수학/벡터해석학 2026. 2. 18. 22:27

정리1

퇴화상자가 아닌 $m\in \mathbb{Z}^+$차원 닫힌상자 $B$에서 유계인 함수가 $f: B\to \mathbb{R}$일때

$B$의 격자 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$에 대응하는 $f$의 하합, 상합 $L(f;\mathcal{G}),U(f;\mathcal{G})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $U(f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{k=1}^n \sup f(B_k)\; \cdot $ $vol$$(B_k)$

2. $L(f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{k=1}^n \inf f(B_k)\cdot vol(B_k)$

3. $U(f;\mathcal{G}) - L(f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{k=1}^n (\sup f(B_k) - \inf f(B_k))\cdot vol(B_k)$

증명

$m$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이고 $\mathbb{R}^m$에서 $f$의 영확장함수가 $\widehat{f} :\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$일때

격자 정리로 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k \subseteq B$이므로 영확장함수 정리로 $\widehat{f}(B_k) = f(B_k)$이고

집합 정리와 격자 정리로 $B_k\cap B = B_k\ne \emptyset$임에 따라 하합, 상합의 정의로

$U(f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap B\ne \emptyset}}^n \sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) = \sum_{k=1}^n \sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) = \sum_{k=1}^n \sup f(B_k)\cdot vol(B_k)$이고

$L(f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap B\ne \emptyset}}^n \inf\widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) = \sum_{k=1}^n \inf\widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) = \sum_{k=1}^n \inf f(B_k)\cdot vol(B_k)$가 되어

$U(f;\mathcal{G}) - L(f;\mathcal{G}) \displaystyle = \sum_{k=1}^n \sup f(B_k)\cdot vol(B_k) - \sum_{k=1}^n \inf f(B_k)\cdot vol(B_k) = \sum_{k=1}^n (\sup f(B_k) - \inf f(B_k))\cdot vol(B_k)\text{ 이다.}$

정리2

$a < b$이고 $c < d$인 닫힌구간 $[a,b],[c,d]$의 데카르트곱이 $B = [a,b]\times [c,d]$일때

$B$에서 함수 $f : B\to \mathbb{R}$가 유계이면 $B$에서 $f$의 하적분, 상적분 $L(f),U(f)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x\in [a,b]$에 대해 함수 $f(x,\cdot) : [c,d]\to \mathbb{R}$는 $[c,d]$에서 유계이다.

2. 모든 $y \in [c,d]$에 대해 함수 $f(\cdot,y) : [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 유계이다.

3. 모든 $x\in [a,b]$에 대해 함수 $f(x,\cdot) : [c,d]\to \mathbb{R}$가 $[c,d]$에서 리만적분가능하면

함수 $\displaystyle \int_c^d f(\cdot,y) \operatorname{d}\!y : [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 유계이고

$[a,b]$에서 $\displaystyle \int_c^d f(\cdot,y) \operatorname{d}\!y$의 하적분, 상적분은 $L(f) \le L(\int_c^df(\cdot,y)\operatorname{d}\!y)\le U(\int_c^d f(\cdot,y)\operatorname{d}\!y) \le U(f)$이다.

4. 모든 $y\in [c,d]$에 대해 함수 $f(\cdot,y) : [a,b]\to \mathbb{R}$가 $[a,b]$에서 리만적분가능하면

함수 $\displaystyle \int_a^b f(x,\cdot) \operatorname{d}\!x : [c,d]\to \mathbb{R}$는 $[c,d]$에서 유계이고

$[c,d]$에서 $\displaystyle \int_a^b f(x,\cdot) \operatorname{d}\!x$의 하적분, 상적분은 $L(f) \le L(\int_a^b f(x,\cdot)\operatorname{d}\!x)\le U(\int_a^b f(x,\cdot)\operatorname{d}\!x) \le U(f)$이다.

증명

적분 정리로 닫힌구간에서 함수의 리만적분은 다르부적분과 동치이다.

$f$는 $B= [a,b]\times [c,d]$에서 유계이므로 어떤 $M\in (0,\infty)$이 존재하여

모든 $x\in [a,b]$와 모든 $y\in [c,d]$에 대해 $|f(x,y)|\le M$임에 따라

$f(x,\cdot)$는 $[c,d]$에서 유계이고 $f(\cdot,y)$는 $[a,b]$에서 유계이다.

모든 $x\in [a,b]$와 모든 $y\in [c,d]$에 대해 $|f(x,y)|\le M$이므로

리만적분 정리로 $\displaystyle \left |\int_c^d f(x,y) \operatorname{d}\!y \right | \le M\cdot (d-c)$와 $\displaystyle \left |\int_a^b f(x,y) \operatorname{d}\!x \right | \le M\cdot (b-a)$가 성립하여

$\displaystyle \int_c^d f(\cdot,y) \operatorname{d}\!y$는 $[a,b]$에서 유계이고 $\displaystyle \int_a^b f(x,\cdot) \operatorname{d}\!x$는 $[c,d]$에서 유계이다.

모든 $B= [a,b]\times [c,d]$의 격자 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$는 어떤 $n_1, n_2\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n = n_1\cdot n_2$이고

$[a,b] = [x_{0},x_{1}] \cup [x_{1},x_{2}]\cup \cdots \cup [x_{n_1-1}, x_{n_1}]$이고 $a = x_{0} < x_{1}< \cdots < x_{n_1-1} < x_{n_1} = b$인

어떤 $x_{0},x_{1},\cdots, x_{n_1-1},x_{n_1}\in [a,b]$이 존재하고

$[c,d] = [y_{0},y_{1}] \cup [y_{1},y_{2}]\cup \cdots \cup [y_{n_2-1}, y_{n_2}]$이고 $c = y_{0} < y_{1}< \cdots < y_{n_2-1} < y_{n_2} = d$인

어떤 $y_{0},y_{1},\cdots, y_{n_2-1},y_{n_2}\in [c,d]$가 존재하여

모든 $i=1,2,\cdots,n_1$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n_2$에 대해 $B(i,j) = [x_{i -1}, x_{i}] \times [y_{j-1},y_{j}]$이고

격자 정의의 전단사함수가 $\psi : \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+$일때 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k = B(\psi(k))$이다.

모든 $x\in [a,b]$에 대해 $F_1(x) = \displaystyle \int_c^d f(x,y) \operatorname{d}\!y$이고 모든 $y\in [c,d]$에 대해 $F_2(y) = \displaystyle \int_a^b f(x,y) \operatorname{d}\!x$인

함수가 $F_1 = \int_c^d f(\cdot ,y )\operatorname{d}\!y :[a,b] \to \mathbb{R}$이고 $F_2 = \int_a^b f(x,\cdot)\operatorname{d}\!x : [c,d]\to \mathbb{R}$일때

$\mathcal{G} = \{ B(\psi(k))\}_{k=1}^n$에 대해 $[a,b]$의 분할이 $\mathcal{P}_1 = \{ [x_{i-1},x_i]\}_{i=1}^{n_1}$이고 $[c,d]$의 분할이 $\mathcal{P}_2 = \{ [y_{j-1},y_j]\}_{j=1}^{n_2}$이면

모든 $i=1,2,\cdots,n_1$와 모든 $j= 1,2,\cdots,n_2$에 대해

모든 $x\in [x_{i-1},x_i]$와 모든 $y\in [y_{j-1},y_j]$는 하한, 상한의 정의로

$\inf f(B(i,j))=\inf f([x_{i-1},x_i] \times [y_{j-1},y_j])\le f(x,y) \le \sup f([x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_{j}]) = \sup f(B(i,j))$이므로

부분구간 적분 정리와 적분 부등식 정리와 상수함수 적분 정리로

$\displaystyle \inf f(B(i,j))\cdot (x_i-x_{i-1})\le \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x,y) \operatorname{d}\!x \le \sup f(B(i,j))\cdot (x_i - x_{i-1})$이고

$\displaystyle \inf f(B(i,j))\cdot (y_j-y_{j-1})\le \int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x,y) \operatorname{d}\!y \le \sup f(B(i,j))\cdot (y_j - y_{j-1})$이 되어

가법 정리와 하한, 상한 정리와 하한, 상한의 정의로

$\begin{align*} \sum_{j=1}^{n_2} \inf f(B(i,j))\cdot (y_j - y_{j-1}) & \le \sum_{j=1}^{n_2} \inf \left \{ \int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x,y)\operatorname{d}\!y : x\in [x_{i-1},x_i] \right \} \\[0.5em]& \le \inf \left \{ \sum_{j=1}^{n_2} \int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x,y)\operatorname{d}\!y : x\in [x_{i-1},x_i] \right \} \\[0.5em]& \qquad= \inf \left \{ \int_c^d f(x,y)\operatorname{d}\!y : x\in [x_{i-1},x_i] \right \} \\[0.5em] & \qquad = \inf \{ F_1(x) : x\in [x_{i-1},x_i]\} \\[0.5em] & \qquad= \inf F_1([x_{i-1},x_i]) \text{ 와} \end{align*}$

$\begin{align*} \sup F_1([x_{i-1},x_i]) & = \sup \{ F_1(x) : x\in [x_{i-1},x_i]\} \\[0.5em]& = \sup \left \{ \int_c^d f(x,y)\operatorname{d}\!y : x\in [x_{i-1},x_i] \right \} \\[0.5em]& = \sup \left \{ \sum_{j=1}^{n_2} \int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x,y)\operatorname{d}\!y : x\in [x_{i-1},x_i] \right \} \\[0.5em]& \le \sum_{j=1}^{n_2} \sup \left \{ \int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x,y)\operatorname{d}\!y : x\in [x_{i-1},x_i] \right \} \\[0.5em] & \le \sum_{j=1}^{n_2} \sup f(B(i,j))\cdot (y_j - y_{j-1}) \text{ 이 성립하고} \end{align*}$

$\begin{align*} \sum_{i=1}^{n_1} \inf f(B(i,j))\cdot (x_i - x_{i-1}) & \le \sum_{i=1}^{n_1} \inf \left \{ \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x,y)\operatorname{d}\!x : y\in [y_{j-1},y_j] \right \} \\[0.5em]& \le \inf \left \{ \sum_{i=1}^{n_1} \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x,y)\operatorname{d}\!x : y\in [y_{j-1},y_j] \right \} \\[0.5em]& \qquad= \inf \left \{ \int_a^b f(x,y)\operatorname{d}\!x : y\in [y_{j-1},y_j] \right \} \\[0.5em] & \qquad = \inf \{ F_2(y) : y\in [y_{j-1},y_j]\} \\[0.5em] & \qquad = \inf F_2([y_{j-1},y_j]) \text{ 와} \end{align*}$

$\begin{align*} \sup F_2([y_{j-1},y_j]) & = \sup \{ F_2(y) : y\in [y_{j-1},y_j]\} \\[0.5em]& = \sup \left \{ \int_a^b f(x,y)\operatorname{d}\!x : y\in [y_{j-1},y_j] \right \} \\[0.5em]& = \sup \left \{ \sum_{i=1}^{n_1} \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x,y)\operatorname{d}\!x : y\in [y_{j-1},y_j] \right \} \\[0.5em]& \le \sum_{i=1}^{n_1} \sup \left \{ \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x,y)\operatorname{d}\!x : y\in [y_{j-1},y_j] \right \} \\[0.5em] & \le \sum_{i=1}^{n_1} \sup f(B(i,j))\cdot (x_i - x_{i-1}) \text{ 이 성립하므로} \end{align*}$

위 정리와 닫힌구간에서 하합, 상합의 정의와 닫힌상자에서 하합, 상합의 정의와 부피의 정의로

$\begin{align*} L(f;\mathcal{G}) & = \sum_{k=1}^n \inf f(B(\psi(k)))\cdot vol(B(\psi(k))) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^{n_1} \sum_{j=1}^{n_2} \inf f(B(i,j)) \cdot vol(B(i,j)) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^{n_1} \sum_{j=1}^{n_2} \inf f(B(i,j)) \cdot vol([x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1} , y_j]) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^{n_1} \sum_{j=1}^{n_2} \inf f(B(i,j)) \cdot (y_j- y_{j-1}) \cdot (x_i - x_{i-1}) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^{n_1}\left (\sum_{j=1}^{n_2} \inf f(B(i,j)) \cdot (y_j- y_{j-1}) \right ) \cdot (x_i - x_{i-1}) \\[0.5em] & \le \sum_{i= 1}^{n_1} \inf F_1([x_{i-1},x_i])\cdot (x_i -x_{i-1}) \\[0.5em] & \qquad = L(F_1 ; \mathcal{P}_1) \text{ 과} \end{align*}$

$\begin{align*} U(F_1 ; \mathcal{P}_1) & = \sum_{i= 1}^{n_1} \sup F_1([x_{i-1},x_i])\cdot (x_i -x_{i-1}) \\[0.5em] & \le \sum_{i=1}^{n_1}\left (\sum_{j=1}^{n_2} \sup f(B(i,j)) \cdot (y_j- y_{j-1}) \right ) \cdot (x_i - x_{i-1}) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{i=1}^{n_1} \sum_{j=1}^{n_2} \sup f(B(i,j)) \cdot (y_j- y_{j-1}) \cdot (x_i - x_{i-1}) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{i=1}^{n_1} \sum_{j=1}^{n_2} \sup f(B(i,j)) \cdot vol([x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1} , y_j]) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{i=1}^{n_1} \sum_{j=1}^{n_2} \sup f(B(i,j)) \cdot vol(B(i,j)) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{k=1}^n \sup f(B(\psi(k)))\cdot vol(B(\psi(k))) \\[0.5em] & \qquad = U(f;\mathcal{G}) \text{ 가 성립하고} \end{align*}$

$\begin{align*} L(f;\mathcal{G}) & = \sum_{k=1}^n \inf f(B(\psi(k)))\cdot vol(B(\psi(k))) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^{n_1} \sum_{j=1}^{n_2} \inf f(B(i,j)) \cdot vol(B(i,j)) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^{n_1} \sum_{j=1}^{n_2} \inf f(B(i,j)) \cdot vol([x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1} , y_j]) \\[0.5em] & = \sum_{j=1}^{n_2} \sum_{i=1}^{n_1} \inf f(B(i,j)) \cdot (x_i- x_{i-1}) \cdot (y_j - y_{j-1}) \\[0.5em] & = \sum_{j=1}^{n_2}\left (\sum_{i=1}^{n_1} \inf f(B(i,j)) \cdot (x_i- x_{i-1}) \right ) \cdot (y_j - y_{j-1}) \\[0.5em] & \le \sum_{j= 1}^{n_2} \inf F_2([y_{j-1},y_j])\cdot (y_j -y_{j-1}) \\[0.5em] & \qquad = L(F_2 ; \mathcal{P}_2) \text{ 과} \end{align*}$

$\begin{align*} U(F_2 ; \mathcal{P}_2) & = \sum_{j= 1}^{n_2} \sup F_2([y_{j-1},y_j])\cdot (y_j -y_{j-1}) \\[0.5em] & \le \sum_{j=1}^{n_2}\left (\sum_{i=1}^{n_1} \sup f(B(i,j)) \cdot (x_i- x_{i-1}) \right ) \cdot (y_j - y_{j-1}) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{j=1}^{n_2} \sum_{i=1}^{n_1} \sup f(B(i,j)) \cdot (x_i- x_{i-1}) \cdot (y_j - y_{j-1}) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{i=1}^{n_1} \sum_{j=1}^{n_2} \sup f(B(i,j)) \cdot vol([x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1} , y_j]) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{i=1}^{n_1} \sum_{j=1}^{n_2} \sup f(B(i,j)) \cdot vol(B(i,j)) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{k=1}^n \sup f(B(\psi(k)))\cdot vol(B(\psi(k))) \\[0.5em] & \qquad = U(f;\mathcal{G}) \text{ 가 성립함에 따라} \end{align*}$

닫힌구간에서 하적분, 상적분의 정의와 닫힌상자에서 하적분, 상적분의 정의와 하적분, 상적분 정리로

$L(f;\mathcal{G})\le L(F_1;\mathcal{P}_1)\le L(F_1)= L(\int_c^d f(\cdot,y) \operatorname{d}\!y) \le U(\int_c^d f(\cdot,y)\operatorname{d}\!y) = U(F_1) \le U(F_1;\mathcal{P}_1)\le U(f;\mathcal{G})$이고

$L(f;\mathcal{G})\le L(F_2;\mathcal{P}_2)\le L(F_2)= L(\int_a^b f(x,\cdot) \operatorname{d}\!x) \le U(\int_a^b f(x,\cdot)\operatorname{d}\!x) = U(F_2) \le U(F_2;\mathcal{P}_2)\le U(f;\mathcal{G})$이므로

하한, 상한의 정의로

$L(f) \le L(\int_c^df(\cdot,y)\operatorname{d}\!y)\le U(\int_c^d f(\cdot,y)\operatorname{d}\!y) \le U(f)$이고

$L(f) \le L(\int_a^b f(x,\cdot)\operatorname{d}\!x)\le U(\int_a^b f(x,\cdot)\operatorname{d}\!x) \le U(f)$이다.

정리3($2$차원 푸비니[Fubuni] 정리)

$a < b$이고 $c < d$인 닫힌구간 $[a,b],[c,d]$의 데카르트곱 $B = [a,b]\times [c,d]$에서 유계인 함수가 $f : B\to \mathbb{R}$일때

모든 $x\in [a,b]$에 대해 함수 $f(x,\cdot) : [c,d]\to \mathbb{R}$가 $[c,d]$에서 리만적분가능하고

모든 $y\in [c,d]$에 대해 함수 $f(\cdot,y) : [a,b]\to \mathbb{R}$가 $[a,b]$에서 리만적분가능하고

$B$에서 $f$가 리만적분가능하면 $\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!A = \int_c^d \int_a^b f(x,y) \operatorname{d}\!x \operatorname{d}\!y = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \operatorname{d}\!y \operatorname{d}\! x$이다.

증명

위 정리와 닫힌상자에서 리만적분의 정의와 닫힌구간에서 리만적분의 정의로

$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!A = L(f) \le L(\int_c^df(\cdot,y)\operatorname{d}\!y)= \int_a^b \int_c^d f(x,y)\operatorname{d}\!y \operatorname{d}\!x =U(\int_c^d f(\cdot,y)\operatorname{d}\!y) \le U(f) = \int_B f\operatorname{d}\!A$이고

$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!A =L(f) \le L(\int_a^b f(x,\cdot)\operatorname{d}\!x) = \int_c^d \int_a^b f(x,y) \operatorname{d}\!x \operatorname{d}\!y = U(\int_a^b f(x,\cdot)\operatorname{d}\!x) \le U(f) = \int_B f\operatorname{d}\!A $이므로

$\displaystyle \int_c^d \int_a^b f(x,y) \operatorname{d}\!x \operatorname{d}\!y = \int_B f\operatorname{d}\!A = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \operatorname{d}\!y \operatorname{d}\! x$이다.

정리4

실수집합 또는 복소수집합 $F\in \{ \mathbb{R},\mathbb{C}\}$와 임의의 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$m,1$차원 유클리드 거리공간이 $(F^{m},d_{m}),(F,d_1)$이고

임의의 $E_1,E_2,\cdots, E_m\subseteq F$의 $m$-데카르트곱 $E = \displaystyle \prod_{i=1}^m E_i$에 대해 $(F^{m},d_{m})$의 부분거리공간이 $(E,d_m)$일때

함수 $f :E\to F$가 $(E,d_m)$과 $(F,d_1)$에 대해 임의의 $(c_1,c_2,\cdots,c_m)\in E$에서 연속이면 다음이 성립한다.

1. 임의의 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 모든 $x_i\in E_i$가 $f_i(x_i) = f(c_1,\cdots ,c_{i-1},x_i,c_{i+1},\cdots, c_m)$인

함수 $f_i =f(c_1,\cdots,c_{i-1},\,\cdot\, ,c_{i+1},\cdots,c_m) :E_i\to F$는 $(E_i,d_1)$과 $(F,d_1)$에 대해 $c_i$에서 연속이다.

2. 임의의 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 $i_1,\cdots,i_k\in \mathbb{Z}^+$가 $1\le i_1 < \cdots < i_k\le m$일때

모든 $(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})\in \displaystyle \prod_{r = 1}^k E_{i_r}$에 대해 $g(x_{i_1},\cdots,x_{i_k}) = f(c_1,\cdots,c_{i_1 -1},x_{i_1},c_{i_1+1},\cdots, c_{i_k-1},x_{i_k},c_{i_k+1},\cdots,c_m)$인

함수 $g : \displaystyle \prod_{r = 1}^k E_{i_r}\to F$는 $(\displaystyle \prod_{r=1}^k E_{i_r},d_k)$와 $(F,d_1)$에 대해 $(c_{i_1},\cdots,c_{i_k})$에서 연속이다.

증명

$f$는 $(E,d_m)$과 $(F,d_1)$에 대해 $c = (c_1,c_2,\cdots,c_m)$에서 연속이므로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$d_m(x,c) < \delta_\epsilon$인 모든 $x= (x_1,x_2,\cdots,x_m)\in E$가 $d_1(f(x),f(c))< \epsilon$인 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재한다.

$|x_i - c_i| = d_1(x_i, c_i) < \delta_\epsilon$인 모든 $x_i\in E_i$에 대해 $(c_1,\cdots ,c_{i-1},x_i,c_{i+1},\cdots, c_m) \in E$이고

$d_m((c_1,\cdots,c_{i-1},x_i,c_{i+1},\cdots, c_m), c) = \displaystyle \sqrt{\sum_{k= 1}^{i-1} |c_k -c_k |^2 + |x_i - c_i |^2 + \sum_{k = i+1}^m|c_k- c_k|^2 } = \sqrt{|x_i-c_i|^2} = |x_i -c_i| < \delta_\epsilon \text{ 이므로}$

$d_1(f_i(x_i), f_i(c_i)) =d_1(f(c_1,\cdots,c_{i-1},x_i, c_{i+1},\cdots,c_m),f(c))< \epsilon$임에 따라

$f_i$는 $(E_i,d_1)$과 $(F,d_1)$에 대해 $c_i$에서 연속이다.

$d_k((x_{i_1},\cdots,x_{i_k}), (c_{i_1},\cdots,c_{i_k})) < \delta_\epsilon$인 모든 $(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})\in \displaystyle \prod_{r=1}^k E_{i_r}$에 대해

$(c_1,\cdots,c_{i_1 -1},x_{i_1},c_{i_1+1},\cdots, c_{i_k-1},x_{i_k},c_{i_k+1},\cdots,c_m)\in \displaystyle \prod_{i=1}^m E_i = E$이고

$\begin{align*} & d_m((c_1,\cdots,c_{i_1 -1},x_{i_1},c_{i_1+1},\cdots, c_{i_k-1},x_{i_k},c_{i_k+1},\cdots,c_m),c) \\[0.5em] & = \sqrt{ \begin{align*} |c_1 - c_1|^2 & + \cdots + |c_{i_1-1} - c_{i_1 -1}|^2 + |x_{i_1} - c_{i_1}|^2 + |c_{i_1+1} - c_{i_1 +1}|^2 \\[0.5em] & +\cdots + |c_{i_k-1} - c_{i_k -1}|^2 + |x_{i_k} - c_{i_k}|^2 + |c_{i_k+1} - c_{i_k +1}|^2 + \cdots + |c_m - c_m|^2 \end{align*} } \\[0.5em] & = \sqrt{|x_{i_1} - c_{i_1}|^2 +\cdots +|x_{i_k} - c_{i_k}|^2 } \\[0.5em] & = d_k((x_{i_1},\cdots,x_{i_k}), (c_{i_1},\cdots,c_{i_k})) \\[0.5em] & \lt \delta_\epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

$d_1(g(x_{i_1},\cdots,x_{i_k}), g(c_{i_1},\cdots,c_{i_k}) ) = d_1(f(c_1,\cdots,c_{i_1 -1},x_{i_1},c_{i_1+1},\cdots, c_{i_k-1},x_{i_k},c_{i_k+1},\cdots,c_m),f(c)) < \epsilon \text{ 임에 따라}$

$g$는 $(\displaystyle \prod_{r=1}^k E_{i_r},d_k)$와 $(F,d_1)$에 대해 $(c_{i_1},\cdots,c_{i_k})$에서 연속이다.

정리5

임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,n+1, 1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1}),(\mathbb{R},d_1)$이고

퇴화상자가 아닌 $n+1$차원 닫힌상자가 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^{n+1}[a_i,b_i]$일때

$B$에서 유계인 함수 $f: B\to \mathbb{R}$와 $\displaystyle B_n =\prod_{i=1}^n[a_i,b_i]$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f$가 $B$에서 리만적분가능하고

모든 $x \in B_n$에 대해 함수 $f(x, \,\cdot\,) : [a_{n+1},b_{n+1}]\to \mathbb{R}$가 $[a_{n+1},b_{n+1}]$에서 리만적분가능하면

함수 $\displaystyle \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(\,\cdot\,, t) \operatorname{d}\!t: B_n\to \mathbb{R}$는 $B_n$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_B f(x,t) \operatorname{d}(x,t) = \int_{B_n}\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d} \! x$이다.

2. $f$가 $(B,d_{n+1})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이면 $\displaystyle \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(\,\cdot\,, t) \operatorname{d}\!t$는 $(B_n,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

증명

$f$는 $B$에서 유계이므로 어떤 $M\in (0,\infty)$이 존재하여

모든 $x\in B_n$와 모든 $t \in [a_{n+1},b_{n+1}]$에 대해 $|f(x,t)|\le M$임에 따라 $f(x,\,\cdot\,)$은 $[a_{n+1},b_{n+1}]$에서 유계이고

리만적분 정리로 $\displaystyle \left |\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(x,t) \operatorname{d}\!t \right | \le M\cdot (b_{n+1}-a_{n+1})$이므로 $\displaystyle \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(\,\cdot\,, t)$는 $B_n$에서 유계이다.

모든 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^{n+1}[a_i,b_i]$의 격자 $\mathcal{G} = \{ G_r\}_{r=1}^p$는 어떤 $p_1, \cdots ,p_n, p_{n+1}\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $p = p_1\cdot \, \cdots\,\cdot p_n \cdot p_{n+1}$이고

모든 $i=1,\cdots,n,n+1$에 대해

$[a_i,b_i] = [x_{i,0},x_{i,1}] \cup [x_{i,1},x_{i,2}]\cup \cdots \cup [x_{i,p_i-1}, x_{i,p_i}]$이고 $a_i = x_{i,0} < x_{i,1}< \cdots < x_{i,p_i-1} < x_{i,p_i} = b_i$인

어떤 $x_{i,0},x_{i,1},\cdots, x_{i,p_i-1},x_{i,p_i}\in [a_i,b_i]$이 존재하여 모든 $r_i = 1,2,\cdots, p_i$에 대해

$G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}) = [x_{1,r_1-1}, x_{1,r_1}] \times \cdots \times [x_{n,r_n-1},x_{n,r_n}]\times [x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}]$이고

격자 정의의 전단사함수가 $\psi : \mathbb{Z}_{p_1\cdot \, \cdots \, \cdot p_n \cdot p_{n+1}}^+ \to \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times\cdots \times \mathbb{Z}_{p_n}^+\times \mathbb{Z}_{p_{n+1}}^+$일때

모든 $r=1,2,\cdots,p$에 대해 $G_r = G(\psi(r))$이다.

모든 $x\in B_n$에 대해 $F(x) = \displaystyle \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(x, t)\operatorname{d}\!t$인 함수가 $\displaystyle F = \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(\,\cdot\,, t)\operatorname{d}\!t : B_n\to \mathbb{R}$이고

모든 $i=1,\cdots,n$에 대해 모든 $r_i = 1,2,\cdots, p_i$가 $H(r_1,\cdots,r_n) = [x_{1,r_1-1},x_{1,r_1}]\times \cdots \times [x_{n,r_n-1},x_{n,r_n}]$일때

격자 정의의 전단사함수 $\phi : \mathbb{Z}_{p_1\cdot \, \cdots \, \cdot p_n}^+ \to \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times\cdots \times \mathbb{Z}_{p_n}^+$와 $\mathcal{G} = \{ G(\psi(r))\}_{r=1}^p$에 대해

$B_n$의 격자가 $\mathcal{H} = \{ H(\phi(k))\}_{k=1}^{p_1\cdot\,\cdots\, \cdot p_n}$이고 $[a_{n+1},b_{n+1}]$의 분할이 $\mathcal{P} = \{ [x_{n+1,r_{n+1} -1},x_{n+1,r_{n+1}}]\}_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}}$이면

모든 $i=1,\cdots,n,n+1$와 모든 $r_i = 1,2, \cdots ,p_i$에 대해

모든 $x\in H(r_1,\cdots,r_n)$와 모든 $t\in [x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}]$는 하한, 상한의 정의와 $n+1$-데카르트곱의 정의로

$\inf f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))=\inf f(H(r_1,\cdots,r_n) \times [x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}])\le f(x,t)$이고

$f(x,t) \le \sup f(H(r_1,\cdots,r_n)\times [x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}]) = \sup f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))$이므로

부분구간 적분 정리와 적분 부등식 정리와 상수함수 적분 정리로

$\displaystyle \inf f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}}-x_{n+1,r_{n+1}-1})\le \int_{x_{n+1,r_{n+1}-1}}^{x_{n+1,r_{n+1}}} f(x,t) \operatorname{d}\!t$이고

$\displaystyle \int_{x_{n+1,r_{n+1}-1}}^{x_{n+1,r_{n+1}}} f(x,t) \operatorname{d}\!t \le \sup f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}} - x_{n+1,r_{n+1}-1})$이 되어

가법 정리와 하한, 상한 정리와 하한, 상한의 정의로

$\begin{align*} \sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \inf f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}}-x_{n+1,r_{n+1}-1}) & \le \sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \inf \left \{ \int_{x_{n+1,r_{n+1}-1}}^{x_{n+1,r_{n+1}}} f(x,t) \operatorname{d}\!t : x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em]& \le \inf \left \{ \sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \int_{x_{n+1,r_{n+1}-1}}^{x_{n+1,r_{n+1}}} f(x,t) \operatorname{d}\!t : x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em]& \qquad= \inf \left \{ \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(x,t) \operatorname{d}\!t : x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em] & \qquad = \inf \left \{ F(x): x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em] & \qquad= \inf F( H(r_1,\cdots,r_n) ) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} \sup F( H(r_1,\cdots,r_n) ) & = \sup \left \{ F(x): x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em]& = \sup \left \{ \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(x,t) \operatorname{d}\!t : x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em]& = \sup \left \{ \sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \int_{x_{n+1,r_{n+1}-1}}^{x_{n+1,r_{n+1}}} f(x,t) \operatorname{d}\!t : x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em]& \le \sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \sup \left \{ \int_{x_{n+1,r_{n+1}-1}}^{x_{n+1,r_{n+1}}} f(x,t) \operatorname{d}\!t : x\in H(r_1,\cdots,r_n) \right \} \\[0.5em] & \le \sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \sup f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}}-x_{n+1,r_{n+1}-1}) ) \text{ 임에 따라} \end{align*}$

위 정리와 닫힌구간에서 하합, 상합의 정의와 닫힌상자에서 하합, 상합의 정의와 부피의 정의로

$\begin{align*} L(f;\mathcal{G}) & = \sum_{r=1}^p \inf f(G(\psi(r)))\cdot vol(G(\psi(r))) \\[0.5em] & = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n}\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \inf f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot vol(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1})) \\[0.5em] & = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n}\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \inf f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)\times [x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}]) \\[0.5em] & = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n}\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \inf f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}} -x_{n+1,r_{n+1}-1} ) \cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)) \\[0.5em] & = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n} \left (\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \inf f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}} -x_{n+1,r_{n+1}-1} ) \right ) \cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)) \\[0.5em] & \le \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n} \inf F(H(r_1,\cdots,r_n)) \cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{k=1}^{p_1\cdot\,\cdots\, \cdot p_n} \inf F( H(\phi(k)) ) \cdot vol( H(\phi(k)) ) \\[0.5em] & \qquad = L(F ; \mathcal{H}) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} U(F ; \mathcal{H}) & = \sum_{k=1}^{p_1\cdot\,\cdots\, \cdot p_n} \sup F( H(\phi(k)) ) \cdot vol( H(\phi(k)) ) \\[0.5em] & = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n} \sup F(H(r_1,\cdots,r_n)) \cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)) \\[0.5em] & \le \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n} \left (\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \sup f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}} -x_{n+1,r_{n+1}-1} ) \right ) \cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n}\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \sup f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot (x_{n+1,r_{n+1}} -x_{n+1,r_{n+1}-1} ) \cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n}\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \sup f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot vol(H(r_1,\cdots,r_n)\times [x_{n+1,r_{n+1}-1},x_{n+1,r_{n+1}}]) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{r_1=1}^{p_1}\cdots \sum_{r_n = 1}^{p_n}\sum_{r_{n+1}=1}^{p_{n+1}} \sup f(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1}))\cdot vol(G(r_1,\cdots,r_n,r_{n+1})) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{r=1}^p \sup f(G(\psi(r)))\cdot vol(G(\psi(r))) \\[0.5em] & \qquad = U(f;\mathcal{G}) \text{ 이므로} \end{align*}$

닫힌상자에서 하적분, 상적분의 정의와 하적분, 상적분 정리로

$L(f;\mathcal{G})\le L(F;\mathcal{H})\le L(F)= L(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(\cdot,t) \operatorname{d}\!t) \le U(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(\cdot,t)\operatorname{d}\!t) = U(F) \le U(F;\mathcal{H})\le U(f;\mathcal{G})$이고

하한, 상한의 정의와 리만적분의 정의로

$\displaystyle \int_B f(x,t)\operatorname{d}(x,t)=L(f) \le L(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}f(\cdot,t)\operatorname{d}\!t) \le U(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(\cdot,t)\operatorname{d}\!t) \le U(f) = \int_B f(x,t)\operatorname{d}(x,t)$가 되어

$\displaystyle \int_Bf(x,t)\operatorname{d}(x,t)=L(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}}f(\cdot,t)\operatorname{d}\!t) = U(\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(\cdot,t)\operatorname{d}\!t)$임에 따라

$\displaystyle \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(\,\cdot\,, t) \operatorname{d}\!t$는 $B_n$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_B f(x,t) \operatorname{d}(x,t) = \int_{B_n}\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d} \! x$이다.

상자 정리와 상자 정리로 $B$는 $n+1$차원 조르당영역이고 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 닫힌집합이므로

적분 정리로 $f$는 $B$에서 리만적분가능하고

조르당영역의 정의로 $B$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 유계이므로 하이네-보렐 정리로 $(B,d_{n+1})$은 콤팩트거리공간이 되어

콤팩트 정리로 $f$는 $(B,d_{n+1})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 균등연속함수이고 모든 $x\in B_n$에 대해

위 정리로 $f(x, \,\cdot\,)$는 $[a_{n+1},b_{n+1}]$에서 연속이므로 적분 정리로 $f(x, \,\cdot\,)$는 $[a_{n+1},b_{n+1}]$에서 리만적분가능하다.

균등연속의 정의로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $d_{n+1}((x,t_1),(y,t_2)) < \delta_\epsilon$인 모든 $(x,t_1),(y,t_2)\in B$가

$|f(x,t_1) - f(y,t_2)| = d_1(f(x,t_1),f(y,t_2)) < \dfrac{\epsilon}{2\cdot (b_{n+1} - a_{n+1})}$이 되는 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여

모든 $t\in [a_{n+1},b_{n+1}]$와 $d_n(x,y) < \delta_\epsilon$인 모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n),y = (y_1,y_2,\cdots,y_n)\in B_n$에 대해

$d_{n+1}((x,t) ,(y,t)) = \displaystyle \sqrt{\sum_{k=1}^n |x_k - y_k|^2 + |t - t|^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n |x_k-y_k|^2} = d_n(x,y) < \delta_\epsilon$이므로

$|f(x,t) - f(y,t)| < \dfrac{\epsilon}{2\cdot (b_{n+1} - a_{n+1})}$이고 적분의 선형성과 적분 부등식 정리로

$\begin{align*} \left | \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(x,t)\operatorname{d}\!t - \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(y,t) \operatorname{d}\!t \right | & = \left | \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} (f(x,t) - f(y,t))\operatorname{d}\!t \right | \\[0.5em] & \le \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} |f(x,t) - f(y,t)|\operatorname{d}\!t \\[0.5em] & \le \dfrac{\epsilon}{2\cdot (b_{n+1} - a_{n+1}) } \cdot (b_{n+1} -a_{n+1}) = \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \lt \epsilon \text{ 임에 따라} \end{align*}$

$\displaystyle \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(\,\cdot\,, t) \operatorname{d}\!t$는 $(B_n,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 균등연속함수가 되어

거리공간 정리로 $\displaystyle \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(\,\cdot\,, t) \operatorname{d}\!t$는 $(B_n,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

정리6(푸비니[Fubuni] 정리)

임의의 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $m, 1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m),(\mathbb{R},d_1)$이고

퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^m[a_i,b_i]$에 대해

함수 $f:B\to \mathbb{R}$가 $(B,d_m)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이면 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \int_{a_1}^{b_1} \int_{a_2}^{b_2} \cdots \int_{a_m}^{b_m} f(x_1,x_2,\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_2\operatorname{d}\!x_1$

2. $k < m$인 모든 $k = 1,2,\cdots,m$에 대해 $B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^k[a_i,b_i]$일때

모든 $(t_1,\cdots,t_k)\in B_k$에 대해 $\displaystyle g_k(t_1,\cdots,t_k) = \int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}} \cdots \int_{a_m}^{b_m} f(t_1,\cdots, t_k,x_{k+1},\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{k+1}$인

함수 $g_k: B_k\to \mathbb{R}$는 $(B_k,d_k)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

3. $k < m$인 모든 $k = 1,2,\cdots,m$에 대해 $B_k = \displaystyle \prod_{i=1}^k[a_i,b_i]$일때

$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \int_{B_k} \int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}} \cdots \int_{a_m}^{b_m} f(x_1,\cdots, x_k,x_{k+1},\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{k+1}\operatorname{d}(x_1,\cdots, x_k)$이다.

4. $\mathbb{Z}^+_m = \{ 1,2,\cdots,m\}$일때 임의의 전단사함수 $\sigma : \mathbb{Z}^+_m\to \mathbb{Z}^+_m$에 대해

$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \int_{a_{\sigma(1)}}^{b_{\sigma(1)}} \int_{a_{\sigma(2)}}^{b_{\sigma(2)}} \cdots \int_{a_{\sigma(m)}}^{b_{\sigma(m)}} f(x_1,x_2,\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_{\sigma(m)} \cdots \operatorname{d}\!x_{\sigma(2)}\operatorname{d}\!x_{\sigma(1)}$이다.

증명

상자 정리와 상자 정리로 $B$는 조르당영역이고 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 닫힌집합이므로

적분 정리로 $f$는 $B$에서 유계이고 리만적분가능하다.

$m\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$m = 1$일때 $1$-데카르트곱의 정의로 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^m[a_i,b_i] = [a_1,b_1]$이고 닫힌상자의 격자는 닫힌구간의 분할이므로

닫힌상자에서 리만적분의 정의와 닫힌구간에서 리만적분의 정의로 $\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \int_{a_1}^{b_1}f(x_1)\operatorname{d}\!x_1$이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립할때 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^{n +1}[a_i,b_i]$이면 $B_n = \displaystyle \prod_{i=1}^{n}[a_i,b_i]$은 퇴화상자가 아닌 $n$차원 닫힌상자이고

위 정리로 함수 $\displaystyle \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(\,\cdot\,, x_{n+1}) \operatorname{d}\!x_{n+1}: B_n\to \mathbb{R}$은 $(B_n,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로

상자 정리와 상자 정리와 적분 정리로 $\displaystyle \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(\,\cdot\,, x_{n+1}) \operatorname{d}\!x_{n+1}$은 $B_n$에서 리만적분가능하고

위 정리로 모든 $x\in B_n$에 대해 함수 $f(x, \,\cdot\,) : [a_{n+1},b_{n+1}]\to \mathbb{R}$는 $[a_{n+1},b_{n+1}]$에서 연속이므로

적분 정리로 $f(x,\,\cdot\,)$이 $[a_{n+1},b_{n+1}]$에서 리만적분가능함에 따라 위 정리와 귀납가정으로

$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \int_{B_n} \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(x,x_{n+1}) \operatorname{d}\! x_{n+1} \operatorname{d}\!x = \int_{a_1}^{b_1} \int_{a_2}^{b_2} \cdots \int_{a_n}^{b_n}\int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(x_1,x_2,\cdots,x_n,x_{n+1}) \operatorname{d}\!x_{n+1}\operatorname{d}\!x_n \cdots \operatorname{d}\!x_2\operatorname{d}\!x_1 \text{ 이다.}$

따라서 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f$가 $(B,d_m)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이면

$\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \int_{a_1}^{b_1} \int_{a_2}^{b_2} \cdots \int_{a_m}^{b_m} f(x_1,x_2,\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_2\operatorname{d}\!x_1$이다.

$m - k\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$m - k = 1$이면 $m = k+1$이고 $f$는 $(B,d_{k+1})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로

위 정리로 모든 $(t_1,\cdots,t_k)\in B_k$에 대해 $\displaystyle g_k(t_1,\cdots,t_k) = \int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}} f(t_1,\cdots, t_k,x_{k+1}) \operatorname{d}\!x_{k+1}$인

함수 $g_k : B_k\to \mathbb{R}$는 $(B_k,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립할때 $m-k = r+1$이면 $m - (k+1)=m -k -1 = r$이고 $k+1 < m$이므로

모든 $(t_1,\cdots, t_k,t_{k+1})\in B_{k+1}$에 대해

$\displaystyle g_{k+1}(t_1,\cdots,t_k,t_{k+1}) = \int_{a_{k+2}}^{b_{k+2}} \cdots \int_{a_m}^{b_m} f(t_1,\cdots, t_k,t_{k+1},x_{k+2},\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{k+2}$인

함수 $g_{k+1} :B_{k+1}\to \mathbb{R}$은 $(B_{k+1},d_{k+1})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수가 되어

위 정리로 모든 $(t_1,\cdots, t_k)\in B_{k}$에 대해

$\begin{align*}g_k(t_1,\cdots,t_k) & = \int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}} \int_{a_{k+2}}^{b_{k+2}} \cdots \int_{a_m}^{b_m} f(t_1,\cdots, t_k,x_{k+1},x_{k+2},\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{k+2} \operatorname{d}\! x_{k+1} \\[0.5em] & = \int_{a_{k+1}}^{b_{k+1}} g_{k+1}(t_1,\cdots, t_k ,x_{k+1})\operatorname{d}\! x_{k+1}\text{ 인} \end{align*} $

함수 $g_k : B_k \to \mathbb{R}$는 $(B_{k},d_{k})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

$k<m$인 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$k = 1$이면 $1$-데카르트곱의 정의로 $B_1 = \displaystyle \prod_{i=1}^1 [a_i,b_i] = [a_1,b_1]$이므로

1번과 닫힌구간에서 리만적분의 정의와 닫힌상자에서 리만적분의 정의로

$\begin{align*} \int_B f\operatorname{d}\!V & = \int_{a_1}^{b_1} \int_{a_2}^{b_2} \cdots \int_{a_m}^{b_m} f(x_1,x_2,\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_2\operatorname{d}\!x_1 \\[0.5em] &= \int_{[a_1,b_1]}\int_{a_2}^{b_2}\cdots \int_{a_m}^{b_m}f(x_1,x_2,\cdots,x_m)\operatorname{d}\!x_m\cdots \operatorname{d}\!x_2\operatorname{d}\!x_1 \\[0.5em] & = \int_{B_1} \int_{a_2}^{b_2}\cdots \int_{a_m}^{b_m}f(x_1,x_2,\cdots,x_m)\operatorname{d}\!x_m\cdots \operatorname{d}\!x_2\operatorname{d}\!x_1 \text{ 이다.} \end{align*}$

$r < m$인 모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립할때 $r +1 < m$이면

2번으로 모든 $(t_1,\cdots,t_r,t_{r+1})\in B_{r+1}$에 대해

$\displaystyle g_{r+1}(t_1,\cdots,t_r,t_{r+1}) =\int_{a_{r+2}}^{b_{r+2}} \cdots \int_{a_m}^{b_m} f(t_1,\cdots, t_r,t_{r+1},x_{r+2}\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{r+2}$인

함수 $g_{r+1} : B_{r+1}\to \mathbb{R}$은 $(B_{r+1},d_{r+1})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수가 되어

$r < r+1< m$임에 따라 상자 정리와 상자 정리와 적분 정리와 위 정리와 적분 정리와 위 정리와 귀납가정으로

$\begin{align*} \int_B f\operatorname{d}\!V &= \int_{B_r} \int_{a_{r+1}}^{b_{r+1}} \int_{a_{r+2}}^{b_{r+2}} \cdots \int_{a_m}^{b_m} f(x_1,\cdots, x_r,x_{r+1},x_{r+2}\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{r+2} \operatorname{d}\!x_{r+1}\operatorname{d}(x_1,\cdots, x_r) \\[0.5em] &= \int_{B_r} \int_{a_{r+1}}^{b_{r+1}} g_{r+1}(x_1,\cdots,x_r,x_{r+1}) \operatorname{d}\! x_{r+1}\operatorname{d}(x_1,\cdots,x_r) \\[0.5em] &=\int_{B_{r+1}} g_{r+1}(x_1,\cdots,x_r,x_{r+1}) \operatorname{d}(x_1,\cdots,x_r,x_{r+1}) \\[0.5em] &= \int_{B_{r+1}} \int_{a_{r+2}}^{b_{r+2}} \cdots \int_{a_m}^{b_m} f(x_1,\cdots, x_r,x_{r+1},x_{r+2}\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{r+2} \operatorname{d}(x_1,\cdots, x_r,x_{r+1}) \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 $k < m$인 모든 $k = 1,2,\cdots,m$에 대해

$m = 1$이면 $\sigma(1) = 1$이므로 1번으로 $\displaystyle \int_B f\operatorname{d}\!V = \int_{a_1}^{b_1} f(x_1)\operatorname{d}\!x_1 = \int_{a_{\sigma(1)}}^{b_{\sigma(1)}} f(x_1) \operatorname{d}\! x_{\sigma(1)}$이다.

$m\ge 2$이면

대칭군 정리로 어떤 $p\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\sigma = \mu_p \circ \cdots \circ \mu_2\circ \mu_1$인 인접호환 $\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_p : \mathbb{Z}_m^+ \to \mathbb{Z}_m^+$가 존재하므로

$p\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$p = 1$이면 $1\le i < i+1 \le m$인 어떤 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $\sigma(i) = i+1$과 $\sigma(i+1) = i$가 성립하고

$j\ne i$이고 $j\ne i+1$인 모든 $j = 1,2,\cdots,m$에 대해 $\sigma(j) = j$이므로

임의의 $(x_1,\cdots,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\cdots, x_m)\in B$에 대해

$i +1 = m$일때 $g_{i+1} = f$와 $B_{i+1} = B$로 두면 $g_{i+1}$은 $(B_{i+1},d_{i+1})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고

$i +1 < m$일때 2번으로 모든 $t_i\in [a_i,b_i]$와 모든 $t_{i+1}\in [a_{i+1},b_{i+1}]$에 대해

$g_{i+1}(x_1,\cdots ,x_{i-1} ,t_i,t_{i+1}) = \displaystyle \int_{a_{i+2}}^{b_{i+2}}\cdots \int_{a_m}^{b_m} f(x_1,\cdots,x_{i-1},t_i,t_{i+1},x_{i+2}\cdots, x_m)\operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{i+2}$인

함수 $g_{i+1} : B_{i+1}\to \mathbb{R}$은 $(B_{i+1},d_{i+1})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로

상자 정리와 상자 정리와 조르당영역의 정의로 $B_{i+1}$이 $(\mathbb{R}^{i+1},d_{i+1})$에서 유계인 닫힌집합임에 따라

하이네-보렐 정리로 $(B_{i+1},d_{i+1})$은 콤팩트거리공간이 되어

콤팩트 정리로 $g_{i+1}$은 $(B_{i+1},d_{i+1})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 균등연속함수이고 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$d_{i+1}(y,z) < \delta_\epsilon$인 모든 $y,z\in B_{i+1}$가 $|g_{i+1}(y) -g_{i+1}(z)| < \epsilon$이 되는 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하므로

모든 $t_i\in [a_i,b_i]$와 모든 $t_{i+1}\in [a_{i+1},b_{i+1}]$이

$g(t_i,t_{i+1}) = g_{i+1}(x_1,\cdots, x_{i-1},t_i,t_{i+1})$인 함수 $g : [a_i,b_i]\times [a_{i+1},b_{i+1}]$에 대해

$d_2((t_i,t_{i+1}),(u_{i},u_{i+1})) < \delta_\epsilon$인 모든 $(t_i,t_{i+1}),(u_i,u_{i+1})\in [a_i,b_i]\times [a_{i+1},b_{i+1}]$은

$\begin{align*}d_{i+1}((x_1,\cdots,x_{i-1},t_i,t_{i+1}),(x_1,\cdots,x_{i-1},u_i,u_{i+1})) & = \sqrt{ |x_1-x_1|^2 + \cdots +|x_{i-1}-x_{i-1}|^2+ |t_i-u_i|^2 +|t_{i+1}-u_{i+1}|^2 } \\[0.5em] & = \sqrt{|t_i-u_i|^2+ |t_{i+1}-u_{i+1}|^2} \\[0.5em] &= d_2((t_i,t_{i+1}),(u_i,u_{i+1})) \\[0.5em] & < \delta_\epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

$|g(t_i,t_{i+1}) - g(u_i,u_{i+1})| = |g_{i+1}(x_1,\cdots,x_{i-1},t_i,t_{i+1}) -g_{i+1}(x_1,\cdots,x_{i-1},u_i,u_{i+1})| < \epsilon$이 되어

$g$는 $( [a_i,b_i]\times [a_{i+1},b_{i+1}],d_2)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 균등연속함수이고

거리공간 정리로 $g$는 $( [a_i,b_i]\times [a_{i+1},b_{i+1}],d_2)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로

상자 정리와 상자 정리와 적분 정리로 $g$는 $[a_i,b_i]\times [a_{i+1},b_{i+1}]$에서 리만적분가능하다.

위 정리와 적분 정리로

모든 $t_i\in [a_i,b_i]$에 대해 $g(t_i,\, \cdot \,)$는 $[a_{i+1},b_{i+1}]$에서 연속이므로 $[a_{i+1},b_{i+1}]$에서 리만적분가능하고

모든 $t_{i+1}\in [a_{i+1},b_{i+1}]$에 대해 $g(\,\cdot \,,t_{i+1})$는 $[a_{i},b_{i}]$에서 연속이므로 $[a_{i},b_{i}]$에서 리만적분가능하여 위 정리로

$\begin{align*} & \int_{a_i}^{b_i} \int_{a_{i+1}}^{b_{i+1}} \int_{a_{i+2}}^{b_{i+2}}\cdots \int_{a_m}^{b_m} f(x_1,\cdots ,x_{i-1},x_i,x_{i+1},x_{i+2}\cdots, x_m)\operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{i+2} \operatorname{d}\!x_{i+1} \operatorname{d}\! x_i \\[0.5em] & = \int_{a_i}^{b_i} \int_{a_{i+1}}^{b_{i+1}} \int_{a_{i+2}}^{b_{i+2}}\cdots \int_{a_m}^{b_m} f(x_1,\cdots ,x_{i-1},t_i,t_{i+1},x_{i+2}\cdots, x_m)\operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{i+2} \operatorname{d}\!t_{i+1} \operatorname{d}\! t_i \\[0.5em] & = \int_{a_i}^{b_i} \int_{a_{i+1}}^{b_{i+1}} g_{i+1}(x_1,\cdots ,x_{i-1},t_i,t_{i+1}) \operatorname{d}\!t_{i+1} \operatorname{d}\! t_i \\[0.5em] & = \int_{a_i}^{b_i} \int_{a_{i+1}}^{b_{i+1}} g(t_i,t_{i+1}) \operatorname{d}\!t_{i+1} \operatorname{d}\! t_i \\[0.5em] & = \int_{a_{i+1}}^{b_{i+1}} \int_{a_i}^{b_i} g(t_i,t_{i+1})\operatorname{d}\!t_i \operatorname{d}\!t_{i+1} \\[0.5em] & = \int_{a_{i+1}}^{b_{i+1}} \int_{a_i}^{b_i} g_{i+1}(x_1,\cdots ,x_{i-1},t_i,t_{i+1}) \operatorname{d}\!t_i \operatorname{d}\!t_{i+1} \\[0.5em] & = \int_{a_{i+1}}^{b_{i+1}} \int_{a_i}^{b_i} \int_{a_{i+2}}^{b_{i+2}}\cdots \int_{a_m}^{b_m} f(x_1,\cdots ,x_{i-1},t_i,t_{i+1},x_{i+2}\cdots, x_m)\operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{i+2} \operatorname{d}\!t_i \operatorname{d}\!t_{i+1} \\[0.5em] & = \int_{a_{i+1}}^{b_{i+1}} \int_{a_i}^{b_i} \int_{a_{i+2}}^{b_{i+2}}\cdots \int_{a_m}^{b_m} f(x_1,\cdots ,x_{i-1},x_i,x_{i+1},x_{i+2}\cdots, x_m)\operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{i+2} \operatorname{d}\!x_i \operatorname{d}\!x_{i+1} \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} \int_B f\operatorname{d}\!V & = \int_{a_1}^{b_1} \cdots \int_{a_{i-1}}^{b_{i-1}} \int_{a_i}^{b_i} \int_{a_{i+1}}^{b_{i+1}} \int_{a_{i+2}}^{b_{i+2}}\cdots \int_{a_m}^{b_m} f(x_1,\cdots ,x_{i-1},x_i,x_{i+1},x_{i+2}\cdots, x_m)\operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{i+2} \operatorname{d}\!x_{i+1} \operatorname{d}\! x_i \operatorname{d}\! x_{i-1}\cdots \operatorname{d}\! x_1 \\[0.5em] & = \int_{a_1}^{b_1} \cdots \int_{a_{i-1}}^{b_{i-1}} \int_{a_{i+1}}^{b_{i+1}} \int_{a_i}^{b_i} \int_{a_{i+2}}^{b_{i+2}}\cdots \int_{a_m}^{b_m} f(x_1,\cdots ,x_{i-1},x_i,x_{i+1},x_{i+2}\cdots, x_m)\operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{i+2} \operatorname{d}\!x_i \operatorname{d}\!x_{i+1} \operatorname{d}\!x_{i-1}\cdots\operatorname{d}\! x_1 \\[0.5em] & = \int_{a_1}^{b_1} \cdots \int_{a_{i-1}}^{b_{i-1}} \int_{a_{\sigma(i)}}^{b_{\sigma(i)}} \int_{a_{\sigma(i+1)}}^{b_{\sigma(i+1)}} \int_{a_{i+2}}^{b_{i+2}}\cdots \int_{a_m}^{b_m} f(x_1,\cdots ,x_{i-1},x_i,x_{i+1},x_{i+2}\cdots, x_m)\operatorname{d}\!x_m \cdots \operatorname{d}\!x_{i+2} \operatorname{d}\!x_{\sigma(i+1)} \operatorname{d}\!x_{\sigma(i)} \operatorname{d}\!x_{i-1}\cdots\operatorname{d}\! x_1 \\[0.5em] & = \int_{a_{\sigma(1)}}^{b_{\sigma(1)}} \int_{a_{\sigma(2)}}^{b_{\sigma(2)}} \cdots \int_{a_{\sigma(m)}}^{b_{\sigma(m)}} f(x_1,x_2,\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_{\sigma(m)} \cdots \operatorname{d}\!x_{\sigma(2)}\operatorname{d}\!x_{\sigma(1)} \text{ 이다.} \end{align*}$

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립할때 $\sigma = \mu_{r+1} \circ \mu_r \circ \cdots \circ \mu_1$이면

$\sigma_r = \mu_r \circ \cdots \circ \mu_1$에 대해 $\sigma = \mu_{r+1} \circ \mu_r \circ \cdots \circ \mu_1 = \mu_{r+1}\circ \sigma_r$이고

위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리로

$\displaystyle B_{\sigma_r} = \prod_{i=1}^m[a_{\sigma_r(i)},b_{\sigma_r(i)}]$에 대해 모든 $(x_1,x_2,\cdots,x_m)\in \displaystyle B= \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$가

$\phi(x_1,x_2,\cdots,x_m) = (x_{\sigma_r(1)},x_{\sigma_r(2)},\cdots, x_{\sigma_r(m)})\in \displaystyle \prod_{i=1}^m[a_{\sigma_r(i)},b_{\sigma_r(i)}] = B_{\sigma_r}$인 전단사함수 $\phi : B \to B_{\sigma_r}$가 존재하여

$\phi$의 역함수 $\phi^{-1} : B_{\sigma_r} \to B$은 $\phi^{-1}(x_{\sigma_r(1)},x_{\sigma_r(2)},\cdots, x_{\sigma_r(m)}) = (x_1,x_2,\cdots,x_m)$이므로

$f(\phi^{-1}(x_{\sigma_r(1)},x_{\sigma_r(2)},\cdots, x_{\sigma_r(m)})) = f(x_1,x_2,\cdots,x_m)$이고

연속함수 정리로 $f\circ \phi^{-1} : B_{\sigma_r}\to \mathbb{R}$이 $(B_{\sigma_r},d_m)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수임에 따라

$\begin{align*} \int_B f\operatorname{d}\!V & = \int_{a_{1}}^{b_{1}} \int_{a_{2}}^{b_{2}} \cdots \int_{a_{m}}^{b_{m}} f(x_1,x_2,\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_{m} \cdots \operatorname{d}\!x_{2}\operatorname{d}\!x_{1} \\[0.5em] & = \int_{a_{\sigma_r(1)}}^{b_{\sigma_r(1)}} \int_{a_{\sigma_r(2)}}^{b_{\sigma_r(2)}} \cdots \int_{a_{\sigma_r(m)}}^{b_{\sigma_r(m)}} f(x_1,x_2,\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_{\sigma_r(m)} \cdots \operatorname{d}\!x_{\sigma_r(2)}\operatorname{d}\!x_{\sigma_r(1)} \\[0.5em] & = \int_{a_{\sigma_r(1)}}^{b_{\sigma_r(1)}} \int_{a_{\sigma_r(2)}}^{b_{\sigma_r(2)}} \cdots \int_{a_{\sigma_r(m)}}^{b_{\sigma_r(m)}} f(\phi^{-1}(x_{\sigma_r(1)},x_{\sigma_r(2)},\cdots, x_{\sigma_r(m)})) \operatorname{d}\!x_{\sigma_r(m)} \cdots \operatorname{d}\!x_{\sigma_r(2)}\operatorname{d}\!x_{\sigma_r(1)} \\[0.5em] & = \int_{a_{\mu_{r+1}(\sigma_r(1))}}^{b_{\mu_{r+1}(\sigma_r(1))}} \int_{a_{\mu_{r+1}(\sigma_r(2))}}^{b_{\mu_{r+1}(\sigma_r(2))}} \cdots \int_{a_{\mu_{r+1}(\sigma_r(m))}}^{b_{\mu_{r+1}(\sigma_r(m))}} f(\phi^{-1}(x_{\sigma_r(1)},x_{\sigma_r(2)},\cdots, x_{\sigma_r(m)})) \operatorname{d}\!x_{\mu_{r+1}(\sigma_r(m))} \cdots \operatorname{d}\!x_{\mu_{r+1}(\sigma_r(2))}\operatorname{d}\!x_{\mu_{r+1}(\sigma_r(1))} \\[0.5em] & = \int_{a_{\sigma(1)}}^{b_{\sigma(1)}} \int_{a_{\sigma(2)}}^{b_{\sigma(2)}} \cdots \int_{a_{\sigma(m)}}^{b_{\sigma(m)}} f(\phi^{-1}(x_{\sigma_r(1)},x_{\sigma_r(2)},\cdots, x_{\sigma_r(m)})) \operatorname{d}\!x_{\sigma(m)} \cdots \operatorname{d}\!x_{\sigma(2)}\operatorname{d}\!x_{\sigma(1)} \\[0.5em] & = \int_{a_{\sigma(1)}}^{b_{\sigma(1)}} \int_{a_{\sigma(2)}}^{b_{\sigma(2)}} \cdots \int_{a_{\sigma(m)}}^{b_{\sigma(m)}} f(x_1,x_2,\cdots,x_m) \operatorname{d}\!x_{\sigma(m)} \cdots \operatorname{d}\!x_{\sigma(2)}\operatorname{d}\!x_{\sigma(1)} \text{ 이다.} \end{align*}$

정리7

실수집합 또는 복소수집합 $F\in \{ \mathbb{R},\mathbb{C}\}$와 임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$n,1$차원 유클리드 거리공간이 $(F^n,d_n),(F,d_1)$이고

임의의 $E_1,E_2,\cdots, E_n\subseteq F$의 $n$-데카르트곱 $E = \displaystyle \prod_{i=1}^n E_i$와 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해

$(F^n,d_n),(F,d_1)$의 부분거리공간이 $(E,d_n),(E_i,d_1)$일때

$(F^n,d_n),(F,d_1)$의 거리위상공간 $(F^n,\mathcal{T}_n) ,(F,\mathcal{T}_1)$의 부분위상공간이 $(E,\mathcal{T}_n|_E),(E_i,\mathcal{T}_1|_{E_i})$이면 다음이 성립한다.

1. $(E,d_n)$의 거리위상공간은 $(E,\mathcal{T}_n|_E)$이다.

2. $(E_i,d_1)$의 거리위상공간은 $(E_i,\mathcal{T}_1|_{E_i})$이다.

3. $(F,\mathcal{T}_1)$의 $n$-곱공간은 $(F^n,\mathcal{T}_n)$이다.

4. $(E_1,\mathcal{T}_1|_{E_1}),(E_2,\mathcal{T}_1|_{E_2}),\cdots,(E_n,\mathcal{T}_1|_{E_n})$의 $n$-곱공간은 $(E,\mathcal{T}_n|_E)$이다.

증명

1, 2

위상공간 정리로 $(E,d_n),(E_i,d_1)$의 거리위상공간은 $(E,\mathcal{T}_n|_E),(E_i,\mathcal{T}_1|_{E_i})$이다.

모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n),y = (y_1,y_2,\cdots,y_n)\in F^n$에 대해 유클리드 거리공간의 정의와 절댓값 정리로

$\begin{align*}d_n(x,y) & = \sqrt{|x_1-y_1|^2 + |x_2-y_2|^2+\cdots + |x_n-y_n|^2} \\[0.5em]& = \sqrt{(d_1(x_1,y_1))^2 +(d_1(x_2,y_2))^2+\cdots + (d_1(x_n,y_n))^2} \text{ 이므로} \end{align*}$

유한 곱공간 정리로 $(F,\mathcal{T}_1)$의 $n$-곱공간은 $(F^n,\mathcal{T}_n)$이다.

1, 2, 3번과 유한 곱공간 정리로 $(E_1,\mathcal{T}_1|_{E_1}),(E_2,\mathcal{T}_1|_{E_2}),\cdots,(E_n,\mathcal{T}_1|_{E_n})$의 $n$-곱공간은 $(E,\mathcal{T}_n|_E)$이다.

정리8

위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n\in \mathbb{Z}^+$-곱공간 $(X,\mathcal{T})$일때

위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $(X,\mathcal{T}),(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $2$-곱공간 $(X\times Y,\mathcal{P})$은

$(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots, (X_n,\mathcal{T}_n),(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $n+1$-곱공간 $(Z, \mathcal{P}_Z)$에 대해 $(X\times Y,\mathcal{P}) = (Z,\mathcal{P}_Z)$이다.

증명

유한 곱공간의 정의와 $n+1$-데카르트곱의 정의로

$X\times Y = (X_1\times X_2\times \cdots \times X_n) \times Y = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n \times Y = Z$이다.

모든 $O\in \mathcal{P}$의 모든 $(x,y)\in O$에 대해

유한 곱공간 정리와 위상공간 정리로 $(x,y)\in U \times V\subseteq O$인 $(U,V)\in \mathcal{T}\times \mathcal{T}_Y$가 존재하여

$x = (x_1,x_2,\cdots, x_n)$일때 $(x_1,x_2,\cdots, x_n) = x \in U \subseteq X = X_1\times X_2 \times \cdots \times X_n$이므로

$(x_1,x_2,\cdots, x_n) \in U_1\times U_2\times \cdots \times U_n \subseteq U$인 $(U_1,U_2,\cdots, U_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n$이 존재하고

$(U_1,U_2,\cdots, U_n, V)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n\times \mathcal{T}_Y$가 되어 $U_1\times U_2\times \cdots \times U_n \times V \in \mathcal{P}_Z$이므로

$(x,y) =(x_1,x_2,\cdots,x_n,y) \in U_1\times U_2\times \cdots \times U_n \times V\subseteq U \times V\subseteq O$임에 따라

위상공간 정리로 $O\in \mathcal{P}_Z$이고 $\mathcal{P} \subseteq \mathcal{P}_Z$이다.

모든 $O\in \mathcal{P}_Z$의 모든 $(x_1,x_2,\cdots, x_n, y)\in O$에 대해

유한 곱공간 정리와 위상공간 정리로 $(x_1,x_2,\cdots, x_n, y)\in U_1\times U_2 \times \cdots \times U_n \times V \subseteq O$인

$(U_1,U_2,\cdots, U_n, V)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n\times \mathcal{T}_Y$가 존재하여 $(U_1,U_2,\cdots, U_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n$이므로

$U_1\times U_2 \times \cdots \times U_n\in \mathcal{T}$임에 따라 $(U_1\times U_2 \times \cdots \times U_n,V)\in \mathcal{T}\times \mathcal{T}_Y$이고

$U_1\times U_2 \times \cdots \times U_n \times V \in \mathcal{P}$가 되어 위상공간 정리로 $O\in \mathcal{P}$이므로 $\mathcal{P}_Z \subseteq \mathcal{P}$이고 집합 정리로 $\mathcal{P} = \mathcal{P}_Z$이다.

따라서 위상공간의 정의와 순서쌍의 상등으로 $(X\times Y,\mathcal{P}) = (Z,\mathcal{P}_Z)$이다.

정리9

실수집합 또는 복소수집합 $F\in \{ \mathbb{R},\mathbb{C}\}$와 임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$n,n+1,1$차원 유클리드 거리공간이 $(F^n,d_n),(F^{n+1},d_{n+1}),(F,d_1)$일때 다음이 성립한다.

1. $(F^n,d_n)$에서 열린집합 $U$와 $(F,d_1)$에서 열린집합 $V$에 대해 $U\times V$는 $(F^{n+1},d_{n+1})$에서 열린집합이다.

2. $(F^n,d_n)$에서 닫힌집합 $C$와 $(F,d_1)$에서 닫힌집합 $D$에 대해 $C\times D$는 $(F^{n+1},d_{n+1})$에서 닫힌집합이다.

3. 임의의 $A \subseteq F^n$와 임의의 $B\subseteq F$에 대해

$(F^n,d_n),(F,d_1)$의 부분거리공간이 $(A,d_n),(B,d_1)$이고 $(F^{n+1},d_{n+1})$의 부분거리공간이 $(A\times B,d_{n+1})$일때

$(A,d_n)$에서 $(F,d_1)$로의 연속함수가 $f :A\to F$이고 $(B,d_1)$에서 $(F,d_1)$로의 연속함수가 $g: B\to F$이면

임의의 $c,d\in F$에 대해 모든 $(x,y)\in A\times B$가 $h(x,y) = c\cdot f(x) + d \cdot g(y)$인

함수 $h: A\times B\to F$는 $(A\times B,d_{n+1})$에서 $(F,d_1)$로의 연속함수이다.

4. 임의의 $A \subseteq F^n$와 임의의 $B\subseteq F$에 대해

함수 $h: A\times B\to F$가 $(A\times B,d_{n+1})$와 $(F,d_1)$에 대해 임의의 $(x,y)\in A\times B$에서 연속이면

함수 $h(x,\,\cdot\,) : B\to F$는 $(B,d_1)$과 $(F,d_1)$에 대해 $y$에서 연속이다.

증명

$(F^n,d_n),(F^{n+1},d_{n+1}),(F,d_1)$의 거리위상공간이 $(F^n,\mathcal{T}_n),(F^{n+1},\mathcal{T}_{n+1}),(F,\mathcal{T}_1)$일때

위 정리로 $(F^n,\mathcal{T}_n)$은 $(F,\mathcal{T}_1)$의 $n$-곱공간이고 $(F^{n+1},\mathcal{T}_{n+1})$은 $(F,\mathcal{T}_1)$의 $n+1$의 곱공간이므로

위 정리로 $(F^{n+1},\mathcal{T}_{n+1})$은 $(F^n,\mathcal{T}_n),(F,\mathcal{T}_1)$의 $2$-곱공간이다.

$n+1$-데카르트곱의 정의로 $A\times B \subseteq F^n \times F = F^{n+1}$이다.

위상공간 정리로 $U$는 $(F^n,\mathcal{T}_n)$에서 열린집합이고 $V$는 $(F,\mathcal{T}_1)$에서 열린집합이므로

유한 곱공간 정리로 $U\times V$는 $(F^{n+1},\mathcal{T}_{n+1})$에서 열린집합이 되어

위상공간 정리로 $U\times V$는 $(F^{n+1},d_{n+1})$에서 열린집합이다.

위상공간 정리로 $C$는 $(F^n,\mathcal{T}_n)$에서 닫힌집합이고 $D$는 $(F,\mathcal{T}_1)$에서 닫힌집합이므로

유한 곱공간 정리로 $C\times D$는 $(F^{n+1},\mathcal{T}_{n+1})$에서 닫힌집합이 되어

위상공간 정리로 $C\times D$는 $(F^{n+1},d_{n+1})$에서 닫힌집합이다.

연속함수 정리와 연속함수 정리로

모든 $x\in A$에 대해 $f_c(x) =c\cdot f(x)$인 함수 $f_c : A\to F$는 $(A,d_n)$에서 $(F,d_1)$로의 연속함수이고

모든 $y\in B$에 대해 $g_d(y) = d\cdot g(y)$인 함수 $g_d :B\to F$는 $(B,d_1)$에서 $(F,d_1)$로의 연속함수이므로

임의의 $(z,w)\in A\times B$와 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 연속함수의 정의로

$d_n(x,z) < \delta_\epsilon$인 모든 $x\in A$가 $|f_c(x) - f_c(z)| < \dfrac{\epsilon}{2}$인 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하고

$d_1(y,w) < \eta_\epsilon$인 모든 $y\in B$가 $|g_d(y) - g_d(w)| < \dfrac{\epsilon}{2}$인 $\eta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여

$d_{n+1}((x,y),(z,w)) < \min \{ \delta_\epsilon, \eta_\epsilon\}$인 모든 $(x,y)\in A\times B$에 대해

$x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)$이고 $z = (z_1,z_2,\cdots,z_n)$일때 부등식 정리와 절댓값 정리와 최소원소의 정의로

$\displaystyle d_n(x,z) =\sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i-z_i|^2}\le \sqrt{ \sum_{i= 1}^n |x_i- z_i|^2 + |y - w|^2} = d_{n+1}((x,y),(z,w)) < \delta_\epsilon$이고

$\displaystyle d_1(y,w) =|y-w| =\sqrt{ | y- w|^2}\le \sqrt{ \sum_{i= 1}^n |x_i- z_i|^2 + |y - w|^2} = d_{n+1}((x,y),(z,w)) < \eta_\epsilon$이므로

삼각부등식으로

$\begin{align*} d_1(h(x,y),h(z,w)) & = |h(x,y) - h(z,w)| \\[0.5em] & = |c\cdot f(x) + d\cdot g(y) - c\cdot f(z) - d\cdot g(w)| \\[0.5em] & = |f_c(x) + g_d(y) - f_c(z) - g_d(w)| \\[0.5em] & \le |f_c(x) - f_c(z) | + |g_d(y) - g_d(w)| \\[0.5em] & < \dfrac{\epsilon}{2} +\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 임에 따라}\end{align*}$

$h$는 $(A\times B,d_{n+1})$과 $(F,d_1)$에 대해 모든 $(z,w)\in A\times B$에서 연속이 되어

$h$는 $(A\times B,d_{n+1})$에서 $(F,d_1)$로의 연속함수이다.

$h$는 $(A\times B,d_{n+1})$와 $(F,d_1)$에 대해 $(x,y)$에서 연속이므로 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해

$d_{n+1}((x,y),(z,w)) < \delta_\epsilon$인 모든 $(z,w)\in A\times B$가 $|h(x,y) -h(z,w)| < \epsilon$이 되는 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여

$x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)$일때 $|y - w|< \delta_\epsilon$인 모든 $w\in B$에 대해 $(x,w)\in A\times B$이고

$d_{n+1}((x,y),(x,w)) = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i-x_i|^2 + |y-w|^2} = \sqrt{|y-w|^2} = |y-w| < \delta_\epsilon$이므로

$|h(x,y)- h(x,w)| < \epsilon$임에 따라 $h(x,\,\cdot\,)$는 $(B,d_1)$과 $(F,d_1)$에 대해 $y$에서 연속이다.

정의1

임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n, n+1,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1}),(\mathbb{R},d_1)$이고

임의의 $n$차원 조르당영역 $P \subseteq \mathbb{R}^n$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합일때

임의의 $i=1,\cdots,n,n+1$와 $(P,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수 $\phi, \psi :P \to \mathbb{R}$에 대해

$\begin{align*}E = \{ (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})\in \mathbb{R}^{n+1} : \; & (x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\in P \text{ 이고 } \\[0.5em] & \phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\le x_i \le \psi(x_1,\cdots, x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\} \text{ 인}\end{align*}$

집합 $E\subseteq \mathbb{R}^{n+1}$를 $i,\phi,\psi$에 대한 $P$로의 사영가능영역(projectable region)으로 정의한다.

$i = n+1$이면

$\begin{align*} E & = \{ (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})\in \mathbb{R}^{n+1} : (x_1,\cdots,x_n)\in P \text{ 이고 } \phi(x_1,\cdots,x_n)\le x_{n+1} \le \psi(x_1,\cdots, x_n)\} \\[0.5em] & = \{ (x,t)\in \mathbb{R}^{n+1} : x\in P \text{ 이고 }\phi(x)\le t \le\psi(x)\} \text{ 이다.} \end{align*}$

정리10

임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n, n+1,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1}),(\mathbb{R},d_1)$이고

임의의 $n$차원 조르당영역 $P \subseteq \mathbb{R}^n$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합일때

임의의 $i=1,\cdots,n,n+1$와 $(P,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수 $\phi, \psi :P \to \mathbb{R}$에 대해

$E\subseteq \mathbb{R}^{n+1}$가 $i,\phi,\psi$에 대한 $P$로의 사영가능영역이면 다음이 성립한다.

1. $E$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 닫힌집합이다.

2. $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 $E$의 내부 $\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)}$는

$\begin{align*}\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)} = \{ (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})\in \mathbb{R}^{n+1} : \; & (x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)} \text{ 이고 } \\[0.5em] & \phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1}) < x_i < \psi(x_1,\cdots, x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\} \text{ 이다.}\end{align*}$

3. $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 $E$의 경계 $\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\partial E}$는

$B = \{ (x_1,\cdots,x_n, x_{n+1})\in E : \phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) = x_i\}$와

$T = \{ (x_1,\cdots,x_n, x_{n+1})\in E : x_i = \psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) \}$와

$S = \{ (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})\in E : (x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\in \underset{(\mathbb{R}^{n},d_{n})}{\partial P}\}$에 대해 $\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\partial E} = B\cup T \cup S$이다.

4. $E$는 $n+1$차원 조르당영역이다.

증명

위 정리와 연속함수 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리로

모든 $x= (x_1,\cdots,\cdots ,x_n, x_{n+1})\in \mathbb{R}^{n+1}$에 대해

$\rho_i(x) = (x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\in \mathbb{R}^n$인

함수 $\rho_i : \mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}^n$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이고

$ \sigma_i(x) = (x_1,\cdots,x_{i-1}, x_{i+1},\cdots, x_{n+1},x_i) \in \mathbb{R}^{n+1}$인

함수 $\sigma_i : \mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}^{n+1}$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$로의 연속함수이다.

항등함수 정리로 모든 $t\in \mathbb{R}$에 대해 $\iota(t) = t$인 함수 $\iota : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$는 $(\mathbb{R},d_1)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.

1, 2

위 정리로 모든 $(t_1,\cdots,t_n)\in P$와 모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해

$g(t_1,\cdots ,t_n, t) = \iota(t) - \phi(t_1,\cdots,t_n) = t - \phi(t_1,\cdots, t_n)$이고

$h(t_1,\cdots ,t_n, t) = \psi(t_1,\cdots,t_n) - \iota(t) = \psi(t_1,\cdots, t_n) - t$인

함수 $g, h : P\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$는 $(P\times \mathbb{R},d_{n+1})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $[0,\infty)$가 $(\mathbb{R},d_1)$에서 닫힌집합임에 따라

연속함수 정리로 $g^{-1}([0,\infty)),h^{-1}([0,\infty))$는 $(P\times \mathbb{R},d_{n+1})$에서 닫힌집합이고

$P$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이므로 연속함수 정리로 $\rho_i^{-1}(P)$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 닫힌집합이고

거리공간 정리로 $\mathbb{R}$은 $(\mathbb{R},d_1)$에서 닫힌집합이 되어 위 정리로 $P\times \mathbb{R}$이 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 닫힌집합임에 따라

거리공간 정리로 $g^{-1}([0,\infty)),h^{-1}([0,\infty))$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 닫힌집합이고

연속함수 정리로 $\sigma_i^{-1}(g^{-1}([0,\infty))), \sigma_i^{-1}(h^{-1}([0,\infty)))$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 닫힌집합이 되어

거리공간 정리로 $\rho_i^{-1}(P)\cap \sigma_i^{-1}(g^{-1}([0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h^{-1}([0,\infty)))$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 닫힌집합이다.

사영가능영역의 정의로 모든 $x = (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1}) \in E$는

$\rho_i(x) =(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\in P $이므로 $x \in \rho_i^{-1}(P)$이고

$\phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\le x_i \le \psi(x_1,\cdots, x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})$이므로

$0\le x_i - \phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) = g(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1},x_i) $임에 따라

$\sigma_i(x) = (x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1},x_i) \in g^{-1}([0,\infty))$가 되어 $x \in \sigma_i^{-1}(g^{-1}( [0,\infty) ))$이고

$0\le \psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) - x_i = h(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1},x_i)$임에 따라

$\sigma_i(x) = (x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1},x_i) \in h^{-1}([0,\infty))$이므로 $x \in \sigma_i^{-1}(h^{-1}( [0,\infty) ))$이고

$x \in \rho_i^{-1}(P)\cap \sigma_i^{-1}(g^{-1}([0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h^{-1}([0,\infty)))$가 되어

$E\subseteq \rho_i^{-1}(P)\cap \sigma_i^{-1}(g^{-1}([0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h^{-1}([0,\infty)))$이다.

모든 $x = (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1}) \in \rho_i^{-1}(P)\cap \sigma_i^{-1}(g^{-1}([0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h^{-1}([0,\infty)))$는

$x \in \rho_i^{-1}(P)$이므로 $(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1}) = \rho_i(x)\in P $이고

$x \in \sigma_i^{-1}(g^{-1}([0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h^{-1}([0,\infty)))$이므로 $\sigma_i(x) \in g^{-1}([0,\infty))$이고 $\sigma_i(x) \in h^{-1}([0,\infty))$가 되어

$x_i - \phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) = g(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1},x_i) = g(\sigma_i(x)) \in [0,\infty)$이고

$\psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) - x_i = h(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1},x_i) =h(\sigma_i(x)) \in [0,\infty)$임에 따라

$0\le x_i - \phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1})$이고 $0\le \psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) - x_i$이므로

$\phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\le x_i \le \psi(x_1,\cdots, x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})$이 되어

사영가능영역의 정의로 $x \in E$이고 $\rho_i^{-1}(P)\cap \sigma_i^{-1}(g^{-1}([0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h^{-1}([0,\infty)))\subseteq E$이므로

집합 정리로 $E=\rho_i^{-1}(P)\cap \sigma_i^{-1}(g^{-1}([0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h^{-1}([0,\infty)))$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 닫힌집합이다.

$\begin{align*} U = \{ (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})\in \mathbb{R}^{n+1} : \; & (x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)} \text{ 이고 } \\[0.5em] & \phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1}) < x_i < \psi(x_1,\cdots, x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\} \text{ 일때}\end{align*}$

내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}\subseteq P$이므로 데카르트곱의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)} \times \mathbb{R} \subseteq P \times \mathbb{R}$이고 제한함수의 정의와 연속함수 정리로

함수 $g_\circ = g|_{\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)} \times \mathbb{R}}, h_\circ = h|_{\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}\times \mathbb{R}} : \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$은 $(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}\times \mathbb{R},d_{n+1})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이므로

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(0,\infty)$가 $(\mathbb{R},d_1)$에서 열린집합임에 따라

연속함수 정리로 $g_\circ^{-1}((0,\infty)),h_\circ^{-1}((0,\infty))$는 $(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}\times \mathbb{R},d_{n+1})$에서 열린집합이고 내부 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이므로 연속함수 정리로 $\rho_i^{-1}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)})$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 열린집합이고

거리공간 정리로 $\mathbb{R}$은 $(\mathbb{R},d_1)$에서 열린집합이 되어 위 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}\times \mathbb{R}$이 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 열린집합임에 따라

거리공간 정리로 $g_\circ^{-1}((0,\infty)),h_\circ^{-1}((0,\infty))$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 열린집합이고

연속함수 정리로 $\sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}((0,\infty))), \sigma_i^{-1}(h_\circ^{-1}((0,\infty)))$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 열린집합이 되어

거리공간 정리로 $\rho_i^{-1}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)})\cap \sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}((0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h_\circ^{-1}((0,\infty)))$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 열린집합이다.

모든 $x = (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1}) \in U$는

$\rho_i(x) =(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}$이므로 $x \in \rho_i^{-1}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)})$이고

$\phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})< x_i < \psi(x_1,\cdots, x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})$이므로

$0 < x_i - \phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) = g_\circ(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1},x_i) $임에 따라

$\sigma_i(x) = (x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1},x_i) \in g_\circ^{-1}((0,\infty))$가 되어 $x \in \sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}( (0,\infty) ))$이고

$0 < \psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) - x_i = h_\circ(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1},x_i)$임에 따라

$\sigma_i(x) = (x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1},x_i) \in h_\circ^{-1}((0,\infty))$이므로 $x \in \sigma_i^{-1}(h_\circ^{-1}( (0,\infty) ))$이고

$x \in \rho_i^{-1}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)})\cap \sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}((0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h_\circ^{-1}( (0,\infty)))$가 되어

$U\subseteq \rho_i^{-1}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)})\cap \sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}((0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h_\circ^{-1}((0,\infty)))$이다.

모든 $x = (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1}) \in \rho_i^{-1}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)})\cap \sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}( (0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h_\circ^{-1}( (0,\infty)))$는

$x \in \rho_i^{-1}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)})$이므로 $(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1}) = \rho_i(x)\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}$이고

$x \in \sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}( (0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h_\circ^{-1}( (0,\infty)))$이므로 $\sigma_i(x) \in g_\circ^{-1}( (0,\infty))$이고 $\sigma_i(x) \in h_\circ^{-1}((0,\infty))$가 되어

$x_i - \phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) = g_\circ(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1},x_i) = g_\circ(\sigma_i(x)) \in (0,\infty)$이고

$\psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) - x_i = h_\circ(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1},x_i)= h_\circ(\sigma_i(x)) \in (0,\infty)$임에 따라

$0 < x_i - \phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1})$이고 $0 < \psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) - x_i$이므로

$\phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1}) < x_i < \psi(x_1,\cdots, x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})$이 되어

$x \in U$이고 $\rho_i^{-1}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)})\cap \sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}( (0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h_\circ^{-1}( (0,\infty)))\subseteq U$이므로

집합 정리로 $U =\rho_i^{-1}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)})\cap \sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}( (0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h_\circ^{-1}( (0,\infty)))$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 열린집합이다.

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}\subseteq P$이므로 $\rho_i^{-1}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)})\subseteq \rho_i^{-1}(P)$이고 $(0,\infty) \subseteq [0,\infty)$이므로 제한함수의 정의와 함수 정리로

$g_\circ^{-1}((0,\infty)) = (g|_{\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}\times \mathbb{R}})^{-1}((0,\infty)) = g^{-1}((0,\infty)) \cap (\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}\times \mathbb{R}) \subseteq g^{-1}((0,\infty)) \subseteq g^{-1}([0,\infty))$이고

$h_\circ^{-1}((0,\infty)) = (h|_{\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}\times \mathbb{R}})^{-1}((0,\infty)) = h^{-1}((0,\infty)) \cap (\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}\times \mathbb{R}) \subseteq h^{-1}((0,\infty)) \subseteq h^{-1}([0,\infty))$임에 따라

$U =\rho_i^{-1}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)})\cap \sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}( (0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h_\circ^{-1}( (0,\infty)))\subseteq \rho_i^{-1}(P)\cap \sigma_i^{-1}(g^{-1}([0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h^{-1}([0,\infty))) = E \text{ 가 되어}$

내부 정리로 $U\subseteq \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)}$이다.

내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E \subseteq \rho_i^{-1}(P)$이므로 위 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 함수 정리로

$\rho_i(\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)}) \subseteq \rho_i(\rho_i^{-1}(P)) = P$이고 $\rho_i(\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)})$는 $(\mathbb{R}^{n},d_{n})$에서 열린집합이 되어

내부 정리로 $\rho_i(\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)}) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^{n},d_{n})}{\operatorname{int}(P)}$이고 함수 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)}\subseteq \rho_i^{-1}(\rho_i(\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)})) \subseteq \rho_i^{-1}(\underset{(\mathbb{R}^{n},d_{n})}{\operatorname{int}(P)})$이다.

어떤 $x = (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})\in \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)}$가 $x\notin \sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}( (0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h_\circ^{-1}( (0,\infty)))$라고 가정하면

$x\in \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)} \subseteq \rho_i^{-1}(\underset{(\mathbb{R}^{n},d_{n})}{\operatorname{int}(P)})$이므로 $(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) =\rho_i(x)\in \underset{(\mathbb{R}^{n},d_{n})}{\operatorname{int}(P)}\subseteq P$이고

내부의 정의로 $x \in \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{B(x,r)}\subseteq E$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하여

함수 정리로 $x\notin \sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}( (0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h_\circ^{-1}( (0,\infty))) = \sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}((0,\infty)) \cap h_\circ^{-1}((0,\infty)) )$이고

$\sigma_i(x) \notin g_\circ^{-1}((0,\infty)) \cap h_\circ^{-1}((0,\infty))$가 되어

$x_i - \phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) = g_\circ(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1},x_i) =g_\circ(\sigma_i(x)) \notin (0,\infty)$ 또는

$\psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) - x_i = h_\circ(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1},x_i) =h_\circ(\sigma_i(x)) \notin (0,\infty)$이므로

$x_i - \phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) \le 0 $ 또는 $\psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) - x_i \le 0$임에 따라

$x_i \le \phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1})$ 또는 $\psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) \le x_i$인데

$d_{n+1}(x ,(x_1,\cdots,x_{i-1},x_i -\frac{r}{2},x_{i+1}, \cdots,x_{n+1})) = \displaystyle \sqrt{ |x_i - x_i + \tfrac{r}{2}|^2} = \frac{r}{2} < r$이고

$d_{n+1}(x ,(x_1,\cdots,x_{i-1},x_i +\frac{r}{2},x_{i+1}, \cdots,x_{n+1})) = \displaystyle \sqrt{ |x_i - x_i - \tfrac{r}{2}|^2} = \frac{r}{2} < r$이므로 열린공의 정의로

$(x_1,\cdots,x_{i-1},x_i -\tfrac{r}{2},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}),(x_1,\cdots,x_{i-1},x_i +\tfrac{r}{2},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) \in \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{B(x,r)}\subseteq E$이고

사영가능영역의 정의로

$\phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1})\le x_i - \dfrac{r}{2} < x_i < x_i +\dfrac{r}{2}\le \psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1})$임에 따라

$x_i \le \phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1})$일때 $x_i\le x_i -\dfrac{r}{2} < x_i$이므로 모순이고

$\psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) \le x_i$일때 $x_i < x_i +\dfrac{r}{2} \le x_i$가 되어 모순임에 따라

모든 $x \in \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)}$는 $x\in \sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}( (0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h_\circ^{-1}( (0,\infty)))$이고

$\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)}\subseteq \rho_i^{-1}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)})\cap \sigma_i^{-1}(g_\circ^{-1}((0,\infty)))\cap \sigma_i^{-1}(h_\circ^{-1}((0,\infty))) = U$이므로 집합 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)}= U$이다.

1번과 폐포 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\partial E} = \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{cl}(E)} \setminus \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)} = E\setminus \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)}$이고 $\underset{(\mathbb{R}^{n},d_{n})}{\partial P} = \underset{(\mathbb{R}^{n},d_{n})}{\operatorname{cl}(P)} \setminus \underset{(\mathbb{R}^{n},d_{n})}{\operatorname{int}(P)} = P\setminus \underset{(\mathbb{R}^{n},d_{n})}{\operatorname{int}(P)}$이다.

모든 $x = (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1}) \in \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\partial E} = E\setminus \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$는

사영가능영역의 정의로 $\rho_i(x) \in P$와 $\phi(\rho_i(x)) \le x_i \le \psi(\rho_i(x))$가 성립하고

2번으로 $\rho_i(x) \notin \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}$ 또는 $x_i\le \phi(\rho_i(x)) $ 또는 $\psi(\rho_i(x))\le x_i$임에 따라

$\rho_i(x) \notin \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(P)}$이면 $\rho_i(x) \in P\setminus \underset{(\mathbb{R}^{n},d_{n})}{\operatorname{int}(P)} = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial P}$이므로 $x\in S$이고

$x_i\le \phi(\rho_i(x))$이면 $\phi(\rho_i(x)) = x_i$가 되어 $x\in B$이고

$\psi(\rho_i(x))\le x_i$이면 $x_i = \psi(\rho_i(x))$가 되어 $x\in T$이므로 $x\in B\cup T\cup S$임에 따라 $\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\partial E} \subseteq B\cup T\cup S$이다.

모든 $x = (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})\in B\cup T\cup S\subseteq E$에 대해

$x \in B$이면 $\phi(\rho_i(x)) = x_i$이고

$x\in T$이면 $x_i = \psi(\rho_i(x))$이고

$x\in S$이면 $\rho_i(x) \in \underset{(\mathbb{R}^{n},d_{n})}{\partial P} = P\setminus \underset{(\mathbb{R}^{n},d_{n})}{\operatorname{int}(P)}$이므로 $\rho_i(x) \notin \underset{(\mathbb{R}^{n},d_{n})}{\operatorname{int}(P)}$가 되어 2번으로 $x\notin \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)}$임에 따라

$x \in E\setminus \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\operatorname{int}(E)} = \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\partial E}$이고 $B\cup T\cup S\subseteq \underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\partial E}$이므로 집합 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\partial E} = B\cup T\cup S$이다.

$E = \emptyset$이면 조르당영역 정리로 $E$는 $n+1$차원 조르당영역이다.

$E\ne \emptyset$이면 어떤 $x = (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1}) \in E$가 존재하여 사영가능영역의 정의로 $\rho_i(x)\in P$이므로 $P\ne \emptyset$이고

조르당영역의 정의로 $P$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 유계이므로 거리공간 정리로 $P\subseteq Q$이고

퇴화상자가 아닌 $n$차원 닫힌상자 $Q = [a_1,b_1]\times \cdots \times [a_{i-1},b_{i-1}]\times [a_{i+1}, a_{i+1}]\times \cdots \times [a_{n+1},b_{n+1}]$가 존재하고

$P$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이므로 하이네-보렐 정리로 $(P,d_n)$이 콤팩트거리공간임에 따라

콤팩트 정리로 $\min \phi(P) , \max \psi(P)$가 존재하여 $a_i = \min \phi(P) - 1 $이고 $b_i = \max \psi(P) + 1$일때

사영가능영역의 정의로 $a_i < \min \phi(P)\le \phi(\rho_i(x)) \le x_i\le \psi(\rho_i(x)) \le \max \psi(P) < b_i$이므로

$C = \displaystyle \prod_{k=1}^{n+1} [a_k,b_k]$는 퇴화상자가 아닌 $n+1$차원 닫힌상자이고 모든 $x = (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1}) \in E$는

$\rho_i(x) = (x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1})\in P \subseteq Q$이고 $a_i < \phi(\rho_i(x)) \le x_i\le \psi(\rho_i(x))< b_i$이므로

모든 $k=1,\cdots,n,n+1$에 대해 $x_k\in [a_k,b_k]$가 되어 $x\in \displaystyle \prod_{k=1}^{n+1}[a_k,b_k] = C$임에 따라

$E\subseteq C$이고 거리공간 정리로 $E$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 유계이다.

콤팩트 정리로 $\phi,\psi$는 $(P,d_{n})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 균등연속함수이므로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$d_n(z,w) < \delta_\epsilon$인 모든 $z,w\in P$가 $| \phi(z) - \phi(w) | < \dfrac{\epsilon}{4\cdot vol(Q)}$인 $\delta_\epsilon \in (0,\infty)$이 존재하고

$d_n(z,w) < \eta_\epsilon$인 모든 $z,w\in P$가 $| \psi(z) - \psi(w) | < \dfrac{\epsilon}{4\cdot vol(Q)}$인 $\eta_\epsilon \in (0,\infty)$이 존재하므로

격자 정리와 격자 정리로 어떤 $Q$의 격자 $\{ Q_j\}_{j = 1}^{p}$가 존재하여

모든 $j=1,2,\cdots,p$에 대해 모든 $z,w \in Q_j$는 $d_n(z,w) < \min \{ \delta_\epsilon, \eta_\epsilon\}$이고 $P\ne \emptyset$이므로

격자 정리로 $P\subseteq Q = \displaystyle \bigcup_{j=1}^{p} Q_j$임에 따라 $\{ j\in \{ 1,2,\cdots,p\} : P\cap Q_j\ne \emptyset\}$는 공집합이 아닌 유한집합이고

어떤 $q_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\{ j\in \{ 1,2,\cdots,p\} : P\cap Q_j\ne \emptyset\} = \{ j_1,j_2,\cdots, j_{q_\epsilon}\}$일때

모든 $z\in P$는 $z\in Q_j$인 $j = 1,2,\cdots,p$가 존재하여

$z\in P\cap Q_j$이고 $P\cap Q_j\ne \emptyset$이므로 $j=j_r$인 $r=1,2,\cdots ,q_\epsilon$이 존재하여 $z\in \displaystyle \bigcup_{r=1}^{q_\epsilon} Q_{j_r}$이고 $P\subseteq \displaystyle \bigcup_{r=1}^{q_\epsilon} Q_{j_r}$이다.

모든 $r = 1,2,\cdots,q_\epsilon$에 대해 $P\cap Q_{j_r}\ne \emptyset$이므로 $z(r) \in P\cap Q_{j_r}$이 존재하여 $\varphi_B = \phi$이고 $\varphi_T = \psi$일때

임의의 $A \in \{ B, T\}$에 대해 $a_i(r) = \varphi_A(z(r)) - \dfrac{\epsilon}{4\cdot vol(Q)}$이고 $b_i(r) = \varphi_A(z(r)) + \dfrac{\epsilon}{4\cdot vol(Q)}$이고

$Q_{j_r} = [a_1(r),b_1(r)]\times \cdots \times [a_{i-1}(r),b_{i-1}(r)]\times [a_{i+1}(r), a_{i+1}(r)]\times \cdots \times [a_{n+1}(r),b_{n+1}(r)]$이면

$C_r = \displaystyle \prod_{k=1}^{n+1} [a_k(r),b_k(r)]$는 퇴화상자가 아닌 $n+1$차원 닫힌상자이고

모든 $x =(x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})\in A\subseteq B\cup T\subseteq E$에 대해

사영가능영역의 정의로 $\rho_i(x)\in P \subseteq \displaystyle \bigcup_{r=1}^{p_\epsilon} Q_{j_r} \subseteq \bigcup_{j=1}^p Q_j = Q$이므로 $\rho_i(x)\in Q_{j_r}$인 $r =1,2,\cdots,q_\epsilon$이 존재하고

$\rho_i(x) , z(r) \in Q_{j_r}$이 되어 $d_n(\rho_i(x),z(r)) < \min \{\delta_\epsilon, \eta_\epsilon\}$이므로

$\varphi_A(\rho_i(x)) = x_i$임에 따라 $|x_i- \varphi_A(z(r))|=| \varphi_A(\rho_i(x)) - \varphi_A(z(r))| < \dfrac{\epsilon}{4\cdot vol(Q)}$이고

$a_i(r) = \varphi_A(z(r)) - \dfrac{\epsilon}{4\cdot vol(Q)} < x_i < \varphi_A(z(r)) + \dfrac{\epsilon}{4\cdot vol(Q)} = b_i(r)$이 되어 $x_i\in [a_i(r),b_i(r)]$이므로

$x = (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})\in \displaystyle \prod_{k=1}^{n+1} [a_k(r),b_k(r)]=C_r$임에 따라 $A \subseteq \displaystyle \bigcup_{r=1}^{q_\epsilon} C_r$이고 격자 정리와 부피의 정의로

$\displaystyle \sum_{r= 1}^{q_\epsilon} vol(C_r) = \sum_{r= 1}^{q_\epsilon} \left (vol(Q_{j_r})\cdot \left (\dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(Q)} \right ) \right ) \le \left (\sum_{j=1}^{p} vol(Q_j)\right ) \cdot \left (\dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(Q)} \right ) = vol(Q) \cdot \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(Q)}=\dfrac{\epsilon}{2} < \epsilon \text{ 이므로}$

부피 정리로 $A \in \{ B, T\}$의 부피는 $0$이다.

조르당영역의 정의와 부피 정리로 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해

어떤 $p_\epsilon\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial P} \subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^{p_\epsilon} R_j$와 $\displaystyle \sum_{j=1}^{p_\epsilon} vol(R_j) < \dfrac{\epsilon}{b_i - a_i}$가 성립하고

퇴화상자가 아닌 $n$차원 닫힌상자 $R_1,R_2,\cdots,R_{p_\epsilon}$이 존재하므로 모든 $j=1,2,\cdots,p_\epsilon$에 대해

$R_{j} = [c_1(j),d_1(j)]\times \cdots \times [c_{i-1}(j),d_{i-1}(j)]\times [c_{i+1}(j), d_{i+1}(j)]\times \cdots \times [c_{n+1}(j),d_{n+1}(j)]$일때

$c_i(j) = a_i$이고 $d_i(j) = b_i$이면 $D_j = \displaystyle \prod_{k=1}^{n+1} [c_i(j),d_i(j)]$는 퇴화상자가 아닌 $n+1$차원 닫힌상자이고

모든 $x =(x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})\in S \subseteq E$에 대해 $\rho_i(x)\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial P} \subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^{p_\epsilon} R_j$이므로

$(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1})=\rho_i(x) \in R_j$인 $j=1,2,\cdots, p_\epsilon$가 존재하고

사영가능영역의 정의로 $a_i < \phi(\rho_i(x)) \le x_i\le \psi(\rho_i(x)) < b_i$가 되어 $x_i\in [a_i,b_i] = [c_i(j),b_i(j)]$임에 따라

$x = (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})\in \displaystyle \prod_{k=1}^{n+1} [c_i(j),d_i(j)] = D_j$이고 $x\in \displaystyle \bigcup_{j=1}^{p_\epsilon} D_j$이므로 $S\subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^{p_\epsilon}D_j$이고 부피의 정의로

$\displaystyle \sum_{j= 1}^{p_\epsilon} vol(D_j) = \sum_{j= 1}^{p_\epsilon} \left (vol(R_{j})\cdot (b_i - a_i) \right ) = (b_i-a_i)\cdot \sum_{j=1}^{p_\epsilon} vol(R_j) < (b_i-a_i)\cdot \dfrac{\epsilon}{b_i-a_i} = \epsilon$이 되어

부피 정리로 $S$의 부피는 $0$이고 3번으로 $\underset{(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})}{\partial E} = B\cup T \cup S$의 부피는 $0$이므로 $E$는 $n+1$차원 조르당영역이다.

정리11

임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n, n+1,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1}),(\mathbb{R},d_1)$일때

임의의 $n$차원 조르당영역 $P \subseteq \mathbb{R}^n$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이고

$(P,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수 $\phi, \psi :P \to \mathbb{R}$에 대해 $E$가 $n+1,\phi,\psi$에 대한 $P$로의 사영가능영역이면

$(E,d_{n+1})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수 $f : E\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $n+1$차원 닫힌상자 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^{n+1} [a_i,b_i]$에 대해 $B_n = \displaystyle \prod_{i=1}^{n} [a_i,b_i]$일때

$B$에서 $f$의 영확장함수 $g : B\to \mathbb{R}$는 $B$에서 리만적분가능하고

모든 $x \in B_n$에 대해 함수 $g(x,\,\cdot \,) : [a_{n+1},b_{n+1}]\to \mathbb{R}$는 $[a_{n+1},b_{n+1}]$에서 리만적분가능하다.

2. $\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\! V =\int_P \int_{[\phi(x),\psi(x)]} f(x,t) \operatorname{d}\! t \operatorname{d} \! x$

3. 모든 $x\in P$에 대해 $\phi(x)\le \psi(x)$이면 $\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\! V =\int_P \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,t) \operatorname{d}\! t \operatorname{d} \! x$이다.

증명

위 정리로 $E$는 $n+1$차원 조르당영역이고 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 닫힌집합이므로

적분 정리로 $f$는 $E$에서 유계이고 리만적분가능하다.

적분 정리로 $g$는 $B$에서 리만적분가능하므로 모든 $x\in B_n$에 대해 $g(x,\,\cdot\,)$은 $[a_{n+1},b_{n+1}]$에서 유계이고

$x\notin P$이면 모든 $t\in [a_{n+1},b_{n+1}]$에 대해 사영가능영역의 정의로 $(x,t)\notin E$이므로

영확장함수의 정의로 $g(x,t) = 0$이 되어 적분 정리로 $g(x,\,\cdot \,)$는 $[a_{n+1},b_{n+1}]$에서 리만적분가능하다.

$x\in P$이면 모든 $t\in [a_{n+1},b_{n+1}] \setminus \{ \phi(x), \psi(x) \}$에 대해

$\phi(x)\le t\le \psi(x)$일때 사영가능영역의 정의로 $(x,t)\in E$이므로 영확장함수의 정의로 $g(x,t)= f(x,t)$이고

$f$가 $(E,d_{n+1})$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $(x,t)$에서 연속임에 따라 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해

$d_{n+1}((x,t) , (y,u)) < \delta_\epsilon$인 모든 $(y,u) \in E$가 $|f(x,t) - f(y,u)| < \epsilon$이 되는 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하고

$\phi(x) < t < \psi(x)$이므로 $\psi(x) - t > 0$과 $t - \phi(x) > 0$이 성립하여

$| t - u | < \min \{ \delta_\epsilon, \psi(x) - t, t - \phi(x)\}$인 모든 $u\in [a_{n+1},b_{n+1}]$는

$\phi(x) - t \le-\min \{\delta_\epsilon, \psi(x)-t, t-\phi(x) \} < u - t < \min \{ \delta_\epsilon, \psi(x) -t, t- \phi(x)\} \le \psi(x) - t$이고

$\phi(x) < u < \psi(x)$임에 따라 사영가능영역의 정의로 $(x,u)\in E$이 되어 영확장함수의 정의로 $g(x,u)= f(x,u)$이고

$d_{n+1}((x,t),(x,u)) = \displaystyle \sqrt{|t-u|^2} = |t-u| < \delta_\epsilon$이므로 $|g(x,t) - g(x,u)| =|f(x,t) - f(x,u)| < \epsilon$임에 따라

$g(x,\,\cdot\,)$는 $t$에서 연속이다.

$t < \phi(x)$ 또는 $\psi(x) < t$일때 사영가능영역의 정의로 $(x,t)\notin E$임에 따라 영확장함수의 정의로 $g(x,t) = 0$이고

$t < \phi(x)$이면 $\phi(x) - t > 0$이므로

$|t - u| < \phi(x) - t$인 모든 $u\in [a_{n+1},b_{n+1}]$는 $u-t \le |u-t| =|t-u| < \phi(x) - t$가 되어 $u < \phi(x)$이고

$\psi(x) < t$이면 $t - \psi(x) > 0$이므로

$|t - u| < t - \psi(x)$인 모든 $u\in [a_{n+1},b_{n+1}]$는 $t -u \le |t- u| < t-\psi(x)$가 되어 $\psi(x) < u$임에 따라

사영가능영역의 정의로 $(x,u)\notin E$이고 영확장함수의 정의로 $g(x,u) = 0$이므로

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $|g(x,t) - g(x,u)| = 0 < \epsilon$이 되어 $g(x,\,\cdot\,)$는 $t$에서 연속이다.

영집합 정리로 $\{\phi(x) ,\psi(x) \} \subseteq \mathbb{R}$는 영집합이고 $g(x,\,\cdot\,)$는 모든 $t\in [a_{n+1},b_{n+1}] \setminus \{ \phi(x), \psi(x) \}$에서 연속이므로

$g(x,\,\cdot\,)$는 $[a_{n+1},b_{n+1}]$의 거의 모든 점에서 연속이 되어

르베그 판정법으로 $g(x,\,\cdot\,)$는 $[a_{n+1},b_{n+1}]$에서 리만적분가능하다.

조르당영역의 정의와 거리공간 정리로 $P\subseteq \displaystyle \prod_{i=1}^n [a_i(P), b_i(P)]$와 $E\subseteq \displaystyle \prod_{i=1}^{n+1} [a_i(E), b_i(E)]$가 성립하고

퇴화상자가 아닌 $n,n+1$차원 닫힌상자 $\displaystyle \prod_{i=1}^{n} [a_i(P),b_i(P)] , \prod_{i=1}^{n+1}[a_i(E),b_i(E)]$가 존재하여

모든 $i= 1,\cdots, n$에 대해

$a_i = \min\{ a_i(P), a_i(E)\}$이고 $b_i = \max \{ b_i(P) , b_i(E)\}$이고 $a_{n+1} = a_{n+1}(E)$이고 $b_{n+1} = b_{n+1}(E)$일때

$B_n = \displaystyle \prod_{i=1}^n [a_i,b_i]$이고 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^{n+1} [a_i,b_i]$이면 퇴화상자의 정의와 최소, 최대원소의 정의로

$a_i \le a_i(P) < b_i(P) \le b_i$이므로 $P\subseteq \displaystyle \prod_{i=1}^n [a_i(P), b_i(P)] \subseteq \prod_{i=1}^n [a_i,b_i] = B_n$이고

$a_i \le a_i(E) < b_i(E) \le b_i$와 $a_{n+1} = a_{n+1}(E) < b_{n+1}(E) = b_i$가 성립하므로

$E\subseteq \displaystyle \prod_{i=1}^{n+1} [a_i(E), b_i(E)] \subseteq \prod_{i=1}^{n+1} [a_i,b_i] = B$이고 $B_n,B$는 퇴화상자가 아닌 $n,n+1$차원 닫힌상자이다.

1번으로 $B$에서 $f$의 영확장함수 $g : B\to \mathbb{R}$는 $B$에서 리만적분가능하고

모든 $x\in B_n$에 대해 $g(x,\,\cdot\,)$는 $[a_{n+1},b_{n+1}]$에서 리만적분가능하므로

적분 정리와 위 정리로 $\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\!V=\int_B g \operatorname{d}\! V = \int_{B_n} \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} g(x,t)\operatorname{d}\! t \operatorname{d}\! x$이다.

모든 $x\in P$에 대해 모든 $t\in [\phi(x),\psi(x)]$는

닫힌구간의 정의로 $\phi(x)\le t \le \psi(x)$임에 따라 사영가능영역의 정의로 $(x,t)\in E$이므로 $P\times [\phi(x),\psi(x)] \subseteq E$이고

$f$는 $(E,d_{n+1})$와 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $(x,t)$에서 연속이므로 연속함수 정리와 위 정리로

함수 $f(x, \,\cdot\,) : [\phi(x),\psi(x)]\to \mathbb{R}$는 $([\phi(x),\psi(x)],d_1)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $t$에서 연속이 되어

$f(x, \,\cdot\,)$는 $([\phi(x),\psi(x)],d_1)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고

$\psi(x) < \phi(x)$이면

닫힌구간의 정의로 $[\phi(x), \psi(x)] = \emptyset$임에 따라 조르당영역 정리로 $[\phi(x), \psi(x)]$는 $1$차원 조르당영역이고

$\phi(x) \le \psi(x)$이면 닫힌상자의 정의와 닫힌상자 정리로 $[\phi(x), \psi(x)]$는 $1$차원 조르당영역이므로

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $[\phi(x),\psi(x)]$가 $(\mathbb{R},d_1)$에서 닫힌집합임에 따라

적분 정리로 $f(x, \,\cdot\,)$는 $[\phi(x),\psi(x)]$에서 리만적분가능하다.

$a_{n+1} < b_{n+1}$이므로 닫힌상자에서 리만적분의 정의와 닫힌구간에서 리만적분의 정의로

모든 $x\in B_n$에 대해 $\displaystyle \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} g(x,t)\operatorname{d}\!t = \int_{[a_{n+1},b_{n+1}]} g(x,t)\operatorname{d}\!t$이고

모든 $x\in P$에 대해 모든 $t\in [\phi(x),\psi(x)]$는 $(x,t) \in P\times [\phi(x),\psi(x)] \subseteq E\subseteq \displaystyle \prod_{i=1}^{n+1}[a_i,b_i]$이므로

$t\in [a_{n+1},b_{n+1}]$가 되어 $[\phi(x),\psi(x)] \subseteq [a_{n+1},b_{n+1}]$이고 영확장함수의 정의로 $g(x,t) = f(x,t)$이다.

모든 $x\in P$에 대해 조르당영역 정리로 $[a_{n+1},b_{n+1}] \setminus [\phi(x),\psi(x)]$는 $1$차원 조르당영역이고

모든 $t\in [a_{n+1},b_{n+1}] \setminus [\phi(x),\psi(x)]$는 $t < \phi(x)$ 또는 $\psi(x) < t$이므로 사영가능영역의 정의로 $(x,t)\notin E$가 되어

영확장함수의 정의로 $g(x,t) = 0$임에 따라 상수함수 적분 정리와 여집합 적분 정리로

$\displaystyle 0 = 0\cdot vol([a_{n+1},b_{n+1}]\setminus [\phi(x),\psi(x)]) = \int_{[a_{n+1},b_{n+1}] \setminus [\phi(x),\psi(x)]} g(x,t)\operatorname{d}\!t = \int_{[a_{n+1},b_{n+1}]} g(x,t)\operatorname{d}\! t - \int_{[\phi(x),\psi(x)]} g(x,t) \operatorname{d}\!t \text{ 이고}$

부분집합에서 리만적분의 정의로 $\displaystyle \int_{[a_{n+1},b_{n+1}]}g(x,t)\operatorname{d}\!t = \int_{[\phi(x),\psi(x)]} g(x,t)\operatorname{d}\!t = \int_{[\phi(x),\psi(x)]} f(x,t) \operatorname{d}\!t$이므로

$\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\! V = \int_B g \operatorname{d}\! V = \int_{B_n} \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} g(x,t)\operatorname{d}\! t \operatorname{d}\! x = \int_{B_n} \int_{[a_{n+1},b_{n+1}]} g(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!x = \int_P \int_{[\phi(x),\psi(x)]}f(x,t) \operatorname{d}\! t \operatorname{d}\!x $이다.

연속함수 정리와 위 정리로 모든 $x\in P$에 대해 $f(x, \,\cdot\,)$는 $[\phi(x),\psi(x)]$에서 연속이므로

$\phi(x) \le \psi(x)$임에 따라 적분 정리로 $f(x, \,\cdot\,)$는 $[\phi(x),\psi(x)]$에서 리만적분가능하고

$\phi(x) = \psi(x)$이면 닫힌구간의 정의로 $[\phi(x),\psi(x)]$는 유한집합이므로

닫힌상자에서 리만적분 정리와 닫힌구간에서 리만적분의 정의로 $\displaystyle \int_{[\phi(x),\psi(x)]}f(x,t)\operatorname{d}\!t = 0 = \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,t)\operatorname{d}\!t $이고

$\phi(x) < \psi(x)$이면

닫힌상자에서 리만적분의 정의와 닫힌구간에서 리만적분의 정의로 $\displaystyle \int_{[\phi(x),\psi(x)]}f(x,t)\operatorname{d}\!t = \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,t)\operatorname{d}\!t $이므로

2번으로 $\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\!V = \int_{P} \int_{[\phi(x),\psi(x)]}f(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!x = \int_P \int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,t)\operatorname{d}\!t \operatorname{d}\!x$이다.

정리12

임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n, n+1,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1}),(\mathbb{R},d_1)$이고

임의의 $n$차원 조르당영역 $P \subseteq \mathbb{R}^n$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합일때

임의의 $i=1,2,\cdots,n$와 $(P,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수 $\phi, \psi :P \to \mathbb{R}$에 대해

$E$가 $i,\phi,\psi$에 대한 $P$로의 사영가능영역이면 다음이 성립한다.

1. 모든 $x = (x_1,\cdots,x_n, x_{n+1})\in \mathbb{R}^{n+1}$가 $\tau_i(x) = (x_1,\cdots,x_{i-1},x_{n+1}, x_i,\cdots,x_n)$인

함수 $\tau_i : \mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}^{n+1}$에 대해 $\tau_i^{-1}(E)$는 $n+1, \phi,\psi$에 대한 $P$로의 사영가능영역이다.

2. 모든 $(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\in P$에 대해

$[\phi,\psi](x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) =[\phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1}),\psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1})]$이면

$(E,d_{n+1})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수 $f: E\to \mathbb{R}$에 대해

$\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\! V =\int_P \int_{[\phi,\psi](x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})} f(x_1,\cdots,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) \operatorname{d}\! x_i \operatorname{d}(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) \text{ 이다.}$

3. 모든 $(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\in P$에 대해

$\phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\le \psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1})$이면

$(E,d_{n+1})$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수 $f: E\to \mathbb{R}$에 대해

$\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\! V =\int_P \int_{\phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})}^{\psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1})} f(x_1,\cdots,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) \operatorname{d}\! x_i \operatorname{d}(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) \text{ 이다.}$

증명

사영가능영역의 정의로

$F = \{ (x_1,\cdots,x_n,x_{n+1})\in \mathbb{R}^{n+1} : (x_1,\cdots,x_n)\in P \text{ 이고 } \phi(x_1,\cdots,x_n)\le x_{n+1} \le \psi(x_1,\cdots, x_n)\} $일때

모든 $x = (x_1,\cdots, x_n, x_{n+1})\in F$는

$(x_1,\cdots, x_n) \in P$이고 $\phi(x_1,\cdots, x_n) \le x_{n+1} \le \psi(x_1,\cdots, x_n)$임에 따라

$(x_1,\cdots, x_n, x_{n+1})= (y_1,\cdots,y_{i-1}, y_{i+1},\cdots,y_{n+1}, y_i)$이면

$(x_1,\cdots, x_n)= (y_1,\cdots,y_{i-1}, y_{i+1},\cdots,y_{n+1})$이고 $x_{n+1} = y_i$가 되어

$(y_1,\cdots, y_{i-1},y_{i+1},\cdots, y_{n+1}) \in P$이고

$\phi(y_1,\cdots, y_{i-1},y_{i+1},\cdots, y_{n+1}) \le y_i \le \psi(y_1,\cdots, y_{i-1},y_{i+1},\cdots, y_{n+1})$이므로

$\tau_i(x) = (x_1,\cdots,x_{i-1},x_{n+1} ,x_i,\cdots,x_n) = (y_1,\cdots,y_{i-1},y_i,y_{i+1},\cdots,y_{n+1})\in E$임에 따라

$x\in \tau_i^{-1}(E)$이고 $F\subseteq \tau_i^{-1}(E)$이다.

모든 $x = (x_1,\cdots, x_n, x_{n+1})\in \tau_i^{-1}(E)$는 $(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{n+1},x_i,\cdots,x_n)=\tau_i(x) \in E$이므로

$(x_1,\cdots,x_{i-1},x_i,\cdots,x_n)\in P$이고 $\phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_i,\cdots, x_n) \le x_{n+1} \le \psi(x_1,\cdots, x_{i-1},x_i,\cdots, x_n)$이 되어

$x = (x_1,\cdots, x_n, x_{n+1}) \in F$임에 따라 $\tau_i^{-1}(E)\subseteq F$이고

집합 정리로 $\tau_i^{-1}(E) = F$는 $n+1,\phi,\psi$에 대한 $P$로의 사영가능영역이다.

2, 3

위 정리로 $E$는 $n+1$차원 조르당영역이고 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 닫힌집합이므로

적분 정리로 $f$는 $E$에서 유계이고 리만적분가능하다.

등거리변환 정리로 $\tau_i$는 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$에서 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$로의 등거리변환이고

모든 $x\in \tau_i^{-1}(E)$에 대해 $\tau_i(x)\in E$이므로 등거리변환 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리로

$g(x) = f(\tau_i(x))$인 함수 $g: \tau_i^{-1}(E)\to \mathbb{R}^{n+1}$는 $(\tau_i^{-1}(E),d_{n+1})$에서 $(\mathbb{R}^{n+1},d_{n+1})$로의 연속함수가 되어

전사 정리와 치환 정리와 1번과 위 정리로

$\begin{align*} \int_E f\operatorname{d}\! V & = \int_E f(x) \operatorname{d}\! x \\[0.5em] &= \int_{\tau_i(\tau_i^{-1}(E))} f(x)\operatorname{d}\! x \\[0.5em] &= \int_{\tau_i^{-1}(E)} f(\tau_i(x)) \operatorname{d}\! x \\[0.5em] &= \int_{\tau_i^{-1}(E)} f(\tau_i(x_1,\cdots,x_n, x_{n+1}))\operatorname{d}(x_1,\cdots,x_n, x_{n+1}) \\[0.5em] &= \int_{\tau_i^{-1}(E)} g(x_1,\cdots,x_n, x_{n+1})\operatorname{d}(x_1,\cdots,x_n, x_{n+1}) \\[0.5em] & =\int_P \int_{[\phi,\psi](x_1,\cdots, x_{n})} g(x_1,\cdots,x_n, x_{n+1}) \operatorname{d}\! x_{n+1} \operatorname{d}(x_1,\cdots,x_n) \\[0.5em] & =\int_P \int_{[\phi,\psi](x_1,\cdots, x_{n})} f(\tau_i(x_1,\cdots,x_n, x_{n+1})) \operatorname{d}\! x_{n+1} \operatorname{d}(x_1,\cdots,x_n) \\[0.5em] & =\int_P \int_{[\phi,\psi](x_1,\cdots, x_{n})} f(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{n+1},x_{i},\cdots,x_n) \operatorname{d}\! x_{n+1} \operatorname{d}(x_1,\cdots,x_n) \\[0.5em] & =\int_P \int_{[\phi,\psi](x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})} f(x_1,\cdots,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) \operatorname{d}\! x_i \operatorname{d}(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1}) \text{ 이고} \end{align*}$

모든 $(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\in P$에 대해

$\phi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots, x_{n+1})\le \psi(x_1,\cdots,x_{i-1},x_{i+1},\cdots,x_{n+1})$이면

-------------------------------------------------------------------------------

정의의 링크 :

https://openknowledgevl.tistory.com/139#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

정리의 링크 :

https://openknowledgevl.tistory.com/139#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

William R. Wade - Introduction to Analysis - 9780132296380

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정리1

증명

정리2

증명

정리3($2$차원 푸비니[Fubuni] 정리)

증명

정리4

증명

정리5

증명

정리6(푸비니[Fubuni] 정리)

증명

정리7

증명

정리8

증명

정리9

증명

정의1

정리10

증명

정리11

증명

정리12

증명

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