2,\cdots,x_k,x_{k+1}) \operatorname{d}\!x_{k+1}\operatorname{d}\!x_k \cdots \operatorname{d}\!x_2\operatorname{d}\!x_1 \text{ 이다.}$
따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.
2.
$n - k\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.
$n - k = 1$이면 $n = k+1$이므로 위 정리로 성립한다.
모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립할때 $n- k = r + 1$이면 $n - (k + 1) = n - k -1 = r$이므로 위 정리와 귀납가정으로
$\begin{align*} \int_B f\operatorname{d}\! V & = \int_{B_{k+1}} \underline{\int_{a_{k+2}}^{b_{k+2}}}\cdots \underline{\int_{a_n}^{b_n}} f(x_1,\cdots,x_k,x_{k+1},x_{k+2},\cdots, x_n) \operatorname{d}\!x_n \cdots \operatorname{d}\! x_{k+2} \operatorname{d}(x_1,\cdots,x_k,x_{k+1}) \\[0.5em] & = \int_{B_k} \underline{\int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}}\underline{\int_{a_{k+2}}^{b_{k+2}} }\cdots \underline{\int_{a_n}^{b_n}} f(x_1,\cdots,x_k,x_{k+1},x_{k+2},\cdots, x_n) \operatorname{d}\!x_n \cdots \operatorname{d}\!x_{k+2} \operatorname{d}\!x_{k+1} \operatorname{d}(x_1,\cdots,x_k) \text{ 이고} \end{align*}$
$\begin{align*} \int_B f\operatorname{d}\! V & = \int_{B_{k+1}} \overline{\int_{a_{k+2}}^{b_{k+2}}}\cdots \overline{\int_{a_n}^{b_n}} f(x_1,\cdots,x_k,x_{k+1},x_{k+2},\cdots, x_n) \operatorname{d}\!x_n \cdots \operatorname{d}\! x_{k+2} \operatorname{d}(x_1,\cdots,x_k,x_{k+1}) \\[0.5em] & = \int_{B_k} \overline{\int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}}\overline{\int_{a_{k+2}}^{b_{k+2}} }\cdots \overline{\int_{a_n}^{b_n}} f(x_1,\cdots,x_k,x_{k+1},x_{k+2},\cdots, x_n) \operatorname{d}\!x_n \cdots \operatorname{d}\!x_{k+2} \operatorname{d}\!x_{k+1} \operatorname{d}(x_1,\cdots,x_k) \text{ 이다.} \end{align*}$
3.
거리공간 정리로 $\mathbb{R}^n$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고 상자 정리로 모든 $n$차원 닫힌상자는 조르당영역이다.
위 정리로 모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\phi(x) = (x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\cdots,x_{\sigma(n)})$인
함수 $\phi : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 등거리변환이므로 $\phi$는 전단사이고
위 정리로 $\phi$는 $\mathbb{R}^n$에서 연속미분가능하여 야코비안 $J\phi : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$는 $|J\phi(x)| = 1$이다.
위 정리로 $\phi(B) = \displaystyle \prod_{i=1}^n [a_{\sigma(i)},b_{\sigma(i)}]$이고 $\phi^{-1}(B) = \displaystyle \prod_{i=1}^n [a_{\sigma^{-1}(i)},b_{\sigma^{-1}(i)}]$이므로
모든 $n$차원 닫힌상자 $C\subseteq \mathbb{R}^n = \phi(\mathbb{R}^n)$에 대해
상수함수 정리와 부피의 정의로 $vol(C) = vol(\phi^{-1}(C)) = \displaystyle \int_{\phi^{-1}(C)} 1\operatorname{d}\!V = \int_{\phi^{-1}(C)}|J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이고
$\phi$의 역함수 $\phi^{-1} : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$은
모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\phi^{-1}(x) = (x_{\sigma^{-1}(1)},x_{\sigma^{-1}(2)},\cdots,x_{\sigma^{-1}(n)})$이 되어
위 정리로 $\phi^{-1}$은 $\mathbb{R}^n$에서 연속미분가능하고 야코비안 $J\phi^{-1} : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$은 $|J\phi^{-1}(x)| = 1$이다.
상자 정리로 $B$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이므로 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(B)} = B\subseteq \mathbb{R}^n$이고
단사 정리로 $\phi^{-1}(\phi(B)) = B$이므로 모든 $y = (y_1,y_2,\cdots,y_n)\in \phi(B)$에 대해 $\phi^{-1}(y)\in B$이고
$f$가 $B$에서 리만적분가능함에 따라 $f$는 $B$에서 유계가 되어
$f_{\phi^{-1}}(y) = f(\phi^{-1}(y))$인 함수 $f_{\phi^{-1}} : \phi(B)\to \mathbb{R}$은 $\phi^{-1}(B)$에서 유계이고 르베그 판정법으로
어떤 $n$차원 영집합 $Z\subseteq B$가 존재하여 $f$는 $(B,d_n)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $x\in B\setminus Z$에서 연속이다.
단사 정리로 모든 $y_0\in \phi(B) \setminus \phi(Z) = \phi(B\setminus Z)$에 대해 $y_0 = \phi(x_0)$인 $x_0\in B\setminus Z$이 존재하여
모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $d_n(x,x_0) < \delta_\epsilon$인 모든 $x\in B$가 $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$이 되는 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하고
$d_n(y,y_0)< \delta_\epsilon$인 모든 $y\in \phi(B)$는 $y = \phi(x)$인 $x\in B$가 존재하여
등거리변환의 정의로 $d_n(x,x_0) = d_n(\phi(x),\phi(x_0)) = d_n(y,y_0) < \delta_\epsilon$이고
$|f_{\phi^{-1}}(y)- f_{\phi^{-1}}(y_0)| =|f(\phi^{-1}(y)) - f(\phi^{-1}(y_0))| =|f(\phi^{-1}(\phi(x))) - f(\phi^{-1}(\phi(x_0)))| = |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \text{ 이므로}$
$f_{\phi^{-1}}$은 $(\phi(B),d_n)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 모든 $y\in \phi(B) \setminus \phi(Z)$에서 연속이 되어
$\phi(Z) \subseteq \phi(B)$이고 위 정리로 $\phi(Z)$가 $n$차원 영집합임에 따라
르베그 판정법으로 $f_{\phi^{-1}}$은 $\phi(B)$에서 리만적분가능하므로 위 정리와 1번으로
$\begin{align*} \int_B f\operatorname{d}\!V & = \int_B f(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_{\phi^{-1}(\phi(B))} f(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_{\phi(B)} f(\phi^{-1}(y))\cdot |J\phi^{-1}(y)| \operatorname{d}\!y \\[0.5em] & = \int_{\phi(B)} f(\phi^{-1}(y)) \operatorname{d}\!y \\[0.5em] & = \underline{\int_{a_{\sigma(1)}}^{b_{\sigma(1)}}} \underline{\int_{a_{\sigma(2)}}^{b_{\sigma(2)}}} \cdots \underline{\int_{a_{\sigma(n)}}^{b_{\sigma(n)}}}f(\phi^{-1}(y_1,y_2,\cdots,y_n)) \operatorname{d}\!y_n \cdots \operatorname{d}\!y_2 \operatorname{d}\!y_1 \\[0.5em] & = \underline{\int_{a_{\sigma(1)}}^{b_{\sigma(1)}}} \underline{\int_{a_{\sigma(2)}}^{b_{\sigma(2)}}} \cdots \underline{\int_{a_{\sigma(n)}}^{b_{\sigma(n)}}}f(\phi^{-1}(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},\cdots,x_{\sigma(n)})) \operatorname{d}\!x_{\sigma(n)} \cdots \operatorname{d}\!x_{\sigma(2)} \operatorname{d}\!x_{\sigma(1)} \\[0.5em] & = \underline{\int_{a_{\sigma(1)}}^{b_{\sigma(1)}}} \underline{\int_{a_{\sigma(2)}}^{b_{\sigma(2)}}} \cdots \underline{\int_{a_{\sigma(n)}}^{b_{\sigma(n)}}}f(\phi^{-1}(\phi(x_1,x_2,\cdots,x_n))) \operatorname{d}\!x_{\sigma(n)} \cdots \operatorname{d}\!x_{\sigma(2)} \operatorname{d}\!x_{\sigma(1)} \\[0.5em] & = \underline{\int_{a_{\sigma(1)}}^{b_{\sigma(1)}}} \underline{\int_{a_{\sigma(2)}}^{b_{\sigma(2)}}} \cdots \underline{\int_{a_{\sigma(n)}}^{b_{\sigma(n)}}}f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \operatorname{d}\!x_{\sigma(n)} \cdots \operatorname{d}\!x_{\sigma(2)} \operatorname{d}\!x_{\sigma(1)} \text{ 이고} \end{align*}$
$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \overline{\int_{a_{\sigma(1)}}^{b_{\sigma(1)}}} \overline{\int_{a_{\sigma(2)}}^{b_{\sigma(2)}}} \cdots \overline{\int_{a_{\sigma(n)}}^{b_{\sigma(n)}}} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) \operatorname{d}\!x_{\sigma(n)} \cdots \operatorname{d}\!x_{\sigma(2)}\operatorname{d}\!x_{\sigma(1)}$이다.
정리17
$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U$에서 단사함수 $\phi : U\to \mathbb{R}^n$가 연속미분가능할때
$U$에서 $\phi$의 야코비안 $J\phi : U\to \mathbb{R}$에 대해 $J\phi(x_0)\ne 0$인 $x_0\in U$이 존재하면
$x_0\in W\subseteq U$인 $n$차원 열린상자 $W$가 존재하여 퇴화상자가 아닌 모든 $n$차원 닫힌상자 $B\subseteq \phi(W)$에 대해
$\phi^{-1}(B)$는 조르당영역이고 $B$의 부피는 $vol(B) = \displaystyle \int_{\phi^{-1}(B)} |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$일때
거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간이고
모든 $n$차원 열린상자는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고 모든 $n$차원 닫힌상자는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이다.
$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 $\displaystyle vol(B) = \int_{\phi^{-1}(B)}|J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$임을 보인다.
$n = 1$이면
위 정리로 $x_0\in W\subseteq U$인 $1$차원 열린상자 $W$가 존재하여 $\phi(W)$는 $(\mathbb{R},d_1)$에서 열린집합이고
모든 $x\in W$에 대해 $\psi(x) = \phi(x)$인 함수 $\psi : W\to \phi(W)$는 $W$에서 연속미분가능하고
$\psi$의 역함수 $\psi^{-1} : \phi(W)\to W$이 존재하여 $\psi^{-1}$은 $\phi(W)$에서 연속미분가능하고
모든 $x\in W$와 모든 $y\in \phi(W)$에 대해 $J\psi(x)\ne 0$과 $J\psi^{-1}(y)\ne 0$이 성립하므로
모든 $1$차원 닫힌상자 $B\subseteq \phi(W)$에 대해 위 정리로 $\phi^{-1}(B)$는 조르당영역이고 $\displaystyle \int_{\phi^{-1}(B)}|J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$가 존재한다.
연속미분의 정의와 미분 정리와 미분 정리로 $\phi$는 $U$에서 연속이고 $\psi^{-1}$은 $\phi(W)$에서 연속이므로
퇴화상자가 아닌 $1$차원 닫힌상자 $B\subseteq \phi(W)$는 $a < b$인 어떤 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 $B = [a,b]$이고
연속함수 정리로 $\psi^{-1}$은 $[a,b] = B\subseteq \phi(W)$에서 연속이 되어
연속함수 정리로 $\psi^{-1}(B) =\psi^{-1}([a,b]) = [\min \psi^{-1}([a,b]),\max \psi^{-1}([a,b])]$이고
단사 정리로 $\phi^{-1}(B)\subseteq \phi^{-1}(\phi(W)) = W$이므로 집합 정리와 역함수 정리로
$\phi^{-1}(B) = \phi^{-1}(B)\cap W = \{ x\in W: \phi(x)\in B\} = \{ x\in W:\psi(x)\in B\} = \psi^{-1}(B) = [\min \psi^{-1}([a,b]),\max \psi^{-1}([a,b])] \text{ 가 되어}$
단조함수 정리로 $\psi^{-1}$이 $[a,b]$에서 순단조임에 따라
$\psi^{-1}$이 $[a,b]$에서 순증가할때 $\phi^{-1}(B) = [\min \psi^{-1}([a,b]),\max \psi^{-1}([a,b])] = [\psi^{-1}(a),\psi^{-1}(b)]$이고
$\psi^{-1}$이 $[a,b]$에서 순감소할때 $\phi^{-1}(B) = [\min \psi^{-1}([a,b]),\max \psi^{-1}([a,b])] = [\psi^{-1}(b),\psi^{-1}(a)]$이다.
모든 $x\in \phi^{-1}(B)$에 대해 야코비안의 정의와 행렬식의 정의와 편도함수의 정의와 도함수 정리와 도함수 정리로
$J\phi(x) = \det(\begin{bmatrix} \frac{\partial \phi}{\partial x}(x)\end{bmatrix}) = \dfrac{\partial \phi}{\partial x}(x) = \phi'(x)$이고 연속함수 정리로 $\phi$는 $\phi^{-1}(B) \subseteq W\subseteq U$에서 연속이므로
모든 $y\in [a,b] = B \subseteq \phi(W)$에 대해 $\psi^{-1}(y)\in W$이고 $\phi(\psi^{-1}(y)) = \psi(\psi^{-1}(y)) = y$임에 따라
단조함수 정리와 단조함수 정리와 닫힌구간에서 리만적분의 정의와 적분 정리과 부피의 정의와 적분 정리로
$\psi^{-1}$이 $[a,b] = B$에서 순증가할때 $\phi$는 $\phi^{-1}(B) = [\psi^{-1}(a),\psi^{-1}(b)]$에서 순증가하여
$\displaystyle \int_{\phi^{-1}(B)}|J\phi(x)|\operatorname{d}\!x = \int_{\phi^{-1}(B)} \phi'(x) \operatorname{d}\!x = \int_{\psi^{-1}(a)}^{\psi^{-1}(b)} \phi'(x) \operatorname{d}\!x = \phi(\psi^{-1}(b)) - \phi(\psi^{-1}(a)) = b -a = vol(B)$이고
$\psi^{-1}$이 $[a,b] = B$에서 순감소할때 $\phi$는 $\phi^{-1}(B) = [\psi^{-1}(b),\psi^{-1}(a)]$에서 순감소하여
$\displaystyle \int_{\phi^{-1}(B)}|J\phi(x)|\operatorname{d}\!x = -\int_{\phi^{-1}(B)} \phi'(x) \operatorname{d}\!x = -\int_{\psi^{-1}(b)}^{\psi^{-1}(a)} \phi'(x) \operatorname{d}\!x = -(\phi(\psi^{-1}(a)) - \phi(\psi^{-1}(b))) = -(a-b) = b -a = vol(B) \text{ 이다.}$
모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립할때
$(\mathbb{R}^{k+1},d_{k+1})$에서 열린집합 $U$에서 단사함수 $\phi : U\to \mathbb{R}^{k+1}$가 연속미분가능하고 $J\phi(x_0)\ne 0$인 $x_0\in U$이 존재하면
연속미분의 정의와 미분 정리로 모든 $x\in U$에서 $\phi$의 도함수 $D\phi(x) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$가 존재하여
$(\mathbb{R}^{k+1},+_{k+1},\cdot_{k+1},\vec{0}_{k+1})$의 표준순서기저 $\beta$에 대해 야코비안의 정의와 행렬식 정리로
$J\phi(x) = \det([D\phi(x)]_\beta) = \displaystyle \sum_{j= 1}^{k+1} (-1)^{k+1 + j}\cdot ([D\phi(x)]_{\beta})_{k+1,j}\cdot \det(\widetilde{([D\phi(x)]_\beta)}_{k+1,j})$이므로
어떤 $j=1,\cdots,k,k+1$에 대해 $\det(\widetilde{([D\phi(x_0)]_\beta)}_{k+1,j})\ne 0$이다.
함수 $\phi_1,\cdots,\phi_k,\phi_{k+1} : U\to \mathbb{R}$가
모든 $x = (x_1,\cdots,x_k,x_{k+1})\in U$에 대해 $\phi(x) = (\phi_1(x),\cdots, \phi_k(x),\phi_{k+1}(x))\in \mathbb{R}^{k+1}$일때
연속미분의 정의와 편도함수 정리와 미분 정리와 상수함수 정리로
$\Phi(x) = (\phi_1(x), \cdots, \phi_k(x),x_j)$인 함수 $\Phi : U\to \mathbb{R}^{k+1}$는 $U$에서 연속미분가능하고
미분 정리와 미분 정리로 $[D\Phi(x)]_\beta = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial \phi_1}{\partial x_1}(x) & \cdots & \dfrac{\partial \phi_1}{\partial x_k}(x) & \dfrac{\partial \phi_1}{\partial x_{k+1}}(x) \\ \vdots & \ddots & & \vdots \\ \dfrac{\partial \phi_k}{\partial x_1}(x) & & \dfrac{\partial \phi_k}{\partial x_k}(x) & \dfrac{\partial \phi_k}{\partial x_{k+1}}(x) \\ \dfrac{\partial }{\partial x_1}(x_j) & \cdots & \dfrac{\partial }{\partial x_k}(x_j) & \dfrac{\partial}{\partial x_{k+1}}(x_j) \end{bmatrix}$이므로 행렬식 정리로
$J\Phi(x) = \det([D\Phi(x)]_\beta) = (-1)^{k+1+j} \cdot \det(\widetilde{([D\Phi(x)]_\beta)}_{k+1,j}) = (-1)^{k+1+j}\cdot \det(\widetilde{([D\phi(x)]_\beta)}_{k+1,j})$가 되어
$J\Phi(x_0) = (-1)^{k+1+j}\cdot \det(\widetilde{([D\phi(x_0)]_\beta)}_{k+1,j})\ne 0$이다.
위 정리로 $x_0\in V\subseteq U$인 $k+1$차원 열린상자 $V$가 존재하여 $\Phi(V)$는 $(\mathbb{R}^{k+1},d_{k+1})$에서 열린집합이고
모든 $x\in V$에 대해 $\Psi(x) = \Phi(x)$인 함수 $\Psi : V\to \Phi(V)$는 $V$에서 연속미분가능하고
$\Psi$의 역함수 $\Psi^{-1} : \Phi(V)\to V$이 존재하여 $\Psi^{-1}$은 $\Phi(V)$에서 연속미분가능하고
모든 $x\in V$와 모든 $y\in \Phi(V)$에 대해 $J\Psi(x)\ne 0$과 $J\Psi^{-1}(y)\ne 0$이 성립하므로
모든 $k+1$차원 닫힌상자 $B\subseteq \Phi(V)$에 대해 위 정리로 $\Phi^{-1}(B)$는 조르당영역이고 $\displaystyle \int_{\Phi^{-1}(B)}|J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x$가 존재한다.
모든 $y = (y_1,\cdots,y_k,y_{k+1}) \in \Phi(V)$에 대해 $\Psi^{-1}(y)\in V\subseteq U$이므로
$\pmb{\sigma}(y) = (y_1,\cdots,y_k,\phi_{k+1}(\Psi^{-1}(y)))$인 함수 $\pmb{\sigma} : \Phi(V)\to \mathbb{R}^{k+1}$는
모든 $x= (x_1,\cdots,x_k,x_{k+1})\in V$에 대해 $\Psi(x) = \Phi(x) = (\phi_1(x),\cdots ,\phi_k(x),x_j )$임에 따라
$(\pmb{\sigma}\circ \Psi)(x) = \pmb{\sigma}(\Psi(x)) = (\phi_1(x),\cdots,\phi_k(x), \phi_{k+1}(\Psi^{-1}(\Psi(x)))) = (\phi_1(x),\cdots,\phi_k(x),\phi_{k+1}(x)) = \phi(x)$이고
$\pmb{\sigma}(y) = \pmb{\sigma}(\Psi(\Psi^{-1}(y))) = (\pmb{\sigma}\circ \Psi)(\Psi^{-1}(y)) = \phi(\Psi^{-1}(y)) = (\phi\circ \Psi^{-1})(y)$이므로
$\phi,\Psi^{-1}$이 단사임에 따라 함수 정리로 $\pmb{\sigma} = \phi\circ \Psi^{-1}$은 단사이다.
$\phi$의 제한함수 $\phi|_V : V\to \mathbb{R}^{k+1}$는 $\phi|_V = \pmb{\sigma}\circ \Psi$이고 위 정리와 위 정리로 $\phi|_V$는 $V$에서 연속미분가능하여
모든 $x\in V\subseteq U$에 대해 $J\phi(x) = J\phi|_V(x) =J(\pmb{\sigma}\circ \Psi)(x) = J\pmb{\sigma}(\Psi(x))\cdot J\Psi(x) = J\pmb{\sigma}(\Phi(x)) \cdot J\Phi(x)$이고
$J\phi|_V(x_0) = J\phi(x_0)\ne 0$이므로 위 정리로 $x_0\in W \subseteq V\subseteq U$인 $k+1$차원 열린상자 $W$가 존재하여
모든 $x\in W\subseteq V$에 대해 $J\pmb{\sigma}(\Phi(x)) \cdot J\Phi (x) = J\phi(x)\ne 0$임에 따라 $J\pmb{\sigma}(\Phi(x))\ne 0$이고 $J\Phi(x)\ne 0$이다.
모든 $i=1,\cdots,k,k+1$에 대해 $c_i < d_i$인 열린구간 $(c_i,d_i)$가 존재하여
$W = \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}(c_i,d_i)$이고 $W_j = (c_1,d_1)\times \cdots\times (c_{j-1},d_{j-1})\times (c_{j+1},d_{j+1})\times \cdots \times (c_{k+1},d_{k+1})$일때
임의의 $t\in (c_j,d_j)$에 대해
모든 $z = (z_1,\cdots,z_{j-1},z_{j+1},\cdots,z_{k+1}), w = (w_1,\cdots,w_{j-1},w_{j+1},\cdots,w_{k+1})\in W_j$가
$z(t) = (z_1,\cdots,z_{j-1}, t,z_{j+1},\cdots,z_{k+1})\in W$이고 $w(t) = (w_1,\cdots, w_{j-1}, t, w_{j+1},\cdots, w_{k+1})\in W$이면
$\varphi_t(z) = (\phi_1(z(t)),\cdots,\phi_k(z(t)))$인 함수 $\varphi_t : W_j\to \mathbb{R}^k$는
$\varphi_t(z) = \varphi_t(w)$일때 $\Psi(z(t))=(\phi_1(z(t)),\cdots,\phi_k(z(t)),t) = (\phi_1(w(t)),\cdots,\phi_k(w(t)),t) = \Psi(w(t))$가 되어
$\Psi$가 단사임에 따라 $z(t) = w(t)$이고 순서쌍의 상등으로 $z = w$이므로 $\varphi_t$는 단사이다.
모든 $z = (z_1,\cdots,z_{j-1},z_{j+1},\cdots,z_{k+1}), w = (w_1,\cdots,w_{j-1},w_{j+1},\cdots,w_{k+1})\in W_j$에 대해
$d_k(z,w) = \displaystyle \sqrt{ \sum_{i=1}^{j-1}|z_i-w_i| + \sum_{i=j+1}^{k+1}|z_i-w_i|} = \sqrt{\sum_{i=1}^{j-1}|z_i-w_i| + |t-t| + \sum_{i=j+1}^{k+1}|z_i-w_i|} = d_{k+1}(z(t),w(t)) \text{ 이므로}$
$\varphi_t$는 $W_j$에서 연속미분가능하여 야코비안의 정의로
$J\varphi_t(z) = \det( \begin{bmatrix} \dfrac{\partial \phi_1}{\partial x_1}(z(t)) & \cdots & \dfrac{\partial \phi_1}{\partial x_{j-1}}(z(t))& \dfrac{\partial \phi_1}{\partial x_{j+1}}(z(t)) & \cdots & \dfrac{\partial \phi_1}{\partial x_{k+1}}(z(t)) \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial \phi_k}{\partial x_1}(z(t)) & \cdots & \dfrac{\partial \phi_k}{\partial x_{j-1}}(z(t))& \dfrac{\partial \phi_k}{\partial x_{j+1}}(z(t)) & \cdots & \dfrac{\partial \phi_k}{\partial x_{k+1}}(z(t)) \end{bmatrix} ) = \det(\widetilde{([D\phi(z(t))]_\beta)}_{k+1,j}) \text{ 이고}$
$|J\varphi_t(z)| = |\det(\widetilde{([D\phi(z(t))]_\beta)}_{k+1,j})| = |(-1)^{k+1+j}\cdot \det(\widetilde{([D\phi(z(t))]_\beta)}_{k+1,j})| = |J\Phi(z(t))|$이므로
$z(t)\in W$이고 $J\Phi(z(t))\ne 0$임에 따라 $J\varphi_t(z)\ne 0$이다.
퇴화상자가 아닌 모든 $k$차원 닫힌상자 $B_j \subseteq \varphi_t(W_j)$는 $(\mathbb{R}^k,d_k)$에서 콤팩트집합이고
모든 $u \in B_j \subseteq \varphi_t(W_j)$에 대해 $u = \varphi_t(z)$인 $z\in W_j$가 존재하므로
$J\varphi_t(z)\ne 0$임에 따라 귀납가정으로 $z\in W_j(u)\subseteq W_j$인 $k$차원 열린상자 $W_j(u)$가 존재하여
퇴화상자가 아닌 모든 $k$차원 닫힌상자 $A \subseteq \varphi_t(W_j(u))$에 대해 $vol(A) = \displaystyle \int_{\varphi_t^{-1}(A)}|J\varphi_t(z)|\operatorname{d}\!z$이고
선택 정리로 $W_j(u)$를 선택하면 $u = \varphi_t(z)\in \varphi_t(W_j(u))$임에 따라 $B_j\subseteq \displaystyle \bigcup_{u\in B_j}\varphi_t(W_j(u))$이고
위 정리로 $\varphi_t(W_j(u))$는 $(\mathbb{R}^k,d_k)$에서 열린집합이므로 $B_j\ne \emptyset$임에 따라 콤팩트 정리로
어떤 $q\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $B_j\subseteq \displaystyle \bigcup_{p = 1}^q \varphi_t(W_j(u(p)))$인 $u(1),u(2),\cdots, u(q)\in B_j$가 존재한다.
르베그수 정리로 어떤 $\delta\in (0,\infty)$에 대해
지름이 존재하여 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(A) < \delta$인 모든 $A\subseteq B_j$에 대해 $A\subseteq \varphi_t(W_j(u(p)))$인 $p=1,2,\cdots,q$가 존재하고
격자 정리로 어떤 $s\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $r = 1,2,\cdots,s$이 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(B_j(r) ) < \delta$인 $B_j$의 격자 $\{ B_j(r)\}_{r=1}^s$가 존재하여
$B_j(r)\subseteq \varphi_t(W_j(u(p_r)))$인 $p_r=1,2,\cdots,q$이 존재하고 $vol(B_j(r)) = \displaystyle \int_{\varphi_t^{-1}(B_j(r))}|J\varphi_t(z)|\operatorname{d}\!z$이므로
격자 정리와 함수 정리로 $B_j = \displaystyle \bigcup_{r=1}^s B_j(r)$과 $\varphi_t^{-1}(B_j) = \displaystyle \bigcup_{r=1}^s \varphi_t^{-1}(B_j(r))$이 성립하고 위 정리와 위 정리로
$\{ B_j(r)\}_{r=1}^s$과 $\{ \varphi_t^{-1}(B_j(r)) : r=1,2,\cdots,s\}$이 $s$개의 원소를 갖는 유한집합인 비중첩집합족임에 따라
부피 정리와 위 정리로 $vol(B_j) = \displaystyle \sum_{r=1}^s vol(B_j(r)) = \sum_{r=1}^s\int_{\varphi_t^{-1}(B_j(r))}|J\varphi_t(z)|\operatorname{d}\!z = \int_{\varphi_t^{-1}(B_j)}|J\varphi_t(z)|\operatorname{d}\!z$이다.
퇴화상자가 아닌 $k+1$차원 닫힌상자 $B\subseteq \Phi(W)$가 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}[a_i,b_i]$이고 $B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^k[a_i,b_i]$일때
모든 $(y_1,\cdots,y_k,t)\in B \subseteq \Phi(W)$에 대해
$(y_1,\cdots,y_k,t) = \Phi(x) = (\phi_1(x),\cdots,\phi_k(x),x_j)$인 $x= (x_1,\cdots,x_k,x_{k+1})\in W = \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}(c_i,d_i)$가 존재하여
$t = x_j\in (c_j,d_j)$이므로 $[a_{k+1},b_{k+1}]\subseteq (c_j,d_j)$이고
$(y_1,\cdots,y_k,t) = (\phi_1(x),\cdots,\phi_k(x),x_j) = (\phi_1(x),\cdots,\phi_k(x),t) = \varphi_t(x_1,\cdots,x_{j-1},x_{j+1},\cdots,x_{k+1})\in \varphi_t(W_j)\text{ 이므로}$
$B_k \subseteq \varphi_t(W_j)$가 되어 $vol(B_k) = \displaystyle \int_{\varphi_t^{-1}(B_k)}|J\varphi_t(z)|\operatorname{d}\!z$이다.
단사 정리와 상자 정리로 $\Phi^{-1}(B) \subseteq \Phi^{-1}(\Phi(W)) = W = \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1} (c_i,d_i) \subseteq \prod_{i=1}^{k+1}[c_i,d_i] = \underset{(\mathbb{R}^{k+1},d_{k+1})}{\operatorname{cl}(W)}$이고
모든 $t\in [a_{k+1},b_{k+1}]\subseteq (c_j,d_j) \subseteq [c_j,d_j]$에 대해
$\varphi_t^{-1}(B_k)\subseteq \varphi_t^{-1}(\varphi_t(W_j)) =W_j \subseteq \underset{(\mathbb{R}^k,d_k)}{\operatorname{cl}(W_j)} = [c_1,d_1]\times \cdots \times [c_{j-1},d_{j-1}]\times [c_{j+1},d_{j+1}]\times \cdots \times [c_{k+1},d_{k+1}] \text{ 이고}$
$[c_1,d_1]\times \cdots \times [c_{j-1},d_{j-1}] \times [a_{k+1},b_{k+1}]\times [c_{j+1},d_{j+1}]\times \cdots \times [c_{k+1},d_{k+1}]\subseteq \underset{(\mathbb{R}^{k+1},d_{k+1})}{\operatorname{cl}(W)}$이다.
$\underset{(\mathbb{R}^k,d_k)}{\operatorname{cl}(W_j)}([a_{k+1},b_{k+1}]) =[c_1,d_1]\times \cdots \times [c_{j-1},d_{j-1}] \times [a_{k+1},b_{k+1}]\times [c_{j+1},d_{j+1}]\times \cdots \times [c_{k+1},d_{k+1}]$일때
임의의 $t\in [a_{k+1},b_{k+1}]$와 모든 $z \in \underset{(\mathbb{R}^k,d_k)}{\operatorname{cl}(W_j)}$에 대해 $f_t(z) = \begin{cases} |J\varphi_t(z)| & z\in \varphi_t^{-1}(B_k) \\[0.5em] 0 & z\notin \varphi_t^{-1}(B_k) \end{cases}$인
함수 $f_t : \underset{(\mathbb{R}^k,d_k)}{\operatorname{cl}(W_j)}\to \mathbb{R}$는 $\displaystyle \int_{\varphi_t^{-1}(B_k)}|J\varphi_t(z)|\operatorname{d}\!z = \int_{\underset{(\mathbb{R}^k,d_k)}{\operatorname{cl}(W_j)}}f_t(z)\operatorname{d}\!z$이고
모든 $x \in \underset{(\mathbb{R}^k,d_k)}{\operatorname{cl}(W_j)}([a_{k+1},b_{k+1}])$에 대해 $g(x) = \begin{cases} |J\Phi(x)| & x\in \Phi^{-1}(B) \\[0.5em] 0 & x\notin \Phi^{-1}(B) \end{cases}$인
함수 $g : \underset{(\mathbb{R}^{k},d_{k})}{\operatorname{cl}(W_j)}([a_{k+1},b_{k+1}])\to \mathbb{R}$는 $\displaystyle \int_{\Phi^{-1}(B)}|J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x = \int_{\underset{(\mathbb{R}^{k},d_{k})}{\operatorname{cl}(W_j)}([a_{k+1},b_{k+1}])}g(x)\operatorname{d}\!x$이고
$z = (z_1,\cdots,z_{j-1},z_{j+1},\cdots,z_{k+1})$일때 $z(t) = (z_1,\cdots,z_{j-1},t,z_{j+1},\cdots,z_{k+1}) \in \underset{(\mathbb{R}^{k},d_{k})}{\operatorname{cl}(W_j)}([a_{k+1},b_{k+1}])$이므로
$z\in \varphi_t^{-1}(B_k)$이면
$\Phi(z(t))=(\phi_1(z(t)),\cdots,\phi_k(z(t)), t)= (\varphi_t(z),t)\in B_k\times [a_{k+1},b_{k+1}] = B$가 되어 $z(t)\in \Phi^{-1}(B)$이고
$z(t)\in \Phi^{-1}(B)$이면 $\varphi_t(z)\in B_k$이므로 $z\in \varphi_t^{-1}(B_k)$가 되어
$z\in \varphi_t^{-1}(B_k)$이기 위한 필요충분조건이 $z(t)\in \Phi^{-1}(B)$인 것임에 따라 $f_t(z) = g(z(t))$이므로
$\begin{align*} vol(B) & = (b_{k+1}- a_{k+1})\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & = \int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}} vol(B_k)\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}} \int_{\varphi_t^{-1}(B_k)} |J\varphi_t(z)|\operatorname{d}\!z \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}} \int_{\underset{(\mathbb{R}^{k},d_{k})}{\operatorname{cl}(W_j)}} f_t(z) \operatorname{d}\!z \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \overline{\int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}} \int_{\underset{(\mathbb{R}^{k},d_{k})}{\operatorname{cl}(W_j)}} f_t(z) \operatorname{d}\!z \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \overline{\int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}}\overline{ \int_{c_1}^{d_1}}\cdots \overline{\int_{c_{j-1}}^{d_{j-1}}} \overline{\int_{c_{j+1}}^{d_{j+1}}} \cdots \overline{\int_{c_{k+1}}^{d_{k+1}}} f_t(z_1,\cdots,z_{j-1},z_{j+1},\cdots, z_{k+1} )\operatorname{d}\!z_{k+1} \cdots \operatorname{d}\!z_{j+1}\operatorname{d}\!z_{j-1} \cdots \operatorname{d}\! z_1 \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \overline{\int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}}\overline{ \int_{c_1}^{d_1}}\cdots \overline{\int_{c_{j-1}}^{d_{j-1}}} \overline{\int_{c_{j+1}}^{d_{j+1}}} \cdots \overline{\int_{c_{k+1}}^{d_{k+1}}} g(z_1,\cdots,z_{j-1},t,z_{j+1},\cdots, z_{k+1} )\operatorname{d}\!z_{k+1} \cdots \operatorname{d}\!z_{j+1}\operatorname{d}\!z_{j-1} \cdots \operatorname{d}\! z_1 \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = \overline{ \int_{c_1}^{d_1}}\cdots \overline{\int_{c_{j-1}}^{d_{j-1}}} \overline{\int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}}} \overline{\int_{c_{j+1}}^{d_{j+1}}} \cdots \overline{\int_{c_{k+1}}^{d_{k+1}}} g(z_1,\cdots,z_{j-1},t,z_{j+1},\cdots, z_{k+1} )\operatorname{d}\!z_{k+1} \cdots \operatorname{d}\!z_{j+1}\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!z_{j-1} \cdots \operatorname{d}\! z_1 \\[0.5em] & = \int_{\underset{(\mathbb{R}^{k},d_{k})}{\operatorname{cl}(W_j)}([a_{k+1},b_{k+1}])}g(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_{\Phi^{-1}(B)}|J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x \text{ 이다.} \end{align*}$
$x_0\in W$이므로 $\Phi(x_0)\in \Phi(W)$이고 위 정리로 $\Phi(W)$가 $(\mathbb{R}^{k+1},d_{k+1})$에서 열린집합임에 따라
열린공 정리와 상자 정리로 $k+1$차원 열린상자 $\displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}(\gamma_i,\delta_i)$가 존재하여 $\Phi(x_0)\in \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}(\gamma_i,\delta_i) \subseteq \Phi(W) \subseteq \Phi(V)$이다.
임의의 $z = (z_1,\cdots,z_k)\in \displaystyle \prod_{i=1}^k(\gamma_i,\delta_i)$에 대해
모든 $t \in (\gamma_{k+1},\delta_{k+1})$가 $\varsigma_z(t) =\phi_{k+1}(\Psi^{-1}(z,t))$인 함수 $\varsigma_z : (\gamma_{k+1},\delta_{k+1}) \to \mathbb{R}$는
$\varsigma_z(t_1) = \varsigma_z(t_2)$인 모든 $t_1,t_2\in (\gamma_{k+1},\delta_{k+1})$에 대해
$\pmb{\sigma}(z,t_1) = (z,\phi_{k+1}(\Psi^{-1}(z,t_1))) = (z,\varsigma_z(t_1)) = (z,\varsigma_z(t_2)) = (z,\phi_{k+1}(\Psi^{-1}(z,t_2))) = \pmb{\sigma}(z,t_2)$이므로
$\pmb{\sigma}$가 단사임에 따라 $(z,t_1) = (z,t_2)$이고 순서쌍의 상등으로 $t_1 = t_2$가 되어 $\varsigma_z$는 단사이다.
위 정리로 $\pmb{\sigma} = \phi\circ \Psi^{-1}$은 $\Phi(V)$에서 연속미분가능하므로
임의의 $z \in \displaystyle \prod_{i=1}^k(\gamma_i,\delta_i)$에 대해 위 정리와 편도함수 정리로 $\varsigma_z$는 $(\gamma_{k+1},\delta_{k+1})$에서 연속미분가능하고
모든 $t \in (\gamma_{k+1},\delta_{k+1})$에 대해 $(z,t)\in \Phi(W)$이므로 $\Phi(x) = (z,t)$인 $x\in W$가 존재하여
$\begin{align*} J\varsigma_z(t) & = \det(\begin{bmatrix} \dfrac{\partial (\phi_{k+1}\circ \Psi^{-1})}{\partial t}(z, t) \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = \det(\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ \dfrac{\partial (\phi_{k+1}\circ \Psi^{-1})}{\partial z_1}(z, t) & \dfrac{\partial (\phi_{k+1}\circ \Psi^{-1})}{\partial z_2}(z, t) & \cdots & \dfrac{\partial (\phi_{k+1}\circ \Psi^{-1})}{\partial z_k}(z, t) & \dfrac{\partial (\phi_{k+1}\circ \Psi^{-1})}{\partial t}(z, t) \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = \det(\begin{bmatrix} \dfrac{\partial }{\partial z_1}(z_1) & \cdots & \dfrac{\partial }{\partial z_k}(z_1) & \dfrac{\partial }{\partial t}(z_1) \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \dfrac{\partial }{\partial z_1}(z_k) & \cdots & \dfrac{\partial }{\partial z_k}(z_k) & \dfrac{\partial }{\partial t}(z_k) \\ \dfrac{\partial (\phi_{k+1}\circ \Psi^{-1})}{\partial z_1}(z, t) & \cdots & \dfrac{\partial (\phi_{k+1}\circ \Psi^{-1})}{\partial z_k}(z, t) & \dfrac{\partial (\phi_{k+1}\circ \Psi^{-1})}{\partial t}(z, t) \end{bmatrix}) \\[0.5em] & = J\pmb{\sigma}(z,t) \text{ 임에 따라} \end{align*}$
$J\varsigma_z(t) = J\pmb{\sigma}(z,t) = J\pmb{\sigma}(\Phi(x))\ne 0$이고 $(\gamma_{k+1},\delta_{k+1})$는 $1$차원 열린상자이므로
위 정리와 위에서 보인 것과 같이 퇴화상자가 아닌 모든 $1$차원 닫힌상자 $[a,b]\subseteq \varsigma_z((\gamma_{k+1},\delta_{k+1}))$에 대해
$b-a = vol([a,b]) = \displaystyle \int_{\varsigma_z^{-1}([a,b])}|J\varsigma_z(t)|\operatorname{d}\!t$이다.
$\Phi(x_0)\in \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}(\gamma_i,\delta_i) \subseteq \Phi(W)$이므로 단사 정리로 $x_0\in \displaystyle \Phi^{-1}(\prod_{i=1}^{k+1}(\gamma_i,\delta_i)) \subseteq \Phi^{-1}(\Phi(W)) = W$이고
연속함수 정리로 $\displaystyle \Phi^{-1}(\prod_{i=1}^{k+1}(\gamma_i,\delta_i))$는 $(U,d_{k+1})$에서 열린집합이므로 $U$가 $(\mathbb{R}^{k+1},d_{k+1})$에서 열린집합임에 따라
거리공간 정리로 $\displaystyle \Phi^{-1}(\prod_{i=1}^{k+1}(\gamma_i,\delta_i))$는 $(\mathbb{R}^{k+1},d_{k+1})$에서 열린집합이고 열린공 정리와 상자 정리로
$k+1$차원 열린상자 $W_0 =\displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}(\alpha_i,\beta_i)$이 존재하여 $x_0\in W_0\displaystyle \subseteq \Phi^{-1}(\prod_{i=1}^{k+1}(\gamma_i,\delta_i)) \subseteq W\subseteq V\subseteq U$이다.
위 정리로 $\phi,\Phi$의 제한함수 $\phi|_{W_0},\Phi|_{W_0} : {W_0}\to \mathbb{R}^{k+1}$은 $W_0$에서 연속미분가능하고
모든 $x\in W_0\subseteq W$와 모든 $y\in \Phi(W_0)\subseteq \Phi(W)$에 대해 $J\phi(x)\ne 0$와 $J\Phi(x)\ne 0$와 $J\Psi^{-1}(y)\ne 0$가 성립하여
위 정리와 위에서 보인 것과 같이 모든 $k+1$차원 닫힌상자 $C \subseteq \Phi(W_0)$에 대해 $vol(C) = \displaystyle \int_{\Phi^{-1}(C)}|J\Phi(x)|\operatorname{d}\!x$이고
퇴화상자가 아닌 모든 $k+1$차원 닫힌상자 $B\subseteq \phi(W_0)$가 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}[a_i,b_i]$이고 $B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^k[a_i,b_i]$일때
단사 정리로 $\phi^{-1}(B)\subseteq \phi^{-1}(\phi(W_0)) = W_0 \subseteq V$이므로
제한함수의 정의와 함수 정리와 집합 정리로 $\phi|_{W_0}^{-1}(B) = \phi^{-1}(B) \cap W_0 = \phi^{-1}(B)$이고
상자 정리와 거리공간 정리와 하이네-보렐 정리로 $B$는 $(\mathbb{R}^{k+1},d_{k+1})$에서 콤팩트집합이므로
$B$는 $(\phi(W_0),d_{k+1})$에서 콤팩트집합이 되어 위 정리와 위 정리와 미분 정리와 연속함수 정리와 콤팩트 정리로
$\phi^{-1}(B)$가 $(W_0,d_{k+1})$에서 콤팩트집합임에 따라 $\phi^{-1}(B)$는 $(\mathbb{R}^{k+1},d_{k+1})$에서 콤팩트집합이고
하이네-보렐 정리로 $\phi^{-1}(B)$는 $(\mathbb{R}^{k+1},d_{k+1})$에서 닫힌집합이 되어
폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^{k+1},d_{k+1})}{\operatorname{cl}(\phi^{-1}(B))}=\phi^{-1}(B)\subseteq W_0$이고 $\phi^{-1}(B)$는 $k+1$차원 조르당영역이다.
함수 정리와 함수 정리로 $B\subseteq \phi(W_0) = \phi|_V(W_0) = (\pmb{\sigma} \circ \Psi)(W_0) = \pmb{\sigma}(\Psi(W_0)) = \pmb{\sigma}(\Phi(W_0))$이므로
단사 정리로 $\pmb{\sigma}^{-1}(B) \subseteq \pmb{\sigma}^{-1}(\pmb{\sigma}(\Phi(W_0))) = \Phi(W_0)$이 되어 $\Phi^{-1}(\pmb{\sigma}^{-1}(B)) \subseteq \Phi^{-1}(\Phi(W_0)) = W_0\subseteq V$이고
집합 정리와 함수 정리와 합성함수 정리와 제한함수의 정의로
$\Phi^{-1}(\pmb{\sigma}^{-1}(B)) = \Phi^{-1}(\pmb{\sigma}^{-1}(B))\cap V = \Psi^{-1}(\pmb{\sigma}^{-1}(B)) = (\pmb{\sigma}\circ \Psi)^{-1}(B) = \phi|_V^{-1}(B) = \phi^{-1}(B)\cap V = \phi^{-1}(B)\text{ 이므로}$
전사 정리와 함수 정리로 $\pmb{\sigma}^{-1}(B) = \Psi(\Psi^{-1}(\pmb{\sigma}^{-1}(B))) = \Phi(\Phi^{-1}(\pmb{\sigma}^{-1}(B)))$가 되어 위 정리로
$\displaystyle \int_{\pmb{\sigma}^{-1}(B)} |J\pmb{\sigma}(y)| \operatorname{d}\!y = \int_{\Phi(\Phi^{-1}(\pmb{\sigma}^{-1}(B)))} |J\pmb{\sigma}(y)| \operatorname{d}\!y = \int_{\Phi^{-1}(\pmb{\sigma}^{-1}(B))} |J\pmb{\sigma}(\Phi(x))|\cdot |J\Phi(x)| \operatorname{d}\!x = \int_{\phi^{-1}(B)} |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x $이다.
모든 $y = (y_1,\cdots,y_k,y_{k+1}) \in \displaystyle \prod_{i=1}^{k+1}[a_i,b_i]=B\subseteq \phi(W_0) = \pmb{\sigma}(\Phi(W_0))$에 대해
$y = \pmb{\sigma}(z,t) = (z,\phi_{k+1}(\Psi^{-1}(z,t)))$인 $(z,t) = (z_1,\cdots,z_k,t)\in \Phi(W_0)$가 존재하여
함수 정리로 $(z,t)\in \Phi(W_0) \subseteq \displaystyle \Phi(\Phi^{-1}(\prod_{i=1}^{k+1}(\gamma_i,\delta_i) )) \subseteq \prod_{i=1}^{k+1}(\gamma_i,\delta_i) $이고
$(y_1,\cdots,y_k) = (z_1,\cdots,z_k)=z\in \displaystyle \prod_{i=1}^k (\gamma_i,\delta_i)$와 $y_{k+1} = \phi_{k+1}(\Psi^{-1}(z,t)) = \varsigma_z(t) \in \varsigma_z((\gamma_{k+1},\delta_{k+1}))$이 성립하므로
$B_k\subseteq \displaystyle \prod_{i=1}^k(\gamma_i,\delta_i)$이고 $[a_{k+1},b_{k+1}]\subseteq \varsigma_z((\gamma_{k+1},\delta_{k+1}))$임에 따라 $b_{k+1}-a_{k+1} = \displaystyle \int_{\varsigma_z^{-1}([a_{k+1},b_{k+1}])}|J\varsigma_z(t)|\operatorname{d}\!t$이다.
모든 $y = (y_1,\cdots,y_k,y_{k+1})\in \pmb{\sigma}^{-1}(B)$에 대해 $(y_1,\cdots,y_k,\phi_{k+1}(\Psi^{-1}(y))) =\pmb{\sigma}(y) \in B$가 되어
$z = (y_1,\cdots,y_k)$이고 $t = y_{k+1}$일때
$z = (y_1,\cdots,y_k)\in B_k$이고 $\varsigma_z(t) =\phi_{k+1}(\Psi^{-1}(z,t)) =\phi_{k+1}(\Psi^{-1}(y))\in [a_{k+1},b_{k+1}]$이므로
단사 정리로 $y_{k+1} = t\in \varsigma_z^{-1}([a_{k+1},b_{k+1}]) \subseteq \varsigma_z^{-1}(\varsigma_z((\gamma_{k+1},\delta_{k+1}))) =(\gamma_{k+1},\delta_{k+1})\subseteq [\gamma_{k+1},\delta_{k+1}]$임에 따라
$\pmb{\sigma}^{-1}(B) \subseteq B_k\times [\gamma_{k+1},\delta_{k+1}]$이다.
임의의 $z \in B_k$와 모든 $t\in [\gamma_{k+1},\delta_{k+1}]$에 대해 $f_z(t) = \begin{cases} |J\varsigma_z(t)| & t\in \varsigma_z^{-1}([a_{k+1},b_{k+1}]) \\[0.5em] 0 & t\notin \varsigma_z^{-1}([a_{k+1},b_{k+1}]) \end{cases}$인
함수 $f_z : [\gamma_{k+1},\delta_{k+1}]\to \mathbb{R}$는 $\displaystyle \int_{\varsigma_z^{-1}([a_{k+1},b_{k+1}])}|J\varsigma_z(t)|\operatorname{d}\!t = \int_{[\gamma_{k+1},\delta_{k+1}]}f_z(t)\operatorname{d}\!t$이고
모든 $y \in B_k\times [\gamma_{k+1},\delta_{k+1}]$에 대해 $g(y) = \begin{cases} |J\pmb{\sigma}(y)| & y\in \pmb{\sigma}^{-1}(B) \\[0.5em] 0 & y\notin \pmb{\sigma}^{-1}(B) \end{cases}$인
함수 $g : B_k\times [\gamma_{k+1},\delta_{k+1}]\to \mathbb{R}$는 $\displaystyle \int_{\pmb{\sigma}^{-1}(B)}|J\pmb{\sigma}(y)|\operatorname{d}\!y = \int_{B_k\times [\gamma_{k+1},\delta_{k+1}]}g(y)\operatorname{d}\!y$이고
$t\in \varsigma_z^{-1}([a_{k+1},b_{k+1}])$이면
$\pmb{\sigma}(z,t) = (z,\phi_{k+1}(\Psi^{-1}(z,t))) = (z, \varsigma_z(t))\in B_k\times [a_{k+1},b_{k+1}] = B$이므로 $(z,t)\in \pmb{\sigma}^{-1}(B)$이고
$(z,t)\in \pmb{\sigma}^{-1}(B)$이면 $\varsigma_z(t)\in [a_{k+1},b_{k+1}]$이므로 $t\in \varsigma_z^{-1}([a_{k+1},b_{k+1}])$가 되어
$t\in \varsigma_z^{-1}([a_{k+1},b_{k+1}])$이기 위한 필요충분조건이 $(z,t)\in \pmb{\sigma}^{-1}(B)$인 것임에 따라 $f_z(t) = g(z,t)$이고
$\begin{align*} vol(B) & = vol(B_k)\cdot (b_{k+1}-a_{k+1}) \\[0.5em] & = \int_{B_k} (b_{k+1}-a_{k+1}) \operatorname{d}\!z \\[0.5em] & = \int_{B_k} \int_{\varsigma_z^{-1}([a_{k+1},b_{k+1}])}|J\varsigma_z(t)|\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!z \\[0.5em] & = \int_{B_k} \int_{[\gamma_{k+1},\delta_{k+1}]}f_z(t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!z \\[0.5em] & = \int_{B_k} \int_{[\gamma_{k+1},\delta_{k+1}]}g(z,t) \operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!z \\[0.5em] & = \int_{B_k\times [\gamma_{k+1},\delta_{k+1}]}g(y) \operatorname{d}\!y \\[0.5em] & = \int_{\pmb{\sigma}^{-1}(B)} |J\pmb{\sigma}(y)| \operatorname{d}\!y \\[0.5em] & = \int_{\phi^{-1}(B)} |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x \text{ 이다.} \end{align*}$
따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.
정리18
$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U$에서 함수 $\phi : U\to \mathbb{R}^n$가 연속미분가능하고
$U$에서 $\phi$의 야코비안 $J\phi : U\to \mathbb{R}$에 대해 $J\phi(x_0)\ne 0$인 $x_0\in U$이 존재할때
$x_0\in W\subseteq U$인 $n$차원 열린상자 $W$가 존재하여
폐포가 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq W$인 임의의 $n$차원 조르당영역 $E \subseteq \mathbb{R}^n$와 임의의 부분집합 $S \subseteq \mathbb{R}^n$에 대해
$\phi(E)\subseteq S$인 함수 $f : S \to \mathbb{R}$가 $\phi(E)$에서 리만적분가능하고
모든 $x\in E$에 대해 $f_\phi(x) = f(\phi(x))$인 함수 $f_\phi : E\to \mathbb{R}$가 $E$에서 리만적분가능하면
$\displaystyle \int_{\phi(E)}f(y) \operatorname{d}\!y = \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.
증명
위 정리로 $x_0\in V\subseteq U$인 $n$차원 열린상자 $V$가 존재하여 $\phi(V)$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고
모든 $x\in V$에 대해 $\psi(x) = \phi(x)$인 함수 $\psi : V\to \phi(V)$는 $V$에서 연속미분가능하고
$\psi$의 역함수 $\psi^{-1} : \Phi(V)\to V$이 존재하여 $\psi^{-1}$은 $\phi(V)$에서 연속미분가능하고
모든 $x\in V$와 모든 $y\in \phi(V)$에 대해 $J\psi(x)\ne 0$과 $J\psi^{-1}(y)\ne 0$이 성립한다.
역함수 정리로 $\psi$는 단사이고 $J\psi(x_0)\ne 0$이므로
위 정리와 위 정리로 $x_0\in W\subseteq V$인 $n$차원 열린상자 $W$가 존재하여
모든 $n$차원 닫힌상자 $B\subseteq \psi(W)$에 대해 $vol(B) = \displaystyle \int_{\psi^{-1}(B)}|J\psi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.
$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq W$인 임의의 $n$차원 조르당영역 $E \subseteq \mathbb{R}^n$와 임의의 부분집합 $S \subseteq \mathbb{R}^n$에 대해
$\phi(E)\subseteq S$인 함수 $f : S \to \mathbb{R}$가 $\phi(E)$에서 리만적분가능하고
모든 $x\in E$에 대해 $f_\phi(x) = f(\phi(x))$인 함수 $f_\phi : E\to \mathbb{R}$가 $E$에서 리만적분가능하면
함수 정리로 $\phi(E) = \psi(E)$와 $\phi(W) = \psi(W)$가 성립하고
내부 정리와 위 정리로 모든 $x\in W\subseteq V\subseteq U$에 대해 $\phi(x) =\psi(x)$와 $J\phi(x) = J\psi(x)$가 성립하므로
폐포 정리로 $E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq W$임에 따라
위 정리로 $\displaystyle \int_{\phi(E)}f(y)\operatorname{d}\!y = \int_{\psi(E)}f(y) \operatorname{d}\!y = \int_E f(\psi(x))\cdot |J\psi(x)|\operatorname{d}\!x = \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.
정리19
$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U$에서 단사함수 $\phi : U\to \mathbb{R}^n$가 연속미분가능하고
$U$에서 $\phi$의 야코비안 $J\phi : U\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in U$에 대해 $J\phi(x)\ne 0$일때
폐포가 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq U$인 임의의 $n$차원 조르당영역 $E \subseteq \mathbb{R}^n$와 임의의 부분집합 $S \subseteq \mathbb{R}^n$에 대해
$\phi(E)\subseteq S$인 함수 $f : S \to \mathbb{R}$가 $\phi(E)$에서 리만적분가능하고
모든 $x\in E$에 대해 $f_\phi(x) = f(\phi(x))$인 함수 $f_\phi : E\to \mathbb{R}$가 $E$에서 리만적분가능하면
$\displaystyle \int_{\phi(E)}f(y) \operatorname{d}\!y = \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.
증명
$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)} = \emptyset$이면
조르당영역 정리로 $vol(E) = 0$이므로 부피 정리와 조르당영역 정리로 $vol(\phi(E)) =0 $이 되어
위 정리와 위 정리와 적분 정리로 $\displaystyle \int_{\phi(E)}f(y) \operatorname{d}\!y = 0= \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.
$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)} \ne \emptyset$이면 내부 정리와 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$이므로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset$이고
모든 $x\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}\subseteq U$에 대해 $J\phi(x)\ne 0$이므로 위 정리로 $x\in V_x \subseteq U$인 $n$차원 열린상자 $V_x$가 존재하여
$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E_x)}\subseteq V_x$인 임의의 $n$차원 조르당영역 $E_x \subseteq \mathbb{R}^n$와 임의의 부분집합 $S_x \subseteq \mathbb{R}^n$에 대해
$\phi(E_x)\subseteq S_x$인 함수 $g : S_x \to \mathbb{R}$가 $\phi(E_x)$에서 리만적분가능하고
모든 $x_0 \in E_x$에 대해 $g_\phi(x_0) = g(\phi(x_0))$인 함수 $g_\phi : E_x\to \mathbb{R}$가 $E_x$에서 리만적분가능할때
$\displaystyle \int_{\phi(E_x)}g(y) \operatorname{d}\!y = \int_{E_x} g(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.
선택 정리로 모든 $x\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$에 대해 $V_x$를 선택하면 $x\in V_x\subseteq U$이므로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)} \subseteq \displaystyle \bigcup_{x\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}}V_x \subseteq U$이고
조르당영역 정리와 폐포 정리와 하이네-보렐 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이므로
거리공간 정리로 $V_x$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합임에 따라 콤팩트 정리로
어떤 $q\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)} \subseteq \displaystyle \bigcup_{p= 1}^q V_{x(p)}$인 $x(1),x(2),\cdots, x(q)\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$가 존재한다.
르베그수 정리로 어떤 $\delta\in (0,\infty)$에 대해
지름이 존재하여 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(A) < \delta$인 모든 $A\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)}$에 대해 $A\subseteq V_{x(p)}$인 $p=1,2,\cdots,q$가 존재하고
조르당영역 정리와 거리공간 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)} \subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $n$차원 닫힌상자 $B$가 존재하여
격자 정리로 어떤 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $j = 1,2,\cdots,m$가 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(B_j) < \delta$인 $B$의 격자 $\{ B_j\}_{j=1}^m$가 존재한다.
$I = \{ j\in \{ 1,2,\cdots,m\} : E\cap B_j\ne \emptyset\}$일때
격자 정리로 $E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)} \subseteq B = \displaystyle \bigcup_{j=1}^m B_j$이므로 $E\ne \emptyset$임에 따라 $I\ne \emptyset$이 되어
$\mathcal{E} = \{ E\cap B_j : j\in I\}$는 공집합이 아니고 유한집합 정리로 $I$는 유한집합이므로 함수 정리로 $\mathcal{E}$는 유한집합이고
$\mathcal{E}$가 $k \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이면 $\mathcal{E} = \{ E\cap B_{j_1},E\cap B_{j_2},\cdots, E\cap B_{j_k}\}$인 $j_1,j_2,\cdots,j_k\in I$가 존재한다.
모든 $x\in E\subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^m B_j$에 대해 $x\in B_j$인 $j=1,2,\cdots,m$가 존재하여 $x\in E\cap B_j$이므로 $E\cap B_j\ne \emptyset$이고
$j\in I$가 되어 $x \in E\cap B_j\in \mathcal{E}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{E} = \bigcup_{r=1}^k (E\cap B_{j_r})$임에 따라 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{r=1}^k (E\cap B_{j_r})$이고
모든 $r = 1,2,\cdots,k$에 대해 $E\cap B_{j_r}\subseteq E$이므로 $\displaystyle \bigcup_{r=1}^k (E\cap B_{j_r})\subseteq E$가 되어
집합 정리로 $E=\displaystyle \bigcup_{r=1}^k (E\cap B_{j_r})$이고 함수 정리로 $\phi(E)=\displaystyle \phi(\bigcup_{r=1}^k (E\cap B_{j_r})) = \bigcup_{r=1}^k \phi(E\cap B_{j_r})$이다.
모든 $r = 1,2,\cdots,k$에 대해 격자 정리와 상자 정리와 조르당영역 정리로 $E\cap B_{j_r}$은 $n$차원 조르당영역이고
$r\ne s$인 모든 $r,s =1,2,\cdots,k $에 대해 유한집합의 정의로 $E\cap B_{j_r}\ne E\cap B_{j_s}$이므로 $j_r \ne j_s$이고
격자 정리와 내부 정리로 $ \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(E\cap B_{j_r})\cap \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(E\cap B_{j_s}) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(B_{j_r})}\cap \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(B_{j_s})} \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(B_{j_r})}\cap B_{j_s} = \emptyset $이 되어
$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(E\cap B_{j_r})\cap \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}}(E\cap B_{j_s}) = \emptyset $이고 조르당영역 정리로 $vol((E\cap B_{j_r})\cap (E\cap B_{j_s})) = 0$임에 따라
$\mathcal{E} = \{ E\cap B_{j_r}: r = 1,2,\cdots,k\}$는 $k$개의 원소를 갖는 유한집합인 비중첩집합족이다.
$r\ne s$인 임의의 $r,s =1,2,\cdots,k $에 대해 $\phi(E\cap B_{j_r}) = \phi(E\cap B_{j_s})$라고 가정하면
$E\cap B_{j_r}\ne E\cap B_{j_s}$인데 단사 정리로
$E\cap B_{j_r} = \phi^{-1}(\phi(E\cap B_{j_r})) = \phi^{-1}(\phi(E\cap B_{j_s})) = E\cap B_{j_s}$가 되어 모순이므로 $\phi(E\cap B_{j_r}) \ne \phi(E\cap B_{j_s})$이고
모든 $r = 1,2,\cdots,k$에 대해 폐포 정리로 $E\cap B_{j_r}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(E\cap B_{j_r})\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(E)} \subseteq U$임에 따라
조르당영역 정리로 $\{ \phi(E\cap B_{j_r}) : r = 1,2,\cdots,k\}$는 $k$개의 원소를 갖는 유한집합인 비중첩집합족이고
$\phi(E\cap B_{j_r})$은 $n$차원 조르당영역이므로 $E\cap B_{j_r}\subseteq B_{j_r}$이고 $j_r\in I$임에 따라
$E\cap B_{j_r}\ne \emptyset$이고 지름의 정의와 상한 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(E\cap B_{j_r})\le \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{diam}}(B_{j_r}) < \delta$이므로
$E\cap B_{j_r}\subseteq V_{x(p_r)}$인 $p_r=1,2,\cdots,q$이 존재하여
적분 정리로 $f$가 $\phi(E\cap B_{j_r})$에서 리만적분가능하고 $f_\phi$가 $E\cap B_{j_r}$에서 리만적분가능함에 따라
$\displaystyle \int_{\phi(E\cap B_{j_r})} f(y) \operatorname{d}\!y = \int_{E\cap B_{j_r}} f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이므로 비중첩집합족의 정의와 위 정리로
$\displaystyle \int_{\phi(E)} f(y)\operatorname{d}\!y = \sum_{r=1}^k \int_{\phi(E\cap B_{j_r})} f(y)\operatorname{d}\!y = \sum_{r=1}^k \int_{E\cap B_{j_r}}f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x = \int_E f(\phi(x))\cdot |J\phi(x)|\operatorname{d}\!x$이다.
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정의의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/140#def번호
번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
정리의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/140#thm번호
번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.
틀린 내용이 존재할 수 있습니다.
출처(저자 - 제목 - ISBN13)
William R. Wade - Introduction to Analysis - 9780132296380
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